เวทคณิตประยุกต์

หลกั การ (Rule) การคูณด้วยสูตรนิขิลมั

• หาค่าเบ่ียงฐานของตวั ต้งั และตวั คณู กบั ฐานหลกั ท่ีมีคา่ ใกลเ้ คยี งท่ีสุด

• เขียนตวั ต้งั อยขู่ า้ งบนตวั คูณ

เขยี นคา่ เบ่ียงฐาน ถดั ไปทางขวาของตวั ต้งั และตวั คูณ โดยใหม้ ีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนเลขศูนยข์ อง

ฐานหลกั (จึงเรียกค่าเบี่ยงฐานน้ีวา่ “คา่ เบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะ”)

• ผลลพั ธข์ องการคณู จะมีสองส่วน คอื

- ผลลพั ธ์ส่วนทางซา้ ยจะไดจ้ ากการบวกไขวข้ องตวั ต้งั กบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั คณู หรือ

จากการบวกไขวข้ องตวั คูณกบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั ต้งั (ในแนวเส้นทแยงมุม)

- ผลลพั ธส์ ่วนทางขวาไดจ้ ากผลคณู ของคา่ เบ่ียงฐานของตวั ต้งั กบั ตวั คูณ แต่ผลคูณจะตอ้ งมีจานวนหลกั

เท่ากบั จานวนหลกั ของค่าเบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะน้นั

ดงั น้นั ถา้ ผลคณู มีค่ามากกวา่ จานวนหลกั ดงั กลา่ วขา้ งตน้ แลว้ ใหน้ าส่วนท่ีเกินน้นั ไปบวกกบั ผลลพั ธ์

ส่วนทางซา้ ย

• นาผลลพั ธ์ท้งั สองมาเขยี นต่อเช่ือมกนั ไดเ้ ลย เน่ืองจากการคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั น้ีไดจ้ ดั ค่าประจาตาแหน่ง

ของในระบบฐานสิบไวแ้ ลว้ เพื่อใหเ้ ป็นระบบเวทคณิตคดิ เร็ว

ดงั น้นั จากตวั อย่างข้างต้น หาผลคณู ของ 996998 มีคา่ เท่าไร

วธิ กี ารคูณ ด้วยสูตรนขิ ลิ มั ดาเนินการได้ดังนี้ หาค่าเบ่ียงฐานของตวั ต้งั และตวั คูณ

ค่าเบ่ียงฐานของตวั ต้งั 996 คือ 004

ค่าเบี่ยงฐานของตวั คณู 998 คือ 002

เขยี นแบบต้งั คูณ

ตวั ต้งั 996 004

ตวั คูณ 9 9 8 0 0 2

ผลคณู 9 9 6 + 2 / 0 0 8 = 994008

หรือ 9 9 8 + 4 / 0 0 8 = 994008 996998 = 994008
ข้อสังเกต ผลคณู ดว้ ยสูตรนิขิลมั ถกู แบง่ ออกเป็นสอง

- ส่วนทางซ้าย ไดจ้ าก ผลบวกไขว้ ตวั ต้งั บวกกบั ค่าเบ่ียงฐานของตวั คณู
หรือ ตวั คูณบวกกบั คา่ เบี่ยงฐานของตวั ต้งั

- ส่วนทางขวา ไดจ้ ากผลคูณค่าเบี่ยงฐานของตวั ต้งั และตวั คูณ
(ผลคณู ตอ้ งมีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนหลกั คา่ เบ่ียงฐาน)

34

ตวั อย่างท่ี 1 หาผลคณู 107 และ 114
วิธีทา หาค่าเบ่ียงฐานของ 107 และ 114 เท่ากบั 07 และ 14 ตามลาดบั
ดงั น้นั 107 07



114 14

121 / 98 = 12198

หรือ เขยี นในรูปอยา่ งง่ายเพ่ือการคดิ เลขในใจ 07 14

107114 = 121/ 98 = 12198

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลคูณของ 132 ดว้ ย 98 ที่มีคา่ มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน

วธิ ที า หาคา่ เบี่ยงฐานของ 132 และ 98 เท่ากบั 32 และ 02 ตามลาดบั
ดงั น้นั 132 32



98 02

130 / 6 4 = 13064 = 12936

หรือ เขียนในรูปอยา่ งง่ายเพ่ือการคดิ เลขในใจ 32 02 = 12936

132 98 = 130 / 64

ตัวอย่างที่ 3 หาผลคูณของ 149 ดว้ ย 96 ท่ีมีค่ามากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ฐาน

วิธีทา หาคา่ เบ่ียงฐานของ 149 และ 96 เทา่ กบั 49 และ 04 ตามลาดบั

ดงั น้นั

149 49



9 6 04

145 / 9 6 = 14496 = 14304
1

หรือ เขียนในรูปอยา่ งง่ายเพื่อการคิดเลขในใจ 49 04

149 96 = 145/ 96 = 14496 = 14304
1

35

(5) การคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วยหรือการคูณด้วยอปุ สูตรอานุรูปเยณะ
สัดส่วนอย่างง่าย (Simple Proportion) คือถา้ มีปริมาณสี่ปริมาณ เม่ือนาอตั ราส่วนของปริมาณตวั ท่ี

หน่ึงกบั ปริมาณตวั ท่ีสองพบวา่ มีค่าอตั ราส่วนของปริมาณตวั ที่สามกบั ปริมาณตวั ท่ีสี่ น้นั มีค่าเท่ากนั หรือ
กล่าวคือเศษส่วนของปริมาณตวั ที่หน่ึงกบั ปริมาณตวั ที่สองมีค่าเท่ากบั เศษส่วนของปริมาณตวั ที่สามกบั ปริมาณ

ตวั ท่ีส่ี เช่น มีจานวน 14, 21, 26, 39 เป็นสดั ส่วนกนั เนื่องจาก 14 = 26 = 2

21 39 3

หรือเขยี นแทนดว้ ย 14 : 21 = 26 : 39 = 2 : 3

อ่านวา่ 14 ตอ่ 21 เท่ากบั 26 ต่อ 39 หรือ เทา่ กบั 2 ตอ่ 3

ดงั น้นั การคูณดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย กค็ ือการคูณที่ใชฐ้ านหมุนเวียนสาหรับการคูณใหเ้ หมาะสมกบั ฐานหลกั

อยา่ งเป็นสดั ส่วนเดียวกนั

พจิ ารณา การคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย หรือการคูณด้วยอปุ สูตรอานุรูปเยณะ

เป็นการคูณในรูปแบบเฉพาะ ใชส้ าหรับการคณู เลขสองจานวนในทานองเดียวกนั กบั การคณู ดว้ ย

สูตรนิขลิ มั แต่เลขสองจานวนท่ีนามาคูณกนั น้นั จะตอ้ งมีค่าท่ีมีคา่ ใกลฐ้ านหมนุ เวยี น (Working Base)

เช่น หาผลคูณของ 406412 จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ ท้งั สองจานวนน้ีมีค่าใกล้ ฐานหมนุ เวยี น 400 มากท่ีสุด

ดงั น้นั ถา้ จะหาผลคูณของ 406412 แลว้ คงตอ้ งพจิ ารณาวา่ 406 และ 412 มีคา่ ใกล้ 400 มากที่สุด

เม่ือพิจารณา 400 จะพบไดว้ า่ 400 เป็นพหุคูณของ 4 กบั 100 ( 400 = 4100 )

หรือ หมายถึง 400 เป็นส่ีเทา่ ของ 100 เรียก 4 วา่ “ตัวพหุคูณของ 100 ”

และเรียก 400 วา่ เป็นฐานหมุนเวยี นของฐานหลกั (100)

ดงั น้นั ฐานหมนุ่ เวยี น 400 กบั ฐานหลกั 100 มีสดั ส่วนเป็น 4 : 1

หรือ ฐานหมุ่นเวียน 400 เป็น 4 เท่าของฐานหลกั 100

จากความรู้ขา้ งตน้ ในการหาผลคูณของ 406412 ในทานองเดียวกบั วธิ ีการคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั

เพยี งเพิ่มสดั ส่วนผลคณู ใหส้ อดคลอ้ งกบั พหุคณู ของฐานหลกั จึงเรียกการคูณวธิ ีน้ีวา่

การคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย หรือการคูณด้วยอุปสูตรอานุรูปเยณะ

การคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วยมีข้ันตอนดงั นี้

ข้นั แรก ควรพิจารณาวา่ เลขสองจานวนท่ีกาหนดให้ คือ 406 และ 412 ใกลฐ้ านหมุนเวยี นใดมากที่สุด

เพอื่ ใหก้ ารคิดเลขไดเ้ ร็วที่สุด ในท่ีน้ีเลขสองจานวนที่กาหนดใหม้ ีค่าใกล้ ฐานหมุนเวียน 400 ซ่ึงมี 4 ตวั พหูคณู

ของฐานหลกั 100 แสดงวา่ 400 เป็น 4 เท่าของ 100

เขียนอยใู่ นรูปสดั ส่วนไดด้ งั น้ี 400 : 100 = 4 : 1

หรือ 400 = 4 นน่ั คือ 400 เป็นส่ีเทา่ ของ 100

100 1

36

ข้นั ที่ 2 หาค่าเบี่ยงฐานหมนุ เวียน ของ 406 และ 412
เนื่องจากเลขสองจานวนน้ีมีคา่ มาก กวา่ ฐานหมนุ เวียน 400

ดงั น้นั การหาค่าเบ่ียงฐานหมุนเวียนของ 406 ชดั เจน 406 − 400 = 06
และ 412 คือ 412 − 400 =12

ค่าเบี่ยงฐานหมุนเวยี นของ 406 และ 412 จะตอ้ งมีลกั ษณะเฉพาะ คือ 06 และ 12 ตามลาดบั
และเนื่องจากค่าเบี่ยงฐาน ในเร่ืองการคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั มีลกั ษณะเฉพาะเช่นเดียวกนั กลา่ วคอื “จานวนหลกั

ของค่าเบี่ยงฐานตอ้ งเท่ากบั จานวนศนู ยข์ องฐานหลกั ค่าเบ่ียงฐานของฐานหมนุ เวียน กใ็ ชห้ ลกั การเดียวกนั

ข้ันดาเนนิ การคูณ คา่ เบี่ยงฐานหม่นุ เวียน

406 0 6


412 12

418 4 / 7 2 =167272

พจิ ารณา (1) คาตอบส่วนทางซา้ ย เป็นผลบวกของตวั ต้งั กบั ส่วนเบี่ยงฐานหมุนของตวั คณู
หรือเป็นผลบวกของตวั คูณกบั ส่วนเบี่ยงฐานหมุนของตวั ต้งั แต่เนื่องจากเป็นการคูณเลขสองจานวนท่ี
กาหนดให้ มคี ่าใกล้ฐานหมนุ เวยี น เม่ือหาผลบวกของตวั ต้ังกับส่วนเบย่ี งฐานหมนุ ของตัวคณู หรือเป็นผลบวก
ของตวั คูณกับส่วนเบ่ยี งฐานหมนุ ของตวั ตั้ง แล้วผลบวกนตี้ ้องคูณด้วยตัวพหุคูณของฐานหลกั
ดงั ในตวั อยา่ งน้ีฐานหมุนเวียน 400 ซ่ึงมี 4 ตวั พหูคณู ของฐานหลกั 100 แสดงวา่ 400 เป็น 4 เทา่ ของ 100
ดงั น้นั คาตอบส่วนทางซา้ ยน้ี เมื่อหาผลบวกไขวแ้ ลว้ ตอ้ งเพม่ิ เป็น 4 เทา่ ของคาตอบทางซา้ ย ดว้ ยการคณู ดว้ ย 4
ดงั แสดงในตวั อยา่ ง

(2) ส่วนคาตอบทางขวาใหห้ าผลคณู ของคา่ เบ่ียงฐานหมนุ เวยี น เช่นเดียวกบั วธิ ีการคูณดว้ ยสูตรนิขลิ มั
กลา่ วคือผลคณู ตอ้ งมีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนหลกั ของค่าเบี่ยงฐานหมุนเวยี นน้นั
ตัวอย่างที่ 1 หาคา่ ของ 4999950003

วธิ ีทา ฐานหมุนเวยี น = 50000 = 510000 ฐานหลกั = 10000

49999 0001


50 0 03 0003

500025 / 0003 = 250010 / 0003 = 2500100003 = 2500099997

37

ตัวอย่างที่ 2 หาคา่ ของ 69998787000005
วธิ ที า ฐานหมุนเวยี น = 7000000 = 71000000

6999878 − 0 0 0122



7000005 + 0 0 0 0 05

6999883 / 0 0 0 6 1 0 = 69998837 / 000610

= 48999181/ 000610 = 48999180999390
= 4.899918099939  1013

1.2.4. เวทคณติ สาหรับการหาร
การหารในเวทคณิต โดยเฉพาะ การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)

ยกยอ่ งวา่ เป็น “อัญมณอี นั ลา้ ค่าของเวทคณิต” เพราะเป็นการหารที่ใชต้ วั เลขหลกั หนา้ สุดของตวั หารเป็นตวั หาร
จริง ส่วนตวั เลขท่ีเหลือใชก้ ารคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้ คูณกบั ผลหารท่ีไดม้ าก่อนนาไปลบตวั ต้งั ข้นั ตน้
เพอื่ ใหไ้ ดต้ วั ต้งั สุทธิ

การหารในเวทคณิตข้นั พื้นฐานมี 3 วธิ ี
- การหารตรงหรือการหารยกธง เป็นการหารแบบทวั่ ไปดว้ ยการใชส้ ูตรแนวต้งั และแนวไขว้
- การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั
- การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต
(1) การหารตรงหรือการหารยกธง (Straight Division or Flag Division)
หรือเป็ นการหารด้วย อปุ สูตรที่ 16 ธวาชางกะ
ข้นั ตอนการหารของเวทคณิต (Vedic Mathematics Division Algorithm)
มีขอ้ กาหนดลกั ษณะเฉพาะ เก่ียวกบั ตวั หารและตวั ต้งั เป็นดงั น้ี
สมมุติ ถา้ ใหต้ วั ต้งั คือ x y z p q r ถกู หารดว้ ยตวั หาร a b c ซ่ึงมีสามหลกั
ข้อกาหนดเป็ นดงั นี้
1. ตวั หาร a b c ถูกแบง่ ออกเป็น a และ bc

เรียก a วา่ “ตวั หารหลกั ( Main Divisor)”
เรียก bc วา่ “เลขบนธง (Digit on the flag) หรือธวาชางกะ (Dhwajanka ในภาษาสนั สกฤต)”
นาไปเขียนไวข้ า้ งบนเย้อื งไปทางขวาของ ตัวหารหลกั มีลกั ษณะคลา้ ยกบั เลขช้ีกาลงั
เพ่อื ไม่ใหส้ บั สนกบั เร่ืองเลขยกกาลงั กบั เลขชี้กาลงั จึงเรียกตวั เลขเหล่าน้ีวา่

abc คือเลขยกธง และ bc เลขบนธง

38

2. ตวั ต้งั เขยี นอยบู่ นบรรทดั เดียวกบั ตวั หาร โดยแยกดว้ ยเส้นคนั่ กบั ตวั หาร และตวั ต้งั ยงั มีเส้นคนั่ อีก
เสน้ หน่ึงท่ีแบง่ ตวั เลขของตวั ต้งั ออกเป็นสองส่วน

- ส่วนทางขวาเส้นคน่ั ของตวั ต้งั แบ่ง ใหม้ ีจานวนของตวั เลขเท่ากบั จานวนตวั เลขบนธง
- ส่วนทางซา้ ยเสน้ คน่ั ของตวั ต้งั เป็นจานวนตวั เลขที่เหลือจากการแบ่งตวั เลขส่วนทางขวา
ตวั เลขท้งั สองส่วน เขียนเวน้ ช่องวา่ ง ห่างกนั พอท่ีจะเขียนตวั เลขแทรกได้
ดังแสดงวธิ เี ขยี นการหาร ไดด้ งั น้ี

abc x y z p q r

ผลหารเป็นจานวนเตม็ เศษเหลือหรือทศนิยม

3. คาตอบ อยบู่ นบรรทดั ที่เขียนถดั ลงไปขา้ งลา่ งของตวั หารและตวั ต้งั และกถ็ กู แบง่ ออกเป็นสองส่วน
ดว้ ยเสน้ คน่ั เช่นเดียวกบั ตวั ต้งั เขยี นเสน้ คน่ั ให้ตรงกบั เส้นคน่ั ท่ีเขยี นแบง่ ตวั ต้งั ดงั แสดงขา้ งตน้
คาตอบ ถูกแบง่ เป็นผลหารสองส่วน คอื

- ส่วนทางซา้ ยเป็นผลหารจานวนเตม็
- ส่วนทางขวาเป็นผลหารเศษเหลือหรือทศนิยม
4. การดาเนินการหาร
4.1 เม่ือตวั แรกของตวั ต้งั ถูกหารดว้ ยตวั หารหลกั ไดผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็ แลว้ ใหเ้ ขียนผลหารลงบน
บรรทดั ตรงขา้ งลา่ งของตวั ต้งั ส่วนที่ผลหารจานวนเตม็
เศษเหลือจากการหาร ใหน้ าไปเขียนห้อยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั จะไดเ้ ป็นตวั ต้งั เรียกวา่
“ตัวต้งั ข้นั ต้น (Gross Dividend = GD)” จากน้นั
4.2 หาผลคณู ตวั เลขตวั แรกของตวั เลขบนธง กบั คาตอบตวั แรกของผลหาร แลว้ นาไปลบ ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ในข้นั ท่ี 4.1 ผลลพั ธ์ที่ไดเ้ ป็นตวั ต้งั เรียกวา่ “ตัวต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND)” ซ่ึงจะตอ้ งเป็นจานวนบวก ถา้
เป็นจานวนลบจะตอ้ งปรับลด ผลหาร จนไดต้ วั ต้งั สุทธิเป็นจานวนบวก แลว้ จึงจะดาเนินการหารในข้นั ตอ่ ไปได้
4.3 ขบวนการหารที่ได้ ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD) และตวั ต้งั สุทธิ (ND) จะถกู ดาเนินการซ้า ๆ ไปเช่นน้ี เร่ือย ๆ
จนกระทง่ั ไดผ้ ลลพั ธห์ รือคาตอบตามตอ้ งการ
ตัวอย่างท่ี 1 หาผลหารของ 94137 82
ข้นั ตอนการหารยกธง
ตวั หาร 82 เป็นจานวนเต็มสองหลกั แบ่งตวั หารน้ีออกเป็นสองส่วน

- ส่วนแรกคือ 8 เป็นตวั หารหลกั (Main Divisor) ซ่ึงโดยทวั่ ไปมีเพยี งตวั เดียว
หรือสองตวั เป็นอยา่ งมาก
- ส่วนที่สองคอื 2 เรียกวา่ เลขบนธง (On the Flag) เขยี นยกไวข้ า้ งบนตวั หารหลกั คลา้ ยเลขช้ีกาลงั
8 2 เรียกวา่ เลขยกธง

39

ส่วนตัวต้งั 94137 ถกู แบ่งเป็นสองส่วน ดว้ ยเสน้ คนั่ ดงั น้ี 9 4 1 3 7
เพอ่ื แยกคาตอบของผลหารออกเป็นสองส่วน คือ

- ส่วนทางซา้ ยของเส้นคนั่ จะใหผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็
- ส่วนทางขวาของเส้นคนั่ ส่วนน้ีจะไดผ้ ลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
และสิ่งสาคญั ของส่วนที่สองของตวั ต้งั น้ีจะตอ้ งมี จานวนตวั เลข เท่ากบั จานวนตวั เลขบนธง
สรุป ตวั ต้งั 94137 ถูกแบ่งดว้ ยเส้นคน่ั 9 4 1 3 7

ข้นั ตอนการหาร

1. 8 2 9 14 1 3 7 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

2 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12

1

9 8 =1 เหลือเศษ 1 ใส่ผลลพั ธ์ 1 ในช่องผลหารคาตอบจานวนเต็ม เป็นตวั แรก
ส่วนเศษเหลือ 1 นาไปเขียนหอ้ ยขา้ งหนา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คอื 4 ได้ 14 =14
เป็น “ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (Gross Dividend =GD)”
หาผลคูณตวั เลขบนธงคอื 2 กบั คาตอบตวั แรก คือ 1 ได้ 21= 2
แลว้ นาไปลบออกจาก “ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)” คือ 14
ได้ 14− 2 =12 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น “ตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend=ND)”
ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ในการหารดว้ ยตวั หารหลกั ข้นั ตอ่ ไป

2. 8 2 9 14 41 3 7 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

22 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12 39

11

128 =1 เหลือเศษ 4 ใส่ผลหาร 1 เป็นตวั ท่ีสองของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 4 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 1 ไดเ้ ป็น 41 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคณู ตวั เลขบนธง (2) กบั คาตอบตวั ที่สองคือ 1 ได้ 21= 2
แลว้ นาไปลบออกจาก 41 คือ 41− 2 = 39
ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND) ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ท่ีใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ตอ่ ไป

40

3. 8 2 9 14 41 73 7 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

228 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12 39 65

1 14

398 = 4 เหลือเศษ 7 ใส่ผลหาร 4 เป็นตวั ท่ีสามของคาตอบจานวนเตม็
ส่วนเศษเหลือ 7 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 3 ได้ 73 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
หาผลคูณตวั เลขบนธง (2) กบั คาตอบตวั ที่สาม คอื 4 ได้ 24 = 8
แลว้ นาไปลบออกจาก 73 คือ 73−8 = 65 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตวั ต้งั สุทธิ (ND)
ซ่ึงเป็นตวั ต้งั ที่ใชใ้ นการหารดว้ ยตวั หารหลกั ต่อไป

4. 8 2 9 14 41 73 17 ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)

2 2 8 16 ตวั ต้งั สุทธิ (ND)

12 39 65 1

1 148

ข้อสังเกต การหารข้นั ท่ี 4. น้ี จะเป็นการหารท่ีไดค้ าตอบท่ีเป็นจานวนเตม็ ตวั สุดทา้ ย เพราะมีเสน้ คนั่ ระหวา่ ง
คาตอบจานวนเตม็ กบั คาตอบที่เศษเหลือหรือทศนิยม
658 = 8 เหลือเศษ 1 ใส่ผลหาร 8 เป็นตวั ท่ีส่ีของคาตอบจานวนเตม็

ส่วนเศษเหลือ 1 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหนา้ เลข 7 ได้ 17 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD)
แต่ ในข้นั ตอนน้ี เป็นข้นั ตอนที่ผลหารเป็นเศษเหลือหรือทศนิยม
ดงั น้นั ถา้ ตองการหาผลหารเป็นเศษเหลือ ณ ข้นั ตอนน้ี
เราก็หาผลคูณตวั เลขธง (2) กบั คาตอบตวั ที่สี่ คอื 8 ได้ 28 =16
แลว้ นาไปลบออกจาก 17 คอื 17 −16 =1 ผลหาร 1 เป็น คาตอบ เศษเหลือ เป็นการสิ้นสุดการหารในกรณีที่

ไดค้ าตอบเป็ นเศษเหลือ  94137 82 = 1148 เศษเหลือ 1= r ตอบ 94137 82 = 1148 1

82

แต่ ถ้าต้องการหาคาตอบเป็ นจดุ ทศนยิ ม กใ็ ห้ ใส่ 0 0 0 0 ... ในหลกั ถดั ต่อไปของตวั ต้งั

ในทานองเดียวกนั กบั ขา้ งตน้ หาผลคูณระหวา่ งตวั เลขบนธงกบั ตวั เลขผลลพั ธท์ ี่ไดม้ าก่อน แลว้ ไปลบ

ออกจาก ตวั ต้งั ข้นั ตน้ (GD) ไดต้ วั ต้งั สุทธิ (ND) เสร็จแลว้ ก็หารดว้ ยตวั หารหลกั เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ

8 2 9 14 41 7 3 17 10 20 20 0

228 16 024

12 39 65 1 10 18 16

11 4 8 0 121

ตอบ 94137 82 =1148.0121...

41

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลหารของ 7342654 5214
วธิ ีทา การแบ่งตวั หารออกเป็ น 2 ส่วน 5 214 และตวั ต้งั เป็น 2342 654 ตามเงื่อนไขขา้ งตน้

214 7 23 14 52 4 6 14 5 137 1

5

29 8 32 8 32

21 5 4 4

1408 1339 = r

214 214 214 214 214 214

1 1 4 1 40 4 08 08 8

ตอบ 7342651 5214 = 1408 1339

5214

(2) การหารด้วยสูตรนขิ ลิ มั และการหารด้วยสูตรปราวรรตย์
การหารท้งั สองวธิ ีน้ีเป็นการหารสังเคราะห์ ท่ีตวั หารตอ้ งมีคา่ ใกลฐ้ านหลกั

- การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั ตวั หารจะตอ้ งมีค่านอ้ ยกวา่ ฐานหลกั
- การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ ตวั หารมีค่ามากกวา่ ฐานหลกั

ปราวรรรตย์ หมายถึงการสบั เปล่ียน ดงั น้นั การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ จึงเป็นวิธีการหารท่ี
สบั เปล่ียนกบั การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั

การหารด้วยสูตรนิขิลมั (Division By The Nikhilam Sutra) เป็นการหารในกรณีตวั หารเหลา่ น้นั ตอ้ งมี
ค่าใกลก้ บั ฐานหลกั หรือสิบกาลงั เอน็ (10,100,1000,...,10n) แตม่ ีคา่ นอ้ ยกวา่ ฐานหลกั

เช่น 9, 98, 999, 998, 8889, 89999, 989879,...
สูตรน้ีจึงเหมาะกบั ตวั หารที่เป็นจานวนที่ข้นึ ตน้ ดว้ ยเลข 9 แต่คา่ เบ่ียงฐานมีค่าเป็นบวก

การหารด้วยสูตรปราวรรตย์ (Division by The Parāvartya Sutra) เป็นการหารในกรณีตวั หารเหล่าน้นั
มีคา่ ใกลก้ บั ฐานหลกั หรือสิบกาลงั เอน็ (10,100,1000,...,10n) แตม่ ีคา่ มากกวา่ ฐานหลกั

เช่น 11, 112, 1102, 11101, 112121, 101123, 1212221,...

สูตรน้ีจึงเหมาะกบั ตวั หารที่เป็นจานวนท่ีข้นึ ตน้ ดว้ ยเลข 1 และค่าเบี่ยงฐานสบั เปล่ียนเคร่ืองหมายเป็นตรงกบั ขา้ ม
กบั การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั ดงั น้นั คา่ เบ่ียงฐานจึงมีคา่ เป็นลบ
หมายเหตุ ค่าเบี่ยงฐานในการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั และการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ เป็นไปตามสมบตั ิการหาร
สังเคราะห์ของกฎของรัฟฟิ นี (Ruffini's rule) ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้ ใน “เวทคณิต ข้นั พ้ืนฐาน”

42

ตวั อย่าง แสดงการหารด้วยสูตรนขิ ิลมั ดังต่อไปนี้
ตัวอย่างท่ี 1 หาผลหารของ 1002388
วิธที า พิจารณาวา่ ฐานหลกั ใด ที่มีค่าใกลเ้ คยี งกบั 88 ในท่ีน้ี คอื 100

ค่าเบ่ยี งฐาน หาไดจ้ ากจานวนเติมเตม็ 100 ของ 88 คอื 12
ข้นั ตอนการหาร
1. ชกั 1 จากตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั เป็นตวั เลขตวั แรกของผลหาร ท่ีคาตอบ

ตัวต้งั 8 8 ) 1 0 0 2 3

ค่าเบ่ยี งฐาน 1 2

1

ผลหารจานวนเตม็ ผลหารเศษเหลือหรือทศนิยม
2. หาผลคูณของตวั เลขตวั แรกของคาตอบกบั คา่ เบ่ียงฐาน 121 = 12 แลว้ นาไปใส่ไวต้ รงใตต้ วั ที่สอง

ของตวั ต้งั จากน้นั หาผลบวก 0 กบั 1 เทา่ กบั 1 (0+1=1) เป็นผลหารตวั ที่สองของคาตอบ

88 ) 100 23

12 12

11

3. หาผลคูณของตวั เลขตวั ที่สองของคาตอบกบั คา่ เบ่ียงฐาน 121=12 แลว้ นาไปใส่ไวต้ รงตวั ที่สามของ
ตวั ต้งั จากน้นั หาผลบวก 0,2 และ 1 (0 + 2 +1= 3) เทา่ กบั 3 ไดเ้ ป็นผลหารตวั ที่สามของคาตอบ

88 ) 100 23

12 12

12

11 3

43

4. หาผลคูณของตวั เลขตวั ที่สามของคาตอบกบั คา่ เบ่ียงฐาน 123 = 36
แลว้ นาไปใส่ไวต้ รงตวั ที่สี่ของตวั ต้งั ใตเ้ ลข 2 ตวั ท่ีส่ี ซ่ึงอยใู่ นส่วนท่ีเป็นผลหารของเศษเหลือ
ซ่ึงจะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ ข้นั ตอนการหารที่ตอ้ งการคาตอบของผลหารเป็นเศษเหลือ ไดส้ ิ้นสุดแลว้

ดังน้นั หาผลบวกแต่ละหลกั ของส่วนผลลพั ธ์เศษเหลือ 2+ 2 +3 = 7 และ 3+ 6 = 9
เศษเหลือ เทา่ กบั 79 < 88 (88 คือตวั ต้งั )

88 ) 100 23

12 12

12

36

113 7 9

ตอบ 10023  88 = 113 79

88

ในกรณีทตี่ ้องการคาตอบเป็ นทศนยิ ม และ จานวนทศนยิ มกตี่ าแหน่ง
ในตวั อยา่ งน้ีตอ้ งการทศนิยม 6 ตาแหน่ง ก็เพิ่ม 0 อีกหา้ ตวั ตอ่ จากส่วนท่ีเป็นเศษเหลือ เผ่อื การปัดคา่ ทศนิยม
ตามที่หลกั การเลขคณิต ดงั น้ี

88 ) 100 2300000

12 12

12

36

84

11 3 04

2

88

2

84

3

52

5

08

7

7 7 4 2 6 9 2 =113.897726... ตอบ

1 2 3 457

44

ตัวอย่างที่ 2 หาผลหารของ 399995219819

วธิ ที า ตวั หารคือ 9819 ฐาน 10000

ค่าเบี่ยงฐาน = 0181

9819 ) 3 9 9 9 5 2 1

0181 0 5 4 3

1 629

2 715

395 2 2 8 2 6 = 405 22826 = 405 + 2 + 22826 −19638 = 407 3188
1 9819 9819 9819

ตัวอย่างที่ 3 หาผลหารของ 1119917199979

วิธที า ตวั หารคือ 99979 ฐาน 100000 ค่าเบ่ียงฐาน = 00021 (คา่ เบี่ยงฐานเป็ นลกั ษณะเฉพาะ)

99979 ) 1 1 1 9 9 1 7 1

00021 0 0 0 2 1

0 0021

000 21

111 1 015 0 2

000 21

1 1 1 1 0 1 5 2 3 = 112 1523

ตอบ  11199171 99979 = 112 1523

99979

45

ตวั อย่าง แสดงการหารด้วยสูตรปราวรรตย์ ดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 หาผลหารของ 34923113
วิธีทา ฐาน 100 คา่ เบี่ยงฐาน 100 −113 = −13 =13
ข้นั ตอนการหาร
1. ชกั 3 จากตวั เลขตวั แรกของตวั ต้งั เป็นตวั เลขตวั แรกของคาตอบ

113 ) 3 4 9 2 3

13

3

2. หาผลคณู ของตวั เลขตวั แรกคาตอบกบั ค่าเบี่ยงฐานสับเปล่ียนแลว้ นาไปใส่ไวท้ ี่ใตต้ าแหน่งท่ีสองของตวั ต้งั
313 = 39 ใตเ้ ลข 4 ของตวั ต้งั หาผลบวก 4 + 3 =1 ไดเ้ ป็นผลลพั ธต์ วั เลขที่สองของคาตอบ

113 ) 3 4 9 2 3

13 3 9

31

3. หาผลคณู ของตวั เลขตวั ท่ีสองของคาตอบกบั ค่าเบี่ยงฐานสับเปลี่ยน 113 =13 แลว้ นาไปใส่ไวท้ ี่ตาแหน่งที่
สามของตวั ต้งั ใตเ้ ลข 9 หาผลบวกตวั เลขในหลกั น้ี 9+9+1=1 จะเป็นตวั เลขท่ีสามของคาตอบ คอื 1

113 ) 3 4 9 2 3

13 3 9
13

31 1

46

4. หาผลคณู ของตวั เลขตวั ที่สามของคาตอบกบั คา่ เบี่ยงฐานสบั เปลี่ยน 113 =13 แลว้ นาไปใส่ไวท้ ี่ตาแหน่งท่ี
ส่ีของตวั ต้งั ใตเ้ ลข 2 ตวั ที่ส่ี ซ่ึงอยใู่ นส่วนของเศษเหลือ แลว้ หาผลบวกตวั เลขหลกั ที่ 4 = 2+ 3 +1= 0
และที่ 5 = 3+3 = 6 ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นเศษเหลือคือ 06 113 แสดงวา่ การหารสิ้นสุดแลว้

113 ) 3 4 9 2 3

13 3 9
13
13

311 0 6

เพราะฉะน้นั 34923 113 = 31 1 06 = 309 6

113 113

ตัวอย่างที่ 2 หาผลหารของ 1212112 คาตอบในรูปทศนิยม
วิธที า ตวั หาร 112 มีคา่ ใกลฐ้ าน 100

คา่ เบ่ียงฐานสบั เปล่ียน 100 −112 = −12 =12
112) 1 2 1 2 0 0 0 0 0

12 1 2
12
24
24
24
72
36

12 1200000
1 1 2 2 2 6 3 5 6 =10.821435...

****************************************

47

2.การคูณดว้ ยการสงั เกตอยา่ งทะลุปรุโปร่ง

บทนำ

กำรคูณด้วยกำรสังเกตอย่ำงทะลปุ รุโปร่ง (Multiplication Through Observation)

เป็ นกำรเข้ำถึงกำรประยุกต์ กำรคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้
กำรคูณด้วยสูตรนิขิลมั และ

กำรคูณด้วยอุปสูตรอำนุรูปเยนะ
การคณู ที่จะศึกษาตอ่ ไปน้ีจะเป็นความรู้และความเขา้ ใจอย่างถ่องแทก้ บั ท้งั สามสูตรที่กลา่ วแลว้
ในเวทคณิตข้นั พ้ืนฐานขา้ งตน้ จึงจะทาใหเ้ ขา้ ใจและเขา้ ถึงขบวนการคดิ เลขเร็วแบบเวทคณิต ท่ีใชเ้ วลา
นอ้ ยที่สุด พ้ืนท่ีท่ีใชใ้ นการคานวณท่ีนอ้ ยที่สุด

เวทคณิตสำหรับกำรคูณ (Vedic Method for Multiplication)

เวทคณิตสาหรับการคูณจึงมีความเป็นเอกลกั ษณ์และในขณะเดียวกนั ก็ยงั มีหลากหลายวิธีเร่ิมตน้
จากวิธีพ้นื ฐานจนถึงวิธีเทคนิคและวิธีเฉพาะเจาะจง
เวทคณติ สำหรับกำรคูณ มี 7 วธิ ี ดังนี้

1. การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้
หรือการคณู ดว้ ยสูตรอรู ธวะ ติรยคั ภยาม (सूत्र ३. ऊर्ध्वतिर्गव्भर्यां = Sutra 3. Ūrdhva
)Tiryagbhyām

2. การคูณดว้ ยสูตรนิขิลมั
(सतू ्र २. तितिलंा ि्िश्चरमंा दशि: = Sutra 2. )Nikhilam Navathaścaramam Dhaśataḥ

3. การคณู ดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย
หรือการคูณดว้ ยอปุ สูตรอานุรูปเยณะ ( सूत्र ६. आिुरूप्र्े शनू्र्मन्र्ि् = Upasutra 6.
)Ānurūpyeṇa

4. การคูณดว้ ยตวั คณู เป็นลาดบั ของสิบเอด็
5. การคูณดว้ ยตวั คูณเป็นลาดบั ของเลขเกา้

หรือการคูณดว้ ยสูตรเอกนั ยเู นนะ ปเู วณะ
(सतू ्र १४. एकन्र्ूिेि पू्ेण = Sutra 14. Ekanyūnena )Pūrveṇa
6. การคณู เลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดทา้ ยเท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบ
หรือการคณู ดว้ ยอุปสูตรอนั ตยาโยรทศเกปิ (उपसूत्र ८. अन््र्र्ोदशव के ऽतप = Upasutra 8.
)Antyayordaśake’pi
7. การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบแต่ตวั เลขส่วน
หลงั ตอ้ งเท่ากนั

หรือสูตรวมนั ลยาโยหะ ทศเก อปิ
)(्यमतिलर्ोह दयसके आतप सतू ्र = Vamanlyayoh Dasake Api Sutra
8. การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกเลขตวั หนา้ เป็นพหุคูณของสิบแต่ตวั หลกั หน่วยเท่ากนั
หรือสูตรวมนั ลยาโยหะ ทศเก คนุ ิชหะ อปิ
)(्यमतिलर्ोह दसके गतु णह आतप सूत्र = Vamanlyayoh Dasake Gunijah Api Sutra

หมำยเหตุ
การคณู มีท้งั หมด 8 วิธีขา้ งตน้ วิธีท่ี 1 การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ เป็นวธิ ีพ้นื ฐาน

เช่นเดียวกบั วิธีด้งั เดิมเพียงแต่รูปแบบการคูณน้นั เป็นรูปแบบของการคณู เร็ว จากซา้ ยไปขวา และใชพ้ ้ืนท่ี
การคณู เพียงบรรทดั เดียว ส่วน วธิ ีที่ 2 การคณู ดว้ ยสูตรนิขลิ มั และวธิ ีท่ี 3 การคณู ดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย
เป็นวิธีพ้นื ฐานของเวทคณิต ที่สามารถเรียนรู้และเขา้ ใจงา่ ย

ส่วนอกี 5 วธิ หี ลงั ดังกล่ำวข้ำงต้น น้นั เป็นวิธีการคณู ข้นั ประยกุ ตท์ ่ีตอ้ งอาศยั การศึกษา 3 วธิ ี
ขา้ งตน้ ท่ีเป็นพ้นื ฐาน จึงจะสามารถเขา้ ใจหรือสังเกตได้อย่ำงทะลุปรุโปร่ง (Through Observation )

2.1. กำรคูณด้วยตัวคูณ 11, 111, 1111, …

เวทคณิตคดิ เร็ว สาหรับการคูณในกรณีที่ตวั คูณเป็น 11, 111, 1111, …
เป็นการคูณดว้ ยการสังเกตอย่างทะลปุ รุโปร่ง (Multiplication Through Observation) ของการคูณดว้ ย
สูตรแนวต้งั และแนวไขวแ้ ละดาเนินการคณู จากซา้ ยไปขวา
2.1.1. กำรคูณด้วยตัวคูณ 11

การคูณจานวนใด ๆ ดว้ ยตวั คูณสิบเอด็ มกั จะพบทวั่ ๆ ไปในวธิ ีคิดเลขเร็วของระบบอ่ืน แต่บอก
ได้ไหมว่าทาไมจึงมีวิธีคิดเช่นนนั้

เวทคณติ สามารถบอกได้ และสามารถคูณไดใ้ นใจ ตอบปากเปล่าได้ เป็นเทคนิคการคูณที่
น่าสนใจอยา่ งยง่ิ เป็นงานชิ้นเอกของเวทคณิตชิ้นหน่ึงที่สามารถอธิบายถึงวธิ ีการคดิ วา่ มาไดอ้ ยา่ งไร และ
ยงิ่ ไปกวา่ น้นั สามารถขยายการสูตรคูณ 22,33,44,55,... โดยการนาตวั พหุคูณแจกแจงออก เช่น

22 = 211,33 = 311, 44 = 411,55 = 511,...

การคูณดว้ ยตวั คณู สิบเอ็ด มกั จะนาไปใชใ้ นการหาพ้นื ท่ีผิวและปริมาตรมกั จะพบตวั เลขคือ 22

   22 
 7 

ดงั แสดงในตวั อย่ำงต่อไปนี้

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 53432111
วิธีคิด ใหใ้ ส่เลข 0 ท่ีหวั ทา้ ยของตวั ต้งั แลว้ หาผลบวกตวั เลขต่อตวั เลขท่ีตวั ถดั ไปกบั ตวั ต่อตวั ท่ีมาก่อน
ต้งั แต่ตวั เร่ิมตน้ ไปทางซา้ ยจนสุด ดงั น้ี

0 5 3 4 3 2 1 0 :0+5 →5+3 →3+ 4 → 4+3 →3+ 2 → 2 +1→1+0
= 5 → 8 → 7 → 7 → 5 → 3 →1 = 5877531

49

หลกั กำรคิดนีม้ ำจำกกำรคูณแบบแนวต้ังและแนวไขว้ ดังนี้

วธิ ที ำ 5 3 4 3 2 1


11

5 8 7 7 5 3 1 = 5877531

0000 0 00

พจิ ารณาเป็นการเลื่อนคูณแนวทแยง

51 = 05 → 51+ 31 = 08 → 31+ 41 = 07 → 41+ 31 = 07 → 31+ 21 = 05

→ 21+11 = 03 → 11 = 01

ดังน้นั 0 5 3 4 3 2 1 0 : 0 + 5 → 5 + 3 → 3+ 4 → 4 + 3 → 3+ 2 → 2 +1→1+ 0

= 5 → 8 → 7 → 7 → 5 → 3 → 1 = 5877531

กำรยนั ควำมถูกต้อง ดว้ ยการคดั ออกสิบเอด็ จะเป็นวิธีที่ดีที่สุด เพราะตวั คูณ 11 → 1−1= 0

ดงั น้นั การคดั ออกสิบเอด็ ของ คำตอบ ตอ้ งเท่ากบั ศูนยเ์ สมอ

53432111 = 5877531 → 1− 3+ 5 − 7 + 7 −8 + 5 = 0

สรุป วิธกี ำรคิดด้วยตวั คูณ 11 มขี ้นั ตอนกำรคดิ ดงั นี้
• เขียนจานวนท่ีเป็นตวั ต้งั ที่จะคณู ดว้ ย 11 ไวใ้ นวงเลบ็ และเขยี นเลขศูนย์(0) หน่ึงตวั ไวข้ า้ งนอก
ท้งั สองขา้ งของวงเลบ็
• ดาเนินการหาผลคณู โดยการเริ่มดว้ ยหาผลบวกของตวั เลขถดั ไปจากซา้ ยไปทางขวา ดงั แสดงใน
ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 23621 ดว้ ย 11

วธิ ีทำ เขียนวงเลบ็ ปิ ดหวั ทา้ ยท่ีตวั ต้งั ท้งั สองขา้ งแลว้ ใส่เลขศูนยห์ น่ึงตวั ท้งั สองขา้ งวงเลบ็

2362111 = 0 ( 2 3 6 2 1 ) 0
หาผลบวกจากทางซา้ ยไปทางขวา ดงั แสดงขา้ งบน = 0 + 2 2 + 3 3 + 6 6 + 2 2 +11+ 0

= 2 5 9 8 3 1 = 259831

ดังน้นั 2362111= 259831
กำรยนั ควำมถกู ต้อง ดว้ ยการคดั ออกสิบเอด็ ของคาตอบ

2362111 = 259831 → (1− 2 + 6 − 3+ 2)(1−1) =1− 3+ 8 − 9 + 5 − 2 = 0

ตัวอย่ำงที่ 3 หาผลคูณของ 593678 ดว้ ย 11
วิธที ำ เขียนวงเลบ็ ปิ ดหวั ทา้ ยที่ตวั ต้งั ท้งั สองขา้ งแลว้ ใส่เลขศูนยห์ น่ึงตวั ท้งั สองขา้ งวงเลบ็

59367811 = 0 ( 5 9 3 6 7 8 ) 0
หาผลบวกจากทางซา้ ยไปทางขวา ดงั แสดงขา้ งบน

59367811 = 0 + 5 5 + 9 9 + 3 3 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 0

= 5 4 2 9 3 5 8 = 6530458
11 11

ดังน้นั 59367811= 6530458

50

กำรยันควำมถกู ต้อง ใชก้ ารคดั ออกสิบเอ็ดท่ีคาตอบ เท่ากบั ศูนย์

6530458 → 8 − 5 + 4 − 0 + 3− 5+ 6 =11 → 1−1 = 0

ตวั อย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 98796511

วธิ ีทำ 98796511 = 0 + 9 / 9 +8 / 8 + 7 / 7 + 9 / 9 + 6 / 6 + 5 / 5 + 0

= 9 7 5 6 5 1 5 =10867615
01 1 1 1 1 0

หรือ 0 9 8 7 9 6 5 0 = 0 1 1 1 1 1 0 5 = 0 1 1 1 1 1 0 5 =10867615
97565 1 97565 1

หรือ ใช้วธิ ีวนิ ควิ ลมั

จะเห็นไดว้ า่ ตวั อยา่ งน้ีตวั เลขหลายตวั ในจานวนน้ีเกิน 5 ดว้ ยวธิ ีวนิ ควิ ลมั แปลงตวั ต้งั เป็น
จานวนวินควิ ลมั 987965 =1012045 ก็ไม่ตอ้ งมีตวั ทด

98796511 =101204511

0 1 0 1 2 0 4 5 0 =11132415 =10867615

ดงั น้นั 98796511=10867615
หมำยเหตุ

การหาผลคูณดว้ ยการเล่ือนตวั คณู และใชก้ ารคูณแบบแนวตรงและแนวไขวน้ ้นั พบวา่ สามารถ
นามาประยกุ ตก์ บั การหาผลคูณที่ตวั คณู 9 เนื่องจากเมื่อเขียน 9 ในรูปจานวนบาร์ ไดเ้ ป็น

9 =11

จึงสามารถประยกุ ตก์ ารคูณท่ีตวั คณู เป็น 11 ไดเ้ ป็นวธิ ีลดั อีกวธิ ีท่ีสามารถคิดเลขไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว ดงั
ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่ำงท่ี 5 หาผลคูณของ 34259

วธิ ที ำ ตวั คูณคือ 9 แปลงเป็นจานวนวินคิวลมั 9 =11 ดงั น้นั 34259 = 342511
วิธคี ดิ ทาเหมือนตวั อยา่ งที่แลว้ ใส่เลข 0 ท่ีหวั ทา้ ยของตวั ต้งั แต่กลบั หาผลตา่ งตวั เลขต่อตวั เลขของตวั ท่ี
ถดั ไปกบั ที่มาก่อนต้งั แต่ตวั เริ่มตน้ ไปทางซา้ ยจนสุด ดงั น้ี :

0 3 4 2 5 0:3−0→4−3→2−4→5−2→0−5

= 3 →1→ −2 → 3 → −5 = 31235 = 30825

ตอบ 34259 = 30825
ตวั อย่ำงที่ 6 หาผลคณู ของ 867979
วธิ ที ำ ตวั คูณคือ 9 ตวั เป็นจานวนวนิ ควิ ลมั 9 =11 และถา้ แปลงตวั ต้งั เป็นจานวนวนิ ควิ ลมั
86797 =113203 ดว้ ยก็จะทาใหก้ ารคิดเลขเร็วข้ึน

867979 =11320311 → 0 1 1 3 2 0 3 0 =1221233 = 781173

ตอบ 867979 = 781173

51

แบบฝึ กหัดชุดที่ 1 2. 1123324511 3. 4509043011
1. 34562311

4. 56089011 4. 34258903311511 6. 2341096611

7. 3524789 8. 5689043119 9. 676745809

10. 40093782119 11. 511622609 12. 485858559

2.1.2. กำรคูณด้วยตวั คูณ 111
การคูณดว้ ยตวั คณู 111 สามารถอธิบายไดว้ า่ ความรู้พ้ืนฐานมาจากการคูณแบบแนวต้งั และ

แนวไขว้ เช่นเดียวกบั การคณู ดว้ ยตวั คูณ 11

ข้นั ตอนกำรคิด ในทานองเดียวกบั การคูณดว้ ยตวั คูณ 11
• เขยี นจานวนท่ีเป็นตวั ต้งั ที่จะคณู ดว้ ย 111 ไวใ้ นวงเลบ็ และเขียนเลขศนู ย์(0) สองตวั ไวข้ า้ งนอก
ท้งั สองขา้ งของวงเลบ็
• ดาเนินการเริ่มดว้ ยหาผลบวกตวั เลขจากซา้ ยถดั ไปทางขวาคร้ังละสามตวั โดยการเลื่อนถดั คร้ังละ
หน่ึงหลกั จากซา้ ยไปทางขวาเป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ

ดงั แสดงในตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 23111

วธิ ีทำ เขยี นวงเลบ็ ปิ ดหวั ทา้ ยตวั ต้งั ท้งั สองขา้ งแลว้ ใส่เลขศนู ยส์ องตวั ท้งั สองขา้ งวงเลบ็
หาผลบวกตวั เลขถดั ไปทางขวาคร้ังละสามตวั และเลื่อนไปคร้ังละตวั ดงั แสดงรูป

23111 = 0 0 (2 3) 0 0

= 2 5 5 3 =0+0+2 0+2+3 2+3+0 3+0+0

= 2 5 5 3 = 2553

หรือ 23111 = 0 0 ( 2 3 ) 0 0 = 0 + 0 + 2 0 + 2 + 3 2 + 3 + 0 3 + 0 + 0

= 2 5 5 3 = 2553

ดังน้นั 23111= 2553
กำรยันควำมถกู ต้อง ดว้ ยการคดั ออกสิบเอ็ด

23111 = 2553 → (3− 2)(1−1+1) = 3− 5 + 5 − 2

1 1 = 1

52

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 579111
วธิ ีทำ เขียนวงเลบ็ ปิ ดหวั ทา้ ยตวั ต้งั ท้งั สองขา้ งแลว้ ใส่เลขศนู ยส์ องตวั ท้งั สองขา้ งวงเลบ็
แลว้ หาผลบวกผลบวกจากทางซา้ ยไปทางขวา ดงั ตวั อยา่ งท่ี 1

579111 = 0 0( 5 7 9 )0 0 = 0 + 0 + 5 0 + 5 + 7 5 + 7 + 9 7 + 9 + 0 9 + 0 + 0

= 5 12 21 16 9 = 64269

หรือ = 5 2 1 6 9 = 64269
01 210

ดังน้นั 579111= 64269
กำรยันควำมถูกต้อง ดว้ ยการคดั ออกสิบเอด็

579111 = 64269 → (9 − 7 + 5)(1−1+1) = 9 − 6 + 2 − 4 + 6

7 1 = 7

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 34579108111

วธิ ที ำ คดิ เลขจากซา้ ยไปขวา

34579108111 = 0 0 ( 3 4 5 7 9 1 0 8 ) 0 0

= 3 0+3+ 4 3+ 4+5 4+5+7 5+7 +9 7 +9+1 9+1+0 1+0+8 0+8+0 8

= 3 7 2 6 1 7 0 9 8 8 = 3838280988
00 1 1 211 0 0 0

ดงั น้นั 34579108111 = 3838280988
กำรยันควำมถกู ต้อง ดว้ ยการคดั ออกสิบเอด็

34579108111 = 3838280988 →
(8 − 0 +1− 9 + 7 − 5 + 4 − 3)(1−1+1) = 8 −8 + 9 − 0 + 8 − 2 + 8− 3+ 8− 3

3 1 = 25 → 5 − 2 = 3

2.1.3. กำรคูณด้วยตัวคูณ 1111

ข้นั ตอนกำรคิด ก็ในทานองเดียวกบั การคณู ดว้ ยตวั คณู 111

• เขยี นจานวนที่เป็นตวั ต้งั ที่จะคูณดว้ ย 1111 ไวใ้ นวงเลบ็ และเขยี นเลขศูนย์(0) สามตวั ไวข้ า้ ง

นอกท้งั สองขา้ งของวงเลบ็

• ดาเนินการเร่ิมดว้ ยหาผลบวกตวั เลขทางซา้ ยถดั ไปทางขวาคร้ังละส่ีตวั โดยการเลื่อนถดั คร้ังละ

หน่ึงหลกั จากซา้ ยไปทางขวาเป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ

ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 12341111

วธิ ีทำ การดาเนินการบวก บวกคร้ังละ 4 ตวั แลว้ เลื่อนไปคร้ังละ 1 ตวั เลข

ข้นั ที่ 1 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

0+ 0+ 0+1=1

ข้นั ที่ 2 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

0+ 0+1+ 2 = 3

53

ข้นั ท่ี 3 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

0+1+ 2+3 = 6

ข้นั ท่ี 4 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

1+ 2 + 3 + 4 =10

ข้นั ที่ 5 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

2+3+4+0 =9

ข้นั ท่ี 6 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

3+4+0+0 = 7

ข้นั ที่ 7 0 0 0 ( 1 2 3 4 ) 0 0 0

4+0+0+0 = 4

ดงั น้นั 12341111 = 1 3 6 10 9 7 4 = 1370974
ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 672930431111
วธิ ที ำ การดาเนินการบวก บวกคร้ังละ 4 ตวั แลว้ เลื่อนไปคร้ังละ 1 หลกั

672930431111 = 000(67293043)000
= 6 3 5 4 1 4 6 0 7 7 3 = 74762570773

0 1 12 211 1 0 0 0

ดงั น้นั 672930431111 = 74762570773
กำรยนั ควำมถูกต้อง ดว้ ยการคดั ออกสิบเอด็ 672930431111 = 74762570773

(3− 4 + 0 −3+ 9 − 2 + 7 − 6)(1−1+1−1) = 3− 7 + 7 − 0 + 7 −5+ 2 − 6 + 7 − 4 + 7

4  0 = 11

54

2.2. กำรคูณด้วยตัวคูณลำดับของเลขเก้ำ

กำรคูณด้วยตวั คูณลำดบั ของเลขเก้ำ เป็ นกำรคูณด้วยกำรสังเกตอย่ำงทะลุปรุโปร่ง
(Multiplication Through Observation)

ลาดบั ของเลขเกา้ หมายถึงจานวนที่ทุกหลกั เป็นเลข 9 คือ 9, 99, 999, 9999, …
ในเวทคณิต เรียกกำรคูณนีว้ ่ำ “กำรคูณด้วยสูตรเอกนั ยูเนนะ ปเู วณะ”

คาวา่ “เอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ หมายถึง จานวนท่ีนอ้ ยกวา่ อยหู่ น่ึงของตวั ที่อยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้
(Ekanyūnena Pūrveṇa mean By One less than the One Before)”

ซ่ึงหมายถึงการลดค่าของจานวนหน่ึงดว้ ย 1 กไ็ ด้ เช่นถา้ กาหนดจานวนหน่ึงคือ 78965 แลว้ ลด
ค่าจานวนน้ีดว้ ย 1 เป็น 78964 หรือก็คอื

78965 −1 = 78964

การคณู ดว้ ยสูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ เป็นการคูณแบบเทคนิค ท่ีไม่ค่อยไดใ้ ชบ้ ่อยนกั เพราะมี

ขอ้ จากดั ท่ีตวั คูณตอ้ งเป็ นเลขเกา้ (entirely of nines) ท้งั หมด ไดแ้ ก่ 9,99,999,9999,...เป็นตน้
สูตรนใี้ ช้กำรคำนวณภำยใต้เงื่อนไข 3 กรณี ดงั ต่อไปนี้

2.2.1. จำนวนตวั เลขของตวั ต้ังเท่ำกบั จำนวนเลขเก้ำของตัวคูณ

(When the number of digits in the multiplicand and the number of 9 s in the multipliers is the same)

ลองพจิ ำรณำตำรำง แสดงการคูณดว้ ยตวั คูณลาดบั ของเลขเกา้ ที่ตวั ต้งั และตวั คูณมีจานวนหลกั เทา่ กนั ก็

จะทาใหเ้ ขา้ การคณู ดว้ ยวธิ ีน้ีดีข้ึน

1199 = 10 89 สดมภท์ ่ี 1 ตวั ต้งั คูณดว้ ย 9,99
สดมภท์ ี่ 2 คาตอบส่วนท่ี 1 มีคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั ต้งั อยู่ 1
29 = 18 1299 = 11 88 สดมภท์ ี่ 3 คาตอบส่วนท่ี 2 เป็นส่วนเติมเตม็ ของตวั ต้งั

39 = 2 7 1399 = 12 87 หาไดด้ ว้ ยสูตรนิขลิ มั แถวเดียวกนั กบั ตวั คูณ
49 = 3 6 1499 = 13 86 หมำยเหตุ แนวความคิดในตารางขา้ งตน้ เวทคณิต
59 = 4 5 1599 = 14 85 สามารถอธิบาย ที่มาที่ไปของแนวความคดิ น้ีได้ คือมา
69 = 5 4 1699 = 15 84 จากการคณู ดว้ ยวิธีนิขิลมั เช่น พิจารณา 18  99
79 = 6 3 1799 = 16 83 วิธีทา ดว้ ยวธิ ีนิขลิ มั ใชฐ้ านหลกั 100
89 = 7 2 1899 = 17 82
ค่าเบ่ียงฐาน
99 = 8 1 1999 = 18 81

109 = 9 0 2099 = 19 80 18 82 

99 0 1

18 + 0 1 / 82  0 1 = 18 −1/ 82 =1782

การลดค่าดว้ ย 1

55

ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 587999

วธิ ีคิด มำจำกกำรคูณด้วยวิธีนขิ ลิ มั

ข้นั แรก จะตอ้ งสารวจวา่ “จานวนตวั เลขของตวั ต้งั เท่ากบั จานวนเลขเกา้ ของตวั คูณ” หรือไม่ถา้ พบวา่

เท่ากนั แลว้ จึงสามารถดาเนินการคูณกนั ได้

ในท่ีน้ี เนื่องจาก 999 และ 587 ตา่ งมีค่าใกลฐ้ านหลกั 1000 เราใชค้ วามรู้เร่ืองการคูณดว้ ย

สูตรนิขิลมั กจ็ ะไดว้ ธิ ีทาดงั น้ี

ค่าเบี่ยงฐาน ยนั ความถกู ตอ้ ง

587 413  2

999 001 0

587 −1 / 413 = 586 / 413 = 586413 → 0

ตวั ต้งั ถูกลบดว้ ย 1 จานวนเติมเตม็ ของตวั ต้งั

จำกตวั อย่ำงที่แสดงข้ำงบน จะเหน็ ได้ชัดเจนว่ำ คำตอบประกอบด้วยสองส่วน

- ส่วนหน้ำ ไดจ้ าก ตวั ต้งั ลบออกดว้ ย 1

- ส่วนหลัง ไดจ้ ากการหาจานวนเติมเตม็ ของตวั ต้งั

ข้นั ตอนกำรคิดในใจ

หาผลคูณของ 587999 = 587 −1/ 413 = 586413
กำรยนั ควำมถกู ต้อง

ดว้ ยการคดั ออกเกา้ เป็นวธิ ีท่ีเหมาะสมท่ีสุดเพราะ ตวั คูณเป็ นเลขลำดับของเก้ำ

เมื่อคดั ออกเกา้ ผลคอื 0 ดงั น้นั ตรวจสอบท่ีคาตอบวา่ เมื่อคดั ออกเกา้ แลว้ เทา่ กบั ศนู ย์ ก็พอแลว้
ดงั น้นั 587999 = 586413 → 586413 → 5 +8 + 6 + 4 +1+ 3 = 0
ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 7896599999

วิธีคดิ ข้นั ตอนเป็นดงั น้ี
- ตรวจสอบจานวนตวั เลขของตวั ต้งั ตอ้ งเท่ากบั จานวนเลขเกา้ ของตวั คูณ
จากน้ีหาคาตอบที่ตอ้ งมีสองส่วนคือ

- ผลลพั ธท์ างซา้ ยเท่ากบั ตวั ต้งั ลบดว้ ย 1 ดงั น้นั 78965−1= 78964
- ผลลพั ธท์ างขวา หาจานวนเติมเตม็ 100000 ของ 78965 ดว้ ยสูตรนิขิลมั คือหาครบเกา้ ของ
7,8,9,6 คือ 2,1,0,3 ตามลาดบั และตวั สุดทา้ ยครบสิบของ 5 คือ 5
ไดจ้ านวนเติมเตม็ 100000 ของ 78965 คอื 21035

56

เพรำะฉะน้นั 7896599999 = 7896421035 ซ่ึงสามารถคดิ เลขในใจได้

หรือแสดงวธิ ีทำ 78965


99999

78964 / 21035

78965

ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบเกา้ ครบสิบ

78965 −1 21035 2 1 0 35

จานวนท่ีนอ้ ยกวา่ อยหู่ น่ึงของตวั ต้งั ทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ

กำรตรวจสอบยันควำมถกู ต้อง

สาหรับการคณู ดว้ ยตวั คูณลาดบั ของเลข 9, 99, 999, 9999,...น้ีงา่ ยมากเพราะตวั คูณผลบวก

เลขโดดเป็น 9 หรือใชว้ ิธีคดั ออกเกา้ เป็นศูนย์ (0) ดงั น้นั การตรวจคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่ เรำคดั ออกเก้ำ

ทตี่ ัวคำตอบกพ็ อ ดังเช่น

7896599999 = 7896421035

→0 = 7 +8+9+6+ 4+ 2+1+0+3+5 = 9 →0

ตวั อย่ำงที่ 3 หาผลคณู ของ 987654321999999999
วธิ ที ำ ผลลพั ธท์ างซา้ ย (LHS) = 987654321−1= 987654320

ผลลพั ธท์ างขวา (RHS) = จานวนเติมเตม็ ของ 987654321
คือ 012345679 (ดว้ ยสูตรนิขลิ มั )

ดงั น้นั 987654321999999999 = 987654320012345679
ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 8070605040399999999999
วธิ ที ำ LHS = 80706050403−1= 80706050402

RHS = จานวนเติมเตม็ ของ 80706050403
คือ 19293949597 (ดว้ ยสูตรนิขลิ มั )

ดงั น้นั 8070605040399999999999 = 8070605040219293949597
สรุป ข้นั ตอนการคูณดว้ ยสูตรเอกนั ยเู นนะ ปูรเวณะ น้นั เน่ืองจากเอกนั ยเู นนะ ปรู เวณะ หมายถึง การลด

ค่าของจานวนใดจานวนหน่ึงดว้ ย 1 จึงเป็นดงั น้ี
• - ลบตวั ต้งั ดว้ ย 1 แลว้ เขยี นผลลพั ธเ์ ป็นส่วนทางซา้ ยคาตอบ

- หาจานวนเติมเตม็ 10n ของตวั ต้งั ดว้ ยสูตรนิขลิ มั แลว้ เขียนผลลพั ธเ์ ป็นส่วนทางขวาคาตอบ

57

2.2.2. จำนวนตัวเลขของตวั ต้ังน้อยกว่ำจำนวนเลขเก้ำของตัวคูณ

(When the number of multiplicands is smaller than the number of 9s in the multipliers)

“แนวควำมคิดในกรณีท่ีจำนวนตวั เลขของตัวต้งั น้อยกว่ำจำนวนเลขเก้ำของตัวคูณ”
วิธีการคานวณกง็ า่ ยเช่นเดียวกบั กรณี (2.2.1) ท่ีแลว้

ดว้ ยการเติมศูนย์ (0) ขา้ งหนา้ ของตวั ต้งั ใหม้ ีตวั เลขเท่ากบั จานวนเลขเกา้ (9) ของตวั คณู จากน้นั ก็
ดาเนินการคณู เช่นเดียวกบั กรณีจานวนตวั เลขของตวั ต้งั เทา่ กบั จานวนเลขเกา้ ของตวั คูณ เมื่อไดผ้ ลคณู
แลว้ ตดั เลขศนู ยข์ า้ งหนา้ ออกกจ็ ะไดเ้ ป็นคาตอบสาเร็จรูป เช่น
ลองสังเกตกำรณ์ หาผลคูณของ 799 , 79999 , 78999999 , 799999999

07 079 00789 0000079

99 999 99999 9999999

06 / 93 078 / 921 00788 /99202 0000078 /9999921

ตวั อย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 4678999999

วธิ ีทำ ใหใ้ ส่ เลขศูนยข์ า้ งหนา้ ตวั ต้งั โดยใหม้ ีจานวนหลกั ครบเท่าจานวนตวั เลขของตวั คณู

หรือ ใหจ้ านวนหลกั ของตวั ต้งั เท่ากบั จานวนหลกั ของตวั คูณ นน่ั เอง

ดงั น้นั ผลลพั ธท์ างซา้ ย (LHS) = 004678−1= 4677

ผลลพั ธท์ างขวา (RHS) = จานวนเติมเตม็ ของ 004678 คือ 995322 (ดว้ ยสูตรนิขิลมั )

คำตอบของ 4678999999 = 4677995322

อธบิ ำยหลกั กำรคดิ ดงั นี้

วิธที ำ คา่ เบ่ียงฐาน ยนั ความถกู ตอ้ ง

004678 995322  7
999999 000001 0

004678 −1 / 995322 = 4677995322 → 0

ตวั ต้งั ถูกลบดว้ ย 1 จานวนเติมเตม็ ของตวั ต้งั

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 76599999
วธิ ีทำ ใหใ้ ชห้ ลกั การตามตวั อยา่ งท่ี 1

ใส่ เลขศูนยข์ า้ งหนา้ ตวั ต้งั ใหม้ ีจานวนหลกั เท่าตวั เลขจานวนหลกั ของตวั คูณ
ผลลพั ธท์ างซา้ ย (LHS) = 00765−1= 00764
ผลลพั ธ์ทางขวา (RHS) = จานวนเติมเตม็ ของ 00764 คือ 99235 (ดว้ ยสูตรนิขลิ มั )

ดังน้นั 76599999 = 76499235

58

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 2936599999999

วธิ ที ำ ผลลพั ธ์ทางซา้ ย (LHS) = 00029365−1= 00029364

ผลลพั ธ์ทางขวา (RHS) =จานวนเติมเตม็ ของ 00029365 คือ 99970635 (ดว้ ยสูตรนิขิลมั )

ดงั น้นั 2936599999999 = 2936499970635

2.2.3. จำนวนตัวเลขเก้ำของตัวคูณน้อยกว่ำจำนวนตวั เลขของตัวต้ัง

(When the number of 9s in the multipliers is less than the number of digits in the multiplicand)

กรณีทสี่ ำมนี้ “จำนวนตัวเลขของตวั ต้งั มำกกว่ำจำนวนเลขเก้ำของตัวคูณ”

วธิ ีกำรคำนวณต่ำงจำกท้งั สองวิธีทก่ี ล่ำวอย่ำงสิ้นเชิง

ซ่ึงไม่ไดใ้ ช้ วิธีการคูณดว้ ยสูตรเอกนั ยเู นนะ ปรู เวณะ

ลองพจิ ำรณำ ความสมั พนั ธ์การดาเนินการคูณในตารางท่ีแสดงผลคณู จะทาใหเ้ ขา้ ใจของเทคนิคการคูณ

วิธีน้ีได้

สดมภท์ ี่ 1 สดมภท์ ่ี 2 สดมภท์ ่ี 3

119 = 9 9 219 =18 9 379 = 33 / 3
469 = 42 / 4
129 =10 8 229 =19 8 559 = 45 / 5
649 = 57 / 6
139 =11 7 239 = 20 7 739 = 65 / 7
829 = 73 / 8
149 =12 6 249 = 21 6
919 = 81/ 9
159 =13 5 259 = 22 5
เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ
169 =14 4 269 = 23 4
179 =15 3 279 = 24 3
189 =16 2 289 = 25 2
199 =17 1 299 = 26 1
209 =18 0 309 = 27 0

ในกรณีท่ีตวั คูณท่ีประกอบดว้ ยเลข 9 ท่ีมีจานวนตวั เลข 9 นอ้ ยกวา่ ตวั เลขของตวั ต้งั
ต่างจากสองวิธีที่แสดงขา้ งตน้ มีวธิ ีทาดงั น้ี

(1) เติมเลขศูนยต์ ่อทา้ ยท่ีตวั ต้งั ใหม้ ีจานวนเลขศูนยเ์ ท่ากบั จานวนเลขเกา้ ของตวั คูณ
(2) หาผลตา่ งระหวา่ งตวั ต้งั ท่ีต่อทา้ ยดว้ ยเลขศูนยใ์ นข้นั ตอนที่ 1 กบั ตวั ต้งั เดิมที่กาหนดใหแ้ ต่แรก
พิจารณาดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
หมำยเหตุ ยอ้ นกลบั ไปศึกษา “การคูณดว้ ยตวั คูณ 11, 111, 1111, …”

59

ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 34259
วิธีท่ี 1 ในกรณีที่ ตวั คูณคอื 9 เพยี งตวั เดียว สามารถเปลี่ยนเป็นจานวนวินควิ ลมั 9 =11 ดงั น้นั

34259 = 342511

ทาเหมือนการคณู ดว้ ยตวั คณู 11 โดยใส่เลข 0 ที่หวั ทา้ ยของตวั ต้งั แตก่ ลบั หาผลต่างตวั เลขต่อ
ตวั เลขของตวั ท่ีถดั ไปกบั ท่ีมาก่อนต้งั แตต่ วั เร่ิมตน้ ไปทางซ้ายจนสุด ดงั น้ี :

0 3 4 2 5 0:3−0→4−3→2−4→5−2→0−5

= 3 →1→ −2 → 3 → −5 = 31235 = 30825

ตอบ 34259 = 30825

วธิ ีท่ี 2 34259

ใหใ้ ส่ ศนู ยต์ ่อจากหลกั ทา้ ยสุดของตวั ต้งั แลว้ นาไปบวกกบั จานวนเติมเตม็ ของตวั ต้งั น้นั เป็นคาตอบ

ดงั นี้ 34259 → 34250 +
96575
(ใชว้ ิธีการลบดว้ ยสูตรนิขลิ มั )
034 25 = 130825

หรือ 34259 → 34250

0 3 4 2 5 = 31235 = 30825 (ใชว้ ธิ ีการลบดว้ ยวธิ ีการวินคิวลมั )

ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 276599

วธิ ที ำ ตามตวั อยา่ งที่แสดงในตาราเวทคณิตของทา่ นศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ

หาผลตา่ งของสองจานวนขา้ งบนน้ีดว้ ยการลบดว้ ยวิธีสูตรนิขิลมั หรือวธิ ีการวนิ คิวลมั

แสดงไว้ดังนี้

วธิ ีสูตรนิขิลมั วิธีการวนิ ควิ ลมั

2 7 6 5 0 0+ 276500
+
99 7 2 35
2765
002765

1273735 2 7 4 2 6 5 = 273735

แนวควำมคิด เปลี่ยน 99 ใหอ้ ยูใ่ นเทอมของ 100 คือ 99 =100−1

ดงั น้นั 276599 = 2765(100 −1)

= 2765100− 2765 สมบตั ิการแจกแจง

= 276500 − 2765

วธิ คี ิดเร็ว 276599 = 9 9 7 2 3 5 = 2 7 3 7 3 5 = 273735

2 7 6 5 0 0

60

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 89427659999

วิธที ำ (1) เมื่อตวั คณู มีเลขเกา้ นอ้ ยกวา่ ตวั ต้งั ก็เติมเลขศูนยต์ ่อทา้ ยท่ีตวั ต้งั ของ 8942765 สี่ตวั เท่ากบั
จานวนเลข 9 ของตวั คูณ ทาใหไ้ ด้ คาตอบต้งั ตน้ คือ 89427650000

(2) หาผลต่างของ 8942765 (ตวั ต้งั ตน้ ) กบั 89427650000 นน่ั คือ
ดงั น้นั 89427659999

89427650000 −

9999105 7 2 35

00008942765

89 4187 0 7 235

ตอบ 89427659999 = 89418707235
พสิ ูจน์เชิงพชี คณิต สาหรับ x จานวนจริงบวกใด ๆ แลว้ x999... =10n (x −1) + (10n − x) เม่ือ
n เป็นจานวนเตม็ บวก

พสิ ูจน์ x999... ( )= x 10n −1 = 10n  x − x

ตัว =10n  x −10n +10n − x

( ) ( )= 10n  x −10n + 10n − x

=10n (x −1) + (10n − x)

สูตรท่ี 14 เอกันยูเนนะ ปรู เวณะ
หรือจำนวนทีน่ ้อยกว่ำอยู่หน่ึงของตวั ทอี่ ยู่ถดั ไปข้ำงหน้ำ
(Sūtra 14. Ekanyūnena Pūrveṇa = सूत्र १४. एकन्यूनेन पूर्वेण )

Ekanyūnena Pūrveṇa mean By One less than the One Before

Eka = เอก ค. เอก หน่ึง เดียว ( one , Anya – other )

ūnena = ยเู นนะ – (Less)

Purva = ปูรฺวฺว ค. ก่อน ประถม แรก (before)

Pūrveṇa = ปรู เวณ ก.ว. ทางทิศตะวนั ออก (Purรvena – before ,What used to be before)

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 2 การคูณสองจานวนการคณู โดยใชส้ ูตรเอกนั ยเู นนะ ปรู เวณะ

1. 77779999 2. 4537899999 3. 9878999999 4. 9999999999

5. 4555499999 6. 8799999 7. 1589999 8. 79999999

9. 1239999999 10. 556659999999 11. 807099999999 12.1008999999999

13. 87999 14. 1111999 15. 459999 16. 1563999

17. 29991999 18. 879499 19. 1607999 20. 90999999999

21. 7779999999 22. 1110111999 23.1000000199999 24.1240999999999

61

2.3. กำรคูณเลขสองจำนวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดท้ำยเท่ำกบั สิบหรือกำลงั ของสิบ

ในเวทคณิตเป็นการคูณดว้ ย อุปสูตรท่ี 8 อนั ตยาโยรทศเกปิ ซ่ึงสูตรน้ีหมายถึง
“เม่ือผลบวกตวั เลขทา้ ยสุดเทา่ กบั สิบ”

อุปสูตรที่ 8 อนั ตยาโยรทศเกปิ

)(Upasutra 8. Antyayordaśake’pi = उपसतू ्र ८. अन््र्र्ोदशव के ऽतप

antyayor ,antya อนฺตฺย อนฺต ค. สิ้น, สุด,ใกล้ (adj. final ,lowest in place ,last in place)
daśake’= ทศก. ค. เปนหรือมีเศษสิบ หรือ ทศนฺ ค. สิบ (ten)
pi = ปิ ธ. ไป (to go, to walk)

การคณู เลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนสุดทา้ ยเทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบ น้ีเป็นการ
ประยกุ ตก์ ารคูณดว้ ย

- สูตรการคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ หรือ
- สูตรการคณู ดว้ ยสัดส่วนช่วย
ใชส้ าหรับการคูณเลขสองจานวน ที่มีสมบตั ิ 2 ประการคือ
(1) ส่วนแรกทางซา้ ยของสองจานวนมีไดห้ ลายรูปแบบ
(2) ส่วนที่สองทางขวาของสองจานวนมีผลบวกเทา่ กบั 10 หรือกาลงั ของสิบ (10n )
จากสมบตั ิส่วนแรกทางซา้ ยของสองจานวนมีไดห้ ลายรูปแบบน้ี จึงสามารถ แบง่ เป็นรูปแบบการคูณ
เช่นน้ีได้ 6 รูปแบบดงั น้ี
- ส่วนแรกของสองจานวนเทา่ กนั และส่วนหลงั มีผลบวกเทา่ กบั 10 หรือกาลงั ของสิบ (10n )
- การหายกกาลงั สองของจานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 5
- ส่วนแรกของสองจานวนเป็นตวั เลขท่ีอยถู่ ดั กนั และส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5
- ส่วนแรกของสองจานวนเป็นเลขคู่และส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5
- ส่วนแรกของสองจานวนเป็นเลขค่ีและส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5
- ส่วนแรกของสองจานวนเป็นเลขคแ่ี ละเลขคู่และส่วนสุดทา้ ยเป็นเลข 5
2.3.1. ส่วนแรกของสองจำนวนเท่ำกนั และส่วนหลงั มผี ลบวกเท่ำกบั 10 หรือกำลงั ของสิบ (10n )
กำรดำเนนิ กำรคูณมขี ้นั ตอนดังนี้
(1) ส่วนแรกเป็นผลคณู ของตวั เลขส่วนที่เท่ากนั ตวั ต้งั หรือตวั คูณ กบั ตวั เลขส่วนท่ีเท่ากนั น้ีบวก
ดว้ ย 1 ผลลพั ธ์ท่ีไดน้ าไปเขียนเป็นคาตอบทางซา้ ย
(2) ส่วนท่ีสองเป็นผลคณู สองตวั ทา้ ยของตวั ต้งั และตวั คูณที่มีผลบวกเทา่ กบั 10 หรือกาลงั ของ
สิบ (10n ) นาไปเขยี นผลลพั ธ์ของคาตอบทางขวา (คาตอบส่วนน้ี จะตอ้ งมีจานวนหลกั เท่ากบั
ผลบวกของจานวนหลกั ของส่วนที่นามาคูณกนั น้ี)

62

ตัวอย่ำงเช่น หาผลคณู ของ 4347
วธิ ที ำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนมีตวั เลขส่วนหนา้ คอื 4 เทา่ กนั

ส่วนหลงั 3 กบั 7 บวกกนั ได้ 10 เป็นไปตามเง่ือนไข ของการคณู ดว้ ยสูตรผลบวกตวั เลขทา้ ยสุด

เท่ากบั สิบ (อุปสูตรอนั ตยาโยรทศเกปิ )

ดงั น้นั การคูณดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

43 3 4 3


47 7 47

5 0 4 / 21 = 2021 6 0 1 = 2021

กำรคูณด้วยสูตรผลบวกตัวเลขท้ำยสุดเท่ำกบั สิบ 142

43 4 4 + 4 = 4(4 +1)

47

4 5 / 3 7 = 2021

ผลลพั ธ์ทางซา้ ยของคาตอบ = 45 = 20

ผลลพั ธ์ทางขวาของคาตอบ = 37 = 21 (คาตอบประกอบดว้ ยตวั เลข 2 หลกั )

ดงั น้นั 4347 = 2021

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 392308

วิธที ำ จะเห็นชดั เจนวา่ ส่วนแรกทางซา้ ย มี 3 เทา่ กนั

ส่วนท่ีสองทางขวาสองตวั ทา้ ยของตวั ต้งั และตวั คูณ บวกกนั ได้ 100 (92+ 08 =100)

ดังน้นั ผลลพั ธ์ทางซา้ ย = 3(3+1) = 34 =12

และผลลพั ธ์ทางขวา = 9208 = 0736 (คาตอบตอ้ งประกอบดว้ ยตวั เลข 4 หลกั )

เพราะฉะน้นั การคูณดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย การคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

392 0 8 3 92
 

308 9 2 3 08

30 0 4 / 36 =120736 90026
7
03071

33+ 3 = 3(3+1)

กำรคูณด้วยสูตรผลบวกตัวเลขท้ำยเท่ำกบั พหุคูณของสิบ

3 92


3 08

3 4 / 9 208 =12 / 0736 =120736

ตอบ 392308 =120736

63

ตัวอย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 768762
วธิ ที ำ เลขสองจานวนน้ีมีส่วนมีคา่ เท่ากนั คือ 76

และตวั เลขส่วนหลงั ของท้งั สองจานวนคือ 8 กบั 2 สามารถบวกกนั ได้ 8+ 2 =10
ดงั น้นั ผลลพั ธท์ างซา้ ยของคาตอบ = 7677 = 5852

ผลลพั ธท์ างขวาของคาตอบ = 82 =16 (คาตอบประกอบดว้ ยตวั เลข 2 หลกั )
คำตอบ 768762 = 7677 / 82 = 585216
ตวั อย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 968932
วธิ ที ำ เลขสองจานวนน้ีมีส่วนหนา้ มีค่าเท่ากนั คอื 9

และตวั เลขส่วนหลงั ของท้งั สองจานวนคือ 68 กบั 32 สามารถบวกกนั ได้ 68+32 =100
ดังน้นั ผลลพั ธ์ทางซา้ ยของคาตอบ = 910 = 90

ผลลพั ธ์ทางขวาของคาตอบ = 6832 = 2176 (คาตอบประกอบดว้ ยตวั เลข 4 หลกั )
คำตอบ 968932 == 910 / 6832 = 902176
ตัวอย่ำงที่ 4 หาผลคูณของ 611689
วิธที ำ เลขสองจานวนน้ีมีส่วนหนา้ มีคา่ เท่ากนั คอื 6

และตวั เลขส่วนหลงั ของท้งั สองจานวนคือ 11 กบั 89 สามารถบวกกนั ได้ 11+89 =100
ดงั น้นั ผลลพั ธท์ างซา้ ยของคาตอบ = 67 = 42

ผลลพั ธ์ทางขวาของคาตอบ =1189 = 0979 (คาตอบประกอบดว้ ยตวั เลข 4 หลกั )
คำตอบ 611689 = 67 /1189 = 420979
ตวั อย่ำงท่ี 5 หาผลคณู ของ 88718129
วิธที ำ เลขสองจานวนน้ีมีส่วนหนา้ เหมือนกนั หรือมีค่าเท่ากนั คอื 8

และตวั เลขส่วนหลงั ของท้งั สองจานวนคือ 871 กบั 129 สามารถบวกกนั ได้ 871+129 =1000
ดังน้นั ผลลพั ธ์ทางซา้ ยของคาตอบ = 89 = 72

ผลลพั ธ์ทางขวาของคาตอบ = 871129 =112359 (คาตอบตอ้ งประกอบดว้ ยตวั เลข 6 หลกั )
คำตอบ 88718129 = 89 / 871129 = 72112359

64

2.3.2. กำรหำยกกำลงั สองของจำนวนทีล่ งท้ำยด้วย 5
เป็นวิธีท่ีเราพบและคุน้ เคยกนั ของวิธีด้งั เดิม กล่าวคือ
“กาลงั สองของจานวนที่ลงทา้ ยดว้ ยหา้ ” มีคา่ เทา่ กบั

“ ส่วนสุดทา้ ยตอ้ งลงดว้ ย 25 ส่วนหนา้ เป็นผลคูณของตวั ส่วนหนา้ 5 กบั ตวั หนา้ ส่วนหนา้ 5 บวก 1”
เช่น 652 = 67 / 25 = 4225

1352 =1314 / 25 = 18225

ตวั เลขส่วนหนา้ 21352 = 213 214 / 25 = 4558225
213+1=214

แต่สูตร ดังกล่ำวข้ำงต้น น้ันมำได้อย่ำงไร จากความรู้การคณู เลขสองจานวน

“โดยที่ส่วนแรกของสองจานวนเท่ากนั และส่วนที่สองมีผลบวกเท่ากบั 10”

ความหมายสมนยั กบั “การยกกาลงั สองของจานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 5 ” น้ี
เพราะคากล่าวขา้ งตน้ “คือเลขสองจานวนน้ีตอ้ งมีส่วนหนา้ ของ 5 เทา่ กนั ”

เช่น การคณู เลขสองจานวน 8585 กค็ ือ 8585 = 852
หรือ การหากาลงั สองของ 85 เป็นการคูณเลขสองจานวน 8585 นนั่ เอง
พบสมบตั ิ วา่ ส่วนแรกเทา่ กนั คอื 8 = 8

ส่วนสุดทา้ ยเป็นตวั เลขบวกกนั ไดส้ ิบ คือ 5+5 =10
จากการคานวณขา้ งตน้ หาผลลพั ธท์ ้งั สองส่วนของคาตอบ

85



85

8(8 +1) / 5 5 = 72 / 25 = 7225

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาค่าของ 1252
วธิ ที ำ 1252 =12(12 +1) / 52 =15625
ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

1252 =15625 → (−1)2 =1+ 5 + 6 + 2 + 5 → 1 =1

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาคา่ ของ 99952

วธิ ีทำ 99952 = 9995(999 +1) / 52 = 99900025 = 99,900,025
ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

99952 = 99900025 → (5)2 = 2 + 5

65

2.3.3. ส่วนแรกของสองจำนวนเป็ นตวั เลขที่อยู่ถัดกนั และส่วนสุดท้ำยเป็ นเลข 5
กำรดำเนนิ กำรคูณมีข้นั ตอนดงั นี้ คาตอบประกอบ 2 ส่วน

(1) ส่วนแรกเป็นผลคูณของตวั เลขที่มีคา่ นอ้ ยกบั ตวั เลขถดั ไปที่มีคา่ มากแต่ตอ้ งบวกดว้ ย 1
เขียนเป็นผลลพั ธ์ทางซา้ ยของคาตอบ

(2) ส่วนที่สองเป็นตวั เลขสองหลกั เท่ากบั 75 เขยี นเป็นผลลพั ธ์ทางขวาของคาตอบ
ตวั อย่ำงที่ 1 หาผลคูณของ 6575

วิธที ำ 6575 = 6(7 +1) / 75

= 48 / 75 = 4875

กำรคิดวธิ ีนี้ เป็นการหาผลคูณดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย ดงั น้ี

จะเห็นไดว้ า่ การหาผลคณู ของ 6575 เลขสองจานวนน้ีมีค่าใกลฐ้ านหมนุ เวียนคือ 70

กำรคูณด้วยสูตรสัดส่วนช่วย ค่าเบ่ียงฐานหมนุ เวียน

65 5



75 5

7 07 / 5 = 49 0 5 = 4925 = 4875 = 68 / 75
22

หรือ จำกกำรคูณด้วยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

65



75
2 5 5 = 4875

46 2

67 + 6 = 6(7 +1)

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคูณของ 485495
วธิ ที ำ 485495 = 48(49 +1) / 75 = 4850 / 75

= 2400 / 75 = 240075

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 99759985

วิธที ำ 99759985 = 997(998 +1) / 75 = 997999 / 75

เน่ืองจาก −003 −001

997 999 = 996 / 003 = 996003

99759985 = 997(998 +1) / 75 = 997999 / 75

= 996003 / 75 = 99600375

ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

99759985 = 99600375 → 3 4 = 7 + 5

66

ตัวอย่ำงที่ 4 หาผลคณู ของ 1013510125

วิธีทำ 1013510125 =1012(1013+1) / 75

เนื่องจาก 012 014

10121014 = 1026 /168 = 1026168

=1026168 / 75 =102616875

ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

1013510125 =102616875
→10 =1+ 0 + 2 + 6 +1+ 6 + 8 + 7 + 5 = 0

2.3.4. ส่วนแรกของสองจำนวนเป็ นเลขคู่และส่วนสุดท้ำยเป็ นเลข 5
กำรดำเนนิ กำรคูณมีข้ันตอนดังนี้ คาตอบประกอบ 2 ส่วน

(1) ส่วนแรกเป็นผลบวกของผลคูณตวั เลขส่วนหนา้ กบั คร่ึงหน่ึงของผลบวกส่วนน้ี
เขียนเป็นผลลพั ธ์ทางซา้ ยของคาตอบ

(2) ส่วนท่ีสองเป็นตวั เลขสองหลกั เท่ากบั 52 = 25 เขียนเป็นผลลพั ธท์ างขวาของคาตอบ
ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 6525

วิธีทำ 65 25 = 2 6 + 1 (2 + 6) / 25

2

=12 + 4 / 25 =1625

จะเห็นไดว้ า่ การหาผลคูณเลขสองจานวนเช่นน้ีจะตอ้ งเป็นคนช่างสงั เกต
กำรคิดวิธนี ี้ เป็นการหาผลคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ดงั น้ี
จะเห็นไดว้ า่ 6 5

25

2 0 5 = 12 + (6 + 2) 1 / 25 =12 + 4 / 25 =1625
14 2 2

62+4 = 62+ 6+2
2

ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 85105
วธิ ีทำ 85105 = 810 + 1 (8 +10) / 25

2

= 80 + 9 / 25 = 8925

ตัวอย่ำงที่ 3 หาผลคูณของ 165105
วิธีทำ 165105 = 1610 + 1 (16 +10) / 25

2

=160 +13 / 25 =17325

67

ตวั อย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 2253426105

วธิ ีทำ 2253426105 = 22342610 + 1 (22 + 342610) / 25

2

เน่ืองจาก 22342610 = 211342610
11342610 = 3768710 (สมบตั ิการคูณดว้ ยตวั คูณสิบเอด็ )

211342610 = 7537420

เพราะฉะน้นั 2253426105 = 22342610 + 1 (22 + 342610) / 25

2

= 7537420 +171316 / 25

= 770873625

ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

2253426105 = 770873625 → 03 = 0

ตวั อย่ำงท่ี 5 หาผลคูณของ 99985100125

วธิ ที ำ 99985100125 = 999810012 + 1 (9998 +10012) / 25

2

เน่ืองจาก −0002 0012 = 10010 / 0024 = 100100024 = 100099976

999810012

และ 1 (9998 +10012) = 10005

2

เพราะฉะน้นั 99985100125 =100099976 +10005 / 25

= 10010998125

ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

99985100125 =10010998125 → 40 = 0

68

2.3.5. ส่วนแรกของสองจำนวนเป็ นเลขคีแ่ ละส่วนสุดท้ำยเป็ นเลข 5
กำรดำเนินกำรคูณมขี ้นั ตอนในทำนองเดยี วกบั ข้อ 2.3.4 ดังนี้
คาตอบประกอบ 2 ส่วน

(1) ส่วนแรกเป็นผลบวกของผลคูณตวั เลขส่วนหนา้ กบั คร่ึงหน่ึงของผลบวกส่วนน้ี
เขียนเป็นผลลพั ธ์ทางซา้ ยของคาตอบ

(2) ส่วนท่ีสองเป็นตวั เลขสองหลกั เทา่ กบั 52 = 25 เขยี นเป็นผลลพั ธท์ างซา้ ยของคาตอบ
ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 9575

วิธที ำ 9575 = 9 7 + 1 (9 + 7) / 25

2

= 63+ 8 / 25 = 7125

กำรคดิ วิธีนี้ เป็นการหาผลคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ดงั น้ี
จะเห็นไดว้ า่ 9 5

75

3 0 5 = 9 7 + 1 (9 + 7) / 25 = 63+ 8 / 25 = 7125
68 2 2

ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 195795

วิธีทำ 195795 = 19 79 + 1 (19 + 79) / 25

2

=1501+ 49 / 25 =155025

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 75415346135

วิธีทำ 75415346135 = 754134613 + 1 (7541+ 34613) / 25
2

เน่ืองจาก 754134613 3 4 613 (การคณู แบบแนวต้งั และแนวไขว)้


0 7 5 41

0 1 3 4 6 4 5 3 3 = 261016633

0 247 5 5 2 1 0

และ 1 (7541+ 34613) = 21077

2

เพราะฉะน้นั 75415346135 = 754134613 + 1 (7541+ 34613) / 25

2

= 261016633+ 21077 / 25

= 26103771025

ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

75415346135 = 26103771025 → 4 4 = 7 →16 = 7 → 7 = 7

69

ตวั อย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 99975100135

วิธที ำ 99975100135 = 9997 10013 + 1 (9997 +10013) / 25

2

เน่ืองจาก −0003 0013

999710013 = 10010 / 0039 = 100100039 = 100099961

และ 1 (9997 +10013) = 10005

2

เพราะฉะน้นั 99975100135 =100099961+10005 / 25

= 10010996625

ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ ) 99975100135 =10010996625 → 31= 3

2.3.6. ส่วนแรกของสองจำนวนเป็ นเลขคีแ่ ละเลขคู่และส่วนสุดท้ำยเป็ นเลข 5
กำรดำเนินกำรคูณมีข้นั ตอนในทำนองเดยี วกบั ข้อ 2.3.3 มีเงื่อนไขเพม่ิ เติมเลก็ น้อย ดังนี้
คาตอบประกอบ 2 ส่วน

(1) ส่วนแรกเป็นผลบวกของผลคูณตวั เลขส่วนหนา้ กบั คร่ึงหน่ึงของผลบวกส่วนน้ี
(ปัดเศษเหลือทงิ้ ทุกคร้ัง) เขยี นผลลพั ธท์ างซา้ ยของคาตอบ

(2) ส่วนท่ีสองเป็นตวั เลขสองหลกั เท่ากบั 75เขียนผลลพั ธท์ างขวาของคาตอบ
ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคูณของ 35 x 85

วิธีทำ 35 x 85 = 38 + 1 (3 + 8) / 75

2

= 24 + 5 / 75 = 2975

หมำยเหตุ 1 (3 + 8) = 1 (11) = 5 1 ปัด 1 ทิง้ ทุกคร้ัง

2 2 22

กำรคิดวิธีนี้ เป็นการหาผลคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ดงั น้ี
จะเห็นไดว้ า่ 3 5

85

4 5 5 = 38 + 1 (3 + 8) / 75 = 24 + 5 / 50 + 25 = 29 / 75
25 2 2

ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 825795

วธิ ีทำ 825795 = 82 79 + 1 (82 + 79) / 75

2

= 2 −1 1 (8 2 + 79) / 75

82 79+ 2

= 818 / 2 + 1 (161) / 75
2

= 6482 + 80 / 75 = 6558 / 75 = 655875

70

ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 75425346935

วิธที ำ 75425346935 = 754234693 + 1 (7542 + 34693) / 75
2

เน่ืองจาก 754234693 3 4 6 9 3 (การคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว)้

07542

0 1 3 4 5 8 3 0 6 = 261654606

0 247 1 9 6 3 0

1

และ 1 (7542 + 34693) = 21117.5

2

เพราะฉะน้นั 75425346935 = 754234693 + 1 (7542 + 34693) / 75

2

= 261654606 + 21117 / 75

= 26167572375

ยนั ความถูกตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

75425346935 = 26167572375 → 53 = 6 →15 = 6 → 6 = 6

ตวั อย่ำงท่ี 4 หาผลคูณของ 99965100155

วธิ ที ำ 99965100155 = 999610015 + 1 (9996 +10015) / 75

2

เนื่องจาก −0004 0015

999610015 = 10011/ 0060 = 100110060 = 100109940

และ 1 (9996 +10015) = 10005.5

2

เพราะฉะน้นั 99965100155 = 999610015 + 1 (9996 +10015) / 75

2

=100109940 +10005 / 75

= 10011994575

ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

99965100155 =10011994575 → 23 = 6

https://kosha.sanskrit.today/word/en/10/th\

71

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 13. กำรคูณด้วยอปุ สูตรอนั ตยำโยรทศเกปิ

1. 2 3 2. 3 4 3. 4 8 4. 5 1

   
36 42 59
27

5. 2 5 6. 1 5 7. 3 5 8. 4 5

   
25 15 35 45

9. 1 5 10. 5 5 11. 6 5 12. 7 5

   
15 55 65 75

13. 1 9 14. 6 9 15. 9 7 16. 8 8

   
11 93 82
61

17. 1 9 7 18. 5 5 6 19. 3 2 5 20. 2 3 1

   
19 3 554 239
325

21. 7 9 7 22. 6 2 6 23. 3 5 6 24. 8 2 8

   
703 674 344 872

25. 4 3 5 26. 1 7 7 27. 5 4 2 28. 9 0 3

   
465 123 558
997

29. 2 9 1 30. 3 2 6 31. 4 5 7 32. 1 9 7

   
299 324 19 3
453

33. 7 1 5 1 34. 6 4 8 9 35. 9 9 3 5 36. 3 5 2 5

   
7159 6 411 3525
9965

72

2.4. กำรคูณเลขสองจำนวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหน้ำเท่ำกบั สิบหรือกำลงั ของสิบ

แต่ตวั เลขส่วนหลงั ต้องเท่ำกนั

การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบแตต่ วั เลขส่วน
หลงั ตอ้ งเท่ากนั น้ี มีลกั ษณะ ตรงขา้ ม กบั “การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตัวเลขส่วนสุดท้ายเท่ากบั สิบ
หรือกาลังของสิบแต่ส่วนหน้าเท่ากนั ”

ในเวทคณิตการคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เทา่ กบั สิบหรือกาลงั ของสิบแต่
ตวั เลขส่วนหลงั ตอ้ งเทา่ กนั กล่าวไวใ้ น สูตรวมันลยำโยหะ ทศเก อปิ ไมป่ รากฎในหนงั สือเวทคณิตของ
ท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ แตพ่ บในพระเวทที่มีนกั คน้ ควา้ ชาวอินเดียรุ่นหลงั ไดเ้ รียบเรียงไวใ้ น
หนงั สือเวทคณิตท่ีพิมพเ์ ผยแพร่ในประเทศอินเดียปัจจุบนั

สูตรนใี้ ช้ได้กต็ ่อเม่ือ
(1) ผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ ของตวั ต้งั และตวั คูณบวกกนั ไดเ้ ท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบ
(2) ส่วนตวั เลขท่ีเหลือส่วนทา้ ยของสองจานวนตอ้ งเท่ากนั

กำรดำเนินกำรคูณหำคำตอบมีข้นั ตอนดังนี้

คำตอบประกอบสองส่วน
(1) ส่วนแรกทางซา้ ยเป็นผลบวกของผลคูณสองตวั เลขทางซา้ ยของตวั ต้งั และตวั คณู กบั ตวั เลข

หลกั หน่วยของตวั ต้งั หรือตวั คณู
(2) ส่วนที่ 2 ทางขวา เป็นกาลงั สองของตวั เลขหลกั หน่วยของตวั ต้งั หรือตวั คูณ

ดังตวั อย่ำงเช่น หำผลคูณของ 4767
สังเกต ผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ ของตวั ต้งั (4) และตวั คณู (6) บวกกนั ได้ 4 + 6 = 10

และส่วนตวั เลขท่ีเหลือส่วนทา้ ย ( 7 = 7 ) ของสองจานวนตอ้ งเทา่ กนั
ดังน้นั คาตอบส่วนแรกทางซา้ ย = 46+ 7 = 24+ 7 = 31

คาตอบส่วนที่ 2 = 72 = 49

เพรำะฉะน้นั 4767 = 31/ 72 = 3149
ยนั ความถกู ตอ้ ง (คดั ออกเกา้ )

4767 = 3149 → 2 4 = 8

ควำมคิดวิธีนี้ เป็นการหาผลคณู ดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ดงั น้ี

จะเห็นไดว้ า่ 4 7

67

4 0 9 = 46 + 7 / 49 = 31/ 49 = 3149
27 4

73

ตวั อย่ำงแสดงกำรหำผลคูณเลขสองจำนวนต่อไปนี้
ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 7838
วธิ ีทำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วยมีค่าเท่ากนั คือ 8

และตวั เลขส่วนหนา้ ของท้งั สองจานวนคือ 7 กบั 3 สามารถบวกกนั ได้ 7 +3 =10
ดงั น้นั 7838 = 73+8 / 64 = 2964
ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 6949
วิธีทำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วยมีคา่ เท่ากนั คอื 9

และตวั เลขส่วนหนา้ ของท้งั สองจานวนคือ 6 กบั 4 สามารถบวกกนั ได้ 6+ 4 =10
ดงั น้นั 69 49 = 64 + 9 / 81 = 3381

สังเกต LHS = 64 + 9 = 33
RHS = 92 = 81 ดงั น้นั 6949 = 3381

ตัวอย่ำงที่ 4 หาผลคูณของ 5737
วธิ ีทำ จะเห็นไดว้ า่ 5737 เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วยเหมือนกนั หรือมีคา่ เทา่ กนั คือ 7
แต่หลกั สิบไมเ่ ท่ากนั แต่เมื่อพิจารณาพบวา่ เมื่อแปลงเป็นจานวนวคิ วิ ลมั แลว้ พบวา่ สามารถใชว้ ธิ ีการน้ีได้

5737 = 63 43

สังเกต LHS = 64 + 3 = 21

RHS = 032 = 09

ดังน้นั 5737 = 6343 / 032 = 6 4 + 3 / 09 = 21/ 09 = 2109

ตวั อย่ำงที่ 3 หาผลคูณของ 237777

วิธีทำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วยมีคา่ เทา่ กนั คือ 7
และตวั เลขส่วนหนา้ ของท้งั สองจานวนคือ 23 กบั 77 สามารถบวกกนั ได้ 23+ 77 =100

สังเกต LHS = (2377) + 710 =1841

RHS = 72 = 49

ดงั น้นั 237777 = (2377) + 710 / 77 =1841/ 49 =184149

พสิ ูจน์เชิงพชี คณติ

พจิ ารณาจาก (ax + c)(bx + c) = abx2 + acx + bcx + c2

= abx2 + (a + b)cx + c2

เน่ืองจากพหุนามท่ีกาหนดใหข้ า้ งตน้ ถา้ ให้ x =10 แลว้ ax และ bx เป็นหลกั 10 c เป็นหลกั หน่วย

ดงั น้นั กจ็ ะได้ (10a + c)(10b + c) =102ab +10(a + b)c + c2

และให้ a + b =10 =102ab +10(10)c + c2

= (ab + c)102 + c2

74

หรือ ให้ x =10 , a + b =100 ก็จะได้

(10a + c)(10b + c) =102ab +10(a + b)c + c2
=102ab +10(100)c + c2
= (ab +10c)102 + c2

ดงั น้นั โดยอุปนยั ถา้ x =10 และ a + b =10n แลว้ กจ็ ะได้

(10a + c)(10b + c) = (ab +10n−1c)102 + c2

75

แบบฝึ กหัดชุดที่ 14. การคูณดว้ ยสูตรสูตรวมนั ลยาโยหะ ทศเก อปิ

1. 2 7 2. 8 4 3. 3 6 4. 3 9

87 24 76 79

5. 6 9 6. 5 7 7. 5 3 8. 5 8

49 57 53 58

9. 8 1 10. 6 1 11. 6 3 12. 7 5

21 41 43 35

13. 4 3 6 14. 3 3 3 15. 7 3 4 16. 5 6 9

576 673 274 449

17. 8 1 6 18. 8 5 5 19. 9 7 7 20. 9 8 9

19 6 155 037 29

21. 7 1 1 22. 2 6 2 23. 9 1 3 24. 8 2 8

2 91 742 93 188

76

2.5. กำรคูณเลขสองจำนวนมีผลบวกเลขตวั หน้ำเป็ นพหุคูณของสิบแต่ตัวหลักหน่วยเท่ำกนั

การคูณเลขสองจานวนมีผลบวกตวั เลขส่วนหนา้ เท่ากบั สิบหรือกาลงั ของสิบแตต่ วั เลขส่วนหลงั
ตอ้ งเท่ากนั น้ี ในเวทคณิตเป็นการคณู เลขสองจานวนดว้ ยสูตรวมันลยำโยหะ ทศเก อปิ ไม่ปรากฎใน
หนงั สือเวทคณิตของท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ แต่พบในพระเวทท่ีมีนกั คน้ ควา้ ชาวอินเดียเรียบเรียง
ไวใ้ นหนงั สือเวทคณิตท่ีพมิ พเ์ ผยแพร่ในประเทศอินเดียปัจจุบนั
สูตรวมนั ลยาโยหะ ทศเก คุนิชหะ อปิ น้ีไม่อยใู่ นเวทคณิตของท่านศรี ภารติ กฤษณะ ติรถะ เช่นเดียวกบั
สูตรที่แลว้ สูตรน้ีใชไ้ ดเ้ ม่ือเลขสองจานวนที่มีผลบวกเลขตวั ส่วนหนา้ ของหลกั หน่วยเป็นพหุคณู ของสิบ
และตวั เลขหลกั หน่วยตอ้ งเท่ากนั
กำรดำเนนิ กำรคูณมขี ้นั ตอนดังนี้
คาตอบประกอบสองส่วน

(1) ส่วนแรก ทางซา้ ย เป็นผลคูณสองตวั เลขส่วนหนา้ หลกั หน่วยของตวั ต้งั และตวั คณู บวก
กบั ผลคณู ของฐานหมุนเวียน (Working base) และตวั เลขหลกั หน่วยของตวั ต้งั
หรือตวั คณู น้นั

(2) ส่วนท่ี 2 กาลงั สองของตวั เลขหลกั หน่วยของตวั ต้งั หรือตวั คณู
ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 16747
วิธีทำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วย มีคา่ เทา่ กนั คอื 7

และตวั เลขส่วนหนา้ ของหลกั หน่วยท้งั สองจานวนคือ 16 กบั 4
สามารถบวกกนั ได้ 16+ 4 = 20 ผลบวกของสองจานวนน้ีคือ 20 เป็นฐานหมุนเวยี น
มี 2 เป็นพหุคณู ของฐานสิบ

20 = 2  10

พหุคูณ ฐานหลกั

ดงั น้นั 1 6 7

47
16 4 + 2 7 / 72 = 78 / 49 = 7849

LHS = ผลคณู เลขสองจานวนที่มีผลบวกของพหุคูณของสิบ + (พหุคูณของฐานหมนุ เวียน)  (เลขหลกั หน่วย)

=16 4 + 27 = 78
RHS = 72 = 49

ดงั น้นั 16747 = 7849

77

กำรคิดวธิ นี ี้ เป็นการหาผลคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ ดงั น้ี

จะเห็นไดว้ า่ 16 7


47

4 0 9 =16 4 + 27 / 49

64 4
1

แนวต้งั 164 แนวไขว้ 167 + 74 = 7(16 + 4) = 720 แนวต้งั 77

หมำยเหตุ การคูณดว้ ยการสังเกตอยา่ งทะลปุ รุโปร่ง

ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 379539

วธิ ที ำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วยมีค่าเทา่ กนั คือ 9

และตวั เลขตวั หนา้ ของท้งั สองจานวนคือ 37 กบั 53 สามารถบวกกนั ได้ 37 +53 = 90 ซ่ึง

ผลบวกของสองจานวนน้ีเป็นพหุคณู ของสิบ

90 = 9  10

พหุคณู ฐานหลกั

ดงั น้นั 3 7 9


539

37  59 + 9 9 / 92 = 2042 / 81 = 204281

สังเกต LHS = ผลคูณเลขสองจานวนที่มีผลบวกของพหุคณู ของสิบ + (ฐานยอ่ ย)  (เลขหลกั หน่วย)

= 3753+ 99 = 2042

RHS = 92 = 81

ดังน้นั 379539 = 204281
ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 642162
วิธที ำ จะเห็นไดว้ า่ เลขสองจานวนน้ีมีตวั เลขหลกั หน่วยมีคา่ เท่ากนั คือ 2

และตวั เลขตวั หนา้ ของท้งั สองจานวนคือ 64 กบั 16 สามารถบวกกนั ได้ 64+16 = 80 ซ่ึง
ผลบวกของสองจานวนน้ีเป็ นพหุคูณของสิบ

80 = 8  10

พหุคณู ฐานหลกั

ดงั น้นั 6 4 2


16 2

6416 + 8 2 / 22 = 1040 / 04 = 104004

LHS = ผลคณู เลขสองจานวนที่มีผลบวกของพหุคูณของสิบ + (ฐานยอ่ ย)  (เลขหลกั หน่วย)

= 6416 +82 =1040

RHS = 22 = 04 ดงั น้นั 642162 =104004

78

กำรคูณเลขสองจำนวนมผี ลบวกเลขตวั หน้ำเป็ นพหุคูณของสิบแต่ตวั หลกั หน่วยเท่ำกนั

ในเวทคณติ เป็ นกำรคูณด้วยสูตร วมันลยำโยหะ ทศเก คนุ ิชหะ อปิ
(Vamanlyayoh Dasake Gunijah Api Sutra = ्यमतिलर्ोह दसके गतु णह आतप सूत्र)

Vamanlyayoh Dasake Gunijah Api mean When the sum of the first digits is a multiple of te

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 15. การคูณดว้ ยสูตรรวมนั ลยาโยหะ ทศเก คุนิชหะ อปิ

1. 1 2 6 2. 2 3 4 3. 4 1 1 4. 6 3

86 374 91 5 43

5. 3 9 9 6. 8 8 5 7. 1 2 3 8. 3 2 7

19 25 583 87

9. 4 7 4 10. 5 8 2 11. 7 2 1 12. 5 6 9

334 922 7 81 549

13. 4 3 6 14. 3 3 3 15. 7 3 4 16. 5 6 9

576 673 274 449

17. 8 1 6 18. 8 5 5 19. 9 7 7 20. 9 8 9

19 6 155 037 29

21. 7 1 1 22. 2 6 2 23. 9 1 3 24. 8 2 8

2 91 742 93 188

25. 4 3 9 2 26. 1 7 7 3 27. 5 4 2 9 28. 9 0 3 7

5 612 8233 4589 977

29. 2 9 1 1 30. 3 1 6 5 31. 1 9 7 8 32. 9 9 7 4

7 091 6845 8038 34

79

2.6. กำรคูณแบบเทคนิค

ส่วนที่ยอดเยย่ี มของเวทคณิตทาใหเ้ ราสามารถคิดเลขไดเ้ ร็วภายในเวลาอนั ส้ัน และคดิ เลขในใจ
ได้ ในภาคน้ีจะศึกษาเพ่มิ เติมเทคนิคในกรณีเฉพาะที่เป็นงานชิ้นเอกของเวทคณิต
2.6.1. กำรดำเนนิ กำรคูณโดยใช้สัดส่วนช่วยในกำรคดิ

สดั ส่วน (Proportion) หมายถึงหลาย ๆ อตั ราส่วนท่ีเทียบเทา่ กนั ซ่ึงเป็นพ้นื ฐานของ
วิชาคณิตศาสตร์ ดงั น้นั สัดส่วนจึงเป็นเคร่ืองมือท่ีสามารถใชเ้ ป็นตวั เพ่ิมหรือตวั ลดสดั ส่วนของจานวน
ตา่ งในการคานวณน้นั ๆ ได้ ดงั ตอ่ ไปน้ี :
กำรคูณด้วยตวั คูณ 4,8,16,24,... หรือ 20,40,80,... เป็ นต้น

การหาคา่ สองเท่าของเลขจานวนหน่ึงน้นั งา่ ยกวา่ การคณู เลขสองจานวนน้นั ๆ เช่น
“ถ้ำกำรคูณตัวคูณเป็ นเลข 4 เรำจะใช้วิธกี ำรหำสองเท่ำของจำนวนน้นั และทบสองเท่ำเป็ นคร้ังที่ 2 ”
จะทาใหค้ ดิ เลขไดเ้ ร็วกวา่ การคณู ปกติ
ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี
ตวั อย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 534
วธิ ีคดิ ถา้ เจะหาผลคณู ของ 534 แทนที่เราจะใชว้ ิธีการคูณดว้ ย 4

แต่กลบั ใชว้ ธิ ีที่สามารถคดิ ในใจไดโ้ ดยการหาสองเท่าของ 53 สองคร้ัง
คร้ังที่หน่งึ คิดในใจได้ 106 แลว้ หาทบสองเท่าของ 106
คร้ังทสี่ อง คิดในใจอีกคร้ังคือ 212 นนั่ คือ
คำตอบ ของ 534 คอื 212
ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 2254
วธิ คี ดิ ในทานองเดียวกนั 2254

หาสองเทา่ ของ 225 คือ 450
และหาทบสองเทา่ ของ 450 อีกคร้ังคือ 900 ก็จะเป็น
คำตอบของ 2254 = 900

ชดั เจนวา่ สามารถหาสองเท่าของเลขจานวนน้นั แลว้ ทบไดม้ ากกวา่ 2 คร้ัง
นนั่ กค็ ือเพิ่มสัดส่วนไปไดเ้ รื่อย ๆ
ดังน้นั ถา้ หาผลคูณ 2258 แลว้ ก็หาสองเทา่ ของ 225

ทบสามคร้ัง คอื 450,900,1800
ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 268
วิธีคิด สาหรับ 268 หาผลลพั ธ์ ดงั น้ี

สองเทา่ ของ 26 คอื 52
และสองเทา่ ของ 52 คือ 104 และสองเทา่ ของ 104 คอื 208
ดงั น้นั 268 = 208

80

ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคณู ของ 7616
วิธคี ดิ ข้นั ที่ 1 หาสองเทา่ ของ 76 คือ 152 หมายถึง 762

ข้นั ท่ี 2 หาสองเทา่ ของ 152 คือ 304 หมายถึง 764
ข้นั ที่ 3 หาสองเทา่ ของ 304 คือ 608 หมายถึง 768
ข้นั ท่ี 4 หาสองเทา่ ของ 608 คอื 1216 หมายถึง 7616
หมำยเหตุ จากตวั อยา่ งท่ี 4 สามารถนามาประยกุ ต์ กบั การคูณดว้ ย 40,800,... เป็นตน้ ก็จะกระทาคณู
ไดง้ ่าย โดยการหาสองเท่าของส่วนที่อยหู่ นา้ เลขศูนยข์ องจานวนน้นั แลว้ เพิ่มศูนยท์ า้ ยของผลลพั ธ์
เช่น 1740 = ...
สำมรถคดิ ในใจ 17,34,68 แลว้ เติม 0 ลงทา้ ยหน่ึงตวั
ตอบ 1740 = 680
แบบฝึ กหัดชุดที่ 1

1. หาสองเท่าของจานวนต่อไปน้ี
1) 14 2) 27 3) 45 4) 39 5) 58

6) 73 7) 63 8) 87 9) 91 10) 72

11) 180 12) 230 13) 350 14) 470 15) 570
18) 830 19) 950 20) 110
16) 610 17) 780 23) 4300 24) 5700 25) 6900
28) 9200 29) 34500 30) 72300
21) 1300 22) 2400
3) 614
26) 7300 27) 8500 6) 844

2. หาผลคณู ของจานวนต่อไปน้ี

1) 534 2) 284 4) 184 5) 364
9) 454 10) 874
6) 494 7) 794

11) 8 1  4 12) 11 1  4 13) 19 1  4 14) 7 1  4 15) 5 1  4

2 2 2 2 2

16) 178 17) 258 18) 368 19) 438 20) 558

81

2.6.2. กำรขยำยสูตรคูณ (Extending the Multiplication Table)

ตวั อย่ำงที่ 1 หาผลคณู ของ 147
วิธที ำ พจิ ารณา 14 = 72

และ 147 = (27)7 = 2(77) = 2 49

นนั่ คือ หำสองเท่ำของ 49 เท่ำกบั 98
ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคณู ของ 1418
วิธีคิด อาจจะจาสูตรคูณแม่ 14 หรือ 18 ไมไ่ ด้ แตอ่ าจจะจา 79

ดงั น้นั 14 เป็น 2 เทา่ ของ 7
และ 18 เป็น 2 เท่าของ 9 ตามลาดบั
เม่ือเป็ นเช่นน้ีคิด 7 คูณ 9 ก่อนได้ 63 แลว้ 1418 เป็น 4 เท่าของ 63
หาสองเท่าของ 63 สองคร้ัง คือ 126 และสองเท่าของ 126 คอื 252
นนั่ คือ 1418 = 2(7) 2(9) = 2(2(63)) = 252
ในทำนองเดยี วกนั 1416 หมายถึง 1416 = 2(7)2(8)

4(78) คอื สี่เทา่ ของ 56
ดงั น้นั สองเท่าของ 56 คือ 112 แลว้ สองเทา่ ของ 112 คือ 224

ตอบ 1416 = 224
ตัวอย่ำงที่ 3 หาผลคูณของ 1714
วธิ ที ำ พิจารณา 17 เป็นจานวนเฉพาะ แต่ 14 เป็นจานวนประกอบคือ 14 = 72

หา 17 คูณ 7 ในใจก่อน (17 7 = 79 = 119)
4

แลว้ หา 2 เทา่ ของ 119 คือ 238
หรือ แบ่ง 17 เป็นผลบวกเลข 2 จานวน 16 +1 แลว้ แทน 1714 = (16 +1)14

จากสมบตั ิการแจกแจง 1714 = (16 +1)14 =1614 +14
16 คอื 2222 ดงั น้นั 1614 = (2222)14 หาส่ีเท่าของ 16
คดิ ในใจ สองเทา่ ของ 14 คอื 28

สองเทา่ ของ 28 คือ 56
สองเท่าของ 56 คือ 112
สองเทา่ ของ 112 คือ 224 แลว้ บวกดว้ ย 14

ดงั น้นั 1714 = 224 +14 = 238
แบบฝึ กหดั ชุดที่ 2 หาผลคณู ของจานวนต่อไปน้ีดว้ ยการขยายสูตรคณู

1. 1617 2. 186 3. 1421 4. 129 5. 414

6. 615 7. 718 8. 914 9. 1618 10. 1516

82

2.6.3. กำรคูณด้วยตัวคูณ 5,50,25,125,625,…
เสน่หข์ องเลขหา้ คือ เลขหา้ อยตู่ รงกลางระหวา่ งเลขหน่ึงถึงเลขเกา้ ซ่ึงถกู กล่าวถึงในเร่ืองจานวน

วนิ ควิ ลมั
จำนวนวนิ คิวลมั เป็ นจำนวนท่ีมตี ัวเลขแต่ละหลกั มคี ่ำไม่เกนิ 5

ดงั น้นั จานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ยเลขหา้ จึงสามารถลดข้นั ตอนการคิดเลขบวก ลบ คณู และหาร ได้ และสามารถ
ทาใหค้ ดิ เลขเร็วตามจุดประสงคข์ องเวทคณิต
(1) กำรคูณด้วยตัวคูณ 5
วธิ ีคิด มีข้นั ตอนเดียว คือใส่เลขศนู ยห์ น่ึงตวั 0 ตอ่ ท่ีทา้ ยเลขจานวนน้นั แลว้ หารดว้ ย 2
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 53 ดว้ ย 5
วธิ ที ำ เขยี นศูนยห์ น่ึงตวั ที่ทา้ ยเลข 53 ไดผ้ ลลพั ธ์ เป็น 530

หาร 530 ดว้ ย 2 = 530  2 = 265
ดงั น้นั 535 = 265
ตวั อย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 68976 ดว้ ย 5
วิธีทำ เขยี นศูนยห์ น่ึงตวั ที่ทา้ ยเลข 68976 ไดผ้ ลลพั ธ์เป็น 689760
หาร 689760 ดว้ ย 2 = 689760  2 = 344880
ดงั น้นั 689765 = 344880
(2) กำรคูณด้วยตวั คูณ 50
วธิ คี ิด ในทานองเดียวกบั การคูณดว้ ยตวั คูณเลข 5 เพยี งแต่ใส่เลขศนู ยเ์ พิ่มเป็นสองตวั 00 ต่อที่ทา้ ยเลข
จานวนน้นั แลว้ ก็หารดว้ ย 2 เช่นเดียวกนั
ตวั อย่ำงท่ี 3 หาผลคณู ของ 68 ดว้ ย 50
วธิ ีทำ เขียนศูนยส์ องตวั ท่ีทา้ ยเลข 68 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 6800
หาร 6800 ดว้ ย 2 = 6800  2 = 3400
ดงั น้นั 6850 = 3400
ตัวอย่ำงท่ี 4 หาผลคณู ของ 965784 ดว้ ย 50
วธิ ีทำ เขยี นศนู ยส์ องตวั ที่ทา้ ยเลข 965784 ไดผ้ ลลพธ์เป็น 96578400
หาร 96578400 ดว้ ย 2 96578400  2 = 48289200
ดงั น้นั 96578450 = 48289200

83