เวทคณิตประยุกต์

เวทคณิตคดิเร็วภาคประยกุต์

สมชาย ศรีวรางกูล
เวทคณติ คดิ เร็ว ภาคประยกุ ต์

ผู้ตรวจ

มณฑล นิมากร
กระจาย คงสง
ลือชยั ทิพรังศรี
พณั ณ์แสง ชูมงั

บรรณาธิการ ภาษาสันสกฤต

บญุ ญา พงศพ์ มุ่ พระเตชินท์ อินฺทเตโช
วรณนั ขนุ ศรี

จัดพมิ พ์และจาหน่ายโดย
บริษัท สานักพมิ พ์ บ้านคานวณ จากัด
80/159 ซอยนวมินทร์ 87 ถนนนวมินทร์
แขวงนวมินทร์ เขตบึงก่มุ กรุงเทพมหานคร 10240
โทร. +66 2090-2122-3 โทรสาร +66 2090-2124 email : [email protected]

สงวนลิขสิทธ์ิตามพระราชบญั ญตั ิลิขสิทธ์ิ (ฉบบั เพ่ิมเติม) พ.ศ. ๒๕๕๘

i

สารบญั v
vi
คานา viii
อะไรคือเวทคณิต (What is Vedic Mathematics) xiii
ทาไมต้องเวทคณิต xiv
สูตรเวทคณิต (Vedic Sutra) 1
อุปสูตรเวทคณติ (Vedic Sub-sutra) 3
1. ความรู้พืน้ ฐานเวทคณติ 3
4
1.1. การยนั ความถูกตอ้ ง 7
1.1.1.นวเศษ (Navasesh) 11
1.1.2. การยนั ความถกู ตอ้ งดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้
1.1.3.การยนั ความถูกตอ้ งดว้ ยวธิ ีคดั ออกสิบเอด็ 11
16
1.2. เวทคณิตช่วยใหม้ ีทางเลือกวิธีคิดคานวณไดห้ ลากหลาย (Spreads diversity) 27
เวทคณิตเนน้ วธิ ีการคานวณจากซา้ ยไปขวา (Calculation from left to right)” 38
และ เวทคณิตเป็นการคิดเลขที่ใชพ้ ้นื ที่นอ้ ยท่ีสุด (Least area for calculation) 48
1.2.1. เวทคณิตสาหรับการบวก 49
1.2.2. เวทคณิตสาหรับการลบ 49
1.2.3. เวทคณิตสาหรับการคูณ 52
1.2.4. เวทคณิตสาหรับการหาร 53
55
2. การคูณด้วยการสังเกตอย่างทะลปุ รุโปร่ง 55
2.1. การคูณดว้ ยตวั คณู 11, 111, 1111,… 58
2.1.1. การคณู ดว้ ยตวั คูณ 11 59
2.1.2.การคณู ดว้ ยตวั คณู 111 62
2.1.3.การคูณดว้ ยตวั คณู 1111 62
2.2. การคูณดว้ ยตวั คณู ลาดบั ของเลขเกา้
2.2.1.จานวนตวั เลขของตวั ต้งั เทา่ กบั จานวนเลขเกา้ ของตวั คูณ
2.2.2.จานวนตวั เลขของตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ จานวนเลขเกา้ ของตวั คณู
2.2.3.จานวนตวั เลขเกา้ ของตวั คณู นอ้ ยกวา่ จานวนตวั เลขของตวั ต้งั
2.3. การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดทา้ ยเท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบ
2.3.1.ส่วนแรกของสองจานวนเท่ากนั และส่วนท่ีสองมีผลบวกเท่ากบั 10
หรือกาลงั ของสิบ (10n )

ii

2.3.2.การหายกกาลงั สองของจานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 5 65
2.3.3.ส่วนแรกของสองจานวนเป็นตวั เลขที่อยถู่ ดั กนั และส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5 66
2.3.4.ส่วนแรกของสองจานวนเป็นเลขคู่และส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5 67
2.3.5.ส่วนแรกของสองจานวนเป็นเลขคแี่ ละส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5 69
2.3.6.ส่วนแรกของสองจานวนเป็นเลขคี่และเลขคแู่ ละส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5 70
2.4. การคณู เลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบ 73
แต่ตวั เลขส่วนหลงั ตอ้ งเท่ากนั
2.5. การคณู เลขสองจานวนมีผลบวกเลขตวั หนา้ เป็นพหุคูณของสิบ 77
แต่ตวั หลกั หน่วยเท่ากนั
2.6. การคูณแบบเทคนิค 80
2.6.1.การดาเนินการคณู โดยใชส้ ัดส่วนช่วยในการคิด 80
2.6.2.การขยายสูตร์คณู (Extending the Multiplication Table) 82
2.6.3.การคูณดว้ ยตวั คณู 5,50,25,125,625 83
3. การหารภาคประยุกต์ 87
3.1. การหารดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย
3.1.1.การหารดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย สาหรับการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั 87
3.1.2.การหารดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย สาหรับการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ 91
3.2. เทคนิคการหารดว้ ยตวั หาร 11 94
3.3. การหารดว้ ยกระบวนการวนิ คิวลมั (Vinculum Process of Division) 96
3.4. การหารดว้ ยเศษส่วนช่วย 101
3.4.1.เศษส่วนช่วยแบบที่ 1 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ 103
103
3.4.1.1. ตวั ส่วนของเศษส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ ตวั เดียว 104
3.4.1.2. ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขเกา้ หลาย ๆ ตวั 105
3.4.2. เศษส่วนช่วยแบบท่ี 2 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยหน่ึง (1) 106
3.4.3. เศษส่วนช่วยแบบท่ี 3 ตวั ส่วนท่ีไม่ลงทา้ ยดว้ ยเลข 1 หรือ 9 107
3.5. การหาคา่ เศษส่วนที่ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ ใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม 107
3.5.1. เมื่อตวั ส่วนของเศษส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ ตวั เดียว 109
3.5.2.เม่ือตวั ส่วนของเศษส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ หลาย ๆ ตวั 111
3.6. การหาคา่ เศษส่วนท่ีตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยหน่ึง (1) ให้อยใู่ นรูปทศนิยม 115
3.7. การหาคา่ เศษส่วนท่ีตวั ส่วนไม่ลงทา้ ยดว้ ยหน่ึงหรือเกา้ ในรูปทศนิยม

iii

4. กาลงั สอง 118
4.1. การเพิ่มหน่ึงกบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ 119
4.2. การลดหรือเพมิ่ ดว้ ยคา่ เบ่ียงฐานและค่ากาลงั สองของค่าบี่ยงฐาน 121
4.3. การยกกาลงั สองดว้ ยวธิ ีทวีคณู (Duplex Method) 126
132
5. รากทส่ี อง 134
5.1. การถอดรากที่สองดว้ ยวิธีสงั เกตค่าใกลเ้ คยี ง 134
5.1.1.การถอดรากที่สองของจานวนที่ประกอบดว้ ยเลข 3-4 หลกั 137
5.1.2.การถอดรากท่ีสองของจานวนที่ประกอบดว้ ยเลข 5-6 หลกั 139
5.2. การถอดรากที่สองดว้ ยวธิ ีทวิคูณ (Duplex Method) 151
152
6. กาลงั สาม 154
6.1. การยกกาลงั สามดว้ ยสูตร์คา่ เบี่ยงฐาน 158
6.2. การยกกาลงั สามดว้ ยสูตร์สัดส่วน (อานุรูปเยณะ) 162
6.3. การยกกาลงั สามดว้ ยสูตร์นิขิลมั 165
171
7. รากที่สาม 174
7.1. ใชห้ ลกั การทางพชี คณิต
7.2. วธิ ีการถอดรากท่ีสามที่ดีกวา่

บรรณานุกรม

iv

คานา

เวทคณิตคิดเร็ว ภาคประยกุ ต์ เล่มน้ีผเู้ รียบเรียงไดใ้ ชเ้ วลาในการศึกษาวธิ ีคดิ เลขเร็วแบบ
เวทคณิต วิธีระบบความเร็ว ทรัชเทน็ เบริกของคณิตศาสตร์ข้นั พ้นื ฐาน (The Trachtenberg Speed of
Basic Mathematics) และวธิ ีไฮสปี ด แมท ของ เลสเตอร์ มีเยอร์ช (Lester Meyers High-Speed Math)
ท้งั สองมาเป็นเวลา 6 ปี จึงไดอ้ อกแบบหนงั สือเวทคณิตออกเป็นสองเลม่ คอื เวทคณิตข้นั พ้ืนฐานและ
เวทคณิตคิดเร็ว ภาคประยกุ ต์ ดว้ ยการควบรวมหลกั การคิดเลขเร็วท้งั สามระบบท่ีมีหลกั การคิดใน
ทานองเดียวกนั เพื่อใหก้ ารคิดเลขเร็วและสามารถคดิ เลขในใจไดโ้ ดยไม่ขดั แยง้ กบั วิธีดงั เดิม

วธิ ีคดิ เลขไดเ้ ร็ว จะตอ้ งมีความรู้พ้ืนฐานของเวทคณิต เช่นการบวกเนน้ การทดดว้ ย “จุด”
การลบเนน้ การในการเพ่ิมเขา้ แทนการนาออกดว้ ยวธิ ีเติมเตม็ การคูณใชก้ ารคูณบบแนวต้งั และแนวไขว้
สามวธิ ีท่ีกลา่ วน้ีเป็นการคิดเลขจากซา้ ยไปขวา ซ่ึงจะมีผลต่อการหารท่ีเป็นการคิดเลขจากซา้ ยไปขวา
เวทคณิตสาหรับการหารน้นั เป็นการหารท่ีถูกยกยอ่ งวา่ เป็น “อญั มณีอนั ล้าคา่ ” เป็นการหารตรงที่เรียกวา่
“การหารยกธง” เพราะเป็นการหารที่ใชห้ ลกั หนา้ สุดของตวั หารเป็นตวั หารจริง รวดเร็วและใชพ้ ้ืนท่ีใน

ดงั น้นั การคิดเลขไดร้ วดเร็วและในใจได้ จะตอ้ งมีความรู้พ้ืนฐานดงั กล่าวขา้ งตน้ จึงจะ
สามารถคานวณทางคณิตศาสตร์ได้ อยา่ งหลากหลายวิธี อนั น่าสนใจศึกษาอยา่ งยงิ่

สมชาย ศรีวรากลู
5 ธนั วาคม 2564

v

อะไรคือเวทคณิต (What is Vedic Mathematics)
“Like the crest of a peacock, like the gem on the head of a snake, so is

mathematics at the head of all knowledge.”

Vedanga Jyotisa (c. 500 bc)
พระเวท (สนั สกฤต: वेद) หมายถึง “ คมั ภีร์ในศาสนาพราหมณ์-ฮินดู ท่ีเก็บรวบรวมความรู้ ”
ดงั น้นั พระเวทจึงเป็นแหลง่ ของความรู้ท้งั หมดท่ีจาเป็นอยา่ งยง่ิ สาหรับมนุษยชาติ
พระเวท (Veda) เป็นคาในภาษาสนั สกฤต หมายถึง ความรู้ (knowledge) พระเวทเป็นงานเขียน
โบราณที่มีวนั ที่แน่นอนอยา่ งนอ้ ยหลายศตวรรษ ก่อนคริสตศ์ กั ราช เก่ียวขอ้ งกบั ขนบธรรมเนียม
ประเพณีของชาวอินเดีย เน้ือหาของพระเวท ก็รู้มานานแลว้ ก่อนที่จะมีการบนั ทึกการเขียน โดยถกู ส่งต่อ
ดว้ ยคาพดู จากปากตอ่ ปาก ทาใหท้ กุ คนสามารถเขา้ ใจและปฏิบตั ิไดอ้ ย่างดี งานเขยี นท่ีเรียกวา่ พระเวทน้ี
ประกอบดว้ ยเอกสารจานวนมาก (มีคากลา่ ววา่ ยงั มีเอกสารนบั เป็นลา้ นฉบบั ในพระเวทที่ยงั ไม่ไดถ้ ูก
แปล) เน้ือหาในพระเวทยงั ประกอบดว้ ย ไวยากรณ์ ดาราศาสตร์ สถาปัตยกรรมศาสตร์ จิตวทิ ยา ปรัชญา
การยงิ ธนู เป็นตน้
หลายร้อยปี มาแลว้ นกั ปราชญด์ า้ นภาษาสนั สกฤตหลายท่านไดแ้ ปลเอกสารในพระเวท และ
รู้สึกวา่ พระเวทน้นั มีความลึกซ้ึงในเน้ือหาอยา่ งมาก ยง่ิ บางเอกสารมีหวั ขอ้ ที่เกี่ยวขอ้ งกบั สูตร
คณิตศาสตร์ (Ganita Sutras) ซ่ึงหมายถึงวชิ าคณิตศาสตร์ ท่ีไมส่ ามารถตีความไดใ้ นรูปของคณิตศาสตร์
เวทคณิต (Vedic Mathematics) อยใู่ นยคุ พระเวท (Vedic age : C 1500-500 BCE) แต่ถูกเกบ็ ไว้
อยใู่ นภาคผนวก จนถึงศตวรรษท่ี 20 เป็นตาราโปราณเขยี นเป็นภาษาสนั สกฤต ท่ีไดร้ ับความสนใจอยา่ ง
ยง่ิ โดยเฉพาะชาวยโุ รปและ ถูกถอดรหสั ระบบการคานวณที่โดดเด่นท่ีเรียกวา่ สูตร์คณิต (Ganita sutras)
กลา่ วถึงหลกั นิรนยั ทางคณิตศาสตร์ แต่ก็ถกู ละเลยเนื่องจากไมส่ ามารถเขา้ ใจเน้ือหาได้ เน้ือหาเหลา่ น้ี
เช่ือวา่ เป็นรากเหงา้ ของวชิ าเวทคณิต
เวทคณิตไดถ้ ูกคน้ พบใหม่ อีกคร้ังท่ีอยใู่ นคมั ภีร์อินเดียโปราณ ระหวา่ งปี พ.ศ. 2454 -2461 โดย
ทา่ นศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503) ทา่ นรวบรวมจากพระเวท
สูตรของเวทคณิตที่อยา่ งงดงาม 16 สูตร และ 13 อปุ สูตร
ทา่ นภารติ กฤษณะ อดีตท่านเป็นศกั ราจารย์ ทางศาสนาที่สาคญั ที่เมืองปูริ (Puri) รัฐโอดิศา
(Odisha) ประเทศอินเดีย ในช่วงที่ท่านเป็นนกั ศึกษาท่ีฉลาดหลกั แหลม จบเกียรตินิยมหลายสาขาวชิ า
โดยเฉพาะดา้ นภาษาสันสฤต ปรัชญา ภาษาองั กฤษ คณิตศาสตร์ ประวตั ิศาสตร์ และวทิ ยาศาสตร์ เมื่อ
ทา่ นไดท้ ราบวา่ มีนกั วิชาการยโุ รปไดก้ ลา่ วถึงส่วนหน่ึงในพระเวทน่าจะเกี่ยวขอ้ งกบั คณิตศาสตร์
ท่านเลยตดั สินใจศึกษาเอกสารท่ีเก่ียวขอ้ งและพบวา่ มนั มี “ความหมายทางคณิตศาสตร์จริง”
ใน ช่วงเวลา พ.ศ. 2454 -2461 ทา่ นก็สามรถที่จะฟ้ื นฟรู ะบบการคิดเลขแบบโบราณไดส้ าเร็จ และเรา
เรียกวา่ สิ่งท่ีคน้ พบน้ีวา่ “เวทคณิต (Vedic Mathematics)”

vi

“เวท” แปลวา่ ความรู้ และ “คณิต” แปลวา่ คานวณ
“เวทคณิต” แปลว่า ความรู้แห่งการคานวณ

ต่อมาหา้ ปี (พ.ศ. 2508) หลงั จากที่ทา่ นเสียชีวิตซ่ึงถือไดว้ า่ เป็นการเร่ิมตน้ สาหรับการทางานใน
เวทคณิตท้งั หมด มีรายงานวา่ หลงั จากหนงั สือเล่ม 16 เลม่ แรกของท่านไดห้ ายไป ในช่วงเวลาสุดทา้ ย
ของท่าน ท่านเขียนหนงั สือเล่มเดียวซ่ึงตีพมิ พเ์ ผยแพร่และขายดีที่สุด
การพฒั นาเวทคณติ

เวทคณิตไดร้ ับการยกยอ่ งวา่ เป็นระบบทางเลือกใหมข่ องคณิตศาสตร์เมื่อสาเนาหนงั สือถึง
ลอนดอนในช่วงปลายทศวรรษท่ี พ.ศ. 2503 นกั คณิตศาสตร์บางทา่ นคนขององั กฤษไดแ้ ก่ เคนเนท วลิ
เลียมส์ (Kenneth Williams) แอนดิวร์ นิโคลสั (Andrew Nicholas) และ เจอริมี่ พงิ ชเ์ คิลส์ (Jeremy
Pickles) สนใจในระบบคานวณใหมน่ ้ี พวกท่านไดข้ ยายเน้ือหาเบ้ืองตน้ ของหนงั สือของทา่ นภารติ
กฤษณะ และนาเสนอการบรรยายเกี่ยวกบั เรื่องน้ีในกรุงลอนดอน ในปี พ.ศ. 2523 น้ีไดร้ ับการจดั เรียง
เป็นหนงั สือที่มีช่ือเร่ืองการบรรยายเบ้ืองตน้ เกี่ยวกบั เวทคณิต

แอนดรูนิโคลสั ไดเ้ ดินทางไปอินเดียโดยระหวา่ งปี พ.ศ. 2524 ถึง พ.ศ. 2530 ทาใหน้ กั วิชาการ
และครูในอินเดียเริ่มเกิดความสนใจอยา่ งจริงจงั ในเวทคณิต
เวทคณิตในโรงเรียน

เม่ือหลายปี ก่อน โรงเรียนเซนตเ์ จมส์ กรุงลอนดอน (St James 'School, London) และโรงเรียน
อ่ืน ๆ เร่ิมสอนใชร้ ะบบการคิดเลขแบบเวทคณิตดว้ ยความสาเร็จท่ีโดดเด่น ปัจจุบนั เวทคณิตไดน้ าไปใช้
ในการสอนในโรงเรียนและสถาบนั ตา่ ง ๆ ในอินเดียและต่างประเทศรวมถึงนกั เรียนที่เรียนบริหารธุรกิจ
และเศรษฐศาสตร์

เมื่อปี พศ. 2531 มหาฤษี มหิศ โยคี (Maharishi Mahesh Yogi) ไดน้ าเอาเวทคณิตเขา้ สู่โรงเรียน
ความเป็นเลิศทางวชิ าการ(School of Excellence)

vii

ทาไมต้องเวทคณติ

มีผอู้ าวโุ สหลายท่านที่เตม็ ใจที่จะยอมรับวา่ พวกเขาไม่เก่งคณิตศาสตร์และส่วนหน่ึงเป็นผลมา
จากความเช่ือการแกป้ ัญหาสาหรับการคานวณในการบวก การลบ การคณู การหาร การยกกาลงั สอง
หรือการถอดรากที่สอง ในการเรียนและการสอนเลขคณิตวิธีด้งั เดิมท่ีวา่ มี “วิธีแกป้ ัญหาท้งั หมดมีวิธี
เดียว”

มีครูสอนคณิตศาสตร์ท่านหน่ึง นามวา่ “เคนเน็ธ วินเล่ียม ( Kenneth Williams)” สอนใน
โรงเรียน วทิ ยาลยั และมหาวทิ ยาลยั ไดร้ ับเชิญไปยงั หลายประเทศเพื่อสอนเวทคณิตและไดพ้ ฒั นาส่ือ
การสอนและตาราการเรียนรู้เรื่องต่าง ๆ เก่ียวกบั เวทคณิต ซ่ึงมีอยใู่ นเวบ็ ไซต์
Kenneth's Curriculum Vitae น้ี
เมื่อได้ศึกษาเวทคณติ จะพบว่า แล้วทาไมต้องเวทคณิต

1. ช่วยให้มีทางเลือกวธิ ีคิดคานวณได้หลากหลาย (spreads diversity)

เวทคณิตสร้างสรรคว์ ิธีการคานวณไดห้ ลากหลายวิธีกลา่ วคือ
(1) เวทคณิตสาหรับการบวก

ปัญหาที่วิธีคิดเลขแบบเวทคณิตพยายามหลีกเล่ียงการทด ไปยงั หลกั ถดั ไป ใหน้ อ้ ยลง มากที่สุด
และเพอ่ื บรรลุเป้าหมายใหเ้ กิดการคดิ เลขเร็วและถกู ตอ้ งมากท่ีสุดแลว้ อีกเร่ืองหน่ึงท่ีเวทคณิตยงั ไดเ้ สนอ
วธิ ีการบวกเลขท่ีหลากหลาย (Diversity) วิธีอีกดว้ ย การบวกมีวธิ ีใหเ้ ลือกที่จะพฒั นาตนเองตามความ
เหมาะสมกบั ความสามารถและความถนดั แต่ละบคุ คล หรือสามารถควบรวมประยกุ ตว์ ิธีการบวกใหเ้ ขา้
กนั ซ่ึงจะทาใหเ้ กิดระบบการคิดเลขเร็วได้

การบวกมใี ห้เลือก ใช้ได้ 5 วิธี ดงั นี้
- การบวกดว้ ยวิธีการจดั กลมุ่ ใหค้ รบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ
- การบวกดว้ ยวธิ ีการแยกจานวนใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกหรือผลตา่ งของพหุคูณของฐานสิบ
- การบวกดว้ ยวธิ ีใชจ้ ุด
- การบวกดว้ ยการใชข้ บวนการศุทธิการัน
- การบวกดว้ ยสูตรศุทธ
(2) เวทคณติ สาหรับการลบ
การลบ แบบด้งั เดิมน้นั ตอ้ งมีการยมื ในกรณีท่ีตวั ต้งั มีคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ อนั เป็นปัญหาที่ทาให้
การคดิ เลขชา้ และน่าเบื่อหนาย วิธีการลบแบบเวทคณิคไดข้ จดั ปัญหาน้ี แทนท่ีจะลบแบบวิธีด้งั เดิมกบั
ใชก้ ารหาจานวนเติมเตม็ (Complement Number) แลว้ ใชก้ ารบวกแทนการลบ จึงไมม่ ีการยมื เลขหลกั
ถดั ไปขา้ งหนา้ เหมือนวธิ ีด้งั เดิม เป็นการคิดดว้ ยวิธีการแยกหลกั (Digit Separator Method) และการลบ
ก็ยงั มีวิธีใหเ้ ลือกใชไ้ ดต้ ามความถนดั แต่ละบุคคลไดอ้ ีกดว้ ย

viii

การลบในเวทคณิตมี 3 วิธี
- วธิ ีการลบดว้ ยสูตรนิขลิ มั นวตสั จรมมั ทศตหะ เรียกส้นั ๆ วา่ สูตรนิขลิ มั
- การลบดว้ ยวิธีวนิ คิวลมั (Vinculum Method)
- การลบดว้ ยวิธีครบสิบหรือการลบดว้ ยวิธีทบสิบ
(3) เวทคณติ สาหรบการคูณ

ก็เช่นกบั การบวกและการลบมีหลากหลายวธิ ีใหไ้ ดศ้ ึกษา ท้งั วธิ ีปกติทวั่ ไปและวิธีเทคนิคท่ี
สามารถคดิ เลขไดร้ วดเร็ว และยงั เหมาะกบั การคานวณท่ีสองจานวนท่ีมีคา่ มาก ๆ ซ่ึงวธิ ีแบบด้งั เดิมคิด
ไดต้ อ้ งใชเ้ วลาพอสมควร แต่บางกรณีเวทคณิตสามารถที่จะคิดเลขในใจไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว อนั เป็น
จุดมงุ่ หมายของเวทคณิตวธิ ีคดิ เร็ว นน่ั เอง

การคูณในเวทคณติ มี 7 วธิ ี
- การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ เป็นวิธีที่ใชม้ ากท่ีสุด
- การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั
- การคณู ดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย
- การคูณดว้ ยตวั คณู ลาดบั ของเลข 9,99,999,9999,…
- การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดทา้ ยเทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบ
- การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบแต่ตวั เลข
ส่วนหลงั ตอ้ งเทา่ กนั
- การคณู เลขสองจานวนมีผลบวกเลขตวั หนา้ เป็นพหุคูณของสิบแต่ตวั หลกั หน่วยเท่ากนั

(4) การหารในเวทคณติ
การหารในเวทคณิต โดยเฉพาะ การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag

Division) ถกู ยกยอ่ งวา่ เป็น “อญั มณีอนั ลา้ ค่าของเวทคณิต” เพราะเป็นการหารท่ีใชต้ วั เลขหลกั หนา้ สุด
ของตวั หารเป็นตวั หารจริง ส่วนตวั เลขที่เหลือใชก้ ารคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ คูณกบั ผลหารที่ไดม้ า
ก่อนนาไปลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ เพ่ือใหไ้ ดต้ วั ต้งั สุทธิ

ความหลากหลายการหารของเวทคณิต เป็นแบบพ้ืนฐานรูปทว่ั ไปแลว้ ยงั มีวิธีเทคนิคหรือวิธีลดั
ใหไ้ ดใ้ ชต้ ามความเหมาะสมของการคดิ เลขเร็ว

การหารในเวทคณิตมี 7 วิธี
- การหารตรงหรือการหารธง เป็นการหารแบบทว่ั ไปดว้ ยการใชส้ ูตรแนวต้งั และแนวไขว้
- การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั
- การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต
- การหารดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย หรือการหารดว้ ยสูตรอนุรูปเยณะ
- การหารดว้ ยขบวนการวนิ ควิ ลมั

ix

- การหารดว้ ยสูตรเศษส่วนช่วย หรือการหารดว้ ยสูตรเอกาธิเกนปุรเวณ
- การหารดว้ ยอุปสูตรเวษฏนมั

2. เวทคณติ เน้นวิธีการคานวณจากซ้ายไปขวา

วธิ ีการคานวณจากซา้ ยไปขวา น่าจะเป็นทางเลือกวิธีอีกวิธีหน่ึง ซ่ึงไม่น่าขดั แยง้ กบั วธิ ีคานวณ
จากขวาไปซา้ ย เพราะคนเรามีท้งั ถนดั ขวาหรือถนดั ซา้ ยโดยธรรมชาติ อยแู่ ลว้
ถา้ หวนกลบั มาพจิ ารณาการคิดเลขของเราท่ีใชอ้ ยแู่ บบดงั เดิมน้นั จะพบวา่

“ ทาไมเวลาเราคดิ เลขด้วยการบวก ลบ และคูณ เป็ นการคิดจากทางขวาไปทางซ้าย แต่พอเราทา

การหารเลขแล้วเรากลบั ดาเนินการหารจากทางซ้ายไปทางขวา?”
น่ีคือคาถามท่ีทาใหฉ้ ุกคดิ ทาไมเราจึงไม่สามารถดาเนินการหารจากขวาไปซา้ ยไดล้ ะ ดงั น้นั การ

คิดเลขเร็วแบบเวทคณิตจึงเสนอใหป้ รับเปล่ียนเทคนิค

“การคานวณจากซ้ายไปขวา (Calculation From Left to Right)”

3 . เวทคณิต เป็ นการคิดเลขท่ีใช้พืน้ ทีน่ ้อยที่สุด

เกือบทุกการคานวณใหผ้ ลลพั ธเ์ พียงบรรทดั เดียว สืบเน่ืองมาจาก การคานวณจากซา้ ยไป
ขวา (Calculation From Left to Right)” จึงมีผลต่อการคานวณท่ีใชพ้ ้นื ท่ีนอ้ ยท่ีสุด

การบวก ลดการทดเพราะเป็นการคดิ เลขแบบแยกหลกั (Digit Separator Method)

เช่น หาผลบวกของ 1567896869 +85372807

วิธที า 1 5 6 7 8 9 6 8 6 9

+
85372807

1 5 4 2 1 6 8 6 6 6 = 1653269676
1 1 1101 0 1
การลบ ไม่มีการการยมื แถมยงั ใชก้ ารบวกแทนการลบ

เช่น หาค่าของ 6745215− 4891538

วธิ ีทา 67 45215

5 1 08462 −

4891538

1 1 8 5 3 6 7 7 = 18536 7 7 →1

การคูณ ใหผ้ ลคูณไดเ้ พียงบรรทดั เดียว
เช่น หาผลคณู ของ 32452135

วธิ ที า 3 2 4 5

2135

6 7 9 5 7 5 5 = 6928075 → 1

0013232

x

การหาร น้นั ถูกยกยอ่ งวา่ เป็น “อญั มณีอนั ล้าคา่ ของวธิ ีคิดเลขแบบเวทคณิต” น้นั เพราะ

สามารถหา คาตอบและเศษเหลือหรือทศนิยมของการหารไดอ้ ยบู่ นบรรทดั เดียวกนั และการดาเนินการ

หารน้นั ตวั หารใชแ้ ค่หลกั หนา้ เพยี งตวั เดียวหรืออยา่ งมากสองหลกั ของตวั หารเป็นตวั หารจริง

เช่น การหาผลหารของ 94137 82

วิธีหารแบบด้ังเดมิ วิธหี ารแบบเวทคณิต

11 4 8 8 2 9 14 41 7 3 17

82)9 4 1 3 7

2 2 8 16

8 2 12 39 65 1 = r

121 1 148

82

393
328

657

656

1= r (remainder= เศษเหลือ)

4. เวทคณติ มนี วัตกรรมที่คดิ เลขด้วยวิธีวินคิวลมั (Vinculum Method)

วธิ ีวินคิวลมั เป็นสิ่งใหม่ในการศึกษาเวทคณิต ที่หลายคนกล่าววา่ “ไม่เคยศึกษากนั มาก่อน” แต่
ท่ีจริงมาเคยมีปรากฏอยใู่ นเร่ือง “ลอการิทึม” แลว้ ไมท่ ราบวา่ ทาไมมนั หายไป

วธิ ีวนิ คิวลมั เป็น นวตั กรรมในการคิดเลขท่ีเวทคณิต ไดส้ ร้างสรรคใ์ ชส้ าหรับแกป้ ัญหาจานวน
ท่ีตวั เลขแตล่ ะหลกั น้นั มีคา่ มาก ๆ มากกวา่ หา้ (5) ดว้ ยการลดค่าตวั โดดแต่ละหลกั ของจานวนปกติท่ี
เขยี นอยใู่ นรูป 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ใหต้ วั เลขแต่ละหลกั ของจานวนปกติใด ๆ ให้มีตวั เลขแตล่ ะ
หลกั เป็นตวั เลขที่เขียนอยใู่ นรูปตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 แต่ค่ายงั คงเดิมดว้ ยวธิ ีวินคิวลมั (Vinculum
Method) และเรียกจานวนใหมน่ ้ีวา่ “จานวนวนิ คิวลมั ”

วินคิวลมั ( Vinculum) เป็ นคาในภาษาละตนิ
ตรงกบั ภาษาองั กฤษ บาร์ (Bar) หมายถึงเส้นตามแนวนอน (−) ใชเ้ ป็นสญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์
เป็น เคร่ืองหมายบาร์ หรือ เรียกวา่ สญั กรณ์บาร์ (Bar Notation)
เขียนสัญกรณ์บาร์ บนตวั เลขแทนตวั เลขลบ เช่น 1 = −1, 2 = −2, 3 = −3, ..., 9 = −9 แต่
0 = 0 เรียกจานวนเหล่าน้ีวา่ จานวนบาร์ (Bar Number)
เช่น 1 อ่านวา่ บาร์หน่ึง

2 อ่านวา่ บาร์สอง
3 อา่ นวา่ บาร์สาม เป็นตน้

xi

วิธีวินคิวลมั เป็นการเปลี่ยนตวั เลขโดดบวกของจานวนปกติ เป็นตวั เลขโดดลบ ดว้ ยเขยี น
เครื่องหมายบาร์บนเลขโดดน้นั แต่ค่าไม่เปล่ียน

เช่น −3 = 3

15 = 20 − 5 = 20 + 5 = 25

35698357862 = 44302442142 เป็ นตน้

พอจะเหน็ ได้ว่า วิธีวนิ คิวลมั เป็ นสิ่งใหม่
ถา้ เราลดตวั เลขแต่ละหลกั ของจานวนปกติใหเ้ ป็นจานวนท่ีแตล่ ะหลกั ที่มีค่าไม่เกินหา้ (5) ท่ี

เรียกวา่ จานวนวนิ ควิ ลมั กจ็ ะสามารถคิดเลขไดเ้ ร็วและแม่นยามากข้นึ ซ่ึงจะไดศ้ ึกษารายละเอียดต่อไป

5. เศษส่วนช่วย (Auxiliary Fraction)

เศษส่วนช่วย เป็นเอกลกั ษณ์ และลกั ษณะเฉพาะ ทา่ นสวามี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Swami
Bharati Krishna Tirtha) ไดส้ ร้างวธิ ีเศษส่วนช่วยข้ึนใชเ้ พื่อแปลงเศษส่วนสามญั ใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม
เช่นการหาค่าของ 1/19 เศษส่วนน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม

ตวั อย่างเช่น การหาคา่ ของ 1 เศษส่วนน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม

19

สงั เกตเศษส่วนน้ีเป็นเศษส่วนที่ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 9

ดว้ ยวธิ ีปัจจุบนั ดว้ ยวธิ ีเวทคณิต

19) 1.00(.052631578947368421... วธิ ีท่ี 1 ดาเนินการคณู ยอ้ นกลบั (Backwards)

95 1 = 0.1 = 0. 015126311151718914713168421
50 170 19 2
38 152
วิธีที่ 2 ดาเนินการหารจากขา้ หนา้ (Forwards)

1 = 0.1 = 0. 0 15 1 2631115 1 7 189 1 47 1 31 68421 1015
19 2

120 180 = 0.0 15126311151718914713168421

114 171

60 90 160
57 76 152

30 140 80
19 133 76

110 70 40
95 57 38

150 130 20
133 114 19

170 160 1

xii

6. การยนั ความถูกต้อง (Cross Check)

ในการคานวณทกุ ประเภทน้นั ในขณะท่ีเรากาลงั กระทาการบวก ลบ คณู หาร ยกกาลงั สองหรือ
การหารากท่ีสอง ของจานวนต่าง ๆน้นั เมื่อการคานวณถึงข้นั ตอนสุดทา้ ยหาผลลพั ธส์ ิ้นสุดของคาตอบ
แลว้ กย็ งั ถือวา่ การคานวณน้นั ยงั ไมส่ ิ้นสุดอยา่ งสิ้นเชิง ส่ิงท่ีจาเป็นและสาคญั อีกอยา่ งหน่ึงคือการ
ตรวจสอบวา่ การคานวณที่ดาเนินการหาคาตอบอยนู่ ้นั คาตอบถกู ตอ้ งหรือไม่ ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้
โดยปกติแลว้ การตรวจสอบความถูกตอ้ งเราก็ใชก้ ารคานวณซ้า ๆ อีกรอบหน่ึงหรือบา้ งคร้ังก็สองถึงสาม
รอบ ซ่ึงเป็นการตรวจสอบดว้ ยการคานวณซ้า ๆ น้นั ยอ่ มมีโอกาสท่ีจะคานวณผิดพลาดซ้าไดอ้ ีก และ
เป็นการเสียเวลาเท่ากบั การคานวณใหม่ แลว้ จะมีวธิ ีการอื่นไหมท่ีสามารถตรวจสอบความถูกตอ้ งของ
คาตอบไดร้ วดเร็วและมีประสิทธิภาพ ท่ีไม่ตอ้ งทาซ้ากบั วธิ ีเดิมน้นั อีก

คาถามคือ จะมีวิธีการตรวจสอบความถูกตอ้ งของคาตอบในการคานวณ โดยใชว้ ธิ ีการอ่ืนที่
แตกตา่ งจากท่ีเคยใชอ้ ยดู่ ้งั เดิมที่ไดร้ ับการเรียนรู้มาน้นั หรือไม่? คาตอบก็คือ “ม”ี

แล้ว ถา้ มีวิธีการตรวจสอบ (ตวั เลขหรือขอ้ มลู ) ในการคานวณคาตอบ วา่ ถูกตอ้ งหรือไมน่ ้นั ดว้ ย
วธิ ีที่ไม่ซ้ากบั วิธีการคานวณด้งั เดิมน้นั ท่ีใชอ้ ยนู่ ้นั โดยการใชว้ ธิ ีการอ่ืนแทน” คือวธิ ีอะไร คาตอบก็คือ
“การยันความถูกต้อง (Cross - Checked)”

การยนั ความถูกต้องของคาตอบในการคานวณ มี 2 วธิ ี คือ

(1) การคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines)
(2) การคดั ออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens)
มีงานเขยี นที่ยงั หลงเหลือท่ีเก่าแก่ที่สุดไดอ้ ธิบายถึงสมบตั ิของเกา้ (9) คือ
วธิ ีการคัดออกเก้า ท่ีสามารถใชต้ รวจสอบคาตอบของการคานวณทางคณิตศาสตร์ไดค้ ือ “ตารามหา
สิทธนั ตะ (Mahâsiddhânta)” ของอารยภฏั (Aryabhata II ค.ศ. 920 -1000 ) นกั คณิตศาสตร์และนกั ดารา
ศาสตร์ชาวอินเดีย แลว้ ทาไมเกี่ยวขอ้ งกบั เวทคณิต ? เวทคณิตสามารถคานวณการบวก ลบ คณู หาร และ
การคานวณอ่ืน ๆ ไดเ้ ร็วและยงั สามารถคดิ เลขในใจไดใ้ นเพียงหน่ึงบรรทดั พร้อมกบั กลไกการ
ตรวจสอบยนั ความถกู ตอ้ ง (Cross-Checked ) ที่แขง็ แกร่ง มนั งา่ ย ๆ และสนุกกบั การคานวณ

xiii

สูตรเวทคณิต (Vedic Sutras)

1. เอกาธิเกนะ ปูรเวณะ
Ekādhikena Pūrveṇa (एकाधिके न पवू ेण) – By one more than the previous one.

2. นิขิลมั นวตัศจรมมั ทศตหะ
Nikhilam Navathaścaramam Dhaśataḥ (धनधिलं नवतश्चरमं दशतः) – All from nine and the last from

ten.

3. อุรธวะ ตริ ยัคภยามฺ
Ūrdhva Tiryagbhyām (ऊर्धववधतर्गव्भ्र्ाम)् – Vertically and crosswise

4. ปราวรรตย์ โยชเยต
Parāvartya Yojayet (परावर्तर्व र्ोजर्ेत)् – Transpose and Apply

5. ศูนยงั สามยสมุจจเย
Śūnyam Sāmyasamuccaye (शनू ्र्ं साम्र् समचु ्चर्े) – If the Summation is the same, it is Zero

6. อานุรูปเย ศูนยมันยัต
Ānurūpye Śūnyamanyat (आनरु ूप्र्े शनू ्र्मन्र्त्) – If one is in ratio, the other is zero

7. สังกลนะ วยฺ วกลนาภยามฺ
Sankalana– vyavakalanābhyām (सकं लन-व्र्वकलना्र्ाम्) - By addition, and by subtraction

8. ปูรณาปูรณาภยามฺ
Pūraṇāpūraṇābhyām (पूरणापरू णा्र्ाम)् – By the Completion or Non– Completion

9. จลนะ – กลนาภยามฺ
Calana–kalanābhyām (चलनकलना्र्ाम)् – Differential Calculus

10.ยาวทูนมั
Yāvadūnam (र्ावदनू म)् – By the deficiency

11.วยัษฏสิ มัษฏิหะ

Vyaṣṭisamaṣṭiḥ (व्र्धिसमधिः) – Specific and General
12.เศษาณยังเกนะ จรเมณะ

śeṣāṇyaṅkena carameṇa (शषे ाण्र्कं े न चरमणे ) – The remainders, by the last digit
13.โสปานตย ทวยมนั ตยมั

Sopāntyadvayamantyam (सोपान्र्तर्द्वर्मन्र्तच्र्म)् – The ultimate and twice the penultimate
14.เอกนั ยเู นนะ ปรู เวณะ

Ekanyūnena Pūrveṇa (एकन्र्नू ेन पूवेण) – By One less than the One Before
15.คุณติ สมุจจยหะ

Guṇitasamuccayaḥ (गधु णतसमचु ्चर्ः) – The product of the sums

xiv

16.คุณกสมจุ จยหะ
Guṇakasamuccayaḥ (गुणकसमचु ्चर्ः) – The product of the sum is equal to the sum of the product

อปุ สูตรเวทคณติ (Vedic Sub-sutras)

1. อานุรูปเยณะ
Ānurūpyeṇa (आनरु ूप्र्ेण) – Proportionately

2. ศิษยเต เศษสัมชญหะ
Śiṣyate Śeṣasamjñaḥ (धशष्र्ते शषे संज्ञः) – The Remainder Remains Constant

3. อาทยมาทเยนานตยะ มันตเยนะ
Ādyamādyenāntya-mantyena (आिमािेनान्र्तर्मन्र्तर्ेन) – The First by the First and the Last by the Last

4. เกวไลหะ สปิ ตกมั คณุ ยาต
Kevalaiḥ Saptakam Guṇyāt (के वलः सप्तकं गणु ्र्ात)् – For 7 the Multiplicand is 143

5. เวษฏนมั
Veṣṭanam (विे नम)् – By Osculation

6. ยาวาทูนมั ตาวทูนัม
Yāvadūnam Tāvadūnam (र्ावदनू ं तावदनू )ं – Lessen by the Deficiency

7. ยาวาทูนัม ตาวทูนกิ ฤตยะ วารคญั จะ โยชเยต
Yāvadūnam Tāvadūniktrya Varganca Yojayet (र्ावदनू ं तावदनू ीकृ र्तर् वगं च र्ोजर्ेत्)
– Whatever the Deficiency lessen by that amount and set up the Square of the Deficiency

8. อนั ตยาโยรทศเกปิ
Antyayordaśake’pi (अन्र्तर्र्ोर्द्शव के ऽधप) – When the sum of the last digits is ten.

9. อนั ตยาโยเรวะ
Antyayoreva (अन्र्तर्र्ोरेव) – Only the last terms.

10.สมุจจยคุณิตหะ
Samuccayaguṇitaḥ (समचु ्चर्गधु णतः) – Sum of the coefficients in the product.

11.โลปนสถาปนาภยมฺ
Lopanasthāpanābhyām (लोपनस्थापना्र्ां) – By Alternative Elimination and Retention

12.วโิ ลกนัม
Vilokanam (धवलोकनं) – Mere Observation or the product of the sum of coefficient.

13.คุณิตสมจุ จยหะ สมุจจยคุณิตหะ
Guṇitasamuccayaḥ Samuccayaguṇitaḥ (गुधणतसमचु ्चर्ः समचु ्चर्गुधणतः) – The product of the sum of

the coefficients in the factors is equal to the sum of the coefficients in the product

xv

14.ทวนั ทวโยคหะ
Dvaṅdvayogah -(द्वन्द्वर्ोग) – Duplex combination or sum of pairs.

15.ศุทธะ
Śūddha (शदु ्ध) – Purification.

16.ธวาชางกะ
Dvajāḍa or Dvajāṅka (र्धवजाकं ) – Flag digit.

xvi

1. ความรู้พืน้ ฐาน

บทนา

“เวทคณิต เป็นวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยขี องความแม่นยา มีความเป็นระเบียบ รักษาไวซ้ ่ึงเอกลกั ษณ์ของความ
เป็นหน่ึงเดียวแตใ่ นขณะเดียวกนั กเ็ ตม็ ไปดว้ ยความหลากหลาย เวทคณิตคือพลงั แห่งความสม
ดุลยภาพระหวา่ งสองคณุ สมบตั ิท่ีตรงกนั ขา้ มของความเป็นหน่ึงเดียวและความหลากหลาย เวท
คณิตยงั เป็นโครงสร้างพลวตั ของกฎธรรมชาติที่ออกแบบมาอยา่ งเป็นปกติวสิ ยั และมีเป้าหมาย
ของกฎธรรมชาติอยา่ งมีระเบียบของอรรถบทของวิวฒั นาการ”

ท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503)
ผคู้ น้ พบเวทคณิตในพระเวท

จากขอ้ ความขา้ งตน้ สรุปไดว้ า่ เวทคณิตไม่ใช่วิชาในสาขาของวชิ าคณิตศาสตร์ เวทคณิตเป็นวิธีการคิด
คานวณแบบฮินดู ดงั น้นั ความรู้พ้ืนฐานตา่ ง ๆ ในเลขคณิต พชี คณิต ตรีโกณมิติ เรขาคณิตวเิ คราะห์ ยงั เป็นไป
ตามปกติของวชิ าน้นั เพียงแต่วิธีคิดคานวณเพม่ิ ข้ึนมาเป็นทางเลือกอีกวิธีหน่ึง จากวิธีด้งั เดิม

ดงั น้นั เพ่ือใหก้ ารศึกษาเลขคณิตดว้ ยวิธีเวทคณิตเป็นไปตามปกติ จึงจาเป็นท่ีความรู้พ้ืนฐานของวิชาเลข
คณิต ไดแ้ ก่ คาศพั ท์ นิยาม สัจพจน์ สมบตั ิ การดาเนินการ สมมุติฐาน ทฤษฎี กฎเกณฑ์ ตา่ ง ๆ เป็นตน้ ใชภ้ าษา
การส่ือสาร ความหมาย และความเขา้ ใจตรงกนั

ความรู้พ้ืนฐานในการเวทคณิต เวทคณิต เกี่ยวขอ้ งกบั สูตร 16 สูตรและ 16 อปุ สูตร (สูตรแทรก) ซ่ึงอยู่
ในภาคผนวกของพระเวท และเป็นการนาสูตรเหลา่ น้ีมาประยกุ ตส์ าหรับขจดั การดาเนินการคิดเลขที่น่าเบ่ือและ
เชื่องชา้ และในกรณีท่ีจานวนมีค่ามาก ๆ สามารถลดข้นั ตอนการคานวณได้ โดยเสนอหลกั การคิดเลขเร็ว

การศึกษาเวทคณิตคิดเร็ว ภาคประยุกตน์ ้ี ผทู้ ี่จะศึกษาจะตอ้ งมีความรู้ข้นั พ้นื ฐานอยา่ งที่ถูกตอ้ ง ตามหลกั
ของวธิ ีคิด มีความเป็นระเบียบ รักษาไวซ้ ่ึงเอกลกั ษณ์ของความเป็นหน่ึงเดียวแต่ในขณะเดียวกนั กเ็ ตม็ ไปดว้ ย
ความหลากหลาย ของเวทคณิต

ดงั น้นั การบวกของจานวนต่าง ๆ จะตอ้ งสอดคลอ้ งกบั การคณู เพราะการคูณเป็นกระทาการบวกซ้า ๆ
ส่วนการลบเป็นการผกผนั การบวก การลบใชก้ ารหาจานวนเติมเตม็ กจ็ ะตอ้ งไมข่ ดั แยง้ กบั การบวก เม่ือการบวก
เนน้ การหาผลบวกตวั เลขสองตวั ครบสิบหรือไม่ครบสิบ จึงทาใหก้ ารบวกสามารถ ใชว้ กี ารบวกเลขแต่ละหลกั
เป็น วธิ ีการแยกหลัก ( Digit Separator Method ) ไมเ่ นน้ หรือไมม่ ีการทดตวั เลข (carry figures) เมื่อการบวก

เป็นเช่นน้ี การลบไมเ่ นน้ หรือไม่มีการยมื (borrow figures) จึงสามารถทาการลบดว้ ยวิธีการแยกหลกั ได้
เช่นเดียวกบั การบวก

เนื่องจากการคณู เลขสองจานวนดว้ ยวธิ ีของเวทคณิต เป็นการคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ เป็นวธิ ี
พ้นื ฐาน เป็นรูปแบบของการคณู ที่รวดเร็ว จากซา้ ยไปขวา และใชพ้ ้นื ที่การคูณเพียงบรรทดั เดียว

เมื่อกลบั มาคดิ ถึงการคดิ เลขแบบวธิ ีด้งั เดิม ดงั ท่ีเคยกล่าวมาแลว้ ในเวทคณิต ข้นั พ้นื ฐานวา่ “ทาไม การ
บวก การลบ การคูณของวธิ ีดงั เดิมน้นั คิดจากขวาไปซา้ ย แตพ่ อมาพจิ ารณาการหารพบวา่ การหารเป็นการ
ดาเนินการหารจากซา้ ยไปขวา” น่ีคอื เหตผุ ลวา่ เวทคณิตเป็นการคดิ เลขจึงเนน้ การคิดเลขจากซา้ ยไปขวา และก็จะ
พบวา่ การหารสามารถอธิบายไดว้ า่ มี “คาวา่ ตวั ต้งั ข้นั ตน้ และตวั ตวั ต้งั สุทธิ”

นอกจากน้ีการคณู และการหาร ในเวทคณิตยงั สามารถกาหนดแยกคาตอบของผลคณู และผลหาร
ออกเป็นผลคณู และผลหารส่วนท่ีเป็นจานวนเตม็ กบั ผลคูณและผลหารส่วนท่ีเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม ไดอ้ ยา่ ง
ลงตวั พอเหมาะ
บทสรุป การศึกษาเวทคณิตคิดเร็ว ภาคประยกุ ตน์ ้ี จะเป็นการนาความรู้ เวทคณิต ข้นั พ้ืนฐาน คือการบวก
การลบ การคูณและการหารมาประยกุ ตใ์ ช้

- ดว้ ยการสงั เกตการคานวณอยา่ งทะลปุ รุโปร่ง (Calculation Through Observation)

- การยกกาลงั สอง
- การถอดรากที่สอง
- การยกกาลงั สาม
- การถอดรากที่สาม
- เศษส่วนช่วย
เสน่ห์ของเวทคณติ
นอกจากจะเก่ียวกบั เรื่องการคิดเลขในใจและการคิดเลขเร็วแลว้ ก็คอื การตรวจคาตอบโดยผลการ

ดาเนินการท้งั หมดย่อมเทา่ กนั (the whole product is the same) น้นั ก็คือการยนั ความถูกตอ้ ง (Cross-Checked)

หรือในเวทคณิตเรียกวิธีน้ีวา่ วิธพี ชี างกะ (Beejank Method)
ในการคานวณทกุ ประเภทน้นั ขณะท่ีเรากาลงั กระทาการบวก ลบ คณู หาร ยกกาลงั สองหรือการหาราก

ท่ีสอง ของจานวนต่าง ๆน้นั เมื่อการคานวณถึงข้นั ตอนสุดทา้ ยหาผลลพั ธ์สิ้นสุดของคาตอบแลว้ ถือวา่ การ
คานวณน้นั ยงั ไมส่ ิ้นสุดอยา่ งสิ้นเชิง ส่ิงท่ีจาเป็นและสาคญั อีกอยา่ งหน่ึงคือการตรวจสอบวา่ การคานวณท่ี
ดาเนินการหาคาตอบอยนู่ ้นั คาตอบถกู ตอ้ งหรือไม่

2

1.1. การยันความถูกต้อง (Cross Check)

การยนั ความถกู ตอ้ งของคาตอบในการคานวณ มี 2 วธิ ี คอื
(1) การคดั ออกเกา้ (Casting Out Nines)
(2) การคดั ออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens)

1.1.1. นวเศษ (Navasesh)
บทนยิ าม 1 นวเศษ (Navasesh) ของจานวนเตม็ ใด ๆ คอื เศษเหลือที่ไดจ้ ากการหารจานวนเตม็ น้นั ดว้ ยเกา้ (9)

นวเศษ (Navasesh) ของจานวนเตม็ I เขียนแทนด้วย N(I)
บทนยิ าม 2 เลขโดด ในระบบฐานสิบ หมายถึงตวั เลขตวั เดียว ไดแ้ ก่ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ 0
บทนยิ าม 3 ผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ ที่สามารถหาผลบวกเลขโดดได้ คือผลเลขโดดทกุ ๆ หลกั ของ
จานวนน้นั ๆ ตอ้ งมีค่าไมม่ ากกวา่ 9 หรือผลบวกเลขโดดทุก ๆ หลกั ของจานวนตอ้ งมีผลบวกสุดทา้ ยเป็น
ตวั เลขโดดเพียงตวั เดียว แต่ถา้ ผลบวกยงั มีผลลพั ธเ์ ป็นเลขโดดมากกวา่ หน่ึงตวั แลว้ กใ็ หห้ าผลบวกเลขโดดน้นั ซ้า
อีกจนไดผ้ ลบวกเลขโดดสุดทา้ ยเป็นตวั เลขเพียงตวั เดียว
เช่น ผลบวกเลขโดดของ 17 หาไดจ้ ากผลบวก 1 และ 7 คือ 1+ 7 = 8
ด้งั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 17 คือ 8
ผลบวกเลขโดดของ 123 คอื 6 เพราะวา่ 1+ 2 +3 = 6
ในทานองเดียวกนั สาหรับ 39 ผลบวกเลขโดดของ 39 เขียนแทนดว้ ย 39 →12 →3
ผลบวกเลขโดดของ 5245 คือ 5+ 2+ 4+5 =16 แต่ 16 ยงั ไมเ่ ป็นเลขโดดหรือมีค่ามากกวา่ 9

จะตอ้ งหาผลบวกเลขโดดของ 16 ต่ออีก คือ1+ 6 = 7
ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 5245 เทา่ กบั 7 เขยี นแทนด้วย 5245 →16 → 7
หมายเหตุ ผลบวกเลขโดดภาษาสันสกฤต คือพชี างกะ ( बीज ांक = Beejank = digit sum)
กฎของนวเศษ
ให้ a,b,c เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ
1. N(a + b + c) = N[N(a) + N(b) + N(c)]
2. N(a  b) = N[N(a) N(b)]
3. N(a − b) = N[N(a) − N(b)]
4. N(−a) = 9 − N(a)
5. N(9) = N(0)
6. ถา้ a หารดว้ ย b แลว้ ผลหาร q เศษเหลือ r

N(a) = N(q  b) + N(r) = N ( N(q)  N(b)) + N(r)

3

1.1.2. การยนั ความถูกต้องด้วยวธิ กี ารคัดออกเก้า
การคัดออกเก้า (Casting Out Nines)

การคดั ออกเกา้ เป็นเทคนิควธิ ีของการหาเศษเหลือจากการหารจานวนเตม็ บวกใด ๆ ดว้ ยเกา้ ดงั ที่กล่าว
มาแลว้ ขา้ งตน้ เพราะ 0 และ 9 มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์สาหรับการหาผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ
ศูนย์ (0) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์สาหรับการบวก เช่น

30 มีผลบวกเลขโดด คอื 3+ 0 = 3 ดงั น้นั แทนท่ีจะหาผลบวกเลขโดดดว้ ยวธิ ีตรง ๆ ใชว้ ิธีคดั หรือ
ตดั 0 ออกไดเ้ ลยดงั น้ี 30 → 3

หรือ 300 → 3+ 0 + 0 → 3 คดั 0,0 ออกไดเ้ ลย 300 → 3 เป็นตน้
เก้า (9) มีสมบตั ิการมเี อกลกั ษณ์สาหรับการบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ

สามารถหาผลบวกเลขโดดได้ เช่น 19 มีผลบวกเลขโดดคอื 1+9 =10 แต่ผลบวกเลขโดดยงั มีคา่ มากกวา่
8 ยงั ตอ้ งหาผลลบวกเลขโดดต่อ คือ 1+ 0 =1
ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 19 คือ 1 แทนท่ีจะหาผลบวกเลขโดดดว้ ยวธิ ีตรง ๆ ใชว้ ธิ ีคดั หรือตดั 9 ออกไดเ้ ลย
ดงั น้ี 1 9 → 1

39 มีผลบวกเลขโดดคือ 3+9 =12 →12 →1+ 2 → 3 จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ คดั 9 หรือตดั 9 ออก
ไดเ้ ลย 3 9 → 3

หรือ 399 → 3+ 9 + 9 → 21→ 2 +1→ 3 คดั 9,9 ออกไดเ้ ช่นกนั 399 → 3
บทนยิ าม 3 การคัดออกเก้า (Casting Out Nines) เป็นวิธีเทคนิควธิ ีแทนการหาผลบวกเลขโดดของจานวนใด ๆ
ดว้ ยการคดั เลข 9 หรือผลบวกเลขโดดสามารถรวมกนั ไดเ้ ท่ากบั 9 ที่มีอยใู่ นจานวนน้นั ออกจนผลการคดั ออก
สุดทา้ ยมีค่าไม่มากกวา่ 8 หรือตวั เลขเพียงตวั เดียว
ตวั อย่างที่ 1 หาผลบวกเลขโดดของจานวนต่อไปน้ี 3949
วิธีทา โดยวิธีปกติ หาผลบวกเลขโดดคือ 3+9 + 4 +9 = 25 → 2 +5 = 7

โดยวธิ ีคดั ออกเกา้ จาก 3949 คดั เลข 9 ท้งั สองตวั ออกไดท้ นั ที

3 9 4 9 เหลือ 3 เลข 4 กบั ดงั น้นั 3+ 4 = 7
ตวั อย่างที่ 2 หาผลบวกเลขโดดของ 4379348568219
วิธที า ข้นั ท่ี 1 พจิ ารณาถา้ ในจานวนน้นั มีเลข 9 อยู่ ใหค้ ดั ออกก่อน

43793485 68219

ข้นั ท่ี 2 พิจารณาตวั เลข 2 ตวั ข้ึนไปบวกกนั ได้ 9 ใหค้ ดั ออกเช่นกนั

437 9 348 5 68 219

พบวา่ 3+ 6 = 8+1= 4 + 5 = 7 + 2 = 9 คดั ออกได้ ตวั เลขท่ีเหลือหาผลบวก 4 + 3+8 =15 →1+ 5 = 6
ดงั น้นั ผลบวกเลขโดดของ 4379348568219 เทา่ กบั 6

4

การตรวจสอบยนั ความถกู ต้องสาหรับการคานวณ

สาหรับการบวก

ตวั อย่างที่ 1 หาผลบวกของ 32 +12 และตรวจคาตอบดว้ ยวธิ ีการยนั ความถกู ตอ้ ง

วิธที า ผลบวกเลขโดด

ตวั ต้งั 3 2 →3+2=5 5
ตวั บวก
+ +
3
1 2 →1+ 2 = 3

ผลลพั ธ์ 4 4 →4+4=8 8 คาตอบ คือ 44 ถูกตอ้ ง

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลบวกของ 93615 กบั 18209 และตรวจคาตอบดว้ ยวิธียนั ความถูกตอ้ ง

วิธีทา ใชว้ ิธีคดั ออกเกา้ เพ่ือความรวดเร็วในการคิดเลข

ผลบวกเลขโดดดว้ ยการคดั ออกเกา้

9 3 615 6 ตวั ต้งั คดั 9 และ 3+ 6 = 9 ออก เหลือ 1+ 5 = 6
+
+ ตัวบวก คดั 9,0 และ 1+8 = 9 ออก เหลือ 2
18209 2

0 1 8 1 4 =1118 2 4 8 คาตอบ คดั 9 ออก เหลือ 1+1+1+8+ 2 + 4 = 8

1 1001

สรุปข้นั ตอนการคิดดงั นี้

1. หาผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้

2. หาผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ของเลขสองจานวนที่นามาบวกกนั (ในขอ้ 1)

3. นาผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั ไปบวกกบั ผลบวกเลขโดดของตวั ที่นามาบวก แลว้ ถา้ ผลบวกเลขโดด

ของผลลพั ธน์ ้ีเทา่ กบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธข์ องเลขสองจานวนที่นามาบวกกนั น้นั (ในขอ้ 2)

แสดงวา่ คาตอบในการบวกเลขสองจานวนน้นั ถูกตอ้ ง และในทางตรงขา้ มกแ็ สดงวา่ คาตอบไมถ่ ูกตอ้ ง

สาหรับการลบ

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 4127 − 2376 =1751 ถูกตอ้ งหรือไม่

วธิ ที า คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

412 7 → 4+1 5

2376 − →0 −

0

1751 →5 5 แสดงวา่ ถกู ตอ้ ง

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 65451− 48769 =16682 ถูกตอ้ งหรือไม่

วธิ ที า คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

−2 →5 3

654 5 1 −

− 7

48769 −4

−1

1 6 682

5

ในกรณีการคดั ออกเกา้ มีค่าเป็นลบ เนื่องจากการหารเศษเหลือตอ้ งเป็นจานวนบวก ดงั น้นั จะตอ้ งนา 9 มาบวก
กบั เศษเหลือท่ีเป็นจานวนลบเพ่ือใหเ้ ศษเหลือมีคา่ เป็นบวกตามข้นั ตอนการหารของยคุ ลิด (Euclidian Algorithm)

ดงั น้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4

เพราะฉะน้นั 65451− 48769 → 3− 7 = −4 → −4 + 9 = 5

สาหรับการคูณ

ตวั อย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 243257 = 62451 ถูกตอ้ งหรือไม่

วิธที า คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั 243 → 9 → 0

และตวั คูณ 257 → 5

ดงั น้นั 243257 → 05 = 0

คดั ออกเกา้ ของคาตอบ 62451→ 0 คาตอบถูกตอ้ ง
ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 46723469 =16207168 ถกู ตอ้ งหรือไม่
วธิ ีทา คดั ออกเกา้ ของตวั ต้งั 4672 → 1

และตวั คูณ 3469 → 4

ดงั น้นั 46723469 →14 = 4

คดั ออกเกา้ ของตอบ 16207168 → 4 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง

สาหรับการหาร

การยนั ความถูกตอ้ งของการหาร ตอ้ งใชส้ มการจากข้นั ตอนการหาร

ตัวต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

ตวั อย่างท่ี 1 แสดงผลเฉลยการหารถกู ตอ้ งของ 671 4 =167 + 3 ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้

4

วธิ ีคดิ จากสมการข้นั ตอนการหาร

กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 =1674 + 3

LHS = RHS
คดั ออกเกา้ สาหรับตวั ต้งั 671→ 5 สาหรับตวั หาร 4 → 4

สาหรับผลลพั ธ์ 167 → 5 สาหรับเศษเหลือ 3 → 3

RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ = 4167 + 3 → 45+ 3 → 2 + 3 → 5

LHS = ตวั ต้งั = 5 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง
วิธีทา จากสมการข้นั ตอนการหาร : ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

จากวิธีการคดั ออกเกา้ 671 = 4167 + 3
5 = 45+3 → 2+3→5

6

หรือจากตวั อย่างที่ 1 กรณผี ลหารเป็ นทศนิยม 6714 =167.75
กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 =167.754

LHS = RHS
คดั ออกเกา้ สาหรับตวั ต้งั 671→ 5 สาหรับตวั หาร 4 → 4

สาหรับผลลพั ธ์ 167.75 →8
จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ = 48 = 32 →5

LHS = ตวั ต้งั = 5 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง

วิธที า จากสมการข้นั ตอนการหาร
ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

จากวธิ ีการคดั ออกเกา้ 5 = 48 → 32 → 5
1.1.3. การยันความถูกต้องด้วยวธิ กี ารคดั ออกสิบเอด็

เน่ืองจากการยนั ความถกู ตอ้ งดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ มีปัญหาในกรณีท่ีผลบวกเลขโดดเทา่ กนั ของจานวนที่ไม่
เทา่ กนั เช่น 125,152,215,251,512 และ 521

พบวา่ จานวนขา้ งตน้ มีตวั เลขเหมือนกนั แต่เขียนสลบั หลกั กนั หาผลบวกเลขโดดเทา่ กนั คอื 8 นี่คอื
ขอ้ บกพร่องของวิธีการคดั ออกเกา้ การคดั ออกสิบเอด็ สามารถแกป้ ัญหาน้ีได้
สาหรับการบวก
ตวั อย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 2415+ 289 = 2794 ถกู ตอ้ งหรือไม่ ดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็
วธิ ีทา ตวั ต้งั 2415: 5−1+ 4 − 2 = 6 ตวั บวก 289: 9 −8+ 2 = 3

ผลลพั ธ์ 2794: 4 −9 + 7 − 2 = 0
แตผ่ ลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ในท่ีน้ี 6 + 3 = 9

ไมเ่ ท่ากบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ คอื 0
ดังน้นั 2415+ 289  2794 ไม่ถูกตอ้ ง
แต่ถ้าใช้วิธีคดั ออกเก้า จะเป็นเช่นน้ี 2415+ 289 = 2794 → 3+1= 4 ผลบวกเลขสองจานวนน้ีจะถูกตอ้ ง
เพราะฉะน้นั ต้องหาผลบวกใหม่ คือ 2415+ 289 = 2704 แล้วตรวจสอบความถูกต้องของคาตอบ
วิธีทา ตวั ต้งั 2415: 5−1+ 4 − 2 = 6

ตวั บวก 289: 9 −8+ 2 = 3
ผลลพั ธ์ 2704: 4 − 0 + 7 − 2 = 9
ผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตวั บวก ในท่ีน้ี 6 +3 = 9 เท่ากบั ผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์ คือ 9

7

สาหรับการลบ
ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบวา่ 4127 − 2376 =1751 ถูกตอ้ งหรือไม่
วธิ ที า ดว้ ยวิธีการคดั ออกสิบเอด็ ของตวั ต้งั และตวั ลบ

4127 : 7 − 2 +1− 4 = 2

2376: 6 − 7 + 3− 2 = 0 ดงั น้นั 4127 − 2376 : 2 − 0 = 2
คดั ออกสิบเอด็ สาหรับคาตอบ 1751:1−5+ 7 −1= 2 แสดงวา่ ถกู ตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 2 ตรวจสอบวา่ 65451− 48769 =16862 ถกู ตอ้ งหรือไม่

วิธีทา ดว้ ยวิธีคดั ออกสิบเอด็ ของตวั ต้งั และตวั ลบ 65451: 1−5+ 4 −5+ 6 =1

48769 : 9 − 6 + 7 −8 + 4 = 6

ดงั น้นั 65451− 48769:1− 6 = −5 → −5+11= 6
คดั ออกสิบเอด็ สาหรับคาตอบ 16862: 2 −6 +8−6 +1= −1+11=10 นนั่ คอื 6 10

ดังน้นั 65451− 48769 =16862 ไม่ถูกตอ้ ง

ตัวอย่างท่ี 3 หาค่าของ 35567 −11828 และตรวจสอบผลเฉลยยนั ความถูกตอ้ ง

วธิ ที า ด้วยวิธคี ัดออกเก้า

35567 การตรวจสอบยนั ความถูกตอ้ ง 8
11 8 2 8
−

2

2 3 7 3 9 →6 6

สรุป ใชก้ ารคดั ออกเกา้ ยนั ความถูกตอ้ งเป็นจริง
ด้วยวธิ ีคัดออกสิบเอด็ (Casting Out Elevens)

35567 35567: 7 − 6 + 5 − 5 + 3 = 4 4
11828: 8 − 2 +8 −1+1 =14 : 4 −1 = 3
− −

11 8 2 8 3

2 3 7 3 9 23739 : 9 − 3+ 7 − 3+ 2 =12 : 2 −1 =1 1

สรุป ใชก้ ารคดั ออกสิบเอด็ ยนั ความถูกตอ้ งเป็นจริง
สาหรับการคูณ
ตัวอย่างท่ี 1 ตรวจสอบวา่ 243257 = 62451 ถูกตอ้ งหรือไม่
วธิ ีทา ด้วยวิธีการคัดออกสิบเอด็ ของตัวต้งั และตัวคูณ

243: 3− 4 + 2 =1

257 : 7 −5 + 2 = 4 ดงั น้นั 243257 :14 = 4

คัดออกสิบเอด็ ของคาตอบ 62451:1−5+ 4 − 2 + 6 = 4 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

8

ตวั อย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 46723469 =16207168 ถูกตอ้ งหรือไม่
วิธที า คดั ออกสิบเอ็ดของตวั ต้งั และตวั คูณ

4672 : 2 − 7 + 6 − 4 = −3+11 = 8

3469 : 9 − 6 + 4 −3 = 4

ในที่น้ี 46723469 →84 = 32 32: 2 −3 = −1+11 =10
แต่คาตอบ =16207168 :8−6 +1−7 + 0 − 2 + 6 −1= −1+11=10 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง
สาหรับการหาร

ตวั อย่างท่ี 1 กรณี 671 4 =167 + 3 โดยการใช้วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็

4

วิธคี ิด เน่ืองจากการหารเป็นการผกผนั ของการคณู การยนั ความถกู ตอ้ งจึงตอ้ งใชส้ มการข้นั ตอนการหารมาช่วย
กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

LHS = RHS
วธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ สาหรับตวั ต้งั 671: 1−7+6 = 0

สาหรับตวั หาร 4: 4 = 4
สาหรับผลลพั ธ์ 167 : 7 −6+1= 2
สาหรับเศษเหลือ 3: 3
จากสมการข้นั ตอนการหาร
RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ = 42 +3 = 8+3 =11:1−1= 0
LHS = ตวั ต้งั = 0 ดงั น้นั คาตอบถกู ตอ้ ง
กรณี 671 4 =167.75
วิธคี ิด กาหนดให้ ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

LHS = RHS

ใชว้ ิธีการคดั ออกสิบเอด็ สาหรับตวั ต้งั 671: 1− 7 + 6 = 0

สาหรับตวั หาร 4: 4=4

สาหรับผลลพั ธ์ 167.75: 5− 7+7 − 6 +1= 0

จากสมการข้นั ตอนการหาร RHS = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ = 40 = 0

LHS = ตวั ต้งั = 0 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

หรือวิธีทา จาก ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

671 = 4167 + 3

9

จากวิธีการคดั ออกสิบเอ็ด 1− 7 + 6 = 4(7 −6 +1) +3

หรือวธิ ีทา 0 = 4 2 + 3 =11: 0

จาก ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์

671 = 4167.75

จากวธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ 1− 7 + 6 = 4(5− 7 + 7 − 6 +1) = 40 = 0

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบวา่ 427424 เม่ือ ผลหาร =178 เศษเหลือ 2

การคดั ออกสิบเอด็

สาหรับตวั ต้งั 4274: 4 − 7 + 2 − 4 = −5+11= 6

สาหรับตวั หาร 24: 4 − 2 = 2

สาหรับผลหาร 178: 8−7 +1= 2

สาหรับเศษเหลือ 2: 2

จากข้นั ตอนการหาร

ตวั ต้งั = ตวั หาร  ผลลพั ธ์ + เศษเหลือ

RHS = 22 + 2 = 6

LHS = 6 ดงั น้นั คาตอบถูกตอ้ ง

หรือวธิ ีการคดั ออกสิบเอด็ ทาย่อ ๆ ได้ดังนี:้

จากสมการข้นั ตอนการหาร 4274 =178(24) + 2

จากวิธีคดั การออกสิบเอด็ 4 − 7 + 2 − 4 = 8−7 +1(4 − 2) + 2

−5 = (2)(2) + 2

แตเ่ ศษเหลือ ตอ้ งเป็ นบวก ดงั น้นั −5+11= (2)(2) + 2

6=6

10

1.2. เวทคณิตช่วยให้มีทางเลือกวธิ ีคิดคานวณได้หลากหลาย (Spreads diversity)
เวทคณิตเน้นวิธีการคานวณจากซ้ายไปขวา (Calculation from left to right)”
และ เวทคณติ เป็ นการคิดเลขทใี่ ช้พื้นทนี่ ้อยท่ีสุด (Least area for calculation)

เวทคณิตสร้างสรรค์วธิ ีการคานวณได้หลากหลายวิธีกล่าวคือ
ปัญหาท่ีวิธีคิดเลขแบบเวทคณิตพยายามหลีกเล่ียงการทด ไปยงั หลกั ถดั ไป ใหน้ อ้ ยลง มากท่ีสุดและเพือ่

บรรลุเป้าหมายใหเ้ กิดการคิดเลขเร็วและถกู ตอ้ งมากท่ีสุดแลว้ อีกเร่ืองหน่ึงที่เวทคณิตยงั ไดเ้ สนอวิธีการบวก การ
ลบ การคูณและเลขที่หลากหลาย (Diversity) วิธีอีกดว้ ย การบวกมีวิธีใหเ้ ลือกที่จะพฒั นาตนเองตามความ
เหมาะสมกบั ความสามารถและความถนดั แตล่ ะบุคคล หรือสามารถควบรวมประยกุ ตว์ ิธีการบวกใหเ้ ขา้ กนั ซ่ึง
จะทาใหเ้ กิดระบบการคิดเลขเร็วได้
1.2.1. เวทคณติ สาหรับการบวก

การบวกมีใหเ้ ลือก ใชไ้ ด้ 5 วิธี ดงั น้ี

(1) การบวกด้วยวธิ ีการจัดกล่มุ ให้ครบสิบและกลุ่มไม่ครบสิบ

ในเวทคณิต เป็นการบวกดว้ ยสูตรที่ 8 ปรู ณาปูรณาภยาม

(Sutra 8 Pūraṇāpūraṇābhyām = सतू ्र ८ परू णापूरणाभ्ा)ंा

ตวั อย่าง การบวกดว้ ยการจดั กลมุ่ ใหค้ รบสิบและกล่มุ ไม่ครบสิบ
การบวกดว้ ยวธิ ีน้ี คอื พยายามจดั รวมกลุม่ ตวั เลขสองตวั หรือมากกวา่ สองตวั ให้บวกกนั แลว้ มีผลลพั ธ์

เป็น 10 หรือพหุคูณของ 10 ก็จะเหลือตวั เลขหรือกลุ่มตวั เลขท่ีรวมกนั ไมค่ รบสิบ
ตัวอย่าง หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ีโดยการบวกดว้ ยการจดั กลุ่มใหค้ รบสิบและกลมุ่ ไมค่ รบสิบ

1. 5 + 6 + 4 + 5 + 3+8 + 2 + 7 +1 = (5 + 5) + (6 + 4) + (3+ 7) + (8 + 2) +1 = 41
2. 6 +10 + 9 + 2 + 30 + 20 +8 + 40 + 2 + 2

= (10 + 30 + 20 + 40) + 9 + (2 + 8) + (2 + 2 + 6)

=100 + 9 +10 +10 =100 + 9 + (20) =129

3. 10 + 7 + 20 + 30 + 5 + 20 + 4 + 8 + 40 + 2 + 3+11

= (10 + 20 + 20 + 30 + 40) + (7 + 3) + (5 + 4 +11) + (8 + 2)

=120 +10 + 20 +10 =160

4. 3+ 7 + 30 + 9 + 5 + 2 + 90 +1+ 3

= (3+ 7) + (30 + 90) + (9 +1+ 3+ 5 + 2)

=10 +120 + 20 =150

5. 17 +19 + 3+ 21+15 +12 +18 +15

= (17 + 3) + (19 + 21) + (15 +15) + (12 +18)

11

= 20 + 40 + 30 + 30 =120

(2) การบวกด้วยวธิ กี ารแยกจานวนให้อย่ใู นรูปผลบวกหรือผลต่างของพหุคูณของสิบ
ในเวทคณิต เป็นการบวกดว้ ยสูตรที่ 7 สูตรสงั กลนะ วฺยวกลนาภยามฺ

(Sutra 7 Sankalana– vyavakalanābhyām = सूत्र ७ संका लन व््वकलनाभ्ाां )

ตัวอย่าง หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี
วธิ ีทา ข้นั แรกใหแ้ ยกจานวนท่ีกาหนดใหอ้ อกเป็นจานวนยอ่ ย ๆ ในรูปผลบวกหรือผลตา่ งของพหุคูณของสิบกบั
เศษเหลือโดยการใชส้ มบตั ิการเปล่ียนหมู่และสมบตั ิการสลบั ท่ี

1. 7 + 9 = 7 + 3+ 6 = (7 + 3) + 6 =10 + 6 =16
หรือ 7 + 9 = 7 +10 + (−1) = 7 + (−1) +10 = 6 +10 =16

2. 46 + 8 = 40 + 6 + 8 = 40 + (4 + 2) + 8) = 40 + 4 + (2 + 8) = 40 + 4 +10 = 54
หรือ 46 + 8 = 46 +10 + (−2) = (46 + (−2)) +10 = 44 +10 = 54

3. 58 + 49 = (50 +8) + (40 + 9) = 50 + 40 +8 + 9
หรือ 58 + 49 = 58 + 50 + (−1) =108 + (−1) =107
หรือ 58 + 49 = 60 + (−2) + 50 + (−1) =110 + (−3) =107

4. 7 + 9 + 6 +8 = (10 −3) + (10 −1) + (10 − 4) + (10 − 2) = 40 −10 = 30
5. 18 +13+14 + 22 = (20 − 2) + (10 + 3) + (10 + 4) + (20 + 2)

= 20 +10 +10 + 20 + (2 + −2) + (3+ 4) = 67

(3) การบวกด้วยวิธใี ช้จุด (Addition Using Dot Method) หรือการบวกดว้ ยวิธีการเพมิ่ 1 กบั ตวั เลขท่ีอยู่
ถดั ไปขา้ งหนา้ ในเวทคณิต เป็นการบวกดว้ ยสูตรที่ 1 สูตรเอกาธิเกนะ ปรู เวณะ

(Stura 1 Ekādhikena Pūrveṇa = सूत्र १ एकाधिके न पवू णे )

การบวกด้วยวธิ ีการเพมิ่ 1 ให้กบั ตัวเลขท่ีอยู่ถัดไปข้างหน้า

ถา้ ลองพิจารณา การบวกเลข 458+ 749 ขา้ งลา่ งน้ีดว้ ยวิธีดง่ั เดิม

111 +

458

749

1 207

แต่วิธีเวทคณิตเป็นการบวกดว้ ยวิธีใชจ้ ุด กค็ ลา้ ยกบั วิธีด้งั เดิม เพยี งแต่แทนการทด 1 ดว้ ย จุด ( ) บนตวั เลขที่อยู่
หลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ เพ่อื แสดงถึงการเพิ่มดว้ ย +1 (1 = ) ท่ีตวั เลขหลกั ขา้ งหนา้ น้ี ดว้ ยเหตุเช่นน้ีเวลาบวกเลข
ของแตล่ ะหลกั ของ ตวั ต้งั และตวั บวก ผลบวกของแต่ละหลกั จะไม่เกินเกา้ (9) น่ีคอื เหตุผลท่ีกล่าวมาแลว้
ขา้ งตน้ และยงั เสนอการคดิ เลขจากซ้ายไปขวา (Calculation From Left to Right) และ ระบบวิธีการคิดเลขแบบ

วธิ กี ารแยกหลกั (Digit Separator Method)

12

ระบบการคดิ เลขของเวทคณิตน้นั เป็นระบบวิธีการคิดเลขแบบวธิ ีการแยกหลกั ที่จะช่วยใหค้ ดิ เลขไดเ้ ร็ว
และลดโอกาสที่จะผิดพลาดเพราะแต่ละหลกั จะไดผ้ ลลพั ธ์เป็นเลขโดด (Digital) โดยแตล่ ะหลกั จะเป็นอิสระต่อ
กนั ดงั น้นั “การทดจึงไม่มีผลต่อการบวก”
การบวกด้วยวธิ ใี ช้จดุ (Addition Using Dot Method) แบบเวทคณิตเป็ นดงั นี้

458

749

1 207

ข้นั ตอนการคิด
1. สารวจตวั เลขแตล่ ะหลกั จะเร่ิมจากซา้ ยไปขวา หรือ ขวาไปซา้ ยกไ็ ด้ ถา้ พบวา่ ผลบวกตวั เลขหลกั ใดมากกว่าเก้า

(9) ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขท่ีอยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้

ในตัวอย่างนี้ พบว่า หลกั หน่วย 8+ 9  9 ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลข 5 (5 = 6) ที่หลกั สิบ

หลกั สิบ 5+ 4  9 ใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขหลกั ร้อยคือ 4 = 5
หลกั ร้อย 4+ 7  9 ในทานองเดียวใหใ้ ส่จุด ( ) บนตวั เลขหลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ แต่ ไมม่ ี
ตวั เลขปรากฎอยู่ ซ่ึงท่ีจริงเป็นตาแหน่งของเลขหลกั พนั ใหเ้ ขียนจุด ( ) ลอย ๆ ขา้ งบนแถวเดียวกนั กบั จุด ( ) ที่
เขียนมาแลว้ ขา้ งตน้
2. หาผลบวกแต่ละหลกั จากซา้ ยไปขวา ดว้ ยวิธีการบวกด้วยวิธีการจัดกล่มุ ให้ครบสิบและกล่มุ ไม่ครบสิบ

458

749

1 207

→ +4 + 7 → +5 + 4 → 8 + 9

( +ค4รบ+ส5ิบ) +2 +5 + 4 7 +ค(ร1บ+สิบ9) = 1207
ครบสิบ
หน่ึงพนั สิบ สองร้อย สิบ เจ็ดสิบ

อ่านคาตอบ แยกแต่ละหลกั ดว้ ย ตวั เลขโดดที่ไมค่ รบสิบ คิดเลขจากซา้ ยไปขวา (Calculation From Left to Right)

และ ระบบวิธีการคดิ เลขแบบวธิ ีการแยกหลกั (Digit Separator Method)

น่คี ือ ข้อเสนอของเวทคณิตคิดเร็ว

13

(4) การบวกด้วยการใช้ขบวนการศุทธกิ ารัน (Addition Using Sudhikaran process)

การบวกดว้ ยวธิ ีใชจ้ ุด (Addition Using Dot Method) เป็นการบวกท่ีแทนการทด 1 ดว้ ยจุด ( ) ใน

เวทคณิตยงั มีการบวกดว้ ยขบวนการศุทธิการัน (Sudhikaran process) เป็นการบวกต่อเนื่องในแตล่ ะหลกั น้นั เมื่อ
ครบสิบก็ใส่จุดบนตวั เลข ณ หลกั น้นั แลว้ นาเศษเหลือจากการครบสิบไปบวกกบั ตวั เลขถดั ไปในหลกั น้นั เป็น
เช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนตวั เลขตวั สุดทา้ ยของหลกั น้นั เศษเหลือท่ีไม่ครบสิบ นาไปใส่ในช่องคาตอบของหลกั น้นั ๆ

การดาเนินการบวกก็เช่นเดียวกบั การดาเนินการบวกดว้ ยวิธีใชจ้ ุดแตไ่ มน่ าจุดไปใส่บนตวั เลขถดั ไป
ขา้ งหนา้ ในเวทคณิตเรียกวธิ ีการบวกแบบน้ีวา่ การบวกด้วยขบวนการศุทธิการัน
ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี 379 +854 + 767 + 426
วธิ ีทา เขยี นตวั เลขแต่ละหลกั ของแตล่ ะจานวนใหต้ รงกนั ตาแหน่งตอ่ ตาแหน่ง

37 9 37 9 37 9
854 854 8 54
76 7 76 7 767
426 426 426
26 242 6
6

ตัวอย่างที่ 2 หาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี 78924+ 27272+ 99999+ 72672
วธิ ที า เขยี นตวั เลขแต่ละหลกั ของแต่ละจานวนใหต้ รงกนั ตาแหน่งต่อตาแหน่ง

7892 4 789 24
2727 2
9999 9 2727 2
726 7 2 99999

67 726 7 2
278867

14

(5) การบวกด้วยอุปสูตรศุทธะ (उपसतू ्र १५ = Upasutra 15 Śūddha)
การบวกดว้ ยอุปสูตรศทุ ธะ เป็นเอกลกั ษณ์เฉพาะของการคดิ เลขเร็วในเวทคณิต เมื่อดาเนินการบวก

การลบ การคณู และการหาร ส่วนใหญแ่ ลว้ เป็นเรื่องธรรมดาในระบบวธิ ีคิดแบบด้งั เดิม

แต่ในเวทคณิตที่จะศึกษาการลบ การคูณและการหารในบทตอ่ ๆ ไปน้นั จะมีเทคนิคหลากหลายในการ

คิดเลขเร็ว จึงจาเป็นตอ้ งมีรูปแบบเฉพาะของการบวกใหส้ อดคลอ้ งกบั การดาเนินการกระทาท่ีจะศึกษา ตอ่ ไป

นนั่ คอื เป็นการแยกหาผลบวกสุทธิของแตล่ ะหลกั โดย ไมเ่ กี่ยวขอ้ งกนั ก่อนจนครบทุกหลกั แลว้ จึงจะมา

หาผลลพั ธ์สุทธิ เป็นข้นั สุดทา้ ย เป็นคาตอบของการบวกน้นั

ตัวอย่างที่ 1 หาผลบวกของ 48+165

วิธที า ข้นั ตอน 48 +165

1. จดั ตาแหน่งแตล่ ะหลกั ของสองจานวนใหต้ รงกนั 0 48

ใส่ 0 ในกรณีที่จานวนน้นั มีตวั เลขไมค่ รบหลกั 1 65

ขดี เส้นคนั่ แต่ละหลกั

ในกรณีน้ีคือหาผลบวกสุทธิแต่ละหลกั

2. หาผลบวกแตล่ ะหลกั ถึงแมว้ า่ ผลบวกแตล่ ะหลกั มากกวา่ 0 48
หรือเทา่ กบั 10 ก็ใส่ผลลพั ธ์ของแต่ละหลกั ไปก่อน 1 65

หลกั หน่วย 8+5 =13 หลกั สิบ 4 + 6 =10 1 10 13

หลกั ร้อย 0 +1=1
3. เน่ืองจากแต่ละหลกั ผลบวกสุทธิ จะตอ้ งเป็นตวั เลขโดดเพียงตวั เดียว ดงั น้นั จากการหาผลบวกแต่ละหลกั
ขา้ งตน้ จะตอ้ งมีขบวนการหาผลลพั ธ์ ต่อโดยนาคา่ ท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั 10 ของหลกั น้นั ๆ ไปบวกกบั หลกั
หน่วยหรือหลกั สิบของหลกั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ดาเนินการเช่นนี้ จนครบทุกหลกั ก็จะไดผ้ ลลพั ธส์ ุทธิ

048

165

1 10 13 = 2, 1, 3 = 213

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลบวกของ 234 + 403+ 564 + 721
วิธีทา 2 3 4

40 3

56 4

7 21

18 11 12 แลว้ หาผลบวก = 1922

15

1.2.2. เวทคณิตสาหรับการลบ
การลบ แบบด้งั เดิมน้นั ตอ้ งมีการยมื ในกรณีท่ีตวั ต้งั มีตวั เลขบางหลกั มีค่านอ้ ยกวา่ ตวั เลขของตวั ลบ อนั

เป็นปัญหาที่ทาใหก้ ารคดิ เลขชา้ และน่าเบื่อ วธิ ีการลบแบบเวทคณิตไดข้ จดั ปัญหาน้ี แทนท่ีจะลบแบบวธิ ีด้งั เดิม
กบั ใชก้ ารหาจานวนเติมเตม็ (Complement Number) แลว้ ใชก้ ารบวกแทนการลบ จึงไม่มีการยมื เลขหลกั ถดั ไป
ขา้ งหนา้ เหมือนวธิ ีด้งั เดิม เป็นการคดิ ดว้ ยวิธีการแยกหลกั (Digit Separator Method) และการลบก็ยงั มีวธิ ีให้
เลือกใชไ้ ดต้ ามความถนดั แต่ละบุคคลไดอ้ ีกดว้ ย
จานวนเตมิ เตม็ (Complement Number ) เป็ นความคิดริเริ่มในการคานวณ
วธิ คี ิด การหาจานวนเติมเต็มทรี่ วดเร็วจะทาอย่างไร เวทคณติ กล่าวถงึ สูตรนิขลิ มั

หรือ “ทุกตวั ครบเก้าแต่ตัวสุดท้ายครบสิบ”
เช่น หาจานวนเติมเตม็ 1000 ของ 871
หาได้ดงั นี้ 871 ถูกแบ่งตวั เลขโดดเป็น 2 ส่วนคือตวั เลขโดดทุกตวั ส่วนหนา้ และตวั เลขโดดตวั สุดทา้ ย

87 1

ในทีน่ ี้ ตวั เลขโดดส่วนหนา้ มีสองตวั เดียว คือ 8 , 7 หาตวั เลขที่มาบวกกบั 8 , 7 แลว้ ไดค้ รบเกา้ คอื 1, 2

87 1

12
และ 1 ตวั เลขตวั สุดทา้ ย หาตวั เลขท่ีมาบวกกบั 1 แลว้ ครบสิบ คอื 9

871

12 9

หรือกลา่ วอีกนยั หน่ึง คือ ตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 8 , 7 คือตวั เลขที่บวกกบั 8 , 7 แลว้ ครบเก้า (หรือทบเก้า) กค็ ือ
1, 2 และตวั เติมเตม็ สิบของ 1 คือตวั เลขที่บวกกบั 1 แลว้ ครบสิบ (หรือทบสิบ) ก็คือ 9 ซ่ึงเป็นตวั สุดทา้ ย
สรุปได้ว่า 129 เป็ นจานวนเตมิ เตม็ 100 ของจานวน 871
บทนิยาม 1 ครบเก้าหรือทบเก้า คือ การหาจานวนเตม็ บวกสองจานวนที่บวกกนั ไดเ้ ท่ากบั 9
บทนิยาม 2 ครบสิบหรือทบสิบ คือ การหาจานวนเตม็ บวกสองงจานวนท่ีบวกกนั ไดเ้ ท่ากบั 10
บทนยิ าม 3 ฐานหลัก (Theoretical Base ) หรือฐานสิบกาลงั เอน็ คือ จานวนท่ีเขียนอยใู่ นรูป 10n

เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก ไดแ้ ก่ 101 =10,100 =102,1000 =103,10000 =104,...
บทนิยาม 4 ฐานหมุนเวยี น (Working Base ) คือพหุคูณของฐานหลกั หรือพหุคณู ของฐานสิบกาลงั เอน็
ไดแ้ ก่ 20 = 210, 200 = 2102, 2000 = 2103, 20000 = 2104,...

30 = 310,300 = 3102,3000 = 3103,30000 = 3104,...

40 = 410, 400 = 4102, 4000 = 4103, 40000 = 4104,... เป็ นตน้

16

การลบในเวทคณิตมี 3 วธิ ี ดงั นี้

(1) วธิ ีการลบด้วยสูตรนขิ ิลมั นวตัสจรมัม ทศตหะ เรียกส้ัน ๆ ว่าสูตรนิขิลมั

การลบแบบเวทคณิตจะเนน้ ถึงการใชใ้ นการแกป้ ัญหาการท่ีตอ้ งใชเ้ วลานานใหอ้ ยภู่ ายในสองสามวินาที

เวทคณิตสาหรับการลบ ใชว้ ิธีท่ีแยกคดิ ในแต่ละหลกั เป็นอิสระต่อกนั กลา่ วคอื “หลกั หน่วยกระทากบั หลกั

หน่วย หลกั สิบกระทากบั หลกั สิบ หลกั ร้อยกระทากบั หลกั ร้อย เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ”

โดยที่แตล่ ะหลกั จะไม่มีการยมื จากหลกั ท่ีมีคา่ มากกวา่ แบบวธิ ีด้งั เดิม ดงั ในกรณีท่ีตวั เลขของตวั ต้งั มีค่า

นอ้ ยตวั เลขของตวั ลบ ณ หลกั เดียวกนั น้นั ดว้ ยการเปล่ียนการลบเป็นการบวก จึงเรียกวิธีการลบน้ีวา่ “วธิ ีการแยก

หลกั ( Digit Separator Method )”

การลบดว้ ยวธิ ีเวทคณิตเป็นการสับเปล่ียน (Transpose) การบวกแทนการลบ ดว้ ยการนา “สูตรทุกตวั

ครบเกา้ แตต่ วั สุดทา้ ยครบสิบหรือการลบดว้ ยสูตรนิขลิ มั ” น้ีไปหา จานวนเติมเตม็ ของตวั ลบ จากน้นั นาจานวน

เติมเตม็ ของตวั ลบ น้ีไปบวกกบั ตวั ต้งั ผลบวกที่ไดก้ จ็ ะเป็นคาตอบที่เป็นการลบของสองจานวนน้ี น่ีคือหลกั ของ

วธิ ีคิดเลขเร็วแบบเวทคณิต

ข้นั ตอนการคิดเป็ นดงั นี้

• เขยี นตวั ต้งั อยเู่ หนือตวั ลบ เช่นเดียวกบั วธิ ีด้งั เดิม โดยใหต้ วั เลขแต่ละหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบอยตู่ รง

ตาแหน่งหลกั เดียวกนั

• หาจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบ ดว้ ยวิธี “สูตรทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขิลมั ” ได้

ผลลพั ธ์เป็นจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบน้ีแลว้

• จากน้นั นาจานวนเติมเตม็ ของตวั ลบ น้ีไปบวกกบั ตวั ต้งั (ดว้ ยการบวกวธิ ีใชจ้ ุดหรือวธิ ีการเพิ่ม 1 กบั

ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ส่วนผลบวกหนา้ สุดท่ีเกินอยู่ 1 ของผลบวกสองจานวนน้ี ใหต้ ดั ทิง้ ) ก็จะ

เป็นผลลบที่เป็นคาตอบของตวั ต้วั ต้งั และตวั ลบตามที่กาหนดให้

ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 หาคา่ ของ 729351− 432134

วธิ ีทา ตวั ลบคือ 432134 เป็นจานวนท่ีประกอบดว้ ย 6 หลกั แสดงวา่ จะตอ้ งหาจานวนเติมเตม็ ของ

1,000,000 (มีศูนย์ 6 หลกั ) ของ 432134 ด้วยวิธี “ทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบหรือสูตรนิขิลมั ”

ดงั น้นั ตวั เติมเตม็ เกา้ ของ 4,3,2,1,3 คอื 5,6,7,8,6 ตามลาดบั และตวั เติมเตม็ สิบของ 4 คอื 6 ซ่ึงเป็นตวั

สุดทา้ ยของตวั ลบ ไดจ้ านวนเติมเตม็ ของ 432134 คือ 567866 −

แลว้ หาผลบวกของ 729351 กบั 567866 แลว้ ตดั เลข 1 ท่ีอยขู่ า้ งหนา้ สุดทิ้ง ดงั น้ี

7 2 9 351  จานวนเติมเตม็ −

5 6 7 8 6 6−

4 3 213 4

1 2 9 7 2 1 7 = 297217

17

ในกรณตี ัวต้งั น้อยกว่าตัวลบ

การลบในกรณีท่ีตวั ต้งั มีค่านอ้ ยกวา่ ตวั ลบคาตอบเป็นจานวนลบ อนั เนื่องมาจากบทนิยามการลบ

บทนยิ าม การลบ a − b = a + (−b) = −(b − a)
สามารถดาเนินการไดเ้ ช่นเดียวกบั วิธีการลบที่แสดงมาแลว้ ขา้ งตน้ ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้

ตวั อย่างท่ี 2 หาคา่ ของ 11824 −35567
วธิ ีทา จากนิยามการลบ a − b = −(b − a) ดงั น้นั 11824 −35567 = −(35567 −11824)

ข้นั แรก หา 35567 −11824 → 35567

−

88 1 7 6

118 2 4

1237 43

ข้นั สุดทา้ ย 11824 −35567 = −(35567 −11824) = −(23743) = −23743

(2) การลบด้วยวธิ ีวินคิวลมั (Vinculum Method)

วินคิวลมั ( Vinculum) เป็นคาในภาษาละติน ตรงกบั ภาษาองั กฤษ บาร์ (Bar) หมายถึงเส้นตาม

แนวนอน (−) ใชเ้ ป็นสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ เป็นเครื่องหมายบาร์ หรือ เรียกวา่ สญั กรณ์บาร์ (Bar

Notation) เขยี นสญั กรณ์บาร์ บนตวั เลขแทนตวั เลขลบ เช่น 1 = −1, 2 = −2, 3 = −3, ..., 9 = −9 แต่

0 = 0 เรียกจานวนเหล่าน้ีวา่ จานวนบาร์ (Bar Number)

1 อา่ นวา่ บาร์หน่ึง 2 อา่ นวา่ บาร์สอง 3 อา่ นวา่ บาร์สาม เป็นตน้

จากความรู้ ทุกตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ (สูตรนิขลิ มั )

และโดยการเพิม่ 1 กบั ตวั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ (สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ)

นาไปใชด้ าเนินแปลงเลขโดดบวกของจานวนปกติให้เป็นเลขโดดคละของเลขโดดบวกหรือเลขโดดลบ เป็น

จานวนจานวนบาร์ (หรือจานวนท่ีติดเครื่องหมายบาร์) แตค่ า่ ของจานวนน้นั ไมเ่ ปล่ียน

สรุป วธิ ีวนิ ควิ ลมั คือ การแปลงจานวนปกติเป็นจานวนท่ีมีตวั เลขติดเคร่ืองหมายบาร์ ซ่ึงเรียกวา่ “จานวนบาร์”

วิธีแปลงจานวนปกติ (Natural Number) เป็นจานวนบาร์ (Bar Number) มีข้นั ตอนดงั น้ี

• หาตวั เติมเตม็ (Complement ) ของแต่ละตวั ของจานวนน้นั ดว้ ยสูตรนิขลิ มั ท่ีกาหนดให้ และใส่

สัญกรณ์บาร์ (Bar Notation)

• แลว้ ใชว้ ธิ ี โดยเพม่ิ 1 ของตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้

จานวนปกติ วิธีแปลง จานวนบาร์

6 10 − 4 14
97 100 − 3 103
291 = 311
289 290 −1 = 300 −11

18

แผนภาพแสดง การแปลงจานวนปกตเิ ป็ นจานวนบาร์

เช่น แปลง 46798 เป็นจานวนบาร์ ใชส้ ูตรนิขลิ มั และสูตรเอกาธิเกนะ ปรู เวณะ

จานวนปกติ 4 679 8

สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ +1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขิลมั

จานวนบาร์ 5 3 2 0 2 = 53202

เพราะฉะน้นั แสดงวธิ ที าลดั ได้ดงั นี้ +1

46798 = 4 3202 = 53202

ข้อสังเกต การแปลจานวนปกติเป็นจานวนบาร์จะไดจ้ านวนบาร์ไดห้ ลายรูปแบบข้ึน อยกู่ บั ท่ีผแู้ ปลงมี

จุดประสงคจ์ ะนาไปใชใ้ นการคานวณ

เช่น ถา้ เราจะแปลง 4 6 7 9 8 เฉพาะตวั เลขที่ขีดเสน้ ใต้ ของส่วนที่ตอ้ งการจะแปลง กจ็ ะแสดงไดด้ งั น้ี

จานวนปกติ 4 6 79 8

สูตรเอกาธิเกนะ ปรู เวณะ +1 ครบสิบ +1 ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขลิ มั

จานวนบาร์ 5 4 8 0 2 = 54802

ในทางกลบั กนั แปลงจานวนบาร์ กลบั ไปเป็ น จานวนปกติ

ถา้ เราจะแปลงจานวนบาร์กลบั ไปเป็นจานวนปกติ ซ่ึงเป็นการกระทาในทางตรงกนั ขา้ มของวธิ ีแปลง

จานวนปกติเป็นจานวนบาร์ สูตรท่ีใชใ้ นเวทคณิตน้นั กม็ ีสองสูตร คือ

- ทุกตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ (สูตรที่ 2 สูตรนิขลิ มั ) แตใ่ ช้

- จานวนท่ีนอ้ ยกวา่ อยหู่ น่ึงของตวั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ (สูตรท่ี 14 เอกนั ยเู นนะ ปรู เวณะ)

ดังน้นั จากจานวนบาร์ 53202

ท่ีกล่าวมาขา้ งตน้ เมื่อตอ้ งการแปลงกลบั ไปเป็นจานวนปกติ เรากห็ าตวั เติมเตม็ เกา้ ของเลขโดดที่ติด

เครื่องหมายบาร์ทุก ๆ ตวั ท่ีอยขู่ า้ งหนา้ ตวั สุดทา้ ยท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์ คือ 3, 2, 0 → 6,7,9

และตวั สุดทา้ ยหาตวั เติมเตม็ สิบ ท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์ (2 → 8) ของจานวนบาร์ น้นั โดยตวั เติมเตม็ ที่หาได้

ท้งั หมดน้นั ทุกตวั จะตอ้ งไมต่ ิดเครื่องหมายบาร์ แลว้ ในทางตรงกนั ขา้ ม ใหล้ ดค่า (−1) ของตวั เลขโดดที่อยู่

ขา้ งหนา้ ตวั เลขท่ีติดเครื่องหมายบาร์น้นั กจ็ ะไดเ้ ป็นจานวนปกติ

จานวนบาร์ 5 32 0 2

สูตรเอกนั ยเู นนะ ปรู เวณะ −1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขิลมั

จานวนปกติ 4 67 9 8

ดังน้นั −1

53202 = 5 6798 = 46798

19

หรือ จานวนบาร์ 54802 เราจะแปลงจานวนปกติ 46798 กจ็ ะแสดงไดด้ งั น้ี

จานวนบาร์ 5 480 2 = 54802

สูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ −1 ครบสิบ −1 ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขลิ มั

จานวนปกติ 4 67 9 8 = 46798

บทนยิ าม 1 จานวนบาร์ (Bar Number) คือจานวนท่ีแปลงจากจานวนปกติใหม้ ีตวั เลขเหล่าน้นั อยา่ งนอ้ ยหน่ึง

หลกั เป็นเลขลบโดยเขียนสัญกรณ์บาร์อยบู่ นตวั เลขเรียกวา่ เลขบาร์ โดยท่ีคา่ ของจานวนบาร์ยงั คงเทา่ กบั

จานวนปกติเดิมน้นั

สรุป วิธีการแปลงตวั เลขปกติเป็นตวั เลขบาร์มีข้นั ตอนท่ีใชด้ งั น้ี

• เมื่อกาหนดตวั เลขโดด ณ หลกั ใด ๆ ที่จะแปลงเป็นตวั เลขติดเคร่ืองหมายบาร์ไดแ้ ลว้ ก็ใชว้ ธิ ีหาครบสิบ
ของตวั เลขน้ีกจ็ ะไดต้ วั เติมเต็มสิบ ส่วนตวั เลขถดั ไปที่อยขู่ า้ งหนา้ ก็ใชว้ ิธีหาครบเกา้ ก็จะไดต้ วั เติมเตม็ เกา้

จะหาก่ีตวั ก็ไดแ้ ลว้ แต่ท่ีจะกาหนด (โดยการใช้ สูตรนขิ ิลมั )

• เม่ือสิ้นสุดการใชส้ ูตรนิขิลมั ตามท่ีกาหนดใหแ้ ลว้ ก็ใหเ้ พิ่ม 1 กบั ตวั เลขที่อยหู่ ลกั ถดั ไปขา้ งหนา้ ของ
ตวั เลขน้นั (โดยการใช้สูตรเอกาธิเกนะ ปรู เวณะ)

ตัวอย่างท่ี 1 แสดงการเปลี่ยนจานวนปกตเิ ป็ นจานวนบาร์

(1) เปล่ียนจานวน 438 ใหเ้ ป็น จานวนท่ีจะติดเครื่องหมายบาร์ท่ีตวั เลข 8 เพียงตวั เดียว

วิธีการเป็ นเช่นนี้ ท่ีตวั สุดทา้ ย 8 หาตวั เลขที่นามาบวกกบั 8 แลว้ ไดค้ รบสิบกค็ อื 2 จากน้นั ใส่สญั กรณ์บาร์

หรือเครื่องหมายบาร์บน 2 เป็ น 2 ส่วนตวั เลขท่ีอยขู่ า้ งหนา้ 2 คือ 3 ใหเ้ พิ่ม 1 คือ +1 กจ็ ะไดเ้ ป็นแบบน้ี

3=4

+1 2

438 = 4 3 8 = 442

(2) เปล่ียนที่สองตวั สุดทา้ ยของ 438

ในทานองเดยี วกนั ณ ท่ี 8 หาครบสิบคอื 2 และท่ี 3 หาครบเกา้ คอื 6 แลว้ เขยี น เครื่องหมายบาร์บน 2

(2) และ 6 (6) จากน้นั เพิ่ม ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 3 คอื 4 +1

(4)

ไดจ้ านวนที่ติดเครื่องหมายบาร์ เป็นแบบน้ี

+1 6 2

438 = 4 38 = 562

(3) หรือ เปลี่ยนทุกตวั ของ 438 ใหต้ ิดเคร่ืองหมายบาร์

จากตวั ทา้ ยสุดท่ี 8 หาครบสิบคือ 2 ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 8 ทกุ ตวั 3,4 หาครบเกา้ คือ 6,5 แลว้ ใส่สญั กรณ์

บาบน 2 (2) และ 6 (6) กบั 5 (5) จากน้นั เพมิ่ 1ใหก้ บั ตวั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 4 ไม่มี กค็ ือ 0

ดงั น้นั ตอ้ งได้ +1 ไดจ้ านวนท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์ เป็น แบบน้ี

(0 = 1)

+1 5 6 2

438 = 0 438 = 1562

20

ตวั อย่างที่ 2 เปลี่ยน 421387120 เป็นจานวนบาร์เฉพาะตวั เลขบนเส้นท่ีขดี เสน้ ใตข้ องจานวนน้ี

421387120

วิธกี าร ในทานองเดียวกนั กบั ตวั อยา่ งท่ี 1 จากตวั เลขท่ีขีดเส้นใต้ 871

ในชุดน้ี เป็นตวั เลข 1 เป็นตวั เลขทา้ ยสุดใหห้ าครบสิบของ 1 คอื 9 ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 1 ทุกตวั คอื 8,7 หา

ครบเกา้ คือ 1,2 แลว้ ใส่เครื่องหมายบาร์บน 9 (9) และ 1 (1) กบั 2 (2) จากน้นั เพิ่ม 1 ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไป

ขา้ งหนา้ ของ 8 ( 421387120) คอื 3 ดงั น้นั ได้ +1

(3 = 4)

ดงั น้นั 421387120 = 421412920

หรือ อาจจะเปล่ียน 421387120 เป็นจานวนบาร์เฉพาะตวั เลขบนเสน้ ท่ีขีดเส้นใตข้ องจานวนน้ีเช่น

421387120

จาก ตวั เลขแตล่ ะชุดที่กาหนดใหน้ ้นั คือ 21 และ 7120

ดังน้ัน ชุดแรก 21 ในชุดน้ีมีตวั เลขสองตวั ตวั สุดทา้ ยคือ 1 หาครบสิบคอื 9
ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 1 คือ 2 หาครบเกา้ คอื 7

แลว้ เคร่ืองหมายบาร์บน 9 (9) และ 7 (7) จากน้นั เพิม่ 1 ใหก้ บั ตวั ท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ 2 คอื 4

ดงั น้นั ได้ +1

(4 = 5)

เพราะฉะน้นั +1 7 9

421387120 = 4 21387120 = 579387120

ส่วนชุดที่ 2 7120 เน่ืองจากตวั สุดทา้ ยคอื 0 แต่ 0 = 0 จึงไม่จาเป็นตอ้ งเปลี่ยน เมื่อเป็นเช่นน้ีส่วนท่ีจะ
เปลี่ยนตวั เลขติดเครื่องหมายบาร์คือ 712

ตวั สุดทา้ ยของชุดน้ีคือ 2 หาครบสิบคือ 8
ส่วนตวั เลขขา้ งหนา้ 2 คือ 7,1 หาครบเกา้ คือ 2,8
แลว้ เครื่องหมายบาร์บน (8) และ 2 (2) , 8 (8) ตามลาดบั จากน้นั เพม่ิ 1 ใหก้ บั ตวั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของ

7 คอื 8 ดงั น้นั ได้ +1

(8 = 9)

เพราะฉะน้นั +1 2 8 8

421387120 = 5793 8 712 0 = 579392880

ข้อสังเกต มีหลายวธิ ีการในการแปลงจานวนปกติใหเ้ ป็นจานวนบาร์ไดห้ ลายรูปแบบที่แทนจานวนน้นั ได้

21

บทนิยาม จานวนวินควิ ลมั (Vinculum Numbers) คือจานวนบาร์ ท่ีตวั เลขแตล่ ะหลกั ของจานวนวินคิวลมั น้นั มี

คา่ ไมม่ ากกวา่ 5 เช่น 12 ,103 ,311 , 10435 ,3 145 ,…

ตวั อย่าง แสดงวธิ ีการแปลงจานวนปกตเิ ป็ นจานวนวนิ ควิ ลมั

ตัวอย่างท่ี 1 แปลง 46798 ใหเ้ ป็นจานวนวินคิวลมั โดยแต่ละหลกั มีคา่ ไม่เกิน 5

วธิ ีแปลง จานวนปกติ 46798 เป็นจานวนวินคิวลมั กไ็ มต่ า่ งจากการแปลงจานวนปกติเป็นจานวนบาร์

(Bar Number) เพยี งแตพ่ ิจารณาก่อนวา่ ในจานวนปกติที่กาหนดใหน้ ้ีมีตวั เลขหลกั ใดที่มีค่ามากกวา่ 5 กแ็ ปลง

ตวั เลขเหลา่ น้นั ใหเ้ ป็นจานวนบาร์ โดยที่เม่ือแปลงเป็นจานวนบาร์ แลว้ ทุก ๆ หลกั ของจานวนบาร์ตอ้ งมีค่าไม่

เกิน 5 ก็เทา่ น้นั เอง

ดงั น้นั 46798 ท่ีพบวา่ มีเลขโดด 6798 มีค่าเกิน 5

จานวนปกติ 4 679 8

สูตรเอกาธิเกนะ ปูรเวณะ +1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขิลมั

จานวนวินควิ ลมั 5 32 0 2

น่นั คือ ดาเนินการหา ตวั เติมเตม็ 9 (ดว้ ยวิธีหาครบเกา้ ) ของ 6,7,9 คอื 3,2,0 ตามลาดบั

และ ตวั สุดทา้ ย 8 หาตวั เติมเตม็ สิบ (ดว้ ยวิธีหาครบสิบ) คอื 2

แลว้ ใส่เคร่ืองหมายบาร์ (−) บนตวั เติมเตม็ เหล่าน้ี ไดเ้ ป็น 3, 2, 0 และ 2 ตามลาดบั หลงั จากน้นั

ก็ใชส้ ูตร “โดยเพมิ่ 1 ของตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ”

ในท่ีน้ีคอื ขา้ งหนา้ ที่ถดั ไปของ 6798 คือ 4 ตอ้ งเพ่ิมดว้ ย +1 เป็น 5

เพราะฉะน้นั แสดงวธิ ที าได้ดังนี้ +1

46798 = 4 3202 = 53202

ในทางกลบั กนั แปลงจานวนวินควิ ลมั กลบั ไปเป็ นจานวนปกติ

ถา้ เราจะแปลงจานวนวินคิวลมั กลบั ไปเป็นจานวนปกติ กเ็ ช่นเดียวกบั การท่ีเราศึกษาการแปลงจานวน

บาร์เป็นจานวนปกติ เป็นกระทาในทางตรงกนั ขา้ มของวิธีแปลงจานวนปกติเป็นจานวนบาร์ สูตรที่ใชใ้ นเวท

คณิตน้นั ก็มีสองสูตร คือ สูตรทกุ ตวั ครบเกา้ แตต่ วั สุดทา้ ยครบสิบ แตใ่ ชส้ ูตรจานวนที่นอ้ ยกวา่ อยหู่ น่ึงของตวั ที่

อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้

ดงั น้นั จากจานวนวินควิ ลมั 53202 ที่กลา่ วมาขา้ งตน้ เม่ือเราจะแปลงกลบั ไปเป็นจานวนปกติ

เราก็หาตวั เติมเตม็ 9 ของเลขโดดท่ีติดเคร่ืองหมายบาร์ทกุ ๆ ตวั ท่ีอยขู่ า้ งหนา้

53202 → 3, 2, 0 → 6,7,9

แต่ ตวั สุดทา้ ยที่ติดเคร่ืองหมายบาร์ คือ 2 หาตวั เติมเตม็ ที่ติดเคร่ืองหมายบาร์ (2 → 8) ของจานวนวนิ ควิ ลมั น้นั
โดยตวั เติมเตม็ ท่ีหาไดท้ ้งั หมดน้นั ทุกตวั จะตอ้ งไม่ติดเครื่องหมายบาร์ และแลว้ ในทางตรงกนั ขา้ ม ใหล้ ดคา่ ลง
หน่ึง (−1) ของตวั เลขโดดท่ีอยขู่ า้ งหนา้ ตวั เลขที่ติดเคร่ืองหมายบาร์น้นั ก็จะไดเ้ ป็นจานวนปกติ

22

จานวนวนิ คิวลมั 5 32 0 2

สูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ −1 ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ ใชส้ ูตรนิขลิ มั

จานวนปกติ 4 67 9 8

ดงั น้นั −1

53202 = 5 6798 = 46798

(3) การลบด้วยวธิ ีวินควิ ลมั (Subtraction by Vinculum Method)

การลบดว้ ยวิธีวนิ คิวลมั เป็นการลบดว้ ยวิธีการแยกหลกั ( Digit Seperator Method ) และเป็นวิธี

ทางเลือกอีกวธิ ีหน่ึงของการคดิ เลขเร็ว แต่ตอ้ งมีความรู้วิธีการวินควิ ลมั อนั เป็นความคิดริเริ่มท่ีสร้างสรรค์

(Initiative) ดงั กลา่ วมาแลว้ ขา้ งตน้ คือการแปลจานวนปกติเป็นจานวนบาร์ และจากนิยามการลบ สามารถนามา

ประยกุ ตใ์ ชก้ ารดาเนินการลบกบั หลาย ๆ จานวนไดอ้ ยา่ งมีประสิทธิภาพ

นิยาม การลบ a − b = a + (−b) เมื่อ −b เป็นตวั ผกผนั การบวกของ b

เพราะวา่ b + (−b) = 0 สมบตั ิการมีการผกผนั

ดงั น้นั a − b = a + (−b) = a + b −b เขียนอยใู่ นรูปตวั เลขติดเครื่องหมายบาร์

เช่น 3+ (−8) = 3+ 8 = 5

9 + (−5) = 9 + 5 = 4

4 + (−4) = 4 + 4 = 0 = 0

−7 + 3 = 7 + 3 = 4

0+ 2 = 2+0 = 2

ข้นั ตอนการคิดของการลบด้วยวธิ วี นิ คิวลมั เป็ นดังนี้
• เขยี นตวั ต้งั อยเู่ หนือตวั ลบ โดยใหต้ วั เลขแตล่ ะหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบอยตู่ าแหน่งเดียวกนั
• ตวั ลบ เปลี่ยนเป็นจานวนบาร์ โดยตวั เลขทุกตวั ของตวั ลบใหใ้ ส่เคร่ืองหมายบาร์บนตวั เลขทุกตวั น้นั
• จากน้นั เปลี่ยนการลบเป็นการบวก โดยการหาผลบวกแต่ละหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบท่ีติด
เครื่องหมายบาร์ เป็นการบวกแบบปกติ
• ผลบวกท่ีไดใ้ หเ้ ปลี่ยนจากจานวนที่ติดเคร่ืองหมายบาร์เป็นจานวนปกติ ก็จะไดค้ าตอบของการลบท้งั
สองจานวนที่กาหนดใหน้ ้นั

ตวั อย่างท่ี 1 หาคา่ ของ 657 − 489 ดว้ ยวิธีวินควิ ลมั

วิธีทา 6 5 7 657 + ในที่น้ี 7 + 9 = 2

− 489 5+8 = 3

489

2 3 2 =168 6+ 4 = 2

คาตอบท่ีได้ 2 3 2 =168 ใชส้ ูตรนิขิลมั และสูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ เปล่ียนเป็นจานวนปกติ

23

ตวั อย่างท่ี 2 หาค่าของ 23451− 75643 ดว้ ยวธิ ีวนิ ควิ ลมั

วธิ ที า 2 3 4 5 1 2 3 4 51+

− 75643

75643

5 2 212

เพราะฉะน้นั 52212 = −(52212) = −(52192) = −52192

ตัวอย่างที่ 3 หาคา่ ของ 46578567 −32419089

วธิ ที า 4 6 5 7 8 5 6 7 46578567+

− 32419089

32 419089

1416 1 5 2 2 9920979

เพราะฉะน้นั 14161522 =14259478 43 2 5 068
ตวั อย่างท่ี 4 หาค่าของ 5674932−9920979
วิธีทา ด้วยวิธีนิขลิ มั และ ใช้นิยามการลบ a − b = −(b − a) 5674932

ดังน้นั 5674932 −9920979 = −(9920979 −5674932) →

จานวนเติมเตม็ →

−1 4 2 4 6 0 4 7

= −4246047

แต่ ถา้ เราใชว้ ิธีลบดว้ ยวิธีวนิ คิวลมั ปัญหากจ็ ะหมดไปและทาใหก้ ารลบง่าย รวดเร็ว ดงั น้ี

5674932 56749 32+

− 9920979

9920979 4 3 5 4 0 4 7 = 4246047 = −4246047

24

(4) การลบด้วยวิธีครบสิบหรือการลบด้วยสูตรเอกาธิเกนะ ปรู เวณะ

จากความหมายทวั่ ไปของการลบคอื การนาเอาสิ่งของออกจากกลุม่ หรือความหมายอีกนยั หน่ึงคอื

วิธีการที่จะหาจานวนหน่ึงท่ีนาไปบวกกบั จานวนใดจานวนหน่ึงในสองจานวนท่ีกาหนดใหแ้ ลว้ ไดผ้ ลบวกหรือ

ผลรวม เป็นจานวนหน่ึงในสองจานวนน้นั สองจานวนน้นั คอื ตวั ต้งั (Minuend) และตวั ลบ (Subtrahend) และ

จานวนที่นาไปบวกน้นั คือเศษเหลือ (Remainder) ของการลบ คือผลต่างระหวา่ ง ตวั ต้งั กบั ตวั ลบ

การลบด้วยวิธีครบสิบหรือการลบด้วยวิธีทบสิบ เป็นวิธีการแยกหลัก ( Digit Seperator Method ) อีกวิธี

หน่ึง เป็นการลบท่ีควบรวมการบวกและการลบ และมีการใช้สูตรด้วยการเพมิ่ 1 ซึ่งแทนด้วย จุด ( ) ให้กบั

ตัวเลขถดั ไปข้างหน้าของตวั ลบ

ข้นั ตอนการการลบด้วยวิธคี รบสิบเป็ นดงั นี้

• เขียนตวั ต้งั อยเู่ หนือตวั ลบ โดยใหต้ วั เลขแตล่ ะหลกั ของตวั ต้งั กบั ตวั ลบอยตู่ าแหน่งเดียวกนั

• ที่ตวั ลบ ใหด้ าเนินการตวั เลขทกุ ตวั ของตวั ลบ ดงั น้ี ถา้ ตวั เลขของตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ต้วั ลบ ณ หลกั

เดียวกนั ใหล้ บกนั ไดเ้ ลย แต่ถา้ ตวั เลขของตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตวั เลขของตวั ลบ ณ หลกั เดียวกนั ใหใ้ ส่จุด ( )

ไวบ้ นตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ และจุด ( =1) น้ีใหบ้ วกกบั ตวั เลขถดั ไปน้ีดว้ ย ในขณะเดียวกนั หาตวั

เติมเตม็ สิบของหลกั ที่ดาเนินการอยนู่ ้ีแลว้ นาไปบวกกบั ตวั เลขตวั ต้งั เป็นคาตอบ ณ หลกั น้ี

• ดาเนินการเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จบครบทุกหลกั ผลลพั ธท์ ่ีครบทุกหลกั น้นั จะเป็นคาตอบของการลบ แตใ่ ช้

การบวกแทนการลบ

ตัวอย่างท่ี 1 หาคา่ ของ 493672− 249895

ข้นั ตอนการคดิ 493672 − 249895

ข้นั ที่ 1 จดั ตวั เลขแตล่ ะหลกั ของสองจานวนให้อยตู่ รงตาแหน่งเดียวกนั 493672
ถา้ จานวนที่ไมม่ ีเลขหลกั น้นั ใหใ้ ส่ 0 ตรงตาแหน่งน้นั
−

-
249895

ข้นั ที่ 2 พิจารณาตวั เลขของตวั ต้งั และตวั ลบท่ีละหลกั 493672

หลกั หน่วย 5  2 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คอื 9 =10 −
ขณะเดียวกนั หาตวั เติมเตม็ สิบของ 5 คือ 5 นาไปบวกกบั 2 ของตวั ต้งั
คอื 5+ 2 = 7 แลว้ นา 7 ไปใส่บนตาแหน่งหลกั หน่วยของคาตอบ 5-
หลกั สิบ 9 =10  7 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คอื 8 = 9 249895

หาตวั เติมเตม็ สิบของ 9 =10 คอื 0 นาไปบวกกบั 7 ของตวั ต้งั 7
คือ 0 + 7 = 7 แลว้ นา 7 ไปใส่บนตาแหน่งหลกั สิบของคาตอบ
493672

05

249895

77

25

หลกั ร้อย 8 = 9  6 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คอื 9 =10 493672

หาตวั เติมเตม็ สิบของ 8 = 9 คือ 1 นาไปบวกกบั 6 ของตวั ต้งั 105
คอื 1+ 6 = 7 แลว้ นา 7 ไปใส่บนตาแหน่งหลกั ร้อยของคาตอบ
หลกั พนั 9 =10  3 ใส่จุดบนเลขถดั ไปขา้ งหนา้ คอื 4 = 5 249895
777
หาตวั เติมเตม็ สิบของ 9 =10 คือ 0 นาไปบวกกบั ของตวั ต้งั
คือ 0 + 3 = 3 แลว้ นา 3 ไปใส่บนตาแหน่งหลกั พนั ของคาตอบ 493672
หลกั หมื่น 4 = 5  9 พบวา่ ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ สามารถลบกนั ได้
01 0 5
ดงั น้นั 9 −5 = 4 แลว้ นา 4 ไปใส่บนตาแหน่งหลกั หมื่นของคาตอบ
249895
ส่วนหลกั แสน พบวา่ 2  4 แสดงวา่ ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ
3777
สามารถลบกนั ไดเ้ ลย
ดงั น้นั 4− 2 = 2 แลว้ นา 2 ไปใส่บนตาแหน่งหลกั แสนของคาตอบ 493672
เพราะฉะน้นั 493672 − 249895 = 243777
01 0 5

249895
43777

493672

01 0 5

249895
243777

26

1.2.3. เวทคณิตสาหรับการคูณ

การบวกและการลบมีหลากหลายวธิ ีใหไ้ ดศ้ ึกษา ท้งั วธิ ีปกติทวั่ ไปและวิธีเทคนิคท่ีสามารถคิดเลขได้

รวดเร็ว และยงั เหมาะกบั การคานวณที่สองจานวนท่ีมีค่ามาก ๆ ซ่ึงวิธีแบบด้งั เดิมคดิ ไดต้ อ้ งใชเ้ วลาพอสมควร แต่

บางกรณีเวทคณิตสามารถที่จะคดิ เลขในใจไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว อนั เป็นจุดมงุ่ หมายของเวทคณิตคิดเร็ว นนั่ เอง

การคูณในเวทคณิตข้ันพื้นฐานมี 3 วิธี
- การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ เป็นวธิ ีที่ใชม้ ากท่ีสุด

- การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั

- การคณู ดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย

(1) การคูณด้วยสูตรแนวต้ังและแนวไขว้หรือการคูณด้วยสูตรอูรธวะ ติรยคั ภยาม

เป็นสูตรท่ี 3 ในเวทคณิต ใชส้ าหรับการดาเนินการคูณแบบทวั่ ไป (General Multiplication ) ของเลข
สองจานวน เป็นสูตรใชม้ ากที่สุดเพราะสามารถใชไ้ ดท้ ุกกรณีกบั การคณู เป็นวิธีท่ีส้นั และใชพ้ ้ืนท่ีนอ้ ยท่ีสุด
เพราะสามารถหาผลคณู ไดโ้ ดยดาเนินการหาผลคณู เพยี งบรรทดั เดียว และเป็นการพฒั นาการคณู จากซา้ ยไปขวา
เป็นการคณู มีสมบตั ิการสมมาตรและมีประโยชนม์ ากที่จะนาไปใชก้ บั การยกกาลงั สอง การหารท่ีตวั ต้งั และ
ตวั หารที่มีคา่ มาก ๆ
แบ่งวิธีการคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ได้ 2 กรณี

(1) กรณีตวั ต้งั และตวั คูณมีจานวนหลกั เท่ากนั
(2) กรณีตวั ต้งั และตวั คูณมีจานวนหลกั ไมเ่ ทา่ กนั

ตัวอย่างกรณีตวั ต้ังและตัวคูณมีจานวนหลกั เท่ากนั

ตวั อย่างท่ี 1 หาผลคูณของ 9449

วธิ ีคดิ ดาเนินการคดิ จากซา้ ยไปขวาและล่างข้ึนบนจากขวาไปซา้ ย

ไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั ) ไขวท้ แยงสองคู่ (แนวไขว)้ ไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั )
สมมาตร
สมมาตร แกนสมมาตร

94 94 94

49 49 49

6 47 6 7 6 = 4606
39 3
3 09

(9 4 = 36) (99 + 4 4 = 97) (9 4 = 36)

หมายเหตุ คูณจากลา่ งข้ึนบนคอื ลกู ศรสีแดงไปลกู ศรสีเขยี ว

27

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลคูณของ 321321
วธิ ีทา การดาเนินการคณู จากซา้ ยเล่ือนไปขวาและล่างข้นึ บนแต่ตอ้ งขา้ งหลงั ไปขา้ งหนา้

ข้นั ท่ี 1 ข้นั ท่ี 2 ข้นั ที่ 3 ข้นั ท่ี 4 ข้นั ที่ 5

3 21 3 21 3 21 3 21 3 21

3 21 3 21 3 21 3 21 3 21
9 92
920 9204 9 2 0 41
0 01 01 1 01 1 0 01 1 0 0

(33 = 09) (3 2 + 23 =12) (31+ 2 2 + 31 =10) (21+1 2 = 04) (11 =1)

สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร

ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคู่สมมาตร ไขวห้ น่ึงคู่สมมาตร

ผลคูณสมมาตร

9 2 0 41

01 1 0 0

จากน้นั ใหห้ าผลคูณสุทธิ 9 2 0 4 1 = 103041
01 1 0 0

ตวั อย่างท่ี 3 หาผลคณู ของ 78965879

วิธที า

7896 7896 7896 7896 7896 7896 7896

5879 5879 5879 5879 5879 5879 5879

3 5 56 568 5 6 81 56813 568133 5681334
39 395 3952 3 9 5 28 3 9 5 282 3 9 5 282 5

1 12 121 1 2 11 1 2 11

สมมาตร สมมาตร สมมาตร แกนสมมาตร สมมาตร สมมาตร สมมาตร

ไขวห้ น่ึงคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงส่ีคู่ ไขวท้ แยงสามคู่ ไขวท้ แยงสองคู่ ไขวห้ น่ึงคู่

หรือใช้วธิ ีหาผลบวกของผลคูณแนวต้งั และแนวไขว้ด้วยการบวกด้วยสูตรศุทธ

วธิ ที า 7 8 9 6



5879

35 96 158 221183 123 54 = 46420584

28

ในกรณีท่ตี ัวต้ังและตัวคูณมีจานวนหลกั ไม่เท่ากนั น้ัน

เราอาจยงั คงใชว้ ธิ ีการคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ แบบเดิมท่ีคูณเลขสองจานวนมีหลกั เท่ากนั ดว้ ย

การเติมศูนย์ ( 0 ) ลงไปบนหลกั ขา้ งหนา้ ของจานวนท่ีมีหลกั นอ้ ยกวา่ ใหม้ ีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนที่มีหลกั
มากกวา่ จนไดเ้ ลขสองจานวนน้นั มีจานวนหลกั เท่ากนั

แต่วิธีเช่นน้ี ไมเ่ ป็นวธิ ีการของเวทคณิตคิดเร็ว เวทคณิตมีวิธีประยกุ ตก์ ารคูณแนวต้งั และแนวไขวด้ ว้ ย

วธิ ีการเลื่อนคูณ (Moving Multiplication) แบบไขว้ทแยง

ตวั อย่างที่ 3 หาผลคูณ 4321321

วธิ ีทา (1) 4 3 2 1 การเล่ือนคณู ก็เช่นเดียวกบั การคณู แนวต้งั และแนวไขว้

 เขยี นตวั คูณ 321 ตรงตาแหน่งซา้ ยสุดเช่นเดียวกบั วธิ ีด้งั เดิม แลว้
หาผลคณู ไขวห้ น่ึงคู่ (ตามแนวต้งั ) ทางซา้ ยสุด 43 =12
3 21 หาผลบวกของผลการคณู ไขวท้ แยงสองคู่ 42+33 =17

2  ตามลาดบั

1

(2) 4 3 2 1

3 21

27  หาผลบวกของผลการคณู ไขวท้ แยงสามคู่ 41+32 + 23 =16
ข้นั ตอนน้ีเป็นข้นั ตอนสุดทา้ ยคร้ังแรก เพราะทกุ หลกั ของตวั คณู
11 

(3) 4 3 2 1

3 21

276 ไดค้ ูณครับแลว้ ข้นั ต่อไปจะตอ้ งเล่ือนคณู
11 1 ดงั น้นั ตอ้ งเลื่อนไปทางขวาที่ตาแหน่งที่ 2 ของตวั ต้งั
หรือใชว้ ิธีปิ ด ตวั เลข 4 (ตาแหน่งน้ีเสมือนเราเล่ือนคูณ) อีก
(4) 4. 3 2 1 

3 21

2760 ไปกล่มุ ตวั เลขอีกกลุ่มหน่ึง แลว้ หาผลคณู ไขวท้ แยงสามคู่

11 1 1

(5) 4 . 3 2 1 31+ 2 2 +13 =10

 จะเห็นไดว้ า่ เร่ิมเกิดการสมมาตรแบบการคูรแนวต้งั และแนนไขว้

3 2 1 หาผลบวกของผลการคูณไขวส้ องคู่ 21+12 = 04

27604 ข้นั สุดทา้ ยขวาสุด หาผลคูณไขวห้ น่ึงคู่ (ตามแนวต้งั ) 11= 01
ไดผ้ ลคณู สมมาตรทวภิ าค
11 1 1 0

(6) 4. 3 2 1



3 21

2 7 6 0 4 1 = 1387041 เป็นผลคณู สุทธิ

11 1 1 0 0

29

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลคูณของ 678345587
วิธที า มีการเล่ือนคูณ 3 คร้ัง
เนื่องจากตวั คูณมีสามหลกั ตวั ต้งั มีหกหลกั ใหป้ ิ ด ตวั เลขสามหลกั ทางขวาสุดของตวั ต้งั ก็จะได้ 678

6 7 8 3 4 5. เป็น ตวั เลขสามหลกั ทางหนา้ ของตวั ต้งั พอดี
บนตวั ต้งั น้ี คอื ปิ ด 345 แลว้ หาผลคณู 678 กบั 587


587

038 ไขวห้ น่ึงคู่ 65 = 30

38 3

1

ผลบวกของผลคณู ไขว้ สองคู่ 86+57 = 83

ผลบวกของผลคณู ไขวส้ ามคู่ 67 + 78+85 =138

เลื่อนคูณคร้ังท่ี 1

เล่ือนตวั เลขถดั ไปทางขวาของตวั ต้งั หน่ึงตวั ขณะเดียวกนั ใหป้ ิ ดตวั เลขขา้ งหลงั ของตวั ต้งั สองตวั

6 . 7 8 3 4 5. กจ็ ะเหลือตวั เลขของตวั ต้งั 783 ท่ีตอ้ งใชส้ าหรับการคูณกบั ตวั คณู
587 (จานวนหลกั เทา่ กนั 3 หลกั ) แลว้ ดาเนินการคูณไขว้


587

0388 ของ 783 กบั 587 เป็นผลบวกของผลคูณไขวส้ ามคู่

38 3 2

11

 77 +88 + 35 =128

เลื่อนคร้ังที่ 2 ในทานองเดียวกนั ใหเ้ ล่ือนเปิ ดตวั เลขถดั ไปทางขวาของตวั ต้งั อีกหน่ึงตวั

6 7. 8 3 4 5 . ขณะเดียวกนั กไ็ ปปิ ดตวั เลขขา้ งหนา้ ของตวั ต้งั เพิม่ เป็นอีกหน่ึงตวั
 เช่นกนั กจ็ ะเหลือตวั เลขของตวั ต้งั เป็น 834ท่ีตอ้ งใชส้ าหรับ

587

03880 การคณู กบั ตวั คูณ 587 เป็นผลบวกของผลคูณไขวส้ ามคู่

38 3 2 0

111

 87 + 83+ 45 =100

เล่ือนคร้ังท่ี 3 ในทานองเดียวกนั ให้ เล่ือนปิ ดตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั อีกหน่ึงตวั ขณะเดียวกนั กไ็ ปปิ ดตวั เลข

6 7 8. 3 4 5 ขา้ งหนา้ ของตวั ต้งั เพม่ิ เป็นสามตวั
คือปิ ด 678 เหลือ 345 แลว้ หาผลคณู 345 กบั 587


587 ผลบวกของผลคณู แนวไขวส้ ามคู่ 73+84+55 = 78

03880885 ผลบวกของผลคูณแนวไขวส้ องคู่ 74+85 = 68
และไขวห้ น่ึงคู่ (แนวต้งั ) 57 = 35
38 3 2 0 7 6 3

111

( เป็นผลคณู สมมาตร)

30

ดังน้นั 6 7 8 3 4 5



587

0 3 8 8 0 8 8 5 = 398188515 (ผลคูณสุทธิ)

38 3 2 0 7 6 3

111

(3) การคูณด้วยการใช้จานวนวนิ คูลมั (Multiplication by using the vinculum numbers)

เราจะพิจารณาเร่ืองการใชจ้ านวนวินคิวลมั ในการช่วยการคิดเลขอีกคร้ัง ซ่ึงไดอ้ ธิบายไปแลว้ จากเร่ือง

การดาเนินการลบแลว้ จะช่วยใหค้ ิดเลขงา่ ยและเร็วข้ึน ผลคณู ของตวั เลขแตล่ ะตวั ที่ในรูปจานวนวินคิวลมั

ดาเนินการ

ตวั อย่างการคูณเลขสองจานวนด้วยวิธีการวนิ คิวลมั

ตัวอย่างท่ี 1 หาผลคณู ของ 8996

วิธกี ารคูณ สังเกตสองจานวนท่ีกาหนดให้ ตวั เลขแต่ละหลกั มีค่าเกิน 5

ถา้ แปลงเป็นจานวนวนิ ควิ ลมั แลว้ หาผลคณู จะเป็นดงั น้ี

การคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

การคูณแบบจานวนปกติ การคูณดว้ ยวิธีวินคิวลมั

89 11 1
 

96 10 4

2 9 4 = 8544 1 1 5 4 4 =1 1544 = 8544
00 0 0
72 5

1

สังเกต ถา้ มีการฝึกฝนการคณู ดว้ ยวธิ ีวินคิวลมั จะทาใหล้ ดการคดิ เลขท่ีมีคา่ มาก ๆ ได้ ซ่ึงจะทาใหง้ ่ายและรวดเร็ว

มากข้ึนในการคดิ เลข เพราะสามารถลดเรื่องการทดไดเ้ ป็นอยา่ งมาก

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลคูณของ 896967

วิธีการคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

การคณู ดว้ ยจานวนปกติ การคูณดว้ ยจานวนวนิ คิวลมั

896 11 0 4


10 3 3
967

2 9 4 9 2 = 866432 1 1 3 4 3 2 2 =1134432

72694 000 0 0 1 1

11

= 866432

31

ตัวอย่างที่ 3 หาผลคณู ของ 89898898
วิธีทา ใช้วธิ กี ารวนิ คิวลมั 89898898 = 11011  11102

11 0 1 1



11 1 0 2

1 2 0 0 2 4 1 2 2 =120024122

00 0 0 0 0 000

(4) การคูณด้วยสูตรนิขลิ มั

การคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั เป็นการคูณรูปแบบเฉพาะ ใชไ้ ดด้ ีกบั ตวั ต้งั และตวั คูณมีค่าใกลฐ้ านหลกั
(Theoretical Base ) หรือจานวนกาลงั ของสิบ (power of 10) ไดแ้ ก่

101 =10,102 =100,103 =1000,...,10n เมื่อ n เป็ นจานวนเตม็ บวก
การคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั จึงเหมาะกบั การคูณเลขสองจานวน
เช่น 996998 จะเห็นไดว้ า่ สองจานวนน้ีมีค่าเขา้ ใกล้ 1000 หรือในทานองเดียวกนั
9997999999 สองจานวนน้ีมีคา่ เขา้ ใกล้ 100000 หรือ
1000001999998 สองจานวนน้ีมีคา่ เขา้ ใกล้ 1000000 เป็นตน้
เหตุใดการคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั จึงทาใหห้ าผลลพั ธ์ของการคูณไดเ้ ร็ว ? มีเทคนิคการคิดเลขเร็วอยา่ งไร ?
ลองพจิ ารณา ขบวนการคิดวิธีการคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั น้นั เป็นอยา่ งไร
เช่นตอ้ งการหาผลคณู ของ 996998 = 994008
วธิ ีคดิ เลขเร็วและสามารถคดิ ในใจคิดอยา่ งไร? เคลด็ ลบั อยทู่ ี่คา่ เบ่ียงฐาน (Deficiency)
ดังน้นั ก่อนอ่ืน ตอ้ งพจิ ารณาวา่ เลขสองจานวนที่จะนามาคูณกนั น้ีมีคา่ เขา้ ใกลฐ้ านหลกั ฐานหลกั อะไร
ในที่น้ีคอื ฐานหลกั พนั (1000) และแลว้ หาผลตา่ งระหวา่ งเลขสองจานวนท่ีเป็นตวั ต้งั และตวั คูณน้ี กบั ฐานหลกั
ดังนี้ 996 =1000 − 4 และ

998 =1000 − 2

แต่เม่ือสังเกตในแงก่ ลบั กนั ถา้ นาตวั ต้งั ลบดว้ ยฐานหลกั 996−1000 = −004
และตวั คูณลบดว้ ยฐานหลกั 998−1000 = −002

ผลตา่ งท้งั สองน้ี เรียกวา่ “ค่าเบย่ี งฐาน (Deficiency) และคา่ เบี่ยงฐานเขียนอยใู่ นรูปลกั ษณะเฉพาะ คือจานวน
หลกั ของค่าเบ่ียงฐานตอ้ งเท่ากบั จานวนศูนยข์ องฐานหลกั ท่ีใชห้ าค่าเบ่ียงฐานหลกั น้นั ๆ
ดังน้นั ค่าเบ่ียงฐาน (Deficiency)

“ค่าเบี่ยงฐาน คือผลต่างระหวา่ งตวั ต้งั กบั ฐานหลกั หรือในทานองเดียวกนั ผลต่างระหวา่ งตวั คูณกบั ฐาน
หลกั และจานวนหลกั ของคา่ เบี่ยงฐานเทา่ กบั จานวนศนู ยข์ องฐานหลกั ”

เน่ืองจากตวั ต้งั และตวั คูณมีค่านอ้ ยกวา่ ฐานหลกั ค่าเบีย่ งฐานจงึ มคี ่าเป็ นจานวนลบ

32

วิธหี าค่าเบย่ี งฐาน ที่สามารถหาไดร้ วดเร็วน้นั จะทาอยา่ งไร

ในเวทคณิตมีวธิ ีคา่ เบี่ยงฐานท่ีออกแบบใหเ้ หมาะการคดิ เลขเร็ว ดว้ ยการใชค้ วามรู้เรื่อง

“การลบด้วยสูตรนิขิลมั หรือการลบด้วยทุกตวั ครบเก้าแต่ตัวสุดท้ายครบสิบ”

ดว้ ยการหาจานวนเติมเตม็

วิธหี าค่าเบี่ยงฐานด้วยสูตรนิขิลมั

เช่น หาคา่ เบี่ยงฐานของ 996 จากฐาน 1000 ก็คือหาจานวนเติมเตม็ 1000 ของ 996

ดังแสดงในแผนภาพ

ค่าเบี่ยงฐานของ 9 96

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

คดิ ในใจ คอื 0 04

เพราะฉะน้นั คา่ เบี่ยงฐานของ 9956 คือ −004 = 004

หมายเหตุ ค่าเบ่ียงฐานในเวทคณิต เป็นค่าเบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ (Characteristic Deficiency)

กล่าวคือจะตอ้ งเขียนอยใู่ นรูปที่มีจานวนหลกั เทา่ กบั จานวนศนู ยข์ องฐานหลกั น้นั ๆ

และถา้ คา่ เบ่ียงฐานเป็นจานวนลบ กใ็ หเ้ ขียนอยใู่ นรูปจานวนบาร์ (Bar Number)

หรือคา่ เบี่ยงฐานของ 8 73

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

คิดในใจ คือ 1 27

เพราะฉะน้นั ค่าเบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะของ 873 คอื −127 = 127

หรือคา่ เบี่ยงฐานของ 9 6 8 2

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

คิดในใจ คือ 0 3 18

ตอบ คา่ เบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะของ 9682 คอื −0318 = 0318

หมายเหตุ ในกรณีจานวนที่กาหนดให้มีมากกว่าฐานหลกั การหาคา่ เบี่ยงฐานจะไมเ่ กิดการหาท่ียงุ่ ยาก สามารถ

ใชว้ ธิ ีการลบแบบปกติไดเ้ ลย

เช่น หาคา่ เบี่ยงฐานของ 1007 แสดงวา่ จานวนน้ีมีค่าใกลฐ้ านพนั (1000)

ดงั น้นั คา่ เบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ คอื 1007 −1000 = 007

หรือ หาคา่ เบ่ียงฐานของ 10023 แสดงวา่ จานวนน้ีมีคา่ ใกลฐ้ านหมื่น (10000)

ดงั น้นั คา่ เบี่ยงฐานลกั ษณะเฉพาะ คือ 10023−10000 = 0023

33