MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KSSM

Pembezaan

Contoh 6

( )(Bae) z5akx a3n+se34t ixa 4p yang berikut terh(ba)d axp  !x x. – 9 (c) (2x + 1x)(x – 1) AB

Penyelesaian 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B( ) ( )(a) d5x 33dd3 x 4
dx   + 4  x 4 = dx  (5x 3) + dx   4 Bezakan setiap sebutan secara berasingan

( ) ( ) 3
= 5(3x 3 – 1) + 4   4x 4 – 1
= 15x 2 + 3x 3
d   5x 3 + 3  x 4
dx 4
((b) Katakan f (x) = x  ! x – 9)
3
= x2 – 9x
3
f (x) = 3 – 1 – 9(1x 1 – 1) Bezakan setiap sebutan secara berasingan
2  x 2

= 3 1 – 9
2
 x 2

f (x) = 3 ! x –9
2
(2x + 1)(x – 1)
(c) Katakan y = x

= 2x 2 –x – 1
x
= 2x – 1 – x –1
dy
dx = d  (2x) – d  (1) – d  (x –1) Bezakan setiap sebutan secara berasingan
dx dx dx

= 2x 1 – 1 – 0x 0 – 1 – (–1x –1 – 1)
x –2
dy = 2 + 1
dx = 2 + x 2

Latihan Kendiri 2.3

1. Cari terbitan pertama bagi setiap fungsi yang berikut terhadap x.
4 (b) –2x 4 (c) 43x 8 (d) 3!6 x
(a) 5  x 10 (e) –12 !3  x 2

2. Bezakan setiap fungsi yang berikut terhadap x.

(a) 4x 2 + 6x – 1 (b) 4 ! x + 2 (c) (9 – 4x)2
5 ! x

3. Bezakan setiap fungsi yang berikut terhadap x. 2 (c) y = (4x – !1 x)(1 – x)

( )( )(a) y = 4x 2 5 – ! x 4
pada (b) y = x 2 + x

4. Cari nilai dy setiap nilai x yang diberi.
dx
1 x 2 + 4,
(a) y = x 2 – 2x, x = 2 (b) y = ! x (2 – x), x = 9 (c) y = x 2 x = 2

2.2.2 41

Terbitan pertama fungsi gubahan

Untuk membezakan fungsi y = (2x + 3)2, kita kembangkan fungsi itu kepada y = 4x 2 + 12x + 9
dy
terlebih dahulu sebelum membezakannya sebutan demi sebutan untuk memperoleh dx = 8x + 12.

Bagaimanakah pula jika kita ingin membezakan fungsi y = (2x + 3)4? Ungkapan
(2x + 3)4 adalah sangat rumit untuk dikembangkan melainkan jika kita pertimbangkan suatu
fungsi sebagai gubahan bagi dua fungsi yang mudah. Mari teroka kaedah tersebut.

4Aktiviti PenerokaanKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAIndividu

Tujuan: Meneroka kaedah yang berlainan untuk membezakan suatu fungsi dalam bentuk
y = (ax + b)n, dengan keadaan a ≠ 0

Langkah:

1. Pertimbangkan fungsi y = (2x + 3)2. tentukan dy dengan membezakannya sebutan demi
2. Kembangkan ungkapan (2x + 3)2 dan dx

sebutan secara berasingan.

3. Jika u = 2x + 3,
(a) ungkapkan y sebagai fungsi bagi u,

(b) cari du dan dduy ,
dx
dy
(c) tentukan du × du dalam sebutan x dan ringkaskan jawapan anda.
dx

4. Bandingkan kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah jawapannya sama?
Kaedah manakah yang menjadi pilihan anda? Berikan sebab.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa terdapat Akses QR
pelbagai cara untuk membezakan suatu fungsi seperti y = (2x + 3)2.
Namun, kaedah seperti yang ditunjukkan dalam langkah 3 adalah Pembuktian petua rantai
lebih mudah digunakan untuk memperoleh terbitan bagi suatu dengan menggunakan
ungkapan dalam bentuk (ax + b)n, dengan keadaan a ≠ 0, yang idea had.
sukar untuk dikembangkan.
bit.ly/2t6tiW2
Bagi fungsi y = f (x) = (2x + 3)2:
Sudut Informasi
Katakan, u = h(x) = 2x + 3
Ungkapan (2x + 3)4
Jadi, y = g(u) = u 2 boleh dikembangkan
dengan menggunakan
Dalam hal ini, y sebagai fungsi bagi u dan u sebagai fungsi teorem Binomial.
bagi x. Jadi, kita katakan bahawa y = f (x) ialah fungsi gubahan
bagi y = g(u) dan u = h(x). 2.2.3

Untuk membezakan fungsi seperti ini, kita perkenalkan
satu kaedah mudah yang dikenali sebagai petua rantai, iaitu:

dy = dy × du
dx du dx

42

Pembezaan

Secara amnya, terbitan pertama bagi suatu fungsi gubahan adalah seperti berikut:

Jika y = g(u) dan u = h(x), maka pembezaan y terhadap x diberi oleh

f (x) = g(u) × h(x)

iaitu, dy = dy × du AB
dx du dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2
B
Contoh 7

Bezakan setiap fungsi berikut terhadap x. 1
+
(a) y = (3x 2 – 4x)7 (b) y = (2x 3)3 (c) y = ! 6x 2 + 8

Penyelesaian

(a) Katakan u = 3x 2 – 4x dan y = u7 (b) Katakan u = 2x + dd3uyd=an–y3u= –3u1–31 = u –3
dy = 2 dan = – u3 4
Jadi, du = 6x – 4 dan du = 7u6 Jadi, du
dx dx
Dengan petua rantai,
dy dy Dengan petua rantai,
dx = du × du
dx dy = dy × du
= 7u 6(6x – 4) dx du dx
= – u3 4  (2)
= 7(3x 2 – 4x)6(6x – 4)
= (42x – 28)(3x 2 – 4x)6
dy dy 6
dx = 14(3x – 2)(3x 2 – 4x)6 dx = – (2x + 3)4

(c) Katakan u = 6x 2 + 8 dan y = ! u 1 Sudut Informasi

= u2

Jadi, du = 12x dan dy = 1 1 – 1 = 1  u– 12 = 1 Secara amnya, bagi fungsi
dx du 2 2 2! u
 u2

Dengan petua rantai, dalam bentuk y = u n, dengan
u ialah fungsi bagi x, maka
dy dy × du dy
dx = du dx du = nu n – 1 du atau
dx
1
= 2! u  (12x) d (u n) = nu n – 1 du   .
dx dx
Rumus ini boleh digunakan
12x
= 2! 6x 2 + untuk mendapatkan

8 pembezaan fungsi dalam

dy = 6x Contoh 7 secara langsung.
dx ! 6x 2 +
8

Latihan Kendiri 2.4

1. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap x. 1
3
(a) (x + 4)5 (b) (2x – 3)4 (c)  (6 – 3x)6 (d) (4x 2 – 5)7
(h) (2x 3 – 4x + 1)–10
( )(e) 1 x + 2 8 (f) 2  (5 – 2x)9 (g) (1 – x – x 2)3
6 3 43

2.2.3

2. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap x.
1 2 (b) (2x 1– 7)3 (c) (3 –54x)5 (d) 4(5x3– 6)8
(a) 3x +

(e) ! 2x – 7 (f) ! 6 – 3x (g) ! 3x 2 + 5 (h) ! x 2 – x + 1

3. Cari nilai bagi dy pada setiap nilai x atau nilai y yang diberi berikut.
dx
! 5 1 1
(a) y = (2x + 5)4, x = 1 (b) y = – 2x , x = 2 (c) y = 2x – 3, y = 1

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Terbitan pertama bagi suatu fungsi yang melibatkan hasil darab dan hasil
bahagi ungkapan algebra

5Aktiviti Penerokaan Individu

Tujuan: Meneroka dua kaedah berlainan untuk membezakan suatu fungsi yang melibatkan
hasil darab dua ungkapan algebra

Langkah:

1. Pertimbangkan fungsi y = (x 2 + 1)(x – 4)2. dy
dx
2. Kembangkan ungkapan (x 2 + 1)(x – 4)2 dan tentukan dengan membezakan setiap
sebutan secara berasingan.

3. Jika u = x 2 + 1 dan v = (x – 4)2, cari
du dv
(a) dx dan dx ,

(b) u ddxv + v ddux dalam sebutan x.
4. Bandingkan dua kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah jawapannya
sama? Kaedah manakah yang menjadi pilihan anda? Jelaskan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa terdapat Akses QR
lebih daripada satu cara untuk membezakan suatu fungsi yang
melibatkan hasil darab dua ungkapan algebra seperti fungsi Pembuktian petua
y = (x 2 + 1)(x – 4)2. Namun, bagi dua ungkapan algebra yang hasil darab dengan
tidak boleh dikembangkan seperti (x 2 + 1)! x – 4 , petua hasil menggunakan idea had.

darab seperti dalam langkah 3 ialah kaedah yang sesuai dan bit.ly/2rCVm2G

sering digunakan untuk melakukan pembezaan.

Secara amnya, rumus terbitan pertama bagi suatu fungsi
yang melibatkan hasil darab dua ungkapan algebra, juga dikenali
sebagai petua hasil darab adalah seperti berikut:

Jika u dan v ialah suatu fungsi bagi x, maka Tip Pintar

d  (uv) = u ddxv + v ddux d du dv
dx dx dx dx
 (uv) ≠ ×

44 2.2.3 2.2.4

Pembezaan

6Aktiviti Penerokaan Individu

Tujuan: Meneroka dua kaedah berlainan untuk membezakan suatu fungsi yang melibatkan
hasil bahagi dua ungkapan algebra

Langkah: y(x=–x(x1)–2xs1e)b2a. gai AB

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 1. Pertimbangkan fungsi y = x(x – 1)–2 dan tentukan dy dengan menggunakan 2
Bdx
2. Tulis semula fungsi y =
petua hasil darab.

3. Jika u = x dan v = (x – 1)2, cari
du dv
(a) dx dan dx ,

(b) v ddux – u ddxv dalam sebutan x.
v 2
4. Bandingkan kaedah yang digunakan dalam langkah 2 dan 3. Adakah anda memperoleh
jawapan yang sama?

5. Kemudian, nyatakan kaedah yang menjadi pilihan anda. Berikan sebab.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa selain

daripada menggunakan petua hasil darab untuk membezakan suatu

fungsi yang melibatkan hasil bahagi dua ungkapan algebra seperti Dengan menggunakan
x idea had, buktikan petua
y = (x – 1)2 , kita boleh membezakannya secara langsung dengan hasil bahagi.

menggunakan petua hasil bahagi seperti dalam langkah 3.

Secara amnya, petua hasil bahagi adalah seperti berikut: Tip Pintar

Jika u dan v ialah fungsi bagi x dan v(x) ≠ 0, maka ( )d   du
dx
v ddux – u ddvx dx u ≠ dv
v 2 v
( )d u =
v dx
dx

Contoh 8 Sudut Informasi

Bezakan setiap yang berikut terhadap x. Petua hasil darab dan petua
(b) (3x + 2)! 4x – 1 hasil bahagi masing-masing
(a) (x 2 + 1)(x – 3)4 boleh ditulis seperti
yang berikut.
Penyelesaian

(a) Diberi y = (x 2 + 1)(x – 3)4. • d (uv) = uv + vu
dx
Jadi, u = x 2 + 1
dan v = (x – 3)4 ( )• d u = vu – uv
dx v v 2
du dengan u dan v
Kita peroleh, dx = 2x masing-masing ialah

dan dv = 4(x – 3)4 – 1 d  (x – 3) fungsi bagi x.
dx dx
= 4(x – 3)3

2.2.4 45

Maka, dy = u ddxv + v ddux 1. Bezakan x(1 – x 2)2
dx terhadap x dengan
= (x 2 + 1) × 4(x – 3)3 + (x – 3)4 × 2x menggunakan
= 4(x 2 + 1)(x – 3)3 + 2x(x – 3)4 dua kaedah yang
3)3[2(x 2 + 1) + x(x berbeza. Adakah anda
3)3(3x 2 – 3x + 2) memperoleh jawapan
dy = 2(x – – 3)] yang sama?
dx = 2(x –
2. Diberi y = 3(2x – 1)4,
(b) Diberi y = (3x + 2)! 4x – 1 . cari dy dengan
Jadi, u = 3x + 2 mendgxgunakan
dan v = ! 4x – 1 1 (a) petua rantai,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA = (4x – (b) petua hasil darab.
1)2
Petua manakah yang
Kita peroleh, du = 3 menjadi pilihan anda?
dx
dv 1 1 – 1 d Akses QR
dan dx = 2  (4x – dx  (4x – 1)
1)2 Semak jawapan dalam
Contoh 8 dengan
= 1  (4x – 1)– 21 (4) menggunakan kalkulator
2 petua hasil darab.
2
= ! 4x – 1 ggbm.at/CHfcruJC

Maka, dy = u ddvx + v ddux
dx
2
= (3x + 2) × ! 4x – 1 + ! 4x – 1 × 3

= 2(3x + 2) + 3! 4x – 1
! 4x –1
2(3x + 2) + 3(4x – 1)
= ! 4x – 1

dy = 18x + 1
dx ! 4x – 1

Contoh 9

Diberi y = x! x + 3 , cari
dy
(a) ungkapan bagi dx (b) kecerunan tangen pada x = 6

Penyelesaian

(a) Katakan u = x dan v = ! x + 3  . (b) Apabila x = 6,

( ) Jadi, dy x ddx + ! x + 3  ddx (x) dy 3(6 + 2)
dx = ! x + 3 dx = 2! 6 + 3

( )=x  1 3 + ! x + 3 = 24
2! x + 6
x + 2(x + 3)
= 2! x + 3 = 4

dy = 3(x + 2) Maka, kecerunan tangen pada x = 6
dx 2! x + 3 ialah 4.

46 2.2.4

Pembezaan

Contoh 10

(a) Diberi y = 2x + 1 , cari dy  .
x 2 – 3 dx
x dy 2x – 1
(b) Diberi y = ! 4x – 1 , tunjukkan bahawa dx = ! (4x – 1)3  . AB

PenyelesaianKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2
B
(a) Katakan u = 2x + 1 dan v = x 2 – 3. (b) dy = ! 4x – 1 ddx  (x) – x ddx  (! 4x – 1)
dx (! 4x – 1)2
Jadi, du = 2 dan dv = 2x
dx dx ! 4x – 1 – 2x
v ddux – u ddvx ! 4x – 1
dy v 2 =
Maka, dx = 4x – 1

= (x 2 – 3)(2) – (2x + 1)(2x) = (! 4x – 1)(! 4x – 1) – 2x
(x 2 – 3)2
(4x – 1)! 4x – 1

= 2x 2 – 6 – (4x 2 + 2x) = 4x – 1 – 2x
(x 2 – 3)2
(4x – 1)(! 4x – 1)
–2x 2 – 2x – 6 2x – 1
= (x 2 – 3)2 = (4x – 1)
– 1)(! 4x
dy –2(x 2 + x + 3) dy 2x – 1
dx = (x 2 – 3)2 dx = ! (4x – 1)3

Latihan Kendiri 2.5

1. Cari dy bagi setiap fungsi berikut.
dx
(a) y = 4x 2(5x + 3) (b) y = –2x 3(x + 1) (c) y = x 2(1 – 4x)4
(d) y = x 2! 1 – 2x 2 (e) y = (4x – 3)(2x + 7)6 (f) y = (x + 5)3(x – 4)4

2. Bezakan setiap yang berikut terhadap x dengan menggunakan petua hasil darab.

(a) (1 – x 2)(6x + 1) ( )( )(b) x+2x 2 – 1 (c) (x 3 – 5)(x 2 – 2x + 8)
x x

3. Diberi f (x) = x! x – 1, cari nilai bagi f (5).

4. Cari kecerunan tangen bagi lengkung y = x! x 2 + 9 di x = 4.

5. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 3 7 (b) 4x3+x 6 (c) 1 4–x 62 x (d) 2x x3 +– 11
2x –

! (e) ! x
x+ 1 (f) ! x x– 1 (g) ! 2x3 2x 2+ 3 (h) 34xx 2+– 17

( ) 6. Cari d r
nilai pemalar r dengan keadaan dx 2x – 3 = (x + 5)2
x+5

2.2.4 47

Latihan Formatif 2.2 Kuiz bit.ly/2RHHFu2

1. Bezakan setiap yang berikut terhadap x. 10 3
! x 3! x
(a) 9x 2 – 3 (b) 6 – 1 + 8 (c) 5x + 4! x – 7 (d) +
x 2 x 3 x

( )(e) x 2 – 3 2 (f) 8x! 2 x+ x (g) 4 – π x + 6 (h) ! x (2 – x)
x 9x 3

2. Jika f (x) = 2 + 6x– 13, cari nilai bagi f (8).

3x 3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3. Diberi f (t) = 6t 3  ,
3! t
( )(c) cari nilai bagi f  1
(a) permudahkan f (t), (b) cari f (t), 8 .

4. Diberi s = 3t 2 + 5t – 7, cari ds dan julat nilai t dengan keadaan ds adalah negatif.
dt dt

5. Diberi dy bagi fungsi y = ax 3 + bx 2 + 3 pada titik (1, 4) ialah 7, cari nilai a dan nilai b.
dx
dy
6. Cari koordinat titik pada fungsi y = x 3 – 3x 2 + 6x + 2 dengan keadaan dx ialah 3.

7. Diberi fungsi h(x) = kx 3 – 4x 2 – 5x, cari (b) nilai k jika h(1) = 8.
(a) h(x), dalam sebutan k,

8. Cari dy bagi setiap fungsi berikut.
dx

( )(a) y= 3   x – 1 4 (b) y = 112 (10x – 3)6 (c) y = 2 –85x
4 6

( )(d) y = x– 1 3 (e) y = 1 (f) y = ! x 2 + 6x + 6
x 3! 3 – 9x

9. Jika y = 24 5)2  , cari nilai bagi dy apabila x = 2.
(3x – dx

( ) 10. d
Cari nilai bagi pemalar a dan pemalar b dengan keadaan dx   1 = – (3x a  
(3x – 2)3 –
2)b

11. Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
(b) x 4(3x + 1)7 (c) x! x + 3
(a) 4x(2x – 1)5 (d) (x + 7)5(x – 5)3

(e) 1 – ! x (f) x 1 (g) x 2 + 21x + 7 (h) 1 – 2x ­3
1 + ! x ! 4x + x–1

12. Tunjukkan bahawa jika f (x) = x! x 2 + 3  , maka f (x) = 2x 2 + 3
! x 2 + 3

13. Diberi y = 4x – 3  , cari dy dan tentukan julat nilai x dengan keadaan semua nilai y dan dy
x 2 + 1 dx dx

adalah positif.

14. Diberi y = x –2  , cari julat nilai x dengan keadaan y dan dy adalah negatif.
x 2 +5 dx

48

Pembezaan

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua

Terbitan kedua bagi fungsi algebra AB
Pertimbangkan fungsi kubik y = f (x) = x 3 – 2x 2 + 3x – 5.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2
B
Fungsi kubik bagi x Fungsi kuadratik bagi x
y = f (x) = x 3 – 2x 2 + 3x – 5
Pembezaan peringkat pertama ddyy == ff  ((xx)) == 33xx2 2 –– 44xx ++ 33
ddxx

Perhatikan bahawa pembezaan suatu fungsi y = f (x) terhadap x di atas menghasilkan suatu
tyearhnagdlaapinx..FBuanggasiimddaxynaatpauulaf j(ixk)ainkiitadiiknegnianlimseembabgeaziatkearnbitddaxyn
fungsi x pertama bagi fungsi
y = f (x) atau f (x) terhadap x?

( ) dy f (x) d dy d [f (x)].
Apabila fungsi dx atau dibezakan terhadap x, kita peroleh dx   dx atau dx

Fungsi ini ditulis sebagai d 2y atau f (x) dan disebut sebagai terbitan kedua bagi fungsi
dx 2

y = f (x) terhadap x. Secara amnya,

( )d 2y= d   dy atau f (x) = d  [f (x)]
dx dx dx
dx 2

Contoh 11

(a) Cari dy dan d 2y bagi fungsi y = x 3 + 4  .
dx dx 2 x 2
( )(b) Jika 1
g(x) = 2x 3 + 3x 2 – 7x – 9, cari g 4 dan g(–1).

Penyelesaian

(a) y = x 3 + 4 (b) g(x) = 2x 3 + 3x 2 – 7x – 9
x 2 g(x) = 6x 2 + 6x – 7

= x 3 + 4x –2 g(x) = 12x + 6
ddxy = 3x 2 – 8x –3
( ) ( ) Maka, g 1 = 12 1 +6
4 4
ddxy = 3 + 6
= 3x 2 – 8
x 3 = 9
g(–1) = 12(–1) + 6
dd x2y 2 = 6x + 24x – 4
= –12 + 6

d 2y = 6x + 24 = – 6
dx 2 x 4

2.3.1 49

Contoh 12

Diberi fungsi f (x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4, cari nilai-nilai x dengan Jika y = 5x – 3, cari
keadaan f (x) = f (x).

Penyelesaian ( )(a) dy 2
dx
d 2y
Diberi f (x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4. ( )(b) dx 2
Jadi, f (x) = 3x 2 + 4x + 3 dan f (x) = 6x + 4.
f (x) = f (x) Adakah dy 2= d 2y ?
Jelaskan. dx dx 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3x 2 + 4x + 3 = 6x + 4
3x 2 – 2x – 1 = 0

(3x + 1)(x – 1) = x–0 i31alaahta–u 31x =1 1.
x= dan

Maka, nilai-nilai

Latihan Kendiri 2.6

1. Cari dy dan d 2y bagi setiap fungsi berikut.
dx dx 2
2
(a) y = 3x 4 – 5x 2 + 2x – 1 (b) y = 4x 2 – x (c) y = (3x + 2)8

2. Cari f (x) dan f (x) bagi setiap fungsi berikut.

(a) f (x) = ! x + 1 (b) f (x) = x 4x+ 2 2 (c) f (x) = 2xx–+15
x 2
dy
3. Diberi y = x 3 + 3x 2 – 9x + 2, cari koordinat titik A yang mungkin dengan keadaan dx = 0.

Seterusnya, cari nilai bagi d 2y di titik A itu.
dx 2

Latihan Formatif 2.3 Kuiz bit.ly/2P9X98B

1. Jika xy – 2x 2 = 3, tunjukkan bahawa x 2 dd x2y 2 + x ddxy = y. (c) f (x) = x 3 + x
2. Cari nilai f (1) dan f (1) bagi setiap fungsi berikut. x 2

(a) f (x) = 3x – 2x 3 (b) f (x) = x 2(5x – 3)

3. Jika f (x) = ! x 2 – 5 , cari f (3) dan f (–3).

4. Jika a = t 3 + 2t 2 + 3t + 4, cari nilai-nilai t dengan keadaan da = d 2a  .
dt dt 2

5. Diberi fungsi g(x) = hx 3 – 4x 2 + 5x. Cari nilai h jika g(1) = 4.

6. Diberi f (x) = x 3 – x 2 – 8x + 9, cari (b) f (x),
(a) nilai-nilai x dengan keadaan f (x) = 0, (d) julat nilai x untuk f (x) , 0.
(c) nilai x dengan keadaan f (x) = 0,

50 2.3.1

Pembezaan

2.4 Aplikasi Pembezaan

Selain aspek keselamatan, roller coaster juga AB
dibina dengan mempertimbangkan kepuasan
maksimum pengguna. Setiap titik pada trek 2
roller coaster perlu diberi perhatian untuk
mencapai matlamat itu.

Apakah teknik yang boleh digunakan untuk
menentukan kecerunan bagi setiap titik pada trek
roller coaster itu?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
Kecerunan tangen kepada satu lengkung pada titik-titik yang berlainan

Anda telah mempelajari bahawa kecerunan lengkung pada suatu titik ialah kecerunan tangen pada
titik tersebut. Kecerunan tangen berbeza bagi setiap titik yang berlainan pada suatu lengkung.

Pertimbangkan fungsi y = f (x) = x 2 dengan fungsi kecerunannya, dy = f (x) = 2x. Fungsi
dx
kecerunan f (x) digunakan untuk menentukan kecerunan tangen mana-mana garis tangen
kepada graf fungsi f (x) di titik tertentu.
f (x)

Misalnya, bagi fungsi f (x) = x 2: f (x) = x2
Apabila x = –2, kecerunan tangen, f (–2) = 2(–2) = – 4
Apabila x = –1, kecerunan tangen, f (–1) = 2(–1) = –2
Apabila x = 0, kecerunan tangen, f (0) = 2(0) = 0 fЈ(–2) = –4 4 fЈ(2) = 4

Apabila x = 1, kecerunan tangen, f (1) = 2(1) = 2 2
Apabila x = 2, kecerunan tangen, f (2) = 2(2) = 4
fЈ(–1) = –2 fЈ(1) = 2
x
Rajah di sebelah menunjukkan kecerunan tangen kepada –2 –1 0 1 2
lengkung f (x) = x 2 pada lima titik yang berlainan. fЈ(0) = 0

Secara amnya, jenis kecerunan tangen, f (a) dan sifatnya kepada suatu lengkung y = f (x)
pada titik P(a, f (a)) dapat diringkaskan seperti yang berikut.

Kecerunan tangen pada titik di x = a, f (a)

Kecerunan negatif Kecerunan sifar Kecerunan positif
apabila f (a) , 0 apabila f (a) = 0 apabila f (a) . 0

Garis tangen condong ke kiri. Garis tangen mengufuk. Garis tangen condong ke
kanan. y = f(x)
y = f(x) y = f(x)

fЈ(a) Ͻ 0 P(a, f(a)) fЈ(a) = 0 fЈ(a) Ͼ 0

P(a, f(a)) P(a, f(a))

2.4.1 51

Contoh 13

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y

( ) ( )y=2x+ 1 dan A 1 , 5 , B(1, dan C 2, 4 41 y = 2x + –x1–2
x 2 titik-titik 2 3)

yang terletak pada lengkung itu. ( )A 2–1, 5

(a) Cari bagi dy  , ( )C 2, 4 41–
(i) ungkapan dx
B(1, 3)
(ii) kecerunan tangen bagi lengkung pada titik A, B dan C.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA x
(b) Untuk setiap titik A, B dan C, nyatakan keadaan kecerunan 0

tangennya pada lengkung itu.

Penyelesaian

(a) (i) y = 2x + 1 ( ) ( )(ii) Kecerunantangen di A 1 , 5 =2– 2
ddxy = 2x + xx  –22 2 13
= = –14 2
2 + (–2x –2 –1)

= 2 – 2x –3 Kecerunan tangen di B(1, 3) = 2 – 2
= 0 13
ddyx = 2
2 – x 3 ( ) 2
Kecerunan tangen di C 2, 4 41 = 2 – 23

= 1 3
4

(b) Pada titik A, kecerunan tangennya ialah –14 (, 0). Jadi, kecerunannya adalah negatif
dengan garis tangen condong ke kiri.

Pada titik B, kecerunan tangennya ialah 0. Jadi, kecerunannya adalah sifar dengan garis
tangen adalah mengufuk.

Pada titik C, kecerunan tangennya ialah 1 3 (. 0). Jadi, kecerunannya adalah positif
4
dengan garis tangen condong ke kanan.

Latihan Kendiri 2.7

1. Persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 9x + 1 untuk x > 0.
(a) (i) Cari kecerunan tangen kepada x
1
lengkung itu di x = 4 dan x = 1.

(ii) Untuk setiap koordinat-x itu, nyatakan keadaan kecerunan tangennya kepada

lengkung itu.

(b) Seterusnya, cari koordinat titik pada lengkung dengan keadaan garis tangennya

adalah mengufuk.

2. Lengkung y = ax 2 + b mempunyai kecerunan –14 dan 7 masing-masing di x = 1 dan x = 2.
x 2
(a) Tentukan nilai a dan nilai b.

(b) Cari koordinat titik pada lengkung dengan keadaan kecerunan tangennya ialah sifar.

52 2.4.1

Pembezaan

Persamaan tangen dan normal kepada satu lengkung pada suatu titik

Pertimbangkan titik P(x1, y1) dan titik R(x, y) yang terletak pada Kecerunan m l
garis lurus l dengan kecerunan m seperti yang ditunjukkan dalam
y – y1
rajah di sebelah. Didapati bahawa kecerunan PR = x – x1 = m. R(x, y) AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Jadi, rumus bagi persamaan garis lurus l dengan kecerunan m BP(x1, y1)2

dan melalui titik P(x1, y1) boleh ditulis sebagai:

y − y1 = m(x − x1) y
l2 y = f(x)
Rumus ini boleh digunakan untuk mencari persamaan tangen dan
persamaan normal kepada satu lengkung pada suatu titik tertentu. l1

Dalam rajah di sebelah, garis l1 merupakan tangen kepada P(a, f(a))
lengkung y = f (x) pada titik P(a, f (a)). Kecerunan tangen bagi l1
dy 0x
ialah nilai bagi dx di x = a, iaitu f (a).

Maka, persamaan bagi tangen ialah:

y – f (a) = f (a)(x – a)

Garis l2 pula berserenjang dengan tangen l1 dan disebut sebagai normal kepada lengkung
y = f (x) pada titik P(a, f (a)). Jika kecerunan tangen, f (a) wujud dan bukan sifar, kecerunan
bagi normal berdasarkan hubungan m1m2 = –1 ialah – f (1a)  .
Maka, persamaan bagi normal ialah:

y – f (a) = – f (1a)  (x – a)

Contoh 14

Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung f (x) = x 3 – 2x 2 + 5 pada titik P(2, 5).
Penyelesaian

Diberi f (x) = x 3 – 2x 2 + 5, jadi f (x) = 3x 2 – 4x. y
Apabila x = 2, f (2) = 3(2)2 – 4(2) = 12 – 8 = 4 f(x) = x3 – 2x2 + 5

Kecerunan tangen pada titik P(2, 5) ialah 4. 10 tangen
8
Persamaan tangen ialah y – 5 = 4(x – 2)
y – 5 = 4x – 8 6 P(2, 5)
y = 4x – 3 4 normal
Kecerunan normal pada titik P(2, 5) ialah – 41 .
Persamaan normal ialah y – 5 = – 14  (x – 2) 2
4y – 20 = –x + 2
4y + x = 22 0 246 x

2.4.2 53

Latihan Kendiri 2.8

1. Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada titik yang diberi berikut.
(a) f (x) = 5x 2 – 7x – 1 pada titik (1, –3) (b) f (x) = x 3 – 5x + 6 pada titik (2, 4)
x+ 1
(c) f (x) = ! 2x + 1 pada titik (4, 3) (d) f (x) = x– 1 pada titik (3, 2)

2. Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada nilai x yang diberi berikut.

(a) y = 2x 3 – 4x + 3, x = 1 (b) y = ! x – 1 , x = 4 (c) y = ! x + 1, x = 3
! x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA5 1 x 2 + 3
(d) y = x 2 + 1, x = –2 (e) y = 2 + x , x = –1 (f) y = x + 1 , x = 3

3. Satu tangen dan normal dilukis pada lengkung y = x! 1 – 2x di x = – 4. Cari
dy
(a) nilai dx di x = – 4, (b) persamaan tangen, (c) persamaan normal.

4. (a) Tangen kepada lengkung y = (x – 2)2 pada titik (3, 1) melalui titik (k, 7). Cari nilai k.

(b) Normal kepada lengkung y = 7x – 6 di x = 1 menyilang paksi-x di titik A. Cari koordinat A.
x

Menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen dan normal

Rajah 2.1(a) menunjukkan sebuah loyang berbentuk bulatan dengan satu daripada sukuannya,
iaitu AOB telah dipotong. Sebiji bola diputarkan di dalam loyang itu dan bola berpusing
mengikut lilitan loyang yang berbentuk bulatan.

OA OA OA

B B B
Rajah 2.1(b) Rajah 2.1(c)
Rajah 2.1(a)

Apakah yang akan berlaku kepada gerakan bola itu apabila sukuan loyang AOB yang
dipotong dikeluarkan daripada loyang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.1(b)? Adakah
gerakan bola itu akan mengikut garis tangen kepada lilitan loyang di titik A?

Contoh 15 Aplikasi Matematik

Rajah di sebelah menunjukkan sebatang jalan raya yang y

boleh diwakili oleh lengkung y = 1  x 2 – 2x + 2. Kumar y = –21 x2 – 2x + 2 B
2 y = 2x – c
memandu keretanya di jalan raya itu. Oleh kerana hujan,

jalan tersebut menjadi licin dan menyebabkan Kumar 2A

tersasar di titik A lalu mengikut laluan AB yang merupakan x

garis tangen y = 2x – c kepada jalan raya itu. Cari 02

(a) koordinat A, (b) nilai pemalar c.

54 2.4.2 2.4.3

Pembezaan

Penyelesaian

1 . Memahami masalah

Sebatang jalan raya diwakili oleh lengkung y = 1  x 2 – 2x + 2. AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2
B Kumar memandu keretanya di jalan raya itu dan tersasar di titik A lalu mengikut2

laluan y = 2x – c, iaitu laluan tangen kepada jalan raya.

Cari koordinat A dan nilai pemalar c.

2 . Merancang strategi

Cari fungsi kecerunan, dy bagi lengkung y = 1  x 2 – 2x + 2.
dx 2
Kecerunan bagi y = 2x – c ialah 2.
dy
Selesaikan dx = 2 untuk memperoleh koordinat A.

Gantikan koordinat A yang diperoleh ke dalam fungsi y = 2x – c untuk mencari

nilai pemalar c.

3 . Melaksanakan strategi 4 . Membuat refleksi

(a) y = 1  x 2 – 2x +2 (a) Gantikan x = 4 bagi A(4, 2) ke
2 2x – dalam y = 2x – 6, kita peroleh
dy
dx = x–2 y = 2(4) – 6
y = 8 – 6
Oleh sebab y = c ialah y = 2

tangen kepada jalan raya

y = 1  x 2 – 2x + 2 di titik A, jadi (b) Laluan AB, iaitu y = 2x – c dengan
2 kecerunan 2 melalui titik A(4, 2)
dy dan (0, – c), maka
dx = 2

x–2=2 kecerunan AB = 2
y2 – y1
x = 4 x2 – x1 =2

Oleh sebab titik A terletak di atas 2 – (– c)
4–0
lengkung, jadi = 2

y = 1  (4)2 – 2(4) + 2 2 + c = 2
2 4
y = 2
c+2=8
Maka, koordinat A ialah (4, 2).
c=8–2
(b) Titik A(4, 2) terletak di atas laluan
AB, iaitu y = 2x – c, jadi c = 6

2 = 2(4) – c
c = 6
Maka, nilai bagi pemalar c ialah 6.

2.4.3 55

Latihan Kendiri 2.9

1. Rajah di sebelah menunjukkan seutas gelang y
tangan yang boleh diwakili oleh lengkung y = x2 – 3x + 4
y = x 2 – 3x + 4 dengan keadaan titik A(1, 2) dan
titik B(3, 4) terletak di atas gelang itu. Garis AC C8
ialah tangen kepada gelang pada titik A dan
garis BC pula ialah normal kepada gelang pada 4 B(3, 4)
titik B. Dua ekor semut berjalan masing-masing
di sepanjang garis tangen AC dan garis
normal BC, dan bertemu pada titik C. Cari
(a) persamaan tangen pada titik A,
(b) persamaan normal pada titik B,
(c) koordinat C, iaitu titik pertemuan kedua-dua
ekor semut itu.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA A(1, 2)

–4 0 4 x

2. Persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 2x 2 – 5x – 2.
(a) Cari persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A(1, –5).
(b) Normal itu bertemu lengkung sekali lagi pada titik B. Cari koordinat B.
(c) Seterusnya, cari koordinat titik tengah AB.

3. Dalam rajah di sebelah, tangen kepada lengkung y
( )y y = ax3 – 4x + b
= ax 3 – 4x + b di P(2, 1) menyilang paksi-x di Q 1 1 , 0 .
2 P(2, 1)
Normal di P pula menyilang paksi-x di R. Cari
( )0 Q 1–12 , 0 R
(a) nilai a dan nilai b,

(b) persamaan normal di titik P,

(c) koordinat R,

(d) luas segi tiga PQR. x

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
y = ax + b–x
lengkung y = ax + b . Garis 3y – x = 14 adalah normal
x
kepada lengkung di titik P(1, 5) dan normal ini bertemu
Q 3y – x = 14
lengkung sekali lagi di titik Q. Cari
P(1, 5)
(a) nilai a dan nilai b,

(b) persamaan tangen di titik P,

(c) koordinat Q, 0x

(d) koordinat titik tengah PQ.

5. (a) Tangen kepada lengkung y = ! 2x + 1 di titik A(4, 3) memotong paksi-x di titik B. Cari
jarak AB.
( )(b) Tangen kepada lengkung y = hx 3 + kx + 2 di
1, 1 adalah selari dengan normal kepada
2
lengkung y = x 2 + 6x + 4 di (–2, – 4). Cari nilai pemalar h dan nilai pemalar k.

56 2.4.3

Pembezaan

Titik pusingan dan sifat titik pusingan tersebut AB

Terdapat tiga jenis titik pegun, iaitu titik maksimum, titik minimum dan titik lengkok balas. 2
Antara titik pegun itu, yang manakah ialah titik pusingan dan bukan titik pusingan? Mari teroka
cara untuk menentukan titik pegun dan sifat-sifatnya.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B7Aktiviti PenerokaanBerkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menentukan titik pegun pada graf suatu fungsi dan ggbm.at/tggjh78b
menghuraikan sifat titik pegun itu dengan memerhatikan
kecerunan titik-titik kejiranannya

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

2. Perhatikan graf y = –x 2 + 2x + 3 dan tangen kepada lengkung itu pada titik P yang terpapar
pada satah.

3. Seret titik P di sepanjang lengkung itu dan perhatikan kecerunan lengkung pada titik P.

4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Koordinat-x bagi titik P –1 0 1 2 3

Kecerunan lengkung pada titik P, dy 4
dx

Tanda bagi dy +
dx

Lakaran tangen

Lakaran graf

5. Gantikan nilai a, b dan c pada petak fungsi f (x) = ax 2 + bx + c untuk memperoleh
graf bagi lengkung y = x 2 + 2x – 3 pula. Ulang langkah 3 dan 4 dengan menggantikan
koordinat-x bagi titik P dalam jadual tersebut dengan x = –3, –2, –1, 0 dan 1.

6. Klik pada petak f (x) = ax 2 + bx + c sekali lagi dan tukarkan x 2 kepada x 3.
Kemudian, gantikan nilai a, b dan c bagi fungsi itu untuk memperoleh graf bagi
lengkung y = x 3 + 4. Ulang langkah 3 dan 4 dengan menggantikan koordinat-x bagi
titik P dalam jadual tersebut dengan x = –2, –1, 0, 1 dan 2.

7. Untuk setiap fungsi yang telah diteroka berikut:
(a) y = –x 2 + 2x + 3 (b) y = x 2 + 2x – 3 (c) y = x 3 + 4
(i) Nyatakan koordinat bagi titik pegun.
(ii) Apabila x menokok melalui titik pegun itu, bagaimanakah nilai dy berubah?
dx
(iii) Apakah yang dapat anda perhatikan pada tanda bagi kecerunan lengkung itu?
(iv) Tentukan jenis dan sifat titik pegun itu.

8. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas dan lakukan sesi soal jawab
bersama dengan rakan yang lain.

2.4.4 57

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa suatu titik pegun boleh ditentukan apabila
dy
dx = 0 dan sifat titik pegun itu dapat diringkaskan seperti berikut:

Bagi suatu lengkung y = f (x) dengan titik pegun S di x = a, 0
dy +S –
• Jika dx berubah tanda daripada positif kepada negatif apabila x
y = f (x)
menokok melalui a, titik S ialah titik maksimum.
y = f (x)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA• Jikadyberubah tandadaripada negatif kepada positif apabila x
dx –S+
menokok melalui a, titik S ialah titik minimum. 0

• Jika dy tidak berubah tanda apabila x menokok melalui a, titik S y = f (x)
dx 0+
ialah titik lengkok balas. +S

Titik pegun disebut sebagai titik pusingan jika titik itu ialah titik
maksimum atau minimum.

Pertimbangkan graf bagi fungsi y = f (x) seperti yang y

ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Berdasarkan rajah, graf A –ddx–y = 0
dd––xy > 0 dd–xy– < 0
fungsi menaik yang berwarna merah mempunyai kecerunan
bpeorswitiafr,niaaibtuiruddyxme.m0pumnyanaiakkaelcaergurnafanfunneggsaitmif,einauitruunddyyxan,g 0. –ddx–y = 0 C
y = f(x)
Titik dengan keadaan f (x) = dy = 0 disebut sebagai 0a B
dx cb dd–yx– > 0
titik pegun dengan tangen kepada graf pada titik pegun dd–y–x = 0

x

adalah mengufuk. Oleh itu, titik A, B dan C ialah titik
pegun bagi y = f (x).

Daripada graf y = f (x) di sebelah, didapati bahawa:

Titik pegun A ialah titik maksimum Titik pegun B ialah titik minimum

Apabila x menokok melalui x = a, nilai Apabila x menokok melalui x = b, nilai
dy dy
dx berubah tanda daripada positif dx berubah tanda daripada negatif

kepada negatif. kepada positif.

Titik maksimum A dan titik minimum B ini disebut sebagai titik pusingan. Di titik
dy
pegun C pula, nilai dx tidak berubah tanda apabila x menokok melalui x = c. Titik pegun C

bukan titik pusingan. Titik pegun yang bukan titik maksimum atau titik minimum ini disebut

sebagai titik lengkok balas, iaitu titik pada saat berlakunya perubahan kecekungan suatu graf.

58 2.4.4

Pembezaan

Contoh 16

Diberi lengkung y = x 3 – 3x 2 – 9x + 11. AB
(a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkung itu.
(b) Tentukan sama ada setiap titik pusingan itu ialah titik maksimum atau minimum. 2

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAPenyelesaian
B
(a) y = x 3 – 3x 2 – 9x + 11 Sudut Informasi

ddddxyxy = 3x 2 – 6x – 9 y = f (x)
= 3(x 2 – 2x – 3) A
= 3(x + 1)(x – 3)
B
Untuk titik pusingan, dy = 0 Apabila lengkung y = f (x)
dx berpusing dan bertukar
3(x + 1)(x – 3) = 0 arah pada titik A dan titik B,
titik maksimum A dan titik
x = –1 atau x = 3 minimum B disebut sebagai
Apabila x = –1, y = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 11 titik pusingan.

y = 16
Apabila x = 3, y = 33 – 3(3)2 – 9(3) + 11

y = –16

Maka, titik pusingan ialah (–1, 16) dan (3, –16).

(b) x –1.5 –1 – 0.5 2.5 3 3.5
dy 6.75 0 –5.25 –5.25 0 6.75
dx
+0– – 0 +
Tanda bagi dy
dx

Lakaran tangen

Lakaran graf

Daripada jadual, tanda bagi dy berubah daripada positif y
dx (–1, 16)

kepada negatif apabila x menokok melalui x = –1 dan 11 y = x3 – 3x2 – 9x + 11

tanda bagi dy berubah daripada negatif kepada positif
dx

apabila x menokok melalui x = 3. Maka, titik pusingan 01 x

(–1, 16) ialah titik maksimum dan titik pusingan (3, –16)
ialah titik minimum.

Lakaran graf bagi lengkung y = x 3 – 3x 2 – 9x + 11 dengan (3, –16)
titik pusingan maksimum (–1, 16) dan titik pusingan
minimum (3, –16) dapat ditunjukkan seperti dalam rajah
di sebelah.

2.4.4 59

Selain kaedah lakaran tangen bagi suatu fungsi y = f (x), y
d 2y P(1, 2)
pembezaan peringkat kedua, dx 2 jika wujud, boleh y = 3x – x 3

digunakan untuk menentukan sama ada suatu titik pusingan

ialah titik maksimum atau minimum.

Rajah 2.2 menunjukkan graf bagi lengkung 01 x
d–dx–y
y = 3x – x 3 dengan titik pusingan P(1, 2) dan graf bagi
dy
fungsi kecerunannya, dx = 3 – 3x 2.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Daripada graf dy melawan x, perhatikan bahawa:
dx

dy menurun apabila x menokok melalui x = 1 0 x
dx 1 –ddy–x = 3 – 3x 2
dy
Í Kadar perubahan dx ialah negatif di x = 1

( )Í d   dy , 0 di x = 1 Rajah 2.2
dx dx
Sudut Informasi
( )Jadi, titik pusingan P(1, 2) dengan dy = 0 dan
titik maksimum. dx • Kaedah lakaran tangen
d dy digunakan untuk
dx   dx , 0 ialah menentukan sifat suatu
titik pegun.
Secara amnya,
• Kaedah terbitan kedua
pula digunakan untuk
menentukan sifat suatu
titik pusingan.

Suatu titik pusingan pada lengkung y = f (x) ialah
dy d 2y
titik maksimum apabila dx = 0 dan dx 2 , 0. y
y = x + –4x – 2

Rajah 2.3 pula menunjukkan graf bagi lengkung
4
y = x + x – 2 dengan titik pusingan P(2, 2) dan graf bagi
dy
fungsi kecerunannya, dx = 1 – 4 . P(2, 2) x
x 2 02

Daripada graf dy melawan x, perhatikan bahawa: –ddy–x
dx dd––xy = 1 – –x4–2

dy meningkat apabila x menokok melalui x = 2
dx
dy
Í Kadar perubahan dx ialah positif di x = 2 02 x

( )Í d   dy . 0 di x = 2
dx dx

Rajah 2.3

60 2.4.4

Pembezaan

( )Jadi, dy d   dy . 0 ialah titik minimum.
titik pusingan P(2, 2) dengan dx = 0 dan dx dx

Secara amnya,

Suatu titik pusingan pada lengkung y = f (x) ialah titik minimum apabila AB

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAdy=0dand 2y. 0. 2
Bdxdx 2

Contoh 17

Cari titik-titik pegun bagi setiap lengkung berikut dan tentukan sifat setiap titik pegun itu.
(a) y = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 5 (b) y = x 4 – 4x 3 + 1

Penyelesaian

(a) y = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 5

dy = 6x 2 + 6x – 12
dx
ddxy = 6(x 2 + x – 2)
= 6(x + 2)(x – 1)

Untuk titik pegun, dy = 0
dx
6(x + 2)(x – 1) = 0

x = –2 atau x = 1

Apabila x = –2, y = 2(–2)3 + 3(–2)2 – 12(–2) + 5

y = 25 y
(–2, 25)
Apabila x = 1, y = 2(1)3 + 3(1)2 – 12(1) + 5

y = –2

Maka, titik pegun ialah (–2, 25) dan (1, –2). y = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 5
d 2y
dx 2 = 12x + 6

Apabila x = –2, d 2y = 12(–2) + 6 = –18 , 0 5
dx 2
x
d 2y 0 (1, –2)
Apabila x = 1, dx 2 = 12(1) + 6 = 18 . 0

Maka, (–2, 25) ialah titik maksimum dan (1, –2) ialah titik minimum.

(b) y = x 4 – 4x3 + 1

dy = 4x 3 – 12x 2
dx
ddyx = 4x 2(x
Untuk titik – 3) dy = 0
pegun, dx

4x 2(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

2.4.4 61

Apabila x = 0, y = 0 4 – 4(0)3 + 1 = 1
Apabila x = 3, y = 34 – 4(3)3 + 1 = –26
Tip Pintar
Maka, titik pegun ialah (0, 1) dan (3, –26).
d 2y
dx 2 = 12x 2 – 24x Apabila tddax n2y 2ge=n0d, kigauendaakhan
lakaran
Apabila x = 0, d 2y = 12(0)2 – 24(0) = 0
dx 2 untuk menentukan sifat

x – 0.1 0 0.1 suatu titik pegun.
– 0.124 0 – 0.116
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAdy
dx – 0 –

Tanda bagi dy
dx
y y = x3 + 3
Lakaran tangen d–dx–y > 0
A(0, 3) d–d–yx = 0
Lakaran graf d–dx–y > 0
x
0

Daripada jadual, didapati bahawa dy berubah daripada Dalam rajah di atas, titik A
dx bukan titik maksimum atau
negatif kepada sifar dan kemudian kepada negatif sekali titik minimum bagi fungsi
y = x 3 + 3, tetapi disebut
lagi, iaitu tiada perubahan tanda apabila x menokok sebagai titik lengkok balas.
Bolehkah anda berikan
melalui 0. tiga contoh fungsi lain
yang mempunyai titik
Maka, (0, 1) ialah titik lengkok balas. lengkok balas?

Apabila x = 3, d 2y = 12(3)2 – 24(3) = 36 . 0
dx 2

Maka, (3, –26) ialah titik minimum.

Latihan Kendiri 2.10

1. Cari koordinat titik pusingan bagi setiap lengkung berikut. Dalam setiap kes, tentukan sama

ada titik pusingan itu ialah titik maksimum atau titik minimum.
(a) y = x 3 – 12x (b) y = x(x – 6)2 (c) y = x! 18 – x 2 (d) y = (x – 6)(4 – 2x)
1 (h) y = (x – 3)2
(e) y = x + 4 (f) y = x 2 + 1 (g) y = x + x 1 x
x x 2 –

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung y = x(x – 2)3. y = x(x – 2)3
dy
(a) Cari ungkapan bagi dx  .

(b) Cari koordinat titik bagi dua titik pegun P dan Q. 0Q x
P
(c) Seterusnya, tentukan sifat bagi titik pegun Q

menggunakan kaedah lakaran tangen.

62 2.4.4

Pembezaan AB

Menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum dan nilai 2
minimum serta mentafsir penyelesaian tersebut

Kebanyakan tin makanan dan minuman yang terdapat di pasar
raya berbentuk silinder. Bagaimanakah pengeluar tin makanan
dan minuman boleh menentukan ukuran tin tersebut supaya kos
pengeluarannya dapat diminimumkan?

Adakah teknik pembezaan peringkat pertama dan kedua
boleh membantu pengeluar tin menyelesaikan masalah itu?

Contoh 18 Aplikasi Matematik

Sebuah kilang ingin menghasilkan tin makanan berbentuk
silinder yang diperbuat daripada beberapa kepingan
aluminium dengan isi padu 512 cm3. Permukaan
melengkung tin dibentuk dengan menggulung sekeping
aluminium berbentuk segi empat tepat manakala bahagian
atas dan bawah tin dibentuk dengan memotong keluar dua
buah bulatan daripada dua keping aluminium berbentuk
segi empat sama. Cari jejari tapak tin itu, dalam cm,
supaya jumlah luas permukaan semua kepingan
aluminium yang digunakan adalah minimum.

Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
1 . Memahami masalah 2πj t
t j
Katakan j cm ialah jejari tapak dan t cm
adalah tinggi tin. j
Isi padu tin, I = πj 2t = 512 cm3 2j
Jumlah luas permukaan kepingan aluminium
yang digunakan, 2j
L = 2(2j)2 + 2πjt
L = 2(4j 2) + 2πjt
L = 8j 2 + 2πjt
Cari nilai j dengan keadaan L adalah minimum.

2 . Merancang strategi

Ungkapkan L dalam sebutan satu pemboleh ubah tunggal, iaitu dengan

mengungkapkan t dalam sebutan j.
dL
Cari nilai j apabila dj = 0.

Menggunakan nilai j yang diperoleh, tentukan sama ada L adalah maksimum

atau minimum.

2.4.5 63

3 . Melaksanakan strategi 4 . Membuat refleksi dan tafsiran

Isi padu tin, I = 512 Lakaran graf bagi L = 8j 2 + 1 024
πj 2t = 512 j

t = 512 … 1 menunjukkan bahawa nilai L adalah
πj 2
minimum di j = 4.

Jumlah luas permukaan, L cm2, L
kepingan-kepingan aluminium yang L = 8j2 + 1––0j–2–4
digunakan diberi oleh
L = 8j 2 + 2πjt … 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Gantikan 1 ke dalam 2, 384

( ) L = 8j 2 + 2πj  512 04 j
πj 2
1 024
L = 8j 2 + j
Jadi, kilang itu perlu menghasilkan
dL = 16j – 1 024
dj j 2 tin makanan dengan jejari tapak ialah

Untuk nilai minimum, dL = 0 4 cm dan tinggi, t = 512 = 512
dj πj 2 π (4)2
= 10.186 cm supaya jumlah luas
1 024
16j – j 2 = 0 permukaan kepingan-kepingan

16j 3 – 1 024 = 0 aluminium yang digunakan

1 024 adalah minimum.
16
j 3 =

j 3 = 64 Daripada dua persamaan
j = 3! 64 yang terbentuk dalam
Contoh 18,
j=4 π j 2t = 512 ... 1
L = 8j 2 + 2π jt ... 2
dL = 16j – 1 024j –2 Bagi persamaan 1,
dj bolehkah kita
d 2L 2 048 mengungkapkan j
dj 2 = 16 + j 3 dalam sebutan t dan
menggantikannya ke
Apabila j = 4, d 2L = 16 + 2 048 dalam persamaan 2 untuk
dj 2 4 3 menyelesaikan masalah
dalam Contoh 18 ini?
= 48 . 0 Bincangkan.

Maka, L mempunyai nilai minimum
apabila jejari tapak ialah 4 cm.

Latihan Kendiri 2.11

1. Seutas wayar dengan panjang 80 cm dibengkokkan untuk membentuk sebuah sektor POQ
bagi sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa OQ = j cm dan ∠POQ = q radian.
1
(a) Tunjukkan bahawa luas, A cm2, bagi sektor POQ itu diberi oleh A = 2  j (80 – 2j).
(b) Seterusnya, cari luas maksimum bagi sektor POQ itu.

64 2.4.5

Pembezaan

2. Seutas dawai dengan panjang 240 cm dibengkokkan kepada 13x cm S 13x cm
suatu bentuk seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah.
(a) Ungkapkan y dalam sebutan x. TR
(b) Tunjukkan bahawa luas, L cm2, yang dilitupi oleh dawai itu
diberi oleh L = 2 880x – 540x 2. y cm y cm AB
(c) Cari
(i) nilai x dan nilai y supaya L adalah maksimum, 2
(ii) luas maksimum, dalam cm2, rantau itu.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA P 24x cm Q
B
3. Sebuah kilang menghasilkan tin minuman berbentuk silinder tegak tertutup dengan isi
padu 32π cm3. Kos bahan yang digunakan untuk bulatan atas dan bawah tin itu ialah
2 sen per cm2 manakala sisi melengkung tin ialah cm2.
(a) Tunjukkan bahawa fungsi kos, C membuat tin 1 sen per itu diberi oleh C = 4πj 2 + 64π ,
minuman j
dengan j ialah jejari tapak kon.

(b) Cari ukuran tin supaya kos yang digunakan oleh kilang itu adalah minimum.

Mentafsir dan menentukan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung

8Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Meneroka kadar perubahan kedalaman air daripada graf kedalaman-masa
Langkah:
1. Pertimbangkan dua buah bekas berbentuk silinder dan kon yang diisi dengan air pada

kadar malar 3π cm3s–1 daripada sebuah pili air. Setiap bekas itu mempunyai tinggi 9 cm dan
isi padu 48π cm3.
2. Tentukan masa, t, dalam saat, yang diperlukan untuk memenuhkan air di dalam setiap
bekas itu.
3. Berdasarkan luas permukaan air di dalam setiap bekas, lakarkan graf kedalaman-masa
untuk menunjukkan hubungan antara kedalaman aras air, h cm, dengan masa yang diambil,
t saat, untuk memenuhkan air di dalam kedua-dua bekas itu.
4. Perhatikan bentuk graf yang diperoleh. Kemudian, jawab soalan yang berikut.
(a) Berdasarkan kecerunan setiap graf, tentukan kadar perubahan kedalaman air pada

masa tertentu di dalam setiap bekas itu.
(b) Adakah kedalaman air di dalam bekas berbentuk silinder meningkat pada kadar

malar apabila bekas diisi dengan air? Bagaimanakah pula dengan kedalaman air di
dalam bekas berbentuk kon? Adakah kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas
berbentuk kon berubah apabila air diisikan?
5. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

Daripada Aktiviti Penerokaan 8, didapati bahawa kadar perubahan kedalaman air, dh pada masa
dt
tertentu, t ialah kecerunan lengkung pada t dengan andaian air mengalir ke dalam bekas pada kadar

yang malar. Kadar perubahan ini boleh diperoleh dengan melukis suatu tangen kepada lengkung

itu pada t atau menggunakan pembezaan untuk mencari kecerunan tangen pada t. Konsep petua

rantai juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti ini dengan mudah.

2.4.5 2.4.6 65

Misalnya, jika dua pemboleh ubah y dan x berubah dengan masa, t dan dihubungkan oleh
dy
persamaan y = f (x), maka kadar perubahan dt dan dx boleh dihubungkan oleh:
dt

dy = dy × dx (Petua rantai)
dt dx dt

Pertimbangkan lengkung y = x 2 + 1. Jika x menokok dengan kadar tetap 2 unit per saat, iaitu

dx = 2, maka kadar perubahan y diberi oleh:
dt
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA dy = dy × dx Petua rantai
dt dx dt
= 2x × 2

= 4x

Apabila x = 2, dy = 4(2) = 8 Apabila x = –2, dy = 4(–2) = –8
dt dt

Jadi, kadar perubahan dalam y ialah Jadi, kadar perubahan dalam y ialah

8 unit per saat dan y dikatakan menokok –8 unit per saat dan y dikatakan menyusut

pada kadar 8 unit per saat pada pada kadar 8 unit per saat pada

ketika x = 2. ketika x = –2.

Contoh 19

Suatu lengkung mempunyai persamaan y = x 2 + 4  . Cari
x
dy
(a) ungkapan bagi dx  ,

(b) kadar perubahan y apabila x = 1 dan x = 2, diberi bahawa x menokok dengan kadar tetap

3 unit per saat.

Penyelesaian

(a) y = x 2 + 4 Tip Pintar
x
= x 2 + 4x –1
dy
dx = 2x – 4x –2 • dy ialah kadar perubahan
dx
dy 4 y terhadap x.
dx = 2x – x 2
dy
dy 4 • dt ialah kadar perubahan
dx 12
(b) Apabila x = 1, = 2(1) – y terhadap t.

= –2 • pddextrupbualahiaanlaxhtkearhdaadr ap t.

Kadar perubahan y diberi oleh:
dy dy
dt = dx × dx
dt

= –2 × 3

= – 6

Jadi, kadar perubahan dalam y ialah – 6 unit per saat.

Maka, y dikatakan menyusut pada kadar 6 unit per saat.

66 2.4.6

Pembezaan

Apabila x = 2, dy = 2(2) – 4 Tip Pintar
dx 22
= 3 Jika kadar perubahan y
terhadap masa adalah
Kadar perubahan y diberi oleh: negatif, misalnya dy = – 6, AB
maka y dikatakan mdtenyusut
dy dy dx pada kadar 6 unit s–1, iaitu 2
dt dx dt kadar susutannya
ialah 6 unit s–1.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA = ×
B
= 3 × 3
= 9

Jadi, kadar perubahan dalam y ialah 9 unit per saat.

Maka, y dikatakan menokok pada kadar 9 unit per saat.

Latihan Kendiri 2.12

1. Bagi setiap persamaan yang menghubungkan x dan y berikut, jika kadar perubahan x ialah
2 unit s–1, cari kadar perubahan y pada ketika yang diberi.

(a) y = 3x 2 – 4, x = 1 (b) y = 2x 2 + 1 , x = 1 (c) y = (3x 2 5)3 , x = 2
2 x –
1 x
(d) y = (4x – 3)5, x = 2 (e) y = x + 1, y = 2 (f) y = x 3 + 2, y = 10

2. Bagi setiap persamaan yang menghubungkan x dan y berikut, jika kadar perubahan y ialah
6 unit s–1, cari kadar perubahan x pada ketika yang diberi.

(a) y = x 3 – 2x 2, x = 1 (b) y = x 2 + 4 , x = 2 (c) y = 2x 2 , x = 3
x x–1
2x – 1
(d) y = (x – 6)! x – 1, x = 2 (e) y = x+1 , y = 3 (f) y = ! 2x + 7 , y = 3

3. Suatu lengkung mempunyai persamaan y = (x – 8)! x + 4 . Cari

(a) ungkapan bagi dy ,
dx
(b) kadar perubahan y pada ketika x = 5, jika x menokok dengan kadar 6 unit per saat.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan kadar perubahan bagi kuantiti
yang terhubung dan mentafsir penyelesaian tersebut

Hubungan antara jisim, M, dalam kg, dengan jejari, j,

dalam cm, sebiji tembikai yang berbentuk sfera

diwakili oleh persamaan M = 2  j 3. Andaikan jejari
625
tembikai bertambah pada kadar tetap 0.1 cm per hari

dan jejarinya ialah 10 cm pada hari tertentu.

Dengan menggunakan petua rantai yang dM
dt
menghubungkan kadar perubahan kuantiti jisim, kadar
, bolehkah anda tentukan
dan jejari tembikai, dj
dt

perubahan jisim tembikai pada hari tersebut?

2.4.6 2.4.7 67

Contoh 20

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bekas berisi air 5 cm
yang berbentuk kon dengan jejari 5 cm dan tinggi 12 cm. Air 12 cm
Didapati bahawa air tersebut mengalir keluar melalui lubang
kecil di hujung bekas dengan kadar tetap 4 cm3s–1. Cari
kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu apabila
kedalaman air ialah 3 cm, betul kepada empat angka bererti.

Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Katakan r cm, h cm dan V cm3 masing-masing ialah jejari, tinggi dan isi padu air di dalam

bekas itu pada masa t saat.
1
Jadi, V = 3  π r 2h … 1

Didapati bahawa ∆ DFE dan ∆ BGE adalah serupa. 5 cm
r h
Jadi, 5 = 12 AG B

r = 5h … 2 r cm
12
CF D

Gantikan 2 ke dalam 1: 12 cm
h cm
( ) V = 1  π  5h 2h E
3 12
( ) 1 25h 2
= 3  π  14 4 h

( ) = 1  π  25h 3
3 14 4
25π
V= 432  h 3

Kadar perubahan V diberi oleh petua rantai berikut. Bincangkan masalah yang
berikut bersama-sama
dV = dV × dh rakan anda.
dt dh dt
( ) = d 25π dh Air dimasukkan ke dalam
dh   432  h 3 × dt sebuah tangki yang
berbentuk kon membulat
dV = 25π  h 2 × dh dengan jejari 8 cm dan
dt 14 4 dt tinggi 16 cm dengan kadar
malar 64π cm3s–1.
Apabila h = 3 dan dV = – 4, kita peroleh
dt Katakan h cm ialah
25π dh kedalaman air di dalam
– 4 = 14 4  (3)2 × dt V menyusut, maka tangki dan V cm3 ialah isi
dV padu air di dalam tangki.
– 4 = 25π × dh dt adalah negatif Cari kadar perubahan bagi
16 dt (a) kedalaman air,
dh – 2654π (b) luas permukaan
dt =
mengufuk aras air,
= – 0.8148 apabila kedalaman air
ialah 8 cm.
Maka, kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu
ialah – 0.8148 cms–1 dan kedalaman air dikatakan menyusut
pada kadar 0.8148 cms–1.

68 2.4.7

Contoh 21 Aplikasi Matematik Pembezaan

Jejari sebiji belon berbentuk sfera yang diisikan dengan AB
udara bertambah pada kadar tetap 0.5 cm per saat.
Cari kadar perubahan isi padu belon itu apabila jejarinya 2
ialah 4 cm, betul kepada empat angka bererti.

Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B1 . Memahami masalah2 . Merancang strategi

Jejari sebiji belon yang diisikan Katakan j cm dan I cm3 masing-masing
dengan udara bertambah pada kadar ialah jejari dan isi padu belon pada
tetap 0.5 cm per saat. masa t saat.
Cari kadar perubahan isi padu belon Bentukkan satu persamaan yang
apabila jejarinya ialah 4 cm. menghubungkan isi padu, I dan
jejari, j belon itu.
Gunakan petua rantai untuk
menghubungkan kadar perubahan
isi padu dan jejari belon itu.

4 . Membuat refleksi dan tafsiran 3 . Melaksanakan strategi

Apabila dI = 100.5 dan dj = 0.5, maka Andaikan I = f (j).
dt dt
dj Kadar perubahan I diberi oleh:
dI dI dt dj
dt = dj × dI = dI × dt
dt dj

100.5 = 4πj 2 × 0.5 Diketahui bahawa I = 4  πj 3.
100.5 = 2πj 2 3

j 2 = 100.5 Jadi, ( )dI= d   4  πj 3 × dj
2π dj 3 dt
dt
100.5 dI dj
j 2 = 2(3.142) dt = 4πj 2 × dt

j 2 = 15.993 Apabila j = 4 dan dj = 0.5, maka
dt
j = !15.993 dI
j = ± 4 dt = 4π (4)2 × 0.5

Maka, j = 4 cm. = 4π (16) × 0.5

Jadi, apabila j = 4 dan dI = 100.5 = 6 4π × 0.5
dt = 32π
bermaksud pada ketika jejari belon = 32(3.142)
= 100.5
ialah 4 cm, isi padunya menokok
dengan kadar 100.5 cm3 per saat.

Maka, kadar perubahan isi padu belon
apabila j = 4 cm ialah 100.5 cm3 per saat.

2.4.7 69

Latihan Kendiri 2.13

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebutir manik yang y y = –18 x 2
1
bergerak di sepanjang lengkung y = 8  x 2. Pada A(4, 2)
0x
titik A(4, 2), kadar perubahan x ialah 3 unit s–1.

Cari kadar perubahan y yang sepadan.

2. Luas sebuah segi empat sama dengan sisi x cm bertambah dengan kadar 8 cm2s–1. Cari
kadar perubahan panjang sisinya apabila luasnya ialah 4 cm2.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3. Seketul ais berbentuk kubus dengan sisi x cm mencair pada kadar 10.5 cm3 per minit. Cari
kadar perubahan x pada ketika x = 10 cm.

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebatang lilin yang berbentuk h cm
silinder tegak dan berjejari 3 cm. Tinggi lilin itu ialah h cm 3 cm
dan isi padunya ialah V cm3. Lilin itu terbakar dengan keadaan
tingginya menyusut pada kadar 0.6 cm per minit.
(a) Ungkapkan V dalam sebutan h.
(b) Cari kadar perubahan isi padu lilin itu apabila tingginya
ialah 8 cm.

5. Chandran berjalan pada kadar 3.5 ms–1 daripada sebatang

tiang lampu pada waktu malam seperti yang ditunjukkan

dalam rajah di sebelah. Tinggi Chandran dan tiang lampu itu 6m
masing-masing ialah 1.8 m dan 6 m. Cari kadar perubahan

(a) panjang bayang-bayang Chandran, 1.8 m
(b) hujung bayang-bayangnya yang bergerak.

Bayang-bayang

Mentafsir dan menentukan perubahan kecil dan penghampiran suatu
kuantiti

Pertimbangkan lengkung y = f (x) dalam rajah di sebelah. Dua y = f (x)
titik berhampiran, iaitu titik A(x, y) dan titik B(x + dx, y + dy) B(x + δx, y + δy) T
terletak di atas lengkung itu dan AT ialah tangen pada titik A.
Perhatikan bahawa AC = dx dan BC = dy.

Diketahui bahawa kecerunan tangen AT ialah: δy
A(x, y) δx C
Nilai bagi dy pada titik A = Nilai bagi dhx a˜d0 ddxy
dx Tangen

dengan dy dan dx masing-masing ialah perubahan kecil dalam y dan x.

Jika dx ialah suatu nilai yang kecil, iaitu dx ˜ 0, maka dy adalah penghampiran terbaik
dx
dy
bagi dx .

Jadi, dy ≈ dy  .
dx dx

70 2.4.7 2.4.8

Pembezaan

Secara amnya, jika dx ialah nilai yang kecil, maka

dy ≈ dy × dx Jika nilai d x adalah terlalu
dx besar, adakah anda boleh

menggunakan rumus

Rumus ini sangat berguna untuk mencari perubahan d y ≈ dy × d x? Jelaskan. AB
hampir dalam satu kuantiti akibat perubahan kecil dalam dx
kuantiti yang satu lagi. Semakin kecil nilai dx, semakin tepat 2
penghampirannya. Oleh itu, kita boleh tafsirkan bahawa:
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BBagi suatu fungsi y = f (x), dengan dy ialah perubahan kecil dalam y dan dx ialah
perubahan kecil dalam x,
• Apabila dy . 0, maka berlaku tokokan kecil dalam y akibat perubahan kecil

dalam x, iaitu dx.
• Apabila dy , 0, maka berlaku susutan kecil dalam y akibat perubahan kecil

dalam x, iaitu dx.

Seterusnya, oleh sebab f (x + dx) = y + dy dan dy ≈ dy × dx, kita peroleh:
dx

f (x + dx) ≈ y + dy  dx atau f (x + dx) ≈ f (x) + dy  dx
dx dx

Rumus ini boleh digunakan untuk mencari nilai hampir bagi y.

Contoh 22

Diberi bahawa y = x 3, cari
(a) perubahan hampir dalam y jika x menokok daripada 4 kepada 4.05,
(b) perubahan hampir dalam x jika y menyusut daripada 8 kepada 7.97.

Penyelesaian

(a) y = x 3 (b) Apabila y = 8, x 3 = 8

dy = 3x 2 x=2
dx
δy = 7.97 – 8 = – 0.03
dan dy
Apabila x = 4, dx = 4.05 – 4 dx = 3(2)2 = 12
Jadi,
dy = 0.05 dy
dan dx dx
dy = 3(4)2 = 48 dy ≈ × dx
Jadi, ≈ dx
dy × – 0.03 = 12 × dx
dx
= 48 × 0.05 dx = – 0.03
12
dy = 2.4 dx = – 0.0025

Maka, perubahan hampir dalam y, iaitu Maka, perubahan hampir dalam x, iaitu

dy ialah 2.4. dx ialah – 0.0025.
dy . 0 bermaksud berlakunya tokokan dx , 0 bermaksud berlakunya susutan

kecil dalam y sebanyak 2.4. kecil dalam x sebanyak 0.0025.

2.4.8 71

Contoh 23

Diberi bahawa y = ! x , cari

(a) nilai dy apabila x = 4 (b) nilai hampir bagi ! 4.02
dx

Penyelesaian

(a) y = ! x (b) Apabila x = 4, y = ! 4
= 2
1

= x2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA dx = 4.02 – 4
dy 1 1 – 1
dx = 2 = 0.02
 x2 dy
dx 1
= 1  x– 21 dan = 4
2
1 Menggunakan f (x + dx) ≈ y + dy  dx
= 2! x dx
dy
Apabila x = 4, dy = 1 ! x + dx ≈y+ dx  dx
dx 2! 4
! 4 + 0.02 = 2 + 1  (0.02)
4
= 1 ! 4.02 = 2.005
2(2)

= 1 Maka, nilai hampir bagi ! 4.02
4 ialah 2.005.

Daripada Contoh 23, perhatikan jadual di bawah. Peratus perubahan dalam y
Peratus perubahan dalam x

dx × 100 =  4.02 – 4 × 100 dy × 100 =  2.005 – 2 × 100
x 4 y 2
 0.02
= 4 × 100 =  0.005 × 100
2
= 0.5% = 0.25%

Secara amnya, AKaedah lternatif

Jika x berubah daripada x kepada x + dx, maka Dalam Contoh 23, d y juga
boleh ditentukan melalui
• Peratus perubahan dalam x = dx × 100% kaedah penggantian.
x Diberi y = ! x  .
Apabila x = 4, y = ! 4
• Peratus perubahan dalam y = dy × 100% =2
y Apabila x = 4.02, y = ! 4.02
= 2.005
Jadi, jika diberi suatu fungsi, misalnya y = 3x 2 – 2x – 3 dan Jadi, d y = 2.005 – 2
x bertambah sebanyak 2% apabila x = 2, bolehkah anda tentukan = 0.005
peratus perubahan dalam y? Ikuti Contoh 24 untuk menyelesaikan Maka, ! 4.02 = y + d y
masalah seperti ini. = 2 + 0.005
= 2.005
72
2.4.8

Pembezaan

Contoh 24

Diberi y = 2x 2 – 3x + 4. Apabila x = 2, terdapat perubahan kecil dalam x sebanyak 3%. Dengan
menggunakan konsep kalkulus, cari peratus perubahan dalam y yang sepadan.

Penyelesaian AB

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIADiberi y = 2x 2 – 3x + 4 Jadi, dy ≈ dy × dx 2
BApabila x = 2, y = 2(2)2 – 3(2) + 4dx
= 5 × 0.06
=6
dy = 0.3
dx = 4x – 3 dy
= 4(2) – 3 y × 100 = 0.3 × 100
6
=5 =5
3
dan dx = 100 × 2 Maka, peratus perubahan dalam y yang

= 0.06 sepadan ialah 5%.

Latihan Kendiri 2.14

1. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam y yang sepadan dengan perubahan
kecil dalam x yang diberi.
(a) y = 4x 3 – 3x 2, apabila x menokok daripada 1 kepada 1.05.
(b) y = 4! x + 3x 2, apabila x menyusut daripada 4 kepada 3.98.

2. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam x yang sepadan dengan perubahan

kecil dalam y yang diberi.
3

(a) y = 2x 2, apabila y menyusut daripada 16 kepada 15.7.

(b) y = x + 2 , apabila y menokok daripada 2 kepada 2 + p.
2
16 dy 16
3. Diberi y = x 2 cari nilai dx apabila x = 2 dan seterusnya tentukan nilai hampir bagi 2.022

5
4. Jika y = x 4, cari peratus perubahan hampir dalam x apabila terdapat 4% perubahan dalam y.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan perubahan kecil dan
penghampiran suatu kuantiti

Sebiji bola yang berbentuk sfera dengan jejari 3 cm dipamkan udara ke
dalamnya. Jejari bola itu berubah sedikit daripada 3 cm kepada 3.01 cm.
Bolehkah anda tentukan perubahan kecil dalam jejari bola itu?
Bagaimanakah pula dengan perubahan kecil dalam isi padu bola itu?

Masalah yang melibatkan perubahan kecil 3.01 cm

seperti ini boleh diselesaikan dengan menggunakan

rumus penghampiran yang telah dipelajari sebelum 3 cm
dy
ini, iaitu d y ≈ dx × dx.

2.4.8 2.4.9 73

Contoh 25 Aplikasi Matematik

Cari perubahan kecil dalam isi padu, I cm3, sebiji bola kaca
yang berbentuk sfera apabila jejarinya, j cm, bertambah
daripada 3 cm kepada 3.02 cm.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Jejari, j sebiji bola kaca berubah
daripada 3 cm kepada 3.02 cm.
Cari perubahan kecil dalam
isi padu, I bola kaca itu.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Cari nilai bagi dI apabila j = 3 cm.
dj
dI
Gunakan rumus d I ≈ dj × dj.

4 . Membuat refleksi 3 . Melaksanakan strategi

Apabila j = 3 cm, Katakan I cm3 dan j cm masing-masing
4
I = 3  π (3)3 ialah isi padu dan jejari bola kaca itu.

I = 113.0973 cm3 Jadi, I = 4  πj 3
= 3
dI 4πj 2
Apabila j = 3.02 cm, dj
4
I = 3  π (3.02)3 Apabila j = 3, dj = 3.02 – 3

I = 115.3744 cm3 dI = 0.02
dan dj = 4π (3)2
Perubahan isi padu bola kaca = 36π
= 115.3744 – 113.0973 dI
= 2.277 Oleh itu, dI ≈ dj × dj

Maka, perubahan isi padu bola kaca itu = 36π × 0.02
ialah 2.277 cm3.
dI = 2.262

Maka, perubahan kecil dalam isi padu
bola kaca itu ialah 2.262 cm3.

Latihan Kendiri 2.15

! 1. Tempoh ayunan, T saat, bagi suatu bandul dengan panjang l cm diberi oleh T = 2π  1l0 . Cari
perubahan hampir dalam T apabila l menokok daripada 9 cm kepada 9.05 cm.

2. Luas tompokan minyak yang berbentuk bulatan bertambah dari 4π cm2 kepada 4.01π cm2.
Cari perubahan kecil yang sepadan dalam jejari tompokan minyak itu.

3. Panjang sisi sebuah kubus ialah x cm. Cari perubahan kecil dalam isi padu kubus itu apabila
setiap sisinya menyusut daripada 2 cm kepada 1.99 cm.

4. Cari perubahan kecil dalam isi padu sebuah sfera apabila jejarinya menyusut daripada 5 cm
kepada 4.98 cm.

74 2.4.9

Pembezaan

Latihan Formatif 2.4 Kuiz bit.ly/2PbDTre

1. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = ! x + 1. y
Tangen dan normal kepada lengkung itu pada titik P(0, 1)
masing-masing menyilang paksi-x di Q dan R. Cari AB
(a) persamaan tangen dan koordinat Q,
(b) persamaan normal dan koordinat R, 2
(c) luas, dalam unit2, segi tiga PQR.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA P(0, 1) y = �x + 1
BQ 0Rx

2. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x 2 – 4x + 1 y y = x 2 – 4x +1
dengan garis tangen dan normal pada titik P(a, b). Garis
tangen itu berserenjang dengan garis 2y = 4 – x dan bertemu 0 Bx
paksi-x di B. Garis normal pula bertemu paksi-x di C. Cari C
(a) nilai a dan nilai b,
(b) persamaan tangen pada titik P dan koordinat B, P(a, b)
(c) persamaan normal pada titik P dan koordinat C,
(d) luas, dalam unit2, segi tiga BPC.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kotak terbuka

dengan tapak berbentuk segi empat sama bersisi x cm dan

tinggi h cm. Kotak itu diperbuat daripada kepingan kadbod
dengan luas 75 cm2.
(a) Tunjukkan bahawa isi padu kotak, V cm3, diberi oleh h cm

V = 1  (75x – x 3). x cm x cm
4
(b) Cari nilai x dengan keadaan V adalah maksimum dan

juga isi padu maksimum kotak itu.

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebatang kayu AB dengan A
panjang 10 m disandarkan pada dinding sebuah bangunan. y m 10 m
Hujung kayu A ialah y m dari atas lantai dan hujung kayu
B pula ialah x m dari kaki dinding C. Cari C xm B
(a) kadar perubahan hujung kayu A jika hujung kayu B 17 ms–1
menggelongsor menjauhi dinding pada kadar 3 ms–1
apabila x = 8 m, 135 m
(b) kadar perubahan hujung kayu B jika hujung kayu A
menggelongsor ke bawah pada kadar 2 ms–1 apabila
y = 6 m.

5. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah helikopter yang
berada pada ketinggian 135 m dari permukaan tanah.
Helikopter itu bergerak secara mengufuk ke arah budak
lelaki dengan kadar 17 ms–1. Cari kadar perubahan jarak
antara helikopter dengan budak lelaki itu apabila jarak
mengufuk antara helikopter dengan budak lelaki itu
ialah 72 m.

75

SUDUT REFLEKSI

PEMBEZAAN

Idea had: had f (x) = L
x˜a
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Pembezaan dengan Rumus pembezaan

prinsip pertama • Jika y = ax n, dengan a ialah pemalar dan
dy  ddxy
Jika y = f (x), maka dx = had , n ialah integer, maka d  (ax n) = anx n – 1.
dx
dx ˜ 0
dengan dy ialah perubahan kecil
• Jika y ialah fungsi bagi u dan u ialah
dalam y dan dx ialah perubahan dy dy
fungsi bagi x, maka dx = du × du
kecil dalam x. (Petua rantai) dx

• Jika u dan v ialah fungsi bagi x, maka

Aplikasi d  (uv) = u ddvx + v ddux (Petua hasil darab)
dx
v ddux – u ddvx
Tangen dan normal ( ) d   u = v 2 (Petua hasil bahagi)
dx v
y normal
tangen

y = f(x) Kadar perubahan yang terhubung
0
P(a, f(a)) Jika dua pemboleh ubah yang terhubung
x
x dan y berubah dengan masa, t, maka

dy = dy × dx
dt dx dt

• Tangen: y – f (a) = f (a)(x – a) Perubahan kecil dan penghampiran
• Normal: y – f (a) = – f (1a) (x – a)

Titik pegun bagi lengkung y = f (x) Jika y = f (x) dan perubahan kecil dalam

x, iaitu dx menyebabkan perubahan

y Titik lengkok balas kecil dalam y, iaitu dy, maka
–dd–xy = 0, dd–x–2y2 = 0
C(c, f(c)) dy ≈ dy
Titik pusingan dx ≈ dx
dy dy
y = f(x) maksimum dx × dx
dd–yx– = 0, dd–x–2y2 < 0
B(b, f(b)) dan f (x + dx) ≈ y + dy

Titik pusingan minimum ≈y+ dy  (dx)
A(a, f (a)) d–dy–x = 0, dd–x–2y2 > 0 dx
x
0

76

Pembezaan

1. Bandingkan kaedah pembezaan peringkat pertama bagi suatu fungsi y = f (x) dengan AB
menggunakan petua rantai, petua hasil darab dan petua hasil bahagi.
2
2. Ujian lakaran tangen dan ujian pembezaan peringkat kedua digunakan untuk menentukan
sifat bagi titik-titik pusingan. Dengan menggunakan contoh yang bersesuaian, bincangkan
kebaikan dan kelemahan kedua-dua ujian itu.

3. Persembahkan empat aplikasi pembezaan dalam satu folio digital dan paparkan hasilnya
di hadapan kelas.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BLatihan Sumatif

1. Selesaikan setiap had yang berikut. TP 2

(a) had  8 + 2x – x 2 (b) had ! 1 + x + x 2 – 1 (c) had   9 – x 2 = 8
8 – 2x 2 x x˜k 4 – ! x 2 +
x ˜ –2 x˜0 7

2. Diberi bahawa had   a – 5 = –3, cari nilai bagi pemalar a. TP 2
x + 4
x ˜ –1

3. Bezakan setiap yang berikut terhadap x. TP 2
1 (b) 4x(2x – 1)5 (c) (2 –6 x)2 (d) x! x + 3
(a) 2x + 1

4. Diberi y = x(3 – x). TP 2
(a) Ungkapkan y dd x2y 2 + x ddxy + 12 dalam sebutan x yang paling ringkas.
(b) Seterusnya, cari nilai x yang memuaskan y dd x2y 2 + x ddxy + 12 = 0.

( ) 5.
Kecerunan lengkung y = ax + b pada titik –1, – 72 ialah 2. Cari nilai a dan nilai b. TP 3
x 2

6. Isi padu sebuah sfera bertambah dengan kadar tetap 20π cm3s–1. Cari jejari sfera itu pada
ketika jejari bertambah dengan kadar 0.2 cms–1. TP 2

7. Diberi y = 14 1  , cari TP 3
! 6x 3 +

(a) perubahan hampir dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.05,
(b) nilai hampir bagi y apabila x = 2.05.

8. Diberi y = 1  , cari peratus perubahan hampir dalam y apabila x berubah daripada 4
! x

sebanyak 2%. TP 3

9. Diberi y = 3x 2 – 4x + 6 dan terdapat tokokan kecil dalam x sebanyak p% apabila x = 2. Cari
peratus perubahan dalam y yang sepadan. TP 3

77

10. Rajah di sebelah menunjukkan graf dy dan d 2y bagi fungsi d–dyx– / d–dx–2y2
dx dx 2
y = f (x). Diberi bahawa fungsi y = f (x) melalui titik

(–1, 6) dan (1, 2). Tanpa perlu mencari persamaan bagi 6
fungsi y = f (x), TP 4

(a) tentukan koordinat titik maksimum dan titik minimum –1 0 1 x
bagi graf fungsi y = f (x), –3
(b) lakarkan graf bagi fungsi y = f (x). –6

11. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripadaKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA y y = 3x 3 – 4x + 2
lengkung y = 3x 3 – 4x + 2. Cari TP 3
(a) persamaan tangen kepada lengkung pada titik A(2, 1), 2
(b) koordinat titik lain pada lengkung itu dengan keadaan A(2, 1)
tangennya adalah selari dengan tangen pada titik A.
0x
12. Dalam rajah di sebelah, ∆ ADB ialah sebuah segi tiga
tegak dengan panjang hipotenusnya ialah 6! 3 cm. Segi A

tiga itu diputarkan pada AD untuk membentuk sebuah 6�3 cm

kon tegak ABC. Cari TP 4

(a) tinggi, (b) isi padu kon itu, B DC

dengan keadaan isi padu yang dijanakan adalah maksimum.

13. Dalam rajah di sebelah, Mukhriz mendayung sebuah A
kayak dari titik A yang berada 30 m jauhnya dari titik

terdekat B di tepi pantai lurus BD ke titik C yang berada
x m dari titik B. Kemudian, dia berbasikal dari titik C 30 m

ke titik D yang jauhnya 400 m dari titik B dalam masa C D
terpantas yang mungkin. Cari jarak dari B ke C, jika dia B xm
mendayung pada halaju 40 mmin–1 dan berbasikal pada
halaju 50 mmin–1. TP 5
400 m

14. Sebuah kubus mengembang dengan keadaan sisi-sisinya berubah pada kadar 2 cms–1. Cari
kadar perubahan jumlah luas permukaan kubus itu apabila isi padunya ialah 8 cm3. TP 3

15. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung y = 6x – x 2 yang melalui asalan dan titik P(x, y)

P(x, y). TP 3

(a) Jika Q ialah titik (x, 0), tunjukkan bahawa luas, A
1
bagi segi tiga POQ diberi oleh A = 2  (6x 2 – x 3). y = 6x – x2

(b) Diberi bahawa x menokok dengan kadar x

2 unit per saat, cari 0 Q(x, 0) 6

(i) kadar tokokan bagi A apabila x = 2,

(ii) kadar susutan bagi A apabila x = 5.

78

16. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon Pembezaan
12 cm
terbalik dengan jejari 12 cm dan tinggi 20 cm. TP 6

(a) Jika tinggi air di dalam bekas itu ialah h cm, tunjukkan
bahawa isi padu air, V cm3, di dalam bekas itu diberi oleh
3 r cm 20 cm
V = 25 π h3. h cm AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B(b) Air mengalir keluar melalui lubang di hujung bekas,2

(i) cari perubahan kecil dalam isi padu air apabila h

menyusut daripada 5 cm kepada 4.99 cm,

(ii) tunjukkan bahawa susutan kecil sebanyak p% dalam

tinggi air itu akan menyebabkan susutan sebanyak

3p% dalam isi padu.

Sebuah syarikat minuman multinasional mengadakan satu pertandingan mereka
bentuk tin minuman bagi produk terbaharu syarikat, iaitu minuman berperisa kelapa.

PERTANDINGAN MEREKA BENTUK
TIN MINUMAN

Kriteria-kriteria bagi rekaan tin minuman adalah Hadiah menarik
seperti yang berikut: menanti anda!
• Kapasiti tin minuman ialah 550 cm3.
• Bentuk tin minuman yang perlu dipertimbangkan

adalah seperti silinder, kon, piramid, prisma, kubus
atau kuboid sahaja. Bentuk sfera adalah dilarang.
• Bahan yang digunakan untuk menghasilkan tin
minuman mestilah minimum.
• Tin minuman mestilah unik dan menarik.

Sertai pertandingan tersebut bersama-sama rakan sekelas anda dengan berpandukan
kriteria yang diberikan dan ikuti langkah-langkah yang berikut:
1. Reka tiga bentuk bekas tin minuman yang mungkin.
2. Bagi setiap bentuk yang berkapasiti 550 cm3, tunjukkan ukuran bekas itu dengan

luas permukaannya adalah minimum. Seterusnya, nyatakan luas permukaan
minimum itu.
3. Pilih dan cadangkan satu rekaan terbaik untuk pertandingan itu dengan
menyenaraikan kelebihan rekaan tersebut.

79

BAB

3 PENGAMIRAN
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan Pernahkah anda melihat bangunan
Kamiran Tak Tentu yang bercirikan teknologi binaan
Kamiran Tentu mesra alam? Penggunaan kaca
Aplikasi Pengamiran pada dinding sesebuah bangunan
dapat memaksimumkan tenaga
Senarai cahaya bagi mengurangkan
Standard penggunaan tenaga elektrik.
Pembelajaran Tahukah anda bahawa pengetahuan
mengenai pengamiran adalah
bit.ly/38Z18g9 penting dalam menganalisis struktur
bangunan? Seorang jurutera perlu
80 mengaplikasikan pengetahuan
tersebut semasa mereka bentuk
struktur suatu bangunan. Hal ini
adalah untuk memastikan bangunan
itu teguh dan mempunyai daya tahan
terhadap tiupan angin kencang dan
juga getaran gempa bumi pada
tahap tertentu.

Bonaventura Cavalieri merupakan seorang ahli matematik Itali
yang terawal dalam memperkenalkan konsep pengamiran. Teori
beliau dalam konsep tidak terbahagikan (indivisibles) diguna
pakai untuk mencari luas di bawah suatu lengkung.

Pada tahun 1656, John Wallis dari England pula
telah memantapkan asas pengamiran sedia ada dengan
memperkenalkan konsep had secara rasmi.

Untuk maklumat lanjut:

bit.ly/35O7k8x

Kepentingan Bab Ini

Dalam kejuruteraan hidrologi, jurutera menggunakan
pengamiran untuk menentukan isi padu dalam suatu
sistem hidrologi berdasarkan luas di bawah suatu lengkung
dengan masa.
Dalam kejuruteraan awam, jurutera menggunakan
pengamiran untuk mengira pusat jisim bagi suatu bentuk
yang tidak sekata.
Kriteria Kecederaan Kepala (HIC) yang mengaplikasikan
pengamiran digunakan bagi menentukan nilai risiko
kecederaan kepala dalam suatu perlanggaran.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Pembezaan Differentiation
Integration
Pengamiran Gradient function
Fungsi kecerunan
Persamaan lengkung Equation of curve
Indefinite integral
Kamiran tak tentu Definite integral
Kamiran tentu
Pengamiran melalui penggantian Integration by substitution
Rantau Region
Volume of revolution
Isi padu kisaran

Video mengenai
bangunan
mesra alam.

bit.ly/2MllaaG

81

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan

Gambar di sebelah menunjukkan sebuah tangki air yang dipasang

di sebuah kilang. Kadar air yang mengalir keluar dari tangki
dV
tersebut boleh diwakili oleh dt = 5t + 2, dengan keadaan V ialah

isi padu air, dalam m3, dan t ialah masa, dalam jam. Air di dalam

tangki tersebut akan habis digunakan dalam masa 5 jam.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Dengan berpandukan kadar air yang mengalir keluar dari
tangki tersebut, bagaimanakah anda boleh menentukan isi padu
air dalam tangki itu pada suatu masa tertentu?

Perkaitan antara pembezaan dengan pengamiran

Anda telah mempelajari kaedah untuk mencari pembezaan bagi Imbas Kembali

suatu fungsi y = f (x). Pertimbangkan fungsi y = 3x 2 + 4x + 5, • Jika y = ax n, maka
dy dy
maka kita peroleh dx = 6x + 4. dx = anx n – 1.

Pengamiran ialah suatu proses yang hampir sama dengan • Jika y = a, maka dy = 0.
∫pembezaan tetapi proses ini diwakilkan dengan tatatanda … dx. dx

Apakah hubungan antara pembezaan dengan pengamiran? Mari • Jika y = ax, maka dy = a.
dx

teroka dengan lebih lanjut lagi.

1Aktiviti Penerokaan BBeerrkpuamsapnuglan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pembezaan dengan pengamiran ggbm.at/mggtmhhb
Langkah:
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
2. Klik butang fungsi dan perhatikan graf yang terbentuk.
3. Bersama-sama pasangan anda, bincangkan:

(a) hubungan antara graf fungsi f (x), f (x) dan g (x),
(b) hubungan antara graf fungsi h(x), h(x) dan k(x),
(c) hubungan antara graf fungsi m(x), m(x) dan n(x).
4. Kemudian, bentangkan hasil dapatan anda di hadapan kelas.
5. Ahli daripada pasangan yang lain akan bertanyakan soalan kepada anda.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa: 3.1.1

∫• Graf fungsi g(x) = f (x) dx adalah sama dengan graf fungsi f (x).
∫• Graf fungsi k(x) = h(x) dx adalah sama dengan graf fungsi h(x).
∫• Graf fungsi n(x) = m(x) dx adalah sama dengan graf fungsi m(x).

82

Oleh itu, dapat disimpulkan bahawa pengamiran ialah suatu Pengamiran
proses songsangan bagi pembezaan. Fungsi f (x), h(x) dan m(x)
masing-masing dikenali sebagai anti terbitan bagi fungsi g(x), GALERI SEJARAH
k(x) dan n(x).

Pembezaan
d
dx [ f (x)] = f (x)

f (x) f (x) Pada tahun 1675, AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Gottfried Wilhelm Leibniz
BPengamiranmerupakan seorang ahli3
matematik Jerman yang
∫ f (x) dx = f (x) memperkenalkan simbol

Secara amnya, ∫ kamiran, iaitu . Beliau

Jika d [ f (x)] = f (x), maka kamiran bagi f (x) terhadap x mengadaptasikan simbol
dx kamiran daripada huruf ∫
atau s panjang.

∫ialah f (x) dx = f (x).

Contoh 1

∫Diberi d
dx  (4x 2) = 8x, cari 8x dx.

Penyelesaian Berikan tiga contoh dalam
kehidupan harian yang
Pembezaan bagi 4x 2 ialah 8x. boleh menunjukkan
Secara songsangan, pengamiran bagi 8x ialah 4x 2. bahawa pengamiran
adalah songsangan
∫Oleh itu, 8x dx = 4x 2. bagi pembezaan.

Contoh 2

Penghasilan arang batu di sebuah kawasan perlombongan
diberi oleh K = 48 000t – 100t 3, dengan keadaan K ialah

jisim arang batu yang dihasilkan, dalam tan, dan t ialah

masa, dalam tahun. dK
dt
(a) Cari kadar penghasilan arang batu, , dalam

sebutan t.

(b) Jika kadar penghasilan arang batu berubah kepada
dK
dt = 96 000 – 600t 2, hitung jisim arang batu yang

dihasilkan, dalam tan, pada tahun ke-4.

3.1.1 83

Penyelesaian

(a) Diberi K = 48 000t – 100t 3.
dK
Maka, dt = 48 000 – 300t 2.

(b) Diberi dK = 96 000 – 600t 2
dt = 2(48 000 – 300t 2)

Secara songsangan, pengamiran bagi 48 000 – 300t 2 ialah 48 000t – 100t 3.
∫  Oleh itu,  2(48 000 – 300t 2) dt = 2(48 000t – 100t 3)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA = 96 000t – 200t 3
Maka, jisim arang batu yang dihasilkan pada tahun ke-4 = 96 000(4) – 200(4)3

= 371 200 tan

Latihan Kendiri 3.1

∫  1. Diberid
dx  (5x 3 + 4x) = 15x 2 + 4, cari (15x 2 + 4) dx.

∫  2. Diberid
dx  (8x 3) = 24x 2, cari 24x 2 dx.

3. Penggunaan air di sebuah pusat beli-belah A boleh diwakili oleh fungsi J = 100t 3 + 30t 2,
dengan keadaan J ialah isi padu air yang digunakan, dalam liter, dan t ialah masa,

dalam hari.

(a) Cari kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A, dalam sebutan t. dJ
dt
(b) Jika kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A berubah kepada = 1 500t 2 + 300t,

cari isi padu air, dalam liter, yang digunakan pada hari kedua.

Latihan Formatif 3.1 Kuiz bit.ly/2rGLiWM

∫  1. Diberi y = dy [18(2x + 2)2] dx.
3(2x + 2)3, cari dx . Seterusnya, cari

5x + 2
2 – 3x
∫ 2. Diberi f (x) =   f (x) dx.
, cari f (x) dan

∫ ( ) 3. Diberi y= 5(x + 2)3 dan dy = h(x + 2)k, cari nilai h + k. Seterusnya, cari nilai bagi
1 dy dx
10 dx dx dengan keadaan x = 2.

∫ 4. Diberi f (x) = 3x(2x + 1)2 dan (12x2 + 8x + 1) dx = af (x), cari nilai a.

5. Fungsi keuntungan harian daripada jualan tiket bas bagi sebuah syarikat K diberi oleh
A = 100t 2 + 50t 3, dengan keadaan A ialah keuntungan yang diperoleh, dalam RM, dan
t ialah masa, dalam hari.
(a) Kira kadar keuntungan jualan tiket bas yang diperoleh syarikat itu selepas 5 hari.

(b) Diberi kadar keuntungan jualan tiket bas bagi sebuah syarikat H ialah dA = 30t 2 + 40t,
dt
syarikat manakah yang memperoleh keuntungan paling tinggi pada hari ke-10?

84 3.1.1

Pengamiran

3.2 Kamiran Tak Tentu

Gambar di sebelah menunjukkan ahli Kelab Doktor Muda AB
sebuah sekolah yang sedang mengukur tekanan darah rakannya.
Bagaimanakah cara untuk menentukan tekanan darah dalam aorta, 3
t saat selepas satu denyutan bagi seorang dewasa normal?

Dengan menggunakan kamiran tak tentu terhadap fungsi kadar
tekanan darah, kita boleh menentukan tekanan darah seseorang.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BRumus kamiran tak tentu

2Aktiviti Penerokaan BBeerrkpuamsapnuglan PAK-21

Tujuan: Menerbitkan rumus kamiran tak tentu secara induktif

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/35s352i

2. Lengkapkan jadual bagi Kes 1 secara bergilir-gilir dengan rakan sepasangan anda.

3. Berdasarkan jadual tersebut, terbitkan rumus kamiran tak tentu secara induktif.

4. Ulang langkah 2 dan 3 bagi Kes 2.

5. Pamerkan hasil kerja anda dan rakan sepasangan anda di dalam kelas.

6. Anda dan rakan sepasangan akan bergerak untuk melihat hasil kerja pasangan lain.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa: Tip Pintar
Bagi suatu pemalar a,

∫ a dx = ax + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar. Langkah-langkah untuk
mencari kamiran ax n
terhadap x, dengan
Bagi suatu fungsi ax n, keadaan a ialah pemalar, n
ialah integer dan n ≠ –1:
∫ ax n dx = ax n + 1 + c, dengan keadaan a dan c ialah 1. Tambahkan indeks bagi
n+1
pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. x dengan 1.
2. Bahagikan sebutan

ax n + 1 dengan indeks baharu.
n+1 3. Tambahkan pemalar c

dengan hasil kamiran.

Secara amnya, fungsi ax + c dan + c dikenali sebagai

kamiran tak tentu masing-masing bagi pemalar a terhadap x dan
fungsi ax n terhadap x.

Perhatikan setiap kes yang berikut.

Kes 1 Kes 2 Kes 3

y = 5x, dy = 5 dan y = 5x + 2, dy = 5 dan y = 5x – 3, dy = 5 dan
dx dx dx
∫ 5 dx = 5x ∫ 5 dx = 5x + 2 ∫ 5 dx = 5x – 3

3.2.1 85

Daripada ketiga-tiga kes tersebut, didapati bahawa nilai dy bagi setiap kes adalah sama, tetapi
dx
sebutan pemalar dalam hasil kamiran tak tentu adalah berbeza. Pemalar ini dikenali sebagai

pemalar pengamiran dan biasanya diwakili dengan simbol c. Pemalar c akan ditambah sebagai
∫sebahagian daripada kamiran tak tentu bagi suatu fungsi. Misalnya, 5 dx = 5x + c.

Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi algebra

Rumus kamiran tak tentu akan digunakan untuk mencari kamiran tak tentu bagi suatu pemalar
atau fungsi algebra.

Contoh 3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 12 (b) 1 (c) – 0.5
Penyelesaian 2
∫(c) – 0.5 dx = – 0.5x + c
∫ ∫(a) 12 dx = 12x + c (b) 21 dx = 12  x + c

Contoh 4 Tip Pintar
∫ ∫ax n dx = a x n dx
Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.
Cari kamiran bagi setiap
∫ ∫(a) x 3 dx (b) x2 2 dx yang berikut.

Penyelesaian ∫(a) dx
∫(b) 0 dx
∫(a) x 3 dx = x 3 + 1 + c ∫ ∫(b) 2 dx = 2 x –2 dx ∫(c) |x| dx
3+1 x 2
( )
= x 4 + c = 2 x –2 + 1 +c
4 –2 + 1
= –2x –1 + c
= – 2x + c

Dalam bab pembezaan, anda telah mempelajari kaedah untuk Sudut Informasi
mencari pembezaan bagi suatu fungsi yang berbentuk seperti
h(x) = 3x 2 + 5x, dengan keadaan f (x) = 3x 2 dan g(x) = 5x. ∫ [ f (x) ± g(x)] dx
Kaedah yang serupa boleh digunakan untuk mencari ∫ ∫= f (x) dx ± g(x) dx
kamiran bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau
penolakan sebutan-sebutan algebra. juga dikenali sebagai
Jika f (x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka petua penambahan
atau penolakan.
∫ ∫ ∫[f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx
3.2.1 3.2.2
86

Pengamiran

Contoh 5

Cari kamiran bagi setiap yang berikut. ∫ ( )(c) x 23 + 1 dx
x 5
∫ ∫(a) (3x 2 + 2) dx (b) (x – 2)(x + 6) dx

Penyelesaian

∫(a) (3x 2 + 2) dx ∫(b) (x – 2)(x + 6) dx
∫ ∫ = 3x 2 dx + 2 dx ∫ = (x 2 + 4x – 12) dx
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA3x 3 AB
B =3+2x+c∫ ∫ ∫ = x 2 dx + 4x dx – 12 dx
3
= x 3 + 2x + c = x 3 + 4x 2 – 12x + c
3 2
x 3
= 3 + 2x 2 – 12x + c

∫ ( ) ∫ ( )(c) x 23+1 dx = 3x 2 + 1 dx
x 5 x 3
∫ ( )= 3x 2 + x –3 dx
Kamiran bagi suatu
fungsi yang melibatkan
∫ ∫= 3x 2 dx + x –3 dx penambahan dan penolakan
sebutan-sebutan algebra
= 3x 3 + x –2 +c boleh diwakilkan dengan
3 –2 satu pemalar pengamiran
1 sahaja. Jelaskan.
= x 3 – 2x 2 + c

Latihan Kendiri 3.2

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

∫(a) 2 dx ∫(b) 5 dx ∫ ∫(c) –2 dx (d) π3 dx
6

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) 3x 2 (b) 34  x 3 (d) – x2 2
(c) –x

( )(g)
(e) 3 (f) 3! x 2 (h) – !3 x 3
x 3 3! x

3. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. 1 3
2 x 2
(a) 2x + 3 (b) 4x 2 + 5x (c)  x 3 + 5x – 2 (d) + 4x – 2

4. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. ∫(c) (5x 2 – 3! x ) dx
∫(f) (x + ! x )2 dx
∫ ∫(a) (x + 2)(x – 4) dx (b) x 2(3x 2 + 5x) dx

∫ ∫ ( )(d) (5x – 3)2 dx (e) 5x 2 x– 3x dx

3.2.2 87

Kamiran tak tentu bagi fungsi berbentuk (ax + b)n, dengan keadaan a dan
b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1

Anda telah mempelajari cara untuk mencari kamiran tak tentu bagi fungsi y = 2x + 1.
Bagaimanakah pula cara untuk mencari kamiran bagi fungsi y = (2x + 1)8?

Ungkapan (2x + 1)8 adalah sangat rumit untuk dikembangkan. Jadi, fungsi seperti ini
boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah penggantian.

∫ Pertimbangkan fungsi y = (ax + b)n dx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAdy
integer dan n ≠ –1, maka dx = (ax + b)n.

Katakan, u = ax + b
du
Jadi, dx =a

dan dy = un
dx

Dengan menggunakan petua rantai, Imbas Kembali

dy = dy × dx Bagi suatu fungsi
du dx du y = g(u) dan u = h(x),

= dy × ( )dx1 dy = dy × du
dx du dx du dx

Gantikan dy = un dan du = a, kita peroleh
dx dx
dy
du = un × 1 Sudut Informasi
a
Ungkapan (ax + b)n dapat
∫ y= un du dikembangkan dengan
a
menggunakan teorem
∫ ∫ un
(ax + b)n dx = a du Binomial. Rumus am teorem

1 Binomial bagi ungkapan
a
∫ = un du (ax + b)n ialah
n
[nCk(ax)n – k(b)k], dengan
∑
[ ] = 1 un + 1 +c
a n+1 k=0
keadaan k dan n ialah
integer serta a dan b
Gantikan u = ax + b, kita peroleh ialah pemalar.

∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1 +c
a(n + 1)

Maka, Menggunakan rumus
di sebelah, bolehkah anda
∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1 + c, dengan keadaan mencari kamiran bagi
a(n + 1)
a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. ∫ (3x 2 + 3)3 dx?

88 3.2.3

Pengamiran

Contoh 6

Dengan menggunakan kaedah penggantian, cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

∫ ∫(a) (3x + 5)5 dx (b) ! 5x + 2 dx

Penyelesaian

(a) Katakan u = 3x + 5 (b) Katakan u = 5x + 2
du du
Jadi, dx = 3 Jadi, dx = 5 AB

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA dx=du ∫ ∫ dx = du 3
B35
u5 ! u
∫ ∫ 3 ! 5x + 2 dx = 5
(3x + 5)5 dx = du du

( )=1   u6 +c ∫= 1
3 6 u2
(3x + 5)6 5 du
18
= +c = 2  u 3 + c
15 2

= 2  (5x + 3 + c
15
2)2

Contoh 7

Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) (2 – 3x)4 (b) (5x 3– 3)6
Penyelesaian

∫(a) (2 – 3x)4 dx = (2 – 3x)5 + c ∫ ∫(b) 3 3)6 dx = 3(5x – 3)– 6 dx
–3(5) (5x –
3(5x – 3)–5
= – (2 – 3x)5 + c = 5(–5) + c
15
= – 25(5x3– 3)5 + c

Latihan Kendiri 3.3

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kaedah penggantian.

∫ ∫(a) (x – 3)2 dx (b) (3x – 5)9 dx ∫(c) 4(5x – 2)5 dx
(7x – 3)4
3 dx (e) (2x1–2 6)3 dx 2
∫ ∫(d) ∫(f) 3(3x – 2)2 dx

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a) (4x + 5)4 (b) 2(3x – 2)3 (c) (5x – 11)4
(3x – 2)5
(d) 5 (e) (6x 5– 3)6 (f) 12
(3x – 5)8

3.2.3 89

Persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan

Nilai pemalar pengamiran, c boleh ditentukan dengan menggantikan nilai x dan y yang sepadan
ke dalam hasil pengamiran suatu fungsi kecerunan.

Contoh 8

Tentukan nilai pemalar pengamiran, c bagi dy = 4x 3 + 6x 2 – 3 dengan y = 25 apabila x = 2.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA dx
Penyelesaian

Diberi dy = 4x 3 + 6x 2 – 3. Apabila x = 2 dan y = 25,
dx 25 = 24 + 2(2)3 – 3(2) + c
∫Jadi, y = (4x 3 + 6x 2 – 3) dx c = –1

y = 4x 4 + 6x 3 – 3x + c Maka, nilai pemalar pengamiran, c
4 3 dy
y = x 4 + 2x 3 – 3x + c bagi dx = 4x 3 + 6x 2 – 3 ialah –1.

Fungsi kecerunan, dy atau f (x) bagi suatu lengkung boleh ditentukan dengan melakukan
dx
pembezaan terhadap persamaan lengkung y = f (x). Sebaliknya, persamaan bagi suatu lengkung

boleh diperoleh daripada pengamiran fungsi kecerunannya. Secara amnya,

Diberi suatu fungsi kecerunan dy = f (x), maka persamaan lengkung
dx
∫bagi fungsi itu ialah y = f (x) dx.

Contoh 9

Kecerunan bagi suatu lengkung pada titik (x, y) ialah dy = 15x 2 + 4x – 3.
dx
(a) Jika lengkung itu melalui titik (–1, 2), cari persamaan lengkung itu.

(b) Seterusnya, cari nilai y apabila x = 1.

Penyelesaian

(a) Diberi dy = 15x 2 + 4x – 3. (b) Apabila x = 1,
dx y = 5(1)3 + 2(1)2 – 3(1) + 2
y=6
∫Jadi, y = (15x 2 + 4x – 3) dx
y = 5x 3 + 2x 2 – 3x + c Maka, y = 6 apabila x = 1.

Apabila x = –1 dan y = 2,
2 = 5(–1)3 + 2(–1)2 – 3(–1) + c

c = 2

Maka, persamaan lengkung itu ialah
y = 5x3 + 2x2 – 3x + 2.

90 3.2.4