2 Menghasilkan gagasan yang beragam untuk mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya, menilai gagasannya, serta memikirkan segala risikonya dengan mempertimbangkan banyak perspektif seperti etika dannilai kemanusiaan ketika gagasannya direalisasikan Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -12
Bahan Bacaan Susanto, Dicky dkk. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2014. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 1.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2016. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 2.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Kasmina, K. 2018. Seri Pendalaman Materi Matematika untuk SMK/MAK Siap Tuntas Menghadapi Ujian Nasional. Jakarta: Erlangga. Ediyanto, Arif dan Maya Harsasi. 2022. Matematika 2 SMK/MAK Kelas XI (K_Merdeka). Jakarta: Erlangga. Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -13
GLOSARIUM Domain : seluruh anggota himpunan daerah asal Fungsi : suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (kodomain). Fungsi Komposisi : gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f(x) dan g(x) yang disimbolkan dengan “ o “ Kodomain : himpunan yang menjadi bayangan/peta. Range : himpunan semua nilai y = f(x) dari f Relasi : hubungan antara dua atau lebih himpunan nilai Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -14
YAYASAN PEGURUAN ISLAM REPUBLIK INDONESIA SMK KESATRIAN PURWOKERTO TERAKREDITASI “A” Jl. Kesatrian No. 62 Telp/fax (0281) 636122 Purwokerto 53115 Website: smkkesatrianpwt.sch.id, Email: [email protected] TEKNIK AUDIO VIDEO●TEKNIK KENDARAAN RINGAN● DESAIN KOMUNIKASI VISUAL● TEKNIK SEPEDA MOTOR● TEKNIK JARINGAN KOMPUTER DAN TELEKOMUNIKASI MODUL AJAR Matematika : Fungsi Invers TAHUN PELAJARAN 2023/2024 I. INFORMASI UMUM : A. Identitas Penulis Modul Nama Sekolah : SMK Kesatrian Purwokerto Nama Penyusun : Priska Wahyuni, S.Pd Fase/ Kelas : F/ XI Semester : 3 Alokasi Waktu : 135 menit ( 1 pertemuan @3 x 45menit) Elemen : Aljabar dan Fungsi Capaian Pembelajaran : Di akhir fase F, peserta didik dapat menyatakan data dalam bentuk matriks. Mereka dapat menentukan fungsi invers, komposisi fungsi, dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat, eksponensial). II. Kompetensi Awal A. TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari B. INDIKATOR TUJUAN PEMBELAJARAN Memahami fungsi invers C. Kegiatan Pembelajaran KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu Pendahuluan Guru memberikan salam Siswa melakukan kegiatan 5S sebelum memulai pembelajaran Jika dilakukan di awal pembelajaran, guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin berdoa dan melakukan SOP awal pembelajaran berupa: - Membaca 5 ayat Al Quran bagi peserta didik yang beragam Islam, dan membaca Kitab Suci bagi peserta didik yang beragama non muslim (CRT= Cultural Responsible Teaching) - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Melakukan 3S di ruang kelas Guru melakukan presensi Guru sebagai berikut : memberikan pertanyaan pemantik 15 menit Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -1
KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu 1. Apa yang kalian ketahui tentang fungsi invers? 2. Kapan fungsi invers dapat diperoleh? 3. Bagaimana menggunakan fungsi invers untuk memodelkan suatu keadaan atau masalah? Apersepsi Guru memberikan apersepsi tentang fungsi invers, serta kaitan dengan materi-materi sebelumnya. Motivasi Setelah mempelajari materi, maka peserta didik dapat menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari. Kegiatan Inti 1. Peserta didik diminta untuk browsing materi tentang fungsi invers dengan menggunakan HP (media pembelajaran) masing-masing. 2. Peserta didik dibagi menjadi 8 kelompok diskusi sebagaimana tercantum dalam LKPD. 3. Peserta didik mendiskusikan dan mempresentasikan hasil diskusinya di depan kelas sedangkan kelompok lain memberikan tanggapan. 100 menit Penutup Peserta didik diminta menyimpulkan keseluruhan materi dan guru memberikan penguatan dilanjutkan dengan penyampaian refleksi antar peserta didik dan kepada guru terkait penyampaian materi apakah menyenangkan, materi yang dibahas apakah sudah dipahami, apakah semua peserta didik paham, siapa saja yang belum paham, adakah materi yang susah dipahami, materi mana yang perlu diperbaiki? Peserta didik mendengarkan pesan dari guru tentang materi yang harus disiapkan untuk pertemuan selanjutnya Guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin SOP akhir pembelajaran - Siswa melakukan kegiatan 5S - Pembelajaran ditutup dengan doa - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Siswa bersalaman dengan guru 20 menit D. Asesmen a. Asesmen Awal Siswa mengerjakan Tes Gaya Belajar di https://akupintar.id/ Non Kognitif I. Pilihlah satu jawaban yang sesuai dengan kondisimu pada saat ini! 1. Gambar dibawah ini manakah yang mewakili perasaanmu saat ini? Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -2
2. Apakah kamu sudah memahami fungsi invers? 3. Apakah kamu senang dengan mata pelajaran fungsi invers? 4. Pilih gambar yang mewakili perasaanmu bersekolah disini! 5. Bagaimana perasaanmu dengan teman-teman satu kelas? II. Berilah skor 1 bila jawaban “YA” dan 0 bila “TIDAK” pada kotak di belakangnya! No Pernyataan Skor 1. Saya lebih mudah memahami pelajaran dengan bantuan ilustrasi gambar 2. Saya sangat menyukai objek yang warna-warni 3. Saya sering mengantuk dan susah fokus jika guru menerangkan atau berbicara 4. Saya lebih mudah mengingat materi tayangan video daripada penjelasan guru 5. Saya lebih mudah mengingat dari penjelasan atau pemaparan guru 6. Saya lebih mudah hafal apabila diucapkan berulang kali Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -3
7. Saya lebih nyaman melafalkan dengan keras saat belajar 8. Saya lebih suka mendengarkan rekaman daripada membaca buku teks 9. Saya lebih menyukai pembelajaran yang banyak melibatkan gerak badan 10. Saya lebih mudah belajar melalui praktik daripada mendengarkan Klasifikasi diagnostik: 1 - 4 : lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe visual. 6 – 8 : lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe auditori. 9-10: lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe kinestetik. b. Asesmen Formatif Memantau perkembangan siswa dalam mengerjakan tugas Observasi diskusi sesuai LKPD c. Asesmen akhir (sumatif) 1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x² + 5! Jawab: f (x)=2 x ²+5 y=2 x ²+5 y−5=2 x ² ( y−5) 2 =x ² x=√ y−5 2 2. f −1(x )=√ [(x−5)/2]Diketahui fungsi f : R→R dan g : R→R dimanan f (x)=2 x+1 dan g(x )=x ²−1. Tentukan fungsi komposisi(gο f)(x )! Jawab: f (x)=2 x+1 g(x )=x ²−1 (gο f)(x )=g(f (x )) ¿ g(2 x+1) ¿(2 x+1)²−1 ¿4 x ²+4 x+1– 1 ¿4 x ²+4 x 3. Jika (f o g)(x )=x+4, dan g(x )=x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f (x)! Jawab: (f og)(x )=x+4 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -4
f (g(x ))=x+4 f (x – 2)=x+4 Misalu=x –2 ,maka x=u+2 , sehingga f (x – 2)=x+4 f (u)=u+2+4 f (u)=u+6 f (x)=x+6 y=x+6 x=y – 6 f −1(x )=x – 6 Jadi, invers dari fungsif ( x )adalahf −1 ( x )=x – 6. 4. Jikaf : R→R dengan f (x)=x−4 dan g: R→R dengan g(x )=x ²+1. Tentukan (f οg)(x−3)! Jawab: f (x)=x – 4 g(x )=x ²+1 (f οg)(x )=f (g(x )) ¿ f (x ²+1) ¿ x ²+1– 4 ¿ x ²−3 (f ο g)(x−3)=(x−3)²−3 ¿ x ²−6 x+9 –3 ¿ x ²−6 x+6 5. Diketahui fungsi f : R→R denganf (x)=4 x+3 dan fungsi g: R→R dengan g(x )=x−1. Apakah(gο f)(x )=(f ο g)(x )? Jawab: Pada fungsi komposisi sifat komutatif tidak berlaku. Namun, mari kita coba selidiki. f (x)=4 x+3 g(x )=x – 1 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -5
(gο f)(x )=(f ο g)(x ) g(f (x ))=f (g( x)) g(4 x+3)=f (x−1) 4 x+3−1=4( x –1)+3 4 x+2=4 x – 4+3 4 x+2=4 x – 1 Karena 4 x+2=4 x – 1 maka (gο f)(x )=(f ο g)(x ) E. LAMPIRAN 1. Lembar Kerja Peserta Didik Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Nama Peserta Didik: Fungsi Invers 1 2 3 4 Diskusikanlah dengan kelompok masing-masing! 1. Diketahui f ( x )= 1−5 x x+2 , x≠−2dan f −1 (x ) adalah invers dari f ( x ). Nilai dan f −1 (−3) adalah … 2. Diketahui f ( x )=3 x+1 ,g ( x )=x 2−1 ,( g⃘f ) −1 ( x )=… 3. Invers dari fungsi f ( x )=x 2−2 x+4 adalah ... 4. Diketahui f ( x )=3 x+1 , g ( x )=x 2−1 ,( g⃘f ) −1 ( x )=… 5. Gungsi f : R → R didefinisikan dengan f ( x )= 3 x+2 2 x−1 , x≠ 1 2 , invers dari f ( x ) adalah f −1 ( x )=¿.. Jawab ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ 2. Pengayaan dan Remedial Pengayaan 1. Fungsi f : R→R dan g : R→R dimanaf (x)=2 x−1 dan g(x )=x ²+3. Tentukan (f ο g)(x )! Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -6
Jawab_______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ _____________________________ Remedial 1. Diketahui fungsi f : R→R denganf (x)=4 x+3 dan fungsi g : R→R dengan g(x )=x−1. Apakah(gο f)(x )=(f ο g)(x )? Jawab ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ____________ Kunci Jawaban Pengayaan f (x)=2 x−1 g(x )=x ²+3 (f οg)(x )=f (g(x )) ¿ f (x ²+3) ¿2(x ²+3)– 1 ¿2 x ²+6– 1 ¿2 x ²+5 Remidial Pada fungsi komposisi sifat komutatif tidak berlaku. Namun, mari kita coba selidiki. f (x)=4 x+3 g(x )=x – 1 (gο f)(x )=(f ο g)(x ) g(f (x ))=f (g( x)) g(4 x+3)=f (x−1) 4 x+3−1=4( x –1)+3 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -7
4 x+2=4 x – 4+3 4 x+2=4 x – 1 Karena 4 x+2=4 x – 1 maka (gο f)(x )=(f ο g)(x ) 3. Bahan Bacaan Pendidik dan Peserta Didik PENGERTIAN FUNGSI INVERS Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f ={( x , y )|x∈ A dan y ∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f −1 ) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f −1={( y , x)∨y ∈Bdan x∈ A }. SIFAT-SIFAT FUNGSI INVERS 1. Suatu fungsi f : A→B dikatakan memiliki fungsi invers f −1 : B→ A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif. 2. Misalkan f −1 adalah fungsi invers fungsi f . Untuk setiap x∈ Df dan y ∈Rf , maka berlaku y=f (x ) jika dan hanya jika f −1 ( y )=x. 3. Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf , sedangkan I ( x )=x merupakan fungsi identitas. Fungsi f −1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika. ( f ⃘f −1 ) ( x )=x=I(x) untuk setiap x∈ Df dan ( f −1⃘f ) ( x )=x=I(x) untuk setiap x∈ Rf 4. Jika f sebuah fungsi bijektif dan f −1 merupakan fungsi invers f , maka fungsi invers dari f −1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan (f −1 ) −1=f . 5. Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (g⃘f ) −1=(f −1⃘g −1 ). MENENTUKAN RUMUS FUNGSI INVERS CONTOH SOAL 1. Diketahui fungsi f : R→R dengan f ( x )=5 x+7. Tentukanlah fungsi inversnya! Jawab: Karena y=f ( x ), maka y=5 x+7 y=5 x+7 5 x=y−7 x= y−7 5 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -8
Karena x=f −1 ( y ), maka f −1 ( y )= y−7 5 Karena f −1 ( y )= y−7 5 , maka f −1 ( x )= x−7 5 = 1 5 (x−7) Jadi, fungsi invers f ( x )=5 x+7 adalah f −1 (x )= 1 5 (x−7) 2. Diketahui fungsi f : R→R dengan f ( x )=3 x−1. Tentukanlah fungsi inversnya! Jawab: Karena y=f ( x ), maka y=3 x−1 y=3 x−1 3 x=y+1 x= y+1 3 Karena x=f −1 ( y ), maka f −1 ( y )= y+1 3 Karena f −1 ( y )= y+1 3 , maka f −1 (x )= x+1 3 Jadi, fungsi invers f ( x )=3 x−1 adalah f −1 ( x )= x+1 3 3. Berdasarkan contoh soal nomor 1, tentukanlah rumus fungsi komposisi (f ⃘f −1 )( x ) dan ( f −1⃘f ¿ ( x ) ! Jawab: ( f ⃘f −1 ) ( x )=f ( f −1 ( x )) ¿5f ( f −1 ( x )) +7 ¿5( 1 5 (x−7))+7 ¿ x−7+7 ¿ x (f −1⃘f ¿ (x )=f −1 (f (x )) ¿ x−7 5 ¿ f (x )−7 5 ¿ (5 x+7)−7 5 ¿ 5x 5 ¿ x Berdasarkan hasil dari contoh soal nomor 1, dapat disimpulkan bahwa ( f ⃘f −1 ) ( x )=( f −1⃘f ) ( x )=x=1( x ). Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -9 Rangkuman Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
1. ( f ⃘g) ( x )=f (g(x )) 2. ( f ⃘g⃘h) ( x)=f (g(h( x ))) 3. ( f ⃘g) −1 (x )=(g −1⃘f −1 )(x) 4. f ( x )= ax+b cx+d , maka f −1 ( x )= −dx+b cx−a 5. f ( x ) ¿ a log x, maka f −1 ( x )=a x 6. f ( x )=a x , maka f −1 ( x ) ¿ a log x f(x) f −1 ( x ) ax+b x−b a a x 2 +bx+c −b± √b 2−4 ac (c−x ) 2 a ax+b cx+d −dx+b cx−a 4. Refleksi Peserta Didik dan Pendidik Apa ada kendala pada kegiatan pembelajaran? Apakah semua peserta didik aktif selama mengikuti kegiatan pembelajaran? Apa saja kesulitan yang dihadapi peserta didik selama mengikuti kegiatan pembelajaran? Apakah kesulitan yang dialami peserta didik dapat teratasi? Apa level pencapaian rata-rata peserta didik dalam kegiatan pembelajaran ini? Apakah seluruh peserta didik dapat tuntas dalam pelaksanaan pembelajaran? Apa strategi yang harus dipilih supaya peserta didik dapat menuntaskan kompetensi? RUBRIK PENILAIAN 1. Asesmen Proses N o Kelompo k Ketepatan Jawaban Ketepata n Waktu Hasil Pekerjaan Bertanya dan Berpendap at Menjawab Pertanyaan Jumlah Skor NA Ya Tida k Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -10
Pedoman Penskoran dan Penilaian Nilai Akhir Proses = Skor yang diperoleh Skor maksimum ×100 2. Asesmen Akhir Nama Siswa: No KKTP KETERCAPAIAN Kurang kompeten (71-80) Cukup Kompeten (81-90) Sangat Kompeten (91-100) 1 Mendeskripsikan fungsi invers 2 Mendeskripsikan fungsi invers dari fungsi komposisi 3 Mendeskripsikan penerapan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari 4 Mempresentasikan hasil Profil Pelajar Pancasila No Dimensi Kreatif-Sub Elemen MulaiBerk embang Sedang Berkemb ang Berkemb angSesua i Harapan Sangat Berkemb ang 1 Mengeksplorasi dan mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya dalam bentuk karya dan/atau tindakan, serta mengevaluasinya dan mempertimbangkan dampak dan risikonya bagi diri dan lingkungannya 2 Menghasilkan gagasan yang beragam untuk mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya, menilai gagasannya, serta memikirkan segala risikonya dengan mempertimbangkan banyak perspektif seperti etika dannilai kemanusiaan ketika gagasannya direalisasikan Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -11
Bahan Bacaan Susanto, Dicky dkk. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2014. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 1.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2016. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 2.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Kasmina, K. 2018. Seri Pendalaman Materi Matematika untuk SMK/MAK Siap Tuntas Menghadapi Ujian Nasional. Jakarta: Erlangga. Ediyanto, Arif dan Maya Harsasi. 2022. Matematika 2 SMK/MAK Kelas XI (K_Merdeka). Jakarta: Erlangga. Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -12
GLOSARIUM Domain : seluruh anggota himpunan daerah asal Fungsi : suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (kodomain). Fungsi Invers : suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya Fungsi Komposisi : gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f (x) dan g(x ) yang disimbolkan dengan “o“ Invers : terbalik Kodomain : himpunan yang menjadi bayangan/peta. Range : himpunan semua nilai y=f (x ) dari f Relasi : hubungan antara dua atau lebih himpunan nilai Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -13
YAYASAN PEGURUAN ISLAM REPUBLIK INDONESIA SMK KESATRIAN PURWOKERTO TERAKREDITASI “A” Jl. Kesatrian No. 62 Telp/fax (0281) 636122 Purwokerto 53115 Website: smkkesatrianpwt.sch.id, Email: [email protected] TEKNIK AUDIO VIDEO●TEKNIK KENDARAAN RINGAN● DESAIN KOMUNIKASI VISUAL● TEKNIK SEPEDA MOTOR● TEKNIK JARINGAN KOMPUTER DAN TELEKOMUNIKASI MODUL AJAR Matematika : Fungsi Invers TAHUN PELAJARAN 2023/2024 I. INFORMASI UMUM : A. Identitas Penulis Modul Nama Sekolah : SMK Kesatrian Purwokerto Nama Penyusun : Priska Wahyuni, S.Pd Fase/ Kelas : F/ XI Semester : 3 Alokasi Waktu : 135 menit ( 1 pertemuan @3 x 45menit) Elemen : Aljabar dan Fungsi Capaian Pembelajaran : Di akhir fase F, peserta didik dapat menyatakan data dalam bentuk matriks. Mereka dapat menentukan fungsi invers, komposisi fungsi, dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat, eksponensial). II. Kompetensi Awal A. TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari B. INDIKATOR TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari. C. Kegiatan Pembelajaran KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu Pendahuluan Guru memberikan salam Siswa melakukan kegiatan 5S sebelum memulai pembelajaran Jika dilakukan di awal pembelajaran, guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin berdoa dan melakukan SOP awal pembelajaran berupa: - Membaca 5 ayat Al Quran bagi peserta didik yang beragam Islam, dan membaca Kitab Suci bagi peserta didik yang beragama non muslim (CRT= Cultural Responsible Teaching) - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Melakukan 3S di ruang kelas Guru melakukan presensi Guru sebagai berikut : memberikan pertanyaan pemantik 15 menit Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -1
KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu 1. Apa yang kalian ketahui tentang fungsi invers? 2. Kapan fungsi invers dapat diperoleh? 3. Bagaimana menggunakan fungsi invers untuk memodelkan suatu keadaan atau masalah? Apersepsi Guru memberikan apersepsi tentang fungsi invers, serta kaitan dengan materi-materi sebelumnya. Motivasi Setelah mempelajari materi, maka peserta didik dapat menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari. Kegiatan Inti 1. Peserta didik diminta untuk browsing materi tentang fungsi invers dengan menggunakan HP (media pembelajaran) masing-masing. 2. Peserta didik dibagi menjadi 8 kelompok diskusi sebagaimana tercantum dalam LKPD. 3. Peserta didik mendiskusikan dan mempresentasikan hasil diskusinya di depan kelas sedangkan kelompok lain memberikan tanggapan. 100 menit Penutup Peserta didik diminta menyimpulkan keseluruhan materi dan guru memberikan penguatan dilanjutkan dengan penyampaian refleksi antar peserta didik dan kepada guru terkait penyampaian materi apakah menyenangkan, materi yang dibahas apakah sudah dipahami, apakah semua peserta didik paham, siapa saja yang belum paham, adakah materi yang susah dipahami, materi mana yang perlu diperbaiki? Peserta didik mendengarkan pesan dari guru tentang materi yang harus disiapkan untuk pertemuan selanjutnya Guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin SOP akhir pembelajaran - Siswa melakukan kegiatan 5S - Pembelajaran ditutup dengan doa - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Siswa bersalaman dengan guru 20 menit D. Asesmen a. Asesmen Awal Siswa mengerjakan Tes Gaya Belajar di https://akupintar.id/ Non Kognitif I. Pilihlah satu jawaban yang sesuai dengan kondisimu pada saat ini! 1. Gambar dibawah ini manakah yang mewakili perasaanmu saat ini? Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -2
2. Apakah kamu sudah memahami fungsi invers? 3. Apakah kamu senang dengan mata pelajaran fungsi invers? 4. Pilih gambar yang mewakili perasaanmu bersekolah disini! 5. Bagaimana perasaanmu dengan teman-teman satu kelas? II. Berilah skor 1 bila jawaban “YA” dan 0 bila “TIDAK” pada kotak di belakangnya! No Pernyataan Skor 1. Saya lebih mudah memahami pelajaran dengan bantuan ilustrasi gambar 2. Saya sangat menyukai objek yang warna-warni 3. Saya sering mengantuk dan susah fokus jika guru menerangkan atau berbicara 4. Saya lebih mudah mengingat materi tayangan video daripada penjelasan guru 5. Saya lebih mudah mengingat dari penjelasan atau pemaparan guru 6. Saya lebih mudah hafal apabila diucapkan berulang kali Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -3
7. Saya lebih nyaman melafalkan dengan keras saat belajar 8. Saya lebih suka mendengarkan rekaman daripada membaca buku teks 9. Saya lebih menyukai pembelajaran yang banyak melibatkan gerak badan 10. Saya lebih mudah belajar melalui praktik daripada mendengarkan Klasifikasi diagnostik: 1 - 4 : lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe visual. 6 – 8 : lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe auditori. 9-10: lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe kinestetik. b. Asesmen Formatif Memantau perkembangan siswa dalam mengerjakan tugas Observasi diskusi sesuai LKPD c. Asesmen akhir (sumatif) 1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x² + 5! Jawab: f (x)=2 x ²+5 y=2 x ²+5 y−5=2 x ² ( y−5) 2 =x ² x=√ y−5 2 2. f −1(x )=√ [(x−5)/2]Diketahui fungsi f : R→R dan g : R→R dimanan f (x)=2 x+1 dan g(x )=x ²−1. Tentukan fungsi komposisi(gο f)(x )! Jawab: f (x)=2 x+1 g(x )=x ²−1 (gο f)(x )=g(f (x )) ¿ g(2 x+1) ¿(2 x+1)²−1 ¿4 x ²+4 x+1– 1 ¿4 x ²+4 x 3. Jika (f o g)(x )=x+4, dan g(x )=x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f (x)! Jawab: (f og)(x )=x+4 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -4
f (g(x ))=x+4 f (x – 2)=x+4 Misalu=x –2 ,maka x=u+2 , sehingga f (x – 2)=x+4 f (u)=u+2+4 f (u)=u+6 f (x)=x+6 y=x+6 x=y – 6 f −1(x )=x – 6 Jadi, invers dari fungsif ( x )adalahf −1 ( x )=x – 6. 4. Jikaf : R→R dengan f (x)=x−4 dan g: R→R dengan g(x )=x ²+1. Tentukan (f οg)(x−3)! Jawab: f (x)=x – 4 g(x )=x ²+1 (f οg)(x )=f (g(x )) ¿ f (x ²+1) ¿ x ²+1– 4 ¿ x ²−3 (f ο g)(x−3)=(x−3)²−3 ¿ x ²−6 x+9 –3 ¿ x ²−6 x+6 5. Diketahui fungsi f : R→R denganf (x)=4 x+3 dan fungsi g: R→R dengan g(x )=x−1. Apakah(gο f)(x )=(f ο g)(x )? Jawab: Pada fungsi komposisi sifat komutatif tidak berlaku. Namun, mari kita coba selidiki. f (x)=4 x+3 g(x )=x – 1 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -5
(gο f)(x )=(f ο g)(x ) g(f (x ))=f (g( x)) g(4 x+3)=f (x−1) 4 x+3−1=4( x –1)+3 4 x+2=4 x – 4+3 4 x+2=4 x – 1 Karena 4 x+2=4 x – 1 maka (gο f)(x )=(f ο g)(x ) E. LAMPIRAN 1. Lembar Kerja Peserta Didik Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Nama Peserta Didik: Fungsi Invers 1 2 3 4 Diskusikanlah dengan kelompok masing-masing! 1. Buktikan bahwa f ( x )=10 x−1 dan g( x )= x+1 10 merupakan fungsi yang saling invers! 2. Tentukan invers dari f ( x )=x 2 +6 x+8! 3. Diketahui f (x)= 3 x+2 x−5 dan f −1 (x) adalah invers dari f (x). Tentukan nilaif −1 (4) ! 4. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f (x)=7x+10 dan pada mesin II terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g(x )=2 x 2 +12 x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. a. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton). b. Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa banyak kertas yang dihasilkan? Jawab ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -6
______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ 2. Pengayaan dan Remedial Pengayaan 1. Fungsi f : R→R dan g : R→R dimanaf (x)=2 x−1 dan g(x )=x ²+3. Tentukan (f ο g)(x )! Jawab_______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ _____________________________ Remedial 1. Diketahui fungsi f : R→R denganf (x)=4 x+3 dan fungsi g : R→R dengan g(x )=x−1. Apakah(gο f)(x )=(f ο g)(x )? Jawab ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ____________ Kunci Jawaban Pengayaan f (x)=2 x−1 g(x )=x ²+3 (f οg)(x )=f (g(x )) ¿ f (x ²+3) ¿2(x ²+3)– 1 ¿2 x ²+6– 1 ¿2 x ²+5 Remidial Pada fungsi komposisi sifat komutatif tidak berlaku. Namun, mari kita coba selidiki. f (x)=4 x+3 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -7
g(x )=x – 1 (gο f)(x )=(f ο g)(x ) g(f (x ))=f (g( x)) g(4 x+3)=f (x−1) 4 x+3−1=4( x –1)+3 4 x+2=4 x – 4+3 4 x+2=4 x – 1 Karena 4 x+2=4 x – 1 maka (gο f)(x )=(f ο g)(x ) 3. Bahan Bacaan Pendidik dan Peserta Didik PENGERTIAN FUNGSI INVERS Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f ={( x , y )|x∈ A dan y ∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f −1 ) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f −1={( y , x)∨y ∈Bdan x∈ A }. SIFAT-SIFAT FUNGSI INVERS 1. Suatu fungsi f : A→B dikatakan memiliki fungsi invers f −1 : B→ A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif. 2. Misalkan f −1 adalah fungsi invers fungsi f . Untuk setiap x∈ Df dan y ∈Rf , maka berlaku y=f (x ) jika dan hanya jika f −1 ( y )=x. 3. Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf , sedangkan I ( x )=x merupakan fungsi identitas. Fungsi f −1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika. ( f ⃘f −1 ) ( x )=x=I(x) untuk setiap x∈ Df dan ( f −1⃘f ) ( x )=x=I(x) untuk setiap x∈ Rf 4. Jika f sebuah fungsi bijektif dan f −1 merupakan fungsi invers f , maka fungsi invers dari f −1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan (f −1 ) −1=f . 5. Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (g⃘f ) −1=(f −1⃘g −1 ). MENENTUKAN RUMUS FUNGSI INVERS Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -8
CONTOH SOAL 1. Diketahui fungsi f : R→R dengan f ( x )=5 x+7. Tentukanlah fungsi inversnya! Jawab: Karena y=f ( x ), maka y=5 x+7 y=5 x+7 5 x=y−7 x= y−7 5 Karena x=f −1 ( y ), maka f −1 ( y )= y−7 5 Karena f −1 ( y )= y−7 5 , maka f −1 ( x )= x−7 5 = 1 5 (x−7) Jadi, fungsi invers f ( x )=5 x+7 adalah f −1 (x )= 1 5 (x−7) 2. Diketahui fungsi f : R→R dengan f ( x )=3 x−1. Tentukanlah fungsi inversnya! Jawab: Karena y=f ( x ), maka y=3 x−1 y=3 x−1 3 x=y+1 x= y+1 3 Karena x=f −1 ( y ), maka f −1 ( y )= y+1 3 Karena f −1 ( y )= y+1 3 , maka f −1 (x )= x+1 3 Jadi, fungsi invers f ( x )=3 x−1 adalah f −1 ( x )= x+1 3 3. Berdasarkan contoh soal nomor 1, tentukanlah rumus fungsi komposisi (f ⃘f −1 )( x ) dan ( f −1⃘f ¿ ( x ) ! Jawab: ( f ⃘f −1 ) ( x )=f ( f −1 ( x )) ¿5f ( f −1 ( x )) +7 ¿5( 1 5 (x−7))+7 ¿ x−7+7 (f −1⃘f ¿ (x )=f −1 (f (x )) ¿ x−7 5 ¿ f (x )−7 5 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -9
¿ x ¿ (5 x+7)−7 5 ¿ 5x 5 ¿ x Berdasarkan hasil dari contoh soal nomor 1, dapat disimpulkan bahwa ( f ⃘f −1 ) ( x )=( f −1⃘f ) ( x )=x=1( x ). 1. ( f ⃘g) ( x )=f (g(x )) 2. ( f ⃘g⃘h) ( x)=f (g (h( x ))) 3. ( f ⃘g) −1 (x )=(g −1⃘f −1 )(x) 4. f ( x )= ax+b cx+d , maka f −1 ( x )= −dx+b cx−a 5. f ( x ) ¿ a log x, maka f −1 ( x )=a x 6. f ( x )=a x , maka f −1 ( x ) ¿ a log x f(x) f −1 ( x ) ax+b x−b a a x 2 +bx+c −b± √b 2−4 ac (c−x ) 2 a ax+b cx+d −dx+b cx−a 4. Refleksi Peserta Didik dan Pendidik Apa ada kendala pada kegiatan pembelajaran? Apakah semua peserta didik aktif selama mengikuti kegiatan pembelajaran? Apa saja kesulitan yang dihadapi peserta didik selama mengikuti kegiatan pembelajaran? Apakah kesulitan yang dialami peserta didik dapat teratasi? Apa level pencapaian rata-rata peserta didik dalam kegiatan pembelajaran ini? Apakah seluruh peserta didik dapat tuntas dalam pelaksanaan pembelajaran? Apa strategi yang harus dipilih supaya peserta didik dapat menuntaskan kompetensi? RUBRIK PENILAIAN 1. Asesmen Proses Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -10 Rangkuman Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
N o Kelompo k Ketepatan Jawaban Ketepata n Waktu Hasil Pekerjaan Bertanya dan Berpendap at Menjawab Pertanyaan Jumlah Skor NA Ya Tida k Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak Pedoman Penskoran dan Penilaian Nilai Akhir Proses = Skor yang diperoleh Skor maksimum ×100 2. Asesmen Akhir Nama Siswa: No KKTP KETERCAPAIAN Kurang kompeten (71-80) Cukup Kompeten (81-90) Sangat Kompeten (91-100) 1 Mendeskripsikan fungsi invers 2 Mendeskripsikan fungsi invers dari fungsi komposisi 3 Mendeskripsikan penerapan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari 4 Mempresentasikan hasil Profil Pelajar Pancasila No Dimensi Kreatif-Sub Elemen MulaiBerk embang Sedang Berkemb ang Berkemb angSesua i Harapan Sangat Berkemb ang 1 Mengeksplorasi dan mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya dalam bentuk karya dan/atau tindakan, serta mengevaluasinya dan mempertimbangkan dampak dan risikonya bagi diri dan lingkungannya 2 Menghasilkan gagasan yang beragam untuk mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya, menilai gagasannya, serta memikirkan segala risikonya dengan mempertimbangkan banyak perspektif seperti etika dannilai kemanusiaan ketika gagasannya direalisasikan Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -11
Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -12
Bahan Bacaan Susanto, Dicky dkk. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2014. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 1.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2016. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 2.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Kasmina, K. 2018. Seri Pendalaman Materi Matematika untuk SMK/MAK Siap Tuntas Menghadapi Ujian Nasional. Jakarta: Erlangga. Ediyanto, Arif dan Maya Harsasi. 2022. Matematika 2 SMK/MAK Kelas XI (K_Merdeka). Jakarta: Erlangga. Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -13
GLOSARIUM Domain : seluruh anggota himpunan daerah asal Fungsi : suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (kodomain). Fungsi Invers : suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya Fungsi Komposisi : gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f (x) dan g(x ) yang disimbolkan dengan “o“ Invers : terbalik Kodomain : himpunan yang menjadi bayangan/peta. Range : himpunan semua nilai y=f (x ) dari f Relasi : hubungan antara dua atau lebih himpunan nilai Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -14
YAYASAN PEGURUAN ISLAM REPUBLIK INDONESIA SMK KESATRIAN PURWOKERTO TERAKREDITASI “A” Jl. Kesatrian No. 62 Telp/fax (0281) 636122 Purwokerto 53115 Website: smkkesatrianpwt.sch.id, Email: [email protected] TEKNIK AUDIO VIDEO●TEKNIK KENDARAAN RINGAN● DESAIN KOMUNIKASI VISUAL● TEKNIK SEPEDA MOTOR● TEKNIK JARINGAN KOMPUTER DAN TELEKOMUNIKASI MODUL AJAR Matematika : Fungsi Invers TAHUN PELAJARAN 2023/2024 I. INFORMASI UMUM : A. Identitas Penulis Modul Nama Sekolah : SMK Kesatrian Purwokerto Nama Penyusun : Priska Wahyuni, S.Pd Fase/ Kelas : F/ XI Semester : 3 Alokasi Waktu : 135 menit ( 1 pertemuan @3 x 45menit) Elemen : Aljabar dan Fungsi Capaian Pembelajaran : Di akhir fase F, peserta didik dapat menyatakan data dalam bentuk matriks. Mereka dapat menentukan fungsi invers, komposisi fungsi, dan transformasi fungsi untuk memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi yang sesuai (linear, kuadrat, eksponensial). II. Kompetensi Awal A. TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari B. INDIKATOR TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menerapkan fungsi invers dalam kehidupan sehari-hari C. Kegiatan Pembelajaran KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu Pendahuluan Guru memberikan salam Siswa melakukan kegiatan 5S sebelum memulai pembelajaran Jika dilakukan di awal pembelajaran, guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin berdoa dan melakukan SOP awal pembelajaran berupa: - Membaca 5 ayat Al Quran bagi peserta didik yang beragam Islam, dan membaca Kitab Suci bagi peserta didik yang beragama non muslim (CRT= Cultural Responsible Teaching) - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Melakukan 3S di ruang kelas Guru melakukan presensi Guru sebagai berikut : memberikan pertanyaan pemantik 15 menit Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -1
KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu 1. Apa yang kalian ketahui tentang fungsi invers? 2. Kapan fungsi invers dapat diperoleh? 3. Bagaimana menggunakan fungsi invers untuk memodelkan suatu keadaan atau masalah? Apersepsi Guru memberikan apersepsi tentang fungsi invers, serta kaitan dengan materi-materi sebelumnya. Motivasi Setelah mempelajari materi, maka peserta didik dapat menentukan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari. Kegiatan Inti 1. Menentukan pertanyaan atau masalah utama a. Guru menayangkan bahan ajar tentang bunga majemuk yang di dalamnya terdapat pertanyaan mendasar terkait permasalahan. b. Guru memberikan pertanyaan seperti gambar tersebut membahas tentang apa. 2. Merencanakan proyek a. Guru membagikan LKPD berisi tugas proyek b. Guru mengelompokkan peserta didik secara heterogen. c. Guru memastikan setiap peserta didik dalam kelompok memilih dan mengetahui prosedur permasalahan. d. Peserta didik secara berkelompok menentukan dan menulis aktivitas yang akan dilakukan selama proses penyelidikan. e. Peserta didik berdiskusi secara berkelompok menyusun rencana pembuatan proyek pemecahan masalah meliputi pembagian tugas, persiapan alat, bahan media, sumber yang dibutuhkan. f. Hasil diskusi dan kesepakatan anggota kelompok dalam langkah ini dituliskan dalam tabel jadwal penyelesaian proyek. 3. Membuat jadwal penyelesaian proyek a. Guru dan peserta didik membuat kesepakatan tentang jadwal pembuatan proyek (tahapantahapan dalam pengumpulan). b. Peserta didik membuat jadwal penyelesaian proyek. 4. Memonitor kemajuan penyelesaian proyek a. Guru memantau keaktifan peserta didik selama melaksanakan proyek, memantau realisasi perkembangan dan membimbing jika mengalami kesulitan. b. Peserta didik melakukan pembuatan proyek sesuai jadwal, mencatat setiap tahapan, mendiskusikan masalah yang muncul selama 100 menit Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -2
KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 15 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu penyelesaian proyek dengan guru. Penutup Peserta didik diminta menyimpulkan keseluruhan materi dan guru memberikan penguatan dilanjutkan dengan penyampaian refleksi antar peserta didik dan kepada guru terkait penyampaian materi apakah menyenangkan, materi yang dibahas apakah sudah dipahami, apakah semua peserta didik paham, siapa saja yang belum paham, adakah materi yang susah dipahami, materi mana yang perlu diperbaiki? Peserta didik mendengarkan pesan dari guru tentang materi yang harus disiapkan untuk pertemuan selanjutnya Guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin SOP akhir pembelajaran - Siswa melakukan kegiatan 5S - Pembelajaran ditutup dengan doa - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Siswa bersalaman dengan guru 20 menit D. Asesmen a. Asesmen Awal Siswa mengerjakan Tes Gaya Belajar di https://akupintar.id/ Non Kognitif I. Pilihlah satu jawaban yang sesuai dengan kondisimu pada saat ini! 1. Gambar dibawah ini manakah yang mewakili perasaanmu saat ini? 2. Apakah kamu sudah memahami fungsi invers? 3. Apakah kamu senang dengan mata pelajaran fungsi invers? 4. Pilih gambar yang mewakili perasaanmu bersekolah disini! Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -3
5. Bagaimana perasaanmu dengan teman-teman satu kelas? II. Berilah skor 1 bila jawaban “YA” dan 0 bila “TIDAK” pada kotak di belakangnya! No Pernyataan Skor 1. Saya lebih mudah memahami pelajaran dengan bantuan ilustrasi gambar 2. Saya sangat menyukai objek yang warna-warni 3. Saya sering mengantuk dan susah fokus jika guru menerangkan atau berbicara 4. Saya lebih mudah mengingat materi tayangan video daripada penjelasan guru 5. Saya lebih mudah mengingat dari penjelasan atau pemaparan guru 6. Saya lebih mudah hafal apabila diucapkan berulang kali 7. Saya lebih nyaman melafalkan dengan keras saat belajar 8. Saya lebih suka mendengarkan rekaman daripada membaca buku teks 9. Saya lebih menyukai pembelajaran yang banyak melibatkan gerak badan 10. Saya lebih mudah belajar melalui praktik daripada mendengarkan Klasifikasi diagnostik: 1 - 4 : lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe visual. 6 – 8 : lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe auditori. 9-10: lebih banyak YA, bermakna bahwa siswa tersebut tipe kinestetik. b. Asesmen Formatif Memantau perkembangan siswa dalam mengerjakan tugas Observasi diskusi sesuai LKPD Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -4
c. Asesmen akhir (sumatif) 1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x² + 5! Jawab: f (x)=2 x ²+5 y=2 x ²+5 y−5=2 x ² ( y−5) 2 =x ² x=√ y−5 2 2. f −1(x )=√ [(x−5)/2]Diketahui fungsi f : R→R dan g : R→R dimanan f (x)=2 x+1 dan g(x )=x ²−1. Tentukan fungsi komposisi(gο f)(x )! Jawab: f (x)=2 x+1 g(x )=x ²−1 (gο f)(x )=g(f (x )) ¿ g(2 x+1) ¿(2 x+1)²−1 ¿4 x ²+4 x+1– 1 ¿4 x ²+4 x 3. Jika (f o g)(x )=x+4, dan g(x )=x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f (x)! Jawab: (f og)(x )=x+4 f (g(x ))=x+4 f (x – 2)=x+4 Misalu=x –2 ,maka x=u+2 , sehingga f (x – 2)=x+4 f (u)=u+2+4 f (u)=u+6 f (x)=x+6 y=x+6 x=y – 6 f −1(x )=x – 6 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -5
Jadi, invers dari fungsif ( x )adalahf −1 ( x )=x – 6. 1. Jikaf : R→R dengan f (x)=x−4 dan g: R→R dengan g(x )=x ²+1. Tentukan (f οg)(x−3)! Jawab: f (x)=x – 4 g(x )=x ²+1 (f οg)(x )=f (g(x )) ¿ f (x ²+1) ¿ x ²+1– 4 ¿ x ²−3 (f ο g)(x−3)=(x−3)²−3 ¿ x ²−6 x+9 –3 ¿ x ²−6 x+6 2. Diketahui fungsi f : R→R denganf (x)=4 x+3 dan fungsi g: R→R dengan g(x )=x−1. Apakah(gο f)(x )=(f ο g)(x )? Jawab: Pada fungsi komposisi sifat komutatif tidak berlaku. Namun, mari kita coba selidiki. f (x)=4 x+3 g(x )=x – 1 (gο f)(x )=(f ο g)(x ) g(f (x ))=f (g( x)) g(4 x+3)=f (x−1) 4 x+3−1=4( x –1)+3 4 x+2=4 x – 4+3 4 x+2=4 x – 1 Karena 4 x+2=4 x – 1 maka (gο f)(x )=(f ο g)(x ) E. LAMPIRAN 1. Lembar Kerja Peserta Didik Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Nama Peserta Didik: Proyek Fungsi Invers 1 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -6
2 3 4 1) Carilah artikel mengenai perkembangan konsep komposisi dan fungsi invers dari masa ke masa dalam bidang teknologi, baik dari buku referensi maupum internet. 2) Apa yang dapat anda simpilkan dari artikel sejarah perkembangan komposisi dan fungsi invers? 3) Susunlah rangkuman, artikel, hasil analisis dan simpulan anda dalam bentuk laporan portofolio dan video animasi. 4) Presentasikan hasil laporan kelompok di depan kelas. 2. Pengayaan dan Remedial Pengayaan 1. Fungsi f : R→R dan g : R→R dimanaf (x)=2 x−1 dan g(x )=x ²+3. Tentukan (f ο g)(x )! Jawab_______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ _____________________________ Remedial 1. Diketahui fungsi f : R→R denganf (x)=4 x+3 dan fungsi g : R→R dengan g(x )=x−1. Apakah(gο f)(x )=(f ο g)(x )? Jawab ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ____________ Kunci Jawaban Pengayaan f (x)=2 x−1 g(x )=x ²+3 (f οg)(x )=f (g(x )) ¿ f (x ²+3) ¿2(x ²+3)– 1 Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -7
¿2 x ²+6– 1 ¿2 x ²+5 Remidial Pada fungsi komposisi sifat komutatif tidak berlaku. Namun, mari kita coba selidiki. f (x)=4 x+3 g(x )=x – 1 (gο f)(x )=(f ο g)(x ) g(f (x ))=f (g( x)) g(4 x+3)=f (x−1) 4 x+3−1=4( x –1)+3 4 x+2=4 x – 4+3 4 x+2=4 x – 1 Karena 4 x+2=4 x – 1 maka (gο f)(x )=(f ο g)(x ) 3. Bahan Bacaan Pendidik dan Peserta Didik PENGERTIAN FUNGSI INVERS Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f ={( x , y )|x∈ A dan y ∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f −1 ) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f −1={( y , x)∨y ∈Bdan x∈ A }. SIFAT-SIFAT FUNGSI INVERS 1. Suatu fungsi f : A→B dikatakan memiliki fungsi invers f −1 : B→ A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif. 2. Misalkan f −1 adalah fungsi invers fungsi f . Untuk setiap x∈ Df dan y ∈Rf , maka berlaku y=f (x ) jika dan hanya jika f −1 ( y )=x. 3. Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf , sedangkan I ( x )=x merupakan fungsi identitas. Fungsi f −1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika. ( f ⃘f −1 ) ( x )=x=I(x) untuk setiap x∈ Df dan Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -8
( f −1⃘f ) ( x )=x=I(x) untuk setiap x∈ Rf 4. Jika f sebuah fungsi bijektif dan f −1 merupakan fungsi invers f , maka fungsi invers dari f −1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan (f −1 ) −1=f . 5. Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (g⃘f ) −1=(f −1⃘g −1 ). MENENTUKAN RUMUS FUNGSI INVERS CONTOH SOAL 1. Diketahui fungsi f : R→R dengan f ( x )=5 x+7. Tentukanlah fungsi inversnya! Jawab: Karena y=f ( x ), maka y=5 x+7 y=5 x+7 5 x=y−7 x= y−7 5 Karena x=f −1 ( y ), maka f −1 ( y )= y−7 5 Karena f −1 ( y )= y−7 5 , maka f −1 ( x )= x−7 5 = 1 5 (x−7) Jadi, fungsi invers f ( x )=5 x+7 adalah f −1 (x )= 1 5 (x−7) 2. Diketahui fungsi f : R→R dengan f ( x )=3 x−1. Tentukanlah fungsi inversnya! Jawab: Karena y=f ( x ), maka y=3 x−1 y=3 x−1 3 x=y+1 x= y+1 3 Karena x=f −1 ( y ), maka f −1 ( y )= y+1 3 Karena f −1 ( y )= y+1 3 , maka f −1 (x )= x+1 3 Jadi, fungsi invers f ( x )=3 x−1 adalah f −1 ( x )= x+1 3 3. Berdasarkan contoh soal nomor 1, tentukanlah rumus fungsi komposisi (f ⃘f −1 )( x ) dan ( f −1⃘f ¿ ( x ) ! Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -9
Jawab: ( f ⃘f −1 ) ( x )=f ( f −1 ( x )) ¿5f ( f −1 ( x )) +7 ¿5( 1 5 (x−7))+7 ¿ x−7+7 ¿ x (f −1⃘f ¿ (x )=f −1 (f (x )) ¿ x−7 5 ¿ f (x )−7 5 ¿ (5 x+7)−7 5 ¿ 5x 5 ¿ x Berdasarkan hasil dari contoh soal nomor 1, dapat disimpulkan bahwa ( f ⃘f −1 ) ( x )=( f −1⃘f ) ( x )=x=1( x ). 1. ( f ⃘g) ( x )=f (g(x )) 2. ( f ⃘g⃘h) ( x)=f (g (h( x ))) 3. ( f ⃘g) −1 (x )=(g −1⃘f −1 )(x) 4. f ( x )= ax+b cx+d , maka f −1 ( x )= −dx+b cx−a 5. f ( x ) ¿ a log x, maka f −1 ( x )=a x 6. f ( x )=a x , maka f −1 ( x ) ¿ a log x f(x) f −1 ( x ) ax+b x−b a a x 2 +bx+c −b± √b 2−4 ac (c−x ) 2 a ax+b cx+d −dx+b cx−a 4. Refleksi Peserta Didik dan Pendidik Apa ada kendala pada kegiatan pembelajaran? Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -10 Rangkuman Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Apakah semua peserta didik aktif selama mengikuti kegiatan pembelajaran? Apa saja kesulitan yang dihadapi peserta didik selama mengikuti kegiatan pembelajaran? Apakah kesulitan yang dialami peserta didik dapat teratasi? Apa level pencapaian rata-rata peserta didik dalam kegiatan pembelajaran ini? Apakah seluruh peserta didik dapat tuntas dalam pelaksanaan pembelajaran? Apa strategi yang harus dipilih supaya peserta didik dapat menuntaskan kompetensi? RUBRIK PENILAIAN 1. Asesmen Proses N o Kelompo k Ketepatan Jawaban Ketepata n Waktu Hasil Pekerjaan Bertanya dan Berpendap at Menjawab Pertanyaan Jumlah Skor NA Ya Tida k Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak Pedoman Penskoran dan Penilaian Nilai Akhir Proses = Skor yang diperoleh Skor maksimum ×100 2. Asesmen Akhir Nama Siswa: No KKTP KETERCAPAIAN Kurang kompeten (71-80) Cukup Kompeten (81-90) Sangat Kompeten (91-100) 1 Mendeskripsikan fungsi invers 2 Mendeskripsikan fungsi invers dari fungsi komposisi 3 Mendeskripsikan penerapan fungsi invers pada kehidupan sehari-hari 4 Mempresentasikan hasil Profil Pelajar Pancasila No Dimensi Kreatif-Sub Elemen MulaiBerk embang Sedang Berkemb ang Berkemb angSesua i Harapan Sangat Berkemb ang Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -11
1 Mengeksplorasi dan mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya dalam bentuk karya dan/atau tindakan, serta mengevaluasinya dan mempertimbangkan dampak dan risikonya bagi diri dan lingkungannya 2 Menghasilkan gagasan yang beragam untuk mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya, menilai gagasannya, serta memikirkan segala risikonya dengan mempertimbangkan banyak perspektif seperti etika dannilai kemanusiaan ketika gagasannya direalisasikan Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -12
Bahan Bacaan Susanto, Dicky dkk. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2014. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 1.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Sinaga, Bornok dkk.2016. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X Semester 2.Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Kebudayaan. Kasmina, K. 2018. Seri Pendalaman Materi Matematika untuk SMK/MAK Siap Tuntas Menghadapi Ujian Nasional. Jakarta: Erlangga. Ediyanto, Arif dan Maya Harsasi. 2022. Matematika 2 SMK/MAK Kelas XI (K_Merdeka). Jakarta: Erlangga. Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -13
GLOSARIUM Domain : seluruh anggota himpunan daerah asal Fungsi : suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (kodomain). Fungsi Invers : suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya Fungsi Komposisi : gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f (x) dan g(x ) yang disimbolkan dengan “o“ Invers : terbalik Kodomain : himpunan yang menjadi bayangan/peta. Range : himpunan semua nilai y=f (x ) dari f Relasi : hubungan antara dua atau lebih himpunan nilai Priska Wahyuni, S.Pd/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -14
YAYASAN PEGURUAN ISLAM REPUBLIK INDONESIA SMK KESATRIAN PURWOKERTO TERAKREDITASI “A” Jl. Kesatrian No. 62 Telp/fax (0281) 636122 Purwokerto 53115 Website: smkkesatrianpwt.sch.id, Email: [email protected] TEKNIK AUDIO VIDEO●TEKNIK KENDARAAN RINGAN● DESAIN KOMUNIKASI VISUAL● TEKNIK SEPEDA MOTOR● TEKNIK JARINGAN KOMPUTER DAN TELEKOMUNIKASI MODUL AJAR Matematika : Lingkaran TAHUN PELAJARAN 2023/2024 I. INFORMASI UMUM : A. Identitas Penulis Modul Nama Sekolah : SMK Kesatrian Purwokerto Nama Penyusun : Yosi Purnawan, S.Mat Fase/ Kelas : F/ XI Semester : 4 Alokasi Waktu : 135 menit ( 1 pertemuan @3 x 45menit) Elemen : Geometri Capaian Pembelajaran : Di akhir fase F, peserta didik dapat menerapkan teorema tentang lingkaran, dan menentukan panjang busur dan luas juring lingkaran untuk menyelesaikan masalah (termasuk menentukan lokasi posisi pada permukaan Bumi dan jarak antara dua tempat di Bumi). II. Kompetensi Awal A. TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menentukan panjang busur untuk menyelesaikan masalah B. INDIKATOR TUJUAN PEMBELAJARAN Mampu menjelaskan hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama C. Kegiatan Pembelajaran KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 1 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu Pendahuluan Guru memberikan salam Siswa melakukan kegiatan 5S sebelum memulai pembelajaran Jika dilakukan di awal pembelajaran, guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin berdoa dan melakukan SOP awal pembelajaran berupa: - Membaca 5 ayat Al Quran bagi peserta didik yang beragam Islam, dan membaca Kitab Suci bagi peserta didik yang beragama non muslim (CRT= Cultural Responsible Teaching) - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Melakukan 3S di ruang kelas Guru melakukan presensi Guru sebagai berikut : memberikan pertanyaan pemantik 1. Apa yang kalian ketahui tentang sudut keliling 15 menit Yosi Purnawan, S.Mat/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -1
KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 1 Tahapan Kegiatan Alokasi Waktu dan sudut pusat? 2. Apa hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat? Apersepsi Guru memberikan apersepsi tentang materi sudut pusat dan sudut keliling, serta kaitan dengan materi-materi sebelumnya. Motivasi Setelah mempelajari materi, maka peserta didik dapat menerapkan sudut pusat dan sudut keliling dalam kehidupan sehari-hari. Kegiatan Inti 1. Peserta didik diminta untuk browsing materi tentang lingkaran dengan menggunakan HP (media pembelajaran) masing-masing. 2. Peserta didik dibagi menjadi 8 kelompok diskusi sebagaimana tercantum dalam LKPD 1. 3. Peserta didik mendiskusikan dan mempresentasikan hasil diskusinya di depan kelas. 90 menit Penutup Peserta didik diminta menyimpulkan keseluruhan materi dan guru memberikan penguatan dilanjutkan dengan penyampaian refleksi antar peserta didik dan kepada guru terkait penyampaian materi apakah menyenangkan, materi yang dibahas apakah sudah dipahami, apakah semua peserta didik paham, siapa saja yang belum paham, adakah materi yang susah dipahami, materi mana yang perlu diperbaiki? Peserta didik mendengarkan pesan dari guru tentang materi yang harus disiapkan untuk pertemuan selanjutnya, yaitu: peserta didik ditugaskan untuk melakukan observasi sesuai dengan tugas yang tertera pada LKPD 2. Guru meminta salah satu peserta didik untuk memimpin SOP akhir pembelajaran - Siswa melakukan kegiatan 5S - Pembelajaran ditutup dengan doa - Mengucapkan Safety Commitment dan yel-yel SMK Kesatrian Purwokerto - Siswa bersalaman dengan guru 30 menit D. Asesmen a. Asesmen Awal 1. Apa yang dimaksud dengan sudut keliling dan sudut pusat pada lingkaran? 2. Bagaimana cara menentukan sudut keliling dan sudut pusat pada lingkaran? b. Asesmen Formatif Memantau perkembangan siswa dalam mengerjakan tugas Observasi diskusi sesuai LKPD 1 dan LKPD 2 Yosi Purnawan, S.Mat/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -2
c. Asesmen akhir (sumatif) 1. Perhatikan gambar di bawah ini! Jika diketahui sudut AOB = 45° ∠ maka hitunglah sudut ACB ∠ ! Jawab: Seperti yang sudah kita bahas jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat adalah dua kali sudut keliling Diketahui sudut ∠AOB = 130° sehingga sudut ∠ACB = 1 2 dari ∠AOB ∠ACB = 1 2 . 130° ∠ACB = 65° Jadi, besarnya sudut ∠ACB adalah 65° E. LAMPIRAN 1. Lembar Kerja Peserta Didik Lembar Kerja Peserta Didik 1 Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD 1) Nama Peserta Didik: Sudut Pusat dan Sudut Keliling 1 2 3 4 Carilah dan diskusikan! 1. Apa yang kalian ketahui tentang sudut keliling dan sudut pusat pada lingkaran? Jawab ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________ 2. Perhatikan lingkaran di bawah ini! Yosi Purnawan, S.Mat/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -3
Jika sudut ∠ACB = 55° maka berapa besar sudut ∠AOB? Jawab ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________ Yosi Purnawan, S.Mat/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -4
Lembar Kerja Peserta Didik 2 Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD 2) Nama Peserta Didik: Sudut Pusat dan Sudut Keliling 1 2 3 4 Observasilah di bengkel-bengkel Teknik Kendaraan Ringan dan bengkel Teknik Sepeda Motor 1. Carilah benda yang berbentuk lingkaran, kemudian gambarlah benda tersebut dan hitung jari-jari lingkarannya serta tariklah garis sehingga membuat sudut pusat dan sudut keliling pada busur yang sama! Jawab ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ____________ 2. Hitunglah masing-masing besar sudut pusat dan sudut kelilingnya! Jawab ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ____________ 2. Pengayaan dan Remedial Pengayaan 1. Perhatikan gambar di bawah ini! Jika sudut ∠AOE = 100° maka tentukan besar sudut ∠ABE, ∠ACE, ∠ADE! Jawab_______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ _____________________________ Remedial Yosi Purnawan, S.Mat/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -5
1. Perhatikan gambar di bawah ini! Jika sudut ∠AOB = 150° maka berapa besar sudut ∠ACB? Jawab ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ____________ Kunci Jawaban Pengayaan Diketahui sudut ∠AOB = 140° merupakan sudut pusat sedangkan sudut ∠ABE, ∠ACE, ∠ADE merupakan sudut keliling sehingga besarnya sudut ∠ABE, ∠ACE, ∠ADE adalah 1 2 dari sudut ∠AOB sudut ∠ABE = 1 2 ∠AOB = 1 2 . 140° = 70° sudut ∠ACE = 1 2 ∠AOB = 1 2 . 140° = 70° sudut ∠ADE = 1 2 ∠AOB = 1 2 . 140° = 70° Jadi, besar sudut ∠ABE, ∠ACE, ∠ADE adalah 70°. Remidial Yosi Purnawan, S.Mat/Matematika/Fase F/TP 2023_2024 -6