เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน ดวงรัตน์ จิตต์เจริญ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏจันทรเกษม 2566
เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน ดวงรัตน์ จิตต์เจริญ ปร.ด(คณิตศาสตร์ประยุกต์) คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏจันทรเกษม 2566
คำนำ เอกสารประกอบการสอนรายวิชา MATH 2241 ทฤษฎีจำนวน เป็นเอกสารประกอบการเรียนการ สอนสำหรับนักศึกษาหลักสูตรครุศาสตรบัณฑิตสาขาวิชาคณิตศาสตร์ หลักสูตร 4 ปี จัดพิมพ์ครั้งแรกในปี การศึกษา 2564 ครั้งที่สองปีการศึกษา 2565 และครั้งที่ 3 ปีการศึกษา 2566 เป็นเล่มปัจจุบัน เนื้อหารายวิชาประกอบด้วย 7 บท ด้วยกันคือ บทที่ 1 ความรู้พื้นฐาน บทที่ 2 การหารลงตัว บทที่ 3 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย บทที่ 4 จำนวนเฉพาะ บทที่ 5 ทฤษฎีสมภาค บทที่ 6 สมการไดโอแฟน ไทน์และ บทที่ 7 ฟังก์ชันในทฤษฎีจำนวน ผู้จัดทำหวังว่าจะเป็นประโยชน์ในการเรียนการสอนรายวิชา MATH 2241 ทฤษฎีจำนวน หากมี ข้อผิดพลาดประการใดขออภัยเป็นอย่างสูงและขอความกรุณาแจ้งต่อผู้จัดทำ ดวงรัตน์ จิตต์เจริญ 2 มิถุนายน 2566
(ก) สารบัญ หน้า สารบัญภาพ (ง) แผนบริหารการสอนประจำวิชา (จ) แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 1 1 บทที่ 1 ความรู้พื้นฐาน 3 สมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม 3 หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 สรุป 20 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 20 เอกสารอ้างอิง 22 แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 2 23 บทที่ 2 การหารลงตัว 25 การหารลงตัว 25 ขั้นตอนวิธีการหาร 40 สรุป 62 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 63 เอกสารอ้างอิง 66 แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 3 67 บทที่ 3 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย 69 ตัวหารร่วมมาก 69 ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด 86 ตัวคูณร่วมน้อย 92 สรุป 97 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 98 เอกสารอ้างอิง 102
(ข) สารบัญ(ต่อ) หน้า แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 4 103 บทที่ 4 จำนวนเฉพาะ 105 นิยามและสมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ 105 ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต 111 การค้นหาจำนวนเฉพาะ 114 สรุป 122 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 122 เอกสารอ้างอิง 124 แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 5 125 บทที่ 5 ทฤษฎีสมภาค 127 สมภาค 127 สมภาคเชิงเส้น 139 ทฤษฎีเศษเหลือของจีน 150 สรุป 159 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 159 เอกสารอ้างอิง 162 แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 6 163 บทที่6 สมการไดโอแฟนไทน์ 165 สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น 165 สมการพิทาโกรัส 185 สมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง 200 สรุป 206 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 206 เอกสารอ้างอิง 208
(ค) สารบัญ(ต่อ) หน้า แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 7 209 บทที่ 7 ฟังก์ชันในทฤษฎีจำนวน 211 ฟังก์ชันเชิงการคณูและฟังก์ชันเชิงการบวก 211 ฟังก์ชันเทา 215 ฟังก์ชันซิกมา 217 ฟังก์ชันฟีออยเลอร์ 224 สรุป 229 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 229 เอกสารอ้างอิง 230 บรรณานุกรม 231
(ง) สารบัญภาพ ภาพที่ หน้า 2.1 ภาพแสดงการตรวจสอบว่า 120 หารด้วย − 15 ลงตัวหรือไม่ 2 2.2 ภาพแสดงผลหารและเศษเหลือของ 3 หารด้วย 4 44 2.3 ภาพแสดงการหาเศษจากการหาร 500 5 ด้วย 2 58 2.4 ภาพแสดงการหาเศษจากการหาร 500 5 ด้วย 2 60 2.5 ภาพแสดงการหาสองหลักสุดท้ายของของ 45 2 62 3.1 ภาพแสดงการหา ห.ร.ม. ของ 600 และ 1332 72 3.2 ภาพแสดงขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 73 3.3 ภาพแสดงขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 600 และ 1332 73 3.4 ภาพแสดงขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 308 และ 392 โดยใช้โปรแกรม GeoGebra 74 4.1 แสดงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 500 106 4.2 แสดงการตรวจสอบ 713 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ 116 4.3 แสดงจำนวนแฟร์มาต์เมื่อ n =5 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 120 5.1 ภาพแสดงการหาตัวผกผันของ 7 มอดุโล 147 5.2 ภาพแสดงการหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้น x 2 mod4 ( ), x 4 mod7 ( ) และ x 5 mod9 ( ) 153 6.1 ภาพแสดงการคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของ 3 2 5 x y + = 167
(จ) แผนบริหารการสอนประจำวิชา รายวิชา: ทฤษฎีจำนวน รหัสวิชา MATH 2241 จำนวหน่วยกิต-ชั่วโมง 3(2-2-5) คำอธิบายรายวิชา ศึกษาเกี่ยวกับการหารลงตัว จำนวนเฉพาะ ตัวหารร่วมมาก ตัวคูณรวมน้อย ทฤษฎีบท หลักมูลของเลขคณิต สมภาค สมการไดโอแฟนไทน ฟงกชันในทฤษฎีจำนวน เพื่อประยุกตใชในการ จัดการเรียนรูในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน จุดมุ่งหมายของรายวิชา 1. เพื่อให้ผู้เรียนเกิดความรู้ ความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับ สมบัติต่างๆของจำนวนเต็ม และ การนำไปใช้ และสามารถเชื่อมโยงเนื้อหากับหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษา 2. เพื่อให้ผู้เรียนเกิดความรู้ ความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ตัวหารร่วมมาก ตัวคูณร่วมน้อย และสามารถเชื่อมโยงเนื้อหากับหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษา 3. เพื่อให้ผู้เรียนเกิดความรู้ ความเข้าใจทฤษฎีบท หลักมูลของเลขคณิต สมภาค สมการไดโอแฟนไทน และฟงกชันในทฤษฎีจำนวนและสามารถเชื่อมโยงเนื้อหากับหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึ กษา 4. เพื่อให้ผู้เรียนมีความสามารถในการคิด วิเคราะห์โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาที่เรียนและสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้และสามารถเชื่อ มโยงเนื้อหากับหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษา 5. เพื่อนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์หรือสาขาอื่นที่เกี่ยวข้องและมีพื้นฐานเพีย งพอที่จะไปศึกษาในระดับสูงต่อไป
(ฉ) เนื้อหา บทที่ 1 ความรู้พื้นฐาน 4 ชั่วโมง สมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ บทที่ 2 การหารลงตัว 8 ชั่วโมง การหารลงตัว ขั้นตอนวิธีการหาร บทที่ 3 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย 8 ชั่วโมง ตัวหารร่วมมาก ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด ตัวคูณร่วมน้อย บทที่ 4 จำนวนเฉพาะ 8 ชั่วโมง นิยามและสมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต การค้นหาจำนวนเฉพาะ บทที่ 5 ทฤษฎีสมภาค 12 ชั่วโมง สมภาค สมภาคเชิงเส้น ทฤษฎีเศษเหลือของจีน บทที่6 สมการไดโอแฟนไทน์ 12 ชั่วโมง สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น สมการพิทาโกรัส สมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง บทที่ 7 ฟังก์ชันในทฤษฎีจำนวน 4 ชั่วโมง ฟังก์ชันเชิงการคณูและฟังก์ชันเชิงการบวก ฟังก์ชันเทา ฟังก์ชันซิกมา ฟังก์ชันฟีออยเลอร์
(ช) การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. คะแนนระหว่างเรียน 1.1 พฤติกรรมการเข้าชั้นเรียน การเรียน และการมีส่วนร่วมในกิจกรรม 10% 1.2 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท การรายงานและการนำเสนองานทั้งกลุ่มและรายบุคคล 10% 1.3 คะแนนสอบกลางภาค 40% 2. คะแนนสอบปลายภาค 40% การประเมินผล คะแนนระหว่าง 80-100 ได้ระดับ A คะแนนระหว่าง 75-70 ได้ระดับ B + คะแนนระหว่าง 70-75 ได้ระดับ B คะแนนระหว่าง 60-69 ได้ระดับ C + คะแนนระหว่าง 50-59 ได้ระดับ C คะแนนระหว่าง 45-49 ได้ระดับ D + คะแนนระหว่าง 40-44 ได้ระดับ D คะแนนระหว่าง 0-39 ได้ระดับ F
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 1 หัวข้อเนื้อหา 1. สมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม 2. หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 3. สรุป 4. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 1 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถอธิบายและเข้าใจสมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม 2. สามารถพิสูจน์ข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนนับโดยใช้หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. สนทนาซักถาม อภิปรายพร้อมทั้งแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. เมื่อเรียนจบในแต่ละหัวข้อผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียน 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
2 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 1 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 1 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ 5. การทดสอบ
บทที่ 1 ความรู้พื้นฐานเบื้องต้น ทฤษฎีจำนวน (Number Theory) เป็นสาขาหนึ่งที่สำคัญและที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ บริสุทธิ์ เป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็มและสมบัติของจำนวนเต็ม โดยเฉพาะจำนวนนับ (หรือ จำนวนเต็มบวก จำนวนธรรมชาติ) เนื่องจากจำนวนนับเป็นจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์รู้จัก และเป็น จำนวนที่พบได้ในชีวิตประจำวันของมนุษย์ มีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันท่านหนึ่งชื่อ เกาส์ (Carl Friendrich Gauss, ค.ศ. 1777-1855) ได้กล่าวถึงทฤษฎีจำนวนไว้ดังนี้ “วิชาทฤษฎีจำนวน เปรียบเสมือนราชินีแห่งคณิตศาสตร์” (“Number theory is the queen of mathematics”) และ มีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันอีกท่านหนึ่งชื่อ โครเนคเคอร์ (Leopold Kronecker, ค.ศ. 1823- 1891) กล่าวว่า “พระเจ้าสร้างจำนวนธรรมชาติที่เหลือทั้งหมดเป็นฝีมือมนุษย์” (“ God created the natural numbers, and all the rest is the work of man” ) ในบทแรกของเอกสารประกอบการสอนวิชาทฤษฎีจำนวนเราจะศึกษาความรู้พื้นฐานเบื้องต้น ที่สำคัญบางส่วน โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. สมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม 2. หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 3. สรุป 4. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1.1สมบัติสำคัญของจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม (Integers มาจากภาษาลตินว่า “Integer” แปลว่า “Untouched”) ใช้ สัญลักษณ์ “ ” หรือ “ ” แทนเซตของจำนวนเต็ม ประกอบด้วย จำนวนเต็มบวก (Positive Integers) สัญลักษณ์ “ + ” หรือ “ + ” แทนเซตของจำนวนเต็มบวก, จำนวนเต็มศูนย์ และจำนวน เต็มลบ (Negative Integers) สัญลักษณ์“ − ” หรือ “ − ” แทนเซตของจำนวนเต็มลบ ในระบบ จำนวนเต็มประกอบด้วยเซตของจำนวนเต็มกับการดำเนินการ การบวก(+) และ การคูณ ( ) โดยจะ ศึกษาระบบจำนวนเต็ม ใน 3 หัวข้อ คือ สมบัติทางพีชคณิต สมบัติไตรวิภาค และหลักการจัดอันดับดี (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 6-11, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น.15-19, วิชญา พร จันทะนัน, 2564, น. 27-31, วัลลภ เหมวงษ์, 2564, น. 11-14)
4 สมบัติทางพีชคณิตการเท่ากันในระบบจำนวนเต็ม ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม 1. สมบัติการสะท้อน a a = 2. สมบัติสมมาตร ถ้า a b = แล้ว b a = 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b = และ b = c แล้ว a = c 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a b = แล้ว a c b c +=+ 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a b = แล้ว ac bc = สมบัติทางพีชคณิต (Algebraic Property) ของระบบจำนวนเต็ม มีดังนี้ 1. สมบัติปิด (Closure Property) สำหรับการบวก ถ้า a b, แล้ว a b + สำหรับการคูณ ถ้า a b, แล้ว a b 2. สมบัติสลับที่ (Commutative Property) สำหรับการบวก a b b a + = + สำหรับ a b, สำหรับการคูณ a b b a = สำหรับ a b, 3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (Associative Property) สำหรับการบวก a b c a b c + + = + + ( ) ( ) สำหรับ a b c , , สำหรับการคูณ a b c a b c = ( ) ( ) สำหรับ a b c , ,
5 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์(Existence of Identities) สำหรับการบวก มี 0 ที่สำหรับทุก ๆ a aaa + = = + 0 0 เรียก 0 ว่า “เอกลักษณ์การบวก (Additive Identity)” สำหรับการคูณ มี 1 ที่สำหรับทุก ๆ a aaa + = = + 1 1 เรียก 1 ว่า “เอกลักษณ์การคูณ (Multiplicative Identity)” 5. สมบัติการมีตัวผกผัน (Existence of Inverse) สำหรับการบวก สำหรับ a จะมี − a ซึ่ง a a a a + − = = − + ( ) 0 ( ) เรียก −a ว่า “ตัวผกผันการบวกของ a” ข้อสังเกต เรียก a ว่า “ตัวผกผันการบวกของ −a” นั้นคือ a a = − −( ) 6. สมบัติการแจกแจง (Distributive Laws) สำหรับ a b c , , จะได้ว่า a b c a b a c + = + ( ) และ (a b c a c b c + = + ) สมบัติทางพีชคณิตของจำนวนเต็มทั้ง 6 ข้อ ข้างต้นนี้จะเป็นเครื่องมือสำคัญที่ช่วยในการ พิสูจน์และให้เหตุผลทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม ที่จะกล่าวต่อไปในหัวข้อนี้ ทฤษฎีบทที่ 1.1.1 (การตัดออกสำหรับการบวก) เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 1. ถ้า a c b c +=+ แล้ว a b = 2. ถ้า a b a c +=+ แล้ว a c = พิสูจน์ ให้ a b c , , 1. a c + = +b c (a c c + + − ) ( ) = + + − (b c c ) ( ) การบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน a c c + + − ( ( )) = + + − b c c ( ( )) การเปลี่ยนกลุ่ม a + 0 = +b 0 การมีตัวผกผันการบวก a = b การมีเอกลักษณ์การบวก 2. พิสูจน์ในทำนองเดียวกัน
6 ทฤษฎีบทที่ 1.1.2 (การตัดออกสำหรับการคูณ) เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 1. ถ้า ac bc = แล้ว a b = เมือ c 0 2. ถ้า ab ac = แล้ว b c = เมือ a 0 พิสูจน์ ให้ a b c , , 1. ac = bc เมือ c 0 ดังนั้นจะมี 1 c − ( ) 1 ac c − ( ) 1 bc c − = การคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ( ) 1 a cc − ( ) 1 b cc− = การเปลี่ยนกลุ่ม a(1) = b(1) การมีตัวผกผันการคูณ a = b การมีเอกลักษณ์การคูณ 2. พิสูจน์ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทที่ 1.1.3 ในระบบจำนวนเต็ม เอกลักษณ์ของการบวกจะมี 0 เพียงตัวเดียว พิสูจน์ สมมติมีจำนวนเต็ม x เป็นเอกลักษณ์การบวก จะได้ a x a + = สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จาก 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก นั่นคือ a a + =0 โดยสมบัติการถ่ายทอด จะได้ a x a + = +0 และจากสมบัติการตัดออกสำหรับการบวกจะได้ x = 0 ดังนั้น เอกลักษณ์ของการบวกจะมี 0 เพียงตัวเดียว ทฤษฎีบทที่ 1.1.4 ในระบบจำนวนเต็ม เอกลักษณ์ของการคูณจะมี 1 เพียงตัวเดียว พิสูจน์ สมมติมีจำนวนเต็ม x เป็นเอกลักษณ์การคูณ จะได้ a x a = สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จาก 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ นั่นคือ a a =1 โดยสมบัติการถ่ายทอด จะได้ a x a = 1 และจากสมบัติการตัดออกสำหรับการคูณจะได้ x =1 ดังนั้น เอกลักษณ์ของการคูณจะมี 1 เพียงตัวเดียว
7 ทฤษฎีบทที่ 1.1.5 สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ a =0 0 พิสูจน์ ให้ a a0 = + a (0 0) การมีเอกลักษณ์การบวก a0 = + a a 0 0 การแจกแจง a a + − 0 0 ( ) = + + − (a a a 0 0 0 ) ( ) การบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน a a + − 0 0 ( ) = + + − a a a 0 0 0 ( ( )) การเปลี่ยนกลุ่มการบวก 0 = + a 0 0 การมีตัวผกผันการบวก 0 = a 0 การมีเอกลักษณ์การบวก ทฤษฎีบทที่ 1.1.6 เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 1. a b a b ab ( ) ( ) − = − = − 2. (− − = a b ab )( ) พิสูจน์ ให้ a b, 1. 0 = a 0 จากทฤษฎีบทที่ 1.1.5 = + − a b b ( ( )) การมีตัวผกผันการบวก = + − ab a b ( ) สมบัติการแจกแจง จะได้ a b (− ) เป็นตัวผกผันการบวกของ ab ดังนั้น a b ab (− = − ) 0 = 0 b จากทฤษฎีบทที่ 1.1.5 = + − (a a b ( )) การมีตัวผกผันการบวก = + − ab a b ( ) สมบัติการแจกแจง จะได้ (−a b) เป็นตัวผกผันการบวกของ ab ดังนั้น (− = − a b ab ) 2. 0 = − ( a) 0 จากทฤษฎีบทที่ 1.1.5 = − + − ( a b b ) ( ( )) การมีตัวผกผันการบวก = − + − − ( a b a b ) ( )( ) สมบัติการแจกแจง จะได้ (− − a b )( ) เป็นตัวผกผันการบวกของ (−a b) ดังนั้น (− − = − − a b a b )( ) ( ) จากข้อ 1 และสมบัติที่ว่า ตัวผกผันการบวกของ −a คือ a จะได้ว่า − − = − − = ( a b ab ab ) ( ) ดังนั้น (− − = a b ab )( )
8 ทฤษฎีบทที่ 1.1.7 สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ (− = − 1)a a พิสูจน์ (− = − 1 1 )a a ( ) จาทฤษฎีบทที่ 1.3 ข้อ 1 (− = − a b ab ) =−a การมีเอกลักษณ์การ นิยามที่ 1.1.1 นิยามการลบ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ a b a b − = + −( ) ทฤษฎีบทที่ 1.1.8 เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 1. a b c ab ac ( − = − ) 2. (a b c ac bc − = − ) 3. (− − = − + a b c ab ac )( ) พิสูจน์ ให้ a b c , , 1. a b c ( − ) = + − a b c ( ( )) จากนิยามการลบ = + − ab a c ( ) สมบัติการแจกแจง = + − ab ac ( ) ทฤษฎีบทที่ 1.4 ข้อ 1 = − ab ac จากนิยามการลบ 2. (a b c − ) = + − (a b c ( )) จากนิยามการลบ = + − ac b c ( ) สมบัติการแจกแจง = + − ac bc ( ) ทฤษฎีบทที่ 1.4 ข้อ 1 = − bc ac จากนิยามการลบ 3. (− − a b c )( ) = − + − ( a b c )( ( )) จากนิยามการลบ = − + − − ( a b a c ) ( )( ) สมบัติการแจกแจง = − + ab ac ทฤษฎีบทที่ 1.4 ข้อ 1 และ 2
9 ทฤษฎีบทที่ 1.1.9 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 พิสูจน์ให้ a b, โดยที่ ให้ ab = 0 และ a 0 ( ) 1 a ab − 1 a 0 − = การคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ( ) 1 a a b − = 0 การเปลี่ยนกลุ่มและทฤษฎีบทที่ 1.1.15 1 b = 0 การมีอินเวอร์สการคูณ b = 0 การมีเอกลักษณ์การคูณ สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy law) สมบัติไตรวิภาคของรบบจำนวนเต็ม มีดังนี้ มีเซตย่อย ของ คือ =1,2,3, ที่มีสมบัติ 1. 0 2. ถ้า a b, แล้ว a b + และ ab 3. ถ้า x แล้ว x หรือ x = 0 หรือ − x นิยาม 1.1.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม a น้อยกว่า b (เขียนแทนด้วย a b ) หมายความว่า b a − และ a มากกว่า b (เขียนแทนด้วย a b ) หมายความว่า a b − สมบัติไตรวิภาค ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a b = , a b หรือ a b จะเป็นจริงเพียงอย่างใด อย่างหนึ่งเท่านั้น ทฤษฎีบท 1.1.10 สมบัติการถ่ายทอด เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ถ้า a b และ b c แล้ว a c พิสูจน์ ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ โดยที่ a b และ b c จาก a b และ b c จะได้ a b − และ b c − จะได้ (a b b c − + − ) ( ) เนื่องจาก (a b b c a c − + − = − ) ( ) จะได้ a c − ดังนั้น a c
10 ทฤษฎีบท 1.1.11 สมบัติการบวกเข้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ถ้า a b แล้ว a c b c ++ พิสูจน์ ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ โดยที่ a b จาก a b จะได้ a b − จาก (a b a b c c a c b c − = − + − = + − + ) ( ) ( ) ( ) ( ) จะได้ (a c b c + − + ) ( ) ดังนั้น a c b c ++ ทฤษฎีบท 1.1.12 สมบัติการคูณเข้าด้วยจำนวนเท่ากัน ที่ไม่เป็น 0 เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 1. ถ้า a b และ c 0 แล้ว ac bc 2. ถ้า a b และ c 0 แล้ว ac bc พิสูจน์ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด 1. ให้ a b และ c 0 จะได้ a b − และ c นั่นคือ (a b c − ) จาก (a b c ac bc − = − ) จะได้ ac bc − ดังนั้น ac bc 2. ให้ a b และ c 0 จะได้ a b − และ − c นั่นคือ (a b c − − )( ) จาก (a b c ac bc − − = − + )( ) จะได้ bc ac − ดังนั้น ac bc ทฤษฎีบท 1.1.13 สมบัติการตัดออกเนื่องจากการบวก เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ถ้า a c b c ++ แล้ว a b พิสูจน์ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ โดยที่ a c b c ++ จาก a c b c ++ จะได้ (a c b c + − + ) ( ) จาก (a c b c a b + − + = − ) ( ) จะได้ a b − ดังนั้น a b
11 ทฤษฎีบท 1.1.14 สับเซตเดียวของ ที่สอดคล้องกับสมบัติไตรวิภาคคือ พิสูจน์สมมติ S ที่สอดคล้องกับสมบัติไตรวิภาค จะแสดงว่า S = จาก S จะได้ว่า 1S หรือ − 1 S ถ้า − 1 S จะได้ 1 ( 1)( 1) = − − S และ 0 1 ( 1) = + − S ขัดแย้ง เนื่องจาก 0S ดังนั้น 1 S ให้ n S จะได้ S นั่นคือ S = หรือ S − สมมติให้ S − จะได้ว่า มี x S แต่ x ดังนั้น x 0 นั่นคือ − x จาก x S และ − x S แสดงว่า 0 ( ) = + − x x S ขัดแย้ง ดังนั้น S = จากทฤษฎีบทที่ 1.1.9 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ “ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ” เราสามารถใช้สมบัติไตรวิภาคในการพิสูจน์ได้โดยจะพิสูจน์ข้อความ “ถ้า a 0 และ b 0 แล้ว ab 0 ” นั่นคือถ้า ถ้า a 0 และ b 0 จากสมบัติไตรวิภาคจะได้ว่า a หรือ − a และ b หรือ − b นั่นคือ ab หรือ − ab ดังนั้น ab 0 ต่อไปเราจะกำหนดสมบัติของจำนวนเต็มเพื่อช่วยในการศึกษาและการพิสูจน์ข้อความที่ เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มให้มีความสมเหตุสมผลมากขึ้น สมบัตินั้นก็คือ สมบัติหลักการจัดอันดับดี หลักการจัดอันดับดี(Well Ordering Principle) ให้ S และ S จะได้ว่า S มีสมาชิกตัวที่เล็กที่สุด หรือ มี m S ที่ m s สำหรับทุก ๆ s S
12 สมบัติของการจัดอันดับดีข้างต้นนี้จะนำไปสู่ทฤษฎีบทที่สำคัญ ดังต่อไปนี้ ทฤษฎีบทที่ 1.1.14 ไม่มีจำนวนเต็มใดอยู่ระหว่าง 0 และ 1 พิสูจน์จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง โดยให้มีจำนวนเต็มใดอยู่ระหว่าง 0 และ 1 ให้ M m m = 0 1 โดยที่ M จากหลักการจัดอันดับดี จะได้ว่า มี m M ซึ่ง m x สำหรับทุก x M ดังนั้น 0 1 m นั่นคือ 2 0 m m จะได้ 2 0 1 m ดังนั้น 2 m M ขัดแย้งเนื่องจากให้ m เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดใน M นั่นคือ M = ดังนั้น ไม่มีจำนวนเต็มใดอยู่ระหว่าง 0 และ 1 ทฤษฎีบทที่ 1.1.15 สมบัติอาร์คีมิดีส (Archimedean property) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก n ที่ na b พิสูจน์จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง โดยให้ มีจำนวนเต็มบวก a และ b ที่ทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n ทำให้ na b ให้ S b na n = − จะได้ว่า S และ S จากหลักการจัดอันดับดี S จะมีจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด นั่นคือจะมี m ซึ่ง s b ma = − โดยที่ s เป็นจำวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน S จาก m จะได้ m+ 1 นั่นคือ b m a S − + ( 1) พิจารณา b ma − และ b m a b ma − + − ( 1) เนื่องจาก (b m a b ma a − + − − = − ( 1 0 ) ) ( ) จะได้ b ma b m a − − + ( 1) ขัดแย้งกับให้ b ma − จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน S ดังนั้น เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก n ที่ na b
13 ทฤษฎีบทที่ 1.1.16 ให้ S จะได้ว่า = S ก็ต่อเมื่อ 1. 1 S และ 2. ถ้า n S แล้ว n S + 1 พิสูจน์ (→) ให้ = S จะเห็นชัดเจนว่า 1 S และ ถ้า n S แล้ว n S + 1 () ให้ 1S และ ถ้า n S แล้ว n S + 1 เป็นจริง จะแสดงว่า = S สมมติให้ S นั่นคือ − S โดยหลักการจัดอันดับดี จะได้ว่า มี m S − โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด จาก m S − ดังนั้น m S เนื่องจาก m m − 1 และ m เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน − S ดังนั้น m S − − 1 จาก 1S ดังนั้น 1 − S จะได้ m 1 ดังนั้น m− 1 จาก m เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน − S จะได้ m S − − 1 นั่นคือ m S − 1 จาก m S − 1 จะได้ m m S = − + ( 1 1 ) ขัดแย้งกับ m S ดังนั้น = S หลักการจัดอันดับดีสามารถนำไปสู่เครื่องมือในการพิสูจน์ข้อความที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม อีกวิธีหนึ่งคือหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ และในทางกลับกับหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ก็สามารถ พิสูจน์หลักการจัดออันดับดี ในหัวข้อต่อไปเราจะศึกษาหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
14 1.2 หลักการอุนัยเชิงคณิตศาสตร์(Mathematical Induction) ในการพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะข้อความที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวกนั้น อาจพิสูจน์ได้ในหลายวิธีด้วยกัน แต่วิธีหนึ่งที่เป็นที่นิยมมากก็คือ การพิสูจน์ที่เรียกว่า “หลักการอุปนัย วิธีทางคณิตศาสตร์(Mathematical Induction Principle)” (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 11-15, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2559, น. 11, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 20-26, สมวงษ์ แปลงประสพโชค, 2545, น. 5-11, วัลลภ เหมวงษ์, 2564, น. 5-10) การพิสูจน์ข้อความ P(n) สำหรับจำนวนเต็มบวก n โดยที่ n ≥ 1 ทฤษฎีบทที่1.2.1 หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ 1 (1st Principle of Mathematical Induction) ให้ Pn( ) แทนข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก n และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1. P(1) เป็นจริง และ 2. สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ถ้า P k( ) เป็นจริงแล้ว P k( 1) + เป็นจริงด้วย จะได้ว่า Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n พิสูจน์ ให้ Pn( ) แทนข้อความที่สอดคล้องกับเงื่อนไข P(1) เป็นจริง และสำหรับจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ถ้า P k( ) เป็นจริงแล้ว P k( 1) + เป็นจริงด้วย ให้ S n N P n = ( ) จร ิ ง จาก P(1) เป็นจริง ดังนั้น 1S จาก ถ้า P k( ) เป็นจริงแล้ว P k( 1) + เป็นจริง ดังนั้น ถ้า k S แล้ว k S + 1 จากทฤษฎีบทที่ 1.1.16 จะได้ S เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก นั่นคือ Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n เรียกว่า การพิสูจน์ตามทฤษฎีบทที่ 1.2.1 ว่าการพิสูจน์โดยอาศัยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ อย่างอ่อน (Weak Induction)
15 ตัวอย่าง 1.2.1 จงพิสูจน์ว่า “ ( ) 2 1 3 5 7 2 1 + + + + + − = n n สำหรับจำนวนเต็มบวก n” วิธีทำ ให้ Pn( ) แทนข้อความ ( ) 2 1 3 5 7 2 1 + + + + + − = n n สำหรับจำนวนเต็มบวก n 1. จะพิสูจน์ P(1) เป็นจริง แทน n = 1 ใน Pn( ) จะได้ว่า 1 2 = 1 ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะพิสูจน์ว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( 1) + เป็นจริงด้วย สมมติว่า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ ( ) 2 1 3 5 7 2 1 + + + + + − = k k ---(1) จะพิสูจน์ว่า P k( 1) + เป็นจริงด้วย กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า ( ( ) ) ( ) 2 1 3 5 7 2 1 1 1 + + + + + + − = + k k จากสมการ (1) นำ 2 1 1 (k + −) บวกทั้งสองข้างสมการจะได้ว่า 1 3 5 7 2 1 2 1 1 + + + + + − + + − ( k k ) ( ) ( ) 2 = + + − k k 2 1 1 2 = + + − k k2 2 1( ) 2 2 = + + = + k k k 2 1 1 ดังนั้น P k( 1) + เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า Pn( ) เป็นจริง ดังนั้น ( ) 2 1 3 5 7 2 1 + + + + + − = n n สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n ตัวอย่าง 1.2.2 จงพิสูจน์ว่า “1 2 3 + + + + n ( 1) 2 n = +n สำหรับจำนวนเต็มบวก n” วิธีทำ ให้ Pn( ) แทนข้อความ “1 2 3 + + + + n ( 1) 2 n = +n สำหรับจำนวนเต็มบวก n 1. จะพิสูจน์ P(1) เป็นจริง แทน n = 1 ใน Pn( ) จะได้ว่า 1 = ( ) 1 1 1 2 + ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะพิสูจน์ ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( 1) + เป็นจริงด้วย สมมติว่า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ 1 2 3 + + + +k = ( 1) 2 k k + ---(1)
16 จะพิสูจน์ว่า P k( 1) + เป็นจริงด้วย กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า 1 2 3 1 + + + + + (k ) = ( ) (( ) ) 1 1 1 2 k k + + + จากสมการ (1) นำ k +1 บวกทั้งสองข้างสมการจะได้ว่า 1 2 3 1 + + + + + + k k( ) ( 1 1 ) ( ) 2 k = + + + k k ( 1 1 ) 2 k k = + + ( ) 2 1 2 k k + = + ( ) (( ) ) 1 1 1 2 k k + = + + ดังนั้น P k( 1) + เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง ดังนั้น 1 2 3 + + + + n ( 1) 2 n = +n สำหรับจำนวนเต็มบวก n ทฤษฎีบท 1.2.2 (หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์) ให้ Pn( ) แทนข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนเต็ม โดยที่ 0 n n เมื่อ n0 เป็นจำนวนเต็ม และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1. 0 P(n ) เป็นจริง และ 2. สำหรับจำนวนเต็ม k n0 ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( 1) + เป็นจริงด้วย จะได้ว่า Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็ม 0 n n พิสูจน์จาก 0 n n นั่นคือ 0 0 0 0 n n , n 1, n 2, n 3, = + + + ให้ m n n 1 = − +0 จะได้ m 1,2,3,4, = และ Pn( ) แทนข้อความเดียวกับ 0 P m n ( 1) + − ดังนั้นเราจะพิสูจน์ข้อความ 0 P m n ( 1) + − เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m แทน
17 ให้ P m( ) แทน 0 P m n ( 1) + − 1. 0 0 P P n P n (1) (1 1) ( ) = + − = และจาก 0 P(n ) เป็นจริง ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. ให้ P k ( ) เป็นจริง จะได้ 0 P k n ( 1) + − เป็นจริงโดยที่ k 1 นั่นคือ 0 k n a + − 1 เมื่อ 0 P k n ( 1) + − เป็นจริง จาก 0 P k n ( 1) + − เป็นจริง จะได้ P k n (( 1) 1 + − + 0 ) เป็นจริง จาก P k n P k (( 1) 1 ( 1) + + − = + 0 ) ดังนั้น P k ( 1) + เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า P m( ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m ดังนั้น 0 P m n ( 1) + − เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m ที่ m1 จาก m n n 1 = − +0 นั่นคือ 0 n m n 1 = + − เมื่อ m1 จะได้ 0 n n ดังนั้น Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม ตัวอย่าง 1.2.3 จงพิสูจน์ว่า “ n 2 2 n สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็ม n 4” วิธีทำ ให้ Pn( ) แทนข้อความ n 2 2 n สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็ม n 4 1. จะพิสูจน์ว่า P(4) เป็นจริง เมื่อ n = 4 จะได้ 2 4 4 2 ดังนั้น P(4) เป็นจริง 2. จะแสดงว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( 1) + เป็นจริงด้วย สมมติว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ k 2 2 k จะพิสูจน์ว่า P k( 1) + เป็นจริง กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า ( ) k 1 2 2 k 1 + + k 1 k 2 2 2 + = 2 2 2 2 = + = + 2 k k k k k k 2 2 + = + + k 4 k k 2 k 2 k ( ) 2 2 + + = + k 2 k 1 k 1 นั่นคือ ( ) k 1 2 2 k 1 + + ดังนั้น P k( 1) + เป็นจริง โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง ดังนั้น n 2 2 n สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็ม n 4
18 ทฤษฎีบท 1.2.3 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ 2 (2nd Principle of Mathematical Induction) ให้ Pn( ) เป็นข้อความที่เกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก n และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1. P(1) เป็นจริง และ 2. ถ้า P k( ) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก k m เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม บวก แล้ว P(m) เป็นจริงด้วย จะได้ว่า Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n พิสูจน์ ให้ S n P n = ( ) เปน ็ เท ็ จ และให้ S โดยหลักการจัดอันดับดี จะมี m S ซึ่ง m เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุดใน S นั่นคือ Pm( ) เป็นเท็จ จาก P(1) จริง ดังนั้น m 1 นั่นคือ P k( ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k ที่ k m จะได้ Pm( ) เป็นจริง นั่นคือ m S ขัดแย้งกับ m S ดังนั้น S = นั่นคือ ให้ Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ทฤษฎีบท 1.2.3 นี้เรียกว่า หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์อย่างเข้ม (Strong Mathematical Induction) เราสามารถนำการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีนี้เป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับ จำนวนเต็ม n ใด ๆ ที่ n a เมื่อ a ตัวอย่าง 1.2.4 ให้ n a โดยที่ 1 2 a a = = 1, 3 และ n n n 1 2 a a a = + − − สำหรับแต่ละ n 3 จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก n, 7 4 n n a พิสูจน์ ให้ Pn( ) แทน สำหรับจำนวนเต็มบวก n, 7 4 n n a
19 1. ถ้า n=1 จะได้ 1 7 1 4 และ n= 2 จะได้ 2 7 49 1 3 3 4 16 16 = = ดังนั้น P(1) และ P(2) เป็นจริง 2. สมมติ Pn( ) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n k เมื่อ n 3 จะแสดงว่า P k( ) เป็นจริง จาก Pn( ) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n k นั่นคือ P k( 1) −และ P k( 2) −เป็นจริง จะได้ 1 1 7 4 k k a − − และ 2 2 7 4 k k a − − จาก n n n 1 2 a a a = + − − จะได้ k k k 1 2 a a a = + − − ดังนั้น k a 1 2 2 2 2 7 7 7 7 11 7 44 7 1 4 4 4 4 4 4 16 4 k k k k k − − − − − + = + = = 2 2 2 49 7 7 7 7 16 4 4 4 4 k k k − − = = นั่นคือ 7 4 k k a ดังนั้น P k( ) เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์อย่างเข้ม จะได้ว่า Pn( ) เป็นจริง ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มบวก n, 7 4 n n a
20 1.3 สรุป ในบทนี้เราศึกษาความรู้พื้นฐานเบื้องต้นเพื่อเป็นพื้นฐานในการศึกษาในบทต่อไป โดยเรา ศึกษา 2 หัวข้อหลัก ได้แก่ สมบัติที่สำคัญบางประการและทฤษฎีบทต่าง ๆ ของจำนวนเต็มพร้อมทั้งวิธี พิสูจน์โดยแบ่งเป็น 3 หัวข้อย่อย คือ สมบัติทางพีชคณิต สมบัติไตรวิภาค และหลักการจัดอันดับดี และหัวข้อที่สองคือหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะเป็นเครื่องมือช่วย ในการพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะข้อความที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวก ซึ่งหลักของ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องรู้และเข้าใจและสามารถนำหลักการไปพิสูจน์ได้ 1.4 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1. จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้เมื่อกำหนดให้ a , b, c และ d เป็นจำนวนเต็มบวก 1.1 ถ้า a b และ c d แล้ว a c b d ++ 1.2 ถ้า a b และ c d แล้ว ac bd 1.3 a b c d − = − ก็ต่อเมื่อ a d c b + = + 1.4 2 2 a ab b − + 0 2. พิจารณา เซตที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้มีหลักการจัดอันดับดีหรือไม่ พร้อมอธิบายเหตุผล 2.1 เซตของจำนวนเต็มลบ 2.2 เซตของจำนวนเต็มบวก 2.3 เซตของจำนวนเต็ม 2.4 เซตของจำนวนเต็มบวกคู่ 2.5 เซตของจำนวนเต็มบวกคี่ 2.6 เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว 2.7 เซตของจำนวนเต็มลบที่หารด้วย 5 ลงตัว 2.8 เซตของจำนวนเต็มลบที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว 2.9 n n −3 2.10 n n 3
21 3. จงใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก 3.1 2 2 4 6 2 + + + + = + n n n 3.2 ( ) 2 1 3 5 2 1 + + + + − = n n 3.3 2 2 2 2 1 1 2 3 ( 1)(2 1) 6 + + + + = + + n n n n 3.4 3 3 3 3 2 1 1 2 3 ( 1) 4 + + + + = + n n n 3.5 4 4 4 4 2 1 1 2 3 ( 1)(2 1)(3n 3 1) 30 + + + + = + + + − n n n n n 3.6 ( ) 2 1 1 1 5 5 5 5 1 4 n n − + + + + = − 3.7 ( ) 2 1 1 1 6 6 6 6 1 5 n n − + + + + = − 3.8 1 1 1 1 1 1 1 3 9 27 3 2 3 n n + + + + = − 3.9 1 1 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1)( 2) 3 + + + + + = + + n n n n n 3.10 2 3 1 1 2 2 2 3 2 2 ( 1)2 2 n n n n + + + + + = − + 3.11 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ( 1) 1 n n n + + + + = + + 3.12 จงพิสูจน์ว่า “ 2 2 n n สำหรับทุกจำนวนเต็ม n 4” 3.13 จงพิสูจน์ว่า “ 2 n n ! สำหรับทุกจำนวนเต็ม n 4” 3.14 จงพิสูจน์ว่า “ 3 n n ! สำหรับทุกจำนวนเต็ม n 6” 3.15 ให้ n a โดยที่ 1 2 3 a a a = = = 1, 2, 3 และ n n n n 1 2 3 a a a a = + + − − − สำหรับ ทุกจำนวนเต็ม n 4 จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็มบวก n, 2 n n a ”
22 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2565). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วัลลภ เหมวงษ์. (2564). ทฤษฎีจำนวน. อุดรธานี: คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 2 หัวข้อเนื้อหา 1. การหารลงตัว 2. ขั้นตอนวิธีการหาร 3. สรุป 4. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 2 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถอธิบายความหมายของการหารลงตัว 2. สามารถใช้นิยามพิสูจน์ทฤษฎีบทและแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับการหารลงตัว 3. สามารถใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์การหารลงตัว 4. สามารถอธิบายความหมายของขั้นตอนวิธีการหาร 5. สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทและแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับขั้นตอนวิธีการหาร วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. อภิปรายและแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. ผู้เรียนและผู้สอนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียน 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
24 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 2 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 2 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ 5. แบบทดสอบ
บทที่ 2 การหารลงตัว ทฤษฎีจำนวนเป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็มและสมบัติของจำนวนเต็ม และเมื่อพิจารณา ถึงการหารในเซตของจำนวนเต็มจะได้ว่าจำนวนเต็มไม่มีสมบัติปิดการหาร แต่อาจมีจำนวนเต็มบางคู่ที่ มีผลหารเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นการศึกษาการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มจึงเป็นหัวข้อสำคัญหัวข้อ หนึ่งของทฤษฎีจำนวน หัวข้อแรกในบทนี้จะนำเสนอแนวคิดของการหารลงตัว นิยามการหารลงตัว ทฤษฎีบทพื้นฐานที่สำคัญของการหารลงตัวพร้อมทั้งแสดงขั้นตอนการพิสูจน์ หัวข้อที่สองของบทนี้จะ นำเสนอขั้นตอนวิธีการหาร โดยทั้งสองหัวข้อที่ศึกษาในบทนี้จะยกตัวอย่างการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ จำนวนเต็มโดยใช้นิยามและทฤษฎีบทที่ศึกษา ซึ่งโจทย์และวิธีการแก้ปัญหาโจทย์เหล่านี้นักศึกษา สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการจัดการเรียนการเรียนรู้การศึกษาขั้นพื้นฐานในอนาคตเมื่อสำเร็จ การศึกษา โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. การหารลงตัว 2. ขั้นตอนวิธีการหาร 3. สรุป 4. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 2.1 การหารลงตัว จากที่กล่าวมาข้างต้นว่าเซตของจำนวนเต็มไม่มีสมบัติปิดของการหาร นั่นคือในการหาร จำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์จะพบว่าผลลัพธ์ที่ได้อาจจะเป็นหรือไม่เป็นจำนวนเต็มก็ได้ ตัวอย่างเช่น 64 หารด้วย 4 เท่ากับ 16 เป็นจำนวนเต็ม แต่ 36 หารด้วย 5 เท่ากับ 7.2 ไม่เป็นจำนวน เต็ม ซึ่งการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์แล้วได้ลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม เราจะเรียกการหารนี้ ว่าการหารลงตัว (Divisibility) และจาก 64 หารด้วย 4 เท่ากับ 16 เป็นจำนวนเต็ม หรือจะกล่าวว่า มี จำนวนเต็มคือ 16 ที่นำมาคูณกับ 4 แล้วเท่ากับ 64 แปลว่า 64 หารด้วย 4 ลงตัว จากข้อสังเกตนี้จึง นิยามการหารลงตัวของจำนวนเต็มดังนี้(ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 31-35, ธนัช ยศ จำปาหวาย, 2565, น. 30-41, วัลลภ เหมวงษ์, 2564, น. 25-29, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 50- 52, สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2554, น.111-115, สมวงษ์ แปลงประสพโชค. 2545: 15-18)
26 นิยามที่2.1.1 การหารลงตัว ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 b หาร a ลงตัวก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ a bc = เรียก b ว่า “ตัวหาร (Divisor) ของ a” และ เรียก a ว่า “พหุคูณ (Multiple) ของ b” ใช้สัญลักษณ์ ba แทน “b หาร a ลงตัว” และ b a แทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ในเอกสารประกอบการสอนเล่มนี้การเขียน ba โดยไม่กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมให้ถือว่า a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b 0 ตัวอย่างที่ 2.1.1 4 20 เนื่องจากมี 5 ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ 20 4(5) = 6 126 เนื่องจากมี 21 ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ 126 6(21) = 12 156 เนื่องจากมี 13 ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ 156 12(13) = −15 120 เนื่องจากมี −6 ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ 120 15( 6) = − − 9 171 −เนื่องจากมี −19 ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ − = − 171 9( 19) − − 11 132 เนื่องจากมี 12 ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ − = − 132 11(12) 9 123 เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ 123 9 = c −6 1 53 เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ 135 6 = − c −7 −124 เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ − = − 127 7c นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ wolframAlpha ในการตรวจสอบว่า a หารด้วย b ลงตัวหรือไม่ โดยพิมพ์ Is a divisible by b ดังภาพที่ 2.1 ภาพที่ 2.1 ภาพแสดงการตรวจสอบว่า 120 หารด้วย − 15 ลงตัวหรือไม่
27 ต่อไปเราจะศึกษาสมบัติเบื้องต้นของการหารลงตัว ทฤษฎีบทที่ 2.1.1 ให้ a เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 1. a 0 เมื่อ a 0 2. a a เมื่อ a 0 3. 1a และ −1a 4. a1 ก็ต่อเมื่อ a =1 พิสูจน์ 1. ให้ a 0 เนื่องจากมีจำนวนเต็ม 0 ที่ทำให้ 0 0 = a ดังนั้น a 0 2. ให้ a 0 เนื่องจากมีจำนวนเต็ม 1 ที่ทำให้ a a = (1) ดังนั้น aa และมีจำนวนเต็ม −1 ที่ทำให้ a a = − −( 1) ดังนั้น a a − 3. เนื่องจากมีa เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ 1 1 = a ดังนั้น 1a และมี −a เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ a a = − − 1 ( ) ดังนั้น −1a 4. (→) ให้ a1 ดังนั้นจะมี b เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ 1 = a b จะได้ 1= = ab a b ดังนั้น a = 1 และ b = 1 จาก a =1 จะได้ a =1 () ให้ a =1 จากข้อ 3 จะได้ว่า a1 ดังนั้น a1 ก็ต่อเมื่อ a =1 ทฤษฎีบทที่ 2.1.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 1. ab และ ba ก็ต่อเมื่อ a b = 2. ถ้า ba และ a b, 0 แล้ว b a พิสูจน์ 1. (→) ให้ ab และ ba จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ n ที่ b a m = และ a b n =
28 ดังนั้น b = a m = (b n m ) = b n m ( ) นั่นคือ n m =1 ทำให้ได้ว่า n=1 และ m =1 หรือ n=−1 และ m =−1 กรณี n=1 และ m =1 จะได้ a b = กรณี n=−1 และ m =−1 จะได้ a b = − ดังนั้น a b = () ให้ a b = กรณี a b = และจาก bb จะได้ ba กรณี a b = − และจาก b b (− ) จะได้ ba ดังนั้น ba 2. ให้ ba และ a b, 0 ดังนั้นจะมีจำนวนเต็ม c ที่ a b c = จะได้ a b c b c = = และจาก a b, 0 จะได้ c 0 ดังนั้น c 1 จะได้ b b c และจาก a b c = ดังนั้น b a ทฤษฎีบทที่ 2.1.3 ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 1. ถ้า ab แล้ว a bc 2. ถ้า ab และ bc แล้ว ac 3. ถ้า ab และ ac แล้ว a bc 4. ถ้า ab และ cd แล้ว ac bd 5. ถ้า ab และ ac แล้ว a b c ( + ) 6. ถ้า a b c ( + ) และ ab แล้ว ac 7. ถ้า ab และ ac แล้ว a bx cy ( + ) เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็ม
29 พิสูจน์ 1. ให้ ab จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m ที่ทำให้ b am = จะได้ bc am c a mc = = ( ) ( ) และจากจำนวนเต็มมีสมบัติปิดการคูณ ดังนั้น mc เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม mc ที่ bc a mc = ( ) ดังนั้น a bc 2. ให้ ab และ bc จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ n ที่ b am = และ c bn = จะได้ c bn = = = (am n a mn ) ( ) จากจำนวนเต็มมีสมบัติปิดการคูณ ดังนั้น mn เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม mn ที่ c a mn = ( ) ดังนั้น ac 3. ให้ ab และ ac จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ n ที่ b am = และ c an = จะได้ bc am an a amn = = ( ) ( ) จากจำนวนเต็มมีสมบัติปิดการบวกดังนั้น amn เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม amn ที่ bc a amn = ( ) ดังนั้น a bc 4. ให้ ab และ cd จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ n ที่ b am = และ d cn = จะได้ bd am cn ac nm = = ( )( ) ( ) จากจำนวนเต็มมีสมบัติปิดการคูณ ดังนั้น mn เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม mn ที่ bd ac mn = ( ) ดังนั้น ac bd 5. ให้ ab และ ac จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ n ที่ b am = และ c an = จะได้ b c am an a m n + = + = + ( ) จากจำนวนเต็มมีสมบัติปิดการบวกดังนั้น m n + เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม m n + ที่ b c a m n + = + ( ) ดังนั้น a b c ( + )
30 ให้ a b c ( + ) และ ab จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ n ที่ b c am + = และ b an = จะได้ c am b am an a m n = − = − = − ( ) และ m n − เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม m n − ที่ c a m n = − ( ) ดังนั้น ac 6. ให้ ab และ ac จากข้อ 1 สำหรับจำนวนเต็ม x และ y ใด ๆ จะได้ a bx และ a cy จากข้อ 5 จะได้ a bx cy ( + ) จากทฤษฎีบทที่ 2.1.3 สามารถขยายในรูปทั่วไปได้ว่า 1. ถ้า ab แล้ว i a bc สำหรับ i c 2. ถ้า 1 2 2 3 3 4 1 , , , , n n a a a a a a a a − แล้ว 1 n a a สำหรับ i a 3. ถ้า 1 2 3 , , , , n a b a b a b a b แล้ว 1 n i i a b = สำหรับ i b 4. ถ้า 1 2 3 , , , , n a b a b a b a b แล้ว 1 n i i i a b x = สำหรับ , i i b x ตัวอย่างที่ 2.1.2 จงหาจำนวนเต็มบวก a ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข 1. a 36 2. (a +1 42 ) 3. a 48 และ a 52 4. a a( + 24) 5. a a a ( + − 10 10 )( ) 6. ( ) 2 a a a − + 30 7. ( ) 2 a a + 6 8. ( ) 2 2 a a 2 32 + + 9. (a a + + 1 17 ) ( ) 10. ( ) ( ) 2 a a + + 1 1 11. ( ) ( ) 3 a a − + 1 1 12. ( ) ( ) 3 a a + − 1 3
31 วิธีทำ 1. a 36 จะได้ a =1,2,3,4,6,9,12,18,36 2. (a +1 42 ) จะได้ a + =1 1,2,3,6,7,14,21,42 นั่นคือ a =1,2,5,6,13,20,41 3. a 48 จะได้ a =1,2,3,4,6,8,12,18,24,48 และ a 52 จะได้ a =1,2,3,13,26,52 ดังนั้นถ้า a 48 และ a 52 นั่นคือ a =1,2,3 4. จาก a a( + 24) และ aa จะได้ a 24 นั่นคือ a =1,2,3,4,6,8,12,24 5. พิจารณา ( )( ) 2 a a a + − = − 10 10 100 จาก a a a ( + − 10 10 )( ) และ 2 aa จะได้ a 100 นั่นคือ a =1,2,4,5,10,20,25,50,100 6. จาก ( ) 2 a a a − + 30 , 2 aa และ aa จะได้ a 30 นั่นคือ a =1,2,3,5,6,10,15,30 7. พิจารณา ( ) 2 2 a a a + = + + 6 12 36 จาก ( ) 2 2 a a a a + 6 , และ a a 12 จะได้ a 36 นั่นคือ a =1,2,3,4,6,9,12,18,36 8. พิจารณา ( ) 2 2 4 2 a a a + + = + + 2 34 4 40 จาก ( ) 2 2 4 a a a a 2 40 , + + และ 2 a a4 จะได้ a 40 นั่นคือ a =1,2,4,5,8,10,20,40 9. พิจารณา a a + = + + 17 1 16 จาก (a a + + 1 17 ) ( ) และ (a a + + 1 1 ) ( ) จะได้ a16 นั่นคือ a = 1,2,4,8,16 10. 2 2 a a a a + = + + − + − 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 = + + − + + a a a 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 = + + − + + a a a 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 = + − + + a a 1 2 1 2 จาก ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a a a a + + + + 1 1 , 1 1 และ (a a + + 1 1 ) ( ) จะได้ a 2 นั่นคือ a =1,2
32 11. ( ) 3 a +2 (( ) ) 3 = − + a 1 3 ( ) ( ) ( ) 3 2 = − + − + − + aaa 1 9 1 9 1 27 จาก ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 a a a a − + − − 1 1 , 1 9 1 และ (a a − − 1 9 1 ) ( ) จะได้ a 27 นั่นคือ a =1,3,9,27 12. พิจารณา (( ) ) 3 3 a a − = + − − 3 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 3 2 = + − + + + − a a a 1 3 1 3 1 4 จาก ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 a a a a + − + − + 1 3 , 1 1 และ (a a + + 1 3 1 ) ( ) จะได้ (a +1 4 ) ดังนั้น a + =1 1,2,4 นั่นคือ a = 1,3 ตัวอย่างที่ 2.1.3 จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้เมื่อกำหนดให้ xa, เป็นจำนวนจำนวนเต็ม 1. ถ้า a x (3 1 + ) และ a x (18 41 + ) แล้ว a 35 2. ถ้า a x (2 11 + ) และ a x (3 8 − ) แล้ว a 49 3. ถ้า a x (4 13 + ) และ a x (6 7 + ) แล้ว a 37 วิธีทำ 1. จาก a x (3 1 + ) และ a x (18 41 + ) จะได้ a x x ((18 41 6 3 1 + + − + ) ( )( )) เนื่องจาก (18 41 6 3 1 41 6 35 x x + − + = − = ) ( ) จะได้ a 35 2. จาก a x (2 11 + ) และ a x (3 8 − ) จะได้ a x x (3 2 11 2 3 8 ( + + − − ) ( )( )) เนื่องจาก 3 2 11 2 3 8 33 16 49 ( x x + + − − = + = ) ( )( ) จะได้ a 49 3. จาก a x (4 13 + ) และ a x (6 7 + ) จะได้ a x x (3 4 17 2 6 7 ( + + − + ) ( )( )) เนื่องจาก (3 4 17 2 6 7 51 14 37 ( x x + + − + = − = ) ( )( )) จะได้ a 37
33 ตัวอย่างที่ 2.1.4 ให้ abcd เป็นเลขสี่หลักฐานสิบ จงพิสูจน์ 9 abcd ก็ต่อเมื่อ 9 (a b c d + + + ) พิสูจน์ พิจารณาเลขสี่หลักฐานสิบ abcd = + + + (a b c d 1000 100 10 ) ( ) ( ) = + + + + + + a b c d (999 1 99 1 9 1 ) ( ) ( ) = + + + + + + 999 99 9 a a b b c c d = + + + + + + (999 99 9 a b c a b c d ) ( ) = + + + + + + 9 111 11 ( a b c a b c d ) ( ) (→) ให้ 9 abcd จะแสดงว่า 9 (a b c d + + + ) จาก 9 abcd จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m ที่ abcd m = 9 จาก abcd = + + + + + + 9 111 11 ( a b c a b c d ) ( ) จะได้ (a b c d + + + ) = − + + 9 9 111 11 m a b c ( ) = − + + 9 111 11 (m a b c ( )) จาก m a b c − + + (111 11 ) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 9 (a b c d + + + ) () ให้ 9 (a b c d + + + ) จะแสดงว่า 9 abcd จาก 9 (a b c d + + + ) จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ a b c d n + + + = 9 จาก abcd = + + + + + + 9 111 11 ( a b c a b c d ) ( ) จะได้ abcd = + + + 9 111 11 9 ( a b c n ) = + + + 9 111 11 (( a b c n ) ) จาก (111 11 a b c n + + +) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 9 abcd ข้อสังเกตจากตัวอย่างที่ 1.1.3 จาก 39 จะได้ว่า 3 abcd ก็ต่อเมื่อ 3 (a b c d + + + ) และในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 1.1.3 สามารถขยายแนวคิดในการทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว สำหรับเลขฐานสิบใด ๆ ได้ดังนี้ ให้ 1 2 3 , , , , 0,1,2,3,...,9 n a a a a และ 1 2 3 n a a a a โดยที่ 1 a 0 จะได้ว่า 1 2 3 9 n a a a a ก็ต่อเมื่อ 1 2 3 9 n a a a a + + + +
34 ตัวอย่างที่ 2.1.5 ให้ abcd เป็นเลขสี่หลักฐานสิบ จงพิสูจน์ว่า 4 abcd ก็ต่อเมื่อ 4 cd พิสูจน์ พิจารณาเลขสี่หลักฐานสิบ abcd = + + + (a b c d 1000 100 10 ) ( ) ( ) = + + + 4 250 25 10 ( a b c d ) ( ) (→) ให้ 4 abcd จะแสดงว่า 4 cd จาก 4 abcd จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m ที่ abcd m = 4 จาก 4m = + + + 4 250 25 10 ( a b c d ) ( ) จะได้ 10c d + = − + 4 4 250 25 m a b ( ) = − + 4 250 25 (m a b ( )) จาก m a b − + (250 25 ) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 4 cd (→) ให้ จะแสดงว่า 4 abcd จาก 4 cd จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ cd n = 4 จาก abcd = + + + 4 250 25 10 ( a b c d ) ( ) จะได้ abcd = + + 4 250 25 4 ( a b n ) = + + 4 250 25 (( a b n ) ) จาก (250 25 a b n + +) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 4 abcd ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 2.1.5 สามารถขยายแนวคิดในการทดสอบการหารด้วย 9 ลง ตัวสำหรับเลขฐานสิบใด ๆ ได้ดังนี้ ให้ 1 2 3 , , , , 0,1,2,3,...,9 n a a a a และ 1 2 3 n a a a a เป็น เลขฐานสิบ n หลัก โดยที่ 1 a 0 จะได้ว่า - 1 2 3 3 n a a a a ก็ต่อเมื่อ 3 (a a a 1 2 + + + n) - 1 2 3 4 n a a a a ก็ต่อเมื่อ 1 4 n n a a − - 1 2 3 6 n a a a a ก็ต่อเมื่อ 3 (a a a 1 2 + + + n) และ 1 2 a - 1 2 3 8 n a a a a ก็ต่อเมื่อ 2 1 8 n n n a a a − − - 1 2 3 9 n a a a a ก็ต่อเมื่อ 9 (a a a 1 2 + + + n)
35 การพิสูจน์หารลงตัวโดยใช้หลักการของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ในตัวอย่างต่อไปนี้เราจะพิสูจน์สมบัติบางประการของการหารลงตัวโดยใช้หลักการของอุปนัย เชิงคณิตศาตร์ที่เรียนมาในบทที่ 1 ตัวอย่างที่ 2.1.6 จงใช้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ “สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก 3 n n −หาร ด้วย 3 ลงตัว” วิธีทำ ให้ P n( ) แทนข้อความ สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก 3 n n −หารด้วย 3 ลงตัว 1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง เมื่อ n = 1 จะได้ 1 3 – 1 = 0 ซึ่ง 0 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะแสดงว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( +1) เป็นจริงด้วย สมมติว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ 3 k k − หารด้วย 3 ลงตัว จะพิสูจน์ว่า P k( +1) เป็นจริง นั่นคือ จะพิสูจน์ว่า ( ) ( ) 3 k k + − + 1 1 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก 3 k k − หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น มีจำนวนเต็ม m ที่ทำให้ 3 k k m − = 3 เพราะว่า ( ) ( ) 3 k k + − + 1 1 ( ) ( ) 3 2 = + + + − + k k k k 3 3 1 1 3 2 = + + k k k 3 2 3 2 = + + − k k k k 3 3 3 2 = − + + k k k k 3 3 ( ) ( ) 3 2 = − + + k k k k 3 ( ) 2 = + + 3 3 m k k ( ) 2 = + + 3 m k k เนื่องจาก 2 m k k + + เป็นจำนวนเต็ม จะได้ ( ) ( ) 3 k k + − + 1 1 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P k( +1) เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า P n( ) ดังนั้น สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก 3 n n −หารด้วย 3 ลงตัว
36 ตัวอย่างที่ 2.1.7 จงใช้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์“สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 2 2 1 n − หารด้วย 3 ลงตัว” วิธีทำ ให้ P n( ) แทนข้อความ สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 2 2 1 n −หารด้วย 3 ลงตัว 1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง เมื่อ n = 1 จะได้ 2 2 – 1 = 3 ซึ่ง 3 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะแสดงว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( +1) เป็นจริงด้วย สมมติว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ 2 2 1 k − หารด้วย 3 ลงตัว จะพิสูจน์ว่า P k( +1) เป็นจริง นั่นคือ จะพิสูจน์ว่า 2 1 ( ) 2 1 k+ −หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก 2 2 1 k − หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น มีจำนวนเต็ม a ที่ทำให้ 2 2 1 3 k − = a เพราะว่า 2 1 ( ) 2 1 k+ − 2 2 2 1 k+ = − 2 2 2 2 1 k = − ( ) 2 4 2 1 k = − ( ) 2 3 1 2 1 k = + − 2 2 3 2 2 1 k k = + − 2 3 2 3 k = + a ( ) 2 3 2 k = + a เนื่องจาก 2 2 k + a เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 2 1 ( ) 2 1 k+ −หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P k( +1) เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า P n( ) ดังนั้น สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 2 2 1 n −หารด้วย 3 ลงตัว
37 ตัวอย่างที่ 2.1.8 จงใช้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์“ สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 25 7 n + หารด้วย 4 ลงตัว” วิธีทำ ให้ P n( ) แทนข้อความ สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 25 7 n + หารด้วย 4 ลงตัว 1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง เมื่อ n =1 จะได้ 25 7 32 + = ซึ่ง 32 หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะแสดงว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง แล้ว P k( +1) เป็นจริงด้วย สมมติว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ 25 7 k + หารด้วย 4 ลงตัว จะพิสูจน์ว่า P k( +1) เป็นจริง นั่นคือ จะพิสูจน์ว่า ( 1) 25 7 k+ + หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจาก 25 7 k + หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้น มีจำนวนเต็ม a ที่ทำให้ 25 7 4 k + = a เพราะว่า ( 1) 25 7 k+ + 25 25 7 k = + (24 1 25 7 ) k = + + 24 25 25 7 k k = + + 24 25 4 k = + a 4 6 25 ( ) k = + a เนื่องจาก 6 25k + a เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า ( 1) 25 7 k+ + หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้น P k( +1) เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า P n( ) ดังนั้น สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 25 7 n + หารด้วย 4 ลงตัว
38 ตัวอย่างที่ 2.1.9 จงพิสูจน์ 3 1 1 3 2 n n + + + หารด้วย 5 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n โดยใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ วิธีทำ ให้ P n( ) แทนข้อความ 3 1 1 3 2 n n + + + หารด้วย 5 ลงตัว 1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง เมื่อ n = 1 จะได้ 3 1 1 1 3 2 81 4 85 + + + = + = ซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P k( +1) เป็นจริงด้วย สมมติว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ 3 1 1 3 2 k k + + + หารด้วย 5 ลงตัว จะพิสูจน์ว่า P k( +1) เป็นจริง กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 2 k k + + + + + หารด้วย 5 ลงตัว เนื่องจาก 3 1 1 3 2 k k + + + หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น มีจำนวนเต็ม a ที่ทำให้ 3 1 1 3 2 5 k k a + + + = เพราะว่า 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 2 k k + + + + + 3 3 1 1 1 3 2 k k + + + + = + 3 3 1 1 3 3 2 2 k k + + = + 3 1 1 27 3 2 2 k k + + = + ( ) 3 1 2 1 25 2 3 2 2 k k + + = + + 3 1 3 1 2 1 25 3 2 3 2 2 kkk +++ = + + ( ) 3 1 3 1 2 1 25 3 2 3 2 k k k + + + = + + ( ) 3 1 25 3 2 5 k a + = + ( ) 3 1 5 5 3 2 k a + = + เนื่องจาก 3 1 5 3 2 k a + + เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 2 k k + + + + + หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น P k( +1) เป็นจริง จาก 1 และ 2โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า P(n) เป็นจริง ดังนั้น 3 1 1 3 2 n n + + + หารด้วย 5 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n
39 ตัวอย่างที่ 2.1.10 จงใช้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ “สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 2 2 n n a b −หารด้วย a b + ลงตัว” วิธีทำ ให้ P n( ) แทนข้อความ 2 2 n n a b −หารด้วย a b + ลงตัว 1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง เมื่อ n = 1 จะได้ ( )( ) 2 2 a b a b a b − = − + ซึ่งหารด้วย a b + ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. จะแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P k( +1) เป็นจริงด้วย สมมติว่า ถ้า P k( ) เป็นจริง นั่นคือ 2 2 k k a b −หารด้วย a b + ลงตัว จะพิสูจน์ว่า P k( +1) เป็นจริง กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า 2 1 2 1 (k k ) ( ) a b + + −หารด้วย a b + ลงตัว เนื่องจาก 2 2 k k a b −หารด้วย a b + ลงตัว ดังนั้น มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ ( ) 2 2 k k a b c a b − = + เพราะว่า 2 1 2 1 (k k ) ( ) a b + + − 2 2 2 2 k k a b + + = − 2 2 2 2 k k = − a a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k = − + − a a a b a b b b ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 k k k = − + − a a b b a b ( ( )) ( )( ) 2 2k = + + + − a c a b b a b a b ( )( ( )) 2 2k = + + − a b ca b a b เนื่องจาก ( ) 2 2k ca b a b + − เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 2 1 2 1 (k k ) ( ) a b + + −หารด้วย a b + ลงตัว ดังนั้น P k( +1) เป็นจริง โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า P n( ) เป็นจริง ดังนั้น สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 2 2 n n a b −หารด้วย a b + ลงตัว
40 2.2 ขั้นตอนวิธีการหาร หัวข้อที่ผ่านมาเราศึกษาเกี่ยวกกับการหารลงตัวและสมบัติของการหารลงตัวมาแล้ว ซึ่งในการ หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์อาจได้เป็นจำนวนเต็มหรือที่เรียกว่าหารลงตัวหรือหาร แล้วไม่ได้จำนวนเต็มหรือหารแล้วเหลือเศษ พิจารณาการหาร 39 ด้วย 9 4 9 39 36 3 จะเห็นว่า 39 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว นั่นคือ 39 หารด้วย 9 ได้ผลหารมีค่าเท่ากับ 4 และมีเศษ เท่ากับ 3 ในการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มนี้จะเห็นว่ามีศัพท์ที่เกี่ยวข้อง 4 คำ คือ ตัวตั้ง ตัวหาร ผลลัพธ์ และเศษ และเมื่อนำทั้ง 4 คำ มาเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ตังตั้ง = ตัวหาร ผลหาร + เศษ นั่นคือ 39 หารด้วย 9 ได้ผลหารมีค่าเท่ากับ 4 และมีเศษเท่ากับ 3 เขียนความสัมพันธ์ได้เป็น 39 9 4 3 = + จากความสัมพันธ์นี้นำไปสู่ทฤษฎีบทขั้นตอนวิธีการหารดังต่อไปนี้(ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 29-31, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 21-29, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 26- 29, วัลลภ เหมวงษ์, 2564, น. 30-36, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 46-49, สถาบันส่งเสริมการสอน วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2554, น. 116-121, สมวงษ์ แปลงประสพโชค, 2545, น. 19-23) ทฤษฎีบทที่ 2.2.1 ขั้นตอนวิธีการหาร (Division Algorithm) ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที b 0 แล้วจะมีจำนวนเต็ม q และ r คู่หนึ่งและคู่ เดียวเท่านั้น ซึ่งมีคุณสมบัติว่า a bq r r b = + , 0 เรียก a ว่า ตัวตั้ง (Dividend) b ว่า ตัวหาร (Divisor) q ว่า ผลหาร (Quotient) และ r ว่า เศษเหลือ (Remainder)