อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3

อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว ม.3

สังเกตเห็นอะไรบ้าง

ขา้ วกลอ้ งสูงมากกวา่ ขา้ วสวย
ขา้ วสวยสูงนอ้ ยกวา่ ขา้ วป้ัน
ขา้ วกลอ้ งสูงนอ้ ยกวา่ ขา้ วป้ัน
ขา้ วสวยสูงนอ้ ยกวา่ 185 เซนติเมตร
ขา้ วป้ันสูงไม่เกิน 185 เซนติเมตร

สังเกตเห็นอะไรบ้าง

สม้ หนกั นอ้ ยกวา่ 1 กิโลกรัม
สม้ สองผลหนกั รวมกนั ไม่ถึง 1 กิโลกรัม
เครื่องชง่ั น้าหนกั น้ีใชช้ งั่ ส่ิงของที่หนกั ไม่เกิน 5 กิโลกรัม

ขอ้ ความ : ขา้ วป้ันสูงไม่เกิน 185 เซนติเมตร
ให้ x แทน ความสูงของขา้ วป้ัน (เซนติเมตร)
จะได้ อสมการ : ≤ 185

ขอ้ ความ : สม้ หนกั นอ้ ยกวา่ 1 กิโลกรัม

ให้ x แทน น้าหนกั ของสม้ (กิโลกรัม)
จะได้ อสมการ : < 1

อสมการคืออะไร

มาเปลย่ี นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

ตัวอย่าง ประโยคภาษา : จานวนจานวนหน่ึงมีค่าไม่เกิน 10
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : ≤ 10

มาเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

1. ประโยคภาษา : จานวนจริงทุกจานวนที่ไม่เท่ากบั 0
2. ประโยคภาษา : จานวนทุกจานวนท่ีไม่ใช่จานวนลบ
3. ประโยคภาษา : จานวนจานวนหน่ึงมีคา่ ไม่ถึง 5
4. ประโยคภาษา : จานวนจานวนหน่ึงมากกวา่ -2
5. ประโยคภาษา : จานวนท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั 10

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

1. ประโยคภาษา : จานวนจริงทุกจานวนที่ไม่เท่ากบั 0
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : ≠ 0

เฉลย มาเปลย่ี นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

2. ประโยคภาษา : จานวนทุกจานวนที่ไม่ใช่จานวนลบ
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : ≥ 0

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

3. ประโยคภาษา : จานวนจานวนหน่ึงมีคา่ ไม่ถึง 5
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : < 5

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

4. ประโยคภาษา : จานวนจานวนหน่ึงมากกวา่ -2
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : > −2

เฉลย มาเปลย่ี นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

5. ประโยคภาษา : จานวนท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั 10
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : ≥ 10

แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

ตัวอย่าง

อสมการ : > 3
ขอ้ ความ : จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ 3

แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

1.
2.
3.
4.
5.

เฉลย แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

อสมการ : ≥ 7
ขอ้ ความ : จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั 7

เฉลย แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

อสมการ : < −4
ขอ้ ความ : จานวนจริงทุกจานวนท่ีนอ้ ยกวา่ -4

เฉลย แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

อสมการ : −5 ≤ ≤ 5
ขอ้ ความ : จานวนจริงทุกจานวนที่มีค่าต้งั แต่ -5 ถึง 5

เฉลย แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

อสมการ : ≠ 20
ขอ้ ความ : จานวนจริงทุกจานวนที่ไม่เท่ากบั 20

เฉลย แปลงภาพเป็ นอสมการกนั เถอะ

อสมการ : 18 ≤ < 24
ขอ้ ความ : จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั 18 แต่ไม่ถึง 24

การเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์

ตัวอย่าง 1. ประโยคภาษา : สองเท่าของเลขจานวนหน่ึงไม่นอ้ ยกวา่ 8
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 ≥ 8
2. ประโยคภาษา : สองเท่าของผลต่างของเลขจานวนหน่ึงกบั 3 นอ้ ยกวา่ 10
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 − 3 < 10

มาเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

1. ประโยคภาษา : ผลบวกของเลขจานวนหน่ึงกบั เกา้ มากกวา่ สิบสอง
2. ประโยคภาษา : ผลต่างของเลขจานวนหน่ึงกบั หกนอ้ ยกวา่ แปด
3. ประโยคภาษา : สามเท่าของผลต่างของเลขจานวนหน่ึงกบั สี่มากกวา่ ยส่ี ิบเอด็
4. ประโยคภาษา : หา้ เท่าของเลขจานวนหน่ึงไม่เกินสี่สิบหา้
5. ประโยคภาษา : สามเท่าของผลบวกของจานวนหน่ึงกบั ส่ีไม่นอ้ ยกวา่ สามสิบ
6. ประโยคภาษา : เศษหน่ึงส่วนสองของเลขจานวนหน่ึงไม่เท่ากบั สาม

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

1. ประโยคภาษา : ผลบวกของเลขจานวนหน่ึงกบั เกา้ มากกวา่ สิบสอง
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : + 9 > 12

2. ประโยคภาษา : ผลต่างของเลขจานวนหน่ึงกบั หกนอ้ ยกวา่ แปด
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : − 6 < 8

เฉลย มาเปลย่ี นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

3. ประโยคภาษา : สามเท่าของผลต่างของเลขจานวนหน่ึงกบั ส่ีมากกวา่ ยสี่ ิบเอด็
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 3 − 4 > 21

4. ประโยคภาษา : หา้ เท่าของเลขจานวนหน่ึงไม่เกินส่ีสิบหา้
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 5 ≤ 45

เฉลย มาเปลย่ี นประโยคภาษาเป็ นประโยคสัญลกั ษณ์กนั เถอะ

5. ประโยคภาษา : สามเท่าของผลบวกของจานวนหน่ึงกบั ส่ีไม่นอ้ ยกวา่ สามสิบ
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 3 + 4 ≥ 30

6. ประโยคภาษา : เศษหน่ึงส่วนสองของเลขจานวนหน่ึงไม่เท่ากบั สาม
ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 1 ≠ 3

2

มาเปลยี่ นประโยคสัญลกั ษณ์เป็ นประโยคภาษากนั เถอะ

ตวั อย่าง 1. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 3 + 1 ≥ 10
ประโยคภาษา : สามเท่าของผลรวมของจานวนหน่ึงกบั หน่ึงไม่นอ้ ยกวา่ สิบ

2. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 − 5 ≠ 13
ประโยคภาษา : ผลต่างของสองเท่าของจานวนหน่ึงกบั หา้ ไม่เท่ากบั สิบสาม

มาเปลย่ี นประโยคสัญลกั ษณ์เป็ นประโยคภาษากนั เถอะ

1. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : + 8 < 10
2. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 − 5 ≠ 30
3. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 4 − 2 ≥ 20
4. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 + 3 > 10
5. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 10 − 3 ≤ 0
6. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 7 + 1 ≠ 35

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคสัญลกั ษณ์เป็ นประโยคภาษากนั เถอะ

1. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : + 8 < 10
ประโยคภาษา : ผลรวมของจานวนหน่ึงกบั แปดนอ้ ยกวา่ สิบ

2. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 − 5 ≠ 30
ประโยคภาษา : ผลต่างของสองเท่าของจานวนหน่ึงกบั หา้ ไม่เท่ากบั สามสิบ

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคสัญลกั ษณ์เป็ นประโยคภาษากนั เถอะ

3. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 4 − 2 ≥ 20
ประโยคภาษา : สี่เท่าของผลต่างของจานวนหน่ึงกบั สองไม่นอ้ ยกวา่ ยส่ี ิบ

4. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 2 + 3 > 10
ประโยคภาษา : สองเท่าของผลรวมของจานวนหน่ึงกบั สามมากกวา่ สิบ

เฉลย มาเปลยี่ นประโยคสัญลกั ษณ์เป็ นประโยคภาษากนั เถอะ

5. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 10 − 3 ≤ 0
ประโยคภาษา : ผลต่างของสิบกบั สามเท่าของจานวนหน่ึงไม่มากกวา่ ศูนย์

6. ประโยคสญั ลกั ษณ์ : 7 + 1 ≠ 35
ประโยคภาษา : เจด็ เท่าของผลรวมของจานวนหน่ึงกบั หน่ึงไม่เท่ากบั สามสิบหา้

การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

การสารวจสมบัตกิ ารบวกของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 1 กาหนดให้ อสมการ : 2 < 6
ถา้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย 4
จะได้ 2 + 4 < 6 + 4
อสมการใหม่คือ 6 < 10
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 2 กาหนดให้ อสมการ : 2 < 6
ถา้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย -4
จะได้ 2 + −4 < 6 + −4
อสมการใหม่คือ −2 < 2
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบัติการบวกของการไม่เท่ากนั

กรณที ี่ 3 กาหนดให้ อสมการ : −5 < 6
ถา้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย 3
จะได้ −5 + 3 < 6 + 3
อสมการใหม่คือ −2 < 9
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบัติการบวกของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 4 กาหนดให้ อสมการ : −5 < 6
ถา้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย -3
จะได้ −5 + −3 < 6 + −3
อสมการใหม่คือ −8 < 3
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบตั กิ ารบวกของการไม่เท่ากนั

กรณที ี่ 5 กาหนดให้ อสมการ : −5 < −1
ถา้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย 4
จะได้ −5 + 4 < (−1) + 4
อสมการใหม่คือ −1 < 3
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบัติการบวกของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 6 กาหนดให้ อสมการ : −5 < −1
ถา้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย -4
จะได้ −5 + −4 < (−1) + (−4)
อสมการใหม่คือ −9 < (−5)
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากนั

จากกรณีท่ี 1 – 6
จะเห็นวา่ ถา้ นาจานวนท่ีเท่ากนั มาบวกท้งั สองขา้ งของอสมการท่ีเป็นจริง

แลว้ อสมการใหม่ที่ไดย้ งั คงเป็นจริง
โดยท่ีเครื่องหมายแสดงการไม่เท่ากนั ยงั คงเหมือนเดิม

การสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 1 กาหนดให้ อสมการ : 2 < 6
ถา้ คูณท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย 4
จะได้ 2 × 4 < 6 × 4
อสมการใหม่คือ 8 < 24
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 2 กาหนดให้ อสมการ : 2 < 6
ถา้ คูณท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย -4
จะได้ 2 × −4 < 6 × −4
อสมการใหม่คือ −8 < −24
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นเทจ็
ดงั น้นั อสมการใหม่ท่ีเป็นจริงคือ −8 > (−24)

การสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 3 กาหนดให้ อสมการ : −5 < 6
ถา้ คูณท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย 3
จะได้ −5 × 3 < 6 × 3
อสมการใหม่คือ −15 < 18
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบตั กิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 4 กาหนดให้ อสมการ : −5 < 6

ถา้ คูณท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย -3

จะได้ −5 × −3 < 6 × −3

อสมการใหม่คือ 15 < −18

ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นเทจ็

ดงั น้นั อสมการใหม่ท่ีเป็นจริงคือ 15 > (−18)

การสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

กรณที ่ี 5 กาหนดให้ อสมการ : −5 < −1
ถา้ คูณท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย 4
จะได้ −5 × 4 < −1 × 4
อสมการใหม่คือ −20 < −4
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นจริง

การสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

กรณที ี่ 6 กาหนดให้ อสมการ : −5 < −1
ถา้ คูณท้งั สองขา้ งของอสมการดว้ ย -4
จะได้ −5 × (−4) < −1 × (−4)
อสมการใหม่คือ 20 < 4
ดงั น้นั อสมการใหม่ เป็นเทจ็
ดงั น้นั อสมการใหม่ท่ีเป็นจริงคือ 20 > 4

การสารวจสมบตั กิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

จากกรณีที่ 1 , 3 และ 5
จะเห็นวา่ ถา้ นาจานวนบวกท่ีเท่ากนั มาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการท่ีเป็นจริง

แลว้ อสมการใหม่ท่ีไดย้ งั คงเป็นจริง
โดยไม่ตอ้ งเปลี่ยนเคร่ืองหมายแสดงการไม่เท่ากนั ยงั คงเหมือนเดิม

การสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

จากกรณีท่ี 2 , 4 และ 6

จะเห็นวา่ ถา้ นาจานวนลบท่ีเท่ากนั มาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการท่ีเป็นจริง

แลว้ อสมการใหม่ที่ไดจ้ ะเป็นเทจ็
ดงั น้นั ตอ้ งเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงการไม่เท่ากนั จาก < เป็น >
เพือ่ ใหไ้ ดอ้ สมการใหม่ที่เป็นจริง

สรุปการสารวจสมบัตกิ ารบวกของการไม่เท่ากนั

ถา้ นาจานวนที่เท่ากนั มาบวกท้งั สองขา้ งของอสมการที่เป็นจริง
แลว้ อสมการใหม่ที่ไดย้ งั คงเป็นจริง
โดยท่ีเครื่องหมายแสดงการไม่เท่ากนั ยงั คงเหมือนเดิม

สรุปการสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

ถา้ นาจานวนบวกมาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการเดิม
แลว้ อสมการใหม่ที่ไดจ้ ะเป็นจริง โดยไม่ตอ้ งเปลี่ยนเคร่ืองหมายแสดงการไม่เท่ากนั

แต่ถา้ นาจานวนลบมาคูณท้งั สองขา้ งของอสมการเดิม
ตอ้ งเปล่ียนเครื่องหมายแสดงการไม่เท่ากนั จาก < เป็น >
เพ่ือใหไ้ ดอ้ สมการใหม่ที่เป็นจริง

สรุปการสารวจสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

เมื่อนาตวั คูณ ซ่ึงเป็นจานวนลบคูณท้งั สองขา้ งของอสมการ
จะทาใหเ้ คร่ืองหมายแสดงการไม่เท่ากนั เปลี่ยนไปตรงกนั ขา้ ม
ดงั น้ี < เปล่ียนเป็น >

≤ เปลี่ยนเป็น ≥
> เปล่ียนเป็น <
≥ เปล่ียนเป็น ≤

จานวนอะไรเอ่ย

ตัวอย่างท่ี 1 คาถาม : จานวนอะไรเอย่ เมื่อหกั ออกไปหา้ แลว้ มีคา่ มากกวา่ หน่ึง
อสมการ : − 5 > 1

− 5 + 5 > 1 + 5
> 6

คาตอบ : จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ 6