บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-12 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.4.2.3 จงหาค่าประมาณของ (1.001) 2(1.001) 3 3 4 7 − + วิธีทำ กำหนดให้ 4 7 3 f x x x ( ) 2 3 = − + จะได้ว่า 1 6 3 8 ( ) 7 3 f x x x = − จากสูตร 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + + ในที่นี้ 0 x =1, dx = 0.001 ดังนั้น 4 4 1 7 7 6 3 3 3 8 (1.001) 2(1.001) 3 [(1) 2(1) 3] [7(1) (1) ](0.001) 3 8 (1 2 3) (7 )(0.001) 3 2 0.0043 2.0043 − + − + + − = − + + − = + = ดังนั้นการประมาณค่าของ (1.001) 2(1.001) 3 3 4 7 − + คือ 2.0043 ตัวอย่าง 4.4.2.4 จงหาค่าประมาณของ 1 3 2 (1.01) 3(1.01) 5 − + วิธีทำ กำหนดให้ ( ) 1 3 ( ) 3 5 2 f x x x = − + จะได้ว่า 1 2 2 3 ( ) 3 2 f x x x − = − จากสูตร 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + + ในที่นี้ 0 x =1, dx = 0.01 ดังนั้น 1 3 1 1 3 3 2 2 2 3 (1.01) 3(1.01) 5 [(1) 3(1) 5] [3(1) (1) ](0.01) 2 3 (1 3 5) (3 )(0.01) 2 3 0.015 3.015 − + − + + − = − + + − = + = ดังนั้นการประมาณค่าของ 1 3 2 (1.01) 3(1.01) 5 − + คือ 3.015 ตัวอย่าง 4.4.2.5 จงหาค่าประมาณของ 92 cos 180 วิธีทำ กำหนดให้ f x x ( ) cos = จะได้ว่า f x x ( ) sin = − จากสูตร 0 0 0 f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) + + ในที่นี้ 0 90 180 2 x = = , 2 180 90 dx = = ดังนั้น 92 cos [cos ] [ sin ] 0 ( 1) 180 2 2 90 90 90 + − = + − = − ดังนั้นการประมาณค่าของ 92 cos 180 คือ 90 −
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-13 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.5 ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน ในหัวข้อนี้เราจะนำอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอนุพันธ์อันดับที่สองมาช่วยหาค่าสูงสุดและ ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน 4.5.1 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด ทฤษฎีบท 4.5.1 กำหนดให้ y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่นิยามค่าบนช่วงเปิด ( , ) a b (1) ถ้า f x ( ) 0 สำหรับทุกค่า x บนช่วงเปิด ( , ) a b แล้ว y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม บนช่วงเปิด ( , ) a b (2) ถ้า f x ( ) 0 สำหรับทุกค่า x บนช่วงเปิด ( , ) a b แล้ว y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันลด บนช่วงเปิด ( , ) a b ตัวอย่าง 4.5.1.1 จงพิจารณาว่า 2 f x x x ( ) 10 25 = − + เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดเมื่อใด วิธีทำ จาก 2 f x x x ( ) 10 25 = − + จะได้ว่า f x x ( ) 2 10 = − จะเห็นว่า f x ( ) 0 เมื่อ 2 10 0 x − หรือ x 5 ดังนั้น f x( ) เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ x 5 ในทำนองเดียวกัน f x ( ) 0 เมื่อ 2 10 0 x − หรือ x 5 ดังนั้น f x( ) เป็นฟังก์ชันลดเมื่อ x 5 ซึ่งสอดคล้องกับกราฟดังนี้ 0 5
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-14 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.5.1.2 จงหาช่วงที่ทำให้ 3 2 f x x x x ( ) 2 3 36 5 = + − + เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด วิธีทำ จาก 3 2 f x x x x ( ) 2 3 36 5 = + − + จะได้ว่า 2 2 f x x x x x x x ( ) 6 6 36 6( 6) 6( 2)( 3) = + − = + − = − + พิจารณา f x x x x ( ) 6( 2)( 3) 0 2, 3 = − + = = − จะได้ช่วงที่ต้องพิจารณาดังนี้ พิจารณาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับที่ 1 ดังนี้ ให้เลือกค่าในช่วงที่ต้องการพิจารณา แล้วแทนค่าใน f x x x ( ) 6( 2)( 3) = − + เพื่อทดสอบ เครื่องหมาย เช่น ถ้าต้องการพิจารณาเครื่องหมายของ f x ( ) บนช่วง − 3 2 x ให้เลือกค่า x =−1 หรือ x = 0 หรือ x =1 เป็นต้น เมื่อนำไปทดสอบจะให้เครื่องหมายเดียวกัน ดังนั้นช่วงที่ทำให้ 3 2 f x x x x ( ) 2 3 36 5 = + − + เป็นฟังก์ชันเพิ่ม คือ ( , 3) − − หรือ (2, ) และช่วงที่ทำให้ 3 2 f x x x x ( ) 2 3 36 5 = + − + เป็นฟังก์ชันลด ได้แก่ ( 3,2) − ตัวอย่าง 4.5.1.3 จงหาช่วงที่ทำให้ 3 2 f x x x ( ) 3 2 = − + เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือเป็นฟังก์ชันลด วิธีทำ จาก 3 2 f x x x ( ) 3 2 = − + จะได้ว่า 2 f x x x x x ( ) 3 6 3 ( 2) = − = − พิจารณา f x x x x ( ) 3 ( 2) 0 0,2 = − = = จะได้ช่วงที่ต้องพิจารณาคือ พิจารณาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับที่ 1 ได้ดังนี้ ดังนั้นช่วงที่ทำให้ 3 2 f x x x ( ) 3 2 = − + เป็นฟังก์ชันเพิ่ม คือ ( ,0) − หรือ (2, ) และช่วงที่ทำให้ 3 2 f x x x ( ) 3 2 = − + เป็นฟังก์ชันลด ได้แก่ (0,2) -3 2 ช่วงที่พิจารณา 1 ช่วงที่พิจารณา 2 ช่วงที่พิจารณา 3 0 2 ช่วงที่พิจารณา 1 ช่วงที่พิจารณา 2 ช่วงที่พิจารณา 3 -3 2 + - + 0 2 + - +
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-15 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.5.2 ค่าวิกฤต ค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน นิยาม 4.5.2.1 สำหรับฟังก์ชัน y f x = ( ) ใดๆ เรียกค่า c I ที่ทำให้ f c ( ) 0 = หรือ ทำให้ f x ( ) หาค่าไม่ได้ ว่า ค่าวิกฤต ของ f และเรียกจุด ( , ( )) c f c ว่า จุดวิกฤต ตัวอย่าง 4.5.2.1 จงหาค่าวิกฤตและจุดวิกฤตของฟังก์ชัน 3 2 f x x x x ( ) 2 9 12 18 = − + − วิธีทำ จาก 3 2 f x x x x ( ) 2 9 12 18 = − + − จะได้ 2 f x x x ( ) 6 18 12 = − + หาค่าวิกฤตโดย กำหนดให้ f x ( ) 0 = จะได้ว่า 2 2 6 18 12 0 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1,2 x x x x x x x − + = − + = − − = = ดังนั้นค่าวิกฤตของ f คือ x =1,2 และจุดวิกฤตของ f คือ (1, (1) 1, 13 f ) = − ( ) และ (1, (2) 1, 14 f ) = − ( ) ตัวอย่าง 4.5.2.2 จงหาค่าวิกฤตและจุดวิกฤตของฟังก์ชัน 3 2 f x x x x ( ) 2 3 36 6 = − − + วิธีทำ จาก 3 2 f x x x x ( ) 2 3 36 6 = − − + จะได้ 2 f x x x ( ) 6 6 36 = − − หาค่าวิกฤตโดย กำหนดให้ f x ( ) 0 = จะได้ว่า 2 2 6 6 36 0 6 0 ( 3)( 2) 0 2,3 x x x x x x x − − = − − = − + = = − ดังนั้นค่าวิกฤตของ f คือ x = −2,3 และจุดวิกฤตของ f คือ (− − = 2, ( 2) 1,50 f ) ( ) และ (3, (3) 3, 75 f ) = − ( ) ตัวอย่าง 4.5.2.3 จงหาค่าวิกฤตและจุดวิกฤตของฟังก์ชัน 3 f x x x ( ) 1 = + + วิธีทำ จาก 3 f x x x ( ) 1 = + + จะได้ 2 f x x ( ) 3 1 = + หาค่าวิกฤตโดยกำหนดให้ f x ( ) 0 = เห็นได้ว่าไม่สามารถหาจำนวนเต็ม x ที่ทำให้ f x ( ) 0 = ได้ ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า 3 f x x x ( ) 1 = + + ไม่มีค่าวิกฤต นิยาม 4.5.2.2 ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง I ใดๆ (1) ถ้ามี c ใน I ที่ทำให้ f c f x ( ) ( ) สำหรับทุก x I แล้วจะเรียก f c( ) ว่า ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บน I และเรียกจุด ( , ( )) c f c ว่าจุดสูงสุดสัมบูรณ์ของ f (2) ถ้ามี c ใน I ที่ทำให้ f c f x ( ) ( ) สำหรับทุก x I แล้วจะเรียก f c( ) ว่า ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f บน I และเรียกจุด ( , ( )) c f c ว่าจุดต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-16 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ นิยาม 4.5.2.3 ให้ f เป็นฟังก์ชันบนช่วง I ใดๆ และ c I (1) ถ้ามีช่วง ( , ) a b ซึ่ง c a b ( , ) และ f c f x ( ) ( ) สำหรับทุก x a b ( , ) แล้วจะเรียก f c( ) ว่า ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f บน I และเรียกจุด ( , ( )) c f c ว่าจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ f บน I (2) ถ้ามีช่วง ( , ) a b ซึ่ง c a b ( , ) และ f c f x ( ) ( ) สำหรับทุก x a b ( , ) แล้วจะเรียก f c( ) ว่า ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f บน I และเรียกจุด ( , ( )) c f c ว่าจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ของ f บน I ตัวอย่าง 4.5.2.3 พิจารณากราฟ y f x = ( ) ในช่วง 1 7 x x x [ , ] ในรูปต่อไปนี้ จากกราฟข้างต้นจะได้ 1) จุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ 2 2 4 4 6 6 ( , ( )), ( , ( )), ( , ( )) x f x x f x x f x ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ 2 4 6 f x f x f x ( ), ( ), ( ) 2) จุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 3 3 5 5 ( , ( )), ( , ( )) x f x x f x ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 3 5 f x f x ( ), ( ) 3) จุดสูงสุดสัมบูรณ์คือ 4 4 ( , ( )) x f x ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ 4 f x( ) 4) จุดต่ำสุดสัมบูรณ์คือ 3 3 ( , ( )) x f x ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ 3 f x( )
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-17 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ขั้นตอนการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 1 เราสามารถหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน y f x = ( ) โดยใช้อนุพันธ์ อันดับที่หนึ่ง ดังนี้ 1) หา f x ( ) 2) หาค่าวิกฤต 0 x x = จากเงื่อนไข f x ( ) 0 = และ f x ( ) หาค่าไม่ได้ 3) ทดสอบค่าวิกฤตด้วยอนุพันธ์อันดับที่ 1 โดยพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ f x ( ) รอบ ๆ 0 x x = และสรุปผลดังนี้ (3.1) ถ้า f x ( ) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (เปลี่ยนจากฟังก์ชันเพิ่มไปเป็นฟังก์ชันลด) ที่ 0 x x = แล้วฟังก์ชัน y f x = ( ) จะให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ 0 x x = (3.2) ถ้า f x ( ) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก (เปลี่ยนจากฟังก์ชันลดไปเป็นฟังก์ชันเพิ่ม) ที่ 0 x x = แล้วฟังก์ชัน y f x = ( ) จะให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ 0 x x = (3.3) ถ้า f x ( ) ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ที่ 0 x x = แล้วฟังก์ชัน y f x = ( ) จะไม่มี ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ 0 x x = 4) นำค่าวิกฤตทุกค่า ไปแทนลงในสมการ y f x = ( ) ค่าที่ได้จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์/ต่ำสุดสัมพัทธ์ ตัวอย่าง 4.5.2.4 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) ของฟังก์ชัน 2 f x x ( ) ( 1) = − วิธีทำ จาก 2 f x x ( ) ( 1) = − จะได้ f x x ( ) 2( 1) = − หาค่าวิกฤตโดยกำหนดให้ f x ( ) 0 = จะได้ว่า 2( 1) 0 1 x x − = = ดังนั้นค่าวิกฤตของ f คือ x =1 จากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ f x ( ) รอบ ๆ x =1 ทำให้ได้ว่า f x ( ) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก (เปลี่ยนจากฟังก์ชันลดไปเป็นฟังก์ชันเพิ่ม) นั่นคือ ฟังก์ชัน y f x = ( ) จะให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ x =1 ดังนั้นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 2 f x (1) ( 1) 0 = − = และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ (1, (1)) (1,0) f = 1 - +
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-18 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.5.2.5 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) ของฟังก์ชัน 3 2 f x x x x ( ) 3 9 10 = − − + วิธีทำ จาก 3 2 f x x x x ( ) 3 9 10 = − − + จะได้ 2 f x x x ( ) 3 6 9 = − − หาค่าวิกฤตโดยกำหนดให้ f x ( ) 0 = จะได้ว่า 2 2 3 6 9 0 2 3 0 ( 1)( 3) 0 1,3 x x x x x x x − − = − − = + − = = − ดังนั้นค่าวิกฤตของ f คือ x = −1,3 จากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ f x ( ) รอบ ๆ x =−1 ทำให้ได้ว่า f x ( ) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (เปลี่ยนจากฟังก์ชันเพิ่มไปเป็นฟังก์ชันลด) นั่นคือ ฟังก์ชัน y f x = ( ) จะให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x =−1 จากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ f x ( ) รอบ ๆ x = 3 ทำให้ได้ว่า f x ( ) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก (เปลี่ยนจากฟังก์ชันลดไปเป็นฟังก์ชันเพิ่ม) นั่นคือ ฟังก์ชัน y f x = ( ) จะให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ x = 3 ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f ( 1) 15 − = และจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ ( 1, ( 1)) ( 1,15) − − = − f ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ f (3) 17 = − และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ (3, (3)) (3, 17) f = − ตัวอย่าง 4.5.2.6 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ จุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) ของฟังก์ชัน 1 3 f x x x ( ) ( 4) = + วิธีทำ จาก 1 3 f x x x ( ) ( 4) = + จะได้ 1 2 3 3 2 3 4 ( 1) 1 3 ( ) ( 4) 3 x f x x x x x − + = + + = หาค่าวิกฤต โดยที่ f x ( ) 0 = และ f x ( ) หาค่าไม่ได้จะได้ x = −1,0 จากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ f x ( ) รอบ ๆ x =−1 ทำให้ได้ว่า f x ( ) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก (เปลี่ยนจากฟังก์ชันลดไปเป็นฟังก์ชันเพิ่ม) นั่นคือ ฟังก์ชัน y f x = ( ) จะให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ x =−1 ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ f ( 1) 3 − = − และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ ( 1, ( 1)) ( 1, 3) − − = − − f -1 3 + - + -1 3 - + +
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-19 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ การทดสอบค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ด้วยอนุพันธ์อันดับ 2 ทฤษฎีบท 4.5.2.4 ถ้า y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ( , ) a b ถ้า 0 x x = คือค่าวิกฤต กล่าวคือ 0 f x ( ) 0 = และ f x ( ) หาค่าได้แล้ว 1) ถ้า 0 f x ( ) 0 แล้ว y f x = ( ) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ 0 x x = 2) ถ้า 0 f x ( ) 0 แล้ว y f x = ( ) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ 0 x x = หมายเหตุ ทฤษฎีบท 4.5.2.4 ใช้ได้เมื่อ f x ( ) หาค่าได้ และ f x ( ) 0 เท่านั้น ซึ่งถ้าเกิดกรณี f x ( ) หาค่าไม่ได้ หรือ f x ( ) 0 = จะต้องกลับไปใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งตามวิธีที่ได้กล่าวมาก่อน หน้านี้ ขั้นตอนการทดสอบค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่ำสุดสัมพัทธ์ด้วยอนุพันธ์อันดับ 2 1) หา f x ( ) 2) หาค่าวิกฤต 0 x x = ที่ทำให้ f x ( ) 0 = และ f x ( ) หาค่าไม่ได้ 3) ทดสอบค่าวิกฤต 0 x x = โดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง ซึ่งมีข้อสรุปดังนี้ ถ้า f x ( ) 0 แสดงว่า ฟังก์ชัน y f x = ( ) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ 0 x x = ถ้า f x ( ) 0 แสดงว่า ฟังก์ชัน y f x = ( ) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ 0 x x = ถ้า f x ( ) 0 = ยังสรุปไม่ได้ต้องกลับไปตรวจสอบด้วยอนุพันธ์อันดับที่ 1 4) นำค่าวิกฤตทุกค่า ไปแทนลงในสมการ y f x = ( ) ค่าที่ได้จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์/ต่ำสุดสัมพัทธ์ ตัวอย่าง 4.5.2.7 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์(ถ้ามี) ของ 2 3 3 ( ) 18 2 2 x f x x x = − − + โดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง วิธีทำ หาอนุพันธ์จนถึงอันดับสอง จาก 2 3 3 ( ) 18 2 2 x f x x x = − − + จะได้ 2 f x x x ( ) 3 3 18 = − − และ f x x ( ) 6 3 = − หาค่าวิกฤต โดยให้ f x ( ) 0 = จะได้ 2 3 3 18 0 x x − − = 2 6 ( 3)( 2) 0 3, 2 x x x x x − − = − + = = − พิจารณาเครื่องหมายของ f x ( ) ที่จุดวิกฤตพบว่า f (3) 6(3) 3 15 0 = − = และ f ( 2) 6( 2) 3 15 0 − = − − = − ดังนั้น ที่ x = 3 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และที่ x =−2 ให้ค่าสูงสุด สัมพัทธ์ นำค่าวิกฤตแทนค่าในโจทย์จะได้ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 2 3 3(3) 65 (3) 3 18(3) 2 2 2 f = − − + = − และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ 2 3 3( 2) ( 2) ( 2) 18( 2) 2 36 2 f − − = − − − − + =
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-20 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.5.2.8 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์(ถ้ามี) ของฟังก์ชัน 4 f x x ( ) ( 1) = − − โดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง วิธีทำ จาก 4 f x x ( ) ( 1) = − − จะได้ว่า 3 f x x ( ) 4( 1) = − − และ 2 f x x ( ) 12( 1) = − − แก้สมการ f x ( ) 0 = จะได้ x =1 พิจารณาเครื่องหมายของ f x ( ) และ f x ( ) รอบ x =1 ดังนี้ ช่วงที่พิจารณา เครื่องหมายของ f x ( ) เครื่องหมายของ f x ( ) สรุป x 1 + ไม่ต้องพิจารณา เป็นฟังก์ชันเพิ่ม x =1 0 0 ยังสรุปไม่ได้ x 1 − ไม่ต้องพิจารณา เป็นฟังก์ชันลด จากตารางถ้าเราทดสอบค่าวิกฤตที่ x =1 โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 พบว่ายังสรุปไม่ได้ว่าที่ x =1 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์แต่ถ้าเราพิจารณารอบ ๆ x =1 โดยดูเครื่องหมาย อนุพันธ์อันดับที่ 1 จะได้ว่า ที่ x =1 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ แทนค่า x =1 ใน 4 f x x ( ) ( 1) = − − จะได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ f (1) 0 = ตัวอย่าง 4.5.2.9 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์(ถ้ามี) ของ 3 2 f x x x x ( ) 2 3 12 5 = − − + วิธีทำ หาอนุพันธ์จนถึงอันดับสอง จาก 3 2 f x x x x ( ) 2 3 12 5 = − − + จะได้ 2 f x x x ( ) 6 6 12 = − − และ f x x ( ) 12 6 = − หาค่าวิกฤต โดยให้ f x ( ) 0 = จะได้ 2 2 6 6 12 0 2 0 ( 1)( 2) 0 1,2 x x x x x x x − − = − − = + − = = − พิจารณาเครื่องหมายของ f x ( ) ที่จุดวิกฤต x = −1,2 พบว่า f ( 1) 12( 1) 6 18 0 − = − − = − และ f (2) 12(2) 6 18 0 = − = ดังนั้น ที่ x =−1 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และที่ x = 2 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ นำค่าวิกฤตแทนค่าในโจทย์ จะได้ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ 3 2 f ( 1) 2( 1) 3( 1) 12( 1) 5 12 − = − − − − − + = และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 3 2 f (2) 2(2) 3(2) 12(2) 5 15 = − − + = −
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-21 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.5.2.10 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์(ถ้ามี) ของฟังก์ชัน 4 3 f x x x ( ) 4 10 = − + วิธีทำ หาอนุพันธ์จนถึงอันดับสอง จาก 4 3 f x x x ( ) 4 10 = − + จะได้ 3 2 f x x x ( ) 4 12 = − และ 2 f x x x ( ) 12 24 = − หาค่าวิกฤต โดยให้ f x ( ) 0 = จะได้ 3 2 2 4 12 0 4 ( 3) 0 0,3 x x x x x − = − = = พิจารณาเครื่องหมายของ f x ( ) ที่จุดวิกฤต x = 0,3 พบว่า 2 f (0) 12(0) 24(0) 0 = − = ยังสรุปไม่ได้ว่าที่ x = 0 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ พิจารณารอบ ๆ x = 0 โดยดูเครื่องหมาย อนุพันธ์อันดับที่ 1 จะพบว่าไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ที่ x = 0 ทำให้ 4 3 f x x x ( ) 4 10 = − + ไม่มีค่าสูงสุด สัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และเนื่องจาก 2 f (3) 12(3) 24(3) 36 0 = − = จะได้ว่าที่ x = 3 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 4 3 f (3) (3) 4(3) 10 17 = − + = − ตัวอย่าง 4.5.2.11 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง ของ ฟังก์ชัน 3 2 f x x x x ( ) 3 9 10 = − − + วิธีทำ หาอนุพันธ์จนถึงอันดับสอง จาก 3 2 f x x x x ( ) 3 9 10 = − − + จะได้ 2 f x x x ( ) 3 6 9 = − − และ f x x ( ) 6 6 = − หาค่าวิกฤต โดยให้ f x ( ) 0 = จะได้ 2 2 3 6 9 0 2 3 0 ( 1)( 3) 0 1,3 x x x x x x x − − = − − = + − = = − พิจารณาเครื่องหมายของ f x ( ) ที่จุดวิกฤต x = −1,3 พบว่า f ( 1) 6( 1) 6 12 0 − = − − = − และ f (3) 6(3) 6 12 0 = − = นั่นคือ ที่ x =−1 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และที่ x = 3 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้นค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ 3 2 f ( 1) ( 1) 3( 1) 9( 1) 10 15 − = − − − − − + = และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ 3 2 f (3) (3) 3(3) 9(3) 10 17 = − − + = − 0 - -
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-22 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.5.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด ตัวอย่าง 4.5.3.1 ในการทดลองการเกษตรครั้งหนึ่งเป็นที่ยอมรับว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้นถ้าใส่ปุ๋ยใน ปริมาณที่เหมาะสม ถ้า x เป็นจำนวนปุ๋ยที่ใช้ หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่ และ C x( ) แทนปริมาณ ผลผลิตที่ได้ หน่วยเป็นถังต่อไร่ กำหนดโดย 3 2 C x x x x ( ) 2 45 324 100 = − + − แล้ว ในการทดลอง การเกษตรครั้งนี้จะต้องใส่ปุ๋ยเท่าใดจึงจะได้ผลผลิตมากที่สุด และได้ผลผลิตมากที่สุดเท่าใด วิธีทำ จากสมการปริมาณผลผลิต 3 2 C x x x x ( ) 2 45 324 100 = − + − หาผลผลิตมากที่สุดจาก อนุพันธ์อันดับที่ 1 นั่นคือ 2 C x x x ( ) 6 90 324 = − + จากเงื่อนไข C x ( ) 0 = จะได้ ( )( ) 2 2 6 90 324 0 15 54 0 6 9 0 6,9 x x x x x x x − + = − + = − − = = ทำให้ได้ค่าวิกฤตคือ x = 6,9 ต่อมาหาอนุพันธ์อันดับที่สองของ 3 2 C x x x x ( ) 2 45 324 100 = − + − จะได้ C x x ( ) 12 90 = − เมื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดโดยวิธีการของอนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ C(6) 12(6) 90 18 0 = − = − ทำให้ C(6) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ C(9) 12(9) 90 18 0 = − = ทำให้ C(9) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าในการทดลองการเกษตรครั้งนี้จะต้องใส่ปุ๋ยจำนวน 6 กิโลกรัมต่อไร่ และจะได้ ผลผลิตมากที่สุดคือ 3 2 C(6) 2(6) 45(6) 324(6) 100 656 = − + − = ถังต่อไร่ ตัวอย่าง 4.5.3.2 ผลบวกของเลขสองจำนวนเท่ากับ 40 จงหาเลขสองจำนวนนี้ที่ทำให้ผลคูณของ เลขจำนวนทั้งสองมีค่ามากที่สุด วิธีทำ ให้ x แทนด้วยเลขจำนวนที่หนึ่ง และ y แทนด้วยเลขจำนวนที่สอง และหาความสัมพันธ์ของตัวแปร x , y ได้เป็น x y + = 40 หรือ y x = − 40 กำหนดฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าสูงสุดโดยกำหนดให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรของผลคูณของเลข จำนวนทั้งสองจะได้ 2 C x xy x x x x ( ) (40 ) 40 = = − = − หาค่ามากที่สุดจากอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง จะได้ C x x ( ) 40 2 = − จากเงื่อนไข C x ( ) 0 = จะได้ x = 20 เป็นค่าวิกฤต ต่อมาหาอนุพันธ์อันดับที่สอง จะได้ C x ( ) 2 = − เมื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดโดยวิธีการของ อนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ C(20) 2 0 = − ทำให้ C(20) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ดังนั้น x = 20 และ y =−= 40 20 20 เป็นค่าที่ทำให้ C x( ) มีค่าสูงสุด
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-23 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.5.3.3 ช่างมีแผ่นเหล็กรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 นิ้ว ยาว 45 นิ้ว เขาต้องการทำกล่อง ไม่มีฝา โดยตัดมุมแผ่นเหล็กออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วพับขึ้นเพื่อทำเป็นข้างกล่อง เขาควรจะตัด มุมออกไปขนาดเท่าใดจึงทำให้ได้กล่องที่มีปริมาตรมากที่สุด วิธีทำ ให้ x แทนความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตัด กำหนดฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าสูงสุดของปริมาตรของ กล่องจะได้ 2 3 ( ) (24 2 )(45 2 ) 1080 138 4 C x x x x x x x = − − = − + หาปริมาตรมากที่สุดจากอนุพันธ์อันดับที่ 1 นั่นคือ 2 C x x x ( ) 1080 276 12 = − + จากเงื่อนไข C x ( ) 0 = จะได้ ( )( ) 2 2 1080 276 12 0 23 90 0 5 18 0 5,18 x x x x x x x − + = − + = − − = = ทำให้ได้ค่าวิกฤตคือ x = 5,18 ต่อมาหาอนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ C x x ( ) 24 276 = − เมื่อหา ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดโดยวิธีการของอนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ C(5) 24(5) 276 156 0 = − = − ทำให้ C(5) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ C(18) 24(18) 276 156 0 = − = ทำให้ C(18) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้นเขาควรจะตัดมุมออกไปขนาด 2 2 x = = 5 25 ตารางนิ้ว จึงทำให้ได้กล่องที่มีปริมาตรมากที่สุด ตัวอย่าง 4.5.3.4 ผลิตกล่องมีฝาใบหนึ่งมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีปริมาตร 320 ลูกบาศก์หลา โดยที่ค่าวัสดุที่ทำฐานกล่องราคาตารางหลาละ 12 บาทและค่าวัสดุที่ทำด้านข้าง และฝากล่องราคา ตารางหลาละ 8 บาท จงหาขนาดของกล่องที่ควรผลิตโดยให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด วิธีทำ จากรูปหาความสัมพันธ์ของตัวแปร x , y ได้เป็น 2 x y = 320 หรือ 2 320 y x = ให้ P x( ) แทนค่าวัสดุที่ใช้ทำกล่อง จะได้เป็น 2 2 2 2560 P x x xy x x ( ) 12 8( ) 20 x = + + = + และมีอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเป็น 3 2 2 2560 40 2560 ( ) 40 x P x x x x − = − = จากเงื่อนไข P x ( ) 0 = จะได้ว่า x = 0,4 เป็นค่าวิกฤต ต่อมาหาอนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ 3 5120 P x( ) 40 x = + เมื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดโดยวิธีการของอนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ 3 5120 (4) 40 0 4 P = + ทำให้ P(4) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ดังนั้นจะต้องทำกล่องที่มีความยาวฐานด้านละ 4 หลา และ มีความสูง 2 320 20 4 = หลา จึงจะทำให้เสียค่าวัสดุน้อยสุด x x y x x
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-24 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 4.6 รูปแบบไม่กำหนด จากการศึกษาเรื่องลิมิตของฟังก์ชันในบทที่ 1 เราได้ศึกษาการหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน ซึ่งเรา พบว่ามีรูปแบบลิมิตบางประเภทที่ยังไม่สามารถสรุปคำตอบได้ รูปแบบเหล่านี้เรียกว่า รูปแบบไม่ กำหนด (Indeterminate forms) ได้แก่ 0 0 , , 0 ,−, 0 0 , 0 และ 1 การหาค่าของ รูปแบบไม่กำหนดเหล่านี้ทำได้โดยใช้ กฎของโลปิตาล ซึ่งกล่าวไว้ดังนี้ ทฤษฎีบท 4.6.1 กฎของโลปิตาล ให้ lim f ( ) 0 x = , lim g x( ) 0 = และให้ A เป็นค่าจำนวนจริงหรือค่าอนันต์ถ้า ( ) lim ( ) f x A g x = แล้ว ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) f x f x A g x g x = = ตัวอย่าง 4.6.1 จงหาค่าของ 2 2 2 6 lim x 4 x x → x + − − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตของ 2 2 2 6 lim x 4 x x → x + − − ได้ค่าเป็นเป็นรูปแบบไม่กำหนดชนิด 0 0 สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ 2 2 2 2 2 2 2 ( 6) 6 lim lim 4 ( 4) 2 1 lim 2 2(2) 1 2(2) 5 4 x x x d x x x x dx x d x dx x x → → → + − + − = − − + = + = = ตัวอย่าง 4.6.2 จงหาค่าของ 0 sin 2 lim x sin 2 x x → x x + − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ 0 0 0 ( sin 2 ) sin 2 lim lim sin 2 ( sin 2 ) 1 2cos 2 lim 1 2cos 2 1 2(1) 3 1 2(1) x x x d x x x x dx x x d x x dx x x → → → + + = − − + = − + = = − −
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-25 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ในกรณีที่เราใช้กฎของโลปิตาลกับ ( ) lim ( ) f x g x แล้วยังได้ผลลัพธ์ว่า ( ) lim ( ) f x g x ยังคงอยู่ใน รูปแบบไม่กำหนด เราสามารถใช้กฎของโลปิตาลซ้ำอีกจนกว่าจะได้ค่า ( ) lim ( ) n f x และ ( ) lim ( ) n g x ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งจะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x f x f x f x g x g x g x g x = = = = ตัวอย่าง 4.6.3 จงหาค่าของ 2 0 1 cos lim x x → x − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ 2 0 0 2 (1 cos ) 1 cos lim lim ( ) x x d x x dx x d x dx → → − − = 0 sin lim x 2 x → x = แทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 ( ) ( ) 0 sin lim 2 x d x dx d x dx → =ใช้กฎโลปิตาลครั้งที่สอง 0 cos 1 lim x 2 2 x → = = ตัวอย่าง 4.6.4 จงหาค่าของ 3 0 sin 2 2 lim x x x → x − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 3 2 0 0 2 0 0 0 sin 2 2 sin 2 2 lim lim 2cos 2 2 lim 3 2cos 2 2 lim 3 4sin 2 lim 6 4sin 2 8cos 2 8 4 lim lim 6 6 3 6 x x x x x x x d x x x x dx x d x dx x x d x dx d x dx x x d x dx x d x dx → → → → → → → − − = − = − = − = − − = = = − = −
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-26 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.6.5 จงหาค่าของ 0 (1 ) lim (1 )ln(1 ) x x x e e → x x − + − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 ใช้สมบัติของลิมิตและใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ 0 0 0 (1 ) (1 ) lim lim lim (1 )ln(1 ) (1 ) ln(1 ) x x x x x x x e e e e → → → x x x x − − = + − + − 0 0 0 (1 ) lim lim (1 0) ln(1 ) x x x d e e dx d x dx → → − = + − 0 1 lim (1) (1) 1 1 1 1 x x e x → − = = = − − ตัวอย่าง 4.6.6 จงหาค่าของ 3 0 (1 cos )sin 4 lim cos x x x → x x − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 ใช้สมบัติของลิมิตและใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ ( ) 3 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 (1 cos )sin 4 1 cos sin 4 1 lim lim lim lim cos cos 1 cos sin 4 1 lim lim lim cos sin 4cos 4 lim lim (1) 2 1 l x x x x x x x x x x x x x x x x x x d d x x dx dx d d x x x dx dx x x x → → → → → → → → → − − = − = = = ( )( ) 0 0 sin im (4)(1) 2 cos lim (4)(1) 2 1 4 1 2 2 x x d x dx d x dx x → → = = = ทฤษฎีบท 4.6.2 กฎของโลปิตาล ให้ lim f x( ) = , lim g x( ) = และให้ A เป็นค่าจำนวนจริงหรือค่าอนันต์ถ้า ( ) lim ( ) f x A g x = แล้ว ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) f x f x A g x g x = =
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-27 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.6.7 จงหาค่าของ 2 2 1 lim x 2 1 x → x + + วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ 2 2 1 2 1 1 lim lim lim x x x 2 1 4 2 2 x x → → → x x + = = = + ตัวอย่าง 4.6.8 จงหาค่าของ 5 2ln lim x 3ln x x → x x + + วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ ( ) ( ) 5 2ln 5 2ln lim lim 3ln 3ln 2 5 lim 5 2 1 x x x d x x x x dx x x d x x dx x x → → → + + = + + + = = + ตัวอย่าง 4.6.9 จงหาค่าของ 5 lim 2 2 x x x → e − + วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น − สามารถใช้กฎของโลปิตาลคำนวณค่าได้ดังนี้ ( ) ( ) 5 5 lim lim 2 2 2 2 5 lim 0 2 x x x x x x d x x dx e d e dx e → → → − − = + + − = = ตัวอย่าง 4.6.10 จงหาค่าของ 3 0 lim ln x x x → + วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 ( ) − จัดฟังก์ชันใหม่จะได้ 3 0 0 3 0 3 3 0 0 4 ln lim ln lim 1 ln lim 1 1 lim lim 0 3 3 x x x x x x x x x d x dx d dx x x x x + + + + + → → → → → = = = = − = −
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-28 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.6.11 จงหาค่าของ lim x x xe − → วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น (0) จัดฟังก์ชันใหม่จะได้ 1 lim lim lim lim 0 x x x x x x x x dx x dx xe e e d e dx − → → → → = = = = ตัวอย่าง 4.6.12 จงหาค่าของ 0 lim ln x x x → + วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 ( ) − จัดฟังก์ชันใหม่จะได้ ( ) 0 0 0 0 2 0 ln lim ln lim 1 ln lim 1 1 lim 1 lim 0 x x x x x x x x x d x dx d dx x x x x + + + + + → → → → → = = = − = − = ตัวอย่าง 4.6.13 จงหาค่าของ 4 lim(1 tan )sec2 x x x → − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 ( ) จัดฟังก์ชันใหม่จะได้ 4 4 4 4 4 2 2 2 (1 tan ) lim (1 tan )sec 2 lim cos 2 (1 tan ) lim cos 2 sec lim 2sin 2 sec lim 2sin 2 2 2 2(1) 1 x x x x x x x x x d x dx d x dx x x x x → → → → → − − = − = − = − = = =
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-29 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.6.14 จงหาค่าของ 0 1 lim cos x ec x x → + − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น − จัดรูปใหม่ดังนี้ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 lim cos lim sin sin lim sin sin lim sin cos 1 lim cos sin sin 0 lim 0 sin 2cos 2 x x x x x x ec x x x x x x x x d x x dx d x x dx x x x x x x x x + + + + + + → → → → → → − = − − = − = − = + − = = = − + ตัวอย่าง 4.6.15 จงหาค่าของ 1 1 lim x 1 ln x x x → + − − วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น − จัดรูปใหม่ดังนี้ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ln 1 lim lim 1 ln ( 1)ln ln 1 lim ( 1)ln 1 ln 1 lim ( 1) ln ln lim 1 1 ln ln lim 1 1 ln 1 1 lim 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x d x x x dx d x x dx x x x x x x x d x dx d x dx x x x x + + + + + + + → → → → → → → − + − = − − − + = − + − = − + = − + = − + = = +
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-30 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.6.16 จงแสดงว่า 1 0 lim(1 ) x x x e → + + = พิสูจน์เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 1 จัดรูปโดยใช้ฟังก์ชัน ln ดังนี้ กำหนดให้ 1 (1 ) x y x = + จะได้ว่า 1 1 ln (1 ) ln ln (1 ) ln (1 ) x x y x x x x + = + = + = ดังนั้น 0 0 ln (1 ) lim (ln ) lim x x x y x → → + + + = แทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 ใช้กฎของโลปิตาลจะได้ว่า 0 0 0 0 ln (1 ) lim (ln ) lim ln (1 ) lim 1 1 lim 1 1 x x x x x y x d x dx dx dx x + + + + → → → → + = + = + = = จะได้ว่า ( ) ( ) 0 0 lim ln ln lim 1 x x y y → → + + = = ดังนั้น 1 0 lim x y e e → + = = นั่นคือ 1 0 lim (1 ) x x x e → + + = ตัวอย่าง 4.6.17 จงหาค่าของ 1 1 1 lim x x x + − → วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 1 จัดรูปโดยใช้ฟังก์ชัน ln ดังนี้ กำหนดให้ 1 x 1 y x − = จะได้ว่า 1 1 1 ln ln ln ln 1 1 x x y x x x x − = = = − − จะได้ว่า 1 1 ln lim(ln ) lim x x 1 x y x → → + + = − แทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 ใช้กฎของโลปิตาลจะได้ว่า ( ) 1 1 1 ln lim(ln ) lim 1 1 lim 1 1 x x x d x dx y d x dx x + + + → → → = − = = จะได้ว่า ( ) ( ) 1 1 lim ln ln lim 1 x x y y → → + + = = ดังนั้น 1 1 lim x y e → + = นั่นคือ 1 1 1 lim x x x e + − → =
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-31 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4.6.18 จงหาค่าของ 1 2 lim x x x → วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 จัดรูปโดยใช้ฟังก์ชัน ln ดังนี้ กำหนดให้ 1 2x y x = จะได้ว่า 1 2 1 ln ln ln ln 2 2 x x y x x x x = = = จะได้ว่า ln lim(ln ) lim x x 2 x y → → x = แทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น ใช้กฎของโลปิตาลจะได้ว่า ( ) 1 ln lim(ln ) lim lim 0 2 2 x x x d x dx x y d x dx → → → = = = จะได้ว่า lim ln ln lim 0 ( ) ( ) x x y y → → = = ดังนั้น 0 lim x y e → = นั่นคือ 1 2 lim 1 x x x → = ตัวอย่าง 4.6.19 จงหาค่าของ 1 lim 1 x x→ x + วิธีทำ เนื่องจากแทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 1 จัดรูปโดยใช้ฟังก์ชัน ln ดังนี้ กำหนดให้ 1 1 x y x = + จะได้ว่า 1 ln 1 1 1 ln ln 1 ln 1 1 x x y x x x x + = + = + = จะได้ว่า 1 ln 1 lim(ln ) lim x x 1 x y x → → + =แทนค่าลิมิตได้ค่าเป็น 0 0 ใช้กฎของโลปิตาลจะได้ว่า 2 2 1 ln 1 lim(ln ) lim 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 x x x x d dx x y d dx x x x x x → → → → + = − + = − = = + จะได้ว่า lim ln ln lim 1 ( ) ( ) x x y y → → = = ดังนั้น 1 lim x y e → = นั่นคือ 1 lim 1 x x e → x + =
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-32 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่4 1. กำหนดเส้นโค้งมีสมการเป็น 3 y x x = − + 3 2 4 จงหาความชันของเส้นโค้งที่จุด (0,4) สมการ ของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด (0,4) และสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสโค้งที่จุด (0,4) 2. ถังน้ำกรวยกลมใบหนึ่งรัศมี 4 ฟุต สูง 10 ฟุต มีจุดยอดอยู่ที่ก้นกรวยถ้าปริมาตรของน้ำไหลเข้าด้วย อัตราคงตัวเป็น 9 ลูกบาศก์ฟุตต่อนาที อยากทราบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของน้ำจะเป็นเท่าใด เมื่อ น้ำสูงจากกรวย 5 ฟุต 3. โลหะทรงกลมอันหนึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 8 นิ้ว หุ้มด้วยน้ำแข็งที่มีความหนาสม่ำเสมอ ถ้าน้ำแข็ง ละลายด้วยอัตรา 10 ลูกบาศก์นิ้วต่อนาที อยากทราบว่าความหนาของน้ำแข็งลดลงด้วยอัตราเร็ว เท่าใดเมื่อความหนาของน้ำแข็งเหลือ 2 นิ้ว และพื้นที่ผิวภายนอกของน้ำแข็งลดลงด้วยอัตราเร็วเท่าใด 4. เรือลำหนึ่งถูกลากเข้าอู่ด้วยเชือก ซึ่งมีปลายข้างหนึ่งผูกติดกับหัวเรือและปลายข้างหนึ่งเป็น วงแหวนผูกติดกับอู่ ที่จุดซึ่งอยู่เหนือหัวเรือ 4 ฟุต ถ้าดึงเชือกด้วยอัตราเร็ว 2 ฟุตต่อวินาที อยากทราบ ว่าเรือแล่นเข้าใกล้อู่ด้วยความเร็วอย่างไร เมื่อเชือกอยู่ห่างวงแหวน 10 ฟุต 5. ลูกบอลลูนอยู่ห่างจากพื้น 200 ฟุต ลอยขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วคงตัว 15 ฟุต/วินาที รถคัน หนึ่งอยู่ใต้บอลลูนแล่นไปตามถนนแนวเส้นตรงด้วยอัตราเร็วคงตัว 45 ไมล์/ชั่วโมง (หรือ 66 ฟุต/ วินาที) อยากทราบว่าระยะทางระหว่างรถยนต์กับบอลลูนเปลี่ยนแปลงอย่างไรในเวลา 1 วินาทีต่อมา 6. ชายคนหนึ่งสูง 6 ฟุต เดินไปตามถนนด้วยอัตราเร็ว 5 ฟุต/วินาที ตรงไปยังโคมไฟซึ่งอยู่เหนือพื้นดิน 16 ฟุต อยากทราบว่าปลายเงาของเขาจะเคลื่อนด้วยอัตราเร็วเท่าใด และความยาวเงาของเขา จะเปลี่ยนแปลงอย่างไร เมื่ออยู่ห่างจากจุดที่อยู่ใต้โคมไฟเป็นระยะทาง 10 ฟุต 7. เรือ 2 ลำ แล่นออกจากจุดเดียวกัน โดยลำแรกออกจากท่าเวลาเที่ยงตรง และแล่นไปใน ทิศตะวันออกด้วยอัตราเร็ว 20 ไมล์/ชั่วโมง เรือลำที่สองแล่นออกจากท่าเวลาบ่ายโมง และเล่นไปใน ทิศใต้ด้วยอัตรา 25 ไมล์/ชั่วโมง อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางระหว่างเรือทั้งสองจะเป็นอย่างไร เมื่อเวลาบ่ายสองโมง 8. ถ้าปริมาตรของลูกบาศก์เพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 4 ฟุต/วินาที อยากทราบว่าพื้นที่ผิวของลูกบาศก์จะเพิ่ม อย่างไร เมื่อพื้นที่ผิวเท่ากับ 24 ตารางเซนติเมตร 9. ถ้าวัตถุมีการเคลื่อนที่ กำหนดโดย 2 s t t t = − + 3 2 ,0 2 โดย s มีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็นวินาที 1) จงหาระยะขจัดเฉลี่ย 2) จงหาอัตราเร็ว ความเร่งที่ตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-33 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 10. ถ้าที่เวลา t ใดๆ อนุภาคเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 3 2 s t t t = − + 6 9 เมตร 1) อัตราเร็วของวัตถุที่ความเร่งเท่ากับ 0 2) จงหาระยะทางจาก t = 0 ถึง t = 2 11. ถ้าวัตถุตกอย่างอิสระบนพื้นผิวของดาว A และ ดาว B มีระยะทางเป็น 2 s t =1.86 และ 2 s t =11.44 ตามลำดับ (s เป็นเมตร t เป็นวินาที) อยากทราบว่าบนดาวทั้งสองวัตถุจะต้องตกมาเป็น เวลาเท่าใดจึงจะมีความเร็วเป็น 27.8 12. ตึกแห่งหนึ่งสูงจากพื้นดิน 179 ฟุต ถ้าหากโยนวัตถุจากยอดตึก ทำให้วัตถุมีความสูงเท่ากับ ยอดตึกที่เวลา t ใดๆ เป็น 2 s t = − 179 16 1) จงหาความเร็ว อัตราเร็ว และความเร่งที่เวลา t ใดๆ 2) วัตถุตกถึงพื้นเมื่อใด 3) เมื่อวัตถุผ่านตำแหน่งที่โยนจะมีอัตราเร็วเท่าใด 13. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง ในเวลา t วินาที วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ s เมตร ตามสมการ 3 2 3 3 t s t t = − − จงหาความเร่งเมื่อวัตถุหยุดนิ่งอีกครั้ง 14. ถ้าสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นหนึ่งในแนวตรงคือ s t = +1 จงแสดงว่าความเร่งมีค่าเป็นลบ 15. จงหา dy จากฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) 3 2 y x x x = − + − 3 5 7 5) 2 1 2 4 x y x x + = − + 2) 3 (1 ) 2 3 x y x − = − 6) 5 2 2 x y − = 3) 2 2 xy x y + = 3 7) cos 2arctan x y e y x = − 4) 2 2 1 x y x = + 8) 2 y x x = −1 16. จงใช้ค่าเชิงอนุพันธ์ หาค่าประมาณของ 1) 145 4) sin 59 2) 3 (2.1) 5) 4 3 2 3 1 (8.01) (8.01) 8.01 + − 3) 4 16.2 6) ln10.2 กำหนด ln10 2.303 =
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-34 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 17. บริษัทเคเบิลทีวีบริษัทหนึ่งปัจจุบันมีสมาชิกจำนวน 10,000 ราย คิดอัตราค่าใช้บริการเดือนละ 900 บาท ฝ่ายวิจัยของบริษัทพบว่า ถ้าค่าใช้บริการลดลงทุกๆ 40 บาท จะทำให้มีสมาชิกเพิ่ม 500 ราย จงหาว่าบริษัทควรลดค่าบริการลงเท่าไรจึงจะมีรายได้จากการใช้บริการมากที่สุด และหารายได้ มากที่สุด 18. จากฟังก์ชันต่อไปนี้จงหา ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน ช่วงของฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด 2 2 2 2 2 1 1) ( ) 1 2) ( ) 1 4 3) ( ) 3 1 x f x x x f x x x f x x + = − = − = + 19. จากฟังก์ชันต่อไปนี้จงหา ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน ช่วงของฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ค่าต่ำสุดหรือ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ( ) 2 4 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 2 1) ( ) 3 2 2) ( ) 2 3) ( ) ( 2) 4) ( ) 3 5) ( ) ( 4) 6) ( ) 8 1 7) ( ) 9 3 8) ( ) ( 5) 9) ( ) 2 12 18 2 10) ( ) 5 15 15 5 f x x x f x x x f x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x x x f x x x x = − − = − = − = − = − = + = − = + = − + + = − + − 20. รถยนต์ยี่ห้อหนึ่งมียอดขาย 5,000 คันต่อเดือน โดยขายในราคาคันละ 700,000 บาท ฝ่ายวิจัย ตลาดของบริษัทประเมินว่าถ้าเพิ่มราคาแล้วจะมียอดขายลดลง 200 คัน ทุก ๆ ราคาที่เพิ่มขึ้น 50,000 บาท จงหาว่าถ้าบริษัทต้องการรายได้สูงสุดแล้วบริษัทควรจะเพิ่มราคาเป็นคันละเท่าใด และจงหา รายได้สูงสุด 21. บริษัทแห่งหนึ่งต้องการผลิตกระป๋อง 1 ล้านใบ โดยที่แต่ละใบมีความจุได้ 16 ลูกบาศก์นิ้ว และ ขายกระป๋องแต่ละใบในราคาใบละ 10 บาท ถ้าบริษัทต้องลงทุนสำหรับค่าวัสดุในการทำกระป๋อง รวมทั้งค่าใช้จ่ายอื่นๆ ตารางฟุตละ 30 บาท จงหาว่าบริษัทได้กำไรมากที่สุดเท่าใด
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์และรูปแบบไม่กำหนด 4-35 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 22. จงใช้กฎของโลปิตาลหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 1) 0 lim 1 x x x xe → − e 13) 0 lim(sin 5 cot 3 ) x x x → 2) 2 0 1 ) lim x x e x → x − − 14) 2 lim(sec tan ) x x x → − 3) 0 8 2 lim 4 x x x→ x − 15) 2 2 lim x x x e → 4) 2 2 4 0 sin sin lim z z z → z − 16) 2 2 0 (1 2 ) lim x x e x → x − + 5) 2 0 lim ln ( 1) x x → x + 17) 2 0 4 2 lim 1 cos x→ x x − − 6) 0 lnsec2 lim x lnsec x → x 18) 5 2 ln lim x x → x 7) 1 0 lim sin( ) x x x → 19) 2 5 lim 1 x x→ x − 8) 100 lim x x x → e 20) 1 0 lim( 3 ) x x x e x → + 9) ln lim x x → x 21) lim(1 ) x x e x e − → − 10) 0 1 1 lim x x x → + − 22) 2 3 3 lim(sec tan ) x x x → − 11) 4 2 lim 1 x x x x → e + + 23) 2 2 2 0 2 lim sin x x x e e x x x − → + − − − 12) 2 lim( ) x x x x → − + 24) 0 (cos 1) lim x sin x x x x → + − −
ครั้งที่9-13 แผนการสอน รหัสวิชา เวลา 15 ชั่วโมง 02-005-011-109 ชื่อหน่วยเรียนที่ 5 เรื่อง การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน ชื่อบทเรียน - ความหมายและสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ - การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น - เทคนิคการหาปริพันธ์ จุดประสงค์การสอน 5.1 รู้และเข้าใจนิยามของปฏิยานุพันธ์และสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ 5.1.1 บอกนิยามของปฏิยานุพันธ์และสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ได้ 5.1.2 อธิบายการหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันได้ 5.2 เข้าใจการหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น 5.2.1 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้สูตรการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต สูตรการหา ปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันลอการิทึม สูตรการหาปริพันธ์ฟังก์ชันชี้กำลัง และ สูตรการหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ 5.3 เข้าใจเทคนิคการหาปริพันธ์ 5.3.1 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรได้ 5.3.2 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การแยกส่วนได้ 5.3.3 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลังได้ 5.3.4 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ 5.3.5 อธิบายการหาปริพันธ์โดยใช้การแยกเป็นเศษส่วนย่อยได้ วิธีสอนและกิจกรรม 1. บรรยายเนื้อหาตามหน่วยการเรียนรู้ที่ 5 เรื่อง การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 2. บรรยายเนื้อหาตามจุดประสงค์การสอน 3. ให้นักศึกษาทำกิจกรรมการเรียนรู้เป็นกลุ่มและนำเสนอ 4. ถาม-ตอบในชั้นเรียน สื่อการสอน หนังสืออ้างอิง บรรณานุกรม เอกสารประกอบการสอน เอกสารการสอนหน่วยที่ 5 วัสดุโสตทัศน์และอุปกรณ์ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพ และไอแพด งานที่มอบหมาย 1. ทำแบบฝึกหัดท้ายบท การวัดผล 1. การสังเกต ความสนใจ และตั้งใจในการเรียน และการทำงานร่วมกันกับเพื่อน 2. ตรวจการบ้านท้ายบทเรียน 3. การทดสอบย่อยเนื้อหาในหน่วยที่ 5 และการสอบปลายภาค
ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน ในบทที่ผ่านมานั้น เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันมาแล้ว สำหรับบทนี้เราจะได้ กล่าวถึงการกระทำตรงกันข้ามกับการหาอนุพันธ์ซึ่งเรียกว่าการหาปฏิยานุพันธ์ หรือการอินทิเกรต 5.1 ความหมายและสัญลักษณ์ของการหาปริพันธ์ นิยาม 5.1.1 ถ้าฟังก์ชัน f x( ) เป็นอนุพันธ์ของ F x( ) กล่าวคือ ( ) ( ) dF x f x dx = แล้วเราจะเรียก F x( ) ว่าเป็นปฏิยานุพันธ์(Anti-derivative) ของฟังก์ชัน f x( ) ตัวอย่าง 5.1.1 ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ 1) F x x ( ) 5 = − เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f x( ) 5 = − เพราะว่า ( ) ( 5 ) 5 d F x x dx = − = − 2) F x x ( ) sin(3 ) = เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f x x ( ) 3cos3 = เพราะว่า ( ) sin 3 3cos3 d F x x x dx = = ตัวอย่าง 5.1.2 ปฏิยานุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน 2 f x x ( ) 3 = วิธีทำ จากความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันทราบว่า 3 2 3 dx x dx = ดังนั้นปฏิยานุพันธ์อันหนึ่งของ 2 f x x ( ) 3 = คือ 3 1 F x x ( ) = นอกจากนี้ยังพบว่า 3 2 F x x ( ) 2 = + (เพราะว่า 2 2 F x x ( ) 3 = ) 3 3 F x x ( ) 1 = − (เพราะว่า 2 3 F x x ( ) 3 = ) สังเกตว่ายังมีฟังก์ชันในรูปแบบนี้เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 2 f x x ( ) 3 = อีกมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นปฏิยานุพันธ์ทั้งหมด (ปฏิยานุพันธ์ทั่วไป) ของ 2 f x x ( ) 3 = เขียนได้ในรูป 3 F x x C ( ) = + เมื่อ C คือค่าคงตัวใดๆ ที่ไม่เฉพาะเจาะจง
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-2 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.1.3 จงหาค่าปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชันต่อไปนี้ วิธีทำ 1) ปฏิยานุพันธ์ของ f x x ( ) sin = − คือ F x x C ( ) cos = + 2) ปฏิยานุพันธ์ของ ( ) x f x e = คือ ( ) x F x e C = + 3) ปฏิยานุพันธ์ของ 4 f x x ( ) 5 = คือ 5 F x x C ( ) = + ในการหาค่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันที่กล่าวมาข้างต้นเรียกว่าเป็นการหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งให้นิยามดังนี้ นิยาม 5.1.2 กระบวนการหาปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ f x( ) เรียกว่า การหาปริพันธ์(Integration) ใช้สัญลักษณ์ f x dx ( ) โดยที่ แทน เครื่องหมายการหาปริพันธ์ (Integral sign) f x( ) แทน ปริพัทธ์ (Integrand) หรือ ตัวถูกปริพันธ์ x แทน ตัวแปรของการหาปริพันธ์ นอกจากนี้ ถ้า F x C ( ) + คือ ปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ f x( ) แล้ว จะเขียนสัญลักษณ์ของ การหาปริพันธ์ได้เป็น f x dx F x C ( ) ( ) = + เมื่อ C คือค่าคงตัวใดๆ และเรียก C ว่า ค่าคงตัวของการหาปริพันธ์ หมายเหตุสัญลักษณ์ f x dx ( ) คือปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ให้ตีความว่าเรากำลังหาฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ เป็น f x( ) ( “diff. อะไรได้ f x( ) ” ) ตัวอย่าง 5.1.4 จงหาค่าของ 4 ( 6 3) x x dx − − วิธ๊ทำ หาค่าของ 4 ( 6 3) x x dx − − จากนิยามที่ว่า 4 F x x x ( ) 6 3 = − − จะได้ปฏิยานุพันธ์ทั่วไปคือ 5 2 ( ) 3 3 5 x F x x x C = − − + ดังนั้น 5 4 2 ( 6 3) 3 3 5 x x x dx x x C − − = − − + 5.2 การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรเบื้องต้น 5.2.1 สมบัติทางพีชคณิตของปริพันธ์ สมมติให้ f และ g เป็นฟังก์ชันของ x และ k คือจำนวนจริงใดๆ 1) ( ) = f g dx f dx g dx (สมบัติกระจายบนการบวกและการลบ) 2) k f dx k f dx = (สมบัติการคูณด้วยค่าคงตัว)
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-3 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.2.2 สูตรการหาปริพันธ์เบื้องต้น เนื่องจากการหาปริพันธ์เป็นการกระทำตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ดังนั้นสูตรการหาปริพันธ์ ก็ได้มาจากสูตรของอนุพันธ์นั่นเอง กำหนดให้ a และ n คือจำนวนจริงใดๆ 1) 1dx dx x C = = + 12) sec tan sec ( x x dx x C ) ( ) = + ( ) 2) 1 1 n n x x dx C n + = + + n −1 13) cosec cot cosec ( x x dx x C ) ( ) = − + ( ) 3) 1 dx x C ln | | x = + 14) sec ln sec tan ( x dx x x C ) = + + ( ) ( ) 4) = x x e dx e C+ 15) cosec ln cosec cot ( x dx x x C ) = − + ( ) ( ) 5) = ln x x a a dx C a + 16) 2 2 1 arctan dx x C x a a a = + + 6) sin cos ( x dx x C ) = − + ( ) 17) 2 2 arcsin dx x C a x a = + − 7) cos sin ( x dx x C ) = + ( ) 18) 2 2 1 arcsec , 0 dx x C a x x a a a = + − 8) ( ) ( ) 2 sec tan x dx x C = + 19) 2 2 2 2 1 ln , 2 dx x a C x a x a a x a − = + − + 9) ( ) ( ) 2 cosec cot x dx x C = − + 20) 2 2 2 2 1 ln , 2 dx a x C a x a x a a x + = + − − 10) tan = ln sec ( x dx x C ) ( ) + 21) 2 2 2 2 ln , 0 dx x x a C a x a = + + + + 11) cot ln sin ( x dx x C ) = + ( ) 22) 2 2 2 2 ln , 0 dx x x a C a x a = + − + −
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-4 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.2.2.1 จงหาค่าของ 2 (3 4 1) x x dx + − วิธีทำ 2 2 (3 4 1) 3 4 1 x x dx x dx x dx dx + − = + − 2 3 2 3 2 3 4 1 3 4 3 2 2 x dx x dx dx x x x C x x x C = + − = + − + = + − + ตัวอย่าง 5.2.2.2 จงหาค่าของ x dx วิธีทำ 1 2 x dx x dx = 1 1 2 3 2 1 ( 1) 2 2 3 x C x C + = + + = + ตัวอย่าง 5.2.2.3 จงหาค่าของ 4 3 5 dx x วิธีทำ 4 4 3 3 5 5 dx x dx x − = 4 1 3 3 3 5 4 1 3 5 3 1 5 x C x C C x − + − = + − + = + − = − + ตัวอย่าง 5.2.2.4 จงหาค่าของ 2 4 2 dx x x − + วิธีทำ 2 2 4 2 1 1 dx dx dx 4 2 x x x x − + = − + 2 2 1 1 4ln 2 4ln 2 2 1 4ln 2 1 2 4ln x x dx x x C x x C x C x − − + − = − + = − + + − + = − + + − = − − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-5 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.2.2.5 จงหาค่าของ 2 2 2 (5 2 6) x x dx x + − + วิธีทำ 1 2 2 2 2 2 2 (5 2 6) 5 2 2 6 x x dx x dx x dx x dx dx x − + − + = + − + 3 3 1 2 3 3 2 5 2 2 6 3 1 3 2 5 4 2 6 3 3 x x x x C x x x C x − = + − + + − = + + + + ตัวอย่าง 5.2.2.6 จงหาค่าของ 3 2 1 (4 3 2 5 ) x x x dx x + + − + วิธีทำ 3 2 3 2 1 1 (4 3 2 5 ) 4 3 2 5 x x x dx x dx x dx xdx dx dx x x + + − + = + + − + 4 3 2 432 4 3 2 5 ln 4 3 2 5 ln x x x x x C x x x x x C = + + − + + = + + − + + ตัวอย่าง 5.2.2.7 จงหาค่าของ 3 3 2 ( ) 6 x − x dx วิธีทำ 3 3 2 2 3 2 3 ( ) ( ) 6 6 x x − = − x dx x dx 3 2 2 3 5 5 2 3 5 5 2 3 1 6 1 6 5 5 2 3 3 15 5 x dx x dx x x C x x C = − = − + = − + ตัวอย่าง 5.2.2.8 จงหาค่าของ 2 ( 4)( 1) x x dx + − วิธีทำ 2 3 2 ( 4)( 1) ( 4 4) x x dx x x x dx + − = − + − 3 2 3 1 2 1 1 1 4 3 2 4 4 4 4 3 1 2 1 1 1 2 4 4 3 x dx x dx xdx dx x x x x C x x x x C + + + = − + − = − + − + + + + = − + − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-6 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.2.2.9 จงหาค่าของ 7 (7 ) x x + + e x dx วิธีทำ 7 7 (7 ) 7 x x x x + + = + + e x dx dx e dx x dx 7 1 8 7 ln 7 7 1 7 ln 7 8 x x x x x e c x e c + = + + + + = + + + ตัวอย่าง 5.2.2.10 จงหาค่าของ 9 (9 ) x x + + x e dx วิธีทำ 9 9 (9 ) 9 x x x x + + = + + x e dx dx x dx e dx 10 9 ln9 10 x x x = + + + e C ตัวอย่าง 5.2.2.11 จงหาค่าของ 3 5 (3 ) 2 x x e dx x + − วิธีทำ 3 3 5 5 (3 ) 3 2 2 x x x x x e dx e dx x − + − = + − 2 2 3 5 ln 3 2( 2) 3 5 ln 3 4 x x x x x e C e C x − = + − + − = + + + ตัวอย่าง 5.2.2.12 จงหาค่าของ ( 2 sin cos ) x x e x x dx + + + วิธีทำ ( 2 sin cos ) 2 sin cos x x x x e x x dx e dx dx xdx xdx + + + = + + + 2 cos sin ln 2 x x = + − + + e x x c ตัวอย่าง 5.2.2.13 จงหาค่าของ 1 (3cos sin ) 5 x x dx − วิธีทำ 1 1 (3cos sin ) 3 cos sin 5 5 x x dx xdx xdx − = − ( ) 1 3sin cos 5 1 3sin cos 5 x x C x x C = − − + = + + ตัวอย่าง 5.2.2.14 จงหาค่าของ 2 2 (3tan sec cosec 5cosec cot ) x x x x x dx − + + วิธีทำ 2 2 2 (3tan sec cosec 5cosec cot ) 3 tan sec x x x x x dx xdx xdx − + + = − 2 cosec 5 cosec cot 3ln sec tan cot 5cosec xdx x xdx x x x x C + + = − − − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-7 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.2.2.15 จงหาค่าของ 3 4 ( 5 2sin ) 3 x x dx − + + วิธีทำ 3 4 4 3 ( 5 2sin ) 5 2 sin 3 3 x x dx x dx dx xdx − − + + = + + 2 2 4 5 2( cos ) 3 2 2 5 2cos 3 x x x C x x C x − = + + − + − = − + − + ตัวอย่าง 5.2.2.16 จงหาค่าของ 2 2 ( cosec ( ) 4cosec cot ) 3 x x x dx − วิธีทำ 2 2 2 2 ( cosec ( ) 4cosec cot ) cosec 4 cosec cot 3 3 x x x dx xdx x xdx − = − 2 cot 4cosec 3 = − + + x x C ตัวอย่าง 5.2.2.17 จงหาค่าของ 2 4 2 1 ( 3 ) 5 x x dx x x − + − วิธีทำ 1 2 4 2 2 4 2 1 2 1 ( 3 ) 3 5 5 x x dx x dx dx x dx x dx x x x − − + − = − + − 3 3 3 2 3 3 2 3 3 ln 3 3 3 2 1 ln 2 3 3 x x x x C x x x C x − = − + − + − = − − + − + ตัวอย่าง 5.2.2.18 จงหาค่าของ 4 3 3 3 2 1 1 1 ( 6 ) 4 x dx x x x − + − + − วิธีทำ 3 4 3 4 3 3 3 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 ( 6 ) 6 4 2 x dx x dx x x x x x x − + − + = − + − + − − 1 3 3 3 4 2 2 2 7 3 2 4 7 4 2 2 3 6 2 6 arcsin 2 7 2 2 3 4 3 1 4 6 arcsin 2 7 2 2 dx x dx x dx dx x dx x x x x x x C x x x C x x − − − − = − + − + − = − + − + + − − = − + + − + +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-8 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.2.2.19 จงหาค่าของ 2 2 x x x dx ( 5 ) − วิธีทำ 2 2 4 3 x x x dx x x dx ( 5 ) ( 5 ) − = − 4 3 5 4 5 5 5 4 x dx x dx x x C = − = − + ตัวอย่าง 5.2.2.20 จงหาค่าของ 5 3 3 2 x dx x − วิธีทำ 5 5 3 3 3 3 2 3 2 x x dx dx dx x x x − = − 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 x dx x dx x x C x C x − − = − = − + − = + + ตัวอย่าง 5.2.2.21 จงหาค่าของ x 2 dx x + วิธีทำ x x 2 2 dx dx dx x x x + = + 1 2 2ln dx dx x x x C = + = + + ตัวอย่าง 5.2.2.22 จงหาค่าของ 5 3 3 x x x 3 2 1 dx x − + − วิธีทำ 5 3 5 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 3 2 x x x x x x dx dx dx dx dx x x x x x − + − = − + − 2 2 3 3 2 3 2 2 1 3 3 2 x dx dx x dx x dx x x C x x − − = − + − = − − + + ตัวอย่าง 5.2.2.23 จงหาค่าของ 2 2 2 1 9 9 dx x x x − − + วิธีทำ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 9 9 3 3 dx dx dx x x x x x x − = − − + − + 2 2 arcsec ln 9 3 3 x = − + + + x x C
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-9 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.3 เทคนิคการหาปริพันธ์ มีปริพันธ์อีกมากมายหลายแบบที่ไม่สามารถใช้สูตรได้โดยตรงและจำเป็นต้องมีการจัดรูป ด้วยเทคนิควิธีต่างๆ เพื่อให้หาปริพันธ์ได้ในหัวข้อนี้จะนำเสนอทั้งสิ้น 5 วิธี ดังนี้ 1. การหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by Substitution) 2. การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน (Integration by Parts) 3. การหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(Integration of trigonometric functions) 4. การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Integration by Trigonometry Substitution) 5. การหาปริพันธ์โดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Integration by the Method of Partial Fraction) 5.3.1 เทคนิคการหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร พิจารณาการหาปริพันธ์ 7 ( 5) x dx − จะพบว่ารูปแบบของปริพันธ์ไม่ตรงสูตร จึงใช้ สูตรเบื้องต้นหาคำตอบไม่ได้ และการกระจาย 7 ( 5) x −เพื่อหาปริพันธ์นั้นทำได้ค่อนข้างยาก อย่างไรก็ตามรูปแบบ 7 ( 5) x dx − มีความคล้ายคลึงกับ 7 x dx สมมติให้ u x = −5 …………………(1) จะได้ว่า 1 du dx = หรือเขียนในรูปเชิงอนุพันธ์จะได้ du dx = 1 ดังนั้น du dx = …………………(2) แทนค่า u และ du จากสมการ (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ว่า 7 7 ( 5) x dx u du − = 8 8 u = +C …………………(3) แต่คำตอบจะต้องอยู่ในพจน์ของตัวแปร x จึงแทนค่า u x = − ( 5) ลงในสมการ (3) จะได้ว่า 8 7 ( 5) ( 5) 8 x x dx C − − = + วิธีการหาปริพันธ์ที่ได้แสดงไว้ข้างต้นนี้เรียกว่า “ การหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร” สำหรับขั้นตอนการคำนวณสรุปได้ดังนี้
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-10 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ขั้นตอนการหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร 1) คาดเดาสูตรปริพันธ์ที่คล้ายคลึงกับปริพันธ์ที่ต้องการคำนวณ ตัวอย่างการเดาสูตรปริพันธ์ โจทย์ สูตรที่ใช้ 10 (2 3) x dx − n u du (5 4) x e dx − u e du (3 ) 2 x dx − u a du 1 (5 8) dx x + 1 du u 3 1 (5 8) dx x + n u du 5 8 x dx + n u du cos(5 ) x dx cosudu sec( 1) x dx + secudu 3 2 (4 3) x dx + n u du กรณีที่ตัวถูกปริพันธ์มีรูปแบบเป็นผลคูณหรือผลหารของสองฟังก์ชันขึ้นไป การเดาสูตรจะ ยากขึ้น อย่างไรก็ตามให้เลือกสูตรตามฟังก์ชันกลุ่มใหญ่เป็นหลัก ดังนี้ ตัวอย่างการเดาสูตรปริพันธ์ โจทย์ สูตรที่ใช้ 2 3 5 3 (9 ) x x dx − n u du x e dx x u e du 2 2 1 x dx x + n u du 2 2 ( 1) x dx x + 1 du u 2 3 x x dx cos(4 ) cosudu 1 6 (1 lnx) dx x + n u du 8 sin (2 ) cos(2 ) x x dx n u du cos 1 2sin x dx + x 1 du u 6 (1 2sin ) cos + x x dx n u du 2 3 2 (9 ) x x dx − n u du
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-11 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2) กำหนด u โดยดูจากตำแหน่งในสูตรที่เลือกไว้ในขั้นที่ 1) ตัวอย่างการกำหนด u โจทย์ สูตรที่ใช้ กำหนด u 10 (2 3) x dx − n u du u x = − 2 3 (5 4) x e dx − u e du u x = − 5 4 sin(4 3) x dx + sin udu u x = + 4 3 cos 1 2sin x dx + x 1 du u u x = +1 2sin 1 6 (1 lnx) dx x + n u du u x = +1 ln 3) หา du dx แล้วแก้สมการให้ dx อยู่ในเทอมของ du เช่น ถ้าให้ u x = − 5 4 จะได้ 5 du dx = แก้สมการได้เป็น 5 du = dx 4) เปลี่ยนตัวแปร x ให้เป็น u โดยแทนค่า u และ du ลงในปริพันธ์ที่โจทย์กำหนด 5) ใช้สูตรที่เลือกในขั้นที่ 1) หาปริพันธ์ในรูปของตัวแปร u จนได้ผลลัพธ์ 6) เปลี่ยนตัวแปร u ให้กลับเป็นตัวแปร x ด้วยสมการที่กำหนดไว้ในขั้นที่ 2) จะได้ผลลัพธ์ ตามต้องการ ตัวอย่าง 5.3.1.1 จงหาค่าของ sin(2 ) x dx วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร sin cos udu u C = − + ให้ u x = 2 ………………….(1) จะได้ 2 du dx = หรือ 2 du = dx ……………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ sin(2 ) sin 2 du x dx u = 1 sin 2 = udu 1 cos 2 = − +u C 1 cos(2 ) 2 = − + x C
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-12 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.1.2 จงหาค่าของ 10 (5 ) − x dx วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 1 n n u u du C n + = + + ให้ u x = −5 ………………….(1) จะได้ 1 du dx =− หรือ − = du dx ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ 11 11 10 10 (5 ) (5 ) ( ) 11 11 u x x dx u du C C − − = − = − + = − + ตัวอย่าง 5.3.1.3 จงหาค่าของ (10 5 ) x e dx − วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร u u e du e C = + ให้ u x = − 10 5 ………………….(1) จะได้ 5 du dx =− หรือ 5 du − = dx ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ (10 5 ) 1 1 1 (10 5 ) 5 5 5 5 x u u u du x e dx e e du e C e C − − = = − = − + = − + − ตัวอย่าง 5.3.1.4 จงหาค่าของ 3 4 dx x − วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 1 n n u u du C n + = + + ให้ u x = − 3 4 ………………….(1) จะได้ 3 du dx = หรือ 3 du = dx ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ 1 2 1 2 1 2 3 4 3 1 3 1 3 1 2 2 3 4 3 dx du u x u du u C x C − − = − = = + − = +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-13 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.1.5 จงหาค่าของ cos(2 1) x dx + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร cos sin udu u C = + ให้ u x = + 2 1 ………………….(1) จะได้ 2 du dx = หรือ 2 du = dx ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ ( ) 1 1 1 cos(2 1) cos cos sin sin 2 1 2 2 2 2 du x dx u udu u C x C + = = = + = + + ตัวอย่าง 5.3.1.6 จงหาค่าของ (3 5) 2 x dx + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร ln u u a a du C a = + ให้ u x = + 3 5 ………………….(1) จะได้ 3 du dx = หรือ 3 du = dx ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ (3 5) (3 5) 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 ln 2 3ln 2 u x x u u du dx du C C + + = = = + = + ตัวอย่าง 5.3.1.7 จงหาค่าของ 2 3 2 ( 1) x x dx + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 1 n n u u du C n + = + + ให้ 2 u x = +1 ………………….(1) จะได้ 2 du x dx = หรือ 2 du dx x = ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ 2 3 3 3 4 2 4 2 ( 1) 2 2 4 ( 1) 4 du x x dx xu x u du u C x C + = = = + + = +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-14 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.1.8 จงหาค่าของ 2 t t dt 9 2 + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 1 n n u u du C n + = + + ให้ 2 u t = + 9 2 ………………….(1) จะได้ 18 du t dt = หรือ 18 du dt t = ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ ( ) 1 1 2 2 2 3 2 3 2 2 1 9 2 18 18 1 18 3 2 9 2 27 du t t dt tu u du t u C t C + = = = + + = + ตัวอย่าง 5.3.1.9 จงหา 9 (1 sin ) cos + t tdt วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 1 n n u u du C n + = + + ให้ u t = +1 sin ………………….(1) จะได้ cos du t dt = หรือ cos du dt t = ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ 10 10 9 9 9 (1 sin ) (1 sin ) cos cos cos 10 10 du u t t tdt u t u du C C t + + = = = + = + ตัวอย่าง 5.3.1.10 จงหาค่าของ 2 x x dx sin(3 ) วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร sin cos u du u C = − + ให้ 2 u x = 3 ………………….(1) จะได้ 6 du x dx = หรือ 6 du dx x = ………………….(2) แทน (1) และ (2) ลงในโจทย์จะได้ ( ) 2 2 1 1 1 sin(3 ) sin sin cos cos 3 6 6 6 6 du x x dx x u udu u C x C x = = = − + = − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-15 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ วิธีลัดในการหาปริพันธ์ด้วยเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร การทำการเปลี่ยนตัวแปรวิธีลัดเหมาะกับรูปแบบฟังก์ชันที่ไม่ซับซ้อนมากนัก จะช่วยให้ได้ คำตอบอย่างรวดเร็วขึ้นเพราะไม่ต้องมีการเปลี่ยนตัวแปรใหม่ ขั้นตอนการทำมี 3 ขั้นตอนดังนี้ ขั้นตอนการเปลี่ยนตัวแปรวิธีลัด สมมติว่าเราต้องการคำนวณ 3x e dx 1) เดาสูตร โดยทำเช่นเดียวกับวิธีปกติ เช่น 3x e dx เดาได้ว่าใช้สูตร u e du 2) เขียนแทน dx ด้วย du โดยไม่ต้องเปลี่ยนตัวแปร ดังนั้น 3x e dx เขียนใหม่เป็น (3 ) (3 ) x e d x 3) diff. ค่า u แล้วหารออกจาก du ที่เขียนใหม่ในขั้นที่ 2 ในตัวอย่างนี้ (3 ) 3 d x dx = ให้หารออกด้วย 3 จะได้ปริพันธ์ที่จัดรูปเป็น (3 ) (3 ) 3 x d x e นั่นคือ (3 ) (3 ) (3 ) 3 x x d x e dx e = 1 (3 ) (3 ) 3 x = e d x เมื่อจัดรูปแล้วปริพันธ์จะตรงกับสูตร u e du 1 (3 ) 3 x = + e C ตัวอย่าง 5.3.1.11 จงหาค่าของ cos(5 ) x dx วิธีทำ โจทย์กำหนด cos(5 ) x dx ซึ่งคาดเดาว่าตรงกับรูปแบบสูตร cos sin udu u C = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ (5 ) cos(5 ) cos(5 ) 5 1 cos(5 ) (5 ) 5 1 sin(5 ) 5 d x x dx x x d x x C = = = + ตัวอย่าง 5.3.1.12 จงหาค่าของ sin(2 ) x dx วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร sin cos u du u C = − + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ ( ) ( ) ( ) 2 sin(2 ) sin(2 ) 2 1 sin(2 ) 2 2 1 cos 2 2 d x x dx x x d x x C = = = − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-16 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.1.13 จงหาค่าของ x e dx − วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร u u e du e C = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ ( ) ( ) 1 x x x x d x e dx e e d x e C − − − − − = = − − = − + − ตัวอย่าง 5.3.1.14 จงหาค่าของ 2 ( 1) x xe dx + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร u u e du e C = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 2 2 2 x x x x d x xe dx xe e d x e C x + + + + + = = + = + ตัวอย่าง 5.3.1.15 จงหาค่าของ 4 (5 3 ) dx − x วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 du u C ln u = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ 4 4 (5 3 ) (5 3 ) (5 3 ) 3 4 1 (5 3 ) 3 (5 3 ) 4 ln 5 3 3 d x dx x x d x x x C − = − − − = − − − = − − + ตัวอย่าง 5.3.1.16 จงหาค่าของ 2 3 4 6 ( 8) x x dx − + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 1 n n u u du C n + = + + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 3 3 ( 8) 6 ( 8) 6 ( 8) 3 2 ( 8) ( 8) 2( 8) 3 d x x x dx x x x x d x x C − − − − + + = + = + + + = + − ตัวอย่าง 5.3.1.17 จงหาค่าของ ln 2 x dx x วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร ln u u a a du C a = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ ( ) ( ) ln ln ln ln 2 2 2 ln 2 ln 1 ln 2 x x x x d x dx d x C x x x = = = +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-17 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.1.18 จงหาค่าของ 2 2 4 5 x dx x x − − + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 du u C ln u = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 5) 4 5 4 5 2 4 2 ( 4 5) 4 5 2 2 1 1 ( 4 5) 2 4 5 1 ln 4 5 2 x x d x x dx x x x x x x d x x x x x d x x x x x x C − − − + = − + − + − − − + = − + − = − + − + = − + + ตัวอย่าง 5.3.1.19 จงหาค่าของ 2 2 1 1 sec dx x x วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 2 sec tan udu u C = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sec sec 1 1 1 sec 1 tan d x dx x x x x x d x x C x = − = − = − + ตัวอย่าง 5.3.1.20 จงหาค่าของ 2 2 3 12 10 x dx x x − − + วิธีทำ จากโจทย์คาดเดาว่าใช้สูตร 1 du u C ln u = + จัดรูปใหม่ได้ดังนี้ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 12 10 3 12 10 3 12 10 6 12 2 3 12 10 3 12 10 6 2 1 1 3 12 10 6 3 12 10 1 ln 3 12 10 6 x x d x x dx x x x x x x d x x x x x d x x x x x x C − − − + = − + − + − − − + = − + − = − + − + = − + +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-18 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.3.2 การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน วิธีการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนใช้ในกรณีที่ปริพันธ์ที่อยู่ในรูปผลคูณซึ่งไม่สามารถหาได้ ด้วยสูตรเบื้องต้นและวิธีการเปลี่ยนตัวแปร กำหนดให้ u และ v เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งจะได้สูตรการหาปริพันธ์โดย การแยกส่วนดังนี้ udv uv vdu = − ลักษณะของตัวถูกปริพันธ์ที่ใช้วิธีการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน 1. ตัวถูกปริพันธ์อยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เช่น 2 3x x e dx , 2 cos(3 ) x e x dx , x x dx sin(2 ) และ x xdx 1+ เป็นต้น 2. ตัวถูกปริพันธ์มีฟังก์ชันลอการิทึมประกอบอยู่ เช่น ln xdx และ 2 x xdx ln เป็นต้น 3. ตัวถูกปริพันธ์มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันประกอบอยู่ เช่น arcsin xdx และ x xdx arctan เป็นต้น 4. ตัวถูกปริพันธ์อยู่ในรูป secn x , cosecm x , tan sec m n x x และ cot cosec m n x x เมื่อ m เป็นจำนวนคู่บวก และ n เป็นจำนวนคี่บวก เช่น 3 sec xdx , 2 3 tan sec x xdx และ 4 3 cot cosec x xdx เป็นต้น หลักการกำหนด u ของเทคนิคการหาปริพันธ์ทีโดยการแยกส่วนแสดงได้ดังนี้ ลักษณะปริพันธ์ กำหนด u dv (พหุนาม)(expo) dx u = พหุนาม dv = ส่วนที่เหลือ (พหุนาม)(ตรีโกณ) dx u = พหุนาม dv = ส่วนที่เหลือ (expo) (ตรีโกณ) dx u = ตรีโกณ dv = ส่วนที่เหลือ (ตรีโกณผกผัน)(……..) dx u = ตรีโกณผกผัน dv = ส่วนที่เหลือ (ลอการิทึม)(……..) dx u = ลอการิทึม dv = ส่วนที่เหลือ ตัวอย่าง 5.3.2.1 การกำหนด u และ dv โจทย์ กำหนด u dv 3 2 x xe dx u x = 2 3x dv e dx = 2 ( 3) x x e dx − − 2 u x = −3 x dv e dx − = 3 x x dx cos( ) 3 u x = dv x dx = cos ( 1)sin(2 ) x x dx + u x = +1 dv x = sin 2 2 cos(4 ) x e x dx 2x u e = dv x dx = cos4
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-19 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ โจทย์ กำหนด u dv 2 sin(3 ) x x dx 2 x u = dv x = sin3 arctan x dx u x = arctan dv dx = arcsin x dx u x = arcsin dv dx = ขั้นตอนการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน 1) กำหนด u และ dv โดยหลักการที่กล่าวไว้ข้างต้น 2) หาค่าของ du โดยการใช้ค่าเชิงอนุพันธ์กับส่วนของ u หาค่าของ v โดยการหาปริพันธ์ ส่วนของ dv จากขั้นตอนที่ 2) จะได้สมการ 4 สมการคือ u = …………..(1) dv = …………..(3) du = …………..(2) v dv = …………..(4) 3) แทนค่าต่าง ๆ ที่หาไว้ ตามสูตรการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนคือ udv uv vdu = − 4) หาปริพันธ์ในส่วนสุดท้ายคือ vdu อีกครั้ง ก็จะได้ผลของการหาปริพันธ์ ตัวอย่าง 5.3.2.2 จงหาค่าของ x x dx sin(2 ) วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ 1 1 sin(2 ) ( cos(2 )) ( cos(2 )) 2 2 x x x x x dx = − − − 1 cos(2 ) cos(2 ) 2 2 x = − + x x dx 1 (2 ) cos(2 ) cos(2 ) 2 2 2 x d x = − + x x 1 1 cos(2 ) (sin(2 )) 2 2 2 x = − + + x x C 1 cos(2 ) sin(2 ) 2 4 x = − + + x x C ให้
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-20 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.2.3 จงหาค่าของ 2 ( 2) x x e dx − วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (2 ) 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 2 2 2 2 4 x x x x x x x e e d x e x e dx x e dx x e x e C − = − − = − − = − − + ตัวอย่าง 5.3.2.4 จงหาค่าของ 3 x xdx ln วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ 4 4 4 4 4 3 3 1 1 ln ln ( ) ln ln 4 4 4 4 4 16 x x x x x x xdx x dx x x dx x C x = − = − = − + ตัวอย่าง 5.3.2.5 จงหาค่าของ ln(2 ) x dx วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ 1 ln(2 ) ln 2 ln 2 x dx x x x dx x x x C x = − = − + ตัวอย่าง 5.3.2.6 จงหาค่าของ arctan xdx วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ ( ) 2 2 2 2 1 1 1 arctan arctan arctan 1 1 2 1 arctan ln 1 2 d x xdx x x x dx x x x x x x x x x C + = − = − + + = − + + ให้ u x = − 2 2x dv e dx = 1 du dx = จะได้ du dx = 2 2 2 (2 ) 2 2 x x x d x e v dv e dx e = = = = ให้ u x = ln 3 dv x dx = du 1 dx x = จะได้ 1 du dx x = 4 3 4 x v dv x dx = = = ให้ u x = ln 2 dv dx = 2 1 2 du dx x x = = จะได้ 1 du dx x = v dv dx x === ให้ u x = arctan 2 1 1 du dx x = + จะได้ 2 1 1 du dx x = + dv dx = v dv dx x ===
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-21 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.2.7 จงหาค่าของ 2 x x e dx วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ 2 2 e 2 x x x x dx x e xe dx = − ………………(1) จากสมการ (1) เราจะหาค่าของ x xe dx โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนอีกครั้งดังนี้ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ x x x x x xe dx xe e dx xe e = − = − …………….(2) แทนค่าสมการ (2) ในสมการ (1) จะได้ว่า ( ) 2 2 2 e 2 2 x x x x x x x dx x e xe dx x e xe e C = − = − − + ตัวอย่าง 5.3.2.8 จงหาค่าของ 2 x x dx cos(4 ) วิธีทำ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 cos(4 ) sin 4 sin 4 2 sin 4 sin 4 4 4 4 2 x x x x dx x x x dx x x x dx = − = − ….…(1) จากสมการ (1) เราจะหาค่าของ x x dx sin 4( ) โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนอีกครั้ง ดังนี้ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 sin 4 cos 4 cos 4 cos 4 sin 4 4 4 4 16 x x dx x x x dx x x x = − − − = − + ……(2) แทนค่าสมการ (2) ในสมการ (1) จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 cos(4 ) sin 4 sin 4 4 2 1 1 1 sin 4 cos 4 sin 4 4 2 4 16 x x x dx x x x dx x x x x x C = − = − − + + ให้ 2 u x = 2 du x dx = จะได้ du xdx = 2 x dv e dx = x x v dv e dx e = = = ให้ u x = 1 du dx = จะได้ du dx = x dv e dx = x x v dv e dx e = = = ให้ 2 u x = 2 du x dx = จะได้ du xdx = 2 dv x dx = cos 4( ) ( ) ( ) 1 cos 4 sin 4 4 v dv x dx x = = = ให้ u x = 1 du dx = จะได้ du dx = dv x dx = sin 4( ) ( ) ( ) 1 sin 4 cos 4 4 v dv x dx x = = = −
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-22 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนโดยใช้วิธีลัดแบบที่ 1 วิธีลัดแบบที่ 1 ใช้สำหรับปริพันธ์สองรูปแบบ ได้แก่ 1. (พหุนาม)(expo) dx 2. (พหุนาม)(ตรีโกณ) dx มีขั้นตอนดังนี้ 1) สร้างตาราง 2 คอลัมน์แล้วใส่ค่า u และ dv ดังนี้ u dv ………….. ………….. ………….. ………….. 2) ในคอลัมน์ของ u ให้หาอนุพันธ์ซ้ำๆ จนกว่าจะเป็น 0 ในคอลัมน์ของ dv ให้หาปริพันธ์ ซ้ำ เท่ากับจำนวนครั้งที่หาอนุพันธ์ u dv ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. 0 ………….. 3) เขียนผลลัพธ์ของปริพันธ์ได้โดยคูณทแยงจากแต่ละแถวซ้ายบนลงมาแถวขวาล่างพร้อมทั้ง ใส่เครื่องหมาย + , − สลับกันไปจนสิ้นสุดตาราง 4) ค่าของปริพันธ์ของฟังก์ชันจะมีค่าเท่ากับผลรวมของผลคูณในแนวที่จับคู่กันทั้งหมด ตัวอย่าง 5.3.2.9 จงหาค่าของ 2 x x e dx − วิธีทำ เลือก 2 u x = และ x dv e dx − = ดังนั้น 2 2 2 2 x x x x x e dx x e xe e C − − − − = − − − + u dv …………. …………. ………….. 0 ………….. …………. ………….. ………….. u dv 2 x 2x 2 0 x e − x e − − x e − x e − − + − + + − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-23 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.2.10 จงหาค่าของ 2 x cos(3 ) x dx วิธีทำ เลือก 2 u x = และ dv x dx = cos(3 ) ดังนั้น 2 2 (3 ) 1 2 cos sin(3 ) cos(3 ) 3 9 2 sin(3 ) 27 x x x x x dx x x C = + − + ตัวอย่าง 5.3.2.11 จงหาค่าของ 3 x x dx sin(3 ) วิธีทำ เลือก 3 u x = และ dv x dx = sin(3 ) ดังนั้น 3 3 2 1 1 sin(3 ) cos(3 ) sin(3 ) 3 3 2 2 cos(3 ) sin(3 ) 9 27 x x dx x x x x x x C = − + + − + ตัวอย่าง 5.3.2.12 จงหาค่าของ 2 3x x e dx วิธีทำ เลือก 2 u x = และ 3x dv e dx = ดังนั้น 2 3 2 3 3 3 1 2 2 3 9 27 x x x x x e dx x e xe e C = − + + u dv 2 x cos(3 ) x 2x 1 sin(3 ) 3 x 2 1 cos(3 ) 9 − x 0 1 sin(3 ) 27 − x u dv 3 x sin(3 ) x 2 3x 1 cos(3 ) 3 − x 6x 1 sin(3 ) 9 − x 6 1 cos(3 ) 27 x 0 1 sin(3 ) 81 x u dv 2 x 3x e 2x 1 3 3 x e 2 1 3 9 x e 0 1 3 27 x e + − + + + − − + − +
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-24 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนโดยใช้วิธีลัดแบบที่ 2 วิธีลัดแบบที่ 2 ใช้สำหรับปริพันธ์ในรูป (expo)(ตรีโกณ) dx มีขั้นตอนดังนี้ 1) สร้างตาราง 2 คอลัมน์แล้วใส่ค่า u และ dv ดังนี้ u dv ………….. ………….. 2) ในคอลัมน์ของ u ให้หาอนุพันธ์ 2 ครั้ง ในคอลัมน์ของ dv ให้หาปริพันธ์ซ้ำ 2 ครั้ง เช่นเดียวกัน u dv ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. 3) เขียนผลลัพธ์ของปริพันธ์ได้โดยคูณทแยงจากแต่ละแถวซ้ายบนลงมาแถวขวาล่างพร้อมทั้ง ใส่เครื่องหมาย + , − สลับกันไปจนสิ้นสุดตาราง และบวกด้วยปริพันธ์ของผลคูณของค่าในบรรทัด สุดท้ายในตาราง u dv …………. …………. ………….. ………….. …………. ………….. 4) หาคำตอบโดยเมื่อเขียนผลรวมของผลคูณตามลูกศรในตารางแล้ว ไปเขียนคำตอบและแก้ สมการหาค่าปริพันธ์อีกขั้นตอนหนึ่ง ตัวอย่าง 5.3.2.14 จงหาค่าของ sin(3 ) x e x dx วิธีทำ เลือก u x = sin(3 ) และ x dv e dx = จะได้ sin(3 ) sin(3 ) 3cos(3 ) 9 sin(3 ) sin(3 ) 9 sin(3 ) sin(3 ) 3cos(3 ) 10 sin(3 ) sin(3 ) 3cos(3 ) x x x x x x x x x x x e x dx e x x e e x dx C e x dx e x dx e x x e C e x dx e x x e C = − − + + = − + = − + ดังนั้น 1 sin(3 ) ( sin(3 ) 3cos(3 ) ) 10 x x x e x dx e x x e C = − + u dv sin(3 ) x 3cos(3 ) x −9sin(3 ) x x e x e x e + − + −+ + ....dx
บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-25 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.2.15 จงหาค่าของ cos(2 ) x e x dx − วิธีทำ เลือก u x = cos(2 ) และ x dv e dx − = จะได้ e cos(2 ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 4 cos(2 ) e cos(2 ) 4 cos(2 ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 5 cos(2 ) cos(2 ) 2 sin(2 ) x x x x x x x x x x x x dx e x e x e x dx C x dx e x dx e x e x C e x dx e x e x C − − − − − − − − − − − = − + − + + = − + + = − + + ดังนั้น ( ) 1 cos(2 ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 5 x x x e x e x e x C − − − = − + + ตัวอย่าง 5.3.2.16 จงหาค่าของ 3 cos(4 ) x e x dx วิธีทำ เลือก u x = cos(4 ) และ 3x dv e dx = จะได้ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 16 e cos(4 ) cos(4 ) sin(4 ) cos(4 ) 3 9 9 16 1 4 e cos(4 ) cos(4 ) cos(4 ) sin(4 ) 9 3 9 25 1 4 cos(4 ) cos(4 ) sin(4 ) 9 3 9 x x x x x x x x x x x x dx e x e x e x dx C x dx e x dx e x e x C e x dx e x e x C = + − + + = + + = + + ดังนั้น 3 3 3 9 1 4 cos(4 ) cos(4 ) sin(4 ) 25 3 9 x x x e x dx e x e x C = + + u dv cos(2 ) x x e − −2sin(2 ) x x e − − −4cos(2 ) x x e − u dv cos(4 ) x 3x e −4sin(4 ) x 3 3 x e −16cos(4 ) x 3 9 x e − + + + − +