soil

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 234 ตัวอย่างท ี่ 11.6 ในการทํา Vane shear Test เพอหาก ื่ าลํงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดนเหนิ ียวได้ข้อมลตู่างๆ ดังต่อไปนี้ แรงบดทิ ใชี่ หม้นตุดดันคงสภาพและทิ เปล ี่ ยนสภาพ ี่ = 163 และ 75 กก - ซม ตามลาดํ ับ ขนาดเสนผ้าศ่นยูกลางของ์ Vane = 5 ซม. และความสงของู Vane = 10 ซม. จงหากาลํงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดนนิ ี้ทั้งสองสภาพและคาความไวต ่วของดั ิน วิธีทํา จากสมการ ในที่นี้เมื่อ h = 10 ซม. d = 5 ซม. เมื่อ T= 163 กก-ซม ได้ค่า c ดินคงสภาพ = 0.355 กก/ซม2 เมื่อ T= 75 กก-ซม ได้ค่า c ดินเปลยนสภาพ ี่ = 0.164 กก/ซม2 ความไวตวของดั ิน = 0.356 / 0.164 = 2.17 ดังนั้น 5......11.2 c c cor = λ. 6 d 2 h d T c : strength shear undrained 2 + )( = π

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 235 ตารางท ี่ 11.20 ค่า Strength Parameters ของดินบางชนิด ลักษณะของดิน Cohesion, ksc. Angle of Internal Friction, Ø° หมายเหตุ Soft Bangkok Clay 0.05 – 0.15 0 – 10° Undrained Strength Soft Bangkhen Clay 0.06 – 0.13 0 – 22° Undrained Strength Ottawa Sand 0.0 25 – 40° Depend on Void Ratio Gravel 0.0 35 – 50° Depend on Void Ratio

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 236 Table Strength anisotropy in several soils Number () refer to numbers in insect .Data from Bjerrum (1972) except as noted SOIL WL Ip TC(1) TE(3) DSS(2) Vane Bangkok clay 150 85 0.70 0.40 0.41 0.59 Matagami clay 85 47 0.61 0.45 0.39 0.46 San Francisco Bay mud* 88 45 0.35 - 0.25 - AGS clay* 71 40 0.32 0.20 0.25 - Dramman plastic clay 61 29 0.40 0.15 0.30 0.36 Haney sensitive clay* 44 18 0.27 0.17 - - Boston blue clay* 41 21 0.33 0.16 0.20 - Vaterland clay 42 16 0.32 0.09 0.26 0.22 Drammen lean clay 43 18 0.31 0.10 0.19 0.18 Connecticut Valley 33 11 0.34 0.09 0.22 0.24 Varved clay* Variable 0.25 0.21 0.17 TC = triaxial compression; TE = triaxial extension; DSS = direct simple shear 11.15 การทดสอบการทะลวงในสนาม ( Penetration Test ) การทดสอบในสนามเพอหาก ื่ าลํงตัานหร้อคืุณสมบัติของดนทิระด ี่ บความลั กใดๆ ึเดมทิ ีนํามาใช้กับมวลดนทิ ไมี่ ่มีความ เชอมแน ื่ ่น ( cohesionless soil ) เชนด่นทรายหริอกรวดและดืนเหนิ ียวแข็ง ซึ่งไมสามารถเก่บต็วอยัางด่ นคงสภาพได ิ ้แต่ต่อมาได้ นําไปประยกตุใช์ กั้บมวลดนทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่น(cohesive soil ) ซึ่งจะให้ค่ากาลํงตัานของมวลด้ นโดยประมาณ ิ วิธีทดสอบการทะลวงในสนามที่นิยมใช้กันทวไปค ั ่ ือ 1 การทะลวงมาตรฐาน (Standard Penetration Test : SPT)หรอเรืยกวี าการทดสอบฝ ่ั งจมมาตรฐาน โดยการตอกกระบอกเก็บ ตัวอยางด่นแบบผาซิ ีก ( split – spoon sampler ) ลงไปในชนด ั้ นทิ ี่ต้องการอาจเรยกวี ิธีการทดสอบนี้ว่า dynamic penetration test 2 การทะลวงโดยใช้ท่อกรวยคของ ู่ ดตชั ( Dutch Cone Penetration Test : CPT ) ์ กดลงไปในชนด ั้ นทิ ี่ต้องการด้วยแม่แรง( jack ) อาจเรยกวี ิธีการทดสอบนี้ว่า static penetration test.

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 237 11.15.1การทะลวงมาตรฐาน ( Standard Penetration Test : SPT ) การทดสอบตามมาตรฐาน ASTM D 1586 ลักษณะของตุ้มน ํ้ าหนกมั ีดังน ี้ • แบบลกษณะโดน ั ัท( มีรูตรงกลาง ) • มีการสญเส ูยพลี งงานในการตอกของต ั ุ้มมากที่สุด เน ื่องจากใชโซ้ ่คลองเพ้อยกต ื่ ุ้มขึ้น การทดสอบมีดังน ี้ 1) ตอกตุ้มน ํ้ าหนัก(น ํ้ าหนัก 140 ปอนด , 6 ์ 3.5 กก ) ยกสูง 30 นิ้ว ส่งถ่ายแรงไปสกระบอกผ ู่ ่าผานก่านเจาะเพ้อส ื่ ่งกระบอกผ่าฝั งจมลงไปในชนด ั้ ิน 2) นับจานวนครํงของการตอกจมท ัุ้กๆ 6 นิ้ว จํานวน 3 ช่วง ( รวม 18 นิ้ว) 3) จํานวนครงของการตอก ั้ ใน 2 ช่วงสดทุาย้เรยกวี ่า Standard Penetration Number ( N , N – Value ) มีหน่วยเป็น ครงต ั้ ่อฟุต ( Blows per ft) นําค่า N ที่ได้นี้ไปเปรยบเทียบหากีาลํงตัานหร้อคืุณสมบัติของดนจากขิอม้ลทูเคยศ ี่ กษาึ และรวบรวมไว ้ อยางไรก ่ ็ดีก่อนจะนําผลทดสอบ SPT (ค่า N) ที่ได้สําหรบมวลดันทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น เช่น ทราย ไปใชหาคุ้ณสมบัติดิน ในตาราง จะตอง้พจารณาปร ิบแกั ้ค่า blow count ที่ทดสอบได้อันเน ื่ องมาจากผลกระทบของระดบความลักตึ ํ่ าจากผวดินหริอนื ั ่น คือ ผลของหน่วยแรงประสทธิผลของมวลดินทิอย ี่ เหน ู่ ือชนกว ั้ ่า ( overburden pressure ) เพราะเมอท ื่ าการทดสอบทํระด ี่ บพันด ื้ ิน จะได้ค่า blow count ตํ่าไปจากความเป็นจริง Peck , Hanson , Thornburn ไดเสนอให ้หาค้ ่า N ใหมโดยใช ่สมการ้ นอกจากนี้ยังมีผู้วิจัยอนท ื่ เสนอสมการค ี่ านวณเพํ อปร ื่ บแกั ้ค่า blow count อันเน ื่ องจากผลของมวลดนทิอย ี่ เหน ู่ ือชนกว ั้ ่า เช่น 6......11.2 ) 19.5 log N(0.77 Ncor 10 σ′ = 2 ทั้งน ี้σ′ ≥ 0.244 กก/ซม = count blow N ที ่นับได้จากการทดสอบ ในสนาม SPT ( ครั้ง/ฟุตส◌ ุดท้าย หน่วยแรงประสิทธิผลจากมวลดินท ี ่ อย่เหนูือระดบทดสอบั ( กก/ซม ) 2 σ′ = ) (ksc) 1 N( Ncor σ′ =

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 238 สําหรบทรายเมัดละเอ็ยดมากหรีอทรายเมื ดป็นหร่ ือตะกอนทรายที่อิ่มตัว ค่า N ที่นับไดจากการทดสอบจะให ้ ้ค่าสงไปู เนื่องจากแรงดันน ํ้ าสวนเก่ ิน Terzaghi และ Peck ไดเสนอให ้หาค้ ่า N ใหม่ โดยใชสมการค้านวณตํ ่อไปนี้ เมอน ื่ บคั ่า N ที่ไดจากการทดสอบในสนามม ้ ี ค่ามากกว่า 15 ตารางท ี่11.21 แสดงความสมพันธัระหว์างค่ ่า N ที่ปรบแกัแล้วจากการทดสอบการทะลวงมาตรฐาน้ กับสภาพของดนและิ คุณสมบัติของดนทิ เสนอโดย ี่ Terzaghi และ Peck ซงม ึ่ มเสุยดทานภายใน ี (φ) ของทรายแหงอาจประมาณได ้ ้จากสมการ ถ้าเป็นทรายเปียก ใหลดค้ ่า φ ลง 1 ถึง 2 องศา แต่สําหรับกรวดหรือหนยิอยท่อย ี่ ในสภาพเด ู่ ยวกี นให ัเพ้มค ิ่ ่า φ อีก 2 ถึง 3 องศา ส่วนทรายแป้ งแหงหร้ อทรายปนทรายแป ื ้ ง ใหลดค้ ่าφ ลง 2 ถึง 6 องศา แต่เมออย ื่ ในสภาพอ ู่ มต ิ่ วให ัลดค้ามุ่มเสยดทานี ภายใน φ ลงอกประมาณ ี 1/3 – ½ เทาของสภาพแห่ ้ง ตารางท ี่11.21 ความสมพันธัระ์หวางค่ ่า SPT กับคุณสมบัติของทรายและดนเหนิ ียว ทรายแห้ง SPT , N ( blow / ft ) φ ( degree) ความหนาแน่นสมพัทธั ์ ( %) สภาพดิน 0 - 4 < 28.5 0 - 20 หลวมมาก 4 - 10 28.5 – 32.0 20 - 40 หลวม 10 - 30 32.0 – 36.0 40 - 60 ปานกลาง 30 - 50 36.0 – 41.0 60 - 80 แน่น > 50 > 41 80 - 100 แน่นมาก 7......11.2 15)-(N 2 1 15 Ncor += 4 N 28.5 o φ +=

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 239 ดินเหนียว SPT , N (blow / ft) qu (กก/ ซม2 ) สภาพดิน < 2 < 0.25 อ่อนมาก 2- 4 0.25 – 0.5 อ่อน 4 - 8 0.5 – 1.0 ปานกลาง 8 - 15 1.0 – 2.0 แข็ง 15 - 30 2.0 – 4.0 แขงมาก็ > 30 > 4.0 แขงท็ ี่สุด ส่วนความสมพันธัระหว์างค่ ่า SPT กับหน่วยแรงกดอดแบบไม ั ่ถูกจากํ ัด (Unconfined Compression Strength : qu) ของ ดินเหนียว อาจประมาณได้จากสมการ Peck , Hanson , Thorburn ( 1973 ) ได้เสนอความสัมพนธั ์ระหวางม่มเสุยดทานภายใน ี (φ)กับคาของ่ N จากการ ทดสอบ SPT ในลกษณะของกราฟ ั ในรปทูี่11.22 นอกจากน ี้ในกราฟยงแสดงความสัมพันธัระหว์างต่ ัวประกอบกําลงตัานแรงกด้ (bearing capacity factor ) Nγ และ Nq ซึ่งขนอย ึ้ ู่กับมมเสุยดทานภายใน ี (φ) เพอน ื่ ําไปใช้คํานวณหากาลํงตัานแรงกดของด้นติ ่อไป รูปที่11.22 กราฟความสมพันธัระหว์าง่ φ และ N ,Bearing capacity factor 2 u กก / ซม 8 N = 0.12N q ถึง 0.13N หรือ

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 240 11.15.2 การทะลวงแบบใช้ท่อกรวยค่ของดูตชั ( Dutch Cone Penetration Test : CPT ) ์ วิธีทดสอบน ี้ใชได้ ้กับมวลดนทิุกชนิดทอาจม ี่ ีชั้นดนบางๆิ ทําโดยใชแม้แรงกดกรวยค่ของด ู่ ตซัจากระด์บผัวดิ ินลงไปเลย จนถงระดึบทั ี่ต้องการ จะทดสอบโดยไม่ต้องเจาะดนออกกิ ่อน จึงเป็นวิธีที่สะดวก รวดเร็ว และมวลดนไม ิ ่ถูกรบกวน แต่วิธีนี้ไม่ สามารถเกบต็วอยัางด่ นได ิ ( ้ดูรายละเอยดในบทท ี 5 ี่ การเจาะสารวจดํ ิน ) วิธีการทดลอง • กดกรวย(Cone) ทํามุม 60 องศา มีพื้นที่ตัดขวาง 1000 ตร.มม. ใหจมลงไปในด ้ ิน ด้วย อัตรา 15 – 20 มม. ต่อ วินาท ี อ่านแรงกดอัดทอย ี่ ู่ด้านบน • บันทกคึ าแรงกดในร ่ ปของกราฟูกับคาของความล่ ึก ผลที่ไดจากการทดสอบจะได ้ ้ค่ากาลํงตัานแรงกดของด้นจากหิวหยังหร ั ่ ือกรวย ( cone penetration resistance : qc ) ได้ จากการนําคาแรงท่ ใชี่ กดห้วหยังหร ั ่ อกรวยหารดืวยพ้นท ื้ หน ี่ ้าตดของหัวหยังหร ั ่ ือกรวย นําค่า qc เขยนกราฟตามค ีาของความล่กของชึนด ั้ ิน และจาแนกประเภทของช ํนด ั้ ิน ซึ่งสามารถนําไปใชประเม ้นคิาการ่ ทรดตุ วของฐานรากตั ื้น และใช้หากาลํงรับนั ํ้ าหนกของเสาเขัมต็ ่อไปได้ Meyerhof และ Begemann เสนอสมการแสดงความสมพันธัระหว์างก่าลํงตัานของห้วหยังหร ั ่ อกรวยื (qc) กับค่า N ที่ได้ จากการทดสอบ SPT และกบคั ่ากาลํงตัานของด้ นไว ิ ้ดังน ี้ cu เป็นคาหน่ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของดนเหนิ ียวทไดี่ จาก้ Triaxial compression Test แบบไมระบายน่ ํ้า ( undrained) สําหรบกรวดั 4Nqc = สําหรบดั ินเหนียว 14cqc = u

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 241 Example 11.7 Given;a cohesive soil was tested in a direct shear test with the following values:Square shear box 5.5x5.5 cm;height = 2.1 cm Computed stresses,kPa Test Pv,kg Ph,kg σn τ 1 4 2.9 13.0 9.4 2 8 4.3 26.0 13.9 3 12 5.1 39.0 16.5 REQUIRED (a) Obtain c and ɸ (c in kilopascals) (b) Find the orientation of principal planes for test 2 SOLUTION Step 1 Compute σn and τ as shown in the table above Step 2 Plot values and “fair” the failure envelope as shown in Fig. And measure kPa 13.0 x10(5.5) 04(9.807)x1 32 4 σ n = = c 5.0 kPa 17.5o = φ =

Soil Mechanics กําลงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดิน ผศ. ปิยะ รัตนสุวรรณ 242 Step 3 To obtain the orientation of principal planes,construct a Mohr’s circle for test 2 and lay off AB at 0 as shown in Fig. noting that principal planes are oriented with 0 as shown and 90 apart and that with the actual failure plane horizontal ,the principal planes are as shown แบบฝึกหัด 1 ถ้าดนติวอยัางว่ ิบัติเมอร ื่ บหนั ่วยแรงหลกสังสูดในแนวดุงและต ิ่ าส ํ่ ดในแนวนอนเทุาก่ ับ 6 กก/ซม2 และ 2 กก/ซม2 ตามลาดํบจงหาั หน่วยแรงกดอดตั ั้งฉากและหน่วยแรงเฉือนบนระนาบที่ทํามุม30 o กับระนาบของหน่วยแรงหลกสังสู ุด ( σ= 5 กก/ซม2 และ τ = 1.73 กก / ซม2 ) 2 จากการทดสอบ Direct shear test ของทรายตวอยัางท่สมมต ี่ ิว่าไม่มีความเชอมแน ื่ ่นเลย พบวาเม่ อให ื่ หน้ ่วยแรงกดอดตังฉาก ั้ เทาก่ ับ 2.4 กก/ซม2 ดินตวอยัางว่ ิบัติเมอหน ื่ ่วยแรงเฉือนมีค่าเทาก่ ับ 1.6 กก/ซม2 จงหามมเสุยดทานภายในและหน ี ่วยแรงหลัก ที่จุดวิบัติของตวอยัางน่ ี้( φ = 34o , σ1 = 5.38 กก /ซม2 , σ2 = 1.55 กก /ซม2 ) 3 จากการทดสอบแบบ Quick Test สําหรบดันเหนิ ียวอมต ิ่ ัว พบวาก่าลํงตัานแรงเฉ้ ือนของดนเทิาก่ ับ 0.8 ตัน /ตร.ม. เมอหน ื่ ่วย แรงกดอดในแนวด ังม ิ่ ีค่าเทาก่ ับ 4 ตัน /ตร.ม. จงหากาลํงตัานทานแรงเฉ้ ือนของดนนิ ี้ เมอหน ื่ ่วยแรงกดอดในแนวด ังม ิ่ ีค่าเทาก่ ับ 8 ตัน/ตร.ม. ( 1.6 ตัน /ตร.ม.) 4 จากขอม้ลการทดสอบแบบู Triaxial Test ต่อไปนี้ จงหาคาหน่ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวและมมเสุยดทานภายในของด ีนติวอยัาง่ ครงท ั้ 1ี่ ครงท ั้ 2ี่ หน่วยแรงดนรอบขัาง้ , กก /ตร.ซม 2 4 Deviator stress ที่จุดวิบัติ ,กก/ตร.ซม 7.7 13.7 หากนําดนติวอยัางข่าง้ตนมาทดสอบแบบเฉ้ ือนโดยตรง โดยใชหน้ ่วยแรงกดอดตังฉากเท ั้ าก่ ับ 6 กก /ตร.ซม. จงหากาลํ ัง ต้านทานแรงเฉือนของดนนิ ี้ ( c=0.5 กก /ตร.ซม , φ = 30 o , τ = 3.96 กก / ตร.ซม.) 5 ถ้ามวลดนทิอย ี่ ู่ลึกตาลงไปจากระด ํ่ บของพันด ื้ นเป ิ ็นดนเหนิ ียวและมระดีบนั ํ้าใต้ดินอยู่ที่ระยะ 1 เมตรตํ่าจากระดบของพันผ ื้ วดิ ิน ถ้านําดนเหนิ ียวคงสภาพทระด ี่ บลั ึก 4 เมตร ตํ่าจากระดบของพันผ ื้ วดินขินมาทดสอบด ึ้ วยว้ ิธี triaxial test ซึ่งพบว่า ค่า c = 0.65 กก / ตร.ซม และ φ = 15 o จงหากาลํงตัานแรงเฉ้ ือนของดนกิอนน้ ี้โดยสมมติว่า มวลดนทิอย ี่ เหน ู่ ือระดบนั ํ้าใต้ดินเป็นดนอิมต ิ่ ัว และให้หน่วยน ํ้ าหนกของดันอิมต ิ่ วมั ีค่า เทาก่ ับ 2.1 กรัม /ลบ.ซม ( 0.795 กก / ตร.ซม) -------------------

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 243 บทท ี่ 12 แรงดนทางขั ้างของดิน Lateral Earth Pressure. 12.1 คํานํา ในการออกแบบอาคารกนดั ิน เช่น เขอน ื่ , กําแพงกนดั ิน และกําแพงเขมพ็ ืด (sheet pile) หรอโครงสร ืางอ้ นในล ื่ กษณะทั ี่ คลายก้นนั ี้จําเป็นตองทราบแรงด้นดั ิน ด้านขางส้งสูดของดุนทิ ี่ถูกกนไว ั้ เพ้อน ื่ ําไปใช้คํานวณหาขนาด สัดสวน่ ของโครงสรางก้นดั ิน เพอม ื่ ใหิ โครงสร ้างน้นเก ั้ ดการวิ ิบัติ พบวาค่าแรงด่นทางขัางของด้ ิน ขึ้นอยู่กับ คุณสมบัติและกาลํงตัานทานของมวลด้ ิน เชนหน่ ่วยน ํ้ าหนกของมวลดั ิน มุม เสยดทานภายในของมวลด ี ิน แรงยดเหนึ ี่ ยวหรอความเชือมแน ื่ ่นของมวลดิน นอกจากนี้ยังขนก ึ้ บปฏ ั ิกิริยาตรงผวสิมผั ัสระหว่างมวล ดินกบโครงสร ัางท้ ใชี่ ้กัน ในกรณีของมวลดนจะไม ิเหม่อนกืบนั ํ้า เน ื่ องจากมวลดนติองต้านทานต้ ่อแรงเฉือน ดังนนแรงด ั้ นทางขัางท้ ี่จุดใดๆ จึงไม่ เทาก่บแรงดั นในแนวด ังท ิ่ ี่จุดนั้น แรงดนทางขั างจะแปรไป ้ ขึ้นอยู่กับวาด่นนินจะเคล ั้ อนท ื่ ี่ด้านขางได ้อย้างอ่สระหริอถืกดูนดัวยแรง้ กดดานข้าง้ กรณีแรงดนทั ี่ กระทาเนํ ื่องจากของเหลวเช่น นํ้า ดังแสดงในรูป ที่ 12.1 9 แรงดนทั ี่จุดใดๆในของเหลว เช่น นํ้า จะเทาก่ นในท ัุกทศทางิ 9 แรงดนของนั ํ้ าดานข้างท้กระท ี่ าบนแนวดํงของก ิ่ าแพงเกํบก็กนั ํ้ าจะเทาก่ ับ γw.h 9 ลักษณะของแรงดนจะเป ั ็นรปสามเหลูยมและจะเพ ี่ มข ิ่ นตามความล ึ้ ึก 9 แรงดนลัพธั ์ต่อหน ึ่ งหน่วยความยาวของกาแพงจะเทําก่บพันท ื้ ี่ ของรูป สามเหลยม ี่ 9 ตําแหน่งของแรงลพธั ์จุดศนยู์ถ่วงของสามเหลยม ี่ = (2/3)H จากผวนิ ํ้า 12.2 แรงดนทางขั ้างของดิน (Lateral Earth Pressure) แรงดนทางขัางของด้นแบิ ่งออกเป็น 3 ประเภท คือ 1 แรงดนทางขัางของด้ นในสภาวะอย ิ ู่กับท ( Lateral Earth Pressure at Rest : P ี่ 0 ) 2 แรงดนทางขัางของด้ นในสภาวะแอคท ิ ีฟ ( Active Lateral Earth Pressure : Pa ) 3 แรงดนทางขัางของด้ นในสภาวะพาสซ ิ ีฟ ( Passive Lateral Earth Pressure : Pp ) รูปท 12.1 ี่ แสดงหน่วยแรงดนของนั ํ้า 2 γ W .HP 2 1 =

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 244 12.3 แรงดนทางขั ้างในสภาวะอย่กัูบท ี่ ( Lateral Earth pressure at rest) หมายถงแรงดึนของดันทิกระท ี่ าตํ ่อผนงกัาแพงกํนดันทางดิานข้าง้แล้ว ไม่ ทําให้กําแพงกนดันเกิดการเคลิอนท ื่ แต ี่ ่อยาง่ ใด ถ้ามีกําแพงกนดันมากินมวลด ั้ นและกิาแพงอยํ ู่กับท ี่ มวลดนหลิงกัาแพงกํจะอย็ ู่กับทคล ี่ ายก้บมวลดันทิอย ี่ ในสภาวะสมด ู่ ุลตาม ธรรมชาติคือไม่มีการขยายตวหรัออืดตัวทาังดานข้าง้แรงดนทางขัางของด้นทิกระท ี่ าตํ ่อกาแพงในสภาวะเช ํ ่นน ี้ เรยกวี ่า แรงดนทางั ข้างในสภาวะอยู่กับท ( P ี่ 0 ) ดังแสดงในรปทู 12.2 ี่ รูปท 12.2 ี่ แรงดนดัานข้าง้ σ3 อยในสถานภาพม ู่ นคง ั ่ Stable ไม่มีการเคลอนท ื่ ี่ 12.4 แรงดนดั ินแบบแอคท็ ีฟ (Active Lateral earth pressure: Pa) หมายถึงการที่มวลดนทิอย ี่ ู่ด้านหลงกัาแพงจะพยายามผลํกหรัอดื นให ั ้กําแพงเคลอนท ื่ หร ี่ อขยื บออกไปทางซ ัายม้ ือ ซึ่ง ระดบของดันถมจะลดลงและแรงดินทางขัางของด้นทิกระท ี่ าตํ ่อกาแพงจะมํ ีค่าลดลงเน ื่ องจากมวลดนขยายติวทางดัานข้างจนถ้งคึ ่า หน ึ่ งที่ทําใหมวลด้นนินวั้ิบัติจากการเฉือน (shear failure)โดยมระนาบวี ิบัติเป็นแนวโค้ง ดังแสดงในรปทู 12.3 ี่ เรยกแรงดี นใน ั สภาวะนี้ว่า แรงดนทางขัางแบบแอคท้ ีฟ ซึ่งเป็นแรงดนทางขัางม้ ีค่าตาส ํ่ ุด รูปท 12.3 ี่ สภาวะแอคทีฟ( Active ) 3 0 σ = p ระดบของดันถมลดลงิ กําแพงถกดูนออกไป ั ระนาบวิบัติจากการเฉือน

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 245 12.5 แรงดนดั ินแบบพาสซีฟ (Passive Lateral earth pressure : Pp ) หมายถึง แรงดนทางขัางของด้นทิ ี่ทํากาแพงขยํบตัวเขัาหามวลด้ ิน ระดบของดันถมจะเพิมข ิ่ ึ้นโดยที่แรงดนทางขัางของด้ ิน จะมีค่าเพมมากข ิ่ นเร ึ้ อยๆ ื่ จนถงคึาหน่ ึ่ งทมากท ี่ ี่สุดซงท ึ่ าให ํมวลด้นวิ ิบัติจากการเฉือนเชนก่ ัน เรยกแรงดี นในสภาวะน ั ี้ว่าแรงดนทางั ข้างแบบพาสซีฟ (Pp) ดังแสดงในรปทู 12.4 ี่ รูปท 12.4 ี่ สภาวะพาสซีฟ( Passive ) รูปท 12.5 ี่ แสดงความสัมพนธัระหว์ ่างการเคลื่อนทของก ี่ าแพงทํ ี่ทําใหเก้ ดการแปรเปล ิยนค ี่ ่าแรงดนทางขัางของด้ ิน สังเกตวาเม่ ื่อ แรงดนทางขัางของด้นมิ ีค่าถงพึ ิกัดสงสูดหรุอตืาส ํ่ ดแลุ้ว แม้ว่าจะมการเคลีอนท ื่ ของก ี่ าแพงตํ ่อไปอกจะไม ี ่มีผลทําใหแรงด้นทัางขาง้ ของดนเปล ิ ยนแปลง ี่ รูปท 12.5 ี่ แสดงความสมพันธัระหว์างการเคล่อนท ื่ ของก ี่ าแพงทํ ี่ทําใหเก้ ดการแปรเปล ิยนค ี่ าแรงด่นทางขัาง้ เคลอนออกจากด ื่ นถมิ การเคลื่อนที่ของกําแพง เคลอนเข ื่ าหาด้นถมิ ระนาบวิบัติจากการเฉือน ระดบของดันถมเพิมข ิ่ ึ้น กําแพงถกดูนเขั าไป ้ Max passive earth pressure(Pp) แรงดันทางข้างของดิน Earth pressure at rest(P0) Min active earth pressure(Pa)

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 246 12.6 Soil stress at a point Ko conditions( at rest , แรงดนดั ินแบบอย่กัูบท ี่) แรงดนทางขัางของด้ นในสภาวะท ิมวลด ี่ นอยิ ู่กับทสามารถค ี่ านวณได ํจากทฤษฎ้ ียืดหยุ่น ( Theory of Elasticity ) ซึ่งใช้ สมมตฐานวิ ่า มวลดนมิเนี ื้ อเดยวกีนตลอดและมั ีคุณสมบัติรับแรงเหมอนกืนทัุกทิศทางตลอดระยะเวลาความลึก รูปท 12.6 ี่ แสดงคาของหน่ ่วยแรงในมวลดนทิจุ ี่ ดลกใดๆ ึ ดังนนมวลด ั้ นกิอนหน้ ึ่ งทอย ี่ ู่ลึกตาจากระด ํ่ บผัวราบของผิวดินเทิาก่ ับ Z ดังรปทู 12.6 ี่ และ 12.7 จะถกกระทูาดํวยหน้ ่วย แรงหลกในแนวด ั ิ่ง σv (σ1 )อันเน ื่ องมาจากน ํ้ าหนกของมวลดันทิอย ี่ เหน ู่ ือขนไป ึ้ และหน่วยแรงหลกในแนวนอน ั σh( σ3) รูปท 12.7 ี่ แสดงคาของหน่ ่วยแรงในมวลดนทิ ี่จุดลกใดๆ ึ ในสภาพตามธรรมชาติหน่วยแรงหลัก σv > σh ฉะนนจะหาได ั้ ้ว่า หน่วยการยดหรือหดตืวทางขั างในแกนนอนท ้ ี่ เรยกวี ่า ความเครยดทางขีาง้ ( lateral strain : εh) มีค่าดงนั ี้ H Z σV=γZ σV σh σh=K0.σv K0.γ.H P0=1/2 (K0.γ.H2 ) H/3 Smooth Immovable wall [ ] ( ) h h vh E 1 +−= σσμσε

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 247 เมื่อ E และ μ เป็นโมดูลัสยดหยืนและอ ุ่ ตราสัวน่ ปวซองของมวลดันตามลิาดํ ับ ในสภาวะทมวลด ี่ นอยิ ู่กับท ี่จะไม่มีการยดหดตืวทางขัาง้ นั ่นคือ εh=0 จากคาจํากํ ัดความสัมประสทธิแรงดิ์นทางขัาง้ ( coefficient of earth pressure )หมายถงอึตราสัวนระหว่างหน่ ่วยแรงดัน ประสทธิผลของดิ์ นในแนวนอนต ิ ่อหน่วยแรงดนประส ัทธิผลของดิ์ นในแนวด ิ ิ่ง ปกตจะแทนหนิ ่วยแรงดนทางขัาง้ ( σh)เมอมวลด ื่ ิน อยู่กับที่ด้วยสญลักษณั ์ p0 และแทนหน่วยแรงในแนวดิ่ง σv = γ.z ( โดยที่ γ เป็นหน่วยน ํ้ าหนกของมวลดั ิน) ดังนนจะได ั้ ้หน่วย แรงดนทางขัางเม้อด ื่ นอยิ ู่กับท p ี่ 0 = K0.γ.z ซึ่งมีลักษณะการกระจายของหน่วยแรงดนทางขั างเป ้ ็นรปสามเหลูยม ี่ มีค่าเป็นศนยู์ที่ระดบพันผ ื้ วดิ ิน ( z = 0 ) และมี ค่าสงสูดเทุาก่ ับ K0.γ.h ที่ฐานของกาแพงซํงส ึ่ ูง เทาก่ ับ H ดังนั้น แรงดนทางขัางท้งหมดเม ั้ อมวลด ื่ นอยิ ู่กับท p ี่ 0 ต่อหน่วยความยาว ของกาแพงกํนดันคิ ือ โดยที่ แรงดนนั ี้ จะอยในแนวนอนและกระท ู่ าตรงจํุดศนยู์ถ่วงของรปการกระจายของหนู่วยแรง นั ่นคือ กระทาทํ ี่ระยะ H/3 สูงจากขอบลางของก่าแพงหรํอเขือนก ื่ นดั ิน จากสมการท 12.1 ี่ จะเหนว็ ่า ค่า สปส.แรงดนทางขัางเม้อมวลด ื่ นอยิ ู่กับทหาได ี่ จากค้าอ่ตราสั วนป ่ วซองของมวลดินัแต่ มวลดนมิ ไดิ ้มีพฤตกรรมตามทฤษฎิ ียืดหยนเส ุ่ ยทีเด ี่ ยวีและคาอ่ตราสั วนป ่วซองของมวลดั นไม ิ ่ชัดเจน ดังนั้น จึงตองท้าการทดลองํ เพอหาค ื่ ่า สปส.แรงดนทางขัาง้ ดังน ี้ J . Jaky(1944) ประมาณค่า สปส.แรงดนทางขัางของทรายเม้ออย ื่ ู่กับท ี่ ด้วยสมการ M = 1 สําหรับ N.C.C , Cohesionless , Cohesive Soil ตลอดรวมถงแรงดึนดัานข้างของเมล้ดพ็นธั ์พืชต่าง ๆ เช่น ข้าว , ข้าวโพด M = 0.95 สําหรับ O.C.C ( OCR < 2 ) ɸ / = effective angle of internal friction ( มุมเสยดทานภายในประส ีทธิผลิ์ ) I. Alpan ( 1967 ) เสนอสมการหาค่าสปส.แรงดนทางขัาง้ K0 N.C.C K0 = 0.19 + 0.233 log10 (PI) O.C.C K0 = K0 (N.C.C) . (OCR)1/2 PI = เปอรเซ์นต็ ์ของดชนั ีพลาสติก ( plastic index) O.C.R = อัตราสวนระหว่างหน่ ่วยแรงกดอดประส ัทธิ ผลในอด ิ ีต(pc) ต่อในปจจัุบัน (p0)เน ื่ องจากดนทิบถมั ( ) σ h = μ σ +σ vh 1.......12. 1 K v h 0 μ μ σ σ + == 2.......12. HK 2 1 zdzKP 2 H 00 γγ .... 0 0 == ∫ .3........12 sin1sinMK0 / / −= φ = − φ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 248 Terzaghi และ Peck ( 1967 ) เสนอค่า สปส.แรงดนทางขัาง้ K0 ของดนประเภทต ิ ่างๆ (โดยประมาณ) ประเภทของดิน K0 ทรายแน่น 0.35 ทรายหลวม 0.60 ดินเหนียวชนิด N.C.C 0.5-0.6 ดินเหนียวชนิด O.C.C(O.C.R=3.5) 1.0 ดินเหนียวชนิด O.C.C(O.C.R=20) 2.8 Sherif and Ishibashi(1981) ได้ทําการหาค่า Ko โดยเปรยบเทียบคี ่า Liquid Limit โดยใชแฟคเตอร ้ ์αและ λ 12.7 การหาแรงดนทางขั ้างของดินในสภาวะแอคทีฟและพาสซีฟ การคานวณหาคํ ่า สปส.แรงดนทางขัางของมวลด้ ิน อาจพจารณาได ิจาก้ ทฤษฎของีแรงคีน (Rankine, s Theory ) ทฤษฎของีคูลอมบ ( Coulomb ์ , s Wedge Theroy ) หรอวื ิธีของ Rebhann หรอของื Culmann ที่ใชการวาดร้ ปเพูอหาขนาดและต ื่ ําแหน่งแรงดนทางขัางของด้ ิน และการใชแผนภ้ ูมิ ของ Terzaghi ที่ให้ค่า สปส.ของแรงดนทางขัางส้าหรํบดั นประเภทต ิ ่างๆเพอช ื่ วยในการออกแบบก ่าแพงกํนดั ิน 12.8 ทฤษฎีของ แรงคีน (Rankine, s Theory ) Rankine ( 1857 ) ไดเสนอเฉพาะว้ ิธีแรงดนทางขัางของด้นเมิดหยาบท็ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น (cohesionless soil ) และ แหงเพ้ยงอยีางเด่ยวี ซึ่งต่อมา Bell (1915) ได้นํามาใชหาแรงด้นทางขัางของด้นทิงท ั้ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นและมมเสุยดทานี ( c - φ soil ) หลงจากนั นได ั้ ้มีการประยกตุ์นําทฤษฎของแรงคี นไปใช ีหาแรงด้นทางขัาง้ของมวลดนทิอย ี่ ในสภาพต ู่ ่างๆ เช่น มวลดนแชิ ่นํ้า เพยงบางสีวน่ เป็นต้น สมมติฐานท ี่ใช้ในทฤษฎีของแรงคีน คือ - มวลดนมิเนี ื้ อเดยวกีนและมั ีคุณสมบัติรับแรงเหมอนกืนทัุกทศทางิ - กําแพงกนดันมิแนวตรงตีงฉากก ั้ บแนวนอนและมั ผิีวเรยบี ( smooth )นั ่นคอไม ื ่พิจารณาถงแึ รงฝืดหรอแรงเสืยดทานี ระหวางก่าแพงกํนดันตรงผิวสิมผัสกับมวลดั ิน K .4........12 1)(O.C.R. 0 λ += α − o c p p Ratio ionconsolidat OverOCR 0.19 สําหรับ 110%LL. 0.09 )200.0111(L.L 1.0 สําหรับ 110%LL. 0.004440.54 ( )20L.L = = = > −+= = > += − α λ λ α

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 249 - สปส.แรงดนทางขัางของมวลด้ นในสภาวะแอคท ิ ฟหร ีอพาสซื ฟพี จารณาได ิจากสภาวะสมดุ้ลพลาสติก ( plastic equilibrium in soils ) ตามขอบเขตการวิบัติจากการเฉือน (สมการของมอร – ์คูลอมบ) ์ 12.8.1 แรงดนทางขั ้างของดินท ี่ไม่มีความเชื่ อมแน่น ( c = 0 ) กรณีที ่ดินถมอย่ในแนวราบเสมอกูบสันของกัาแพงหรํ ือเข ื ่ อนกนดั ิน พิจารณามวลดนกิอนหน้ ึ่ งทไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นอยู่ลึกเทาก่ ับ z ตํ่าจากระดบผัวดิ ิน ดินถมทเสมอก ี่ บสันของกั ําแพงและ อยในแนวนอน ู่ ดังรปทู 12.8 ี่ ในสภาวะที่ มวลดินอย่กัูบท ี่ ( at rest ) มวลดนกิอนน้ ี้ต้องรบหนั ่วยแรงหลกในแนวด ั ิ่ง : σ1 ซึ่งมีค่าเทาก่ ับ γ.z และ หน่วยแรงหลกในแนวนอน ั :σ3 = K0. σ1 ซึ่งอยในสภาวะสมด ู่ ุล อิลาสตกทิ ไมี่ เก่ดการวิ ิบัติแต่อยางใด ่ รูปท 12.8 ี่ แสดงคาของหน่ ่วยแรงดนทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นในรปวงกลมมอรู์ แต่ครนเม ั้ อโครงสร ื่ างก้นดันเคลิอนท ื่ หน ี่ ีจากดนถมิ จะไดความส้มพันธัระหว์าง่หน่วยแรงหลัก σ1 และ σ3 ที่สภาวะสมดุล พาสตกกิ ่อนทมวลด ี่ นวิ ิบัติซึ่งพจารณาได ิจากการเข้ยนวงกลมของมอรี ์และใช้ขอบเขตการวิบัติตามสมการของมอร-์คูลอมบ : ์ τf =σ.tanφ ในสภาวะแอคทีฟ ภายใตหน้ ่วยแรงในแนวดงท ิ่ ี่มีค่าคงท ี่ แต่กําแพงกนดันเคลิอนท ื่ ี่ หนีออกไปจากดนถมิ ในสภาวะแอค ทีฟ ภายใตหน้ ่วยแรงในแนวดงท ิ่ ี่มีค่าคงท ี่ แต่กําแพงกนดันเคลิอนท ื่ ี่ หนีออกไปจากดนถมิกรณีแอคทีฟ จากวงกลมมอร (์วงกลม เล็ก) จะเหนว็ ่า P Granular soil σv=γ.z σh z σ/ 3 σ3 σ1=γ.z σ τ 900 +φ 900 -φ 450 +φ/2 450 - φ/2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 พิ จารณาจาก รูป sin 31 31 31 31 σσ σσ σσ σ σ φ + − = + − = z sin1 1- sin sin1 1- sin จะได้ว่า 3 1 γ . φ φ σ φ φ σ + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= + 2 45 tan sin1 sin-1 แต่ o2 φ φ φ zKz 2 ดังนั้น หน่วยแรงดนทางขั ้างแบบแอคทีฟ 45 tan p a o2 a γγ .... φ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 250 และแรง Active หรือ Active thrust (Pa) สามารถหาได้ดังน ี้ ซึ่งจะกระทาทํระยะ ี่ H/3 จากขอบลางของ่ กําแพงกนดั ิน ในทานองคลํายก้นเมัอมวลด ื่ นอยิ ในสภาวะพาสซ ู่ ีฟ คือภายใตหน้ ่วยแรงในแนวดงท ิ่ ี่มีค่าคงท ี่ แต่โครงสรางก้นดันเคลิอนเข ื่ าหา้ ดินถมหลงกัาแพงํ ซึ่งมผลให ีมว้ลดนถิกอูดทางขัาง้แรงดนในแนวนอนจ ังคึอยๆเพ่มข ิ่ นมากจนม ึ้ ีค่ามากที่สุด จนกระทงวงกลมมอร ั ่ ์ ไปสมผัสกับเสันขอบเขตการว้ ิบัติ กรณีพาสซีฟ จากวงกลมมอร (์วงกลมใหญ่) จะเหนว็ ่า สังเกตว่า ระนาบวิบัติแบบแอคทฟของมวลด ีนทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นจะเอยงทีามํุม 45o +φ/2 กับแกนนอน และระนาบ แบบพาสซีฟ จะเอยงทีามํุม 45o - φ/2 และแรง Passive หรือ Passive thrust (Pp) สามารถหาได้ดังน ี้ ซึ่งจะกระทาทํ ี่ระยะ H/3 จากขอบลางของก่าแพงกํนดั ิน 5.......12. 2 45 tan sin1 sin-1 K o2 a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= + = φ φ φ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 31 31 31 31 σσ σσ σσ σ σ φ + − = + − = z sin-1 sin1 sin-1 sin1 จะได้ว่า 3 1 γ . φ φ σ φ φ σ + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += + 2 45 tan sin-1 sin1 แต่ o2 φ φ φ zKz 2 ดังนั้น หน่วยแรงดนทางขั ้างแบบพาสซีฟ 45 tan p p o2 p γγ .... φ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 7.......12. 2 45 tan sin-1 sin1 K o2 p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += + = φ φ φ .....12.6 HK 2 1 Hp 2 1 P 2 aa a == γ .....12.8 HK 2 1 Hp 2 1 P 2 pp p == γ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 251 แรงดนดัานข้างของด้นทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นในสภาวะแอคทฟเม ีอมวลด ื่ นอยิ ในสภาพต ู่ ่างๆ 1 เมอด ื่ นถมหลิงกั าแพงเป ํ ็นดนแหิ ้ง( Dry cohesionless soil ) ดังรูป12.9 รูปท 12. ี่ 9 แสดงคาของหน่ ่วยแรงดนทางขิางกรณ้ ีดินแห้ง 2 เมอด ื่ นถมหลิงกัาแพงบางสํวนแช่ ่นํ้า( Partially submerged cohesionless soil ) สมมติว่าระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ที่ระยะ h ตํ่าจาก ระดบดั ิน ดังรูป12.10 รูปท 12.10 ี่ แสดงคาของหน่ ่วยแรงดนทางขิางกรณ้ ีมีนํ้าใต้ดิน γ , φ H pa = Ka.γ.H Dry cohesionless soil ka Pa .....12.6 HK 2 1 Hp 2 1 P 2 aa a == γ h h1 H γ γsat ดินเหนือนํ้า ดินใต้นํ้า นํ้า Ka.γ.h Ka.γsub.h1 γw.h1

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 252 3 เมอด ื่ นถมหลิงกัาแพงบางสํวนแช่ ่นํ้า( Partially submerged cohesionless soil ) สมมติว่าระดบนั ํ้าใต้ดินอยู่ที่ระยะ h ตํ่าจาก ระดบดั ิน และรบนั ํ้ าหนกบรรทัุกสมทบแผ่สมาเสมอ ํ่ ( surcharge) q ที่ผิวดิน ดังรปทู 12.11 ี่ รูปท 12.11 ี่ แสดงคาของหน่ ่วยแรงดนทางขิางกรณ้ ีมีนํ้าใต้ดินและนน.แผสมทบ่ กรณีที ่ดินถมหลงกัาแพงเอํ ียงทามํุม β กับแนวราบจากสนของกัาแพงหรํ ือเข ื ่ อนกนดั ิน พิจารณาจากรปทู 12.12 ี่ แสดงกรณีดินถมหลงกัาแพงเรํ ยบตรงเป ี ็นชนิดทมาม ี่ ความเชีอมแน ื่ ่น แต่เอยงทีามํุม β กับ แนวราบจากสนกัาแพงํหน่วยแรงดนทางขัาง้ σh ที่กระทาบนระนาบดํ ิ่ง จะมแนวขนานกีบความลาดของดันถมิ คือมแนวเอียงที ํา มุม β กับแนวราบ ส่วนหน่วยแรงในแนวดิ่ง σv ที่กระทาบนระนาบเอํยงทีขนานก ี่ บความลาดของดันถมมิ ีค่าเทาก่ ับ γ.z.cos β ในเมื่อ z = เป็นความลกของกึอนด้นทิอย ี่ ู่ตํ่าจากผวดิ ิน และ γ เป็นหน่วยน ํ้ าหนกของมวลดั ิน สังเกตวาหน่ ่วยแรงในแนวดงน ิ่ ี้ จะ กระทาเปํ ็นมมเอุยงี β กับแนวตงฉากของระนาบเอ ั้ ยงี รูปท 12.12 ี่ ดินถมหลงกัาแพงเอํยงทีามํุม β กับแนวราบจากสนของกัาแพงํ h h1 H γ γsat ดินเหนือนํ้า ดินใต้นํ้า นํ้า Ka.γ.h Ka.γsub.h1 γw.h1 q นน.บรรทุกสมทบ Ka.q β σh σv z

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 253 ฉะนั้น มวลดนกิอนน้ ี้จึงมหนี ่วยแรงเฉือนกระทาดํวยซ้งม ึ่ ีค่าเท่ากับ γ.z.cos β sin β ดังนั้น หน่วยแรง σv และ σh จึง มิใชหน่ ่วยแรงหลกเหมั อนในกรณ ื ีที่ดินถมหลงกั ําแพงอยในแนวราบ ู่ ถ้าให้σ1 และ σ3 เป็นหน่วยแรงหลกของมวลดันกิอนน้ ี้ดังนนจะไดวงกลมมอร ั้ ์ดังแสดงในรูปท 12.13 ี่ สําหรบหนั ่วย แรงกระทํา σv และ σh จะไดจากการลากเส้นตรงจากจุ้ด o ทํามุม β ไปตดวงกลมของมอรั ์ที่จุด A1 และ A2 จากจุดศนยูกลาง์ ของวงกลมมอร์ลากเสนต้งฉาก ั้ CB ไปตดกับเสั ้น A1.A2 ที่จุด B ในที่นี้ A1.C หรือ A2.C เป็นรศมัของวงกลมมอรี ์ รูปท 12.13 ี่ วงกลมของมอรกรณ์ ีดินถมเอยงี o A1 A2 B C OA1 =σh OA2 =σv σ1 σ3 β σ τ ( ) 2 σ −σ 31 cos 2 จากรูป12.1 OC.cos OB 3 31 β σ σ β + == ในสภาวะแอคทีฟ( Active ) sin 2 OC.sin BC 31 β σ σ β + == แต่ในสภาวะวิบัติ ( ) sin - σ σ σ 131 σ β 3 = + β σ σ 2 2 1 2 22 1 121 sin 2 - 2 BCCA BA B A ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =−== 3 3 σ σ sinsin 2 ดังนั้น BA B A 1 22 21 βφ σ σ − + == 3 ( ) sinsincos 2 หน่วยแรง BA OB 1 22 v 2 βφβ σ σ σ −+ + =+= 3 ( ) sinsincos 2 หน่วยแรง BA OB 1 22 h 1 βφβ σ σ σ −− + =+= 3 coscoscos coscoscos 2 2 2 2 vh φββ φββ σσ −+ −− = zK coscoscos coscoscos zcos a 2 2 2 2 h γ φββ φββ βγσ = −+ −− = .

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 254 ฉะนนแรงด ั้ นทางขัางของด้นแบบแอคทิ ีฟ Pa กระทาทํ ี่ระยะ H/3 สูงจากฐานกําแพงและเอยงทีามํุม β กับแนวราบ ( ตาม ความลาดเอยงี ) สําหรบในสภาวะพาสซ ั ีฟ( Passive) ตัวอย่าง12.1 กําแพงดนอินหนั ึ่ง ด้านหลงเปั ็นแนวดงส ิ่ ูง 5 ม. ดินทอย ี่ ด้ ู่ านหลงกัาแพงํ กันดนมิ ีคุณสมบัติดังน ี้ ɸ = 35o unit weight = 19 กน/ม 2 จงคานวณหาแรงํ Active ทั้งหมดทกระท ี่ าดํานหล้งกัาแพงกํนดั ิน โดยใชทฤษฎ้ของี Rankine ถ้าดิน ด้านหลงกัาแพงลาดขํนจากผ ึ้ วบนของกิ าแพงเป ํ ็นมุม 35o กับแนวราบ แรง Active ในแนวราบจะเพมข ิ่ นเท ึ้ าไร ่ ......12.8 coscoscos coscos-cos cos K 2 2 2 2 a φββ φββ β −+ − = ......12.9 coscoscos coscoscos cos K 2 2 2 2 p φββ φββ β −− −+ = OA และ OA จะเป็นหน่วยแรง และ ตามลาดํ ับ 1 2 σ v σ h zK coscoscos coscoscos zcos p 2 2 2 2 h γ φββ φββ βγσ = −− −+ = .

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 255 วิธีทํา (ก) ผิวดนอยิ ในแนวราบ ู่ (ข) ผิวดนลาดขิ ึ้น ในที่นี้ลาดขนเป ึ้ ็นมุม 35o กับแนวราบ , β = ɸ แรง Active Pa = ½ KaγH2 = ½ x 0.819 x 19 x 5 2 = 194.5 กน. แรง Active ถูกสมมติว่าขนานกบลาดของผัวดิ ิน นั ่นคือ ทํามุม 35°กับแนวราบ แรง Active ในแนวราบ = Pacos 35o = 194.5 x 0.819 = 159 กน แรง Active ในแนวราบจะเพมข ิ่ ึ้น = 159 – 64 = 95 กน/ม ของกาแพงํ ตัวอย่าง12.2 กําแพงกนดันแหิงหน่ ึ่ง ด้านหลงกัาแพงเรํ ยบและเป ี ็นแนวดิ่ง สูง 6 ม. ดินดานหล้งกัาแพงอยํ ในระด ู่ บเดัยวกีนกับผั ิว บนของกาแพงและํ เป็นแนวราบ มีค่าหน่วยน ํ้ าหนกเทัาก่ ับ 20 กน./ ม 3 . และ ɸ =20o ผิวดนมิ ีนํ้าหนกบรรทัุกแผสม่าเสมอเท ํ่ ่ากับ 50 กน./ม. 2 จงคานวณหาแรงทํงหมดท ั้ กระท ี่ าดํานหล้งกัาแพงตํ ่อเมตรของความยาวกําแพงและตาแหนํ ่งทกระท ี่ ํา วิธีทํา 1) หาค่าKa 0.297 sin1 35 35sin1 sin1 sin1 K o o a = + − = + − = φ φ Hp 2 1 แรง P Active A = พื้นท ี ่ ของรูปแรงดัน = a 2 aa γ == 0.271x19x5HKp = 25.75 กน / ม 6425.75x5x กน < 2 1 P A == 0.819cos coscoscos coscoscos cosK a == −+ −− ×= β φββ φββ β 2 2 2 2 0.49 sin201 sin201 sin1 sin1 K o o a = + − = + − = φ φ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 256 2) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกแผัสม่าเสมอ ํ่ 3) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกดั ิน 4) หาขนาดของแรงลพธั ์ แรงลพธั = ์ พื้นที่สี่เหลยม ี่ + พื้นทสามเหล ี่ ยม ี่ 5) หาตาแหนํ ่งของแรงลพธัระ์ยะ z จากฐานกาแพงํ Take moment ที่ฐาน M แรงลพธั = ์ผลรวม M แรงยอย่ กระจายเป็นรูปสี ่ เหลี◌่ยมไม่ขึ้นกับความลึก 2 aa Kp γh == 0.49x20x6 = kN/m 58.8 กระจายเป็นรูปสามเหล◌่ ียมข ึ้ นกความล ับ ึก 2 as = xKp าหนักบรรทุกนํ้ = = kN/m 24.550 x 0.49 kN/m 323.4176.4147x58.8x6) ของกาแพงํ < 2 1 ((24.5x6)Pa += =+= m 2.45 จากฐานกาแพํง< 323.4 ) 3 6 (176.4x) 2 6 (147x z = + =

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 257 ตัวอย่างท ี่ 12.3 กําแพงกนดันแหิงหน่ ึ่ง ด้านหลงเรัยบและอยี ในแนวด ู่ ิ่ง มีรายละเอยดดีนดิานหล้งกัาแพงํ ดังแสดงในรูป จง เขยนรี ปการกระจายหนู่วยแรงดนทางขัางซ้งเก ึ่ ดขินด ึ้ านหล้งกัาแพงนํ ี้ วิธีทํา 1) หาค่า Ka ของดนทิ ั้ง สอง ชั้น 2) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกของดันชิ นบนในด ั้ นชินบน ั้ 3) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกของดันชิ นบนในด ั้ นชินล ั้ าง่ 4) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกของดันชินล ั้ างในด ่นชินล ั้ าง่ 0.333 sin301 sin301 sin1 sin1 ดินชนบน ั้ K o o a1 = + − = + − = φ φ 0.49 sin201 sin201 sin1 sin1 ินชนล ั้ ่างด K o o a2 = + − = + − = φ φ กระจายเป็นรูปสามเหล◌่ ียมข ึ้ นกความล ับ ึก 2 a at 4.5 a1m = K p = = kN/m 16 0.333x16x3 + γh กระจายเป็นรูปสี ่ เหลี◌่ยมไม่ขึ้นกับความลึก 2 a t 4.5ma a2 = xKp นํ้าหนักดินชั้นบน = = kN/m 23.516x3 x 0.49 + กระจายเป็นรูปสามเหล◌่ ียมข ึ้ นกความล ับ ึก 2 ata 0 a2m = K p γh = = kN/m 52.9 50.49x24x4.

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 258 แผนผงการกระจายหนั ่วยแรงทางขางท้งหมด ั้ หน่วยแรงดนทางขัางท้ระด ี่ ับ 0 ม = 23.5+52.9 = 76.4 kN/m2 ตัวอย่างท ี่ 12.4 กําแพงกนดันแหิงหน่ ึ่ งสูง 6 ม. ด้านหลงกั าแพงเป ํ ็นแนวดิ่ง กันดนซิงอ ึ่ มต ิ่ วและมั ีค่าหน่วยน ํ้ าหนกเทัาก่ ับ 22.5 กน./ม. 3 มุมเสยดทานภายในของด ี ิน( ɸ )เทาก่ ับ 35o ผิวดนอยิ ในแนวราบและระด ู่ บเดัยวกีนกับสันกัาแพงํระดบนั ํ้าใต้ดินเคย ขึ้น ถึงในดิน และเกดขินท ึ้ ี่ระดับ 2 ม. จากสนของกัาแพงํ จงคานวณคําของหน่ ่วยแรงดนทางขัาง้และเขยนรี ปการกระจายหนู่วยแรงดนทางขัางท้เก ี่ ดขินด ึ้ านหล้งกัาแพงํ วิธีทํา 1) หาค่า Ka ของดนเหนิ ือน ํ้าและใต้นํ้ามีค่าเทาก่ ัน 2) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกของดันเหนิ ือน ํ้าในดนเหนิ ือนํ้า 0.27 sin351 sin351 sin1 sin1 K o o a = + − = + − = φ φ 2 a at 4 am = K p = = kN/m 12.15 20.27x22.5x + γh กระจายเป็นรูปสามเหล่ยมขี ึ้ นกับความลึก

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 259 3) คิดน ํ้ าหนกของดันชินเหน ั้ ือน ํ้าเป็นแนวราบในดินใต้นํ้า 4 ) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกของดั นใต ิ ้นํ้าในดนใต ิ ้นํ้า 5) หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้า แผนผงการกระจายหนั ่วยแรงทางข้างทงหมด ั้ 12.8.2 แรงดนทางขั ้างของดินที่มีทั้งความเชื่ อมแน่นและมมเสุียดทานภายใน Bell ( 1951) ได้นําทฤษฎของแรงคี ีน มาพจารณาหาแรงดินทัางขางของด้นทิ ี่มีทั้งความเชอมเช ื่ อมแน ื่ ่นและมมเสุยดทานี ภายใน ( c - φ soil) เชนด่นเหนิ ียว การยุบอดตั วปกต ั ( O.C.C) ิหรอดืนทิ ี่ถูกบดอดแนั ่น ( compacted clay) โดยสมมติว่า ด้านหลงของกัาแพงกํนดันมิแนวตรงตีงฉากก ั้ บแนวนอนและมั ีผิวเรยบี (smooth) ซึ่งคาแรงด่นทางขัางของด้ นในสภาวะแอคท ิ ฟหร ี ือ พาสซีฟ พิจารณาไดจากสภาวะพลาสต้กจากการเขิยนวงกลมมอรี ์หรอจากสมการแสดงความสืมพันธั ์ของหน่วยแรงหลกบนั ระนาบวิบัติจากกการเฉือน พิจารณามวลดนกิอนหน้ ึ่ งที่ระดับลกใดๆ ึเทาก่ ับ z ซึ่งถมอยหลู่ งกั าแพงเป ํ ็นแนวราบเสมอกบสันของกัาแพงหรํอเขือนก ื่ ัน ดิน ดังรปทู 12.14 ี่ สมมตขอบเขตการวิ ิบัติของมวลดนนิ ี้คือ 2 aat 0 m a = xKp นํ้าหนักดินเหนือนํ้ า = = kN/m 12.1522.5x2 x 0.27 กระจายเป็น ปสี่ เหล่ยมไม ี ่ขึ้นรู กับความลึก 2 a t a 0 am = γ = = kN/m 13.7 9.801)x4-0.27x(22.5HK p กระจายเป็นรูปสามเหล่ยมขี ึ้ นกับความลึก 2 a t a 0 wm = γ = = kN/m 39.24 9.807x4H p กระจายเป็นรูปสามเหล่ยมขึ้ ีนกับความลึก tan c τ f = +σ φ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 260 รูปท12.14 ี่ แรงดนทางขัางแบบแอคท้ ีฟ ของดิน c - φ Soil ในสภาวะแอคทีฟ: หน่วยแรงหลกสังสู ุด(σ1) และหน่วยแรงหลกตัาส ํ่ ุด (σ3) φ c τ σ σ1 σ3 c.cotφ tan c τ f = +σ φ 2 σ −σ 31 2 σ +σ 31 z H σ1 σ3 C-φ soil sin1 sin-1 2csin1 sin-1 จะได้ว่า 3 1 φ φ σ φ φ σ + + = 2 45tan 2c2 45tan o 1 o2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= φ σ φ σ 2 45tan 2c- z 2 45tan p o2 o a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= φ γ φ . .....12.10 K2c- zK p aa a = γ . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= + = 2 45 tan sin1 sin-1 K o2 a φ φ φ ( ) ( ) ( ) ( ) 2c.cot c.cot 2 2 sin 31 31 31 31 φσσ σσ φ σσ σ σ φ ++ − = + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= + = + − = + 2 45 tan sin1 sin-1 sin1 sin1 sin1 cosแต่ o 2 φ φ φ φ φ φ φ sin1 sin-1 2csin1 sin-1 จะได้ว่า 3 1 φ φ σ φ φ σ + + = .....12.11 .H K2c- HK 2 1 P a 2 aa = γ .

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 261 รูปท12.15 ี่ การกระจายของหน่วยแรงดนทางขัางสภาวะแอคท้ ฟของด ีนทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่น รูปท 12.15 ี่ แสดงการกระจายของหน่วยแรงดนทางขัางของด้นทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นในสภาวะแอคทีฟ การคานวณหาคํ ่า แรงดนทางขัางท้งหมดส ั้ าหรํบสภาวะแอคทั ีฟ แทนที่จะหาจากหน่วยแรงดนสัทธุิมักพจารณาจากหนิ ่วยแรงดนทางขัางท้ เปี่ ็นบวก โดยไม่คิดหน่วยแรงดนทางขัางท้ เปี่ ็นลบ ในสภาวะพาสซีฟ : หน่วยแรงหลกสังสูดคุอหนื ่วยแรงในแนวนอน(σ3) และหน่วยแรงหลกตัาส ํ่ ดคุอหนื ่วยแรงในแนวดิ่ง (σ1) สามารถหาค่า pp ได้ดังน ี้ และการกระจายของหน่วยแรงดนทางขัางสภาวะพาสซ้ ฟของด ีนทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่น ดังแสดงใน รูปท 12.16 ี่ รูปท12.16 ี่ การกระจายของหน่วยแรงดนทางขัางสภาวะพาสซ้ ฟของด ีนทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่น K2c a K H aγ . K2c- HK a a γ. K2c a Tension zone H z C - φ soil σ1 σ3 .....12.12 K2c zK p = pp + p γ . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += + = 2 45 tan sin-1 sin1 K o2 p φ φ φ .....12.13 .H K2c HK 2 1 P p 2 pp γ . += K2c p zKpγ . K2c zK p + p γ . K2c p H z C - φ soil σ1 σ3

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 262 ตัวอย่าง 12.5 จงหาคาและต่าแหนํ ่งกระทาของํ Pp เมอก ื่ าแพงสํูง 4.00 เมตร เรียบและตั้งฉากเคลอนเข ื่ าหาด้นถมหลิงกัาแพงกํนดันซิ งเปึ่ ็น แนวราบมีมุมเสยดทานภายในของมวลด ี ิน φ เทาก่ ับ 30o หน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวเทาก่ ับ 0.2 กก/ซม2 หน่วยน ํ้ าหนกเทัาก่ ับ 2 ตัน / ลบ.ม. และสมมติว่า มีนํ้าหนกบรรทัุกสมทบ( surcharge ) แบบแผบนด่นเทิาก่ ับ 2 ตัน/ตร.ม. วิธีทํา ค่า สปส. Kp หน่วยแรงดนทางขัางจากน้ ํ้ าหนกบรรทัุกสมทบ(surcharge: q) p1 = Kp.q = 3x2 = 6 ตัน / ตร.ม. ( มีค่าคงที่ตลอดความสูง ) หน่วยแรงดนทางขัางจากด้นถมิ ที่ความลึก 4 เมตร แผนผงการกระจายของหนั ่วยแรง 360tan 2 45 tan sin-1 sin1 K o2 o2 p ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += + = φ φ φ K2c zK p = pp + p γ . )3(2x2) (3x2x4 pp = + 24 p ตัน / ตร.ม.(กระจายป็ นรปสาูมเหล ี ่ ยม) 6.93 ตัน / ตร.ม มีค่าคงทตลอดความส ี ่ งู4ม) p = + ( Surcharge = q = 2 t/m2 4 ม φ = 30o , γ = 2 t/m3 C = 0.2 กก / ซม2 Surcharge K2c p HK pγ . 6 t 6.93 t 24 t x24x4) 2 1 ค่าแรงดนทัางข้างทั้งหมด ((6.93x4)(6x4)P p ++= p = 99.72P ตัน / ม. ของกาแพงํ < กระทาในแนว ํนอนสงจากฐ ูานกาแพงํ z : m 1.68 99.72 3 4 x24x4x 2 1 (6x4x2) ((6.93x4x2) z = < ++ = )

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 263 12.9 Tension crack (รอยแตกแยกเน ื่ องจากดินรบแรงดั ึง) รูปท12.15 ี่ การกระจายของหน่วยแรงดนทางขัางสภาวะแอคท้ ฟของด ีนทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่น เมอมวลด ื่ นได ิ ้รับแรงดึง มวลดนจะเกิดรอยแตกดิงรั ูป12.17 สามารถหาความลกของรอยแตกึ ( ht )ได้ดังน ี้ รูปท 12.17 ี่ แสดงรอยแยก และความลกวึกฤติ ที่ระดบความลักของรอยแตกึ pa =0 และ z = ht ถ้าให H้ c เป็นความลกทึหน ี่ ่วยแรงดนทางขัาง้ pa มีค่าเทาก่ ับ +2c(Ka)1/2เพอให ื่ แรงล้พธัจากหน์ ่วยแรงดึงและจากหน่วย แรงอดมั ีค่าเป็นศนยู ์ จากสมการ K2c- zK p aa a = γ . K2c a K H aγ . K2c- HK a a γ. K2c a Tension zone H z C - φ soil σ1 σ3 Crack C- φ soils H K2c a ht Critical height , HC=2ht K2c- HK a a γ . 14.......12. K 2c 2 45 tan 2c h a o t γ φ γ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + จากสมการ K2c- zK p aa a = γ . ระดบควัามลึกที ่ H z และ K2c p = ac = + a .....12.15 2.h .... 2 45tan 4c K 4c H t o a C ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == + φ γγ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 264 นั ่นคือ ในทางทฤษฎสามารถขีดตุดมวลดั นประเภทน ิ ี้ลงไปในแนวดงได ิ่ จนถ้งระดึ ับ Hc โดยไม่ต้องคาย ํ้ นทางขัางแต้ ่อยาง่ ใด เรยกความลี ึก Hc ว่า ความลึกวิกฤต ( critical height) ตัวอย่างท ี่ 12.6 ในงานก่อสรางแห้งหน่ ึ่ง พบวาเม่อข ื่ ดดุนลิ กลงไปในแนวด ึงถ ิ่ งระดึ ับ 8 เมตร ตํ่าจากผวดิ ิน ดินเกดการพิงทลายสมมตั ิว่าดิน ดังกลาวม่หนี ่วยน ํ้ าหนกเป ั ็น 2.3 กรัม /ลบ.ซม. และมมเสุยดทานภายใน ี เป็นศนยู์จงคานวณหาหนํ ่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของดนนิ ี้ วิธีทํา ตัวอย่างท ี่ 12.7 กําแพงกนดันสิูง 12 ม หลงกั าแพงเป ํ ็นแนวตงฉากและเร ั้ ยบี ถ้าดนถมหลิงกัาแพงอยํเสมอระด ู่ บเดัยวกีบสันกัาแพํงและ เป็นชนิดที่มีความเชอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวี ( มุม φ = 0 ) หน่วยน ํ้ าหนกของดันเทิาก่ ับ 2.04 กรัม / ลบ.ซม. หน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวของ ดินเทาก่ ับ 0.11 กก /ตร.ซม. จงหา (ก) ตําแหน่งทหน ี่ ่วยแรงดนทางขัางม้ ีค่าเป็นศนยู์และ (ข) ประมาณขนาดและตาแหนํ ่งของ แรงดนทางขัางแบบแอคท้ ฟที ี่ดินกระทาตํ ่อกาแพงกํนดั ิน วิธีทํา จากหน่วยแรงดนทางขัางของด้นทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นในสภาวะแอคทีฟ (ก) ตําแหน่งทหน ี่ ่วยแรงดนทัางขางม้ ีค่าเป็นศนยู์ (ข) ประมาณขนาดและตาแหนํ ่งของแรงดนทางขัางแบบแอคท้ ฟที ี่ดินกระทาตํ ่อกาแพงกํนดั ิน หน่วยแรงดนทัางขางท้ ี่สันของกําแพง ที่ระยะ z = 0 หน่วยแรงดนทางขัางท้ฐานของก ี่ าแพงํ ที่ระยะ z = 12 ม 2 45tan 4c จาก H o C ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + φ γ ในที ่นี้ gm/cm2.3 ,0 cm , 800 m 8.0H o 3 C = = φ = γ = kg/m 4600gm/cm 460 < 4 800x2.3 4 H จะได้ c c 2 2 === = .γ K2c- zK p aa a = γ . 1 sin1 sin1 ในที ่นี้ K ,0 a o = + − == φ φ φ p z -2c a = γ . z0 -2c h -2c c = γ = γ .. เมตร 1.078 < 1000x100 2.04x100x100x100 1000x 2c 2x100x100 h c == = γ . z p -2c a = γ . p 2c 2x1.1 -2.2 ตัน / ตร.ม. a = − = − =

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 265 แผนผงหนั ่วยแรงดนทางขั ้าง 12.10 ทฤษฎีลิ่ มของคลอมบู (Coulomb’s Wedge Theory) ์ Coulomb ( 1776 ) เสนอวิธีหาแรงดนทางขัางของด้นทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นในสภาวะแอคทฟและพาสซ ี ีฟ โดยคานํ ึงถึง หลกความจรังวิาผ่วของเขิอนหร ื่ อกืาแพงกํนดันมิ ีลักษณะขรขระไมุเร่ยบีแต่สมมตระนาบวิ ิบัติเป็นแนวตรงเอยงทีามํมกุบแนวนอนั ซึ่งจะไดมวลด้นเิ ป็นรปลูิ่ม(wedge) ที่ล้อมรอบดวยผน้ งของโครงสร ัางก้นดันและระนาบของการวิ ิบัติที่พรอมจะเคล้อนท ื่ หร ี่ อเลือน ื่ ไถล พิจารณาหาแรงดนทางขั างในสภาวะแอคท ้ ีฟ : สมมติว่ากาแพงกํนดั ิน AB สูงเทาก่ ับ H หลงกัาแพงเอํยงทีามํุม θ กับ แนวนอน ดังแสดงในรูป มีดินถมหลงกั าแพงเป ํ ็นเน ื้ อเดยวกี นและเป ั ็นชนิดทไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น ( c =0 ) เอยงทีามํุม β กับ แนวนอนจากสนของกัาแพงํ ถ้าสมมตใหิ BC ้ เป็นระนาบวิบัติทํามุม ρ กับแนวนอน ( ทั้งน ี้ ระนาบวิบัติต้องผานจุ่ด B เสมอ ) ฉะนั้น จะไดมวลด้ ิน ABC มีลักษณะเป็นรปลูิ่ม (wedge) ดังแสดงในรูปท 12.18 ี่ รูปท 12.18 ี่ ผิวดนถมทิามํุม β กับแนวนอน p 2 2x1.12.04x1 22.28 ตัน / ตร.ม. a = − = 22.28 -2.2 12 ม 1.078 ม 3.641.078)-(12 ม จากฐานของก◌ําแพง < 3 1 ตําแหน่งของแรงดัน P a = = 1221.078)-(22.28)(12 ตัน / ม.ของกาแพงํ < 2 1 แรงดัน (P ไม่คิดส่วนที ่เป็นแรงดึง) P a a = =

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 266 ก่อนเกดการวิ ิบัติมวลดนสิวนท่อย ี่ เหน ู่ ือระนาบของการวิบัติ ( failure plane) จะอยในสภาพสมด ู่ ุลทางสถตดิวยแรง้ 3 แรงดงแสดงในร ั ปทู 12.1 ี่ 9 คือ รูปท12.1 ี่ 9 แรงต่างๆทกระท ี่ าตํ ่อลมของด ิ่ ิน ก. แรงเน ื่ องจากน ํ้ าหนกของมวลดันริ ปลูิ่ม ABC (W) อยในแนวด ู่ ิ่ง ขนาดของแรง พื้นท ABC ี่ x γ ข. แรงดนทางขัางของด้ ิน (Pa) ซึ่งทามํุม δ กับแนวตงฉากก ั้ บหลังกัาแพงํหรอทืามํุม α กับแนวดิ่ง (α =180o - θ - δ ) ไมทราบขนาด่ ค. แรงปฏิกิริยาบนระนาบทเก ี่ ดการวิ ิบัติ (R) ที่เกิดจากแรงตั้งฉากและแรงเสยดทานบนระนาบวี ิบัติโดยทามํุม φ ( ซึ่งเป็นมมเสุยดทานภายในของเม ีดด็ ิน) กับแนวตงฉากของระนาบท ั้ จะเก ี่ ดการวิ ิบัติไมทราบขนาดแรง่ จะไดสามเหล้ยมแทนแรงด ี่ งรั ูป จากกฎของ sine จะได้ว่า แทนค่า W ลงในสมการ Pa และคานวณคําม่มวุิบัติที่วิกฤตซงจะให ึ่ ้ค่าแรงดนทางขัางมากท้ ี่สุดจากสมการคณิตศาสตร์ ขั้นตอนนี้ค่อนขางจะซ้บซัอน้ หรอสามารถหาได ืจากว้ ิธีลองผดลองถิูก อยางไรก ่ ็ดีMuller – Breslau ( 1960) สามารถ วิเคราะหหาค์ าได ่ ้เมอน ื่ ํามมวุ กฤตกลิ บไปแทนลงในสมการของแรงด ันทัางขางจะหาได ้ ้ว่า )-sin( W )-sin( Pa ++ δφρθφρ = )-sin( )-Wsin( Pa δφρθ ρ φ ++ = )-sin( )-sin( )-sin( 2sin H แต่นํ้าหนักของมวลดิน W : 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = βρ βθ ρθ θ γ Pa = 0 ∂ ∂ ρ 2 HK 2 1 Hp 2 1 P aaA == γ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 267 ในทานองเดํยวกี ัน สามารถหาค่า Kp ในสภาวะพาสซีฟ ได้ดังน ี้ คูลอมบ์พิจารณาวาต่าแหนํ ่งของแรงดนทางขัางของมวลด้นทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นอยู่ที่ระยะ H/3 สูงจากฐานเขอนก ื่ นดั ิน เมอเข ื่ อนก ื่ นดันมิ ีลักษณะแขงแกร็ ่ง ( rigid ) นั ่นคือ สมมติว่าการกระจายของหน่วยแรงดนทัางขางเป ้ ็นรปสามเหลูยมจากค ี่ าเท่าก่ ับ ศูนย์ที่สันเขอนและม ื่ ีค่ามากที่สุดทฐานเข ี่ อน ื่ 12.11 มุมเสียดทานระหว่างดินกบกัาแพงกํนดั ิน ( Angle ofWall friction) ¾ สําหรบดันชนิ ิดทไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น(ทราย) จะมีค่าอยระหว ู่ าง่ 17 o ถึง 30 o หรออาจสมมตื ิค่า δ อยระหว ู่ าง่ ½ - ¾ ɸ ¾ The Code of Practice “Earth Retaing Structure” ไดแนะน้ ําค่า δ สําหรบกัาแพงชนํ ิดต่างๆ ไว้ดังแสดงในตาราง ชนิดของกาแพงํ δ คอนกรตหรีออื ิฐ 20o เขมเหล็กฉาบด็วยน้ ํ้ ามนดั ิน 30o เขมเหล็ กไม ็ฉาบ่ 15o ¾ ในกรณีที่แรงดนดันทิกระท ี่ าตํ ่อกาแพงเป ํ ็นแบบ Active แรงลพธัจะม์ ีทิศทางลงมา ดังรูป ¾ ในกรณีที่เป็นแบบ passive จะมีทิศทางขนไปด ึ้ งรั ูป ....12.16 sinsin sinsin( 1sinsin sin K 2 2 2 a ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ++ ++ − = )()( )() )( )( βθδθ βφφδ δθθ φθ ....12.17 sinsin sinsin( 1sinsin sin K 2 2 2 p ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ++ +− + = )()( )() )( )( βθδθ βφφδ δθθ φθ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 268 12.12 การหาแรงดนดั ้านข้างของดิน โดย วิธีของ Rebhann Rebhann ( 1871) เสนอวิธีการเขยนรี ูป ( graphic solution ) เพอหาม ื่ มของระนาบวุิบัติและคาแรงด่นทางขัางแบบแอค้ ทีฟของดนทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นตามทฤษฎีของคลอมบู์ กําหนดให ้ θ = ความลาดของเขอนหร ื่ อกืาแพงกํนดั ิน ( slope of wall ) β = มุมเอียงของดินถมหลงเขัอนท ื่ ี่ทํากบแนวราบั (slope of surface) φ = มุมเสยดทานภายในของมวลด ี ิน(angle of internal friction) δ = มุมเสยดทานระหวีางผน่งกัาแพงกํบดั ิน(angle of wall friction) H = ความสงของกูาแพงในแนวต ํ ั้ง ( vertical height) วิธีการของ Rebhann ให้ทําตามลาดํบขั ั้นตอนดังน ี้ 1 เขยนรี ปกูาแพงหรํอเขือน ื่ AB โดยใชมาตราส้วนท่เหมาะสม ี่ 2 ลากเส้น AD ทํามุม β กับแนวราบไปตดกับเสั ้น BD ซึ่งเอยงทีามํุม φ กับแนวราบ ตัดกนทั ี่จุด D เรยกเสี ้น BD ว่า φ - line 3 เขยนครี งวงกลมโดยใช ึ่ BD ้ เป็นเสนผ้าศ่นยูกลาง์ 4 จากจุด A ลากเส้น AF โดยให้มุม AFB เทาก่ ับ α ( มุมทแรงด ี่ นดัานข้างท้ากํบแนวตั ั้ง) ตัดกบเสั ้น BD ที่ F 5 ที่จุด F ลากเส้น FY ให้ตั้งฉากกบดัาน้ BD ไปตดครังวงกลมท ึ่ ี่จุด Y 6 ใช้จุด B เป็นจุดศนยูกลางร์ศมัเทีาก่ ับ BY เขยนสี วนโค ่งต้ดเสั ้น BD ที่จุด E ซึ่งเป็น จุดทใหี่ ้ค่าแรงดนทางขัาง้ มากที่สุด 7 จากจุด E ใหลากเส้ ้น EC ขนานกบดัาน้ AF ไปตดเสั ้น AD ที่จุด C 8 แนว BC เป็นระนาบวิบัติที่แทจร้งซิงเอ ึ่ ยงทีามํมเอุยงี ρ กับแนวนอน ดังรปทู 12.20 ี่ รูปท12.20 ี่ วิธีของ Rebhann วัดระยะ CE นั ่นคือ ระยะ x ที่ต้องการเพอน ื่ ําไปแทนคาในสมการ ่ A B C E F Y θ φ α β x D ....12.18 sinx 2 1 P 2 a = . αγ α = −θ −δ oเมื ่อ 180

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 269 12.13 การหาแรงดนดั ้านข้างของดิน โดย วิธีของ Culmann Culmann ( 1886) เสนอวิธีเขยนรี ปอูกวี ิธีหน ึ่ งเพอหาค ื่ าส่งสูดของแรงดุนทางขัาง้ Pa ตามทฤษฎของคีลอมบู์รวมทั้ง ตําแหน่งทแรงด ี่ นดัานข้าง้ Pa กระทาโดยประมาณ ํ วิธีนี้สามารถนําไปใช้กับดนถมทิ ี่มีรูปตดตั ่างๆ หรอเมือม ื่ ีนํ้าหนกบรรทัุกบนผิว ดินในลกษณะตั ่างๆ ตลอดจนดนถมหลิงกัาแพงทํ ี่มีหน่วยน ํ้ าหนกตั ่างกนแตั ่ต้องมีค่ามมเสุยดทานภายในเท ีาก่ ัน กําหนดให ้ θ = ความลาดของเขอนหร ื่ อกืาแพงกํนดั ิน ( slope of wall ) β = มุมเอียงของดินถมหลงเขัอนท ื่ ี่ทํากบแนวราบั (slope of surface) φ = มุมเสยดทานภายในของมวลด ี ิน(angle of internal friction) δ = มุมเสยดทานระหวีางผน่งกัาแพงกํบดั ิน(angle of wall friction) H = ความสงของกูาแพงในแนวต ํ ั้ง ( vertical height) วิธีการของ Culmann ให้ทําตามลาดํบขั ั้นตอนดังน ี้ 1 เขยนรี ปกูาแพงหรํอเขือน ื่ AB โดยใชมาตราส้วนท่เหมาะสม ี่ 2 ลากเส้น AD ทํามุม β กับแนวราบไปตดกับเสั ้น BD ซึ่งเอยงทีามํุม φ กับแนวราบ ตัดกนทั ี่จุด D เรยกเสี ้น BD ว่า φ - line 3 สมมตระนาบวิ ิบัติขึ้นมา เช่น BC/ ดังนนลากเส ั้ ้น BC/ ไปตดเสั ้น AD ที่จุด C/ 4 คํานวณหาน ํ้ าหนกของมวลดันริ ปลูิ่ม ABC/ ที่จะเคลอนต ื่ วเมัอเก ื่ ดการวิ ิบัติแลวน้ ําไปกาหนดจํุดบนเส้น BD เชนจุ่ด H/ ระยะของ BH/ จะแทนน ํ้ าหนกของมวลดันริ ปลูิ่ม ABC/ นี้ซึ่งอาจเขยนระยะี BH/ โดยใชมาตราส้วนอ่นท ื่ เหมาะสมก ี่ ได็ ้ 5 จากจุด H/ ใหลากเส้ ้น H/ K / โดยให้มุม BH/ K / ที่ทํากบแนวั BD เทาก่ ับ α ( ซึ่งเป็นมมทุแรงด ี่ านทางข้างท้ากํบแนวตั ั้ง) ไปตดกับระนาบวั ิบัติ BC/ ที่ 6 ให้ดําเนินการเช่นเดยวกีนกับทักล ี่ าวในข ่ ้อ 3 – 5 ซํ้าอีก ซึ่งได้จุด H// , H/// , ………. และได้จุด K// , K/// , …… 7 เขยนเสี นโค ้งผ้านจุ่ด B , K/ , K// , …… เรยกเสี นโค ้งน้ ี้ว่า Culmann , s Line 8 เลอกจืุดบนเสนโค ้งท้อย ี่ ู่ห่างจากเส้น BD มากที่สุด และใหเป้ ็นจุด K ( อาจหาไดโดยเข ้ยนเสีนตรงส้มผัสกับเสั ้น โคงน้ ี้ แต่เสนส้มผัสนันต ั้ องขนานก้บแนวั BD ) 9 ลากเสนตรงจากจุ้ด B ให้ผ่านจุด K แลวต้ ่อออกไปตดกับเสั ้น AD ที่จุด C ซึ่ง BC จะเป็นระนาบวิบัติที่แทจร้ ิง ลากเส้น CH ขนานกบเสั นใดๆ ้เช่น C//H// หรือ C///H/// เป็นต้น ตัดกบแนวั BD เทาก่ ับ α ไปตดกับเสั ้น BC ที่จุด K เส้น KH จะแทนขนาดของหน่วยแรงดนทางขั ้างแบบแอคทีฟ ซึ่งหาได้จากการวัด ดังแสดงในรปทูี่ 12.21 รูปท 12.21 ี่ วิธีของ Culmann A B C/ C// C/// H// H/ H/// H1 Pa H K// K/ K/// K Culmann, s line tangent Plane of failure β φ θ α

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 270 10 หาตาแหนํ ่งกระทาของแรงดํนทางขั างโดยประมาณ ้ โดยลากเสนขนานก้บระนาบวั ิบัติจริง BC ผ่านจุดศนยู์ถ่วงของ มวลดนริ ปลูิ่ม ABC ไปตดกับหลังกัาแพงํ AB หมายเหตุเน ื่ องจากน ํ้ าหนกของมวลดันริ ปลูมต ิ่ ่าง ABC/ , ABC// ,……ล้วนเป็นสดสัวนก่บระยะั AC/ ,AC// ,…..เพราะ ระยะสงตูงฉากก ั้ ับฐานของมวลดินรปลูมม ิ่ ีค่าคงท ี่ ดังนั้น จึงใช้ระยะ BH/ ,BH// ,….บนเส้น BD แทนนํ้าหนกของมวลดันริ ูป ลิ่มเหลาน่ ั้น และจากการทเข ี่ ยนระยะี BH/ , BH// ,…..โดยสามารถใชมาตราส้วนอ่กอยีางหน่ ึ่งได้ฉะนนว ั้ ิธีที่ง่ายและสะดวก ต่อการคานวณเขํยนรี ปคูอจากจืุด C/ ,C// ,….บนเส้น AD ใหลากเส้ ้น C/ H/ ,C//H// ,….ขนานกบหลังกัาแพงกํนดั ิน AB และ ไปตดกับเสั ้น BD ตรงจุด H/ ,H// ,…แลวจ้งเทึยบหามาตราสีวนท่ ใชี่ ในตอนน ้ ี้ แรงดนทางขัางท้งหมดท ั้ กระท ี่ าพํ จารณาได ิจากความส้มพันธั ์ต่อไปนี้ 12.14 เขมพ็ ืด (Sheet Pile Walls) โดยปกตเขิมพ็ดจะอยื ในสภาพสมด ู่ ุลได้ด้วยแรงดัน Passive ของดนซิงอย ึ่ ู่ด้านหน้า ในการตอกเขมพ็ดนืนจะต ั้ อง้ คํานึงถงความมึงคงแข ั ่ งแร็ งและประหยัด ถ้าตองตอกเข้มพ็ดลืกและมึแรงดีนดัานข้างของด้นกระทิาตํ ่อเขมพ็ดมากื ก็อาจตองใช ้ ้ตัว ยึด (Tie rod) ช่วยยดกลึบบรั เวณใกล ิ ้ผิวดิน แต่ถ้าตอกในที่ซึ่งไม่ลึกมากนัก และแรงดนดัานข้างของด้นมิ ีค่าไม่สูงมาก ก็อาจตอก เขมพ็ ดลงไปเฉยๆ ื โดยปลอยป ่ ลายไวไม้ ่ต้องมีตัวยึด ซึ่งเขมพ็ดจะอยื ในล ู่ กษณะั Cantilever 12.14.1 เขมพ็ ืดแบบ Cantilever เมอเข ื่ มพ็ดถืกแรงดูัน Active (Pa) ของดนทิอย ี่ ู่ด้านหลงแรงกระทั ํา แรงดัน Passive (PP) ของดนทิอย ี่ ู่ด้านหน้ากจะ็ ต้านทานกลับ ดังแสดงในรปทู 12.22 ( ี่ ก) แรงโตตอบท้ ปลายส ี่ ดของเขุ็ม (RP) จะเกดขิ นเป ึ้ ็นโซนของแรงดัน Passive ที่ส่วนลาง่ ด้านหลงของเขัมพ็ดดื งแสดงในร ั ปทู 12.22 ( ี่ ข) จุดหมนจะอยุ ู่ที่ระยะ ห่างจากปลายเขมข็นมาเล ึ้ กน็ ้อย ข้อสมมตฐานของแรงิ โตตอบท้ฐานเช ี่ ่นน ี้ เรยกวี ่า ทฤษฎแบบยีดแนึ ่น (Fix earth support theory) BH KH W Pa = BH KH WPa = (AC x หรือ x H x ) BH γ 2 1 ในที ่นี้ W = 1 ....12.19 (HK) x x H x 2 1 ฉะน ั้ นแรงด◌ ันทางข้างP a 1 = γ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 271 รูปท 12.22 ี่ แสดงลกษณะของเขัมพ็ ืด หาโมเมนตรอบจ์ุด A จะได้ จากสมการ จะคานวณหาคํ ่า d ได้ ดังนั้น ใหตอกเข้มล็กกวึาระยะ่ d ลงไปอีก 10% ทั้งน ี้ เพอให ื่ เก้ ิดแรงโต้ตอบแบบยดแนึ ่น (Fixed earth reaction) ขึ้น หรือ อาจจะตองเพ้มถ ิ่ ึง 20% เพอให ื่ ได้ ้ส่วนปลอดภยมากขั ึ้น 12.14.2 เขมพ็ ืดสมอ (Anchored bulkhead) ในกรณีที่เขมพ็ดตืองก้นดันลิกหรึอสืงมากูก็จะมแรงดีนทางขัางของด้นดิานหล้งเขัมพ็ ืด (Pa) มากจงจึ าเปํ ็นตองใช ้ ้ตัวยึด (Tie rod) ช่วยดงดึานหล้งดัวยด้งนันแรงท ั้ จะให ี่ เข้มพ็ดอยื ในสภาพสมด ู่ ุลได้แก่แรงตานทานของด้นทิอย ี่ ู่ หน้าเขมพ็ ืด (PP) รวมกบแรงดังจากตึวยั ึด (T) ถ้าสมมตใหิ ้ที่ปลายสดของเขุมพ็ดมื แรงโต ีตอบ้ (RP) เกดขิ ึ้น เขมพ็ดกื จะเป ็ ็นแบบยดแนึ ่น (Fixed earth support) ดังรูป ถ้าสมมตใหิ ปลายเข ้มพ็ดสามารถหมื นไดุโดยให ้ ้จุด A เป็นจุดหมนในกรณุีนี้ก็จะไม่มีแรงโตตอบเก้ดขินท ึ้ ปลายเข ี่ ็ม ลักษณะน ี้ เขมพ็ ดจะเป ื ็นแบบยดหมืนุ (Free earth support)ดังรูป ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ×=× 3 dH P 3 d PP a

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 272 ตัวอย่างท ี่ 12.8 เขมพ็ดแบบสมอแหืงหน่ ึ่ง ดังแสดงในรปทู 9.ี 36 กันดนสิูง 6 ม. ความยาวทงหมดของเข ั้ มเท็ ่ากับ 9.75 ม.ดินมี ความหนาแน่นเทาก่ ับ 1900 กก./ม. 3 มุมตานทานแรงเฉ้ ือนของดนเทิาก่ ับ 30o ไม่คิดแรงเชอมแน ื่ ่น ตัวยดอยึ ู่ที่ระยะ 1.25 ม ใต้ ผิวดิน ก) จงหาแรง Active ที่กระทาตํ ่อเขมเป ็ ็น กน.ต่อความยาว 1 ม. ในแนวราบ ข) จงหาแรงดัน Passive สูงสดทุเปี่ ็นไปได ้ ค) ใชทฤษฎ้แบบยีดหมืุน หาแรง Passive ที่จะทาให ํเก้ดการเคลิอนท ื่ ี่ และหาสวนปลอดภ ่ยของเขัมพ็ดนื ี้ ง) จงหาแรงดงในต ึวยั ึด ถ้าตวยัดอยึ ู่ห่างกนตัวละั 5 ม. จากจุดศนยูกลางถ์งจึุดศนยูกลาง์ วิธีทํา 1 หา Ka , Pa 0.333 2 30 45 tan 2 45 tan K o o2 o2 a ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= φ x0.333x(1, kN/m 295 )x9.7510900x9.807x ของเขมพ็ ืด 2 1 HK 2 1 Hp 2 1 P 2 23 aa a === = − γ 3 2 30 45 tan 2 45 tan K o o2 o2 p ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ +=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += φ

Soil Mechanics แรงดนทางขัางของด้ ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 273 2 หา Kp , Pp 3 Take moment about point x หา PP (PPที่ได้ค่าที่ทําใหเก้ดการเคลิอนท ื่ ) ี่ 4 หาอตราสั วนความปลอดภ ่ ัย=PP สูงสุด / PPที่ทําใหเก้ดการเคลิอนท ื่ ี่ 5 หาแรงยึด T = ผลต่างในแนวราบ x ระยะหางของ่ Tie rod. แบบฝึกหัด 1 กําแพงกนดันสิูง 10 ม. ใช้กันดนชนิ ิดทไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่นซงม ึ่ ีมุมเสยดทานภายใน ีเทาก่ ับ 30o ระดบผัวดินเริยบเสมอกี ับ กําแพงกนดั ิน นํ้าหนกบรรทัุกสมทบ (surcharge) บนพนด ื้ นเทิาก่ ับ 2 กก / ตร.ซม.สมมติว่าชนด ั้ นทิ ี่ลึก 3 เมตร จากระดบผัวดิ ิน มีความหนาแน่นเทาก่ ับ 2.1 กรัม / ลบ.ซม. ส่วนที่ลึกลงไปกวาน่ ี้มีความหนาแน่นเทาก่ ับ 2.3 กรัม / ลบ.ซม. จงหาขนาดและ ตําแหน่งของแรงดนทัางขางท้ ี่ดินกระทาตํ ่อกาแพงํ ( 103.2 ตันต่อเมตรของกาแพงํ , กระทาทํ ี่ระยะ 5.6 เมตร ตํ่าจากระดบดั ิน ) 2 กําแพงกนดันมิผนีงเอัยงลาดทีามํุม 78o กับแนวนอน ดินถม 6o กับแนวนอน มีมุมเสยดทานภายใน ี 32o และมีมุมเสยดทานี ระหวางผน่งกับดันเทิาก่ ับ 22o ถ้ากาแพงกํนดันสิูง 6.50 ม. และถมดนมิความหนาแนี ่น 1.8 กรัม / ลบ.ซม. จงหาแรงดนทางขัาง้ ของดนแบบิแอคทีฟ ที่มากที่สุด ( 15.8 ตัน / เมตร ของกาแพงํ ) 3 กําแพงกนดันสิูง 4 เมตร รับดนถมิ ที่มีค่า c = 0.2 กก / ตร.ซม. , φ = 30o , γ = 2 ตัน / ลบ.ม. ดินถมสงและเรูยบเสมอกีาแพงํ นํ้าหนกแผัสมทบ่ (surcharge) บนดนถมเทิาก่ ับ 2 ตัน /ตร.ม.ถ้ากาแพงนํ ี้ถูกดนเขัาหาด้นถมิจงหาขนาดและตาแหนํ ่งของแรงดัน ทางขางของด้ นในสภาวะ ิพาสซีฟ ( 99.72 ตัน /เมตรของกาแพงํ , กระทาสํงจากฐาน ู 1.68 เมตร ) ---------------------------------- x3x(1,900x9.807x10 kN/m 393 )x3.75 ของเขมพ็ ืด ( ค่าสงสูดทุ◌ี◌่เป็นไป◌ไ้ 2 1 HK 2 1 Hp 2 1 P 2 23 pp p === = − γ 1.25)-1.25-(9.75P P 1.25)-3.25-(9.75 p = a ( kN 214 ที ่ทําให้เก◌ิดการเคลอนท ื ่ ี ่) 7.25 295 1.25)-3.25-(9.75 Pp = = 1.8 214 393 แรงกระทํา แรงต้านทาน ่วนปลอดภยสั = == แรงดึงในตวยั ึดT = = 405214)x5-(295 kN <

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 274 บทท ี่ 13 เสถียรภาพความลาดของดิน Stability of Slopes 13.1 คํานํา เมอมวลด ื่ นตามสภาพธรรมชาติอยิ ู่ต่างระดบกั ัน มวลดนจะปร ิบตั วเองให ัอย้ ในสภาวะสมด ู่ ุลเสมอโดยมความลาดเอียงี ปรากฏใหเห้ ็น เพราะมวลดนสิวนท่อย ี่ เหน ู่ ือกวาจะม่แรงดีนพยายามทั าให ํเก้ดการเลิ อนไถลพ ื่ งทลายั เรยกแรงนี ี้ว่า disturbing force หรือ actuating force แต่จะถกตูานม้ ใหิเก้ดการเลิ อนไถ ื่ ลดวยแรงตัาน้ ( resisting force) ที่ไดจากก้าลํงตัานการเฉ้ ือนของ ดิน แรงที่ดันพยายามทาให ํเก้ดการเลิ อนไถล ื่ ( disturbing force ) แรงเน ื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก แรงเน ื่องจากการไหลของ นํ้า แรงเน ื่ องจากน ํ้ าหนกบรรทัุกภายนอก เป็นต้น ส่วนแรงตานไม ้ ให่เก้ดการเลิ อนไถล ื่ ( resisting force) ไดแก้ ่ความตานทาน้ แรงเฉือนของดิน คือ แรงยดเหนึ ี่ ยวระหวางเม่ดด็ ิน ( cohesion ) และมมเสุยดทานภายใ ีนระหวางเม่ดด็ ิน ( angle of internal friction ) ถ้าหากแรงกระทามํ ีค่าน้อยกวาแรงต่าน้มวลดนจะไม ิเก่ดการเลิ อนไถลและทรงต ื่ วอยั ไดู่ ้แต่ถ้ามวลดนมิความตี ่างระดับ มากขึ้น ซึ่งทาให ํแรงกระท้ามํ ีค่ามากกวาแรงต่าน้มวลดนจะเลิ อนไถลพ ื่ งทลายัลงมาตามระนาบวิบัติของการเฉือน การศกษาเกึยวก ี่ บเสถัยรภาพของความลาดี มีประโยชน์สําหรบนั ําไปใช้คํานวณการออกแบบความลาดของคนดั ิน คัน ทาง คลองสงน่ ํ้า ตลอดจนไหล่เขา เพอม ื่ ใหิเก้ดการวิ ิบัติพังทลายจากการเฉือน ซึ่งจะพจารณาได ิจากสมการของมอร้ – ์คูลอมบ ์ 13.2 เสถียรภาพของความลาดท ี่ไม่มีขอบเขตจากํ ัด ( Stability of infinite slopes ) มวลดนทิเอ ี่ ยงลาดไม ี ่มีขอบเขตจากํ ัด หมายถึง มวลดนทิ ี่มีความลาดเอยงเป ี ็นแนวยาวมาก เชนไหล ่เขา่ ซึ่งต่างคนดั ิน เขอนด ื่ ิน หรอคลองสืงน่ ํ้า ที่ความลาดเอยงมีขอบเขตจีากํ ัด( finite slopes ) การวเคราะหิหาเสถ์ยรภาพของความลาดสีาหรํ ับ มวลดนทิเอ ี่ ยงลาดไม ี ่มีขอบเขตจากํ ัด จะไดจากการสมมต้ ใหิระนาบว้ ิบัติ ( failure plane ) เป็นแนวเอยงขีนานกับความลาดเอียง ของมวลดนนิ ั้น และเพอให ื่ ้มีการพจารณางิายข่นจะสมมต ึ้ ิว่ามวลดนทิอย ี่ เหน ู่ ือระนาบวิบัติมีเน ื้ อเดยวกีนและมั ีคุณสมบัติรับแรง เหมอนกืนทัุกทศทางิ ในที่นี้จะแบ่งการพิจารณาออกเป็น สองกรณีคือ กรณีที่ไม่มีการซมผึานของน่ ํ้า และกรณีที่มีการซมผึานของ่ นํ้า อยางไรก ่ ็ดีในสภาพจรงตามธรรมชาติ ิมวลดนอาจมิพฤตีกรรมติ ่างไปจากทสมมต ี่ ไวิ ้ 13.2.1 กรณีที่ไม่มีการซึมผานของน่ ํ้า ( no seepage ) พิจารณาความลาดชนของมวลดันทิ ไมี่ ่จํากดขอบเขตั ( infinite slopes) ในที่นี้ใหแนว้ AB เอยงทีามํุม β กับแนวราบ สมมติว่าไม่มีนํ้าซมผึ านและให ่แนว้ CD ซึ่งขนานกบแนวั AB ที่อยู่ลึกจากผวดิ นเป ิ ็นระยะ เทาก่ ับ z เป็นระนาบวิบัติดังแสดงในรูป ที่ 13.1 รูปท 13.1 ี่ ความลาดทไมี่ ่มีขอบเขตจากํ ดและไม ั ่มีนํ้า A B C D z

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 275 การหาความลกวึกฤตและอิตราสั วนปลอดภ ่ ัยของความลาด พิจารณาไดจากแท้งด่นซิ ึ่ง สมมติว่ามความยาวเอียงเทีาก่ ับ b และมความหนาหนี ึ่ งหน่วยที่ตั้งฉากกบกระดาษั ในที่นี้เพอให ื่ ้ง่ายต่อการวเคราะหิ ์จะสมมติว่าแรงกระทาทํงสองข ั้ างของแท้งด่ ิน มีค่าเทาก่ ัน และอยู่ในแนวเดียวกนแตั ่มีทิศทางตรงกนขัาม้ ดังนั้น จึงไม่นําแรงทางขางมาพ้จิารณา ถ้าสมมตใหิหน้ ่วยน ํ้ าหนกเฉลัยของมวลด ี่ นมิ ีค่าเทาก่ ับ γ พิจารณาจากรปทูี่13.2 จะได้ว่า นํ้าหนกของมวลดันแทิ ่งน ี้ , W = γ.z.b.cos β เมอแตกน ื่ ํ้ าหนกนั ี้ออกไปใหอย้ ในแนวต ู่ งฉากและในแนวขนานก ั้ บระนาบั CD จะได้ รูปท 13. ี่ 2 Free body of slope element แรงตงฉากท ั้ กระท ี่ ากํบแนวั CD : Fn = W cos β และแรงเฉือนทกระท ี่ าตามแนวํ CD : Fs = W sin β แรงเฉือน Fs ที่ได้นี้จะพยายามทาให ํมวลด้นทิอย ี่ เหน ู่ ือระนาบ CD เกดการเคลิอนต ื่ วหรัอเลื อนไถล ื่ แต่ กําลงตัานแรงเฉ้ ือน ของมวลดิน ตามสมการมอร -์คูลอมบ์คือ τf = c +σ tanφ โดยท c = ี่ แรงยดเหนึ ี่ ยวระหวางเม่ดด็ ิน , φ = มุมเสยดทานภายใน ี ดังนั้น สําหรบมวลดันทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น( c=0 ) จะได F.S. = tan ้ φ / tan β z b W Wcosβ Wsinβ β Rs แรงต้านการเฉือนของมวลดินระนาบ = + β )tan(W.cos c.b Rs :CD φ β β φ Wsin )tan(Wcoscb F R ฉะนั้น ส่วนปลอดภยความลาดั F.S. : s s + == ββγ φβγ βγ sin.z.cos tanzcosc เม ื ่ อแทนค่า .z.b.cos W จะได้ F.S 2 + . = = ......13.1 tan tan sin.z.cos c หรือ F.S β φ ββγ = +

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 276 นั ่นแสดงวาความลาดท่ ไมี่ ่มีขอบเขตจากํ ัด ( infinite slope ) ของทรายไม่ขึ้นกบแรงตังฉากหร ั้ อความลื ึก z ใดๆ แต่จะ ขึ้นกบมัมลาดเอุยงเทีาน่ ั้น กลาวค่ อตราบใดท ืทรายม ี่ ีมุมลาดเอยงี β น้อยกวาม่มเสุยดทานภายใน ี φ จะไมเก่ดการเลิ อนไถล ื่ หรือ วิบัติ จากสมการท ี่13.1 เมอสมมต ื่ ใหิ ้ส่วนปลอดภัย F.S. =1 นั ่นแสดงวามวลด่นจะเริมเล ิ่ อนไ ื่ ถลหรอพืงทลายั ดังนั้น จะหาค่า ความลกวึกฤติ ( critical depth : zcr ) สําหรบมวลดันทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นและแรงเสยดทานี ( c - φ soil ) คือ สังเกตสมการ ที่13.2 มวลดนทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่น ( c - φ soil ) จะยงไม ัเก่ดการเลิ อนไถล ื่ ถ้าหากมมลาดเอุยงี β ยังมีค่า น้อยกวาหร่อเทื ่ากบมัมเสุยดทานภายใน ี φ แม้ว่าจะมความลี ึกzเทาใดก ่ตาม็แต่เมอม ื่ มลาดเอุยงี β มีค่ามากกวาม่มเสุยดทาีน ภายใน φ จะตองน้ ําความลึก z มาพจารณาดิวย้ 13.2.2 กรณีที่มีการซึมผานของน่ ํ้า ( seepage ) เหมอนกืบรั ปทูี่13.1 เพยงแตี ่สมมติว่ามีนํ้าซมผึานมวลด่ นโดยสมมต ิ ใหิระด้บนั ํ้าใต้ดินอยเสู่ มอผวดินพอดิ ีดังรปทูี่13.3 การหาคาความล่กวึกฤตหริออืตราสั วนปลอดภ ่ยของความลาดเอัยงีจะพจารณาจากแทิงด่ ิน ซึ่งสมมติว่ามความยาวตามแนวเอียงี เทาก่ ับ b โดยมความหนาหนี ึ่ งหน่วยที่ตั้งฉากกบกระดาษั ในที่นี้สมมติว่าแรงกระทาทางดํานข้างท้งสองข ั้ างขอ้งแทงต่วอยัางด่นมิ ี ค่าเทาก่นและมั ีทิศทางตรงกนขัาม้ ดังรปทูี่13.4 รูปท 13.3 ี่ ความลาดทไมี่ ่มีขอบเขตจากํดมั ีนํ้าไหลซึม β b A W z B C D ......13.2 tantan.cos c ความลึกวิกฤติ z : cr 2 − φββγ )( = ทิศทางการไหลของนํ้า

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 277 รูปที่13.4 Free body of slope element แรงตงฉากท ั้ กระท ี่ ากํบแนวั CD : Fn = W cos β และแรงเฉือนทกระท ี่ าตามแนวํ CD : Fs = W sin β ถ้าให้นํ้าหนกของมวลดันอิมต ิ่ วเทัาก่ ับ γsat นํ้าหนกของมวลดันแทิ ่งน ี้ , W = γsat .z.b.cos β เมอแตกน ื่ ํ้ าหนกนั ี้ออกไปใหอย้ ในแนวต ู่ งฉากและในแนวขนานก ั้ บระนาบั CD จะได้ แรงตงฉากท ั้ กระท ี่ ากํบแนวั CD : Fn = W cos β = γsat.z.b.cos2 β และแรงเฉือนทกระท ี่ าตามแนวํ CD : Fs = W sin β = γsat.z.b.cos β sin β แรงเฉือน Fs ที่ได้นี้จะพยายามทาให ํมวลด้นทิอย ี่ เหน ู่ ือระนาบ CD เกดการเคลิอนต ื่ วหรัอเลื อนไถล ื่ แต่จะถกตูานด้วยแรงต้านการเฉ้ ือนที่คิดจากสมการมอร –์คูลอมบในเทอมของหน ์ ่วยแรงประสิทธผลิ คือ τf = c/ +( σ-u) tanφ/ โดยท u = ี่ ความดนของนั ํ้าในชองว่างท่ระนาบว ี่ ิบัติ = γw.h ซึ่งในที่นี้ h เป็นเฮดความดัน = ( z cos β ) cos β = z cos2 β ฉะนนความด ั้ นของนั ํ้า u ที่ระดบลั ึก z = γw.z.cos2 β ดังนั้น สําหรบมวลดันทิ ไมี่ ่มีความเชอมแน ื่ ่น( c=0 ) เชนทราย่ z b W Wcosβ Wsinβ β Rs φβγβγ φβ = ′ + − ′ = ′ + ′ z.b.cos( .b c )tan.zbcos )tan(W.cos .b c Rs แรงต้านการเฉือนของมวลดินระนาบ :CD 2 w 2 sat ββγ φγ sinzcos tanzcosc F R ฉะนั้น ส่วนปลอดภัยความลาด F.S. : sat 2 sub s s ′ + ′ == ......13.4 tan tan sinzcos c F.S. sat sub sat β φ γ γ ββγ ′ + ′ = ......13.5 tan tan F.S. sat sub β φ γ γ ′ =

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 278 จากสมการท ี่13.4 เมอสมมต ื่ ใหิ ้ส่วนปลอดภัย F.S. =1 นั ่นแสดงวามวลด่นจะเริมเล ิ่ อนไถลหร ื่ อพืงทลายั ดังนั้น จะหาค่า ความลกวึกฤติ ( critical depth : zcr ) สําหรบมวลดันทิ ี่มีความเชอมแน ื่ ่นและแรงเสยดทานี ( c - φ soil ) คือ 13.3 การเล ื่อนไถลของมวลดินที่ตั้งอย่บนระนาบเอูียง ตามรปทูี่13.5 แสดงมวลดนทิ ี่มีความเอยงลาดทีามํุม β กับแนวราบแต่ตั้งอยบนมวลด ู่ นทิ มีี่ ความทบนึ ํ้ าสูง ( impermeable soil )ซึ่งเอยงทีามํุม α กับแนวราบ การเลอนไถลของมวลด ื่ นสิวนบน่ ABC จะเกดขนบนระนาบ ึ้ AC ที่เป็นระนาบ สัมผัส เพราะเมอม ื่ ีนํ้าซมผึ านลงมาจะไหลไปตามระนาบ ่ AC นี้ รูปที่13.5 มวลดนทิ ี่มีความเอยงีลาดแต่ตั้งอยู่บนมวลดินชนท ั้ ี่มีความทบนึ ํ้า ......13.6 tantancos c ความลึกวิกฤติ z : sat sub cr 2 ( − φγβγβ ′) ′ = β α H D A B C L=D/sinα α Wcosα Wsinα W=LHγ/2 h=(D/sinα)sin(β - α) h Plane of weakness

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 279 สมมตไมิ ่มีแรงดนนั ํ้ าเขามาเก้ยวข ี่ อง้ แรงเฉือนทกระท ี่ ํา Fs = W sinα แรงเฉือนที่ต้านทาน Rs = cL + (W cosα) tan φ ฉะนนส ั้ วนปลอดภ ่ยความลาดั F.S = Rs / Fs ซึ่งไมควรน่ ้อยกว่า 1.50 สําหรบงานทั วไปท ั ่ ไมี่ เก่ยวก ี่ บงานเขัอน ื่ 13.4 ลักษณะวิบัติของมวลดินท ี่ เอียงลาดและมีขอบเขตจากํ ัด มวลดนทิเอ ี่ ยงลาดและมีขอบเขตจีากํ ัด ( finite slope) หมายถงมวลดึนทิ ี่มีความสงของสูวนลาดเอ่ ยงใก ีลเค้ยงกีบความลั ึก วิกฤต เช่น การทาคํนดั ิน เขอนด ื่ ิน หรอคลองสืงน่ ํ้า ในการวเคราะหิหาเสถ์ยรภาพของความลาดที ี่มีขอบเขตจากํดอาจสมมตั ใหิ ้ มวลดนเคลิอนหร ื่ อเลื อนไถลเป ื่ ็นระนาบตรงและเอยงี ( inclined plane) ตัดลงมาถงปลายหร ึอฐานของความลาดื (toe) ตามทเสนอ ี่ โดย Culmann ( 1866 ) ซึ่งไดใช้ ้กับมวลดนทิ ี่ค่อนขางต้ งตรงเป ั้ ็นมมฉากกุบแนวราบัอยางไรก ่ ็ดีมวลดนสิ วนใหญ ่ ่จะเอยงลาีดและ วิบัติเป็นแนวโค้ง ซึ่งมกพั จารณาให ิ เป้ ็นแนวโคงของวงกลม้ ( circular arc ) ถ้าโคงว้กฤติ ( critical slip circle ) ไปตดกับความลาดของมวลดั ิน ที่จุดซงอย ึ่ เหน ู่ ือหรอพอดื ีที่ปลาย (toe) ของความลาด จะเรยกวี ่า Slope Failure ซึ่งจะแบ่ง Slope Failure เป็น ก) Face Failure หรือ Slope Failure เมอโค ื่ งว้กิฤตไปตดเหนั ือปลายของความลาดรปทูี่13.6 (ก) ข) Toe Failure เมอโค ื่ งว้ กฤตไปต ิ ดตรงปลายของความลาดพอด ั ีรูปที่13.6 (ข) ค) ส่วน Base Failure เป็นกรณีที่ดินใตฐานของความลาดเป ้ ็นดนอิ ่อนแต่มีชั้นแขงหร็อชืนห ั้ นรองริ ับ แนวโคงว้กิฤตจงไปต ึ ัด ตํ่ากวาปลาย ่ (toe) ของความลาด ดังแสดงในรปทูี่13.6 (ค) รูปท13ี่ .6 ลักษณะการวิบัติเป็นแนวโคงวงกลม้

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 280 การวเคราะหิหาเสถ์ ียรภาพของความลาดที่มีขอบเขตจากํดและสมมตัการวิ ิบัติเป็นแนวโค้ง อาจใช้วิธีพื้นฐานต่อไปนี้ซึ่ง เป็นวิธีกราฟฟิค ที่ต้องลองผดลองถิูก คือ 1. Circular Arc Method สําหรบดันทิ ี่มีค่า φ = 0 2. φ - circle Method หรือ friction circle method สําหรบดันทิ ี่มีค่า c และ φ 3. Slice Method สําหรบดันทิ ี่มีค่า c และหรือ φ นอกจากน ี้จะเป็นการนําค่า Stability number มาใช้พิจารณาหาเสถยรภาี พของความลาดแทนการใช้วิธีกึ่งกราฟฟิค หลกการพั ื้ นฐานทวไปของสามว ั ่ ิธีแรกท ี่เป็นวิธีกึ่งกราฟฟิค คือ 9 ใหเข้ยนความลาดของมวลดี นโดยใช ิมาตราส้วน่ ( linear scale) ที่เหมาะสม 9 จากนนสมมต ั้ ิจุดศนยูกล์ างของแนวโคงว้กฤติ 9 เขยนสี วนโค ่งวงกลมแสดงแนวท้มวลด ี่ นจะเคลิอนหร ื่ อเลื อนไถล ื่ 9 คํานวณหาโมเมนต์ที่กระทํา(MD)เน ื่ องจากน ํ้ าหนกของมวลดันหริอจากนื ํ้ าหนกอันท ื่ อย ี่ เหน ู่ ือแนวโคงวงก้ลมทสมมต ี่ ิ 9 คํานวณหาโมเมนต์ต้านทาน (MR) จากกาลํงตัานทานแรงเฉ้ ือนของมวลดนติ ่อการเลอนไถล ื่ 9 หาคาส่ วนปลอดภ ่ยของความลาดจากการเลั อนไถล ื่ ( Factor of Safety : FSliding )ไดจาก้ 9 ถ้าได้ส่วนปลอดภยของความลาดมั ีค่าเทาก่ ับ 1 หมายความวาถ่งจึุดอนตรายทัมวลด ี่ นจะเริมเล ิ่ อนไถลหร ื่ อวื ิบัติโค้ง วงกลมทไดี่ ้นี้ถือวาเป่ ็นโคงว้กฤติ ( critical slip circle ) 9 และถาจะให ้มวลด้นดิงกลัาวสามารถทรงต่วอยั ไดู่ ้ส่วนปลอดภยของความลาดตัองม้ ีค่ามากกว่า 1 ปกตจะใช ิ ้ส่วน ปลอดภัย ≥ 1.50 13.5 ตําแหน่งจดศุนยูกลางของโค ์ ้งวิกฤต ( Center of Critical Slip Circle) เน ื่ องจากการกาหนดตําแหนํ ่งจุดศนยูกลางของแนวโค ์งว้กฤตคิ ่อนขางยาก้ โดยตองลองผ้ดลองถิูก ดังนนเพ ั้ อให ื่ การ้ วิเคราะหหาเสถ์ ียรภาพของความลาดง่ายมากขึ้น Fellenius ( 1936) จึงเสนอตาราง สําหรบใช ัหาต้าแหนํ ่งจุดศนยูกลางของแนว์ โคงว้กฤติ (โดยประมาณ) สําหรบมวลดันทิ ี่มีค่ามมเสุยดทานี φ เทาก่บศันยู์โดยขนก ึ้ ับ ความเอยงลาดของมวลดี ิน β แต่มีข้อจากํ ัด ว่าแนวโคงว้กฤตนินต ั้ องต้ดผั านปลาย ่ ( toe) ของความลาดพอดี รูปที่13.7 การหาจุดศนยูกลางของวงกลมว์ กฤตโดยว ิ ิธีของ Fellenius โมเมนตหร์ ือแรงท ี ่ กระทํา) โมเมนตหร์ ือแรงที ่ต้านทาน ส่วนปลอดภยของความลาัด F : Sliding =

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 281 slope βo α1 o α2 o 1:0.58 60 29 40 1:1 45 28 37 1:1.5 33.8 26 35 1:2 26.6 25 35 1:3 18.4 25 35 1:5 11.3 25 37 รูปที่13.8 ตารางสาหรํบมวลดันทิ ี่มีφ = 0 ในกรณีที่ ɸ = 0 หาจุดศนยูกลางของวงกลมว์กฤตตามริ ปทูี่13.7 ได้ดังน ี้ 9 เขยนความลาดของมวลดี นให ิ ได้มาตราส้วน่ 9 จากคามุ่ม β ไปหาคามุ่ม α 1 และ α 2 จากรปทู 13ี่ .8 ตาราง 9 เปิดมุม α 1 และ α 2 ลากเสนไปต ้ดทั ี่จุด O ซึ่งเป็นจุดศนยูกลางของวงกลมว์กฤติ ในกรณีที่ ɸ > 0 หาจุดศนยูกลางของวงกลมว์กฤติตามรปทูี่13.7 ได้ดังน ี้ 9 หาจุด O ตามวิธีของ ɸ = 0 9 ลากเสนในแนวราบท ้ ี่ระยะลึกจากผวดิ ิน เป็น สองเทาของความส่งทูานบํ ( 2 H ) 9 ลากเสนในแนวด ้งท ิ่ ระยะห ี่ างจากฐานของลาดท่านบเทําก่ ับ 4.5 เทาของความส่งทูานบํ (4.5H) ซึ่งจะ ตัดเสนในแนวราบท ้ ี่จุด P 9 ลากเสนตรง้ OP จุดศนยูกลางของวงกลมว์กฤตจะอยิบนเส ู่ ้น OP นี้ 13.6 วิธีของ Culmann พิจารณามวลดนทิอย ี่ ู่ต่างระดบกันเทัาก่ ับ H ซึ่งเอยงีลาดทามํุม β กับแนวราบ และมขอบเขตจีากํ ัด ดังแสดงในรปทูี่13.9 การวเคราะหิหาความล์กวึกฤติตามวิธีของ Culmann จะไดจากการสมมต้ระนาบวิ ิบัติใหเป้ ็นแนวตรงซงท ึ่ ามํุม α จากปลายหรือ ฐานของความลาด (จากจุด A ) รูปที่13.9 ระนาบวิบัติเป็นแนวเสนตรงตามว้ ิธีของ Culmann H B C A L β α Failure plane Wsinα Wcosα W h h=(H/sinα)sin (β-α) W=LHγ/2

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 282 จากรปใหู้γ เป็นหน่วยน ํ้ าหนกของมวลดันและเมิ อไม ื่ ่มีแรงดนของนั ํ้า ดังนั้น นํ้าหนกของมวลดั ิน ABC : W = Lhγ/2 โดยท h = ( H/sin ี่ β )sin( β - α ) แรงเฉือนทกระท ี่ าบนํ AC : Fs = Wsin α แรงเฉือนที่ต้านบน AC : Rs = cL + (Wcosα)tanφ โดยท c = ี่ เป็นหน่วยแรงแรงยดเหนึ ี่ ยวระหวางเม่ดด็ ิน φ = มุมเสยดทานภายใน ี หากตองการหาม้มวุิบัติวิกฤต ( αcr ) ให้พิจารณา โดยใช F.S = ้ 1 แลวท้าดํ ิฟเฟอร์เรนชเอทิ ค่า c เทยบกีบมัุม α แล้ว ให้มีค่าเทาก่บศันยู์ซึ่งจะได้ แต่เมอจะน ื่ ําไปใชงานจะต้องลดค้าท่ หาได ี่ ลงมา้ โดยหารดวยส้ วนปลอดภ ่ ัย ( F.S) จากการศึกษา พบวา่ วิธี ของ Culmann ใชได้ผลเม้อม ื่ ุม β ใกลเค้ยงกี ับ 90 องศา 13.7 การขดตุักในแนวดิ่ ง ( vertical cut ) สมการท ี่ 13.7 และ 13.8 จะนํามาใช้พิจารณาหาความลกทึสา ี่ มารถขดตุกดันลิ กลงไปในแนวด ึ ิ่ง ( β = 90o ) เพอวางท ื่ ่อ ใต้ดินหรอทืาฐานรากํ โดยไม่ต้องทาคําย ํ้ นกันดันพิงทลายลงมาั เมอข ื่ ดตุกในแนวด ั ิ่ง ( β = 90o ) ดังนั้น สมการท ี่13.7 และ 13.8 อน ึ่ งพบว่า ดินเกดรอยแยกิ ( Tension crack ) เนื่องจากแรงดึง มีค่าความลกเทึาก่ ับ ( 2c / γ) tan(45o +φ/2) นั ่นคือ ความลกของดึนเกิดรอยแยกจะเทิาก่บครังหน ึ่ ึ่ งของความลกวึกฤตทิ หาได ี่ จากสมการ้ 13.10 S S F R ส่วนปลอดภัดยของความลา F.S : = 13.7 ...... 2 มุมวิบัติว◌ิกฤต ) ( cr β φ α + = [ ] .....13.8 )-cos(-1 cos4csin และความลึกวิกฤต )H ( cr φβγ β φ = 13.9 ...... 2 มุมวิบัติว◌ิกฤต 45 ) ( o cr φ α += 0).....13.1 2 tan(45 4c tan 4c และความลึกวิกฤต )H ( o cr cr φ γ α γ +==

Soil Mechanics เสถยรภาพความลาดของดี ิน ผศ. ปิยะ รัตนสวรรณุ 283 ตัวอย่างท ี่ 13.1 จงหาสวนปลอดภ ่ยของความลาดเมัอข ื่ ดตุดดั นในแนวด ิ งลงไปล ิ่ กเทึาก่ ับ 1.80 เมตร กําหนดใหหน้ ่วยน ํ้ าหนกของดั ิน เทาก่ ับ 1800 กก / ลบ.ม. φ = 30 o และ c = 1500 กก /ตร.ม. วิธีทํา อาศยรั ปทูี่13.9 โดยให H = ้ 1.80 ม , β = 90o และพจารณาติ ่อความลึก 1 หน่วย มุมวิบัติวิกฤต αcr = 45o +φ/2 = 60o ระยะ L = 1.80 / sin 60o = 2.07 ม , ระยะ BC = 1.80 / tan 60o = 1.04 ม นํ้าหนกของมวลดั ิน ABC : W = H(BC)γ / 2 = (1.80)(1.04)(1800)/2 = 1685 กก แรงเฉือนทกระท ี่ าบนํ AC : Fs = W sin α = (1685)(sin60o ) = 1460 กก แรงเฉือนทกระท ี่ าบนดําน้ AC : Rs = cL+(W cosα )tanφ = (1500)(2.07)+(1685 sin60o )(tan30 o ) = 3591 กก ส่วนปลอดภยความลาดั F.S. = Rs / Fs = 3591 / 1460 = 2.46 13.8 Circular Arc Method วิธีนี้เหมาะสาหรํบดันเหนิ ียวอมต ิ่ วเตัมท็ ี่ด้วยนํ้า ซึ่งถอวืาม่ความเชีอมแน ื่ ่นอยางเด่ยวี ( คือมมเสุยดทานภายใน ี φu = 0) ฉะนั้น ส่วนปลอดภยหรัอเสถืยรภาพของความลาดที ี่พิจารณา ในที่นี้จึงขนอย ึ้ ู่กับหน่วยแรงยดเหนึ ี่ ยวระหวางเม่ดด็นเทิาน่ ั้น และ ในการวเคราะหิ ์นี้จะสมมติว่ามวลดนทิงก ั้ อนท้อย ี่ เหน ู่ ือแนวโคงวงกลมท้จะพ ี่ งทลายลงมาเป ั ็นมวลดนทิ ี่มีเน ื้ อเดยวกี ัน รูปท13ี่ .10 Circular Arc Method มีหลกการวัเคราะหิ ์ดังน ี้ จากรปทูี่13.10 ถ้าพจารณาให ิ ้ส่วนโคงของวงกลม้ BC มีความยาวเทาก่ ับ L เป็นแนวโคงว้กฤติ ที่ดินจะพงทลายลงมาั โดยมีจุดศนยูกลาง์ อยู่ที่จุด O และรศมัเทีาก่ ับ r เมอให ื่ W ้ เป็นน ํ้ าหนกของมวลดันทิงก ั้ อนท้จะพ ี่ งทลายลงมัาตามแนว BC โดยที่จุดศนยู์ถ่วงของมวลดนกิอนน้ ี้ อยู่ที่จุด G มีระยะในแนวราบหางจากจุ่ดศนยูกลางของวงกลมเท์าก่ ับ x