41 พิสูจน์ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็น 2 ตอน คือ ตอนแรกจะพิสูจน์ว่ามี จำนวนเต็ม q และ r ที่มี คุณสมบัติ a bq r r b = + , 0 และตอนที่สองจะแสดงว่า จำนวนเต็ม q และ r มีเพียงคู่เดียว ตอนที่ 1 จะพิสูจน์ว่ามี จำนวนเต็ม q และ r ซึ่งมีคุณสมบัติ a bq r r b = + , 0 ให้ S a bx x Z a bx = − − 0 เราจะแบ่งการพิสูจน์นี้เป็น 2 กรณี โดยพิจารณาจากค่า b คือ b 0 และ b 0 กรณีที่ 1 b 0 จะได้ b b = และ b 1 ดังนั้น a b a นั่นคือ a a b a a − − + ( ) จาก a a + 0 จะได้ a a b − − ( ) 0 ดังนั้น S แสดงว่า มี s S ซึ่ง s = 0 หรือ s 0 ถ้า s = 0 จะได้ว่ามี q Z ซึ่ง s a bq = − นั่นคือ a bq s = + โดยที่ s = 0 ถ้า s 0 โดยหลักการจัดอันดับดี จะมี r S เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่ง r s = หรือ r s แสดงว่ามี q Z ซึ่ง r a bq = − นั่นคือ a bq r = + โดยที่ r 0 ต่อไปจะแสดงว่า r b โดยข้อขัดแย้ง สมมติให้ r b ดังนั้น r b − 0 จะได้ r b a bq b a bq b a b q − = − − = − + = − + ( ) ( 1) 0 ( ) นั่นคือ r b S − แต่เนื่องจาก r b r − ขัดแย้ง กับที่ว่าจะมี r S เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด ดังนั้น r b และจาก b b = จะได้ r b นั่นคือ จะมี r q Z , ซึ่ง a bq r = + โดยที่ 0 r b
42 กรณีที่ 2 b 0 จะได้ b b = − และ − b 1 จากกรณีที่ 1 จะได้ว่ามี จะมี r s Z , ซึ่ง a b s r b s r = − + = − + ( ) ( ) โดยที่ 0 − = r b b ให้ q s =− นั่นคือ จะมี r q Z , ซึ่ง a qb r = + โดยที่ 0 r b ตอนที่ 2 จะพิสูจน์ว่ามี จำนวนเต็ม q และ r เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ a bq r r b = + , 0 สมมติให้ r q r q Z , , , ที่ทำให้ a bq r = + โดยที่ 0 r b และ a bq r = + โดยที่ 0 r b จะแสดงว่า r r = และ q q = จาก a bq r = + โดยที่ 0 r b และ a bq r = + โดยที่ 0 r b จะได้ a a bq r bq r − = + − + ( ) ( ) โดยที่ 0 − r r b 0 = − + − bq bq r r โดยที่ 0 − r r b 0 = − + − b q q r r ( ) โดยที่ 0 − r r b − − = − b q q r r ( ) โดยที่ 0 − r r b − − = − b q q r r ( ) โดยที่ 0 − r r b นั่นคือ b q q r r − = − โดยที่ 0 − r r b ดังนั้น b q q b − และจาก q q − เป็นจำนวนเต็ม จะได้ q q − = 0 และจาก b q q r r − = − จะได้ r r − = 0 นั่นคือ r r = และ q q =
43 ตัวอย่างที่ 2.2.1 จงหาผลหารและเศษจากการหาร 1. 3 หารด้วย 4 2. 7 หารด้วย 8 3. 40 หารด้วย 6 4. 123 หารด้วย 8 5. 21 หารด้วย −4 6. 62 หารด้วย −5 7. −2 หารด้วย 4 8. −21 หารด้วย 6 9. −26 หารด้วย −5 10. −111 หารด้วย −8 วิธีทำ 1. เนื่องจาก 3 4(0) 3 = + จะได้ว่า 3 หารด้วย 4 ได้ 0 เศษ 3 2. เนื่องจาก 8 8(0) 7 = + จะได้ว่า 3 หารด้วย 4 ได้ 0 เศษ 7 3. เนื่องจาก 40 6(6) 4 = + จะได้ว่า 40 หารด้วย 6 ได้ 6 เศษ 4 4. เนื่องจาก 123 8(15) 3 = + จะได้ว่า 123 หารด้วย 8 ได้ 15 เศษ 3 5. เนื่องจาก 21 4( 5) 1 = − − + จะได้ว่า 21 หารด้วย −4 ได้ −5 เศษ 1 6. เนื่องจาก 62 5( 12) 2 = − − + จะได้ว่า 62 หารด้วย −5 ได้ −12 เศษ 2 7. เนื่องจาก − = − + 2 4( 1) 2 จะได้ว่า −2 หารด้วย 4 ได้ −1 เศษ 2 8. เนื่องจาก − = − + 21 6( 4) 3 จะได้ว่า −21 หารด้วย 6 ได้ −4 เศษ 3 9. เนื่องจาก − = − + 26 5(6) 4 จะได้ว่า −26 หารด้วย −5 ได้ 6 เศษ 4 10. เนื่องจาก − = − + 111 8(14) 1 จะได้ว่า −111 หารด้วย −8 ได้ 14 เศษ 1 เราสามารถใช้ WolframAlpha ในการตรวจสอบคำตอบ โดยใช้คำสั่ง QuotientRemainder[m,n] ในการหาผลหารและเศษในการหาร m ด้วย n ดังภาพที่ 2.2
44 ภาพที่ 2.2 ภาพแสดงผลหารและเศษเหลือของ 3 หารด้วย 4 จากทฤษฎีบทที่ 2.2.1 ถ้าให้ a เป็นจำนวนเต็ม เมื่อพิจารณา a และ 2 โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะเขียนในรูป a k = 2 หรือ a k = + 2 1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น นำมาสู่ การนิยามจำนวนเต็มคู่และจำนวนเต็มคี่ดังนี้ นิยามที่ 2.2.1 จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม k ที่ a k = 2 จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม k ที่ a k = + 2 1 จากนิยามจะได้ว่า 0 เป็นจำนวนคู่เนื่องจาก มี0 เป็นจำนวนเต็มที่ 0 2(0) = ตัวอย่างที่ 2.2.1 จงพิสูจน์ว่า “ผลคูณของจำนวนเต็มคี่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็มคี่” พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มคี่ใด ๆ ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม k และ l ที่ a k = + 2 1 และ b l = + 2 1 นั่นคือ ab = + + (2 1 2 1 k l )( ) = + + + 4 2 2 1 kl k l = + + + 2 2 1 ( kl k l) เนื่องจาก 2kl k l + + เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม 2kl k l + + ที่ทำให้ ab = + + + 2 2 1 ( kl k l) ดังนั้น ab เป็นจำนวนเต็มคี่ นั่นคือ ผลคูณของจำนวนเต็มคี่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็มคี่
45 ตัวอย่างที่ 2.2.2 จงพิสูจน์ว่า “ผลคูณของจำนวนเต็มคู่กับจำนวนเต็มคี่ เป็นจำนวนเต็มคู่” พิสูจน์ ให้ a เป็นจำนวนเต็มคู่ และ b เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม k และ l ที่ a k = 2 และ b l = + 2 1 นั่นคือ ab = + 2 2 1 k l ( ) = + 2 2 1 (k l ( )) เนื่องจาก k l (2 1 + ) เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม k l (2 1 + ) ที่ทำให้ ab = + 2 2 1 (k l ( )) ดังนั้น ab เป็นจำนวนเต็มคู่ นั่นคือ ผลคูณของจำนวนเต็มคู่กับจำนวนเต็มคี่ เป็นจำนวนเต็มคู่ ตัวอย่างที่ 2.2.3 จงพิสูจน์ว่า “กำลังสองของจำนวนเต็มคู่ เป็นจำนวนเต็มคู่” พิสูจน์ ให้ a เป็นจำนวนเต็มคู่ ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม k ที่ a k = 2 นั่นคือ 2 a ( ) 2 = 2k ( ) 2 = 2 2k เนื่องจาก 2 2k เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม 2 2k ที่ทำให้ 2 a ( ) 2 = 2 2k ดังนั้น 2 a เป็นจำนวนเต็มคู่ นั่นคือ กำลังสองของจำนวนเต็มคู่ เป็นจำนวนเต็มคู่ ตัวอย่างที่ 2.2.4 จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ ถ้า 2 a เป็นจำนวนเต็มคู่ แล้ว a เป็น จำนวนเต็มคู่” พิสูจน์ ในข้อนี้จะใช้วิธีพิสูจน์โดยตรงไม่ได้จึงพิสูจน์ “สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ ถ้า a เป็นจำนวน เต็มคี่ แล้ว 2 a เป็นจำนวนเต็มคี่” แทน ให้ a เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม k ที่ a k = + 2 1
46 นั่นคือ 2 a ( ) 2 = + 2 1 k 2 = + + 4 4 1 k k ( ) 2 = + + 2 2 2 1 k k เนื่องจาก 2 2 2 k k + เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ มีจำนวนเต็ม 2 2 2 k k + ที่ทำให้ 2 a ( ) 2 = + + 2 2 2 1 k k ดังนั้น 2 a เป็นจำนวนเต็มคี่ นั่นคือ ถ้า a เป็นจำนวนเต็มคี่ แล้ว 2 a เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ ถ้า 2 a เป็นจำนวนเต็มคู่ แล้ว a เป็นจำนวนเต็มคู่ ตัวอย่างที่ 2.2.5 จงเขียนรูปแบบทั้งหมดของ a โดยขั้นตอนวิธีการหารในทฤษฎีบทที่ 2.2.1 เมื่อ กำหนดให้ 1. 3 หาร a 2. 4 หาร a 3. 5 หาร a 4. 6 หาร a วิธีทำ 1. 3 หาร a จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 3 , 0 3 ดังนั้น a q a q = = + 3 , 3 1 หรือ a q = + 3 2 2. 4 หาร a จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 4 , 0 4 ดังนั้น a q a q a q = = + = + 4 , 4 1, 4 2 หรือ a q = + 4 3 3. 5 หาร a จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 5 , 0 5 ดังนั้น a q a q a q a q = = + = + = + 5 , 5 1, 5 2, 5 3 หรือ a q = + 5 4
47 4. 6 หาร a จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 6 , 0 6 ดังนั้น a q a q a q a q a q = = + = + = + = + 6 , 6 1, 6 2, 6 3, 6 4 หรือ a q = + 6 5 ขั้นตอนวิธีการหารมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาและพิสูจน์ในระบบจำนวนเต็ม โดยให้ a แทน จำนวนเต็มใด ๆ และแบ่งกรณีตามเศษที่เหลือ จากการหารด้วย b ได้ b กรณี นั่นคือจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม q ที่ a bq a bq a bq a bq b = = + = + = + − , 1, 2, , 1 ( ) ซึ่งใน การแก้ปัญหาและพิสูจน์เราจะเลือก b ที่เหมาะสม ตัวอย่างที่ 2.2.6 จงพิสูจน์ว่า “กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ จะอยู่ในรูป 3r หรือ 3 1 r + สำหรับ บางจำนวนเต็ม r ” พิสูจน์ให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ พิจารณาการหารด้วย 3 จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 3 , 0 3 ดังนั้น a q a q = = + 3 , 3 1 หรือ a q = + 3 2 กรณี a q = 3 จะได้ ( ) 2 2 a q = 3 3 เนื่องจาก 2 3q เป็นจำนวนเต็ม ให้ 2 r q = 3 ดังนั้น 2 a r = 3 กรณี a q = + 3 1 จะได้ ( ) 2 2 a q q = + + 3 3 2 1 เนื่องจาก 2 3 2 q q + เป็นจำนวนเต็ม ให้ 2 r q q = + 3 2 ดังนั้น 2 a r = + 3 1 กรณี a q = + 3 2 จะได้ 2 2 a q q = + + 9 12 4 ( ) 2 = + + + 3 3 4 1 1 q q เนื่องจาก 2 3 4 1 q q + + เป็นจำนวนเต็ม ให้ 2 r q q = + + 3 4 1 นั่นคือ 2 a r = + 3 1 ดังนั้น กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ จะอยู่ในรูป 3r หรือ 3 1 r + สำหรับบางจำนวนเต็ม r
48 ตัวอย่างที่ 2.2.7 จงพิสูจน์ว่า “กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ เมื่อหารด้วย 4 จะเหลือเศษ 0 หรือ 1” พิสูจน์ให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ พิจารณาการหารด้วย 4 จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 4 , 0 4 ดังนั้น a q a q a q = = + = + 4 , 4 1 4 2 หรือ a q = + 4 3 กรณี a q = 4 จะได้ ( ) 2 2 a q = 4 4 เนื่องจาก 2 3q เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 a หารด้วย 4 เหลือเศษ 0 กรณี a q = + 4 1 จะได้ ( ) 2 2 a q q = + + 4 4 2 1 เนื่องจาก 2 3 2 q q + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 a หารด้วย 4 เหลือเศษ 1 กรณี a q = + 4 2 จะได้ ( ) 2 2 a q q = + + 4 4 8 1 เนื่องจาก 2 4 8 1 q q + + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 a หารด้วย 4 เหลือเศษ 0 กรณี a q = + 4 3 จะได้ ( ) 2 2 a q q = + + + 4 4 6 2 1 เนื่องจาก 2 4 6 2 q q + + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 a หารด้วย 4 เหลือเศษ 1 ดังนั้น กำลังสองของจำนวนเต็มใด ๆ เมื่อหารด้วย 4 จะเหลือเศษ 0 หรือ 1 ตัวอย่างที่ 2.2.8 จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ n n n ( 1)( 1) − + หารด้วย 3 ลงตัว” พิสูจน์ให้ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ พิจารณาการหารด้วย 3 จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ n q r r = + 3 , 0 3 ดังนั้น n q n q = = + 3 , 3 1 หรือ n q = + 3 2 กรณี n q = 3 จะได้ n n n q q q q q q ( 1)( 1) 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 − + = − + = − + ( )( ) ( ( )( )) เนื่องจาก q q q (3 1 3 1 − + )( ) เป็นจำนวนเต็ม
49 ดังนั้น n n n ( 1)( 1) − + หารด้วย 3 ลงตัว กรณี a q = + 3 1 จะได้ n n n q q q q q q ( 1)( 1) 3 1 3 3 2 3 3 1 3 2 − + = + + = + + ( )( )( ) ( ( )( )) เนื่องจาก q q q (3 1 3 2 + + )( ) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น n n n ( 1)( 1) − + หารด้วย 3 ลงตัว กรณี a q = + 3 2 จะได้ n n n q q q q q q ( 1)( 1) 3 2 3 1 3 3 3 3 2 3 1 1 − + = + + + = + + + ( )( )( ) ( )( )( ) เนื่องจาก (3 2 3 1 1 q q q + + + )( )( ) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น n n n ( 1)( 1) − + หารด้วย 3 ลงตัว ตัวอย่างที่ 2.2.9 จงพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็มคี่ a ใด ๆ 2 a −1 หารด้วย 8 ลงตัว พิสูจน์ให้ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ พิจารณาการหารด้วย 4 จากขั้นตอนวิธีการหารจะมี จำนวนเต็ม q และ r ที่ a q r r = + 4 , 0 4 ดังนั้น a q a q a q = = + = + 4 , 4 1 4 2 หรือ a q = + 4 3 สมมติ a เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่าจำนวนเต็มคี่คือ a q = + 4 1 หรือ a q = + 4 3 กรณี a q = + 4 1 จะได้ ( ) ( ) 2 2 2 2 a q q q q q − = + − = + + − = + 1 4 1 1 16 8 1 1 8 2 เนื่องจาก 2 2q q + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 a −1 หารด้วย 8 ลงตัว กรณี a q = + 4 3 จะได้ ( ) ( ) 2 2 2 2 a q q q q q − = + − = + + − = + + 1 4 3 1 16 24 9 1 8 2 3 1 เนื่องจาก 2 2 3 1 q q + + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 a −1 หารด้วย 8 ลงตัว ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ n n n ( 1)( 1) − + หารด้วย 3 ลงตัว
50 ตัวอย่างที่ 2.2.10 จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 428 และ 313 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน วิธีทำ ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวกที่หาร 428 และ 313 แล้วเหลือเศษเท่ากับ r นั่นคือจะมีจำนวนเต็ม q และ s ที่ 428 = + aq r ---(1) และ 313 = + as r ---(2) นำ (2) – (1) ได้ 115 = − a s q ( ) เนื่องจาก q s − เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ a 115 ดังนั้น a ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 1,5,23,115 ทดลองตรวจคำตอบ จะพบว่า 1 หาร 428 และ 313 เหลือเศษเท่ากันคือ 0 5 หาร 428 และ 313 เหลือเศษเท่ากันคือ 3 23 หาร 428 และ 313 เหลือเศษเท่ากันคือ 14 115 หาร 428 และ 313 เหลือเศษเท่ากันคือ 83 ดังนั้น จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 428 และ 313 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน คือ 1,5,23 และ 115 ตัวอย่างที่ 2.2.11 จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ทั้งหมดที่หาร 1,235, 2,060 และ 3,149 แล้ว มีเศษเหลือเท่ากัน วิธีทำ ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวกที่หาร 1,235, 1,906 และ 3,149 แล้วเหลือเศษเท่ากับ r นั่นคือจะมีจำนวนเต็ม q, s และ t ที่ 1,235 = + aq r ---(1) 1,906 = + as r ---(2) และ 2,060 = + at r ---(3)
51 นำ (2) – (1) ได้ 671= − a s q ( ) นำ (3) – (1) ได้ 825 = − a t q ( ) นำ (3) – (2) ได้ 154 = − a t q ( ) ดังนั้น a a 671, 825 และ a 154 จาก a 671 จะได้ a = 11, 61, 671 จาก a 825 จะได้ a = 3, 5,11,15,25, 33, 55, 75,165,275, 825 จาก a 154 จะได้ a = 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 นั่นคือจำนวนเต็มบวกที่ a a 671, 825 และ a 154 คือ a =11 ดังนัน จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 1,235, 2,060 และ 3,149 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน คือ 11 ตัวอย่างที่ 2.2.12 กำหนดให้d เป็นจำนวเต็มบวกที่มากกว่า 1 และจำนวน 2,241, 2,564 และ 2,906 หารด้วย d แล้วเหลือเศษเท่ากันคือ r แล้วจงหาค่าของ d r + วิธีทำ ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่หาร 2,241, 2,564 และ 2906, แล้วเหลือเศษเท่ากับ r นั่นคือจะมีจำนวนเต็ม q, s และ t ที่ 2,241= + dq r ---(1) 2,564 = + ds r ---(2) และ 2,906 = + dt r ---(3) นำ (2) – (1) ได้ 323 = − d s q ( ) นำ (3) – (1) ได้ 665 = − d t q ( ) นำ (3) – (2) ได้ 342 = − d t q ( ) ดังนั้น d d 323, 665 และ d 342 จาก d 323 จะได้ d = 17, 19, 323 จาก d 665 จะได้ d = 1, 5, 7,19,35, 95, 133, 665
52 จาก d 342 จะได้ d = 2, 3, 6, 9, 18, 19, 38, 57, 114, 171, 342 นั่นคือจำนวนเต็มบวกที่ d d 323, 665 และ d 342 คือ d =19 และ 19 หาร 2,241, 2,564 และ 3,003 เหลือเศษเท่ากับ 18 นั่นคือ r =18 ดังนั้น d r + =37 ทฤษฎีบทที่ 2.2.2 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 ถ้า b หารด้วย a เหลือเศษ r และ c หารด้วย a เหลือเศษ s แล้ว เศษที่เหลือจากการหาร b c + ด้วย a เท่ากับ เศษที่เหลือจากการหาร r s + ด้วย a พิสูจน์ ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 และให้ b หารด้วย a เหลือเศษ r และ c หารด้วย a เหลือเศษ s โดยขั้นตอนวิธีการหารจะได้ว่ามีจำนวนเต็ม q และ t ที่ b aq r r a = + , 0 และ c at s s a = + , 0 จะได้ว่า b c a q t r s + = + + + ( ) และจาก q t + เป็นจำนวนเต็ม พิจารณา r s + เป็น 2 กรณี คือ 0 + r s a และ r s a + กรณี 0 + r s a นั่นคือ a หาร b+ c เหลือเศษเท่ากับ r s + และ r s a r s r s a + = + + + (0) ,0 ( ) ดังนั้น a หาร r s + เหลือเศษเท่ากับ r s + กรณี r s a + จะมี u และ v เป็นจำนวนเต็มที่ และ r s au v v a + = + , 0 นั่นคือ a หาร r s + เหลือเศษเท่ากับ v และได้ b c a q t u v v a + = + + + ( ) , 0 ดังนั้น a หาร b+ c เหลือเศษเท่ากับ v จากทั้ง 2 กรณีจะได้ เศษที่เหลือจากการหาร b c + ด้วย a เท่ากับ เศษที่เหลือจากการหาร r s + ด้วย a
53 นอกจากนี้จากทฤษฎีบทที่ 2.2.2 ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 ถ้า b หาร ด้วย a เหลือเศษ r และ c หารด้วย a เหลือเศษ s แล้ว เศษที่เหลือจากการหาร b c −ด้วย a เท่ากับ เศษที่เหลือจากการหาร r s − ด้วย a ทฤษฎีบทที่ 2.2.3 ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 ถ้า b หารด้วย a เหลือเศษ r และ c หารด้วย a เหลือเศษ s แล้ว เศษที่เหลือจากการหาร bc ด้วย a เท่ากับ เศษที่เหลือจากการหาร rs ด้วย a พิสูจน์ ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 และให้ b หารด้วย a เหลือเศษ r และ c หารด้วย a เหลือเศษ s โดยขั้นตอนวิธีการหารจะได้ว่ามีจำนวนเต็ม q และ t ที่ b aq r r a = + , 0 และ c at s s a = + , 0 จะได้ bc = + + (aq r at s )( ) 2 = + + + a qt aqs art rs = + + + a aqt qs rt rs ( ) และ aqt qs rt + + เป็นจำนวนเต็ม พิจารณา rs เป็น 2 กรณี คือ 0 rs a และ rs a กรณี 0 rs a นั่นคือ a หาร bc เหลือเศษเท่ากับ rs และ rs a rs rs a = + (0) ,0 ดังนั้น a หาร rs เหลือเศษเท่ากับ rs กรณี rs a จะมี u และ v เป็นจำนวนเต็มที่ และ rs au v v a = + ,0 นั่นคือ a หาร rs เหลือเศษเท่ากับ v และได้ b c a q t u v v a + = + + + ( ) , 0 ดังนั้น a หาร b+ c เหลือเศษเท่ากับ v จากทั้ง 2 กรณีจะได้ เศษที่เหลือจากการหาร b c + ด้วย a เท่ากับ เศษที่เหลือจากการหาร rs ด้วย a
54 ทฤษฎีบทที่ 2.2.4 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 และ n เป็นจำนวนนับ ถ้า b หารด้วย a เหลือเศษ r แล้วเศษที่เหลือจากการหาร n b ด้วย a เท่ากับเศษที่เหลือ จากการหาร n r ด้วย a พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a 0 และให้ b หารด้วย a เหลือเศษ r จะได้ b aq r r a = + , 0 ให้ Pn( ) แทนข้อความ เศษที่เหลือจากการหาร n b ด้วย a เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร n r ด้วย a สำหรับทุกจำนวนนับ n 1. n =1 เนื่องจาก เศษที่เหลือจากการหาร b ด้วย a เท่ากับ r และเศษที่เหลือจากการหาร r ด้วย a เท่ากับ r จะได้ P(1) เป็นจริง 2. ให้ P k( ) เป็นจริง เมื่อ k เป็นจำนวนนับ นั่นคือ เศษที่เหลือจากการหาร k b ด้วย a เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร k r ด้วย a จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม s, t และ r ที่ , 0 k b as r r a = + -----(1) , 0 k r at r r a = + -----(2) จาก (1) จะได้ k 1 b + k = b b = + (as r b ) และจาก b aq r = + จะได้ k 1 b + = + + (as r aq r )( ) 2 = + + + a qs asr aqr rr = + + + a aqs sr qr rr ( ) และจาก (2) จะได้ k k 1 r r r + = = + (at r r ) = + a tr rr ( )
55 นั่นคือ เศษที่เหลือจากการหาร k 1 b + ด้วย a เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร k 1 r + ด้วย a ดังนั้น P k( 1) + จาก 1 และ 2 โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ Pn( ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n ดังนั้น ถ้า b หารด้วย a เหลือเศษ r แล้วเศษที่เหลือจากการหาร n b ด้วย a เท่ากับเศษที่เหลือจาก การหาร n r ด้วย a ตัวอย่างที่ 2.2.13 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a หารด้วย 5 เหลือเศษ 3 และ b หารด้วย 5 เหลือเศษ 4 แล้ว 5 หารจำนวนต่อไปนี้เหลือเศษเท่าไหร่ 1. a b + 2. a b − 3. b a − 4. ab 5. 2 a 6. 2 b 7. 2 2 a b + 8. 2 2 a b 9. a b( + 3) 10. (a b + 3) วิธีทำ 1. เศษที่เหลือจากการหาร a b + ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 3 4 7 + = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร a b + ด้วย 5 เท่ากับ 2 2. เศษที่เหลือจากการหาร a b − ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 3 4 1 − = − ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร a b − ด้วย 5 เท่ากับ 4 3. เศษที่เหลือจากการหาร b a − ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 4 3 1 − = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร b a − ด้วย 5 เท่ากับ 1
56 4. เศษที่เหลือจากการหาร ab ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 3 4 12 = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร ab ด้วย 5 เท่ากับ 2 5. เศษที่เหลือจากการหาร 2 a ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 3 3 9 = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 2 a ด้วย 5 เท่ากับ 4 6. เศษที่เหลือจากการหาร 2 b ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 4 4 16 = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 2 b ด้วย 5 เท่ากับ 1 7. เศษที่เหลือจากการหาร 2 2 a b + ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 9 16 25 + = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 2 2 a b + ด้วย 5 เท่ากับ 0 8. เศษที่เหลือจากการหาร 2 2 a b ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 9 16 144 = ด้วย 5 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 2 2 a b ด้วย 5 เท่ากับ 4 9. เศษที่เหลือจากการหาร a b( + 3) ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร 3 4 3 36 + = ( ) ด้วย 1 ดังนั้น เศษทีเหลือจากการหาร a b( + 3) ด้วย 5 เท่ากับ 1 10. เศษที่เหลือจากการหาร (a b + 3) ด้วย 5 เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร (3 3 4 36 + = ) ด้วย 1 ดังนั้น เศษทีเหลือจากการหาร (a b + 3) ด้วย 5 เท่ากับ 1 ตัวอย่างที่2.2.14 จงหาเศษที่เหลือจากการหารในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. 2 หาร 500 5 2. 3 หาร 5050 5 3. 5 หาร 999 3 4. 4 หาร 2021 3 5. 11 หาร 2021 4 6. 7 หาร 2564 100 7. 8 หาร 300 500 3 5 +
57 วิธีทำ 1. เนื่องจาก 2 หาร 5 เหลือเศษเท่ากับ 1 จะได้ว่า 2 หาร 500 5 เหลือเท่ากับ 2 หาร 500 1 1 = ดังนั้น 2 หาร 500 5 เหลือเท่ากับ 1 2. เนื่องจาก 3 หาร 2 5 25 = เหลือเศษเท่ากับ 1 จะได้ว่า 3 หาร ( ) 2525 5050 2 5 5 = เหลือเท่ากับ 3 หาร 2525 1 1 = ดังนั้น 3 หาร 5050 5 เหลือเศษเท่ากับ 1 3. เนื่องจาก 5 หาร 4 3 81 = เหลือเศษเท่ากับ 1 จะได้ว่า 5 หาร ( ) 333 3 999 3 3 = เหลือเท่ากับ 3 หาร 999 1 1 = ดังนั้น 5 หาร 999 3 เหลือเศษเท่ากับ 1 4. เนื่องจาก 4 หาร 2 3 9 = เหลือเศษเท่ากับ 1 และ 4 หาร 3 เหลือเศษเท่ากับ 3 จะได้ว่า 4 หาร ( ) 1010 2021 2 3 3 3 = เหลือเท่ากับ 4 หาร 1010 1 3 3 = ดังนั้น 4 หาร 2021 3 เหลือเท่ากับ 3 5. เนื่องจาก 11 หาร 5 4 1024 = เหลือเศษเท่ากับ 1 และ 11 หาร 4 เหลือเศษเท่ากับ 4 จะได้ว่า 11 หาร ( ) 404 2021 5 4 4 4 = เหลือเท่ากับ 4 หาร 404 1 4 4 = ดังนั้น 11 หาร 2021 4 เหลือเท่ากับ 4 6. เนื่องจาก 7 หาร 100 เหลือเศษเท่ากับ 2 จะได้ว่า 7 หาร 2564 100 เหลือเท่ากับ 7 หาร 2564 2 และจาก 7 หาร 3 2 8 = เหลือเท่ากับ 1 และ 7 หาร 2 2 4 = เหลือเท่ากับ 4 จะได้ว่า 7 หาร ( ) 854 2564 2562 2 3 2 2 2 2 4 = = เหลือเท่ากับ 7 หาร 1 4 4 = เหลือเศษ เท่ากับ 4 ดังนั้น 7 หาร 2564 100 เหลือเท่ากับ 4
58 7. เนื่องจาก 8 หาร 2 3 9 = เหลือเศษเท่ากับ 1 จะได้ว่า 8 หาร ( ) 150 300 2 3 3 = เหลือเท่ากับ 8 หาร 150 1 เท่ากับ 1 และจาก 8 หาร 2 5 25 = เหลือเศษเท่ากับ 1 จะได้ว่า 8 หาร ( ) 150 300 2 5 5 = เหลือเท่ากับ 8 หาร 150 1 เท่ากับ 1 นั่นคือ เศษที่เหลือจากการหาร 300 500 3 5 + ด้วย 8 เท่ากับ เศษที่เหลือจากการหาร 1 1 + ด้วย 8 เท่ากับ 2 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร 300 500 3 5 + ด้วย 8 เท่ากับ 2 เราสามารถใช้ WolframAlpha ในการตรวจสอบคำตอบ โดยใช้คำสั่ง remainder ในการ หาเศษในเศษ ดังภาพที่ 2.3 ภาพที่2.3 ภาพแสดงการหาเศษจากการหาร 500 5 ด้วย 2 ตัวอย่างที่ 2.2.15 จงหาหลักหน่วยของ 1. 500 2 2. 10000 3 3. 7777 7 4. ( ) 555 222 333 2 3 +
59 วิธีทำ ในการประยุกต์การหาเศษเหลือในการหาหลักหน่วยของจำนวนเต็มบวกใด ๆ เราจะพิจารณา จากเศษที่ได้จากการหารจำนวนนั้นด้วย 10 1. เนื่องจาก 10 หาร 5 2 32 = เหลือเศษเท่ากับ 2 นั่นคือ 10 หาร ( ) 100 500 5 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 100 2 10 หาร ( ) 20 100 5 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 20 2 10 หาร ( ) 4 20 5 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 4 2 เนื่องจาก 10 หาร 4 2 16 = เหลือเศษเท่ากับ 6 นั่นคือ 10 หาร 500 2 เหลือเศษเท่ากับ 6 ดังนั้น หลักหน่วยของ 500 2 คือ 6 2. เนื่องจาก 10 หาร 4 3 81 = เหลือเศษเท่ากับ 1 นั่นคือ 10 หาร ( ) 250 1000 4 3 3 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 250 1 เนื่องจาก 10 หาร 250 1 เหลือเศษเท่ากับ 1 ดังนั้น หลักหน่วยของ 1000 3 คือ 1 3. เนื่องจาก 10 หาร 4 7 2,401 = เหลือเศษเท่ากับ 1 นั่นคือ 10 หาร ( ) 1944 7777 4 7 7 7 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 1944 1 7 เนื่องจาก 10 หาร 1944 1 7 7 = และ 10 หาร 7 เหลือเศษเท่ากับ 7 ดังนั้น หลักหน่วยของ 7777 7 คือ 7 4. เนื่องจาก 10 หาร 5 2 32 = เหลือเศษเท่ากับ 2 นั่นคือ 10 หาร ( ) 44 222 5 2 2 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 44 2 1 2 เนื่องจาก 10 หาร 44 2 1 2 4 = เหลือเศษเท่ากับ 4 ดังนั้น 10 หาร 222 2 เหลือเศษเท่ากับ 4 เนื่องจาก 10 หาร 4 3 81 = เหลือเศษเท่ากับ 1
60 นั่นคือ 10 หาร ( ) 83 333 4 3 3 3 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 83 1 3 เนื่องจาก 10 หาร 83 1 3 3 = เหลือเศษเท่ากับ 3 ดังนั้น 10 หาร 333 3 เหลือเศษเท่ากับ 3 จะได้ว่า 10 หาร ( ) 555 222 333 2 3 + เหลือเศษเท่ากับการหาร ( ) 555 555 4 3 7 + = ด้วย 10 เนื่องจาก 10 หาร 4 7 2401 = เหลือเศษเท่ากับ 1 นั่นคือ 10 หาร ( ) 138 555 4 3 7 7 7 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 138 3 1 7 เนื่องจาก 10 หาร 138 3 1 7 343 = เหลือเศษเท่ากับ 3 นั่นคือ 10 หาร 555 7 เหลือเศษเท่ากับ 3 ดังนั้น 10 หาร ( ) 555 222 333 2 3 + เหลือเศษเท่ากับ 3 เราสามารถใช้ WolframAlpha ในการตรวจสอบคำตอบ โดยใช้คำสั่ง last digit ในการหา เศษในเศษ ดังภาพที่ 2.4 ภาพที่2.4 ภาพแสดงการหาหลักหน่วยของ 500 2 ตัวอย่างที่ 2.1.16 จงหาสองหลักสุดท้ายของ 1. 45 2 2. 60 2 3. 90 3
61 4. 60 6 วิธีทำ ในการประยุกต์การหาเศษเหลือในการหาหลักหน่วยของจำนวนเต็มบวกใด ๆ เราจะพิจารณา จากเศษที่ได้จากการหารจำนวนนั้นด้วย 100 1. เนื่องจาก 100 หาร 9 2 512 = เหลือเศษเท่ากับ 12 นั่นคือ 10 หาร ( ) 5 45 9 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 5 12 พิจารณา ( ) 5 5 2 10 5 12 2 3 2 3 = = เนื่องจาก 100 หาร 10 2 1024 = เหลือเศษเท่ากับ 24 และ 100 หาร 5 3 243 = เหลือเศษเท่ากับ 43 นั่นคือ 100 หาร 5 12 เหลือเศษเท่ากับ 24 43 1032 = หารด้วย 100 เท่ากับ 32 ดังนั้น สองหลักท้ายของของ 45 2 คือ 32 2. เนื่องจาก 100 หาร 10 2 1024 = เหลือเศษเท่ากับ 24 นั่นคือ 100 หาร ( ) 6 60 10 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 10 หาร 6 24 พิจารณา ( ) ( ) 6 2 6 3 18 6 9 6 24 2 3 2 3 2 3 = = = เนื่องจาก 100 หาร 9 2 512 = เหลือเศษเท่ากับ 12 และ 100 หาร 6 3 729 = เหลือเศษเท่ากับ 29 นั่นคือ 100 หาร 6 24 เหลือเศษเท่ากับ 2 12 29 4176 = หารด้วย 100 เท่ากับ 76 ดังนั้น สองหลักท้ายของของ 60 2 คือ 76 3. เนื่องจาก 100 หาร 5 3 243 = เหลือเศษเท่ากับ 43 นั่นคือ 100 หาร ( ) 20 100 5 3 3 = เหลือเศษเท่ากับ 100 หาร 20 43 และจาก 100 หาร 2 43 1849 = เหลือเศษเท่ากับ 49 นั่นคือ 100 หาร ( ) 10 20 2 43 43 = และ เหลือเศษเท่ากับ 100 หาร 10 49 และจาก 100 หาร 2 49 2401 = เหลือเศษเท่ากับ 1 นั่นคือ 100 หาร ( ) 5 10 2 49 49 = และ เหลือเศษเท่ากับ 100 หาร 5 1 เท่ากับ 1
62 ดังนั้น สองหลักท้ายของของ 100 3 คือ 1 4. เนื่องจาก 100 หาร 3 6 216 = เหลือเศษเท่ากับ 16 นั่นคือ 100 หาร ( ) 30 60 2 6 6 = เหลือเศษเท่ากับ 100 หาร ( ) 30 30 4 120 16 2 2 = = จาก 100 หาร 60 2 เหลือเศษเท่ากับ 76 นั่นคือ 100 หาร ( ) 2 120 60 2 2 = เหลือเศษเท่ากับ 100 หาร 76 76 5776 = เท่ากับ 76 ดังนั้น สองหลักท้ายของของ 60 6 คือ 76 เราสามารถใช้ WolframAlpha ในการตรวจสอบคำตอบ โดยใช้คำสั่ง last 2 digits of ใน การหาเศษในเศษ ดังภาพที่ 2.5 ภาพที่2.5 ภาพแสดงการหาสองหลักสุดท้ายของของ 45 2 2.3 สรุป ในบทที่ 2 นี้เราศึกษา 2 หัวข้อ หัวข้อแรกศึกษานิยามและทฤษฎีบทต่าง ๆ ของการหารลงตัว และนำสมบัติของการหารลงตัวมาช่วยแก้ปัญหาบางประการดังตัวอย่าง และศึกษษการพิสูจน์การหาร ลงตัวโดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และขั้นตอนวิธีการหาร ในหัวข้อที่ 2 ศึกษาทฤษฎีเกี่ยวกับขั้นตอน วิธีการหาร และนำขั้นตอนวิธีการหารช่วยแก้ปัญหาบางประการดังตัวอย่าง และศึกษาทฤษฎีบทและ ขั้นตอนวิธีในการหาเศษจากการหาร และประยุกต์ใช้ทฤษฎีในการหาเลขหลักสุดท้ายและสองหลัก สุดท้าย
63 2.4 แบบฝึกปฏิบัติการ 1. จงหาจำนวนเต็มบวก a ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข 1.1 a 63 1.2 (a +1 72 ) 1.3 (a −1 122 ) 1.4 a a a ( + − 8 8 )( ) 1.5 ( ) 2 a a a − − 4 60 1.6 ( ) 2 a a −10 1.7 ( ) 2 2 a a 3 65 − + 1.8 (a a + + 2 97 ) ( ) 1.9 ( ) ( ) 2 a a − − 1 4 1.10 ( ) ( ) 3 a a + − 1 1 2. ให้ abcde เป็นเลขห้าหลักฐานสิบ จงพิสูจน์ว่า 8 abcde ก็ต่อเมื่อ 8 cde 3. ให้ abcd เป็นเลขสี่หลักฐานสิบ จงพิสูจน์ว่า 6 abcd ก็ต่อเมื่อ 3 (a b c d + + + ) และ 2 d 4. กำหนดให้ x y, 0,1,2,3, ,9 จงหา (x y, ) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยมีเงื่อนไข 4.1 4 123ab 4.2 8 123 4a b 4.3 6 34 5a b 4.4 9 1 3 5 a a b 5. จงใช้หลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ 5.1 ( ) 1 4 1 3 n −หารด้วย 4ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 5.2 n n n ( + + 1 2 1 )( ) หารด้วย 6 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 5.3 5 2 n n −หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 5.4 2 5 7 n + หารด้วย 8 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 5.5 2 1 2 3 2 n n + + + หารด้วย 7 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n 5.6 1 2 1 4 5 n n + − + หารด้วย 7 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n
64 6. จงหาผลหารและเศษจากการหาร 6.1 4 หารด้วย 6 6.2 97 หารด้วย 8 6.3 9 หารด้วย −4 6.4 47 หารด้วย −6 6.5 −46 หารด้วย 4 6.6 −177 หารด้วย 9 6.7 −2 หารด้วย −5 6.8 −26 หารด้วย −4 7. จงพิสูจน์ว่า “ผลคูณของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็มคู่” 8. จงพิสูจน์ว่า “กำลังสองของจำนวนเต็มคู่ เป็นจำนวนเต็มคู่” 9. จงพิสูจน์ว่า “ถ้า 3 n เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว n เป็นจำนวนเต็มคี่” 10. จงใช้ขั้นตอนวิธีการหารพิสูจน์ว่า “สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ 2 n n( 2) + หารด้วย 3 ลงตัว” 11. จงใช้ขั้นตอนวิธีการหารพิสูจน์ว่า “กำลังสองของจำนวนเต็ม n ใด ๆ สามารถเขียนอยู่ใน รูป 3n หรือ 3 1 n + ” 12. จงใช้ขั้นตอนวิธีการหารพิสูจน์ว่า “กำลังสามของจำนวนเต็ม n ใด ๆ สามารถเขียนอยู่ใน รูป 9n หรือ 9 1 n+ หรือ 9 8 n+ ” 13. จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 824 และ 616 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน 14. ถ้า d เป็นจำนวเต็มบวกที่มากกว่า 1 และจำนวน 1059, 1417 และ 2312 หารด้วย d แล้วเหลือเศษเท่ากันคือ r จงหาค่าของ d r + 15. ถ้า d เป็นจำนวเต็มบวกที่มากกว่า 1 และจำนวน 3456, 2561 และ 1308 หารด้วย d แล้วเหลือเศษเท่ากันคือ r จงหาค่าของ d r + 16. กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุด ที่มีสมบัติว่า n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r เท่ากัน หาร 1093 เหลือเศษ r +2 จงหาค่าของ r 1 n − 17. ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a หารด้วย 7 เหลือเศษ 5 และ b หารด้วย 7 เหลือ เศษ 4 แล้ว 7 หารจำนวนต่อไปนี้เหลือเศษเท่าไหร่ 17.1 a b + 17.2 b a − 2 17.3 2 3 b a −
65 17.4 a 17.5 2 2 a b + 17.6 2 2 a b 17.7 a b( + 5) 17.8 (a b + − 6 1 )( ) 18. จงหาเศษที่เหลือจากการหารต่อไปนี้ 18.1 2 หาร 555 5 18.2 3 หาร 5151 5 18.3 5 หาร 9999 3 18.4 4 หาร 2564 3 18.5 6 หาร 55555 5 18.6 11 หาร 2021 4 18.7 8 หาร 333 555 3 5 + 18.8 5 หาร 999 555 4 9 + 18.9 5 หาร 3333 5555 3 9 + 19. จงหาหลักหน่วยของ 19.1 543 2 19.2 10000 3 19.3 717214 7 19.4 666 12 20. จงหาสองหลักสุดท้ายของ 20.1 90 2 20.2 100 2 20.3 100 3 20.4 666 6
66 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วรรณธิดา ยลวิลาศ. (2561). ทฤษฎีจำนวน. กาฬสินธุ์: คณะศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏ กาฬสินธุ์. วัลลภ เหมวงษ์. (2564). ทฤษฎีจำนวน. อุดรธานี: คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4- 5 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษษขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพ์ครั้งที่ 3). กรุงเทพ ฯ: โรคพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 3 หัวข้อเนื้อหา 1. ตัวหารร่วมมาก 2. ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด 3. ตัวคูณร่วมน้อย 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 3 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถอธิบายความหมายของตัวหารร่วมมาก 2. สามารถพิสูจน์สมบัติที่สำคัญของตัวหารร่วมมากและนำไปประยุกต์ใช้ได้ 3. เข้าใจและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดและนำไปประยุกต์ใช้ได้ 4. หา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดได้ 5. สามารถอธิบายความหมายของตัวคูณร่วมน้อย 6. สามารถพิสูจน์สมบัติที่สำคัญของตัวคูณร่วมน้อยและนำไปประยุกต์ใช้ได้ วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. สนทนาซักถาม และอภิปรายแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. ผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียนมาทุกหัวข้อ 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
68 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 3 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 3 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ 5. แบบทดสอบ
บทที่ 3 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) และตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.ม.) เป็นเรื่องที่อยู่ในหลักสูตรการศึกษาขั้น พื้นฐานตั้งแต่ประถมจนถึงมัยธยม และมีประโยชน์มากมาย ตัวอย่างเช่น ในเรื่องเศษส่วน ตัวหารร่วม มากนำมาใช้การการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ตัวคูณร่วมน้อยใช้การการบวกลบเศษส่วน ใน บทนี้จะศึกษานิยามและทฤษฎีบทที่สำคัญ เพื่อใช้ในการจัดการศึกษาขั้นพื้นฐานประยุกต์ใช้ในการ แก้ปัญหาโจทย์ที่เป็นจำนวนเต็มและเป็นพื้นฐานในการเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงต่อไป โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. ตัวหารร่วมมาก 2. ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด 3. ตัวคูณร่วมน้อย 4. สรุป 5. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 3.1 ตัวหารร่วมมาก ในบทที่ 2 เราได้ศึกษาเกี่ยวกับการหารลงตัวไปแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับ ตัวหาร ร่วม ตัวหารร่วมมากพร้อมทั้งสมบัติที่สำคัญและการพิสูจน์ และตัวอย่าง (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 36-40, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 47-60, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 30- 32, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 57-64, สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2554, น. 122-123, สมวงษ์ แปลงประสพโชค, 2545, น. 24-25) นิยามที่ 3.1.1 ให้ a, b และ d เป็นจำนวนเต็ม ถ้า da และ db แล้วจะเรียก d ว่า ตัวหารร่วม (Common divisor) จากนิยามที่ 3.1.1 - เนื่องจาก 1 และ −1 เป็นตัวหารร่วมของ a และ b เสมอ ดังนั้น เซตของตัวหารร่วมจะไม่เท่ากับ เซตว่าง และ - เซตของตัวหารร่วมจะเป็นเซตจำกัดเมื่อ a 0 หรือ b 0 และเป็นเซตอนันต์เมื่อ a b = = 0
70 ตัวอย่างที่ 3.1.1 จงหาเซตของตัวหารร่วมทั้งหมดของ 27 และ 57 วิธีทำ เซตตัวหารทั้งหมดของ 27 คือ − − − − 29, 9, 3, 1,1,3,9,27 เซตตัวหารทั้งหมดของ 57 คือ − − − − 57, 19, 3, 1,1,3,19,57 จะได้ เซตตัวหารร่วมทั้งหมดของ 27 และ 57 คือ − −3, 1,1,3 จากตัวอย่างที่ 3.1.1 สมาชิกที่มีค่ามากที่สุดของเซตตัวหารร่วมทั้งหมดของ 27 และ 57 คือ 3 เนื่องจากเซตของตัวหารร่วมเป็นเซตจำกัดเมื่อ a และ b ไม่เป็น 0 พร้อมกัน ดังนั้นจึงมี สมาชิกที่มีค่ามากที่สุด หรือตัวหารร่วมมากที่สุด ซึ่งนิยามได้ดังนี้ นิยามที่ 3.1.2 ให้ a และ b ไม่เป็น 0 พร้อมกัน จำนวนเต็ม d เป็น ตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor) หรือ ห.ร.ม. (G.C.D.) ก็ต่อเมื่อ 1. d เป็นจำนวนเต็มบวก 2. da และ db 3. ถ้า 1 d เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง 1 d a และ 1 d b แล้ว 1 d d จะเขียน (a b, ) หรือ GCD a b ( , ) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b และในเอกสาร ประกอบการสอนเล่มนี้จะใช้ (a b, ) Note (a b a b a b a b , , , , ) = − = − = − − ( ) ( ) ( ) ตัวอย่างที่ 3.1.2 จงหาห.ร.ม. ของ 1. 24 และ 36 2. 308 และ 1,176 3. 600 และ 1,332 วิธีทำ 1. จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 24 ลงตัวคือ 1,2,3,4,6,8,12,24 จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 36 ลงตัวคือ 1,2,3,4,6,9,12,18,36 จะได้ว่าตัวหารร่วมทั้งหมดของ 24 และ 36 คือ 1,2,3,4,6,12 ดังนั้น (24,36 12 ) =
71 2. จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 308 ลงตัวคือ 1,2,3,4,7,11,14,22,28,44,77,154,308 จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 392 ลงตัวคือ 1,2,3,4,7,8,14,28,49,56,98,196,392 จะได้ว่าตัวหารร่วมทั้งหมดของ 308 และ 392 คือ 1,2,4,7,14,28 ดังนั้น (308,392 28 ) = 3. จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 600 ลงตัวคือ 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,40,50,60,75,100,120,150,200,300,600 จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 1,332 ลงตัวคือ 1,2,3,4,6,9,12,18,36,37,74,111,148,222,333,444,666,1332 จะได้ว่าตัวหารร่วมทั้งหมดของ 600 และ 1,332 คือ 1,2,3,4,6,12 ดังนั้น (600,1332 12 ) = จากตัวอย่างที่ 3.1.2 ข้อ 1 ตัวประกอบมีจำนวนไม่มากทำให้การหาตัวหารร่วมหาได้ไม่ ยุ่งยากมากนัก แต่ในข้อ 2 และ 3 ตัวประกอบมีจำนวนมากขึ้นทำให้มีความยุ่งยากมากขึ้น จากที่เรียน มาในระดับมัธยมศึกษาสามารถหา ห.ร.ม. ได้อีกหลายวิธีตัวอย่างเช่น จากการแยกตัวตัวประกอบ การ ตั้งหารสั้น และการตั้งสองแถว ในตัวอย่างที่ 3.1.2 ข้อ 2 ถ้าทำโดยวิธีแยกตัวประกอบจะได้ 308 2 2 7 11 = 392 2 2 2 7 7 = จะได้ (308,392 2 2 7 28 ) = = ในตัวอย่างที่ 3.1.2 ข้อ 3 ถ้าทำโดยวิธีตั้งหารสั้นจะได้ 2 600 1332 2 300 666 3 150 333 50 111 จะได้ (600,1332 2 2 3 12 ) = = ในตัวอย่างที่ 3.1.2 ข้อ 2 ถ้าทำโดยวิธีตั้งสองแถวจะได้
72 3 308 392 1 252 308 2 56 84 1 56 56 28 จะได้ (308,392 2 2 3 12 ) = = วิธีการตั้งสองแถว สามารถเขียนในอีกรูปแบบของ ขั้นตอนวิธีการหาร ซึ่งเราจะเรียนในบทนี้ ในหัวข้อถัดไป นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ wolframAlpha ในการหา ห.ร.ม. ได้โดย คำสั่ง gcd นั่นคือถ้า เราต้องการหา ห.ร.ม. ของ a และ b เราจะใช้คำสั่ง gcd(a, b) ดังภาพที่ 3.1 ภาพที่ 3.1 ภาพแสดงการหา ห.ร.ม. ของ 600 และ 1332 และสามารถใช้ GeoGebra ในการสร้างสื่อการสอนเรื่องการหา ห.ร.ม ดังภาพที่ 3.2 - ภาพ ที่ 3.4
73 ภาพที่ 3.2 ภาพแสดงขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 โดยใช้โปรแกรม GeoGebra ภาพที่ 3.3 ภาพแสดงขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 600 และ 1332 โดยใช้โปรแกรม GeoGebra
74 ภาพที่ 3.4 ภาพแสดงขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ 308 และ 392 โดยใช้โปรแกรม GeoGebra ตัวอย่างที่ 3.1.3 มีบัตรสีเหลือง 420 ใบ บัตรสีแดง 924 ใบ ต้องการแบ่งบัตรทั้งหมดเป็นกอง โดยที่ บัตรแต่ละกองมีสีเดียวกันและทุกกองมีจำนวนบัตรเท่ากัน จงหาว่าแต่ละกองมีบัตรมากสุดกองละกี่ใบ และแบ่งได้ทั้งหมดกี่กอง วิธีทำ พิจารณาจากโจทย์ต้องการแบ่งบัตรทั้งหมดเป็นกอง ๆ และแต่ละกองมีจำนวนบัตรที่เท่า ๆ กัน และให้เป็นจำนวนที่มากที่สุด ดังนั้น ต้องหาจำนวนที่มากที่สุดที่หาร 420 และ 924 ลงตัว นั่นคือ หา ห.ร.ม. ของ 428 และ 824 พิจารณา 420 2 2 3 5 7 = 924 2 2 3 7 11 = จะได้ (420,924 2 2 3 7 84 ) = = นั่นคือ แต่ละกองมีบัตรได้มากที่สุด 84 ใบ แบ่งบัตรสีเหลืองได้ทั้งหมด 420 84 5 = กอง และ แบ่งบัตรสีแดงได้ทั้งหมด 924 84 11 = กอง รวมทั้งหมดเป็น 15 กอง ต่อไปเราจะศึกษาทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับ ห.ร.ม.
75 ทฤษฎีบทที่ 3.1.1 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็น 0 พร้อมกัน จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ a และ b มีเพียงตัวเดียว พิสูจน์ให้ 1 d และ 2 d เป็น ห.ร.ม. ของ a และ b จะได้ว่า 1 1 d a d b , และ 2 2 d a d b , จะแสดงว่า 1 2 d d = จาก 1 d เป็น ห.ร.ม. ของ a และ b และ 2 2 d a d b , โดยนิยามของ ห.ร.ม. จะได้ 2 1 d d จาก 2 d เป็น ห.ร.ม. ของ a และ b และ 1 1 d a d b , โดยนิยามของ ห.ร.ม. จะได้ 1 2 d d จาก 2 1 d d และ 1 2 d d จะได้ 1 2 d d = ดังนั้น ห.ร.ม. ของ a และ b มีเพียงตัวเดียว ทฤษฎีบทที่ 3.1.2 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ (a b d , ) = แล้ว จะมีจำนวน เต็มบวก x และ y ที่ทำให้ d ax by = + พิสูจน์ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ S am bn m n Z am bn = + + , , 0 เนื่องจาก a 0 และ b 0 จะได้ S และ S N จากหลักการจัดอันดับดีจะได้ว่า มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน S สมมติให้ d S ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน S นั่นคือ จะมี x y Z , ที่ d ax by = + ต่อไปจะแสดงว่า d เป็น ห.ร.ม. ของ a และ b 1. จะแสดงว่า da และ db เนื่องจาก a และ d เป็นจำนวนเต็ม โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม q และ r ที่ a dq r r d = + , 0 จาก d ax by = + จะได้ a ax by q r r d = + + ( ) , 0 นั่นคือ r = − + a ax by q ( ) , 0 r d = − − a axq byq , 0 r d = − + − a xq b yq (1 , ) ( ) 0 r d
76 จาก 0 r d จะได้ว่า 0 r d หรือ r = 0 ให้ 0 r d จาก 1 , − − xq yq เป็นจำนวนเต็มและ r 0 จะได้ว่า r S แต่ r d ขัดแย้งกับให้ d ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดใน S ดังนั้น 0 r d เป็นเท็จ ทำให้ได้ว่า r = 0 นั่นคือ a dq = ดังนั้น da เนื่องจาก c d Z , เป็นจำนวนเต็ม ในทำนองเดียวกัน db 2. ให้ ca และ cb จะแสดงว่า cd จาก ca และ cb จะได้ว่า c ax by ( + ) ดังนั้น cd จาก 1 และ 2 จะได้ว่า d เป็น ห.ร.ม. ของ a และ b ดังนั้น จะมี x y Z , ที่ d ax by = + บทแทรก 3.1.1 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ (a b d , ) = จะได้ว่า สำหรับ จำนวนเต็ม c ใด ๆ ถ้า ca และ cb แล้ว cd พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ (a b d , ) = จากทฤษฎีบทที่ 3.1.2 จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x, y ที่ d ax by = + ให้ c เป็นจำนวนเต็ม และ ca และ cb จะได้ว่า c ax by ( + ) ดังนั้น cd ทฤษฎีบทที่ 3.1.3 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 (a b, 1 ) = ก็ต่อเมื่อ มี x y Z , ที่ทำให้ 1= + ax by พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 (→) ให้ (a b, 1 ) = จากทฤษฎีบทที่ 3.1.2 จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x, y ที่ (a b ax by , 1 ) = = + () สมมติให้มี x y Z , ที่ทำให้ 1= + ax by และ (a b d , ) = จะแสดงว่า d = 1 จาก (a b d , ) = จะได้ da และ db นั่นคือ d ax by ( + ) จะได้ d 1 นั่นคือ d = −1, 1 และจาก d เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น d = 1
77 ทฤษฎีบทที่ 3.1.4 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 ถ้า (a b, 1 ) = แล้ว ( , 1 ) n a b = สำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ (a b, 1 ) = จะพิสูจน์โดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ โดยให้ Pn( ) แทนข้อความ ( , 1 ) n a b = 1. n =1 จะได้ ( ) ( ) 1 a b a b , , 1 = = ดังนั้น P(1) จริง 2. ให้ P k( ) เป็น จริง สำหรับจำนวนเต็มบวก k นั่นคือ ( , 1 ) k a b = เป็นจริง จะแสดงว่า P k( 1) + เป็นจริง นั่นคือจะแสดงว่า ( ) 1 , 1 k a b + = เป็นจริง จาก ( , 1 ) k a b = เป็นจริง จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม x และ y ที่ 1 k = + ax b y จาก (a b, 1 ) = เป็นจริง จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ 1 = + am bn จะได้ 1 ( )( ) k = + + ax b y am bn 2 1 k k a xm axbn b yam b yn + = + + + ( ) ( ) k k 1 a axm xbn b ym b yn + = + + + และจาก k axm xbn b ym + + และ yn เป็นจำนวนเต็ม จะได้ ( ) 1 , 1 k a b + = นั่นคือ P k( 1) + เป็นจริง จาก 1 และ 2 โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ Pn( ) เป็นจริง ดังนั้น ถ้า (a b, 1 ) = แล้ว ( , 1 ) n a b = สำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ ตัวอย่างที่ 3.1.2 จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.4 1. (15,2048) 2. (10,729) 3. (18,3125) วิธีทำ 1. เนื่องจาก 11 2048 2 = และ (15,2 1 ) = ดังนั้น (15,2048 1 ) = 2. เนื่องจาก 6 729 3 = และ (10,3 1 ) = ดังนั้น (10,729 1 ) = 3. เนื่องจาก 5 3125 5 = และ (18,5 1 ) = ดังนั้น (18,3125 1 ) =
78 ทฤษฎีบทที่ 3.1.5 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว (am bm m a b , , ) = ( ) พิสูจน์ ให้ d am bm = ( , ) และ d a b = ( , ) จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม u, v และ x, y ที่ d amu bmv = + และ d ax by = + จะแสดงว่า d md = 1. จาก d am bm = ( , ) ดังนั้น d am และ d bm จะได้ d amx bmy ( + ) นั่นคือ d m ax by ( + ) ดังนั้น d md 2. จาก d a b = ( , ) ดังนั้น da และ db จะได้ dm am และ dm bm นั่นคือ dm amu bmv ( + ) ดังนั้น md d จากข้อ 1 และ 2 ได้ว่า d md และ md d ดังนั้น d md = ก่อนจะกล่าวถึงทฤษฎีบทต่อให้ มีข้อสังเกตประการหนึ่งคือ ถ้า (a b d , ) = หมายความว่า da และ db นั่นคือ a d และ b d เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเราสามารถหา ห.ร.ม. ของ a d และ b d ได้ ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบทที่ 3.1.6 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 ถ้า (a b d , ) = แล้ว , 1 a b d d = พิสูจน์ ให้ (a b d , ) = จะได้ , ad bd d d d = จากทฤษฎีบทที่ 3.1.5 จะได้ , a b d d d d = ดังนั้น , 1 a b d d = ตัวอย่างที่ 3.1.3 จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.5 1. (420,126) 2. (96,2048) 3. (9090,12870) วิธีทำ 1. (420,126) = = = = (420,126 6 70,21 6 7 10,3 42 10,3 ) ( ) ( ) ( ) และจาก (10,3 1 ) = ดังนั้น (420,126 42 ) =
79 2. (96,2048 32 3,64 )= ( ) และจาก (3,64 1 ) = ดังนั้น (96,2048 32 ) = 3. (9090,12870 90 101,143 ) = ( ) และจาก (101,143 1 ) = ดังนั้น (9090,12870 90 )= ขั้นตอนการหา ห.ร.ม. โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.5 มีลักษณะคล้ายกับการหารสั้น ทำให้การหา ห.ร.ม. สะดวกและรวดเร็วมากขึ้น แต่ถ้าตัวหารร่วมเป็นจำนวนที่มีค่ามากอาจเกิดความยุ่งยากได้ นอกจากนี้จากตัวอย่างที่ 3.1.3 ข้อ 1 (420,126 42 ) = 6 จะได้ ( ) 420 126 , 10,3 42 42 = และ (10,3 1 ) = ข้อ 2 (96,2048 32 ) = จะได้ ( ) 96 2048 , 3,32 32 64 = และ (3,32 1 ) = ข้อ 3 (9090,12870 90 )= จะได้ ( ) 9090 12870 , 101,143 90 90 = และ (101,143 1 ) = จะได้ว่าสอดคล้องกับทฤษฎีบทที่ 3.1.6 ทฤษฎีบทที่ 3.1.7 ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ x เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า (a b a b ax a bx b , , , ) = + = + ( ) ( ) พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ x เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ (a b d , ) = และ (a b ax d , + =) โดยทฤษฎีบทที่ 3.1.2 จะได้ว่า มีจำนวนเต็ม m, n และ u, v ที่ d am bn = + และ d au b ax v = + + ( ) จะแสดงว่า d d = 1. จาก (a b d , ) = ดังนั้น da และ db จาก u xv + และ bv เป็นจำนวนเต็ม จะได้ d a u xv bv ( ( + +) ) นั่นคือ d au b ax v ( + + ( ) ) ดังนั้น dd 2. จาก (a b ax d , + =) จะได้ d a และ d b ax ( + ) จาก d a และ x เป็นจำนวนเต็ม จะได้ d ax จาก d b ax ( + ) และ d ax จะได้ d b จาก d a , d b และ m, n เป็นจำนวนเต็ม จะได้ d am bn ( + ) ดังนั้น d d
80 จาก 1 และ 2 ได้ว่า dd และ d d นั่นคือ d d = ดังนั้น (a b a b ax , , ) = + ( ) พิสูจน์ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า (a b a bx b , , ) = + ( ) ตัวอย่างที่ 3.1.2 ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวก หา ห.ร.ม. ของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.7 1. (2 3,8 13 a a + + ) 2. (11 5,2 1 a a + + ) 3. (13 14 ,5 4 − − a a ) 4. ( ) 2 3 2 a a a a + + + , 1 5. ( ( ) ) 2 3 a a a + + + 3 3, 1 6. (125,525) 7. (12345,24693) วิธีทำ จากทฤษฎีบทที่ 3.1.7 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ x เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า (a b ax a b , , + =) ( ) หรือ (a bx b a b + = , , ) ( ) 1. จาก 8 13 1 2 3 4 a a + = + + ( )( ) จะได้ (2 3,8 13 2 3,1 a a a + + = + ) ( ) และจาก (2 3,1 1 a + =) ดังนั้น (2 3,8 13 1 a a + + =) 2. จาก 11 5 2 1 5 a a a + = + + − ( )( ) จะได้ (11 5,2 1 ,2 1 a a a a + + = + ) ( ) จาก 2 1 1 2 a a + = + ( ) จะได้ (a a a ,2 1 ,1 + =) ( ) และจาก (a,1 1 ) = ดังนั้น (11 5,2 1 1 a a + + =) 3. จาก 13 10 1 3 4 3 − = − + + − − a a a ( ) ( )( ) จะได้ (13 10 ,3 4 1,3 4 − − = − + − a a a a ) ( ) จาก 3 4 1 1 3 a a − = − + − + − ( )( ) และจาก (− + − = a 1, 1 1 ) (13 10 ,3 4 1 − − = a a )
81 4. จาก ( )( ) 3 2 2 a a a a a + + = + + 1 1 จะได้ ( ) ( ) 2 3 2 2 a a a a a a + + + = + , 1 ,1 และจาก ( ) 2 a a + = ,1 1 ดังนั้น ( ) 2 3 2 a a a a + + + = , 1 1 5. จาก ( ) ( )( ) 3 2 a a a a + = + + + 1 1 3 3 จะได้ ( ( ) ) ( ( ) ) 2 3 3 a a a a + + + = + 3 3, 1 1, 1 และจาก ( ( ) ) 3 1, 1 1 a + = ดังนั้น ( ( ) ) 2 3 a a a + + + = 3 3, 1 1 6. จาก 525 25 125 4 = + ( ) จะได้ (125,525) =(125,25) จาก 125 0 25 3 = + ( ) จะได้ (125,25 0,25 ) =( ) และจาก (0,25 25 ) = ดังนั้น (125,525 25 ) = 7. จาก 24693 3 12345(2) = + จะได้ (12345,24693 12345,3 ) =( ) จาก 12345 0 3 4115 = + ( ) จะได้ (12345,3 0,3 3 ) = = ( ) ดังนั้น (12345,24693 3 ) = ทฤษฎีบทที่ 3.1.8 ให้ a , b, c และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า 1. ถ้า (a n b n , , 1 ) = = ( ) แล้ว (ab n, 1 ) = 2. ถ้า (a n, 1 ) = และ ba แล้ว (b n, 1 ) = 3. ถ้า ac และ bc โดยที่ (a b, 1 ) = แล้ว a b c พิสูจน์ ให้ a , b, c และ n เป็นจำนวนเต็มบวก 1. ให้ (a n b n , , 1 ) = = ( ) จะมีจำนวนเต็ม u, v และ x, y ที่ 1 = + au nv และ 1= + bx ny นั่นคือ 1 = + + (au nv bx ny )( )
82 2 = + + + aubx auny nvbx n vy ( ) 2 = + + + aubx auny nvbx n vy = + + + ab ux n auy vbx nvy ( ) ( ) จาก ux และ auy vbx nvy + + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น (ab n, 1 ) = 2. ให้ (a n, 1 ) = และ ba จะมีจำนวนเต็ม u, v และ y ที่ 1= + au nv และ a by = นั่นคือ 1 = + (by u nv ) = + b yu nv ( ) จาก yu และ v เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น (b n, 1 ) = 3. ให้ ac และ bc โดยที่ (a b, 1 ) = จะมีจำนวนเต็ม x, y และ u, v ที่ c ax c by = = , 1= + au bv นั่นคือ c 1 = + c au bv ( ) c = + cau cbv = + (by au ax bv ) ( ) = + ab yu xv ( ) จาก yu xv + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น a b c ทฤษฎีบทที่ 3.1.9 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า ถ้า a bc และ (a b, 1 ) = แล้ว ac พิสูจน์ให้ a bc และ (a b, 1 ) = จะแสดงว่า ac จาก a bc จะมีจำนวนเต็ม x ที่ bc ax = และจาก (a b, 1 ) = จะมีจำนวนเต็ม u และ v และ 1 = + au bv นั่นคือ c c au bv = + 1 ( ) c = + acu bcv = + acu axv = + a cu xv ( ) จาก cu xv + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ac
83 ทฤษฎีบทที่ 3.1.10 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า ถ้า ab c และ (a b, 1 ) = แล้ว ac และ ac พิสูจน์ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า ถ้า ab c และ (a b, 1 ) = จำมีตำนวนเต็ม x, u และ v ที่ c abx = และ 1 = + au bv นั่นคือ c 1 = + c au bv ( ) c = + abx au bv ( ) 2 2 = + a bxu ab xv จะได้ ( ) 2 c a abxu b xv = + และ ( ) 2 c b a xu abxv = + เนื่องจาก 2 a xu abxv + และ 2 abxu b xv + เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ac และ ac ทฤษฎีบทที่ 3.1.11 ให้ a , b, q และ r เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a 0 และ b aq r r a = + , 0 แล้ว (a b a r , , ) = ( ) พิสูจน์ ให้ (a b d , )= และ (a r d , ) = จะแสดงว่า d d = 1. จาก (a b d , ) = ดังนั้น da และ db จาก b aq r = + ได้ dr จาก da และ dr จะได้ว่า d เป็นตัวหารร่วมของ a และ r และ จาก (a r d , ) = โดยนิยามของ ห.ร.ม. จะได้ dd 2. จาก (a r d , ) = ดังนั้น d a และ d r จาก r b aq = + −( ) ได้ d b จาก d a และ d b จะได้ว่า d เป็นตัวหารร่วมของ a และ b และ จาก (a b d , ) = โดยนิยามของ ห.ร.ม. จะได้ d d จาก 1 และ 2 ได้ว่า dd และ d d นั่นคือ d d = ดังนั้น (a b a r , , ) = ( ) ตัวอย่างที่ 3.1.4 จงหา ห.ร.ม. ของจำนวนแต่ละคู่ต่อไปนี้ โดบใช้ทฤษฎีที่ 3.1.11 1. 326 และ 148 จาก 326 148 2 30 = + ( ) จะได้ (326,148) = (148,30) จาก 148 30 4 28 = + ( ) จะได้ (148,30) = (30,28) จาก 30 28 1 2 = + ( ) จะได้ (30,28) = (28,2) จาก 28 2 14 0 = + ( ) จะได้ (28,2) = (2,0) และจาก (2,0 2 )= ดังนั้น (326,148 2 ) =
84 2. 1024 และ 364 จาก 1024 364 2 296 = + ( ) จะได้ (1024,364) = (364,296) จาก 364 296 4 68 = + ( ) จะได้ (364,296) = (296,68) จาก 296 68 4 24 = + ( ) จะได้ (296,68) = (68,24) จาก 68 24 2 20 = + ( ) จะได้ (68,24) = (24,20) จาก 24 20 1 4 = + ( ) จะได้ (24,20) = (20,4) จาก 20 4 5 0 = + ( ) จะได้ (20,4) = (4,0) และจาก (4,0 4 )= ดังนั้น (1024,364 4 ) = 3. 2021 และ 2564 จาก 2564 2021 1 543 = + ( ) จะได้ (2564,2021) = (2021,543) จาก 2021 543 3 392 = + ( ) จะได้ (2021,543) = (543,392) จาก 543 392 1 151 = + ( ) จะได้ (543,392) = (391,151) จาก 392 151 2 90 = + ( ) จะได้ (391,151) = (151,90) จาก 151 90 1 61 = + ( ) จะได้ (151,90) = (90,61) จาก 90 61 1 29 = + ( ) จะได้ (90,61) = (61,29) จาก 61 29 2 3 = + ( ) จะได้ (61,29) = (29,3) จาก 29 3 9 2 = + ( ) จะได้ (29,3) = (3,2) จาก 3 2 1 1 = + ( ) จะได้ (3,2) = (2,1) จาก 2 1 2 0 = + ( ) จะได้ (2,1) = (1,0) และจาก (1,0 1 ) = ดังนั้น (2564,2021 1 )= นิยามที่ 3.1.2 กำหนดให้ 1 2 , , , n a a a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน จะเรียก d ว่า ตัวหารร่วมมาก ของ 1 2 , , , n a a a ก็ต่อเมื่อ 1. d เป็นจำนวนเต็มบวก 2. i da สำหรับ i n =1,2,..., 3. ถ้า c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง i ca สำหรับ i n =1,2,..., แล้ว cd จะเขียน (a a a 1 2 , , , n ) หรือ gcd , , , (a a a 1 2 n ) แทน ห.ร.ม. ของ 1 2 , , , n a a a และในเอกสารเล่มนี้จะใช้ (a a a 1 2 , , , n )
85 จากนิยามได้ว่าทฤษฎีบทดังต่อไปนี้ ทฤษฎีบทที่ 3.1.12 กำหนดให้ 1 2 , , , n a a a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน จะได้ 1. ห.ร.ม. ของ 1 2 , , , n a a a หาค่าได้เสมอและค่าที่ได้จะมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น 2. (a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 1 2 1 , , , , , , , , , , , n n n n n ) = = (( − − ) ) ( ( )) 3. ถ้า (a a a d 1 2 , , , n ) = จะมีจำนวนเต็ม 1 2 , , , n x x x ที่ 1 1 2 2 3 3 n n a x a x a x a x d + + + + = 4. (a a a 1 2 , , , 1 n ) = ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม 1 2 , , , n x x x ที่ 1 1 2 2 1 n n a x a x a x + + + = 5. ถ้า (a a a d 1 2 , , , n ) = แล้ว 1 2 , , , 1 n a a a d d d = พิสูจน์ เป็นแบบฝึกหัด ตัวอย่างที่ 3.1.5 จงหาห.ร.ม. ของ 1. 24, 84 และ 156 2. 210, 315, 525 และ 1400 วิธีทำ 1. (24,84,156) = ((24,84 ,156 ) ) =(12,156) เนื่องจาก (24,84 12 ) = =12 2. (210,315,525,1400) = ((210,315 ,525,1400 ) ) =(105,525,840) เนื่องจาก (210,315 105 ) = = ((105,525 ,1400 ) ) =(105,1400) เนื่องจาก (105,525 105 ) = = 35
86 3.2 ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด (Euclidean Algorithm) ในการหา ห.ร.ม. ของจำนวนเต็มสองจำนวนในตัวอย่างที่ 3.1.1 ถ้าจำนวนทั้งสองจำนวนมีค่า มาก วิธีดังกล่าวอาจไม่เหมาะสมเนื่องจากต้องใช้เวลาในการหานาน หัวข้อนี้จะนำเสนอวิธีการหนึ่งใน การหา ห.ร.ม ที่มีความสะดวกขึ้นโดยการลดทอนตัวเลขทีมีค่ามากให้มีค่าน้อยลง พิจารณาตัวอย่างที่ 3.1.2 หา ห.ร.ม. โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 3.1.11 ที่ว่าให้ a , b, q และ r เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a 0 และ b aq r r a = + , 0 แล้ว (a b a r , , ) = ( ) นั่นคือถ้าเราต้องการหา ห.ร.ม. ระหว่าง 326 กับ 148 ตัวเลขทั้งสองจะถูกลดถอนให้มีค่าน้อยลงเรื่อย ๆ ซึ่งก็คือ (326,148) = = (148,30 30,28 ) ( ) = (28,2) = (28,2) = = (2,0 2 ) นอกจากนี้จากทฤษฎีบทที่ 3.1.2 ที่ว่าให้ a และ b เป็นจำนวน เต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ (a b d , ) = แล้ว จะมีจำนวนเต็มบวก x และ y ที่ทำให้ d ax by = + การหา จำนวนเต็ม x และ y นี้ โดยไม่มีหลักการคำนวณจะค่อนข้างยุ่งยากในการหา ซึ่งขั้นตอนวิธีการหา ห.ร. ม. และ จำนวนเต็ม x และ y นี้สามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยการใช้ขั้นตอนวิธีการแบบยูคลิด ดังทฤษฎีบท ต่อไปนี้(ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์, 2552, น. 41-43, ธนัชยศ จำปาหวาย, 2565, น. 61- 64, วรรณธิดา ยลวิลาศ, 2561, น. 33-39, วิชญาพร จันทะนัน, 2564, น. 65-68, สถาบันส่งเสริมการ สอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2554, น. 124-125, สมวงษ์ แปลงประสพโชค, 2545, น. 26-31) ทฤษฎีบทที่ 3.2.1 ขั้นตอนวิธีการหารของยูคลิด (Euclidean Algorithm) ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b0 จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม 1 2 3 1 , , , , n q q q q + และ 1 2 3 , , , , n r r r r ที่ทำให้ 1 1 a bq r = + 1 ; 0 r b 1 2 2 b r q r = + 2 1 ; 0 r r 1 2 3 3 r r q r = + 3 2 ; 0 r r n n n 2 1 3 r r q r − − = + 1 ; 0 n n r r − n n n 1 1 r r q − − = และ ( , ) n a b r = พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b0 พิจารณาจำนวนเต็ม a และ b แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 กรณี คือ ba และ b a
87 กรณีที่ 1 ba จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม q และ r ที่ a bq r = + และ r = 0 โดยทฤษฎีบทที่ 3.1.11 ได้ว่า (a b b r b b , , ,0 )= = = ( ) ( ) กรณีที่ 2 b a จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม 1 q และ 1 r ที่ 1 1 a bq r = + 1 ; 0 r b เนื่องจากจำนวนเต็มที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า b มีเป็นจำนวนจำกัด และเมื่อใช้ขั้นตอนวิธีการหารซ้ำ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม 2 3 1 , , , n q q q + และ 2 3, , , n r r r ที่ทำให้ 1 2 2 b r q r = + 2 1 ;0 r r 1 2 3 3 r r q r = + 3 2 ;0 r r n n n n 3 2 1 1 r r q r − − − − = + 2 1 ;0 n n r r − − n n n n 2 1 r r q r − − = + 1 ;0 n n r r − 1 1 0 n n n r r q − − = + โดยทฤษฎีบทที่ 3.1.11 ได้ว่า (a b b r r r r r r r , , , , ,0 )= = = = = = ( 1 2 1 1 ) ( ) ( n n n n − ) ( ) จากทฤษฎีบทที่ 3.2.1 ขั้นตอนวิธีการหารของยูคลิด ทำโดยใช้การทำซ้ำของขั้นตอนวิธีการ หารและได้ ( , ) n a b r = นั่นคือ ห.ร.ม.ของ a และ b เท่ากับเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 จากทฤษฎีนี้ สามารถนำมาประยุกต์ช่วยในการหาจำนวนเต็มบวก x และ y ที่ทำให้ (a b ax by , ) = + โดยการ กำจัดเศษ 1 2 1 , , , n r r r −โดยเริ่มจากการพิจารณาสมการรองสุดท้าย คือ n n n n 2 1 r r q r − − = + c และเมื่อ จัดรูปใหม่จะได้ n n n n 2 1 r r r q = − − − แล้วแทนค่า n 1 r − ด้วยสมการก่อนหน้านั่นคือแทน n 1 r − ด้วย n n n 3 2 1 r r q − − − −นั่นคือ n r n n n 2 1 r r q = − − −( ) n n n n n 2 3 2 1 r r r q q = − − − − − − n n n n n n 2 3 2 1 r r q r q q = − + − − − − ( ) ( ) 1 2 3 1 n n n n n q q r q r = + + − − − − จะเห็นว่าสมการ n r เขียนในรูปผลบวกของ n 2 r − และ n 3 r − ขั้นต่อไปเราจะกำจัด n 2 r − ด้วยการ แทนค่าด้วยสมการก่อนหน้าคือ n n n n 2 4 3 2 r r r q − − − − = − และทำย้อนขึ้นไปเรื่อย ๆ เพื่อกำจัดเศษ 3 4 2 1 , , , , n n r r r r − −ตามลำดับ แล้วเราจะได้สมการ n r ในรูปผลบวกของ a และ b และจาก n r คือ ห.ร.ม. ของ a และ b นั่นคือ เราจะสามารถหาจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ (a b ax by , ) = +
88 ตัวอย่างที่ 3.2.1 จงหา 1. (1024,364) 2. จำนวนเต็มบวก x และ y ซึ่ง (1024,364 1024 364 )= +x y วิธีทำ 1. 1024 364 2 296 = + ( ) 364 296 1 68 = + ( ) 296 68 4 24 = + ( ) 68 24 2 20 = + ( ) 24 20 1 4 = + ( ) 20 4 5 0 = + ( ) ดังนั้น (1024,364 4 ) = 2. หาจำนวนเต็มบวก x และ y ซึ่ง (1024,364 1024 364 )= +x y โดยเริ่มจากสมการ 24 20 1 4 = + ( ) และแทนค่าย้อนขึ้นไปเรื่อย ๆ จะได้ 4 24 20 1 = − ( ) = − − 24 68 24 2 1 ( ( ))( ) เนื่องจาก 20 68 24 2 = − ( ) = − + 24 68 1 24 2 ( ) ( ) = − 24 3 68 1 ( ) ( ) = − − (296 68 4 3 68 1 ( ))( ) ( ) เนื่องจาก 24 296 68 4 = − ( ) = − − 296 3 68 12 68 1 ( ) ( ) ( ) = − 296 3 68 13 ( ) ( ) = − − 296 3 364 296 1 13 ( ) ( ( ))( ) เนื่องจาก 68 364 296 1 = − ( ) = − + 296 3 364 13 296 13 ( ) ( ) ( ) = − 296 16 364 13 ( ) ( ) = − − (1024 364 2 16 364 13 ( ))( ) ( ) เนื่องจาก 296 1024 364 2 = − ( ) = − − 1024 16 364 32 364 13 ( ) ( ) ( ) = + − 1024 16 364 45 ( ) ( ) ดังนั้น x = 16 และ y =−45
89 ตัวอย่างที่ 3.2.2 จงหา 1. (1234,428) 2. จำนวนเต็มบวก x และ y ซึ่ง (1234,428 1234 428 ) = +x y วิธีทำ 1. 1234 428 2 378 = + ( ) 428 378 1 50 = + ( ) 378 50 7 28 = + ( ) 50 28 1 22 = + ( ) 28 22 1 6 = + ( ) 22 6 3 4 = + ( ) 6 4 1 2 = + ( ) 4 2 2 = ( ) ดังนั้น (1234,428 2 )= 2. หาจำนวนเต็มบวก x และ y ซึ่ง (1234,428 1234 428 ) = +x y โดยเริ่มจากสมการ 6 4 1 2 = + ( ) และแทนค่าย้อนขึ้นไปเรื่อย ๆ จะได้ 2 6 4 1 = − ( ) = − − 6 22 6 3 1 ( ( ))( ) เนื่องจาก 4 22 6 3 = − ( ) = − 6 4 22 1 ( ) ( ) = − − (28 22 1 4 22 1 ( ))( ) ( ) เนื่องจาก 6 28 22 1 = − ( ) = − 28 4 22 5 ( ) ( ) = − − 28 4 50 28 1 5 ( ) ( ( ))( ) เนื่องจาก 22 50 28 1 = − ( ) = − 28 9 50 5 ( ) ( ) = − − (378 50 7 9 50 5 ( ))( ) ( ) เนื่องจาก 28 378 50 7 = − ( ) = + − 378 9 50 68 ( ) ( ) = + − − 378 9 428 378 1 68 ( ) ( ( ))( ) เนื่องจาก 50 428 378 1 = − ( ) = + − 378 77 428 68 ( ) ( ) = − + − (1234 428 2 77 428 68 ( ))( ) ( ) เนื่องจาก 378 1234 428 2 = − ( ) = + − 1234 77 428 222 ( ) ( ) ดังนั้น x = 77 และ y =−45
90 ตัวอย่างที่ 3.2.3 จงหาจำนวนเต็ม x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ 250 189 2 x y + = วิธีทำ 1. 250 189 1 61 = + ( ) 189 61 3 6 = + ( ) 61 6 10 1 = + ( ) ดังนั้น (250,189 1 )= 2. หาจำนวนเต็มบวก x และ y ซึ่ง 9 250 189 = +x y โดยเริ่มจากสมการ 6 4 1 2 = + ( ) และแทนค่าย้อนขึ้นไปเรื่อย ๆ จะได้ 1 61 6 10 = − ( ) = − − 61 189 61 3 10 ( ( ))( ) เนื่องจาก 6 189 61 3 = − ( ) = − 61 31 189 10 ( ) ( ) = − − (250 189 1 31 189 10 ( ))( ) ( ) เนื่องจาก 61 250 189 1 = − ( ) = + − 250 31 189 41 ( ) ( ) นั่นคือ 1 250 31 189 41 = + − ( ) ( ) นำ 2 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 250 62 189 82 = + − ( ) ( ) ดังนั้น x = 62 และ y =−82 จากตัวอย่าง 3.2.1 และ 3.2.2 เราสามารถเขียน ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มสองจำนวนในรูป ผลรวมเชิงเส้นได้ และในตัวอย่างที่ 3.2.3 เขียน จำนวนเท่าของ ห.ร.ม. ของจำนวนเต็มสองจำนวนใน รูปผลรวมเชิงเส้นได้โดยเพิ่มขั้นสุดท้ายโดยการคูณจำนวนเท่าของ ห.ร.ม. และจากทฤษฎีบทที่ 3.1.12 ถ้า (a a a d 1 2 , , , n ) = จะมีจำนวนเต็ม 1 2 , , , n x x x ที่ 1 1 2 2 n n a x a x a x d + + + = แสดงว่า ห.ร.ม.ของจำนวนเต็ม n จำนวนในรูปผลรวมเชิงเส้นได้ด้วยเช่นเดียวกัน โดยเริ่มจากเขียน (a a1 2 , ) ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1 a และ 2 a แล้วเขียน (a a a a a a 1 2 3 1 2 3 , , , , ) = (( ) ) ในรูป ผ ล ร ว ม เชิ งเส้ น ข อ ง 1 2 a a, แ ล ะ 3 a แ ล้ ว ท ำ ซ้ ำ ใน รู ป แ บ บ นี้ต่ อไป เรื่ อ ย ๆ จ น ถึ ง (a a a a a a a 1 2 1 2 1 , , , , , , , n n n ) = (( − ) ) แล้วเขียน ใน รูป ผลรวม เชิงเส้น เราก็จะได้ 1 1 2 2 3 3 n n a x a x a x a x d + + + =