Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 284 แต่เน ื่ องจากมวลดนนิ ี้มีกําลงตัานทานแรงเฉ้ ือน τf = cu ซึ่งเป็นคาหน่ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของมวลดนในสภาพไม ิระบายน่ ํ้า ( undrained ) และถาสมม้ ุติว่าหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวที่ต้านทานนี้มีค่าคงทตลอดแนวโค ี่ ้ง BC ( ซึ่งมความยาวเทีาก่ ับ L หรอเทืาก่ ับ rθ โดยที่ θ มีหน่วยเป็นเรเดยนี ) ฉะนนแรงเฉ ั้ ือนตานทานตลอดแนวโค ้ ้ง BC คือ S = ( cu)(rθ) ดังนั้น MR = โมเมนต์ต้านทานรอบจุด O เน ื่ องจากแรงเฉือนตลอดแนวโค้ง BC = ( cu)(rθ)r = cur 2 θ อนึ่ง อาจหาสวนปลอดภ ่ ยของความลาดได ั ้อีกแบบหน ึ่ งกลาวค่ ือ สมมตใหิ c้ d เป็นหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวทเก ี่ ดขินจร ึ้ ิง ( developed cohesion ) ตามแนวโคงน้ ั้น ฉะนนจากสมด ัุ้ลของโมเมนต์ โมเมนต์ที่กระทํา = โมเมนต์ที่ต้านทาน ดังนนส ั้ วนปลอดภ ่ยของความลาดทั ี่คิดจากหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว ในกรณีที่ความลาดไมเป่ ็นเสนตรงเด้ยวกีนหรัอมื ีค่าหน่วยแรงยดเหนึ ี่ยวในแต่ละชนไม ั้ เท่าก่ ัน ใหแบ้ ่งการคํานวณออกเป็น ส่วนเลกๆ็ ที่ขนานกัน ( parallel strip ) ตามแนวตงหร ั้ อแนวราบกื ได็ ้ดังรปทูี่13.11 รูปที่13.11 แสดง Parallel strip ....13.11 W rc โมเมนตที ่กระทํา) โมเมนต์ที ่ต้านทาน ส่วนปลอดภยของความลาัด F.S. : x 2 u θ = = θ θ . d 2 2 d r Wxแทนค่าจะได◌้ = rcWx หรือ c = 2......13.1 W rc c c ส่วนปลอดภยของความลาัด F : x 2 u d u Cohesion θ == r O W1 W2 W3 x1 x2 x3 c1 c2 c3 L1 L2 L3 ht
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 285 ถ้าดนมิรอยแยกเนี ื่ องจากแรงดึง ( tension crack ) ให้วัดความยาวของส่วนโคงของวงกลม้ (L) ที่ต้านทานต่อการเลอน ื่ ไถลโดยคดจากปลายของรอยแยกน ิ ี้ เม ื่ อเลือกแนวโค้งของวงกลมข ึ้ นมาอีกหลายๆแนวให้คํานวณหาส่วนปลอดภยของความลาดเชั ่นเดียวกัน โค้ง วงกลมท ี่ให้ค่าส่วนปลอดภัย ≅ 1 จะเป็นแนวโค้งที่ดินจะพงทลายั 13.9 ผลของรอยแยกเน ื่ องจากแรงดึง( Tension Crack) โดยปกติดินชนิดที่มีความเชอมแน ื่ ่นน ี้ จะเกดรอยแตกเนิ ื่ องจากแรงดงทึเร ี่ ยกีว่า “Tension Crack ”โดยจะเกดขินท ึ้ ี่ผิว ด้านบนของความลาดของดนตามริ ปทู ี่ 13.12 รูปท13ี่ .12 ผลของรอยแตกเนื่องจากแรงดึง ความลกของรอยแยกนึ ี้ จะเทาก่บั = 2c / γ และผวของการเลิอนต ื่ วจะผัานรอยแยกน่ ี้ แรงตานทานเน้ ื่ องจากความเชอม ื่ แน่นของดนจะไม ิเก่ดขินท ึ้ ความล ี่ กของรอยแยกึ ดังนนระยะส ั้ วนโค ่งของวงกลมจะลดลง้ ซึ่งทาให ํแรงต้านทานลดลง้ รอยแยกนี้อาจจะมีนํ้าไหลเข้ามาเต็ม ทําใหแรงด้ นในแนวราบข ันบนด ึ้ นสิวนท่อย ี่ เหน ู่ ือผวของการเลิอน ื่ ซึ่งเพมแรงกระท ิ่ ํา และโมเมนตของแรงกระท์ าและโมเมนต ํของแรงกระท์ารอบจํุดO ก็จะเพมข ิ่ ึ้น ทําให้ส่วนของความปลอดภยของัความลาดลดลง ( ) 3......13.1 Wx cLr ส่วนปลอดภยของความลาัด F.S : ∑ ∑ =
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 286 ตัวอย่างท ี่ 13.2 รูปตดของลาดตลังซ ิ่ งเปึ่ ็นดนเหนิ ียวแห่งหน ึ่ งดงรั ูป จากการสารวจตลํงแล ิ่ วสมมต้ ใหิ ้ผิวของการเลอนต ื่ ัว BED ซึ่งเป็น แบบสวนโค ่ ้งของวงกลมรัศมี11.75 ม. ถูกกาหนดขํ นในการลองพ ึ้ นท ื้ ของร ี่ ูป BCDE เทาก่ ับ 87 ม 2 และจุดศนยู์ถ่วงอยู่ที่ G ดัง แสดงในรูป ความหนาแน่นเฉลยของด ี่ นเทิาก่ ับ 1760 กก/ม 3 เหนือระดับABE แรงเชอมแน ื่ ่นของดนเทิาก่ ับ 21.5 กน/ม 2 และใต้ ระดบนั ี้ แรงเชอมแน ื่ ่นของดนเทิาก่ ับ 33.75 กน/ม 2 จงคานวณหาสํ วนปลอดภ ่ยบนผัวทิสมมต ี่ ินี้โดยให้ɸ = 0 วิธีทํา คิดความลกของรึ ปตูัด 1 หน่วย แรงกระทํา W = พื้นท BCDE x ี่ γ W = 87(1,760 x 9.81x10-3 ) = 1,502 กน กระทาในแนวด ํงผ ิ่ านจุ่ดG โมเมนตของแรงท์กระท ี่ ารอบจํุด O = 1,502 x 2.75 = 4,131 กน - ม แรงต้านทาน ตามแนว BE = c1 x ความยาว BE = c1 x rθ1 = 33.75 x 11.75 x 71.5 x π/180 = 495 กน ตามแนว ED = c2 x ความยาว ED = c2 x rθ2 = 21.5 x 11.75 x 37 x π/180 = 163 กน แรงตานทานท้งหมด ั้ = 495+163=658 กน โมเมนตของแรงต์านรอบจุ้ด O = 658 x 11.75=7,732 กน-ม โมเมนตของ์แรงท ี ่ กระท◌ํา โมเมนตของ์แรงต้านทาน ส่วนปลอดภยตั ่อการเลื◌่อนตัว, F.S. = 1.87 4,131 7,732 F.S. == <
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 287 ตัวอย่างท ี่13.3 จากรปตูดของการขัดดุนชนิ ิดทความเช ี่ อมแน ื่ ่นแหงหน่ ึ่งในการหาเสถยรภาพของความลาดี ไดลองก้าหนดผํวของการิ เลอนต ื่ วขั นโดยให ึ้ เป้ ็นสวนโค ่งของวงกลม้ AB รัศมี18.25 ม พื้นที่รูป ADCB เทาก่ ับ 150 ม 2 และจุดศนยู์ถ่วงอยู่ที่ G ค่ากาลํ ัง ต้านทานต่อแรงเฉือนเฉลยของด ี่ นจากผิวดิ นลงไปจนถ ิงระยะึ 5.8 ม เทาก่ ับ 38.3 กน / ม 2 ใตระยะน้ ี้ลงไปเทาก่ ับ57.5 กน/ม 2 ความหนาแน่นของดิน =1,925 กก/ม 3 เทาก่นตลอดัและมมตุานทานต้ ่อแรงเฉือนɸ สมมติว่าเทาก่บศันยู์จงคานวณหาสํวน่ ปลอดภยตั ่อการเลอนต ื่ วตามผั ิวAB วิธีทํา จากรปจะเหูนว็ าเป่ ็น Base Failure ( ɸ = 0 ) คิดความลึก 1 หน่วย โมเมนตของแรงท์กระท ี่ ารอบจํุด O = 150(1,925x9.81x10 -3 )x4.98 =14,107 กน-ม โมเมนตของแรงต์านทานรอบจุ้ด O = c1xrθ1xr + c2xrθ2xr = 57.5x18.252x83xπ/180 +38.3x18.252x22xπ/180 = 27,743+4,898 = 32,641 กน-ม โมเมนต์ของแรงท ี ่ กระท◌ํา โมเมนต์ของแรงต้านทาน ส่วนปลอดภยตั ่อการเล◌่ ือนตัว, F.S. = 2.31 14,107 32,641 F.S. == <
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 288 13.10 φ - Circle Method การวเคราะหิ โดยว ์ ิธีนี้ใช้สําหรบมวลดันทิ ี่มีทั้งแรงยดเหนึ ี่ยวและแรงเสียดทาน ( c - φ soil ) นั ่นคือ กําลงตัานแรงเฉ้ ือน ของมวลดนมิ ีค่าเทาก่ ับ c + σtan φ และคดวิามวลด่นทิงก ั้ อนท้อย ี่ เหน ู่ ือแนวโคงพ้งทลายลงมาเชันเด่ยวกีบวั ิธี circular arc method ถ้าสมมตมวลดินทิ ี่พิจารณามีคุณสมบัติเหมอนกืนและเกัดการพิ งทลายลงมาเป ั ็นแนวโคงวงกลม้ ABC โดยมีจุด O เป็น จุดศนยูกลาง์ รัศมเทีาก่ ับ R ดังรปทูี่13.13 รูปที่13.13 φ-circle method ดังนั้น แรงกระทํา ( disturbing force ) คือน ํ้ าหนกจากมวลดันสิวนท่จะพ ี่ งทลายลงมาซังสมม ึ่ ุติให้มีค่าเทาก่ ับ W หากไม่ คิดความดนของนั ํ้าในชองว่างระหว่างเม่ดด็ ิน( pore water pressure ) ดังนนแรงต ั้ านทาน้ ( resisting force) จะประกอบด้วยแรง ยึดเหน ี่ ยว(c) และแรงเสยดทานตามแนวโค ี ้ง ABC ที่สมมติในเทอมของหน่วยแรงรวม ถ้าคดวิาส่ วนโค ่ ้ง ABC ประกอบดวยส้วน่ โคงย้อยๆ่ ดังนั้น จะไดแรงต้านทานจากแรงย้ดเหนึ ี่ ยว คือ C1 , C2 , C3 ,…….และแรงลพธั N์ 1 , N2 , N3 ,……..ซึ่งเป็นแรงลพธั ์ ของแรงตงฉากก ั้ บแรงเสั ยดทานบนแนวโค ีงย้อยๆน่ ั้น หากสมมติว่าเมอมวลด ื่ นเคลิอนต ื่ วและมัแรงเสียดทานตีานเต้มท็ ี่ ดังนนแรงล ั้ พธั N์ 1 , N2 ,N3 ,……จะทามํมเอุยงเทีาก่ ับ มุมเสยดทานภายใน ี φ กับเสนต้งฉากก ั้ บระนาบทั ี่สัมผสกับสั วนโค ่งของวงกลม้ ฉะนนเส ั้ นตรง้ OD ซึ่งลากจากจุด O ไปตงฉาก ั้ กับแนวแรงลพธั N์ 1, N2 , N3 ,…..เหลาน่ ี้ จะมีค่าเทาก่ ับ Rsinφ เสมอ นั ่นคือ แนวของแรงลพธั N์ 1 , N2 , N3 ,……จะสมผัสกั ับ วงกลมเลกท็ ี่มี O เป็นจุดศนยูกลาง์ รัศมเทีาก่ ับ Rsinφ เรยกวีาวงเล่กน็ ี้ว่า φ- circle ดังนั้น จึงประมาณใหแนวของแรงล้พธั N ( ์ ซึ่งเป็นผลรวมของแรงลพธั N์ 1 ,N2 ,N3 ,……)สัมผสกับวงกลมวงนั ี้ด้วย ถ้าสมมติว่าหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวทเก ี่ ดขินจร ึ้ ิง ( developed cohesion )ตลอดแนวโคงม้ ีค่า คงท ี่ เทาก่ ับ cd ดังนนแรงย ั้ ึด เหน ี่ ยวทงหมด ั้ C บนแนวโค้ง ABC คือ C = (C1 + C2+C3+……..) = cd (ส่วนโค้ง ABC) อยางไรก ่ ็ดีอาจพจารณาแทนแรงยิดเหนึ ี่ ยวทงหมด ั้ C บนแนวโค้ง ABC ได้ด้วยแรงยดเหนึ ี่ ยวทงหมด ั้ C บนคอร์ด AC ซึ่งมีค่าเทาก่ ับ cd คูณกบระยะคอรั ์ด AC แต่จะมระยะตีงฉากห ั้ างจากจุ่ดศนยูกลาง์เทาก่ ับ m ( แนวของแรง C ที่ขนานกบคอรั ์ด AC ) ซึ่งจะหาระยะ m ไดจาก้ โมเมนต์รอบจุด O R A C B O Rsinφ φ N1 N2 N3 N4 φ N W m c1 c2 c3 c4 N W c D
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 289 cd(คอร์ด AC ) m = cd (ส่วนโค้ง ABC ) R ฉะนั้น เมอร ื่ ู้ตําแหน่งของแรงยดเหนึ ี่ ยว C ที่ขนานกบคอรั ์ด AC จะหาจุดตดกับนั ํ้ าหนกของดั ิน W ได้จากจุดตดนั ี้ เมื่อ ลากเสนไปส ้มผัสกับวงกลมั φ - circle จะได้ทิศทางของแรงลพธั N ์ ซึ่งเป็นแรงลพธัของแรงต์งฉากก ั้ ับแรงเสียดทานบนแนวโค้ง ABC ดังนั้น เมอเข ื่ ยนสามเหลี ี่ยมของแรง โดยใช้นํ้าหนัก W ที่ทราบค่า และใช้แนวแรง N และแรง C จะวดหาคัาแรงย่ดเหนึ ี่ ยว C ที่เกดขิ นได ึ้ ้จะได้ว่า ฉะน ั้ นเม ื่อสมมติวงกลมข ึ้ นมาอีก จะหาส่วนปลอดภยของความลาดได ั ้เช่นเดียวกัน โค้งวงกลมท ี่ให้ค่าส่วน ปลอดภัย ≅ 1 จะเป็นโค้งวิกฤต ( circular slip circle ) 13.11 Slice Method การวเคราะหิหาเสถ์ ียรภาพของความลาดสําหรบดั นประเภทท ิ ี่มีแรงยดเหนึ ี่ ยวและหรอมืแรงเสียดทานี ด้วยวิธีนี้ ให้ กําหนดจุดศนยูกลางของวงกลมว์กฤตขินมาเช ึ้ ่นเดยวกี ับ วิธี circular arc method แต่เพอให ื่ ได้ ้ค่าทละเอ ี่ ยดมากขี ึ้น หรอเมือช ื่ นด ั้ ิน ต่างๆ มีคุณสมบัติต่างกนจะแบั ่งมวลดนทิอย ี่ เหู่ นือแนวโคงน้ นออกเป ั้ ็นชนเล ิ้ กๆหร็อแทืงเล่กๆ็ตามแนวตั้ง(vertical strip หรือ slice ) ซึ่งแทงด่นแติ ่ละชนอาจม ิ้ ความกวีางเท้ ่ากนกั ได็ ้แต่จะใหความหนาท้ ี่ตั้งฉากกบกระดาษเทัาก่บหนั ึ่ งหน่วย ตามรปทูี่ 13.14 และ 13.15 รูปท13ี่ .14 Slice Method ( )( ) คอร์ด AC R ส่วนโค้งABC นั ่นคือ ระยะ m = .14........13 คอร์ด AC C แรงยึดเหนียวท ี ่ เกิ ขึ้ดนจริง◌่ c : d = 13.15 ........ c C และส่วนปลอดภยของควาัมลาด F : d cohesion = O H Wi bi αi β R ΔLi =bi cosαi Assume Curved Failure Surface
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 290 รูปที่13.15 แสดงแรงต่างๆทกระท ี่ าตํ ่อแทงด่ ิน จากรปทูี่13.15 แสดงแรงต่างๆทกระท ี่ าตํ ่อแทงด่นชินท ิ้ i ี่ ซึ่งสมมติว่ามความกวีางเท้าก่ ับ bi และมระนาบสีมผัสกับสัวน่ โคงวงกลมท้ามํุม α กับแนวราบ ใหแท้งด่นชินน ิ้ ี้มีความยาวตามแนวโคงวงกลมเท้าก่ ับ Δ Li ( ซึ่งประมาณวาม่ ีค่าเทาก่ ับ bi /cos αi ) และมีนํ้าหนกเทัาก่ ับ Wi สังเกตว่า แทงด่นนิ ี้มีแรงทางขางกระท้าดํวย้ ( คือแรงตงฉาก ั้ Ei กับ Ei+1และแรงเฉือน Xi กับ Xi+1) แต่ในการวเคราะหิ ์ขั้นพนฐานจะไม ื้ ่นําแรงทางขางระหว้างแท่งด่นมาพิ จารณาโดยสมมต ิ ิว่าแรงลพธั ์ทั้งสองขางของแท้ ่งดนมิ ี ค่าเทาก่นและถัอวืาอย่ ในแนวเด ู่ ยวกีนแตั ่มีทิศทางตรงกนขัาม้ ฉะนนจ ั้ งมึแตี ่นํ้าหนกของแทังด่ ิน Wi ที่อยเหน ู่ ือสวนโค ่งเท้าน่นท ั้ จะกระท ี่ าตรงจํุดศนยู์ถ่วงของแทงด่ ิน ซึ่งเป็นเหตุให้ มวลดนเลิ อนไถลหร ื่ อพืงทลายลงมาั เมอแตกน ื่ ํ้ าหนกของแทังด่ ิน Wi ที่กระทานํ ี้ใหอย้ ในแนวต ู่ งฉากและในแนวขนานก ั้ นกั ับระนาบ ที่สัมผสกั บโค ังวงกลม้ จะได้ค่าแรงกระทาเทําก่ ับ Wi cosαi และ Wi sinαi ตามลาดํ ับ สังเกตว่า แรงตงฉากท ั้ กระท ี่ ํา Wi cosαi มี ทิศทางผานจุ่ดศนยูกลาง์ O ของโคงวงกลม้ ดังนนจ ั้ งไม ึ ่มีส่วนทาให ํเก้ ดโมเมนต ิกระท์ ํา คงมแตี ่แรงกระทาทํขนานก ี่ บระนาบสัมผั ัส ซึ่งเทาก่ ับ Wi sinαi เทาน่ ั้น ที่พยายามทาให ํมวลด้นเลิ อนไถลซ ื่ งจะถ ึ่ กตูานด้วยก้าลํงตัานแรงเฉ้ ือนของมวลดิน ดังนั้น เมอหาโมเมนต ื่ รอบจ์ุด O สําหรบแทังด่นชินน ิ้ ี้จะได้ โมเมนตกระท์ ํา = ( Wi sinαi )(R) เน ื่ องจากกาลํงตัานแรงเฉ้ ือนของมวลดนมิ ีค่าเทาก่ ับ c + σtanφ และถาสมมต้ ิว่าหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว c และมมเสุยดทานี ภายใน φ มีค่าคงทตลอดแนวโค ี่ ้ง แรงเฉือนตานทานส้าหรํบแทังด่นชินน ิ้ ี้มีค่าเทาก่ ับ c(ΔLi ) + (Wi cosαi )tanφ ดังนั้น เมอหาโมเมนต ื่ รอบจ์ุด O สําหรบแทังด่นชินน ิ้ ี้จะได ้ โมเมนต์ที่ต้านทาน = [c(ΔLi ) + (Wi cosαi )tanφ]R ฉะนนเม ั้ อรวมโมเมนต ื่ ของแต์ ่ละชนเข ิ้ าด้วยก้ ัน จะได้ส่วนปลอดภยของความลาดั ดังน ี้ Ei Ei+1 Xi Xi+1 Wi bi Wi Ni Ti αi αi αi Wi sinαi Wi cosαi [ ] 13.16 ........ sinW tancosWLc F.S n i 1 ii n 1i iii ∑ ∑ = = +Δ = α )( φα
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 291 ส่วนโค้งของวงกลมท ี่ให้ค่าส่วนปลอดภัย ≅ 1 จะเป็นแนวโค้งวิกฤตที่ดินพงทลายั เมอม ื่ การซีมผึานของน่ ํ้าในอตราทัคงท ี่ ( steady state ) ี่ ตามรปทูี่13.16 จะตองพ้จารณากิาลํงตัานแรงเฉ้ ือนของมวลดิน ในเทอมของหน่วยแรงประสทธิ ิผลซึ่งมีค่าเทาก่ ับ c/ +σ/ tanφ/ โดยทหน ี่ ่วยแรงตงฉากประส ั้ ทธิผลิ σ/ = σ - u ในเมื่อ u = เป็น ความดนของนั ํ้าในชองว่างระหว่างเม่ดด็ ิน ฉะนนจะได ั้ แรงต้ งฉากประส ั้ ทธิผลของแทิงด่นแติ ่ละชิ้น N/ i = Ni – Ui = Wi cos αi – Ui โดยท Uี่ i เป็นแรงดนของนั ํ้าในชองว่างของแท่ ่งดนแติ ่ละชิ้น ซึ่งมีค่าเทาก่ ับ ui (ΔLi ) หรอเทืาก่ ับ ui bi / cosαi ดังนั้น รูปที่13.16 Slice Methodมีการซมของนึ ํ้าในอตราคงทั ี่ การหาจุดศนยู์ถ่วงของพ ื้ นท ี่ แต่ละส่วน ลากเส้นEF แบ่งครงด ึ่ าน้ ABและ CD ต่อเส้นBA ขึ้นไปถงจึุด J ให AJ ้ยาวเทาก่ ับ CD ต่อเส้นDC ขึ้นไปถงจึุด K ให CK ้ยาวเทาก่ ับ AB ลากเสนทแยง้ JK ตัดเส้น EF ที่จุด G จุด G จะเป็นจุดศนยู์ถ่วงของพื้นท ABCD ่ี พื้นท ABCD = ี่ เสนในแนวราบท ้ ี่ผ่านจุดG x เสนในแนวด ้งท ิ่ ี่ผ่านจุดO=LM x HI [ ] ( ) .17........13 sinW tanU-cosWLc F.S n 1i ii n 1i iiii ∑ ∑ = = ′ +Δ ′ = α φα O H Wi bi αi β R ΔLi =bi cosαi Assume Curved Failure Surface Phreatic surface
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 292 13.12 Bishop,s Simplified Method of Slices Bishop ( 1955 ) ไดเสนอว้ ิธีวิเคราะหหาเสถ์ยรภาพของความลาดตามี Slice Method แต่นําแรงทางขางท้กระท ี่ าตํ ่อแท่ง ดินแต่ละชนมาร ิ้ วมพ่จารณาิ โดยหาหน่วยแรงตงฉากท ั้ กระท ี่ าทางดํานข้างของแท้งด่ นในเทอมของหน ิ ่วยแรงประสทธิผลิ แต่ เพอให ื่ การว้เคราะหิ ์ง่ายมากขึ้น Bishop จึงสมมติว่าแรงลพธัของแรงกระท์าทางขํางท้อย ี่ ในแนว ู่ ดงม ิ่ ีค่าน้อยมากและสามารถตดทั ิ้ง ได้นั ่นคือ จากแรงกระทําต่อแทงด่นแติ ่ละชนในร ิ้ ปทูี่13.17 จะสมมติว่าเทอม ( Xi+1-Xi ) ≅ 0 ฉะนนเม ั้ อหาผลรวมของแรงกระท ื่ ํา ในแนวดิ่ง จะได้ว่า รูปท13ี่ .17 แสดงแรงต่างๆทกระท ี่ าตํ ่อแทงด่นเมิอม ื่ ีนํ้าใต้ดิน ( N/ i + Ui )cos αi = Wi – Ti sin αi เมอน ื่ ําค่า N/ i = Wi cos αi – Ui = Wi cos αi – ui bi /cosαi และ Ti = Wi sinαi = 1/F[c(ΔLi )+N/ i tanφ] แทนลงไป โดยที่ ΔLi = bi /cosαi แลวจ้ดเทอมเสั ยใหม ี ่จะหาได้ว่า ฉะนั้น เมอน ื่ ําค่า N/ i ที่ได้นี้ซึ่งเป็นคาของ่ Wi cosαi – Ui กลบไปแทนลงในสมการ ั 13.17 จะได้ค่าอตราสั วนปลอดภ ่ยตั ่อการเลอน ื่ ไถล Ei Ei+1 Xi Xi+1 Wi bi Wi N/ i Ti αi αi αi Wi sinαi Wi cosαi Ui =ui ΔLi =(γw.hi )ΔLi F.S. .tantan 1cos tan F.S. bc buW N i i i i iii i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −− ′ = φα α α
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 293 สมการท ี่13.18 จะให้ค่าสวนปลอดภ ่ยมากกวัาค่าท่ ี่วิเคราะหได์จากสมการ้ 13.17 แต่การวเคราะหิหาค์าส่ วนปลอดภ ่ ยใน ั สมการ 13.18 ต้องใช้วิธีลองผดลองถิูก โดยต้องสมมติค่า F.S. ทางขวามือข ึ้ นมาก่อน แล้วหาค่า F.S. ทางซ้ายมือ จนกว่าจะ ได้ค่าใกล้เคียงกนและอยั ่เกูณฑ์ที่ยอมรบได ั ้ ฉะนั้น จึงอาจตองใช ้เคร้องคอมพ ื่ วเตอริ ์มาชวยประมวลผล ่อยางไรก ่ ็ดีสามารถ หาคาส่ วนปลอดภ ่ ยได ั ้ทันทีสําหรบมวลดันมิ ีค่า φ/ เทาก่บศันยู์ ตัวอย่างท ี่ 13.4 ในการขดดุนคินคลองแหังหน่ ึ่ง ตามรูป ดินเป็นดนเหนิ ียวปนตะกอนซงม ึ่ ีคุณสมบัติสมาเสมอเป ํ่ ็นเน ื้ อเดยวกี ัน จากการ ทดสอบตวอยัางด่ นคงสภาพได ิ ้ค่า c = 20 กน/ม 2 และ ɸ =8o ถ้ารอยแยกเนื่องจากแรงดงสามารถเกึดขิ นได ึ้ ้จงหาสวนปลอดภ ่ ยโดยให ัวงกลมของการเล้อนต ื่ ัว(จุดศนยูกลางท์ ี่จุด O ) ผ่านสวนล่างของค่นคลองนั ี้ และจงหาวาการพ่ ังทลายที่ส่วนลางของลาด่ (Toe Slope failure ) จะเกดขิ นได ึ้ หร้ อไม ื ่ วิธีทํา ความลกของรอยแยกึ เขยนวงกลมของการเลีอนต ื่ วและแบั งออกเป ่ ็น 14 ส่วน ดังรูป แต่ละสวนกว่าง้ 1.6 ม นํ้าหนกของแตั ่ละสวนเข่ยนแทนดีวย้ เสนด้ งใต ิ่ ้ส่วนโคงของการเล้อนต ื่ ัวแต่ละสวนโค ่งตามมาตราส้วน่เขยนแรงตีงฉากและแรงส ั้ มผัสของแตั ่ละสวนข่ นเป ึ้ ็นรูป สามเหลยมแทนแรง ี่ ดงรั ูป และ วัดขนาดของแรงได้ดังตาราง [ ] ( ) .18........13 sinW F.S. tantan 1 sec tanbu-Wbc F.S n i 1 ii n 1i i i iiii ∑ ∑ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ + ′ + ′ = α φα α φ . m c 2.7 x101,730x9.81 49 2xtan 2 45tan 2 Z 3- o o2 c ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + φ γ
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 294 ขนาดของแรง(หน่วยเป็นเมตร) ส่วนท N +T -T ี่ 1 1.2 - 0.5 2 2.6 - 1.0 3 4.1 - 1.0 4 5.6 - 0.8 5 7.0 - 0.3 6 8.0 0.4 - 7 8.9 1.3 - 8 9.4 2.5 - 9 9.5 3.6 - 10 9.0 4.5 - 11 7.6 5.0 - 12 6.0 5.1 - 13 4.3 4.8 - 14 2.3 3.6 - รวม 85.5 30.8 3.6
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 295 แรงกระทํา = ΣT = ( 30.8-3.6 ) x 1.6 x (1,730 x9.81x10-3 ) = 739 กน แรงตานทาน้ crθ = 20 x 16.1 x 94 x π/180 = 528 กน ΣN.tanɸ = 85.5 x 1.6 x (1.730x9.81x10-3) tan8o = 326 กน การพังทลายที่ส่วนลางของลาดจะไม ่เก่ดขินแต ึ้ ่ส่วนปลอดภยตั ํ่า 13.13 Stability Number สําหรบมวลดันทิความลาดม ี่ ขอบเขตจีากํ ัด ( finite slope ) Taylor ( 1937 ) ได้นํา φ - circle method ที่กล่าวมาแล้ว มาพจารณาิ ภายใตสมมต้ฐานวิามวลด่ ิน ( c - φ soil ) มีคุณสมบัติเหมอนกืนแลัะเกดการพิ งทลายลงมาเป ั ็นแนวโคงของวงกลม้ ( circular arc ) และให้แรงเสยดทานในมวลด ีนเกิดขินเต ึ้ มท็ ในขณะท ี่ เก ี่ ดการพิงทลายั นั ่นคือ สมมตใหิ ้ส่วนปลอดภยทั ี่คิดจากแรง เสยดทานี ( Fφ)มีค่าเทาก่ ับ 1 ดังนนจ ั้ งได ึ ้ค่า Stability Number : N สําหรบนั ําไปคานวณหาคําความส่งวู กฤตของความลาดของิ มวลดิน ซึ่งอยในเทอมของส ู่ วนปลอดภ ่ยทั ี่คิดจากหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว(Fc) เน ื่ องจากแรงตานท้งหมดท ั้ ไดี่ จากหน้ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว ( c ) ตามแนวโคงว้กฤตซิงยาวเท ึ่ าก่ ับ L มีค่าเทาก่ ับ ( c )(L) ซึ่ง เป็นสดสัวนก่บคัาหน่ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว ( c )และความสงของความลาดู ( height of slope : H ) ส่วนแรงกระทาทํพยายามท ี่ าให ํ ้ เกดการพิ งทลายเป ั ็นผลจากน ํ้ าหนกของมวลดันซิงม ึ่ ีค่าเทาก่บหนั ่วยน ํ้ าหนกของมวลดั ิน γ คูณดวยของส้วนพ่นท ื้ ี่ที่ล้อมรอบดวย้ แนวโคงก้บควาัมลาด ซึ่งสวนของพ่นท ื้ ี่นั้นจะเป็นสดสัวนก่บคั ่า H2 นั ่นคือ นํ้าหนกของมวลดันมิ ีค่าเป็นสดสัวนก่ ับ γH2 ดังนนเม ั้ ื่อ Fc เป็นสวนปลอดภ ่ยทั ี่คิดจากแรงยึดเหน ี่ ยว จะได้ว่า ถ้าสมมติว่า หน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวทเก ี่ ดขินจร ึ้ งสิาหรํบความลาดทั ี่มีความสงเทูาก่ ับ H มีค่าเทาก่ ับ cd ฉะนนจะเข ั้ ยนสมการี ( a ) ไดใหม ้ เป่ ็น ทํานองเดยวกีนถั ้า Hcr เป็นความสงวู กฤตของความลาดิ ส่วนปลอดภยทั ี่คิดจากความสงของความลาดตูองม้เทีาก่นกั ับ ส่วนปลอดภยทั ี่คิดจากหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว นั ่นคือ 1.16 739 326528 ่วนปลอดภยสั F.S. = + = ∑ ∑+ = T crθ tanφ N N ซึ ่งเป็นเทอมไร้มิติ......(a) HF c HF cH c 2 c == γγ นี้ ว่า N : Number Stabilitys Taylor HF cเรียกเทอมไร้มิติ , cγ F c นั ่นคือ c c d = H c HF c N d c γγ == H H F cr c =
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 296 Taylor ไดเสนอค้ ่า Stability Number : N สําหรบมวลดันทิ ี่มีค่า φ ต่างๆโดยมีค่าขนก ึ้ บมัมลาดเอุยงี β ตามตาราง ตาราง Taylor , s Stability Number ( for φ soil ) มุมลาดเอยงี β ค่า N สําหรบมัุมเสยดทานภายใน ี (ɸ) 0 o 5o 10 o 15 o 20o 25o 90o 0.261 0.239 0.218 0.199 0.182 0.166 75o 0.219 0.195 0.173 0.152 0.134 0.117 60o 0.191 0.162 0.138 0.116 0.097 0.079 45o 0.170 0.136 0.108 0.083 0.062 0.044 30 o 0.156 0.110 0.075 0.046 0.025 0.009 15 o 0.145 0.068 0.023 - - - ตาราง Taylor , s Stability Number ( for φ = 0 soil ) มุมลาดเอยงี β ค่า N สําหรบตั วประกอบความล ั ึก Df 1 1.5 2 3 ∞ 90o 0.261 75o 0.219 60o 0.191 53 o 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 45o 0.164 0.174 0.177 0.180 0.181 30 o 0.133 0.164 0.172 0.178 0.181 22.5o 0.113 0.153 0.166 0.175 0.181 15 o 0.083 0.128 0.150 0.167 0.181 7.5o 0.054 0.080 0.107 0.140 0.181 13.19 ....... H c H c HF c N d c cr γγγ . ===
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 297 Df , Depth factor ≤ 1 จากค่า Stability Number : N ที่ใหไว้ ้นี้จะสามารถนําไปคานวณหาความสํงวู กฤตของความลาดของมวลดินนิ นได ั้ ้และ เมอก ื่ าหนดสํ วนปลอดภ ่ยทั ี่ต้องการจะนําไปหาความสงทูควรจะเป ี่ ็นของความลาดนนได ั้ ้ อนึ่ง ค่า Stability Number :N ที่ใหไว้ ในตาราง ้ ไดมาจากการสมมต้ Fิ φ = 1 ดังนนเม ั้ อจะน ื่ ําไปใช้กับมวลดนทิ ี่มีค่า c และ φ ซึ่งสวนปลอดภ ่ยทังท ั้ ี่คิดจากแรงยึดเหน ี่ ยวและที่คิดจากแรงเสยดทานตีองม้ ีค่าเทาก่ ัน ( นั ่นคือ F.S. = Fc = Fφ ) จะตอง้ ปรบแกั ้ค่าหาคาม่มเสุยดทานภายในให ี เป้ ็น φm ก่อน โดยที่ φm = tan-1 (tanφ/F.S.)แต่อาจใช้ค่า φm = φ / F.S. ( ประมาณ) β H D Df .H β H DH D : factor Depth f + = 1Df >
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 298 ตัวอย่าง13.5 ในการขดคลองสุงน่ ํ้ าแหงหน่ ึ่ง ด้านขางคลองม้ความลาดี 1:1 ก้นคลองลึก5.5 ม จากผวดิ ิน ดินเป็นชนิดมความเชีอมแน ื่ ่น และมีคุณสมบัติดังน ี้ มุมตานทานต้ ่อแรงเฉือน (ɸ) = 12 o แรงเชอมแน ื่ ่น (c) = 15 กน/ม 2 อัตราสวนช่องว่าง่ (e) = 0.9 ถ.พ. ของเมดด็ ิน (Gs) = 2.62 จงคานวณหาสํ วนปลอดภ ่ ัย(เน ื่ องจากแรงเชอมแน ื่ ่น) ต่อการพงทลายของคั นคลองโดยใช ั ้ค่า Stability Number ของ Taylor N = c / [Fs.γ.H] ก. ในกรณีที่นํ้าเตมคลอง็และ ข. ในกรณีที่นํ้าในคลองถกระบายออกอยูางรวดเร่ ็ว(Sudden drawdown) สําหรบกรณั ีข ค่า ɸ ลดลงเหลือ 5.6o วิธีทํา ความหนาแน่นของดนอิมต ิ่ ัว ความหนาแน่นของดนจมนิ ํ้า ก. ในกรณีที่นํ้าเตมคลอง็ ความลาด 1:1 , β = 45o , ɸ = 12 o , γ / = 835 x 9.81 x 10-3 = 8.37 กน/ม 3 N = 0.098 ( จากตาราง) , H = 5.5 ม , c = 15 กน/ม 2 ข. ในกรณีที่นํ้าในคลองถกระบายออกอยูางรวดเร่ ็ว(Sudden drawdown) แต่ดินยงคงอัมต ิ่ วเนั ื่ องจากน ํ้ ายงระบายออกไม ั ่ทัน ดังนนใช ั้ ้ค่า γsat คํานวณ ความลาด 1:1 , β = 45o , ɸ = 5.6o , γsat= 1,835 x 9.81 x 10 -3 = 18.18 กน/ม 3 N = 0.133 ( จากตาราง) , H = 5.5 ม , c = 15 กน/ม 2 1,853 1,000 x กก/ม 0.91 0.92.62 1 eGs 3 sat = + + = + + = w e ρ ρ 8351,000-1,835- กก/ม3 ρ = ρ sat ρw = = sub H cจาก N Fs γ .. = 3.33 x5.50.098x8.37 15 H c Fs == = < N γ .. 1.13 8x5.50.133x18.1 15 H c Fs == = < N γ ..
Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 299 13.14 วิธีเพ ิ่ มเสถียรภาพของความลาด เมอตรวจสอบพบว ื่ ามวลด่นมิเสถี ียรภาพของความลาดตํ่าเกนไป ิอาจทาการแกํ ไขให ้ความลาดน้นม ั้ เสถียรภาพมีนคงด ั ่ ี ขึ้นได้เพราะทราบดีว่า ส่วนปลอดภัยของความลาดได้จากอตราสัวนระหว่ างโมเมนต ่ ์ต้านทานต่อโมเมนต์ที่กระทํา ดังนั้น หาก ต้องการให้มีคาส่ วนปลอดภ ่ยสังมากขูึ้น จะตองพยายามลดค้าขอ่ งโมเมนต์ที่กระทาลงํเช่น ตัดดนให ิ ้มีมุมลาดเอยงนี ้อยลง หรอนื ํา ดินมาถมบริเวณปลายของความลาด ซึ่งชวยลดความส่งของความลาดลงู การป้ องกนความลาดจากการสักกรึอนอ่นเนั ื่ องมาจากการพดพาของลมัหรอนื ํ้าฝน สามารถป้ องกนได ั โดยว ้ ิธีง่ายๆ และ สิ้นเปลองคื าใช ่ ้จ่ายให้น้อยที่สุด คือ การปลกหญ ู้า คลุมผวของความลาดนิ ั้น ต้นหญาจะเป ้ ็นตวชัวยร่บแรังลมหรอฝน ื ส่วนราก หญาจะช้วยย่ ดให ึ ้ดินตดแนิ ่น การตดความลาดออกไปเป ั ็นขนบ ั้ นไดก ั ็ช่วยไดมาก้ หรออาจใช ื ยางแอสฟ ้ลทั ( Asphalt ) ์คลุมหรือ เคลอบเพื อปื่ ้ องกนการสักกรึ อนได ่ ้ สําหรับความลาดที่อยใกล ู่ ้กับนํ้า เชนคลองหร่อเขือน ื่ ที่ต้องรบแรงกระแทกของคลันด ื่ วย้ สามารถป้ องกนได ั โดยท ้งหร ิ้ ือ เรยงหีนกิ อนใหญ ้ ่ๆแลวยาด้วยซ้เมนตี ์ แบบฝึกหัด 1 มวลดนมิความลาดเอียงี ไม่จํากดขอบเขตั ( infinite slope ) ทํามมเอุยงี 25 องศา กับแนวราบ ถ้าไม่มีการซมของนึ ํ้า จง หาความลึกปลอดภัยถาใช ้ ้ส่วนปลอดภยของความลาดั (F.S.) เทาก่ ับ2 กําหนดให้หน่วยน ํ้ าหนกของดันเทิาก่ ับ 1750 กก/ลบ.ม. หน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว c = 1250 กก/ตร.ม. และมุมเสยดทานภายในเท ีาก่ ับ φ = 20 องศา 2 จงหาสวนปลอดภ ่ ัย ถ้าขดตุกลงไปในแนวด ังล ิ่ กเทึาก่ ับ 4 เมตร โดยไม่ทําคาย ํ้ นทางขัาง้สมมติดินมหนี ่วยน ํ้ าหนัก γเทาก่ ับ 2.1 กรัม/ลบ.ซม. กําลงตัานแรงกดอ้ ดแบบไม ั ่มีแรงอดรอบัขาง้ ( unconfined compressive strength : qu ) ของดิน ตัวอยางคงสภาพเท่าก่ ับ 0.8 กก/ตร.ซม. ( F.S=1.228 ) 3 ในการหาเสถียรภาพของความลาดของดินถมโดยอาศัย method of slices พบวาความยาวของโค ่งว้กฤตเทิาก่ ับ 32 เมตร มีส่วนประกอบของแรงเฉือนและแรงตงฉากท ั้ เก ี่ ดจากนิ ํ้ าหนกของดันแติ ่ละชนด ิ้ งตารางขัางล้างน่ ี้ถ้าดนมิ ีมุมเสยดทานภายใน ี เทาก่ ับ 21 องศา และหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวเทาก่ ับ 0.02 กก/ตร.ซม. จงหาสวนปลอดภ ่ ยตามแนวโค ังว้กฤตนิ ี้ ชิ้นท ี่ แรงเฉือน , ตัน แรงตงฉาก ั้ , ตัน 1 0.50 0.26 2 0.62 0.56 3 0.48 1.03 4 0.41 1.26 5 0.38 1.46 6 0.21 1.13 7 0.08 0.46 4 ดินถมสูง 10 เมตร ทํามมเอุยงกีบแนวราบเทั ่ากับ 35 องศา ถ้าดนถมนิ ี้มีหน่วยน ํ้ าหนัก γ = 1.95 กรัม/ลบ.ซม. หน่วยแรงยึด เหน ี่ ยว c = 0.2 กก/ตร.ซม. และมมเสุยดทานี φ = 10 องศา จงหาสวนปลอดภ ่ยของความลาดกั าหนดให ํ stability number ้เมอม ื่ ุม เอยงี 35 องศา และ φ= 10 องศา มีค่าเทาก่ ับ 0.088 ( F.S.=1.166 ) …………………………..
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 300 บทท ี่ 14 กําลงตั ้านแรงกดของดิน Bearing Capacity of soil 14.1 คํานํา คุณสมบัติของดนอิกอยีางหน่ ึ่ งทควรทราบนอกเหน ี่ ือจากกาลํงตัานแรงเฉ้ ือนของดิน คือ กําลงตัานแรงกด้หรอกืาลํงแบกั ทานของดิน ( bearing capacity of soil ) ซึ่งเป็นความสามารถของดนเมิอต ื่ องรองร้บนั ํ้ าหนกบรรทัุกหรอแรงกดทืกระท ี่ าโดยไม ํ ่ ทําใหเก้ดการวิ ิบัติใดๆ อันเน ื่ องมาจากแรงเฉือนหรอทื าให ํการทร้ดตุวมากเกั นปกต ิ ิหากมวลดนทิอย ี่ ในระด ู่ บตั ื้น ( ไม่ลึกนัก) มี กําลงตัานทานแรงกดหร้อแรงแบกทานสืูง ดังนนจะพ ั้ จารณาให ิมวลด้นระดิบนั ี้เป็นตวรับแัละถ่ายทอดน ํ้ าหนกบรรทัุกต่างๆจาก โครงสรางท้อย ี่ เหน ู่ ือกวาระด่บขัองมวลดนนิ ั้น ฉะนั้น ฐานรากที่นํามาใชในกรณ ้ ีนี้จึงเป็น ฐานรากตื้น ( shallow foundation ) ซึ่งขนาดพื้นที่ของฐานรากตื้นที่ต้องการจะ พิจารณาไดจากก้าลํงตั านแรงกดปลอดภ ้ยของดันนิ ั้น แต่ในกรณีที่มวลดนในระด ิบตันม ื้ ีกําลงตัานทานแรงกดหร้อแรงแบกทานตื ํ่า การถ่ายทอดน ํ้ าหนกบรรทัุกต่างๆ จากสวนโครงสร ่างท้อย ี่ เหน ู่ ือขนไป ึ้ จะพจารณาให ิมวลด้นทิอย ี่ ู่ลึกลงไป เป็นตวรับนั ํ้ าหนัก บรรทุกนั้น โดยอาศยสั วนโครงสร ่างท้เร ี่ ยกวี ่า เสาเข็ม เป็นตวถั ่ายน ํ้ าหนัก ซึ่งเรยกฐานรากลีกษณะนั ี้ว่า ฐานรากลึก ( deep foundation ) 14.2 ลักษณะวิบัติของดินที่รับแรงกดหรือแรงแบกทาน กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ขึ้นอยู่กับตวแปรหลา ัยตัว เช่น ความลกของฐานรากึความกวางของฐานราก้ หน่วยน ํ้ าหนกของั ดิน แรงยดเหนึ ี่ ยวและมมเสุยดทานภายในของด ี ิน เป็นต้น เมอมวลด ื่ นริบแรังกดหรอแรงแบกทานทืเพ ี่ มข ิ่ นจนกระท ึ้ งถ ั ่ งคึาส่งสู ุด ( failure load ) ดินจะวิบัติเพราะไมสามารถต่านแรงเฉ้ ือนทกระท ี่ าได ํ ้ กําลงตัานแรงกดของด้นอาจพิ จารณาได ิจาก้ กราฟที่แสดง ความสมพันธัระหว์ ่างการทรุดตวกับนั ํ้ าหนกหรัอหนื ่วยแรงกดทกระท ี่ ํา ซึ่งเรยกวี ่า Settlement Curve ดังแสดงในรปทู 14.1 ี่ รูปท 14.1 Settlement Curve ี่
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 301 จากรปทู 14.1 ี่ จะเหนว็ ่า ลักษณะการวิบัติของมวลดนมิ ีทั้ง (a) แบบ General Shear Failure จะเกดขิ นในด ึ้ นแขิงหร็อทรายอืดแนั ่น ( Dense sand , Stiff cohesive clay) จะแสดง พฤตกรรมในการร ิ บแรงกดให ัเห้นช็ดเจนั โดยมวลดนริ ปลูมใต ิ่ ฐานจะเคล้อนต ื่ วลงมาัและอาจมการหมีนรองขอบของฐานราก ุ ซึ่ง จะไปดนให ั ้ดินทางขางเคล้อนต ื่ วออกไปและป ัดขูนมาให ึ้ เห้ ็น จุดวิบัติของมวลดนประเภทน ิ ี้เป็นจุดทเส ี่ นส้มพันธั เปล ์ ยนแปลงโดย ี่ ฉับพลนซังส ึ่ งเกัตเหนได ็ ้ชัดเจน เรยกลีกษณะการวั ิบัตินี้ว่า General Shear Failure ( b ) แบบ Local Shear Failure จะเกดขินก ึ้ บชันด ั้ นอิ ่อนคอนข่างแข้ ็ง หรอทรายหลวมปานกลาง ื ( Medium Sand ,Clayed Soil) มวลดนจะวิ ิบัติที่ค่าน้อยกวาการว่ ิบัติแบบ General Shear Failure ซึ่งเสนส้มพันธั ในตอนแรกจะเป ์ ็นแนวตรงแต่มวล ดินจะทรดตุวลงไปเร ัอยๆ ื่ และมีค่ามากกวาล่กษณะของั General Shear Failure เรยกการวี ิบัติลักษณะนี้ว่า Local Shear Failure ซึ่งไมแสดงจุ่ดวิบัติใหเห้นช็ดเจนั ( c ) แบบ Punching Shear Failure จะเกดขินช ึ้ นด ั้ นเหนิ ียวอ่อนหรอทรายหลวมื โดยมแตี ่การยบหรุอทรืุดตัวของมวลดิน ลงไปเรอยๆ ื่ ซึ่งให้ค่าแรงกดตํ่าสุด เรยกการวี ิบัตินี้ว่า Punching Shear Failure การประมาณคาก่าลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุิน สามารถหาไดจาก้ ก. การวเคราะหิ โดย ์ Rankine, s Earth Pressure Theory หรือ Slip Method หรือ Method of Plastic Failure หรือ Terzaghi, s Failure หรือ วิธีอื่นๆ ข. ทดสอบในสนามโดยวิธี Plate Load Test หรือ Penetration Test ทั้งน ี้ เมอจะน ื่ ํากาลํงตัานทานท้ หาได ี่ มาใช ้งาน้เชนในการออกแบบหาพ ่นท ื้ ของฐานรากต ี่ นเพ ื้ อถ ื่ ่ายน ํ้ าหนกบรรทัุก จะตองทอนก้าลํงตัานทานน้นด ั้ วยอ้ตราสั วนความปลอดภ ่ยเสัยกี ่อน 14.3 กําลงตั ้านแรงกดสงสูดขุองดินตามทฤษฎีของแรงคีน ( Rankine, s Earth Pressure Theory ) แรงคีน นําหลกการของแรงดันทางขัางมาว้เคราะหิหาก์าลํงตัานแรงกดของด้ ิน แต่แรงคีน ได้พิจารณาเฉพาะมวลดนทิ ไมี่ ่ มีความเชอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวี ซึ่งต่อมา Bell ได้พิจารณาหากาลํงตัานแรงกดของด้นทิ ี่มีทั้งแรงเชื่อมแน่นและแรงเสยดทานี ( c - φ soil ) ถ้าฐานรากแผเป่ ็นแนวยาวต่อเน ื่ อง ( strip footing ) กวางเท้าก่ ับ B และตงอ ั้ ยู่ลึกจากระดบผัวดินเทิ ่ากับ d ( ไมเก่นกวิ ่า ความกวางของฐานราก้ , d < B ) ดังรปทู 14.2 ี่ รูปท 14.2 ี่ การวเคราะหิ ์ด้วยทฤษฎของแรงคี ีน มวลดนใต ิฐานรากต้องร้บนั ํ้ าหนกทัฐานรากถ ี่ ่ายให้ซึ่งประกอบดวยน้ ํ้ าหนกบรรทัุก ( WD+L) รวมทงน ั้ ํ้ าหนกของตัวฐานรากตัองร้ ับ นํ้าหนกทัฐานรากถ ี่ ่ายให้ซึ่งประกอบดวยน้ ํ้ าหนกบรรทัุก ดังแสดงในรปทู 14.2 ี่ d c , φ, γ Strip footing Q B
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 302 หากน ํ้ าหนกทัฐานรากถ ี่ ่ายให้กับมวลดนใต ิฐานราก้ มีค่ามากขึ้น จนกระทงค ั ่ าหน่ ่วยแรงกดสงสู ุด qf หรือ qult ที่มวลดนใต ิ ้ ฐานรากจะตานทานได ้ ้มวลดนใต ิฐานรากจะเร้มว ิ่ ิบัติ แรงคีน สมมติว่า การวิบัติของมวลดนใต ิฐานราก้ ประกอบดวย้ 2 ส่วนคือ - มวลดนริ ปลูมส ิ่ วนท่ 1 ี่ ที่อยในสภาวะแอคท ู่ ีฟ ซึ่งถกกดลงูมีระนาบวิบัติเป็นแนวตรงทามํุม 45o +φ/2 กับแนวนอน หรือ ทํามุม 45o -φ/2 กับแนวดิ่ง ซึ่งจะไปดนมวลดันทางขิ างออกไป ้ - และทาให ํมวลด้นริ ปลูิ่ม ส่วนท 2 ี่ ซึ่งอยในสภาวะพาสซ ู่ ีฟ เคลอนต ื่ วออกไปทางข ั ้างและดันมวลดนให ิ ้ปูดหรอทะลืกขั นไป ึ้ โดยมระนาบวี ิบัติเป็นแนวตรงทามํุม 45o + φ/2 กับแนวดิ่ง ดังแสดงในรูปท 14.3 ี่ รูปท 14.3 ี่ การวเคราะหิการว์ ิบัติของมวลดนใต ิฐานรากด้วยทฤษฎ้ของแรงคี ีน การวเคราะหิหาหน์ ่วยแรงตานแรงกดส้งสู ุด qf ของมวลดนทิ ี่ระดับลกใดๆ ึ H ใตฐานรากท้ ี่มีความกวางเท้าก่ ับ B จะหาได้ โดยพจารณาจาิกสมดุลของแรงดนทางขัาง้ คือ แรงดนของมวลดันริ ปลูิ่ม1 และ 2 ต้องมีค่าเทาก่ ัน สําหรบมวลดั ินท ี่ไม่มีความเชื่ อมแน่น( c = 0 ) เมอมวลด ื่ นไม ิ ่มีความเชอมแน ื่ ่น แรงดนทางขัางของมวลด้นริ ปลูมท ิ่ 2 ี่ ซึ่งอยในสภาวะพาสซ ู่ ีฟ คือ สําหรบแรงดันทางขัางของมวลด้นริ ปลูมท ิ่ 1 ี่ ซึ่งอยในสภาวะแอคท ู่ ีฟ คือ เน ื่ องจาก แรงดนทางขัางของมวลด้นริ ปลูมท ิ่ 2 ี่ มีค่าเทาก่นกับแรงดันทางขัางของมวลด้นริ ปลูมท ิ่ 1 ี่ นั ่นคือ สมการท 14.1 ี่ เทาก่ ับ สมการท 14.3 ี่ จะได้ว่า หน่วยแรงตานแรงกดอ้ดสังสูดของมวลดุนทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น( qf ) คือ 1 2 H P q q = γd F 45o - φ/2 45o + φ/2 ......14.1 qHKKH 2 1 P pp 2 γ += ......14.2 HKqKH 2 1 P afa 2 γ += ......14.3 K 1 Hq K 1 H 2 1 หรือ P p f p 2 γ +=
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 303 นั ่นแสดงว่า หน่วยแรงตานแรงกดส้งสูดของมวลดุนทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น ประกอบดวย้ 2 ส่วนคือ ก หน่วยน ํ้ าหนกของมวลดันและความกวิาง้ B ของฐานราก ข นํ้าหนกของั surcharge ( q = γ.d ) เมอฐานรากอย ื่ ู่ที่ระดบลั ึก d ตํ่าจากระดบผัวดิ ิน อน ึ่ งพบวาค่าท่ ไดี่ ้นี้ค่อนขางต้ าไํ่ ป เน ื่ องจากระนาบวิบัติจรงจะเป ิ ็นเสนโค ้ ้ง อีกทงม ั้ ไดิ ้พิจารณาหน่วยแรงเฉือนทอย ี่ ู่ ระหวางมวลด่นริ ปลูมท ิ่ งสอง ั้ สําหรบมวลดั ินที่มีความเชื่ อมแน่น Bell ได้นํารปแบบการวูเคราะหิ ์ตามท Rankine ี่ เสนอไวมาว้เคราะหิหาก์าลํงตัานแรงกดส้งสูดของมวลดุนทิ ี่มีความเชอม ื่ แน่นและแรงเสยดทานี ( c - φ soil ) ซึ่งได้กําลงตัานแรงกดส้งสูดของดุนดิงนั ี้คือ ตัวอย่างท ี่ 14.1 จงใชทฤษฎ้ของแรงคีนวีเคราะหิหาก์าลํงตัานแรงกดส้งสูดขุองดนใต ิฐานราก้ สําหรบฐานรากแผั ่แบบต่อเน ื่ อง ( strip footing) กวาง้ 3.00 เมตร หนา 1.20 เมตร ถ้า ก. ฐานรากตงอย ั้ ู่ที่ระดบดันเดิ ิม ข. ฐานรากตงอย ั้ ู่ลึก 1.20 เมตร ตํ่าจากผวดิ ิน กําหนดใหหน้ ่วยน ํ้ าหนกของดันเทิาก่ ับ 1.8 ตันต่อลบ.เมตร หน่วยแรงยึด เหน ี่ ยวเทาก่บศันยู์และมมเสุยดทานภี ายในของเมดด็ ิน(φ) เทาก่ ับ 30 องศา วิธีทํา จากสมการกาลํงตัานแรงกดส้งสู ุด แต่เน ื่ องจาก c เทาก่ ับ 0 ดังนั้น 2 p 2 p 2 f qKH 2 1 KH 2 1 q γγ +−= p o KB 2 1 หรือ 2 B.tan(45 2 1 แทนค่า ความลึก = H ) =+ φ 2 p 1/2 p 5/2 f p qKBK 4 1 KB 4 1 q γγ .. +−= .4........14 qNNB 2 1 qf γ += q γ . 2 pq 1/2 p 5/2 p )KK ( และ KN 2 1 โดยที ่ γ N −= = .5........14 qNcNNB 2 1 qf γ ++= qc γ . 2 pq 1/2 p 3/2 pc 1/2 p 5/2 p )K2(KN ,)KK ( และ KN 2 1 โดยที ่ γ N +=−= = φ φ φ sin-1 sin1 ) 2 (45tan K o2 p + =+= .5........14 qNcNNB 2 1 qf γ ++= qc γ . .4........14 qNNB 2 1 qf γ += q γ .
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 304 ในที่นี้ ก.ฐานรากตงอย ั้ ู่ที่ระดบผัวดิ ิน ดังนั้น d=0 นั ่นคือ q = γ.d = 0 แทนค่า จะได้ ข.ฐานรากตงอย ั้ ู่ที่ระดบลั ึก 1.20 เมตรจากระดบผัวดิ ิน ดังนั้น d =1.20 ม แทนค่า จะได้ สงเกัตว่า กําลงตัานแรงกดจะม้ ีค่ามากขนเม ึ้ อฐานรากต ื่ าลงมาจากระด ํ่ บดั ิน และเมอม ื่ มเสุยดทานภายใน ี φ มีค่ามากขึ้น ค่า สัมประสทธิ Nิ์ γ และ Nq จะมากขึ้น ทําให้กําลงตัานแรงกดม้ ีค่ามากขนตามไปด ึ้ วย้ 14.4 กําลงตั ้านแรงกดสงสูดของดุินโดยวิธี Slip Circle พิจารณาฐานรากแผเป่ ็นแถบยาว ( long strip footing ) ขนาด B X L วางบนดนทิอย ี่ ู่ลึกตาจากระด ํ่ บดันเทิ ่ากับ d เมื่อ หน่วยแรงกดสงสู ุด ดินจะเกดการวิ ิบัติซงสมมต ึ่ ิว่าขอบใดขอบหนึ่ งของฐานรากหมนรอบจุ ุด ( center of rotation ) ที่อยู่ลึกเป็น ระยะ d จากระดบดั ิน ฉะนั้น หน้าตัดของการวิบัติจะเป็นรปโคูงวงกลม้ ดังแสดงในรูป 14.4 วิธีนี้ใหผลเป ้ ็นทพอใจเม ี่ อด ื่ นใต ิฐานราก้ เป็นชนิดที่มีความเชอมแน ื่ ่นเพยงอยีางเด่ยวี รูปท 14.4 ี่ แสดงการวเคราะหิการว์ ิบัติแบบ Slip Circle หาโมเมนต์รอบจุด O โมเมนตเน์ ื่ องจากหน่วยแรงกด qf กระทํา โมเมนต์ต้านทาน 6.94 )KK ( และ 9KN 2 1 N 3) 2 30 (45tan) 2 โดยที ่ (45tanK 2 pq 1/2 p 5/2 p o o2 o2 p =−= == =+=+= γ φ ตัน/ตร.ม 18.73 096)1.8)(3)(6. < 2 1 qNNB 2 1 qf γ . γ q =+= ( =+ 38.179)(1.8x1.2)(96)1.8)(3)(6. ตัน/ตร.ม < 2 1 qNNB 2 1 qf q = =+ += ( . γ γ B B L d O C D qf )........(1 2 LB q 2 B M แรงกด xxLB q q 2 ff == f
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 305 จากหลกของการสมดัุล สมการท (1) = (2) ี่ ถ้าฐานรากอยู่ที่ระดบดั ิน( d = 0 ) จะได้กําลงตั ้านแรงกดสูงสุด qf = 6.28c ซึ่งพบวาให ่ ้ค่าสงไปหนู่อย Fellenius(1927) ได้ทําการวเคราะหิ ใหม ์ ่ โดยสมมตใหิ ้จุดหมุน ( center of rotation) อยเหน ู่ ือระดบฐานรากขั นไป ึ้ และ เยองจากขอบของฐานรากไปทางใดทางหน ื้ ึ่ง เชนให ่เย้องมาทางด ื้ านขวาม้อของจืุด O ของรปทู 14.4 ี่ ซึ่งได้ค่ากาลํงตัานแรงกด้ สูงสดของดุนทิระด่ีบผัวดินเทิาก่ ับ qf = 5.52 c 14.5 กําลงตั ้านแรงกดสงสูดของดุินโดยวิธีของ Prandtl ( Prandtl , s Throry ) Prandti ( 1921) เสนอวิธีวิเคราะหหาก์าลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุนโดยใช ิทฤษฎ้การวี ิบัติแบบพลาสติก ( Plastic Failure Theory) ตามสมการมอร – ์คูลอมบ ์ โดยเปรยบวีาด่นเสมิ อนเป ื ็นวสดัุพลาสติก( plastic materials ) และสมมติการวิบัติเป็นแบบ General shear failure ดังแสดงในรปทู 14.5 ี่ รูปท 14.5 Prandtl ี่ , s analysis for ultimate bearing capacity ในสภาวะสมดุลพลาสติก ดินใตฐานรากร้ ปลูิ่ม ( โซนท 1) ี่ จะทรดหรุอเคลือนต ื่ วลงมาในแนวด ั งโดยไม ิ่ ่มีการหมุน ซึ่งจะ ไปดนดันทิงสองข ั้ าง้ ( โซนท 2 ี่ และ 3 ) ใหเคล้อนต ื่ วออกไป ั 2 M จากแรงยึดเหน ี ่ ยวบนผิวรปทรงกระูบอกคร ึ ่ งวงกลม = π = πLBcLB)(B)(c M จากแรงยึดเหน ี ่ ยวตามแนว = (cdL)(B)CD = cdLB 2 dLB M จากน ํ้ าหนักของดินที ่อยู่เหนือระดับฐานราก dL)(B/2)( 2 γ γ == ......(2) 2 dLB รวม M ต้านทานทงหมด ั้ cdLB LBc 2 2 γ π ++= 2 dLB cdLB LBc 2 LB ดังนั้น q 2 2 2 f γ π ++= c d 2 1 B d1 1c2d B 2cd หรือ c2 q f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++=++= γ ππ πγπ 4.6.........1 c d 0.16 B d 0.3216.28c q f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= γ 1 2 3 2 3
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 306 มวลดนริ ปลูมท ิ่ ( ี่ โซนท 1) ี่ ที่ล้อมรอบดวยด้านกว้างของฐานรากและระนาบว้ ิบัติในสภาวะแอคทีฟ จะสมมตใหิ ้α = 45o + φ/2 กับแนวราบ ซึ่งมวลดนริ ปลูมน ิ่ ี้ จะอยในสภาวะสมด ู่ ุลอลาสติ ิก ( zone of active state) เน ื่ องจากมมวลดีนทิงสองข ั้ าง้ ( โซน ที่ 2 และ 3 ) มาตานการเคล้อนท ื่ ในแนวด ี่ งเปิ่ ็นสภาวะสมดุลพลาสติก ( zone of plastic state) มวลดนในโซนท ิ 2 ี่ และ 3 จะอยในสภาวะพาสซ ู่ ีฟ เพอต ื่ านการเคล้อนท ื่ ของมวลด ี่ นในโซนท ิ 1 ี่ โดยเรยกมวลดี นในโซนท ิ ี่ 2 ว่า zone of radius shear ซึ่งจะเกิดการเคลอนต ื่ ัวแบบพลาสติก ( plastic flow) เป็นแนวโคงโดยม ้ ีจุดศนยูกลางอย์ ู่ที่ขอบของ ฐานราก( จุด A และ C)แต่รัศมความโค ีงจะอย้ ในร ู่ ปของลอกการูิทึมซงเร ึ่ ยกวี ่า logarithmic spiral ( โค้ง FD และ DE ) แต่ถ้ามวล ดินมีค่า φ = 0 จะเป็นโคงวงกลม้ เสนตรงท้ลากจากขอบของฐานราก ี่ ( เสนตรง้ AFและ CE) และให้ตั้งฉากกบระนาบวั ิบัติของ มวลดนริ ปลูิ่ม( ระนาบ ADและ CD) ออกไป ตัดกับแนวโค้งดงกลัาวแสดงขอบเขตว่ ิบัติของมวลดนโซนท ิ 2 ี่ มวลดนโซนท ิ 3 ี่ จะเรยกวี ่า zone of linear shear ซึ่งสมมตระนาบวิ ิบัติที่จะเกดขิ นให ึ้ เป้ ็นเสนตรงตามทฤษฎ้ของแรงคี ีน โดยทามํุม 45o - φ/2 กับแนวราบ จากขอสมมต้ฐานของิ Prandtl ซึ่งพจารณาวิ ่า พื้นผวใต ิฐานราก้ ( smooth) และฐานรากตงอย ั้ บนพ ู่ นผ ื้ วดิ ิน โดยไม่ พิจารณาน ํ้ าหนกของมวลดันริ ปลูมในโซนท ิ่ 1 ี่ จะได้ค่ากาลํงตั ้านแรงกดสูงสดตุ่อหน่วยพนท ื้ q ี่ f ดังน ี้ Prandtl ให้ค่ากาลํงตัานแรงกดส้งสู ุด qf ต่อหน่วยพนท ื้ ี่ สําหรบดันทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวีเมอฐานรากวางหร ื่ ือ ตั้งอยู่ที่ระดับพนผ ื้ วดิ ิน ดังน ี้ โดยท c = ี่ หน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของมวลดิน สําหรบฐานรากทัอย ี่ ู่ลึกจากระดบผัวดิ นเป ิ ็นระยะ d (ในรปคูอระยะื Df ) ใหเพ้มค ิ่ าก่าลํงรับแรงกดสังสูดทางดุานขวาม้ ือ ของสมการขางต้นด้วย้ q = γ.d ซึ่งเป็นผลจากน ํ้ าหนกของดันทิอย ี่ เหน ู่ ือระดบของฐานรากั ( surcharge) นั ่นคือ จากสมการ 14.8 จะได้ค่า 14.6 กําลงตั ้านแรงกดสงสูดของดุินตามวิธีของเทอรซาก์ ิ ( Terzaghi,s Analysis) Terzaghi ( 1943) ทดสอบและวเคราะหิหาก์าลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุนทิรองร ี่ บฐานรากตั ื้น ( shallow foundation ) โดยอาศยแนวคัดของิ Prandtl และใช้สมมตฐาินต่อไปนี้ 1 มวลดนเป ิ ็นวสดัุเน ื้ อเดยวกีนและมั ีคุณสมบัติรับแรงเหมอนกืนทัุกทศทางิ ซึ่งกาลํงตัานแรงเฉ้ ือนของดนสามารถพิ จารณาได ิ ้ จากสมการของมอร – ์คูลอมบ ์ 2 ฐานรากเป็นแนวยาวมาก ( long strip footing : L/B > 5 ) และมพื้ ีนผวดิานล้างของฐานรากท่ ี่สัมผสกับดันถิอวืาขร่ขระุ 3 การวิบัติของดนใต ิฐานรากเ้ ป็นแบบ General shear Failure ประกอบดวยโซนอ ้ลาสติกทิ ี่ล้อมรอบดวยเส้นตรงท้ามํมเอุยงี กับแนวราบเทาก่ ับ φ ( มุมเสยดทานภายในของด ี ิน)ส่วนโซนที่ต้านการเคลอนต ื่ วซังอย ึ่ ในสภาวะพาสซ ู่ ฟถีอวืาม่พฤตีกรรมิแบบ พลาสติก โดยสมมตระนาบวิ ิบัติของมวลดนในโซนท ิ 3 ี่ เป็นแนวตรงตามทฤษฎของแรงคีนทีามํมเอุยงี 45o - φ/2 4 แรงตานแบบพาสซ้ ีฟ Pp ในแนวดิ่ง บนระนาบทเอ ี่ ยงทีามํุม φ กับแนวราบ เป็นผลรวมของแรงตานท้ ไดี่ จากน้ ํ้ าหนกของมวลั ดินในโซนทอย ี่ ในสภาวะพาสซ ู่ ีฟ จากหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวและจากน ํ้ าหนกของดันสิวนท่อย ี่ เหน ู่ ือระดบของฐานรากซังถ ึ่ อวื าเป่ ็น surcharge 4.7.........1 1e 2 45tanc.cot q o2 tan f ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + φ φπ φ ( ) 4.8.........1 5.14c c2 q f π += = ( ) .d5.14c .d c2 q f π += + γ = +γ
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 307 5 โซนของการวิบัติไมเก่นกวิาระด่บของฐานรากั นั ่นหมายความว่า ไม่คิดแรงตานทานท้ จะได ี่ จากหน้ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของมวล ดินสวนท่อย ี่ เหน ู่ ือระดบของฐานรากั รูปท 14.6 Terzaghi ี่ , s analysis พิจารณาฐานรากกวาง้ B วางตงอย ั้ บนด ู่ นซิงอย ึ่ ู่ตํ่ากวาระด่บผัวดิ นเป ิ ็นระยะเทาก่ ับ d เมอหน ื่ ่วยแรงกดจากฐานรากที่ถ่าย ให้กับดนใต ิฐานรากม้ ีค่าสงสูดเทุาก่ ับ qf ดังนั้น ฐานรากและมวลดินรปลูิ่ม abd ( ระนาบ ad และ bd ทํามุม φ กับแนวราบ ) จะ ทรดตุวหรัอเคลือนต ื่ วลงในแนวด ังและด ิ่ นในโซนท ิ 2 ี่ และท 3 ี่ ใหเคล้อนต ื่ วออกไปทางข ัางตามแนวว้ ิบัติที่แสดง ถ้าสมมติว่าฐาน รากมความยาวเทีาก่บหนั ึ่ งหน่วย ดังนั้น แรงกระทาทํ ี่ทําใหเก้ดการเคลิอนต ื่ วลงในแนวด ั งจะประกอบด ิ่ วย้ ก. นํ้าหนกจากฐานรากทั ี่ถ่ายลงสู่ดิน = qf .B ข. นํ้าหนกของมวลดันริ ปลูิ่ม abd = (1/4) γB 2 tanφ ส่วนแรงตานการเคล้อนท ื่ ในแนวด ี่ งซ ิ่ งอย ึ่ ู่ที่แต่ละดานของ้ ac และ bd จะประกอบด้วย ก แรงในแนวดิ่งจากแรงดนแบบพาสซั ีฟ(Pp)ของมวลดนในโซนท ิ 2 ี่ และ 3 [ ต่อกาแพงสํงเทูาก่ ับ (B/2)tan φ ]= Ppγ+ Ppc+Ppq โดยท ี่ Ppγ = เป็นผลจากน ํ้ าหนกของมวลดั ิน adef หรือ bde1f1 Ppc = เป็นผลจากหน่วยน ํ้ าหนกแรงยัดเหนึ ี่ ยวตามแนววิบัติ def หรือ de1f1 Ppq = เป็นผลจากน ํ้ าหนกบรรทัุก ( surcharge : q = γ.d ) ที่อยเหน ู่ ือระดบของฐานรากั ข แรงในแนวดิ่งจากหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว( c) บนดาน้ ad หรือ bd ซึ่งยาวเทาก่ ับ ( B/2)/cosφ b B a d f e d e1 f1 Pp φ φ 45o -φ/2 q=γd qf Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙ c Ground Line 45o -φ/2 tan c 2 B sin หรือเท่ากบั cos 2B ดังน ั้ นแรงในแนวดิ ่ งม่าเท่ากบ◌ีค ัc φ φ φ a).........( ctan 2 B 22P tanB 4 1 ฉะนั้น จะได้ .B q p 2 f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φγ +=+ φ tanB 4 1 หรือ - Bctan)PP2(P .B q 2 f γ pqpcp +++= φγφ ......(b) 2P)Bctan(2P) tanB 4 1 หรือ -(2P .B q pc pq 2 f = pγ φγ φ +++
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 308 ดังนั้น จะเขยนสมการี ( b ) ไดเป้ ็น ซึ่งเป็นสมการสาหรํบหากัาลํงตั ้านแรงกดสูงสดของดุนของิ Terzaghi สําหรบฐานรากตั ื้นแบบแถบยาวต่อเน ื่ อง ( ระดับ ของฐานรากตํ่าจากระดบพันด ื้ นไม ิเก่นหนิ ึ่ งเท่าของความกวางของฐานราก้ ) เรยกี พารามิเตอร์หรอสื มประส ัทธิ Nิ์ c , Nq , Nγ เหลาน่ ี้ว่า ตัวประกอบกาลํงตัาน้เน ื่ องมาจากหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยว นํ้าหนกบรรทัุกสมทบ และหน่วยแรงเสยดทานระหวี ่างฐานราก กับดนโดยรวมท ิงหน ั้ ่วยน ํ้ าหนกของดั นใต ิฐานราก้ตามลาดํ ับ ค่าของตัวประกอบกําลงตัานแรงกด้ Nc , Nq , Nγ ขึ้นอยู่กับมมเสุียดทานภายในของดิน(φ) ซึ่งสามารถหาไดจากตารางท้ 14.7 ี่ ตารางท 14.7 Terzaghi ี่ , s Bearing Capacity Coefficients φ/ Nc Nq Nγ φ/ Nc Nq Nγ 0 5.70 1.00 0.00 26 27.09 14.21 9.84 1 6.00 1.10 0.01 27 29.24 15.90 11.60 2 6.30 1.22 0.04 28 31.61 17.81 13.70 3 6.62 1.35 0.06 29 34.24 19.98 16.18 4 6.97 1.49 0.10 30 37.16 22.46 19.13 5 7.34 1.64 0.14 31 40.41 25.28 22.65 6 7.73 1.81 0.20 32 44.04 28.52 26.87 7 8.15 2.00 0.27 33 48.09 32.23 31.94 8 8.60 2.21 0.35 34 52.64 36.50 38.04 9 9.09 2.44 0.44 35 57.75 41.44 45.41 10 9.61 2.69 0.56 36 63.53 47.16 54.36 11 10.16 2.98 0.69 37 70.01 53.80 65.27 12 10.76 3.29 0.85 38 77.50 61.55 78.61 13 11.41 3.63 1.04 39 85.97 70.61 95.03 14 12.11 4.02 1.26 40 95.66 81.27 115.31 15 12.86 4.45 1.52 41 106.81 93.85 140.51 16 13.68 4.92 1.82 42 119.67 108.75 171.99 17 14.60 5.45 2.18 43 134.58 126.50 211.56 ( ) pq q pc c 2 p dNB 2P BcN )Bctan(2P BN 2 1 B ) tanB 4 1 -(2P ถ้าสมมติให◌้ γ φ γφγ γ γ = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = q BN0.5dNc.N qcf γ = + γ + γ หรือ q 0.5qNc.N BN qcf γ = + + γ 1) ค่าโดยประมาณ cos ) 2 33 (453tan (tan 2 1 N 1)cot(N N 2452cos )(e ในที ่นี้ N 2 o2 qc 2 2/2)tan-/4(3 q − + + = −= − = φ φ φ φ φ γ π φ φ )/ o (
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 309 18 15.12 6.04 2.59 44 151.95 147.74 261.60 19 16.56 6.70 3.07 45 172.28 173.28 325.34 20 17.69 7.44 3.64 46 196.22 204.19 407.11 21 18.92 8.26 4.31 47 224.55 241.80 512.84 22 20.27 9.19 5.09 48 258.28 287.85 650.67 23 21.75 10.23 6.00 49 298.71 344.63 831.99 24 23.36 11.40 7.08 50 347.50 415.14 1072.80 25 25.13 12.72 8.34 หรอคืาของต่ วประกอบก ัาลํงตัานแรงกด้ Nc , Nq , Nγ ขึ้นอยู่กับมมเสุียดทานภายในของดิน(φ) ซึ่งสามารถหาไดจากกราฟท ้ 14.8 ี่ ที่เสนอโดย Terzaghi และ Peck กราฟที่ 14.8 Terzaghi, s Bearing Capacity Coefficients จากผลงานของ Terzaghi ที่ใหสมการหาก้าลํงตัานทานแรงกดส้งสูดของดุนใต ิฐานรากเม้อฐานรากยาวต ื่ ่อเน ื่ องและรับ นํ้าหนกรัวมศ่นยูโดยสมมต ์ ิว่าเกดการวิ ิบัติแบบ general shear failure ( สําหรบดันเหนิ ียวแขงหร็อดืนทรายแนิ ่น) ต่อมา Schuultze ได้นํามาดดแปลงเพ ั อใช ื่ ฐานรากท้ ี่มีรูปรางต่ ่างๆกัน ดังต่อไปนี้โดยท c , ี่ γ เป็นหน่วยแรงยดเหนึ ี่ยวและหน่วยน ํ้ าหนัก ประสทธิผลของดิ ิน ตามลาดํ ับ และ q = γd 1 สําหรบฐานรากแบบตั ่อเน ื่ อง ( continuous footingหรือ strip footing ) กวาง้ B ยาว L และอยู่ลึกตาจากระด ํ่ บดันเดิมเทิาก่ ับ d ฉะนั้น สําหรบดันเหนิ ียวอมต ิ่ วเตัมท็ ี่ ที่คิดวาม่ความเชีอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวี ( φ = 0 ) เมอพ ื่ จารณาิจากตาราง หรือ กราฟ จะ Nc = 5.7 , Nq = 1.0 และ Nγ = 0 นั ่นคือ และเมอฐานรากต ื่ งอย ั้ ู่ที่ระดบผัวดิ ิน จะให้ค่า qf = 5.7 c q BN0.5qNc.N ........14.9 qcf γ += + γ q 5.7c d f = + γ
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 310 2 สําหรบฐานรากกลมั ( circular footing ) ขนาดเสนผ้าศ่นยูกลาง์ B และอยู่ลึกตาจากระด ํ่ บดันเทิาก่ ับ d 3 สําหรบฐานรากสัเหล ี่ ยมผ ี่ นผื ้า ( rectangular footing ) กวาง้ B ยาว L และอยู่ลึกตาจากระด ํ่ บดันเทิาก่ ับ d 4 สําหรบฐานรากสัเหล ี่ ยมจ ี่ ัตุรัส( square footing) กวาง้ B ยาว B และอยู่ลึกตาจากระด ํ่ บดันเทิ ่ากับ d แต่เน ื่ องจากดนเหนิ ียวอ่อนคอนข่างแข้งหร็อทรายแนื ่นปานกลางทใชี่ รองร้บฐานรากจะเกัดการวิ ิบัติเฉพาะแห่งเพยงี บางสวน่ ( local shear failure) ซึ่งการทรดหรุอเคลือนต ื่ วลงในแนวด ังของฐานรากจะม ิ่ ีค่าคอนข่างมาก้ พบว่า ค่ากาลํงตัานทาน้ แรงกดสงสูดของดุนประเภทน ิ ี้ จะน้อยกวาค่าท่ ไดี่ ให้ ไว้ ้ข้างต้น ฉะนั้น Terzaghi เสนอวาหากไม ่ ่มีข้อมลเพูยงพี อให้คํานวณค่าตัว ประกอบของกาลํงตัานแรงกดของด้ ิน Nc ,Nq ,Nγ โดยพจารณาจากติวพารามัเตอริ ์ ซึ่งค่า c และ φ เป็นขอม้ลคู ุณสมบัติของดนนิ ั้น อยางไรก ่ ็ดีสามารถนําขอม้ลคู ุณสมบัติของดนจริ ิง คือ นําคาม่มเสุยดทานภายในจร ี ิง φ ไปหาตวประกอบของก ัาลํงตัานแรงกดของ้ ดิน Nc / ,Nq /,Nγ / ในตารางท14.9 ี่ ซึ่งเป็นคาท่ ไดี่ หล้งจากแทนคั ่า มุม φ เป็นคาใหม ่แล่ ้ว ฉะนั้น จะได้กําลงตัานแรงกดส้งสูดของดุนทิ ี่วิบัติเฉพาะแห่ง q BN0.3qN1.3c.N ........14.10 f qc γ = ++ γ .11........14 BN) L B 0.1-(0.5qN)c.N L B 0.2(1 q f qc γ +++= γ q BN0.4qN1.3c.N 4.12........1 f qc γ += + γ tanφφ 3 2 tan ,c 3 2 c m = m = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 1- o tan 3 2 φ tan φ γ γ γ γ γ γ NB0.3Nq N(1.3)c 3 2 สําหรับ q ,footing circular NB0.4Nq N(1.3)c 3 2 สําหรับ q footing, square NB0.5Nq Nc 3 2 สําหรับ q ,footingstrip f qc f qc f qc = ′ + ′ + ′ = ′ + ′ + ′ = ′ + ′ + ′
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 311 ตารางท14.9 Terzaghi ี่ , s Modified Bearing Capacity Factor φ N/ c N/ q N/ γ φ N/ c N/ q N/ γ 0 5.70 1.00 0.00 26 15.53 6.05 2.59 1 5.90 1.07 0.005 27 16.30 6.54 2.86 2 6.10 1.14 0.02 28 17.13 7.07 3.29 3 6.30 1.22 0.04 29 18.03 7.66 3.76 4 6.51 1.30 0.055 30 18.99 8.31 4.39 5 6.74 1.39 0.074 31 20.03 9.03 4.83 6 6.97 1.49 0.10 32 21.16 9.82 5.51 7 7.22 1.59 0.128 33 22.39 10.69 6.32 8 7.47 1.70 0.16 34 23.72 11.67 7.22 9 7.74 1.82 0.20 35 25.18 12.75 8.35 10 8.02 1.94 0.24 36 26.77 13.97 9.41 11 8.32 2.08 0.30 37 28.51 15.32 10.90 12 8.63 2.22 0.35 38 30.43 16.85 12.75 13 8.96 2.38 0.42 39 32.53 18.56 14.71 14 9.31 2.55 0.48 40 34.87 20.50 17.22 15 9.67 2.73 0.57 41 37.45 22.70 19.75 16 10.06 2.92 0.67 42 40.33 25.21 22.50 17 10.47 3.13 0.76 43 43.54 28.06 26.25 18 10.90 3.36 0.88 44 47.13 31.34 30.40 19 11.36 3.61 1.03 45 51.17 35.11 36.00 20 11.85 3.88 1.12 46 55.73 39.48 41.70 21 12.37 4.17 1.35 47 60.91 44.45 49.30 22 12.92 4.48 1.55 48 66.80 50.46 59.25 23 13.51 4.82 1.74 49 73.55 57.41 71.45 24 14.14 5.20 1.97 50 81.31 65.60 85.75 25 14.80 5.60 2.25 ตารางท 14.10 ี่ เป็นขอเสนอแนะส้าหรํ ับการตัดสนใจว ิาด่ นใต ิฐานรากควรจะว้ ิบัติแบบใด( general หรือ local shear failure ) เพอจะได ื่ ้นําไปพจารณาหาหนิ ่วยแรงตานแรงกดส้งสู ุด หรอหนื ่วยแรงตานแรงกดท้ ยอมให ี่ ้ต่อไป ตารางท 14.10 ี่ การวิบัติของดนใต ิฐานราก้ ผลจากการทดสอบ General shear failure Local shear failure Stress – Strain Test Strain < 5 % Strain ∼10-20% Angle of Shear Resistance φ > 36o φ < 28o Penetration Test N > 30 N < 5 Plate Load Test ดูจาก settlement curve ดูจาก settlement curve Relative Density Dr >70% Dr < 20%
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 312 14.7 ผลกระทบจากระดบนั ํ้าใต้ดิน ในการหากาลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุนใต ิ ฐานรากโดยใช ้สมการของ้ Terzaghi ตามทกล ี่ าวข่างต้ ้น ยังมไดิ ้คํานึงถึง ผลกระทบจากระดบนั ํ้าใต้ดิน เน ื่ องจากสมมติว่าระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ตํ่ากวาระด่บของฐานรากมากั ( มากเกนกวิาความกว่างของฐาน้ ราก) แต่เมอระด ื่ บนั ํ้าใต้ดินมไดิ เป้ ็นไปตามทสมมต ี่ ิเช่น อยู่ที่ระดบตัากว ํ่ าระด่ ับของฐานรากเล็กน้อย หรออยื ู่ที่ระดบเดัยวกีนกั ับ ระดบของฐานรากัหรออยืเหน ู่ ือระดบของฐานรากัจะตองพ้ จารณาปร ิบเทอมทั ี่ สอง และเทอมที่สามในสมการของTerzaghi โดย ให้พิจารณาจากหน่วยน ํ้ าหนกประส ัทธิผลของดิ ิน เพราะหน่วยน ํ้ าหนกของมวลดันแชิ ่นํ้าจะลดลง ซึ่งมผลีกระทบต่อกาลํงรับแรงกดั สูงสดของดุิน อยางไรก ่ ็ดีเพอให ื่ การค้านวณงํายมากข่ ึ้น โดยไม่ต้องคดถิงหนึ ่วยน ํ้ าหนกประส ัทธิผลของดิ ิน จึงประมาณผลกระทบจาก ระดบของนั ํ้าใต้ดินโดยนําตวคัณลดคูามาใช ่ ้เมอม ื่ ระดีบนั ํ้าใต้ดินมาเกยวข ี่ อง้ ( reduction for water table ) กลาวค่ อใช ื ้ตัวประกอบ Rw1 คูณเขาก้บเทอมทั ี่ สอง และใช้ตัวประกอบ Rw2 คูณเขาก้บเทอมทัสาม ี่ ของสมการทจะใช ี่ หาก้าลํงรับแรงกดสังสูดทุี่ยังมไดิ ้ คํานึงถงผลกระทบจากระดึบของนั ํ้าใต้ดิน ดังนั้น จะได้ว่า โดย Rw1 และ Rw2 เป็นตวคัณลดคูาอ่นเนั ื่ องมาจากระดบนั ํ้าใต้ดิน ซึ่งมีค่าดงนั ี้ ในเมื่อ Zw1 เป็นระดบของนั ํ้าใต้ดินทอย ี่ ู่ตํ่ากวาระด่บของผัวดิ นลงไป ิ และให้ Zw2 เป็นระดบของนั ํ้าใต้ดินทอย ี่ ู่ตํ่ากวาระด่ ับ ของฐานรากลงไป ทั้งน ี้ d เป็นระดบของฐานรากทัอย ี่ ู่ตํ่ากวาระด่บผัวดิ ิน สามารถหาค่า Rw1 และ Rw2 จากรปทู 14.11 ี่ ก็ได้ รูปท 14.11 Water - reduction factors ี่ q RBN0.5RdNc.N w1qcf γ w2 += γ + γ 1 d Z 10.5 R 1 d Z 10.5 R w2 w2 w1 w1 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += B d B Zw1 Zw2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Zw1/d หรือ Zw2/d Zw1 หรือ Zw2
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 313 ตัวอย่างเช่น เมอระด ื่ บนั ํ้าใต้ดินอยู่ที่ระดบของฐานรากั ( นั ่นคือ Zw1 = d , Zw2 = 0 ) ดังนั้น Rw1 = 1 , Rw2 = 0.5 ส่วนกรณีที่ ระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ตํ่ากวาระด่บของฐานรากเทัาก่ ับ d ( นั ่นคือ Zw1 > d , Zw2 = d ) ดังนั้น Rw1 = 1 , Rw2 = 1.0 14.8 ผลกระทบจากแรงเย ื้องศนยู์ เน ื่ องจากการพจารณาหากิาลํงตัานแรงกดของด้ นใต ิฐานรากท้ ไดี่ ้พิจารณาขางต้ ้น ถือวาแรงกระท่าผํานจุ่ดศนยู์ถ่วงของ ฐานราก แต่เมอฐานรากต ื่ นต ื้ องร้บแรงเยัองศ ื้ นยู์คือ มีแรง P กระทาไม ํ ่ผ่านจดศุนยู์ถ่วง ของฐานราก การกระจายของหน่วยแรง กดทเก ี่ ดขินจร ึ้ งใต ิ ฐานรากจะไม ้สม่าเสมอ ํ่ เพราะฐานรากตองร้ บโมเมนต ัเน์ ื่ องจากแรงเยองศ ื้ นยู์ด้วย หน่วยแรงทขอบฐานรากด ี่ าน้ ที่อยใกล ู่ ้กับแรงกระทาจะมํ ีค่ามาก และหน่วยแรงทขอบฐานรากด ี่ านท้อย ี่ ไกลกว ู่ าจะม่ ีค่าน้อย ดังแสดงในรปทู 14.12 ี่ รูปท 14.12 ี่ ผลกระทาจากแรงเยํอง ื้ ศนยู์ อยางไรก ่ ็ดีหากนําพนท ื้ เท ี่ ยบเที ่า ( equivalent area : A/ ) ของฐานรากที่เปรยบเสมีอนวื ่า รับแรงกระทํารวมศ่นยูมา์ พิจารณา จะได้หน่วยแรงกดใตฐานซ้งม ึ่ ีค่าสมาเสมอเท ํ่ าก่ ับ P/A/ รูปท 14.12 ี่ ผลกระทาจากแรงเยํองศ ื้ นยู์ a Actual b Equivalent P e qmax qmin B B / P x x Y x x Y Y Y B B L B / B / L / 1 ex ey e c Rectangular footing d Strip footing
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 314 พื้นท ี่ เทียบเท่า: จากรูป c ถ้าฐานรากเป็นแบบยาวต่อเน ื่ อง ( strip footing ) มีแรงเยองศ ื้ นยู์กระทาหํางจากแกนด่ ้านยาวเท่ากับ e ให้ แปลงดานกว้างของฐานรากน้ นเป ั้ ็น B/ โดยท Bี่ / = B -2e จากรูป d ถ้าฐานรากเป็นแบบสเหล ี่ ยมผ ี่ นผื ้า กวาง้ B ยาว L มีระยะเยองศ ื้ นยู e์ x ห่างจากแกน Y และระยะเยองศ ื้ นยู e์ y ห่างจากแกน X ดังนนพ ั้ นท ื้ เท ี่ ยบเที ่า ของฐานรากคือ A/ = (B/ )(L/ ) โดยทความกว ี่ าง้ B/ = B -2ex และความยาว L/ = L-2ey 14.9 กําลงตั ้านแรงกดปลอดภยของดั ิน( Allowable bearing capacity ) จากการพจารณาหากิาลํงตัานแรงกดส้งสู ุด ( ultimate bearing capacity : qf หรือ qult ) ต่อหน่วยพนท ื้ ี่ เมอระด ื่ บของฐานั รากอยู่ลึกตาจากระด ํ่ บผัวดินเทิ ่ากับ d ซึ่งมวลดนใต ิฐานรากต้องร้บนั ํ้ าหนกทั ี่ถ่ายมาจากเสาตอมอรวมถ่งนึ ํ้ าหนกของมวลดันทิถม ี่ บนฐานราก หากคดวิาหน่ ่วยน ํ้ าหนกเฉลัยของน ี่ ํ้ าหนกของเสาตอมั ่อ นํ้าหนกของตัวฐานราักและน ํ้ าหนกของมวลดั ิน ที่ถมบนฐาน มีค่าเทาก่ ับ γ ดังนั้น จะไดหน้ ่วยแรงตานแรงกดส้งสูดสุทธุของดิ ิน ( Net ultimate bearing capacity : qnf) คือ ในงานออกแบบหาขนาดของฐานรากวางบนดิน จะพจารณาจากกิาลํงตั านแรงกดปลอดภ ้ยของดั ิน ( allowable bearing capacity ) ต่อหน่วยพนท ื้ ี่ โดยการหารค่ากาลํงตั ้านสงสูดดุ้วยอตราสั ่วนปลอดภัย ( factor of safety :F.S.) ซึ่งปกติใช้ไม่ น้อยกว่า3 เพอม ื่ ใหิ ้ดินวิบัติจากการเฉือนหรอเกื ิดการทรุดตวมากั ดังนั้น หน่วยแรงกดปลอดภยสัทธุิของดิน ( net allowable bearing capacity : qna ) หน่วยแรงกดปลอดภยทังหมดของด ั้ ิน ( gross allowable bearing capacity : qa ) ฉะนั้น เมอให ื่ W้ D+L เป็นน ํ้ าหนกบรรทัุกคงทและน ี่ ํ้ าหนกจรทั ี่ถ่ายจากเสาตอมอหร่อกืาแพงํ WF เป็นน ํ้ าหนกฐานรากั และ WS เป็นน ํ้ าหนกของดันถมเหนิ ือฐานราก จะหาขนาดพนท ื้ ของฐานรากท ี่ ี่ต้องการ (A) ไดจาก้ ค่าพนท ื้ ี่ ของฐานรากทใหี่ ้ค่ามากกวาจะเป ่ ็นคาท่ ใชี่ ้คํานวณออกแบบ qq d 13.......14. fnf −= γ 14.14.......... F.S. q q nf na = 14.15.......... .d F.S. q dqq nf naa . +=+= γγ เพ ื ่อให้ง่ายต่อการคํานวณ 14.16.......... F.S. q หรืออาจใช้ q f a = 7......14.1 q W หรือ A q W W W A na LD a + SFLD + = + + =
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 315 ข้อบญญั ัติของกรงเทพมหานครุ กําหนดกาลํงตั านแรงกดปลอดภ ้ยทังหมดของด ั้ นประเภทต ิ ่างๆ ที่ฐานรากของอาคาร จะตองไม ้เก่นกวิาอ่ตราทั ี่กําหนด ดังน ี้ ประเภทดิน อัตราไม่เกิน ( ตัน/ตร.ม.) ดินอ่อนหรอดื นถมไว ิ 2 ้ ดินปานกลางหรอดืนทรายริวน่ 10 ดินแน่นหรอดืนทรายหยาบิ 20 กรวดหรอดืนดานิ 40 หินปนหรูอหืนทรายิ 80 หินอคนั ี 150 14.10 สมการทวไปส ั ่ าหรํบหากัาลํงตั ้านแรงกดสงสูดของดุิน การวเคราะหิ ์ต่อมาเพอหาก ื่ าลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุิน เช่น วิธีของ Meyerhof ( 1951 , 1963) วิธีของ J Brinch Hansen ( 1961 ) ล้วนแต่อาศยทฤษฎัการวี ิบัติแบบพาสติก โดยสมมุติใหมวลด้ นใต ิฐานรากว้ ิบัติแบบ general shear failure ซึ่ง ประกอบดวย้ 3 โซนเหมอนเดื ิม พบวาค่าส่ ปส. Nc และ Nq ไม่ค่อยแตกต่างจากท Terzaghi ี่ เสนอไว ้แต่ค่า สปส. Nγ จะแตกต่าง กันคอนข่างมาก้สาเหตุเน ื่ องมาจากการสมมตใหิระนาบการเคล้อนต ื่ วของมวลดันริ ปลูมใต ิ่ ฐานรากในโซนท ้ ี่ 1 แตกต่างกัน แต่จาก การทดสอบโดย DeBeer และ Visic ( 1958) พบว่า ระนาบทมวลด ี่ นริ ปลูมในโซนท ิ่ ี่ 1 เคลอนต ื่ วลงมาทัามํุม 45o + φ/2 กับ แนวราบ ซึ่งน่าสงเกตวั ่า รูปแบบของสมการเพอใช ื่ ้วิเคราะหหาก์าลํงตัานแรงกดส้งสูดยุงคงเหมัอนกื ับสมการของ Terzaghi เพยงแตี ่ใช้ค่า สปส. แตกต่างกนเทัาน่ ั้น ฉะนั้น จะไดสมการท้ วไปส ั ่ าหรํ ับ strip footing คือ ตารางท14.13 ี่ แสดงค่า สปส. Nc Nq และ Nγ ที่ Meyerhof เสนอ เพอใช ื่ ในสมการ ้ 14.18 สําหรบฐานรากแผั ่ แบบต่อเน ื่ อง ( strip footing) สมการท 14.18 ี่ สามารถนําไปใช้กับฐานรากแบบอนๆได ื่ ้แต่ต้องปรบแกัเน้ ื่ องจากรปรู างของฐานราก่ ( Shape factor : s ) ความลกของระดึบฐานรากั ( Depth factor :d) และมมเอุยงของแรงกระที ํา ( Inclination : i ) ฉะนั้น จะเขยนสมการได ี ใหม ้ ่ ใหอย้ ู่ ในรปทูวไป ั ่ ในเมื่อ Fcs , Fqs , Fγs = เป็นตวคั ณประกอบรูปรูาง่ Fcd , Fqd , Fγd = เป็นตวคั ณประกอบความลูึก Fci , Fqi , Fγi = เป็นตวคั ูณประกอบเมื่อแรงทามํมเอุยงกีบแนวดั ิ่ง q BN0.5qNcN 4.18.........1 qCf γ += + γ ...14.19 .F.FFB.N 2 1 .F.F.Fq.N.F.F.Fc.Nq qiqdqsqcicdcscf ids . γγγγ = + + γ .
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 316 ตารางท 14.13 Bearing Capacity Factor ( After Vesic 1973) ี่ φ Nc Nq Nγ Nq/ Nc tanφ φ Nc Nq Nγ Nq/ Nc tanφ 0 5.14 1.00 0.00 0.20 0.00 26 22.25 11.85 12.54 0.53 0.49 1 5.38 1.09 0.07 0.20 0.02 27 23.94 13.20 14.47 0.55 0.51 2 5.63 1.20 0.15 0.21 0.03 28 25.80 14.72 16.72 0.57 0.53 3 5.90 1.31 0.24 0.22 0.05 29 27.86 16.44 19.34 0.59 0.55 4 6.19 1.43 0.34 0.23 0.07 30 30.14 18.40 22.40 0.61 0.58 5 6.49 1.57 0.45 0.24 0.09 31 32.67 20.63 25.99 0.63 0.60 6 6.81 1.72 0.57 0.25 0.11 32 35.49 23.18 30.22 0.65 0.62 7 7.16 1.88 0.71 0.26 0.12 33 38.64 26.09 35.19 0.68 0.65 8 7.53 2.06 0.86 0.27 0.14 34 42.16 29.44 41.06 0.70 0.67 9 7.92 2.25 1.03 0.28 0.16 35 46.12 33.30 48.03 0.72 0.70 10 8.35 2.47 1.22 0.30 0.18 36 50.59 37.75 56.31 0.75 0.73 11 8.80 2.71 1.44 0.31 0.19 37 55.63 42.92 66.19 0.77 0.75 12 9.28 2.97 1.69 0.32 0.21 38 61.35 48.93 78.03 0.80 0.78 13 9.81 3.26 1.97 0.33 0.23 39 67.87 55.96 92.25 0.82 0.81 14 10.37 3.59 2.29 0.35 0.25 40 75.31 64.20 109.41 0.85 0.84 15 10.98 3.94 2.65 0.36 0.27 41 83.86 73.90 130.22 0.88 0.87 16 11.63 4.34 3.06 0.37 0.29 42 93.71 85.38 155.55 0.91 0.90 17 12.34 4.77 3.53 0.39 0.31 43 105.11 99.02 186.54 0.94 0.93 18 13.10 5.26 4.07 0.40 0.32 44 118.37 115.31 224.64 0.97 0.97 19 13.93 5.80 4.68 0.42 0.34 45 133.88 134.88 271.76 1.01 1.00 20 14.83 6.40 5.39 0.43 0.36 46 152.10 158.51 330.35 1.04 1.04 21 15.82 7.07 6.20 0.45 0.38 47 173.64 187.21 403.67 1.08 1.07 22 16.88 7.82 7.13 0.46 0.40 48 199.26 222.31 496.01 1.12 1.11 23 18.05 8.66 8.20 0.48 0.42 49 229.93 265.51 613.16 1.15 1.15 24 19.32 9.60 9.44 0.50 0.45 50 266.89 319.07 762.89 1.20 1.19 25 20.72 10.66 10.88 0.51 0.47 De Beer and Hansen ( 1970) Where L = length of the foundation ( L > B ) c q cs N N L B 1F += tanφ L B 1Fqs += L B 0.4 -1Fγs = Shape Factor
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 317 Hansen ( 1970) Meyerhof ( 1963) : Hanna and Meyerhof ( 1981) Where β = inclination of the load on the foundation with respect to the vertical ส่วนผลกระทบจากระดับน ํ้าใต้ดินและแรงเยองศ ื้ นยูให์ ปร้บแกัตามท้ ไดี่ กล้าวมาแล่ ้ว 14.11 การหากาลํงตั ้านแรงกดของดินโดยการทดสอบในสนาม การทดสอบหากาลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุนในสนามอาจใช ิ ้วิธี plate load test ตาม ASTM D -1194 โดยกระทาทํ ี่ ระดบของฐานรากของอาคารทัจะก ี่ ่อสราง้ ซึ่งจะให้นํ้าหนกกระทัาผํานแผ่นเหล่ ็ก ( bearing plate) รูปสเหล ี่ ยมจ ี่ ัตุรัส ขนาด 0.30 x 0.30 ซม. หรอแผืนเหล่กกลมขนาดเส็นผ้าศ่นยูกลาง์ 15 ถึง 75 ซม. ที่หนาไม่น้อยกว่า 25 มม. ความกวางของหลุ้มทดสอบตอง้ ไม่น้อยกว่า 4 – 5 เทาของขนาดแผ่นเหล่ ็ก การเพมน ิ่ ํ้ าหนกบรรทัุกอาจเป็นแบบทเพ ี่ มข ิ่ นในแต ึ้ ่ละครงด ั้ วยอ้ตราคงทั ี่ หรอเป ื ็น แบบใหเก้ดอิตราการทรัดตุวคงทั ี่ จนกระทงด ั ่ นวิ ิบัติจากการเฉือน หรอเมือหน ื่ ่วยแรงกดมีค่าประมาณ 2-3 เทาของหน่ ่วยแรงกดท ี่ จะใชออกแบบ้ การทดสอบควรกระทาหลายๆคํรงโดยเปล ั้ ยนขนาดของแผ ี่ นเหล่ ็ก จากนนน ั้ ําคาท่ ไดี่ มาเข้ ยนกราฟแสดงความส ีมพันธั ์ ระหว่างการทรุดตวกับหนั ่วยแรงกดทกระท ี่ าทํเร ี่ ยกวี ่า Settlement Curved ดังแสดงในรูป14.1 จุดตดกันของเสันส้มผัสกับสัวนท่ ี่ เป็นเสนตรงของกราฟท ้งสอั้ง เป็นจุดทใหี่ หน้ ่วยแรงกดสงสู ุด เมอจะน ื่ ําผลการทดสอบมาใชคาดคะเนพฤต้กรรมของฐานรากทิ งในั้ ด้านกาลํงตัานแรงกดและการทร้ดตุัว ต้องพจารณาอยิ ่างรอบคอบเกี่ยวกบลักษณะของชันด ั้ ิน ณ ที่ทดสอบ ระดบของนั ํ้าใต้ดิน นอกเหนือจากความลกและขนาดของฐานรากึ โดยเฉพาะดนเหนิ ียวที่นํ้าซมผึ านได ่ยากและม้ความอีมต ิ่ วเตัมท็ ี่ ซึ่งการทรดตุวเกั ิด จากการยบอุดตัวคายนั ํ้ าที่กินเวลานาน Depth Factor Condition (a) : Df / B ≤ 1 B D 0.41F f cd += ( ) B D sin12tan1F 2 f qd ++= φφ 1Fγd = Condition (b) : Df / B > 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += B D 0.4)tan1F 1- f cd ( ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= − B D tansin12tan1F 2 1 f qd φφ F 1 γd = The factor tan-1(Df /B) is in radians. Inclination Factor ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == o o qici 90 - 1 F F β 2 i 1F ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= φ β γ
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 318 ฉะนั้น ผลทดสอบ plate load test จึงไมสามารถน่ ํามาใชคาดคะเนการทร้ดตุวในระยะยาวของด ันเหนิ ียว การประมาณ กําลงตัานแรงกดและการทร้ดตุ วของฐานรากจากการทดสอบั plate load test ให้พิจารณา จากสมการของ Terzaghi กับ Peck ที่ เสนอไว้ดังน ี้ ให B ้และ b เป็นความกวางของฐานรากและของแผ้นเหล่ ็ก ตามลาดํ ับ Qf และ qf เป็นหน่วยแรงกดสงสู ดของฐานรากและของแผ ุนเหล่กตามล็าดํ ับ S และ s เป็นคาการทร่ดตุ วของฐานรากและของแผันเหล่ ็ก ตามลาดํ ับ Housel ( 1929 ) เสนอวิธีหากาลํงตัานแรงกดของด้นเมิอฐานรากม ื่ ีพื้นทใตี่ ฐานเท้าก่ ับ A และมเสีนรอบร้ ปของฐานเท ูาก่ ับ P ซึ่งตงอย ั้ บนด ู่ นประเภทท ิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นและกาหนดให ํ ้ค่าการทรดตุัว S มีค่าหนึ่ง ดังนนฐานรากจะร ั้ บนั ํ้ าหนกบรรทัุกได้ เทาก่ ับ Q ดังสมการ โดยท q ี่ เป็นหน่วยแรงอดใต ัฐาน้และ s เป็นแรงเฉือนต่อเสนรอบร้ ปของฐาน ู จะเหนว็ ่า ตัวไม่รู้ค่าในสมการขางต้นม้อยี ู่2 ตัวคือ q กับ s การทดสอบในสนามโดยวิธี plate load test จะตองท้าอยําง่น้อย 2 ครั้ง โดยเปลยนขนาดของแผ ี่ นเหล่กและหาค็าแรงกด่ ที่ให้ค่าการทรดตุวเทัาก่ ัน นอกจากน ี้อาจประมาณกาลํงตั านแรงกดของทรายได ้จากการทดสอบการทะลวงมาตรฐาน้ ดังไดกล้าวมาแล่ ้ว ซึ่งผลจาก การตอกกระบอกผาซ่กมาตรฐานี (SPT) จะได้ค่า N เป็นจานวนครํงต ั้ ่อฟุต ภายหลังจากการแกไขค ้ ่า N แล้ว จะนําผลมาหา หน่วยแรงกดปลอดภยสัทธุ ( net allowable bearing pressure ) ิ ไดตามสมการท้ เสนอโดย ี่ Terzaghi และ Peck ดังสมการ ที่ 14.23 เมอใช ื่ แผ้นเหล่กขนาด็ 30 x 30 ซม. โดยมีข้อจากํดวัาการทร่ดตุ วของฐานรากแตั ่ละตวตั องไม ้เก่ ิน 2.5 ซม. และมกาีรทรุด ตัวต่างกัน ( differential settlement) ไดไม้เก่นกวิ ่า 2 ซม. เมื่อ qna = หน่วยแรงตานแรงกดปลอดภ ้ยสัทธุของทรายหนิ ่วยเป็นตัน/ตร.ม. N = ค่าทไดี่ จากการทดสอบการทะลวงมาตรฐาน้ ( SPT ) ที่ไดแก้ ไขแล ้ ้ว B = ความกวางของฐานราก้หน่วยเป็นเมตร Rw2 = ค่าแกไขเม ้อม ื่ ระดีบนั ํ้าใต้ดินเขามาเก้ยวข ี่ อง้ Zw2 = ความลกของระดึบนั ํ้าใต้ดินทอย ี่ ู่ตํ่าจากระดบของฐานรากลงไป ัเมตร 0......14.2 b B ดังนั้น สําหรบดั ินเหนียว q Q และ s S ff ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == 21.......14. bB 2B และ s S b B าหรบดั ิ นทรายสํ q Q ff 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Q Aq += 22.......14.Ps 3......14.2 RR 2B 0.3B 3)-3.5(N q dw2 2 na ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1.0 B Z 10.5 R w2 w2 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 319 Rd = ตัวประกอบความลึก = 1+d/B ≤ 2.0 d = ความลกของฐานรากทึอย ี่ ู่ตํ่าจากระดบผัวดิ ิน เมตร Bowles พบว่า ค่าทไดี่ จากสมการ้ 14.23 ค่อนขางต้ าไป ํ่ จึงเสนอวาควรเพ่มค ิ่ าได ่ ้อีกประมาณ 50 % ซึ่งจะไดสมการด้งนั ี้ ตัวอย่างท ี่ 14.2 จาการทํา plate load test บนดนเหนิ ียวทสม ี่ มติว่ามความเชีอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวทีระด ี่ ับ 1 เมตร ตํ่าจากระดบผัวดิ ิน โดย ใชแผ้ นโลหะจ ่ ัตุรัสขนาด 35 x 35 ซม. ปรากฏวาได ่แรงกดส้งสูดเทุาก่ ับ 5200 กก. จงหากาลํงตัานแรงกดส้งสูดของดุนนิ ี้ เมอใช ื่ ้ รองรบฐานรากแผัแบบต่ ่อเน ื่ องซงกว ึ่ าง้ 1.6 เมตร และอยู่ลึกต ํ่ าจากระดบดันเดิมเทิาก่ ับ 1 เมตรเชนก่ ัน สมมตระดิบนั ํ้าใต้ดินอยู่ตํ่า จากระดบดั ิน 5 เมตร กําหนดใหหน้ ่วยน ํ้ าหนกของดันทิอย ี่ เหน ู่ ือระดบนั ํ้าใต้ดินเทาก่ ับ 1.9 กรัม/ลบ.ซม. วิธีทํา สมมตมวลดินวิ ิบัติแบบ general shear failure เมอม ื่ ุม φ = 0o ดังนนจากกราฟของ ั้ Terzaghi จะได N้ γ = 0 , Nq = 1 , Nc = 5.7 เน ื่ องจากระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ตํ่าจากระดบดันมากิ ดังนนค ั้ ่า Rw1 = Rw2 = 1 จากกาลํงตัานแรงกดของฐานรากส้เหล ี่ ยมจ ี่ ัตุรัส : ซึ่งในการทํา plate load test ใช B = 0.35 ้เมตร โดยท d = 1 ี่ เมตร ดังนั้นแทนค่า จะได้หน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของดิน ,c = 5.47 ตัน/ตร.ม. ซึ่งจะนําค่า c ที่ไดมาใช ้การคาดคะเนก้าลํงตัานแรงกดส้าหรํบฐานรากตั ่อเน ื่ อง จากสมการ ตัวอย่างท ี่ 14.3 จากการทํา Plate load test ไดผลการทดสอบด้งนั ี้ ขนาดของแผนเหล่ ็ก นํ้าหนกทั ี่ทําใหเก้ดกาิรทรดตุัว 1.5 ซม. 1.0 x 1.0 10,000 กก 2.0 x 2.0 30,000 กก จงหาน ํ้ าหนกทัฐานรากแผ ี่ ่สี่เหลยมจ ี่ ัตุรัสขนาด 3 x 3 เมตร สามารถรบได ั โดยม ้ ีค่าการทรดตุวเทัาก่ ับ 1.5 ซม. วิธีทํา เมอใช ื่ แผ้นเหล่ ็ก 1.0 x 1.0 ม , A = 1x1=1 ตร.ม. P=4 x1 = 4 ม Q = 10 ตัน จากสมการ 4......14.2 RR 2B 0.3B 3)-5(N q dw2 2 na ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = q BN0.4qN1.3cN f qC γ += + γ (0)(1.9x1x1))(1.3xcx5.7 0.351000x0.35x 5200 ++= q BN0.5qNcN qCf γ += + γ แทนค่า จะได้ f = (5.47x5.7) q + + = ตัน/ตร.ม. 33.1(0)(1.9x1x1) < Q = Aq + Ps 10 = (1)q + .......1(4)s
Soil Mechanics กําลงตัานแรงกดของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 320 เมอใช ื่ แผ้นเหล่ ็ก 2.0 x 2.0 ม , A = 2x2= 4 ตร.ม. P=4 x2 = 8 ม Q = 30 ตัน แกสมการ้ 1 และ 2 จะได q = 5 ้ ตัน/ตร.ม. และ s = 1.25 ตัน/ม ฉะนั้น สําหรบฐานรากแผั ่สี่เหลยมจ ี่ ัตุรัสขนาด 3 x 3 เมตร A = 9 ตร.ม. P = 4 x3 ม = 12 ม จะรบนั ํ้ าหนกได ั ้ แบบฝึกหัด 1 ฐานรากกลมขนาดเสนผ้าศ่นยูกลาง์ 10 ม ตั้งอยู่ที่ระดบผัวดิ ิน พบวาด่นวิ ิบัติที่นํ้าหนัก 1500 ตัน ถ้าสมมติว่าดนทิ ี่มีความเชอม ื่ แน่นอยางเด่ยวี จงใชสมการของ้ Terzaghi หาคาหน่ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของดิน ( 3.35 ตัน /ตร.ม.) 2 ฐานรากแผขนาด่ 20 x 20 ม. ตั้งอยู่ที่ระดับผวดินซิงมวลด ึ่ นมิความเชีอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวีพบว่า ดินวิบัติเมอหน ื่ ่วยน ํ้ าหนกแผั ่ เทาก่ ับ 25 ตันต่อตารางเมตร จงใชสมการของ้ Terzaghi หาคาหน่ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของมวลดนนิ ี้ ( 3.37 ตัน /ตร.ม.) 3 ฐานรากแผ่สี่เหลยมจ ี่ ัตุรัสอยู่ลึกตาจากระด ํ่ บผัวดิ ิน 1.50 เมตร รับน ํ้ าหนกจากเสาตอมั ่อ 180 ตัน จงหาขนาดของฐานรากและ กําลงรับแรงกดสังสู ุด กําหนดให้ อัตราสวนป ่ลอดภยเทัาก่ ับ 3 ดินรองรบใต ั ฐานรากเป ้ ็นทรายมีมุมเสยดทานภายใน ี 33 องศา ระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ที่ระดบผัวดินหนิ ่วยน ํ้ าหนกของดันแชิ ่นํ้าเทาก่ ับ 1.34 กก /ลบ.ซม. ( 3.455 x 3.455 ม , qf = 45.51 ตัน / ตร.ม.) 4 ฐานรากแผแบบต่ ่อเน ื่ อง กวาง้ 1 เมตร อยู่ลึก 0.8 เมตร ตํ่าจากระดบดั ิน หน่วยน ํ้ าหนกของดันเทิาก่ ับ 1.8 ตัน/ลบ.ม. หน่วยแรง ยึดเหน ี่ ยว c = 3 ตัน/ตร.ม. และ φ = 20 องศา ระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ตํ่าจากระดบผัวดิ ิน 1.50 เมตร จงใชสมการของ้ Terzaghi คํานวณหาค่า qa สมมต F.S.= 3 ( 9.2 ิ ตัน/ตร.ม. ) 5 ฐานรากจัตุรัสขนาด 1.5 ม อยู่ตํ่าจากระดบผัวดินเทิาก่ ับ 1.00 ม ต้องรบนั ํ้ าหนกบรรทัุกหรอแรงในแนวด ืงเท ิ่ าก่ ับ 50 ตัน และแรง กระทาทางขํางท้ขนานก ี่ บฐานรากซังม ึ่ ีค่าเทาก่ ับ 2 ตัน โดยกระทาสํงจากระดู บของฐานรัากที่สัมผสกับดั นเป ิ ็นระยะเทาก่ ับ 4.00 เมตร หาคาของ่ qf -------------------------------- 30 = (4)q + (8)s .......2 Q = (9)(5) + (12)(1.25) = 60 ตัน <
Soil Mechanics ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 321 เอกสารอ้างอิง 1. วินิต ช่อวเชิยรี ( 2547 ) , “ ปฐพกลศาสตรี ( Soil Mechanics ) ’’ ์ 2. คณะอนุกรรมการสาขาวศวกรรมปฐพ ิ ีคณะกรรมการวชาการสาขาวิ ศวกรรมโยธา ิ ( 2545 ) , “ แนวทางการ ตรวจสอบชนด ั้ นเพิองานฐานราก ื่ ’’ วิศวกรรมสถานแหงประเทศไทย ่ ในพระบรมราชปถูมภั ์ 3. มณเฑยรี กังศศเทิยมี ( 2535 ) , “ กลศาสตรของด์นดิานว้ศวกรรมิ ’’ สมาคมศษยิเก์ ่าวศวกรรมชลประทาน ิ ในพระ บรมราชปถูมภั ์ 4 ปิยะ รัตนสวรรณุ “ เอกสารประกอบการสอน วิศวกรรมฐานราก ‘’ พิมพ์ครงท ั้ 1 ี่ 5. สราวุธ จรตงามิ กลศาสตรของด์ ิน (Soil Mechanics) 6. Bowles , J.E. ( 1968 ) Foundation Analysis and Design , McGraw – Hill Book Company , New York. 7. Das , B.M. (1998 ) Principle of Geotechnical Engineering , 4 th ed., PWS Publishing Company. 8. Harr , M.E. ( 1966 ) . Foundation of Theoretical Soil Mechanics , Van Nostrand Reinhold Company , New York. 9. Lambe , T.W. and Whitman , R.V. ( 1969 ) . Soil Mechanics , John Wiley & Sons , Inc ., New Jersey . 10. Peck , R.B. ., Hansen , W.E. and Thornburn , T.H. ( 1974) . Foundation Engineering , 2nd ed . , John Wiley & Sons , Inc ., New York . 11. Terzaghi , K. and Peck , R.B. ( 1967 ) . Soil Mechanics and Engineering Practice , 2nd ed . , John Wiley & Sons , Inc ., New York .