MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KSSM

Pengamiran

Latihan Kendiri 3.4

1. Cari nilai pemalar pengamiran, c bagi fungsi kecerunan yang berikut.

(a) dy = 4x – 2, y = 7 apabila x = –1 (b) dy = – 6x – 6 , y = 6 apabila x = –1
dx dx x 3

2. Diberi dy = 20x 3 – 6x 2 – 6 dan y = 2 apabila x = 1. Cari nilai y apabila x = 1 .
dx 2

3. Cari persamaan lengkung bagi setiap fungsi kecerunan yang melalui titik berikut.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA(a) dy= 9x 2 – 2, titik (1, 6) (b) dy = 10x – 2, titik (2, 13) AB
Bdxdx
dy dy 3
(c) dx = 24x 2 – 5, titik (1, 1) (d) dx = 18x 2 + 10x, titik (–2, –10)

Latihan Formatif 3.2 Kuiz bit.ly/35pBrmA

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

∫ ∫ ( )(c) 1
∫(a) 1 dx ∫(b) 5 dx ! x dx (d) x2 3 – x3 4 dx
2 3x 3

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

(a) 5x 2 – 3x 3 (b) 6x 3 + 2x 2 (c) (5 – 6x)3 (d) 4! 5 1– 2x
x 2x 2

3. Diberi dy = 10x + p , dengan keadaan p ialah pemalar. Jika dy = 20 21 dan y = 19 apabila
dx x 2 dx
x = 2, cari nilai p. Seterusnya, cari nilai y apabila x = –2.

4. (a) Diberi dy = 4x 3 – 15x 2 + 6 dan y = –20 apabila x = 3, cari nilai y apabila x = –2.
dx
dy
(b) Diberi dx = 2x + 2 dan y = 2 apabila x = 2. Cari nilai-nilai x apabila y = – 6.
suatu lengkung yang melalui
5. Rajah di sebelah menunjukkan y

titik A(1, –1). Diberi fungsi kecerunan bagi lengkung tersebut y = f (x)

ialah dy = 3x 2 – 8x, cari persamaan bagi lengkung itu. x
dx
O
6. Diberi kecerunan normal bagi suatu lengkung pada satu
1
titik ialah 6x – 2. Jika lengkung itu melalui titik (2, 2), cari

persamaan bagi lengkung tersebut. A(1, –1)

7. Diberi fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah ax + b. Kecerunan lengkung pada titik
(–2, 8) ialah –7 dan kecerunan lengkung pada titik (0, 6) ialah 5. Cari nilai a dan nilai b.
Seterusnya, cari persamaan bagi lengkung tersebut.

8. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kereta yang dipandu –dd–st = 10t – 2

di sebuah jalan raya yang lurus. Diberi fungsi perubahan 91
kse. rCetaaritesresseabraunt ,iadlaalhamddstm=,
sesaran bagi 10t – 2 dan s = 8 m
apabila t=1 apabila t = 3 s.

3.2.4

3.3 Kamiran Tentu

Empangan Hidroelektrik Bakun di Sarawak
merupakan sebuah stesen jana kuasa hidroelektrik
terbesar di Malaysia. Bagaimanakah jurutera-jurutera
pembinaan dapat memastikan empangan yang dibina
mempunyai ciri-ciri keselamatan yang baik?

Dengan mengaplikasikan kamiran tentu,
jurutera-jurutera dapat menentukan luas permukaan
dan isi padu air dalam kawasan takungan empangan.
Hal ini membolehkan mereka menentukan ketebalan
dinding empangan yang perlu dibina bagi menampung
tekanan air dalam takungan tersebut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Nilai kamiran tentu bagi suatu fungsi algebra Sudut Informasi

Anda telah mempelajari bahawa kamiran tak tentu bagi suatu Luas di bawah suatu
lengkung boleh ditentukan
∫fungsi f (x) terhadap x ialah f (x) dx = g(x) + c, dengan keadaan melalui pengamiran fungsi
lengkung itu. Bagi suatu
g(x) ialah suatu fungsi x dan c ialah pemalar. fungsi y = f (x):
Kamiran tentu bagi suatu fungsi f (x) terhadap x antara nilai (a) Kamiran tak tentu,
batasan x = a dengan x = b pula boleh ditulis sebagai:
∫ f (x) dx
∫  [ ]b f (x) dx =g(x)+cb y
a a

= [g(b) + c] – [g(a) + c]

= g(b) – g(a) y = f (x)

Contoh 10 Ox

Cari nilai bagi setiap yang berikut. ∫ (b) Kamiran tentu, ab f (x) dx
y
∫  ∫ (a) 3 x 2 dx (b) 4 (3x 2 + 2x) dx
2 –1 y = f (x)
x
Penyelesaian
b
∫ (a) 3 x 2 dx ∫ (b) 4 (3x 2 + 2x) dx Oa
2 –1
[ ] =x 3 3 [ ] =
32 3x 3 + 2x 2 4
3 2 –1
33 23
= 3 – 3 [ ] = x 3 + x 2 4
–1
Cari nilai bagi
= 19 = [43 + 42] – [(–1)3 + (–1)2]
3 ∫ (a) 2 1 dx
= 80 1

∫ (b) 2 0 dx
1

92 3.3.1

Pengamiran

Contoh 11

Cari nilai bagi setiap yang berikut.

2 x 3 – 2x 2 dx (b) 4 (2x – 5)4 dx
1 x 2 2
∫  ( ) ∫ (a)

Penyelesaian

∫  ( )(a)
2 x 3 – 2x 2 dx ∫ (b) 4 (2x – 5)4 dx
1 x 2 2

[ ] =
∫  ( ) =2 x 3 2x 2 (2x – 5)5 4 AB
1 x 2 x 2 2(5) 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA–dx 3
B
[ ] [ ] =
∫  = 2 (x – 2) dx (2(4) – 5)5 – (2(2) – 5)5
1 10 10
[ ] =x 2 2
2 – 2x 1 ( ) =243 – – 110
10
[ ] [ ] =22 12
2 – 2(2) – 2 – 2(1) = 122
5
( ) = – 2 – – 23

= – 21

Apakah sifat-sifat bagi kamiran tentu? Untuk mengetahui dengan lebih lanjut, mari ikuti
penerokaan yang berikut.

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Mengenal pasti sifat-sifat bagi kamiran tentu

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/mqsxgymf
2. Klik pada semua petak untuk memaparkan rantau bagi setiap kamiran

tentu itu.

3. Perhatikan rantau yang terbentuk dan catatkan nilai bagi setiap kamiran tentu itu pada
sehelai kertas.

4. Kemudian, padankan setiap yang berikut dengan jawapan yang betul.

∫  2 3x 2 dx ∫  6 3x 2 dx
2 1

∫  6 3x 2 dx ∫ 3 6 3x 2 dx
2 2

∫  6 3(3x 2) dx ∫ ∫   63x 2dx+ 6 6x dx
2 2 2

∫  ∫ 43x 2 dx + 6 3x 2 dx ∫ – 2 3x 2 dx
1 4 6

∫  6 (3x 2 + 6x) dx 0
2

3.3.1 93

5. Buat satu kesimpulan umum secara deduktif bagi setiap hasil yang diperoleh.
6. Setiap kumpulan melantik seorang wakil untuk membuat pembentangan mengenai hasil

dapatan masing-masing di hadapan kelas.
7. Ahli daripada kumpulan yang lain boleh bertanyakan soalan kepada wakil kumpulan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, sifat-sifat bagi kamiran tentu adalah seperti berikut:

Bagi suatu fungsi f (x) dan g(x),
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
∫  a a

(a) a f (x) dx = 0 b f (x) dx
b f (x) dx = –

a
∫ ∫   (b)
∫ ∫   (c) b kf (x) dx = k b f (x) dx, dengan keadaan k ialah pemalar
aa
b f (x) dx + c c
a
a b f (x) dx =
∫ ∫ ∫     (d) f (x) dx, dengan keadaan a , b , c

∫ ∫ ∫     (e) b [f (x) ± g(x)] dx = b f (x) dx ± b g(x) dx
a aa

Contoh 12

∫ ∫ ∫Diberi   3 f (x) dx = 4,   5 f (x) dx = 3 dan   3 g(x) dx = 12. Cari
13 1

∫ ∫(a)   1 f (x) dx (b)   3 [f (x) + g(x)] dx ∫(c)   5 f (x) dx
31 1

Penyelesaian

∫(a)   1 f (x) dx ∫(b)   3 [f (x) + g(x)] dx ∫(c)   5 f (x) dx
3 1 1

∫ = –   3 f (x) dx ∫ ∫ =   3 f (x) dx +   3 g(x) dx ∫ ∫ =   3 f (x) dx +   5 f (x) dx
1 11 13

= – 4 = 4 + 12 =4+3
= 16 =7

Contoh 13 Sudut Informasi

∫ ∫Diberi   5 f (x) dx = 12, cari nilai h jika   5 [hf (x) – 3] dx = 51. y
22 y = f (x)

Penyelesaian KH
Oa b c x
∫    5 [hf (x) – 3] dx = 51 Jumlah luas rantau = Luas
2 rantau K + Luas rantau H

∫ ∫ h    5 f (x) dx –   5 3 dx = 51 ∫  c f (x) dx
22 a
[ ] 12h – 5
3x 2 = 51 ∫  ∫ = b f (x) dx + c f (x) dx
ab
12h – [3(5) – 3(2)] = 51
3.3.1
12h – 9 = 51

h=5

94

Pengamiran

Latihan Kendiri 3.5

1. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
4 dx (b)  14 x2 2 dx ∫(c) 5
∫ ∫(a)   2x 3    1 (2x 2 + 3x) dx

1 dx (e)   31 3x – ! x ∫ ( )(f)    5 1
∫ ( ) ∫ ( )(d)   6x 3–2x dx 3 x – ! x dx
2

2. Cari nilai bagi setiap kamiran tentu yang berikut.

∫ ( ) ∫ ( )(a) (2x + 3)(x – 2)
x 3 + x 2 dx (b) 13 5 +x 2x 2 dx 5 x 4
4 x ∫ ( )(c) 1 AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA2    dx
B3
   4 dx (e) ––31 (5 –33x)3 2 dx
∫ ∫(d) 3(3x – 4)2 dx ∫(f) 0 – 2 ! 3 – 2x

∫ 3. Diberi   5 f (x) dx = 3, cari nilai bagi setiap yang berikut.
2
   2 f (x) dx (b)   25 21 f (x) dx ∫(c)   5 [3f (x) – 2] dx
5∫ ∫(a) 2

∫ ∫ 4. Diberi   7 f (x) dx = 5 dan   7 k(x) dx = 7. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
33
∫ ∫ ∫ ∫(a)   7 [f (x) + k(x)] dx (b)   5 f (x) dx –   5 f (x) dx (c)   7 [ f (x) + 2x] dx
3 37 3

Perkaitan antara had bagi hasil tambah luas segi empat tepat dengan luas
di bawah suatu lengkung

4Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Meneroka perkaitan antara had bagi hasil tambah luas segi empat
tepat dengan luas di bawah suatu lengkung

Langkah: ggbm.at/ck4ejqwb
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

2. Katakan n ialah bilangan segi empat tepat di bawah suatu lengkung y = –x 2 + 6x.

3. Seret gelongsor n ke kiri dan ke kanan. Perhatikan luas rantau di bawah lengkung
y = –x 2 + 6x pada setiap nilai n yang berbeza.

4. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Bilangan segi empat Hasil tambah luas segi empat Luas rantau di bawah
tepat, n tepat di bawah lengkung lengkung yang sebenar

1

2



20

5. Bersama-sama ahli kumpulan, bincangkan perkaitan antara hasil tambah luas segi empat
tepat dengan luas rantau di bawah suatu lengkung.

6. Bentangkan hasil dapatan yang diperoleh di hadapan kelas.

3.3.1 3.3.2 95

Daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa apabila bilangan segi empat tepat di bawah
suatu lengkung y = f (x) bertambah, maka hasil tambah luas semua segi empat tepat di bawah
lengkung itu menghampiri luas rantau di bawah lengkung yang sebenar.

Perhatikan lengkung y = f (x) dalam rajah di y
sebelah. Luas di bawah lengkung y = f (x) antara y = f (x)
x = a dengan x = b itu boleh dibahagikan kepada
n jalur segi empat tepat yang tipis. Apabila δL1 δL2 δL3 ... δLn yn δLi yi
bilangan jalur ini bertambah, maka lebar setiap δx
jalur ini semakin kecil.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Lebar setiap jalur segi empat tepat ini Oa x
b
ditulis sebagai dx, dengan keadaan dx = b – a . δx
n

Didapati bahawa:
Luas jalur segi empat tepat, dLi ≈ Panjang jalur segi empat tepat × Lebar jalur segi empat tepat
≈ yi × dx
≈ yidx

Luas n jalur segi empat tepat ≈ dL1 + dL2 + dL3 + … + dLn Luas di bawah suatu
lengkung dapat dikaitkan
n dengan had bagi hasil
tambah luas trapezium.
≈ i ∑= 1dLi
y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6
n ∆ x∆ x∆ x∆ x∆ x∆ x

≈ i ∑= 1yidx

Apabila bilangan jalur segi empat tepat adalah cukup besar,
iaitu n ˜ ∞, maka dx ˜ 0.

Secara amnya, Berdasarkan perkaitan
tersebut, bina rumus
n
Luas di bawah lengkung = had ∑= 1yidx ∫ bagi b f (x) dx.
a
dx ˜ 0
i
∫  = b y dx
a

Luas suatu rantau y
y = f (x)
Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-x
Rajah di sebelah menunjukkan rantau antara lengkung y = f (x) L x
dengan paksi-x yang dibatasi oleh garis x = a dan x = b. Rumus
bagi luas rantau L itu diberi oleh: Oa b

∫ L = b y dx
a

96 3.3.2 3.3.3

Pengamiran

5Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menentukan luas suatu rantau yang berada di atas dan
di bawah paksi-x

Langkah: bit.ly/2FvKmYB

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.
1
2. Perhatikan rantau di bawah lengkung y = 3  x 3 yang terpapar pada satah.

3. Gerakkan titik a pada x = 0 dan titik b pada x = 5. AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
4. Perhatikan kedudukan rantau yang terbentuk dan nilai bagi luas rantau itu. B3

5. Ulang langkah 3 dan 4 dengan mengubah titik a kepada x = –5 dan titik b kepada x = 0.

6. Catatkan nilai bagi kamiran tentu yang berikut berserta kedudukan rantaunya.

∫(a) 5 1  x 3 dx ∫(b) 0 1  x 3 dx
0 3 –5 3

7. Bincangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa: Nilai kamiran y
adalah negatif y = f (x)
Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu
lengkung dan paksi-x, Nilai kamiran
• Jika rantau itu berada di bawah paksi-x, maka adalah positif
Ox
nilai bagi hasil kamiran adalah negatif.
• Jika rantau itu berada di atas paksi-x, maka

nilai bagi hasil kamiran adalah positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.

Contoh 14

Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.

(a) y y = 2x2 (b) y

y = x2 – 6x + 5

O 3 6 x 25 x

O Gunakan aplikasi Photomath
untuk mencari kamiran bagi
Penyelesaian suatu fungsi.

∫6 bit.ly/2QNZ3LJ

(a) Luas rantau = 3 y dx 97
∫6

= 3 2x 2 dx
[ ]= 2x 3 6
33 2(3)3
2(6)3 3
= 3 –

= 126
Maka, luas rantau berlorek ialah 126 unit2.

3.3.3

(b) Luas rantau

= ∫  5 y dx Sudut Informasi
2
Tanda negatif pada hasil
∫  = 5 (x 2 – 6x + 5) dx suatu kamiran hanya
2 menunjukkan kedudukan
luas rantau yang berada
[ ] =x 3 – 6x 2 + 5x 5 di bawah paksi-x. Oleh itu,
3 2 2 tanda negatif tersebut
boleh diabaikan.
[ ] [ ] =53 – 6(5)2 + 5(5) – 23 – 6(2)2 + 5(2)
3 2 3 2
= –9
Maka, luas rantau berlorek ialah 9 unit2.KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Contoh 15 y

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2x2 – 6x
y = 2x 2 – 6x. Cari luas bagi rantau yang berlorek itu.

Penyelesaian O x
36

Katakan A mewakili rantau berlorek di bawah paksi-x dan B

mewakili rantau berlorek di atas paksi-x.
∫ Luas rantau A = 3 y dx
y
0 y = 2x2 – 6x

∫  = 3 (2x 2 – 6x) dx
0
[ ] = 2x 3 6x 2 3
3 – 2 0

[ ] [ ] = 2(3)3 2(0)3
3 – 3(3)2 – 3 – 3(0)2 A
O3
= –9 B
Jadi, luas rantau A ialah 9 unit2. 6x

∫ Luas rantau B = 6 y dx AKaedah lternatif
3
∫  = 6 Luas rantau berlorek
3 (2x 2 – 6x) dx
∫ ∫     =   30(2x 2 – 6x) dx  + 36(2x 2 – 6x) dx
[ ] = 2x 3 – 6x 2 6
3 2 3 =  –9  + 45
= 9 + 45
[ ] [ ] = 2(6)3 2(3)3 = 54 unit2
3 – 3(6)2 – 3 – 3(3)2

= 45
Jadi, luas rantau B ialah 45 unit2.

Maka, luas rantau berlorek = 9 + 45
= 54 unit2


98 3.3.3

Pengamiran

Luas rantau antara suatu lengkung dengan paksi-y y x = g(y)
Rajah di sebelah menunjukkan rantau antara lengkung x = g(y) x
dengan paksi-y yang dibatasi oleh garis y = a dan y = b. Rumus b
bagi luas rantau L itu diberi oleh: L

∫ L = b x dy a
a O

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA6Aktiviti PenerokaanBerkumpulan PAK-21 STEM PK AB
B
3

Tujuan: Menentukan luas suatu rantau yang berada di sebelah kiri dan di
sebelah kanan paksi-y

Langkah: bit.ly/36rPW9W
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

1

2. Perhatikan rantau di bawah lengkung x = y 3 yang terpapar pada satah.

3. Gerakkan titik a pada y = 0 dan titik b pada y = 5.

4. Perhatikan kedudukan rantau yang terbentuk dan nyatakan sama ada nilai bagi luas rantau
itu adalah positif atau negatif.

5. Ulang langkah 3 dan 4 dengan mengubah titik a kepada y = –5 dan titik b kepada y = 0.

6. Kemudian, salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Nilai kamiran Kedudukan rantau

∫ 5 0 1 dy

y 3

∫  0–5 1 dy

y 3

7. Bersama-sama ahli kumpulan, bincangkan perkaitan antara tanda bagi nilai kamiran
dengan kedudukan rantaunya.

8. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa: y
x = g(y)
Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung
dan paksi-y, Nilai kamiran
• Jika rantau itu berada di sebelah kiri paksi-y, maka adalah negatif

nilai bagi hasil kamiran adalah negatif. O x
• Jika rantau itu berada di sebelah kanan paksi-y,
Nilai kamiran
maka nilai bagi hasil kamiran adalah positif. adalah positif
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.
99
3.3.3

Contoh 16

Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.

(a) y (b) y
x = – (y + 1)(y – 3)
y2 = –x 4

1
Ox
Ox
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA


Penyelesaian

(a) Diberi y2 = –x. Mencari penyelesaian
Jadi, x = –y2. dalam Contoh 16(a) dengan
∫  Luas rantau = 4 x dy menggunakan kalkulator
1 saintifik.
∫ = 4 –y2 dy 1. Tekan
[ ]=–1 y3 3 4
1 2. Skrin akan memaparkan

[ ] [ ]= – 433 – – 133

= –21

Maka, luas rantau berlorek ialah 21 unit2.

(b) Diberi x = – (y + 1)(y – 3).

Apabila x = 0,

– (y + 1)(y – 3) = 0

y = –1  atau  y = 3

Jadi, batas bagi rantau berlorek itu ialah y = –1 dan y = 3.

Oleh itu,
∫  Luas rantau = 3 x dy
–1
∫ = 3 – (y + 1)(y – 3) dy
–1

∫ = 3 (–y2 + 2y + 3) dy
[ ]=––1 y3 3 2y2 3
+ 2 + 3y –1

[ ] [ ]= – 333 + 32 + 3(3) – – (–31)3 + (–1)2 + 3(–1)
( )= 9 – – 53
32
= 3

Maka, luas rantau berlorek ialah 32 unit2.
3

100 3.3.3

Contoh 17 Pengamiran

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung x = y(y – 2)(y – 5). Cari luas bagi rantau x = y(y – 2)(y – 5)
yang berlorek itu.

Ox AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BPenyelesaian3

Katakan A mewakili rantau berlorek di sebelah kanan y
paksi-y dan B mewakili rantau berlorek di sebelah 5 x = y(y – 2)(y – 5)
kiri paksi-y.

Diberi x = y(y – 2)(y – 5). B x
Apabila x = 0, 2
y(y – 2)(y – 5) = 0 A
y = 0, y = 2 atau y = 5 O

Jadi, batas bagi rantau A ialah y = 0 dan y = 2 dan batas
bagi rantau B ialah y = 2 dan y = 5.

Oleh itu,

Luas rantau A Luas rantau B

∫ = 2 y(y – 2)(y – 5) dy ∫ = 5 y(y – 2)(y – 5) dy
0 2

∫ = 2 (y 3 – 7y2 + 10y) dy ∫ = 5 (y 3 – 7y2 + 10y) dy
0 2

[ ]= y 4 – 7y 3 + 10y2 2 [ ]= y 4 – 7y 3 + 10y2 5
4 3 2 0 4 3 2 2

[ ]= 24 – 7(2)3 + 5(2)2 [ ]= 54 – 7(5)3 + 5(5)2
4 3 4 3
[ ] – 7(0)3 [ ] – 7(2)3
0 4 – 3 + 5(0)2 24 – 3 + 5(2)2
4 4

= 16 – 0 = – 11225 – 16
3 3

= 16 = – 643
3

Jadi, luas rantau A ialah 16 unit2. Jadi, luas rantau B ialah 63 unit2.
3 4

Luas rantau berlorek = 16 + 63
3 4
253
= 12

Maka, luas rantau berlorek ialah 253 unit2.
12

3.3.3 101

Luas rantau antara suatu lengkung dengan garis lurus
Rantau berlorek seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.1(a) ialah rantau antara lengkung
y = g(x) dengan garis lurus y = f (x) dari x = a hingga x = b.
Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut:

y yy

y = f (x) = – y = f (x)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
y = g(x) y = g(x)

O a x O a x O a x
b b b

Luas rantau berlorek Luas di bawah lengkung Luas di bawah garis

y = g(x) y = f (x)

Rajah 3.1(a) Rajah 3.1(b) Rajah 3.1(c)

Maka,

∫ ∫   Luas rantau berlorek = b g(x) dx – b f (x) dx
aa

∫  = b [ g(x) – f (x)] dx
a

Rantau berlorek dalam Rajah 3.2(a) pula menunjukkan rantau antara garis lurus y = f (x)
dengan lengkung y = g(x) dari x = a hingga x = b.

Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut:

yy y

y = g(x) y = g(x)

=y = f (x) –y = f (x)

O a x O a x O a x
b b b

Luas rantau berlorek Luas di bawah garis Luas di bawah lengkung

y = f (x) y = g(x)

Rajah 3.2(a) Rajah 3.2(b) Rajah 3.2(c)

Maka,

∫ ∫   Luas rantau berlorek = b f (x) dx – b g(x) dx
aa

∫  = b [ f (x) – g(x)] dx
a

102 3.3.3

Contoh 18 Pengamiran

Dalam rajah di sebelah, lengkung y = –x 2 + 2x + 8 y
bersilang dengan garis lurus y = x + 2 pada titik (–2, 0) y = –x2 + 2x + 8
dan (3, 5). Cari luas bagi rantau yang berlorek. y=x+2
(3, 5)

(–2, 0) x
O
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA AB
BPenyelesaian
3
∫  ∫ Luas rantau = 3 (–x 2 + 2x + 8) dx – 3 (x + 2) dx
–2
–2

∫ = 3 (–x 2 + 2x + 8 – x – 2) dx Apakah kaedah lain yang
–2 boleh digunakan untuk
∫ = 3 (–x 2 + x + 6) dx menyelesaikan Contoh 18?
–2 Bincangkan.
[ ]=
– x3 3 + x 2 + 6x 3
2 –2

– (–32)3 (–2)2
[ ] [ ]=– 333 + 32 + 6(3) – + 2 +
2 6(–2)

= 125 unit2
6

Contoh 19

Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus y = 1  x + 6 yang y y = –12x2 + 3
2 y = –21 x + 6
1
bersilang dengan lengkung y = 2  x 2 + 3. Hitung luas rantau

berlorek yang dibatasi oleh garis lurus dan lengkung itu.

Ox

Penyelesaian

y = 1  x 2 + 3  …1 Luas rantau
2 ∫ ( ) ∫ ( )   =1 1
3 2  x + 6 dx – 3 2  x 2 + 3 dx
1 –2 –2
y = 2  x + 6  …2 ∫ ( ) ( ) =
3 1  x + 6 – 1  x 2 + 3 dx
–2 2 2
Gantikan 1 ke dalam 2, ∫ ( ) =
3 1  x – 1  x 2 + 3 dx
1  x 2 + 3 = 1  x + 6 –2 2 2
2 2 [ ]=x 2 x 3 3
1 1 4 – 6 + 3x –2
2  x 2 – 2  x – 3 = 0
[ ] [ ]=32 34 (–2)2 (–2)3
x 2 – x – 6 = 0 4 – 6 + 3(3) – 4 – 6 + 3(–2)

(x + 2)(x – 3) = 0 = 125 unit2
12
x = –2 atau x = 3

3.3.3 103

Luas rantau di antara dua lengkung

Contoh 20

Lengkung y = x 2 dan y = 3! x bersilang pada titik (0, 0) dan (1, 1). Cari luas bagi rantau di
antara dua lengkung itu.

Penyelesaian

∫  ∫ Luas rantau = 1 3! x dx – 1 x 2 dx y
00 y = x2
y = 3� x
(1, 1)

Ox
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA11

x3 – x 2 dx
∫ ( )  = 0
4
[ ] = 3x3 x 3
4 – 3 1
0
44
[ ] [ ] = 3(1)3 3(0)3
4 – 13 – 4 – 0 3
3 3
5
= 12 unit2

Latihan Kendiri 3.6

1. Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.

(a) y (b) y (c) y
y = 2–1 x2 x = y2 + y – 6
y = 3x – x2 + 2
1
O 3 x –3 O 2 x Ox

–2

2. Cari luas bagi setiap rantau berlorek yang berikut.

(a) (b) y (c) y

y y = x2 – 4x + 5

y2 = 5x

–2 O x O x
2y = –x
y = –x(x + 3)(x – 4) O x

y = –2x + 5

3. (a) Jika lengkung y = –x 3 – x 2 menyilang lengkung y = –x – x 2 pada titik (–1, 0), (0, 0) dan
(1, –2), cari luas rantau di antara dua lengkung itu.

(b) Diberi bahawa lengkung y = x 2 – 4x dan y = 2x – x 2 bersilang pada dua titik. Cari luas
bagi rantau di antara dua lengkung itu.

104 3.3.3

Pengamiran

Perkaitan antara had bagi hasil tambah isi padu silinder dengan isi padu
janaan daripada kisaran suatu rantau

7Aktiviti Penerokaan Berkumpulan

Tujuan: Menentukan bentuk suatu bongkah apabila suatu rantau dikisarkan AB
sepenuhnya melalui 360° pada suatu paksi
3
Langkah:
1. Sediakan tiga buah tanglung kertas seperti yang ditunjukkan dalam

gambar di sebelah.
2. Ceraikan bahagian tanglung dan ambil bahagian yang paling besar.
3. Perhatikan setiap rantau berlorek dalam rajah di bawah. Kemudian, lukis setiap rantau itu

pada tiga tanglung kertas yang berbeza.
(a) y (b) y (c) y
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B Ox Ox Ox

4. Guntingkan ketiga-tiga tanglung kertas itu mengikut bentuk rantau yang dilukis.

5. Buka tanglung tersebut dan tampalkan kedua-dua permukaan yang bertemu.

6. Kemudian, perhatikan ketiga-tiga bongkah yang terbentuk. Apakah perkaitan antara setiap
bongkah tersebut dengan kisaran 360°?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa suatu bongkah kisaran akan dijana
apabila luas di bawah suatu rantau dikisarkan sepenuhnya melalui 360° pada suatu paksi.

Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui
360° pada paksi-x dapat ditentukan dengan membahagikan bongkah tersebut kepada n silinder
mencancang dengan lebar dx. Perhatikan rajah yang berikut.

y y = f (x) y y = f (x) yi
Oa x Oa δIi
yn
b x

b

δx

      δx

Apabila nilai dx adalah kecil, maka isi padu bongkah yang dijana ialah jumlah isi padu bagi
semua silinder itu.

Isi padu silinder, d Ii = Luas keratan rentas × Lebar silinder 105
= π yi 2 × dx
= π yi 2dx

3.3.4

Isi padu n silinder = dI1 + dI2 + dI3 + … + dIn Sudut Informasi

n Nilai bagi isi padu janaan
adalah sentiasa positif.
= i ∑= 1dIi

n

= i ∑= 1π yi2 dx

Apabila bilangan silinder adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞,
maka dx ˜ 0.
Secara amnya,
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
∫ n b π y2 dx
Isi padu bongkah janaan = had i ∑= 1π yi2 dx =
a
dx ˜ 0

Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui
360° pada paksi-y pula dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah yang sama seperti isi padu
bongkah janaan apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-x. Bongkah tersebut
dibahagikan kepada n silinder mengufuk dengan tinggi dy. Perhatikan rajah yang berikut.

y y xn x = g(y)
x = g(y) b

b xi
δIi
δy

δy

a x a x
O O
   

Apabila nilai dy adalah kecil, maka isi padu bongkah yang dijana ialah jumlah isi padu bagi
semua silinder itu.

Isi padu silinder, dIi = Luas keratan rentas × Tinggi silinder
= π xi2 × dy
= π xi2dy

Isi padu n silinder = dI1 + dI2 + dI3 + … + dIn

n

= i ∑= 1dIi

n

= i ∑= 1π xi2 dy

Apabila bilangan silinder adalah cukup besar, iaitu n ˜ ∞, maka dy ˜ 0.
Secara amnya,

∫ n b π x2 dy
Isi padu bongkah janaan = had i ∑= 1π xi2 dy =
a
dy ˜ 0

106 3.3.4

Pengamiran

Isi padu janaan bagi suatu rantau yang dikisarkan pada paksi-x

atau paksi-y

Isi padu janaan I bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung y y = f (x)
y = f (x) yang dibatasi oleh x = a dan x = b apabila dikisarkan bx
melalui 360° pada paksi-x ialah:

∫ I = b π y2 dx Oa
a

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAContoh 21 AB
B
3

Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2x 2 + 3,
x = 0 dan x = 2 yang dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x.

Penyelesaian

∫ Isi padu janaan = 2 πy2 dx y y = 2x2 + 3
0 2

∫  =π 2 (2x 2 + 3)2 dx
0

∫  =π 2 (4x 4 + 12x 2 + 9) dx
0

[ ] =π 4x 5 + 12x 3 + 9x 2 O x
5 3 0

[( ) ( )] 4(2)5 4(0)5
=π 5 + 4(2)3 + 9(2) – 5 + 4(0)3 + 9(0)

= 75 3  π unit3
5

Isi padu janaan I bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung y
x = g(y) yang dibatasi oleh y = a dan y = b apabila dikisarkan x = g(y)
melalui 360° pada paksi-y ialah:
b

∫ I = b π x 2 dy a
a Ox

Contoh 22 y x
y = 6–x
Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau 107
berlorek dalam rajah di sebelah diputarkan melalui 4
360° pada paksi-y.
1
3.3.5 O

Penyelesaian

Diberi y = 6 Apakah bentuk geometri
x yang akan terbentuk
6 apabila rantau berlorek
Jadi, x = y dalam setiap rajah
di bawah dikisarkan
∫ Isi padu janaan = 4 π x 2 dy sepenuhnya pada paksi-x?
1 (a) y

∫ ( )  =π 4 6 2 dy y=x
1 y

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA∫ ( )  =π436 dy
1 y2

∫  = π 4 (36y –2) dy O 3x
1 (b) y
36y –1 4 y=3
–1 1 O 3x
[ ] =π

[ ] =π – 3y6 4
1

[( ) ( )] = π – 346 – – 326

= 27π unit3

Contoh 23

Dalam rajah di sebelah, lengkung y = 1  x 2 bersilang y 4–1
4
y = x2
y
dengan garis lurus y = x pada titik O dan A. Cari = x

(a) koordinat bagi titik A, A

(b) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau

berlorek itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x.

Penyelesaian Ox

(a) y = 1  x 2 … 1
y = x4 … 2

Gantikan 1 ke dalam 2,
1
4  x 2 = x

x 2 = 4x
x 2 – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

Gantikan x = 4 ke dalam 2, kita peroleh y = 4.
Maka, koordinat bagi titik A ialah (4, 4).

108 3.3.5

Pengamiran

(b) Katakan I1 ialah isi padu janaan bagi garis lurus y = x dan I2 ialah isi padu janaan bagi
1
lengkung y = 4  x 2 daripada x = 0 hingga x = 4.

∫ I1 = 4 π(x)2 dx ∫ ( ) I2 =4 π  1  x 2 2 dx
0 4
0

∫ I1 = π 4 x 2 dx ∫ I2 = π 4 1  x 4 dx
0 16
0
[ ]I1 = x 3
π  3 4 [ ]I2= π  x 5 4
0 16(5) 0

[( ) ( )]I1 = π 43 – 0 3 AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA33 [( ) ( )]I2 = π 45 – 05
B6 480803
I1 = 3  π unit3 6 4
I2 = 5  π unit3

Maka, isi padu janaan = I1 – I2
6 4 6 4
= 3  π – 5  π

= 8 8  π unit3
15

Latihan Kendiri 3.7

1. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek dalam setiap rajah yang

berikut dikisarkan melalui 360°.

(a) Pada paksi-x. (b) Pada paksi-y.

yy

y = –x2 + 3x 6

y = 6 – 2x2

O2 x x

O



2. Hitung isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung
y2 = – 4x, y = 0 dan y = 2 dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

3. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh garis lurus
y = 5 – x, lengkung y = –x 2 + 4, paksi-x dan paksi-y dikisarkan sepenuhnya melalui paksi-x.

4. Dalam rajah di sebelah, lengkung y2 = 4 – x dan garis y y=x–2
lurus y = x – 2 bersilang pada dua titik A dan B. Cari y2 = 4 – x B
(a) koordinat bagi titik A, x
(b) koordinat bagi titik B, O
(c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau A 109
berlorek yang dibatasi oleh lengkung y2 = 4 – x dan
garis lurus y = x – 2 itu diputarkan melalui 360°
pada paksi-y.

3.3.5

Latihan Formatif 3.3 Kuiz bit.ly/2Esl90x

1. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
3 dx (b) –23 8x –26–x 2x + 8 ∫ (c) 3
∫  ∫ (a) –1 (2 – x)5 dx –2 2x 2(x 2 – x)dx

∫ ∫ ∫ ∫        2. (a) Diberi3f (x) 5 0 1 dx + 5
0 dx = 2 dan 2 g(x) dx = 7. Cari nilai bagi 3 2 f (x) 2 3g(x) dx.

∫ ∫ ∫     (b) Jika7 10, cari 3 7 k(x)
1 k(x) dx = nilai bagi 1 [k(x) – 3] dx + 3 dx.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
3. Diberi luas rantau di bawah lengkung y = x 2 + hx – 5 yang dibatasi oleh garis x = 1 dan

x = 4 ialah 28 1 unit2. Cari nilai bagi h.
2

4. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x 2 dan y
garis lurus y = 4. Suatu garis lurus dilukis melalui y = x2
titik H(0, 2) dengan kecerunan –1 dan bertemu
dengan lengkung y = x 2 pada titik K. Cari P y=4
(a) koordinat titik K, H(0, 2)
(b) nisbah luas rantau P kepada luas rantau Q. QK
O x

5. (a) Lakarkan graf bagi lengkung y = 6x + x 2.
(b) Cari persamaan tangen kepada lengkung y = 6x + x 2 pada asalan dan pada titik dengan
keadaan x = 2.
(c) Diberi bahawa kedua-dua tangen kepada lengkung itu bertemu pada titik A, cari koordinat
titik A. Seterusnya, cari luas rantau yang dibatasi oleh garis-garis persamaan tangen dan
lengkung tersebut.

6. Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung y = x 2 + 2,
garis lurus x = 1 dan x = 2 yang diputarkan melalui 360° pada paksi-y.

7. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y = x 2 + 4 y
dan tangen kepada lengkung itu pada titik P(1, 5). y = x2 + 4
(a) Cari koordinat bagi titik Q.
(b) Hitung luas rantau berlorek. P(1, 5)
(c) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila Q
rantau yang dibatasi oleh lengkung Ox
y = x 2 + 4, paksi-y dan garis lurus y = 8
dikisarkan sepenuhnya pada paksi-y.

8. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y2 = 6 – x dan y
garis lurus 3y = 8 + 2x yang bersilang pada titik A. 3y = 8 + 2x
(a) Cari koordinat bagi titik A.
(b) Hitung luas rantau berlorek Q. AQ y2 = 6 – x
(c) Kira isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila P x
luas rantau berlorek P diputarkan melalui 360° O
pada paksi-x.

110

Pengamiran

3.4 Aplikasi Pengamiran

Pengamiran merupakan satu daripada cabang dalam bidang kalkulus dan mempunyai banyak
aplikasi yang berguna dalam kehidupan seharian. Melalui pengamiran, kita dapat mencari luas
suatu rantau yang berbentuk lengkung, menentukan jarak yang dilalui oleh suatu objek daripada
fungsi halaju serta menyelesaikan banyak masalah dalam bidang ekonomi, biologi dan statistik.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAMenyelesaikan masalah yang melibatkan pengamiran AB
B
Contoh 24 Aplikasi Matematik 3

Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas bagi sebuah mangkuk 12 cm 2 cm
berbentuk parabola yang fungsinya boleh diwakili oleh y = ax 2.

Diameter dan kedalaman mangkuk itu masing-masing ialah 12 cm

dan 2 cm. Tunjukkan bahawa a = 1 . Seterusnya, cari isi padu,
18
dalam sebutan π, bahagian dalaman mangkuk tersebut.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Bentuk bahagian dalaman Gantikan koordinat (6, 2) ke dalam
mangkuk itu diwakili oleh y = ax 2. persamaan y = ax 2.
Diameter mangkuk = 12 cm. ∫ Gunakan rumus 2
Kedalaman mangkuk = 2 cm.    0 π x 2 dy.
Cari nilai a bagi persamaan y = ax 2.
Cari isi padu janaan, dalam sebutan 3 . Melaksanakan strategi
π, bahagian dalaman mangkuk itu.

Diberi y = ax 2.

Apabila x = 6 dan y = 2,
2 = a(6)2
4 . Membuat refleksi
2 = 36a
1
∫ ( )   2 πy dy = 36π a = 18
0 a
y2 1
[ ] π  2a 2 = 36π Jadi, y = 18  x 2
0
x 2 = 18y
[ ] 22 – 02 = 36π
2a 2a π Isi padu dalaman mangkuk
∫= 2
2 = 36    0 π (18y) dy
a
1 [ ]= π  18y2 2
a = 18 2 0

= π [9(2)2 – 9(0)2]
= 36π cm3

3.4.1 111

Contoh 25 Aplikasi Matematik

Dalam satu kajian, didapati bahawa kadar pertambahan luas

bagi koloni bakteria pada agar-agar makmal boleh diwakili
dA
oleh dt = 2t + 5, dengan keadaan A ialah luas koloni

bakteria, dalam cm2, dan t ialah masa, dalam saat, apabila

bakteria dikulturkan pada agar-agar.

Diberi bahawa bilangan bakteria bagi setiap keluasan 1 cm2
ialah 1 000 000 sel dan koloni bakteria mempunyai ketebalan
satu sel sahaja. Cari bilangan bakteria selepas 5 saat.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Kadar pertambahan luas bagi koloni ∫ Gunakan rumus    5 (2t + 5) dt.
0
bakteria pada agar-agar makmal,
dA
dt = 2t + 5. Cari bilangan bakteria dengan

Bilangan bakteria bagi keluasan mendarabkan luas koloni bakteria
dengan bilangan sel per cm2.
1 cm2 = 1 000 000 sel.

Cari luas bagi koloni bakteria.

Cari bilangan bakteria selepas 3 . Melaksanakan strategi

5 saat.

Luas koloni bakteria selepas 5 saat
∫=   5 (2t + 5) dt
4 . Membuat refleksi 0

Katakan u ialah masa yang diperlukan [ ]= 2t 2 + 5t 5
untuk menghasilkan 5 × 107 sel bakteria. 2 0

[ ]= 5
[∫ ]  u (2t + 5) dt t 2 + 5t 0
0

[ ]
× 1 000 000 = 5 × 107 = [(52 + 5(5)) – (02 + 5(0))]

2t 2 + 5t u = 5 × 107 = 50 cm2
2 0 1 000 000

[ ] u 5 × 107 Bilangan bakteria = 50 × 1 000 000
t 2 + 5t 0 = 1 000 000 = 50 000 000
= 5 × 107
[(u2 + 5u) – 0] = 50
u2 + 5u = 50
u2 + 5u – 50 = 0 Maka, bilangan bakteria selepas
5 saat ialah 5 × 107 sel.
Dengan menggunakan kaedah
pemfaktoran, kita peroleh
(u + 10)(u – 5) = 0
u = –10 atau u = 5

Oleh sebab nilai u mestilah positif,
maka u = 5 saat.

112 3.4.1

Pengamiran

Latihan Kendiri 3.8

1. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas bagi sebuah 50 cm
tudung saji rotan berbentuk parabola yang boleh diwakili 100 cm
oleh persamaan y = – kx 2, dengan keadaan y adalah tinggi,
dalam m, dan x ialah jejari, dalam m, tudung saji itu. AB

(a) Tunjukkan bahawa k = 510. 3
(b) Cari isi padu, dalam sebutan π, bahagian dalaman tudung saji itu.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B 2. Kadar penyusutan nilai harga bagi sebuah kereta dalam masa setahun diberi oleh

S(t) = 1 A  (20 – t), dengan keadaan A ialah nilai harga asal, dalam RM, kereta tersebut
000
dan t ialah bilangan tahun kereta itu dibeli.

(a) Diberi harga asal bagi sebuah kereta ialah RM48 000. Cari nilai harga kereta itu

selepas 7 tahun.

(b) Jika harga asal sebuah kereta ialah RM88 500, cari peratus susutan nilai harga kereta

tersebut selepas 5 tahun.

Latihan Formatif 3.4 Kuiz bit.ly/38MgTXK

1. Sebuah kilang menghasilkan minyak masak sawit. Didapati bahawa sebuah tangki minyak

yang berbentuk silinder di kilang tersebut mengalami kebocoran. Tinggi minyak dalam
tangki itu berkurang dengan kadar 5 cmmin –1 dan kadar perubahan isi padu minyak dalam

tangki terhadap tinggi minyak diberi oleh dV = 3  t – 6, dengan keadaan t ialah masa,
dh 5
dalam minit. Cari isi padu, dalam cm3, minyak yang mengalir keluar daripada tangki itu

selepas 0.5 jam.

2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas sebuah penutup 2.8 cm 3 cm
mesin yang dihasilkan oleh mesin pencetak 3D. Penutup
itu diperbuat daripada sejenis bahan pencetak, iaitu filamen
plastik. Bahagian dalam dan bahagian luar penutup itu

masing-masing boleh diwakili oleh y = – 116 x 2 + 2.8 dan
y = – 210 x 2 + 3. Anggarkan kos, dalam RM, filamen plastik
yang digunakan untuk menghasilkan 20 penutup yang sama
jika harga 1 cm3 filamen plastik ialah 7 sen.

dK 300
dt (t + 25)2
[ ] 3. Kadar penghasilan suatu mesin di sebuah kilang diberi oleh = 50 1+ , dengan

keadaan K ialah bilangan mesin yang dihasilkan dan t ialah bilangan minggu mesin tersebut

dalam tempoh pengeluaran. Cari

(a) bilangan mesin yang dihasilkan selepas 5 tahun,

(b) bilangan mesin yang dihasilkan pada tahun ke-6.

3.4.1 113

SUDUT REFLEKSI

PENGAMIRAN

Proses songsangan kepada pembezaan

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAKamiran tak tentu Kamiran tentu
b f (x) dx =

a
∫• ax n + 1 ∫ [ ] • b = g(b) – g(a)
ax n dx = n+1 + c, n ≠ –1 g(x) + c a

∫ ∫ ∫• [ f (x) ± g(x)] dx =  f (x) dx ± g(x) dx ∫  a a

• a f (x) dx = 0 b f (x) dx
b f (x) dx = –

a
∫• (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1 + c, n ≠ –1 ∫ ∫   •
a(n + 1)
∫ ∫   • b kf (x) dx = k b f (x) dx
aa c
c b f (x) dx +
b f (x) dx
a f (x) dx = a
Persamaan lengkung ∫ ∫ ∫     •

Diberi suatu fungsi kecerunan dy = f (x),
dx
maka persamaan lengkung bagi fungsi itu

∫ialah y =   f (x) dx.

Isi padu janaan Luas di bawah lengkung

y y
y = f (x)
y = f (x)
Isi padu janaan Luas rantau L1

Oa bx ∫ = b π y2 dx L1 x ∫ = b y dx
a Oa b a

y Isi padu janaan y Luas rantau L2
b x = g(y) x = g(y)
∫ = b π x2 dy ∫ = b x dy
a x a b a
O L2

a
Ox

Aplikasi

114

Pengamiran

Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz merupakan dua orang ahli matematik yang AB
terkenal dengan sumbangan mereka dalam bidang kalkulus. Namun, kedua-dua tokoh ini
terlibat dalam satu perbalahan intelektual yang dikenali sebagai Kontroversi Kalkulus. 3
Buat satu kajian tentang sumbangan tokoh-tokoh ini dalam bidang kalkulus dan punca
berlakunya kontroversi tersebut. Berdasarkan hasil dapatan anda, siapakah tokoh pertama
yang mencipta kalkulus? Persembahkan hasil dapatan anda dalam satu folio grafik
yang menarik.

Latihan Sumatif
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. TP 1

∫ ∫(a) x(x – 2)(x + 3) dx (b) (2x 2– 3)3 dx

∫ 2. Diberi bahawa 2 dx = a(3x – 2)–2 + c. TP 2
(3x – 2)n
(a) Cari nilai bagi a dan n.
8
∫ (b) Dengan menggunakan nilai n yang diperoleh di (a), cari nilai bagi 3 (3x – 2)n dx.
1

3. Diberi y = 3(2x + 11)2, tunjukkan bahawa dy = 3(20x 2 – 8x – 9) . Seterusnya, cari nilai bagi
5x – dx (5x – 1)2
3(20x 2 – 8x – 9)
∫ 4 (5x – 1)2 dx. TP 2
1

4. Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan f (x) = 2x 2 + 5x – r, dengan keadaan r ialah
suatu pemalar. Jika lengkung tersebut melalui titik (1, 14) dan (–2, –16), cari nilai r. TP 3

∫ ∫    5. Diberi 4 f (x) dx = 4 dan v g(x) dx = 3, cari TP 3
01
∫ ∫   (a) nilai bagi 2 f (x) dx – 2 f (x) dx,
04
∫ ∫   (b) nilai v jika 4 f (x) dx + v [g(x) + x] dx = 19.
01

6. Diberi dV = 10t + 3, dengan V ialah isi padu, dalam cm3, suatu objek dan t ialah masa,
dt
dalam s. Apabila t = 2, isi padu objek tersebut ialah 24 cm3. Cari isi padu, dalam cm3, objek

tersebut apabila t = 5. TP 4

7. Dalam rajah di sebelah, garis lurus 3y = 4x – 13 y
menyilang lengkung 2y2 = x – 2 pada titik K. Cari TP 2 3y = 4x – 13
(a) koordinat titik K, 2y2 = x – 2
(b) luas rantau berlorek. K

Ox

115

8. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung Harga (RM)
permintaan pengguna, d(x) = (x – 4)2 dan lengkung s(x) = 3x2 + 2x + 4
penawaran pengeluar, s(x) = 3x 2 + 2x + 4.

Rantau M mewakili lebihan pengguna dan rantau N M
N
mewakili lebihan pengeluar. Titik P pula dikenali P
sebagai titik keseimbangan antara permintaan

pengguna dengan penawaran pengeluar. Cari TP 3 d(x) = (x – 4)2
(a) titik keseimbangan P,
Kuantiti (unit)
(b) lebihan pengguna pada titik keseimbangan P, O
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
(c) lebihan pengeluar pada titik keseimbangan P.

9. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
lengkung 4x = 4 – y2 yang menyilang garis lurus 3y = 18 + 2x
3y = 18 + 2x pada titik P. TP 4
(a) Cari koordinat bagi titik P. PA
(b) Hitung luas rantau berlorek A. 4x = 4 – y2
(c) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila
rantau berlorek B diputarkan melalui 360° B
pada paksi-x. Ox

10. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y Q(1, 3)
lengkung y + x 2 = 4 dan garis tangen PR pada titik y + x2 = 4 P
Q(1, 3). Cari TP 4
(a) koordinat bagi titik P, R dan S, S
(b) luas rantau berlorek,
(c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau O Rx
yang dibatasi oleh lengkung y + x 2 = 4, paksi-y dan
garis lurus yang selari dengan paksi-x dan melalui
titik Q diputarkan melalui 360° pada paksi-y.

11. Diberi suatu lengkung dengan fungsi kecerunan f (x) = px 2 + 6x, dengan keadaan p ialah

pemalar. Jika y = 24x – 30 ialah persamaan tangen kepada lengkung tersebut pada

titik (2, q), cari nilai p dan q. TP 4 y

12. Rajah di sebelah menunjukkan lengkung y2 = x + 28 y = x2 – 4
yang bersilang dengan lengkung y = x 2 – 4 pada titik 10 y2 = x + 28
K(–3, 5). TP 4 K
(a) Hitung luas rantau P. Q
(b) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila P
rantau Q diputarkan melalui 360° pada paksi-y. Ox

13. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y

lengkung y = 2x 2 – 3x + c dan garis lurus x = 5. TP 4 x=5

(a) Cari nilai c dan koordinat bagi titik A. y = 2x2 – 3x + c

(b) Hitung luas rantau berlorek.

(c) Cari isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila B(5, 33)

rantau yang dibatasi oleh lengkung y = 2x 2 – 3x + c O Ax
dan paksi-x diputarkan melalui 180° pada paksi-x.

116

Pengamiran

14. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas sebuah bekas 60 cm
yang mempunyai permukaan dalaman berbentuk parabola
dan penutup yang rata. Permukaan dalam bekas itu boleh 30 cm
diwakili oleh y = ax 2. Cari jisim beras, dalam kg, yang
boleh disimpan dalam bekas tersebut jika penutup bekas
itu dipasang dengan rapi.
[Ketumpatan beras = 1.182 g/cm3] TP 4

15. Encik Razak bercadang untuk membina sebuah kolam renang di kediamannya. Diberi AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bbahawa kedalaman kolam renang tersebut ialah 1.2 m dan sekata pada seluruh kolam. TP 53

(a) Diberi kadar pengisian air ke dalam kolam renang itu ialah dV = 3t 2 + 14t, dengan
dt
keadaan V ialah isi padu air, dalam m3, dan t ialah masa, dalam jam. Encik Razak

mengambil masa 5 jam untuk mengisi air ke dalam kolam renang itu. Cari isi padu,
dalam m3, air di dalam kolam renang itu.

(b) Encik Razak ingin mengecat dasar kolam renang itu dengan cat berwarna biru. Kos
untuk mengecat ialah RM5 per m2. Jika Encik Razak memperuntukkan RM1 000 untuk

kos mengecat, adakah beliau dapat mengecat keseluruhan dasar kolam renang itu?

Berikan sebab.

PBP

Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah untuk lampiran bit.ly/2Z6DDPa
Kerja Projek yang lengkap.

Pengenalan
Emas merupakan sejenis logam berwarna
kuning yang digunakan sebagai mata wang
dan mempunyai pengaruh yang besar terhadap
kehidupan manusia. Sifat fizikal emas yang
berkilat dan tidak teroksida walaupun di dalam
air telah menyebabkan barang perhiasan yang
diperbuat daripada emas menjadi kegemaran
ramai. Emas juga digunakan dalam pelbagai
industri lain seperti industri pembuatan
komputer, alat komunikasi, kapal angkasa, enjin
pesawat jet, kapal terbang dan beberapa hasil
pengeluaran yang lain. Harga emas pula sentiasa
berubah mengikut masa.

Refleksi
Melalui projek yang telah dijalankan, apakah perkara yang telah anda pelajari?
Bagaimanakah anda dapat mengaplikasikan pengetahuan tentang pengamiran
dalam kehidupan seharian? Berikan ulasan anda dalam bentuk lembaran
pengurusan grafik yang menarik.

117

BAB PILIH ATUR DAN

4 GABUNGAN

Televisyen litar tertutup
IP:192.168.1.102
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Telefon bimbit
IP:192.168.1.103 Mesin Cetak
IP:192.168.1.1
Pilih Atur
Gabungan
Senarai
Standard
Pembelajaran

bit.ly/2ZmlKdJ

118

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIATahukah anda setiap komputerAl-Khalil Ibn Ahmad Al-Farahidi (718-791 M),
atau peranti lain yang bersambung seorang ahli matematik Arab dan
dengan Internet masing-masing ahli kriptografi yang menulis ‘Book of
mempunyai satu alamat Protokol Cryptographic Messages’. Di dalam
Internet (Internet Protocol, IP) khas? buku tersebut, penggunaan pilih atur dan
Alamat Protokol Internet dicipta gabungan digunakan untuk pertama kali
dan diuruskan oleh IANA (Internet bagi menyenaraikan semua perkataan
Assigned Numbers Authority). Pada Bahasa Arab yang mungkin dan tanpa vokal.
pandangan anda, bagaimanakah ahli Hasil kerja beliau dalam bidang kriptografi
pengatur cara membuat susunan turut mempengaruhi Al-Kindi (801-873 M),
pilih atur alamat Protokol Internet yang telah menemui kaedah kriptoanalisis
bagi sesuatu peranti? menggunakan analisis kekerapan.
Kriptografi merupakan kajian
Komputer linguistik yang berkaitan dengan kod rahsia
IP:192.168.1.100 yang dapat membantu seseorang memahami
bahasa yang telah pupus.
Video mengenai
Protokol Internet (IP) Untuk maklumat lanjut:

bit.ly/34MyV94 bit.ly/2HbHAvS

Kepentingan Bab Ini

Secara amnya, pilih atur dan gabungan
digunakan dalam penentuan nombor
pin ATM, kod keselamatan bagi telefon
bimbit atau komputer, pemilihan
kombinasi baju serta seluar
dan lain-lain.
Penggunaannya meluas dalam
bidang kejuruteraan, sains komputer,
bioperubatan, sains sosial
dan perniagaan.

Petua pendaraban Product rule
Pilih atur Permutations
Faktorial Factorial
Susunan Arrangement
Tertib Order
Gabungan Combinations
Objek secaman Identical object

119

4.1 Pilih Atur

Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban dengan menggunakan
gambar rajah pokok
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Langkah: Menu A Menu B
1. Kedai kegemaran anda menawarkan set sarapan • Roti canai • Kuah kari
• Roti nan • Kuah dal
pagi. Berdasarkan menu di sebelah, pilih satu jenis • Roti jala
roti dan satu jenis kuah.
2. Dengan menggunakan gambar rajah pokok,
senaraikan set yang mungkin bagi pilihan anda.

3. Kemudian, tentukan bilangan cara set tersebut boleh dipilih.

4. Tentukan bilangan cara yang boleh dipilih jika kedai tersebut menambah pilihan set
dengan menawarkan empat jenis minuman.

5. Bincangkan hasil dapatan anda dengan rakan sekumpulan dan lantik seorang wakil untuk
membentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa pilihan yang dibuat dapat digambarkan
dengan menggunakan gambar rajah pokok yang berikut.

Roti canai Kuah kari {Roti canai, Kuah kari} Sudut Informasi
Kuah dal {Roti canai, Kuah dal}
Hairi mempunyai 3 buah
Roti nan Kuah kari {Roti nan, Kuah kari} motor dan 2 buah kereta.
Kuah dal {Roti nan, Kuah dal} Bilangan cara untuk Hairi
menaiki kenderaan ke kedai
Roti jala Kuah kari {Roti jala, Kuah kari} adalah seperti berikut:
Kuah dal {Roti jala, Kuah dal} Motor atau Kereta
3 + 2 = 5 cara
Terdapat enam cara yang mungkin bagi memilih set
sarapan pagi itu. Selain daripada menyenaraikan kesudahan Kaedah untuk menentukan
yang mungkin, kaedah lain yang boleh digunakan adalah dengan bilangan cara bagi peristiwa
mendarabkan bilangan kemungkinan bagi setiap peristiwa. yang tidak berurutan dan
saling eksklusif ini dikenali
sebagai petua penambahan.

3 jenis roti × 2 jenis kuah = 6 cara memilih set

Sekiranya kedai tersebut menambah pilihan set dengan menawarkan empat jenis minuman,
bilangan cara memilih set sarapan pagi ialah:

3 jenis roti × 2 jenis kuah × 4 jenis minuman = 24 cara memilih set

Kaedah seperti di atas dikenali sebagai petua pendaraban. 4.1.1
120

Pilih Atur dan Gabungan

Secara amnya,

Petua pendaraban menyatakan bahawa jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan
suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku
dalam m × n cara.

Contoh 1 Sudut Informasi

(a) Tentukan bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan Penggunaan petua
sekeping duit syiling secara serentak. pendaraban juga boleh
diperluaskan kepada lebih
(b) Cari bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi daripada dua peristiwa.
mengakses telefon bimbit jika pengulangan digit dibenarkan.
Berdasarkan Contoh 1(b),
Penyelesaian mengapakah penyelesaian
diberikan sebagai
(a) Bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan sekeping duit 10 × 10 × 10 × 10? Jelaskan.
syiling secara serentak ialah 6 × 2 = 12.

(b) Bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi
mengakses telefon bimbit ialah 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA AB
B
4

Latihan Kendiri 4.1

1. Terdapat 3 pilihan warna bagi sehelai kemeja dan 5 pilihan warna bagi sehelai seluar.
Tentukan bilangan cara padanan kemeja dan seluar itu.

2. Berapakah bilangan cara set jawapan diperoleh jika terdapat 15 soalan betul atau salah?

3. Terdapat 4 jalan yang menghubungkan Kota A ke Kota B dan 5 jalan dari Kota B ke Kota C.

Cari bilangan cara perjalanan pergi dan balik melalui Kota B yang boleh dilalui jika

(a) menggunakan jalan yang sama, (b) tidak menggunakan jalan yang sama.

Menentukan bilangan pilih atur

Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza

2Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza secara linear

Langkah: T  U  A  H
1. Bentukkan kumpulan yang terdiri daripada empat

atau enam orang ahli.

2. Setiap kumpulan akan menerima satu perkataan “TUAH” yang terdiri daripada huruf
T, U, A dan H.

3. Setiap murid perlu menulis cara huruf bagi perkataan TUAH yang boleh disusun
sekiranya ulangan huruf tidak dibenarkan pada sehelai kertas.

4. Kemudian, berikan kertas tersebut kepada rakan di sebelah dan setiap ahli kumpulan
menulis jawapan pada sehelai kertas yang sama.

5. Ulang proses ini sehingga tiada lagi kemungkinan yang ada.

6. Seorang daripada ahli kumpulan perlu menyatakan bilangan cara susunan yang mungkin.

4.1.1 4.1.2 121

Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa terdapat dua kaedah untuk mencari
bilangan cara huruf-huruf dalam perkataan TUAH yang boleh disusun sekiranya ulangan
huruf tidak dibenarkan.

Kaedah 1 Kaedah 2

Senaraikan semua susunan yang mungkin. Isikan kotak kosong di bawah.
Daripada aktiviti tersebut, terdapat 24 4 pilihan 3 pilihan 2 pilihan 1 pilihan
cara yang boleh dibuat untuk menyusun
huruf-huruf tersebut tanpa ulangan.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Daripada kaedah kedua: Diberi 1! = 1. Mengapakah
Bagi kotak pertama, terdapat empat cara huruf yang boleh diisi nilai 0! = 1? Bincangkan.
sama ada T, U, A atau H.
Bagi kotak kedua, terdapat tiga cara, kotak ketiga pula terdapat Menentukan pilih atur
dua cara dan seterusnya kotak keempat terdapat satu cara. bagi 4 objek berbeza
Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara menggunakan kalkulator.
susunan yang mungkin ialah 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 1. Tekan

Bilangan cara menyusun huruf-huruf ini dikenali sebagai 2. Skrin akan memaparkan
pilih atur. 4 × 3 × 2 × 1 juga dikenali sebagai faktorial dan
boleh ditulis sebagai 4!. Secara amnya,

Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diberi sebagai
n!, dengan keadaan n! = nPn = n × (n – 1) × (n – 2) × …
× 3 × 2 × 1.

Contoh 2

Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(b) 46!2!! (Rai)n g(knan–sk!2a)n! yan(gb)b e(nrikn–u!1t:)!
(a) 11!
9!

Penyelesaian

(a) 11! = 11 × 10 × 9! (b) 6! = 6 × 5 × 4!
9! 9! 4!2! 4! × 2 × 1
6×5
= 11 × 10 = 2×1

= 110 = 15

Contoh 3

Cari bilangan cara menyusun semua huruf dalam perkataan BIJAK tanpa ulangan huruf.

Penyelesaian

Diberi bilangan huruf, n = 5.
Maka, bilangan cara menyusun semua huruf ialah 5! = 120.

122 4.1.2

Pilih Atur dan Gabungan

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza secara linear dan bulatan
Langkah:
1. Bentukkan kumpulan yang terdiri daripada enam orang ahli.
2. Setiap kumpulan akan diberikan satu perkataan yang mengandungi tiga huruf berikut.

A  P  I
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
3. Setiap kumpulan perlu menyenaraikan perkataan yang boleh dibentuk jika perkataan itu
disusun secara
(a) linear (b) membulat

4. Perhatikan setiap susunan yang terhasil secara linear dan membulat. Adakah bilangan AB
susunannya sama atau berbeza? Apakah perkaitan antara pilih atur suatu objek secara
linear dan bulatan? Jelaskan. 4

5. Bincangkan hasil dapatan kumpulan anda dan wakil kumpulan akan membentangkannya
di hadapan kelas.

Daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa sekiranya perkataan API disusun secara linear,
bilangan cara susunan yang mungkin ialah 3! = 6. Jika perkataan API disusun secara bulatan,
didapati bahawa 3 pilih atur secara linear bersamaan dengan 1 pilih atur dalam bulatan.

Jenis Susunan Bilangan
susunan susunan

Linear API IAP PIA AIP PAI IPA 6

A I PA P I

Membulat I P=P A=A IP I=I A=A P 2

Jadi, bilangan cara susunan bagi perkataan API dalam bentuk bulatan ialah 3! = 2. Secara
3
amnya, pilih atur bagi n objek dalam bentuk bulatan diberi oleh:

P= n! = n(n – 1)! = (n – 1)!
n n
Akses QR

Contoh 4 Video cara menyusun
enam orang murid untuk
Tentukan bilangan cara menyusun enam orang murid untuk duduk di sebuah
duduk di sebuah meja bulat. meja bulat.

Penyelesaian bit.ly/2QiGcIg

Diberi bilangan murid, n = 6. Maka, bilangan cara menyusun
enam orang murid ialah (6 – 1)! = 120.

4.1.2 123

Contoh 5 Sudut Informasi

Cari bilangan cara menyusun 12 butir manik pelbagai warna Susunan objek bagi seutas
untuk membentuk seutas rantai mainan.
gelang atau kalungan yang
Penyelesaian
berbentuk bulatan tidak

melibatkan arah jam dan

Diberi bilangan manik, n = 12 dan setiap manik perlu disusun lawan jam kerana kedua-
dalam bentuk bulatan. Didapati bahawa susunan manik mengikut
arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan. duanya adalah sama.

Susunan boleh dikira seperti

biasa dengan mencari pilih
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAMaka, bilangan cara menyusun 12 butir manik ialah
(12 – 1)! atur n objek dalam bentuk
2 = 11! = 19 958 400. bulatan dan dibahagikan
2 (n – 1)!
dengan 2, iaitu 2 .

Latihan Kendiri 4.2

1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.

(a) 8! (b) 8! 6–! 6! (c) 24!2!! (d) 47!!53!!
5!

2. Cari bilangan cara menyusun semua huruf dalam perkataan berikut tanpa ulangan huruf.

(a) SURD (b) LOKUS (c) VEKTOR (d) PERMUTASI

3. Berapakah bilangan cara menyusun tujuh orang pelanggan untuk duduk di sebuah meja bulat
di sebuah restoran?

4. Tentukan bilangan cara menyusun lapan butir permata berlainan warna untuk membentuk
seutas rantai.

Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada
satu masa

Anda telah mempelajari kaedah untuk mengira bilangan cara menyusun empat huruf bagi
perkataan TUAH dengan mengisi kotak kosong sehingga memperoleh 4 × 3 × 2 × 1 = 24
bilangan cara susunan.

Pertimbangkan pula perkataan BERTUAH. Katakan 7 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan
kita ingin memilih dan menyusun hanya empat huruf sahaja
daripada perkataan tersebut berdasarkan rajah di sebelah.

Dalam kotak pertama, terdapat 7 cara Dengan menggunakan petua
huruf yang boleh diisi. Maka, kotak pendaraban, bilangan cara
kedua mempunyai 6 cara, kotak ketiga susunan yang mungkin ialah
mempunyai 5 cara dan kotak keempat 7 × 6 × 5 × 4 = 840.
mempunyai 4 cara.

Perhatikan bahawa 7 × 6 × 5 × 4 juga
boleh ditulis sebagai:
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7! 7! Bilangan pilih atur bagi 7 objek
3 × 2 × 1 = 3! = (7 – 4)! yang berbeza diambil 3 objek
pada satu masa boleh diwakilkan
Jadi, 7P4 = (7 7! = 840. dengan tatatanda 7P4.
– 4)!
4.1.2
124

Pilih Atur dan Gabungan

Secara amnya,

Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa
n!
diberi oleh nPr = (n – r)! , dengan keadaan r < n.

Contoh 6

Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi 6P4. Tentukan nilai n yang
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA berikut.
B
(a) nP2 = 20
(b) n + 2P3 = 30n
6P4 = 6! = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2! = 360 (c) = 10nP2
(6 – 4)! 2! 2! Pn + 1 AB
4
4
Contoh 7

Lapan orang ahli jawatankuasa sebuah persatuan dicalonkan Penyelesaian Contoh 7
untuk memegang jawatan sebagai Presiden, Naib Presiden dengan menggunakan
dan Setiausaha. Cari bilangan cara pemilihan jawatan itu kalkulator saintifik.
dapat dibentuk. 1. Tekan

Penyelesaian 2. Skrin akan memaparkan

Tiga daripada lapan orang ahli jawatankuasa yang tercalon

perlu dipilih untuk memegang tiga jawatan.
8!
Maka, 8P3 = (8 – 3)! = 336.

Pertimbangkan situasi yang berikut.

Katakan empat huruf daripada perkataan BERTUAH ingin disusun dalam
bentuk bulatan, berapakah bilangan susunan yang diperoleh?

Jika perkataan BERTUAH disusun secara linear, maka bilangan pilih atur yang diperoleh
ialah 7P4 = 840. Namun, jika perkataan tersebut disusun dalam bentuk bulatan, empat susunan
yang sama akan diperoleh. Maka, bilangan pilih atur bagi 4 daripada 7 huruf dalam bentuk
7P4
bulatan ialah 4 = 840 = 210. Tip Pintar
4

Secara amnya, Pilih atur suatu objek yang
disusun dalam bentuk
Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r bulatan tidak mengambil
kira sama ada mengikut arah
objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan jam atau lawan arah jam,
nPr maka bilangan pilih aturnya
diberi oleh r . adalah seperti berikut.

nPr
2r

4.2.2 125

Contoh 8

Nadia membeli 12 butir manik pelbagai warna di Pasar Kraf Tangan Kota Kinabalu dan
bercadang untuk membuat seutas gelang. Nadia mendapati bahawa gelang itu hanya
memerlukan 8 butir manik sahaja. Berapakah bilangan pilih atur untuk menghasilkan
gelang tersebut?

Penyelesaian

Diberi jumlah manik ialah 12 butir dan 8 butir manik perlu disusun membentuk gelang.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Didapati bahawa susunan mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan.
12P8 12P8
Maka, bilangan pilih atur ialah 2(8) = 16 = 1 247 400.

Latihan Kendiri 4.3

1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 5P3 (b) 8P7 (c) 9P5 (d) 7P7

2. Dalam satu perlumbaan basikal, 9 orang peserta akan merebut tempat johan, naib johan dan
ketiga. Tentukan bilangan pilih atur bagi tiga tempat utama tersebut.

3. Sebuah stadium mempunyai 5 pintu. Cari bilangan cara 3 orang boleh memasuki stadium
itu dengan menggunakan pintu yang berlainan.

4. Cari bilangan cara nombor yang terdiri daripada 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dengan ulangan digit tidak dibenarkan.

5. Seorang pekerja di sebuah restoran perlu menyusun 10 biji pinggan di atas sebuah meja
bulat tetapi meja tersebut hanya boleh memuatkan 6 biji pinggan sahaja. Cari bilangan
pilih atur bagi menyusun pinggan-pinggan tersebut.

Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman

4Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21

Tujuan: Menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman
Langkah:
1. Setiap kumpulan diberikan satu perkataan yang terdiri daripada tiga huruf seperti berikut.

A  P  A

2. Labelkan dua huruf A masing-masing sebagai A1 dan A2, kemudian bina gambar rajah pokok.
3. Berdasarkan gambar rajah pokok yang dibina, senaraikan semua susunan yang mungkin

bagi menyusun huruf-huruf itu. Berapakah bilangan susunannya?
4. bAoplaebhildaigAu1ndakananAu2natudkalamhensacmarai ,bbilearnagpaankashusbuinlaanngbanagisupseurnkaantanayna?yaAnpgamkaehlibkaatekdaanhhyuarnugf

secaman seperti huruf A dalam perkataan APA?
5. Lantik seorang wakil dan bentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas.

126 4.1.2

Pilih Atur dan Gabungan

Daripada Aktiviti Penerokaan 4, hasil dapatan berikut diperoleh.

P A2 A1PA2 Teroka GeoGebra berikut
A1 untuk melihat perwakilan
A2 P A1A2P secara grafik bagi pilih atur
melibatkan objek secaman.
A1 A2 PA1A2
P Bilangan susunan = 3 2 1 ggbm.at/wkwwbm6b

A2 A1 PA2A1 =3×2×1

=6
= 3P3
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAA1PA2A1P
BA2
A1 A2PA1 = 3!
P


Apabila A1 = A2 = A, dengan dua susunan yang sama dianggap sebagai satu susunan, 3 bilangan AB
susunan diperoleh, iaitu APA, AAP dan PAA. Cara untuk memperoleh 3 bilangan susunan ini
4
adalah dengan membahagikan jumlah susunan huruf-huruf dalam A1PA2 dengan 2 huruf secaman
3!
A, iaitu 2! = 3.

Secara amnya,

Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman diberi oleh
n!
P = a!b!c!… , dengan a, b dan c, … ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman.

Contoh 9

Hitung bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada Katakan huruf-huruf
perkataan SIMBIOSIS. dalam perkataan
SIMBIOSIS ingin disusun
Penyelesaian bermula dengan huruf S.
Bagaimanakah anda dapat
Diberi n = 9. Bilangan objek secaman huruf S dan I adalah menentukan bilangan cara
menyusun huruf-huruf itu
sama, iaitu 3. Maka, bilangan cara menyusun huruf-huruf tanpa ulangan?
9!
daripada perkataan SIMBIOSIS ialah 3!3! = 10 080.

Latihan Kendiri 4.4

1. Tentukan bilangan cara menyusun semua huruf berbeza daripada setiap perkataan berikut.

(a) CORONA (b) MALARIA

(c) HEPATITIS (d) SKISTOSOMIASIS

2. Terdapat 5 batang pen biru dan 3 batang pen merah di dalam sebuah bekas. Cari bilangan
cara semua pen itu dapat disusun dalam satu baris.

3. Terdapat 4 helai bendera berwarna putih dan 6 helai bendera berwarna kuning di dalam
sebuah kotak. Cari bilangan cara bendera-bendera itu dapat dipasang pada suatu tiang yang
mencancang.

4. Cari bilangan nombor ganjil yang dapat dibentuk daripada semua angka 3, 4, 6 dan 8 dengan
semua angka selain 3 muncul tepat dua kali.

4.1.2 127

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAMenyelesaikan masalah yang melibatkan pilih atur dengan syarat tertentu

Pertimbangkan tujuh objek dalam rajah di bawah.

      
Katakan semua objek di atas ingin disusun mengikut syarat tertentu. Maka, setiap syarat yang
berikut perlu dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika setiap bulatan dan segi tiga perlu disusun secara berselang-seli,

            

1 • Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun empat bulatan.

• Terdapat 3! = 6 cara untuk menyusun tiga segi tiga.
• Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan susunan yang mungkin ialah

4! × 3! = 144.

Jika semua bulatan perlu disusun dalam kelompok yang sama,

      

2

• Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun satu kumpulan bulatan dan tiga segi tiga.
• Terdapat 4! = 24 cara untuk menyusun empat bulatan dalam kelompoknya.
• Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan susunan yang mungkin ialah

4! × 4! = 576.

Jika bulatan dan segi tiga perlu disusun dalam kelompok masing-masing,

      
• Terdapat 4! × 3! = 144 cara untuk menyusun dengan keadaan kelompok bulatan

3 berada di hadapan dan kelompok segi tiga berada di belakang.

      
• Setiap objek itu juga boleh disusun dengan keadaan kelompok segi tiga berada di

hadapan dan kelompok bulatan berada di belakang, iaitu 3! × 4! = 144.
• Maka, bilangan susunan yang mungkin ialah 144 + 144 = 288.
128 4.1.2 4.1.3

Contoh 10 Pilih Atur dan Gabungan

Cari bilangan cara nombor 4 digit yang boleh dibentuk daripada AKaedah lternatif
digit-digit 1, 3, 4, 5, 6, 8 dan 9 jika digit yang dibentuk mestilah
nombor ganjil dengan keadaan tiada digit yang berulang. Pertimbangkan bilangan
pilihan bagi setiap kotak
Penyelesaian di bawah.

Bagi membentuk suatu nombor ganjil, nombor tersebut mesti 6544
berakhir dengan digit ganjil. pilihan pilihan pilihan pilihan
Terdapat empat pilihan dengan digit terakhir adalah ganjil, Cara mengisi setiap kotak
iaitu sama ada digit 1, 3, 5 atau 9. ialah 6 × 5 × 4 × 4 = 480.
Maka, terdapat 480 nombor
4 digit yang memenuhi
syarat tersebut.
*** 4 pilihan MALAYSIA

Apabila satu nombor ganjil telah dipilih, masih terdapat BAB
enam nombor lain yang boleh dipilih sebagai 3 digit di
hadapan, iaitu 6P3 × 4P1 = 480. 4
Maka, terdapat 480 nombor 4 digit yang memenuhi
syarat tersebut.
PEEDNDIDIKAN
Contoh 11 D
E
C
C
Cari bilangan cara 5 orang pekerja, A, B, C, D dan E di sebuah syarikat yang boleh disusun
di sebuah meja bulat dengan syarat A dan B mesti duduk bersebelahan.

Penyelesaian

Apabila A dan B duduk bersebelahan, mereka A A A A A A
dianggap sebagai satu unit. Maka, susunan bagi
DC BAECCECDDE ED
A dan B sebagai satu unit dan tiga orang yang BA
BA
lain ialah (4 – 1)! = 6 pilih atur. BA
BA
BA
BBBBBB

KEMENTERIAN
E
D
D
E
C
C
Kedudukan A dan B boleh saling bertukar dan DC EC CE CD DE ED
ini memberikan 2 pilih atur, iaitu

6 × 2 = 12 susunan.

Contoh 12

Cari bilangan cara susunan berbeza yang mungkin bagi semua huruf dalam perkataan
SUASANA jika huruf vokal sentiasa bersama.

Penyelesaian

Diberi bilangan huruf, n = 7 dan bilangan huruf secaman S dan A masing-masing ialah 2 dan 3.

Untuk syarat huruf vokal sentiasa bersama, kelompokkan huruf vokal bagi membentuk

satu susunan.

AAAU S S N
4!
Jadi, bilangan susunan dengan 3 huruf yang lain ialah 2! cara. ×de34n!!ga=n4438!!.

Dalam kelompok huruf vokal pula terdapat 4 huruf yang boleh disusun cara.

Maka, bilangan susunan apabila huruf vokal sentiasa bersama ialah 4!
2!

4.1.3 129

Contoh 13 Aplikasi Matematik

Cari bilangan cara nombor 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7 jika
nombor tersebut adalah ganjil dan kurang daripada 5 000.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Dua syarat bagi membentuk nombor 4 Bagi membentuk nombor 4 digit,
digit daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7
ialah nombor mestilah ganjil dan kurang
daripada 5 000.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA sediakan empat kotak kosong.

Bagi nombor ganjil, kotak terakhir

perlu terdiri daripada nombor ganjil.

Bagi nombor kurang daripada 5 000,

kotak pertama terdiri daripada digit

yang kurang daripada 5.

, 5 000 ganjil

**

2 atau 3 3, 5 atau 7

3 . Melaksanakan strategi

Kes 1: Digit 3 di kotak terakhir. , 5 000 ganjil
Kotak pertama mempunyai 1 pilihan dan kotak
terakhir mempunyai 3 pilihan. * *
Baki pilihan digit yang ada ialah 2 bagi kotak kedua
dan ketiga, iaitu 1 × 2 × 1 × 3 = 6 cara. 2 3, 5 atau 7

Kes 2: Digit 3 di kotak pertama. , 5 000 ganjil
Kotak pertama mempunyai 1 pilihan dan kotak
terakhir mempunyai 2 pilihan. * *
Baki pilihan digit yang ada ialah 2 bagi kotak kedua
dan ketiga, iaitu 1 × 2 × 1 × 2 = 4 cara. 3 5 atau 7

Jadi, bilangan pilih atur = 6 + 4 = 10.

Maka, bilangan nombor 4 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 5 dan 7
jika nombor tersebut adalah ganjil dan kurang daripada 5 000 ialah 10.

4 . Membuat refleksi 4.1.3
Kes 1: 1 × 2P1 × 3 = 6
Kes 2: 1 × 2P1 × 2 = 4
Maka, bilangan pilih atur ialah 6 + 4 = 10.

130

Pilih Atur dan Gabungan

Latihan Kendiri 4.5

1. Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan TULAR dapat disusun jika
(a) huruf vokal dan konsonan disusun secara berselang-seli,
(b) susunan bermula dan berakhir dengan huruf vokal,
(c) huruf konsonan dan vokal dalam kelompok masing-masing.

2. Cari bilangan cara nombor 4 digit yang lebih daripada 2 000 dapat dibentuk dengan
menggunakan digit 0, 2, 4, 5, 6 dan 7 tanpa ulangan.

3. Cari susunan yang mungkin menggunakan semua huruf dalam perkataan TRIGONOMETRI
jika G ialah huruf pertama dan E ialah huruf terakhir.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B
4. Sebuah keluarga yang terdiri daripada ayah, ibu dan 4 orang anak duduk bersama-sama

mengelilingi sebuah meja bulat. Cari bilangan cara berlainan mereka boleh duduk jika

(a) tanpa syarat, (b) ayah dan ibu duduk bersebelahan. AB

4

Latihan Formatif 4.1 Kuiz bit.ly/35SM6qi

1. Satu set soalan mengandungi 5 soalan betul atau salah dan 5 soalan aneka pilihan yang
terdiri daripada empat pilihan jawapan. Berapakah bilangan cara set jawapan yang
diperoleh daripada set soalan itu?

2. Cari bilangan cara untuk membentuk kata laluan 3 digit bagi sebuah kunci jika

(a) ulangan digit dibenarkan, (b) ulangan digit tidak dibenarkan.

3. Cari bilangan nombor yang berada di antara 5 000 dengan 6 000 yang dapat dibentuk
daripada digit-digit 2, 4, 5, 7 dan 8 dengan keadaan ulangan digit tidak dibenarkan.
Seterusnya, berapakah bilangan nombor genap yang diperoleh?

4. Sepasang suami isteri dan lapan orang anaknya menonton wayang di sebuah pawagam.

Mereka ditempatkan pada baris yang sama. Cari bilangan cara keluarga itu boleh

ditempatkan jika pasangan suami isteri itu

(a) duduk bersebelahan, (b) duduk di kedua-dua hujung baris,

(c) duduk berasingan.

5. Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan BAKU dan BAKA yang boleh disusun
jika tiada pengulangan huruf dibenarkan. Adakah bilangan huruf yang boleh dibentuk
adalah sama? Jelaskan.

6. Tentukan bilangan laluan yang boleh dilalui B
sekiranya suatu objek bergerak dari titik A ke titik
B dengan syarat objek bergerak ke atas atau A
ke kanan.

7. Sekumpulan 7 orang kanak-kanak sedang berebut enam buah kerusi yang disusun
dalam bentuk bulatan bagi satu permainan kerusi berirama. Kanak-kanak itu perlu
mengelilingi bulatan mengikut lawan arah jam. Tentukan pilih atur kanak-kanak itu dalam
permainan tersebut.

4.1.3 131

4.2 Gabungan

Membanding beza pilih atur dan gabungan

Dalam pilih atur, anda telah mempelajari bahawa kedudukan bagi setiap objek dalam satu set
adalah penting. Misalnya, kedudukan AB dan BA adalah dua pilih atur yang berbeza. Teliti
masalah di bawah.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Katakan anda mempunyai rakan bernama Aakif, Wong dan Chelvi. Anda diminta untuk
memilih dua daripada tiga orang rakan anda untuk menyertai satu aktiviti berkayak.
Berapakah bilangan cara anda boleh membuat pilihan? Adakah kedudukan rakan anda
penting dalam pemilihan tersebut?

Dengan menggunakan gambar rajah pokok, kita dapat Sudut Informasi
menyenaraikan kemungkinan pilihan yang ada.

Aakif Wong {Aakif, Wong} • Pilih atur ialah proses
Chelvi {Aakif, Chelvi} pemilihan objek yang
mempertimbangkan
Wong Aakif {Wong, Aakif} susunan dan urutannya.
Chelvi {Wong, Chelvi}
Misalnya, memilih 2
Chelvi Aakif {Chelvi, Aakif} daripada 5 orang murid
untuk jawatan ketua kelas
Wong {Chelvi, Wong} dan penolong ketua kelas.

Namun, adakah keputusan untuk memilih ‘Aakif dan • Gabungan ialah proses
pemilihan objek tanpa
Wong’ berbeza daripada memilih ‘Wong dan Aakif’? Dalam mempertimbangkan
susunan dan urutannya.
situasi di atas, adakah kedudukan suatu objek penting dalam
Misalnya, memilih 2
membuat pemilihan? daripada 5 orang murid
untuk menyertai suatu
Berdasarkan rajah di sebelah, hanya terdapat 3 pertandingan.

cara pemilihan sahaja kerana kedudukan objek adalah SAMA

tidak penting. Maka, pemilihan yang mungkin ialah

{Aakif, Wong}, {Aakif, Chelvi} atau Aakif Wong Wong Aakif
{Wong, Chelvi}.

Secara amnya, SAMA

Apabila pemilihan suatu objek daripada suatu Aakif Chelvi Chelvi Aakif
set dibuat tanpa mengambil kira susunan,
pemilihan ini dikenali sebagai gabungan. SAMA

Latihan Kendiri 4.6 Wong Chelvi Chelvi Wong

Nyatakan sama ada situasi yang berikut melibatkan pilih atur atau gabungan. Jelaskan.

Sebuah syarikat stesen televisyen menawarkan kepada pelanggan untuk
memilih 7 saluran daripada 18 saluran yang ada.

132 4.2.1 4.2.2

Pilih Atur dan Gabungan

Menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang
berbeza pada satu masa

Mari teroka cara untuk menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang
berbeza pada satu masa.

5Aktiviti Penerokaan Berpasangan PAK-21

Tujuan: Menentukan bilangan gabungan r objek dipilih daripada n objek yang
berbeza pada satu masa

Langkah:
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.bit.ly/2Qi5o1J

2. Perhatikan empat buah objek berbentuk haiwan dalam lembaran kerja yang disediakan. AB
Objek tersebut akan digantung sebagai perhiasan di dalam kelas anda.
4
3. Secara berpasangan, senaraikan bilangan cara untuk menggantungkan setiap objek tersebut
mengikut syarat yang berikut.
(a) Susunan mengambil kira kedudukan.
(b) Susunan tidak mengambil kira kedudukan.

4. Kenal pasti bilangan cara yang dapat disenaraikan jika anda dan pasangan memilih untuk
menggantung
(a) satu objek sahaja,
(b) dua objek sahaja,
(c) tiga objek sahaja.

5. Buat perbandingan bagi keputusan yang diperoleh dalam langkah 3(a) dan 3(b). Kemudian,
tentukan senarai yang mempunyai objek yang sama tetapi susunan yang berbeza.

6. Apakah perbezaan yang dapat anda lihat dari segi susunan dan bilangan cara bagi
kedua-dua kaedah menggantung objek-objek tersebut?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa tiga Sudut Informasi

daripada empat objek dipilih untuk digantungkan di dalam kelas.

Jika kedudukan diambil kira, maka 4P3 = (4 4! = 24. Gabungan boleh ditulis
– 3)! (  )sebagai nCr atau senrba. gai
Jika kedudukan tidak diambil kira, terdapat 3! = 6 kumpulan
npCerk  jaulgi baidniokmeniaall.i
yang mempunyai bentuk yang sama. Oleh itu, bilangan cara

bagi memilih objek untuk digantungkan tanpa mengambil kira
4P3
kedudukan ialah 24 ÷ 6 = 4 atau 4! 3)! = 4 atau 3! = 4.
3!(4 –

Secara amnya, bilangan gabungan r objek yang dipilih Buktikan bahawa nC0 = 1 dan
daripada n objek berlainan diberi oleh: nC1 = n , dengan keadaan n
ialah integer positif.
nCr = nPr = n!
r! r!(n – r)! 133

4.2.2

Contoh 14

Pasukan silat SMK Sari Baru terdiri daripada 8 orang murid. 2 orang murid akan dipilih untuk
menjadi wakil pasukan dalam satu persembahan silat. Tentukan bilangan cara memilih 2 orang
murid tersebut.

Penyelesaian

2 orang wakil perlu dipilih daripada pasukan silat yang terdiri daripada 8 orang ahli.

Maka, bilangan cara = 8C2 = 8! 2)! = 8! = 8 × 7 × 6! = 28.
2!(8 – 2!6! 2 × 1 × 6!
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Contoh 15

Dalam sebuah kelab, 3 orang ahli jawatankuasa perlu dipilih Bandingkan Contoh 15
daripada 10 orang calon. Cari bilangan cara pemilihan ahli dengan Contoh 7. Nyatakan
jawatankuasa itu boleh dilakukan. perbezaan kedua-dua
soalan yang menyebabkan
Penyelesaian Contoh 7 menggunakan
pilih atur manakala
3 orang ahli jawatankuasa perlu dipilih daripada Contoh 15 menggunakan
gabungan.
10 orang calon.

Maka, bilangan cara = 10C3 = 10! 3)! = 10! = 120
3!(10 – 3!7!

Contoh 16

Cari bilangan cara segi tiga yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu sebuah heksagon.
Penyelesaian

Heksagon mempunyai enam bucu. Bagi membentuk sebuah segi tiga, tiga bucu diperlukan.

Maka, bilangan cara = 6C3 = 6! 3)! = 6! = 20.
3!(6 – 3!3!

Latihan Kendiri 4.7

1. Terdapat 12 orang pemain dalam pasukan bola baling sekolah. Tentukan bilangan cara
seorang pelatih boleh memilih 5 orang pemain
(a) sebagai penyerang 1, penyerang 2, penyerang 3, pertahanan 1 dan pertahanan 2,
(b) untuk bermain di suatu pertandingan peringkat daerah.

2. Kelas 5 Al-Biruni mempunyai 25 orang murid. Tiga orang wakil dari kelas itu dipilih bagi
menghadiri satu kem motivasi. Cari bilangan cara memilih wakil tersebut.

3. Berapakah bilangan cara bagi memilih empat huruf daripada set huruf P, Q, R, S, T dan U?

4. ABCDEFGH merupakan bucu-bucu bagi sebuah oktagon sekata. Cari bilangan pepenjuru
yang dapat dibentuk daripada oktagon itu.

134 4.2.2

Pilih Atur dan Gabungan

Menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan dengan syarat tertentu

Teliti situasi di bawah.

Seorang ketua kelas ingin membahagikan 10 rakan anda kepada tiga kumpulan dengan
setiap kumpulan terdiri daripada dua orang, tiga orang dan lima orang ahli. Cari bilangan
cara pembahagian kumpulan itu.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAMenyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan denganAdakah anda akan AB
Bsyarat tertentu (syarat perlu di ambil kira terlebih dahulu)memperoleh jawapan yang
berbeza sekiranya anda 4
Kumpulan 1 Kumpulan 2 Kumpulan 3 memilih lima orang atau
tiga orang terlebih dahulu?
Memilih dua orang • Dua orang telah • Lima orang telah Bandingkan jawapan anda
daripada 10 orang. dipilih dalam dipilih dalam dengan rakan yang lain.
Kumpulan 1. Kumpulan 1 dan
Kumpulan 2. Perwakilan secara grafik
• Baki pilihan untuk mencari bilangan cara
ialah lapan • Baki pilihan gabungan.
orang. ialah lima orang.
ggbm.at/hmrufjsm
• Memilih tiga • Memilih lima
orang daripada orang daripada
lapan orang. lima orang.

10C2 = 10! 8C3 = 8! 3)! 5C5 = 5! 5)!
2!(10 – 2)! 3!(8 – 5!(5 –
= 45 = 56 = 1

Maka, bilangan Maka, bilangan Maka, bilangan

cara ialah 45. cara ialah 56. cara ialah 1.

Dengan menggunakan petua pendaraban, bilangan cara ialah
45 × 56 × 1 = 2 520.

Contoh 17

Satu pasukan bola sepak terdiri daripada 17 orang pemain tempatan dan tiga orang pemain
import. Seorang jurulatih perlu memilih 11 orang pemain utama untuk bertanding dalam satu
perlawanan dengan mengambil dua orang pemain import. Cari bilangan cara supaya
11 orang pemain utama boleh dipilih.

Penyelesaian

Cara memilih dua orang daripada tiga orang pemain import, 3C2.
Cara memilih sembilan orang daripada 17 orang pemain tempatan, 17C9.
3! 17!
Maka, bilangan cara = 3C2 × 17C9 = 2!(3 – 2)! × 9!(17 – 9)! = 72 930

4.2.3 135

Contoh 18

Encik Samad perlu memilih tiga jenis motif batik daripada empat motif organik dan lima
motif geometri. Cari bilangan cara memilih sekurang-kurangnya satu motif organik dan satu
motif geometri.

Penyelesaian

Cara memilih dua motif organik dan satu motif geometri, 4C2 × 5C1.
Cara memilih satu motif organik dan dua motif geometri, 4C1 × 5C2.
Maka, bilangan cara = 4C2 × 5C1 + 4C1 × 5C2 = 70.

Latihan Kendiri 4.8

1. 5 buah buku yang berbeza akan dibahagikan kepada 3 orang murid. 2 orang murid akan
mendapat 2 buah buku manakala seorang murid akan mendapat sebuah buku. Berapakah
bilangan cara untuk membahagikan kesemua buku itu?

2. Dalam satu peperiksaan, Singham dikehendaki menjawab dua soalan daripada tiga soalan
di Bahagian A dan empat soalan daripada enam soalan di Bahagian B. Cari bilangan cara
Singham boleh menjawab soalan-soalan tersebut.

3. Terdapat lima orang graduan lelaki dan enam orang graduan wanita yang menghadiri sesi temu
duga kerja di sebuah syarikat. Cari bilangan cara bagi majikan memilih tujuh orang pekerja jika
(a) semua graduan lelaki dan dua orang graduan wanita mendapat pekerjaan,
(b) sekurang-kurangnya lima orang graduan wanita mendapat pekerjaan.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Latihan Formatif 4.2 Kuiz bit.ly/2tKan3v

1. Dengan menggunakan rumus nCr = (n n! , tunjukkan nCr = nCn – r.
– r)!r!
2. Sebuah jawatankuasa yang terdiri daripada lima orang ahli perlu dipilih daripada lima orang

lelaki dan tiga orang wanita. Cari bilangan jawatankuasa yang boleh dibentuk jika

(a) tiada syarat,

(b) mengandungi tiga orang lelaki dan dua orang wanita,

(c) mengandungi tidak lebih daripada seorang perempuan.

3. Satu pasukan yang mengandungi lima orang ahli akan dipilih untuk ekspedisi ke sebuah
pulau daripada empat orang perenang dan tiga orang bukan perenang. Cari bilangan cara
pasukan itu boleh dibentuk jika bilangan perenang mesti melebihi bilangan bukan perenang.

4. Satu ujian Matematik yang mengandungi 10 soalan terdiri daripada empat soalan trigonometri
dan enam soalan algebra. Calon dikehendaki menjawab hanya lapan soalan. Cari bilangan
cara seorang calon menjawab sekurang-kurangnya empat soalan algebra.

5. Satu rombongan ke Melaka terdiri daripada 12 orang pengunjung. Cari bilangan cara untuk
membawa 12 orang pengunjung itu jika
(a) tiga buah kereta digunakan dan setiap kereta membawa empat orang,
(b) dua buah van digunakan dan setiap van membawa enam orang.

136 4.2.3

Pilih Atur dan Gabungan

SUDUT REFLEKSI

PILIH ATUR DAN GABUNGAN

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Petua Pendaraban
B
Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan suatu peristiwa kedua boleh
berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam m × n cara

Pilih Atur Gabungan AB

Tertib susunan Tertib susunan 4
adalah penting adalah tidak penting

• Bilangan pilih atur bagi n objek yang Bilangan gabungan bagi n objek yang

berlainan diwakilkan sebagai berlainan apabila r objek dipilih pada
n! = nPn
• Bilangan pilih atur bagi n objek yang satu masa diwakilkan sebagai
nPr
berlainan apabila r objek dipilih pada nCr = r! = n!
r!(n – r)!
satu masa diwakilkan sebagai
n!
nPr = (n – r)!

Pilih Atur Membulat Objek Secaman

• Bilangan pilih atur membulat bagi n objek Bilangan pilih atur bagi n objek

yang berlainan diwakilkan sebagai yang melibatkan objek secaman
n!
P= n = (n – 1)! diwakilkan sebagai
n!
• Bilangan pilih atur membulat bagi P = a!b!c!…

n objek yang berlainan apabila r objek

dipilih pada satu masa diwakilkan sebagai
nPr
P= r

Aplikasi

137

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 1. Bina satu infografik berkaitan perbezaan antara pilih atur dan gabungan.
2. Senaraikan dua masalah yang berlaku dalam kehidupan harian anda dan selesaikan masalah

tersebut dengan menggunakan konsep pilih atur dan gabungan yang telah dipelajari.

Latihan Sumatif

1. Cari bilangan cara kod empat huruf yang dapat dibentuk daripada huruf-huruf dalam
perkataan SEMBUNYI dengan ulangan huruf tidak dibenarkan. Berapakah bilangan kod
yang bermula dengan konsonan? TP 2

2. Hitung kemungkinan bagi seseorang untuk meneka kata laluan yang mengandungi enam
karakter bagi sebuah komputer riba yang terdiri daripada semua nombor dan abjad. TP 3

3. Cari bilangan cara huruf-huruf dalam perkataan PULAS boleh disusun jika susunan TP 3
(a) tidak bermula dengan huruf S,
(b) tidak berakhir dengan huruf S atau P.

4. Dalam pertandingan futsal, perlawanan boleh berakhir dengan menang, kalah atau seri.
Jika Pasukan Futsal Helang Merah menyertai lima perlawanan futsal, cari bilangan cara
perlawanan tersebut boleh berakhir. TP 4

5. Cari bilangan susunan yang mungkin dalam perkataan JANJANG jika huruf N dan huruf G
mesti bersebelahan.

6. Sebuah kedai pakaian menjual empat saiz kemeja, iaitu saiz S, M, L dan XL. Jika stok
kemeja yang terdapat di kedai tersebut ialah dua helai saiz S, tiga helai saiz M, enam
helai saiz L dan dua helai saiz XL, cari bilangan cara bagi menjual semua kemeja
di kedai tersebut. TP 3

7. Siew Lin membeli tujuh batang anak pokok yang berlainan jenis untuk menghias taman
mini di rumahnya. Disebabkan ruang yang terhad, Siew Lin hanya boleh menyusun lima
batang anak pokok sahaja dalam bentuk bulatan. Tentukan bilangan cara Siew Lin boleh
menyusun semua anak pokok tersebut. TP 3

8. Cari bilangan cara enam orang, iaitu Amin, Budi, Cheng, Deepak, Emma dan Fakhrul agar
mereka dapat duduk di sebuah meja bulat dengan syarat. TP 4
(a) Emma dan Fakhrul mesti duduk bersebelahan,
(b) Emma dan Fakhrul tidak boleh duduk bersebelahan.

9. 12 kuntum bunga yang terdiri daripada tiga kuntum bunga berwarna merah, empat kuntum
bunga berwarna biru dan lima kuntum bunga berwarna putih akan dilekatkan pada seutas
tali untuk membuat kalungan bunga. Hitung bilangan cara untuk menyusun bunga-bunga
itu dalam kalungan tersebut. TP 3

138

Pilih Atur dan Gabungan

10. Satu ujian kemasukan ke sebuah sekolah swasta mengandungi enam soalan pada Bahagian
A dan tujuh soalan pada Bahagian B. Calon perlu menjawab 10 soalan, dengan syarat
sekurang-kurangnya empat soalan daripada Bahagian A dijawab. Cari bilangan cara seorang
calon dapat menjawab 10 soalan ujian tersebut. TP 5

11. Satu jawatankuasa komuniti tempatan yang terdiri daripada tiga orang ahli dipilih daripada
empat pasangan suami isteri. Cari bilangan cara jawatankuasa dapat dibentuk sekiranya TP 4
(a) tiada syarat dikenakan,
(b) semua ahli dalam jawatankuasa terdiri daripada para suami,
(c) tiada pasangan suami dan isteri dibenarkan memegang jawatan bersama.

12. Sebuah teksi mempunyai satu tempat duduk di bahagian hadapan dan tiga tempat duduk
di bahagian belakang. Zara dan tiga orang sahabatnya ingin menaiki sebuah teksi, cari
bilangan cara yang mungkin untuk mereka memilih tempat duduk jika TP 4
(a) tiada sebarang syarat,
(b) Zara ingin duduk di bahagian hadapan,
(c) Zara ingin duduk di bahagian belakang.

13. Terdapat 15 orang murid yang gemar menyelesaikan teka-teki. Mereka berjumpa antara satu
sama lain untuk menyelesaikan teka-teki tersebut. Pada perjumpaan pertama, mereka saling
bersalaman antara satu sama lain. Cari bilangan cara bersalaman yang berlaku jika TP 5
(a) kesemua mereka bersalaman antara satu sama lain,
(b) tiga orang saling mengenali antara satu sama lain dan mereka tidak bersalaman
sesama mereka.

14. Menggunakan bucu-bucu sebuah nonagon, cari bilangan TP 5
(a) garis lurus yang dapat dibentuk,
(b) segi tiga yang dapat dibentuk,
(c) segi empat yang dapat dibentuk.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA AB
B
4

53 3 1 7 975 5 6 SUDOKU
6 19
9 98 8 63 Sudoku ialah permainan yang berasaskan logik dan
8 8 862263 13 melibatkan peletakan nombor. Sudoku diperkenal pada
44 3 61 tahun 1979 tetapi mula popular sekitar tahun 2005.
77 6 Matlamat permainan Sudoku ialah memasukkan satu
44 1881 99 22 8 5 digit antara satu hingga sembilan dalam satu sel grid
66 8 9 × 9 dengan subgrid 3 × 3. Setiap baris, lajur dan
7 95 subgrid hanya boleh diisi dengan digit satu hingga
79 sembilan tanpa pengulangan.

(a) Pada pendapat anda, adakah permainan Sudoku ini menggunakan konsep
pilih atur atau gabungan? Terangkan jawapan anda.

(b) Berapakah cara yang mungkin untuk anda mengisi digit-digit dalam baris
yang pertama dalam permainan Sudoku tersebut?

(c) Berapakah cara yang mungkin untuk anda menyelesaikan permainan
Sudoku tersebut?

139

BAB TABURAN

5 KEBARANGKALIAN
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Pemboleh Ubah Rawak Malaysia mencipta sejarah apabila
Taburan Binomial pemanah yang mewakili negara
Taburan Normal kita berjaya melayakkan diri ke
peringkat akhir dalam Kejohanan
Senarai Memanah Piala Asia 2019. Dalam
Standard pertandingan itu, seorang pemanah
Pembelajaran mesti memanah sebanyak 72 anak
panah dalam 12 fasa dari jarak
bit.ly/374RxTk 70 meter. Masa yang diberikan
untuk memanah tiga anak panah
140 ialah dua minit manakala masa
yang diberikan untuk menamatkan
enam anak panah ialah empat minit.
Pada pendapat anda, berapakah
kebarangkalian yang mungkin bagi
panahan itu? Adakah panahan
itu bergantung kepada
panahan sebelumnya?