MATEMATICA_FINANCEIRA_APLICADA_-_IBPEX_DIGITAL_280

com novos recursos

prática



Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

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Nelson Pereira Castanheira
Luiz Roberto Dias de Macedo

3a edição revista

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Conselho Editorial Análise de Informação Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Dr. Ivo José Both, (presidente) Jerusa Piccolo
Dr.a Elena Godoy
Dr. Nelson Luís Dias Revisão de Texto
Dr. Ulf Gregor Baranow Schirley Horácio de Gois Hartmann

Editor-chefe Capa
Lindsay Azambuja Denis Kaio Tanaami

Editores-assistentes Projeto Gráfico
Ariadne Nunes Wenger Bruno Palma e Silva

Editor de arte Diagramação
Raphael Bernadelli Regiane de Oliveira Rosa
Roberto Querido

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Castanheira, Nelson Pereira.
Matemática financeira aplicada. [livro eletrônico] / Nelson Pereira
Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. – Curitiba: Ibpex, 2012. –
(Série Matemática aplicada)
2 MB; PDF

Bibliografia
ISBN 978-85-7838-955-0

1. Administração financeira 2. Finanças pessoais 3. Matemática financeira
4. Mercado de capitais I. Macedo, Luiz Roberto Dias de. II Título. III. Série

12-07565 CDD 650.01513

Índices para catálogo sistemático
1.Matemática financeira 650.01513

Foi feito o depósito legal.

Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão de conceitos.

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou
forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex.

A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido
pelo art. 184 do Código Penal.

Esta obra é utilizada como material didático nos cursos do Grupo Uninter.

Apresentação 6 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
1 Porcentagem e regimes de capitalização 11
2 Capitalização simples 19
3 Desconto simples 37
4 Capitalização composta 49
5 Taxas 67
6 Desconto composto 79
7 Rendas ou séries uniformes 89
8 Taxa interna de retorno e valor presente líquido 121
9 Correção monetária e indicadores 129
10 Depreciação 139
11 Operação de arrendamento mercantil — leasing

e Debêntures 149

12 Amortizações 163

Referências 205
Respostas 207
Apêndices 213
Sobre os autores 275

Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos à necessidade que as Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
pessoas em geral têm de conhecer os fundamentos básicos da matemá-
tica financeira e, simultaneamente, à dificuldade que comumente encon-
tram quando leem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja dema-
siadamente rebuscada. Procuramos, então, produzir um material de fácil
compreensão e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da
matem­ ática financeira sem que seja necessária a presença permanente de
um professor ou profissional da área para auxiliar na aprendizagem.

Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Mate­
mática Financeira, Análise de Investimentos e Análise Financeira, esta obra
poderá contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas
práticas em sala de aula. As definições conceituais que propomos estão
ancoradas nos estudos realizados ao longo de nossa carreira acadêmica e
profissional na área, bem como nas fontes referenciadas no final do livro.

Nossa experiência mostrou, ainda, que a iniciação aos princípios da mate­
mática financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto à uti-
lização das fórmulas algébricas. Só posteriormente cabe ensinar o uso da
calculadora financeira, ferramenta indispensável para o profissional que
necessita de agilidade na resolução de problemas matemático-financeiros
no dia a dia. Optamos por oferecer explicações quanto ao manuseio da
calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido,
poderá consultar o Apêndice A desta obra. Assim, do modo como a orga-
nizamos, o leitor poderá desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo
o máximo de aproveitamento dos seus estudos.

Tivemos a intenção também de atender a quem deseja aprender matemá-
tica comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos
Apêndices B, C e D – proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra
de três simples e regra de três composta. Dessa forma, ampliamos o alcance
deste material e esperamos expandir os benefícios que podemos trazer ao
leitor interessado.

Os Autores

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Como aproveitar ao máximo este livroconteudo do capitulo.pdf 29/1/2010 13:48:02

Conteúdos do capítulo Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

• Definição de porcentagem ou percentagem.
• Passos do cálculo de porcentagem.
• Razão porcentual.
• Regimes de capitalização.
• A relação entre capital e juro.
• Risco país.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:

1. desenvolver a lógica do cálculo porcentual em operações cotidianas;
2. aplicar o cálculo de transformação de uma razão qualquer em razão

porcentual;
3. compreender o conceito de capitalização;
4. entender o que é capital e o que é juro;
5. distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalização

simples de capitalização composta;
6. conceituar risco país.

Logo na abertura do capítulo, você fica conhecendo os conteúdos que serão nele abordados.
Você também é informado a respeito das competências que irá desenvolver e dos conheci-
mentos que irá adquirir com o estudo do capítulo.

Exercício Resolvido

Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que lemos 8 por cento)
de 250.

Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir

por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa

que transformamos 8% em uma razão porcentual. Em seguida, devemos
substituir a preposição de pelo sinal de multiplicação.

Assim, teremos:

8% de 250 =

Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então:

Durante o livro há uma série de exercícios resolvidos para facilitar a compreen-

são do1s0c0ap.ítxul=os.250 . 8

Síntese Porcentagem e regimes de capitalização Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Nas operações financeiras, o uso do cálculo percentual é uma constante.
Para facilitar esse tipo de prática, é importante que você compreenda a ló-
gica da concepção de percentual, ou seja, a ideia de fracionamento do todo
e as relações de razão entre as partes e o todo, processo que tecnicamente
é denominado de ou . Nesse cálculo,
como vimos, aplicamos a regra de três e operamos a descoberta de quantos
por cento corresponde a uma determinada razão dada. As operações fi-
nanceiras, importantes para o desenvolvimento de um país, implicam um
regime de capitalização. Nesse contexto, é necessário que tenhamos claro o
que é capital e juro, bem como estejamos capacitados para responder: por
que se cobra juro? O que é uma taxa de juro? Como aplicar a taxa de juro?
O que significa “risco país”? Também não podemos esquecer que o fator
montante é fundamental em um regime de capitalização e que período ou
18 prazo constitui-se em fator estrutural dessa atividade.

Você dispõe, ao final do capítulo, de uma síntese que traz os principais
conceitos nele abordados.

1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital
de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-
sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30.
Supondo que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, veri-
fique quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o
rendimento.
4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao
mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu
R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?

Com estas atividades, você tem a possibilidade de rever os principais conceitos analisa-
dos. Ao final do livro, o autor disponibiliza as respostas às questões, a fim de que você
possa verificar como está sua aprendizagem.

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capítuloPorcentagem e regimes
de capitalização
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Capítulo 1 Conteúdos do capítulo

• Definição de porcentagem ou percentagem. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
• Passos do cálculo de porcentagem.
• Razão porcentual.
• Regimes de capitalização.
• A relação entre capital e juro.
• R isco país.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:

1. desenvolver a lógica do cálculo porcentual em operações cotidianas;
2. aplicar o cálculo de transformação de uma razão qualquer em razão

porcentual;
3. compreender o conceito de capitalização;
4. entender o que é capital e o que é juro;
5. distinguir juro simples de juro composto, bem como capitalização

simples de capitalização composta;
6. conceituar risco país.

Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes
iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da
seguinte forma: , que chamamos de razão centesimal ou de razão
porcentual e lemos um por cento.

Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem. No
exemplo anterior, representaríamos um por cento da seguinte forma: 1%.

Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% = = 1.

Assim, chama-se 100% de unidade.

Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos.

Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo.

Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notação i%, que
lemos i por cento, é usada para representar a fração de :

Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma
regra de três simples, conforme vemos a seguir:
Grandeza 1 Grandeza 2

P 100
12 x i

Então: Porcentagem e regimes de capitalização

1.1 Cálculo da porcentagem

O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Veja o "Exercício Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Resolvido" a seguir.

Exercício Resolvido

Imaginemos que desejamos determinar quanto é 8% (que lemos 8 por cento)
de 250.

Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir

por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa

que transformamos 8% em uma razão porcentual. Em seguida, devemos
substituir a preposição de pelo sinal de multiplicação.

Assim, teremos:

8% de 250 =

Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então:

100 . x = 250 . 8

x = 20 13

Simples e fácil, você não achou?

1.1.1 Transformação de uma razão qualquer em razão
centesimal (ou razão porcentual)

A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal tem como
objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão dada. Veja e
acompanhe os cálculos do ”Exercício Resolvido”, logo a seguir.









































Capítulo 2 23. De quanto será o juro simples cobrado num empréstimo de R$ 50.000,00
em seis meses, pela taxa de juro simples de 2,25% ao mês?
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24. Qual o capital que deve ser aplicado para se obter um montante de R$
31.968,00 em quatro semestres, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano?

25. Qual foi o capital emprestado que produziu o montante de R$ 42.160,00
pela taxa de juro simples de 2% ao mês, no prazo de um ano?

26. Qual o capital que, aplicado a 6% ao trimestre, rendeu juro simples de
R$ 2.160,00 ao final de três trimestres?

27. Qual o prazo de aplicação, em dias, do capital de R$ 5.000,00 que, apli-
cado à taxa de juro simples de 0,05% ao dia, produziu o montante de R$
5.050,00?

28. Numa aplicação de R$ 1.750,00, à taxa de juro simples de 20% ao ano, o
montante recebido foi de R$ 4.200,00. Determine o prazo da aplicação.

29. Iolanda aplicou R$ 1.800,00 à taxa de juro simples de 36% ao ano. Se ela
recebeu um montante de R$ 2.124,00, qual foi o prazo da aplicação?

30. Eduardo aplicou um capital de R$ 8.000,00 para receber R$ 11.200,00
daqui a 24 meses. Qual será a rentabilidade semestral (%)?

31. Qual foi a taxa de juro simples trimestral que, aplicada a uma impor-
tância de R$ 2.500,00, produziu um montante de R$ 2.950,00 no prazo de
nove meses?

32. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 2.000,00 ou então por R$ 320,00
de entrada, mais uma parcela de R$ 2.100,00 cinco meses após a compra.
Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?

33. Um carro é vendido à vista por R$ 25.000,00 ou então por R$ 5.000,00
de entrada, mais uma parcela de R$ 21.850,00 após dois meses. Qual foi a
taxa mensal de juro simples do financiamento?

34. Determinada mercadoria tem seu preço à vista fixado em R$ 1.000,00,
mas pode ser adquirida da seguinte forma: entrada correspondente a 20%
do preço à vista e mais um pagamento no valor de R$ 880,00 para 60 dias
após a compra. Calcule a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja na
venda a prazo.

35. Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro sim-
ples de 24% ao ano, rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.
34

36. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 2.650,00 a uma taxa de Capitalização simples
juro simples de 40% ao ano, durante seis meses.
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37. Foram aplicados R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano.
Qual foi o prazo da aplicação, sabendo-se que o juro obtido foi de R$
10.000,00?

38. Qual foi o prazo de um empréstimo de R$ 38.500,00, se o juro foi de
R$ 6.160,00 e a taxa de juro simples de 3,2% ao mês?

39. Por quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o seu juro
seja igual a duas vezes o seu valor, se for aplicado a uma taxa de juro sim-
ples de 20% ao ano?

40. Pedro Henrique aplicou R$ 4.800,00 à taxa de juro simples de 12% ao
ano. Se ele recebeu R$ 384,00 de juro, obtenha o prazo da aplicação.

41. O capital de R$ 800,00 foi aplicado durante quatro meses, a uma taxa de
juro simples de 2% ao mês. Qual foi o valor do juro recebido pelo aplicador?

42. Considerando o exercício anterior, determine quanto o aplicador resga-
tou após o quarto mês de aplicação.

43. Uma dívida de R$ 2.350,00 foi paga com dois meses de atraso, e foi
cobrado o valor de R$ 117,50 de juro. Qual foi a taxa de juro simples dessa
operação financeira?

44. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 a juro simples durante certo tempo e
obteve o montante de R$ 11.800,00. Sabendo que a taxa de juro simples utilizada
foi de 1,8% ao mês, determine por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado.

45. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 4.560,00, que foi apli-
cado durante um ano e cinco meses, a uma taxa de juro simples de 1% ao
mês.

46. Que capital produziu o montante de R$ 5.535,20 a partir de uma aplica-
ção a juro simples, com taxa de juro igual a 1,5% ao mês, pelo período de
dois anos?

47. Um capital de R$ 40.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 2% ao
mês produziu um montante de R$ 58.400,00. Calcule o período dessa apli-
cação.

48. Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 4%
ao mês levará quanto tempo para produzir juro equivalente ao valor do
capital aplicado?

35

Capítulo 2 49. Uma loja vende um aparelho de som por R$ 1.000,00 à vista. A prazo,
vende por R$ 1.160,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante em um
pagamento único dois meses após a compra. Qual é a taxa de juro simples Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
da operação?
50. Um capital foi aplicado durante 400 dias, a uma taxa de juro simples de
1,8% ao mês e resultou num montante de R$ 3.246,00. Qual foi o valor do
capital aplicado?

36

capítuloDesconto simples

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Capítulo 3 Conteúdos do capítulo

• Os conceitos, fórmulas e cálculos dos descontos comercial e Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
racional simples.

• A noção de relação entre os descontos comercial e racional.
• A substituição de títulos em situação de equivalência.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:

1. conceituar título de crédito;
2. aplicar a fórmula de cálculo do desconto comercial;
3. aplicar a fórmula de cálculo do desconto racional;
4. realizar um cálculo comparativo entre o desconto

comercial e racional;
5. estabelecer a equivalência entre títulos.

Inicialmente devemos lembrá-lo de que, quando nos dirigimos a um agente
financeiro e efetuamos um empréstimo ou assumimos uma dívida, precisa-
mos assinar um documento para a garantia de quem nos empresta o capital.
Ou seja, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 39) “se uma pessoa deve
uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor
um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida”. O que é título de
crédito? Basicamente, são de dois tipos, segundo os mesmo autores:

• nota promissória – um comprovante da aplicação de um capital com
vencimento predeterminado. É um título em que necessariamente
uma das partes é uma pessoa física;

• duplicata – um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu
cliente (pessoa física ou jurídica). Portanto, é um título em que necessa-
riamente uma das partes é uma pessoa jurídica.

Você, com toda certeza, conhece o conceito de desconto. Quantas e quantas
vezes já terá pedido desconto aqui e ali?

Podemos também imaginar o desconto como aquele benefício que alguém
merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida (ou o resgate
antecipado de um título).

Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o
valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor
atual desse título.

Assim como no cálculo do juro, para calcular o desconto, precisamos co-
38

nhecer uma taxa, que será denominada de taxa de desconto, e um período Desconto simples
de tempo. Esse período, no caso, é o tempo que falta para o vencimento da
dívida (ou do título). Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Conforme Castanheira e Serenato (2008, p. 39) “todo título de crédito tem 39
uma data de vencimento. Porém, pode ser antecipadamente resgatado, ob-
tendo-se, com isso, um abatimento denominado desconto”.

Desconto é, segundo os mesmo autores (2008, p. 39), portanto, “o abatimen-
to concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipa-
do”. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de ca-
pitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.

Temos dois tipos de desconto simples a estudar:

a) o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário;

b) o racional.

3.1 Desconto comercial simples

O desconto comercial, que representaremos por Dc, é determinado apli-
cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de
crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida
no dia do seu vencimento.

Logo, por definição:

Dc = M . i . n

É importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a
dívida.

Uma vez determinado o desconto a que o possuidor do título tem direito
por estar antecipando a sua quitação, calculamos, com facilidade, o valor
atual (Vc) para a data do resgate do título.

Ou seja:

Vc = M – Dc

Vc = M – M . i . n

Vc = M . (1 – i . n)

Assim, se uma pessoa tem uma dívida de R$ 5.000,00 com vencimento para
daqui a quatro meses. Tendo quitado a dívida hoje, num banco que utiliza

Capítulo 3 1,5% ao mês de taxa de desconto comercial, determinemos o valor desse
desconto da seguinte maneira:
M = 5.000,00
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n=4m

Dc = ? Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Como, já existe uma homogeneidade entre os tempos das grandezas taxa
de juro e período. Ambas estão expressas em meses. Portanto, podemos
substituir os valores fornecidos diretamente na fórmula.
Dc = M . i . n
Dc = 5.000,00 . 0,015 . 4

Dc = 300,00

Para a utilização da calculadora financeira HP-12C, o valor nominal do
título deverá ser fornecido no registrador PV.

Como resolver na HP-12C ?
f REG
f2
5000 CHS PV

1.5 ENTER

12 x i (taxa ao ano)

4 ENTER

30 x n (período em dias)

f INT (desconto comercial = 300,00)

Observe que não estamos considerando o fato de os bancos, na prática, efe-
tuarem o cálculo do desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada,
cobrada sobre o valor nominal (montante), a que denominam de taxa de
despesa administrativa. Ou seja, o desconto bancário (Db) será calculado
pela fórmula:

Db = Dc + M . h
40 em que h é a taxa de despesa administrativa.

Exercício Resolvido Desconto simples

Um título de R$ 8.400,00 foi descontado três meses antes do seu vencimento. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Sabemos que a taxa corrente em desconto comercial é de 22% ao ano. Calcule
o desconto comercial e o valor que o proprietário do título recebeu.
i = 22% a. a. = 0,22 a. a. = 0,22/12 a. m.
n=3m
M = 8.400,00
Dc = M . i . n
Dc = 8.400,00 . 0,22/12 . 3
Dc = 462,00
Vc = M – Dc
Vc = 8.400,00 – 462,00
Vc = 7.938,00

Pela calculadora HP-12C:

f REG

f2

8400 CHS PV

22 i (taxa ao ano)

3 ENTER

30 x n (período em dias)

f INT (desconto comercial = 462,00)

RCL PV

+ (valor atual = 7.938,00)

3.2 Desconto racional simples

O desconto racional, que representaremos por Dr, é determinado aplican­
do-se uma taxa de desconto sobre o valor atual (Vr) do título de crédito.

41

Capítulo 3 Logo, por definição:
Dr = Vr . i . n
É im portante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a
dívida.
O valor atual é igual ao valor nominal (montante), menos o desconto.
Vr = M – Dr
Da fórmula geral da capitalização simples, temos que:

Desse modo, se um título de R$ 15.840,00 tem vencimento daqui a 180 dias.
Caso esse título seja quitado hoje, a uma taxa de desconto racional simples
de 2,5% ao mês, por quanto será resgatado?
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 180 dias = 6 m
M = 15.840,00
Vr = M

1+i.n

Vr = 15.840,00

1 + 0,025 . 6

Vr = 13.773,91

O título será resgatado por R$ 13.773,91.

Exercício Resolvido

Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título
de R$ 24.860,00, vencível em 4 meses e 15 dias, descontado à taxa de 25%
ao ano?
M = 24.860,00
Vr = ?
42 Dr = ?

i = 25% a. a. = 0,25 a. a. Desconto simples
n = 4 m 15 d = 135 d = 135/360 a
Vr = M Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

1+i.n 43

Vr = 24.860,00

1 + 0,25 . 135/360

Vr = 22.729,14

Dr = M – Vr
Dr = 24.860,00 – 22.729,14
Dr = 2.130,86
O desconto racional simples é de R$ 2.130,86, e o valor do resgate é de
R$ 22.729,14.

3.3 Relação entre o desconto comercial e o desconto racional
Dc – Dr = M . i . n – Vr . i . n
Dc – Dr = i . n . (M – Vr)
Dc – Dr = i . n . (Dr)
Dc = Dr + Dr . i . n
Dc = Dr . (1 + i . n)

Verificamos, então, que Dc > Dr. Logo, Vc < Vr.
Para contextualizarmos essa prática vamos determinar o desconto comer-
cial e o desconto racional sobre um título de R$ 38.400,00, considerando
uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês e sabendo que o título
vencerá daqui a cinco meses.
M = 38.400,00
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n=5m

Dc = M . i . n
Dc = 38.400,00 . 0,03 . 5

Capítulo 3 Dc = 5.760,00

Dc = Dr . (1 + i . n)
5.760,00 = Dr . (1 + 0,03 . 5)
5.760,00 = Dr . 1,15

Dr = 5.008,70

3.4 Títulos equivalentes

Ao necessitarmos substituir um título por outro, precisamos tera certeza de Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se deseja
ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, portanto, da
troca de papéis.

É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determi-
nada taxa. Alterando-se o valor da taxa, a equivalência desaparecerá.

Para estabelecer a equivalência entre títulos, é necessário escolhermos uma
data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de
data focal ou data de referência. Na data focal, os valores atuais dos dois
títulos são iguais.

Vimos que Vc = M . (1 − i . n)

Chamemos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo
de vencimento n1. Portanto, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 45)

Vc = M1 . (1 – i . n1) pois, pela definição, os valores atuais dos títulos des-

contados na mesma data focal são iguais. Então, temos que:

M . (1 – i . n) = M1 . (1 – i . n1)

M . (1 – i . n)
M1 =
(1 – i . n1)

Assim, se considerarmos um título de R$ 4.200,00, que vencerá em cinco me-
ses e deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses,
admitindo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês,
vamos calcular o valor nominal do novo título.

M = 4.200,00

n=5m

i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
44

n1 = 8 m Desconto simples

M1 = 4.200,00 . (1 – 0,015 . 5)
1– 0,015 . 8

M1 = 4.414,77

Exercício Resolvido

Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 2.560,00, vencível em Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
dois meses, e outro de R$ 3.440,00, vencível em cinco meses. Entretanto, não
podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los
por um único título, com vencimento para oito meses. Calcule o valor nomi-
nal do novo título, considerando a taxa de juro simples de 1,2% ao mês.

M = 2.560,00

M’ = 3.440,00

n=2m

n’= 5 m

n1 = 8 m

i = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.

M1 =M . (1 –i. n) + M’. (1 – i . n’)
. n1 1 – i . n1
1–i

2.560,00 . (1 – 0,012 . 2) + 3.440,00 . (1 – 0,012 . 5)
M1 =
1 – 0,012 . 8 1 – 0,012 . 8

M1 = 6.340,88

Novamente é hora de você exercitar sozinho. Apresentamos, a seguir,
mais uma série de 20 exercícios. Resolva-os e confira com as respostas
fornecidas.

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Capítulo 3 Síntese

Título de crédito, nota promissória, duplicata, descontos comercial e racio- Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
nal, bem como taxa de descontos, são todos conceitos relacionados ao am-
biente financeiro, mais especificamente nas questões relativas a emprésti-
mos e dívidas. Para facilitar as operações desse contexto são estabelecidas
fórmulas matemáticas que envolvem, entre outras, taxa prefixada, taxa de
despesa administrativa, além das respectivas taxas de descontos. Mas no
processo operacional do desconto simples é necessário também conhecer
os cálculos para estabelecer a relação entre o desconto comercial e o ra-
cional, assim como a equivalência entre títulos. Para que essas operações
fiquem bem claras, foi que optamos por uma série contínua de exercícios
de fixação, além dos exemplos trabalhados na exposição dos conteúdos.

1. Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes
do seu vencimento. Sabendo que a taxa de juro simples corrente é de 24%
ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve
pagar.

2. Um título de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de venci-
mento, à taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto
comercial?

3. Uma nota promissória de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano.
Qual foi o valor do resgate?

4. Um título de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado em
21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto racio-
nal simples?

5. Qual seria o desconto comercial em uma negociação cujo resultado da
operação forneceu um desconto racional de R$ 2.800,00 à taxa de juro sim-
ples de 2,0% ao mês, num período de quatro meses?

6. Um título de valor nominal igual a R$ 55.000,00, pagável em 30 dias,
vai ser substituído por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que o
credor pode resgatar o título à taxa de juro simples de 30% ao ano, deter-
mine o valor nominal do novo título, considerando um desconto comercial
simples.
46

7. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento Desconto simples
em 3 de novembro. No dia 17 de agosto do mesmo ano, descontou o título
num banco que utilizou 2% ao mês de taxa de desconto comercial simples. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Determine o valor desse desconto.

8. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação
financeira em que um título de R$ 3.200,00 foi resgatado por R$ 2.854,40,
noventa dias antes do seu vencimento?

9. Um título no valor de R$ 4.665,00 foi descontado antes do seu vencimen-
to, pelo valor atual de R$ 4.156,51. Sabendo que foi utilizada a taxa de des­
conto comercial simples de 2,18% ao mês, verifique quanto tempo faltava
para o venc­ imento do título.

10. Um cliente de um banco tinha uma duplicata que venceria em 75 dias.
Dirigiu-se ao banco e resgatou-a pelo valor líquido de R$ 952,00. Sabendo
que esse banco havia cobrado, nessa operação, uma taxa de desconto co-
mercial simples de 1,92% ao mês, descubra o valor nominal dessa dupli-
cata.

11. Um título de R$ 8.345,00 foi resgatado 80 dias antes do seu vencimento
e, em consequência, ganhou um desconto comercial simples de R$ 747,72.
Qual foi a taxa mensal de desconto utilizada nessa operação?

12. Um título no valor de R$ 8.000,00 foi descontado à taxa de 0,12% ao dia.
Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule
o período de antecipação (dias) no resgate do título.

13. Um título foi descontado à taxa de 0,30% ao dia, estando a 40 dias de
seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de
R$ 540,00, calcule o valor nominal do título.

14. Uma pessoa possuía uma dívida de R$ 589,00 e resolveu pagá-la dois
meses antes do vencimento. Perguntado qual o valor do desconto comer-
cial simples a que tinha direito, responderam que a taxa de desconto era de
1,5% ao mês. Quanto essa pessoa ganhou de desconto?

15. Uma dívida foi paga 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial simples de 2% ao mês. Sabendo que o valor líquido
pago foi de R$ 458,72, determine o valor nominal dessa dívida.

16. Um título de R$ 1.000,00 foi pago cinco meses antes do seu vencimento,
por desconto comercial simples. Sabendo que o desconto recebido foi de
R$ 50,00, estabeleça a taxa de desconto dessa operação.

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