141 ตัวอย่างที่ 5.2.3 พิจารณาสมภาคเชิงเส้น 4 6 mod10 x ( ) ถ้าต้องการผลเฉลยที่แตกต่างกัน ทั้งหมดของสมภาคเชิงเส้น 4 6 mod10 x ( ) จะแทนค่า x ด้วย 0,1,2, ,9 x = 0 จะได้ 4 0 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 0 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x =1 จะได้ 4 1 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 1 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 2 จะได้ 4 2 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 2 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 3 จะได้ 4 3 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 3 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 4 จะได้ 4 4 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 4 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 5 จะได้ 4 5 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 5 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 6 จะได้ 4 6 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 6 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 7 จะได้ 4 7 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 7 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 8 จะได้ 4 8 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 8 ไม่เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ x = 9 จะได้ 4 9 6 mod10 ( ) ( ) ดังนั้น 9 เป็นผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นนี้ ดังนั้น 4 และ 9 เป็นผลเฉลยที่แตกต่างกันทั้งหมดของสมภาคเชิงเส้น 4 6 mod10 x ( ) ทฤษฎีบทต่อไปจะแสดงวิธีการหาผลเฉลยของสมการที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล m ทฤษฎีบทที่ 5.2.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม m เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a m d , ) = จะได้ 1. สมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ db 2. ถ้า db แล้วสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) จะมีจำนวนของผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันใน มอดุโล m เท่ากับ d ผลเฉลย และผลเฉลยนั้นคือ ( ) 0 mod m x x k m d + เมื่อ k d = − 0,1,2, , 1 โดยที่ 0 x เป็นผลเฉลยหนึ่งของสมภาค mod a b m x d d d พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม m เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a m d , ) = 1. (→) สมมติให้สมภาคสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) มีผลเฉลย จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม 0 x ที่ ( ) ax b m 0 mod นั่นคือ m ax b ( 0 − ) จาก (a m d , ) = จะได้ da และ dm
142 จาก m ax b ( 0 − ) และ dm จะได้ d ax b ( 0 − ) และจาก da จะได้ db () ให้ db จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ b dn = และจาก (a m d , ) = จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม 1 x และ 1 y ที่ 1 1 d ax my = + จาก b dn = จะได้ b ax my n ax n my n = + = + ( 1 1 1 1 ) นั่นคือ m y n ax n b (− = − 1 1 ) จะได้ m ax n b ( 1 − ) นั่นคือ ( ) ax n b m 1 mod จะได้ 1 xn เป็นนผลเฉลยของ ax b m (mod ) ดังนั้นสมภาคสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) มีผลเฉลย 2. จาก (a m d , ) = จะได้ , 1 a m d d = จาก 1 b d โดยข้อ 1 จะได้ mod a b m x d d d มีผลเฉลย ดังนั้นให้ 0 x เป็นผลเฉลยหนึ่งของสมภาคนี้ จะได้ 0 mod a b m x d d d นั่นคือ 0 m a b x d d d − ดังนั้นจะมีจำนวนเต็ม l ที่ 0 a b m x l d d d − = ต่อไปจะแสดงว่า 0 m x k d + เป็นผลเฉลยของสมภาค ax b m (mod ) เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม พิจารณา 0 m a x k b d + − 0 m ax a k b d = + − 0 ax d amk bd d d d = + − 0 ax b amk d d d d = − + m amk d l d d = + amk ml d = + ak m l d = +
143 จะได้ว่า 0 m m a x k b d + − นั่นคือ ( ) 0 mod m a x k b m d + ดังนั้น 0 m x k d + เป็นผลเฉลยของสมภาค ax b m (mod ) ต่อไปจะแสดงว่าจำนวนผลเฉลยของสมภาค ax b m (mod ) ที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล m เท่ากับ d ผลเฉลย จาก k และ (a m d , ) = เป็นจำนวนเต็มโดยขั้นตอนวิธีการหารจะมีจำนวนเต็ม q และ r ที่ k dq r r d = + , 0 พิจารณา 0 m x k d + ( ) 0 0 m m x dq r x mq r d d = + + = + + โดยที่ 0 r d จะได้ ( ) 0 0 mod m m x k x r m d d + + โดยที่ 0 r d ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค ax b m (mod ) จะมี d ผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันใมอดุโล m คือ ( ) 0 mod m x x k m d + เมื่อ k d = − 0,1,2, , 1 จากทฤษฎีบทที่ 5.2.2 จะได้ว่า 1. ถ้า (a m d , ) = และ d b แล้วสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) จะไม่มีผลเฉลย 2. ถ้า (a m d , 1 ) = = แล้วสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) จะมีผลเฉลยเดียวที่ไม่สม ภาคกันในมอดุโล m 3. ถ้า x เป็นผลเฉลยหนึ่งของสมภาค 1 mod a m x d d แล้ว 0 b x x d = จะเป็นผล เฉลยของสมภาค mod a b m x d d d นั่นคือในการหาผลแลยของสมภาคเชิงเส้น ax b m (mod ) ทำได้จากการหาผลเฉลยมา 1 ผลเฉลยจาก 1 mod a m x d d สมมติผลเฉลยนี้คือ x และให้ 0 b x x d = จะได้ 0 x เป็นผลเฉลยของสมภาค mod a b m x d d d
144 ตัวอย่างที่ 5.2.4 พิจารณาสมภาคเชิงเส้นในแต่ละข้อต่อไปนี้มีผลเฉลยหรือไม่ถ้ามีจงหาผลเฉลย 1. 4 3 mod10 x ( ) 2. 6 4 mod10 x ( ) 3. 9 12 mod15 x ( ) 4. 16 8 mod24 x ( ) 5. 15 10 mod25 x ( ) 6. 18 24 mod48 x ( ) วิธีทำ 1. เนื่องจาก (4,10 2 ) = แต่ 2 3 ดังนั้น 4 3 mod10 x ( ) ไม่มีผลเฉลย 2. เนื่องจาก (6,10 2 ) = และ 24 ดังนั้น 6 4 mod10 x ( ) มีผลเฉลย และมีจำนวนผล เฉลยที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล 10 จำนวน 2 ผลเฉลย หา 0 x จากสมภาค 6 4 10 mod 2 2 2 x นั่นคือหา 0 x จากสมภาค 3 2 mod5 x ( ) เนื่องจาก 3 4 2 mod5 ( ) ( ) จะได้ 0 x = 4 ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค 6 4 mod10 x ( ) คือ ( ) ( ) 10 4 mod10 4 5 mod10 2 x k k + + โดยที่ k =0,1 หรือ x 4,9 mod10 ( ) 3. เนื่องจาก (9,15 3 ) = และ 3 12 ดังนั้น 9 12 mod15 x ( ) มีผลเฉลย และมีจำนวน ผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล 15 จำนวน 3 ผลเฉลย หา 0 x จากสมภาค 3 4 mod5 x ( ) เนื่องจาก 3 3 4 mod5 ( ) ( ) จะได้ 0 x = 3 ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค 9 12 mod15 x ( ) คือ x k +3 5 mod15 ( ) โดยที่ k =0,1,2 หรือ x 3,8,13 mod15 ( )
145 4. เนื่องจาก (16,24 4 ) = และ 48 ดังนั้น 16 8 mod24 x ( ) มีผลเฉลย และมีจำนวน ผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล 24 จำนวน 4 ผลเฉลย หา 0 x จากสมภาค 4 2 mod6 x ( ) เนื่องจาก 4 2 2 mod6 ( ) ( ) จะได้ 0 x = 2 ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค 16 8 mod24 x ( ) คือ x k +2 6 mod24 ( ) โดยที่ k =0,1,2,3 หรือ x 2,8,14,20 mod24 ( ) 5. เนื่องจาก (15,10 5 ) = และ 5 25 ดังนั้น 15 10 mod25 x ( ) มีผลเฉลย และมี จำนวนผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล 25 จำนวน 5 ผลเฉลย หา 0 x จากสมภาค 3 2 mod5 x ( ) เนื่องจาก 3(4) 2 mod5 ( ) จะได้ 0 x = 4 ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค 15 10 mod25 x ( ) คือ x k +4 5 mod25 ( ) โดยที่ k = 0,1,2,3,4 หรือ x 4,9,14,19 mod25 ( ) 6. เนื่องจาก (18,48 6 ) = และ 6 24 ดังนั้น 18 24 mod48 x ( ) มีผลเฉลย และมี จำนวนผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล 48 จำนวน 6 ผลเฉลย หา 0 x จากสมภาค 3 4 mod8 x ( ) เนื่องจาก 3 4 4 mod8 ( ) ( ) จะได้ 0 x = 4 ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค 18 24 mod48 x ( ) คือ x k +4 8 mod48 ( ) โดยที่ k = 0,1,2,3,4,5 หรือ x 4,12,20,28,36,44 mod48 ( ) จากตัวอย่างที่ 5.2.3 ในกรณีที่ตัวเลขในสมภาคมีค่ามากการทดลองแทนค่าเพื่อหาผลเฉลย อาจมีความยุ่งยากเนื่องจากตัวเลขที่มีค่ามาก ต่อไปเราจะหาวิธีการที่ทำให้หาผลเฉลยสะดวกยิ่งขึ้น นิยามที่ 5.2.4 ให้ a และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้ามีจำนวนเต็ม x ที่ ax m 1 mod ( ) แล้ว a จะมีตัวผกผันมอดุโล m และเรียก x ว่าตัวผกผันของ a มอดุโล m (Inverse of a Modulo m)
146 ตัวอย่างที่ 5.2.5 1. เนื่องจาก 7 3 1 mod5 ( ) ( ) จะได้ 3 เป็นตัวผกผันของ 7 มอดุโล 5 2. เนื่องจาก 4 2 1 mod7 ( ) ( ) จะได้ 2 เป็นตัวผกผันของ 4 มอดุโล 7 3. เนื่องจาก 8 8 1 mod9 ( ) ( ) จะได้ 8 เป็นตัวผกผันของ 8 มอดุโล 9 4. เนื่องจาก 9 11 1 mod14 ( ) ( ) จะได้ 11 เป็นตัวผกผันของ 9 มอดุโล 14 5. เนื่องจาก 21 6 1 mod25 ( ) ( ) จะได้ 6 เป็นตัวผกผันของ 21 มอดุโล 25 6. เนื่องจาก 28 7 1 mod39 ( ) ( ) จะได้ 7 เป็นตัวผกผันของ 28 มอดุโล 39 จากตัวอย่างที่ 5.2.5 ax m 1 mod ( ) ถ้า a และ m เป็นตัวเลขที่มีค่ามากการทดลองแทนค่า อาจต้องใช้เวลานานในการหาผลเฉลย พิจารณา ax m 1 mod ( ) จะได้ว่า m ax ( −1) นั่นคือจะมีจำนวนเต็ม y ที่ ax my − =1 หรือ ax m y + − = ( ) 1 และจะได้ (a m, 1 ) = ดังนั้นเราสามารถนำขั้นตอนวิธีการหารของยูคลิค มาช่วยในการหาได้เช่นในตัวอย่างที่ 5.2.5 ตัวอย่างที่ 5.2.6 จงหาตัวผกผันของ 13 มอดุโล 30 วิธีทำ หา ห.ร.ม. ของ 30 และ 13 30 13 2 4 = + ( ) 13 4 3 1 = + ( ) 4 1 4 = ( ) จะได้ (13,30 1 ) = 1 = − 13 4 3( ) = − − 13 30 13 2 3 ( ( ))( ) = − 13 7 30 3 ( ) ( ) ดังนั้น 1 13 7 30 3 = − ( ) ( ) นั่นคือ 13 7 1 30 3 ( )− = ( ) จะได้ 13 7 1 mod30 ( ) ( ) ดังนั้น 7 เป็นตัวผกผันของ 13 มอดุโล 30
147 ตัวอย่างที่ 5.2.6 จงหาตัวผกผันของ 17 มอดุโล 43 วิธีทำ หา ห.ร.ม. ของ 43 และ 17 43 17 2 9 = + ( ) 17 9 1 8 = + ( ) 9 8 1 1 = + ( ) 8 1 8 = ( ) จะได้ (43,17 1 ) = 1 = −9 8 1( ) = − − 9 17 9 1 1 ( ( ))( ) = − − (43 17 2 2 17 1 ( ))( ) ( ) = − 43 2 17 5 ( ) ( ) ดังนั้น 1 43 2 17 5 = − ( ) ( ) นั่นคือ 17 5 1 43 2 (− − = − ) ( ) จะได้ 17 5 1 mod43 (− ) ( ) จะได้ −5 เป็นตัวผกผันของ 17 มอดุโล 43 นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ wolframAlpha ในการหาตัวผกผันของ a มอดุโล m คำสั่ง Inverse of a Modulo m ดังภาพที่ 5.1 ภาพที่ 5.1 ภาพแสดงการหาตัวผกผันของ 7 มอดุโล 5
148 ตัวอย่างที่ 5.2.7 จงหาผลเฉลยของสมภาค 13 9 mod30 x ( ) วิธีทำ ในตัวอย่างที่ 5.2.5 ได้ว่า 7 เป็นตัวผกผันของ 13 มอดุโล 30 นั่นคือ 13 7 1 mod30 ( ) ( ) ดังนั้น จึงนำ 7 คูณทั้งสองข้างของสมภาค 13 9 mod30 x ( ) จะได้ 7 13 7 9 mod30 63 mod30 x ( ) ( ) ดังนั้น x 63 mod30 ( ) และจาก 63 3 mod30 ( ) ดังนั้น x 3 mod30 ( ) ตัวอย่างที่ 5.2.8 จงหาผลเฉลยของสมภาค 17 3 mod43 x ( ) วิธีทำ ในตัวอย่างที่ 5.2.6 ได้ว่า −5 เป็นตัวผกผันของ17 มอดุโล43 นั่นคือ 17 5 1 mod43 (− ) ( ) ดังนั้น จึงนำ −5 คูณทั้งสองข้างของสมภาค 17 3 mod43 x ( ) จะได้ − − − 5 17 5 3 mod43 15 mod43 x ( ) ( ) ดังนั้น x −15 mod43 ( ) และจาก 28 15 mod43 − ( ) ดังนั้น x 28 mod43 ( ) ตัวอย่างที่ 5.2.9 จงหาผลเฉลยของสมภาค 39 9 mod93 x ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (39,93 3 ) = และ 39 ดังนั้น 39 9 mod93 x ( ) มีผลเฉลย และมีจำนวน ผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล 93 จำนวน 3 ผลเฉลย หา 0 x จากสมภาค 13 3 mod31 x ( ) หา ห.ร.ม. ของ 31 และ 13 31 13 2 5 = + ( ) 13 5 2 3 = + ( ) 5 3 1 2 = + ( ) 3 2 1 1 = + ( ) 2 1 2 = ( ) จะได้ (31,13 1 ) = 1 = −3 2 1( ) = − − 3 5 3 1 1 ( ( ))( )
149 = − 3 2 5 1 ( ) ( ) = − − (13 5 2 2 5 1 ( ))( ) ( ) = − 13 2 5 5 ( ) ( ) = − − 13 2 31 13 2 5 ( ) ( ( ))( ) = − 13 12 31 5 ( ) ( ) ดังนั้น 1 13 12 31 5 = − ( ) ( ) นั่นคือ 31 5 13 12 1 ( ) = − ( ) จะได้ 13 12 1 mod31 ( ) ( ) จะได้ 12 เป็นตัวผกผันของ 13 มอดุโล 31 จาก 13 3 mod31 x ( ) นำ 12 คูณทั้งสองข้างของสมภาค จะได้ 12 13 12 3 mod31 x ( ) จาก 13 12 1 mod31 ( ) ( ) จะได้ x 36 mod31 ( ) และจาก 36 5 mod31 ( ) จะได้ 0 x = 5 ดังนั้นผลเฉลยของสมภาค 39 9 mod93 x ( ) คือ x k +5 31 mod93 ( ) โดยที่ k =0,1,2 หรือ x 5, 36, 67 mod93 ( ) นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ wolframAlpha ในการหา ax b m (mod ) โดยใช้คำสั่ง ax congruent b mod m Inverse of a Modulo m ดังภาพที่ 5.2 ภาพที่ 5.2 ภาพแสดงการหาผลเฉลยของสมภาค 39 9 mod93 x ( )
150 5.3 ทฤษฎีเศษเหลือของจีน คำถามคำถามหนึ่งที่มักเจอบ่อยในเรื่องการหารคือ มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างที่หารด้วย 3, 5 และ 7 แล้วมีเศษเหลือเท่ากับ 2, 3 และ 2 ตามลำดับ ซึ่งคำถามแนวนี้มักพบในโจทย์ข้อสอบแข่งขัน ในระดับมัธยมศึกษา ซึ่งคำถามนี้สามารถเปลี่ยนเป็นคำถามใหม่ได้ดังนี้ จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ x x 2 mod3 , 3 mod5 ( ) ( ) และ x 2 mod7 ( ) เราสามารถหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นนี้ได้โดยทดลองแทนค่าจนกว่าจะได้ค่า x ซึ่งวิธีนี้มี ความยุ่งยากในหัวข้อนี้จะนำเสนอขั้นตอนวิธีหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นโดยใช้ทฤษฎีบทเศษ เหลือของจีน (ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 104-112, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 87-90, วิชญา พร จันทะนัน, 2564, น. 128-138, สมวงษ์ แปลงประสพโชค. 2545, น. 67-70) ทฤษฎีบทที่ 5.3.1 ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน (Chinese Remainder Theorem) ให้ 1 2 3 , , , , m m m m n เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ (m mi j , 1 ) = สำหรับแต่ละ i j n , 1,2,3, , เมื่อ i j จะได้ว่าระบบสมภาคเชิงเส้น x a m 1 1 (mod ) x a m 2 2 (mod ) x a m n n (mod ) มีผลเฉลยร่วมกันเพียงผลเฉลยเดียวในมอดุโล m m m m 1 2 3 n พิสูจน์ ให้ m m m m m = 1 2 3 n และ k k k n 1 2 1 k m M m m m m m m = = + เมื่อ k r =1,2, , เนื่องจาก (m mi j , 1 ) = สำหรับ i j จะได้ว่า (M mk k , 1 ) = สำหรับทุก k n =1,2,3, ,
151 ดังนั้นสมภาค M x m k k 1 mod ( ) จะมีผลเฉลย และเรียกผลเฉลยนี้ว่า k x ต่อไปจะพิสูจน์ว่า 1 1 1 2 2 2 r r r x a M x a M x a M x = + + + เป็นผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้น จาก k k k n 1 2 1 1 k m M m m m m m m = = − + จะได้ว่าเมื่อ i j จะได้ M x m k k 0 mod ( ) ถ้า k i n N จะได้ x a N x a N x a N x a N x n = + + + 1 1 1 2 2 2 r r r k k k k (mod ) แต่จำนวนเต็ม k x สอดคล้องกับสมภาค M x m k k 1 mod ( ) จะได้ x a m a m k k k k 1 mod mod ( ) ( ) ดังนั้นระบบสมภาคมีผลเฉลย ต่อไปจะแสดงว่าระบบสมภาคมีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว ให้ x เป็นผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้น ดังนั้น x a m x m k k k (mod mod ) ( ) สำหรับ k r =1,2,3, , ดังนั้น x x x − สำหรับแต่ละ k เนื่องจาก (M mk k , 1 ) = สำหรับทุก k n =1,2,3, , จะได้ 1 2 , , , m m m x x r − ดังนั้น x x m (mod ) ตัวอย่างที่ 5.3.1 จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ x 3 mod4 ( ) x 4 mod5 ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (4,5 1 ) = โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ได้ว่าระบบสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลย ร่วมกันผลเฉลยเดียวในมอดุโล m = = 4 5 20 และ 1 2 20 20 5, 4 4 5 m m = = = = หา 1 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 5 1 mod4 x ( ) เนื่องจาก 5 1 1 mod4 ( ) ( ) จะได้ 1 x =1 และ 2 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 4 1 mod5 x ( ) เนื่องจาก 4 4 1 mod5 ( ) ( ) จะได้ 2 x = 4 ดังนั้นผลเฉลยที่สอดคล้งกับระบบสมภาคเชิงเส้นคือ x = + = = 3 5 1 4 4 4 79 mod20 19 mod20 ( ) ( )
152 ตัวอย่างที่ 5.3.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ x 2 mod3 ( ) x 3 mod5 ( ) x 2 mod7 ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (3,5 3,7 5,7 1 ) = = = ( ) ( ) โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ได้ว่าระบบสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลยร่วมกันผลเฉลยเดียวในมอดุโล m = = 3 5 7 105 และ 1 2 3 105 105 105 35, 21, 15 3 5 7 m m m = = = = = = หา 1 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 35 1 mod3 x ( ) เนื่องจาก 5 1 1 mod4 ( ) ( ) จะได้ 1 x = 2 หา 2 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 21 1 mod5 x ( ) เนื่องจาก 4 4 1 mod5 ( ) ( ) จะได้ 2 x =1 และ หา 3 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 15 1 mod7 x ( ) เนื่องจาก 4 4 1 mod5 ( ) ( ) จะได้ 3 x =1 ดังนั้นผลเฉลยที่สอดคล้งกับระบบสมภาคเชิงเส้นคือ x = + + = = 2 35 2 3 21 1 2 15 1 233 mod105 23 mod105 ( ) ( ) ตัวอย่างที่ 5.3.3 จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ x 2 mod4 ( ) x 4 mod7 ( ) x 5 mod9 ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (4,7 4,9 7,9 1 ) = = = ( ) ( ) โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ได้ว่าระบบสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลยร่วมกันผลเฉลยเดียวในมอดุโล m = = 4 7 9 252 และ 1 2 3 252 252 252 63, 36, 28 4 7 9 m m m = = = = = =
153 หา 1 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 63 1 mod4 x ( ) เนื่องจาก 63 3 1 mod4 ( ) ( ) จะได้ 1 x = 3 หา 2 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 36 1 mod7 x ( ) เนื่องจาก 4 4 1 mod5 ( ) ( ) จะได้ 2 x =1 และ หา 3 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 28 1 mod9 x ( ) เนื่องจาก 28 1 1 mod9 ( ) ( ) จะได้ 3 x =1 ดังนั้นผลเฉลยที่สอดคล้องกับระบบสมภาคเชิงเส้นคือ x = + + 2 63 3 4 36 1 5 28 1 662 mod252 158 mod252 ( ) ( ) นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ wolframAlpha ในการหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้น x a m 1 1 (mod ), x a m 2 2 (mod ), … , x a m n n (mod ) โดยใช้คำสั่ง ChineseRemainder a a a m m m 1 1 1 1 , , , , , , , n n ดังภาพที่ 5.3 ภาพที่ 5.3 ภาพแสดงการหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้น x 2 mod4 ( ), x 4 mod7 ( ) และ x 5 mod9 ( )
154 ตัวอย่างที่ 5.3.4 จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ 11 7 mod273 x ( ) วิธีทำ จาก 273 3 7 13 = ดังนั้น x เป็นจำนวนต็มที่สอดคล้องกับระบบสมการ 11 7 mod3 x ( ) 11 7 mod7 x ( ) 11 7 mod13 x ( ) พิจารณา 11 7 mod3 x ( ) 2 1 mod3 x ( ) 4 2 mod3 x ( ) x 2 mod3 ( ) พิจารณา 11 7 mod7 x ( ) 4 0 mod7 x ( ) 8 0 mod7 x ( ) x 0 mod7 ( ) พิจารณา 11 7 mod13 x ( ) 22 14 mod13 x ( ) 9 1 mod13 x ( ) 27 3 mod13 x ( ) x 3 mod13 ( ) ดังนั้นจะหาผลเฉลยจากระบบสมการ x 2 mod3 ( ) x 0 mod7 ( ) x 3 mod13 ( ) เนื่องจาก (3,7 3,13 7,13 1 ) === ( ) ( ) โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
155 ได้ว่าระบบสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลยร่วมกันผลเฉลยเดียวในมอดุโล m = = 3 7 13 273 และ 1 2 3 273 273 273 91, 39, 21 3 7 13 m m m = = = = = = หา 1 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 91 1 mod3 x ( ) เนื่องจาก 91 1 1 mod3 ( ) ( ) จะได้ 1 x =1 หา 2 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 39 1 mod7 x ( ) เนื่องจาก 39 2 1 mod7 ( ) ( ) จะได้ 2 x = 2 และ หา 3 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 21 1 mod13 x ( ) เนื่องจาก 21 5 1 mod13 ( ) ( ) จะได้ 3 x = 5 ดังนั้นผลเฉลยที่สอดคล้องกับระบบสมภาคเชิงเส้นคือ x = + + 2 91 1 0 39 2 3 21 5 497 mod273 224 mod273 ( ) ( ) ทฤษฎีบทที่ 5.3.2 ให้ 1 2 m m, เป็นจำนวนเต็มบวก และ 1 2 a a, เป็นจำนวนเต็ม จะได้ระบบสมภาค เชิงเส้น x a m 1 1 (mod ) x a m 2 2 (mod ) มีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ (m m a a 1 2 1 2 , ) ( − ) และถ้ามีผลเฉลยแล้วจะมีผลเฉลยเดียวในมอดุโล m m1 2 , พิสูจน์ให้ 1 2 m m, เป็นจำนวนเต็มบวก และ 1 2 a a, เป็นจำนวนเต็ม (→) ให้ระบบสมภาคเชิงเส้น x a m 1 1 (mod ) x a m 2 2 (mod ) มีผลเฉลยและสมมติผลเฉลยคือ 0 x จะได้ว่า x a m 0 1 1 (mod ) และ x a m 0 2 2 (mod ) นั่นคือ m x a 1 0 1 ( − ) และ m x a 2 0 2 ( − ) จาก (m m m 1 2 1 , ) และ (m m m 1 2 2 , )
156 จะได้ (m m x a 1 2 0 1 , ) ( − ) และ (m m x a 1 2 0 2 , ) ( − ) ดังนั้น (m m x a x a 1 2 0 1 0 2 , ) ( − − − ) ( ) นั่นคือ (m m a a 1 2 1 2 , ) ( − ) () ให้ (m m a a 1 2 1 2 , ) ( − ) จะแสดงว่าระบบสมภาคเชิงเส้น x a m 1 1 (mod ) x a m 2 2 (mod ) มีผลเฉลย ให้ผลเฉลยของสมภาค x a m 1 1 (mod ) คือ 1 1 x a m k = + เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จาก (m m a a 1 2 1 2 , ) ( − ) โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนจะได้ว่าสมภาค จะได้ m x a a m 1 2 1 2 − ( )(mod ) มีผลเฉลย สมมติผลเฉลยนั้นคือ 1 x จะได้ m x a a m 1 1 2 1 2 − ( )(mod ) นั่นคือ a m x a m 1 1 1 2 2 + (mod ) ดังนั้น 0 1 1 1 x a m x = + เป็นผลเฉลยของระบบสมภาคนี้ ต่อไปจะแสดงว่าระบบสมภาคนี้มีเพียงผลเฉลยเดียวในมอดุโล m m1 2 , ให้ 0 x และ x เป็นผลเฉลยของระบบสมภาค จะได้ x a m 0 1 1 (mod ) และ x a m 0 2 2 (mod ) และ x a m 1 1 (mod ) และ x a m 2 2 (mod ) จะได้ x x m 0 1 (mod ) และ x x m 0 2 (mod ) ดังนั้น x x m m 0 1 2 (mod , ) นั่นคือระบบสมภาคเชิงเส้นนี้มีผลเฉลยเดียวในมอดุโล m m1 2 ,
157 จากทฤษฎีบทที่ 5.3.2 ถ้า (m m a a 1 2 1 2 , ) ( − ) จะได้ระบบสมภาคเชิงเส้น x a m 1 1 (mod ) x a m 2 2 (mod ) ไม่มีผลเฉลย ตัวอย่างที่ 5.3.5 ระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้มีผลเฉลยหรือไม่ถ้ามีจงหาผลเฉลย x 2 mod4 ( ) x 9 mod16 ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (4,16 4 ) = แต่ 4 9 2 ( − ) ดังนั้นระบบสมภาคเชิงเส้นไม่มีผลเฉลย ตัวอย่างที่ 5.3.6 ระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้มีผลเฉลยหรือไม่ถ้ามีจงหาผลเฉลย x 5 mod6 ( ) x 11 mod24 ( ) x 9 mod39 ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (6,39 3 ) = แต่ 3 9 5 ( − ) ดังนั้นระบบสมภาคเชิงเส้นไม่มีผลเฉลย ตัวอย่างที่ 5.3.7 จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ x 5 mod6 ( ) x 3 mod14 ( ) x 17 mod21 ( ) วิธีทำ เนื่องจาก (6,14 2 ) = ซึ่ง 2 5 3 ( − ), (21,6 3 ) = ซึ่ง 3 17 5 ( − ) และ (14,21 7 ) = ซึ่ง 7 17 3 ( − ) ดังนั้นระบบสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลย เนื่องจาก x 5 mod6 ( ) มีผลเฉลยเดียวกับระบบสมภาคเชิงเส้น x 5 mod2 1 mod2 ( ) ( ) x 5 mod3 2 mod3 ( ) ( ) เนื่องจาก x 3 mod14 ( ) มีผลเฉลยเดียวกับระบบสมภาคเชิงเส้น
158 x 3 mod2 1 mod2 ( ) ( ) x 3 mod7 ( ) เนื่องจาก x 17 mod21 ( ) มีผลเฉลยเดียวกับระบบสมภาคเชิงเส้น x 17 mod3 2 mod3 ( ) ( ) x 17 mod7 3 mod7 ( ) ( ) ดังนั้นระบบสมภาคเชิงเส้น x 5 mod6 ( ) x 3 mod14 ( ) x 17 mod21 ( ) จะมีผลเฉลยเดียวกับระบบสมภาคเชิงเส้น x 1 mod2 ( ) x 2 mod3 ( ) x 3 mod7 ( ) โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ได้ว่าระบบสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลยร่วมกันผลเฉลยเดียวในมอดุโล m = = 2 3 7 42 และ 1 2 3 42 42 42 21, 14, 6 2 3 7 m m m = = = = = = หา 1 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 21 1 mod2 x ( ) เนื่องจาก 21(1) 1 mod2 ( ) จะได้ 1 x =1 หา 2 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 14 1 mod3 x ( ) เนื่องจาก 14(1) 2 mod3 ( ) จะได้ 2 x = 2 และ หา 3 x ที่สอดคล้องกับสมภาค 6 1 mod7 x ( ) เนื่องจาก 6(6) 1 mod7 ( ) จะได้ 3 x = 6 ดังนั้นผลเฉลยที่สอดคล้องกับระบบสมภาคเชิงเส้นคือ x = + + 1 21 1 2 14 2 3 6 6 185 mod42 17 mod42 ( ) ( )
159 5.4 สรุป ในบทที่ 5 นี้เราศึกษา 3 หัวข้อ หัวข้อแรกศึกษานิยามและสมบัติที่สำคัญของสมภาคพร้อมทั้ง การประยุกต์ใช้สมบัติของสมภาคหาเศษจากหารจำนวนที่มีค่ามาก ๆ หัวข้อที่สองศึกษานิยาม สมบัติที่สำคัญของสมภาคเชิงเส้น พร้อมทั้งการตรวจสอบว่าสมภาคเชิงเส้นมีผลเฉลยหรือไม่ถ้ามีมี กี่ผลเฉลยที่ไม่สมภาคกันและผลเฉลยนั้นคืออะไร หัวข้อสุดท้ายศึกษาทฤษฎีเศษเหลือของจีนและ ประยุกต์ใช้หาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้น 5.5 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1. จงหาเศษจากการหารโดยใช้สมภาค 1.1. 555 5 หารด้วย 4 1.2. 112 5 หารด้วย 6 1.3. 20 2 หารด้วย 41 1.4. 36 5 หารด้วย 13 1.5. 75 17 หารด้วย 19 1.6. 1000000 2 หารด้วย 17 1.7. 35 10 2 5 + หารด้วย 11 1.8. 5555 2222 2222 5555 + หารด้วย 7 2. จงหาเซตผลเฉลยของ x ที่สอดคล้องกับสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ 2.1. 2 4 mod6 x ( ) 2.2. 5 7 mod10 x ( ) 2.3. 3 9 mod15 x ( ) 2.4. 20 45 mod5 x ( ) 2.5. 15 0 mod35 x ( ) 2.6. 17 9 mod276 x ( )
160 2.7. 17 14 mod21 x ( ) 2.8. 29 5 mod34 x ( ) 2.9. 29 5 mod34 x ( ) 2.10. 39 65 mod52 x ( ) 2.11. 48 56 mod50 x ( ) 2.12. 335 254 mod400 x ( ) 3. จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชิงเส้นต่อไปนี้ 3.1. x 1 mod3 ( ) x 2 mod5 ( ) 3.2. x 5 mod15 ( ) x 1 mod23 ( ) 3.3. x 2 mod4 ( ) x 11 mod9 ( ) 3.4. x 11 mod16 ( ) x 5 mod20 ( ) 3.5. 2 3 mod5 x ( ) 4 3 mod7 x ( ) 3.6. 3 4 mod5 x ( ) 5 3 mod9 x ( ) 3.7. 4 10 mod18 x ( ) 6 24 mod45 x ( ) 3.8. x 2 mod3 ( ) x 1 mod4 ( ) x 3 mod5 ( )
161 3.9. x 1 mod3 ( ) x 2 mod5 ( ) x 3 mod7 ( ) 3.10. x 1 mod2 ( ) x 3 mod5 ( ) x 3 mod7 ( ) 3.11. x 1 mod4 ( ) x 0 mod3 ( ) x 5 mod7 ( ) 3.12. x 5 mod6 ( ) x 17 mod21 ( ) x 3 mod28 ( ) 3.13. x 11 mod15 ( ) x 15 mod20 ( ) x 2 mod25 ( ) 3.14. 2 1 mod3 x ( ) 3 2 mod5 x ( ) 5 4 mod7 x ( ) 3.15. 3 1 mod5 x ( ) 2 4 mod7 x ( ) 2 1 mod9 x ( )
162 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วรรณธิดา ยลวิลาศ. (2561). ทฤษฎีจำนวน. กาฬสินธุ์: คณะศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏ กาฬสินธุ์. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 6 หัวข้อเนื้อหา 1. สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น 2. สมการพิทาโกรัส 3. สมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 6 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นได้ 2. สามารถประยุกต์สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นในการแก้โจทย์ปัญหาได้ 3. สามารถอธิบายนิยาม พิสูจน์ทฤษฎีบทและแก้ปัญหาสมการพิทาโกรัสได้ 4. สามารถหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. สนทนาซักถาม และอภิปรายแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. ผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียนมาทุกหัวข้อ 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
164 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 6 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 6 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ 5. แบบทดสอบ
บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ “สมการไดโอแฟนไทน์” ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ “ไดฮอแฟน ไทน์แห่งอะเล็กซานเดรีย (Dioplants of Alexandrin)”ผู้ซึ่งได้รับการยกย่องให้เป็น “บิดาของ พีชคณิต” การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์มีความสำคัญ สามารถตอบปัญหาต่าง ๆ ทั้งคณิตศาสตร์ บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ และสนใจคำตอบในระบบของจำนวนเต็ม (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. 2552: 169-192, ธนัชยศ จำปาหวาย. 2565: 145-170, วรรณธิดา ยลวิลาศ. 2561: 107-134, วิชญาพร จันทะนัน. 2564: 186-208, สมวงษ์ แปลงประสพโชค. 2545: 72-93) ในบทนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับการมีคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์และขั้นตอนวิธีหาผลเฉลย โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น 2. สมการพิทาโกรัส 3. สมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 6.1 สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น นิยามที่ 6.1.1 สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine Equation) คือสมการที่มีตัวแปรหนึ่งหรือ มากกว่าหนึ่งตัวและมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม นิยามที่ 6.1.2 กำหนดให้ 1 2 , ,..., n a a a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ b เป็นจำนวนเต็ม เรียก สมการ 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + = เมื่อ 1 2 , ,..., n x x x เป็นตัวแปรของจำนวนเต็มว่า “สมการ ไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น (Linear Diophantine Equations) n ตัวแปร” จากนิยามที่ 6.1.2 สมการเชิงเส้น หมายถึง ตัวแปรของจำนวนเต็ม 1 2 , ,..., n x x x ทุกตัวใน สมการมีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่ง และไม่มีผลคูณหรือหารระหว่างตัวแปรคู่ในเลยในสมการ
166 ตัวอย่างที่ 6.1.1 จงพิจารณาสมการในแต่ละข้อเป็นสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นหรือไม่ 1. 3 4 5 x y + = - เป็นสมการโอแฟนไทน์เชิงเส้น 2 ตัวแปร 2. 3 1 xz y + = - ไม่เป็นสมการโอแฟนไทน์เชิงเส้น เนื่องจากมีผลคูณ xz ในสมการ 3. 2 x y + = 4 5 - ไม่เป็นสมการโอแฟนไทน์เชิงเส้น เนื่องเลขชี้กำลังของ x เป็น 2 4. 3 4 12 1 x y z + + = - เป็นสมการโอแฟนไทน์เชิงเส้น 3 ตัวแปร 5. w x y z + + + = 2 4 3 1 - เป็นสมการโอแฟนไทน์เชิงเส้น 4 ตัวแปร 6. 1 x z y + = - ไม่เป็นสมการโอแฟนไทน์เชิงเส้น เนื่องจากมีผลหาร x y ในสมการ นิยามที่ 6.1.3 ผลเฉลย (Solution) ของสมการไดโอแฟนไทน์คือจำนวเต็มที่แทนคาตัวแปรแลวทำให สมการเป็นจริง เรียก ผลเฉลยที่ประกอบด้วยค่าคงตัวไม่เจาะจงที่เป็นจำนวนเต็มวา “ผลเฉลยทั่วไป (General Solution)” และเรียกผลเฉยที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มที่แน่นอนหรือผล เฉลยที่ได้จากการแทน ค่าของคาคงตัวในผลเฉลยทั่วไปวา “ผลเฉลยเฉพาะ (Particular Solution)” ตัวอย่างที่ 6.1.2 จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ 3 2 5 x y + = มา 4 ผลเฉลย วิธีทำ จาก 3 2 5 x y + = จัดสมการใหม่ได้เป็น 5 3 2 x y − = ทดลองแทนค่าของตัวแปร x ให้เป็นจำนวนเต็มเพื่อหาค่า y ที่เป็นจำนวนเต็ม ดังตาราง X −3 −2 −1 0 1 2 3 y 7 11 2 4 5 2 1 1 2 − −2 จากตารางผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็ม ได้แก่ (x y, 3,7 1,4 1,1 3, 2 ) = − = − = = − ( ) ( ) ( ) ( )
167 ตัวอย่างที่ 6.1.3 จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ 4 2 3 x y + = วิธีทำ จาก 4 2 3 x y + = จัดสมการใหม่ได้เป็น 3 4 2 x y − = ทดลองแทนค่าของตัวแปร x ให้เป็นจำนวนเต็มเพื่อหาค่า y ที่เป็นจำนวนเต็ม ดังตาราง X −3 −2 −1 0 1 2 3 y 15 2 11 2 7 2 3 2 1 2 − 5 2 − 9 2 − จากตารางไม่มีผลเฉลยที่ทำให้ x และ y เป็นจำนวนเต็ม และถ้าลองพิจารณา 3 4 2 x y − = ถ้า x เป็นจำนวนเต็มจะได้ 3 4 − x เป็นจำนวนเต็มคี่ (เนื่องจาก 3 4 2( 2 1) 1 − = − + + x x ) ดังนั้น 3 4 2 x y − = ไม่เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ว่า สมการ 4 2 3 x y + = ไม่มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ wolframAlpha ในการหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ ax by c + = โดยใช้คำสั่ง solve ax by c + = over integers Is a divisible by b ดังภาพที่ 6.1 ภาพที่ 6.1 ภาพแสดงการคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของ 3 2 5 x y + =
168 ต่อไปเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่ทำให้สมการไดโอแฟนไทน์ มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม ทฤษฎีบทที่ 6.1.1 สมการไดโอแฟนไทน์ ax by c + = มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ (a b c , ) พิสูจน์ (→) ให้สมการไดโอแฟนไทน์ ax by c + = มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มคือ 0 x x = และ 0 y y = ให้ (a b d , ) = จะได้ da และ db จาก 0 x และ 0 y เป็นจำนวนเต็ม จะได้ d ax by ( 0 0 + ) นั่นคือ (a b c , ) () ให้ (a b c , ) และ (a b d , ) = จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม k ที่ c kd = และมีจำนวนเต็ม m และ n ที่ d am bn = + จะได้ c kd k am bn a mk b nk = = + = + ( ) ( ) ( ) เนื่องจาก mk nk I , จะได้ว่ามี x mk = และ y nk = เป็นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ ax by c + = ตัวอย่างที่ 6.1.2 จงพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้มีผลเฉลยหรือไม่ 1. 3 4 5 x y + = - มีผลเฉลย เนื่องจาก (3,4 1 ) = และ 15 2. 6 21 9 x y − = - มีผลเฉลย เนื่องจาก (6,21 3 ) = และ 39 3. 8 7 6 x y + = - มีผลเฉลย เนื่องจาก (8,7 1 ) = และ 16 4. 6 15 8 x y + = - ไม่มีผลเฉลย เนื่องจาก (6,15 3 ) = แต่ 3 8 5. 12 20 10 x y + = - ไม่มีผลเฉลย เนื่องจาก (12,20 4 ) = แต่ 4 10
169 6. 28 91 56 x + = - มีผลเฉลย เนื่องจาก (28,91 7 ) = และ 7 56 ทฤษฎีบททที่ 6.1.2 ถ้าสมการไดโอแฟนไทน์ ax by c + = มีผลเฉลยคู่หนึ่งเป็น 0 x x = และ 0 y y = แล้วผลเฉลยทั้งหมดของสมการนี้ในรูปทั่วไปเขียนได้เป็น 0 b x x k d = + และ 0 a y y k d = − เมื่อ d a b =( , ) และ k เป็นจำนวนเต็ม พิสูจน์ ให้สมการไดโอแฟนไทน์ ax by c + = มีผลเฉลยคู่หนึ่งเป็น 0 x x = และ 0 y y = จะได้ 0 0 ax by c + = ให้ x x = และ y y = เป็นอีกผลเฉลยหนึ่งของสมการ จะได้ ax by c + = ดังนั้น 0 0 ax by ax by + = + 0 0 ax ax by by − = − a x x b y y ( 0 0 − = − ) ( ) จาก d a b =( , ) จะได้ da และ db นั่นคือจะมีจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์m และ n ที่ a md = และ b nd = จะได้ md x x nd y y ( 0 0 − = − ) ( ) นั่นคือ m x x n y y ( 0 0 − = − ) ( ) จะได้ n m x x ( 0 − ) จาก m และ n เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้ n x x ( 0 − ) นั่นคือจะมีจำนวนเต็ม k ที่ 0 x x nk − = และจาก m x x n y y ( 0 0 − = − ) ( ) จะได้ m nk n y y ( ) = − ( 0 ) นั่นคือ mk y y0 = − ดังนั้น 0 x x nk = + และ 0 y y mk = − และจาก a md = และ b nd = จะได้ 0 b x x k d = + และ 0 a y y k d = −
170 ต่อไปจะแสดงว่า 0 b x x x k d = = + และ 0 a y y y k d = = − เป็นคำตอบของสมการ ax by c + = สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ 0 0 b a a x k b y k c d d + + − = 0 0 abk abk ax by c d d + + − = 0 0 ax by c + = c c = ดังนั้น 0 b x x x k d = = + และ 0 a y y y k d = = − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ เป็นผล เฉลยของสมการ ax by c + = มีผลเฉลยคู่หนึ่งเป็น 0 x x = และ 0 y y = จากทฤษฎีบทที่ 6.1.1 และ 6.1.2 จะได้ขั้นตอนการคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ ax by c + = ดังนี้ 1. หา (a b d , ) = และ ตรวจสอบ d หาร c ลงตัวหรือไม่ 2. ถ้า d c ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม 3. ถ้า d c เขียน ax by d + = โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด 4. จากมีจำนวนเต็ม k ที่ c dk = เขียน akx bky c + = เลือก o x kx = และ o y ky = 5. จะได้ผลเฉลยคือ 0 b x x x k d = = + และ 0 a y y y k d = = − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ เป็น
171 ตัวอย่างที่ 6.1.1 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 3 4 5 x y + = วิธีทำ 1. ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก (3,4 1 ) = และ 15 ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ 3 4 5 x y + = มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม 2. หา (3,4) และ เขียน 3 4 3,4 x y + =( ) โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ 4 3(1) 1 = + 3 1(3) = นั่นคือ 1 4 3(1) = − 1 3( 1) 4(1) = − + นำ 5 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 5 3( 5) 4(5) = − + ดังนั้น 5 o x =− และ 5 o y = เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 3 4 5 x y + = จะได้ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 3 4 5 x y + = คือ 4 5 1 x k = − + และ 3 5 1 y k = − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ดังนั้น x k = − +5 4 และ y k = −5 3 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ตัวอย่างที่ 6.1.2 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 4 5 13 x y + = วิธีทำ 1. ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก (4,5 1 ) = และ 1 13 ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ 4 5 13 x y + = มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม
172 2. หา (4,5) และ เขียน 4 5 4,5 x y + = ( ) โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ 5 4(1) 1 = + 4 1(4) = นั่นคือ 1 5 4(1) = − 1 4( 1) 5(1) = − + นำ 13 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 13 4( 13) 5(13) = − + ดังนั้น 13 o x = − และ 13 o y = เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 4 5 13 x y + = จะได้ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 4 5 13 x y + = คือ 5 13 1 x k = − + และ 4 13 1 y k = − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ดังนั้น x k = − + 13 5 และ y k = − 13 4 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ตัวอย่างที่ 6.1.3 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 172 20 100 x y + = วิธีทำ 1. ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก (172,20 4 ) = และ 4 100 ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ 172 20 100 x y + = มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม 2. หา (172,20) และ เขียน 172 20 172,20 x y + =( ) โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ 172 20(8) 12 = + 20 12(1) 8 = + 12 8(1) 4 = + 8 4(2) =
173 นั่นคือ 4 12 8(1) = − 4 12 20 12(1) (1) = − − ( ) 4 12(2) 20(1) = − 4 172 20(8) (2) 20(1) = − − ( ) 4 172(2) 20(17) = − 4 172(2) 20( 17) = + − นำ 25 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 25 172(50) 20( 425) = + − ดังนั้น 50 o x = และ 425 o y = − เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 172 20 100 x y + = จะได้ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 172 20 100 x y + = คือ 20 50 4 x k = + และ 172 425 4 y k = − − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ดังนั้น x k = + 50 5 และ y k = − − 425 43 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ตัวอย่างที่ 6.1.4 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 83 4 6 x y − = วิธีทำ 1. ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก (83, 4 1 − =) และ 16 ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ 83 4 6 x y − = มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม 2. หา (83, 4 − ) และ เขียน 83 4 83, 4 x y − = − ( ) โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ 83 4(20) 3 = + 4 3(1) 1 = + 3 1(3) =
174 นั่นคือ 1 4 3(1) = − 1 4 83 4(20) (1) = − − ( ) 1 4 83(1) 4(20) = − + 1 4(21) 83(1) = − 1 83( 1) 4( 21) = − − − นำ 6 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 6 83( 6) 4( 126) = − − − ดังนั้น 6 o x =− และ 126 o y = − เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 83 4 6 x y − = จะได้ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 83 4 6 x y − = คือ 4 6 1 x k − = − + และ 83 126 1 y k = − − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ดังนั้น x k = − −6 4 และ y k = − − 126 83 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ตัวอย่างที่ 6.1.5 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 56 72 40 x y + = วิธีทำ 1. ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก (56,72 8 ) = และ 8 40 ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ 56 72 40 x y + = มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม 2. หา (56,72) และ เขียน 56 72 56,72 x y + =( ) โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ 72 56(1) 16 = + 56 16(3) 8 = + 16 8(2) =
175 นั่นคือ 8 56 16(3) = − 8 56 72 56(1) (3) = − − ( ) 8 56 72(3) 56(3) = − + 8 56(4) 72(3) = − 8 56(4) 72( 3) = + − นำ 5 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 40 56(20) 72( 15) = + − ดังนั้น 20 o x = และ 15 o y = − เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 56 72 40 x y + = จะได้ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 56 72 40 x y + = คือ 72 20 8 x k = + และ 56 15 8 y k = − − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ดังนั้น x k = + 20 9 และ y k = − − 15 7 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ตัวอย่างที่ 6.1.6 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ − + = 12 18 60 x y วิธีทำ 1. ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจาก (− = = 12,18 12,18 6 ) ( ) และ 6 60 ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์ − + = 12 18 60 x y มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม 2. หา (−12,18) และ เขียน − + = − 12 18 12,18 x y ( ) โดยขั้นตอนวิธีของยูคลิด จากขั้นตอนวิธีการหารจะได้ 18 12(1) 6 = + 12 6(2) = นั่นคือ 6 18 12(1) = − 6 12(1) 18(1) = − +
176 นำ 10 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 6 12(10) 18(10) = − + ดังนั้น 10 o x = และ 10 o y = เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ − + = 12 18 60 x y จะได้ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ − + = 12 18 60 x y คือ 18 10 6 x k = + และ 12 10 6 y k − = − สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ดังนั้น x k = + 10 3 และ y k = + 10 2 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ ตัวอย่างที่ 6.1.7 แคทมีเงิน 100 บาท ต้องการซื้อโค้กกระป๋องในราคากระป๋องละ 15 บาท และขนม คบเคี้ยวแบบห่อ ๆ ละ 20 บาท ถ้าแคทต้องการซื้อของทั้งสองชนิดนี้เท่านั้นและต้องให้เงินหมดพอดี แคทสามารถทำได้หรือไม่ ถ้าทำได้ทำได้ทั้งหมดกี่แบบ วิธีทำ ให้ x แทนราคาโค้กหนึ่งกระป๋อง และ y แทนราคาขนมหนึ่งห่อ จะได้ว่า 15 20 100 x y + = เนื่องจาก (15,20 5 ) = และ 5 100 ดังนั้นสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จาก 20 15(1) 5 = + จะได้ 5 20(1) 15(1) = − นำ 20 คูณทั้งสองข้างสมการ จะได้ 100 15( 20) 20(20) = − + ดังนั้น 0 x = −20 และ 0 y = 20 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 15 20 100 x y + = คือ x k = − + 20 4 และ y k = − 20 3 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ เนื่องจาก x k = − + 20 4 0 และ y k = − 20 3 0 จะได้ k 5 และ 20 3 k และจาก k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ k = 6 นั้นคือ x = 4 และ y = 2 ดังนั้น แคทซื้อโค้ก 4 กระป๋องและขนมขบเคี้ยว 2 ห่อ
177 ตัวอย่างที่ 6.1.8 วินมีเงิน 880 บาท ต้องการแลกธนบัตรใบละ 20 และใบละ 50 บาท จงหาวิธีแลก ธนบัตรที่เป็นไปได้ทั้งหมด วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนธนบัตรใบละ 20 บาท และ y แทนจำนวนธนบัตรใบละ 50 บาท จะได้ว่า 20 50 880 x y + = เนื่องจาก (20,50 10 ) = และ 10 880 ดังนั้นสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จาก 50 20(2) 10 = + จะได้ 10 20( 2) 50(1) = − + นำ 88 คูณทั้งสองข้างสมการ จะได้ 880 20( 176) 50(88) = − + ดังนั้น 0 x = −176 และ 0 y = 88 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 20 50 880 x y + = คือ x k = − + 176 5 และ y k = − 88 2 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ เนื่องจาก x k = − + 176 5 0 และ y k = − 88 2 0 จะได้ 176 5 k และ k 44 และจาก k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ k =36,37,38,39,40,41,42 และ 43 ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 8 วิธี ได้แก่ x = 4 และ y =16 ธนบัตรใบละ 20 บาท 4 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 16 ใบ x = 9 และ y =14 ธนบัตรใบละ 20 บาท 9 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 14 ใบ x =19 และ y =10 ธนบัตรใบละ 20 บาท 19 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 10 ใบ x =14 และ y =12 ธนบัตรใบละ 20 บาท 14 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 12 ใบ x =19 และ y =10 ธนบัตรใบละ 20 บาท 19 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 10 ใบ x = 24 และ y = 8 ธนบัตรใบละ 20 บาท 24 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 8 ใบ x = 29 และ y = 6 ธนบัตรใบละ 20 บาท 29 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 6 ใบ x = 34 และ y = 4 ธนบัตรใบละ 20 บาท 34 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 4 ใบ x = 39 และ y = 2 ธนบัตรใบละ 20 บาท 39 ใบ และ ธนบัตรใบละ 50 บาท 2 ใบ
178 ตัวอย่างที่ 6.1.9 รถประจำทางคิดเงินค่าโดยสารผู้ใหญ่คนละ 20 บาท และคิดเด็กคนละ 12 บาท ส่วนผุ้สูงอายุให้ขึ้นฟรี ถ้าวันหนึ่งเก็ยค่าโดยสารได้ 372 บาท ในวันนั้นจะมีผู้ใหญ่กี่คนและเด็กกี่คนที่ โดยสารรถประจำทาง วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนผู้โดยสารผู้ใหญ่ และ y แทนจำนวนผู้โดยสารเด็ก จะได้ว่า 20 12 372 x y + = เนื่องจาก (20,12 4 ) = และ 4 372 ดังนั้นสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จาก 20 12(1) 8 = + และ 12 8(1) 4 = + จะได้ 4 12 8(1) = − , 4 12(2) 20( 1) = + − นำ 93 คูณทั้งสองข้างสมการ จะได้ 372 20( 93) 12(186) = − + ดังนั้น 0 x = −93 และ 0 y =186 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ผละเฉลยทั้งหมดของสมการ 20 12 372 x y + = คือ x k = − + 93 3 และ y k = − 186 5 สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ เนื่องจาก x k = − + 93 3 0 และ y k = − 186 5 0 จะได้ k 31 และ 186 5 k และจาก k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ k =32,33,34,35,36 และ 37 ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 6 วิธี ได้แก่ x = 3 และ y = 26 ผู้ใหญ่ 3 คน และ เด็ก 26 คน x = 6 และ y = 21 ผู้ใหญ่ 6 คน และ เด็ก 21 คน x = 9 และ y =16 ผู้ใหญ่ 9 คน และ เด็ก 26 คน x =12 และ y =11 ผู้ใหญ่ 12 คน และ เด็ก 11 คน x =15 และ y = 6 ผู้ใหญ่ 15 คน และ เด็ก 6 คน x =18 และ y =1 ผู้ใหญ่ 18 คน และ เด็ก 1 คน
179 ทฤษฎีบทที่ 6.1.3 สมการไดโอแฟนไทน์ 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + = มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ (a a a c 1 2 , ,..., n ) พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด เมื่อเราพิจารณาการหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ ax by cz m + + = ให้ d a b c =( , , ) และ ( ) 1 d a b = , จากทฤษฎีบทที่ 6.1.3 ถ้า dm สมการไดโอแฟนไทน์ ax by cz m + + = จะมีคำตอบ และ ถ้า ( ) 1 d m cz −สมการไดโอแฟนไทน์ ax by m cz + = − จะมีคำตอบ ถ้า ( ) 1 d m cz −จะได้ cz m d (mod 1 ) ให้ 0 z เป็นคำตอบของสมการ cz m d (mod 1 ) จะได้ cz m d 0 1 (mod ) นั่นคือ ( )0 1 d m cz − จาก (a b c a b c d c d , , , , , ) = = = (( ) ) ( 1 ) และ dm จะได้ 1 0 d z z k d = + เมื่อ k เป็น จำนวนเต็ม และเมื่อแทน z ลงในสมการไดโอแฟนไทน์ ax by cz m + + = จะได้สมการไดโอแฟน ไทน์สองตัวแปร แล้วดำเนินการหาคำตอบแบบตัวอย่างที่ผ่านมา ตัวอย่างที่ 6.1.10 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 3 6 9 63 x y z − + = วิธีทำ เนื่องจาก (− − = 3, 6,9 3 ) และ 3 63 ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์ 3 6 9 63 x y z − + = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จัดสมการใหม่ได้เป็น 3 6 63 9 x y z − = − ---(*) เนื่องจาก (3, 6 3 − =) สมการ (*) จะมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 3 63 9 ( − z) เนื่องจาก 3 63 และ 39 จะได้ 3 63 9 ( − z) เป็นจริงเสมอสำหรับทุกจำนวนเต็ม z ให้ 1 z u = เมื่อ 1 u เป็นจำนวนเต็ม แทน 1 z u = ใน (*) จะได้ 1 3 6 63 9 x y u − = − นั่นคือ 1 x y u − = − 2 21 3 เนื่องจาก (1, 2 1 − =) และ 1 21 3 ( − u1 ) ดังนั้นสมการ 1 x y u − = − 2 21 3 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
180 ให้ 2 y u = เมื่อ 2 u เป็นจำนวนเต็ม เป็นคำตอบของสมการ จะได้ 1 2 x u u = − + 21 3 2 ดังนั้นคำตอบของสมการ 3 6 9 63 x y z − + = คือ 1 2 x u u = − + 21 3 2 2 y u = และ 1 z u = เมื่อ 1 u และ 2 u เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างที่ 6.1.11 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 15 12 30 24 x y z + + = วิธีทำ เนื่องจาก (15,12,30 3 ) = และ 3 24 ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์ 15 12 30 24 x y z + + = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จัดสมการใหม่ได้เป็น 15 12 24 30 x y z + = − ---(*) เนื่องจาก (15,12 3 ) = สมการ (*) จะมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 3 24 30 ( − z) เนื่องจาก 3 24 และ 3 30 จะได้ 3 24 30 ( − z) เป็นจริงเสมอสำหรับทุกจำนวนเต็ม z ให้ 1 z u = เมื่อ 1 u เป็นจำนวนเต็ม แทน 1 z u = ใน (*) จะได้ 1 15 12 24 30 x y u + = − นั่นคือ ( ) ( ) 1 5 2 4 2 x u y + = − ดังนั้น 5 4(2 ) − y เนื่องจาก (5,4 1 ) = จะได้ 5 2( − y) ดังนั้นจำมีจำนวนเต็ม 2 u ที่ 2 2 5 − =y u นั่นคือ 2 y u = −2 5 จาก 2 y u = −2 5 และ 1 z u = แทนค่าใน (*) จะได้ 15 12 2 5 x u + − ( 2 ) 1 = − 24 30u 2 15 24 60 x u + − 1 = − 24 30u 15x 1 2 = + 30 60 u u
181 x 1 2 = + 2 4 u u ดังนั้นคำตอบของสมการ 15 12 30 24 x y z + + = คือ 1 2 x u u = + 2 42 y u = −2 5 และ 1 z u = เมื่อ 1 u และ 2 u เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างที่ 6.1.12 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 3 6 2 11 x y z − + = วิธีทำ เนื่องจาก (3, 6,2 1 − =) และ 1 11 ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์ 3 6 2 11 x y z − + = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จัดสมการใหม่ได้เป็น 3 6 11 2 x y z − = − ---(*) เนื่องจาก (3,6 3 ) = สมการ (*) จะมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 3 11 2 ( − z) นั่นคือ 2 11(mod3) z จาก 11 2(mod3) จะได้ 2 2(mod3) z จาก (2,3) 1 = จะได้ z 1(mod3) ดังนั้น 1 z u = + 3 1 เมื่อ 1 u เป็นจำนวนเต็ม แทนค่า z ใน (*) จะได้ 3 6 11 2 3 1 x y u − = − + ( 1 ) 1 3 9 6 6 x u y = − + 1 x u y = − + 3 2 2 ให้ 2 y u = เป็นคำตอบของสมการ เมื่อ 2 u เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นคำตอบของสมการ 3 6 2 11 x y z − + = คือ 1 2 x u u = − + 3 2 2 2 y u = และ 1 z u = + 3 1 เมื่อ 1 u และ 2 u เป็นจำนวนเต็ม
182 ตัวอย่างที่ 6.1.13 จงหาผลแลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 90 14 6 30 200 w x y z + + + = วิธีทำ เนื่องจาก (90,14,6,30 2 ) = และ 2 200 ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์ 90 14 6 30 200 w x y z + + + = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จัดสมการใหม่ได้เป็น 14 6 30 200 90 x y z w + + = − ---(*) เนื่องจาก (14,6,30 2 ) = สมการ (*) จะมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 2 200 90 ( − w) เนื่องจาก 2 200 และ 2 90 จะได้ 2 200 90 ( − w) เป็นจริงเสมอสำหรับทุกจำนวนเต็ม w ให้ 1 w u = เมื่อ 1 u เป็นจำนวนเต็ม แทน 1 w u = ใน (*) จะได้ 1 14 6 30 200 90 x y z u + + = − 1 14 6 200 90 30 x y u z + = − − 1 7 3 100 45 15 x y u z + = − − เนื่องจาก (7,3 1 ) = และ 1 100 45 15 ( − − u z 1 ) จะเห็นว่า z เป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ ดังนั้นให้ 2 z u = เมื่อ 2 u เป็นจำนวนเต็ม จะได้ 1 2 7 3 100 45 15 x y u u + = − − ( ) ( ) 1 2 7 100 45 15 3 x u u y − − − = − ดังนั้น 3 7 100 45 15 ( x u u − − − ( 1 2 )) นั่นคือ 7 100 45 15 (mod3) x u u − − ( 1 2 ) จาก 1 7 (mod3), 100 1(mod3), 45 0(mod3) x x u และ 2 15 0(mod3) u ดังนั้น x 1(mod3) นั่นคือ 3 x u = + 3 1 เมื่อ 3 u เป็นจำนวนเต็ม จะได้ 7 3 1 3 100 45 15 ( u y u u 3 1 2 + + = − − ) 1 2 3 3 93 45 15 21 y u u u = − − − 1 2 3 y u u u = − − − 31 15 5 7 ดังนั้นคำตอบของสมการ 90 14 6 30 200 w x y z + + + = คือ 1 w u = 3 x u = + 3 1 1 2 3 y u u u = − − − 31 15 5 7 และ 2 z u = เมื่อ 1 2 u u, และ 3 u เป็นจำนวนเต็ม
183 ตัวอย่างที่ 6.1.14 นกมีธนบัตรใบละ 50 บาท 1 ใบ ต้องการแลกเหรียญ 2 บาท เหรียญ 5 บาท และ เหรียญ 10 บาท จะแลกเหรียญได้ทั้งหมดกี่แบบโดยที่เหรียญแต่ละชนิดต้องมีอย่างน้อย 1 เหรียญ วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนเหรียญ 2 บาท y แทนจำนวนเหรียญ 5 บาท และ z แทนจำนวนเหรียญ 10 บาท จะได้ว่า 2 5 10 50 x y z + + = เนื่องจาก (2,5,10 1 ) = และ 1 50 ดังนั้นสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม จัดสมการใหม่ได้เป็น 2 5 50 10 x y z + = − ---(*) เนื่องจาก (2,5 1 ) = สมการ (*) จะมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 1 50 10 ( − z) และจาก 1 50 10 ( − z) เป็นจริงเสมอ ดังนั้น z เป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ นั่นคือ 1 z u = , เมื่อ 1 u เป็นจำนวนเต็ม จะได้ 1 2 5 10 50 x y u + + = 1 2 10 50 5 x u y + = − ( ) ( ) 1 2 5 5 10 x u y + = − ดังนั้น 2 5 10 ( − y) และจาก (2,5 1 ) = จะได้ 2 10 ( − y) นั่นคือจะมีจำนวนเต็ม 2 u ที่ 2 2 10 u y = − ดังนั้น 2 y u = − 10 2 จะได้ว่า 2 10 50 5 10 2 x u u + = − − 1 2 ( ) 1 2 2 10 10 x u u + = 2 1 2 10 10 x u u = − 2 1 x u u = − 5 5 ดังนั้นคำตอบของสมการ 3 6 9 63 x y z − + = คือ 2 1 x u u = − 5 52 y u = − 10 2 และ 1 z u =
184 เมื่อ 1 u และ 2 u เป็นจำนวนเต็ม จาก x y z , , เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ 2 1 5 5 0 u u − , 2 y u = − 10 2 0 และ 1 z u = 0 ดังนั้น 2 1 u u , 1 u 0 และ 2 u 5 ถ้า 2 u = 4 และ 1 u = 3 จะได้ x = − = 5(4) 5(3) 5, y = − = 10 2(4) 2 และ z = 3 ดังนั้น เหรียญ 2 บาท 5 เหรียญ เหรียญ 5 บาท 2 เหรียญ และ เหรียญ 10 บาท 3 เหรียญ ถ้า 2 u = 4 และ 1 u = 2 จะได้ x = − = 5(4) 5(2) 10, y = − = 10 2(4) 2 และ z = 2 ดังนั้น เหรียญ 2 บาท 10 เหรียญ เหรียญ 5 บาท 2 เหรียญ และ เหรียญ 10 บาท 2 เหรียญ ถ้า 2 u = 4 และ 1 u =1 จะได้ x = − = 5(4) 5(1) 15, y = − = 10 2(4) 2 และ z =1 ดังนั้น เหรียญ 2 บาท 15 เหรียญ เหรียญ 5 บาท 2 เหรียญ และ เหรียญ 10 บาท 1 เหรียญ ถ้า 2 u = 3 และ 1 u = 2 จะได้ x =−= 5(3) 5(2) 5, y = − = 10 2(3) 4 และ z = 2 ดังนั้น เหรียญ 2 บาท 5 เหรียญ เหรียญ 5 บาท 4 เหรียญ และ เหรียญ 10 บาท 2 เหรียญ ถ้า 2 u = 3 และ 1 u =1 จะได้ x = − = 5(3) 5(1) 10, y = − = 10 2(3) 4 และ z =1 ดังนั้น เหรียญ 2 บาท 10 เหรียญ เหรียญ 5 บาท 4 เหรียญ และ เหรียญ 10 บาท 1 เหรียญ ถ้า 2 u = 2 และ 1 u =1 จะได้ x = − = 5(2) 5(1) 5, y = − = 10 2(2) 6 และ z =1 ดังนั้น เหรียญ 2 บาท 5 เหรียญ เหรียญ 5 บาท 6 เหรียญ และ เหรียญ 10 บาท 1 เหรียญ จำนวนเหรียญ 2 บาท จำนวนเหรียญ 5 บาท จำนวนเหรียญ 10 บาท 5 2 3 10 2 2 15 2 1 5 4 2 10 4 1 5 6 1
185 6.2 สมการพิทาโกรัส ทฤษฎีบทพิทาโกรัส (Pythagoras Theorem) เป็นทฤษฎีบทหนึ่งในสาระการเรียนรู้ เรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น กล่าวว่า “ผลบวกกำลังสองของความยาวด้านประกอบมุมฉาก เท่ากับความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง” และในทางกลับกันถ้าผลบวกกำลังสองของความ ยาวด้านที่สั้นสองด้านเท่ากับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุดแล้วสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าเราหาความยาวด้านทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มจะเป็นการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ของสมการ 2 2 2 x y z + = ซึ่งเรียกว่าสมการไดโอแฟนไทน์ดีกรีสอง 3 ตัวแปร นิยามที่ 6.2.1 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , เรียก x y z , , ที่สอดคล้องกับสมการ 2 2 2 x y z + = ว่า “สามสิ่งอันดับพิทาโกรัส (Pythagorean Triple)” และ เรียกสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสที่ ห.ร.ม. ของ x, y และ z เท่ากับ 1 ว่า “สามสิ่งอันดับพิทาโกรัส ปฐมฐาน (Primitive Pythagorean Triple)” ตัวอย่างที่ 6.2.1 จงตรวจสอบจำนวนต่อไปนี้ว่าเป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสหรือไม่ ถ้าเป็นเป็นสามสิ่ง อันดับพิทาโกรัสปฐมฐานหรือไม่ 1. 3,4,5 - เนื่องจาก 2 2 2 3 4 5 + = และ (3,4,5 1 ) = ดังนั้น 3,4,5 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 2. 5,12,13 - เนื่องจาก 2 2 2 5 12 13 + = และ (5,12,13 1 ) = ดังนั้น 5,12,13 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน
186 3. 15,12,9 - เนื่องจาก 2 2 2 9 12 15 + = แต่ (9,12,15 1 ) ดังนั้น 15,12,9 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส 4. 15,8,17 - เนื่องจาก 2 2 2 9 12 15 + = แต่ (15,8,17 1 ) = ดังนั้น 15,12,9 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 5. 21,29,20 - เนื่องจาก 2 2 2 20 21 29 + = และ (20,21,29 1 ) = ดังนั้น 21,29,20 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 6. 12,85,93 - เนื่องจาก 2 2 2 12 85 93 + ดังนั้น 12,85,93 ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 7. 39,80,89 - เนื่องจาก 2 2 2 39 80 89 + = และ (39,80,89 1 ) = ดังนั้น 39,80,89 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 8. 30,72,78 - เนื่องจาก 2 2 2 30 72 78 + ดังนั้น 30,72,78 ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน ทฤษฎีบทที่ 6.2.1 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , ถ้า x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส และ m เป็นจำนวนนับแล้ว mx my mz , , เป็นสามสิ่ง อันดับพิทาโกรัส พิสูจน์ ให้ x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส โดยที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , และ m เป็นจำนวนนับ จะได้ 2 2 2 x y z + = นำ 2 m คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 mx my mz + = ดังนั้น mx my mz , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส
187 ทฤษฎีบทที่ 6.2.2 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , ถ้า x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส และ (x y z d , , ) = แล้ว , , x y z ddd เป็นสามสิ่ง อันดับพิทาโกรัส พิสูจน์ ให้ x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส โดยที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , และ (x y z d , , ) = จะได้ 2 2 2 x y z + = จาก (x y z d , , ) = ดังนั้น d x d y , และ d z นำ 2 d หารทั้งสองข้างสมการ จะได้ 2 2 2 x y z d d d + = ดังนั้น , , x y z ddd เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส ทฤษฎีบทที่ 6.2.3 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , ถ้า x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสและ (x y z , , 1 ) = แล้ว (x y x z y z , , , 1 ) = = = ( ) ( ) พิสูจน์ให้ x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสและ (x y z , , 1 ) = โดยที่ x, y และ z เป็นจำนวน เต็มบวกที่ x y z , และ (x y, 1 ) ดังนั้นจะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ p x y ( , ) จะได้ p x และ p y ดังนั้น ( ) 2 2 p x y + เนื่องจาก x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส ดังนั้น 2 2 2 x y z + = จะได้ 2 p z นั่นคือ p z ดังนั้น p เป็นตัวหารร่วมของ x, y และ z ขัดแย้งกับ (x y z , , 1 ) = ดังนั้น (x y, 1 ) = พิสูจน์ในทำนองเดียวกันจะได้ (x z y z , , 1 ) = = ( )
188 ทฤษฎีบทที่ 6.2.4 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , ถ้า x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน แล้ว x y (mod2) พิสูจน์ให้ x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน โดยที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , และ x y (mod2) จะได้ว่า x และ y เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่พร้อมกัน กรณี x และ y เป็นจำนวนคู่พร้อมกัน จะได้ (x y, 1 ) จาก x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน โดยทฤษฎีบทที่ 6.2.3 (x y, 1 ) = ขัดแย้ง กรณี x และ y เป็นจำนวนคี่พร้อมกัน จะได้ ( ) 2 x 1 mod4 และ ( ) 2 y 1 mod4 ดังนั้น ( ) 2 2 x y + 2 mod4 และจาก 2 2 2 x y z + = จะได้ ( ) 2 z 2 mod4 เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากสำหรับจำนวนเต็ม n ทุกจำนวน ( ) 2 n 0 mod4 หรือ ( ) 2 n 1 mod4 จากทั้งสองกรณีจะได้ x y (mod2) บทตั้งที่6.2.1 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 ถ้า n ab c = โดยที่ (a b, 1 ) = แล้วจะมีจำนวนเต็มบวก d และ e ที่ n a d = และ n b e = พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 a และ b สามารถเขียนในรูปบัญญัติได้ดังนี้ 1 2 3 1 2 3 r k k k k r a p p p p = และ 1 2 3 1 2 3 r r r r s k k k k r r r r s b p p p p + + + + = + + + + จาก (a b, 1 ) = จะได้ว่าจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของ a และ b แตกต่างกัน ให้ c สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะดังนี้ 1 2 3 1 2 3 m m m mt t c q q q q = เนื่องจาก n ab c = จะได้ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 r r r r r s t k k k k k k k nm nm nm k nm r r r r r s t ab p p p p p p p p q q q q + + + + = = + + + + จากทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตจะได้ว่าจำนวนเฉพาะทั้งสองข้างของสมการเหมือนกัน
189 ดังนั้น i p แต่ละตัวต้องเท่ากับ j q สำหรับบาง i และมีเลขชี้กำลังเท่ากัน ดังนั้น i j k nm = จะได้ i k n เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่ามี 1 2 3 1 2 3 r k k k k n n n n r d p p p p = และ 1 2 3 1 2 3 r r r r s k k k k n n n n r r r r s b p p p p + + + + = + + + + ดังนั้น จะมีจำนวนเต็มบวก d และ e ที่ n a d = และ n b e = ทฤษฎีบทที่ 6.2.5 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม u และ v ที่ 0 , v u (u v, 1 ) = และ u v (mod2) ที่ทำให้ 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + พิสูจน์ (→) ให้ x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน โดยที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , โดยทฤษฎีบทที่ 6.2.4 จะได้ว่า x y (mod2) สมมติให้ y เป็นจำนวนเต็มคู่ x และ z เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่า z x + และ z x − เป็นจำนวนเต็มคู่ ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก a และ b ที่ 2 z x a + = และ 2 z x b − = เนื่องจาก 2 2 2 x y z + = จะได้ ( )( ) 2 2 2 y z x z x z x = − = − + นั่นคือ 2 2 2 2 y z x z x ab − + = = ต่อไปจะแสดงว่า (a b, 1 ) = ให้ (a b d , ) = นั่นคือ da และ db จะได้ d a b ( + ) และ d a b ( − ) เนื่องจาก 2 2 z x z x a b z + − + = + = และ 2 2 z x z x a b x + − − = − = ดังนั้น d z และ d x นั้นคือ d x z ( , ) และจาก (x z, 1 ) = ดังนั้น d = 1 จะได้ว่ามีจำนวนเต็มบวก u และ v ที่ 2 a u = และ 2 b v =
190 พิจารณา x , y และ z ในเทอมของ u และ v จะได้ 2 2 x a b u v = − = − y ab uv = = 2 22 2 z a b u v = + = + ให้ (u v d , ) = นั่นคือ d u และ d v จะได้ ( ) 2 2 d u v d uv − , 2 และ ( ) 2 2 d u v + ดังนั้น d x d y , และ d z จะได้ d x y z ( , , ) จาก (x y z , , 1 ) = ดังนั้น d =1 พิจารณา 2 2 x u v = − , y uv = 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ว่า u และ v เป็นจำนวนเต็มคี่พร้อมกันหรือจำนวนเต็มคู่พร้อมกันไม่ได้ เพราะจะทำให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด ขัดแย้งกับ (x y z , , 1 ) = ดังนั้น u เป็นจำนวนเต็มคี่และ v เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ u เป็นจำนวนเต็มคู่ และ v เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ u v (mod2) () สมมติให้มีจำนวนเต็ม u และ v ที่ u v u v = 0, , 1 ( ) และ u v (mod2) ที่ทำให้ 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะแสดงว่า x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน พิจารณา 2 2 x y + ( ) ( ) 2 2 2 2 = − + u v uv 2 4 2 2 4 2 2 = − + + u u v v u v 2 4 4 2 2 4 = + + u u v v 2 ( ) 2 2 2 = + u v 2 = z ดังนั้น x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส ต่อไปจะแสดงว่า (x y z , , 1 ) = โดยข้อขัดแย้ง ให้ (x y z d , , 1 ) = จะมีจำนวเฉพาะ p ที่ p x y z ( , , )