91 ตัวอย่างที่ 3.2.4 จงหาจำนวนเต็มบวก x, y และ z ซึ่ง (35,21,15 35 21 15 ) = + + x y z วิธีทำ 1. หา ห.ร.ม. ของ 35 และ 21 35 21 1 14 = + ( ) 21 14 1 7 = + ( ) 14 7 2 = ( ) ดังนั้น (35,21 7 )= 2. หาจำนวนเต็มบวก a และ b ซึ่ง 7 35 21 = +a b โดยเริ่มจากสมการ 21 14 1 7 = + ( ) และแทนค่าย้อนขึ้นไปเรื่อย ๆ จะได้ 7 = − 21 14 1( ) = − − 21 35 21 1 1 ( ( ))( ) = − + 35 1 21 2 ( ) ( ) 3. จาก (35,21,15 35,21 ,15 2,15 )= = (( ) ) ( ) ดังนั้นหา (2,15) 15 2 7 1 = + ( ) 2 1 2 = ( ) ดังนั้น (2,15 1 ) = 4. หาจำนวนเต็มบวก c และ d ซึ่ง 1 15 2 = +c d โดยเริ่มจากสมการ 15 2 7 1 = + ( ) จะได้ 1 15 2 7 = − ( ) 5. หาจำนวนเต็มบวก x, y และ z ซึ่ง (35,21,15 35 21 15 ) = + + x y z จาก 1 15 2 7 = − ( ) ในข้อที่ 1 และ 7 35 1 21 2 = − + ( ) ( ) ในข้อที่ 3 จะได้ 1 = − − + 15 2 35 1 21 2 ( ( ) ( )) = + + − 15 1 35 2 21 4 ( ) ( ) ( ) จะได้ (35,21,15 35 2 21 4 15 1 )= + − + ( ) ( ) ( ) ดังนั้น x y = = − 2, 4 และ z =1
92 3.3 ตัวคูณร่วมน้อย (The Least Common Multiple) จากหัวข้อที่ผ่านมาเราศึกษาเรื่องตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนและจำนวนเต็ม n จำนวน เรื่องที่มีความสัมพันธ์ควบคู่กับตัวหารร่วมมากคือ ตัวคูณร่วมน้อย ซึ่งเราจะศึกษาในหัวข้อนี้ (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 44-47, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 65-69, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 41-46, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 69-62, สถาบันส่งเสริมการ สอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. 2554, น. 130-132, สมวงษ์ แปลงประสพโชค. 2545, น. 32-35) นิยามที่ 3.3.1 กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะเรียก m ว่าตัวคูณร่วม (Common Multiple) ของ a และ b ถ้า am และ bm จากนิยามของตัวคูณร่วม เมื่อพิจารณาจำนวนเต็ม a และ b จะเห็นได้ว่า 0, ab และ −ab ต่างเป็นตัวคูณร่วมของ a และ b เสมอ นั่นคือเซตของตัวคูณร่วมที่เป็นบวกไม่ใช่เซตว่าง โดย หลักการจัดอันดับดี จะได้ว่าเซตของตัวคูณร่วมนี้จะมีจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดเสมอ ทำให้เรา สามารถนิยามตัวคูณร่วมน้อยได้ดังนี้ นิยามที่ 3.3.2 กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ จะเรียก m ว่าตัว คูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. ของ a และ b ก็ต่อเมื่อ 1. m เป็นจำนวนเต็มบวก 2. am และ bm 3. ถ้า c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง ac และ bc แล้ว mc จะเขียน a b, หรือ LCM a b , แทน ค.ร.น. ของ a และ b ในเอกสารเล่มนี้ใช้ a b, Note a b a b a b a b , , , , = − = − = − − ตัวอย่างที่ 3.3.1 จงหาตัวคูณร่วมน้อยของสองจำนวนต่อไปนี้ 1. 8 และ 12 2. 18 และ 24 3. 15 และ 27 วิธีทำ 1. จำนวนเต็มบวกที่ 8 หารลงตัว คือ 8,16,24,32,40,48,56,64,72, จำนวนเต็มบวกที่ 12 หารลงตัว คือ 12,24,36,48,60,72,84,96,108,
93 จำนวนที่เป็นตัวคูณร่วมของ 8 และ 12 คือ 24,48,72,96, จำนวนที่เป็นตัวคูณร่วมของ 8 และ 12 น้อยที่สุดคือ 24 ดังนั้น 8,12 24 = 2. จำนวนเต็มบวกที่ 18 หารลงตัว คือ 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180, จำนวนเต็มบวกที่ 24 หารลงตัว คือ 24,48,72,96,120,144,168,192,216, จำนวนที่เป็นตัวคูณร่วมของ 18 และ 24 คือ 72,144,216, จำนวนที่เป็นตัวคูณร่วมของ 18 และ 24 น้อยที่สุดคือ 72 ดังนั้น 18,24 72 = 3. จำนวนเต็มบวกที่ 15 หารลงตัว คือ 15,30,45,60,75,90,105,120,135, จำนวนเต็มบวกที่ 27 หารลงตัว คือ 27,54,81,108,120,135,162,189, จำนวนที่เป็นตัวคูณร่วมของ 15 และ 27 คือ 135,270,405,540, จำนวนที่เป็นตัวคูณร่วมของ 15 และ 27 น้อยที่สุดคือ 135 ดังนั้น 15,27 135 = ทฤษฎีบท 3.3.1 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 จะได้ว่าสำหรับจำนวนเต็ม c ใด ๆ ถ้า ac และ bc แล้ว a b c , พิสูจน์ ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ a b m , = โดยที่ ac และ bc จะแสดงว่า mc จาก a b m , = จะได้ am และ bm จาก m และ c เป็นจำนวนเต็ม โดยขั้นตอนวิธีการหารจะมีจำนวนเต็ม q และ r ที่ c mq r r m = + , 0 หรือ r c mq r m = − , 0 จาก r c mq = − , am, ac, bm และ bc จะได้ว่า ar และ br นั่นคือ r เป็นตัวคูณร่วมของ a และ b และจาก 0 r m แบ่งได้ 2 กรณีคือ 0 r m หรือ r = 0 ถ้า 0 r m จะขัดแย้งเนื่องจาก a b m , = ดังนั้น r = 0 นั่นคือ c mq = ดังนั้น mc
94 ทฤษฎีบท 3.3.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 จะได้ว่า (a b a b ab , , ) = พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ (a b d , ) = จาก (a b d , ) = จะได้ da และ db นั่นคือมีจำนวนเต็ม p และ q ที่ a dp = และ b dq = ให้ ab m d = จะแสดงว่า a b m , = พิจารณา ( )( ) ( ) ( ) ab dp dq m dpq dp q dq p d d = = = = = จาก a dp = และ b dq = จะได้ m aq bp = = นั่นคือ am และ bm ดังนั้น m เป็นตัวคูณร่วมของ a และ b ต่อไปจะแสดงว่า m เป็นตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ให้ จำนวนเต็มบวก c เป็นตัวคูณร่วมของ a และ b นั่นคือ ac และ bc จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม s และ t ที่ c as = และ c bt = จาก ab m d = จะได้ mdc abc = เนื่องจาก (a b d , ) = จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ที่ d ax by = + จะได้ m ax by c abc ( + = ) หรือ m cax cby abc ( + =) จาก c as = และ c bt = จะได้ m btax asby abc ( + =) mab tx sy abc ( + =) mab tx sy abc ( + = ) ( ) + = (tx sy m c ) จาก + (tx sy) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น mc นั่นคือ m c ดังนั้น a b m , =
95 ตัวอย่างที่ 3.3.2 จำนวนเต็มบวก x และ 32 มี ห.ร.ม.เท่ากับ 4 และมี ค.ร.ม. เท่ากับ 416 จงหาค่า x วิธีทำ จาก ทฤษฎีบท 3.3.2 จะได้ว่า (x x x ,32 ,32 32 ) = นั่นคือ 4 416 32 = x ดังนั้น x = 52 ทฤษฎีบท 3.3.3 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวกจะได้ว่า am bm m a b , , = พิสูจน์ จากทฤษฎีบท 3.3.2 (am bm am bm ambm , , ) = ( ) 2 m a b am bm m ab , , = (a b am bm m ab , , ) = ( ) , , m ab am bm a b = ( ) ( ) , , , , m a b a b am bm a b = am bm m a b , , = ตัวอย่างที่ 3.3.3 จงหา ค.ร.น. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.3.3 1. 420,126 2. 96,2048 วิธีทำ 1. 420,126 = = = 6 70,21 6 7 10,3 42 10,3 และจาก 10,3 30 = ดังนั้น 420,126 42 30 1260 = = 2. 96,2048 32 3,64 = และจาก 3,64 192 = ดังนั้น 96,2048 32 192 6144 = =
96 นิยาม 3.3.2 กำหนดให้ 1 2 , , , n a a a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน จะเรียก m ว่า ตัวคูณร่วมน้อย ของ 1 2 , , , n a a a ก็ต่อเมื่อ 1. m เป็นจำนวนเต็มบวก 2. i a m สำหรับ i = 1, 2, …, n 3. ถ้า c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง i a c สำหรับ i = 1, 2, …, n แล้ว mc จะเขียน 1 2 , , , n a a a หรือ 1 2 , , , n LCM a a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2 , , , n a a a ในเอกสารเล่มนี้จะใช้ 1 2 , , , n a a a ทฤษฎีบทที่ 3.3.5 ให้ 1 2 , , , n a a a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน โดยที่ n 3 จะ ได้ว่า 1. 1 2 , , , n a a a หาค่าได้และมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น 2. a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 1 2 1 , , , , , , , , , , , n n n n n = = − − 3. (a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n ) = 4. เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก ma ma ma m a a a 1 2 1 2 , , , , , , n n = ตัวอย่างที่ 3.1.5 จงหา ค.ร.น.. ของ 21, 35, 55 และ 140 วิธีทำ 21,35,55,140 =21,35 ,55,140 =105,55,140 เนื่องจาก 21,35 105 = =105,55 ,140 =1155,140 เนื่องจาก 105,55 1155 = = 4620
97 3.4 สรุป ในบทที่ 3 นี้เราได้ศึกษา 3 หัวข้อ ได้แก่ ตัวหารร่วมมาก ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด และตัว คูณร่วมน้อย โดยได้ศึกษานิยาม สมบัติและทฤษฎีบทที่สำคัญเบื้องต้นและการพิสูจน์พร้อมฝึกปฏิบัติ แก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวข้องกับ ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย และความสัมพันธ์ระหว่าตัวหารร่วม มากและตัวคูณร่วมน้อย และแสดงวิธีการใช้ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดในการหาตัวหารร่วมมากพร้อมทั้ง ขั้นตอนวิธีการแก้สมการหาจำนวนเต็ม x และ y ที่ (a b ax by , ) = + และแก้สมการหาจำนวน เต็ม x y, และ z ที่ (a b c ax by cz , , ) = + + 3.5 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1. จงหาเซตของตัวหารร่วมทั้งหมดของ 1.1. 36 และ 54 1.2. 98 และ 124 1.3. 128 และ 144 1.4 248 และ 428 1.5 448 และ 576 2. จงหาห.ร.ม. ของ 2.1. 252 และ 384 2.2. 273 และ 390 2.3. 364 และ 528 2.4. 448 และ 624 2.5. 576 และ 776 3. มีบัตรสีเหลือง 364 ใบ บัตรสีแดง 234 ใบ ต้องการแบ่งบัตรทั้งหมดเป็นกอง โดยที่บัตรแต่ละ กองมีสีเดียวกันและทุกกองมีจำนวนบัตรเท่ากัน จงหาว่าแต่ละกองมีบัตรมากสุดกองละกี่ใบ และแบ่งได้ทั้งหมดกี่กอง
98 4. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 572 คน นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 5 จำนวน 546 คน และนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จำนวน 520 คน ถ้าต้องการจัดทีม แข่งกีฬาสีระดับมัธยมปลายโดยแต่ละทีมมีจำนวนนักเรียนเท่ากันและเป็นนักเรียนในชั้น เดียวกัน จงหาว่าแต่ละทีมมีนักเรียนมากที่สุดกี่คน และแต่ละระดับชั้นมีกี่ทีม 5. มีลูกปัดสีฟ้าจำนวน 221 ลูก และลูกปัดสีเหลือง 260 ลูก ต้องการแบ่งลูกปัดเป็นกองเล็ก ๆ โดยที่มีเงื่อนไขว่า แต่ละกองต้องมีสีเดียวกัน และ แต่ละกองมีจำนวนลูกหินเท่ากัน ถ้า ต้องการลูกหินให้จำนวนลูกปัดในกองเล็ก ๆ มีจำนวนมากที่สุดแล้วจะแบ่งได้กี่กอง 6. มาลีมีลวดทองแดงยาว 120 เซนติเมตร และลวดสีเงินยาว 78 เซนติเมตร ถ้าต้องการตัดลวด ทั้งสองเส้นออกเป็นท่อน โดยแต่ละท่อนมีความยาวเท่ากัน ลวดแต่ละท่อนจะมีความยาวมาก ที่สุดกี่เซนติเมตร 7. จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.4 5.1. (35,2048) 5.2. (555,1296) 5.3. (28,2187) 5.4. (108,15625) 8. จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.5 6.1. (672,864) 6.2. (663,1872) 6.3. (918,1134) 6.4. (945,1404) 6.5. (1365,2310) 9. ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวก หา ห.ร.ม. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.7 7.1. (2 9,8 37 a a + + ) 7.2. (14 34,2 5 a a + + ) 7.3. (14 13,4 5 a a − − ) 7.4. (( ) ) 3 2 a a a − − + 1 , 3 3
99 7.5. (345,1036) 7.6. (375,1575) 7.7. (456,1368) 7.8. (357,1787) 10. จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนแต่ละคู่ต่อไปนี้ โดบใช้ทฤษฎีที่ 3.1.11 8.1. 64 และ 362 8.2. 249 และ 603 8.3. 345 และ 552 8.4. 741 และ 2261 11. จงใช้ขั้นตอนวิธีการแบบยูคลิดหา ห.ร.ม. ของ a และ b และหาจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำ ให้ (a b ax by , ) = + เมื่อกำหนด a และ b ดังต่อไปนี้ 9.1. a b = = 98, 231 9.2. a b = = 234, 490 9.3. a b = = 321, 770 9.4. a b = = 316, 2002 9.5. a b = = 2023, 2566 12. จงหาจำนวนเต็ม x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ 164 225 2 x y + = 13. จงหาจำนวนเต็ม x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ 312 453 6 x y + = 14. จงหาจำนวนเต็ม x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ 346 510 8 x y + = 15. จงหาจำนวนเต็มบวก x, y และ z ซึ่ง (25,28,32 25 28 32 ) = + + x y z 16. จงหาจำนวนเต็มบวก x, y และ z ซึ่ง (56,68,119 56 68 119 ) = + + x y z 17. จงหาจำนวนเต็มบวก x, y และ z ซึ่ง (54,78,111 54 78 111 ) = + + x y z 18. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ใด ๆ ถ้า (m,4 2 ) = และ (n,4 2 ) = แล้ว (m n + = ,4 2 ) ”
100 19. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ใด ๆ ถ้า (m,9 3 ) = และ (n,9 3 ) = แล้ว (m n + = ,9 3 ) ” 20. จงพิสูจน์ว่า “ถ้า m เป็นจำนวนเต็มคี่และ n เป็นจำนวนเต็มคู่แล้ว ( , , ) 2 n m n m = ” 21. จงพิสูจน์ว่า “ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มคู่ที่ไม่เป็น 0 พร้อมกันแล้ว ( , , ) 2 2 m n m n = ” 22. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a , b และ c ใด ๆ ถ้า c ab แล้ว c a c b c ( , , )( )” 23. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a , b และ c ใด ๆ a b c , ก็ต่อเมื่อ ac และ bc” 24. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a , b และ c ใด ๆ a bc ก็ต่อเมื่อ ( , ) a c a b ” 25. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a , b และ c ใด ๆ (a b c a c b c , , , , , ) =( ) ( )” 26. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a , b และ c ใด ๆ (a b c a c b c , , , , , ) = ( )” 27. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ใด ๆ ถ้า (m n, 1 ) = แล้ว (m n m n + − = , 1 ) หรือ 2 ” 28. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 พร้อมกัน ถ้า (a b, 1 ) = แล้ว ( , 1 ) n n a b = ” 29. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 พร้อมกัน และจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ( , , ) ( ) n n n a b a b = ” 30. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็มคู่ a และ b ใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 ทั้งคู่ ( , 2 , ) 2 2 a b a b = ” 31. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็มคู่ a และจำนวนเต็มคี่ b ใด ๆ ( , , ) 2 a a b b = ” 32. จงแสดงว่า “ไม่มีจำนวนเต็ม x และ y ใด ๆ ที่ (x y, 5 ) = และ x y + = 32” 33. จงแสดงว่า “ไม่มีจำนวนเต็ม x และ y ใด ๆ ที่ (x y, 3 ) = และ x y + =100”
101 34. ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ 9, 12 และ 15 หาร x ลงตัว แต่ 11 หาร x เหลือเศษ 7 แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ A-net ปี 2549) 35. กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ทบวกที่น้อยที่สุด ซึ่งหารด้วย 7 แล้วมีเศษเหลือเท่ากับ 4 ถ้า 9 และ 11 ต่างหาร n − 2 ลงตัวแล้ว n มีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ A-net ปี 2550) 36. ถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หาร 166 และ 1101 ได้เศษเหลือ 1 แล้ว n มีค่าเท่ากับ เท่าใด (ข้อสอบ วิชาสามัญ 1 ปี2557) 37. กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง ab a b − − = 25 25 1575 ถ้า (a b, 5 ) = แล้ว a b −มีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ วิชาสามัญ 1 ปี2555) 38. จงพิสูจน์สำหรับว่า “จำนวนเต็ม a , b และ c a b c , ก็ต่อเมื่อ a c และ bc” 39. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็มบวก a , b และ c ( ) ( )( )( ) , , , , , , , abc a b c a b c a b a c b c = ” 40. จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็มบวก a , b และ c ถ้า (a b c a b c abc , , , , ) = แล้ว (a b b c a c , , , 1 ) = = = ( ) ( ) ” 41. กำหนดให้ m n, 100,101,102, ,200 ถ้า ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ m และ n คือ 35 และ 525 ตามลำดับ แล้ว m n + มีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ วิชาสามัญ 1 ปี2558) 42. ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m n = + 2 และ ค.ร.น. ของ m และ n เท่ากับ 180 แล้วผลคูณ mn มีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ วิชาสามัญ 1 ปี2557) 43. กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า ห.ร.ม. ของ a และ 2520 เท่ากับ 60 และ ค.ร.น. ของ a และ 420 เท่ากับ 4620 แล้ว a มีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ วิชาสามัญ 1 ปี2556) 44. ถ้า S เป็นเซตของจำนวนนับ n ซึ่ง ค.ร.น. ของ 720 และ n เท่ากับ 108000 แล้วสมาชิกของ S ที่มีค่าน้อยที่สุดมีค่าเท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ วิชาสามัญ 1 ปี2555)
102 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วรรณธิดา ยลวิลาศ. (2561). ทฤษฎีจำนวน. กาฬสินธุ์: คณะศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏ กาฬสินธุ์. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4- 5 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษษขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพ์ครั้งที่ 3). กรุงเทพ ฯ: โรคพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 4 หัวข้อเนื้อหา 1. นิยามและสมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ 2. ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต 3. การค้นหาจำนวนเฉพาะ 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 4 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถอธิบายนิยามและสมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ 2. สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทบางประการของจำนวนเฉพาะ 3. สามารถอธิบายและประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต 4. สามารถค้นหาและบอกได้ว่าจำนวนใดบ้างเป็นจำนวนเฉพาะ วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. สนทนาซักถาม และอภิปรายแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. ผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียนมาทุกหัวข้อ 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
104 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 4 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 4 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ 5. แบบทดสอบ
บทที่ 4 จำนวนเฉพาะ จากคำกล ่าวของ เกาส์ (Carl Friendrich Gauss, ค.ศ. 1777-1855) นักคณิตศาสตร์ชาว เยอรมัน ที่กล่าวถึงทฤษฎีจำนวนไว้ว่า “Number theory is the queen of mathematics” ต่อมา ได้มีนักคณิตศาสตร์ชื่อ โค (K.M. Koh) ได้กล่าวว่า “The theory of prime numbers is the queen of number theory” ดังนั้นจำนวนเฉพาะ เป็นเรื ่องหนึ ่งที ่สำคัญในการศึกษาวิชาทฤษฎีจำนวน (ณรงค์ปั้นนิ่ม และนิตติยา, 2552, น. 57) ในการศึกษาเกี่ยวกับในบทนี้จะศึกษาสมบัติที่สำคัญบาง ประการของจำนวนเฉพาะและการพิสูจน์ เพื่อให้ผู้เรียนนำความรู้ไปใช้ในการแก้ปัญหา ข้อคาดการ ต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ และสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการจัดการเรียนการเรียนรู้การศึกษา ขั้นพื้นฐานในอนาคตเมื่อสำเร็จการศึกษา (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 57-67, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 73-86, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 82-91, สมวงษ์ แปลงประสพ โชค. 2545, น. 36-44) โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. นิยามและสมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ 2. ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต 3. การค้นหาจำนวนเฉพาะ 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 4.1 นิยามและสมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ นิยามที่ 4.1.1 จำนวนเต็ม p เป็นจำนวนเฉพาะ (Prime Number) ก็ต ่อเมื ่อ p 1 และถ้า จำนวนเต็ม x หาร p ลงตัวแล้ว หรือ x p = เท่านั้น ในเอกสารประกอบการสอนนี้จะกล่าวถึงจำนวนเฉพาะที่เป็นบวกเท่านั้น นั่นคือเมื่อกล่าวถึง จำนวนเฉพาะจะเป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 เท่านั้น และจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่จำนวน เฉพาะเรียกว่า จำนวนประกอบ (Composite Number) ตัวอย่างจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 500 มี 95 ตัว ได้แก่
106 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 สามารถหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 500 นี้ ได้จาก WolframAlpha โดยใช้คำสั่ง Primes<=500 ดังภาพที่ 4.1 ภาพที่ 4.1 แสดงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 500
107 ทฤษฎีบทที่ 4.4.1 มีจำนวนเฉพาะคู่เพียงตัวเดียวเท่านั้นคือ 2 พิสูจน์ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นจะมีจำนวนเต็ม k ที่ p k = 2 จาก P 2 และ 2 0 ดังนั้น P 0 จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ และ k เป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของ p จากนิยามจำนวนเฉพาะตัวประกอบของ p ต้องเป็น 1 หรือ p เท่านั้น จะได้ว่า k =1 หรือ k = p จาก p k = 2 ถ้า k p = จะได้ p p = 2 ขัดแย้ง ดังนั้น k =1 นั่นคือ p = = 2 1 2 ( ) ดังนั้น มีจำนวนเฉพาะคู่เพียงตัวเดียวเท่านั้นคือ 2 ทฤษฎีบทที่ 4.1.2 จำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่า 1 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มี d เป็นตัว ประกอบของ n และ 2 d n พิสูจน์ (→) ให้ n เป็นจำนวนประกอบ จะแสดงว่า มี d เป็นตัวประกอบของ n และ 2 d n จาก n เป็นจำนวนประกอบ จะมี d เป็นตัวประกอบที่ 2 d n ถ้า d n เลือก d d = ดังนั้นจะมี d เป็นตัวประกอบของ n และ 2 d n ถ้า d n จาก d เป็นตัวประกอบของ n จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม p ที่ n pd = นั่นคือ p จะ เป็นตัวหารของประกอบหนึ่งของ n จะแสดงว่า p n โดยข้อขัดแย้งนั่นคือให้ p n จาก d n และ p n จะได้ d p n ขัดแย้งกับ n pd = ดังนั้น p n เลือก d p = ดังนั้นจะมี d เป็นตัวประกอบของ n และ 2 d n () ให้ d เป็นตัวประกอบของ n และ 2 d n จาก d เป็นตัวประกอบของ n ดังนั้น n เป็นจำนวนประกอบ ทฤษฎีบทที่ 4.1.3 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่า 1 จะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ pn พิสูจน์จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง โดยสมมติให้ ไม่มีจำนวนเฉพาะ p ที่ pn ให้ S n N n 1 = และไม ่ ม ี จ านวนเฉพาะ p ท ี ่ p n จากสมมติให้ ไม่มีจำนวนเฉพาะ p ที่ pn ดังนั้น S โดยหลักการจัดอันดับดีจะได้ว่า S มี สมาชิกตัวที่เล็กที่สุด สมมติเป็น 0 n นั่นคือ 0 n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น 0 n เป็นจำนวนประกอบ
108 จะได้ว่ามี d N ที่ 0 1 d n และ 0 dn จาก 0 d n และ 0 n เป็นสมาชิกตัวที่เล็กที่สุดของ S ดังนั้น d S นั่นคือ มีจำนวนเฉพาะ p ที่ pd จาก pd และ 0 dn ดังนั้น 0 pn ขัดแย้งเนื่องจาก 0 n S ดังนั้น มีจำนวนเฉพาะ p ที่ pn ทฤษฎีบทที่ 4.1.4 มีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์ พิสูจน์จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง โดยสมมติให้จำนวนเฉพาะมีจำนวนจำกัด ดังนั้นจะต้องมีจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด และกำหนดให้ q p = + (2 3 4 1 ) จะเห็นชัดเจนว่า q p และจากสมมติ p เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด จะได้ว่า q เป็นจำนวนประกอบ จากทฤษฎีบทที่ 4.1.2 จะได้ว่ามีจำนวนเฉพาะ p ที่ p q จากให้ q p = + (2 3 4 1 ) จะได้ว่าไม่มีจำนวนเต็มใด ๆ จาก 2 ถึง p ที่หาร q ลงตัว เนื่องจากเหลือเศษเท่ากับ 1 นั่นคือ p p ขัดแย้งกับสมมติ p เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด ดังนั้น มีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์ ทฤษฎีบทที่ 4.1.5 ให้p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า pq จะได้ว่า p q = พิสูจน์ ให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ และ pq จาก q เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ p =1 หรือ p q = แต่ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น p 1 ดังนั้น p q = ทฤษฎีบทที่ 4.1.6 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า ถ้า p ab แล้ว pa หรือ pb พิสูจน์ ให้a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ p เป็นจำนวนเฉพาะ สมมติให้ p ab และ p a จะแสดงว่า pb จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นตัวประกอบที่เป็นจำนวนบวกของ p คือ 1 และ p และจาก p a จะได้ ( p a, 1 ) = จาก p ab และ ( p a, 1 ) = จะได้ pb
109 ทฤษฎีบทที่ 4.1.7 ให้ 1 2 3 , , , , n a a a a เป็นจำนวนเต็มบวก และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า ถ้า 1 2 3 n p a a a a แล้ว i pa สำหรับบางจำนวน i n 1,2,3, , พิสูจน์ ให้ 1 2 3 , , , , n a a a a เป็นจำนวนเต็มบวก และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จะพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ โดยให้ Pn( ) แทน ถ้า 1 2 3 n p a a a a แล้ว i pa สำหรับ บางจำนวน i n 1,2,3, , 1. n = 1 เนื่องจาก ถ้า 1 pa แล้ว 1 pa จริง ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. ให้ P k( ) เป็นจริง จะแสดงว่า P k( 1) + จริง นั่นคือให้ ถ้า 1 2 3 k p a a a a แล้ว i pa สำหรับบางจำนวน i k 1,2,3, , เป็นจริง จะแสดงว่า ถ้า 1 2 3 1 k k p a a a a a + แล้ว i pa สำหรับบางจำนวน i k k + 1,2,3, , , 1 เป็นจริง ให้ p a a a a a ( 1 2 3 1 k k ) + จากทฤษฎีบทที่ 4.1.5 จะได้ 1 2 3 k p a a a a หรือ k 1 p a + กรณี k 1 p a + จะได้ว่ามี i k = +1 ที่ i pa กรณี 1 2 3 k p a a a a จากให้ P k( ) เป็นจริง นั่นคือจะมี 1 2 3 , , , , n a a a a i k 1,2,3, , ที่ i pa ดังนั้นจะมี i k + 1,2,3, , 1 ที่ i pa นั่นคือ P k( 1) + จริง ดั้งนั้นจาก 1 และ 2 โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า ถ้า 1 2 3 n p a a a a แล้ว i pa สำหรับบาง จำนวน i n 1,2,3, , จากทฤษฎีบทที่ 4.1.5 จะได้ว่าถ้าให้ a เป็นจำนวนเต็มบวก และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ ว่า สำหรับจำนวนนับ n ถ้า n pa แล้ว pa ตัวอย่างที่ 4.1.1 จงหาจำนวเฉพาะ p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข p p( +1 36 ) วิธีทำ จาก p p( +1 36 ) และ p ( p +1) ดังนั้น p 36 จะได้ p = 2,3 ตัวอย่างที่ 4.1.2 จงหาจำนวเฉพาะ p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข 7 p 326 วิธีทำ จาก 7 p 184 ดังนั้น p 184 จะได้ p = 2,23
110 ตัวอย่างที่ 4.1.3 จงหาจำนวเฉพาะ p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ( ) 3 p p 980 3 + วิธีทำ จาก ( ) 3 p p 980 3 + จะได้ p p (980 3 + ) จาก p p3 จะได้ p 980 จะได้ p = 2,5,7 ตัวอย่างที่ 4.1.4 จงหาจำนวเฉพาะ p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ( ) 3 2 p p P + + 2 42 วิธีทำ จาก ( ) 3 2 p p P + + 2 42 จะได้ ( ) 2 p p P + + 2 42 จาก 2 p p และ p p2 จะได้ p 42 จะได้ p = 2,3,7 ตัวอย่างที่ 4.1.5 จงหาจำนวเฉพาะ p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ( ) ( ) 6 2 p p P + + + 1 2 45 วิธีทำ พิจารณา 2 p P + + 2 45 ( ) 2 2 = + + + = + + p P p 2 1 44 1 44 จาก ( ) (( ) ) 6 2 p p + + + 1 1 44 จะได้ ( ) (( ) ) 2 p p + + + 1 1 44 จาก ( ) ( ) 2 p p + + 1 1 จะได้ ( p +1 44 ) จะได้ p + =1 1,2,4,11,22,44 นั่นคือ p =1,3,10,21,43 จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น p = 3,43 ทฤษฎีบทที่ 4.1.8 ให้ 1 2 3 , , , , n p p p p และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า ถ้า 1 2 3 n p p p p p แล้ว i p p = สำหรับบางจำนวน i n 1,2,3, , พิสูจน์ให้ 1 2 3 , , , , n p p p p และ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ 1 2 3 n p p p p p จากทฤษฎีบทที่ 4.1.7 ได้ว่า i p p สำหรับบางจำนวน i n 1,2,3, , และจาก i p เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น p =1 หรือ i p p = แต่ p 1 ดังนั้น i p p = นิยามที่ 4.1.2 จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relatively Prime) ก็ต ่อเมื่อ (a b, 1 ) = ตัวอย่างเช่น 4 และ 9 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์ เนื่องจาก (4,9 1 ) = 15 และ 32 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์ เนื่องจาก (15,32 1 ) = 12 และ 15 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์ เนื่องจาก (12,15 3 1 ) =
111 ข้อสังเกต จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ไม่ได้หมายถึง a หรือ b จำนวนใดจำนวน หนึ่งหรือทั้งสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะ นิยามที่ 4.1.3 จำนวนเต็ม 1 2 3 , , , , n a a a a เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อ (a a a a 1 2 3 , , , , 1 n ) = แ ล ะ ถ้ า (a ai j , 1 ) = ส ำห รับท ุ ก i j , โ ด ยที ่ i j จ ะได้ ว่ า 1 2 3 , , , , n a a a a เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ทุกคู่ (Pairwise Relatively Prime Numbers) ทฤษฎีบทที่ 4.1.9 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็ม ถ้า p a แล้ว ( p a, 1 ) = พิสูจน์ ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ p a สมมติ ( p a d , ) = จะแสดงว่า d = 1 โดยข้อขัดแย้งสมมติ d 1 จาก ( p a d , ) = จะได้ d p จาก p เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ d = 1 หรือ d p = แต่ d 1 ดังนั้น d p = จาก ( p a d , ) = จะได้ da และจาก d p = จะได้ pa ขัดแย้ง ดังนั้น d = 1 นั้นคือ ( p a, 1 ) = 4.2 ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต ทฤษฎีบทที่ 4.2.1 ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จะได้ว่า n สามารถเขียนได้ในรูป 1 2 3 1 2 3 k a a a a k n p p p p = โดยที่ 1 2 3 , , , , k p p p p เป็นจำนวนเฉพาะที่ 1 2 3 k p p p p และ i a เป็นจำนวน นับสำหรับทุก i k =1,2,3, , และเขียน n รูปแบบดังกล่าวได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น หรือกล่าวได้ว่า สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ ที่มากกว่า 1 สามรถเขียนในรูปผลคูณของจำนวน เฉพาะได้ และถ้าไม่คิดลำดับเป็นสำคัญแล้วจะเขียนได้วิธีเดียว เรียกการเขียน n ในรูปแบบนี้ว่า รูปแบบบัญญัติ (Canonical Form) พิสูจน์ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1
112 ในการพิสูจน์นี้แบ่งเป็น 2 ขั้น ขั้นที่ 1 พิสูจน์ว่า n สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะยก กำลัง และขั้นที่ 2 พิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนเฉพาะในขั้นที่ 1 ขั้นมีแบบเดียว และจะแบ่ง n เป็น 2 กรณี คือ n เป็นจำนวนเฉพาะ และ n เป็นจำนวนประกอบ กรณี 1 ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่าการเขียน n n = และสามารถเขียนได้แบบเดียว กรณี 2 ถ้า n เป็นจำนวนประกอบ ขั้นที่ 1 จะพิสูจน์n สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะยกกำลัง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ แบบที่ 2 ให้ P(n) แทน n สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะยกกำลัง และให้ P(k) เป็นจริง เมื่อ k n จะแสดงว่า P(n) เป็นจริง จาก n เป็นจำนวนประกอบ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม a และ b ที่ 1 a b n ที่ทำให้ n ab = จาก a n และ b n จะได้ว่า P(a) และ P(a) เป็นจริง นั่นคือ a และ b สามารถเขียนได้ในรูปผล คูณของจำนวนเฉพาะ ดังนั้น n ab = สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ นั้นคือ n สามารถ เขียนในรูป 1 2 3 1 2 3 k a a a a k n p p p p = โดยที่ 1 2 3 , , , , k p p p p เป็นจำนวนเฉพาะที่ 1 2 3 k p p p p และ i a เป็นจำนวน นับสำหรับทุก i k =1,2,3, , ขั้นที่ 2 พิสูจน์ว่าการเขียน n ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะมีแบบเดียว สมมติให้ n เขียนในรูป 1 2 3 s n p p p p = และ 1 2 3 t n p p p p = โดยที่ 1 2 3 , , , , s p p p p , 1 2 3 , , , , t p p p p เป็นจำนวนเฉพาะที่ 1 2 3 s p p p p และ 1 2 3 t p p p p จาก 1 2 3 s n p p p p = จะได้ 1 p n และจาก 1 2 3 t n p p p p = จะได้ 1 1 2 3 t p p p p p นั่นคือ 1 i p p สำหรับบาง i จาก 1 p และ i p เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ 1 i p p = ดังนั้น 1 1 p p ในทำนองเดียวกันพิสูจน์ได้ว่า 1 1 p p ดังนั้น 1 1 p p = พิสูจน์ในทำนองเดียวกันจะได้ 1 1 2 2 3 3 p p p p p p = = = ,,, ตามลำดับ จาก 1 2 3 1 2 3 s t p p p p p p p p = และ 1 1 2 2 3 3 p p p p p p = = = ,,, โดยสมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ ถ้า s t จะได้ 1 2 3 1 t t t s p p p p + + + = เป็นไปไม่ได้ ถ้า s t จะได้ 1 2 3 1 s s s t p p p p + + + = เป็นไปไม่ได้
113 ดังนั้น s t = นั่นคือ 1 1 2 2 3 3 , , , , s t p p p p p p p p = = = = ดังนั้น n สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้แบบเดียว จากทฤษฎีบทที่ 4.2.1 สามารถประยุกต์ใช้ในการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ดังทฤษฎีบทที่ 4.2.2 ทฤษฎีบทที่ 4.2.2 ให้ m และ n เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 และเขียนในรูปบัญญัติได้ดังนี้ 1 2 1 2 k a a a m p p p = k และ 1 2 1 2 k b b b k n p p p = โดยที่ i a และ i b เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าเท่ากับ 0 แต่ไม่เป็น 0 พร้อมกัน จะได้ว่า 1 2 1 2 , k c c c m n p p p = k เมื่อ c a b i i i = max , ( ) 1 2 1 2 , k d d d m n p p p = k เมื่อ d a b i i i =min , พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด ทฤษฎีบทที่ 4.2.3 ให้ n เป็นจำนวนบับที่มากกว่า 1 และเขียนในรูปบัญญัติได้ดังนี้ 1 2 1 2 k a a a k n p p p = เมื่อ i a N สำหรับทุก ๆ i แล้วจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ n มีค่าเท่ากับ (a a a a 1 2 3 + + + + 1 1 1 1 )( )( ) ( n ) พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด จากบทที่ 3 เราได้ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และค.ร.น. มาแล้ว นั้นคือ ผลคูณของ ห.ร.ม. และค.ร.น. ของสองจำนวนเต็มบวกใด ๆ มีค่าเท่ากับผลคูณของสองจำนวนนั้น ต่อไปเราจะ ศึกษษการพิสูจน์ในอีกรูปแบบหนึ่งดังนี้ ทฤษฎีบทที่ 4.2.4 ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 จะได้ (m n m n mn , , ) = พิสูจน์ แยกพิสูจน์เป็น 4 กรณี กรณีที่ 1 m =1 จะได้ (1, 1 n) = และ 1,n n = จะได้ (m n m n mn , , ) = กรณีที่ 2 n =1 จะได้ (m,1 1 ) = และ m m ,1 = จะได้ (m n m n mn , , ) = กรณีที่ 3 m =1 และ m =1 จะได้ (1,1 1 ) = และ 1,1 1 = จะได้ (m n m n mn , , ) = กรณีที่ 4 m 1 และ n 1 จะได้ 1 2 1 2 k a a a m p p p = k และ 1 2 1 2 k b b b k n p p p = นั่นคือ 1 2 1 2 , k c c c m n p p p = k เมื่อ c a b i i i = max , และ
114 ( ) 1 2 1 2 , k d d d m n p p p = k เมื่อ d a b i i i =min , จะได้ (m n m n , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 k k c c d d c d k k = p p p p p p 1 1 2 2 1 2 k k c d c d c d k p p p + + + = จาก c d a b a b a b i i i i i i i i + = + = + max , min , จะได้ (m n m n , , ) 1 1 2 2 1 2 k k a b a b a b k p p p + + + = 1 2 1 2 1 2 1 2 k k a a b b a b k k = = p p p p p p mn 4.3 การค้นหาจำนวนเฉพาะ ทฤษฎีบทที่ 4.3.1 ถ้า n เป็นจำนวนประกอบ แล้วจะมีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง p n และ pn พิสูจน์ ให้ n เป็นจำนวนประกอบ จะได้ว่ามีจำนวนเต็มบวก a และ b ที่ 1 a b n และ n ab = นั่นคือ an และ bn จาก 1 a b n จะได้ 2 a ab n = นั้นคือ 2 a n ดังนั้น a n จาก a 1 จะได้ว่ามีจำนวนเฉพาะ p ที่ pa และจาก an จะได้ pn และ p a n จากทฤษฎีบทที่ 4.3.1 กล่าวได้ว่า - ถ้าไม่มีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง p n และ pn แล้ว n เป็นจำนวนเฉพาะ - ถ้ามีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง p n และ pn แล้ว n เป็นจำนวนประกอบ ดังนั้นถ้าต้องการตรวจสอบจำนวนเต็ม n ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ให้นำจำนวนเฉพาะที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับ n ไปหาร n ถ้าไม่มีจำนวนใดที่หารลงตัวจะสรุปว่า n เป็นจำนวนเฉพาะแต่ถ้า มีจะสรุปว่าเป็นจำนวนประกอบ ตัวอย่าง 4.3.1 จงตรวจสอบจำนวนต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ 1. 127 2. 239
115 3. 323 4. 397 5. 589 6. 713 วิธีทำ 1. จาก 127 11.27 จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 127 ได้แก่ 2, 3, 5, 7 และ 11 นำ 2, 3, 5, 7 และ 11 ไปหาร 127 จะได้ว่าไม่มีจำนวนใดที่หารลงตัว ดังนั้น 127 เป็นจำนวนเฉพาะ 2. จาก 239 15.46 จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 127 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11 และ 13 นำ 2, 3, 5, 7, 11 และ 13 ไปหาร 239 จะได้ว่าไม่มีจำนวนใดที่หารลงตัว ดังนั้น 239 เป็นจำนวนเฉพาะ 3. จาก 323 17.97 จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 323 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13 นำ 17 ไปหาร 323 จะพบว่า 17 สามารถหาร 323 ได้ลงตัว ดังนั้น 323 เป็นจำนวนประกอบ 4. จาก 397 19.85 จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 397 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 และ 19 นำ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 และ 19 ไปหาร 397 จะได้ว่าไม่มีจำนวนใดที่หารลงตัว ดังนั้น 397 เป็นจำนวนเฉพาะ 5. จาก 589 24.67 จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 589 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23 นำ 19 ไปหาร 589 จะพบว่า 19 สามารถหาร 589 ได้ลงตัว ดังนั้น 589 เป็นจำนวนประกอบ
116 6. จาก 713 26.70 จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่า 713 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23 นำ 23 ไปหาร 713 จะพบว่า 23 สามารถหาร 713 ได้ลงตัว ดังนั้น 713 เป็นจำนวนประกอบ สามารถใช้ WolframAlpha ตรวจสอบ a เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม ่ โดยใช้คำสั ่ง Is a primes ดังภาพที่ 3.2 ภาพที่ 4.2 แสดงการตรวจสอบ 713 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จากทฤษฎีที่ 4.3.1 กล่าวได้ว่า ถ้าไม่มีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง p n และ p n แล้ว n เป็นจำนวนเฉพาะ ในการตรวจสอบจำนวนเฉพาะโดยวิธีการนี้เรียกว่า ตะแกรงเอราโตสเทเนส (The sieve of Eratosthesnes) นอกจากวิธีนี้สามารถนำไปใช้ในการหาจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดได้ โดยมีขั้นตอนดังต่อไปนี้ 1. เขียนจำนวนเต็มตั้งแต่ 2 ถึง n 2. ให้ 1 2 3 2, , , , k p p p p = เป็นจำนวนเฉพาะเรียงจากน้อยไปมากทั้งหมดที่น้อยกว่า หรือเท่ากับ n 3. เลือก 1 p = 2 และกำจัดทุกตัวในข้อ 1 ที่หารด้วย 1 p = 2 ลงตัว 4. เลือก 2 p และกำจัดทุกตัวในข้อ 1 ที่หารด้วย 2 p ลงตัว และทำซ้ำไปเรื่อย ๆ จนถึง k p จำนวนที่เหลือทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n
117 ตัวอย่างที่ 4.3.2 จงหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มีค่าไม่เกิน 100 วิธีทำ จำนวเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 10 = คือ 2, 3, 5, 7 1. เลือก 2 และกำจัดทุกตัวที่หารด้วย 2 ลงตัว 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2. เลือก 3 และกำจัดทุกตัวที่หารด้วย 3 ลงตัว 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
118 3. เลือก 5 และกำจัดทุกตัวที่หารด้วย 5 ลงตัว 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 4. เลือก 7 และกำจัดทุกตัวที่หารด้วย 7 ลงตัว 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
119 จำนวนที่เหลือคือจำนวนเฉพาะ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 ทั้งหมดคือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97 นิยาม 4.3.1 จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat Numbers) จำนวนแฟร์มาต์ คือจำนวนที่เขียนอยู่ในรูป 2 2 1 n n F = + เมื่อ n I 0 + จากนิยามจำนวนแฟร์มาต์จะได้ว่าจำนวนแฟร์มาต์เป็นจำนวนเต็มคู่ ตัวอย่างที่ 4.3.3 จงหาจำนวนแฟร์มาต์ 5 จำนวนแรก วิธีทำ 0 2 1 0 F = + = + = 2 1 2 1 3 1 2 2 1 F = + = + = 2 1 2 1 5 2 2 4 2 F = + = + = 2 1 2 1 17 3 2 8 3 F = + = + = 2 1 2 1 257 4 2 16 4 F = + = + = 2 1 2 1 65537 จากตัวอย่าง 4.3.3 ได้ว่าจำนวนแฟร์มาต์ทั้ง 5 จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะและคาดเดาว่า จำนวนต่อ ๆ ไปน่าจะเป็นจำนวนเฉพาะด้วย
120 แต ่เมื ่อคำนวณหาค ่าของจำนวนต ่อไป เช ่น 5 2 5 F = + = 2 1 4294967297 เป็นจำนวน ประกอบเนื่องจาก 4294967297 641 6700417 = เราสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ WolfamAlpha ดังภาพที่ 4.3 เราจะเรียกจำนวนแฟร์มาต์ที่เป็นจำนวนเฉพาะว่าจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์(Fermat Prime) ภาพที่ 4.3 แสดงจำนวนแฟร์มาต์เมื่อ n =5 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ทฤษฎีบทที่ 4.3.1 ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ m n จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ จำนวนแฟร์มาต์ m F และ n F มีค่าเท่ากับ 1 พิสูจน์ ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ m n และ (F F d m n , ) = จะแสดงว่า d = 1 จาก 2 2 2 1, 2 1 m n m n F F = + = + และ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m n m n m n n m n n − + − − = = = พิจารณา 2 m n F F − ( ) 2 2 2 2 1 2 1 m n n n − − = + ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 m n m n n n n n n − − − − + − + + − = + ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 m n m n n n n − − − − = − + + − ดังนั้น F F n m ( −2)
121 จาก (F F d m n , ) = จะได้ n d F และจาก F F n m ( −2) จะได้ d F( m −2) และจาก m d F จะได้ d 2 นั้นคือ d =1, 2 เนื่องจากจำนวนแฟร์มาต์เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้น d = 1 นิยาม 4.3.2 จำนวนมาร์เซน (Mersenne Numbers) จำนวนมาร์เซน คือ จำนวนที่อยู่ในรูป 2 1 n M n = − เมื่อ n ตัวอย่างที่ 4.3.4 จงหาจำนวนมาร์เซน 5 จำนวนแรก วิธีทำ 1 1 M = − = 2 1 1 2 2 M = − = 2 1 3 3 3 M = − = 2 1 7 4 4 M = − = 2 1 15 5 5 M = − = 2 1 31 จากตัวอย่างที่ 4.3.4 จะได้ว่า 2 3 M M, และ M5 เป็นจำนวนเฉพาะ และจะเรียกจำนวนมาร์ เซนที่เป็นจำนนเฉพาะว่าจำนวนเฉพาะมาร์เซน (Mersenne Prime) นิยามที่ 4.3.3 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p * แทนผลคูณของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ p จำนวนเต็มแบบยูคลิด (Euclidean Numbers) คือจำนวนเต็มที่อยู่ในรูป p * 1 + ตัวอย่างที่ 4.3.5 จงหาจำนวนเต็มแบบยูคลิด p * 1 + เมื่อ p * แทนผลคูณของจำนวนเฉพาะที่น้อย กว่าหรือเท่ากับ 2, 3, 5, 7 และ 11 วิธีทำ เมื่อ p = 2 จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 คือ 2 จะได้ p* 2 = ดังนั้น p * 1 2 1 3 + = + = เมื่อ p = 3 จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 คือ 2, 3 จะได้ p* 2 3 6 = = ดังนั้น p * 1 6 1 7 + = + = เมื่อ p = 5 จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5 คือ 2, 3, 5 จะได้ p* 2 3 5 30 = = ดังนั้น p * 1 30 1 31 + = + = เมื่อ p = 7 จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 7 คือ 2, 3, 5, 7 จะได้ p* 2 3 5 7 210 = = ดังนั้น p * 1 210 1 211 + = + = เมื่อ p =11 จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 11 คือ 2, 3, 5, 7, 11 จะได้ p* 2 3 5 7 2310 = = ดังนั้น p * 1 2310 1 2311 + = + =
122 4.4 สรุป ในบทที่ 4 นี้เราได้ศึกษา 3 หัวข้อ โดยหัวข้อแรกเน้นให้เข้าใจนิยามและสมบัติบางประการของ จำนวนเฉพาะ หัวข้อที่สองได้ศึกษาทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิตซึ่งเป็นทฤษฎีที่สำคัญโดยทฤษฎีนี้จะพูด ถึงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเฉพาะและจำนวนเต็ม และหัวข้อสุดท้ายเป็นการค้นหาจำนวนเฉพาะ และตรวจสอบว่าจำนวนที่สนใจว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ พร้อมทั้งนิยามของจำนวนแฟร์มาต์ และ จำนวนแมร์แซน 4.5 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1. จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 1.1. 2 p 326 1.2. 5 p 624 1.3. p p( + 248) 1.4. p p (9240 − ) 1.5. ( ) 4 p p 1950 − 1.6. ( ) 5 p p 2310 − 1.7. p p( +1 432 ) 1.8. p 100! 1.9. p 200! 1.10. ( p p − − 1 33 ) ( ) 1.11. ( ) ( ) 2 p p p − − + 1 33 1.12. ( ) ( ) 2 p p p + + + 1 2 25 1.13. ( ) ( ) 2 p p p + + + 1 2 74 1.14. ( ) ( ) 2 p p p + + + 2 4 76 2. จงแสดงว่า ถ้า n เป็นจำนวนประกอบแล้ว 2 1 n −เป็นจำนวนประกอบแล้ว 3. จงแสดงว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว (2 2) p p − 4. จงแสดงว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว (2 2) p p −
123 5. จงแสดงว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะที่ n pa แล้ว n n p a 6. จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ถ้า 3 n +1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว n =1 7. จงหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ (2 1) p p − 8. จงหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ (2 1) p p + 9. จงหาจำนวนเฉพาะ p ที่มีเงื่อนไขว่า p < 100 และ p +2 ยังคงเป็นจำนวนเฉพาะ 10. จงตรวจสอบว่าจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ 10.1 269 10.2 379 10.3 547 10.4 617 10.5 753 10.6 907 10.7 979 10.8 1039 10.9 1309 10.101439 11. จงหาจำนวนของตัวหารทั้งหมดของ 11.1 102 11.2 136 11.3 444 11.4 648 11.5 840 11.6 3780 11.7 6300 11.8 7560 12. จงหาจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 40 และเขียนอยู่ในรูป 3 1 n + 13. จงหาจำนวนเฉพาะที่เขียนอยู่ในรูป 3 1 n + มา 10 จำนวน 14. จงหาจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนที่มากกว่า 11 ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป 2 1 n −
124 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 5 หัวข้อเนื้อหา 1. สมภาค 2. สมภาคเชิงเส้น 3. ทฤษฎีเศษเหลือของจีน 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 5 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถอธิบายนิยามและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่บวกับสมภาคได้ 2. สามารถนำสมภาคไปช่วยในการแก้ปัญหาได้ 3. สามารถหาผลเฉลยสมการสมภาคเชิงเส้นได้ 4. สามารถอธิบายและพิสูจน์ทฤษฎีเศษเหลือของจีนได้ 5. สามารถนำทฤษฎีเศษเหลือของจีนได้ไปประยุกต์ใช้ได้ วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. สนทนาซักถาม และอภิปรายแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. ผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียนมาทุกหัวข้อ 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
126 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 5 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 5 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ
บทที่ 5 ทฤษฎีสมภาค การศึกษาทฤษฎีจำนวน สมภาคถือได้ว่ามีความสำคัญที่ช่วยในการอธิบายสมบัติการหารลง ตัว สมภาคถูกนำเสนอโดย เกาส์ ในบทนี้เราจะศึกษานิยามและทฤษฎีบทที่สำคัญบางประการของสม ภาค และการประยุกต์ใช้สมภาค โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. สมภาค 2. สมภาคเชิงเส้น 3. ทฤษฎีเศษเหลือของจีน 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 5.1 สมภาค ในหัวข้อนี้เราจะศึกษานิยาม ทฤษฎีบทพร้อมการพิสูจน์ และตัวอย่างของสมภาค (ณรงค์ ปั้น นิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 128-135, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 91-98, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 63-73, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 112-117) นิยามที่5.1.1 ให้n เป็นจำนวเต็มบวก สำหรับจำนวนเต็ม a และ b จะกล่าวว่า a สมภาคกับ b มอดุโล m (a is incongruent to b modulo n) ก็ต่อเมื่อ m a b ( − ) เขียนแทนด้วย a b m (mod ) และ a ไม่สมภาคกับ b มอดุโล m (a is congruent to b modulo n) ก็ต่อเมื่อ m (a b − ) เขียนแทนด้วย a b m (mod ) ตัวอย่างที่ 5.1.1 22 1 mod 3 ( ) เนื่องจาก 3 22 1 ( − ) 26 2 mod 4 ( ) เนื่องจาก 4 26 2 ( − ) 243 3 mod 5 ( ) เนื่องจาก 5 243 3 ( − ) 79 5 mod 7 ( ) เนื่องจาก 7 (79 5 − )
128 79 5 mod 7 − ( ) เนื่องจาก 7 79 5 ( − −( )) − 92 4 mod 8 ( ) เนื่องจาก 8 92 4 (− − ) − − 68 4 mod 8 ( ) เนื่องจาก 8 68 4 (− − −( )) − 123 5 mod 9 ( ) เนื่องจาก 9 (− − 123 5) ต่อไปเราจะศึกษาสมบัติเบื้องต้นของสมภาค ทฤษฎีบทที่ 5.1.1 ให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วสำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม r เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ a r m (mod ) เมื่อ 0 r m พิสูจน์ ให้ a เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ว่ามีจำนวนเต็ม q และ r เพียงคู่เดียวที่สอดคล้องกับ a mq r = + เมื่อ 0 r m จะได้ a r mq − = นั่นคือ m a r ( − ) ดังนั้น a r m (mod ) เมื่อ 0 r m ต่อไปจะแสดงว่า เต็ม r เพียงตัวเดียว ที่สอดคล้องกับ a r m (mod ) เมื่อ 0 r m ให้ r และ r เป็นจำนวนเต็ม ที่ 0 r r m และสอดคล้องกับ a r m (mod ) และ a r m (mod ) จะได้ m a r ( − ) และ m a r ( − ) โดยที่ 0 r r m ดังนั้น m a r a r (( ) ( 1)( )) − + − − นั่นคือ m r r ( − ) โดยที่ 0 − r r m ถ้า 0 − r r m จะได้ m (r r − ) ขัดแย้ง จะได้ r r − = 0 ดังนั้น r r = นั่นคือ สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม r เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ a r m (mod ) เมื่อ 0 r m จากทฤษฎีบทที่ 5.1.1 ได้ว่า - สำหรับจำนวนเต็ม a แต่ละจำนวนจะมี r m − 0,1,2, , 1 เพียงค่าเดียวที่ทำให้ a r m (mod ) ซึ่ง ค่า r นี้คือเศษที่เหลือจากการหาร a ด้วย m - ถ้า r r m (mod ) โดยที่ r r m , 0,1,2, , 1 − แล้ว r r = - สมาชิกในเซต 0,1,2, , 1 m− ที่แตกต่างกันจะไม่สมภาคกันในมอดุโล m
129 ทฤษฎีบทที่ 5.1.2 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว 1. สมบัติสะท้อน a a m (mod ) 2. สมบัติสมมาตร ถ้า a b m (mod ) แล้ว b a m (mod ) 3. สมบัติถ่ายทอด ถ้า a b m (mod ) และ b c m (mod ) แล้ว a c m (mod ) พิสูจน์ ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก 1. เนื่องจาก m a a ( − ) ดังนั้น a a m (mod ) 2. ให้ a b m (mod ) จะได้ m a b ( − ) ดังนั้น m a b − − ( ) นั่นคือ m b a ( − ) ดังนั้น b a m (mod ) 3. ให้ a b m (mod ) และ b c m (mod ) จะได้ m a b ( − ) และ m b c ( − ) ดังนั้น m a b b c (( − + − ) ( )) นั่นคือ m a c ( − ) ดังนั้น a c m (mod ) ทฤษฎีบทที่ 5.1.3 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า 1. ถ้า a b m (mod ) แล้ว a c b c m ++ (mod ) 2. ถ้า a b m (mod ) แล้ว ac bc m (mod ) พิสูจน์ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก 1. ให้ a b m (mod ) จะได้ m a b ( − ) พิจารณา a b a c c b c c a c b c − = + − − + − = + − + ( ) ( ) จะได้ m a c b c (( +−+ ) ( )) ดังนั้น a c b c m ++ (mod ) 2. ให้ a b m (mod ) จะได้ m a b ( − ) ดังนั้น m a b c ( − ) และจาก (a b c ac bc − = − ) จะได้ m ac bc − ดังนั้น ac bc m (mod )
130 ทฤษฎีบทที่ 5.1.4 ให้ a , b, c และ d เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า 1. ถ้า a b m (mod ) และ c d m (mod ) แล้ว a c b d m ++ (mod ) 2. ถ้า a b m (mod ) และ c d m (mod ) แล้ว ac bd m (mod ) พิสูจน์ 1. ให้ a b m (mod ) และ c d m (mod ) จะได้ m a b ( − ) และ m c d ( − ) พิจารณา (a b c d a c b d − + − = + − + ) ( ) ( ) ( ) จะได้ m a c b d (( +−+ ) ( )) ดังนั้น a c b d m ++ (mod ) 2. ให้ a b m (mod ) และ c d m (mod ) จะได้ m a b ( − ) และ m c d ( − ) พิจารณา (a b c c d b ac bc cb bd ac bd − + − = − − − = − ) ( ) จะได้ m ac bd ( − ) ดังนั้น ac bd m (mod ) ทฤษฎีบทที่ 5.1.5 ให้ a , b, c, d, x และ y เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า a b m (mod ) และ c d m (mod ) แล้ว ax cy bx dy m + + (mod ) พิสูจน์ให้ a b m (mod ) และ c d m (mod ) จากทฤษฎีบทที่ 5.1.3 ข้อ 2 จะได้ ax bx m (mod ) และ cy dy m (mod ) จากทฤษฎีบทที่ 5.1.4 ข้อ 1 จะได้ ax cy bx dy m + + (mod ) ทฤษฎีบทที่ 5.1.6 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า a b m (mod ) แล้ว (mod ) n n a b m พิสูจน์จะพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ให้ P n( ) แทน ถ้า a b m (mod ) แล้ว (mod ) n n a b m 1. n = 1 เป็นจริง 2. ให้ P k( ) เป็นจริง จะแสดงว่า P k( +1) เป็นจริง จาก P k( ) เป็นจริง นั่นคือ ถ้า a b m (mod ) แล้ว (mod ) k k a b m เป็นจริง จะแสดงว่า P k( +1) เป็นจริง นั่นคือ จะแสดงว่า ( ) 1 1 mod k k a b m + + เป็นจริง จาก a b m (mod ) และ (mod ) k k a b m จากทฤษฎีบทที่ 1.1.3 ข้อ 2 จะได้ (mod ) k k a a b b m นั่นคือ ( ) 1 1 mod k k a b m + +
131 ดังนั้น P k( +1) เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า P n( ) เป็นจริง ดังนั้น ถ้า a b m (mod ) แล้ว (mod ) n n a b m ตัวอย่างที่ 5.1.1 จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 1. 12 3 หารด้วย 8 2. 10 7 หารด้วย 12 3. 55 5 หารด้วย 6 4. 20 2 หารด้วย 18 5. 30 2 หารด้วย 41 วิธีทำ 1. เนื่องจาก ( ) 4 3 1 mod8 จะได้ ( ) ( ) 3 4 3 3 1 mod8 นั่นคือ ( ) 12 3 1 mod8 ดังนั้น 8 หาร 12 3 เหลือเศษเท่ากับ 1 2. เนื่องจาก ( ) 2 7 1 mod12 จะได้ ( ) ( ) 5 2 5 7 1 mod12 นั่นคือ ( ) 10 7 1 mod12 ดังนั้น 12 หาร 10 7 เหลือเศษเท่ากับ 1 3. เนื่องจาก 5 1 mod6 − ( ) จะได้ ( ) ( ) ( ) 55 55 5 1 mod6 − นั่นคือ ( ) 55 5 1 mod6 − จาก − 1 5 mod6 ( ) จะได้ ( ) 55 5 5 mod6 ดังนั้น 5 หาร 55 5 เหลือเศษเท่ากับ 5 4. เนื่องจาก ( ) 4 2 2 mod18 − จะได้ ( ) ( ) ( ) 5 4 5 2 2 mod18 − นั่นคือ ( ) 20 2 32 mod18 − จาก − 32 4 mod18 ( ) จะได้ ( ) 20 2 4 mod18 ดังนั้น 20 2 หารด้วย 18 เหลือเศษเท่ากับ 4
132 5. เนื่องจาก ( ) 5 2 9 mod41 − จะได้ ( ) ( ) ( ) 6 5 6 2 9 mod41 − นั่นคือ ( ) 30 6 2 9 mod41 จาก ( ) 2 9 1 mod41 − จะได้ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 9 1 mod41 − นั่นคือ ( ) 6 9 1 mod41 − ดังนั้น ( ) 30 2 1 mod41 − จาก − 1 40 mod41 ( ) จะได้ ( ) 30 2 40 mod41 ดังนั้น 30 2 หารด้วย 41 เหลือเศษเท่ากับ 40 ทฤษฎีบทที่ 5.1.7 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า a b m (mod ) ก็ต่อเมื่อ a และ b หารด้วย m เหลือเศษเท่ากัน พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม จะมีจำนวนเต็ม 1 2 1 q q r , , และ 2 r ที่ทำให้ 1 1 1 a mq r r m = + , 0 และ 2 2 2 b mq r r m = + , 0 จะได้ a b m q q r r r r m − = − + − − ( 1 2 1 2 1 2 ) ( ), 0 (→) ให้ a b m (mod ) จะได้ m a b ( − ) ดังนั้น m m q q r r ( ( 1 2 1 2 − + − ) ( )) จาก m m q q ( 1 2 − ) ดังนั้น m r r ( 1 2 − ) ถ้า 1 2 0 − r r m จะได้ m (r r 1 2 − ) ขัดแย้ง จะได้ 1 2 r r − = 0 ดังนั้น 1 2 r r = (→) ให้ 1 2 r r = จะได้ 1 2 r r − = 0 ดังนั้น ( ) 1 2 a b m q q − = − จะได้ m a b ( − ) ดังนั้น a b m (mod ) ทฤษฎีบทที่ 5.1.8 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ d เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า a b m (mod ) และ dm แล้ว a b d (mod ) พิสูจน์ให้ a b m (mod ) และ dm จาก a b m (mod ) จะได้ m a b ( − ) และจาก dm จะได้ d a b ( − ) ดังนั้น a b d (mod )
133 ทฤษฎีบทที่ 5.1.9 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า a b m (mod ) แล้ว (a m b m , , ) =( ) พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม m เป็นจำนวนเต็มบวก ให้ a b m (mod ) และ (a m d , ) = จะแสดงว่า (b m d , ) = จาก a b m (mod ) จะได้ m a b ( − ) ดังนั้นจะมีจำนวนเต็ม n ที่ a b mn − = นั่นคือ a mn b = + จาก (b m d , ) = จะได้ (b mn m d + = , ) นั่นคือ (a m d , ) = ดังนั้น (a m b m , , ) =( ) ทฤษฎีบทที่ 5.1.10 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า an bn m (mod ) ก็ต่อเมื่อ ( ) mod , m a b m n พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม m เป็นจำนวนเต็มบวก และ (m n d , )= (→) ให้ an bn m (mod ) จะได้ m bn an ( − ) และจาก (m n d , )= ดังนั้น dm, dn จะได้ m n n b a d d d − นั่นคือ ( ) m n b a d d − และจาก (m n d , )= จะได้ , 1 m n d d = นั่นคือ ( ) m b a d − ดังนั้น mod m a b d () ให้ mod m a b d จะได้ ( ) m b a d − ดังนั้นจะมีจำนวนเต็ม l ที่ m b a l d − = นั่นคือ ( ) m n b a n l n l m d d − = = จาก dn จะได้ m n b a ( − ) ดังนั้น an bn m (mod ) จาก ทฤษฎีบทที่ 5.1.10 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า an bn m (mod ) และ (m n, 1 ) = แล้ว a b m (mod )
134 ทฤษฎีบทที่ 5.1.11 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า a b m (mod ) และ a b n (mod ) แล้ว a b m n (mod , ) พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้ a b m (mod ) และ a b n (mod ) จะได้ m a b ( − ) และ n a b ( − ) นั่นคือ a b − เป็นตัวคูณร่วมของ m และ n จากนิยามของ ค.ร.น.จะได้ m n a b , ( − ) ดังนั้น a b m n (mod , ) ถ้า ห.ร.ม. ของ m และ n เท่ากับ 1 จะได้ว่า ค.ร.ม. ของ m และ n เท่ากับ mn จะได้ว่า จาก ทฤษฎีบทที่ 5.1.10 จะได้ a b mn (mod ) ทฤษฎีบทที่ 5.1.12 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ mi เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับ i n =1,2,3, , จะได้ว่า 1. a b m (mod i ) สำหรับ i n =1,2,3, , ก็ต่อเมื่อ a b m m m (mod , , , 1 2 n ) 2. ถ้า a b m (mod i ) สำหรับ i n =1,2,3, , และ 1 2 , , , m m m n เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ทุกคู่แล้ว a b m m m (mod 1 2 n ) พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ mi เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับ i n =1,2,3, , 1. (→) ให้ a b m (mod i ) สำหรับ i n =1,2,3, , จะได้ ( ) m a b i −สำหรับ i n =1,2,3, , นั่นคือ a b − เป็นตัวคูณร่วมของ 1 2 , , , m m m n โดยนิยามของ ค.ร.น. จะได้ ( ) 1 2 , , , m m m a b n − ดังนั้น a b m m m (mod , , , 1 2 n ) () ให้ a b m m m (mod , , , 1 2 n ) จะได้ ( ) 1 2 , , , m m m a b n − จาก m m m m i n 1 2 , , , สำหรับ i n =1,2,3, , นั่นคือ ( ) m a b i −สำหรับ i n =1,2,3, ,
135 ดังนั้น a b m (mod i ) สำหรับ i n =1,2,3, , 2. พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด นิยาม 5.1.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m จำนวนเต็มบวก ถ้า a b m (mod ) จะเรียก - b ว่าเป็น “ส่วนตกค้าง (Residue) ของ a มอดุโล m” และ - เซตของจำนวนเต็ม a a a a 1 2 3 ,,, m ว่า “ระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ (Complete Residue System) มอดุโล m” ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ จำนวนเต็ม a จะมี i a เพียงตัวเดียเท่านั้น ที่ทำให้ (mod ) i a a m - ชั้นสมมูลของ i a คือ a a เป็นจำนวนเต็มและ a a m i (mod ) ว่า “ชั้นส่วน ตกค้าง (Residue Class) ของ i a มอดุโล m” ข้อตกลง ให้ a , q และ r เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ a mq r = + 1. a r m (mod ) และจะได้ว่า r เป็นเศษตกค้างของ a มอดุโล m 2. ถ้ากำหนด a mq r = + โดยที่ 0 r m จะเรียก r ว่า “ส่วนตกค้างที่ไม่เป็นค่าลบค่า น้อยสุดของ a มอดุโล n” และเรียก 0,1,2, , 1 m− ว่า “ระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ ที่ไม่เป็นลบค่าน้อยสุด (Least Non-Negative Residue System) มอดุโล m” นั่นคือจะมี r m − 0,1,2, , 1 เพียงจำนวนเดียวเท่านั้นที่เป็นส่วนตกค้างของ x มอดุโล m จากนิยาม 5.1.2 จะได้ว่า 1. 0,1,2, , 1 m− และ 1,2,3, ,m ต่างเป็นระบบส่วนตกค้าบริบูรณ์ มอ ดุโล m 2. ถ้า a a a a 1 2 3 , , , , m เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m และ n เป็น จำนวนเต็ม แล้ว a n a n a n a n 1 2 3 + + + + , , , , m เป็นระบบส่วนตกค้าง บริบูรณ์ มอดุโล m 3. a a a a 1 2 3 , , , , m เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์มอดุโล m ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ , i j a a ถ้า (mod ) i j a a m แล้ว i j a a =
136 ตัวอย่างที่ 5.1.2 1. ให้ A เป็นเซตของระบบส่วนตกค้างบริบรูณ์มอดูโล 6 เนื่องจาก 6 0 mod6 ( ) จะได้ 6 A − 5 1 mod6 ( ) จะได้ − 5 A − 10 2 mod6 ( ) จะได้ − 10 A 9 3 mod6 ( ) จะได้ 9 A 16 4 mod6 ( ) จะได้ 16 A และ 29 5 mod6 ( ) จะได้ 29 A ดังนั้น − − 10, 5,6,9,16,29 เป็นระบบส่วนตกค้างบริบรูณ์มอดูโล 6 2. จากข้อ 1. − − 10, 5,6,9,16,29 เป็นระบบส่วนตกค้างบริบรูณ์มอดูโล 6 พิจารณา − + − + + + + + = − − 10 3, 5 3,6 3,9 3,16 3,29 3 7, 2,9,12,19,32 เนื่องจาก − − 7 5 mod6 , 2 4 mod6 , 9 3 mod6 , 12 0 mod6 , ( ) ( ) ( ) ( ) 9 1 mod6 ( ) และ 32 2 mod6 ( ) ดังนั้น − −7, 2,9,12,19,32 เป็นระบบส่วนตกค้างบริบรูณ์มอดูโล 6 3. จากข้อ 1. − − 10, 5,6,9,16,29 เป็นระบบส่วนตกค้างบริบรูณ์มอดูโล 6 พิจารณา − − = − − 10 3, 5 3, 6 3, 9 3, 16 3, 29 3 30, 15,18,27,46,87 เนื่องจาก − − 30 0 mod6 , 15 3 mod6 , 18 0 mod6 , 27 3 mod6 , ( ) ( ) ( ) ( ) 9 3 mod6 ( ) และ 32 2 mod6 ( ) จะเห็นว่า −15,27 และ 9 ต่างสมภาค มอดุโล 3 กับ 6 ดังนั้น − − 30, 15,18,27,46,87 ไม่เป็นระบบส่วนตกค้างบริบรูณ์มอดูโล 6 ตัวอย่างที่ 5.1.2 ข้อ 3 เป็นตัวอย่างแสดงว่า ถ้า a a a a 1 2 3 ,,, m เป็นระบบส่วน ตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m และ n เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a n a n a n a n 1 2 3 ,,, m ไม่เป็น ระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m ทฤษฎีบทต่อไป จะแสดงเงื่อนไขที่จำเป็นที่ทำให้ a n a n a n a n 1 2 3 ,,, m เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m
137 ทฤษฎีบทที่ 5.1.13 ให้ a a a a 1 2 3 ,,, m เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m และ (m n, 1 ) = จะได้ว่า a n a n a n a n 1 2 3 ,,, m เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m พิสูจน์ จะพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง โดยให้ a n a n a n a n 1 2 3 ,,, m ไม่เป็นระบบส่วนตกค้าง บริบูรณ์ มอดุโล m ดังนั้นจะมี i j ที่ (mod ) i j na na m เนื่องจาก (m n, 1 ) = จะได้ (mod ) i j a a m เมื่อ i j เกิดข้อขัดแย้ง ดังนัน a n a n a n a n 1 2 3 ,,, m เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ มอดุโล m นิยาม 5.1.2 ให้ A r r r r =1 2 3 , , , , m และ m เป็นจำนวนนับ จะเรียก A ว่า “ระบบลดทอน ส่วนตกค้าง (Reduced Residue System) มอดุโล m” ก็ต่อเมื่อ 1. (r mi , 1 ) = สำหรับแต่ละ i r A 2. (mod ) i j r r m สำหรับแต่ละ , i j r r A เมื่อ i j 3. สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ ที่ (a m, 1 ) = จะมี i r A ที่ (mod ) i a r m ทฤษฎีบทที่ 5.1.14 ถ้า 1 A และ 2 A เป็น ระบบลดทอนส่วนตกค้างมอดุโล m แล้ว 1 A และ 2 A มี จำนวนสมาชิกเท่ากัน พิสูจน์ ให้ 1 A และ 2 A เป็น ระบบลดทอนส่วนตกค้างมอดุโล m โดยที่ A r r r r 1 1 2 3 = , , , , n และ A s s s s 2 1 2 3 = , , , , l จะแสดงว่า n l = จาก A r r r r 1 1 2 3 = , , , , n จะได้ (r m i n i , 1, 1,2,3, , ) = = และ (mod , ) i k r r m i k จาก A s s s s 2 1 2 3 = , , , , l จะได้ (r m j l j , 1, 1,2,3, , ) = = และ (mod , ) j p s s m j p จาก 1 A เป็น ระบบลดทอนส่วนตกค้างมอดุโล m จะได้ว่าสำหรับแต่ละ j 2 s A จะมี i 1 r A เพียงตัวเดียว ที่ (mod ) j i s r m
138 ถ้า n l จะมี t 1 r A และ 2 , u v s s A ที่ (mod ) u t s r m และ (mod ) v i s r m ดังนั้น (mod ) j p s s m ขัดแย้ง ถ้า n l จะมี 1 , t w r r A และ u 2 s A ที่ (mod ) u t s r m และ (mod ) u w s r m ดังนั้น (mod ) t u r r m ขัดแย้ง ดังนั้น n l = ทฤษฎีบทที่ 5.1.15 ให้ n n 1 1 0 a a a a N − เป็นจำนวนเต็ม n หลักฐานสิบ จะได้ว่า n n 1 1 0 a a a a − และ n n 1 1 0 a a a a + + + + − หารด้วย 9 เหลือเศษเท่ากัน พิสูจน์ ให้ n n 1 1 0 a a a a N − เป็นจำนวนเต็ม n หลักฐานสิบ จะได้ว่า 1 1 1 0 1 1 0 10 10 10 n n n n n n a a a a a a a a − − − = + + + + เนื่องจาก 10 1 mod9 ( ) จะได้ว่า 10 1 mod9 ( ) k k สำหรับ k n =1,2,3, , และได้ 10 1 mod9 mod9 ( ) ( ) k k k k k a a a และจากทฤษฎีที่ 5.1.3 จะได้ ( ) 1 1 1 0 1 1 0 10 10 10 mod9 n n n n n n a a a a a a a a − + + + + + + + + − − นั่นคือ ( ) 1 1 0 1 1 0 mod9 n n n n a a a a a a a a − − + + + + ดังนั้น n n 1 1 0 a a a a − และ n n 1 1 0 a a a a + + + + − หารด้วย 9 เหลือเศษเท่ากัน ทฤษฎีบทที่ 5.1.16 ให้ n n 1 1 0 a a a a N − เป็นจำนวนเต็ม n หลักฐานสิบ จะได้ว่า n n 1 1 0 a a a a − และ ( ) 4 3 1 0 1 n n − + − + − + a a a a a หารด้วย 11 เหลือเศษเท่ากัน พิสูจน์ ให้ n n 1 1 0 a a a a N − เป็นจำนวนเต็ม n หลักฐานสิบ จะได้ว่า 1 1 1 0 1 1 0 10 10 10 n n n n n n a a a a a a a a − − − = + + + + เนื่องจาก 10 1 mod11 − ( ) จะได้ว่า 10 1 mod11 ( ) ( ) k k − สำหรับ k n =1,2,3, , และ ได้ 10 1 mod9 mod9 ( ) ( ) ( ) k k k k k a a a − และจากทฤษฎีที่ 5.1.3 จะได้ ( ) ( ) 1 1 1 0 4 3 1 0 10 10 10 1 mod11 n n n n n n a a a a a a a a a − + + + + − + − + − + − นั่นคือ ( ) ( ) 1 1 0 4 3 1 0 1 mod11 n n n n a a a a a a a a a − − + − + − + ดังนั้น n n 1 1 0 a a a a − และ ( ) 4 3 1 0 1 n n − + − + − + a a a a a หารด้วย 11 เหลือเศษ เท่ากัน
139 5.2 สมภาคเชิงเส้น ในหัวข้อนี้จะศึกษานิยาม ทฤษฎีบทที่สำคัญบางประการ การมีผลเฉลย และขั้นตอนการหาผล เฉลยของสมภาคเชิงเส้น (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และนิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 136-141, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 99-103, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 77-86, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 119-125) นิยามที่ 5.2.1 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก เรียกสมภาคที่อยู่ในรูป ax b m (mod ) ว่า “สมภาคเชิงเส้นตัวแปรเดียว (Linear Congruence in One Variable)” นิยามที่ 5.2.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก เรียก 0 x ที่สอดคล้องกับ สมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) ว่า “ผลเฉลย (Solution) ของสมภาคเชิงเส้น” จากนิยาม 5.2.2 0 x เป็นผลเฉลยของ ax b m (mod ) จะได้ว่า (mod ) o ax b m นั่นคือ m ax b ( 0 − ) หรือมีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ 0 ax b nm − = ตัวอย่างที่ 5.2.1 พิจารณาสมภาคเชิงเส้น 4 3 mod9 x ( ) จาก 9 4 3 3 ( ( ) − ) หรือ 4 3 3 mod9 ( ) ( ) ดังนั้น 3 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น จาก 9 4 5 3 ( ( )− ) หรือ 4 5 3 mod9 ( ) ( ) ดังนั้น 5 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น จาก 9 4 12 3 ( ( ) − ) หรือ 4 12 3 mod9 ( ) ( ) ดังนั้น 12 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น จาก 9 4 21 3 ( ( ) − ) หรือ 4 21 3 mod9 ( ) ( ) ดังนั้น 21 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น ทฤษฎีบทที่ 5.2.1 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า 0 x เป็นผลเฉลย ของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) และ ( ) x y m 0 0 mod แล้ว 0 y เป็นผลเฉลยของสม ภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) พิสูจน์ ให้ 0 x เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) และ ( ) x y m 0 0 mod จะได้ ( ) ax b m 0 mod และ ( ) ax ay m 0 0 mod ดังนั้น ( ) ay b m 0 mod นั่นคือ 0 y เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod )
140 จากตัวอย่างที่ 5.2.1 3, 12 และ 21 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น 4 3 mod9 x ( ) และจะเห็นว่า 3 12 mod9 ,12 21 mod9 ( ) ( ) และ 3 21 mod9 ( ) ซึ่งสอดคล้องกับ ทฤษฎีบทที่ 5.2.1 นั่นคือถ้าเราสามารถหา 0 x ที่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) เราจะสามารถหาผลเฉลยอื่น ๆ ได้โดยหาจากจำนวนที่สมภาคกับ 0 x มอดุโล m นอกจากผลเฉลย ของสมภาคเชิงเส้นจะสมภาคกับ 0 x มอดุโล m มีจำนวนอื่นที่เป็นผลเฉลยแต่ไม่สมภาคเชิงเส้นจะสม ภาคกับ 0 x มอดุโล m หรือไม่ นิยามที่ 5.2.3 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า 0 x และ 0 y เป็นผล เฉลยของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) แล้ว 0 x และ 0 y เป็น - ผลเฉลยที่ไม่แตกต่างกันของสมภาคเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ ( ) x y m 0 0 mod - เป็นผลเฉลยที่แตกต่างกันของสมภาคเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ ( ) x y m 0 0 mod จากนิยามที่ 5.2.3 ถ้าทราบว่า 0 x เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) แล้ว - ผลเฉลยที่ไม่แตกต่างกันของสมภาคเชิงเส้นของ 0 x คือ x เมื่อ ( ) x x m 0 mod - ผลเฉลยที่แตกต่างกันของสมภาคเชิงเส้นของ 0 x คือ y เมื่อ ( ) y x m 0 mod ตัวอย่างที่ 5.2.2 พิจารณาสมภาคเชิงเส้น 6 9 mod15 x ( ) จาก 15 6 4 9 ( ( ) − ) หรือ 6 4 9 mod15 ( ) ( ) ดังนั้น 4 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น จาก 15 6 9 9 ( ( ) − ) หรือ 6 9 9 mod15 ( ) ( ) ดังนั้น 9 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น แต่ 9 4 mod15 ( ) ดังนั้น 4 และ 9 เป็นผลเฉลยที่แตกต่างกันของสมภาคเชิงเส้น 6 9 mod15 x ( ) จากทฤษฎีบที่ 5.2.1 และนิยามที่ 5.2.5 ในการพิจารณาผลเฉลยทั้งหมดที่แตกต่างกันของสม ภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) ทำได้โดยแทนค่า x m = − 0,1,2, , 1 ในสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) แล้วจำนวนผลเฉลยที่ได้จะเป็นผลเฉลยที่แตกต่างกันทั้งหมดของสมภาคเชิงเส้น