Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La solución aproximada del sistema es:

P45 = jjjjijjjj 0.529146340907 zzzzzzyzz
k 0.399998398123 {
0.100001283634

à Problema 8. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2, x3L = 10 x1 - 2 x22 + x2 - 2 x3 - 5 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = 4 x32 + 8 x22 - 9 = 0.
f3Hx1, x2, x3L = 8 x3 x2 + 4 = 0.

Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Punto Fijo
comenzando en los puntosP0 = IxH10L, x2H0L, x3H0LMT = H1, 1, -1LT , e iterando hasta que
∞Pi+1 - Pi¥¶ § 5 µ 10-4.

Clear@ecuaciones, p, dD;
ecuaciones = 810 x1 − 2 x22 + x2 − 2 x3 − 5, 4 x32 + 8 x22 − 9, 8 x2 x3 + 4<;
ecuacionestrans =

9I2 x22 − x2 + 2 x3 + 5M ë 10, è!H!!−!!!4!!!x!!3!!2!!!!+!!!9!!!L!!ê!!!!8!! , −4 ê H8 x2L=;
d = 10.−4; p = 81., 1., −1.<;
puntoFijo@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método del Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales.

jjjjjijjjj -2 x22 + x2 + 10 x1 - 2 x3 - 5 zzzzzzzyzz jijjjjjjj 0 zzzyzzzzz
k 8 x22 + 4 x32 - 9 { k 0 {
f Hx1, x2, x3L = 8 x2 x3 + 4 = 0

P0 = jjijjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzyzzz = jjijjjjjj 1. zzzzzzzzy
k x2H0L { k 1. {
x3H0L -1.

Ecuaciones preparadas para el método del Punto Fijo.

ijjjjjjjjjjj x1H0L zzyzzzzzzzzz ijjjjjjjjjjjjjjjjjjj Å1ÅÅ1Å0ÅÅÅ J2 Hx2Hk-1LL2 - Hx2Hk-1LL + 2 Hx3Hk-1LL + 5N zzyzzzzzzzzzzzzzzzzz
k x2H0L { k Å"ÅÅÅÅ#9Å#Å#Å-#Å#Å#Å24#Å#Å#Åè#HÅ#Åx#Å#!2Å3#H!Å#!kÅ!#Å-#Å#Å1#Å#ÅL#Å#LÅÅ#2#ÅÅ#ÅÅ {
x3H0L = - Å2ÅÅÅÅHÅxÅÅ12ÅHÅkÅÅ-Å1ÅÅLÅLÅÅ

Tabla de datos.

39

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶

0 jjjjjijjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzyz jijjjjjjj 1.00000000000 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.400000000000 zzzzzzzzy 0.6
k x2H0L { k 1.00000000000 { k 0.790569415042 {
x3H0L -1.00000000000 -0.500000000000

1 jjjjjjjijjjj x1H1L zzzzzzzyzzzz ijjjjjjjj 0.400000000000 yzzzzzzzz jjjjjjjji 0.445943058496 zzzzzzzzy 0.209431
k x2H1L { k 0.790569415042 { k 1.00000000000 {
x3H1L -0.500000000000 -0.632455532034

2 jjjjjjjjjjji x1H2L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.445943058496 zzzzzzzyz ijjjjjjjj 0.473508893593 zzzzzzzzy 0.132456
k x2H2L { k 1.00000000000 { k 0.961769203084 {
x3H2L -0.632455532034 -0.500000000000

3 jijjjjjjjjjj x1H3L zzyzzzzzzzzz jjjjjjjij 0.473508893593 zzzzzzzzy jjjjjjjij 0.488823079692 zzzzzzzzy 0.0382308
k x2H3L { k 0.961769203084 { k 1.00000000000 {
x3H3L -0.500000000000 -0.519875244910

4 jjjjijjjjjjj x1H4L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 0.488823079692 zzzyzzzzz jjjjjjijj 0.496024951018 zzzzzzyzz 0.0198752
k x2H4L { k 1.00000000000 { k 0.994919526829 {
x3H4L -0.519875244910 -0.500000000000

5 jijjjjjjjjjj x1H5L zzzzzzzzyzzz jjjjjjijj 0.496024951018 yzzzzzzzz jjjjjjjji 0.498481020290 zzyzzzzzz 0.00508047
k x2H5L { k 0.994919526829 { k 1.00000000000 {
x3H5L -0.500000000000 -0.502553208091

6 ijjjjjjjjjjj x1H6L zzzzyzzzzzzz jjjjjjjji 0.498481020290 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.499489358382 zzzzyzzzz 0.00255321
k x2H6L { k 1.00000000000 { k 0.999359863372 {
x3H6L -0.502553208091 -0.500000000000

7 jjjjjjjjjjji x1H7L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.499489358382 zzzzzzzzy jjjjjjijj 0.499808040967 zzzzzzzzy 0.000640137
k x2H7L { k 0.999359863372 { k 1.00000000000 {
x3H7L -0.500000000000 -0.500320273333

8 jjijjjjjjjjj x1H8L zzzzzzzzzyzz ijjjjjjjj 0.499808040967 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.499935945333 yzzzzzzzz 0.000320273
k x2H8L { k 1.00000000000 { k 0.999919902815 {
x3H8L -0.500320273333 -0.500000000000

9 ijjjjjjjjjjj x1H9L zyzzzzzzzzzz jjjjjjjij 0.499935945333 yzzzzzzzz jjjjjjjij 0.499975972128 zyzzzzzzz 0.0000800972
k x2H9L { k 0.999919902815 { k 1.00000000000 {
x3H9L -0.500000000000 -0.500040051800

La solución aproximada del sistema es:

P10 = jjjjjjijj 0.499975972128 zzzzzzzzy
k 1.00000000000 {
-0.500040051800

40

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

4. Método de Seidel

4.1 Introducción

El método de Seidel es una forma de acelerar la conergencia de la iteración del
método del Punto Fijo. Consiste en usar las estimaciones más recientes de
x1HkL, x2HkL, ..., xi-1HkL en vez de x1Hk-1L, x2Hk-1L, ..., xi-1Hk-1L para calcular xiHkL, igual que en
el método de Gauss -Seidel para los sistemas lineales.

4.2 Pseudocódigo

è Algoritmo 2. Método de Seidel para sistemas no lineales

El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incognitas mediante el método de Seidel es:

Algoritmo de Seidel

Input I8f Hx1, ..., xmL<1m, 8ftransHx1, ..., xmL<1m, Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT , errorM

(* Se inicializan las variables *)

p  Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT
p0  p
error_inicial  160
i 0
F  8f Hx1, ..., xnL<1n
While error_inicial >= error do
H* Se evalúa la función transformada en el punto comprobando los índices*L

For k = 1,...n do
For j = 1,..., i do

p  ijjjjjjjjjjjjjj ftransjHpL zzyzzzzzzzzzzzz
k ftransjHpL {

...
ftransjHpL

End

For j = i, ..., n do

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Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

p  jjjjjjijjjjjjjj ftransj Hp0L zzzzyzzzzzzzzzz
k ftransj Hp0L {

...
ftransj Hp0L

End

End

p1  p

(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos *)

error_inicial  »» p1 - p0 »»¶

p0  p1
i  i+1
End

Return HxHiL ª Hp1LT L
Output

4.3 Problemas

à Problema 9. Aplíquese el método de Seidel para sistemas no lineales para aproximar

el sistema de ecuaciones no lineales siguiente, iniciando el método en el punto inicial
P0 = Ix1H0L, x2H0L, xH30LMT = H0.1, 0.1, -0.1LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.

f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = x12 - 81 Hx2 - 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.

Solución

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

ecuaciones = 93 x1 − Cos@x2 ∗ x3D + 1 ê 2,

x21 − 81 Hx2 − 0.1L2 + Sin@x3D + 1.06, Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + 10 π − 3 =;
3

1 1 kjij"#x##12###+###S##i###n##@##x###3#D####+###1##.###0##6### yzz − 0.1,
ecuacionestrans = 9 H2 Cos@x2 ∗ x3D + 1L, 9 {

6

− 1 jjiExp@− x1 ∗ x2 D + 10 π − 3 yzz =;
20 k 3{

d = 10.−5; p = 80.1, 0.1, −0.1<;

seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

42

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2, x3L = jjjjjjjjjijj -cosHx2 x3L + 3 x1 + Å12ÅÅÅ 1.06 zzzzzzzzzyzz = jjjjjjjij 0 zzzzyzzzz
k x12 - 81 Hx2 - 0.1L2 + sinHx3L + { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å13ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0

P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzzzzyzz = ijjjjjjjj 0.1 zzzzzzzzy
k x2H0L { k 0.1 {
x3H0L -0.1

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjjjjjjjjjji x1HkL zzzzzzzzzzyz = ijjjjjjjjjjjjjjjjjjj Å61ÅÅÅ I2 cosIHx2Hk-1LL Hx3Hk-1LLM + 1M - 0.1 zzzyzzzzzzzzzzzzzzzz
k x2HkL { k Å91ÅÅÅ $%H%x%%1%H%k%%L%L%2%%%+%%%%s%%i%%n%%I%%H%x%%%3H%k%%-%%1%%L%L%%M%%+%%%%1%%.%%0%%6%%% {
x3HkL Å2ÅÅ1Å0ÅÅÅ I-‰-Hx1HkLL Hx2HkLL + Å13ÅÅÅ H3 - 10 pLM

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶

0 jijjjjjjjjjj x1H0L yzzzzzzzzzzz jjjjijjjj 0.100000000000 zyzzzzzzz jjjjjijjj 0.499983333472 zzzzzzzyz 0.423046
k x2H0L { k 0.100000000000 { k 0.0222297935586 {
x3H0L -0.100000000000 -0.523046126191

1 jjjijjjjjjjj x1H1L zzzyzzzzzzzz jijjjjjjj 0.499983333472 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.499977468262 yzzzzzzzz 0.0222016
k x2H1L { k 0.0222297935586 { k 0.0000281536619354 {
x3H1L -0.523046126191 -0.523598071793

2 jjjjjijjjjjj x1H2L zzzzzzzzzyzz jjijjjjjj 0.499977468262 zzzzzzzyz jjjjjijjj 0.499999999964 10-8 zzzzzzzzy 0.000028116
k x2H2L { k 0.0000281536619354 { 3.76220182091 µ
x3H2L -0.523598071793
k -0.523598774658 {

3 jjjjjjjjjjji x1H3L zzzzzzzyzzzz jjjjjjjij 0.499999999964 yzzzzzzzz jjjjjijjj 0.500000000000 zzzzzzyzz 3.75717 µ 10-8
k x2H3L { k 3.76220182091 µ 10-8 { k 5.02802799396 µ 10-11 {
x3H3L -0.523598774658 -0.523598775597

La solución aproximada del sistema es:

P4 = ijjjjjjjj 0.500000000000 zzzzzzzyz
k 5.02802799396 µ 10-11 {
-0.523598775597

à Problema 10. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2L = -x1 H1 + x1L + 2 x2 = 18,

43

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

f2Hx1, x2L = Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 = 25.
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Seidel

comenzando en los puntos
P0 = IxH10L, x2H0LMT = H2, 11LT ,
P0 = Ix1H0L, x2H0LMT = H-1.5, 10.5LT

e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 5 µ 10-5, comprobar si se acelera la convergencia
respecto al método del Punto Fijo.

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
ecuacionestrans = 9−0.5 + è!2!!!x!!2!!!−!!!1!!!7!!!.!!!7!!5!! , "#2##5###−####H##x##1####−####1##L###2## + 6=;
d = 10.−5; p = 82.0, 11.0<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2L = jji -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 zzy = ijj 0 zyz
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {

P0 = jjijj x1H0L zzzyz = jij 2. yzz
k x2H0L { k 11. {

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjijj x1HkL yzzzz = ijjjjjjjjjjjj "#2###H##x##2H#k##-##1##L#L##-####1###7###.#7##5### - 0.5 zzzzzzzzzzzzy
k x2HkL { k $%2%%5%%%%-%%%%I%H%x%%%1H%k%%L%L%%-%%%%1%%%M%2%% + 6 {

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶

0 jjjij x1H0L zzyzz jij 2.00000000000 zyz ijj 1.56155281281 zzy 0.438447
k x2H0L { k 11.0000000000 { k 10.9683657714 {

1 ijjjj x1H1L zzzzy ijj 1.56155281281 zzy jji 1.54615042038 zzy 0.0154024
k x2H1L { k 10.9683657714 { k 10.9700824659 {

2 jijjj x1H2L zzzzy jji 1.54615042038 zyz ijj 1.54698923590 yzz 0.000838816
k x2H2L { k 10.9700824659 { k 10.9699902189 {

3 jjjji x1H3L zzzzy jij 1.54698923590 zzy jji 1.54694417065 zzy 0.0000450652
k x2H3L { k 10.9699902189 { k 10.9699951785 {

4 ijjjj x1H4L yzzzz ijj 1.54694417065 yzz jji 1.54694659358 zzy 2.42293 µ 10-6
k x2H4L { k 10.9699951785 { k 10.9699949118 {

44

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La solución aproximada del sistema es:

P5 = jji 1.54694659358 yzz
k 10.9699949118 {

Con el método del Punto Fijo se llega a la solución aproximada realizando 8

iteraciones, en cambio con el método de Seidel se consigue sólo con 5 iteraciones.

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8−x1 H1 + x1L + 2 x2 − 18, Hx1 − 1L2 + Hx2 − 6L2 − 25<;
ecuacionestrans = 9−0.5 − è!2!!!x!!2!!!−!!!1!!!7!!!.!!!7!!5!! , "#2##5###−####H##x##1####−####1##L###2## + 6=;
d = 10.−5; p = 8−1.5, 10.5<;
seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2L = ijj -x1 Hx1 + 1L + 2 x2 - 18 zzy = ijj 0 zzy
k Hx1 - 1L2 + Hx2 - 6L2 - 25 { k 0 {

P0 = jjijj x1H0L zzyzz = jji -1.5 zyz
k x2H0L { k 10.5 {

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjjji x1HkL zzzzy ijjjjjjjjjjjj - "#2###H##x##2H#k##-##1##L#L##-####1###7###.#7# #5### - 0.5 yzzzzzzzzzzzz
k x2HkL { k $%2%%5%%%%-%%%%I%H%x%%%1H%k%%L%L%%-%%%%1%%%M%2%% + 6 {
=

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.802776
0 ijjjj x1H0L zyzzz jji -1.50000000000 zzy jij -2.30277563773 yzz 0.476964
k x2H0L { k 10.5000000000 { k 9.75388772965 { 0.255264
0.123069
1 ijjjj x1H1L yzzzz ijj -2.30277563773 zzy ijj -1.82581124573 yzz 0.0626221
k x2H1L { k 9.75388772965 { k 10.1248988840 {

2 jjjji x1H2L yzzzz jij -1.82581124573 zyz ijj -2.08107487744 zzy
k x2H2L { k 10.1248988840 { k 9.93788999333 {

3 jjjji x1H3L yzzzz jji -2.08107487744 zzy ijj -1.95800548239 zzy
k x2H3L { k 9.93788999333 { k 10.0311541233 {

4 ijjjj x1H4L zzzyz ijj -1.95800548239 zzy jij -2.02062758317 zzy
k x2H4L { k 10.0311541233 { k 9.98444588416 {

45

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

5 jjjji x1H5L zzzyz ijj -2.02062758317 zzy jji -1.98959449795 yzz 0.0310331
k x2H5L { k 9.98444588416 { k 10.0077830203 {

6 jjjij x1H6L yzzzz jji -1.98959449795 zzy jji -2.00517973698 zzy 0.0155852
k x2H6L { k 10.0077830203 { k 9.99610995200 {

7 ijjjj x1H7L zzzzy jji -2.00517973698 zzy ijj -1.99740438893 yzz 0.00777535
k x2H7L { k 9.99610995200 { k 10.0019453931 {

8 jjjji x1H8L zzyzz jji -1.99740438893 zzy jji -2.00129636853 zzy 0.00389198
k x2H8L { k 10.0019453931 { k 9.99902739529 {

9 ijjjj x1H9L zzzyz jji -2.00129636853 yzz ijj -1.99935145665 zyz 0.00194491
k x2H9L { k 9.99902739529 { k 10.0004863254 {

10 jjjji x1H10L yzzzz jji -1.99935145665 zzy jji -2.00032418188 zzy 0.000972725
k x2H10L { k 10.0004863254 { k 9.99975684306 {

11 jjjij x1H11L zzzzy jji -2.00032418188 yzz ijj -1.99983788661 yzz 0.000486295
k x2H11L { k 9.99975684306 { k 10.0001215799 {

12 jjjji x1H12L yzzzz ijj -1.99983788661 zzy jji -2.00008105108 zyz 0.000243164
k x2H12L { k 10.0001215799 { k 9.99993921041 {

13 ijjjj x1H13L zyzzz ijj -2.00008105108 yzz ijj -1.99995947306 yzz 0.000121578
k x2H13L { k 9.99993921041 { k 10.0000303949 {

14 jjjji x1H14L zzzyz jij -1.99995947306 zzy ijj -2.00002026312 yzz 0.0000607901
k x2H14L { k 10.0000303949 { k 9.99998480258 {

15 jjjij x1H15L yzzzz ijj -2.00002026312 yzz jji -1.99998986835 yzz 0.0000303948
k x2H15L { k 9.99998480258 { k 10.0000075987 {

16 ijjjj x1H16L zyzzz ijj -1.99998986835 yzz jji -2.00000506580 zzy 0.0000151975
k x2H16L { k 10.0000075987 { k 9.99999620064 {

17 jjjij x1H17L zzzyz ijj -2.00000506580 zyz jij -1.99999746709 yzz 7.59871 µ 10-6
k x2H17L { k 9.99999620064 { k 10.0000018997 {

La solución aproximada del sistema es:

P18 = jji -1.99999746709 zzy
k 10.0000018997 {

Con el método del Punto Fijo se llega a la solución aproximada realizando 33

iteraciones, en cambio con el método de Seidel se consigue sólo con 18 iteraciones.

à Problema 11. Aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales,
empleando el método de Seidel con la aproximacióin inicial dada, iterando hasta que
»» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5. Comparar la convergencia con el método del Punto Fijo.
a) f1Hx1, x2L = x12 + x22 - x1 = 0,

46

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

f2Hx1, x2L = x12 - x22 - x2 = 0,
P0 = Ix1H0L, xH20LMT = H0.7, 0.4LT

b) f1Hx1, x2L = 3 x12 - x22 = 0,

f2Hx1, x2L = 3 x1 x22 - x13 - 1 = 0,
P0 = IxH10L, x2H0LMT = H0.4, 0.7LT

c) f1Hx1, x2, x3L = x12 + x2 - 37 = 0,

f2Hx1, x2, x3L = x1 - x22 - 5 = 0,

f3Hx1, x2, x3L = x3 + x1 + x2 - 3 = 0
P0 = Ix1H0L, xH20L, xH30LMT = H5, 1, -1LT

d) f1Hx1, x2, x3L = x12 + 2 x22 - x2 - 2 x3 = 0,

f2Hx1, x2, x3L = x12 - 8 x22 + 10 x3 = 0,
xÅ3H7Å0ÅÅxxLÅÅM13ÅÅ2TÅxÅÅ2Å=-H01.5=,
f3Hx1, x2, x3L = 0 0.1LT
P0 = Ix1H0L, xH20L, 0.5,

Solución

a)

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

ecuaciones = 8x12 + x22 − x1, x12 − x22 − x2<;

ecuacionestrans = 9è!x!!1!!!−!! !!!!!!! , è!−!!x!!!2!!+!!!x!!!1!2!! =;
x22

d = 10.−5; p = 80.7, 0.4<;

seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2L = ijjjj x12 - x1 + x22 zyzzz = jij 0 zzy
k x12 - x22 - x2 { k 0 {

P0 = jjjji x1H0L zzzzy = jji 0.7 zzy
k x2H0L { k 0.4 {

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjijj x1HkL zzyzz = jjijjjjj "#H#x##1#H#k##L#L##-####H#x##2#H#k##-##1#L##L#2## zzzzzzyz
k x2HkL { k "#H#x##1#H#k##L#L#2###-### #H#x##2#H#k##L#L## {

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.0581866
0 jjjji x1H0L yzzzz jij 0.700000000000 zzy ijj 0.758186601593 zzy
k x2H0L { k 0.400000000000 { k 0.395853396857 {

47

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

1 jijjj x1H1L zzzzy jji 0.758186601593 yzz jij 0.786673895490 zzy 0.0284873
k x2H1L { k 0.395853396857 { k 0.382915782338 {

2 jijjj x1H2L zzzyz jji 0.786673895490 yzz ijj 0.808335559959 zzy 0.0216617
k x2H2L { k 0.382915782338 { k 0.365129119713 {

3 jjjij x1H3L yzzzz ijj 0.808335559959 zzy jji 0.829623091179 zzy 0.0212875
k x2H3L { k 0.365129119713 { k 0.346144074853 {

4 jjijj x1H4L zzzzy jji 0.829623091179 zzy jji 0.850108783922 zzy 0.0204857
k x2H4L { k 0.346144074853 { k 0.330235800227 {

5 jjjji x1H5L zzzzy ijj 0.850108783922 yzz ijj 0.867057510997 zzy 0.0169487
k x2H5L { k 0.330235800227 { k 0.320183781089 {

6 ijjjj x1H6L zzzzy ijj 0.867057510997 zzy jji 0.878556796643 zzy 0.0114993
k x2H6L { k 0.320183781089 { k 0.315898578348 {

7 jjjji x1H7L yzzzz jji 0.878556796643 zzy jij 0.884694665710 yzz 0.00613787
k x2H7L { k 0.315898578348 { k 0.315384225093 {

8 jjjij x1H8L zzzzy jji 0.884694665710 yzz jij 0.886940471283 yzz 0.00224581
k x2H8L { k 0.315384225093 { k 0.316489556832 {

9 ijjjj x1H9L zzzzy jji 0.886940471283 yzz jij 0.887038695732 yzz 0.0013443
k x2H9L { k 0.316489556832 { k 0.317833861157 {

10 jijjj x1H10L yzzzz jji 0.887038695732 yzz jji 0.886317953082 zzy 0.000999643
k x2H10L { k 0.317833861157 { k 0.318833504567 {

11 jjjij x1H11L yzzzz jji 0.886317953082 zzy jji 0.885526587708 yzz 0.000791365
k x2H11L { k 0.318833504567 { k 0.319391371455 {

12 jjjji x1H12L yzzzz jji 0.885526587708 zyz jji 0.884959544969 zyz 0.000567043
k x2H12L { k 0.319391371455 { k 0.319613272293 {

13 jjjji x1H13L yzzzz jji 0.884959544969 zyz jji 0.884653101842 zzy 0.000306443
k x2H13L { k 0.319613272293 { k 0.319643028398 {

14 jjjji x1H14L yzzzz jji 0.884653101842 zyz jji 0.884538377982 zzy 0.000114724
k x2H14L { k 0.319643028398 { k 0.319593068015 {

15 jjjji x1H15L zzzzy ijj 0.884538377982 yzz jji 0.884529978360 zzy 0.0000636158
k x2H15L { k 0.319593068015 { k 0.319529452198 {

16 jjjji x1H16L zzzzy ijj 0.884529978360 zzy jji 0.884563268283 zzy 0.0000487349
k x2H16L { k 0.319529452198 { k 0.319480717288 {

17 jjjji x1H17L zzzzy ijj 0.884563268283 yzz ijj 0.884601456979 zzy 0.0000381887
k x2H17L { k 0.319480717288 { k 0.319452706939 {

18 ijjjj x1H18L yzzzz ijj 0.884601456979 zzy jji 0.884629490427 zzy 0.0000280334
k x2H18L { k 0.319452706939 { k 0.319441084854 {

19 ijjjj x1H19L zzzzy jji 0.884629490427 yzz ijj 0.884645014784 yzz 0.0000155244
k x2H19L { k 0.319441084854 { k 0.319439124922 {

20 jijj x1H20L zzzy jji 0.884645014784 zzy jij 0.884651081736 zzy 6.06695 µ 10-6
k {k {k {

48

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La solución aproximada del sistema es:

P21 = jji 0.884651081736 zzy
k 0.319441328730 {

Solución

b)

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

ecuaciones = 83 x12 − x22, 3 x1 x22 − x13 − 1<;

ecuacionestrans = 9x2 ë è!!! , è!H!!1!!!+!!!!x!!1!!3!!!L!!!ê!!!H!!3!!!!x!!1!!!L!!! =;
3

d = 10.−5; p = 80.4, 0.7<;

seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2L = ijjjj 3 x12 - x22 x1 - 1 yzzzz = ijj 0 zzy
k -x13 + 3 x22 { k 0 {

P0 = jijjj x1H0L zzzyz = jij 0.4 zzy
k x2H0L { k 0.7 {

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jijjj x1HkL zyzzz = ijjjjjjjjjjjjj ÅHÅÅxÅèÅ2HÅkÅÅ!3-Å!Å!1!ÅÅLÅLÅÅ zzzzyzzzzzzzzz
k x2HkL { Å$ÅÅÅÅÅ%ÅÅ%HÅÅ%èÅxÅÅ%ÅÅ1%HHÅÅk%xÅ!ÅÅ3%L%!1ÅÅH!ÅL%kÅ!Å3%ÅÅL%ÅÅ+LÅ%ÅÅ%ÅÅ1%ÅÅ%ÅÅ%Å%Å {

k

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
0.237673
0 jjijj x1H0L yzzzz ijj 0.400000000000 zzy jij 0.404145188433 yzz 0.137221
k x2H0L { k 0.700000000000 { k 0.937672940468 { 0.0537118
0.0165992
1 jjjji x1H1L zyzzz jji 0.404145188433 zyz jji 0.541365724591 zzy
k x2H1L { k 0.937672940468 { k 0.844641336143 {

2 ijjjj x1H2L zyzzz jij 0.541365724591 zzy jji 0.487653902791 yzz
k x2H2L { k 0.844641336143 { k 0.873392046155 {

3 jjjji x1H3L zzzzy jij 0.487653902791 zzy jji 0.504253132956 zzy
k x2H3L { k 0.873392046155 { k 0.863597549558 {

49

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

4 jjjji x1H4L zzyzz ijj 0.504253132956 yzz jij 0.498598277709 zzy 0.00565486
k x2H4L { k 0.863597549558 { k 0.866837719240 {

5 jijjj x1H5L yzzzz ijj 0.498598277709 zyz ijj 0.500468990547 yzz 0.00187071
k x2H5L { k 0.866837719240 { k 0.865754970393 {

6 ijjjj x1H6L yzzzz ijj 0.500468990547 zyz ijj 0.499843865209 zyz 0.000625125
k x2H6L { k 0.865754970393 { k 0.866115585789 {

7 jjijj x1H7L zzzzy jji 0.499843865209 yzz ijj 0.500052066604 zzy 0.000208201
k x2H7L { k 0.866115585789 { k 0.865995347290 {

8 jijjj x1H8L zzzzy jji 0.500052066604 zzy ijj 0.499982646875 yzz 0.0000694197
k x2H8L { k 0.865995347290 { k 0.866035423080 {

9 ijjjj x1H9L yzzzz jji 0.499982646875 zzy jji 0.500005784643 yzz 0.0000231378
k x2H9L { k 0.866035423080 { k 0.866022064071 {

10 jjjji x1H10L zzzzy jji 0.500005784643 zyz jij 0.499998071815 zzy 7.71283 µ 10-6
k x2H10L { k 0.866022064071 { k 0.866026517028 {

La solución aproximada del sistema es:

P11 = jji 0.499998071815 zzy
k 0.866026517028 {

Solución

c)

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

ecuaciones = 8 x12 + x2 − 37, x1 − x22 − 5, x3 + x1 + x2 − 3<;

ecuacionestrans = 9è!3!!7!!!−!! !x!!!2!! , è!x!!1!!!−!! !!! , 3 − x1 − x2=;
5

d = 10.−5; p = 85.0, 1.0, −1.0<;

seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2, x3L = jjjjijjjjj x12 + x2 - 37 zzzzzzzzyz = jijjjjjjj 0 zzzzyzzzz
k -x22 + x1 - 5 { k 0 {
x1 + x2 + x3 - 3 0

P0 = jjjjjjjjjjij x1H0L zzzzzzyzzzzz = jijjjjjjj 5. zzzyzzzzz
k x2H0L { k 1. {
x3H0L -1.

50

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjjjjjjjjjji x1HkL zzzzzzzzzzzy = ijjjjjjjjjjjjjj "#3##7####-####H#x##2#H#k#-##1##L#L## yzzzzzzzzzzzzzz
k x2HkL { k "#H#x##1#H#k##L#L##-####5### {
x3HkL -Hx1HkLL - Hx2HkLL + 3

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶

0 jjjjjjjjjijj x1H0L zzyzzzzzzzzz jjjjjjijj 5.00000000000 zzzzzzzzy jjjjjjjji 6.00000000000 zzzzzzzyz 3.
k x2H0L { k 1.00000000000 { k 1.00000000000 {
x3H0L -1.00000000000 -4.00000000000

1 jjjijjjjjjjj x1H1L zzzzzzzyzzzz jijjjjjjj 6.00000000000 zzzzzyzzz ijjjjjjjj 6.00000000000 zyzzzzzzz 0.
k x2H1L { k 1.00000000000 { k 1.00000000000 {
x3H1L -4.00000000000 -4.00000000000

La solución aproximada del sistema es:

P2 = jjjjjjjji 6.00000000000 zzzzzzzzy
k 1.00000000000 {
-4.00000000000

Solución

d)

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

ecuaciones = 9 x12 + 2 x22 − x2 − 2 x3, x12 − 8 x22 + 10 x3, x12 − 1=;
7 x3 x2

ecuacionestrans = 9è!2!!!x!!3!!!+!!!x!!!2!!!!−!!!2!! !!!!!!!! , è!H!!1!!0!!!!x!!3!!!+!!!!x!!!1!!2!L!!!ê!!!8! ! , x12 =;
x22
7 x2

d = 10.−5; p = 80.5, 0.5, 0.1<;

seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

51

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

jjjijjjjjjjjj x12 + 2 x22 - x2 - 2 x3 zzyzzzzzzzzzz jjjjjjjij 0 yzzzzzzzz
k x12 - 8 x22 + 10 x3 { k 0 {
f Hx1, x2, x3L = Å7ÅÅÅÅxxÅÅ2Å12ÅÅxÅÅ3ÅÅÅ = 0
-1

P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzzzzzzy = jjijjjjjj 0.5 yzzzzzzzz
k x2H0L { k 0.5 {
x3H0L 0.1

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjjjjjjjjjji x1HkL zzzzzzzzzzyz = ijjjjjjjjjjjjjjjjjjj "#-###2###H##x##2H#k##-##1##L#L##2###+####H#x###2H#k##-##1##L#L##+### #2###H##x##3H#k##-##1# #L##L# zzzzzzzyzzzzzzzzzzzz
k x2HkL { k Å"ÅÅÅÅ#HÅ#Åx#Å#Å1#HÅ#kÅ#Å#LÅ#ÅL#Å2#2Å#Å+#Å#Åè#Å1#Å#Å!#Å20!#Å!#Å!#ÅH#Åx#Å#Å#Å3H#Åk#Å#-Å#Å#Å1Å#ÅL#L#ÅÅ#Å {
x3HkL Å7ÅHÅxÅÅH1ÅHxÅkÅÅ2HLÅkLÅ2ÅLÅLÅÅ

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶

0 ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzyzzzzzzz jjjjjjjij 0.500000000000 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.447213595500 yzzzzzzzz 0.112702
k x2H0L { k 0.500000000000 { k 0.387298334621 {
x3H0L 0.100000000000 0.0737711113563

1 ijjjjjjjjjjj x1H1L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.447213595500 zyzzzzzzz ijjjjjjjj 0.484603505284 zzyzzzzzz 0.0386309
k x2H1L { k 0.387298334621 { k 0.348667404358 {
x3H1L 0.0737711113563 0.0962196369040

2 jijjjjjjjjjj x1H2L yzzzzzzzzzzz jjjjjijjj 0.484603505284 yzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.545865148587 zzzzzzyzz 0.0612616
k x2H2L { k 0.348667404358 { k 0.396888701257 {
x3H2L 0.0962196369040 0.107251644208

3 ijjjjjjjjjjj x1H3L zzzzzzzzzzzy jijjjjjjj 0.545865148587 zzzzzzyzz jjjjjijjj 0.544381031358 zzzzyzzzz 0.0167638
k x2H3L { k 0.396888701257 { k 0.413652503526 {
x3H3L 0.107251644208 0.102346329269

4 ijjjjjjjjjjj x1H4L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.544381031358 zzzzzzzyz jjjjjjjji 0.525479185809 zzzzzzzzy 0.0189018
k x2H4L { k 0.413652503526 { k 0.403049573163 {
x3H4L 0.102346329269 0.0978711138794

5 jjjjjjjjjjji x1H5L zzzzzzzzzyzz jjjjjjjij 0.525479185809 zzyzzzzzz ijjjjjjjj 0.523348721283 zzzyzzzzz 0.00735319
k x2H5L { k 0.403049573163 { k 0.395696383428 {
x3H5L 0.0978711138794 0.0988831320244

52

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

6 jjjjjjjjjijj x1H6L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.523348721283 zzzzzzzzy jjjijjjjj 0.529444418009 yzzzzzzzz 0.0060957
k x2H6L { k 0.395696383428 { k 0.398299935979 {
x3H6L 0.0988831320244 0.100538516128

7 jjjjijjjjjjj x1H7L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529444418009 zzyzzzzzz jjjjjijjj 0.531122669667 zzzzzzzyz 0.00286656
k x2H7L { k 0.398299935979 { k 0.401166494662 {
x3H7L 0.100538516128 0.100453941902

8 jjjjjjjjjjij x1H8L zzzzzyzzzzzz jjjjjjjji 0.531122669667 zzzzzzzyz jjjjjjjij 0.529344184427 zyzzzzzzz 0.00177849
k x2H8L { k 0.401166494662 { k 0.400740671227 {
x3H8L 0.100453941902 0.0998883480747

9 jjjjjjjijjjj x1H9L zzzzzzzzzzyz jjjjjjjji 0.529344184427 yzzzzzzzz jjjijjjjj 0.528517924223 yzzzzzzzz 0.00101973
k x2H9L { k 0.400740671227 { k 0.399720945938 {
x3H9L 0.0998883480747 0.0998307869756

10 jjjjjjjjijjj x1H10L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 0.528517924223 zzzzyzzzz jjjjjjjji 0.528988516554 yzzzzzzzz 0.000470592
k x2H10L { k 0.399720945938 { k 0.399708756534 {
x3H10L 0.0998307869756 0.100011694612

11 jjjjjjjjjjji x1H11L zzzzzzzzzzyz ijjjjjjjj 0.528988516554 zzzzzzzyz ijjjjjjjj 0.529337289125 zzzyzzzzz 0.000348773
k x2H11L { k 0.399708756534 { k 0.400049201939 {
x3H11L 0.100011694612 0.100058394353

12 jjjjjjijjjjj x1H12L zyzzzzzzzzzz ijjjjjjjj 0.529337289125 zzzzzzzzy jjjjjjijj 0.529232711291 zyzzzzzzz 0.000104578
k x2H12L { k 0.400049201939 { k 0.400104862229 {
x3H12L 0.100058394353 0.100004948396

13 ijjjjjjjjjjj x1H13L zyzzzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529232711291 zzzzzzyzz jjjjijjjj 0.529100139352 yzzzzzzzz 0.000132572
k x2H13L { k 0.400104862229 { k 0.399999443972 {
x3H13L 0.100004948396 0.0999811952175

14 jijjjjjjjjjj x1H14L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjij 0.529100139352 zzzzzzzzy jjjjjijjj 0.529115038580 zzzzyzzzz 0.0000346524
k x2H14L { k 0.399999443972 { k 0.399964791611 {
x3H14L 0.0999811952175 0.0999954888614

15 ijjjjjjjjjjj x1H15L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.529115038580 yzzzzzzzz jjjjjjjji 0.529161695776 zzzzzzzyz 0.0000466572
k x2H15L { k 0.399964791611 { k 0.399994841981 {
x3H15L 0.0999954888614 0.100005611105

16 jjjjjjjjjjji x1H16L zzzzzzzyzzzz jjjjjijjj 0.529161695776 yzzzzzzzz jjjijjjjj 0.529163790303 yzzzzzzzz 0.0000161622
k x2H16L { k 0.399994841981 { k 0.400011004226 {
x3H16L 0.100005611105 0.100002362081

17 jjjjjijjjjjj x1H17L zzzzzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.529163790303 zzzzzzzyz jjjjijjjj 0.529148487085 zzzzzzzyz 0.0000153032
k x2H17L { k 0.400011004226 { k 0.400003397204 {
x3H17L 0.100002362081 0.0999984797779

18 ijjjjjjjjjjj x1H18L zzzzzzzzzzzy jjjjjjjji 0.529148487085 zzzzzzzyz jjjjjjjij 0.529145463186 zzzzzzzzy 6.56612 µ 10-6
k x2H18L { k 0.400003397204 { k 0.399996831080 {
x3H18L 0.0999984797779 0.0999989783686

53

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La solución aproximada del sistema es:

P19 = jjjijjjjj 0.529145463186 zzyzzzzzz
k 0.399996831080 {
0.0999989783686

à Problema 12. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2, x3L = x12 + x2 - 37 = 0,
f1Hx1, x2, x3L = x1 - x22 - 5 = 0.

f1Hx1, x2, x3L = x1 + x2 + x3 - 3 = 0

Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Seidel
comenzando en el punto: P0 = IxH10L, xH20L, x3H0LMT = H0, 0, 0LT , e iterando hasta que
∞Pi+1 - Pi¥¶ § 5 µ 10-5.

Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

ecuaciones = 8x12 + x2 − 37, x1 − x22 − 5, x1 + x2 + x3 − 3<;

ecuacionestrans = 9è!−!!x!!!2!!+!!!3!!!7!! , è!x!!1!!!−!! !!! , 3 − x1 − x2=;
5

d = 10.−5; p = 80., 0., 0.<;

seidel@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;

Método de Seidel para sistemas de ecuaciones no lineales.

f Hx1, x2, x3L = jjjjjjjjji x12 + x2 - 37 zzzzyzzzzz = jjjjjjijj 0 zzzzzzzzy
k -x22 + x1 - 5 { k 0 {
x1 + x2 + x3 - 3 0

P0 = jjijjjjjjjjj x1H0L yzzzzzzzzzzz = jjjjjijjj 0. yzzzzzzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.

Ecuaciones preparadas para el método de Seidel.

jjjjjjjjjjji x1HkL zyzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjjj "#3##7####-####H#x##2#H#k#-##1##L#L## yzzzzzzzzzzzzzz
k x2HkL { k "#H#x##1#H#k##L#L##-####5### {
x3HkL -Hx1HkLL - Hx2HkLL + 3

Tabla de datos.

i Pi Pi+1 ∞Pi+1 - Pi¥¶
6.08276
0 jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzyzzzzz jjjjjjijj 0 zzzzzzzyz jjjjjjijj 6.08276253030 zzzzzyzzz
k x2H0L { k 0 { k 1.04055875870 {
x3H0L 0 -4.12332128899

54

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

1 jjjjjjjjjjij x1H1L yzzzzzzzzzzz jjjjjjjji 6.08276253030 zzzzzzyzz ijjjjjjjj 5.99661915093 yzzzzzzzz 0.128394
k x2H1L { k 1.04055875870 { k 0.998308144277 {
x3H1L -4.12332128899 -3.99492729521

2 jjjjjjjjjjji x1H2L zyzzzzzzzzzz ijjjjjjjj 5.99661915093 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 6.00014098632 zzzzzzzyz 0.00528418
k x2H2L { k 0.998308144277 { k 1.00007049068 {
x3H2L -3.99492729521 -4.00021147700

3 jjjjjjjijjjj x1H3L zzzzzzzzzzyz jjjjjjjij 6.00014098632 yzzzzzzzz jjjjjjjji 5.99999412577 zzzzzzyzz 0.000220288
k x2H3L { k 1.00007049068 { k 0.999997062883 {
x3H3L -4.00021147700 -3.99999118866

4 jjjjjjjjjjji x1H4L zzzzzzzzzzzy jjjijjjjj 5.99999412577 zyzzzzzzz ijjjjjjjj 6.00000024476 zzyzzzzzz 9.17848 µ 10-6
k x2H4L { k 0.999997062883 { k 1.00000012238 {
x3H4L -3.99999118866 -4.00000036714

La solución aproximada del sistema es:

P5 = jjjjijjjj 6.00000024476 zzzzyzzzz
k 1.00000012238 {
-4.00000036714

55

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

5. Método de Newton

5.1 Introducción

En los métodos del Punto Fijo y de Seidel es necesario convertir el problema a un
problema de punto fijo convergente, si se resuelven algebraicamente las ecuaciones
iniciales para las variables del problema. Sin embargo, es dificil encontrar una
transformación de las ecuaciones para que el problema sea convergente. Con el método de
Newton se puede obtener la solución de un sistema de ecuaciones no lineales de una forma
más general.

Para construir un algoritmo que lleve a un método de Punto Fijo apropiado en el

caso unidimensional, se obtiene una función f con la propiedad de que

gHxL = x - f HxL f HxL (5)

da una convergencia cuadrática en el punto fijo p de la función g. A partir de esta condición
el método de Newton evoluciona al seccionar f HxL = ÅÅfÅÅ£Å1HÅÅxÅÅLÅÅ , suponiendo que f £ ∫ 0.

La aplicación de un procedimiento semejante en el caso n - dimensional incluye una

matriz

A HxL = jjjjjjjjjjjjkiaaa12n1.11.HHH.xxxLLL a12HxL ... .... a1 nHxL zzzzzzzzzzzyz (6)
a22HxL a2 nHxL {

... ...
an2HxL annHxL

donde todos los elementos ai jHxL son una función de n en . Esto requiere obtener AHxL de
modo que

56

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

GHxL = x - AHxL-1 FHxL (7)

de la convergencia cuadrática a la solución de FHxL = 0, suponiendo que AHxL es no singular
en el punto fijo p de G.

ô Teorema 3.

Suponiendo que p es una solución de GHxL = x para alguna función
G = Hg1, g2, ..., gnLt de n en n . Si existe un número d > 0 con las propiedades:

(i) Å∑∑ÅÅxÅgÅÅijÅ sea continua en

Nd = 8x ê ∞x - p¥  d<, i = 1, 2, .., n ; j = 1, 2, ..., n

(ii) ÅHÅÅ∑∑ÅÅx2ÅÅgjÅÅi∑ÅHÅÅxxÅkÅLÅLÅÅ sea continua y … ÅHÅÅ∑∑ÅÅx2ÅÅgjÅÅi∑ÅHÅÅxxÅkÅLÅLÅÅ …  M para alguna contante M y siempre que
x œ Nd i = 1, 2, ...., n, j = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., n.

(iii) Å∑ÅÅgÅ∑ÅÅixÅHÅkÅpÅÅLÅ = 0 , para i = 1, 2, .. n y k = 1, 2, ..., n.
entonces existe un número d` § d tal que la sucesión generada por xHkL = G HxHk-1LL con-
verge cuadráticamente a p para cualquier elección de xH0L a condición de que
»» xH0L - p »»  d. Incluso

»» xHkL - p »»∂ § ÅnÅÅ2ÅÅ2ÅMÅÅÅÅÅ »» xHk-1L - p »»2∂, k ¥ 1.
Para utilizar el teorema anterior se supone una matriz AHxL de n µ n de funciones de
n a en la forma de la ecuación matricial, cuyos elementos específicos se escogerán más
adelante. Suponiendo además que AHxL es no singular cerca de una solución p de FHxL = 0, y

57

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

denotando con bi j HxL el elemento AHxL-1 en la i - ésima fila y la j - ésima columna.

Dado que GHxL = x - HAL-1 FHxL, se tiene:

giHxL = xi - n bi jHxL f jHxL, (8)
(9)
‚ j=1

n Ibi jHxL Å∑∑ÅÅxÅfÅkÅjÅ Å∑Å∑ÅbÅxÅiÅkÅjÅ HxL f jHxLM

Å∑ÅÅÅ∑ÅgÅÅÅixÅÅHÅkÅxÅÅÅLÅÅ 1- S HxL + i=k
i∫k
= j=1

9n Ibi jHxL Å∑∑ÅÅxÅfÅkÅjÅ Å∑Å∑ÅbÅxÅiÅkÅjÅ HxL f jHxLM

-S HxL +

j=1

El teorema implica que se necesita Å∑ÅÅgÅ∑ÅÅixÅHÅkÅpÅÅLÅ = 0 para toda i = 1, 2, .., n y toda
k = 1, 2, .., n. Esto significa que, para toda i = k,

0 = 1- n bi jH pL Å∑∑ÅÅÅÅxÅfÅÅijÅÅ H pL, (10)

‚

j=1

así que

n bi jH pL Å∑∑ÅÅÅÅxÅfÅÅiÅjÅ

‚ H pL = 1. (11)

j=1

Cuando k ∫ i,

n bi jH pL Å∑∑ÅÅÅÅxÅfÅÅkÅjÅÅ H pL,

0 =-‚ (12)

j=1

así que

n bi jH pL Å∑ÅÅÅÅÅfÅÅÅjÅÅ H pL = 0. (13)
∑ xk
‚

j=1

Al definir la matriz JHxL por medio de

58

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

J HxL = jjjjjjijjjjjjjjjjjj Å∑∑ÅÅxÅfÅ11ÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ12ÅÅ HxL ... .... Å∑∑ÅÅxÅfÅ1nÅÅ HxL zzzzzzzzzzzzyzzzzzz (14)
k Å∑∑ÅÅxÅfÅ21ÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ22ÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ2nÅÅ HxL { (15)

... ... ...
Å∑∑ÅÅxÅfÅn1ÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅn2ÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅnnÅÅ HxL

se requiere que
AH pL-1 JH pL = I, la matriz identidad,

De modo que (16)
AH pL = JH pL

En consecuencia, una elección apropiada de AHxL es AHxL = JHxL dado que entonces
se cumple la condición (iii) del teorema.

La función G está definida por (17)
GHxL = x - JHxL-1 FHxL,

y el procedimiento de la iteración funcional pasa de seleccionar xH0L a generar para k ¥ 1

xHkL = G IxHk-1L = xHk-1L - J HxHk-1LL-1 FHxHk-1LL M (18)

A esto se le llama método de Newton para sistemas no lineales y generalmente se
espera que dé una convergencia cuadrática, siempre y cuando se conozca un valor inicial
suficientemente preciso y exista JH pL-1. A la matriz JHxL se le llama matriz jacobiana.

La debilidad del método de Newton se debe a la necesidad de calcular e invertir la
matriz JHxL en cada paso. En la práctica, el cálculo explícito de J HxL-1 se evita efectuando
la operación en dos pasos. Primero, encontrando un vector y que satisfaga

59

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

J HxHk-1LL y = -FHxHk-1LL.

Una vez hecho esto, se obtiene la nueva aproximación xHkL agregando y a xHk-1L.

5.2 Pseudocódigo

è Algoritmo 3. Método de Newton para sistemas 2 ¥ 2

El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
2 ecuaciones con 2 incognitas mediante el método de Newton es:

Algoritmo Newton 2 × 2

Input If1Hx1, x2L, f2Hx1, x2L, Hx1H0L, x2H0L LT , n, errorM

(* Se inicializan las variables *)

p  Hx1H0L x2H0L LT
F  8f1Hx1, x2L, f2Hx1, x2L<

J  jijjjjjj Å∑ÅÅÅfÅ1ÅÅHÅ∑ÅxÅxÅ1Å1Å,ÅÅxÅÅ2ÅÅLÅ Å∑ÅÅÅfÅ1ÅÅÅH∑ÅxÅxÅ1Å2Å,ÅÅxÅÅ2ÅÅLÅ zzzzzzyz
k Å∑ÅÅÅfÅ2ÅÅHÅ∑ÅxÅxÅ1Å1Å,ÅÅxÅÅ2ÅÅLÅ Å∑ÅÅÅfÅ2ÅÅÅH∑ÅxÅxÅ1Å2Å,ÅÅxÅÅ2ÅÅLÅ {

For k = 1, ..., n do

H* Se evalúa la función F y la matriz jacobiana en el punto *L

f_valor  jjjij f1 H x1Hk-1L, x2Hk-1L LLzz{yzz
k f2 H x1Hk-1L, x2Hk-1L

j_valor  jijjj j11 H x1Hk-1L, x2Hk-1L L j12 H x1Hk-1L, x2Hk-1L LLyzzzz{
k j21 H x1Hk-1L, x2Hk-1L L j22 H x1Hk-1L, x2Hk-1L

(* Cálculo del vector y *)

y  Å-ÅÅjÅÅ_fÅ_ÅvÅvÅaÅÅalÅÅolÅoÅrÅÅrÅ
p  p+y

End

Return HxHkL ª HpLT L
Output

60

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

è Algoritmo 4. Método de Newton para sistemas n ¥ n
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales

mediante el método de Newton es:

Algoritmo Newton
Input I8f Hx1, ..., xnL<1n, Hx1H0L x2H0L ... xnH0L LT , n, errorM

(* Se inicializan las variables *)
p  Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT
F  8f Hx1, ..., xnL<1n

J Hx L = jjjjjjjjijjjjjjjjjjjj Å∑∑ÅÅxÅfÅ11ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ12ÅÅÅ HxL ... .... Å∑∑ÅÅxÅfÅ1nÅÅÅ HxL zzzzzzzzzzzyzzzzzzzzz Hx ª Hx1, ..., xnLL
k Å∑∑ÅÅxÅfÅ21ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ22ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ2nÅÅÅ HxL {

... ... ...
Å∑∑ÅÅxÅfÅn1ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅn2ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅnnÅÅÅ HxL

p_ant  p

For k = 1, ..., n do

H* Se evalúa la función F y la matriz jacobiana en el punto *L

f_valor  jjjjjijjjjjjjjjjj f1 H p1Hk-1L, p2Hk-1L, ..., pnHk-1L L Lzzzzzzzzzzzzzz{zyz
k f2 H p1Hk-1L, p2Hk-1L , ..., pnHk-1LL

................ , ..., pnHk-1L
fn H p1Hk-1L, p2Hk-1L

j_valor  jjjjjjjjijjjjjjjjj j11 H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L ... j1 n H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L LLL zzzzzy{zzzzzzzzzzzz
k j21 H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L L ... j2 n H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L
...
jn 1 H ... pnHk-1L L ... ...

p1Hk-1L, ..., jn n H p1Hk-1L, ..., pnHk-1L

(* Cálculo del vector y *)

y  Å-ÅÅjÅÅ_fÅ_ÅvÅvÅaÅÅalÅÅolÅoÅrÅÅrÅ
pp+y

(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error  »» p - p_ant »»¶
p_ant  p
If Herror § error_iniL do

Break

End

End

Return HxHkL ª HpLT L
Output

61

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

5.3 Problemas

à Problema 13. Considérese el sistema no lineal siguiente,

f1Hx, yL = x2 + y2 - 2 = 0 (circunferencia)

f2Hx, yL = x2 - y - 0.5 x + 0.1 = 0 (parábola).

a) Usar el método de Newton comenzando en el punto P0 = H p0, q0L= H1.2, 0.8L y

calcular los puntos P1 y P2.

b) Empleando el método de Newton y comenzando en el punto

P0 = H p0, q0L= H-0.8, 1.2L, calcular los puntos P1 y P2.

Solución

Clear@f1, f2, p, y1, y2, g1, g2, gD;
f1 = x2 + y2 − 2;

f2 = x2 − y − 0.5 x + 0.1;
y1 = è!2!!!−!!!x!!2!! ;

y2 = x2 − 0.5 x + 0.1;

p = 81.2, 0.8<;

newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 2, 0.2D;

Print@"Representación de las funciones",

"\n\t f1Hx,yL = ", f1, "\n\t f2Hx,yL = ", f2D;

g1 = Plot AEvaluateA8y1, −y1<, 9x, −è!2!! , è!!! =E,
2

PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,

AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;

g2 = Plot AEvaluateA8y2<, 9x, −è!2!! , è!!! =E,
2

PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,

AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;

g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,

AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;

p = 8−0.8, 1.2<;

newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 2, 0.2D;

Print@"Representación de las funciones",

"\n\t f1Hx, yL = ", f1, "\n\t f2Hx, yL = ", f2D;

g1 = Plot AEvaluateA8y1, −y1<, 9x, −è!2!! , è!!! =E,
2

PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,

AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;

g2 = Plot AEvaluateA8y2<, 9x, −è!2!! , è!!! =E,
2

PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,

AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity E;

g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,

AspectRatio −> Automatic, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;

62

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

f1Hx,yL = x2 + y2 - 2

f2Hx,yL = x2 - 0.5 x - y + 0.1

P0 = jji x H0L yzz = jji 1.2 zyz
k yH0L { k 0.8 {

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

F Hx, yL = jji x2 + y2 - 2 y + 0.1 zyz
k x2 - 0.5 x - {

J Hx, yL = jji 2 x - 0.5 2y zyz
k 2 x -1 {

J -1 Hx , yL = jijjjjj - Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅ12ÅÅÅÅxÅÅ+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ - Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅÅÅxÅÅÅ-2ÅÅ2ÅyÅÅÅxÅÅ+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ zzzzzzy
k Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅ0ÅÅxÅ.Å5Å-ÅÅ-2ÅÅ2ÅÅxÅÅx+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅÅÅxÅÅÅ-2ÅÅ2ÅxÅÅÅxÅÅ+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ {

Iteración i = 0.

P0 = jji x H0L zzy = jji 1.20000 yzz
k yH0L { k 0.800000 {

F HP0L = F H1.2, 0.8L = jji 0.0800000 yzz
k 0.140000 {

J HP0L = J H1.2, 0.8L = jji 2.40000 1.60000 zzy
k 1.90000 -1.00000 {

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

jij 2.4 1.6 yzz.jij Dx zyz = -ijj 0.08 zzy
k 1.9 -1 {k Dy { k 0.14 {

DP = jji Dx yzz = -jji 0.183824 0.294118 yzz.jji 0.08 yzz
k Dy { k 0.349265 -0.441176 {k 0.14 {

DP = ijj Dx zzy = jij -0.0558824 zzy
k Dy { k 0.0338235 {

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jji 1.2 yzz + jij -0.0558824 zzy = jij 1.14412 zzy
k 0.8 { k 0.0338235 { k 0.833824 {

63

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 1.

P1 = jij x H1L yzz = jij 1.14412 yzz
k yH1L { k 0.833824 {

F HP1L = F H1.14412, 0.833824L = ijj 0.00426687 yzz
k 0.00312284 {

J HP1L = J H1.14412, 0.833824L = ijj 2.28824 1.66765 zyz
k 1.78824 -1.00000 {

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

ijj 2.28824 1.66765 zyz.jji Dx zzy = -ijj 0.00426687 yzz
k 1.78824 -1 {k Dy { k 0.00312284 {

DP = jji Dx yzz = -jji 0.18974 0.316419 yzz.jji 0.00426687 yzz
k Dy { k 0.339299 -0.434169 {k 0.00312284 {

DP = ijj Dx yzz = jij -0.00179772 zzy
k Dy { k -0.0000919057 {

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jji 1.14412 yzz + jij -0.00179772 zyz = ijj 1.14232 yzz
k 0.833824 { k -0.0000919057 { k 0.833732 {

Tabla de datos.

i Pi J HPiL DP = -F HPiL

0 ijj 1.2 zzy jji 2.4 1.6 yzz.jji Dx yzz = -jji 0.08 yzz
k 0.8 { k 1.9 -1 {k Dy { k 0.14 {

1 jij 1.14412 zzy jji 2.28824 1.66765 yzz.jij Dx yzz = -ijj 0.00426687 zyz
k 0.833824 { k 1.78824 -1 {k Dy { k 0.00312284 {

i Pi DP = jji Dx zzy Pi+1 = Pi + DP
k Dy {

0 jji 1.2 zzy jij -0.0558824 yzz ijj 1.14412 zzy
k 0.8 { k 0.0338235 { k 0.833824 {

1 ijj 1.14412 zzy jji -0.00179772 zzy jji 1.14232 zzy
k 0.833824 { k -0.0000919057 { k 0.833732 {

La solución aproximada del sistema es:

P2 = jij 1.14232 zzy
k 0.833732 {

64

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Representación de las funciones
f1Hx,yL = x2 + y2 - 2
f2Hx,yL = x2 - 0.5 x - y + 0.1

Y

2
1

X
-1 -0.5 0.5 1

-1

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

f1Hx,yL = x2 + y2 - 2

f2Hx,yL = x2 - 0.5 x - y + 0.1

P0 = jji x H0L zzy = jji -0.8 yzz
k yH0L { k 1.2 {

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

F Hx, yL = ijj x2 + y2 - 2 y + 0.1 zzy
k x2 - 0.5 x - {

J Hx, yL = ijj 2 x - 0.5 2y zyz
k 2 x -1 {

J -1 Hx , yL = jjjjjij - Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅ12ÅÅÅÅxÅÅ+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ - Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅÅÅxÅÅÅ-2ÅÅ2ÅyÅÅÅxÅÅ+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ zyzzzzz
k Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅ0ÅÅxÅ.Å5Å-ÅÅ-2ÅÅ2ÅÅxÅÅx+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ Å-ÅÅÅ4ÅÅÅyÅÅÅÅxÅÅÅ-2ÅÅ2ÅxÅÅÅxÅÅ+ÅÅÅ1ÅÅÅ.ÅÅyÅÅ {

Iteración i = 0.

P0 = ijj x H0L zzy = jji -0.800000 zzy
k yH0L { k 1.20000 {

F HP0L = F H-0.8, 1.2L = ijj 0.0800000 zzy
k -0.0600000 {

J HP0L = J H-0.8, 1.2L = ijj -1.60000 2.40000 zzy
k -2.10000 -1.00000 {

65

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

ijj -1.6 2.4 zzy.ijj Dx zzy = -jij 0.08 zzy
k -2.1 -1 {k Dy { k -0.06 {

DP = jji Dx yzz = -jji -0.150602 -0.361446 yzz.jji 0.08 zzy
k Dy { k 0.316265 -0.240964 {k -0.06 {

DP = ijj Dx zzy = jji -0.00963855 zyz
k Dy { k -0.039759 {

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jij -0.8 zyz + jij -0.00963855 yzz = jji -0.809639 zzy
k 1.2 { k -0.039759 { k 1.16024 {

Iteración i = 1.

P1 = jij x H1L yzz = jij -0.809639 yzz
k yH1L { k 1.16024 {

F HP1L = F H-0.809639, 1.16024L = ijj 0.00167368 yzz
k 0.0000929017 {

J HP1L = J H-0.809639, 1.16024L = jij -1.61928 2.32048 zzy
k -2.11928 -1.00000 {

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

ijj -1.61928 2.32048 yzz.jij Dx yzz = -jji 0.00167368 zyz
k -2.11928 -1 {k Dy { k 0.0000929017 {

DP = ijj Dx yzz = -jji -0.152975 -0.354975 yzz.jji 0.00167368 yzz
k Dy { k 0.324196 -0.247709 {k 0.0000929017 {

DP = jij Dx zzy = ijj 0.000289009 yzz
k Dy { k -0.000519589 {

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jji -0.809639 zzy + jij 0.000289009 zzy = jij -0.80935 zzy
k 1.16024 { k -0.000519589 { k 1.15972 {

Tabla de datos.

66

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

i Pi J HPiL DP = -F HPiL

0 ijj -0.8 zzy jij -1.6 2.4 zzy.jji Dx yzz = -jji 0.08 zzy
k 1.2 { k -2.1 -1 {k Dy { k -0.06 {

1 jij -0.809639 zzy ijj -1.61928 2.32048 yzz.jji Dx zyz = -jji 0.00167368 zyz
k 1.16024 { k -2.11928 -1 {k Dy { k 0.0000929017 {

i Pi DP = ijj Dx yzz Pi+1 = Pi + DP
k Dy {

0 ijj -0.8 zzy jij -0.00963855 zzy jij -0.809639 yzz
k 1.2 { k -0.039759 { k 1.16024 {

1 jij -0.809639 zzy jji 0.000289009 yzz jij -0.80935 zzy
k 1.16024 { k -0.000519589 { k 1.15972 {

La solución aproximada del sistema es:

P2 = jij -0.80935 zyz
k 1.15972 {

Representación de las funciones
f1Hx, yL = x2 + y2 - 2
f2Hx, yL = x2 - 0.5 x - y + 0.1

Y

2
1

X
-1 -0.5 0.5 1

-1

à Problema 14. Sean la hipérbola 3 x2 - 2 y2 - 1 = 0 y la elipse de ecuación
x2 - 2 x + y2 + 2 y - 8 = 0.
Se pide:
a) Representar gráficamente los puntos de corte de ambas curvas.
b) Aproximar cada uno de los puntos de corte de abscisa positiva mediante el
método de Newton-Raphson para sistemas, comenzando a iterar en los puntos
P0 = Hx0, y0L = H1.5, 1.5L,

67

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

P0 = Hx0, y0L = H2.0, -3.0L,
y calculando las tres primeras iteraciones en cada caso (puntos P1, P2, y P3).

Solución

<< Graphics`ImplicitPlot`;

Clear@x, y, f1, f2, p, g1, g2, g, p, lD;
f1 = 3 x2 − 2 y2 − 1;
f2 = x2 − 2 x + y2 + 2 y − 8;

Print@"Representación de las funciones",
"\n\t f1Hx, yL = ", f1, "\t HhipérbolaL",
"\n\t f2Hx, yL = ", f2, "\t HelipseL"D;

g1 = ImplicitPlot@f1 0, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @0, 0, 1D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;

g2 = ImplicitPlot@f2 0, 8x, −5, 5<,
PlotStyle −> 88Thickness @0.010D, RGBColor @1, 0, 0D<<,
AxesLabel −> 8"X", "Y"<, DisplayFunction −> Identity D;

g = Show @g1, g2, AxesLabel −> 8"X", "Y"<,
AxesOrigin −> 80, 0<, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;

p = 81.5, 1.5<;
l = newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 3, 0.2D;
Print@"\t f1Hx, yL = ", f1,

StringReplace@"\n\t f1Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD
<D,

f1 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD<,
"\n\t f2Hx, yL = ", f2,

StringReplace@"\n\t f2Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD
<D,

f2 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD< D;

Representación de las funciones

f1Hx, yL = - 1 + 3 x2 - 2 y2 HhipérbolaL

f2Hx, yL = - 8 - 2 x + x2 + 2 y + y2 HelipseL

68

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Y
6

4

2

-4 -2 X
-2 24

-4

-6

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

f1Hx,yL = - 1 + 3 x2 - 2 y2

f2Hx,yL = - 8 - 2 x + x2 + 2 y + y2

P0 = jij x H0L yzz = jji 1.5 zzy
k yH0L { k 1.5 {

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

F Hx, yL = jij -1 + 3 x2 - 2 y2 y + y2 zyz
k -8 - 2 x + x2 +2 {

J Hx, yL = jji 6x 2x -4 y y yzz
k -2 + 2+2 {

J -1Hx, yL = jijjjjj Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅ2Å8Å+ÅÅyÅ2ÅÅ+ÅyÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅÅ8Å4ÅÅyÅÅyÅ+ÅÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ zzzzyzz
k Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅ2Å8Å-ÅÅyÅ2ÅÅ+ÅxÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅÅ8ÅÅ6ÅyÅÅxÅ+ÅÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ {

Iteración i = 0.

P0 = ijj x H0L zzy = jij 1.50000 yzz
k yH0L { k 1.50000 {

F HP0L = F H1.5, 1.5L = jji 1.25000 yzz
k -3.50000 {

J HP0L = J H1.5, 1.5L = jji 9.00000 -6.00000 zyz
k 1.00000 5.00000 {

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

69

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

jji 9. -6. zzy.jji Dx zyz = - jij 1.25 zzy
k 1. 5. {k Dy { k -3.5 {

DP = ijj Dx yzz = - ijj 0.0980392 0.117647 zzy.jji 1.25 zzy
k Dy { k -0.0196078 0.176471 {k -3.5 {

DP = jij Dx zzy = jji 0.289216 yzz
k Dy { k 0.642157 {

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jji 1.5 yzz + jji 0.289216 yzz = jij 1.78922 yzz
k 1.5 { k 0.642157 { k 2.14216 {

Iteración i = 1.

P1 = ijj x H1L zyz = jji 1.78922 yzz
k yH1L { k 2.14216 {

F HP1L = F H1.78922, 2.14216L = ijj -0.573794 yzz
k 0.496011 {

J HP1L = J H1.78922, 2.14216L = jji 10.7353 -8.56863 zzy
k 1.57843 6.28431 {

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

jij 10.7353 -8.56863 yzz.ijj Dx yzz = - ijj -0.573794 zyz
k 1.57843 6.28431 {k Dy { k 0.496011 {

DP = ijj Dx yzz = - ijj 0.0775947 0.1058 zzy.jji -0.573794 yzz
k Dy { k -0.0194895 0.132553 {k 0.496011 {

DP = jji Dx zzy = jji -0.0079546 zzy
k Dy { k -0.0769305 {

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jij 1.78922 zzy + jij -0.0079546 yzz = jji 1.78126 zzy
k 2.14216 { k -0.0769305 { k 2.06523 {

Iteración i = 2.

P2 = jij x H2L zyz = ijj 1.78126 zzy
k yH2L { k 2.06523 {

F HP2L = F H1.78126, 2.06523L = ijj -0.0116468 yzz
k 0.00598158 {

J HP2L = J H1.78126, 2.06523L = ijj 10.6876 -8.26091 zyz
k 1.56252 6.13045 {

70

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Se resuelve el sistema lineal J HP2L DP = -F HP2L:

jji 10.6876 -8.26091 zyz.jij Dx zzy = - ijj -0.0116468 zzy
k 1.56252 6.13045 {k Dy { k 0.00598158 {

DP = ijj Dx yzz = - ijj 0.0781672 0.105332 zzy.jji -0.0116468 yzz
k Dy { k -0.0199231 0.136273 {k 0.00598158 {

DP = ijj Dx zzy = jij 0.000280345 zyz
k Dy { k -0.00104717 {

El siguiente punto de la iteración es:

P3 = P2 + DP

P3 = jji 1.78126 zyz + jij 0.000280345 zzy = jij 1.78154 yzz
k 2.06523 { k -0.00104717 { k 2.06418 {

Tabla de datos.

i Pi J HPiL DP = -F HPiL

0 jji 1.5 yzz jij 9. -6. yzz.jji Dx zzy = -ijj 1.25 zyz
k 1.5 { k 1. 5. {k Dy { k -3.5 {

1 jji 1.78922 zzy jji 10.7353 -8.56863 yzz.jji Dx yzz = -jji -0.573794 yzz
k 2.14216 { k 1.57843 6.28431 {k Dy { k 0.496011 {

2 jji 1.78126 zyz jij 10.6876 -8.26091 yzz.jij Dx zyz = -jij -0.0116468 yzz
k 2.06523 { k 1.56252 6.13045 {k Dy { k 0.00598158 {

i Pi DP = ijj Dx zzy Pi+1 = Pi + DP
k Dy {

0 jji 1.5 zzy ijj 0.289216 zyz jij 1.78922 zzy
k 1.5 { k 0.642157 { k 2.14216 {

1 jji 1.78922 zzy jij -0.0079546 zzy jji 1.78126 zzy
k 2.14216 { k -0.0769305 { k 2.06523 {

2 jij 1.78126 zzy ijj 0.000280345 zyz jji 1.78154 zyz
k 2.06523 { k -0.00104717 { k 2.06418 {

La solución aproximada del sistema es:

P3 = jji 1.78154 zzy
k 2.06418 {

f1Hx, yL = - 1 + 3 x2 - 2 y2
f1H1.78154, 2.06418L = - 1.95735 µ 10-6

f2Hx, yL = - 8 - 2 x + x2 + 2 y + y2
f2H1.78154, 2.06418L = 1.17516 µ 10-6

71

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

p = 82.0, −3.0<;
l = newtonRaphsonNoLineal@f1, f2, p, 3, 0.2D;
Print@"\t f1Hx, yL = ", f1,

StringReplace@"\n\t f1Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD<D,

f1 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD<,
"\n\t f2Hx, yL = ", f2,

StringReplace@"\n\t f2Haa, bbL = ",
8"aa" −> ToString@l@@1, 1DD, TraditionalFormD,
"bb" −> ToString@l@@2, 1DD, TraditionalFormD<D,

f2 ê. 8x −> l@@1, 1DD, y −> l@@2, 1DD<D;

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

f1Hx,yL = - 1 + 3 x2 - 2 y2

f2Hx,yL = - 8 - 2 x + x2 + 2 y + y2

P0 = jij x H0L zzy = jji 2. zyz
k yH0L { k -3. {

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

F Hx, yL = ijj -1 + 3 x2 - 2 y2 y + y2 zzy
k -8 - 2 x + x2 +2 {

J Hx, yL = ijj 6x 2x -4 y y zyz
k -2 + 2+2 {

J -1Hx, yL = jjjjijj Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅ2Å8Å+ÅÅyÅ2ÅÅ+ÅyÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅÅ8Å4ÅÅyÅÅyÅ+ÅÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ zzzzyzz
k Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅ2Å8Å-ÅÅyÅ2ÅÅ+ÅxÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ Å1ÅÅÅ2ÅÅÅxÅÅÅ-ÅÅÅ8ÅÅ6ÅyÅÅxÅ+ÅÅ2ÅÅÅ0ÅÅÅÅxÅÅyÅÅÅÅ {

Iteración i = 0.

P0 = jji x H0L zzy = ijj 2.00000 zzy
k yH0L { k -3.00000 {

F HP0L = F H2., -3.L = jji -7.00000 yzz
k -5.00000 {

J HP0L = J H2., -3.L = jji 12.0000 12.0000 zyz
k 2.00000 -4.00000 {

72

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

jji 12. 12. yzz.ijj Dx zyz = - jji -7. yzz
k 2. -4. {k Dy { k -5. {

DP = jji Dx yzz = - ijj 0.0555556 0.166667 yzz.jji -7. yzz
k Dy { k 0.0277778 -0.166667 {k -5. {

DP = jji Dx zzy = jji 1.22222 zyz
k Dy { k -0.638889 {

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jji 2. zyz + ijj 1.22222 zyz = jji 3.22222 zzy
k -3. { k -0.638889 { k -3.63889 {

Iteración i = 1.

P1 = jij x H1L zyz = jji 3.22222 zzy
k yH1L { k -3.63889 {

F HP1L = F H3.22222, -3.63889L = jji 3.66512 zzy
k 1.90201 {

J HP1L = J H3.22222, -3.63889L = jij 19.3333 14.5556 zzy
k 4.44444 -5.27778 {

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

jji 19.3333 14.5556 zzy.jij Dx zyz = - jij 3.66512 yzz
k 4.44444 -5.27778 {k Dy { k 1.90201 {

DP = ijj Dx yzz = - ijj 0.0316549 0.087301 yzz.jji 3.66512 yzz
k Dy { k 0.0266568 -0.115957 {k 1.90201 {

DP = ijj Dx yzz = jji -0.282066 zzy
k Dy { k 0.122851 {

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jji 3.22222 zzy + jij -0.282066 yzz = jij 2.94016 yzz
k -3.63889 { k 0.122851 { k -3.51604 {

73

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 2.

P2 = ijj x H2L zzy = jji 2.94016 zyz
k yH2L { k -3.51604 {

F HP2L = F H2.94016, -3.51604L = jji 0.208500 yzz
k 0.0946537 {

J HP2L = J H2.94016, -3.51604L = jij 17.6409 14.0642 yzz
k 3.88031 -5.03208 {

Se resuelve el sistema lineal J HP2L DP = -F HP2L:

ijj 17.6409 14.0642 zzy.jji Dx zzy = - jij 0.2085 zyz
k 3.88031 -5.03208 {k Dy { k 0.0946537 {

DP = jji Dx yzz = - ijj 0.0351049 0.0981148 yzz.jji 0.2085 yzz
k Dy { k 0.02707 -0.123067 {k 0.0946537 {

DP = jji Dx zyz = ijj -0.0166063 zyz
k Dy { k 0.00600469 {

El siguiente punto de la iteración es:

P3 = P2 + DP

P3 = jji 2.94016 zyz + ijj -0.0166063 yzz = ijj 2.92355 zyz
k -3.51604 { k 0.00600469 { k -3.51003 {

Tabla de datos.

i Pi J HPiL DP = -F HPiL

0 jij 2. zzy jij 12. 12. yzz.ijj Dx zyz = -jij -7. zzy
k -3. { k 2. -4. {k Dy { k -5. {

1 ijj 3.22222 yzz jij 19.3333 14.5556 yzz.jji Dx yzz = -jji 3.66512 yzz
k -3.63889 { k 4.44444 -5.27778 {k Dy { k 1.90201 {

2 jji 2.94016 yzz jji 17.6409 14.0642 zzy.ijj Dx zzy = -jij 0.2085 zzy
k -3.51604 { k 3.88031 -5.03208 {k Dy { k 0.0946537 {

i Pi DP = ijj Dx zyz Pi+1 = Pi + DP
k Dy {

0 ijj 2. zzy jji 1.22222 zyz jij 3.22222 zyz
k -3. { k -0.638889 { k -3.63889 {

1 ijj 3.22222 yzz ijj -0.282066 yzz jji 2.94016 yzz
k -3.63889 { k 0.122851 { k -3.51604 {

2 ijj 2.94016 yzz jij -0.0166063 zyz jji 2.92355 yzz
k -3.51604 { k 0.00600469 { k -3.51003 {

74

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La solución aproximada del sistema es:

P3 = jij 2.92355 yzz
k -3.51003 {

f1Hx, yL = - 1 + 3 x2 - 2 y2
f1H2.92355, -3.51003L = 0.000755194
f2Hx, yL = - 8 - 2 x + x2 + 2 y + y2
f2H2.92355, -3.51003L = 0.000311825

à Problema 15. Dado el sistema no lineal de ecuaciones,
f1Hx1, x2, x3L = 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = 2 x1 + x2 - x3 + 4 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = x12 + x22 + x23 - 4 = 0,

se pide aplicar el método de Newton para sistemas no lineales para calcular la
aproximación del sistema en los dos casos siguientes:
a) Iniciando el método en el punto inicial P0 = Ix1H0L, x2H0L, x3H0LMT = H-0.5, -1.5, 1.5LT
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.
b) Con el punto inicial P0 = IxH10L, x2H0L, xH30LMT = H-1.0, -1.5, 0.5LT e iterando hasta
que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.

Solución

a)

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 82 x1 − 3 x2 + x3 − 4, 2 x1 + x2 − x3 + 4, x21 + x22 + x32 − 4<;
p = 8−0.5, −1.5, 1.5<;
m = 12; d = 10.−5;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

jjjjjjjji 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 zzzzyzzzz jjjjijjjj 0 zzzzzyzzz
k 2 x1 + x2 - x3 + 4 { k 0 {
fi Hx1 , x2, x3L = x12 + x22 + x32 - 4 = 0

P0 = ijjjjjjjjjjj x1H0L zyzzzzzzzzzz = ijjjjjjjj -0.5 zzyzzzzzz
k x2H0L { k -1.5 {
x3H0L 1.5

75

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

jjjjjjjji 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 zzzzzzzzy
k 2 x1 + x2 - x3 + 4 {
F Hx1, x2, x3L = x12 + x22 + x32 - 4

J Hx1, x2, x3L = jjjjijjjj 2 -3 1 zzyzzzzzz
k 2 1 -1 {
2 x1 2 x2 2 x3

Iteración i = 0.

P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zyzzzzzzzzzz = jjjjjjijj -0.500000 zzzyzzzzz
k x2H0L { k -1.50000 {
x3H0L 1.50000

F HP0L = jjjjijjjj 1.00000 zzzzzzyzz
k 0 {
0.750000

J HP0L = jjjjjjjji 2.00000 -3.00000 1.00000 zzyzzzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.00000 -3.00000 3.00000

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

ijjjjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzyzzzzzz.jjjjjjjji Dx1 zzzzzzyzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.00000 -3.00000 3.00000 Dx3

DP = ijjjjjjjj Dx1 zzyzzzzzz = jjjijjjjj -0.15 zzzzyzzzz
k Dx2 { k 0.2 {
Dx3 -0.1

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jjjjjjjji -0.5 zyzzzzzzz + jjjjjjjij -0.15 zzzzzzzyz = jjjjjjijj -0.65 zzzzzzzyz
k -1.5 { k 0.2 { k -1.3 {
1.5 -0.1 1.4

76

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 1.

P1 = jjjjjjjjjjji x1H1L zzzyzzzzzzzz = jjijjjjjj -0.650000 zyzzzzzzz
k x2H1L { k -1.30000 {
x3H1L 1.40000

F HP1L = jjjjjjjjji 4.44089 µ 10-16 yzzzzzzzzz
k 2.22045 µ 10-16 {
0.0725000

J HP1L = jjijjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzyzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.30000 -2.60000 2.80000

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

jjjjijjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 yzzzzzzzz.jjijjjjjj Dx1 zzzzzzzyz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.30000 -2.60000 2.80000 Dx3

DP = jjjjijjjj Dx1 zzzzzzzyz = jjijjjjjj -0.0154255 zzzzzzzzy
k Dx2 { k -0.0308511 {
Dx3 -0.0617021

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jijjjjjjj -0.65 zzzzyzzzz + jjjjjijjj -0.0154255 zzyzzzzzz = jjjijjjjj -0.665426 zyzzzzzzz
k -1.3 { k -0.0308511 { k -1.33085 {
1.4 -0.0617021 1.3383

Iteración i = 2.

P2 = jjjjjjjjjijj x1H2L zzzzzzzyzzzz = ijjjjjjjj -0.665426 yzzzzzzzz
k x2H2L { k -1.33085 {
x3H2L 1.33830

F HP2L = jijjjjjjjj - 4.44089 µ 10-16 zzzzzzzzzy
- 4.44089 µ 10-16 {

k 0.00499689

J HP2L = jjjjjjjji 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzzy
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.33085 -2.66170 2.67660

77

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Se resuelve el sistema lineal J HP2L DP = -F HP2L:

jjjijjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzyz.ijjjjjjjj Dx1 zzzzzzyzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.33085 -2.66170 2.67660 Dx3

DP = jjjjjjjji Dx1 zzzzzzzzy = jjjijjjjj -0.00123315 zzzzzzzyz
k Dx2 { k -0.0024663 {
Dx3 -0.00493261

El siguiente punto de la iteración es:

P3 = P2 + DP

P3 = jijjjjjjj -0.665426 zzzzzzzzy + jjjjjjjji -0.00123315 zzzzzzyzz = ijjjjjjjj -0.666659 zzzyzzzzz
k -1.33085 { k -0.0024663 { k -1.33332 {
1.3383 -0.00493261 1.33337

Iteración i = 3.

P3 = jjjjijjjjjjj x1H3L zzzzzzzzzzyz = jjjjijjjj -0.666659 zzzyzzzzz
k x2H3L { k -1.33332 {
x3H3L 1.33337

F HP3L = jjjjjijjjj 4.44089 µ 10-16 zzzzzzzzyz
k 2.22045 µ 10-16 {
0.0000319339

J HP3L = jijjjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzyzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.33332 -2.66663 2.66673

Se resuelve el sistema lineal J HP3L DP = -F HP3L:

jjjjjijjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzzy.jjjjjijjj Dx1 yzzzzzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.33332 -2.66663 2.66673 Dx3

DP = jjijjjjjj Dx1 zzzyzzzzz = jjjjjjjji -7.98281 µ 10-6 yzzzzzzzz
k Dx2 { k -0.0000159656 {
Dx3 -0.0000319312

El siguiente punto de la iteración es:

P4 = P3 + DP

P4 = jjijjjjjj -0.666659 yzzzzzzzz + jjjjjjjji -7.98281 µ 10-6 yzzzzzzzz = jjjjjjjji -0.666667 zzzzzzyzz
k -1.33332 { k -0.0000159656 { k -1.33333 {
1.33337 -0.0000319312 1.33333

78

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 4.

P4 = jjjjjjjjijjj x1H4L zzzzzzzzzzyz = jjjijjjjj -0.666667 zyzzzzzzz
k x2H4L { k -1.33333 {
x3H4L 1.33333

F HP4L = ijjjjjjjjj 2.22045 µ 10-16 zzyzzzzzzz
k 0 µ 10-9 {
1.33823

J HP4L = jjjjjjjji 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzyz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.33333 -2.66667 2.66667

Se resuelve el sistema lineal J HP4L DP = -F HP4L:

jjjjjjjji 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzzy.jjjjjjjji Dx1 yzzzzzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.33333 -2.66667 2.66667 Dx3

DP = jjjjjijjj Dx1 zzzzzyzzz = jjjijjjjjjj -3.34558 µ 10-10 zzzzzzyzzzz
k Dx2 { k -6.69115 µ 10-10 {
Dx3 -1.33823 µ 10-9

El siguiente punto de la iteración es:

P5 = P4 + DP

P5 = jjjjjjjji -0.666667 zzzyzzzzz + jjjijjjjjjj -3.34558 µ 10-10 zzzyzzzzzzz = jjjjjijjj -0.666667 zzzzzzyzz
k -1.33333 { k -6.69115 µ 10-10 { k -1.33333 {
1.33333 -1.33823 µ 10-9 1.33333

Tabla de datos.

i Pi DP = jjijjjjjj Dx1 zzzzzzzzy Pi+1 = Pi + DP ¥Pi+1 - Pi∞¶
k Dx2 {
Dx3

0 jjjjjjjij -0.5 zzzzzzzzy jjijjjjjj -0.15 zzzyzzzzz jjjjjijjj -0.65 zzyzzzzzz 0.2
k -1.5 { k 0.2 { k -1.3 { 0.0617021
1.5 -0.1 1.4

1 jjjjjjjji -0.65 zyzzzzzzz jjjjjjijj -0.0154255 yzzzzzzzz jjjjjjjji -0.665426 zzzyzzzzz
k -1.3 { k -0.0308511 { k -1.33085 {
1.4 -0.0617021 1.3383

79

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

2 jjijjjjjj -0.665426 zzzzyzzzz jjjjijjjj -0.00123315 zzzzyzzzz ijjjjjjjj -0.666659 yzzzzzzzz 0.00493261
k -1.33085 { k -0.0024663 { k -1.33332 {
1.3383 -0.00493261 1.33337

3 jjjijjjjj -0.666659 zzzzzyzzz jjjjjjjji -7.98281 µ 10-6 zzyzzzzzz jijjjjjjj -0.666667 zzzzzzyzz 0.0000319312
k -1.33332 { k -0.0000159656 { k -1.33333 {
1.33337 -0.0000319312 1.33333

4 jjjjjjjji -0.666667 zzzzzzzzy jjjjjjjjijj -3.34558 µ 10-10 zzzzzzyzzzz jjjjjjjij -0.666667 zyzzzzzzz 1.33823 µ 10-9
k -1.33333 { k -6.69115 µ 10-10 { k -1.33333 {
1.33333 -1.33823 µ 10-9 1.33333

La solución aproximada del sistema es:

P5 = jjjjjjjij -0.666667 zzzzzzzzy
k -1.33333 {
1.33333

Solución

b)

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 82 x1 − 3 x2 + x3 − 4, 2 x1 + x2 − x3 + 4, x21 + x22 + x32 − 4<;
p = 8−1.0, −1.5, 0.5<;
m = 12;
d = 10.−5;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

jjjjjijjj 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 zzzzzzzzy jjjjjijjj 0 zzzzzyzzz
k 2 x1 + x2 - x3 + 4 { k 0 {
fi Hx1 , x2, x3L = x12 + x22 + x32 - 4 = 0

P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzzzzzyzzz = jjjjjijjj -1. zzzyzzzzz
k x2H0L { k -1.5 {
x3H0L 0.5

80

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

jjjjjjjij 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4 zzzzzzyzz
k 2 x1 + x2 - x3 + 4 {
F Hx1, x2, x3L = x12 + x22 + x32 - 4

J Hx1, x2, x3L = jjjjjjjij 2 -3 1 zzzzzyzzz
k 2 1 -1 {
2 x1 2 x2 2 x3

Iteración i = 0.

P0 = ijjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzyz = ijjjjjjjj -1.00000 zzzzzzzzy
k x2H0L { k -1.50000 {
x3H0L 0.500000

F HP0L = jjjijjjjj -1.00000 zzzzzyzzz
k 0 {
-0.500000

J HP0L = jjjjjjijj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzzy
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-2.00000 -3.00000 1.00000

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

jjjjjjijj 2.00000 -3.00000 1.00000 yzzzzzzzz.jijjjjjjj Dx1 zzzzyzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-2.00000 -3.00000 1.00000 Dx3

DP = jjjijjjjj Dx1 yzzzzzzzz = jjjjjjjji 0.125 zzyzzzzzz
k Dx2 { k -0.25 {
Dx3 0.

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jjjjjjjij -1. zzzzzzyzz + jjjijjjjj 0.125 zzzzzzzzy = jjijjjjjj -0.875 zzzzzzzzy
k -1.5 { k -0.25 { k -1.75 {
0.5 0. 0.5

81

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 1.

P1 = ijjjjjjjjjjj x1H1L zzzzzzzzzzzy = jjjjjijjj -0.875000 zzzzzzzyz
k x2H1L { k -1.75000 {
x3H1L 0.500000

F HP1L = jjjjjjjji 0 zyzzzzzzz
k 0 {
0.0781250

J HP1L = jjjjjjijj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzyzzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.75000 -3.50000 1.00000

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

jjijjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzyzzz.jjjjijjjj Dx1 zzzzzzzzy
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.75000 -3.50000 1.00000 Dx3

DP = jjjjijjjj Dx1 zzzzzzzyz = jijjjjjjj 0.0164474 zzzzzzyzz
k Dx2 { k 0.0328947 {
Dx3 0.0657895

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jjjjjjijj -0.875 zzzzzyzzz + jijjjjjjj 0.0164474 zzyzzzzzz = jjjjijjjj -0.858553 zzyzzzzzz
k -1.75 { k 0.0328947 { k -1.71711 {
0.5 0.0657895 0.565789

Iteración i = 2.

P2 = jjjjjjjjjjji x1H2L yzzzzzzzzzzz = jijjjjjjj -0.858553 zzyzzzzzz
k x2H2L { k -1.71711 {
x3H2L 0.565789

F HP2L = jjjjjjjjji -1.11022 µ 10-16 zzzzzzzzzy
1.11022 µ 10-16 {

k 0.00568083

J HP2L = jjijjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzyzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.71711 -3.43421 1.13158

82

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Se resuelve el sistema lineal J HP2L DP = -F HP2L:

jjjjijjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 y{zzzzzzzz.jjjjjjijjk Dx1 zzyzzzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 Dx2 {
-1.71711 -3.43421 1.13158 Dx3

DP = jjjjjjjji Dx1 zyzzzzzzz = ijjjjjjjj 0.00139949 zzyzzzzzz
k Dx2 { k 0.00279898 {
Dx3 0.00559797

El siguiente punto de la iteración es:

P3 = P2 + DP

P3 = jjjjjjijj -0.858553 yzzzzzzzz + jjjjjjjji 0.00139949 zzzzzzyzz = jjjjjjjij -0.857153 zzzzzzzzy
k -1.71711 { k 0.00279898 { k -1.71431 {
0.565789 0.00559797 0.571387

Iteración i = 3.

P3 = jjjjjjjjjijj x1H3L yzzzzzzzzzzz = jjijjjjjj -0.857153 zzyzzzzzz
k x2H3L { k -1.71431 {
x3H3L 0.571387

F HP3L = jjjjjjijjj -9.99201 µ 10-16 zzzzzzzzyz
1.11022 µ 10-16

k 0.0000411302 {

J HP3L = ijjjjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzyzzzzzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.71431 -3.42861 1.14277

Se resuelve el sistema lineal J HP3L DP = -F HP3L:

ijjjjjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzyzz.ijjjjjjjj Dx1 zzzzzzzzy
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {k Dx2 {
-1.71431 -3.42861 1.14277 Dx3

DP = jjjjjjjji Dx1 zzzzzzyzz = ijjjjjjjj 0.0000102814 zzzzzzzzy
k Dx2 { k 0.0000205629 {
Dx3 0.0000411257

El siguiente punto de la iteración es:

P4 = P3 + DP

P4 = jjjjjjijj -0.857153 zzzzzzzyz + jjjjjjjji 0.0000102814 zzzyzzzzz = jjijjjjjj -0.857143 zzyzzzzzz
k -1.71431 { k 0.0000205629 { k -1.71429 {
0.571387 0.0000411257 0.571429

83

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 4.

P4 = jjjjjjjjjijj x1H4L zzzzzzzzzyzz = jjjijjjjj -0.857143 zzzzzyzzz
k x2H4L { k -1.71429 {
x3H4L 0.571429

F HP4L = jjijjjjjjjj 1.44329 µ 10-15 zzzyzzzzzzz
k -1.11022 µ 10-16 {
2.21986 µ 10-9

J HP4L = jjjijjjjj 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzzzzzzy
k 2.00000 1.00000 -1.00000 {
-1.71429 -3.42857 1.14286

Se resuelve el sistema lineal J HP4L DP = -F HP4L:

jjjjjjjij 2.00000 -3.00000 1.00000 zzzyzzzzz{.jjjjjjikjj Dx1 zzzzzzyzz
k 2.00000 1.00000 -1.00000 Dx2 {
-1.71429 -3.42857 1.14286 Dx3

DP = jjjjjjjji Dx1 zzzzzzzyz = ijjjjjjjjjj 5.54966 µ 10-10 zzzzzyzzzzz
k Dx2 { k 1.10993 µ 10-9 {
Dx3 2.21986 µ 10-9

El siguiente punto de la iteración es:

P5 = P4 + DP

P5 = jijjjjjjj -0.857143 zzzzzzzyz + ijjjjjjjjjj 5.54966 µ 10-10 zzzzzzzzzyz = jjjijjjjj -0.857143 zyzzzzzzz
k -1.71429 { k 1.10993 µ 10-9 { k -1.71429 {
0.571429 2.21986 µ 10-9 0.571429

Tabla de datos.

i Pi DP = jjijjjjjj Dx1 zzzzzzzzy Pi+1 = Pi + DP ¥Pi+1 - Pi∞¶
k Dx2 {
Dx3

0 jjjijjjjj -1. zzzzzzyzz jjjijjjjj 0.125 zzzzzzzyz jjjjjjjji -0.875 zyzzzzzzz 0.25
k -1.5 { k -0.25 { k -1.75 { 0.0657895
0.5 0. 0.5

1 jijjjjjjj -0.875 zzyzzzzzz jjjjjjijj 0.0164474 zzzzzzyzz jjjjjijjj -0.858553 yzzzzzzzz
k -1.75 { k 0.0328947 { k -1.71711 {
0.5 0.0657895 0.565789

84

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

2 ijjjjjjjj -0.858553 zzzyzzzzz ijjjjjjjj 0.00139949 zzzyzzzzz jjjjjjjij -0.857153 zzzzzzzzy 0.00559797
k -1.71711 { k 0.00279898 { k -1.71431 {
0.565789 0.00559797 0.571387

3 jjjjjijjj -0.857153 zzzzzzzyz jijjjjjjj 0.0000102814 zzyzzzzzz jijjjjjjj -0.857143 zyzzzzzzz 0.0000411257
k -1.71431 { k 0.0000205629 { k -1.71429 {
0.571387 0.0000411257 0.571429

4 jjjjjjjji -0.857143 yzzzzzzzz jijjjjjjjjj 5.54966 µ 10-10 zzzzyzzzzzz jjjjjjjji -0.857143 zzzzzzzzy 2.21986 µ 10-9
k -1.71429 { k 1.10993 µ 10-9 { k -1.71429 {
0.571429 2.21986 µ 10-9 0.571429

La solución aproximada del sistema es:

P5 = jjjijjjjj -0.857143 zzzzzzzzy
k -1.71429 {
0.571429

à Problema 16. Aplicando el método de Newton para sistemas no lineales calcular la
aproximación del sistema de ecuaciones no lineales siguiente, iniciando el método en el
punto inicial P0 = IxH10L, xH20L, xH30LMT = H0.5, 0.1, -0.1LT e iterando hasta que
∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.
f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = x21 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.

Solución

Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,

x21 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 80.5, 0.1, −0.1<;
m = 12;
d = 10.−5;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;

85

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.

fi Hx1 , x2, x3L = jjijjjjjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å12ÅÅÅ 1.06 zzzzzzzyzzzz = jjjjjjjij 0 zzzzzzyzz
k x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sinHx3L + { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0

P0 = jijjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzyz = jjjjjjjji 0.5 zzzzzyzzz
k x2H0L { k 0.1 {
x3H0L -0.1

La función vectorial y la matriz jacobiana son:

F Hx1, x2, x3L = jjjjjjjjijjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å12ÅÅÅ 1.06 zzzzzzzzzzzy
k x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sinHx3L + {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL

jjjjijjjj 3 sinHx2 x3L x3 sinHx2 x3L x2 zzzzzyzzz
k cosHx3L {
J Hx1, x2, x3L = 2 x1 -162 Hx2 + 0.1L 20
-‰-x1 -‰-x1 x2 x1
x2 x2

Iteración i = 0.

P0 = jjjjjijjjjjj x1H0L zzzzzzzyzzzz = jjjijjjjj 0.500000 zzyzzzzzz
k x2H0L { k 0.100000 {
x3H0L -0.100000

F HP0L = jjjijjjjj 0.0000499996 zyzzzzzzz
k -2.02983 {
8.42320

J HP0L = jjjijjjjj 3.00000 0.000999983 -0.000999983 zyzzzzzzz
k 1.00000 -32.4000 0.995004 {
-0.0951229 -0.475615 20.0000

Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:

jijjjjjjj 3.00000 0.000999983 -0.000999983 zzzzzzzzy.jjjjjjijj Dx1 zzzzzzzzy
k 1.00000 -32.4000 0.995004 {k Dx2 {
-0.0951229 -0.475615 20.0000 Dx3

DP = ijjjjjjjj Dx1 zzzzyzzzz = jjijjjjjj -0.000132437 zzzzzzyzz
k Dx2 { k -0.0756424 {
Dx3 -0.42296

86

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

El siguiente punto de la iteración es:

P1 = P0 + DP

P1 = jjjjjijjj 0.5 zzzzzzzyz + jijjjjjjj -0.000132437 zzzzzzyzz = jjjjjjjij 0.499868 zzzzyzzzz
k 0.1 { k -0.0756424 { k 0.0243576 {
-0.1 -0.42296 -0.52296

Iteración i = 1.

P1 = jjjjjjjjijjj x1H1L zzzzzzzzyzzz = jjjjjjijj 0.499868 zyzzzzzzz
k x2H1L { k 0.0243576 {
x3H1L -0.522960

F HP1L = jijjjjjjj -0.000316183 zyzzzzzzz
k -0.442229 {
0.000679587

J HP1L = jjjjjjjji 3.00000 0.00666131 -0.000310261 zzzyzzzzz
k 0.999735 -20.1459 0.866345 {
-0.0240629 -0.493818 20.0000

Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:

jijjjjjjj 3.00000 0.00666131 -0.000310261 zzzzyzzzz.jjjjjjjij Dx1 zzzyzzzzz
k 0.999735 -20.1459 0.866345 {k Dx2 {
-0.0240629 -0.493818 20.0000 Dx3

DP = jjjijjjjj Dx1 zzzzzzzzy = jjijjjjjj 0.000154114 zzzzzyzzz
k Dx2 { k -0.0219684 {
Dx3 -0.000576215

El siguiente punto de la iteración es:

P2 = P1 + DP

P2 = jjjjjijjj 0.499868 zzyzzzzzz + ijjjjjjjj 0.000154114 zzzzzzzyz = jjjijjjjj 0.500022 zzzzzzyzz
k 0.0243576 { k -0.0219684 { k 0.00238921 {
-0.52296 -0.000576215 -0.523536

87

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Iteración i = 2.

P2 = jijjjjjjjjjj x1H2L zzzyzzzzzzzz = jjjjjjjji 0.500022 yzzzzzzzz
k x2H2L { k 0.00238921 {
x3H2L -0.523536

F HP2L = jjjjjjjji 0.0000658141 zzzzzyzzz
k -0.0390915 {
0.0000631242

J HP2L = jjijjjjjj 3.00000 0.000654858 -2.98851 µ 10-6 zzzzzzzzy
k 1.00004 -16.5871 0.866057 {
-0.00238636 -0.499425 20.0000

Se resuelve el sistema lineal J HP2L DP = -F HP2L:

jjjjjjijj 3.00000 0.000654858 -2.98851 µ 10-6 yzzzzzzzz.jjjjjjijj Dx1 zzyzzzzzz
k 1.00004 -16.5871 0.866057 {k Dx2 {
-0.00238636 -0.499425 20.0000 Dx3

DP = jjjijjjjj Dx1 zzzzzzzyz = jjjijjjjj -0.0000214227 zzzzzzzyz
k Dx2 { k -0.00236128 {
Dx3 -0.0000621228

El siguiente punto de la iteración es:

P3 = P2 + DP

P3 = ijjjjjjjj 0.500022 zzzzzyzzz + jjjjjjjij -0.0000214227 zzzyzzzzz = jijjjjjjj 0.5 zzzzzzzyz
k 0.00238921 { k -0.00236128 { k 0.000027929 {
-0.523536 -0.0000621228 -0.523598

Iteración i = 3.

P3 = jjjjjjjjijjj x1H3L zzzzzzzzzzyz = jjjjjijjj 0.500000 zzyzzzzzz
k x2H3L { k 0.0000279290 {
x3H3L -0.523598

F HP3L = jjjjjjijjj 7.63928 µ 10-7 yzzzzzzzzz
k -0.000451626 {
6.45934 µ 10-7

J HP3L = jjjjjjjij 3.00000 7.65687 µ 10-6 -4.08422 µ 10-10 zzzzzzzzy
1.00000 -16.2045 0.866026
-0.499993
k -0.0000279286 20.0000 {

88