191 เนื่องจาก 2 2 x u v = − และ u v (mod2) จะได้ x เป็นจำนวนเต็มคี่ นั่นคือ p 2 จาก p x และ p z จะได้ p x z ( + ) และ p x z ( − ) เนื่องจาก ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x z u v u v u + = − + + = 2 และ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x z u v u v v − = − − + = 2 จะได้ 2 p u2 และ 2 p v2 และจาก p 2 ดังนั้น pu และ pv นั่นคือ (u v, 1 ) ขัดแย้ง จะได้ (x y z , , 1 ) = ดังนั้น x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน ตัวอย่างที่ 6.2.3 จากตารางจงหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส โดยใช้ผลจากทฤษฎีบทที่ 6.2.5 u v 2 2 x u v = − y uv = 2 2 2 z u v = + 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 5 4 9 40 41 6 1 35 12 37 6 5 11 60 61 7 2 45 28 53 7 4 33 56 65 7 6 13 84 85
192 ตัวอย่างที่ 6.2.4 จงหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 6.2.5 เมื่อ u =10 และ u =15 วิธีทำ u =10 หา v ที่มีเงื่อนไข 10 , 10, 1 = v v ( ) และ 10 mod2 v( ) จะได้ v =1,3,7,9 หาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน u v 2 2 x u v = − y uv = 2 2 2 z u v = + 10 1 99 20 101 10 3 91 60 109 10 7 51 140 149 10 9 19 180 181 u =15 หา v ที่มีเงื่อนไข 15 , 15, 1 = v v ( ) และ 15 mod2 v( ) จะได้ v =2,4,8,14 หาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน u v 2 2 x u v = − y uv = 2 2 2 z u v = + 15 2 221 60 229 15 4 209 120 241 15 8 161 240 289 15 14 29 420 421
193 วิธีการหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน เมื่อกำหนด x เป็นหนึ่งในสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน สามารถหาสองจำนวนที่เหลือ ได้ดังนี้ กรณี x เป็นจำนวนเต็มคี่ 1. แยกตัวประกอบของ x เป็นผลคูณของสองจำนวน 2. เขียนตัวประกอบมากในรูป u v + และ ตัวประกอบน้อยในรูป u v − 3. แก้ระบบสมการในข้อ 2 หาค่า u และ v 4. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + กรณี x เป็นจำนวนเต็มคู่ 1. ถ้า 4 x แล้วแสดงว่า x ไม่ใช่หนึ่งในสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 2. ถ้า 4 x 2.1 เขียน x ในรูป 2uv โดยที่ (u v, 1 ) = และ มี u หรือ v จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มคู่ และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มคี่ 2.2 หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + ตัวอย่างที่ 6.2.5 กำหนดให้จำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนหนึ่งในสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน จงหา สามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด 1. 17 วิธีทำ 17 เป็นจำนวนเต็มคี่ 1. แยกตัวประกอบของ 17 เป็นผลคูณของสองจำนวน จะได้ 17 1 17 = 2. เขียนตัวประกอบมากในรูป u v + และ ตัวประกอบน้อยในรูป u v − จะได้ u v + =17 และ u v − =1 3. แก้ระบบสมการในข้อ 2 หาค่า u และ v จะได้ u v = = 9, 8 4. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ 2 2 x y = − = = = 9 8 17, 2 8 7 112 และ 2 2 x = + = 9 8 145
194 ดังนั้น 17,112,145 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน 2. 43 1. แยกตัวประกอบของ 43 เป็นผลคูณของสองจำนวน จะได้ 43 1 43 = 2. เขียนตัวประกอบมากในรูป u v + และ ตัวประกอบน้อยในรูป u v − จะได้ u v + = 43 และ u v − =1 3. แก้ระบบสมการในข้อ 2 หาค่า u และ v จะได้ u v = = 22, 21 4. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ 2 2 x y = − = = = 22 21 43, 2 22 21 462 และ 2 2 x = + = 22 21 925 ดังนั้น 43,462,925 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน 3. 35 วิธีทำ 35 เป็นจำนวนเต็มคี่ 1. แยกตัวประกอบของ 35 เป็นผลคูณของสองจำนวน จะได้ 35 1 35 = และ 35 5 7 = 2. เขียนตัวประกอบมากในรูป u v + และ ตัวประกอบน้อยในรูป u v − จะได้ระบบสมการ 2 กรณี คือ กรณี 35 1 35 = จะได้ u v + = 35 และ u v − =1 กรณี 35 5 7 = จะได้ u v + =7 และ u v − = 5 3. แก้ระบบสมการในข้อ 2 หาค่า u และ v ถ้า u v + = 35 และ u v − =1 จะได้ u v = = 18, 17 ถ้า u v + =7 และ u v − = 5 จะได้ u v = = 6, 1
195 4. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ ถ้า u v = = 18, 17 จะได้ 2 2 x y = − = = = 18 17 35, 2 18 17 612 และ 2 2 x = + = 9 8 613 ถ้า u v = = 6, 1 จะได้ 2 2 x y = − = = = 6 1 35, 2 6 1 12 และ 2 2 x = + = 6 1 37 ดังนั้น 35,612,613 และ 12,35,37 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน 4. 51 วิธีทำ 51 เป็นจำนวนเต็มคี่ 1. แยกตัวประกอบของ 51 เป็นผลคูณของสองจำนวน จะได้ 51 1 51 = และ 51 3 17 = 2. เขียนตัวประกอบมากในรูป u v + และ ตัวประกอบน้อยในรูป u v − จะได้ระบบสมการ 2 กรณี คือ กรณี 51 1 51 = จะได้ u v + =51 และ u v − =1 กรณี 51 3 17 = จะได้ u v + =17 และ u v − = 3 3. แก้ระบบสมการในข้อ 2 หาค่า u และ v ถ้า u v + =51 และ u v − =1 จะได้ u v = = 26, 25 ถ้า u v + =17 และ u v − = 3 จะได้ u v = = 10, 7 4. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ ถ้า u v = = 26, 25 จะได้ 2 2 x y = − = = = 26 25 51, 2 25 26 1300 และ 2 2 x =+= 26 25 1301 ถ้า u v = = 10, 7 จะได้ 2 2 x y = − = = = 10 7 51, 2 10 7 140 และ 2 2 x = + = 10 7 149 ดังนั้น 51,1300,1301 และ 51,140,149 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน
196 5. 8 วิธีทำ 8 เป็นจำนวนเต็มคู่ และ เนื่องจาก 48 ดังนั้น 1. เขียน 8 ในรูป 2uv โดยที่ (u v, 1 ) = และ ให้u หรือ v จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มคู่ และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ 8 2 4 1 = ให้ u = 4 และ v =1 2. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ 2 2 x y = − = = = 4 1 15, 2 4 1 8 และ 2 2 z = + = 4 1 17 ดังนั้น 8,15,17 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน 6. 28 วิธีทำ 28 เป็นจำนวนเต็มคู่ และ เนื่องจาก 4 28 ดังนั้น 1. เขียน 28 ในรูป 2uv โดยที่ (u v, 1 ) = และ ให้u หรือ v จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม คู่ และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ 28 2 14 1 = ให้ u =14 และ v =1 2. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ 2 2 x y = − = = = 14 1 195, 2 14 1 28 และ 2 2 z = + = 14 1 197 ดังนั้น 28,195,197 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน 7. 48 วิธีทำ 48 เป็นจำนวนเต็มคู่ และ เนื่องจาก 4 48 ดังนั้น 1. เขียน 48 ในรูป 2uv โดยที่ (u v, 1 ) = และ ให้u หรือ v จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม คู่ และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มคี่จะได้2 กรณี กรณี 48 2 24 1 = ให้ u = 24 และ v =1 กรณี 48 2 8 3 = ให้ u = 8 และ v = 3
197 2. หาค่า x y z , , จาก 2 2 x u v y uv = − = , 2 และ 2 2 z u v = + จะได้ กรณี u = 24 และ v =1 จะได้ 2 2 x y = − = = = 24 1 575, 2 24 1 48 และ 2 2 z = + = 24 1 577 ให้ u = 8 และ v = 3 จะได้ 2 2 x y = − = = = 8 3 55, 2 8 3 48 และ 2 2 z = + = 8 3 73 ดังนั้น 48,575,577 และ 48,55,73 เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสปฐมฐาน ทฤษฎีบทที่ 6.2.6 ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , ถ้า x y z , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส จะได้ว่า 1. 3 a หรือ 3 b 2. 5 a หรือ 5 b หรือ 5 c พิสูจน์ 1. สมมติให้ 3 a และ 3 b จะได้ a 1(mod3) หรือ a 2(mod3) และ b 1(mod3) หรือ b 2(mod3) จะได้ 2 a 1(mod3) และ 2 b 1(mod3) ดังนั้น 2 2 a b + 2(mod3) จาก 2 2 2 a b c + ดังนั้น 2 c 2(mod3) ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ว่า เศษที่เหลือจากการหาร 2 x 0(mod3) หรือ 2 x 1(mod3) เท่านั้น ดังนั้น 3 a หรือ 3 b 2. สมมติให้ 5 5 a b , และ 5 c จะได้ a, b และ c 1(mod5) หรือ a, b และ c 2(mod5) หรือ a, b และ c 3(mod5) หรือ a, b และ c 4(mod5) ดังนั้น 2 2 a b, และ 2 c 1(mod5) หรือ 2 2 a b, และ 2 c 4(mod5)
198 กรณี1 2 a และ 2 b 1(mod5) ดังนั้น 2 2 a b + 2(mod5) จาก 2 2 2 a b c + ดังนั้น 2 c 2(mod5) ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ว่า เศษที่เหลือจากการหาร 2 x 0(mod5) หรือ 2 x 1(mod5) หรือ 2 x 4(mod5) เท่านั้น กรณี2 2 a และ 2 b 4(mod5) จะได้ 2 2 a b + 8(mod5) และจาก 8 3(mod5) ดังนั้น 2 2 a b + 3(mod5) จาก 2 2 2 a b c + ดังนั้น 2 c 3(mod5) ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ว่า เศษที่เหลือจากการหาร 2 x 0(mod5) หรือ 2 x 1(mod5) หรือ 2 x 4(mod5) เท่านั้น กรณี3 2 a 1(mod5) และ 2 b 4(mod5) จะได้ 2 2 a b + 5(mod5) และจาก 5 0(mod5) ดังนั้น 2 2 a b + 0(mod5) จาก 2 2 2 a b c + ดังนั้น 2 c 0(mod5) จะได้ 2 5 c นั่นคือ 5 c ขัดแย้งกับที่สมมติให้ 5 c กรณี4 2 a 4(mod5) และ 2 b 1(mod5) จะได้ 2 2 a b + 5(mod5) และจาก 5 0(mod5) ดังนั้น 2 2 a b + 0(mod5) จาก 2 2 2 a b c + ดังนั้น 2 c 0(mod5) จะได้ 2 5 c นั่นคือ 5 c ขัดแย้งกับที่สมมติให้ 5 c ขัดแย้งทั้ง 4 กรณี ดังนั้น 5 a หรือ 5 b หรือ 5 c
199 ทฤษฎีบทที่ 6.2.7 ให้ x, y, z, a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวกที่ x y z , และ a b c , ถ้า x y z , , และ a b c , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส จะได้ว่า by ax bx ay cz − + , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส พิสูจน์ให้ x y z , , และ a b c , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส จะได้ 2 2 2 x y z + และ 2 2 2 a b c + พิจารณา ( ) 2 2 by ax bx ay − + + ( ) ( ) 2 2 = − + + by ax bx ay 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + + + + b y byax a x b x bxay a y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + b y a x b x a y ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + b y b x a x a y ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 = + + + b y x a x y ( )( ) 2 2 2 2 = + + x y a b 2 2 = z c ( ) 2 = zc ดังนั้น by ax bx ay cz − + , , เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัส ตัวอย่างที่ 6.2.6 จงหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน จากสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐานที่ กำหนดให้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 6.2.7 1. 3,4,5 และ 5,12,13 วิธีทำ จะได้ 4(12) 3(5),3(12) 4(5),5(13) − + =33,56,65 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 2. 3,4,5 และ 8,15,17 วิธีทำ จะได้ 4(15) 3(8),4(8) 3(15),5(17) − + =36,77,85 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน
200 3. 5,12,13 และ 8,15,17 วิธีทำ จะได้ 12(15) 5(8),12(8) 5(15),13(17) − + =140,171,221 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 4. 3,4,5 และ 7,24,25 วิธีทำ จะได้ 4(24) 3(7),4(7) 3(24),5(25) − + =75,100,125 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 5. 5,12,13 และ 7,24,25 วิธีทำ จะได้ 12(24) 5(7),12(7) 5(24),13(25) − + =253,204,325 เป็นสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน 6.3 สมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง ในหัวข้อนี้จะศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์รูปแบบอื่นที่ไม่ใช่เชิงเส้นนั้นคือสมการไดโอแฟนไทน์ กำลังสอง ทฤษฎีบทที่ 6.3.1 ให้ c เป็นจำนวนเต็ม สมการ 2 2 x y c − = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ c เป็นจำนวนเต็มคี่ หรือ 4 c พิสูจน์ (→) ให้ c เป็นจำนวนเต็ม และ 0 x และ 0 y เป็นคำตอบของสมการ 2 2 x y c − = ดังนั้น 2 2 0 0 x y c − = พิจารณา 0 x และ 0 y เป็น 2 กรณีคือ 0 0 x y (mod2) และ 0 0 x y (mod2) กรณี 0 0 x y (mod2) จะได้ 2 (x y 0 0 − ) เนื่องจาก 0 0 y y − (mod2) จะได้ 0 0 x y − (mod2) นั่นคือ 2 (x y 0 0 + ) จาก 2 (x y 0 0 − ) และ 2 (x y 0 0 + ) จะได้ 4 (x y x y 0 0 0 0 + − )( ) นั่นคือ ( ) 2 2 0 0 4 x y −
201 ดังนั้น 4 c กรณี 0 0 x y (mod2) จะได้ว่า 0 x และ 0 y ไม่เป็นจำนวนคู่พร้อมกัน หรือไม่เป็นจำนวนคี่พร้อมกัน ดังนั้น 2 2 0 0 x y c − = เป็นจำนวนเต็มคี่ () ถ้า c เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม k ที่ c k = + 2 1 จะได้ 2 2 x y k − = + 2 1 นั่นคือ (x y x y k − + = + )( ) 1 2 1 ( ) จะได้ x k = +1 และ y k = เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 2 2 x y c − = ถ้า 4 c จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม k ที่ c k = 4 จะได้ 2 2 x y k − = 4 นั่นคือ (x y x y k − + = )( ) 2 2( ) จะได้ x k = +1 และ y k = −1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ 2 2 x y c − = ตัวอย่างที่ 6.3.1 จงหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ต่อไปนี้ 1. 2 2 x y − = 7 วิธีทำ เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้นสมการ 2 2 x y − = 7 มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จาก ( )( ) 2 2 x y x y x y − = − + = 7 พิจารณาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 7 ดังต่อไปนี้ x y − x y + x y 1 7 4 3 −1 −7 −4 −3 7 1 4 −3 −7 −1 −4 3 ดังนั้นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 x y − = 9 คือ (4,3 , 4, 3 , 4, 3 ) (− − − ) ( ) และ (−4,3)
202 2. 2 2 x y − =15 วิธีทำ เนื่องจาก 15 เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้นสมการ 2 2 x y − =15 มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จาก ( )( ) 2 2 x y x y x y − = − + =15 พิจารณาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 15 ดังต่อไปนี้ x y − x y + x y 1 15 8 7 −1 −15 −8 −7 15 1 8 −7 −15 −1 −8 7 3 5 4 1 −3 −5 −4 −1 5 3 4 −1 −5 −3 −4 1 ดังนั้นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 x y − =15 คือ (8,7 , 8, 7 , 8, 7 , 8,7 , ) (− − − − ) ( ) ( ) (4,1 , 4, 1 , 4, 1 ) (− − − ) ( ) และ (−4,1) 3. 2 2 x y − = 4 วิธีทำ เนื่องจาก 44 ดังนั้นสมการ 2 2 x y − = 4 มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จาก ( )( ) 2 2 x y x y x y − = − + = 4 พิจารณาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 4 และ x, y จะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวประกอบเป็นจำนวนคู่ พร้อมกัน ดังต่อไปนี้ x y − x y + x y 2 2 2 0 −2 −2 −2 0 ดังนั้นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 x y − = 4 คือ (2,0) และ (−2,0)
203 4. 2 2 x y − = 8 วิธีทำ เนื่องจาก 48 ดังนั้นสมการ 2 2 x y − = 8 มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จาก ( )( ) 2 2 x y x y x y − = − + = 8 พิจารณาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และ x, y จะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวประกอบเป็นจำนวนคู่ พร้อมกัน ดังต่อไปนี้ x y − x y + x y 2 4 3 1 −2 −4 −3 −1 4 2 3 −1 −4 −2 −3 1 ดังนั้นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 x y − = 8 คือ (3,1 , 3, 1 , 3, 1 ) (− − − ) ( ) และ (−3,1) 5. 2 2 x y − =16 วิธีทำ เนื่องจาก 4 16 ดังนั้นสมการ 2 2 x y − =16 มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จาก ( )( ) 2 2 x y x y x y − = − + =16 พิจารณาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 16 และ x, y จะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวประกอบเป็นจำนวนคู่ พร้อมกัน ดังต่อไปนี้ x y − x y + x y 2 8 5 3 −2 −8 −5 −3 8 2 5 −3 −8 −2 −5 3 4 4 8 0 −4 −4 −8 0 ดังนั้นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 x y − =16 คือ (5,3 , 5, 3 , 5, 3 , 5,3 ) (− − − − ) ( ) ( ) (8,0) และ (−8,0)
204 ทฤษฎีบทที่ 6.3.2 ถ้า c เป็นจำนวนเต็ม แล้วสมการ 2 2 2 x y z c + − = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม พิสูจน์ให้ c เป็นจำนวนเต็ม จะมีจำนวนเต็ม x ที่ 2 c x −เป็นจำนวนเต็มคี่ จากทฤษฎีบทที่ 6.3.1 จะมีจำนวนเต็ม y และ z ที่สอดคล้องกับสมการ 2 2 2 y z c x − = − ดังนั้น 2 2 2 x y z c + − = มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างที่ 6.3.2 จงหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 2 x y z + − = 6 มา 5 ชุดคำตอบ วิธีทำ พิจารณาสมการ 2 2 2 y z x − = −6 จากทฤษฎีบทที่ 6.3.1 y และ z จะมีคำตอบเป็น จำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ 2 6 − x เป็นจำนวนเต็มคี่ หรือ ( ) 2 4 6 − x สมมติให้ 2 6 − x เป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้น 2 x เป็นจำนวนเต็มคี่ นั่นคือ x เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม m และ k ที่ 2 6 2 1 − = + x m และ x k = + 2 1 ดังนั้น ( ) 2 6 2 1 − +k = + 2 1 m ( ) 2 2 6 4 4 1 − + + k k = + 2 1 m 2 − − + 2 2 2 k k = m จาก 2 2 2 y z x − = −6 และ 2 6 2 1 − = + x m จะได้ 2 2 y z m − = + 2 1 นั่นคือ (y z y z m − + = + )( ) 1 2 1 ( ) เลือกให้ y z − =1 และ y z m + = + 2 1 จะได้ y m= +1 และ z m= ดั้งนั้นคำตอบของสมการ 2 2 2 x y z + − = 6 ในรูปแบบทั่วไปคือ x k y m = + = + 2 1, 1 และ z m= เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม และ 2 m k k = − − + 2 2 2 k 2 m k k = − − + 2 2 2 x k = + 2 1 y m= +1 z m= −2 −2 −3 −1 −2 −1 2 −1 3 2 0 2 1 3 2 1 −2 3 −1 −2 2 −10 5 −9 -10
205 ดังนั้นคำตอบ 5 ชุดที่สอดคล้องกับสมการนี้ ได้แก่ (− − − − − − 3, 1, 2 , 1,3,2 , 1,3,2 , 3, 1, 2 ) ( ) ( ) ( ) และ (5, 9, 10 − − ) ตัวอย่างที่ 6.3.3 จงหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ 2 2 2 x y z + − = 9 มา 6 ชุดคำตอบ วิธีทำ พิจารณาสมการ 2 2 2 y z x − = −9 จากทฤษฎีบทที่ 6.3.1 y และ z จะมีคำตอบเป็นจำนวน เต็มก็ต่อเมื่อ ต่อเมื่อ 2 9 − x เป็นจำนวนเต็มคี่ หรือ ( ) 2 4 9 − x สมมติให้ ( ) 2 4 9 − x นั้นคือมีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ 2 9 4 − = x k จาก 2 2 2 y z x − = −9 ดังนั้น (y z y z k k − + = = )( ) 4 2 2 เลือก y z − = 2 และ y z k + = 2 จะได้ y k = +1 และ z k = −1 จาก 2 9 4 − = x k เลือก 2 k t t = − + + 2 เมื่อ t เป็นจำนวนเต็ม จะได้ 2 9 − x ( ) 2 = − + + 4 2 t t 2 9 − x 2 = − + + 4 4 8 t t 2 x 2 = − + 4 4 1 t t 2 x ( ) 2 = − 2 1 t x = − − 2 1, 1 2 t t ดังนั้นคำตอบรูปทั่วไปรูปแบบหนึ่งของสมการ 2 2 2 x y z + − = 9 คือ x = − − 2 1,1 2 t t , y k = +1 และ z k = −1 เมื่อ t เป็นจำนวนเต็มและ 2 k t t = − + + 2 t 2 k t t = − + + 2 x t t = − − 2 1,1 2 y k = +1 z k = −1 −2 −4 −5,5 −3 −5 −1 0 −3,3 1 −1 0 2 −1,1 3 1 ดังนั้นคำตอบ 6 ชุดที่สอดคล้องกับสมการนี้ ได้แก่ (− − − − − − − − − 5, 3, 5 , 3,1, 1 , 3,1, 1 , 3, 1, 2 , 1,3,1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) และ (1,3,1)
206 6.4 สรุป ในบทที่ 6 นี้เราศึกษา 3 หัวข้อ หัวข้อแรกศึกษานิยามของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น เงื่อนไขในการมีคำตอบ และขั้นตอนวิธีการหาคำตอบของสมการ หัวข้อที่สองศึกษาสมการพิทาโกรัส หาชุดตัวเลขที่มีสอดคล้องกับสมบัติของพิทาโกรัส และสุดท้ายศึกษานิยามของสมการไดโอแฟนไทน์ กำลังสอง เงื่อนไขในการมีคำตอบ และขั้นตอนวิธีการหาคำตอบของสมการ 6.5 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1. จงหาคำตอบสมการไดโอแฟนไทน์ต่อไปนี้ (ถ้ามี) 1.1 231 42 77 x y + = 1.2 123 51 303 x y + = 1.3 − + = 44 200 600 y 1.4 69 96 300 x y − = 1.5 172 20 1000 x y + = 1.6 125 315 1200 x y − = 1.7 2 3 4 5 x y z + + = 1.8 2 3 4 5 x y z + + = 1.9 2 3 4 5 x y z + + = 1.10 10 16 4 48 x y z + − = 2. นัดมีเงิน 500 บาท ต้องการแลกธนบัตรใบละ 20 และ 50 บาท จงหาจำนวนวิธีแลกธนบัตรที่ เป็นไปได้ทั้งหมด 3. นัทขายกระโปรงตัวละ 280 บาท และเสื่อตัวละ 180 บาท นัทได้นรับเงินจากการขายสองสิ่ง นี้เป็นจำนวน 2,880 บาท จงหาว่านัทขายไปอย่างละกี่ตัว 4. แคทมีเงิน 68 บาท ต้องการซื้อโค้กกระป๋องในราคากระป๋องละ 12 บาท และขนมคบเคี้ยว แบบห่อ ๆ ละ 8 บาท ถ้าแคทต้องการซื้อของทั้งสองชนิดนี้เท่านั้นและต้องให้เงินหมดพอดีแค ทสามารถทำได้หรือไม่ ถ้าทำได้ทำได้ทั้งหมดกี่แบบ
207 5. ออมมีธนบัตรใบละ 100 บาท 1 ใบ ต้องการแลกเหรียญ 2 บาท เหรียญ 5 บาท และเหรียญ 10 บาท จะแลกเหรียญได้ทั้งหมดกี่แบบโดยทีต้องมีเหรียญแต่ละชนิดอย่างน้อย 1 เหรียญ 6. สินมีธนบัตรใบละ 100 บาท 1 ใบ ต้องการแลกเหรียญ 1 บาท เหรียญ 5 บาท และเหรียญ 150 สตางค์ โดยให้มีเหรียญทั้งสามรวมกันได้ 100 เหรียญ จะแลกเหรียญได้ทั้งหมดกี่แบบ 7. กระปุกออมสินมีเงินรวมทั้งหมด 100 บาท เป็นเหรียญ 3 ชนิด คือ 5 บาท 1 บาท 50 สตางค์ รวม 50 เหรียญ อยากทราบว่าในกระปุกออมสินมีเหรียญแต่ละชนิดอย่างละเท่าใด 8. จงหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐานที่เกิดจาก 8.1 u v = = 7, 2 8.2 u v = = 7, 6 8.3 u v = = 9, 4 8.4 u v = = 10, 3 9. จงหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 6.2.5 เมื่อ 9.1 u =12 9.2 u =14 9.3 u =18 10. กำหนดให้จำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนหนึ่งในสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน จงหาสามสิ่ง อันดับพิทาโกรัสปฐมฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด 10.1 18 10.2 42 10.3 36 10.4 40 11. จงหาสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐาน จากสามสิ่งอันดับพิทาโกรัสปฐมฐานที่กำหนดให้โดย ใช้ทฤษฎีบทที่ 6.2.7 11.1 3,4,5 และ 20,21,29 11.2 5,12,13 และ 8,15,17 11.3 3,4,5 และ 9,40,41 11.4 5,12,13 และ 20,21,29 12. จงหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ต่อไปนี้ 12.1 2 2 x y − =15 12.2 2 2 x y − = 36
208 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วรรณธิดา ยลวิลาศ. (2561). ทฤษฎีจำนวน. กาฬสินธุ์: คณะศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏ กาฬสินธุ์. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
แผนบริหารการสอนประจำบทที่ 7 ห้วข้อเนื้อหา 1. ฟังก์ชันเชิงการคณูและฟังก์ชันเชิงการบวก 2. ฟังก์ชันเทา 3. ฟังก์ชันซิกมา 4. ฟังก์ชันฟีออยเลอร์ 5. สรุป 6. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม หลังจากศึกษาบทที่ 7 แล้วนักศึกษามีความสามารถดังต่อไปนี้ 1. สามารถอธิบายความหมายของฟังก์ชันเชิงการคณูได้ 2. สามารถอธิบายความหมายของฟังก์ชันเชิงการบวกได้ 3. สามารถอธิบายความหมายและคำนวณค่าของฟังก์ชันเทา ได้ 4. สามารถอธิบายความหมายและคำนวณค่าของฟังก์ชันซิกมา ได้ 5. สามารถอธิบายความหมายและคำนวณค่าของฟังก์ชันฟีออยเลอร์ได้ วิธีการสอน และกิจกรรม 1. ศึกษาเอกสารประกอบการสอน และผู้สอนบรรยายประกอบ 2. สนทนาซักถาม และอภิปรายแสดงความคิดเห็นร่วมกัน 3. ผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเนื้อหาที่เรียนมาทุกหัวข้อ 4. ให้ผู้เรียนทำแบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท
210 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนบทที่ 7 2. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบทที่ 7 การวัดและประเมินผล 1. สังเกตพฤติกรรมการเรียนและความสนใจ 2. สังเกตจากการสนทนาซักถาม 3. แบบฝึกปฏิบัติการ 4. การนำเสนอแบบฝึกปฏิบัติการ และการอธิบายให้เพื่อนในชั้นเรียนเข้าใจ
บทที่ 7 ฟังก์ชันในทฤษฎีจำนวน ในบทนี้เราจะศึกษาฟังก์ชันที่ใช้บ่อยในทฤษฎีจำนวน นั่นคือฟังก์ชันเลขคณิต (Arithmetic Function) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก และเรจน์เป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากค่าของฟังก์ชันเลขคณิตเป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่าค่าของฟังก์ชันเลขคณิตไม่ จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็มบวก ในทฤษฎีจำนวนส่วนใหญ่แล้วจะศึกษาฟังก์ชันที่ค่า ของฟังก์ชันเป็นจำนวนเต็มบวก (ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. 2552: 94-114, ธนัชยศ จำปา หวาย. 2565: 121-137, วรรณธิดา ยลวิลาศ. 2561: 139-164, วิชญาพร จันทะนัน. 2564: 156-169, สมวงษ์ แปลงประสพโชค. 2545: 97-106) ในบทนี้เราจะศึกษาฟังก์ชันต่าง ๆ โดยมีหัวข้อตามลำดับดังนี้ 1. ฟังก์ชันเชิงการคณูและฟังก์ชันเชิงการบวก 2. ฟังก์ชันเทา 3. ฟังก์ชันซิกมา 4. ฟังก์ชันฟีออยเลอร์ 5. สรุป 6. แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 7.1 ฟังก์ชันเชิงการคูณ (Multiplicative Function) และฟังก์ชันเชิงการบวก (Completely Multiplicative Function) นิยามที่ 7.1.1 ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก และเรจน์เป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า ฟังก์ชันเลขคณิต นิยามที่ 7.1.2 ฟังก์ชันเลขคณิต f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ ก็ต่อเมื่อ f mn f m f n ( ) = ( ) ( ) สำหรับทุกจำนวนเต็ม m n, และ (m n, 1 ) = และเรียก ฟังก์ชันเชิงการคูณแบบบริบูรณ์ ก็ต่อเมื่อ f mn f m f n ( ) = ( ) ( ) สำหรับทุกจำนวนเต็ม m n,
212 นิยามที่ 7.1.3 ฟังก์ชันเลขคณิต f เป็นฟังก์ชันเชิงการบวก (Additive Function) ก็ต่อเมื่อ f mn f m f n ( ) = + ( ) ( ) สำหรับทุกจำนวนเต็ม m n, และ (m n, 1 ) = และเรียก ฟังก์ชันเชิงการบวกแบบบริบูรณ์ (Completely Additive Function) ก็ต่อเมื่อ f mn f m f n ( ) = + ( ) ( ) สำหรับทุกจำนวนเต็ม m n, ตัวอย่างที่ 7.1.1 พิจารณาฟังก์ชันเลขคณิตต่อไปนี้ 1. f : → กำหนดโดย f x( ) 0 = f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณบริบูรณ์เนื่องจาก สำหรับ m n, จะได้ f mn f m f n ( ) = = = 0 0 0 ( ) ( ) f เป็นฟังก์ชันเชิงการบวกบริบูรณ์เนื่องจาก สำหรับ m n, จะได้ f mn f m f n ( ) = = + = + 0 0 0 ( ) ( ) 2. f : → กำหนดโดย f x( ) 1 = f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณบริบูรณ์เนื่องจาก สำหรับ m n, จะได้ f mn f m f n ( ) = = = 1 1 1 ( ) ( ) f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการบวกบริบูรณ์เนื่องจาก เลือก m n = = 1, 2 จะได้ f f f (1 2 1 1 1 1 2 = + = + ) ( ) ( ) 3. f : → กำหนดโดย f x x ( ) = f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณบริบูรณ์เนื่องจาก เนื่องจาก สำหรับ m n, จะได้ f mn mn f m f n ( ) = = ( ) ( ) f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการบวกบริบูรณ์เนื่องจาก เลือก m n = = 1, 2 จะได้ f f f (1 2 2 1 2 1 2 = + = + ) ( ) ( ) 4. f : → กำหนดโดย f x( ) 2 = f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณเนื่องจาก ให้ m n, จะได้ f mn f m f n ( ) = = 2 2 2 ( ) ( ) f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการบวกบริบูรณ์เนื่องจาก เลือก m n = = 1, 2 จะได้ f f f (1 2 2 2 2 1 2 = + = + ) ( ) ( )
213 5. f : → กำหนดโดย 2 f x x ( ) = f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณเนื่องจาก ให้ m n, จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f mn mn m n f m f n = = = f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการบวกบริบูรณ์เนื่องจาก เลือก m n = = 1, 2 จะได้ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f f f 1 2 2 1 2 1 2 = + = + 6. f : → กำหนดโดย ( ) 2x f x = f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณเนื่องจาก ให้ m n, จะได้ ( ) 2 2 2 ( ) ( ) mn m n f mn f m f n = = f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงการบวกบริบูรณ์เนื่องจาก เลือก m n = = 1, 2 จะได้ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 f f f 1 2 2 2 2 1 2 = + = + ทฤษฎีบท 7.1.1 ให้ f เป็นฟังก์ชันเลขคณิต โดยที่ f (1 1 ) = และ 1 2 1 2 n n n p p p = เป็นการเขียนแทน m ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ ก็ต่อเมื่อ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n f p p p f p f p f p = สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m พิสูจน์ให้ f เป็นฟังก์ชันเลขคณิต โดยที่ f (1 1 ) = และ 1 2 1 2 n m p p pn = (→) ให้ f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ ให้ Pn( ) แทน ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n f p p p f p f p f p = สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n 1. เนื่องจาก ( ) ( ) 1 1 1 1 f p f p = ดังนั้น P(1) เป็นจริง 2. ให้ P k( ) เป็นจริง นั้นคือ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 k k k k f p p p f p f p f p = จริง เนื่องจาก ( ) 1 2 1 1 2 1 , , , , 1 k k k k p p p p + + = จะได้ ( ) 1 2 1 1 2 1 , , , , k k k k f p p p p + + (( ) ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 , , , , k k k k k k f p p p p f p + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 k k k k f p f p f p f p + = + ดังนั้น P k( 1) + เป็นจริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า Pn( ) เป็นจริง
214 () ให้ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n f p p p f p f p f p = สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ให้ r s, กรณี r =1 หรือ s =1 จะได้ว่า rs s = หรือ rs r = นั้นคือ f rs f s ( ) ( ) = หรือ f rs f r ( ) ( ) = และจาก f (1 1 ) = จะได้ f rs f s f s f r ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = = หรือ f rs f r f r f s ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = = ดังนั้น f rs f r f s ( ) ( ) ( ) = กรณี r 1 และ s 1 เมื่อ (r s, 1 ) = ให้ 1 2 1 2 k r r k r p p p = และ 1 2 1 2 k s s k s p p p = โดยที่ ทุก i p และ j p เป็นจำนวนเฉพาะที่ แตกต่างกันทั้งหมด จะได้ว่า f rs ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 k k r s r s k k f p p p p p p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 k k r s r s k k f p f p f p f p f p f p = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 k k r s r s k k f p p p f p p p = = f r f s ( ) ( ) จากทั้งสองกรณี จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ ทฤษฎีบท 7.1.2 ให้ f เป็นฟังก์ชันเลขคณิต โดยที่ f (1 1 ) = และ 1 2 3 1 2 3 m m n p p p p = เป็นการเขียนแทน n ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันแยกคูณแบบบริบูรณ์ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 m m m m f p p p p f p f p f p f p = พิสูจน์ในทำนองเดียวกันกับทฤษฎีบท 7.1.1
215 7.2 ฟังก์ชันเทา (Tau Function) นิยามที่ 7.2.1 ให้ n ฟังก์ชันเทา นิยามโดย (n)= จำนวนตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n ตัวอย่างที่ 7.2.1 จงหาค่าของ 1. (8) ตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ 8 คือ 1, 2, 4 และ 8 ดังนั้น (8 4 )= 2. (12) ตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ดังนั้น (12 6 )= 3. (84) ตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ 84 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 และ 84 ดังนั้น (84 12 )= 4. (360) ตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ 360 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 และ 360 ดังนั้น (360 24 )= ทฤษฎีบทที่ 7.2.1 ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ n p , 1 = จะได้ว่า (n a )= +1 พิสูจน์จาก n p , 1 = จะเห็นว่าตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n คือ 2 1, , , , p p p นั่นคือ (n a )= +1
216 ทฤษฎีบทที่ 7.2.2 ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ 1 2 3 1 2 3 k k n p p p p = เป็นการ เขียนแทน n ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า ( ) ( ) ( 1 2 )( ) ( ) 1 1 1 1 1 k i k i n = = + = + + + พิสูจน์ให้ 1 2 3 1 2 3 k k n p p p p = เป็นการเขียนในรูปแบบบัญญัติและให้ 1 2 3 1 2 3 ,0 , 1,2,3,..., k b b b b k i i i D d p p p p b I b i k = = = จาก 1 2 3 1 2 3 k b b b b k d p p p p = เมื่อ ,0 , 1,2,3,..., i i i b I b i k = จะได้ว่า d เป็นตัวหารของ n นั้นคือ D เป็นเซตของตัวหารทั้งหมดของ n จาก ,0 , 1,2,3,..., i i i b I b i k = จะเห็นว่า i b มีได้ทั้งหมด 1 i + ค่า โดยกฎการนับจะได้ว่าจำนวนสมาชิกทั้งหมดของ D คือ ( 1 2 + + + 1 1 1 )( ) ( k ) ดังนั้น ( ) ( ) ( 1 2 )( ) ( ) 1 1 1 1 1 k i k i n = = + = + + + ทฤษฎีบทที่ 7.2.3 ฟังก์ชันเทา เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ พิสูจน์ให้ m n, โดยที่ ( , ) 1 m n = พิจารณาค่า m และ n แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 กรณี คือ m =1 หรือ n =1 และ m 1 และ n 1 กรณี m =1 หรือ n =1 จะได้ mn m= หรือ mn n = นั้นคือ (mn m ) = ( ) หรือ (mn n ) = ( ) จาก (1 1 ) = นั้นคือ (m) =1 หรือ (n) =1 จะได้ว่า (mn m m n ) = = ( ) 1 ( ) ( ) หรือ (mn n m n ) = = ( ) 1 ( ) ( ) ดังนั้น (mn m n ) = ( ) ( )
217 กรณี m 1 และ n 1 ให้ 1 2 3 1 2 3 m m q q q qm = และ 1 2 3 1 2 3 n n n p p p p = เป็นการเขียน m และ n ในรูปแบบ บัญญัติ จาก ( , ) 1 m n = จะได้ว่า i p และ j q เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมด จะได้ (mn) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 m n m n q q q q p p p p = = + + + + + + ( 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 )( ) ( m n )( )( ) ( ) = + + + + + + (( 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 )( ) ( m n )) (( )( ) ( )) = (m n ) ( ) จากทั้ง 2 กรณีจะได้ว่า ฟังก์ชันเทา เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ 7.3 ฟังก์ชันซิกมา (Sigma Function) นิยามที่ 7.3.1 ให้ n k, กำหนดให้ ฟังก์ชันซิกมา นิยามโดย (n)= ผลบวกของตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n และนิยาม ( ) k n = ผลบวกขอกำลัง k ของตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n จากนิยาม และ k ต่างก็เป็นฟังก์ชันเลขคณิต โดยที่ (1 1 )= และ (1 1 ) k = และ ( ) d n n d = และ ( ) k k d n n d = ทฤษฎีบทที่ 7.3.1 ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและ n p , = จะได้ว่า 1. ( ) 1 1 1 p n p + − = − 2. ( ) ( ) 1 1 1 k k k p n p + − = −
218 พิสูจน์ จาก n p , = จะได้ว่าตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n คือ 2 3 1, , , , , p p p p 1. (n) ( p ) = 2 3 1 p p p p = + + + + + จาก 2 3 1 p p p p + + + + + เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี 1 a =1, r p = และ n = + 1 โดยใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต 1 ( 1) 1 n n a r S r − = − ได้ว่า ( ) 1 1 1 p n p + − = − 2. ( ) k n k( p ) = ( ) ( ) ( ) 2 3 1 k k k k p p p p = + + + + + จาก 2 3 1 p p p p + + + + + เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี 1 a =1, k r p = และ n = + 1 โดยใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต 1 ( 1) 1 n n a r S r − = − ได้ว่า ( ) ( ) 1 1 1 k k k p n p + − = − ตัวอย่างที่ 7.3.1 จงหาค่าของ 1. (16) ตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ 16 คือ 1, 2, 4, 8 และ 16 ดังนั้น (16 1 2 4 8 16 31 ) = + + + + = หรือคำนวณจากทฤษฎีบทที่ 7.3.1 ( ) ( ) 4 16 2 = 4 1 2 1 32 1 31 2 1 1 + − − = = = − ในข้อต่อไปเราจะใช้ทฤษฎีบทที่ 7.3.1 2. (243) ( ) ( ) 5 243 3 = 5 1 3 1 729 1 364 3 1 2 + − − = = = −
219 3. (625) ( ) ( ) 4 625 5 = 4 1 5 1 3125 1 781 5 1 4 + − − = = = − 4. ( ) 2 16 ( ) ( ) 4 2 2 16 2 = ( ) 5 1 2 2 1 4096 1 4,095 3 1 2 + − − = = = − 5. ( ) 2 27 ( ) ( ) 3 2 2 27 3 = ( ) 3 1 2 3 1 6561 1 3,280 3 1 2 + − − = = = − ทฤษฎีบทที่ 7.3.2 ถ้า m n, โดยที่ (m n, 1 ) = จะได้ว่า 1. สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก d, 1 2 d n n ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็มบวก 1 d และ 2 d ที่ทำให้ 1 2 d d d = และ 1 2 d m d n , 2. ถ้า 1 2 d m d n , และ 1 2 d m d n , โดยที่ 1 2 1 2 d d d d = แล้ว 1 1 d d = และ 2 2 d d = พิสูจน์ ให้ m n, โดยที่ ( , ) 1 m n = พิจารณาค่า m และ n แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 กรณี คือ m =1 หรือ n =1 และ m 1 และ n 1 กรณี m =1 และ n =1 เห็นชัดเจนว่าเป็นจริงทั้งข้อ 1 และ 2 กรณี m 1 และ n 1 ให้ 1 2 1 2 ... r m p p pr = และ 1 2 1 2 ... s s n q q q = เขียนในรูปแบบบัญญัติ จาก ( , ) 1 m n = จะได้ว่า i p และ j q เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้น 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... r s mn p p p q q q r s =
220 1. (→) ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่ d mn จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... k l a a b b b a r s d p p p q q q = โดยที่ 0 ,0 i i j j a b เลือก 1 2 1 1 2 ... k a a a r d p p p = และ 1 2 2 1 2 ... l b b b s d q q q = ดังนั้น 1 2 d m d n , และ 1 2 d d d = () ให้ m n, โดยที่ 1 2 d m d n , และ 1 2 d d d = ดังนั้น 1 2 d d mn นั่นคือ d mn 2. ให้ 1 2 d m d n , และ 1 2 d m d n , โดยที่ 1 2 1 2 d d d d = ดังนั้น 1 2 1 1 2 ... k a a a r d p p p = และ 1 2 1 1 2 ... r u u u r d p p p = โดยที่ 0 ,i i i a u 1 2 2 1 2 ... l b b b s d q q q = และ 1 2 2 1 2 ... l v v v s d q q q = โดยที่ 0 ,j j j b v และ 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... k l a a b b b a r s p p p q q q 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... r l u u u v v v r s = p p p q q q เนื่องจากจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันจะหารกันไม่ลงตัว จะได้ว่าสำหรับทุก i j , 0 i a = ก็ต่อเมื่อ 0 i u = และ 0 j b = ก็ต่อเมื่อ 0 j v = โดยทฤษฎีหลักมูลของเลขคณิตทุก i i a u = และ j j b v = ดังนั้น 1 1 d d = และ 2 2 d d = ทฤษฎีบทที่ 7.3.3 ฟังก์ชันซิกมาเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ พิสูจน์ให้ m n, โดยที่ ( , ) 1 m n = พิจารณาค่า m และ n แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 กรณี คือ m =1 หรือ n =1 และ m 1 และ n 1 กรณี m =1 หรือ n =1 จะได้ mn m= หรือ mn n = นั้นคือ (mn m ) = ( ) หรือ (mn n ) = ( ) จาก (1 1 ) = นั้นคือ (m) =1 หรือ (n) =1 จะได้ว่า (mn m m n ) = = ( ) 1 ( ) ( ) หรือ (mn n m n ) = = ( ) 1 ( ) ( ) ดังนั้น (mn m n ) = ( ) ( )
221 กรณี m 1 และ n 1 จะมีจำนวนเต็มบวก 1 d และ 2 d เพียงคู่เดียว ที่ 1 2 d d d = และ 1 2 d m d n , โดยที่ (d d 1 2 , 1 ) = ดังนั้น ( ) d mn mn d = 1 2 1 2 d d mn = d d 1 2 1 2 d m d n =d d 1 2 1 2 d m d n d d = 1 2 1 2 d m d n d d = = (m n ) ( ) ดังนั้น ฟังก์ชันซิกมาเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ ทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ( ) k n เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ ตัวอย่างที่ 7.3.2 จงหาค่าของ 1. (36) ( ) ( ) 2 2 36 2 3 = ( ) ( ) 2 2 = 2 3 2 1 2 1 2 1 3 1 7 26 91 2 1 3 1 1 2 + + − − = = = − − 2. ( ) 2 36 ( ) ( ) 2 2 2 2 36 2 3 =
222 ( ) ( ) 2 2 2 2 = 2 3 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 3 1 63 728 22,932 2 1 3 1 1 2 + + − − = = = − − 3. (100) ( ) ( ) 2 2 100 2 5 = ( ) ( ) 2 2 = 2 5 2 1 2 1 2 1 5 1 7 124 434 2 1 3 1 1 2 + + − − = = = − − 4. (100) k ( ) ( ) 2 2 2 2 100 2 5 = ( ) ( ) 2 2 2 2 = 2 5 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 5 1 63 15624 246,078 2 1 5 1 1 4 + + − − = = = − − 5. (180) ( ) ( ) 2 2 180 2 3 5 = ( ) ( ) ( ) 2 2 = 235 2 1 2 1 1 1 2 1 3 1 5 1 7 26 24 546 2 1 3 1 5 1 1 2 4 + + + − − − = = = − − − 6. (180) k ( ) ( ) 2 2 2 2 36 2 3 5 = ( ) ( ) ( ) 2 2 222 = 235 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 3 1 5 1 2 1 3 1 5 1 + + + − − − = − − − 63 728 624 3,577,392 1 2 4 = =
223 ทฤษฎีบทที่ 7.3.4 ถ้า m n, โดยที่ (m n, 1 ) = จะได้ว่า 1. สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก d, 1 2 d n n ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็มบวก 1 d และ 2 d ที่ทำให้ 1 2 d d d = และ 1 2 d m d n , 2. ถ้า 1 2 d m d n , และ 1 2 d m d n , โดยที่ 1 2 1 2 d d d d = แล้ว 1 1 d d = และ 2 2 d d = พิสูจน์ ให้ m n, โดยที่ ( , ) 1 m n = พิจารณาค่า m และ n แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 กรณี คือ m =1 หรือ n =1 และ m 1 และ n 1 กรณี m =1 และ n =1 เห็นชัดเจนว่าเป็นจริงทั้งข้อ 1 และ 2 กรณี m 1 และ n 1 ให้ 1 2 1 2 ... r m p p pr = และ 1 2 1 2 ... s s n q q q = เขียนในรูปแบบบัญญัติ จาก ( , ) 1 m n = จะได้ว่า i p และ j q เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้น 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... r s mn p p p q q q r s = 3. (→) ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่ d mn จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... k l a a b b b a r s d p p p q q q = โดยที่ 0 ,0 i i j j a b เลือก 1 2 1 1 2 ... k a a a r d p p p = และ 1 2 2 1 2 ... l b b b s d q q q = ดังนั้น 1 2 d m d n , และ 1 2 d d d = () ให้ m n, โดยที่ 1 2 d m d n , และ 1 2 d d d = ดังนั้น 1 2 d d mn นั่นคือ d mn 4. ให้ 1 2 d m d n , และ 1 2 d m d n , โดยที่ 1 2 1 2 d d d d = ดังนั้น 1 2 1 1 2 ... k a a a r d p p p = และ 1 2 1 1 2 ... r u u u r d p p p = โดยที่ 0 ,i i i a u 1 2 2 1 2 ... l b b b s d q q q = และ 1 2 2 1 2 ... l v v v s d q q q = โดยที่ 0 ,j j j b v และ 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... k l a a b b b a r s p p p q q q 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... r l u u u v v v r s = p p p q q q เนื่องจากจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันจะหารกันไม่ลงตัว จะได้ว่าสำหรับทุก i j , 0 i a = ก็ต่อเมื่อ 0 i u = และ 0 j b = ก็ต่อเมื่อ 0 j v = โดยทฤษฎีหลักมูลของเลขคณิตทุก i i a u = และ j j b v = ดังนั้น 1 1 d d = และ 2 2 d d =
224 7.4 ฟังก์ชันฟีออยเลอร์ (Euler Phi Function) หรือ ฟังก์ชันฟี (Phi Function) นิยามที่ 7.4.1 ให้ n เป็นจำนวนนับ ฟังก์ชันฟี นิยามโดย (n) = จำนวนของจำนวนเต็มบวก k n และ (k n, 1 ) = ตัวอย่างที่ 7.4.1 จงหาค่าของ (n) เมื่อ 2 20 n n จำนวนเต็มบวก k 2 และ (k,2 1 ) = (n) 2 1 1 3 1, 2, 3 3 4 1, 3 2 5 1, 2, 3, 4 4 7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 7 8 1, 3, 5, 7 4 9 1, 2, 4, 5, 7 5 10 1, 3, 7, 9 4 11 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 10 12 1, 5, 7, 11 4 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 12 14 1, 3, 5, 9, 11, 13 5 15 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 7 16 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 8 17 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 16 18 1, 5, 7, 11, 13, 17 6 19 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 18 20 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 8
225 จากตัวอย่างที่ 7.4.1 ได้ว่า (2 1, 2 1, 3 2, 5 4, 7 6, ) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) (11 10, ) = (13 12, 17 16, 19 18 ) === ( ) ( ) และ 2,3,5,7,11,13,17 และ 19 เป็นจำนวนเฉพาะจะเห็นว่าถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว ( p p ) = −1 ตัวอย่างที่ 7.4.2 จงหาค่าของ 1. (25) จำนวนเต็มบวก k 25 และ (k,25 1 ) = ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24 ดังนั้น (25 20 ) = 2. (27) จำนวนเต็มบวก k 27 และ (k,27 1 ) = ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26 ดังนั้น (27 18 ) = 3. (32) จำนวนเต็มบวก k 32 และ (k,32 1 ) = ได้แก่ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 ดังนั้น (32 16 ) = เราหา (n) จากจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n และ ห.ร.ม. ของจำนวนนั้น กับ n เท่ากับ 1 จากตัวอย่างที่ 4.7.2 ถ้าเราพิจารณาการหาอีกแบบหนึ่งคือ ข้อ 1 2 25 5 = จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 25 มี 25 จำนวน และ จำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 25 มีห.ร.ม. กับ 25 ไม่เท่ากับ 1 ได้แก่ 5 5(1),10 5(2),15 5(3),20 5(4) = = = = และ 1 25 5(5) 5(5 ) = = ทั้งหมด 1 5 5 = จำนวน ดังนั้น (25 25 5 20 ) = − = จำนวน ข้อ 2 3 27 3 = จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 27 มี 27 จำนวน และ จำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 27 และ มีห.ร.ม. กับ 27 ไม่เท่ากับ 1 ได้แก่ 3 3(1),6 3(2),9 3(3), = = = 12 3(4),15 3(5), = = 18 3(6), = 21 3(7), = 24 3(8) = และ ( ) 2 27 3(9) 3 3 = = ทั้งหมด 2 9 3 = จำนวน ดังนั้น (27 27 9 18 ) = − = จำนวน ข้อ 3 5 32 2 = จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 32 มี 32 จำนวน และ
226 จำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 32 และ มีห.ร.ม. กับ 32 ไม่เท่ากับ 1 ได้แก่ 2 2(1),4 2(2),6 2(3),8 2(4) = = = = 10 2(5),12 2(6), = = 14 2(7) = และ ( ) 3 16 2(8) 2 2 = = ทั้งหมด 3 8 2 = จำนวน ดังนั้น (32 32 8 24 ) = − = จำนวน จากตัวอย่างสังเกตได้ว่าถ้า k n p = จะได้ ( ) k k k 1 p p p − = − ทฤษฎีบทที่ 7.4.1 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะและ k จะได้ว่า ( ) k k k 1 p p p − = − พิสูจน์ ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะและ k เนื่องจากจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่า k p มี k p จำนวน จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ k p และมี ห.ร.ม. ไม่เท่ากับ 1 ได้แก่ จำนวนที่หาร k p ลงตัว นั้นคือ ( ) 1 (1), (2), (3),..., k p p p p p − ซึ่งมีทั้งหมด k 1 p − จำนวน จะได้ จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ k p และมี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 เท่ากับ k k 1 p p − −จำนวน ดังนั้น ( ) k k k 1 p p p − = − ตัวอย่างที่ 7.4.3 จงหาค่าของ 1. (64) ( ) ( ) 6 64 2 = 6 5 = − = 2 2 32 2. (625) ( ) ( ) 4 625 5 = 4 3 = − = 5 5 500 3. (729) ( ) ( ) 4 729 3 = 4 3 = − = 3 3 54 4. (2401) ( ) ( ) 4 2401 7 = 4 3 = − = 7 7 2,058
227 ทฤษฎีบทที่ 7.4.2 ฟังก์ชันฟีออยเลอร์เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ พิสูจน์การพิสูจน์ฟังก์ชันฟีออยเลอร์เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ นั่นคือจะแสดงว่า สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m และ n ที่ (m n, 1 ) = (mn m n ) = ( ) ( ) ให้ m n, โดยที่ (m n, 1 ) = กรณี m =1 หรือ n =1 จะได้ (mn n ) = ( ) หรือ (mn m ) = ( ) และจาก (1 1 ) = จะได้ (mn m n ) = ( ) ( ) กรณี m 1 และ n 1 พิจารณาจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง mn และนับจำนวนเต็ม k ที่ k mn และ (k mn , 1 ) = นั่นคือนับจำนวนเต็ม k ที่ (k m, 1 ) = และ (k n, 1 ) = 1 m+1 2m+1 (n-1)m+1 2 m+1 2m+2 (n-1)m+2 3 m+1 2m+3 (n-1)m+3 r m+r 2m+r (n-1)m+r m 2m 3m nm ให้ r เป็นจำนวนเต็มที่ 1 r m จะได้ (m r m sm r , , ) = + ( ) เมื่อ s เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น (m r, 1 ) = ก็ต่อเมื่อ (m sm r , 1 + =) นั่นคือ ถ้า (m r, 1 ) = แล้วสมาชิกในแถวที่ r จะมี ห.ร.ม. กับ m เท่ากับ 1 ด้วย ต่อไปจะพิจารณาว่าในแถวที่ r มีสมาชิกกี่จำนวนที่มี ห.ร.ม กับ n เท่ากับ 1 จาก (m n, 1 ) = และสำหรับทุก ๆ 0 , ( 1) − r t n จะได้ว่า (sm r tm r n + + ) ( )(mod ) ก็ต่อเมื่อ r t n (mod ) เนื่องจาก 0 , ( 1) − r t n จะได้ r t = ทำให้ได้ว่า จำนวนเต็ม n จำนวนในแถวที่ r จะเป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์มอดุโล n นั่นคือ ในแถวที่ r จะมี (n) จำนวนที่มี ห.ร.ม กับ n เท่ากับ 1 และจากจำนวนเต็ม r ที่มี ห.ร.ม. กับ m และ n เท่ากับ 1 มีทั้งหมด (m n ) ( ) จำนวน นั่นคือ (mn m n ) = ( ) ( ) ดังนั้น ฟังก์ชันฟีออยเลอร์เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ
228 ทฤษฎีบทที่ 7.4.3 ถ้า 1 2 1 2 k k n p p p = เป็นการเขียน n ในรูปแบบบัญญัติแล้ว ( ) 1 1 1 k i i n n p = = − พิสูจน์ให้ 1 2 1 2 k k n p p p = เป็นการเขียน n ในรูปแบบบัญญัติและจากทฤษฎีบทที่ 7.4.1 และ 7.4.2 จะได้ (n) ( ) 1 2 1 2 k k p p p = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 k k p p p = ( )( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 k k k k p p p p p p − − − = − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 k k k k p p p p p p = − − − 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 k k n p p p = − − − 1 1 1 k i i n = p = − ตัวอย่างที่ 7.4.4 จงหาค่าของ 1. (100) ( ) ( ) 2 2 1 1 100 2 5 100 1 1 40 2 5 = = − − = 2. (120) ( ) ( ) 3 1 1 1 120 2 3 5 120 1 1 1 32 235 = = − − − = 3. (150) ( ) ( ) 2 1 1 1 150 2 3 5 150 1 1 1 40 235 = = − − − = 4. (200) ( ) ( ) 3 2 1 1 200 2 5 200 1 1 80 2 5 = = − − = 5. (360) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 360 2 3 5 360 1 1 1 96 235 = = − − − =
229 7.5 สรุป ในบทที่ 7 เราศึกษานิยาม ตัวอย่าง และทฤษฎีบทบางประการ ของ ฟังก์ชันเชิงการคณู ฟังก์ชันเชิงการบวก ฟังก์ชันเทา ฟังก์ชันซิกมา และฟังก์ชันฟีออยเลอร์ 7.6 แบบฝึกปฏิบัติการท้ายบท 1. จงหาค่าของ (n) เมื่อกำหนด n 1.1. 28 1.2. 176 1.3. 329 1.4. 584 1.5. 640 2. จงหาค่าของ (n) และ ( ) 2 n เมื่อกำหนด n 2.1. 128 2.2. 384 2.3. 400 2.4. 2,187 2.5. 2,304 3. จงหาค่าของ (n) เมื่อกำหนด n 3.1 256 3.2 300 3.3 384 3.4 900 3.5 1,200
230 เอกสารอ้างอิง ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน สุนันทา. วรรณธิดา ยลวิลาศ. (2561). ทฤษฎีจำนวน. กาฬสินธุ์: คณะศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏ กาฬสินธุ์. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4- 5 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษษขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551(พิมพ์ครั้งที่ 3). กรุงเทพ ฯ: โรคพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.
231 บรรณานุกรม ณรงค์ ปั้นนิ่ม และ นิตติยา ปภาพจน์. (2552). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: มูลนิธิ สอวน. ธนัชยศ จำปาหวาย. (2559). ทฤษฎีจำนวน. กรุงเทพ ฯ: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. วรรณธิดา ยลวิลาศ. (2561). ทฤษฎีจำนวน. กาฬสินธุ์: คณะศิลปศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏกาฬสินธุ์. วัลลภ เหมวงษ์. (2564). ทฤษฎีจำนวน. อุดรธานี: คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี. วิชญาพร จันทะนัน. (2564). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาทฤษฎีจำนวน. บุรีรัมย์: คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4- 5 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษษขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพ์ครั้งที่ 3). กรุงเทพ ฯ: โรคพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมวงษ์ แปลงประสพโชค (2545). ทฤษฎีจำนวน(พิมพ์ครั้งที่ 6 แก้ไขเพิ่มเติม). กรุงเทพ ฯ: สถาบันราชภัฏพระนคร.