ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

UDONTHANI RAJABHAT UNIVERSITY

ท ฤ ษ ฎี ก ร า ฟ เ บื้ อ ง ต้ น

Introduction to Graph Theory

2564

ท ฤ ษ ฎี ก ร า ฟ เ บื้ อ ง ต้ น

[Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary
of the contents of the document. Type the abstract of the document here. The
abstract is typically a short summary of the contents of the document.]

ร อ ง ศ า ส ต ร า จ า ร ย์ ด ร . วั ล ล ภ เ ห ม ว ง ษ์

2564

Udonthani Rajabhat University
รองศาสตราจารย์ ดร.วลั ลภ เหมวงษ์

ปัจจุบนั มีการใชท้ ฤษฎีกราฟและขา่ ยงาน (network) เพื่อแกป้ ัญหาในชีวติ ประจาวนั การนา
ทฤษฎีกราฟประยกุ ตก์ บั ศาสตร์แทบทุกสาขานบั ต้งั แต่หลงั สงครามโลกคร้ังที่สอง พฒั นา
ส่ิงประดิษฐ์ที่มีความซบั ซ้อนและมีโครงสร้างขนาดใหญ่ อาทิ วางแผนการผลิตท่ีมีการ
เช่ือมโยง ระบบส่ือสารและขนส่ง

ท ฤ ษ ฎี ก ร า ฟ เ บื้ อ ง ต้ น

คำนำ

ปั จจุบันได้มีการใช้ทฤษฎีกราฟ และข่ายงาน (network)เพื่อแก้ปั ญหาใน
ชีวติ ประจาวนั มีการนาทฤษฎีกราฟประยกุ ตก์ บั ศาสตร์สาขานบั ต้งั แต่หลงั สงครามโลกคร้ัง
ที่ 2 พฒั นาสิ่งประดิษฐท์ ่ีมีความซบั ซอ้ นและมีโครงสร้างขนาดใหญ่ ใชแ้ รงงานเป็ นจานวน
มาก การสร้างถนน วางท่อ จดั ส่งน้าในระบบชลประทาน วางแผนการผลิตท่ีมีการเช่ือมโยง
วงจรไฟฟ้ าและอิเล็กทรอนิกส์ ระบบสื่อสารและขนส่ง เป็ นต้น หนังสือทฤษฎีกราฟ
เบ้ืองตน้ เล่มน้ี เหมาะกบั นกั ศึกษาและผสู้ นใจทวั่ ไป ที่ตอ้ งการหาความรู้ ความเขา้ ใจ และ
การนาไปประยกุ ตใ์ นเบ้ืองตน้ รวมท้งั เพ่ือเป็นพ้นื ฐานในการศึกษาในระดบั สูงต่อไป

เน้ือหาประกอบดว้ ยความรู้พ้ืนฐานเกี่ยวกบั กราฟ ศึกษาถึงกราฟแบบออยเลอร์
และแฮมิลตันกับการแก้ปัญหาเรื่องเส้นทาง กราฟบนระนาบ การให้สีกราฟและการ
ประยุกต์ กราฟระบุทิศทางกบั การนาไปใช้ เช่น การจราจร การนาเสนอทฤษฎีที่นาไปใช้
กบั ข่ายงาน และทฤษฎีการประยุกตเ์ ชิงการจดั และการหาค่าที่เหมาะสมและดีที่สุด และ
แต่ละหวั ขอ้ ไดม้ ีแบบฝึกหดั เพือ่ ทบทวน

วลั ลภ เหมวงษ์
2564

สารบญั หนา้
(1)
คานา (3)
สารบญั 1
บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 1
3
ความเป็ นมาของทฤษฎีกราฟ 5
บทนิยามของกราฟ 9
แบบจาลองทางกราฟ 11
ชนิดของกราฟ 18
ระดบั ข้นั ของจุดยอด 24
กราฟยอ่ ย 30
วถิ ีและวฏั จกั ร 35
กราฟสมสณั ฐานกนั 41
เมตริกซ์ของกราฟ 41
บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 45
ตน้ ไมแ้ ละสมบตั ิของตน้ ไม้ 50
สะพาน 53
ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม 62
ปัญหาการเชื่อมโยง 73
วถิ ีส้ันสุด 79
จุดยอดส่วนตดั และสภาพเชื่อมโยง 79
บทที่ 3 กราฟแบบออยเลอร์และกราฟแบบแฮมิลตนั 81
ออยเลอร์ทวั ร์และกราฟแบบออยเลอร์ 88
สมบตั ิของกราฟแบบออยเลอร์ 91
ปัญหาการส่งไปรษณีย์ 93
กราฟแบบแฮมิลตนั 98
สมบตั ิของกราฟแบบแฮมิลตนั
ปัญหาการส่งสินคา้

(4) 107
107
บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 110
กราฟบนระนาบและกราฟเชิงระนาบ 116
สูตรของออยเลอร์ 121
กราฟทรงหลายหนา้ 129
ทฤษฎีบทของกรู าตอฟสกี 133
กราฟบนระนาบท่ีไม่เป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั 137
ภาวะคูก่ นั ของกราฟบนระนาบ 137
145
บทที่ 5 การใหส้ ีกราฟ 151
การใหส้ ีจุดยอด 154
ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีจุดยอด 158
คริติคลั กราฟ 163
คลีกกราฟ 169
การใหส้ ีเส้นเช่ือม 169
การใหส้ ีแผนที่ 177
181
บทที่ 6 กราฟระบุทิศทาง 188
บทนิยามของกราฟระบุทิศทาง 195
ระดบั ข้นั เขา้ และระดบั ข้นั ออก 195
ทวั ร์นาเมนต์ 207
แทรฟฟิ คโฟลว์ 217
223
บทท่ี 7 การไหลในขา่ ยงาน 223
ฟังกช์ นั การไหลและเซตของส่วนตดั 228
ข้นั ตอนวธิ ีของฟอร์ดและฟุลเกอร์สัน 235
เซตแบง่ แยก 240

บทท่ี 8 การจบั คู่
เซตจบั คู่และวถิ ีแต่งเติม
ข้นั ตอนวธิ ีการจบั คู่
การประยกุ ตท์ ฤษฎีการจบั คู่ในบางปัญหา
ปัญหาการกาหนดงานท่ีเหมาะท่ีสุด

(5) 251
253
บรรณานุกรม 255
ภาคผนวก 261
265
ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝึกหดั 267
ภาคผนวก ข รายช่ือนกั คณิตศาสตร์
ดชั นีสญั ลกั ษณ์
ดชั นีศพั ท์

บทท่ี 1

กราฟเบอื้ งต้น

บทน้ีจะกล่าวถึงความรู้ความเขา้ ใจเบ้ืองตน้ เก่ียวกบั ทฤษฎีกราฟ ความหมายและ
ชนิดของกราฟ ส่วนตา่ ง ๆ ของกราฟ กราฟท่ีสมสณั ฐานกนั รวมถึงกราฟท่ีเขียนในรูป
ของเมตริกซ์

1.1 ความเป็ นมาของทฤษฎกี ราฟ (Introduction to Graph Theory)

พจิ ารณาการแขง่ ขนั ฟุตบอลซ่ึงมีทีมท่ีจะทาการแข่งขนั กนั ท้งั หมด 8 ทีมคือ ทีม A , B ,
C , D , E , F , G และ H ดงั น้ี

A แขง่ ขนั กบั F และ H B แข่งขนั กบั E , F และ H
C แขง่ ขนั กบั G และ H D แขง่ ขนั กบั E และ G
E แข่งขนั กบั B , D และ G F แข่งขนั กบั A และ B
G แขง่ ขนั กบั C , D และ E และ H แขง่ ขนั กบั A , B และ C

อาจแสดงการแขง่ ขนั โดยใชจ้ ุดแทนทีมต่าง ๆ และเส้นแทนทีมที่จะแข่งขนั กนั ไดด้ งั
แผนผงั สองแบบ ตอ่ ไปน้ี

A B A
HB
H C C
G D D
F B G F EB
E
E

(1) (2) B
รูป 1.1 แสดงทีมฟตุ บอลที่จะมีการแขง่ ขนั กนั

ในทานองเดียวกนั สามารถใชแ้ ผนผงั เหล่าน้ีอธิบายสถานการณ์ หรือปัญหาอ่ืน ๆ ใน
ชีวติ ประจาวนั ได้ ซ่ึงแผนผงั ดงั กล่าวจะเรียกวา่ กราฟ (graphs) ดงั น้นั คาวา่ กราฟท่ีกล่าว
ตอ่ ไปน้ีจะเป็นอีกความหมายหน่ึงท่ีแตกตา่ งจากกราฟอ่ืน ๆ เช่น กราฟของฟังกช์ นั หรือ

2 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

รูป 1.2 Leonhard Euler กราฟแท่งทางสถิติ เป็นตน้ เอกสารฉบบั แรก
1707 -1783 , Switzerland เก่ียวกบั กราฟไดค้ น้ พบในปี พ.ศ. 2279 เป็น
ที่มา (Connor & Robertson, 2005)
หนงั สือของนกั คณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวสวสิ
ชื่อ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler , พ.ศ.
2250-2326) รูป1.2 เอกสารฉบบั น้ีไดแ้ สดงทฤษฎี
ทวั่ ไป รวมถึงผลเฉลยชุดหน่ึงของปัญหาท่ีรู้จกั กนั
ในชื่อ ปัญหาสะพานโคนิกสเบิร์ก (KÖnigsberg
Bridge Problem) (วนิดา เหมะกุล, 2521) ท่ี
กล่าวถึงแมน่ ้าไหลผา่ นตวั เมืองโคนิกสเบิร์ก แบ่ง
ผนื ดินออกเป็ น 4 ส่วนและไดม้ ีการสร้างสะพาน
ขา้ มเพอ่ื เชื่อมผนื ดิน 7 สะพาน ดงั รูป 1.3

แมน่ ้า เกาะ

สะพาน

รูป 1.3 แสดงปัญหาการเดินขา้ มสะพานที่เมืองโคนิกสเบิร์ก

ขอ้ ปัญหาคือ จะเดินขา้ มสะพานท้งั 7 และแต่ละสะพานเดินผา่ นเพยี งคร้ังเดียวไดห้ รือไม่
ซ่ึงออยเลอร์ใหค้ าตอบวา่ เป็ นไปไมไ่ ด้ เหตุผลและรายละเอียดจะไดก้ ล่าวอีกคร้ังในบทท่ี 3

ผลงานของออยเลอร์ นบั ไดว้ า่ เป็นจุดเร่ิมตน้ ของคณิตศาสตร์สาขาใหมท่ ี่เรียกวา่
ทฤษฎกี ราฟ (graph theory) และออยเลอร์ไดร้ ับยกยอ่ งวา่ เป็นบิดาแห่งทฤษฎีกราฟ และ
ทฤษฎีกราฟไดน้ าไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแกป้ ัญหา และสร้างแบบจาลองมากมายในหลาย
สาขาวชิ า เช่น วทิ ยาศาสตร์ วศิ วกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ ภาษาศาสตร์ และอื่น ๆ ซ่ึงจะ
ไดก้ ล่าวถึงในหวั ขอ้ 1.3 แบบจาลองทางกราฟ

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 3

1.2 บทนิยามของกราฟ (Definition of Graph)

บทนิยาม 1.2.1 กราฟ G = (V(G) , E(G)) ประกอบดว้ ยเซตจากดั สองเซตคือ V(G) ซ่ึงเป็น
เซตของจุดยอด (vertex set) ที่ไม่เป็นเซตวา่ งและ E(G) ซ่ึงเป็นเซตของเส้นเช่ือม (edge set)

โดยทว่ั ไป V(G) และ E(G) อาจเขียนแทนดว้ ย V และ E ตามลาดบั และ V(G)
และ E(G) หมายถึง จานวนจุดยอดและจานวนเส้นเชื่อมของ G ตามลาดบั ถา้ เส้นเชื่อม e
เช่ือมระหวา่ งจุดยอด u และ v แลว้ จะเขียนแทน e ดว้ ย คู่ไม่อนั ดับ (unordered pair) {u, v}
และเรียกจุดยอด u และ v วา่ จุดยอดปลาย (end vertices) ของ e ถา้ e = {u, v} อาจเขียน
ส้ัน ๆ เป็น e = uv หรือ e = vu

ตวั อย่าง 1.2.1 จากกราฟในรูป 1.1 จะไดว้ า่ เซตของจุดยอด คือ
V(G) = { A , B , C , D , E , F , G , H } และ V(G) = 8

และเซตของเส้นเช่ือม E จะมีเส้นเช่ือม 10 เส้น ดงั น้ี
E(G) = { AF , AH , BE , BF , BH , CG , CH , DE , DG , EG } , E(G) = 10


บทนิยาม 1.2.2 เส้นเช่ือมที่มีจุดยอดปลายเป็นจุดเดียวกนั จะเรียกวา่ วงวน (loop)

ตวั อย่าง 1.2.2 ใหก้ ราฟ G = (V(G) , E(G))ที่ V = { a , b , c , d , e } และ E = { e1 , e2 , e3 ,
e4 , e5 , e6 , e7 , e8 } ซ่ึงแต่ละจุดยอดปลายของแต่ละเส้นเช่ือม กาหนดโดย
e1 = ab , e2 = bc , e3 = cc , e4 = cd , e5 = bd , e6 = de , e7 = be , e8 = be

จะเขียนเป็นกราฟไดด้ งั น้ี e3
a e1 b e2 c

e8 e7 e5 e4
e d
e6
G

รูป 1.4 แสดงกราฟ G ที่มีจุดยอด 5 จุดและเสน้ เชื่อม 8 เสน้



4 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตัวอย่าง 1.2.3 ให้ H เป็นกราฟ (V(H) , E(H))ที่ V = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } และ
E = { a , b , c , d , e , f , g , h } ซ่ึง a = 12 , b = 11 , c = 23 , d = 34 , e = 24 , f = 34 ,
g = 14 , h = 45

จะเขียนเป็นกราฟไดด้ งั น้ี
1a

5g b2
he
4 dc
f3 H

รูป 1.5 แสดงกราฟ H ที่มีจุดยอด 5 จุดและเสน้ เชื่อม 8 เสน้


บทนิยาม 1.2.3 ให้ G เป็นกราฟ ถา้ เส้นเช่ือมต้งั แตส่ องเส้นข้ึนไปใน G มีจุดยอดปลาย
เหมือนกนั แลว้ จะเรียกเส้นเช่ือมเหล่าน้นั วา่ เส้นเช่ือมขนาน (parallel edges)

ตัวอย่าง 1.2.4 จากตวั อยา่ ง 1.2.2 รูป 1.4 จะเห็นวา่ เส้นเช่ือม e7 และ e8 เป็นเส้นเชื่อม
ขนานและเส้นเช่ือม e3 เป็นวงวน


บทนิยาม 1.2.4 ให้ v เป็นจุดยอดใด ๆ ในกราฟ G ถา้ v ไม่เป็นจุดยอดปลายของเส้น
เช่ือมใดของ G จะเรียก v วา่ จุดยอดเอกเทศ (isolated vertex)

จุดยอดสองจุดท่ีมีเส้นเช่ือม จะเรียกวา่ เป็ นจุดยอดประชิดกนั (adjacent vertex)
และเซตของจุดยอดท้งั หมดท่ีประชิดกบั จุดยอด v จะเรียกวา่ ย่านใกล้เคียง (neighbour
hood) ของ v จะเขียนแทนดว้ ย N(v)

ตวั อย่าง 1.1.5 จากตวั อยา่ ง 1.2.2 กราฟรูป 1.4 จะเห็นวา่ จุดยอด c ประชิดกบั จุดยอด b,
c และ d แต่ c ไมป่ ระชิดกบั จุดยอด a และ e

ดงั น้นั N(c) = { b , c , d } ส่วน N(d) = { b , c , e }



บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 5

1.3 แบบจาลองทางกราฟ (Graph Modelings)
ปัญหาบางอยา่ งสามารถใชก้ ราฟแกป้ ัญหาไดแ้ ละตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ีจะมีวธิ ีการแกป้ ัญหา

ซ่ึงรายละเอียดจะมีอยใู่ นบทตอ่ ๆ ไป
ปัญหา 1.3.1 สมมุติกราฟต่อไปน้ี แทนข่ายงานโทรศพั ท์ ซ่ึงจุดยอดแทนสถานี และเส้น
เชื่อมแทนการติดต่อ

e1 B e4 e6 E
A e3
e2 C e5 D e7 e8
F
รูป 1.6 แสดงข่ายงานทางโทรศพั ท์

ข่ายงานน้ีจะขาดการติดตอ่ ระหวา่ งกนั เม่ือใด ซ่ึงจะไดค้ าตอบคือ เมื่อตดั เส้นเช่ือม
ออกอยา่ งนอ้ ยสองเส้น เช่น e6 และ e7 หรือตดั จุดยอดออกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุดคือ D และจะ
เห็นวา่ มีเซตของเส้นเชื่อมท่ีนอ้ ยที่สุด 5 เส้นเชื่อมท่ีทาให้ 6 จุดยอดเชื่อมถึงกนั ได้ เช่น

{ e1 , e3 , e5 , e6 , e8 }

ปัญหา 1.3.2 สมมุติมีคน 5 คนคือ A , B , C , D , E และงาน 5 อยา่ ง คือ งาน a , b , c ,
d , e ซ่ึงบางคนมีความถนดั ในบางงาน ถา้ ใชจ้ ุดยอดแทนคนและงาน เส้นเช่ือมแทนคนท่ี
ถนดั กบั งาน จะเขียนเป็นกราฟไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

Aa
Bb
Cc

Dd

Ee

รูป 1.7 แสดงการจบั คู่ระหวา่ งคนกบั งานท่ีถนดั

จะสามารถจดั คนท้งั 5 คนใหแ้ ตล่ ะคนไดง้ านท่ีตนถนดั ไดห้ รือไม่ พิจารณาจาก
กราฟ เน่ืองจาก A ถนดั ในงาน c, d ส่วน B ถนดั ในงาน c เพียงงานเดียว และ D ถนดั ใน

6 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

งาน c, d แสดงวา่ คนสามคนคือ A , B และ D ถนดั ในงานเพียงสองอยา่ งคืองาน c และ d
ดงั กราฟรูป 1.7 ดงั น้นั จึงไมส่ ามารถจดั งานใหแ้ ต่ละคนตามงานท่ีตนถนดั ได้

ปัญหา 1.3.3 สมมุติคนขายสินคา้ ตอ้ งการเดินทางไปขายสินคา้ ตามเมืองต่าง ๆ ซ่ึงตอ้ งการ

ผา่ นเมืองเหล่าน้นั เพียงคร้ังเดียว แลว้ กลบั มาเมืองเดิม ถา้ แทนเมืองดว้ ยจุดยอดและแทน

ถนนดว้ ยเส้นเชื่อมดงั กราฟ G1 และ G2 ในรูป 1.8 จะทาไดห้ รือไม่

u1 u4 v1 v4
e1 e6 e7
u2 e5 u3 e4 v2 v5
v3
e2 e3
u5 G2

G1

รูป 1.8 แสดงการเดินทางผา่ นตามเมืองตา่ ง ๆ ของคนขายสินคา้

พิจารณาที่ G1 เริ่มเดินทางท่ีเมือง u1 ไปตามเมืองต่าง ๆ โดยใชถ้ นน e1 , e2 , e3 , e4
และ e6 แลว้ กลบั u1 แต่ใน G2 ไมส่ ามารถทาได้

ปัญหา 1.3.4 สมมุติมีบา้ น 3 หลงั ตอ้ งการต่อสายไฟฟ้ า ท่อแกส๊ และท่อประปา ท้งั 3
หลงั โดยไม่ใหส้ ายไฟฟ้ า ทอ่ แก๊ส และทอ่ ประปา ไขวก้ นั จะทาไดห้ รือไม่ ซ่ึงจะแสดง
ดว้ ยกราฟ เม่ือใหจ้ ุดยอด H1 , H2 , H3 แทนบา้ นหลงั ที่ 1, 2 , 3 และ E , G , W แทนการ
ไฟฟ้ า ป้ัมแกส๊ และการประปา ตามลาดบั เส้นเช่ือมแทนสายไฟฟ้ าหรือทอ่ ดงั รูป 1.9
ต่อไปน้ี

H1 H2 H3 H2 H2 H2

E GW E GW
(1) (2)

รูป 1.9 แสดงการตอ่ สายไฟฟ้ า ท่อแก๊ส และท่อประปาในบา้ นแตล่ ะหลงั

พิจารณารูป 1.9 (1) ไมส่ ามารถทาใหเ้ ส้นไมไ่ ขวก้ นั ได้ ดงั รูป 1.9 (2)

บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 7

ปัญหา 1.3.5 การอธิบายโมเลกุลทางเคมีซ่ึงประกอบไปดว้ ยอะตอมที่เชื่อมกนั ดว้ ยพนั ธะ
ทางเคมี เช่น โมเลกลุ เอทานอล(ethanal) C2H5OH นกั เคมีไดเ้ ขียนแผนภาพแสดง
ความสัมพนั ธ์ของโมเลกุลดงั กล่าวไดด้ งั รูป 1.10

HH

H C CO H

HH

รูป 1.10 แสดงโมเลกลุ เอทานอล

ปัญหา 1.3.6 แบบบา้ นส่วนที่เป็นแปลนบา้ นช้นั ล่างหลงั หน่ึงเป็นดงั รูปดา้ นล่าง และอาจมี
คาถามวา่ จะสามารถเดินจากหอ้ งใดหอ้ งหน่ึงใหผ้ า่ นแต่ละประตเู พียงคร้ังเดียวไปใหค้ รบ
ทุกหอ้ งไดห้ รือไม่

หอ้ งนง่ั เล่น

หอ้ งทางาน หอ้ งรับแขก หอ้ งโถง

หอ้ งเล่นเกม ครัว หอ้ งอาหาร

อาจใชก้ ราฟแสดงให้เห็นหอ้ งท่ีมีประตูเช่ือมกนั โดยใชจ้ ุดยอดแทนหอ้ งและใช้
เส้นเชื่อมแทนประตู ดงั รูป 1.11 และคาตอบของคาถามขา้ งบนคือไมไ่ ด้ ซ่ึงจะไดศ้ ึกษา
กนั ต่อไปในบทท่ี 3

หอ้ งนงั่ เล่น

หอ้ งทางาน หอ้ งรับแขก หอ้ งโถง

หอ้ งเล่นเกม ครัว หอ้ งอาหาร

รูป 1.11 แสดงหอ้ งของแปลนบา้ นท่ีมีประตเู ช่ือมกนั

8 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหดั 1.1

1. จงเขียนกราฟต่อไปน้ี
1.1 G1(V1 ,E1) โดยท่ี V1 = { A, B, C, D} , E1 = { e, f, g } ซ่ึง
จุดยอดปลายของ e เป็น B , จุดยอดปลายของ f เป็น { B, C } และ
จุดยอดปลายของ g เป็น { C, D }
1.2 G2(V2 ,E2) โดยที่ V2 = { A, B, C } , E2 = { a, b, c, d, f, g, h, k } โดยที่
เส้นเช่ือม a b c d f g h k

จุดยอดปลาย A A A C B B C B

AABACC BB

2. ตารางต่อไปน้ีแสดงนกั เรียน 6 คนซ่ึงแตล่ ะคนมีความสนใจในแตล่ ะวชิ าดงั น้ี

ช่ือ คณิต เคมี ชีวะ องั กฤษ ไทย ฟิ สิกส์

เก่า / //

ก่อน / //

เก่ง / / /

ก่อ / /

กวน /

กนั / /

2.1 จงใชก้ ราฟจาลองปัญหาน้ี
2.2 จงหาวธิ ีการเรียนมา 2 วธิ ีท่ีแต่ละคนจะไดเ้ รียนวชิ าที่ตนเองสนใจ

3. จงเขียนกราฟแสดงอาเภอท่ีมีเขตแดนติดต่อกบั อาเภอเมืองอุดรธานี อาเภอเพญ็ และ
อาเภอหนองววั ซอ

บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 9

1.4 ชนิดของกราฟ (Kinds of Graphs)

หวั ขอ้ น้ีจะกล่าวถึงชนิดของกราฟท่ีควรรู้จกั และนาไปอา้ งถึงในหวั ขอ้ ต่อ ๆ ไป

บทนิยาม 1.4.1 กราฟเชิงเดียว (simple graph) คือ กราฟท่ีไม่มีวงวนและไมม่ ีเส้นเช่ือม
ขนาน

กราฟเชิงเดียว จะมีเส้นเชื่อมระหวา่ งจุดยอดท่ีแตกต่างกนั สองจุดไดม้ ากที่สุดเพยี ง
เส้นเชื่อมเดียว ตวั อยา่ งกราฟเชิงเดียว เช่น กราฟในรูป 1.11 เป็นตน้

ในหนงั สือบางเล่มไดเ้ รียกกราฟท่ีมีเส้นเช่ือมขนานวา่ กราฟผสม (multigraph)
และกราฟที่มีเส้นเช่ือมขนานและวงวน จะเรียกวา่ กราฟเทยี ม (pseudograph) ดงั รูป 1.12

H1 H2

รูป 1.12 แสดงกราฟผสม H1 และกราฟเทียม H2

บทนิยาม 1.4.2 กราฟแบบบริบูรณ์ (complete graph) คือ กราฟเชิงเดียวท่ีทุกคู่จุดยอดที่
แตกตา่ งกนั จะมีเส้นเชื่อมถึงกนั เสมอ

กราฟแบบบริบูรณ์ที่มีจานวน n จุดยอด จะเขียนแทนดว้ ย Kn

ถา้ กราฟแบบบริบูรณ์ Kn มีจุดยอดเป็ น v1 , v2 , v3 , . . . ,vn จะมีเซตของเส้น

เช่ือมเป็ น E = { vivj  vi  vj ; i , j = 1 , 2 , 3 , . . . , n } และเน่ืองจาก มีจานวน n

จุดยอด และแต่ละจุดยอด vi มีเส้นเช่ือมมาประชิดจานวน n-1 เส้น ดงั น้นั กราฟ Kn มีเส้น
n
เชื่อมจานวนท้งั หมด 2 (n-1) เส้น



K1 K2 K3 K4 K5 K6

รูป 1.13 แสดงจานวนเสน้ เชื่อมของกราฟแบบบริบูรณ์

10 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทนิยาม 1.4.3 กราฟว่าง (empty graph or trivial graph) คือ กราฟท่ีไม่มีเส้นเชื่อม

บทนิยาม 1.4.4 กราฟ G เป็นกราฟสองส่วน (bipartite graph) ถา้ V(G) สามารถแบ่ง เป็น
ผลแบ่งก้นั ของสองเซตยอ่ ย (bipartition) U และ W ซ่ึงแตล่ ะเส้นเช่ือมของ G จะมีจุดยอด
ปลายจุดหน่ึงอยใู่ น U และจุดยอดปลายจุดหน่ึงอยใู่ น W

ตัวอย่าง 1.4.1 กราฟต่อไปน้ีเป็นกราฟสองส่วน

u1 v2 u3 u4 u1 u2 u3 u4

(1) หรือเขียนเป็ น

v1 u2 v3 v1 v2 v3

u1 u2 v1 u1 u2 u3 u4
v2 v1 v2 v3 v4
(2) v4 u3 v3 u4 หรือเขียนเป็ น

รูป 1.14 แสดงกราฟสองส่วน


บทนิยาม 1.4.5 กราฟ G เป็นกราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ (complete bipartite graph) ถา้

G เป็นกราฟเชิงเดียวท่ีเป็นกราฟสองส่วน ซ่ึง V(G) = U  W และแตล่ ะจุดยอดของ U
เช่ือมกบั ทุกจุดยอดของ W

ถา้ U มีจานวน m จุดยอดและ W มีจานวน n จุดยอด จะเขียนแทน G ดว้ ย Km , n

ตวั อย่าง 1.4.2 กราฟต่อไปน้ีเป็นกราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์

K1 , 5 K2 , 2 K3 , 3

รูป 1.15 แสดงกราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์



บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 11

เน่ืองจากในเซตผลแบ่งก้นั U มีจานวน m จุดยอดและแต่ละจุดยอดของ U เชื่อม
กบั ทุกจุดยอดของ W ซ่ึงมีจานวน n จุดยอด ดงั น้นั Km ,n มีเส้นเชื่อมจานวน mn เส้น

แบบฝึ กหัด 1.2

1. จงหาจานวนเส้นเช่ือมของกราฟ K8 และ K5 , 8
2. กราฟต่อไปน้ีเป็นกราฟสองส่วนหรือไม่

u1 u2 v1 w1 w5
u4 u3 v4 v5 w4
v3 v2
G1 w3 w2
v6 w6
G2
G3

1.5 ระดับข้นั ของจุดยอด (Vertex Degrees)

บทนิยาม 1.5.1 จะเรียกเส้นเช่ือม e ของกราฟ G วา่ ประชิด (incident) กบั จุดยอด v หรือ v

ประชิดกบั e ถา้ v เป็นจุดยอดปลายของ e และถา้ เส้นเช่ือม e และ f มีเป็นจุดยอดปลาย

ที่เป็นจุดยอดร่วม (common vertex) จะเรียกเส้นเชื่อมท้งั สองวา่ ประชิด (adjacent) กนั

u e v w f ef
v

รูป 1.16 แสดงจุดยอดและเสน้ เช่ือมประชิดกนั และเสน้ เช่ือมประชิดกนั

จะเห็นวา่ เส้นเชื่อมหน่ึงเส้นจะประชิดกบั หน่ึงจุดยอด(ซ่ึงจะเป็นวงวน) หรือสอง
จุดยอด

บทนิยาม 1.5.2 ให้ v เป็นจุดยอดของกราฟ G
ระดับข้นั (degree) ของ v ในกราฟ G เขียนแทนดว้ ย dG(v) คือ จานวนเส้นเช่ือม

ของ G ประชิดกบั v และถา้ เป็นวงวนใหน้ บั จานวนเส้นเช่ือมเป็นสองเท่า

12 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 1.5.1 ให้ G เป็นกราฟดงั รูปต่อไปน้ี

v1 v2 v5

v3 G v4

รูป 1.17 แสดงระดบั ข้นั ของจุดยอดของกราฟ G

พจิ ารณาจากกราฟ G ในรูป 1.17 จะไดว้ า่
dG(v1) = dG(v3) = dG(v4) = 3 , dG(v2) = 4 , dG(v5) = 1 และ
i51dG (vi ) = 14 = สองเทา่ ของจานวนเส้นเชื่อมของ G


เน่ืองจากแต่ละเส้นเชื่อมของกราฟจะประกอบดว้ ยจุดยอดสองจุดเสมอ ดงั น้นั
ผลรวมของระดบั ข้นั ของจุดยอดจึงเป็นสองเทา่ ของจานวนเส้นเช่ือม และทฤษฎีบท
ต่อไปน้ีถือวา่ เป็น ทฤษฎีบทแรกเริ่มของทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎบี ท 1.1 (The first theorem of graph theory) ในกราฟ G ใด ๆ ที่มีเส้นเชื่อมจานวน
q เส้นและมีจุดยอดจานวน n จุด จะไดว้ า่

in1dG (vi ) = 2q

พสิ ูจน์ เนื่องจากแตล่ ะเส้นเชื่อมมีจุดยอดปลายสองจุดยอด ดงั น้นั ระดบั ข้นั ของจุดยอด
ของแต่ละเส้นเชื่อมซ่ึงรวมท้งั วงวน จะถูกนบั เป็นสองเทา่ ของจานวนเส้นเชื่อมน้นั เสมอ
นน่ั คือ ผลรวมของระดบั ข้นั ของแต่ละจุดยอดของ G จะเป็นสองเทา่ ของจานวนเส้นเช่ือม
ใน G


ทฤษฎีบท 1.1 น้ีมีชื่อวา่ ทฤษฎีบทการจบั มือ (handshaking lemma) ออยเลอร์ใช้
มาต้งั แตป่ ี พ.ศ. 2279 มีความหมายวา่ ในการทกั ทายดว้ ยการจบั มือในแตล่ ะคร้ัง ตอ้ งใช้
มือขวาของแต่ละคนจบั มือ (shake hands) กนั ซ่ึงผลรวมท้งั หมดของจานวนคร้ังท่ีมีการจบั

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 13

มือของแต่ละคนจะเป็ นจานวนคูเ่ สมอ ดงั น้นั แตล่ ะเส้นเชื่อมซ่ึงรวมท้งั วงวนจะถูกนบั ใน
ผลรวมของระดบั ข้นั ของจุดยอดสองคร้ังเสมอ

บทนิยาม 1.5.3 จุดยอดของกราฟ จะเรียกวา่ จุดยอดคี่ (odd vertex) ถา้ มีระดบั ข้นั เป็น
จานวนคี่และ จะเรียกวา่ จุดยอดคู่ (even vertex) ถา้ มีระดบั ข้นั เป็นจานวนคู่

ตวั อย่าง 1.5.2 จากกราฟ G ในตวั อยา่ ง 1.5.1 รูป 1.17 จะไดว้ า่

จุดยอด v1 , v3 , v4 และ v5 เป็ นจุดยอดค่ี
จุดยอด v2 เป็นจุดยอดคู่ และจะเห็นวา่ มีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่



จากทฤษฎีบท 1.1 จะไดบ้ ทแทรกดงั ต่อไปน้ี

บทแทรก 1.2 ในกราฟ G ใด ๆ จะมีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่

พสิ ูจน์ ให้ W เป็นเซตของจุดยอดค่ีของ G และ U เป็นเซตของจุดยอดคู่ของ G

จะไดว้ า่ สาหรับแตล่ ะจุดยอด u  U จะมี dG(u) เป็นจานวนคู่
ดงั น้นั uUdG (u) เป็นจานวนคู่ และโดยทฤษฎีบท 1.1 จะไดว้ า่

uU dG (u) + wW dG (w) = vG dG (v) = 2q
wW dG (w) = 2q - uU dG (u)

เน่ืองจาก 2q และ uUdG (u) เป็ นจานวนคู่ ดงั น้นั wW dG (w) เป็ นจานวนคู่
และเน่ืองจาก ผลรวมของระดบั ข้นั ของจุดยอดค่ีเป็ นจานวนคู่ ดงั น้นั จะตอ้ งมีจุดยอดคี่

อยเู่ ป็นจานวนคู่จุด


บทนิยาม 1.5.4 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวก จะเรียกกราฟ G วา่ กราฟปรกติระดบั ข้นั k

(k-regular graph) ถา้ แตล่ ะจุดยอดของ G มีระดบั ข้นั k

ตวั อย่าง 1.5.3 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟดงั รูปตอ่ ไปน้ี

G1 G2

รูป 1.18 แสดงกราฟ G1 และ G2 ซ่ึงเป็ นกราฟปรกติระดบั ข้นั 2 และ 3 ตามลาดบั

14 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

จะเห็นวา่ G1 เป็นกราฟปรกติระดบั ข้นั 2 และ G2 เป็นกราฟปรกติระดบั ข้นั 3


กราฟแบบบริบูรณ์ Kn เป็นกราฟปรกติระดบั ข้นั n-1 ส่วนกราฟสองส่วนแบบ
บริบูรณ์ Kn, n เป็ นกราฟปรกติระดบั ข้นั n

ตอ่ ไปจะศึกษาความสัมพนั ธ์ระหวา่ งระดบั ข้นั ของจุดยอดกบั การสร้างกราฟวา่ ถา้
มีการกาหนดระดบั ข้นั ของแต่ละจุดยอดของกราฟให้ แลว้ จะสร้างกราฟดงั กล่าวน้นั ได้
หรือไม่ ดงั น้ี

บทนิยาม 1.5.5 ให้ G เป็นกราฟ และ V(G) = { v1, v2 , . . . ,vn} จะไดว้ า่ ลาดบั ของระดบั
ข้นั (degree sequence) ของ G คือ ลาดบั dG(v1) , dG(v2) , . . . , dG(vn)

ตวั อย่าง 1.5.4 ให้ G เป็นกราฟดงั รูปตอ่ ไปน้ี d
b

a f
e

c
G

รูป 1.19 แสดงลาดบั ของระดบั ข้นั ของ G

จากบทนิยามขา้ งตน้ จะไดว้ า่ ลาดบั ของระดบั ข้นั ของ G คือ 6 , 6 , 4 , 1 , 1 , 0
หรือ 0 , 1 , 1 , 4 , 6 , 6 หรือ 4 , 6 , 1 , 6 , 1 , 0 เป็นตน้


ในกราฟที่แตกตา่ งกนั อาจมีลาดบั ของระดบั ข้นั เหมือนกนั เช่น กราฟ G และ H
ขา้ งล่างน้ีมีลาดบั ของระดบั ข้นั เป็น 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2

GH

รูป 1.20 แสดงกราฟท่ีลาดบั ของระดบั ข้นั เหมือนกนั

บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 15

ลาดบั บางลาดบั ไมส่ ามารถสร้างกราฟเชิงเดียวได้ เช่น ลาดบั 3 , 3 , 3 , 1 จะไม่
สามารถสร้างกราฟเชิงเดียวที่มี 4 จุดยอดซ่ึงมีระดบั ข้นั เป็ น 1 จานวนหน่ึงจุดยอดและระดบั
ข้นั เป็น 3 จานวนสามจุดยอดได้

ดงั น้นั กราฟเชิงเดียว G ท่ีมี n จุดยอดซ่ึงมีเงื่อนไข dG(v)  n – 1 และ n d G (v i )


i1

เป็นจานวนคู่น้นั ยงั ไม่เพียงพอที่จะบอกไดว้ า่ ลาดบั ของระดบั ข้นั ของ G จะสร้างกราฟ

เชิงเดียวได้ อยา่ งไรก็ดี ฮาเวล (V. Havel) และฮากิมิ (S. L. Hakimi) พบวา่ เง่ือนไขต่อไปน้ี

สามารถสร้างกราฟเชิงเดียวได้ (Chartrantd & Lesniak, 1996)

ทฤษฎบี ท 1.3 ให้ s : d1 , d2 , . . . , dn เป็นลาดบั ของจานวนที่ไม่เป็นจานวนเตม็ ลบ ซ่ึง

d1  d2 . . .  dn , n  2 , d1  1 สร้างกราฟเชิงเดียวได้ ก็ต่อเมื่อ ลาดบั s1 : d2-1 ,

d3-1 , . . . , dd11 -1 , dd1 2 , . . . , dn สร้างกราฟเชิงเดียวได้

พสิ ูจน์ () ให้ s1 เป็นลาดบั ของระดบั ข้นั ท่ีสร้างกราฟเชิงเดียว G1 ได้ จะไดว้ า่ จุดยอด

v2 , v3 , . . . ,vn ของกราฟ G1 จะมีระดบั ข้นั เป็ น

dG1 (vi )  ddii 1 , d21i2di1 1
, n

จะสามารถสร้างกราฟเชิงเดียว G โดยการเพม่ิ จุดยอด v1 และเส้นเชื่อมจานวน d1 เส้น

ระหวา่ งจุดยอด v1 กบั vi , 2  i  d1+1 ดงั น้นั G จะมี dG(vi) = di , 1  i  n

นนั่ คือ ลาดบั s : d1 , d1 , . . . , dn สร้างกราฟเชิงเดียวได้

() ถา้ s เป็นลาดบั ของระดบั ข้นั ของกราฟท่ีสร้างกราฟเชิงเดียว G ได้ ซ่ึง

V(G) = { v1 , v2 , . . . ,vn } โดยที่ dG(vi) = di , 1  i  n และใหจ้ ุดยอด v1 มีผลรวมของ
ระดบั ข้นั ของแต่ละจุดยอดท่ีประชิดกบั v1 มีคา่ มากที่สุดใน G จะไดว้ า่ v1 เชื่อมกบั จุดยอด
อ่ืนที่มีระดบั ข้นั เป็ น d2 , d3 , . . . , dd11 ถา้ v1 ไมเ่ ช่ือมกบั จุดยอดที่มีระดบั ข้นั เป็ น d2 ,
d3 , . . . , dd11 แลว้ จะมีจุดยอด vrและ vs ซ่ึง dr  ds และ v1 เช่ือมกบั vs แต่ v1 ไมเ่ ช่ือมกบั
vr เนื่องจาก dG(vr)  dG(vs) ดงั น้นั จะมี vt ซ่ึงเชื่อมกบั vr แต่ไม่ เชื่อมกบั vs ลบเส้นเช่ือม

v1 vs และ vr vt ออก แลว้ เพิ่มเส้นเช่ือม v1vrและ vs vt จะไดก้ ราฟเชิงเดียว G ซ่ึงมีลาดบั

ของระดบั ข้นั เช่นเดียวกบั G แตใ่ น G จุดยอด v1 จะมีผลรวมของระดบั ข้นั ของแต่ละจุด
ยอดท่ีประชิดกบั v1 มากกวา่ ใน G ซ่ึงขดั แยง้ กบั ที่สมมุติให้ ดงั น้นั v1 จึงเช่ือมกบั จุดยอดที่

16 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

มีระดบั ข้นั เป็ น d2 , d3 , . . . , dd11 และกราฟ G- v1 มีลาดบั ของระดบั ข้นั เป็ น s1 นนั่ คือ
s1 เป็นลาดบั ของระดบั ข้นั ที่สร้างกราฟเชิงเดียวได้


จากทฤษฎีบท 1.3 เม่ือกาหนดลาดบั จากดั ที่เป็นจานวนเตม็ ที่ไม่เป็ นลบ ลาดบั น้ี
สามารถสร้างกราฟเชิงเดียวไดเ้ มื่อทาตามทฤษฎีบทน้ีหลาย ๆ คร้ัง จนกระทงั่ ไดท้ ุกพจน์
ของลาดบั เป็นศูนย์ แต่ถา้ มีบางพจน์ของลาดบั เป็นจานวนเตม็ ลบแลว้ ลาดบั ที่กาหนดใหจ้ ะ
ไม่สามารถสร้างกราฟเชิงเดียวได้

ตวั อย่าง 1.5.5 ให้ s : 5 , 3 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 แลว้ ลาดบั s สร้างกราฟเชิงเดียว

ไดห้ รือไม่

วธิ ีทา s : 5 , 3 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1

โดยทฤษฎีบท 1.3 จะไดว้ า่ s1 : 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1

เรียงลาดบั ใหมเ่ ป็ น s1 : 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1

โดยทฤษฎีบท 1.3 จะไดว้ า่ s2 : 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1

s2 : 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

s3 : 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

s3 : 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

s4 : 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1

s4 : 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0

s5 : 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0

s5 : 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0

s6 : 0 , 1 , 1 , 0 , 0

s6 : 1 , 1 , 0 , 0 , 0

s7 : 0 , 0 , 0 , 0

s7 : 0 , 0 , 0 , 0

ดงั น้นั s เป็นลาดบั ท่ีสามารถสร้างกราฟเชิงเดียวได้


กราฟที่ไดใ้ นแตล่ ะลาดบั ของทฤษฎีบท 1. 3 ในตวั อยา่ ง 1.5.5 ไดด้ งั รูป 1.21

ต่อไปน้ี

บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 17

s7
s6
s5
s4

s3
s2
s1
s

รูป 1.21 แสดงกราฟเชิงเดียวของลาดบั s ในตวั อยา่ ง 1.5.5

ซ่ึงจะเห็นวา่ ในลาดบั s3 น้นั สามารถสร้างกราฟเชิงเดียวได้

18 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหดั 1.3

1. จงหาระดบั ข้นั ของแตล่ ะจุดยอดของกราฟในแบบฝึกหดั ท่ี 1.1 ขอ้ 1.2
2. จงหาจานวนจุดยอดของกราฟตอ่ ไปน้ี

2.1 มีเส้นเช่ือม 40 เส้นและแต่ละจุดยอดมีระดบั ข้นั เป็ น 2
2.2 มีเส้นเชื่อม 30 เส้นและมีจุดยอดท่ีมีระดบั ข้นั เป็ น 2 อยู่ 4 จุด นอกน้นั มีระดบั ข้นั
เป็น 3
2.3 มีเส้นเช่ือม 20 เส้นและแต่ละจุดยอดมีระดบั ข้นั เท่ากนั
3. จงเขียนกราฟที่มีลกั ษณะดงั ต่อไปน้ี (ถา้ มี)
3.1 มีจุดยอดจานวน 6 จุด โดยมีระดบั ข้นั เป็ น 1, 2 , 3 , 3 , 4 และ 5 ตามลาดบั
3.2 มีจุดยอดจานวน 5 จุด โดยที่แตล่ ะจุดยอดมีระดบั ข้นั เป็น 3
3.3 กราฟแบบปกติระดบั ข้นั 3 ท่ีเป็นกราฟสองส่วนที่ไม่ใช่ K3, 3
4. ระดบั ข้นั ของจุดยอดในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี จะสร้างกราฟไดห้ รือไม่ จงใหเ้ หตุผล
4.1 0 , 0 , 1 , 2 , 2
4.2 0 , 1 , 2 , 3 , 4
4.3 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 6
5. จงสร้างกราฟเชิงเดียวท่ีมีจุดยอดจานวน 5 จุด ซ่ึงแตล่ ะจุดยอดมีเส้นเช่ือมประชิดอยา่ ง
นอ้ ย 1 เส้น แต่ไมม่ ีสองเส้นเชื่อมใดประชิดกนั

1.6 กราฟย่อย (Subgraphs)

หวั ขอ้ น้ีจะกล่าวถึงกราฟยอ่ ยและการสร้างกราฟข้ึนใหม่จากกราฟที่กาหนดให้ ดงั น้ี

บทนิยาม 1.6.1 กราฟ H เป็นกราฟย่อย (subgraph) ของกราฟ G กต็ ่อเม่ือ V (H)V (G)
และ E (H)E (G)

ถา้ H เป็นกราฟยอ่ ยของ G จะเขียนแทนดว้ ย HG อาจเรียก G วา่ ซูเปอร์กราฟ
(supergraph) ของ H ถา้ H  G แลว้ จะเรียก H วา่ กราฟย่อยแท้ (proper subgraph)ของ G

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 19

ab A B a b
a b
c

dc dc dc
G1 DC G3

G2

รูป 1.22 แสดงกราฟยอ่ ย

ในรูป 1.22 จะเห็นวา่ G1 G2 และ G1 G3 แตเ่ น่ืองจาก bd  G2 ดงั น้นั G3  G2

บทนิยาม 1.6.2 กราฟยอ่ ย H ของกราฟ G เป็ น กราฟย่อยแบบทอดข้าม (spanning
subgraph) ของ G ก็ต่อเม่ือ V(H) = V(G)

จากบทนิยามน้ี ในรูป 1.22 จะเห็นวา่ G1 เป็นกราฟยอ่ ยแบบทอดขา้ มของ G3

ต่อไปจะเป็ นการสร้างกราฟยอ่ ยท่ีไดจ้ ากการลบจุดยอด(vertex delete subgraph)
หรือกราฟยอ่ ยท่ีไดจ้ ากการลบเส้นเช่ือม(edge delete subgraph)

บทนิยาม 1.6.3 ถา้ v เป็นจุดยอดในกราฟ G แลว้ G – v คือ กราฟยอ่ ยของ G ท่ีบรรจุ
จุดยอด V(G) – {v} และเส้นเช่ือมท้งั หมดใน G ท่ีไมป่ ระชิดกบั จุดยอด v

ถา้ U เป็นเซตยอ่ ยแทข้ อง V(G) แลว้ G – U คือ กราฟยอ่ ยของ G ที่บรรจุจุดยอด
V(G) – U และเส้นเชื่อมท้งั หมดใน G ท่ีไม่ประชิดกบั จุดยอดใด ๆ ใน U

บทนิยาม 1.6.4 ถา้ e เป็นเส้นเชื่อมในกราฟ G แลว้ G – e คือกราฟยอ่ ยของ G ท่ีบรรจุ
จุดยอดท้งั หมดใน G และเสน้ เชื่อม E(G) – {e}

ถา้ F เป็นเซตยอ่ ยของ E (G) แลว้ G – F คือ กราฟยอ่ ยของ G ท่ีบรรจุจุดยอด
ท้งั หมดใน G และเส้นเช่ือม E(G) – F

20 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

v1 e1 v2 e6 v1 e1 v2 e6
e2 e3 e5 e11 v4
v3 e4 e7 v5 v6 e5 v6 e7 v6
v5 e8v4e9
e10 e8 e9 e9 e11 v3 e10 v5 e11
v4

G G – v3 G – U, U= {v1,v2}

e2 e3 e1 e6 v6 v1 e6
v3 e4 e7 ev52 e3 e4 e7 v2 v6
e8 e9 v5 e11


v3 e10 e8v4e9 v5
v3
G v–4 e10
G – F, F = {e1,e2,e5,e11}

รูป 1.23 แสดงกราฟ G และกราฟยอ่ ยของ G ท่ีไดจ้ ากการลบบางจุดยอดหรือบางเสน้ เชื่อมใน G

บทนิยาม 1.6.5 กราฟอนั เดอร์ไลองิ้ ซิมเปิ ล (underlying simple graph) ของ G คือ กราฟ

ยอ่ ยแบบทอดขา้ มของ G ที่เป็นกราฟเชิงเดียวซ่ึงลบวงวนออกและลบเส้นเช่ือมขนานให้

เหลือเพียงเส้นเดียว

v1 e1 v2 e6 v1 e1 v2 v6
e2 e3 e5 e11 e3 e5
v3 e4 e7 v5 v6 v3 e10 e8 e9 v5 e11
e10 e8 e9
v4 v4

G กราฟอนั เดอร์ไลอิง้ ซิมเปิ ลของ G

รูป 1.24 แสดงกราฟ G และกราฟอนั เดอร์ไลอิง้ ซิมเปิ ลของ G

บทนิยาม 1.6.6 ให้ U เป็นเซตยอ่ ยที่ไม่เป็ นเซตวา่ งของ V(G) ของกราฟ G
กราฟย่อยของ G อนิ ดิวส์ (induced) โดย U เขียนแทนดว้ ย G[U] คือ กราฟยอ่ ย

ของ G ท่ีบรรจุจุดยอดใน U และเส้นเชื่อมใน G ท่ีมีจุดยอดปลายอยใู่ น U

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 21

ให้ F เป็นเซตยอ่ ยท่ีไม่เป็นเซตวา่ งของ E(G) ของกราฟ G
กราฟย่อยของ G อนิ ดวิ ส์ โดย F เขียนแทนดว้ ย G[F] คือ กราฟยอ่ ยของ G ท่ี
บรรจุ จุดยอดท่ีเป็ นจุดยอดปลายของเส้นเชื่อมใน F และเส้นเชื่อมใน F

สาหรับกราฟ G ในรูป 1.24 ให้ U = {v2, v3, v5} และ F = {e1, e3, e5, e8 e10}
จะไดว้ า่ กราฟยอ่ ย G[U] และ G[F] ของกราฟ G ดงั รูป

e7 ev52e6 v1 e1 ev52
v3 e8 v5 v5
e3 e10 e8
G[U] v3 v4

G[F]

รูป 1.25 แสดงกราฟยอ่ ยอินดิวส์โดยเซตของจุดยอดและเซตของเสน้ เช่ือมของ G
G[U], G[F] เมื่อ U = {v2, v3, v5} และ F = {e1, e3, e5, e8 e10}

นอกจากการสร้างกราฟยอ่ ยแลว้ ยงั สามารถสร้างกราฟใหม่จากกราฟท่ีกาหนดให้

ไดอ้ ีก ดงั น้ี

บทนิยาม 1.6.7 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟ

ยูเนียน (union) ของกราฟ G1 และ G2 เขียนแทนดว้ ย G1 G2 คือ กราฟ G ซ่ึง

V(G) = V(G1)V(G2) และ E(G) = E(G1)E(G2)
ในรูป 1.26 ต่อไปน้ีแสดงกราฟ G1 G2 ของกราฟ G1 และ G2

e5 e4 v1 e1 v5 e7 v1 v5 e7 v1 e1
e2 e6 e5 e6 e5 e4 e2

v3 G1e3 v2 v3 G2 v4 v3 e3 v2
G1 G2 v4

รูป 1.26 แสดงกราฟ G1, G2 และ G1 G2

บทนิยาม 1.6.8 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟ ซ่ึงมีจุดยอดร่วมกนั อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุด
อนิ เตอร์เซกซัน (intersection) ของกราฟ G1 และ G2 เขียนดว้ ย G1G2 คือ

กราฟ G ซ่ึง V(G) = V(G1)V(G2)และE(G) = E(G1)E(G2)

22 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

จากกราฟ G1 และ G2 ในรูป 1.26 จะไดก้ ราฟ G1G2 ดงั รูป 1.27
v1

e5
v3
รูป 1.27 แสดงกราฟ G1G2

บทนิยาม 1.6.9 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวท่ี n จุดยอด
ส่วนเติมเต็ม (complement) ของ G เขียนแทนดว้ ย G คือ กราฟเชิงเดียวซ่ึง

V( G ) = V(G)และเส้นเช่ือมระหวา่ งสองจุดใด ๆ ใน G ท่ีไมเ่ ป็นเส้นเชื่อมใน G

G G

รูป 1.28 แสดงกราฟ G และ G

บทนิยาม 1.6.10 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟที่ไมม่ ีจุดยอดร่วม
จอยน์ (join) ของ G1และ G2 เขียนแทนดว้ ย G1 + G2 คือ กราฟที่บรรจุจุดยอด

V( G1 + G2) = V(G1)  V(G2) และเส้นเช่ือม E(G1 + G2) = E(G1)  E(G2)  J โดยที่
J = {v1 v2 : v1V(G1) และ v2 V(G2)} คือเซตของเส้นเช่ือมที่เช่ือมทุกจุดยอดของ G1 ไป
ยงั ทุกจุดยอดของ G2

G1 G2 G1 + G2

รูป 1.29 แสดงกราฟ G1 + G2

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 23

แบบฝึ กหัด 1.4

1. ให้ G เป็นกราฟดงั รูปต่อไปน้ี จงเขียนกราฟยอ่ ยของกราฟ G ดงั ต่อไปน้ี

ua vb
q fc
mp g z
r x h d

tk we

G

1.1 G – {w, z}
1.2 G – {f, m, r, k}
1.3 G[U] เม่ือ U = {u, v, x, z}
1.4 G[F] เม่ือ F = {a, g, h, m, p}
1.5 จงหาจานวนกราฟอนั เดอร์ไลอิง้ ซิมเปิ ลของ G และยกตวั อยา่ ง
1.6 จงหาอินเตอร์เซกชนั ของสองกราฟยอ่ ยในขอ้ 1.1 และ 1.2
1.7 จงหายเู นียนของสองกราฟยอ่ ยในขอ้ 1.1 และ 1.2
2. จงหาส่วนเติมเตม็ ของกราฟตอ่ ไปน้ี






3. ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวที่มี n จุดยอด และ G เป็นส่วนเติมเตม็ ของ G

3.1 จงพสิ ูจนว์ า่ dG(v) + d G (v) = n – 1 สาหรับจุดยอด v ใด ๆ ใน G
3.2 สมมุติวา่ G มีจุดยอดคูเ่ พยี งจุดยอดเดียว จงหาวา่ G จะมีจุดยอดคี่จานวนก่ีจุด

24 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

1.7 วถิ ีและวฏั จักร (Paths and Cycles)

บทนิยาม 1.7.1 แนวเดนิ (walk) ในกราฟ คือ ลาดบั จากดั W = v0e1v1e2v2 …vk - 1ekvk

สลบั กนั ระหวา่ งจุดยอดและเส้นเช่ือม ซ่ึงเส้นเชื่อม ei= vi -1 vi , 1  i  k จะเรียก
แนวเดิน W วา่ แนวเดินจาก v0ไป vk (a walk v0 to vk ) หรือ แนวเดนิ v0 - vk(v0 - vk walk)

เรียกจุดยอด v0 วา่ จุดเร่ิมต้น (origin) และเรียกจุดยอด vk วา่ จุดสิ้นสุด (terminus)
ของ W (v0 อาจเท่ากบั vk) และจานวนเตม็ k เป็นจานวนเส้นเช่ือมใน W ซ่ึงจะเรียกวา่
ความยาว (length) ของแนวเดิน W

จากบทนิยาม 1.7.1 สังเกตวา่ แนวเดินอาจซ้าจุดและเส้นเช่ือมได้ และแนวเดิน
v0e1v1e2v2 …vk - 1ekvk อาจเขียนแทนดว้ ย ลาดบั ของจุดยอด v0v1v2…vk การที่นิยามลาดบั
จากดั ของจุดยอดและเส้นเชื่อมติดกนั น้ี เพ่ือความสะดวกและใชใ้ นการพิสูจน์ แต่มี

ความหมายเช่นเดียวกนั กบั ลาดบั จากดั ท่ีเป็ นจานวนเตม็ ซ่ึงไม่เป็นลบที่คน่ั ดว้ ยเคร่ืองหมาย
จุลภาค

v2

e1 e2 ee63 e4 v4 e7e8 e5 v3 e10
v1 v5 e9

รูป 1.30 แสดงแนวเดินของกราฟ

ในรูป 1.30 จะเห็นวา่ แนวเดิน W1 = v1 e1 v2 e5 v3 e10 v3 e5 v2 e3 v5 เป็ นแนวเดิน
v1 – v5 ที่มีความยาวเป็ น 5

W2 = v1 e1 v2 e1 v1 e1 v2 เป็ นแนวเดิน v1 – v2 ท่ีมีความยาวเป็ น 3
และ W3 = v1 v5 v2 v4 v3 v1 เป็ นแนวเดิน v1 – v1 ที่มีความยาวเป็ น 5

บทนิยาม 1.7.2 แนวเดินที่มีจุดยอดเพียงจุดเดียวและไม่มีวงวน จะเรียกวา่ แนวเดนิ ชัด
(trivial walk) และมีความยาวเป็นศนู ย์

บทนิยาม 1.7.3 ให้ u และ v เป็นจุดยอดใด ๆ ในกราฟ G จะเรียก แนวเดิน u - v วา่
แนวเดินปิ ด (closed walk) ถา้ u = v และจะเรียก แนวเดิน u - v วา่ แนวเดนิ เปิ ด (open
walk) ถา้ u  v

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 25

ตวั อย่าง 1.7.1 จากรูป 1.30 จะไดว้ า่ W1 และ W2 เป็นแนวเดินเปิ ด แต่ W3 เป็นแนวเดินปิ ด



บทนิยาม 1.7.4 แนวเดิน W = v0 e1 v1 e2 v2 …vk - 1 ek vk ท่ีมีเส้นเชื่อมแตกต่างกนั จะ
เรียกวา่ รอยเดนิ (trial) และจะเรียกรอยเดิน W วา่ รอยเดินชัด (trivial trail) ถา้ v0 = vk

จากบทนิยามจะเห็นวา่ รอยเดิน คือ แนวเดินท่ีมีเส้นเชื่อมแตกตา่ งกนั

ตัวอย่าง 1.7.2 จากรูป 1.30 จะไดว้ า่ W3 เป็นรอยเดิน แต่ W1, W2 ไมเ่ ป็นรอยเดิน


บทนิยาม 1.7.5 แนวเดิน W = v0 e1 v1 e2 v2 …vk - 1 ek vk ท่ีมีจุดยอดแตกต่างกนั จะเรียกวา่

วถิ ี (path) และจะเรียกวถิ ี W วา่ วถิ ีปิ ด (closed path) ถา้ v0 = vk
วถิ ีที่มี n จุดยอด จะเขียนแทนดว้ ย Pn ซ่ึงมีความยาวเป็น n – 1

จากบทนิยามจะเห็นวา่ วถิ ีคือแนวเดินท่ีมีจุดยอดแตกต่างกนั

ตวั อย่าง 1.7.3 จากรูป 1.30 จะไดว้ า่ W4 = v2 v4 v3 v5 v1 เป็ นวถิ ีใน G ที่มีความยาวเป็ น 4


จากบทนิยามท่ีผา่ นมาจะเห็นวา่ ทุก ๆ วถิ ีเป็นรอยเดินเสมอ แตม่ ีบางรอยเดินไม่
จาเป็นตอ้ งเป็ นวถิ ี และ ทุก ๆ รอยเดินเป็นแนวเดินเสมอ แต่มีบางแนวเดินไม่จาเป็ นตอ้ ง
เป็ นรอยเดิน

ทฤษฎบี ท 1.4 ให้ u และ v เป็นจุดยอดสองจุดใด ๆ ในกราฟ G จะไดว้ า่ ทุกแนวเดิน u - v

จะบรรจุวถิ ี u - v เสมอ

พสิ ูจน์ ถา้ G มีจุดยอดเดียว จะไดว้ า่ u = v ทาใหไ้ ดว้ ถิ ีชดั คือ u
ให้ W เป็นแนวเดินในกราฟ G โดยที่มีลาดบั ของจุดยอดเป็นดงั น้ี

u = u0 u1 u2 . . . uk - 1 uk = v
สมมุติ u  v จะไดว้ า่ W เป็นแนวเดินเปิ ด ถา้ ไม่มีจุดยอดของ G ใน W ซ้ากนั จะ
ไดว้ า่ W เป็นวถิ ี u – v สมมุติวา่ มีจุดยอดของ G ใน W ซ้ากนั ใหเ้ ป็นจุดยอด ui = uj ซ่ึง i, j
 I+ , i < j ลบจุดยอด ui, ui + 1 , …, uj- 1 ออกจาก W จะไดแ้ นวเดินใหม่ ใหเ้ ป็ น W1 ถา้ ไมม่ ี
จุดยอดซ้ากนั ใน W1 จะไดว้ า่ W1 เป็นวถิ ี u - v ถา้ ยงั มีจุดยอดของ G ใน W1ซ้ากนั ให้
ลบจุดยอดที่ซ้าออก ทาเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จะได้ วถิ ี u – v ตามตอ้ งการ



26 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทนิยาม 1.7.6 จะกล่าววา่ จุดยอด u เช่ือมโยง (to be connected to) กบั จุดยอด v ในกราฟ
G ถา้ มีวถิ ีจาก u ไป v

จากบทนิยามจะเห็นวา่ ถา้ จุดยอด u เชื่อมโยงกบั จุดยอด v แลว้ จุดยอด v จะ
เช่ือมโยงกบั จุดยอด u และถา้ มีเพยี งจุดยอด u จุดยอดเดียวแลว้ u จะเป็นวถิ ีชดั P = u
ดงั น้นั ทุก ๆ จุดยอด u จะเชื่อมโยงกบั ตวั เอง

ให้ W1 = ue1 … ekv เป็ นวถิ ี u – v และ W2 = vf1 … ft w เป็ นวถิ ี v – w จะไดว้ า่
W = ue1… ek vf1… ft w และโดย ทฤษฏีบท 1.3 จะไดว้ า่ W เป็ นวถิ ี u - w
นนั่ คือ ถา้ u เช่ือมโยงกบั v และ v เชื่อมโยงกบั w แลว้ u จะเช่ือมโยงกบั w
บทนิยาม 1.7.7 ให้ G เป็นกราฟ แลว้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง (connected graph) ถา้ สองจุด
ยอดใด ๆ ใน G เช่ือมโยงกนั และ G เป็นกราฟไม่เชื่อมโยง (disconnected graph) ถา้ G ไม่
เป็ นกราฟเชื่อมโยง
บทนิยาม 1.7.8 กราฟย่อยส่วนประกอบ (component graph)ของกราฟ G คือ กราฟยอ่ ย H
ท่ีเป็นกราฟเช่ือมโยงของ G และไมเ่ ป็นกราฟยอ่ ยแทข้ องกราฟยอ่ ยของ G

จานวนกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ ของกราฟ G เขียนแทนดว้ ย (G)

G

H

รูป 1.31 แสดงกราฟยอ่ ยส่วนประกอบของกราฟ G และ H

ในรูป 1.31 กราฟ G จะมีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ จานวน 4 กราฟยอ่ ย หรือ
(G) = 4 และ (H) = 6

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 27

บทนิยาม 1.7.9 รอยเดินปิ ดที่ไมเ่ ป็นรอยเดินชดั ใน G จะเรียกวา่ วฏั จักร (cycle) ถา้ มี
จุดเริ่มตน้ และจุดยอดอ่ืนที่ไม่ใช่จุดสิ้นสุด ตา่ งกนั ท้งั หมด

วฏั จักรทม่ี ีความยาว k (k – cycle) คือวฏั จกั รท่ีมี k เส้นเช่ือม จะเขียนแทนดว้ ย Ck
ถา้ k เป็นจานวนคู่ จะเรียกวา่ วฏั จักรคู่ (even cycle)และ ถา้ k เป็นจานวนคี่ จะเรียกวา่

วฏั จักรคี่ (odd cycle)

จากบทนิยาม จะเห็นวา่ รอยเดินปิ ด C = v1 v2… vn v1 จะเป็นวฏั จกั ร ถา้ C มีเส้น
เชื่อมอยา่ งนอ้ ย 1 เส้น และ v1 v2… vn ตา่ งกนั ท้งั n จุดยอด ส่วนวงวนจะเป็นวฏั จกั รที่มี
ความยาว 1 หรือ C1 เส้นเช่ือมขนานสองเส้นจะเป็นวฏั จกั รที่มีความยาว 2 หรือ C2 และ
นิยมเรียก C3วา่ วฏั จักรสามเหลย่ี ม (triangle cycle)

v1 v2

v4 v5 v3

รูป 1.32 แสดงวฏั จกั ร

ตวั อย่าง 1.7.4 จากรูป 1.32 จะไดว้ า่

C = v1 v2 v3 v4 v1 เป็ นวฏั จกั รท่ีมีความยาว 4 และ C เป็ นวฏั จกั รคู่
T = v1 v2 v5 v3 v4 v5 v1 เป็ นรอยเดินปิ ดที่ไมเ่ ป็ นรอยเดินชดั และไมเ่ ป็ นวฏั จกั ร
W = v1 v2 v5 v1 เป็ นวฏั จกั รสามเหล่ียม และ W เป็ นวฏั จกั รคี่


ทฤษฎบี ท 1.5 ให้ G เป็นกราฟไมว่ า่ งที่มีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุดยอด จะไดว้ า่ G จะเป็ น

กราฟสองส่วน กต็ ่อเมื่อ G ไมม่ ีวฏั จกั รค่ี

พสิ ูจน์ () สมมุติวา่ G เป็นกราฟสองส่วน ซ่ึง V(G) = X  Y

ให้ C = v0 v1… vk v0 เป็ นวฏั จกั รใน G เน่ืองจาก ถา้ v0X แลว้ v1 ตอ้ งอยใู่ น Y
และ v2X, v3Y,... , vk -1X, vkY จะไดว้ า่ k ตอ้ งเป็ นจานวนค่ี ดงั น้นั
C = v0 v1… vk v0 ตอ้ งเป็ นวฏั จกั รคู่ เนื่องจาก C เป็นวฏั จกั รใด ๆ ใน G
ดงั น้นั G ไมม่ ีวฏั จกั รค่ี

28 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

() ให้ G เป็นกราฟไม่วา่ งและไม่มีวฏั จกั รคี่ จะตอ้ งแสดงวา่ G เป็นกราฟสองส่วน
พจิ ารณากราฟ G ท่ีเป็นกราฟไมเ่ ช่ือมโยง จะไดว้ า่ G เป็นกราฟสองส่วน ถา้ แตล่ ะ

กราฟยอ่ ยส่วนประกอบ G1, . . . ,Gn เป็นกราฟสองส่วน ดงั น้นั ถา้ กราฟยอ่ ยส่วนประกอบ
เหล่าน้ีและเซตของจุดยอด V1 , . . . ,Vn มีผลแบง่ ก้นั เป็ น V1= X1Y1 , . . . , Vn= XnYn
จะไดว้ า่ V ของ G จะมีผลแบง่ ก้นั เป็น V = XY โดยที่ X = X0X1 . . . Xn และ
Y = Y1 . . . Yn ซ่ึง X0 เป็ นเซตของจุดยอดเอกเทศท้งั หมดใน G

ถา้ G เป็นกราฟไม่วา่ งท่ีเป็นกราฟเชื่อมโยงและไมม่ ีวฏั จกั รค่ี จะแสดงวา่ G เป็น
กราฟสองส่วน

ให้ u เป็นจุดยอดใน G และให้ X , Y  V โดยที่ X เป็นเซตของจุดยอดท้งั หมดที่
วถิ ี u-v มีความยาวเป็นจานวนคู่ และ Y เป็นเซตของจุดยอดท้งั หมดที่วถิ ี u-v มีความยาว
เป็นจานวนค่ี ถา้ uX จะเห็นวา่ V=XY และ XY =  จะแสดงวา่ G เป็นกราฟ
สองส่วน โดยแสดงวา่ เส้นเชื่อมใด ๆ ใน G มีจุดยอดปลายจุดหน่ึงอยใู่ น X และจุดยอด
ปลายจุดหน่ึงอยใู่ น Y

สมมุติวา่ จุดยอด v , w ประชิดกนั ใน X และให้ P , Q เป็นวถิ ี u-v และ u-w ท่ีส้ัน
ที่สุดตามลาดบั โดยท่ี P = u1 u2 . . . u2n+1 และ Q = w1 w2 . . . w2m+1 ดงั น้นั u = u1= w1 ,
v = u2n+1 และ w = w2m+1 สมมุติวา่ w เป็ นจุดยอดร่วมและจุดยอดสุดทา้ ยของ P และ Q
(w= v = w) จะไดว้ า่ มีสองวถิ ีที่ส้ันสุดจาก u ไป w และเนื่องจากท้งั สองวถิ ีน้ีมีความยาว
เทา่ กนั ดงั น้นั จะมี ui = wi = w บางคา่ i ซ่ึงทาใหไ้ ดว้ ฏั จกั รคี่ใน G คือ

C = uiui1 .. .u2n1 w2m1w2m .. .wi
* **

เนื่องจาก ถา้ i เป็นจานวนคี่ จะไดว้ า่ * และ ** มีความยาวเป็นคู่ แต่ถา้ i เป็นจานวนคู่ จะได้
วา่ * และ ** มีความยาวเป็นค่ี ดงั น้นั C มีความยาวเป็น คู่+1+คู่ หรือ คี่ +1+ค่ี ซ่ึงเป็น
จานวนคี่ท้งั สองกรณี แตเ่ น่ืองจากตามสมมุติฐาน G ไมม่ ีวฏั จกั รค่ี จึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ ดงั น้นั
ท่ีสมมุติให้ v ,w ประชิดกนั จึงเป็นไปไมไ่ ด้ นน่ั คือไมม่ ีเส้นเช่ือมใน G ท่ีเชื่อมระหวา่ งจุด
ยอดใน X ทานองเดียวกนั สามารถแสดงไดว้ า่ ไมม่ ีเส้นเชื่อมใน G ที่เชื่อมระหวา่ งจุดยอด
ใน Y นน่ั คือ G เป็นกราฟสองส่วน



บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 29

แบบฝึ กหดั 1.5

1. ให้ G เป็นกราฟดงั รูป ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นแนวเดิน และแนวเดินใดเป็นวถิ ี แนวเดินใด

เป็นวฏั จกั ร พร้อมท้งั บอกความยาว

ab 1.1 f , d , b , c , b

c 1.2 f , d , f , a , b , c , f
1.3 d , f , a , b , d

fG d 1.4 c , b , a , f , d , c

2. ให้ H เป็นกราฟดงั ตอ่ ไปน้ี จงหา
a e5 2.1 แนวเดินปิ ดที่ไม่เป็นรอยเดิน
e4 d 2.2 รอยเดินปิ ดท่ีไม่เป็นวฏั จกั ร
e1 e2 c e6 2.3 วฏั จกั รท่ีมีความยาวนอ้ ยกวา่ หรือ
b e3
เทา่ กบั 5
H

3. ให้ G เป็นกราฟดงั ตอ่ ไปน้ี จงหา
e7 a e4 d 3.1 แนวเดิน b – d ท่ีมีความยาวเป็น 7
e1 e5 e6 e3 3.2 วถิ ีท่ีมีความยาวมากที่สุดพร้อมท้งั
b e2 c
G ความยาว

4. จงยกตวั อยา่ งกราฟที่วฏั จกั รมีความยาวมากสุดเป็น 9 และวฏั จกั รมีความยาวส้ันสุดเป็ น 4

5. จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ u เป็นจุดยอดคี่ในกราฟ G แลว้ จะมีวถิ ีใน G จาก u ไปจุดยอดค่ี v ของ G

6. จงพิสูจนว์ า่ ถา้ G เป็นกราฟเชิงเดียวที่มี n จุดยอดและ n  2 แลว้ dG(u) = dG(v)
สาหรับบางสองจุดยอด u และ v ใน G

7. จงแสดงวา่ ถา้ กราฟเชิงเดียว G เป็นกราฟไม่เช่ือมโยงแลว้ G เป็นกราฟเช่ือมโยง

8. ให้ u และ v เป็นจุดยอดท่ีมีวถิ ีถึงกนั ในกราฟ G แลว้ ความยาวของวถิ ี u – v ท่ีส้นั ที่สุด

จะเรียกวา่ ระยะทาง (distance) ระหวา่ ง u และ v เขียนแทนดว้ ย d(u, v)

30 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

8.1 จงพสิ ูจน์วา่ d(u, w)  d(u, v) + d(v, w) สาหรับจุดยอด u , v และ w ใน G
8.2 จงพิสูจน์วา่ ถา้ d(u, v)  2 แลว้ จะมีจุดยอด z G ที่ d(u, v) = d(u, z) + d(z, v)

1.8 กราฟสมสัณฐานกนั (Graph Isomorphism)

กราฟที่มีรูปร่างแตกต่างกนั อาจมีโครงสร้างเหมือนกนั ซ่ึงสามารถตรวจสอบการสม
สัณฐานกนั ดว้ ยบทนิยามตอ่ ไปน้ี

บทนิยาม 1.8.1 กราฟ G1 สมสัณฐาน (isomorphic) กบั กราฟ G2 ก็ตอ่ เม่ือ มี f เป็น
ฟังกช์ นั 1-1 จาก V(G1) ทว่ั ถึง (onto) V(G2) ซ่ึงสาหรับ u , v  V(G1) ถา้ uv  E(G1)
แลว้ f(u)f(v)  E(G2)

จะเรียก f วา่ ฟังก์ชันสมสัณฐาน (isomorphism) จาก G1 ไปยงั G2 และ ถา้ G1
สมสัณฐาน G2 จะเขียนแทนดว้ ย G1  G2

ตัวอย่าง 1.8.1 จงแสดงวา่ กราฟ G1 และ G2 ดงั รูปต่อไปน้ี เป็นกราฟที่สมสัณฐานกนั

u1 v1

u5 u2 v3 v4

u4 u3 v5 v2
G1 G2

รูป 1.33 แสดงกราฟที่สมสัณฐานกนั

พิจารณากราฟ G1 และ G2
จะแสดงวา่ มีฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั สมสณั ฐานจาก G1 ไปยงั G2

กาหนดโดย f (u1) = v1 , f (u2) = v2 , f (u3) = v3 , f (u4) = v4 , f (u5) = v5 และ
u1u2  E(G1)  f(u1)f(u2) = v1v2  E(G2)
u2u3  E(G1)  f(u2)f(u3) = v2v3  E(G2)
u3u4  E(G1)  f(u3)f(u4) = v3v4  E(G2)
u4u5  E(G1)  f(u4)f(u5) = v4v5  E(G2)
u5u1  E(G1)  f(u5)f(u1) = v5v1  E(G2)

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 31

ดงั น้นั f เป็นฟังกช์ นั สมสณั ฐาน จาก G1 ไปยงั G2

นน่ั คือ G1  G2



ตวั อย่าง 1.8.2 จงแสดงวา่ กราฟ G1 และ G2 ดงั รูปต่อไปน้ี เป็นกราฟท่ีสมสณั ฐานกนั
u3 v1 v3
u2 v2

u1 v5 v4
u5 u4 G2
G1

รูป 1.34 แสดงกราฟท่ีสมสัณฐานกนั

พิจารณากราฟ G1 และ G2 
จะแสดงวา่ มีฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั สมสณั ฐานจาก G1 ไปยงั G2

กาหนดโดย f (u1) = v2 , f (u2) = v3 , f (u3) = v1 , f (u4) = v5 , f (u5) = v4 และ
u1u2  E(G1)  f(u1)f(u2) = v2v3  E(G2)
u2u5  E(G1)  f(u2)f(u5) = v3v4  E(G2)
u1u5  E(G1)  f(u1)f(u5) = v2v4  E(G2)
u1u3  E(G1)  f(u1)f(u3) = v2v1  E(G2)
u1u4  E(G1)  f(u1)f(u4) = v2v5  E(G2)
ดงั น้นั f เป็นฟังกช์ นั สมสัณฐาน จาก G1 ไปยงั G2
นน่ั คือ G1  G2

โดยทวั่ ไป การตรวจสอบวา่ กราฟ G1  G2 หรือไม่ ตามบทนิยาม 1.8.1 อาจใช้
เวลามาก เช่น ถา้ แต่ละกราฟมีจานวน 6 จุดยอด และ 6 เส้นเชื่อม จะมีฟังกช์ นั ท่ีตอ้ ง
ตรวจสอบจานวน (6!)(6!) ฟังกช์ นั สาหรับการตรวจสอบการไม่สมสณั ฐานกนั สามารถ
ทาไดโ้ ดยวธิ ีการพจิ ารณาวา่ กราฟท้งั สองน้นั ไมม่ ีสมบตั ิเหมือนกนั บางประการ ดงั น้ี

(1) จานวนจุดยอดไม่เท่ากนั
(2) จานวนเส้นเช่ือมไม่เทา่ กนั
(3) จานวนจุดยอดระดบั ข้นั r ไม่เทา่ กนั
(4) จานวนวฏั จกั รความยาว k ไม่เท่ากนั

32 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

(5) กราฟหน่ึงเป็นกราฟเชื่อมโยงแต่อีกกราฟหน่ึงเป็นกราฟไมเ่ ชื่อมโยง
ซ่ึงแสดงวา่ กราฟท้งั สองน้นั ไมม่ ีฟังกช์ นั สมสัณฐานจาก G1 ไปยงั G2 นน่ั คือ
G1 ไม่สมสัณฐาน G2

นอกจากน้ีการไม่สมสณั ฐานของกราฟยงั สามารถตรวจสอบไดจ้ ากการมีหรือไม่
มีวฎั จกั รแบบออยเลอร์หรือวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ไดด้ ว้ ย ซ่ึงวฏั จกั รท้งั สองจะไดศ้ ึกษากนั
ในบทท่ี 3 ตอ่ ไป

ตวั อย่าง 1.8.3 ให้ G1, G2 และ G3 เป็นกราฟดงั รูป จงพิจารณาวา่ กราฟคูใ่ ดที่สมสณั ฐานกนั

u1 u2 u3 v4 v1 w4 w1 w5
v5

v3 v2 w3 w2
u6 v6
u4 u5 G2 w6
G1 G3

รูป 1.35 แสดงกราฟบางคู่ที่สมสณั ฐานกนั

พิจารณากราฟ G1 และ G2
จะแสดงวา่ มีฟังกช์ นั f จาก G1 ไปยงั G2 ซ่ึงกาหนดโดย f (ui) = vi , i = 1 , 2 ,
3 , . . . , 6 และ uiuj  E(G1)  f(ui)f(uj) = vivj  E(G2) , i = 1 , 2 , 3 , . . . , 6

และ j = 1 , 2 , 3 , . . . , 6
ดงั น้นั f เป็นฟังกช์ นั สมสณั ฐาน จาก G1 ไปยงั G2
นน่ั คือ G1  G2

พิจารณากราฟ G1 และ G3
กราฟท้งั สองตา่ งมีจุดยอด 6 จุดและมีเส้นเชื่อม 9 เส้น และแตล่ ะจุดยอดมีระดบั ข้นั
เป็ น 3 แต่กราฟ G3 มีวฏั จกั รความยาว 5 จานวน 2 วฏั จกั ร เช่น w1 w5 w2 w3 w4w1 ขณะท่ี
G1 ไมม่ ี แสดงวา่ ไม่มีฟังกช์ นั สมสัณฐานจาก G1ไปยงั G2 นน่ั คือ G1 ไม่สมสณั ฐานกบั G3
พจิ ารณาทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ G2 ไมส่ มสณั ฐานกบั G3


จากตวั อยา่ ง 1.8.3 จะเห็นวา่ กราฟ G1 และ G2 ซ่ึงมีรูปร่างแตกต่างกนั จะเป็น
กราฟที่สมสัณฐานกนั ไดโ้ ดยการกาหนดจุดยอดใหส้ มนยั กนั กราฟท่ีสมสณั ฐานกนั จะมี

บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 33

จานวนจุดยอดและเส้นเช่ือมเท่ากนั แต่ในทางกลบั กนั น้นั ไมจ่ ริง เช่น กราฟ G1 และ G3
เป็ นตน้

ตัวอย่าง 1.8.4 พิจารณาวา่ กราฟต่อไปน้ีสมสัณฐานกนั หรือไม่
(1)

กราฟท้งั สองรูปน้ี สามารถแสดงไดว้ า่ กราฟท้งั คู่เป็ นกราฟที่สมสัณฐานกนั
(2)

เนื่องจากกราฟรูปขวามือมีจุดยอดระดบั ข้นั เป็น 4 จานวน 1 จุด แต่กราฟรูป
ซา้ ยมือไม่มี ดงั น้นั กราฟท้งั คู่ไม่สมสณั ฐานกนั

แบบฝึ กหดั 1.6
1. จงแสดงวา่ กราฟแตล่ ะคู่ต่อไปน้ีสมสณั ฐานกนั หรือไม่

1.1

1.2

34 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

1.3

1.4

2. จงหากราฟยอ่ ย H ของ G ในแบบฝึกหดั 1.4 ขอ้ 1. ที่สมสัณฐานกบั K3 และ K4
3. ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว จะเรียก G วา่ กราฟเซลฟ์ -คอมพลิเมนทะรี (self-
complementary graph) ถา้ G สมสัณฐานกบั G

3.1 กราฟใดเป็นกราฟเซลฟ์ -คอมพลิเมนทะรี






3.2 จงยกตวั อยา่ งกราฟที่มี 4 หรือ 5 จุดยอดท่ีเป็นกราฟเซลฟ์ -คอมพลิเมนทะรี
3.3 จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ G เป็นกราฟเซลฟ์ -คอมพลิเมนทะรีท่ีมี n จุดยอดแลว้ n = 4t หรือ
4t+1 อยา่ งใดอยา่ งหน่ึง สาหรับบางจานวนเตม็ t
4. จงพิสูจน์วา่ กราฟแบบบริบูรณ์ท่ีมีจานวนจุดยอดเทา่ กนั จะสมสัณฐานกนั เสมอ
5. จงพสิ ูจนว์ า่ กราฟเชิงเดียวที่เป็นกราฟเชื่อมโยงและมีจุดยอด n จุด โดยท่ีแต่ละจุดยอด
มีระดบั ข้นั เป็ น 2 จะสมสณั ฐานกนั
6. จงพสิ ูจน์วา่ กราฟสองกราฟท่ีสมสัณฐานกนั จะมีจานวนจุดยอดและจานวนเส้นเช่ือม
เทา่ กนั แต่บทกลบั น้นั ไม่จริง

บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 35

1.9 เมตริกซ์ของกราฟ (Matrix Representation of Graphs)

ในบางคร้ังอาจใชเ้ มตริกซ์บอกลกั ษณะของกราฟ และอาจนาเมตริกซ์เหล่าน้ีไปใชก้ บั
คอมพวิ เตอร์ เพื่อความสะดวกในการศึกษาสมบตั ิของกราฟยงิ่ ข้ึน ซ่ึงในที่น้ีจะกล่าวถึง
เมตริกซ์ของกราฟ ดงั ตอ่ ไปน้ี

บทนิยาม 1.9.1 ให้ G เป็ นกราฟท่ีมี V(G) = {v1, v2, …, vn }และ E(G) = {e1, e2, …, em }
จะไดว้ า่ เมตริกซ์ประชิด (adjacency matrix) ของ G เขียนแทนดว้ ย A(G) คือ เมตริกซ์ [aij]
ขนาด n x n โดยท่ี aij คือจานวนเส้นเช่ือมระหวา่ ง vi กบั vj และเมตริกซ์อบุ ตั กิ ารณ์
(incidence matrix) ของ G เขียนแทนดว้ ย M(G) คือ เมตริกซ์ [mij] ขนาด n x m โดยท่ี mij
คือ จานวนคร้ังของการประชิดกนั ระหวา่ งจุดยอด vi กบั เส้นเช่ือม ej

ตัวอย่าง 1.9.1 ให้ G(V,E) เป็นกราฟท่ีมี V(G) = {v1, v2, v3, v4} และ
E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} ดงั รูปต่อไปน้ี

v1 e1
e2
G
e4 e6e5v2 e3

v4 v3

จะไดว้ า่ A(G) = 0110 1 0 0012 และ M(G) = 0002 1 0 0 0 1010
0 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 2 0 0 1 1

รูป 1.36 แสดงกราฟ G เมตริกซ์ประชิด และเมตริกซอ์ บุ ตั ิการณ์ของกราฟ G

จากบทนิยาม 1.9.1 และตวั อยา่ ง 1.9.1 จะเห็นวา่ ถา้ G ไม่มีวงวนจะไดว้ า่ สมาชิก

ท้งั หมดในแถวหลกั (main diagonal) ของ A(G) จะเป็น 0 ถา้ G ไม่มีเส้นเช่ือมขนาน จะ
ไดว้ า่ สมาชิกใน A(G) จะเป็น 0 หรือ 1 และถา้ A(G) มี aij = aji; สาหรับทุกคา่ i, j จะเรียก
A(G) วา่ เมตริกซ์สมมาตร (symmetric matrix)

36 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ถา้ กาหนดเมตริกซ์สมมาตร n x n มาให้ แลว้ จะสามารถสร้างกราฟไดเ้ ช่นกนั
e2 v2
1 2 1
เช่น ให้ A = 2 0 0 จะไดก้ ราฟเป็ น
1 0 0 v1 e3
e1 e4
v3
รูป 1.37 แสดงเมตริกซ์ A และกราฟ G ซ่ึง A(G) = A

6 2 1
จากรูป 1.37 จะไดว้ า่ A x A = A2 = 2 4 2 = [bij]
1 2 1

ซ่ึง bij กค็ ือ จานวนแนวเดินท่ีมีความยาว 2 จากจุดยอด i ไปจุดยอด j เช่น

b23 = b32 = 2 หมายถึง จานวนแนวเดิน 2 แนวเดินท่ีมีความยาว 2 จากจุด v2 ไปยงั

จุดยอด v3 คือ v2 e2 v1 e4 v3 และ v2 e3 v1 e4 v3

b11 = 6 คือ มีแนวเดิน 6 แนวเดินที่มีความยาว 2 จากจุด v1 ไปยงั v1 คือ v1e1 v1 e1 v1 ,

v1 e1 v2 e2 v1 , v1 e3 v2 e3 v1 , v1 e2 v2 e3 v1 , v1 e3 v2 e2 v1 และ v1 e4 v3 e4 v1

ทฤษฎบี ท 1.6 ให้ G เป็นกราฟ ที่มีจุดยอด n จุดยอด v1 v2 . . . vn และให้ A เป็นเมตริกซ์
ประชิดของ G ท่ีเรียงลาดบั จุดยอด ให้ Ak เป็นผลคูณเมตริกซ์ของ A จานวน k ตวั , kI+

จะไดว้ า่ สมาชิกที่ ij ของ Ak คือ จานวนแนวเดิน vi – vj ซ่ึงมีความยาว k ที่แตกตา่ งกนั ใน G
พสิ ูจน์ โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน k

ถา้ k = 1 จะไดว้ า่ สมาชิกท่ี ij ของ A คือจานวนแนวเดิน ซ่ึงมีความยาว 1 ท่ี

แตกต่างกนั ใน G โดยนิยามเมตริกซ์ประชิด จึงไดว้ า่ ทฤษฏีเป็นจริง

สมมุติ Ak - 1 เป็ นจริง ; kI+ , k > 1 จะตอ้ งพิสูจนว์ า่ Ak เป็ นจริง

ให้ Ak – 1 = [bij] ; bij คือ จานวนแนวเดิน vi ไป vjซ่ึงมีความยาว k – 1 ท่ีแตกตา่ งกนั
ใน G ตอ้ งพิสูจน์วา่ ถา้ Ak = [eij] แลว้ eij คือจานวนแนวเดิน vi ไป vj ซ่ึงมีความยาว k ท่ี
แตกตา่ งกนั ใน G

ให้ A = [aij] เนื่องจาก Ak = (Ak – 1 )(A)

ดงั น้นั eij = n (สมาชิกที่ ij ของ Ak – 1 )(สมาชิกที่ ij ของ A )


t1
n
= b it  a tj 

t1

บทท่ี 1 กราฟเบ้ืองตน้ 37

ซ่ึง ทุก ๆ แนวเดิน vi– vj ท่ีมีความยาว k จะบรรจุแนวเดิน vi - vt ที่มีความยาว k – 1 ซ่ึง vt

ประชิด vj เน่ืองจากมีจานวนแนวเดิน bit ที่มีความยาว k – 1 และจานวนเส้นเชื่อม atj

สาหรับแตล่ ะ vt ดงั น้นั จะมีแนวเดิน vi– vj ท้งั หมดเป็ น n b it  a tj  แนวเดิน


t1


ทฤษฏีบท 1.7 ตอ่ ไปน้ี สามารถใชต้ รวจสอบวา่ กราฟท่ีกาหนดใหว้ า่ เป็นกราฟ

เชื่อมโยงหรือไม่ ดงั น้ี

ทฤษฎบี ท 1.7 ให้ G เป็นกราฟท่ีมี n จุดยอด v1 v2 … vn และให้ A เป็นเมตริกซ์ประชิดของ
G ที่เรียงลาดบั จุดยอด ให้ B = [bij] เป็ นเมตริกซ์ซ่ึง B = A + A2 +… + An – 1 จะไดว้ า่ G

เป็นกราฟเชื่อมโยง กต็ อ่ เมื่อ bij  0 ทุก ๆ คู่ i, j ; i  j

พสิ ูจน์ () ให้ a (k) แทนสมาชิกของเมตริกซ์ Ak สาหรับแตล่ ะ k = 1, 2, . . . , n-1 จะ

ij

ไดว้ า่ bij= aij(1)+ aij(2)+ . . . + a (n-1) โดยทฤษฏีบท 1.6 จะไดว้ า่ a (k) แทนจานวนแนวเดิน
ij
ij

ความยาว k ท่ีต่างกนั จาก vi ไป vj ดงั น้นั

bij= จานวนแนวเดิน vi – vj ความยาว 1 ที่ตา่ งกนั +

จานวนแนวเดิน vi – vj ความยาว 2 ท่ีตา่ งกนั +


จานวนแนวเดิน vi – vj ความยาว n-1 ท่ีต่างกนั

หรือ bij คือจานวนแนวเดิน vi – vj ความยาวนอ้ ยกวา่ n ที่ต่างกนั

สมมุติวา่ G เป็นกราฟเช่ือมโยง จะไดว้ า่ มีวถิ ี vi – vj สาหรับทุกๆ i, j ท่ี i  j
เน่ืองจาก G มี n จุดยอดและวถิ ีมีอยา่ งมาก n จุดยอด จะไดว้ า่ วถิ ีน้ีมีความยาวนอ้ ยกวา่ n

คือมีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงวถิ ี vi – vj ท่ีมีความยาวนอ้ ยกวา่ n ดงั น้นั bij 0 ทุกๆ i, j ที่ i  j
() สมมุติวา่ สาหรับทุกคู่ i, j ท่ี i  j ซ่ึง bij 0 จากขา้ งบนจะไดว้ า่ มีอยา่ ง

นอ้ ย 1 แนวเดิน vi – vj ความยาวนอ้ ยกวา่ n แตเ่ น่ืองจาก vi เช่ือมโยงกบั vj ซ่ึง i, j เป็นคา่
ใดๆ ที่ i  j ดงั น้นั จะไดว้ า่ G เป็นกราฟเชื่อมโยง



38 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 1.9.2 ให้ G เป็นกราฟซ่ึงมีเมตริกซ์ประชิด A(G) เป็นเมตริกซ์ A ต่อไปน้ี

A  00001 0 1 0 00011 แลว้ G เป็นกราฟเช่ือมโยงหรือไม่
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 1

วธิ ีทา ในที่น้ี n = 5 ดงั น้นั ใหเ้ มตริกซ์ B = A + A2+ A3+ A4

จะไดว้ า่ A2  00011 0 0 0 01112 , A  A2  10102 0 1 0 11112
1 0 0 1 0 1
0 2 1 0 2 1
0 1 2 1 1 2
1 0 0 1 1 1

A3  00102 0 2 1 00033 , A  A2  A3  11013 0 3 1 14142
0 1 2 1 1 3
1 0 0 1 2 1
2 0 0 3 1 2
0 3 3 1 4 4

A4  00123 1 0 0 00633 , A  A2  A3  A4  14133 1 3 1 48444
2 0 0 3 1 3
0 5 4 1 7 5
0 4 5 3 5 7
3 0 0 4 4 4

เน่ืองจาก B มีสมาชิกท่ีไมอ่ ยใู่ นทแยงมุมหลกั ไม่เป็นศูนย์ หรือ bij  0 , i  j ,
i, j = 1, 2, 3, 4, 5 ดงั น้นั G เป็นกราฟเช่ือมโยง

v1 v2
v5

v3
v4

รูป 1.38 แสดงกราฟของเมตริกซป์ ระชิด A(G)



บทที่ 1 กราฟเบ้ืองตน้ 39

แตก่ ารแสดงวา่ G เป็นกราฟเชื่อมโยงน้นั ไมจ่ าเป็ นตอ้ งหาถึง An-1 เช่น สมมุติวา่
มีกราฟท่ีมีเมตริกซ์ประชิด เป็น

A  11110 1 1 1 1 10100 จะได้ A2  12225 1 2 2 2 11112
0 1 0 0 2 1 2 1
1 0 1 0 1 3 1 2
0 1 0 1 2 1 3 1
0 0 1 0 1 2 1 3
1 0 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1

โดยทฤษฎีบท 1.6 บอกวา่ เน่ืองจากสมาชิกทุกตวั ไม่เป็ นศูนย์ ดงั น้นั จะมีอยา่ งนอ้ ย
หน่ึงแนวเดินที่มีความยาว 2 จากทุกจุดยอดไปยงั ทุกจุดยอดใน G นน่ั คือ G เป็นกราฟ
เช่ือมโยง

ต่อไปเป็ นการใชเ้ มตริกซ์ประชิดเพอ่ื ตรวจสอบการสมสณั ฐานระหวา่ งกราฟ โดย
อาศยั บทนิยาม 1.8.1 ซ่ึงบอกใหท้ ราบวา่ ตอ้ งมีฟังกช์ นั สมสณั ฐาน ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่าง 1.9.3 ในตวั อยา่ ง 1.8.2 จะกาหนดลาดบั จุดยอดของกราฟ G1 และ G2 เป็น

u1 , u2 , u3 , u4 , u5 และ v2 , v3 , v1 , v5 , v4 ตามลาดบั จะไดเ้ มตริกซ์ประชิดของกราฟ

ท้งั สอง ดงั น้ี u1 u2 u3 u4 u5 v2 v3 v1 v5 v4

A(G1) = 11101 1 1 1 00011 และ A(G2) = 11110 1 1 1 10100
0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0 2
0 2 0 0 2 0
1 0 0 1 0 0

ซ่ึงจะไดว้ า่ มีเมตริกซ์ประชิดท่ีเหมือนกนั แสดงวา่ มีฟังกช์ นั สมสัณฐานจาก G1
ไปยงั G2 ดงั น้นั กราฟ G1 สมสัณฐานกบั กราฟ G2



40 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหดั 1.7

1. จงเขียนเมตริกซ์ประชิดและเมตริกซ์อุบตั ิการณ์ของกราฟต่อไปน้ี

a e2 b e6 e7 a d
e1 e3 e1 e5 e4 e6
e4 e5 c
e2 e3
d b e9 c

G1 G2
2. จงเขียนกราฟของเมตริกซ์ประชิดต่อไปน้ี

2.1 A(G1) = 0111 1 1 1110 2.2 A(G2) = 1112 1 1 0011
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1

3. จงใชท้ ฤษฎีบท 1.6 และทฤษฎีบท 1.7 ตรวจสอบวา่ เมตริกซ์ประชิดของกราฟใน

ขอ้ 2. เป็นกราฟเช่ือมโยงหรือไม่

4. จงเขียนกราฟของเมตริกซ์อุบตั ิการณ์ต่อไปน้ี

4.1 M(H1) = 0011 2 1 1 0110 4.2 M(H2) = 0110 1 0 0 1001
0 1 0 0 2 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 1

5. จงอธิบายถึงเมตริกซ์ประชิดของกราฟต่อไปน้ี

5.1 Kn 5.2 Km , n

บทที่ 2

ต้นไม้และสภาพเช่ือมโยง

กราฟที่เป็นตน้ ไม้ ไดม้ ีการนาไปประยกุ ตใ์ ชก้ นั มากในหลายสาขา โดยเฉพาะ
สาขาวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ ในบทน้ีจะศึกษาเกี่ยวกบั กราฟท่ีเป็นตน้ ไม้ ข้นั ตอนวธิ ีของ
ครูสกลั และพริมเพือ่ หาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุด และข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตราเพื่อหาวถิ ี
ส้ันสุดในกราฟ รวมท้งั จุดยอดส่วนตดั และสภาพเช่ือมโยงของกราฟ

2.1 ต้นไม้และสมบัติของต้นไม้ (Trees and Its Properties)

บทนิยาม 2.1.1 กราฟ G จะเรียกวา่ กราฟอวฏั จักร (acyclic graph) ถา้ G ไมม่ ีวฏั จกั ร

ในหวั ขอ้ 1.7 เน่ืองจากวงวนเป็นวฏั จกั รที่มีความยาวหน่ึง และเส้นเช่ือมขนานสอง
เส้นเป็นวฏั จกั รท่ีมีความยาวสอง ดงั น้นั กราฟอวฏั จกั รจึงเป็นกราฟอยา่ งง่าย

บทนิยาม 2.1.2 กราฟ G จะเรียกวา่ ต้นไม้ (tree) ถา้ G เป็นกราฟเชื่อมโยงและกราฟ
อวฏั จกั ร

จากบทนิยาม 2.1.1 และ 2.1.2 จะไดว้ า่ G เป็นตน้ ไม้ ถา้ G เป็นกราฟเชื่อมโยงและ
G ไม่มีวฏั จกั ร




1 จุดยอด 2 จุดยอด 3 จุดยอด 4 จุดยอด 5 จุดยอด

รูป 2.1 แสดงลกั ษณะตน้ ไมท้ ้งั หมดของกราฟที่มีจานวนจุดยอด 1 ถึง 5 จุด

รูป 2.2 แสดงลกั ษณะตน้ ไมท้ ้งั หมดของกราฟที่มีจุดยอดจานวน 6 จุด

42 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ทฤษฎีบทตอ่ ไป จะกล่าวถึงสมบตั ิที่สาคญั ท่ีเป็ นลกั ษณะเฉพาะของตน้ ไม้

ทฤษฎบี ท 2.1 (1) ให้ T เป็นตน้ ไม้ u และ v เป็นจุดยอดใด ๆ ท่ีต่างกนั ใน T จะไดว้ า่
วถิ ีจาก u ไป v จะมีเพยี งวถิ ีเดียวเท่าน้นั

(2) ให้ G เป็นกราฟท่ีไมม่ ีวงวน และ u และ v เป็นจุดยอดใด ๆ ท่ีตา่ งกนั ใน G
ถา้ จาก u ไป v มีวถิ ีเพยี งวถิ ีเดียว จะไดว้ า่ G เป็นตน้ ไม้
พสิ ูจน์ (1) ให้ T เป็นตน้ ไม้ และ u , v เป็นจุดยอดใด ๆ ที่ตา่ งกนั ใน T

สมมุติวา่ มีวถิ ีสองวถิ ีที่แตกตา่ งกนั จาก u ไป v ใหเ้ ป็น

P = u u1 u2 . . . um v และ P = u v1 v2 . . . vn v
ให้ w เป็นจุดยอดแรกที่อยหู่ ลงั u โดยที่ w อยใู่ นวถิ ี P และ P จะไดว้ า่ w = ui= vj
สาหรับบาง i และ j ดงั รูป 2.3

P u1 u2 u3 w = u4 = v3 v
u
P v1 v2

รูป 2.3 แสดงวถิ ีประกอบการพสิ ูจน์

ทาใหเ้ กิดวฏั จกั ร C = uu1u2…uivj-1…v2v1 u ใน T ทีไม่มีจุดยอดใดซ้ากนั
ซ่ึงขดั แยง้ กบั ที่สมมุติให้ T เป็นตน้ ไมซ้ ่ึงไม่มีวฏั จกั ร

(2) ให้ G เป็นกราฟไมม่ ีวงวน และ u , v เป็นจุดยอดใด ๆ ซ่ึงตา่ งกนั ใน G และ
จาก u ไป v ท่ีมีวถิ ีเพียงวถิ ีเดียว ดงั น้นั G เป็นกราฟเช่ือมโยง จะแสดงวา่ G ไมม่ ีวฏั จกั รซ่ึง
จะไดว้ า่ G เป็นตน้ ไม้

เน่ืองจาก G ไมม่ ีวงวน ดงั น้นั G ไม่มีวฏั จกั รท่ีมีความยาวหน่ึง สมมุติวา่ G
มีวฏั จกั รท่ีมีความยาวมากกวา่ 1 ใหเ้ ป็นวฏั จกั ร C = v1v2 . . . vnv1 , n  2 เน่ืองจาก
วฏั จกั รเป็ นรอยเดิน ดงั น้นั จะไม่มีเส้นเช่ือม vnv1 ในวถิ ี v1v2 . . . vn ดงั น้นั P = v1 vn
และ P = v1 v2 . . . vn เป็นสองวถิ ีจาก v1 ไป vnที่แตกต่างกนั ซ่ึงขดั แยง้ กบั ท่ีสมมุติให้ 2
จุดยอดใด ๆ มีเพยี งวถิ ีเดียว นน่ั คือ G ไมม่ ีวฏั จกั ร



บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 43

ทฤษฎบี ท 2.2 ให้ T เป็นตน้ ไมท้ ่ีมีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุด และให้ P = u0u1 . . . un เป็นวถิ ี

ท่ียาวที่สุดใน T จะไดว้ า่ จุดยอด u0 และ un จะมีระดบั ข้นั เป็น 1

พสิ ูจน์ สมมุติวา่ u0 มีระดบั ข้นั มากกวา่ 1 จะไดว้ า่ มีเส้นเช่ือม f = u0 u1 ท่ีประชิด u0

และจะตอ้ งมีเส้นเชื่อม e = u0 v , e  f ใน T ถา้ v เป็นจุดยอดหน่ึงในวถิ ี P โดยที่ v = ui

บาง i = 0, 1, 2, … , n แลว้ จะทาใหไ้ ดว้ ฏั จกั ร C = u0 u1 . . . ui u0 (เส้นเช่ือมทา้ ยสุดคือ

e ) เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั T เป็นตน้ ไมซ้ ่ึงไมม่ ีวฏั จกั ร
u1 u2 u3

u0 0 P1
P
un un-1

รูป 2.4 แสดงวถิ ีประกอบการพสิ ูจน์

ถา้ v ไม่เป็ นจุดยอดในวถิ ี P แลว้ v จะอยใู่ นวถิ ี P1 = v u0 u1 . . . un ที่มี e เป็น
เส้นเชื่อมแรกของวถิ ีซ่ึงมีความยาว n+1 ใน T เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่สมมุติใหว้ า่ P เป็น
วถิ ีที่ยาวท่ีสุดเป็น n นนั่ คือ u0ไมม่ ีเส้นเช่ือม e ดงั กล่าวและ u0 มีระดบั ข้นั เป็น 1 สาหรับ
วธิ ีพสิ ูจนว์ า่ ระดบั ข้นั ของ un เป็น 1 จะพสิ ูจน์ไดใ้ นทานองเดียวกนั


บทแทรก 2.3 ตน้ ไม้ T ท่ีมีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุด จะมีจุดยอดที่มีระดบั ข้นั เป็ น 1 มากกวา่
1 จุด

พสิ ูจน์ เน่ืองจากในตน้ ไม้ T ใด ๆ ที่มีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุด จะมีวถิ ี P ที่ยาวท่ีสุดซ่ึงมี
ความยาวมากกวา่ ศนู ย์ ดงั น้นั โดยทฤษฎีบท 2.2 จะไดว้ า่ มีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุดที่มี
ระดบั ข้นั เป็ น 1


ทฤษฎบี ท 2.4 ให้ T เป็นตน้ ไมท้ ี่มีจุดยอด n จุด จะไดว้ า่ T มีเส้นเช่ือมจานวน n - 1 เส้น

พสิ ูจน์ โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์ บน n
ถา้ n = 1 คือ T มีจุดยอด 1 จุด เน่ืองจาก Tไมม่ ีวงวน ดงั น้นั T ไมม่ ีเส้นเช่ือม

นน่ั คือ T มีเส้นเช่ือมจานวน 1 - 1 = 0 เส้น ทฤษฎีเป็นจริง
สมมุติ n = k เป็นจริง เม่ือ k เป็นจานวนเตม็ บวก นนั่ คือ T มีจุดยอด k จุด และมี

เส้นเชื่อมจานวน k – 1 เส้น จะแสดงวา่ n = k + 1 เป็นจริง

44 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ให้ T เป็นตน้ ไมท้ ี่มีจุดยอดจานวน k + 1 จุด จะแสดงวา่ T มีเส้นเชื่อมจานวน k
เส้น จากบทแทรก 2.3 ให้ u เป็นจุดยอดท่ีมีระดบั ข้นั เป็ น 1 ใน T ให้ e = uv เป็นเส้น
เชื่อมซ่ึงมีเพยี งเส้นเดียวใน T ที่มี u เป็นจุดยอดปลาย ถา้ x, y เป็นจุดยอดใน T ท่ีไมใ่ ช่ u
จะไดว้ า่ สาหรับวถิ ี Pใด ๆ จาก xไป y จะไมผ่ า่ น u ดงั น้นั กราฟยอ่ ย T – u เป็นกราฟ
เชื่อมโยง และถา้ C เป็นวฏั จกั รใน T – u แลว้ C เป็ นวฏั จกั รใน T ดว้ ย ซ่ึงเป็นไปไม่ได้
ดงั น้นั กราฟยอ่ ย T - u เป็นกราฟอวฏั จกั ร นนั่ คือ T – u เป็นตน้ ไม้

เน่ืองจาก T – u มี k จุดยอด โดยสมมุติให้ จะไดว้ า่ T – u มี k – 1 เส้นเชื่อม และ
เน่ืองจาก T – u มีเส้นเชื่อมนอ้ ยกวา่ T เพยี งเส้นเดียวเทา่ น้นั คือ e ดงั น้นั T จึงมีเส้นเช่ือม
จานวน k เส้น นนั่ คือ n = k + 1 เป็นจริง


ถา้ G เป็นกราฟอวฏั จกั ร จะไดว้ า่ กราฟยอ่ ยของ G จะไม่มีวฏั จกั ร ซ่ึงทาใหไ้ ดว้ า่
กราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ G เป็นกราฟอวฏั จกั รและเป็ นตน้ ไม้ แลว้ จะเรียก กราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบของ G เหล่าน้ี วา่ ป่ า (forest)

G

รูป 2.5 แสดงกราฟ G ที่เป็นป่ า

ทฤษฎบี ท 2.5 ให้ G เป็นกราฟอวฏั จกั รที่มี n จุดยอด และมีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ
จานวน k กราฟ จะไดว้ า่ G มี n - k เส้นเชื่อม
พสิ ูจน์ ใหก้ ราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ G เป็ น G1 , G2 , . . . ,Gk ซ่ึงมีจานวน n1 , n2 , . . . , nk
จุดยอดตามลาดบั โดยที่ n = n1+ n2+ . . . + nk เน่ืองจาก Gi , 1 i  k เป็นตน้ ไม้
โดยทฤษฎีบท 2.4 จะไดว้ า่ แต่ละ Gi , 1 i  k จะมี ni – 1 เส้นเชื่อม ดงั น้นั จานวน
เส้นเช่ือมใน G เทา่ กบั

(n1– 1) + (n2– 1) + . . . + (nk– 1) = (n1+ n2+ . . . nk) – k
= n–k
