เอกสารการสอน รายวิชา แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร

สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ คณะเกษตรศาสตร์และเทคโนโลยี วิทยาเขตสุรินทร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน รหัสวิชวิา 02-005-011-109 อาจารย์ ดร.อดิศักดิ์ หารจริงริ CALCULUS I FOR ENGINEERS เอกสารการสอน แคลคูลัส 1 สำ หรับวิศวิวกร

สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ คณะเกษตรศาสตร์และเทคโนโลยี วิทยาเขตสุรินทร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน รหัสวิชวิา 02-005-011-109 อาจารย์ ดร.อดิศักดิ์ หารจริงริ วท.บ. (คณิตศาสตร์)ร์ วท.ม. (คณิตศาสตร์)ร์ ปร.ด. (คณิตศาสตร์)ร์ CALCULUS I FOR ENGINEERS เอกสารการสอน แคลคูลัส 1 สำ หรับวิศวิวกร

คำนำ เอกสารการสอนรายวิชาแคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร (Calculus I for Engineers) เล่มนี้ ถูกเรียบเรียงขึ้นมาเพื่อใช้ในการเรียนการสอนสำหรับนักศึกษาคณะเกษตรศาสตร์และเทคโนโลยีและ คณะอื่นๆ ในมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน วิทยาเขตสุรินทร์ ภายในเอกสารรายวิชา แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร รหัสวิชา 02-005-011-109 ประกอบด้วยเรื่อง พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิ สามมิติลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การประยุกต์ของอนุพันธ์ การหา ปริพันธ์ของฟังก์ชัน ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ ตามลำดับ โดยมีเนื้อหาตามหลักสูตรที่กำหนด นอกจากนี้ผู้เรียบเรียงเนื้อหาเล่มนี้มีวัตถุประสงค์ที่จะมุ่งเน้นให้นักศึกษาได้เข้าใจพื้นฐานที่ใช้ใน การเรียนการสอนในรายวิชา และอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในเนื้อหาแต่ละบทพร้อมทั้งมีการ ยกตัวอย่างแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเพื่อให้นักศึกษามีความเข้าใจเนื้อหาในรายวิชาเพิ่มขึ้น สามารถที่จะ ศึกษาค้นคว้าข้อมูลได้ด้วยตนเอง และสามารถนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในรายวิชาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง รวมถึงการทำวิจัยต่อไปในอนาคต ผู้เรียบเรียงหวังเป็นอย่างยิ่งว่าเอกสารการสอนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับนักศึกษาคณะ เกษตรศาสตร์และเทคโนโลยีและคณะอื่นๆ ตลอดจนผู้ที่มีความสนใจทั่วไป ถ้าหากมีสิ่งใดในเอกสาร เล่มนี้ควรเพิ่มเติมหรือมีข้อผิดพลาดประการใด โปรดแจ้งผู้เรียบเรียงเพื่อที่จะได้ปรับปรุงแก้ไขให้มี ความสมบูรณ์ต่อไป อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ คณะเกษตรศาสตร์และเทคโนโลยีวิทยาเขตสุรินทร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน กรกฎาคม 2564

สารบัญ หน้า ปณิธาน วิสัยทัศน์ พันธกิจ อัตลักษณ์ เอกลักษณ์ และเป้าประสงค์ของมหาวิทยาลัย i ลักษณะรายวิชา iii การแบ่งหน่วยเรียน iv จุดประสงค์การสอน vi กำหนดการสอน x การประเมินผลรายวิชา xii ตารางกำหนดน้ำหนักคะแนน xiii บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1.1 เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1 1.2 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 12 1.3 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 16 แบบฝึกหัดบทที่ 1 21 บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2.1 ฟังก์ชัน 1 2.2 ลิมิตของฟังก์ชัน 5 2.3 ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา 11 2.4 ลิมิตที่อนันต์ 13 2.5 ลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ 16 2.6 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 18 แบบฝึกหัดบทที่ 2 21 บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 1 3.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง 6 แบบฝึกหัดบทที่ 3 18

สารบัญ (ต่อ) หน้า บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4.1 อนุพันธ์ในทางเรขาคณิต 1 4.2 ความเร็วและความเร่ง 3 4.3 อัตราสัมพัทธ์ 7 4.4 ค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณ 9 4.5 ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน 13 4.6 รูปแบบไม่กำหนด 24 แบบฝึกหัดบทที่4 32 บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5.1 ความหมายและสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ 1 5.2 การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น 2 5.3 เทคนิคการหาปริพันธ์ 9 5.3.1 การหาปริพันธ์โดยการการเปลี่ยนตัวแปร 9 5.3.2 การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน 18 5.3.3 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง 26 5.3.4 การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยตรีโกณมิติ 38 5.3.5 การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย 42 แบบฝึกหัดบทที่ 5 50 บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6.1 ปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขต 1 6.2 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ 5 6.3 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตร 14 6.3.1 การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีแบบจาน 14 6.3.2 การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีเปลือก ทรงกระบอก 19 6.4 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาวเส้นโค้ง 23 แบบฝึกหัดบทที่ 6 27 บรรณานุกรม

i ปณิธาน วิสัยทัศน์พันธกิจ อัตลักษณ์ เอกลักษณ์และเป้าประสงค์ของมหาวิทยาลัย 1) ปณิธาน (Determination) สร้างคนสู่งาน เชี่ยวชาญเทคโนโลยี 2) วิสัยทัศน์(Vision) มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน เป็นมหาวิทยาลัยด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คุณภาพชั้นนำในประเทศ ที่เน้นการผลิตนักปฏิบัติด้านวิชาชีพ เพื่อพัฒนาชุมชนและสังคมอย่างยั่งยืน ตอบสนองประชาคมอาเซียน 3) พันธกิจ (Mission) 1. จัดการศึกษาระดับอุดมศึกษาบนพื้นฐาน ด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่มีคุณภาพตาม มาตรฐานสอดคล้องกับความต้องการของผู้รับบริการ 2. สร้างงานวิจัย สิ่งประดิษฐ์และนวัตกรรม บนพื้นฐานของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีสู่การ ผลิตการบริการ และการสร้างมูลค่าเพิ่มให้ประเทศ 3. บริการวิชาการและถ่ายทอดเทคโนโลยีสู่สังคม 4. ทำนุบำรุงศาสนา อนุรักษ์ศิลปวัฒนธรรม และรักษาสิ่งแวดล้อม 5. บริหารจัดการโดยยึดหลักการบริหารจัดการที่ดี 6. สนองโครงการอันเนื่องมาจากพระราชดำริฯ 7. พัฒนาเครือข่าย ความร่วมมือทั้งในและต่างประเทศ 4) อัตลักษณ์(Identity) มหาวิทยาลัยที่ผลิตบัณฑิตที่มีทักษะพร้อมปฏิบัติงาน 5) เอกลักษณ์(Uniqueness) มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งการสร้างอาชีพเฉพาะทาง

ii ปณิธาน วิสัยทัศน์พันธกิจ อัตลักษณ์ เอกลักษณ์และเป้าประสงค์ของมหาวิทยาลัย (ต่อ) 6) เป้าประสงค์(Goals) 1. บัณฑิตนักปฏิบัติด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่สามารถปฏิบัติงานได้อย่างมืออาชีพและ สามารถแข่งขันได้ในประชาคมอาเซียน 2. บัณฑิตนักปฏิบัติด้านสังคมศาสตร์ที่สามารถปฏิบัติงานได้อย่างมืออาชีพและสามารถแข่งขัน ได้ในประชาคมอาเซียน 3. ผลงานวิจัยหรืองานสร้างสรรค์ที่มีคุณภาพและมาตรฐานเป็นที่ยอมรับ 4. การบริการวิชาการเพื่อส่งเสริมความเข้มแข็งให้กับชุมชนอย่างยั่งยืน 5. มีระบบบริหารจัดการงานบริการวิชาการที่มีประสิทธิภาพ 6. การส่งเสริมสนับสนุนศิลปวัฒนธรรมและภูมิปัญญาท้องถิ่น 7. การอนุรักษ์พลังงานและสิ่งแวดล้อม 8. การสนองโครงการพระราชดำริฯ 9. ระบบการคลังที่โปร่งใสและตรวจสอบได้ 10. ระบบการบริหารจัดการทรัพยากรมนุษย์ที่มีประสิทธิภาพ 11. ระบบการบริหารกิจการสภาของมหาวิทยาลัยและการติดตามตรวจสอบที่มีประสิทธิภาพ 12. ระบบบริหารจัดการกลางที่มีประสิทธิภาพ 13. ระบบวิเทศสัมพันธ์ที่มีประสิทธิภาพ

iii ลักษณะรายวิชา 1. รหัสและชื่อวิชา 02-005-011-109 แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร (Calculus I for Engineers) 2. สภาพรายวิชา วิชาชีพพื้นฐาน 3. ระดับรายวิชา ภาคการศึกษาที่ 1 สำหรับนักศึกษาคณะเกษตรศาสตร์และเทคโนโลยี และคณะอื่นๆ ของมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน วิทยาเขต สุรินทร์ 4. วิชาบังคับก่อน ไม่มี 5. เวลาเรียน ทฤษฎี45 ชั่วโมง รวมทั้งสิ้น 45 ชั่วโมง และนักศึกษาจะต้องใช้เวลา ศึกษาค้นคว้านอกเวลา 6 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ตลอด 15 สัปดาห์ 6. จำนวนหน่วยกิต 3 (3-0-6) หน่วยกิต 7. จุดประสงค์รายวิชา 1. รู้และเข้าใจพีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 2. รู้และเข้าใจลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 3. คำนวณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและประยุกต์ใช้กับปัญหาอื่นๆ ได้ 4. คำนวณหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันและใช้เทคนิคต่างๆ ใน การหาปริพันธ์ได้ 5. คำนวณหาปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชันและประยุกต์ใช้กับปัญหา อื่นๆ ได้ 6. เป็นวิชาพื้นฐานในการศึกษาวิชาแคลคูลัสขั้นสูงและวิชาชีพ ทางด้านวิศวกรรม 7. เป็นการส่งเสริมประสบการณ์ของผู้เรียนในด้านการฝึกสมองอัน เป็นแนวทางทำให้เกิดความคิดสร้างสรรค์และแก้ปัญหาต่างๆ ได้ด้วย ตนเอง 8. คำอธิบายรายวิชา ศึกษาเกี่ยวกับพีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติลิมิตและความ ต่อเนื่องของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์การ หาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตและเทคนิคการหาปริพันธ์ ปริพันธ์จำกัดเขต และการประยุกต์

iv การแบ่งหน่วยเรียน หน่วยที่ รายการ ชั่วโมงเรียน ทฤษฎี ปฏิบัติ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ - เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ - ผลคูณเชิงสเกลาร์ - ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 3 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน - ฟังก์ชัน - ลิมิตของฟังก์ชัน - ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา - ลิมิตที่อนันต์ - ลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ - ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 6 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน - อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต - อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง 6 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด - อนุพันธ์ในทางเรขาคณิต - ความเร็วและความเร่ง - อัตราสัมพัทธ์ - ค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณ - ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน - รูปแบบไม่กำหนด 6

v การแบ่งหน่วยเรียน (ต่อ) หน่วยที่ รายการ ชั่วโมงเรียน ทฤษฎี ปฏิบัติ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน - ความหมายและสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ - การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น ▪ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต ▪ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชัน ลอการิทึม ▪ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันชี้กำลัง ▪ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ - เทคนิคการหาปริพันธ์ ▪ การหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร ▪ การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน ▪ การหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง ▪ การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยตรีโกณมิติ ▪ การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย 15 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ - นิยามปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขต - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตร ▪ การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธี แบบจาน ▪ การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธี เปลือกทรงกระบอก - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาวเส้นโค้ง 9 รวมทั้งสิ้น 45 ชั่วโมง

vi จุดประสงค์การสอน หน่วยที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1.1 รู้และเข้าใจเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1.1.1 บอกความหมายของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติได้ 1.1.2 อธิบายการหาระยะทางและการหานอร์มของเวกเตอร์ได้ 1.2 รู้และเข้าใจผลคูณเชิงสเกลาร์ 1.2.1 บอกนิยามของผลคูณเชิงสเกลาร์ได้ 1.2.2 อธิบายการหาผลคูณเชิงสเกลาร์ได้ 1.3 รู้และเข้าใจผลคูณเชิงเวกเตอร์ 1.3.1 บอกนิยามของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ 1.3.2 อธิบายการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ หน่วยที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2.1 รู้และเข้าใจนิยามและการหาค่าฟังก์ชัน 2.1.1 บอกนิยามของฟังก์ชันได้ 2.1.2 อธิบายการหาค่าของฟังก์ชันได้ 2.2 รู้และเข้าใจลิมิตของฟังก์ชัน 2.2.1 บอกนิยามของลิมิตได้ 2.2.1 อธิบายการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันได้ 2.3 รู้และเข้าใจลิมิตซ้ายและลิมิตขวา 2.3.1 บอกนิยามของลิมิตซ้ายและลิมิตขวาได้ 2.3.1 อธิบายการหาค่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวาได้ 2.4 รู้และเข้าใจลิมิตที่อนันต์ 2.4.1 บอกนิยามของลิมิตที่อนันต์ได้ 2.4.1 อธิบายการหาค่าลิมิตที่อนันต์ได้ 2.5 รู้และเข้าใจลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ 2.5.1 บอกนิยามของลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ได้ 2.5.1 อธิบายการหาค่าลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ได้ 2.6 รู้และเข้าใจความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2.6.1 บอกนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้ 2.6.1 อธิบายการหาค่าความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้

vii จุดประสงค์การสอน (ต่อ) หน่วยที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3.1 รู้และเข้าใจอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 3.1.1 บอกนิยามของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน และนิยามของอนุพันธ์ ของฟังก์ชันได้ 3.1.2 อธิบายการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้นิยามได้ 3.1.3 อธิบายการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตรเบื้องต้นได้ 3.2 รู้และเข้าใจอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของ ฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง 3.2.1 ระบุสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชันชี้กำลัง อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติผกผัน และอนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกได้ 3.2.2 อธิบายการหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของ ฟังก์ชันลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชันชี้กำลัง อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน และอนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกได้ 3.2.3 อธิบายการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูงได้ หน่วยที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4.1 รู้และเข้าใจอนุพันธ์ในทางเรขาคณิต 4.1.1 บอกความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ได้ 4.1.2 อธิบายการหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ และสมการของเส้นสัมผัสและ เส้นปกติได้ 4.2 รู้และเข้าใจการใช้อนุพันธ์ในการหาความเร็วและความเร่ง 4.2.1 บอกความหมายของความเร็วและความเร่งได้ 4.2.2 อธิบายการใช้อนุพันธ์ในการหาความเร็วและความเร่งได้ 4.2.3 แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรื่องความเร็วและความเร่งได้ 4.3 รู้และเข้าใจการใช้อนุพันธ์ในการหาอัตราสัมพัทธ์ 4.3.1 บอกความหมายของอัตราสัมพัทธ์ได้ 4.3.2 อธิบายการใช้อนุพันธ์ในการหาอัตราสัมพัทธ์ได้ 4.3.3 แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรื่องอัตราสัมพัทธ์ได้

viii จุดประสงค์การสอน (ต่อ) หน่วยที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด (ต่อ) 4.4 รู้และเข้าใจการหาค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณ 4.4.1 บอกนิยามการหาค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณได้ 4.4.2 อธิบายการหาค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณได้ 4.5 เข้าใจการใช้อนุพันธ์ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน 4.5.1 อธิบายการใช้อนุพันธ์ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันได้ 4.5.2 แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรื่องค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันได้ 4.6 รู้จักรูปแบบไม่กำหนด 4.6.1 บอกทฤษฎีบทหลักเกณฑ์โลปิตาลได้ 4.6.2 ใช้ทฤษฎีบทหลักเกณฑ์โลปิตาลในการหาค่าลิมิตได้ หน่วยที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5.1 รู้และเข้าใจนิยามของปฏิยานุพันธ์และสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ 5.1.1 บอกนิยามของปฏิยานุพันธ์และสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ได้ 5.1.2 อธิบายการหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันได้ 5.2 เข้าใจการหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น 5.2.1 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้สูตรการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต สูตร การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันลอการิทึม สูตรการหาปริพันธ์ ฟังก์ชันชี้กำลัง และสูตรการหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ 5.3 เข้าใจเทคนิคการหาปริพันธ์ 5.3.1 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรได้ 5.3.2 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การแยกส่วนได้ 5.3.3 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลังได้ 5.3.4 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ 5.3.5 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การแยกเป็นเศษส่วนย่อยได้

ix จุดประสงค์การสอน (ต่อ) หน่วยที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการการประยุกต์ 6.1 รู้และเข้าใจปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขต 6.1.1 บอกนิยามปริพันธ์จำกัดเขตได้ 6.1.2 อธิบายการการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขตได้ 6.2 นำปริพันธ์จำกัดเขตไปใช้ในการหาพื้นที่ 6.2.1 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งและพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งได้ 6.3 นำปริพันธ์จำกัดเขตไปใช้ในการหาปริมาตร 6.3.1 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธี แบบจานได้ 6.3.2 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธี เปลือกทรงกระบอกได้ 6.4 นำปริพันธ์จำกัดเขตไปใช้ในการหาความยาวเส้นโค้ง 6.4.1 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาวเส้นโค้งได้

x กำหนดการสอน ครั้ง คาบ จำนวนชั่วโมง รายการ หมายเหตุ 1 1-3 3 หน่วยที่1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ - เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ - ผลคูณเชิงสเกลาร์ - ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 2 1-3 3 หน่วยที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน - ฟังก์ชัน - ลิมิตของฟังก์ชัน - ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา 3 1-3 3 หน่วยที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน(ต่อ) - ลิมิตที่อนันต์ - ลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ - ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 4 1-3 3 หน่วยที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน - อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต และอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันประกอบ 5 1-3 3 หน่วยที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (ต่อ) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของฟังก์ชัน โดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง 6 1-3 3 หน่วยที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่ กำหนด - อนุพันธ์ในทางเรขาคณิต - ความเร็วและความเร่ง - อัตราสัมพัทธ์ 7 1-3 3 หน่วยที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่ กำหนด (ต่อ) - ค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณ - ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน - รูปแบบไม่กำหนด 8 1-3 3 สอบกลางภาค

xi กำหนดการสอน (ต่อ) ครั้ง คาบ จำนวนชั่วโมง รายการ หมายเหตุ 9 1-3 3 หน่วยที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน - ความหมายและสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ - การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น 10 1-3 3 หน่วยที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน (ต่อ) - เทคนิคการหาปริพันธ์ ▪ การหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร 11 1-3 3 หน่วยที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน (ต่อ) - เทคนิคการหาปริพันธ์(ต่อ) ▪ การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน 12 1-3 3 หน่วยที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน (ต่อ) - เทคนิคการหาปริพันธ์(ต่อ) ▪ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง 13 1-3 3 หน่วยที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน (ต่อ) - เทคนิคการหาปริพันธ์(ต่อ) ▪ การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วย ตรีโกณมิติ ▪ การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย 14 1-3 3 หน่วยที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ - นิยามปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่า ปริพันธ์จำกัดเขต 15 1-3 3 หน่วยที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์(ต่อ) - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ 16 1-3 3 หน่วยที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์(ต่อ) - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตร - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาว เส้นโค้ง 17 1-3 3 สอบปลายภาค

xii การประเมินผลรายวิชา 1) เกณฑ์การพิจารณา รายวิชานี้แบ่งเป็น 6 หน่วยเรียน เกณฑ์การวัดผลโดยแบ่งแยกคะแนนแต่ละส่วนจากคะแนน เต็มทั้งรายวิชา 100 คะแนน ดังนี้ - ความสนใจเรียน 10 % - แบบฝึกหัด 10 % - ทดสอบย่อยแต่ละบท 20 % - สอบกลางภาค 30 % - สอบปลายภาค 30 % รวม 100 % 2) เกณฑ์ผ่านรายวิชา ผู้ที่จะผ่านรายวิชานี้จะต้อง 2.1 มีเวลาเรียนไม่ต่ำกว่า ร้อยละ 80 2.2 มีคะแนนรวมทั้งรายวิชาไม่ต่ำกว่าร้อยละ 50 3) เกณฑ์ค่าระดับคะแนน การประเมินแบ่งออกเป็น 2 ขั้นตอน ดังนี้ 3.1 พิจารณาตามเกณฑ์ผ่านรายวิชาตามข้อ 2 ผู้ไม่ผ่านเกณฑ์ข้อ 2 จะได้รับค่าระดับคะแนน F 3.2 ผู้ที่สอบผ่านเกณฑ์ข้อ 2 จะได้รับค่าระดับคะแนนตามเกณฑ์ ดังนี้ คะแนนร้อยละ 80 ขึ้นไป ได้ A คะแนนร้อยละ 75-79 ได้ B+ คะแนนร้อยละ 70-74 ได้ B คะแนนร้อยละ 65-69 ได้ C+ คะแนนร้อยละ 60-64 ได้ C คะแนนร้อยละ 55-59 ได้ D+ คะแนนร้อยละ 50-54 ได้ D คะแนนร้อยละ 49 ลงไป ได้ F หมายเหตุเกณฑ์ในการประเมินอาจเปลี่ยนแปลงได้ตามที่ผู้สอนเห็นสมควร

xiii ตารางกำหนดน้ำหนักคะแนน เลขที่หน่วย คะแนนรายหน่วย และน้ำหนักคะแนน ชื่อหน่วย คะแนนรายหน่วย น้ำหนักคะแนน พุทธพิสัย ความรู้ ทักษะพิสัย ความเข้าใจ การนำไปใช้ สูงกว่า 1 2 3 4 5 6 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6 12 12 12 30 18 3 6 3 4 1 3 3 6 9 4 29 3 4 12 ก คะแนนภาควิชาการ 90 20 54 16 ข คะแนนจิตพิสัย 10 หมายเหตุ รวมทั้งสิ้น 100

ครั้งที่1 แผนการสอน รหัสวิชา เวลา 3 ชั่วโมง 02-005-011-109 ชื่อหน่วยเรียนที่ 1 เรื่อง พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ชื่อบทเรียน - เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ - ผลคูณเชิงสเกลาร์ - ผลคูณเชิงเวกเตอร์ จุดประสงค์การสอน 1.1 รู้และเข้าใจเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1.1.1 บอกความหมายของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติได้ 1.1.2 อธิบายการหาระยะทางและการหานอร์มของเวกเตอร์ได้ 1.2 รู้และเข้าใจผลคูณเชิงสเกลาร์ 1.2.1 บอกนิยามของผลคูณเชิงสเกลาร์ได้ 1.2.2 อธิบายการหาผลคูณเชิงสเกลาร์ได้ 1.3 รู้และเข้าใจผลคูณเชิงเวกเตอร์ 1.3.1 บอกนิยามของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ 1.3.2 อธิบายการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ วิธีสอนและกิจกรรม 1. บรรยายเนื้อหาตามหน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 2. บรรยายเนื้อหาตามจุดประสงค์การสอน 3. ให้นักศึกษาทำกิจกรรมการเรียนรู้เป็นกลุ่มและนำเสนอ 4. ถาม-ตอบในชั้นเรียน สื่อการสอน หนังสืออ้างอิง บรรณานุกรม เอกสารประกอบการสอน เอกสารการสอนหน่วยที่ 1 วัสดุโสตทัศน์และอุปกรณ์ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพ และไอแพด งานที่มอบหมาย 1. ทำแบบฝึกหัดท้ายบท การวัดผล 1. การสังเกต ความสนใจ และตั้งใจในการเรียน และการทำงานร่วมกันกับเพื่อน 2. ตรวจการบ้านท้ายบทเรียน 3. การทดสอบย่อยเนื้อหาในหน่วยที่ 1 และการสอบกลางภาค

ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ ในปริภูมิสามมิติ ในบทนี้เราจะศึกษาสมบัติทางพีชคณิตต่างๆ และตัวอย่างการนำไปใช้ที่สำคัญของปริมาณ เวกเตอร์ซึ่งมีความเกี่ยวพันธ์กับระบบของเมทริกซ์ 1.1 เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ระบบพิกัดฉาก (rectangular coordinate system) หรือ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinate system) ในปริภูมิ 3 มิติ ประกอบด้วยเส้นตรงสามเส้นที่ตั้งฉากกันและมี จุดเริ่มต้นเดียวกัน เรียกว่า แกน x แกน y และแกน z ซึ่งเป็นแกนพิกัดของระบบพิกัดฉาก จุดตัด ของแกนพิกัดทั้งสามเรียกว่า จุดกำเนิด (origin) ของระบบพิกัดฉาก แกนพิกัดทั้งสามก่อให้เกิด ระนาบพิกัด (coordinate planes) 3 ระนาบด้วยกันคือ ระนาบ xy ระนาบ xz และระนาบ yz และจะแบ่งปริภูมิ 3 มิติ ออกเป็น 8 อัฐภาค

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-2 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ จุด P ใดๆ ในปริภูมิ 3 มิติจะสมนัยกับสามสิ่งอันดับ ในรูป ( , , ) abc โดยที่ ab, และ c เป็นระยะทางจากจุด P ถึงระนาบ yz , ระนาบ xz และระนาบ xy และจะเรียก ab, และ c ว่า พิกัด x , พิกัด y และพิกัด z ของ P ตามลำดับ ดังนั้นเราจะเขียนแทนจุด P ด้วย ( , , ) abc หรือ P a b c ( , , ) ตัวอย่าง 1.1.1 จงลงพิกัดจุดต่อไปนี้ ( ) (2, 0, 0) ( ) (0, 3, 0) ( ) (0, 0, 2) ( ) (1, 2,3) ( ) ( 2,1, 2) a A b B c C d D e E − − − (a) (b) (c) (d) (e) x y z A(2,0,0) x y z B(0,-3,0) x y z C(0,0,2) x y z D(1,2,3) x y z E(-2,1,-2)

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-3 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ระยะทางในปริภูมิ 3 มิติคือระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P1 และ P2 เป็นจุด 2 จุดใดๆ ที่มีพิกัด 1 1 1 1 P x y z ( , , ) และ 2 2 2 2 P x y z ( , , ) แล้วระยะทางระหว่างจุดทั้งสองนิยามโดย 2 2 2 2 1 2 1 2 1 d x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) ตัวอย่าง 1.1.2 จงหาระยะทาง d ระหว่างจุด ( 2,3,5) −และ ( 4, 4,7) − วิธีทำ จากสูตร 2 2 2 2 1 2 1 2 1 d x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) จะได้ 2 2 2 2 2 2 ( 4 ( 2)) (4 3) (7 5) ( 2) (1) (2) 4 1 4 9 3 d = − − − + − + − = − + + = + + = = ตัวอย่าง 1.1.3 จงหาระยะทาง d ระหว่างจุด (3, 3, 4) −และ (3, 6,8) − วิธีทำ จากสูตร 2 2 2 2 1 2 1 2 1 d x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) จะได้ 2 2 2 2 2 2 (3 3) ( 6 ( 3)) (8 4) (0) ( 3) (4) 9 16 25 5 d = − + − − − + − = + − + = + = = ตัวอย่าง 1.1.4 จงหาระยะทาง d ระหว่างจุด (0, 5, 2) −และ ( 3, 4, 2) − วิธีทำ จากสูตร 2 2 2 2 1 2 1 2 1 d x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) จะได้ 2 2 2 2 2 2 ( 3 0) (4 ( 5)) (2 2) ( 3) (9) (0) 9 81 90 3 10 d = − − + − − + − = − + + = + = =

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-4 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ปริมาณเชิงกายภาพเช่น ความยาว ความสูง พื้นที่ ปริมาตร หรือมวล สามารถแทนด้วย จำนวนจริง เนื่องด้วยปริมาณเหล่านี้มีเฉพาะขนาด ดังนั้นเราเรียกปริมาณเหล่านี้ว่า สเกลาร์(scalar) ปริมาณเชิงกายภาพเช่น ระยะขจัด ความเร็ว แรง หรือความเร่ง เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและ ทิศทาง เราเรียกปริมาณเหล่านี้ว่า เวกเตอร์(vector) ในการบอกความแตกต่างระหว่างสเกลาร์และเวกเตอร์ เราจะเขียนแทน สเกลาร์ด้วย ตัวพิมพ์เล็ก เช่น abc , , เป็นต้น และเขียนแทน เวกเตอร์ด้วยตัวพิมพ์เล็กที่มีลูกศรกำกับ เช่น u v w , , เป็นต้น เนื่องด้วยเวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง ดังนั้นเราสามารถเขียนแทนเวกเตอร์ใน เชิงเรขาคณิตในปริภูมิ 2 มิติ หรือ 3 มิติ ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง (directed line segments) หรือลูกศร (arrows) โดยที่ความยาวของลูกศรจะสมนัยกับขนาดของเวกเตอร์และ ทิศทางของลูกศรสมนัยกับทิศทางของเวกเตอร์ หางของลูกศรเรียกว่า จุดเริ่มต้น (initial point) หัวของลูกศรเรียกว่า จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร์ถ้าเวกเตอร์ v มีจุด P เป็น จุดเริ่มต้น และจุด Q เป็นจุดสิ้นสุด แล้วเราจะเขียน v PQ = เวกเตอร์ที่เท่ากัน หมายถึงเวกเตอร์ที่แทนด้วยส่วนของเส้นตรงที่เท่ากัน และมีทิศทาง เดียวกัน ถ้าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ใดๆ เป็นจุดเดียวกัน แล้วเวกเตอร์จะมีความยาวเป็น ศูนย์เราเรียกเวกเตอร์นี้ว่า เวกเตอร์ศูนย์(zero vector) และเขียนแทนด้วย 0 เวกเตอร์ศูนย์เป็น เวกเตอร์ที่ไม่มีทิศทางกำหนดแน่นอน ดังนั้นเราจะกำหนดทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ตามความสะดวก ในการนำไปใช้ นิยาม 1.1.1 ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ แล้ว ผลบวก u v + คือเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นของ u ไปยังจุดสิ้นสุดของ v ดังรูป

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-5 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ นิยาม 1.1.2 ถ้า v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว ผลคูณสเกลาร์(scalar multiple) kv คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น k เท่าของความยาวของเวกเตอร์ v และมีทิศทางเดียวกับ v ถ้า k 0 แต่จะมีทิศทางตรงกันข้ามกับ v ถ้า k 0 และเรานิยามให้ kv = 0 ถ้า k = 0 หรือ v = 0 สังเกตได้ว่าถ้า v ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์และ k เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์แล้วเวกเตอร์ v และ kv จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสองเป็นจุดเดียวกัน และจะอยู่บน เส้นตรงที่ขนานกัน ถ้าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสองไม่ใช่จุดเดียวกัน ดังนั้นเราจะกล่าวว่า v และ kv เป็น เวกเตอร์ขนาน (parallel vectors) นอกจากนี้จะสังเกตได้ว่าเวกเตอร์ ( 1) − v มีความยาวเท่ากับ v แต่มีทิศทางตรงกันข้าม เราจะเรียก ( 1) − v ว่า เวกเตอร์ลบ (negative vector) ของ v และเขียนแทนด้วย −v และ จะได้ว่า − = − = 0 ( 1)0 0 การลบเวกเตอร์สามารถนิยามได้ในรูปของการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ดังนี้ u v u v − = + −( ) ในกรณีที่ u v = จะได้ 0 นั่นคือ u u u u + − = − = ( ) 0 เวกเตอร์ในระบบพิกัด ถ้าเวกเตอร์ v มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิดในระบบพิกัดฉาก แล้วจุดสิ้นสุดจะมีพิกัดในรูป 1 2 ( , ) v v หรือ 1 2 3 ( , , ) v v v ขึ้นกับว่าเวกเตอร์นั้นเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ หรือปริภูมิ 3 มิติ เรา จะเรียกพิกัดเหล่านี้ว่า ส่วนประกอบ (components) ของเวกเตอร์ v และจะเขียนแทน v ด้วย สัญลักษณ์ 1 2 v v v = ( , ) หรือ 1 2 3 v v v v = ( , , ) สำหรับเวกเตอร์ศูนย์ในปริภูมิ 2 มิติ และปริภูมิ 3 มิติ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 0 (0,0) = หรือ 0 (0,0,0) = ตามลำดับ

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-6 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ นิยาม 1.1.3 เวกเตอร์2 เวกเตอร์จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากัน ตัวอย่าง 1.1.5 ( , , ) (3, 2, 4) abc = − ก็ต่อเมื่อ a b = = − 3, 2 และ c = 4 ทฤษฎีบท 1.1.4 ถ้า 1 2 u u u = ( , ) และ 1 2 v v v = ( , ) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ และ k เป็น สเกลาร์ใดๆ แล้ว 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) u v u v u v u v u v u v ku ku ku + = + + − = − − = ในทำนองเดียวกันถ้า 1 2 3 u u u u = ( , , ) และ 1 2 3 v v v v = ( , , ) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ และ k เป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) u v u v u v u v u v u v u v u v ku ku ku ku + = + + + − = − − − = ตัวอย่าง 1.1.6 ถ้า u = −( 2,1,3) และ v = − − (0, 3, 4) แล้ว ( 2,1,3) (0, 3, 4) ( 2 0,1 3,3 4) ( 2, 2, 1) 2 2( 2,1,3) (2( 2), 2(1), 2(3)) ( 4, 2, 6) 3 3(0, 3, 4) (0,9,12) 2 (0, 3, 4) ( 4, 2, 6) (0 ( 4), 3 2, 4 6) (4, 5, 10) u v u v v u + = − + − − = − + − − = − − − = − = − = − − = − − − = − = − − − − = − − − − − − = − − เวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นไม่ใช่จุดกำเนิด ให้ 1 1 P x y ( , ) และ 2 2 Q x y ( , ) เป็นจุดในปริภูมิ2 มิติ ในที่นี้เราจะศึกษาวิธีการหา ส่วนประกอบของเวกเตอร์ PQ จากรูปต่อไปนี้จะเห็นได้ว่าเราสามารถเขียนเวกเตอร์นี้ในรูป 2 2 1 1 2 1 2 1 PQ OQ OP x y x y x x y y = − = − = − − ( , ) ( , ) ( , )

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-7 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบท 1.1.5 ถ้า PQ เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติที่มีจุดเริ่มต้น 1 1 P x y ( , ) และจุดสิ้นสุด 2 2 Q x y ( , ) แล้ว 2 1 2 1 PQ x x y y = − − ( , ) ในทำนองเดียวกันถ้า PQ เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติที่มีจุดเริ่มต้น 1 1 1 P x y z ( , , ) และจุดสิ้นสุด 2 2 2 Q x y z ( , , ) แล้ว 2 1 2 1 2 1 PQ x x y y z z = − − − ( , , ) ตัวอย่าง 1.1.7 ในปริภูมิ 2 มิติ เวกเตอร์จากจุด P(4, 2) ไปยังจุด Q( 2,3) −คือ PQ = − − − = − ( 2 4,3 2) ( 6,1) ในปริภูมิ 3 มิติ เวกเตอร์จากจุด A(1, 2, 0) ไปยังจุด B( 2,1,3) −คือ AB = − − − − = − − ( 2 1,1 2,3 0) ( 3, 1,3) ทฤษฎีบท 1.1.6 สำหรับเวกเตอร์ u v, และ w ใดๆ และสเกลาร์ k และ l ใดๆ จะได้ว่า ) ) ( ) ( ) ) 0 0 ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) 1 a u v v u b u v w u v w c u u u d u u e k lu kl u f k u v ku kv g k l u ku lu h u u + = + + + = + + + = + = + − = = + = + + = + = นอร์มของเวกเตอร์ ระยะทางระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ v ใดๆ เรียกว่า ความยาว (length) นอร์ม (norm) หรือ ขนาด (magnitude) ของ v และเขียนแทนด้วย v ระยะทางนี้จะไม่ เปลี่ยนแปลงแม้ว่าจะมีการเปลี่ยนตำแหน่งของเวกเตอร์ นอร์มของเวกเตอร์ 1 2 v v v = ( , ) ใดๆ ในปริภูมิ 2 มิติ นิยามโดย 2 2 1 2 v v v = + และนอร์มของเวกเตอร์ 1 2 3 v v v v = ( , , ) ใดๆ ในปริภูมิ 3 มิติ นิยามโดย 2 2 2 1 2 3 v v v v = + + ตัวอย่าง 1.1.8 จงหานอร์มของ u = − (3, 4) และ v = − (1, 2, 2) วิธีทำ จาก u = − (3, 4) จะได้ 2 2 u = + − = + = = 3 ( 4) 9 16 25 5 จาก v = − (1, 2, 2) จะได้ 2 2 2 v = + − + = + + = = (1) ( 2) (2) 1 4 4 9 3

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-8 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ สำหรับเวกเตอร์ v ใดๆ และสเกลาร์ k ความยาวของเวกเตอร์ kv คือ kv k v = ตัวอย่างเช่น 2 2 2 4 4 4 1 v v v v v v v v v = = − = − = − = − = เวกเตอร์หนึ่งหน่วย เวกเตอร์ที่มีความยาว 1 หน่วย เรียกว่า เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ข้อสังเกต สำหรับเวกเตอร์ v ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์เวกเตอร์ v v คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี ทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ v เนื่องจาก 1 0 v และ 1 v v v v = = การหารเวกเตอร์ v ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ใดๆ ด้วย v เรียกว่า normalizing v หรือ การทำให้ v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ตัวอย่าง 1.1.9 จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ v = − − − ( 2, 1, 2) วิธีทำ จาก v = − − − ( 2, 1, 2) จะได้ 2 2 2 v = − + − + − = + + = = ( 2) ( 1) ( 2) 4 1 4 9 3 ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ v = − − − ( 2, 1, 2) คือ 1 2 1 2 ( 2, 1, 2) ( , , ) 3 3 3 3 v v = − − − = − − − เวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มักนำมาใช้ซึ่งเรียกว่า เวกเตอร์ฐานหลัก (basis vectors) i = (1, 0) และ j = (0,1) ในปริภูมิ 2 i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0) และ k = (0,0,1) ในปริภูมิ 3 ข้อสังเกต • เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากซึ่งกันและกัน เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนแกนพิกัดต่างกัน • เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย: i j k = = • เวกเตอร์ทุกเวกเตอร์สามารถเขียนในรูปการรวมสเกลาร์ของเวกเตอร์ฐานหลัก: v a b ai bj = = + ( , ) ในปริภูมิ 2 v a b c ai bj ck = = + + ( , , ) ในปริภูมิ 3

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-9 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.1.10 ปริภูมิ 2 มิติ ปริภูมิ 3 มิติ (3, 2) 3 2 − = −i j (1, 3, 4) 3 4 − = − + i j k (2, 0) 2 0 2 = + = i j i (0,0, 3) 0 0 3 3 − = + − = − i j k k (0,0) 0 0 0 = + = i j (0,0,0) 0 0 0 0 = + + = i j k (3 2 ) ( 4 ) 4 2 i j i j i j − + + = + ( 3 2 3 ) ( 4 2 ) 2 2 − − + + + − = − + + i j k i j k i j k 3( 3 2 ) 9 6 − − = − − i j i j 2(3 4 5 ) 6 8 10 i j k i j k − + = − + 2 2 3 4 3 ( 4) 5 i j − = + − = 2 2 2 2 2 (2) ( 2) ( 1) 3 i j k − − = + − + − = 2 2 ai bj a b + = + 2 2 2 ai bj ck a b c + + = + + เวกเตอร์ที่กำหนดโดยความยาวและมุม ถ้า v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ที่มีจุดเริ่มต้นคือ จุดกำเนิดของระบบพิกัด xy และ ถ้า เป็นมุมที่วัดจากแกน x ทางบวกไปยังเส้นรัศมีของ v แล้วส่วนประกอบ x ของ v สามารถ เขียนในรูป v cos และส่วนประกอบ y ของ v เขียนในรูป v sin ดังนั้น v สามารถเขียนในรูปแบบตรีโกณมิติดังนี้ v x y v v = = ( , ) ( cos , sin ) หรือ v xi y j v i v j = + = + cos sin และจะได้ว่า 1 tan y x − =

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-10 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.1.11 (a) จงหาเวกเตอร์ v ที่มีความยาว 3 หน่วย และทำมุม 3 กับแกน x ทางบวก (b) จงหามุมของเวกเตอร์ v i j = + 3 ที่วัดจากแกน x ทางบวก วิธีทำ (a) จากเวกเตอร์ v ที่ v = 3 และทำมุม 3 กับแกน x ทางบวก จะได้ ส่วนประกอบ x ของ v คือ 1 3 cos 3cos 3 3 2 2 v = = = และส่วนประกอบ y ของ v คือ 3 3 3 sin 3sin 3 3 2 2 v = = = ดังนั้นเวกเตอร์ v ที่มีความยาว 3 หน่วย และทำมุม 3 กับแกน x ทางบวก คือ 3 3 3 3 3 3 ( cos , sin ) ( , ) 2 2 2 2 v v v i j = = = + (b) จาก v i j = + 3 จะได้ 1 3 tan 60 1 − = = ดังนั้นมุมของเวกเตอร์ v i j = + 3 ที่วัดจากแกน x ทางบวกคือ 60 หรือ 3 เวกเตอร์ที่กำหนดโดยความยาวและเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน ปัญหาหลายปัญหาในการประยุกต์ทิศทางของเวกเตอร์ใดๆ ในปริภูมิ 2 มิติ หรือปริภูมิ 3 มิติ ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u ที่กำหนดให้และการหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ v ที่มี ทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ u โดยที่ทราบความยาวของ v สามารถหาได้โดยการเขียน v ในรูป v v u = หรือ v u v = ตัวอย่าง 1.1.12 จงหาเวกเตอร์ v ที่มีความยาว 3 หน่วย และมีทิศเดียวกับเวกเตอร์จากจุด A(0, 0, 4) ไปยังจุด B(2,5, 0) วิธีทำ เวกเตอร์จากจุด A(0, 0, 4) ไปยังจุด B(2,5, 0) คือ AB = − − − = − (2 0,5 0,0 4) (2,5, 4) และจะได้ 2 2 2 AB = + + − = = 2 5 ( 4) 45 3 5 ดังนั้น เวกเตอร์ v ที่มีความยาว 3 หน่วย และมีทิศเดียวกับเวกเตอร์จากจุด A(0, 0, 4) ไปยังจุด B(2,5, 0) คือ 3 3 5 15 3 (2,5, 4) (2,5, 4) (2,5, 4) 3 5 3 5 5 15 AB v AB = = − = − = −

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-11 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.1.13 กำหนดให้ v = −( 4, 0,3) จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ v วิธีทำ จาก v = −( 4, 0,3) จะได้ 2 2 2 v = − + + = + = = ( 4) (0) (3) 16 9 25 5 จะได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ v = −( 4, 0,3) คือ 1 ( 4, 0,3) 5 v v = − ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ v = −( 4, 0,3) คือ 1 ( 4,0,3) 5 − − ตัวอย่าง 1.1.14 จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์จากจุด A(2, 1,5) − ไปยังจุด B(2, 0,1) วิธีทำ เวกเตอร์จากจุด A(2, 1,5) −ไปยังจุด B(2, 0,1) คือ AB = − − − − = − (2 2,0 ( 1),1 5) (0,1, 4) และ 2 2 AB = + = 1 4 17 ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์จากจุด A(2, 1,5) −ไปยังจุด B(2, 0,1) คือ 1 (0,1, 4) 17 AB AB = − ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์จากจุด A(2, 1,5) −ไปยังจุด B(2, 0,1) คือ 1 (0,1, 4) 17 − −

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-12 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 1.2 ผลคูณเชิงสเกลาร์ ในหัวข้อนี้ เรานิยามการคูณเวกเตอร์2 เวกเตอร์ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ผลคูณนี้เรียกว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product) หรือ ผลคูณจุด (dot product) นิยามดังนี้ นิยาม 1.2.1 ถ้า 1 2 3 u u u u = ( , , ) และ 1 2 3 v v v v = ( , , ) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติแล้ว ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product) หรือ ผลคูณจุด (dot product) ของ u และ v เขียนแทน ด้วย u v และนิยามโดย 1 1 2 2 3 3 u v u v u v u v = + + ในทำนองเดียวกัน ถ้า 1 2 u u u = ( , ) และ 1 2 v v v = ( , ) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติแล้ว ผลคูณเชิงสเกลาร์นิยามโดย 1 1 2 2 u v u v u v = + หมายเหตุผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์2 เวกเตอร์จะมีค่าเป็นสเกลาร์ ตัวอย่าง 1.2.1 จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ) (4, 3) (3, 2) (4)(3) ( 3)(2) 6 ) (1, 2, 2) (4, 1,3) (1)(4) (2)( 1) ( 2)(3) 4 ) (2 3 ) (3 4 ) (2)(3) ( 3)(4) 6 ) (2 3 ) ( 2 4 ) (2)(1) (3)(2) ( 1)(4) 4 ) ( 3 2 ) (3 2 5 ) (0)(3) a b c i j i j d i j k i j k e j k i j k − = + − = − − = + − + − = − − + = + − = − + − + + = + + − = − − − + = + ( 3)( 2) ( 2)(5) 4 − − + − = − สมบัติพีชคณิตของผลคูณเชิงสเกลาร์ ทฤษฎีบท 1.2.2 ถ้า u v, และ w เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ หรือ 3 มิติ และ k เป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว 2 ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) 0 0 a u v v u b u v w u v u w c k u v ku v u kv d u u u e v = + = + = = = = นิยาม 1.2.3 มุม (angle) ระหว่างเวกเตอร์2 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน คือ ค่ามุมที่น้อยที่สุดระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง และเรามักจะเลือกมุม ที่ไม่เป็นลบระหว่างเวกเตอร์ ทั้งสอง ดังนั้น 0

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-13 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ นิยาม 1.2.4 กำหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และให้ เป็นมุมระหว่าง เวกเตอร์ทั้งสอง แล้ว cos u v u v = หรือ u v u v = cos ตัวอย่าง 1.2.2 จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ต่อไปนี้ a) u = −( 3,3) และ v = (1, 3) วิธีทำ 2 2 2 2 u v = − + = = + = ( 3) 3 12, 1 ( 3) 2 และ u v = − + = ( 3)(1) (3)( 3) 2 3 จากสูตร cos u v u v = จะได้ 2 3 1 cos 2 12 2 = = หรือ 1 1 cos 60 2 − = = (เลือกมุมบวกไม่เกิน 180 ) b) u = − (2, 2, 1) และ v = − (5, 3, 2) วิธีทำ 2 2 2 2 2 2 u v = + + − = = = + − + = 2 2 ( 1) 9 3, 5 ( 3) 2 38 และ u v = + − + − = (2)(5) (2)( 3) ( 1)(2) 2 จากสูตร cos u v u v = จะได้ 2 cos 3 38 = หรือ 1 2 cos 83.79 3 38 − = c) u = (2,3,1) และ v = −( 1,5,1) วิธีทำ 2 2 2 2 2 2 u v = + + = = − + + = = 2 3 1 14, ( 1) 5 1 27 3 3 และ u v = − + + = (2)( 1) (3)(5) (1)(1) 14 จากสูตร cos u v u v = จะได้ ( ) 14 cos 14 3 3 = หรือ ( ) 1 14 cos 43.94 14 3 3 − =

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-14 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ เวกเตอร์2 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์เป็นเวกเตอร์ที่ ตั้งฉากกัน (perpendicular) ถ้ามุม ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากับ 90 เนื่องจาก cos 90 0 = ดังนั้นจะได้บทแทรกที่สำคัญต่อไปนี้ บทแทรก 1.2.5 เวกเตอร์ u และ v ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ u v = 0 และเรา จะเขียน u v ⊥ แทน u เป็นเวกเตอร์เชิงตั้งฉากกับ v ตัวอย่าง 1.2.3 จงพิจารณาว่าเวกเตอร์ u = − (3, 1, 4) และ v = (1,3,0) ตั้งฉากกันหรือไม่ วิธีทำ พิจารณา (3, 1, 4) (1,3, 0) (3)(1) ( 1)(3) (4)(0) 0 u v = − = + − + = ดังนั้นเวกเตอร์ u = − (3, 1, 4) และ v = (1,3,0) ตั้งฉากกัน ตัวอย่าง 1.2.4 จงพิจารณาว่าเวกเตอร์ u i j k = − + + 4 3 และ v j k = − − 3 4 ตั้งฉากกันหรือไม่ วิธีทำ พิจารณา ( 1, 4,3) (0, 3, 4) ( 1)(0) (4)( 3) (3)( 4) 24 u v = − − − = − + − + − = − ดังนั้นเวกเตอร์ u i j k = − + + 4 3 และ v j k = − − 3 4 ไม่ตั้งฉากกัน เนื่องด้วย cos 90 0 เมื่อ 0 90 และ cos 90 0 เมื่อ 90 180 ดังนั้น จะได้ว่า บทแทรก 1.2.6 ถ้า เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ u และ v ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว 0, 0 90 0, 90 0, 90 180 u v = =

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-15 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ มุมแสดงทิศทาง ในปริภูมิ 2 มิติ และ 3 มิติ มุมระหว่างเวกเตอร์ v ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์กับเวกเตอร์ i j , และ k เรียกว่า มุมแสดงทิศทาง (direction angles) ของ v และโคไซน์ของมุมเหล่านี้เรียกว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (direction cosines) ของ v สูตรสำหรับโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ใดๆ สามารถหาได้จากสูตรในนิยาม 1.2.4 ตัวอย่างเช่น ถ้า 1 2 3 v v i v j v k = + + แล้ว 1 2 3 cos cos cos v i v v i v v j v v j v v k v v k v = = = = = = ทฤษฎีบท 1.2.7 โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ 1 2 3 v v i v j v k = + + ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ คือ 1 2 3 cos , cos , cos v v v v v v = = = โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ 1 2 3 v v i v j v k = + + สามารถหาได้โดยการทำให้ v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย และอ่านค่าส่วนประกอบของ v v เนื่องจาก 1 2 3 v v v v i j k v v v v = + + ตัวอย่าง 1.2.5 จงหามุมแสดงทิศทางของเวกเตอร์ v i j k = − + 4 5 3 วิธีทำ 2 2 2 v = + − + = 4 ( 5) 3 50 ให้ v เป็นเวกเตอร์ทำมุม , , กับแกน x แกน y และแกน z ตามลำดับ จะได้ 1 1 2 1 3 1 4 4 cos cos 55.55 50 50 5 5 cos cos 135 50 50 3 3 cos cos 64.90 50 50 v v v v v v − − − = = = − − = = = = = = =

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-16 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 1.3 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ในหัวข้อนี้ เรานิยามการคูณเวกเตอร์2 เวกเตอร์ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ผลคูณนี้เรียกว่า ผลคูณเชิงเวกเตอร์(cross product) และนิยามเฉพาะในปริภูมิ 3 มิติก่อนที่จะกล่าวถึงนิยามของ ผลคูณเชิงเวกเตอร์เราจะทบทวนนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ดังนี้ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัส นิยาม 1.3.1 ดีเทอร์มิแนนต์(determinant) ของเมทริกซ์มิติ 2 2 คือจำนวนจริงที่นิยามโดย 1 2 1 2 1 2 1 2 a a a b b a b b = − นิยาม 1.3.2 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3 3 คือจำนวนจริงที่นิยามโดย ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 a a a b b b b b b b b b a a a c c c c c c c c c = − + หมายเหตุนิยาม 1.3.2 เรียกว่า การกระจายของดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวที่ 1 นิยาม 1.3.3 ถ้า 1 2 3 u u u u = ( , , ) และ 1 2 3 v v v v = ( , , ) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติแล้ว ผลคูณเชิงเวกเตอร์(cross product) ของ u และ v เขียนแทนด้วย u v นิยามโดย 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) i j k u v u u u v v v u u u u u u i j k v v v v v v u v v u i u v v u j u v v u k = = − + = − − − + − ตัวอย่าง 1.3.1 กำหนดให้ u = − (3, 2,1) และ v = − (1,1, 4) จงหา u v วิธีทำ ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 4 2 1 3 1 3 2 1 4 1 4 1 1 ( 2)( 4) (1)(1) (3)( 4) (1)(1) (3)(1) (1)( 2) 7 13 5 i j k u v i j k i j k i j k = − − − − = − + − − = − − − − − − + − − = + +

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-17 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.3.2 กำหนดให้ u i j k = − + + 4 2 และ v i j k = + + 3 2 จงหา u v วิธีทำ 1 2 3 1 2 3 4 2 1 3 1 2 2 1 4 1 4 2 1 2 3 2 3 1 (4 1) ( 8 3) ( 4 6) 3 11 10 i j k u v u u u v v v i j k i j k i j k i j k = = − − − = − + = − − − − + − − = + − สมบัติเชิงพีชคณิตของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้า u v, และ w เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในปริภูมิ 3 มิติ และ k เป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) 0 0 0 ) 0 a u v v u b u v w u v u w c u v w u v v w d k u v ku v u kv e u u f u u = − + = + + = + = = = = = ผลคูณเชิงเวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นผลคูณเชิงเวกเตอร์ที่มักจะพบบ่อยครั้ง i j k j k i k i j j i k k j i i k j = = = = − = − = − สมบัติเชิงเรขาคณิตของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะแสดงว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์2 เวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ เชิงตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในปริภูมิ 3 มิติแล้ว ( ) ( ) 0 a u u v = ( u v เป็นเวกเตอร์เชิงตั้งฉากกับ u ) ( ) ( ) 0 b v u v = ( u v เป็นเวกเตอร์เชิงตั้งฉากกับ v )

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-18 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.3.3 กำหนดให้ u = − (3, 2,1) และ v = − (1,1, 4) จงแสดงว่า u v เป็นเวกเตอร์ เชิงตั้งฉากกับ u และ v วิธีทำ จากตัวอย่าง 1.3.1 จะได้ u v i j k = + + 7 13 5 พิจารณา u u v i j k i j k = − + + + = + − + = ( ) 3 2 7 13 5 (3)(7) ( 2)(13) (1)(5) 0 ( ) ( ) และ v u v i j k i j k = + − + + = + + − = ( ) 4 7 13 5 (1)(7) (1)(13) ( 4)(5) 0 ( ) ( ) ดังนั้น u v เป็นเวกเตอร์เชิงตั้งฉากกับ u และ v ทฤษฎีบท 1.3.6 ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ในปริภูมิ 3 มิติและให้ เป็นมุม ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีจุดเริ่มต้นเดียวกัน แล้ว ( ) sin a u v u v = ( ) b u v คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u และ v เป็นด้านประชิด ( ) 0 c u v = ก็ต่อเมื่อ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกัน นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์หนึ่ง เป็นพหุคูณสเกลาร์ของอีกเวกเตอร์หนึ่ง ตัวอย่าง 1.3.4 จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u = − (1, 2, 2) และ v = (3,0,1) เป็น ด้านประชิด วิธีทำ เนื่องจาก 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 0 1 2 2 1 2 1 2 0 1 3 1 3 0 (2 0) (1 6) (0 6) 2 7 6 i j k u v u u u v v v i j k i j k i j k i j k = = − − − = − + = − − + + − = − − และ 2 2 2 u v = + − + − = 2 ( 7) ( 6) 89 ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u = − (1, 2, 2) และ v = (3,0,1) เป็นด้านประชิด มีค่าเท่ากับ 89 ตารางหน่วย

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-19 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.3.5 จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมเป็น A B (2,1, 1), (3,0,1) −และ C(1,3, 2) − วิธีทำ เนื่องจาก AB = − − = − (3,0,1) (2,1, 1) (1, 1, 2) และ AC = − − − = − − (1,3, 2) (2,1, 1) ( 1, 2, 1) เพราะฉะนั้น 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 (1 4) ( 1 2) (2 1) 3 i j k u v u u u v v v i j k i j k i j k i j k = = − − − − − = − + − − − − = − − − + + − = − − + เนื่องจากพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 2 เท่าของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็น AB และ AC ดังนั้น พื้นที่ของ 1 1 11 2 2 2 ( 3) ( 1) 1 2 2 2 = = − + − + = ABC AB AC ตารางหน่วย ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ นิยาม 1.3.7 กำหนดให้ 1 2 3 u u u u = ( , , ), 1 2 3 v v v v = ( , , ) และ 1 2 3 w w w w = ( , , ) เป็นเวกเตอร์ใน ปริภูมิ 3 มิติแล้ว ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์(scalar triple product) ของ u , v และ w คือ 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) u u u v v v v v v u v w v v v u u u w w w w w w w w w = = − + ทฤษฎีบท 1.3.8 u v w w u v v w u = = ( ) ( ) ( )

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-20 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 1.3.6 กำหนดให้ u i j k v i j k = − − = + − 3 2 5 , 4 4 และ w j k = + 3 2 จงหาค่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ u v w ( ) วิธีทำ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 3 2 5 1 4 4 032 4 4 1 4 1 4 (3) ( 2) ( 5) 3 2 0 2 0 3 (8 12)(3) (2 0)( 2) (3 0)( 5) 60 4 15 49 u u u u v w v v v w w w = − − = − − − = − − + − = + − − − + − − = + − = ทฤษฎีบท 1.3.9 ให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ในปริภูมิ 3 มิติแล้ว ( ) ( ) a u v w คือ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u , v และ w เป็นด้านประชิด ( ) ( ) 0 b u v w = ก็ต่อเมื่อ u , v และ w อยู่บนระนาบเดียวกัน ตัวอย่าง 1.3.7 จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดทั้งสามเกิดจากเวกเตอร์ u i j v i j k = + = + + 7 8 , 2 3 และ w i j k = − + + 3 2 วิธีทำ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 7 8 0 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 (7) (8) (0) 3 2 1 2 1 3 (4 9)(7) (2 3)(8) (3 2)(0) 35 40 75 u u u u v w v v v w w w = = − = − + − − = − − + + + = − − = − ดังนั้นปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u , v และ w เป็นด้านประชิด มีค่าเท่ากับ u v w = − = ( ) 75 75 ลูกบาศก์หน่วย

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-21 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่1 1.จงลงพิกัดจุดต่อไปนี้ 1) (2,0,1) 2) (2, 3,0) 3) (0, 1, 2) 4) (2, 2, 3) A B C D − − − 2.จงหาระยะทาง d ระหว่างจุด (3, 2,1) −และ ( 3, 2,9) − − 3. จงหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ AB ต่อไปนี้ 1) (3,5), (2,8) 2) (7, 2), (0,5) 3) ( 2,5, 4), ( 2, 3, 2) 4) (0, 2, 5), (1, 4, 6) A B A B A B A B − − − − − − − 4. จงหาจุดสิ้นสุดของส่วนประกอบของเวกเตอร์ AB = − (3, 2) ถ้าจุดเริ่มต้นคือ A(1, 2) − 5. จงหาจุดสิ้นสุดของส่วนประกอบของเวกเตอร์ AB = −( 3,1, 2) ถ้าจุดเริ่มต้นคือ A(5,0, 1) − 6. กำหนดให้ u v = − = (2, 1,3), (4,0, 2) และ w = (1,1,3) จงหาเวกเตอร์จากการดำเนินการ ต่อไปนี้ 1) 2) 6 4 3) 2 4) 4( ) 5) 5( 2 ) 3 6) 3 2( ) w v u w v w u v u v w v w u − + − − − − + − − − 7. กำหนดให้ u i k v i j k = − = + + 2 3 , 2 3 และ w i j k = − − + 5 3 จงหาเวกเตอร์จากการ ดำเนินการต่อไปนี้ 1) 2) 6 4 3) 2 4) 4( ) 5) 5( 2 ) 3 6) 3 2( ) w v u w v w u v u v w v w u − + − − − − + − − − 8. จงหานอร์มของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) (1, 3) 2) ( 3, 4) 3) 8 6 4) 12 9 5) ( 2, 7, 7 ) 6) ( 6, 2, 24) 7) 8 6 44 8) 9 9 7 u u u i j u i j u u u i j k u i j k = − = − = − = + = − = − = − + = − + − 9. กำหนดให้ u i j k v i j k = + + = − + + 2 3 , 2 4 5 และ w i j k = − + 2 4 2 จงหา 1) 2) 3) 2 2 1 1 4) 3 2 4 5) 6) u v u v u v u v w u u u u + + − + + − 10. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 1) มีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ v i j k = + − 21 8 6 2) มีทิศเดียวกับเวกเตอร์จากจุด A( 1,0, 2) −ไปยังจุด B(3,1, 0)

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-22 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 11. จงหาเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 1) มีความยาวเท่ากับ 2 และมีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ u i j k = − + + 3 4 2) มีทิศเดียวกับเวกเตอร์ u i j k = − + − 2 6 4 และมีความยาวเป็นสองเท่าของ u 12. จงหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ u ในปริภูมิ 2 มิติ ที่มีความยาวและมุม ที่วัดจากแกน x ทางบวก ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 1) 3; 2) 2; 90 4 3) 5; 120 4) 1; u u u u = = = = = = = = 13. จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) 2 , 6 8 2) (7, 3), (0,1) 3) 3 7 , 8 2 2 4) ( 3,1, 2), (4, 2, 5) u i j v i j u v u i j k v i j k u v = + = − = − = = − + = − − = − = − 14. จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์โดยใช้เงื่อนไขต่อไปนี้ 1) 1, 2, u v = = มุมระหว่างเวกเตอร์ u และ v คือ 6 2) 3, 2, u v = = มุมระหว่างเวกเตอร์ u และ v คือ 135 15. จงพิจารณาว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ u และ v เป็นมุมแหลม มุมป้านหรือเวกเตอร์ทั้งสอง ตั้งฉากกัน 1) 7 3 5 , 8 4 2 2) (6,1,3), (4, 0, 6) 3) , 4) (4,1, 6), ( 3, 0, 2) u i j k v i j k u v u i j k v i u v = + + = − + + = = − = + + = − = = − 16. จงหาโคไซน์แสดงทิศทางและมุมแสดงทิศทางของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) 2) 2 2 3) 3 2 6 4) 3 4 u i j k u i j k u i j k u i k = + − = − + = − − = − 17. กำหนดให้ u v = − = − (1, 2, 1), (4, 2,0) และ w = − (2,3, 3) จงหา ( ) 1) (7 ) 2) ( ) 3) ( ) 4) u v w u v w u v w v u w + 18. จงใช้ดีเทอร์มิแนนต์หาผลคูณเชิงเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) ( ) 2) ( ) 3) ( ) i i j k j i j k k i j k + + + + + +

บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ 1-23 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 19. จงหา u v พร้อมทั้งแสดงว่า u v เป็นเวกเตอร์เชิงตั้งฉากกับ u และ v หรือไม่ 1) (1, 2, 3), ( 4,1, 2) 2) 3 2 , 3 3) (0,1, 2), (3, 0, 4) 4) 4 , 2 u v u i j k v i j k u v u i k v i j = − = − = + − = − − + = − = − = + = − 20. กำหนดให้ u v = − = (2, 1,3), (0,1,7) และ w = (1, 4,5) จงหา 1) ( ) 2) ( ) 3) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) u v w u v w u v v w v w u v 21. จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u และ v เป็นด้านประชิด 1) 2 , 3 2) 2 3 , 2 2 u i j k v j k u i j v i j k = − + = + = + = − + − 22. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มี P Q, และ R เป็นจุดยอด 1) (1,5, 2), (0, 0, 0), (3,5,1) 2) (2, 0, 3), (1, 4,5), (7, 2,9) P Q R P Q R − − 23. จงหา u v w ( ) 1) (1, 2, 2), (0,3, 2), ( 4,1, 3) 2) 2 3 , 4 3 , 5 3) (2,1, 0), (1, 3,1), (4, 0,1) 4) , , u v w u i j k v i j k w j k u v w u i v i j w i j k = − = = − − = − + = + − = + = = − = = = + = + + 24. จงใช้ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์หาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u , v และ w เป็นด้านประชิด 1) (2, 6, 2), (0, 4, 2), (2, 2, 4) 2) 3 2 , 4 5 , 2 4 u v w u i j k v i j k w i j k = − = − = − = + + = + + = + +

ครั้งที่2-3 แผนการสอน รหัสวิชา เวลา 6 ชั่วโมง 02-005-011-109 ชื่อหน่วยเรียนที่ 2 เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ชื่อบทเรียน - ฟังก์ชัน - ลิมิตของฟังก์ชัน - ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา - ลิมิตที่อนันต์ - ลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ - ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน จุดประสงค์การสอน 2.1 รู้และเข้าใจนิยามและการหาค่าฟังก์ชัน 2.1.1 บอกนิยามของฟังก์ชันได้ 2.1.2 อธิบายการหาค่าของฟังก์ชันได้ 2.2 รู้และเข้าใจลิมิตของฟังก์ชัน 2.2.1 บอกนิยามของลิมิตได้ 2.2.1 อธิบายการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันได้ 2.3 รู้และเข้าใจลิมิตซ้ายและลิมิตขวา 2.3.1 บอกนิยามของลิมิตซ้ายและลิมิตขวาได้ 2.3.1 อธิบายการหาค่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวาได้ 2.4 รู้และเข้าใจลิมิตที่อนันต์ 2.4.1 บอกนิยามของลิมิตที่อนันต์ได้ 2.4.1 อธิบายการหาค่าลิมิตที่อนันต์ได้ 2.5 รู้และเข้าใจลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ 2.5.1 บอกนิยามของลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ได้ 2.5.1 อธิบายการหาค่าลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ได้ 2.6 รู้และเข้าใจความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2.6.1 บอกนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้ 2.6.1 อธิบายการหาค่าความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้

ครั้งที่2-3 แผนการสอน (ต่อ) รหัสวิชา เวลา 6 ชั่วโมง 02-005-011-109 วิธีสอนและกิจกรรม 1. บรรยายเนื้อหาตามหน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2. บรรยายเนื้อหาตามจุดประสงค์การสอน 3. ให้นักศึกษาทำกิจกรรมการเรียนรู้เป็นกลุ่มและนำเสนอ 4. ถาม-ตอบในชั้นเรียน สื่อการสอน หนังสืออ้างอิง บรรณานุกรม เอกสารประกอบการสอน เอกสารการสอนหน่วยที่ 2 วัสดุโสตทัศน์และอุปกรณ์ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพ และไอแพด งานที่มอบหมาย 1. ทำแบบฝึกหัดท้ายบท การวัดผล 1. การสังเกต ความสนใจ และตั้งใจในการเรียน และการทำงานร่วมกันกับเพื่อน 2. ตรวจการบ้านท้ายบทเรียน 3. การทดสอบย่อยเนื้อหาในหน่วยที่ 2 และการสอบกลางภาค

ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่อง ของฟังก์ชัน ในบทนี้ จะทำการศึกษาเกี่ยวกับลักษณะของค่าลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันในรูปแบบ ต่างๆ ก่อนอื่นเราจะทบทวนการหาค่าของฟังก์ชันเพื่อใช้เป็นความรู้พื้นฐานในการหาค่าลิมิตและ ความต่อเนื่องต่อไป 2.1 ฟังก์ชัน สัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันคือ ความสัมพันธ์ที่ไม่มีโดเมนตัวใดจับคู่กับเรนจ์มากกว่า 1 ตัว ถ้าความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชัน เราสามารถเขียน y f x = ( ) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ f คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิก ตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ f เขียนแทนด้วย 1 f − เช่น ให้ f x y y x = = + ( , ) 2 1 หรือ y x = + 2 1 หรือ f x x ( ) 2 1 = + จะได้ 1 f y x y x ( , ) 2 1 − = = + หรือ 1 f x y x y ( , ) 2 1 − = = + หรือ 1 1 ( , ) | 2 x f x y y − − = = หรือ 1 1 ( ) 2 x f x − − = ให้ f x y y x = = + ( , ) 3 1 หรือ y x = + 3 1 หรือ f x x ( ) 3 1 = + จะได้ 1 f y x y x ( , ) 3 1 − = = + หรือ 1 f x y x y ( , ) 3 1 − = = + หรือ 2 1 1 ( , ) 3 x f x y y − − = = หรือ 2 1 1 ( ) 3 x f x − − =

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-2 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ การหาค่าของฟังก์ชัน ตัวอย่าง 2.1.1 กำหนดให้ f x y y x = = + ( , ) 2 1 จงหา f (0), f (2) และ f x x ( ) + วิธีทำ จาก f x y y x = = + ( , ) 2 1 หรือ f x x ( ) 2 1 = + จะได้ f (0) 2(0) 1 1 = + = , f (2) 2(2) 1 5 = + = และ f x x x x x x ( ) 2( ) 1 2 2 1 + = + + = + + ตัวอย่าง 2.1.2 กำหนดให้ 2 f x y y x = = + ( , ) 2 1 จงหา f (0), f ( 2) −และ f x (2 ) วิธีทำ จาก 2 f x y y x = = + ( , ) 2 1 หรือ 2 f x x ( ) 2 1 = + จะได้ 2 2 2 2 (0) 2(0) 1 1 ( 2) 2( 2) 1 9 3 (2 ) 2(2 ) 1 8 1 f f f x x x = + = − = − + = = = + = + ตัวอย่าง 2.1.3 กำหนดให้ 2 5 ; 1 ( ) 2 4 ; 1 2 2 ; 2 x f x x x x x = + − จงหา f (0), f (1) และ f (2) วิธีทำ หา f (0) เนื่องจาก x = 0 อยู่ในช่วง x 1 เลือก f x( ) 5 = ดังนั้น f (0) 5 = หา f (1) เนื่องจาก x =1 อยู่ในช่วง 1 2 x เลือก f x x ( ) 2 4 = + ดังนั้น f (1) 2(1) 4 6 = + = หา f (2) เนื่องจาก x = 2 อยู่ในช่วง x 2 เลือก 2 f x x ( ) 2 = − ดังนั้น 2 f (2) (2) 2 2 = − = ตัวอย่าง 2.1.4 กำหนดให้ 1 5 ; 0 2 ( ) ; 0 4 1 3 2 ; 4 x x x f x x x x x − + = + + จงหา f ( 3) − , f (0) และ f (5) วิธีทำ หา f ( 3) −เนื่องจาก x =−3 อยู่ในช่วง x 0 เลือก f x x ( ) 1 5 = − ดังนั้น f ( 3) 1 5( 3) 1 15 16 − = − − = + = หา f (0) เนื่องจาก x = 0 อยู่ในช่วง 0 4 x เลือก 2 ( ) 1 x f x x + = + ดังนั้น 2 0 (0) 2 0 1 f + = = + หา f (5) เนื่องจาก x = 5 อยู่ในช่วง x 4 เลือก f x x ( ) 3 2 = + ดังนั้น f (5) 3(5) 2 17 = + =

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-3 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.1.5 กำหนดให้ 2 4 2 1 ; 2 ( ) 3 ; 2 6 8 ; 6 3 x x x f x x x x x − + = − จงหา f f (1), (3) และ f (8) วิธีทำ หา f (1) เนื่องจาก x =1 อยู่ในช่วง x 2 เลือก 2 f x x ( ) 2 1 = + ดังนั้น 2 f (1) 2(1) 1 3 = + = หา f (3) เนื่องจาก x = 3 อยู่ในช่วง 2 6 x เลือก 4 ( ) 3x f x − = ดังนั้น 3 4 1 1 (3) 3 3 3 f − − = = = หา f (8) เนื่องจาก x = 8 อยู่ในช่วง x 6 เลือก 8 ( ) 3 x f x x − = ดังนั้น 8 8 (8) 0 3(8) f − = = ตัวอย่าง 2.1.6 กำหนดให้ f x y y x = = + ( , ) 3 5 จงหา 1 f (0) − , 1 f ( 2) − −และ 1 f (5) − วิธีทำ จาก f x y y x = = + ( , ) 3 5 หา 1 f − โดยการเปลี่ยน y เป็น x เปลี่ยน x เป็น y นั่น คือ ให้ y x = + 3 5 จะได้ 5 3 5 3 x x y y − = + = ดังนั้น 1 5 ( ) 3 x f x − − = และจะได้ 1 1 1 0 5 5 2 5 7 5 5 (0) , ( 2) , (5) 0 3 3 3 3 3 f f f − − − − − − − = = − − = = − = = ตัวอย่าง 2.1.7 กำหนดให้ f x y y x = = + ( , ) 3 จงหา 1 f (0) − , 1 f ( 1) − −และ 1 f (4) − วิธีทำ จาก f x y y x = = + ( , ) 3 หา 1 f − โดยการเปลี่ยน y เป็น x เปลี่ยน x เป็น y นั่น คือ ให้ y x = +3 จะได้ 2 x y y x = + = − 3 3 ดังนั้น 1 2 f x x ( ) 3 − = − และจะได้ 1 2 1 2 1 2 (0) 0 3 3 ( 1) ( 1) 3 2 (4) 4 3 13 f f f − − − = − = − − = − − = − = − =

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-4 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.1.8 กำหนดให้ f x x ( ) 3 2 = + และ g x x ( ) 2 1 = − + จงหา ( )( ) g f x ( )(2), g f ( )( ) f g x และ ( )( 1) f g − วิธีทำ จาก ( )( ) ( ) g f x g f x = ( ) สำหรับทุก x ซึ่ง ( ) g f x D เพราะฉะนั้น ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 6 4 1 6 3 g f x g f x g x x x x = = + = − + + = − − + = − − จาก ( )( ) ( ) f g x f g x = ( ) สำหรับทุก x ซึ่ง ( ) f g x D เพราะฉะนั้น ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 3 2 1 2 6 3 2 6 5 f g x f g x f x x x x = = − + = − + + = − + + = − + ดังนั้น ( )(2) 6(2) 3 15 g f = − − = − และ ( )( 1) 6( 1) 5 11 f g − = − − + = ตัวอย่าง 2.1.9 กำหนดให้ 2 f x x ( ) 1 = + และ g x x ( ) 1 = − จงหา ( )( ) g f x , ( )( 2), g f − ( )( ) f g x และ ( )(1) f g วิธีทำ จาก ( )( ) ( ) g f x g f x = ( ) สำหรับทุก x ซึ่ง ( ) g f x D เพราะฉะนั้น ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( )( ) ( ) 1 1 1 g f x g f x g x x x = = + = + − = จาก ( )( ) ( ) f g x f g x = ( ) สำหรับทุก x ซึ่ง ( ) f g x D เพราะฉะนั้น ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( )( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 2 f g x f g x f x x x x x x = = − = − + = − + + = − + ดังนั้น 2 ( )( 2) ( 2) 4 g f − = − = และ 2 ( )(1) 1 2(1) 2 1 f g = − + =

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-5 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2.2 ลิมิตของฟังก์ชัน ในการพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันนั้นมีความแตกต่างกับค่าของฟังก์ชัน ซึ่งจะกล่าวถึงลิมิตของ ฟังก์ชันจากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง 2.2.1 พิจารณาฟังก์ชัน 2 1 ( ) 1 x f x x − = − เมื่อค่าของ x มีค่าใกล้เคียงกับ 1 ดังตารางต่อไปนี้ x 1 0 0.3 0.5 0.8 0.89 0.99 0.99999 1 2 1 ( ) 1 x f x x − = − 1 1.3 1.5 1.8 1.899 1.99 1.99999 2 และ x 1 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.00001 1 2 1 ( ) 1 x f x x − = − 3 2.5 2.2 2.1 2.01 2.001 2.00001 2 จากตารางข้างบน เราจะเห็นได้ว่าเมื่อค่าของ x มีค่าเข้าใกล้ 1 (จากทั้งสองด้านของ 1) แล้ว ค่าของ f x( ) มีค่าเข้าใกล้ 2 หรือ ค่าของ f x( ) มีค่าที่ใกล้เคียงกับ 2 มากๆ ในกรณีดังกล่าวนี้เราจะกล่าวได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน 2 1 ( ) 1 x f x x − = − มีค่าเท่ากับ 2 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 1 โดยใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ 2 1 1 lim 2 x 1 x → x − = − หรือ พิจารณาค่าของ f x( ) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 1 ได้จากรูปกราฟต่อไปนี้ 2 -1 0 1

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-6 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ จากตัวอย่าง 2.2.1 จะเห็นว่า การหาค่าลิมิตของฟังก์ชันโดยการพิจารณาค่าของฟังก์ชันว่า เข้าใกล้ค่าใดจากตาราง เป็นวิธีการที่ใช้เวลาในการคำนวณมาก ดังนั้นเพื่อให้การหาค่าลิมิตของ ฟังก์ชันง่ายและรวดเร็วยิ่งขึ้นเราจะใช้ทฤษฎีบทเบื้องต้นต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 2.2.1 กำหนดให้ f x( ) และ g x( ) เป็นฟังก์ชัน c a L , , และ M เป็นจำนวนจริง โดยที่ lim ( ) x a f x L → = และ lim ( ) x a g x M → = จะได้ว่า 1) lim ( ) lim ( ) x a x a cf x c f x cL → → = = 2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L M → → → = = 3) lim ( ) ( ) lim ( )lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x LM → → → = = 4) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x L g x g x M → → → = = เมื่อ M 0 5) lim ( ) lim ( ) n n n x a x a f x f x L → → = = เมื่อ n 2 6) lim ( ) lim ( ) n n n x a x a f x f x L → → = = ทฤษฎีบท 2.2.2 กำหนดให้ c a , เป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า 1) lim x a c c → = 2) lim x a x a → = 3) lim n n x a x a → = ตัวอย่าง 2.2.2 กำหนดให้ 2 f x x x ( ) 2 2 = + − จงหาค่าของ 1 lim ( ) x f x → วิธีทำ 2 1 1 lim ( ) lim( 2 2) x x f x x x → → = + − 2 1 1 1 lim lim2 lim2 x x x x x → → → = + − 2 1 1 1 lim 2lim lim2 x x x x x → → → = + − 2 = + − = (1) 2(1) 2 1 ตัวอย่าง 2.2.3 จงหาค่าของ 2 3 lim( 1)( 2) x x x → + − วิธีทำ 2 2 3 3 3 lim( 1)( 2) lim( 1) lim( 2) x x x x x x x → → → + − = + − 2 3 3 3 3 lim lim1 lim lim2 x x x x x x → → → → = + − ( ) 2 = + − = (3) 1 3 2 10