MATEMATICA_FINANCEIRA_APLICADA_-_IBPEX_DIGITAL_280

28. n = 12 meses 12. Sim, a 0,874437% a. m. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
29. i = 2% a. m. 13. I = 4,77% a. m.
30. i = 1,5% a. m. 14. I = 2,59% a. m.
15. i = 6,86% a. m.
Capítulo 5 16. i = 6,46% a. m.
1. a) i = 12,4455% 117. iaparente = 24,2653%

b) i = 13,1584% ireal = 12,9685%
c) i = 2,4057% 18. iaparente = 17,6471%
2. a) i = 14,0819%
b) i = 16,0019% ireal = 8,4305%
c) i = 10,0169% 19. i = 0,9453%
3. a) i = 24,3972% 20. 2,0896%
b) i = 30,4519%
4. a) i = 11,1031% Capítulo 6
b) i = 11,7316% 1. i = 0,9% a. m.
5. a) i = 6,5396% 2. Dr = R$ 2.116,53
b) i = 6,9863% 3. n = 6 meses
6. a) i = 14,4231% 4. Dc = 7.833,94
b) i = 12,2596% 5. i = 1,5% a. m.
c) i = 8,9899% 6. M = 12.000,00
7. iefetiva = 15,8440% 7. M = 2.548,98
ireal = 13,5725% 8. i = 3,018% a. m.
8. a) i = 4,8040% 9. Vr = 8.256,65
b) i = 4,0834% 10. M = 9.016,37
c) i = 3,1755% Capítulo 7
9. Sim, a 3,0077% a. m. 1. p = 8.786,92
10. Sim, a 1,4770% a. m. 2. i = 2,4% a. m.
11. Não, pois a rentabilidade 3. p = 1.289,06
foi igual à inflação. 4. p = 472,71
5. p = 171,41

209

6. i = 4,4563% a. m. Número de pagamentos Valor da prestação Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
7. 36 prestações 1 V . 1,048844
8. C = 39.030,76 2 V . 0,536924
9. C = 1.555,96 3 V . 0,366413
10. p = 2.912,48 4 V . 0,281255
11. p = 616,65
12. C = 73.438,32 33. C = 59.758,34
13. C = 256.531,24
14. C = 713,97 34. M = 5.960,14
15. C = 1.425,63
16. C = 4.823,73 35. M = 1.718,93
17. C = 464,64
18. p = 170,38 36. M = 22.552,06
19. p = 275,46
20. p = 273,29 37. M = 114.051,54
21. p = 460,81
22. p = 3.934,03 38. p = 603,18
23. p = 2.413,82
24. p = 2.839,35 39. p = 2.007,94
25. p = 660,90
26. n = 24 prestações 40. i = 3% a. m.
27. n = 20 prestações
28. p = 573,93 Capítulo 8
29. p = 370,64
30. C = 23.882,54 1. O investimento não é atrat­ivo,
31. p = 142,02 pois a TIR = 11,8145% a. a.
32.
2. O investimento é inviável, pois
210 a TIR = 7,9308% a. a.

3. O investimento é viáv­­ el, pois a
TIR = 4,6651% a. m.

4. Nenhum deles, pois a maior TIR
é de 19,1070% a. a. (projeto D).

5. Para TIR = 20%, a emp­­resa
comprará as máq­uinas, pois
VPL = 38.544,88 (positivo).
Para TIR = 25%, a empresa
não comprará as máquinas,
pois VPL = − 18.246,40 (nega-
tivo).

Capítulo 9 Capítulo 12 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
1. CMt = 3,4165% no período.
1. R$ 17.852,47
CMm = 0,4811% a. m.
2. M = 8.354,40 2. R$ 50.452,08
3. M = 8.357,82
4. CMt = 3,64247% no período 3. J = 3.500,00 durante os cin-
5. CMt = 4,03632% no período co primeiros meses. M =
143.500,00 no sexto mês.
Capítulo 10
1. n = 5 anos 4. J = 351,00 durante os 11 primei-
2. DL = 8.000,00 a. a. ros meses. M = 18.351,00 no
3. i = 28,8905% a. a. 12º mês.
4. n = 7 anos
5. DC = 10.773,54 a. a. 5. p = 10.277,13

6. p = 5.061,34

7. p = 15.500,00

8. a = 6.259,5733 TR’s

9. p = 4.617,86290 TR’s

10. J = 3.017,65

Capítulo 11
1. p = R$ 30.831,32
2. i = 1,75% a. m.
3. p = 205,11
4. M = 4.195.026,59
5. M = 609.335,95

211

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

apêndices

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

1 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

A Calculadora Financeira HP-12C 215

1 Introdução

Para os cálculos financeiros, nem sempre uma calculadora comum ou até mes-
mo uma calculadora científica nos permite obter os resultados com a rapidez
desejada. Assim, é importante a utilização de uma calculadora financeira.

Várias são as calculadoras encontradas no mercado. Entretanto, as calcu­
ladoras da Hewlett Packard, ou simplesmente HP, são as mais utilizadas pe-
los profissionais do mercado financeiro em todo o mundo. Por essa razão,
neste livro, mostraremos a solução dos exercícios tanto com a utilização de
fórmulas quanto com a utilização da calculadora financeira HP-12C.

Lembramos ao leitor que a HP-12C, como a designaremos a partir de agora,
pode ainda ser utilizada para cálculos estatísticos (média, média ponde-
rada, estimativa linear, desvio-padrão, fatorial) ou simplesmente para os
cálculos aritméticos tal como uma calculadora não financeira. Entretanto,
não abordaremos nesta obra as funções estatísticas por não ser esse o nosso
objeto de estudo.

Essa máquina tem ainda a capacidade de programação de rotinas, o que é
de grande auxílio na solução de problemas repetitivos, como acontece nas
operações financeiras normais do mercado.

Observe que as teclas da máquina HP-12C estão dispostas segundo uma
matriz de quatro linhas e dez colunas, de tal forma que cada tecla pode ser
identificada pela interseção da linha e da coluna a que pertence. A tecla n,
por exemplo, é representada por 11, uma vez que se localiza na interseção
da linha 1 com a coluna 1; a tecla CLx, por sua vez, é representada por
35, uma vez que se localiza na interseção da linha 3 com a coluna 5. Essa
identificação matricial das teclas é importante para a compreensão dos
programas da HP-12C.

1.1 Testando a máquina

Para saber se a máquina está em perfeitas condições, proceda da seguinte
forma:

• desligue a calculadora na tecla ON;

1 Esse apêndice foi elaborado a partir das ideias de Castanheira e Serenato (2008, p. 17-20).

• pressione a tecla ON, mantendo-a pressionada; Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

• pressione a tecla x, mantendo-a pressionada;

• solte a tecla ON, soltando em seguida a tecla x;

• depois de algum tempo durante o qual o visor apresenta a palavra
running, vai aparecer:

– 8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, e uma série de anunciadores (USER f g BEGIN
GRAD D.MY c PRGM);

• se isso acontecer, a máquina está perfeita. Caso contrário, algum seg-
mento do visor está queimado ou alguma função da calculadora não
está sendo processada.

1.2 Notação brasileira e americana para os números no visor

A máquina HP-12C trabalha tanto com a notação americana para os números,
ou seja, ponto para separar a parte decimal e vírgula para separar grupos de
três dígitos da parte inteira, como com a notação brasileira, que é exatamente
o contrário. Para transformar da notação americana para a notação brasileira,
ou vice-versa, proceda da seguinte maneira:

• desligue a calculadora na tecla ON;

• aperte a tecla • e a mantenha pressionada;

• ligue a máquina: tecla ON;

• solte a tecla •.

Por exemplo:

Digite 24680.13

Se no visor aparecer 24,680.13, estamos com a notação americana. Entretanto, se
aparecer 24.680,13, estamos com a notação brasileira. Para transformar de uma
notação para outra, utilize os quatro procedimentos descritos anteriormente.

1.3 As teclas amarela f e azul g

A maioria das teclas da HP-12C tem mais de uma função, ou seja, uma
mesma tecla pode operar as seguintes funções:

• função normal, escrita em branco na parte superior da tecla;

• função amarela, escrita no corpo da máquina, acima da tecla;
216

• função azul, escrita na face lateral inferior da própria tecla. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Para realizarmos as funções amarela ou azul, basta que as teclas f ou g,
respectivamente, sejam pressionadas antes da utilização da tecla desejada.
Por exemplo, desejamos calcular a raiz quadrada do número 4. Deveremos,
então, pressionar a sequência de teclas:

4

g

yx

Devemos observar que a função secundária de cor azul da tecla yx é a raiz
quadrada de um número fornecido.

1.4 A pilha ou memórias temporárias (T, Z, Y, X)

A calculadora HP-12C utiliza quatro registradores especiais, os quais são
usados para o armazenamento dos dados numéricos durante os cálculos.
São quatro memórias temporárias que funcionam como se fossem um
tambor rotativo, por isso denominadas de “memória de pilha”, e podem
ser esquematizadas como a seguir:

a) A memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor, a
menos que a calculadora esteja no modo de programação.

b) Todas as operações aritméticas são efetuadas apenas com os conteú-
dos das memórias X e Y; a tecla ENTER separa o segundo número
do primeiro que foi introduzido.

c) Os conteúdos das memórias do tambor são movimentados:

• quando os valores são colocados dentro da máquina por meio da
tecla ENTER;

• quando são efetuadas operações aritméticas por meio das teclas
+, −, x, ÷;

• pressionando as teclas R↓ ou x >< y.

d) O conteúdo de cada memória só é destruído quando um novo valor
ocupa o seu lugar. Assim, o fato de o conteúdo da memória ter sido
transferido para a memória Y trará as seguintes consequências:

• a memória Y passará a conter o valor anteriormente contido na
memória X; a memória X continuará a conter o seu valor anterior.

217

e) As memórias Z e T são usadas para a retenção automática dos resul- Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
tados intermediários de cálculos em cadeia.

Esse método de entrada de números, chamado RPN (Reverse Polish Notation
– Notação Polonesa Inversa), é um caminho muito natural para traduzir cálcu-
los, escritos em uma forma que a calculadora possa compreend­ er. Usando
a pilha, não há necessidade de usar parênteses, desde que a sua posição
determine a ordem na qual os números serão usados nos cálculos.

1.5 A tecla ENTER

Quando um número é digitado, ele imediatamente ocupa a memória X,
que é a única cujo conteúdo aparece no visor.
Ao acionarmos a tecla ENTER, desencadeiam-se as seguintes transferências
de valores entre as memórias:

Ou seja;
• o conteúdo de X (visor) é transferido para Y e mantido em X;
• o conteúdo de Y é transferido para Z;
• o conteúdo de Z é transferido para T;
• o conteúdo de T é perdido.

Assim, o valor digitado, após acionarmos a tecla ENTER, passa a ser o
conteúdo das memórias X e Y.

1.6 A tecla x <> y

Essa tecla, ao ser acionada, permuta os conteúdos das memórias X e Y,
mantendo as memórias Z e T inalteradas.

1.7 A tecla R↓ (roll down)

Ao ser acionada, essa tecla desencadeia as seguintes transferências:
218 • o conteúdo de X é transferido para T;

• o conteúdo de T é transferido para Z; Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

• o conteúdo de Z é transferido para Y;

• o conteúdo de Y é transferido para X.

Como vemos, há um giro no tambor para cada acionamento da tecla R↓ ,
sem haver qualquer perda de informação. Assim, o acionamento consecu-
tivo da tecla R↓ por quatro vezes nos permite conhecer os conteúdos das
quatro memórias X, Y, Z e T, ao passarem pelo visor, e devolve o tambor
para a sua posição inicial.

1.8 As teclas + , − , × , ÷

Observe que a máquina HP-12C não tem a tecla = (sinal de igualdade).
Já vimos que ela utiliza o sistema RPN (Reverse Polish Notation – Notação
Polonesa Reversa), na qual, para somar 1 e 2, por exemplo, informamos os
dois valores a operar, consecutivamente, intercalados com o acionamento
da tecla ENTER e, em seguida, a operação que se deseja realizar. A máquina
efetua a operação e apresenta o resultado:

1 ENTER

2 + (o resultado apresentado no visor é 3).

Observe também que, na HP-12C Platinum, as teclas CHS e EEX têm fun-
ções secundárias denominadas, respectivamente, RPN (Reverse Polish No-
tation) e ALG (Algebraic). Quando, no visor, está escrito RPN, a máquina se
comporta como a HP-12C comum. Entretanto, se estiver no visor a indica-
ção ALG, ela se comporta de forma semelhante às calculadoras científicas,
não utilizando o sistema RPN, ou seja, as operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão são efetuadas pelo modo tradicional. A função
LSTx foi transferida da tecla ENTER para a tecla + e, na tecla ENTER, foi
adicionada a função =. Por exemplo, para somar 1 e 2 quando o indicador
ALG estiver aceso, teclamos: 1 + 2 = e o resultado apresentado é 3. Nosso
livro considera, em toda a sua extensão, a calculadora HP-12C trabalhando
no regime comum (sistema RPN).

1.9 Fixação do número de casas decimais no visor

O visor mostra apenas o valor contido na memória X, com o número de
casas decimais que for fixado, fazendo o arredondamento necessário (se
a primeira decimal não mostrada for ≥ 5, a última decimal do visor será
acrescida de uma unidade).

219

A fixação do número de casas decimais será feita com o auxílio da tecla Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
amarela f. Basta, para isso, que acionemos a tecla f e, em seguida, o número
de casas decimais desejado (de 0 a 9).

1.10 Importante saber

a) A sequência de teclas f REG limpa, de uma só vez, o conteúdo das
seguintes memórias:
• memórias temporárias: X, Y, Z, T;
• memórias fixas: 0 a 9, .0 a .9;
• memórias financeiras: n, i, PV, PMT, FV.

b) A tecla CHS troca o sinal do conteúdo da memória X, ou seja, do núme-
ro que aparece no visor; informa à máquina que se trata de um fluxo de
caixa.

c) As cinco teclas financeiras obedecem às seguintes definições:
n número de períodos de capitalização, expresso em anos,

semestres, meses, dias etc.;
i taxa de juros por período de capitalização, expressa em

porcentagem;
PV valor do principal, ou seja, do capital (C) inicial

empregado (PV = valor presente);
PMT valor de cada prestação (p) da série uniforme (renda);
FV valor do montante após n períodos de capitalização, à taxa i,

em capitalização composta (FV = valor futuro).

220

Proporcionalidade Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

1 Razão

Você sabe o que é razão?
Razão é o quociente entre dois números.

Vejamos um exemplo. Nas últimas eleições presidenciais, para cada voto
que o candidato da situação ganhou, o candidato da oposição recebeu dois
votos. Dizemos, então, que a relação entre o número de votos da situação
e o número de votos da oposição é representada pelo quociente indicado

(lemos: 1 está para 2). A esse quociente chamamos razão.

Vamos a outro exemplo. Uma pessoa ficou durante algum tempo na janela
de sua casa observando os carros que trafegavam na rua. Verificou que, para
cada carro importado que passava, outros oito carros nacionais circulavam
naquela rua. Dizemos, então, que a relação entre o número de carros impor-
tados e o número de carros nacionais é representada pelo quociente indicado

(lemos: 1 está para 8). De novo, a esse quociente chamamos razão.

Realmente é um conceito muito simples.
De forma geral, representamos a razão entre dois números racionais x e y
(com y diferente de zero) da seguinte forma:

ou x : y (lemos: x está para y)

Chamamos x e y de termos da razão, em que x é o antecedente e y é o
consequente.
Para termos certeza de que você entendeu o conceito de razão, vamos veri­
ficar alguns exemplos?

1) Vamos escrever como lemos a razão.
a) (a está para b)

b) (16 está para 4)

221

2) Escreveremos na forma de razão os números dados e daremos a leitura
correspondente.

a) 7 e 10 ( ); 7 está para 10



b) 8 e m ( ); 8 está para m



c) antecedente 3 e consequente 4 ( ); 3 está para 4

3) Determinaremos o valor da razão entre os números dados.

(a) 1 e 4 )= 0,25 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.



(b) 30 e 5 =6 )



c) 64 e 8 ( =8 )



(d) 1 e 10 )= 0,1



Observe que, para o cálculo do valor de uma razão entre dois números
dados, basta dividir esses dois números tal qual você faria com uma fração,
ou seja, o numerador (no caso, o antecedente) dividido pelo denominador
(no caso, o consequente).

1.1 Razões inversas

Duas razões são chamadas de inversas quando o antecedente da pri-
meira é igual ao consequente da segunda e o consequente da primeira é
igual ao antecedente da segunda.

Vejamos alguns exemplos:

1) são razões inversas.

2) são razões inversas.

3) são razões inversas.

222

1.2 Razões iguais

Duas ou mais razões são iguais quando as frações que as representam
são equivalentes.

Como é isso ?

Suponhamos as razões . Como saber se são iguais?

Simplifiquemos a segunda fração dividindo tanto o seu numerador quan- Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
to o seu denominador por 5. Assim, teremos:

Então, as duas razões são iguais, pois as frações que as representam são
equivalentes.

Para você fixar melhor o conceito de razões iguais, vejamos outros exemplos:

1) As razões são equivalentes, porque .

2) As razões são equivalentes, porque .

Ficou fácil ?

Caso você não tenha percebido que as frações acima são equivalentes, faça
a divisão de cada uma delas e verifique que seus valores são iguais.

1.3 Razões entre duas grandezas

Primeiramente, devemos tomar o cuidado de lembrar que, para estabele-
cer uma razão entre duas grandezas, elas devem ser da mesma espécie.

Então, a razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quo-
ciente dos números que medem essas grandezas.

Por exemplo, consideremos as alturas de duas pessoas: Larissa mede 1,44 m e
Gabriele mede 1,60 m. Qual é a razão entre as alturas de Larissa e Gabriele?

A razão entre as alturas é: medida

Observe que devemos tomar os números que medem as grandezas conside- 223
radas na mesma unidade. No exemplo anterior, ambas estão em metros.

Vamos analisar outros exemplos para esclarecer melhor a razão entre duas
grandezas.









































Vejamos outro exemplo. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Uma máquina produz 18 peças de determinado equipamento por hora.
Logo, em duas horas, produzirá 36 peças, em três horas produzirá 54 pe-
ças, e assim por diante. A quantidade de peças produzidas e o tempo gasto
para produzi-las são diretamente proporcionais?
Vamos estabelecer a razão entre essas duas grandezas.

Verificamos, ao simplificar as frações acima, que são todas iguais, ou seja:

Logo, são números diretamente proporcionais e as grandezas a eles asso-
ciadas se dizem diretamente proporcionais.

4 Grandezas inversamente proporcionais

Consideremos a velocidade de um veículo, suposta constante durante um
trajeto, e o tempo empregado para percorrer certa distância. Por exemplo,
com a velocidade constante de 30 km/h, um veículo leva 12 horas para
percorrer certa distância. Ao dobrar a velocidade para 60 km/h, o mesmo
veículo levará 6 horas para percorrer a mesma distância. Ao triplicar a ve-
locidade inicial, portanto 90 km/h, o mesmo veículo levará agora 4 horas
para percorrer aquela distância.
Verificamos que, ao dobrar a velocidade, o tempo gasto caiu pela metade;
ao triplicar a velocidade, o tempo gasto caiu para um terço.

Dizemos, então, que as grandezas velocidade e tempo são inversa-
mente proporcionais.
Para montarmos a razão entre esses números, temos que:

Observamos, então, que o produto entre os números correspondentes é
sempre igual, ou seja:

30 . 12 = 60 . 6 = 90 . 4

244

Logo, as grandezas analisadas são inversamente proporcionais, pois as su-
cessões de números que as representam são inversamente proporcionais.

Para representarmos as proporções de grandezas inversamente proporcio-
nais, precisamos inverter uma das razões. Verifique:

Velocidade Tempo

30 km/h 12 horas

60 km/h 6 horas

Fácil, não é ? Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

Para fixar melhor, vamos analisar outro exemplo.

Dois pintores pintam uma residência em seis dias, e quatro pintores, nas
mesmas condições, pintam a mesma residência em três dias. As grandezas
envolvidas, pintores e dias, são inversamente proporcionais ?

Pintores Dias

2 6

4 3

Notamos que o produto dos números correspondentes é igual, ou seja:

2.6 = 4.3

Logo, as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Quanto
mais pintores, menos dias são necessários para pintar a residência.

Então, para representar a proporção dessas duas grandezas, temos que:

Resolva os exercícios a seguir. Caso sinta alguma dificuldade, reveja
neste material o assunto relativo a sua dúvida.

245

1) Determine os valores das incógnitas nas seguintes sucessões de núme- Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
ros diretamente proporcionais:

( )4 e 5
( ) 45 e 36
( )5 e 4
( ) 36 e 45
2) Divida 300 em partes diretamente proporcionais a 6 e 9.
( ) 90 e 210
( ) 210 e 90
( ) 180 e 120
( ) 120 e 180
3) Divida R$ 700,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
( ) R$ 400,00 e R$ 300,00
( ) R$ 300,00 e R$ 400,00
( ) R$ 490,00 e R$ 210,00
( ) R$ 210,00 e R$ 490,00
4) Um aluno resolve 20 exercícios de matemática em três horas. Esse mesmo

aluno, em seis horas, resolveria quantos exercícios de matemática seme-
lhantes aos primeiros?
( ) 10
( ) 40
( ) 60
( ) 20

246

5) Três torneiras enchem uma caixa d’água em cinco horas. Em quantas horas Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
seis torneiras semelhantes às primeiras encheriam a mesma caixa-d’água?

( ) 5 horas
( ) 10 horas
( ) 2 horas e meia
( ) 7 horas e meia

1. 5 e 4
2. 120 e 180
3. R$ 400,00 e R$ 300,00
4. 40
5. Duas horas e meia.

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Regra de três Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

1 Regra de três simples

Consideremos os números 6, 8, 9 e 12. Vemos que a razão entre o primeiro
e o segundo e a razão entre o terceiro e o quarto são iguais, ou seja:

Dizemos, nesse caso, que os números 6, 8, 9 e 12, nessa ordem, formam uma
proporção e assim lemos a igualdade acima: 6 está para 8, assim como 9 está
para 12.

Você se lembra disso? Foi o nosso assunto do Apêndice B.

Os números 6, 8, 9 e 12 são chamados termos da proporção, em que o pri-
meiro e o quarto termos são chamados de extremos, enquanto que o segundo
e o terceiro termos são chamados de meios.

Aqui é interessante você recordar que, quando duas razões são iguais, o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No exemplo acima,

então, temos: 8 . 9 = 6 . 12

Portanto, se um dos quatro termos dessa igualdade for desconhecido, fica
fácil calculá-lo. Para tal, lançamos mão de uma regra prática que nos per-
mite esse cálculo, sejam as grandezas envolvidas direta ou inversamente
proporcionais. A essa regra denominamos regra de três simples. Observe
que a regra se diz simples porque envolve somente duas grandezas.

Vamos analisar inicialmente o caso em que as duas grandezas envolvidas
são diretamente proporcionais. Para tal, vamos nos valer de um exemplo.

Certa máquina produziu 100 peças trabalhando durante 60 minutos. Quantas
peças produzirá em uma hora e meia?

O primeiro passo consiste em identificar quais são as grandezas envolvi-
das. No caso, são peças produzidas e tempo gasto (em minutos).

O segundo passo é verificar se essas grandezas são direta ou inversamente
proporcionais. Como, à medida que o tempo aumenta, a produção de peças
também aumenta, trata-se de grandezas diretamente proporcionais. Coloca-
248 mos, então, essas grandezas dispostas em duas colunas, como a seguir: