เอกสารการสอน รายวิชา แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-26 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.3.3 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง การหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลังหรือผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง ที่จะกล่าวถึงในที่นี้มี 3 รูปแบบ และแบ่งออกเป็น 3 กลุ่มได้แก่ กลุ่มที่ 1 ฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และผลคูณระหว่างไซน์กับโคไซน์ยกกำลัง ได้แก่ 1.1) sin ( ) m x dx 1.2) cos ( ) m x dx 1.3) sin cos ( ) ( ) m n x x dx เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก กลุ่มที่ 2 ผลคูณฟังก์ชันแทนเจนต์กับเซแคนต์ และ ผลคูณของโคแทนเจนต์และโคเซแคนต์ ได้แก่ 2.1) tan sec ( ) ( ) m n x x dx เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก 2.2) cot cosec ( ) ( ) m n x x dx เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก กลุ่มที่ 3 ฟังก์ชันแทนเจนต์ เซแคนต์ โคแทนเจนต์ และโคเซแคนต์ยกกำลัง ได้แก่ 3.1) tan ( ) m x dx 3.2) sec ( ) m x dx 3.3) cot ( ) m x dx 3.4) cosec ( ) m x dx 5.3.3.1 การหาปริพันธ์ของกลุ่มที่1 ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ยกกำลัง ได้แก่ sin ( ) m x dx , cos ( ) m x dx และ sin cos ( ) ( ) m n x x dx ปริพันธ์ของกลุ่มนี้ แยกการหาค่าเป็น 2 กรณีดังนี้ กรณี 1 ถ้า n เป็นจำนวนคี่ หรือ m เป็นจำนวนคี่ เช่น ( ) 3 sin x dx ( ) 5 cos 3x dx หรือ ( ) ( ) 3 4 sin 2 cos 2 x x dx เป็นต้น การหาปริพันธ์ในกลุ่มนี้ใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปรและเอกลักษณ์ของตรีโกณดังนี้ 1) ถ้าฟังก์ชัน sin ยกกำลังคี่ ให้สมมติ u kx = cos( ) (ถ้าฟังก์ชัน cos ยกกำลังคี่ ให้สมมติ u kx = sin( ) ) และถ้าทั้ง sin และ cos ต่างก็ยกกำลังคี่ สามารถกำหนด u ได้ทั้งสองแบบ เช่น 3 sin (4 ) x dx , ให้ u x = cos(4 ) 5 cos (3 ) x dx , ให้ u x = sin(3 ) 3 4 cos (2 )sin (2 ) x x dx , ให้ u x = sin(2 ) 5 2 sin ( )cos ( ) x x dx , ให้ u x = cos 5 3 cos (4 )sin (4 ) x x dx , ให้ u x = cos(4 ) หรือ u x = sin(4 )

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-27 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 2) ดำเนินการเปลี่ยนตัวแปรตามขั้นตอนวิธีการเปลี่ยนตัวแปรและใช้เอกลักษณ์ ตรีโกณต่อไปนี้ช่วยเปลี่ยนตัวแปร 2 2 cos ( ) 1 sin ( ) kx kx = − หรือ 2 2 sin ( ) 1 cos ( ) kx kx = − 3) หาปริพันธ์ด้วยสูตรปริพันธ์ 1 1 n n u u du C n + = + + , 1 n − หรือ du u C = + ตัวอย่าง 5.3.3.1.1 จงหาค่าของ ( ) 3 sin 2x dx วิธีทำ ให้ u x = cos(2 ) …………………………..(1) จะได้ 2sin(2 ) du x dx = − หรือ 2sin(2 ) du dx x = − …………………………..(2) แทนค่า (1) และ (2) ลงในปริพันธ์จะได้ ( ) ( ) 3 3 sin 2 sin 2 2sin(2 ) du x dx x x = − ( ) 1 2 sin 2 2 = − x du 1 2 (1 cos (2 ) ) 2 = − − x du (ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณ) 1 2 (1 ) 2 = − −u du 3 1 1 2 2 3 u = − + + u C (แทนค่า u x = cos(2 ) อีกครั้ง) 1 1 3 cos(2 ) cos (2 ) 2 6 = − + + x x C ตัวอย่าง 5.3.3.1.2 จงหาค่าของ ( ) 3 cos 5x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ( )) 3 3 2 2 3 3 sin(5 ) cos 5 cos 5 5cos(5 ) 1 cos 5 sin(5 ) 5 1 1 sin 5 sin(5 ) 5 1 sin (5 ) sin(5 ) 5 3 1 1 sin(5 ) sin (5 ) 5 15 d x x dx x x x d x x d x x x C x x C = = = − = − + = − +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-28 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.3.1.3 จงหาค่าของ ( ) ( ) 5 2 cos 6 sin 6 x x dx วิธีทำ ให้ u x = sin(6 ) …………………………..(1) จะได้ 6cos(6 ) du x dx = หรือ 6cos(6 ) du dx x = …………………………..(2) แทนค่า (1) และ (2) ลงในปริพันธ์จะได้ ( ) ( ) ( ) 5 2 5 2 4 2 1 cos 6 sin 6 cos 6 (cos (6 )) 6cos(6 ) 6 du x x dx x u x u du x = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 6 3 5 7 3 5 7 3 5 7 1 (cos (6 )) 6 1 (1 sin (6 )) 6 1 (1 ) 6 1 (1 2 ) 6 1 ( 2 ) 6 1 ( 2 ) 6 3 5 7 18 15 42 sin (6 ) sin (6 ) sin (6 ) 18 15 42 x u du x u du u u du u u u du u u u du u u u C u u u C x x x C = = − = − = − + = − + = − + + = − + + = − + + ตัวอย่าง 5.3.3.1.4 จงหาค่าของ ( ) ( ) 4 3 sin cos x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 3 4 2 4 2 4 6 5 7 sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin 1 sin sin sin sin sin sin sin 5 7 d x x x dx x x x x x d x x x d x x x d x x x C = = = − = − = − +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-29 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ กรณี 2 ถ้า m เป็นจำนวนคู่ และ n เป็นจำนวนคู่ เช่น 2 cos (5 ) x dx , 4 sin (8 ) x dx , ( ) ( ) 2 2 cos 3 sin 3 x x dx เป็นต้น การหาปริพันธ์ในกลุ่มนี้มีขั้นตอนดังนี้ 1) ให้ลดทอนกำลังของ sin และ cos ด้วย เอกลักษณ์ ( ( )) 2 1 sin 1 cos 2 2 u u = − หรือ ( ( )) 2 1 cos 1 cos 2 2 u u = + 2) กระจายจัดรูปด้วยพีชคณิตพื้นฐานและใช้สูตรปริพันธ์ cos sin u du u C = + หรือ du u C = + ตัวอย่าง 5.3.3.1.5 จงหาค่าของ ( ) 2 cos 2x dx วิธีทำ ( ) ( ( )) 2 1 cos 2 1 cos 4 2 x dx x dx = + ( ( )) ( ) 1 1 cos 4 2 1 1 sin 4 2 4 x dx x x C = + = + + ตัวอย่าง 5.3.3.1.6 จงหาค่าของ ( ) 4 sin x dx วิธีทำ ( ) ( ( )) 2 4 2 sin sin x dx x dx = ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 cos 2 2 1 1 2cos 2 cos 2 4 1 1 1 cos 2 cos 2 4 2 4 1 1 1 1 cos 2 1 cos 4 4 2 4 2 3 1 1 cos 2 cos 4 8 2 8 3 1 1 cos 2 cos 4 8 2 8 3 1 1 2 4 cos 2 cos 4 8 2 2 8 x dx x x dx x x dx x x dx x x dx dx x dx x dx d x d dx x x = − = − + = − + = − + + = − + = − + = − + ( ) ( ) ( ) 4 3 1 1 sin 2 sin 4 8 4 32 x x = − + + x x C

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-30 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.3.3.2 การปริพันธ์ของกลุ่มที่ 2 ผลคูณของฟังก์ชันแทนเจนต์และเซแคนต์ และผลคูณของ โคแทนเจนต์และโคเซแคนต์ ได้แก่ ปริพันธ์ในรูป tan sec ( ) ( ) m n x x dx และ cot cosec ( ) ( ) m n x x dx การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกลุ่มนี้แบ่งเป็น 3 กรณี กรณี 1 ถ้า n เป็นจำนวนคู่ (กำลังของ sec / cosec เป็นจำนวนคู่) เช่น ( ) ( ) 3 2 tan sec x x dx 2 4 cot (5 )cosec (5 ) x x dx เป็นต้น การหาปริพันธ์ในกลุ่มนี้ใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรและเอกลักษณ์ของตรีโกณดังนี้ 1) สำหรับ tan sec ( ) ( ) m n x x dx กรณีกำลังของ sec เป็นจำนวนคู่ ( n เป็น จำนวนคู่) ให้สมมติ u kx = tan( ) 2) ดำเนินการเปลี่ยนตัวแปรตามขั้นตอนวิธีการเปลี่ยนตัวแปรและใช้เอกลักษณ์ ตรีโกณต่อไปนี้ช่วยเปลี่ยนตัวแปร 2 2 sec ( ) 1 tan ( ) kx kx = + 3) หาปริพันธ์ด้วยสูตรปริพันธ์ 1 1 n n u u du C n + = + + , 1 n − หรือ du u C = + และสำหรับการหา cot cosec ( ) ( ) m n x x dx และ cosec ยกกำลังคู่ ก็ทำได้ใน ทำนองเดียวกัน โดยให้สมมติ u kx = cot( ) และใช้เอกลักษณ์ 2 2 cosec ( ) 1 cot ( ) kx kx = + ตัวอย่าง 5.3.3.2.1 จงหาค่าของ 7 4 tan (2 ) sec (2 ) x x dx วิธีทำ ให้ u x = tan(2 ) จะได้ 2 2sec (2 ) du x dx = หรือ 2 2sec (2 ) du dx x = ดังนั้น 7 4 7 4 2 7 2 7 2 7 2 7 9 8 10 8 10 tan (2 ) sec (2 ) sec (2 ) 2sec (2 ) 1 sec (2 ) 2 1 (1 tan (2 )) 2 1 (1 ) 2 1 ( ) 2 1 1 2 8 2 10 1 1 tan (2 ) tan (2 ) 16 20 du x x dx u x x u x du u x du u u du u u du u u C x x C = = = + = + = + = + + = + +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-31 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.3.2.2 จงหาค่าของ 5 4 tan (9 ) sec (9 ) x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 5 4 5 4 2 5 2 5 2 5 7 6 8 6 8 tan 9 tan (9 ) sec (9 ) tan (9 ) sec (9 ) 9sec 9 1 tan (9 )sec 9 tan 9 9 1 tan (9 ) 1 tan 9 tan 9 9 1 tan (9 ) tan 9 tan 9 9 1 tan (9 ) tan (9 ) 9 6 8 tan (9 ) tan (9 ) 54 72 d x x x dx x x x x x d x x x d x x x d x x x C x x C = = = + = + = + + = + + ตัวอย่าง 5.3.3.2.3 จงหาค่าของ 4 4 cot ( ) cosec ( ) x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 2 4 2 4 2 4 6 5 7 cot cot ( ) cosec ( ) cot ( ) cosec ( ) cosec ( ) cot ( ) cosec ( ) cot cot ( ) 1+cot ( ) cot cot ( )+cot ( ) cot cot ( ) cot ( ) 5 7 d x x x dx x x x x x d x x x d x x x d x x x C = − = − = − = − = − − + ตัวอย่าง 5.3.3.2.4 จงหาค่าของ 5 6 cot ( ) cosec ( ) x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 5 6 5 6 2 5 4 2 5 2 2 5 2 5 2 4 5 7 9 6 8 cot cot ( ) cosec ( ) cot ( ) cosec ( ) cosec cot ( ) cosec ( ) cot cot ( ) cosec ( ) cot cot ( ) 1 cot cot cot ( ) 1 2cot cot cot cot ( ) 2cot cot cot cot ( ) cot ( ) c 6 4 d x x x dx x x x x x d x x x d x x x d x x x x d x x x x d x x x = − = − = − = − + = − + + = − + + = − − − 10 ot ( ) 10 x +C

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-32 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ กรณี 2 ถ้า m เป็นจำนวนคี่ (กำลังของ tan / cot เป็นจำนวนคี่) เช่น 3 5 tan (4 )sec (4 ) x x dx 5 cot (2 )cosec(2 ) x x dx เป็นต้น การหาปริพันธ์ในกลุ่มนี้ใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรและเอกลักษณ์ของตรีโกณดังนี้ 1) สำหรับ tan sec ( ) ( ) m n x x dx กรณีกำลังของ tan เป็นจำนวนคี่ ( m เป็นจำนวนคี่) ให้สมมติ u kx = sec( ) 2) ดำเนินการเปลี่ยนตัวแปรตามขั้นตอนวิธีการเปลี่ยนตัวแปรและใช้เอกลักษณ์ ตรีโกณต่อไปนี้ช่วยเปลี่ยนตัวแปร 2 2 tan ( ) sec ( ) 1 kx kx = − 3) หาปริพันธ์ด้วยสูตรปริพันธ์ 1 1 n n u u du C n + = + + , 1 n − หรือ du u C = + และสำหรับการหา cot cosec ( ) ( ) m n x x dx และ cot ยกกำลังคี่ ทำได้ในทำนองเดียวกัน โดยให้สมมติ u kx = cosec( ) และใช้เอกลักษณ์ 2 2 cot ( ) cosec ( ) 1 kx kx = − ตัวอย่าง 5.3.3.2.5 จงหาค่าของ 3 3 cot ( )cosec ( ) x x dx วิธีทำ ให้ u x = cosec( ) …………………………..(1) จะได้ cosec( )cot( ) du x x dx = − หรือ cosec( )cot( ) du dx x x = − ………………………..(2) แทนค่า (1) และ (2) ลงในปริพันธ์จะได้ 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 5 3 5 3 cot ( )cosec ( ) cot ( ) cot( ) cot ( ) (cosec ( ) 1) ( 1) ( ) 5 3 1 1 cosec ( ) cosec ( ) 5 3 du x x dx x u u x x u du x u du u u du u u du u u C x x C = − = − = − − = − − = − − = − − + = − + +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-33 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.3.2.6 จงหาค่าของ 3 cot (4 )cosec(4 ) x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) 3 3 2 2 3 cosec(4 ) cot (4 )cosec(4 ) cot (4 )cosec(4 ) 4cosec(4 )cot 4 1 cot (4 ) cosec(4 ) 4 1 cosec (4 ) 1 cosec(4 ) 4 cosec (4 ) cosec(4 ) 12 4 d x x x dx x x x x x d x x d x x x C = − = − = − − = − + + ตัวอย่าง 5.3.3.2.7 จงหาค่าของ 3 11 tan (5 ) sec (5 ) x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) 3 11 3 11 2 10 2 10 12 10 13 11 sec(5 ) tan (5 ) sec (5 ) tan (5 ) sec (5 ) 5sec(5 ) tan(5 ) 1 tan (5 ) sec (5 ) sec(5 ) 5 1 sec (5 ) 1 sec (5 ) sec(5 ) 5 1 sec (5 ) sec (5 ) sec(5 ) 5 1 1 sec (5 ) sec (5 ) 65 55 d x x x dx x x x x x x d x x x d x x x d x x x C = = = − = − = − + ตัวอย่าง 5.3.3.2.8 จงหาค่าของ 5 9 tan (2 ) sec (2 ) x x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) 5 9 5 9 4 8 2 2 8 2 2 8 4 2 8 12 sec(2 ) tan (2 ) sec (2 ) tan (2 ) sec (2 ) 2sec(2 ) tan(2 ) 1 tan (2 ) sec (2 ) sec(2 ) 2 1 tan (2 ) sec (2 ) sec(2 ) 2 1 sec (2 ) 1 sec (2 ) sec(2 ) 2 1 sec (2 ) 2sec (2 ) 1 sec (2 ) sec(2 ) 2 1 sec (2 ) 2 d x x x dx x x x x x x d x x x d x x x d x x x x d x x = = = = − = − + = ( ) 10 8 13 11 9 2sec (2 ) sec (2 ) sec(2 ) 1 1 1 sec (2 ) sec (2 ) sec (2 ) 26 11 18 x x d x x x x C − + = − + +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-34 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ กรณี 3 ถ้า m เป็นจำนวนคู่ และ n เป็นจำนวนคี่พร้อมกัน (กำลังของ tan / cot เป็น จำนวนคู่ พร้อมกับกำลังของ sec / cosec เป็นจำนวนคี่) ในกรณี tan sec ( ) ( ) m n x x dx ให้เปลี่ยนอยู่ในรูป sec ( ) m x dx ด้วยเอกลักษณ์ 2 2 tan ( ) sec ( ) 1 kx kx = − เช่น ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 tan sec (sec 1)sec x x dx x x dx = − ( ( ) ( )) ( ) ( ) 5 3 5 3 sec sec sec sec x x dx x dx x dx = − = − สำหรับกรณี cot cosec m n x x dx ก็จัดรูปด้วยวิธีเดียวกัน โดยการใช้เอกลักษณ์ 2 2 cot ( ) cosec ( ) 1 kx kx = − ซึ่งการหาปริพันธ์ sec ( ) m x dx และ cosec ( ) m x dx จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป 5.3.3.3 การหาปริพันธ์ของกลุ่มที่ 3 ฟังก์ชันแทนเจนต์ เซแคนต์โคแทนเจนต์ และโคเซแคนต์ยก กำลัง ได้แก่ ปริพันธ์ในรูป tan ( ) m x dx , sec ( ) m x dx , cot ( ) m x dx และ cosec ( ) m x dx ปริพันธ์ของฟังก์ชันกลุ่มนี้เป็น 2 กรณีดังนี้ กรณี 1 ถ้า m เป็นจำนวนคู่ เช่น ( ) 2 tan x dx ( ) 4 sec 3x dx 2 cot (5 ) x dx หรือ 4 cosec (2 ) x dx เป็นต้น การหาปริพันธ์ฟังก์ชันกลุ่มนี้มีขั้นตอนดังนี้ 1) สำหรับปริพันธ์ในรูป tan ( ) m x dx หรือ cot ( ) m x dx ให้เปลี่ยนรูปฟังก์ชันใหม่โดยใช้ เอกลักษณ์ตรีโกณต่อไปนี้ 2 2 tan ( ) sec ( ) 1 kx kx = − หรือ 2 2 cot ( ) cosec ( ) 1 kx kx = − 2) กระจายด้วยสมบัติพีชคณิตและหาปริพันธ์ด้วยสูตรต่อไปนี้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 tan ln sec , sec ln sec tan sec tan , cot ln sin cosec ln cosec cot , cosec cot , x dx x C x dx x x C x dx x C x dx x C x dx x x C x dx x C dx x C = + = + + = + = + = − + = − + = + ส่วนในกรณี sec ( ) m x dx และ cosec ( ) m x dx เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ ทำได้โดยใช้ วิธีการเปลี่ยนตัวแปร ในหัวข้อ 5.3.3.2 กรณีที่ 1 ที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวอย่าง 5.3.3.3.1 จงหาค่าของ ( ) 2 tan x dx วิธีทำ ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 2 2 2 tan sec 1 sec tan x dx x dx x dx dx x x C = − = − = − +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-35 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.3.3.2 จงหาค่าของ 6 sec (5 ) x dx วิธีทำ หาปริพันธ์โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีลัด) จะได้ ( ) ( ) ( ) 6 6 2 4 2 2 2 2 4 2 5 3 tan(5 ) sec (5 ) sec (5 ) 5sec (5 ) 1 sec (5 ) tan(5 ) 5 1 sec (5 ) tan(5 ) 5 1 tan (5 ) 1 tan(5 ) 5 1 tan (5 ) 2 tan (5 ) 1 tan(5 ) 5 1 2 1 tan (5 ) tan (5 ) tan(5 ) 25 15 5 d x x dx x x x d x x d x x d x x x d x x x x C = = = = + = + + = + + + ตัวอย่าง 5.3.3.3.3 จงหาค่าของ ( ) 4 tan 2x dx วิธีทำ เปลี่ยนรูปฟังก์ชันใหม่โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณและหาปริพันธ์ได้ดังนี้ ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 sec 2 1 tan 2 sec 2 tan 2 tan 2 sec 2 tan 2 tan 2 tan 2 sec 2 sec 2 1 2sec 2 1 2 tan 2 tan 2 sec 2 2 2 1 1 tan 2 tan 2 6 2 x dx x x dx x x dx x x x dx x x dx x dx d x x x x dx x d x x d x x dx x x x C = = − = − = − = − − = − + = − + + กรณี2 ถ้า m เป็นจำนวนคี่ 1) สำหรับปริพันธ์ในรูป tan ( ) m x dx หรือ cot ( ) m x dx ให้เปลี่ยนรูปฟังก์ชันใหม่โดยใช้ เอกลักษณ์ตรีโกณต่อไปนี้ 2 2 tan ( ) sec ( ) 1 kx kx = − หรือ 2 2 cot ( ) cosec ( ) 1 kx kx = − 2) กระจายด้วยสมบัติพีชคณิตและหาปริพันธ์ด้วยสูตรต่อไปนี้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 tan ln sec , sec ln sec tan sec tan , cot ln sin cosec ln cosec cot , cosec cot , x dx x C x dx x x C x dx x C x dx x C x dx x x C x dx x C dx x C = + = + + = + = + = − + = − + = +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-36 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.3.3.4 จงหาค่าของ ( ) 3 cot 2x dx วิธีทำ ( ) ( ) ( ) 3 2 cot 2 cot 2 cot 2 x dx x x dx = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cot 2 (cosec 2 1) cot 2 cosec 2 cot 2 cot 2 2 cot 2 cosec 2 cot 2 2cosec 2 2 1 1 cot 2 cot 2 cot 2 2 2 2 1 1 cot 2 ln sin 2 4 2 x x dx x x dx x dx d x d x x x x x x d x x d x x x C = − = − = − − = − − = − − + ตัวอย่าง 5.3.3.3.5 จงหาค่าของ ( ) 5 tan 4x dx วิธีทำ ( ) ( ) ( ) 5 3 2 tan 4 tan 4 tan 4 x dx x x dx = ( )( ( ) ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 tan 4 sec 4 1 tan 4 sec 4 tan 4 tan 4 sec 4 tan 4 tan 4 tan 4 sec 4 tan 4 tan 4 4sec 4 1 tan 4 tan 4 tan 4 sec 4 1 4 1 tan 4 tan 4 tan 4 sec 4 tan 4 4 1 tan 4 tan 4 tan 4 4 x x dx x x x dx x x dx x dx d x x x x x dx x x d x x x dx x d x x x x dx x d x = − = − = − = − = − − = − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 4 2 sec 4 tan 4 1 tan 4 tan 4 tan 4 tan 4 sec 4 4 4sec 4 4 tan 4 4 1 1 tan 4 tan 4 tan 4 tan 4 4 4 1 tan 4 4 4 tan 4 tan 4 1 ln sec 4 16 8 4 x x dx x dx d x x d x x x x d x x x d x x d x x d x x x x C + = − + = − + = − + +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-37 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.3.3.6 จงหาค่าของ ( ) 3 sec x dx วิธีทำ พิจารณา ( ) ( ( ))( ( )) 3 2 sec sec sec x dx x x dx = ใช้การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน u x = sec( ) ( ) 2 dv x dx = sec du x x dx = sec tan ( ) ( ) 2 v x dx x = = sec tan แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) (( ( ) ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 sec sec tan tan sec tan sec tan tan sec sec tan sec 1 sec sec tan sec sec sec tan sec sec 2 sec sec tan sec 1 1 sec sec tan ln sec tan 2 2 x dx x x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x dx x dx x dx x x x dx x dx x x x x C = − = − = − − = − − = − + = + = + − + ตัวอย่าง 5.3.3.3.7 จงหาค่าของ ( ) 3 10 cosec x dx วิธีทำ พิจารณา ( ) ( ( ))( ( )) 3 2 cosec cosec cosec x dx x x dx = ใช้การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน u x = cosec( ) ( ) 2 dv x dx = cosec du x x dx = −cosec cot ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x dx x = = − cosec cot แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 cosec cosec cot cot cosec cot cosec cot cosec cot cosec cot cosec cosec 1 cosec cot cosec cosec cosec cot cosec cosec 2 cosec cosec cot cosec 10 co x dx x x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x dx x dx x dx x x x dx = − − − − = − − = − − − = − − − = − − + = − + 3 sec 5cosec cot 5ln cosec cot x dx x x x x C = − + − +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-38 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.3.4 การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในหัวข้อนี้เราจะแสดงวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ตัวหาปริพันธ์มีพจน์ในรูปแบบคือ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a u a u u a a u a u u a − + − − + − , , , , , โดยเราจะแก้ปัญหาโดยใช้การแทนค่า ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการเปลี่ยนตัวแปรเดิมให้เป็นตัวแปรใหม่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีขั้นตอนดังนี้ 1. พิจารณาเปลี่ยนตัวแปร 2. การหาค่าปริพันธ์ หาค่าปริพันธ์ตามรูปแบบต่าง ๆ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ผลลัพธ์ที่ได้จากการหา ปริพันธ์จะอยู่ในรูปฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นตัวแปรใหม่ 3. การเปลี่ยนผลลัพธ์ เปลี่ยนผลลัพธ์ตัวแปรใหม่กลับเป็นตัวแปรเดิมโดยอาศัยฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย การสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วใช้สิ่งที่สมมติในข้อ 1 และทฤษฎีของ Pythagoras หาความยาวด้าน ทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง 5.3.4.1 จงหาค่าของ 2 1 9 dx x + วิธีทำ จากพจน์ 2 x +9 จะได้ u x a = = , 3 ให้ x = 3tan จะได้ 2 dx d = 3sec ดังนั้น ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3sec 9 3tan 9 3sec 9 tan 1 1 sec 3 sec 1 3 1 1 arctan 3 3 3 dx d x d d d x C C = + + = + = = = + = + ตัวหาปริพันธ์อยู่ในรูป การแทนค่า ให้ ข้อกำหนดของ เอกลักษณ์ที่ใช้ 2 2 a u −หรือ 2 2 a u − u a = sin 2 2 1 sin cos − = 2 2 a u + หรือ 2 2 a u + u a = tan 2 2 1 tan sec + = 2 2 u a −หรือ 2 2 u a − u a = sec 0 ,( ) 2 u a ( ) 3 , 2 u a − 2 2 sec 1 tan − = 2 2 − 2 2 − จาก x = 3tan จะได้ arctan 3 x =

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-39 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.4.2 จงหาค่าของ 2 2 1 4 1 dx x x − วิธีทำ จากพจน์ 2 4 1 x − จะได้ u x = 2 และ a =1 สมมติให้ 2 sec x = นั่นคือ sec 2 x = จะได้ 1 sec tan 2 dx d = ดังนั้น 2 2 2 2 2 2 2 1 sec tan 2 4 1 sec sec 4 1 2 2 tan 2 sec sec 1 tan 2 sec tan 2 sec 2 cos 2sin 4 1 d dx x x d d d d C x C x = − − = − = = = = + − = + ตัวอย่าง 5.3.4.3 จงหาค่าของ 2 2 9 x dx x − วิธีทำ จากพจน์ 2 9 − x จะได้ u x = และ a = 3 สมมติให้ x = 3sin จะได้ dx d = 3cos ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 3sin 3cos 3sin 9cos 3cos 3sin 3cos 3cos 9sin cot cosec 1 cot 9 arcsin 3 x dx d x d d d d C x x C x − − = = = = = − = − − + − = − − + จาก จะได้ จาก จะได้

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-40 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.4.4 จงหาค่าของ 2 x 25 dx x − วิธีทำ จากพจน์ 2 x − 25 จะได้ u x = และ a = 5 สมมติให้ x = 5sec จะได้ dx d = 5sec tan ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 25 5sec 25 5sec tan 5sec 25 sec 1 tan 25 tan tan 5tan 5 sec 1 5tan 5 25 5arcsec 5 x dx d x d d d d C x x C − − = = − = = = − = − + = − − + ตัวอย่าง 5.3.4.5 จงหาค่าของ ( ) 3 2 1 4 49 dx x + วิธีทำ จาก ( ) ( ) 3 3 2 2 2 4 49 (2 ) 7 dx dx x x = + + จะได้ u x = 2 และ a = 7 สมมติให้ 2 7 tan x = จะได้ 7 2 sec 2 dx d = ดังนั้น ( ) ( ( )) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 7 sec 2 4 49 (7 tan ) 49 7 sec 2 7 tan 1 7 sec 2 7 sec 7 sec 2 7 sec 1 cos 98 1 2 sin 98 98 4 49 49 4 49 d dx x d d d d x x C C C x x = + + = + = = = = + = + = + + + จาก จะได้ จาก จะได้

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-41 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.4.6 จงหาค่าของ 2 1 4 5 dx x x + − วิธีทำ 2 1 4 5 dx x x + − = ( ) 2 2 1 2 3 dx x + − ------------------- (1) จะได้ u x = + 2 , a = 3 จากคุณสมบัติ u a = sec จะได้ว่า x + = 2 3sec dx d = 3sec tan ดังนั้นจากสมการ (1) จะกลายเป็น ( ) (( ) ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 3sec tan 2 3 3sec 3 1 sec tan 3 sec 1 1 sec tan 3 tan 1 sec 3 tan 1 cosec 3 1 ln cosec cot 3 dx d x d d d d C = + − − = − = = = − + ดังนั้น ( ) 2 2 2 2 2 cosec 2 3 4 5 x x x x x + + = = + − + − และ 2 3 cot x x4 5 = + − แล้วจะได้ว่า ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 3 ln 2 3 3 4 5 4 5 1 1 ln 3 4 5 x dx C x x x x x x C x x + = − + + − + − + − − = + + − จาก จะได้

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-42 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 5.3.5 การหาปริพันธ์โดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อย ในกรณีที่ตัวหาปริพันธ์อยู่ในรูปเศษส่วน ( ) ( ) P x Q x ทั้งตัวเศษ P x( ) และตัวส่วน Q x( ) ต่างก็ เป็นฟังก์ชันของ x ในรูปฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial) ใช้เทคนิคการแยกเศษส่วนเดิมให้เป็น เศษส่วนย่อย (Partial Fraction) แล้วจึงหาค่าปริพันธ์ ในกรณีที่กำลังของตัวเศษมีค่าน้อยกว่ากำลังของตัวส่วน (เศษส่วนแท้) เราจะมีวิธี แยกเศษส่วนแท้ให้เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อยได้ 5 กรณีดังนี้ กรณีที่ 1 เมื่อตัวประกอบของตัวส่วน Q x( ) เป็นตัวประกอบเชิงเส้น ax b + ที่แตกต่าง กัน มีจำนวน n ตัวประกอบ เช่น Q x a x b a x b a x b ( ) = + + + ( 1 1 2 2 )( ) ( n n ) จะแยก เศษส่วนย่อยได้และอยู่ในรูป ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 n n n P x A A A Q x a x b a x b a x b = + + + + + + เมื่อ 1 2 1 2 , , , , , , n n a a a b b b เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ 1 2 , , , A A A n เป็นค่าคงตัวใดๆ และ จำนวนเศษส่วนย่อยที่แยกได้จะเท่ากับจำนวนตัวประกอบของตัวส่วน ตัวเศษของเศษส่วนย่อยแต่ละ จำนวนเป็นค่าคงตัว เช่น ( )( ) 1 2 2 3 19 3 19 6 2 3 2 3 x x A A x x x x x x − − = = + − − + − + − ( ) ( )( ) 1 2 3 2 2 2 9 3 3 3 3 x x A A A x x x x x x x x + + = = + + − + − + − เมื่อ 1 2 3 A A A , , เป็นค่าคงตัวใดๆ กรณีที่ 2 เมื่อตัวประกอบของตัวส่วน Q x( ) เป็นตัวประกอบเชิงเส้น ax b + ซ้ำกัน n ตัวประกอบ เช่น ( ) ( ) n Q x ax b = + จะแยกเศษส่วนย่อยได้อยู่ในรูป ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ... n n P x A A A Q x ax b ax b ax b = + + + + + เมื่อ 1 2 , , , A A A n เป็นค่าคงตัวใดๆ และจำนวนเศษส่วนย่อยที่แยกได้ จะเท่ากับจำนวนของ เลขยกกำลัง n ของตัวประกอบของตัวส่วน เช่น ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 3 2 2 3 2 x A A x x x + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 x A A A x x x x + = + + − − − − เมื่อ 1 2 3 A A A , , เป็นค่าคงตัวใดๆ

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-43 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ กรณีที่ 3 เมื่อตัวประกอบของตัวส่วน Q x( ) เป็นตัวประกอบกำลังสอง 2 ax bx c + + ที่ แยกตัวประกอบไม่ได้ และแตกต่างกัน มีจำนวน n ตัวประกอบ เช่น ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 Q x a x b x c a x b x c a x b x c = + + + + + + 1 1 1 2 2 2 n n n จะแยกเศษส่วนย่อยได้ อยู่ในรูป ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 n n n n n P x A x B A x B A x B Q x a x b x c a x b x c a x b x c + + + = + + + + + + + + + เมื่อ 1 1 2 2 , , , , , , A B A B A B n n เป็นค่าคงตัวใดๆ และจำนวนเศษส่วนย่อยที่แยกได้จะเท่ากับจำนวน ตัวประกอบของตัวส่วน ตัวเศษของเศษส่วนย่อยแต่ละจำนวนเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น A x B 1 1 + เช่น ( )( ) 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 3 3 4 3 x x A x B A x B x x x x + − + + = + + + + + เมื่อ 1 1 2 2 A B A B , , , เป็นค่าคงตัวใดๆ กรณีที่ 4 เมื่อตัวประกอบของตัวส่วน Q x( ) เป็นตัวประกอบกำลังสองที่แยกตัวประกอบ ไม่ได้และซ้ำกัน n ตัวประกอบ เช่น ( ) ( ) 2 n Q x ax bx c = + + จะแยกเศษส่วนย่อยได้ อยู่ในรูป ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 n n n n n n P x A x B A x B A x B Q x a x b x c a x b x c a x b x c + + + = + + + + + + + + + เมื่อ 1 1 2 2 , , , , , , A B A B A B n n เป็นค่าคงตัวใดๆ และจำนวนเศษส่วนย่อยที่แยกได้จะเท่ากับจำนวน เลขยกกำลัง ( n ) ของตัวประกอบของตัวส่วน เช่น ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 9 5 7 5 7 5 7 x x A x B A x B x x x x x x + − + + = + + − + − + − เมื่อ 1 1 2 2 A B A B , , , เป็นค่าคงตัวใดๆ กรณีที่ 5 เมื่อตัวประกอบของตัวส่วน Q x( ) เป็นตัวประกอบของหลายกรณีด้วยกัน (กรณีที่ 1 ถึงกรณีที่ 4) การแยกเศษส่วนย่อยให้แยกโดยใช้หลักการของแต่ละกรณีนั้นๆ เช่น ( )( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 5 2 6 2 6 5 x x A A x B x x x x x x + − + = + − − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 7 4 7 4 3 7 4 3 x x A A A x B A x B x x x x x x x x x + − + + = + + + + − + − + + − + + เมื่อ 1 2 3 3 4 A A A B B , , , , เป็นค่าคงตัวใดๆ

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-44 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ การหาค่าคงตัวของเศษส่วนย่อย เมื่อแยกเศษส่วนแท้เป็นเศษส่วนย่อยตามรูปแบบข้างต้นแล้ว จะหาค่าคงตัวและสัมประสิทธิ์ ของตัวแปรได้ 2 วิธีคือ 1. ใช้หลักการเทียบสัมประสิทธิ์ 2. ใช้การแทนค่าตัวแปร x บางค่าที่เหมาะสม 1. การหาค่าคงตัวของเศษส่วนย่อยโดยหลักการเทียบสัมประสิทธิ์มีขั้นตอนดังนี้ 1.1 จากสมการ ( ) ( ) P x Q x เท่ากับผลบวกของเศษส่วนย่อยทั้งหมดคูณด้วย Q x( ) ทั้งสองข้าง 1.2 กระจายพจน์ทางด้านขวาของสมการ และรวมพจน์ที่ตัวแปรมีองศาเท่ากันเข้าด้วยกัน 1.3 เทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่เหมือนกัน จะได้สมการของค่าคงตัวที่ต้องการจะหาค่า 1.4 แก้สมการของขั้น 1.3 หาค่าคงตัว ซึ่งเป็นค่าคงตัวของเศษส่วนย่อยที่แยกได้นั่นเอง 1.5 แทนค่าคงตัวที่ได้ลงในเศษส่วนย่อย ตัวอย่าง 5.3.5.1 จงแยก 3 2 2 4 2 x x x + − อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย วิธีทำ ( ) 1 2 3 3 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 x x A A A x x x x x x x + + = = + + − − − นำ ( ) 2 x x − 2 คูณทั้งสองข้าง จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 2 1 1 2 2 3 2 1 3 1 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 x A x x A x A x A x A x A x A A x A A x A A x A + = − + − + = − + − + = + + − + − โดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ของ x ที่มีกำลังเท่ากัน จะได้ 1 3 A A + = 0 ………………… (1) 1 2 − + = 2 2 A A ………………… (2) 2 − = 2 4 A จะได้ 2 A =−2 แทนค่า 2 A =−2 ในสมการที่ (2) จะได้ 1 A =−2 แทนค่า 1 A =−2 ในสมการที่ (1) จะได้ 3 A = 2 ดังนั้น 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x + − − = + + − −

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-45 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.5.2 จงแยก 2 11 3 2 3 x x x − + − อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย วิธีทำ 1 2 2 11 3 11 3 2 3 ( 3)( 1) 3 1 x x A A x x x x x x − − = = + + − + − + − นำ ( 3)( 1) x x + − คูณทั้งสองข้าง จะได้ 1 2 1 2 1 2 11 3 ( 1) ( 3) ( ) ( 3 ) x A x A x A A x A A − = − + + = + + − + โดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ของ x ที่มีกำลังเท่ากัน จะได้ 1 2 A A + = −3 ………………… (1) 1 2 − + = A A3 11 ………………… (2) นำสมการที่ (1) บวกกับสมการที่ (2) จะได้ 2 2 4 8 2 A A = = แทนค่า 2 A = 2 ในสมการที่ (1) จะได้ 1 A =−5 ดังนั้น 2 11 3 5 2 2 3 3 1 x x x x x − − = + + − + − 2. การหาค่าคงตัวของเศษส่วนย่อยโดยการแทนค่าตัวแปร x บางค่าที่เหมาะสม ค่าที่เหมาะสม หมายถึง ค่าคงตัวที่แทนใน x แล้วทำให้หาค่า 1 2 , , , A A A n ได้ทันที ซึ่งมี ขั้นตอนดังนี้ 2.1 จากสมการ ( ) ( ) P x Q x เท่ากับผลบวกของเศษส่วนย่อยทั้งหมด คูณด้วย Q x( ) ทั้งสอง ข้าง และไม่ต้องกระจายพจน์ทางด้านขวาของสมการ 2.2 แทนค่าตัวแปร x ด้วยค่าที่เหมาะสม เพื่อทำให้บางพจน์มีค่าเป็นศูนย์ แล้ว หาค่าคงตัวจากสมการที่เหลือ 2.3 แทนค่าตัวแปร x ด้วยค่าที่เหมาะสมค่าใหม่ เพื่อทำให้บางพจน์มีค่าเป็นศูนย์ แล้ว หาค่าคงตัวตัวใหม่จากสมการที่เหลือ ทำเช่นนี้จนกระทั่งหาค่าคงตัวได้จนครบ 2.4 แทนค่าคงตัวที่ได้ลงในเศษส่วนย่อย

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-46 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.5.3 จงแยก ( )( ) 5 10 4 1 x x x − − + อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย วิธีทำ ( )( ) ( ) ( ) 1 2 5 10 4 1 4 1 x A A x x x x − = + − + − + นำ ( x x − + 4 1 )( ) คูณทั้งสองข้าง จะได้ 5 10 1 4 x A x A x − = + + − 1 2 ( ) ( ) ……………… (1) แทนค่า x ในสมการ (1) เพื่อทำให้เทอมหายไปทีละเทอมดังนี้ แทนค่า x =−1 ในสมการ (1) ได้ 5( 1) 10 1 1 1 4 − − = − + + − − A A 1 2 ( ) ( ) 2 − = − 15 5A จะได้ 2 A = 3 แทนค่า x = 4 ในสมการ (1) ได้ 5(4) 10 4 1 4 4 − = + + − A A 1 2 ( ) ( ) 1 10 5 = A จะได้ 1 A = 2 ดังนั้น ( )( ) ( ) ( ) 5 10 2 3 4 1 4 1 x x x x x − = + − + − + ตัวอย่าง 5.3.5.4 จงแยก 2 11 7 2 3 2 x x x + + − อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย วิธีทำ 1 2 2 11 7 11 7 2 3 2 (2 1)( 2) 2 1 2 x x A A x x x x x x + + = = + + − − + − + นำ (2 1)( 2) x x − + คูณทั้งสองข้าง จะได้ 11 7 2 2 1 x A x A x + = + + − 1 2 ( ) ( ) ……………… (1) แทนค่า x ในสมการ (1) เพื่อทำให้เทอมหายไปทีละเทอมดังนี้ แทนค่า x =−2 ในสมการ (1) ได้ 1 2 ( ) ( ) 2 2 11( 2) 7 2 2 2( 2) 1 15 5 3 A A A A − + = − + + − − − = − = แทนค่า 1 2 x = ในสมการ (1) ได้ 1 2 1 1 1 1 1 11 7 2 2 1 2 2 2 25 5 5 2 2 A A A A + = + + − = = ดังนั้น 2 11 7 5 3 2 3 2 2 1 2 x x x x x + = + + − − +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-47 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.5.5 จงหาค่าของ 2 10 1 3 10 x dx x x − − − วิธีทำ พิจารณา 1 2 2 10 1 10 1 3 10 ( 5)( 2) 5 2 x x A A x x x x x x − − = = + − − − + − + นำ ( 5)( 2) x x − + คูณทั้งสองข้าง จะได้ 10 1 2 5 x A x A x − = + + − 1 2 ( ) ( ) ……………… (1) แทนค่า x =−2 ในสมการ (1) ได้ 10( 2) 1 2 2 2 5 21 7 3 − − = − + + − − − = − = A A A A 1 2 2 2 ( ) ( ) แทนค่า x = 5 ในสมการ (1) ได้ 10(5) 1 5 2 5 5 49 7 7 − = + + − = = A A A A 1 2 1 1 ( ) ( ) จะได้ว่า 2 10 1 7 3 3 10 5 2 x x x x x − = + − − − + ดังนั้น 2 10 1 7 3 7ln 5 3ln 2 3 10 5 2 x dx dx dx x x C x x x x − = + = − + + + − − − + ตัวอย่าง 5.3.5.6 จงหาค่าของ 2 3 2 6 26 6 4 3 x x dx x x x − + − + วิธีทำ พิจารณา 2 2 1 2 3 3 2 6 26 6 6 26 6 4 3 ( 1)( 3) 1 3 x x x x A A A x x x x x x x x x − + − + = = + + − + − − − − นำ x x x ( 1)( 3) − −คูณทั้งสองข้าง จะได้ 2 1 2 3 6 26 6 ( 1)( 3) ( 3) ( 1) x x A x x A x x A x x − + = − − + − + − ……………… (1) แทนค่า x = 0 ในสมการ (1) ได้ 1 2 3 1 1 6 (0 1)(0 3) (0)(0 3) (0)(0 1) 6 3 2 = − − + − + − = = A A A A A แทนค่า x =1 ในสมการ (1) ได้ 2 1 2 3 2 2 6(1) 26(1) 6 (1 1)(1 3) (1)(1 3) (1)(1 1) 14 2 7 − + = − − + − + − − = − = A A A A A แทนค่า x = 3 ในสมการ (1) ได้ 2 1 2 3 3 3 6(3) 26(3) 6 (3 1)(3 3) (3)(3 3) (3)(3 1) 18 6 3 − + = − − + − + − − = = − A A A A A จะได้ว่า 2 3 2 6 26 6 2 7 3 4 3 1 3 x x x x x x x x − + − = + + − + − − ดังนั้น 2 3 2 6 26 6 2 7 3 2ln 7ln 1 3ln 3 4 3 1 3 x x dx dx dx dx x x x C x x x x x x − + = + − = + − − − + − + − −

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-48 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.5.7 จงหาค่าของ ( )( ) 2 2 3 7 3 2 1 x x dx x x − + − − วิธีทำ พิจารณา ( )( ) ( ) 2 1 2 3 2 2 3 7 3 2 1 1 2 1 x x A A A x x x x x − + = + + − − − − − นำ ( )( ) 2 x x − − 2 1 คูณทั้งสองข้าง จะได้ ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 3 3 7 3 1 2 1 2 x x A x A x x A x − + = − + − − + − ……………… (1) แทนค่า x =1 ในสมการ (1) ได้ ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 3 3 3 3(1) 7(1) 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 A A A A A − + = − + − − + − − = − = แทนค่า x = 2 ในสมการ (1) ได้ ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 1 3(2) 7(2) 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 A A A A A − + = − + − − + − = = แทนค่า 1 3 x A A = = = 0, 1, 1 ในสมการ (1) ได้ ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 3(0) 7(0) 3 (1) 0 1 0 2 0 1 (1) 0 2 3 1 2 2 2 A A A − + = − + − − + − = + − = จะได้ว่า ( )( ) ( ) 2 2 2 3 7 3 1 2 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x − + = + + − − − − − ดังนั้น ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 7 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ln 1 2ln 1 1 x x dx dx dx dx x x x x x d x d x d x x x x d x d x x d x x x x x C x − − + = + + − − − − − = − + − + − − − − = − + − + − − − − = − + − − + −

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-49 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 5.3.5.8 จงหาค่าของ ( )( ) 2 1 1 4 x dx x x − + + วิธีทำ พิจารณา ( )( ) 1 2 3 2 2 1 1 4 1 4 x A A x A x x x x − + = + + + + + นำ ( )( ) 2 x x + + 1 4 คูณทั้งสองข้าง จะได้ ( ) ( )( ) 2 1 2 3 x A x A x A x − = + + + + 1 4 1 ……………… (1) แทนค่า x =−1 ในสมการ (1) ได้ ( ) ( )( ) 2 1 2 3 1 1 1 1 ( 1) 4 ( 1) 1 1 2 2 5 5 A A A A A − − = − + + − + − + − = = − แทนค่า 1 2 0, 5 x A = = − ในสมการ (1) ได้ ( ) ( )( ) 2 2 3 3 3 2 0 1 (0) 4 (0) 0 1 5 8 3 1 5 5 A A A A − = − + + + + − = − + = แทนค่า 1 3 2 3 1, , 5 5 x A A = = − = ในสมการ (1) ได้ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 1 (1) 4 (1) 1 1 5 5 10 6 2 0 2 5 5 5 A A A − = − + + + + = − + + = จะได้ว่า ( )( ) 2 2 2 2 3 1 5 5 5 1 4 1 4 x x x x x x − + − = + + + + + ดังนั้น ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 5 5 1 4 1 4 4 2 1 2 3 1 4 1 5 1 5 4 2 5 4 2 1 3 1 ln 1 ln 4 arctan 5 5 5 2 2 2 1 3 ln 1 ln 4 arctan 5 5 10 2 x x dx dx dx dx x x x x x x d x d x dx x x x x x x x C x x x C − − = + + + + + + + + = − + + + + + + = − + + + + + = − + + + + +

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-50 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่5 1. จงหาค่าของปริพันธ์ต่อไปนี้ 1) 2 2 ( ) x e dx x − + + 2) 3 x 2 dx x − 3) 3 2 x x x dx ( 4 ) − 4) 4 3 1 ( ) 2 dx x x − 5) 1 x x e dx + e 6) 2/3 (2 1) x dx − 7) 2 3 1/3 x x dx (7 2 ) + 8) tan( ) x x e e dx 9) 1 2 3 3 x x dx 4 − + 10) cos sin x e xdx 11) 2 3 5 x dx x + 12) 2 (ln ) x dx x 13) cos 1 sin x dx + x 14) 3 2 5 x x dx 15) cos(ln ) x dx x 16) 2 arctan 1 x dx + x 17) sin 2 x x dx 18) x xdx ln 19) 2 x xdx sin 20) 2 x xdx sec 2. จงหาค่าปริพันธ์ของตรีโกณมิติยกกำลัง 1) 3 2 12 sin cos x x dx 2) 4 4 sin 4 cos 4 x x dx 3) 4 sin 2 x dx 4) ( ) 5 cos 2x dx 5) 3 3 sin 3 cos 3 x x dx 6) 5 sin cos x x dx 7) 5 sin 2 cos 2 x x dx 8) ( ) 2 2 sin 2 cos 3 x x dx + 9) 6 sec x dx 10) 4 tan 5x dx 11) 3 tan 4x dx 12) 3 20 cot 2x dx 13) 3 3 sec 3 tan 3 x x dx 14) 4 4 sec tan x x dx 15) 3 3 4 cot 5 cos 5 x ec x dx 16) 4 20 cos 2 ec x dx

บทที่ 5 การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน 5-51 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 3. จงหาค่าปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1) 2 1 9 dx x − 2) 2 1 16 dx x + 3) 2 2 1 9 dx x x − 4) 2 1 2 8 dx x + 5) 2 6 x dx x x − 6) 3 2 1 25 dx x x − 7) ( ) 2 3 2 3 x dx x + 8) 2 1 36 dx x x − 9) 2 3 2 8 x dx x x + − 10) 2 1 4x dx x − 11) 2 x 25 dx x − 12) 2 2 sec tan 9 x dx x + 4. จงหาค่าปริพันธ์โดยการแยกเศษส่วนย่อย 1) 2 6 17 7 15 x dx x x + + − 2) 3 2 2 3 2 x x dx x x − + + − 3) 2 3 2 9 26 16 2 8 x x dx x x x + − + − 4) 3 2 2 3 2 16 20 4 x x x dx x − − + − 5) 3 4 2 4 7 5 4 x x dx x x − − + 6) 7) 2 6 2 5 3 dx x x − − 8) 2 7 10 3 4 4 x dx x x − + − 9) 2 4 16 2 3 x dx x x − − − 10) ( ) 4 2 1 x dx x − 11) ( ) 2 2 2 2 x dx x x + + 12) ( ) 3 2 2 1 x dx x + 13) ( )( ) 2 2 5 2 1 1 1 x x dx x x − + + − 14) 2 3 2 4 2 x x dx x x − − − 15) ( ) 2 2 8 42 50 6 10 x x dx x x x + + + + 16) ( )( ) 2 2 13 2 7 x x dx x x − − − + dx x x x x + + + 4 3 2 2 4 3

ครั้งที่14-16 แผนการสอน รหัสวิชา เวลา 9 ชั่วโมง 02-005-011-109 ชื่อหน่วยเรียนที่ 6 เรื่อง ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ ชื่อบทเรียน - นิยามปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขต - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตร ▪ การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีแบบจาน ▪ การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีเปลือกทรงกระบอก - การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาวเส้นโค้ง จุดประสงค์การสอน 6.1 รู้และเข้าใจปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขต 6.1.1 บอกนิยามปริพันธ์จำกัดเขตได้ 6.1.2 อธิบายการการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขตได้ 6.2 นำปริพันธ์จำกัดเขตไปใช้ในการหาพื้นที่ 6.2.1 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งและพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งได้ 6.3 นำปริพันธ์จำกัดเขตไปใช้ในการหาปริมาตร 6.3.1 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีแบบจานได้ 6.3.2 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธี เปลือกทรงกระบอกได้ 6.4 นำปริพันธ์จำกัดเขตไปใช้ในการหาความยาวเส้นโค้ง 6.4.1 ใช้ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาวเส้นโค้งได้ วิธีสอนและกิจกรรม 1. บรรยายเนื้อหาตามหน่วยการเรียนรู้ที่ 6 เรื่อง ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 2. บรรยายเนื้อหาตามจุดประสงค์การสอน 3. ให้นักศึกษาทำกิจกรรมการเรียนรู้เป็นกลุ่มและนำเสนอ 4. ถาม-ตอบในชั้นเรียน สื่อการสอน หนังสืออ้างอิง บรรณานุกรม เอกสารประกอบการสอน เอกสารการสอนหน่วยที่ 6 วัสดุโสตทัศน์และอุปกรณ์ คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพ และไอแพด งานที่มอบหมาย 1. ทำแบบฝึกหัดท้ายบท การวัดผล 1. การสังเกต ความสนใจ และตั้งใจในการเรียน และการทำงานร่วมกันกับเพื่อน 2. ตรวจการบ้านท้ายบทเรียน 3. การทดสอบย่อยเนื้อหาในหน่วยที่ 6 และการสอบปลายภาค

ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและ การประยุกต์ จากบทที่ผ่านมาเราได้ศึกษาเรื่องการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต และในบทนี้เราจะจำกัดโดเมน ของการหาปริพันธ์ ซึ่งเราจะเรียกว่าปริพันธ์จำกัดเขต และเราสามารถนำปริพันธ์จำกัดเขตไปประยุกต์ ได้หลายเรื่อง เช่น การหาพื้นที่ใต้โค้ง การหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุน และการหาความยาวเส้นโค้ง เป็นต้น 6.1 นิยามปริพันธ์จำกัดเขตและการคำนวณค่าปริพันธ์จำกัดเขต 6.1.1 นิยามปริพันธ์จำกัดเขต นิยาม 6.1.1 ให้ y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b ปริพันธ์จำกัดเขตของ f x( ) จาก x a = ถึง x b = เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ( ) b a f x dx f x( ) เรียกว่า ตัวถูกปริพันธ์(Integrand) a เรียกว่า ลิมิตล่าง (Lower limit) ของการหาปริพันธ์ b เรียกว่า ลิมิตบน (Upper limit) ของการหาปริพันธ์ 6.1.2 การหาค่าปริพันธ์จำกัดเขต ทฤษฎีบท 6.1.2 ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental of Calculus) ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้ว ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − ผลต่าง F b F a ( ) ( ) −เขียนแทนด้วย ( ) b a F x หรือ ( ) x b x a F x = = หรือ ( ) b a F x ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = −

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-2 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของปริพันธ์จำกัดเขต กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b 1. ถ้า a b = เมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่หาค่าปริพันธ์ได้บนช่วง [ , ] a b แล้ว ( ) 0 b a f x dx = 2. ถ้า a b เมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่หาค่าปริพันธ์ได้บนช่วง [ , ] a b แล้ว ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − 3. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาค่าปริพันธ์ได้บนช่วง [ , ] a b และ k เป็นค่าคงตัวใด ๆ แล้ว ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = 4. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาค่าปริพันธ์ได้บนช่วง [ , ] a b แล้ว [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx + = + 5. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาค่าปริพันธ์ได้บนช่วง [ , ] a b และ a c b แล้ว ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 6. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาค่าปริพันธ์ได้บนช่วง [ , ] a b และ f x g x ( ) ( ) แล้ว ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx 7. ถ้า f x c ( ) = สำหรับทุกๆ ค่าของ x บนช่วง [ , ] a b แล้ว ( ) ( ) b b a a f x dx c dx c b a = = − ตัวอย่าง 6.1.2.1 จงหาค่าของ 5 3 (4 2) x dx − − วิธีทำ จาก 2 2 (4 2) 4 2 2 2 2 x x dx x C x x C − = − + = − + ดังนั้น ( ) ( ) ( ) 5 5 2 2 2 3 3 (4 2) 2 2 2(5) 2(5) 2( 3) 2( 3) 40 24 16 x x x dx x x = = − − − = − = − − − − − = − = − ตัวอย่าง 6.1.2.2 จงหาค่าของ 0 3 2 (2 1) x dx − + วิธีทำ จาก 3 3 4 (2 1) 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2 8 d x x dx x x C + + = + = + + ดังนั้น 0 0 3 4 2 2 4 4 1 (2 1) (2 1) 8 1 1 1 81 (2(0) 1) (2( 2) 1) 10 8 8 8 8 x dx x − − + = + = + − − + = − = −

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-3 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.1.2.3 จงหาค่าของ 5 2 3 2 6 4 x dx x − วิธีทำ จาก ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 2 3 3 6 6 4 2 4 4 4 4 4 4 3 x x d x dx x d x x C x x x − − = = − − = − + − − ดังนั้น ( ) ( ) ( ) 5 5 2 1 3 2 3 2 2 1 1 3 3 2 2 6 4 4 4 4 5 4 4 2 4 4 121 4 4 36 x dx x x = − − = − − − = − = ตัวอย่าง 6.1.2.4 จงหาค่าของ 2 2 0 8 5 x dx − x วิธีทำ จาก ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 8 1 5 4 5 4ln 5 5 5 2 5 x x d x dx d x x C x x x x − = = − − = − − + − − − − ดังนั้น ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 2 8 4ln 5 5 4ln 5 2 4ln 5 0 4ln1 4ln 5 4ln 5 x dx x x = − − − = − − − − − = − + = ตัวอย่าง 6.1.2.5 จงหาค่าของ 2 0 6 sin ( ) x x dx วิธีทำ จาก ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 sin ( ) 6 sin ( ) 3 sin ( ) 3cos 2 d x x x dx x x x d x x C x = = = − + ดังนั้น ( ( )) ( ) ( ( )) 2 2 0 0 6 sin ( ) 3cos 3cos 3cos 0 3( 1) 3(1) 6 x x dx x = − = − − − = − − + =

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-4 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.1.2.6 จงหาค่าของ 2 2 1 12 x x e dx − วิธีทำ ใช้เทคนิคการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนหา 2x x e dx ดังนี้ แทนค่าในสูตร udv uv vdu = − จะได้ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (2 ) 1 2 2 2 2 2 2 4 x x x x x x x e e d x e xe dx xe dx xe xe C = − = − = − + ดังนั้น ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2(2) 2(2) 2( 1) 2( 1) 6 4 2 2 1 12 12 2 4 6(2) 3 6( 1) 3 9 1 9 9 x x x e x e dx xe e e e e e e e e − − − − = − = − − − − + = + = ตัวอย่าง 6.1.2.7 กำหนดให้ 2 , 2 ( ) 4 4 , 2 x x f x x x = − จงหาค่าของ 5 0 f x dx ( ) วิธีทำ 5 2 5 0 0 2 f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 5 2 0 2 2 3 5 2 2 0 2 2 (4 4) 2 4 3 8 0 2 5 4(5) 2 2 4(2) 3 8 98 30 3 3 x dx x dx x x x = + − = + − = − + − − − = + = ตัวอย่าง 6.1.2.8 จงหาค่าของ 2 1 x dx − วิธีทำ จาก ; 0 ; 0 x x x x x = − ดังนั้น ( ) 0 2 2 0 2 2 2 2 2 1 1 0 1 0 ( 1) 2 5 0 0 2 2 2 2 2 x x x dx x dx x dx − − − − = − + = − + = + + − = ให้ u x = 2x dv e dx = 1 du dx = จะได้ du dx = 2 2 2 (2 ) 2 2 x x x d x e v dv e dx e = = = =

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-5 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 6.2 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาพื้นที่ ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาถึงบทประยุกต์ของปริพันธ์จำกัดเขตในเรื่องการหาพื้นที่ใต้โค้ง ดังนี้ 6.2.1 พื้นที่ใต้โค้ง ให้ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b และให้ A เป็นบริเวณพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย แกน x เส้นตรง x a = เส้นตรง x b = และเส้นโค้ง y f x = ( ) เมื่อ f x( ) 0 ดังรูปต่อไปนี้ จะได้ว่าพื้นที่บริเวณ A หาค่าได้จากสูตร ( ) b a A f x dx = หมายเหตุในกรณี f x( ) 0 จะได้พื้นที่ใต้แกน x คือ ( ) b a − f x dx หรือ ( ) b a f x dx ในทำนองเดียวกัน ถ้า g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหาค่าได้บนช่วง [ , ] c d และ B เป็น พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง x g y = ( ) แกน y เส้นตรง y c = และเส้นตรง y d = เมื่อ g y( ) 0 จะได้ว่าพื้นที่บริเวณ B หาค่าได้จากสูตร ( ) d c B g y dy =

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-6 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.2.1.1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y x = + 2 และแกน x จาก x =−1 ถึง x = 3 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่แรเงา A คือ 3 1 3 2 1 2 2 ( 2) 2 2 (3) ( 1) 2(3) 2( 1) 2 2 9 1 6 2 2 2 9 1 6 2 2 2 12 A x dx x x − − = + = + − = + − + − = + − − = + − + = ดังนั้นพื้นที่แรเงา A มีค่าเท่ากับ 12 ตารางหน่วย ตัวอย่าง 6.2.1.2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x = + 3 และเส้นตรง y = 0 จาก x = 0 ถึง x = 2 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x = + 3 และเส้นตรง y = 0 จาก x = 0 ถึง x = 2 มีค่าเท่ากับ 2 2 3 2 0 0 3 3 ( 3) 3 3 (2) (0) 3(2) 3(0) 3 2 8 6 0 3 26 3 x x dx x + = + = + − + = + − = ดังนั้นพื้นที่แรเงามีค่าเท่ากับ 26 3 ตารางหน่วย -1 3

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-7 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.2.1.3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 4 y x = และเส้นตรง x = 0 จาก y = 0 ถึง y =1 ดังรูป วิธีทำ จาก 4 y x = จะได้ว่า 4 x y = เพราะฉะนั้นพื้นที่ที่ ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 4 y x = และเส้นตรง x = 0 จาก y = 0 ถึง y =1 มีค่าเท่ากับ 1 1 5 4 0 0 5 5 5 1 0 5 5 1 5 y y dy = = − = ดังนั้นพื้นที่แรเงามีค่าเท่ากับ 1 5 ตารางหน่วย ตัวอย่าง 6.2.1.4 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x x = −1 และเส้นตรง y = 0 จาก x = 0 ถึง x =1 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x x = −1 และเส้นตรง y = 0 จาก x = 0 ถึง x =1 มีค่าเท่ากับ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 2 0 1 3 2 2 0 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 0 3 3 1 0 3 1 3 d x x x dx x x x x d x x − − = − − = − − − = − − = − − − − − = − − = ดังนั้นพื้นที่แรเงามีค่าเท่ากับ 1 3 ตารางหน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-8 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 6.2.2 พื้นที่ระหว่างโค้ง เมื่อ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b และให้ A เป็นพื้นที่ของบริเวณซึ่ง ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y f x y g x = = ( ), ( ) เส้นตรง x a = และ x b = โดยที่ f x g x ( ) ( ) (เส้นโค้ง y f x = ( ) อยู่เหนือเส้นโค้ง y g x = ( ) ) ดังรูป สูตรหาพื้นที่ของบริเวณซึ่งปิดล้อมด้านบนด้วยเส้นโค้ง y f x = ( ) ด้านล่างด้วยเส้นโค้ง y g x = ( ) ด้านซ้ายด้วยเส้นตรง x a = และด้านขวาด้วยเส้นตรง x b = คือ ( ( ) ( )) b a A f x g x dx = − (1) ตัวอย่าง 6.2.2.1 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y x = + 6 เส้นโค้ง 2 y x = เส้นตรง x = 0 และ x = 2 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่แรเงา A คือ ( ) 2 2 0 2 2 3 0 2 3 2 3 ( 6) 6 2 3 (2) (2) (0) (0) 6(2) 6(0) 2 3 2 3 8 2 12 3 34 3 x A x x dx x x x = = + − = + − = + − − + − = + − = ดังนั้นพื้นที่แรเงา A มีค่าเท่ากับ 34 3 ตารางหน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-9 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธีการหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งโดยการหาปริพันธ์เทียบกับ x Step1 เขียน Strip โดยให้ด้านบนของ Strip ติดเส้นโค้ง f x( ) และด้านล่างติด เส้นโค้ง g x( ) ดังรูป (a) Step2 จาก Strip ที่เขียนใน Step1 จะได้ความสูงของ Strip เป็น f x g x ( ) ( ) −ซึ่งจะเป็น ตัวถูกปริพันธ์ตามสูตร (1) Step3 หาลิมิตของการหาปริพันธ์(ขอบเขตของพื้นที่) โดยนึกภาพการเลื่อน Strip ไปซ้าย– ขวา ดังรูป (b) และ (c) จะได้ตำแหน่งซ้ายสุดของพื้นที่อยู่ที่ x a = และขวาสุดคือ x b = หมายเหตุกรณีที่เมื่อทำการเลื่อน Strip แล้วปรากฏว่า ส่วนปลายทั้งสองข้างของ Strip เปลี่ยนไปติด เส้นโค้งอื่น ในกรณีเช่นนี้ต้องแบ่งพื้นที่หาเป็นช่วง โดยแบ่งตรงจุดที่กราฟเปลี่ยนแล้วหาพื้นที่ ทีละช่วงนำมาบวกกันก็จะได้พื้นที่ที่ต้องการ ตัวอย่าง 6.2.2.2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x x = − 2 และเส้นตรง y = 0 จาก x = 0 ถึง x = 2 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่แรเงา คือ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 3 2 0 3 3 2 2 0 2 2 3 2 0 2 0 3 3 4 3 x x dx x x dx x x − − = − + = − + = − + − − + = ดังนั้นพื้นที่แรเงา มีค่าเท่ากับ 4 3 ตารางหน่วย (a) (b) (c) Strip

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-10 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.2.2.3 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x = −1 และเส้นโค้ง 2 y x = − +1 จาก x =−1 ถึง x =1 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่แรเงา คือ ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 3 1 3 3 1 1 2 2 2 2 3 2(1) 2( 1) 2(1) 2( 1) 3 3 4 4 3 3 8 3 x x dx x dx x x − − − − + − − = − + − = + − − − = + − + − = − − = ดังนั้นพื้นที่แรเงา มีค่าเท่ากับ 8 3 ตารางหน่วย ตัวอย่าง 6.2.2.4 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y x = cos และเส้นตรง y = 0 บนช่วง 0 x ดังรูป วิธีทำ จากรูปแบ่งพื้นที่แรเงาออกเป็น 2 ช่วง คือ 0 2 x และ 2 x จะได้พื้นที่แรเงา ทั้งหมดคือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 cos 0 cos sin sin sin sin 0 sin sin 2 2 1 0 0 1 2 xdx x dx x x + − = − = − − − = − − − ดังนั้นพื้นที่แรเงาทั้งหมด มีค่าเท่ากับ 2 ตารางหน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-11 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ในบางกรณี การหาพื้นที่โดยหาปริพันธ์เทียบกับ y (แบ่งพื้นที่บนช่วงของ y ) อาจหาค่า ได้สะดวกและง่ายกว่า ดังนี้ ให้ x w y = ( ) และ x v y = ( ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] c d จะหาพื้นที่ระหว่าง เส้นโค้ง x w y = ( ) และ x v y = ( ) บนช่วง [ , ] c d (พื้นที่แรเงาดังรูป (a)) ได้จากสูตร ( ( ) ( )) d c A w y v y dy = − ตัวอย่าง 6.2.2.5 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 x y = และเส้นตรง y x = − 2 ดังรูป วิธีทำ พื้นที่แรเงาคือ (( ) ) 2 2 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 2 2 3 (2) (2) ( 1) ( 1) 2(2) 2( 1) 2 3 2 3 10 3 1 3 2 3 9 2 y y y y dy y − − + − = + − − − = + − − + − − = − − + = ดังนั้นพื้นที่แรเงา มีค่าเท่ากับ 9 2 ตารางหน่วย Strip (a)

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-12 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.2.2.6 จงแสดงวิธีหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 3 y x = เส้นตรง y = 8 และเส้นตรง x =1 ดังรูป โดยใช้การหาปริพันธ์ทั้ง 2 วิธี (หาปริพันธ์เทียบกับ x และหาปริพันธ์เทียบกับ y ) วิธีทำ หาปริพันธ์เทียบกับ x พื้นที่แรเงาคือ ( ) 2 2 4 3 1 1 4 4 8 8 4 (2) (1) 8(2) 8(1) 4 4 1 16 4 8 4 17 4 x x dx x − = − = − − − = − − + = หาปริพันธ์เทียบกับ y พื้นที่แรเงาคือ ( ) 8 8 1 3 3 1 1 8 4 3 1 4 4 3 3 1 1 3 4 3(8) 3(1) (8) (1) 4 4 1 4 4 17 4 y dy y dy y y − = − = − = − − − = − − = ดังนั้นจากการหาปริพันธ์ทั้ง 2 วิธีจะได้พื้นที่แรเงาคือ 17 4 ตารางหน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-13 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.2.2.7 จงแสดงวิธีหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y x = 2 เส้นตรง y = 2 และเส้นตรง x = 4 โดยใช้การหาปริพันธ์ทั้ง 2 วิธี (หาปริพันธ์เทียบกับ dx และหาปริพันธ์เทียบกับ dy ) วิธีทำ หาปริพันธ์เทียบกับ dx พื้นที่แรเงาคือ ( ) 4 4 1 2 1 1 4 3 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 3 4 4 (4) 2(4) (1) 2(1) 3 3 32 4 8 2 3 3 10 3 x dx x dx x x − = − = − = − − − = − − − = หาปริพันธ์เทียบกับ dy พื้นที่แรเงาคือ 4 4 2 3 2 2 3 3 4 4 4 12 (4) (2) 4(4) 4(2) 12 12 64 8 16 8 12 12 14 8 3 10 3 y y dy y − = − = − − − = − − + = − = ดังนั้นจากการหาปริพันธ์ทั้ง 2 วิธีจะได้พื้นที่แรเงาคือ 10 3 ตารางหน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-14 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 6.3 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาปริมาตร เราสามารถหาปริมาตรของทรงตันที่เกิดจากการหมุนรอบแกนโดยการประยุกต์ใช้เรื่อง ปริพันธ์จำกัดเขตได้ 2 วิธี คือ 6.3.1 วิธีแบบจาน (Disk Method) 6.3.2 วิธีเปลือกทรงกระบอก (Cylindrical Shell Method) 6.3.1 การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีแบบจาน ให้ y f x = ( ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าไม่เป็นลบบนช่วง [ , ] a b และให้ V แทนปริมาตร ของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนอาณาบริเวณ R ที่อยู่ใต้เส้นโค้ง y f x = ( ) และปิดด้านข้างโดย เส้นตรง x a = และเส้นตรง x b = รอบแกน x ดังรูป ภาคตัดที่ตั้งฉากกับแกนหมุนที่ x ใดๆ เป็นวงกลมซึ่งมีรัศมีเท่ากับ f x( ) ดังนั้นพื้นที่ภาคตัด เท่ากับ 2 y หรือ 2 [ ( )] f x นั่นคือถ้า A x( ) แทนพื้นที่ภาคตัดที่ตั้งฉากกับแกน x ที่ x ใดๆ แล้ว จะได้ 2 A x f x ( ) [ ( )] = ดังนั้น ( ) b a V A x dx = หรือ 2 [ ( )] b a V f x dx = เมื่อ f x( ) คือรัศมีของการหมุนรอบแกน x ในทำนองเดียวกันถ้าให้ V แทนปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนอาณาบริเวณ R ที่ปิดล้อมด้วนเส้นโค้ง x g y = ( ) เส้นตรง y c = และเส้นตรง y d = รอบแกน y จะได้ ( ) d c V A y dy = โดยที่ A y( ) แทนพื้นที่ภาคตัดที่ตั้งฉากกับแกน y ที่ y ใดๆ นั่นคือ ( ) 2 A y = [ ( g y)] หรือ 2 [ ( )] d c V g y dy = เมื่อ g y( ) คือรัศมีของการหมุนรอบแกน y

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-15 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.3.1.1 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนบริเวณ R ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y x = , 0 4 x และแกน x รอบแกน x วิธีทำ จากสูตร 2 ( ) b a V f x dx = จะได้ปริมาตรของรูปทรงตัน ที่เกิดจากการหมุนรอบแกน x คือ 2 4 2 0 4 0 4 2 0 ( ) 8 2 b a V f x dx x dx xdx x = = = = = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนรอบแกน x มีค่าเท่ากับ 8 ลูกบาศก์หน่วย ตัวอย่าง 6.3.1.2 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนบริเวณ R ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 x y = , 1 4 y และแกน y รอบแกน y วิธีทำ จากสูตร 2 ( ) d c V f y dy = จะได้ปริมาตรของรูปทรงตัน ที่เกิดจากการหมุนรอบแกน y คือ 2 2 4 1 4 2 1 4 2 1 4 1 ( ) 2 4 4 4 4 4 4 1 3 d c V f y dy dy y dy y y dy y − = = = = = − = − − − = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนรอบแกน y มีค่าเท่ากับ 3 ลูกบาศก์หน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-16 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ต่อไปจะพิจารณาปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนอาณาบริเวณที่อยู่ระหว่าง เส้นโค้งสองเส้น ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าไม่เป็นลบโดยที่ f x g x ( ) ( ) บนช่วง [ , ] a b ให้ R เป็นอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้านบนด้วยเส้นโค้ง y f x = ( ) ปิดล้อมด้านล่างด้วยเส้นโค้ง y g x = ( ) และปิดด้านซ้ายและด้านขวาด้วยเส้นตรง x a = และ x b = ตามลำดับเมื่อหมุนบริเวณ R รอบแกน y k = จะเกิดรูปทรงสามมิติที่มีภาคตัดขวางเป็นรูปวงแหวน ดังรูป 6.3.1 รูป 6.3.1 แสดงพื้นที่บริเวณ R และรูปทรงที่เกิดจากการหมุนบริเวณ R ตั้งฉากกับแกนหมุน (แกน x ) ให้ A x( ) เป็นพื้นที่ภาคตัดที่ตั้งฉากกับแกน y k = ที่ x ใดๆ ภาคตัดดังกล่าวเป็น วงแหวนที่มีรัศมีวงนอกเท่ากับ f x k ( ) −และรัศมีวงในเท่ากับ g x k ( ) −จะได้ A x( ) = 2 2 [ ( ) ] [ ( ) ] f x k g x k − − − = 2 2 [( ( ) ) ( ( ) ) ] f x k g x k − − −ดังนั้น 2 2 [( ( ) ) ( ( ) ) ] b a V f x k g x k dx = − − − ถ้า k = 0 จะได้รูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนอาณาบริเวณในระนาบ xy ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง y f x = ( ) และเส้นโค้ง y g x = ( ) และปิดด้านซ้ายและด้านขวาด้วยเส้นตรง x a = และ x b = ตามลำดับ จะเป็นการหมุนบริเวณ R รอบแกน x นั่นเอง ดังนั้น 2 2 [( ( )) ( ( )) ] b a V f x g x dx = − ในทำนองเดียวกันถ้า V เป็นปริมาตรของรูปทรงตันที่ได้จากการหมุนอาณาบริเวณซึ่ง ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง x w y = ( ) และ x v y = ( ) และปิดด้านบนและด้านล่างด้วยเส้นตรง y d = และ y c = ตามลำดับเมื่อหมุนบริเวณ R รอบแกน x k = จะเกิดรูปทรงสามมิติที่มีภาคตัดขวาง เป็นรูปวงแหวน ดังรูป 6.3.2

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-17 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ รูป 6.3.2 แสดงพื้นที่บริเวณ R และรูปทรงที่เกิดจากการหมุนบริเวณ R ตั้งฉากกับแกนหมุน(แกน y ) จะได้ A y( ) = 2 2 [ ( ) ] [ ( ) ] w y k v y k − − − = 2 2 [( ( ) ) ( ( ) ) ] w y k v y k − − −ดังนั้น 2 2 [( ( ) ) ( ( ) ) ] d c V w y k v y k dy = − − − ถ้า k = 0 จะได้รูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนอาณาบริเวณในระนาบ xy ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง x w y = ( ) และ x v y = ( ) และปิดด้านบนและด้านล่างด้วยเส้นตรง y d = และ y c = ตามลำดับ จะเป็นการหมุนบริเวณ R รอบแกน y นั่นเอง ดังนั้น 2 2 [( ( )) ( ( )) ] d c V w y v y dy = − ตัวอย่าง 6.3.1.3 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณ R ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง 2 1 2 y x = + และเส้นตรง y x = ระหว่าง 0 2 x รอบแกน x วิธีทำ จากรูปรัศมีวงนอกคือ 2 1 ( ) 2 f x x = + และรัศมีวงในคือ g x x ( ) = จะได้ปริมาตรทรงตันคือ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 4 2 0 2 2 5 4 0 0 [( ( )) ( ( )) ] 1 2 1 4 1 69 4 5 4 10 b a V f x g x dx x x dx x x x dx x x x dx = − = + − = + + − = + = + = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันมีค่าเท่ากับ 69 10 ลูกบาศก์หน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-18 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.3.1.4 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณ R ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง 2 y x = และเส้นตรง y x = 2 ในจตุภาคที่ 1เมื่อหมุนรอบแกน y วิธีทำ จากรูปรัศมีวงนอกคือ f y y ( ) = และรัศมีวงในคือ ( ) 2 y g y = จะได้ปริมาตรทรงตันคือ ( ) 2 2 4 2 2 0 4 2 0 4 2 3 0 [( ( )) ( ( )) ] 2 4 2 12 8 3 d c V f y g y dy y y dx y y dx y y = − = − = − = − = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนมีค่าเท่ากับ 8 3 ลูกบาศก์หน่วย ตัวอย่าง 6.3.1.5 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณ R ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง 2 y x = และเส้นตรง y x = เมื่อหมุนรอบแกน y = 2 วิธีทำ จากรูปรัศมีวงนอกของการหมุนคือ 2 R x x ( ) 2 = − และ รัศมีวงในของการหมุนคือ r x x ( ) 2 = − จะได้ ปริมาตรทรงตันคือ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 0 1 2 4 0 1 3 5 2 0 ( ) ( ) 2 2 4 5 5 2 3 5 8 15 b a V R x r x dx x x dx x x x dx x x x = − = − − − = − + = − + = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนมีค่าเท่ากับ 8 15 ลูกบาศก์หน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-19 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 6.3.2 การหาปริมาตรของรูปทรงตันของการหมุนโดยวิธีเปลือกทรงกระบอก ในการหาปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนนี้บางครั้งเราจะพบว่าการหาปริมาตรของ รูปทรงตันโดยวิธีแบบจานนั้นหาได้ยาก หรือการหาปริพันธ์นั้นยากเกินไป เราอาจจะต้องใช้วิธีอีกแบบ หนึ่งช่วยหาซึ่งวิธีนี้คือวิธีเปลือกทรงกระบอก ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b และ f x g x ( ) ( ) ทุก x a b [ , ] V เป็นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนอาณาบริเวณ S ในระนาบ xy ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง y f x = ( ) เส้นโค้ง y g x = ( ) เส้นตรง x a = และ x b = รอบแกน y เราจะหาค่า V ได้จากสูตร 2 [ ( ) ( )] b a V x f x g x dx = − รูป 6.3.3 แสดงพื้นที่บริเวณ S และรูปทรงที่เกิดจากการหมุนบริเวณ S ขนานกับแกนหมุน (แกน y ) ถ้า g x( ) 0 = ทุก x a b [ , ] จะได้รูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณในระนาบ xy ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y f x = ( ) แกน x เส้นตรง x a = และ x b = รอบแกน y จะได้ 2 ( ) b a V x f x dx = ในทำนองเดียวกันถ้า F และ G เป็นฟังก์ชันซึ่งต่อเนื่องบนช่วง [ , ] c d และ F y G y ( ) ( ) ทุก y c d [ , ] ให้ V เป็นปริมาตรของรูปทรงตันซึ่งได้จากการหมุนอาณาบริเวณ S ในระนาบ xy ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง x F y x G y = = ( ) , ( ) เส้นตรง y c = และ y d = รอบแกน x จะได้ 2 [ ( ) ( )] d c V y F y G y dy = − ถ้า G y( ) 0 = ทุก y c d [ , ] จะได้รูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณในระนาบ xy ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง x F y = ( ) แกน y เส้นตรง y c = และ y d = รอบแกน x จะได้ 2 ( ) d c V y F y dy =

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-20 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ข้อสังเกต ความแตกต่างของวิธีแบบจานและวิธีเปลือกทรงกระบอกเป็นดังนี้ แกนหมุน วิธีแบบจาน (Disk Method) วิธีเปลือกทรงกระบอก (Cylindrical Shell Method) หมุนรอบแกน x แบ่งแผ่นจานตามแนวแกน x โดยใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น ตัวแทนตามแนวตั้ง 2 [ ( )] B A V f x dx = แบ่งแผ่นเปลือกกระบอกตาม แนวแกน y โดยใช้ สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นตัวแทนตาม แนวนอน 2 ( ) D C V yf y dy = หมุนรอบแกน y แบ่งแผ่นจานตามแนวแกน y โดยใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น ตัวแทนตามแนวนอน 2 [ ( )] D C V f y dy = แบ่งแผ่นเปลือกกระบอกตาม แนวแกน x โดยใช้ สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นตัวแทนตาม แนวตั้ง 2 ( ) B A V xf x dx =

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-21 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.3.2.1 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2 y x = แกน x และเส้นตรง x = 2 รอบแกน y วิธีทำ โดยวิธีเปลือกทรงกระบอก จะได้ปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนรอบแกน y คือ ( ) 2 2 0 2 3 0 2 4 0 2 ( ) 2 2 2 8 b a V xf x dx x x dx x dx x = = = = = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุน มีค่าเท่ากับ 8 ลูกบาศก์หน่วย ตัวอย่าง 6.3.2.2 จงหาปริมาตรของรูปทรงตันซึ่งเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y x = 2 เส้นตรง y = 2 และ x = 4 รอบแกน x วิธีทำ โดยวิธีเปลือกทรงกระบอก จะได้ปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนรอบแกน x คือ 4 2 2 4 3 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 ( ) ( ) 2 4 4 2 4 4 2 2 16 (4) (2) 2 2(4) 2(2) 16 16 18 d c V y F y G y dy y y dy y y dy y y = − = − = − = − = − − − = ดังนั้นปริมาตรของรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุน มีค่าเท่ากับ 18 ลูกบาศก์หน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-22 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 6.3.2.3 จากกราฟต่อไปนี้ จงหาปริมาตรรูปทรงตันที่เกิดจากการหมุนบริเวณที่ปิดล้อมโดย ใช้ทั้งวิธีแบบจานและวิธีเปลือกทรงกระบอก วิธีทำ 1. หมุนรอบแกน x 1.1 วิธีแบบจาน รัศมีวงนอกคือ f x x ( ) = และรัศมีวงในคือ 2 g x x ( ) = จะได้ปริมาตรทรงตันคือ ( ) 1 2 2 2 0 1 3 5 0 3 5 V x x dx x x = − = − 2 15 = ลูกบาศก์หน่วย 1.2 วิธีเปลือกทรงกระบอก จะได้ปริมาตรทรงตันคือ ( ) 1 0 1 3 2 2 0 2 2 V y y y dy y y dy = − = − 1 5 3 2 0 2 2 2 5 3 15 y y = − = ลูกบาศก์หน่วย 2. หมุนรอบแกน y 2.1 วิธีแบบจาน 2.2 วิธีเปลือกทรงกระบอก รัศมีวงนอกคือ F y y ( ) = และ รัศมีวงในคือ G y y ( ) = จะได้ปริมาตรทรงตันคือ จะได้ปริมาตรทรงตันคือ ( ) 1 2 2 0 1 2 0 1 2 3 0 2 3 V y y dy y y dy y y = − = − = − ( ) ( ) 1 2 0 1 2 3 0 1 3 4 0 2 2 2 3 4 V x x x dx x x dx x x = − = − = − 6 = ลูกบาศก์หน่วย 6 = ลูกบาศก์หน่วย

บทที่ 6 ปริพันธ์จำกัดเขตและการประยุกต์ 6-23 ผู้สอน อาจารย์ ดร. อดิศักดิ์ หารจริง สาขาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ 6.4 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขตในการหาความยาวเส้นโค้ง เราสามารถใช้ปริพันธ์จำกัดเขตเพื่อหาความยาวเส้นโค้งได้ดังนี้ ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] a b และมีกราฟเป็นส่วนโค้ง AB พิจารณารูปต่อไปนี้ จากรูปข้างต้น จะเห็นว่าความยาวโดยประมาณของส่วนโค้ง AB จะเท่ากับผลบวกของ ความยาวของคอร์ดทั้ง n เส้นคือ 1 1 2 1 1 , , , , , AP PP P P P B i i n − − ถ้าแบ่งส่วนโค้งให้มีจำนวนของส่วนของเส้นตรงมากขึ้น ค่าโดยประมาณนี้จะมีค่าใกล้เคียงกับ ค่าความยาวจริงของส่วนโค้ง AB มากยิ่งขึ้น ให้ L เป็นความยาวของส่วนโค้ง AB ที่ถูกแบ่งช่วง [ , ] a b ออกเป็น n ช่วงย่อยเท่าๆ กัน โดยใช้จุด 0 1 2 , , , , n a x x x x b = = และให้แต่ละช่วงย่อยยาว x จากจุด 1 . P P i i − ใดๆ บนกราฟของ f ลากเส้น P P i i −1 ให้ iL เป็นความยาวของ ส่วนของเส้นตรง P P i i −1 ดังนั้น 2 2 2 ( ) ( ) 1 i i i L x y y x x = + = + เนื่องจากมีส่วนของเส้นตรงทั้งหมด n เส้น ดังนั้นถ้า L n เป็นผลบวกของความยาวของ ส่วนของเส้นตรงทั้งหมดจะได้ 1 n n i i L L = = ฉะนั้น L n จะมีค่าใกล้เคียงความยาว L ของส่วนโค้ง AB มากที่สุด เมื่อ n→ + จะได้ว่า 1 lim lim n n i n n i L L L →+ →+ = = = นั่นคือ ( ) 2 2 1 1 ( ) b b a a dy L dx f x dx dx = + = +