แผนการจัดการเรียนรู้ด้วยรูปแบบ SSCS รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัสวิชา ค33202 หลักสูตรใหม่

รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 6

รหสั วิชา ค33202

แผนการจดั การเรียนรู้

คณิตศาสตร์ ม.6

ประกอบการใช้แบบฝกึ ทักษะ
เรอ่ื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

ดว้ ยรูปแบบ SSCS

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่

2

เร่อื ง การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของ
ตัวแปรสุ่มไมต่ อ่ เนอื่ ง
นายครรชติ แซโ่ ฮ่

ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 15
สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน

กระทรวงศึกษาธิการ

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 เรอื่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ือง 1

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2 เร่อื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ ไมต่ อ่ เนื่อง

รายวิชา คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 6 รหัสวิชา ค33202 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6

หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 4 เร่ือง เวลาทใ่ี ชใ้ นการจัดการเรียนรู้ 10 คาบ
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

 ผลการเรยี นรู้
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดจากตัวแปรส่มุ ที่มกี ารแจกแจงเอกรูป การแจกแจง

ทวินามและการแจกแจงปกติ และนาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

 จุดเนน้ การพฒั นาผู้เรยี น
 แสวงหาความร้เู พื่อการแก้ปัญหา
 ใชเ้ ทคโนโลยีเพือ่ การเรยี นรู้

 ทักษะการคดิ ขัน้ สูง
 มที ักษะชวี ติ
 ทกั ษะการสือ่ สารอย่างสร้างสรรคต์ ามช่วงวยั

 สาระสาคญั (ความเขา้ ใจทค่ี งทน)
เมอ่ื นาความน่าจะเป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่มมาเขียนแสดง

เพื่ออธิบายลักษณะของตัวแปรสุ่ม จะเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability
distribution) โดยอาจเขียนแสดงในรูปตารางหรอื กราฟ
บทนยิ าม 1

คา่ คาดหมาย (Expected value) ของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ือง X เขียนแทนดว้ ย X นิยาม

โดย

n

X  xi P( X  xi )
i 1

เม่อื n แทนจานวนค่าทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ้งั หมดของตวั แปรสุ่ม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนค่าท่ีเป็นไปได้

ทั้งหมดของตวั แปรสมุ่ X
อาจเรียกคา่ คาดหมายของตวั แปรสุม่ ว่า ค่าเฉลยี่ (mean) ของตวั แปรสุ่ม

บทนิยาม 2
สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเนอ่ื ง X เขียนแทนด้วย  X นิยามโดย

n
 X  (xi  X )2 P( X  xi )
i 1

และเรยี ก  2 ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเน่อื ง X
X

เม่ือ n แทนจานวนค่าที่เป็นไปไดท้ งั้ หมดของตวั แปรสุ่ม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนค่าทเ่ี ปน็ ไปได้

ทัง้ หมดของตวั แปรสมุ่ X

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2 เร่ือง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง 2

บทนิยาม 3
ให้ X เปน็ ตวั แปรสุ่มไม่ตอ่ เนอ่ื ง ถา้ ค่าทเ่ี ป็นไปได้ทงั้ หมดของ X คือ x1, x2, x3,..., xn

แล้วการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่อื ง (Discrete

uniform distribution) เมื่อ P(X  xi )  1 สาหรับทุก i {1, 2, 3, ..., n}
n

บทนยิ าม 4

การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution) คือการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปร

สุ่ม X ซ่ึงคือจานวนคร้ังของการเกิดผลสาเร็จจากการทดลองสุ่ม n คร้ังที่เป็นอิสระกัน โดยในแต่ละ

ครง้ั มโี อกาสเกดิ ผลสาเร็จด้วยความนา่ จะเปน็ เทา่ กับ p และไม่เกิดผลสาเรจ็ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ

1–p

หมายเหตุ

1. เรียก n และ p ว่าพารามิเตอรข์ องการแจกแจงทวินามและเขยี นสัญลกั ษณ์

X B(n, p) เพื่อแสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงทวินามทมี่ ี

n และ p เป็นพารามเิ ตอร์

2. การทดลองส่มุ 1 คร้งั ทมี่ ีผลลพั ธท์ เ่ี ป็นไปได้ 2 แบบ คือ สาเร็จหรือไม่สาเร็จ เรียกว่า การ

ลองแบรน์ ูลลี (Bernoulli trial) เช่น การโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 1 ครงั้

จากบทนิยามข้างต้นสรุปได้ว่า การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัว
แปรสุม่ ไม่ต่อเนือ่ งท่ีมีลกั ษณะดังต่อไปน้ี

1. เกดิ จากการทดลองสุ่มจานวน n ครั้งทีเ่ ปน็ อิสระกันกลา่ วคือ ผลทีไ่ ด้จากการทดลอง
สุ่มในครั้งกอ่ นหน้าไม่ส่งผลตอ่ การทดลองสุ่มในครัง้ ตอ่ ๆ ไป

2. การทดลองส่มุ แต่ละครั้งมผี ลลัพธท์ เี่ ปน็ ไปไดเ้ พยี ง 2 แบบ คอื สาเร็จหรือไม่สาเรจ็
3. ความนา่ จะเป็นท่จี ะเกิดผลสาเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเท่ากัน ให้เป็น p เมื่อ 0
< p < 1 และจะได้วา่ ความน่าจะเป็นทีจ่ ะไม่เกิดผลสาเร็จในการทดลองสมุ่ แต่ละครั้งเป็น 1 – p

ทฤษฎีบท 1

ถ้า การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงทวินาม จะไดว้ า่

1. P( X = x)   n  p x (1  p)nx สาหรบั ทุก x {0,1, 2,3,..., n}
 x 
 

2. x  np

3.  x  np(1 p)

เม่อื n แทนจานวนครง้ั ของการทดลองส่มุ และ p แทนความน่าจะเปน็ ท่ีจะเกิดผลสาเรจ็ ใน

การทดลองสุ่มแต่ละครง้ั

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 2 เรอ่ื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเน่ือง 3

 สาระการเรยี นรู้ (มาตรฐานการปฏิบัติได้)
ดา้ นความรู้ (K) ผู้เรียนสามารถ
1) เขยี นแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง
2) หาคา่ คาดหมายและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง พร้อมท้ังใช้ในการ
แก้ปญั หา
3) ตรวจสอบได้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ืองเป็นการแจกแจง
เอกรูปไมต่ ่อเน่อื งหรอื ไม่
4) ใชค้ วามรูเ้ ก่ยี วกบั การแจกแจงทวนิ ามในการแก้ปัญหา
ดา้ นทักษะกระบวนการ (P) ผ้เู รียนมคี วามสามารถใน
1) การแก้ปัญหา
2) การให้เหตผุ ล
3) การสือ่ สาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
4) การเชอ่ื มโยงความรทู้ างคณิตศาสตร์
5) ความคดิ ริเริ่มสร้างสรรค์
ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) ผูเ้ รียนมี
1) การทางานเป็นระบบ รอบคอบ
2) ระเบยี บวนิ ยั
3) ความรับผดิ ชอบ
4) ความเช่อื ม่นั ในตนเอง
5) ความซอื่ สตั ย์

 สมรรถนะสาคญั
 ความสามารถในการสื่อสาร
 ความสามารถในการคิด
 ความสามารถในการแก้ปัญหา
 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

 ส่อื /แหลง่ เรียนรู้
สื่อการเรยี นรู้
1) แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็
แหลง่ การเรยี นรู้
1) หอ้ งสมดุ ของโรงเรียน
2) การสบื คน้ ข้อมลู จากอินเตอร์เนต็ ได้แก่
- เว็บไซต์ http://www.google.co.th
- คลังวีดโี อสอ่ื คณิตศาสตร์ http://www.youtube.com
- คลงั เอกสารสอ่ื คณิตศาสตร์ http://www.scribd.com

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ ไม่ต่อเน่ือง 4

 หลกั ฐานการเรยี นรู้
ชนิ้ งาน
1) -
ภาระงาน
1) แบบฝกึ ทักษะที่ 2 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรส่มุ ไม่ต่อเน่อื ง
2) แบบฝกึ ทักษะที่ 3 ค่าคาดหมายและสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง
3) แบบฝกึ ทักษะท่ี 4 การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเนื่อง
4) กิจกรรม สสี นั หรรษา
5) แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5 การแจกแจงทวินาม

 การวดั ผลและประเมนิ ผลการจัดการเรียนรู้

ดา้ น รายการประเมนิ วธิ ีการ เครอ่ื งมอื เกณฑ์การ
1. ความรู้ (K) - แบบฝกึ ทกั ษะ ประเมนิ
1) เขียนแสดงการแจกแจง 1. ประเมนิ จากการทา
2. ทักษะ ความน่าจะเป็นของตัวแปร แบบฝึกทกั ษะ ทาเอกสาร
กระบวนการ 2. ตรวจเอกสารแบบฝึก แบบฝึกทกั ษะ/
(P) สุ่มไม่ต่อเนอื่ ง ได้ถูกตอ้ งอย่าง
2) หาค่าคาดหมายและส่วน ทักษะ นอ้ ย 70% ของ
3. คณุ ลกั ษณะ คะแนนทงั้ หมด
อนั พึงประสงค์ เบี่ยงเบนมาตรฐานของตัว
(A)
แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง พร้อมทั้ง

ใชใ้ นการแกป้ ัญหา

3) ตรวจสอบได้ว่าการแจกแจง

ความน่าจะเป็นของตัวแปร

สุ่มไม่ต่อเน่ืองเป็นการแจก

แจงเอกรูปไม่ต่อเนอื่ งหรอื ไม่

4) ใช้ความรู้เก่ียวกับการแจก

แจงทวินามในการแก้ปัญหา

ดจู ากแบบสังเกตพฤติกรรม 1. สงั เกตจากการตอบ แบบสงั เกต การผา่ นเกณฑต์ อ้ ง
พฤตกิ รรมผู้เรียน ได้ระดบั คุณภาพ
ผู้เรียนดา้ นทักษะกระบวนการ คาถามในห้องเรยี น ด้านทักษะ โดยภาพรวมต้งั แต่
กระบวนการ 10 คะแนนขึ้นไป
2. สงั เกตพฤตกิ รรม
แบบสงั เกต การผา่ นเกณฑต์ อ้ ง
ผู้เรยี น พฤตกิ รรมผู้เรยี น ได้ระดับคุณภาพ
ด้านคณุ ลักษณะ โดยภาพรวมต้งั แต่
ดูจากแบบสงั เกตพฤติกรรม 1. สังเกตจากการตอบ อันพึงประสงค์ 10 คะแนนขน้ึ ไป

ผู้เรียนดา้ นคณุ ลกั ษณะ คาถามในห้องเรยี น

อนั พงึ ประสงค์ 2. สังเกตพฤตกิ รรม

ผู้เรียน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 เรอ่ื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง 5

 การจัดกิจกรรมการเรียนรู้
กจิ กรรมการเรยี นรู้ตามรปู แบบ SSCS

ขัน้ เตรยี มความพรอ้ ม
1. ครใู ห้ผเู้ รยี นนงั่ สมาธิ เพ่ือรวบรวมสติ สมาธแิ ละเตรยี มความพรอ้ มในการเรียน
2. ผเู้ รยี นและครรู ่วมกันสนทนาเกี่ยวกับหลกั การดาเนินชีวิตประจาวัน โดยนาค่านิยมหลักของ
คนไทย 12 ประการมาแทรกเป็นกรณีตัวอย่างตามสถานการณ์ ได้แก่ 1) รักษาวัฒนธรรมประเพณีไทย
2) มศี ีลธรรม รกั ษาความสตั ย์ เป็นต้น
3. ครูชี้แจงวิธีการเรียนรู้โดยการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ด้วยกิจกรรมการเรียนรู้ตาม
รปู แบบ SSCS

ขน้ั นาเข้าสู่บทเรียน

1. ครแู บง่ กลุ่มผู้เรียนออกเป็นกลุ่มกลุ่มละ 4 – 5 คน โดยแต่ละกลุ่มมีการคละความสามารถ

ของผเู้ รยี น เกง่ ปานกลาง และออ่ น ตามผลการเรยี นทพี่ จิ ารณาจากการสอบในภาคเรียนท่ีผ่านมาเป็น

รายบคุ คล เพอ่ื ใหผ้ ้เู รียนได้ชว่ ยเหลอื กันและแลกเปลย่ี นประสบการณ์ภายในกลุ่ม และให้ผู้เรียนแต่ละ

กลมุ่ ช่วยกนั เลอื กประธาน 1 คน เลขานกุ าร 1 คน และผรู้ ว่ มงาน 2 – 3 คน

2. ครูแจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ของกจิ กรรมการเรียนรตู้ ามรูปแบบ SSCS ใหผ้ ู้เรียนทราบ

3. ผู้เรียนและครูร่วมกันสนทนา ทบทวนเก่ียวกับความรู้เดิม เรื่องความถ่ีสัมพัทธ์จากตาราง

ความถี่ โดยครใู ช้การถาม-ตอบ เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจ ดงั นี้

ความถ่ีสัมพัทธ์ (Relative frequency) หมายถึงสัดส่วนของความถี่ของแต่ละข้อมูล เทียบ

กับผลรวมของความถีท่ ง้ั หมด

ความถส่ี ัมพัทธ์อาจเขยี นในรูปสดั สว่ น ไดเ้ ปน็
ความถ่ี
ความถส่ี มั พทั ธ์ (สดั ส่วน) = ความถี่ รวม

หรืออาจเขียนความถีส่ มั พัทธใ์ นรูปร้อยละ ได้เปน็
ความถ่ี
ความถ่สี มั พัทธ์ (ร้อยละ) = ความถ่ี รวม 100

ขั้นกจิ กรรมการเรยี นรู้ (คาบที่ 1-2)
ขน้ั ที่ 1 Search: S (ขัน้ สบื เสาะค้นหาความรู)้
1.1 ให้ผูเ้ รียนทากจิ กรรม พี่นอ้ งของฉัน พร้อมทง้ั ตง้ั คาถามกระต้นุ ความคดิ ของผเู้ รยี น ดงั น้ี

ให้นักเรียนแต่ละคนสารวจข้อมูลจานวนพ่ีน้องในครอบครัวของตนเองแล้วเขียนตาราง
ความถขี่ องข้อมลู ชดุ น้ี

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรส่มุ ไมต่ ่อเนื่อง 6

จานวนพ่นี ้อง (คน) ความถ่ี ความถสี่ ัมพทั ธ์

0 6 0.12
1 22 0.44
2 17 0.34
3 4 0.08
4 1 0.02

รวม 50 1

คาถาม ถา้ ส่มุ นกั เรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม X คือจานวนพ่ีน้องของนักเรียนท่ี
สุ่มได้ จงหาความนา่ จะเปน็ ที่นักเรียนทส่ี ุม่ ได้จะมพี ่ีน้อง x คนเมื่อ x{0,1,2,3,4}

คาตอบ สาหรับ x{0,1,2,3,4} จะได้ว่า P(X = x) คือ ความน่าจะเป็นท่ีนักเรียนท่ีสุ่มได้

จะมพี ีน่ ้อง x คน ดงั นน้ั P(X = 0) = 6  0.12 P(X = 1) = 22  0.44
50 50

P(X = 2) = 17  0.34 P(X = 3) = 4  0.08
50 50

P(X = 4) = 1  0.02
50

จากกิจกรรมข้างต้นจะเหน็ วา่

1) ความน่าจะเป็นของการเกดิ ค่าแต่ละค่าทเี่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรส่มุ คือความถ่ีสมั พัทธ์

2) โดยท่ัวไปสาหรบั ตวั แปรสุ่ม X ใด ๆ จะได้ 0  P(X  x) 1

3) ผลรวมของความนา่ จะเป็นของการเกดิ ค่าแตล่ ะค่าทเี่ ปน็ ไปไดท้ ั้งหมดของตัวแปรสุ่มเท่ากับ 1

เมื่อนาความนา่ จะเป็นของการเกิดค่าแตล่ ะคา่ ท่ีเป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มมาเขียนแสดง
เพ่ืออธิบายลักษณะของตัวแปรสุ่ม จะเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability
distribution) โดยอาจเขียนแสดงในรูปตารางหรือกราฟ เช่น จากกิจกรรมข้างต้น สามารถเขียน
ตารางแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม X ได้ดังน้ี

x01234

P(X = x) 0.12 0.44 0.34 0.08 0.02

1.2 ครยู กตัวอย่างการเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นให้ผู้เรียนศึกษา จากน้ันผู้เรียน
รว่ มกันตอบคาถาม โดยครคู อยแนะนาจนกวา่ ผู้เรยี นเข้าใจ ดังนี้
ตวั อยา่ งท่ี 4 ใหต้ ัวแปรสุ่ม X คือจานวนครั้งทเ่ี หรียญข้ึนหัวจากการโยนเหรยี ญท่ีเทีย่ งตรง 1

เหรียญ 3 ครัง้ จงเขียนแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปร X ในรปู ตาราง
และกราฟ
วิธีทา ให้ S แทนปริภูมติ ัวอยา่ งของการโยนเหรียญทเ่ี ที่ยงตรง 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง

H แทนเหรียญข้นึ หัว
และ T แทนเหรียญขนึ้ ก้อย
จะได้ S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
ค่าท่เี ปน็ ไปได้ของตัวแปรส่มุ X คือ 0, 1, 2 และ 3
เหตุการณ์ที่ X = 0 คือ {TTT}
เหตุการณท์ ่ี X = 1 คือ {HTT, THT, TTH}

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเน่ือง 7

เหตุการณ์ท่ี X = 2 คือ {HHT, HTH, THH}
เหตุการณท์ ี่ X = 3 คือ {HHH}

ดังน้ัน P(X = 0) = 1  0.125
8

P(X = 1) = 3  0.375
8

P(X = 2) = 3  0.375
8

P(X = 3) = 1  0.125
8

จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ X ดังนี้

x0123

P(X = x) 0.125 0.375 0.375 0.125

และจะได้กราฟแสดงการแจกแจงความน่าเป็นของตัวแปรสุ่ม X ดงั นี้

P(X = x)

0.40  
0.35

0.30

0.25

0.20

0.15 


0.10

0.05
x

01 2 3

ตัวอย่างที่ 5 ให้ตวั แปรสุ่ม Y คือผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2
วธิ ีทา ลูกพร้อมกัน 1 คร้ัง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Y ใน
รปู ตารางและกราฟ
ให้ S แทนปรภิ ูมิตวั อยา่ งของการทอดลูกเตา๋ ทเี่ ท่ยี งตรง 2 ลกู พร้อมกัน 1 ครง้ั
จะได้ S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

คา่ ท่ีเป็นไปได้ของตวั แปรส่มุ Y คือ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12

เหตุการณท์ ี่ Y = 2 คอื {(1, 1)}

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 2 เร่ือง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง 8

เหตกุ ารณ์ท่ี Y = 3 คอื {(1, 2), (2, 1)}
เหตุการณท์ ี่ Y = 4 คือ {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
เหตกุ ารณ์ที่ Y = 5 คือ {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

เหตุการณท์ ี่ Y = 6 คอื {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
เหตุการณ์ท่ี Y = 7 คอื {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
เหตกุ ารณท์ ี่ Y = 8 คอื {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
เหตกุ ารณท์ ี่ Y = 9 คอื {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
เหตุการณท์ ี่ Y = 10 คือ {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
เหตกุ ารณ์ที่ Y = 11 คือ {(5, 6), (6, 5)}
เหตุการณ์ท่ี Y = 12 คือ {(6, 6)}

ดังนน้ั 1 P(Y = 3) = 2  1 P(Y = 4) = 3 1
P(Y = 2) = 36 36 18 36 12

P(Y = 5) = 4  1 5 P(Y = 7) = 6  1
36 9 P(Y = 6) = 36 36 6

5 P(Y = 9) = 4  1 P(Y=10) = 3  1
P(Y = 8) = 36 36 9 36 12

P(Y = 11) = 2  1 1
36 8 P(Y = 12) = 36

จะไดต้ ารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Y ดงั น้ี

y 23456789 10 11 12
P(Y = y) 1 1 1 1 5 1 5 1 11 1
12 18 36
36 18 12 9 36 6 36 9

และจะไดก้ ราฟแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม Y ดงั นี้

P(Y = y)  y

7 
36 
6 
36 
5
36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4
36
3
36
2
36
1
36

01

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเนื่อง 9

ขนั้ ที่ 2 Solve: S (ขนั้ การแก้ปญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการท่ีใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคิดและวิธกี ารทผ่ี ู้เรียนเลอื กใชใ้ นการแก้ปัญหา
2.2 ครูให้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนท่ีผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในท่ีสุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลุ่มร่วมกันทาแบบฝึกทักษะที่ 2 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง แล้วช่วยกัน
เฉลยและตรวจสอบความถูกตอ้ ง
ข้ันท่ี 3 Create: C (ข้ันสรา้ งความรู้)
3.1 ครูใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงขน้ั ตอนการแกป้ ัญหาและบนั ทกึ ความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เรือ่ งการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ือง และจากการทาแบบฝึกทักษะท่ี 2 การแจก
แจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ลงในสมุดโดยใช้ภาษาท่ีง่ายต่อการเข้าใจ สละสลวยใน
การเขยี นแสดงแนวคดิ และอธิบายคาตอบของผู้เรยี น
ขั้นท่ี 4 Share: S (ขนั้ อภปิ รายแลกเปล่ียนความคดิ เห็น)
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปล่ียนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ
4.2 ครสู ุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบที่แตกต่างจากเพ่ือนก็สามารถ
นาวิธกี ารหรือแนวคดิ นัน้ มานาเสนอไดอ้ ย่างเต็มที่
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลท่ีได้ท่ีเพื่อนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะท่ีร่วมกันอภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเห็นน้ัน ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การสื่อสารทงั้ ในด้านการฟงั และการพูดของผู้เรียนไปพร้อม ๆ กนั

ขัน้ กิจกรรมการเรยี นรู้ (คาบที่ 3-4)
ขน้ั ที่ 1 Search: S (ข้ันสบื เสาะค้นหาความรู้)
1.3 ครูอธิบายความหมายของค่าคาดหมาย (Expected value) ของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง
พร้อมทง้ั ตง้ั คาถามกระตุน้ ความคิดของผ้เู รียน ดงั นี้

บทนยิ าม 1
คา่ คาดหมาย (Expected value) ของตัวแปรสุ่มไม่ตอ่ เน่ือง X เขยี นแทนด้วย X

นิยามโดย

n

X  xi P( X  xi )
i 1

เม่ือ n แทนจานวนค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่ม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนค่าท่ี
เป็นไปได้ท้งั หมดของตวั แปรสมุ่ X

หมายเหตุ ในกรณีท่ีเซตของค่าท่เี ป็นไปไดท้ งั้ หมดของตวั แปรสุ่ม X เปน็ เซตอนันต์ จะนยิ ามให้



X  xi P( X  xi )
i 1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุม่ ไมต่ ่อเน่ือง 10

แต่ในท่ีนีจ้ ะพิจารณาเฉพาะกรณที เี่ ซตของค่าท่เี ป็นไปได้ทัง้ หมดของตวั แปรสุม่ เป็นเซตจากัด

1.4 ครูยกตัวอย่างการหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มให้ผู้เรียนศึกษา จากนั้นผู้เรียนร่วมกัน

ตอบคาถาม โดยครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรียนเขา้ ใจ ดังน้ี

ตวั อย่างท่ี 6 จานวนพี่น้องของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่งจานวน 50 คนแสดงด้วย

ตารางความถี่ได้ดงั นี้

จานวนพ่นี อ้ ง (คน) ความถ่ี ความถีส่ ัมพัทธ์

0 6 0.12

1 22 0.44

2 17 0.34

3 4 0.08

4 1 0.02

ถ้าสุม่ นักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และใหต้ วั แปรสมุ่ X คือจานวนพี่นอ้ งของนักเรยี นท่ี
สุ่มได้ จงหาคา่ คาดหมายของตวั แปรสุ่ม X
วิธีทา คา่ ท่เี ปน็ ไปได้ของตัวแปรสุ่ม X คือ 0, 1, 2, 3 และ 4

เน่อื งจาก X n  xi ) จะได้

  xiP(X
i 1

X  x0P( X  x0 )  x1P( X  x1)  x2P(X  x2 )  x3P(X  x3)  x4P(X  x4 )

 0  P( X  0) 1 P( X  1)  2  P( X  2)  3 P( X  3)  4  P( X  4)

 0  (0.12) 1 (0.44)  2  (0.34)  3 (0.08)  4  (0.02)

 0  0.44  0.68  0.24  0.08

 1.44

ดงั นัน้ ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X คือ 1.44 คน

นักเรียนทราบแล้วว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางของข้อมูลท่ีหาได้จากการหาร ผลรวมของ
ข้อมูลทั้งหมดด้วยจานวนข้อมูลท่ีมี จากตัวอย่างข้างต้น จะได้ว่าค่าเฉล่ียเลขคณิตของจานวนพี่น้อง
ของนักเรยี น 50 คนคอื

0(6) 1(22)  2(17)  3(4)  4(1)  0  22  34 12  4  72  1.44
50 50 50

สงั เกตวา่ 0(6) 1(22)  2(17)  3(4)  4(1)  0  6  1 22   2  17   3 4   4  1 
50  50  50  50  50   50 

และจากตวั อยา่ งที่ 6 จะเห็นว่า X  0  6   1 22   2  17   3 4   4  1 
50  50   50  50   50 

ดังน้ัน ค่าเฉล่ียเลขคณิตของจานวนพ่ีน้องของนักเรียน 50 คน เท่ากับค่าคาดหมายของตัว
แปรสุม่ X เม่ือตวั แปรสุ่ม X คือจานวนพนี่ ้องของนกั เรียนท่ีสมุ่ ได้

จงึ อาจเรียกคา่ คาดหมายของตวั แปรสมุ่ ว่า คา่ เฉลย่ี (mean) ของตวั แปรสุม่
นอกจากจะสามารถพิจารณาค่าคาดหมายเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มแล้ว ค่าคาดหมายของ
ตวั แปรส่มุ ยังสามารถใช้ช่วยในการตดั สินใจเกยี่ วกับสถานการณ์ต่าง ๆ ไดด้ งั ตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 เร่ือง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง 11

ตวั อย่างที่ 7 ในงานประจาปีของจงั หวัดหนึ่งมีเกมวงลอ้ เสี่ยงโชค โดยมีกติกาว่า ผู้เล่นจะต้องหมุน
วงล้อที่มีหมายเลข 1 – 7 กากับไว้ดังรูป ถ้าลูกศรช้ีท่ีช่องที่มีหมายเลขท่ีกากับเป็น
จานวนค่ี ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่
ลกู ศรจะชท้ี ่ชี ่องใดช่องหน่ึงเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อเส่ียงโชคแต่ละครั้งผู้เล่น
จะตอ้ งจ่ายเงนิ ซือ้ ตวั๋ ราคา 10 บาท
จงหาค่าคาดหมายของจานวนเงินที่ผู้เล่นจะได้รับหรือเสียไป พร้อมท้ังอธิบาย
ความหมาย

วธิ ที า ใหต้ วั แปรสุ่ม X คือกาไร (ขาดทนุ ) ของผ้เู ลน่ จากการหมนุ วงล้อ 1 ครง้ั
เนอ่ื งจากในการหมุนวงลอ้ 1 ครัง้ มเี หตกุ ารณ์ท่เี ปน็ ไปได้ 2 เหตุการณ์ คอื

ผู้เลน่ จะได้เงนิ รางวัล 20 บาท และผเู้ ลน่ ไม่ได้เงนิ รางวัล

แตใ่ นการเลน่ เกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผูเ้ ล่นจะต้องจ่ายเงนิ ซ้อื ตว๋ั ราคา 10 บาท
จะได้ ค่าท่ีเป็นไปไดข้ องตัวแปรส่มุ X คอื 10 และ -10

เน่อื งจาก ผูเ้ ลน่ จะไดเ้ งินรางวลั 20 บาท ก็ตอ่ เมื่อ ลูกศรช้ีที่ช่องที่มีหมายเลขท่ีกากับ

เป็นจานวนคี่ ซ่ึงมี 4 ชอ่ ง จากจานวนช่องทัง้ หมด 10 ช่อง

ดงั นนั้ 4 และ 6
P(X = 10) = 10 P(X = -10) = 10

จะได้ X  10 4   (10)  6   2
 10   10 

นน่ั คือ ค่าคาดหมายของกาไร (ขาดทุน) จากการหมนุ วงล้อคอื -2 บาท

ซึง่ หมายความวา่ โดยเฉลย่ี แล้วในการเล่มเกมวงล้อเสี่ยงโชคแตล่ ะครั้งผู้เล่นจะขาดทุน

ครง้ั ละ 2 บาท
แสดงว่า ถา้ เลน่ เกมวงลอ้ เส่ียงโชคหลาย ๆ ครัง้ โดยเฉลยี่ แลว้ ผูเ้ ลน่ จะเสียเปรยี บ

1.5 ครูอธิบายความหมายของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง พร้อมทั้งตั้ง
คาถามกระตนุ้ ความคิดของผูเ้ รียน ดังน้ี

นอกจากน้ีจะสามารถนิยามส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มเพ่ือใช้ในการวัดการ
กระจายของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มว่ามีความแตกต่างจากค่าคาดหมายมากหรือน้อยเพียงใด ดัง
บทนิยามต่อไปนี้

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2 เรื่อง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรส่มุ ไม่ต่อเน่ือง 12

บทนยิ าม 2
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ ไม่ต่อเนื่อง X เขยี นแทนดว้ ย  X นยิ ามโดย

n
 X  (xi  X )2 P( X  xi )
i 1

และเรยี ก  2 ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเนอื่ ง X
X

เมื่อ n แทนจานวนค่าท่ีเปน็ ไปได้ทงั้ หมดของตวั แปรสมุ่ X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนคา่ ที่

เปน็ ไปได้ทง้ั หมดของตัวแปรสมุ่ X

หมายเหตุ ในกรณีท่ีเซตของค่าท่เี ป็นไปไดท้ งั้ หมดของตวั แปรสุ่ม X เปน็ เซตอนันต์ จะนิยามให้



 X  (xi  X )2 P( X  xi )
i 1

แตใ่ นท่ีน้จี ะพิจารณาเฉพาะกรณที ่ีเซตของค่าท่ีเปน็ ไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสมุ่ เป็นเซตจากัด

1.6 ครูยกตัวอย่างหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปร

สุ่มใหผ้ ู้เรียนศกึ ษา จากนัน้ ผู้เรียนร่วมกันตอบคาถาม โดยครคู อยแนะนาจนกวา่ ผู้เรียนเขา้ ใจ ดงั นี้

ตัวอยา่ งท่ี 8 ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจานวนครั้งท่ีเหรียญข้ึนหัว จากการโยนเหรียญที่เท่ียงตรง 1
วธิ ีทา เหรยี ญ 3 คร้ัง
จงหาคา่ คาดหมาย ความแปรปรวน และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X
จากตัวอย่างท่ี 4 จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X
ดงั นี้

x0 1 2 3

P(X = x) 0.125 0.375 0.375 0.125

เน่ืองจาก X n  xi ) จะได้

  xiP(X
i 1

X  0 P(X  0) 1 P(X  1)  2 P(X  2)  3 P(X  3)  4 P(X  4)

 0 (0.125) 1 (0.375)  2 (0.375)  3 (0.125)  1.5

ดังนน้ั คา่ คาดหมายของตวั แปรสุ่ม X คือ 1.5 ครัง้

เน่ืองจาก  2 n  X 2 P( X  xi )
X
  xi
i 1

 2  (x1  X )2  P( X  x1)  (x2  X )2  P(X  x2 )  (x3  X )2  P( X  x3 )
X

 (x4  X )2  P( X  x4 )

 (0 1.5)2 (0.125)  (11.5)2 (0.375)  (2 1.5)2 (0.375)  (3 1.5)2 (0.125)

 0.75

ดงั นั้น ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X คือ 0.75 ครง้ั 2
เนอ่ื งจาก  X  0.75  0.87
ดังนัน้ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X มคี า่ ประมาณ 0.87 ครั้ง

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 2 เร่ือง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ือง 13

ตัวอยา่ งที่ 9 ใหต้ ัวแปรส่มุ Y คือผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าที่เท่ียงตรง 2
วธิ ีทา ลกู พรอ้ มกนั 1 ครง้ั จงหาคา่ คาดหมาย ความแปรปรวน และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของตัวแปรสุม่ Y
จากตัวอยา่ งที่ 4 จะไดต้ ารางแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม Y ดงั นี้

y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Y = y) 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1
36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36

เนื่องจาก Y n  yi ) จะได้

  yiP(Y
i 1

Y  2  1   3  1   4  1   5  1   6  5   7  1   8  5   9  1 
 36   18   12   9   36   6  36   9 

 10  1   11 1   12  1   7
 12  18   36 

ดังน้นั ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม Y คอื 7 แต้ม

เนื่องจาก  2  n  Y 2 P(Y  yi ) จะได้
Y
 yi
i 1

 2  (2  7)2  1   (3  7)2 1   (4  7)2 1   (5  7)2  1   (6  7)2  5 
Y  36   18   12   9   36 

(7  7)2  1   (8  7) 2  5   (9  7)2  1   (10  7)2  1 
 6   36   9   12 

(11  7) 2  1   (12  7) 2  1 
 18   36 

 35  5.83
6

ดังนนั้ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Y มคี า่ ประมาณ 5.83 แตม้ 2
เน่อื งจาก Y  5.83  2.42

ดังนน้ั ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่ม Y มคี ่าประมาณ 2.42 แตม้

ต่อไปเป็นตัวอย่างเกี่ยวกับการนาค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไปใช้ในการ

ตัดสนิ ใจเก่ยี วกับการลงทนุ เพ่ือให้นกั เรียนเห็นตวั อยา่ งการนาไปใชใ้ นชีวติ จริง ดังนี้

ตัวอยา่ งที่ 10 นักลงทุนคนหนึ่งมีทางเลือกในการลงทนุ กับบริษัท A และบรษิ ทั B โดยมขี อ้ มลู ดังน้ี

ผลตอบแทน ความนา่ จะ ผลตอบแทน ความนา่ จะ

(บาท) เปน็ (บาท) เป็น

20,000 0.6 20,000 0.7

-10,000 0.4 -20,000 0.3

บริษัท A บริษทั B

นักเรยี นคดิ วา่ นักลงทนุ ควรเลอื กลงทุนกับบรษิ ัทใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 เร่อื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนื่อง 14

วธิ ีทา ให้ตัวแปรสุ่ม X และ Y คือผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B

ตามลาดบั

เนื่องจาก X  20,000(0.6)  (10,000)(0.4)  8,000
และ Y  20,000(0.7)  (20,000)(0.3)  8,000
ดงั นั้น คา่ คาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทนุ กับบริษัท A คือ 8,000 บาท

และ คา่ คาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบรษิ ทั B คอื 8,000 บาท

ซ่ึงหมายความว่า ในการลงทุนกับแต่ละบริษัท โดยเฉล่ียแล้วจะได้รับผลตอบแทน

8,000 บาท

เน่ืองจาก  2  (20,000 8,000)2(0.6)  (10,000 80,000)2(0.4)
X

 216,000,000

และ  2  (20,000 8,000)2(0.7)  (20,000 80,000)2(0.3)
Y

 336,000,000

ดังนั้น ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกบั บริษทั A คอื

216,000,000 บาท2

และ ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษทั B คือ

336,000,000 บาท2

และจะได้ว่าสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และ

บริษทั B มคี า่ ประมาณ 14,696.94 และ 18,330.30 ตามลาดับ

ซ่ึงอธิบายคร่าว ๆ ได้ว่า โดยเฉลี่ยแล้วผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และ

บริษัท B จะต่างจากค่าคาดหมายประมาณ 14,696.94 และ 18,330.30

ตามลาดบั

ดังน้ัน นักลงทุนควรเลือกลงทุนกับบริษัท A เน่ืองจากถึงแม้ว่าค่าคาดหมายของ

ผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัทท้ังสองจะเท่ากัน แต่โดยเฉล่ียแล้วผลตอบแทน

จากการลงทุนกับบรษิ ัท A ต่างจากค่าคาดหมายน้อยกว่าบริษัท B ซ่ึงอาจกล่าวได้ว่า

การลงทนุ กบั บรษิ ัท A มีความเส่ยี งนอ้ ยกวา่ การลงทุนกับบริษัท B

ข้ันที่ 2 Solve: S (ข้ันการแกป้ ญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคิดและวธิ กี ารทผี่ ู้เรยี นเลือกใชใ้ นการแกป้ ัญหา
2.2 ครใู ห้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนท่ีผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในที่สุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลุ่มร่วมกันทาแบบฝึกทักษะท่ี 3 ค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง
แล้วชว่ ยกนั เฉลยและตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ือง 15

ขน้ั ที่ 3 Create: C (ขั้นสร้างความรู้)
3.1 ครูใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรยี งข้นั ตอนการแกป้ ัญหาและบันทึกความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เรื่องการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง และจากการทาแบบฝึกทักษะที่ 3 ค่า
คาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง ลงในสมุดโดยใช้ภาษาที่ง่ายต่อการ
เข้าใจ สละสลวยในการเขียนแสดงแนวคดิ และอธิบายคาตอบของผู้เรียน
ขั้นที่ 4 Share: S (ขั้นอภิปรายแลกเปล่ยี นความคดิ เหน็ )
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปล่ียนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ
4.2 ครสู ุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบท่ีแตกต่างจากเพ่ือนก็สามารถ
นาวิธีการหรือแนวคดิ น้นั มานาเสนอได้อยา่ งเตม็ ที่
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลที่ได้ที่เพื่อนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะท่ีร่วมกันอภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเห็นนั้น ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การสื่อสารท้งั ในดา้ นการฟังและการพดู ของผู้เรียนไปพร้อม ๆ กัน

ขนั้ กจิ กรรมการเรียนรู้ (คาบที่ 5-6)
ขน้ั ที่ 1 Search: S (ข้ันสบื เสาะคน้ หาความร)ู้
1.7 ครูอธิบายความหมายของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่ือง พร้อมท้ังตั้งคาถามกระตุ้น
ความคดิ ของผู้เรียน ดงั น้ี

บทนยิ าม 3
ให้ X เป็นตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนือ่ ง ถา้ คา่ ท่เี ป็นไปไดท้ ง้ั หมดของ X คอื x1, x2, x3,..., xn

แล้วการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรปู ไม่ตอ่ เนือ่ ง

(Discrete uniform distribution) เมอื่ P(X  xi )  1 สาหรบั ทกุ i {1, 2, 3, ..., n}
n

จากบทนยิ าม จะเห็นว่าการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มจะเป็นการแจกแจงเอกรูป
ไมต่ อ่ เน่อื งเม่อื การเกดิ คา่ แตล่ ะค่าทเ่ี ป็นไปได้ของตวั แปรสุม่ มีความน่าจะเป็นเท่ากนั

1.8 ครยู กตวั อย่างการหาพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มเป็นการแจก
แจงเอกรูปไม่ตอ่ เนื่องหรอื ไม่ พรอ้ มท้ังเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มให้ผู้เรียน
ศกึ ษา จากนนั้ ผู้เรยี นร่วมกนั ตอบคาถาม โดยครูคอยแนะนาจนกวา่ ผู้เรยี นเขา้ ใจ ดงั น้ี

ตัวอย่างที่ 11 ในการทอดลูกเตา๋ ทีเ่ ทยี่ งตรง 1 ลูก 1 ครง้ั ให้ตวั แปรสุ่ม X คอื แตม้ บนหนา้ ลูกเต๋า จง
วิธีทา พจิ ารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่
ตอ่ เนื่องหรือไม่ พรอ้ มทง้ั เขียนแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ใน
รูปตารางและกราฟ
คา่ ท่ีเป็นไปไดข้ องตวั แปรสมุ่ X คอื 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 2 เร่อื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุม่ ไม่ต่อเนื่อง 16

สาหรับ x  {1, 2, 3, 4, 5, 6}
จะได้ P(X  x) คือความน่าจะเปน็ ทีล่ ูกเต๋าขน้ึ แตม้ x

เนอื่ งจากลูกเตา๋ เทีย่ งตรง จะได้ P( X  x) = 1
6

ดังน้ัน การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่

ต่อเนื่อง

จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ X ดงั นี้

x 123456

P(X = x) 1 1 1 1 1 1

666666

และจะได้กราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ดังน้ี

P(X = x)

2  

10

x
0 123456

ตวั อย่างที่ 12 ลูกคิดสุ่มหยิบสลาก 1 ใบจากกล่องท่ีบรรจุสลาก 4 ใบ แตล่ ะใบระบจุ านวนเงนิ
วิธที า รางวลั แตกต่างกนั คือ 20, 50, 100 และ 500 บาทให้ตวั แปรส่มุ X คือจานวนเงิน
รางวัลท่ีลูกคดิ จะไดร้ บั

1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจง
เอกรูป

ไมต่ ่อเนือ่ งหรือไม่

2) คา่ คาดหมายของตวั แปรสมุ่ X
3) ถา้ ลกู คดิ ต้องจ่ายเงินซือ้ ตว๋ั ราคา 150 บาท เพ่อื หยบิ สลาก 1 ใบ จงพจิ ารณาว่า

ถา้ ลูกคิดสุ่มหยิบสลากหลาย ๆ ครัง้ โดยเฉล่ียแลว้ ลูกคดิ ได้เปรียบหรือ

เสยี เปรียบ

1) เน่อื งจากตัวแปรสุม่ X คอื จานวนเงนิ รางวัลท่ีลูกคดิ จะได้รับ
จะได้ คา่ ท่ีเป็นไปไดข้ องตัวแปรส่มุ X คอื 20, 50, 100 และ 500

สาหรับ x {20, 50, 100, 500}
จะได้ P(X  x) คอื ความน่าจะเป็นท่ลี ูกคดิ จะได้เงนิ รางวัล x บาท

น่นั คอื P( X  x) = 1
4

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนื่อง 17

ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่
ต่อเน่อื ง

2) เนือ่ งจาก X  20  1   50  1  100  1   500 1   167.50
 4   4   4  4 

ดังนั้น ค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่ม X คือ 167.50 บาท

3) ในแต่ละครงั้ ท่ีลูกคิดต้องจ่ายเงนิ ซอื้ ต๋วั ราคา 150 บาท เพอื่ สมุ่ หยบิ สลาก มีคา่

คาดหมายทลี่ ูกคดิ จะได้รางวัล 167.50 บาท ซงึ่ ได้เปรียบ อยู่

167.50150 17.50 บาท แสดงวา่ ถา้ ลกู คิดสุ่มหยบิ สลากหลาย ๆ คร้ัง โดย

เฉลี่ยแลว้ ลูกคดิ จะไดเ้ ปรยี บ

ขน้ั ที่ 2 Solve: S (ขัน้ การแก้ปญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคิดและวิธกี ารทผี่ ู้เรียนเลอื กใชใ้ นการแกป้ ญั หา
2.2 ครใู ห้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนท่ีผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในท่ีสุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กล่มุ รว่ มกนั ทา

1) แบบฝึกทกั ษะที่ 4 การแจกแจงเอกรปู ไม่ต่อเนอื่ ง
2) กจิ กรรม สสี ันหรรษา (30 นาท)ี
แลว้ ช่วยกันเฉลยและตรวจสอบความถกู ต้อง
ขั้นที่ 3 Create: C (ข้นั สรา้ งความรู้)
3.1 ครูใหผ้ ู้เรียนเรียบเรยี งขัน้ ตอนการแก้ปญั หาและบันทึกความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เรื่องการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่ือง และจากการทาแบบฝึกทักษะที่ 4 การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่ือง
ลงในสมุดโดยใช้ภาษาที่ง่ายต่อการเข้าใจ สละสลวยในการเขียนแสดงแนวคิดและอธิบายคาตอบของ
ผู้เรยี น
ข้ันที่ 4 Share: S (ข้ันอภปิ รายแลกเปลีย่ นความคิดเหน็ )
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ
4.2 ครสู ุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบที่แตกต่างจากเพื่อนก็สามารถ
นาวิธกี ารหรอื แนวคดิ นนั้ มานาเสนอไดอ้ ย่างเตม็ ที่
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลท่ีได้ที่เพื่อนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะท่ีร่วมกันอภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเห็นนั้น ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การส่อื สารทั้งในด้านการฟังและการพูดของผู้เรยี นไปพร้อม ๆ กัน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ือง 18

ข้นั กจิ กรรมการเรยี นรู้ (คาบที่ 7-10)
ขน้ั ท่ี 1 Search: S (ข้ันสบื เสาะค้นหาความร)ู้
1.9 ครูทบทวนความหมายของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง พร้อมท้ังตั้งคาถามกระตุ้น
ความคดิ ของผเู้ รียน ดงั น้ี
นักเรียนได้ศึกษาเก่ียวกับการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่ือง ซ่ึงเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น
ของตัวแปรสุ่มอย่างง่าย เน่ืองจากการเกิดค่าแต่ละค่าท่ีเป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็น
เท่ากัน ซ่ึงอาจพบได้ไม่มากนักในชีวิตจริง สาหรับหัวข้อน้ีจะศึกษาเก่ียวกับการแจกแจงความน่าจะ
เป็นของตวั แปรสุ่มท่ีมีลักษณะเฉพาะประเภทหน่ึง ซ่ึงความน่าจะเป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าท่ีเป็นไป
ไดข้ องตวั แปรสุ่มไม่จาเปน็ ตอ้ งเทา่ กัน เช่น
เมื่อกาหนดให้ตัวแปรสุม X คือจานวนคร้ังท่ีเหรียญข้ึนหัว จากการโยนเหรียญที่เท่ียงตรง 1
เหรียญ 3 คร้ังจะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง สังเกตว่าในแต่ละคร้ังท่ีโยนเหรียญจะมีผลลัพธ์ท่ี
เป็นไปได้ 2 แบบ คือ เหรียญขึ้นหัวหรือก้อย แต่จากการกาหนดตัวแปรสุ่ม X จะเห็นว่าสนใจจานวน
คร้ังที่เหรียญข้ึนหัว จึงอาจพิจารณาว่าในการโยนเหรียญแต่ละคร้ัง ถ้าเหรียญขึ้นหัวคือ สาเร็จ แต่ถ้า
เหรียญข้ึนก้อยคือ ไม่สาเร็จ ดังนั้น สามารถพิจารณาว่าตัวเปรสุ่ม X คือ จานวนคร้ังของการเกิดผล
สาเร็จจากการโยนเหรียญที่เท่ียงตรง 1 เหรียญเป็นจานวน 3 คร้ัง เช่นเหตุการณ์ท่ี X = 1 ซ่ึงคือ
{HTT, THT, TTH} หมายความว่า แต่ละสมาชิกในเหตุการณ์น้ีติเกิดผลสาเร็จ 1 ครั้ง (เหรียญขึ้นหัว
1 ครั้ง) และไม่เกิดผลสาเร็จ 2 คร้ัง (เหรียญข้ึนก้อย 2 คร้ัง) นอกจากนี้จะเห็นว่าผลที่ได้จากการโยน
เหรียญในครั้งก่อนหน้าไม่ส่งผลต่อการโยนเหรียญคร้ังต่อไปและความน่าจะเป็นที่จะเกิ ดผลสาเร็จใน

การโยนเหรียญแต่ละครง้ั เทา่ กนั คือ 1

2

การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ในตวั อย่างข้างตน้ เรยี กวา่ การแจกแจงทวนิ าม

1.10 ครอู ธิบายความหมายของการแจกแจงทวินาม พร้อมท้ังต้ังคาถามกระตุ้นความคิดของ
ผ้เู รียน ดงั น้ี

บทนยิ าม 4
การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution) คอื การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัว

แปรสุ่ม X ซ่ึงคือจานวนคร้ังของการเกิดผลสาเร็จจากการทดลองสุ่ม n คร้ังท่ีเป็นอิสระกัน โดย
ในแต่ละครั้งมีโอกาสเกิดผลสาเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ p และไม่เกิดผลสาเร็จด้วยความ
น่าจะเป็นเท่ากบั 1 – p

หมายเหตุ 1. เรียก n และ p ว่าพารามเิ ตอร์ของการแจกแจงทวนิ ามและเขยี นสัญลกั ษณ์
X B(n, p) เพ่ือแสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็น

การแจกแจงทวินามทมี่ ี n และ p เป็นพารามเิ ตอร์
2. การทดลองสุ่ม 1 คร้ัง ที่มีผลลัพธ์ท่ีเป็นไปได้ 2 แบบ คือ สาเร็จหรือไม่สาเร็จ

เรียกว่า การลองแบร์นูลลี (Bernoulli trial) เช่น การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1
ครงั้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 2 เรอื่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ือง 19

จากบทนิยามข้างต้นสรุปได้ว่า การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัว
แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ืองท่มี ลี ักษณะดังต่อไปน้ี

1. เกิดจากการทดลองส่มุ จานวน n คร้ังท่ีเป็นอิสระกันกล่าวคือ ผลที่ได้จากการทดลอง
ส่มุ ในครงั้ ก่อนหนา้ ไม่ส่งผลต่อการทดลองสมุ่ ในครง้ั ตอ่ ๆ ไป

2. การทดลองส่มุ แตล่ ะครง้ั มผี ลลัพธ์ท่ีเปน็ ไปได้เพียง 2 แบบ คือ สาเร็จหรอื ไมส่ าเรจ็
3. ความนา่ จะเปน็ ที่จะเกิดผลสาเรจ็ ในการทดลองสุ่มแตล่ ะครงั้ เทา่ กัน ให้เป็น p เมือ่
0 < p < 1 และจะได้ว่าความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไมเ่ กิดผลสาเร็จในการทดลองสุม่ แต่ละครั้งเปน็ 1 – p

ทฤษฎีบทต่อไปน้ีใช้ในการหาความน่าจะเป็น ค่าคาดหมาย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ตัวแปรส่มุ ทม่ี กี ารแจกแจงความนา่ จะเปน็ เป็นการแจกแจงทวนิ าม โดยในทน่ี ี้จะขอละการพิสจู น์

ทฤษฎบี ท 1
ถา้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงทวนิ าม จะไดว้ า่

1. P( X = x)   n  px (1  p)nx สาหรบั ทุก x {0,1, 2,3,..., n}
 x 
 

2. x  np

3.  x  np(1 p)

เม่ือ n แทนจานวนครงั้ ของการทดลองสมุ่ และ p แทนความน่าจะเป็นทจ่ี ะเกดิ
ผลสาเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง

ขอ้ สังเกต จากทฤษฎีบท 1 ขอ้ 1 และทฤษฎบี ททวนิ ามจะไดว้ า่

 nP( X = x)  n n px (1 p)nx  (p  (1 p))n 1
 
x0  x 
x0

1.11 ครยู กตวั อย่างการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ X ทเี่ ป็นการแจกแจงทวินามที่

มี n และ p เปน็ พารามเิ ตอร์ จากน้ันผู้เรียนร่วมกันตอบคาถามโดยครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรียนเข้าใจ

ดงั น้ี

ตวั อย่างที่ 13 กาหนดให้ X B(5,0.2) จงหา 2) P(X  3)
วิธีทา
1) P(X = 3)

3) P(X  3) 4) P(3  X  5)

1) P( X = 3) =  5  (0.2)3 (0.8)2  0.0512
 3 
 

2) P(X  3) = P(X  0)  P(X 1)  P(X  2)  P(X  3)

= 5  (0.2)0 (0.8)5   5 (0.2)1(0.8)4   5  (0.2)2 (0.8)3   5 (0.2)3 (0.8)2
 0   1   2   
      3 

= 0.32768  0.4096  0.2048  0.0152  0.95728

3) P(X  3) =1 P(X  3)

=1 0.95728  0.04272

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 2 เรอ่ื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนื่อง 20

4) P(3  X  5) = P(X  3)  P(X  4)  P(X  5)

= 5  (0.2)3 (0.8)2   5  (0.2)4 (0.8)1  5 (0.2)5 (0.8)0
 3   4   
     5 

= 0.0512  0.0064  0.00032  0.05792

ตัวอยา่ งที่ 14 ใหต้ ัวแปรสุ่ม X คือจานวนคร้ังที่ลูกเต๋าขึน้ แต้ม 5 จากการทอดลูกเต๋าท่ีเท่ียงตรง 1
วธิ ที า
ลกู 7 คร้ัง
x
P(X = x) 1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ X เปน็ การแจกแจง

ทวนิ ามหรอื ไม่

2) จงหาความนา่ จะเป็นท่ีลกู เตา๋ ข้ึนแตม้ 5 เปน็ จานวน 5 ครง้ั
3) จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ในรูปตารางและ

กราฟ

4) จงหาคา่ คาดหมายและความแปรปรวนของตวั แปรส่มุ X
1) เนื่องจาก ตวั แปรส่มุ X มีลักษณะดังต่อไปนี้

1. เกิดจากการทดลองส่มุ (ทอดลกู เต๋าทีเ่ ทยี่ งตรง 1 ลูก) จานวน 7 ครง้ั
ท่เี ป็นอิสระกนั

2. การทดลองสุ่มแตล่ ะครง้ั มีผลลพั ธ์ทเ่ี ป็นไปได้เพยี ง 2 แบบ คอื

สาเร็จ (ลกู เตา๋ ขึ้นแต้ม 5) หรือไม่สาเรจ็ (ลูกเตา๋ ไม่ขนึ้ แตม้ 5)

3. ความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงแต่ละครั้ง

เท่ากัน โดยเท่ากับ 1 และจะได้ว่าความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าไม่ขึ้นแต้ม 5 ใน
6

การทอดลกู เต๋าทีเ่ ทยี่ งตรงแตล่ ะคร้ังเป็น 1 1  5
6 6

ดงั นน้ั การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุม่ X เปน็ การแจกแจงทวินาม

2) ความนา่ จะเป็นที่ลูกเต๋าข้นึ แต้ม 5 เป็นจานวน 5 ครง้ั คือ

P( X = 5)   7   1 5  5 2  0.001875
 5   6   6 
 

3) ค่าทเี่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรสุม่ X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7

โดยท่ี

P( X  0)   7   1 0  5 7 P( X  1)   7   1 1  5 6
 0   6   6   1   6   6 
   

P( X  2)   7   1 2  5 5 P( X  3)   7   1 3  5 4
 2   6   6   3   6   6 
   

P( X  4)   7   1 4  5 3 P( X  5)   7   1 5  5 2
 4   6   6   5   6   6 
   

P( X  6)   7   1 6  5 1 P( X  7)   7   1 7  5 0
 6   6   6   7   6   6 
   

จะได้ตารางแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ X ดังนี้

0123456 7

0.2790 0.3907 0.2344 0.0781 0.0156 0.0018 0.0001 0.000004

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 เรอื่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง 21

และเขยี นกราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ X ได้ดงั นี้

P(X = x)

0.4 
0.3 
0.2 

0.1      x
0 1234567

4) เนอ่ื งจาก X  7 16 1.17

ดังนัน้ คา่ คาดหมายของตวั แปรสมุ่ X มีค่าประมาณ 1.17 คร้งั

เนื่องจาก  2  7  1   5 6   0.97
X 6

และ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X มคี ่าประมาณ 0.97 ครงั้ 2

ตวั อย่างที่ 15 ในการรักษาโรคมะเร็งด้วยสมุนไพรท่ีคิดค้นขึ้นมาใหม่ พบว่า เม่ือผู้ป่วยรับประทาน
วิธที า
สมุนไพรชนิดน้ีต่อเนื่องกันไปตามแพทย์สั่งในช่วงระยะเวลาหน่ึง ความน่าจะเป็นท่ี

ผู้ป่วยแต่ละคนจะหายจากโรคมะเร็งเป็น 0.5 ถ้านักวิจัยสุ่มผู้ป่วยโรคมะเร็งที่มารับ
การรักษาดว้ ยสมนุ ไพรนจ้ี านวน 6 คน

1) จงหาความนา่ จะเปน็ ทีจ่ ะมีผูป้ ว่ ยหายจากโรคมะเรง็ อย่างน้อย 3 คน
2) จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจานวนผู้ป่วยที่หายจาก

โรคมะเร็ง พร้อมทง้ั อธิบายความหมาย

ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจานวนผู้ป่วยท่ีหายจากโรคมะเร็งจากผู้ป่วยโรคมะเร็งที่มารับ
การรักษาด้วยสมุนไพรน้ีท่สี ุ่มมาจานวน 6 คน

จะได้ค่าทีเ่ ป็นไปได้ของตวั แปรสมุ่ X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6
เนอ่ื งจาก ตัวแปรส่มุ X มีลกั ษณะดังตอ่ ไปน้ี
1. เกดิ จากการส่มุ ผู้ป่วยโรคมะเร็งทมี่ ารับการรักษาดว้ ยสมุนไพรน้จี านวน 6 คน
2. การทดลองสุ่มแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 2 แบบ คือ สาเร็จ (ผู้ป่วยท่ี

หายจากโรคมะเรง็ ) หรือไม่สาเร็จ (ผู้ป่วยท่ีไมห่ ายจากโรคมะเรง็ )

3. ความนา่ จะเป็นที่ผปู้ ่วยแต่ละคนจะหายจากโรคมะเร็งเทา่ กนั โดยเท่ากับ 0.5 และ
ความนา่ จะเปน็ ที่ผู้ป่วยแตล่ ะคนจะไมห่ ายจากโรคมะเรง็ เป็น 1 – 0.5 = 0.5
ดงั นัน้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวินาม

1) ความน่าจะเปน็ ที่จะมผี ูป้ ่วยหายจากโรคมะเรง็ อย่างนอ้ ย 3 คน คือ

P( X  3)  P( X  3)  P( X  4)  P( X  5)  P( X  6)

  6  (0.5)3 (0.5)3   6  (0.5)4 (0.5)2   6  (0.5)5 (0.5)1
 3   4   5 
     

  6  (0.5)6 (0.5)0
 6 
 

 0.3125  0.2344  0.0938  0.0156  0.6563

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเน่ือง 22

2) เน่ืองจาก X  6(0.5)  3

ดังนนั้ คา่ คาดหมายของจานวนผปู้ ่วยทีห่ ายจากโรคมะเร็ง คอื 3 คน
ซ่ึงหมายความว่า ในการสุ่มผู้ป่วยโรคมะเร็งที่มารับการรักษาด้วยสมุนไพรนี้

จานวน 6 คน โดยเฉลย่ี แลว้ จะมีผ้ปู ่วยท่ีหายจากโรคมะเรง็ 3 คน

เน่อื งจาก  2  6(0.5)(0.5) 1.22
X

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจานวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็งมี

ตวั อย่างท่ี 16 ค่าประมาณ 1.22 คน ซ่ึงหมายความว่า ในการสุ่มผู้ป่วยโรคมะเร็งท่ีมารับการ
วิธที า รักษาด้วยสมุนไพรน้ีจานวน 6 คน จานวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเร็งจะต่างจาก
ค่าคาดหมายประมาณ 1.22 คน
จากข้อมูลเก่ียวกับคุณภาพของสินค้าซึ่งเก็บรวบรวมมาในอดีตทาให้ทราบว่า ความ

นา่ จะเป็นที่สินคา้ แตล่ ะชิ้นจะชารดุ เป็น 0.05 และในกระบวนการตรวจสอบคุณภาพ
สินค้าของโรงงานมีหลักการคือพนักงานจะส่งสินค้าจานวน 5 ช้ิน จากแต่ละกล่อง
เพ่อื ตรวจสอบคณุ ภาพ

ถ้าตรวจพบสนิ ค้าชารดุ ไม่เกิน 1 ช้นิ สินคา้ กลอ่ งน้ันจะผา่ นการตรวจสอบคณุ ภาพ
1) จงหาความน่าจะเป็นท่ีสินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบ

คณุ ภาพ

2) ในการผลิตสินค้าคร้ังหน่ึง ฝ่ายผลิตของโรงงานส่งสินค้ามาให้พนักงานตรวจสอบ
คณุ ภาพจานวน 100 กล่อง จะมีสินคา้ ท่ีผ่านการตรวจสอบคณุ ภาพกก่ี ล่อง

ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจานวนสินค้าท่ีชารดุ เมื่อสมุ่ สินคา้ 5 ช้ิน จากแต่ละกลอ่ ง
จะได้ค่าท่เี ป็นไปได้ของตวั แปรสุ่ม X คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
เน่อื งจาก ตัวแปรสุม่ X มีลกั ษณะดงั ต่อไปน้ี

1. เกดิ จากการสมุ่ สินค้าจากแต่ละกลอ่ งจานวน 5 ครัง้ ที่เป็นอิสระกนั
2. การทดลองสมุ่ แตล่ ะครั้งมีผลลัพธ์ทเี่ ปน็ ไปได้เพยี ง 2 แบบ คือ

สาเรจ็ (สนิ คา้ ทสี่ ่มุ มาชารดุ ) หรอื ไม่สาเร็จ (สนิ คา้ ที่สมุ่ มาไมช่ ารุด)

3. ความนา่ จะเป็นทสี่ นิ คา้ ชารดุ เมือ่ สุ่มสนิ ค้าแต่ละคร้ังเทา่ กัน โดยเท่ากบั 0.05
และความนา่ จะเปน็ ท่ีสนิ คา้ ไม่ชารดุ เม่ือสุ่มสนิ ค้าแตล่ ะครง้ั เปน็ 1 – 0.05 =

0.95

ดังน้ันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงทวินาม
1) ความน่าจะเป็นท่ีสินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบ

คุณภาพ คอื

P( X  1)  P( X  0)  P( X  1)   5  (0.05)0 (0.95)5   5  (0.05)1 (0.95)4
 0   1 
   

 0.7738  0.2036  0.9774

2) จากข้อ 1) ความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะผ่านการ
ตรวจสอบคุณภาพมีคา่ ประมาณ 0.9774

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2 เรอ่ื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง 23

ดังนั้น ถ้าพนักงานตรวจสอบคุณภาพสินค้าทั้งหมด 100 กล่อง จะมีสินค้าที่ผ่าน
การตรวจสอบคุณภาพประมาณ (0.9774)(100)  97.74 หรือประมาณ 98
กล่อง

ข้นั ท่ี 2 Solve: S (ข้นั การแก้ปญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคิดและวธิ กี ารทผ่ี ู้เรียนเลือกใช้ในการแก้ปญั หา
2.2 ครใู ห้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนที่ผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในท่ีสุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลุ่มรว่ มกันทาแบบฝกึ ทักษะที่ 5 การแจกแจงทวนิ าม แลว้ ช่วยกนั เฉลยและตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
ข้ันที่ 3 Create: C (ขนั้ สร้างความรู้)
3.1 ครใู หผ้ ู้เรยี นเรยี บเรียงข้ันตอนการแกป้ ญั หาและบนั ทกึ ความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เร่อื งการแจกแจงทวินาม และจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะที่ 5 การแจกแจงทวินามลงในสมุดโดยใช้ภาษา
ทงี่ า่ ยตอ่ การเขา้ ใจ สละสลวยในการเขียนแสดงแนวคิดและอธบิ ายคาตอบของผู้เรียน
ข้นั ที่ 4 Share: S (ขนั้ อภปิ รายแลกเปลย่ี นความคดิ เหน็ )
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝึกทักษะ
4.2 ครสู ุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบท่ีแตกต่างจากเพ่ือนก็สามารถ
นาวิธีการหรือแนวคิดนัน้ มานาเสนอได้อย่างเต็มที่
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลท่ีได้ที่เพ่ือนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะท่ีร่วมกันอภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเห็นนั้น ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การสอื่ สารทง้ั ในดา้ นการฟงั และการพูดของผู้เรยี นไปพร้อม ๆ กัน

ข้นั สรุปบทเรียน
ผเู้ รียนและครูร่วมกันสรปุ ความหมายและชนดิ ของตวั แปรส่มุ ดงั น้ี
เมื่อนาความนา่ จะเป็นของการเกดิ ค่าแต่ละค่าท่เี ปน็ ไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสมุ่ มาเขียนแสดง
เพ่ืออธิบายลักษณะของตวั แปรส่มุ จะเรยี กว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability
distribution) โดยอาจเขยี นแสดงในรปู ตารางหรือกราฟ
บทนิยาม 1
ค่าคาดหมาย (Expected value) ของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเนื่อง X เขยี นแทนดว้ ย X นยิ าม

โดย

n

X  xi P( X  xi )
i 1

เมอื่ n แทนจานวนคา่ ท่ีเป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสุ่ม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนค่าที่เป็นไปได้

ท้งั หมดของตัวแปรสุ่ม X
อาจเรยี กคา่ คาดหมายของตวั แปรสุ่มวา่ ค่าเฉลยี่ (mean) ของตวั แปรสุ่ม

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2 เร่ือง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง 24

บทนยิ าม 2
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเน่อื ง X เขียนแทนด้วย  X นิยามโดย

n

 X  (xi  X )2 P( X  xi )
i 1

และเรยี ก  2 วา่ ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่อื ง X
X

เมื่อ n แทนจานวนคา่ ที่เปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของตัวแปรสุ่ม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนคา่ ท่เี ปน็ ไปได้

ท้งั หมดของตัวแปรสุ่ม X

บทนิยาม 3

ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มไม่ตอ่ เน่ือง ถ้าค่าท่เี ป็นไปได้ท้ังหมดของ X คอื x1, x2, x3,..., xn
แลว้ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ตอ่ เนอ่ื ง (Discrete

uniform distribution) เม่ือ P(X  xi )  1 สาหรบั ทกุ i {1, 2, 3, ..., n}
n

บทนิยาม 4

การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution) คอื การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปร

สุ่ม X ซ่ึงคือจานวนคร้ังของการเกิดผลสาเร็จจากการทดลองสุ่ม n ครั้งที่เป็นอิสระกัน โดยในแต่ละ

ครง้ั มีโอกาสเกิดผลสาเร็จดว้ ยความน่าจะเป็นเทา่ กบั p และไมเ่ กดิ ผลสาเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ

1–p

หมายเหตุ

1. เรียก n และ p วา่ พารามเิ ตอร์ของการแจกแจงทวินามและเขยี นสัญลกั ษณ์

X B(n, p) เพื่อแสดงวา่ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงทวนิ ามทม่ี ี

n และ p เป็นพารามเิ ตอร์

2. การทดลองสมุ่ 1 คร้งั ท่ีมผี ลลัพธท์ ี่เปน็ ไปได้ 2 แบบ คือ สาเร็จหรือไม่สาเร็จ เรียกว่า การ

ลองแบรน์ ลู ลี (Bernoulli trial) เชน่ การโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ 1 ครงั้

จากบทนิยามข้างต้นสรุปได้ว่า การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัว
แปรส่มุ ไม่ตอ่ เนือ่ งทีม่ ีลกั ษณะดงั ตอ่ ไปนี้

1. เกิดจากการทดลองสุ่มจานวน n ครั้งท่เี ป็นอิสระกนั กล่าวคอื ผลทไี่ ด้จากการทดลอง
สุ่มในครงั้ ก่อนหนา้ ไม่ส่งผลตอ่ การทดลองสุ่มในครั้งต่อ ๆ ไป

2. การทดลองสุ่มแต่ละคร้งั มีผลลพั ธท์ ีเ่ ป็นไปได้เพียง 2 แบบ คอื สาเรจ็ หรือไมส่ าเรจ็
3. ความนา่ จะเป็นท่ีจะเกดิ ผลสาเร็จในการทดลองสมุ่ แต่ละคร้งั เท่ากัน ให้เป็น p เมื่อ 0
< p < 1 และจะไดว้ ่าความนา่ จะเปน็ ที่จะไม่เกดิ ผลสาเร็จในการทดลองสมุ่ แต่ละคร้ังเปน็ 1 – p

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรส่มุ ไมต่ ่อเนื่อง 25

ทฤษฎบี ท 1

ถ้า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงทวินาม จะได้วา่

1. P( X = x)   n  p x (1  p)nx สาหรับทกุ x {0,1, 2,3,..., n}
 x 
 

2. x  np

3.  x  np(1 p)

เม่อื n แทนจานวนครั้งของการทดลองสุ่ม และ p แทนความน่าจะเปน็ ที่จะเกดิ ผลสาเร็จใน

การทดลองสุม่ แตล่ ะคร้ัง

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2 เรือ่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ือง 26

แบบบันทกึ ผลหลงั การจดั การเรียนรู้

แผนการจัดการเรยี นรู้ที.่ ........เวลา................ชั่วโมง/คาบ ภาคเรยี นท.ี่ ...........ปกี ารศกึ ษา......................
เรื่อง.........................................................................................................................................................
รหัสวชิ า...............................ชอ่ื วิชา...................................... ............................ช้ัน..................................

1. จานวนนักเรยี นทีร่ ว่ มกิจกรรมการเรยี นรู้ จานวนนักเรยี นทข่ี าดเรยี น (คน)
จานวนนกั เรียนท้ังหมด (คน)

นักเรียนท่ขี าดเรียน (เลขที่) หมายเหตุ

2. ผลการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

2.1 ความเหมาะสมของระยะเวลา ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ต้องปรับปรงุ

2.2 ความเหมาะสมของเนอ้ื หา ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรับปรุง

2.3 กิจกรรมการเรียนรู้ ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ต้องปรับปรุง

2.4 สอ่ื การเรียนรู้ ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรบั ปรุง

............................................................................................................................. ..............

.................................................................................... ............................................... ........

2.5 พฤติกรรม/การมสี ว่ นรว่ มของผเู้ รียน ( ) ดมี าก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรบั ปรุง

................................................................................................................ ...........................

............................................................................................................................. ..............

2.6 ผลการปฏิบตั ิกิจกรรม/ใบกจิ กรรม/ใบงาน/แบบฝึกหดั /การทดสอบกอ่ น – หลงั เรียน

............................................................................................................................... ............

............................................................................................................................. ..............

3. ปัญหาและอุปสรรค

.......................................................................................................................... ........................

...................................................................................... ............................................................

4. ขอ้ เสนอแนะแนวทางแก้ไข

............................................................................................................................. .....................

................................................................................................................................ ..................

ลงชอ่ื ……….……………………ครูผสู้ อน

(นายครรชิต แซโ่ ฮ่)

ตาแหนง่ ครู อันดบั คศ.2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 เร่อื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรส่มุ ไมต่ ่อเนื่อง 27

แบบสังเกตพฤติกรรมผ้เู รยี นดา้ นทกั ษะกระบวนการ

รายวิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 6 รหสั ค 33202 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6

ภาคเรียนท่ี.................. ปีการศึกษา...................

คาบที่................ วนั ท…่ี ……..เดือน………………………..พ.ศ………..........

คาชีแ้ จง ให้ใส่คะแนนระดบั คณุ ภาพลงในช่องทกั ษะกระบวนการแตล่ ะชอ่ งตามเกณฑ์การให้คะแนน

พฤติกรรมผู้เรยี นดา้ นทกั ษะกระบวนการ สรปุ ผล

ท่ี ชื่อ – สกลุ รวม การประเมนิ

การ การให้ การสือ่ สาร การ การคิดรเิ รม่ิ ผ่าน ไม่
แกป้ ญั หา เหตุผล เชอื่ มโยง สร้างสรรค์ ผา่ น

การผา่ นเกณฑต์ ้องได้ระดับคณุ ภาพโดยรวมตงั้ แต่ 10 คะแนนขึน้ ไป

ลงชือ่ ……………………………………………..ผู้ประเมิน
(……………………………………………...)

วนั ที่............เดือน.......................พ. ศ................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 2 เรอ่ื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนื่อง 28

เกณฑก์ ารให้คะแนนดา้ นทักษะกระบวนการ

1. การแกป้ ญั หา

คะแนน : ระดับคณุ ภาพ ความสามารถในการแก้ปัญหาทีป่ รากฏให้เห็น

4 : ดีมาก ใช้ยทุ ธวธิ ีดาเนินการแก้ปัญหาสาเร็จอย่างมปี ระสทิ ธภิ าพ อธบิ ายถงึ
เหตุผลในการใชว้ ธิ ีการดงั กล่าวได้เขา้ ใจชดั เจน

3 : ดี ใช้ยทุ ธวธิ ีดาเนินการแก้ปัญหาสาเรจ็ แตน่ า่ จะอธิบายถึงเหตุผล
ในการใชว้ ิธีการดังกลา่ วได้ดกี ว่านี้

2 : พอใช้ มยี ุทธวิธดี าเนนิ การแกป้ ัญหาสาเรจ็ เพียงบางส่วน อธบิ ายถึงเหตุผล
ในการใชว้ ิธกี ารดังกลา่ วไดบ้ างส่วน

1 : ควรแก้ไข มีรอ่ งรอยการแกป้ ญั หาบางสว่ น เร่มิ คิดว่าทาไมจงึ ตอ้ งใช้วิธีการนนั้
แล้วหยดุ อธบิ ายตอ่ ไม่ได้ แก้ปญั หาไม่สาเร็จ

0 : ควรปรบั ปรงุ ทาได้ไม่ถึงเกณฑข์ ้างตน้ หรอื ไมม่ ีรอ่ งรอยการดาเนนิ การแก้ปญั หา

2. การให้เหตผุ ล

คะแนน : ระดับคุณภาพ ความสามารถในการใหเ้ หตผุ ลทปี่ รากฏใหเ้ หน็

4 : ดมี าก มีการอ้างอิง เสนอแนวคดิ ประกอบการตัดสินใจอยา่ งมเี หตุผล

3 : ดี มกี ารอ้างอิงที่ถูกต้องบางสว่ น และเสนอแนวคดิ ประกอบการตัดสินใจ

2 : พอใช้ เสนอแนวคดิ ไม่สมเหตสุ มผลในการประกอบการตัดสินใจ

1 : ควรแกไ้ ข มคี วามพยายามเสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจ

0 : ควรปรับปรุง ไม่มีแนวคดิ ประกอบการตัดสินใจ

3. การส่อื สาร การสือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และการนาเสนอ

คะแนน : ระดบั คุณภาพ ความสามารถในการส่อื สาร การสอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร์
และการนาเสนอท่ีปรากฏให้เหน็

ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ที่ถูกต้อง นาเสนอโดยใช้กราฟ

4 : ดีมาก แผนภูมิ หรือตารางแสดงขอ้ มูลประกอบตามลาดบั ขน้ั ตอนได้เป็น

ระบบ กระชบั ชดั เจน และมีความละเอยี ดสมบูรณ์

ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ นาเสนอโดยใช้กราฟ แผนภมู ิ

3 : ดี หรอื ตารางแสดงข้อมูลประกอบตามลาดบั ข้ันตอนไดถ้ ูกตอ้ ง

ขาดรายละเอียดทส่ี มบรู ณ์

2 : พอใช้ ใช้ภาษาและสญั ลกั ษณท์ างคณติ ศาสตร์ พยายามนาเสนอขอ้ มูลโดยใช้
กราฟ แผนภูมิ หรือตารางแสดงขอ้ มลู ประกอบชดั เจนบางส่วน

1 : ควรแก้ไข ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์อยา่ งงา่ ย ๆ ไม่ได้ใชก้ ราฟ
แผนภูมิหรือตารางเลย และการนาเสนอข้อมูลไม่ชัดเจน

0 : ควรปรบั ปรุง ไม่นาเสนอขอ้ มลู

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเน่ือง 29

4. การเชอ่ื มโยงความรู้ทางคณติ ศาสตร์

คะแนน : ระดับคณุ ภาพ ความสามารถในการเช่ือมโยงท่ปี รากฏใหเ้ ห็น

นาความรู้ หลกั การ และวธิ ีการทางคณิตศาสตร์ในการเชือ่ มโยงกบั

4 : ดีมาก สาระคณติ ศาสตร์ / สาระอื่น / ในชีวติ ประจาวนั เพื่อช่วย

ในการแกป้ ัญหาหรอื ประยกุ ต์ใช้ได้อยา่ งสอดคล้องและเหมาะสม

นาความรู้ หลกั การ และวิธีการทางคณิตศาสตรใ์ นการเชือ่ มโยงกับ

3 : ดี สาระคณิตศาสตร์ / สาระอ่ืน / ในชีวติ ประจาวนั เพ่อื ชว่ ยในการ

แก้ปญั หา หรือประยกุ ตใ์ ชไ้ ด้บางสว่ น

2 : พอใช้ นาความรู้ หลักการ และวิธกี ารทางคณิตศาสตร์ไปเชอื่ มโยงกบั สาระ
คณิตศาสตร์ ได้บางสว่ น

1 : ควรแก้ไข นาความรู้ หลกั การ และวธิ กี ารทางคณิตศาสตร์ในการเชือ่ มโยงยังไม่
เหมาะสม

0 : ควรปรับปรุง ไม่มีการเชื่อมโยงกบั สาระอ่ืนใด

5. ความคิดรเิ ริ่มสร้างสรรค์

คะแนน : ระดบั คุณภาพ ความคิดรเิ ริมสรา้ งสรรคท์ ปี่ รากฏใหเ้ หน็

4 : ดมี าก มแี นวคดิ / วธิ กี ารแปลกใหม่ทส่ี ามารถนาไปปฏิบัตไิ ด้อย่างถูกต้อง
สมบรู ณ์

3 : ดี มแี นวคิด / วธิ ีการแปลกใหม่ท่ีสามารถนาไปปฏบิ ัตไิ ด้ถูกต้องแตน่ าไป
ปฏบิ ตั ิแล้วไม่ถูกตอ้ งสมบรู ณ์

2 : พอใช้ มแี นวคิด / วิธกี ารไม่แปลกใหม่แต่นาไปปฏบิ ตั แิ ลว้ ถกู ต้องสมบูรณ์

1 : ควรแก้ไข มีแนวคิด / วิธกี ารไมแ่ ปลกใหมแ่ ละนาไปปฏิบัติแลว้ ไม่ถูกต้องสมบูรณ์

0 : ควรปรบั ปรุง ไมม่ ผี ลงาน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 2 เรือ่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเน่ือง 30

แบบสงั เกตพฤตกิ รรมผ้เู รยี นดา้ นคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัส ค 33202 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6

ภาคเรียนท่ี.................. ปีการศึกษา...................

คาบที่................ วันท…่ี ……..เดือน………………………..พ.ศ………..........

คาชีแ้ จง ใหใ้ ส่คะแนนระดบั คุณภาพลงในชอ่ งคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์แตล่ ะช่องตามเกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

พฤตกิ รรมผู้เรียนดา้ นคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ สรปุ ผล

ท่ี ช่อื – สกลุ การทางานเปน็ ระเบยี บ ความ ความเช่อื มน่ั รวม การประเมนิ
ระบบรอบคอบ วินยั รบั ผดิ ชอบ ในตนเอง
ความ ผ่าน ไม่
ซอื่ สัตย์ ผา่ น

การผ่านเกณฑต์ อ้ งได้ระดบั คณุ ภาพโดยรวมต้ังแต่ 10 คะแนนข้นึ ไป

ลงช่ือ……………………………………………..ผู้ประเมิน
(……………………………………………...)

วันท่.ี ...........เดือน.......................พ. ศ................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 2 เร่อื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเน่ือง 31

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์

1. การทางานเป็นระบบรอบคอบ

คะแนน : ระดับคณุ ภาพ คณุ ลักษณะทป่ี รากฏให้เห็น

- มกี ารวางแผนการดาเนนิ งานเปน็ ระบบ

3 : ดีมาก - การทางานมีครบทุกขนั้ ตอน ตดั ขน้ั ตอนทไ่ี มส่ าคัญออก

- จดั เรยี งลาดับความสาคัญก่อน – หลัง ถูกต้องครบถว้ น

- มีการวางแผนการดาเนินงาน

2 : ดี - การทางานไมค่ รบทกุ ขน้ั ตอน และผิดพลาดบ้าง

- จัดเรยี งลาดบั ความสาคญั ก่อน – หลงั ได้เป็นส่วนใหญ่

- ไมม่ กี ารวางแผนการดาเนินงาน

1 : พอใช้ - การทางานไม่มีขน้ั ตอน มีความผิดพลาดต้องแก้ไข

- ไมจ่ ัดเรยี งลาดับความสาคญั

2. ระเบียบวนิ ยั

คะแนน : ระดับคณุ ภาพ คณุ ลกั ษณะท่ปี รากฏใหเ้ ห็น

3 : ดมี าก - สมดุ งาน ช้นิ งาน สะอาดเรียบร้อย
- ปฏบิ ตั ิตนอย่ใู นข้อตกลงทก่ี าหนดให้ร่วมกนั ทุกครั้ง

2 : ดี - สมุดงาน ชนิ้ งาน สว่ นใหญ่สะอาดเรียบร้อย
- ปฏบิ ตั ติ นอยู่ในข้อตกลงท่ีกาหนดให้ร่วมกันเป็นส่วนใหญ่

- สมุดงาน ชนิ้ งาน ไม่ค่อยเรียบร้อย

1 : พอใช้ - ปฏิบัติตนอยูใ่ นข้อตกลงท่ีกาหนดใหร้ ่วมกันเป็นบางคร้ัง ตอ้ งอาศยั

การแนะนา

3. ความรบั ผดิ ชอบ

คะแนน : ระดับคณุ ภาพ คุณลักษณะท่ปี รากฏให้เหน็

- สง่ งานกอ่ นหรอื ตรงกาหนดเวลานัดหมาย

3 : ดมี าก - รบั ผิดชอบในงานทีไ่ ด้รบั มอบหมายและปฏบิ ตั ิตนเองจนเป็นนสิ ัย

เป็นระบบแก่ผู้อ่ืน และแนะนาชักชวนใหผ้ อู้ ่ืนปฏิบตั ิ

2 : ดี - สง่ งานชา้ กว่ากาหนด แต่ได้มกี ารตดิ ต่อชแ้ี จงผู้สอน มีเหตุผลทีร่ บั ฟังได้
- รับผดิ ชอบในงานที่ไดร้ บั มอบหมายและปฏิบตั ิตนเองจนเปน็ นสิ ัย

1 : พอใช้ - สง่ งานชา้ กวา่ กาหนด
- ปฏิบัตงิ านโดยต้องอาศยั การชี้แนะ แนะนา ตักเตือนหรือให้กาลงั ใจ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 เร่อื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุม่ ไม่ต่อเนื่อง 32

4. ความเช่ือมัน่ ในตนเอง

คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ คณุ ลักษณะท่ปี รากฏให้เห็น

3 : ดมี าก มแี นวคดิ การตัดสนิ ใจในการทางานดว้ ยตนเองทกุ ครง้ั ใหค้ าแนะนา
ผอู้ ื่นได้

2 : ดี มีแนวคดิ การตัดสนิ ใจในการทางานดว้ ยตนเองเป็นบางคร้ัง แต่ตอ้ งถาม
ปญั หาบางคร้งั

1 : พอใช้ ไม่มีแนวคดิ ของตนเอง ไมก่ ล้าตัดสินใจดว้ นตนเอง

5. ความซ่อื สัตย์

คะแนน : ระดับคุณภาพ คุณลกั ษณะทป่ี รากฏให้เหน็

3 : ดมี าก มแี นวคดิ ในการทางานดว้ ยตนเองทุกครั้ง ไมน่ าผลงานคนอื่นมา
ลอกเลียนแบบ ไมน่ าผลงานผู้อน่ื มาเป็นผลงานของตนเอง

2 : ดี มีแนวคิดในการทางานด้วยตนเองเป็นบางคร้งั ลอกเลียนแบบงานจาก
คนอื่นบางครง้ั ไม่นาผลงานผู้อนื่ มาเปน็ ผลงานของตนเอง

1 : พอใช้ ไมม่ แี นวคิดของตนเอง ทางานทุกครั้งต้องลอกเลียนแบบจากงานเพ่อื น

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 6

รหสั วิชา ค33202

แผนการจดั การเรยี นรู้

คณติ ศาสตร์ ม.6

ประกอบการใช้แบบฝึกทักษะ
เรือ่ ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

ด้วยรปู แบบ SSCS

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี

3

เรอ่ื ง การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของ
ตัวแปรสมุ่ ต่อเน่ือง
นายครรชติ แซโ่ ฮ่

ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานกั งานเขตพ้นื ท่กี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 15
สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน

กระทรวงศึกษาธกิ าร

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรอ่ื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ ต่อเนื่อง 1

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เร่ือง การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ ต่อเน่อื ง

รายวิชา คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 6 รหัสวิชา ค33202 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 4 เร่อื ง เวลาท่ีใชใ้ นการจัดการเรียนรู้ 14 คาบ
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

 ผลการเรียนรู้
หาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ีเ่ กดิ จากตัวแปรสมุ่ ที่มีการแจกแจงเอกรูป การแจกแจง

ทวินามและการแจกแจงปกติ และนาไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

 จุดเน้นการพัฒนาผเู้ รียน
 แสวงหาความรเู้ พือ่ การแกป้ ัญหา
 ใชเ้ ทคโนโลยเี พอื่ การเรยี นรู้
 ทักษะการคดิ ขัน้ สงู
 มที กั ษะชีวิต
 ทักษะการสอื่ สารอย่างสร้างสรรคต์ ามชว่ งวัย

 สาระสาคัญ (ความเขา้ ใจทคี่ งทน)
เน่อื งจากตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีเซตของค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมดเป็นช่วงซึ่งเป็นสับเซตของจานวน

จรงิ ( ) ซงึ่ มสี มาชิกเป็นจานวนอนนั ต์ จงึ ไม่เหมาะกับการเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นใน
รูปตาราง แตจ่ ะใช้เสน้ โค้งความหนาแน่น(Density curve) ในการเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะ
เป็น โดยความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะเท่ากับพ้ืนที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
ความหนาแน่นกับแกน X ในช่วงน้ันจะเรียกพน้ื ที่บริเวณดงั กลา่ ววา่ พน้ื ท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ ความหนาแน่น

เสน้ โค้งความหนาแน่นเป็นกราฟของฟงั กช์ ัน y  f (x) โดยท่ี x แทนค่าทีเ่ ป็นไปได้ของตัว

แปรสมุ่ เรยี กฟังกช์ ันน้ีวา่ ฟงั ก์ชนั ความหนาแนน่ ความน่าจะเป็น (Probability density function)

หมายเหตุ f (x) เป็นฟังกช์ ันความหนาแนน่ ความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X ก็ตอ่ เม่ือ
1. f (x)  0 สาหรับทุก x ทเ่ี ปน็ ค่าทเ่ี ป็นไปได้ของตวั แปรสมุ่ X
2. พ้ืนทใี่ ตเ้ สน้ เคง้ ความหนาแนน่ ทง้ั หมดจะเท่ากับ 1

ถ้าให้ X เปน็ ตัวแปรสุ่มตอ่ เนือ่ ง และ a เปน็ คา่ ที่เปน็ ไปไดข้ อง X จะได้ว่า P(X  a)  0

a

หรอื P(X  a)   f (x)dx  0 เน่ืองจากพ้ืนทีใ่ ต้เส้นโค้งความหนาแน่นจาก a ถึง a เท่ากับศูนย์

a

ดังนน้ั สาหรับตวั แปรส่มุ ต่อเนือ่ ง จะไม่พจิ ารณาความน่าจะเป็นของการเกิดค่าของตัวแปรสุ่ม
ค่าใดค่าหนึ่ง แต่จะสนใจเฉพาะความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง โดยความ
น่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงปิด [a, b] จะเท่ากับความน่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่
ในชว่ งเปิด (a, b) นั่นคอื เม่อื a และ b เป็นคา่ ทเี่ ป็นไปไดข้ องตวั แปรสุ่ม X จะไดว้ ่า

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 3 เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มตอ่ เน่ือง 2

P(a  X  b)  P(a  X  b)

P(X  a)  P(X  a)

P(X  a)  P(X  a)

บทนยิ าม 5

การแจกแจงปกติ (Normal distribution) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ตอ่ เนื่อง X ท่ีมีฟังก์ชันความหนาแน่นความนา่ จะเปน็ คือ

1 e 1  x  2
เมื่อf (x)  2   
  x  
 2

โดยที่  แทนคา่ เฉลีย่

และ  แทนส่วยเบย่ี งเบนมาตรฐาน

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงปกติ แล้วเม่ือเขียนกราฟ
ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสาหรับตัวแปรสุ่ม X จะได้ เส้นโค้งปกติ (Normal curve)
ซึ่งเป็นเสน้ โคง้ รปู ระฆังทม่ี สี มบัตดิ ังต่อไปนี้

1. เส้นโค้งมีเส้นตั้งฉากกับแกน X ที่ลากผ่านค่าเฉล่ียเป็นแกนสมมาตร ทาให้พ้ืนท่ีใต้เส้นโค้ง
ทางด้านซา้ ยของค่าเฉล่ียเทา่ กบั พืน้ ท่ีใต้เสน้ โค้งทางดา้ นขวาของคา่ เฉลีย่

2. ปลายเสน้ โคง้ ทั้งสองด้านเขา้ ใกล้แกน X แตจ่ ะไมต่ ัดแกน X หรอื กลา่ วได้ว่าแกน X เป็น
เส้นกากบั แนวนอน

3. คา่ เฉล่ียและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(หรือความแปรปรวน) จะเปน็ ตัวกาหนด
ลักษณะเฉพาะของเสน้ โค้ง ว่ามแี กนสมมาตรอย่ทู ่ีใด และมีการกระจายจากคา่ เฉลี่ยมากน้อยเพียงใด

ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงปกติ โดยที่  แทนค่าเฉลี่ย และ  2 แทนความแปรปรวน
จะเรียกตัวแปรสุ่ม X ว่า ตัวแปรสุ่มปกติ เรียก  และ  2 ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ
และเขยี นสัญลักษณ์ X N(, 2) เพ่อื แสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็น
การแจกแจงปกติทม่ี ี  และ  2 เปน็ พารามเิ ตอร์

บทนยิ าม 6
การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard normal distribution) คือการแจกแจงปกติที่มี

คา่ เฉลี่ยเท่ากบั 0 (  0) และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ( 1)

ฟังก์ชันความหนาแนน่ ความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ Z ท่ีมีการแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ

f (z)  1  z2 เม่ือ   z  

2 e2

เรยี กเส้นโค้งปกติซึ่งได้จากตัวแปรส่มุ ปกตทิ ี่มีค่าเฉลี่ยเปน็ 0 และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเป็น 1 วา่

เสน้ โคง้ ปกติมาตรฐาน (Standard normal curve) ดงั รูป

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เร่อื ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มต่อเนื่อง 3

 1

z

 0

เรยี กตัวแปรสุ่มท่มี ีการแจกแจงปกตมิ าตรฐานวา่ ตัวแปรสมุ่ ปกติมาตรฐาน (Standard normal

random variable)

การหาความน่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานจะมีค่าอยู่ในช่วงท่ีสนใจ จะใช้ตารางแสดง
พ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน แทนการหาปริพันธ์จากัดเซตของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ
เป็น โดยค่าท่ีปรากฏในตารางท่ี 1 คือค่าประมาณของพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก  ถึง z
หรือความนา่ จะเปน็ ที่ตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐาน Z มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

P(Z  z)  P(Z  z)

ทฤษฎีบท 2

ใหต้ ัวแปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมคี า่ เฉล่ยี  และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 

ถ้าตัวแปรสุ่ม Z นิยามโดย Z X  แล้วตัวแปรสุ่ม Z จะมีการแจกแจงปกติมาตรฐาน


น่ันคอื Z  0 และ Z 1

นอกจากน้ี P(a  X  b)  P  a   Z  b 
   

เมอ่ื a, b เปน็ ค่าท่เี ป็นไปได้ของตัวแปรส่มุ X และ a  b

สาหรับตัวแปรสุ่มต่อเน่ือง X เน่ืองจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นท้ังหมดเท่ากับ 1 หรือ
คิดเป็น 100% ดังน้ัน ถ้า x เป็นค่าท่ีเป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X จะได้ว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า x มี
จานวน P(X  x)100%นั่นคือ ถ้า P(X  x)100 เป็นจานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 0 และ 100 จะได้

วา่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ P(X  x)100 เทา่ กับ x

การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน นอกจากจะมีประโยชน์ในการหา
ความน่าจะเป็นโดยใช้ตารางแล้ว ยังสามารถนาค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานท่ีแปลงได้ไปใช้ในการ
เปรียบเทียบข้อมูลต้ังแต่สองชุดข้ึนไปว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่เพียงใด เน่ืองจากค่าเฉล่ียและส่วน
เบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลแต่ละชุดมักจะไม่เท่ากัน บางครั้งจึงไม่สามารถนาข้อมูลแต่ละชุดมา
เปรียบเทียบโดยตรงได้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 4

 สาระการเรยี นรู้ (มาตรฐานการปฏิบตั ไิ ด้)
ดา้ นความรู้ (K) ผู้เรยี นสามารถ
1) หาความน่าจะเป็นท่ีตวั แปรสุ่มปกติจะมีคา่ อยูใ่ นชว่ งทกี่ าหนด
2) ใชค้ วามรู้เกีย่ วกับการแจกแจงปกตแิ ละการแจกแจงปกติมาตรฐานในการแก้ปัญหา
ดา้ นทักษะกระบวนการ (P) ผู้เรยี นมคี วามสามารถใน
1) การแกป้ ัญหา
2) การใหเ้ หตผุ ล
3) การส่ือสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
4) การเชอ่ื มโยงความร้ทู างคณติ ศาสตร์
5) ความคิดริเร่ิมสรา้ งสรรค์
ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) ผู้เรียนมี
1) การทางานเป็นระบบ รอบคอบ
2) ระเบียบวินัย
3) ความรบั ผิดชอบ
4) ความเชื่อมนั่ ในตนเอง
5) ความซอ่ื สตั ย์

 สมรรถนะสาคญั
 ความสามารถในการสื่อสาร
 ความสามารถในการคดิ
 ความสามารถในการแกป้ ญั หา
 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

 สื่อ/แหล่งเรียนรู้
สอ่ื การเรียนรู้
1) แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 เรอ่ื ง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็
แหลง่ การเรยี นรู้
1) ห้องสมุดของโรงเรียน
2) การสืบคน้ ขอ้ มูลจากอนิ เตอร์เนต็ ได้แก่
- เวบ็ ไซต์ http://www.google.co.th
- คลงั วีดีโอส่อื คณิตศาสตร์ http://www.youtube.com
- คลังเอกสารส่ือคณติ ศาสตร์ http://www.scribd.com

 หลักฐานการเรยี นรู้
ช้ินงาน
1) -

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ ตอ่ เน่ือง 5

ภาระงาน
1) แบบฝึกทักษะที่ 6 การแจกแจงปกติมาตรฐาน
2) กิจกรรม ตัวต่อมหาสนุก
3) กจิ กรรม นอนพอไหม
4) แบบฝึกหัดทา้ ยบท ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็

 การวัดผลและประเมินผลการจัดการเรียนรู้

ด้าน รายการประเมิน วิธีการ เคร่อื งมอื เกณฑก์ าร
1. ความรู้ (K) ประเมนิ

2. ทักษะ 1) หาความน่าจะเป็นท่ตี ัว 1. ประเมินจากการทา - แบบฝึกทักษะ ทาเอกสาร
กระบวนการ แปรสมุ่ ปกติจะมคี ่าอยู่ แบบฝกึ ทักษะ
(P) ในช่วงที่กาหนด แบบฝึกทกั ษะ/
2. ตรวจเอกสารแบบฝกึ
2) ใช้ความรู้เกีย่ วกบั การแจก ทักษะ ได้ถูกต้องอย่าง
แจงปกตแิ ละการแจกแจง
ปกตมิ าตรฐานในการ 1. สงั เกตจากการตอบ น้อย 70% ของ
แกป้ ัญหา คาถามในหอ้ งเรยี น
คะแนนทั้งหมด
ดูจากแบบสงั เกตพฤติกรรม 2. สงั เกตพฤติกรรม
ผู้เรยี นดา้ นทกั ษะ ผู้เรยี น แบบสงั เกต การผา่ นเกณฑ์
กระบวนการ พฤติกรรม ต้องไดร้ ะดับ
ผู้เรยี น คุณภาพโดย
3. คุณลกั ษณะ ดจู ากแบบสงั เกตพฤตกิ รรม 1. สงั เกตจากการตอบ ด้านทกั ษะ ภาพรวมตั้งแต่ 10
อันพงึ ประสงค์ ผู้เรยี นด้านคณุ ลกั ษณะ คาถามในหอ้ งเรียน กระบวนการ คะแนนขึ้นไป
(A) อนั พงึ ประสงค์
2. สงั เกตพฤติกรรม แบบสังเกต การผ่านเกณฑ์
ผู้เรียน พฤติกรรม ต้องไดร้ ะดบั
ผู้เรียน คุณภาพโดย
ดา้ นคุณลักษณะ ภาพรวมตั้งแต่ 10
อันพึงประสงค์ คะแนนขนึ้ ไป

 การจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

กจิ กรรมการเรียนรตู้ ามรปู แบบ SSCS

ข้ันเตรยี มความพรอ้ ม
1. ครใู หผ้ เู้ รียนนั่งสมาธิ เพ่ือรวบรวมสติ สมาธแิ ละเตรยี มความพร้อมในการเรยี น
2. ผูเ้ รียนและครรู ว่ มกนั สนทนาเกี่ยวกบั หลักการดาเนินชีวิตประจาวัน โดยนาค่านิยมหลักของ
คนไทย 12 ประการมาแทรกเป็นกรณีตัวอย่างตามสถานการณ์ ได้แก่ 1) มีสติรู้ตัว รู้คิด รู้ทา 2) รู้จัก
ดารงตนอยโู่ ดยใช้หลกั ปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง เป็นต้น
3. ครูชี้แจงวิธีการเรียนรู้โดยการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ด้วยกิจกรรมการเรียนรู้ตาม
รูปแบบ SSCS

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เร่อื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มต่อเนื่อง 6

ข้ันนาเขา้ สบู่ ทเรยี น
1. ครแู บง่ กลมุ่ ผู้เรียนออกเป็นกลุ่มกลุ่มละ 4 – 5 คน โดยแต่ละกลุ่มมีการคละความสามารถ
ของผูเ้ รียน เกง่ ปานกลาง และออ่ น ตามผลการเรยี นทพ่ี ิจารณาจากการสอบในภาคเรยี นที่ผ่านมาเป็น
รายบคุ คล เพอ่ื ให้ผเู้ รียนไดช้ ว่ ยเหลือกันและแลกเปลยี่ นประสบการณ์ภายในกลุ่ม และให้ผู้เรียนแต่ละ
กลุม่ ชว่ ยกันเลอื กประธาน 1 คน เลขานุการ 1 คน และผู้ร่วมงาน 2 – 3 คน
2. ครแู จ้งจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ของกิจกรรมการเรียนรูต้ ามรูปแบบ SSCS ใหผ้ เู้ รียนทราบ
3. ผู้เรียนและครูร่วมกันสนทนา ทบทวนเก่ียวกับความรู้เดิม เรื่องตัวแปรสุ่มท่ีสนใจท่ีเป็นตัว
แปรสมุ่ ต่อเนือ่ ง ดังน้ี

ในกรณีท่ีตัวแปรสุ่มที่สนใจเป็นตัวแปรสุ่มต่อเน่ือง เช่น ระยะเวลาที่ลูกค้าใช้บริการใน
ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่งน้าหนักของผู้ป่วยท่ีเข้ารับการรักษาที่โรงพยาบาลแห่งหน่ึง เนื่องจากตัว
แปรสุ่มตอ่ เนื่องมีเซตของค่าทเ่ี ปน็ ไปได้ทัง้ หมดเปน็ ชว่ งซึง่ เป็นสบั เซตของจานวนจริง ( ) ซ่ึงมีสมาชิก
เปน็ จานวนอนันต์ จงึ ไมเ่ หมาะกับการเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นในรูปตาราง แต่จะใช้เส้น
โค้งความหนาแน่น(Density curve) ในการเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็น โดยความน่าจะ
เป็นท่ีตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหน่ึงจะเท่ากับพ้ืนที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งความหนาแน่นกับ
แกน X ในชว่ งน้นั จะเรยี กพน้ื ท่ีบริเวณดังกล่าววา่ พนื้ ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ ความหนาแน่น

ขัน้ กจิ กรรมการเรยี นรู้
ข้ันที่ 1 Search: S (ขัน้ สืบเสาะค้นหาความรู)้
1.1 ผ้เู รียนและครูร่วมกันสนทนา เก่ียวกับเร่ืองฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น พร้อม
ท้งั ตัง้ คาถามกระตนุ้ ความคิดของผ้เู รียน ดงั นี้

เสน้ โค้งความหนาแน่นเปน็ กราฟของฟงั ก์ชัน y  f (x) โดยท่ี x แทนค่าท่เี ปน็ ไปไดข้ องตวั
แปรสุ่มเรียกฟังก์ชันนว้ี ่า ฟังก์ชนั ความหนาแนน่ ความน่าจะเป็น (Probability density function)

หมายเหตุ f (x) เป็นฟังกช์ ันความหนาแนน่ ความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X กต็ อ่ เม่ือ
1. f (x)  0 สาหรบั ทุก x ทเ่ี ปน็ คา่ ท่เี ป็นไปได้ของตัวแปรสมุ่ X
2. พน้ื ทใ่ี ตเ้ สน้ เคง้ ความหนาแน่นท้งั หมดจะเทา่ กบั 1

พิจารณาเสน้ โคง้ ความหนาแน่นของตัวแปรส่มุ X ดงั รูป

f (x)

P(1  X  3)

y  f (x)

01 23 4 5 6 7 x

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ต่อเนื่อง 7

จากรูป สามารถหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงที่สนใจได้จากการหาพื้นที่ใต้
เส้นโคง้ y  f (x) ในช่วงดงั กล่าว เช่น ความนา่ จะเป็นท่ีตวั แปรสุ่ม X มีค่ามากกว่า 1 แต่น้อยกว่า 3

จะเทา่ กับพ้นื ท่ีส่วนทีแ่ รเงา น่ันคอื

3

P(1  X  3)   f (x)dx

1

ดังน้ัน ถา้ ทราบฟงั ก์ชนั ความหนาแน่นความน่าจะเป็น แลว้ จะสามารถหาความนา่ จะเป็นทต่ี วั
แปรสุม่ มีคา่ อยูใ่ นช่วงใดชว่ งหนง่ึ ได้โดยการหาปริพันธจ์ ากัดเซตของฟงั กช์ ันในชว่ งดังกลา่ ว

ถา้ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มตอ่ เนือ่ ง และ a เป็นคา่ ทเ่ี ป็นไปไดข้ อง X จะได้ว่า P(X  a)  0

a

หรือ P(X  a)   f (x)dx  0 เนือ่ งจากพ้ืนทีใ่ ต้เส้นโค้งความหนาแนน่ จาก a ถึง a เทา่ กบั ศนู ย์

a

ดังนัน้ สาหรับตวั แปรสมุ่ ตอ่ เนื่อง จะไม่พิจารณาความน่าจะเป็นของการเกิดค่าของตัวแปรสุ่ม
ค่าใดค่าหน่ึง แต่จะสนใจเฉพาะความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง โดยความ
น่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงปิด [a, b] จะเท่ากับความน่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่
ในชว่ งเปดิ (a, b) นั่นคือ เม่อื a และ b เป็นค่าท่เี ปน็ ไปไดข้ องตวั แปรสุม่ X จะได้วา่

P(a  X  b)  P(a  X  b)

P(X  a)  P(X  a)

P(X  a)  P(X  a)

1.2 ครูอธิบายความหมายของการแจกแจงปกติ (Normal distribution) พร้อมท้ังตั้งคาถาม
กระตนุ้ ความคดิ ของผู้เรยี น ดังนี้

เส้นโค้งความหนาแน่นที่พบบอ่ ยมกั มีลักษณะสมมาตรคล้ายรูประฆัง เช่น ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือ
ระยะเวลาทน่ี ักเรียนใช้ในหอ้ งสมุดในแต่ละวนั ซึ่งอาจมคี ่าเป็นค่าใดก็ไดใ้ นชว่ ง 0 ถึง 8 ช่ัวโมง จะได้ว่า
ตวั แปรสุม่ นเ้ี ป็นตวั แปรส่มุ ต่อเนื่อง นอกจากนี้มกั พบวา่ จานวนนักเรยี นที่ใชเ้ วลาในหอ้ งสมุดน้อยกว่า 1
ชั่วโมง มีน้อยมาก และจานวนนักเรียนที่ใช้เวลาในห้องสมุดมากกว่า 7 ชั่วโมงก็ มีน้อยมาก ส่วนใหญ่
แล้วนักเรียนจะใช้เวลาในห้องสมุดประมาณ 3 – 5 ชั่วโมง ดังนั้นเม่ือเขียนแสดงการแจกแจงความ
นา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่มดว้ ยเส้นโคง้ ความหนาแน่น จะได้เส้นโค้งทโ่ี ด่งกลางแล้วลาดลงท้ังสองด้าน ดัง
รปู

0 345 8

การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ท่ีมลี กั ษณะเชน่ น้ีเรียกว่า การแจกแจงปกติ ซ่งึ มบี ทนิยาม
ดงั น้ี

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรื่อง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ตอ่ เนื่อง 8

บทนิยาม 5

การแจกแจงปกติ (Normal distribution) คอื การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปร

สมุ่ ต่อเน่ือง X ทีม่ ฟี งั กช์ ันความหนาแน่นความนา่ จะเปน็ คือ

1 e 1  x  2
เม่อืf (x) 2  
  x  
 2

โดยท่ี  แทนค่าเฉลยี่ และ  แทนส่วยเบยี่ งเบนมาตรฐาน

การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีความสาคัญและ
ใช้มากในสถิติศาสตร์ เน่ืองจากเป็นการแจกแจงที่มีความใกล้เคียงกับข้อมูลที่เกิดตามธรรมชาติหรือท่ี
มนษุ ย์สร้างข้ึน เชน่ ความสงู ของประชากรไทย คะแนนสอบ O-NET วชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ัน
มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 ปกี ารศึกษา 2562 อายุการใชง้ านของสนิ ค้าทีผ่ ลติ จากโรงงานแห่งหน่ึง

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงปกติ แล้วเม่ือเขียนกราฟ
ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสาหรับตัวแปรสุ่ม X จะได้ เส้นโค้งปกติ (Normal curve)
ซ่ึงเปน็ เสน้ โคง้ รูประฆงั ที่มสี มบตั ิดังต่อไปน้ี

1. เส้นโค้งมีเส้นต้ังฉากกับแกน X ที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเป็นแกนสมมาตร ทาให้พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ทางด้านซา้ ยของคา่ เฉลย่ี เทา่ กับพื้นที่ใตเ้ ส้นโค้งทางดา้ นขวาของคา่ เฉลย่ี

2. ปลายเสน้ โคง้ ทงั้ สองด้านเขา้ ใกลแ้ กน X แต่จะไมต่ ัดแกน X หรือกลา่ วได้ว่าแกน X เป็น
เส้นกากบั แนวนอน

3. คา่ เฉลี่ยและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน (หรือความแปรปรวน) จะเปน็ ตัวกาหนด
ลกั ษณะเฉพาะของเสน้ โค้ง วา่ มีแกนสมมาตรอยู่ที่ใด และมีการกระจายจากค่าเฉล่ยี มากนอ้ ยเพียงใด

ตวั อย่างเช่น เส้นโค้งปกตทิ ี่มคี ่าเฉลี่ย  และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน  สามารถเขยี นไดด้ ังรูป

  x

รปู ท่ี 2

ถ้าค่าเฉล่ียหรือส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานค่าใดค่าหน่ึงหรือท้ังสองค่าเปลี่ยนแปลงไป เส้นโค้ง
ปกติจะเปลี่ยนแปลงตามไปดว้ ย แต่ยงั คงเป็นเส้นโคง้ รปู ระฆัง ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง 9

เม่ือค่าเฉลย่ี แตกต่างกัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กัน

 1 1  0 2  2 3  5

x

02 5

เมือ่ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานแตกตา่ งกัน แต่คา่ เฉล่ียเทา่ กนั

 0 1  0.5

2 1

3  2

x

0

ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงปกติ โดยท่ี  แทนค่าเฉล่ีย และ  2 แทนความแปรปรวน
จะเรียกตัวแปรสุ่ม X ว่า ตัวแปรสุ่มปกติ เรียก  และ  2 ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ
และเขยี นสญั ลักษณ์ X N(, 2) เพอ่ื แสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็น
การแจกแจงปกตทิ ี่มี  และ  2 เปน็ พารามิเตอร์

จากท่ีกล่าวมาแล้วว่าสามารถหาความน่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงที่สนใจได้จาก
การหาพน้ื ท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ ความหนาแน่นในช่วงน้ัน ซ่ึงเท่ากับปริพันธ์จากัดเซตของฟังก์ชันความหนาแน่น
ความน่าจะเปน็ ในช่วงดงั กลา่ ว โดยจะตอ้ งใช้วธิ ีการของแคลคูลัสซง่ึ คอ่ นข้างยุ่งยาก ในทางปฏิบัติจึงหา
พ้ืนที่ใต้เส้นโค้งปกติโดยใช้ตารางแสดงพ้ืนที่ใต้เส้นโค้งปกติ แต่เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ท่ีจะสร้างตาราง
หลาย ๆ ตารางมาแสดงพืน้ ท่ีใต้เส้นโค้งปกติซ่ึงมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน ดังน้ันจะ
ใช้วิธีการแปลงการแจกแจงปกติของตัวแปรสุ่มให้เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐาน ซ่ึงจะกล่าวถึงใน
หวั ขอ้ ตอ่ ไป

1.3 ครอู ธิบายความหมายของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard normal
distribution) พร้อมทง้ั ต้ังคาถามกระตุน้ ความคดิ ของผเู้ รยี น ดังนี้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรส่มุ ตอ่ เนื่อง 10

บทนยิ าม 6
การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard normal distribution) คือการแจกแจงปกติที่มี

คา่ เฉล่ยี เท่ากบั 0 (  0) และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 1 ( 1)

จะไดว้ า่ ฟงั ก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ Z ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน คอื

f (z)  1  z2 เมื่อ   z  

2 e2

เรยี กเสน้ โค้งปกตซิ ง่ึ ได้จากตัวแปรสุม่ ปกติที่มีคา่ เฉล่ยี เปน็ 0 และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน็ 1 ว่า

เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐาน (Standard normal curve) ดงั รูป

 1

z

 0

เรยี กตัวแปรสุม่ ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานว่าตัวแปรส่มุ ปกตมิ าตรฐาน (Standard normal

random variable)

สาหรบั การหาความนา่ จะเปน็ ทตี่ วั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานจะมีค่าอย่ใู นช่วงที่สนใจ จะใช้ตาราง
แสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน (ตารางท่ี 1) แทนการหาปริพันธ์จากัดเซตของฟังก์ชันความ
หนาแน่นความน่าจะเป็น โดยค่าที่ปรากฏในตารางท่ี 1 คือค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
มาตรฐานจาก  ถงึ z หรือความนา่ จะเปน็ ทต่ี วั แปรสมุ่ ปกติมาตรฐาน Z มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ z

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(Z  z)  P(Z  z)

P(Z < z)

0z

การอา่ นตารางที่ 1 ใหพ้ จิ ารณาจากแถวที่แสดงค่า z จาก 0.0 ถึง –3.0 หรือจาก 0.0 ถึง 3.0 ค่าของ z
มีคา่ ลดลงหรือเพิม่ ขึน้ แถวละ 0.1 จากน้ันจึงพิจารณาหลักซึ่งแสดงทศนิยมตาแหน่งที่ 2 ของค่า z เช่น
ถา้ ตอ้ งการหา P(Z  1.54) จะเร่ิมพิจารณาจากแถวท่ีแสดงค่า z  1.5 จากน้ันพิจารณาหลัก
ที่แสดงค่า 0.04 จะได้ว่าพ้ืนที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก  ถึง 1.54 หรือ P(Z  1.54)
มีค่าประมาณ 0.0618

1.4 ครูยกตัวอย่างความน่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน Z ให้ผู้เรียนศึกษา จากนั้น
ผู้เรยี นรว่ มกันตอบคาถาม โดยครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรียนเขา้ ใจ ดังนี้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรือ่ ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มต่อเนื่อง 11

ตวั อย่างที่ 17 ให้ Z เปน็ ตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา

1) P(Z  2) 2) P(Z 1.29)

P(Z  2)  0.9772 P(Z 1.29) 1 P(Z 1.29)

 1 0.9015

 0.0985

3) P(Z  2.47) 4) P(Z  1.25)
P(Z  2.47)  0.0068 P(Z  1.25) 1 P(Z  1.25)

 1 0.1056
 0.8944

5) P(2  Z  1) 6) P(1.27  Z  0.45)

P(Z  1)  0.1587 P(Z  0.45)  0.6736
P(Z  2)  0.0228 P(Z  1.27)  0.1020
P(2  Z  1) P(1.27  Z  0.45)
 P(Z  1)  P(Z  2)  P(Z  0.45)  P(Z  1.27)
 0.1587  0.0228  0.1359  0.6736  0.1020  0.5716

7) P(2  Z  2.5) 8) P(1  Z  2.4)
P(Z  2.5)  0.9938 P(Z  2.4)  0.9918

P(Z  2)  0.9772 P(Z  1)  0.1587
P(2  Z  2.5) P(1  Z  2.4)

 P(Z  2.5)  P(Z  2)  P(Z  2.4)  P(Z  1)

 0.9938  0.9772  0.0166  0.9918  0.1587  0.8331

1.5 ครูอธิบายในกรณีทตี่ ัวแปรสุ่มมกี ารแจกแจงปกติแต่ไมใ่ ชก่ ารแจกแจงปกติมาตรฐาน จะ
ไมส่ ามารถใชต้ ารางท่ี 1 ในการหาความนา่ จะเป็นได้ ดงั นนั้ จะต้องแปลงตัวแปรสุ่มปกตใิ ห้เปน็ ตัวแปร
สมุ่ ปกติมาตรฐาน โดยใชท้ ฤษฎีบท พรอ้ มทงั้ ตั้งคาถามกระต้นุ ความคิดของผู้เรียน ดงั น้ี

ทฤษฎีบท 2

ใหต้ ัวแปรสมุ่ X มีการแจกแจงปกติ โดยมคี า่ เฉลีย่  และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 

ถ้าตัวแปรสุ่ม Z นิยามโดย Z  X  แล้วตัวแปรสุ่ม Z จะมีการแจกแจงปกติ


มาตรฐาน น่ันคือ Z  0 และ Z 1

นอกจากนี้ P(a  X  b)  P  a  Z  b 
   

เม่ือ a, b เปน็ คา่ ท่เี ป็นไปไดข้ องตวั แปรสุ่ม X และ a  b

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เรอื่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ ต่อเนื่อง 12

1.6 ครูยกตัวอย่างการหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติแต่ไม่ใช่การแจก

แจงปกติมาตรฐานให้ผู้เรียนศึกษา จากน้นั ผ้เู รยี นรว่ มกันตอบคาถาม โดยครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรียน

เขา้ ใจ ดงั นี้

ตัวอย่างท่ี 18 กาหนดให้ X N(3.5,4) จงหา

1) P(X  5) 2) P(X  2)

3) P(2.4  X  5.2) 4) P(4  X  5)

5) P(1.5  X  3)

วิธที า เน่ืองจาก X N(3.5,4) จะไดว้ ่าตวั แปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยที่

  Z  3.5 และ  2  4 นน่ั คอื   2

ให้ Z X  จะได้


1) P(X  5) 2) P(X  2)

P( X  5)  P( X   5 23.5) P( X  2)  P( X   2 23.5)
 

 P(Z  0.75)  P(Z  0.75)

 0.7734  0.2266

3) P(2.4  X  5.2) 4) P(4  X  5)
P(2.4  X  5.2) P(4  X  5)

 P( 2.4  3.5  Z  5.2  3.5)  P( 4  3.5  Z  5  3.5 )
2 2 2 2

 P(0.55  Z  0.85)  P(0.25  Z  0.75)

 P(Z  0.85)  P(Z  0.55)  P(Z  0.75)  P(Z  0.25)

 0.8023  0.2912  0.7734  0.5987

 0.5111  0.1747
5) P(1.5  X  3)

P(1.5  X  3)

 P(1.5  3.5  Z  3  3.5)
22

 P(1  Z  0.25)

 P(Z  0.25)  P(Z  1)

 0.4013  0.1587

 0.2426

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เรือ่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ต่อเนื่อง 13

สาหรับตัวแปรสุ่มปกติ X ทีม่ ีค่าเฉลย่ี  และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน  และตัวแปรสมุ่ Z

นยิ ามโดย Z  X  จะได้ว่า


1. P(   X    )  P(1 Z 1)

 P(Z  1)  P(Z  1)

 0.8413  0.1587  0.6826

0.6826

   x 1 0 1 z

นั่นคือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะมีค่าอยู่ในช่วง [ ,   ] มีค่าประมาณ 0.6826

หรือพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติจาก   ถึง   มีค่าประมาณ 68.26% ของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

ปกติท้ังหมด

2. P(  2  X    2 )  P(2  Z  2)
 P(Z  2)  P(Z  2)
 0.9772  0.0228  0.9544

0.9544

  2    2 x 2  2 x

น่ันคือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะมีค่าอยู่ในช่วง [  2,   2 ] มีค่าประมาณ
0.9544 หรือพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติจาก   2 ถึง   2 มีค่าประมาณ 95.44% ของพ้ืนท่ี
ใต้เสน้ โค้งปกติท้งั หมด

3. P(  3  X    3 )  P(3  Z  3)
 P(Z  3)  P(Z  3)
 0.9987  0.0228  0.9974

0.9974

  3    3 z 3  3z

น่ันคือความน่าจะเป็นท่ีตัวแปรสุ่ม X จะมีค่าอยู่ในช่วง [ 3,  3 ] มีค่าประมาณ
0.9974 หรือพ้ืนที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก  3 ถึง   3 มีค่าประมาณ 99.74% ของพ้ืนที่
ใต้เสน้ โค้งปกติทงั้ หมด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เร่อื ง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ต่อเนื่อง 14

ตวั อยา่ งท่ี 19 ความสูงของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ
วธิ ีทา
โดยมีค่าเฉล่ยี และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 160 และ 5 เซนติเมตร ตามลาดับ ถ้า

สุ่มนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 จานวน 1 คนจากโรงเรียนน้ี จงหาความน่าจะเป็นท่ี

นักเรียนท่ีสุ่มไดจ้ ะมีความสงู

1) ระหว่าง 150 และ 170 เซนตเิ มตร

2) มากกวา่ 162 เซนตเิ มตร

ให้ตัวแปรสุ่ม X คอื ความสงู ของนกั เรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ของโรงเรยี นแหง่ นี้

จะไดว้ ่าตวั แปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยที่   160 และ   5

ให้ Z X  จะได้


1) เนื่องจาก P(150  X  170) = P(150 160 Z  170 5160)
5

= P(2  Z  2)  P(Z  2)  P(Z  2)

= 0.9772  0.0228

= 0.9544

ดังน้นั ความน่าจะเป็นทีน่ ักเรยี นทสี่ ุ่มได้จะมคี วามสงู ระหว่าง 150 และ 170

เซนติเมตร คือ 0.9544

2) เน่อื งจาก P(X 162) = P(Z  162 5160)
= P(Z  0.4)

=1 P(Z  0.4)

=1 0.6554  0.3446

ดงั นั้น ความนา่ จะเป็นทีน่ ักเรียนทีส่ ุ่มได้จะมีความสงู มากกวา่ 162 เซนติเมตร คือ

0.3446

1.7 ครูอธิบายเปอร์เซ็นไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเน่ือง พร้อมทั้งยกตัวอย่างเพื่อสร้างความเข้าใจ
ใหก้ ับผเู้ รียน ดงั น้ี

จากการศึกษาทผี่ ่านมา นักเรียนทราบแล้วว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลเชิง
ปรมิ าณ โดยแบ่งขอ้ มูลทเ่ี รียงจากนอ้ ยไปมากออกเป็น 100 ส่วน เท่า ๆ กัน สาหรับตัวแปรสุ่มต่อเน่ือง
X เน่ืองจากพน้ื ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งความหนาแนน่ ทั้งหมดเท่ากบั 1 หรอื คิดเป็น 100% ดงั น้ัน

ถ้า x เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X จะได้ว่าข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่า x มี
จานวน P(X  x)100%นั่นคือ ถ้า P(X  x)100 เป็นจานวนเต็มท่ีอยู่ระหว่าง 0 และ 100 จะได้

ว่าเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี P(X  x)100 เทา่ กับ x

ตัวอยา่ ง ถ้า Z เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน เนื่องจาก P(Z < 1) = 0.8413 ดังน้ัน 1 คือ
เปอร์เซ็นไทล์ท่ี P(Z < 1) 100 = (0.8413)(100) = 84.13 หรือกล่าวได้ว่าข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่า 0 มี
จานวน 84.13% ของข้อมูลทั้งหมด โดยเมื่อพิจารณาจากรูปต่อไปนี้จะเห็นว่าบริเวณที่แรเงามีพื้นท่ี
เปน็ ครง่ึ หนง่ึ ของพนื้ ท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานท้งั หมด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เรื่อง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ต่อเน่ือง 15

01 z

1.8 ครูยกตัวอย่างการหาเปอร์เซ็นไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเน่ืองให้ผู้เรียนศึกษา จากนั้นผู้เรียน

ร่วมกนั ตอบคาถาม โดยครคู อยแนะนาจนกว่าผู้เรียนเขา้ ใจ ดังน้ี
ตวั อยา่ งที่ 20 อายุการใชง้ านของถ่านไฟฉายชนดิ หน่งึ มีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉล่ียและสว่ น

เบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 756 และ 35 นาทีตามลาดับ จงหาว่า
1) ถา่ นไฟฉายท่มี ีอายุการใชง้ านน้อยกวา่ 791 นาที มกี ่ีเปอรเ์ ซน็ ตข์ องถา่ นไฟฉาย

ทัง้ หมด

2) ถ่านไฟฉายท่ีมีอายุการใชง้ านมากกว่าหรือเทา่ กับเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 95 สามารถใช้
งานได้อยา่ งน้อยกนี่ าที เม่อื กาหนดให้ P(Z < 1.645) = 0.95

วิธีทา ให้ตวั แปรสุ่ม X คืออายกุ ารใชง้ านของถา่ นไฟฉาย

จะได้วา่ ตัวแปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยที่   756 และ  35

ให้ Z X  จะได้


1) เน่อื งจาก P(X  791) = P(Z  79135756)

= P(Z 1)

= 0.8413

ดงั นัน้ ถ่านไฟฉายทมี่ ีอายุการใช้งานนอ้ ยกว่า 791 นาที มปี ระมาณ

(0.8413)(100)  84.13 เปอร์เซน็ ตข์ องถ่านไฟฉายท้งั หมด

2) เนื่องจากอายุการใชง้ านถ่านไฟฉายท่นี ้อยทส่ี ุดที่มากกวา่ หรือเท่ากับเปอร์เซ็นไทล์

ที่ 95 กค็ ือเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 95 ดงั นัน้ ต้องการหา x ทีท่ าให้ P(X < x)100 = 95

นัน่ คอื P(X  x)  0.95

จะได้ P(Z  x 37556)  0.95
เนื่องจาก P(Z < 1.645) = 0.95

ดงั น้นั x  756 1.645

35

x  813.575

น่นั คือ ถ่านไฟฉายท่ีมีอายุการใช้งานมากกวา่ หรือเท่ากับเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 95
สามารถใชง้ านได้อยา่ งน้อย 813.575 นาที

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เรือ่ ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ ต่อเน่ือง 16

การเปรยี บเทยี บตาแหนง่ ของขอ้ มูลโดยใชค้ า่ ของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน

การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน นอกจากจะมีประโยชน์ในการหา

ความน่าจะเป็นโดยใช้ตารางแล้ว ยังสามารถนาค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานที่แปลงได้ไปใช้ในการ

เปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดข้ึนไปว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่เพียงใด เน่ืองจากค่าเฉล่ียและส่วน

เบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลแต่ละชุดมักจะไม่เท่ากัน บางคร้ังจึงไม่สามารถนาข้อมูลแต่ละชุดมา

เปรียบเทียบโดยตรงได้ เชน่

ในการเปรียบเทียบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนคนหนึ่งว่า

เรียนวิชาใดได้ดีกว่ากัน โดยสมมติว่าคะแนนสอบทั้งสองวิชาของนักเรียนในชั้นเรื่องน้ีมีการแจกแจง

ปกติ ถ้าพิจารณาจากคะแนนสอบท้ังสองวิชาโดยปรับให้มีคะแนนเต็มเท่ากัน ก็ไม่อาจสรุปได้ว่า

นักเรียนคนน้ีเรียนวิชาใดได้ดีกว่าเนื่องจากคะแนนสอบแต่ละวิชาไม่ได้ข้ึนอยู่กับความรู้ความสามารถ

ในวิชานั้น ๆ ของนักเรียนเพียงอย่างเดียว แต่ยังข้ึนอยู่กับความยากง่ายของข้อสอบหรือวิธีการให้

คะแนนของผสู้ อนแต่ละวชิ า ทาให้ค่าเฉล่ยี หรือสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบท้ังสองวิชาของ

นักเรียนทั้งหมดในช้ันอาจไม่เท่ากัน ดังนั้น เม่ือต้องการเปรียบเทียบผลการเรียนท้ังสองวิชา จึง

จาเปน็ ตอ้ งแปลงคะแนนสอบท้ังสองวิชาให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ซ่ึงจะทาให้ค่าเฉล่ียและส่วน

เบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบท้ังสองวิชาเท่ากัน แล้วจึงเปรียบเทียบจากค่าของตัวแปรสุ่มปกติ

มาตรฐานของทัง้ สองวิชาดังตัวอย่างต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 21 พมิ พส์ อบวิชาคณิตศาสตร์และวชิ าภาษาอังกฤษซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเท่ากัน

ได้ 75 และ 72 คะแนน ตามลาดับ ถ้าคะแนนสอบท้ังสองวิชาของนักเรียนห้องนี้มี

การแจกแจงปกติ โดยค่าเฉล่ียและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชา

คณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 73 และ 16 คะแนน ตามลาดับ และค่าเฉลี่ย

และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องน้ี

เทา่ กับ 70 และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงพจิ ารณาวา่ พิมพ์เรยี นวชิ าใดไดด้ กี ว่ากัน

วิธีทา ให้ตัวแปรสุ่ม X และ Y คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของ

นกั เรยี นหอ้ งนี้

จะได้วา่ ตวั แปรสมุ่ X และ Y มกี ารแจกแจงปกติ โดยท่ี X  73,  X  16 และ

Y  70, Y  10

ให้ x และ y คือคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรแ์ ละวชิ าภาษาอังกฤษของพิมพ์

นน่ั คือ x = 75 และ y = 72

จะไดค้ า่ ของตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานของ x คือ x  X  75  73  0.125
X 16

และไดค้ ่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของ y คอื x  Y  72  70  0.2
Y 10

เนื่องจาก x  X  x  Y
X Y

นั่นคือ ค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของวิชาคณิตศาสตร์ของพิมพ์มีค่าน้อยกว่า

คา่ ของตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานของวิชาภาษาองั กฤษของพิมพ์

ดังน้ัน พิมพ์เรียนวิชา ภาษาองั กฤษ ไดด้ กี ว่าวิชา คณติ ศาสตร์

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา