MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KSSM

Pengaturcaraan Linear

(a) Tulis model matematik yang melibatkan sistem y

ketaksamaan linear bagi mewakili kekangan I

dan kekangan II. 60

(b) Kekangan ketiga diwakili oleh rantau berwarna merah 50

jambu yang mewakili masa penyediaan kedua-dua

jambak bunga seperti yang ditunjukkan dalam rajah di 40
sebelah. Tuliskan kekangan tersebut dalam perkataan.

(c) Bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi 30
ketiga-tiga kekangan. Menggunakan graf yang sama,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bcari 20

(i) bilangan minimum jambak bunga anggerik jika 10

bilangan jambak bunga ros ialah 30,

(ii) jumlah keuntungan maksimum peniaga tersebut 0 10 20 30 40 x
jika keuntungan bagi setiap jambak bunga ros

dan jambak bunga anggerik masing-masing ialah

RM35 dan RM25.

Penyelesaian Sudut Informasi

(a) Kekangan I: y < 2x Titik maksimum atau
1 optimum ialah titik di bucu-
Kekangan II: y > 4 x bucu suatu rantau tersaur
yang akan menghasilkan
(b) Pertimbangkan titik (0, 60) dan (40, 0). nilai optimum bagi fungsi

Kecerunan garis lurus, m = 60 – 0 = – 32 objektif.
0 – 40
y – 0 = – 23 (x – 40) AB
Persamaan garis lurus,
7
2y + 3x = 120

20y + 30x = 1 200

Maka, jumlah masa menghasilkan kedua-dua jambak bunga tersebut sekurang-kurangnya

adalah 2 jam.

(c) y (i) Gantikan x = 30 ke dalam y = 1 x,
4
60 y = 1  (30)
4
= 7.5
y = 2x
50 Maka, bilangan minimum bunga anggerik
ialah 8 jambak.
4 0
(ii) Titik maksimum bagi rantau berlorek

(18, 33) ialah (18, 33).
30 Gantikan titik maksimum itu ke dalam

2100 R y = –41 x kk === 6333550x(1++8)28+52y52,5(33)
= 1 455
0 10 20 30 40 x
Maka, keuntungan maksimum peniaga
tersebut ialah RM1 455.

7.2.1 241

Contoh 6 Aplikasi Matematik

Sebuah sekolah ingin membeli dua jenis meja, iaitu meja P Tip Pintar
dan meja Q untuk diletakkan di dalam makmal komputer.
Masalah dalam sesuatu
Harga bagi sebuah meja P dan meja Q masing-masing ialah situasi boleh diringkaskan
RM200 dan RM100. Luas permukaan meja P ialah 1 m2 dalam bentuk jadual.
manakala meja Q ialah 2 m2. Sekolah tersebut membeli Berdasarkan Contoh 6,
x buah meja P dan y buah meja Q. Pembelian meja masalah dalam situasi yang
berdasarkan kekangan berikut. diberi boleh diringkaskan

I Jumlah luas permukaan meja adalah tidak kurang seperti berikut:
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
daripada 30 m2. Harga Meja P Meja Q
II Jumlah wang yang diperuntukkan ialah RM6 000. Luas RM200 RM100
III Bilangan meja Q selebih-lebihnya adalah dua kali bilangan
1 m2 2 m2
meja P.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear

yang memenuhi semua kekangan di atas.

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 buah meja pada paksi-x dan paksi-y, bina

dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan di atas.

(c) Berdasarkan graf yang dibina di (b), cari

(i) julat bagi bilangan meja P jika bilangan meja Q yang dibeli ialah 10 buah,

(ii) bilangan maksimum murid yang boleh menggunakan meja tersebut pada masa

tertentu jika sebuah meja P dapat menampung 4 orang murid dan sebuah meja Q

dapat menampung 8 orang murid.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah Tip Pintar

Harga sebuah meja P ialah RM200. Kaedah menyelesaikan
Harga sebuah meja Q ialah RM100. masalah persamaan linear.
Luas permukaan meja P ialah 1 m2. 1. Tafsirkan masalah
Luas permukaan meja Q ialah 2 m2.
Jumlah peruntukan wang ialah RM6 000. dan tentukan
Jumlah luas permukaan meja adalah tidak kurang pemboleh ubah.
daripada 30 m2. 2. Tentukan model
Bilangan meja Q selebih-lebihnya adalah dua kali matematik dalam
daripada bilangan meja P. bentuk sistem
ketaksamaan linear.
2 . Merancang strategi 3. Lukis graf dan tentukan
rantau penyelesaian, R.
Katakan x ialah bilangan meja P dan y ialah bilangan 4. Tulis fungsi objektif bagi
meja Q. kuantiti yang hendak
Jumlah harga meja P ialah RM200x. dimaksimumkan atau
Jumlah harga meja Q ialah RM100y. diminimumkan, iaitu
k = ax + by.
5. Pilih satu nilai yang
sesuai bagi k dan lukis
garis lurus itu.

242 7.2.1

Pengaturcaraan Linear

3 . Melaksanakan strategi (b) y

(a) Kekangan I: 60
x + 2y > 30 2x + y = 60
Kekangan II:
200x + 100y < 6 000 50
y = 2x
2x + y < 60
Kekangan III: 40
y < 2x
Jadi, tiga ketaksamaan linear yang

memuaskan semua kekangan
tersebut ialah x + 2y > 30,
2x + y < 60 dan y < 2x.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 30
B
20 30 x
R

10
x + 2y = 30

0 10 20

(c) (i) Diberi bilangan meja Q yang dibeli ialah y
10 buah. Maka, lukis garis lurus y = 10.
60 AB
Daripada graf, titik persilangan bagi garis 2x + y = 60
lurus y = 10 dengan rantau minimum dan 7
maksimum terletak pada x = 10 dan x = 25. 50

Maka, julat bagi bilangan meja P y = 2x
ialah 10 < x < 25. 40

(ii) Katakan bilangan maksimum murid 30
menggunakan meja P dan Q diberi
oleh k = 4x + 8y. 20 30 x
R
Andaikan k = 4 × 8 = 32.
Daripada graf, didapati bahawa garis 10
x + 2y = 30
lurus melalui titik optimum (15, 30)
dalam rantau berlorek. 0 10 20
Maka, bilangan maksimum murid ialah
= 4(15) +8(30)
= 300

4 . Membuat refleksi 243
Pertimbangkan sebarang titik dalam rantau berlorek, misalnya (20, 20).
Gantikan titik (20, 20) ini ke dalam fungsi k.

k = 4(20) + 8(20)
= 240 (, 300)

7.2.1

Latihan Kendiri 7.2

1. Sebuah institusi menawarkan dua kursus perniagaan, iaitu Kursus Pengurusan dan Kursus
Kewangan. Bilangan peserta bagi Kursus Pengurusan ialah x orang dan bilangan peserta bagi
Kursus Kewangan ialah y orang. Pengambilan peserta berdasarkan kekangan berikut.
I Jumlah peserta Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan tidak melebihi 80 orang.
II Bilangan peserta Kursus Kewangan tidak melebihi empat kali bilangan peserta
Kursus Pengurusan.
III Bilangan peserta Kursus Kewangan mesti melebihi bilangan peserta Kursus Pengurusan
sekurang-kurangnya 10 orang.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang peserta pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf di (b), cari
(i) julat bagi bilangan peserta Kursus Kewangan jika bilangan peserta bagi Kursus
Pengurusan ialah 20 orang,
(ii) jumlah yuran maksimum dalam masa seminggu yang boleh dikutip jika yuran
mingguan bagi Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan masing-masing ialah
RM60 dan RM70.

2. Sebuah kilang menghasilkan arca pasu A dan
pasu B dengan menggunakan mesin P dan
Q. Jadual di bawah menunjukkan masa yang
diambil untuk menghasilkan arca pasu A dan
pasu B.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Arca Masa yang diambil (minit)
pasu
Mesin P Mesin Q
A
B 40 30

20 60 Pasu A Pasu B

Kilang tersebut menghasilkan x unit arca pasu A dan y unit arca pasu B dalam masa
seminggu. Mesin P beroperasi tidak melebihi 2 000 minit. Mesin Q pula beroperasi
sekurang-kurangnya 1 800 minit. Penghasilan arca pasu B tidak melebihi tiga kali ganda
penghasilan arca pasu A.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan yang memenuhi semua kekangan

di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada kedua-dua paksi, bina dan

lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan itu.
(c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari

(i) bilangan minimum arca pasu B yang boleh dihasilkan jika kilang tersebut
bercadang untuk menghasilkan 30 unit arca pasu A sahaja,

(ii) jumlah keuntungan maksimum seminggu jika keuntungan yang diperoleh daripada
satu unit arca pasu A dan satu unit arca pasu B masing-masing ialah RM300
dan RM250.

244 7.2.1

Pengaturcaraan Linear

Latihan Formatif 7.2 Kuiz bit.ly/2ZhfBzA

1. Seorang tukang kebun ingin menanam pokok bunga raya dan pokok bunga ros di atasKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA AB
sebidang tanah yang berkeluasan 300 m2. Beliau mempunyai sekurang-kurangnya RM1 000 B
untuk membeli anak pokok tersebut. Harga bagi sepohon bunga raya ialah RM4 dan keluasan 7
tanah yang diperlukan ialah 0.4 m2. Harga bagi sepohon bunga ros pula ialah RM5 dan
keluasan tanah yang diperlukan ialah 0.3 m2. Bilangan pokok bunga ros yang ditanam mesti
melebihi bilangan pokok bunga raya selebih-lebihnya 200.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan yang memenuhi semua kekangan di atas
jika x mewakili bilangan pokok bunga raya dan y mewakili bilangan pokok bunga ros.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 100 pokok pada paksi-x dan paksi-y, lukis dan
lorekkan rantau yang memuaskan semua ketaksamaan di (a).
(c) Daripada graf yang dibina di (b), jawab setiap soalan yang berikut.
(i) Cari bilangan maksimum pokok bunga ros jika bilangan pokok bunga raya ialah 300.
(ii) Dalam satu tempoh tertentu, pokok bunga raya dan pokok bunga ros menghasilkan
keuntungan masing-masing sebanyak RM3.50 dan RM2.40. Cari keuntungan
maksimum yang diperoleh tukang kebun tersebut.

2. Encik Malik memperuntukkan RM3 000 untuk membeli x naskhah buku rujukan Sains dan
y naskhah buku rujukan Matematik bagi perpustakaan sekolah. Kos purata bagi senaskhah
buku rujukan Sains dan senaskhah buku rujukan Matematik masing-masing ialah RM30 dan
RM25. Bilangan buku rujukan Sains yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 20 naskhah dan
bilangan buku rujukan Matematik yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 10 naskhah lebih
daripada buku rujukan Sains.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua syarat yang diberikan selain
x > 0 dan y > 0.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 20 naskhah buku pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua syarat yang diberikan.
(c) Daripada graf yang diperoleh di (b), cari kos minimum bagi buku-buku tersebut.

3. Sebuah kilang minuman menghasilkan dua jenis minuman, P dan Q. Bagi memenuhi
kehendak pengguna, kilang tersebut mestilah menghasilkan x liter minuman P dan y liter
minuman Q. Pengeluaran minuman dari kilang tersebut tertakluk kepada tiga kekangan
yang berikut.
I Jumlah isi padu minuman yang dihasilkan adalah tidak lebih daripada 7 000 liter.
II Isi padu minuman Q yang dihasilkan adalah paling banyak, iaitu dua kali isi padu
minuman P yang dihasilkan.
III Isi padu minuman Q yang dihasilkan adalah sekurang-kurangnya 1 000 liter.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 1 cm kepada 1 000 liter pada paksi-x dan paksi-y, bina dan
lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Berdasarkan graf yang diperoleh di (b), jawab setiap soalan yang berikut.
(i) Pada hari tertentu, isi padu minuman Q yang dihasilkan ialah 2 000 liter. Cari
isi padu maksimum bagi minuman P.
(ii) Jika keuntungan per liter bagi minuman P dan minuman Q masing-masing ialah
RM50 dan RM30, cari keuntungan maksimum yang diperoleh kilang tersebut.
245

SUDUT REFLEKSI

PENGATURCARAAN LINEAR

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIADiberi garis lurus ax + by = c,Langkah-langkah untuk menyelesaikan
dengan keadaan b . 0. suatu masalah yang melibatkan
• Rantau di bahagian atas pengaturcaraan linear:
1. Wakilkan semua kekangan bagi suatu
garis lurus itu memuaskan
ketaksamaan ax + by > c situasi dalam bentuk ketaksamaan linear.
dan ax + by . c. 2. Lukis graf bagi setiap ketaksamaan
• Rantau di bahagian bawah
garis lurus itu memuaskan linear dan lorekkan rantau yang tersaur.
ketaksamaan ax + by < c 3. Tentukan fungsi objektif ax + by = k dan
dan ax + by , c.
lukis graf bagi fungsi objektif itu.
Aplikasi 4. Tentukan nilai optimum (nilai

maksimum atau minimum) dengan
menggantikan titik maksimum atau
minimum ke dalam fungsi objektif.

Rajah di sebelah menunjukkan y
penyelesaian bagi menentukan
keuntungan maksimum suatu 350
perniagaan. R ialah rantau yang 300 60x + 45y = 10 800
memenuhi semua kekangan yang
terdapat dalam perniagaan tersebut. 250
Bina suatu jurnal yang berkaitan dengan
perniagaan tersebut dan persembahkan 200 x + y = 350 y = 52–x
hasil dapatan anda di hadapan kelas. 150 R

100

50

0 x
50 100 150 200 250 300 350 400

246

Pengaturcaraan Linear

Latihan Sumatif

1. Sebuah keluarga di sebuah kampung menghasilkan dua jenis kerusi rotan, iaitu kerusi rotanKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA AB
kecil dan kerusi rotan besar. Keluarga tersebut memperoleh bahan mentah rotan B
sekurang-kurangnya 60 kg seminggu. Sebuah kerusi rotan kecil memerlukan 3 kg rotan 7
manakala sebuah kerusi rotan besar memerlukan 5 kg rotan. Jumlah pekerja yang ada
adalah seramai 60 orang. Dua orang pekerja diperlukan untuk menghasilkan kerusi rotan
kecil manakala tiga orang pekerja diperlukan untuk menghasilkan kerusi rotan besar. TP 4
(a) Jika x buah kerusi rotan kecil dan y buah kerusi rotan besar dihasilkan pada setiap
minggu, tuliskan empat ketaksamaan linear yang memuaskan syarat-syarat tersebut.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 buah kerusi rotan pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan kawasan R yang memuaskan semua ketaksamaan linear tersebut.
(c) Harga bagi sebuah kerusi rotan kecil ialah RM40 dan harga bagi sebuah kerusi rotan
besar ialah RM80. Daripada graf yang diperoleh di (b), cari
(i) nilai x dan nilai y yang akan memberi pendapatan maksimum kepada keluarga itu,
(ii) pendapatan maksimum itu.

2. Seorang tukang masak mengambil masa 2.5 jam untuk membakar sebiji kek oren dan
3 jam untuk membakar sebiji kek strawberi. Kos bagi membuat sebiji kek oren dan kek
strawberi masing-masing ialah RM15 dan RM20. Dalam seminggu, x biji kek oren dan y
biji kek strawberi boleh dihasilkan berdasarkan syarat yang berikut. TP 5
I Tukang masak itu bekerja sekurang-kurangnya 30 jam seminggu.
II Kos untuk membakar kedua-dua kek itu tidak lebih daripada RM300 seminggu.
III Bilangan kek oren tidak lebih daripada dua kali bilangan kek strawberi.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memuaskan semua
kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm bagi mewakili 2 biji kek pada kedua-dua paksi, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari keuntungan maksimum yang
diterima oleh tukang masak itu dalam seminggu jika sebiji kek oren dan kek strawberi
masing-masing memberi keuntungan RM17 dan RM20.

3. Sebuah pejabat pos ingin menghantar 600 bungkusan ke bandar M dengan menggunakan
x buah lori dan y buah van. Pengangkutan bagi setiap bungkusan itu berdasarkan kekangan
yang berikut. TP 5
I Sebuah lori boleh membawa 120 bungkusan manakala sebuah van boleh membawa
50 bungkusan.
II Bilangan van yang digunakan adalah tidak lebih daripada tiga kali bilangan lori.
III Bilangan van yang digunakan adalah sekurang-kurangnya 2 buah.
(a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua
kekangan di atas.
(b) Menggunakan skala 2 cm kepada sebuah lori pada paksi-x dan 2 cm kepada dua buah
van pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari
(i) julat bilangan lori jika 2 buah van digunakan,
(ii) jumlah kos pengangkutan maksimum jika kos pengangkutan untuk sebuah lori dan
sebuah van masing-masing ialah RM150 dan RM100.

247

4. Sekolah Menengah Kebangsaan Setia Indah menganjurkan satu kem motivasi. Peserta bagi
kem motivasi itu terdiri daripada x orang murid perempuan dan y orang murid lelaki. Yuran
bagi seorang murid perempuan ialah RM100 manakala yuran bagi seorang murid lelaki
ialah RM120. Bilangan murid yang menyertai kem tersebut adalah berdasarkan
kekangan berikut. TP 5
I Bilangan maksimum murid yang menyertai kem itu ialah 80 orang.
II Nisbah bilangan murid perempuan kepada murid lelaki adalah sekurang-kurangnya 1 : 3.
III Jumlah yuran yang dikutip adalah tidak kurang daripada RM5 000.
(a) Tulis tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua kekangan di atas selain x > 0
dan y > 0.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang murid pada paksi-x dan paksi-y, bina
dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari
(i) bilangan minimum murid lelaki jika nisbah bilangan murid perempuan kepada murid
lelaki adalah 1 : 3,
(ii) keuntungan maksimum yang diperoleh jika pihak sekolah memperoleh keuntungan
sebanyak 25% daripada jumlah yuran yang dikutip.

5. Sebuah kilang menghasilkan dua jenis almari, iaitu
almari A dan almari B. Setiap almari memerlukan dua
jenis bahan mentah P dan Q. Bilangan setiap bahan
mentah yang diperlukan untuk menghasilkan seunit
almari A dan seunit almari B masing-masing
ditunjukkan dalam jadual di bawah. TP 6
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Almari Bilangan bahan mentah Almari A
Almari B
A PQ
B 23
52

Bilangan bahan mentah P dan Q yang terdapat di kilang tersebut masing-masing ialah
30 unit dan 24 unit. Diberi bahawa bilangan almari A yang dihasilkan adalah selebih-
lebihnya dua kali ganda daripada bilangan almari B. Katakan kilang tersebut menghasilkan
x unit almari A dan y unit almari B.
(a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua

kekangan di atas.
(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit

pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.
(c) Berdasarkan graf yang diperoleh di (b), cari

(i) bilangan maksimum almari B yang dihasilkan jika kilang tersebut menghasilkan
4 unit almari A.

(ii) keuntungan maksimum yang diperoleh kilang tersebut jika keuntungan daripada
jualan seunit almari A ialah RM200 dan seunit almari B ialah RM250.

248

Pengaturcaraan Linear

(a) Dalam kumpulan anda, bincangkan secara Hot Seat mengenai perkara yang berikut.
Diberi rantau di sebelah garis lurus ax + by = c. Jika b , 0, rantau yang manakah
memuaskan ax + by > 0?
(b) Sebuah sekolah diberi peruntukan untuk membeli
komputer jenis A dan jenis B bagi makmal Sudut Informasi
komputernya berdasarkan kepada syarat-syarat
tertentu yang diwakili oleh rantau R dalam rajah Langkah-langkah
di bawah. Jumlah komputer yang dibeli adalah pembelajaran berasaskan
sekurang-kurangnya 6 unit. aktiviti Hot Seat.
1. Seorang murid yang
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAy pakar akan duduk di
B
sebuah kerusi.
2. Murid dalam kumpulan
14 akan mengemukakan

12 y = x soalan berkaitan
masalah.
3. Murid yang pakar akan
10 x = 8 menjawab semua soalan.

4. Setiap kumpulan akan
8 membuat kesimpulan

6 x+y=6 untuk semua masalah

yang dilontarkan.

4
R

2

0 246 8 10 12 14 x AB

7

(i) Nyatakan perkara yang diwakili oleh paksi-x dan paksi-y.
(ii) Selain bilangan komputer jenis A atau jenis B adalah lebih besar daripada sifar,

nyatakan dalam bentuk ayat tiga syarat yang lain.
(iii) Jika sekolah tersebut membeli 6 unit komputer jenis A, berapakah bilangan

maksimum komputer B yang boleh dibeli?
(iv) Jika kos sebuah komputer jenis A dan sebuah komputer jenis B masing-masing

ialah RM1 500 dan RM2 000, cari peruntukan maksimum yang diperlukan
oleh sekolah itu.

249

BAB KINEMATIK

8 GERAKAN LINEAR
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Dron ialah pesawat udara tanpa
Fungsi Masa pemandu (unmanned aerial vehicle)
Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear yang dilengkapi dengan kamera
Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear merupakan satu alat teknologi moden
Aplikasi Kinematik Gerakan Linear untuk memudahkan kerja manusia.
Contohnya, dron digunakan dalam
Senarai servis penghantaran barang, sektor
Standard pertanian, pemetaan dan sebagainya.
Pembelajaran Dron mampu terbang pada altitud
500 m sambil merakam gambar yang
bit.ly/2EIKQtF berkualiti. Pada pendapat anda,
berapakah jarak maksimum suatu dron
250 boleh terbang? Berapakah halaju suatu
dron harus terbang untuk mendapatkan
gambar yang berkualiti tinggi?

Kinematik ialah kajian berkenaan dengan jenis pergerakan
sesuatu objek tanpa merujuk kepada daya-daya yang
menyebabkan gerakan objek itu.

Kuantiti skalar merujuk kepada kuantiti yang mempunyai
magnitud sahaja. Kuantiti vektor merujuk kepada kuantiti yang
mempunyai magnitud dan arah.

Untuk maklumat lanjut:

bit.ly/37eXwVs

Kepentingan Bab Ini

Pengetahuan tentang kinematik penting kerana dapat
menyelesaikan masalah dalam bidang kejuruteraan,
robotik, biomekanik, sains sukan dan
sains astronomi.

Pengetahuan tentang kinematik membolehkan masa,
halaju dan pecutan bagi sesuatu masalah
dapat diketahui.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Sesaran Displacement
Halaju Velocity
Pecutan Acceleration
Jarak Distance
Halaju awal Initial velocity
Halaju malar Uniform velocity
Halaju maksimum Maximum velocity
Halaju minimum Minimum velocity
Pecutan malar Uniform acceleration
Halaju positif Positive velocity
Halaju negatif Negative velocity
Halaju sifar Zero velocity
Sesaran positif Positive displacement
Sesaran negatif Negative displacement
Sesaran sifar Zero displacement

Video mengenai 251
pergerakan dron

bit.ly/2PPjk45

8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa

Memerihalkan dan menentukan sesaran seketika, halaju seketika dan
pecutan seketika suatu zarah

Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan awal seorang
guru yang berdiri 1 meter di sebelah kiri satu titik tetap O.
Kemudian, guru tersebut bergerak ke kedudukan 3 meter di
sebelah kanan O. Apakah yang anda boleh katakan tentang
kedudukan guru tersebut merujuk kepada titik tetap O?

Jika O diambil sebagai titik rujukan dan guru tersebut
berdiri 3 meter di sebelah kanan O, sesarannya ialah positif
3 meter dari O, iaitu s = 3 m. Apabila guru tersebut berada
1  meter di sebelah kiri O, sesarannya ialah negatif 1 meter dari
O, iaitu s = –1 m. Apabila beliau berada di O, sesarannya ialah
sifar meter, iaitu s = 0.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA –1 O 3 s (m)

Sesaran, s suatu zarah dari satu titik tetap ialah jarak di antara Selain sesaran, berikan
zarah itu dan titik tetap tersebut yang diukur dalam arah tertentu. tiga contoh kuantiti
fizik lain yang mewakili

Sesaran ialah kuantiti vektor yang mempunyai magnitud kuantiti vektor.

dan arah. Oleh itu, nilai bagi sesaran boleh menjadi positif, sifar

atau negatif. Jarak pula ialah suatu kuantiti skalar yang merujuk

kepada jumlah panjang bagi laluan sebenar yang dilalui oleh suatu objek.

Ikuti penerokaan yang berikut untuk mengetahui dengan lebih lanjut mengenai sesaran
seketika dan kedudukan suatu zarah dalam gerakannya.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Memerihalkan dan menentukan sesaran seketika dan kedudukan suatu zarah
Langkah:
1. Baca dan fahami situasi yang berikut.

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran bagi zarah
itu, s m, dari O pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t 2 – 3t.

2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi s = t 2 – 3t untuk 0 < t < 4.

Masa, t (s) 01234

Sesaran, s (m)

3. Apakah yang anda boleh katakan mengenai sesaran zarah itu ketika t = 0, t = 1, t = 2,
t = 3 dan t = 4?

4. Jika pergerakan zarah ke kanan dianggap sebagai positif, bina satu garis nombor bagi
mewakili kedudukan zarah itu dan lakarkan graf sesaran-masa.

5. Nyatakan kedudukan zarah itu secara relatif dari titik O apabila sesaran adalah
(a) negatif, (b) sifar, (c) positif.

6. Bincangkan hasil dapatan anda bersama ahli kumpulan dan bentangkan di hadapan kelas.

252 8.1.1

Kinematik Gerakan Linear

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, nilai sesaran yang t=1 t=0
diperoleh mewakili sesaran zarah pada ketika t = 0,

t = 1, t = 2, t = 3 dan t = 4. Sesaran suatu zarah pada –2 s (m)
masa tertentu dikenali sebagai sesaran seketika. t=2 O4
Kedudukan zarah pula boleh diperhatikan daripada garis t=3 t=4

nombor dan graf sesaran-masa seperti yang ditunjukkan s (m)
4
di sebelah. s = t2 – 3t

Daripada garis nombor dan graf sesaran-masa:
Sesaran adalah negatif untuk 0 , t , 3 dan zarah dalam tempoh ini
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bberada di sebelah kiri titik tetap O atau di bahagian bawah paksi-t.

Sesaran adalah sifar di t = 0 dan t = 3. Pada ketika ini zarah 0 1 2 3 4 t (s)
–2
berada di titik tetap O atau pada paksi-t.
Sesaran adalah positif untuk t . 3 dan dalam tempoh ini zarah

berada di sebelah kanan titik tetap O atau di bahagian atas paksi-t.

Secara amnya,

Jika O ialah satu titik tetap dan gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka
• Sesaran negatif, s , 0 menunjukkan zarah berada di sebelah kiri titik O.
• Sesaran sifar, s = 0 menunjukkan zarah berada di titik O.
• Sesaran positif, s . 0 menunjukkan zarah berada di sebelah kanan titik O.

Contoh 1

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m,
pada masa t saat selepas zarah mula bergerak diberi oleh s = 4 + 8t – t 2. Hitung sesaran

seketika, dalam m, dan tentukan kedudukan zarah itu dari titik tetap O apabila

(a) t = 0 (b) t = 10

Penyelesaian t=0 AB

Diberi s = 4 + 8t – t 2. –16 O4 s (m) 8
(a) Apabila t = 0, s = 4 + 8(0) – (0)2 t = 10 20

s=4

Maka, zarah itu berada pada kedudukan 4 m ke kanan dari titik tetap O apabila t = 0.
(b) Apabila t = 10, s = 4 + 8(10) – (10)2

s = 4 + 80 – 100

s = –16

Maka, zarah itu berada pada kedudukan 16 m ke kiri dari titik tetap O apabila t = 10.

Contoh 2

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
itu pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh s = 4t – t 2 untuk 0 < t < 5. Wakilkan

sesaran bagi zarah itu dengan menggunakan

(a) garis nombor, (b) graf sesaran-masa.

8.1.1 253

Penyelesaian

Diberi s = 4t – t 2. Bina jadual bagi sesaran zarah, s = 4t – t 2 dalam tempoh masa 0 < t < 5.

Masa, t (s) 012345

Sesaran, s (m) 0 3 4 3 0 –5

(a) t=0 t=1 (b) s (m) s = 4t – t2

–5 O t = 2 s (m) 4
t=5 t=4 34 3
t=3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 0 1 2 3 4 5 t (s)

–5

Pertimbangkan sebuah kereta lumba yang boleh mencapai kelajuan lebih daripada 350 kmj–1.
Didapati bahawa pergerakan kereta lumba itu melibatkan laju dan halaju.

Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa manakala laju ialah kadar
perubahan jarak terhadap masa. Halaju merupakan suatu kuantiti yang mempunyai magnitud
dan arah, maka halaju ialah kuantiti vektor. Laju pula ialah suatu kuantiti skalar.

Mari teroka cara untuk menentukan halaju seketika dan arah bagi larian seorang murid.

2Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Memerihalkan dan menentukan halaju seketika dan arah larian seorang murid
Langkah:
1. Teliti situasi di bawah.

Seorang murid berlari di sepanjang trek yang lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, murid
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 8t − 2t2. Sesaran murid itu dicatat pada
masa t = 0 hingga t = 6.

2. Dengan menganggap pergerakan ke arah kanan ialah positif, wakilkan sesaran bagi larian
murid itu dengan menggunakan
(a) garis nombor, (b) graf sesaran-masa.

3. Daripada graf sesaran-masa yang diperoleh, cari kecerunan tangen kepada graf itu pada
masa t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

4. Menggunakan hubungan v = 8 – 4t, dengan keadaan v ialah halaju dan t ialah masa,
tentukan nilai-nilai v dengan menggantikan nilai-nilai t dalam Langkah 3 ke dalam
fungsi v dan seterusnya perhatikan nilai positif dan nilai negatifnya.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, garis nombor dan kecerunan tangen pada suatu titik kepada
graf sesaran-masa boleh digunakan untuk menentukan halaju dan arah larian murid. Didapati
bahawa nilai kecerunan tangen pada masa tertentu adalah sama dengan halaju larian murid pada
ketika itu. Misalnya, apabila t = 5, didapati kecerunan tangen ialah – 12, jadi halaju larian murid
itu ialah – 12 ms–1. Halaju suatu objek pada masa tertentu dikenali sebagai halaju seketika.

254 8.1.1

Kinematik Gerakan Linear

Daripada garis nombor dan graf sesaran-masa:
Kecerunan tangen untuk tempoh 0 < t , 2
ialah positif, jadi halaju murid adalah positif –24 –10 t=0 t=1
iaitu v . 0. Murid bergerak menuju ke kanan v=8 v = 4 vt == 20 s (m)
titik O dalam tempoh ini.
O 68
Di t = 2, kecerunan tangen adalah sifar, jadi
halaju murid adalah sifar iaitu v = 0. Murid t=6 t=5 t=4 t=3
v = –16 v = –12 v = –8 v = –4

berehat seketika sebelum bertukar arah

gerakannya pada ketika ini.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kecerunan tangen untuk t . 2 ialah negatif, jadi halaju
Bmurid adalah negatif, iaitu v , 0. Murid bergerak menujus (m)t (s)
ke kiri dan melalui titik O dalam tempoh masa ini. 8 v=0
v>0
Secara amnya,
0 2 4 56

Jika O ialah satu titik tetap dan gerakan suatu zarah v<0
ke arah kanan ialah positif, maka –10
• Halaju positif, v . 0 menunjukkan zarah bergerak
–24 s = 8t – 2t2
menuju ke kanan.
• Halaju sifar, v = 0 menunjukkan zarah berada dalam

keadaan rehat, iaitu zarah adalah pegun ketika ini.
• Halaju negatif, v , 0 menunjukkan zarah bergerak

menuju ke kiri.

Contoh 3

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju, AB
dalam ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh v = 3t – 12.
(a) Hitung 8

(i) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu,
(ii) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 5,
(iii) masa, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah 6 ms–1.
(b) Lakarkan graf halaju-masa bagi mewakili pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 6.

Penyelesaian

(a) (i) Apabila t = 0, v = 3(0) – 12 (b) v (ms–1)

v = –12 6
Maka, halaju awal zarah itu ialah –12 ms–1.

(ii) Apabila t = 5, v = 3(5) – 12 0 4 6 t (s)

v = 15 – 12
v=3
Maka, halaju seketika zarah itu apabila t = 5 ialah 3 ms–1.
(iii) 3t – 12 = 6 v = 3t – 12

3t = 18 –12
t=6

Maka, masa ialah 6 saat apabila halaju seketika zarah itu
ialah 6 ms–1.

8.1.1 255

Pecutan, a bagi suatu objek yang bergerak pada satu garis Sudut Informasi
lurus ialah kadar perubahan halaju terhadap masa. Maka, fungsi
pecutan, a ialah suatu fungsi masa, iaitu a = f(t) dan merupakan Jika halaju suatu objek
suatu kuantiti vektor yang mempunyai magnitud dan arah. berkurang, maka nilai
pecutan menjadi negatif
Jika kadar perubahan halaju terhadap masa bagi suatu objek dan objek dikatakan
yang bergerak adalah sama pada sebarang ketika, maka objek mengalami nyahpecutan.
tersebut dikatakan bergerak dengan pecutan malar. Sebaliknya,
jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah berbeza pada
sebarang ketika, maka objek tersebut dikatakan bergerak dengan
pecutan tak malar.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Pecutan, a pada masa tertentu, t pula dikenali sebagai pecutan seketika dan boleh diperoleh
dengan mencari kecerunan tangen kepada graf halaju-masa pada masa tertentu, t.

Ikuti penerokaan berikut untuk menentukan pecutan seketika seorang wanita yang berenang
pada lorong yang lurus.

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Memerihalkan dan menentukan pecutan seketika seorang perenang
Langkah:
1. Bentukkan beberapa kumpulan. Kemudian, teliti situasi di bawah.

Seorang wanita berenang gaya bebas di sepanjang lorong kolam renang yang lurus.
Halaju, v ms–1, wanita itu berenang pada masa t saat dari blok permulaan O diberi oleh
v = 4t – t 2. Catatan halaju perenang itu diambil pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5.

2. Setiap kumpulan dikehendaki menjawab soalan berikut.
(a) Wakilkan pergerakan perenang itu dengan menggunakan graf halaju-masa.
(b) Cari kecerunan tangen kepada graf pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5.
(c) Apakah yang boleh anda katakan mengenai pecutan perenang itu pada masa t = 1,
t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5?
(d) Buat satu kesimpulan apabila
(i) a . 0 (ii) a = 0 (iii) a , 0

3. Bincangkan hasil dapatan dalam kumpulan masing-masing.

4. Lantik seorang wakil dalam kumpulan anda untuk membentangkan hasil dapatan
kumpulan anda di hadapan kelas.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, kecerunan tangen pada v (ms–1)
satu titik kepada graf halaju-masa boleh digunakan untuk 4 a=0
menentukan pecutan perenang itu. Misalnya, apabila t = 5,
didapati kecerunan tangen ialah – 6, jadi pecutan perenang a>0 t (s)
itu ketika t = 5 ialah – 6 ms–2. Pecutan suatu objek pada masa 2 4 56
tertentu seperti ini dikenali sebagai pecutan seketika. 0
Bagaimanakah anda mentafsirkan tentang gerakan suatu
objek apabila pecutan seketikanya ialah negatif? Apakah –5
perbezaan bagi gerakan suatu objek jika objek itu mempunyai a<0
pecutan seketika – 6 ms–2 dan 6 ms–2? Jelaskan.
–12 v = 4t – t2
256
8.1.1

Kinematik Gerakan Linear

Daripada graf halaju-masa di halaman 256:
Dalam tempoh masa 0 < t , 2, kecerunan tangennya ialah positif, iaitu a . 0 dan v bertambah.
Jadi, pecutan perenang adalah positif dalam tempoh masa ini dan perenang mengalami pecutan.
Untuk t = 2, kecerunan tangennya ialah sifar, iaitu a = 0 dan halaju, v adalah maksimum. Jadi,
pada ketika ini pecutan perenang adalah sifar. Pecutan sifar tidak semestinya halaju juga sifar
tetapi nilainya sama ada maksimum atau minimum.
Untuk t . 2, kecerunan tangennya ialah negatif, iaitu a , 0 dan v berkurang. Jadi, pecutan
perenang adalah negatif dalam tempoh masa ini dan perenang mengalami nyahpecutan.

Secara amnya,

Jika gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka
• Pecutan positif, a . 0 menunjukkan halaju zarah menokok terhadap masa.
• Pecutan sifar, a = 0 menunjukkan halaju zarah adalah maksimum atau minimum.
• Pecutan negatif, a , 0 menunjukkan halaju zarah menyusut terhadap masa.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BContoh 4

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pada masa
t saat selepas melalui O, pecutan, a ms–2, zarah itu diberi oleh a = 12 − 4t. Hitung pecutan
seketika, dalam ms–2, zarah itu pada masa 7 saat.

Penyelesaian Sudut Informasi

Diberi a = 12 – 4t. Tanda negatif pada nilai
Apabila t = 7, a = 12 – 4(7) pecutan menunjukkan
a = −16 bahawa zarah mengalami
Maka, pecutan seketika zarah itu pada masa 7 saat ialah −16 ms−2. nyahpecutan.

Latihan Kendiri 8.1 AB

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, 8
s m, diberi oleh s = 2t 2 – 5t – 3, dengan t ialah masa dalam saat selepas gerakan bermula.
(a) Cari sesaran seketika, dalam m, zarah itu apabila
(i) t = 0, (ii) t = 2.
(b) Bilakah zarah itu
(i) mula melalui titik O? (ii) berada 9 m di sebelah kanan titik O?
(c) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila zarah itu berada di kanan titik O.

2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
v ms–1, diberi oleh v = t 2 – 8t + 7, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.
(a) Cari halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 3.
(b) Hitung nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika.
(c) Tentukan julat nilai t, dalam saat, apabila zarah bergerak ke kiri.

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya,
a ms–2, diberi oleh a = 8 – 4t, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.
(a) Cari pecutan seketika, dalam ms–2, zarah itu apabila t = 4.
(b) Hitung masa, dalam saat, apabila halaju zarah ialah maksimum.
(c) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu menokok.

8.1.1 257

Menentukan jumlah jarak yang dilalui oleh suatu zarah dalam suatu
tempoh masa tertentu

Pola gerakan suatu zarah boleh diperhatikan dengan cara melukis suatu garis nombor atau
melakar graf bagi suatu fungsi sesaran, s = f(t). Daripada garis nombor dan graf tersebut, jumlah
jarak yang dilalui oleh zarah itu dalam tempoh masa tertentu boleh ditentukan dengan mudah.

Contoh 5

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t 2 – 6t. Cari jumlah jarak, dalam m, yang
dilalui oleh zarah itu dalam 7 saat yang pertama.

Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Diberi s = t 2 – 6t. 0123456 7
Masa, t (s) 7
Sesaran, s (m) 0 –5 –8 –9 –8 –5 0
Graf sesaran-masa:
Garis nombor:
s (m)
7

t=2 t=1 t=0 0 3 7 t (s) Berdasarkan Contoh 5,
s (m) s = t2 – 6t adakah jarak yang dilalui
t=3 dalam tempoh 7 saat
–9 –8 –5 O 7   – 9 pertama sama dengan
t=4 t=5 t=6 t=7 sesaran pada saat ke-7?
Bagaimana pula dengan
Jumlah jarak yang dilalui zarah itu dalam 7 saat yang pertama jarak yang dilalui dalam saat
=9+9+7 ke-7? Bincangkan.
= 25 m

Latihan Kendiri 8.2

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 4t 2 + t. Hitung jumlah jarak, dalam m,
yang dilalui oleh zarah itu
(a) dalam tempoh masa 0 < t < 4,
(b) dari t = 3 hingga t = 6.

2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran,
s m, zarah itu pada masa t saat selepas zarah mula bergerak diberi oleh s = 6t – t 2 + 7. Zarah
itu bergerak ke kanan O sehingga t = 3 dan kemudian bergerak menuju ke O semula. Cari
(a) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam
(i) 2 saat yang pertama,
(ii) 9 saat yang pertama.
(b) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ketujuh.

258 8.1.2

Kinematik Gerakan Linear

Latihan Formatif 8.1 Kuiz bit.ly/3mfMZkD

1. Pengenapan lumpur tebal di suatu kawasan menyebabkan muara sungai
di sebuah kampung menjadi cetek dan menyukarkan pergerakan keluar dan masuk bot ke
pangkalan. Sebuah bot bergerak melalui sebuah jeti di sepanjang laluan lurus muara sungai
itu dengan sesaran, s meter, pada masa t saat selepas melalui jeti diberi oleh s = t 2 – 4t.
(a) Salin dan lengkapkan jadual di bawah.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BMasa, t (saat)12345

Sesaran, s (meter)
(b) Lakarkan graf sesaran-masa bagi mewakili pergerakan bot itu.
(c) Cari masa, dalam saat, apabila bot itu berada semula di jeti.

2. Syaza menunggang basikal roda tiga dalam arah yang lurus di halaman rumah dan mempunyai

sesaran awal 2 meter dari sebuah pasu bunga. Sesaran, s meter, pada masa t saat selepas
meninggalkan pasu bunga itu diberi oleh s = t 3 + 2t + c.

(a) Tentukan nilai c.

(b) Cari jarak, dalam m, Syaza dari pasu bunga apabila

(i) t = 2 (ii) t = 3

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah
itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 3t 2 + 2t. Hitung sesaran seketika,
dalam m, zarah itu pada masa t = 0 dan t = 10.

4. Rajah di sebelah menunjukkan seorang murid lelaki yang sedang P AB
menendang sebiji bola di sebuah padang. Bola tersebut bergerak
di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu pusat tetap yang 8
bertanda P. Pada masa t saat selepas melalui pusat P, halaju,
v  ms–1, bola itu diberi oleh v = 7t – 5. Cari halaju seketika,
dalam ms–1, bagi tendangan bola itu apabila t = 2 dan t = 4.

5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya,
a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t.
(a) Cari pecutan awal bagi zarah itu, dalam ms–2.
(b) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu menyusut.

6. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran,
s m, pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh s = 2t2 + t. Hitung
(a) sesaran, dalam m, zarah itu apabila t = 3,
(b) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama.

7. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Pada masa t saat selepas zarah mula
bergerak, sesaran, s m, zarah itu dari satu titik tetap O diberi oleh s = (t – 2)2 + 5.
(a) Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Masa, t (saat) 0123456

Sesaran, s (meter)
(b) Lakarkan graf sesaran-masa untuk 0 < t < 6.
(c) Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam 6 saat yang pertama.

259

8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear

Hubung kait antara fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan

Dalam pembezaan, bagi suatu fungsi y = f (x), terbitannya dy GALERI SEJARAH
dx
boleh dianggap sebagai kadar perubahan y terhadap x. Konsep

ini boleh digunakan dalam gerakan suatu zarah pada satu garis
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
lurus. Misalnya, sesaran, s bagi suatu zarah yang bergerak ialah
ds
fungsi bagi masa, t iaitu s = f (t). Jadi, terbitan dt ialah kadar
perubahan s terhadap t.

Maka, fungsi halaju zarah pada masa t, v = g(t) diberi oleh: Isaac Newton merupakan
tokoh pertama yang
v = ds memperkenalkan kalkulus
dt pembezaan.
Pecutan, a pula ialah kadar perubahan halaju terhadap masa dan Buku beliau yang bertajuk
Philosophiae Naturalis
fungsinya, a = h(t) diberi oleh: Principia Mathematica
menjadi asas kepada idea
a = dv = d 2s had dalam pembezaan.
dt dt 2

Hubung kait antara fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju, v = g(t)

dan fungsi pecutan, a = h(t) boleh diringkaskan seperti dalam

rajah yang berikut:

ds dv d 2s Imbas Kembali
dt dt dt2
v = a = = Jika y = ax n, maka
iddnyxte=gaenr xd na–n1,
s = f (t) v = g(t) a = h(t) dengan a ialah
n ialah pemalar.

Contoh 6

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter, dari satu titik tetap O
diberi oleh s = 3 + 2t – t 2, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas zarah mula bergerak.
(a) Tentukan fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a bagi zarah itu.
(b) Pada rajah yang sama, lakarkan graf bagi fungsi s, v dan a untuk 0 < t < 3 dan seterusnya

jelaskan gerakan zarah itu dari titik tetap O untuk tempoh masa itu.

Penyelesaian

(a) Diberi fungsi sesaran, s = 3 + 2t – t 2 ds
dt
Jadi, fungsi halaju pada masa t, v = Tip Pintar

v = 2 –  2t a = –2 bermaksud zarah
bergerak dengan pecutan
dan fungsi pecutan pada masa t, a = dv malar –2 ms–2.
dt
a = – 2 8.2.1

260

Kinematik Gerakan Linear

(b) Graf fungsi sesaran, halaju dan pecutan bagi zarah itu
yang bergerak dari titik tetap O boleh diringkaskan
s/v/a pada garis nombor seperti yang berikut:

4 t=0 t=1
3 v=2 v=0
2 a = –2 a = –s2(m)
4
s = 3 + 2t – t2 O 3
t=3
av == ––42
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B01tDaripada graf dan garis nombor:
–2 3 • Didapati bahawa zarah mula bergerak pada t = 0
–4
a = –2 dengan sesarannya dari titik tetap O ialah 3 m,
halaju awal 2 ms–1 dan pecutan –2 ms–2.
v = 2 – 2t • Pada t = 1, zarah bertukar arah gerakan dengan
sesarannya dari titik tetap O adalah maksimum
iaitu 4 m, halaju 0 ms–1 dan pecutan –2 ms–2.
• Pada t = 3, zarah tiba di titik tetap O dengan
sesarannya ialah 0 m, halaju – 4 ms–1 dan pecutannya
masih sama, iaitu –2 ms–1.
• Jumlah jarak yang dilalui oleh zarah dari t = 0 ke
t = 3 ialah (4 – 3) + 4 = 5 m.

Latihan Kendiri 8.3

1. Tentukan fungsi halaju, v dalam sebutan t bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu AB

garis lurus dalam setiap yang berikut melalui kaedah pembezaan. 8
(a) s = t(2 – t)2 (b) s = 16t – t 2
(c) s = 2t 3 – 4t 2 + 2t + 1 (d) s = t 3(3 + t)2
(e) s = t(2t 2 – 9t – 5) 1
(f) s = 3 t 3 – 3t 2 + 5t – 2

2. Tentukan fungsi pecutan, a dalam sebutan t bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang

suatu garis lurus untuk setiap yang berikut.

(a) s = 1  t 3 – 1  t 2 + 4t (b) s = t 3 – 5t 2 + 7
3 2
(c) s = 8t – 2t 3 (d) v = (5 – 3t)2

(e) v = 3t 2 – 1 + 4 (f) v = 6t 3 –  4
t t 2

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya,
s m diberi oleh s = 8 + 2t – t 2, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.
(a) Tentukan ungkapan bagi fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a zarah itu dalam sebutan t.
(b) Pada rajah yang sama, lakarkan graf bagi fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan
zarah itu untuk 0 < t < 4. Seterusnya, tafsirkan graf yang anda lakarkan itu.

8.2.1 261

Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada
fungsi sesaran

Kita telah mengetahui bahawa halaju ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa. Jadi, jika

diberi fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju v pada masa t boleh ditentukan dengan membezakan
ds
s terhadap masa t, iaitu v = dt . Daripada fungsi halaju yang diperoleh, bolehkah anda menentukan

halaju seketika suatu zarah pada sebarang masa? Mari teroka aktiviti yang berikut.

4Aktiviti Penerokaan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Berpasangan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada fungsi sesaran
Langkah:

1. Teliti situasi di bawah.

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter dari ggbm.at/jc4dgn58
satu titik tetap O pada masa t saat diwakili oleh fungsi sesaran, s = 40t − 5t2,
dengan keadaan 0 < t < 10.

2. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah untuk melihat gerakan zarah pada graf
sesaran-masa bagi fungsi s = 40t – 5t2 untuk 0 < t < 10.

3. Seret titik A di sepanjang lengkung graf untuk melihat kecerunan tangen di titik A kepada
graf tersebut.

4. Apakah yang anda boleh katakan tentang kecerunan tangen kepada lengkung itu apabila
titik A berubah di sepanjang lengkung graf? Adakah kecerunannya juga turut berubah?
ds
5. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan tangen, dt kepada
lengkung graf pada masa t yang diberi.

Masa, t (s) 0 4 8 10

Kecerunan tangen, ds
dt

6. Apakah yang dapat anda katakan tentang kecerunan tangen, ds kepada lengkung pada
dt tangen, ds
masa t yang diperoleh dalam jadual di atas? Apakah kecerunan dt pada masa t

yang diperoleh itu merupakan halaju seketika zarah pada ketika itu? Bincangkan.

Hasil daripada Penerokaan 4, didapati bahawa setiap kecerunan s (m)
ds 80
tangen, dt di t = 0, t = 4, t = 8 dan t = 10 yang diperoleh —ddst = v = 0
0 s = 40t – 5t2
merupakan halaju seketika zarah kepada graf sesaran-masa
yang berbentuk lengkung, s = 40t – 5t 2 pada masa t itu. –100 4 8 10 t (s)

Bagi graf sesaran-masa yang berbentuk lengkung, halaju 8.2.2
seketikanya adalah berbeza bagi setiap titik yang berlainan
kepada lengkung itu.

Misalnya, pada masa t = 0, halaju seketikanya ialah
40 ms–1 dan halaju ini disebut sebagai halaju awal bagi zarah.

262

Kinematik Gerakan Linear

Pada masa t = 4 pula, iaitu pada ketika sesaran zarah adalah maksimum, halaju seketikanya
ialah 0 ms–1. Sesaran zarah pada ketika ini disebut sebagai sesaran maksimum. Sesaran

maksimum atau minimum berlaku apabila kecerunan tangen atau halaju seketika zarah ialah
ds
sifar, iaitu dt = v = 0.

Bagi graf sesaran-masa yang berbentuk linear pula, kecerunan s (m)

tangennya pada sebarang titik adalah sama. Maka halaju seketika s = f(t)

zarah pada sebarang titik adalah seragam. Halaju seragam ini v = —ddst
dikenali sebagai halaju malar. 0 t (s)

Tip Pintar
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAMelalui pembezaan, halaju seketika suatu zarah pada masa tertentu
B
boleh ditentukan seperti berikut:
–ds5t 2.
Diberi funsgi sesaran s = 40t dt
Jadi, fungsi halaju zarah, v=

v = 40 – 10t

Apabila t = 4, halaju, v = 40 – 10(4) Sesaran maksimum atau
v=0 minimum berlaku apabila
Maka, halaju seketika zarah pada masa 4 saat ialah 0 ms–1.
ds = v = 0.
Secara amnya, dt

Halaju seketika bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dari suatu

titik tetap daripada fungsi sesaran s = f(t) boleh ditentukan dengan menggantikan nilai
ds
t ke dalam fungsi halaju, v = dt .

Contoh 7

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya sesarannya, s meter dari titik tetap AB
O diberi oleh s = t 3 – 9t2 + 24t + 5, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas gerakan
bermula. Hitung 8
(a) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu,
(b) halaju seketika zarah, dalam ms–1, pada masa 3 saat,
(c) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat untuk seketika,
(d) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri.

Penyelesaian

Diberi fungsi sesaran, s = t 3 – 9t 2 + 24t + 5, jadi fungsi halaju, v = ds = 3t 2 – 18t + 24
(a) Apabila t = 0, v = 3(0) 2 – 18(0) + 24 dt

v = 24

Maka, halaju awal zarah ialah 24 ms–1.
(b) Apabila t = 3, v = 3(3) 2 – 18(3) + 24

v = 27 – 54 + 24

v = –3

Maka, halaju seketika zarah itu pada masa 3 saat ialah –3 ms–1.

8.2.2 263

(c) Apabila zarah berehat untuk seketika, v = 0

3t 2 – 18t + 24 = 0
t 2 – 6t + 8 = 0
(t – 2)(t – 4) = 0
t = 2 atau t = 4
Maka, zarah itu berehat seketika pada masa 2 saat dan 4 saat.
(d) Apabila zarah bergerak ke kiri, v , 0

3t 2 – 18t + 24 , 0 24 t (s)
t 2 – 6t + 8 , 0
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA (t – 2)(t – 4) , 0
Daripada lakaran graf, penyelesaian ketaksamaan untuk v , 0 ialah 2 , t , 4.
Maka, julat nilai t apabila zarah bergerak ke kiri ialah 2 , t , 4.

Latihan Kendiri 8.4

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya,
s meter, dari O diberi oleh s = 2t 2 – 3t + 6, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas

gerakan bermula. Hitung
(a) halaju seketika zarah, dalam ms–1, apabila
1
(i) t= 4 (ii) t = 2 (iii) t = 6

(b) masa, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah
(i) –1 ms–1 (ii) 5 ms–1 (iii) 9 ms–1

2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter, dari titik tetap O
pada masa t saat diberi oleh s = 2t 3 – 5t 2 + 4t. Cari
(a) halaju seketika zarah, dalam ms–1, apabila t = 2,
(b) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika,
(c) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan.

Menentukan dan mentafsir pecutan seketika suatu zarah daripada fungsi
halaju dan fungsi sesaran

Kecerunan tangen kepada graf fungsi halaju, v = f(t) bagi gerakan suatu zarah ialah nilai bagi dv
dt
pada masa t, yang merupakan pecutan seketika, a zarah itu. Pecutan seketika, a bagi suatu zarah

yang bergerak pada satu garis lurus juga merupakan kadar perubahan halaju terhadap masa.

=( )adv = d ds = d 2s v (ms–1)
dt dt dt dt 2 v = f(t)

Pada graf halaju-masa dalam Rajah 8.1, kecerunan pada sebarang a = —ddvt

titik di atas graf adalah sama, iaitu kadar perubahan halaju 0 t (s)
dteirkhaatdakapanmmaseam, pdduvtnypaaidapesceubtaarnansgerkaegtaimkadaidsaelaphansjaamnga.gJeardaik,aznanryaha Rajah 8.1
itu. Pecutan seragam ini dikenali sebagai pecutan malar. 8.2.3

264

Kinematik Gerakan Linear

Dalam Rajah 8.2, dalam tempoh 0 < t , a, halaju menokok terhadap masa, jadi pecutan seketika

zarah, a = dv pada sebarang titik di bahagian ini adalah positif, iaitu a . 0.
dt

Sebaliknya dalam tempoh a , t < b, halaju zarah

menyusut terhadap masa, jadi pecutan seketika zarah, a = dv v (ms–1) A —ddvt = 0
dt —ddvt < 0
pada sebarang titik pada bahagian ini adalah negatif, iaitu —ddvt > 0
a , 0. Pecutan negatif ini dikenali sebagai nyahpecutan.

Pada titik A pula, zarah mengalami halaju maksimum
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
dan Bpecutannya,a=dvpadatitikiniadalahsifar,iaitu0 a b t (s)
dt Rajah 8.2
a = 0. Pecutan sifar tidak semestinya halaju juga sifar

tetapi nilainya sama ada maksimum atau minimum.

Secara amnya,

Pecutan seketika, a bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus

dari satu titik tetap daripada fungsi halaju v = f(t) atau fungsi sesaran s = f(t) boleh

ditentukan dengan menggantikan nilai t ke dalam fungsi pecutan a = dv = d 2s .
dt dt 2

Contoh 10

Suatu zarah bermula dari titik tetap O dan bergerak di sepanjang satu garis lurus. Selepas
t saat, sesarannya, s meter diberi oleh s = t 3 – 3t 2 – 4t. Hitung
(a) pecutan awal, dalam ms–2, zarah itu,
(b) pecutan seketika zarah itu, dalam ms–2, pada masa 5 saat,
(c) pecutan zarah itu, dalam ms–2, apabila melalui titik O semula,
(d) julat nilai t, dalam saat, apabila pecutan zarah itu ialah positif.

Penyelesaian AB

Diberi fungsi sesaran, s = t 3 – 3t 2 – 4t 8

Jadi, fungsi halaju, v = ds = 3t 2 – 6t – 4 dan fungsi pecutan, a = dv = 6t – 6
dt dt

(a) Apabila t = 0, a = 6(0) – 6 (b) Apabila t = 5, a = 6(5) – 6
a = – 6 a = 24

Maka, pecutan awal zarah ialah – 6 ms–2. Maka, pecutan seketika zarah itu pada
masa 5 saat ialah 24 ms–2.

(c) Apabila zarah melalui titik O semula, (d) Pecutan zarah positif, a . 0
6t – 6 . 0
s=0 6t . 6
t 3 – 3t 2 – 4t = 0
t(t 2 – 3t – 4) = 0 t . 1



t(t + 1)(t – 4) = 0 Maka, pecutan zarah adalah positif untuk
t . 1.
t = 0, t = –1 atau t = 4

Apabila t = 4, a = 6(4) – 6

a = 18

Maka, apabila zarah itu melalui titik O
semula, pecutannya ialah 18 ms–2.

8.2.3 265

Latihan Kendiri 8.5

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Halajunya, v ms–1, t saat selepas melalui
titik tetap O diberi oleh v = 8t – t 2. Cari
(a) pecutan awal zarah itu, dalam ms–2,
(b) pecutan, dalam ms–2, apabila zarah itu berhenti seketika untuk kali kedua,
(c) masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu adalah seragam.

2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya t saat selepas melalui O, halajunya,
v ms–1, diberi oleh v = t 2 – 2t – 8. Cari
(a) masa, dalam saat, apabila pecutan zarah itu ialah sifar,
(b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Latihan Formatif 8.2 Kuiz bit.ly/3kqzAoY

1. Rajah di sebelah menunjukkan graf bagi fungsi sesaran, s = f(t), s/v/a
fungsi halaju, v = f (t) dan fungsi pecutan, a = f(t) bagi suatu 6 v = f(t)
zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui 5 s = f(t)
satu titik tetap O untuk 0 < t < 4. Berdasarkan graf, tentukan
(a) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu, a = f(t)
(b) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O,
(c) sesaran minimum, dalam m, zarah itu, 0 1 2 34 t
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah dalam
tempoh masa itu, –2
(e) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak menuju –3
ke kanan, –4

2. Rajah di sebelah menunjukkan graf sesaran-masa bagi suatu s (m)
zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus pada masa
t saat. Persamaan lengkung PQ ialah s = ht2 + k, dengan 3 s = ht2 + k
keadaan h dan k ialah pemalar. Titik-titik P, Q, R dan S QR
masing-masing ialah (0, 1), (2, 3), (4, 3) dan (6, 0). Cari
(a) nilai h dan nilai k, 1P 4 S t (s)
(b) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila 02 6
(i) t = 1
(ii) t = 3
(iii) t = 5.

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus supaya sesarannya, s meter dari suatu titik
tetap O pada masa t saat diberi oleh s = t 3 – 5t 2 – 8t + 12, dengan keadaan t > 0.
(a) Ungkapkan fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a zarah itu dalam sebutan t.
(b) Tentukan halaju seketika, dalam ms–1, dan pecutan seketika, dalam ms–2, zarah itu
apabila t = 3.
(c) Cari nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika.
(d) Cari nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah berada di O.
(e) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 6 saat yang pertama.

266 8.2.3

Kinematik Gerakan Linear

8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear

Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada
fungsi pecutan

Anda telah mempelajari bahawa fungsi pecutan, a bagi Imbas Kembali
suatu zarah yang bergerak secara linear ditentukan melalui
pembezaan fungsi halaju, v terhadap masa, t, iaitu: Kamiran tak tentu bagi
suatu fungsi y = t n terhadap

∫dt ieanlaghantk nedat d=anat nn++n11≠+−c1, .
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAa = dv
Bdt

Jika diberi fungsi pecutan, a bagi gerakan linear suatu zarah,
apakah cara untuk menentukan fungsi halaju, v zarah tersebut?

Apabila fungsi pecutan, a diberi, iaitu a = dv , fungsi halaju, v boleh ditentukan dengan
dt
∫melakukan pengamiran fungsi pecutan, a terhadap masa t, iaitu v = a dt.
Secara amnya, hubungan antara fungsi pecutan a = h(t) dan fungsi halaju v = g(t) boleh
diringkaskan seperti berikut.

a = h(t) ∫v = a dt v = g(t)
   
 

Contoh 11

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju AB
awal 4 ms–1. Pecutan, a ms–2, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t.
(a) Hitung 8

(i) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 7,
(ii) halaju maksimum, dalam ms–1, zarah itu,
(b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi t, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu
ialah 7 ms–1.

Penyelesaian

(a) (i) Diberi fungsi pecutan, a = 4 – 2t.

∫ Jadi, fungsi halaju, v = (4 − 2t) dt
v = 4t – t2 + c

Apabila t = 0 dan v = 4,
4 = 4(0) – (0)2 + c
Oleh itu,

c=4
Jadi, pada masa t, v = 4t – t 2 + 4.
Apabila t = 7, v = 4(7) – (7)2 + 4

v = 28 – 49 + 4

v = –17
Maka, halaju seketika zarah itu apabila t = 7 ialah –17 ms–1.

8.3.1 267

(ii) Halaju maksimum, dv =0
dt
4 − 2t = 0 Sudut Informasi

2t = 4 Halaju minimum atau
maksimum berlaku apabila
d 2v t=2 kddevtp=adaa=n0ila, bi eddr 2tg v2a. ntung
dt 2 • iJaiklaahddm 2t v2in.im0u,mm.aka halaju
Oleh sebab = –2 (, 0), v adalah maksimum • iJaiklaahddm 2t v2ak,sim0,umma.ka halaju

apabila t = 2.

Maka, halaju maksimum zarah = 4(2) – (2)2 + 4
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
=8–4+4
= 8 ms–1


(b) Apabila halaju seketika zarah ialah 7 ms–1, v = 7
4t – t 2 + 4 = 7
t 2 – 4t + 3 = 0

(t – 1)(t – 3) = 0

t = 1  atau  t = 3

Maka, nilai-nilai yang mungkin bagi t ialah 1 saat dan 3 saat.

Latihan Kendiri 8.6

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
halaju awal 10 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh
a = 4t – 8, cari
(a) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu pada masa 4 saat,
(b) halaju minimum, dalam ms–1, zarah itu.

2. Suatu zarah bergerak dari satu titik tetap O pada satu garis lurus dengan halaju awal 2 ms–1.
Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 6t, cari
(a) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 3,
(b) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila a = –8.

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dalam masa t saat selepas melalui
titik tetap O. Pecutannya, a ms–2, diberi oleh a = 6t – 24. Zarah itu melalui O dengan halaju
36 ms–1. Cari
(a) julat nilai t apabila halajunya negatif, (b) halaju minimum, dalam ms–1, zarah itu.

4. Corak jahitan pada bahagian tepi sehelai alas meja dihasilkan dengan menggunakan sebuah
mesin jahit tepi. Halaju awal pergerakan mesin jahit tersebut di sepanjang satu garis lurus
ialah 20 cms–1. Pecutannya, dalam cms–2, diberi oleh a = 8 – 2t, dengan keadaan t ialah
masa, dalam saat, selepas kelepet dihasilkan. Hitung
(a) halaju seketika, dalam cms–1, jahitan itu pada
masa 2 saat,
(b) halaju seketika, dalam cms–1, jahitan itu
apabila pecutan ialah sifar,
(c) masa, dalam saat, jahitan itu apabila
pecutan ialah 5 cms–2,
(d) nilai t, dalam saat, apabila halaju jahitan itu
ialah 11 cms–1.

268 8.3.1

Kinematik Gerakan Linear

Menentukan dan mentafsir sesaran seketika suatu zarah daripada fungsi
halaju dan fungsi pecutan

Jika diberi suatu fungsi halaju, v, bagaimanakah untuk menentukan fungsi sesaran, s, zarah itu?
Bagaimanakah pula untuk menentukan fungsi halaju, v dan seterusnya fungsi sesaran, s suatu
zarah daripada suatu fungsi pecutan, a?
Apabila fungsi halaju, v diberi sebagai satu fungsi masa t, fungsi sesaran, s boleh diperoleh
dengan melakukan pengamiran, iaitu

∫s = v dt
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
dan apabila fungsi pecutan, a diberi sebagai satu fungsi masa t, fungsi sesaran, s boleh diperoleh
dengan melakukan pengamiran sebanyak dua kali secara berturut-turut, iaitu

∫ ∫v = a dt  dan s = v dt

Contoh 12

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju
12 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t.
(a) Tentukan sesaran seketika, dalam m, zarah itu dari O

(i) apabila t = 3,
(ii) ketika zarah berada dalam keadaan pegun.
(b) Seterusnya, cari jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ke-7.

Penyelesaian

∫Fungsi halaju, v diberi oleh v = a dt Tip Pintar
∫ v = (4 – 2t) dt
Anda digalakkan untuk AB
v = 4t – t 2 + c melukis garis nombor untuk
Apabila t = 0 dan v = 12, oleh itu, 12 = 4(0) – 02 + c menggambarkan gerakan 8
suatu zarah. Semasa
c = 12. melukis garis nombor bagi
Jadi pada masa t, v = 12 + 4t – t 2. gerakan zarah, misalnya
dalam tempoh masa
∫Fungsi sesaran, s diberi oleh, s = v dt 0 < t < n, perkara yang
∫ s = (12 + 4t – t 2) dt berikut perlu dilabelkan
1 pada garis nombor itu:
s = 12t + 2t 2 – 3  t 3 + c • sesaran zarah apabila t = 0
• masa dan sesaran zarah,
Apabila t = 0 dan s = 0. 1
3 jika wujud apabila v = 0
Oleh itu, 0 = 12(0) + 2(0)2 – (0)3 + c • sesaran zarah apabila t = n
= 0 Berdasarkan Contoh 12,
c 1 lukis garis nombor bagi
3 gerakan zarah untuk
Jadi pada masa t, s = 12t + 2t 2 –  t 3 tempoh masa 0 < t < 9.

(a) (i) Apabila t = 3, s = 12(3) + 2(3)2 – 1 (3) 3
3
s = 36 + 18 – 9

s = 45

Maka, sesaran seketika zarah itu apabila t = 3 ialah 45 m.

8.3.2 269

(ii) Apabila zarah berada dalam keadaan pegun, v = 0. Sudut Informasi
Jadi, 12 + 4t – t 2 = 0
t 2 – 4t – 12 = 0 Masa ialah satu daripada
kuantiti skalar yang hanya
(t + 2)(t – 6) = 0 mempunyai magnitud
Oleh sebab t > 0, t = 6, sahaja. Oleh itu, nilai
Apabila t = 6, s = 12(6) + 2(6)2­­ 1 (6) 3 bagi masa mestilah
– 3 sentiasa positif.

s = 72 + 72 – 72 Tip Pintar

s = 72 Jumlah jarak yang dilalui
dalam n saat yang pertama
Maka, sesaran seketika zarah itu apabila berada dalam ialah jarak yang dilalui oleh
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA zarah dari masa t = 0 ke
keadaan pegun ialah 72 m. t = n. Manakala jarak yang
dilalui dalam saat ke-n
(b) Apabila t = 7, + 2(7)2­ – 1 (7) 3 O 67—23 t=6 s (m) ialah jarak yang dilalui oleh
s = 12(7) 3 72 zarah dari masa t = (n – 1)
ke t = n, iaitu |sn – sn – 1|.
s = 84 + 98 – 114 31 t=7
s = 67 32
Daripada garis nombor, jarak yang dilalui oleh zarah
dalam saat ke-7 =  s7 – s6 
 67  2 72 
= 3 –

=  – 4  1  
= 3
4 13 m

Latihan Kendiri 8.7

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
halaju awal 3 ms–1. Pecutannya, a ms–2, t saat selepas melalui O diberi oleh a = 6 – 3t. Cari

sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila

(a) t = 5, (b) halajunya seragam.

2. Pecutan, a ms–2, bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus pada masa

t saat selepas melalui satu titik tetap O diberi oleh a = 12t – 8. Diberi halaju zarah, t = 1 saat
selepas melalui O ialah –10 ms–1. Cari sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila
(a) pecutannya ialah 4 ms–2,
(b) zarah berada dalam keadaan pegun.

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju
awal 8 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 10 – 6t, cari

(a) sesaran maksimum zarah itu, (b) jarak yang dilalui zarah itu dalam saat ke-5.

4. Farhan menyertai acara berbasikal yang dianjurkan oleh sebuah kelab
berbasikal. Farhan bergerak di sepanjang jalan raya yang lurus pada
masa t jam selepas berada di tempat permulaan. Pecutan, a kmj–2
diberi oleh a = 8t – 6 dan halaju permulaan kayuhan ialah –18 kmj–1.
(a) Ungkapkan fungsi sesaran, s dan fungsi halaju, v,
dalam sebutan t.
(b) Buktikan bahawa Farhan berhenti seketika pada t = 3.
(c) Cari jumlah jarak, dalam km, yang dilalui oleh
Farhan dalam 3 jam yang pertama.

270 8.3.2

Kinematik Gerakan Linear

Latihan Formatif 8.3 Kuiz bit.ly/3kcDmT6

1. Suatu zarah bergerak melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 30 ms–1 dan bergerak di
sepanjang satu garis lurus dengan pecutan a = (12 – 6t) ms–2 pada masa t saat selepas melalui
titik tetap O.
(a) Hitung halaju, dalam ms–1, apabila t = 2.
(b) Di manakah zarah itu berada apabila t = 1?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Pada masa t saat
selepas melalui O, halaju v ms–1, zarah itu diberi oleh v = 24t – 6t 2. Hitung
(a) pecutan awal, dalam ms–2, zarah itu,
(b) nilai t, dalam saat, apabila pecutan ialah sifar,
(c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berada semula di O.

3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
halaju −12 ms–1 dan pecutan −10 ms–2. Selepas t saat dari titik tetap O, pecutan zarah itu
ialah a = m + nt, dengan m dan n ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika apabila
t = 6. Hitung
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai m dan nilai n,
(b) halaju minimum, dalam ms–1, zarah itu,
(c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 9 saat yang pertama.

4. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju, v ms–1, zarah AB
itu pada masa t saat selepas meninggalkan O diberi oleh v = 2t 2 – 5t − 3. Hitung
(a) sesaran, dalam m, apabila zarah itu berhenti seketika, 8
(b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan,
(c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam 6 saat yang pertama.

5. Haiqal bermain kereta kawalan jauh di sepanjang landasan yang lurus. Pecutan, a ms–2,
diberi oleh a = 12 – 4t pada masa t saat selepas kereta kawalan jauh itu melalui titik
tetap O. Hitung
(a) halaju maksimum, dalam ms–1, kereta kawalan jauh itu,
(b) nilai-nilai t, dalam saat, apabila halaju kereta kawalan jauh itu ialah sifar,
(c) jarak, dalam m, kereta kawalan jauh itu pada saat ke-5.

6. Rajah di sebelah menunjukkan Azlan yang sedang berlari M

melalui sebuah jambatan lurus dalam masa 25 saat. Halaju
Azlan, v ms–1, pada masa t saat selepas melalui M diberi

oleh v = 3  t − 3  t  2. Hitung
4 100
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]

(a) nilai t, dalam saat, apabila pecutan bagi Azlan ialah sifar,
(b) halaju maksimum Azlan, dalam ms–1,

(c) jarak, dalam m, yang dilalui oleh Azlan.

271

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear

Menyelesaikan masalah kinematik gerakan linear yang melibatkan
pembezaan dan pengamiran

Kita telah mempelajari bahawa hubungan antara sesaran, s, halaju, v dan pecutan, a bagi suatu
objek yang bergerak secara linear adalah seperti yang berikut.

Menggunakan v = ds , a = dv Menggunakan ∫ ∫v = a dt, s = v dt
pembezaan dt dt    pengamiran
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Dengan pengetahuan dan kemahiran mengaplikasi hubungan ini, banyak masalah yang melibatkan
pegerakan linear suatu objek boleh diselesaikan.

Contoh 13 Aplikasi Matematik

Fariza mula berlari di sepanjang lorong yang lurus selama 30 saat dari garis permulaan.
Halajunya, v ms–1, selepas t saat diberi oleh v = 0.9t – 0.03t2 dengan keadaan 0 < t < 30. Cari
(a) masa, dalam saat, apabila pecutannya ialah sifar,
(b) jarak, dalam meter, yang dilalui oleh Fariza.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Diberi fungsi halaju Fariza ialah Gunakan a = dv untuk menentukan
v = 0.9t – 0.03t2 dan apabila t = 0, dt
s = 0, cari fungsi pecutan dan cari nilai t apabila

masa yang diambil oleh Fariza apabila pecutan ialah sifar, iaitu a = 0.
pecutannya sifar. ∫ Gunakan s = v dt untuk menentukan
jarak yang dilaluinya dalam masa
30 saat. fungsi sesaran dan gantikan t = 30 ke

dalam fungsi sesaran untuk mencari

jarak yang dilalui oleh Fariza.

3 . Melaksanakan strategi

(a) Diberi v = 0.9t – 0.03t 2. ∫(b) s = v dt
dv ∫ s = (0.9t – 0.03t 2) dt
Jadi, a = dt
s = 0.45t 2 – 0.01t 3 + c
a = 0.9 – 0.06t

Apabila pecutan sifar, a = 0. Apabila t = 0 dan s = 0, oleh itu c = 0.
0.9 – 0.06t = 0 Jadi, pada masa t, s = 0.45t2 – 0.01t 3
Apabila t = 30, s = 0.45(30)2 – 0.01(30) 3
0.06t = 0.9

t = 15 s = 135

Maka, pada masa 15 saat, pecutan Maka, jarak larian yang dilalui oleh

Fariza ialah sifar. Fariza dalam masa 30 saat ialah 135 m.

272 8.4.1

Kinematik Gerakan Linear

4 . Membuat refleksi

(a) Gantikan t = 15 ke dalam fungsi pecutan, a = 0.9 – 0.06t untuk mengesahkan

bahawa pecutan Fariza adalah sifar pada masa 15 saat.

a = 0.9 – 0.06(15)

a = 0.9 – 0.9

a = 0
(b) Lakarkan graf halaju-masa, v = 0.9t – 0.03t2 untuk tempoh masa 0 < t < 30 dan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bdengan menggunakan kamiran tentu, sahkan luas di bawah graf bagi tempoh masa

itu ialah 135 m.
∫  Jarak = 30 (0.9t – 0.03t 2) dt
0 v (ms–1)

[ ] = 0.45t 2 – 0.01t 3 30 v = 0.9t – 0.03t2
0
= [0.45(30)2 – 0.01(30)3] – [0.45(0)2 – 0.01(0)3]

= 135 – 0 0 30 t (s)
= 135 m

Latihan Kendiri 8.8 AB

1. SMK Seri Aman melancarkan sebuah roket air di padang sekolah semasa perasmian Karnival 8
Matematik dan Sains. Roket itu dilancarkan secara menegak ke atas dari permukaan padang
sekolah dengan halajunya, v ms–1, diberi oleh v = 20 – 10t, selepas t saat dari permukaan
padang. Roket itu berhenti seketika pada masa p saat.
(a) Cari nilai p.
(b) Ungkapkan dalam sebutan t untuk sesaran, s meter, roket itu pada masa t saat.
(c) Tentukan
(i) ketinggian maksimum, dalam meter, yang dicapai oleh roket itu,
(ii) masa, dalam saat, apabila roket itu menyentuh permukaan padang.

2. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan dan arah

gerakan dua orang budak lelaki, Faiz dan Qian Hao

yang berlari pada satu jalan yang lurus dan masing-

masing melalui dua titik tetap, P dan Q. Pada ketika P R Q
Faiz melalui titik tetap P, Qian Hao pula melalui titik

tetap Q. Faiz berhenti seketika di titik R. Halaju Faiz, 50 m

v ms–1, pada masa t saat selepas melalui titik tetap P
diberi oleh v = 6 + 4t – 2t2 manakala Qian Hao pula berlari dengan halaju malar –5 ms–1.

Diberi jarak PQ ialah 50 m.

[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Hitung halaju maksimum Faiz, dalam ms–1.

(b) (i) Lakarkan graf halaju-masa bagi Faiz dari titik P ke titik R.

(ii) Seterusnya, cari jarak Faiz, dalam m, dari titik P ke titik R.

(c) Tentukan jarak, dalam m, antara Faiz dengan Qian Hao ketika Faiz berada di titik R.

8.4.1 273

3. Azim berlari di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju bagi larian Azim, v kmj–1
pada masa t jam selepas melalui O diberi oleh v = mt2 + nt. Azim berhenti berehat setelah
berlari separuh daripada jarak larian pada t = 1 dengan pecutan 12.5 kmj–2. Cari

[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(b) halaju maksimum, dalam kmj–1, larianAzim,
(a) nilai m dan nilai n,

(c) jarak, dalam km, yang dilalui oleh Azim pada jam kedua.

4. Rajah di sebelah menunjukkan gerakan sebuah kereta di
sepanjang jalan yang lurus bermula dari titik tetap O dan
menuju ke arah titik A dan titik B. Halaju, v ms–1, kereta
itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O diberi B A
oleh v = 3t2 – 16t – 12. Diberi kereta itu berada di titik A
apabila t = 5 dan berehat seketika di titik B. Hitung
(a) pecutan kereta di titik B, dalam ms–2, (b) jarak AB, dalam m.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA O

Latihan Formatif 8.4 Kuiz bit.ly/3m2JWMh

1. Sebiji bola yang dipukul oleh seorang pemain kriket bergerak di sepanjang satu
laluan yang lurus melalui pusat P dengan halaju 44 ms–1. Pecutan, a ms–2 pada masa
t saat selepas bola itu melalui P diberi oleh a = 12 – 6t. Hitung
(a) halaju maksimum bola itu, dalam ms–1,
(b) jarak, dalam m, bola itu dari pusat P apabila t = 2.

2. Suatu objek bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap X. Pecutan, a ms–2, objek
itu pada masa t saat selepas melalui titik X diberi oleh a = 16 – 4t bagi 0 < t < 3. Diberi
halaju objek itu pada masa t = 3 ialah 38 ms–1. Hitung
(a) halaju awal, dalam ms–1, objek itu,
(b) halaju, dalam ms–1, objek itu pada saat keempat.

3. Objek A dan objek B diletakkan pada satu garis lurus mengufuk. Sebuah kereta mainan
digerakkan di sepanjang garis lurus tersebut. Halaju, dalam ms–1, kereta mainan itu pada
masa t saat selepas kereta mainan melalui objek A diberi oleh v = 2t – 4. Pada awal
pergerakan, kereta mainan itu bergerak menuju ke arah objek B.
[Anggapkan gerakan kereta mainan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Hitung julat nilai t, dalam saat, apabila kereta mainan itu menuju ke objek B.
(b) Diberi jarak di antara objek A dengan objek B ialah 5 m. Tentukan sama ada pergerakan
kereta mainan tersebut akan tiba ke objek B atau tidak.
(c) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui kereta mainan itu dalam 6 saat yang pertama.
(d) Lakarkan graf bagi sesaran kereta mainan itu dari objek A untuk 0 < t < 6.

4. Satu eksperimen menguji pergerakan suatu zarah di sepanjang satu garis lurus dengan
halaju v ms–1 pada masa t saat dari titik permulaan O. Pada masa t saat selepas melalui O,
halaju, v ms–1, zarah itu diberi oleh v = 3t2 – 8t + 4. Pada awal eksperimen, zarah berada
2 m di kanan O. Hitung
(a) jarak, dalam m, zarah itu dari titik O pada masa t = 5,
(b) halaju minimum, dalam ms–1, yang dicapai oleh zarah itu,
(c) julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu adalah negatif,
(d) sesaran maksimum, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dari titik O bagi 0 < t < 2.

274 8.4.1

Kinematik Gerakan Linear

SUDUT REFLEKSI

KINEMATIK GERAKAN LINEAR

v = ds a = dv = d 2s
dt dt dt 2
Sesaran, s Halaju, v Pecutan, a
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B∫s = v dt∫v = a dt

Aplikasi

Nota t=0
v=0
• Sesaran awal a=0
• Halaju awal
• Pecutan awal

• Sesaran minimum
• Sesaran maksimum

• Halaju minimum
• Halaju maksimum

Aplikasi pembezaan dan pengamiran dapat digunakan untuk menentukan sesaran, halaju dan AB
pecutan bagi suatu objek. Buat carian di Internet dan rujuk buku-buku yang berkaitan dengan
aplikasi pembezaan dan pengamiran dalam gerakan suatu objek. Kemudian, hasilkan satu 8
folio grafik yang menarik.

Latihan Sumatif

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s meter,
zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 2t3 – 24t2 + 90t. Hitung TP 3
(a) sesaran, dalam meter, zarah itu dari titik tetap O apabila t = 8,
(b) halaju, dalam ms–1, apabila t = 1,
(c) pecutan, dalam ms–2, apabila t = 3,
(d) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika.

275

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap P pada masa t saat.
Sesaran, s meter, zarah itu pada masa t saat selepas meninggalkan P diberi oleh
s = 3t2 – 12t + 2. Hitung TP 3
(a) sesaran, dalam meter, yang dilalui oleh zarah pada t = 3,
(b) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu,
(c) pecutan malar, dalam ms–2.

3. Eleeza berbasikal dari rumahnya ke kedai di sepanjang jalan yang lurus. Sesaran, s meter
dari rumahnya pada masa t minit diberi oleh s = 2t3 – 9t2 + 12t + 6 bagi 0 < t < 4. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Hitung
(i) halaju awal, dalam mmin–1, Eleeza berbasikal,
(ii) halaju, dalam mmin–1, Eleeza berbasikal apabila t = 3,
(iii) pecutan, dalam mmin–2, Eleeza berbasikal apabila t = 2,
(iv) jarak, dalam m, yang dilalui oleh Eleeza dalam minit ketujuh.
(b) Lakarkan graf halaju-masa bagi mewakili perjalanan Eleeza untuk 0 < t < 4.

4. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus melalui titik tetap O dan menuju ke titik
bertanda X dengan sesaran 1.25 m. Pecutannya diberi oleh 10 ms–2.
(a) Tentukan fungsi halaju, v dan fungsi sesaran, s zarah itu dalam sebutan t.
(b) Cari masa, dalam saat, dan halaju, dalam ms–1, ketika zarah itu berada di titik X. TP 4

5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O pada masa
t  saat dengan halaju awal 8 ms–1. Pecutan, a ms–2, zarah itu pada masa t saat selepas
meninggalkan O diberi oleh a = 6 – 6t. Hitung TP 3
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) halaju, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 2,
(b) sesaran, dalam m, zarah itu dari O apabila t = 5.

6. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju,
v  ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t2 – 4t + 3. Hitung TP 4
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika,
(b) jarak, dalam meter, yang dilalui oleh zarah itu bagi 0 < t < 8.

7. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik P. Pecutan, a ms–2, zarah
itu pada masa t saat selepas meninggalkan P diberi oleh a = mt + n, dengan keadaan m dan
n ialah pemalar. Zarah itu bergerak dengan halaju awal 30 ms–1, mengalami nyahpecutan
20 ms–2 dan berhenti seketika apabila t = 2. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Cari nilai m dan nilai n.
(b) Ungkapkan fungsi sesaran, s bagi pergerakan zarah itu dalam sebutan t.
(c) Cari nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika buat kali kedua.
(d) Hitung jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam saat ke-2.

276

8. Sebiji guli bergerak dari keadaan rehat di sepanjang garis Kinematik Gerakan Linear
lurus pada masa t saat selepas melalui titik tetap O dengan
halaju, v ms–1, guli itu ialah v = 2t2 – 6t – 6. TP 3 v = 2t2 – 6t – 6
(a) Hitung halaju guli itu, dalam ms–1, apabila t = 2. O
(b) Cari pecutan guli itu, dalam ms–2, apabila v = 14 ms–1.

9. Irma memandu di sepanjang jalan raya yang lurus meninggalkan tempat meletak kenderaan
1
di sebuah pusat membeli-belah. Halaju, v ms–1, keretanya diberi oleh v = 2 t 2 – 2t dengan

keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui palang automatik. Sesaran awal kereta itu
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
ialah 50 meter. TP 2 B

(a) Hitung nilai t, dalam saat, apabila kereta yang dipandu Irma berhenti seketika.

(b) Cari jumlah jarak yang dilalui oleh kereta itu, dalam m, untuk 7 saat yang pertama.

(c) Huraikan gerakan kereta itu dalam 6 saat pertama.

10. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus yang melalui satu titik tetap O. Halaju,
v ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t2 – 8t. TP 4
(a) Tunjukkan bahawa halaju maksimum, dalam ms–1, zarah tersebut adalah bukan sifar.
(b) Cari sesaran, dalam meter terhampir, yang dilalui zarah itu dari titik tetap O apabila t = 4.

11. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s meter,
zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t3 – 3t + 1.
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] TP 4
(a) Ungkapkan halaju, v ms–1, dan pecutan, a ms–2, dalam sebutan t.
(b) Huraikan gerakan zarah apabila t = 0 dan t = 2.
(c) Cari julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bertukar arah pergerakan.

12. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari tempat permulaan. Halaju, v ms–1, AB
zarah itu pada masa t saat selepas melalui tempat permulaan diberi oleh v = ht 2 + kt dan
h dan k ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika selepas 3 saat dengan pecutan pada ketika 8
itu ialah 9 ms–2. Cari TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) nilai h dan nilai k,
(b) masa, dalam saat, apabila zarah itu kembali semula ke tempat permulaan,
(c) pecutan, dalam ms–2, apabila zarah itu kembali semula ke tempat permulaan,
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama.

13. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan
halaju – 6 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh
a = 8 – 4t. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Cari halaju maksimum, dalam ms–1, bagi zarah itu.
(b) Cari masa, dalam saat, zarah itu selepas melalui titik tetap O sekali lagi.
(c) Lakarkan graf halaju-masa bagi pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 3.
(d) Seterusnya, cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 3 saat
yang pertama.

277

14. Cikgu Azizah menjalankan satu eksperimen untuk menentukan kelajuan troli di sepanjang
landasan yang lurus. Halaju, v cms–1, troli itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O
diberi oleh v = t2 – 7t + 6. TP 5
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.]
(a) Cari
(i) halaju awal, dalam cms–1, troli itu,
(ii) julat masa, dalam saat, apabila troli itu bergerak ke arah kiri,
(iii) julat masa, dalam saat, apabila pecutan troli itu adalah positif.
(b) Lakarkan graf halaju-masa bagi pergerakan troli itu bagi 0 < t < 6.

15. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
v ms–1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t 2 – 6t + 8. Zarah itu berhenti
seketika pada titik P dan R.
[Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] TP 5
(a) Cari halaju minimum, dalam ms–1, bagi zarah itu.
(b) Hitung jarak, dalam m, antara titik P dengan titik R.
(c) Lakarkan graf halaju-masa bagi 0 < t < 7. Seterusnya, tentukan julat nilai t apabila
halaju zarah itu meningkat.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Arahan:
1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan dengan setiap kumpulan terdiri daripada

4 orang ahli.
2. Setiap kumpulan diberikan sebuah kereta mainan. Kereta mainan tersebut akan digerakkan

dari tempat permulaan bertanda X. Katakan catatan pergerakan kereta mainan tersebut
melibatkan laluan yang bergaris lurus seperti yang ditunjukkan di bawah.

A B X C D

3. Setiap kumpulan perlu membuat simulasi bagi setiap arahan di bawah.
(a) Nyatakan posisi kereta mainan itu dari tempat permulaan bertanda X apabila
(i) sesaran positif (ii) sesaran sifar (iii) sesaran negatif
(b) Nyatakan sama ada halaju kereta mainan itu positif atau negatif apabila kereta itu
bergerak dari
(i) X ke B (ii) B ke D (iii) D ke A
(iv) A ke C (v) C ke X
(c) Nyatakan halaju kereta mainan itu apabila
(i) berhenti di C, (ii) bertukar arah gerakan di D.
(d) Dengan menggerakkan kereta mainan tersebut, bincangkan bersama kumpulan
anda maksud pecutan, nyahpecutan dan pecutan sifar.


278

Jawapan

Buka fail Jawapan Lengkap pada kod QR di halaman (vii) untuk mendapatkan langkah-langkah penyelesaian.

BAB 1  SUKATAN MEMBULAT 4. (a) 1.75 rad (b) 36.27 cm2

Latihan Kendiri 1.1 5. (a) 24.73 cm (b) 222.57 cm2

1. (a) 22.5° (b) 135° (c) 28° 39 (d) 59° 35 (c) 98.98 cm2 (d) 123.59 cm2

2. (a) 110 π rad (b) 2  π rad (c) 1 1  π rad (d) 1 2  π rad 6. (b) 34.44 cm2 (c) n = 5, 16.46 cm2
3 4 3
Latihan Kendiri 1.8
Latihan Formatif 1.1KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1. (a) 1.855 rad, 1.75 rad (b) 132.37 cm
(c) 349.18 cm2
1. (a) 105° (b) 240° (c) 114° 35 (d) 274° 59
2. (a) 1.327 rad (b) 2.426 rad (c) 3.535 rad (d) 5.589 rad 2. 8.931 mm
3. (a) 1.274 rad (b) 2.060 rad (c) 2.627 rad (d) 3.840 rad
Latihan Formatif 1.4

Latihan Kendiri 1.2 1. (a) (i) 29.68 cm (ii) 42.23 cm2 (iii) 337.84 cm3

1. (a) 13.2 cm (b) 16 cm (c) 13.09 cm (d) 6.92 cm (b) 1 350 gram
2. (a) 5 cm (b) 6.42 cm
3. (a) 2.002 rad (b) 10.01 cm 2. (a) 40.96 m (b) 109.156 m2 (c) 163.734 m3

3. (a) 1.344 rad (b) 61.824 cm (c) 391.068 cm2

Latihan Kendiri 1.3 4. (a) (i) 31.41 cm (ii) 471.15 cm2

1. (a) 26.39 cm (b) 20.47 cm (iii) 61.41 cm (iv) 81.44 cm2
(c) 30.62 cm (d) 32.74 cm
(b) 25.78 cm (b) 7 067.25 cm3 (c) RM3 533.63
2. (a) 114° 35
Latihan Sumatif

Latihan Kendiri 1.4 1. (a) 1.2 rad (b) 32 cm

1. (a) 34.96 cm (b) 7.25 cm (c) 39.87 cm 2. (a) 23.049 cm (b) 31.908 cm2
2. 5 663.819 km
4. (a) 109.97 cm 3. 37.1 m 3. (a) 1.08 rad 1 (b) 14.8 cm 1
5. 89.66 cm 2 4
(b) 379.97 cm 4. (a) 2j + jq = 18,  j 2q = 8 (b) j = 8 cm, q = rad
Latihan Formatif 1.2
5. (a) 16° 16' (b) 3.42 cm (c) 0.45 cm2

6. (a) 0.6284 rad (b) 71.87 cm2

7. 0.433j 2 8. 60.67 cm

1. (a) 1.484 rad (b) 10.11 cm 9. (a) 8 cm (b) 55.44 cm2 (c) 5.791 cm2
2. 0.7692 rad
3. (a) 0.6435 rad (b) 7.218 cm 10. (a) 25 unit2 (b) 90° (c) 25 unit2
4. (a) 4 cm (b) 2 cm
5. (a) 8.902 cm (b) 18.44 cm 11. (a) 2.636 rad (b) 21.09 unit2 (c) 13.34 unit2
6. 26.39 cm
7. (a) 103.686 m (b) 2 073.72 m 12. (a) 6.711 cm (b) 39.50 cm

(c) 24.5 cm2 (d) 77.80 cm2

13. (a) 6.282 cm (b) 3.54 cm2

14. (a) 1.5 rad (b) 65.55 m (c) 155.07 m2

Latihan Kendiri 1.5 15. 78.564 cm

1. (a) 19.8 cm2 (b) 107.5 cm2 16. (b) (i) 1 261.75 cm2 (ii) 720.945 cm2
(c) 13.09 cm2 (d) 471.4 cm2
(iii) 144.189 liter
2. 15 cm2
3. (a) 10 cm 17. (a) 2.094 cm (b) 3.141 cm2
4. (a) 1.2 rad
(b) 39 cm (c) 59 cm (c) 12.564 cm3 (d) 38.658 cm2
(b) 12 cm (c) 32 cm
18. (a) 62.82 cm (b) 27.12 cm2

Latihan Kendiri 1.6 BAB 2 PEMBEZAAN

1. (a) 12.31 cm2 (b) 61.43 cm2 Latihan Kendiri 2.1
(c) 2.049 cm2 (d) 42.52 cm2
(b) 3.023 cm2 1. (a) –3 (b) 1 (c) –2 (d) 1
2. (a) 95° 30 (b) 1.448 cm2 2. (a) –1 (b) 4 (d) 112 (e) 14
3. (a) 1.047 rad (c) –5

Latihan Kendiri 1.7 (f) 1 (g) 4 (h) – 31 (i) 45

1. (a) 75.70 m (b) 114.22 m2 3. (a) 1 (b) 27 (c) 1
2. (a) 4.063 cm (b) 50.67 cm2 2
3. (a) 77° 10 (b) 32.48 cm2 (d) –30 (e) 4 (f) 1
4. (a) 67.04 cm2 6
(b) 2.5 rad 4. (a) (i) 4 (ii) Tidak wujud
Latihan Formatif 1.3
(b) (i) 2 (ii) 3

1. (a) 0.7 rad (b) 10.35 cm2 Latihan Kendiri 2.2
2. (a) 1.047 rad (b) 2.263 cm2
3. (a) 3.77 rad (b) 47.13 cm2 1. (a) 1 (b) 5 (c) – 4 (d) 12x
(h) – x1 2
(e) –2x (f) 6x 2 (g) x
279

2. 4x – 1 3. 1 – 2x Latihan Formatif 2.2

Latihan Formatif 2.1 1. (a) 18x + 6 (b) x1 2 – 1x8 4
x 3
1. (a) (i) 8 (ii) 3 (iii) 0

(iv) –1 (v) 0 (vi) 3 (c) 5 + 2 (d) – ! 5x 3 – 1
! x 3! x 4
(b) –1, 5

(c) (i) 2x – 4 (ii) 4 (c) – 118 (e) 4x3 – 6 – 1x8 3 (f) 12! x + 2!1 x

2. (a) 9 (b) 2

3. ((da)) 23 ((be)) –2  61 ((fc)) –13 04 (g) – 34x 4 – π (h) 1 – 3 ! x
! x 2

4. (a) k = 4 (b) 5 2. 7 8 5
8
(b) 2x – 1 (c) 2x + 2 (d) – 41x 2 (b) 16t 3
5. (a) 5 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 3. (a) 6t 3 5 (c) 1
6. 7 ms–1 6 2
4. 6t + 5, t , – 

Latihan Kendiri 2.3 (c) – x6 9 5. a = 5, b = – 4

1. (a) 8x 9 (b) – 8x 3 6. (1, 6)
(e) – 3!8 x
(d) –  2 7. (a) h(x) = 3kx 2 – 8x – 5 (b) 7
3! x 4
( ) 8. (a) 1 x – 1 3 (b) 5(10x – 3)5
2 1 2 6
2. (a) 8x + 6 (b) 5! x – ! x 3 (c) 32x – 72 40 ( )( )(d) 3 1 1
3. (a) 40x – 10! x 3 (c) (2 – 5x)2 1 + x 2 x– x 2

(b) 4x 3 + 8– 32 3 (f) ! x 2 x++6x3 + 6
x 3 3! (3 – 9x)4
(c) 5 – 6! x + 1 (e)
2! x 2! x 3
1 9. –144 10. a = 9, b = 4
4. (a) –1 (b) – 4  6 (c) –1
11. (a) 4(12x – 1)(2x – 1)4 (b) x 3(33x + 4)(3x + 1)6

Latihan Kendiri 2.4 (c) 3(x + 2) (d) 4(2x – 1)(x + 7)4(x – 5)2
2! x + 3
1. (a) 5(x + 4)4 (b) 8(2x – 3)3 1 2x + 1
+ ! (4x + 1)3
(c) – 6(6 – 3x)5 (d) 56x(4x 2 – 5)6 (e) – ! x (1 ! x )2 (f)
( )(e) 4 1
3 6  x + 2 7 (f) –12(5 – 2x)8 2(x + 1) (h) 6x 2(x– –4x1 3)2–
(x 2 + 2x + 7)2
(g) – 3(2x + 1)(1 – x – x2)2 (h) – (2x2 03 (–3x4 2x – 2) (g) –  1
+ 1)11
3 6 4 + 6x – 4x 2 , 43
2. (a) – (3x + 2)2 (b) – (2x – 7)4 13. (x 2 + 1)2 ,x,2

(c) (3 100 (d) – (5x3–0 6)9 14. x , –1
– 4x)6
1 3 Latihan Kendiri 2.6
(e) ! 2x – (f) – 2! 6 –
7 3x 1. (a) 12x 3 – 10x + 2, 36x 2 – 10

(g) 3x 5 (h) 2! x2 2x––x1+ 1 (b) 8x + 2 , 8 – 4
! 3x 2 + x 2 x 3

3. (a) 2 744 (b) – 12 (c) –2 (c) 24(3x + 2)7, 504(3x + 2)6
1 2 1 6 4 12
Latihan Kendiri 2.5 2. (a) 2! x – x 3 , –  + x 4 (b) 2x – x 3 , 2 + x 4
3
4x2
1. (a) 60x 2 + 24x (b) –8x 3 – 6x 2 7 14
(c) 2x(1 – 12x)(1 – 4x)3 (d) 2!x 1(1––23x x2 2) (c) – (x – 1)2 , (x – 1)3

3. (–3, 29) dan (1, –3), –12, 12

(e) 8(7x – 1)(2x + 7)5 (f) (7x + 8)(x + 5)2(x – 4)3 Latihan Formatif 2.3
4
2. (a) –2(9x 2 + x – 3) (b) 3x 2 + 2 + x 3 2. (a) –3, –12 (b) 9, 24 (c) 0, 2
(c) 5x 4 – 8x 3 + 24x 2 10
– 10x + 3. 3 , – 58 4. –  1 , 1 5. 2
2 3
3. 13 4. (b45)1 (4x1+8 6)2 6. (a) – 34 , 2 1 (d) x , 31
4 (b) 6x – 2 (c) 3
5. (a) – (2x 6
– 7)2 Latihan Kendiri 2.7
8x(1 – 3x) 1. (a) (i) –7, 8
(c) (1 – 6x)2 (d) 4x( 32–x 3–x1 2)–2 2

(e) 1– x (f) 2! (xx––21)3 (ii) Pada x = 1 , garis tangen condong ke kiri.
2! x (x + 4
1)2 Pada x = 1 pula, garis tangen condong ke kanan.
(g) 6x(x 2 + 3)
! (2x 2 + 3)3 6x 2 + 3x + 14 ( ) ( )(b) 1 1
! 4x + 1 ! (3x 2 – 3 3
( )(h) –  7)3 , 6 , –  , – 6

6. 13 2. (a) a = 2, b = 4

(b) (1, 6)

280

Latihan Kendiri 2.8 5. (a) 1.5 ms–1 (b) 5 ms–1

1. (a) y = 3x – 6, 3y + x + 8 = 0 Latihan Kendiri 2.14 (b) – 0.5 unit
1. (a) 0.3 unit (b) 2p unit
(b) y = 7x – 10, 7y + x = 30 2. (a) – 0.05 unit 4. 3.2%
3. – 4, 3.92
(c) 3y – x = 5, y = –3x + 15

(d) 2y = –x + 7, y = 2x – 4

2. (a) y = 2x – 1, 2y + x = 3 Latihan Kendiri 2.15

(b) 16y – 5x = 4, 10y = –32x + 143 π ! 10
1 5 600
(c) y = 4 x + 4 , y = – 4x + 14 1. saat 2. 0.0025 cm
4. –2π cm3
(d) 5y – 4x = 13, 4y + 5x + 6 = 0 3. – 0.12 cm3

(e) y = –x, y = x + 2 Latihan Formatif 2.4

(f) y = 3 x + 3 , y = – 34 x + 7 1. (a) 2y – x = 2, Q(–2, 0) ( )(b) y = –2x + 1, R 1 , 0
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA44 2
3. (a) 133 (c) 1 1 unit2
(b) 3y – 13x = 16 4
2. (a) a = 3, b = –2 (b) y = 2x – 8, B(4, 0)
(c) 13y + 3x + 168 = 0
(c) 2y + x + 1 = 0, C(–1, 0) (d) 5 unit2
4. (a) 6 (b) A(14, 0)
3. (b) 5 cm, 62.5 cm3
Latihan Kendiri 2.9
4. (a) – 4 ms–1 (b) 1.5 ms–1
1. (a) y + x = 3 (b) 3y + x = 15 (c) C(–3, 6)
(b) B(2, – 4) ( )(c) MAB = 3 – 92 5. – 8 ms–1
2. (a) y = x – 6 (b) 2y + x = 4 2 ,
1 Latihan Sumatif
3. (a) a = 2 , b = 5
3 (b) 21 (c) k = ±3
(c) R(4, 0) (d) 1 1 unit2 1. (a) 4
4
4. (a) a = 1, b = 4 (b) y + 3x = 8 2. – 4
2
( ) (c) Q 6, 6 32 ( )(d) MPQ = 3 21 , 5 65 3. (a) – (2x + 1)2 (b) 4(12x – 1)(2x – 1)4

5. (a) 3! 10 unit (b) h = 21 , k = –2 (c) (2 12 (d) 23!(x x ++ 23)
– x)3

Latihan Kendiri 2.10 4. (a) 12 – 3x (b) 4
5. a = 3, b = – 12 6. 5 cm
1. (a) (–2, 16) ialah titik maksimum, 7. (a) – 0.0735 unit
(b) 1.927
(2, –16) ialah titik minimum.

(b) (2, 32) ialah titik maksimum, 8. –1% 9. 1.6p%

(6, 0) ialah titik minimum. 10. (a) Titik maksimum ialah (–1, 6) dan titik minimum

(c) (3, 9) ialah titik maksimum, ialah (1, 2)

(–3, –9) ialah titik minimum. (b) y

(d) (4, 8) ialah titik maksimum. (–1, 6) y = f (x)

(e) (–2, – 4) ialah titik maksimum,

(2, 4) ialah titik minimum.

(f) (1, 2) ialah titik minimum

(g) (0, –1) ialah titik maksimum,

(2, 3) ialah titik minimum. (1, 2)

(h) (–3, –12) ialah titik maksimum, 0x

(3, 0) ialah titik minimum.
11. (a) y = 32x – 63 (b) (–2, –14)
( ) 2. ((ca)) 2Q(2iaxla–h1t)i(txik–le2n)g2 kok balas(.b) P 12 , – 1276 dan Q(2, 0)
12. (a) 6 cm (b) 144π cm3
Latihan Kendiri 2.11
13. 40 m 14. 48 cm2s–1
1. (b) 400 cm2
15. (b) (i) 12 unit2 s–1 (ii) 15 unit2s–1
2. (a) y = 120 – 25x
2 1 16. (b) (i) – 0.09π cm3 (ii) Menyusut 3p%
3 3
(c) (i) x = 2 cm, y = 53 cm BAB 3 PENGAMIRAN

(ii) 3 840 cm2 Latihan Kendiri 3.1
1. 5x 3 + 4x
3. (b) Jejari 2 cm dan tinggi 8 cm 3. (a) 300t 2 + 60t 2. 8x 3

Latihan Kendiri 2.12 (b) 6 unit s–1 (c) –36 unit s–1 (b) 4 600 liter

1. (a) 6 unit s–1 (e) 2 unit s–1 (f) 24 unit s–1 Latihan Formatif 3.1 2. (2 16 , 5x + 2
(d) 40 unit s–1 (b) 2 unit s–1 (c) 4 unit s–1 – 3x)2 2 – 3x
(e) 18 unit s–1 (f) 18 unit s–1 1. 18(2x + 2)2, 3(2x + 2)3
2. (a) – 6 unit s–1
(d) – 6 unit s–1 (b) 15 unit s–1 3. 17, 32 1
3
3. (a) 2! x3x+ 4 5. (a) RM4 750 4.
(b) Syarikat K
Latihan Kendiri 2.13 3. – 2700 cmmin–1

1. 3 unit s–1 2. 2 cms–1

4. (a) V = 9π h (b) –5.4 π cm3min–1

281

Latihan Kendiri 3.2 4. (a) 12 (b) 5 (c) 45

1. (a) 2x + c (b) 65  x + c (c) –2x + c (d) π3  x + c Latihan Kendiri 3.6

2. (a) x 3 + c (b) x3 4 + c (c) – x2 2 + c 1. (a) 21 unit2 (b) 365 unit2 (c) 33 unit2
2 2

(d) 2 + c (e) – 23x 2 + c (f) 2! x 3 + c 2. (a) 212 unit2 (b) 4 unit2 (c) 100 unit2
x 3 3 3

(g) 3 3! x 2 + c c (h) !5 x4 + (cb) 43  x 3 + 52  x 2 + 3. (a) 5 unit2 (b) 9 unit2
3. (a) x 2 + 3x + 3
Latihan Kendiri 3.7
c
1. (a) 32  π unit3 (b) 9π unit3
(c) 1  x 4 + 5  x 2 – 2x + c (d) – 3x + 2x 2 – 2x + c 5
8 2 2 123
2. 5  π unit3 3. 5  π unit3
4. (a) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAx 3–x 2–8x+c (b) 53  x 5 + 45  x 4 + c (c)
3 4. (a) A(0, –2) (b) B(3, 1) 108  π unit3
5 2! x 3 c+ c ((fd)) 23135 x x 3 3+– 4515 xx 52 2 5
(c) 3  x 3 – 3x + + 9x + c Latihan Formatif 3.3
(e) 5  x 2 – + +
2 1  x 2 c 1. (a) 364 (b) 5 (c) 155
2 3 (b) 4 2
Latihan Kendiri 3.3
2. (a) 20
1. (a) (x – 3)2 c (b) (3x 3–05)10 + c
3 + 3. h = 3

(c) 125(5x – 2)6 + c (7x – 3)5 4. (a) K(1, 1) (b) 25 : 7
105 y
(d) + c 5. (a) y = 6x + x2

(e) – (2x 3 6)2 + c (f) – 9(3x2– 2) + c –6 O x
–

2. (a) (4x + 5)5 + c (b) (3x 6– 2)4 + c
20
(c) (5x – 11)5 c (d) (3x9–0 5)6 +
25 + c (–3, –9)

(e) – 6(6x1– 3)5 + c (f) – 7(3x4– 5)7 + c ( )(b) y = 6x, y = 10x – 4 (c) A(1, 6), 2 unit2
3
Latihan Kendiri 3.4 6. 15  π unit3
2
1. (a) 3 (b) 6 7. (a) Q(0, 3) ((bb)) 013.0u2n7itu2 nit2 ((cc)) 834π92  uπnuitn3it3

2. 33 (b) y = 5x 2 – 2x – 3 8. (a) A –  1 , 5
16 (d) y = 6x 3 + 5x 2 + 18 4 2
3. (a) y = 3x 3 – 2x + 5

(c) y = 8x ­3 – 5x – 2 Latihan Kendiri 3.8

Latihan Formatif 3.2 1. (b) 62 500π cm3
2. (a) RM42 456
1. (a) 1  x + c (b) –  5 +c (b) 8.75%
2 6x 2 Latihan Formatif 3.4
1 2. RM119.98
(d) – x1 2 + 1 + c 1. 450 cm3 (b) 66
(c) 2x 2 + c x 3 3. (a) 350

2. (a) 5  x 2 – x 3 + c (b) 32  x 2 + x + c Latihan Sumatif
2
3
2x)4 1 1 (b) – 2(2x1– 3)2 + c
(c) – (5 – 6x)4 + c (d) –  2(5 – +c 1. (a) 4  x 4 + 3  x 3 – 3x 2 + c
24 3
2. (a) a = – 31 , n = 3 64
3. p = 2, y = 21 (b) 49

4. (a) 60 (b) x = 0, –2 459 4. – 221
76
5. y = x 3 – 4x 2 + 2 6. y = 2x – 3x 2 + 10 3.

7. a = 6, b = 5, y = 3x 2 + 5x + 6 5. (a) 4 (b) v = 5
6. 138 cm3
8. 44 m 7. (a) K(4, 1)

Latihan Kendiri 3.5 8. (a) P(1, 9) (b) 8 unit2
3
1. (a) 60 (b) 3 (c) 3536 10
(d) – 2987 2 (b) 3 unit2 (c) 3 unit2

(e) 9.203 (f) 6.992 17
3
2. (a) 74 (b) 136 (c) – 112058 9. (a) P(–3, 4) (b) unit2 (c) 30π unit3
3 (f) 1.827
( ) 10. 5 S(0,
(d) 43 (e) 33 (a) P(0, 5), R 2 , 0 , 4)
272
6 (b) 1 unit2 (c) 12  π unit3
3
3. (a) –3 (b) 3 (c) 3
2

282

11. p = 3, q = 18 11. (a) 56 (b) 4 (c) 32
12. (a) 4 (b) 1 (c) 3
12. (a) 257 unit2 (b) 98π unit3 13. (a) 105 (b) 102
3 14. (a) 36 (b) 84 (c) 126
13. (a) c = –2, A(2, 0) (b) 271 unit2
6
(c) 92  π unit3
15 BAB 5 TABURAN KEBARANGKALIAN

14. 50.13 kg Latihan Kendiri 5.1

15. (a) 300 m3 (b) Tidak 1. (a) {menang, seri, kalah} (b) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(c) {0, 1, 2, 3}
BAB 4  PILIH ATUR DAN GABUNGAN
2. X = {0, 1, 2, 3, 4}
Latihan Kendiri 4.1
2. 30 Latihan Kendiri 5.2
1. 15 (b) 240
3. (a) 20 1. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pemboleh ubah rawak diskret
(b) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Pemboleh ubah rawak diskret
(c) X = {x : 3 < x < 460}
Pemboleh ubah rawak selanjar
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIALatihan Kendiri 4.2

1. (a) 336 (b) 55 (c) 6 (d) 4 200
2. (a) 24 (b) 120 (c) 720 (d) 362 880
3. 720 4. 2 520

Latihan Kendiri 4.3 Latihan Kendiri 5.3

1. (a) 60 (b) 40 320 (c) 15 120 (d) 5 040 1. (a) X = {0, 1, 2, 3}

2. 504 3. 60 4. 1 680 5. 25 200 (b) Suis 1 Suis 2 Suis 3

Latihan Kendiri 4.4 1 H P(H, H, H) = 1
1 H3 27
1. (a) 360 (b) 840 (c) 90 720 (d) 60 540 480
2. 56 3. 210 4. 630 3 2 H P(H, H, H) = 2
H 31 27

Latihan Kendiri 4.5 1 2 3H P(H, H, H) = 2
3 3 H 27

1. (a) 12 (b) 12 (c) 24 2 H P(H, H, H) = 4
13 27
2. 300 3. 22 680 4. 42 H3
H P(H, H, H) = 2
Latihan Formatif 4.1 1 2 H 27
2 3 31
1. 200 3 P(H, H, H) = 4
H 27

2. (a) 1 000 (b) 720 2 3H P(H, H, H) = 4
3 H 27
3. 24, 18
2 H P(H, H, H) = 8
4. (a) 725 760 (b) 80 640 (c) 2 903 040 3 27

5. BAKU = 24, BAKA = 12 (c) 1

Tidak sama kerana perkataan BAKA mengandungi 2. (a) X = {0, 1, 2}

objek secaman, iaitu A. (b) I II

6. 56 7. 840 0.38 P P(P, P) = 0.1444
P P(P, P) = 0.2356
Latihan Kendiri 4.6 0.38 P
0.62
Gabungan kerana tiada syarat kedudukan untuk memilih
saluran televisyen. 0.62 0.38 P P(P, P) = 0.2356
P P(P, P) = 0.3844
0.62 P
Latihan Kendiri 4.7

1. (a) 95 040 (b) 792 3. (a) X = {0, 1, 2, 3}
4. 20
2. 2 300 3. 15 (b) 1 G P(G, G, G) = 1
G2 8
Latihan Kendiri 4.8 1
2 1 G P(G, G, G) = 1
1. 30 21 8
3. (a) 15 2. 45 G
(b) 65 2 G 1
Latihan Formatif 4.2 1 1 G P(G, G, G) = 8
2 2
1 G 1
12 P(G, G, G) = 8
G2
2. (a) 56 (b) 30 (c) 16 1 G P(G, G, G) = 1
3. 15 4. 45 21 8
5. (a) 34 650 (b) 924 1 1
2 2 2 G P(G, G, G) = 1
G 8
Latihan Sumatif G
1 G 1
1 2 P(G, G, G) = 8
2
1. 1 680, 1 050 2. 1 402 410 240 G P(G, G, G) = 1
(b) 108 8
3. (a) 96
6. 360 360 7. 504
4. 243 5. 180 (b) 72 8

8. (a) 48 10. 266 (c) ∑ P(X = ri) = 1
i=1
9. 1 155

283

Latihan Kendiri 5.4 (c)
1. P(X = r) P(X = r)

0.4 0.5

0.3 0.4

0.2 0.3

0.1 0.2

0 012345 r 0.1

2. (a)KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 0 0123 r
Kesudahan
X=r 0 1 2 3 4 5. p = 2 , q = 1
6. (a) 9 9 3
P(X = r) 0.0282 0.1627 0.3511 0.3368 0.1212 2.5
M 2
(b) S 2.5
2
P(X = r) K 1.5
2
MM 1.5
M SS 1
0.4 KK 2.5
0.3 M 2
0.2 S 1.5
0.1 K 2
M 1.5
0 01234 S 1
3. P(X = r) K 1.5
MM 1
r S SS 0.5
2
KK 1.5
M 1
S 1.5
K 1
M 0.5
0.4 S 1
K 0.5
0.3 MM 0
K SS
0.2 KK
M
0.1 S
K
0 01234 r
(b) X = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3}
Latihan Formatif 5.1
(c) P(X = r)
1. (a) X = {0, 1, 2}
(b) Pemboleh ubah rawak diskret _7
27
2. (a) X = {x : 1.2 cm < x < 10.2 cm} _6
(b) Pemboleh ubah rawak selanjar 27
_5
3. (b) P(X = r) 27
_4
0.4 r 27
0.3 _3
0.2 27
0.1 _2
27
0 0123 _1
4. (a) X = {0, 1, 2, 3} 27

0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r

Latihan Kendiri 5.5

1. (a) X = (0, 1} (b) 0.7

2. Bukan eksperimen binomial.

3. Taburan binomial.

4. Ya 5. Bukan taburan binomial.

284

Latihan Kendiri 5.6 2. (a) 0.6, 60 (b) 0.2322
3. (a) 9 (c) 3.139 × 10– 4
1. (a) 0.1776 (b) 0.0711
Latihan Formatif 5.2
2. (a)
Kesudahan
2 K {K, K, K} 1. X = r P(X = r)
5 0 0.0625
2 K 3 K {K, K, K} 1 0.2500
5 2 0.3750
K 5 2 3 0.2500
5K {K, K, K} 4 0.0625
2 3 K 3 K {K, K, K}
5 5

25 K {K, K, K}
2 5 K {K, K, K}
3 5 K 3
5 K
2.
X=r

P(X = r)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA52
5K {K, K, K}
3 K 3 K {K, K, K} 0 1 2 3
5 1 3 3 1
8 8 8 8
5
(b) (i) 15245 (ii) 12275
P(X = r)

3. (a) 0.0515 (b) 0.6634

4. (a) n = 8 (b) 0.9747 _3
8
Latihan Kendiri 5.7 _2
8
1. (a) 0.0951 (b) 0.6809 _1
2. (a) 0.1379 (b) 28 8
3. (a) 0.9792 (b) 0.0565
4. (a)
P(X = r) 0 0123 r
X=r

0 0.7738 3. (a) 0.2725 (b) 2.423 × 10– 4
(b) 0.1358
1 0.2036 4. 5, 2.121 1 (b) 0.2508
5
2 0.0214 5. (a) n = 25, p = (b) 0.1808
(ii) 1.359 × 10–3
3 0.0011 6. (a) 2 , 4
5
4 0.00003
7. 10, 5
5 3.1 × 10−7
8. (a) n = 4

P(X = r) 9. (a) 12

(b) (i) 0.01

0.7 Latihan Kendiri 5.10

0.6 1. (a) 15 (b) R: P(X , 12), Q: P(X . 18)
(c) 0.2365, 0.5270
0.5
2. (a) 12
(b) f (x)

0.4

0.3

0.2

0.1 0 10 12 15 x

r
0 012 345 Latihan Kendiri 5.11
(b) (i) 0.0214
(ii) 0.0226 1. – 0.75 2. 517.55
5. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2 3. (a) – 0.2 (b) 0.144 kg
(c) 83.33% (b) 9 4. 45, 10

6. (a) 0.0141 (b) 0.5267 Latihan Kendiri 5.12
( ) 1. P
Latihan Kendiri 5.8 – 194 ,Z, 5
9
4 2. (a) 0.7046 (b) 0.8671 (c) 0.3359 (d) 0.4764
1. n = 56, p = 5 2. 48, 5.367
4. 600, 4! 15 3. 0.0157, 0.8606, 0.5664, 0.2876, 0.2286, 0.3785, 0.821,
3. 4 000, 800, 20! 2
–0.984, –0.107, 0.471, 0.729

Latihan Kendiri 5.9 4. (a) 0.274 (b) 0.116

1. (a) 1 (b) 0.3073 (c) 0.5706 5. 1.657 6. 1.333
187
2 7. 16.98 8. 52.73, 11.96

285

Latihan Kendiri 5.13 (b) 188.4 (c) 10.82 rad (d) −13.79 rad
2. (a) 74.48° (b) 186.21°
1. (a) 0.5 (b) 311 (d) 585°
2. 24.34 (b) 47 (c) − 486° (b) Sukuan I
3. (a) 0.6915 3. (a) Sukuan I
4. (a) 5 (b) 100 y
5. 52.07, 17.89 y
6. (a) 0.8383
75˚ x –340.5˚
Latihan Formatif 5.3 O Ox

1. –1.001 (b) 0.4649
2. (a) 1.1 (c) Sukuan III (d) Sukuan IV
3. 0.1244 (b) 2.898 kg
4. (a) 0.4950 (b) 1 008 y y
5. (a) 16.48 (b) 63.06
6. (a) 74
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Latihan Sumatif

1. X = {2, 4, 6, 8, 10, 12} 550˚ O x Ox
1 (b) 12 –735˚
2. (a) 6
3. (a) (e) Sukuan I
(f) Sukuan II
+ Kesudahan y y
– 6
+ 3
3
+ + 0
–
–

+ + 3 0.3x6 rad – 4 rad O x
– 0
– + 0 O
– –3
–
(g) Sukuan IV (h) Sukuan III
(b) X = {–3, 0, 3, 6} y
4. (b) y

X=r 0 1 2 3

P(X = r) 0.1664 0.4084 0.3341 0.0911 x Ox
–1 200˚
P(X = r) —35 O
π

0.4

0.3 Latihan Formatif 6.1

0.2 1. 0° = 0 rad, 30° = 0.5236 rad, 90° = 1.571 rad
150° = 2.618 rad, 210° = 3.665 rad,
0.1 270° = 4.712 rad, 330° = 5.760 rad,
360° = 6.283 rad
0 0123 r yy

5. (a) 0.3110 (b) 0.0410 (c) 0.5443

6. (a) 0.1239 (b) 0.5941 O 30˚ x 90˚
O
7. (a) 0.1672 (b) 0.2318 x

8. 7, 2.366
3 (b) 295
9. (a) 5

10. (a) 0.5332 (b) 0.2315 (c) 0.5497 (d) 0.0995
yy
(e) 44.5 (f) 59.42 (g) 57.37 (h) –39.61

11. (a) 15 (b) 112.47

12. (a) 352 (b) 77.34 kg 150˚ 210˚
O O
13. (a) 0.1266 (b) 498 (c) 179 x x

BAB 6 FUNGSI TRIGONOMETRI

Latihan Kendiri 6.1 (b) −6.273 rad
1. (a) 5.064 rad

286

yy 3. (a) A = 3, B = 4, C = 1
(b) y

4

270˚ O x O x 2
330˚
0 180˚ x
360˚

–2

Latihan Kendiri 6.2 3 sin 3x: 3 , 3, 0
4. y = 2 2
!  1. (a) 23 2 ! 46 – 2
2 (b) 25 (c) 25 y

2. (a) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA2 (b) 9 (c) 3 2
! 13 13 2 1
0 πx
(d) ! 13 (e) 3(6 –23! 13) −1
2 −2

3. (a) 36° (b) 84° 42 46 (c) 3  π
10
4. (a) 0.839 (b) 1.539 (c) 1.835
y =  tan 2x  + 1: Tiada, 4, 1
Latihan Kendiri 6.3
y
1. (a) − 0.2549 (b) −3.7321 (c) 1.1511
5
(d) 1.3054 4
2. (a) – 12
(b) – ! 3 (c) ! 3 3
2
1
43.. (((aad))) ––2  512!2° 3 (b) π3(( be)) –1   !2 3 (c) π3 ((fc)) –2(1d) 10° 0 x
—�2 �

Latihan Kendiri 6.5

(d) 0 (e) 6 (f) −1 1. (a) (i) y

Latihan Formatif 6.2

1. (a) 1 (b) ! 1 + 9t2 (c) ! 1 3+t 9t2 1
3t 3t
!131 2 atau !2 2 (b) 3 (b) !2 3 3 x
2. (a) (c) ! 10 0 90˚ 180˚ 270˚360˚
3. (a)
(ii)
y

(c) 5 (d) 6 3
2 2
1
4. (a) 0.6820 (b) 1.095 (c) 0.9656 (d) 3.732 x
! 2 90˚ 180˚ 270˚360˚
5. (a) 2 (b) – ! 2 (c) 1 (d) – ! 2 0

Latihan Kendiri 6.4 (iii) y

1. (a) y

2

4 1

2 x
90˚ 180˚ 270˚ 360˚
x 0
90˚ 180˚
–90˚ 0 –1

–2

–4 (b) (i)

y
(b) y
3

1 0 x
π 2π
x –3
0 —�2 �
–1
(b) y = 2 kos 3x − 1

2. (a) y = tan x + 3

287

(ii) y 2. y

4 4
2
2
0
� x 0 —�6 —�3 —�2 —23� —56� � —76� —43� x
(iii) 2� –2
�
y 2� x x x = 3.30 radian
2� 3. y
4
2KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2

0 1

2. y 0 —�3 2—3� � x
–1 4—3� 5—3� 2�
1 –2

0 � Bilangan penyelesaian = 5
–1 4. y

1

3. 0 —�2 x
y �
Bilangan penyelesaian = 4
1.5 5. y

0 x
—�2
2
Bilangan penyelesaian = 1
4. 1

y 0 x
–1
1 —�4 —�2 —34� � —54� —32� —74� 2�

( )(3.463,1.6), (4.391,1.6), 3π , 0 ,
( ) 6. y 4
x Titik persilangan: (0.322, 1.6), (1.249,1.6),
� 7π
0 —�3 —23� 4 , 0

Bilangan penyelesaian = 4 4
3
Latihan Formatif 6.3 2

1. y 1 x
—�3 2—3� � 4—3� 5—3� 2�
1.5 0
1
k , 3, k . 4
0.5 y
7. (a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
– 0.5 x 2

–1 1
–1.5
0 —�3 2—3� � 4—3� 5—3� 2� x
–2 −1
x = 1.0, 3.0
−2


288

(b) y (c) z = 1  π rad, 5  π rad (d) A = 81  π, 5  π, 9  π, 13  π
6 6 8 8 8
2 1 5 13 17
(e) B = 12  π, 12  π, 12  π, 12  π

1 (f) x = 13  π, 17  π, 25  π, 29  π
12 12 12 12
0 —�3 2—3� � 4—3� 5—3� 2� x
−1
Latihan Kendiri 6.11

−2 1. 550 kmj–1 2. 0.7071, − 0.7071
Bilangan penyelesaian = 3 3. (a) 1.5
(b) 0.8 (c) 0.3182

Latihan Kendiri 6.6 a = 38.66°, b = 17.65°, ˙BAC = 33.69°,
˙ADB = 128.66°, ˙BDC = 51.34°, BD = 12.81 cm,
12.. ((aa)) 1m1  2 (b) 1 (b) 1 – m2( c) 12 (c) 1(dm–)  2m1  2 AB = 18.03 cm
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Latihan Formatif 6.6

3. sin q = 3 ; kos q = 1 1. (a) x = 130°, 250°
! 10 ! 10
(b) 64.27°, 140.13°, 219.87°, 295.73°

(c) 126.87°, 306.87°
p 2 (b) q 2 p– 2 p 2 (c) q 2–– p 2p 2 1 1 5
4. (a) q 2 2. (a) A = 0, 6  π, 2  π, 6  π, π

Latihan Formatif 6.4 (b) A = 0 rad, 0.2852π rad, π rad

3. q = 60°, 120°, 240°, 300°
5. (a) – 187 240 (c) 216401
1. (a) p – 1 (b) 1 (c) p –p 1 (b) –  289
p
24! 3 – 7 24 + 7! 3
2. (a) 1 (b) −1 (c) 4 (d) 2 6. (a) sin ∠CAD = 50 , kos ∠CAD = 50 ,

4. (b) 1.5626 24! 3 – 7
24 + 7! 3
Latihan Kendiri 6.8 tan ∠CAD =

2. (a) ! 6 – ! 2 (b) ! 6 +4 ! 2 (c) !!  33 +– 1 (b) AC = 25 m, AD = 48 m
4 1 ! t2 – ! t2 –
8. (a) t 1 (b) –  t 1 (c) – ! t2 – 1
3. (a) – 3653 (b) – 1656 (c) – 3536
9. (a) 1 < f (x) < 2
Latihan Kendiri 6.9
(b) y
! 3 (b) !2 3
1. (a) 2 (c) – ! 3 3
(d) 5
4. (a) 25 (b) 169 (c) 1 2
24 119 ! 5
1

Latihan Formatif 6.5 0 x
—�2 � —34� 2�
1. 4
3
416 425 (c) – 230947 Bilangan penyelesaian = 1
3. (a) 425 (b) 297
Latihan Sumatif
(d) –  289 (e) – ! 334
161 1. (a) 0 < x < 2π (b) –π < x < π (c) 3 π< x < 4π
2. (a) 0 , x , x , 2 2 ,x , 2π
2t 1 – t2 2t π (b) π2 , π (c) π
5. (a) 1 + t2 (b) 1 + t2 (c) 1 – t2 2

! 1 + t2 – 1 (e) 1 2+! !1 1++t2t2 3. (a) 41.30°, 138.70°, 221.30°, 318.70°
2! 1 + t2
(d) (b) 63.90°, 116.10°, 243. 90°, 296.10°

(c) 41.36°, 138.64°, 221.36°, 318.64°
! 3
Latihan Kendiri 6.10 4. (a) –  2 (b) –! 3 (c) !2 3

1. (a) x = 102.8°, 167.2°, 282.8°, 347.2° 1
2
(b) x = 10°, 130°, 190°, 310° (d) ∞ (e) –1 (f) – 

(c) x = 198° 56 63 (b) 6556 , – 1663 56 – 6163
65 16 65
(d) x = 0°, 44.42°, 180°, 315.58°, 360° 5. (a) , (c) ,
6.
(e) x = 90°, 199.47°, 340.53°

(f) x = 150°, 330° Graf Persamaan Bilangan Kala Selang
kitaran 2π kelas
(g) x = 199.47°, 340.53° π
1 4π π
(h) x = 0°, 80.41°, 180°, 279.59°, 360° I y = kos x 2
2 π
(i) x = 16.10°, 196.10° 1 4
2
2. (a) x = 7  π, 3  π, 19  π, 7  π II y = kos 2x π
12 4 12 4

(b) y = 0 rad , 0.2677π rad, π rad, 1.732π rad dan 2π rad III y = kos 1 x
2

289

7. (a) π (b) 2, 3, –1 (c) y
(c) y (d) Bilangan penyelesaian = 3

3 40 y + 7x – 49 р 0
2 30
1
20

x 10
π
0 _π 0 2468 x
–1 2

2 4 2. (a) y < 3x (b) x + y < 80 (c) y > 10
3 3
11. (a) 0,  π, π,  π, 2π 3. (a) Luas tanah ialah 80 hektar, 360 orang tenaga pekerja
dan modal RM24 000.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA(b) 2, πy (b) (i) x + y < 80 (ii) 3x + 6y < 360

2 (iii) 800x + 300y > 24 000
y
(c) (i)

1 80

0 x 60
–1 —�2 � —32� 2� 40
20 x + y р 80
–2
0 20 40 60 80 x

(c) Bilangan penyelesaian = 2 (ii) y

12. (b), (c) y

1

0 _π π 3_π x 60
–1 2 2 40
20 3x + 6y р 360
Bilangan penyelesaian = 3 0 20 40 60 80 100 120 x
(iii) y
13. (a) (i) x = 60°, 240° (ii) x = 7.063°, 187.063°

(iii) x = 48.43°, 228.43°

(b) (i) x = 0.3102 rad, 3.452 rad

(ii) x = 0.4637 rad, 1.892 rad, 3.605 rad, 5.034 rad
π 2π 4π 5π
(iii) x= 3 , 3 , π, 3 , 3 , 2π 80
60
14. (a) 9.780 ms–2 (b) 9.8321 ms–2 40
20
16. (a) kos x sin x (b) sek x kosek x (c) kos2 x – sin2 x
–40 –20 0
BAB 7  PENGATURCARAAN LINEAR 8x + 3y у 240
20 40 x
Latihan Kendiri 7.1 y
1. (a)

6 y
2y – 3x у 12 5 4. (a), (b)

4 40

3 30 Titik maksimum (0, 30)
3x + 2y = 60
2
20
x T+5ityik=1m015in1im5 um2y0=(1–2x0,x5)
1 10
0
–4 –3 –2 –1 0 x

(b) y (c) (i) 60 (ii) 20

Latihan Formatif 7.1

2 1. (a) y . x – 1 (b) y , 5x + 1
1 2. I: x + y < 100, II: y < 4x, III: y – x > 5
0 123456 x 3. y < 3x, y < x + 50, x + y < 1 000
–1 6x – y у 12
–2 Latihan Kendiri 7.2

1. (a) I: x + y < 80, II: y < 4x, III: y – x > 10



290