Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

significativamente menor que g H pH0LL. Si se quiere determinar una elección apropiada del

valor de a, considerense la función de una sola variable

h H a L = g H pH0L - a zH0LL. (34)

El valor de a que minimiza h es el valor que se requiere en la ecuación (33).

Para obtener directamente un valor mínimo de h se requiere derivar h, y luego

resolver un problema de cálculo de raíces para determinar los puntos críticos de h. Este

procedimiento es generalmente demasiado costoso en términos de cálculos necesarios. Por
ello se seleccionan tres puntos a1  a2  a3 que, se espera, estén cerca de donde h HaL
alcanza su valor mínimo. A continuación, se construye el polinomio de segundo grado P HxL
que interpola h en a1, a2 y a3. Tomamos un valor a` en @ a1, a3D tal que P Ha` L sea el
mínimo de P HxL en @a1 , a3 D y usando P Ha` L como aproximación del valor mínimo de h HaL.

Entonces a` es el valor que se utiliza para determinar la nueva iteración en la

búsqueda del valor mínimo de g: (35)
pH1L = pH0L - a` zH0L.

Como ya se dispone de g H pH0LL, para reducir el esfuerzo computacional en lo posible
el primer punto que se escoge es a1 = 0. A continuación, se toma un punto a3 tal que
h Ha3L  h Ha1L. (Dado que a1 no es el mínimo de h, dicho número a3 si existe). Finalmente
se decide que a2 sea igual a ÅaÅ2ÅÅ3Å .

El punto a` donde se alcanza el valor mínimo de P HxL en @ a1 , a3 D es el único punto
crítico de P o el punto extremo derecho del intervalo a3 porque, por suposición,
P Ha3L = h Ha3L  h Ha1L = P Ha1L. Dado que P HxL es un polinomio de segundo grado dicho
punto crítico se puede determinar fácilmente.

189

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

7.2 Pseudocódigo

è Algoritmo 6. Método de la Máxima Pendiente para sistemas no lineales

El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incóognitas mediante el método de la Máxima Pendiende es:

Algoritmo Máxima Pendiente

Input I8f Hx1, ..., xnL<1n, Hx1H0L x2H0L ... xnH0L LT , n, errorM

(* Se inicializan las variables *)

p  Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT
F  8f Hx1, ..., xnL<1n

For k = 1, ..., n do

g  ⁄in= 1 F2 p1Hk-1L, p2Hk-1L, ..., pnHk-1L L +
g0  jjjjjjjjjjjjjjijj g1 H
zzzzzzzzzzzzzzzzy
k g2 H p1Hk-1L, p2Hk-1L , ..., pnHk-1LL + {

. . . . . . . . . . . . . . . .+

gn H p1Hk-1L, p2Hk-1L , ..., pnHk-1LL

gradiente  jjjjjjjjjjjjjjjjjjji Å∑∑ÅÅgxÅÅ11ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅgxÅÅ21ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅgxÅÅn1ÅÅÅ Hx L zzzzzzzzzzzzzzyzzzzzHx ª Hx1, ..., xnLL
k Å∑∑ÅÅgxÅÅ12ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅgxÅÅ22ÅÅÅ HxL ... .... Å∑∑ÅÅxgÅÅn2ÅÅÅ Hx L {

... ... ... L
Å∑∑ÅÅgxÅÅnnÅÅÅ Hx
Å∑∑ÅÅgxÅÅn1ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅgxÅÅ2nÅÅÅ HxL

z y ijjjjjjjjjjjjjjjjj gradiente1 H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L zzzzzzzzzzzzzzzzzy
k gradiente2 Ip1Hk-1L, ..., pnHk-1LM {

................
gradientenIp1Hk-1L, ..., pnHk-1LM

z0  "#⁄###ni#=##1###z###2##
If Hz0 = 0L do

Break
End

z  ÅzÅzÅ0ÅÅÅ

a1  0
a3  1

g1  g0

p3  p - a3. z

190

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

g3  jjjjjjjjjjjjjjjjij g1 H p31Hk-1L, p32Hk-1L, ..., p3nHk-1L L + zzzzzzzzzzzzyzzzzz
k g2 H p31Hk-1L, p32Hk-1L , ..., p3nHk-1LL + {
. . . . . . . . . . . . . . . .+

gn H p31Hk-1L, p32Hk-1L , ..., p3nHk-1LL

While (g3 ¥ g1) do

a3  ÅaÅ2ÅÅ3ÅÅ

p3  p - a3. z
g1 H p31Hk-1L, p32Hk-1L, ..., p3nHk-1L L +
g3  jjjjjjjijjjjjjjjjj g2 H p31Hk-1L, p32Hk-1L , ..., p3nHk-1LL + yzzzzzzzzzzzzzzzzz
k . . . . . . . . . . . . . . . .+ {

gn H p31Hk-1L, p32Hk-1L , ..., p3nHk-1LL

If Ha3  error ê 2L do

Break

End

End
a2  ÅaÅ2ÅÅ3ÅÅ

p2  p - a2. z
g1 H p21Hk-1L, p22Hk-1L, ..., p2nHk-1L L +
g2  jjjjjjjjjjjjjijjjj g2 H p21Hk-1L, p22Hk-1L , ..., p2nHk-1LL + L zzzzzzzzzyzzzzzzzz
k . . . . . . . . . . . . . . . .+ {
-1L , ..., p2nHk-1L
gn H p21Hk-1L, p22Hk

h1  ÅÅÅhggÅÅÅaÅÅÅÅÅÅ232ÅÅÅ3ÅÅÅÅÅÅa-aÅÅÅ---ÅÅÅ2ÅÅÅ3ÅÅÅagghÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ21ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅÅÅ
h2 
h3 

a0  0.5 ÅaÅÅÅ2ÅÅÅhÅ-ÅÅ3ÅhÅÅÅ1ÅÅÅÅ

p0  p - a0. z
g1 H p01Hk-1L, p02Hk-1L, ..., p0nHk-1L L +
g0  jjjijjjjjjjjjjjjjj g2 H p01Hk-1L, p02Hk-1L , ..., p0nHk-1LL + zzzzzzzzzzzzzzzyzz
k . . . . . . . . . . . . . . . .+ {

gn H p01Hk-1L, p02Hk-1L , ..., p0nHk-1LL

If (g0 § g3) do

a  a0

Else

a  a3
End

(* Cálculo del siguiente punto y g *)

p1  p - a. z
g1 H p11Hk-1L, p1H2k-1L, ..., p1nHk-1L L +
g  jjjijjjjjjjjjjjjj g2 H p11Hk-1L, p12Hk-1L , ..., p1nHk-1LL + zzzzzzzzzzzyzzzzz
k . . . . . . . . . . . . . . . .+ {

gn H p1H1k-1L, p1H2k-1L , ..., p1Hnk-1LL

(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error  »» p - p1 »»¶

191

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

If Herror § error_iniL do
Break

End
p y p1

End

Return HxHkL ª HpLT L
Output

7.3 Problemas

à Problema 27. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:

f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = x21 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.

Mediante el método de la Máxima Pendiente calcúlese la aproximación de la

solución, comenzando en el punto inicial
P0 = IxH10L, x2H0L, x3H0LMT = H0.0, 0.0, 0.0LT

e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.

Solución

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,

x12 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 12;
d = 10.−5;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;

Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2, x3L = ijjjjjjjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å21ÅÅÅ 1.06 zzyzzzzzzzzz = jjjjjijjj 0 zzzzzyzzz
k x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sinHx3L + { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0

P0 = jjjjjjjijjjj x1H0L zzzzzzzzyzzz = ijjjjjjjj 0. zzzzzyzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.

192

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 1. Siendo gx = g HP0 - ax *zL

z = jijjjjjjj -0.0214514 zzzzyzzzz
k -0.0193062 {
0.999583

a1 = 0 g1 = 111.97477

a2 = Å1ÅÅÅÅ g2 = 2.5355746
2

a3 = 1 g3 = 93.564865

h1 =-218.87839

h2 = 182.05858

h3 = 400.93697

a0 = 0.52295860

Cálculo de P1. P1 = P0 - a0 * z

P1 = jjjijjjjj 0 zzzzzyzzz - 0.52295860 * jjjjjjjij -0.021451362 zyzzzzzzz
k 0 { k -0.019306226 {
0 0.99958347

P1 = jjijjjjjj 0.011218174 zzzzzyzzz
k 0.010096357 {
-0.52274077

Iteración i = 2. Siendo gx = g HP1 - ax *zL

z = jjijjjjjj -0.506566 yzzzzzzzz
k 0.862197 {
-0.00272543

a1 = 0 g1 = 2.3276167

a2 = Å1ÅÅÅÅ g2 = 1.9473462
8

a3 = Å1ÅÅÅÅ g3 = 1.2740584
4

h1 =-3.0421633

h2 = -5.3863024

h3 = -9.3765564

a0 = -0.099721780

Cálculo de P2. P2 = P1 - a0 * z

P2 = jjjjjjijj 0.011218174 yzzzzzzzz - -0.099721780 * ijjjjjjjj -0.50656615 zzzzzzyzz
k 0.010096357 { k 0.86219679 {
-0.52274077 -0.0027254284

P2 = jjjijjjjj 0.13785971 zzzzzyzzz
k -0.20545284 {
-0.52205942

193

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

....

....

Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados

Iteración i = 11. Siendo gx = g HP10 - ax *zL

z = ijjjjjjjj -0.767783 yzzzzzzzz
k -0.105224 {
0.632011

a1 = 0 g1 = 0.21743968

a2 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ g2 = 0.19963276
128

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ g3 = 0.20237438
64

h1 =-2.2792858

h2 = 0.35092709

h3 = 168.33362

a0 = 0.010676394

Cálculo de P11. P11 = P10 - a0 * z

P11 = jjjjjjjij 0.34574628 zzzzzzzyz - 0.010676394 * jjijjjjjj -0.76778282 zzyzzzzzz
k -0.0090339826 { k -0.10522430 {
-0.52094100 0.63201059

P11 = jjijjjjjj 0.35394344 zzzyzzzzz
k -0.0079105665 {
-0.52768860

Iteración i = 12. Siendo gx = g HP11 - ax *zL

z = jjjijjjjj -0.638911 zyzzzzzzz
k 0.0514848 {
-0.767556

a1 = 0 g1 = 0.19825170

a2 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ g2 = 0.18086861
128

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ g3 = 0.19322688
64

h1 =-2.2250355

h2 = 1.5818578

h3 = 243.64117

a0 = 0.0084724641

194

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Cálculo de P12. P12 = P11 - a0 * z

P12 = jijjjjjjj 0.35394344 zzzzzzzyz - 0.0084724641 * jjjijjjjj -0.63891083 zzyzzzzzz
k -0.0079105665 { k 0.051484847 {
-0.52768860 -0.76755603

P12 = jjjjijjjj 0.35935658 zzyzzzzzz
k -0.0083467701 {
-0.52118551

Tabla de datos.

i Pi gHPi L ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jijjjjjjj 0. zzzzzzzyz
k 0. {
0.

1 jjjjjjjji 0.011218174 zzzzzzzzy 2.3276167 0.522741
k 0.010096357 {
-0.52274077

2 jjjjjjjij 0.13785971 zzzzzzzzy 1.2740584 0.215549
k -0.20545284 {
-0.52205942

3 ijjjjjjjj 0.26695943 zzzzzzyzz 1.0681309 0.210964
k 0.0055110205 {
-0.55849445

4 ijjjjjjjj 0.27273377 zzzzzzzzy 0.46830873 0.0364884
k -0.0081175097 {
-0.52200607

5 jjjjijjjj 0.30868928 zzzzzzzyz 0.38108714 0.0359555
k -0.020402628 {
-0.53311162

6 jijjjjjjj 0.31430818 zzzzyzzzz 0.31883720 0.0121882
k -0.014704639 {
-0.52092340

7 jjjjijjjj 0.32426667 zzzzzyzzz 0.28702361 0.00995849
k -0.0085254888 {
-0.52843083

8 jjjijjjjj 0.33080876 zzzzzyzzz 0.26157926 0.00776848
k -0.0096784838 {
-0.52066235

9 jjjjjjjji 0.33980857 zzzzzzzyz 0.23848640 0.00899981
k -0.0085919751 {
-0.52808019

195

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

10 jijjjjjjj 0.34574628 yzzzzzzzz 0.21743968 0.00713919
k -0.0090339826 {
-0.52094100

11 jijjjjjjj 0.35394344 zzzyzzzzz 0.19825170 0.00819715
k -0.0079105665 {
-0.52768860

12 ijjjjjjjj 0.35935658 zzyzzzzzz 0.18076240 0.00650309
k -0.0083467701 {
-0.52118551

La solución aproximada del sistema es:

P12 = jjjjjjjji 0.35935658 yzzzzzzzz
k -0.0083467701 {
-0.52118551

à Problema 28. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2L = 3 x12 - x22 = 0,
f1Hx1, x2L = 3 x1 x22 - x13 - 1 = 0.

Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de la Máxima

Pendiente comenzando en el punto:
P0 = IxH10L, xH20LMT = H1, 1LT ,

e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 0.05.

Solución

Clear@ecuaciones, m, p, dD;
ecuaciones = 83 x12 − x22, 3 x1 x22 − x13 − 1<;
d = 0.05;
p = 81.0, 1.0<;
m = 12;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;

Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = ijjjj 3 x12 - x22 x1 - 1 yzzzz = jij 0 yzz
k -x13 + 3 x22 { k 0 {

P0 = jjijj x1H0L zzzyz = jji 1. yzz
k x2H0L { k 1. {

Iteración i = 1. Siendo gx = g HP0 - ax *zL

z = jij 0.986394 yzz
k 0.164399 {

a1 = 0 g1 = 5.0000000

196

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

a2 = Å1ÅÅÅÅ g2 = 0.027823883
2

a3 = 1 g3 = 1.4305648

h1 =-9.9443522

h2 = 2.8054818

h3 = 12.749834

a0 = 0.63997967

Cálculo de P1. P1 = P0 - a0 * z

P1 = ijj 1.0000000 yzz - 0.63997967 * jji 0.98639392 yzz
k 1.0000000 { k 0.16439899 {

P1 = jji 0.36872794 zzy
k 0.89478799 {

Iteración i = 2. Siendo gx = g HP1 - ax *zL

z = jji -0.953737 zzy
k 0.300642 {

a1 = 0 g1 = 0.18131486
g2 = 0.055627387
a2 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
16 g3 = 0.0020652593

a3 = Å1ÅÅÅÅ
8

h1 =-2.0109996
h2 = -0.85699404
h3 = 9.2320449
a0 = 0.14016410

Cálculo de P2. P2 = P1 - a0 * z

P2 = ijj 0.36872794 yzz - 0.14016410 * jji -0.95373696 yzz
k 0.89478799 { k 0.30064233 {

P2 = ijj 0.50240762 zzy
k 0.85264873 {

Iteración i = 3. Siendo gx = g HP2 - ax *zL

z = jij 0.336393 yzz
k -0.941722 {

a1 = 0 g1 = 0.0018778891
g2 = 0.00034772833
a2 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ
128 g3 = 0.00011818906

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
64

h1 =-0.19586058
h2 = -0.029381027
h3 = 10.654691
a0 = 0.013097534

197

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Cálculo de P3. P3 = P2 - a0 * z

P3 = ijj 0.50240762 yzz - 0.013097534 * ijj 0.33639266 zzy
k 0.85264873 { k -0.94172182 {

P3 = ijj 0.49800170 zzy
k 0.86498296 {

Tabla de datos.

i Pi gHPi L ¥Pi - Pi-1∞¶

0 ijj 1. zzy
k 1. {

1 ijj 0.36872794 zzy 0.18131486 0.631272
k 0.89478799 {

2 jji 0.50240762 yzz 0.0018778891 0.13368
k 0.85264873 {

3 jij 0.49800170 zyz 0.000049941580 0.0123342
k 0.86498296 {

La solución aproximada del sistema es:

P2 = ijj 0.49800170 zzy
k 0.86498296 {

à Problema 29. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2L = 4 x12 - 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8 = 0,
f2Hx1, x2L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0.
Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto

inicial P0 = IxH10L, x2H0LMT = H0, 0LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-3.

Solución

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 84 x21 − 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8, 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 − 5 x2 + 8<;
p = 80., 0.<;
m = 12;
d = 10.−3;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;

198

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = jijjjjj 4 x12 - 20 x1 + ÅxÅ4Å2Å2ÅÅ + 8 zzzzzzy = ijj 0 yzz
k Å12ÅÅÅ x1 x22 - 5 x2 + 2 x1 + { k 0 {
8

P0 = ijjjj x1H0L yzzzz = jji 0. zyz
k x2H0L { k 0. {

Iteración i = 1. Siendo gx = g HP0 - ax *zL

z = jji -0.963518 zzy
k -0.267644 {

a1 = 0 g1 = 128.00000
g2 = 78.052191
a2 = Å1ÅÅÅÅ
4 g3 = 69.362062

a3 = Å1ÅÅÅÅ
2

h1 =-199.79124
h2 = -34.760519
h3 = 330.06143
a0 = 0.42765765

Cálculo de P1. P1 = P0 - a0 * z

P1 = ijj 0 yzz - 0.42765765 * jji -0.96351791 zzy
k 0 { k -0.26764386 {

P1 = ijj 0.41205580 zyz
k 0.11445995 {

Iteración i = 2. Siendo gx = g HP1 - ax *zL

z = jji 0.219477 zzy
k -0.975618 {

a1 = 0 g1 = 68.331716
g2 = 37.708968
a2 = Å1ÅÅÅÅ
2

a3 = 1 g3 = 30.400880

h1 =-61.245494

h2 = -14.616176

h3 = 46.629319

a0 = 0.90672732

Cálculo de P2. P2 = P1 - a0 * z

P2 = ijj 0.41205580 yzz - 0.90672732 * jji 0.21947696 zzy
k 0.11445995 { k -0.97561768 {

P2 = jij 0.21305005 zyz
k 0.99907915 {

199

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

....

....

Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados

Iteración i = 11. Siendo gx = g HP10 - ax *zL

z = jji -0.991476 zzy
k -0.130288 {

a1 = 0 g1 = 0.094572826
g2 = 0.056358058
a2 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ
128 g3 = 0.050221940

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
64

h1 =-4.8914903
h2 = -0.78542310
h3 = 262.78830
a0 = 0.013213153

Cálculo de P11. P11 = P10 - a0 * z

P11 = ijj 0.48036371 yzz - 0.013213153 * ijj -0.99147625 zzy
k 1.9381709 { k -0.13028754 {

P11 = jij 0.49346423 zzy
k 1.9398924 {

Iteración i = 12. Siendo gx = g HP11 - ax *zL

z = jij 0.128357 yzz
k -0.991728 {

a1 = 0 g1 = 0.048714444
g2 = 0.029799005
a2 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
64 g3 = 0.025321504

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
32

h1 =-1.2105881
h2 = -0.28656006
h3 = 29.568897
a0 = 0.028283133

200

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Cálculo de P12. P12 = P11 - a0 * z

P12 = ijj 0.49346423 yzz - 0.028283133 * ijj 0.12835716 zzy
k 1.9398924 { k -0.99172801 {

P12 = jji 0.48983389 zzy
k 1.9679416 {

Tabla de datos.

i Pi gHPi L ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jji 0. zzy
k 0. {

1 jji 0.41205580 zyz 68.331716 0.412056
k 0.11445995 {

2 jij 0.21305005 zzy 29.900339 0.884619
k 0.99907915 {

3 jji 0.43001490 yzz 15.081622 0.216965
k 1.0468405 {

4 jji 0.34915086 zyz 6.6372618 0.468646
k 1.5154867 {

5 jij 0.45719044 zzy 3.2594559 0.10804
k 1.5337223 {

6 jji 0.42403332 yzz 1.5149149 0.228172
k 1.7618942 {

7 jij 0.47660783 yzz 0.75130795 0.0525745
k 1.7694624 {

8 ijj 0.46166580 zyz 0.36833775 0.110292
k 1.8797549 {

9 ijj 0.48759235 zzy 0.18677298 0.0259266
k 1.8832549 {

10 jji 0.48036371 yzz 0.094572826 0.054916
k 1.9381709 {

11 ijj 0.49346423 yzz 0.048714444 0.0131005
k 1.9398924 {

12 jji 0.48983389 zzy 0.025059163 0.0280492
k 1.9679416 {

La solución aproximada del sistema es:

P12 = ijj 0.48983389 zyz
k 1.9679416 {

à Problema 30. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2, x3L = x13 + x12 x2 - x1 x3 + 6 = 0,

f2Hx1, x2, x3L = ‰x1 + ‰x2 - x3 = 0.

201

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

f3Hx1, x2, x3L = x22 - 2 x1 x3 - 4 = 0

Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto
inicial P0 = IxH10L, xH20L, x3H0LMT = H0, 0, 0LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-3.

Solución

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones =

8x13 + x12 x2 − x1 x3 + 6, Exp@x1D + Exp@x2D − x3, x22 − 2 x1 x3 − 4 <;
p = 80., 0., 0.<;
m = 11;
d = 10.−3;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;

Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.

jjjjjjjijj x13 + x2 x12 - x3 x1 + 6 zzzyzzzzzz jjjijjjjj 0 zzzzzzyzz
k -x3 + ‰x1 + ‰x2 { k 0 {
fi Hx1 , x2, x3L = = 0
x22 - 2 x1 x3 - 4

P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzzzyzzz = jjijjjjjj 0. zzzzzzzzy
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.

Iteración i = 1. Siendo gx = g HP0 - ax *zL

z = jjjjjjijj 0.57735 zzzzzzzzy
k 0.57735 {
-0.57735

a1 = 0 g1 = 56.000000

a2 = Å1ÅÅÅÅ g2 = 51.950093
2

a3 = 1 g3 = 44.681337

h1 =-8.0998132

h2 = -14.537512

h3 = -6.4376990

a0 = -0.37909225

202

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Cálculo de P1. P1 = P0 - a0 * z

P1 = jjjijjjjj 0 yzzzzzzzz - -0.37909225 * jjjjjjjji 0.57735027 zzzzzzzzy
k 0 { k 0.57735027 {
0 -0.57735027

P1 = jjjjjjjji -0.57735027 zzzzzzyzz
k -0.57735027 {
0.57735027

Iteración i = 2. Siendo gx = g HP1 - ax *zL

z = jjjjjjijj 0.870989 zzzzzyzzz
k 0.488866 {
-0.0488764

a1 = 0 g1 = 44.681337

a2 = Å1ÅÅÅÅ g2 = 26.822977
2

a3 = 1 g3 = 3.7672550

h1 =-35.716720

h2 = -46.111444

h3 = -10.394724

a0 = -1.4680216

Cálculo de P2. P2 = P1 - a0 * z

P2 = jjjjjijjj -0.57735027 zzzzzzzzy - -1.4680216 * jjijjjjjj 0.87098854 yzzzzzzzz
k -0.57735027 { k 0.48886610 {
0.57735027 -0.048876375

P2 = ijjjjjjjj -1.4483388 zzzzzzzzy
k -1.0662164 {
0.62622664

....

....

Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados.

Iteración i = 10. Siendo gx = g HP9 - ax *zL

z = jjjjjjjji 0.197815 zzzzzzzzy
k 0.792089 {
0.577464

a1 = 0 g1 = 0.076466169

203

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

a2 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ g2 = 0.076202907
512

a3 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ g3 = 0.076139470
256

h1 =-0.13479007

h2 = -0.032479521

h3 = 26.191500

a0 = 0.0035497268

Cálculo de P10. P10 = P9 - a0 * z

P10 = jjjijjjjj -1.6018808 zzzzzzzyz - 0.0035497268 * jjjjjjjji 0.19781530 zzyzzzzzz
k -1.2159095 { k 0.79208850 {
0.76653403 0.57746421

P10 = ijjjjjjjj -1.6025830 yzzzzzzzz
k -1.2187212 {
0.76448419

Iteración i = 11. Siendo gx = g HP10 - ax *zL

z = jjjijjjjj -0.979351 zzzzzzzyz
k 0.134292 {
0.151118

a1 = 0 g1 = 0.076136123

a2 = ÅÅÅÅÅÅÅ1Å ÅÅÅÅÅÅÅÅ g2 = 0.075875516
1024

a3 = ÅÅÅÅÅ1ÅÅÅ ÅÅ ÅÅ g3 = 0.075812047
512

h1 =-0.26686133

h2 = -0.064992483

h3 = 103.35685

a0 = 0.0017792520

Cálculo de P11. P11 = P10 - a0 * z

P11 = jjjjjjjij -1.6025830 zzyzzzzzz - 0.0017792520 * jjjjijjjj -0.97935138 zzzzzyzzz
k -1.2187212 { k 0.13429208 {
0.76448419 0.15111754

P11 = ijjjjjjjj -1.6008405 zzzyzzzzz
k -1.2189601 {
0.76421531

Tabla de datos.

204

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

i Pi gHPi L ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jjjjjjjji 0. zyzzzzzzz
k 0. {
0.

1 jjjijjjjj -0.57735027 zzzzzyzzz 44.681337 0.57735
k -0.57735027 {
0.57735027

2 jjjjijjjj -1.4483388 yzzzzzzzz 3.7672550 0.870989
k -1.0662164 {
0.62622664

3 jjjjijjjj -1.6104162 zzzzyzzzz 0.50260503 0.162077
k -1.1248900 {
0.63275609

4 jjjjjjjij -1.6136071 zzyzzzzzz 0.087293876 0.133966
k -1.2043419 {
0.76672218

5 jjijjjjjj -1.6056229 zzzzzzzyz 0.078795780 0.00798413
k -1.2031066 {
0.76777778

6 jjjjijjjj -1.6047705 zyzzzzzzz 0.077600212 0.010362
k -1.2134686 {
0.77025559

7 jjijjjjjj -1.6028310 zzzzzzzzy 0.077169875 0.00193956
k -1.2134452 {
0.76968974

8 jjjjijjjj -1.6036305 zzzzzzzzy 0.076799239 0.00280755
k -1.2157250 {
0.76688219

9 ijjjjjjjj -1.6018808 zzyzzzzzz 0.076466169 0.0017497
k -1.2159095 {
0.76653403

10 ijjjjjjjj -1.6025830 zzzzzzyzz 0.076136123 0.0028117
k -1.2187212 {
0.76448419

11 ijjjjjjjj -1.6008405 zzzzzzzyz 0.075808948 0.00174251
k -1.2189601 {
0.76421531

La solución aproximada del sistema es:

P11 = jjjijjjjj -1.6008405 zzzzzyzzz
k -1.2189601 {
0.76421531

205

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

à Problema 31. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2L = lnHx12 + x22L - senHx1 x2L - Hln 2 + ln pL,
f2Hx1, x2L = eHx1-x2L + cosHx1 x2L = 0.

Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto
inicial P0 = IxH10L, xH20LMT = H2, 2LT . e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 0.05.

Solución

Clear@ecuaciones, p, d, mD;
ecuaciones =

8 Log@x21 + x22D − Sin@x1 ∗ x2D − HLog @2D + Log @PiDL,
Exp@x1 − x2D + Cos@x1 ∗ x2D<;

p = 82.0, 2.0<;
m = 10;
d = 0.05;
maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;

Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = jji logHx12 + x22L - sinHx1 x2L - logHpL - logH2L zyz = jji 0 yzz
k cosHx1 x2L + ‰x1 -x2 { k 0 {

P0 = ijjjj x1H0L zzzzy = jji 2. zzy
k x2H0L { k 2. {

Iteración i = 1. Siendo gx = g HP0 - ax *zL

z = jij 0.803444 zyz
k 0.595381 {

a1 = 0 g1 = 1.1166993
g2 = 0.061876723
a2 = Å1ÅÅÅÅ
4

a3 = Å1ÅÅÅÅ g3 = 0.30301513
2

h1 =-4.2192905
h2 = 0.96455364
h3 = 10.367688
a0 = 0.32848270

Cálculo de P1. P1 = P0 - a0 * z

P1 = ijj 2.0000000 yzz - 0.32848270 * jji 0.80344369 yzz
k 2.0000000 { k 0.59538075 {

P1 = jji 1.7360826 zyz
k 1.8044277 {

206

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 2. Siendo gx = g HP1 - ax *zL

z = jji -0.919329 yzz
k 0.393489 {

a1 = 0 g1 = 0.0044813455
g2 = 0.0022525436
a2 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
64 g3 = 0.0014992209

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
32

h1 =-0.14264333
h2 = -0.048212650
h3 = 3.0217816
a0 = 0.031415020

Cálculo de P2. P2 = P1 - a0 * z

P2 = ijj 1.7360826 yzz - 0.031415020 * ijj -0.91932918 yzz
k 1.8044277 { k 0.39348934 {

P2 = ijj 1.7648117 yzz
k 1.7921312 {

Tabla de datos.

i Pi gHPi L ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jji 2. zzy
k 2. {

1 jji 1.7360826 yzz 0.0044813455 0.263917
k 1.8044277 {

2 ijj 1.7648117 zzy 0.0014992209 0.028729
k 1.7921312 {

La solución aproximada del sistema es:

P1 = ijj 1.7648117 zzy
k 1.7921312 {

à Problema 32. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2L = senH4 p x1 x2L - 2 x2 - x1 = 0,
f2Hx1, x2L = HH4 p - 1L ê H4 pLL He2 x1 - eL + 4 e x22 - 2 e x1 = 0.
Aplíquese el método de la Máxima Pendiente iniciando el método en el punto

inicial P0 = IxH10L, xH20LMT = H0, 0LT . e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 0.005.

Solución

207

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8

Sin@4 ∗ Pi ∗ x1 ∗ x2D − 2 x2 − x1,
HH4 Pi − 1L ê H4 PiLL HExp@2 x1D − EL + 4 E Hx2L2 − 2 E ∗ x1<;
p = 80.0, 0.0<;
m = 2;
d = 0.005;

maximapendiente@ecuaciones, p, m, dD;

Método de la Máxima Pendiente para sistemas de ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = ijjjj sinH4 p x1 x2L - x1 - 2 x2 zzzyz = jij 0 zyz
k 4 ‰ x22 - 2 ‰ x1 + ÅHÅÅ-ÅʼnÅÅÅ+ÅʼnÅÅÅ2ÅÅxÅÅ41ÅÅLÅpÅHÅ-ÅÅÅ1ÅÅÅ+ÅÅÅ4Å ÅÅpÅÅLÅÅ { k 0 {

P0 = jjjij x1H0L yzzzz = ijj 0. zzy
k x2H0L { k 0. {

Iteración i = 1. Siendo gx = g HP0 - ax *zL

z = jji 1. zyz
k 0. {

a1 = 0 g1 = 2.5012856
g2 = 0.40421324
a2 = Å1ÅÅÅÅ
4 g3 = 0.55793456

a3 = Å1ÅÅÅÅ
2

h1 =-8.3882892
h2 = 0.61488529
h3 = 18.006349
a0 = 0.35792588

Cálculo de P1. P1 = P0 - a0 * z

P1 = ijj 0 yzz - 0.35792588 * jji 1.0000000 yzz
k 0 { k 0 {

P1 = jji -0.35792588 zzy
k 0 {

Iteración i = 2. Siendo gx = g HP1 - ax *zL

z = jij 0.0531923 yzz
k -0.998584 {

a1 = 0 g1 = 0.13938957
g2 = 0.032290159
a2 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
32 g3 = 0.0042365080

a3 = ÅÅÅ1ÅÅÅÅÅ
16

h1 =-3.4271812

208

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

h2 = -0.89771682
h3 = 40.471430
a0 = 0.057965747

Cálculo de P2. P2 = P1 - a0 * z

P2 = ijj -0.35792588 yzz - 0.057965747 * ijj 0.053192294 zzy
k 0 { k -0.99858429 {

P2 = jji -0.36100921 zyz
k 0.057883685 {

Tabla de datos.

i Pi gHPi L ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jji 0. zzy
k 0. {

1 jji -0.35792588 yzz 0.13938957 0.357926
k 0 {

2 jij -0.36100921 zzy 0.0033164212 0.0578837
k 0.057883685 {

La solución aproximada del sistema es:

P2 = jji -0.36100921 zyz
k 0.057883685 {

209

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

8. Método de Continuación u
Homotopía

8.1 Introducción

Los métodos de Continuación, u Homotopía, para sistemas no lineales consisten en
sumergir el problema que debe resolverse dentro de una familia adecuada de problemas.

Específicamente, para resolver un problema de la forma (36)
F HxL = 0

cuya solución x* es desconocida, considérese una familia de problemas que se describen
mediante un parámetro l que toma valores en @0, 1D. A l = 0 le corresponde un problema
cuya solución x(0) es conocida, mientras que el problema cuya solución x(1) ª x* se
desconoce y corresponde a l = 1.

Por ejemplo, suponiendo que x(0) es una aproximación inicial de la solución x* de
F HxL = 0.

Definición 7. Se define G : @ 0, 1D µ n ö n mediante

G Hl, xL = l F HxL + H1 - lL @FHxL - F H xH0LLD = FHxL + Hl - 1L FHxH0LL.

Se determinarán, para varios valores de l, una solución de (37)
G H l, xL = 0. (38)

Cuando l = 0, la ecuación que resulta es
0 = G H 0, xL = FHxL - F H x H0LL,

210

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

de la cual x(0) es una solución. Cuano l = 1, la ecuación que resulta es (39)
0 = G H 1, xL = FHxL,

de la cual x(1) = x*es una solución.

La función G, a través de su parámetro l, proporciona una familia de funciones que
podrían guiar desde el valor conocido x(0) hasta la solución x(1) = x*. Se dice que la
función G es una homotopía entre la función G H 0, xL = F HxL - F Hx H0LL y la función
G H1, xL = F HxL.

El problema de continuación consiste en lo siguiente.

Determinar una forma de proceder para ir desde la solución conocida x(0) de
GH0, xL = 0 hasta la solución desconocida xH1L = x* de GH1, xL = 0 que resuelve el
problema FHxL = 0.

Suponiendo, en primer lugar, que xHlL es la única solución de la ecuación (40)
G H l, x L = 0,

para cada l œ @0, 1D. El conjunto 8 x HlL » 0 § l § 1< puede verse como una curva en n

parametrizada por l, que va desde xH0L hasta xH1L = x*. Con el método de Continuación se

determinan una secuencia de puntos 8xH lk L< m a lo largo de esta curva que corresponden a
k=0

l0 = 0  l1  ...,  lm = 1.

Si las funciones l ö x HlL y G son diferenciables, entonces derivando la ecuación

G H l, xL = 0 con respecto a l se obtiene

0 = Å∑ÅÅÅÅÅGÅÅÅÅÅHÅÅÅÅl∑ÅÅÅ,ÅlÅÅÅÅxÅÅÅHÅÅlÅÅÅLÅLÅÅ + Å∑ÅÅÅÅÅGÅÅÅÅÅHÅÅÅÅl∑ÅÅÅ,ÅxÅÅÅÅxÅÅÅHÅÅlÅÅÅLÅLÅÅ x £HlL , (41)

211

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

que, despejando x £ HlL, queda

x £ HlL = - A Å∑ÅÅÅÅÅGÅÅÅÅÅHÅÅlÅÅ∑ÅÅ,ÅxÅÅÅÅxÅÅÅHÅÅlÅÅÅÅLÅLÅÅÅ -1 Å∑ÅÅÅÅÅGÅÅÅÅÅHÅÅlÅ∑ÅÅ,ÅlÅÅÅÅxÅÅÅHÅÅlÅÅÅÅLÅLÅÅÅ , (42)

E

que es un sistema de ecuaciones diferenciales con condición inicial x H0L.

Puesto que (43)
G Hl, x HlLL = F Hx H lL L + Hl - 1L FHx H0LL,

se pueden determinar tanto la matriz jacobiana

Å∑Å∑ÅÅÅÅGÅxÅÅÅÅ Hl, x H lLL = jjjjjjjjjjjjjjjjjij Å∑∑ÅÅxÅfÅ11ÅÅ Hx HlLL Å∑∑ÅÅxÅfÅ12ÅÅ Hx HlLL Å∑∑ÅÅxÅfÅ1nÅÅ Hx HlLL zzzzzzzzzzzzzzzzzyz = J Hx HlLL (44)
k Å∑∑ÅÅxÅfÅ21ÅÅ HlLL Å∑∑ÅÅxÅfÅ22ÅÅ Å∑∑ÅÅxÅfÅ2nÅÅ HlLL {
Hx Hx HlLL Hx
Å∑∑ÅÅxÅfÅn1ÅÅ ... HlLL Å∑∑ÅÅxÅfÅn2ÅÅ ... .... Å∑∑ÅÅxÅfÅnnÅÅ ... HlLL
Hx Hx
...
Hx HlLL

como

Å∑ÅÅÅÅÅGÅÅÅÅÅÅHÅlÅÅ∑ÅÅÅ,ÅlÅÅÅxÅÅÅHÅÅlÅÅÅÅLÅÅLÅÅ = FHx H0LL. (45)

Por tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales resulta ser (46)
x £ H lL = - @ J H x HlLLD-1 F Hx H0L L, para 0 § l § 1,

con la condición inicial x H0L.

El siguiente teorema proporciona condiciones bajo las que el método de
Continuación puede llevarse a cabo.
ô Teorema 5. Convergencia del Método de Continuación

Suponiendo que FHxL es diferenciable con continuidad para x œ n. Suponiendo
que la matriz jacobiana J HxL es invertible para todo x œ n y que existe una constante M

212

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

tal que ∞ J H x L-1¥ § M , para todo x œ n. Entonces para cualquier x H0L en n, existe
una única función x HlL tal que

G H l, x HlL L = 0,

para todo l en @0, 1D. Además, x HlL es diferenciable con continuidad y

x £ HlL = - J Hx Hl L L-1 F Hx H0LL para l œ @0, 1D.

En general, el sistema de ecuaciones diferenciales que se necesitan resolver con el

problema de continuación es de la forma

ÅdÅdÅÅÅÅxÅlÅÅ1ÅÅÅ = f1 H l, x1, x2, ...., xn L,
ÅdÅdÅÅÅÅxÅlÅÅ2ÅÅÅ = f2 H l, x1, x2, ...., xn L,

.. (47)

..

..

ÅdÅÅÅÅÅxÅÅÅnÅÅÅ = fn H l, x1, x2, ...., xn L,
dl

donde

jjjjjjjjjjjji f1 H l, x1, x2, ...., xn L yzzzzzzzzzzzz = -J H x1, x2, ...., xnL-1 jjjjjjjjjjijj f1 Hx H0L L zzzzzzzzzzyzz . (48)
k f2 H l, x1, x2, ...., xn L { k f2 Hx H0L L {
...
fn H l, x1, x2, ...., xn L ...
fn Hx H0L L

Para utilizar el método de Runge - Kutta de orden 4 en la resolución de este sistema
se toma un número entero n > 0 y se define h = ÅHÅÅ1ÅÅ-ÅnÅÅÅ0ÅÅLÅ . Se divide el intervalo @0, 1D en n
subintervalos cuyos extremos son los nodos

l j = j h, para cada j = 0, 1, ..., n. (49)

213

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Se va a denotar por wi j , para cada j = 0, 1, ..., n e i = 1, 2, ...,n, la aproximación de

xi (l j). De acuerdo con las condiciones iniciales, se toma

w1,0 = x1H0L, w2,0 = x2H0L, wn,0 = xnH0L. (50)

Suponiendo que se ha calculado ya w1, j, w2, j, .., wn, j. Se obtienen las nuevas

aproximaciones w1, j+1, w2, j+1, .., wn, j+1 mediante las expresiones

k1,i = h fi Hl j, w1, j, w2, j, .., wn, jL, i = 1, 2, ..., n;

k2,i = h fi Jl j + ÅhÅÅÅÅ , w1, j + Å1ÅÅÅÅ k1,1, w2, j + Å1ÅÅÅÅ k1,2, .., wn, j + Å1ÅÅÅÅ k1,nN,
2 2 2 2

i = 1, 2, ..., n;

k3,i = h fi Jl j + ÅhÅÅÅÅ , w1, j + Å1ÅÅÅÅ k2,1, w2, j + Å1ÅÅÅÅ k2,2, .., wn, j + Å1ÅÅÅÅ k2,nN, (51)
2 2 2 2

i = 1, 2, ..., n;

k4,i = h fi Hl j + h, w1, j + k3,1, w2, j + k3,2, .., wn, j + k3,nL,

i = 1, 2, ..., n;

y, finalmente

wi, j+1 = wi, j + Å1ÅÅÅÅ Hk1,i + 2 k2,i + 2 k3,i + k4,iL , i = 1, 2, ..., n. (52)
6 (53)

Utilizando la notación vectorial

k1 = jjjjijjjjjjjjj k1,1 yzzzzzzzzzzzzz, k2 = jijjjjjjjjjjjj k2,1 zzzzzzzzzzzzyz, k3 = jjjjijjjjkjjjjj kkk.333.,,,.12n zzzzzzyzzzzzzz, k4 = jjijjjjjjjjjjj k4,1 zzzzzyzzzzzzzz y
k k1,2 { k k2,2 { { k k4,2 {
... ... ...
k1,n k2,n k4,n

wj = ijjjjjjjjjjjjj w1, j zzzzzzzzzzzzyz.
k w1, j {
...
wn, j

para simplificar la presentación.

La igualdad (48) da xH0L = x Hl0L = w0 y, para cada j = 0, 1, ..., n.

214

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

k1 = h ijjjjjjjjjjjjj f1 H lj, w1, j, w2, j, .., wn, j L zzzzzzzzzyzzzz
k f2 H lj, w1, j, w2, j, .., wn, j L {

fn H lj, ... .., wn, j L
w1, j, w2, j,

= h @ - J Hw1, j, .., wn, jLD-1 FHxH0LL = h @- J Hw jLD-1 FHxH0LL;

k2 = h A- J Jw j + Å1ÅÅÅÅ -1 FHxH0LL;
2
k1NE

k3 = h A- J Jw j + Å1ÅÅÅÅ -1 FHxH0LL;
2
k2NE

k4 = h @- J Hw j + k3LD-1 FHxH0LL.

y

x Hl j+1L =

x Hl jL + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2 k2 + 2 k3 + k4L = wj + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2 k2 + 2 k3 + k4L. (55)
6 6

Finalmente, xHlnL = xH1L es la aproximación de x*.

8.2 Pseudocódigo

è Algoritmo 7. Método de Continuación u Homotopía para sistemas no lineales.

El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incógnitas mediante el método de Continuación u Homotopía es:

Algoritmo Continuación u Homotopía

Input I8f Hx1, ..., xnL<1n, Hx1H0L x2H0L ... xnH0L LT , nM

(* Se inicializan las variables *)

M 4
h 1ên
p  Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT
F  8f Hx1, ..., xnL<1n

215

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

J Hx L  jjjjjjjjjjjjjjijjjjjj Å∑∑ÅÅxÅfÅ11ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ12ÅÅÅ HxL ... .... Å∑∑ÅÅxÅfÅ1nÅÅÅ HxL zzzzzzyzzzzzzzzzzzzzz Hx ª Hx1, ..., xnLL
k Å∑∑ÅÅxÅfÅ21ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ22ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ2nÅÅÅ HxL {

... ... ...
Å∑∑ÅÅxÅfÅn1ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅn2ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅnnÅÅÅ HxL

f_valor  jjjjjjjjjjjjjjijj f1 H p1H0L, p2H0L, ..., pnH0L L zzzzzzzyzzzzzzzzz
k f2 H p1H0L, p2H0L , ..., pnH0LL {
................

fn H p1H0L, p2H0L , ..., pnH0LL

For k = 1, ..., n do
H* Se evalúa la función F y la matriz jacobiana en el punto *L

j_valor  jjjjjjjjjjijjjjjjj j11 H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L ... j1 n H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L zzzyzzzzzzzzzzzzzz
k j21 H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L ... j2 n H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L {
...
jn 1 H ... pnHk-1L L ... ... L

p1Hk-1L, ..., jn n H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L

k1  h * Hj_valorL-1 * f_valor

p_aux  p
p_int  p_aux + Å21ÅÅÅ k1

j_valor 

jjjijjjjjjjjjjjjjj j11 H p_int 1Hk-1L, ..., p_int Hk-1L L ... j1 n H p_int Hk-1L , ..., p_int Hk-1L L zzzzzzzzzzyzzzzzzz
k j21 H p_int 1Hk-1L, ..., p_int n L ... 1 n L {
Hk-1L ...
jn 1 H p_int ... p_int n L ... j2 n H p_int Hk-1L , ..., p_int Hk-1L L
1 n
1Hk-1L, ..., Hk-1L
n ...

jn n H p_int H1k-1L, ..., p_int Hk-1L
n

k2  h * Hj_valorL-1 * f_valor
p_int  p_aux + Å21ÅÅÅ k2

j_valor 

jijjjjjjjjjjjjjjjj j11 H p_int H1k-1L, ..., p_int Hk-1L L ... j1 n H p_int 1Hk-1L, ..., p_int Hk-1L L zzzzzzzzzzzzzzzzzy
k j21 H n n H p_int 1Hk-1L, ..., p_int n L {
Hk-1L
jn 1 H p_int H1k-1L, ..., p_int Hk-1L L ... j2 n H p_int ... p_int n L
n
Hk-1L
... ... n

p_int Hk -1L, *...H,j_pv_ainlotrnHLk--11L* L ... jn Hk -1L , ...,
1 f_valor 1

k3  h

p_int  p_aux + k3

j_valor 

ijjjjjjjjjjjjjjjjj j11 H p_int H1k-1L, ..., p_int Hk-1L L ... j1 n H p_int 1Hk-1L, ..., p_int Hk-1L L zzzzyzzzzzzzzzzzzz
k j21 H p_int H1k-1L, ..., n L ... n L {
...
jn 1 H p_int ... p_int Hk-1L L ... j2 n H p_int H1k-1L, ..., p_int Hk-1L L
n n

...

Hk -1L, ..., p_int Hk-1L jn n H p_int Hk -1L , ..., p_int Hk-1L
1 n 1 n

216

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

k4  h * Hj_valorL-1 * f_valor

(* Cálculo del siguiente punto *)
p1  p_aux + Å61ÅÅÅ Hk1 + 2 k2 + 2 k3 + k4L

(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error  »» p1 - p »»¶
p  p1

End

Return HxHkL ª HpLT L
Output

8.3 Problemas

à Problema 33. Sea el sistema no lineal de ecuciaones siguiente:

f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.

Mediante el método de Continuación u Homotopía calcúlese la aproximación de

la solución, comenzando en el punto inicial
P0 = IxH10L, x2H0L, x3H0LMT = H0, 0, 0LT y realizando n = 4 iteraciones.

Solución

Clear@ecuaciones, p, mD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,

x12 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 880.0<, 80.0<, 80.0<<;
m = 4;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2, x3L = jjjjjjjjjjji -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å21ÅÅÅ 1.06 zzyzzzzzzzzz = jjjjjjjji 0 zyzzzzzzz
k x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sinHx3L + { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å13ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0

P0 = jjjjijjjjjjj x1H0L zzzzzzzyzzzz = jjijjjjjj 0. zzzzzzyzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.

217

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La matriz jacobiana es:

jjjjjjijj 3 sinHx2 x3L x3 sinHx2 x3L x2 zzzzzzzyz
k cosHx3L {
J Hx1, x2, x3L = 2 x1 -162 Hx2 + 0.1L 20
-‰-x1 -‰-x1 x2 x1
x2 x2

Iteración i = 1

k1 = ijjjjjjjj 0.12500000 yzzzzzzzz
k -0.0042222033 {
-0.13089969

k2 = jjjjjjjji 0.12499998 zzzzzzzzy
k -0.0033117620 {
-0.13092324

k3 = jjjjjjjji 0.12499998 yzzzzzzzz
k -0.0032962448 {
-0.13092035

k4 = jjjjjjjji 0.12499989 zzzzzzzyz
k -0.0023020676 {
-0.13093470

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjjjij 0.12499997 zzyzzzzzz
6 k -0.0032900474 {
-0.13092026

Iteración i = 2

k1 = ijjjjjjjj 0.12499989 zzzyzzzzz
k -0.0023019179 {
-0.13093466

k2 = jjjjjijjj 0.12499976 yzzzzzzzz
k -0.0012303950 {
-0.13093902

k3 = jijjjjjjj 0.12499981 yzzzzzzzz
k -0.0012233159 {
-0.13093560

k4 = jjjjjjjij 0.12499976 zzzzzyzzz
k -0.000094776483 {
-0.13092912

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjjjij 0.24999977 yzzzzzzzz
6 k -0.0045074001 {
-0.26185576

218

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 3

k1 = jjjjijjjj 0.12499976 zzzyzzzzz
k -0.000094768570 {
-0.13092908

k2 = jjjjjjijj 0.12499988 zzyzzzzzz
k 0.0010777262 {
-0.13091134

k3 = ijjjjjjjj 0.12499993 zzzzzyzzz
k 0.0010713431 {
-0.13090777

k4 = jjjjjjjij 0.12500020 zzzzzzzzy
k 0.0022589181 {
-0.13087879

P3 = P2 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjijjj 0.37499970 zzzzzzzyz
6 k -0.0034303521 {
-0.39276344

Iteración i = 4

k1 = ijjjjjjjj 0.12500020 yzzzzzzzz
k 0.0022587863 {
-0.13087875

k2 = jjjjjjjij 0.12500045 zzzzzzyzz
k 0.0034455048 {
-0.13083864

k3 = ijjjjjjjj 0.12500035 yzzzzzzzz
k 0.0034248117 {
-0.13083540

k4 = ijjjjjjjj 0.12500000 yzzzzzzzz
k 0.0045827692 {
-0.13078516

P4 = P3 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjijjjjj 0.50000000 zzzzzzyzz
6 k 1.2668609 µ 10-8 {
-0.52359878

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jjijjjjjj 0 zzzzzzzyz
k 0 {
0

219

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

1 jjjjjjjji 0.12499997 zzzzzzyzz 0.13092
k -0.0032900474 { 0.130936
-0.13092026 0.130908
0.130835
2 jjjijjjjj 0.24999977 zzyzzzzzz
k -0.0045074001 {
-0.26185576

3 ijjjjjjjj 0.37499970 zzzzyzzzz
k -0.0034303521 {
-0.39276344

4 jjjjjjjji 0.50000000 zyzzzzzzz
k 1.2668609 µ 10-8 {
-0.52359878

La solución aproximada del sistema es:

P4 = jjjjjjijj 0.50000000 zzzzzyzzz
1.2668609 µ 10-8

k -0.52359878 {

à Problema 34. Sea el sistema no lineal de ecuciaones siguiente:
f1Hx1, x2, x3L = x12 + x2 - 37 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = x1 - x22 - 5 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = x3 + x1 + x2 - 3 = 0

Mediante el método de Continuación u Homotopía calcúlese la aproximación de
la solución, comenzando en el punto inicial

P0 = Ix1H0L, x2H0L, xH30LMT = H0, 0, 0LT y realizando n = 2 iteraciones.

Solución

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x12 + x2 − 37, x1 − x22 − 5, x3 + x1 + x2 − 3<;
p = 880.0<, 80.0<, 80.0<<;
m = 2;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

220

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de

ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2, x3L = jjjjjjijjj x12 + x2 - 37 zyzzzzzzzz = jjjjjijjj 0 zzzzzzzyz
k -x22 + x1 - 5 { k 0 {
x1 + x2 + x3 - 3 0

P0 = jjijjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzyz = jijjjjjjj 0. zyzzzzzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.

La matriz jacobiana es:

jijjjjjjj 2 x1 1 0 yzzzzzzzz
k 1 -2 x2 0 {
J Hx1, x2, x3L = 1 1 1

Iteración i = 1

k1 = ijjjjjjjj 2.5000000 zzzzzzzyz
k 18.500000 {
-19.500000

k2 = jjjjjjjji 7.2962963 yzzzzzzzz
k 0.25925926 {
-6.0555556

k3 = ijjjjjjjj 2.5232448 zzzzzzzzy
k 0.089658444 {
-1.1129032

k4 = ijjjjjjjj 3.0538605 zzzzzzzzy
k 3.0887248 {
-4.6425853

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijjjjjjjj 4.1988238 zyzzzzzzz
6 k 3.7144267 {
-6.4132505

Iteración i = 2

k1 = ijjjjjjjj 2.2076836 zzzzzyzzz
k -0.039348791 {
-0.66833481

k2 = ijjjjjjjj 1.7539258 zzzzzzzyz
k -0.10096403 {
-0.15296178

221

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

k3 = jjjjjjjij 1.8313659 zzzzzzzyz
k -0.091245116 {
-0.24012077

k4 = jjijjjjjj 1.5448774 zzyzzzzzz
k -0.13180717 {
0.086929793

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijjjjjjjj 6.0193478 yzzzzzzzz
6 k 3.6218310 {
-6.6411788

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jjjjjjjji 0 zyzzzzzzz
k 0 {
0

1 jjjjjijjj 4.1988238 yzzzzzzzz 6.41325
k 3.7144267 {
-6.4132505

2 jjjjjjjji 6.0193478 zzyzzzzzz 1.82052
k 3.6218310 {
-6.6411788

La solución aproximada del sistema es:

P2 = jijjjjjjj 6.0193478 zzzzzzzyz
k 3.6218310 {
-6.6411788

à Problema 35. Sea el sistema no lineal de ecuciaones siguiente:
f1Hx1, x2L = x12 - x22 + 2 x2 = 0,
f2Hx1, x2L = 2 x1 - x22 - 6 = 0,

Mediante el método de Continuación u Homotopía calcúlese la aproximación de
la solución, comenzando en el punto inicial:

a) P0 = Ix1H0L, x2H0LMT = H0, 0LT
b) P0 = IxH10L, xH20LMT = H1, 1LT
c) P0 = IxH10L, x2H0LMT = H3, -2LT

y realizando n = 8 iteraciones.

222

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Solución

a)

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x12 − x22 + 2 x2, 2 x1 − x22 − 6<;
p = 880.0<, 80.0<<;
m = 8;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de

ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = ijjjj x12 - x22 + 2 x2 zzzzy = ijj 0 zyz
k -x22 + 2 x1 - 6 { k 0 {

P0 = jijjj x1H0L zzzyz = jij 0. yzz
k x2H0L { k 0. {

La matriz jacobiana es:

J Hx1, x2L = jij 2 x1 2 - 2 x2 yzz
k 2 -2 x2 {

Iteración i = 1

k1 = jji 0.37500000 zyz
k 0 {

k2 = jji 0.37500000 zyz
k -0.070312500 {

k3 = jij 0.37740328 yzz
k -0.068359839 {

k4 = ijj 0.38427976 zzy
k -0.13574868 {

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijj 0.37734772 zyz
6 k -0.068848893 {

Iteración i = 2

k1 = ijj 0.38434201 zzy
k -0.13568857 {

k2 = jji 0.40257111 zyz
k -0.20170068 {

223

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

k3 = jji 0.40936530 zzy
k -0.20250708 {

k4 = ijj 0.45067492 zzy
k -0.27887691 {

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jij 0.78716267 zyz
6 k -0.27267906 {

....

....

Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados

Iteración i = 7

k1 = ijj -0.20337776 zzy
k 0.20330965 {

k2 = jji -0.21524648 yzz
k 0.21517049 {

k3 = ijj -0.21598197 zzy
k 0.21590537 {

k4 = ijj -0.23035551 yzz
k 0.23026892 {

P7 = P6 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 3.6274929 yzz
6 k -2.6288570 {

Iteración i = 8

k1 = jij -0.23036255 zyz
k 0.23027595 {

k2 = jji -0.24789911 zzy
k 0.24779981 {

k3 = jji -0.24934395 zzy
k 0.24924337 {

k4 = ijj -0.27201858 yzz
k 0.27190068 {

P8 = P7 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 3.3780150 zyz
6 k -2.3794798 {

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 ijj 0 zyz
k 0 {

224

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

1 ijj 0.37734772 zzy 0.377348
k -0.068848893 { 0.409815
0.577663
2 jij 0.78716267 zzy 1.53543
k -0.27267906 { 0.566414
1.50968
3 jij 1.3648261 zzy 0.216032
k -0.69203276 { 0.249478

4 ijj 2.9002566 yzz
k -2.0132693 {

5 jji 2.3338425 zzy
k -1.4729057 {

6 jji 3.8435246 yzz
k -2.8448121 {

7 jji 3.6274929 zzy
k -2.6288570 {

8 ijj 3.3780150 zyz
k -2.3794798 {

La solución aproximada del sistema es:

P8 = ijj 3.3780150 zzy
k -2.3794798 {

Solución

b)

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x12 − x22 + 2 x2, 2 x1 − x22 − 6<;
p = 881.0<, 81.0<<;
m = 8;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de

ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = ijjjj x12 - x22 + 2 x2 zzzzy = ijj 0 zyz
k -x22 + 2 x1 - 6 { k 0 {

P0 = jjjji x1H0L zzzzy = jij 1. zzy
k x2H0L { k 1. {

La matriz jacobiana es:

J Hx1, x2L = jij 2 x1 2 - 2 x2 zyz
k 2 -2 x2 {

225

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 1

k1 = ijj -0.12500000 zzy
k -0.43750000 {

k2 = ijj -0.030800821 zzy
k -0.43942505 {

k3 = jji -0.029226983 zzy
k -0.43795011 {

k4 = ijj 0.067715537 zzy
k -0.43552088 {

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 0.97044332 zzy
6 k 0.56203813 {

Iteración i = 2

k1 = jji 0.067733504 zzy
k -0.43549802 {

k2 = jji 0.16163366 yzz
k -0.43819665 {

k3 = ijj 0.15965720 zzy
k -0.44568405 {

k4 = ijj 0.25769419 zzy
k -0.47102615 {

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 1.1317782 yzz
6 k 0.11632387 {

....

....

Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados

Iteración i = 7

k1 = ijj -0.41362262 zyz
k 0.36106659 {

k2 = ijj -0.51650642 zzy
k 0.45288133 {

k3 = ijj -0.55087494 yzz
k 0.48378958 {

k4 = ijj -0.88564861 yzz
k 0.78450886 {

P7 = P6 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 2.3583257 zzy
6 k -1.5078962 {

226

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 8

k1 = ijj -0.92748662 zzy
k 0.82232890 {

k2 = jji 41.959215 yzz
k -37.973475 {

k3 = ijj -0.020312488 zyz
k 0.016239007 {

k4 = ijj -0.96911505 yzz
k 0.85918874 {

P8 = P7 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 16.021860 zzy
6 k -13.880055 {

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 ijj 1.0000000 zyz
k 1.0000000 {

1 jji 0.97044332 zyz 0.437962
k 0.56203813 {

2 jij 1.1317782 zzy 0.445714
k 0.11632387 {

3 jij 1.5441207 zyz 0.577255
k -0.46093098 {

4 ijj 2.5882426 zzy 1.13206
k -1.5929921 {

5 ijj 3.2842844 zzy 0.725762
k -2.3187540 {

6 jij 2.9306647 zzy 0.35362
k -2.0110491 {

7 jji 2.3583257 zzy 0.572339
k -1.5078962 {

8 jji 16.021860 zzy 13.6635
k -13.880055 {

La solución aproximada del sistema es:

P8 = jji 16.021860 yzz
k -13.880055 {

Solución

c)

227

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Clear@ecuaciones, p, d, mD;
ecuaciones = 8 x12 − x22 + 2 x2, 2 x1 − x22 − 6<;
p = 883.0<, 8−2.0<<;
m = 8;

continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de

ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = ijjjj x12 - x22 + 2 x2 zzzzy = ijj 0 zyz
k -x22 + 2 x1 - 6 { k 0 {

P0 = jjjji x1H0L zzyzz = jji 3. zyz
k x2H0L { k -2. {

La matriz jacobiana es:

J Hx1, x2L = ijj 2 x1 2 - 2 x2 zyz
k 2 -2 x2 {

Iteración i = 1

k1 = jij -0.29166667 zzy
k 0.27083333 {

k2 = ijj -0.33886779 yzz
k 0.31581736 {

k3 = jji -0.34807302 zyz
k 0.32467067 {

k4 = ijj -0.43764125 yzz
k 0.41045139 {

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijj 2.6494684 zyz
6 k -1.6729565 {

Iteración i = 2

k1 = jji -0.43921783 yzz
k 0.41197593 {

k2 = ijj -0.64545752 zzy
k 0.61041357 {

k3 = jji -0.83155172 zzy
k 0.79075263 {

k4 = ijj 1.8880415 zzy
k -1.8567607 {

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 2.3986026 zzy
6 k -1.4466986 {

228

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

....

......

Nota:Se han eliminado varias iteraciones.En la tabla final se pueden ver los resultados

Iteración i = 7

k1 = jij 0.045269325 zyz
k -0.036327495 {

k2 = jji 0.045423087 zzy
k -0.036417585 {

k3 = jji 0.045423629 zzy
k -0.036417780 {

k4 = ijj 0.045579030 yzz
k -0.036508458 {

P7 = P6 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji -5.0552307 zzy
6 k 5.5992770 {

Iteración i = 8

k1 = ijj 0.045579030 yzz
k -0.036508458 {

k2 = jji 0.045736090 yzz
k -0.036599727 {

k3 = ijj 0.045736652 zzy
k -0.036599926 {

k4 = ijj 0.045895413 yzz
k -0.036691792 {

P8 = P7 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jij -5.0094940 zzy
6 k 5.5626771 {

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 ijj 3.0000000 zyz
k -2.0000000 {

1 jji 2.6494684 zyz 0.350532
k -1.6729565 {

2 jji 2.3986026 zzy 0.250866
k -1.4466986 {

3 jji 1.2050556 yzz 1.19355
k -0.32396323 {

229

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

4 ijj 1.9623856 yzz 0.75733
k -1.0674512 {

5 ijj -5.1457715 yzz 7.10816
k 5.6719328 {

6 jji -5.1006543 yzz 0.0451172
k 5.6356948 {

7 jji -5.0552307 yzz 0.0454236
k 5.5992770 {

8 ijj -5.0094940 zzy 0.0457367
k 5.5626771 {

La solución aproximada del sistema es:

P8 = jji -5.0094940 zzy
k 5.5626771 {

à Problema 36. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:

f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = 4 x12 - 625 x22+ 2 x2 - 1 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = eH-x1 x2L + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.

Aplíquese el método de Continuación u Homotopía con la aproximación inicial
P0 = IxH10L, xH20L, x3H0LMT = H1, 1, 1LT y aplicando el método con n = 4 iteraciones.

Solución

Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 3 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,

4 x12 − 625 x22 + 2 x2 − 1, Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3 <;
p = 881.0<, 81.0<, 81.0<<;
m = 4;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de
ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2, x3L = jjjjjijjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å12ÅÅÅ zzzzzzzzzzzy = ijjjjjjjj 0 zzzyzzzzz
k 4 x12 - 625 x22 + 2 x2 - 1 { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0

P0 = jjijjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzyzz = jjjjijjjj 1. zzzzzzzyz
k x2H0L { k 1. {
x3H0L 1.

230

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La matriz jacobiana es:

jjjjjijjj 3 sinHx2 x3L x3 sinHx2 x3L x2 zzzzzzzyz
k 0 {
J Hx1, x2, x3L = 8 x1 2 - 1250 x2 20
-‰-x1 -‰-x1 x2 x1
x2 x2

Iteración i = 1

k1 = ijjjjjjjj -0.023047325 zzzzzzzyz
k -0.12434646 {
-0.37570934

k2 = ijjjjjjjj -0.057232431 yzzzzzzzz
k -0.13283327 {
-0.37665824

k3 = ijjjjjjjj -0.057923995 yzzzzzzzz
k -0.13343597 {
-0.37670686

k4 = jjjjjjjji -0.091811028 zzzzzzzzy
k -0.14399854 {
-0.37775486

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjjjji 0.94247147 zzzzzyzzz
6 k 0.86651942 {
0.62330093

Iteración i = 2

k1 = jjjjjjjji -0.091815412 zzzzzzzyz
k -0.14400626 {
-0.37775484

k2 = jjjjjjjji -0.12165758 yzzzzzzzz
k -0.15726512 {
-0.37882670

k3 = ijjjjjjjj -0.12226079 yzzzzzzzz
k -0.15858062 {
-0.37889289

k4 = ijjjjjjjj -0.14539514 zzzzzzzyz
k -0.17663369 {
-0.37993097

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjjjij 0.82163025 yzzzzzzzz
6 k 0.70779751 {
0.24444677

231

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 3

k1 = jjjjjjjji -0.14539799 zzzzzzzzy
k -0.17667092 {
-0.37993216

k2 = jijjjjjjj -0.16053067 zzzzyzzzz
k -0.20193739 {
-0.38087962

k3 = ijjjjjjjj -0.16066141 zzzyzzzzz
k -0.20614071 {
-0.38097967

k4 = jjjjjjjji -0.16690218 zzzzyzzzz
k -0.24938372 {
-0.38191896

P3 = P2 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjjijj 0.66251619 zzzzzzzyz
6 k 0.50076238 {
-0.13648152

Iteración i = 4

k1 = jjjjjjjji -0.16688575 zzzzyzzzz
k -0.24983376 {
-0.38193621

k2 = jjjjjjjji -0.16474080 zzzzzzzzy
k -0.33296470 {
-0.38324352

k3 = jjjjjjjji -0.16351017 zzzzzzzzy
k -0.37455541 {
-0.38419885

k4 = jjjjjjjji -0.15301950 yzzzzzzzz
k -0.99905078 {
-0.39731006

P4 = P3 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jjjjjjjij 0.49978166 zzzzzzzzy
6 k 0.056774915 {
-0.52217002

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jijjjjjjj 1.0000000 zzzzzzzzy
k 1.0000000 {
1.0000000

232

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

1 jjjijjjjj 0.94247147 yzzzzzzzz 0.376699
k 0.86651942 { 0.378854
0.62330093 0.380928
0.443987
2 jjjjijjjj 0.82163025 zzzyzzzzz
k 0.70779751 {
0.24444677

3 jjjjijjjj 0.66251619 zyzzzzzzz
k 0.50076238 {
-0.13648152

4 jjjjjjjji 0.49978166 zzzyzzzzz
k 0.056774915 {
-0.52217002

La solución aproximada del sistema es:

P4 = jjjjijjjj 0.49978166 zzzzzzzyz
k 0.056774915 {
-0.52217002

à Problema 37. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1Hx1, x2L = 4 x12 - 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8 = 0,
f2Hx1, x2L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0.

Aplíquese el método de Continuación u Homotopía con la aproximación inicial
P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H1, 0LT y aplicando el método con n = 6 iteraciones.

Solución

Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 8 4 x12 − 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8, 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 − 5 x2 + 8<;
p = 881.0<, 80.0<<;
m = 6;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de

ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = jjjjjij 4 x12 - 20 x1 + ÅxÅ4Å2Å2ÅÅ + 8 yzzzzzz = jji 0 yzz
k Å21ÅÅÅ x1 x22 - 5 x2 + 2 x1 + { k 0 {
8

P0 = jjjij x1H0L zzzzy = ijj 1. zzy
k x2H0L { k 0. {

233

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La matriz jacobiana es:

J Hx1, x2L = jjijjj 8 x1 - 20 ÅxÅ2Å2ÅÅ x2 - 5 zzzzzy
k ÅxÅ2Å2Å2ÅÅ + 2 x1 {

Iteración i = 1

k1 = jji -0.11111111 yzz
k 0.28888889 {

k2 = ijj -0.10540694 yzz
k 0.29911158 {

k3 = jji -0.10553749 yzz
k 0.29936470 {

k4 = ijj -0.10020766 yzz
k 0.30889480 {

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijj 0.89446539 zzy
6 k 0.29912271 {

Iteración i = 2

k1 = jji -0.10021091 zzy
k 0.30888086 {

k2 = jji -0.095227914 yzz
k 0.31761021 {

k3 = jji -0.095314666 zyz
k 0.31786191 {

k4 = ijj -0.090604488 zzy
k 0.32576730 {

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji 0.79914863 yzz
6 k 0.61672144 {

Iteración i = 3

k1 = ijj -0.090607837 yzz
k 0.32575365 {

k2 = jji -0.086162938 yzz
k 0.33274159 {

k3 = ijj -0.086224208 zzy
k 0.33298636 {

k4 = ijj -0.082000914 zzy
k 0.33904890 {

P3 = P2 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijj 0.71291813 zzy
6 k 0.94943118 {

234

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 4

k1 = jji -0.082004333 zzy
k 0.33903601 {

k2 = jji -0.078006147 zzy
k 0.34410677 {

k3 = jji -0.078052511 yzz
k 0.34434574 {

k4 = ijj -0.074252618 zzy
k 0.34844406 {

P4 = P3 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jij 0.63485575 yzz
6 k 1.2934954 {

Iteración i = 5

k1 = jji -0.074256025 zzy
k 0.34843225 {

k2 = ijj -0.070663231 zzy
k 0.35152371 {

k3 = jji -0.070700697 zyz
k 0.35176085 {

k4 = ijj -0.067296876 zzy
k 0.35389356 {

P5 = P4 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijj 0.56414229 yzz
6 k 1.6449778 {

Iteración i = 6

k1 = ijj -0.067300177 zzy
k 0.35388294 {

k2 = jji -0.064095682 zzy
k 0.35505169 {

k3 = ijj -0.064127458 yzz
k 0.35529045 {

k4 = ijj -0.061107990 zzy
k 0.35556504 {

P6 = P5 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jij 0.49999988 yzz
6 k 1.9999999 {

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jji 1.0000000 yzz
k 0 {

1 jij 0.89446539 yzz 0.299123
k 0.29912271 {

235

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

2 jij 0.79914863 zzy 0.317599
k 0.61672144 { 0.33271
0.344064
3 jij 0.71291813 zyz 0.351482
k 0.94943118 { 0.355022

4 jij 0.63485575 zzy
k 1.2934954 {

5 jji 0.56414229 yzz
k 1.6449778 {

6 jji 0.49999988 yzz
k 1.9999999 {

La solución aproximada del sistema es:

P6 = jij 0.49999988 yzz
k 1.9999999 {

à Problema 38. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.

f1Hx1, x2L = senH4 p x1 x2L - 2 x2 - x1 = 0,
f2Hx1, x2L = HH4 p - 1L ê H4 pLL He2 x1 - eL + 4 e x22 - 2 e x1 = 0.

Aplíquese el método de la Continuación u Homotopía iniciando el método en el
punto inicial P0 = IxH10L, x2H0LMT = H0, 0LT realizando 4 iteraciones.

Solución

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8

Sin@4 ∗ Pi ∗ x1 ∗ x2D − 2 x2 − x1,
HH4 Pi − 1L ê H4 PiLL HExp@2 x1D − EL + 4 E Hx2L2 − 2 E ∗ x1<;
p = 880.0<, 80.0<<;
m = 4;
continuacionhomotopia@ecuaciones, p, mD;

Método de Continuacion Homotopia para sistemas de

ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2L = ijjjj sinH4 p x1 x2L - x1 - 2 x2 zyzzz = ijj 0 yzz
k 4 ‰ x22 - 2 ‰ x1 + ÅHÅÅ-ÅʼnÅÅÅ+ÅʼnÅÅÅ2ÅÅxÅÅ41ÅÅLÅpÅHÅ-ÅÅÅ1ÅÅÅ+ÅÅÅ4Å ÅÅpÅÅLÅÅ { k 0 {

P0 = jjjij x1H0L zzyzz = jji 0. zyz
k x2H0L { k 0. {

La matriz jacobiana es:

jjjij 4p cosH4 p x1 x2L x2 - 1 4 p cosH4 p x1 x2L x1 - 2 zzzzy
k -2 ‰ + ʼnÅÅ2ÅÅÅxÅ1ÅÅÅHÅ2Å-ÅÅÅ1pÅÅ+ÅÅÅ4ÅÅÅÅpÅÅLÅ 8 ‰ x2 {
J Hx1, x2L =

236

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 1

k1 = jij -0.10996031 zyz
k 0.054980154 {

k2 = ijj -0.10053454 yzz
k 0.024458033 {

k3 = jji -0.10250307 zzy
k 0.032964556 {

k4 = ijj -0.097271662 zzy
k 0.017345574 {

P1 = P0 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji -0.10221787 yzz
6 k 0.031195151 {

Iteración i = 2

k1 = jij -0.097343701 zzy
k 0.018034131 {

k2 = ijj -0.094437044 yzz
k 0.012042947 {

k3 = jji -0.094527591 zzy
k 0.013019181 {

k4 = ijj -0.092140623 zzy
k 0.0092541796 {

P2 = P1 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = ijj -0.19678680 zzy
6 k 0.044097246 {

Iteración i = 3

k1 = jij -0.092137501 yzz
k 0.0092825391 {

k2 = ijj -0.090121763 zyz
k 0.0070812789 {

k3 = jji -0.090147096 yzz
k 0.0073385003 {

k4 = ijj -0.088391533 zzy
k 0.0058151466 {

P3 = P2 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji -0.28696459 yzz
6 k 0.051420120 {

Iteración i = 4

k1 = ijj -0.088390071 zzy
k 0.0058176348 {

k2 = jji -0.086848148 zzy
k 0.0047996081 {

237

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

k3 = jij -0.086864795 zyz
k 0.0048898916 {

k4 = ijj -0.085500431 zzy
k 0.0041479274 {

P4 = P3 + Å1ÅÅÅÅ Hk1 + 2k2 + 2k3 + k4L = jji -0.37385066 zzy
6 k 0.056310880 {

Tabla de datos.

i Pi ¥Pi - Pi-1∞¶

0 jji 0 zyz
k 0 {

1 jji -0.10221787 zyz 0.102218
k 0.031195151 {

2 ijj -0.19678680 zzy 0.0945689
k 0.044097246 {

3 ijj -0.28696459 yzz 0.0901778
k 0.051420120 {

4 jji -0.37385066 zyz 0.0868861
k 0.056310880 {

La solución aproximada del sistema es:

P4 = jji -0.37385066 zzy
k 0.056310880 {

238