ข้อสอบการแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ รอบแรก ระดับเขตพื้นที่การศึกษา ประจำปี พ.ศ.2549-2561

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 6

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

ตอนท่ี 2 : แบบอตั นยั จานวน 10 ข้อ (ข้อ 21 – 30) ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยม มีมุม ABC เปน็ มุมฉาก DBME, FDNG และ HFPK เป็นรูปสี่เหลี่ยม

จัตุรัสอยู่ภายในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ถ้า BM  3 เซนติเมตร และ MC 1 เซนติเมตร ดัง
รูป แลว้ พื้นทสี่ ว่ นท่แี รเงาเป็นก่ตี ารางเซนตเิ มตร (ตอบเปน็ ทศนิยมสองตา้ แหน่ง)

22. ก้าหนดให้ cos 2A  cos2 Asin2 A เม่ือ 0  A  90 ถ้า 4cos A 1 แล้ว 8 6 sin A มีค่า

2

เท่าใด

23. มีลวดหนามยาว 300 เมตร ต้องการล้อมที่ดินบนฝั่งแม่น้าเป็นคอกวัวรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากสองคอก
ติดกัน โดยแต่ละคอกมีความกว้างเท่ากัน แต่ความยาวของคอกหนึ่งเป็นคร่ึงหน่ึงของอีกคอกหนึ่ง ถ้า
ตอ้ งการล้อมร้ัวใหไ้ ด้ผลรวมของพน้ื ท่ีสองคอกมากทีส่ ุดจะได้พื้นท่ีรวมกี่ตารางเมตร

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 7

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

24. ABCDEFGH เป็นกล่องทรงลูกบาศก์ขนาด 999 ลูกบาศก์หน่วย จุด X อยู่บนด้าน AB

และทา้ ให้ AX : AB 1:3 จุด Y อยูบ่ นดา้ น GH และท้าให้ GY :GH 1:3 และจุด Z อยู่บน

ดา้ น DE และทา้ ให้ DZ : DE  2:3 พื้นที่ของรปู สามเหล่ยี ม XYZ เปน็ ก่ตี ารางหนว่ ย

25. ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มดงั รปู เส้นแบง่ ครึ่ง BAC พบ BC ที่ D ถ้า AB  AD  CD,
AD  AC  BC และ ACB  20 แลว้ ขนาดของ ABC เท่ากับกอี่ งศา

26. จากรูป AP  20 หน่วย AQ  6 หน่วย BP  CQ  x หน่วย ถ้าพื้นที่รูปสามเหลี่ยม APQ
เทา่ กับพนื้ ท่ีรูปส่ีเหล่ยี ม BCQP แล้ว x มีค่าเทา่ ใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 8
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551
27. ถา้ x  2 1 แล้ว 1 6x  3x2  x6  2x7  2x8  2x9  x10 มีคา่ เทา่ ใด

28. สัมประสิทธิ์ของ x88 จากผลคูณ (x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x6)...(x88)(x89)(x90)
มีค่าเทา่ ใด

29. จงหาค้าตอบของสมการ 108  378  x  x2  2916
x2  2916 x  54

30. กา้ หนด S 1 1  1 ... 1 สว่ นท่ีเปน็ จ้านวนเตม็ ของ S มีค่าเทา่ ใด
1000000 2
23

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 9
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

เฉลย : แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์

ตอนที่ 1 : แบบอัตนยั จานวน 20 ข้อ (ข้อ 1 – 20) ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ

1. 64 2. 36 3. d 4. 6 5. mnk

6000

6. 45 7. 1061 8. 17 9. 1 10. 1.2

36

11. 2 12. 15 13. 480 14. 7 15. 7.5

16. 512 17. 32B16 18. 48 19. 2.8125 20. 261

ตอนที่ 2 : แบบอตั นยั จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 21 – 30) ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ
21. 7.09 22. 12 23. 7500 24. 54.558 25. 40
26. 4 27. 4 28. 727980 29. 90 30. 999

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 10

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

เฉลยแนวคดิ แบบทดสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ระดับชนั้ มธั ยมศกึ ษาตอนตน้

เพือ่ การคดั เลอื กนักเรียนระดบั เขตพน้ื ท่ีการศกึ ษา

ตอนที่ 1 : แบบอัตนยั จานวน 20 ข้อ (ข้อ 1 – 20) ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. กระป๋องทรงกระบอกใบหนึ่งมีความสูงเป็น 2 เท่าของรัศมีของกระป๋อง เทน้า 92 ลูกบาศก์
เซนติเมตร ลงในกระป๋องใบน้ี แล้วหย่อนลูกแก้วซึ่งมีพื้นที่ผิว 36 ตารางเซนติเมตร ลงไปในกระป๋อง
แลว้ ทา้ ใหน้ า้ เต็มกระป๋องพอดี ถ้ากระปอ๋ งใบนม้ี พี ้ืนท่ีผิวข้าง k ตารางเซนตเิ มตร แลว้ k มีคา่ เท่าใด
แนวคิด เนือ่ งจาก ลูกแก้วซง่ึ มีพนื้ ทผี่ ิว 36 ตารางเซนตเิ มตร
จะได้ 4r2  36 น่ันคือ r  3 เซนตเิ มตร

และไดว้ า่ ปริมาตรลูกแก้ว เท่ากบั 4 r3  4  (3)3  36 ลูกบาศก์เซนติเมตร

33

และ ปรมิ าตรของกระปอ๋ งนอ้ ยท่สี ุด เทา่ กับ 92 36 128
ฉะนัน้  r2h 128 นน่ั คือ  r2(2r) 128

จะไดว้ ่า r  4 เซนตเิ มตร และ h  8 เซนติเมตร
ดังนั้น พื้นทผี่ วิ ขา้ งของกระป๋องใบนี้ เท่ากบั 2rh  2 48  64
นัน่ คอื k  64
ตอบ 64

2. ดนิ น้ามันทรงกลม 3 ก้อน มีอัตราส่วนของรัศมีเป็น 3: 2:1 น้ามาปั้นรวมกันเป็นก้อนทรงกลม ถ้ารัศมี

ของทรงกลมใหม่เปน็ 3 a เทา่ ของรัศมกี อ้ นเล็กท่ีเล็กทสี่ ดุ แลว้ a มคี า่ เทา่ ใด
แนวคิด ให้ รศั มีของทรงกลมก้อนเล็กท่เี ลก็ ที่สุด เท่ากับ x หน่วย

และปรมิ าตรทรงกลมท้งั หมด เทา่ กบั 4  x3  4  (2x)3  4  (3x)3 ลกู บาศก์หนว่ ย
33 3

และปรมิ าตรทรงกลมใหม่ เท่ากับ 4  R3 ลกู บาศกห์ น่วย

3

ฉะนน้ั 4  R3  4  x3  4  (2x)3  4  (3x)3  4  (1 8  27)

3 33 3 3

น่นั คอื R3  36x3 จะไดว้ ่า R  3 36x

ดังนั้น รศั มขี องทรงกลมใหม่เป็น 3 36 เท่าของรัศมีกอ้ นเลก็ ทีเ่ ลก็ ทส่ี ดุ

นนั่ คือ a  36
ตอบ 36

3. กา้ หนดให้ a  360, b  545, c  645, d  730 จ้านวนใดมคี ่านอ้ ยทสี่ ุด

แนวคดิ จาก a  360  (34)15  8115 b  545  (53)15  12515

c  645  (63)15  21615 d  730  (72 )15  4915

ฉะนน้ั เรยี งลาดบั จากมากไปหานอ้ ย คือ c,b,a,d

ตอบ d

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 11
การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

4. ถา้ 4x3  7x2  Ax  6  Bx2  Cx  D เม่ือ A, B, C, D เป็นค่าคงตัว แล้ว B2  C2  D2 มีค่า
4x 3
เท่าใด

แนวคิด พิจารณา

x2  x  2

4x  3 4x3  7x2  Ax  6

4x3  3x2

 4x3  Ax

4x3  3x

( A  3)x  6

8x  6

ฉะนั้น x2  x  2  Bx2  Cx  D น่ันคือ B 1, C  1, D  2
ดงั น้ัน B2  C2  D2 12  (1)2  22  6
ตอบ 6

5. รถยนต์คันหนง่ึ วงิ่ ดว้ ยความเร็วสม่้าเสมอ k กิโลเมตรต่อช่ัวโมง ถ้ารถยนต์คันนี้ใช้น้ามัน n ลิตรต่อการ

ว่งิ ระยะทาง 100 กโิ ลเมตร แลว้ ในเวลา m นาที รถยนตค์ นั นใี้ ชน้ า้ มันก่ลี ิตร

แนวคดิ พจิ ารณา k กิโลเมตร ใช้เวลาวง่ิ 60 นาที

100 กโิ ลเมตร ใช้เวลาวงิ่ 60 100 นาที
k

60100 นาที ใชน้ ้ามนั n ลิตร

k

1 นาที ใช้น้ามนั nk ลิตร
60 100

m นาที ใช้น้ามัน mnk ลิตร

6000

ตอบ mnk ลติ ร

6000

6. จ้านวนสองหลักจ้านวนหน่งึ เมอ่ื สลับหลักกันแลว้ จะมีค่ามากกวา่ เดิมอยู่ 20% จงหาจ้านวนนน้ั

แนวคดิ (1) ให้จานวนสองหลกั คอื xy ดงั น้นั xy 10x  y

ฉะนั้นจานวนทสี่ ลับหลักคือ yx 10y  x

จากจานวนสองหลักจานวนหนึง่ เม่ือสลบั หลักกนั แล้วจะมคี ่ามากกวา่ เดิมอยู่ 20%

จะได้ 10 y  x  10x  y  2x  y  12x  6y
5 5

นั่นคอื 50y  5x  60x  6y

44 y  55x

x  44  4
y 55 5

ดังน้ัน จานวนทต่ี ้องการ คอื 45

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 12

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

แนวคดิ (2) ใหจ้ านวนสองหลัก คือ xy ดงั น้ัน xy 10x  y

ฉะนน้ั จานวนทีส่ ลับหลักคอื yx 10y  x

จากจานวนสองหลักจานวนหน่ึงเม่ือสลบั หลกั กนั แล้วจะมคี า่ มากกว่าเดมิ อยู่ 20%

จะได้ เดมิ 100 เปลย่ี นเป็น 120

เดมิ 10x  y เปล่ยี นเปน็ 120(10x  y)
100

นนั่ คอื 12x 1.2y 10y  x

11x  8.8y

x  8.8  4
y 11 5

ดังน้ัน จานวนทต่ี ้องการ คอื 45
ตอบ 45

7. มีจ้านวนเตม็ บวกก่จี า้ นวนตงั้ แต่ 1 ถึง 1990 ที่ 3 หรอื 5 หารไม่ลงตัว

แนวคิด จานวนเตม็ บวกต้งั แต่ 1 ถึง 1990 ท่ี 3 หารลงตวั มี 1990   663 จานวน
 3 

จานวนเต็มบวกต้งั แต่ 1 ถงึ 1990 ท่ี 5 หารลงตวั มี 1990   398 จานวน
 5 

จานวนเต็มบวกต้ังแต่ 1 ถึง 1990 ที่ 15 หารลงตวั มี 1990   132 จานวน
 15 

ดังน้นั จานวนเตม็ บวกต้ังแต่ 1 ถงึ 1990 ทหี่ ารด้วย 3 หรอื 5 ลงตัวมี

663 398132  929 จานวน

นน่ั คือ จานวนเต็มบวกกจี่ านวนต้งั แต่ 1 ถงึ 1990 ที่ 3 หรือ 5 หารไม่ลงตัวมี

1990 929 1061 จานวน

ตอบ 1061 จานวน

8. มีลูกเต๋า 2 ลูก แต่ละลูกมีหมายเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 อยู่หน้าละหน่ึงหมายเลข เมื่อโยนลูกเต๋าทั้งสอง

ลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีผลรวมของจ้านวนท่ีปรากฏบนหน้าลูกเต๋า
เป็นจ้านวนเฉพาะ

แนวคดิ ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกันหนึ่งคร้ัง ผลลัพธ์ท้ังหมดที่อาจเกิดข้ึนได้ดังตาราง
จะได้ n(S)  66  36 จานวน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 13

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

จากตารางสามารถหาเหตุการณ์ท่ีผลรวมของจานวนที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าเป็น
จานวนเฉพาะ ซ่ึงผลบวกท่ีไดเ้ ปน็ 2,3,5,7

เช่น (0, 2),(0,3),(0,5),(1,1),(1, 2),(1, 4),...

ผลลพั ธท์ เี่ กิดข้นึ ตามเง่อื นไขที่กาหนด คอื n(E) 17

ดังนน้ั ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ตี อ้ งการ คอื 17

36

ตอบ 17

36

9. 1 ทศนยิ มต้าแหน่งที่ 7000 คือเลขโดดใด
7000

แนวคดิ เนือ่ งจาก 1  

7 0.14285 7

ฉะน้นั 1  1 1 

7000 7 1000  0.000142857

และ 7000  61166  4  3 61166 1

ดังนน้ั ทศนิยมตาแหนง่ ท่ี 7000 เทา่ กับ 1

ตอบ 1

10. ล้าดับ x1, x2, x3, ... นยิ ามโดย x1  4 และ xn1  3 3 เมอ่ื n 1 จงหาคา่ x46
xn

แนวคิด จาก x1  4 และ xn1  3 3 เม่อื n 1
xn

จะได้ x2  3 3  3 3  9 x3  3 3  3 3  3 4  5
x1 4 4 x2 9 3 3

4

x4  3 3  3 3  3 9  6 x5  3 3  3 3  3 5  1
x3 5 5 5 x4 6 2 2

3 5

x6  3 3  3 3  36  3 x7  3 3  3 3  31 4
x5 1 x6 3

2

จะพบวา่ xn1 ข้นึ อยกู่ ับ xn เทา่ น้ัน

ฉะน้นั x7  x1, x8  x2 , x9  x3 , ..., x46  x764  x4  6  115
5

ดงั นนั้ x4  6  115
5

ตอบ 6  115
5

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 14

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

11. ถ้า N เปน็ จ้านวนเต็มบวก และ N2 1991 เปน็ กา้ ลงั สองสมบูรณ์ แลว้ N มีทง้ั หมดก่คี ่า

แนวคิด เน่อื งจาก N2 1991 เป็นกาลังสองสมบูรณ์

จะได้ N 2 1991  M 2 เมอ่ื N  M  0

N 2  M 2  1991

(N  M )(N  M )  1991  11181

แต่ 0  N  M  N  M และ N  M  0 จึงเป็นไปได้ 2 กรณี
1) N  M 1, N  M 1991

จะได้ 2N 119911992 น่ันคือ N  996
2) N  M 11, N  M 181

จะได้ 2N 11181192 น่นั คอื N  96
ตอบ 2 ค่า

12. ถา้ A  22551, B  32551 แล้วผลบวกของหลกั หนว่ ยของ A B มีค่าเท่าใด
แนวคดิ จาก A  22551 พบว่า A มีหลกั หนว่ ยเป็น 8 เน่ืองจาก

21  2, 22  4, 23  8, 24 16, 25  32,...

เมอื่ นา 2551 4 เหลอื เศษ 3 พิจารณาท่ี 23  8
แต่ 0  N  M  N  M และ N  M  0 จึงเป็นไปได้ 2 กรณี
จาก B  32551 พบว่า B มีหลักหนว่ ยเป็น 7 เนือ่ งจาก

31  3,32  9,33  27,34  81,35  243,...

เมื่อนา 2551 4 เหลอื เศษ 3 พจิ ารณาท่ี 33  27 ตอบ 2 ค่า
ดังนั้น ผลบวกของหลักหนว่ ยของ A B มคี า่ เทา่ กับ 8 7 15
ตอบ 15

13. ถา้ x  y  30 และ x3  y3  8100 แลว้ x2  y2 มคี ่าเทา่ ใด

แนวคดิ พิจารณา x3  y3  8100 จะได้ x2  xy  y2  270 (1)
x y 30 (2)
x2  2xy  y2  900
จาก x  y  30 จะได้ 3xy  630

นา (2)  (1) ได้

จาก (1) จะได้ xy  210
ฉะนั้น x2  210  y2  270
ตอบ 480
x2  y2  480

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 15

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

14. ถ้าค้าตอบทั้งสามของสมการ x3 8x2  cx  d  0 เป็นจ้านวนเต็มที่แตกต่างกัน และผลบวกของ

คา้ ตอบเทา่ กับ 8 เมอ่ื c,d เป็นจ้านวนจริง แล้ว c  d มีคา่ เทา่ ใด

แนวคดิ เนื่องจากคาตอบทง้ั สามของสมการ x3 8x2  cx  d  0 เป็นจานวนเต็มที่แตกต่าง

กัน และผลบวกของคาตอบเทา่ กับ 8 จะได้

ผลบวกของคาตอบเท่ากบั 8 1 2 5 13 4

คาตอบมี 2 ชุด คอื

1) x 1, 2,5 จะได้สมการคือ (x 1)(x  2)(x 5)  0

น่ันคอื x3 8x2 17x 10  0

ฉะนนั้ c 17,d  10

ดงั นน้ั c  d 17 10  7

2) x 1,3, 4 จะไดส้ มการคอื (x 1)(x 3)(x  4)  0

นัน่ คอื x3 8x2 19x 12  0

ฉะนน้ั c 19,d  12

ดงั น้นั c  d 19 12  7

ตอบ 7

15. ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นดังนี้ 4, a, 5, b, 7, c, 7, 8 ถ้าข้อมูลชุดน้ีมีฐานนิยมเท่ากับ 8 และค่าเฉลี่ยเลข

คณิตเทา่ กับ 7 แลว้ มัธยฐานของขอ้ มูลชุดนมี้ ีค่าเท่าใด
แนวคิด เนอ่ื งจากขอ้ มลู ชดุ น้ีมี 8 จานวน ดงั นี้ 4, a, 5, b, 7, c, 7, 8

และข้อมูลชุดนี้มฐี านนิยมเทา่ กบั 8 ฉะนั้นข้อมลู ชดุ นี้ต้องมี 8 มากกวา่ สองตวั
ในท่นี ้ีให้ b  8, c  8 และจากคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเท่ากบั 7 จะได้

n
 Xi
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ   7
i 1

n

จะได้ 4  a  5  8  7  8  7  8  7
8

a  47  56

a9

นาข้อมลู มาเรียงจากน้อยไปหามากจะได้ 4, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9

ดงั น้ัน มัธยฐานคือ 7  8  7.5
2

ตอบ 7.5

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 16
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

16. ถา้ (n  1)2  (n  1)2  16 แล้ว (n2  1 )3 มีค่าเทา่ ใด
nn n2

แนวคิด จาก (n  1)2  (n  1)2 16 จะได้ (n2  2  1 )  (n2  2  1 )  16
n2 n2
nn

ฉะน้นั 2n2  2  16 น่นั คอื n2  1 8
n2 n2

ดงั น้นั (n2  1 )3  83  512
n2

ตอบ 512

17. จงแปลง 11001010112 ใหเ้ ป็นจ้านวนที่แสดงด้วยเลขฐานสิบหก (ในระบบเลขฐานสิบหก ก้าหนดให้
A แทน 10, B แทน 11, C แทน 12, D แทน 13 , E แทน 14 และ F แทน 15 )
แนวคิด (1) คา่ ประจาหลักของเลขฐานสิบหก 1 หลกั เท่ากับค่าประจาหลักของ
เลขฐานสอง 4 หลัก พจิ ารณา 11001010112

10112 1 23  0 22 1 2 11  8  2 1  11

00102 1 2  2

00112  2 1  3

ดงั น้นั 11001010112  32B16
แนวคดิ (2)

11001010112  1 29 1 28 1 25 1 23 1 2 1 20
 2 (24 )2  (24 )2  2(24 )  (8  2 1)

 3 (24 )2  2(24 ) 11

 3 (16)2  2(16) 11

 32B16

ตอบ 32B16

18. รูปสามเหลย่ี ม ABC มีมมุ C เป็นมุมฉาก จดุ M, P,Q, R, S เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ AB, BC, BM,

MA, AC ตามลา้ ดบั ถา้ AB  32 หนว่ ย แลว้ เสน้ รอบรปู ของรปู ส่ีเหลย่ี ม PQRS ยาวก่ีหนว่ ย

แนวคดิ จากรูป ลากส่วนของเส้นตรง CM จะได้ M เป็นจุดศูนย์กลางของ

วงกลมทีม่ ี AB เป็นเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง

ฉะนั้น AM  MC  MB 16 หน่วย

เน่อื งจาก S และ P เปน็ จดุ กึ่งกลางของ AC และ CB

ฉะนนั้ SP  1 AB ในทานองเดียวกนั SR  1 CM , PQ  1 CM
2 2 2

ดังน้นั เส้นรอบรปู ของรปู ส่ีเหล่ยี ม PQRS ยาว เท่ากับ

RQ  QP  PS  SR 16  8 16  8  48 หนว่ ย

ตอบ 48 หนว่ ย

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 17
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

19. รปู สามเหลยี่ มรูปหนง่ึ มีจุดยอดจุดหนึ่งคือ ( 1 , 0) ถ้าอีกสองจุดที่เหลือเป็นจุดตัดของกราฟของสมการ
2

y  3x2  4x 1 และ y  3 2x  x2 แลว้ พ้นื ที่ของรูปสามเหล่ียมรปู นีเ้ ป็นก่ตี ารางหน่วย

แนวคดิ หาจดุ ตัดจของกราฟ y  3x2  4x 1 และ y  3 2x  x2 ได้ดงั นี้

3x2  4x 1  3 2x  x2

2x2  x 1 0

(2x 1)(x 1)  0

x  1 , 1
2

แทนคา่ x  1 ในสมการ y  3x2  4x 1 จะได้ y  15  3 3

2 44

แทนคา่ x  1 ในสมการ y  3x2  4x 1 จะได้ y  0

ฉะนัน้ จุดยอดของรูปสามเหลีย่ มคอื ( 1 , 0), ( 12 , 145), (1, 0)
2

ดังนน้ั พ้ืนที่ของรปู สามเหลย่ี มรปู 1  3  15  45  2 1163  2.8125 ตารางหน่วย
2 2 4 16

ตอบ 2 13  2.8125 ตารางหน่วย
16

20. รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส A, B,C, D ตั้งอยู่บน XY ซ่ึงยาว 29 หน่วย ดังรูป ถ้ารูปสี่เหล่ียมจัตุรัส C มี

พ้ืนท่ี 4 ตารางหน่วย และอัตราส่วนพื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส A: B : D เป็น 4:9:16 แล้ว
ผลบวกของพ้ืนทีร่ ปู ส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั A, B, D เป็นก่ตี ารางหนว่ ย

แนวคดิ (1) จากรปู C มีพืน้ ท่ี 4 ตารางหน่วย จะไดด้ า้ นของรปู สเ่ี หล่ียมจตั ุรัส C ยาว 2 หนว่ ย
ฉะน้นั ผลรวมของดา้ นรปู A รูป B รปู D  29 2  27 หน่วย
แต่อัตราส่วนพน้ื ทขี่ องรปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรัส A: B : D เปน็ 4:9:16
ดังน้นั ใหพ้ ืน้ ทร่ี ูป A รูป B รปู D เป็น 4x,9x,16x ตารางหน่วย ตามลาดับ
ฉะนน้ั ดา้ นแตล่ ะดา้ นของรปู A รปู B รปู D เปน็ 2 x,3 x,4 x หนว่ ย ตามลาดบั
ดังนัน้ 2 x  3 x  4 x  27

9 x  27

x 3

x9

เพราะฉะน้ันพน้ื ทร่ี ปู A รูป B รูป D เป็น 36,81,144 ตารางหน่วย ตามลาดับ
ดังน้ันผลบวกของพ้นื ท่ีรูปสีเ่ หลีย่ มจตั รุ ัส A, B, D เท่ากับ

36 81144  261 ตารางหนว่ ย

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 18

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

แนวคิด (2) จากรปู C มีพ้นื ที่ 4 ตารางหน่วย จะไดด้ า้ นของรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั C ยาว 2 หน่วย
ฉะน้ันผลรวมของดา้ นรปู A รปู B รปู D  29 2  27 หนว่ ย
แต่อัตราส่วนพนื้ ทข่ี องรปู ส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัส A: B : D เป็น 4:9:16
จะได้ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นของรูป A: B : D เปน็ 2:3: 4
ดงั น้ัน 2k  3k  4k  27

9k  27

k 3

ฉะนัน้ ความยาวด้านของรปู A: B : D เปน็ 6,9,12 ตารางหน่วย ตามลาดับ

นั่นคอื พ้ืนท่รี ปู A รปู B รูป D เปน็ 36,81,144 ตารางหนว่ ย ตามลาดับ

ดังนั้นผลบวกของพื้นทรี่ ปู สี่เหลี่ยมจตั รุ สั A, B, D เท่ากับ

36 81144  261 ตารางหนว่ ย
ตอบ 261 ตารางหน่วย

ตอนที่ 2 : แบบอตั นยั จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 21 – 30) ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. ABC เป็นรูปสามเหล่ยี ม มมี ุม ABC เป็นมุมฉาก DBME, FDNG และ HFPK เป็นรูปสี่เหล่ียม
จัตุรัสอยู่ภายในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ถ้า BM  3 เซนติเมตร และ MC 1 เซนติเมตร ดัง
รูป แล้วพน้ื ที่สว่ นท่ีแรเงาเป็นกต่ี ารางเซนตเิ มตร (ตอบเป็นทศนยิ มสองต้าแหน่ง)

แนวคิด เน่ืองจาก BM  3 เซนตเิ มตร และ MC 1 เซนตเิ มตร
จะได้ EM  3 เซนตเิ มตร (ความยาวด้านของรูปสเี่ หลีย่ มจัตุรสั DBME )
และ D ABC EMC GNE KPG (มุมทสี่ มนยั กนั มีขนาดเท่ากัน)

ดงั นน้ั AB  AC  BC

EM EC MC

ฉะนน้ั AB  4 นัน่ คอื AB 12 เซนตเิ มตร
3 1

และ NE  MC

DE BC

ฉะนั้น NE  1 นน่ั คือ NE  3 เซนติเมตร
3 4 4

และ DN  3 3  9 เซนตเิ มตร
4 4

ในทานองเดยี วกัน PG  MC
FG BC

ฉะนัน้ PG  1 นนั่ คอื PG  9 เซนติเมตร
16
94

4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 19

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

และ FP  9  9  36  9  27 เซนตเิ มตร

4 16 16 16

จะได้ พื้นทร่ี ูปสามเหล่ียม ABC  1 12  4  24 ตารางเซนตเิ มตร
2
พื้นทร่ี ูปสี่เหลีย่ มจตั รุ สั DBME  32  9 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่รปู ส่ีเหลย่ี มจตั รุ ัส FDNG  (9)2  81 ตารางเซนติเมตร

4 16

พื้นทรี่ ูปสี่เหลยี่ มจตั ุรสั FDNG  (27)2  729 ตารางเซนติเมตร

16 256

ดังนัน้ พนื้ ที่ส่วนทแี่ รเงาเทา่ กบั 24  9  81  729  15  1296  729
16 256 256

 15  2025  15  7.91  7.09 ตารางเซนตเิ มตร
256

ตอบ 7.09 ตารางเซนตเิ มตร

22. ก้าหนดให้ cos 2A  cos2 A  sin2 A เมื่อ 0  A  90 ถ้า 4cos A 1 แล้ว 8 6 sin A มีค่า

2

เทา่ ใด

แนวคดิ เนอ่ื งจาก cos 2A  cos2 A  sin2 A และ cos2 A  sin2 A 1

จะได้ cos 2A  (1 sin2 A)  sin2 A 1 2sin2 A

จากโจทย์ 4cos A 1 หรอื cos 2  A   1
ฉะน้นั 2 4

cos A  1 2sin2 A
2

1  1 2sin2 A
42

2sin2 A  1 1  3
2 44

sin2 A  3
28

sin A   2 3
2 2

แต่ 0  A  90 ฉะน้นั sin A  3

2 22

ดงั นน้ั 8 6 sin A  8 6  3  12
2 22

ตอบ 12

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 20

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

23. มีลวดหนามยาว 300 เมตร ต้องการล้อมที่ดินบนฝั่งแม่น้าเป็นคอกวัวรูปสี่เหล่ียมมุมฉากสองคอก
ติดกัน โดยแต่ละคอกมีความกว้างเท่ากัน แต่ความยาวของคอกหนึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของอีกคอกหน่ึง ถ้า

ต้องการล้อมรว้ั ให้ไดผ้ ลรวมของพืน้ ทส่ี องคอกมากทส่ี ุดจะได้พืน้ ท่ีรวมกตี่ ารางเมตร
แนวคิด จากโจทย์วาดรปู ประกอบ ให้ความยาวของคอกหน่งึ เทา่ กบั x เมตร

และความยาวของอีกคอกหนึ่งเทา่ กับ 2x เมตร
เน่ืองจาก ลวดหนามยาว 300 เมตร

จะได้ความกวา้ งเท่ากับ 300  3x  100  x
3

ให้ พนื้ ทค่ี อกววั เท่ากับ y ตารางเมตร

จะได้ y  x(100  x)  2x(100  x) 100x  x2  200x  2x2  300x  3x2

เนื่องจาก y  ax2  bx  c, a  0 มคี า่ y สูงสดุ เม่อื x   b
2a

ฉะนั้น x   300  50

2(3)

ดังนนั้ จะต้องล้อมรั้วโดยให้ความยาวของคอกเล็กเทา่ กับ 50 เมตร ความยาวของ

คอกใหญเ่ ท่ากับ 100 เมตร และความกว้างเทา่ กับ 50 เมตร
เพราะฉะนนั้ พ้นื ทค่ี อกเล็ก เทา่ กบั 5050  2500 ตารางเมตร

พ้ืนทีค่ อกใหญ่ เท่ากบั 10050  5000 ตารางเมตร
ดังน้นั ผลรวมของพ้นื ท่ีสองคอกมากที่สดุ จะได้พน้ื ทร่ี วมเท่ากบั

2500  5000  7500 ตารางเมตร
ตอบ 7500 ตารางเมตร

24. ABCDEFGH เป็นกล่องทรงลูกบาศก์ขนาด 999 ลูกบาศก์หน่วย จุด X อยู่บนด้าน AB
และทา้ ให้ AX : AB 1:3 จุด Y อยูบ่ นดา้ น GH และท้าให้ GY :GH 1:3 และจุด Z อยู่บน
ดา้ น DE และทา้ ให้ DZ : DE  2:3 พน้ื ทข่ี องรูปสามเหลย่ี ม XYZ เป็นก่ตี ารางหนว่ ย

แนวคดิ จากรปู XG2  XB2  BG2  62  92  36  81 117

และ XY 2  XG2 YG2 117  9 126 (1)

จากรปู YZ 2  YE2  ZE2  (62  92 )  32  117  9  126 (2)

และ ZX 2  XD2  DZ 2  (32  92)  62 126 (3)

ฉะน้นั XY  YZ  ZX

ดังนน้ั รูปสามเหล่ียม XYZ รูปสามเหลีย่ มด้านเท่า ซงึ่ ยาวดา้ นละ 3 14 หน่วย

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 21
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

เนื่องจากพื้นท่ีของรปู สามเหลีย่ มด้านเท่า เทา่ กับ 3 (ดา้ น)2

4

ดังนน้ั พืน้ ที่ของรปู สามเหลยี่ ม XYZ เท่ากบั

3 (3 14)2  3 (914)  63 3 ตารางหน่วย

44 2

ตอบ 63 3 ตารางหนว่ ย หรือ 54.558 ตารางหน่วย

2

25. ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มดังรปู เสน้ แบ่งครงึ่ BAC พบ BC ท่ี D ถา้ AB  AD  CD,
AD  AC  BC และ ACB  20 แล้วขนาดของ ABC เทา่ กับก่ีองศา

แนวคดิ สร้างให้ E เป็นจดุ บน AC ทท่ี าให้ AB  AE ลาก DE
ตอบ
จะได้ ABD  ADE (เพราะวา่ AD เป็นด้านร่วม 1  2, AB  AE )

ฉะนัน้ BD  DE, 3  6 (2)

เน่อื งจาก AB  AD  CD, AD  AC  BC

จะได้ DE  EC ฉะนน้ั EDC เปน็ รปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั

และได้วา่ 4  5  20 และ 3  4  5  40

ดงั น้นั ABC  6  40

40

26. จากรูป AP  20 หน่วย AQ  6 หน่วย BP  CQ  x หน่วย ถ้าพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม APQ
เท่ากบั พนื้ ที่รปู ส่ีเหล่ียม BCQP แลว้ x มีคา่ เทา่ ใด

แนวคดิ ลากส่วนของเส้นตรง CP
ให้ พน้ื ที่ APQ  a
ตารางหนว่ ย
พ้ืนที่ CPQ  b
พน้ื ที่ BCP  c ตารางหนว่ ย

จะได้ APQ  6 ตารางหนว่ ย

CPQ x ฉะน้นั a  6 (1)
b x

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 22
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

APC  20 ฉะน้นั a  b  20 (2)
BCP x
cx

เนอื่ งจาก พืน้ ทีร่ ปู สามเหลยี่ ม APQ เทา่ กับ พ้ืนที่รปู สีเ่ หลีย่ ม BCQP

จะได้ a  b  c

แทน a ใน (1) จะได้ bc  6 ฉะนน้ั c  6 1 (3)
แทน a ใน (2) จะได้ bx b x (4)
นา (3)(4) จะได้
2b  c  20 ฉะนัน้ 2b  20 1
cx c x

c  2b  ( 6  1)( 2x0 1)
b c x

2  120  26  1
x2 x

0  120  26  1
x2 x

0  ( 3x0  1)( 4 1)
x

ดงั นัน้ x  4 หรือ x  30

แต่ x  0 ฉะนน้ั x  4

ตอบ 4

27. ถา้ x  2 1 แลว้ 1 6x  3x2  x6  2x7  2x8  2x9  x10 มีคา่ เท่าใด
แนวคดิ เน่อื งจาก x  2 1
จะได้ x2  2  2 2 1  3 2 2 และ x4  9 12 2  8 17 12 2
จาก 1 6x  3x2  x6  2x7  2x8  2x9  x10

 1 3x(2  x)  x6 (1 2x)  2x8(1 x)  x10

 1 3( 2 1)(2  2 1)  x6 (1 2( 2 1))  2x8(1 ( 2 1))  x10

 1 3( 2 1)( 2 1)  x6 (3  2 2)  2x8(2  2)  x10

 1 3  x6[3  2 2  2x2 (2  2)  x4 ]

 4  x6[3  2 2  (3  2 2)(4  2 2) 17 12 2]

 4  x6[3  2 2  (12  6 2  8 2  8) 17 12 2]

 4  x6[3  2 2  (20 14 2) 17 12 2]

 4  x6[3  2 2  20 14 2 17 12 2]

 4  x6[0]

4

ตอบ 4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 23
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

28. สัมประสิทธิ์ของ x88 จากผลคูณ (x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x6)...(x88)(x89)(x90)

มคี า่ เท่าใด
แนวคดิ กาหนดให้ สมั ประสิทธิข์ อง x88 เป็น S

จะได้ 2S  (1 2  3 4  5  6 ... 88  89  90)2  (12  22  32 ... 902)

2S  (1305)2  247065

2S  1703025  247065  1455960

ดงั นน้ั S  727980
ตอบ 727980

29. จงหาค้าตอบของสมการ 108  378  x  x2  2916
x2  2916 x  54

แนวคิด เน่อื งจาก 542  2916 ให้ x  54y จะได้ x  54  54y  54  54(y 1)

และ 378  x  378  54y  54(7  y)

และ x2  2916  (54y)2  2916  2916y2  2916  2916( y2 1)

แทนค่าลงในโจทย์จะได้

108  54(7  y)  2916( y2 1)
2916( y2 54( y 1)
1)

108  54(7  y)  54 y2 1
y2 1 54( y 1)
54

2 7  y  y 2  1
y2 y 1


1

2 y  2  (7  y) y2 1  ( y2 1)

y2  2 y 1 (7  y) y2 1

( y 1)2  (7  y) y2 1

( y 1)4  (7  y)2 ( y2 1), y 1 0

( y 1)4  (7  y)2 ( y 1)( y 1)

( y 1)3  (7  y)2 ( y 1)

y3  3y2  3y 1 y3 15 y2  63y  49

18y2  60 y  50  0

9 y2  30 y  25  0

(3y  5)2  0

y  5
3

ดงั นน้ั x  54(53) 185  90

ตอบ 90

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 24
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

30. กา้ หนด S 1 1  1 ... 1 สว่ นที่เปน็ จ้านวนเต็มของ S มคี า่ เท่าใด
1000000 2
23

แนวคิด เน่อื งจาก 1 1 1
n 1 n 2 n n  n 1

จะได้ n 1  n  1  n  n 1

2n

S  ( 2 1)  ( 3  2) ...  ( 1000000  999999)  1
2 2 1000000

S  ( 1 0)  ( 2 1)  ...  ( 1000000  999999)
2

ดังนน้ั 1000000  1 1  S  1000000  0
2 1000000 2

999  1  S  1000
2000 2

เพราะฉะนน้ั สว่ นทเ่ี ปน็ จานวนเต็มของ S มีคา่ เท่ากบั 999
2

ตอบ 999

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 1

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาตอนต้น

เพ่อื การคัดเลอื กนักเรยี นระดบั เขตพ้ืนที่การศกึ ษา

ตอนท่ี 1 : แบบอัตนยั จานวน 15 ข้อ (ข้อ 1 – 15) ขอ้ ละ 2 คะแนน รวม 30 คะแนน

1. จานวนเต็มบวกท่หี าร 2550 ลงตวั และเปน็ พหคุ ณู ของ 3 มีทงั้ หมดกจ่ี านวน

2. ถา้ 59 27  551145  a b และ ห.ร.ม. ของ b และ c เทา่ กับ 1 แล้ว abc มคี า่ เทา่ ใด
28 c

3. จานวนเต็มบวก N ที่นอ้ ยท่ีสดุ มีคา่ เทา่ ใด เม่อื N หารด้วย 10 เหลือเศษ 8 หารดว้ ย 8 เหลอื เศษ 6
หารดว้ ย 6 เหลือเศษ 4 หารด้วย 4 เหลอื เศษ 2 และหารด้วย 11 เหลอื เศษ 6

4. ถ้า 12343215  a เมือ่ a เป็นจานวนในรปู ฐานสบิ แลว้ a ในรปู ฐานสบิ มคี ่าเท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 2
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2552
5. ผลสาเรจ็ ของ 123 18  63 72  33 12 มคี า่ เท่าใด

6 3 2 3 36  3 18  3 9

6. จงสงั เกต

จงหาค่าของ 22  42  62  82 ... 202

7. จากรปู ภาพคลข่ี องกลอ่ งทรงส่ีเหลยี่ มมุมฉาก ถา้ ความยาวทีก่ าหนดมหี นว่ ยเป็นเซนติเมตร แล้วปริมาตร
จองกลอ่ งใบน้กี ล่ี ูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 3

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

8. กาหนดให้ A เพ่ิมข้ึนจากเดิม 20% แล้วลดลง 20% อีกคร้ัง ทาให้ A เปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายนี้

ลดลงเม่ือเทียบจากเดิม m% กาหนดให้ B ลดลงจากเดิม 20% แล้วลดลงอีก 20% อีกคร้ัง ทาให้

B เปลีย่ นแปลงครั้งสุดทา้ ยนี้ลดลงเมือ่ เทียบจากเดมิ n% แลว้ m และ n มีค่าตา่ งกันเทา่ ใด

9. ABCD เปน็ รูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า มี AB  30 หน่วย BC  20 หนว่ ย
ถา้ AP : PD  BQ :QC  3: 2 และ AT : BT  CS : SD  3: 2 แลว้ พน้ื ทท่ี ี่แรเงากีต่ ารางหนว่ ย

10. ปริซึมทางสี่เหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่งมีด้านกว้าง a หน่วย สูง b หน่วย ยาว c หน่วย โดยที่
a : (b  c) 1: 4 และ c : (a  b) 1:1 ถ้า c b  60 หน่วย แล้วปริมาตรของปริซึมน้ีเท่ากับก่ี
ลกู บาศกห์ น่วย

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 4

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

11. จากรูป รปู สามเหลีย่ ม ABC มมี มุ B เป็นมมุ ฉาก BC  6 หน่วย AC 10 หน่วย จุด P,Q และ

R อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั โดยท่ีจุด Q อยู่บนด้าน AC ถ้าส่วนของเส้นตรง PQ ขนานกับส่วนของ

เสน้ ตรง CB และ PQ 12 หนว่ ย แล้วพน้ื ท่ีของรูปสามเหลีย่ ม PAC เทา่ กบั ก่ีตารางหน่วย

12. จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมทีม่ ี AB  AC จุด D และ E เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BC และ
AC ตามลาดับ ถ้าพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยม AOE และ AOB เป็น 11 และ 12 ตารางหน่วย
ตามลาดับ แลว้ พ้นื ท่รี ปู สามเหลีย่ ม ABC เปน็ กี่เท่าของพืน้ ทีข่ องรปู สามเหลย่ี ม BOD

13. ถ้า p และ q เป็นรากของสมการ x2 5x  3  0 แลว้ ( p  q)2 มีคา่ เทา่ ใด
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 5
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2552

14. ถ้า y  x2  9x  30 และ x2  9x 15  2 x2  9x  30 แล้ว y มีคา่ เท่าใด

15. ถ้า x, y, z เป็นจานวนเต็มและสอดคล้องกับระบบสมการ x2  2y 1 0, y2  2z 1 0 และ
z2  2x 1  0 แล้ว x2008  y2552  z4660 มีค่าเท่าใด

ตอนที่ 2 : แบบอัตนยั จานวน 10 ขอ้ (ข้อ 16 – 25) ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

16. ผลคูณของรากของสมการ 3 | x |8 133 | x |4  48  0 มีคา่ เท่าใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 6

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

17. ABC เป็นรปู สามเหล่ียมด้านเท่า มี P เป็นจุดภายใน ทาให้ PA  20 หน่วย PC  21 หน่วย ถ้า

APC 150 แล้ว BP เท่ากับก่หี นว่ ย

18. จากรปู รปู สามเหลี่ยม ABC มี O เป็นจดุ บน ด้าน AB และ O เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม O ท่ี
สัมผัสด้าน BC ที่จุด Q และสัมผัสด้าน AC ที่จุด R ถ้า BC  2 หน่วย AC  3 หน่วย และ
AB  4 หนว่ ย แลว้ วงกลม O มีพ้นื ทก่ี ่ีตารางหนว่ ย (ตอบในรปู ของ  )

19. ให้ p เป็นจานวนเต็ม และ q เปน็ จานวนเฉพาะ ถ้า 777 หารด้วย p เหลอื เศษ q และ 910 หาร
ด้วย p เหลอื เศษ q เท่ากนั แล้ว p  q มคี ่าเทา่ ใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 7

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

20. ถ้า p(x)  (x 1)3  2(x 1)2  3(x 1)  5 และ q(x)  a(x 1)3  b(x 1)2  c(x 1)  d

โดยท่ี p(2)  q(2), p(4)  q(4), p(7)  q(7) และ p(3)  q(3) แล้ว a2  b2  c2  d 2 มี

คา่ เท่าใด

21. ถา้ x  y  z  x  y  z  342 และ x  y  z  x  y  z  306 แลว้
x2  y2  y2  z2  2yz มีค่าเท่าใด

22. แบง่ พนื้ ที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้า ABCD ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 9 รูป โดยท่ีตัวเลขแสดงพื้นที่มีหน่วย
เปน็ ตารางหน่วย ดังรูป ถ้า AD 13 หน่วย แลว้ รปู สี่เหล่ยี มผืนผา้ ABCD มีพื้นทกี่ ตี่ ารางหนว่ ย

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 8

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

23. ลูกเต๋าลกู หนึง่ มี 6 หนา้ แต่ละหน้าตดิ หมายเลขท่แี กตา่ งกนั โดยหมายเลขนัน้ เปน็ ตัวประกอบของ 45

ถา้ โยนลกู เต๋า 2 ครงั้ แลว้ ความนา่ จะเป็นท่ผี ลคณู ของจานวนบนหนา้ ท้ังสองเป็นกาลังสองสมบูรณ์มีค่า

เทา่ ใด (ตอบในรปู เศษส่วนอย่างต่า)

24. m, n ถูกเลือกจาก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 จงหาความน่าจะเป็นท่ี x2  mx  n2  0 จะมีคาตอบเป็น
จานวนจรงิ คาตอบเดียว (ตอบในรูปเศษสว่ นอย่างต่า)

25. กาหนดจานวนจริงเรยี งกันดังนี้

ถ้า A แทนผลบวกของสมาชิกตั้งแต่แถวที่ 1 ถึงแถวท่ี 20 และ B แทนผลบวกของสมาชิกต้ังแต่แถว
ที่ 1 ของทกุ แถวตงั้ แตแ่ ถวที่ 1 จนถงึ แถวที่ 10 แล้ว A B มีคา่ เทา่ ใด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 9

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

ตอนที่ 3 : แบบอัตนยั จานวน 5 ขอ้ (ขอ้ 26 – 30) ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน

26. ABC และ PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยที่ AP  BP  AQ  CQ  BR  CR 19
หนว่ ย แต่ BC และ PQ ไมเ่ ท่ากัน ถา้ PQ  26 หน่วย แลว้ รูปสามเหล่ียม ABC มีความยาวรอบ
รูปก่ีหนว่ ย

27. ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมคางหมู มีความยาวรอบรูป 2009 หน่วย BAD  2BCD 108 ถ้า
BC 111 หนว่ ย แล้ว CD เทา่ กับกห่ี นว่ ย

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 10

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

28. กาหนดเส้นตรง nx  (n 1)y  2 2 ตัดแกน X ท่จี ดุ A และตดั แกน Y ท่ีจุด B จุด O เปน็ จุด

กาเนดิ ให้ Sn แทนพนื้ ท่ีของรปู สามเหลย่ี ม AOB ถา้ S1  S2  S3  ...  S9  a และ ห.ร.ม. ของ
b

a กับ b เท่ากับ 1 แล้ว a  b มคี ่าเท่าใด

29. กาหนดให้ p, q เป็นคาตอบของสมการ x2 5x 3 0 ถา้ m, n เปน็ จานวนนบั ทที่ าให้
Am  5An 3An1 โดยท่ี An  pn  qn แลว้ Amn มคี า่ เทา่ ใด

30. ผลรวมของจานวนเตม็ บวก n ท้งั หมด ซง่ึ ทาให้ n2  2552 เปน็ จานวนกาลงั สองมคี ่าเท่าใด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 11
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2552

เฉลย : แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์

ตอนที่ 1 : แบบอัตนยั จานวน 15 ข้อ (ข้อ 1 – 15) ข้อละ 2 คะแนน รวม 30 คะแนน

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ
1. 12 2. 3,775 3. 358 4. 156 5. 0
6. 1,540 7. 480 8. 32 9. 300 10. 810,000
11. 48 12. 6 13. 13 14. 5 15. 3

ตอนที่ 2 : แบบอัตนัย จานวน 10 ขอ้ (ขอ้ 16 – 25) ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
16. -64 17. 29 18. 1.35 19. 36 20. 139
21. 18 22. 65 23. 5 24. 4 25. 21,980

18 49

ตอนที่ 3 : แบบอัตนัย จานวน 5 ข้อ (ข้อ 26 – 30) ข้อละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน

ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ
26. 111 27. 949 28. 23 29. 5 30. 1,008

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 12

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

เฉลยแนวคดิ แบบทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์ ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาตอนตน้

เพื่อการคดั เลอื กนกั เรยี นระดับเขตพื้นท่ีการศกึ ษา

ตอนท่ี 1 : แบบอตั นยั จานวน 20 ข้อ (ขอ้ 1 – 20) ข้อละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. จานวนเตม็ บวกทีห่ าร 2550 ลงตวั และเป็นพหคุ ูณของ 3 มีท้งั หมดกจ่ี านวน
แนวคดิ เน่ืองจาก 2550  2352 17 จะได้ว่าจานวนเต็มบวกท่ีหาร 2550 ลงตัวมี 24
จานวน ไดแ้ ก่ 1, 2,3,5,6,10,15,17, 25,30,34,50,51,75,85,102,150,170,

255, 425,510,850,1275, 2550

ดังนั้น จานวนเต็มบวกทห่ี าร 2550 ลงตัว และเปน็ 3 เป็นตวั ประกอบ
มี 232 12 จานวน

ตอบ 12 จานวน

2. ถ้า 59 27  551145  a b และ ห.ร.ม. ของ b และ c เทา่ กับ 1 แลว้ abc มีค่าเท่าใด
28 c

แนวคิด พิจารณา 59 27  55 14  (60  218)  (56  115)
28 15

 (60  218)  (56  115)

 60  56  60  1  1  56  1  1
15 28 28 15

 3360  4  2  1  3354 1
420 420

ฉะนั้น a  3354, b 1, c  20

ดังนนั้ a  b  c  3354 1 20  3775
ตอบ 3775

3. จานวนเตม็ บวก N ทีน่ ้อยทส่ี ุดมีคา่ เท่าใด เมอื่ N หารดว้ ย 10 เหลอื เศษ 8 หารดว้ ย 8 เหลือเศษ 6
หารด้วย 6 เหลือเศษ 4 หารด้วย 4 เหลือเศษ 2 และหารด้วย 11 เหลอื เศษ 6
แนวคดิ พิจารณา

2 10 8 6 4

25 4 3 2

5 23 1

ฉะน้ัน ค.ร.น.ของ 10,8,6,4 คอื 22523 120
ฉะนัน้ จานวนนับท่ีหารด้วย 10 เหลือเศษ 8 หารด้วย 8 เหลือเศษ 6 หารด้วย 6

เหลอื เศษ 4 และหารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 2 คอื 120  2 118
แต่ 118 หารดว้ ย 11 เหลือเศษ 8 ดงั นน้ั N 118120 120  358
ซง่ึ 358 หารด้วย 11 เหลอื เศษ 6
ตอบ 358

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 13

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

4. ถา้ 12343215  a เมือ่ a เป็นจานวนในรูปฐานสิบ แลว้ a ในรปู ฐานสิบมคี า่ เท่าใด
แนวคดิ ให้ b  5, 1234321b  b6  2b5  3b4  4b3  3b2  2b 1

 (b3  b2  b 1)2  (53  52  5 1)2  1562

ดงั น้ัน a  12343215  1562 156
ตอบ 156

5. ผลสาเร็จของ 123 18  63 72  33 12 มคี ่าเท่าใด

6 3 2 3 36  3 18  3 9

แนวคิด

12 3 18  6 3 72  33 12  6 3 2(2 3 9  3 36)  33 12( 3 6  3 3)

6 3 2 3 36  3 18  3 9 6 3 2 ( 3 36  3 18  3 9)( 3 6  3 3)

33 12 (3 6  3 3)
63
 (2 3 9  3 36 ) 

 (2 3 9  3 36)  3 12( 3 6  3 3)

 (2 3 9  3 36)  3 72  3 36

 2 3 9  3 36  2 3 9  3 36  0

ดังนั้น 0
ตอบ 156

6. จงสังเกต

จงหาคา่ ของ 22  42  62  82 ... 202

แนวคิด จากโจทยส์ งั เกตพบว่า 12  22  32 ... n2  n(n 1)(2n 1)

6

ดงั น้ัน 22  42  62  82 ... 202  22(12  22  32 ...102)

 22(10)(11)(21)  1,540
6

ตอบ 1,540

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 14

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

7. จากรูป ภาพคลขี่ องกลอ่ งทรงสีเ่ หลีย่ มมมุ ฉาก ถา้ ความยาวท่ีกาหนดมหี นว่ ยเป็นเซนติเมตร แล้วปริมาตร

จองกลอ่ งใบน้ีกีล่ กู บาศก์เซนติเมตร

แนวคิด จากรปู ปรมิ าตรของกลอ่ งใบนี้ เท่ากับ กว้างยาวสงู
ตอบ
ดังนนั้ ปรมิ าตรของกล่องใบนี้ เทา่ กบั 8 28  2(8) 10  480 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

2

480 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

8. กาหนดให้ A เพิ่มขึ้นจากเดิม 20% แล้วลดลง 20% อีกครั้ง ทาให้ A เปล่ียนแปลงคร้ังสุดท้ายนี้
ลดลงเม่ือเทียบจากเดิม m% กาหนดให้ B ลดลงจากเดิม 20% แล้วลดลงอีก 20% อีกคร้ัง ทาให้
B เปลยี่ นแปลงคร้งั สุดท้ายนลี้ ดลงเมอื่ เทยี บจากเดิม n% แล้ว m และ n มีคา่ ตา่ งกนั เทา่ ใด
แนวคิด จากโจทย์
A จาก 100 เพิ่มเปน็ 120 แลว้ ลดลงเปน็ 120  24  96 ฉะนน้ั A ลดลง 4%
B จาก 100 เพิม่ เป็น 80 แลว้ ลดลงเป็น 80 16  64 ฉะน้นั B ลดลง 36%
จะไดว้ ่า m  4 และ n  36
ดงั น้นั m และ n มคี า่ ต่างกนั 32
ตอบ 32

9. ABCD เปน็ รูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผ้า มี AB  30 หน่วย BC  20 หนว่ ย
ถ้า AP : PD  BQ :QC  3: 2 และ AT : BT  CS : SD  3: 2 แลว้ พื้นท่ีทีแ่ รเงากตี่ ารางหนว่ ย

แนวคดิ จากรูป พ้นื ทีท่ แี่ รเงาเป็นคร่ึงหนงึ่ ของพื้นที่รูปสีเ่ หลีย่ ม ABCD เท่ากบั
ตอบ
1  30  20  300 ตารางหนว่ ย
2

300 ตารางหนว่ ย

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 15

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

10. ปริซึมทางสี่เหล่ียมมุมฉากอันหน่ึงมีด้านกว้าง a หน่วย สูง b หน่วย ยาว c หน่วย โดยท่ี

a : (b  c) 1: 4 และ c : (a  b) 1:1 ถ้า c b  60 หน่วย แล้วปริมาตรของปริซึมน้ีเท่ากับก่ี

ลูกบาศกห์ นว่ ย

แนวคดิ จาก a : (b  c) 1: 4 และ c : (a  b) 1:1 เมอ่ื c  60  b

จะได้ a : (b  b  60) 1: 4 และ b  60 : (a  b) 1:1

ฉะนัน้ a  60, b  90, c 150

ดังนนั้ ปรมิ าตรของปรซิ มึ นเี้ ท่ากบั abc  6090150  810,000ลูกบาศกห์ นว่ ย

ตอบ 810,000 ลูกบาศก์หนว่ ย

11. จากรปู รปู สามเหล่ียม ABC มมี ุม B เปน็ มุมฉาก BC  6 หนว่ ย AC 10 หน่วย จุด P,Q และ
R อย่บู นเส้นตรงเดียวกัน โดยทจ่ี ดุ Q อยู่บนด้าน AC ถ้าส่วนของเส้นตรง PQ ขนานกับส่วนของ
เส้นตรง CB และ PQ 12 หนว่ ย แลว้ พนื้ ท่ีของรูปสามเหลี่ยม PAC เทา่ กับกต่ี ารางหน่วย

แนวคิด จากรูป AB  102  62  64  8
ตอบ ให้ AR  a และ RB  b

ดังนน้ั พนื้ ท่ีของ PAC เทา่ กบั พืน้ ที่ของ PAQ + พ้ืนที่ของ PCQ

 1 12  a  1 12  a  1 12 (a  b)  68  48 ตารางหนว่ ย
2 2 2

48 ตารางหน่วย

12. จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มท่มี ี AB  AC จดุ D และ E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ
AC ตามลาดับ ถ้าพื้นที่รูปสามเหลี่ยม AOE และ AOB เป็น 11 และ 12 ตารางหน่วย
ตามลาดับ แล้วพืน้ ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม ABC เปน็ กเ่ี ท่าของพืน้ ท่ขี องรปู สามเหลี่ยม BOD

แนวคดิ จากรูป AD, BE เปน็ เสน้ มธั ยฐาน จะได้ AO :OD  BO :OE  2:1
ตอบ พื้นทร่ี ูปสามเหล่ียม BOD = พ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี ม AOE = 11 ตารางหน่วย
พน้ื ที่รูปสามเหล่ยี ม ABE = พ้ืนทร่ี ปู สามเหลี่ยม CBE = 33 ตารางหนว่ ย
พ้ืนที่รูปสามเหล่ียม ABC = พน้ื ที่รปู สามเหลยี่ ม ABE + พ้นื ท่ีรปู สามเหลย่ี ม CBE
ฉะน้นั พนื้ ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม ABC = 3333  66 ตารางหน่วย
ดงั นน้ั พน้ื ท่รี ูปสามเหล่ยี ม ABC เปน็ 6 เทา่ ของพนื้ ทข่ี องรูปสามเหลีย่ ม BOD

6

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 16

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

13. ถ้า p และ q เปน็ รากของสมการ x2 5x  3  0 แล้ว ( p  q)2 มคี า่ เท่าใด

แนวคิด จาก p และ q เป็นรากของสมการ x2 5x  3  0

จะได้ p  q  5, pq  3

ดงั น้นั ( p  q)2  p2  2 pq  q2  ( p  q)2  4 pq

 25 12 13

ตอบ 13

14. ถ้า y  x2  9x  30 และ x2  9x 15  2 x2  9x  30 แล้ว y มคี ่าเท่าใด

แนวคิด จาก y  x2  9x  30 จะได้ y2  x2  9x  30

และ y2 15  x2  9x 15

และจาก x2  9x 15  2 x2  9x  30 จะได้ y2  2y 15  0

นนั่ คอื (y  3)(y 5)  0 ฉะนนั้ y  5,3

แต่ y  x2  9x  30  0 ดงั นนั้ y  5

ตอบ 5

15. ถ้า x, y, z เป็นจานวนเต็มและสอดคล้องกับระบบสมการ x2  2y 1 0, y2  2z 1 0 และ
z2  2x 1  0 แล้ว x2008  y2552  z4660 มีค่าเทา่ ใด
แนวคิด นาท้ังสามสมการรวกันได้

x2  2x 1 y2  2y 1 z2  2z 1 0

(x 1)2  ( y 1)2  (z 1)2  0

ฉะนัน้ x 1  0, y 1 0, z 1 0
จะได้ x  1, y  1, z  1
ดงั นัน้ x2008  y2552  z4660  (1)2008  (1)2552  (1)4660  3
ตอบ 3

ตอนที่ 2 : แบบอตั นัย จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 16 – 25) ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

16. ผลคูณของรากของสมการ 3 | x |8 133 | x |4  48  0 มคี า่ เทา่ ใด

แนวคิด ให้ a  | x | จะได้ 44

(a3 )2 13a3  48  0

44

(a3 16)(a3  3)  0

44

a3  16, a3  3

a8

แต่ a  | x |  0 ฉะน้นั | x |  8 จะได้ x  8,8

ดงั นนั้ ผลคูณของรากของสมการ คอื 8(8)  64

ตอบ 64

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 17

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

17. ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มด้านเท่า มี P เป็นจุดภายใน ทาให้ PA  20 หน่วย PC  21 หน่วย ถ้า

APC 150 แล้ว BP เทา่ กบั กีห่ น่วย

แนวคดิ จากรปู หมุน ABP รอบจดุ A ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ าเปน็ มุม 60 ลาก PP
ตอบ
ฉะน้ัน APP เป็นรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า และ PPC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก

จะได้ x2  202  212  841 นั่นคอื x  29

ดังนั้น BP  29 หน่วย

29 หนว่ ย

18. จากรูป รูปสามเหลีย่ ม ABC มี O เป็นจดุ บน ด้าน AB และ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม O ที่
สัมผัสด้าน BC ท่ีจุด Q และสัมผัสด้าน AC ท่ีจุด R ถ้า BC  2 หน่วย AC  3 หน่วย และ

AB  4 หน่วย แลว้ วงกลม O มีพนื้ ทีก่ ต่ี ารางหน่วย (ตอบในรปู ของ  )

แนวคดิ จากสูตรพน้ื ที่ ABC  s(s  a)(s b)(s  c) โดยที่ s  abc
ตอบ 2

จากรปู ABC จะไดว้ ่า s 234  9
22

จากรปู พ้นื ที่ ABC  พนื้ ท่ี OAC  พืน้ ที่ OBC

จะได้ 9 ( 92  2)( 9  3)( 92  4)  1  2 r  1 3 r
2 2 2 2

9 ( 52 )( 3 )( 1 )  1  2  r  1  3  r
2 2 2 2 2

3 15  5r
4 2

r  3 15
10

ดงั นั้น วงกลม O มพี น้ื ท่ี  (3 15 )2   (915)  27 หนว่ ย
10 100 20

27 ตารางหนว่ ย

20

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 18
การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2552

19. ให้ p เป็นจานวนเต็ม และ q เปน็ จานวนเฉพาะ ถา้ 777 หารด้วย p เหลอื เศษ q และ 910 หาร

ดว้ ย p เหลอื เศษ q เท่ากัน แลว้ p  q มีคา่ เท่าใด

แนวคิด จากโจทย์จะได้ 777  pm  q, m I (1)

910  pn  q, n I (2)

นา (2)  (1); 133  p(n  m)

197  p(n  m)

แต่ p  7 เพราะวา่ 7 หาร 777 ลงตัว ฉะนั้น p 19 จะได้ q 17
ดังนัน้ p  q 19 17  36
ตอบ 36

20. ถ้า p(x)  (x 1)3  2(x 1)2  3(x 1)  5 และ q(x)  a(x 1)3  b(x 1)2  c(x 1)  d

โดยที่ p(2)  q(2), p(4)  q(4), p(7)  q(7) และ p(3)  q(3) แล้ว a2  b2  c2  d 2 มี

คา่ เท่าใด

แนวคดิ จากโจทย์ p(x)  (x 1)3  2(x 1)2  3(x 1)  5

จะได้ p(x)  [(x 1)  2]3  2[(x 1)  2]2 3[(x 1)  2] 5

 (x 1)3  3(x 1)2 (2)  3(x 1)(2)2  8

 2[(x 1)2  4(x 1)  4]  3(x 1)  6  5

 (x 1)3  6(x 1)2 12(x 1)  8

 2(x 1)2  8(x 1)  8  3(x 1) 11

 (x 1)3  4(x 1)2  (x 1) 11

 q(x)

ฉะนน้ั a 1, b  4, c 1, d  11
ดงั นั้น a2  b2  c2  d 2  12  42 12  (11)2  116 1121  139
ตอบ 139

21. ถา้ x  y  z  x  y  z  342 และ x  y  z  x  y  z  306 แลว้

x2  y2  y2  z2  2yz มคี า่ เท่าใด
แนวคดิ ให้ A  x  y  z ฉะนั้น A  0

จากโจทย์จะได้ A2  A342  0

(A 18)(A 19)  0

A  18

ให้ B  x  y  z ฉะนัน้ B  0
จากโจทย์จะได้ B2  B 306  0

(B 18)(B 17)  0

B  18

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 19

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

ฉะน้ัน AB  x  y  z x  y  z  x2  y2  y2  z2  2yz

1818  x2  y2  y2  z2  2yz

ดงั น้นั x2  y2  y2  z2  2yz  1818  18

ตอบ 18

22. แบง่ พน้ื ที่รูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า ABCD ออกเป็นรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้า 9 รูป โดยท่ีตัวเลขแสดงพ้ืนท่ีมีหน่วย
เป็นตารางหนว่ ย ดังรูป ถา้ AD 13 หนว่ ย แล้วรปู สี่เหล่ียมผนื ผา้ ABCD มพี ื้นที่กีต่ ารางหน่วย

แนวคดิ จากรูป a8  86 ฉะนนั้ a  6
ตอบ
b8  64 ฉะนนั้ b  3

c8  412 ฉะน้นั c  6

d 8  812 ฉะนั้น d 12

ดังนน้ั รูปสี่เหล่ยี มผืนผ้า ABCDมพี ้ืนทเ่ี ทา่ กับ 6312  6 38  65 ตารางหนว่ ย

65 ตารางหน่วย

23. ลกู เตา๋ ลกู หนึ่งมี 6 หน้า แต่ละหนา้ ตดิ หมายเลขทแี่ กต่างกัน โดยหมายเลขนัน้ เปน็ ตัวประกอบของ 45
ถ้าโยนลกู เตา๋ 2 คร้งั แล้วความนา่ จะเป็นทีผ่ ลคณู ของจานวนบนหน้าท้ังสองเป็นกาลังสองสมบูรณ์มีค่า
เท่าใด (ตอบในรูปเศษสว่ นอย่างต่า)
แนวคิด จากโจทย์ 45  32 5
ฉะนั้น ตัวประกอบทง้ั หมดของ 45 มี 6 จานวน ได้แก่ 1,3,5,9,15,45

นนั่ คอื n(S)  66  36

ให้ E แทนเหตุการณท์ ผี่ ลคูณของจานวนบนหนา้ ท้ังสองเป็นกาลังสองสมบรู ณ์
ฉะนน้ั

E  {(1,1), (3,3), (5,5), (9,9), (15,15), (45, 45), (1,9),

(9,1), (5, 45), (45,5)}

n(E) 10

ดงั น้ัน P(E)  10  5
36 18

ตอบ 5

18

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 20

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

24. m, n ถูกเลือกจาก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 จงหาความน่าจะเป็นท่ี x2  mx  n2  0 จะมีคาตอบเป็น

จานวนจริงคาตอบเดียว (ตอบในรปู เศษส่วนอยา่ งตา่ )

แนวคดิ การทดลองสมุ่ เปน็ การเลือก m, n อย่างละ 1 ตัว จากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

นั่นคือ n(S)  77  49

ให้ E แทนเหตกุ ารณ์ท่ี x2  mx  n2  0 จะมีคาตอบเปน็ จานวนจริงคาตอบเดยี ว

ฉะนั้น m2  4n2  0

นั่นคือ E {(0,0),(2,1),(4, 2),(6,3)} จะได้ n(E)  4

ดังน้ัน P(E)  4
49

ตอบ 4

49

25. กาหนดจานวนจรงิ เรยี งกนั ดงั นี้

ถา้ A แทนผลบวกของสมาชิกตั้งแต่แถวท่ี 1 ถึงแถวที่ 20 และ B แทนผลบวกของสมาชิกตั้งแต่แถว
ท่ี 1 ของทุกแถวต้งั แตแ่ ถวที่ 1 จนถึงแถวที่ 10 แล้ว A B มีคา่ เทา่ ใด
แนวคดิ

จากตารางจะได้ A 1 (2  3)  (4  5  6)  (7 8 9 10) ... 210

 210 (1 210)  22155
2

B 1 2  4  7 1116  22  29  37  46 175

ดังน้ัน A B  22155175  21980
ตอบ 21980

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 21

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

ตอนที่ 3 : แบบอัตนัย จานวน 5 ข้อ (ข้อ 26 – 30) ข้อละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน

26. ABC และ PQR เป็นรูปสามเหล่ียมด้านเท่า โดยท่ี AP  BP  AQ  CQ  BR  CR 19
หน่วย แต่ BC และ PQ ไมเ่ ทา่ กนั ถา้ PQ  26 หนว่ ย แล้วรูปสามเหล่ียม ABC มคี วามยาวรอบ
รูปก่ีหน่วย

แนวคิด จากรูป AT  192 132  632  8 3
ตอบ
และ RT  13 3, RO  26 3
3

ฉะนัน้ OT  13 3, AO  37 3 ดังน้นั AB  37
3
3

เพราะฉะนั้น รปู สามเหลย่ี ม ABC มคี วามยาวรอบรูป 3(37) 111 หนว่ ย

111 หนว่ ย

27. ABCD เป็นรูปส่เี หลย่ี มคางหมู มีความยาวรอบรูป 2009 หนว่ ย BAD  2BCD 108
ถ้า BC 111 หน่วย แลว้ CD เทา่ กบั ก่หี น่วย

แนวคดิ วาดรูปตามโจทย์ ลาก AT แบ่งครงึ่ BAD
ตอบ จะได้ 2a  2b 111 2009
ฉะนนั้ a  b  949
ดงั นน้ั CD  494 หน่วย
494 หน่วย

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 22

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

28. กาหนดเส้นตรง nx  (n 1)y  2 2 ตดั แกน X ทจี่ ดุ A และตดั แกน Y ที่จุด B จุด O เปน็ จุด

กาเนิด ให้ Sn แทนพ้ืนทีข่ องรูปสามเหล่ียม AOB ถ้า S1  S2  S3  ...  S9  a และ ห.ร.ม. ของ
b

a กับ b เท่ากบั 1 แลว้ a  b มีค่าเท่าใด

แนวคดิ จากโจทย์ Sn  1  22  2 2  4 จะได้
ตอบ 2 n n 1 n(n 1)

S1  S2  S3  ...  S9  4  4  4  ..  4
1 2 23 34 9 10

 4  1  1  1  1  1  1  ..  1  1 
 1 2 2 3 3 4 9 10 

 4 1  1   4 8  18  a
10  10 5 b

ดังน้นั a  b 18 5  23

23

29. กาหนดให้ p, q เป็นคาตอบของสมการ x2 5x 3 0 ถ้า m, n เป็นจานวนนบั ทีท่ าให้

Am  5An 3An1 โดยท่ี An  pn  qn แลว้ Amn มคี ่าเทา่ ใด

แนวคิด เนื่องจาก p, q เป็นคาตอบของสมการ x2 5x 3 0

จะได้ p  q  5 และ pq  3

และจาก Am  5An 3An1

Am  ( p  q) An  pqAn1

 ( p  q)( pn  qn )  pq( pn1  qn1)

 pn1  pqn  qpn  qn1  pnq  pqn

 pn1  qn1

 An1

ฉะน้ัน m  n 1 น่นั คือ m  n 1
ดงั น้นั Amn  A1  p  q  5

ตอบ 5

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 23

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2552

30. ผลรวมของจานวนเตม็ บวก n ทง้ั หมด ซึ่งทาให้ n2  2552 เปน็ จานวนกาลังสองมีค่าเทา่ ใด

แนวคดิ พจิ จารณา n2  2552 เปน็ จานวนกาลังสอง

(1) n2  2552  n2  4n  4  2548  4n  (n  2)2  4(637  n)

ถ้า n  637 จะได้ 6372  2552  6392

(2) n2  2552  n2  8n 16  2536 8n  (n  4)2  8(317  n)

ถา้ n  317 จะได้ 3172  2552  3212

(3) n2  2552  n2  44n  484  2068  44n  (n  22)2  44(47  n)

ถ้า n  47 จะได้ 472  2552  692

(4) n2  2552  n2 116n  3364 116n 812  (n  58)2 116(n  7)

ถ้า n  7 จะได้ 72  2552  512

(5) n2  2552  n2  88n 1936  88n  616  (n  44)2  8(n  7)

ถา้ n  7 จะได้ 72  2552  512

ดงั นัน้ ผลรวมของจานวนเต็มบวก n ทัง้ หมด คือ 637 317  47  7 1008

ตอบ 1008

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 1

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

แบบทดสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาตอนต้น

เพื่อการคดั เลอื กนักเรียนระดับเขตพ้ืนทก่ี ารศกึ ษา

ตอนท่ี 1 : แบบอตั นยั จานวน 10 ข้อ (ข้อ 1 – 10) ข้อละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน

1. จงหา ค.ร.น.ของ 84, 90 และ 120

2. จงหาผลบวกของจานวนเฉพาะ 9 จานวนแรก มีคา่ เทา่ กับเท่าใด

3. จงหารากท่สี ามของ 91125

4. จงหาจานวน 5 หลกั ทีม่ คี ่ามากที่สุดท่หี ารด้วย 654 ลงตัว
5. จงหาพน้ื ท่ีของรูปสี่เหล่ยี มผืนผา้ ABCD เม่ือ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 2

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

6. A  x2  3x  9 และ B  x2  3x  9 ถา้ AB  ax4  bx2  c แล้ว a  b  c มคี ่าเท่าใด

7. N เป็นจานวนเต็มบวกท่ีหารด้วย 5, 4, 3, 2 เหลือเศษ 4, 3, 2, 1 ตามลาดับ ค่าต่าสุดของ N ท่ีทา
ให้ 11 หารลงตวั มีคา่ เทา่ ใด

8. ถา้ x  6 จงหาค่าของ 42(x  1)2

7x

9. ถ้า m หารดว้ ย 10 เหลอื เศษ 5 และ n หารดว้ ย 10 เหลือเศษ 2 แลว้ 3m  2n หารด้วย 5 เหลือ
เศษ p จงหาคา่ ของ p  3

10. ABC เป็นรปู สามเหล่ยี ม ซ่ึงมี AB : BC :CA  2:5: 4 อตั ราสว่ นของสว่ นสงู ท้งั สามของ
รูปสามเหลยี่ ม ABC (AD : BE :CF) มีคา่ เทา่ ไร (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่า)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 3

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

ตอนที่ 2 : แบบอัตนยั จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 11 – 20) ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

11. ก้อยเขียนหนังสือและพิมพ์จาหน่วยจานวน 2,000 เล่ม ในช่วงแรก ขายได้ 1,400 เล่ม ได้กาไร
20% ตอ่ มาขายหนังสอื ทเ่ี หลือขาดทนุ 30% สดุ ทา้ ยเขาได้กาไรหรือขาดทุนรอ้ ยละเท่าใด

12. จงหารากของสมการ x2  2x  2 x2  2x 10  x  0

13. ทรงกระบอกมีรัศมี 1 2 เซนติเมตร บรรจุในกรวยกลมที่มีรัศมี 5 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร
3

โดยที่ขอบของทรงกระบอกด้านบนอยู่ในระนาบเดียวกันกับฝากรวยพอดี จงหาเก้าเท่าของปริมาตร

ทรงกระบอกน้ีว่ามีก่ลี กู บาศก์เซนติเมตร (ตอบในรปู ของ  )

14. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AB ด้าน AC  8 เซนติเมตร และ BC  6
เซนตเิ มตร จดุ D เป็นจดุ ก่ึงกลางของด้าน AB จากจุด D ลากเส้นต้ังฉากกับ AB บน AC ที่จุด
E จงหาความยาวของ DE ยาวกเ่ี ซนติเมตร

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 4

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

15. ABCD เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมผนื ผ้ามี AB  50 หนว่ ย BC  40 หน่วย E เปน็ จดุ บน CD ทาให้

BAC  C AE จงหาพื้นท่รี ูปสามเหลี่ยม ADE เปน็ กตี่ ารางหน่วย

16. ชายคนหนึง่ ต้องเดินทางไปทางานโดยเดินจากท่ีพักผ่าน 4 ช่วงตึกไปทางทิศตะวันออกและเดินทางไป
ทางทิศเหนืออีก 3 ช่วงตึก จึงจะถึงท่ีทางาน ถ้าเขียนแผนการเดินทางผ่านช่วงตึก 1 ช่วง คือ ผ่าน 1
ช่อง ในตาราง 77 จงหาจานวนเสน้ ทางการเดินทีเ่ ป็นไปไดท้ ง้ั หมดทชี่ ายคนน้ีเดนิ ทางไปทางาน

17. AD เป็นส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC ส่วนของเส้นตรง PQ, RS และ BC ขนานกัน โดยท่ี
ส่วนของเส้นตรง PQ และ RS ตัด AD ที่จุด M และ N ตามลาดับ ถ้า AM  MN  ND
และพ้นื ท่รี ปู ส่เี หลย่ี ม PQSR เท่ากบั 24 ตารางหน่วย จงหาพื้นท่ีรูปสามเหล่ียม ABC เป็นกี่ตาราง
หนว่ ย

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 5

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

18. จงหาจานวนวิธีในการสรา้ งจานวนคบู่ วก 3 หลัก จากเลขโดด 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7และไม่ใช้ตัวเลขซ้ากนั

19. กาหนด a, b, c เป็นคาตอบของสมการ x3 3x2  kx 12  0 จงหาค่า k ทีท่ าให้ ab  6

20. จงหาค่า k ท่ีเป็นจานวนบวกทีท่ าให้กราฟของเสน้ ตรง y  2x  k  0 สัมผัสวงกลม x2  y2  20

ตอนท่ี 3 : แบบอัตนยั จานวน 10 ขอ้ (ขอ้ 21 – 30) ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 50 คะแนน

21. จากรูป ส่วนโค้งเกิดจากวงกลมท่ีมีรัศมี 7 หน่วยเท่ากัน พื้นท่ีในรูปปิดท้ังหมดเป็นก่ีตารางหน่วย
(กาหนด   22 )

7

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 6

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

22. ถ้า 3x2  kxy  2y2  7x  7y  6 แยกตัวประกอบในรูปเชิงเส้นและมีสัมประสิทธ์ิเป็นจานวนเต็ม

จงหาคา่ k

23. ในการทอดลูกเต๋า 3 ลกู พร้อมกัน 1 ครง้ั จานวนวิธีท่ีผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋ามีค่าเท่ากับ 14 มี
อยทู่ ง้ั หมดกว่ี ิธี

24. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม โดยเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 34 เซนติเมตร คอร์ด AB ตัดกับคอร์ด
CD เปน็ มมุ ฉากที่จุด x ถ้าคอร์ด AB ยาว 2 253 เซนติเมตร และ OX ยาว 10 เซนติเมตร จง
หาผลคณู ของความยาวของ CX กับความยาวของ XD เปน็ ก่ีเซนตเิ มตร

25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ด้วย 100 เป็นเทา่ ไร
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 7

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

26. กาหนด a, b เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ A {1, 2, 3, ..., 2010} ถ้าเลือก a และ b จาก A

นามาสร้างเป็นคู่อันดับ (a, b) โดยท่ี | a b |  4 จะสร้าง (a, b) ได้กี่คู่อันดับท่ีสอดคล้องกับ

เงื่อนไขดงั กลา่ ว

27. กาหนดให้ N เป็นจานวนนบั และ N! N(N 1)(N  2)...(1) เช่น 5! 54321

ให้ A!1! 2!3! 4!...100! เลขโดด C เปน็ ตวั เลขในหลักหน่วยของ A และเลขโดด D เป็น

ตวั เลขในหลกั หน่วยของ A จงหาคา่ ของ CD
10

28. บทนิยาม สาหรับจานวนเต็มบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทุกจานวนที่เขียนแทน

n ในระบบเลขฐานสิบ เชน่ Sum(976)  9  7  6  22

กาหนด 11 11 11 11 1 จงหาค่าของ

n  (148  716 )(144  78 )(142  74 )(14  72 )(716 )(2816 1) Sum(n)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 8

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2553

29. กาหนด x, y และ z เป็นจานวนเตม็ บวก ซงึ่ สอดคล้องกับสมการ

xyz 10xy 6yz 8zx 80x 60y  48z  2072 จงหาคา่ ของ 2x  3y  4z เป็นเท่าไร

30. กาหนด (a  b  c)  (b  c  d)  (c  d  a)  (d  a  b)  2009 และ

a 1  b 1  1  d 1  9
bc cd cd a ab 49

จงหาคา่ ของ b  a d  c  b  a  d  c b  a d  c เปน็ เทา่ ไร
c d a b

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา