Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3L DP = -F HP3L:
jjjjjjjjjjjjji -1.99787 -1.00000 1.00000 -0.577381 zzzzzzzz{zyzzzz.jikjjjjjjjjjjjjj Dx1 zzzzzzzzzzzzzyz
-1.00000 -2.99787 -2.00000 0.577381 Dx2 {
1.00000 -2.00000 -2.99787 -0.577381
-1.15476 1.15476 0 Dx3
k 1.15476 Dx4
DP = ijjjjjjjjjjjjjj Dx1 zzzyzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj -0.0000306824 yzzzzzzzzzzzzz
k Dx2 { k 0.0000306824 {
-0.0000306824
Dx3 0.00212574
Dx4
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
P4 = ijjjjjjjjjjjjj 0.577381 yzzzzzzzzzzzzz + ijjjjjjjjjjjjj -0.0000306824 yzzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 0.57735 zzzzzzzzzzzzzy
k -0.577381 { k 0.0000306824 { k -0.57735 {
0.577381 -0.0000306824 0.57735
5.99787 0.00212574 6.
Iteración i = 4.
P4 = ijjjjjjjjjjjjjjjjj x1H4L zzzzzzzzzzzyzzzzzz = jjijjjjjjjjjjj 0.577350 zzzzzzyzzzzzzz
k x2H4L { k -0.577350 {
x3H4L 0.577350
x4H4L 6.00000
F HP4L = jijjjjjjjjjjjjjjj 6.52227 µ 10-8 zzzzzyzzzzzzzzzzz
k -6.52227 µ 10-8 {
6.52227 µ 10-8
2.82422 µ 10-9
J HP4L = ijjjjjjjjjjjjj -2.00000 -1.00000 1.00000 -0.577350 zzzzzzzzzzzzzy
-1.00000 -3.00000 -2.00000 0.577350
1.00000 -2.00000 -3.00000 -0.577350
-1.15470 1.15470
k 1.15470 0{
139
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP4L DP = -F HP4L:
jjjjjjjjjijjjj -2.00000 -1.00000 1.00000 -0.577350 zzzz{zzzzzzyzzz.jjjjjjjjjjjkijjj Dx1 zzzzzzzzzzyzzzz
-1.00000 -3.00000 -2.00000 0.577350 Dx2 {
1.00000 -2.00000 -3.00000 -0.577350
-1.15470 1.15470 0 Dx3
k 1.15470 Dx4
DP = ijjjjjjjjjjjjjj Dx1 zzzzzzzzyzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjjjjj -8.15283 µ 10-10 zzzzzzzyzzzzzzzzz
k Dx2 { k 8.15283 µ 10-10 {
-8.15283 µ 10-10
Dx3 1.12969 µ 10-7
Dx4
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
P5 = ijjjjjjjjjjjjj 0.57735 zzzzzzzzzzzzzy + jjjjjjjjjjjjjjjji -8.15283 µ 10-10 zzzzzzzyzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 0.57735 zzzzzzzzzzzzzy
k -0.57735 { k 8.15283 µ 10-10 { k -0.57735 {
0.57735 -8.15283 µ 10-10 0.57735
6. 1.12969 µ 10-7 6.
Tabla de datos.
140
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i Pi DP = jjjjjjjjijjjjjj Dx1 zzzzzzzzzzzzzyz Pi+1 = Pi + DP ¥Pi+1 - Pi∞¶
k Dx2 {
Dx3
Dx4
0 jjjjjjjjjjjjij 1. zzzyzzzzzzzzzz ijjjjjjjjjjjjj -0.333333 zzzyzzzzzzzzzz ijjjjjjjjjjjjj 0.666667 zzzzzyzzzzzzzz 3.33333
k -1. { k 0.333333 { k -0.666667 {
1. -0.333333 0.666667
1. 3.33333 4.33333
1 jjjjjjjjjjjjij 0.666667 zzzzzzzzzzzzzy jijjjjjjjjjjjj -0.0833333 zzzzzzzyzzzzzz jjjjjjjjjjjijj 0.583333 yzzzzzzzzzzzzz 1.45833
-0.666667 k 0.0833333 { k -0.583333 {
0.666667 -0.0833333 0.583333
1.45833 5.79167
k 4.33333 {
2 ijjjjjjjjjjjjj 0.583333 zzzzzzzyzzzzzz jjjjjjjjijjjjj -0.00595238 zzzzzzzzzzyzzz jjjjjjjjjijjjj 0.577381 zzzzyzzzzzzzzz 0.206207
k -0.583333 { k 0.00595238 { k -0.577381 {
0.583333 -0.00595238 0.577381
5.79167 0.206207 5.99787
3 jjjjjjjjjjjjij 0.577381 zzzzzzzyzzzzzz jijjjjjjjjjjjj -0.0000306824 zzzzzzzzzzzyzz jijjjjjjjjjjjj 0.57735 zzzzzzzzzzzzyz 0.00212574
k -0.577381 { k 0.0000306824 { k -0.57735 {
0.577381 -0.0000306824 0.57735
5.99787 0.00212574 6.
4 jjjjjjjjjjjjji 0.57735 zzzzzzzzzzzzzy jjjjjjjjjjjjjjjji -8.15283 µ 10-10 zzzzzzyzzzzzzzzzz jjjjjjjjijjjjj 0.57735 zzzzzzzzzzzzzy 1.12969 µ 10-7
k -0.57735 { k 8.15283 µ 10-10 { k -0.57735 {
0.57735 -8.15283 µ 10-10 0.57735
6. 1.12969 µ 10-7 6.
La solución aproximada del sistema es:
P5 = ijjjjjjjjjjjjj 0.577350 yzzzzzzzzzzzzz
-0.577350
0.577350
k 6.00000 {
Solución
c)
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 4 x1 − x2 + x3 − x1 x4, −x1 + 3 x2 − 2 x3 − x2 x4,
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x3 x4, x12 + x22 + x32 − 1 <;
p = 81.0, 0.0, 0.0, 1.0<;
m = 10;
d = 10.−5;
newtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
141
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
fi Hx1 , x2, x3, x4L = jjjjjjjjjjijjjj -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3 zzzzzzzzzzzzyzz = jjjijjjjjjjjjj 0 zzzzzzyzzzzzzz
k -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4 { k 0 {
x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4 0
x12 + x22 + x32 - 1 0
P0 = ijjjjjjjjjjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzyzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 1. yzzzzzzzzzzzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.
x4H0L 1.
La función vectorial y la matriz jacobiana son:
F Hx1, x2, x3, x4L = jjjjjjjjijjjjjj -x4 x1 + 4 x1 - x2 + x3 zzzzzzzzzzzzzyz
k -x1 + 3 x2 - 2 x3 - x2 x4 {
x1 - 2 x2 + 3 x3 - x3 x4
x12 + x22 + x32 - 1
ijjjjjjjjjjjjj 4- x4 -1 1 -x1 yzzzzzzzzzzzzz
-1 3 - x4 -2 -x2
J Hx1, x2, x3, x4L = 1 -2 3 - x4 -x3
2 x2 2 x3
k 2 x1 0{
Iteración i = 0.
P0 = jjjjjjjjijjjjjjjjjj x1H0L zzzzzzzzzzzzzyzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 1.00000 zzzzzzzzyzzzzz
k x2H0L { k 0 {
x3H0L 0
x4H0L 1.00000
F HP0L = ijjjjjjjjjjjjj 3.00000 zzzzzzzzzzzzyz
k -1.00000 {
1.00000
0
J HP0L = ijjjjjjjjjjjjj 3.00000 -1.00000 1.00000 -1.00000 zzzzzzzzzzzzzy
k -1.00000 2.00000 -2.00000 0
1.00000 -2.00000 2.00000 0
2.00000 0 0
0{
142
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP0L DP = -F HP0L:
jjjjjjjjjjjjij 3.00000 -1.00000 1.00000 -1.00000 zzzzzzzz{zzzyzz.jjjjijjjjjjjjkjj Dx1 zzyzzzzzzzzzzzz
k -1.00000 2.00000 -2.00000 0 Dx2 {
1.00000 -2.00000 2.00000 0
2.00000 0 0 0 Dx3
Dx4
jjjjjjjjjjjjjji Dx1 zzzzzzzzzyzzzzz ijjjjjjjjjjjjjj -5.9848 µ 10-17 zzzzzzzzzzzzzzy
k Dx2 { k 0.25 {
DP = = -0.25
Dx3 2.5
Dx4
El siguiente punto de la iteración es:
P1 = P0 + DP
P1 = ijjjjjjjjjjjjj 1. zzzzzzzzzzzzzy + jjjjjjjjjjjjjji -5.9848 µ 10-17 zzzzzzzzzzzzzzy = ijjjjjjjjjjjjj 1. yzzzzzzzzzzzzz
k 0. { k 0.25 { k 0.25 {
0. -0.25 -0.25
1. 2.5 3.5
Iteración i = 1.
P1 = jjjjjjjjjjijjjjjjjj x1H1L zyzzzzzzzzzzzzzzzzz = jijjjjjjjjjjjj 1.0000 zzzzzzzzzzzzyz
k x2H1L { k 0.250000 {
x3H1L -0.250000
x4H1L 3.50000
jjjjjjjjjjjjjij -4.44089 µ 10-16 yzzzzzzzzzzzzzz
-0.625000 {
F HP1L = 0.625000
k 0.125000
J HP1L = ijjjjjjjjjjjjj 0.500000 -1.00000 1.00000 -1.0000 yzzzzzzzzzzzzz
k -1.00000 -0.500000 -2.00000 -0.250000 {
1.00000 -2.00000 -0.500000 0.250000
2.00000 0.500000 -0.500000 0
143
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP1L DP = -F HP1L:
jjjjjjjjjjjjji 0.500000 -1.00000 1.00000 -1.0000 zzzzzzzz{zzzyzz.jjjjijkjjjjjjjjj Dx1 zzzzzzzzzyzzzzz
k -1.00000 -0.500000 -2.00000 -0.250000 Dx2 {
1.00000 -2.00000 -0.500000 0.250000
2.00000 0.500000 -0.500000 0 Dx3
Dx4
DP = jjjjjjjjjjjjjji Dx1 zzzzzzzzzzzzzyz = ijjjjjjjjjjjjj -0.170732 yzzzzzzzzzzzzz
k Dx2 { k 0.216463 {
-0.216463
Dx3 -0.518293
Dx4
El siguiente punto de la iteración es:
P2 = P1 + DP
P2 = ijjjjjjjjjjjjj 1. yzzzzzzzzzzzzz + jjjjjjjjjjjjji -0.170732 yzzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 0.829268 yzzzzzzzzzzzzz
k 0.25 { k 0.216463 { k 0.466463 {
-0.25 -0.216463 -0.466463
3.5 -0.518293 2.98171
Iteración i = 2.
P2 = jjjjijjjjjjjjjjjjjj x1H2L zzzzzzzyzzzzzzzzzzz = jjjijjjjjjjjjj 0.829268 zzzzzzzzzzzzyz
k x2H2L { k 0.466463 {
x3H2L -0.466463
x4H2L 2.98171
F HP2L = jjjjjjjjjjijjj -0.0884890 zzzzyzzzzzzzzz
0.112191 {
-0.112191
k 0.122862
J HP2L = ijjjjjjjjjjjjj 1.01829 -1.00000 1.00000 -0.829268 yzzzzzzzzzzzzz
k -1.00000 0.0182927 -2.00000 -0.466463
1.00000 -2.00000 0.0182927 0.466463
1.65854 0.932927 -0.932927
0{
144
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP2L DP = -F HP2L:
jjjjjjjjjjjjji 1.01829 -1.00000 1.00000 -0.829268 zzzyzzzzzzz{zzz.jjjjjjjkijjjjjjj Dx1 zzzzzzzzzzzyzzz
k -1.00000 0.0182927 -2.00000 -0.466463 Dx2 {
1.00000 -2.00000 0.0182927 0.466463
1.65854 0.932927 -0.932927 0 Dx3
Dx4
DP = jjjjjjjjjjjjjji Dx1 zzyzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj -0.0103077 yzzzzzzzzzzzzz
k Dx2 { k -0.0566853 {
0.0566853
Dx3 0.0173469
Dx4
El siguiente punto de la iteración es:
P3 = P2 + DP
P3 = ijjjjjjjjjjjjj 0.829268 yzzzzzzzzzzzzz + ijjjjjjjjjjjjj -0.0103077 yzzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 0.818961 yzzzzzzzzzzzzz
k 0.466463 { k -0.0566853 { k 0.409778 {
-0.466463 0.0566853 -0.409778
2.98171 0.0173469 2.99905
Iteración i = 3.
P3 = jjjjjjjijjjjjjjjjjj x1H3L zzzzzzzzzzzzzzzzyzz = jjjjjjjjjijjjj 0.818961 zzyzzzzzzzzzzz
k x2H3L { k 0.409778 {
x3H3L -0.409778
x4H3L 2.99905
F HP3L = jjjjjjijjjjjjj 0.000178807 zzzyzzzzzzzzzz
k 0.000983313 {
-0.000983313
0.00653269
J HP3L = ijjjjjjjjjjjjj 1.00095 -1.00000 1.00000 -0.818961 zzzzzzzzzzzzzy
k -1.00000 0.000945783 -2.00000 -0.409778
1.00000 -2.00000 0.000945783 0.409778
1.63792 0.819556 -0.819556
0{
145
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP3L DP = -F HP3L:
jjjjjjjjjjjjji 1.00095 -1.00000 1.00000 -0.818961 zzzzzy{zzzzzzzz.jjjjkjjjjjjjjjji Dx1 yzzzzzzzzzzzzzz
k -1.00000 0.000945783 -2.00000 -0.409778 Dx2 {
1.00000 -2.00000 0.000945783 0.409778
1.63792 0.819556 -0.819556 0 Dx3
Dx4
DP = jjjjjjjjjjjjjji Dx1 zzzzzzzzzzzzzyz = ijjjjjjjjjjjjj -0.00245967 yzzzzzzzzzzzzz
k Dx2 { -0.00152762 {
0.00152762
Dx3
Dx4 k 0.000942714
El siguiente punto de la iteración es:
P4 = P3 + DP
P4 = ijjjjjjjjjjjjj 0.818961 yzzzzzzzzzzzzz + ijjjjjjjjjjjjj -0.00245967 yzzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 0.816501 yzzzzzzzzzzzzz
k 0.409778 { k -0.00152762 { k 0.408251 {
-0.409778 0.00152762 -0.408251
2.99905 0.000942714 3.
Iteración i = 4.
P4 = jjijjjjjjjjjjjjjjj x1H4L zzzzzzzzyzzzzzzzzz = jjjjjjijjjjjjj 0.816501 zzyzzzzzzzzzzz
k x2H4L { k 0.408251 {
x3H4L -0.408251
x4H4L 3.00000
F HP4L = jjjjjjijjjjjjjjjj 2.31877 µ 10-6 zzzzzzzzzzzzzzzyz
k 1.44011 µ 10-6 {
-1.44011 µ 10-6
0.0000107172
J HP4L = ijjjjjjjjjjjjjjj 1.00000 -1.00000 1.00000 -0.816501 yzzzzzzzzzzzzzzz
k -1.00000 3.06909 µ 10-6 -0.408251 {
1.00000 -2.00000 0.408251
1.63300 -2.00000 3.06909 µ 10-6 0
0.816501 -0.816501
146
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Se resuelve el sistema lineal J HP4L DP = -F HP4L:
jjjjjjjjjijjjjjj 1.00000 -1.00000 1.00000 -0.816501 zzzzzzzzzzzy{zzzz.jjjjjjjkijjjjjjj Dx1 zzzzzzyzzzzzzzz
k -1.00000 3.06909 µ 10-6 -0.408251 Dx2 {
1.00000 -2.00000 0.408251
1.63300 -2.00000 3.06909 µ 10-6 0 Dx3
0.816501 -0.816501 Dx4
DP = ijjjjjjjjjjjjjj Dx1 zyzzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjjjjj -4.31288 µ 10-6 zzzzzzzzzzzyzzzzz
k Dx2 { k -2.25001 µ 10-6 {
2.25001 µ 10-6
Dx3 3.06908 µ 10-6
Dx4
El siguiente punto de la iteración es:
P5 = P4 + DP
P5 = ijjjjjjjjjjjjj 0.816501 yzzzzzzzzzzzzz + ijjjjjjjjjjjjjjjj -4.31288 µ 10-6 zzzyzzzzzzzzzzzzz = ijjjjjjjjjjjjj 0.816497 yzzzzzzzzzzzzz
k 0.408251 { k -2.25001 µ 10-6 { k 0.408248 {
-0.408251 2.25001 µ 10-6 -0.408248
3. 3.06908 µ 10-6 3.
Tabla de datos.
147
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
i Pi DP = jjjjjjjjjijjjjj Dx1 zzzzzzzzzzzyzzz Pi+1 = Pi + DP ¥Pi+1 - Pi∞¶
k Dx2 {
Dx3
Dx4
jjjjjjjjjjjijj 1. zzzzzzzyzzzzzz jjjjjijjjjjjjjj -5.9848 µ 10-17 zyzzzzzzzzzzzzz jjjjjjjjjjijjj 1. yzzzzzzzzzzzzz
k 0. { k 0.25 { k 0.25 {
0 0. -0.25 -0.25 2.5
1. 2.5 3.5
1 jjjjjjjjjjijjj 1. zzzzyzzzzzzzzz jjjjjjjjjjjjji -0.170732 zzzzzzyzzzzzzz jjjjjjjjjjjjji 0.829268 yzzzzzzzzzzzzz 0.518293
k 0.25 { k 0.216463 { 0.466463
-0.25 -0.216463 -0.466463
3.5 -0.518293
k 2.98171 {
2 jjjjjjjjjijjjj 0.829268 zzzyzzzzzzzzzz jjjijjjjjjjjjj -0.0103077 zzzyzzzzzzzzzz jjjjjjjjjjjjji 0.818961 zzzzzyzzzzzzzz 0.0566853
k 0.466463 { -0.0566853 k 0.409778 {
-0.466463 0.0566853 -0.409778
2.98171 2.99905
k 0.0173469 {
3 jjjjjjjjjjijjj 0.818961 zyzzzzzzzzzzzz jijjjjjjjjjjjj -0.00245967 zzzyzzzzzzzzzz jjjjjjjjjjjjji 0.816501 yzzzzzzzzzzzzz 0.00245967
k 0.409778 { k -0.00152762 { k 0.408251 {
-0.409778 0.00152762 -0.408251
2.99905 0.000942714 3.
4 ijjjjjjjjjjjjj 0.816501 yzzzzzzzzzzzzz jjjijjjjjjjjjjjjj -4.31288 µ 10-6 zzzzzzzzzzzzzzzzy ijjjjjjjjjjjjj 0.816497 yzzzzzzzzzzzzz 4.31288 µ 10-6
k 0.408251 { k -2.25001 µ 10-6 { 0.408248
-0.408251 2.25001 µ 10-6 -0.408248
3. 3.06908 µ 10-6
k 3. {
La solución aproximada del sistema es:
P5 = ijjjjjjjjjjjjj 0.816497 yzzzzzzzzzzzzz
k 0.408248 {
-0.408248
3.00000
148
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
6. Método de Cuasi- Newton
6.1 Introducción
Un punto débil importante del método de Newton para resolver sistemas de
ecuaciones no lineales está en el hecho de que, en cada iteración, es necesario calcular una
matriz jacobiana y resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas con dicha matriz.
Para ejemplificar la importancia de esta debilidad, se consideran la cantidad de cálculos
necesarios para llevar a cabo una sola iteración del método de Newton. La matriz jacobiana
asociada a un sistema de n ecuaciones no lineales escritas de la forma FHxL = 0 , requiere
que se determinen y evaluen las n2 derivadas parciales de las componentes de F. En la
mayoría de las situaciones la evaluación exacta de las derivadas parciales resulta complicada
y, en muchas aplicaciones, imposible.
Cuando no es práctico efectuar la evaluación exacta, se pueden usar las
aproximaciones de diferencia finita a las derivadas parciales. Por ejemplo,
Å∑∑ÅÅÅÅxÅfÅÅkÅjÅÅ HxHiLL º ÅÅfÅÅÅjÅHÅÅxÅÅÅHÅiÅLÅÅÅÅ+ÅÅÅÅÅÅÅeÅÅkÅÅÅÅhÅÅÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅÅfÅÅÅjÅHÅÅxÅÅÅHÅiÅÅLÅÅLÅÅLÅÅ , (19)
h
donde h es un número pequeño en valor absoluto y ek es el vector cuya única coordenada no
nula es la k - ésima que vale 1. Sin embargo, esta aproximación requiere efectuar al menos
n2 evaluaciones de funciones escalares para aproximar la matriz jacobiana y no disminuye el
número de operaciones que hay que realizar, casi siempre es necesario O(n3) para resolver el
sistema lineal que contiene esta matriz jacobiana aproximada. El esfuerzo computacional
total para realizar solamente una iteración del método de Newton conlleva, en consecuencia,
149
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
al menos n2 + n evaluaciones de funciones escalares (n2 para evaluar la matriz jacobiana y n
para evaluar la función F), junto con un número de operaciones aritméticas de orden O(n3)
para resolver el sistema lineal. Esta cantidad de cálculos es muy grande, excepto en el caso
de los valores relativamente pequeños de n y de funciones escalares que se pueden evaluar
fácilmente.
El método de cuasi-Newton o de Broyden es una generalización del método de la
secante para los sistemas de ecuaciones no lineales. El método requiere únicamente n
evaluaciones de funciones escalares por iteración y también disminuye el número de
operaciones aritméticas a O(n2). Este método pertenece a una clase de técnicas denominadas
actualizaciones de secante con cambio mínimo, en los que se sustituye la matriz jacobiana
del método de Newton por una matriz de aproximaciones que se actualiza en cada iteración.
La desventaja de este método es que se pierde la convergencia cuadrática del método de
Newton, que se reemplaza por una convergencia denominada superlineal, la cual implica que
lím Å∞ÅÅÅ∞xÅÅxÅHÅiÅH+ÅiÅÅL1ÅÅLÅ-ÅÅ-ÅÅÅÅpÅÅpÅ¥ÅÅ¥ÅÅÅ = 0. (20)
iض
donde p denota la solución de F(x) = 0 y pHiL+ pHi+1L son aproximaciones consecutivas de p.
En la mayoria de las aplicaciones, el descenso en el número de cálculos es una
compensación más que aceptable por la reducción a convergencia superlineal.
Una desventaja añadida de los métodos actualización de secante con cambio mínimo
es que, a diferencia del método de Newton, no se corriguen a si mismos. En el método de
Newton, por ejemplo, generalmente los errores de redondeo se van corrigiendo en las
sucesivas iteraciones, lo que no ocurre con este método salvo que se incorporen medidas
150
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
especiales de correción.
Suponiendo que se se dispone de una aproximación inicial pH0L a la solución p de
F(x) = 0. La siguiente aproximación pH1L se calcula como en el método de Newton o, si es
dificil de determinar exactamente J( pH0L), se utilizarán las ecuaciones de diferencias dadas
por (19) para aproximar las derivadas parciales. Sin embargo, para calcular pH2L se procede
de manera diferente al método de Newton examinando el método de la Secante para una sola
ecuación. En el método de la Secante se utiliza la aproximación (21)
f £H p1L º ÅÅfÅÅÅHÅÅÅpÅÅpÅ1ÅÅL1ÅÅÅÅ--ÅÅÅÅÅÅÅpÅfÅÅ0HÅÅÅpÅÅÅ0ÅÅLÅÅÅ
como sustituto de la f £H p1L del método de Newton.
En el caso de los sistemas no lineales, pH1L - pH0L es un vector, así que el cociente
correspondiente no está definido. Aún así, el método procede de manera semejante al
método de Newton, en el sentido de que, en vez de la matriz jacobiana J ( pH1L) del método de
Newton se emplea una matriz A1 tal que (22)
A1H pH1L - pH0LL = FH pH1LL - F H pH0LL.
Todo vector distinto de cero de n puede escribirse como la suma de un múltiplo de
pH1L - pH0L y de un múltiplo de un vector del subespacio ortogonal de pH1L - pH0L. Por tanto,
para definir la matriz A1 de forma única, se debe especificar cómo actúa esta matriz sobre el
subespacio ortogonal de pH1L - pH0L. Dado que no se tiene información sobre la variación de
F en las direcciones ortogonales a pH1L - pH0L, se requiere, simplemente, que no haya
variación, o sea, que siempre que H pH1L - pH0LLt z = 0. (23)
A1 z = J H pH0LL z
151
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Esta condición especifica que ningún vector ortogonal a pH1L - pH0L se ve afectado
por la sustitución de J H pH0LL, la matriz que se utilizó para calcular pH1L, por la matriz A1 con
la que se va a determinar pH2L.
Estas condiciones (22 y 23) definen de manera única a A1 como
A1 = J H pH0LL + Å@ÅÅFÅÅÅÅHÅÅÅpÅÅÅHÅ1ÅÅLÅÅLÅÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅÅFÅÅÅÅHÅÅpÅÅÅHÅÅ0ÅÅLÅLÅÅÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅJÅÅÅHÅÅÅpÅÅÅHÅ0ÅÅLÅÅLÅÅÅHÅÅpÅÅÅHÅÅ1ÅÅLÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅÅpÅÅÅHÅ0ÅÅLÅÅLÅÅDÅÅÅÅHÅÅÅpÅÅÅHÅ1ÅÅLÅÅÅ-ÅÅÅÅÅpÅÅÅÅHÅ0ÅÅLÅÅLÅÅtÅÅ . (24)
∞ pH1L - pH0L¥22
Esta matriz es la que se usa en lugar de J H pH1LL para determinar pH2L como: (25)
pH2L = pH1L - A1-1 FH pH1LL .
Una vez que se ha determinado pH2L, se repite el procedimiento para determinar pH3L,
utilizando A1 en lugar de A0 ª JH pH0LL y con pH2L y pH1L en lugar de pH1L y pH0L,
respectivamente. En general, una vez que se ha determinado pHiL, la siguiente aproximación
pHi+1L se calcula mediante
Ai = Ai-1 + ÅÅyÅÅiÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅAÅÅÅÅÅiÅ-ÅÅÅ1ÅÅÅsÅÅiÅÅ sit (26)
∞si¥22
y (27)
pHi+1L = pHiL - Ai-1 FH pHiLL,
donde la notación si = pHiL - pHi-1L e yi = F H pHiLL - F H pHi-1LL se introduce en las
ecuaciones anteriores para simplificarlas.
Si el método se aplica como se ha descrito anteriormente, el número de evaluaciones
de funciones escalares disminuye de n2 + n a n (las necesarias para calcular F( pHiL)), pero
sigue requiriendo del orden de O(n3) para resolver el sistema lineal asociado de n ecuaciones
con n incógnitas
152
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Ai yi = -F H pHiLL. (28)
Esta manera de usar el método no compensaría la reducción a convergencia
superlineal de la convergencia cuadrática del método de Newton. La mejora significativa se
consigue usando la siguien fórmula de invesión matricial.
ô Fórmula de Sherman - Morrison.
Si A es una matriz invertible y si x e y son vectores tales que yt = A-1 x ∫ -1,
entonces A + x yt es invertible y
HA + x yt L-1 = A-1 - ÅAÅ1ÅÅ-Å+Å1ÅÅyÅxÅtÅÅyAÅÅtÅ-ÅAÅ1Å-ÅxÅ1ÅÅ .
Esta fórmula permite calcular Ai-1 directamente a partir de Ai-1, con lo que se
prescinde de realizar la inversión matricial en cada iteración. Al utilizar A = Ai-1-1,
x = ÅÅyÅiÅ-ÅÅ∞ÅsAÅÅiÅi¥Å-Å22Å1ÅÅÅsÅiÅÅ , e y = si la ecuación (26) junto con la ecuación de la Fórmula de Sherman -
Morrison implican que
Ai-1 = jji Ai-1 + ÅÅyÅÅiÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅAÅÅÅÅÅiÅ-ÅÅÅ1ÅÅÅsÅÅiÅÅ sitz{yz-1
k ∞si¥22
= Ai--11 - ÅAÅ1ÅÅÅi-Å-Å+Å1Å1ÅÅIÅÅsÅÅÅÅtiyÅÅÅiÅÅA-ÅÅÅÅ∞ÅÅÅÅsi-AÅÅ-iÅÅ¥ÅÅi1Å-Å122ÅÅÅ1ÅIÅÅÅÅsÅÅÅÅiÅyÅÅÅÅiÅÅ-ÅsÅÅ∞ÅÅÅiÅsAÅÅtÅiÅMÅÅ¥iÅÅ-Å22ÅÅÅA1ÅÅÅÅÅÅsÅÅi-ÅiÅ-ÅÅ1MÅ1ÅÅ (29)
= A-i-11 - ÅÅÅÅÅÅÅHÅÅAÅÅÅÅi-Å-Å1Å1ÅÅÅÅyÅÅÅiÅÅÅ-ÅÅÅÅÅÅsÅÅiÅÅLÅÅÅsÅÅÅiÅtÅÅÅAÅÅÅÅ-iÅ-Å1ÅÅ1ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∞si¥22 + sti A-i-11 yi - ∞si¥22
= A-i-11 - ÅHÅÅÅsÅÅÅiÅÅ-ÅÅÅÅÅÅÅAsÅÅtiÅ-iÅÅ-AÅ1Å1ÅÅi-Å-Åy1ÅÅ1ÅiÅÅLÅyÅsÅiÅÅiÅtÅÅÅÅAÅÅÅ-iÅ-ÅÅ1Å1ÅÅÅ
En este cálculo intervienen exclusivamente la multiplicación de matrices y vectores
en cada paso; por tanto, sólo se requieren O(n2) cálculos aritméticos. El cálculo de Ai se
omite, y se prescinde de la resolución del sistema lineal (28).
153
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
6.2 Pseudocódigo
è Algoritmo 5. Método de Cuasi - Newton para sistemas no lineales
El pseudocódigo del algoritmo que resuelve un sistema de ecuaciones no lineales de
n ecuaciones con n incognitas mediante el método de Cuasi - Newton es:
Algoritmo Cuasi - Newton
Input I8f Hx1, ..., xnL<1n , Hx1H0L x2H0L ... xnH0L LT , n, errorM
(* Se inicializan las variables *)
p Hx1H0L x2H0L ... xmH0L LT
F 8f Hx1, ..., xnL<1n
f_valor jjjjjjjjjijjjjjjj f1 H p1H0L, p2H0L, ..., pnH0L L L zzzzzzzzyzzzzzzzz
k f2 H p1H0L, p2H0L , ..., pnH0LL {
................
fn H p1H0L, p2H0L , ..., pnH0L
J Hx L = ijjjjjjjjjjjjjjjjjjjj Å∑∑ÅÅxÅfÅ11ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ12ÅÅÅ HxL ... .... Å∑∑ÅÅxÅfÅ1nÅÅÅ HxL yzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Hx ª Hx1, ..., xnLL
k Å∑∑ÅÅxÅfÅ21ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ22ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅ2nÅÅÅ HxL {
... ... ...
Å∑∑ÅÅxÅfÅn1ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅn2ÅÅÅ HxL Å∑∑ÅÅxÅfÅnnÅÅÅ HxL
A y J (xL-1
s y A . f_valor
p_sig p - s
p y p_sig
error »» p_sig - p »»¶
For k = 2, ..., n do
H* Se evalúa la función F *L
w y f_valor
f_valor jjjjjjjjjjjjjjjij f1 H p1Hk-1L, p2Hk-1L, .,.....,.,..pp, nnHHkkp--nH11kLL-L1LLLzz{yzzzzzzzzzzzzzz
k f2 H p1Hk-1L, p2Hk-1L ,
................
fn H p1Hk-1L, p2Hk-1L
y y f_valor - w
s y -A.w
154
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
A_sig y A + I ÅsÅÅÅtÅÅA1ÅÅÅÅyÅÅÅÅ * HH s - A yL Hst ALL M
(* Cálculo del siguiente punto *)
p_sig p - A_sig . f_valor
A y A_sig
(* Cálculo de la norma de la distancia entre los dos puntos*)
error »» p_sig - p »»¶
If Herror § error_iniL do
Break
End
p y p_sig
End
Return HxHkL ª HpLT L
Output
6.3 Problemas
à Problema 21. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2,x3L = x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sen x3 + 1.06 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = e-x1 x2 + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Mediante el método de Cuasi Newton calcúlese la aproximación de la solución,
comenzando en el punto inicial
P0 = Ix1H0L, x2H0L, xH30LMT = H0.1, 0.1, -0.1LT
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 83 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,
x21 − 81 Hx2 + 0.1L2 + Sin@x3D + 1.06,
Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3
<;
p = 80.1, 0.1, −0.1<;
m = 12;
d = 10.−5;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
155
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Método de Cuasi-Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
fi Hx1 , x2, x3L = jijjjjjjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å12ÅÅÅ 1.06 zzzzyzzzzzzz = jjjijjjjj 0 zzzzzzzyz
k x12 - 81 Hx2 + 0.1L2 + sinHx3L + { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0
P0 = jjjjjjjjjjji x1H0L zzzzyzzzzzzz = jjijjjjjj 0.1 yzzzzzzzz
k x2H0L { k 0.1 {
x3H0L -0.1
La matriz jacobiana es:
jjjjjjijj 3 sinHx2 x3L x3 sinHx2 x3L x2 yzzzzzzzz
k cosHx3L {
J Hx1, x2, x3L = 2 x1 -162 Hx2 + 0.1L 20
-‰-x1 -‰-x1 x2 x1
x2 x2
Iteración i = 0
F HP0L = jjjjjjjji -1.1999500 zzzzzzzzy
k -2.2698334 {
8.4620253
A0-1 = jjjjjjijj 0.333333 0.0000102385 0.000016157 zzyzzzzzz
k 0.00210861 -0.0308688 0.00153584 {
0.00166052 -0.000152758 0.0500077
Cálculo de P1. P1 = P0 - A0-1* F HP0L
P1 = jjjjjjjij 0.10000000 yzzzzzzzz - jjjjjjjij -0.39986967 zzyzzzzzz
k 0.10000000 { k 0.080533151 {
-0.10000000 0.42152047
P1 = jjjjjijjj 0.49986967 zzyzzzzzz
k 0.019466849 {
-0.52152047
156
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 1.
F HP1L = jjjjjjjji -0.00033944646 zzzzzzyzz
k -0.34438793 {
0.031882378
y1 = F HP1L - F HP0L = ijjjjjjjj 1.1996106 zzzzzzzyz
k 1.9254455 {
-8.4301430
s1 = P1 - P0 = jjjjjjijj 0.39986967 zzyzzzzzz
k -0.080533151 {
-0.42152047
A1 = jjjjjjjji 0.33337810 0.000011104966 8.9673439 µ 10-6 zyzzzzzzz
-0.0020207098 -0.030948482 0.0021968158 {
-0.00016503843 0.050109587
k 0.0010238994
Cálculo de P2. P2 = P1 - A1* F HP1L
P2 = jjjjjjjij 0.49986967 zzzzzzzyz - jjjjijjjj -0.00011670253 zzzzzzyzz
k 0.019466849 { k 0.010729009 {
-0.52152047 0.0016541025
P2 = ijjjjjjjj 0.49998638 zzyzzzzzz
k 0.0087378393 {
-0.52317457
Iteración i = 2.
F HP2L = jjjjjjijj -0.000030424728 zzzzzzzzy
k -0.14738354 {
0.0041247527
y2 = F HP2L - F HP1L = jjjjjjijj 0.00030902173 zzzzzzzyz
k 0.19700438 {
-0.027757625
s2 = P2 - P1 = jjjjjjijj 0.00011670253 zzyzzzzzz
k -0.010729009 {
-0.0016541025
A2 = jjjjijjjj 0.33338820 0.000068121639 -9.2972649 µ 10-6 zzzzzzzyz
-0.0059534545 -0.053140268 0.0093056886 {
-0.0012865794 0.050468859
k 0.00082514415
157
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P3. P3 = P2 - A2* F HP2L
P3 = jjjjijjjj 0.49998638 zzzzzzzzy - jjjjijjjj -0.000020221603 zzzzyzzzz
k 0.0087378393 { k 0.0078705657 {
-0.52317457 0.00039776709
P3 = ijjjjjjjj 0.50000660 zyzzzzzzz
k 0.00086727356 {
-0.52357234
Iteración i = 3.
F HP3L = jjjjjjjij 0.000019894274 zzzzzzyzz
k -0.014081267 {
0.000095133748
y3 = F HP3L - F HP2L = jjjjjjijj 0.000050319003 zzzzzyzzz
k 0.13330228 {
-0.0040296189
s3 = P3 - P2 = jjjjjijjj 0.000020221603 zzzzzzzyz
k -0.0078705657 {
-0.00039776709
A3 = jijjjjjjj 0.33338283 0.000025855527 1.2133979 µ 10-7 zzyzzzzzz
-0.0066634584 -0.058721580 0.010549431 {
-0.0014574679 0.050506940
k 0.00080340526
Cálculo de P4. P4 = P3 - A3* F HP3L
P4 = jjjjijjjj 0.50000660 yzzzzzzzz - ijjjjjjjj 6.2683424 µ 10-6 zzzzzzzzy
k 0.00086727356 { k 0.00082774528 {
-0.52357234 0.000025343892
P4 = jjjjjjijj 0.50000033 zzzyzzzzz
k 0.000039528275 {
-0.52359769
158
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 4.
F HP4L = jjjjjjjjji 9.8636682 µ 10-7 zzzzzzyzzz
k -0.00063921175 {
2.0404339 µ 10-6
y4 = F HP4L - F HP3L = ijjjjjjjj -0.000018907908 zzzyzzzzz
k 0.013442055 {
-0.000093093314
s4 = P4 - P3 = jjjjijjjj -6.2683424 µ 10-6 zzzzzzzyz
k -0.00082774528 {
-0.000025343892
A4 = jjijjjjjj 0.33338120 2.6524561 µ 10-6 4.8972458 µ 10-6 zzzzzzyzz
k -0.0068587733 -0.061511385 0.011123659 {
0.00079801933 -0.0015343986 0.050522775
Cálculo de P5. P5 = P4 - A4* F HP4L
P5 = jjjjjjijj 0.50000033 zzzzzzzzy - jjjjjijjjj 3.2715067 µ 10-7 zzzzzyzzzz
k 0.000039528275 { k 0.000039334731 {
-0.52359769 1.0846811 µ 10-6
P5 = jijjjjjjj 0.50000000 zzzzzzzyz
k 1.9354398 µ 10-7 {
-0.52359877
Iteración i = 5.
F HP5L = jijjjjjjjjj 4.7006390 µ 10-9 zzzzzzzyzzz
k -3.1290522 µ 10-6 {
1.3994331 µ 10-8
y5 = F HP5L - F HP4L = ijjjjjjjjj -9.8166618 µ 10-7 zzzzzzzzyz
k 0.00063608269 {
-2.0264396 µ 10-6
s5 = P5 - P4 = jjjjijjjjj -3.2715067 µ 10-7 yzzzzzzzzz
k -0.000039334731 {
-1.0846811 µ 10-6
A5 = ijjjjjjjj 0.33338104 2.0305293 µ 10-7 5.3953303 µ 10-6 zzzzzzyzz
k -0.0068787533 -0.061814004 0.011185196
0.00079744751 -0.0015430594
0.050524536 {
159
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P6. P6 = P5 - A5* F HP5L
P6 = ijjjjjjjj 0.50000000 zzzyzzzzz - jjjjjijjjjj 1.5665441 µ 10-9 zzzzzzzzzyz
k 1.9354398 µ 10-7 { k 1.9354344 µ 10-7 {
-0.52359877 5.5391192 µ 10-9
P6 = jjjjjjjij 0.50000000 zzyzzzzzz
k 5.3466189 µ 10-13 {
-0.52359878
Tabla de datos.
i Pi F HPiL ¥Pi - Pi-1∞¶
0 jjjjjjijj 0.10000000 zzzzzzyzz jjjjjjijj -1.1999500 zyzzzzzzz
k 0.10000000 { k -2.2698334 {
-0.10000000 8.4620253
1 jjjjijjjj 0.49986967 zzzyzzzzz jjjjjijjj -0.000339446 zzzzyzzzz 0.42152
k 0.019466849 { k -0.344388 {
-0.52152047 0.0318824
2 jjjjjjjji 0.49998638 zzzzzzzzy jjjijjjjj -0.00033944646 zzzzzzzyz 0.010729
k 0.0087378393 { k -0.34438793 {
-0.52317457 0.031882378
3 jjjjjijjj 0.50000660 zzzzzzzyz jjjjjijjj -0.000030424728 zzzzzzzzy 0.00787057
k 0.00086727356 { k -0.14738354 {
-0.52357234 0.0041247527
4 jjjjjjjij 0.50000033 zzzzyzzzz jjjjjjijj 0.000019894274 yzzzzzzzz 0.000827745
k 0.000039528275 { k -0.014081267 {
-0.52359769 0.000095133748
5 jjjjjijjj 0.50000000 zzzzyzzzz jjjjjjjijj 9.8636682 µ 10-7 zyzzzzzzzz 0.0000393347
k 1.9354398 µ 10-7 { k -0.00063921175 {
-0.52359877 2.0404339 µ 10-6
6 jijjjjjjj 0.50000000 zzzzzyzzz jjijjjjjjjj 4.7006390 µ 10-9 zyzzzzzzzzz 1.93543 µ 10-7
k 5.3466189 µ 10-13 { k -3.1290522 µ 10-6 {
-0.52359878 1.3994331 µ 10-8
La solución aproximada del sistema es:
P6 = jjjjjjjij 0.50000000 zyzzzzzzz
k 5.3466189 µ 10-13 {
-0.52359878
à Problema 22. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2L = 4 x12 - 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8 = 0,
f2Hx1, x2L = 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 - 5 x2 + 8 = 0.
160
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Aplíquese el método de Cuasi Newton iniciando el método en el punto inicial
P0 = IxH10L, x2H0LMT = H0, 0LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-5.
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 84 x21 − 20 x1 + 1 ê 4 x22 + 8, 1 ê 2 x1 x22 + 2 x1 − 5 x2 + 8<;
p = 80., 0.<;
m = 12;
d = 10.−5;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi-Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
fi Hx1 , x2L = jjjjjji 4 x12 - 20 x1 + ÅxÅ4Å2Å2ÅÅ + 8 zzzzzzy = jij 0 zzy
k Å12ÅÅÅ x1 x22 - 5 x2 + 2 x1 + { k 0 {
8
P0 = jjjij x1H0L yzzzz = ijj 0. zzy
k x2H0L { k 0. {
La matriz jacobiana es:
J Hx1, x2L = jjjjji 8 x1 - 20 ÅxÅ2Å2ÅÅ x2 - 5 zzzyzz
k ÅxÅ2Å2Å2ÅÅ + 2 x1 {
Iteración i = 0
F HP0L = ijj 8.0000000 yzz
k 8.0000000 {
A0-1 = jij -0.05 0. zyz
k -0.02 -0.2 {
Cálculo de P1. P1 = P0 - A0-1* F HP0L
P1 = ijj 0 yzz - ijj -0.40000000 zzy
k 0 { k -1.7600000 {
P1 = ijj 0.40000000 yzz
k 1.7600000 {
Iteración i = 1.
F HP1L = ijj 1.4144000 zzy
k 0.61952000 {
HL
161
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
y1 = F HP1L - F HP0L = jij -6.5856000 zzy
k -7.3804800 {
s1 = P1 - P0 = ijj 0.40000000 yzz
k 1.7600000 {
A1 = jji -0.051318185 -0.0084058166 zyz
k -0.022836782 -0.21808962 {
Cálculo de P2. P2 = P1 - A1* F HP1L
P2 = ijj 0.40000000 yzz - ijj -0.077792012 yzz
k 1.7600000 { k -0.16741123 {
P2 = jji 0.47779201 zzy
k 1.9274112 {
Iteración i = 2.
F HP2L = jji 0.28602909 yzz
k 0.20600602 {
y2 = F HP2L - F HP1L = jij -1.1283709 zyz
k -0.41351398 {
s2 = P2 - P1 = ijj 0.077792012 yzz
k 0.16741123 {
A2 = jji -0.056620702 -0.033621257 zzy
k -0.039464683 -0.29716148 {
Cálculo de P3. P3 = P2 - A2* F HP2L
P3 = ijj 0.47779201 yzz - ijj -0.023121349 yzz
k 1.9274112 { k -0.072505101 {
P3 = ijj 0.50091336 zyz
k 1.9999163 {
Iteración i = 3.
F HP3L = jji -0.014694116 zzy
k 0.0039879863 {
y3 = F HP3L - F HP2L = jji -0.30072321 zzy
k -0.20201803 {
s3 = P3 - P2 = ijj 0.023121349 yzz
k 0.072505101 {
A3 = ijj -0.056115716 -0.030918285 zyz
k -0.039902570 -0.29950530 {
162
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P4. P4 = P3 - A3* F HP3L
P4 = ijj 0.50091336 yzz - ijj 0.00070126913 yzz
k 1.9999163 { k -0.00060809004 {
P4 = jji 0.50021209 zzy
k 2.0005244 {
Iteración i = 4.
F HP4L = jji -0.0028688097 yzz
k -0.0012490081 {
y4 = F HP4L - F HP3L = jji 0.011825306 yzz
k -0.0052369944 {
s4 = P4 - P3 = ijj -0.00070126913 yzz
k 0.00060809004 {
A4 = jji -0.059072114 0.00052001246 zyz
k -0.047138803 -0.22255529 {
Cálculo de P5. P5 = P4 - A4* F HP4L
P5 = ijj 0.50021209 yzz - ijj 0.00016881715 zzy
k 2.0005244 { k 0.00041320562 {
P5 = jji 0.50004328 zzy
k 2.0001112 {
Iteración i = 5.
F HP5L = ijj -0.00058117897 zzy
k -0.00027173274 {
y5 = F HP5L - F HP4L = jji 0.0022876307 zyz
k 0.00097727535 {
s5 = P5 - P4 = ijj -0.00016881715 yzz
k -0.00041320562 {
A5 = jji -0.065479166 -0.019467391 zzy
k -0.063605474 -0.27392462 {
Cálculo de P6. P6 = P5 - A5* F HP5L
P6 = ijj 0.50004328 yzz - ijj 0.000043345042 yzz
k 2.0001112 { k 0.00011140045 {
P6 = jij 0.49999993 zzy
k 1.9999998 {
Iteración i = 6.
F HP6L = jjijj 9.3066080 µ 10-7 zzzyz
k 4.7618543 µ 10-7 {
HL
163
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
y6 = F HP6L - F HP5L = jji 0.00058210963 zzy
k 0.00027220893 {
s6 = P6 - P5 = ijj -0.000043345042 yzz
k -0.00011140045 {
A6 = ijj -0.065430487 -0.019313566 zyz
k -0.063473992 -0.27350915 {
Cálculo de P7. P7 = P6 - A6* F HP6L
P7 = ijj 0.49999993 yzz - ijjjj -7.0090428 µ 10-8 zzzyz
k 1.9999998 { k -1.8931383 µ 10-7 {
P7 = jij 0.50000000 zzy
k 2.0000000 {
Tabla de datos.
i Pi F HPiL ¥Pi - Pi-1∞¶
0 jij 0 yzz jij 8.0000000 zzy
k 0 { k 8.0000000 {
1 jij 0.40000000 zzy jij 1.4144 yzz 1.76
k 1.7600000 { k 0.61952 {
2 ijj 0.47779201 yzz jji 1.4144000 zzy 0.167411
k 1.9274112 { k 0.61952000 {
3 jji 0.50091336 zzy jji 0.28602909 zzy 0.0725051
k 1.9999163 { k 0.20600602 {
4 jji 0.50021209 zyz jij -0.014694116 zzy 0.000701269
k 2.0005244 { k 0.0039879863 {
5 ijj 0.50004328 zyz jij -0.0028688097 zyz 0.000413206
k 2.0001112 { k -0.0012490081 {
6 jji 0.49999993 yzz ijj -0.00058117897 yzz 0.0001114
k 1.9999998 { k -0.00027173274 {
7 jij 0.50000000 zzy jjjji 9.3066080 µ 10-7 zzzzy 1.89314 µ 10-7
k 2.0000000 { k 4.7618543 µ 10-7 {
La solución aproximada del sistema es:
P7 = jji 0.50000000 yzz
k 2.0000000 {
164
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
à Problema 23. Sea el sistema de ecuaciones no lineales siguiente.
f1Hx1, x2, x3L = x13 + x12 x2 - x1 x3 + 6 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = ‰x1 + ‰x2 - x3 = 0.
f3Hx1, x2, x3L = x22 - 2 x1 x3 - 4 = 0
Aplíquese el método de Cuasi Newton iniciando el método en el punto inicial
P0 = IxH10L, x2H0L, x3H0LMT = H-1, -2, 1LT e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 10-6.
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones =
8x13 + x12 x2 − x1 x3 + 6, Exp@x1D + Exp@x2D − x3, x22 − 2 x1 x3 − 4 <;
p = 8−1., −2., 1<;
m = 11;
d = 10.−6;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi-Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
jjjjjjjjij x13 + x2 x12 - x3 x1 + 6 zzzzzzzyzz jijjjjjjj 0 zzzzzzzzy
k -x3 + ‰x1 + ‰x2 { k 0 {
fi Hx1 , x2, x3L = = 0
x22 - 2 x1 x3 - 4
P0 = jjjjjjjjjijj x1H0L zzzzzzzzzzzy = jjjjjjjji -1. zzzzzyzzz
k x2H0L { k -2. {
x3H0L 1
La matriz jacobiana es:
jjjjjjjij 3 x12 + 2 x2 x1 - x3 x12 -x1 zzzzzyzzz
‰x1 ‰x2 -1
J Hx1, x2, x3L =
k -2 x3 2 x2 -2 x1 {
Iteración i = 0
F HP0L = ijjjjjjjj 4.0000000 zzzzzyzzz
k -0.49678528 {
2.0000000
A0-1 = jjjjijjjj 0.16714 0.268907 0.0508832 zzzyzzzzz
k -0.0566605 -0.627449 -0.285394 {
0.0538193 -0.985991 -0.019905
165
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P1. P1 = P0 - A0-1* F HP0L
P1 = jjjjijjjj -1.0000000 zzzzzzyzz - jjjjijjjj 0.63673833 zzzzzzzzy
k -2.0000000 { k -0.48572277 {
1.0000000 0.66529279
P1 = jjjjjjjji -1.6367383 zzzyzzzzz
k -1.5142772 {
0.33470721
Iteración i = 1.
F HP1L = jjijjjjjj -1.8934664 zzyzzzzzz
k 0.079873675 {
-0.61130823
y1 = F HP1L - F HP0L = jjijjjjjj -5.8934664 zzzzzzzzy
k 0.57665895 {
-2.6113082
s1 = P1 - P0 = jjjjjjijj -0.63673833 zzzzzzzyz
k 0.48572277 {
-0.66529279
A1 = jjjjjjjij 0.13063097 0.30761641 0.016948919 zzzzzzzzy
k -0.030727708 -0.65494452 -0.26129036 {
0.034955507 -0.96598994 -0.037438346
Cálculo de P2. P2 = P1 - A1* F HP1L
P2 = ijjjjjjjj -1.6367383 zzyzzzzzz - jjjjjjjji -0.23313592 zzzyzzzzz
k -1.5142772 { k 0.16559801 {
0.33470721 -0.12045788
P2 = jjijjjjjj -1.4036024 zzzzzzzyz
k -1.6798752 {
0.45516509
166
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
F HP2L = jjjijjjjj 0.56411230 yzzzzzzzz
k -0.023057640 {
0.099722438
y2 = F HP2L - F HP1L = jjjjjjjij 2.4575787 zzzyzzzzz
k -0.10293131 {
0.71103067
s2 = P2 - P1 = ijjjjjjjj 0.23313592 zzzzzyzzz
k -0.16559801 {
0.12045788
A2 = jjjjjjjij 0.10828747 0.27175067 -0.0070565193 yzzzzzzzz
k -0.021471687 -0.64008677 -0.25134587 {
0.022437366 -0.98608403 -0.050887600
Cálculo de P3. P3 = P2 - A2* F HP2L
P3 = jjjjijjjj -1.4036024 zzzzzzzzy - ijjjjjjjj 0.054116669 zzzzzzzzy
k -1.6798752 { k -0.022418375 {
0.45516509 0.030319329
P3 = jjjjjijjj -1.4577191 zyzzzzzzz
k -1.6574569 {
0.42484576
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
167
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 6.
F HP6L = jjijjjjjjj -0.000033783397 yzzzzzzzzz
k 4.3150610 µ 10-7 {
-9.9292832 µ 10-6
y6 = F HP6L - F HP5L = jjjjjijjj -0.0010724581 zzzzzzzzy
k 6.0574834 µ 10-6 {
-0.00043231324
s6 = P6 - P5 = jjjjijjjj -0.00012944703 zzzzzzzyz
k 0.00015704500 {
-6.5087361 µ 10-6
A6 = jjjjjijjj 0.10571545 0.49488871 0.044110192 zzzzzzzyz
k -0.013434126 -1.0563685 -0.34474168 {
0.025056559 -1.0384105 -0.061653279
Cálculo de P7. P7 = P6 - A6* F HP6L
P7 = ijjjjjjjj -1.4560465 zzzyzzzzz - jjjjijjjjjj -3.7958620 µ 10-6 yzzzzzzzzzz
k -1.6642271 { k 3.4210587 µ 10-6 {
0.42249274 -6.8240327 µ 10-7
P7 = jjjijjjjj -1.4560427 yzzzzzzzz
k -1.6642305 {
0.42249343
Iteración i = 7.
F HP7L = jjijjjjjjjj 8.9224981 µ 10-7 zzzzzzzzzyz
k -1.3598257 µ 10-8 {
2.3733420 µ 10-7
y7 = F HP7L - F HP6L = ijjjjjjjj 0.000034675647 zzzzzyzzz
-4.4510435 µ 10-7
k 0.000010166617 {
s7 = P7 - P6 = jjjijjjjjjj 3.7958620 µ 10-6 zzzzzzyzzzz
k -3.4210587 µ 10-6 {
6.8240327 µ 10-7
A7 = jjijjjjjj 0.10404363 0.47766499 0.039412566 zzzzyzzzz
k -0.012079802 -1.0424157 -0.34093616 {
0.024684143 -1.0422473 -0.062699729
168
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P8. P8 = P7 - A7* F HP7L
P8 = jjjjjjjij -1.4560427 zzyzzzzzz - jjijjjjjjjj 9.5691449 µ 10-8 zzzzzzzyzzz
k -1.6642305 { k -7.7518975 µ 10-8 {
0.42249343 2.1316378 µ 10-8
P8 = jjijjjjjj -1.4560428 zzzzzyzzz
k -1.6642305 {
0.42249340
Tabla de datos.
i Pi F HPiL ¥Pi - Pi-1∞¶
0 jjjjjjjji -1.0000000 zzzzzyzzz jjjjjjijj 4.0000000 zzzzyzzzz
k -2.0000000 { k -0.49678528 {
1.0000000 2.0000000
1 jjjjjjjji -1.6367383 zzzzyzzzz jjjjjjijj -1.89347 zzzzzzzyz 0.665293
k -1.5142772 { k 0.0798737 {
0.33470721 -0.611308
2 jjjjijjjj -1.4036024 zzzzzzzyz jjjjijjjj -1.8934664 zzzyzzzzz 0.233136
k -1.6798752 { k 0.079873675 {
0.45516509 -0.61130823
3 jjjijjjjj -1.4577191 zzzzzzzzy ijjjjjjjj 0.56411230 yzzzzzzzz 0.0541167
k -1.6574569 { k -0.023057640 {
0.42484576 0.099722438
4 ijjjjjjjj -1.4573983 yzzzzzzzz jjjjjjjij -0.00027155345 zzzzzyzzz 0.00445848
k -1.6619153 { k -0.0014560223 {
0.42271835 -0.014225217
5 ijjjjjjjj -1.4559170 zyzzzzzzz jijjjjjjj -0.0093840223 zzzzzzzzy 0.00246883
k -1.6643842 { k -0.00010193191 {
0.42249925 -0.0058993987
6 jjjjjjijj -1.4560465 yzzzzzzzz jjjjjjjij 0.0010386747 yzzzzzzzz 0.000157045
k -1.6642271 { k -5.6259773 µ 10-6 {
0.42249274 0.00042238396
7 ijjjjjjjj -1.4560427 zzzzzyzzz jjjjjijjjj -0.000033783397 zzzzzzzzyz 3.79586 µ 10-6
k -1.6642305 { k 4.3150610 µ 10-7 {
0.42249343 -9.9292832 µ 10-6
8 jjjjjijjj -1.4560428 yzzzzzzzz jjjjjjjjijj 8.9224981 µ 10-7 zzzzzzzzzzy 9.56914 µ 10-8
k -1.6642305 { k -1.3598257 µ 10-8 {
0.42249340 2.3733420 µ 10-7
169
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La solución aproximada del sistema es:
P8 = jjjjjjjij -1.4560428 zzzzzzzyz
k -1.6642305 {
0.42249340
à Problema 24. Sea el sistema no lineal de ecuaciones siguiente:
f1Hx1, x2, x3L = 3 x1 - cosHx2 x3L - 1 ê 2 = 0,
f2Hx1, x2, x3L = 4 x12 - 625 x22 + 2 x2 - 1 = 0,
f3Hx1, x2, x3L = eH-x1 x2L + 20 x3 + H10 p - 3L ê 3 = 0.
Aplíquese el método de Cuasi Newton con la aproximación inicial
P0 = Ix1H0L, xH20L, x3H0LMT = H0, 0, 0LT y aplicando el método hasta que »» Pi+1 - Pi »»¶ § 10-5.
Solución
Clear@ecuaciones, p, m, dD;
ecuaciones = 8 3 x1 − Cos@x2 ∗ x3D − 1 ê 2,
4 x21 − 625 x22 + 2 x2 − 1, Exp@−x1 ∗ x2D + 20 x3 + H10 Pi − 3L ê 3 <;
d = 10.−5;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 12;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi-Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
fi Hx1 , x2, x3L = jijjjjjjjjjj -cosHx2 x3L + 3 x1 - Å21ÅÅÅ zzzzzzzzzzyz = ijjjjjjjj 0 zzzzzyzzz
k 4 x12 - 625 x22 + 2 x2 - 1 { k 0 {
20 x3 + ‰-x1 x2 + Å31ÅÅÅ H-3 + 10 pL 0
P0 = jjjjjijjjjjj x1H0L zzzzzzyzzzzz = jjjjjjjji 0. zzyzzzzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.
La matriz jacobiana es:
ijjjjjjjj 3 sinHx2 x3L x3 sinHx2 x3L x2 zzzzzyzzz
k 0 {
J Hx1, x2, x3L = 8 x1 2 - 1250 x2 20
-‰-x1 -‰-x1 x2 x1
x2 x2
170
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 0
F HP0L = jjjjjjijj -1.5000000 zzzzzzyzz
k -1.0000000 {
10.471976
A0-1 = jjjjijjjj 0.333333 0. 0. zzzzyzzzz
k 0. 0.5 0. {
0. 0. 0.05
Cálculo de P1. P1 = P0 - A0-1* F HP0L
P1 = jjjjjjijj 0 yzzzzzzzz - jjjjjjjji -0.50000000 zzzzyzzzz
k 0 { k -0.50000000 {
0 0.52359878
P1 = jjjjjjjij 0.50000000 zzzyzzzzz
k 0.50000000 {
-0.52359878
Iteración i = 1.
F HP1L = jjjjjjjji 0.034074174 zyzzzzzzz
k -155.25000 {
-0.22119922
y1 = F HP1L - F HP0L = jjijjjjjj 1.5340742 yzzzzzzzz
k -154.25000 {
-10.693175
s1 = P1 - P0 = jjjjjjijj 0.50000000 zyzzzzzzz
k 0.50000000 {
-0.52359878
A1 =
jijjjjjjj 0.33338311 0.000074671256 -7.8195557 µ 10-6 zzzzzyzzz
k -0.34021992 -0.010329875 0.053441620
-0.000048474318 -0.000072711477
0.050007614 {
Cálculo de P2. P2 = P1 - A1* F HP1L
P2 = jjjjijjjj 0.50000000 zzzzzzyzz - jjjjijjjj -0.00023122871 zzzyzzzzz
k 0.50000000 { k 1.5802991 {
-0.52359878 0.00022516001
P2 = jijjjjjjj 0.50023123 zzzzzzzzy
k -1.0802991 {
-0.52382394
171
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 2.
F HP2L = jjjijjjjj 0.15658007 zzzzzzyzz
k -731.56349 {
0.71218906
y2 = F HP2L - F HP1L = jjjjjjjij 0.12250590 zzzzzzyzz
k -576.31349 {
0.93338828
s2 = P2 - P1 = jjjjjjjji 0.00023122871 zyzzzzzzz
k -1.5802991 {
-0.00022516001
A2 = jjjjjjjji 0.33324435 0.000070458556 0.000013977716 zzzyzzzzz
k 0.090248461 0.0027383079 -0.014175515 {
0.0050200777 0.000081159901 0.049211456
Cálculo de P3. P3 = P2 - A2* F HP2L
P3 = jjjjjjjji 0.50023123 zzzzzzyzz - jjjjjjijj 0.00064447181 zyzzzzzzz
k -1.0802991 { k -1.9992106 {
-0.52382394 -0.023539715
P3 = ijjjjjjjj 0.49958676 zzzzzzzyz
k 0.91891155 {
-0.50028422
....
....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones. En la tabla final se pueden ver los resultados
172
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 10.
F HP10L = jjjjjjijj 0.0011160823 zzzzzyzzz
k -5.3749283 {
0.00099511573
y10 = F HP10L - F HP9L = jijjjjjjj -0.0016566050 zzzzzyzzz
k 8.4151117 {
-0.0015409534
s10 = P10 - P9 = jjijjjjjj 0.000059694684 zzzzzzzyz
k -0.055798137 {
-0.0013888404
A10 = ijjjjjjjj 0.33704107 0.000073447929 0.000022024267 zzzzzyzzz
k -0.65297008 -0.0067540471 0.028417241 {
-0.013201957 -0.00015843129 0.050289560
Cálculo de P11. P11 = P10 - A10* F HP10L
P11 = jjjjijjjj 0.49996902 zzzzzzzzy - jjjijjjjj -0.000018589872 zzzzzzzyz
k 0.094348299 { k 0.035602029 {
-0.52124522 0.00088686628
P11 = jjjjjijjj 0.49998761 zzzzzzzzy
k 0.058746270 {
-0.52213209
Iteración i = 11.
F HP11L = jjjjjjjji 0.00043321741 zzzyzzzzz
k -2.0395097 {
0.00038851313
y11 = F HP11L - F HP10L = jijjjjjjj -0.00068286487 zzzzyzzzz
k 3.3354186 {
-0.00060660260
s11 = P11 - P10 = ijjjjjjjj 0.000018589872 zzzyzzzzz
k -0.035602029 {
-0.00088686628
A11 = jjjijjjjj 0.33715269 0.000074602296 0.000016956222 zzzzzzzyz
k -1.0520154 -0.010880849 0.046535249 {
-0.023159275 -0.00026140674 0.050741656
173
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P12. P12 = P11 - A11* F HP11L
P12 = jjjijjjjj 0.49998761 zzzzzzzzy - jjjjjjjji -6.0850991 µ 10-6 zzzzzyzzz
k 0.058746270 { k 0.021753924 {
-0.52213209 0.00054282238
P12 = ijjjjjjjj 0.49999369 zzzzzzzzy
k 0.036992346 {
-0.52267491
Tabla de datos.
i Pi F HPiL ¥Pi - Pi-1∞¶
0 jjjijjjjj 0 zzzzzzyzz jjjjjjijj -1.5000000 yzzzzzzzz
k 0 { k -1.0000000 {
0 10.471976
1 jjjjjjjij 0.50000000 zzzzzzzzy jijjjjjjj 0.0340742 zzzzzzyzz 0.523599
k 0.50000000 { k -155.25 {
-0.52359878 -0.221199
2 jjjjjjjij 0.50023123 yzzzzzzzz jjijjjjjj 0.034074174 zzzzzzzzy 1.5803
k -1.0802991 { k -155.25000 {
-0.52382394 -0.22119922
3 jjjjjjjij 0.49958676 zzzzyzzzz jjjjijjjj 0.15658007 zzzzzzyzz 1.99921
k 0.91891155 { k -731.56349 {
-0.50028422 0.71218906
4 ijjjjjjjj 0.50970676 zzzzzyzzz jjjjjjijj 0.10258215 zzzzzzzzy 5.05246
k 5.9713714 { k -525.91285 {
-0.36857038 0.098158298
5 ijjjjjjjj 0.47746396 zzzzzzyzz jjjjjjjij 1.6183251 zzyzzzzzz 5.17408
k 0.79729393 { k -22273.816 {
-0.50602980 2.1482287
6 jijjjjjjj 0.48230959 zzyzzzzzz jjjjjijjj 0.012681619 zzzzzzzzy 0.0937435
k 0.70355047 { k -395.79203 {
-0.50830770 0.034776583
7 ijjjjjjjj 0.49882332 zzyzzzzzz jjjjjjjji 0.010196232 yzzzzzzzz 0.32872
k 0.37483057 { k -308.02695 {
-0.51428842 0.018069454
8 jijjjjjjj 0.49964924 zzzzzyzzz jjjjjjjji 0.014992813 zzzzzyzzz 0.127201
k 0.24762963 { k -87.066262 {
-0.51737005 0.015672164
9 ijjjjjjjj 0.49990932 zzzzzyzzz jjjijjjjj 0.0071433695 zzyzzzzzz 0.0974832
k 0.15014644 { k -37.831414 {
-0.51985638 0.0081946310
174
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
10 jjjjjjjij 0.49996902 zzzzzzzyz jijjjjjjj 0.0027726873 zyzzzzzzz 0.0557981
k 0.094348299 { k -13.790040 {
-0.52124522 0.0025360692
11 jjjjjjjji 0.49998761 zzzzzzyzz jjjjjjjji 0.0011160823 zzzzzyzzz 0.035602
k 0.058746270 { k -5.3749283 {
-0.52213209 0.00099511573
12 jjjjjjjij 0.49999369 zzzzzzzyz jjjjijjjj 0.00043321741 zzzzzzzzy 0.0217539
k 0.036992346 { k -2.0395097 {
-0.52267491 0.00038851313
La solución aproximada del sistema es:
P12 = jjjjijjjj 0.49999369 zzzzzzyzz
k 0.036992346 {
-0.52267491
à Problema 25. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2, x3L = x12 + x2 - 37 = 0,
f1Hx1, x2, x3L = x1 - x22 - 5 = 0.
f1Hx1, x2, x3L = x1 + x2 + x3 - 3 = 0
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Cuasi Newton
comenzando en el punto:
P0 = Ix1H0L, x2H0L, x3H0LMT = H0, 0, 0LT ,
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 5 µ 10-5.
Solución
Clear@ecuaciones, ecuacionestrans, p, dD;
ecuaciones = 8x12 + x2 − 37, x1 − x22 − 5, x1 + x2 + x3 − 3<;
d = 10.−5;
p = 80.0, 0.0, 0.0<;
m = 12;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi-Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
fi Hx1 , x2, x3L = jjjjijjjjj x12 + x2 - 37 yzzzzzzzzz = jjjijjjjj 0 zzzzzzyzz
k -x22 + x1 - 5 { k 0 {
x1 + x2 + x3 - 3 0
P0 = jjjjjjjjijjj x1H0L zzzyzzzzzzzz = jjjijjjjj 0. yzzzzzzzz
k x2H0L { k 0. {
x3H0L 0.
175
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
La matriz jacobiana es:
ijjjjjjjj 2 x1 1 0 zzyzzzzzz
k 1 -2 x2 0 {
J Hx1, x2, x3L = 1 1 1
Iteración i = 0
F HP0L = ijjjjjjjj -37.000000 yzzzzzzzz
k -5.0000000 {
-3.0000000
A0-1 = jjijjjjjj 0. 1. 0. zzzzzyzzz
k 1. 0. 0. {
-1. -1. 1.
Cálculo de P1. P1 = P0 - A0-1* F HP0L
P1 = jjjijjjjj 0 yzzzzzzzz - jjjjjjjji -5.0000000 zyzzzzzzz
k 0 { k -37.000000 {
0 39.000000
P1 = jijjjjjjj 5.0000000 zzzzyzzzz
k 37.000000 {
-39.000000
Iteración i = 1.
F HP1L = jjjjijjjj 25.000000 yzzzzzzzz
k -1369.0000 {
0
y1 = F HP1L - F HP0L = jjjjjijjj 62.000000 zzzzyzzzz
k -1364.0000 {
3.0000000
s1 = P1 - P0 = jjjjijjjj 5.0000000 yzzzzzzzz
k 37.000000 {
-39.000000
A1 = jjjjjjijj -1.8773389 -0.086880424 0.96337129 zzyzzzzzz
k 1.0342830 0.019848072 -0.017592609 {
0.84305588 0.067032352 0.054221324
176
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P2. P2 = P1 - A1* F HP1L
P2 = jjjjjjjji 5.0000000 zzzzzzzyz - jjjjjjijj 72.005828 zzzzzzzyz
k 37.000000 { k -1.3149348 {
-39.000000 -70.690893
P2 = ijjjjjjjj -67.005828 zyzzzzzzz
k 38.314935 {
31.690893
Iteración i = 2.
F HP2L = jjjjjjjji 4491.0959 zzzzzzzyz
k -1540.0401 {
-1.7053026 µ 10-13
y2 = F HP2L - F HP1L = jjjjjjjji 4466.0959 yzzzzzzzz
k -171.04005 {
-1.7053026 µ 10-13
s2 = P2 - P1 = jjjjjjjji -72.005828 zyzzzzzzz
k 1.3149348 {
70.690893
A2 = jjijjjjjj -0.015443498 0.017736688 0.34103124 yzzzzzzzz
k -0.0011736178 -0.038332685 0.32850961 {
0.016617116 0.020595997 0.33045915
Cálculo de P3. P3 = P2 - A2* F HP2L
P3 = jjjjjjjji -67.005828 zzyzzzzzz - jjjjjjjji -96.673441 zzzzzzzzy
k 38.314935 { k 53.763040 {
31.690893 42.910401
P3 = jjjjjjjji 29.667613 zzzzzzzyz
k -15.448105 {
-11.219508
......
.....
Nota: Se han eliminado varias iteraciones.En la tabla final se pueden ver los resultados
177
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 10.
F HP10L = jjijjjjjj 75.340243 zzzzzzzzy
k -85.146029 {
-3.5527137 µ 10-15
y10 = F HP10L - F HP9L = ijjjjjjjj -110.35308 zyzzzzzzz
k -94.943726 {
7.1054274 µ 10-15
s10 = P10 - P9 = jjijjjjjj -4.7944161 zyzzzzzzz
k 9.8729439 {
-5.0785278
A10 = jjjjjjijj -0.023503588 0.077815667 0.35197622 zzzzyzzzz
k 0.16673706 -0.29778579 0.23573419 {
-0.14323347 0.21997012 0.41228959
Cálculo de P11. P11 = P10 - A10* F HP10L
P11 = jjjijjjjj 10.140922 zyzzzzzzz - jjjjjjjji -8.3964610 zzzyzzzzz
k 9.5019446 { k 37.917288 {
-16.642867 -29.520827
P11 = jjjjjijjj 18.537383 zzzzzzzyz
k -28.415343 {
12.877960
Iteración i = 11.
F HP11L = jjjjijjjj 278.21922 zzyzzzzzz
k -793.89436 {
-2.1316282 µ 10-14
y11 = F HP11L - F HP10L = jjjijjjjj 202.87898 zzzzzyzzz
k -708.74833 {
-1.7763568 µ 10-14
s11 = P11 - P10 = jjjjjjjij 8.3964610 zzzzzzzyz
k -37.917288 {
29.520827
A11 = jjjjjjjji 0.024649010 -0.0047911153 0.32425254 zzzyzzzzz
k -0.032593066 0.044169191 0.35049776 {
0.0079440555 -0.039378075 0.32524970
178
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P12. P12 = P11 - A11* F HP11L
P12 = jjjjjjjji 18.537383 zzzzzyzzz - jijjjjjjj 10.661468 zyzzzzzzz
k -28.415343 { k -44.133689 {
12.877960 33.472221
P12 = jijjjjjjj 7.8759151 yzzzzzzzz
k 15.718345 {
-20.594260
Tabla de datos.
i Pi F HPiL ¥Pi - Pi-1∞¶
0 jjjjjjjij 0 zzzzzzzzy jjjjjjjji -37.000000 zzzzzzzyz
k 0 { k -5.0000000 {
0 -3.0000000
1 jjjjjjjji 5.0000000 zzzzzzzzy jijjjjjjj 25. yzzzzzzzz 39.
k 37.000000 { k -1369. {
-39.000000 0.
2 jjjjjjjij -67.005828 zzzzzzzzy jjjjjjijj 25.000000 zzzzyzzzz 72.0058
k 38.314935 { k -1369.0000 {
31.690893 0
3 ijjjjjjjj 29.667613 zzzzzzyzz jjjjjjjji 4491.0959 yzzzzzzzz 96.6734
k -15.448105 { k -1540.0401 {
-11.219508 -1.7053026 µ 10-13
4 jijjjjjjj 49.640098 zzzzzzzyz jjjjjjjji 827.71915 zzzzzzzzy 19.9725
k -24.159488 { k -213.97634 {
-22.480610 -1.1652901 µ 10-12
5 jijjjjjjj 18.834135 zzzzyzzzz jjjjijjjj 2402.9798 zyzzzzzzz 30.806
k -12.101120 { k -539.04078 {
-3.7330147 -1.4210855 µ 10-14
6 jjjjjjjij 13.615493 zzzzyzzzz jjjjjjjji 305.62352 zyzzzzzzz 5.56293
k -12.445404 { k -132.60298 {
1.8299106 1.5987212 µ 10-14
7 jjjjjijjj -8.9418766 zzyzzzzzz jjijjjjjj 135.93625 zyzzzzzzz 41.3227
k -31.210731 { k -146.27258 {
43.152608 1.0658141 µ 10-14
8 ijjjjjjjj 16.237302 zzzzzzzzy jijjjjjjj 11.746425 zzyzzzzzz 50.4392
k -5.9507478 { k -988.05163 {
-7.2865541 5.6843419 µ 10-14
9 jjjijjjjj 14.935338 zzzzyzzzz jjijjjjjj 220.69922 yzzzzzzzz 5.57975
k -0.37099930 { k -24.174097 {
-11.564339 -3.1974423 µ 10-14
179
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
10 jjjjjjijj 10.140922 zzyzzzzzz jjjjijjjj 185.69332 zzzzzzyzz 9.87294
k 9.5019446 { k 9.7976976 { 37.9173
-16.642867 -1.0658141 µ 10-14 44.1337
11 jjjjjjijj 18.537383 zzzzzzzyz jjjjjijjj 75.340243 yzzzzzzzz
k -28.415343 { k -85.146029 {
12.877960 -3.5527137 µ 10-15
12 jjjjjjjji 7.8759151 zzzzzzyzz jjjjjjjji 278.21922 zzzzzzzzy
k 15.718345 { k -793.89436 {
-20.594260 -2.1316282 µ 10-14
La solución aproximada del sistema es:
P12 = ijjjjjjjj 7.8759151 zzyzzzzzz
k 15.718345 {
-20.594260
à Problema 26. Dado el siguiente problema no lineal
f1Hx1, x2L = 3 x12 - x22 = 0,
f1Hx1, x2L = 3 x1 x22 - x13 - 1 = 0.
Calcular la solución aproximada del sistema empleando el método de Cuasi Newton
comenzando en el punto:
P0 = IxH10L, xH20LMT = H1, 1LT ,
e iterando hasta que ∞Pi+1 - Pi¥¶ § 5 µ 10-6.
Solución
Clear@ecuaciones, m, p, dD;
ecuaciones = 83 x12 − x22, 3 x1 x22 − x13 − 1<;
d = 10.−6;
p = 81.0, 1.0<;
m = 12;
cuasinewtonSistemasNoLineal@ecuaciones, p, m, dD;
Método de Cuasi-Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
fi Hx1 , x2L = ijjjj 3 x12 - x22 x1 - 1 yzzzz = jji 0 zyz
k -x13 + 3 x22 { k 0 {
P0 = jjjji x1H0L zzzzy = ijj 1. zzy
k x2H0L { k 1. {
La matriz jacobiana es:
J Hx1, x2L = jji 6 x1 - 3 x12 -2 x2 zzy
k 3 x22 6 x1 x2 {
180
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Iteración i = 0
F HP0L = ijj 2.0000000 yzz
k 1.0000000 {
A0-1 = jji 0.166667 0.0555556 yzz
k 0. 0.166667 {
Cálculo de P1. P1 = P0 - A0-1* F HP0L
P1 = ijj 1.0000000 yzz - ijj 0.38888889 yzz
k 1.0000000 { k 0.16666667 {
P1 = jij 0.61111111 yzz
k 0.83333333 {
Iteración i = 1.
F HP1L = jij 0.42592593 zzy
k 0.044924554 {
y1 = F HP1L - F HP0L = jji -1.5740741 zyz
k -0.95507545 {
s1 = P1 - P0 = ijj -0.38888889 zzy
k -0.16666667 {
A1 = jji 0.19859170 0.079879390 zyz
k 0.0032529266 0.16914509 {
Cálculo de P2. P2 = P1 - A1* F HP1L
P2 = ijj 0.61111111 yzz - ijj 0.088173899 yzz
k 0.83333333 { k 0.0089842734 {
P2 = jji 0.52293721 zyz
k 0.82434906 {
Iteración i = 2.
F HP2L = ijj 0.14083861 zzy
k -0.076916050 {
y2 = F HP2L - F HP1L = jij -0.28508732 zzy
k -0.12184060 {
s2 = P2 - P1 = ijj -0.088173899 yzz
k -0.0089842734 {
A2 = jij 0.26193264 0.11080236 zyz
k -0.033174631 0.15136120 {
181
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P3. P3 = P2 - A2* F HP2L
P3 = ijj 0.52293721 yzz - ijj 0.028367749 yzz
k 0.82434906 { k -0.016314374 {
P3 = jji 0.49456946 zzy
k 0.84066343 {
Iteración i = 3.
F HP3L = jji 0.027081850 zzy
k -0.072412185 {
y3 = F HP3L - F HP2L = ijj -0.11375676 yzz
k 0.0045038649 {
s3 = P3 - P2 = ijj -0.028367749 yzz
k 0.016314374 {
A3 = jij 0.25373143 0.11010910 yzz
k -0.13777191 0.14251952 {
Cálculo de P4. P4 = P3 - A3* F HP3L
P4 = ijj 0.49456946 yzz - ijj -0.0011017241 yzz
k 0.84066343 { k -0.014051268 {
P4 = jji 0.49567119 zzy
k 0.85471470 {
Iteración i = 4.
F HP4L = jji 0.0065325540 zzy
k -0.035462661 {
y4 = F HP4L - F HP3L = ijj -0.020549296 zzy
k 0.036949524 {
s4 = P4 - P3 = ijj 0.0011017241 yzz
k 0.014051268 {
A4 = ijj 0.22064925 0.15253000 yzz
k -0.22542377 0.25491446 {
Cálculo de P5. P5 = P4 - A4* F HP4L
P5 = ijj 0.49567119 yzz - ijj -0.0039677166 yzz
k 0.85471470 { k -0.010512538 {
P5 = ijj 0.49963890 zzy
k 0.86522724 {
Iteración i = 5.
F HP5L = jji 0.00029892374 yzz
k -0.0026130772 {
HL
182
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
y5 = F HP5L - F HP4L = jji -0.0062336302 zyz
k 0.032849584 {
s5 = P5 - P4 = ijj 0.0039677166 yzz
k 0.010512538 {
A5 = jji 0.21640932 0.16185083 yzz
k -0.23477381 0.27546909 {
Cálculo de P6. P6 = P5 - A5* F HP5L
P6 = ijj 0.49963890 yzz - ijj -0.00035823882 yzz
k 0.86522724 { k -0.00079000147 {
P6 = jij 0.49999714 zyz
k 0.86601724 {
Iteración i = 6.
F HP6L = jij 5.5633653 µ 10-6 zyz
k -0.000025491707 {
y6 = F HP6L - F HP5L = jji -0.00029336038 yzz
k 0.0025875855 {
s6 = P6 - P5 = ijj 0.00035823882 zzy
k 0.00079000147 {
A6 = jji 0.21598585 0.16293201 zyz
k -0.23598083 0.27855081 {
Cálculo de P7. P7 = P6 - A6* F HP6L
P7 = ijj 0.49999714 yzz - ijjjj -2.9518069 µ 10-6 zzzzy
k 0.86601724 { k -8.4135833 µ 10-6 {
P7 = ijj 0.50000009 zyz
k 0.86602566 {
Iteración i = 7.
F HP7L = jjjij -1.5392563 µ 10-7 yzzzz
k 7.9492530 µ 10-7 {
y7 = F HP7L - F HP6L = jij -5.7172909 µ 10-6 zzy
k 0.000026286632 {
s7 = P7 - P6 = ijjjj 2.9518069 µ 10-6 zzzzy
k 8.4135833 µ 10-6 {
A7 = ijj 0.21756925 0.15961396 zzy
k -0.23174163 0.26966745 {
183
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cálculo de P8. P8 = P7 - A7* F HP7L
P8 = ijj 0.50000009 yzz - ijjjj 9.3391695 µ 10-8 zzzzy
k 0.86602566 { k 2.5003645 µ 10-7 {
P8 = ijj 0.50000000 zzy
k 0.86602541 {
Tabla de datos.
i Pi F HPiL ¥Pi - Pi-1∞¶
0 jji 1.0000000 zzy jji 2.0000000 zyz
k 1.0000000 { k 1.0000000 {
1 jij 0.61111111 yzz jji 0.425926 zzy 0.388889
k 0.83333333 { k 0.0449246 {
2 jji 0.52293721 zyz ijj 0.42592593 zyz 0.0881739
k 0.82434906 { k 0.044924554 {
3 jji 0.49456946 yzz ijj 0.14083861 zyz 0.0283677
k 0.84066343 { k -0.076916050 {
4 jji 0.49567119 yzz jij 0.027081850 zzy 0.0140513
k 0.85471470 { k -0.072412185 {
5 jij 0.49963890 zzy jji 0.0065325540 yzz 0.0105125
k 0.86522724 { k -0.035462661 {
6 jji 0.49999714 zzy jji 0.00029892374 zyz 0.000790001
k 0.86601724 { k -0.0026130772 {
7 jji 0.50000009 yzz ijj 5.5633653 µ 10-6 yzz 8.41358 µ 10-6
k 0.86602566 { k -0.000025491707 {
8 jji 0.50000000 zyz ijjjj -1.5392563 µ 10-7 zzzzy 2.50036 µ 10-7
k 0.86602541 { k 7.9492530 µ 10-7 {
La solución aproximada del sistema es:
P8 = jij 0.50000000 zzy
k 0.86602541 {
184
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
7. Método de la Máxima Pendiente
7.1 Introducción
La ventaja del método de Newton y de cuasi - Newton en la resolución de sistemas
de ecuaciones no lineales es su rapidez de convergencia cuando se dispone de una solución
aproximada suficentemente precisa. La necesidad de disponer de dicha aproximación inicial
lo suficientemene precisa para asegurar la convergencia es, por tanto, una debilidad de estos
métodos. El método de la Máxima Pendiente converge a la solución generalmente sólo de
manera lineal, pero es de naturaleza global, esto es, a partir de casi cada valor inicial se
produce convergencia, aunque estos valores iniciales sean deficientes. En consecuencia, con
él se logran aproximaciones iniciales suficientemente exactas para las técnicas que tienen
como base el método de Newton, del mismo modo que el método de la bisección se utiliza
en una sola ecuación.
El método de la Máxima Pendiente determina un mínimo local para una función de
varias variables de la forma g : n ö . El método es de gran utiilidad
independientemente de su aplicación como primer método para resolver los sistemas no
lineales.
La conexión entre el problema de minimizar una función de n en y la resolución
de un sistema de ecuaciones no lineales reside en el hecho de que un sistema lineal de la
forma
f1H x1, x2, ..., xnL = 0,
f2H x1, x2, ..., xnL = 0;
185
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
.. (31)
..
..
fnH x1, x2, ..., xnL = 0,
tiene una solución en p = ( p1, p2, ...., pn) justo cuando la función g definida por
n
gHx1, x2, ..., xnL = ‚ @ fiHx1, x2, ..., xnLD2
i=1
alcanza su valor mínimo cero en p.
En el método de la Máxima Pendiente para encontrar un mínimo local de una
función cualquiera g de n en puede describirse de manera intuitiva como sigue:
- Evaluar la función g en una aproximación inicial pH0L = I pH10L, p2H0L, ..., pHn0L Mt.
- Determinar una dirección que, desde pH0L, se origine una disminución del valor de
g.
- Desplazar una cantidad apropiada hacia esta dirección y llamar al nuevo vector
pH1L.
- Repetir los tres pasos anteriores sustituyendo pH0L por pH1L.
Antes de describir cómo seleccionar la dirección correcta y la distancia apropiada
que se recorre en dicha dirección, es preciso repasar algunos resultados del cálculo
infinitesimal.
ô Teorema 4. Teorema de los Valores Extremos
Este teorema establece que una función diferenciable de una sola variable puede
tener un mínimo relativo sólo cuando su derivada sea cero.
186
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Para extender este resultado a las funciones de varias variables se necesita la
siguiente definición.
Definición 5. Si g: nö , se define el gradiente de g en x = (x1, x2, ..., xnLt,
que se denota con “ gHxL y se define por medio de:
“ gHxL = I Å∑Å∑ÅxÅgÅ1ÅÅ HxL, Å∑Å∑ÅxÅgÅ2ÅÅ HxL, ...., Å∑Å∑ÅxÅgÅnÅÅ HxLMt
El gradiente de una función de varias variables es el análogo a la derivada de una
función de varias variables en el sentido de que una función de varias variables diferenciable
puede tener un mínimo local en un punto x sólo cuando su gradiente en x es el vector cero.
El gradiente tiene otra propiedad muy importante en relación con la minimización de
las funciones de varias variables. Supóngase que v = (v1, v2, ..., vnLt es un vector unitario
de n; es decir,
n (32)
∞ v ¥22 = ‚ vi2 = 1
i=1
Definición 6. La derivada direccional de g en x en la dirección de v está definida por
Dv gHxL = limhö0 Åh1ÅÅÅ @ gH x + h vL - gHxL D = v “ gHxL.
La derivada direccional de g en x en la dirección de v mide la variación de los
valores de la función g con respecto a los cambios de su variable en la dirección de v.
187
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones no Lineales
Cuando g es una función de dos variables
Figura 2
Un resultado estándar del cálculo infinitesimal de las funciones de varias variables
establece que si la función g es diferenciable, la dirección en la que se obtiene la derivada
direccional de mayor tamaño se obtiene cuando v es paralelo al gradiente “ gHxL, siempre y
cuando “ gHxL ∫ 0. En consecuencia, la dirección de la máxima disminución de los valores
de g desde x es la dirección dada por – “ gHxL.
Puesto que el objetivo es reducir g HxL a su valor mínimo de cero, dada la
aproximación inicial pH0L, se toma
pH1L = pH0L - a zH0L (33)
para alguna constante a > 0, donde zH0L es el vector unitario en la dirección del gradiente ,
es decir, zH0L = Å∞ÅÅÅ““ÅÅÅÅggÅÅÅHHÅÅpÅpÅÅÅHH0Å0ÅLLÅÅLÅLÅ¥ÅÅ2ÅÅ .
El problema, entonces, se reduce a escoger un valor de a de manera que g H pH1LL sea
188
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Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
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