UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO EN INFORMÁTICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE
SISTEMAS DE ECUACIONES
NO LINEALES
AUTOR: Dª. CARLOTA SÁEZ CANALES
MADRID, SEPTIEMBRE 2006
Resolución Numérica de Sistemas de
Ecuaciones no Lineales
Agradecimientos
Quiero agradecer a mi madre el apoyo que me ha dado en estos años de
carrera, especialmente en este último año, por su comprensión y por
hacerme las cosas más fáciles.
También quiero dar las gracias a Lydia, Natalia y Oscar por ser
grandes amigos en todos los momentos de mi vida y por ayudarme a
seguir adelante.
Agradecer a Francisco Javier Rodríguez Gómez su ayuda para poder
realizar este proyecto, su paciencia y comprensión.
También quiero mencionar al Atril, por sus grandes desayunos que me
daban fuerzas para hacer este proyecto.
I
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Resumen
Este proyecto consiste principalmente en el estudio de las bases matemáticas,
análisis y diseño de los diferentes algoritmos numéricos que resuelven el problema de los
sistemas de ecuaciones no lineales. Para el desarrollo de dichos algoritmos se ha empleado
el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica® debido a las grandes
posibilidades de cálculo y representación gráfica que ofrece. Es un sistema de computación
numérico y simbólico que incorpora un excelente lenguaje de programación y la capacidad
de integrar cálculos, gráficos y texto, en un mismo documento. Principalmente las
características que distinguen a Mathematica de los programas de análisis convencionales
son su versátil interfaz gráfica y su sofisticado lenguaje de programación. Como prueba de
todo esto, la aplicación de Mathematica en los campos de la Economía, Física, Química,
Biología o Lingüística. También se ha desarrollado un interfaz gráfico implementado con
GUIkit, que permite desarrollar aplicaciones independientes con cálculos sofisticados y
creación de gráficos.
La metodología empleada en este proyecto ha consistido básicamente en detallar la teoría
matemática de cada método numérico, su diseño en pseudocódigo, su codificación y su
desarrollo en el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica, y la
resolución práctica de todos los ejemplos y problemas planteados para facilitar la
comprensión de los algoritmos estudiados y comprender su aplicación práctica. En la
resolución de los problemas se muestra como solución los cálculos más importantes que se
II
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
realizan en cada iteración para resolver el problema, un tabla resumen con los datos más
importantes que resultan de cada iteración y, por último, la solución aproximada del
problema. Además se ha creado una interfaz gráfica para que el usuario pueda resolver los
sistemas de ecuaciones no lineales de una forma más fácil.
En matemáticas, los sistemas de ecuaciones no lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus partes. En
particular, el comportamiento de sistemas de ecuaciones no lineales no está sujeto al
principio de superposición, como lo es un sistema lineal. La linealidad de un sistema de
ecuaciones permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y
aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Como los sistemas
no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles de modelar, y
sus comportamientos con respecto a una variable dada, por ejemplo el tiempo, es
extremadamente difícil de predecir. Además, los sistemas no lineales son sistemas en los
que sus partes o componentes interactúan de tal forma que se da una continua influencia
mutua o relación causal que se retroalimenta. Esta influencia mutua puede describirse
mediante funciones no lineales.
Las ecuaciones no lineales son de interés en el campo de la ciencia y tecnología debido a
que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza.
Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma f(x) = 0, para algún valor desconocido
de x y no puede ser dibujada en un plano mediante una línea. En muchos casos,
manipulando una ecuación no lineal algebraicamente, se puede dar una fórmula explícita
para la obtención de la solución o soluciones. Por ejemplo para la ecuación de segundo
grado, se dispone de una fórmula analítica que da su solución.
III
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Sin embargo, en otras muchas ocasiones es muy difícil, incluso imposible en la mayor parte
de los casos, obtener la solución exacta de la ecuación por métodos algebraicos. Algunos
ejemplos que no puede ser resueltos de forma exacta son: x - 2 = sen (x) - 3, cos(x) +
Exp(x) = sen(x) - 5. En estos casos, es necesario recurrir a métodos numéricos para obtener
una solución aproximada y para dar una estimación del error cometido en tal aproximación,
es decir, aproximar la raíz con el grado de precisión deseado.
En este proyecto se han analizado seis métodos numéricos para la resolución de sistemas de
ecuaciones no lineales, estos métodos son los siguientes:
1. Método del Punto Fijo.
2. Método de Seidel.
3. Método de Newton.
4. Método de Cuasi - Newton.
5. Método de la Máxima Pendiente.
6. Método de Continuación u Homotopía.
Algunos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones no lineales son: la relatividad general, la
teoría del caos, las ecuaciones de Navier - Stokes de dinámica de fluidos, la óptica no
lineal, el sistema del clima de la Tierra, el balanceo de un uniciclo robot o la gestión de las
organizaciones.
El principal objetivo de este proyecto es diseñar una herramienta que ayude a calcular
IV
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones no lineales mediante el desarrollo e
implementación de diferentes métodos numéricos que resuelven de forma aproximada este
tipo de sistemas de ecuaciones. Pero además, también se han conseguido otros objetivos
como el estudio de los métodos numéricos que resuelven sistemas de ecuaciones no lineales
y de la convergencia de dicho métodos para identificar el mejor método a emplear en cada
tipo de problema, determinar el error cometido en la aproximación numérica de las
soluciones.
Se ha diseñado un paquete de funciones en el lenguaje Mathematica que contiene los
algoritmos numéricos que se emplean en la resolución de sistemas de ecuaciones no
lineales, de esta forma se pueden abordar problemas del mundo real, que de otro modo sería
casi imposible de resolver de forma manual, dado el elevado número de datos a procesar y
a la cantidad de cálculos a realizar. Este paquete de funciones se ha creado siguiendo una
estructura modular para permitir futuras integraciones con otros sistemas o mejoras.
V
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Abstract
This Project consists mainly on the study of the mathematical basis, analysis and
design of the different numerical algorithms that resolves problems of nonlinear equation
systems. The packet of numerical calculus, symbolic and graphycal Mathematica is used
for the algorithms because the packet has big possibilities of calculus and graphical
representations. That is a system of numerical and symbolic computation that has an
excelent programming language and capacity of make up calculus, graphics and text on one
document. The mainly characteristics that distinguish Mathematica of conventional
analitical program are her versatile graphical interface and her sophisticated programmming
language. As a proof of this, the application of Mathematica on fields such as Economy,
Phisics, Chemestry, Biology or Language. As well, it has been developed a graphical
interface implement with GUIkit, that allows to develop independent applications with
sophisticates calculus and creation of graphics.
The methodology used in this Project consists basically on listing the mathematical theory
of each numercial methods, its design on pseudocodem, its codification and developing
with the packet of numerical calculus, symbolic and graphycal Mathematica, and the
practical resolution of every examples and problems proposes to make easy the compresion
of the studies algorithms and to comprise its practical application. In the resolution of
problems it is shown as a solution the most important calculus that are carried out in such
iteration for resolve the problem, a summary table with the most important data that results
VI
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
in such iteration, and finally, the approximate solution of the problem. As well, a graphical
interface is created for the user can resolve the nonlinear equation systems easily.
In mathematics, the nonlinear equation systems represents systems wich behaviour is
not exppresable such the sum of the behaviour of its parts. In special, the behaviour of
nonlinaer equation systems are not subject to the superposition principle, such as is a linear
system. The liniality of the equation systems allows researchers make mathematical
suppositions and approximations, permitting a easily calculus of results.
Such the nonlinear systems are not equals to the sum of its parts, usually the systems are
dificult of model, and its behaviours with regard to one variable given, for example, the
weather, is extremely difficult to predict. As well, the nonlinear systems are systems in that
its parts or components interact with a continuous mutual influence. This mutual influence
can be described with nonlinear functions.
The nonlinear equations are interested in the field of science and thecnology because the
most of physical problems are implicitly nonlinear in her nature. A nonlinear equation is a
equation of form f(x) = 0, for any unknown value of x and it can not be drawn in a plane
with a line. In many cases, manipulating algebraticment a nonlinear equation, can give an
explicit formula to obtain the solution or solutions. For example for the second grade
equation, exists one analytical formule that gives the solition.
Nevertheless, in other cases is difficult, even impossible in the majority of cases, to obtain
the exact solution of the equation whit algebratical methods. Some exaples that can not be
resolves in the exact form are: x - 2 =sen (x) - 3, cos(x) + Exp(x) =sen(x) - 5. In this cases,
VII
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
is necesary to recourse to numerical methods to obtain an approximate solution and to give
an estimation of the mistake maked on the approximation, it means, to approx the root with
the preciosion rank whised.
Six numerical methods are analyzed in this project for resolve nonlinear equation systems,
this methods are the followings:
1. Method of fixed point.
2. Method of Seidel
3. Method of Newton.
4. Method of Cuasi - Newton.
5. Method of maximun slope.
6. Method of Continuation or Homotopy.
Some examples of application of nonlinear equation are: the general relativity, the chaos
theory, the Navier - Stockes equations of dinamyc fluids, the optics nonlinear, the weather
climate system of the Earth or the organization management.
The mainly objective of this project is to design a tool that helps to calculate approximate
solutions for nonlinear equations systems by means of developing and implementation of
differents numerical methods that resolves this type of equation system with a approximate
form. As well, other objetives are achived: the study of numercial methods that resolves
nonlinear equation systems and convergence of the methods for identify the best method to
VIII
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
use in each type of problem, determinate the mistake maked on the numerical
approximation of solutions.
A packet of functions in Mathematica language is designed and contains the numerical
algorithms that are used on the resolution of nonlinear equation systems, on this form
problems of the real world can be tackled that on other form will be hardly impossible to
resolve with a manual form, given the raise number of dates to process and the lot of
calculos to make. This packet of functions is created following a modular structure to allow
futures integrations with other systems or improvements.
IX
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Índice
Agradecimientos............................................................................................................ i
Resumen........................................................................................................................ ii
Abstract......................................................................................................................... vi
Índice............................................................................................................................. x
1. Introducción.............................................................................................................. 1
2. Objetivos................................................................................................................... 5
3. Método del Punto Fijo............................................................................................... 7
3.1 Introducción..................................................................................................... 7
3.2 Pseudocódigo................................................................................................... 11
3.3 Problemas......................................................................................................... 12
4. Método de Seidel....................................................................................................... 41
4.1 Introducción..................................................................................................... 41
4.2 Pseudocódigo................................................................................................... 41
4.3 Problemas......................................................................................................... 42
5. Método de Newton.................................................................................................... 56
5.1 Introducción..................................................................................................... 56
5.2 Pseudocódigo................................................................................................... 60
5.3 Problemas......................................................................................................... 62
6. Método de Cuasi- Newton........................................................................................ 149
6.1 Introducción..................................................................................................... 149
6.2 Pseudocódigo................................................................................................... 154
6.3 Problemas......................................................................................................... 155
7. Método de la Máxima Pendiente............................................................................... 185
X
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
7.1 Introducción..................................................................................................... 185
7.2 Pseudocódigo................................................................................................... 190
7.3 Problemas......................................................................................................... 192
8. Método de Continuación u Homotopía..................................................................... 210
8.1 Introducción..................................................................................................... 210
8.2 Pseudocódigo................................................................................................... 215
8.3 Problemas......................................................................................................... 217
9. Interfaz de Usuario.................................................................................................... 239
9.1 Ventana inicial................................................................................................. 239
9.2 Ventana Método del Punto Fijo....................................................................... 243
9.3 Ventana Método de Seidel............................................................................... 245
9.4 Ventana Método de Newton............................................................................. 247
9.5 Ventana Método de Cuasi - Newton................................................................ 250
9.6 Ventana Método de la Máxima Pendiente....................................................... 252
9.7 Ventana Método de Continuación u Homotopia.............................................. 255
10. Metodología............................................................................................................ 258
11. Valoración económica............................................................................................. 270
11.1. Introducción.................................................................................................. 270
11.2. Técnicas de estimación de costes.................................................................. 270
11.3. Costes del Proyecto....................................................................................... 272
12. Conclusiones.......................................................................................................... 273
Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario............................................................... 279
Manual de Instalación................................................................................................... 279
Manual de Usuario........................................................................................................ 281
Bibliografía................................................................................................................... 282
CD-ROM con el código de los algoritmos numéricos de Resolución de Sistemas de
Ecuaciones no Lineales en Mathematica®.
XI
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1. Introducción
Este proyecto consiste principalmente en el estudio de las bases matemáticas,
análisis y diseño de los diferentes algoritmos numéricos que resuelven el problema de los
sistemas de ecuaciones no lineales. Para el desarrollo de dichos algoritmos se ha empleado
el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica® debido a las grandes
posibilidades de cálculo y representación gráfica que ofrece. También se ha desarrollado
una interfaz gráfica implementada con GUIkit, que permite desarrollar aplicaciones
independientes con cálculos sofisticados y creación de gráficos y que se incluye en la
versión de Mathematica® 5.2. Por último, se han planteado y resuelto diferentes problemas
para facilitar la comprensión de los algoritmos estudiados y comprender su aplicación
práctica.
En matemáticas, los sitemas de ecuaciones no lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus partes. En
particular, el comportamiento de sistemas de ecuaciones no lineales no está sujeto al
principio de superposición, como lo es un sistema lineal. Un sistema lineal es el que su
comportamiento no puede ser la suma de sus partes. La linealidad de un sistema de
ecuaciones permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y
aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Como los sistemas
no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles de modelar, y
sus comportamientos con respecto a una variable dada, por ejemplo el tiempo, es
extremadamente difícil de predecir, además, los sistemas no lineales son sistemas en los que
1
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
sus partes o componentes interactúan de tal forma que se da una continua influencia mutua
o relación causal que se retroalimenta. Esta influencia mutua puede describirse mediante
funciones no lineales.
Las ecuaciones no lineales son de interés en el campo de la ciencia y tecnología
debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su
naturaleza. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L y se puede
dibujar en un plano cartesiano mediante una línea. Una ecuación lineal en algún valor
desconocido de x tiene la forma L x = 0. Una ecuación no lineal es una ecuación de la
forma f HxL = 0, para algún valor desconocido de x y no puede ser dibujada en un plano
mediante una línea. Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué
espacio matemático se encuentra la solución x. Podría ser que x es un número real, un vector
o una función. Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas
como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las
ecuaciones lineales sean más fáciles de resolver. Las ecuaciones no lineales son mucho más
complejas, y mucho más dificiles de entender por la falta de soluciones simples
superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un
espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones.
Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más dificil que en sistemas lineales.
En muchos casos, manipulando la ecuación algebraicamente, se puede dar una
fórmula explícita para la obtención de la solución o soluciones. Por ejemplo, para la
ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0, se dispone de la fórmula
x = I-b ≤ è!b!!2!!!-!!!4!!!a!!!c! M ë H2 aL.
2
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Sin embargo, en otras muchas ocasiones es muy difícil, incluso imposible en la
mayor parte de los casos, obtener la solución exacta de la ecuación por métodos algebraicos.
Algunos ejemplos que no puede ser resueltos de forma exacta son:
x - 2 = sen HxL - 3 cosHxL, ‰2 x - 5. En estos casos, es necesario recurrir a métodos
numéricos para obtener una solución aproximada y para dar una estimación del error
cometido en tal aproximación, es decir, aproximar la raíz con el grado de presición deseado.
La resolución de un sistema de ecuaciones no lineales es un problema que se evita
si es posible, normalmente aproximando el sistema no lineal mediante un sistema de
ecuaciones lineales. Cuando esto no resulta satisfactorio, hay que abordar el problema
directamente aplicando los diferenetes métodos disponibles.
En este proyecto se van a analizar seis métodos numéricos para la resolución de
sistemas de ecuaciones no lineales, estos métodos son los siguientes:
1. Método del Punto Fijo.
2. Método de Seidel.
3. Método de Newton.
4. Método de Cuasi - Newton.
5. Método de la Máxima Pendiente.
6. Método de Continuación u Homotopía.
Algunos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones no lineales son: la relatividad
3
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
general, la teoría del caos, las ecuaciones de Navier - Stokes de dinámica de fluidos, la
óptica no lineal, el sistema del clima de la Tierra, el balanceo de un uniciclo robot, la
ecuación de transporte de Boltzmann, la ecuación de Kortewg-de Vires, la ecuación no
lineal de Schroedinger o la gestión de las organizaciones.
En resumen, el objetivo del presente proyecto consiste en el estudio de los sistemas
de ecuaciones no lineales. Para ello, se analizarán los métodos o algoritmos numéricos para
la resolución de estos sistemas y se hará un estudio sobre la aplicabilidad de cada método a
diferentes tipos de sistemas de ecuaciones no lineales.
4
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2. Objetivos
El principal objetivo de este proyecto es diseñar una herramienta que ayude a
calcular soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones no lineales mediante el desarrollo
e implementación de diferentes métodos numéricos que resuelven de forma aproximada este
tipo de sistemas de ecuaciones.
Pero además, también se desprenden los siguientes sub-objetivos en el desarrollo
del software para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales:
1. El estudio de los métodos numéricos que resuelven sistemas de ecuaciones no
lineales.
2. Estudiar la convergencia de los métodos para saber cuál es el método más adecuado.
3. Resolución mediante métodos numéricos de los sistemas de ecuaciones no lineales.
4. Determinar el error cometido en la aproximación numérica de las soluciones.
5. Diseñar un paquete de funciones en el lenguaje Mathematica que contendrá los
algoritmos numéricos que se emplearán en la resolución de sistemas de ecuaciones no
lineales.
6. Aprendizaje y familiarización con el desarrollo e implantación de algoritmos en
Mathematica.
7. Abordar problemas del mundo real, que de otro modo sería casi imposible de
5
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
resolver de forma manual, dado el elevado número de datos a procesar y a la cantidad de
cálculos a realizar.
8. Emplear medios informáticos actuales como una herramienta más en el estudio y
aprendizaje.
9. Desarrollar una interfaz gráfica de usuario con el paquete GUIKit de Mathematica.
10. Desarrollo modular del software lo que permite futuras integraciones con otros
sistemas y la inclusión de mejoras o modificaciones.
11. La herramienta debe ofrecer como salida, un archivo de texto, en el que se presente
el informe detallado de las operaciones realizadas en las diferentes iteraciones realizadas en
cada método, muy útiles en cuanto al estudio y compresión de los algoritmos.
12. Y por último, desarrollar un software útil para que en casos futuros sea utilizado de
forma fácil para poder resolver problemas que necesiten calcular sistemas de ecuaciones no
lineales.
6
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3. Método del Punto Fijo
3.1 Introducción (1)
(2)
Un sistema de ecuaciones no lineales tiene la forma
f1H x1, x2, ..., xnL
f2H x1, x2, ..., xnL
..
..
..
fnH x1, x2, ..., xnL
donde se puede considerar que toda función fi aplica un vector
x = Hx1, x2, ..., xnLt
del espacio n - dimensional nen la recta real .
En la siguiente figura se muestra una representación geométrica de un sistema no
lineal cuando n = 2.
Sistema no lineal cuando n = 2.
Figura 1
7
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
De manera general, un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas puede
representarse mediante la definición de una función F de nen n por medio de :
FHx1, x2, ..., xnL = jjjjjjijjjjjjjjjjjjjjjjj f1H x1, x2, ..., xnL zzzyzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz. (3)
k f2H x1, x2, ..., xnL {
.
.
.
fnH x1, x2, ..., xnL
Si se usa la notación vectorial para representar las variables x1, x2, ..., xn, el sistema
no lineal anterior se escribe como sigue:
FHxL = 0. (4)
Las funciones f1, f2,..., fnson, entonces, las funciones coordenadas o componentes de
F.
Para poder aplicar el método del Punto Fijo en la resolución de sistemas de
ecuaciones no lineales es necesario el estudio de algunos conceptos relacionados con la
continuidad y diferenciabilidad de las funciones de nen n y de n en .
Definición 1. Sea f una función definida en el conjunto D Õ n con valores en . Se
dice que la función f tiene un límite L en x0 y se escribe
lím f HxL = L
xØx0
si, dado cualquier número ¶ > 0, existe un número d > 0 tal que
» f HxL - L » ¶
siempre que x œ D y 0 »» x - x0 »» d.
8
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
En esta definición puede usarse cualquier norma que resulte conveniente; el valor
específico de d dependerá de la norma elegida, pero la existencia y el valor del límite L son
independientes de la norma utilizada.
Definición 2. Se dice que la función f de D Õ n en es continua en x0 œ D si existe
lím f HxL
xØx0
se tiene f(x0) y además
lím f HxL = f Hx0L.
xØx0
Se dice, además, que f es continua en el conjunto D si f es continua en cada punto
del conjunto D, lo que se expresa escribiendo f œ CHDL.
Se definen los conceptos de límite y continuidad para funciones de n en n a través
de sus funciones componentes de n en .
Definición 3. Sea F una función de D Õ n en n de la forma
FHxL = jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjij f1H xL zzzzzzzzzzzzyzzzzzzzzzzz.
k f2H xL {
.
.
.
fnH xL
El límite de F es
lím FHxL = L= HL1, L2, ..., LnLt
xØx0
si y sólo si lím fi HxL = Li para cada i = 1, 2, ..., n.
xØx0
9
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La función F es continua en x0 œ D si lím FHxL existe y lím FHxL = FHx0L.
xØx0 xØx0
Además, F es continua en el conjunto D si lo es en cada x de D. Este concepto se expresa
escribiendo F œ CHDL.
ô Teorema 1.
Sea f una función de D Õ n en y x0 œ D . Si existen las constantes d > 0 y
k > 0 con
… Å∑ÅÅ∑ÅfÅxÅHÅÅxjÅÅLÅ … § K , para cada j = 1, 2, ..., n.
siempre que »» x - x0 »» d y x œ D, entonces f es continua en x0.
Definición 4. Por definición, una función G de D Õ n en n tiene un punto fijo en
p œ D si G H pL = p.
ô Teorema 2.
Sea D = 88 x1, x2, ..., xn<t » ai § xi § bi para toda i = 1, 2, ..., n< para algún
conjunto de constantes a1, a2, ... .., an y b1, b2, ...., bn. Suponiendo que G es una función
continua de D Õ n en n con la propiedad de que GHxL œ D siempre que x œ D.
Entonces G tiene un punto fijo en D.
Y suponiendo, además, que G tiene derivadas parciales continuas y que existe una
constante k 1 con
… Å∑ÅÅ∑ÅfÅxÅHÅÅxjÅÅLÅ … § ÅÅKÅnÅÅÅ siempre que x œ D, para toda j = 1, 2, ..., n
y toda función componente gi. Entonces la sucesión 8xHkL<k∂=0 definida por una xH0L selec-
10
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
cionada en D arbitrariamente y generada por
xHkL = GHxHk-1LL, para cada k ¥ 1,
converge en el punto fijo único p œ D y
»» xHkL - p »»∂ § Å1ÅÅK-ÅÅÅkÅkÅÅÅ »» xH1L - xH0L »»∂.
3.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 1. Algoritmo del Punto Fijo
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales
mediante el método del Punto Fijo es el siguiente.
Algoritmo del Punto Fijo
Input I8f Hx1, ..., xmL<1m, 8ftransHx1, ..., xmL<1m, Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT , errorM
(* Se inicializan las variables *)
p Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT
error_inicial 160
i0
While error_inicial >= error do
H* Se evalúa la función transformada en el punto*L
p_sig ijjjjjjjjjjjjj ftrans1HpL zzzzzyzzzzzzzz
k ftrans2HpL {
...
ftrans3HpL
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos *)
error_inicial »» p_sig - p »»¶
p p_sig
i i+1
End
Return HxHiL ª HpLT L
Output
11
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3.3 Problemas
à Problema 1. Aplíquese el método de Punto Fijo para sistemas no lineales para
aproximar el sistema de ecuaciones no lineales siguiente, iniciando el método en el punto
inicial P0 = Ix1H0L, xH20L, x3H0LMT = H0.1, 0.1, -0.1LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.
f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = x12 - 81 Hx2 - 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Solución
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 93 x1 − Cos@x2 ∗ x3D + 1 ê 2,
x12 − 81 Hx2 − 0.1L2 + Sin@x3D + 1.06, Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + 10 π − 3
=;
3
1 1 jikj"#x##12###+###S##i###n##@##x###3#D####+###1##.###0##6### zyz − 0.1,
ecuacionestrans = 9 H2 Cos@x2 ∗ x3D + 1L, 9 {
6
− 1 jjiExp@− x1 ∗ x2 D + 10 π − 3 yzz=;
20 k 3{
d = 10.−5; p = 80.1, 0.1, −0.1<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2, x3L = jjjjjijjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 + Å21ÅÅÅ 1.06 zzyzzzzzzzzz = jjjjjjijj 0 zzyzzzzzz
k x12 - 81 Hx2 - 0.1L2 + sinHx3L + { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0
P0 = jjjjjjjjijjj x1H0L zzyzzzzzzzzz = jjjjjijjj 0.1 zzyzzzzzz
k x2H0L { k 0.1 {
x3H0L -0.1
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzyzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjjjjjjjj Å16ÅÅÅ I2 cosIHx2Hk-1LL Hx3Hk-1LLM + 1M - 0.1 zzzzzzzzzzzzzzzzzyzz
k x2H0L { k Å19ÅÅÅ $%H%x%%1%H%k%%-%%1%%L%L%2%%%+%%%%s%%i%%n%%I%%H%%x%%3H%k%%-%%1%%L%L%%M%%+%%%1%%%.%0%%%6%%% {
x3H0L Å2ÅÅ1Å0ÅÅÅ I-‰-Hx1Hk-1LL Hx2Hk-1LL + Å13ÅÅÅ H3 - 10 pLM
Tabla de datos.
12
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0 ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjij 0.100000000000 zzzzzzyzz jjjjjjjij 0.499983333472 zzzzyzzzz 0.423101
k x2H0L { k 0.100000000000 { k 0.00944114960371 {
x3H0L -0.100000000000 -0.523101267286
1 jjjjjjjijjjj x1H1L zzzzzzzzzzzy jjjjjjijj 0.499983333472 zzzzzzzzy jjjjjjjji 0.499995934919 zzzyzzzzz 0.00941558
k x2H1L { k 0.00944114960371 { k 0.0000255677467667 {
x3H1L -0.523101267286 -0.523363310909
2 jjjjijjjjjjj x1H2L zzzzzzzzzzyz jjjjjjijj 0.499995934919 yzzzzzzzz jjjjjjjji 0.499999999970 zyzzzzzzz 0.000234826
k x2H2L { k 0.0000255677467667 { k 0.0000123367203634 {
x3H2L -0.523363310909 -0.523598136414
3 jjjjjjjjjjij x1H3L yzzzzzzzzzzz jjjjjijjj 0.499999999970 zzzzzzzyz jjjjjijjj 0.499999999993 yzzzzzzzz 0.0000123026
k x2H3L { k 0.0000123367203634 { k 3.41679062543 µ 10-8 {
x3H3L -0.523598136414 -0.523598467181
4 jjijjjjjjjjj x1H4L zzzzzzzzyzzz jjjjjjjji 0.499999999993 zzzzzzzzy jjjjjjjji 0.500000000000 yzzzzzzzz 3.07563 µ 10-7
k x2H4L { k 3.41679062543 µ 10-8 { k 1.64870403996 µ 10-8 {
x3H4L -0.523598467181 -0.523598774744
La solución aproximada del sistema es:
P5 = jjjjjjjij 0.500000000000 yzzzzzzzz
k 1.64870403996 µ 10-8 {
-0.523598774744
à Problema 2. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2L = x21 + 10 x1 + x22 + 8 = 0,
f2Hx1, x2L = x1 x22 + x1 - 10 x2 + 8 = 0.
Aplíquese el método de Punto Fijo iniciando el método en el punto inicial
P0 = Ix1H0L, xH20LMT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.
a) P0 = Ix1H0L, x2H0LMT = H0, 0LT .
b) P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H0.8, 0.8LT .
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8x12 + 10 x1 + x22 + 8, x1 x22 + x1 − 10 x2 + 8<;
13
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
11 Hx1 x22 + x1 + 8L=;
ecuacionestrans = 9 Hx12 + x22 + 8L,
10 10
d = 10.−5; p = 80.0, 0.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = ijjjj x12 + 10 x1 + x22 +8 8 zzzzy = jji 0 yzz
k x1 x22 - 10 x2 + x1 + { k 0 {
P0 = jjjji x1H0L yzzzz = jji 0. zzy
k x2H0L { k 0. {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jjijj x1H0L zyzzz jjjjjjjjji Å1ÅÅ1Å0ÅÅÅ JHx1Hk-1L 2 + Hx2Hk-1LL2 + 8N zzzzzzzzyz
k x2H0L { k Å1ÅÅ1Å0ÅÅÅ {
L
= JHx1Hk-1LL Hx2Hk-1LL2 + Hx1Hk-1LL +
8N
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0 jjjji x1H0L zzyzz ijj 0 zzy jji 0.800000000000 zyz 0.8
k x2H0L { k 0 { k 0.800000000000 {
1 jjjji x1H1L yzzzz jji 0.800000000000 zzy ijj 0.928000000000 yzz 0.1312
k x2H1L { k 0.800000000000 { k 0.931200000000 {
2 ijjjj x1H2L yzzzz jji 0.928000000000 zzy jji 0.972831744000 zzy 0.0448317
k x2H2L { k 0.931200000000 { k 0.973269983232 {
3 jijjj x1H3L yzzzz jji 0.972831744000 yzz jji 0.989365606239 yzz 0.0165339
k x2H3L { k 0.973269983232 { k 0.989435095259 {
4 jjjji x1H4L zzzzy jji 0.989365606239 zzy jji 0.995782611054 yzz 0.006417
k x2H4L { k 0.989435095259 { k 0.995793653594 {
5 jjjji x1H5L yzzzz jji 0.995782611054 yzz jji 0.998318800902 zyz 0.00253619
k x2H5L { k 0.995793653594 { k 0.998320562762 {
6 jjjji x1H6L zzzzy jji 0.998318800902 zyz jji 0.999328437427 yzz 0.00100964
k x2H6L { k 0.998320562762 { k 0.999328719003 {
7 ijjjj x1H7L zzzzy ijj 0.999328437427 zzy jij 0.999731521447 yzz 0.000403084
k x2H7L { k 0.999328719003 { k 0.999731566479 {
8 ijjjj x1H8L yzzzz ijj 0.999731521447 yzz jji 0.999892631999 yzz 0.000161111
k x2H8L { k 0.999731566479 { k 0.999892639203 {
9 jjjji x1H9L yzzzz jij 0.999892631999 zzy ijj 0.999957056546 yzz 0.0000644245
k x2H9L { k 0.999892639203 { k 0.999957057698 {
14
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
10 ijjjj x1H10L zzyzz ijj 0.999957056546 zzy jji 0.999982823218 zyz 0.0000257667
k x2H10L { k 0.999957057698 { k 0.999982823402 {
11 ijjjj x1H11L zyzzz jji 0.999982823218 zzy ijj 0.999993129383 zyz 0.0000103062
k x2H11L { k 0.999982823402 { k 0.999993129412 {
12 jjjij x1H12L zzzzy jji 0.999993129383 zzy jji 0.999997251769 yzz 4.12239 µ 10-6
k x2H12L { k 0.999993129412 { k 0.999997251773 {
La solución aproximada del sistema es:
P13 = ijj 0.999997251769 yzz
k 0.999997251773 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8x21 + 10 x1 + x22 + 8, x1 x22 + x1 − 10 x2 + 8<;
11 Hx1 x22 + x1 + 8L=;
ecuacionestrans = 9 Hx21 + x22 + 8L,
10 10
d = 10.−5; p = 80.8, 0.8<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = ijjjj x12 + 10 x1 + x22 +8 8 zzzzy = jji 0 yzz
k x1 x22 - 10 x2 + x1 + { k 0 {
P0 = jjjji x1H0L zyzzz = ijj 0.8 zyz
k x2H0L { k 0.8 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jjijj x1H0L yzzzz jjjjjjijjj Å1ÅÅ1Å0ÅÅÅ JHx1Hk-1L 2 + Hx2Hk-1LL2 + 8N zyzzzzzzzz
k x2H0L { k Å1ÅÅ1Å0ÅÅÅ {
L
= JHx1Hk-1LL Hx2Hk-1LL2 + Hx1Hk-1LL +
8N
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.1312
0 jjijj x1H0L zyzzz jji 0.800000000000 yzz jji 0.928000000000 zzy
k x2H0L { k 0.800000000000 { k 0.931200000000 {
15
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1 jjjji x1H1L yzzzz jji 0.928000000000 zyz ijj 0.972831744000 zyz 0.0448317
k x2H1L { k 0.931200000000 { k 0.973269983232 {
2 jijjj x1H2L zzzzy ijj 0.972831744000 yzz jij 0.989365606239 yzz 0.0165339
k x2H2L { k 0.973269983232 { k 0.989435095259 {
3 jijjj x1H3L zzzzy ijj 0.989365606239 zzy jji 0.995782611054 zzy 0.006417
k x2H3L { k 0.989435095259 { k 0.995793653594 {
4 ijjjj x1H4L yzzzz jij 0.995782611054 zzy jji 0.998318800902 zzy 0.00253619
k x2H4L { k 0.995793653594 { k 0.998320562762 {
5 jjjji x1H5L zzzzy jji 0.998318800902 yzz ijj 0.999328437427 yzz 0.00100964
k x2H5L { k 0.998320562762 { k 0.999328719003 {
6 jjjji x1H6L yzzzz jji 0.999328437427 zzy jji 0.999731521447 yzz 0.000403084
k x2H6L { k 0.999328719003 { k 0.999731566479 {
7 jjijj x1H7L zzzzy ijj 0.999731521447 zzy ijj 0.999892631999 zzy 0.000161111
k x2H7L { k 0.999731566479 { k 0.999892639203 {
8 jjjji x1H8L zzzzy jji 0.999892631999 zzy ijj 0.999957056546 yzz 0.0000644245
k x2H8L { k 0.999892639203 { k 0.999957057698 {
9 jjjji x1H9L zzzzy jij 0.999957056546 zzy jji 0.999982823218 yzz 0.0000257667
k x2H9L { k 0.999957057698 { k 0.999982823402 {
10 ijjjj x1H10L zyzzz jji 0.999982823218 zzy jji 0.999993129383 yzz 0.0000103062
k x2H10L { k 0.999982823402 { k 0.999993129412 {
11 jjjij x1H11L zyzzz jij 0.999993129383 yzz jji 0.999997251769 zzy 4.12239 µ 10-6
k x2H11L { k 0.999993129412 { k 0.999997251773 {
La solución aproximada del sistema es:
P12 = jij 0.999997251769 yzz
k 0.999997251773 {
à Problema 3. Sean las ecuaciones siguientes:
f1Hx1, x2L = 5 x12 - x22 = 0,
f2Hx1, x2L = x2 - 0.25 Hsen x1 + cos x2L = 0.
Utilizar el método de Punto Fijo para aproximar el sistema de ecuaciones no
lineales iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5. , comenzando por las aproximación
inicial:
P0 = IxH10L, xH20LMT = H0.5, 0.5LT .
Solución
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 85 x21 − x22, x2 − 0.25 HSin@x1D + Cos@x2DL<;
16
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ecuacionestrans = 9$%%x%%%22%%% , 0.25 HSin@x1D + Cos@x2DL=;
5
d = 10.−5; p = 80.5, 0.5<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = ijj 5 x12 - x22 HcosHx2L + sinHx1LL zzy = ijj 0 zzy
k x2 - 0.25 { k 0 {
P0 = jjijj x1H0L zzyzz = jji 0.5 zyz
k x2H0L { k 0.5 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jjjji x1H0L zzzzy = jjjjjjijj Å"ÅÅÅÅ#HÅ#Åx#Åè#Å2#HÅ#kÅ#!Å5#-!Å#!Å#!1Å#Å#L#ÅL#Å#2Å##Å#Å zzzzyzzzz
k x2H0L { k 0.25 IcosIHx2Hk-1LLM {
+ sinIHx1Hk-1LLMM
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0 jjijj x1H0L zyzzz jij 0.500000000000 zzy jij 0.223606797750 yzz 0.276393
k x2H0L { k 0.500000000000 { k 0.339252025124 {
1 jjijj x1H1L yzzzz jji 0.223606797750 zyz jij 0.151718117936 yzz 0.0718887
k x2H1L { k 0.339252025124 { k 0.291187975613 {
2 jjjji x1H2L zzzzy jji 0.151718117936 yzz jji 0.130223221540 zzy 0.0214949
k x2H2L { k 0.291187975613 { k 0.277260057885 {
3 jjjji x1H3L yzzzz ijj 0.130223221540 zzy jij 0.123994467375 zzy 0.00622875
k x2H3L { k 0.277260057885 { k 0.272916126437 {
4 jjijj x1H4L yzzzz ijj 0.123994467375 zzy jji 0.122051802174 zzy 0.00194267
k x2H4L { k 0.272916126437 { k 0.271666490106 {
5 jjjji x1H5L zzzzy ijj 0.122051802174 zzy jji 0.121492947817 yzz 0.000558854
k x2H5L { k 0.271666490106 { k 0.271268513444 {
6 ijjjj x1H6L zzzzy ijj 0.121492947817 yzz jji 0.121314967243 zzy 0.000177981
k x2H6L { k 0.271268513444 { k 0.271156513360 {
7 jijjj x1H7L yzzzz ijj 0.121314967243 yzz jji 0.121264879283 zyz 0.000050088
k x2H7L { k 0.271156513360 { k 0.271119846920 {
8 jjjji x1H8L zzzzy ijj 0.121264879283 yzz ijj 0.121248481552 yzz 0.0000163977
k x2H8L { k 0.271119846920 { k 0.271109872001 {
9 ijjjj x1H9L yzzzz jji 0.121248481552 zzy jji 0.121244020633 zyz 4.46092 µ 10-6
k x2H9L { k 0.271109872001 { k 0.271106470504 {
17
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
P10 = jji 0.121244020633 zyz
k 0.271106470504 {
à Problema 4. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = x12 - 625 x22 - 1 ê 4 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = eH-x1 x2L + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Aplíquese el método de Punto Fijo con la aproximación inicial
P0 = IxH10L, x2H0L, xH30LMT = H1, 1, 1LT y aplicando el método hasta que »» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-6.
Solución
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 3 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,
x12 − 625 x22 − 1 ê 4, Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3 <;
1
ecuacionestrans = 9 HCos@x2 ∗ x3D + 1 ê 2L,
3
1 jkji"#x##21####+###0##.###3###1###2##5## − 0.03yzz, − 1 Exp@−x1 ∗ x2D − 10 Pi − 3
25 { 20 =;
60
d = 10.−6; p = 81.0, 1.0, 1.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2, x3L = ijjjjjjjjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å21ÅÅÅ zzzzzzzzyzzzz = jjjjjijjj 0 zzzzzzzyz
k H-3 { k 0 {
x12 - 625 x22 - Å14ÅÅÅ + 10 pL 0
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ
P0 = jjjijjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzyz = jjjjjjjij 1. zyzzzzzzz
k x2H0L { k 1. {
x3H0L 1.
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzyzzzz ijjjjjjjjjjjjjjjj Å31ÅÅÅ IcosIHx2Hk-1LL Hx3Hk-1LLM + Å21ÅÅÅ M yzzzzzzzzzzzzzzzz
k x2H0L { k {
x3H0L = Å2ÅÅ1Å5ÅÅÅ jjik"#H#x##1#H#k##-##1##L#L#2###+####0###.#3###1###2###5### - 0.03zyz
{
- Å2ÅÅ1Å0ÅÅÅ ‰-Hx1Hk-1LL Hx2Hk-1LL + Å6ÅÅ1Å0ÅÅÅ H3 - 10 pL
Tabla de datos.
18
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0 jjjjjjjjijjj x1H0L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjij 1.00000000000 zzzzzzyzz ijjjjjjjj 0.346767435289 zzzzzzzzy 1.49199
k x2H0L { k 1.00000000000 { k 0.0446257569496 {
x3H0L 1.00000000000 -0.491992747657
1 jjjjjjjjjjij x1H1L zzzzzzzzzyzz jjjijjjjj 0.346767435289 zyzzzzzzz jijjjjjjj 0.499919662207 zzzzzzzzy 0.153152
k x2H1L { k 0.0446257569496 { k 0.0251134233175 {
x3H1L -0.491992747657 -0.522830993577
2 jjjjjjjjjjji x1H2L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.499919662207 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.499971267263 zzzzzzzyz 0.00368443
k x2H2L { k 0.0251134233175 { k 0.0287978577545 {
x3H2L -0.522830993577 -0.522974964963
3 jjjjjjjjjjji x1H3L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjij 0.499971267263 zzzzzyzzz jjjjjjijj 0.499962197310 zzzzzzzyz 0.0000909366
k x2H3L { k 0.0287978577545 { k 0.0287992338059 {
x3H3L -0.522974964963 -0.522884028376
4 jjjjjjjjjjij x1H4L zzzzzzyzzzzz jjjijjjjj 0.499962197310 zzzzzzzzy jjjjijjjj 0.499962206844 zzzyzzzzz 2.41856 µ 10-7
k x2H4L { k 0.0287992338059 { k 0.0287989919494 {
x3H4L -0.522884028376 -0.522884007342
La solución aproximada del sistema es:
P5 = jjjjijjjj 0.499962206844 zzyzzzzzz
k 0.0287989919494 {
-0.522884007342
à Problema 5. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Punto FIjo con la aproximación inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5.
a) f1Hx1, x2, x3L = 15 x1 - 13 + x22 - 4 x3 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = 10 x2 - 11 - x3 + x12 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = 25 x3 - 22 - x23 = 0
P0 = IxH10L, xH20L, x3H0LMT = H1, 1, 1LT
b) f1Hx1, x2, x3L = 1 - x1 - cos H x1 x2 x3L = 0,
f2Hx1, x2, x3L = 1 - H1 - x1L1ê4 - 0.05 x32 - x2 + 0.15 x3 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = 1 + 0.1 x22 - 0.01 x2 - x3 + x12 = 0,
P0 = IxH10L, xH20L, x3H0LMT = H0, -0.1, 0.5LT
c) f1Hx1, x2, x3L = 6 x1 - 2 cosHx2 x3L - 1 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = 9 x2 + "#x##12##+####s##e##n##H#x##3##L##+####1##.#0###6## + 0.9 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = 60 x3 + 3 e-x1 x2 + 10 p - 3 = 0
P0 = IxH10L, x2H0L, x3H0LMT = H0, 0, 0LT
19
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 815 x1 − 13 + x22 − 4 x3, 10 x2 − 11 − x3 + x12, 25 x3 − 22 − x23<;
1 11 H22 + x23L=;
ecuacionestrans = 9 H13 − x22 + 4 x3L, H11 + x3 − x12L,
15 10 25
d = 10.−5; p = 81.0, 1.0, 1.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2, x3L = jjjjjjjjijj x22 + 15 x1 - 4 x3 - 13 zzzzzzzzzyz = jjjjijjjj 0 zzzzzzzyz
k x12 + 10 x2 - x3 - 11 { k 0 {
-x23 + 25 x3 - 22 0
P0 = jijjjjjjjjjj x1H0L zzzyzzzzzzzz = jjijjjjjj 1. zzzzzyzzz
k x2H0L { k 1. {
x3H0L 1.
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzyzz = ijjjjjjjjjjjjjjjjjj Å1ÅÅ1Å5ÅÅÅ J-Hx2Hk-1LL2 + 4 Hx3Hk-1LL + 13N zzzzzzzzzzzzzzzzzzy
k x2H0L { k Å1ÅÅ1Å0ÅÅÅ J-Hx1Hk-1LL2 + Hx3Hk-1LL + 11N {
x3H0L Å2ÅÅ1Å5ÅÅÅ JHx2Hk-1LL3 + 22N
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.1
0 jijjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzyzzzzz jjjjjjjij 1.00000000000 zzzzzzyzz jjjjijjjj 1.06666666667 zzzzzyzzz
k x2H0L { k 1.00000000000 { k 1.10000000000 { 0.0353333
x3H0L 1.00000000000 0.920000000000 0.00873693
1 jjjjjjjjjijj x1H1L zzzzzzzzzzzy jjjjjijjj 1.06666666667 zzyzzzzzz jjjjjijjj 1.03133333333 zzzzzzyzz
k x2H1L { k 1.10000000000 { k 1.07822222222 {
x3H1L 0.920000000000 0.933240000000
2 jjjjjjjjjjji x1H2L yzzzzzzzzzzz jjjijjjjj 1.03133333333 zzzzzyzzz jjijjjjjj 1.03802645597 zyzzzzzzz
k x2H2L { k 1.07822222222 { k 1.08695915556 {
x3H2L 0.933240000000 0.930140057375
20
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
3 jjjjjjijjjjj x1H3L zzzzzzzzzzzy jjjjjjijj 1.03802645597 yzzzzzzzz jjjjjijjj 1.03593866824 zzzzzzzzy 0.00208779
k x2H3L { k 1.08695915556 { k 1.08526411341 {
x3H3L 0.930140057375 0.931368829074
4 ijjjjjjjjjjj x1H4L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 1.03593866824 zyzzzzzzz ijjjjjjjj 1.03651180803 zzzzzyzzz 0.00057314
k x2H4L { k 1.08526411341 { k 1.08581999047 {
x3H4L 0.931368829074 0.931128884592
5 jjjjjjjjjjji x1H5L zzzzzzzzzzzy jjijjjjjj 1.03651180803 zzzzzzyzz jjjjjijjj 1.03636736578 zzzzzzzyz 0.000144442
k x2H5L { k 1.08581999047 { k 1.08567721564 {
x3H5L 0.931128884592 0.931207490160
6 jjjjjijjjjjj x1H6L zzzzzzzzyzzz jijjjjjjj 1.03636736578 yzzzzzzzz jjjjjjjji 1.03640899627 zzzzzzzyz 0.0000416305
k x2H6L { k 1.08567721564 { k 1.08571501733 {
x3H6L 0.931207490160 0.931187292947
7 jjjjjjjjijjj x1H7L zzzzzzzzzzyz ijjjjjjjj 1.03640899627 zzzzzzzzy jjjjijjjj 1.03639813820 zzzzzzzzy 0.0000108581
k x2H7L { k 1.08571501733 { k 1.08570436854 {
x3H7L 0.931187292947 0.931192639933
8 jjjjjijjjjjj x1H8L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 1.03639813820 yzzzzzzzz jjjjjjjji 1.03640110559 zzzzzzzzy 2.9674 µ 10-6
k x2H8L { k 1.08570436854 { k 1.08570715391 {
x3H8L 0.931192639933 0.931191133641
La solución aproximada del sistema es:
P9 = ijjjjjjjj 1.03640110559 zzzzzzzzy
k 1.08570715391 {
0.931191133641
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 81 − x1 − Cos @ x1 x2 x3D,
1 − H1 − x1L1ê4 − 0.05 x32 − x2 + 0.15 x3 , 1 + 0.1 x22 − 0.01 x2 − x3 + x12<;
ecuacionestrans = 81 − Cos @ x1 x2 x3D,
1 − H1 − x1L1ê4 − 0.05 x32 + 0.15 x3, 1 + 0.1 x22 − 0.01 x2 + x12<;
d = 10.−5; p = 80.0, −0.1, 0.5<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
21
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2, x3L = jjijjjjjjjj -cosHx1 x2 x3L - x1 + 1 è4 !1!!!-!!!!x!!1!!! + 1 zyzzzzzzzzz = jjjjjjjji 0 zzzzzzzzy
k +1 { k 0 {
-0.05 x32 + 0.15 x3 - x2 - 0
x12 + 0.1 x22 - 0.01 x2 - x3
P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzyzzzzzzzzz = jjijjjjjj 0. zzzzzzzzy
k x2H0L { k -0.1 {
x3H0L 0.5
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzyzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjjj 1 - cosIHx1Hk-1LL Hx2Hk-1LL Hx3Hk-1LLM + 1 yzzzzzzzzzzzzzz
k x2H0L { k {
x3H0L -0.05 Hx3Hk-1LL2 + 0.15 Hx3Hk-1LL - "4 #1###-####H#x###1H#k##-##1##L##L#
Hx1Hk-1LL2 + 0.1 Hx2Hk-1LL2 - 0.01 Hx2Hk-1LL + 1
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0 jjjjjjjijjjj x1H0L zzzzyzzzzzzz jjjjjjjji 0 zzzzzzzyz jjjjjjjij 0 zzzzzzyzz 0.502
k x2H0L { k -0.100000000000 { k 0.0625000000000 {
x3H0L 0.500000000000 1.00200000000
1 jjjjjjjjjijj x1H1L yzzzzzzzzzzz jjjijjjjj 0 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 0 zzzzzzzzy 0.0375998
k x2H1L { k 0.0625000000000 { k 0.100099800000 {
x3H1L 1.00200000000 0.999765625000
2 jjjjjjjjijjj x1H2L yzzzzzzzzzzz jjjjjjijj 0 zzzzyzzzz jjjjjijjj 0 zzzzzzzzy 0.000235374
k x2H2L { k 0.100099800000 { k 0.0999882785034 {
x3H2L 0.999765625000 1.00000099900
3 jjjjjjjjijjj x1H3L zzzyzzzzzzzz ijjjjjjjj 0 zzzyzzzzz jjjjjjjji 0 zzyzzzzzz 0.0000117714
k x2H3L { k 0.0999882785034 { k 0.100000049950 {
x3H3L 1.00000099900 0.999999882799
4 jjjjjjijjjjj x1H4L zyzzzzzzzzzz jjjijjjjj 0 zzzzzzzzy jjjjjjjji 0 zzzzzzzzy 1.17701 µ 10-7
k x2H4L { k 0.100000049950 { k 0.0999999941399 {
x3H4L 0.999999882799 1.00000000050
La solución aproximada del sistema es:
P5 = jjjjjjjji 0 zzzyzzzzz
k 0.0999999941399 {
1.00000000050
22
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 9 6 x1 − 2 Cos@x2 x3D − 1,
9 x2 + "#x##21###+###S##i###n##@##x###3#D####+###1##.###0##6### + 0.9, 60 x3 + 3 Exp@−x1 x2D + 10 Pi − 3=;
1 Cos @ x2 x3D + 1 1 "#x##21###+###S##i###n##@##x###3#D####+###1##.###0##6### − 0.1,
ecuacionestrans = 9 ,−
3 69
1 10 Pi − 3
− Exp@−x1 ∗ x2D − =;
20 60
d = 10.−5; p = 80., 0., 0.<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2, x3L = jjjjjjjijjj -2 cosHx2 x3L + 6 x1 - 1 + 0.9 zzyzzzzzzzz = jjijjjjjj 0 zzzzzzzzy
k { k 0 {
9 x2 + "#x##12###+####s##i##n###H#x##3##L###+###1###.##0###6## 0
60 x3 + 3 ‰-x1 x2 + 10 p - 3
P0 = jjjjijjjjjjj x1H0L zzzzzyzzzzzz = jjjjjijjj 0. zzzzzyzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzyzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjjjjjjjj Å31ÅÅÅ cosIHx2Hk-1LL Hx3Hk-1LLM + Å61ÅÅÅ - 0.1 zzzzyzzzzzzzzzzzzzzz
k x2H0L { k - Å19ÅÅÅ $%H%x%%1%H%k%%-%%1%%L%L%2%%%+%%%%s%%i%%n%%I%%H%%x%%3H%k%%-%%1%%L%L%%M%%+%%%1%%%.%0%%%6%%% {
x3H0L - Å2ÅÅ1Å0ÅÅÅ ‰-Hx1Hk-1LL Hx2Hk-1LL + Å6ÅÅ1Å0ÅÅÅ H3 - 10 pL
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.523599
0 ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzyzz jijjjjjjj 0 zzzzzzzyz ijjjjjjjj 0.500000000000 yzzzzzzzz
k x2H0L { k 0 { k -0.214395890455 { 0.0143959
x3H0L 0 -0.523598775598
1 jjjjjjjjjjji x1H1L zzzzyzzzzzzz jjjjjjijj 0.500000000000 zyzzzzzzz jijjjjjjj 0.497901916407 yzzzzzzzz
k x2H1L { k -0.214395890455 { k -0.200000000000 {
x3H1L -0.523598775598 -0.529256504414
23
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2 jjijjjjjjjjj x1H2L zzzzzyzzzzzz jijjjjjjj 0.497901916407 zzzzzzyzz jjjjjijjj 0.498134326654 yzzzzzzzz 0.000432131
k x2H2L { k -0.200000000000 { k -0.199567869407 {
x3H2L -0.529256504414 -0.528834138957
3 jjjjjjjjjijj x1H3L zzzzyzzzzzzz jjjjjijjj 0.498134326654 zzzzzzyzz jjjjjjijj 0.498145333572 zzzzyzzzz 0.0000369499
k x2H3L { k -0.199567869407 { k -0.199604819327 {
x3H3L -0.528834138957 -0.528824817283
4 ijjjjjjjjjjj x1H4L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjij 0.498145333572 zzzyzzzzz ijjjjjjjj 0.498144712711 zzzzzzzzy 1.17837 µ 10-6
k x2H4L { k -0.199604819327 { k -0.199605997698 {
x3H4L -0.528824817283 -0.528825955120
La solución aproximada del sistema es:
P5 = jijjjjjjj 0.498144712711 zzzzzzzyz
k -0.199605997698 {
-0.528825955120
à Problema 6.. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2L = -x1 H1 + x1L + 2 x2 = 18,
f2Hx1, x2L = Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 = 25.
a) Representar gráficamente las curvas f1 y f2.
b) Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Punto Fijo
comenzando en los puntos
P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H2, 11LT ,
P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H-1.5, 10.5LT
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 5 µ 10-5.
Solución
a)
<< Graphics`ImplicitPlot`;
Clear@ecuaciones, p, m, d, f, g, g1, g2, gD;
f = −x H1 + xL + 2 y − 18;
g = Hx − 1L2 + Hy − 6L2 − 25;
Print@"Representación gráfica de la solución",
"\n\t f1Hx, yL = ", f, "\n\t f2Hx, yL = ", g D;
g1 = ImplicitPlot @f == 0, 8x, −5, 7<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g2 = ImplicitPlot @g == 0, 8x, −5, 7<,
24
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;
g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;
Representación gráfica de la solución
f1Hx, yL = -x Hx + 1L + 2 y - 18
f2Hx, yL = Hx - 1L2 + Hy - 6L2 - 25
Y
35
30
25
20
15
10
5
X
-4-2 2 4 6
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
ecuacionestrans = 9−0.5 + è!2!!!x!!2!!!−!!!1!!!7!!!.!!!7!!5!! , "#2##5###−####H##x##1####−####1##L###2## + 6=;
d = 10.−5; p = 82.0, 11.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = jji -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 zzy = jji 0 zzy
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {
P0 = jjjji x1H0L zzzyz = ijj 2. zyz
k x2H0L { k 11. {
25
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jjijj x1H0L zyzzz = ijjjjjjjjjjjj "#2###H##x##2H#k##-##1##L#L##-####1###7###.#7##5### - 0.5 zzzzzzzzzzzzy
k x2H0L { k $%2%%5%%%%-%%%%I%H%x%%%1H%k%%-%%1%%L%L%%%-%%%%1%%%M%2%% + 6 {
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0 ijjjj x1H0L yzzzz jji 2.00000000000 yzz jij 1.56155281281 yzz 0.438447
k x2H0L { k 11.0000000000 { k 10.8989794856 {
1 jjjij x1H1L zzzzy ijj 1.56155281281 zyz ijj 1.51195401815 zzy 0.0693863
k x2H1L { k 10.8989794856 { k 10.9683657714 {
2 jjjji x1H2L zyzzz jji 1.51195401815 yzz jji 1.54615042038 zzy 0.0341964
k x2H2L { k 10.9683657714 { k 10.9737212511 {
3 ijjjj x1H3L yzzzz ijj 1.54615042038 yzz jji 1.54876609259 zzy 0.00363879
k x2H3L { k 10.9737212511 { k 10.9700824659 {
4 ijjjj x1H4L yzzzz jji 1.54876609259 zzy ijj 1.54698923590 yzz 0.00177686
k x2H4L { k 10.9700824659 { k 10.9697943394 {
5 jjijj x1H5L yzzzz jji 1.54698923590 zzy ijj 1.54684847479 yzz 0.00019588
k x2H5L { k 10.9697943394 { k 10.9699902189 {
6 ijjjj x1H6L zzzzy ijj 1.54684847479 zzy ijj 1.54694417065 zyz 0.0000956959
k x2H6L { k 10.9699902189 { k 10.9700057088 {
7 ijjjj x1H7L yzzzz jji 1.54694417065 zzy jij 1.54695173798 zzy 0.0000105303
k x2H7L { k 10.9700057088 { k 10.9699951785 {
8 jjjij x1H8L zzzzy jji 1.54695173798 zzy jji 1.54694659358 zzy 5.1444 µ 10-6
k x2H8L { k 10.9699951785 { k 10.9699943457 {
La solución aproximada del sistema es:
P9 = jij 1.54694659358 yzz
k 10.9699943457 {
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
ecuacionestrans = 9−0.5 − è!2!!!x!!2!!!−!!!1!!!7!!!.!!!7!!5!! , "#2##5###−####H##x##1####−####1##L###2## + 6=;
d = 10.−5; p = 8−1.5, 10.5<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
26
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = jij -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 zyz = jji 0 zzy
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {
P0 = jjjij x1H0L zzyzz = jji -1.5 yzz
k x2H0L { k 10.5 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jjjji x1H0L zzyzz = ijjjjjjjjjjjj - "#2###H##x##2H#k##-##1##L#L##-####1###7###.#7# #5### - 0.5 yzzzzzzzzzzzz
k x2H0L { k $%2%%5%%%%-%%%%I%H%x%%%1H%k%%-%%1%%L%L%%%-%%%%1%%%M%2%% +6 {
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.802776
0 jjjji x1H0L zzyzz jji -1.50000000000 zzy jij -2.30277563773 yzz 0.576239
k x2H0L { k 10.5000000000 { k 10.3301270189 { 0.380135
0.287985
1 jjjji x1H1L zzzzy jji -2.30277563773 zzy ijj -2.20594666911 zyz 0.194054
k x2H1L { k 10.3301270189 { k 9.75388772965 { 0.144402
0.0958878
2 jijjj x1H2L zzzzy ijj -2.20594666911 zyz jji -1.82581124573 zyz 0.0721472
k x2H2L { k 9.75388772965 { k 9.83691359752 { 0.0482099
0.036093
3 jjjji x1H3L zzzzy ijj -1.82581124573 zyz ijj -1.88702097859 zzy 0.0240362
k x2H3L { k 9.83691359752 { k 10.1248988840 { 0.0180424
4 jjijj x1H4L zzzzy jji -1.88702097859 yzz ijj -2.08107487744 zzy
k x2H4L { k 10.1248988840 { k 10.0822922322 {
5 ijjjj x1H5L zyzzz jji -2.08107487744 yzz jij -2.05389332466 yzz
k x2H5L { k 10.0822922322 { k 9.93788999333 {
6 jjijj x1H6L yzzzz ijj -2.05389332466 yzz ijj -1.95800548239 zzy
k x2H6L { k 9.93788999333 { k 9.95900689082 {
7 jjjij x1H7L zzzyz ijj -1.95800548239 yzz ijj -1.97241766549 zyz
k x2H7L { k 9.95900689082 { k 10.0311541233 {
8 jjjji x1H8L zzzzy ijj -1.97241766549 zyz jji -2.02062758317 zzy
k x2H8L { k 10.0311541233 { k 10.0205389218 {
9 jijjj x1H9L zzzzy ijj -2.02062758317 yzz ijj -2.01363068271 yzz
k x2H9L { k 10.0205389218 { k 9.98444588416 {
10 ijjjj x1H10L zzyzz ijj -2.01363068271 yzz ijj -1.98959449795 zzy
k x2H10L { k 9.98444588416 { k 9.98974060663 {
11 ijjjj x1H11L yzzzz ijj -1.98959449795 zyz jji -1.99314473956 zzy
k x2H11L { k 9.98974060663 { k 10.0077830203 {
27
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
12 jjjji x1H12L zzzzy ijj -1.99314473956 zzy ijj -2.00517973698 yzz 0.012035
k x2H12L { k 10.0077830203 { k 10.0051322785 {
13 ijjjj x1H13L zzzzy jji -2.00517973698 zzy ijj -2.00341762559 zzy 0.00902233
k x2H13L { k 10.0051322785 { k 9.99610995200 {
14 jjjji x1H14L zzzzy ijj -2.00341762559 zzy jji -1.99740438893 zzy 0.00601324
k x2H14L { k 9.99610995200 { k 9.99743449806 {
15 ijjjj x1H15L yzzzz jji -1.99740438893 yzz jji -1.99828868918 yzz 0.0045109
k x2H15L { k 9.99743449806 { k 10.0019453931 {
16 jjjij x1H16L yzzzz ijj -1.99828868918 yzz ijj -2.00129636853 yzz 0.00300768
k x2H16L { k 10.0019453931 { k 10.0012829113 {
17 ijjjj x1H17L zzzzy ijj -2.00129636853 zzy ijj -2.00085503051 yzz 0.00225552
k x2H17L { k 10.0012829113 { k 9.99902739529 {
18 jjjji x1H18L yzzzz jji -2.00085503051 zzy jji -1.99935145665 zzy 0.00150357
k x2H18L { k 9.99902739529 { k 9.99935858430 {
19 ijjjj x1H19L yzzzz jji -1.99935145665 zzy ijj -1.99957232857 zzy 0.00112774
k x2H19L { k 9.99935858430 { k 10.0004863254 {
20 ijjjj x1H20L yzzzz jji -1.99957232857 zzy ijj -2.00032418188 zyz 0.000751853
k x2H20L { k 10.0004863254 { k 10.0003207179 {
21 jjjji x1H21L yzzzz jji -2.00032418188 zzy jji -2.00021379667 zzy 0.000563875
k x2H21L { k 10.0003207179 { k 9.99975684306 {
22 jjjji x1H22L yzzzz jji -2.00021379667 yzz ijj -1.99983788661 yzz 0.00037591
k x2H22L { k 9.99975684306 { k 9.99983964357 {
23 jjjji x1H23L yzzzz ijj -1.99983788661 zyz ijj -1.99989309191 yzz 0.000281936
k x2H23L { k 9.99983964357 { k 10.0001215799 {
24 ijjjj x1H24L zzzzy jji -1.99989309191 zzy jji -2.00008105108 yzz 0.000187959
k x2H24L { k 10.0001215799 { k 10.0000801788 {
25 jjjji x1H25L zzzzy ijj -2.00008105108 zzy ijj -2.00005345161 yzz 0.000140968
k x2H25L { k 10.0000801788 { k 9.99993921041 {
26 ijjjj x1H26L zzzzy jji -2.00005345161 zzy ijj -1.99995947306 zzy 0.0000939786
k x2H26L { k 9.99993921041 { k 9.99995991074 {
27 jjjij x1H27L zzzzy ijj -1.99995947306 yzz jji -1.99997327359 yzz 0.0000704842
k x2H27L { k 9.99995991074 { k 10.0000303949 {
28 ijjjj x1H28L zzzzy jji -1.99997327359 zzy jji -2.00002026312 zzy 0.0000469895
k x2H28L { k 10.0000303949 { k 10.0000200447 {
29 ijjjj x1H29L zzyzz ijj -2.00002026312 yzz ijj -2.00001336305 zzy 0.0000352421
k x2H29L { k 10.0000200447 { k 9.99998480258 {
30 jjjij x1H30L yzzzz jji -2.00001336305 yzz jji -1.99998986835 zzy 0.0000234947
k x2H30L { k 9.99998480258 { k 9.99998997767 {
28
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
31 ijjjj x1H31L zzyzz jij -1.99998986835 zzy ijj -1.99999331843 yzz 0.000017621
k x2H31L { k 9.99998997767 { k 10.0000075987 {
32 ijjjj x1H32L zyzzz ijj -1.99999331843 zzy jij -2.00000506580 zyz 0.0000117474
k x2H32L { k 10.0000075987 { k 10.0000050112 {
33 jjijj x1H33L zzyzz jji -2.00000506580 zzy jji -2.00000334077 zyz 8.81052 µ 10-6
k x2H33L { k 10.0000050112 { k 9.99999620064 {
La solución aproximada del sistema es:
P34 = ijj -2.00000334077 zzy
k 9.99999620064 {
à Problema 7. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Punto FIjo con la aproximacióin inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5.
a) f1Hx1, x2L = x12 + x22 - x1 = 0,
f2Hx1, x2L = x12 - x22 - x2 = 0,
P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H0.7, 0.4LT
b) f1Hx1, x2L = 3 x12 - x22 = 0,
f2Hx1, x2L = 3 x1 x22 - x13 - 1 = 0,
P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H0.4, 0.7LT
c) f1Hx1, x2, x3L = x12 + x2 - 37 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = x1 - x22 - 5 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = x3 + x1 + x2 - 3 = 0
P0 = IxH10L, x2H0L, x3H0LMT = H5, 1, -1LT
d) f1Hx1, x2, x3L = x12 + 2 x22 - x2 - 2 x3 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = x12 - 8 x22 + 10 x3 = 0,
xÅ3H7Å0ÅÅxxLÅÅM13ÅÅ2TÅxÅÅ2Å=-H01.5=,
f3Hx1, x2, x3L = 0 0.1LT
P0 = Ix1H0L, xH20L, 0.5,
Solución
a)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8x12 + x22 − x1, x12 − x22 − x2<;
ecuacionestrans = 9è!x!!1!!!−!! !!!!!!! , è!−!!x!!!2!!+!!!x!!!1!2!! =;
x22
d = 10.−5; p = 80.7, 0.4<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
29
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = ijjjj x12 - x1 + x22 zzyzz = ijj 0 zyz
k x12 - x22 - x2 { k 0 {
P0 = jjjji x1H0L zzzzy = jji 0.7 zyz
k x2H0L { k 0.4 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jijjj x1H0L zzzyz = jjjjjijj "#H#x##1#H#k##-##1##L#L##-# ###H#x##2#H#k##-##1##L L##2## zzzzzzyz
k x2H0L { k "#H#x##1#H#k##-##1##L#L#2## #-####H#x##2#H#k##-##1#L##L# {
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.1
0 jjjji x1H0L yzzzz ijj 0.700000000000 yzz jji 0.734846922835 yzz
k x2H0L { k 0.400000000000 { k 0.300000000000 { 0.189898
0.0962624
1 jjjji x1H1L yzzzz jji 0.734846922835 yzz ijj 0.803023612875 zzy 0.0212727
k x2H1L { k 0.300000000000 { k 0.489897948557 { 0.0171889
0.0122509
2 jjjji x1H2L yzzzz jji 0.803023612875 zzy jji 0.750348994052 zyz 0.00265912
k x2H2L { k 0.489897948557 { k 0.393635585635 { 0.00143785
0.00137152
3 ijjjj x1H3L zzzzy jji 0.750348994052 yzz ijj 0.771621681768 yzz 0.000416338
k x2H3L { k 0.393635585635 { k 0.411567767494 { 0.000087382
4 jjjij x1H4L zzzzy ijj 0.771621681768 yzz jji 0.776037147647 zzy
k x2H4L { k 0.411567767494 { k 0.428756635260 {
5 jjjji x1H5L zzyzz jji 0.776037147647 zzy ijj 0.769548500984 yzz
k x2H5L { k 0.428756635260 { k 0.416505725371 {
6 ijjjj x1H6L zzzyz jji 0.769548500984 yzz ijj 0.772056657064 yzz
k x2H6L { k 0.416505725371 { k 0.419164848234 {
7 jjjij x1H7L yzzzz jji 0.772056657064 zyz ijj 0.772241857884 yzz
k x2H7L { k 0.419164848234 { k 0.420602702657 {
8 jjijj x1H8L yzzzz ijj 0.772241857884 yzz jij 0.771579694135 zzy
k x2H8L { k 0.420602702657 { k 0.419231182537 {
9 ijjjj x1H9L zzzzy ijj 0.771579694135 zzy jji 0.771896955379 yzz
k x2H9L { k 0.419231182537 { k 0.419647520980 {
10 ijjjj x1H10L zzyzz ijj 0.771896955379 zyz ijj 0.771876229401 zzy
k x2H10L { k 0.419647520980 { k 0.419734902937 {
30
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
11 jjjji x1H11L zyzzz jij 0.771876229401 yzz ijj 0.771815289209 zzy 0.000142231
k x2H11L { k 0.419734902937 { k 0.419592672216 {
12 jjjji x1H12L zzzzy jji 0.771815289209 zzy jji 0.771853145768 zzy 0.0000573825
k x2H12L { k 0.419592672216 { k 0.419650054738 {
13 jijjj x1H13L zzzzy jji 0.771853145768 zzy jji 0.771846472640 yzz 6.67313 µ 10-6
k x2H13L { k 0.419650054738 { k 0.419651312275 {
La solución aproximada del sistema es:
P14 = jji 0.771846472640 zzy
k 0.419651312275 {
Solución
b)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 83 x12 − x22, 3 x1 x22 − x13 − 1<;
ecuacionestrans = 9x2 ë è!!! , è!H!!1!!!+!!!!x!!1!!3!!!L!!!ê!!!H!!3!!!!x!!1!!!L!!! =;
3
d = 10.−5; p = 80.4, 0.7<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2L = ijjjj 3 x12 - x22 x1 - 1 yzzzz = jij 0 zyz
k -x13 + 3 x22 { k 0 {
P0 = ijjjj x1H0L zzzyz = ijj 0.4 zzy
k x2H0L { k 0.7 {
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
jijjj x1H0L zyzzz = ijjjjjjjjjjjjj ÅHÅÅxÅèÅ2HÅkÅÅ!3-Å!Å!1!ÅÅLÅLÅÅ zzzzzzzzyzzzzz
k x2H0L { Å$ÅÅÅÅÅ%ÅÅ%HÅÅ%ÅxÅÅ%èÅÅ1%HHÅÅk%xÅÅÅ%-Å1ÅH%!Å3kÅ%Å1!ÅÅ!%-ÅL!ÅÅ%LÅ1%ÅÅ3%ÅÅLÅ%Å+LÅ%ÅÅÅÅ%1ÅÅ%ÅÅÅ%ÅÅ {
k
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.24163
0 jijjj x1H0L zzzzy jij 0.400000000000 yzz jji 0.404145188433 zyz
k x2H0L { k 0.700000000000 { k 0.941629792788 {
31
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
1 ijjjj x1H1L zzzzy ijj 0.404145188433 yzz ijj 0.543650214343 yzz 0.139505
k x2H1L { k 0.941629792788 { k 0.937672940468 {
2 jjjji x1H2L yzzzz jji 0.543650214343 yzz jji 0.541365724591 zzy 0.0940748
k x2H2L { k 0.937672940468 { k 0.843598161451 {
3 jjjij x1H3L zzzzy ijj 0.541365724591 zzy ijj 0.487051625602 zzy 0.0543141
k x2H3L { k 0.843598161451 { k 0.844641336143 {
4 jjijj x1H4L yzzzz jij 0.487051625602 yzz jji 0.487653902791 zyz 0.0291225
k x2H4L { k 0.844641336143 { k 0.873763836342 {
5 jjjji x1H5L zzzzy jji 0.487653902791 zzy jji 0.504467786120 zzy 0.0168139
k x2H5L { k 0.873763836342 { k 0.873392046155 {
6 jjjji x1H6L zzzzy ijj 0.504467786120 yzz ijj 0.504253132956 zzy 0.00991557
k x2H6L { k 0.873392046155 { k 0.863476476688 {
7 jjjji x1H7L yzzzz ijj 0.504253132956 yzz jji 0.498528376255 yzz 0.00572476
k x2H7L { k 0.863476476688 { k 0.863597549558 {
8 ijjjj x1H8L yzzzz ijj 0.498528376255 zzy ijj 0.498598277709 yzz 0.00328084
k x2H8L { k 0.863597549558 { k 0.866878386985 {
9 ijjjj x1H9L yzzzz jji 0.498598277709 zyz jji 0.500492470081 zyz 0.00189419
k x2H9L { k 0.866878386985 { k 0.866837719240 {
10 jjijj x1H10L yzzzz jji 0.500492470081 yzz ijj 0.500468990547 yzz 0.00109627
k x2H10L { k 0.866837719240 { k 0.865741449200 {
11 ijjjj x1H11L yzzzz jji 0.500468990547 yzz ijj 0.499836058744 zzy 0.000632932
k x2H11L { k 0.865741449200 { k 0.865754970393 {
12 ijjjj x1H12L zzzzy ijj 0.499836058744 zzy jij 0.499843865209 yzz 0.000365126
k x2H12L { k 0.865754970393 { k 0.866120096701 {
13 jjijj x1H13L zzzzy jji 0.499843865209 yzz ijj 0.500054670981 zzy 0.000210806
k x2H13L { k 0.866120096701 { k 0.866115585789 {
14 jjjji x1H14L yzzzz jji 0.500054670981 yzz jji 0.500052066604 zzy 0.000121742
k x2H14L { k 0.866115585789 { k 0.865993844080 {
15 ijjjj x1H15L zzzzy ijj 0.500052066604 zzy jji 0.499981778996 yzz 0.0000702876
k x2H15L { k 0.865993844080 { k 0.865995347290 {
16 jjjji x1H16L zzzzy jij 0.499981778996 yzz ijj 0.499982646875 yzz 0.0000405769
k x2H16L { k 0.865995347290 { k 0.866035924197 {
17 jjjji x1H17L yzzzz ijj 0.499982646875 yzz ijj 0.500006073963 yzz 0.0000234271
k x2H17L { k 0.866035924197 { k 0.866035423080 {
18 ijjjj x1H18L zzzzy jji 0.500006073963 zyz jji 0.500005784643 zzy 0.000013526
k x2H18L { k 0.866035423080 { k 0.866021897037 {
19 jjjji x1H19L zzzzy jji 0.500005784643 yzz jij 0.499997975378 zzy 7.80926 µ 10-6
k x2H19L { k 0.866021897037 { k 0.866022064071 {
32
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
P20 = ijj 0.499997975378 zyz
k 0.866022064071 {
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 x12 + x2 − 37, x1 − x22 − 5, x3 + x1 + x2 − 3<;
ecuacionestrans = 9è!3!!7!!!−!! !x!!!2!! , è!x!!1!!!−!! !!! , 3 − x1 − x2=;
5
d = 10.−5; p = 85.0, 1.0, −1.0<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
f Hx1, x2, x3L = jjjjjjjjji x12 + x2 - 37 zyzzzzzzzz = jjjjjjjji 0 zzzzzzzzy
k -x22 + x1 - 5 { k 0 {
x1 + x2 + x3 - 3 0
P0 = jjijjjjjjjjj x1H0L zzzzyzzzzzzz = jjjjjijjj 5. zzzzzzzzy
k x2H0L { k 1. {
x3H0L -1.
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzyzz = ijjjjjjjjjjjjjj "#3##7####-####H#x##2#H#k#-##1##L#L## zzzzzzzzzzzzzzy
k x2H0L { k "#H#x##1#H#k##-##1##L#L##-# ###5### {
x3H0L -Hx1Hk-1LL - Hx2Hk-1LL + 3
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
2.
0 jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjij 5.00000000000 zyzzzzzzz jjjijjjjj 6.00000000000 zzyzzzzzz
k x2H0L { k 1.00000000000 { k 0 { 1.
x3H0L -1.00000000000 -3.00000000000
1 ijjjjjjjjjjj x1H1L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjij 6.00000000000 zzzzyzzzz jjjjjjijj 6.08276253030 zzzzzzzyz
k x2H1L { k 0 { k 1.00000000000 {
x3H1L -3.00000000000 -3.00000000000
33
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
2 jjjjjjjjjjji x1H2L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 6.08276253030 zzzzzzyzz ijjjjjjjj 6.00000000000 yzzzzzzzz 1.08276
k x2H2L { k 1.00000000000 { k 1.04055875870 {
x3H2L -3.00000000000 -4.08276253030
3 ijjjjjjjjjjj x1H3L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 6.00000000000 zyzzzzzzz jjjjjjijj 5.99661915093 zzzzzzzzy 0.0422038
k x2H3L { k 1.04055875870 { k 1.00000000000 {
x3H3L -4.08276253030 -4.04055875870
4 ijjjjjjjjjjj x1H4L yzzzzzzzzzzz jjjjijjjj 5.99661915093 zzzzzzzzy jijjjjjjj 6.00000000000 zzyzzzzzz 0.0439396
k x2H4L { k 1.00000000000 { k 0.998308144277 {
x3H4L -4.04055875870 -3.99661915093
5 jjjjjjjjjjij x1H5L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 6.00000000000 zzzzyzzzz jjjjjjjji 6.00014098632 zzzzzzzyz 0.00169186
k x2H5L { k 0.998308144277 { k 1.00000000000 {
x3H5L -3.99661915093 -3.99830814428
6 jjjjjjjijjjj x1H6L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 6.00014098632 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 6.00000000000 yzzzzzzzz 0.00183284
k x2H6L { k 1.00000000000 { k 1.00007049068 {
x3H6L -3.99830814428 -4.00014098632
7 ijjjjjjjjjjj x1H7L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 6.00000000000 zzzzzzzyz ijjjjjjjj 5.99999412577 zzzzzzzyz 0.0000704956
k x2H7L { k 1.00007049068 { k 1.00000000000 {
x3H7L -4.00014098632 -4.00007049068
8 jjjjjjjjjjji x1H8L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjij 5.99999412577 zyzzzzzzz jjjjijjjj 6.00000000000 zzzzzzzyz 0.0000763649
k x2H8L { k 1.00000000000 { k 0.999997062883 {
x3H8L -4.00007049068 -3.99999412577
9 jjjijjjjjjjj x1H9L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 6.00000000000 zzzzzyzzz jjjijjjjj 6.00000024476 yzzzzzzzz 2.93712 µ 10-6
k x2H9L { k 0.999997062883 { k 1.00000000000 {
x3H9L -3.99999412577 -3.99999706288
La solución aproximada del sistema es:
P10 = ijjjjjjjj 6.00000024476 zzzzzzzzy
k 1.00000000000 {
-3.99999706288
Solución
d)
Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 9 x12 + 2 x22 − x2 − 2 x3, x12 − 8 x22 + 10 x3, x12 − 1=;
7 x3 x2
34
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
ecuacionestrans = 9è!2!!!x!!3!!!+!!!x!!!2!!!!−!!!2!! !!!!!!!! , è!H!!1!!0!!!!x!!3!!!+!!!!x!!!1!!2!L!!!ê!!!8!! , x12 =;
x22
7 x2
d = 10.−5; p = 80.5, 0.5, 0.1<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.
jjjjjjjjijjjj x12 + 2 x22 - x2 - 2 x3 zzzzzzzzzzyzz jjjjijjjj 0 zyzzzzzzz
k x12 - 8 x22 + 10 x3 { k 0 {
f Hx1, x2, x3L = Å7ÅÅÅÅxxÅÅ2Å12ÅÅxÅÅ3ÅÅÅ = 0
-1
P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzzzzzyz = jjjjjjjji 0.5 yzzzzzzzz
k x2H0L { k 0.5 {
x3H0L 0.1
Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.
ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzyzz = ijjjjjjjjjjjjjjjjjjj "#-###2###H##x##2H#k##-##1##L#L##2###+####H#x###2H#k##-##1##L#L##+### #2###H##x##3H#k##-##1# #L##L# zzzzzzzzzzzzzzzzzzyz
k x2H0L { k Å"ÅÅÅÅ#HÅ#Åx#Å#Å1#HÅ#kÅ#Å#-Å#Å#1Å#Å#LÅ#2LÅ#Å2#Å#Åè+#Å#Å#Å1#!2Å#!Å!#0Å!#Å#Å#ÅH#Å#xÅ##Å3#ÅH#Åk#Å#Å-#Å#1Å#Å#LÅ#LÅ#ÅÅ {
x3H0L Å7ÅHÅxÅÅH1ÅHxÅkÅ2ÅH-ÅkÅ1Å-ÅL1ÅLÅ2LÅLÅÅ
Tabla de datos.
i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.104715
0 jijjjjjjjjjj x1H0L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjij 0.500000000000 zzzzzzzzy jjjjjjjij 0.447213595500 zzzzzzzyz 0.057223
k x2H0L { k 0.500000000000 { k 0.395284707521 { 0.0290175
x3H0L 0.100000000000 0.0714285714286 0.0441971
0.0225735
1 jjjjjjjjjjji x1H1L zzzzzzzzzzyz jjjjijjjj 0.447213595500 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.475017736909 zzzzzzzzy
k x2H1L { k 0.395284707521 { k 0.338061701891 {
x3H1L 0.0714285714286 0.0722806322324
2 jjjijjjjjjjj x1H2L yzzzzzzzzzzz jjjijjjjj 0.475017736909 zzzzzzzzy jjjijjjjj 0.504035254506 zzzzzzzzy
k x2H2L { k 0.338061701891 { k 0.344319650307 {
x3H2L 0.0722806322324 0.0953510849460
3 ijjjjjjjjjjj x1H3L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.504035254506 zzyzzzzzz jjjijjjjj 0.545811118450 yzzzzzzzz
k x2H3L { k 0.344319650307 { k 0.388516792952 {
x3H3L 0.0953510849460 0.105405186123
4 jjjjjjjjjjji x1H4L zzyzzzzzzzzz jjijjjjjj 0.545811118450 zyzzzzzzz jjjjjjjji 0.545377454967 zzzzzyzzz
k x2H4L { k 0.388516792952 { k 0.411090263545 {
x3H4L 0.105405186123 0.109541055488
35
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
5 jjjjjijjjjjj x1H5L zzzzzzzzzzzy jjjjjjijj 0.545377454967 zzzyzzzzz jjjjijjjj 0.540538587853 zzzzzzzzy 0.00617948
k x2H5L { k 0.411090263545 { k 0.417259979400 { 0.0153992
x3H5L 0.109541055488 0.103361578001 0.00770071
0.00514471
6 jjjjjjjjijjj x1H6L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjij 0.540538587853 zzzzzzzzy jjjjjjijj 0.525139366821 zzzzzzyzz 0.00637236
k x2H6L { k 0.417259979400 { k 0.407093009177 { 0.00205059
x3H6L 0.103361578001 0.100034229902 0.00270364
0.00268868
7 jjjjjjjjjjij x1H7L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.525139366821 zyzzzzzzz jjjjjjjji 0.525082881781 zzzyzzzzz 0.000866302
k x2H7L { k 0.407093009177 { k 0.399392296747 { 0.00151176
x3H7L 0.100034229902 0.0967737271574 0.00125176
0.000599986
8 jjjjjjjjjjij x1H8L zzzzzzzzzzyz ijjjjjjjj 0.525082881781 zzzzzyzzz jijjjjjjj 0.523365395933 yzzzzzzzz 0.000912625
k x2H8L { k 0.399392296747 { k 0.394247591038 {
x3H8L 0.0967737271574 0.0986184099426
9 ijjjjjjjjjjj x1H9L yzzzzzzzzzzz jijjjjjjj 0.523365395933 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.529737751010 yzzzzzzzz
k x2H9L { k 0.394247591038 { k 0.396877726303 {
x3H9L 0.0986184099426 0.0992528349793
10 ijjjjjjjjjjj x1H10L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 0.529737751010 zzzzzzzyz ijjjjjjjj 0.529489883747 zzzzzzzzy
k x2H10L { k 0.396877726303 { k 0.398928319789 {
x3H10L 0.0992528349793 0.101010630244
11 ijjjjjjjjjjj x1H11L yzzzzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.529489883747 zzzyzzzzz ijjjjjjjj 0.531659638883 zyzzzzzzz
k x2H11L { k 0.398928319789 { k 0.401631958300 {
x3H11L 0.101010630244 0.100397390810
12 ijjjjjjjjjjj x1H12L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.531659638883 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.528970963348 yzzzzzzzz
k x2H12L { k 0.401631958300 { k 0.401035515840 {
x3H12L 0.100397390810 0.100540509352
13 jijjjjjjjjjj x1H13L yzzzzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.528970963348 yzzzzzzzz jjjijjjjj 0.529582443642 zzzyzzzzz
k x2H13L { k 0.401035515840 { k 0.400814073727 {
x3H13L 0.100540509352 0.0996742073289
14 jjjijjjjjjjj x1H14L zzyzzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.529582443642 zzzzzzzzy jjjjjjjij 0.528070681812 zzzzzzzyz
k x2H14L { k 0.400814073727 { k 0.399562203841 {
x3H14L 0.0996742073289 0.0999599789518
15 jjjjjjjjjjij x1H15L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjij 0.528070681812 zzzzzzzzy jjjjjjjij 0.529322446405 zzzzzzzyz
k x2H15L { k 0.399562203841 { k 0.399759057825 {
x3H15L 0.0999599789518 0.0997014955401
16 ijjjjjjjjjjj x1H16L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 0.529322446405 zyzzzzzzz jjijjjjjj 0.528722460539 yzzzzzzzz
k x2H16L { k 0.399759057825 { k 0.399561823700 {
x3H16L 0.0997014955401 0.100125401176
17 ijjjjjjjjjjj x1H17L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.528722460539 zzyzzzzzz ijjjjjjjj 0.529635085822 zzzzzyzzz
k x2H17L { k 0.399561823700 { k 0.400125207284 {
x3H17L 0.100125401176 0.0999478584851
36
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
18 jjjjjijjjjjj x1H18L yzzzzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.529635085822 yzzzzzzzz jjjjjjjji 0.528980681354 zzzzzzzyz 0.000654404
k x2H18L { k 0.400125207284 { k 0.399998735777 {
x3H18L 0.0999478584851 0.100151980654
19 jjjjjjjjjijj x1H19L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.528980681354 yzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529438117100 yzzzzzzzz 0.000457436
k x2H19L { k 0.399998735777 { k 0.400209377668 {
x3H19L 0.100151980654 0.0999362305849
20 jjjjjjjjjjji x1H20L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529438117100 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.528910906383 zzzzyzzzz 0.000527211
k x2H20L { k 0.400209377668 { k 0.399947969380 {
x3H20L 0.0999362305849 0.100056454546
21 jjjjjjjjjjji x1H21L yzzzzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.528910906383 zzzzzzyzz jjjjjjjji 0.529286427230 yzzzzzzzz 0.000375521
k x2H21L { k 0.399947969380 { k 0.400048636473 {
x3H21L 0.100056454546 0.0999225500417
22 jjjjjjjjjjji x1H22L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 0.529286427230 zzzzyzzzz jjjjjjjji 0.528976288191 zzzzzzzyz 0.000310139
k x2H22L { k 0.400048636473 { k 0.399901491381 {
x3H22L 0.0999225500417 0.100039308263
23 jjjjjjjjjjji x1H23L zyzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.528976288191 zzzzzzzzy jjjjjjjji 0.529280362652 zzzzzzzzy 0.000304074
k x2H23L { k 0.399901491381 { k 0.400032654307 {
x3H23L 0.100039308263 0.0999588718364
24 jjjjjjjjjijj x1H24L zyzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529280362652 zzzzzzzzy jjjjjjjji 0.529054013269 zzyzzzzzz 0.000226349
k x2H24L { k 0.400032654307 { k 0.399957250943 {
x3H24L 0.0999588718364 0.100041012464
25 ijjjjjjjjjjj x1H25L zyzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529054013269 zzzzzzyzz ijjjjjjjj 0.529251991690 zzzzzzyzz 0.000197978
k x2H25L { k 0.399957250943 { k 0.400048164850 {
x3H25L 0.100041012464 0.0999743091457
26 jjjjjjjjjjji x1H26L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.529251991690 yzzzzzzzz jijjjjjjj 0.529074394336 zzyzzzzzz 0.000177597
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37
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
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38
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Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
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