ข้อสอบการแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ รอบแรก ระดับเขตพื้นที่การศึกษา ประจำปี พ.ศ.2549-2561

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 14

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

หมายเหตุ

The Power of a Point Theorem is a relationship that holds between the lengths

of the line segments formed when two lines intersect a circle and each other. There are

three possibilities as displayed in the figures below.

1. The two lines are secants of the circle and intersect inside the circle (figure on the

left). In this case, we have AECE  BE DE .

2. One of the lines is tangent to the circle while the other is a secant (middle figure).

In this case, we have AB2  BC  BD.

3. Both lines are secants of the circle and intersect outside of it (figure on the right).

In this case, we have CBCA  CDCE .

2. จากรูป ถา้ SO  SR และ POT  72 แล้ว QRS มขี นาดกีอ่ งศา

T
S

PO Q R

(ก) 24 (ข) 36 (ค) 48 (ง) 54 (จ) 72
แนวคิด

T ให้ QRS  x เนื่องจาก SO  SR
2x
2x S จะได้ RSO เปน็ สามเหลยี่ มหนา้ จว่ั

และไดว้ ่า SOR  x

P 72 x x เนอ่ื งจาก T SO เป็นมมุ ภายนอกของ RSO
O R ฉะนั้น T SO  OTS  2x (ทาไม?)
Q

เน่อื งจาก POT เป็นมุมภายนอกของ TOR

จะได้ 2x  x  72 หรอื 3x  72

ดงั นั้น QRS  x  24

ตอบ (ก) 24

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 15
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2561

3. ค่าของ  1  1  ...  1  1 1  1  ...  1   1 1  1  ...  1   1  1  ...  1 
3 4 100 2 3 99 3 4 100 2 3 99

ตรงกบั ข้อใด

(ก) 49 (ข) 1 (ค)  1 (ง)  1 (จ)  49

100 100 100 2 100

แนวคิด ให้ A  1  1  ...  1 จากโจทยจ์ ะได้
3 4 100

 1  1  ...  1  1  1  1  ...  1   1 1  1  ...  1   1  1  ...  1 
3 4 100 2 3 99 3 4 100 2 3 99

 A(1  1  A  1010)  (1  A)( 1  A 1010)
2 2

 A( A  149 )  (A 1)( A  14090)
100

 A2  149 A  A2  49 A  A  49
100 100 100

  49
100

ตอบ (จ)  49

100

4. ค่าของ 51117231296 ตรงกับข้อใด

(ก) 150 (ข) 151 (ค) 240 (ง) 250 (จ) 251

แนวคิด ให้ A 11 จากโจทยจ์ ะได้

51117  23 1296  ( A  6) A( A  6)( A 12)  362

 ( A2  6A)( A2  6A  72)  362

 ( A2  6A)( A2  6A  72)  362

และให้ K  A2  6A ฉะนัน้

51117  23 1296  K (K  72)  362

 K 2  72K  362

 (K  36)2
 | K  36 |
 | A2  6A  36 |
 |112  6(11)  36 |
 151

ตอบ (ข) 151

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 16
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2561

5. จานวนวิธีเลือกจานวนสามจานวนท่ีแตกต่างกัน จากจานวน 1,2,3,...,30 โดยผลบวกของสามจานวน

น้ันต้องหารด้วย 3 ลงตวั มีทงั้ หมดกวี่ ิธี

(ก) 210 (ข) 240 (ค) 1360 (ง) 1720 (จ) 3200

แนวคิด พจิ ารณาดงั น้ี

กลุม่ ที่ 1 จานวนทหี่ ารดว้ ย 3 ลงตัว ได้แก่ 3,6,9,...,30 มี 10 จานวน

กลมุ่ ที่ 2 จานวนท่ีหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 ไดแ้ ก่ 1,4,7,...,28 มี 10 จานวน

กล่มุ ที่ 3 จานวนที่หารด้วย 3 เหลอื เศษ 2 ไดแ้ ก่ 2,5,8,...,29 มี 10 จานวน

หาจานวนที่แตกต่างกันสามจานวน โดยผลบวกของสามจานวนน้ันต้องหารด้วย 3

ลงตัว ไดด้ งั น้ี

1) นาจานวนมาจากกลมุ่ ที่ 1 กลมุ่ ท่ี 2 และกลุม่ ท่ี 3 แตล่ ะกลมุ่ มี 10 จานวน

ได้ท้งั หมด 101010 1000 จานวน

2) นาจานวนมาจากกล่มุ เดียวกัน (ในกล่มุ ที่ 1, 2 และ 3) แต่ละกลุม่ มี 10 จานวน

ได้ทัง้ หมด 3 10   3 10  9  8  3120  360 จานวน
  3 2
 3 

ดงั นัน้ จานวนทัง้ หมด เท่ากบั 1000 360 1360 จานวน

ตอบ (ค) 1360

6. จานวนเตม็ ทมี่ ีค่ามากท่ีสดุ และมีค่าไมเ่ กิน 10013  9993 มคี า่ ตรงกับข้อใด
999 1000 1000 1001

(ก) 2 (ข) 4 (ค) 6 (ง) 8 (จ) 10

แนวคดิ ให้ A 1000 จากโจทยจ์ ะได้

10013  9993  ( A 1)3  ( A 1)3
999 1000 1000 1001 ( A 1) A A( A 1)

 ( A ( A 1)4  1)  ( A ( A 1)4  1)
1) A( A 1) A( A

 ( A 1)4  ( A 1)4
( A 1) A( A 1)

 [( A  1)2  ( A 1)2 ][( A  1)2  ( A 1)2 ]
( A 1) A( A  1)

 (4A)(2 A2  2)  8( A2 1)
( A 1) A( A 1) A2 1

 8( A2 1 2)  8( A2 1)  8(2)
A2 1 A2 1 A2 1

 8 16
A2 1

และจาก 16 1  1 ฉะนน้ั จานวนเตม็ ท่ีมคี ่ามากท่ีสดุ และมีคา่ ไมเ่ กิน
A2 

10013  9993 มคี า่ เท่ากับ 8
999 1000 1000 1001

ตอบ (ง) 8

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 17

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

7. ให้ A เปน็ ผลบวกของจานวนค่ตู ง้ั แต่ 2018 ถงึ 2560 และ B เปน็ ผลบวกของจานวนคี่ต้ังแต่ 2017

ถึง 2559 แลว้ A B มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด

(ก) 1 (ข) 112 (ค) 272 (ง) 502 (จ) 1006

แนวคิด จากโจทย์

A  2018  2020  2022 ... 2558  2560 (มี 2560  2018 1  272 จานวน)
2

B  2017  2019  2021... 2557  2559 (มี 2559  2017  1  272 จานวน)
2

ฉะน้ัน A  B 111...1  2727983

272

ตอบ (ค) 272

8. จานวนเต็มบวกต้ังแต่ 1 ถึง 2561 ท่ีไมม่ ี 3 หรือ 5 เป็นตัวประกอบ มีท้ังหมดกี่จานวน

(ก) 1195 (ข) 1196 (ค) 1365 (ง) 1366 (จ) 1375

แนวคิด พิจารณา

จานวนท่มี ี 3 เป็นตัวประกอบ มที ง้ั หมด 2559  853 จานวน
3

จานวนทม่ี ี 5 เป็นตัวประกอบ มที ัง้ หมด 2560  512 จานวน
5

จานวนทม่ี ี 3 และ 5 เป็นตัวประกอบ มที ง้ั หมด 2550  170 จานวน
15

ฉะน้นั จานวนทั้งหมดที่มี 3 หรือ 5 เปน็ ตวั ประกอบ

มีทง้ั หมด 853 512 170 1195 จานวน

ดังนน้ั จานวนเต็มบวกตัง้ แต่ 1 ถงึ 2561 ทไ่ี มม่ ี 3 หรอื 5 เปน็ ตวั ประกอบ

มที ้งั หมด 25611195 1366 จานวน

ตอบ (ง) 1366

9. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจานวน 3 จานวนมากกว่าจานวนท่ีน้อยที่สุดอยู่ 12 และน้อยกว่าจานวนที่มาก

ทีส่ ดุ อยู่ 13 ถา้ มัธยฐานของจานวนทง้ั สามน้เี ท่ากบั 15 แลว้ ผลบวกของจานวนทัง้ สามน้ีเท่ากับเท่าใด

(ก) 20 (ข) 46 (ค) 48 (ง) 58 (จ) 60

แนวคิด ใหจ้ านวนทง้ั สามนี้เปน็ a,b,c โดยเรยี งจากคา่ นอ้ ยไปหาคา่ มาก

เนื่องจากมัธยฐานของจานวนทั้งสามนี้เทา่ กบั 15 ฉะนัน้ b 15

และจากค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของจานวน 3 จานวนมากกวา่ จานวนทีน่ อ้ ยทส่ี ุดอยู่ 12

จะได้วา่

a  b  c  a  12
3

a  15  c  a  12
3

c  2a  21 ...(1)

และคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของจานวน 3 จานวนน้อยกวา่ จานวนทมี่ ากทส่ี ุดอยู่ 13

จะได้ว่า

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 18
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2561

c  a b  c  13
3

c  a  15  c  13
3

2c  a 15  39

2c  a  54 ...(2)

แก้สมการ (1) และ (2) จะได้ a  4 และ c  29
ดังน้นั ผลบวกของจานวนทงั้ สามนีเ้ ท่ากับ 4 15 29  48
ตอบ (ค) 48

10. ตูน ก้อย และบอย เลือกแผ่นวงกลมคนละแผ่น โดยวงกลมจะแบ่งเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน และมีจานวน
เขียนกากบั แต่ละส่วนไว้ ดงั รปู

4 87

9 56

ตนู กอ้ ย บอย

ทง้ั สามคนเล่นเกม โดยแต่ละคนจะหมุนแผน่ วงกลมทีต่ นเลอื กไว้ แลว้ ปาลูกดอกไปปักแผ่นวงกลมของตน

เม่ือปาลูกดอกไปปักที่บริเวณซ่ึงจานวนที่เขียนกากับไว้มีค่ามากที่สุดจะเป็นผู้ชนะ (ทุกคนปาลูกดอกปัก

แผ่นวงกลม แต่ไมป่ ักเส้นแบ่งครึ่ง) ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

(ก) ตูนได้เปรยี บท่สี ุดในเกมนี้ (ข) ก้อยไดเ้ ปรียบทีส่ ดุ ในเกมนี้

(ค) บอยได้เปรยี บที่สุดในเกมนี้ (ง) เกมนีย้ ุตธิ รรมตอ่ ตนู ก้อย และบอย

(จ) ข้อมลู ไมเ่ พยี งพอทจี่ ะสรุป

แนวคดิ พิจารณา

ตูน กอ้ ย บอย ผู้ชนะ

7 บอย
5 6 บอย
4 7 ก้อย
8 6 ก้อย

7 ตนู
5 6 ตูน
9 7 ตูน
8 6 ตูน

จากตารางพบวา่ บอยชนะ 2 ครั้ง ก้อยชนะ 2 คร้ัง และตนู ชนะ 4 ครง้ั

ดงั นน้ั ตนู ได้เปรยี บที่สุดในเกมน้ี

ตอบ (ก) ตูนได้เปรียบท่ีสุดในเกมนี้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 19

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

11. รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสรูปหน่ึงถูกตัดออกเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 29 ชิ้น โดยที่ 28 ชิ้นแรกแต่ละช้ินมีพื้นที่

เท่ากันชิ้นละ 1 ตารางหน่วย จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปเดิมเป็นกี่หน่วย เมื่อ

กาหนดใหค้ วามยาวของรูปสี่เหลยี่ มจตั รุ ัสเป็นจานวนเตม็

(ก) 8 (ข) 16 (ค) 24 (ง) 28 (จ) 32

แนวคดิ (1) ใหร้ ูปสี่เหลย่ี มจัตุรัสรูปเดมิ มดี า้ นยาว x หนว่ ย

เน่ืองจากรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสรูปนี้ถูกตัดออกเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 29 ชิ้น โดยท่ี 28

ชนิ้ แรกแตล่ ะช้นิ มีพน้ื ทเี่ ทา่ กนั ชิ้นละ 1 ตารางหนว่ ย จะได้ x2  y2  28

โดยที่ y เป็นความยาวดา้ นของรูปสี่เหลีย่ มจัตุรสั ชิน้ ท่ี 29

พิจารณาจานวนทอ่ี ยู่ในรปู กาลังสองสมบรู ณ์ ได้แก่ 1,4,9,16,25,36,49,64,81,...

ซ่งึ พบว่า y2  36 จะทาให้ x2  36  28  64  82

ฉะนนั้ รปู สี่เหลีย่ มจัตุรสั รูปเดิมมีดา้ นยาว 8 หนว่ ย

ดงั นนั้ ความยาวรอบรูปของรปู สี่เหล่ยี มจัตุรัสรูปเดิมยาว 48  32 หน่วย

แนวคดิ (2) พิจารณารปู ดังน้ี

ใหร้ ูปส่ีเหลย่ี มจัตุรสั รูปเดิมมดี ้านยาว x หนว่ ย

x–y และใหค้ วามยาวด้านของรปู สี่เหลย่ี มจัตุรัสช้นิ ที่ 29 ยาว y หนว่ ย

x จะได้ x(x  y)  y(x  y)  28

(x  y)(x  y)  28

y พจิ ารณาตารางตอ่ ไปน้ี

y x–y x+y x–y x

1 28 14.5 

2 14 8 

4 7 5.5 

7 4 5.5 

14 2 8 

28 1 14.5 

ฉะนนั้ รูปสเ่ี หล่ียมจัตรุ สั รูปเดิมมีด้านยาว 8 หนว่ ย

ดงั นั้น ความยาวรอบรูปของรูปสีเ่ หล่ยี มจัตรุ ัสนค้ี อื 48  32 หน่วย

ตอบ (จ) 32

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 20

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

12. ถา้ นาจุดยอดมมุ ของรปู สบิ สี่เหลี่ยมดา้ นเทา่ มมุ เทา่ รูปหน่ึง มาสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้ทั้งหมดก่ี

รปู

(ก) 108 (ข) 84 (ค) 60 (ง) 36 (จ) 12

แนวคดิ เนือ่ งจากมมุ ท่จี ดุ ศนู ย์กลางของรูปสบิ สเ่ี หลี่ยมดา้ นเท่ามุมเทา่ เท่ากบั 360  180 องศา
14 7

จากรูป พบว่า นับจากจุดยอดของมุมไป 7 ช่อง (จาก B-C-D-E-F-G-H-I) จะเกิดมุม

180 องศา เพราะว่า AOH 180 นน่ั คอื เสน้ AH เปน็ เส้นผ่านจดุ ศนู ย์กลาง
จากมุมที่เส้นรอบวงของครึ่งวงกลม กาง 90 ดังน้ัน ถ้า AH เป็นเส้นผ่านจุด
ศูนย์กลาง เราจะสรา้ งรปู ามเหลีย่ มมมุ ฉากได้ 12 รูป
ฉะนน้ั เราสามารถสรา้ งเสน้ ผา่ นศูนย์กลางจากจุดยอดมมุ ของสบิ ส่ีเหล่ยี มได้ 7 เส้น
ดงั นน้ั เราสามารถสรา้ งรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากได้ 712  84 รูป
ตอบ (ข) 84

13. ถ้า A แทนผลคูณของตวั ประกอบทง้ั หมดของ 100 และ B แทนผลบวกของตัวประกอบท้ังหมดของ

210 หลกั แลว้ A B เปน็ เท่าใด

(ก) 5.761011 (ข) 5.761010 (ค) 7.561011

(ง) 7.56109 (จ) 5.76109

แนวคิด พิจารณา ตวั ประกอบท้งั หมดของ 100 ได้แก่ 1,2,4,5,10,20,25,50,100

ฉะน้นั A 1 2 4510 20 2550100 109

และพจิ ารณาตวั ประกอบท้ังหมดของ 210 ได้แก่

1, 2,3,5,6,7,10,14,15, 21,30,35, 42,70,105, 210

ฉะนั้น

B 1 2  3 5  6  7 10 14 15 21 30  35 42  70 105 210  576

หรอื ผลบวกของตวั ประกอบทงั้ หมดของ 210  2357 หาไดจ้ าก

B  (20  21)(30  31)(50  51)(70  71)  3 468  576

ดังนั้น A B  5.761011
ตอบ (ก) 5.761011

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 21

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

14. ถา้ ในเดอื นเมษายน ตัง้ แตว่ นั ที่ 1 ถึงวนั ท่ี 10 ตารวจทางหลวงต้องการตง้ั ด่านตรวจจับความเร็ว 5 วัน

โดยจะไมต่ ัง้ ดา่ น 2 วันใด ๆ ตดิ กัน แล้วตารวจทางหลวงจะจดั วนั ต้งั ดา่ นได้ท้ังหมดก่วี ิธี

(ก) 4 (ข) 5 (ค) 6 (ง) 7 (จ) 8

แนวคดิ พจิ ารณาแผนภาพดงั น้ี

9 วิธที ี่ 1
5 7 10 วิธีท่ี 2
3
1 8 10 วิธที ่ี 3

6 8 10 วธิ ีท่ี 4

4 6 8 10 วธิ ีที่ 5

2 4 6 8 10 วิธีท่ี 6

ดังน้ันตารวจทางหลวงจะจดั วนั ตงั้ ดา่ นไดท้ งั้ หมด 6 วธิ ี

ตอบ (ค) 6

15. แผนผังเส้นทางการเดินทางจากตารางขนาด 88 (ดังรูป) ถ้าเดินจากเมือง A ไปยังเมือง B คร้ังละ
1 หนว่ ย ไปทางทิศเหนอื หรอื ทศิ ตะวนั ออกเท่านั้น แล้วจานวนเสน้ ทางท่เี ป็นไปได้ทั้งหมดกีเ่ สน้ ทาง

B

น

(ก) 429 A (ง) 1431 (จ) 1861
แนวคิด
(ข) 1001 (ค) 1430 B 1431
ตอบ พิจารณาแผนภาพดังนี้

1

1430

429 1001

132 297 572

42 90 165 275

14 28 48 75 110

5 9 14 20 27 35

2345678

11111111

A 11 1 1111

ดงั น้นั จานวนเสน้ ทางทเ่ี ป็นไปได้ทงั้ หมด 1431 เสน้ ทาง
(ง) 1431

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 22

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

สว่ นท่ี 2 ข้อท่ี 16 – 25 แบบเตมิ คาตอบ จานวน 10 ข้อ ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

16. ถ้าสร้างจานวนคู่บวกสามหลัก โดยแต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันและจานวนสามหลักท่ีสร้างได้มีค่า

มากกว่า 220 จะสร้างไดท้ ง้ั หมดก่ีจานวน
แนวคดิ พจิ ารณาตารางดังน้ี

หลกั ร้อย หลกั สบิ หลกั หนว่ ย จานวน

2 3,5,7,9 0,4,6,8 1 4 4 16

2 4,6,8 0,4,6,8 133  9

3,5,7,9 1,3,5,7,9 0,2,4,6,8 4 45  80

3,5,7,9 0,2,4,6,8 0,2,4,6,8 45 4  80

4,6,8 1,3,5,7,9 0,2,4,6,8 35 4  60

4,6,8 0,2,4,6,8 0,2,4,6,8 3 43  36

รวม 281

ดังน้นั จะสร้างได้ทง้ั หมด 281 จานวน
ตอบ 281

17. นักเรียนกลุ่มหน่ึงมีจานวนนักเรียนชายต่อนักเรียนหญิง เท่ากับ a :b โดยกาหนดให้ ห.ร.ม.ของ a

และ b เท่ากับ 1 ในการเล่นเกมครั้งหนึ่ง ถ้านักเรียนชายและนักเรียนหญิงจับคู่แบบ 1:1 แล้ว

นักเรยี นหญงิ จะไมม่ คี ู่ 32 คน แตถ่ า้ นักเรียนชาย 1 คน จบั คกู่ บั นักเรียนหญงิ 2 คน จะมนี ักเรียนชาย

เหลอื 48 คน แลว้ ab  ba มคี ่าเทา่ ใด

แนวคิด เนอื่ งจากนักเรยี นกล่มุ น้ีมีจานวนนกั เรียนชายต่อนักเรียนหญงิ เท่ากบั a :b

ฉะนั้นให้มีจานวนนักเรียนชายเท่ากับ ak คนและมีจานวนนักเรียนหญิงเท่ากับbk คน

โดยที่ k เป็นจานวนจรงิ

เน่ืองจากนักเรียนชายและนักเรียนหญิงจับคู่แบบ 1:1 แล้วนักเรียนหญิงจะไม่มีคู่ 32

คน ทาใหไ้ ด้ว่า bk  ak  32 (1)

และจากนักเรียนชาย 1 คน จับคู่กับนักเรียนหญิง 2 คน จะมีนักเรียนชายเหลือ 48

คน ทาให้ได้ว่า ak  b k  48 (2)
2

นา (1) + (2) จะได้ b k  80 หรอื bk 160
2

ฉะนั้น ak 128

น่ันคอื a : b 128:160  4 : 5

ดงั นัน้ ab  ba  45  54 1024  625 1649

ตอบ 1649

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 23

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

18. ในการแข่งขันคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่ง กาหนดไว้ว่าผู้ที่จะได้เหรียญทองต้องได้คะแนนจากการทดสอบ

ต้ังแต่ 80% ข้ึนไป โดยแบบทดสอบ แบ่งเปน็ 3 ตอน ดงั น้ี

ตอนท่ี 1 ขอ้ ท่ี 110 ขอ้ ละ 3 คะแนน

ตอนท่ี 2 ขอ้ ที่ 11 20 ขอ้ ละ 4 คะแนน

และตอนที่ 3 ขอ้ ที่ 2130 ขอ้ ละ 5 คะแนน

ในการสอบคร้ังนเี้ ก่งทาข้อสอบตอนท่ี 1 ถูกตอ้ งทกุ ข้อ และทาข้อสอบตอนที่ 2 ถูกต้อง 80%

ถา้ เกง่ ต้องการเหรยี ญทอง เกง่ ต้องทาข้อสอบตอนที่ 3 ถกู ตอ้ งอยา่ งนอ้ ยก่ีขอ้

แนวคิด พิจารณาตารางดังน้ี

ตอนที่ คะแนนเตม็ คะแนนของเกง่

จานวนขอ้ 10 10
1 คะแนน 30
10 x 3 = 30

จานวนขอ้ 10 8
2 คะแนน
10 x 4 = 40 8 x 4 = 32

จานวนข้อ 10 a
3 คะแนน 5a
10 x 5 = 50

รวม 120 30 + 32 + 5a = 62 + 5a

เหรียญทองต้องได้คะแนน 80% x 120 = 96 62 + 5a = 96
ต้ังแต่ 80% ขนึ้ ไป

จากตาราง จะไดว้ า่ 62 + 5a = 96

a  6.8

ดงั นน้ั ถา้ เกง่ ต้องการเหรยี ญทอง เกง่ ต้องทาขอ้ สอบตอนที่ 3 ถกู ตอ้ งอย่างน้อย 7 ขอ้
ตอบ 7

19. จานวนเต็มตงั้ แต่ 1 ถึง 2017 จะมีจานวนทมี่ เี ลขโดดคู่เปน็ จานวนคอ่ี ยกู่ จี่ านวน
แนวคิด กรณที ่ีมี 1 หลกั มี 4 จานวน ไดแ้ ก่ 2,4,6,8

กรณที ่ีมี 2 หลัก พจิ ารณาได้ดงั น้ี
1) หลักสิบเปน็ จานวนคู่ หลักหน่วยเปน็ จานวนคี่ มี 45  20 จานวน
ได้แก่ 21, 23, 25, 27, 29, …, 81, 83, 85, 87, 89
2) หลักสบิ เป็นจานวนค่ี หลักหนว่ ยเปน็ จานวนคู่ มี 55  25 จานวน
ได้แก่ 10, 12, 14, 16, 18, …, 90, 92, 94, 96, 98
ในกรณีน้ี จะมจี านวนทง้ั หมด 20  25  45 จานวน

กรณที ีม่ ี 3 หลกั พจิ ารณาไดด้ งั นี้
1) หลักร้อยเป็นจานวนคี่ หลักสิบเป็นจานวนค่ี หลักหน่วยเป็นจานวนคู่ มี
555 125 จานวน ได้แก่ 110, 112, 114, 116, 118, …, 990,
992, 994, 996, 998

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 24

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

2) หลักร้อยเป็นจานวนคี่ หลักสิบเป็นจานวนคู่ หลักหน่วยเป็นจานวนค่ี มี

555 125 จานวน ได้แก่ 101, 103, 105, 107, 109, …, 981,

983, 985, 987, 989

3) หลักร้อยเป็นจานวนคู่ หลักสิบเป็นจานวนค่ี หลักหน่วยเป็นจานวนคี่ มี

455 100 จานวน ได้แก่ 211, 213, 215, 217, 219, …, 891,

893, 895, 897, 899

4) หลักร้อยเป็นจานวนคู่ หลักสิบเป็นจานวนคู่ หลักหน่วยเป็นจานวนคู่ มี

455 100 จานวน ได้แก่ 200, 202, 204, 206, 208, …, 880,

882, 884, 886, 888

ในกรณีนี้ จะมีจานวนท้ังหมด 125125100 100  450 จานวน

กรณีท่ีมี 4 หลัก พิจารณาไดด้ ังน้ี

1) หลักพนั เปน็ 1

a. หลักร้อยเป็นจานวนค่ี หลักสิบเป็นจานวนค่ี หลักหน่วยเป็น

จานวนคู่ มี 555 125 จานวน ได้แก่ 110, 112, 114,

116, 118, …, 990, 992, 994, 996, 998

b. หลักร้อยเป็นจานวนคี่ หลักสิบเป็นจานวนคู่ หลักหน่วยเป็น

จานวนค่ี มี 555 125 จานวน ได้แก่ 101, 103, 105,

107, 109, …, 981, 983, 985, 987, 989

c. หลักร้อยเป็นจานวนคู่ หลักสิบเป็นจานวนค่ี หลักหน่วยเป็น

จานวนคี่ มี 555 125 จานวน ได้แก่ 011, 013, 015,

017, 019, …, 891, 893, 895, 897, 899

d. หลักร้อยเป็นจานวนคู่ หลักสิบเป็นจานวนคู่ หลักหน่วยเป็น

จานวนคู่ มี 555 125 จานวน ได้แก่ 000, 002, 004,

006, 008, …, 880, 882, 884, 886, 888

ในกรณนี ้ี จะมจี านวนทง้ั หมด 125125125125  500 จานวน

2) หลักพันเป็น 2 ได้แก่ 2001, 2003, 2005, 2007, 2009, 2010, 2012,

2014, 2016 มีจานวนท้งั หมด 9 จานวน

จากทงั้ 4 กรณี จะมจี านวนท้งั หมด 4  45 450500 9 1008 จานวน

ตอบ 1008

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 25

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

20. กาหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มมี AB 16 หน่วย BC  20 หนว่ ย และ BAC  90

P,Q, R เป็นจดุ บนดา้ น AB, BC และ CA ตามลาดับ ทาให้ AP  CQ  CR  8 หนว่ ย

จงหาพน้ื ท่ขี องรูปส่เี หลย่ี ม APQR (ตอบเปน็ ทศนิยมสองตาแหน่ง)

แนวคดิ จากโจทย์วาดรูป ดังน้ี

C เนอ่ื งจาก ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

8 โดยทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้
8Q
AC2  BC2  AB2  202 162
R 12
 400  256  144

4 ฉะน้ัน AC 12

จากรปู ลาก AQ
A 8P 8 B
เท่ากบั 1 ตารางหน่วย
พิจารณา พื้นทีร่ ปู สามเหลี่ยม ABC 2 16 12  96

เน่อื งจาก [ ACQ]  8 จะได้ [ ACQ]  8  96  192
ABC] 20 20 5
[

และจาก [ AQR]  4 จะได้ [ AQR]  4 192  64
ACQ] 12 12 5 5
[

และจาก [ ABQ]  12 จะได้ [ ABQ]  12  96  288
ABC] 20 20 5
[

และจาก [ APQ]  8 จะได้ [ APQ]  8  288  144
ABQ] 16 16 5 5
[

ดังนนั้ พ้นื ที่ของรูปสเี่ หลยี่ ม APQR เทา่ กบั

[ AQR] [ APQ]  64  144  208  41.60
5 5 5

ตอบ 41.60

21. กาหนดให้ a,b และ c เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a b  c 10 ค่าของ abc ท่ีแตกต่างกันมี

ทง้ั หมดกจ่ี านวน

แนวคิด พจิ ารณาตารางดงั น้ี

จานวนที่ a  b  c 10 abc

1 11 8 10 118  8

2 1 2  7 10 1 27 14

3 1 3 6 10 136 18

4 1 4  5 10 1 45  20

5 2  2  6 10 2 26  24

6 2  3 5 10 235  30

7 2  4  4 10 2 4 4  32

8 3 3 4 10 33 4  36

ดงั นัน้ คา่ ของ abc ทแี่ ตกตา่ งกนั มีทั้งหมด 8 จานวน

ตอบ 8

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 26

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

22. นกั เรียนคนหน่ึงเขียนจานวนบนกระดาษเป็นลาดับ ดังนี้ ครั้งแรกเขียน 1 ครั้งที่ 2 เขียน 2 คร้ังที่ 3
เขียนผลบวกของสองจานวนแรก ครั้งท่ี 4 คน เขียนผลบวกของสามจานวนแรก ครั้งท่ี 5 คน เขียน
ผลบวกของสีจ่ านวนแรก เช่นนไี้ ปเรือ่ ย ๆ จงหาวา่ นกั เรียนคนนเ้ี ขียนจานวนใดในครัง้ ที่ 13
แนวคดิ พิจารณาตารางดังน้ี

ครง้ั ท่ี เขยี นจานวน

11
22
3 1 2
4 1 2 1 2  2(1 2)  23

5 1 2 1 2 1 2 1 2  4(1 2)  43

6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  8(1 2)  83

n 2n3  3

13 2133 3  210 3  10243  3072

ดังน้นั นักเรียนคนนเี้ ขียนจานวน 3072 ในครัง้ ที่ 13
ตอบ 3072

23. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลยี่ มที่มดี า้ น AC, BC และ AB ยาว 12,16 และ 20 หนว่ ย ตามลาดับ

ถ้ากาหนด D เปน็ จุดบนดา้ น BC และ E เปน็ จดุ บนดา้ น AC ทท่ี าให้ AD เปน็ เสน้ แบ่งครึ่งมุม
BAC และ BE เป็นเสน้ แบง่ ครงึ่ มุม ABC ถ้า AD ตดั BE ท่ี F แล้วรูปสามเหล่ยี ม AFB
และรูปสเ่ี หลย่ี ม CEFD มีพนื้ ทีต่ ่างกันก่ตี ารางหนว่ ย (ตอบเป็นทศนิยมสองตาแหน่ง)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 27
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2561

24. ให้ P(n) แทนผลบวกของเลขโดดของ n และ S(n) แทนผลคูณของเลขโดดของ n เชน่

P(35)  8 และ S(35) 15 ถ้า n เปน็ จานวนเตม็ บวกสองหลัก จงหาผลบวกของ n ท้งั หมดท่ี

เปน็ ไปได้ทีท่ าให้ n  2P(n)  S(n)

แนวคดิ ให้ n เป็นจานวนเตม็ บวกสองหลกั ซ่ึงเขียนแทนดว้ ย ab

จะได้ว่า n  ab 10a  b

จากโจทย์จะไดว้ ่า

n  2P(n)  S(n)

10a  b  2(a  b)  a b

 2a  2b  a b

8a  b  a b  b(1 a)

พิจารณาตารางดงั นี้

a b  8a n
1 a

000

1 8  4 14
2

2 8 2  16 -
1 2 3

3 83  6 36
1 3

4 84  32 -
1 4 5

5 85  40 -
1 5 6

6 86  48 -
1 6 7

7 87  7 77
1 7

8 8 8  64 -
1 8 9

9 89  72 -
1 9 10

ดังนน้ั ผลบวกของ n ทงั้ หมดทีเ่ ปน็ ไปได้เทา่ กบั 1436 77 127

ตอบ 127

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 28

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

25. กาหนดให้ p,q เปน็ จานวนเต็ม ถ้า p  q เป็นคาตอบของสมการ x2  px  q  0

จงหาคา่ ของ pq ทีม่ ากท่สี ุดที่เปน็ ไปได้

แนวคดิ เนอ่ื งจาก p  q เปน็ คาตอบของสมการ x2  px  q  0 จะได้

( p  q)2  p( p  q)  q  0

p2  2 pq  q2  p2  pq  q  0

2 p2  3 pq  q2  q  0

q2  (1 3 p)q  2 p2  0

q  (1 3 p)  (1 3 p)2  4(2 p2 )
2

เนื่องจาก q เป็นจานวนเต็ม ฉะนั้น (13p)2  4(2p2)  k2 บางจานวนเตม็ k

1 6p  9p2 8p2  k2

1 6p  p2  k2

( p  3)2  8  k 2

( p  3)2  k 2  8

( p  3  k)( p  3  k)  8

เนือ่ งจาก p,k เป็นจานวนเต็ม จะไดว้ า่ p 3 k  2 และ p 3 k  4
นัน่ คือ p  6 และ k 1
แทน p  6 ใน q2  (1 3p)q  2 p2  0 จะได้

q2 17q  72  0

(q  9)(q  8)  0

q  9,8

นั่นคือ ( p, q)  (6,8) หรือ ( p, q)  (6,9)
ดงั น้ันคา่ ของ pq ทม่ี ากที่สุดที่เปน็ ไปได้เท่ากบั 69  54
ตอบ 54

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 29
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2561
ตอนที่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ภาคภาษาอังกฤษ

ขอ้ ท่ี 26 – 30 แบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลือก จานวน 5 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน รวม 15 คะแนน

26. If xy  5 and 1  1  18 then what is the value of (x  y)2 ?
x2 y2 25

(A) 8 (B) 10 (C) 18 (D) 20 (E) 28

แปลโจทย์ ถา้ xy  5 และ 1  1  18 แล้วค่าของ (x  y)2 เท่ากบั เท่าใด

x2 y2 25

แนวคิด เนื่องจาก 1  1  18 จะได้ x2  y2  18
x2 y2 25 x2 y2 25

แต่ xy  5 จะได้ x2  y2  18

ดงั น้นั (x  y)2  x2  2xy  y2

 x2  y2  2xy

 18  2(5)

8

ตอบ (A) 8

27. A fair coin is flipped, and a fair six-sided die is rolled. What is the probability of getting

a tail and a prime number ?

(A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) 1

12 6 432

แปลโจทย์ โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋าท่ีมี 6 ด้าน 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะ

โยนเหรียญแล้วออกก้อยและทอดลูกเต๋าแล้วออกแตม้ เป็นจานวนเฉพาะ

แนวคดิ เนอ่ื งจากโยนเหรยี ญ 1 เหรียญแล้วออกก้อย มี 1 วธิ ี
และทอดลูกเต๋าแลว้ ออกแตม้ เปน็ จานวนเฉพาะ ( 2,3,5) มี 3 วธิ ี

ฉะนั้นจานวนวิธีโยนเหรียญแล้วออกก้อยและทอดลูกเต๋าแล้วออกแต้มเป็นจานวน

เฉพาะ มีทัง้ หมด 13  3 วธิ ี
และจานวนเหตุการณท์ ั้งหมด เท่ากับ 26 12
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญแล้วออกก้อยและทอดลูกเต๋าแล้วออกแต้มเป็น

จานวนเฉพาะ เท่ากบั 3  1
12 4

ตอบ (C) 1

4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 30

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

28. The expression N  (212  222  232 ... 402)  (202 192 182 ...12)

What is the value of N ?

(A) 16359 (B) 16400 (C) 16441 (D) 19270 (E) 2000

แปลโจทย์ จงหาคา่ ของ N  (212  222  232 ... 402)  (202 192 182 ...12)

แนวคิด พิจารณา

N  (212  222  232  ...  402 )  (202 192 182  ... 12 )

 (212 12 )  (222  22 )  (232  32 )  ...  (402  202)
 (211)(211)  (22  2)(22  2)  (23  3)(23  3)  ...  (40  20)(40  20)
 (20)(22)  (20)(24)  (20)(26)  ...  (20)(60)
 (20)(22  24  26  ...  60)
 (20)(2)(1112 12  ...  30)

 (20)(2)( 20  41)
2

 (20)(20 41)

 16400

ตอบ (B) 16400

29. The ratio of an interior angle to an exterior angle of a regular polygon is 5:1.

Find the number of sides of the polygon.

(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14

แปลโจทย์ อัตราส่วนของมุมภายในต่อมุมภายนอกของรูปหลายเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่าเป็น 5:1

จงหาจานวนด้านของรปู หลายเหลีย่ มด้านเท่าน้ี

แนวคิด พิจารณารูปต่อไปน้ี

5x x

เน่อื งจาก มมุ ประชิดบนเส้นตรงเทา่ กับ 180 ฉะนน้ั 5x  x 180
ดงั นัน้ x  30
เนื่องจาก ผลบวกของมมุ ภายนอกของรปู หลายเหล่ียม เทา่ กับ 360
ฉะนน้ั ผลคณู ของจานวนดา้ นกบั x เท่ากบั 360
ดังน้นั จานวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมดา้ นเท่านี้ เทา่ กับ 12
ตอบ (C) 12

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 31

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2561

30. In the figure, TA and TB are tangent to the circle. What is the measure of the angle

of ACB in degree?

A

CO 58๐ T

B

(A) 58 (B) 59 (C) 60 (D) 61 (E) 62

แปลโจทย์ จากรูป TA และ TB เป็นเสน้ สัมผสั วงกลม จงหา ACB เท่ากับเทา่ ใด

แนวคดิ พิจารณารูปต่อไปนี้

A

CO 58๐ T

B

จากรูปลาก OA,OB และ AB ดงั รูป

จากรปู จะได้ ABT  B AT  180  58  61
2

เนอ่ื งจาก OA  AT และ OB  BT

ฉะน้นั OAB  OBA  90  61  29

และไดว้ ่า AOB 180  2(29 ) 122

ดงั นน้ั ACB  122  61
ตอบ (D) 61 2

(มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ย์กลางมีขนาดเป็นสองเทา่ ของมุมที่เสน้ รอบวง)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา