MATEMATICA_FINANCEIRA_APLICADA_-_IBPEX_DIGITAL_280

Logo: Taxa mensal = 24% / 12 = 2% a.m. Taxas
b. Taxa de 36% a. a., com capitalização bimestral.

Logo: Taxa bimestral = 36% / 6 = 6% a. b.
c. Taxa de 20% a. s., com capitalização trimestral.

Logo: Taxa trimestral = 20% / 2 = 10% a. t.
Nesse tipo de cálculo, em linhas gerais, temos:

em que: Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

i1 = taxa conhecida;
i2 = taxa desconhecida;
n1 = período da taxa conhecida;
n2 = período da taxa desconhecida.
Agora, vamos calcular o montante obtido, considerando que o valor de
R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa nominal de 36% ao ano, durante um ano.
E queremos saber:

a) capitalização semestral;

b) capitalização trimestral;

c) capitalização bimestral;

d) capitalização mensal.

n = 1 a = 2 s = 4 t = 6 b = 12 m
i = 36% a. a. = 0,36 a. a.
i = 18% a. s. = 0,18 a. s.
i = 9% a. t. = 0,09 a. t.
i = 6% a. b. = 0,06 a. b.
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.

a) Capitalização semestral:

M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,18)2

69

Capítulo 5 M = 6.962,00

Pela calculadora HP-12C: Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
f REG
f2
5000 CHS PV
18 i
2 n
FV
b) Capitalização trimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,09)4
M = 7.057,91

Pela calculadora HP-12C:
f REG
f2
5000 CHS PV
9i
4n
FV
c) Capitalização bimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,06)6
M = 7.092,60

Pela calculadora HP-12C:
f REG
f2
5000 CHS PV

70

6i Taxas

6n Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

FV 71

d) Capitalização mensal:

M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,03)12

M = 7.128,80

Pela calculadora HP-12C:

f REG
f2
5000 CHS PV
3 i
12 n
FV
Compare agora os montantes obtidos nos quatro casos.

5.2 Taxa efetiva

Quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada coincide
com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu,
temos uma taxa efetiva.

Logo, não importa por quanto tempo o capital será acrescido de juro, o
resultado final (o montante) será o mesmo.

No caso da taxa efetiva, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 60) “o
juro é capitalizado uma única vez no período a que se refere a taxa”.

No caso de uso da taxa efetiva, se um banco emprestou o capital de R$
4.000,00 a ser devolvido em parcela única daqui a um ano (sabendo que a
taxa nominal cobrada é de 10,5% ao ano, com capitalização mensal), pode-
mos calcular quais serão o montante e a taxa efetiva da seguinte maneira:

i = 10,5% a. a. = 0,105 a. a. = 0,875 % a. m. = 0,00875 a. m. (taxa nominal)

M = C . (1 + i)n
M = 4.000,00 . (1 + 0,00875)12

Capítulo 5 M = 4.440,81

Pela calculadora HP-12C: Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
f REG
f2
4000 CHS PV
12 n
0.875 i
FV

Para o cálculo exato, observe que esse montante foi arredondado. Seu valor,
na realidade, é de R$ 4.440,8138.

Então, a taxa ao ano, na realidade, é:

M = C . (1 + i)1
4.440,8138 = 4.000,00 . (1 + i)

1 + i = 1,110203

i = 0,110203 ou i = 11,0203% a. a. (taxa efetiva)

Pela calculadora HP-12C, basta pressionar:

1 n

i

5.3 Taxa real e taxa aparente1

Seria correto dizer, quando se trata de taxa de juro, que as aparências enga-
nam? É isso mesmo. Você não pode deixar-se enganar quando lhe disserem
que sua caderneta de poupança rendeu, em um único mês, dois por cento.
Por que isso?

A resposta é simples. Dentro desse percentual está incluída a inflação do
período considerado. Portanto, descontada a inflação, o rendimento é bem
menor. Precisamos, então, conhecer bem as definições a seguir.

Taxa aparente é a taxa que utilizamos sem levarmos em conta a inflação
do período.

Taxa real é a taxa que utilizamos levando em consideração os efeitos infla­
cionários do período.

72 1 Esse item foi elaborado a partir de ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 61-62).

A taxa real pode ser negativa, caso a correção efetuada sobre o capital te- Taxas
nha sido menor que a inflação do período.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Qual a relação existente entre essas taxas?

Considere um capital C que foi aplicado durante certo tempo n e que re-
sultou em um montante M.

1º caso: considere que no período n não houve inflação e a taxa de aplica-
ção é, portanto, a taxa aparente ia.
Então:

M = C . (1 + ia)

2º caso: considere que no período n houve uma inflação I. Logo, o capital
foi acrescido não só da taxa real i, mas também da taxa de inflação I.

Então:

M = C . (1 + i) . (1 + I)

Igualando essas duas expressões de M:

C . (1 + ia) = C . (1 + i) . (1 + I)
(1 + ia) = (1 + i) . (1 + I)

(1 + i) =



Nesse tipo de taxação, para determinarmos a taxa de rendimento real de
uma aplicação cuja taxa aparente foi de 40% ao ano, durante um ano em
que a inflação foi 12%, consideramos:

Logo:
i = 1,25 – 1
i = 0,25 ou 25% ao ano

73

Capítulo 5 Exercícios Resolvidos

1. Vamos determinar a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
taxa aparente foi de 8% ao mês, em um mês em que a inflação foi
2,86%.



i = 1,05 – 1
i = 0,05 ou 5% ao mês
2. Agora determinaremos a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja
taxa aparente foi de 4% ao mês, em um mês em que a inflação foi 5%.



i = 0,9905 – 1

i = − 0,0095 ou − 0,95% ao mês (houve prejuízo para o aplicador)

3. Vamos supor que uma pessoa tomou emprestados R$ 3.000,00 e pa-
gou, no final do período, R$ 3.300,00. Essa pessoa pagou, no ato da
operação, despesas no valor de R$ 30,00. Como determinar as taxas
nominal, efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação, no pe-
ríodo, foi igual a 2%.

Taxa nominal:

M = C . (1 + i)n

3.300,00 = 3.000,00 . (1 + i)1

3.300,00 – 3.000,00 = 3.000 . i

i = 300 = 0,10 no período ou 10% no período
3.000

Taxa efetiva:

74 M = C . (1 + i)n

3.300,00 = (3.000,00 – 30,00) . (1 + i)1 Taxas

3.300,00 = 2.970.00 (1 + i) Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

3.300,00 – 2.970,00 = 2.970,00 . i

no período ou 11,11% no período

Taxa real:
O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é:

(3.000,00 – 30,00) . 1,02 = 3.029,40
M = C . (1 + i)n
3.300,00 = 3.029,40 . (1 + i)1
3.300,00 – 3.029,40 = 3.029,40 . i

no período ou 8,93246% no período

4. No caso de uma pessoa que tomou emprestados R$ 24.850,00 e pagou, no
final do período, R$ 28.149,00. Essa pessoa pagou, no ato da operação, des-
pesas no valor de R$ 430,00. Como determinar as taxas nominal, efetiva e
real dessa operação, sabendo que a inflação, no período, foi igual a 3% ?
Taxa nominal:

M = C . (1 + i)n
28.149,00 = 24.850,00 . (1 + i)1
28.149,00 – 24.850,00 = 24.850,00 . i

no período ou 13,2757% no período

Taxa efetiva:

M = C . (1 + i)n
28.149,00 = (24.850,00 – 430,00) . (1 + i)1
28.149,00 = 24.420,00 . (1 + i)1
28.149,00 – 24.420,00 = 24.420,00 . i

no período ou 15,2703% no período

75

Capítulo 5 Taxa real:

O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é: Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

(24.850,00 – 430,00) . 1,03 = 25.152,60
M = C . (1 + i)n
28.149,00 = 25.152,60 . (1 + i)1
28.149,00 – 25.152,60 = 25.152,60 . i

no período ou 11,91288% no período

Síntese

Os financiamentos e as dívidas exigem o entendimento de quando aplicar
as diferentes taxas (taxa nominal, efetiva, real e aparente). E o cálculo cor-
respondente está sujeito ao domínio das fórmulas e/ou do uso da calcula-
dora financeira. Diante disso, é importante que você acompanhe os vários
exemplos apresentados ("Exercícios Resolvidos") e exercite esse conheci-
mento na resolução das "Questões para revisão".

Sugerimos que você resolva esta série de exercícios para uma fixação efe-
tiva do asunto estudado.

1. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 10.000,00, e o juro pago no final
da operação foi de R$ 1.244,55. Sabendo que o banco cobrou, no ato da
operação, R$ 25,00 para cobrir despesas e mais R$ 38,00 de cadastramento,
calcule (dê a resposta com quatro casas após a vírgula):
a) Qual foi a taxa nominal oferecida pelo banco?
b) Qual foi a taxa efetivamente paga pelo cliente?
c) Qual foi a taxa real paga pelo cliente, se a inflação no período foi de 10,5%?

2. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 4.320,00, e o juro pago no final
da operação foi de R$ 608,34. Sabendo que o banco cobrou, no ato da ope-
ração, R$ 33,50 para cobrir despesas e mais R$ 38,00 referentes a cadastra-
mento, calcule (dê a resposta com quatro casas após a vírgula):
a) Qual foi a taxa nominal oferecida pelo banco?
b) Qual foi a taxa efetivamente paga pelo cliente?
76 c) Qual foi a taxa real paga pelo cliente se a inflação no período foi de 5,44%?

3. Um cliente emprestou R$ 12.400,00 e pagou, ao final do período, Taxas
R$ 15.425,25. Ao creditar o empréstimo na conta corrente, o banco depositou
apenas R$ 11.824,47. Utilizando quatro casas após a vírgula, determine: Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

a) a taxa nominal oferecida pelo banco durante esse período; 77

b) a taxa efetivamente paga pelo cliente durante esse período.

4. Um cliente emprestou R$ 8.000,00 e pagou, ao final do período,
R$ 8.888,25. No ato da operação, o banco cobrou R$ 45,00 de despesas. Utili-
zando quatro casas após a vírgula, determine:

a) a taxa nominal oferecida pelo banco durante esse período;

b) a taxa efetivamente paga pelo cliente durante esse período.

5. Um cliente emprestou R$ 27.544,00 e pagou, ao final do período,
R$ 29.345,26. No ato da operação, o banco cobrou R$ 115,00 de despesas.
Utiliz­ ando quatro casas após a vírgula, determine:

a) a taxa nominal oferecida pelo banco durante esse período;

b) a taxa efetivamente paga pelo cliente durante esse período.

6. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 5.200,00, para resgatar bru-
tos, no final, R$ 5.950,00, porém pagou R$ 112,50 de imposto de renda no
final da operação. Sabendo que a inflação no período ficou em 3%, calcule,
utilizando quatro casas após a vírgula:
a) a taxa nominal;
b) a taxa efetiva;

c) a taxa real.

7. Foi feita uma aplicação no valor de R$ 5.000,00, e o rendimento bruto foi
de R$ 932,00, porém o cliente pagou R$ 139,80 de imposto de renda no final
da operação. Identifique as taxas aparente e real utilizadas, sabendo-se que
a inflação no período foi de 2%.

8. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 5.000,00, para resgatar bru-
tos, no final, R$ 5.240,20, porém pagou R$ 36,03 de imposto de renda no
final da operação. Sabendo que a inflação no período ficou em 0,88%, cal-
cule, utilizando quatro casas após a vírgula:
a) a taxa nominal;
b) a taxa efetiva;
c) a taxa real.

Capítulo 5 9. Aplicando um capital de R$ 4.444,00 por três meses, teremos um mon-
tante de R$ 5.000,00. Considerando a taxa da inflação nesse período igual
a 1% ao mês, verifique se a aplicação foi rentável. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

10. Aplicando um capital de R$ 2.500,00 por 48 dias, tivemos um montante
de R$ 2.600,00. Considerando a taxa da inflação nesse período igual a 1% ao
mês, determine se a aplicação foi rentável.

11. Aplicando um capital de R$ 1.600,00 por 25 dias, tivemos um montante
de R$ 1.619,98. Considerando a taxa da inflação nesse período igual a 1,5%
ao mês, descubra se a aplicação foi rentável.

12. Aplicando um capital de R$ 8.500,00 por 75 dias, tivemos um montante
de R$ 8.950,00. Considerando a taxa da inflação nesse período igual a 1,2%
ao mês, verifique se a aplicação foi rentável.

13. Uma loja cobra uma taxa efetiva de juro de 8,44 % ao mês, incluindo,
nesse valor, uma taxa real de 3,5% ao mês. Determine a taxa inflacionária
inclusa na taxa efetiva.

14. Uma loja cobra uma taxa efetiva de juro de 6,4855% ao mês, incluindo,
nesse valor, uma taxa real de 3,8% ao mês. Determine a taxa inflacionária
inclusa na taxa efetiva.

15. Um banco cobra uma taxa efetiva de 9% ao mês em um empréstimo,
mas capta o dinheiro a uma taxa de 2% ao mês. Qual foi o spread praticado
pelo banco?

16. Um banco cobra uma taxa efetiva de 8,8% ao mês em um empréstimo,
mas capta o dinheiro a uma taxa de 2,2% ao mês. Qual foi o spread praticado
pelo banco?

17. O salário de um empregado passou de R$ 2.450,00 para R$ 3.044,50 em
um período em que a inflação foi de 10%. Calcule a taxa aparente e a taxa
real de aumento do salário desse empregado.

18. O salário de um empregado passou de R$ 850,00 para R$ 1.000,00 em
um período em que a inflação foi de 8,5%. Calcule a taxa aparente e a taxa
real de aumento do salário desse empregado.

19. Supondo que, em determinado mês, a caderneta de poupança rendeu
uma taxa de 1,45%, qual o valor da TR embutida nessa rentabilidade?

20. Supondo que, em determinado mês, a caderneta de poupança rendeu
uma taxa de 2,60%, qual o valor da TR embutida nessa rentabilidade?

78

capítuloDesconto composto

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Capítulo 6 Conteúdos do capítulo

• Desconto comercial composto. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
• Desconto racional composto.
• Títulos equivalentes.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:

1. definir o desconto composto;
2. identificar os tipos de descontos compostos;
3. conhecer e aplicar as fórmulas para o desconto comercial composto,

bem como para o racional composto;
4. estabelecer relações de equivalência entre títulos.

Ao estudarmos o desconto simples, dissemos que desconto é o benefício
que alguém merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida (ou
o resgate antecipado de um título).

Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o
valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor
atual desse título. Em desconto composto, não é diferente. A única mudança
que ocorre é o regime de capitalização.

Desconto é, portanto, segundo Castanheira e Serenato (2008, p. 65) o aba-
timento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate
antecipado. Representa a retirada do juro calcu­lado pelo banco nas opera-
ções de capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de
pagamento.

Aqui também temos dois tipos de desconto composto a estudar:

a) o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário;

b) o racional.

6.1 Desconto comercial composto

O desconto comercial, que representaremos por Dc, é determinado apli-
cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de
crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida
no dia do seu vencimento.

Logo, por definição:
80

Vc = M . (1 – i)n Desconto composto

É importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de perío- Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
dos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a dívida.

O desconto comercial composto é então calculado pela fórmula:

Dc = M – Vc

Substituindo, nessa fórmula, o valor de Vc, temos:

Dc = M − [M . (1 – i)n]
Dc = M . [1 – (1 – i)n]

Vamos utilizar essa fórmula para calcular o valor atual de um título de R$
12.000,00 descontado nove meses antes do vencimento, a uma taxa de des-
conto comercial composto de 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente.

i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.

n=9m

Vc = M . (1 – i)n
Vc = 12.000,00 . (1 – 0,025)9

Vc = 9.554,83

Pela calculadora HP-12C:

f REG

f2

12000 CHS PV

2.5 CHS i

9n

FV (valor atual = 9.554,83)

Observe que, para a utilização da calculadora financeira HP-12C em des-
conto comercial composto:

• o valor presente é informado por meio da tecla FV;

• o valor nominal do título é informado por meio da tecla PV;

• a taxa de juro é informada com sinal negativo. 81