วงจรดิจิตอลและลอจิก

วงจรดิจิตอลและลอจกิ บทที่ 2 ลอจิกเกตพืน้ ฐาน 33

บทที่ 2
ลอจิกเกตพ้ืนฐาน (Logics Gates)

2.1 บทนาํ
อุปกรณในวงจรดิจิตอลอิเล็กทรอนิกสท่ีทําหนาที่ในการตัดสินใจ มีช่ือเรียกวา ลอจิกเกต (Logic

Gate) ซึ่งโดยทั่วไปแลวจะมีอนิ พุตตัง้ แต 1 อนิ พตุ หรอื มากกวา แตจะมีเอาตพ ุตเพยี งเอาตพตุ เดยี วเทานั้น
ลอจิกเกตพ้ืนฐานมีจํานวน 7 ชนิด ไดแก นอตเกตหรืออินเวอรเตอร ออรเกต แอนดเกต แนนดเกต
นอรเกต เอกซค ลูซีฟออรเกต และเอกซคลูซีฟนอรเกต การนําเอาลอจิกเกตแตละชนดิ หรือชนิดเดยี วกัน
มาตอรวมกันเพ่ือใหสามารถทําการตัดสินใจในการเลือกขอมูลอินพุตเพ่ือสงออกทางดานเอาตพุต
จะเรยี กวา วงจรลอจิกเกต สาํ หรบั ขอมูลที่เปนอินพตุ จะมีคาเปน สถานะลอจกิ 1 หรือ 0 เรยี กวาตวั แปร
อนิ พุต จะใชอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพใหญเปนตัวแทน เชน A B หรือ C เปน ตน และขอมูลทางดาน
เอาตพตุ จะมสี ถานะเปน 1 หรือ 0 เทานั้น ในการออกแบบวงจรลอจกิ เกตอาจจะใชลอจกิ เกตตัวเดียวหรือ
หลายๆ ตัว โดยนํามาตอรวมกันเปนวงจร ดังนั้นในการออกแบบวงจรลอจิกเกตจําเปนที่จะตองทราบ
คุณลกั ษณะของเกต สัญลักษณ ตารางความจริง และการทํางานของเกตแตล ะชนดิ เปนพื้นฐาน
2.2 คณุ ลกั ษณะของลอจิกเกตพ้นื ฐาน (Attributed of Logics Gate)

อปุ กรณท ี่ใชแทนตัวกระทําทางลอจกิ คือ ลอจกิ เกต ซงึ่ ประกอบขึ้นดว ยวงจรอิเล็กทรอนิกส สําหรับ
ลอจิกเกตพื้นฐานมี 3 ชนิด ไดแก นอตเกตหรอื อนิ เวอรเตอร ออรเกต และแอนดเกต ลอจกิ เกตดังกลา ว
สามารถที่จะนํามาใชออกแบบลอจิกเกตตางๆ ไดอีก 4 ชนิด ไดแก แนนดเกต นอรเกต เอกซคลูซีฟ
ออรเกต และเอกซคลูซีฟนอรเกต วงจรเกตทั้ง 7 ชนิด สามารถนํามาสรางเปนวงจรลอจิกหรือระบบ
ดิจติ อลตา งๆ ลอจกิ เกตแตล ะชนิดจะมคี ณุ ลักษณะเฉพาะตวั แบง ออกไดเปน 4 แบบ ดังน้ี

1. สัญลักษณ (Symbol) ลอจิกเกตแตละชนิดจะมีสัญลักษณแตกตางกัน มีขาที่แสดงอินพุตและ
เอาตพตุ เพอื่ นํามาใชเขียนวงจรลอจกิ ไดง ายข้นึ

2. ตารางความจริง (Truth Table) เปนตารางท่ีใชแสดงความสัมพันธระหวางขอมูลดานอินพุต
กบั เอาตพ ุต โดยขอมูลดา นอินพตุ แตละขาจะมีสถานะเปนลอจกิ “0” หรอื “1” จึงจะทําใหเอาตพ ุตเปน
ลอจิก “0” หรือ “1” เพราะฉะน้ัน ลอจกิ เกตแตล ะชนิดจะมีตารางความจริงที่แสดงคุณสมบตั ิกําหนด
การทาํ งานของอินพุตและเอาตพ ตุ ท่แี ตกตา งกัน บางครั้งจึงมีชือ่ เรียกอีกอยางหนึ่งวา ตารางการทาํ งาน
(Function Table)

3. สมการลอจิก (Logic Equation) หรือพีชคณิตบูลลีน ใชอธิบายการทํางานของลอจิกเกตแตละ
ชนิดหรอื วงจรลอจิก โดยเขยี นเปนสมการเรยี กวา สมการบลู ลีน เพื่อใชอธิบายหรือสรุปการทํางานของ
วงจรลอจิกเกต

4. ไดอะแกรมเวลา (Timing Diagram) หรอื รูปคลื่น (Wave Form) ใชอธบิ ายการทํางานของลอจิก
เกตหรือวงจรดิจิตอลตามชวงเวลาที่ผานไป เพ่อื ใหท ราบวาในเวลาที่ผา นไปลอจกิ ทางอินพุตจะมีอินพุต

34 บทท่ี 2 ลอจิกเกตพ้ืนฐาน วงจรดิจติ อลและลอจกิ

เปลย่ี นแปลงอยา งไรบา ง และจะทําใหลอจกิ ทางเอาตพุตมเี อาตพ ุตมีคา สถานะเปน ลอจิก “0” หรือ “1”
การใชไ ดอะแกรมเวลาสามารถทีน่ ํามาใชอ ธบิ ายการทาํ งานทมี่ ลี กั ษณะตอ เน่ืองของชวงการเปลีย่ นแปลง
ในแตล ะเวลาไดเปนอยางดี

การอธิบายการทาํ งานของลอจิกเกตจะใชสัญลักษณของเกต ตารางความจริง สมการบูลลีน และ
ไดอะแกรมเวลาประกอบการอธบิ ายเกตพ้ืนฐาน ดงั น้ี

2.2.1 อนิ เวอรเตอร หรอื นอตเกต (NOT Gate)
อนิ เวอรเ ตอรห รือนอตเกต เปนลอจกิ เกตพื้นฐานท่ีมีอินพตุ เดียวและเอาตพตุ เดยี ว ดังรปู ที่ 2.1

แสดงสัญลักษณข องนอตเกตตามรูปแบบมาตรฐาน นอตเกตมีหนา ทใ่ี นการเปล่ียนลอจิกดานเอาตพ ุตใหมี
คาตรงกับอินพุต ดังแสดงในตารางความจริงและไดอะแกรมเวลาในรูปที่ 2.2 (ข) และ (ค) ตามลําดับ
ในตารางความจรงิ จะใชส ญั ลักษณ H แทนคาสถานะลอจิก 1 และ L แทนคา สถานะลอจกิ 0 พบไดบ อย
ในการใชตัวอักษร H และ L แทนคา ลอจิก โดยเฉพาะในขอ มลู ไอซี (Data Sheet) ของบรษิ ัทผูผลิตไอซี
ลอจิกเกต วงจรดังแสดงในรูปท่ี 2.2 (ก) คอื วงจรเทียบเทา พจิ ารณาการทาํ งานเมือ่ สวิตชอยใู นตําแหนง A
หลอดไฟจะดับเน่ืองจากกระแสไฟฟาจะไหลผานสวติ ชทั้งหมด เม่อื ทําการเลอื่ นตําแหนง สวติ ชมาอยูใน
ตําแหนง A หลอดไฟจะติดสวางเนือ่ งจากกระแสไมสามารถไหลผานสวิตชไดจึงไหลผานหลอดไฟทําให
ติดสวาง ดังนั้นจึงสามารถสรุปการทํางานของอินเวอรเตอรหรือนอตเกตในรูปของสมการบูลลีนได
ดงั สมการท่ี (2.1)

X = A (2.1)

จากสมการที่ (2.1) อา นไดว า X มีคา เทากับ A บาร

AX A1X A1X
(ก) สัญลักษณทั่วไป (ข) สญั ลักษณ IEEE/ANSI (ค) สัญลกั ษณ IEEE/ANSI

รปู ที่ 2.1 สญั ลกั ษณข องนอตเกต

X

E A A LAMP t
SW A

(ก) วงจรไฟฟา เทียบเทา (ข) ตารางความจริง t

(ค) ไดอะแกรมเวลาของนอตเกต

รปู ที่ 2.2 ตารางความจรงิ และไดอะแกรมเวลาของนอตเกต

วงจรดิจติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจิกเกตพืน้ ฐาน 35

ในรูปท่ี 2.2 (ค) เปนไดอะแกรมเวลาของอินพตุ A และเอาตพุต X ซึ่งมีคาลอจิกตรงขามกัน
หรือเอาตพุต X จะมีเปนคาคอมพลีเมนต (Complement) ของอินพุต A จากไดอะแกรมเวลาขณะท่ี
อินพตุ A มีคา เปน ระดับ 0 เอาตพ ุต X จะมรี ะดบั ลอจิก 1 หรอื เมอื่ อินพุต A มีระดับลอจกิ เปน 1 เอาตพ ตุ
X จะมีระดับลอจิกเปน 0 ดังน้ันอาจกลาวไดวาไดอะแกรมเวลาก็คือรูปภาพของรูปคล่นื ทางอินพตุ และ
เอาตพ ุตของวงจรดจิ ิตอลท่ีแสดงความสัมพันธใ นชว งเวลาตางกันน่ันเอง

วงจรดจิ ติ อลจะทํางานกับแรงดันสองระดับเทานั้น คอื H หรือ 1 ซึง่ มีคาเทา กับแรงดนั 5 โวลต
และ L หรอื 0 มีคา เทากบั แรงดนั 0 โวลต ซึง่ จะเกย่ี วของกบั ระบบเลขฐานสอง เพราะระบบเลขฐานสอง
มีคาเพียงสองคา (0 และ 1) เชนเดียวกัน การทํางานลักษณะนี้เรียกวาการทํางานแบบสองสถานะ
(Binary)

+5V
14 13 12 11 10 9 8
VCC

GND (ข) รูปรา งจริง
1 2 34 5 67

GND

(ก) ตาํ แหนง ขา

รูปท่ี 2.3 ตาํ แหนงขาของนอตเกตหรอื อินเวอรเ ตอร เบอร 7404

ในรูปที่ 2.3 แสดงตาํ แหนง ขาของไอซเี บอร 7404 เปนไอซอี นิ เวอรเ ตอร มจี าํ นวนอนิ เวอรเ ตอร
อยูภายใน 6 ตัว และเปนไอซีตระกูลทีทแี อล การใชงานจะตองปอนแรงดันไฟฟา +5 Vdc เขาที่ขา 14
และตอกราวดเ ขา ท่ขี า 7 อินเวอรเตอรท ุกตวั สามารถตอใชงานหรือตอรวมกับไอซีทที แี อลตัวอ่ืนๆ ได เชน
ถาตอ งการใชอ ินเวอรเ ตอรต ัวเดียวกส็ ามารถท่จี ะตอ สัญญาณอนิ พตุ เขาทข่ี า 1 และจะมสี ัญญาณเอาตพ ุต
ออกที่ขา 2 หรือจะตอตัวอืน่ ๆ ก็สามารถใชงานไดเ ชน เดยี วกนั ดงั แสดงในรูปที่ 2.4

36 บทที่ 2 ลอจกิ เกตพื้นฐาน วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ

รูปที่ 2.4 ตวั อยา งการใชง านอินเวอรเตอรหรอื นอตเกต
2.2.2 ออรเ กต (OR Gates)

ออรเกต จะมีอนิ พตุ ต้ังแต 2 อินพุตขึ้นไป และมีเอาตพุตเดียวเทาน้ัน การทํางานของออรเกต
ทีข่ าอินพตุ จํานวน 2 ขา คอื ขา A และขา B สามารถเขียนสมการการทาํ งานไดเ ปน X = A+B อา นวา X
เทากบั A ออร B ไมใช A บวก B ออรเกตจะใหระดบั เอาตพุตเปนลอจิกสูง หรือมีระดบั ลอจกิ เทากับ 1
ถาอนิ พตุ ใดอนิ พุตหนึ่งหรอื ท้ังหมดมรี ะดบั ลอจิกเปน 1 และจะใหเอาตพตุ เปนลอจิก 0 เมื่ออนิ พตุ ท้งั สอง
มีระดับลอจิกเปน 0 เชน ในรูปท่ี 2.5 เอาตพุต X ของออรเกตชนิด 2 อินพุต (A และ B) จะเปน HIGH
หรือ “1” เมื่ออินพุต A หรือ B หรืออินพุตทั้งสอง มีคาเปนลอจิก “1” สามารถแสดงผลการทํางาน
ไดดังตารางความจริงในรปู ท่ี 2.6 (ข)

1 1

(ก) สญั ลกั ษณท ่ัวไป (ข) สญั ลกั ษณ IEEE/ANSI (ค) สัญลกั ษณ IEEE/ANSI

รปู ท่ี 2.5 สญั ลักษณของออรเกตแบบ 2 อินพตุ

(ก) วงจรไฟฟา เทยี บเทา (ข) ตารางความจรงิ

รปู ท่ี 2.6 การทาํ งานของออรเกตแบบ 2 อนิ พตุ

วงจรดิจิตอลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพน้ื ฐาน 37

เอาตพุต (X)10 t

อินพุต (A)10 t

อินพตุ (B)10 t1 t2 t3 t4 t

(ค) ไดอะแกรมเวลาของออรเกต

รูปที่ 2.6 (ตอ)

รูปที่ 2.6 (ค) เปนไดอะแกรมเวลาในชวงเวลา t1 อินพุต A มีคาเปน 0 และอินพุต B
มคี าเปน 0 เอาตพุต X จะมคี าเทา กบั 0 ในชวงเวลา t2 อินพุต A มีคา เปน 0 และอินพุต B มีคาเปน 1
เอาตพุต X จะมีคาเทากับ 1 ชวงเวลา t3 อินพุต A มีคาเปน 1 และอินพุต B มีคาเปน 0 เอาตพุต X
จะมีคา เทากับ 1 และในชวงเวลา t4 อินพุต A มีคาเปน 1 และอินพุต B มีคาเปน 1 เอาตพุต X จะมคี า
เทา กับ 1 ซ่ึงสามารถสรุปและเขียนเปนสมการบลู ลีนไดด ังสมการที่ (2.2)

X = A+B (2.2)

จากรปู ท่ี 2.7 แสดงตําแหนงขาของไอซเี บอร 7432 เปน ไอซีออรเกตแบบ 2 อินพุต มีจาํ นวน
ออรเกตอยูภ ายใน 4 ตวั และเปนไอซตี ระกลู ทีทแี อล การใชงานจะตองปอนแรงดันไฟฟา +5 Vdc เขา ที่
ขา 14 และตอกราวดเขาท่ีขา 7 สําหรับออรเกตตัวที่ 1 อินพุตคือขา 1 และขา 2 เอาตพุตคือขา 3
ออรเกตตัวท่ี 2 อินพุตคือขา 4 และขา 5 เอาตพุตคือขา 6 ออรเกตตัวท่ี 3 อินพุตคือขา 10 และขา 9
เอาตพ ตุ คือขา 8 และออรเ กตตัวท่ี 4 อนิ พตุ คือขา 13 และขา 12 เอาตพ ตุ คือขา 11

VCC

(ก) ตําแหนง ขา (ข) รูปรา งจริง

รปู ท่ี 2.7 ตําแหนงขาออรเ กตภายในไอซเี บอร 7432

38 บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพน้ื ฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

ตวั อยา งที่ 2.1 วงจรดงั รูปที่ 2.8 (ข) เม่ือปอนสัญญาณเขา ที่อนิ พุต A และอินพุต B แสดงในรปู ท่ี 2.8 (ก)
จะไดร ปู คล่ืนทางดา นเอาตพ ตุ อยา งไร

(ก) คลนื่ ไดอะแกรมอินพตุ (ข) วงจรออรเกต

รปู ที่ 2.8 วงจรและรูปคล่ืนอนิ พุตตามตวั อยา งท่ี 2.1

วธิ ีทาํ จากตารางความจรงิ ของออรเ กต เม่ือมอี ินพตุ ขาใดขาหนงึ่ มีระดบั ลอจิกเปน 1 เอาตพตุ จะมรี ะดบั
ลอจิก 1 เมื่ออนิ พุตทั้ง 2 ขา มรี ะดบั เปนลอจิก 0 ทั้งคู เอาตพุตจะเปน 0 ดังนัน้ เมอ่ื นําสัญญาณอินพตุ A
และ B มาพิจารณาในแตละชวงเวลาท่ีมีการปอนระดับลอจิกเขาที่อินพุต จะสามารถเขียนรูปคลื่น
ไดอะแกรมเวลาไดด งั รปู ที่ 2.9

รูปท่ี 2.9 รปู คล่นื เอาตพตุ ตามตวั อยา งท่ี 2.1
ตัวอยางท่ี 2.2 จงเขยี นสมการบูลลีนของวงจรออรเ กตแบบ 3 อินพุต ตารางความจริง และออกแบบ
วงจรโดยการใชออรเ กตแบบ 2 อนิ พตุ
วิธที ํา จากตารางความจรงิ เม่ือนํามาพิจารณาในการออกแบบจะพบวาเมอื่ นําออรเ กตมาตอ กันเพม่ิ มาก
ขึ้นเทา ใดคุณสมบัตจิ ะยังคงเหมือนเดมิ ดงั แสดงในรปู ท่ี 2.10

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจิกเกตพนื้ ฐาน 39

รูปที่ 2.10 วงจรออรเ กตแบบ 3 อนิ พุตตามตัวอยา งที่ 2.2

ตารางที่ 2.1 ตารางความจรงิ ของวงจรออรเ กตแบบ 3 อินพตุ
อนิ พุต เอาตพ ตุ
AB CX
00 00
00 11
01 01
01 11
10 01
10 11
11 01
11 11

2.2.3 แอนดเ กต (AND Gates)
แอนดเกต จะมีอินพุตตั้งแต 2 อินพุตขึ้นไป และมีเอาตพุตเดียวเทาน้ัน การทํางานของ

แอนดเ กตที่ขาอินพุตจํานวน 2 ขา คอื ขา A และขา B สามารถเขียนสมการการทาํ งานไดเ ปน X = AB
อา นวา X เทา กับ A แอนด B ไมใช A คณู B แอนดเกตจะใหร ะดบั เอาตพ ุตเปนลอจกิ ต่ํา หรอื มีระดบั ลอจกิ
เทากับ 0 ถาอินพุตใดอินพุตหนึ่งหรือท้ังหมดมีระดับลอจิกเปน 0 และจะใหเอาตพุตเปนลอจิก 1 เมื่อ
อินพตุ ท้งั สองมีระดับลอจิกเปน 1 เชน ในรูปที่ 2.11 เอาตพ ุต X ของแอนดเกตชนดิ 2 อินพตุ (A และ B)
จะเปน HIGH หรือ “1” เม่ืออินพุต A และ B มีคาเปนลอจิก “1” แสดงผลการทํางานไดดังตาราง
ความจรงิ ในรปู ที่ 2.12 (ข)

&&

(ก) สญั ลักษณท ัว่ ไป (ข) สญั ลกั ษณ IEEE/ANSI (ค) สญั ลักษณ IEEE/ANSI

รูปท่ี 2.11 สญั ลกั ษณข องแอนดเ กตแบบ 2 อนิ พุต

40 บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพ้นื ฐาน วงจรดิจติ อลและลอจกิ

(ก) วงจรเทียบเทา (ข) ตารางความจริง

t1 t2 t3 t4

(ค) ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 2.12 การทาํ งานของแอนดเ กต

รปู ที่ 2.12 (ค) เปนไดอะแกรมเวลาในชว งเวลา t1 อนิ พุต A มคี าเปน 0 และอนิ พตุ B มคี า เปน
0 เอาตพุต X จะมีคา เทากบั 0 ในชวงเวลา t2 อินพุต A มีคาเปน 0 และอนิ พตุ B มีคา เปน 1 เอาตพ ุต X
จะมคี าเทา กบั 0 ชวงเวลา t3 อินพุต A มคี า เปน 1 และอินพุต B มคี า เปน 0 เอาตพ ตุ X จะมคี าเทา กับ 0
และในชว งเวลา t4 อนิ พตุ A มคี าเปน 1 และอนิ พตุ B มคี าเปน 1 เอาตพุต X จะมีคา เทา กับ 1 ซ่งึ สามารถ
สรุปและเขียนเปน สมการบลู ลีนได ดังสมการที่ (2.3)

X = AB (2.3)

ในรปู ท่ี 2.13 แสดงตําแหนง ขาของไอซเี บอร 7408 เปน ไอซแี อนดเ กตแบบ 2 อนิ พุต มจี าํ นวน
แอนดเ กตอยูภายใน 4 ตัว เปนไอซีตระกูลทีทีแอล การใชงานจะตองปอนแรงดนั ไฟฟา +5 Vdc เขาที่ขา
14 และตอ กราวดเ ขา ทข่ี า 7 สําหรับแอนดเ กตตัวท่ี 1 อนิ พตุ คอื ขา 1 และขา 2 เอาตพุตคือขา 3 แอนด
เกตตัวท่ี 2 อินพุตคือขา 4 และขา 5 เอาตพุตคือขา 6 แอนดเกตตัวท่ี 3 อินพุตคือขา 10 และขา 9
เอาตพ ุตคือขา 8 และแอนดเกตตวั ท่ี 4 อินพตุ คือขา 13 และขา 12 เอาตพ ตุ คือขา 11

วงจรดิจติ อลและลอจกิ บทที่ 2 ลอจิกเกตพน้ื ฐาน 41

VCC

(ก) ตําแหนง ขา (ข) รูปรา งจริง

รปู ที่ 2.13 ตําแหนงขาแอนดเ กตภายในไอซีเบอร 7408

ตัวอยา งท่ี 2.3 วงจรดงั รูปที่ 2.14 (ข) เม่ือปอ นสญั ญาณเขา ทอี่ นิ พตุ A และอนิ พตุ B ดังแสดงในรูปท่ี
2.13 (ก) จะไดรูปคลื่นทางดา นเอาตพ ตุ อยา งไร

(ก) คล่นื ไดอะแกรมอนิ พุต (ข) วงจรแอนดเกต

รูปท่ี 2.14 วงจรและรปู คลื่นอินพตุ ตามตวั อยา งที่ 2.3

วธิ ีทาํ จากตารางความจริงของแอนดเกต เม่ือมีอินพุตขาใดขาหน่ึงมีระดับลอจิกเปน 0 เอาตพ ุตจะมี
ระดับลอจิก 0 เมื่ออินพุตท้ังสองขามีระดับเปนลอจิก 1 ทั้งคู เอาตพุตจะเปน 1 ดังนั้นเม่ือนําสัญญาณ
อินพุต A และ B มาพิจารณาในแตละชวงเวลาที่มีการปอนระดับลอจิกเขาที่อินพุต จะสามารถเขียน
รูปคลืน่ ไดอะแกรมเวลาไดด งั รปู ที่ 2.15

รปู ที่ 2.15 รูปคลืน่ เอาตพ ุตตามตวั อยา งที่ 2.3

42 บทที่ 2 ลอจิกเกตพ้ืนฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

ตัวอยางที่ 2.4 จงเขียนสมการบลู ลนี ของจรแอนดเกตแบบ 4 อนิ พุต ตารางความจริง และออกแบบวงจร
โดยการใชแ อนดเ กตแบบ 2 อินพตุ
วิธีทาํ จากตารางความจรงิ เมือ่ นาํ มาพจิ ารณาในการออกแบบจะพบวา เม่ือเรานาํ แอนดเ กตมาตอกันเพม่ิ
มากขนึ้ เทา ใดคณุ สมบัตจิ ะยังคงเหมอื นเดิม ดงั แสดงในรปู ที่ 2.16

รูปที่ 2.16 วงจรแอนดเ กตแบบ 4 อินพุตตามตัวอยา งที่ 2.4
ตารางที่ 2.2 ตารางความจรงิ ของวงจรแอนดเ กตแบบ 4 อนิ พุต

อนิ พตุ เอาตพุต
AB C DX
00 0 00
00 0 10
00 1 00
00 1 10
01 0 00
01 0 10
01 1 00
01 1 10
10 0 00
10 0 10
10 1 00
10 1 10
11 0 00
11 0 10
11 1 00
11 1 11

วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพ้นื ฐาน 43

2.2.4 นอรเกต (NOR Gates)
นอรเกต จะมีอินพตุ ต้ังแต 2 อนิ พุตขน้ึ ไป และมีเอาตพ ตุ เดียวเทา น้ัน การทาํ งานของนอรเกต

ที่ขาอินพุตจํานวน 2 ขา คือ ขา A และขา B เขยี นสมการการทํางานไดเ ปน X = A +B อา นวา X เทา กับ
A ออร B ท้ังหมดบาร นอรเกตจะใหระดับเอาตพ ุตเปน ลอจกิ ต่ํา หรอื มีระดบั ลอจิกเทากบั 0 ถาอินพุตใด
อนิ พุตหนึ่งหรือทั้งหมดมีระดับลอจิกเปน 1 และเม่ือขาอนิ พุตทั้งหมดมีระดับลอจิกเปน 0จะใหเอาตพุต
เปน ระดับลอจิก 1 นอรเกตเปนการนําเอาออรเกตมาทํางานรวมกับนอตเกตดังแสดงในรูปที่ 2.17 ดงั นั้น
ผลการทาํ งานจงึ มีคากันขามกับออรเ กตเสมอ เพราะฉะนัน้ เอาตพุต X ของนอรเกตชนดิ 2 อนิ พตุ (A และ
B) จะเปน HIGH หรือ “1” เม่ืออินพุต A และ B มีคาเปนลอจิก “0” สามารถแสดงผลการทํางานได
ดงั ตารางความจริงในรปู ท่ี 2.18 (ข)

1 X

(ก) (ข) ทวั่ ไป (ค) IEEE/ANSI

รูปที่ 2.17 วงจรนอรเ กตและสญั ลกั ษณของนอรเ กตแบบ 2 อินพุต

(ก) วงจรไฟฟา เทยี บเทา (ข) ตารางความจริง

t1 t2 t3 t4

(ค) ไดอะแกรมเวลาของนอรเ กต

รูปที่ 2.18 การทาํ งานของนอรเกต

44 บทที่ 2 ลอจิกเกตพน้ื ฐาน วงจรดิจิตอลและลอจกิ

รปู ที่ 2.18 (ค) เปน ไดอะแกรมเวลาของนอรเกตในชว งเวลา t1 อนิ พุต A มีคาเปน 0 และอินพุต
B มีคาเปน 0 เอาตพุต X จะมีคาเทากับ 1 ในชวงเวลา t2 อินพุต A มีคาเปน 0 และอินพุต B
มีคาเปน 1 เอาตพุต X จะมีคาเทากับ 0 ชวงเวลา t3 อินพุต A มีคาเปน 1 และอินพุต B มีคาเปน 0
เอาตพ ตุ X จะมีคาเทากับ 0 และในชว งเวลา t4 อินพตุ A มีคาเปน 1 และอนิ พตุ B มคี าเปน 1 เอาตพุต
X จะมคี าเทา กับ 0 ซง่ึ สามารถสรปุ และเขยี นเปน สมการบูลลีนไดด งั สมการท่ี (2.4)

X = A +B (2.4)

ในรปู ที่ 2.19 แสดงตําแหนงขาของไอซีเบอร 7402 เปนไอซีนอรเ กตแบบ 2 อนิ พตุ ซึ่งมีจํานวน
นอรเกตอยูภายใน 4 ตัว และเปนไอซีตระกูลทีทีแอล การใชงานจะตองปอนแรงดันไฟฟา +5 Vdc
เขาทีข่ า 14 และตอกราวดเขาที่ขา 7 สําหรับนอรเ กตตัวที่ 1 อินพตุ คอื ขา 2 และขา 3 เอาตพ ุตคือขา 1
นอรเกตตัวที่ 2 อินพุตคือขา 5 และขา 6 เอาตพุตคือขา 4 นอรเกตตัวท่ี 3 อินพุตคือขา 10 และขา 9
เอาตพ ตุ คือขา 8 และนอรเกตตวั ท่ี 4 อนิ พตุ คือขา 13 และขา 12 เอาตพุตคือขา 11

(ก) ตําแหนงขา (ข) รปู รา งจริง

รูปท่ี 2.19 ตําแหนง ขานอรเ กตภายในไอซเี บอร 7402

ตัวอยา งท่ี 2.5 วงจรดังรูปท่ี 2.20 (ข) เม่ือปอนสัญญาณเขาทอ่ี ินพุต A และอินพุต B ดังแสดงในรูปท่ี
2.20 (ก) จะไดร ปู คลน่ื ทางดา นเอาตพ ุตอยางไร

อนิ พตุ (B) 1 t
t
0

อนิ พตุ (A) 1
0

(ก) ไดอะแกรมอินพตุ (ข) วงจรนอรเ กต

รูปท่ี 2.20 วงจรและรูปคลื่นอินพุตตามตวั อยา งที่ 2.5

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทที่ 2 ลอจิกเกตพืน้ ฐาน 45

วิธีทาํ จากตารางความจริงของนอรเกต เมื่อมีอินพุตขาใดขาหน่ึงมีระดับลอจิกเปน 1 เอาตพุตก็จะมี
ระดับลอจิก 0 เมื่ออินพุตทั้ง 2 ขา มีระดับเปนลอจิก 0 ทั้งคู เอาตพุตจะเปน 1 ดังน้ันเมื่อนําสัญญาณ
อินพุต A และ B มาพิจารณาในแตละชวงเวลาท่ีมีการปอนระดับลอจิกเขาที่อินพุต จะสามารถเขียน
รูปคลืน่ ไดอะแกรมเวลาไดดงั รูปท่ี 2.21

อินพตุ (B) 1 t
t
0

อนิ พตุ (A) 1
0

เอาตพ ุต (X) 1 t
0

รปู ท่ี 2.21 รูปคลื่นเอาตพ ตุ ตามตวั อยางที่ 2.5

2.2.5 แนนดเ กต (NAND Gates)
แนนดเกต มีอินพุตตงั้ แต 2 อินพุตขนึ้ ไปและมีเอาตพ ุตเดียวเทา น้ัน การทํางานของแนนดเกต

ท่ีขาอินพตุ จาํ นวน 2 ขา คือ ขา A และขา B สามารถเขียนสมการการทาํ งานไดเปน X = A B อา นวา X
เทากับ A แอนด B ทั้งหมดบาร แนนดเกตจะใหระดับเอาตพุตเปนลอจิกสงู หรือมีระดับลอจิกเทากบั 1
ถา อนิ พตุ ใดอินพุตหนง่ึ หรือทง้ั หมดมรี ะดบั ลอจิกเปน 0 และจะใหเ อาตพ ตุ เปน ระดับลอจกิ 1 เม่อื อนิ พตุ ทงั้
สองมีระดบั ลอจิกเปน 1 เอาตพ ตุ จะเปนระดับลอจกิ 0 แนนดเ กตเปนการนําเอา แอนดเกตมาทาํ งานรวม
กบั นอตเกตดังแสดงในรปู ท่ี 2.22 ดงั นั้นผลการทํางานจึงมคี ากนั ขา มกับแนนดเกต เพราะฉะนั้นเอาตพ ตุ X
ของแนนดเ กตชนิด 2 อินพุต (A และ B) จะเปน LOW หรอื “0” เม่ืออินพตุ A และ B มคี า เปน ลอจกิ “1”
ซ่ึงสามารถแสดงผลการทํางานไดดงั ตารางความจริงในรปู ท่ี 2.23 (ข)

&X

(ก) สัญลักษณแ นนดเ กตแบบ 2 อนิ พตุ (ข) ทวั่ ไป (ค) IEEE/ANSI

รูปที่ 2.22 วงจรแนนดเกตและสญั ลกั ษณข องแนนดเ กตแบบ 2 อินพตุ

46 บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพื้นฐาน วงจรดิจติ อลและลอจกิ

(ก) วงจรไฟฟา เทยี บเทา (ข) ตารางความจริง

t1 t2 t3 t4

(ค) ไดอะแกรมเวลา

รปู ท่ี 2.23 การทาํ งานของแนนดเ กต

รูปที่ 2.23 (ค) เปนไดอะแกรมเวลาของนอรเ กตในชวงเวลา t1 อนิ พุต A มคี า เปน 0 และอนิ พตุ
B มีคา เปน 0 เอาตพตุ X จะมคี าเทา กับ 1 ในชวงเวลา t2 อินพุต A มีคาเปน 0 และอนิ พุต B มีคา เปน 1
เอาตพ ุต X จะมคี า เทากบั 1 ชวงเวลา t3 อินพุต A มคี าเปน 1 และอนิ พุต B มีคา เปน 0 เอาตพุต X จะมี
คา เทากบั 1 และในชว งเวลา t4 อินพุต A มคี า เปน 1 และอนิ พตุ B มีคาเปน 1 เอาตพ ตุ X จะมีคาเทา กับ
0 ซง่ึ สามารถสรปุ และเขียนเปน สมการบูลลีนไดดังสมการที่ (2.5)

X = AB (2.5)

ในรูปท่ี 2.24 แสดงตําแหนงขาของไอซีเบอร 7400 เปนไอซีแนนดเกตแบบ 2 อินพุต ซึ่งมี
จํานวนแนนดเกตอยูภายใน 4 ตัว และเปนไอซีตระกูลทีทีแอล การใชงานจะตองปอนแรงดันไฟฟา
+5 Vdc เขาทขี่ า 14 และตอ กราวดเ ขา ทีข่ า 7 สําหรับแนนดเ กตตวั ท่ี 1 อนิ พุตคอื ขา 1 และขา 2 เอาตพ ุต
คอื ขา 3 แนนดเ กตตัวที่ 2 อินพตุ คอื ขา 4 และขา 5 เอาตพตุ คือขา 6 แนนดเกตตัวท่ี 3 อนิ พตุ คือขา 10
และขา 9 เอาตพ ตุ คอื ขา 8 และแนนดเ กตตวั ท่ี 4 อนิ พตุ คอื ขา 13 และขา 12 เอาตพตุ คือขา 11

วงจรดิจิตอลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจิกเกตพื้นฐาน 47

(ก) ตาํ แหนงขา (ข) รปู รา งจริง

รปู ที่ 2.24 ตําแหนง ขาแนนดเ กตแบบ 2 อินพตุ ภายในไอซเี บอร 7400

ตัวอยา งที่ 2.6 วงจรดังรปู ที่ 2.25 (ข) เม่ือปอนสญั ญาณเขา ทอ่ี ินพตุ A และอนิ พุต B ดังแสดงในรูปท่ี
2.25 (ก) จะไดรปู คลืน่ ทางดา นเอาตพ ุตอยา งไร

(ก) ไดอะแกรมอนิ พตุ (ข) วงจรแนนดเ กต

รูปที่ 2.25 วงจรและรูปคลืน่ อนิ พตุ ตามตวั อยา งท่ี 2.6

วธิ ีทํา จากตารางความจริงของแนนดเกต เมื่อมีอินพุตขาใดขาหนึ่งมีระดับลอจกิ เปน 0 เอาตพุตกจ็ ะมี
ระดับลอจิก 1 เมอ่ื อินพุตท้ังสองขา มีระดับเปน ลอจิก 1 ทั้งคู เอาตพุตจะเปน 0 ดังน้ันเม่ือนาํ สญั ญาณ
อินพุต A และ B มาพิจารณาในแตละชวงเวลาท่ีมีการปอนระดับลอจิกเขาที่อินพุต จะสามารถเขียน
รูปคล่นื ไดอะแกรมเวลาไดดังรปู ที่ 2.26

รปู ท่ี 2.26 รูปคล่นื เอาตพตุ ตามตัวอยางที่ 2.6

48 บทที่ 2 ลอจกิ เกตพ้นื ฐาน วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ

2.2.6 เอก็ คลซู ฟี -ออรเ กต (Exclusive-OR Gates)
เอ็กคลูซีฟ-ออรเกต จะมอี ินพุตตั้งแต 2 อินพุตขึ้นไป และมีเอาตพุตเดียวเทาน้ัน การทํางาน

ของเอก็ คลูซีฟ-ออรเกต ทม่ี ขี าอนิ พุตจํานวน 2 ขา คือ ขา A และขา B สามารถเขยี นสมการการทาํ งานได
เปน X = AB + AB หรือ X = A B เอ็กคลูซีฟ-ออรเกต จะใหระดับเอาตพุตเปนลอจิกตํ่าหรือมีระดับ
ลอจิกเทา กบั 0 ถา อนิ พตุ ท้งั สองมรี ะดับลอจิกเปน 0 หรือ 1 เหมือนกนั และจะใหเ อาตพตุ เปน ระดบั ลอจิก
1 เม่ืออินพุตท้ังสองมีระดับลอจิกแตกตางกัน เอ็กคลูซีฟ-ออรเกต มีวงจรพ้ืนฐานดังแสดงในรูปท่ี 2.27
ซึง่ สามารถแสดงผลการงานไดดังตารางความจริงในรปู ที่ 2.28 (ข)

1 X=AB

(ก) สญั ลักษณท ว่ั ไป (ข) สัญลกั ษณ IEEE/ANSI

รูปท่ี 2.27 สญั ลักษณข องเอ็กคลซู ีฟ-ออรเ กตแบบ 2 อนิ พุต

(ก) วงจรไฟฟา เทียบเทา (ข) ตารางความจรงิ

t1 t2 t3 t4

(ค) ไดอะแกรมเวลา

รปู ท่ี 2.28 การทาํ งานของเอก็ คลซู ีฟ-ออรเ กต

วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพ้นื ฐาน 49

รูปท่ี 2.28 (ค) เปนไดอะแกรมเวลาของเอก็ คลูซฟี -ออรเ กต ในชว งเวลา t1 อินพตุ A มีคาเปน 0
และอินพตุ B มีคาเปน 0 เอาตพุต X จะมคี าเทากบั 0 ในชวงเวลา t2 อินพตุ A มคี า เปน 0 และอนิ พตุ B
มีคาเปน 1 เอาตพุต X จะมีคาเทากับ 1 ชวงเวลา t3 อินพุต A มีคาเปน 1 และอินพุต B มีคาเปน 0
เอาตพ ุต X จะมีคาเทา กับ 1 และในชวงเวลา t4 อนิ พตุ A มคี าเปน 1 และอินพตุ B มีคา เปน 1 เอาตพตุ X
จะมคี าเทา กับ 0 ซ่งึ สามารถสรุปและเขยี นเปนสมการบูลลีนได ดงั สมการที่ (2.6) หรอื สมการท่ี (2.7)

X = AB + AB (2.6)
หรอื (2.7)

X=AB

ในรูปที่ 2.29 แสดงตาํ แหนงขาของไอซเี บอร 7486 เปน ไอซีเอ็กคลูซีฟ-ออรเกตแบบ 2 อินพุต
ซึ่งมีจํานวนเอ็กคลูซีฟ-ออรเกตอยูภายใน 4 ตัว และเปนไอซีตระกูลทที ีแอล การใชงานจะตองปอน
แรงดันไฟฟา +5 Vdc เขา ท่ขี า 14 และตอกราวดเ ขา ท่ีขา 7 สาํ หรบั เอ็กคลซู ีฟ-ออรเ กตตัวท่ี 1 อนิ พตุ คือ
ขา 1 และขา 2 เอาตพ ุตคือขา 3 เอ็กคลูซีฟ-ออรเกตตัวท่ี 2 อินพุตคอื ขา 4 และขา 5 เอาตพุตคือขา 6
เอ็กคลูซีฟ-ออรเกตตัวที่ 3 อินพุตคือขา 10 และขา 9 เอาตพุตคือขา 8 และเอ็กคลูซีฟ-ออรเกตตัวท่ี 4
อนิ พตุ คอื ขา 13 และขา 12 เอาตพุตคือขา 11

(ก) ตําแหนง ขา (ข) รปู รา งจรงิ

รปู ท่ี 2.29 ตําแหนงขาเอ็กคลซู ฟี -ออรเ กตแบบ 2 อนิ พตุ ภายในไอซีเบอร 7486

50 บทที่ 2 ลอจิกเกตพน้ื ฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

ตวั อยา งที่ 2.7 วงจรดงั รปู ท่ี 2.30 (ข) เมอื่ ปอ นสญั ญาณเขา ทอี่ นิ พตุ A และอินพตุ B ดังแสดงในรูปที่
2.30 (ก) จะไดรูปคลื่นทางดา นเอาตพ ุตอยา งไร

(ก) ไดอะแกรมอนิ พุต (ข) วงจรเอก็ คลูซฟี -ออรเกต

รปู ที่ 2.30 วงจรและรูปคลน่ื อินพตุ ตามตวั อยา งท่ี 2.7

วธิ ีทาํ จากตารางความจรงิ ของเอ็กคลูซีฟ-ออรเกต เม่ือมอี ินพุตขาทงั้ สองขามีระดับลอจิกเปน 0 หรือ 1
เหมือนกันเอาตพุตก็จะมีระดับลอจิก 0 เมื่ออินพุตทั้งสองขา มีระดับเปนลอจิกที่แตกตางกันเอาตพุต
จะเปน 1 ดังนั้นเมอ่ื นําสัญญาณอินพุต A และ B มาพิจารณาในแตละชวงเวลาที่มีการปอนระดับลอจิก
เขาทีอ่ นิ พุต จะสามารถเขียนรปู คลนื่ ไดอะแกรมเวลาไดดงั รปู ท่ี 2.31

รูปท่ี 2.31 รูปคลนื่ เอาตพ ุตตามตวั อยางที่ 2.7
2.2.7 เอก็ คลูซีฟ-นอรเกต (Exclusive-NOR Gates)

เอ็กคลูซีฟ-นอรเกต จะมีอินพตุ ตั้งแต 2 อนิ พุตขนึ้ ไป และมีเอาตพุตเดียวเทาน้ัน การทํางาน
ของเอ็กคลซู ีฟ-นอรเกต ท่ีมีขาอินพตุ จํานวน 2 ขา คือ ขา A และขา B สามารถเขยี นสมการการทํางาน
ไดเ ปน X = AB + AB หรือ X = A B เอ็กคลซู ีฟ-นอรเกตจะใหร ะดบั เอาตพ ุตเปนลอจิกสูง หรือมีระดับ
ลอจิกเทากับ 1 ถา อนิ พุตทั้งสองมีระดบั ลอจิกเปน 0 หรือ 1 เหมอื นกัน และจะใหเ อาตพ ตุ เปนระดับลอจิก
0 เม่ืออินพุตทั้งสองมีระดับลอจิกแตกตางกัน เอ็กคลูซีฟ-ออรเกตมวี งจรพื้นฐาน ดังแสดงในรูปท่ี 2.32
ซงึ่ สามารถแสดงผลการทํางานไดดงั ตารางความจรงิ ในรปู ที่ 2.33 (ข)

วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพน้ื ฐาน 51

X = A B 1 X=AB

(ก) สญั ลกั ษณท่ัวไป (ข) สัญลักษณ IEEE/ANSI

รูปท่ี 2.32 สญั ลักษณข องเอ็กคลซู ีฟ-นอรเกตแบบ 2 อนิ พุต

(ก) วงจรไฟฟา เทยี บเทา (ข) ตารางความจรงิ

t1 t2 t3 t4

(ค) ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 2.33 การทาํ งานของเอ็กคลซู ีฟ-นอรเกต

รปู ที่ 2.33 (ค) เปน ไดอะแกรมเวลาของเอก็ คลซู ีฟ-นอรเกต ในชวงเวลา t1 อินพุต A มคี าเปน
0 และอินพุต B มีคาเปน 0 เอาตพ ุต X จะมคี าเทากับ 1 ในชว งเวลา t2 อินพุต A มีคาเปน 0 และอนิ พตุ
B มีคา เปน 1 เอาตพุต X จะมีคาเทากับ 0 ชวงเวลา t3 อินพุต A มีคาเปน 1 และอินพุต B มีคาเปน 0
เอาตพุต X จะมคี าเทากบั 0 และในชวงเวลา t4 อินพุต A มีคา เปน 1 และอนิ พุต B มคี าเปน 1 เอาตพตุ X
จะมคี า เทา กบั 1 ซ่งึ สามารถสรปุ และเขียนเปน สมการบลู ลีนไดด งั สมการที่ (2.8) หรือสมการท่ี (2.9)

X = AB + AB (2.8)
หรือ (2.9)

X=AB

52 บทที่ 2 ลอจิกเกตพืน้ ฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

ในรูปท่ี 2.34 แสดงตําแหนงขาของไอซเี บอร 74266 เปนไอซเี อก็ คลูซีฟ-นอรเกตแบบ 2 อนิ พตุ
ซ่ึงมีจํานวนเอ็กคลูซีฟ-ออรเกตอยูภายใน 4 ตัว และเปนไอซีตระกูลทีทีแอล การใชงานจะตองปอน
แรงดันไฟฟา +5 Vdc เขา ที่ขา 14 และตอกราวดเ ขาท่ีขา 7 สาํ หรับเอก็ คลูซีฟ-นอรเกตตัวที่ 1 อนิ พุตคือ
ขา 1 และขา 2 เอาตพตุ คือขา 3 เอ็กคลูซีฟ-นอรเกตตัวท่ี 2 อนิ พตุ คือขา 4 และขา 5 เอาตพุตคือขา 6
เอ็กคลูซีฟ-นอรเกตตัวท่ี 3 อินพุตคือขา 10 และขา 9 เอาตพุตคอื ขา 8 และเอ็กคลูซฟี -นอรเกตตัวที่ 4
อนิ พุตคอื ขา 13 และขา 12 เอาตพตุ คอื ขา 11

(ก) ตาํ แหนงขา (ข) รูปรา งจรงิ

รูปที่ 2.34 ตําแหนงขาเอก็ คลซู ีฟ-นอรเกตแบบ 2 อินพตุ ภายในไอซเี บอร 74266

ตัวอยางที่ 2.8 วงจรดังรูปที่ 2.35 (ข) เมื่อปอนสัญญาณเขาทอี่ ินพุต A และอินพุต B ดังแสดงในรูปที่
2.35 (ก) จะไดรปู คล่ืนทางดา นเอาตพตุ อยา งไร

(ก) ไดอะแกรมอินพุต (ข) วงจรเอก็ คลูซฟี -ออรเกต

รูปท่ี 2.35 วงจรและรูปคลื่นอินพตุ ตามตวั อยา งท่ี 2.8

วิธีทาํ จากตารางความจริงของเอ็กคลูซีฟ-ออรเ กต เมื่อมอี นิ พตุ ขาท้งั สองขามีระดับลอจิกเปน 0 หรอื 1
เหมือนกันเอาตพตุ ก็จะมีระดบั ลอจกิ 0 เมื่ออินพุตทงั้ สองขา มีระดับเปนลอจิกท่ีแตกตา งกันเอาตพุตจะ
เปน 1 ดงั นน้ั เม่อื นําสญั ญาณอนิ พตุ A และ B มาพิจารณาในแตล ะชว งเวลาที่มีการปอนระดับลอจิกเขาท่ี
อินพตุ จะสามารถเขยี นรปู คลนื่ ไดอะแกรมเวลาไดดงั รูปท่ี 2.36

วงจรดิจติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจิกเกตพน้ื ฐาน 53

รูปที่ 2.36 รปู คลน่ื เอาตพ ุตตามตวั อยา งที่ 2.8
2.3 การประยุกตใ ชเกตทดแทน (Universal Gate)

การออกแบบวงจรลอจิกเกตบางครั้งจําเปนที่จะตองมีการนําเอาลอจิกเกตบางชนิดมาใชทดแทน
คุณสมบตั ิของเกตชนิดอื่น เชน การใชแ นนดเ กตมาทําเปนนอตเกตเปนตน เพือ่ ลดตน ทนุ ในการผลิตหรือ
จาํ นวนของไอซที ใี่ ชในวงจร การใชเกตทดแทนจะเปน การนําเกตมาตอรวมกันเพอื่ ใหท ํางานตามทตี่ อ งการ
โดยการแบง ออกได 3 วธิ ี คอื การตอเกตทเ่ี อาตพุต การตอ เกตท่ีอินพุต และการตอเกตทั้งอินพุตเอาตพ ุต
สําหรับเกตทีน่ ยิ มมาใชท ําหนา ทเี่ กตทดแทนเพอื่ ลดจํานวนไอซจี ะมีอยู 2 ชนดิ คอื แนนดเ กตและนอรเ กต
ซึง่ เรียกวาเกตเอนกประสงค

2.3.1 การใชเ กตทดแทนจากแนนดเ กต
แนนดเกตสามารถนําไปใชแทนเกตตางๆ ได เชน นอตเกต ออรเกต แอนดเกต นอรเกต โดย

การใชแ นนดเกตเพยี งชนิดเดียว ซงึ่ สามารถพจิ ารณาโดยการใชตารางความจริงของลอจกิ เกตทต่ี อ งการหา
จากนัน้ ทาํ การเปลย่ี นตารางความจรงิ ทตี่ อ งการนั้นใหอยูใ นรูปวงจรลอจิกท่สี รา งจากแนนตเกต

2.3.1.1การสรา งนอตเกตจากแนนดเ กต
สมการบลู ลนี คือ X = A ตารางความจริงของนอตเกตดงั รูปที่ 2.37 ดงั นนั้ เมือ่ ตอ งการ

เปลย่ี นแนนดเ กตเปนนอตเกตซ่ึงมอี ินพุตเพียง 1 ขา สามารถทําไดโ ดยการตอขาทง้ั สองของแนนดเกตเขา
ดว ยกันดังรูปที่ 2.37 (ข) ซ่งึ จะทาํ ใหไ ดต ารางความจริงดงั รูปที่ 2.37 (ค)

(ก) ตารางความจรงิ นอตเกต (ข) วงจรนอตเกตจากแนนดเ กต (ค) ตารางความจรงิ

รูปที่ 2.37 ตารางความจริงและการสรา งวงจรนอตเกตจากแนนดเกต

54 บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพน้ื ฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

จากตารางความจริงใหมในรูปที่ 2.37(ค) จะพบวาการเปล่ียนลอจิกดานอินพุตจะ
เทยี บเทาตารางความจรงิ ของนอตเกต ดังนั้นจึงสามารถนาํ มาใชแทนนอตเกตได

2.3.1.2การสรา งออรเ กตจากแนนดเกต
สมการบลู ลีนของออรเกต คอื X = A+B และตารางความจรงิ ของออรเ กตดังรูปที่ 2.38

ดงั นั้นเมือ่ ตองการเปลี่ยนแนนดเกตเปนออรเกต สามารถทําไดโ ดยการตอขาทัง้ สองของแนนดเ กตดวย
นอตเกตที่สรางจากแนนดเกตดังรูปที่ 2.38 (ข)

(ก) ตารางความจรงิ ของออรเ กต (ข) วงจรออรเกตจากแนนดเกต

รูปท่ี 2.38 ตารางความจรงิ และการสรา งวงจรออรเ กตจากแนนดเกต

2.3.1.3การสรางแอนดเ กตจากแนนดเกต
สมการบลู ลีนของแอนดเกต คอื X = A B และตารางความจรงิ ของแอนดเ กตแสดงได

ดงั รปู ท่ี 2.34 ดังนน้ั เม่ือตองการเปลย่ี นแนนดเกตเปนแอนดเกต สามารถทาํ ไดโ ดยการตอขาเอาตพ ุตของ
แนนดเ กตดว ยนอตเกตทีส่ รา งจากแนนดเกตดังรูปที่ 2.39 (ข)

(ก) ตารางความจรงิ ของออรเ กต (ข) วงจรแอนดเ กตจากแนนดเกต

รูปท่ี 2.39 ตารางความจรงิ และการสรา งวงจรแอนดเ กตจากแนนดเกต

2.3.1.4การสรา งนอรเ กตจากแนนดเ กต
สมการบูลลีนของนอรเกต คือ X = A +B และตารางความจริงของนอรเกตแสดงได

ดังรปู ท่ี 2.40 ดังนั้นเม่ือตองการเปลี่ยนแนนดเ กตเปนนอรเกต สามารถทําไดโดยการตอขาเอาตพ ุตของ
แนนดเ กตดวยนอตเกตท่สี รา งจากแนนดเกตดังรูปท่ี 2.40 (ข)

วงจรดิจิตอลและลอจกิ บทที่ 2 ลอจกิ เกตพน้ื ฐาน 55

(ก) ตารางความจรงิ นอรเกต (ข) วงจรนอรเกตจากแนนดเกต

รูปที่ 2.40 ตารางความจรงิ และการสรา งวงจรนอรเ กตจากแนนดเ กต

สรุปการใชแ นนดเกตในการสรางเกตทดแทนตอ งเปลยี่ นแนนดท ่ตี อ งการตอ รวมใหเ ปน
นอตเกตโดยการตอ ขาอินพุตเขาดวยกนั แลวนาํ มาตอ รวมกับแนนดเกต ดงั นี้

ลักษณะการตอ เกตรวม เกตที่ได
เอาตพุต แอนดเ กต
อินพตุ ออรเกต
นอรเกต
อินพตุ และเอาตพ ุต

2.3.2 การใชเ กตทดแทนจากนอรเ กต
นอรเกตสามารถนําไปใชแทนเกตตางๆ ได เชน นอตเกต ออรเกต แอนดเกต แนนดเกต

โดยการใชนอรเ กตเพียงชนิดเดียว ซึ่งสามารถพจิ ารณาโดยการใชต ารางความจริงของลอจิกเกตทีต่ อ งการ
จะหา จากน้นั ทําการเปล่ยี นตารางความจริงทตี่ อ งการน้นั ใหอยูในรปู วงจรลอจกิ ท่สี รา งจากนอรเกต

2.3.2.1การสรางนอตเกตจากนอรเ กต
สมการบูลลีน คือ X = A ตารางความจริงของนอตเกตดังรูปที่ 2.41 ดังน้ัน

เมอ่ื ตอ งการเปล่ียนแนนดเ กตเปน นอตเกตซ่ึงมอี ินพุตเพียง 1 ขา สามารถทาํ ไดโดยการตอขาทงั้ สองของ
นอรเ กตเขา ดว ยกันดังรูปท่ี 2.41 (ข) ซงึ่ จะทําใหไ ดต ารางความจริงใหมด งั รูปที่ 2.41 (ค)

(ก) ตารางความจรงิ นอตเกต (ข) วงจรนอตเกตจากนอรเ กต (ค) ตารางความจรงิ ใหม

รูปท่ี 2.41 ตารางความจริงและการสรา งวงจรนอตเกตจากนอรเ กต

56 บทท่ี 2 ลอจิกเกตพืน้ ฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

จากตารางความจริงใหมในรูปที่ 2.41 (ค) จะพบวาการเปลี่ยนลอจิกดานอินพุต
จะเทียบเทา ตารางความจริงของนอตเกต ดังนัน้ จงึ สามารถนํามาใชแ ทนนอตเกตได

2.3.2.2การสรางออรเ กตจากนอรเ กต
สมการบูลลีนของออรเกต คือ X = A+B และตารางความจริงของออรเกตแสดงได

ดังรูปท่ี 2.42 ดังน้ันเมื่อตองการเปลี่ยนนอรเกตเปนออรเกต สามารถทําไดโดยการตอขาเอาตพุตของ
นอรเกตดว ยนอตเกตทส่ี รางจากนอรเ กตดังรปู ท่ี 2.42 (ข)

(ก) ตารางความจรงิ ของออรเ กต (ข) วงจรออรเกตจากแนนดเ กต

รูปท่ี 2.42 ตารางความจรงิ และการสรา งวงจรออรเกตจากนอรเกต

2.3.2.3การสรา งแอนดเ กตจากนอรเกต
สมการบูลลีนของออรเกต คือ X = A B และตารางความจริงของออรเกตดังรูปที่

2.43 ดังนัน้ เม่อื ตองการเปล่ยี นแนนดเ กตเปน ออรเ กต สามารถทําไดโดยการตอขาท้ังสองของนอรเ กตดวย
นอตเกตที่สรางจากนอรเกตเขา ทอี่ นิ พุตทงั้ สอง ดังรูปที่ 2.43 (ข)

(ก) ตารางความจรงิ แอนดเ กต (ข) วงจรแอนดเ กตจากนอรเ กต

รปู ที่ 2.43 ตารางความจรงิ และการสรา งวงจรแอนดเ กตทส่ี รา งจากนอรเกต

2.3.2.4การสรา งแนนดเ กตจากนอรเกต
สมการบูลลีนของแนนดเ กต คอื X = A B และตารางความจริงของแนนดเ กตแสดงได

ดงั รูปที่ 2.44 ดังน้ันเม่ือตองการเปลี่ยนนอรเกตเปนแนนดเกต สามารถทําไดโดยการตอขาเอาตพุตของ
แอนดเกตดว ยนอตเกตท่ีสรา งจากนอรเ กตดังรปู ที่ 2.44 (ข)

วงจรดิจติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพื้นฐาน 57

(ก) ตารางความจรงิ (ข) วงจรแนนดเกตจากนอรเกต

รปู ที่ 2.44 ตารางความจรงิ และการสรา งวงจรแนนดเกตทส่ี รา งจากนอรเกต

สรุปการใชนอรเกตในการสรางเกตทดแทนตองเปล่ียนนอรท่ีตองการตอรวมใหเปน
นอตเกตโดยการตอขาอินพุตเขาดว ยกนั แลวนาํ มาตอรวมกบั นอรเกต ดงั นี้

ลกั ษณะการตอ เกตรวม เกตทไี่ ด
เอาตพ ตุ ออรเ กต
อินพุต แอนดเ กต
แนนดเ กต
อินพตุ และเอาตพตุ

2.4 ลอจิก 3 สถานะ (Tri-State Logics)
ลอจิก 3 สถานะ จะมีเอาตพ ตุ ทสี่ ามารถเปน ไปได 3 รปู แบบ คือ ระดับลอจิก 1 ระดบั ลอจิก 0 และ

Z เรยี กวาสถานะคา เอาตพ ุตอมิ พีแดนซสงู (High-Impedance Output) ในการควบคุมการทาํ งานจะใช
ขาอินพตุ เพมิ่ ขึน้ อีกจํานวน 1 ขาเรียกวา ขาอีนาเบลิ (Enable Input) ซ่งึ มหี นาที่ในการควบคุมการทาํ งาน
ของเอาตพุตเกตวาจะใหมรี ะดับลอจกิ 1 หรอื 0 หรือมสี ถานะเปน Z

ลอจิก 3 สถานะ มีประโยชนในระบบการสื่อสารในระบบดิจิตอล เพราะมีความสามารถในการ
ควบคุมการสงสัญญาณในระบบบัสไมใหเกิดการสงสัญญาณพรอมกันได ทําใหปองกันการเกิดความ
ผิดพลาดในการสง ขอมลู ระหวา งอปุ กรณด ิจิตอลได เชน ในการสง สญั ญาณระหวางอุปกรณตวั สงที่มีระดบั
ลอจิกเทากับ 1 ที่เช่ือมตอกับอุปกรณตัวรับท่ีมีระดับลอจิก 0 ดังนั้นจะพบวาอุปกรณที่ทําหนาท่ีสง
สัญญาณจะกลายเปน 0 ทันที เพ่ือปองกันปญหาดังกลาวจึงจําเปนท่ีตองมีอุปกรณที่ทําหนาท่ีปองซ่ึง
โดยทวั่ ไปจะเรียกวา อุปกรณกันชน (Buffer Device) อยตู รงกลางระหวางบัส หรอื การใชอปุ กรณลอจกิ 3
สถานะ ซึ่งมสี ัญลักษณแ ละตารางความจริงดงั รปู ท่ี 2.45

58 บทท่ี 2 ลอจิกเกตพน้ื ฐาน วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

(ก) สญั ลักษณ (ข) ตารางความจรงิ

รปู ที่ 2.45 สญั ลักษณล อจิก 3 สถานะทที่ าํ หนา เปนบฟั เฟอรแ ละตารางความจรงิ

2.5 สรปุ
ลอจิกเกตพ้ืนฐานจะมี 7 ชนิด คือ นอตเกต ออรเกต นอรเกต แอนดเกต แนนดเกต เอ็กซคลูซีฟ-

ออรเกต และเอ็กซคูลซีฟ-นอรเ กต โดยเกตจะมอี นิ พตุ ตั้งแต 1 อินพตุ ขน้ึ ไป เอาตพตุ ของลอจกิ เกตแตละ
ชนดิ จะมีคุณสมบตั สิ รุปไดดังนี้

1. นอตเกตจะมีเอาตพ ตุ ตรงกนั ขามกับอินพตุ เสมอ
2. ออรเกตจะมเี อาตพุตเปน ระดบั ลอจิก 1 เม่ืออินพตุ ขาใดมรี ับระดบั ลอจกิ เปน 1 หรอื ทัง้ หมด
3. นอรเ กตจะมีเอาตพตุ ตรงกันขา มกบั ออรเกตเสมอ
4. แอนดเกตจะมเี อาตพ ุตเปนระดับลอจิก 1 เมือ่ อินพุตทกุ ขามีรบั ระดบั ลอจิกเปน 1 ท้งั หมด
5. แนนดเ กตจะมีเอาตพตุ ตรงกนั ขามกบั แอนดเกตเสมอ
6. เอก็ ซคลูซีฟ-ออรเ กต จะมีเอาตพุตเปน 1 เมอ่ื อินพตุ ทั้งสองมีระดบั ลอจกิ ทีแ่ ตกตา งกันเทานัน้
7. เอก็ ซค ลูซีฟ-นอรเ กต จะมีเอาตพตุ เปน 1 เม่ืออนิ พตุ ท้ังสองมรี ะดบั ลอจิกทเี่ หมือนกันเทา น้นั
แนนดเกตสามารถนํามาใชสราง นอตเกต ออรเกต นอรเกต แอนดเกตได และนอรเกตสามารถ
นํามาใชส รา ง นอตเกต ออรเกต แนนดเ กต แอนดเกตได สําหรับอุปกรณลอจิก 3 สถานะมีเอาตพุต คือ
ลอจิก 1 ลอจิก 0 และ Z และมีขาอนิ พุตท่ีทําหนาที่ควบคมุ เอาตพุตเรียกวา อีนาเบิลอนิ พุต ใชสําหรับ
แยกระบบบัสในการส่ือสารในวงจรดิจิตอล

วงจรดิจติ อลและลอจกิ บทท่ี 2 ลอจกิ เกตพน้ื ฐาน 59

แบบฝกหดั ทา ยบท

1. อุปกรณล อจกิ เกตพนื้ ฐานมีลอจกิ เกตชนิดใดบา ง
2. คุณลักษณะเฉพาะที่ใชใ นการอธบิ ายคณุ สมบตั ขิ องลอจิกเกตมีอะไรบา ง
3. อปุ กรณล อจกิ เกตทม่ี ี 1 อนิ พุต และ 1 เอาตพ ุต คืออะไร
4. คุณสมบัติของเกตเมือ่ อินพตุ ขาใดขาหนึ่งเปนระดับลอจกิ 1 หรอื ทั้งคู ทาํ ใหเอาตพุตมรี ะดับลอจิก 1 คอื
5. จงเขียนสมการบลู ลีน วงจรออรเกตแบบ 4 อินพตุ ทสี่ รา งจากออรเกต 2 อนิ พุต โดยกาํ หนดใหอนิ พุต
คอื A B C และ D เอาตพ ตุ คือ X
6. ถาอนิ พตุ ของแนนดเ กตชนิด 2 อนิ พุตเปน 1 ทัง้ คู เอาตพตุ จะเปน ลอจิกอะไร
7. จงเขียนสมการบลู ลนี วงจรแอนดเกตแบบ 4 อนิ พตุ ที่สรา งจากแนนดเ กต ชนิด 2 อนิ พตุ โดย
กําหนดใหอ ินพุต คอื A B C และ D เอาตพุตคอื X
8. อุปกรณทใ่ี หเอาตพ ตุ เปนระดบั ลอจกิ 1 เมอื่ อินพุตไดทั้งสองตางกนั คืออะไร
9. สญั ญาณอนิ พุต A และอนิ พุต B ดงั รปู ที่ 2.41 เมื่อปอ นผา น ออรเกตจะไดรปู คลื่นทางดา นเอาตพ ตุ
อยา งไร

รูปท่ี 2.41 รูปคล่นื อินพุต
10. เอาตพตุ ของลอจิก 3 สถานะ มอี ะไรบา ง

60 บทที่ 2 ลอจกิ เกตพืน้ ฐาน วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ

เอกสารอา งองิ
บัณฑติ บวั บชู า. 2545. ทฤษฎีและการออกแบบวงจรดจิ ติ อล. กรงุ เทพมหานคร : ฟสกิ สเซน็ เตอร.
มงคล ทองสงคราม. 2545. ดจิ ติ อลเบอ้ื งตน . กรงุ เทพมหานคร : รามาการพมิ พ.
รัฐวฒุ ิ ประทมุ ราช. 2545. การออกแบบวงจรดจิ ติ อล. กรงุ เทพมหานคร : ซเี อด็ ยเู คชนั่ จาํ กัด.
สมโชค ลกั ษณะโต. 2543. ปฏบิ ตั ิวงจรดิจติ อล 1. กรุงเทพมหานคร : เอมพนั ธ จาํ กดั .
กุลยา นม่ิ สกุล. 2540. ความรพู ้ืนฐานทาง คอมพวิ เตอร. กรงุ เทพมหานคร : ฟส ิกสเ ซน็ เตอร.
วศิ วกรรมสถานแหง ประเทศไทย. (2540). ศัพทเทคนคิ วศิ วกรรมอิเลก็ ทรอนิกส. กรงุ เทพมหานคร

: จฬุ าลงกรณม หาวทิ ยาลยั .
Bignell James & Donavan. (2000). Digital Electronics. (4th ed.). New York : Delmar .
Kleitz, W. (1999). Digital Electronics. New Jersey : Prentice-Hall.
Mano, Morris P. (1991). Digital Design. Los Angeles : Prentice-Hall.
Reis, R.A. (1991). Digital Electronics through Project analysis. New York : Macmillan.
Tocci, R. J. , & Wildmer, N. S. (2001). Digital Systems. (8th ed.). New Jersey : Prentice-

Hall.

แผนบรหิ ารการสอนประจําบทที่ 3
พีชคณติ บูลลีน 4 ชว่ั โมง

หัวขอ เนื้อหา

3.1 คุณลักษณะของพชี คณติ บลู ลีน
3.2 การเขยี นนพิ จนจ ากวงจรลอจกิ
3.3 การเขยี นลอจกิ ไดอะแกรม
3.4 ทฤษฎพี ชี คณิตบลู ลีน
3.5 การพสิ จู นทฤษฎขี องพชี คณติ บลู ลนี
3.6 การประยุกตทฤษฎพี ีชคณติ บลู ลนี ในการลดรปู สมการ
3.7 รูปแบบการเขยี นสมการบูลลนี
3.8 การออกแบบวงจรลอจกิ จากนพิ จนบ ูลลีน
3.9 การออกแบบวงจรลอจกิ โดยเกตอเนกประสงค
3.10 สรปุ
แบบฝก หัดทา ยบท

วตั ถปุ ระสงคเ ชิงพฤตกิ รรม

เม่อื เรยี นจบเรอื่ งนแี้ ลว ผูเรียนจะมคี วามสามารถดังนี้
1. เขียนสมการพชี คณติ บลู ลนี ของลอจกิ เกตได
2. เขยี นวงจรลอจกิ เกตจากสมการบลู ลนี ได
3. ลดรปู สมการลอจกิ โดยการใชทฤษฏีของบลู ลีนได
4. เขยี นสมการแบบผลคณู ของผลบวกและลดรปู สมการสาํ หรบั เขียนวงจรลอจกิ เกตได
5. เขยี นสมการแบบผลบวกของผลคณู และลดรปู สมการสาํ หรบั เขียนวงจรลอจกิ เกตได

วธิ ีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน

1. ผสู อนนาํ เขา สบู ทเรียน
2. แบง นกั ศึกษาออกเปน 5 กลุม แลวใหผเู รียนศกึ ษาเน้อื หาจากเอกสารประกอบการสอน
3. ใหผเู รียนแตล ะกลมุ เขียนแผนภาพแนวความคดิ แสดงภาพรวมของเนื้อหาของพชี คณิตบูลลนี
4. ใหผูเรยี นทาํ ใบงานเรอ่ื ง พชี คณติ บูลลนี
5. ใหผูเรียนแตล ะกลมุ อภปิ รายเนอื้ หา
6. ใหผ ูเรียนทาํ แบบฝก หดั ทา ยบท เร่ืองพีชคณติ บลู ลนี
7. ผสู อนสรปุ เรื่องระบบตวั เลข

62 บทที่ 3 พชี คณติ บลู ลนี วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

สือ่ การเรยี นการสอน

1. เอกสารประกอบการสอนเรอื่ ง ดจิ ติ อลและลอจิก
2. บอรดทดลองดจิ ิตอลและลอจิก
3. ใบงานเรอ่ื ง พชี คณติ บลู ลนี
4. แบบฝกหัดทา ยบท

การวดั ผล

1. สงั เกตการณเขา รวมกิจกรรมกลมุ
2. จากการปฏบิ ตั ิตามใบงาน
3. จากการทําแบบฝก หัดทา ยบท

การประเมนิ ผล

1. ศกึ ษาเอกสารประกอบการสอนและทาํ กจิ กรรมไดแ ลว เสรจ็ ภายในกาํ หนด
2. ปฏิบัตติ ามใบงานไดถ กู ตอ ง
3. ทาํ แบบฝก หดั ทา ยบทไดถ กู ตอ งไมน อ ยกวา รอยละ 80 เปอรเ ซ็นต

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทท่ี 3 พชี คณติ บูลลีน 63

บทที่ 3
พชี คณิตบลู ลนี (Boolean Algebra)

พีชคณิตบูลลีน (Boolean Algebra) เปนทฤษฎีทางคณิตศาสตรที่ใชในการวิเคราะหและ
ออกแบบวงจรลอจิก กาํ เนิดขึน้ จากนกั คณิตศาสตรชาวอังกฤษชอ่ื จอรจ บลู (George Boole) ในป ค.ศ.
1815 – 1864 แสดงดังรูปท่ี 3.1 เขาไดเขียนตําราคณิตศาสตรเกี่ยวกับทฤษฎีของตรรกะ และความ
เปน ไปได เมื่อป ค.ศ.1854 ทฤษฎดี ังกลาวก็คอื พีชคณติ ตรรกะ (Logic Algebra) ตอ มาพชี คณิตสาขาน้ี
จึงไดช่ือตามผูคิดคน คือ พีชคณิตบูลลีน หรือบางทีเรียกวา พีชคณิตสวิตช่ิง (Switching Algebra)
ในปจจุบันพีชคณิตแบบบูลไดถูกนําไปประยุกตอยางแพรหลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส
ผทู ี่นําไปใชคนแรกคือ คลาวด อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตรแหงหองทดลองเบลล (Bell Laboratory)
โดยนาํ มาใชใ นการวเิ คราะหแ ละแกป ญหาระบบเครือขา ยทท่ี าํ งานตอ กันหลายๆ ภาค เชน ระบบโทรศพั ท
เปนตน เม่ือมีการพัฒนาระบบคอมพิวเตอรข้ึนก็ไดมีการนําเอาพีชคณิตบูลลีนมาใชในการคํานวณ
ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทํางานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร ดงั นั้นพีชคณติ บูลลีน
จงึ เปนพ้ืนฐานท่ีสําคญั ในการออกแบบวงจรตรรกะของระบบดิจิตอล ทาํ ใหประหยดั ตนทุนในการสราง
และลดความผดิ พลาดในการประกอบวงจรได นอกจากนพี้ ชี คณิตบลู ลนี ยงั เปน พ้นื ฐานในการคิดคนวธิ ีการ
ลดรปู ของสมการลอจิกใหส ั้นลงอกี หลายวิธี ทําใหส ามารถทํางานไดถูกตอง แมน ยาํ และงายยง่ิ ขนึ้

รูปท่ี 3.1 จอรจ บลู
(ทม่ี า : https://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole)
3.1 คุณลกั ษณะของพชี คณติ บูลลีน (Attribute of Boolean Algebra)
พชี คณิตทว่ั ไปจะแทนคาดว ยเลข 0 – 9 เปน เลขในระบบฐานสิบและมีการดาํ เนินการ เชน บวก ลบ
คูณ หาร เปนตน สําหรับพีชคณิตบูลลีนประกอบดวยการดําเนินการ 3 แบบ คือ (1) การทําใหเปน
คาตรงกันขามหรือคอมพลีเมนต (Complementation) (2) การบวกบูลลีน (Addition) (3) การคูณ
บูลลีน (Multiplication) และกฎซ่ึงกระทํากับคาหรือชุดของคาตัวเลข โดยแตละคานั้นกําหนดไดเปน

64 บทที่ 3 พชี คณติ บลู ลนี วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

2 แบบ ซ่ึงสามารถเขียนแทนดวยตัวเลข 0 (คาเท็จ - false) และ 1 (คาจริง - true) ซ่ึงเปนระบบ
เลขฐานสอง

3.1.1 การดําเนินการคอมพลีเมนต เปน การกลบั คา ตวั เลขใหเ ปน คาตรงกันขา ม ซงึ่ สามารถเขยี นเปน
นพิ จนในสมการบูลลีนไดดงั นี้

X=A

และสามารถเขียนอธิบายการเปลี่ยนแปลงคาทางของตัวแปรเอาตพุต X ใหอยูในรปู ตาราง
ความจรงิ ไดดงั น้ี

AX
01
10
จากตารางความจริงตัวแปรอนิ พุต A มีสภาวะเปน 0 เอาตพุตจะเปน 1 หรอื ตวั แปรอินพุต A
มสี ภาวะเปน 1 เอาตพ ตุ จะเปน 0 เปน ตน
3.1.2 การดําเนนิ การบวกบลู ลนี หรอื ออร แทนดว ยสัญลกั ษณ + เปนการนําคาตวั แปรอินพตุ ต้งั แต
2 ตัวหรือมากกวา นัน้ มาดาํ เนินตามกฎการออร เชน ถา มตี วั แปรอินพตุ จาํ นวน 2 ตวั คือ A และ B สามารถ
นาํ มาเขียนเปน นพิ จนในสมการบลู ลีนไดดงั น้ี
X = A+B
และสามารถเขียนอธิบายการเปล่ียนแปลงคา ทางของตวั แปรเอาตพุต X ใหอ ยใู นรปู ตาราง
ความจริงในรปู แบบกฎการออร ไดดงั นี้
A B X=A+B
00 0
01 1
10 1
11 1
จากตารางความจริงตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 0 และ B มีสภาวะเปน 0 ดังนั้นจะได
0+0=0 เอาตพุตจึงมีคาเปน 0 ถาตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 0 และ B มีสภาวะเปน 1 ดังนั้นจะได
0+1=1 เอาตพุตจึงมีคาเปน 1 ถาตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 1 และ B มีสภาวะเปน 0 ดังน้ันจะได

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทท่ี 3 พีชคณติ บลู ลนี 65

1+0=1 เอาตพุตจึงมีคาเปน 1 ถาตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 1 และ B มีสภาวะเปน 1 ดังน้ันจะได
1+1=1 เอาตพุตจึงมีคาเปน 1 เปนตน

3.1.3 การดาํ เนินการคูณบลู ลีน หรือ แอนด แทนดว ยสัญลักษณ  เปนการนําคา ตวั แปรอินพตุ ตง้ั แต
2 ตัวหรือมากกวานั้นมาดําเนินตามกฎการแอนด เชน ถามีตัวแปรอินพุตจํานวน 2 ตัวคือ A และ B
สามารถนํามาเขยี นเปนนพิ จนใ นสมการบลู ลีนไดด งั น้ี

X = AB

และสามารถเขียนอธิบายการเปลยี่ นแปลงคา ทางของตัวแปรเอาตพุต X ใหอ ยใู นรูปตาราง
ความจริงในรูปแบบกฎการแอนด ไดดงั นี้

A B X = AB
00 0
01 0
10 0
11 1

จากตารางความจริงตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 0 และ B มีสภาวะเปน 0 ดังน้ันจะได
00=0 เอาตพุตจึงมีคาเปน 0 ถาตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 0 และ B มีสภาวะเปน 1 ดังนั้นจะได
01=0 เอาตพุตจึงมีคาเปน 0 ถาตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 1 และ B มีสภาวะเปน 0 ดังน้ันจะได
10=0 เอาตพุตจึงมีคาเปน 0 ถาตัวแปรอินพุต A มีสภาวะเปน 1 และ B มีสภาวะเปน 1 ดังนั้นจะได
11=1 เอาตพ ตุ จึงมีคา เปน 1 เปนตน

ในนิพจนบ ลู ลนี ทมี่ ีตัวดาํ เนินการบลู ลนี ปนกัน จะตองดําเนนิ นิพจนท ีอ่ ยภู ายในวงเล็บกอ นเสมอ
และถาไมไดมีเครื่องหมายวงเลบ็ ที่กําหนดใหกระทําตัวดําเนินการใดกอน ใหดําเนินการเรียงตามลําดับ
ดังน้ี ตอ งทาํ การคอมพลเี มนตกอ น จากน้ันใหดาํ เนินการแอนด และดําเนินการออร เปนลําดบั สดุ ทาย

ตัวอยางท่ี 3.1 กําหนดให X=AB+(A+B) กาํ หนดให A=0 และ B=1 จงหาคาของ X
วิธที ํา ข้นั ท่ี 1 นพิ จนม ีการกาํ หนดการดาํ เนินการวงเลบ็ คอื (A+B) ผลทไี่ ดคอื 1

ขน้ั ท่ี 2 สว นที่อยูน อกจากวงเลบ็ ไมมกี ารคอมพลีเมนตต อ งดาํ เนนิ การในสว น AB ผลท่ไี ดค ือ 0
ขั้นที่ 3 นาํ ผลท่ไี ดร บั จากขอที่ 1 และขอท่ี 2 มาดาํ เนนิ การออรจะได X=0+1 ผลที่ไดค ือ 1
ดงั นน้ั จะไดว า X=1

66 บทที่ 3 พชี คณิตบูลลีน วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ

การเขยี นสมการบูลลีนและวงจรลอจิกจะประกอบดวยตวั แปรอินพุต ตัวดาํ เนินการ และสญั ลกั ษณ
ของลอจกิ เกต ดังนี้

1. นอตเกต (NOT Gate) แทนการดําเนินการคอมพลีเมนต เชน X= A เม่ือนํามาเขียนเปน
วงจรลอจกิ จะไดด ังรปู ท่ี 3.2 (ก)

2. แอนดเกต (AND Gate) แทนการดําเนินการแอนด เชน X = AB เมื่อนํามาเขยี นเปนวงจรลอจิก
จะไดดงั รูปท่ี 3.2 (ข)

3. ออรเกต (OR gate) แทนการดําเนินการออร เชน X=A+B เมื่อนํามาเขียนเปนวงจรลอจิกจะได
ดังรปู ท่ี 3.2 (ค)

A X=A X = AB X = A +B
(ก) (ข) (ค)

รปู ที่ 3.2 สญั ลกั ษณล อจกิ เกตที่ใชแ ทนการดาํ เนินการในนิพจนบลู ลนี

จากตวั อยา งท่ี 3.1 เม่ือตองการนํามาเขยี นเปนวงจรลอจิกเกตจะไดดังรปู ท่ี 3.3

AB A B
X = A B + (A +B)

A +B

รูปที่ 3.3 วงจรลอจิกเกตตามตวั อยา งที่ 3.1
ประโยชนข องการนาํ พชี คณติ บลู ลนี มาใชใ นการออกแบบวงจรลอจกิ มีดงั นี้
1. สมการบลู ลีนชวยทาํ ใหว งจรลอจกิ อยใู นรปู ท่ีเขา ใจงา ย
2. สมการบูลลนี สามารถนาํ มาอธบิ ายการทาํ งานของวงจรลอจิกได
3. นพิ จนบ ลู ลนี สามารถนาํ ไปออกแบบวงจรลอจกิ ไดโดยตรง
4. นิพจนบ ลู ลนี สามารถนาํ ไปใชใ นการแกไ ขขอบกพรอ งในวงจรลอจกิ ได

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทที่ 3 พชี คณติ บูลลนี 67

3.2 การเขยี นนิพจนจากวงจรลอจกิ (Expression of Logic Circuit)
พีชคณติ บูลลนี สามารถนาํ มาใชอ ธบิ ายการทํางานของวงจรลอจิกเกต โดยเขียนอยูในรปู สมการบลู ลีน

การเขียนสมการบูลลีนจากวงจรลอจิกเกต โดยการพิจารณาลอจิกเกตแตละชนิดแลวนํามาเขียนเปน
นิพจนบูลลีน ซ่ึงในการเขียนนิพจนบูลลีนจะไมมีสัญลักษณที่ใชแทนการดําเนินการแนนด (NAND
Operator) หรือการดําเนินการนอร (NOR Operator) แตจะเปนการเขียนโดยใชตัวดําเนินการพ้ืนฐาน
มาตอ รวมกนั ดังนี้

การเขียนนิพจนข องการดําเนินการแนนด จะเปน การนําตัวดาํ เนินการแอนดม ารวมกบั การดําเนินการ
คอมพลีเมนต ดังน้ันถามีตัวแปรอินพุต A และ B จะสามารถเขียนไดเปน X= A B ดังแสดงในรูปที่
3.4 (ก)

การเขยี นนิพจนของการดาํ เนินการนอร จะเปน การนําตัวดาํ เนินการออรมารวมกบั การดําเนินการ
คอมพลีเมนต ดังนั้นถามีตัวแปรอินพุต A และ B จะสามารถเขียนไดเปน X= A + B ดังแสดงในรูปท่ี
3.4 (ข)

X= AB X = A +B

(ก) วงจรลอจิกแนนดเ กต (ข) วงจรลอจกิ นอรเ กต

รปู ท่ี 3.4 การเขยี นนิพจนข องวงจรลอจิกแนนดเกตและนอรเ กต

การเขยี นนิพจนบูลลีนจากวงจรลอจิก จะพิจารณาจากตัวแปรทางดานอินพุตไปยงั เอาตพุต แลวทํา
การเปลย่ี นลอจิกเกตใหอยใู นรูปแบบตัวดําเนินการในนพิ จนบ ลู ลนี ที่ประกอบดวยการทาํ ใหเ ปนคาตรงกนั
ขา มหรอื คอมพลีเมนต การบวก การคณู สามารถสรปุ เปนข้ันตอนไดด งั นี้

1. กาํ หนดช่อื ตวั แปรอนิ พตุ เอาตพ ตุ โดยใชต วั อักษรภาษาองั กฤษตัวพิมพใหญ
2. เขียนนิพจนที่ใชแทนลอจกิ เกต
3. กาํ หนดแหลงท่ีมาของอินพุตในการดําเนินการของนิพจนโดยใชเครื่องวงเลบ็ เพือ่ แสดงวามาจาก
อนิ พุตเดียวกนั
4. เขียนสมการบูลลีนจากนิพจนบ ลู ลีนท่ีเปน ตัวแทนของลอจกิ เกต

68 บทท่ี 3 พชี คณติ บลู ลนี วงจรดิจิตอลและลอจกิ

ตัวอยา งที่ 3.2 จงเขียนสมการบลู ลนี จากวงจรลอจิกเกตในรูปที่ 3.5 (ก)

(ก) (ข)

รูปที่ 3.5 วงจรลอจิกเกตสาํ หรับตวั อยา งที่ 3.2
วิธที าํ ขน้ั ท่ี 1 กําหนดช่ือตวั แปรอินพตุ คอื A B และ C เอาตพ ตุ คอื X จะไดด งั รูปที่ 3.5 (ข)

ข้นั ที่ 2 เขียนนิพจนท ่ใี ชเปน ตัวแทนลอจกิ เกตโดยเริ่มจากลอจิกเกตดา นอนิ พุต
เอาตพตุ ของแอนดเ กต จะได AB
เอาตพ ตุ ของนอตเกต จะได C
และเอาตพ ตุ ของออรเกต จะได A B + C ดังแสดงในรปู ที่ 3.6

AB
X = (A B) + C

C

รปู ที่ 3.6 การเขยี นนพิ จนบ ลู ลีนในวงจรลอจกิ

ข้ันท่ี 3 กาํ หนดแหลง ท่ีมาของอนิ พตุ จากวงจรจะพบวา อินพุตของออรเกตมกี ารเชอ่ื มตอ กบั
เอาตพ ตุ ของแอนดเ กตแบบ 2 อนิ พตุ จงึ ตอ งมกี ารกาํ หนดวงเลบ็ เพื่อใหท ราบแหลงทมี าจะได (AB)

ขนั้ ที่ 4 นํานพิ จนทไ่ี ดมาเขยี นสมการบลู ลีน จะไดเ ปน X = (A B)+ C

3.3 การเขยี นลอจกิ ไดอะแกรม (Logic Diagram)
การเขียนลอจิกไดอะแกรมจากนิพจนบูลลีน จะพิจารณาจากนิพจนทางดานเอาตพุตไปยังอินพุต

โดยการแบงกลมุ ตัวแปรของนพิ จนบูลลนี ตามตัวดาํ เนินการ ซง่ึ ประกอบดวยการทาํ ใหเ ปน คาตรงกันขา ม
หรือการคอมพลีเมนต การคูณ การบวก แลวแทนการดําเนินการนั้นดวย นอตเกต แอนดเกต ออรเกต
ตามลําดับ

วงจรดิจติ อลและลอจกิ บทที่ 3 พีชคณติ บูลลนี 69

การแบงกลุมที่มีเคร่ืองหมายวงเล็บกํากับแหลงที่มาของตัวแปรจะตองจัดตัวแปรภายในวงเล็บ
ใหม แี หลงท่มี าจากลอจิกเกตเดียวกนั และถา ภายในวงเล็บมีนิพจนอยจู ะตอ งทาํ การแบง กลุมนิพจนทอี่ ยู
ในเครื่องหมายวงเลบ็ กอ นเสมอ

ตัวอยางท่ี 3.3 จงเขียนลอจกิ ไดอะแกรมจากสมการบลู ลีนตอ ไปนี้
(ก) X = AB+C
(ข) X = A(B+C)

วธิ ีทาํ (ก) สมการบูลลนี ที่กําหนดใหน้ันไมมีเคร่ืองหมายวงเล็บกําหนดแหลงที่มา ดังนั้นสามารถ
ดาํ เนนิ การตามลาํ ดับความสาํ คญั ของตวั ดําเนินการซึ่งมกี ารแอนดแ ละการออร จงึ แบง ออกไดเ ปน 2 กลมุ
โดยท่ีกลุม 1 จะได AB และกลุมท่ี 2 คือ C โดยทั้งสองกลมุ มีตัวดําเนินการออรเ ปน ตัวดําเนนิ การเช่ือม
เมอื่ นํามาเขยี นเปน วงจรลอจิกจะได ดงั รูปท่ี 3.7

A B
X = AB+C

รูปท่ี 3.7 วงจรลอจกิ สาํ หรับตวั อยา งขอ ที่ 3.3 (ก)
(ข) สมการบูลลีนที่กําหนดใหน้ันมีเครื่องหมายวงเลบ็ กําหนดแหลงท่ีมา ดงั น้ันใหดําเนินการ
แบงกลมุ นพิ จนท่ีอยภู ายในเครือ่ งหมายวงเลบ็ กอ นนั้นคอื B+C และแลว จงึ นาํ ตัวแปร A มาทาํ การแอนด
เม่อื นํามาเขียนเปน วงจรลอจกิ จะได ดงั รูปที่ 3.8

X = A (B + C)
รปู ที่ 3.8 วงจรลอจกิ สาํ หรบั ตวั อยา งขอ ที่ 3.3 (ข)

70 บทท่ี 3 พชี คณิตบลู ลนี วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ

3.4 ทฤษฎพี ีชคณติ บลู ลนี (Boolean Theorems)
ทฤษฎีพีชคณิตบลู ลนี ใชลดรปู นพิ จนส มการบลู ลนี ทซี่ บั ซอ นใหอ ยใู นรปู แบบที่เขา ใจไดงา ยและยงั ชวย

ลดจํานวนลอจิกเกตท่ีใชแทนสมการบูลลีนในการออกแบบลอจิกไดอะแกรมอีกดว ย ซึ่งมจี ํานวน 8 กฎ
สามารถสรปุ ไดดงั น้ี

คณุ สมบตั ิของการนาํ คา 0 และ 1 มาดาํ เนนิ การแอนดแ ละออร มีดงั น้ี
(ก) A+0 = A
(ข) 1A = A
(ค) 1+A = 1
(ง) 0A = 0
ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการสลับที่ (Commutative Laws) การสลับตําแหนง ของตัวแปรอินพุต จะไมทํา
ใหเอาตพุตเปลี่ยนแปลง ดังนั้นการใชกฎการสลับที่สําหรับตัวดําเนินการแอนดและออร จะใหผล
เหมอื นกัน
(ก) A+B = B+A
(ข) AB = BA
ผลท่ีเกิดข้ึนกับวงจรแอนดเกตชนดิ 2 อินพตุ เม่ือใชกฎการสลบั ที่ ดังน้ันเมือ่ ปอนระดับลอจิกอินพุต
A = 1 และ B = 0 สามารถแสดงไดดังรูปที่ 3.9

AB= 0 AB= 0

รปู ท่ี 3.9 วงจรลอจกิ กฎการสลบั ทสี่ าํ หรับการแอนด
และผลทเี่ กดิ ข้ึนกบั วงจรออรเ กตชนดิ 2 อินพตุ เมื่อใชก ฎการสลบั ที่ ดังนนั้ เมอื่ ปอ นระดบั ลอจกิ อนิ พตุ
A = 1 และ B = 0 สามารถแสดงไดดังรปู ท่ี 3.10

A+B=1 A+B=1

รูปที่ 3.10 วงจรลอจิกกฎการสลบั ท่สี าํ หรบั การออร

วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ บทท่ี 3 พีชคณติ บูลลนี 71

ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการเปลี่ยนกลุม (Associative Laws) การเปลี่ยนกลุมอินพุตตัวแปร จะไมทําให
เอาตพ ตุ เปลย่ี นแปลง ดงั นน้ั กฎการเปลี่ยนกลุมสําหรับตัวดําเนินการแอนดและออร จะใหผลเหมือนกนั

(ก) (A+B)+C = A+(B+C)
(ข) (AB)C = A(BC)
ผลที่เกิดข้ึนกับวงจรแอนดเกตชนิด 2 อินพุต เม่อื ใชกฎการเปล่ียนกลุม ดังน้ันเมื่อปอนระดับลอจิก
อินพตุ A = 1, B = 0 และ C = 0 สามารถแสดงไดดังรปู ท่ี 3.11

A BC = 0 A BC = 0

รูปท่ี 3.11 วงจรลอจิกกฎการเปล่ยี นกลมุ สาํ หรบั การแอนด
และผลทีเ่ กิดขน้ึ กบั วงจรออรเ กตชนดิ 2 อนิ พตุ เมือ่ ใชก ฎการเปลี่ยนกลมุ ดงั นน้ั เมือ่ ปอ นระดบั ลอจิก
อนิ พตุ A = 1, B=0 และ C = 0 สามารถแสดงไดด ังรปู ที่ 3.12

A+B+C=1 A+B+C=1

รูปท่ี 3.12 วงจรลอจิกกฎการเปลย่ี นกลมุ สาํ หรบั การออร

ทฤษฎีบทที่ 3 กฎการแจกแจง (Distributive Laws) กฎการแจกแจงใชสําหรับการกระจายกลุม
หรือจัดกลมุ ใหม โดยทีไ่ มท าํ ใหผลทางเอาตพุตเปลย่ี นแปลง

(ก) A(B+C) = (AB)+(AC)
(ข) A+(BC) = (A+B)(A+C)

ผลทเ่ี กิดข้ึนกับวงจรลอจิก เมอื่ ปอนระดบั ลอจกิ อนิ พตุ A = 1, B = 0 และ C = 0 สามารถแสดงได
ดงั รปู ท่ี 3.13

72 บทท่ี 3 พชี คณติ บลู ลนี วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ

C=0 (B+C) B=0 AB
(A B) + (A C) = 0
AB==01 A B + C = 0 A=1
AC
C=0
A+B
หรือ (A +B)(A + C) =1

BC A+C

A + (BC) =1

รปู ท่ี 3.13 วงจรลอจิกกฎการแจกแจง

ทฤษฎีบทท่ี 4 กฎไอเดมโปเทน (Idempotent Laws) เปนกฎทแ่ี สดงการแอนดหรือออรก ับตัวเอง
โดยทีเ่ อาตพ ุตจะเหมอื นอินพตุ ซงึ่ เปนการทํางานในลกั ษณะการลดรปู

(ก) A+A = A
(ข) AA = A
การแอนดหรอื การออรกับตัวเองจะทําใหลดนพิ จนใหเ หลือเพยี งเทอมเดียวเทาน้นั เชน

(AB)(AB) = AB

เม่อื นํามาเขยี นเปน วงจรลอจกิ จะได

(A B)(AB) = 0 AB= 0

รูปท่ี 3.14 วงจรลอจิกกฎไอเดมโปเทนสาํ หรบั การแอนด
หรอื เมือ่ นาํ กฎไอเดมโปเทนมาใชรวมกับการดาํ เนินการออร เชน

(A+B)+(A+B) = A+B
เมือ่ นาํ มาเขียนเปน วงจรลอจกิ จะได

วงจรดิจิตอลและลอจกิ บทท่ี 3 พชี คณติ บลู ลนี 73

(A +B) + (A +B) =1 A+B=1

รปู ที่ 3.15 วงจรลอจิกกฎไอเดมโปเทนสาํ หรับการออร

ทฤษฎีบทท่ี 5 กฎการลบลางหรือกลับคา 2 คร้ัง (Double Navigation Laws) เปนกฎท่ีแสดงถึง
การกลบั คาเม่ือมีเคร่ืองหมาย บารบ นตวั แปรอินพุตเปน จํานวนคู จะมีคาเปนปกติและเม่อื มีเปนจํานวนค่ี
จะเปน การกลบั คา สภาวะของตวั แปรอินพุตน้ัน

(ก) (A) = A
(ข) (A) = A
เมอ่ื นาํ กฎการกลับคา 2 คร้งั มาใชจ ะเปนการตอ สัญญาณอนิ พตุ และเอาตพุตเขาดว ยกัน เชน

A B = AB

เมื่อนาํ มาเขียนเปน วงจรลอจิกจะได

A B = 0 AB= 0 AB= 0

 A B  = 1

รูปท่ี 3.16 วงจรลอจกิ กฎการลบลางหรือกลับคา 2 คร้ัง

ทฤษฎบี ทที่ 6 กฎการลดทอน (Redundancy Laws) เปนกฎท่ีแสดงถึงการลดทอนสมการในรูปของ
การดําเนินการแอนดกับตัวแปรอินพุตและมีการออรกับตัวแปรอินพุตตัวใดตัวหนึ่งจะทําใหนิพจนของ
สมการลดลง

(ก) A+AB = A
(ข) A(A+B) = A
(ค) A + AB = (A + A)(A +B) = A +B เพราะ A + A =1
(ง) A (A +B) = (A A) + (A B) = A B เพราะ A A = 0

74 บทท่ี 3 พชี คณติ บูลลีน วงจรดิจิตอลและลอจกิ

เมื่อนํามาเขียนเปนวงจรลอจกิ จะได

A + AB=1
รูปที่ 3.17 วงจรลอจิกกฎการลดทอน
ทฤษฎบี ทท่ี 7 ตรงกันขา ม (Complement Laws) เปน กฎทีแ่ สดงวา เม่ือมกี ารนําตวั แปรอนิ พตุ ทมี่ ีคา
ตรงกันขามมาดาํ เนินการแอนดห รือออร จะทําใหมคี า เอาตพุตเทา กับ 0 หรอื 1 ตามลาํ ดับ
(ก) A + A = 1

(ข) A A = 0
เม่อื นาํ มาเขยี นเปน วงจรลอจกิ จะได

รูปท่ี 3.18 วงจรลอจกิ ทฤษฎีบทที่ 7 ตรงกนั ขา ม

ทฤษฎีบทท่ี 8 ทฤษฎีของเดอรม อรแ กน (De morgan’s Laws) เปน กฎที่แสดงถึงผลการดําเนินการ
ของนพิ จนทั้งหมดแลวมาทําการคอมพลเี มนต จะมีคาเทากับ การทาํ คอมพลีเมนตใ นแตละตวั แปร เชน A
ออร B ทง้ั หมดบาร จะมีคา เทากับ A บาร แอนดก ับ B บาร เปนตน

ก) A +B = AB
ข) AB = A +B

วงจรดจิ ติ อลและลอจกิ บทที่ 3 พีชคณติ บูลลีน 75

เมือ่ นาํ มาเขยี นเปน วงจรลอจกิ จะได AB= 0

A+B=0

A+B=0

AB= 0

รปู ที่ 3.19 วงจรลอจกิ ทฤษฎขี องเดอรม อรแ กน
3.5 การพสิ ูจนทฤษฎขี องพีชคณิตบูลลีน (Proof the Theorem of Boolean Algebra)

การพสิ จู นท ฤษฎีของพีชคณิตบูลลีนสามารถทาํ ไดหลายวธิ ี แตวิธที ี่งา ยและเห็นไดช ัดเจนที่สดุ ไดแ ก
การพิสูจนโ ดยใชตารางความจรงิ (Truth Table) ดังตัวอยางตอ ไปน้ี

ตวั อยา งที่ 3.4 จงพิสจู นวา A+AB = A จรงิ หรอื ไม
วิธีทํา ตารางความจรงิ สําหรบั พิสูจนส มการบูลลนี A+AB = A

AB AB A+AB
00 00
01 00
10 01
11 11
ตอบ สมการ A+AB = A เปนจริง

การเขียนตารางความจริงเพ่ือใชพิสูจนสมการบูลลีน จะตองทําพิจารณาจํานวนตัวแปรอินพุต
วามจี ํานวนเทาใดและใหเ ขียนเขื่อนไขทจ่ี ะเกิดขนึ้ ใหค รบ โดยท่ีจํานวนเข่ือนไขทั้งหมดทสี่ ามารถเกดิ ข้ึนได
จะข้ึนอยูกับจํานวนแปรอินพุตท่ีเปนตัวชี้กําลังของฐานสอง เชน ถามีตัวแปรอินพุตจํานวน 2 อินพุต
จะสามารถมีเงื่อนไขเกิดข้ึนไดเทากับ 22 = 4 เหตุการณ หรือถามีตัวแปรอินพุตจํานวน 3 อินพุต

76 บทท่ี 3 พชี คณติ บลู ลนี วงจรดิจิตอลและลอจกิ

จะสามารถมเี งื่อนไขเกิดขึน้ ไดเทา กบั 23 = 8 เหตกุ ารณ ดงั แสดงในตาราง จากน้ันใหนําคาตัวแปรอินพุต
ในแตละตวั มาแทนคา ดว ยคา 0 และ 1 แลวดําเนนิ การหาคา ในแตละนพิ จนเพือ่ นํามาเปรยี บเทยี บระหวา ง
สมการทางดานซา ยมือ และสมการดา นขวามอื วา เปน จรงิ หรือเทจ็ ซึง่ จากตัวอยางที่ 3.4 จะพบวา สมการ
ดา นซา ยมอื เทากับดา นขวามอื ดังน้ันคําตอบจึงเปน จริง

ตวั อยา งท่ี 3.5 จงพิสจู นว า A B = A + B จรงิ หรือไม
ตารางความจริงสาํ หรบั พสิ ูจนส มการบูลลีน A B = A + B

A B A B AB A B A + B
0011 0 1 1
0110 0 1 1
1001 0 1 1
1100 1 0 0

ตอบ สมการ A B = A + B เปนจรงิ

ตวั อยา งที่ 3.6 จงพิสจู นว า A + AB = A + B จรงิ หรอื ไม

ตารางความจรงิ สาํ หรับพสิ จู นส มการบูลลีน A + AB = A +B

A B A AB A + AB A + B
001 0 1 1
011 0 1 1
100 0 0 0
110 1 1 1

ตอบ สมการ A + AB = A + B เปน จรงิ

วงจรดิจิตอลและลอจกิ บทที่ 3 พชี คณติ บลู ลีน 77

ตัวอยา งที่ 3.7 จงพสิ จู นว า A(B+C) = (AB)+(AC) จรงิ หรอื ไม

ตารางความจริงสาํ หรับพสิ ูจนส มการบูลลนี A(B+C) = (AB)+(AC)

AB C B+C A(B+C) AB AC (AB)+(AC)
00 00 0 0 0 0
00 11 0 0 0 0
01 01 0 0 0 0
01 11 0 0 0 0
10 00 0 0 0 0
10 11 1 0 1 1
11 01 1 1 0 1
11 11 1 1 1 1

ตอบ สมการ A(B+C) = (AB)+(AC) เปน จริง
3.6 การประยุกตทฤษฎพี ชี คณติ บลู ลนี ในการลดรูปสมการ (Simplified of Boolean Algebra)

จากทฤษฎีพ้ืนฐานของพีชคณิตท้ัง 8 กฎ สามารถนําไปชวยในการลดรูปของสมการลอจิก ทําให
วงจรลอจกิ ทไ่ี ดม ขี นาดเล็กลง ลดตนทุนในการผลิต และจะทําใหว งจรลอจกิ ทาํ งานไดรวดเร็วขนึ้ เนอ่ื งจาก
สัญญาณอินพุตผานลอจิกเกตจํานวนนอยกวา ตัวอยางการใช Boolean Algebra เพ่ือออกแบบ
วงจรลอจิกท่ีมีการทาํ งานดานเอาตพุตเหมือนกันแตใชจ าํ นวนเกตนอยกวา สามารถพิจารณาตารางคา
ความจรงิ สาํ หรบั สมการลอจิก A + AB และสมการลอจิก A + B ซงึ่ ไดจ ากการลดรปู สมการลอกจิกโดยใช
Boolean Algebra จากกฎการลดทอน (Redundancy Laws)

(A B)

X= A +AB

A
B X= A +B
AA
รูปท่ี 3.20 วงจรลอจกิ เกตสาํ หรบั การลดทอนสมการ

78 บทที่ 3 พีชคณติ บูลลนี วงจรดิจติ อลและลอจกิ

A B A AB A + AB A B A A+B
0 01 0 1 001 1
0 11 0 1 011 1
1 00 0 0 100 0
1 10 1 1 110 1

จากรูปที่ 3.19 วงจรลอจิกจะมีจาํ นวนเกตลดลงจํานวน 1 ตวั คือแอนดเกตแตร ะดับลอจิกเอาตพุต
เหมอื นเดมิ ซ่งึ จะทําใหต นทุนในการผลิตลดลงและมคี วามงา ยในการสรางอีกดว ย

ตัวอยา งที่ 3.8 จงลดรูปสมการบูลลนี ตอไปนีใ้ หส ้ันทีส่ ดุ และเขยี นลอจิกไดอะแกรม
(ก) X = AB + AB + AB
(ข) X = AB + AB + AB
(ค) X = (A + AB)(AB)
(ง) F(A,B,C,D) = ABCD+BC+ AD+ ACD+ A

วิธที ํา (ก) X = AB + AB + AB
1. ใชก ฎการจัดกลมุ ใหมก ับนพิ จน X = AB + AB + AB
จะได X = AB + A(B + B)
2. ใชก ฎการจัดกลมุ ใหมก บั นิพจน X = AB + AB + AB
จะได X = AB + A(B + B)
3. ใชกฎการคอมพลีเมนตก บั นิพจน (B+B) =1
จะได X = AB + A ×1
X = AB+ A
4. ใชก ฎการกระจายกับนพิ จน X = AB + A
จะได X = AB + A = (A + A)(B + A)
5. ใชกฎการคอมพลีเมนตก บั นิพจน (A + A) =1
จะได X =1(B + A)
X=B+A

นําสมการท่ไี ดม าเขยี นวงจรลอจิกไดอะแกรม

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทท่ี 3 พชี คณิตบลู ลนี 79

X = A +B

A
รปู ท่ี 3.21 วงจรลอจิกเกตสาํ หรบั การลดทอนสมการตามตวั อยางที่ 3.8 (ก)

(ข) X = AB + AB + AB
1. ใชกฎการจัดกลมุ ใหมก บั นพิ จน X = AB + AB + AB

จะได X = A (B +B) + AB
2. ใชกฎการคอมพลเี มนตกบั นิพจน (B+B) =1

จะได X = A 1+ AB
X = A + AB

3. ใชก ฎการกระจายกับนพิ จน X = A + AB
จะได X = A + AB = (A + A) (A + B)

4. ใชกฎการคอมพลีเมนตกบั นิพจน (A + A) =1
จะได X =1(A +B)
X = A +B

นาํ สมการทไ่ี ดม าเขียนวงจรลอจกิ ไดอะแกรม

รูปท่ี 3.22 วงจรลอจกิ เกตสาํ หรบั การลดทอนสมการตามตวั อยางที่ 3.8 (ข)
(ค) X = (A + AB)(AB) = (A + AB)(AB)

= (A +B)(AB)
= AAB+BAB
= AB+ AB
= AB
3.7 รปู แบบการเขยี นสมการบลู ลีน (Write of Boolean Equation)
การเขียนสมการบูลลีนมี 2 ชนิด คือ การเขียนในรูปผลบวกของผลคูณ (Sum of Product) และ
การเขียนในรูปผลคูณของผลบวก (Product of Sum) สมการทั้งสองแบบใชอธิบายการทํางานของ
รปู แบบการคูณบูลลีนและการบวกบลู ลีน โดยท่ีผลคูณ (Product) หมายถึงการคูณของตัวแปรบูลลีน

80 บทท่ี 3 พชี คณิตบลู ลีน วงจรดิจิตอลและลอจกิ

ซึ่งเขียนโดยการใชลักษณะการแอนด เชน A แอนด B (AB) และผลบวก (Sum) หมายถึงการบวกตัว
แปรบลู ลีน ซึ่งเขยี นโดยการใชลกั ษณะการออร เชน A ออร B (A+B) ดังนนั้ การเขยี นสมการในรูปผลบวก
ของผลคณู หรือผลคณู ของผลบวก จงึ เปนการเขยี นสมการบูลลนี ในรูปของการแอนดห รือออร

สมการบูลลีนท่ีเขยี นในรูปผลบวกของผลคูณ (Sum of Product) ผลบวกของผลคูณเปนการเขยี น
สมการบูลลีนในลกั ษณะของการออร ทเ่ี กิดจากเทอมการแอนดก ันของตัวแปรบูลลีน เชน

X = AB + AB + AB
จากสมการบูลลีนขางตน จะพบวาสมการเกิดจากการนําตัวแปรมาดําเนินการแอนดไดเปน ผลคูณ
และนาํ ผลทเ่ี กดิ จากการแอนดกันทงั้ สามนิพจนมาดาํ เนินการออรก นั ไดเ ปน ผลบวกแสดงท่ีเอาตพ ตุ
สมการบลู ลนี ทเ่ี ขียนในรูปผลคณู ของผลบวก (Product of Sum)ผลคูณของผลบวกเปนการเขียน
สมการบูลลีนในลกั ษณะของการแอนดท เี่ กิดจากเทอมการออรกันของตวั แปรบลู ลีน เชน

X = (A +B)(A +B)(A +B)
จากสมการบลู ลนี ขา งตน จะพบวา สมการเกิดจากการนาํ ตัวแปรมาดาํ เนนิ การออรไ ดเ ปน ผลบวก และ
นาํ ผลทเ่ี กดิ จากการออรกันท้ังสามเทอมมาดําเนนิ การแอนดกันไดเปน ผลคณู แสดงทีเ่ อาตพตุ
3.7.1 การเขยี นรปู แบบมาตรฐานของสมการบูลลนี (Canonical Form of Boolean)

Canonical Form หมายถึงฟงกช ันของสมการบูลลีนท่ีเขียนอยูในรูปของ Sum of Product
หรือ Product of Sum โดยแตละเทอมจะตองมีตัวแปรอยูเต็มจํานวนตามฟงกชันท่ีกําหนด และมีคา
ไมซ า้ํ กันถา เขยี นอยใู นรูปของ Product of Sum กเ็ รียกวา Canonical Product of Sum Form และถา
เขียนอยูในรปู ของ Sum of Product ก็เรียกวา Canonical Sum of Product Form และในการศึกษา
ฟงกช นั ทง้ั 2 ชนดิ นี้ ควรทําความเขา ใจความหมายของ Minterm และ Maxterm กอ น

Minterm หมายถึง จํานวนเทอมผลคณู ของฟง กชัน mi ท่เี กิดข้ึนโดยจะมีจํานวนมากกวา หรือ
เทากับ 0 และตองนอยกวา 2n (0  i  2n) เสมอเม่ือ n คือจํานวนตัวแปรในฟงกชัน Minterm คาตัว
แปรในฟง กช นั mi แตล ะตัวจะมกี ารเปลยี่ นแปลงในรปู แบบปกติเทากับ 1 หรือการคอมพลเี มนตเ ทากบั 0
เทานนั้

การเขียนฟง กชันในรูปของ Minterm อยางงายสามารถเขียนในรูปแบบของฟง กช นั เอาตพตุ ที่
mi = 1 ในรูปผลบวกหรอื การออร ตามตารางความจรงิ ไดดงั นี้

F (จํานวนตัวแปร) = m (ฟงกชนั ทีม่ เี อาตพตุ เปน 1)

วงจรดจิ ิตอลและลอจกิ บทท่ี 3 พีชคณิตบูลลีน 81

ตวั อยา งท่ี 3.9 จงเขยี นฟง กช นั F = ABC + ABC + ABC + ABC ใหอยใู นรปู แบบของผลบวก Minterm
วิธที าํ F = ABC + ABC + ABC + ABC = 011 + 101 + 110 + 111

= m3 + m5 + m6 + m7
เพราะฉะนน้ั จะได F(A,B,C) = m(3,5,6,7)

ตวั อยางที่ 3.10 จงเขียนฟง กช นั F(A,B,C) = m(0,1,4,7) ใหอยใู นรูปแบบมาตรฐานของสมการบลู ลนี
วิธีทาํ F(A,B,C) = m(0,1,4,7) = 000 + 001 + 100 + 111
= ABC + ABC + ABC + ABC
เพราะฉะนน้ั จะได F(A,B,C) = ABC + ABC + ABC + ABC

ตัวอยางที่ 3.11 จงเขียนสมการบลู ลีน F = A+BC ใหอยูในรูปแบบของผลบวก Minterm
วิธที าํ จากสมการบลู ลนี ท่ีกาํ หนดใหม ีตัวแปร คือ A B และ C จํานวนเทอมจะตองประกอบดวยจาํ นวน
3 ตัวแปรทเี่ ขยี นในรูปผลคูณ ดังน้ันจะตอ งคณู เทอมแรกดว ย (B+B)(C+ C) เนือ่ งจากในเทอมแรกขาด
ตัวแปร B และ C สาํ หรับในเทอมทีส่ องตอ งคณู ดวย (A + A)

F = A + BC
= A(B+B)(C + C) +BC(A + A)
= A(BC+BC+BC+BC) + ABC+ ABC
= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
= (111)+(110)+(101)+(100)+(111)+(011)
= 011+100+101+110+111
= m3 + m4 + m5 + m6 + m7

เพราะฉะนัน้ จะได F(A,B,C) = m(3,4,5,6,7)

Maxterm หมายถึง จาํ นวนเทอมผลบวกของฟง กชัน Mi ท่ีเกิดขนึ้ โดยจะมจี าํ นวนมากกวาหรือ
เทา กบั 0 และนอ ยกวา 2n (0  i  2n) เสมอเมอ่ื n คอื จาํ นวนตัวแปรในฟงกชนั Maxterm คา ตวั แปรใน
ฟงกชัน Mi แตละตัวจะมีการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบปกติเทากับ 0 หรือการคอมพลีเมนตเทากับ 1
เทา น้ัน

การเขียนฟงกชันในรูปของ Maxterm อยางงายสามารถเขยี นในรูปแบบของฟงกช นั เอาตพตุ ที่
Mi = 0 ในรูปผลคูณหรอื การแอนด ไดดงั น้ี

F (จาํ นวนตวั แปร) = M (ฟง กช ันทม่ี เี อาตพ ุตเปน 0)

82 บทที่ 3 พีชคณิตบูลลีน วงจรดิจิตอลและลอจกิ

ตวั อยางที่ 3.12 จงเขยี นฟง กช ัน F = (A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+ C) ใหอยูในรูปแบบ
ของผลคูณ Maxterm
วธิ ที ํา F = (A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+ C) = (0+0+0)(0+0+1)(0+1+0)(1+0+0)

= M0M1M2M4
เพราะฉะน้ันจะได F(A,B,C) = M(0,1,2,4)
ตัวอยางท่ี 3.13 จงเขยี นฟง กช นั F(A,B,C) = M(0,1,4,7) ใหอ ยใู นรปู แบบมาตรฐานของสมการบลู ลนี
วธิ ีทาํ F(A,B,C) = M(0,1,4,7)
= (0+0+0)(0+0+1)(1+0+0)(1+1+1)
= (A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+C)(A +B+ C)
เพราะฉะน้นั จะได F(A,B,C) = (A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+C)(A +B+ C)
ตัวอยา งท่ี 3.14 จงเขียนสมการบลู ลนี F = A+BC ใหอ ยใู นรูปแบบของผลคณู Maxterm
วิธที าํ จากสมการบลู ลนี ทีก่ าํ หนดใหม ีตัวแปร คือ A B และ C จํานวนเทอมจะตอ งประกอบดว ยจาํ นวน
3 ตัวแปรท่ีเขียนในรูปผลบวก ดังนัน้ จะตองทําการกระจายใหอยูในรปู ของผลคูณของผลบวกโดยใชกฎ
การกระจายตัวและใชกฎการคอมพลเี มนตเพอ่ื เพิม่ จาํ นวนตวั แปรใหค รบ
F = A+BC
= (A+B)(A+C)
= (A +B+ C)(A +B+ C)(A +B+ C)(A +B + C)
= (0+0+0)(0+0+1)(0+0+0)(0+1+0)
= M0M1M2
เพราะฉะนัน้ จะได F(A,B,C) = M(0,1,2)
3.8 การออกแบบวงจรลอจกิ จากนิพจนบ ูลลีน (Logic Implement of Boolean Expression)
ในการออกแบบวงจรลอจิกจากนิพจนบูลลีน (Boolean Expression) หรือจากฟงกชันสวิตช
(Switching Function) หรอื ตารางความจริง (Truth Table) น้นั จะตอ งทาํ การลดรูปของฟงกชันทางดาน
เอาตพุตใหเหลือจํานวนนอยท่ีสุดเสียกอน โดยใชทฤษฎีของบูลลีนหรือวิธีการอื่นๆ ซ่ึงจะกลาวถึง
ในบทตอไป ทั้งน้ีก็เพ่ือใหวงจรลอจิกที่ตอ งการออกแบบนนั้ มีจํานวนลอจิกเกตนอยท่ีสุดหรอื มกี ารลงทุน
ในการสรางวงจรตา่ํ และยังเปนการลดเวลาหนว ง (Delay Time) ของวงจรอกี ดวย