เวทคณิตประยุกต์

การตดั สินใจเลือกคาตอบท่ถี ูกต้องของการถอดรากท่สี อง ด้วยการนาการยันความถูกต้อง

เนื่องจากการถอดรากท่ีสองดว้ ยวธิ ีสงั เกตคา่ ใกลเ้ คยี ง น้นั เป็นการประมาณคา่ ของรากที่สองของ

จานวนท่ีกาหนดใหน้ ้นั จะอยใู่ นขอบเขตของค่าที่ประมาณสองคา่

ดงั น้นั ถา้ ใชก้ ารยนั ความถูกตอ้ งดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ จะทาให้สามารถเลือกคาตอบที่ถกู ตอ้ งได้

รวดเร็วและแม่นยากวา่ วธิ ีขา้ งตน้

จากตัวอย่างท่ี 1 หาราที่สองของ 2116

ขณะท่ีเราประมาณวา่ มีคาตอบของ 2116 = 44 หรือ 46 สองคาตอบน้ี

การยนั ความถกู ตอ้ งของคาตอบ ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ สามารถดาเนินการไดด้ งั น้ี

2116 = 44 หรือ 46 → 2116 = (44)2 หรือ 2116 = (46)2

คดั ออกเกา้ 1 = (8)2 1 = (1)2

จะเห็นไดช้ ดั เจนวา่ 2116 = 46 เป็นคาตอบที่ถูกตอ้ ง

ตวั อย่างท่ี 2 หาราท่ีสองของ 529

วธิ ที า แบ่งกลุ่มของตวั เลขกลุม่ ละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

5 29
กลุ่มที่ 2 กลมุ่ ที่ 1

- หลกั หน่วยของกลมุ่ ท่ี 1 คือ 9 ดงั น้นั รากที่สองตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 3 หรือ 7

- ถดั ไปดูกลุม่ ที่ 2 เน่ืองจาก 4  5  9 ดงั น้นั คาตอบหลกั สิบของรากท่ีสองของ 529 ตอ้ งมีคา่ เท่ากบั 2

- ขณะน้ีเรามีคาตอบสองคาตอบ 529 = 23 หรือ 27 แตเ่ รารู้วา่ 252 = 625 ซ่ึง 625  529 จึง

สามารถ ตดั สินใจไดว้ า่ รากท่ีสองของของ 529 ตอ้ งนอ้ ยกวา่ 25

ดังน้นั 529 = 23

หรือ ใชว้ ธิ ีการยนั ความถูกตอ้ งของคาตอบ ดว้ ยวิธีคดั ออกเกา้ ไดด้ งั น้ี

529 = 23 หรือ 27 → 529 = (23)2 หรือ 529 = (27)2

คดั ออกเกา้ 7 = (5)2 7 = (0)2

= 25 → 7

ดังน้นั 529 = 23

ตวั อย่างท่ี 3 หาราที่สองของ 5184

วธิ ที า - แบง่ กลุม่ ของตวั เลขกลมุ่ ละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

51 24

กล่มุ ที่ 2 กล่มุ ท่ี 1
- หลกั หน่วยของกลมุ่ ที่ 1 คือ 4 ดงั น้นั รากที่สองตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 2 หรือ 8 (ดูตารางที่ 1)
- ถดั ไปดูกลุ่มที่ 2 เนื่องจาก 49  51 64 ดงั น้นั คาตอบหลกั สิบของรากท่ีสองของ 5184 ตอ้ งมีค่า
เทา่ กบั 7 (ดูตารางท่ี 2)

135

- ขณะน้ีเรามีคาตอบสองคาตอบ 5184 = 72 หรือ 78 เรารู้วา่ 752 = 5625 ซ่ึง 5184  5625 จึง

สามารถตดั สินใจไดว้ า่ รากท่ีสองของของ 5184 ตอ้ งนอ้ ยกวา่ 75

ดงั น้นั 5184 = 72

หรือ ใชว้ ธิ ีการยนั ความถูกตอ้ งของคาตอบ ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ ไดด้ งั น้ี

5184 = 72 หรือ 78 → 5184 = (72)2 หรือ 5184 = (78)2

คดั ออกเกา้ 0 = (0)2 0 = (6)2

ดังน้นั 5184 = 72

ตัวอย่างที่ 4 หาราท่ีสองของ 9216

วิธที า - แบ่งกลมุ่ ของตวั เลขกลุ่มละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

92 16

กลุม่ ท่ี 2 กลุ่มที่ 1

- หลกั หน่วยของกลุ่มที่ 1 คือ 6 ดงั น้นั รากท่ีสองตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 4 หรือ 6 (ดูตารางท่ี 1)

- ถดั ไปดูกลมุ่ ท่ี 2 เนื่องจาก 81 92 100 ดงั น้นั คาตอบหลกั สิบของรากที่สองของ 9216 ตอ้ งมี

คา่ เทา่ กบั 9 (ดูตารางที่ 2)

- ขณะน้ีเรามีคาตอบสองคาตอบ 9216 = 94 หรือ 96

แตเ่ รารู้วา่ 952 = 9025 ซ่ึง 9025  9216 จึงสามารถตดั สินใจไดว้ า่ รากท่ีสองของของ 9025 ตอ้ ง

มากกวา่ 95 ดังน้นั 9216 = 96

หรือ ใชว้ ิธีการยนั ความถกู ตอ้ งของคาตอบ ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ ไดด้ งั น้ี

9216 = 94 หรือ 96 → 9216 = (94)2 หรือ 9216 = (96)2

คดั ออกเกา้ 0 = (4)2 0 = (6)2 → 36 → 0

ดังน้นั 9216 = 96

ตัวอย่างที่ 4 หาราที่สองของ 676

วิธีทา - แบง่ กลุ่มของตวั เลขกลมุ่ ละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

06 76

กล่มุ ที่ 2 กล่มุ ท่ี 1

- หลกั หน่วยของกลมุ่ ที่ 1 คือ 6 ดงั น้นั รากที่สองตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 4 หรือ 6 (ดูตารางที่ 1)

- ถดั ไปดูกล่มุ ท่ี 2 เน่ืองจาก 4  6  9 ดงั น้นั คาตอบหลกั สิบของรากที่สองของ 676 ตอ้ งมีค่า

เทา่ กบั 2 (ดูตารางท่ี 2)

- ขณะน้ีเรามีคาตอบสองคาตอบ 676 = 24 หรือ 26

ดว้ ยวธิ ีการยนั ความถูกตอ้ งของคาตอบ ดว้ ยวธิ ีคดั ออกเกา้ ไดด้ งั น้ี

676 = 24 หรือ 26 → 676 = (24)2 หรือ 676 = (26)2

คดั ออกเกา้ 1 = (6)2 → 36 → 0 1 = (8)2 → 64 →1 ดงั น้นั 676 = 26

136

5.1.2 การถอดรากทสี่ องของจานวนท่ปี ระกอบด้วยเลข 5 - 6 หลกั ด้วยวธิ ีสังเกตค่าใกล้เคยี ง
หรือการถอดรากท่สี องด้วยวธิ วี โิ ลกนมั
(Exact square root of 5-6 digits by Vilokanam method)

หลกั การ ดงั น้ี
• แบง่ กลุ่มของตวั เลขกลุม่ ละสองตวั จากขวาไปซา้ ย ในกรณีน้ีเราจะแบ่งไดส้ ามกลมุ่ เราจะแทน
กลุม่ ทางซา้ ยดว้ ย L กลุ่มตรงกลางดว้ ย M และกลุ่มทางขวาสุดดว้ ย R
• กล่มุ แรก (L) และกลุ่มท่ีสาม (R) จะใหผ้ ลลพั ธห์ ลกั ร้อยและหลกั หน่วยของคาตอบของรากที่
สองจานวนที่กาหนดใหต้ ามความรู้จากตารางที่ 1 และตารางท่ี 2 จะช่วยเราตดั สินใจไดว้ า่ คาตอบ
หลกั ร้อยและหลกั หน่วยของรากท่ีสองจานวนน้นั คอื อะไร
• ต่อไปพจิ ารณายงั กลุม่ ที่สองดว้ ยการประมาณค่าหลกั สิบของรากที่สองของคาตอบจากความรู้ใน
ตารางที่ 2

ดังตวั อย่างต่อไปนี้
ตวั อย่างท่ี 1 หาราที่สองของ 692224
วิธที า - แบ่งกลุม่ ของตวั เลขกลุ่มละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

69 22 24

L MR
- เน่ืองจากหลกั หน่วยของกลุ่ม (R) ของจานวนท่ีกาหนดให้ ท่ีเป็นตวั สุดทา้ ย คือ 4 ดงั น้นั รากท่ีสอง
จะตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย 2 หรือ 8 (ดูตารางที่ 1)
- 69 ท่ีอยใู่ นกลมุ่ ทางซา้ ยถดั ซ่ึงมีคา่ 64  69  81 ดงั น้นั L = 8 (ดูตารางท่ี 2)
- จากน้ี นา L2 ไปลบกลุ่มทางซา้ ย และชกั ตวั เลขที่อยตู่ วั ถดั ไปของตวั ต้งั กจ็ ะไดต้ งั ต้งั ใหม่คอื 52
ดงั วิธีการขา้ งล่างน้ี

69 22 24
−82 ชกั ตวั เลขที่อยตู่ วั ถดั ไปของตวั ต้งั

5 2 ตวั ต้งั ใหม่ (new dividend)

- เปรียบเทียบตวั ต้งั ใหม่กบั 2LM = 28M =16M
แทนคา่ ของ M ท่ีเป็นไปไดท้ าใหม้ ีค่าใกลเ้ คยี งกบั ตวั ต้งั ใหม่ (52) นนั่ คอื M = 3 , 163 = 48  52

หรือ M = 4 , 16 4 = 64  52
แสดงวา่ M = 3
- ดงั น้นั รากที่สองของ 692224 มีไดส้ องกรณี คอื

692224 = 832 หรือ 838

137

- ใชก้ ารยนั ความถกู ตอ้ งดว้ ยวิธีการคดั ออกเกา้ (9) ตรวจสอบคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่

ผลบวกเลขโดดของ 692224 ผลบวกเลขโดดของ (832)2 ผลบวกเลขโดดของ (838)2

6+9+2+2+2+4=7 7 1

ดงั น้นั 692224 = 832 เป็นคาตอบ

ตัวอย่างที่ 2 หาราท่ีสองของ 103041

วธิ ีทา - แบ่งกลุม่ ของตวั เลขกลุ่มละสองตวั จากขวาไปซา้ ย

10 30 41

L MR
- เน่ืองจากหลกั หน่วยของจานวนท่ีกาหนดใหท้ ่ีเป็นตวั สุดทา้ ย คือ 1 ดงั น้นั รากท่ีสองจะตอ้ งลงทา้ ยดว้ ย
ดว้ ย 1 หรือ 9 (ดูตารางที่ 1)
- 10 ท่ีอยใู่ นกลมุ่ ทางซา้ ยถดั ซ่ึงมีค่า 32 10  42 ดงั น้นั L = 3 (ดูตารางที่ 2)
- จากน้ี นา L2 ไปลบกลุ่มที่ 1 ทางซา้ ย และชกั ตวั เลขที่อยตู่ วั ถดั ไปของตวั ต้งั กจ็ ะไดต้ งั ต้งั ใหมค่ อื 13
ดงั วธิ ีการขา้ งลา่ งน้ี

10 30 41
−32 ชกั ตวั เลขท่ีอยตู่ วั ถดั ไปของตวั ต้งั

1 3 ตวั ต้งั ใหม่ (new dividend)

- เปรียบเทียบตวั ต้งั ใหม่กบั 2LM = 23M = 6M

แทนคา่ ของ M ที่เป็นไปไดท้ าใหม้ ีคา่ ใกลเ้ คยี งกบั ตวั ต้งั ใหม่ (13) นนั่ คือ M = 2 , 62 =12 13

หรือ M = 3 , 63 =18 13

แสดงวา่ M = 2

- ดงั น้นั รากท่ีสองของ 692224 มีไดส้ องกรณี คือ 103041 = 321 หรือ 329

- ใชก้ ารยนั ความถกู ตอ้ งดว้ ยวธิ ๊การคดั ออกเกา้ ( 9) ตรวจสอบคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่

ผลบวกเลขโดดของ 103041 ผลบวกเลขโดดของ (321)2 ผลบวกเลขโดดของ (329)2

1+0+3+0+ 4+1= 0 0 7

ดงั น้นั 103041 = 321 เป็นคาตอบ

การถอดรากทส่ี องด้วยวิธสี ังเกตค่าใกล้เคยี ง

ในเวทคณิตคอื การถอดรากที่สองดว้ ยอุปสูตรท่ี 12 วิโลกนมั

(Upasutra 12. vilokanam - By mere observation = उपसतू ्र १२. )विलोकनं
วิโลกน น. อาโลก การดู การสงั เกต การพิจารณา

Vilokana n. noticing, becoming aware of, regarding, looking for, act of looking or seeing

https://kosha.sanskrit.today/word/en/vilokana/th

138

5.2. การถอดรากที่สองด้วยวิธีทวคิ ูณ (Duplex Method)

หลกั การ ดงั น้ี

• แบ่งกลมุ่ ของตวั เลขกลมุ่ ละสองตวั ของจานวนที่กาหนดใหจ้ ากขวาไปซา้ ย และถา้ ในกรณีท่ีกลมุ่

สุดทา้ ยมีตวั เหลืออยตู่ วั เดียวก็ใหน้ บั เป็นกลุ่มหน่ึงเช่นเดียวกนั

• จานวนตวั เลขแต่ละหลกั ในรากท่ีสองจะเท่ากบั จานวนกลุ่มตวั เลขของจานวนท่ีกาหนดใหใ้ นการ

ถอดรากน้นั รวมท้งั กล่มุ ที่มีเลขโดดตวั เดียวดว้ ย

• ถา้ รากท่ีสองของจานวนท่ีกาหนดใหป้ ระกอบดว้ ยตวั เลข n ตวั แลว้ จานวนที่กาหนดใหน้ ้นั

จะตอ้ งประกอบดว้ ยตวั เลข 2n หรือ 2n −1 ตวั

• ในทางกลบั กนั ถา้ จานวนที่กาหนดใหม้ ีตวั เลข n ตวั แลว้ รากท่ีสองของจานวนท่ีกาหดใหน้ ้ี

จะตอ้ งประกอบดว้ ยตวั เลข n/2 หรือ (n +1) / 2 ตวั

• กลุ่มของตวั เลขของจานวนท่ีกาหนดใหห้ าราท่ีสองจะถูกนาไปเขยี นในช่องตามแนวนอนและ

แนวต้งั ดงั แสดงในตวั อยา่ งต่อไปน้ี

วธิ กี ารดาเนนิ ถอดรากทส่ี องด้วยวิธที วิคูณ

วิธีการของหารากท่ีสองดว้ ยวธิ ีทวิคูณ (Duplex Method) กง็ า่ ยเช่นเดียวกบั วธิ ีการหารตรงหรือ

การหารยกธง (Straight Division or Flag Division) ในเวทคณิต ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 1 หาค่าของ 529 ดว้ ยวธิ ีทวคิ ูณ

วธิ ที า ดาเนินการดงั น้ี

• จดั กล่มุ ของตวั เลขของตวั ต้งั 5 29 โดยแบ่งกลุ่มละตวั จากขวาไปซา้ ยและขดี เส้นใตแ้ ต่ละ

กลมุ่ เป็นสญั ลกั ษณ์ ตามหลกั การขา้ งตน้

• เขยี นตวั ต้งั ใส่ลงในช่องตามแนวนอนและแนวต้งั ดงั แสดงขา้ งล่างน้ี

ตวั หาร 5 2 9 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ

Q

หมายเหตุ Q คือผลหาร (Quotient)
• หาเลขที่ยกกาลงั สองแลว้ มีค่าใกลเ้ คียง 5 มากที่สุด เนื่องจาก 4 = 22  5  32 แสดงวา่ 2
เป็นคาตอบตวั แรกของรากท่ีสอง นาไปใส่ในช่องผลหาร หาสองเท่าของคาตอบตวั แรกน้ีคอื
22 = 4 แลว้ นาไปใส่ในช่องตวั หารเช่นเดียวกบั การหารยกธง

4 5 2 9 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

Q2 ตวั ต้งั สุทธิ

139

• หาเศษเหลือ = 5− 22 =1 นา 1 ไปเขยี นเศษเหลือใส่หอ้ ยไวข้ า้ งใตต้ วั เลขถดั ไปของตวั ต้งั จะ
ไดต้ งั ต้งั เริ่มตน้ =12 ซ่ึงยงั ไมม่ ีการลบท้งั สิ้น

4 5 12 9 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

Q2 ตวั ต้งั สุทธิ

• หาร 12 ดว้ ย 4 ผลหารได้ 3 (12 4 = 3) เศษเหลือ เทา่ 0 นาผลหารน้ีไปใส่ ในช่องของ
ผลหาร ส่วนเศษเหลือนาไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั ถดั ไป จะได้ 09 ไดเ้ ป็นตวั
ต้งั ข้นั ตน้ (gross dividend) ดงั ท่ีแสดงในตวั อยา่ ง

4 5 12 09 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

9 ตวั ต้งั สุทธิ

0

Q 2 3. 0

• ต้งั ข้นั ตน้ 09 น้ีถกู ลบตวั ต้งั ดว้ ยกาลงั สองของผลหารท่ีไดม้ าจากข้นั ที่แลว้ คอื 32

09 − 32 = 0

กจ็ ะได้ 0 ตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND) ซ่ึงเมื่อนา 4 ไปหาร 0 ไดผ้ ลหารเทา่ กบั 0

เมื่อไมม่ ีตงั ต้งั หารต่อไปแลว้ แสดงวา่ รากท่ีสองของ 529 คือ 23  529 = 23

ตวั อย่างที่ 2 หารากท่ีสองของ 4225 ดว้ ยวธิ ีทวคิ ณู

วธิ ที า จดั กล่มุ ของตวั เลขของตวั ต้งั 42 25

เขยี นตวั ต้งั ใส่ลงในช่องตามแนวนอนและแนวต้งั ดงั แสดงขา้ งลา่ งน้ี

ตวั หาร 42 25 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

ตวั ต้งั สุทธิ

Q

• หาเลขท่ียกกาลงั สองแลว้ มีค่าใกลเ้ คยี ง 42 มากที่สุด เนื่องจาก 62 = 36  42  49 = 72
แสดงวา่ คาตอบตวั แรกของรากท่ีสอง คือ 6 นาไปใส่ในช่องผลหาร หาสองเท่าของคาตอบ
ตวั แรก คือ 26 =12 แลว้ นาไปใส่ในช่องตวั หาร

12 42 25 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ
Q6

หาเศษเหลือ = 42 − 62 = 6

140

• เขยี นเศษเหลือ 6 ใส่ขา้ งใตต้ วั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คอื 2 จะได้ 62 เป็นตวั ต้งั เริ่มตน้

12 42 6 2 5 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ

Q6

• หาร 62 ดว้ ย 12 ผลหารได้ 5 เศษเหลือ 2 (62 12 = 5+ (2 /12)) นาผลหารน้ีไปใส่ ใน
ช่องของผลหาร ส่วนเศษเหลือ 2 นาไปใส่ขา้ งใตต้ วั เลขถดั ไปของตวั ต้งั ได้ 25 เป็นตวั ต้งั
ข้นั ตน้

12 42 6 2 25 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ

Q 6 5. 0

• ตวั ต้งั ข้นั ตน้ 25 ลบตวั ต้งั น้ีดว้ ยกาลงั สองของผลหาร = 25−52 = 0 กจ็ ะไดต้ วั ต้งั สุทธิ
(Net Dividend = ND) คือ 0 หาร 0 ดว้ ย 12 ผลหารได้ 0 เศษเหลือ แสดงวา่ เกิดการหารลงตวั

12 42 6 2 25 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

25 ตวั ต้งั สุทธิ

0

Q 6 5. 0

ตอบ รากที่สองของ 4225 คอื 65
ตวั อย่างท่ี 3 หารากที่สองของ 20736 ดว้ ยวธิ ีทวคิ ูณ
วิธที า จดั กลมุ่ ของตวั เลขของตวั ต้งั 2 07 36
เขยี นตวั ต้งั ใส่ลงในช่องตามแนวนอนและแนวต้งั ดงั แสดงขา้ งลา่ งน้ี

ตวั หาร 2 0 7 3 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

ตวั ต้งั สุทธิ

Q

• หาเลขที่ยกกาลงั สองแลว้ มีค่าใกลเ้ คยี ง 2 มากท่ีสุด เนื่องจาก 12  2  22 แสดงวา่ 1 เป็น
คาตอบตวั แรกของรากที่สอง นา 1 ไปใส่ในช่องผลหาร
แลว้ หาสองเท่าของ 1 (21= 2) นา 2 ไปใส่เป็นตวั หาร

141

2 2 07 3 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ

Q1

หา เศษเหลือ = 2 −12 =1

• เขยี นเศษเหลือ 1 หอ้ ยไวข้ า้ งหนา้ ใตต้ วั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 0 จะได้ 10 เป็นตวั ต้งั เริ่มตน้

ซ่ึงยงั ไมม่ ีการลบอะไรท้งั สิ้น

2 2 10 7 3 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ

Q1

• หาร 10 ดว้ ยตวั หาร 2 ผลหารได้ 5 เศษเหลือ 0 นาเศษเหลือไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขของ
ตวั ต้งั ถดั ไปคือ 7 ได้ 07 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้ แต่ยงั ดาเนินการหารไม่ได้
ตอ้ งหาตวั ต้งั สุทธิ ซ่ึงตวั สุทธิหาไดจ้ าก ตวั ต้งั ข้นั ตน้ ลบดว้ ย ทวิคณู ของคาตอบตวั ท่ีสอง คอื 5
ทวิคูณของ 5 คือ D(5) = 52 = 25 นาไปลบตวั ต้งั ข้นั ตน้ 07 เป็นตวั ต้งั สุทธิ แต่พบวา่ มี
ค่าติดลบ ซ่ึงเศษเหลือตอ้ งเป็นจานวนบวก ดงั น้นั ตอ้ งลดค่าใหน้ อ้ ยกวา่ 5 ไปอีกหน่ึงค่าคือ 4

2 2 10 07 3 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ
25

−18

Q 15

ดงั น้นั ผลหารใหม่ คือผลหารคอื 104 = 2 เศษเหลือคอื 2 นา 2 ไปเขยี นหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลข
ถดั ไปของตวั ต้งั เป็น 27 ไดเ้ ป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้

2 2 10 27 3 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

Q 14 ตวั ต้งั สุทธิ

• ตวั ต้งั ข้นั ตน้ 27 ลบตวั ต้งั น้ีดว้ ยทวิคูณของ 4 = D(4) = 42 =16
จะไดต้ วั ต้งั สุทธิ = 27 − 42 =11 (11 เป็นตวั ต้งั สุทธิ)
หารตวั ต้งั สุทธิ 11 ดว้ ย 2 และเขยี นผลหาร 112 = 5 และเศษเหลือ 1 นาไปเขยี นหอ้ ยไว้
ขา้ งลา่ งหนา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 3 กจ็ ะไดต้ วั ต้งั ข้นั ตน้ คือ 13

142

2 2 10 27 13 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ
16

11

Q 1 45

• ตวั ต้งั ข้นั ตน้ =13 หาตวั ต้งั สุทธิ
ตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND) =13− (ทวคิ ณุ ของ 45 = D(45) )

=13− (2 45) = −27  0

พบวา่ ตวั ต้งั สุทธ์ิมีค่าเป็นลบ ดงั น้นั 5 ที่ไดจ้ ากการหารข้นั ท่ีแลว้ จึงไมใ่ ช่ผลหารท่ีถกู ตอ้ ง
จะตอ้ งแกไ้ ขผลหารใหม่โดยลดค่าจาก 5 ไปหน่ึงคา่ คอื 4 ผลหารใหม่ คือ 114 = 2 และเศษ
เหลือคือ 3 นาไปเขียนหอ้ ยขา้ งหนา้ 3 ได้ 33 เป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้

2 2 10 27 33 6 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ
16

11

Q 1 44

• ตวั ต้งั ข้นั ตน้ = 33 หาตวั ต้งั สุทธิ
ตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND) = 33− (ทวคิ ุณของ 44 = D(44))

= 33− (2 4 4) =1  0

หาร 1 ดว้ ย 2 ไดผ้ ลหาร 0 และเศษเหลือ 1 แลว้ ใส่ ที่ช่องผลหาร ส่วนเศษเหลือเขยี นหอ้ ยไว้
ที่ตวั เลขของตวั ต้งั ถดั ไป ได้ 16 เป็นเป็นตวั ต้งั ข้นั ตน้

2 2 10 27 33 16 ตวั ต้งั ข้นั ตน้

16 32 ตวั ต้งั สุทธิ

11 1
Q 1 440

• จากตวั ต้งั ข้นั ตน้ 16 นาไปหาตวั ต้งั สุทธิ
ตวั ต้งั สุทธิ (Net Dividend = ND) =16 − (ทวิคณุ ของ 440 = D(440) )

=16 − (2 40 + 42) = 0

หาร 0 ดว้ ย 2 ไดผ้ ลหาร 0 และเศษเหลือ 0 แลว้ ใส่ ที่ช่องผลหาร
เนื่องจากไมม่ ีตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั แลว้ แสดงวา่ เกิดการหารลงตวั

2 2 10 27 33 16

16 32 16

11 1 0

Q 1 4 4 0 0 ตอบ รากท่ีสองของ 20736 คอื 144.00

143

ตัวอย่างที่ 3 หารากที่สองของ 45319824

วธิ ีทา 12 45 9 3 91 6 9 38 1 2 0 4 ตวั ต้งั ข้นั ตน้
ตวั ต้งั สุทธิ
49 42 37 12 4

42 27 1 0 0

Q 6 7 3 2. 0 0 0

ข้นั ตอนการถอดรากท่ีสอง
• แบ่งกลุม่ ตวั เลขของตวั ต้งั กลุ่มละสองตวั จากขวาไปซา้ ย ในตวั อยา่ งน้ีพบวา่ มี 4 กลุ่ม พอดีแสดง
วา่ คาตอบของรากทีสองท่ีเป็นจานวนเตม็ ตอ้ งมี 4 ตวั (8/2=4)
• ตวั เลขกลุ่มแรก (45) หาจานวนที่ยกกาลงั สองแลว้ มีคา่ ใกลเ้ คยี งมากท่ีสุด ในจานวนน้ีคือ
62 = 36 เพราะวา่ 52  62  72 ดงั น้นั คาตอบตวั แรกของรากท่ีสอง คือ 6
• 6 ท่ีไดน้ ้ีคูณดว้ ย 2 : 62 =12 แลว้ จะกาหนด 12 เป็นตวั หารในการหารากท่ีสองน้ี
• นา 45−62 = 9 ได้ 9 เป็นเศษเหลือน้ี นาไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ใตเ้ ลข 3 ได้ 93 ตวั ต้งั เริ่มตน้
• หารต้งั เริ่มตน้ 93 ดว้ ยตวั หาร 12 ผลหาร 9312 = 7 และเศษเหลือ (R) = 9 นาเศษเหลือ 9
ไปเขยี นหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 1
ไดต้ วั ต้งั ข้นั ตน้ คือ 91 แต่ยงั หารตอ่ ไม่ได้ ตอ้ งหาตวั ต้งั สุทธิเหมือนการหารตรง
โดย ตวั ต้งั สุทธิ = ตวั ต้งั ข้นั ตน้ – ค่าของทวคิ ูณของผลหารที่ไดม้ าก่อน
ในกรณีน้ี ผลหารท่ีไดม้ าก่อนเป็นตวั แรก คอื 7 ดงั น้นั D(7) = 72 = 49
เพราะฉะน้นั ตวั ต้งั สุทธิ เท่ากบั 91− 49 = 42
• หาร 42 ดว้ ย 12 ผลหาร 42 12 = 3 และเศษเหลือ (R) = 6 นาเศษเหลือ 6
ไปเขียนหอ้ ยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั 9
ไดต้ วั ต้งั ข้นั ตน้ คอื 69 แตผ่ ลหารที่ไดม้ าก่อน คือ 73 ดงั น้นั D(73) = 273
หาตวั ต้งั สุทธิเท่ากบั 69 − D(73) = 69 − (273) = 27
• หาร 27 ดว้ ย 12 ผลหาร 27 12 = 2. และเศษเหลือ (R) = 3 นาเศษเหลือ 3 ไปเขยี นหอ้ ยไว้
หนา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 8 ไดต้ วั ต้งั ข้นั ตน้ คือ 38 (เนื่องจากคาตอบขอ้ น้ีตอ้ งท่ีเป็น
จานวนเตม็ 4 ตวั นน่ั คือการหาคาตอบตอ่ ไปจะตอ้ งเป็นทศนิยม)
แต่ผลหารที่ไดม้ าก่อหนา้ น้ีคือ 732 ดงั น้นั D(732) = 272 + 32
หาตวั ต้งั สุทธิ 38− D(732) = 38 − 272 −32 =1
• หาร 1 ดว้ ย 12 ผลหาร 112 = 0 และเศษเหลือ (R) =1 นาเศษเหลือ 1 ไปเขยี นหอ้ ยไวห้ นา้
ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 2 ไดต้ วั ต้งั ข้นั ตน้ คอื 12
แตผ่ ลหารที่ไดม้ าก่อนหนา้ น้ีคอื 7320 ดงั น้นั D(7320) = 270 + 232
หาตวั ต้งั สุทธิ 12 − D(7320) =12 − 270 − 232 = 0

144

• หาร 0 ดว้ ย 12 ผลหาร 012 = 0 และเศษเหลือ (R) = 0 นาเศษเหลือ 0 ไปเขยี นหอ้ ยไว้
หนา้ ตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั คือ 4 ไดต้ วั ต้งั ข้นั ตน้ คือ 04
แต่ผลหารท่ีไดม้ าก่อนหนา้ น้ีคือ 73200 ดงั น้นั D(73200) = 270 + 230 + 22
หาตวั ต้งั สุทธิ 04 − D(73200) =12 − 270 − 230 − 22 = 0

• หาร 0 ดว้ ย 12 ผลหาร 0 12 = 0 และเศษเหลือ (R) = 0
เนื่องจากตวั เลขถดั ไปของตวั ต้งั ไม่มีแลว้ แสดงวา่ การหารสิ้นสุดและเป็นการหารลงตวั

เพราะฉะน้นั รากท่ีสองของ 45319824 เท่ากบั 6732
พสิ ูจน์เชิงพชี คณติ
1. (102a +10b + c)2 =104a2 + 2103ab +102b2 + 2 102ac + 2 10bc + c2

2a a2 2ab b2 + 2ac 2bc c2

Q a b c. 0 0

2. (103a +102 b +10c + d)2 =106a2 + 2105ab +104b2 + 2 104ac + 2 103bc + 2 103ad

+2102 bd +102c2 + 210cd + d2

2a a2 2ab b2 + 2ac 2bc + 2ad 2bd + c2 2cd d2
0 0 0
Q ab c d.

ตวั อย่างการถอดรากท่ีสอง
1. 529

45 12 09

D(3)

0

Q 2 3. 0

2. 3249

10 32 7 4 49

D7)

0

Q 5 7. 0

145

3. 4096

12 40 49 16

D(4)

0

Q 6 4. 0

4. 16384 06 23 38 64

21 D(2) D(28) D ( 280 )

Q1 19 6 0

2 8. 0 0

5. 552049 62 60 24 09

14 55 D(4) D(43) D(430)

Q7 44 0 0

4 3. 0 0

6. 6906321 5 9 110 5 6 4 3 12 01

16 69 D(3) D(36) D ( 361) D ( 3610 ) D ( 36100 )

Q8 101 20 1 0 0

3 6 1. 0 0 0

7. 53163214 ทศนิยม 5 ตาแหน่ง

14 53 41 13 6 6 3 13 2 51 7 4 15 0 14 0

D(2) D(29) D(291) D(2913) D(29131) D(291310) D(2913108)

132 27 47 21 15 126 97

Q 7 2 9 1. 3 1 08 5

146

8. 14047504

6 14 5 0 8 4 117 135 7 0 6 4

D(7) D(74) D(748) D(7480) D(74800)

35 61 7 64 64

Q 3 7 4 8. 0 0 0

9. 41254929

12 41 5 2 4 5 5 4 2 9 12 09

D(4) D(42) D(423) D(4230) D(42300)

29 38 1 1 1

Q 6 4 2 3. 0 0 0

10. 738915489 9 45 18 7 40 0

4 7 33 58 5 9 13 1 65 7 4 48 09

Q 27 849 14 113 58 70 48

9 1 3. 00 0

0

11. 25745476

10 25 07 74 45 5 10

74 45 54 57 16

Q 00 49 56 16

5 0 7 4. 0 0 0

12. 45319824

12 45 42 27 10 0

93 9 1 6 9 38 12 0 4

Q 49 42 37 12 4

6 7 3 2. 0 0 0

13. 7457531449

16 74 105 9 7 135 19 3 121 74 74 49

D(6) D(63) D(635) D(6357) D(63570) D(635700) D(6357000)

61 99 124 7 7 4 0

Q 8 6 3 5 7. 0 0 0 0

147

14. 52443907 ทศนิยม 4 ตาแหน่ง

14 52 3 4 6 4 4 3 139 7 0 16 7 14 0 8 0

D(2) D(24) D(241) D(2418) D(24181) D(241816)

60 27 119 30 98 48

Q 7 2 4 1. 8 1 6 5

15. 732108 ทศนิยม 4 ตาแหน่ง

16 73 9 2 121 16 0 14 8 15 0 12 0 24 0

D(5) D(55) D ( 556 ) D ( 5563) D ( 55633) D ( 556330 )

96 110 63 60 24 174

Q 8 5 5. 6 33 0 9

16. 18134512

8 18 21 5 3 9 4 10 5 161 17 2 12 0

Q 4 2 5 5. 4 6 3

17. 1387

6 13 48 6 7 6 0 8 0 8 0 12 0 16 0

Q 3 7. 2 4 24 4

18. 7501.71 110 141 .9 7 91 121 10 0

16 75 6. 6 1 2 4

Q8

19. 0.000924016
หมายเหตุ การจดั แบ่งกลมุ่ ตวั เลขของจานวนทศนิยม ใหแ้ บ่งกลุ่มละสองหลงั จุดทศนิยม

ดงั น้นั 0.000924016 = 0.00,09, 24,01,60,00,00,...

6 0.00 .09 0 2 2 4 6 0 61 10 6 10 0

Q 0.0 3 03 9 77

148

20. 16.79 77 7 9 7 0 14 0 19 0 16 0
0
8 16. 97 56

Q4

21. 27.13

10 27. 21 13 9 0 10 0 8 0 16 0 10 0

Q 5 .2 8 6 4 6

22. 0.74107 101 5 0 14 7 19 0 14 0 16 0 16 0

16 .74 608 5 4 2

Q 0.8

23. 19.706412814 18 4

8 19. 3 7 5 0 10 6 10 4 151 17 2 138 261

Q 4. 4 3 9 1 9 0 5 5

24. 27 27. 2 0 10 0 9 0 12 0 17 0 10 0 16 0 12 0
5. 1 9 6 15 23
10

Q

25. 0.09004513

6 .09 0 0 0 0 0 4 4 5 31 13 10
0 0 07 5 2 1
Q 0.3

149

26. 0.0009134

6 0.00 .09 01 13 14 2 0 4 0 2 0 8 0

Q 0.0 3 0 2 2 2 5 08

27. 0.00393 .39 33 9 0 14 0 20 0 24 0 24 0 280
6 268 9 7 1 2
12 0.00

Q 0.0

28. 0.000000831

18 0.00 00 00 83 21 3 0 110 18 0 7 0 6 0
0 9 1 159 2 0
Q 0.0 0

29. 0.000092401

18 0.00 00 00 92 114 6 0 61 13 0 15 0 14 0 24 0 32 0
0 9 6 1 25 4 3 8 8
Q 0.0 0

30. 2.07436

2 2. 10 2 7 33 16

Q 1. 4 4 0 0

150

6.กำลงั สำม

บทนำ

เมื่อจำนวนใด ๆ คูณกบั ตวั มนั เองสำมคร้ังผลคูณท่ีไดจ้ ะถูกเรียกวำ่ “กำลงั สำม” ของจำนวนน้นั
เขียนรูปทว่ั ไป a a a = a3
ตำรำงแสดง กำลงั สำมของจำนวนนบั สิบจำนวนแรก

จำนวน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
กำลงั สำม 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
หมำยเหตุ

เรำคงหลีกเลี่ยงไม่ไดท้ ี่ตอ้ งเหนื่อยในกำรหำกำลงั สำมของจำนวนใด ๆ ยง่ิ กำลงั สำมของจำนวนที่มีขนำด

มำก ๆ แลว้ วธิ ีด้งั เดิมตอ้ งคณู จำนวนน้นั ถึงสำมคร้ังหรือใชก้ ำรกระจำยดว้ ยทฤษฎีทวนิ ำม

วธิ หี ำกำลงั สำมของวธิ ดี ้ังเดิม

(988)3 = 988988988

988
988

7904
7904
8892  

976144
 988

7809152

7809152
8785296

964430272

อกี วธิ ีหนึง่ ท่ดี ีกว่ำของวธิ ดี ้ังเดิมโดยกำรคูณข้ำงต้น คอื ใชก้ ำรกระจำยดว้ ยทฤษฎีทวนิ ำม
ในรูปของ (a + b)3 และ (a − b)3 ซ่ึงจะลดเวลำกำรคำนวณไดเ้ ลก็ นอ้ ยเท่ำน้นั
ซึ่งแสดงกำรกระจำยด้วยทฤษฎีทวินำม ได้ดงั นี้

• (988)3 = (1000 −12)3 =10003 − 3(1000)2 12 + 31000(12)2 − (12)3

= 100000000 −36000000 + 432000 −1728

= 964430272

• (108)3 = (100 + 8)3 =1003 + 3(100)2 8 + 3100(8)2 + (8)3

= 1000000 − 240000 +19200 + 512

= 1259712

หมำยเหตุ ใชก้ ำรกระจำย (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

เวทคณิตนำเสนอวธิ ีกำรหำกำลงั สำมท่นี ่ำสนใจไว้สำมวิธี

วิธีหำกำลงั สำมของเวทคณิตใชเ้ วลำอนั ส้นั สองสำมวนิ ำที ไมเ่ หมือนกบั วิธีด้งั เดิม มนั ง่ำย
น่ำสนใจและส้นั กะทดั รัด ลดเวลำไดถ้ ึงหน่ึงในสิบ

สูตรเวทคณติ สำหรับกำรยกกสำม (Vedic Sutra for cubing a number)

1. กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตรค่ำเบ่ียงฐำน (สูตรยำวทูนมั )
2. กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตร์สัดส่วนช่วย (สูตรอำนุรูปเยณะ)
3. กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตร์นิขิลมั

6.1. กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตรค่ำเบี่ยงฐำน

ในเวทคณติ เป็ นกำรยกกำลงั สำมด้วย
สูตร์ยำวทูนัม (Yāvadūnam (यावदनू म)् – By the deficiency)
วิธีกำรยกกำลงั สำมดว้ ยวธิ ีน้ีมีขอ้ จำกดั เหมำะกบั กรณีที่จำนวนมีคำ่ ใกลเ้ ลข ฐำนหลกั (10n เมื่อ n คือ
จำนวนนบั )
หลกั กำรคดิ เป็ นดังนี้
• ตรวจสอบเสียก่อนวำ่ จำนวนท่ีจะยกกำลงั สำมตอ้ งมีคำ่ ใกลฐ้ ำนหลกั (10,100,1000,...) หรือไม่
• สำมำรถหำค่ำเบ่ียงฐำนของจำนวนน้นั ได้
• ในกำรคำนวณน้นั แสดงวิธีหำคำตอบทำไดส้ ำมส่วน ส่วนแรกหำผลบวกสองเทำ่ ของค่ำเบี่ยงฐำน
กบั จำนวนน้นั
• ส่วนที่สอง เทำ่ กบั ผลคณู ของค่ำเบ่ียงฐำนกบั ผลต่ำงของส่วนแรกกบั ฐำนน้นั
• ส่วนท่ีสำมเทำ่ กบั กำลงั สำมของคำ่ เบี่ยงฐำน
ในแง่ทำงคณิตศำสตร์ (Mathematically)
ให้ a เป็นจำนวนที่กำหนดให้ d เป็นค่ำเบ่ียงฐำนของ a กบั ฐำนหลกั แลว้ วธิ ีดำเนินกำรยก
กำลงั สำมสำมำรถสรุปไดด้ งั น้ี a3 = a + 2d [(a + 2d) − ฐำน]  d d3
สังเกต a3 แบง่ คำตอบเป็นสำมส่วน ส่วนที่ 1 = a + 2d

ส่วนที่ 2 = [(a + 2d) − ฐำน]  d
ส่วนที่ 3 = d3

152

ตัวอย่ำงที่ 1 หำกำลงั สำมของ 12
วิธที ำ ในท่ีน้ี (12)3 พบวำ่ a =12 ท่ีกำหนดใหน้ ้นั มีค่ำใกลเ้ คยี งกบั ฐำน 10
ดงั น้นั ฐำน =10 คำ่ เบ่ียงฐำน = d =12−10 = +2
คำตอบส่วนท่ี 1 = a + 2d =12 + 22 =16
คำตอบส่วนที่ 2 = [ (a + 2d) − ฐำน)]  d = [(12 + 22) −10]2 = [16 −10]2 =12
คำตอบส่วนท่ี 3 = d3 = (+2)3 = 8
หำผลรวมท้งั สำมส่วน (12)3 = 16 12 8 =1728
ตัวอย่ำงที่ 2 หำกำลงั สำมของ 96
วธิ ที ำ ในที่น้ี (96)3 ให้ a = 93 ซ่ึงมีค่ำใกลก้ บั ฐำน 100
ดงั น้นั ฐำน =100 ค่ำเบ่ียงฐำน = d = 96 −100 = −04
คำตอบส่วนท่ี 1 = a + 2d = 96 + (2(−04)) = 88
คำตอบส่วนท่ี 2 = (a + 2d) − ฐำน = (88−100)(−04) = 48
คำตอบส่วนที่ 3 = d3 = (−04)3 = −64
หำผลรวมท้งั สำมส่วน (96)3 = 88 48 64 = 884864 = 884736
หมำยเหตุ เนื่องคำ่ ท่ีกำหนดใหม้ ีค่ำใกลฐ้ ำน 100 ดงั น้นั แตล่ ะส่วนของคำตอบตอ้ งเป็นเลขสองหลกั
ตัวอย่ำงที่ 3 หำกำลงั สำมของ 105
วิธีทำ ในที่น้ี (105)3 ให้ a =105 ซ่ึงมีคำ่ ใกลก้ บั ฐำน 100
ดงั น้นั ฐำน =100 ค่ำเบี่ยงฐำนเป็นส่วนเกิน d =105−100 = 05
คำตอบส่วนท่ี 1 = a + 2d =105 + 2(05) =115
คำตอบส่วนที่ 2 = (a + 2d) − ฐำน = (115−100)(05) = 50
คำตอบส่วนท่ี 3 = d3 = (05)3 = 125 = 125
หำผลรวมท้งั สำมส่วน (105)3 = 115 75 125 =1157625 = 884736
พสิ ูจน์ กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตรค่ำเบ่ยี งฐำน ในแง่ทำงคณิตศำสตร์ (Mathematically)

ให้ B คอื ฐำน 10n a จำนวนท่ีกำหนดให้ d คอื ค่ำเบ่ียงฐำน
ดงั น้นั ให้ a = B+ d → a3 = (B + d)3 = B3 + 3B2d + 3Bd2 + d3

= B2(B + 3d) + (3d2)B + d3

= B2((a − d) + 3d) + (3d)dB + d3 เน่ืองจำก B = a − d

= B2(a + 2d) + (B + 3d − B)dB + d3

= B2(a + 2d) + ((a − d) + 3d) − B)dB + d3

= B2(a + 2d) + ((a + 2d) − B)dB + d3

= (a + 2d) / ((a + 2d) − B)d / +d3

153

6.2. กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตร์สัดส่วนช่วย (สูตรอำนุรูปเยณะ)

ในเวทคณิตเป็นกำรยกกำลงั สำมดว้ ยสูตรสดั ส่วนช่วย หรือสูตรอำนุรูปเยณะ สูตรน้ีมีพ้นื ฐำน
ควำมคขิ องลำดบั เรขำคณิต (Geometric progression) กลำ่ วคอื พจนถ์ ดั ไปจะถูกคณู ดว้ ยอตั รำส่วนร่วม
(Constant ratio) คอื r นน่ั คือ ถำ้ พจน์แรกคือ a1 และ เป็นอตั รำส่วนร่วม r แลว้
ลำดบั เรำขำคณิตคอื a1, a1r, a1r2, a1r3,..., a1rn−1
พจน์ท่ี n คอื an = a1rn−1

ถำ้ a,b และ c เป็นลำดบั ส่ีพจน์แรกของเรขำคณิตแลว้
พจน์ท่ีสอง/พจน์ที่หน่ึง = พจน์ท่ีสอง/พจน์ท่ีหน่ึง = อตั รำส่วยร่วม (r)

b = c → b2 = ac
ab

ตวั อยำ่ ง เช่น 1) 2,8,32,...

2) 5, 25,125,625,...

ในตวั อยำ่ ง 1 ) ให้ a1 = 2 และ r = 4 ดงั น้นั an = 2  4n−1 = 22n−1
2 ) ให้ a1 = 5 และ r = 5 ดงั น้นั an = 55n−1 = 5n

หลกั กำรคดิ เป็ นดังนี้

• ข้นั แรก ยกกำลงั สำมของตวั เลขตวั แรก (a) ของจำนวนท่ีจะหำกำลงั สำม และคณู ดว้ ยอตั รำส่วน

ร่วม (r = b / a) ใหไ้ ดจ้ ำนวนสี่พจน์ เขียนอยใู่ นแถวเดียวกนั

• หำผลคูณสองเทำ่ ของพจนท์ ่ีสองและพจน์ท่ีสำมแลว้ เขยี นลงในบนั ทดั ท่ีสองใตพ้ จนท์ ่ีสองและ

พจนท์ ี่สำมน้นั ตำมลำดบั

• ข้นั สุดทำ้ ยหำผลบวกของสองจำนวนท้งั สองบรรทดั น้นั

จำกข้นั ตอนขำ้ งตน้ สำมำรถสรุปใหช้ ดั เจนดงั ตำรำงขำ้ งลำ่ งน้ี

พจนท์ ่ี 1 พจน์ท่ี 2 พจน์ท่ี 3 พจนท์ ี่ 4

(ab)3 = a3 a2b ab2 b3

+ 2a2b 2ab2 b3
a3 3a2b 3ab2

หมำยเหตุ จำกในตำรำงเป็นกำรกระจำยตำมทฤษฎีทวินำม (Binomial expansion)

154

วธิ ียกกำลงั สำมดว้ ยสูตรสัดส่วนช่วยน้ีตำมที่อธิบำยกำรกระจำยในตำรำงขำ้ งตน้ เรำสำมำรถ
อธิบำยงำ่ ย ๆ อีกวธิ ีในรูปลำดบั เรขำคณิต ดงั น้ี

(ab)3 = a ar ar2 ar3

+ 2ar 2ar2

a 3ar 3ar2 ar3

ตัวอย่ำง กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตร์สัดส่วนช่วย เป็ นดังนี้

ตัวอย่ำงที่ 1 หำกำลงั สำมของ 12

วิธีทำ ในท่ีน้ี a=1 และ b = 2 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) = 2 /1= 2
จดั รูปแบบกำรคำนวณ ในทำนองเดียวกบั ตำรำงขำ้ งตน้

(12)3 = 1 2 4 8

+4 8

1 6 12 8

เพรำะฉะน้นั (12)3 =1/ 6 /12 / 8 =1728 ดำเนินกำรบวกดว้ ยสูตรศทุ ธะ

(12)3 = 1/ 6/ 2 / 8 = 1728 ดำเนินกำรบวกจำกซำ้ ยไปขวำ
1

สิ่งสำคัญ 1. ถำ้ เรำเร่ิมตน้ ที่ยกกำลงั สำมพจน์แรกแลว้ พจนต์ อ่ ไปคณู ดว้ ยอตั รำส่วนร่วมก็จะได้

พจนท์ ี่ 2 , พจน์ที่ 3 และพจน์ท่ี 4

2. กำรหำผลบวกของอนุกรมเป็นกำรดำเนินกำรหำผลบวกจำกซำ้ ยไปขวำหรือขวำไปซำ้ ย โดย

ท่ีแตล่ ะหลกั ของผลบวกจะไดต้ วั เลขโดดตวั เดียว ส่วนตวั ท่ีถูกทดจะบวกไปบวกกบั หลกั ที่อยตู่ อ่ ไป

ขำ้ งหนำ้ เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ

ตวั อย่ำงที่ 2 หำกำลงั สำมของ 15

วิธีทำ ในที่น้ี a=1 และ b = 5 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) = 5/1= 5
จดั รูปแบบกำรคำนวณ ในทำนองเดียวกบั ตำรำงขำ้ งตน้

(15)3 = 1 5 25 125

+ 10 50

1 15 75 125

เพรำะฉะน้นั (15)3 =1/15 / 75 /125 = 3375
หรือ
(15)3 = 1/ 5/ 5/ 5 = 3375
1 7
2
1

155

หรือ 5 25 125

(15)3 = 1

+ 10 50

1 15 75 125 = 1555 = 337
17 2
1

ตัวอย่ำงที่ 3 หำกำลงั สำมของ 19

วิธีทำ ในที่น้ี a=1 และ b = 9 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) = 9 /1= 9
จดั รูปแบบกำรคำนวณ ในทำนองเดียวกบั ตำรำงขำ้ งตน้

(19)3 = 1 9 81 729

+ 18 162

1 27 243 729 = 17 39 = 6859
24 2
หรือเพรำะฉะน้นั (19)3 =1/ 27 / 243/ 729 = 6859 27
ตัวอย่ำงที่ 4 หำกำลงั สำมของ 32

วธิ ที ำ ในที่น้ี a = 3 และ b = 2 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) = 2 / 3
จดั รูปแบบกำรคำนวณ ในทำนองเดียวกบั ตำรำงขำ้ งตน้

(32)3 = 27 18 12 8

+ 36 24

27 54 36 8 = 7 4 68 = 32768
2530

เพรำะฉะน้นั (32)3 = 27 / 54 / 36 / 8 = 32768

ตวั อย่ำงท่ี 5 หำกำลงั สำมของ 46

วิธที ำ ในที่น้ี a = 4 และ b = 6 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) = 6 / 4

(46)3 = 64 96 144 216

+ 192 288

64 288 432 216 = 48 2 6 = 97336
453 6831
หรือ = 64 288 242
6

= 64 333 3 6

= 97 3

= 97 3 3 6 = 97336

156

ตัวอย่ำงที่ 6 หำกำลงั สำมของ 105
วธิ ีทำ ในท่ีน้ี a =10 และ b = 5 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) = 5 /10

(105)3 = 1000 500 250 125

+ 1000 500

1000 1500 750 125 0005 = 1157625
0052
057 1
11

กำรหำผลบวกจำกตวั อยำ่ งท่ีผำ่ นมำอำจจะมีขอ้ ผิดพลำดไดง้ ่ำยในกรณีตวั เลขที่มีคำ่ มำก ๆ เรำอำจจะ

ปรับปรุงกำรบวกดว้ ยใชค้ ำ่ ประจำตำแหน่งกจ็ ะทำใหง้ ำ่ ยข้ึน ถำ้ จำนวนท่ีกำหนดใหใ้ นกำรยกกำลงั สำม

อยรู่ ะหวำ่ ง 100 ถึง 999 เรำจะเพมิ่ ศูนย์ 1 ,2 และ 3 ตวั หลงั จำนวนในแต่ละหลกั ดงั แสดงต่อไปน้ี

1000000 +150000 + 7500 +125 =1157625

ในกรณีจำนวนท่ีจะยกกำลงั สำมท่ีมีค่ำอยรู่ ะหวำ่ ง 1000 ถึง 9999 เรำจะเพ่ิมศูนย์ 2 ,4 และ 6 ตวั หลงั
จำนวนในแต่ละหลกั ดงั ตวั อยำ่ งตอ่ ไปน้ี
ตวั อย่ำงที่ 6 หำกำลงั สำมของ 1001

วธิ ีทำ ในท่ีน้ี a =100 และ b =1 ดงั น้นั r = อตั รำส่วนร่วม (r = b / a) =1/100

(1001)3 = 1000000 10000 100 1

+ 20000 200

1000000 30000 300 1= 0001 = 1003003001
000
003

00

03

0

1

ดงั น้นั (1001)3 = 1000000000+ 3000000+ 3000+ 1 =1003003001

157

6.3 กำรยกกำลงั สำมด้วยสูตร์นิขิลมั
ควำมรู้พืน้ ฐำน เรื่องกำรคูณด้วยสูตรนขิ ลิ มั

ตัวอย่ำงท่ี 1 หำผลคูณของ 9896
วธิ ีทำ 98 − 0 2

96 −04

9 4 / 08 = 9408

ตัวอย่ำงที่ 2 หำผลคณู ของ 989796
วิธีทำ 98 − 0 2

97 −03

96 −04

91/ 26 / 2 4 = 9126 2 4 = 912576

พิจำรณำตวั อยำ่ งน้ีพบวำ่ ท้งั สำมจำนวนมีคำ่ ใกลฐ้ ำน 100 และมีคำ่ เบ่ียงฐำนคือ −02,−03,−04

คำตอบมี 3 ส่วน จะค้นั ดว้ ย เคร่ืองหมำย /

ข้นั ท่ี 1 นำจำนวนหน่ึงในสำมจำนวนที่จะหำผลคณู ไปบวกกบั คำ่ เบี่ยงฐำนของอีกสองจำนวนท่ีเหลือดงั น้ี

98 + (−03) + (−04) = 91

หรือ 97 + (−02) + (−04) = 91
หรือ 96 + (−02) + (−03) = 91 ซ่ึงเป็นคำตอบส่วนแรก
ข้นั ท่ี 2 หำผลบวกของผลคณู แต่ละคู่ของค่ำเบ่ียงฐำนในเชิงกำรจดั หมู่ (combinatorics) คือ

(−02 −03) + (−02 −04) + (−03 −04) = 6 + 8 +12 = 26

ข้นั ท่ี 3 หำผลคูณท้งั สำมของจำนวนเติมเตม็ หรือค่ำเบี่ยงฐำน (−2) (−3) (−4) = −24 = 24
เพรำะฉะน้นั 989796 = 9126 2 4 = 912576
ตัวอย่ำงที่ 3 หำผลคูณของ 102210021011
วิธ๊ทำ 10 2 2 + 0 2 2

1002 + 002
1011 + 011

1035 / 308 / 484 = 1035308484 ดงั น้นั 102210021011=1035308484

158

พจิ ำรณำ จำกทำงซำ้ ย
ส่วนท่ี 1 1022 + 002 + 011=1035 หรือ 1002 + 022 + 011=1035 หรือ 1011+ 002 + 022 =1035
ส่วนท่ี 2 ผลบวกของผลคณู จำนวนเติมเตม็ หรือคำ่ เบ่ียงฐำนเชิงกำรจดั หมู่

(022002) + (022011) + (002011) = 308

ส่วนท่ี 3 ผลคณู จำนวนเติมเต็มหรือคูณค่ำเบี่ยงฐำนของท้งั 3 จำนวน 22211= 484
ตวั อย่ำงท่ี 5 หำผลคณู ของ 10129891009
วธิ ๊ทำ 1012 + 012

0989 − 011

1009 + 009

1010 / 1 2 3 / 1 1 8 8 = 1010 1 2 4 1 8 8 =100987512

พจิ ำรณำ จำกทำงซำ้ ย
ส่วนท่ี 1 1012 + (−011) + 009 =1010 หรือ 0989 + (012) + 009 =1010

หรือ 1009 + (−011) + 012 =1010
ส่วนที่ 2 ผลคณู จำนวนเติมเตม็ หรือค่ำเบ่ียงฐำนเชิงกำรจดั

(012 −011) + (012009) + (−011009) = −123

ส่วนที่ 3 ผลคณู จำนวนเติมเตม็ หรือคำ่ เบี่ยงฐำนท้งั 3 จำนวน 012−011009 = −1188
ดงั น้นั 10129891009 =1009875812
จำกควำมรู้พื้นฐำนกำรคูณด้วยสูตร์นิขมิ ทอ่ี ธบิ ำยมำช้ำงต้นสำมำรถนำไประยุกตใช้กับกำรหำค่ำของเลข
ยกกำลงั สำม ดังมีหลกั กำรคดิ ดงั ต่อไปนี้
หลกั กำรคดิ เป็ นดังนี้

• ข้นั แรก หำคำ่ เบ่ียงฐำนจำกฐำนหลกั (Theoretical Base) หรือฐำนหมนุ เวียน (Working Base)
ของจำนวนท่ีจะยกกำลงั สำม

หมำยเหตุ ถำ้ ฐำนหลกั คอื 10,100,1000,10000,... แลว้ จะมีพหุคณู คอื 1
ส่วนฐำนหมุนเวียน (Working Base) คือพหุคณุ ของฐำนสิบกำลงั เอน็
ดงั น้นั ถำ้ ฐำนหมุ่นเวียน คอื 20,30,40,50,... แลว้ จะมีพหุคณู คอื 2,3,4,5,... ตำมลำดบั

• กำรดำเนินกำรท้งั หมดของกำรยกกำลงั สำมจะเก่ียวกบั ท้งั หมดสำมข้นั ตอนดงั น้ี
(1) (จำนวนท่ีจะยกกำลงั สำม + 2 ค่ำเบ่ียงฐำน)  (พหุคูณ) 2
(2) { 3 (ค่ำเบี่ยงฐำน) 2 }  พหุคูณ
(3) (คำ่ เบ่ียงฐำน) 3

• ถำ้ ไม่มีตวั พหุคณู แลว้ กำรคำนวณจะง่ำยมำก ๆ

159

วิธีกำรดำเนินกำรที่กลำ่ วขำ้ งตน้ แสดงวธิ ีทำไดด้ งั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี
ตัวอย่ำงท่ี 1 หำกำลงั สำมของ 25 ด้วยสูตรนขิ ิลมั
วิธีทำ 25 มีค่ำใกลฐ้ ำนหมุ่นเวยี น 20 (20 = 210) ซ่ึงมีพหุคูณคือ 2
ค่ำเบ่ียงฐำนคือ 25− 20 = 5

 253 = (25 + 25) 22 / (352 ) 2 / 53

=140 /150 /125

=140 /162 / 5

=156 / 2 / 5 =15625

ตัวอย่ำงท่ี 2 หำกำลงั สำมของ 58 ด้วยสูตรนิขลิ มั
วธิ ีทำ 58 มีคำ่ ใกลฐ้ ำนหมุ่นเวียนได้ 2 กรณี
กรณที่ 1 ใกลฐ้ ำนหมุ่นเวียน 60 (60 = 610) ซ่ึงมีพหุคูณคอื 6

ค่ำเบี่ยงฐำนคือ 58−60 = −2 = 2
ดงั น้นั 583 = (58 + 2 2)62 / (3 22 )  6 / 23

=1944 / 72 / 8

=1951/ 2 / 8 =195128 =195112

กรณท่ี 2 ใกลฐ้ ำนหมุ่นเวยี น 50 (50 = 510) ซ่ึงมีฐำนยอ่ ยคือ 5
คำ่ เบี่ยงฐำนคือ 58−50 = +8

ดงั น้นั 583 = (58 + 28)52 / (382)5 / 83

=1850 / 960 / 512

= 1951/ 9 60/ 2
51

= 1850/1/ 2 = 195112
101

ตัวอย่ำงท่ี 3 หำกำลงั สำมของ 98 ด้วยสูตรนิขิลมั

วิธที ำ 98 มีค่ำใกลฐ้ ำนหลกั คือ 100 ค่ำฐำนยอ่ ยคือ 1 คำ่ เบี่ยงฐำนคือ 98−100 = −02 = 02

ดงั น้นั 983 = (98 + 2 02) 12 / (3  2 ) 1 / = 023

02

= 94 /12 / 08

= 941208 = 941192

หมำยเหตุ ในฐำนหลกั คือฐำน 100 กำรคำนวณ แต่ละกำรดำเนินกำรจะตอ้ งประกอบดว้ ยสองหลกั

160

ตวั อย่ำงท่ี 4 หำกำลงั สำมของ 104 ด้วยสูตรนขิ ลิ มั

วิธที ำ 104 มีคำ่ ใกลฐ้ ำนหลกั คอื 100 ค่ำฐำนยอ่ ยคอื 1 ค่ำเบ่ียงฐำนคือ 104−100 = +04

ดงั น้นั 1043 = (104 + 204)12 / (3042)1/ = 043

=112 / 48 / 64 เนื่องจำกฐำนหลกั คือฐำน 100

= 1124864

ตัวอย่ำงท่ี 5 หำกำลงั สำมของ 997 ด้วยสูตรนขิ ิลมั

วิธที ำ 997 มีคำ่ ใกลฐ้ ำนหลกั คือ 1000 ค่ำฐำนยอ่ ยคือ 1 คำ่ เบี่ยงฐำนคือ 997 −1000 = −003 = 003

เนื่องจำก ฐำนหลกั คอื ฐำน 1000 กำรคำนวณ แต่ละกำรดำเนินกำรจะตอ้ งประกอบดว้ ยสำมหลกั

ดงั น้นั 9973 = (997 + 2 003) 12 / (3  2 ) 1 / 3

003 /003

= 991/ 027 / 027
= 911027027 = 911026973

161

7.รากทีส่ าม

บทนา

กำลงั สำมของจำนวนใด ๆ ถกู เขยี นไวใ้ นรูปเลขช้ีกำลงั 3 ดงั น้นั กำลงั สำมของ a คือ a3

สมมุติ a3 = x  1

a = x3 = 3 x

กำรถอดรำกท่ีสำมที่สอนกนั ในโรงเรียนน้นั เรำใชก้ ำรแยกตวั ประกอบของจำนวนน้นั ซ่ึงเป็นวธิ ีท่ี

ใชเ้ วลำนำน ซ่ึงไมเ่ หมำะกบั กำรคดิ เลขเร็ว

สมมุติถำ้ ตอ้ งกำรหำคำ่ ของรำกที่สำมของจำนวนท่ีมีสิบหลกั ข้นึ ไปแลว้ วธิ ีท่ีเรำใชอ้ ยจู่ ะตอ้ งใช้

เวลำ 5-10 นำที แตถ่ ำ้ เรำคุน้ เคยกบั วธิ ีของเวทคณิตแลว้ มนั จะใชเ้ วลำแค่ 20-25 วินำที

ในกำรถอดรำกท่ีสำมของจำนวนท่ีมี 8-9 หลกั ในหนงั สือตน้ ฉบบั ของทำ่ นศรี ภำรติ กฤษณะ ติร

ถะ (Sri Bharati Krishna Tirtha ji พ.ศ. 2427-2503) มีกำรถอดรำกที่สำมท่ีเขียนไวม้ ีรำว 4 หรือ 5 วธิ ี ซ่ึง

จะศึกษำตวั อยำ่ งของกำรถอดรำกที่สำมดงั ตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่าง หำรำกท่ีสำมของ 830584

วธิ ีทา วิธีดงั เดิมใชว้ ธิ ีแจกแจงตวั ประกอบออก

2 592704
2 296352
2 148176
2 74088
2 37044
2 18522
3 9261
3 3087
3 1029
7 343
7 49
77

1

ดงั น้นั 592704 = 222222333777

= 2237
= 84

วิธีของเวทคณิตจะตอบ = 84 ทนั ทีดว้ ยวิธีเพียงสงั เกตหรือพจิ ำรณำเท่ำน้นั
อำรยภฏั (Aryabhata ) นกั คณิตศำสตร์และนกั ดำรำศำสตร์ชำวอินเดีย ไดก้ ล่ำวไวใ้ นหนงั สือ

Ganita Pada ของทำ่ น ถึงวิธีกำรถอดรกที่สำมของจำนวนใด ๆ แต่วธิ ีกำรซบั ซอ้ นเขำ้ ใจยำก
หลกั การเบือ้ งต้นด้วยการตรวจสอบและการพจิ ารณา

(1) กำลงั สำมของจำนวนนบั 1-9 คือ 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 และ 729

(2) ดงั น้นั กำลงั สำมของจำนวนใด ๆ ท่ีแตกต่ำงกนั จะมีคำ่ ของตวั เลขลงทำ้ ยท่ีแตกตำ่ งกนั ไม่
เหมือนกบั กำลงั สองของจำนวนท่ีแตกตำ่ งกนั อำจจะมีค่ำตวั เลขลงทำ้ ยซ้ำกนั ได้

(3) นน่ั คือ ตวั เลขลงทำ้ ยของรำกท่ีสำมของจำนวนที่ถอดรำกที่สำมลงตวั จะมีเพียงคำ่ เดียว ดงั น้ี
ถำ้ กำลงั สำมของจำนวนต่อไปน้ี หลกั หน่วยของรำกที่สำมจะเป็น

00
11
28
37
44
55
66
73
82
99

จากตารางสรุปได้ว่า
(3.1) ถำ้ จำนวนที่จะถอดรำกท่ีสำมมีหลกั หน่วยเป็น 4, 5, 6, 9 และ 0 แลว้ รำกที่สำมของมนั

จะมีตวั เลขหลกั หน่วยเป็นตวั เลขเดียวกนั
(3.2) แต่ถำ้ จำนวนที่จะถอดรำกที่สำมมีหลกั หน่วยเป็น 2, 3, 7 และ 8 แลว้ รำกที่สำมของมนั

จะมีตวั เลขหลกั หน่วยเป็น จำนวนเติมเตม็ สิบ ของตวั เลข 2, 3, 7 และ 8
(4) จำนวนตวั เลขของรำกท่ีสำมจะเท่ำกบั จำนวนกลุ่มตวั เลขกล่มุ ละ 3 ตวั ของจำนวนท่ีกำหนดให้

ถอดรำกที่สำม ซ่ึงครอบคลุมถึงกลุ่มที่มีตวั เลขหน่ึงตวั หรือสองตวั ถำ้ จำนวนท่ีกำหนดใหน้ ้นั มีอยดู่ ว้ ย
(5) ตวั เลขตวั แรกของรำกที่สำมจะหำไดจ้ ำกตวั เลขกลุม่ แรกของจำนวนท่ีกำหนดให้

163

พจิ ารณาจากตารางข้างล่างนี้ ค่ำใกลเ้ คยี งของตวั แรกของรกท่ีสำม
คำ่ ของกลมุ่ แรกทำงซำ้ ยของจำนวนท่ีกำหนดให้
1
1− 7 2
8 − 26 3
27 − 63 4
64 −124 5
125 − 215 6
216 −342 7
343 − 511 8
512 − 728 9
729 −999

(6) ดงั น้นั ตวั เลขตวั แรกและตวั สุดทำ้ ยของรำกที่สำมของจำนวนที่ถอดรำกท่ีสำมลงตวั เป็น
ขอ้ มูลที่เรำเร่ิมตน้ ในกำรถอดรำกท่ีสำม ถำ้ เรำกำหนดสัญลกั ษณ์

F สำหรับตวั เลขตวั แรก
L สำหบั ตวั เลขตวั สุดทำ้ ย และ
n สำหรับจำนวนตวั เลขของคำตอบรำกที่สำมท่ีถอดรำกลงตวั ตำมลำดบั
แลว้ ลองศึกษำตวั อยำ่ งต่อไปน้ี
(1) สำหรับ 226,981 แลว้ F = 6 , L =1 และ n = 2
(2) สำหรับ 4,269,813 แลว้ F =1 , L = 7 และ n = 3
(3) สำหรับ 1,728 แลว้ F =1 , L = 2 และ n = 2
(4) สำหรับ 33,076,161 แลว้ F = 3 , L =1 และ n = 3
(5) สำหรับ 83,453,453 แลว้ F = 4 , L = 7 และ n = 3
(6) สำหรับ 105,823,817 แลว้ F = 4 , L = 3 และ n = 3
(7) สำหรับ 248,858,189 แลว้ F = 6 , L = 9 และ n = 3
(8) สำหรับ 1,548,816,893 แลว้ F =1 , L = 7 และ n = 4
(9) สำหรับ 73,451,930,798 แลว้ F = 4 , L = 2 และ n = 4
(10) สำหรับ 76,928,302,277 แลว้ F = 4 , L = 3 และ n = 4
(11) สำหรับ 6,700,108,456,013 แลว้ F =1 , L = 7 และ n = 5
(12) สำหรับ 62,741,116,007,421 แลว้ F = 3 , L =1 และ n = 5
(13) สำหรับ 91,010,000,000,468 แลว้ F = 4 , L = 2 และ n = 5

164

7.1. ใช้หลกั การทางพชี คณิต

จำนวนเตม็ บวกใด ๆ สำมำรถกระจำยในรูปเลขค่ำประจำตำแหน่งฐำนสิบไดเ้ ช่น
1000d +100c +10b + a เม่ือ a,b,c เป็ นจำนวนเตม็ บวก

สมมุติเรำจะหำกำลงั สำมของจำนวนที่มีสำมหลกั (100c +10b + a) เรำสำมำรถกระจำยในรูปพีชคณิต
สอดคลอ้ งดงั น้ี

(100c +10b + a)3 =1000000c3 + 300000bc2 + 30000b2c + 30000ac2 + 6000abc +1000b3

+300a2c + 300ab2 + 30a2b + a3

เมื่อกระจำยแลว้ ถำ้ ดำเนินกำรแจกแจงตวั ร่วม 10n ( n เป็นจำนวนเตม็ บวก) ในเชิงพชี คณิตแลว้

เรำจะพบวำ่

(1) หลกั หน่วยคือ คอื a3
(2) หลกั สิบคอื 3a2b
(3) หลกั ร้อยคือ 3ab2 + 3a2c
(4) หลกั พนั คอื b3 + 6abc
(5) หลกั หม่ืนคือ 3ac2 + 3b2c

(6) หลกั แสนคอื 3bc2
(7) หลกั ลำ้ นคอื c3

หมายเหตุ (100c +10b + a)3 กระจำยไดท้ ้งั หมด  (3+3)−1  =  5 = 10 พจน์
 3−1   2 

ความหมายของหลกั การ (The Implications of The Principle)

ในกำรวิเครำะห์ลำดบั ของส่วนตำ่ ง ๆ ของกำรกระจำยเชิงพีชคณิตในกำรแทนคำ่ ที่กำหนดให้

ดงั กลำ่ วขำ้ งตน้ เพื่อใหเ้ ขำ้ ใจง่ำยในกำรลดรูปของควำมหมำยของตวั อกั ษร

(1) ในตำแหน่งหลกั หน่วย เรำจะแทนดว้ ย a3 (หรือ L3 , L หมำยถึงตำแหน่งสุดทำ้ ย)
(2) ตำแหน่งหลกั สิบ เรำจะแทนดว้ ย 3a2b (หรือ 3L2M , M หมำยถึงตำแหน่งตรงกลำง ๆ)
(3) ตำแหน่งหลกั ร้อย เรำจะแทนดว้ ย 3ab2 + 3a2c (หรือ 3LM2 + 3L2H , H หมำยถึง
ตำแหน่งหลกั ร้อย)

(4) ตำแหน่งหลกั พนั เรำจะแทนดว้ ย b3 + 6abc เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ

หมายเหตุ ในกรณีกำลงั สำมสมบูรณ์ เรำจะมีควำมรู้เรื่องมำแลว้ ถึงตวั เลขที่ลงทำ้ ยของกำรยกกำลงั สำม

ตวั อยำ่ งต่อไปน้ีจะแสดงถึงกำรถอดรำกท่ีสำมของจำนวนท่ีกำหนดให้

165

ตวั อย่างท่ี 1 หำรำกที่สำมของ 33,076,161 11
วิธีทา ในที่น้ี F = 3 , L =1 และ n = 3 33 076 161
เน่ืองจาก L =1  L3 =1
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 1 (ตดั ออก) 1

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 3M (ลงทำ้ ยดว้ ย 6 ) M = 2 33 076 16
6

ลบออกดว้ ย 3M 33 076 1

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H =12 +3H (ลงทำ้ ยดว้ ย 1)

 3H ตอ้ งเทำ่ กบั 9 ดงั น้นั H = 3 ได้ รำกท่ีสำม = 321

หมายเหตุ จำกตวั อยำ่ งท่ี 1 จะสงั เกตไดว้ ำ่ ข้นั ตอนสุดทำ้ ยท่ีจริงแลว้ แทบจะไมม่ ีควำมจำเป็น เพรำะวำ่

ตวั เลขตวั แรกของรำกท่ีสำมหำไดต้ ้งั แต่ข้นั เริ่มตน้ แลว้

ตวั อย่างที่ 2 หำรำกที่สำมของ 1,728

วธิ ที า ในที่น้ี F =1 , L = 2 และ n = 2

เนื่องจาก คำตอบมีสองหลกั เรำตอบไดเ้ ลย ได้ รำกที่สำม =12

ตัวอย่างท่ี 3 หำรำกท่ีสำมของ 13,824

วิธีทา ในที่น้ี F = 2 , L = 4 และ n = 2

เน่ืองจาก คำตอบมีสองหลกั เรำตอบไดเ้ ลย ได้ รำกที่สำม = 24

ตัวอย่างท่ี 4 หำรำกที่สำมของ 83,453,453

วิธที า ในท่ีน้ี F = 4 , L = 7 และ n = 3 47

เน่ืองจาก L = 7  L3 = 343 83 453 453

ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 343 343

หาหลกั สิบ M : 3L2M =147M (ลงทำ้ ยดว้ ย 1) M = 3 83 453 11
441

ลบออกดว้ ย 147M = 441 83 448 7

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H =189 +147H (ลงทำ้ ยดว้ ย 7 )

 147H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 8 ดงั น้นั H = 4 ได้ รำกท่ีสำม = 437

166

ตัวอย่างที่ 5 หำรำกที่สำมของ 84,604,519 49
วิธีทา ในที่น้ี F = 4 , L = 9 และ n = 3 84 604 519
เนื่องจาก L = 9  L3 = 729
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 729 729

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 243M (ลงทำ้ ยดว้ ย 9 ) M = 3 84 603 79
729

ลบออกดว้ ย 243M = 729 84 596 5

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 243+ 243H (ลงทำ้ ยดว้ ย 5 )

 243H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 2 ดงั น้นั H = 4 ได้ รำกที่สำม = 439

ตวั อย่างท่ี 6 หำรำกที่สำมของ 248,858,189

วิธีทา ในที่น้ี F = 4 , L = 9 และ n = 3 69

เน่ืองจาก L = 9  L3 = 729 248 858 189

ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 729 729

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 243M (ลงทำ้ ยดว้ ย 6 ) M = 2 248 857 46
4 86

ลบออกดว้ ย 243M = 486 248 852 6

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H =108+ 243H (ลงทำ้ ยดว้ ย 6 )

 243H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 6 ดงั น้นั H = 6 ได้ รำกที่สำม = 629

ตวั อย่างที่ 7 หำรำกท่ีสำมของ 105,823,817

วธิ ที า ในท่ีน้ี F = 4 , L = 3 และ n = 3 43

เนื่องจาก L = 3  L3 = 27 105 823 817

ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 27 27

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 27M (ลงทำ้ ยดว้ ย 9 ) M = 7 105 823 79
1 89

ลบออกดว้ ย 27M =189 105 821 9

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 441+ 27H (ลงทำ้ ยดว้ ย 9 )

 27H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 8 ดงั น้นั H = 4 ได้ รำกท่ีสำม = 473

167

ตัวอย่างที่ 8 หำรำกที่สำมของ 143,055,667 53
วธิ ที า ในที่น้ี F = 5 , L = 3 และ n = 3 143 055 667
เนื่องจาก L = 3  L3 = 27
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 27 27

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 27M (ลงทำ้ ยดว้ ย 4 ) M = 2 143 055 64
54

ลบออกดว้ ย 27M = 54 143 055 1

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 36 + 27H (ลงทำ้ ยดว้ ย 1)

 27H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 5 ดงั น้นั H = 3 ได้ รำกที่สำม = 523

ตวั อย่างที่ 9 หำรำกที่สำมของ 76,928,302,277

วธิ ที า ในที่น้ี F = 4 , L = 3 และ n = 4 43

เนื่องจาก L = 3  L3 = 27 76 928 302 277

ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 27 27

76 928 302 25

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 27M (ลงทำ้ ยดว้ ย 5 ) M = 5 1 35

ลบออกดว้ ย 27M =135 76 928 300 9

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 225 + 27H (ลงทำ้ ยดว้ ย 9 )

 27H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 4 ดงั น้นั H = 2 ได้ รำกท่ีสำม = 4253

หมายเหตุ โดยหลกั กำรแลว้ เรำจะตอ้ งตรวจสอบตวั เลขตวั แรกของคำตอบ ดว้ ยกำรลดรูปหำจำกตวั เลข

หลกั พนั ดว้ ยกำรใชก้ ำรกระจำยเชิงพชี คณิตของ (K + H + M + L)3 และวเิ ครำะหส์ ่วนต่ำง ๆ ของหลกั

หน่วย หลกั สิบ หลกั ร้อย หลกั พนั เป็นตน้ ดงั น้นั เรำจะหำหลกั ท่ี 4 ไดจ้ ำก 3L2K + 6LMH + H3

76 928 300 9

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 225 + 27H (ลงทำ้ ยดว้ ย 9 ) 27 9

 27H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 4 ดงั น้นั H = 2 76 928 273

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 = 27K +180 +125

= 27K + 305 (ลงทำ้ ยดว้ ย 3 )

 27K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 4 ดงั น้นั K = 4 ได้ รำกท่ีสำม = 4253

168

ตวั อย่างที่ 10 หำรำกท่ีสำมของ 11,345,123,223 27
วิธีทา ในที่น้ี F = 2 , L = 7 และ n = 4 11 345 123 223
เนื่องจาก L = 7  L3 = 343
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 343 343

หาหลกั สิบ M : 3L2M =147M (ลงทำ้ ยดว้ ย 8 ) M = 4 11 345 122 88
5 88

ลบออกดว้ ย 147M = 588 11 345 117 0

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 336 +147H (ลงทำ้ ยดว้ ย 0 ) 63 0
 147H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 2 ดงั น้นั H = 2 11 345 084

ลบออกดว้ ย 336 +147H = 630

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 =147K + 336 + 64
=147K + 400 (ลงทำ้ ยดว้ ย 4 )

 147K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 4 ดงั น้นั K = 2 ได้ รำกที่สำม = 2247

ตวั อย่างที่ 11 หำรำกที่สำมของ 12,278,428,443

วิธีทา ในท่ีน้ี F = 2 , L = 7 และ n = 4 27

เน่ืองจาก L = 7  L3 = 343 12 278 428 443

ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 343 343

หาหลกั สิบ M : 3L2M =147M (ลงทำ้ ยดว้ ย 0 ) M = 0 12 278 428 10
0

ลบออกดว้ ย 147M = 0 12 278 428 1

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 0 +147H (ลงทำ้ ยดว้ ย 1) 44 1

 147H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 1 ดงั น้นั H = 3 12 278 384

ลบออกดว้ ย 0 +147H = 441

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 =147K + 0 + 0

=147K (ลงทำ้ ยดว้ ย 4 )

 147K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 4 ดงั น้นั K = 2 ได้ รำกที่สำม = 2307

169

ตวั อย่างที่ 12 หำรำกท่ีสำมของ 355,045,312,441 71
วิธีทา ในที่น้ี F = 7 , L =1 และ n = 4 355 045 312 441
เน่ืองจาก L =1  L3 =1
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 1 1

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 3M (ลงทำ้ ยดว้ ย 4 ) M = 8 355 045 312 44
24

ลบออกดว้ ย 3M = 24 = 0 355 045 312 2

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H =192 + 3H (ลงทำ้ ยดว้ ย 2 ) 19 2

 3H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 0 ดงั น้นั H = 0 355 045 293

ลบออกดว้ ย 192 + 3H =192

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 = 3K + 0 + 512

= 3K +512 (ลงทำ้ ยดว้ ย 3 )

 3K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 1 ดงั น้นั K = 7 ได้ รำกที่สำม = 7081

ตวั อย่างท่ี 13 หำรำกที่สำมของ 792,994,219,216 96
วิธที า ในที่น้ี F = 9 , L = 6 และ n = 4 792 994 219 216

เนื่องจาก L = 6  L3 = 216 216
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 216

หาหลกั สิบ M : 3L2M =108M (ลงทำ้ ยดว้ ย 0 ) 792 994 219 00
5 40
M = 0หรือ M = 5 (เรำเส่ียง M = 5 )
792 994 213 6
ลบออกดว้ ย 108M = 540 66 6

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 450 +108H (ลงทำ้ ยดว้ ย 6 ) 792 994 147
 108H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 6 ดงั น้นั H = 2 หรือ 7
ได้ รำกที่สำม = 9256
(เรำเสี่ยง H = 2 ) ลบออกดว้ ย 450 +108H = 666
หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 = 360 +125 +108K

= 485+108K (ลงทำ้ ยดว้ ย 7 )
 108K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 2 ดงั น้นั K = 4 หรือ 9

170

7.2. วิธีการถอดรากท่สี ามท่ดี ีกว่า

วิธีกำรถอดรำกที่สำมที่แสดงมำขำ้ งตน้ ท่ีมีควำมสบั สนเรำสำมำรถลดข้นั ตอนไดอ้ ยำ่ งมีเหตุผลท่ี
สำมรถพิสูจนไ์ ดอ้ ยำ่ งน่ำสนใจ ดว้ ยสติปัญญำท่ีน่ำช้ีชวน ซ่ึงไม่ยำกจนเกินไปและไมน่ ำมธรรม ไม่สบั สน
เขำ้ ใจง่ำย ดงั แสดงดงั ต่อไปน้ี

ทกุ ๆจำนวนท่ีกำหนดใหถ้ ำ้ เป็นจำนวนคู่ ในกำรถอดรำกที่สำม ใหห้ ำรดว้ ย 8 จนกระท้งั เป็น
จำนวนค่ี หลงั จำกน้นั ค่อยดำเนินกำรถอดรำกตำมวิธีท่ีแสดงมำขำ้ งตน้
เช่น หำรำกที่สำมของ 792,994,219,216

8 ) 792 994 219 216

8)99 124 281 152

8)12 390 535 144

1 548 816 893 17
1 548 816 893
ในท่ีน้ี F =1 , L = 7 และ n = 4
343
เน่ืองจาก L = 7  L3 = 343
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 343

หาหลกั สิบ M : 3L2M =147M (ลงทำ้ ยดว้ ย 5 ) M = 5 1 548 816 55
7 35

ลบออกดว้ ย 147M = 735 1 548 809 2

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 525+147H (ลงทำ้ ยดว้ ย 2 ) 67 2

 147H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 7 ดงั น้นั H =1 1 548 742

ลบออกดว้ ย 525+147H = 672

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 = 210 +125 +147K

= 335+147K (ลงทำ้ ยดว้ ย 2 )

 147K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 7 ดงั น้นั K =1 ได้ รำกท่ีสำม =1157

แต่เรำหำร 792,994,219,216 ดว้ ย 888 เพรำะฉะน้นั รำกที่สำม = 9256

หมายเหตุ ท่ีจริงแลว้ ข้นั ตอนสุดทำ้ ยเรำไม่ตอ้ งหำก็ได้ ใชข้ ้นั ตอนท่ี 1 ซ่ึงไดค้ ำตอบเรีบร้อยแลว้

171

ตวั อย่างที่ 14 หำรำกท่ีสำมของ 2,840,362,499,528 12
วธิ ที า ในท่ีน้ี F =1 , L = 2 และ n = 5 1 840 362 499 528
เนื่องจาก L = 2  L3 = 8
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 8 8

หาหลกั สิบ M : 3L2M =12M (ลงทำ้ ยดว้ ย 8 ) 1 840 362 499 52
72

M =1 หรือ M = 6 (เรำเส่ียง M = 6 ) 1 840 362 498 8

ลบออกดว้ ย 12M = 72

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H = 216 +12H (ลงทำ้ ยดว้ ย 8 ) 22 8

 12H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 2 ดงั น้นั H =1 หรือ 6 1 840 362 476

(เรำเสี่ยง H =1 ) ลบออกดว้ ย 216 +12H = 228

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 =12K + 72 + 216

=12K + 288 (ลงทำ้ ยดว้ ย 6 )

 12K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 8 ดงั น้นั K = 4 หรือ 9

หาหลกั หม่ืน G : เนื่องจำกเป็ นกำรแจกแจง (a + b + c + d)4

ซ่ึงตอ้ งแจกแจงได้ 35 พจน์ แตโ่ ดยประจกั ษ์ แลว้ G =1 ดงั น้นั รำกท่ีสำม =14162

แตเ่ น่ืองจำกจำนวนท่ีกำหนดใหเ้ ป็นจำนวนคู่ เรำควรลดรูปดว้ ยกำรหำรดว้ ย 8

จะช่วยใหก้ ำรถอดรำกง่ำยข้ึน ดงั น้ี

8) 2 840 362 499 528

355, 045,312, 441 71
355 045 312 441
แลว้ นำจำนวนท่ีลดทอนแลว้ ไปหำรำกที่สำมต่อ
ในท่ีน้ี F = 7 , L =1 และ n = 4 1
เน่ืองจาก L =1  L3 =1
ดงั น้นั ลบออกดว้ ย 1

หาหลกั สิบ M : 3L2M = 3M (ลงทำ้ ยดว้ ย 4 ) M = 8 355 045 312 44
24

ลบออกดว้ ย 3M = 24 355 045 312 2

หาหลกั ร้อย H : 3LM2 + 3L2H =192 + 3H (ลงทำ้ ยดว้ ย 2 ) 192

 3H ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 0 ดงั น้นั H = 0 355 045 293

(เรำเสี่ยง H =1 ) ลบออกดว้ ย 192 + 3H =192

หาหลกั พนั K : 3L2K + 6LMH + M3 = 3K + 0 + 512

= 3K +512 (ลงทำ้ ยดว้ ย 3 )

172

 3K ตอ้ งลงทำ้ ยดว้ ย 1 ดงั น้นั K = 7 รำกที่สำม = 7081

แต่เนื่องจำกเรำลดรูปดว้ ยกำรหำรดว้ ย 8 ในกำรช่วยใหก้ ำรถอดรำกงำ่ ยข้ึน ดงั น้นั คำตอบตอ้ ง

คณู ดว้ ย 8  รำกท่ีสำม =14162

173

บรรณานุกรม

1. ร้อยเอก หลวงบวรบรรณรักษ์ (นิยม รักไทย). สสํ กฤต - ไท - องั กฤษ อภิธาน. พิมพคร้ังที่ส่ี : สาํ นกั พิมพแ์ สง
ดาวจาํ กดั กรุงเทพฯ, ISBN: 978-611-508-037-3.2552.

2. ศกั ดา บญุ โต. (2543). เวทคณิต. (Vedic Mathematics).พมิ พค์ ร้ังที่ 4.ลาํ ปาง : ศิลปการพิมพ.์
ISBN 974-89268-3-4

3. Ann Cutler and Rudolph McShane. “The Trachtenberg Speed Basic Mathematics” published by Rupa
Publications India Pvt, Ltd 1985 7/16, Ansari Road, Daryaganj New Dilhi 110002. ISBN: 978-02-856-
2916-5, 1960.

4. Ashok Jhunjhunwala. “Indian Mathematics an Introduction” published by New Age International(P) Ltd.
4835/24,Ansari Road, Daryaganj. New Delhi-110 002. ISBN: 81-224-0573-8.2005.

5. Atul Gupta “The Power of Vedic Maths”, 2nd Edition, published by Jaico Publishing House A-2 Jash
Chambers,7-A Sir Phirozshah Mehta Road Fort, Mumbai-400 001. ISBN: 81-7992-357-6. 2011.

6. Benjamin and Michael Shermer. “Secrets of Mental Math” Published in United States by Three Rivers
Press, an imprint of the Crown Publishing Group, a division of Random House, Inc., New York.
ISBN -13: 978-0-307-33840-2, 2006.

7. Burton David M. “Elementary Number Theory”, Sixth Edition, published by Mc Graw Hill Higher
Education, International Edition, 2007. ISBN 007-124425-5.

8. Brothers of The Christian Schools. “Elements of Arithmetic Mental and Written”
La Salle Bureau of Supplies, 50 Second Street. New York. 1916

9. C.V. Durell “General Arithmetic For School” published by G. Bell and Sons, Ltd. York House, Portugal,
St., W.C. 2 . London. 1948

10. Dhaval Bathia . “The # Guide for Competitive Exams Vedic Mathematics Made Easy” published by Jaico
Publishing House A-2 Jash Chambers,7-A Sir Phirozshah Mehta Road Fort, Mumbai-400 001. ISBN: 81-
7992-407-6. 2016.

11. Gaurav Tekriwal. “Maths Sutra” published by Penguin Random House India Pvt. Ltd 7th Floor, Infinity
Tower C, DLF Cyber City, Gurgaon 122 002, Haryana, India. ISBN: 97801434425021, 2015.

12. George Gheverghese Joseph. “The Crest of the Peacock Non-European Roots of Mathematics” ,
3rd Edition, published by Published by Princeton University Press, 41 William Street, Princeton, New
Jersey 08540. ISBN 978-0-691-13526-7. 2011.

174

13. Hardy G.H. and Wright E.M. “An Introduction to The Theory of Numbers”, published by Oxford
University Press, 2008. ISBN 978-0-19-921985-8

14. H.S. Hall MA., and F.H. Stevens MA “A School Arithmetic” Macmillan & Co Ltd , New York St
Martin’s Press .London , 1956

15. H.S. Hall MA., and F.H. Stevens MA “A School Arithmetic For India” Macmillan & Co Ltd , New York
St Martin’s Press .London , 1956

16. H.V. Allen “Commercial Arithmetic” Longmans, Green and Co Ltd, 48 Grosvenor Street, London, W.I,
1964

17. Ian Stewart. “Taming the Infinite The story of mathematics from the first numbers to chaos theory”
published by Quercus Publishing Plc 21 Bloomsbury Square London. ISBN: 978-1-84724-768-1 .2008.

18. James Glover. “The Curious Hat of Magical Math, Vedic Mathematics For Schools Book 1”
published by Motilal Banarsidass , 41 U.A. Bangalaw Road,Jawahar Nagar, Delhi 110007. ISBN: 978-81-
208-3973-1(PB)

19. James Glover. “The Curious Hat of Magical Math, Vedic Mathematics For Schools Book 2”
published by Motilal Banarsidass , 41 U.A. Bangalaw Road,Jawahar Nagar, Delhi 110007. ISBN: 978-81-
208-3974-8(PB)

20. James Glover. “Vedic Mathematics For Schools Book 3” published by Motilal Banarsidass , 41 U.A.
Bangalaw Road,Jawahar Nagar, Delhi 110007. ISBN: 978-81-208-1819-4.

21. Luke Heaton. “A Brief History of Mathematical Thought” published by Robinson. An imprint of Little,
Brown Book Group Carmelite House 50 Victoria Embankment London EC4Y 0DZ. ISBN:978-1-47211-
711-3 .2015.

22. Narinder Puri, “Ancient Vedic Mathematics Pushp-I”, published by Spiritual Science Series, Rookee.
1988.

23. Narinder Puri, “Ancient Vedic Mathematics Pushp-2”, published by Spiritual Science Series,Rookee.
1988.

24. Prabhakar Vyankatesh. “Vedic Astronomy”. published by Prabhakar Faijpurkar Secretary, Shri
Babasahab Apte Smarak Samitee Apte Bhavan, Mahal, Nagpur -440 012, India. 1989.

25. Rajest Kumar Thakur, “The Essentials of Vedic Mathematics” published by Rupa Publications India Pvt,
Ltd 2013 7/16, Ansari Road, Daryaganj New Dilhi 110002 ISBN: 978-81-291-2374-9,2013.

175

26. Rajest Kumar Thakur, “Speed Mathematics” published by Rupa Publications India Pvt, Ltd 2018 7/16,
Ansari Road, Daryaganj New Dilhi 110002 ISBN: 978-93-5304-089-5. 2018

27. Sri Bharati Krsna Tirthaji, “Vedic Mathematics”, published by Motial Banarsidass 41 U.A. Bungalow
Road ,Kawahar Nagar , delhi 110-007 .ISBN: 978-81-208-0613-9 . 2015.

28. State Council of Educational Research & Training Varun Marg Colony,
“Fundamentals & Applications Vedic Mathematics” published by: State Council of Educational Research
& Training, New Delhi and printed at Educational Stores, S-5, Bsr. Road Ind. Area, Ghaziabad(U.P.)
New Delhi -110024. 2014.

29. Williams K.R. “Discover Vedic Mathematics”, published by Inspiration Book, 2009.
ISBN 978-1-902517-20-9

30. Williams K.R. “Vedic Mathematics Teacher’s Manual Elementary Level”, published by Inspiration Book,
2009. ISBN 978-1-902517-16-2

31. Williams K.R. “Vedic Mathematics Teacher’s Manual Intermediate Level”, published by Inspiration
Book, 2009.
ISBN 978-1-902517-17-9

32. Williams K.R. “Vedic Mathematics Teacher’s Manual Advanced Level”, published by Inspiration Book,
2009.
ISBN 978-1-902517-18-6

33. Williams K.R. and M.Gaskell “ The Comic Calculator Book 1”, published by Inspiration Book, 2010.
ISBN 978-1-902517-24-7

34. Williams K.R. and M.Gaskell “ The Comic Calculator Book2”, published by Inspiration Book, 2010.
ISBN 978-1-902517-25-4

35. Williams K.R. and M.Gaskell “ The Comic Calculator Book 1”, published by Inspiration Book, 2010.
ISBN 978-1-902517-26-1

36. Williams K.R. and M.Gaskell “Teacher ‘s Guide The Comic Calculator” , published by Inspiration Book,
2010. ISBN 978-1-902517-27-8

37. William J. Milne, Ph.D., LL.D. “Intermediate Arithmetic” American Book Company, New York.
Cincinnati. Chicago, Harvard University ,1900

176

38. http://www.upavidhi.com/sutra/ekadhikena-purvena
39. http://www.upavidhi.com/
40. https://issuu.com/goopakido/docs/vedic-mathematics-ancient-fast-ment/15
41. http://www.upavidhi.com/sutra/nikhilam-navatascaramam-dasatah
42. http://www.upavidhi.com/
43. https://issuu.com/goopakido/docs/vedic-mathematics-ancient-fast-ment/15
44. https://shodhganga.inflibnet.ac.in/bitstream/10603/202306/3/chapter%202.pdf
45. https://elinepa.org/en/on-vedic-mathematics-nikhilam-sutra-on-multiplication/
46. https://arxiv.org/ftp/math/papers/0611/0611347.pdf
47. http://www.upavidhi.com/sutra/ekadhikena-purvena
48. http://www.upavidhi.com/
49. https://issuu.com/goopakido/docs/vedic-mathematics-ancient-fast-ment/15
50. http://www.royin.go.th/dictionary/
51. https://dict.longdo.com/search/principle
52. https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%A7%E0%B8%94%E0%B8%AB%

E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88:%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0
%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%
B8%B2%E0%B8%99
53. https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html
54. https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations

177