บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-24 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ในทำนองเดียวกัน ถ้า x g y = ( ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] c d และมีกราฟเป็น ส่วนโค้ง AB แล้วความยาวของส่วนโค้ง AB นี้จะเป็น ( ) 2 2 1 1 ( ) d d c c dx L dy g y dy dy = + = + ตัวอย่าง 6.4.1 จงหาความยาวเส้นโค้งของกราฟ 3 1 6 2 x y x = + จาก x = 2 ถึง x = 4 วิธีทำ จาก 2 1 b a dy L dx dx = + และ 3 2 2 1 1 6 2 2 2 dy d x x dx dx x x = + = − ดังนั้น 2 4 2 2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 3 2 1 1 2 2 1 1 4 2 4 1 2 2 1 2 2 1 6 2 227 24 x x L dx x x dx x x dx x x dx x x x = = + − = + + = + = + = − = ดังนั้นความยาวเส้นโค้งของกราฟ 3 1 6 2 x y x = + จาก x = 2 ถึง x = 4 มีค่าเท่ากับ 227 24 หน่วย
บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-25 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.4.2 จงหาความยาวเส้นโค้งของกราฟ 2 3 y x = จาก x =1 ถึง x = 8 วิธีทำ จาก 2 1 b a dy L dx dx = + และ 1 2 3 3 1 3 2 2 3 3 dy d x x dx dx x − = = = ดังนั้น 2 8 1 1 3 8 2 1 3 2 8 3 2 1 3 1 8 1 2 2 3 3 1 2 1 3 8 1 2 2 3 3 1 1 3 1 8 2 2 2 3 3 1 8 3 2 2 3 1 3 2 2 3 2 1 3 4 1 9 9 4 9 1 9 4 3 9 4 1 9 4 3 6 1 9 4 9 4 18 1 9 4 27 1 9(8) 4 9(1) 27 L dx x dx x x dx x x x dx d x x x x x d x x − − − = + = + + = = + + = + = + + = + = + − + ( ) ( ) 3 4 2 1 80 10 13 13 27 7.6337 = − ดังนั้นความยาวเส้นโค้งของกราฟ 2 3 y x = จาก x =1 ถึง x = 8 มีค่าประมาณ 7.6337 หน่วย
บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-26 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.4.3 จงหาความยาวเส้นโค้งของกราฟ x y = ln(sec ) จาก y = 0 ถึง 3 y = วิธีทำ จาก 2 1 d c dx L dy dy = + และ (ln(sec )) 1 sec sec 1 sec tan sec tan dx d y dy dy d y y dy y y y y = = = = ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 0 3 2 0 3 0 0 1 tan sec sec ln sec tan ln sec tan ln sec0 tan 0 3 3 ln 2 3 ln1 ln 2 3 1.3170 L y dy ydy ydy y y = + = = = + = + − + = + − = + ดังนั้นความยาวเส้นโค้งของกราฟ x y = ln(sec ) จาก y = 0 ถึง 3 y = มีค่าประมาณ 1.3170 หน่วย
บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-27 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่6 1.จงหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้ 2. จงคำนวณหาพื้นที่ที่แรเงาของกราฟต่อไปนี้ 1) 2) 3) 4) 1) 3 1 (4 5 ) x dx − − 6) 1 7 0 (1 2 ) − x dx 2) ( ) 1 2 -2 x x dx − + 8 10 7) 8 4 10 2 − xdx 3) ( ) /2 - /2 1 cos x dx + 8) 2 2 0 8 ex x dx 4) ( ) 2 2 -1 6 1 x x dx − 9) ( ) /6 0 4 sin 2 x x dx 5) ( ) /6 0 2cos 3x dx 10) 0 4 1 4 x xe dx − −
บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-28 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3. จงคำนวณหาพื้นที่ที่แรเงาของกราฟต่อไปนี้ 1) 2) 4. จงแสดงวิธีคำนวณหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุนพื้นที่รอบแกนดังรูปต่อไปนี้ 1) 2) 3) 4)
บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-29 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5) 6) 7) 8) 5. จงหาความยาวของเส้นโค้งของกราฟต่อไปนี้ 1) 2 3 9 4 y x = จาก x = 0 ถึง x =1 ; y 0 2) ( ) 3 2 2 2 1 3 y x = + จาก x =1 ถึง x = 4 3) ( ) 3 2 2 2 3 3 1 9 y x = + จาก x =−1 ถึง x = 2 4) 4 2 2 8y x x = + จาก x =1 ถึง x = 2 5) 2 3 ( 1) 4 x y + = จาก y = 0 ถึง y =1 ; x −1 6) ln(cos ), 0 4 y x x =
บรรณานุกรม กลุ่มวิชาคณิตศาสตร์. (2562). แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร. คณะวิทยาศาสตร์และ เทคโนโลยีการเกษตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลล้านนา เชียงใหม่. จินตนา จูมวงษ์ และ ปริศญารัตณ์ สังกะเพศ. (2554). เอกสารประกอบการสอน วิชาคณิตศาสตร์ สำหรับบริหารธุรกิจและเศรษฐศาสตร์1. คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยแม่โจ้. ปรียา ขุมทรัพย์. (2553). คณิตศาสตร์ เล่ม 2. คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์. ภาควิชาคณิตศาสตร์. (2554). แคลคูลัส 1. คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่. ภาควิชาคณิตศาสตร์. (2544). แคลคูลัส 1. คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่. สิตา ชากฤษณ์. (2554). แคลคูลัส 1. คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยแม่โจ้. อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์. (2565). ปริภูมิสามมิติและเวกเตอร์, สืบค้นเมื่อ วันที่ 1 สิงหาคม พ.ศ. 2564 จาก. http://mathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA112/MA112-260/stnote112th-ch3-t.pdf