MATEMATICA_FINANCEIRA_APLICADA_-_IBPEX_DIGITAL_280

Peças produzidas Tempo gasto (minutos) Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

100 60

x 90

Observe que o termo desconhecido chamamos de x e que não devemos mis-
turar, em uma mesma grandeza, diferentes unidades. Na coluna do tempo
gasto, transformamos uma hora e meia em minutos, pois a outra informação
que temos é em minutos.

O terceiro passo consiste em colocarmos flechas ao lado dos valores de cada
coluna, indicando em que sentido as grandezas crescem. Veja como fica:

Peças produzidas Tempo gasto (minutos)

100 60

x 90

As flechas no mesmo sentido nos indicam que as grandezas são diretamen-
te proporcionais.

Acredite: isso ajuda bastante a visualizar o problema e facilita a sua solução.

O quarto passo é encontrarmos a proporção entre as grandezas do problema.

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão dos dois
valores de uma das grandezas é igual à razão dos dois valores correspon-
dentes da outra grandeza. Então, temos:

O quinto e último passo é determinarmos o valor da incógnita x a partir da
lembrança de que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Logo:

60 . x = 100 . 90

x = 150 249

Assim, verificamos que, em uma hora e meia, a máquina produzirá 150
peças.

Vamos, agora, analisar o caso em que as grandezas envolvidas são inversa-
mente proporcionais a partir do exemplo a seguir.

Oito máquinas iguais fabricam certo número de peças em 15 dias. Em Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
quantos dias 12 máquinas iguais às primeiras fabricam o mesmo número
de peças?
As grandezas envolvidas nesse problema são máquinas e tempo (em dias).
Como, diminuindo o número de máquinas que estão trabalhando, aumenta
o tempo necessário para fabricar o mesmo número de peças, as grandezas
envolvidas são inversamente proporcionais. Vamos colocar essas grandezas
dispostas em colunas.
Máquinas Tempo gasto (dias)

8 15
12 x
Observe os sentidos das flechas representadas nas colunas. Elas estão em
sentidos contrários para indicar que as grandezas envolvidas são inversa-
mente proporcionais.
Para representarmos, agora, a proporção entre essas grandezas, precisa-
mos inverter uma delas, pois, quando duas grandezas são inversamente
proporcionais, a razão dos dois valores de uma delas é igual ao inverso da
razão dos dois valores correspondentes da outra.
Então, temos:

Determinando o valor da incógnita x:

12 . x = 8 . 15

x = 10
Então, as 12 máquinas fabricarão o mesmo número de peças em dez dias.
Resumindo:

Regra de três simples é uma regra prática utilizada para resolver
certos problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente
proporcionais, cujos valores podem formar uma proporção, sendo co-
nhecidos apenas três termos dessa proporção.
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O principal cuidado que devemos tomar é na hora de escrever a proporção, Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
uma vez que, caso as grandezas sejam inversamente proporcionais, deve-
mos inverter uma das razões.

2 Aplicações de regra de três simples

Para você entender bem a regra de três simples, nada melhor que analisar-
mos uma série de exemplos resolvidos. Vamos lá.

1) Com R$ 80,00 compro 20 metros de certo tecido. Quanto pagarei por
32 metros desse tecido?

As grandezas envolvidas são dinheiro (em reais) e comprimento (em metros).
Observe que, se a quantidade de tecido aumenta, o seu custo também au-
menta. Logo, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais (fle-
chas com o mesmo sentido). Vamos, então, representá-las em colunas.
Dinheiro Comprimento (metros)

80 20
x 32
Vamos, agora, obter a proporção que nos permitirá determinar o valor da
incógnita x.

Ficou fácil. Aplicando o nosso conhecimento de que o produto dos extre-
mos é igual ao produto dos meios, temos:

20 . x = 80 . 32

x = 128

Verificamos que, para comprar 32 metros do tecido, são necessários R$ 128,00.

2) Com certa quantidade de lã fabrica-se uma peça de tecido de 10 metros
de comprimento por 90 centímetros de largura. Qual seria o compri-
mento dessa peça de tecido se a largura fosse diminuída para 60 centí-
metros?

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As grandezas envolvidas são comprimento (em metros) e largura (em Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
centímetros).
Verificamos que, se diminuirmos a largura da peça, sobrará mais lã. Logo,
poderemos ter um comprimento maior. Então, as grandezas envolvidas são
inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui.
Vamos representar isso em colunas.
Comprimento (metros) Largura (centímetros)

10 90
x 60
Para escrevermos a proporção, será necessário inverter uma das razões. Temos
então:

Agora é só determinar o valor de x:

60 . x = 10 . 90

x = 15
Conforme previsto, poderemos fabricar uma peça de tecido de lã com com­
primento maior. No caso, com 15 metros de comprimento.
3) Uma torneira que despeja seis litros de água por minuto enche uma

caixa-d’água em duas horas. Quanto tempo levará para encher a mesma
caixa-d’água uma torneira que despeja oito litros de água por minuto?
As grandezas envolvidas são vazão (em litros por minuto) e tempo (em
horas).
Verificamos que, se aumentarmos a vazão, diminuirá o tempo necessário
para encher a caixa-d’água. Logo, são grandezas inversamente proporcio-
nais. Vamos representar isso em colunas.
Vazão (litros por minuto) Tempo (horas)

62
8x

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Para escrevermos a proporção, será necessário inverter uma das razões. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Temos então:

Ficou fácil. Agora é só determinar o valor de x:

8.x = 2.6

x = 1,5
Então, o tempo necessário para encher a caixa-d’água é de uma hora e meia.
4) Um trem percorreu uma distância de 400 quilômetros em 5 horas e

20 minutos, a uma velocidade supostamente constante. Qual o tempo
necessário para o mesmo trem, mantendo as mesmas condições de velo­
cidade, percorrer 620 quilômetros?
Agora, as grandezas envolvidas são distância (em quilômetros) e tempo
gasto (em minutos).
Podemos entender que, se a distância aumenta, aumentará também o tempo
necessário para percorrê-la, já que a velocidade não se alterou. Então, as gran-
dezas são diretamente proporcionais. Vamos representá-las em colunas.
Distância (quilômetros) Tempo gasto (minutos)

400 320
620 x
Lembre-se: transformamos 5 horas e 20 minutos em minutos, ou seja:

5 . 60 + 20 = 320 minutos

Nesse caso, para escrevermos a proporção, não é necessário inverter uma
das razões, pois as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Então, temos:

x = 496 253

Ou seja, o trem levará 496 minutos para percorrer a distância de 620 quilô­
metros.

Caso você deseje, por curiosidade, transformar esse tempo em horas, divida
496 por 60 (496 minutos : 60 minutos). Obtém-se o resultado: 8 de quociente
e 16 de resto. Isso significa que o trem levará 8 horas e 16 minutos para per­
correr a distância desejada.

5) Uma secretária digita uma correspondência de 2.160 caracteres em 12 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
minutos. Em quantos minutos a mesma secretária digitaria uma corres-
pondência com 4.500 caracteres?

Nesse problema, as grandezas envolvidas são a velocidade de digitação
(em caracteres por minuto) e tempo gasto (em minutos). É fácil verificar
que, quanto mais caracteres uma pessoa tem para digitar, mais tempo ela
levará para realizar o seu trabalho. Logo, as grandezas envolvidas são dire­
tamente proporcionais. Vamos representá-las em colunas.

Velocidade de digitação Tempo gasto

2160 12

4500 x

Nesse caso, para escrevermos a proporção, não é necessário inverter uma
das razões, pois as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Então, temos:

2160 . x = 12 . 4500

x = 25
Em outras palavras, a secretária levaria 25 minutos para digitar uma corres­
pondência com 4.500 caracteres.
6) A uma velocidade constante, um automóvel gasta 38 litros de gasolina

para percorrer uma distância de 400 quilômetros. Que distância esse
mesmo automóvel percorreria, em condições semelhantes, com 66 litros
e meio de gasolina?
As grandezas envolvidas são distância (em quilômetros) e combustível
254 (em litros).

Você verifica com facilidade que, se as condições não se alteram, com mais
gasolina a distância percorrida também aumenta. Logo, as grandezas envol-
vidas são diretamente proporcionais. Representando-as em colunas, temos:

Distância (km) Combustível (litros)

400 38

x 66,5

A proporção do problema será:

38 . x = 400 . 66,5 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

x = 700

Ou seja, seriam percorridos 700 quilômetros.

7) Uma passagem de avião entre duas localidades custa, em determinado
dia, R$ 238,00. Quanto custariam, nesse mesmo dia e nessa mesma em-
presa, 17 passagens entre essas duas mesmas localidades?

As grandezas envolvidas são custo (em reais) e passagens aéreas. Fácil no-
vamente verificar que, quanto maior o número de passagens a serem ad-
quiridas, maior será o custo total delas. Logo, são grandezas diretamente
proporcionais. Vamos representá-las em colunas.

Custo (R$) Passagens

238,00 1

x 17

A proporção do problema será:

1 . x = 238 . 17

x = 4046
Pelo resultado obtido, verificamos que as 17 passagens custariam R$ 4.046,00.

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8) Um grupo de cinco amigos resolveu acampar e levou alimentos e bebida Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
suficientes para oito dias. Antes de chegarem ao acampamento, outros
três amigos se integraram ao grupo e não levaram nenhum alimento ou
bebida adicional. Quantos dias durarão os alimentos e as bebidas com o
novo grupo?

As grandezas desse problema são pessoas e tempo (em dias).
Como a quantidade de alimentos e de bebida não se alterou, quanto maior o
número de pessoas para consumi-los, menor o número de dias que durarão.
Logo, são grandezas inversamente proporcionais. Vamos representá-las em
colunas e lembrar que, nesse caso, as flechas têm sentidos invertidos.
Pessoas Tempo (dias)

58
8x
Como as grandezas são inversamente proporcionais, para escrevermos a
proporção, precisamos nos lembrar de que uma das razões deverá ser in-
vertida. Então, temos:

8.x = 5.8

x=5
Logo, os alimentos e a bebida serão suficientes para apenas cinco dias.
9) Um muro leva 18 dias para ser construído por dez homens. Caso um

desses homens não trabalhe, quanto tempo será necessário para cons-
truir o mesmo muro?
Nesse problema, as grandezas envolvidas são homens e tempo gasto (em
dias).
Verificamos com facilidade que, quanto menor a quantidade de homens
trabalhando na construção de um muro, maior será a quantidade de dias
necessários para construí-lo. Logo, trata-se de grandezas inversamente
proporcionais. Vamos, então, representá-las em colunas.

256

Homens Tempo (dias)
10 18
9x

Aqui também devemos inverter uma das razões para escrever a proporção,
pois as grandezas são inversamente proporcionais. Então, temos:

9 . x = 10 . 18 Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Ibpex. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

x = 20
Pelo resultado, verificamos que serão necessários 20 dias para a constru-
ção do muro.
10) A 75 km/h, um trem percorre certa distância em seis horas. Qual deverá ser

a sua velocidade para percorrer a mesma distância em apenas cinco horas?
Agora, as grandezas envolvidas são velocidade (em km/h) e tempo gasto
(em horas).
Aqui, também, notamos que, se desejo levar menos tempo, devo correr mais,
ou seja, a velocidade deve aumentar. Logo, são grandezas inversamente
proporcionais. Vamos representá-las em colunas.
Velocidade Tempo

75 6
x5
Nesse caso, para escrevermos a proporção, é necessário inverter uma das razões,
pois as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Então, temos:

5 . x = 6 . 75

x = 90 257
Logo, o trem deverá fazer a viagem com uma velocidade de 90 km/h.