บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-7 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.2.4 จงหาค่าของ 4 lim 5 4 x x → − วิธีทำ 4 4 4 lim 5 4 lim5 lim4 x x x x x → → → − = − 4 4 5lim lim 4 5(4) 4 16 4 x x x → → = − = − = = ตัวอย่าง 2.2.5 จงหาค่าของ 3 2 2 lim x 3 x → x + วิธีทำ 3 3 2 2 2 2 lim lim x x 3 3 x x → → x x + + = 3 2 2 2 3 3 lim lim 2 3lim 2 2 3(2) 2 8 3 27 x x x x x → → → + = + = = = ตัวอย่าง 2.2.6 จงหาค่าของ 2 2 2 5 lim x x → x + วิธีทำ 2 2 2 2 2 2 2lim lim5 2 5 lim lim x x x x x x x x → → → → + + = 2 2 2 2 2 2lim lim5 lim 2(2) 5 3 2 4 x x x x x → → → + = + = = ตัวอย่าง 2.2.7 จงหาค่าของ 5 1 lim(2 1) ( 3) x x x →− + + วิธีทำ 5 5 1 1 1 lim(2 1) ( 3) lim(2 1) lim( 3) x x x x x x x →− →− →− + + = + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 1 1 5 1 1 1 1 5 5 lim(2 1) lim( 3) (2 lim lim1) lim lim 3 2( 1) 1 1 3 ( 1) (2) 2 x x x x x x x x x x →− →− →− →− →− →− = + + = + + = − + − + = − = −
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-8 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.2.8 จงหาค่าของ 5 2 0 3 1 lim x 1 x → x + − วิธีทำ 5 5 2 2 0 0 3 1 3 1 lim lim x x 1 1 x x → → x x + + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 5 2 0 0 0 5 2 0 0 5 lim 3 1 lim 1 3lim lim1 lim1 lim 3(0) 1 1 1 0 x x x x x x x x x x → → → → → → + = − + = − + = = − ตัวอย่าง 2.2.9 จงหาค่าของ 3 2 2 2 1 lim x 5 3 x x →− x + − − วิธีทำ ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 lim 2 1 2 1 lim 5 3 lim 5 3 x x x x x x x x x →− →− →− + − + − = − − ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 3 2 lim 2 lim lim 1 lim 5 3 lim ( 2) 2( 2) 1 8 8 1 1 5 (3)( 2) 11 11 x x x x x x x x →− →− →− →− →− + − = − − + − − − + − = = = − − − ตัวอย่าง 2.2.10 จงหาค่าของ ( ) 3 2 2 lim 4 3 x x → − วิธีทำ ( ) ( ( )) 3 3 2 2 2 2 lim 4 3 lim 4 3 x x x x → → − = − ( ( )) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 lim 4 3 4lim lim3 4(2) 3 (13) 2,197 x x x x x → → → = − = − = − = = ตัวอย่าง 2.2.11 จงหาค่าของ 3 2 1 lim 3 6 5 x x x →− + − วิธีทำ ( ) 3 2 2 3 1 1 lim 3 6 5 lim 3 6 5 x x x x x x →− →− + − = + − ( ) ( ) 2 3 1 2 3 1 1 1 3 2 3 lim 3 6 5 3 lim 6 lim lim 5 3( 1) 6( 1) 5 8 2 x x x x x x x x →− →− →− →− = + − = + − = − + − − = − = −
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-9 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะเห็นได้ว่าเราไม่สามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท 2.2.1 ได้โดยตรง ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่เพื่อหาค่าลิมิต คุณสมบัติที่ใช้บ่อยในการคำนวณ 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1) ( )( ) 2) ( ) 2 3) ( )( ) a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b − = − + = + = + ตัวอย่าง 2.2.12 จงหาค่าของ 2 5 25 lim x 5 x → x − − วิธีทำ หาลิมิตโดยการแทนค่า x = 5 ไม่ได้เพราะว่าเมื่อ x = 5 แล้ว 2 x − = 25 0 และ x − =5 0 ทำให้ลิมิตอยู่ในรูป 0 0 เพราะฉะนั้น ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่โดยใช้คุณสมบัติข้างต้นได้ดังนี้ ( )( ) 2 5 5 25 5 5 lim lim x x 5 5 x x x → → x x − − + = − − 5 lim( 5) x x → = + =10 ตัวอย่าง 2.2.13 จงหาค่าของ 2 2 2 3 10 lim x 6 x x → x x + − + − วิธีทำ หาลิมิตโดยการแทนค่า x = 2 ไม่ได้เพราะว่าเมื่อ x = 2 แล้ว 2 x x + − = 3 10 0 และ 2 x x + − = 6 0 ทำให้ลิมิตอยู่ในรูป 0 0 เพราะฉะนั้น ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่โดยใช้คุณสมบัติ ข้างต้นได้ดังนี้ 2 2 2 2 3 10 ( 5)( 2) lim lim 6 ( 3)( 2) x x x x x x → → x x x x + − + − = + − + − 2 5 lim x 3 x → x + = + 7 5 = ตัวอย่าง 2.2.14 จงหาค่าของ 2 2 2 2 lim x 4 x x → x − − − วิธีทำ แทนค่า x = 2 ทำให้ลิมิตอยู่ในรูป 0 0 ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่เพื่อหาค่าลิมิตได้ดังนี้ 2 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) lim lim 4 ( 2)( 2) ( 1) lim ( 2) 3 4 x x x x x x x x x x x x → → → − − − + = − − + + = + =
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-10 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.2.15 จงหาค่าของ 2 0 (3 ) 9 lim x x → x + − วิธีทำ แทนค่า x = 0 ทำให้ลิมิตอยู่ในรูป 0 0 ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่เพื่อหาค่าลิมิตได้ดังนี้ ( ) 2 2 0 0 2 0 0 0 (3 ) 9 (9 6 ) 9 lim lim 6 lim (6 ) lim lim 6 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → + − + + − = + = + = = + = ตัวอย่าง 2.2.16 จงหาค่าของ 2 2 0 9 3 lim x x → x + − วิธีทำ แทนค่า x = 0 ทำให้ลิมิตอยู่ในรูป 0 0 ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่เพื่อหาค่าลิมิตได้ดังนี้ ( ) 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 9 3 9 3 9 3 lim lim 9 3 9 9 lim 9 3 1 lim 9 3 1 6 x x x x x x x x x x x x x x → → → → + − + − + + = + + + − = + + = + + = ตัวอย่าง 2.2.17 จงหาค่าของ 0 lim 1 1 x x → x + − วิธีทำ แทนค่า x = 0 ทำให้ลิมิตอยู่ในรูป 0 0 ต้องจัดรูปของฟังก์ชันใหม่เพื่อหาค่าลิมิตได้ดังนี้ ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x → → → → + + = + − + − + + + + = + − = + + =
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-11 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2.3 ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ในการหาค่าลิมิตเราจะพิจารณาลิมิตทั้งสองด้านคือ ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา นิยาม 2.3.1 กำหนดให้ f x( ) เป็นฟังก์ชัน และ a เป็นค่าคงที่ ถ้าลิมิตของฟังก์ชัน f x( ) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ค่า a จากทางซ้าย หาค่าได้และมีค่าเป็นจำนวนจริง L จะเขียนแทนด้วย lim ( ) x a f x L → − = กำหนดให้ f x( ) เป็นฟังก์ชัน และ a เป็นค่าคงที่ ถ้าลิมิตของฟังก์ชัน f x( ) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ค่า a จากทางขวา หาค่าได้และมีค่าเป็นจำนวนจริง L จะเขียนแทนด้วย lim ( ) x a f x L → + = จากนิยามข้างต้น เราจะได้ทฤษฎีบทดังนี้ ทฤษฎีบท 2.3.2 กำหนดให้ L เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า lim ( ) x a f x L → = ก็ต่อเมื่อ lim ( ) lim ( ) x a x a f x L f x → → − + = = หมายเหตุถ้า lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x → → − + หรือลิมิตด้านใดด้านหนึ่งไม่มีค่าแล้ว lim ( ) x a f x → ไม่มีค่า ตัวอย่าง 2.3.1 กำหนดให้ 2 2 1 , 2 ( ) , 2 x x f x x x + = จงหาค่าของ 2 2 lim ( ), lim ( ) x x f x f x → → − + และ 2 lim ( ) x f x → วิธีทำ สำหรับ x 2 จะได้ว่า f x x ( ) 2 1 = + เพราะฉะนั้น 2 2 lim ( ) lim 2 1 2(2) 1 5 x x f x x → → − − = + = + = สำหรับ x 2 จะได้ว่า 2 f x x ( ) = เพราะฉะนั้น 2 2 2 2 lim ( ) lim (2) 4 x x f x x → → + + = = = เนื่องจาก 2 2 lim ( ) lim ( ) x x f x f x → → − + โดยทฤษฎีบท 2.3.2 จะได้ว่า 2 lim ( ) x f x → ไม่มีค่า
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-12 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.3.2 กำหนดให้ 1 , 3 ( ) 2 1 , 3 x x f x x x + = + จงหาค่าของ 3 lim ( ) x f x → วิธีทำ สำหรับ x 3 จะได้ว่า 1 ( ) 2 x f x + = เพราะฉะนั้น 3 3 1 lim ( ) lim x x 2 x f x → → − − + = 3 1 2 + = = 2 สำหรับ x 3 จะได้ว่า f x x ( ) 1 = + เพราะฉะนั้น 3 3 lim ( ) lim 1 x x f x x → → + + = + = +3 1 = 2 เนื่องจาก 3 3 lim ( ) lim ( ) 2 x x f x f x → → − + = = โดยทฤษฎีบท 2.3.2 จะได้ว่า 3 lim ( ) 2 x f x → = ตัวอย่าง 2.3.3 กำหนดให้ 2 ; 2 4 ( ) 1 1 ; 2 x x f x x x − = + จงหาค่าของ 2 lim ( ) x f x → วิธีทำ พิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ดังนี้ 2 2 2 3 lim ( ) lim 2 2 x x 4 4 2 x f x → → − − = − = − = และ 2 2 1 1 3 lim ( ) lim 1 1 x x 2 2 f x x → → + + = + = + = เนื่องจาก 2 2 3 lim ( ) lim ( ) x x 2 f x f x → → − + = = โดยทฤษฎีบท 2.3.2 จะได้ว่า 2 3 lim ( ) x 2 f x → = ตัวอย่าง 2.3.4 กำหนดให้ 2 1 ; 1 ( ) 2 ; 1 x x f x x x + − = − จงหาค่าของ 1 lim ( ) x f x →− วิธีทำ พิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ดังนี้ 2 2 1 1 lim ( ) lim 1 ( 1) 1 2 x x f x x →− →− − − = + = − + = และ 1 1 lim ( ) lim 2 2( 1) 2 x x f x x →− →− + + = = − = − เนื่องจาก 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x →− →− − + โดยทฤษฎีบท 2.3.2 จะได้ว่า 1 lim ( ) x f x →− ไม่มีค่า
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-13 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2.4 ลิมิตที่อนันต์ ในการหาลิมิตของฟังก์ชันที่ผ่านมานั้นเราจะพิจารณาค่าของลิมิตของฟังก์ชัน f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงลิมิตของฟังก์ชันในขณะที่ x มีค่ามากขึ้นอย่าง ไม่มีขอบเขต หรือ x มีค่าน้อยลงอย่างไม่มีขอบเขต กรณีที่ 1 เมื่อ x มีค่ามากขึ้นจนไม่มีขอบเขต ค่าของ f x( ) มีค่าเข้าใกล้ L เราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์บวก มีค่าเท่ากับ L และเขียนแทนด้วย lim ( ) x f x L →+ = กรณีที่ 2 เมื่อ x มีค่าน้อยลงจนไม่มีขอบเขต ค่าของ f x( ) มีค่าเข้าใกล้ L เราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์ลบ มีค่าเท่ากับ L และเขียนแทนด้วย lim ( ) x f x L →− = กรณีที่ 3 เมื่อ x มีค่ามากขึ้นจนไม่มีขอบเขต ค่าของ f x( ) มีค่ามากขึ้น เราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์บวก มีค่าเท่ากับบวกอนันต์ และเขียนแทนด้วย lim ( ) x f x →+ = + ทำนองเดียวกันเราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์ลบ มีค่าเท่ากับ ลบอนันต์ และเขียนแทนด้วย lim ( ) x f x →− = − กรณีที่ 4 เมื่อ x มีค่ามากขึ้นจนไม่มีขอบเขต ค่าของ f x( ) มีค่าน้อยลง เราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์บวก มีค่าเท่ากับลบอนันต์ และเขียนแทนด้วย lim ( ) x f x →+ = − ทำนองเดียวกันเราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f x( ) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์ลบ มีค่าเท่ากับบวก อนันต์ และเขียนแทนด้วย lim ( ) x f x →− = + หมายเหตุ + และ − ไม่ใช่จำนวนจริง ( + อาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ) คุณสมบัติของค่าอนันต์ ให้ L เป็นค่าของจำนวนจริงใดๆ M เป็นค่าของจำนวนจริงบวกใดๆ และ N เป็นค่าของ จำนวนจริงลบใดๆ 1) 2) 3) 4) ( ) ( ) 5) ( ) ( ) 6) 7) ( ) ( ) 8) ( ) ( ) 9) ( )( ) 10) ( )( ) ( )( ) 11) ( )( ) 12) 13) 14) 15) L L L L M M M M N N N N M M N N + = + = + − = − + = − + + = + − = − = − + = + = + − − = − + = + = − − = − = + + + = + + − + = + − = − − − = + = + − + − = − = − = + ตัวอย่างรูปแบบไม่กำหนด เช่น , , 0 ( ) − เป็นต้น
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-14 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบท 2.4.1กำหนด c เป็นค่าคงตัวและ n เป็นจำนวนเต็มบวก 1) lim x c c → + = และ lim x c c → − = 2) lim 0 x c → + x = และ lim 0 x c → − x = 3) lim 0 n x c → + x = และ lim 0 n x c → − x = ตัวอย่าง 2.4.1 จงหาค่าของ 2 2 2 1 lim x 2 3 x x →+ x x + + + − วิธีทำ ถ้าพิจารณาลิมิตเบื้องต้นจะพบว่า 2 2 2 1 lim x 2 3 x x →+ x x + + + = + − + ยังไม่สามารถสรุปได้ จัดรูปฟังก์ชันใหม่ โดยนำ 2 x หารทุกพจน์ในฟังก์ชันทั้งเศษและส่วน 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 lim lim 2 3 2 3 1 1 2 lim 2 3 1 1 1 lim 2 lim lim 200 2 2 3 1 0 0 lim 1 lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+ →+ →+ →+ →+ →+ →+ →+ →+ + + + + = + − + − + + = + − + + + + = = = + − + − ตัวอย่าง 2.4.2 จงหาค่าของ 3 5 6 lim x 3 4 x →+ x x + + + วิธีทำ ถ้าพิจารณาลิมิตเบื้องต้นจะพบว่า 3 5 6 lim x 3 4 x →+ x x + + = + + + ยังไม่สามารถสรุปได้ จัดรูปฟังก์ชันใหม่ โดยนำ 3 x หารทุกพจน์ในฟังก์ชันทั้งเศษและส่วน 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 6 5 6 lim lim 3 4 3 4 5 6 lim 1 4 3 5 6 lim lim 0 0 0 1 4 3 0 0 lim 3 lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+ →+ →+ →+ →+ →+ →+ →+ + + = + + + + + = + + + + = = = + + + +
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-15 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.4.3 จงหาค่าของ 5 3 2 4 lim x 5 1 x x →− x x + + + วิธีทำ ถ้าพิจารณาลิมิตเบื้องต้นจะพบว่า 5 3 2 4 lim x 5 1 x x →− x x + − = + + − ยังไม่สามารถสรุปได้ จัดรูปฟังก์ชันใหม่ โดยนำ 3 x หารทุกพจน์ในฟังก์ชันทั้งเศษและส่วน 5 5 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 lim lim 5 1 5 1 4 4 2 lim 2 lim lim 5 1 5 1 1 lim 1 lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →− →− →− →− →− →− →− →− + + = + + + + + + = = = + + + + + ตัวอย่าง 2.4.4 จงหาค่าของ 2 1 lim x 2 3 x →− x + − วิธีทำ ถ้าพิจารณาลิมิตเบื้องต้นจะพบว่า 2 1 lim x 2 3 x →− x + + = − − ยังไม่สามารถสรุปได้และ 2 , 0 , 0 x x x x x x − = = จัดรูปฟังก์ชันใหม่ โดยนำ x หารทั้งเศษและส่วน 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim 2 3 2 3 1 lim 2 3 1 lim 3 2 1 1 lim 3 2 1 lim 1 lim 1 3 2 lim 2 lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →− →− →− →− →− →− →− →− →− + + = − − + = − − + = − + + = − + + = = − − +
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-16 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2.5 ลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ ลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ที่เราจะพิจารณาในหัวข้อนี้คือลิมิตที่มีรูปแบบ lim ( ) x a f x → = ซึ่งเกิด จากการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเศษส่วนแล้วได้ค่าเป็น 0 c เมื่อ c 0 ซึ่งเราสามารถ แก้ปัญหานี้ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 2.5.1 กำหนดให้ lim ( ) 0 x a f x → = ▪ ถ้า f x( ) 0 สำหรับทุกๆ x a → แล้ว 1 lim ( ) x a → f x = + ▪ ถ้า f x( ) 0 สำหรับทุกๆ x a → แล้ว 1 lim ( ) x a → f x = − หมายเหตุเพื่อความสะดวกในการพิจารณาค่าของลิมิตที่ให้ค่าอนันต์ เราจะกำหนดสัญลักษณ์ ดังนี้ ▪ สำหรับ x a → + หรือ x a → − ที่ทำให้ f x( ) 0 จะแทนสัญลักษณ์ของ 1 lim x a f x( ) → + หรือ 1 lim x a f x( ) → − ดังนี้ 1 1 lim x a f x( ) 0 + + → = = + หรือ 1 1 lim x a f x( ) 0 − + → = = + ▪ สำหรับ x a → + หรือ x a → − ที่ทำให้ f x( ) 0 จะแทนสัญลักษณ์ของ 1 lim x a f x( ) → + หรือ 1 lim x a f x( ) → − ดังนี้ 1 1 lim x a f x( ) 0 + − → = = − หรือ 1 1 lim x a f x( ) 0 − − → = = − ตัวอย่าง 2.5.1 จงหาค่าลิมิต 0 3 lim x→ x วิธีทำ จาก 0 3 3 lim x→ x 0 = พิจารณาฟังก์ชันที่จะหาลิมิตโดยให้ตัวส่วนแทนด้วย f x x ( ) = และ พิจารณาดังนี้ 1. ถ้า x 0 → − แล้ว f x( ) 0 จะได้ 0 3 3 lim x x 0 − − → = = − 2. ถ้า x 0 → + แล้ว f x( ) 0 จะได้ 0 3 3 lim x x 0 + + → = = + เห็นได้ว่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวาไม่เท่ากัน ดังนั้น 0 3 lim x→ x ไม่มีค่า
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-17 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.5.2 จงหาค่าลิมิต 2 1 lim x 2 x → + − วิธีทำ จาก 2 1 1 lim x 2 0 x → + = − พิจารณาฟังก์ชันที่จะหาลิมิตโดยให้ตัวส่วนแทนด้วย f x x ( ) 2 = − และพิจารณาดังนี้ ถ้า x 2 → + แล้ว f x( ) 0 จะได้ 2 1 1 lim x 2 0 x + − → = = − − ตัวอย่าง 2.5.3 จงหาค่าลิมิต 2 3 2 lim x 3 x x → − − − วิธีทำ จาก 2 3 2 7 lim x 3 0 x x → − − − = − พิจารณาฟังก์ชันที่จะหาลิมิตโดยให้ตัวส่วนแทนด้วย f x x ( ) 3 = − และพิจารณาดังนี้ ถ้า x 3 → − แล้ว f x( ) 0 จะได้ ( ) 2 3 2 7 lim x 3 0 x x − − → − = − = − − = + − ตัวอย่าง 2.5.4 จงหาค่าลิมิต ( ) 2 1 2 3 lim 1 x x x → − − วิธีทำ จาก ( ) 2 1 2 3 1 lim x 1 0 x x → − − = − พิจารณาฟังก์ชันที่จะหาลิมิตโดยให้ตัวส่วนแทนด้วย 2 f x x ( ) ( 1) = − และพิจารณาดังนี้ 1. ถ้า x 1 → − แล้ว f x( ) 0 จะได้ ( ) 2 1 2 3 1 lim ( ) x 1 0 x x − + → − = − = − + = − − 2. ถ้า x 1 → + แล้ว f x( ) 0 จะได้ ( ) 2 1 2 3 1 lim ( ) x 1 0 x x + + → − = − = − + = − − เนื่องจาก ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 2 3 lim lim 1 1 x x x x x x → → − + − − = − = − − ดังนั้น ( ) 2 1 2 3 lim 1 x x x → − = − −
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-18 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2.6 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ซึ่งถ้าเราสามารถเขียนกราฟ เป็นเส้นเดียวกันโดยไม่ขาดตอน เราจะเรียกฟังก์ชันนั้นว่ามีความต่อเนื่อง ในทางปฏิบัติเพื่อ ความสะดวกและรวดเร็วเราสามารถใช้นิยามความต่อเนื่องของฟังก์ชันต่อไปนี้ นิยาม 2.6.1 กำหนดฟังก์ชัน f x( ) เป็นฟังก์ชัน จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f x( ) มีความต่อเนื่องที่ x a = ก็ต่อเมื่อ 1) f a( ) หาค่าได้ 2) lim ( ) x a f x → หาค่าได้ ( lim ( ) lim ( )) x a x a f x f x → → − + = 3) ( ) lim ( ) x a f a f x → = ถ้าขาดเงื่อนไขใดใน 3 ข้อดังกล่าว แล้วเราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f x( ) ไม่ต่อเนื่องที่ x a = ตัวอย่าง 2.6.1 กำหนดให้ ; 2 ( ) 2 ; 2 x x f x x x − = − ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x =−2 หรือไม่ วิธีทำ พิจารณาที่ x =−2 1. f ( 2) − = − 2( 2) 4 = − (หาค่าได้) 2. 2 2 lim ( ) lim 2 x x f x x →− →− − − = = − 2 2 lim ( ) lim 2 2( 2) 4 x x f x x →− →− + + = = − = − จะได้ว่า 2 lim ( ) x f x →− ไม่มีค่า(หาค่าไม่ได้) เนื่องจาก 2 2 lim ( ) lim ( ) x x f x f x →− →− − + ดังนั้น f ไม่มีความต่อเนื่องที่ x =−2 ตัวอย่าง 2.6.2 กำหนดให้ 2 1 ; 3 ( ) 6 5 ; 3 x x f x x x + = + ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x = 3 หรือไม่ วิธีทำ พิจารณาที่ x = 3 1. f (3) 2(3) 1 7 = + = (หาค่าได้) 2. ( ) 3 3 lim ( ) lim 2 1 7 x x f x x → → − − = + = 3 3 6 lim ( ) lim 5 7 x x f x x → → + + = + = จะได้ว่า 3 lim ( ) x f x → หาค่าได้เนื่องจาก 3 3 lim ( ) lim ( ) x x f x f x → → − + = 3. 3 (3) lim ( ) x f f x → = ดังนั้น f มีความต่อเนื่องที่ x = 3
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-19 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.6.3 กำหนดให้ 3 f x x ( ) 1 = + ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x =1 หรือไม่ วิธีทำ พิจารณาที่ x =1 1. 3 f (1) 1 1 2 = + = (หาค่าได้) 2. ( ) 3 3 1 1 lim ( ) lim 1 1 1 2 x x f x x → → = + = + = 3. ( ) 3 1 (1) lim 1 x f x → = + ดังนั้น f มีความต่อเนื่องที่ x =1 ตัวอย่าง 2.6.4 กำหนดให้ 2 ( ) 5 x f x x + = − ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ วิธีทำ พิจารณาที่ x = 2 1. 2 2 4 (2) 2 5 3 f + = = − − (หาค่าได้) 2. 2 2 2 4 lim ( ) lim x x 5 3 x f x → → x + = = − − 3. 2 2 (2) lim x 5 x f → x + = − ดังนั้น f มีความต่อเนื่องที่ x = 2 ตัวอย่าง 2.6.5 กำหนดให้ 2 2 4, 2 ( ) 4 8, 2 x x f x x x − = + ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ วิธีทำ พิจารณาที่ x = 2 1. 2 f (2) 2(2) 4 4 = − = (หาค่าได้) 2. ( ) 2 2 2 2 lim ( ) lim 2 4 2(2) 4 4 x x f x x → → − − = − = − = 2 2 lim ( ) lim 4 8 4(2) 8 4 x x f x x → → + + = + = + = จะได้ว่า 2 lim ( ) x f x → หาค่าได้เนื่องจาก 2 2 lim ( ) lim ( ) x x f x f x → → − + = 3. 2 (2) lim ( ) x f f x → = ดังนั้น f มีความต่อเนื่องที่ x = 2
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-20 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 2.6.6 ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x = 4 หรือไม่ เมื่อกำหนดให้ 4 , 4 3( 2) ( ) 4 , 4 3 x x x f x x − − = = วิธีทำ พิจารณาที่ x = 4 1. 4 (4) 3 f = (หาค่าได้) 2. ( ) 4 4 4 lim ( ) lim 3 2 x x x f x x → → − = − ( ) ( )( ) ( ) 4 4 4 2 4 2 4 lim lim x x 3 2 2 3 4 3 x x x x → → x x x − + − + = = = − + − 3. 2 (4) lim ( ) x f f x → = ดังนั้น f มีความต่อเนื่องที่ x = 4 ตัวอย่าง 2.6.7 ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x =−1 และ x = 2 หรือไม่ เมื่อกำหนดให้ ; 1 2 ( ) 4 ; 1 2 1 ; 2 2 x x f x x x x x − − = − − − วิธีทำ พิจารณาที่ x =−1 พิจารณาที่ x = 2 1. f ( 1) ( 1) 1 − = − − = (หาค่าได้) 1. 2 f (2) 4 (2) 0 = − = (หาค่าได้) 2. 1 1 lim ( ) lim ( 1) 1 x x f x x →− →− − − = − = − − = 2. ( ) 2 2 2 2 lim ( ) lim 4 4 2 0 x x f x x → → − − = − = − = ( ) 2 2 1 1 lim ( ) lim 4 4 1 3 x x f x x →− →− + + = − = − − = 2 2 2 lim ( ) lim 1 1 0 x x 2 2 x f x → → + + = − = − = จะได้ว่า 1 lim ( ) x f x →− ไม่มีค่า เนื่องจาก จะได้ว่า 2 lim ( ) x f x → หาค่าได้เนื่องจาก 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x →− →− − + = 2 2 lim ( ) lim ( ) x x f x f x → → − + = ดังนั้น f ไม่มีความต่อเนื่องที่ x =−1 3. 2 (2) lim ( ) x f f x → = ดังนั้น f มีความต่อเนื่องที่ x = 2
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-21 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่2 1.จงใช้สมบัติของลิมิตหาค่าลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 3 2 1 lim (3 2 1) x x x x → − + − 2) 2 3 3 lim x 2 x → x − + 3) 2 4 1 lim x 4 x → x − + 4) 2 3 1 lim x 2 x → − x x + − − 5) 2 2 1 2 lim x 2 x x →− x x + − − + 6) 2 2 3 5 2 lim x 2 x x → − x + − − 7) 2 2 3 1 lim (3 5 5) x x x → − + 8) 2 3 1 2 3 4 2 lim 3 6 x x x → x + − + 9) 2 2 5 3 10 lim x 10 25 x x → x x + − + + 10) 1 lim 2 7 x x → x + 2. จงหาค่าลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 2 4 16 lim x 4 x → x − − 2) 2 1 1 lim x 2 x → − x x + − − 3) 2 2 1 2 lim x 4 3 x x → x x + − − + 4) 2 2 3 5 2 lim x 2 x x → x − − − 5) 2 14 4 lim x 2 x → x + − − 6) 0 lim h x h x → h + − 7) 9 3 lim x 9 x → x − − 8) 0 4 2 lim x x → x + − 9) 0 1 1 1 lim x→ x x 3 3 − + 10) 5 2 1 3 lim x 5 x → x − − − 11) 7 7 lim 2 3 x x → x − + − 12) 4 2 lim x 4 x → x − −
บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-22 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3. จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 1) 1 lim ( ) x f x → เมื่อ 2 2 4 ; 1 ( ) 2 ; 1 x x f x x x − = + 2) 0 lim ( ) x f x → เมื่อ 2 2 4 ; 1 ( ) ( 2) ; 1 x x f x x x + = − + 3) 1 lim ( ) x f x →− เมื่อ 2 2 1 ; 1 3 1 ( ) 1 ; 1 ( 1) x x x f x x x + − − = − − 4) 2 lim ( ) x f x → เมื่อ 3 4 2 ; 2 ( ) ; 2 x x f x x x − = 4. จงหาค่าลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 3 6 5 3 lim 2 x x x → − + 2) 2 2 3 8 6 lim x 4 4 10 x x → x x + + − − 3) 2 4 5 lim x x → x + 4) 4 3 3 7 5 lim x 3 5 x x → x x − + + 5) 2 2 lim x 3 x x →− x − − − 6) 2 1 lim x 2 9 x x →− x − + − 7) 2 2 3 2 lim 4 4 3 x x x x x x →− − + + − 8) 3 2 3 81 5 7 lim x 3 4 x x →− x x − + + − 3 5. จงตรวจสอบดูว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ในแต่ละข้อเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดที่กำหนดให้หรือไม่ 1) 1 ( ) 3 f x x = − จุด x =1 และ x = 3 2) 2 1 ; 1 ( ) 1 ; 1 x x f x x x − = − จุด x =1 3) 2 4 ; 2 ( ) 2 4 ; 2 x x f x x x − = − = จุด x = 2
ครั้งที่4-5 แผนการสอน รหัสวิชา เวลา 6 ชั่วโมง 02-005-011-109 ชื่อหน่วยเรียนที่ 3 เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ชื่อบทเรียน - อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต - อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง จุดประสงค์การสอน 3.1 รู้และเข้าใจอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 3.1.1 บอกนิยามของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน และนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ 3.1.2 อธิบายการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้นิยามได้ 3.1.3 อธิบายการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตรเบื้องต้นได้ 3.2 รู้และเข้าใจอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของฟังก์ชัน โดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง 3.2.1 ระบุสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม อนุพันธ์ ของฟังก์ชันชี้กำลัง อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน และ อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกได้ 3.2.2 อธิบายการหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชันชี้กำลัง อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติผกผัน และอนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกได้ 3.2.3 อธิบายการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูงได้ วิธีสอนและกิจกรรม 1. บรรยายเนื้อหาตามหน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 2. บรรยายเนื้อหาตามจุดประสงค์การสอน 3. ให้นักศึกษาทำกิจกรรมการเรียนรู้เป็นกลุ่มและนำเสนอ 4. ถาม-ตอบในชั้นเรียน สื่อการสอน หนังสืออ้างอิง บรรณานุกรม เอกสารประกอบการสอน เอกสารการสอนหน่วยที่ 3 วัสดุโสตทัศน์และอุปกรณ์ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพ และไอแพด งานที่มอบหมาย 1. ทำแบบฝึกหัดท้ายบท การวัดผล 1. การสังเกต ความสนใจ และตั้งใจในการเรียน และการทำงานร่วมกันกับเพื่อน 2. ตรวจการบ้านท้ายบทเรียน 3. การทดสอบย่อยเนื้อหาในหน่วยที่ 3 และการสอบกลางภาค
ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในบทนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับอนุพันธ์ ซึ่งเป็นหัวใจหลักของวิชาแคลคูลัสที่เกี่ยวข้องในสาขาวิชาที่ใช้ คณิตศาสตร์ประยุกต์ และเนื่องจากอนุพันธ์เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ดังนั้น ในหัวข้อแรกจะกล่าวถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันและจะศึกษาวิธีการหาอนุพันธ์โดยการใช้สูตร ในหัวข้อถัดไป 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 3.1.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน อัตราการเปลี่ยนแปลงมีอยู่ 2 รูปแบบ คือ - อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย เป็นการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่า y f x = ( ) ที่เปลี่ยนแปลงจาก 0 x ไปยัง 1 x ระยะห่างระหว่าง 0 x และ 1 x เขียนแทนด้วย 1 0 = − x x x และเรียก x ว่าส่วนเปลี่ยนแปลงของ x ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f x( ) เทียบกับ x สำหรับค่า x ใดๆ สามารถหาได้จากสูตร y x - อัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะ เป็นการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่า y f x = ( ) ที่เปลี่ยนแปลง ณ จุดๆ หนึ่ง หรือจาก 0 x ไปยัง 1 x ที่มีระยะทางน้อยมากๆ ( 0) →x ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f x( ) เทียบกับ x ณ x ใดๆ สามารถหาได้จากสูตร 0 ( ) ( ) lim x f x x f x → x + − ตัวอย่าง 3.1.1.1 กำหนดให้ 2 y x = + 3 จงหา 1) ส่วนเปลี่ยนแปลงของ x จาก x =1 ถึง x = 3 คือ = − = x 3 1 2 2) ส่วนเปลี่ยนแปลงของ y จาก x =1 ถึง x = 3 คือ ( ) ( ) 2 2 = + − + = y 3 3 1 3 8 3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x จาก x =1 ถึง x = 3 คือ 8 4 2 y x = =
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-2 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 3.1.1.2 จากตัวอย่าง 3.1.1.1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ y เทียบกับ x ที่จุดใดๆ และที่จุด x =1 วิธีทำ จาก 2 f x x ( ) 3 = + และนิยามของอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ y เทียบกับ x จะได้ ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 2 0 2 0 0 0 ( ) 3 ( 3) ( ) ( ) lim lim 2 ( ) ( ) 3 ( 3) lim 2 ( ) ( ) lim (2 ) lim lim 2 2 x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → + − + + − + = + + + − + = + = + = = + = ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ y เทียบกับ x ที่จุดใดๆ คือ 2x และอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ y เทียบกับ x ที่จุด x =1 คือ 2 ตัวอย่าง 3.1.1.3 ให้รถคันหนึ่งเคลื่อนที่ได้ระยะทางดังสมการ 2 s t t t ( ) 3 4 1 = + + โดยที่ t คือเวลา ที่รถเคลื่อนที่ มีหน่วยเป็นนาที และ st() คือระยะทาง มีหน่วยเป็นเมตร จงหา 1) รถคันนี้มีการเปลี่ยนแปลงของระยะทางอย่างไรจากเวลา t = 2 ถึง t = 5 2) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่รถคันนี้เคลื่อนที่ไป ณ เวลา t = 3 วิธีทำ 1) การเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของเวลาจากจุดสองจุด ก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลานั่นเอง ซึ่งมีค่าเป็น ( ) ( ) 2 2 (5) (2) 5 2 3(5) 4(5) 1 3(2) 4(2) 1 3 s s s t − = − + + − + + = = 25 เมตร/นาที 2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ณ เวลา t ใดๆ มีค่าเป็น ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 0 3( ) 4( ) 1 3 4 1 lim lim 6( ) 3( ) 4( ) lim lim 6 3 4 6 4 t t t t s t t s t t t t t t t t t t t t t t t t t → → → → + − + + + + − + + = + + = = + + = + ดังนั้น ณ เวลา t = 3 จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่รถคันนี้เคลื่อนที่เป็น 6(3) 4 22 + = เมตร/นาที
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-3 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.1.2 นิยามของอนุพันธ์และการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้นิยาม นิยาม 3.1.2ให้ y f x = ( ) เป็นฟังก์ชัน ถ้า 0 ( ) ( ) lim x f x x f x → x + − หาค่าได้เรียกค่าลิมิตที่ได้นี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ใดๆ เขียนแทนด้วย f x ( ) หรือ df x( ) dx หรือ dy dx หรือ y นั่นคือ 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − = และกำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ณ จุด 0 x x = ดังนี้ 0 f x ( ) หรือ 0 ( ) x x df x dx = หรือ 0 x x dy dx = หรือ 0 y x ( ) ตัวอย่าง 3.1.2.1 กำหนดให้ f x x ( ) 2 3 = + จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f โดยใช้นิยาม วิธีทำ จาก f x x ( ) 2 3 = + จะได้ f x x x x x x ( ) 2( ) 3 2 2 3 + = + + = + + ดังนั้น 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim (2 2 3) (2 3) lim 2 lim lim 2 2 x x x x f x x f x f x x x x x x x x → → → → + − = + + − + = = = = นั่นคือ f x ( ) 2 = ตัวอย่าง 3.1.2.2 กำหนดให้ 2 f x x ( ) 1 = + จงใช้นิยามหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ณ จุด x = 3 วิธีทำ จาก 2 f x x ( ) 1 = + จะได้ 2 f x x x x ( ) ( ) 1 + = + + และอนุพันธ์ของ f ณ จุดใดๆ คือ ( ) ( ) 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim (( ) 1) ( 1) lim 2 ( ) ( ) 1 1 lim 2 ( ) ( ) lim 2 lim lim 2 2 x x x x x x f x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → + − = + + − + = + + + − − = + = + = = + = ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ณ จุด x = 3 คือ f (3) 2(3) 6 = =
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-4 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.1.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร จากหัวข้อที่ผ่านมาเห็นได้ว่าการหาอนุพันธ์จากนิยามมีความยุ่งยาก ดังนั้นเพื่อความสะดวก ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงได้มีการคิดสูตรขึ้นมา และในหัวข้อนี้เราจะศึกษาสูตรการหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชันพีชคณิต การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีสูตรคำนวณหาอนุพันธ์ดังต่อไปนี้ ให้ f x( ) และ g x( ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ 1) 0 dc dx = เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 2) ( ) d cx c dx = เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 3) 1 n dx n nx dx − = เมื่อ n เป็นจำนวนจริงใดๆ 4) ( ) ( ) d d cf x c f x dx dx = เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 5) [ ( ) ( )] ( ) ( ) d d d f x g x f x g x dx dx dx = 6) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x f x g x g x f x dx dx dx = + 7) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] d d g x f x f x g x d f x dx dx dx g x g x − = ตัวอย่าง 3.1.3.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) f x x ( ) 2 1 = + จะได้ ( ) 2 1 2 1 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d f x x x x dx dx dx dx = + = + = + = 2) 1 2 2 1 1 f x x f x x x x ( ) ( ) x x − − = + − = + − จะได้ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 ( ) 1 2 1 2 d dx d d f x x x x x x x x x dx dx dx dx x − − − = + − = + − = − − = − − 3) 4 3 y x x = + − ( 1)( 4) จะได้ 4 3 4 3 3 4 4 2 3 3 ( 1)( 4) ( 1) ( 4) ( 4) ( 1) ( 1)(3 ) ( 4)(4 ) d d d y x x x x x x dx dx dx x x x x = + − = + − + − + = + + − 4) 2 3 4 1 x y x + = + จะได้ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) (3 4) (3 4) ( 1) 3 4 ( 1)(3) (3 4)(2 ) 1 ( 1) ( 1) d d x x x x d x x x x dx dx y dx x x x + + − + + + + − + = = = + + +
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-5 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 3.1.3.2 กำหนดให้ 4 2 f x x x ( ) 2 8 = − + จงหาค่าของ f ( 1) −และ f (2) วิธีทำ อนุพันธ์ของ f ณ จุด x ใดๆ คือ ( ) 4 2 4 2 3 3 ( ) 2 8 2 8 2(4 ) 2 8 2 d f x x x dx d d d x x dx dx dx x x x x = − + = − + = − = − ดังนั้น 3 f ( 1) 8( 1) 2( 1) 6 − = − − − = − และ 3 f (2) 8(2) 2(2) 60 = − = ตัวอย่าง 3.1.3.3 กำหนดให้ 2 1 x y x = + จงหาค่าของ x 3 dy dx = วิธีทำ อนุพันธ์ของ y ณ จุด x ใดๆ คือ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 dx d x x x dy d x dx dx dx dx x x + − + = = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 (2 ) 1 1 1 x x x x x x + − − = = + + ดังนั้น ( ) 2 2 2 3 1 3 8 2 100 25 x 3 1 dy dx = − − = = = − + ตัวอย่าง 3.1.3.4 กำหนดให้ 2 1 x y x = − จงหาค่าของ x 4 dy dx = วิธีทำ อนุพันธ์ของ y ณ จุด x ใดๆ คือ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 dx d x x x dy d x dx dx dx dx x x − − − = = − − ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 2 2 1 1 2 2 1 3 2 2 1 x x x x x x x x − − − − = − − = − ดังนั้น ( ) 3 2 2 4 3 2(4) (4) 2 4 x 1 4 dy dx = − = = − −
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-6 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย อนุพันธ์ของ ฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์อันดับสูง 3.2.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ h x g f x ( ) ( )( ) = ซึ่งเราเรียกว่า กฎลูกโซ่ ดังต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 3.2.1.1 ถ้า y g u = ( ) และ u f x = ( ) โดย g u ( ) และ f x ( ) หาค่าได้ จะได้ ( ) ( ) dy d d g u f x dx du dx = หรือ dy dy du dx du dx = นั่นคือ ( ) ( ) ( ( )) ( ) g f x g f x f x = ถ้า ( ( )) n y f x = เมื่อ n R และ f x ( ) หาค่าได้ จะได้ว่า ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = ตัวอย่าง 3.2.1.1 กำหนดให้ 2 12 y x x = + + ( 1) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = จะได้ 2 12 2 12 1 2 2 2 11 2 11 ( 1) 12( 1) ( 1) (1) 12( 1) ( ) 12( 1) (2 1) dy d x x dx dx d x x x x dx dx dx d x x dx dx dx x x x − = + + = + + + + = + + + + = + + + ตัวอย่าง 3.2.1.2 กำหนดให้ 3 y x = + 2 1 จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จาก 3 y x = + 2 1 นั่นคือ ( ) 1 3 2 y x = + 2 1 จากสูตร ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2 2 2 1 3 2 2 1 1 2 1 (2 1) 2 1 2 1 (6 ) 2 3 2 1 dy d x dx dx d x x dx x x x x − − = + = + + = + = +
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-7 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 3.2.1.3 กำหนดให้ 3 y u = −1 2 และ 2 u x x = − จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร dy dy du dx du dx = จะได้ ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 ( 6 )(2 1) 6( ) (2 1) dy dy du dx du dx d d u x x du dx d d d d u x x du du dx dx u x x x x = = − − = − − = − − = − − − ตัวอย่าง 3.2.1.4 กำหนดให้ ( ) 4 y u = −1 และ 3 u x = + 2 จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร dy dy du dx du dx = และ ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = จะได้ (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 3 3 3 2 2 3 1 2 4 1 1 2 4 1 ( 1)(3 ) 12 1 2 dy dy du dx du dx d d u x du dx d d d u u x du dx dx u x x x = = − + = − − + = − − = − − − ตัวอย่าง 3.2.1.5 กำหนดให้ ( ) 5 4 y x x = + − 2 (5 3) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x f x g x g x f x dx dx dx = + และ ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 5 5 4 4 5 4 3 4 5 4 3 4 5 4 3 4 5 3 2 (5 3) 2 (5 3) (5 3) 2 2 (4)(5 3) (5 3) (5 3) (5) 2 2 2 (4)(5 3) (5 3) (5 3) (5) 2 2 4 2 (5 3) (5) 5(5 3) 2 (1) 20 2 (5 3) 5( dy d x x dx dx d d x x x x dx dx d d x x x x x x dx dx d d d d x x x x x x dx dx dx dx x x x x x x = + − = + − + − + = + − − + − + + = + − − + − + + = + − + − + = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 4 3 5 3) 2 5 2 (5 3) 4( 2) (5 3) 5 2 (5 3) (9 5) x x x x x x x x x − + = + − + + − = + − +
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-8 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กำหนดให้ u f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เทียบ x ได้จากผลของกฎลูกโซ่จะได้ 1) d du u u e e dx dx = 2) ln d du u u a a a dx dx = เมื่อ a 0 และ a 1 ตัวอย่าง 3.2.2.1 กำหนดให้ 3 1 x y e + = จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร d du u u e e dx dx = จะได้ 3 1 3 1 3 1 3 1 ( ) (3 1) (1) (3 ) 3 x x x x dy d e dx dx d e x dx dx d e dx dx e + + + + = = + = + = ตัวอย่าง 3.2.2.2 กำหนดให้ 2 2 4 1 5 x x y − + = จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร ln d du u u a a a dx dx = จะได้ ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 4 1 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 (5 ) 5 ln 5 (2 4 1) 5 ln 5 (2 4 1) 5 ln 5 4 4 x x x x x x x x dy d dx dx d x x dx d dx d x dx dx dx x − + − + − + − + = = − + = − + = − ตัวอย่าง 3.2.2.3 กำหนดให้ 3 3 x x y e − = + จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร d du u u e e dx dx = และ ln d du u u a a a dx dx = จะได้ ( )( ) ( )( ) (3 3 ) 3 3 3 3 ln 3 ( ) 3 3 ln 3 x x x x x x x x dy d e dx dx d d e dx dx d e x dx e − − − − = + = + = + − = −
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-9 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันฟังก์ชันลอการิทึม กำหนดให้ u f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เทียบ x ได้จะได้ 1) 1 ln d du u dx u dx = เมื่อ u 0 2) 1 log ln a d du u dx u a dx = เมื่อ u 0 , a 0 และ a 1 ตัวอย่าง 3.2.3.1 กำหนดให้ y x = ln(3 ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร 1 ln d du u dx u dx = จะได้ 1 1 (ln 3 ) (3 ) 3 dy d d x x dx dx x dx x = = = ตัวอย่าง 3.2.3.2 กำหนดให้ 3 y x = + log (2 3 ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร 1 log ln a d du u dx u a dx = จะได้ ( ) ( ) 3 1 3 (log (2 3 )) (2 3 ) (2 3 ) ln 3 (2 3 ) ln 3 dy d d x x dx dx x dx x = + = + = + + ตัวอย่าง 3.2.3.3 กำหนดให้ y x x = + ln(4 5) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณและ 1 ln d du u dx u dx = จะได้ ( ln(4 5) ln(4 5) ln(4 5) ) dy d d dx x x x x x dx dx dx dx = + = + + + ( ) 1 (4 5) ln(4 5) 4 5 4 ln(4 5) 4 5 d x x x x dx x x x = + + + + = + + + ตัวอย่าง 3.2.3.4 กำหนดให้ 7 y x = + ln (3 2) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = และ 1 ln d du u dx u dx = จะได้ ( ) 7 6 6 6 ln (3 2) 7ln (3 2) ln(3 2) 1 7ln (3 2) (3 2) 3 2 1 21ln (3 2) 3 2 dy d x dx dx d x x dx d x x x dx x x = + = + + = + + + = + +
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-10 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ กำหนดให้ u f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เทียบ x ได้จะได้ 1) sin cos d du u u dx dx = 2) cos sin d du u u dx dx = − 3) 2 tan sec d du u u dx dx = 4) 2 cot cosec d du u u dx dx = − 5) sec sec tan d du u u u dx dx = 6) cosec cosec cot d du u u u dx dx = − ตัวอย่าง 3.2.4.1 กำหนดให้ y x = + sin(2 1) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร sin cos d du u u dx dx = จะได้ (sin(2 1)) cos(2 1) (2 1) 2cos(2 1) dy d d x x x x dx dx dx = + = + + = + ตัวอย่าง 3.2.4.2 กำหนดให้ 2 y x = + cos( 3 1) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร cos sin d du u u dx dx = − จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 cos( 3 1) sin 3 1 3 1 1 sin 3 1 3 1 3 1 2 1 sin 3 1 3 1 6 2 3 sin 3 1 3 1 dy d x dx dx d x x dx d x x x dx x x x x x x − − = + = − + + = − + + + = − + + + = − + ตัวอย่าง 3.2.4.3 กำหนดให้ 3 y x x = − sec(4 ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร sec sec tan d du u u u dx dx = จะได้ 3 333 2 3 3 sec(4 ) sec(4 ) tan(4 ) (4 ) (4 3 )sec(4 ) tan(4 ) dy d x x dx dx d x x x x x x dx x x x x x = − = − − − = − − −
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-11 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน กำหนดให้ u f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เทียบ x ได้จะได้ 1) 2 1 arcsin 1 d du u dx dx u = − 2) 2 1 arccos 1 d du u dx dx u = − − 3) 2 1 arctan 1 d du u dx u dx = + 4) 2 1 arccot 1 d du u dx u dx = − + 5) 2 1 arcsec 1 d du u dx dx u u = − 6) 2 1 arccosec 1 d du u dx dx u u = − − ตัวอย่าง 3.2.5.1 กำหนดให้ 2 y x = arccos(3 ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร 2 1 arccos 1 d du u dx dx u = − − จะได้ 2 2 2 2 4 4 1 1 6 arccos(3 ) (3 ) (6 ) 1 (3 ) 1 9 1 9 dy d d x x x x dx dx dx x x x = = − = − = − − − − ตัวอย่าง 3.2.5.2 กำหนดให้ y x = − arctan(2 1) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร 2 1 arctan 1 d du u dx u dx = + จะได้ 2 2 1 2 arctan(2 1) (2 1) 1 (2 1) 1 (2 1) dy d d x x dx dx x dx x = − = − = + − + − ตัวอย่าง 3.2.5.3 กำหนดให้ y x = sin(arcsec ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร sin cos d du u u dx dx = และ 2 1 arcsec 1 d du u dx dx u u = − จะได้ 2 2 sin(arcsec ) cos(arcsec ) arcsec 1 cos(arcsec ) 1 cos(arcsec ) 1 dy d x dx dx d x x dx dx x x x dx x x x = = = − = −
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-12 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.6 อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกเป็นฟังก์ชันที่นิยามในรูปของ x e และ x e − ดังนี้ 1) sinh 2 x x e e x − − = 2) cosh 2 x x e e x − + = 3) sinh tanh cosh x x x x x e e x x e e − − − = = + 4) cosh coth sinh x x x x x e e x x e e − − + = = − 5) 1 2 sech cosh x x x x e e − = = + 6) 1 2 cosech x sinh x x x e e − = = − สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก กำหนดให้ u f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เทียบ x ได้จะได้ 1) sinh cosh d du u u dx dx = 2) cosh sinh d du u u dx dx = 3) 2 tanh sech d du u u dx dx = 4) 2 coth cosech d du u u dx dx = − 5) sech sech tanh d du u u u dx dx = − 6) cosech cosech coth d du u u u dx dx = − ตัวอย่าง 3.2.6.1 กำหนดให้ y x = sinh(2 ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร sinh cosh d du u u dx dx = จะได้ (sinh(2 )) cosh(2 ) (2 ) 2cosh(2 ) dy d d x x x x dx dx dx = = = ตัวอย่าง 3.2.6.2 กำหนดให้ cosh( )x y e = จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร cosh sinh d du u u dx dx = จะได้ cosh( ) sinh( ) ( ) sinh( ) dy d d x x x x x e e e e e dx dx dx = = = ตัวอย่าง 3.2.6.3 กำหนดให้ 4 3 y x = sech ( ) จงหาค่าของ dy dx วิธีทำ จากสูตร ( ) 1 ( ) ( ) dy n n f x f x dx − = และ sech sech tanh d du u u u dx dx = − จะได้ 4 3 3 3 3 sech ( ) 4sech ( ) sech( ) dy d d x x x dx dx dx = = ( )( ) 3 3 3 3 3 2 4 3 3 4sech ( ) sech( ) tanh( ) ( ) 12 sech ( ) tanh( ) d x x x x dx x x x = − = −
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-13 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.7 อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย เมื่อความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y กำหนดอยู่ในรูปสมการที่ไม่ได้เขียนค่า y ไว้เด่นชัด จะเรียก y ว่าเป็นฟังก์ชันโดยปริยายหรือฟังก์ชันแฝง (Implicit Function) ของ x เช่น 2 2 y xy x + + = 3 2 4 , x y y x ln 2 ln 0 + = เป็นต้น การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง ทำได้โดยตรง คือ หาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมในสมการโดยพิจารณา y เป็นฟังก์ชันของ x แล้วหา dy dx ตัวอย่าง 3.2.7.1 กำหนดสมการ 2 2 x y + = 4 จงหา dy dx วิธีทำ จากสมการ 2 2 x y + = 4 หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ 2 2 2 2 ( ) (4) ( ) ( ) (4) d d d d d x y x y dx dx dx dx dx + = + = 2 2 0 dy x y dx dy x dx y + = = − ตัวอย่าง 3.2.7.2 กำหนดสมการ 2 3 3 5 2 x y x + = จงหา dy dx วิธีทำ จากสมการ 2 3 3 5 2 x y x + = หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 3 5 2 3 5 2 6 15 2 2 6 15 d d x y x dx dx d d x y dx dx dy x y dx dy x dx y + = + = + = − = ตัวอย่าง 3.2.7.3 กำหนดสมการ 2 x xy y − + = 2 3 จงหา dy dx วิธีทำ จากสมการ 2 x xy y − + = 2 3 หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 0 2 2 0 2 1 2( ) 2( ) 2 1 d d x xy y dx dx d d dy x xy dx dx dx dy dx dy x x y dx dx dx dy x x y dx dy x y dx x − + = − + = − + + = − + = − − − − = − +
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-14 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 3.2.7.4 กำหนดสมการ cos( ) xy x = จงหา dy dx วิธีทำ จากสมการ cos( ) xy x = หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ cos( ) sin( ) ( ) 1 sin( ) 1 1 1 sin( ) d dx xy dx dx d xy xy dx dy xy x y dx dy y dx x xy = − = − + = = − − ตัวอย่าง 3.2.7.5 กำหนดสมการ 2 2 ln(3 ) y x e y + = จงหา dy dx วิธีทำ จากสมการ 2 2 ln(3 ) y x e y + = หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ (2 2 ln(3 ) ) 1 2 2 1 2 2 ln 2 1 2 2 ln 2 2 ln 2 1 2 y x y x y x y x x y d d e y dx dx d d dy e dx dx y dx dy dy e dx y dx dy e y dx dy y dx ye + = + = + = − = = − ตัวอย่าง 3.2.7.6 กำหนดสมการ sin y xe x = จงหา dy dx วิธีทำ จากสมการ sin y xe x = หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ ( ) sin cos cos cos y y y y y y y d d xe x dx dx d dx x e e x dx dx dy xe e x dx dy x e dx xe = + = + = − =
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-15 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3.2.8 อนุพันธ์อันดับสูง ในหัวข้อที่ผ่านมาเราได้ศึกษาการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร x ของ y f x = ( ) เราเรียก อนุพันธ์นี้ว่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง ถ้าเรานำอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งนี้ไปหาอนุพันธ์ต่อเราจะเรียกอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งว่า อนุพันธ์อันดับที่สอง และถ้าหาอนุพันธ์ต่อไปเรื่อยๆ จะได้อนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นเรื่อยๆ ดังนี้ กำหนดฟังก์ชัน y f x = ( ) หาอนุพันธ์ได้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของ y เทียบ x จะแทนด้วย ( ) dy y f x dx = = ถ้าฟังก์ชัน y f x = ( ) หาอนุพันธ์ต่อได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y เทียบ x จะแทนด้วย 2 2 ( ) d dy d y y f x dx dx dx = = = ถ้าฟังก์ชัน y f x = ( ) หาอนุพันธ์ต่อได้อนุพันธ์อันดับที่สามของ y เทียบ x จะแทนด้วย 2 3 2 3 ( ) d d y d y y f x dx dx dx = = = ถ้าฟังก์ชัน y f x = ( ) หาอนุพันธ์ต่อได้อนุพันธ์อันดับที่สี่ของ y เทียบ x จะแทนด้วย 3 4 (4) (4) 3 4 ( ) d d y d y y f x dx dx dx = = = ในกรณีทั่วไป อนุพันธ์อันดับที่ n ของ y เทียบ x จะแทนด้วย 1 ( ) ( ) 1 ( ) n n n n n n d d y d y y f x dx dx dx − − = = = ตัวอย่าง 3.2.8.1 กำหนดให้ 6 3 y x x x = − + + 2 5 จงหา y y , และ y วิธีทำ จากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y คือ 6 3 5 2 ( 2 5) 6 6 1 dy d y x x x x x dx dx = = − + + = − + จะได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y คือ 5 2 4 (6 6 1) 30 12 d dy dy d y x x x x dx dx dx dx = = = − + = − และจะได้อนุพันธ์อันดับที่สามของ y คือ 2 4 3 2 (30 12 ) 120 12 d d y dy d y x x x dx dx dx dx = = = − = −
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-16 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 3.2.8.2 กำหนดให้ 2 5 y x = จงหา 3 3 x 1 d y dx = วิธีทำ จากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y คือ 2 3 dy d 5 10 dx dx x x = = − จะได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y คือ 2 2 3 4 d y d dy d 10 30 dx dx dx dx x x = = − = และจะได้อนุพันธ์อันดับที่สามของ y คือ 3 2 3 2 4 5 d y d d y d 30 120 dx dx dx dx x x = = = − ดังนั้น 3 3 5 1 120 120 1 x d y dx = = − = − ตัวอย่าง 3.2.8.3 กำหนดให้ y x x = + 3sin 2 5cos จงหา 4 4 d y dx วิธีทำ จากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y คือ (3sin 2 5cos 6cos2 5sin ) dy d x x x x dx dx = + = − จะได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y คือ ( ) 2 2 6cos 2 5sin 12sin 2 5cos d y d dy d x x x x dx dx dx dx = = − = − − จะได้อนุพันธ์อันดับที่สามของ y คือ ( ) 3 2 3 2 12sin 2 5cos 24cos 2 5sin d y d d y d x x x x dx dx dx dx = = − − = − + และจะได้อนุพันธ์อันดับที่สี่ของ y คือ ( ) 4 3 4 3 24cos 2 5sin 48sin 2 5cos d y d d y d x x x x dx dx dx dx = = − + = + ตัวอย่าง 3.2.8.4 กำหนดให้ 1 2 2 x y e = จงหา 5 5 d y dx วิธีทำ จากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y คือ 1 2 2 2 dy d x x e e dx dx = = จะได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y คือ ( ) 2 2 2 2 2 d y d dy d x x e e dx dx dx dx = = = จะได้อนุพันธ์อันดับที่สามของ y คือ ( ) 3 2 2 2 3 2 2 4 d y d d y d x x e e dx dx dx dx = = = จะได้อนุพันธ์อันดับที่สี่ของ y คือ ( ) 4 3 2 2 4 3 4 8 d y d d y d x x e e dx dx dx dx = = = และจะได้อนุพันธ์อันดับที่ห้าของ y คือ ( ) 5 4 2 2 5 4 8 16 d y d d y d x x e e dx dx dx dx = = =
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-17 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 3.2.8.5 กำหนดให้ 4 2 y x x = + + 4 ln( 1) จงหา 2 2 d y dx วิธีทำ จากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y คือ ( ) 4 2 3 2 2 4 ln( 1) 16 1 dy d x x x x dx dx x = + + = + + และจะได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y คือ 2 3 2 2 2 16 1 d y d dy d x x dx dx dx dx x = = + + ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 2 1 4 48 1 2 2 48 1 d d x x dx dx x x x x x x x x = + + + − = + + − = + + ตัวอย่าง 3.2.8.6 กำหนดให้ 4 2 2 y x x x = + + ( 2 )( 1) จงหา 2 2 d y dx วิธีทำ จากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ y คือ ( ) 4 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 3 2 4 2 2 2 3 6 3 2 2 2 3 ( 2 )( 1) ( 2 ) ( 1) ( 1) ( 2 ) ( 2 )(2)( 1)(2 ) ( 1) (4 2) 4 ( 2 )( 1) ( 1) (4 2) (4 8 )( 1) ( 1) (4 2) dy d x x x dx dx d d x x x x x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + และจะได้อนุพันธ์อันดับที่สองของ y คือ ( ) 2 2 6 3 2 2 2 3 6 3 2 2 2 3 6 3 2 2 6 3 2 2 3 3 2 2 6 3 2 (4 8 )( 1) ( 1) (4 2) (4 8 )( 1) ( 1) (4 2) (4 8 ) ( 1) ( 1) (4 8 ) ( 1) (4 2) (4 2) ( 1) 2 (4 8 ) ( 1)(24 d y d dy dx dx dx d x x x x x dx d d x x x x x dx dx d d x x x x x x dx dx d d x x x x dx dx x x x x x = = + + + + + = + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + 5 2 2 2 2 3 2 + + + + + + 24 ) (12 )( 1) 4 (4 2)( 1) x x x x x x
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-18 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่3 1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้โดยนิยาม 1) 2 f x x ( ) 5 = + 2) f x x ( ) 1 = + 3) 2 1 f x( ) x = 4) 2 f x x ( ) ( 3) = − 2. จงหา dy dx ที่จุด x =1 ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 2 f x x ( ) 6 5 = − 2) 2 ( ) 3 f x x = + 3) 2 1 ( ) 1 f x x = − 4) f x x ( ) 5 1 = − 3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ณ จุดที่กำหนดให้ 1) 2 f x x ( ) 8 5 = − ที่จุด (1,3) 2) 4 ( ) 1 f x x = + ที่จุด (1, 2) − 3) f x x ( ) 3 4 = + ที่จุด ( 4,2) − 4) f x x ( ) 2 1 = − ที่จุด (4, 3) − 4. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 7 y x = 4 2) 5 y x = +12 3) 1 7 ( 2 9) 3 y x x = − + − 4) 1 2 ( 3 5) 4 y x x = − + − 5) 3 7 1 y x x − = + 6) 2 y x x = + − (3 6)(2 3) 7) 2 y x x x = − + − (2 7)(3 4 1) 8) 3 2 3 4 y x x x x ( 7 8)(2 ) − − = + − + 9) 2 3 2 y x x x x = − + − + ( 3)(2 1)( 4) 10) 2 2 y x = + (3 1) 11) 1 5 3 y x = − 12) 4 3 1 4 3 2 y x x = − + 5. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 3 37 y x x = + ( 2 ) 2) 15 y x = − (2 9 ) 3) 3 2 8 y x x x = − + − ( 4 2 1) 4) 2 3 7 y x x − = − 5) 2 3 4 (3 2 1) y x x = − + 6) 3 3 2 y x x = − − (2 1) ( 2) 7) 13 3 12 y x x x = − + (5 8) ( 7 ) 8) 3 5 2 1 x y x − = +
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-19 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 6. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2 60 y x x = − + (2 4 1) ที่จุด x =1 2) 2 3 y x x ( 7 )− = − ที่จุด x = 3 3) 13 3 3 5 4 17 x x y x − = + ที่จุด x = 0 7. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 2 y x = −4 2) 5 3 y x x = − + 7 3 10 3) 7 12 x y x − = + 4) y x = +1 5) 2 y x x = − 2 2 6) 2 y x x = −3 2 7) 2 1 4 x y x = − 8) y x = + − 2 2 8. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) y x x = + 6cos 4sec 2) 3 y x x = tan 3) 8 y x = 2sin 4) 3 y x ecx = 5 cos 5) 4 y x x = − ( sec(2 )) 6) sin 1 cos x y x = − 7) 5 4 3x y x e = 8) 7 3 3 y x x x = + − log (4 3 ) 9) sec( )x y xe = 10) ( ) 3 y x = ln 11) 2 y x = tan (sin ) 12) 2 y x = − cot(1 2 ) 13) cos 1 x y x = − 14) ln(arctan( )) x y e = 15) 1 3 2tan y x = − 16) 3 y x x = 5 cosec 17) arccos 2 x y = 18) 3 y x x = − ln(3 2 ) 19) 2 y x = ln(log3 ) 20) 2 3 3 log (3 ) x y e x = 21) y x x = sin(3 )cos(3 ) 22) 3 y x = tan 23) y x = −1 cosec 24) y x = cos 25) 4 3 y x x = + sin 2 cos 26) 2 y x x = + (1 )arctan 27) 2 y x x x x = − − 2 sin ( 2)cos 28) 3 arccos 5 x y + = 29) 1 cot x y x − = 30) y x x = − 4 arccot( 1)
บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-20 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 9. จงหา dy dx ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 2 2 2 6 x y + = 2) 4 3 x y = 3) x y x − = 3 4) 2 2 1 1 3 x y + = 5) 2 2 x xy y − + = 2 3 6) 2 5 y x e x = 7) 2 2 x y x + − = 1 8) 2 2 ln( ) 5 x y + = 9) 2 2 y e x = 10) 2 2 3 x y e x + = − 10. กำหนดให้ 4 3 2 y x x x x = − + + − 3 2 8 5 1 จงหา 4 4 d y dx 11. กำหนดให้ 2 2 1 y x x = + จงหา 2 2 d y dx 12. กำหนดให้ y x = − 25 3 จงหา 2 2 d y dx 13. กำหนดให้ 2 3 x y x = − จงหา 2 2 d y dx 14. กำหนดให้ y x x = + 3sin 5tan จงหา 3 3 d y dx 15. กำหนดให้ 2 ln( 1) x y x e = − + จงหา 3 3 d y dx 16. กำหนดให้ 2 y x x = + 3 cos(2 ) จงหา 2 2 d y dx
ครั้งที่6-7 แผนการสอน รหัสวิชา เวลา 6 ชั่วโมง 02-005-011-109 ชื่อหน่วยเรียนที่ 4 เรื่อง การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด ชื่อบทเรียน - อนุพันธ์ในทางเรขาคณิต - ความเร็วและความเร่ง - อัตราสัมพัทธ์ - ค่าเชิงอนุพันธ์ และการหาค่าโดยประมาณ - ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน - รูปแบบไม่กำหนด จุดประสงค์การสอน 4.1 รู้และเข้าใจอนุพันธ์ในทางเรขาคณิต 4.1.1 บอกความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ได้ 4.1.2 อธิบายการหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ และสมการของเส้นสัมผัสและเส้นปกติได้ 4.2 รู้และเข้าใจการใช้อนุพันธ์ในการหาความเร็วและความเร่ง 4.2.1 บอกความหมายของความเร็วและความเร่งได้ 4.2.2 อธิบายการใช้อนุพันธ์ในการหาความเร็วและความเร่งได้ 4.2.3 แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรื่องความเร็วและความเร่งได้ 4.3 รู้และเข้าใจการใช้อนุพันธ์ในการหาอัตราสัมพัทธ์ 4.3.1 บอกความหมายของอัตราสัมพัทธ์ได้ 4.3.2 อธิบายการใช้อนุพันธ์ในการหาอัตราสัมพัทธ์ได้ 4.3.3 แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรื่องอัตราสัมพัทธ์ได้ 4.4 รู้และเข้าใจการหาค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณ 4.4.1 บอกนิยามการหาค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณได้ 4.4.2 อธิบายการหาค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณได้ 4.5 เข้าใจการใช้อนุพันธ์ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน 4.5.1 อธิบายการใช้อนุพันธ์ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันได้ 4.5.2 แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรื่องค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันได้ 4.6 รู้จักรูปแบบไม่กำหนด 4.6.1 บอกทฤษฎีบทหลักเกณฑ์โลปิตาลได้ 4.6.2 ใช้ทฤษฎีบทหลักเกณฑ์โลปิตาลในการหาค่าลิมิตได้
ครั้งที่6-7 แผนการสอน (ต่อ) รหัสวิชา เวลา 6 ชั่วโมง 02-005-011-109 วิธีสอนและกิจกรรม 1. บรรยายเนื้อหาตามหน่วยการเรียนรู้ที่ 4 เรื่อง การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 2. บรรยายเนื้อหาตามจุดประสงค์การสอน 3. ให้นักศึกษาทำกิจกรรมการเรียนรู้เป็นกลุ่มและนำเสนอ 4. ถาม-ตอบในชั้นเรียน สื่อการสอน หนังสืออ้างอิง บรรณานุกรม เอกสารประกอบการสอน เอกสารการสอนหน่วยที่ 4 วัสดุโสตทัศน์และอุปกรณ์ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพ และไอแพด งานที่มอบหมาย 1. ทำแบบฝึกหัดท้ายบท การวัดผล 1. การสังเกต ความสนใจ และตั้งใจในการเรียน และการทำงานร่วมกันกับเพื่อน 2. ตรวจการบ้านท้ายบทเรียน 3. การทดสอบย่อยเนื้อหาในหน่วยที่ 4 และการสอบกลางภาค
ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และ รูปแบบไม่กำหนด ในบทนี้เราจะนำอนุพันธ์ของฟังก์ชันมาประยุกต์ใช้ในเรื่องต่างๆ ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชัน สามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ได้ เช่น ใช้ในการหาความชันของเส้นสัมผัสโค้ง ใช้ในการหา ความเร็วและความเร่งทางฟิสิกส์ใช้หาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบไม่กำหนด เป็นต้น 4.1 อนุพันธ์ในทางเรขาคณิต ให้ y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันมีจุด P x f x ( , ( )) และ Q x x f x x ( , ( )) + + อยู่บนกราฟและ ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่าน จุด P และ Q ซึ่งทำมุม กับแกน x ดังรูป จะได้ว่าความชัน L เท่ากับ ( ) ( ) tan f x x f x x + − = สังเกตว่า ถ้าค่าของ x น้อยลง เรื่อยๆ จนมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ สังเกตว่าจุด Q จะเคลื่อนไปตามเส้นโค้งเข้าหาจุด P ขณะที่เส้นตรง L จะเข้าใกล้เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P และมีความชันคือ 0 ( ) ( ) lim ( ) tan x f x x f x f x x → + − = = เมื่อ คือมุมระหว่างเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P กับแกน x
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-2 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y f x = ( ) ที่จุด x ใดๆ คือ ความชันของเส้นสัมผัสกราฟ y f x = ( ) ที่จุด ( , ) x y ใดๆ ถ้าสมการเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด 0 0 ( , ) x y จะได้ สมการเส้นสัมผัส 0 0 ( ) L y y m x x − = − และสมการเส้นปกติ 0 0 ( ) N y y m x x − = − เมื่อ mL และ mN คือความชันของเส้นตรง L และ N ตามลำดับ ถ้าเส้นตรง L ตั้งฉากกับเส้นตรง N จะได้ว่า 1 m m L N = − ถ้าเส้นตรง L ขนานกับเส้นตรง N จะได้ว่า m m L N = ตัวอย่าง 4.1.1 จงหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ 2 y f x x x = = + − ( ) 1 ที่จุด ( 2,1) − วิธีทำ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 2 y x x = + −1 ที่จุด x ใดๆ คือ 2 ( 1) 2 1 dy d x x x dx dx = + − = + และความชันของเส้นสัมผัสกราฟ 2 y x x = + −1 ที่จุด ( 2,1) −คือ 2 2( 2) 1 3 x dy dx =− = − + = − ตัวอย่าง 4.1.2 จงหาสมการของเส้นสัมผัสกราฟ 2 y x = + 5 ที่จุด ( 1,6) − วิธีทำ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 2 y x = + 5 ที่จุด x ใดๆ คือ 2 ( 5) 2 dy d x x dx dx = + = และความชันของเส้นสัมผัสกราฟ 2 y x = + 5 ที่จุด ( 1,6) −คือ 1 2( 1) 2 x dy dx =− = − = − ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสกราฟ 2 y x = + 5 ที่จุด ( 1,6) −คือ y x − = − + 6 2( 1) หรือ y x = − + 2 4 ตัวอย่าง 4.1.3 จงหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ y x = + 4 1 ที่จุด (2,3) วิธีทำ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y x = + 4 1 ที่จุด x ใดๆ คือ 1 2 1 2 ( 4 1) (4 1) 1 (4 1) (4) 2 2 4 1 dy d x dx dx d x dx x x − = + = + = + = + และความชันของเส้นสัมผัสกราฟ y x = + 4 1 ที่จุด (2,3) คือ 2 2 2 x 4(2) 1 3 dy dx = = = +
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-3 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.2 ความเร็วและความเร่ง ให้ฟังก์ชันของการเคลื่อนที่คือ S s t = ( ) เมื่อ S แทนระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดคงที่ จุดหนึ่งในขณะเวลา t ความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเมื่อเทียบกับ การเปลี่ยนแปลงของเวลา เราจึงสามารถคำนวณ ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ได้คือ ความเร็วเฉลี่ยของวัตถุ จาก 0 t t = ถึง 1 t t = คือ 1 0 1 0 S s t s t ( ) ( ) t t t − = − ถ้ากำหนดให้ V v t = ( ) คือความเร็วของวัตถุในขณะเวลาที่ t ใดๆ จะได้ว่า ความเร็ว ( ) ( ) ds v t s t dt = = เนื่องจากค่าของความเร็วมีค่าเป็น บวก หรือ ลบ ขึ้นกับทิศทางของการเคลื่อนที่ ถ้าพิจารณา เฉพาะขนาดของความเร็วเราจะเรียกว่า อัตราเร็ว (speed) นิยามโดย อัตราเร็ว = vt() ความเร่งของการเคลื่อนที่ของวัตถุคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเทียบกับ การเปลี่ยนแปลงของเวลา และถ้าความเร็วของการเคลื่อนที่ กำหนดโดย V v t = ( ) จะได้ว่า ความเร่งเฉลี่ย จาก 0 t t = ถึง 1 t t = คือ 1 0 1 0 V v t v t ( ) ( ) t t t − = − ถ้ากำหนดให้ at() คือความเร่งของวัตถุในขณะเวลาที่ t ใดๆ จะได้ว่า ความเร่ง ( ) ( ) dv a t v t dt = = และอัตราเร่งของวัตถุในขณะเวลาที่ t ใดๆ นิยามโดย อัตราเร่ง = at() ดังนั้นเราสามารถสรุปความสัมพันธ์ระหว่างสมการการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเร่ง ได้ดังนี้ st() s t v t ( ) ( ) = v t a t ( ) ( ) = s t () หมายเหตุ: 1) ระยะทาง ความเร็วเฉลี่ย ความเร็ว ความเร่งเฉลี่ย และความเร่ง ล้วนเป็นปริมาณ เวกเตอร์ นั่นคือ มีขนาดที่มีทิศทางเข้ามาเกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงต้องแสดงเครื่องหมายบวก หรือ ลบ 2) อัตราเร็ว และอัตราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-4 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.2.1 วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ตามเส้นตรงตามสมการเคลื่อนที่ 3 2 s t t t t ( ) 2 = + + กำหนดให้ s เป็นระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวินาทีจงหา 1) ความเร็วเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 2) ความเร็วเมื่อ t = 3 3) ความเร่งเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 4) ความเร่งเมื่อ t = 3 วิธีทำ ให้ vt() = ความเร็วของวัตถุในขณะเวลา t และ at() = ความเร่งของวัตถุในขณะเวลา t 1) หาความเร็วเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 จากสมการของการเคลื่อนที่ 3 2 s t t t t ( ) 2 = + + จะได้ความเร็วเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 คือ 3 2 3 2 (4) (2) (4 2(4) 4)-(2 2(2) 2) 4 2 4 2 82 2 41 s s − + + + + = − − = = ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่จาก t = 2 ถึง t = 4 เท่ากับ 41 เมตร/วินาที 2) หาความเร็วเมื่อ t = 3 ความเร็วของวัตถุในขณะเวลาที่ t ใดๆ คือ ( ) 3 2 2 ( ) 2 3 4 1 ds d v t t t t t t dt dt = = + + = + + ดังนั้นความเร็วของวัตถุในขณะเวลาที่ t = 3 คือ 2 v(3) 3(3) 4(3) 1 40 = + + = เมตร/วินาที 3) หาความเร่งเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 จากสมการความเร็ว 2 v t t t ( ) 3 4 1 = + + จะได้ความเร่งเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 คือ ( ) ( ) 2 2 3(4) 4(4) 1 - 3(2) 4(2) 1 (4) (2) 4 2 4 2 65 21 2 44 22 2 v v − + + + + = − − − = = = ดังนั้นความเร่งเฉลี่ยของการเคลื่อนที่จาก t = 2 ถึง t = 4 เท่ากับ 22 เมตร/วินาที2 4) หาความเร่งเมื่อ t = 3 ความเร่งของวัตถุในขณะเวลาที่ t ใดๆ คือ ( ) 2 ( ) 3 4 1 6 4 dv d a t t t t dt dt = = + + = + ดังนั้นความเร่งของวัตถุในขณะเวลาที่ t = 3 คือ a(3) 6(3) 4 22 = + = เมตร/วินาที2
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-5 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.2.2 อนุภาคเคลื่อนที่ได้ระยะทางตามสมการ 3 s t t t ( ) 2 3 3 = − + (หน่วยเป็นเมตร) ใน เวลา t วินาที จงหาความเร็วและความเร่งของอนุภาคเมื่อเวลา 2 วินาที วิธีทำ จากสมการของการเคลื่อนที่ 3 s t t t ( ) 2 3 3 = − + จะได้ความเร็วเมื่อเวลา t ใดๆ คือ ( ) 3 2 ( ) 2 3 3 6 3 ds d v t t t t dt dt = = − + = − ดังนั้นความเร็วของอนุภาคเมื่อเวลา 2 วินาทีคือ 2 2 6(2) 3 21 t ds dt = = − = เมตร/วินาที และจากความเร็วของอนุภาคเมื่อเวลา t ใดๆ คือ 2 v t t ( ) 6 3 = − จะได้ความเร่งเมื่อเวลา t ใดๆ คือ ( ) 2 ( ) 6 3 12 dv d a t t t dt dt = = − = ดังนั้นความเร่งของอนุภาคเมื่อเวลา 2 วินาทีคือ 2 12(2) 24 t dv dt = = = เมตร/วินาที2 ตัวอย่าง 4.2.3 อนุภาคเคลื่อนที่ได้ระยะทางตามสมการ 3 2 s t t t t ( ) 6 9 41 = − + + (หน่วยเป็นเมตร) ในเวลา t วินาที จงหาเวลา ระยะทาง และความเร่ง เมื่อกำหนดให้ความเร็วเป็นศูนย์ วิธีทำ จากสมการของการเคลื่อนที่ 3 2 s t t t t ( ) 6 9 41 = − + + จะได้ความเร็วและความเร่งเมื่อเวลา t ใดๆ คือ ( ) ( ) 3 2 2 2 ( ) 6 9 41 3 12 9 ( ) 3 12 9 6 12 ds d v t t t t t t dt dt dv d a t t t t dt dt = = − + + = − + = = − + = − 1) หาเวลาเมื่อความเร็วเป็นศูนย์จะได้ 2 2 3 12 9 0 4 3 0 ( 3)( 1) 0 1,3 t t t t t t t − + = − + = − − = = ดังนั้นเวลาที่ความเร็วเป็นศูนย์ คือ 1 วินาที และ 3 วินาที 2) หาระยะทางที่ความเร็วเป็นศูนย์จะได้ ระยะทางที t =1 และ t = 3 ดังนี้ ที่ t =1 จะได้ 3 2 s(1) 1 6(1) 9(1) 41 45 = − + + = เมตร ที่ t = 3 จะได้ 3 2 s(3) 3 6(3) 9(3) 41 41 = − + + = เมตร 3) หาความเร่งที่ความเร็วเป็นศูนย์จะได้ ที่ t =1 จะได้ a(1) 6(1) 12 6 = − = − เมตร/วินาที2 ที่ t = 3 จะได้ a(1) 6(3) 12 6 = − = เมตร/วินาที2
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-6 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.2.4 อนุภาคเคลื่อนที่ได้ระยะทางตามสมการ 2 s t t ( ) ln( 1) = + (หน่วยเป็นเมตร) ในเวลา t วินาที จงหา 1) ความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป 3 วินาที 2) ความเร่งเมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที วิธีทำ 1) จากสมการของการเคลื่อนที่ 2 s t t ( ) ln( 1) = + จะได้ความเร็วเมื่อเวลา t ใดๆ คือ ( ) 2 2 ( ) ln( 1) 2 1 ds v t dt d t dt t t = = + = + ดังนั้นความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป 3 วินาทีคือ 2 3 2(3) 3 t 3 1 5 ds dt = = = + เมตร/วินาที 2) จากสมการความเร็วเมื่อเวลา t ใดๆ คือ 2 2 ( ) 1 t v t t == + จะได้ความเร่งเมื่อเวลา t ใดๆ คือ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 1 (2 )(2 ) 1 2 2 1 dv a t dt d t dt t t t t t t t = = + + − = + − = + ดังนั้นความเร่งเมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาทีคือ ( ) 2 2 2 2 2 2(2) 6 25 t 2 1 dv dt = − = = − + เมตร/วินาที2
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-7 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.3 อัตราสัมพัทธ์ “อัตราสัมพัทธ์” คือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณต่างๆ เทียบกับเวลา ในรูปแบบทั่วไป เราสามารถกำหนดความหมายของอัตราสัมพัทธ์ได้ดังนี้ ให้ y f x = ( ) โดยที่ y และ x เป็นฟังก์ชันของเวลา t เมื่อหาอนุพันธ์ของสมการโดยเทียบ กับ t จะได้ความสัมพันธ์ dy dt = ( ) dx f x dt ซึ่งจะเรียกความสัมพันธ์นี้ว่า “อัตราสัมพัทธ์” ขั้นตอนในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอัตราสัมพัทธ์ทำได้ดังนี้ 1) เขียนรูปประกอบปัญหา 2) กำหนดตัวแปรแทนปริมาณต่างๆ ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา t 3) สร้างสมการความสัมพันธ์ของตัวแปรต่างๆ ซึ่งเป็นจริง ณ เวลา t ใด ๆ 4) หาอนุพันธ์เทียบกับ t ตลอดสมการ (ใช้เทคนิคการหาอนุพันธ์โดยปริยาย) 5) แทนค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลาและค่าของตัวแปรที่ทราบ แล้วคำนวณ อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่ต้องการ โดยการแทนค่าให้พิจารณาดังนี้ (5.1) ถ้าปริมาณ u มีอัตราการเปลี่ยนแปลง “ลดลง” เทียบกับเวลา ในการแทนค่าให้ แทนค่า du dt เป็นลบ (5.2) ถ้าปริมาณ u มีอัตราการเปลี่ยนแปลง “เพิ่มขึ้น” เทียบกับเวลา ในการแทนค่าให้ แทนค่า du dt เป็นบวก 6) สรุปคำตอบของปัญหา ตัวอย่าง 4.3.1 วัตถุชิ้นหนึ่งตกลงไปในสระน้ำนิ่ง ทำให้เกิดรอยกระเพื่อมของน้ำเป็นวงกลมที่ขยายตัว ออกไป ถ้ารัศมีของวงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 0.25 เมตรต่อวินาที อยากทราบว่าพื้นที่ของ รอยกระเพื่อมนี้เพิ่มขึ้นด้วยอัตราเท่าใด เมื่อรัศมีของรอยกระเพื่อมเท่ากับ 20 เมตร วิธีทำ ให้ A แทนพื้นที่ของวงกลม และ r แทนรัศมีของวงกลม จะได้ 2 A r = และความสัมพันธ์ ระหว่าง dA dt และ dr dt ดังนี้ 2 dA dr r dt dt = เนื่องจากรัศมีของวงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 0.25 เมตรต่อวินาทีนั่นคือ 0.25 dr dt = และถ้า r = 20 จะได้ 2 2 (20)(0.25) 10 dA dr r dt dt = = = ดังนั้นพื้นที่ของรอยกระเพื่อมนี้เพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 10 ตารางเมตรต่อวินาที
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-8 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.3.2 ก๊าซรั่วออกจากบอลลูนทรงกลมด้วยอัตรา 4 ลูกบาศก์ฟุตต่อนาที จงหาอัตรา การเปลี่ยนแปลงของรัศมีของบอลลูนขณะที่รัศมีของบอลลูนเท่ากับ 8 ฟุต วิธีทำ ให้ V แทนปริมาตรของบอลลูนทรงกลม และ r คือรัศมีของบอลลูนทรงกลม จะได้ 4 3 3 V r = และความสัมพันธ์ระหว่าง dV dt และ dr dt ดังนี้ 4 2 2 (3 ) 4 3 dV dr dr r r dt dt dt = = เนื่องจากก๊าซรั่วออกจากบอลลูนทรงกลมด้วยอัตรา 4 ลูกบาศก์ฟุตต่อนาทีนั่นคือ 4 dV dt = − และถ้า r = 8 จะได้ 2 2 4 4 4 (8) 1 64 dV dr r dt dt dr dt dr dt = − = = − ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของรัศมีของบอลลูนลดลง 1 64 ฟุตต่อนาที ตัวอย่าง 4.3.3 บันไดยาว 5 เมตร พาดกับกำแพงเมื่อบันไดเลื่อนลงมาทำให้ปลายบันไดด้านล่าง เคลื่อนห่างจากกำแพงด้วยอัตรา 6 เมตรต่อวินาที จงหาว่าถ้าปลายด้านล่างของบันไดอยู่ห่างจาก กำแพง 4 เมตร แล้วปลายด้านบนของบันไดจะเลื่อนลงมาตามกำแพงด้วยอัตราเท่าใด วิธีทำ ให้ x แทนระยะห่างระหว่างปลายด้านล่างของบันไดกับกำแพง y แทนระยะห่างระหว่างปลายด้านบนของบันไดที่เลื่อนลงมาตามกำแพงกับพื้น จากรูป จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y เป็น 2 2 x y + = 25 และจะได้ 2 2 0 dx dy x y dt dt + = จากโจทย์จะได้ 6 dx dt = และถ้า x = 4 จะได้ y = 3 เพราะฉะนั้น 2 2 0 2(4)(6) (2)(3) 0 8 dx dy x y dt dt dy dt dy dt + = + = = − ดังนั้นปลายด้านบนของบันไดจะเลื่อนลงมาตามกำแพงด้วยอัตรา 8 เมตรต่อวินาที 5
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-9 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.4 ค่าเชิงอนุพันธ์และการหาค่าโดยประมาณ 4.4.1 นิยามและการคำนวณค่าเชิงอนุพันธ์ การศึกษาค่าเชิงอนุพันธ์มีความแตกต่างจากการศึกษาอนุพันธ์ คือ ค่าเชิงอนุพันธ์ใช้อธิบาย การเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชัน (ค่าของตัวแปรตาม) ส่วนอนุพันธ์นั้นใช้ในการอธิบายอัตรา การเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของฟังก์ชัน นิยามของค่าเชิงอนุพันธ์ ค่าเชิงอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระคือ จำนวนที่แทนส่วนเพิ่มของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ค่าเชิงอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ x เขียนแทนด้วย dx ค่าเชิงอนุพันธ์ของ y หรือ f เขียนแทนด้วย dy หรือ df เมื่อ f หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือ ผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรอิสระ x กับ dx นั่นคือ dy f x dx = ( ) ตัวอย่าง 4.4.1.1 ให้ 3 2 y x x x = − + + 4 3 5 7 จงหา dy วิธีทำ จาก 3 2 y x x x = − + + 4 3 5 7 จะได้ ( ) ( ) 3 2 2 2 4 3 5 7 12 6 5 12 6 5 dy d x x x dx dx x x dy x x dx = − + + = − + = − + ตัวอย่าง 4.4.1.2 ให้ 2 y x x = ln จงหา dy วิธีทำ จาก 2 y x x = ln จะได้ ( ) ( ) 2 ln 2 ln 2 ln dy d x x dx dx x x x dy x x x dx = = + = + ตัวอย่าง 4.4.1.3 ให้ 2 sin 2 x y x e x − = + − จงหา dy วิธีทำ จาก 2 sin 2 x y x e x − = + − จะได้ ( ) ( ) 2 sin 2 2 2cos 2 2 2cos 2 x x x dy d x e x dx dx x e x dy x e x dx − − − = + − = − − = − −
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-10 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.4.2 การประมาณค่าเชิงเส้น สูตรในการประมาณเชิงเส้นคือ 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + + ขั้นตอนการประมาณค่าเชิงเส้น 1) สร้างฟังก์ชัน y f x = ( ) ที่สอดคล้องกับรูปแบบจำนวนที่ต้องการประมาณค่า เช่น ฟังก์ชันที่กำหนด ตัวอย่างการกำหนดฟังก์ชัน 15.98 y x = 0.003 e x y e = 5ln(0.96) y x = 5ln 3 −7.99 3 y x = 2) หาค่าเชิงอนุพันธ์ dy f x dx = ( ) 3) เลือก 0 x และ dx โดยควรเลือก 0 x ให้คำนวณค่า 0 f x( ) ได้ลงตัว ส่วน dx เป็น จำนวนที่ขาดหรือเกินจากค่า 0 x และในการเลือกจะเลือกค่า dx จะเลือกเป็นบวกหรือ ลบก็ได้ ตัวอย่างการเลือก 0 0 x y dx , , และ dy ฟังก์ชันที่กำหนด ตัวอย่างการเลือก 0 x dx 15.98 16 −0.02 0.003 e 0 0.003 5ln(0.96) 1 −0.04 3 −7.99 −8 0.01 4) หาค่า y f x = ( ) และ dy ที่จุด 0 x โดยแทนค่า 0 x และค่า dx ลงในสมการ (1) และ (2) 0 y f x = ( ) ……………..(1) 0 dy f x dx = ( ) ……………..(2) 5) นำค่า y และ dy ที่ได้ในขั้นที่ 4) แทนลงในสูตรการประมาณค่า 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + +
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-11 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.4.2.1 จงใช้การประมาณเชิงเส้นหาค่าประมาณของ 3 27.3 วิธีทำ เพราะว่า 3 27.3 มีรูปแบบเป็น 3 x เราสร้างฟังก์ชันในการประมาณค่าดังนี้ กำหนดให้ 3 y x = ……………..(1) หาอนุพันธ์ของ 3 y x = เพื่อใช้การประมาณเชิงเส้นดังนี้ 2 3 3 1 ( ) 3 dy d x x dx − = = ……………..(2) เลือก 0 x = 27 , dx = 0.3 (สังเกตว่า 0 x dx + = 27.03 เป็นค่าที่กำหนด) แทนค่าลงใน (1) และ (2) จะได้ว่า 3 0 y f x = = = ( ) 27 3 2 3 1 1 1 (27) (0.3) (0.3) 0.0111... 3 3 9 dy − = = = จากสูตร 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + + ดังนั้น 3 27.3 3 0.0111... 3.0111... + = หมายเหตุ เมื่อเทียบกับค่าจริง 3 27.3 = 3.0110702110075782 การประมาณค่าครั้งนี้มี ความถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 3 ตัวอย่าง 4.4.2.2 จงใช้การประมาณเชิงเส้นหาค่าประมาณของ 3.95 วิธีทำ เพราะว่า 3.95 มีรูปแบบเป็น x เราสร้างฟังก์ชันในการประมาณค่าดังนี้ กำหนดให้ y x = ……………..(1) หาอนุพันธ์ของ y x = เพื่อใช้การประมาณเชิงเส้นดังนี้ 1 2 1 ( ) 2 dy d x x dx − = = ……………..(2) เลือก 0 x = 4 , dx = −0.05 (สังเกตว่า 0 x dx + = 3.95 เป็นค่าที่กำหนด) แทนค่าลงใน (1) และ (2) จะได้ว่า 0 y f x = = = ( ) 4 2 1 2 1 1 1 (4) ( 0.05) ( 0.05) 0.0125 2 2 2 dy − = − = − = − จากสูตร 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + + ดังนั้น 3.95 2 0.0125 1.9875 − =