เวทคณิตประยุกต์

(3) กำรคูณด้วยตวั คูณ 25
วิธีคิด ในทานองเดียวกบั การคณู ดว้ ยตวั คณู เลข 50 แต่ใส่เลขศนู ยส์ องตวั 00 ตอ่ ท่ีทา้ ยเลขจานวนน้นั

แต่หารดว้ ย 4
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคณู ของ 49 ดว้ ย 25
วิธีทำ เขียนศนู ยส์ องตวั ที่ทา้ ยเลข 49 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 4900

หาร 4900 ดว้ ย 4 = 4900  4 =1225
ดงั น้นั 4925 =1225
ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคูณของ 84791247 ดว้ ย 25
วิธที ำ เขียนศนู ยส์ องตวั ท่ีทา้ ยเลข 84791247 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 8479124700
หาร 8479124700 ดว้ ย 4 = 8479124700  4 = 2119781175
ดงั น้นั 8479124725 = 2119781175
(4) กำรคูณด้วยตัวคูณ 125
วธิ ีคดิ ในทานองเดียวกบั การคูณดว้ ยตวั คูณเลข 25 ใส่เลขศนู ยส์ ามตวั 000 ต่อที่ทา้ ยเลขจานวนน้นั
แลว้ หารดว้ ย 8
ตัวอย่ำงที่ 1 หาผลคูณของ 424 ดว้ ย 125
วธิ ีทำ เขยี นศูนยส์ ามตวั ท่ีทา้ ยเลข 424 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 424000
หาร 424000 ดว้ ย 8 = 424000 8 = 53000
ดงั น้นั 424125 = 53000
ตวั อย่ำงที่ 2 หาผลคูณของ 675431 ดว้ ย 125
วิธที ำ เขียนศนู ยส์ ามตวั ท่ีทา้ ยเลข 675431 ไดผ้ ลลพั ธ์เป็น 675431000
หาร 675431000 ดว้ ย 8 = 675431000 8 = 84428875
ดงั น้นั 675431125 = 84428875
ตัวอย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 275468 ดว้ ย 125
วธิ ที ำ เขยี นศนู ยส์ ามตวั ที่ทา้ ยเลข 275468 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 275468000
หาร 275468000 ดว้ ย 8 = 275468000 8 = 34433500
ดงั น้นั 275468125 = 34433500

84

(5) กำรคูณด้วยตวั คูณ 625
วธิ ีคิด การคณู ดว้ ยตวั คูณเลข 625 ใหใ้ ส่เลขศูนยส์ ี่ตวั 0000 ต่อท่ีทา้ ยเลขจานวนน้นั

แลว้ กห็ ารดว้ ย 16
ตัวอย่ำงท่ี 1 หาผลคูณของ 3264 ดว้ ย 625
วิธีทำ เขียนศนู ยส์ ่ีตวั ท่ีทา้ ยเลข 3264 ไดผ้ ลลพั ธ์เป็น 32640000

หาร 32640000 ดว้ ย 16 = 32640000 16 เราแบ่งเป็นสองข้นั ตอนคือหารดว้ ย 4 สองคร้ัง

= (32640000  4)  4 = 8160000  4 = 2040000

ดงั น้นั 3264625 = 2040000
ตัวอย่ำงท่ี 2 หาผลคณู ของ 1431 ดว้ ย 625
วิธที ำ เขียนศูนยส์ ่ีตวั ที่ทา้ ยเลข 1431 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 14310000

หาร 14310000 ดว้ ย 16 =14310000 16 = (14310000  4)  4 = 894375
ดงั น้นั 1431625 = 894375
ตวั อย่ำงท่ี 3 หาผลคูณของ 286286 ดว้ ย 625
วธิ ีทำ เขยี นศนู ยส์ ี่ตวั ที่ทา้ ยเลข 286286 ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 2862860000
หาร 2862860000 ดว้ ย 16 = 2862860000 16 = (2862860000  4)  4 =178928750
ดงั น้นั 286286625 =178928750
แบบฝึ กหัดชุดท่ี 3 หาผลคณู ของจานวนต่อไปน้ี

1. 645 2. 315 3. 235 4. 1235 5. 9765

6. 99995 7. 1010105 8. 248615 9. 36750 10. 245650

11. 84650 12. 7653150 13. 87643250 14. 6578950 15. 12325

16. 12125 17. 23525 18. 657425 19. 1234525 20. 87652325

21. 435025 22. 234125 23. 3427125 24. 4998125 25. 62267125

85

26. 6464125 27. 31670125 28. 29063125 29. 90123125 30. 97677125
31. 9999125 32. 101625 33. 248625 34. 2674625 35. 1456625
36. 8469625 37. 7531625 38. 87643500 39. 6575000 40. 1232500
41. 341250 42. 23051250 43. 5746250 44. 12345250 45. 8765250

************************************************

86

3.การหาร

3.1 การหารด้วยสูตรสัดส่วนช่วย

ในทานองเดียวกบั เร่ืองการคูณดว้ ยสูตรสดั ส่วยช่วย เน่ืองจากในเวทคณิตไดแ้ บ่งเลขฐานไวส้ อง
แบบคอื ฐานหลกั (Theoretical Base) หมายถึงเลขฐานสิบยกกาลงั จานวนเตม็ บวกหรือเลขฐานสิบกาลงั
เอน็ และฐานหมุนเวียน (Working Base) หมายถึงพหุคูณเลขฐานหลกั ท้งั สองฐานน้ีจึงมีความสัมพนั ธ์
เป็น สัดส่วนกนั ซ่ึงสามารถมานาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการหารไดเ้ ช่นเดียวกบั การคูณดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย

การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั และการหารดว้ ยสูตรปรวรรตย์ น้นั ตวั หารจะตอ้ งมีค่าใกลฐ้ านหลกั และ
การหารใช้ ค่าเบ่ยี งฐาน เป็นตวั หารสังเคราะห์ แทนตวั หาร

ดงั น้นั ในกรณีท่ีตวั หาร สามารถนาสัดส่วนมาคูณแลว้ มีคา่ ใกลฐ้ านหลกั ก็สามารถท่ีจะใชส้ มบตั ิ
การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั และการหารดว้ ยสูตรปราวรรตยไ์ ด้
ข้นั ตอนการหารด้วยสูตรสัดส่วนช่วย

(1) ตวั ต้งั แตล่ ะหลกั ควรมีค่าไมเ่ กินหา้ (5) ถา้ มีค่าเกินหา้ (5) ควรแปลงเป็นจานวนวนิ คิวลมั
(2) ตวั หาร สามารถเพ่ิมหรือลดสดั ส่วนใหม้ ีคา่ ใกลเ้ คยี งฐานหลกั
(3) ดาเนินการหารดว้ ยสูตรนิขิลมั หรือดว้ ยสูตรปราวรรตย์
3.1.1 การหารด้วยสูตรสัดส่วนช่วย สาหรับการหารด้วยสูตรนขิ ิลมั
จากความรู้ขา้ งตน้ การหารดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย เป็นการหารท่ีตวั หารมีค่าไม่ใกลฐ้ านหลกั จะตอ้ ง
หาจานวนใดจานวนหน่ึงมาคูณตวั หารใหม้ ีคา่ ใกลฐ้ านหลกั ไดเ้ ป็นตวั หารใหม่ สาหรับตวั หารใหม่ที่ไดน้ ้ี
ถา้ มีค่าใกลฐ้ านหลกั แต่น้อยกว่า กรณีเช่นจึงเหมาะกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั
ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่างที่ 1 หาผลหารของ 101123
วธิ ีทา พจิ ารณาตวั หาร 23 สามารถเพิม่ สัดส่วนเป็น 234 = 92 ก็จะเป็นตวั หารในการหารดว้ ย
สูตรนิขลิ มั ได้ แต่เมื่อทาการหารแลว้
- คาตอบที่ผลหารเป็นจานวนเตม็ และเศษเหลือน้นั ยงั ไม่เป็นคาตอบสุทธิ จะตอ้ งคูณผลหารท่ี

เป็นจานวนเตม็ ดว้ ยสดั ส่วนท่ีนามาคณู ตวั หารน้นั แต่ผลหารเศษเหลือไม่ตอ้ งคณู
- คาตอบเป็นผลหารท่ีเป็นจานวนเตม็ และทศนิยมยงั ไม่เป็นคาตอบสุทธิเช่นกนั จะตอ้ งคูณ

ผลหารที่เป็นจานวนเต็มและทศนิยมท้งั คู่ ดว้ ยสดั ส่วนที่นามาคณู ตวั หารน้นั
ข้นั ตอนการหาร
1. เน่ืองจากตวั หาร 23 สามารถเพิม่ สัดส่วนดว้ ยการคณู 4 จะไดต้ วั หารเพ่ิมเป็น 92 ตวั หารใหมน่ ้ีมีคา่
ใกลฐ้ าน 100 ดงั น้นั คา่ เบ่ียงฐานลกั ษณะเฉพาะของ 92 คือ 100−92 = 08
2. แบ่งตวั ต้งั ออกเป็น 2 ส่วนผลหารท่ีจานวนเตม็ และส่วนผลหารที่เป็นเศษเหลือจะตอ้ งมีจานวนหลกั
เท่ากบั จานวนเลขศูนยข์ องฐานหลกั หรือจะตอ้ งมีจานวนหลกั เท่ากบั จานวนตวั เลขของคา่ เบี่ยงฐาน
ลกั ษณะเฉพาะน้นั

วิธีทา 23 4 → 9 2 ) 1 0 1 1

08 0 8

00

1 0 91

1 04 9 1 → 40 91 = 40 + 3 + 91− 69 = 43 22
23 23 23

ผลหารจานวนเตม็ ผลหารเศษเหลือ

ในขอ้ น้ีพบวา่ 1011 23 = 40 91 ซ่ึงเศษมากกวา่ ตวั หาร ตอ้ งหาร 91 ดว้ ย 23 อีกดว้ ยการประมาณค่า

23

91 = 233+ 22

ดงั นน่ั 1011 23 = 40 91 = 40 + 3 + 22

23 23
= 43 22
23

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลหารของ 110012 489
พจิ ารณา ตวั ต้งั นาหนา้ ดว้ ยเลข 1 และตวั เลขแตล่ ะหลกั มีคา่ ไม่มากกวา่ 5

ตัวหาร คอื 489 ไม่สามารถหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั ตอ้ งหาจานวนท่ีมาคูณตวั หารแลว้ ทาใหม้ ีค่า
ใกลฐ้ านหลกั 1000 หรือ 100 จึงจะเหมาะกบั การหารดว้ ยวิธีนิขิลมั พจิ ารณาค่าที่เหมาะสมคือ 2
ทดลองหาค่า 4892 = 978 พบวา่ มีค่าท่ีมีคา่ ใกลฐ้ าน 1000
ดงั น้นั ได้ตวั หารใหม่ 978 เหมาะกบั การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั
ดาเนนิ การหารด้วยสูตรนิขิลมั หาคา่ เบ่ียงฐานของ 978 ดว้ ยวธิ ีนิขิลมั

(ทกุ ตวั ครบเกา้ แต่ตวั สุดทา้ ยครบสิบ) ไดเ้ ท่ากบั 022
ต้องระวงั เมื่อได้ผลหารแล้ว ผลหารจานวนเตม็ ต้องคูณด้วยสัดส่วนท่เี พม่ิ ขึน้ ด้วย 2 เท่า

ส่วนเศษเหลือไม่ต้องคูณ

วิธีทา 489 2 → 978 ) 1 1 0 0 1 2

022 0 2 2

0 22

044

11 2 476
4 7 6 → 224 / 476 = 224 476
1 1 22
489
ตอบ 110012  489 = 224 476

489

88

เหตผุ ลเชิงเลขคณติ ท่ีตอ้ งคูณคา่ สดั ส่วนใหก้ บั ผลหารจานวนเตม็ ของคาตอบ พิสูจน์ไดด้ งั น้ี

พสิ ูจน์ จากนิยามการหาร a  b = a

b

ดงั น้นั จากตวั อยา่ งท่ี 1 110012  489 = 110012
489

= 110012 2 = 110012 2 การคณู โดยสัดส่วนช่วย
489 2 978

=  110012   2 = 112 + 476   2
 978  978 

= 112 + 476 2   2 = 112  2 + 476 2  2
489   489 

= 224 + 476
489

สรุปได้ว่า การหารโดยการแปลงตวั หารดว้ ยการเพม่ิ หรือลดสดั ส่วนน้นั สามารถสรุปไดว้ า่

“ผลลพั ธ์หารท่ีเป็นจานวนเตม็ ตอ้ งคณู ดว้ ยสัดส่วนท่ีเพ่มิ ข้ึนหรือลดลง แตส่ ่วนเศษเหลือไม่ตอ้ งเพ่ิมหรือ

ลด จึงไดเ้ ป็นคาตอบสุทธิ”

แต่ในกรณีที่ตอ้ งการตอบเป็นทศนิยม คาตอบที่ไดจ้ ากการแปลงตวั หาร จะตอ้ งคณู สัดส่วนท่ี

นาไปคูณตวั หารน้นั จึงจะเป็นคาตอบสุทธิ ข้นั สุดทา้ ย

วธิ ีทา 489 2 → 978 ) 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0

022 0 2 2

0 22

44

88

15 4

330

1 1 2 4 7 15 16 = 112.4866...

ตอบ 110012  489 = (112.4866...) 2 = 224.9732...

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลหารของ 252119  2994

วิธีทา ตวั หารคือ 2998 ซ่ึงใกลฐ้ าน 3000 ซ่ึงเราสามารถลดสัดส่วนเป็นฐานหลกั 1000 ได้

ดงั น้นั เม่ือคูณ 2998 ดว้ ย 1 ไดจ้ านวนเตม็ พอดี คือ 2994 1 = 998 ไดเ้ ป็นตวั หารใหม่ที่มีคา่

33

ใกลเ้ คยี งฐานหลกั 1000 หาคา่ เบี่ยงฐานของ 998, 1000−998 = 002 ดว้ ยวิธีนิขิลมั

89

วิธที า 2994 1 → 998 ) 2 5 2 1 1 9

3
002 0 0 4

0 10

004

252 623

2 5 21 6 2 3 → 84 623 = 84 623
3 2994

ตอบ 252117  2994 = 844 623

2994

ตวั อย่างท่ี 3 หาผลหารของ 32113489

วิธีทา ตวั หารคือ 489 ซ่ึงไม่ใกลฐ้ าน 100 หรือ 1000 แตเ่ ราสมารถใชส้ ูตรสัดส่วนขยายหรือลด

ตวั หารมีคา่ ใกลเ้ คียงฐานได้ พิจารณาขยายเป็นสองเท่าดงั น้ี 4892 = 978 ไดต้ วั หารมีคา่ ใกลเ้ คยี ง
ฐาน 1000 ดงั น้นั หาตวั เติมเตม็ หรือค่าเบ่ียงฐานของ 978, 1000−978 = 022 แต่เม่ือไดผ้ ลหารแลว้
ผลลพั ธท์ ่ีเป็นจานวนเตม็ ตอ้ งคูณดว้ ยสัดส่วนท่ีเพมิ่ ข้นึ น้นั ส่วนเศษเหลือไม่ตอ้ งเพมิ่ แต่พบวา่ เป็นเศษเกิน

มีวิธีทาดงั น้ี

489 2 → 9 78 ) 3 2 1 1 3

022 0 6 6

044

32 817 ตอบ
3 22 8 1 7 → 64 817 = 64 +1+ 328 = 65 328

489 489 489

90

3.1.2 การหารด้วยสูตรสัดส่วนช่วย สาหรับการหารด้วยสูตรปราวรรตย์
ในทานองเดียวกบั การหารดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย สาหรับการหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั ถา้ สามารถหา

จานวนใดจานวนหน่ึงนามาคูณกบั ตวั หาร แลว้ ทาใหเ้ กิดตวั หารใหม่ ที่มีใกลฐ้ านหลกั แตม่ ีค่ามากกว่า
ฐานหลกั ทาใหส้ ามารถใชว้ ิธีการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ ได้ แตเ่ น่ืองจากการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์
เป็นการหารท่ีสบั เปลี่ยนกบั การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั ค่าเบย่ี งฐานในการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ จึงมีค่า
เป็ นลบ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่างการหารด้วยสูตรสัดส่วนช่วย สาหรับการหารด้วยสูตรปราวรรตย์ มดี ังนี้
ตัวอย่างท่ี 1 หาผลหารของ 134437
วธิ ีทา ตวั หาร 37 ถา้ เพ่ิมสัดส่วนเป็น 3 เท่า คือ 373 =111 ทาใหเ้ หมาะการหารหารดว้ ย
สูตรปราวรรตย์

37 3 →111 ) 1 3 4 4

11 1 1
22

12 03
1 2 3 1 2 → 36 12

37

หมายเหตุ แตถ่ า้ เพิม่ สัดส่วนเป็น 3 เทา่ ท้งั ตวั ต้งั และตวั หาร คือ

1344 37 = (1344)3(373)
= 4032 111

การหารเช่นนี้ จะไดเ้ ป็นคาตอบสุทธิ (ไมต่ อ้ งคูณคาตอบดว้ ยสัดส่วนท่ีคูณท้งั ตวั ต้งั และตวั หาร)
37 3 →111 ) 4 0 3 2

11 4 4
44

44 36
3 6 3 6 → 36 + 36 = 36 + 12 3 = 36 12

111 37 3 37

91

ตัวอย่างที่ 2 หาผลหารของ 12345204
วิธที า สงั เกต ตวั หารแต่มีตวั ประกอบ 2 คือ 1022 สามารถลดสดั ส่วนตวั หารไดเ้ ป็น
12345 204 =12345102(2) แลว้ ใชว้ ธิ ีการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์

204 1 →10 2 ) 1 2 3 4 5

2

02 0 2

04

02

121 03

1 2 1 1 0 3 → 60 + 1 03 → 6 0+ 1 + 3
2 2 2 204

= 60 + 102 + 3
2102 204

= 60 105 = 60 35
204 68

ตวั อย่างท่ี 3 หาผลหารของ 4009 882

วิธที า เนื่องจากสมบตั ิของจานวนวนิ คิวลมั ท่ีตวั เลขแต่ละหลกั มีค่าไมเ่ กิน 5 จึงสามารถใชก้ ารหารดว้ ย

สูตรปราวรรตย์ ไดด้ งั น้ี

ตวั หารแปลงเป็นจานวนวินควิ ลมั 882 =1122

882 →1 122 →1 1 2 2 ) 4 0 0 9

12 2 4 8 8

4 4 8 1 = 4 481
882

ตัวอย่างที่ 4 หาผลหารของ 1356182
วิธที า ตวั หารแปลเป็นจานวนวินคิวลมั 182 = 222 แต่เป็นจานวนคู่ หารดว้ ย 2 ลงตวั อีกยง่ิ ทาให้ เป็น
การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ ไดด้ ียง่ิ ข้ึนดงั น้ี

182 → 222 1 →111 ) 1 3 5 6

2

11 1 1

44 = 14 1 / 82 = 7 82
14 82 2 182

92

ตวั อย่างที่ 5 หาผลหารของ 1699223
วธิ ีทา ในกรณีท่ีเจาะจงตอ้ งใชว้ ธิ ีการหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์

ดงั น้นั ตอ้ งใช้ 1 คูณ 223, 223 1 =1111 และไดค้ า่ เบี่ยงฐานผกผนั 1 1 1
2 22 2

223 1 →111 1 ) 1 6 9 9

22

11 1 1 11
2 2

5 71
2

1 5 21 11
22

1 5 1 2 6 1 → 7 + 1 53 → 7/ 1 (223) + 53 = 7 /138
2 2 22 22

เนื่องจาก 2 1 11 = 2 + (10 1) +1+ 1 = 26 + 1 = 53
22 22 22

ดงั น้นั 1699  223 = 7 138

223

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 1

ดาเนินการหารดว้ ยสูตรอนุรูปเยณะ (ตอบเศษเหลือและทศนิยม 5 ตาแหน่ง)

1. 166502  499 2. 12828  4.5
3. 12434 777 4. 33333333
5. 1358979 77777 6.145451 97
7. 127813453333 8. 12234518888
9. 1219542  224 10. 1010101324  44448
11. 127926789 7784 12. 14098112  46995
13. 2002002 89992 14. 13674 6762
15. 1131884  252525 16. 2121542  445
17. 403786  4448 18. 13674 6612
19. 121542 510 20. 66502  4204

93

3.2 เทคนิคการหารด้วยตวั หาร 11

การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์ โยชเยต สามารถนาไปใชก้ บั การหารท่ีตวั หาร 11 ไดเ้ ป็น
เทคนิคเฉพาะกบั การหารได้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 7 หาผลหารของ 436578311
วธิ ที า ตวั หาร 11 มีค่าใกลฐ้ าน 10 จึงมีค่าเบ่ียงฐานสับเปล่ียน เท่ากบั 10 −11= −1= 1

11) 4 3 6 5 7 8 3

14 = 396889 4
1 11
7
2
9
1

417291 4

จากตวั อย่างนพี้ บเทคนคิ การหารด้วยตัวหารเป็ น 11 ดังนี้
(1) แบ่งตวั ต้งั ออกเป็นสองส่วน ส่วนทางขวาสุดประกอบดว้ ยตวั เลขเพยี งตวั เดียว

11) 4 3 6 5 7 8 3

ผลหารจานวนเตม็ ผลหารเศษเหลือ

- ส่วนแรกทางซา้ ย จะใหผ้ ลหารเป็นจานวนเตม็

- ส่วนหลงั ทางขวา จะใหผ้ ลหารเป็นเศษเหลือ

(2) 11) 4 3 6 5 7 8 3

417291 4

เร่ิมจากทางซา้ ยมือชกั ตวั เลขตวั แรกของโจทย์ คอื 4 เป็นตวั แรกของคาตอบของการหาร
แลว้ นาไปลบตวั เลขถดั ไป แลว้ ดาเนินการในทานองเดียวกนั เช่นน้ีไปเรื่อย ๆ เป็นคาตอบตวั ตอ่ ไป

=4

3−4= 1

6 − 1 = 7,
5 − 7 = 2,
7 − 2 = 9,
8−9= 1

เน่ืองจากการดาเนินการลบถึงส่วนแบ่งของตวั ต้งั เป็นส่วนของเศษเหลือ
ดงั น้นั 3− 1 = 4 ได้ 4 เป็นเศษเหลือ

94

คาตอบข้นั ตน้ เป็นจานวนบาร์ 417291 4

11

เพราะฉะน้นั 4365783 11 = 4 1729 1 4 = 396889 4

11 11

ตวั อย่างที่ 8 หาค่าของ 87203211

วิธที า 11) 8 7 2 0 3 2

8 1 3 3 6 4 = 79276 4 = 79275 +1+ 4 = 79275 + 11 + 4 = 79275 7
11 11 11 11 11

เพราะฉะน้นั 872032 11 = 79275 7

11

แบบฝึ กหัดชุดที่ 2

การหารดว้ ย 11 (ตอบเศษเหลือและทศนิยม)

1. 43217111 2. 2100346 11
3. 303512 11 4. 4020146 11
5. 13452 11
6. 435345111
7. 421234 11 8. 16012511
9. 232111 10. 199111
11. 121542 11 12. 1010 11
14. 122345111
13. 1111111111 16. 1010101324 11

15. 1358979 11 18. 3787772 11
20. 239479 11
17. 135790 11
19. 111

95

3.3 การหารด้วยกระบวนการวินคิวลมั (Vinculum Process of Division)

การหารดว้ ยกระบวนการวินคิวลมั (रेखाकोष्ठक विभाजन की प्रविया =Vinculum Process of Division) เป็ น

นวตั กรรม (Innovation) ของการหารอีกวิธีหน่ึงในเวทคณิต การหารดว้ ยกระบวนการวินควิ ลมั เป็นการ

แปลงตวั เลขแต่ละตวั ของตวั ต้งั หรือตวั หารท่ีมีคา่ มากกวา่ 5

เมื่อแปลงเสร็จแลว้ กส็ ามารถใชก้ ารดาเนินดว้ ย การหารยกธง การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั หรือ

การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์

หมายเหตุ จานวนวนิ ควิ ลมั คือจานวนท่ีถกู แปลงจากจานวนปกติท่ีมีเลขโดดท่ีมีคา่ เกิน 5 ใหเ้ ป็นจานวน

ท่ีมีเลขโดดไม่เกิน 5 ในรูป เคร่ืองหมาย บาร์ (bar) บนตวั เลขท่ีเป็นตวั เลขลบ

เช่น 9819 −10221

การหารเปลย่ี นตวั หารเป็ นจานวนวินคิวลมั

ตวั อย่างที่ 1 หาผลหารของ 499999814

วิธที า การหารดว้ ยสูตรนิขิลมั การหารดว้ ยสูตรปราวรรตย์

จาก 49999 9814 49999 9814 = 49999 10221

9814 ) 4 9 9 9 9 10 2 2 1 ) 4 9 9 9 9

0181 0724 02 21 08 8 4

4 1 0723 4 1 0723

0181 02 21

4 1 0904 4 1 0904

ตอบ 49999  9814 = 5 904

9814

หมายเหตุ การหารดว้ ยสูตรปราวรรรตย์ ตอ้ งใชค้ ่าเบี่ยงฐานแบบสับเปลี่ยนกบั การหารดว้ ยสูตรนิขลิ มั

ตวั อย่างท่ี 2 หาผลหารของ 2621828

วิธีทา 2621828 = 26211232 แตเ่ วลาหารตอ้ งสับเปลี่ยนค่าเบ่ียงฐาน

1232 ) 2 6 2 1

232 4 6 4

2 10 4 5 = 2 9 65 = 2 965 = 2 +1+ 137 Q = 3 , R =137
828 828
ตอบ 2621828 = 3137

828

96

ตวั อย่างที่ 3 หาผลหารของ 11011119 11
วิธที า 11011119 =11011121 →12 1 ) 1 1 0

21 2 1

21

63

11 3 64
5 6 = 92 +1+ 56 = 92 63
93
119 119
ตอบ 11011119 = 92 เศษ 63
การหารด้วยการแปลงตวั ต้งั เป็ นจานวนวนิ คิวลมั 12
ตัวอย่างท่ี 4 หาผลหารของ 16738887
วธิ ที า 167388 87 = 233412 87 → 87 ) 2 3 3 4

13 2 6

13 1

26

39

2 1 23 8 7 = 1923 / 87 =1923 87
87

ตอบ 167388 87 =1924

การหารแปลงท้งั ตวั ต้งั และตัวหารเป็ นจานวนวนิ คิวลมั

ตวั อย่างท่ี 5 หาผลหารของ 1189266109

วิธีทา ตวั อยา่ งน้ีเหมาะกบั การแปลงเป็นจานวนวนิ คิวลมั ท้งั ตวั ต้งั และตวั หาร

1189266 109 =1211334 111 →111 ) 1 2 1 1 3 3 4

11 1 1

11

11

11

11

1 1 1 1 1 3 3 = 10911 33 =10910 76

97

การหารยกธงด้วยกระบวนการวนิ คิวลมั

ตัวอย่างท่ี 1 หาผลหารของ 45026 47

วธิ ีทา 63 35 56

4 7 4 45 90 72 5 6 00

27 37 0

0 9 5 8 0 0 = 958.0

หรือ แปลงตัวหารเป็ นจานวนวินคิวลมั

45026  47 = 45026 53

0 27 15 21 27 27 27

5 3 4 45 00 22 26 20 2 0 20

47 20 37 47 47 47 47
09 5 7 9 9 9 9

 45026  47 = 45026 53 = 957.999... = 958.0

ตัวอย่างท่ี 2 หาผลหารของ 877778819976 ตอ้ งการทศนิยม 5 ตาแหน่ง
วิธที า แปลงตวั หารเป็ นจานวนบาร์

819976 = 820024

820024 8 07 57 17 37 8 0.0

4

1. 0 7 0 5 1

877778 819976 =1.07051... =1.07049...

ตัวอย่างท่ี 3 หาผลหารของ 34567 6918 ตอ้ งการทศนิยม 5 ตาแหน่ง

วิธีทา แปลงตัวหารเป็ นจานวนบาร์

34567  6918 = 34567  7122 66 47 40 40 40
7122 3 4 65

 1   12   122   122   122   122   122 
 0   04   049   499   996   966   667 

0499 6 6 7

34567  6918 = 4.99667...

98

ตัวอย่างท่ี 4 หาผลหารของ 82843238
วิธีทา แปลงตัวหารเป็ นจานวนวนิ คิวลมั

828432 38 = 828432  42 842 0

4 2 14 18 20 16 00 00 00 20

4 2 8 02 28 24 23 12 00 842 20
2 10 5
6 30 38 41 32 16

2 1 7 9 10 8 4

ตอบ 21790 32 = 21800 32 = 21800.842105... เศษ 32
1 38 38 38

ตัวอย่างที่ 5 หาผลหารของ 62312 49

วธิ ีทา แปลงตัวหารเป็ นจานวนวินคิวลมั

62312  49 = 62312 51 3 46

1 271 67 20 30 40

5 1 6 12 33 01 3 2 30 10

3 35 8 33 36 17 23 34 4 6

12 7 1 6 7 3 4 6 9

ตอบ 127133 = 1271 33 หรือ 1271.673469...

51 49

ตัวอย่างท่ี 6 หาผลหารของ 5454529
วธิ ีทา แปลงตัวหารเป็ นจานวนวนิ คิวลมั

54545  29 = 354545 31 1

1 8 7 10 8 6 2 20

3 1 5 2 4 15 24 15 10 00 00

25 23 31 25 18 6 2 21

1 8 7 10 8 6 2 0 7

ตอบ 1880 25 หรือ 1880.86207...

29

ตัวอย่างท่ี 7 หาผลหารของ 123123128

วธิ ีทา แปลงตวั หารเป็ นจานวนวินคิวลมั

123123128 →123123132

2 0 18 12

13 12 12 3 61 12 11 3

123 79 24

0 96 1 113− 2 =115 = r

ตอบ 123123128 = 961115

128

99

ตัวอย่างที่ 8 หาผลหารของ 877778819976
วธิ ีทา แปลงตวั หารเป็ นจานวนบาร์

877778 819976 = 877778 820024

820024 8 07 57 17 37 8 0.0
1.
4

070 5 1

877778 819976 =1.07051... =1.07049...

ตอบ 1189266 109 = 10910 76

109

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 3

ดาเนินการหารดว้ ยขบวนการวินคิวลมั (ตอบเศษเหลือ)

1. 166502 839 2. 1128328 828
3. 39988999 9819 4. 3330033909
5. 135708979 90891 6.14500145187109
7. 201781345 780911 8. 3012340191808
9. 401219541109294 10. 1010101327 9800898
11. 127026789 87810 12. 14098112 870105
13. 2002003809092 14. 1011367188912
15. 1131884 128921 16. 2121542 128911
17. 234037865 980129 18. 136012374 1908201
19. 211121547 1230980 20. 12366501 2920980

100

3.4 การหารด้วยเศษส่วนช่วย

การหารดว้ ยเศษส่วนช่วย เป็นการหาคา่ เศษส่วนใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม ในตาราเวทคณิต ท่ีเป็น
ผลงานของทา่ นสวามี ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Swami Bharati Krishna Tirtha) ไดร้ วบรวมไว้ 16 สูตร และ
13 อุปสูตร จากภาคผนวกของพร้ะวท ท่านไดส้ ร้างวิธีหาเศษส่วนช่วย (Auxiliary Fraction) ข้นึ ใชเ้ พื่อ
แปลงเศษส่วนสามญั ใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม

"เศษส่วนช่วย (Auxiliary Fraction)" ไมใ่ ช่เศษส่วนจริง (True Fraction) เป็นเพียงเคร่ืองมือช่วย

ในการคานวณเทา่ น้นั วธิ ีการน้ีเป็นข้นั ตอนการหาร (Division Algorithm) ท่ีมีลกั ษณะเฉพาะ สามารถ

ปรับเรื่องการหารยาวของวธิ ีดงั เดิมให้เป็นการหารเพียงบรรทดั เดียว เพ่ือให้เหมาะกบั การคดิ เลขใจใน

หรือการคานวณทางจิต ท่ีง่ายท่ีสุด

สาหรับเหตุผลทจี่ ะอธิบาย ก็คือ

“คาถามเกย่ี วกบั การแปลงเศษส่วนสามัญเป็ นรูปทศนิยม ได้รวดเร็วน้ันทาได้อย่างไร”

ตัวอย่างเช่น การหาค่าของ 1 เศษส่วนน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม

19

สังเกตเศษส่วนนเี้ ป็ นเศษส่วนทีต่ ัวส่วนลงท้ายด้วย 9

ด้วยวิธปี ัจจบุ นั ด้วยวธิ เี วทคณิต

19) 1.00(.052631578947368421... วธิ ที ี่ 1 ดาเนินการคณู ยอ้ นกลบั (Backwards)

95 1= 0. 015126311151718914713168421
50 170 19
38 152
วิธที ี่ 2 ดาเนินการหารจากขา้ หนา้ (Forwards)

1 = 0. 0 15 1 2631115 1 7 189 1 47 1 31 68421 1015
19

120 180 = 0.0 15126311151718914713168421
114 171

60 90 160
57 76 152

30 140 80
19 133 76

110 70 40
95 57 38

150 130 20
133 114 19

170 160 1

101

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกบั เศษส่วน
ก่อนที่จะศึกษาเรื่องเศษส่วนช่วย (Auxiliary Fraction) เพ่ือไมใ่ หเ้ กิดการสบั สนกบั ความรู้

พ้ืนฐานด้งั เดิมเกี่ยวกบั เรื่องเศษส่วน เนื่องจากการหารเป็นการผกผนั การคูณ และการหารเป็นเรื่องถูก
พฒั นาเป็นวชิ าเลขคณิตข้นั สูงหรือทฤษฎีจานวน (Theory Number) จึงตอ้ งศึกษาบทนิยามของเศษส่วน
ดงั ตอ่ ไปน้ี

บทนยิ าม 1 การหาร ถา้ a b แลว้ เขยี นแทนดว้ ย a และ b  0

b

บทนิยาม 2 เศษส่วนหรือเศษส่วนสามญั (Vulgar fraction or Common fraction)

คอื จานวนท่ีสามารถเขียนอยูใ่ นรูป a / b หรือ a และ a เรียกวา่ ตวั เศษ b เรียกวา่ ตวั ส่วน

b

โดยท่ี a และ b ตอ้ งเป็นจานวนเตม็ ท้งั คู่ และ b  0
เศษส่วนสามัญนยี้ ังแยกออกสองประเภท คือ

- เศษส่วนแท้ (Proper fraction) คือเศษส่วนที่มีค่าของตวั เศษนอ้ ยกวา่ ตวั ส่วน คา่ ของเศษส่วนแท้
จะตอ้ งมีคา่ นอ้ ยกวา่ 1

เช่น 1 , 7 , 3 , ...

297

- เศษเกิน (Improper fraction) คือเศษส่วนท่ีค่าของตวั เศษมากกวา่ หรือเท่ากบั ตวั ส่วน
ค่าของเศษส่วนเกินมีค่ามากกวา่ หรือเท่ากบั 1

เช่น 5 , 9 ,10 ,...

5 73

บทนยิ าม 3 จานวนคละ (Mixed number) คือ เศษส่วนท่ีเขยี นอยใู่ นรูปผลบวกของจานวนเตม็ กบั
เศษส่วนแท้ เป็นการนาเสนอเศษส่วนอีกรูปแบบหน่ึง โดยนาจานวนเตม็ ประกอบเขา้ กบั เศษส่วนแท้

เช่น 23 =2+ 3 หรือ −4 7 = −  4 + 7 
44 8  8 

หรือเศษเกินเขียนใหเ้ ป็นจานวนคละไดโ้ ดยการหารตวั เศษดว้ ยตวั ส่วนดงั ตอ่ ไปน้ี

เช่น 19 = 2 + 5 = 2 5

7 77

หมายเหตุ
auxiliary ตรงกบั ภาษาสันสกฤต sah a yaka (สหายก) m. helper, assistance adj. ancillary

https://kosha.sanskrit.today/word/en/sahaayaka/th

102

การหารด้วยกาลงั ของสิบ (10n )
การหารดว้ ยกาลงั ของสิบ (10n ) คอื การหารที่ตวั หารเป็น 10, 100, 1000, 10000,...

ในการหารดว้ ยเลขยกกาลงั สิบน้นั เป็นการหารที่สามารถทาไดง้ า่ ย ๆ ดว้ ยการใชว้ ธิ ีเลื่อนจุดทศนิยม

ข้นั ตอนกง็ ่าย ๆ
คือใหเ้ ลื่อนจุดทศนิยมท้งั ในตวั เศษและตวั ส่วนไปทางซา้ ยดว้ ยจานวนตวั เลขที่เทา่ กนั และการ

เทา่ กนั น้นั ไดม้ าจากจานวนตวั เลขศูนยท์ ่ีลงทา้ ยของตวั ส่วน ผลลพั ธส์ ุดทา้ ยตวั ส่วนเป็นจานวนเตม็

ผลลพั ธ์การหารด้วยกาลงั ของสิบเป็ นไปตามตวั อย่างต่อไปนี้

ตวั อยา่ งเช่น (1) 1 = .01

800 8

(2) 39 = 3.9

70 7

(3) 3741 = 0.741

11000 11

(4) 97654 = .0097654
90000000 9

เศษส่วนช่วย (Auxiliary fraction)

เศษส่วนช่วยเป็นนวตกรรมของเวทคณิต ท่ีใชส้ าหรับวิธีคิดเลขเร็วและคิดเลขในใจ สาหรับการ

แปลงเศษส่วนสามญั ใหเ้ ป็นจานวนท่ีเป็นทศนิยม แทนการหารยาว ๆ แบบวธิ ีด้งั เดิม

การสร้างรูปแบบเศษส่วนช่วย (Forming the auxiliary fraction)
แบบท่ี 1 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขเกา้

1.1 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขเกา้ ตวั เดียว (9)
1.2 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขเกา้ หลาย ๆ ตวั (99,999,9999,…)
แบบท่ี 2 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขหน่ึง (1)

แบบท่ี 3 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยตวั เลข 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8

ถา้ ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขศูนยห์ ลาย ๆ ตวั ตวั เลขตวั แรกที่ไมใ่ ช่ศนู ยข์ องตวั ส่วน
(จากทางขวามือ) จะถกู กาหนดเป็นชุดของตวั ส่วน (family of the denominator)

3.4.1 เศษส่วนช่วยแบบท่ี 1 ตัวส่วนลงท้ายด้วยเก้า
เศษส่วนช่วยแบบที่ 1 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ มีความหมายถึงเศษส่วนสามญั ที่ (Vulgar fraction)

ที่ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ ตวั เดียว หรือตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ หลาย ๆ ตวั เป็นชุด ๆ ดงั น้นั จึงแบ่งยอ่ ย
เศษส่วนช่วยแบบท่ี 1 ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ ไดอ้ ีก 2 แบบคือ

3.4.1.1 ตวั ส่วนของเศษส่วนลงท้ายด้วยเก้าตวั เดียว
สูตรการเพม่ิ 1 ใหก้ บั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขา้ หนา้ (สูตรเอกาธิเกนะ ปุรเวณะ) ในที่น้ีจะหมายถึง

การปัดคา่ ตวั เลขโดดโดยเพ่ิมคา่ ดว้ ย 1 ใหก้ บั ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขา้ งหนา้ ของตวั ส่วน หรือใหใ้ ชว้ ธิ ีบวก 1
ใหก้ บั ตวั ส่วนนนั่ เอง แลว้ หาร ส่วนตวั เศษและตวั ส่วนดว้ ย 10 จากน้ีเศษส่วนจริง (actual fraction) จะ

103

ถกู แทนดว้ ย F ส่วนเศษส่วนที่ถูกแปลงเปลี่ยนไปจะถกู เรียกวา่ เศษส่วนช่วย (auxiliary fraction) แทน
ดว้ ย A.F. ใชส้ าหรับความจาเป็นตวั หารข้นั ตน้ กบั ตวั หารเวยี นเกิด (recurrent divisor)
ตัวอย่างเช่น

ถา้ F = 1 แลว้ A.F. = 1 = 1 = 0.1

19 19 +1 20 2

ถา้ F = 4 แลว้ A.F. = 4 = 0.4

29 30 3

ถา้ F = 8 แลว้ A.F. = 8 = 0.8

59 60 6

หมายเหตุ F หมายถึงเศษส่วนจริง

A.F. หมายถึงเศษส่วนจริง

3.4.1.2 ตวั ส่วนลงท้ายด้วยเลขเก้าหลาย ๆ ตัว
ใหใ้ ชว้ ธิ ีเพ่มิ 1 ท่ีตวั ส่วนเช่นเดียวกบั วธิ ีท่ีแลว้ จากน้นั ท้งั ตวั ส่วนและตวั เศษหารดว้ ยกาลงั ของ

สิบ (10n ) และกาลงั ของสิบ (10n ) จะตอ้ งเทา่ กบั จานวนเลขเกา้ ที่ลงทา้ ยในตวั หารน้นั

ตวั อย่างเช่น

ถา้ F = 174 แลว้ A.F. = 174 = 1.74
1299 1300 13

ถา้ F = 1 แลว้ A.F. = 1 = 0.001
1699 1700 17

แต่ ถา้ ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 1, 3 หรือ 7 ใหค้ ณู ตวั ส่วนดว้ ย 9, 3 หรือ 7 ตามลาดบั ตวั ส่วนกจ็ ะถูก

เปลี่ยนเป็นเศษส่วนท่ีลงทา้ ยดว้ ยเกา้ (9)

ตวั อย่างเช่น

ถา้ F = 36 = 324 แลว้ A.F. = 32.4
121 1089 109

ถา้ F = 53 = 159 แลว้ A.F. = 15.9
93 279 28

ถา้ F = 15 = 105 แลว้ A.F. = 10.5
37 259 26

3.4.2 เศษส่วนช่วยแบบท่ี 2 ตัวส่วนลงท้ายด้วยหนึ่ง (1)

เม่ือเศษส่วนที่มีตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลขหน่ึง การสร้างเศษส่วยช่วยใหล้ บตวั ส่วนและตวั เศษออก
ดว้ ย 1 จากน้นั ใหห้ ารตวั ส่วนและตวั เศษดว้ ยกาลงั ของสิบ กาลงั ของสิบจะตอ้ งเทา่ กบั เลขศนู ยท์ ี่ลงทา้ ย
ของตวั ส่วนของเศษส่วนใหม่น้นั

ตัวอย่างเช่น

ถา้ F = 3 แลว้ A.F. = 2 = 0.2

61 60 6

ถา้ F = 28 แลว้ A.F. = 27 = 2.7

71 70 7

104

ถา้ F = 1 แลว้ A.F. = 0 = 0.0

81 80 8

ถา้ F = 14 แลว้ A.F. = 13 = 1.3

131 130 13

ถา้ F = 1 แลว้ A.F. = 0 = 0.00

301 300 3

ถา้ F = 6163 แลว้ A.F. = 6162 = 6.162
8001 8000 8

แต่ ถา้ ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 3 หรือ 7 ใหค้ ณู ตวั ส่วนดว้ ย 7 หรือ 3 ตามลาดบั ตวั ส่วนกจ็ ะถกู

เปล่ียนเป็นเศษส่วนท่ีลงทา้ ยดว้ ยหน่ึง (1)

ตัวอย่างเช่น

ถา้ F = 2 = 14 แลว้ A.F. = 13 = 1.3
3 21 20 2

ถา้ F = 10 = 30 แลว้ A.F. = 29 = 2.9
27 81 80 8

ถา้ F = 5 = 15 แลว้ A.F. = 14 = 0.14
67 201 200 2

ถา้ F = 4 = 12 แลว้ A.F. = 11 = 1.1
17 51 50 5

3.4.3 เศษส่วนช่วยแบบท่ี 3 ตัวส่วนทไี่ ม่ลงท้ายด้วยเลข 1 หรือ 9

ในกรณีท่ีตวั ส่วนท่ีไม่ลงทา้ ยดว้ ยเลข 1 หรือ 9 แตต่ วั ส่วนน้ีมีค่านอ้ ยกวา่ หรือมากกวา่ ฐานหลกั

หรือฐานหมุนเวียน (พหุคูณของฐานหลกั ) เช่นเดียวกบั กรณีขา้ งตน้ ท่ีตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้

ตวั อย่างเช่น

ถา้ F = 15 แลว้ จะเห็นไดว้ า่ ตวั ส่วน 68 มีคา่ นอ้ ยกวา่ 69 อยหู่ น่ึง ซ่ึงปกติลงทา้ ยดว้ ย 9 เราสามารถที่

68

จะแปลงเป็น A.F. = 1.5

7

ถา้ F = 101 ในทานองเดียวกนั ตวั ส่วน 138 มีคา่ นอ้ ยกวา่ 139 แลว้ A.F. = 10.1

138 14

ถา้ F = 73 ตวั ส่วน 97 มีค่านอ้ ยกวา่ 99 แลว้ A.F. = 7.3

97 10

ถา้ F = 17 ตวั ส่วน 127 มีคา่ นอ้ ยกวา่ 129 แลว้ แลว้ A.F. = 1.7

127 13

ถา้ F = 5236 ตวั ส่วน 8997 มีค่านอ้ ยกวา่ 8999 แลว้ A.F. = 5.236
8997 9

ถา้ F = 21863 แลว้ A.F. = 2.1863
49997 5

ถา้ F = 17125 แลว้ A.F. = 1.7125
59998 6

105

3.5 การหาค่าเศษส่วนท่ีตวั ส่วนลงท้ายด้วยเก้าให้อยู่ในรูปทศนยิ ม

การหาค่าเศษส่วนท่ีตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเกา้ ดว้ ยวิธีเศษส่วนช่วย ในท่ีน้ีหมายถึงการหาค่าเศษส่วน

ใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยม หรือบา้ งคร้ังกเ็ รียกวธิ ีการน้ีวา่ การหารท่ีตวั หารลงทา้ ยดว้ ยเกา้

3.5.1 เมื่อตวั ส่วนของเศษส่วนลงท้ายด้วยเก้าตัวเดียว

กาหนดเศษส่วนที่ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 9 ข้นั แรกเขยี นเศษส่วนช่วยแทนเศษส่วนจริง ข้นั ต่อไป
ดาเนินการหารในเศษส่วยช่วย การหารสามารถทาไดเ้ ร็วเพยี งบรรทดั เดียว เน่ืองจากการหารแต่ละคร้ัง
น้นั สามารถทาใหไ้ ดต้ วั เลขแต่ละตวั ของผลหารในขณะน้นั ไดเ้ ลย

การหาร โดยการเขยี นส่วนที่เป็นตวั เลขผลหารและส่วนที่เป็นเศษเหลือ เศษเหลือนาไปเขียน

หอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขผลหารน้นั ส่วนท่ีเขียนน้ีก็จะไดเ้ ป็นตวั ต้งั ของการหารข้นั ถดั ไป ดงั น้นั ถา้ ผลหารและ
เศษเหลือในแตล่ ะข้นั ตอนคือ “q” และ “r” แลว้ ตวั ต้งั ข้นั ถดั ไปคอื 10r+q

ข้นั ตอนการดาเนินการ (algorithm) เช่นน้ีจะพบในเวทคณิตที่สามารถคิดเลขในใจไดเ้ พียง
บรรทดั เดียว ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

จากตวั อย่างข้างต้น การหาค่าของ 1 ใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยมซ้า

19

วธิ ที า ข้นั แรก ใหป้ ระมาณการผลหาร (119) มีค่าประมาณ 0.05

จากน้นั กาหนดคา่ เศษส่วนช่วย A.F. = 0.1 แสดงวา่ ตวั ต้งั ตวั แรกคือ 0.1 และตวั หารที่ใชด้ าเนินการ

2

หารคือ 2 การคานวณผลหารในแต่ละคร้ังเขียนผลหารบนบรรทดั เดียวกนั กบั เศษส่วนน้ี ส่วนที่เป็นเศษ

เหลือจากการหารแต่ละคร้ัง ใหน้ าไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขผลหารน้นั ซ่ึงจะไดเ้ ป็นตวั ต้งั ในการหาร

คร้ังถดั ไป

ข้นั ตอนการหารเป็ นดังนี้

(1) หาร 1 (ตวั แรกของตวั ต้งั ) ดว้ ย 2 เราจะเห็นไดว้ า่ ผลหารเทา่ กบั 0 และเศษเหลือคือ 1 เขียน 0
เป็นตวั แรกของคาตอบ ส่วนที่เป็นเศษเหลือ 1 นาไปเขยี นหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลข 0 ของผลหารน้ี ไดเ้ ป็น
10 ซ่ึงจะเป็นตวั ต้งั ในการหารคร้ังถดั ไป

F= 1 → A.F. = 0.1 = 0.10
19 2

(2) หาร 10 น้ี ดว้ ย 2 ไดว้ า่ ผลหารเท่ากบั 5 และเศษเหลือคือ 0 เขยี น 5 เป็นตวั ที่สองของคาตอบ

และเขียนเศษเหลือ 0 หอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลข 5 ไดเ้ ป็น 05 = 5 เป็นตวั ต้งั ในการหารคร้ังถดั ไป

F= 1 → A.F. = 0.1 = 0.10 05
19 2

(3) หาร 5 ดว้ ย 2 ไดผ้ ลหารเท่ากบั 2 และเศษเหลือคอื 1 เขยี น 2 เป็นตวั ที่สามของคาตอบและเขียน

เศษเหลือ 1 หอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลข 2 ไดเ้ ป็น 12 =12 เป็นตวั ต้งั ในการหารคร้ังถดั ไป

F= 1 → A.F. = 0.1 = 0.100512
19 2

(4) หาร 12 ดว้ ย 2 ไดผ้ ลหารเท่ากบั 6 และเศษเหลือคือ 0 เขยี น 6 เป็นตวั ที่สี่ของคาตอบและ

เขียนเศษเหลือ 0 หอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลข 6 ไดเ้ ป็น 06 = 6 เป็นตวั ต้งั ในการหารคร้ังถดั ไป

106

F= 1 → A.F. = 0.1 = 0.100512 06
19 2

จากข้นั ตอนที่ดาเนินการหารจะเป็นไปในทานองเดียวกนั เช่นน้ีไปเร่ือย ๆ จึงเรียกการหารแบบ

น้ีวา่ การดาเนินการหารแบบเวียนเกิด (recurrent division)

หมายเหตุ เน่ืองจากการหารในกรณีหารลงตวั เศษเหลือเท่ากบั ศนู ย์ เพ่อื ใหก้ ารคิดเลขเร็ว ในการเขียน

เศษเหลือท่ีเป็นศูนย์ ใหล้ ะการเขยี นเศษเหลือน้ีเสียกไ็ ด้ ซ่ึงเขียนไดด้ งั น้ี

F= 1 → A.F. = 0.1 = 0.10 512 6
19 2

ดว้ ยเหตุผลการหารคร้ังต่อ ๆ ไปเป็นการหารในทานองเดียวกนั ผลหารเป็นทศนิยมซ้า ดงั น้ี

F= 1 → A.F. = 0.1 = 0.10 512 6 311151718 914 71316 8 4 2 1/ 10 512 6 31115...
19 2

ตวั อย่างที่ 2 แสดงการหารจานวนต่อไปน้ี ดว้ ยวิธีการแปลงการหารเป็นเศษส่วนช่วย (AF)

(1) F = 6 AF = .6

29 3

 F = 0. 2 2 0 2 6 28191615 5 21 712 41123 2 7 9 3 1101314 2 4 8 2 217 2518 6 2 20 26...

= 0.2 068965517241379310344827586

(2) F = 71 AF = 7.1

89 9
F = .87 6967 47 257 2 8808879786857 36 4 40 44843934 7318 2 20 22 42 6417 81

9 11011213 2 5385 49 45 5 5 0 5516 71 8 7 69 6 7...

= 0.7 9775280898876404494382022471910112359550561

(3) F = 17  A.F. = 1.7 , F = . 313 2 4 2 0 3 3 0 2 2 81115 3 810 2 4 7...
14
139

F = .1223021582...

(4) F = 98  A.F. = 9.8 , F = .8513 4 8 715 4108 0 6 6 0 63933517199 95 55...
179 18

F = .5474860335195...

(5) F = 1 = 3  A.F. = .3 , F = . 3 0 4 2 33 7 2 7 5 10 518 5112 3 6 9 4 5 6 3114 10 8 48...
13
43 129

F = .02325581395348...

(6) F = 17 = 51  A.F. = 5.1 , F = .12 3 6 9 45 63114108 48 93 2712120 39...
13
43 129

F = .39534883720...

(7) F = 18 = 54  A.F. = 5.4 , F = .10 214 412 6165117 75935 410 2 4 4 0 2...
73 219 22

F = .2465753424...

107

3.5.2 เม่ือตวั ส่วนของเศษส่วนลงท้ายด้วยเก้าหลาย ๆ ตัว

ตวั อยา่ งเช่น 21863 จากสูตร เอกาธิเกนะ ปรุ เวณะ คือการปัดทศนิยม ดงั น้นั จึงแทน

49999

49999 ดว้ ย 5 เป็นตวั หาร นน่ั คือ AF = 2.1863

5

เมื่อหาเศษส่วนช่วยคือ AF = 2.1863 ในการหาร ตวั ส่วนมีเลข 9 อยู่ 4 ตวั เม่ือดาเนินการ

5

หารดว้ ย 5 จะตอ้ งแบ่งตอบเป็นกลุ่ม ๆ ละ 4 ตวั ดงั น้ี

ข้นั ตอนการหาร

ข้นั ท่ี 1 2.18635 = 0.4372 เศษเหลือ 3 คือ

 5) 2.1863  และ R =3
 
 Q = 0.4372 

เป็นผลลพั ธก์ ลมุ่ แรกและเศษหลือ 3 นาเศษเหลือน้ีมาเขยี นไวห้ นา้ กลุ่มแรกของคาตอบ ดงั น้ี 34372

ข้นั ท่ี 2 หารตวั ต้งั ถดั ไป คือ 34372 ดว้ ย 5 ( 34372 = 34372  5 = 6874, R = 2)

ไดผ้ ลลพั ธก์ ลุ่มที่ 2 ดว้ ยวธิ ีหารในทานองเดียวกนั เราก็จะได้ 5 หาร 26874 , 45374 49074...

F = 21863 AF = 2.1863
49999 5

F = 0.343722687445374490744...

 21863 = 0.4372, 6874,5374,9074,...
49999

เราสามารถพิสูจน์ 21863 = 21863  49999 = 21863 50001 ไดจ้ าการหารตรงดงั น้ี

49999
3 4372

5 000 1 2 21 1 8 36 13 30 40 3 0 20 20 0

0000 4 37 2

21 18 36 13 34 43 37 2 2

04372 6 8 7 4

ตวั อย่างท่ี 3 แสดงการหารจานวนต่อไปน้ี ดว้ ยการแปลงการหารเป็นเศษส่วนช่วย (AF)
เมื่อตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลข 9 สองตวั ข้ึนไป

(1) F = 53  A.F. = 5.3 , F = . 5 06 2 63732 491361145118 614...
799 8

F = .0663329161451814...

(2) F = 15  A.F. = .15 , F = .6 016 7 66185 5 20 7 57...
899 9

F = .01666852057...

(3) F = 2  A.F. = .02 , F = . 2 00 211131115 72 6 87...
1799 18

F = .0011117287...

108

(4) F = 100 = 300  A.F. = 3 , F = .6 42 591384 654 393156 2 22 5 316 75...
233 699 7

F = .429184549356223175...

(5) F = 444  A.F. = .444 , F = .10 0317 716 2 5513182...
13999 14

F = .031716551182...

(6) F = 97017  A.F. = .0097917 , F = . 0 0032339 2 0010779 2 6670259...
29999999 3

F = .003233900107796670259...

หมายเหตุ
ในกรณีที่ตวั ส่วน ลงทา้ ยดว้ ย 1,7 หรือ 3 เราสมารถหาจานวนท่ีมาคณู ใหต้ วั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 9 ได้

แบบฝึ กหัดชุดที่ 4
หาคา่ ของ

1. 37 2. 3 3. 73 4. 1 5. 4
49 59 89 119 149

6. 13 7. 0.4 8. 5 9. 21 10. 172
29 119 39 79 119

11. 172 12. 4 13. 37 14. 76 15. 121

299 599 899 1099 1299

16. 309 17. 112 18. 310 19. 1501 `

1199 2199 1499 699 20. 6779

799

21. 371 22. 123 23. 435 24. 450 25. 56

7999 5999 6999 10999 15999

26. 567 27. 50 28. 21863 29. 107 30. 60401

89999 69999 49999 119999 109999

31. 2567 32. 1267 33. 517 34. 567 35. 2175
129999999 799999999
399999 799999 1199999

109

3.6 การหาค่าเศษส่วนท่ีตวั ส่วนลงท้ายด้วยหน่ึง (1) ให้อย่ใู นรูปทศนยิ ม

การหารท่ีตวั หารลงทา้ ยดว้ ยเลข 1 ดงั น้นั จากนิยามการหาร จึงเป็นเศษส่วนช่วยแบบที่ 2 เป็น
เศษส่วนที่ตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 1 ซ่ึงสามารถประยกุ ตส์ ูตรเอกาธิเกนะ ปุรเวณะ ได้ วธิ ีการกค็ อื
“ ใหต้ ดั 1 ของตวั ส่วนทิ้ง และใหต้ วั เศษลดคา่ อีก 1” ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

(1) สาหรับ 3 เศษส่วนช่วย (AF) คอื 2 = .2

61 60 6

(2) สาหรับ 36 เศษส่วนช่วย (AF) คือ 35 = 3.5

61 60 6

(3) สาหรับ 28 เศษส่วนช่วย (AF) คือ 27 = 2.7

71 70 7

(4) สาหรับ 73 , AF คอื 72 = 7.2

91 90 9

(5) สาหรับ 2 , AF คือ 1 = .1

121 120 12

(6) สาหรับ 14 , AF คอื 13 = 1.3

131 130 13

(7) สาหรับ 1 , AF คอื 0 = .00

301 300 3

(8) สาหรับ 1 , AF คือ 0 = .00

901 900 9

(9) สาหรับ 172 , AF คือ 171 = 1.71
1301 1300 13

(10) สาหรับ 2743 , AF คือ 2742 = 2.742
7001 7000 7

(11) สาหรับ 6163 , AF คือ 6162 = 6.162
8001 8000 8

(12) สาหรับ 1768 , AF คือ 1767 = 1.767

9001 9000 9

(13) สาหรับ 56 , AF คือ 55 = 0.055
16001 16000 16

(14) สาหรับ 50 , AF คอื 49 = 0.00049
700001 700000 7

(15) สาหรับ 2175 , AF คอื 2174 = 0.0002174
80000001 80000000 8

(16) สาหรับ 1 , AF คอื 0 = .00000000
900000001 900000000 9

110

หลกั การคานวณการหาร มีข้นั ตอนคลา้ ยกบั การคานวนการหารของเศษส่วนช่วยแบบท่ี 1 แต่
รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกบั การหาร มีดงั น้ี คือตวั ต้งั โดยเปลี่ยนหลกั หน่วยของตวั ต้งั ใหเ้ ป็นตวั เติมเตม็
9 ของหลกั หน่วยน้นั ๆ เป็นตวั ต้งั สาหรับการหารน้นั ๆ ดงั แสดงรายละเอียดในตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่างท่ี 1 หาผลหารของ 1331

วิธที า กาหนดให้ F คอื 13 AF = 12 = 1.2

31 30 3

ข้นั ตอนการหาร

ข้นั ที่ 1 หาร 1.2 ดว้ ย 3 ได้ 0.4 (1.2 3 = .4,R = 0) เป็นตวั แรกของคาตอบ ซ่ึงเหลือเศษ 0 :

เขียนไดด้ งั น้ี 1.2 = 0.0 4
3

ข้นั ท่ี 2 การหารข้นั น้ีไม่ไดห้ าร 0.4 ดว้ ย 3 แตห่ ารส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 0.4 คือ 0.5

แลว้ หาร 0.5 ดว้ ย 3 ไดผ้ ลลพั ธ์ 1 เหลือเศษ 2 ผลลพั ธ์ 1 จะเป็นคาตอบตวั ท่ีสอง ส่วนเศษเหลือ 2

นาไปเขียนไวห้ อ้ ยไวห้ นา้ ผลลพั ธ์ เขยี นไดด้ งั น้ี 1.2 = 0.0 4 21
3

ข้นั ที่ 3 ในทานองเดียวกนั เราไม่ไดห้ าร 21 ดว้ ย 3 แตห่ าร 28 ( 8 คอื ส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 1 )

ไดผ้ ลลพั ธ์ดงั น้ี 1.2 = 0.0 4 2119
3

ข้นั ท่ี 4 ในทานองเดียวกนั ส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 9 คอื 0 เราจึง หาร 10 ดว้ ย 3

ไดผ้ ลลพั ธ์ดงั น้ี 1.2 = 0.0 4 211913 เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ
3

 F  13  → A.F. = 1.2 = 0.0 4 21191315 2 418 23 28 0 7 2 0 29 2 6...
31  3

ข้อสังเกต ในการหารเศษส่วนช่วยแบบที่ 2 น้ี ตวั ต้งั ที่ถูกหารจะตอ้ งเป็นจานวนที่มีหลกั หน่วยเป็นตวั เติม

เตม็ เกา้ ของหลกั หน่วยตวั เดิมของตวั ต้งั น้นั ๆ เสมอ ดงั จะยกตวั อยา่ งเพิม่ เติมดงั ตอ่ ไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 2 แสดงการหารจานวนต่อไปน้ี ดว้ ยการแปลงการหารเป็นเศษส่วนช่วยแบบท่ี 2

คือตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ยเลข 1

(1) F = 70  AF = 6.9 ,F = .69 48 6519 3135 6 4 29 6 2 49 55 57 37 4 4 36 5 4 67 68 58 2713 2 2 63...
7
71

F = .98591549295774647887323...

พสิ ูจน์ด้วยการหารตรง เน่ืองจาก 7.0 = 6.999999... หาผลหารของ 6.9999...71 ตวั หารถูก

แบง่ เป็นสองส่วน คือตวั หารหลกั กบั ตวั เลขธง

7 1 6 6 9 6 9 49 69 19 39 3 9 69 2 9 69

0 9 8 59 1 5 4 9 2

69 60 41 6 4 10 38 34 65 20 67

0 98591549 29

111

(2) F = 1 AF = .0

41 4

F = .0012143309001214330900... = .0 2439 เป็ นทศนิยมซ้า

(3) F = 91  AF = 9.0 , F = .55 33 2 21016 6123 7 7 4 4112156 09...
171 17

F = .53216374269...

(4) F = 10 = 30  AF = 29 = 2.9 , F = .5307 20 5307 2 0... = 37 0
27 81 80 8

(5) F = 131 AF = 130 = 1.30 คาตอบจะตอ้ งเป็นกลมุ่ ละ 2 ตวั

701 700 7

F = .418568675189515383.... = .186875891583....

(6) F = 1400  AF = 13.99 , F = .13 99 12 92 386 5 22 3 41... = .9992862241...
1401 14

(7) F = 243 ,AF = 2.42 F = 0.2151217 280111327411491112616771438...
1601 16

F = 0.15178013741411617738...

(8) F = 5 = 15 A.F. = .14 , F = .007 0 46126186156...
67 201 2

F = .0746268656...

(9) F = 2743A.F. = 2.742 , คาตอบจะตอ้ งเป็นกลุ่มละ 3 ตวั
7001 7

F = .53911801117112612 24803934086... = .391801171261248393086...

(10) F = 31 = 93 A.F. = 9.2 , F = .0 4 5013 2 22517 9 97 0 4... = .4 0259 7
77 231 23

หรือ F= 31 = 403 A.F. = .402 , F = .0 402 0597 0 402 0597 0 402... = .4 0259 7
77 1001 1

(11) F = 29 A.F. = .0283 , F = .13 0013933 6 204 0 453 6 036...
15001 15

F = .001933204453036...

(12) F = 137 A.F. = .000137 คาตอบจะตอ้ งเป็นกล่มุ ละ 6 ตวั
13000001 13

F = .6000010953846097278104713245... = .000010538460727810713245...

112

แบบฝึ กหัดชุดท่ี 5
หาค่าของ

1. 3 2. 36 3. 17 4. 19 5. 41

71 61 71 91 141

6. 3 7. 14 8. 5 9. 1 10. 172

121 131 301 701 1301

11. 27743 12. 6165 13. 3768 14. 76 15. 51 `

7001 8001 9001 16001 700001

16. 3215 17. 12 18. 310 19. 1501 20. 65779
800000001 900000001 1100001
7000001 20001

21. 371 22. 123 23. 435 24. 450 25. 56

7999 5999 6999 10999 15999

26. 567 27. 50 28. 21863 29. 107 30. 60401

89999 69999 49999 119999 109999

31. 2567 32. 1267 33. 517 34. 567 35. 2175
129999999 799999999
399999 799999 1199999

113

3.7 การหาค่าเศษส่วนที่ตวั ส่วนไม่ลงท้ายด้วยหนึง่ หรือเก้าให้อยู่ในรูปทศนยิ ม

จากวิธีการแปลงเศษส่วนเป็นจานวนในรูปทศนิยม ขา้ งตน้ ท่ีกล่าวมาแลว้ น้นั เศษส่วนที่ตวั ส่วนลง
ทา้ ยดว้ ยเกา้ ถา้ สังเกตจะพบวา่ ตวั ส่วนจะมีคา่ ใกลก้ าลงั ของฐานสิบ ซ่ึงมีท้งั มีคา่ นอ้ ยกวา่ หรือมากกวา่
กาลงั ของฐานสิบ ไมม่ ากนกั เราอาจจะประยกุ ตจ์ าวธิ ีขา้ งตน้ หาไดห้ าคา่ เศษส่วนท่ีตวั ส่วนไม่ลงทา้ ยดว้ ย
เกา้ โดยการเพ่ิมเขา้ หรือตดั ออกไดใ้ นข้นั ตอนของการหาร แตต่ อ้ งมีการปรับเปลี่ยนบา้ งเลก็ นอ้ ย ส่ิง
เหล่าน้ีสามารถใชส้ ูตรสัดส่วนมาช่วยได้ โดยการที่หลงั จากในการดาเนินการหารแตล่ ะคร้ังท่ีใส่เศษ
เหลือห้อยหนา้ ตวั เลขผลหารในคร้ังน้นั แลว้ จะตอ้ งบวกตวั ต้งั น้ีดว้ ยหลกั หน่วยของตวั มนั เอง ไดเ้ ป็น
ตวั ต้งั สุทธิในการหารทุก ๆข้นั ตอน การหารคงใชว้ ธิ ีการปกติตามวธิ ีการหารขา้ งตน้
ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ F คือ 15 อยใู่ นรูปเศษส่วนสามญั ตอ้ งการเขียนในรูปทศนิยม 16 ตาแหน่ง

68

วิธีปกติ 68)15.0 (.2205882352941176...

13 6 200
140 136
136 640
400 612
340 280
600 272
544 80
560 68
544 120
160 68
136 520
240 476
204 440

360 .
340 .

114

วธิ ีเวทคณิต ขบวนการน้ันสามารถพฒั นาเป็ นการคดิ เลขในใจได้

F = 15 A.F. = 15 แต่ 68 มีคา่ นอ้ ยกวา่ 69 ซ่ึงเป็นวิธีคิดแบบปกติท่ีตวั ส่วนลงทา้ ยดว้ ย 9

68 7

แบบขา้ งตน้ อยู่ 1 เราจาเป็นตอ้ งมีการบวกตวั ต้งั กบั ตวั เลขโดดของผลลพั ธ์ในการหารแต่ละคร้ัง เพ่ือให้

ไดผ้ ลลพั ธ์ท่ีถูกตอ้ งดงั น้ี

ข้นั ที่ 1. เม่ือเราหาร 1.5 ดว้ ย 7 ไดผ้ ลลพั ธ์ 2 เป็นผลลพั ธต์ วั ท่ีหน่ึง และ 1 เป็นเศษเหลือ

เขยี นแทนดว้ ย 1.5 = 0.12
7

ข้นั ท่ี 2. ในการหารคร้ังที่สองจะไมห่ าร 12 แตต่ อ้ งหาร 12+ 2 =14 ดว้ ย 7 ไดผ้ ลลพั ธ์ของคร้ังท่ีสอง

คือ Q = 2 และ R = 0

1.5 = 0.1 2 0 2
7

ข้นั ท่ี 3. ในการหารคร้ังท่ีสามคือ 02+ 2 = 04 หารดว้ ย 7 ไดผ้ ลลพั ธ์ คอื Q และ R คือ 0 และ 4

1.5 = 0.12 0 2 40
7

ข้นั ที่ 4. ในการหารคร้ังที่ส่ีคือ 40+ 0 = 40 หารดว้ ย 7 ไดผ้ ลลพั ธ์

1.5 = 0.1 2 0 2 4 0 5 5
7

คือ Q และ R คอื 5 และ 5

ข้นั ท่ี 4. ในการหารคร้ังท่ีหา้ คือ 55+5 = 60 หารดว้ ย 7 ไดผ้ ลลพั ธ์

1.5 = 0.1 2 02 405548
7

คอื Q และ R คอื 8 และ 4

เราสามารถดาเนินการหารหาคา่ แตล่ ะตาแหน่งแบบน้ีไปไดเ้ ร่ือย ๆ จนไดจ้ านวนที่มีทศนิยมถึง

16 ตาแหน่ง และยงิ่ ไปกวา่ น้ียงั สามารถคดิ เลขในใจไดด้ ว้ ย

1.5 = 0.1 2 02 4055 48082 2 3315 6 219 0 4115137 0 6..
7

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 101 อยใู่ นรูปทศนิยม 20 ตาแหน่ง

138

วิธเี วทคณิต A.F. = 101 พิจารณา 138 ตา่ งจาก 139 อยู่ 1

14

F = 101 = 0. 3 7 2 312110 8 4 8 0 4 8 0 10 512 7 8 9 0 7 01 2 0 61 6 4 12 4 2 9 10 2 6 7 4 5...
14

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 73 อยใู่ นรูปทศนิยม 20 ตาแหน่ง

97

วธิ ีเวทคณติ A.F. = 7.3 พจิ ารณา 97 ตา่ งจาก 99 อยู่ 2

10

ตอ้ งบวกตวั ต้งั ดว้ ย 2 ของผลลพั ธข์ องมนั (Q- digit) ในแตล่ ะคร้ังในการหาร

F = 7.3 = 0.3715 655 717139139 7 558 4 716 8 2 68 48 4 6 85 59 7 7...
10

115

แบบฝึ กหดั ชุดที่ 6 จงหาทศนิยมซ้า(Recurring Decimal)
1. 25 2. 24

29 39

3. 29 4. 3

39 49

5. 44 6. 44

69 79

7. 1 8. 1

99 9

การใชส้ ดั ส่วนช่วยในการดาเนินการหาร
9. 1 10. 2

7 13

11. 5 12. 17

23 33

13. 9 14. 3

11 17

หาคาตอบที่ถกู ตอ้ งทศนิยม 4 ตาแหน่ง

15. 18 16. 67

59 89

17. 100 18. 1 3

109 7

19. 20 20. 99

13 49

116

4.กำลงั สอง

บทนำ

กำลงั สองของจำนวนใด ๆ หมำยถึงกำรคูณของจำนวนดว้ ยตวั มนั เอง กำรคณู เชิงคณิตศำสตร์
(Mathematically) คือ aa = a2 และยงั สำมำรถแทนดว้ ยรูปทรงเรขำคณิต คอื จตั ุรัสจำนวน
(Square Number)

1 22 33 44 55

ตำมหลกั สูตรที่ใชส้ อนนกั เรียนในกำรหำกำลงั สองของจำนวนใด ๆ เป็นดงั น้ี

- ดว้ ยกำรคณู จำนวนน้นั ดว้ ยตวั มนั เอง เช่น (12)2 =1212 =144

- ดว้ ยกำรแจกแจงเชิงพชี คณิต (Algebraic Distribution)

ในที่น้ีก็คอื สูตรท่ีเรำคุน้ เคยกนั

ก) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

ข) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

ตวั อยำ่ ง (1) (13)2 = (10 + 3)2 =102 + 2(10)(3) + 32 =100 + 60 + 9 =169

(2) (96)2 = (100 − 4)2 =1002 + 2(100)(4) + 42 =10000 −800 +16 = 9216

ในเวทคณติ

กำรยกกำลงั สองกำรคูณดว้ ยกำรสงั เกตอยำ่ งทะลุปรุโปร่ง (Multiplication Through Observation)

กำรคณู ดว้ ยกำรสังเกตอยำ่ งทะลปุ รุโปร่ง เป็นกำรเขำ้ ถึงกำรประยกุ ต์ กำรคูณดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้

(สูตรอุรธวะ ติรยคั ภยำมฺ) กำรคณู ดว้ ยสูตรทุกตวั ครบเกำ้ ตวั สุทำ้ ยครบสิบ (สูตรนิขลิ มั ) และกำรคูณดว้ ย

สูตรสดั ส่วนช่วย (สูตรอุปสูตรอำนุรูปเยนะ)

ในเวทคณิต มีวิธียกกำลงั สอง 3 วิธี คือ
• กำรเพ่ิมหน่ึงกบั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขำ้ งหนำ้
• กำรลดหรือเพ่ิมดว้ ยค่ำเบ่ียงฐำนและค่ำกำลงั สองของค่ำเบี่ยงฐำน
• วิธีทวิคูณ (Duplex Method)
กำรหำกำลงั สองของจำนวนใด ๆ น้ีวธิ ีเวทคณิตยงั สำมำรถคดิ ไดเ้ ร็วกวำ่ วิธีด้งั เดิมเกือบ 10 เทำ่

บำงวิธีมีขอบเขตในกำรใชแ้ ต่เป็นวธิ ีพิเศษท่ีเรียกวำ่ วธิ ีทวคิ ูณ (Duplex Method) ซ่ึงกล่ำววำ่ เป็น
อญั มณีอนั ล้ำคำ่ ของทุกวธิ ี (Gem of all Method) ในกำรยกกำลงั สองของจำนวนใด ๆ

กำลงั สองด้วยวธิ ีเวทคณติ

4.1. กำรเพม่ิ หนึ่งกบั ตัวเลขที่อย่ถู ดั ไปข้ำงหน้ำ
กำรหำกำลงั สองของจำนวนใด ๆ ดว้ ยกำรเพ่มิ หน่ึงกบั ตวั เลขท่ีอยถู่ ดั ไปขำ้ งหนำ้ น้ี ในเวทคณิต

เป็นกำรยกกำลงั สองดว้ ยสูตรท่ี 1 ของเวทคณิต คือ
เอกำธเิ กนะ ปูรเวณะ (Ekadhikena Purvena หรือ सूत्र १. एकाधिके न परू ्वेण)

วิธียกกำลงั สองดว้ ยวธิ ีน้ีมีขอ้ จำกดั ในกำรใชแ้ ละเท่ียงตรงเฉพำะกบั จำนวนที่ลงทำ้ ยดว้ ย 5 วธิ ีกำรหำ
คำตอบ ไดก้ ลำ่ วไวใ้ นบทท่ี 2 การคูณเลขสองจานวนที่มีส่วนแรกของสองจานวนเท่ากนั และส่วนที่สอง
มีผลบวกเท่ากับ 10

คำตอบของกำลงั สองของจำนวนที่มีหลกั หน่วยเป็น 5 ถูกแบง่ เป็นสองส่วน
- ส่วนทำงขวำ (RHS) ของคำตอบ คือ กำลงั สองของ 5 (ซ่ึงเป็นตวั เลขท่ีลงทำ้ ยของจำนวนที่

จะหำกำลงั สอง)
- ส่วนทำงซำ้ ย (LHS) ของคำตอบเป็นผลคูณของจำนวนที่อยหู่ นำ้ เลข 5 กบั จำนวนท่ีมำกกวำ่

หน่ึงของจำนวนที่อยหู่ นำ้ เลข 5 น้ี จำกคำอธิบำยขำ้ งตน้ เขียนอยใู่ นรูปเชิงคณิตศำสตร์ ดงั น้ี

(A5)2 = A(A +1) / 52

ในทีน่ ี้ จำนวนท่ีมำกกวำ่ A อยู่ 1 คือ A +1 (สูตรเอกำธิเกนะ ปรู เวณะ)
เพอ่ื ทำควำมเขำ้ ใจวิธียกกำลงั สองของจำนวนที่ลงทำ้ ยดว้ ยเลข 5 อธิบำยดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่ำงที่ 1 หำกำลงั สองของ 85
วิธีทำ เร่ิมตน้ เรำแบง่ คำตอบออกเป็นสองส่วน คือ

RHS = กำลงั สองของ 5 = 25
LHS = (จำนวนท่ีอยหู่ นำ้ เลข 5 )  (จำนวนที่มำกกวำ่ อยู่ 1 ของจำนวนท่ีอยหู่ นำ้ เลข 5 )

= 8(8 +1) = 89 = 72

ดงั น้นั (85)2 = 72 / 25 = 7225

ตวั อย่ำงท่ี 2 หำกำลงั สองของ 125

วธิ ที ำ RHS = กำลงั สองของ 5 = 25 LHS = 12(12 +1) = 1213 =156

ดงั น้นั (125)2 =156 / 25 =15625

หมำยเหตุ วิธหี ำ 1213

(1) ดว้ ยวิธีแนวต้งั แนวไขว้ 1 2 (2) ดว้ ยวิธีนิขลิ มั 12 2


13 13 3

0 0 0 6 =156 15 / 6 = 156
15

กำรตรวจสอบยนั ควำมถูกตอ้ ง (125)2 =15625

→ (8)2 = (−1)2 =1+ 5 + 6 + 2 + 5 =1

119

ตวั อย่ำงท่ี 3 หำกำลงั สองของ 675
วิธีทำ RHS = กำลงั สองของ 5 = 25 LHS = 67(67 +1) = 4556
หำผลคณู 6768 = 606 = 4556 (ดว้ ยวิธีคดิ เลขในใจดว้ ยสูตรแนวต้งั และแนวไขว้ )

395

ดงั น้นั (675)2 = 4556 / 25 = 455625
กำรตรวจสอบยนั ควำมถกู ตอ้ ง

(675)2 = 455625
→ (0)2 = 4 + 5 + 5 + 6 + 2 + 5 = 0

ตวั อย่ำงท่ี 4 หำกำลงั สองของ 12345
วธิ ีทำ RHS = กำลงั สองของ 5 = 25 LHS = 1234(1234 +1) = 12341235 =1523990
หำผลคูณ 1 2 3 4 ดว้ ยวธิ ีแนวต้งั และแนวไขว้

1235
1 4 0 1 7 7 0 = 15233990

001 222 2

ดงั น้นั (12345)2 =15233990 / 25 =1523399025

กำลงั สองด้วยวธิ ีเวทคณิต ด้วยกำรเพม่ิ หนงึ่ กบั ตัวเลขท่อี ยู่ถดั ไปข้ำงหน้ำ
ในเวทคณติ เป็ นกำรยกกำลงั ด้วยสูตรท่ี 1 เอกำธิเกนะ ปูรเวณะ

(Stura 1 Ekādhikena Pūrveṇa = सूत्र १ एकाधिके न परू ्वेण = )
Ekādhikena Pūrveṇa mean By one more than the one before

Eka = เอก ค. เอก หน่ึง เดียว ( one)
Adhika = อธิก ค. เกิน มำก มำกกวำ่ เหนือ เพิ่มเขำ้ มำ ( more)
Purva = ปรู ฺวฺว ค. ก่อน ประถม แรก (before)
ปูรเวณ ก.ว. ทำงทิศตะวนั ออก (Purvena – before )
สูตรน้ีอธิบำยหมำยถึงกำรเพ่มิ 1 ใหก้ บั ตวั เลขที่อยถู่ ดั ไปขำ้ งหนำ้ ของจำนวนน้นั

120

4.2. กำรลดหรือเพมิ่ ด้วยค่ำเบ่ยี งฐำนและค่ำกำลงั สองของค่ำเบย่ี งฐำน

กำรหำกำลงั สองของจำนวนใด ๆ ดว้ ยกำรลดหรือเพมิ่ ดว้ ยคำ่ เบี่ยงฐำนและกำลงั สองของคำ่ เบ่ียง

ฐำน ในเวทคณิตเป็นกำรยกกำลงั สองดว้ ยสูตร

อปุ สูตรท่ี 7 ยำวำทูนัม ตำวทูนิกฤตยะ วำรคัญจะ โยชเยต

แปลวำ่ (Upasūtra 7. yāvadūnam tāvadūnīkṛtya vargañca Yojayet)

“โดยกำรลดลงตำมค่ำเบ่ียงฐำนและค่ำกำลงั สองของค่ำเบี่ยงฐำน”

สูตร น้ีใชไ้ ดด้ ีกบั จำนวนที่จะยกกำลงั สองน้นั ตอ้ งมีค่ำใกล้ ๆ

ฐำนหลกั ไดแ้ ก่ 10, 100, 1000, ...

หรือฐำนหมุนเวียน (Working Base) ไดแ้ ก่ 20, 30, 40, 50 ,..., 200, 300, 400, 500,... เป็ นตน้

หมำยเหตุ ฐำนหมุนเวียน (Working Base) คือพหุคุณของฐำนหลกั เช่น

20 = 210 เรียก 2 วำ่ เป็นตวั พหุคณู

200 = 2100 เรียก 2 วำ่ เป็นตวั พหุคณู

300 = 3100 เรียก 3 วำ่ เป็นตวั พหุคูณ

ดังน้นั เรำจะแบ่งควำมคิดกำรหำค่ำยกกำลงั สองด้วยวิธีนอี้ อกเป็ น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 เม่ือจำนวนทจ่ี ะยกกำลงั สองมคี ่ำใกล้เคยี งกบั ฐำนหลกั (Theoretical Base)

คำตอบที่จะไดม้ ีสองส่วน

คือ ส่วนทำงซำ้ ย (LHS) = จำนวนท่ีจะยกกำลงั สอง + คำ่ เบ่ียงฐำน

ส่วนทำงขวำ (RHS) = กำลงั สองของคำ่ เบี่ยงฐำน

คำตอบ ส่วนทำงขวำ (RHS) จะตอ้ งมีจำนวนหลกั เทำ่ กบั จำนวนเลขศูนยข์ องฐำนที่กำหนดให้

ส่วนท่ีเกินตอ้ งทดไปบวกกบั คำตอบส่วนทำงซำ้ ย (LHS) แต่ในกรณีท่ีคำตอบจำนวนหลกั ทำงขวำ

ไมค่ รบตำมจำนวนเลขศูนยข์ องฐำนหลกั ใหเ้ ติมศูนยจ์ นครบ เป็นคำตอบ

กรณีที่ 2 เม่ือจำนวนทีจ่ ะยกกำลงั สองมคี ่ำใกล้เคยี งกบั ฐำนหมนุ เวียน (Working Base)

คำตอบท่ีจะไดม้ ีสองส่วน

คือ ส่วนทำงซำ้ ย (LHS) = (จำนวนท่ีจะยกกำลงั สอง + ค่ำเบี่ยงฐำน)  ตวั พหุคณู

ส่วนทำงขวำ (RHS) = กำลงั สองของค่ำเบ่ียงฐำน

คำตอบ ส่วนทำงขวำ (RHS) จะตอ้ งมีจำนวนหลกั เท่ำกบั จำนวนเลขศูนยข์ องฐำนที่กำหนดให้ ส่วนที่เกิน

ตอ้ งทดไปบวกกบั คำตอบส่วนทำงซำ้ ย (LHS) แต่ในกรณีที่คำตอบจำนวนหลกั ทำงขวำไม่ครบ

ตำมจำนวนเลขศูนยข์ องฐำนหลกั ใหเ้ ติมศูนยจ์ นครบ เป็นคำตอบ

หมำยเหตุ

Upasūtra 7. yāvadūnam tāvadūnīkṛtya vargañca yojayet - Lessen by the deficiency,

and set up square of the deficiency.
The Upasūtra: yāvadūnam tāvadūnīkṛtya vargañca yojayet

(Lessen by the deficiency, and set up square of the deficiency) is used for squaring (x2) a
number, that is close to a power of ten (10n). The technique followed by this Upasūtra

uses Rekhanks & Vinculum Numbers (discussed here »).

https://www.upavidhi.com/upasutra/yavadunam-tavadunikrtya-varganca-yojayet

121

ตวั อย่ำง กรณีท่ี 1 เม่ือจำนวนท่ีจะยกกำลงั สองมคี ่ำใกล้เคยี งกบั ฐำนหลกั (Theoretical Base)
ตัวอย่ำงท่ี 1 หำกำลงั สองของ 13
วิธีทำ จำนวน 13 มีคำ่ ใกลฐ้ ำน 10 ดงั น้นั คำ่ เบี่ยงฐำน = 13−10 = 3

(13)2 = 13+3/ 32 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีหลกั เดียว (เท่ำกบั จำนวนเลขศูนยข์ องฐำน)

= 169

ขอสังเกต ควำมคดิ ขำ้ งตน้ มำจำกกำรคณู ดว้ ยวธิ ีนิขลิ มั ดงั น้ี

13 3


13 3

13 + 3 / 3 3 = 16 / 9 = 169

ตัวอย่ำงท่ี 2 หำกำลงั สองของ 16
วิธที ำ จำนวน 16 มีคำ่ ใกลฐ้ ำน 10 ดงั น้นั คำ่ เบ่ียงฐำน = 16−10 = 6

(16)2 = 16 + 6 / 62 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีหลกั เดียว

= 22 / 36 = 256

ตัวอย่ำงที่ 3 หำกำลงั สองของ 91

วิธีทำ จำนวน 91 มีคำ่ ใกลฐ้ ำนหลกั 100 ดงั น้นั คำ่ เบี่ยงฐำน = 91−100 = −09 = 09
(91)2 = 91+ 9 / 092 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสองหลกั

= 82 / 81 = 8281

ตัวอย่ำงที่ 4 หำกำลงั สองของ 98

วธิ ีทำ จำนวน 98 มีคำ่ ใกลฐ้ ำนหลกั 100 ดงั น้นั ค่ำเบ่ียงฐำน = 98−100 = −02
(98)2 = (98 − 2) / 022 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสองหลกั

= 96 / 04 = 9604

ตวั อย่ำงท่ี 5 หำกำลงั สองของ 997

วธิ ที ำ จำนวน 997 มีค่ำ ใกลฐ้ ำน 1000 ดงั น้นั ค่ำเบี่ยงฐำน = 997 −1000 = −003 = 003

(997)2 = 997 + 003 / 2 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสำมหลกั

003

= 994009

ตัวอย่ำงที่ 6 กำลงั สองของจำนวนต่อไปน้ี

(1) 972 = 97 + 03 / (03)2 = 94 / 09 = 9409

(2) 872 = 87 + 13 / (13)2 = 7 4/ 69 = 7569
(3) 192 = 19 + 9 / 92 1

= 28/1 = 361
8

(4) 9652 = 965 + 35 / (035)2 = 930/ 225 = 931225
1

(5) 1132 = 113 +13 / (13)2 = 12 6/ 69 = 12769
1

(6) 9962 = 996 + 004 / (004)2 = 992 / 016 = 992016

(7) 9982 = 996 + 002 / (002)2 = 996 / 004 = 996004

122

(8) 99972 = 9996 + 0003 / (0009)2 = 9994 / 0009 = 99940009
(9) 10072 = 1007 + 007 / (007)2 =1014 / 049 =1014049
(10) 99962 = 9996 + 0004 / 0016 = 9992 / 0016 = 9990016
(11) 99992 = 9998 / 0001 = 99980001
(12)10172 =1034 / 289 =1034289
(13)10392 = 1078/ 521 = 1079521

1

(14) 999912 = 99982 / 00081 = 9998200081
(15) 999982 = 99996 / 00004 = 9999600004
(16) 999942 = 99988 / 00036 = 9998800036
(17)100042 =10008 / 0016 =100080016
(18) 9999782 = 999956 / 000484
(19) 9999982 = 999996 / 000004
(20)1000232 =100046 / 00529
(21) 99998732 = 9999746 / 0016129
(22) 99999992 = 9999998 / 0000001
(23)10000122 =1000024 / 000144

ตวั อย่ำง กรณที ่ี 2 เม่ือจำนวนท่ีจะยกกำลงั สองมีค่ำใกล้เคียงกบั ฐำนหมุนเวียน (Working Base)

จำนวนที่จะนำมำยกกำลงั สองน้นั มีค่ำใกลเ้ คยี งฐำนหมนุ เวียน กำรใชส้ ูตรยำวำทูนมั มีรำยละเอียดเพม่ิ เติม
เลก็ นอ้ ยจำกวธิ ีกำลงั สองมีค่ำใกลเ้ คียงกบั ฐำนหลกั
กล่ำวอธิบำยสรุปดงั น้ี คำตอบกถ็ กู แบ่งเป็นสองส่วน คือ

- คำตอบส่วนทำงขวำ (RHS) ยงั คงเป็นคำ่ ของ กำลงั สองของค่ำเบ่ียงฐำน
- คำตอบส่วนทำงซำ้ ย (LHS) จะตอ้ งระวงั เพ่ิมข้ึนเลก็ นอ้ ย คือ

LHS = (จำนวนที่จะยกกำลงั สอง + คำ่ เบี่ยงฐำน)  ตวั พหุคูณ
ตัวอย่ำงที่ 1 หำกำลงั สองของ 32
วิธที ำ จำนวน 32 มีค่ำ ใกลฐ้ ำนหมนุ เวยี น คือ 30 (ทำงบวก) ดงั น้นั

จำก 30 =103 แสดงวำ่ ฐำนหลกั คือ 10 ตวั พหุคูณคือ 3
ค่ำเบี่ยงฐำน = 32 −30 = 2
เพรำะฉะน้นั (32)2 = (32 + 2)3/ 22 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีหลกั เดียว

=102 / 4 = 1024

123

ขอสังเกต ควำมคดิ ขำ้ งตน้ มำจำกกำรคูณดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย (กำรคณู ดว้ ยอุปสูตรอำนุรูปเยณะ)

32 2
32 2 

(32 + 2)  3 / 22 = 102 / 4 = 1024

เม่ือฐำนหลกั = 10 ฐำนหมุนเวียน = 30 = 310 → ตวั พหุคูณคือ 3
คำ่ เบี่ยงฐำนของ 32 จำกฐำนหมุนเวยี น คือ = 32−30 = 2 (พจิ ำรณำกำรคูณดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วย)

ตวั อย่ำงท่ี 2 หำกำลงั สองของ 47
วธิ ที ำ 47 มีค่ำใกลฐ้ ำนหมนุ เวยี น คือ 50 แต่ 50 =105
เพรำะฉะน้นั ฐำนหลกั คือ 10

ตวั พหุคณู คือ 5
ค่ำเบ่ียงฐำน = 47 −50 = −3= 3
เพรำะฉะน้นั (47)2 = (47 + 3)5 / 32 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีหลกั เดียว

= 220 / 9 = 2209

ตวั อย่ำงท่ี 3 หำกำลงั สองของ 482

วิธีทำ 482 มีค่ำ ใกลฐ้ ำนหมนุ เวียน คอื 500 ทำงลบ
ดงั น้นั ฐำนหลกั คอื 100

ตวั พหุคูณคือ 5
คำ่ เบ่ียงฐำน = 482 −500 = −18 =18
เพรำะฉะน้นั (481)2 = (482 +18)5 / (18)2 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสองหลกั

= (464 5)/ 24

3

= 232 0/ 24 = 232324
3

หรือ เรำใชฐ้ ำน 500 จำกสูตรสดั ส่วน 500 =1000 1

2

ดงั น้นั ฐำนหลกั คือ 1000 ตวั พหุคูณคือ 1

2

ค่ำเบี่ยงฐำน คือ 482 −500 = −018

เพรำะฉะน้นั (481)2 = (482 + 018) 1 / (018)2 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสำมหลกั

2
= 464 1 / 324

2

= 232 / 324 = 232324

ข้อเสนอแนะ ในกำรคิดเลขเร็ว ไมค่ วรใชเ้ ทคนิคกำรลดสดั ส่วน

124

ตวั อย่ำงที่ 4 หำกำลงั สองของ 709
วธิ ที ำ 709 มีค่ำ ใกลฐ้ ำนหมุนเวียน คือ 700 ทำงบวก
ดงั น้นั ฐำนหลกั คือ 100

ตวั พหุคูณ คือ 7
คำ่ เบ่ียงฐำน = 709 − 700 = 09
เพรำะฉะน้นั (709)2 = (709 + 09)7 / (09)2 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสองหลกั

= 7187 / 81

= 502681 คำตอบส่วนทำงขวำตอ้ งมีสำมหลกั

ตวั อย่ำงท่ี 5 หำกำลงั สองของ 8989

วธิ ีทำ 8989 มีคำ่ ใกลฐ้ ำนหมุนเวียน คอื 9000 ทำงบวก
ดงั น้นั ฐำนหลกั คอื 1000

ตวั พหุคูณ คือ 9
คำ่ เบ่ียงฐำน = 8989 −9000 = −011
เพรำะฉะน้นั (8989)2 = (8989 + (−011))9 / (−011)2

= 89789 /121

= 80802 /121 = 80802121

กำลงั สองด้วยวธิ ีเวทคณิต ด้วยกำรลดหรือเพมิ่ ด้วยค่ำเบ่ยี งฐำนและค่ำกำลงั สองของค่ำเบย่ี งฐำน
ในเวทคณติ เป็ นกำรยกกำลงั สอง
ดว้ ยอปุ สูตรที่ 7 ยำวำทนู มั ตำวทนู ิกฤตยะ วำรคญั จะ โยชเยต
(Upasūtra 7. yāvadūnam tāvadūnīkṛtya vargañca yojayet
= यार्वदनू ं तार्वदनू ीकृ त्य र्वर्गं च योजयेत्)
yāvadūnam tāvadūnīkṛtya vargañca yojayet mean by Lessen by the

deficiency and set up square of the deficiency

Yavad –ยำวตฺ น. มำกวำ่ นำนหรือยำวกวำ่ ตรำบใด ไกลเท่ำ จนถึง จนกระท้งั เท่ำ ก่ีมำกนอ้ ย
(as large as, as much as, as many, as frequent, as long as, as old as) และ
Unam – อนู ค. นอ้ ยกวำ่ เลก็ กวำ่ ทรำมกวำ่ (less.)

125

4.3. กำรยกกำลงั สองด้วยวิธีทวิคูณ (Duplex Method)

ควำมเป็ นมำ
คำวำ่ ทวคิ ณุ ว. ๒ ทบ, ๒ ตอ่ , ๒ เท่ำ.

จำก พจนำนุกรมแปล ไทย-ไทย อ.เปล้ือง ณ นคร
ในเวทคณิต กำรยกกำลงั สองดว้ ย “อปุ สูตรทวนั ทวโยคะ”

คำวำ่ ทฺวนทฺว” หมำยถึง คู่ หรือ โยค. หมำยยถึงกำรรวม กำรสนธิ
ทฺวนฺทฺว = dvandva n. pair of opposites
https://kosha.sanskrit.today/word/en/dvandva/th
ดงั น้นั แปลควำมไดว้ ำ่ “กำรรวมเป็นคู่ ๆ”
หมำยเหตุ

Upasūtra 16. dvaṅdvayoga - Sum of pairs.
The Upasūtra: dvaṅdvayoga (Sum of pairs) is used for finding squares (x2) and cubes (x3)
of a number. It is also referred as the 'Duplex Methods'. And, its popular techniques are
sometimes also referred as Straight-Squaring and Straight-Cubing, because with some
practice, a practitioner of Vedic Mathematics can reach 'straight' to the calculated figure -
without any intermediate steps
(which means the intermediate steps are executed mentally).
https://www.upavidhi.com/upasutra/dvandvayoga

เมื่อทบทวนกำรยกกำลงั สองหรือกำรคณู เลขสองจำนวนท่ีมีจำนวนหลกั เท่ำกนั ดว้ ยวธิ ีแนวต้งั
และแนวไขว้ จะพบวำ่ ตรงกบั ควำมหมำยของคำวำ่ ‘ทวิคูณ’
กรณี กำลงั ของจำนวนสองหลกั ab ab = (ab)2 เม่ือ a และ b เป็นเลขโดดของแตล่ ะหลกั

ab


ab

a2 / 2ab / b2

a2 หมำยถึง a คูณ a หรือเป็นทวิคูณของ a
2ab หมำยถึงสองเท่ำของ a คูณ b หรือเป็นทวิคูณของ a และ b
b2 หมำยถึง b คณู a หรือเป็นทวิคูณของ b
กรณี สำมหลกั abcabc = (abc)2 เม่ือ a,b และ c เป็นเลขโดดของแตล่ ะหลกั

abc


abc

a2 / 2ab / 2ac + b2 / 2bc / c2

กรณี สี่หลกั abcdabcd = (abcd)2 เม่ือ a,b,c และ d เป็ นเลขโดดของแตล่ ะหลกั

a b c d
a b cd

a2 / 2ab / 2ac + b2 / 2ad + 2bc / 2bd + c2 / 2cd / d2

126

จำกควำมรู้กำรคูณเลขสองจำนวนท่ีเท่ำกนั ขำ้ งตน้ น้นั เป็นวิธีกำรคูณแบบแนวต้งั และแนวไขว้
พบวำ่ แต่ละข้นั ตอนของกำรคณู น้ีเป็นกำรคณู เลขสองตวั หรือผลบวกของกำรคูณตวั เลขสองตวั กำรคูณ
เช่นน้ีเรียกวำ่ ทวคิ ูณ จึงนำไปประยกุ ตเ์ ป็นกำรคิดเลขเร็วในกำรหำกำลงั สองของจำนวนใด ๆ ดว้ ยกำร
สร้ำงสูตรกำรยกกำลงั สองดว้ ยวธิ ีทวิคูณ (Duplex Method)

กำรยกกำลงั สองดว้ ยวธิ ีทวิคูณ ในเวทคณิต เป็นกำรคูณดว้ ย อุปสูตรที่ 16 ทวนั ทวโยคะ
(Dvaṅdva yoga -(द्वन्द्द्वयोर्ग)) น้ีเป็ นสูตรของกำรหำกำลงั สองที่ดีท่ีสุดในเวทคณิต เพรำะกำรใชส้ ูตรน้ี
เหมำะสมและง่ำย ที่เรำจะสำมำรถหำคำ่ กำลงั สองไดท้ ุกจำนวน ไดท้ กุ ขนำด ภำยในบรรทดั เดียว หลงั จำก
ท่ีไดฝ้ ึกฝนเลก็ นอ้ ย และเรำยงั สำมำรถหำกำลงั สองของทุก ๆ จำนวนดว้ ยวิธีคิดในใจไดด้ ว้ ยและเป็นวธิ ี
เดียวที่สำมำรถใชไ้ ดท้ กุ รณี
หลกั กำรคิดเป็ นดังนี้
เรำแทนทวิคูณด้วย D ซึ่งมำจำกคำว่ำ Duplex
ดังน้นั ทวิคูณของกล่มุ จำนวนใด ๆ ถูกกำหนดไว้ดงั นี้

• ทวิคณู ของตวั เลขหน่ึงตวั = กำลงั สองของตวั เลขน้นั แทนดว้ ย

D(a) = a2

เช่น ทวิคณู ของ 2 = D(2) = 22 = 4
ทวิคณู ของ 6 = D(6) = 62 = 36

• ทวิคูณของตวั เลข 2 ตวั = 2 (ผลคูณของตวั เลขสองตวั ) แทนดว้ ย

D(ab) = 2ab

เช่น ทวิคณู ของ 24 = D(24) = 2(24) =16
ทวิคณู ของ 76 = D(76) = 2(76) = 84

• ทวิคณู ตวั เลข 3 ตวั = 2 (ตวั เลขตวั ท่ี 1  ตวั เลขตวั ท่ี 3 ) + (กำลงั สองของตวั เลขตรงกลำง)
แทนดว้ ย D(abc) = 2ac + b2
เช่น ทวิคูณของ 126 = D(126) = 2(16) + 22 =16
ทวิคณู ของ 478 = D(478) = 2(48) + 72 =113

• ทวิคูณตวั เลข 4 ตวั = 2(ตวั เลขตวั ที่ 1  ตวั เลขตวั ท่ี 4 ) + 2(ตวั เลขตวั ที่ 2  ตวั เลขตวั ท่ี 3 )
แทนดว้ ย D(abcd) = 2ad + 2bc
เช่น ทวิคูณของ 2468 = D(2468) = 2(28) + 2(46) = 80
ทวิคณู ของ 4567 = D(4567) = 2(47) + 2(56) =116

• ทวิคณู ตวั เลข 5 ตวั = 2(ตวั เลขตวั ท่ี 1  ตวั เลขตวั ท่ี 5 ) + 2 (ตวั เลขตวั ท่ี 2  ตวั เลขตวั ที่ 4 )
+ (กำลงั สองของตวั เลขท่ี 3)

แทนดว้ ย D(abcde) = 2ae + 2bd + c2
เช่น ทวิคูณของ 16289 = D(16289) = 2(19) + 2(68) + 22 =118

ทวิคูณของ 50406 = D(50406) = 2(56) + 2(00) + 42 = 76

127

• ทวิคณู ตวั เลข 6 ตวั = 2 (ตวั เลขตวั ที่ 1  ตวั เลขตวั ที่ 6 ) + 2(ตวั เลขตวั ที่ 2  ตวั เลขตวั ท่ี 5 )
+ 2 (ตวั เลขตวั ท่ี 3  ตวั เลขตวั ที่ 4)

แทนดว้ ย D(abcdef ) = 2af + 2be + 2cd
เช่น ทวิคูณของ 320416 = D(320416) = 2(36) + 2(21) + 2(04) = 40

ทวิคูณของ 125673 = D(125673) = 2(13) + 2(27) + 2(56) = 94
• ทวิคณู ตวั เลข 7 ตวั = 2 (ตวั เลขตวั ที่ 1  ตวั เลขตวั ที่ 7 ) + 2(ตวั เลขตวั ที่ 2  ตวั เลขตวั ท่ี 6 )

+ 2 (ตวั เลขตวั ที่ 3  ตวั เลขตวั ที่ 5 ) + (กำลงั สองของตวั เลขที่ 4)
แทนดว้ ย D(abcdefg) = 2ag + 2bf + 2ce + d2
เช่น ทวคิ ูณของ 2356214 = D(2356214) = 2(24) + 2(31) + 2(52) + 62 = 78
ทวิคณู ของ 1025962 = D(1025962) = 2(1 2) + 2(06) + 2(29) + 52 = 65
ในกำรเรียนรู้กำรหำทวิคูณของกลุ่มจำนวนใด ๆ น้นั เรำจำเป็นที่จะตอ้ งฝึกกำรเขยี นรูปแบบ (pattern) ของ
แตล่ ะกลุม่ ทวคิ ูณ ซ่ึงจะช่วยใหเ้ รำเขำ้ ใจถึงกำรจดั กลุ่มทวิคณู น้นั ไดอ้ ยำ่ งถูกตอ้ ง

สรุปวิธีของทวีคูณ
1 D(a) = a2
2 D(ab) = 2ab
3 D(abc) = 2ac + b2
4 D(abcd) = 2ad + 2bc
5 D(abcde) = 2ae + 2bd + c2
6 D(abcdef ) = 2af + 2be + 2cd
7 D(abcdefg) = 2ag + 2bf + 2ce + d2

ข้นั ตอนกำรดำเนินกำรยกกำลงั สองของจำนวนใด ๆ

1. กำรจดั กลุ่มทวิคูณของตัวเลขของจำนวนท่ีจะยกกำลงั สอง ดงั ตวั อย่ำงต่อไปนี้
กำรจดั กลุ่มทวิคูณตวั เลขของ (24)2 จะตอ้ งเป็นไปตำมรูปแบบดงั น้ี

D(2) D(24) D(4)

1 ตวั 2 ตวั 1 ตวั

กำรจดั กล่มุ ทวิคูณตวั เลขของ (246)2 เป็นดงั น้ี

D(2) D(24) D(246) D(46) D(6)

1 ตวั 2 ตวั 3 ตวั 2 ตวั 1 ตวั

กำรจดั กล่มุ ทวิคูณตวั เลขของ (2456)2 เป็นดงั น้ี

D(2) D(24) D(245) D(2456) D(456) D(46) D(6)

1 ตวั 2 ตวั 3 ตวั 4 ตวั 3 ตวั 2 ตวั 1 ตวั

128

2. ดำเนนิ กำรหำผลรวมของกล่มุ ทวิคูณจำกซ้ำยไปขวำของกำลงั สองของจำนวนใด ๆ เป็ นดังนี้

• เขียนกลมุ่ ทวคิ ูณของจำนวนท่ีจะหำคำ่ ยกกำลงั สอง

• หำคำ่ ของแตล่ ะกล่มุ ทวิคณู

• จำกน้นั หำผลรวมสุทธิท้งั หมดของกลุ่มทวิคณู โดยใหไ้ ดผ้ ลลพั ธ์แตก่ ล่มุ เป็นเลขเพยี งหลกั เดียว

ซ่ึงอำจจะมีกำรทด กำรหำผลรวมสุทธิสำมำรถหำผลบวกจำกซำ้ ยไปขวำหรือขวำไปวำ้ ยได้

ท้งั สองวธิ ี ดงั แสดงตำมตวั อยำ่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่ำงท่ี 1 หำกำลงั สองของ 32

วิธที ำ เขยี นกลุ่มทวิคูณของ 32 คือ

เขียนแตล่ ะกล่มุ ทวิคูณของ 32 D(3) D(32) D(2)

หำค่ำทวิคณู ของแตล่ ะกล่มุ 32 2(3 2) 22
หำผลรวมสุทธิ 9 12 4

ดังน้นั (32)2 =1024 9 24 = 1024 D(69) D(9)
ตัวอย่ำงท่ี 2 หำกำลงั สองของ 469
วธิ ีทำ เขียนกลุ่มทวคิ ูณของ 469 คือ 1
ทวิคูณของแตล่ ะกลุ่ม D(4) D(46)
D(469)

42 2 46 2 49 + 62 269 92

16 48 10 8 108 81

= 168881 = 219961
4008
11

ดงั น้นั (469)2 = 219,961

วิธเี ทคนคิ 4 6 92

1 6 8 8 8 1 = 219961
4008
11

หมำยเหตุ
วธิ ีคดิ เลขเร็วท้งั ระบบเวทคณิตและระบบทรัชเทนเบริกใช้ ‘จุด’ แทนกำรทด ‘หน่ึง’ เหมือนกนั

ตวั อย่ำงท่ี 3 หำกำลงั สองของ 687

วิธที ำ กลมุ่ ทวิคณู ของ 687 คือ

D(6) D(68) D(687) D(78) D(9)
267 + 82 278 82
= 62 268 64
14 8 13 2
= 36 96

= 36 68 29 = 471969
9 41 4
11

ดงั น้นั (687)2 = 471969

129

วธิ เี ทคนคิ 6 8 72

3 6 6 8 2 9 = 471969
9 41 4
11

ตวั อย่ำงที่ 4 หำกำลงั สองของ 8254
วิธที ำ กล่มุ ทวิคูณของ 8254 คือ 8, 82, 825, 8254, 254, 54 และ 4
ทวิคูณของ 8 = 82 = 64
ทวิคูณของ 82 = 282 = 32
ทวิคณู ของ 825 = 285 + 22 = 84
ทวิคูณของ 8254 = 284 + 225 = 84
ทวีคณู ของ 254 = 224 + 52 = 41
ทวิคณู ของ 54 = 254 = 40
ทวิคูณของ 4 = 42 = 16
จดั คำ่ ของทวิคณู ดงั น้ี 64 3 2 8 4 8 4 41 4 0 16

= 68128516

ดงั น้นั (8254)2 = 68128516

วธิ เี ทคนิค 8 2 5 42

6 4 2 4 4 1 0 6 = 68128516
3 8 8 441

ตัวอย่ำงที่ 5 หำกำลงั สองของ 4856 36
วธิ ที ำ กล่มุ ทวิคณู ของ 4856 คือ 4, 48, 485, 4856, 856, 56 และ 6
ทวิคณู ของ 4 = 42 = 16
ทวคิ ูณของ 48 = 248 = 64
ทวิคณู ของ 485 = 245 +82 = 104
ทวิคณู ของ 4856 = 246 + 285 = 128
ทวิคณู ของ 856 = 286 + 52 = 121
ทวิคูณของ 56 = 256 = 60
ทวิคณู ของ 6 = 62 = 36
จดั ค่ำของทวิคูณดงั น้ี 16 6 4 10 4 128 121 60

= 23580736

ดงั น้นั (4856)2 = 23580736

130

วิธีเทคนิค 4 8 5 62

1 6 4 4 8 1 0 6 = 23580736
6 0 2 263
111

หมำยเหตุ ลองพจิ ำรณำวธิ ีทวิคูณสำหรับกำรหำค่ำของ จำนวน (111...1)2 แล้วพบอะไร ?
(11)2 = 121
(111)2 = 12321
(1111)2 = 1234321
(11111)2 = 123454321
(111111)2 = 12345654321
(1111111)2 = 1234567654321
…………………………………………..

กำรยกกำลงั สองด้วยวธิ ีทวีคูณ (Duplex Method)

ในเวทคณิต เป็ นกำรยกกำลงั สองด้วยอปุ สูตรทวันทวโยคะ
( = )Upasūtra 16. Dvaṅdva yoga - Sum of pairs. उपसतू ्र १६. द्र्वन्दद्र्वयोग
Dvandva n. ทฺวนฺทฺว น. คู่ pair of opposites
Yoga n.โยค น. สนธิ กำรรวม

https://kosha.sanskrit.today/word/en/dvandva/th

131

5.รากทีส่ อง

บทนา

รากท่ีสอง ตรงกบั ภาษาสนั สกฤตคือ ‘วรฺคมลู ’
หมายเหตุ วรฺค น. จานวนวรรคมูลหรือเลขจตั ุรัสร์

มูล น. ราก
วรฺคมลู น. ‘วรรคมลู ’ วรรมมูล มลู ของเลขจตั รุรัสร์ (the square root)
https://kosha.sanskrit.today/word/en/vargamoola/iso
ในวิชาคณิตศาสตร์ รากที่สองของจานวนจริง x คอื r แสดงวา่ r2 = x หรือกล่าววา่ กาลงั สองของ r

คือ x (ผลการคณู ของจานวนมนั เอง หรือ rr ) ตวั อยา่ งเช่น 4 เป็น
รากท่ีสองของ 36 เพราะวา่ 62 = 36
ในความหมายของคณิตศาสตร์ ถา้ x2 = y แลว้ x = y1/2 =  y
ถา้ เรายกกาลงั สองของ 2 เราได้ 4 และถา้ เราถอดรากที่สองของ 4
เราได้ 2 หรือถา้ เรายกกาลงั สองของ 3 เราได้ 9 และถา้ เราถอดราก
ที่สองของ 9 เราได้ 3 เป็นตน้
22 = 4 ดงั น้นั 4 = 2
32 = 9 ดงั น้นั 9 = 3
62 = 36 ดงั น้นั 36 = 6
โดยปกติแลว้ เม่ือพจิ ารณาการถอกรากของจานวนจริงใด ๆ เป็นเรื่องท่ียงุ่ ยากน่าเบื่อ ในการถอด
รากท่ีสองที่ใชก้ นั อยใู่ นห้องเรียนมีสองวิธีคอื
ก) การแยกตวั ประกอบ
ข) การต้งั หารยาว
ท้งั สองวิธีท่ีกล่าวขา้ งตน้ ยดื เย้อื และใชเ้ วลานาน สูตรของเวทคณิตช่วยใหเ้ ราหารากที่สองดว้ ยการสังเกต
เพียงเลก็ นอ้ ย ดงั น้นั ก่อนท่ีเราจะศึกษาวิธีการถอดราท่ีสองของเวทคณิต เราจะตอ้ งเขา้ ใจความรู้กฎเกณฑ์
พ้นื ฐานต่อไปน้ีเสียก่อน
(1) กาลงั สองของจานวนใด ๆ จะตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 0, 1, 4, 5, 6 และ 9
(2) กาลงั สองของจานวนใด ๆ จะตอ้ งไมล่ งทา้ ยดว้ ย 2, 3, 7 หรือ 8
(3) ถา้ จานวนที่กาหนดใหป้ ระกอบดว้ ยเลขโดด n ตวั แลว้ รากท่ีสองของจานวนเหลา่ น้นั จะมีเลข
โดด n / 2 ตวั เม่ือ n เป็ นจานวนคู่ และจะมีเลขโดด (n +1) / 2 ตวั เมื่อ n เป็นจานวนค่ี

ตารางท่ี 1 แสดงรากท่ีสองของจานวนต่อไปน้ี ผลบวกเลขโดดของ
N N2 ตวั เลขสุดทา้ ยของ N2 จานวนท่ียกกาลงั สอง

11 1 1
24 4 4
39 9 9
4 16 6 7
5 25 5 7
6 36 6 9
7 49 9 4
8 64 4 1
9 81 1 9
10 100 0 1

จากตารางขา้ งบนสรุปไดด้ งั น้ี
1. จานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 1 เม่ือถอดรากที่สองแลว้ จะไดค้ าตอบเป็นจานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 1 หรือ 9
2. จานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 4 เม่ือถอดรากที่สองแลว้ จะไดค้ าตอบเป็นจานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 2 หรือ 8
3. จานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 6 เมื่อถอดรากท่ีสองแลว้ จะไดค้ าตอบเป็นจานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 4 หรือ 6
4. จานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 5 เม่ือถอดรากที่สองแลว้ จะไดค้ าตอบเป็นจานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 5
5. จานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 9 เมื่อถอดรากท่ีสองแลว้ จะไดค้ าตอบเป็นจานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 3 หรือ 7
6. จานวนที่ลงทา้ ยดว้ ย 00 เมื่อถอดรากท่ีสองแลว้ จะไดค้ าตอบเป็นจานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 0
จากตารางข้างต้น ทาให้เราสามารถหาค่าทีใ่ กล้เคียงรากท่ีสองของจานวนทีก่ าหนดให้ได้
ตารางท่ี 2

จานวน คา่ รากท่ีสองที่ใกลเ้ คยี ง จานวน คา่ รากท่ีสองท่ีใกลเ้ คยี ง
1-3 1 4-8 2
9-15 3 16-24 4
25-35 5 36-48 6
49-63 7 64-80 8
81-99 9

133

การถอดรากที่สองด้วยวธิ ีเวทคณิต

5.1. การถอดรากทีส่ องด้วยวิธีสังเกตค่าใกล้เคียง

ในเวทคณิตคือการถอดรากท่ีสองดว้ ยสูตร
อุปสูตรที่ 12 วิโลกนมั (Upasutra 12. vilokanam - By mere observation)

วิโลกน น. อาโลก หมายถึง การดู การสงั เกต การพจิ ารณา
Vilokana n. noticing, becoming aware of, regarding, looking for, act of looking or seeing
https://kosha.sanskrit.today/word/en/vilokana/th

การถอดรากท่ีสองดว้ ยวิธีสังเกตคา่ ใกลเ้ คยี งน้ี เป็นวธิ ีช่วยใหเ้ ราหารากท่ีสองของจานวน
ที่มี 3-4 หลกั ภายใน 2-3 วินาที เพียงใชก้ ารสงั เกต จากความรู้พ้นื ฐานบนตารางขา้ งตน้

• ตารางที่ 1 ช่วยใหเ้ ราหาตวั เลขตวั สุดทา้ ยของคาตอบรากท่ีสองของจานวนที่กาหนดใหใ้ นขณะท่ี
• ตารางที่ 2 จะช่วยใหเ้ ราหาคาตอบหลกั สิบของรากท่ีสองน้นั ๆ
5.1.1. การถอดรากทสี่ องของจานวนท่ีประกอบด้วยเลข 3-4 หลกั ด้วยวิธสี ังเกตค่าใกล้เคยี ง

หรือการถอดรากทส่ี องด้วยวธิ ีวโิ ลกนัม
(Exact square root of 3-4 digits by Vilokanam method)
หลกั การ ดงั น้ี
• แบง่ กลุม่ ของตวั เลขกลมุ่ ละสองตวั จากขวาไปซา้ ย
• พจิ ารณาหลกั หน่วยของจานวนที่กาหนดให้ตามความรู้จากตารางท่ี 1 จะช่วยใหเ้ ราตดั สินใจไดว้ า่

คาตอบหลกั หน่วยของรากท่ีสองจานวนน้นั คืออะไร
• ตอ่ ไปพจิ ารณาไปยงั กล่มุ ที่สองดว้ ยการประมาณคา่ หลกั สิบของรากท่ีสองของคาตอบจากความรู้

ในตารางที่ 2
ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 หาราที่สองของ 2116
วธิ ีทา - แบ่งกลุม่ ของตวั เลขกลุ่มละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

21 16

กลุ่มที่ 2 กลมุ่ ที่ 1

- หลกั หน่วยของกลุ่มท่ี 1 คือ 6 ดงั น้นั รากท่ีสองตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 4 หรือ 6 (ดูตารางท่ี 1)

- ถดั ไปดูกลุ่มที่ 2 เน่ืองจาก 16  21 25 ดงั น้นั คาตอบหลกั สิบของรากท่ีสองของ 2116

ตอ้ งมีคา่ เท่ากบั 4 (ดูตารางท่ี 2)

- ขณะน้ีเรามีคาตอบสองคาตอบ 2116 = 44 หรือ 46

แต่เรารู้วา่ 452 = 2025 ซ่ึง 2116  2025 จึงสามารถตดั สินใจไดว้ า่ รากท่ีสองของของ 2116

ตอ้ งมากกวา่ 45

ดังน้นั 2116 = 46

134