แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถติ ิ 12
1.7 ใหผ้ เู้ รียนพิจารณาตวั อยา่ งของการหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตถ่วงน้าหนัก แล้วต้ังคาถามกระตุ้น
ความคิดของผู้เรยี น ดงั น้ี
ตัวอยา่ งที่ 18 ในการคานวณเกรดเฉลี่ย ของนักเรียนคนหนึ่ง สมมติว่านักเรียนคนน้ีลงทะเบียน
เรยี น 5 วชิ า ซง่ึ แต่ละวิชามีหน่วยกติ ไมเ่ ทา่ กนั และได้เกรดแต่ละวชิ าดังนี้
วชิ า คณิตศาสตร์ ฟสิ ิกส์ เคมี ชีววิทยา อังกฤษ
หนว่ ยกติ 2.0 2.0 1.5 1.5 1.0
เกรด 4 43 3 2
คาถาม ผ้เู รยี นคิดว่า เกรดเฉลย่ี ของนักเรยี นคนนี้มคี า่ เทา่ ใด
คาตอบ ในทน่ี ้ขี อ้ มูลคือเกรดแต่ละวชิ าของนักเรยี นคนนี้ ซึ่งได้แก่ 4, 4, 3, 3, 2
และหน่วยกิต 2.0, 2.0, 1.5, 1.5, 1.0 คอื น้าหนกั ขอข้อมูล 4, 4, 3, 3, 2 ตามลาดับ
จะได้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงนา้ หนัก 2.0(4) 2.0(4) 1.5(3) 1.5(3) 1.0(2)
2.0 2.0 1.5 1.5 1.0
27 3.37
8
ดงั น้นั เกรดเฉล่ียของนกั เรยี นคนนป้ี ระมาณ 3.37
1.8 ครูอธิบายเพมิ่ เตมิ เก่ยี วกับค่าเฉลยี่ เลขคณิตถ่วงน้าหนกั ให้กบั ผู้เรยี น ดงั น้ี
ถึงแม้ว่าเกรด (4, 3, 2, 1, 0) เป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ แต่เป็นท่ีนิยมโดยทั่วไปให้สามารถ
พิจารณาเป็นข้อมูลเชิงปริมาณและสามารถหาเกรดเฉลี่ย (grade point average: GPA) โดยใช้สูตร
คา่ เฉลยี่ เลขคณิตถว่ งนา้ หนกั ได้ ดังในตัวอย่างท่ี 18
1.9 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มศึกษาวีดิทัศน์ต่อ จากนั้นผู้เรียนและครูร่วมกันสรุปมัธยฐาน โดย
ครคู อยแนะนาจนกว่าผู้เรียนเข้าใจ ดังนี้
มธั ยฐาน
เม่ือนาข้อมูลทั้งหมดมาเรียงลาดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะเรียกค่าท่ีอยู่ใน
ตาแหน่งก่ึงกลางของข้อมูลว่า มธั ยฐาน (Median)
ถา้ ข้อมูลมี n ตัว การหามัธยฐานทาได้โดยเรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย
จะได้ มธั ยฐานอยใู่ นตาแหนง่ ท่ี n 1 น่ันคอื
2
• ถา้ n เปน็ จานวนค่ี มัธยฐาน คอื ข้อมลู ทีอ่ ย่กู ง่ึ กลาง
• ถา้ n เปน็ จานวนคู่ มธั ยฐาน คอื คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มูลสองตัวที่อยกู่ ึง่ กลาง
จากเรอ่ื งแผนภาพกลอ่ ง พบว่า Q2 เป็นคา่ ทอี่ ยใู่ นตาแหน่งกงึ่ กลางของข้อมูลท้งั หมด
ดงั น้ัน มัธยฐาน คือ Q2
1.10 ครูใหผ้ เู้ รียนแต่ละกลุ่มร่วมกันทากิจกรรมมัธยฐานของความสูงเพ่ือนฉัน จากนั้นผู้เรียน
และครรู ่วมกนั สรปุ มธั ยฐาน โดยครูคอยแนะนาจนกวา่ ผู้เรียนเขา้ ใจ
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถิติ 13
1.11 ให้ผู้เรียนพิจารณาตัวอย่างของการหามัธยฐาน แล้วต้ังคาถามกระตุ้นความคิดของ
ผู้เรียน ดงั น้ี
ตัวอย่างที่ 20 ระยะเวลา (นาที) ที่ใช้ในการเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนของนักเรียนจานวน 6 คน
แสดงไดด้ ังน้ี
ช่อื A B C D E F
ระยะเวลา (นาท)ี 32 15 45 12 90 25
คาถาม ผูเ้ รยี นคิดว่า มัธยฐานของข้อมูลชุดน้ีเปน็ อยา่ งไร
คาตอบ
เรียงระยะเวลาท่ีใช้ในการเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนของนักเรียนจานวน 6 คน
จากนอ้ ยไปหามาก ได้ดงั น้ี 12 15 25 32 45 90
เนื่องจาก มัธยฐานอย่ใู นตาแหนง่ ที่ 6 1 3.5
2
ดงั น้ัน มธั ยฐานของขอ้ มลู ชุดน้ี คือ คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลู ในตาแหนง่ ที่ 3 และ 4
ซงึ่ เทา่ กับ 25 32 28.5 นาที
2
1.12 ครูใหผ้ เู้ รยี นแต่ละกลมุ่ ศกึ ษาวดี ิทศั น์ตอ่ จากนั้นผเู้ รียนและครูร่วมกันสรุปฐานนิยม โดย
ครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรยี นเขา้ ใจ ดงั น้ี
ฐานนิยม
นักเรยี นได้ศกึ ษาฐานนิยมมาแล้วในหัวข้อเรื่องการวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณว่า
ฐานนิยม (Mode) คือข้อมูลท่ีมีจานวนครั้งของการเกิดซ้ากันมากที่สุดหรือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดที่
มากกว่า 1 ซึ่งบทนยิ ามของฐานนิยมดงั กล่าวสามารถใชก้ ับข้อมูลเชงิ ปริมาณไดเ้ ชน่ กนั
ข้อควรรู้
ขอ้ มลู บางชุดอาจไมม่ ีฐานนยิ ม เชน่ ในกรณที ข่ี อ้ มลู มีความถี่เป็น 1 เท่ากันหมด
ขอ้ มลู บางชุดอาจมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า เช่น ในกรณีท่ีมีข้อมูลมากกว่า 1 ข้อมูล ท่ีมี
ความถ่สี งู สุดเทา่ กนั
ในหวั ขอ้ นจ้ี ะพจิ ารณาเฉพาะชุดข้อมูลท่ีมีฐานนิยมเพียงค่าเดยี ว
1.13 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันทากิจกรรมฐานนิยมของเงินของเพ่ือนฉัน จากนั้นผู้เรียน
และครรู ่วมกนั สรปุ มัธยฐาน โดยครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรยี นเขา้ ใจ
1.14 ให้ผู้เรียนพิจารณาตัวอย่างของการหาฐานนิยม แล้วตั้งคาถามกระตุ้นความคิดของ
ผ้เู รียน ดังน้ี
ตัวอยา่ งท่ี 22 อายุ (ป)ี ของนกั เรียนที่มาเขา้ คา่ ยคณิตศาสตร์ จานวน 15 คน แสดงได้ดงั น้ี
5 8 7 6 7 8 12 11
10 11 8 6 8 7 8
คาถาม ผคู้ ิดว่า ฐานนยิ มของข้อมูลชุดนี้เปน็ อย่างไร
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เรอื่ ง คา่ วัดทางสถติ ิ 14
คาตอบ จากข้อมูลทก่ี าหนดให้ จะได้
อายุ 5 ปี มีความถ่เี ปน็ 1 อายุ 6 ปี มีความถเ่ี ปน็ 2
อายุ 7 ปี มีความถี่เปน็ 3 อายุ 8 ปี มีความถีเ่ ป็น 5
อายุ 10 ปี มีความถ่ีเป็น 1 อายุ 11 ปี มีความถเี่ ป็น 2
อายุ 12 ปี มคี วามถี่เปน็ 1
ดงั นน้ั ฐานนยิ มของขอ้ มลู ชดุ นี้ เทา่ กบั 8 ปี
1.15 ครูอธิบายเพม่ิ เตมิ เกย่ี วกับข้อสังเกตที่สาคัญเกี่ยวกับค่ากลางชนิดต่าง ๆ พร้อมตัวอย่าง
ประกอบให้กบั ผู้เรียน ดังน้ี
ขอ้ สงั เกตทีส่ าคญั เก่ยี วกับค่ากลางชนดิ ต่าง ๆ
1. ฐานนยิ ม จะมคี า่ ตรงกับค่าใดค่าหนึ่งของข้อมูลชุดน้ัน ในขณะที่ ค่าเฉล่ียเลขคณิต
และมัธยฐานอาจไม่ใชค่ า่ ใดคา่ หนึ่งของข้อมลู ชุดนนั้
2. โดยปกติ คา่ เฉล่ียเลขคณิต มักเป็นค่ากลางท่ีนิยมมากท่ีสุด แต่ถ้าชุดข้อมูลมีข้อมูล
ท่ีแตกต่างจากข้อมูลตัวอื่นมากจะมีผลต่อ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของข้อมูลชุดน้ี แต่จะไม่มีผลต่อ
มัธยฐานและฐานนยิ ม
3. สาหรับข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะ ฐานนิยม เท่านั้นไม่
สามารถหาค่าเฉล่ียเลขคณิตและมธั ยฐาน ได้
4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมไม่จาเป็นต้องมีค่าเท่ากัน ท้ังนี้ ค่าเฉล่ีย
เลขคณิตและมัธยฐาน จะมีค่าท่ีไมส่ ูงหรอื ต่าเกนิ ไปเม่อื เทยี บกับค่าของข้อมูลท้ังหมด ในขณะที่
ฐานนิยม อาจเปน็ ค่าสูงสดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ของชุดข้อมลู น้นั ได้
การพิจารณาเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูลไม่มีกฎเกณฑ์ท่ีแน่ชัด แต่ควรเลือกให้เหมาะสม
กับวตั ถุประสงคใ์ นการนาไปใช้และลักษณะของข้อมูล รวมทั้งต้องพิจารณาข้อดีและข้อเสียของค่า
กลางแต่ละชนิด หากเลือกใชค้ า่ กลางท่ีไม่เหมาะสม อาจทาให้สรุปผลหรือตัดสินใจผิดพลาดได้
ตัวอยา่ งที่ 23 เงินเดือน (บาท) ของพนักงานแผนกหนึ่งในบริษัทแห่งหน่ึงจานวนทั้งหมด 7 คน
วิธที า
แสดงได้ดังนี้
15,300 16,600 13,459 15,300 14,400 15,300 71,000
จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ มของข้อมลู ชุดนี้ และพิจารณาว่าควรใช้
ค่ากลางใดเป็นตัวแทนของขอ้ มลู ชุดน้ี พรอ้ มท้ังให้เหตผุ ลประกอบ
ให้ แทนคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลชดุ น้ี จะได้
15, 300 16, 600 13, 450 15, 300 14, 400 15, 300 71, 000
7
161, 350 23, 050
7
ดงั นนั้ คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลชุดน้ี คือ 23,050 บาท
เรียงเงนิ เดอื นของพนักงานท้ัง 7 คน จากน้อยไปหามาก ได้ดงั น้ี
13,450 14,400 15,300 15,300 15,300 16,600 71,000
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เรือ่ ง ค่าวดั ทางสถิติ 15
เนือ่ งจาก มธั ยฐานอยูใ่ นตาแหนง่ ท่ี 7 1 4
2
ดงั น้ัน มัธยฐานของความสงู ของเพอ่ื นกล่มุ นี้ คอื 15,300 บาท
จากข้อมลู ที่กาหนดให้ จะเห็นว่า เงินเดือน 15,300 บาท มคี วามถี่สงู สดุ
ดงั นน้ั ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ คือ 15,300 บาท
จากข้อมูลท่ีกาหนดให้ พบว่า 71,000 เป็นค่าที่สูงกว่าค่าส่วนใหญ่ของข้อมูลชุดนี้
หากใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนี้ จะเห็นว่ามีพนักงานจานวน
6 จาก 7 คนท่ีได้รับเงินเดือนน้อยกว่าค่าเฉล่ียเลขคณิต ดังน้ัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
จึงไม่เหมาะสมที่จะเป็นตัวแทนของข้อมูลชุดน้ี อย่างไรก็ตาม 71,000 ไม่มีผล
ต่อมธั ยฐานและฐานนยิ ม และจากตวั อย่างนีจ้ ะเหน็ วา่ ท้งั สองคา่ น้เี ทา่ กัน
ดงั นน้ั ควรใช้ มธั ยฐานและฐานนิยม เปน็ ตวั แทนของข้อมูลชดุ น้ี
ตวั อย่างที่ 24 นักเรียนคนหนึ่งได้คะแนนสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 5 คร้ัง ซึ่งแต่ละครั้งมี
วธิ ที า
คะแนนเต็มเทา่ กัน ดังนี้ 17 17 17 19 20
จงพิจารณาว่าควรใช้ค่ากลางใดเป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนี้ พร้อมทั้งให้เหตุผล
ประกอบ
จากขอ้ มลู ทก่ี าหนดให้ จะได้
ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู ชดุ นี้ คือ 17 17 17 19 20 18 คะแนน
5
มธั ยฐานของข้อมูลชุดน้ี คือ 17 คะแนน
และ ฐานนยิ มของขอ้ มูลชุดน้ี คอื 17 คะแนน
จากข้อมูลที่กาหนดให้ พบว่า มัธยฐานและฐานนิยมไม่เหมาะสมท่ีจะเป็นตัวแทน
ของข้อมูลชุดน้ี เนื่องจากไม่ได้ใช้คะแนนสอบย่อยทุกครั้งในการคานวณ ในขณะ
ท่ีค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้จากการนาคะแนนสอบย่อยทุกคร้ังมาคานวณ และคะแนน
สอบยอ่ ยแต่ละครัง้ ใกลเ้ คยี งกัน
ดังนน้ั ควรใช้ ค่าเฉลีย่ เลขคณติ เป็นตัวแทนของข้อมูลชดุ นี้
1.16 ครูอธบิ ายเพิ่มเติมเกย่ี วกบั ความสมั พันธร์ ะหว่างการกระจายของข้อมูลและค่ากลางของ
ขอ้ มลู ให้กบั ผู้เรยี น ดงั นี้
ความสัมพันธ์ระหว่างการกระจายของขอ้ มลู และค่ากลางของขอ้ มลู
การอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูล นอกจากจะวิเคราะห์โดยใช้แผนภพากล่องตามท่ี
ได้ศึกษามาแล้ว ยังสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐาน
นยิ ม ในทน่ี ้ีจะแบ่งลกั ษณะการกระจายของข้อมลู เปน็ 3 แบบ ดงั น้ี
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรื่อง คา่ วัดทางสถติ ิ 16
ลกั ษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 1 เรียกว่า การแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution)
และจากรปู ที่ 1 จะได้ความสัมพนั ธ์ของค่ากลางของข้อมูล ดงั น้ี
คา่ เฉลยี่ เลขคณติ = มธั ยฐาน = ฐานนิยม
จะเห็นว่า ข้อมูลท่ีมีความถ่ีสูงสุดจะอยู่ตรงกลางและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเมื่อข้อมูลมีค่าห่าง
จากมัธยฐาน เม่ือพิจารณาจากแผนภาพกล่องจะเห็นว่าความกว้างของช่วงจาก Q1 ถึง Q2 เท่ากับ
ความกว้างของช่วงจาก Q2 ถึง Q3
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 2 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ขวา (Right-skewed distribution)
โดยมคี วามสมั พันธ์ของคา่ กลางของข้อมูลดังนี้
ฐานนยิ ม < มัธยฐาน < คา่ เฉล่ียเลขคณติ
จะเห็นว่า ข้อมูลที่มีค่าน้อย (น้อย/มาก) จะมีความถ่ีสูง และความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเม่ือค่าของ
ขอ้ มลู เพิ่มข้ึน(ลดลง/เพ่ิมขนึ้ ) เมอื่ พิจารณาจากแผนภาพกล่องจะเห็นวา่ ความกว้างของช่วงจาก Q1 ถึง
Q2 น้อยกว่า (นอ้ ยกวา่ /มากกวา่ ) ความกวา้ งของช่วงจาก Q2 ถงึ Q3
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 3 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ซ้าย (Left-skewed distribution)
โดยมคี วามสมั พนั ธข์ องค่ากลางของข้อมลู ดังนี้
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ < มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม
จะเห็นว่า ข้อมูลท่ีมีค่ามาก (น้อย/มาก) จะมีความถี่สูง และความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเม่ือค่าของ
ข้อมูลลดลง(ลดลง/เพิ่มข้ึน) เมื่อพิจารณาจากแผนภาพกล่องจะเห็นว่าความกว้างของช่วงจาก Q1 ถึง
Q2 มากกวา่ (นอ้ ยกวา่ /มากกว่า) ความกวา้ งของชว่ งจาก Q2 ถึง Q3
ถึงแม้ค่ากลางของข้อมูลจะสามารถใช้ในการบอกลักษณะการกระจายของข้อมูล แต่ก็ยังไม่
สามารถบอกได้ว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรือน้อย ในหัวข้อต่อไปนักเรียนจะได้ศึกษาค่าท่ีใช้ในการ
พิจารณาวา่ ขอ้ มลู มีการกระจายมากหรอื น้อยเพียงใด
ขน้ั ที่ 2 Solve: S (ขนั้ การแกป้ ญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการท่ีใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคดิ และวิธกี ารทผี่ ู้เรยี นเลือกใชใ้ นการแก้ปญั หา
2.2 ครูให้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนที่ผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในที่สุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลมุ่ ร่วมกนั ทาแบบฝึกทักษะที่ 7 ค่ากลางของขอ้ มลู แล้วชว่ ยกนั เฉลยและตรวจสอบความถกู ต้อง
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรอ่ื ง คา่ วัดทางสถติ ิ 17
ขั้นท่ี 3 Create: C (ขน้ั สร้างความรู้)
3.1 ครูใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรยี งขนั้ ตอนการแกป้ ญั หาและบนั ทึกความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เรือ่ งคา่ กลางของข้อมลู และจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะที่ 7 ค่ากลางของข้อมูล ลงในสมุดโดยใช้ภาษาท่ี
งา่ ยต่อการเขา้ ใจ สละสลวยในการเขียนแสดงแนวคดิ และอธบิ ายคาตอบของผู้เรยี น
ขนั้ ที่ 4 Share: S (ขัน้ อภิปรายแลกเปลย่ี นความคดิ เห็น)
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ
4.2 ครสู ุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบที่แตกต่างจากเพ่ือนก็สามารถ
นาวิธกี ารหรอื แนวคดิ น้ันมานาเสนอไดอ้ ยา่ งเต็มท่ี
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลท่ีได้ท่ีเพื่อนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะที่ร่วมกันอภิปรายแลกเปล่ียนความคิดเห็นน้ัน ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การส่อื สารทงั้ ในด้านการฟังและการพูดของผู้เรยี นไปพร้อม ๆ กนั
ขั้นกิจกรรมการเรียนรู้ (คาบที่ 5 – 8)
ข้ันที่ 1 Search: S (ข้นั สบื เสาะค้นหาความร)ู้
1.17 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มสแกน QR code เพื่อเข้าไปศึกษาวีดิทัศน์ซ่ึงจัดทาข้ึนภายใต้
โครงการ Project14 ของสสวท.
หรือเว็บไซต์ท่ี https://proj14.ipst.ac.th/m4-6-math-basic/m6-math-basic/math-m6-003/
จากนั้นผ้เู รียนและครูร่วมกันสรุปคา่ วัดการกระจาย โดยครคู อยแนะนาจนกว่าผู้เรียนเข้าใจ ดงั น้ี
คา่ วดั การกระจาย
การทราบเพียงค่ากลางของข้อมูลไม่เพียงพอท่ีจะบอกว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรือน้อย
เนื่องจากค่ากลางแต่ละชนิดมิได้บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละค่าห่างกันมากหรือน้อยเพียงใด ข้อมูล
สว่ นใหญ่รวมกล่มุ กันหรือกระจายกันออกไป
ให้นักเรียนพจิ ารณาตวั อย่างต่อไปนี้
ในการสอบคณิตศาสตร์ของนักเรียนสองห้องซ่ึงใช้ข้อสอบชุดเดียวกันมีค่าเฉล่ียเลข
คณิตของคะแนนสอบเท่ากันคือ 67 คะแนน ห้องแรกมีคะแนนสูงสุด 72 คะแนน และคะแนน
ตา่ สุด 62 คะแนน ห้องทีส่ องมีคะแนนสงู สดุ 97 คะแนน และคะแนนต่าสุด 25 คะแนน จะเห็น
ว่า คะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุดของห้องแรกต่างกันเพียง 10 คะแนน แต่คะแนนสูงสุดและ
คะแนนต่าสุดของห้องท่ีสองต่างกันถึง 72 คะแนน แสดงว่าคะแนนห้องที่สองมีการกระจาย
มากกว่า (น้อยกว่า/มากกว่า) ห้องแรกมาก ซึ่งอาจกล่าวได้ว่า นักเรียนห้องแรกส่วนใหญ่สอบ
ได้คะแนนใกล้เคียงกนั แต่นกั เรยี นหอ้ งท่สี องสอบไดค้ ะแนนแตกตา่ งกนั มาก
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 3 เรือ่ ง ค่าวัดทางสถิติ 18
โดยท่วั ไป การวดั การกระจายของขอ้ มูลแบ่งได้เปน็ 2 วธิ ี คือ
1. การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัด
ทางสถิติที่มีหน่วยเช่นเดียวกับข้อมูล หรือเป็นกาลังสองของหน่วยของข้อมูล เพื่อใช้พิจารณาว่าข้อมูล
แต่ละตัวมีความแตกตา่ งกันมากหรือน้อยเพียงใด ในทน่ี ี้จะศกึ ษาค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์ 4 ชนิด คือ
1) พิสัย
2) พิสัยระหว่างควอรไ์ ทล์
3) ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน
4) ความแปรปรวน
2. การกระจายสมั พัทธ์ (Relative variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัด
ทางสถิติทไี่ ม่มีหน่วย ซ่งึ เปน็ ค่าท่ใี ช้ในการเปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลมากกว่า 1 ชุด ในท่ีน้ี
จะศกึ ษาคา่ วัดการกระจายสมั พทั ธเ์ พยี งชนดิ เดยี วคือ สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั
1.18 ให้ผู้เรียนพิจารณาสูตรและตัวอย่างของการวัดการกระจายสัมบูรณ์ พร้อมตัวอย่าง
ประกอบแลว้ ตัง้ คาถามกระตนุ้ ความคดิ ของผู้เรียน ดังน้ี
การกระจายสมั บรู ณ์
1) พิสัย
พิสยั (Range) คือคา่ ท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ โดยคานวณจากผลต่างระหวา่ ง
ค่าสงู สุดและค่าต่าสุดของขอ้ มูลชุดนนั้
กาหนดให้ข้อมลู ชุดหนึ่งมี xmax และ xmin เปน็ ค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสุด ตามลาดับ
พสิ ยั = xmax – xmin
ตวั อย่างท่ี 25 ใหน้ ักเรียนหาพสิ ยั ของขอ้ มลู ต่อไปนี้
คาตอบ 1) 5, 15, 11, 17, 13, 7, 9
ตวั อยา่ งที่ 26 ข้อมูลท่ีมีค่าสงู สุด คือ 17 ขอ้ มลู ท่ีมีคา่ ต่าสดุ คอื 5
ดังน้นั พิสยั ของขอ้ มูลชดุ น้ี เท่ากบั 17 – 5 = 12
2) 5, 17, 11, 5, 17, 5, 17
ขอ้ มลู ท่ีมคี ่าสูงสดุ คือ 17 ข้อมูลท่ีมคี า่ ตา่ สดุ คือ 5
ดังน้นั พสิ ัยของข้อมลู ชดุ น้ี เทา่ กบั 17 – 5 = 12
3) 60, 64, 56, 70, 52, 63
ขอ้ มูลทีม่ คี ่าสูงสดุ คอื 70 ขอ้ มลู ที่มคี า่ ต่าสุด คอื 52
ดังนน้ั พสิ ยั ของขอ้ มูลชุดน้ี เท่ากบั 70 – 52 = 18
ผลผลติ น้าตาลใน พ.ศ. 2561/2562 ของจีน สหรัฐอเมรกิ า ไทย อินเดีย ออสเตรเลีย
และบราซิล แสดงไดด้ งั นี้
ประเทศ จีน สหรฐั อเมรกิ า ไทย อินเดีย ออสเตรเลีย บราซลิ
ผลผลิต 10.60 8.12 14.19 33.07 4.90 29.50
(ลา้ นตัน)
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 3 เรื่อง ค่าวดั ทางสถติ ิ 19
คาถาม ผู้เรียนคิดวา่ พสิ ยั ของขอ้ มลู ชดุ นี้มคี า่ เท่าใด
คาตอบ จากโจทยจ์ ะไดว้ ่า ข้อมลู ท่ีมคี ่าสงู สดุ คือ 33.07 ขอ้ มูลทม่ี คี ่าตา่ สุด คอื 4.90
ดงั นน้ั พสิ ัยของข้อมูลชุดนี้ คอื 33.07 – 4.90 ลา้ นตนั
ข้อควรรู้
ขอ้ ดีของการใช้พิสัยในการวัดการกระจายขอข้อมูลคอื สามารถหาได้สะดวก
แต่การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช้พิสัยเป็นการวัดการกระจายของข้อมูลอย่างคราว ๆ
เพราะพิสัยคานวณจากผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของข้อมูลชุดนั้นไม่ได้ใช้ข้อมูล
อื่น ๆ ในการคานวณเลย ดังนั้น การใช้พิสัยในการวัดการกระจายของข้อมูลอาจให้ข้อสรุปท่ี
คลาดเคลื่อน ในกรณีท่ีชุดข้อมูลมีข้อมูลท่ีมีค่าสูงสุดหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอื่นมาก เช่น คะแนน
สอบวชิ าภาษาไทยของนักเรยี นจานวน 10 คน เปน็ ดังนี้
10 70 71 72 73 74 75 76 77 100
จะเห็นว่า นักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนใกล้เคียงกัน โดยมีค่าต้ังแต่ 70 ถึง 77 คะแนน ยกเว้น
นักเรียนท่ีได้คะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุด แต่พิสัยของข้อมูลชุดนี้ คือ 100 – 10 = 90
คะแนน ทาให้อาจเขา้ ใจว่านักเรียนไดค้ ะแนนตา่ งกนั มาก ซ่งึ คลาดเคลือ่ นไปจากความเปน็ จริง
2) พสิ ยั ระหวา่ งควอรไ์ ทล์
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile range) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดย
คานวณจากผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ท่ีสามและควอร์ไทล์ที่หน่ึง เขียนแทนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ด้วย
IQR
ให้ Q1 และ Q3 เปน็ ควอรไ์ ทล์ท่หี น่งึ และควอร์ไทล์ที่สามของข้อมูลชดุ หนง่ึ ตามลาดับ จะได้
IQR = Q3 – Q1
ตัวอยา่ งท่ี 27 ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลอรี) ของอาหารจานเดียว 7 รายการ ที่จาหน่ายในโรง
คาถาม อาหารของโรงเรยี นแหง่ หนึ่ง แสดงไดด้ งั น้ี
คาตอบ
อาหารจานเดยี ว ปรมิ าณพลังงาน (กิโลแคลอร)ี
ข้าวราดแกงเขียวหวานไก่ 338
ข้าวราดแกงไตปลา 319
ขา้ วราดแกงส้มผักรวม 255
ข้าวราดผดั เผด็ หอยลาย 424
ขา้ วราดแกงพะแนงหมู 409
ขา้ วราดแกงฉฉู่ ่ปี ลาทู 365
ข้าวราดผดั ผักรวม 353
ผ้เู รยี นคิดว่า พิสัยระหว่างควอรไ์ ทล์ของขอ้ มูลชุดนี้มคี ่าเท่าใด
จากข้อมูลข้างต้น เรียงโจทย์ปรมิ าณพลงั งานของอาหารจานเดยี ว 7 รายการ จาก
นอ้ ยไปมาก ไดด้ งั นี้ 255 319 338 353 365 409 424
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เรอ่ื ง ค่าวัดทางสถิติ 20
เนอ่ื งจาก Q1 อยูใ่ นตาแหน่งที่ N 1 7 1 2 ดังนน้ั Q1 = 319
4 4
เน่ืองจาก Q3 อยูใ่ นตาแหน่งที่ r(N 1) 3(7 1) 6 ดงั นั้น Q3 = 409
4 4
ดังนัน้ พิสยั ระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชดุ น้ี คือ 409 – 319 = 90 กโิ ลแคลอรี
ข้อควรรู้
การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์มีข้อดีในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลท่ี
แตกตา่ งจากข้อมลู ตวั อื่นมาก เนื่องจากพสิ ยั ระหว่างควอร์ไทล์คานวณจาก Q3 – Q1 ส่วนข้อมูล
ท่ีแตกต่างจากข้อมูลตวั อ่นื มากจะมีคา่ น้อยกว่า Q1 หรอื มากกวา่ Q3
IQR สามารถนาไปใช้ในการตรวจสอบว่าข้อมูลใดเป็นค่านอกเกณฑ์ ดังท่ีนาเสนอใน
เร่ือง แผนภาพกล่อง น่ันคือ ค่านอกเกณฑ์คือข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่า Q3 – 1.5IQR หรือมากกว่า
Q3 + 1.5IQR
เมื่อเปรียบเทียบระหว่างพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ จะเห็นว่า พิสัยสามารถหาได้
สะดวก แต่ไม่เหมาะสาหรับใช้วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีท่ีชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือ
ต่ากว่าข้อมูลตัวอ่ืนมาก โดยเฉพาะอย่างย่ิงในกรณีท่ีชุดข้อมูลมีค่านอกเกณฑ์ ในขณะที่พิสัย
ระหว่างควอร์ไทล์สามารถใช้วัดการกระจายของข้อมูลในลักษณะนี้ได้ อย่างไรก็ตามท้ังพิสัยและ
พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ไม่ได้ใชข้ ้อมลู ทกุ ตวั ในการคานวณเพื่อวดั การกระจาย
3) สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard deviation) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของข้อมูล
โดยเปน็ คา่ ที่บอกให้ทราบวา่ ข้อมลู แต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉล่ยี เลขคณิตโดยเฉล่ียประมาณเท่าใด
ให้ x1, x2, x3, ..., xN แทนข้อมูล เม่ือ N แทนขนาดประชากร และให้ แทน
ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลชดุ นี้
สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร เขียนแทนด้วย (อ่านว่า ซกิ มา) หาได้จาก
N
(xi )2
i1
N
ให้ x1, x2, x3, ..., xn แทนข้อมูล เม่ือ n แทนขนาดตัวอย่าง และให้ x แทน
คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มลู ชดุ น้ี
สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง เขียนแทนด้วย s หาไดจ้ าก
n
(xi x )2
i 1
s
n 1
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถติ ิ 21
ตวั อย่างท่ี 28 ความสงู (เซนตเิ มตร) ของนักวอลเลย์บอลหญิงของโรงเรียนแห่งหน่ึงจานวนท้ังหมด
คาถาม 10 คน แสดงไดด้ งั น้ี
คาตอบ
174 171 170 184 180
179 169 178 181 160
ผเู้ รียนคดิ ว่า ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้มคี า่ เทา่ ใด
ให้ แทนค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนี้
และ xi แทนความสงู ของนกั วอลเลยบ์ อลหญงิ คนที่ i เมื่อ i {1,2,3,...,10}
จะได้ 1, 746 174.6
10
ดังนน้ั คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูลชุดน้ี คือ 174.6 เซนติเมตร
จากข้อมลู ข้างต้น จะได้
xi xi xi 2
0.36
174 -0.6
171 -3.6 12.96
170 -4.6 21.16
184 9.4 88.36
180 5.4 29.16
179 4.4 19.36
169 -5.6 31.36
178 3.4 11.56
181 6.4 40.96
160 -14.6 213.16
10 2 468.40
xi
i1
ดังน้ัน 468.40 6.84
10
นัน่ คือ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้มี คี ่าประมาณ 6.84 เซนตเิ มตร
จากตวั อยา่ งขา้ งต้น สามารถนาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมาใชใ้ นการอธบิ ายวา่ โดยเฉลย่ี แลว้
ความสงู ของนักวอลเลยบ์ อลหญงิ แตล่ ะคนของโรงเรียนแห่งน้ตี ่างจากความสงู เฉล่ยี ประมาณ 6.84
เซนตเิ มตร
4) ความแปรปรวน
ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคานวณจากกาลัง
สองของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3 เรอ่ื ง ค่าวัดทางสถติ ิ 22
ให้ x1, x2, x3, ..., xN แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร และให้ แทน
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมูลชุดน้ี
ความแปรปรวนของประชากร หาไดจ้ าก
N
(xi )2
2 i1
N
ให้ x1, x2, x3, ..., xn แทนข้อมูล เมื่อ n แทนขนาดตวั อยา่ ง และให้ x แทน
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนี้
ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง หาได้จาก
n
(xi x )2
s2 i 1
n 1
จากตวั อย่างท่ี 28 จะได้ ความแปรปรวนของความสงู ของนักวอลเลยบ์ อลหญิงจานวน 10 คน คือ
หมายเหตุ ในที่น้ี เซนติเมตร426180.4อ0่านว4่า6.เ8ซ4นตเซิเนมตตเิ รมกตารล2ังสอง เป็นคนละหน่วยกับตาราง
เซนตเิ มตรซง่ึ เปน็ หน่วยของพนื้ ท่ี
ข้อสังเกต
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีหน่วยเหมือนกับหน่วยของข้อมูล แต่ความแปรปรวนมีหน่วย
เป็นกาลังสองของหนว่ ยของข้อมลู
ตวั อย่างที่ 29 ในการศึกษาอายุขัย (ปี) ของสัตว์เล้ียงลูกด้วยน้านม นักวิทยาศาสตร์ได้สุ่มตัวอย่าง
สตั ว์เลยี้ งลกู ดว้ ยนา้ นมมา 10 ชนิด พบว่าอายขุ ยั เฉลย่ี ของสัตวแ์ ต่ละชนิดเป็นดังนี้
สัตว์เลีย้ งลูกด้วยน้านม อายขุ ัยเฉลยี่ (ปี)
แมว 12
วัว 15
สุนัข 12
ลา 12
แพะ 8
หนตู ะเภา 4
มา้ 20
หมู 10
กระต่าย 5
แกะ 12
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง ค่าวดั ทางสถิติ 23
คาถาม ผู้เรียนคิดว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุขัยเฉลี่ยของสัตว์
คาตอบ
เล้ียงลูกดว้ ยนา้ นม 10 ชนดิ น้ีมีคา่ เท่าใด
ให้ x แทนคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของอายุขยั เฉล่ียของสัตวเ์ ลยี้ งลกู ด้วยนา้ นม 10 ชนิดนี้
และ xi แทนอายขุ ยั เฉล่ยี ของสตั วเ์ ลี้ยงลกู ดว้ ยน้านมชนิดที่ i
เม่อื i {1,2,3,...,10} จะได้ x 110 11
10
ดังน้ัน คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของอายุขัยเฉลี่ยของสัตวเ์ ล้ียงลกู ด้วยน้านม 10 ชนดิ นี้ คอื
11 ปี จากข้อมูลขา้ งต้น จะได้
xi xi x xi x 2
1
12 1
15 4 16
12 1 1
12 1 1
8 -3 9
4 -7 49
20 9 81
10 -1 1
5 -6 16
12 1 1
10 xi x 2 196
i1
ดงั นั้น s 196 14 4.67 และ s2 196 21.78
10 1 3 10 1
น่นั คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายขุ ยั เฉลี่ยของสตั วเ์ ลี้ยงลูกด้วยน้านม 10 ชนิดนี้
มีคา่ ประมาณ 4.67 ปี
และความแปรปรวนของอายุขยั เฉล่ยี ของสัตวเ์ ล้ยี งลูกด้วยนา้ นม 10 ชนดิ น้ี
มีค่าประมาณ 21.78 ป2ี
1.19 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มศึกษาวีดิทัศน์ต่อ จากนั้นผู้เรียนและครูร่วมกันสรุปการวัดการ
กระจายสัมพัทธ์ โดยครคู อยแนะนาจนกว่าผู้เรยี นเขา้ ใจ ดังน้ี
การวัดการกระจายสมั พทั ธ์
ในการเปรียบเทียบข้อมูลต้ังแต่สองชุดขึ้นไป เพ่ือพิจารณาว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมาก
ข้อมูลชุดใดมีการกระจายน้อย ถ้านาค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ของข้อมูลแต่ละชุดมา
เปรยี บเทียบกนั โดยตรง อาจให้ข้อสรุปท่คี ลาดเคลื่อนไปจากความจรงิ เช่น
ข้อมูลชุดหน่ึงมีค่าต้ังแต่ 0 ถึง 10 มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 2.2 และข้อมูลอีกชุดมีค่าตั้งแต่
200 ถึง 800 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60.5 ถ้าพิจารณาเฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้ง
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถิติ 24
สองชุด อาจทาให้เข้าใจว่าข้อมูลชุดที่หน่ึงมีการกระจายน้อยกว่า (น้อยกว่า/มากกว่า)ข้อมูลชุดที่สอง
ซ่ึงอาจไม่ถกู ตอ้ งนกั เพราะคา่ ของขอ้ มลู สองชดุ นีต้ า่ งกนั มาก คา่ กลางและค่าวัดการกระจายของข้อมูล
ท้ังสองชุดย่อมต่างกันมากเช่นกัน เพ่ือให้การเปรียบเทียบมีความหมาย จึงนิยมหาอัตราส่วนของค่าท่ี
ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลชุดน้ัน ๆ แล้วจึงนาอัตราส่วนที่หาได้มา
เปรียบเทียบกนั ในท่ีน้ีจะพิจารณาเฉพาะสัมประสิทธ์ิการแปรผัน (Coefficient of variation) โดยมี
สตู รดงั น้ี
สัมประสทิ ธกิ์ ารแปรผันของประชากร = เมือ่ 0
สมั ประสิทธก์ิ ารแปรผนั ของตวั อยา่ ง = || เมอ่ื x 0
s
|x|
โดยสญั ลกั ษณ์ | a | แทนค่าสมั บูรณ์ของจานวนจรงิ a
สมั ประสทิ ธ์ิการแปรผันอาจเขียนในรูปของรอ้ ยละหรอื เปอร์เซ็นต์ ได้ดังน้ี
สมั ประสทิ ธิ์การแปรผันของประชากร = | | 100% เม่อื 0
สัมประสิทธ์กิ ารแปรผันของตวั อยา่ ง = เมอื่ x 0
| | 100%
เช่น ข้อมูลตัวอย่างชุดหนึ่งมี s 10 และ x 30 จะได้สัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลชุดน้ีคือ
10 0.33 หรอื 33%
30
ขอ้ ควรรู้
การเปรยี บเทียบการกระจายของขอ้ มูลโดยใช้สมั ประสทิ ธ์กิ ารแปรผนั นน้ั ถ้าสัมประสิทธิ์การแปรผัน
ของขอ้ มูลชดุ ใดมีค่ามากกว่า หมายความว่า ข้อมูลชุดน้ันมีการกระจายออกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากกว่า
หรือกลา่ วไดว้ า่ ข้อมูลชดุ นน้ั เกาะกลุ่มกนั น้อยกวา่ ข้อมูลอีกชดุ หนง่ึ
สมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผันไมม่ หี นว่ ย
1.20 ให้ผู้เรียนพิจารณาตัวอย่างของการวัดการกระจายสัมพัทธ์ แล้วตั้งคาถามกระตุ้น
ความคดิ ของผเู้ รยี น ดงั นี้
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3 เรือ่ ง ค่าวัดทางสถิติ 25
ตัวอย่างที่ 30 ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน
ห้องหน่ึงซึ่งมีคะแนนเต็มวิชาละ 100 คะแนน ครูประจาชั้นได้สุ่มตัวอย่างนักเรียน
คาถาม หอ้ งน้ีมา 10 คน พบวา่ คะแนนสอบแตล่ ะวิชาของนกั เรยี นแตล่ ะคน เป็นดังนี้
คาตอบ
นกั เรยี นคนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
คะแนนสอบ 58 62 76 90 78 81 88 79 80 75
วิชา 78 74 63 89 76 75 85 90 73 74
คณิตศาสตร์
คะแนนสอบ
วิชา
ภาษาอังกฤษ
จงหาสัมประสิทธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ
ของนักเรียนท่ีสุ่มตัวอย่างมา 10 คน พร้อมทั้งเปรียบเทียบการกระจายของคะแนน
สอบทัง้ สองวชิ าของนักเรียนทสี่ ่มุ ตวั อยา่ งมา 10 คน
ให้ x และ y แทนค่าเฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรแ์ ละวิชา
ภาษาองั กฤษของนกั เรยี นทสี่ ุ่มตวั อยา่ งมา 10 คนน้ี ตามลาดบั
และ xi และ yi แทนคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวิชาภาษาอังกฤษของ
นกั เรยี นคนที่ i เม่อื i {1,2,3,...,10} ตามลาดับ
จะได้ x 767 76.7 และ y 777 77.7
10 10
จากข้อมูลข้างต้น จะได้
xi xi x xi x 2 yi yi y yi y 2
349.69 0.09
58 -18.7 78 0.3
62 -14.7 216.09 74 -3.7 13.69
76 -0.7 0.49 63 -14.7 215.09
90 13.3 176.89 89 11.3 127.69
78 1.3 1.69 76 -1.7 2.89
81 4.3 18.49 75 -2.7 7.29
88 11.3 127.69 85 7.3 53.29
79 2.3 5.29 90 12.3 151.29
80 3.3 10.89 73 -4.7 22.09
75 -1.7 2.89 74 -3.7 13.69
10 xi x 2 910.1 10 yi y 2 608.1
i1 i1
ดังนน้ั sx 910.1 10.06 และ sy 608.1 8.22
10 1 10 1
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถิติ 26
น่นั คอื สัมประสทิ ธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนท่สี ุ่ม
ตวั อย่างมา 10 คนน้ี คอื 10.06 0.1312
| 76.7 |
และ สมั ประสทิ ธิ์การแปรผนั ของคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของนักเรียนท่ีส่มุ
ตวั อยา่ งมา 10 คนนี้ คือ 8.22 0.1058
| 77.7 |
เม่ือพิจารณาจากนักเรียนท่ีสุ่มตัวอย่างมา 10 คน จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน
ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มากกว่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบ
วิชาภาษาอังกฤษ สรุปได้ว่าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการกระจายมากกว่า
คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ หรือกล่าวได้ว่าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเกาะ
กลุ่มกันมากกว่าคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์
ขัน้ ที่ 2 Solve: S (ขั้นการแก้ปญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคิดและวธิ ีการทผ่ี ู้เรียนเลอื กใช้ในการแก้ปญั หา
2.2 ครูให้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนที่ผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในท่ีสุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลมุ่ ร่วมกันทาแบบฝึกทักษะท่ี 8 คา่ วดั การกระจาย แลว้ ช่วยกันเฉลยและตรวจสอบความถกู ต้อง
ขน้ั ท่ี 3 Create: C (ข้นั สร้างความรู้)
3.1 ครูใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงขน้ั ตอนการแก้ปญั หาและบนั ทกึ ความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เรื่องคา่ วดั การกระจาย และจากการทาแบบฝึกทักษะที่ 8 ค่าวัดการกระจาย ลงในสมุดโดยใช้ภาษาที่
ง่ายตอ่ การเข้าใจ สละสลวยในการเขียนแสดงแนวคดิ และอธบิ ายคาตอบของผู้เรยี น
ขน้ั ที่ 4 Share: S (ขัน้ อภปิ รายแลกเปลย่ี นความคิดเหน็ )
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปล่ียนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ
4.2 ครสู ุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบที่แตกต่างจากเพื่อนก็สามารถ
นาวธิ ีการหรือแนวคิดน้นั มานาเสนอไดอ้ ยา่ งเตม็ ท่ี
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลท่ีได้ที่เพ่ือนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะที่ร่วมกันอภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเห็นน้ัน ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การส่อื สารทง้ั ในดา้ นการฟงั และการพดู ของผู้เรยี นไปพร้อม ๆ กนั
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เร่อื ง คา่ วัดทางสถติ ิ 27
ขั้นกิจกรรมการเรียนรู้ (คาบท่ี 9 – 12)
ขั้นที่ 1 Search: S (ขน้ั สบื เสาะค้นหาความร)ู้
1.21 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มศึกษาวีดิทัศน์ต่อ จากน้ันผู้เรียนและครูร่วมกันสรุปค่าวัด
ตาแหนง่ ที่ของขอ้ มลู โดยครคู อยแนะนาจนกวา่ ผู้เรียนเข้าใจ ดงั นี้
การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลเป็นการพิจารณาตาแหน่งที่ของข้อมูลตัวหนึ่งเมื่อเปรียบเทียบ
กับข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่อยู่ในชุดข้อมูลเดียวกัน เช่น
จากผลการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (International Mathematics
Olympiad : IMO) ครั้งที่ 55 พ.ศ. 2557 พบว่าประเทศไทยอยู่ในอันดับที่ 21 ถ้าไม่ได้เปรียบเทียบ
อันดับท่ีของประเทศไทยกับประเทศที่เข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด จะไม่สามารถทราบได้ว่าศักยภาพ
ทางด้านคณิตศาสตร์ของผู้แทนประเทศไทยเป็นอย่างไร เมื่อเปรียบเทียบกับประเทศอื่น ๆ ที่เข้าร่วม
การแข่งขัน แต่ถ้ามีการเปรียบเทียบอันดับที่ของประเทศไทยกับประเทศที่เข้าร่วมการแข่งขัน
ท้ังหมด 101 ประเทศ จะเห็นว่า ผู้แทนประเทศไทยทาผลงานได้ดีมากจนติดอันดับต้น ๆ ของโลก
ค่าวัดตาแหน่งท่ีของขอ้ มลู ท่ีนิยมใชก้ นั มาก คือ ควอร์ไทล์และเปอรเ์ ซน็ ไทล์
1.22 ให้ผู้เรียนพิจารณาความหมายและตัวอยา่ งของควอร์ไทล์ แลว้ ต้งั คาถามกระตุ้นความคิด
ของผูเ้ รยี น ดงั นี้
ควอร์ไทล์ (Quartile)
นักเรียนไดศ้ กึ ษาการหาตาแหนง่ ของควอร์ไทลม์ าแล้ว ในหัวข้อเร่ือง แผนภาพกล่อง ซึ่งควอร์
ไทล์มีทั้งหมดสามค่า ได้แก่ ควอร์ไทล์ท่ี 1 (Q1) ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) และควอไทล์ที่ 3 (Q3) โดยควอร์
ไทล์จะแบ่งขอ้ มลู ท่ีเรียงจากนอ้ ยไปมากออกเป็น 4 สว่ น เทา่ ๆ กนั ดงั รปู
ข้อมูลเรยี งจากน้อยไปมาก
25% ของข้อมูล 25% ของข้อมลู 25% ของข้อมลู 25% ของข้อมูล
Q1 Q2 Q3
จะเห็นว่า ควอรไ์ ทล์ที่ i (Qi) เมื่อ i {1,2,3} เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่าน้ีอยู่
ประมาณ i ส่วน และมจี านวนข้อมลู ที่มีค่ามากกวา่ คา่ นี้อย่ปู ระมาณ 4 – i ส่วน
ให้ n แทนจานวนข้อมูลทั้งหมด และ i {1,2,3} การหาควอร์ไทล์ที่ i (Qi) ทาได้โดย
เรียงลาดบั ขอ้ มูล n ตวั จากน้อยไปมาก จากนนั้ จะได้ว่า Qi อยใู่ นตาแหน่งท่ี i(n 1)
4
ขอ้ สังเกต
เนื่องจาก มธั ยฐาน คือ Q2 ดงั นั้น มธั ยฐานจึงเป็นค่ากลางท่สี ามารถใช้ในการวัดตาแหน่ง
ที่ของขอ้ มลู ได้
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง คา่ วดั ทางสถติ ิ 28
ตัวอยา่ งที่ 31 ในการสารวจน้าหนักของนักเรียนระดับช้ันประถมศึกษาจานวน 7 คน ได้ดังน้ี 27,
วิธที า
29, 25, 30, 37, 24, 22 (หน่วยเป็นกิโลกรัม) จงหาควอร์ไทล์ท่ี 1 ควอร์ไทล์ท่ี 2
ตัวอยา่ งท่ี 32
และควอร์ไทล์ท่ี 3 ของนา้ หนกั ของนักเรียนกล่มุ นี้
คาถาม
คาตอบ เรียงนา้ หนกั ของนักเรยี นระดับชั้นประถมศึกษาจานวน 7 คน จากน้อยไปมาก ได้
ดังนี้ 22, 24, 25, 27, 29, 30, 37
เน่ืองจาก Q1 อยใู่ นตาแหน่งท่ี 7 1 2 ดังน้ัน Q1 = 24 กิโลกรมั
4
Q2 อย่ใู นตาแหน่งท่ี 2(7 1) 4 ดงั น้ัน Q2 = 27 กโิ ลกรัม
4
และ Q3 อยู่ในตาแหนง่ ที่ 3(7 1) 6 ดังนั้น Q3 = 30 กิโลกรัม
4
จะไดว้ า่ ควอรไ์ ทล์ท่ี 1 ควอรไ์ ทลท์ ี่ 2 และควอรไ์ ทลท์ ี่ 3 ของนา้ หนกั ของนกั เรียน
กลมุ่ นี้ คือ 24, 27, 30 กิโลกรัม ตามลาดับ
ข้อมูลปริมาณการส่งออกข้าวไทยโดยประมาณ (พันตันข้าวสาร) ใน พ.ศ. 2560
จาแนกตามชนิดของข้าว จากศูนย์เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร สานักงาน
ปลัดกระทรวงพาณชิ ย์ โดยความร่วมมือจากกรมศลุ กากร แสดงได้ดงั ตาราง
ชนดิ ของข้าว ปรมิ าณการส่งออกข้าวไทยโดยประมาณ
(พนั ตนั ขา้ วสาร)
ตน้ ขา้ วขาว 4,662
ปลายข้าวขาว 408
ตน้ ขา้ วหอมมะลิ 1,630
ปลายขา้ วหอมมะลิ 669
ขา้ วนง่ึ 3,370
ข้าวเหนียว 214
ปลายข้าวเหนยี ว 303
ขา้ วหอมไทย 213
ใหผ้ ู้เรียนหา
1) ควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่งออกข้าวไทย
โดยประมาณของข้าว 8 ชนิด ใน พ.ศ. 2560
2) ชนดิ ของขา้ วที่มปี รมิ าณการส่งออกน้อยกว่าควอร์ไทล์ที่ 1
3) ชนิดของขา้ วทีม่ ีปริมาณการส่งออกมากกวา่ ควอร์ไทลท์ ่ี 3
เรียงปรมิ าณการสง่ ออกข้าวไทยโดยประมาณของข้าว 8 ชนดิ จากนอ้ ยไปมาก ได้
ดังน้ี 213 214 303 408 669 1,630 3,370 4,662
1) เน่อื งจาก Q1 อยู่ในตาแหนง่ ที่ 8 1 2.25
4
ดังนั้น Q1 อยู่ระหวา่ งขอ้ มลู ในตาแหนง่ ท่ี 2 และ 3 ซ่ึงมีคา่ ระหว่าง 214 และ 303
ในการหา Q1 จะใช้เทยี บบญั ญตั ิไตรยางศ์ ดังน้ี
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถติ ิ 29
เน่ืองจากข้อมูลในตาแหน่งท่ี 2 และ 3 มีตาแหน่งต่างกัน 3–2 = 1 มีค่าต่างกัน
303–214 =89
จะไดว้ า่ ตาแหน่งต่างกัน 2.25–2 = 0.25 มีค่าตา่ งกัน 0.2589 22.25
ดงั นน้ั Q1 214 + 22.25 = 236.25
เนอื่ งจาก Q2 อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี 2(8 1) 4.5
4
ดงั น้ัน Q2 คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลในตาแหน่งท่ี 4 และ 5 ซ่งึ คือ
408 669 538.5
2
เน่ืองจาก Q3 อย่ใู นตาแหน่งท่ี 3(8 1) 6.75
4
ดังนน้ั Q3 อยรู่ ะหวา่ งข้อมลู ในตาแหนง่ ท่ี 6 และ 7 ซ่ึงมีค่าระหวา่ ง1,630และ3,370
ในการหา Q3 จะใชเ้ ทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ์ ดังนี้
เนอื่ งจากขอ้ มูลในตาแหน่งที่ 6 และ 7 มีตาแหน่งต่างกนั 7–6 = 1 มคี า่ ต่างกัน
3,370–1,630=1,740
จะได้วา่ ตาแหน่งตา่ งกนั 6.75 – 6 = 0.75 มคี ่าต่างกัน 0.751,740 1,305
ดังนน้ั Q3 1,630 + 1,305 = 2,935
จะได้ว่า ควอร์ไทล์ท่ี 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่งออก
ข้าวไทยโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด ใน พ.ศ. 2560 คือ 236.25, 538.5 2,935
พนั ตันขา้ วสาร ตามลาดบั
2) ขา้ วหอมไทย และข้าวเหนียว
3) ข้าวน่ึง และตน้ ขา้ วขาว
ขอ้ ควรรู้ ในการหา Q1 (Q2 หรือ Q3) นอกจากจะใช้เทียบบัญญัติไตรยางศ์แล้ว เรายัง
สามารถหาได้โดยใช้แผนภาพดังนี้
ตาแหน่ง คา่
2 214
0.25 2.25 Q1 – 214
1 Q1 89
3 303
จากแผนภาพ จะได้ Q1 214 0.25
89 1
ดงั นนั้ Q1 214 890.25 214 22.25 236.25
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรือ่ ง ค่าวัดทางสถติ ิ 30
1.23 ครอู ธิบายเพ่มิ เติมเกย่ี วกับการหาควอรไ์ ทล์ให้กับผู้เรียน ดงั นี้
นอกจากวิธีการหาควอร์ไทล์ข้างต้น ยังอาจพบการหาควอร์ไทล์ด้วยวิธีอื่น เช่น จาก
หนังสอื เรยี นรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 เลม่ 1 ได้นาเสนอ
วธิ กี ารหาควอร์ไทลโ์ ดยใชค้ วามรู้เร่ืองมธั ยฐานของข้อมลู ซง่ึ ทาได้ดงั น้ี
1. เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก
2. หามัธยฐานของขอ้ มลู จะได้ควอรไ์ ทลท์ ่ี 2
3. หามัธยฐานของข้อมูลเฉพาะข้อมูลท่ีอยู่ในลาดับที่ต่ากว่าควอร์ไทล์ท่ี 2 จะได้มัธย
ฐานดังกลา่ วเป็นควอร์ไทล์ท่ี 1
4. หามัธยฐานของข้อมูลเฉพาะข้อมูลท่ีอยู่ในลาดับท่ีสูงกว่าควอร์ไทล์ที่ 2 จะได้มัธย
ฐานดังกลา่ วเปน็ ควอรไ์ ทลท์ ี่ 3
ควอร์ไทล์ท่ีได้จากวิธีข้างต้นอาจให้ค่าท่ีไม่สอดคล้องกับเปอร์เซ็นไทล์ เนื่องจากควอร์ไทล์
ทไี่ ดจ้ ากวิธีทแี่ ตกตา่ งกนั อาจให้ค่าที่แตกต่างกัน นอกจากน้ี วิธีการหาควอร์ไทล์ที่นาเสนอในหนังสือเรียน
รายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 1 ยังเป็นวิธีเดียวกับที่ใช้ในโปรแกรม GeoGebra
อีกดว้ ย ดงั นน้ั ในการหาควอร์ไทลด์ ้วยโปรแกรมต่าง ๆ จึงควรระมัดระวังว่าอาจได้ค่าท่ีแตกต่างกันข้ึนอยู่
กับวา่ ใช้วธิ กี ารใด โดยในท่ีนขี้ อให้คานวณโดยใชว้ ิธีการทน่ี าเสนอในแบบฝึกทักษะเล่มนี้และสอดคล้องกับ
หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 เล่ม 2 ของ สสวท.
1.24 ให้ผู้เรียนพิจารณาความหมายและตัวอย่างของเปอร์เซ็นไทล์ แล้วต้ังคาถามกระตุ้น
ความคดิ ของผ้เู รียน ดังนี้
เปอร์เซน็ ไทล์ (Percentile)
ในทานองเดียวกับควอร์ไทล์ การวัดตาแหน่งโดยเปอร์เซ็นไทล์เป็นการแบ่งข้อมูลที่เรียงจาก
น้อยไปมาก แต่เปอร์เซ็นไทล์แบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 100 ส่วน เท่า ๆ กัน จึงประกอบด้วย เปอร์
เซ็นไทล์ท่ี 1, 2, 3, …, 99 โดยเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ i เมือ่ i {1,2,3,...,99} แทนดว้ ยสัญลักษณ์ Pi
Pi หมายความว่าเม่ือแบ่งข้อมูลท่ีเรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 100 ส่วน เท่า ๆ กัน
เปอร์เซ็นไทล์ท่ี i (Pi) เมื่อ i {1,2,3,...,99} จะเป็นค่าท่ีมีจานวนข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่
ประมาณ i ส่วน หรือร้อยละ i ของข้อมูลทั้งหมด และมีจานวนข้อมูลท่ีมีค่ามากกว่าค่านี้อยู่
ประมาณ 100 – i ส่วน หรอื ร้อยละ 100 – i ของขอ้ มลู ท้ังหมด
ให้ n แทนจานวนข้อมลู ทง้ั หมด และ i {1,2,3,...,99} การเปอร์เซ็นไทล์ท่ี i (Pi) ทาได้โดย
เรียงลาดบั ขอ้ มลู n ตัว จากน้อยไปมาก จากน้นั จะไดว้ า่ Pi อยใู่ นตาแหนง่ ที่ i(n 1)
100
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เรื่อง ค่าวัดทางสถติ ิ 31
ข้อสงั เกต
พิจารณาตาแหน่งท่ีของ Q1, Q2 และ Q3 กับตาแหน่งท่ีของ P25, P50 และ P75
ตามลาดับ จะได้วา่
ตาแหน่งที่ของ Q1 คอื 1(n 1) ซงึ่ เท่ากบั 25(n 1) จึงเปน็ ตาแหน่ งเดยี วกับ P25
4 100
ตาแหนง่ ที่ของ Q2 คือ 2(n 1) ซึ่งเท่ากบั 50(n 1) จงึ เปน็ ตาแหน่ งเดียวกบั P50
4
100
ตาแหน่งท่ีของ Q3 คอื 3(n 1) ซึง่ เท่ากับ 75(n 1) จึงเป็นตาแหน่ งเดียวกบั P75
4
100
นน่ั คือ Q1 = P25, Q2 = P50 และ Q3 = P75
ตวั อยา่ งที่ 33 ในการสารวจน้าหนักของนักเรียนระดับชั้นประถมศึกษาจานวน 9 คน ได้ดังนี้ 30,
วิธที า
42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 (หน่วยเป็นกิโลกรัม) จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 30
เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 50 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 70 และเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 90 ของน้าหนักของ
นักเรียนกลมุ่ น้ี
เรยี งน้าหนกั ของนกั เรียนระดับชนั้ ประถมศึกษาจานวน 9 คน จากนอ้ ยไปมาก
ไดด้ ังน้ี 18, 25, 28, 30, 33, 34, 36, 42, 44
เนื่องจาก P30 อยูใ่ นตาแหนง่ ที่ 30(9 1) 3 ดงั นั้น P30 = 28 กิโลกรัม
100 ดังนั้น P50 = 33 กิโลกรัม
P50 อยใู่ นตาแหน่งที่ 50(9 1) 5
100
P70 อยู่ในตาแหน่งท่ี 70(9 1) 7 ดังน้ัน P70 = 36 กิโลกรมั
100
และ P90 อยู่ในตาแหน่งท่ี 90(9 1) 9 ดงั น้ัน P90 = 44 กโิ ลกรัม
100
จะได้ว่า เปอร์เซ็นไทล์ที่ 30 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 70 และเปอร์เซ็น
ไทล์ท่ี 90 ของนา้ หนกั ของนักเรียนกลมุ่ น้ี คอื 28, 33, 36, 44 กโิ ลกรัม ตามลาดับ
ตัวอยา่ งที่ 34 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6/1 ของโรงเรียนแห่ง
คาถาม หนงึ่ จานวนทั้งหมด 40 คน ซ่งึ มีคะแนนเต็ม 100 แสดงไดด้ ังน้ี
96 78 80 76 84 77 74 85 65 69
82 53 45 67 58 54 56 62 56 54
43 48 49 50 60 65 54 51 55 60
65 66 75 98 97 63 92 94 76 78
ให้ผ้เู รยี นหา
1) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 50 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 และเปอร์เซ็นไทล์ 80
ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องน้ี
2) คะแนนสอบท่ีมีนกั เรยี นประมาณร้อยละ 25 ของห้องไดค้ ะแนนต่ากว่า
3) คะแนนสอบท่ีมีนักเรยี นประมาณหนึ่งในห้าของห้องได้คะแนนสงู กวา่
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3 เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ 32
วิธที า เรียงคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของนักเรียน 40 คน จากนอ้ ยไปมาก ไดด้ ังนี้
43 45 48 49 50 51 53 54 54 54
55 56 56 58 60 60 62 63 65 65
65 66 67 69 74 75 76 76 77 78
78 80 82 84 85 92 94 96 97 98
1) เน่อื งจาก P25 อย่ใู นตาแหน่งท่ี 25(40 1) 10.25
100
ดังนัน้ P25 อยรู่ ะหว่างขอ้ มลู ในตาแหน่งท่ี 10 และ 11 ซง่ึ มคี ่าระหวา่ ง 54 และ 55
ในการหา P25 จะใชเ้ ทียบบญั ญัติไตรยางศ์ ดังนี้
เน่ืองจากข้อมูลในตาแหน่งท่ี 10 และ 11 มีตาแหน่งต่างกัน 11–10=1 มีค่า
ต่างกัน 55–54 = 1
จะได้ว่าตาแหนง่ ตา่ งกนั 10.25 – 10 = 0.25 มคี ่าตา่ งกนั 0.251 = 0.25
ดังนั้น P25 54 + 0.25 = 54.25
เนอื่ งจาก P50 อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี 50(40 1) 20.5
100
ดังนน้ั P50 อย่รู ะหวา่ งข้อมูลในตาแหน่งท่ี 20 และ 21 ซึง่ มีคา่ ระหวา่ ง 65 และ 65
ดงั นน้ั P50 65
เนือ่ งจาก P75 อยใู่ นตาแหนง่ ท่ี 75(40 1) 30.75
100
ดงั นน้ั P75 อย่รู ะหวา่ งขอ้ มลู ในตาแหนง่ ท่ี 30 และ 31 ซึง่ มีค่าระหวา่ ง 78 และ 78
ดงั น้ัน P75 78
เนอื่ งจาก P80 อยูใ่ นตาแหนง่ ที่ 80(40 1) 32.8
100
ดงั นั้น P80 อยรู่ ะหวา่ งขอ้ มูลในตาแหนง่ ที่ 32 และ 33 ซึง่ มคี า่ ระหวา่ ง 80 และ 82
ในการหา P80 จะใช้เทยี บบัญญัติไตรยางศ์ ดังนี้
เน่ืองจากข้อมูลในตาแหน่งท่ี 32 และ 33 มีตาแหน่งต่างกัน 33–32=1 มีค่า
ตา่ งกนั 82–80 = 2
จะไดว้ า่ ตาแหน่งต่างกัน 32.8 – 32 = 0.8 มีค่าตา่ งกนั 0.82 = 1.6
ดังนนั้ P80 80 + 1.6 = 81.6
จะไดว้ า่ เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 25 เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 50 เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 75 และเปอรเ์ ซน็
ไทล์ 80 ของคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษของนกั เรียนห้องนี้ คือ 54.25, 65, 78,
81.6 คะแนน ตามลาดับ
2) คะแนนสอบทม่ี ีนกั เรียนประมาณร้อยละ 25 ของห้องได้คะแนนต่ากว่า คือ P25
ซึ่งเท่ากับ 54.25 คะแนน
3) คะแนนสอบทีม่ นี ักเรยี นประมาณหน่ึงในหา้ ของห้องได้คะแนนสูงกว่า คอื P80
ซง่ึ เทา่ กบั 81.6 คะแนน
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3 เรอื่ ง คา่ วัดทางสถิติ 33
ขอ้ สังเกต
ควอไทลแ์ ละเปอร์เซ็นไทล์สามารถใชใ้ นการวเิ คราะห์ข้อมลู ได้ ถงึ แม้ว่าข้อมูลชุดนั้นจะมี
คา่ นอกเกณฑ์ก็ไมม่ ีผลต่อควอไทล์และเปอร์เซ็นไทล์ เน่ืองจากการหาควอไทล์และเปอร์เซ็นไทล์
จะพิจารณาเพยี งตาแหนง่ ทีข่ อข้อมลู เท่าน้ัน
ขน้ั ที่ 2 Solve: S (ขนั้ การแก้ปญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคดิ และวธิ กี ารทผี่ ู้เรียนเลือกใชใ้ นการแก้ปญั หา
2.2 ครูให้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนที่ผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในที่สุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลุ่มร่วมกันทาแบบฝึกทักษะที่ 9 ค่าวัดตาแหน่งที่ขอข้อมูล แล้วช่วยกันเฉลยและตรวจสอบความ
ถูกตอ้ ง
2.3 ครใู หผ้ ู้เรยี นทบทวนความรเู้ ร่อื งคา่ วดั ทางสถิติ โดยใหน้ กั เรียนทากิจกรรมต่อไปนี้
1) กจิ กรรม อรุ งั อุตงั (10 นาท)ี
2) กจิ กรรม ขอ้ ความทีซ่ ่อนอยู่ (15 นาท)ี
3) กจิ กรรม คะแนนสอบของฉัน (10 นาที)
4) กิจกรรม ไททานิก (15 นาท)ี
5) กจิ กรรม ความล่าชา้ ของเท่ียวบิน (30 นาท)ี
6) แบบฝึกหดั ท้ายบท การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณ (การบา้ น)
แล้วช่วยกนั เฉลยและตรวจสอบความถูกตอ้ ง
ขน้ั ที่ 3 Create: C (ขั้นสรา้ งความรู้)
3.1 ครใู หผ้ ู้เรียนเรียบเรยี งขัน้ ตอนการแก้ปญั หาและบันทกึ ความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เร่อื งค่าวัดตาแหน่งท่ขี อขอ้ มูล และจากการทาแบบฝึกทักษะท่ี 9 ค่าวัดตาแหน่งที่ขอข้อมูล ลงในสมุด
โดยใช้ภาษาทง่ี า่ ยตอ่ การเขา้ ใจ สละสลวยในการเขยี นแสดงแนวคดิ และอธบิ ายคาตอบของผู้เรยี น
ขั้นที่ 4 Share: S (ขั้นอภิปรายแลกเปลย่ี นความคิดเห็น)
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปล่ียนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ
4.2 ครูสุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบท่ีแตกต่างจากเพื่อนก็สามารถ
นาวิธีการหรือแนวคิดนนั้ มานาเสนอได้อยา่ งเตม็ ที่
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลท่ีได้ที่เพ่ือนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะที่ร่วมกันอภิปรายแลกเปล่ียนความคิดเห็นนั้น ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การสอื่ สารทัง้ ในด้านการฟงั และการพูดของผู้เรียนไปพร้อม ๆ กนั
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 3 เร่อื ง คา่ วัดทางสถติ ิ 34
ขั้นสรุปบทเรยี น
ผเู้ รียนและครูร่วมกนั สรุปคา่ วัดทางสถติ ิ ดงั น้ี
คา่ เฉล่ยี เลขคณิต (Arithmetic mean) เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลท้ังหมด
ดว้ ยจานวนขอ้ มลู ท่มี ี
ให้ x1, x2, x3, ..., xN แทนขอ้ มลู เมอื่ N แทนขนาดประชากร
คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของประชากร (Population mean) เขียนแทนด้วย (อ่านว่า มิว) หา
ได้จาก
x1 x2 x3 ... xN (อ่านว่า เอ็กซ์บาร์)
N
ให้ x1, x2, x3, ..., xn แทนขอ้ มูล เมื่อ n แทนขนาดตวั อย่าง
ค่าเฉล่ียเลขคณิตของตัวอย่าง (Sample mean) เขียนแทนด้วย x
หาได้จาก
x x1 x2 x3 ... xn
n
คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ถ่วงน้าหนัก (Weighted arithmetic mean) เหมาะสาหรับใช้ในกรณีท่ี
ข้อมลู แต่ละค่ามคี วามสาคัญไม่เท่ากัน
ให้ x1, x2, x3, ..., xN แทนขอ้ มูล เมอื่ N แทนขนาดประชากร และให้ w1, w2, w3, ..., wN
แทนนา้ หนักของขอ้ มูล x1, x2, x3, ..., xN ตามลาดบั จะได้
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ถ่วงนา้ หนกั w1x1 w2 x2 w3x3 ... wN xN
w1 w2 w3 ... wN
หมายเหตุ ในกรณที ีเ่ ป็นข้อมูลของตวั อย่าง สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนักได้
ในทานองเดียวกันกับสูตรข้างต้น โดยเปลี่ยน N เป็น n เมื่อ N แทน
ขนาดประชากร และ n แทนขนาดตวั อย่าง
เมื่อนาข้อมูลทั้งหมดมาเรียงลาดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะเรียกค่าที่อยู่ใน
ตาแหนง่ กงึ่ กลางของขอ้ มูลวา่ มัธยฐาน (Median)
ถ้าข้อมูลมี n ตัว การหามัธยฐานทาได้โดยเรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปมากหรือจากมากไป
น้อย จะได้ มธั ยฐานอยู่ในตาแหนง่ ที่ n 1 น่นั คือ
2
• ถา้ n เป็นจานวนค่ี มธั ยฐาน คอื ข้อมลู ทีอ่ ยกู่ ึ่งกลาง
• ถ้า n เปน็ จานวนคู่ มัธยฐาน คือ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มูลสองตวั ที่อยกู่ ่งึ กลาง
ฐานนิยม (Mode) คือข้อมูลที่มีจานวนคร้ังของการเกิดซ้ากันมากที่สุดหรือข้อมูลท่ีมีความถี่
สงู สดุ ทีม่ ากกว่า 1 ซง่ึ บทนยิ ามของฐานนยิ มดังกล่าวสามารถใช้กับข้อมลู เชงิ ปรมิ าณได้เช่นกนั
ข้อสังเกตทีส่ าคญั เก่ยี วกับคา่ กลางชนดิ ต่าง ๆ
1. ฐานนิยม จะมคี ่าตรงกบั ค่าใดค่าหนึ่งของขอ้ มลู ชุดนั้น ในขณะท่ี ค่าเฉล่ียเลขคณิตและมัธย
ฐานอาจไมใ่ ชค่ า่ ใดคา่ หนึ่งของข้อมลู ชุดนัน้
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรื่อง ค่าวดั ทางสถิติ 35
2. โดยปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มักเป็นค่ากลางท่ีนิยมมากที่สุด แต่ถ้าชุดข้อมูลมีข้อมูลที่
แตกต่างจากข้อมูลตัวอ่ืนมากจะมีผลต่อ ค่าเฉล่ียเลขคณิต ของข้อมูลชุดน้ี แต่จะไม่มีผลต่อ มัธยฐาน
และฐานนิยม
3. สาหรับข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะ ฐานนิยม เท่านั้นไม่สามารถหา
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ และมัธยฐาน ได้
4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมไม่จาเป็นต้องมีค่าเท่ากัน ทั้งนี้ ค่าเฉล่ียเลขคณิต
และมัธยฐาน จะมีค่าท่ีไม่สูงหรือต่าเกินไปเม่ือเทียบกับค่าของข้อมูลทั้งหมด ในขณะที่ ฐานนิยม อาจ
เปน็ ค่าสงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ของชดุ ข้อมูลนนั้ ได้
ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการกระจายของข้อมลู และคา่ กลางของข้อมูล
การอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูล นอกจากจะวิเคราะห์โดยใช้แผนภพากล่องตามท่ี
ได้ศึกษามาแล้ว ยังสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐาน
นิยม ในทน่ี ้จี ะแบง่ ลักษณะการกระจายของขอ้ มูลเปน็ 3 แบบ ดงั นี้
ลกั ษณะการกระจายของข้อมูลในรูปท่ี 1 เรียกว่า การแจกแจงสมมาตร (Symmetrical distribution)
และจากรูปที่ 1 จะไดค้ วามสัมพันธ์ของค่ากลางของข้อมลู ดังน้ี
ค่าเฉลย่ี เลขคณติ = มธั ยฐาน = ฐานนยิ ม
จะเห็นว่า ข้อมูลที่มีความถ่ีสูงสุดจะอยู่ตรงกลางและความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเม่ือข้อมูลมีค่าห่าง
จากมัธยฐาน เม่ือพิจารณาจากแผนภาพกล่องจะเห็นว่าความกว้างของช่วงจาก Q1 ถึง Q2 เท่ากับ
ความกว้างของชว่ งจาก Q2 ถงึ Q3
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปที่ 2 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ขวา (Right-skewed distribution)
โดยมคี วามสัมพนั ธข์ องคา่ กลางของข้อมลู ดังน้ี
ฐานนยิ ม < มัธยฐาน < ค่าเฉลย่ี เลขคณติ
จะเห็นว่า ข้อมูลท่ีมีค่าน้อย (น้อย/มาก) จะมีความถี่สูง และความถ่ีของข้อมูลจะลดลงเมื่อค่าของ
ขอ้ มลู เพมิ่ ขน้ึ (ลดลง/เพมิ่ ข้ึน) เม่อื พิจารณาจากแผนภาพกล่องจะเห็นว่าความกว้างของช่วงจาก Q1 ถึง
Q2 น้อยกวา่ (น้อยกวา่ /มากกว่า) ความกวา้ งของชว่ งจาก Q2 ถึง Q3
ลักษณะการกระจายของข้อมูลในรูปที่ 3 เรียกว่า การแจกแจงเบ้ซ้าย (Left-skewed distribution)
โดยมีความสมั พันธ์ของค่ากลางของข้อมลู ดังนี้
คา่ เฉล่ยี เลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เร่ือง คา่ วัดทางสถิติ 36
จะเห็นว่า ข้อมูลที่มีค่ามาก (น้อย/มาก) จะมีความถ่ีสูง และความถี่ของข้อมูลจะลดลงเม่ือค่าของ
ข้อมูลลดลง(ลดลง/เพ่ิมข้ึน) เม่ือพิจารณาจากแผนภาพกล่องจะเห็นว่าความกว้างของช่วงจาก Q1 ถึง
Q2 มากกวา่ (นอ้ ยกว่า/มากกวา่ ) ความกว้างของช่วงจาก Q2 ถงึ Q3
การวดั การกระจายของขอ้ มลู แบง่ ได้เปน็ 2 วิธี คือ
1. การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่า
วัดทางสถิติท่ีมีหน่วยเช่นเดียวกับข้อมูล หรือเป็นกาลังสองของหน่วยของข้อมูล เพื่อใช้พิจารณาว่า
ข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมากหรือน้อยเพียงใด ในที่น้ีจะศึกษาค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์ 4
ชนดิ คือ
1) พิสัย (Range) คือค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลชุดหนึ่ง โดยคานวณจากผลต่าง
ระหว่างค่าสูงสดุ และค่าตา่ สุดของขอ้ มูลชุดนัน้
กาหนดให้ขอ้ มูลชุดหน่งึ มี xmax และ xmin เป็นคา่ สงู สุดและคา่ ต่าสุด ตามลาดับ
พิสัย = xmax – xmin
2) พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile range) คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายของ
ข้อมูล โดยคานวณจากผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่สามและควอร์ไทล์ท่ีหนึ่ง เขียนแทนพิสัยระหว่างค
วอรไ์ ทล์ด้วย IQR
ให้ Q1 และ Q3 เปน็ ควอรไ์ ทลท์ หี่ นงึ่ และควอร์ไทล์ที่สามของข้อมลู ชุดหนึง่ ตามลาดบั จะได้
IQR = Q3 – Q1
3) ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard deviation) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของ
ข้อมูล โดยเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉล่ียเลขคณิตโดยเฉล่ียประมาณ
เท่าใด
ให้ x1, x2, x3, ..., xN แทนข้อมูล เม่ือ N แทนขนาดประชากร และให้ แทน
คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมูลชดุ น้ี
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร เขียนแทนดว้ ย (อา่ นวา่ ซกิ มา) หาได้จาก
N
(xi )2
i1
N
ให้ x1, x2, x3, ..., xn แทนข้อมูล เมือ่ n แทนขนาดตัวอยา่ ง และให้ x แทนคา่ เฉลี่ย
เลขคณิตของขอ้ มูลชุดนี้
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวอย่าง เขียนแทนด้วย s หาได้จาก
n
(xi x )2
i 1
s
n 1
4) ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคานวณจาก
กาลังสองของส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เร่อื ง ค่าวัดทางสถติ ิ 37
ให้ x1, x2, x3, ..., xN แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร และให้ แทน
คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของข้อมูลชุดนี้
ความแปรปรวนของประชากร หาได้จาก
N
(xi )2
2 i1
N
ให้ x1, x2, x3, ..., xn แทนขอ้ มลู เมอ่ื n แทนขนาดตัวอย่าง
และให้ x แทนคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูลชดุ นี้
ความแปรปรวนของตัวอย่าง หาไดจ้ าก
n
(xi x )2
s2 i 1
n 1
2. การกระจายสัมพทั ธ์ (Relative variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัด
ทางสถิตทิ ไี่ ม่มีหนว่ ย ซ่ึงเป็นคา่ ที่ใช้ในการเปรยี บเทียบการกระจายระหว่างขอ้ มูลมากกว่า 1 ชุด ในที่น้ี
จะศึกษาคา่ วัดการกระจายสัมพัทธ์เพยี งชนิดเดียวคือ สมั ประสทิ ธิ์การแปรผนั โดยมสี ตู รดังน้ี
สัมประสทิ ธิ์การแปรผันของประชากร = เมือ่ 0
||
สัมประสิทธ์ิการแปรผันของตัวอยา่ ง = s เม่ือ x 0
|x|
การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลเป็นการพิจารณาตาแหน่งที่ของข้อมูลตัวหนึ่งเมื่อเปรียบเทียบ
กับข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่อยู่ในชุดข้อมูลเดียวกัน ค่าวัดตาแหน่งท่ีของข้อมูลท่ีนิยมใช้กันมาก คือ ควอร์
ไทลแ์ ละเปอร์เซน็ ไทล์
ควอร์ไทล์ (Quartile) มีท้ังหมดสามค่า ได้แก่ ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) และ
ควอไทล์ที่ 3 (Q3) โดยควอรไ์ ทล์จะแบ่งข้อมูลทเี่ รียงจากน้อยไปมากออกเปน็ 4 ส่วน เทา่ ๆ กนั
ควอรไ์ ทล์ที่ i (Qi) เมอื่ i {1,2,3} เป็นค่าท่ีมจี านวนข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่าค่าน้ีอยู่ประมาณ i
ส่วน และมีจานวนขอ้ มูลที่มคี ่ามากกวา่ ค่าน้อี ย่ปู ระมาณ 4 – i ส่วน
ให้ n แทนจานวนข้อมูลท้ังหมด และ i {1,2,3} การหาควอร์ไทล์ท่ี i (Qi) ทาได้โดย
เรียงลาดบั ข้อมลู n ตวั จากน้อยไปมาก จากน้ันจะได้วา่ Qi อยใู่ นตาแหน่งท่ี i(n 1)
4
เปอรเ์ ซ็นไทล์ (Percentile) แบ่งข้อมลู ท้ังหมดออกเป็น 100 ส่วน เทา่ ๆ กัน จงึ ประกอบด้วย
เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 1, 2, 3, …, 99 โดยเปอร์เซ็นไทล์ท่ี i เม่ือ i {1,2,3,...,99} แทนดว้ ยสัญลักษณ์ Pi
Pi หมายความว่าเมื่อแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 100 ส่วน เท่า ๆ กัน เปอร์
เซ็นไทล์ที่ i (Pi) เม่ือ i {1,2,3,...,99} จะเป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่าน้ีอยู่ประมาณ i
ส่วน หรือร้อยละ i ของข้อมูลทั้งหมด และมีจานวนข้อมูลที่มีค่ามากกว่าค่าน้ีอยู่ประมาณ 100 – i
ส่วน หรอื ร้อยละ 100 – i ของข้อมลู ทัง้ หมด
ให้ n แทนจานวนขอ้ มลู ทั้งหมด และ i {1,2,3,...,99} การเปอร์เซ็นไทล์ท่ี i (Pi) ทาได้โดย
เรยี งลาดบั ข้อมูล n ตัว จากน้อยไปมาก จากนน้ั จะได้วา่ Pi อยู่ในตาแหน่งท่ี i(n 1)
100
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 3 เร่ือง คา่ วดั ทางสถิติ 38
แบบบนั ทึกผลหลงั การจัดการเรียนรู้
แผนการจัดการเรียนรู้ หนว่ ยที่.........เวลา................ชั่วโมง/คาบ ภาคเรียนท.่ี ...........ปีการศึกษา...........
เร่อื ง.........................................................................................................................................................
รหสั วชิ า...............................ช่ือวชิ า..................................................................ชนั้ ..................................
1. จานวนนกั เรยี นท่ีรว่ มกิจกรรมการเรียนรู้ จานวนนกั เรยี นทข่ี าดเรียน (คน)
จานวนนักเรียนทงั้ หมด (คน)
นกั เรียนทีข่ าดเรียน (เลขท่ี) หมายเหตุ
2. ผลการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
2.1 ความเหมาะสมของระยะเวลา ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรับปรงุ
2.2 ความเหมาะสมของเน้อื หา ( ) ดมี าก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรับปรุง
2.3 กิจกรรมการเรยี นรู้ ( ) ดมี าก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรบั ปรุง
2.4 สอ่ื การเรียนรู้ ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ต้องปรบั ปรุง
............................................................................................................................. ..............
................................................................................................................................... ........
2.5 พฤตกิ รรม/การมสี ่วนร่วมของผู้เรียน ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรบั ปรงุ
............................................................................................................................... ............
............................................................................................................................. ..............
2.6 ผลการปฏิบัติกิจกรรม/ใบกิจกรรม/ใบงาน/แบบฝกึ หดั /การทดสอบกอ่ น – หลังเรียน
............................................................................................................................. ..............
...........................................................................................................................................
3. ปัญหาและอุปสรรค
.......................................................................................................................... ........................
.......................................................................................................................... ........................
4. ข้อเสนอแนะแนวทางแกไ้ ข
................................................................................................... ...............................................
............................................................................................................................. .....................
ลงช่ือ……….……………………ครูผสู้ อน
(นายครรชติ แซโ่ ฮ่)
ตาแหนง่ ครู อนั ดบั คศ.2
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 3 เรื่อง คา่ วัดทางสถติ ิ 39
แบบสังเกตพฤตกิ รรมผ้เู รียนดา้ นทักษะกระบวนการ
รายวชิ า คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 6 รหัสวชิ า ค33202 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
ภาคเรยี นที่.................. ปกี ารศกึ ษา...................
คาบท่ี................ วันท…่ี ……..เดอื น………………………..พ.ศ………..........
คาชแี้ จง ใหใ้ ส่คะแนนระดบั คณุ ภาพลงในชอ่ งทกั ษะกระบวนการแต่ละช่องตามเกณฑ์การให้คะแนน
พฤติกรรมผู้เรียนดา้ นทกั ษะกระบวนการ สรุปผล
ที่ ช่ือ – สกุล รวม การประเมนิ
การ การให้ การสื่อสาร การ การคิดรเิ รมิ่ ผา่ น ไม่
แก้ปญั หา เหตุผล เชือ่ มโยง สร้างสรรค์ ผ่าน
การผา่ นเกณฑ์ตอ้ งไดร้ ะดับคุณภาพโดยรวมตัง้ แต่ 10 คะแนนขน้ึ ไป
ลงชื่อ……………………………………………..ผู้ประเมิน
(……………………………………………...)
วนั ที.่ ...........เดอื น.......................พ. ศ................
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรอื่ ง ค่าวดั ทางสถติ ิ 40
เกณฑ์การใหค้ ะแนนดา้ นทกั ษะกระบวนการ
1. การแกป้ ญั หา
คะแนน : ระดับคุณภาพ ความสามารถในการแก้ปญั หาทปี่ รากฏใหเ้ ห็น
4 : ดมี าก ใชย้ ทุ ธวิธดี าเนินการแก้ปัญหาสาเรจ็ อยา่ งมีประสิทธิภาพ อธบิ ายถงึ
เหตผุ ลในการใชว้ ิธีการดังกล่าวได้เข้าใจชัดเจน
3 : ดี ใชย้ ุทธวิธดี าเนนิ การแก้ปญั หาสาเรจ็ แตน่ ่าจะอธิบายถงึ เหตุผล
ในการใช้วธิ ีการดงั กล่าวไดด้ ีกวา่ น้ี
2 : พอใช้ มียุทธวิธดี าเนนิ การแกป้ ัญหาสาเร็จเพยี งบางสว่ น อธบิ ายถึงเหตุผล
ในการใช้วธิ ีการดังกล่าวได้บางส่วน
1 : ควรแกไ้ ข มีรอ่ งรอยการแก้ปัญหาบางสว่ น เรม่ิ คดิ วา่ ทาไมจงึ ตอ้ งใชว้ ิธีการนนั้
แล้วหยุด อธิบายต่อไมไ่ ด้ แก้ปัญหาไม่สาเร็จ
0 : ควรปรบั ปรุง ทาได้ไม่ถึงเกณฑข์ ้างต้นหรือไม่มีร่องรอยการดาเนินการแก้ปัญหา
2. การให้เหตุผล
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ ความสามารถในการให้เหตุผลทปี่ รากฏให้เหน็
4 : ดมี าก มกี ารอ้างอิง เสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจอย่างมีเหตุผล
3 : ดี มีการอ้างอิงท่ีถูกต้องบางส่วน และเสนอแนวคิดประกอบการตดั สินใจ
2 : พอใช้ เสนอแนวคดิ ไมส่ มเหตสุ มผลในการประกอบการตดั สินใจ
1 : ควรแกไ้ ข มีความพยายามเสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจ
0 : ควรปรับปรงุ ไม่มีแนวคดิ ประกอบการตดั สินใจ
3. การส่อื สาร การสือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และการนาเสนอ
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ ความสามารถในการสื่อสาร การสือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์
และการนาเสนอที่ปรากฏใหเ้ หน็
ใช้ภาษาและสญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตรท์ ี่ถกู ต้อง นาเสนอโดยใช้กราฟ
4 : ดมี าก แผนภมู ิ หรอื ตารางแสดงขอ้ มูลประกอบตามลาดับข้นั ตอนได้เป็น
ระบบ กระชบั ชดั เจน และมีความละเอียดสมบูรณ์
ใช้ภาษาและสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ นาเสนอโดยใช้กราฟ แผนภูมิ
3 : ดี หรือตารางแสดงขอ้ มลู ประกอบตามลาดบั ขนั้ ตอนไดถ้ ูกตอ้ ง
ขาดรายละเอยี ดท่สี มบูรณ์
2 : พอใช้ ใชภ้ าษาและสัญลักษณท์ างคณิตศาสตร์ พยายามนาเสนอขอ้ มูลโดยใช้
กราฟ แผนภมู ิ หรอื ตารางแสดงข้อมูลประกอบชัดเจนบางสว่ น
1 : ควรแกไ้ ข ใชภ้ าษาและสัญลักษณท์ างคณิตศาสตร์อยา่ งง่าย ๆ ไม่ไดใ้ ช้กราฟ
แผนภมู หิ รือตารางเลย และการนาเสนอข้อมลู ไม่ชดั เจน
0 : ควรปรับปรุง ไม่นาเสนอขอ้ มูล
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เรือ่ ง ค่าวัดทางสถิติ 41
4. การเชือ่ มโยงความรู้ทางคณติ ศาสตร์
คะแนน : ระดับคุณภาพ ความสามารถในการเชอื่ มโยงท่ีปรากฏให้เห็น
นาความรู้ หลักการ และวธิ ีการทางคณิตศาสตรใ์ นการเชอื่ มโยงกบั
4 : ดีมาก สาระคณิตศาสตร์ / สาระอื่น / ในชวี ิตประจาวัน เพ่ือช่วย
ในการแก้ปัญหาหรือประยุกต์ใช้ได้อยา่ งสอดคล้องและเหมาะสม
นาความรู้ หลกั การ และวิธีการทางคณิตศาสตรใ์ นการเช่อื มโยงกบั
3 : ดี สาระคณติ ศาสตร์ / สาระอน่ื / ในชวี ติ ประจาวัน เพ่ือช่วยในการ
แก้ปัญหา หรือประยกุ ตใ์ ชไ้ ด้บางสว่ น
2 : พอใช้ นาความรู้ หลักการ และวิธีการทางคณิตศาสตร์ไปเชอื่ มโยงกบั สาระ
คณิตศาสตร์ ได้บางสว่ น
1 : ควรแก้ไข นาความรู้ หลกั การ และวิธีการทางคณิตศาสตรใ์ นการเช่อื มโยงยังไม่
เหมาะสม
0 : ควรปรบั ปรุง ไมม่ ีการเช่ือมโยงกับสาระอน่ื ใด
5. ความคิดรเิ ริม่ สร้างสรรค์
คะแนน : ระดบั คุณภาพ ความคิดรเิ ริมสร้างสรรค์ทีป่ รากฏใหเ้ ห็น
4 : ดมี าก มแี นวคิด / วธิ ีการแปลกใหม่ทส่ี ามารถนาไปปฏิบัตไิ ด้อย่างถกู ต้อง
สมบูรณ์
3 : ดี มีแนวคดิ / วธิ กี ารแปลกใหม่ทส่ี ามารถนาไปปฏิบัติได้ถกู ต้องแต่นาไป
ปฏบิ ตั ิแล้วไม่ถูกต้องสมบรู ณ์
2 : พอใช้ มีแนวคดิ / วธิ ีการไมแ่ ปลกใหมแ่ ต่นาไปปฏิบัติแล้วถูกต้องสมบรู ณ์
1 : ควรแกไ้ ข มีแนวคิด / วธิ ีการไม่แปลกใหมแ่ ละนาไปปฏบิ ัติแล้วไม่ถกู ต้องสมบรู ณ์
0 : ควรปรบั ปรงุ ไม่มผี ลงาน
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เร่อื ง ค่าวดั ทางสถติ ิ 42
แบบสงั เกตพฤติกรรมผ้เู รยี นดา้ นคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์
รายวิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 6 รหสั วชิ า ค33202 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
ภาคเรียนท่ี.................. ปีการศกึ ษา...................
คาบท.่ี ............... วนั ท…่ี ……..เดือน………………………..พ.ศ………..........
คาช้ีแจง ให้ใส่คะแนนระดับคุณภาพลงในชอ่ งคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์แต่ละชอ่ งตามเกณฑก์ ารให้คะแนน
พฤตกิ รรมผู้เรยี นด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ สรปุ ผล
ที่ ชอ่ื – สกลุ การทางานเป็น ระเบียบ ความ ความเช่อื มั่น รวม การประเมิน
ระบบรอบคอบ วินัย รบั ผดิ ชอบ ในตนเอง
ความ ผ่าน ไม่
ซื่อสตั ย์ ผ่าน
การผา่ นเกณฑ์ตอ้ งได้ระดับคณุ ภาพโดยรวมตั้งแต่ 10 คะแนนขนึ้ ไป
ลงชื่อ……………………………………………..ผู้ประเมิน
(……………………………………………...)
วนั ที.่ ...........เดือน.......................พ. ศ................
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรอ่ื ง คา่ วดั ทางสถิติ 43
เกณฑ์การใหค้ ะแนนดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์
1. การทางานเปน็ ระบบรอบคอบ
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ คุณลกั ษณะท่ีปรากฏใหเ้ หน็
- มีการวางแผนการดาเนนิ งานเป็นระบบ
3 : ดีมาก - การทางานมีครบทุกขน้ั ตอน ตัดขน้ั ตอนทไี่ ม่สาคัญออก
- จดั เรียงลาดับความสาคญั ก่อน – หลัง ถูกต้องครบถว้ น
- มีการวางแผนการดาเนินงาน
2 : ดี - การทางานไม่ครบทุกขนั้ ตอน และผดิ พลาดบา้ ง
- จดั เรยี งลาดับความสาคัญก่อน – หลงั ได้เปน็ สว่ นใหญ่
- ไม่มีการวางแผนการดาเนนิ งาน
1 : พอใช้ - การทางานไมม่ ีขน้ั ตอน มีความผดิ พลาดต้องแก้ไข
- ไมจ่ ดั เรียงลาดบั ความสาคญั
2. ระเบยี บวินัย
คะแนน : ระดบั คุณภาพ คณุ ลกั ษณะที่ปรากฏให้เห็น
3 : ดมี าก - สมดุ งาน ชน้ิ งาน สะอาดเรียบร้อย
- ปฏบิ ตั ติ นอยู่ในข้อตกลงทีก่ าหนดให้รว่ มกันทุกคร้ัง
2 : ดี - สมดุ งาน ช้นิ งาน สว่ นใหญ่สะอาดเรยี บร้อย
- ปฏิบัติตนอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดให้รว่ มกนั เปน็ สว่ นใหญ่
- สมุดงาน ชนิ้ งาน ไมค่ ่อยเรยี บรอ้ ย
1 : พอใช้ - ปฏบิ ตั ิตนอยูใ่ นข้อตกลงท่กี าหนดให้รว่ มกันเปน็ บางครั้ง ตอ้ งอาศัย
การแนะนา
3. ความรบั ผดิ ชอบ
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ คณุ ลักษณะท่ีปรากฏให้เหน็
- สง่ งานกอ่ นหรอื ตรงกาหนดเวลานัดหมาย
3 : ดมี าก - รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมายและปฏบิ ัตติ นเองจนเปน็ นิสยั
เป็นระบบแก่ผู้อน่ื และแนะนาชกั ชวนใหผ้ ้อู ืน่ ปฏบิ ัติ
2 : ดี - ส่งงานช้ากวา่ กาหนด แต่ได้มกี ารตดิ ต่อชี้แจงผู้สอน มีเหตุผลที่รบั ฟังได้
- รับผดิ ชอบในงานทไ่ี ด้รบั มอบหมายและปฏบิ ัตติ นเองจนเป็นนิสัย
1 : พอใช้ - ส่งงานชา้ กวา่ กาหนด
- ปฏบิ ตั ิงานโดยต้องอาศัยการชแ้ี นะ แนะนา ตักเตือนหรือให้กาลังใจ
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรื่อง คา่ วดั ทางสถติ ิ 44
4. ความเช่อื มนั่ ในตนเอง
คะแนน : ระดบั คุณภาพ คณุ ลักษณะท่ปี รากฏให้เหน็
3 : ดมี าก มแี นวคิด การตัดสินใจในการทางานดว้ ยตนเองทุกครง้ั ให้คาแนะนา
ผ้อู ่นื ได้
2 : ดี มแี นวคดิ การตัดสินใจในการทางานดว้ ยตนเองเป็นบางคร้งั แต่ตอ้ งถาม
ปญั หาบางคร้ัง
1 : พอใช้ ไมม่ แี นวคดิ ของตนเอง ไมก่ ล้าตดั สินใจด้วนตนเอง
5. ความซื่อสตั ย์
คะแนน : ระดบั คุณภาพ คณุ ลักษณะท่ีปรากฏให้เหน็
3 : ดีมาก มีแนวคิดในการทางานดว้ ยตนเองทุกครง้ั ไมน่ าผลงานคนอน่ื มา
ลอกเลียนแบบ ไมน่ าผลงานผู้อื่นมาเป็นผลงานของตนเอง
2 : ดี มีแนวคดิ ในการทางานดว้ ยตนเองเปน็ บางครัง้ ลอกเลียนแบบงานจาก
คนอื่นบางครงั้ ไมน่ าผลงานผู้อน่ื มาเป็นผลงานของตนเอง
1 : พอใช้ ไม่มแี นวคิดของตนเอง ทางานทุกครัง้ ต้องลอกเลียนแบบจากงานเพอื่ น
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 6
รหัสวิชา ค33202
แผนการจดั การเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ม.6
ประกอบการใช้แบบฝกึ ทักษะ
เรอ่ื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
ด้วยรปู แบบ SSCS
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี
1
เรอ่ื ง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุ่ม
นายครรชติ แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานักงานเขตพืน้ ท่ีการศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 15
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน
กระทรวงศึกษาธกิ าร
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความหมายและชนิดของตัวแปรสมุ่ 1
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความหมายและชนิดของตัวแปรสมุ่
รายวิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม 6 รหัสวิชา ค33202 ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 4 เรอ่ื ง เวลาทใ่ี ชใ้ นการจัดการเรียนรู้ 2 คาบ
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็
ผลการเรียนรู้
หาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ เ่ี กิดจากตวั แปรสมุ่ ท่ีมีการแจกแจงเอกรูป การแจกแจง
ทวินามและการแจกแจงปกติ และนาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
จุดเนน้ การพฒั นาผเู้ รยี น
แสวงหาความรู้เพือ่ การแก้ปัญหา
ใชเ้ ทคโนโลยเี พ่ือการเรยี นรู้
ทกั ษะการคดิ ขั้นสงู
มีทักษะชวี ติ
ทักษะการส่ือสารอย่างสร้างสรรค์ตามชว่ งวัย
สาระสาคญั (ความเข้าใจที่คงทน)
ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไปยังเซต
ของจานวนจรงิ
จะเรียกสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่มว่าค่าของตัวแปรสุ่ม ซึ่งแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วยความ
นา่ จะเปน็ คา่ หนึ่ง
โดยทั่วไป ตัวแปรสมุ่ แบง่ เปน็ 2 ชนิด ตามลักษณะของคา่ ทเี่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรสุม่ ดังนี้
1. ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง (Discrete random variable) คือตัวแปรสุ่มที่ค่าท่ีเป็นไปได้
ทั้งหมดอยู่ในเซตท่ีสามารถนับจานวนสมาชิกได้ หรือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสามารถ
เขียนเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้ ทั้งนี้เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องอาจ
เปน็ เซตจากดั หรือเซตอนันตก์ ็ได้
2. ตวั แปรส่มุ ตอ่ เน่ือง (Continuous random variable) คอื ตวั แปรสุ่มทีเ่ ซตของค่าท่ีเป็นไป
ได้ทงั้ หมดเปน็ ช่วงท่ีเป็นสับเซตของจานวนจริง
สาระการเรยี นรู้ (มาตรฐานการปฏิบตั ิได้)
ด้านความรู้ (K) ผู้เรยี นสามารถ
1) จาแนกได้ว่าตวั แปรสมุ่ ที่กาหนดให้เปน็ ตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนอ่ื งหรือตัวแปรส่มุ ต่อเนือ่ ง
ด้านทกั ษะกระบวนการ (P) ผ้เู รียนมคี วามสามารถใน
1) การแกป้ ัญหา
2) การใหเ้ หตุผล
3) การสื่อสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
4) การเช่อื มโยงความรู้ทางคณติ ศาสตร์
5) ความคิดริเร่มิ สรา้ งสรรค์
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอ่ื ง ความหมายและชนิดของตัวแปรส่มุ 2
ด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) ผู้เรียนมี
1) การทางานเป็นระบบ รอบคอบ
2) ระเบยี บวนิ ยั
3) ความรับผดิ ชอบ
4) ความเชือ่ ม่นั ในตนเอง
5) ความซอ่ื สตั ย์
สมรรถนะสาคัญ
ความสามารถในการส่ือสาร
ความสามารถในการคิด
ความสามารถในการแกป้ ญั หา
ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
ส่ือ/แหลง่ เรียนรู้
สื่อการเรยี นรู้
1) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น
แหล่งการเรยี นรู้
1) ห้องสมดุ ของโรงเรียน
2) การสบื คน้ ข้อมลู จากอนิ เตอรเ์ นต็ ได้แก่
- เวบ็ ไซต์ http://www.google.co.th
- คลงั วดี โี อสอื่ คณติ ศาสตร์ http://www.youtube.com
- คลังเอกสารสือ่ คณติ ศาสตร์ http://www.scribd.com
หลกั ฐานการเรยี นรู้
ชิน้ งาน
1) -
ภาระงาน
1) แบบฝึกทักษะท่ี 1 เรื่อง ตัวแปรสมุ่
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 1 เร่ือง ความหมายและชนิดของตัวแปรสมุ่ 3
การวดั ผลและประเมินผลการจัดการเรยี นรู้
ด้าน รายการประเมิน วิธกี าร เครือ่ งมอื เกณฑ์การ
1. ความรู้ (K) ประเมนิ
ผ้เู รยี นสามารถ จาแนกได้ว่า 1. ประเมนิ จากการทา - แบบฝกึ ทักษะ ทาเอกสาร
ตวั แปรสมุ่ ท่ีกาหนดใหเ้ ป็น แบบฝกึ ทักษะ แบบฝกึ ทักษะ/
ตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเนื่องหรอื ตัว 2. ตรวจเอกสารแบบฝึก ได้ถูกต้องอยา่ ง
แปรสมุ่ ตอ่ เนื่อง ทกั ษะ น้อย 70% ของ
คะแนนทั้งหมด
2. ทักษะ ดจู ากแบบสงั เกตพฤตกิ รรม 1. สังเกตจากการตอบ แบบสงั เกต การผ่านเกณฑ์
กระบวนการ ผู้เรยี นด้านทักษะ คาถามในห้องเรียน
(P) กระบวนการ พฤติกรรม ต้องได้ระดบั
2. สังเกตพฤติกรรม
ผู้เรยี น ผู้เรยี น คุณภาพโดย
ด้านทกั ษะ ภาพรวมต้งั แต่ 10
กระบวนการ คะแนนขน้ึ ไป
3. คณุ ลกั ษณะ ดจู ากแบบสงั เกตพฤตกิ รรม 1. สงั เกตจากการตอบ แบบสงั เกต การผา่ นเกณฑ์
อันพึงประสงค์ ผู้เรียนด้านคุณลักษณะ คาถามในหอ้ งเรยี น
(A) อนั พงึ ประสงค์ พฤติกรรม ตอ้ งได้ระดบั
2. สังเกตพฤติกรรม
ผู้เรยี น ผู้เรยี น คณุ ภาพโดย
ด้านคณุ ลักษณะ ภาพรวมต้ังแต่ 10
อนั พงึ ประสงค์ คะแนนขึน้ ไป
การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
กิจกรรมการเรยี นรู้ตามรูปแบบ SSCS
ขนั้ เตรยี มความพร้อม
1. ครใู ห้ผูเ้ รยี นนง่ั สมาธิ เพือ่ รวบรวมสติ สมาธิและเตรยี มความพรอ้ มในการเรียน
2. ผูเ้ รียนและครรู ว่ มกันสนทนาเกยี่ วกับหลกั การดาเนินชีวิตประจาวัน โดยนาค่านิยมหลักของ
คนไทย 12 ประการมาแทรกเป็นกรณีตัวอย่างตามสถานการณ์ ได้แก่ 1) เข้าใจเรียนรู้การเป็น
ประชาธปิ ไตย 2) มีระเบียบ วนิ ัย เคารพกฎหมาย ผนู้ อ้ ยรูจ้ กั การเคารพผใู้ หญ่ เปน็ ตน้
3. ครูช้ีแจงวิธีการเรียนรู้โดยการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ด้วยกิจกรรมการเรียนรู้ตาม
รูปแบบ SSCS
ขนั้ นาเข้าสบู่ ทเรียน
1. ครูแบ่งกล่มุ ผู้เรียนออกเป็นกลุ่มกลุ่มละ 4 – 5 คน โดยแต่ละกลุ่มมีการคละความสามารถ
ของผเู้ รียน เกง่ ปานกลาง และออ่ น ตามผลการเรยี นท่ีพิจารณาจากการสอบในภาคเรยี นท่ีผ่านมาเป็น
รายบคุ คล เพือ่ ให้ผเู้ รียนไดช้ ่วยเหลอื กันและแลกเปล่ยี นประสบการณ์ภายในกลุ่ม และให้ผู้เรียนแต่ละ
กล่มุ ช่วยกนั เลือกประธาน 1 คน เลขานกุ าร 1 คน และผรู้ ว่ มงาน 2 – 3 คน
2. ครูแจ้งจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ของกจิ กรรมการเรยี นรู้ตามรปู แบบ SSCS ใหผ้ ู้เรียนทราบ
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 1 เร่ือง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุม่ 4
3. ผู้เรียนและครูร่วมกันสนทนา ทบทวนเก่ียวกับความรู้เดิม เร่ืองการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้
สถิติศาสตร์เชิงพรรณนาและการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้สถิติศาสตร์เชิงอนุมานโดยครูใช้การถาม-ตอบ
เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ดังน้ี
การวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้สถิติศาสตร์เชิงพรรณนา กล่าวคือเป็นการหาข้อสรุปของข้อมูล
เก็บมาเพื่อให้เข้าใจข้อมูลนั้นได้ง่ายข้ึน ส่วนเน้ือหาในหัวข้อน้ีจะเป็นความรู้พ้ืนฐานสาหรับการ
วิเคราะห์ขอ้ มลู โดยใชส้ ถิตศิ าสตรเ์ ชงิ อนุมาน
เน่ืองจาก การวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้สถิติศาสตร์เชิงอนุมาน เป็นการหาข้อสรุปเก่ียวกับ
ลักษณะของประชากร โดยใช้เพียงข้อมูลของตัวอย่างท่ีเก็บมาจึงทาให้สถิติศาสตร์เชิงอนุมานมีเร่ือง
ของความไมแ่ น่นอนเขา้ มาเกี่ยวข้อง เพราะเป็นไปได้ท่ีข้อมูลของตัวอย่างจะให้ข้อสรุปทางสถิติศาสตร์
ที่แตกต่างจากข้อมูลของประชากร ด้วยเหตุนี้ ความรู้เร่ืองความน่าจะเป็นจึงมีบทบาทสาคัญใน
การศึกษาสถิติศาสตร์เชิงอนุมาน แต่สถิตศาสตร์เชิงอนุมานก็เป็นเร่ืองสาคัญและมีประโยชน์มาก
เน่อื งจากโดยทว่ั ไปแลว้ การหาข้อมลู ของประชากรเปน็ ไปได้ยากเพราะไม่มีทรัพยากรงบประมาณ หรือ
เวลาเพียงพอในการเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู ให้ไดค้ รบสมบูรณ์
นอกจากนี้การนาความนา่ จะเป็นมาใช้ในการศึกษาสถิติศาสตร์ยังช่วยให้สามารถศึกษาข้อมูล
ทมี่ จี านวนไม่แน่นอนได้ เช่น หากต้องการหาค่าเฉล่ียของระยะเวลาท่ีนักท่องเท่ียวชาวต่างประเทศใช้
ท่ีสนามบินสุวรรณภูมิเน่ืองจากนักท่องเท่ียวที่เดินทางเข้ามาที่สนามบินสุวรรณภูมิมีจานวนไม่แน่นอน
จึงไม่สามารถใชส้ ูตรการหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตที่เคยศึกษาไปแลว้ ได้ แตจ่ ะต้องนาความน่าจะเป็นมาใช้ใน
การศึกษาผา่ นตัวแปรสมุ่ ซงึ่ จะอธิบายความหมายในหวั ข้อต่อไป
ขน้ั กจิ กรรมการเรียนรู้ (คาบท่ี 1-2)
ข้ันที่ 1 Search: S (ขนั้ สบื เสาะค้นหาความรู้)
1.1 ให้ผู้เรียนทากิจกรรม โยนเหรียญท่ีเท่ียงตรง พร้อมทั้งต้ังคาถามกระตุ้นความคิดของ
ผู้เรยี น ดงั น้ี
พจิ ารณาการทดลองสุ่มซึ่งได้จากการโยนเหรียญที่เทีย่ งตรง 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง
ให้ S แทนปรภิ มู ิตวั อยา่ งของการทดลองสมุ่ น้ี
H แทนเหรียญขน้ึ หัว
และ T แทนเหรยี ญข้ึนก้อย
คาถาม ให้ผูเ้ รียนเขียนปริภูมิตวั อย่างและจานวนสมาชิกในปรภิ ูมิตวั อย่างของการทดลองส่มุ น้ี
คาตอบ S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} และ n(S) = 8
คาถาม ถ้าให้ E0, E1, E2 และ E3 แทนเหตุการณ์ท่ีเหรยี ญข้นึ หัว 0, 1, 2 และ 3 ครง้ั
ตามลาดบั จงหาความน่าจะเป็นเหตกุ ารณด์ ังกล่าว
คาตอบ P(E0 ) 1 , P(E1) 3 , P(E2 ) 3 , P(E3 ) 1
8 8 8 8
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอื่ ง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุม่ 5
จากสถานการณ์ตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าส่ิงที่สนใจไม่ใช่หน้าของเหรียญท่ีปรากฏในการโยน
เหรียญแต่ละครง้ั แต่สนใจจานวนคร้ังทเี่ หรยี ญข้นึ หัวในการทดสอบสุ่มนี้
คาถาม ค่าเป็นไปได้ทเี่ กดิ จากจานวนคร้ังทเี่ หรยี ญขนึ้ หวั ในการทดสอบสุ่มน้ีมกี ่ีคา่ อะไรบา้ ง
คาตอบ ค่าเป็นไปได้ 4 ค่า คือ 0, 1, 2 และ 3 โดยจะยังไม่ทราบว่าค่าท่ีได้จริง ๆ คือค่าใด
จนกว่าจะเสรจ็ สน้ิ การทดสอบสมุ่
คาถาม ถ้าให้ X แทนจานวนคร้ังที่เหรียญขึ้นหัวในการทดสอบสุ่มนี้ ซ่ึงอาจกาหนดเป็น
ฟังก์ชัน X จากปริภูมิตัวอย่าง S ไปยัง {0, 1, 2, 3} เพ่ือแปลงผลลัพธ์ท่ีอาจเป็นไปได้
ทั้งหมดของการทดลองสุ่มให้อยใู่ นรูปตวั เลข สามารถทาไดอ้ ย่างไร
คาตอบ X (HHH) 3, X (HHT) 2, X (HTH) 2, X (HTT) 1
คาถาม X (THH) 2, X (THT) 1, X (TTH) 1, X (TTT) 0
คาตอบ
จากกิจกรรมข้างต้น จะเรียก X ว่าอะไร
ตวั แปรสุม่
1.2 ครอู ธบิ ายบทนิยามของตัวแปรส่มุ ดังน้ี
ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไป
ยังเซตของจานวนจรงิ
จะเรียกสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่มว่าค่าของตัวแปรสุ่ม ซ่ึงแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วยความ
น่าจะเป็นค่าหน่งึ
โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่ม เช่น X, Y, Z และใช้
ตวั อักษรภาษาอังกฤษตวั พิมพเ์ ล็กแทนค่าของตวั แปรส่มุ เชน่ x, y, z
กาหนดให้ S แทนปรภิ ูมิตัวอยา่ ง
X
s X (s)
Measurement Space
Sample Space
ดังนัน้ ตวั แปรสมุ่ จงึ เปน็ ฟังกช์ ันที่เปล่ยี นทกุ ๆ เหตุการณ์ในปรภิ ูมิตวั อยา่ งให้เป็นตัวเลขนั่นเอง
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 เรอื่ ง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุ่ม 6
เสรมิ สมอง
ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันจากปรภิ มู ติ ัวอย่างของการทดลองสมุ่ ไปยังเซตของจานวนจรงิ
ถึงแม้ว่าตัวแปรสุ่มจะนิยามว่าเป็นฟังก์ชัน แต่โดยทั่วไปเม่ือกล่าวถึงตัวแปรสุ่มจะ
หมายถึงสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม (ซึ่งเรียกว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม) โดยจะไม่สนใจโดเมน
และความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม ด้วยเหตุนี้จึงอาจพบการนิยามตัว
แปรสุ่มว่าเป็นตัวแปรเชิงปริมาณท่ีค่าแต่ละค่าท่ีเป็นไปได้ของตัวแปรนั้นมีโอกาสเกิดข้ึนด้วย
ความนา่ จะเปน็ คา่ หนึ่ง
ตวั อย่างเพ่มิ เติมเพอื่ อธบิ ายวา่ สามารถกาหนดตัวแปรส่มุ เปน็ ฟังกช์ นั ได้อย่างไร เชน่
ถ้าสนใจจานวนคร้งั ท่เี หรยี ญข้ึนหวั ในการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 1 คร้งั
จะกาหนดให้ตัวแปรสุ่ม X คือจานวนคร้ังท่ีเหรียญขึ้นหัว ในที่นี้จะกาหนดโดเมน
ของตัวแปรสุ่มเป็นปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ซ่ึงคือ {H, T} กาหนดเรนจ์
ของตัวแปรสุ่มเปน็ เซตท่มี สี มาชกิ เป็นจานวนคร้ังที่เปน็ ไปได้ท่ีเหรียญข้ึนหัว ซ่ึงคือ
{0, 1} และจะพิจารณาว่า X เปน็ ฟังกช์ นั จาก {H, T} ไปยงั {0, 1}
โดยท่ี X(H) = 1 และ X(T) = 0
ถ้าสนใจจานวนลูกค้าท่ีมาใช้บริการท่ีร้านอาหารแห่งหน่ึงระหว่างเวลา 11:00 –
14:00 น. จะกาหนดให้ตัวแปรสุ่ม Y คือจานวนลูกค้าท่ีมาใช้บริการที่ร้านอาหาร
แห่งนี้ระหว่างเวลา 11:00 – 14:00 น. ในที่นี้จะกาหนดโดเมนและเรนจ์ของตัว
แปรสุ่มเปน็ เซตท่มี ีสมาชกิ เปน็ จานวนลูกค้าทีเ่ ปน็ ไปได้ที่มาใช้บริการที่ร้านอาหาร
แห่งนี้ ซึ่งคือ x {0} และจะพิจารณาว่า Y เป็นฟังก์ชันจาก {0} ไป
ยัง {0} โดยที่ Y(x) = x สาหรับทุก x {0}
1.3 ครูยกตัวอย่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มให้ผู้เรียนศึกษา จากนั้นผู้เรียนร่วมกันตอบ
คาถาม โดยครูคอยแนะนาจนกวา่ ผู้เรียนเข้าใจ ดังนี้
ตัวอย่างท่ี 1 ตวั อยา่ งของตัวแปรสุ่ม
1) โยนเหรยี ญท่เี ทย่ี งตรง 1 เหรยี ญ 3 คร้งั
ให้ x แทนค่าที่เปน็ ไปไดข้ องตัวแปรส่มุ X เมอื่ X แทนจานวนคร้ังที่เหรียญขึ้นหวั
ดงั นั้น x {0, 1, 2, 3}
2) หากโยนเหรยี ญ 2 อัน 1 คร้งั
กาหนดให้ X แทนจานวนเหรียญท่ขี ้นึ กอ้ ย
ดังนั้น ค่าของ X ที่เป็นไปได้ คือ 0, 1 หรือ 2
3) กลอ่ งใบหนึง่ มีลูกบอลสแี ดง 4 ลูก สีดา 3 ลูก สมุ่ หยิบลกู บอลมา 2 ลูก โดยหยิบ
ทลี ะลกู แล้วไม่ใส่คนื
กาหนดให้ Y คือ จานวนลูกบอลสแี ดงทีห่ ยิบได้
ดังนั้น คา่ ของ Y ทเี่ ปน็ ไปได้ คอื 0, 1 หรือ 2
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 เร่ือง ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม 7
4) ในการชัง่ นา้ หนักของเดก็ แรกเกดิ ที่คลอด ณ โรงพยาบาลแหง่ หนง่ึ
กาหนดให้ Z แทนน้าหนักของเดก็ แรกเกิด
ดงั นัน้ ค่าทีเ่ ปน็ ไปได้ คือ 0 < Z < 8000 กรมั
1.4 ครูอธิบายเพ่ิมเติมเกี่ยวกับสัญลักษณ์แทนเหตุการณ์และความน่าจะเป็นของการทดลอง
สุ่มให้กบั ผู้เรยี นดงั นี้
เราจะใช้สญั ลกั ษณ์ X = x แทนเหตกุ ารณท์ ่เี หรยี ญข้ึนหัว x ครั้ง
ดงั นน้ั จะเขียน P(X 0) แทน P(E0) หรอื ความน่าจะเป็นทเ่ี หรยี ญขึน้ หัว 0 คร้งั
P(X 1) แทน P(E1) หรอื ความนา่ จะเปน็ ท่ีเหรยี ญขนึ้ หวั 1 ครั้ง
P(X 2) แทน P(E2) หรอื ความน่าจะเปน็ ท่ีเหรียญข้นึ หวั 2 ครัง้
P(X 3) แทน P(E3) หรือความนา่ จะเป็นทเี่ หรยี ญขึน้ หวั 3 ครง้ั
1.5 ครูอธิบายเพ่ิมเติมชนิดของตัวแปรสุ่ม ซ่ึงแบ่งตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปร
สุ่มใหก้ ับผู้เรยี น พร้อมทงั้ ยกตวั อยา่ งประกอบความเข้าใจ ดงั น้ี
โดยท่วั ไป ตวั แปรสุ่มแบ่งเปน็ 2 ชนดิ ตามลักษณะของค่าทีเ่ ป็นไปไดข้ องตวั แปรสุ่ม ดงั น้ี
1. ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง (Discrete random variable) คือตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้
ท้ังหมดอยู่ในเซตท่ีสามารถนับจานวนสมาชิกได้ หรือค่าท่ีเป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่มสามารถ
เขียนเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้ ท้ังนี้เซตของค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ืองอาจ
เป็นเซตจากดั หรอื เซตอนันต์กไ็ ด้
ตัวอยา่ งเช่น
ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 คร้ัง ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า
ท้ังสอง จะได้เซตของค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12}
ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่มเป็น 0 เม่ือเหรียญขึ้นหัวและ 1 เมื่อ
เหรยี ญขึ้นกอ้ ย จะไดเ้ ซตของคา่ ทเ่ี ป็นไปได้ทัง้ หมดของตวั แปรสุม่ คือ {0, 1}
ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรียญไปเรื่อย ๆ จนกว่าเหรียญจะขึ้นหัวจึงจะหยุด ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือ
จานวนคร้ังที่ต้องโยนเหรียญจนกว่าเหรียญจะข้ึนหัวจะได้เซตของค่าท่ีเป็นไปได้ทั้งหม ดของ
ตัวแปรสุ่ม คือ {1, 2, 3, …} หรือ
2. ตัวแปรสุ่มต่อเน่ือง (Continuous random variable) คือตัวแปรสุ่มท่ีเซตของค่าที่
เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นช่วงทเี่ ป็นสับเซตของจานวนจรงิ
ตวั อย่างเช่น
ใหต้ ัวแปรสมุ่ คอื ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ห้องหน่งึ อาจไดว้ ่า
เซตของคา่ ที่เป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสุ่มเป็นชว่ ง [150,190]
ให้ตัวแปรสุม่ คอื น้าหนัก (กิโลกรมั ) ของแตงโมท่ีเกบ็ เกี่ยวจากสวนแหง่ หน่ึง อาจไดว้ ่าเซตของ
คา่ ท่เี ปน็ ไปได้ทั้งหมดของตวั แปรสุ่มเปน็ ชว่ ง [1,6]
ให้ตวั แปรสมุ่ คือระยะเวลา (ชวั่ โมง) นบั จากปัจจบุ นั จนเกิดแผน่ ดนิ ไหวครง้ั ต่อไปทจี่ งั หวัด
ยะลา อาจได้ว่าเซตของคา่ ที่เป็นไปได้ทงั้ หมดมดของตัวแปรส่มุ เปน็ ชว่ ง [0,)
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 1 เร่ือง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสมุ่ 8
1.6 ครูยกตัวอย่างพิจารณาว่าตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ืองหรือตัวแปรสุ่ม
ตอ่ เน่อื งให้ผู้เรียนศึกษา จากนัน้ ผูเ้ รียนร่วมกนั ตอบคาถามโดยครูคอยแนะนาจนกว่าผู้เรยี นเข้าใจ ดังน้ี
ตวั อยา่ งที่ 2 จงพจิ ารณาว่าตัวแปรสมุ่ ต่อไปนเี้ ป็นตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนื่องหรือตวั แปรสุม่ ตอ่ เนือ่ ง
1. ปริมาณนา้ ฝนทีต่ กในจงั หวดั ยะลาในช่วงเดือนมิถนุ ายน – กันยายน 2563
คาตอบ ตวั แปรสุ่มต่อเนื่อง
2. จานวนผู้ตดิ เชอื้ ไวรัส COVID-19 ของไทย
คาตอบ ตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเนื่อง
3. จานวนนกั เรยี นทขี่ าดเรียน
คาตอบ ตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่อื ง
4. เวลาทนี่ กั เรียนใช้ในการสอบ
คาตอบ ตัวแปรสมุ่ ต่อเนื่อง
5. อุณหภูมิในแต่ละวนั
คาตอบ ตวั แปรสุ่มต่อเน่ือง
6. จานวนวันที่มีอณุ หภูมติ ่ากว่า 30 องศาเซลเซยี ส
คาตอบ ตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเนื่อง
7. ความสงู ของตึกท่สี รา้ งขึน้ ในเขตอาเภอเมืองยะลา
คาตอบ ตวั แปรสมุ่ ต่อเนือ่ ง
8. ความหนาของช้นั หนิ
คาตอบ ตัวแปรสมุ่ ต่อเนื่อง
9. ปริมาณนา้ ในเขื่อนของประเทศไทย
คาตอบ ตัวแปรสุ่มต่อเนอ่ื ง
10. จานวนผู้เข้าชมคอนเสิร์ต
คาตอบ ตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนอ่ื ง
ขน้ั ที่ 2 Solve: S (ขัน้ การแก้ปญั หา)
2.1 ครูให้ผู้เรียนวางแผนและเลือกวิธีการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง โดยครูจะไม่จากัด
แนวคดิ และวิธีการท่ีผู้เรียนเลอื กใช้ในการแก้ปญั หา
2.2 ครูให้ผู้เรียนดาเนินการตามแผนที่ผู้เรียนได้วางไว้ จนได้คาตอบในที่สุด โดยผู้เรียนแต่ละ
กลมุ่ ร่วมกนั ทาแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1 ตวั แปรสมุ่ แลว้ ชว่ ยกนั เฉลยและตรวจสอบความถูกตอ้ ง
ขน้ั ที่ 3 Create: C (ขนั้ สรา้ งความรู้)
3.1 ครูใหผ้ ู้เรยี นเรยี บเรยี งขน้ั ตอนการแกป้ ญั หาและบนั ทึกความรู้ของผู้เรียนได้จากการศึกษา
เรื่องความหมายและชนดิ ของตวั แปรสุ่ม และจากการทาแบบฝกึ ทักษะที่ 1 ตัวแปรสุ่มลงในสมุดโดยใช้
ภาษาทง่ี า่ ยตอ่ การเขา้ ใจ สละสลวยในการเขยี นแสดงแนวคดิ และอธิบายคาตอบของผู้เรยี น
ขน้ั ท่ี 4 Share: S (ข้ันอภปิ รายแลกเปลยี่ นความคดิ เห็น)
4.1 ครูให้ผู้เรียนแต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนความรู้ นาเสนอแนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหา
ของตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 1 เรือ่ ง ความหมายและชนิดของตัวแปรสมุ่ 9
4.2 ครูสุ่มผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้ แนวคิดและวิธีการในการแก้ปัญหาจากการ
ทากิจกรรม และถ้ามีผู้เรียนคนใดมีแนวคิดหรือวิธีการในการหาคาตอบท่ีแตกต่างจากเพื่อนก็สามารถ
นาวิธกี ารหรอื แนวคดิ น้นั มานาเสนอไดอ้ ยา่ งเต็มท่ี
4.3 ผู้เรียนและครูร่วมกันอภิปรายถึงวิธีการต่าง ๆ และผลที่ได้ท่ีเพ่ือนผู้เรียนแต่ละคนได้
ออกมานาเสนอ โดยขณะท่ีร่วมกันอภิปรายแลกเปล่ียนความคิดเห็นนั้น ครูจะมีการสังเกตพฤติกรรม
การส่อื สารท้ังในด้านการฟงั และการพูดของผู้เรยี นไปพร้อม ๆ กัน
ข้ันสรปุ บทเรียน
ผเู้ รียนและครูรว่ มกันสรปุ ความหมายและชนิดของตัวแปรส่มุ ดังน้ี
ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไปยังเซต
ของจานวนจรงิ
จะเรียกสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่มว่าค่าของตัวแปรสุ่ม ซ่ึงแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วยความ
น่าจะเป็นคา่ หน่งึ
โดยท่ัวไป ตัวแปรส่มุ แบง่ เป็น 2 ชนดิ ตามลักษณะของคา่ ทีเ่ ปน็ ไปไดข้ องตวั แปรสมุ่ ดังน้ี
1. ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable) คือตัวแปรสุ่มที่ค่าท่ีเป็นไปได้
ท้ังหมดอยู่ในเซตที่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ หรือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสามารถ
เขียนเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้ ทั้งนี้เซตของค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องอาจ
เปน็ เซตจากัดหรือเซตอนันต์ก็ได้
2. ตัวแปรสุ่มต่อเน่ือง (Continuous random variable) คือตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าท่ี
เปน็ ไปไดท้ ้ังหมดเป็นชว่ งทเี่ ปน็ สบั เซตของจานวนจริง
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 เรือ่ ง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสมุ่ 10
แบบบันทกึ ผลหลังการจดั การเรียนรู้
แผนการจัดการเรียนรู้ท.ี่ ........เวลา................ชว่ั โมง/คาบ ภาคเรยี นที.่ ...........ปีการศกึ ษา......................
เร่ือง.........................................................................................................................................................
รหัสวิชา...............................ชอ่ื วิชา..................................................................ชัน้ ..................................
1. จานวนนักเรยี นทีร่ ว่ มกจิ กรรมการเรียนรู้ จานวนนกั เรยี นท่ีขาดเรยี น (คน)
จานวนนักเรียนท้งั หมด (คน)
นักเรียนท่ขี าดเรียน (เลขที่) หมายเหตุ
2. ผลการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
2.1 ความเหมาะสมของระยะเวลา ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรบั ปรงุ
2.2 ความเหมาะสมของเนอื้ หา ( ) ดีมาก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ต้องปรบั ปรุง
2.3 กิจกรรมการเรยี นรู้ ( ) ดมี าก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรับปรงุ
2.4 สอ่ื การเรยี นรู้ ( ) ดมี าก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรับปรุง
............................................................................................................................. ..............
................................................................................................................................... ........
2.5 พฤตกิ รรม/การมสี ว่ นรว่ มของผูเ้ รียน ( ) ดมี าก ( ) ดี ( ) พอใช้ ( ) ตอ้ งปรับปรุง
...........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..............
2.6 ผลการปฏบิ ตั ิกจิ กรรม/ใบกจิ กรรม/ใบงาน/แบบฝึกหดั /การทดสอบก่อน – หลงั เรยี น
............................................................................................................................. ..............
...................................................................................... .....................................................
3. ปญั หาและอปุ สรรค
.......................................................................................................................... ........................
..................................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะแนวทางแก้ไข
............................................................................................................................. .....................
............................................................................................................................. .....................
ลงชื่อ……….……………………ครูผู้สอน
(นายครรชิต แซโ่ ฮ่)
ตาแหนง่ ครู อันดบั คศ.2
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 เรอื่ ง ความหมายและชนิดของตัวแปรส่มุ 11
แบบสงั เกตพฤติกรรมผ้เู รียนดา้ นทักษะกระบวนการ
รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 6 รหัส ค 33202 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
ภาคเรียนท่ี.................. ปีการศกึ ษา...................
คาบท่ี................ วนั ท…ี่ ……..เดอื น………………………..พ.ศ………..........
คาชแ้ี จง ใหใ้ ส่คะแนนระดบั คณุ ภาพลงในช่องทกั ษะกระบวนการแตล่ ะชอ่ งตามเกณฑ์การให้คะแนน
พฤตกิ รรมผู้เรียนด้านทกั ษะกระบวนการ สรปุ ผล
ที่ ช่ือ – สกุล รวม การประเมิน
การ การให้ การสอ่ื สาร การ การคิดริเรมิ่ ผา่ น ไม่
แกป้ ญั หา เหตผุ ล เช่ือมโยง สรา้ งสรรค์ ผ่าน
การผา่ นเกณฑต์ อ้ งได้ระดบั คุณภาพโดยรวมตงั้ แต่ 10 คะแนนขนึ้ ไป
ลงช่ือ……………………………………………..ผูป้ ระเมิน
(……………………………………………...)
วนั ท.่ี ...........เดอื น.......................พ. ศ................
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 1 เรื่อง ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม 12
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนดา้ นทกั ษะกระบวนการ
1. การแก้ปัญหา
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ ความสามารถในการแก้ปัญหาท่ปี รากฏให้เห็น
4 : ดีมาก ใชย้ ุทธวิธีดาเนินการแก้ปัญหาสาเรจ็ อย่างมีประสิทธภิ าพ อธิบายถึง
เหตผุ ลในการใชว้ ิธกี ารดงั กลา่ วได้เขา้ ใจชดั เจน
3 : ดี ใชย้ ุทธวิธดี าเนินการแก้ปญั หาสาเรจ็ แตน่ า่ จะอธิบายถึงเหตุผล
ในการใช้วธิ กี ารดังกลา่ วได้ดกี ว่าน้ี
2 : พอใช้ มียทุ ธวธิ ดี าเนนิ การแก้ปัญหาสาเร็จเพยี งบางสว่ น อธบิ ายถึงเหตุผล
ในการใชว้ ิธีการดังกลา่ วได้บางส่วน
1 : ควรแก้ไข มรี ่องรอยการแก้ปัญหาบางสว่ น เรมิ่ คิดว่าทาไมจงึ ต้องใช้วิธีการนั้น
แล้วหยุด อธบิ ายต่อไมไ่ ด้ แก้ปญั หาไม่สาเรจ็
0 : ควรปรบั ปรุง ทาได้ไมถ่ ึงเกณฑ์ข้างต้นหรอื ไมม่ รี ่องรอยการดาเนินการแก้ปัญหา
2. การใหเ้ หตุผล
คะแนน : ระดับคณุ ภาพ ความสามารถในการใหเ้ หตุผลทป่ี รากฏใหเ้ ห็น
4 : ดีมาก มกี ารอ้างอิง เสนอแนวคดิ ประกอบการตัดสินใจอยา่ งมเี หตุผล
3 : ดี มกี ารอ้างอิงทถ่ี ูกต้องบางส่วน และเสนอแนวคดิ ประกอบการตดั สนิ ใจ
2 : พอใช้ เสนอแนวคดิ ไม่สมเหตสุ มผลในการประกอบการตัดสินใจ
1 : ควรแก้ไข มคี วามพยายามเสนอแนวคดิ ประกอบการตัดสนิ ใจ
0 : ควรปรบั ปรงุ ไมม่ ีแนวคดิ ประกอบการตัดสินใจ
3. การสอ่ื สาร การส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
คะแนน : ระดับคุณภาพ ความสามารถในการสอ่ื สาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์
และการนาเสนอท่ีปรากฏใหเ้ ห็น
ใชภ้ าษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตรท์ ่ีถูกต้อง นาเสนอโดยใช้กราฟ
4 : ดมี าก แผนภมู ิ หรือตารางแสดงขอ้ มูลประกอบตามลาดับขนั้ ตอนได้เป็น
ระบบ กระชับ ชดั เจน และมีความละเอยี ดสมบูรณ์
ใช้ภาษาและสญั ลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ นาเสนอโดยใช้กราฟ แผนภมู ิ
3 : ดี หรอื ตารางแสดงข้อมูลประกอบตามลาดับขน้ั ตอนไดถ้ ูกต้อง
ขาดรายละเอยี ดทสี่ มบูรณ์
2 : พอใช้ ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ พยายามนาเสนอข้อมูลโดยใช้
กราฟ แผนภูมิ หรอื ตารางแสดงขอ้ มลู ประกอบชดั เจนบางสว่ น
1 : ควรแก้ไข ใช้ภาษาและสญั ลักษณท์ างคณิตศาสตร์อย่างง่าย ๆ ไมไ่ ดใ้ ชก้ ราฟ
แผนภูมหิ รือตารางเลย และการนาเสนอข้อมลู ไมช่ ัดเจน
0 : ควรปรบั ปรงุ ไม่นาเสนอข้อมูล
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 เร่อื ง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสมุ่ 13
4. การเชอื่ มโยงความรู้ทางคณติ ศาสตร์
คะแนน : ระดับคณุ ภาพ ความสามารถในการเชอ่ื มโยงทีป่ รากฏใหเ้ ห็น
นาความรู้ หลักการ และวิธีการทางคณิตศาสตรใ์ นการเชื่อมโยงกับ
4 : ดีมาก สาระคณิตศาสตร์ / สาระอื่น / ในชวี ติ ประจาวนั เพ่อื ช่วย
ในการแก้ปัญหาหรอื ประยกุ ต์ใชไ้ ดอ้ ยา่ งสอดคล้องและเหมาะสม
นาความรู้ หลกั การ และวธิ กี ารทางคณิตศาสตรใ์ นการเช่ือมโยงกับ
3 : ดี สาระคณิตศาสตร์ / สาระอื่น / ในชีวติ ประจาวนั เพอื่ ช่วยในการ
แก้ปญั หา หรือประยุกตใ์ ชไ้ ด้บางสว่ น
2 : พอใช้ นาความรู้ หลักการ และวธิ ีการทางคณิตศาสตร์ไปเชือ่ มโยงกบั สาระ
คณิตศาสตร์ ไดบ้ างสว่ น
1 : ควรแก้ไข นาความรู้ หลักการ และวธิ ีการทางคณิตศาสตร์ในการเชื่อมโยงยังไม่
เหมาะสม
0 : ควรปรบั ปรุง ไม่มีการเชือ่ มโยงกับสาระอน่ื ใด
5. ความคดิ ริเรม่ิ สรา้ งสรรค์
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ ความคิดรเิ รมิ สรา้ งสรรคท์ ี่ปรากฏให้เห็น
4 : ดมี าก มีแนวคิด / วิธกี ารแปลกใหม่ท่สี ามารถนาไปปฏิบัตไิ ด้อย่างถกู ต้อง
สมบรู ณ์
3 : ดี มแี นวคดิ / วิธีการแปลกใหม่ท่ีสามารถนาไปปฏิบัติได้ถูกต้องแต่นาไป
ปฏบิ ตั แิ ล้วไม่ถกู ตอ้ งสมบูรณ์
2 : พอใช้ มแี นวคิด / วิธีการไม่แปลกใหม่แต่นาไปปฏิบัตแิ ลว้ ถูกต้องสมบรู ณ์
1 : ควรแกไ้ ข มีแนวคดิ / วธิ กี ารไม่แปลกใหมแ่ ละนาไปปฏิบัตแิ ล้วไม่ถูกต้องสมบูรณ์
0 : ควรปรบั ปรงุ ไมม่ ีผลงาน
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 1 เร่อื ง ความหมายและชนิดของตัวแปรสมุ่ 14
แบบสงั เกตพฤตกิ รรมผู้เรยี นดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์
รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัส ค 33202 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
ภาคเรยี นที่.................. ปีการศกึ ษา...................
คาบที่................ วนั ท…ี่ ……..เดอื น………………………..พ.ศ………..........
คาชี้แจง ใหใ้ ส่คะแนนระดบั คุณภาพลงในชอ่ งคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์แตล่ ะช่องตามเกณฑ์การให้คะแนน
พฤตกิ รรมผู้เรยี นดา้ นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ สรุปผล
ท่ี ชื่อ – สกลุ การทางานเปน็ ระเบียบ ความ ความเช่ือมนั่ รวม การประเมิน
ระบบรอบคอบ วนิ ัย รับผิดชอบ ในตนเอง
ความ ผา่ น ไม่
ซอ่ื สัตย์ ผา่ น
การผา่ นเกณฑ์ตอ้ งได้ระดับคุณภาพโดยรวมตง้ั แต่ 10 คะแนนข้นึ ไป
ลงชือ่ ……………………………………………..ผู้ประเมนิ
(……………………………………………...)
วนั ท.่ี ...........เดือน.......................พ. ศ................
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 1 เร่อื ง ความหมายและชนิดของตัวแปรสมุ่ 15
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนด้านคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์
1. การทางานเปน็ ระบบรอบคอบ
คะแนน : ระดบั คุณภาพ คณุ ลักษณะท่ปี รากฏให้เหน็
- มีการวางแผนการดาเนินงานเป็นระบบ
3 : ดีมาก - การทางานมีครบทุกข้นั ตอน ตัดขัน้ ตอนที่ไม่สาคญั ออก
- จดั เรียงลาดับความสาคัญก่อน – หลัง ถูกต้องครบถ้วน
- มีการวางแผนการดาเนนิ งาน
2 : ดี - การทางานไม่ครบทกุ ขน้ั ตอน และผิดพลาดบา้ ง
- จัดเรยี งลาดับความสาคัญก่อน – หลงั ได้เป็นส่วนใหญ่
- ไมม่ ีการวางแผนการดาเนินงาน
1 : พอใช้ - การทางานไมม่ ีขั้นตอน มีความผิดพลาดต้องแก้ไข
- ไมจ่ ดั เรียงลาดับความสาคญั
2. ระเบียบวนิ ัย
คะแนน : ระดับคุณภาพ คณุ ลกั ษณะทปี่ รากฏใหเ้ หน็
3 : ดมี าก - สมดุ งาน ชิ้นงาน สะอาดเรียบรอ้ ย
- ปฏิบตั ิตนอยใู่ นข้อตกลงทกี่ าหนดให้ร่วมกนั ทุกคร้ัง
2 : ดี - สมุดงาน ชน้ิ งาน สว่ นใหญ่สะอาดเรียบรอ้ ย
- ปฏิบตั ิตนอยใู่ นข้อตกลงที่กาหนดให้ร่วมกนั เป็นส่วนใหญ่
- สมดุ งาน ชิ้นงาน ไมค่ ่อยเรียบร้อย
1 : พอใช้ - ปฏิบัตติ นอยใู่ นข้อตกลงทก่ี าหนดใหร้ ่วมกันเป็นบางครัง้ ตอ้ งอาศยั
การแนะนา
3. ความรับผิดชอบ
คะแนน : ระดับคุณภาพ คณุ ลกั ษณะทปี่ รากฏใหเ้ ห็น
- ส่งงานก่อนหรือตรงกาหนดเวลานัดหมาย
3 : ดมี าก - รบั ผิดชอบในงานทไี่ ดร้ บั มอบหมายและปฏิบตั ติ นเองจนเปน็ นิสยั
เปน็ ระบบแกผ่ ู้อืน่ และแนะนาชกั ชวนให้ผู้อืน่ ปฏบิ ตั ิ
2 : ดี - ส่งงานชา้ กว่ากาหนด แตไ่ ด้มกี ารตดิ ต่อช้ีแจงผู้สอน มีเหตุผลท่รี ับฟังได้
- รบั ผิดชอบในงานทไ่ี ดร้ ับมอบหมายและปฏิบัติตนเองจนเป็นนสิ ัย
1 : พอใช้ - ส่งงานชา้ กวา่ กาหนด
- ปฏบิ ตั งิ านโดยต้องอาศยั การช้ีแนะ แนะนา ตักเตือนหรือให้กาลังใจ
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 เร่ือง ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุ่ม 16
4. ความเชอ่ื ม่นั ในตนเอง
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ คณุ ลักษณะทีป่ รากฏใหเ้ หน็
3 : ดีมาก มแี นวคิด การตัดสนิ ใจในการทางานด้วยตนเองทกุ ครง้ั ใหค้ าแนะนา
ผอู้ ่ืนได้
2 : ดี มแี นวคดิ การตัดสนิ ใจในการทางานด้วยตนเองเป็นบางครงั้ แตต่ อ้ งถาม
ปญั หาบางครงั้
1 : พอใช้ ไมม่ แี นวคดิ ของตนเอง ไม่กล้าตดั สนิ ใจดว้ นตนเอง
5. ความซอื่ สัตย์
คะแนน : ระดบั คณุ ภาพ คุณลักษณะทปี่ รากฏใหเ้ หน็
3 : ดีมาก มแี นวคิดในการทางานด้วยตนเองทุกครงั้ ไมน่ าผลงานคนอนื่ มา
ลอกเลียนแบบ ไมน่ าผลงานผู้อ่ืนมาเปน็ ผลงานของตนเอง
2 : ดี มแี นวคิดในการทางานด้วยตนเองเปน็ บางครั้ง ลอกเลียนแบบงานจาก
คนอ่นื บางครั้ง ไม่นาผลงานผู้อื่นมาเปน็ ผลงานของตนเอง
1 : พอใช้ ไม่มีแนวคิดของตนเอง ทางานทกุ ครั้งต้องลอกเลียนแบบจากงานเพ่ือน
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Home
Explore
แผนการจัดการเรียนรู้ด้วยรูปแบบ SSCS รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัสวิชา ค33202 หลักสูตรใหม่
View in Fullscreen
แผนการจัดการเรียนรู้ด้วยรูปแบบ SSCS รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัสวิชา ค33202 หลักสูตรใหม่
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search