ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตนั 95

ถา้ vk ST จะไดว้ า่ มีเส้นเชื่อม e ระหวา่ ง u กบั vk+1 และเส้นเช่ือม f ระหวา่ ง v กบั vk

ทาใหไ้ ด้ C= v1vk+1vk+2 . . . vnvkvk-1 . . . v2v1 เป็ นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ใน G ซ่ึงขดั แยง้ กบั

ท่ีวา่ G ไมเ่ ป็นกราฟแบบแฮมิลตนั นน่ั แสดงวา่ ไม่มีจุดยอด vkST หรือ ST = 

จะไดว้ า่  S T= S+ T

ดงั น้นั จาก ( * ) จะไดว้ า่

dG(u)+dG(v) =S+T=ST n

ซ่ึงเป็นไปไมไ่ ด้ ท้งั น้ีเนื่องจาก
n n
dG(u)  2 และ dG(v)  2

รูป 3.18 Paul Adrien Maurice Dirac ดงั น้นั dG(u) + dG(v)  n เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั
1902 -1984, England สมมุติฐานที่วา่ ใหผ้ ลลพั ธ์ไมเ่ ป็นจริง

ที่มา (Connor & Robertson, 2003) 

ทฤษฎบี ท 3.7 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว ท่ีมี n จุดยอดซ่ึง u และ v เป็นจุดยอดท่ีไม่ประชิด

กนั ใน G โดยท่ี dG(u) + dG(v) n และให้ G + uv คือ ซูเปอร์กราฟของ G ที่ไดจ้ ากการเพิม่
เส้นเช่ือม uv จะไดว้ า่ G เป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั ก็ต่อเมื่อ G + uv เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

พสิ ูจน์ () ให้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั เห็นไดช้ ดั วา่ G + uv เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

()ให้ G + uv เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ถา้ G ไมเ่ ป็นกราฟแบบแฮมิลตนั โดย

ทฤษฎีบท 3.6 จะไดว้ า่ dG(u) + dG(v) < n แตโ่ ดยสมมุติฐานdG(u) + dG(v)  n ดงั น้นั G
ตอ้ งเป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั



และจะใหบ้ ทนิยามของกราฟท่ีไดจ้ ากทฤษฎีบท 3.7 ดงั น้ี

บทนิยาม 3.5.2 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว ถา้ มีจุดยอด u1และ v1 ท่ีไม่ประชิดกนั ใน G ซ่ึง
dG(u1) + dG(v1) n แลว้ ใหเ้ พิม่ เส้นเช่ือม u1v1 ทาใหไ้ ดก้ ราฟ G1 และถา้ มีจุดยอด u2 และ v2
ที่ไมป่ ระชิดกนั ใน G1 ท่ี dG(u2) + dG(v2) n แลว้ ใหเ้ พ่ิมเส้นเช่ือม u2v2 ทาใหไ้ ดก้ ราฟ G2
ทาเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนไมม่ ีจุดยอดท่ีไมป่ ระชิดกนั คู่ใดเหลือ แลว้ กราฟท่ีไดจ้ ะเรียกวา่

โคลเซอร์ (closure) ของ G เขียนแทนดว้ ย c(G)

96 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 3.5.3 ให้ G เป็นกราฟดงั รูป จะหา c(G) ไดด้ งั น้ี

v2 u3

 
u1 v1 u2 v3

G G1 G2
u4

u5 u6 v6
 

v4 v5 G5
G3 G4

u7


v7 G7
G6
รูป 3.19 แสดงการเช่ือมจุดยอดใน G เพื่อใหไ้ ด้ c(G)

จากตวั อยา่ ง 3.5.3 น้ี จะไดว้ า่ โคลเซอร์ของ G หรือ c(G) = K6 แตก่ ราฟ H ในรูป
3.20 ขา้ งล่างมี 7 จุดยอด แต่ละคู่ของจุดยอด u , v ท่ีไมป่ ระชิดกนั จะมี

dH(u) + dH(v) < 7

H

รูป 3.20 แสดงกราฟ H ซ่ึงผลรวมของระดบั ข้นั ของแตล่ ะคูจ่ ดุ ยอดท่ีไม่ประชิดกนั นอ้ ยกวา่ 7

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตัน 97

ทฤษฎบี ท 3.8 (Bondy and Chvátal, 1976) ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว จะไดว้ า่ G เป็นกราฟ

แบบแฮมิลตนั ก็ต่อเมื่อ โคลเซอร์ของ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

พสิ ูจน์ () ให้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั และเนื่องจาก c(G) เป็นซูเปอร์กราฟของ G

ดงั น้นั c(G) เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

() ให้ c(G) เป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั สมมุติวา่ G, G1, G2, , Gk - 1, Gk = c(G)
เป็นลาดบั ของกราฟที่สร้างโคลเซอร์ของ G จะไดว้ า่ Gk = Gk - 1 + uv ซ่ึง u ,v เป็นจุดยอดท่ี
ไมป่ ระชิดกนั ใน Gk - 1 ที่ d G k1 (u) + d G k1 (v)  n และจากทฤษฎีบท 3.7 จะไดว้ า่
Gk – 1 เป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั ในทานองเดียวกนั Gk – 2, Gk – 3, . . . , G1 และ G ตอ้ งเป็ น
กราฟแบบแฮมิลตนั


บทแทรก 3.9 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวท่ีมี n จุดยอด ซ่ึง n  3 ถา้ c(G) = Kn แลว้ G เป็น
กราฟแบบแฮมิลตนั

พสิ ูจน์ ให้ c(G) = Kn เน่ืองจาก Kn เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั จากบทกลบั ทฤษฎีบท 3.8
จะไดว้ า่ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั


กราฟ G ในรูป 3.19 มี c(G) เป็นกราฟแบบบริบูรณ์ K6 ดงั น้นั โดยบทแทรก 3.9

จะไดว้ า่ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั แต่กราฟ H ในรูป 3.20 ไม่เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

แบบฝึ กหดั 3.3
1. จงแสดงวา่ กราฟ G1 เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั และกราฟ G2 มีวถิ ีแบบแฮมิลตนั

G1 G2

2. จงพิสูจน์วา่ กราฟวงลอ้ Wn เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั สาหรับทุกคา่ n  4
3. จงพิสูจน์วา่ กราฟลูกบาศก์ Qn เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั สาหรับทุกคา่ n  2
4. จงพิจารณาวา่ กราฟในแบบฝึ กหดั 3.1 ขอ้ 1. กราฟ G1, G2,และ G3 กราฟใดเป็ นกราฟท่ี
มีวถิ ีแบบแฮมิลตนั หรือเป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั หรือไมเ่ ป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

98 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

5. จงยกตวั อยา่ งคา้ น เงื่อนไข “ dG(v)  n ” ในทฤษฎีบทของไดแร็ค (ทฤษฎีบท 3.6) วา่
2
n -1
ไม่สามารถเปลี่ยนเป็ น “ dG(v)  2 ” ได้

6. จงหาโคลเซอร์ c(G) ของแต่ละกราฟ G ต่อไปน้ี และตรวจสอบวา่ c(G) ของกราฟใด

เป็ นกราฟแบบแฮมิลตนั

G1 G2 G3

7. ให้ G เป็นกราฟสองส่วนซ่ึง V = X  Y จงแสดงวา่ ถา้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

แลว้ X= Y

8. ให้ C และ C เป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ในกราฟ G และ C ไม่แตกตา่ งจาก C ถา้ C ได้

จากการหมุนหรือหมุนกลบั ของวฏั จกั ร C ตวั อยา่ งเช่น C = v1 v2 v3 v4 v1 เป็นวฏั จกั ร

แบบแฮมิลตนั ใน G จะเหมือนกบั วฏั จกั รแบบแฮมิลตนั C1 = v2 v3 v4 v1 v2 , C2 = v3 v4 v1

v2 v3 , C3 = v4 v1 v2 v3 v4 , C4 = v1 v4 v3 v2 v1 , C5 = v4 v3 v2 v1 v4 , C6 = v3 v2 v1 v4

v3 , C7 = v2 v1 v4 v3 v2 (n -1)!
2
8.1 จงพสิ ูจน์วา่ กราฟแบบบริบูรณ์ Kn มีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ที่แตกต่างกนั

วฏั จกั ร

8.2 กราฟสองส่วนแบบบริบรู ณ์ Kn,n จะมีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ที่แตกตา่ งกนั กี่วฏั จกั ร

3.6 ปัญหาการส่งสินค้า (The Salesman Problem)

สมมุติวา่ เชลแมนตอ้ งการไปขายสินคา้ ในเมืองต่าง ๆ โดยตอ้ งการผา่ นแตล่ ะเมือง
เหล่าน้นั เพียงคร้ังเดียวแลว้ กลบั มาท่ีเดิมและใหม้ ีระยะทางรวมกนั นอ้ ยท่ีสุด เขาจะมีวธิ ีการ
หาเส้นทางน้ีไดอ้ ยา่ งไร ใหเ้ มืองเหล่าน้นั แทนดว้ ยจุดยอด และระยะทางแทนดว้ ยเส้นเช่ือม
จะไดก้ ราฟถ่วงน้าหนกั G ปัญหาขา้ งบนก็ คือ ถา้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั แลว้ จะมี
วธิ ีการหาวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ที่มีน้าหนกั นอ้ ยสุดไดอ้ ยา่ งไร ปัญหาน้ีรู้จกั กนั โดยทว่ั ไปวา่
ปัญหาการส่งสินคา้ ซ่ึงการหาน้าหนกั นอ้ ยสุดน้นั มีความยงุ่ ยาก 2 ประการ คือ

บทที่ 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมิลตัน 99

(1) เน่ืองจากกราฟแบบแฮมิลตนั ไมม่ ีสมบตั ิเด่นชดั ดงั น้นั จึงมีความลาบากท่ีจะรู้

วา่ กราฟ G ที่ไดเ้ ป็นกราฟแบบแฮมิลตนั หรือไม่

(2) ถา้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ขณะน้ีก็ยงั ไม่มีวธิ ีการหรือข้นั ตอนวธิ ีท่ีง่าย

และดีเพยี งพอ เพ่ือใชห้ าวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ที่ใหน้ ้าหนกั นอ้ ยท่ีสุด สมมุติ G เป็นกราฟ

ถ่วงน้าหนกั แบบบริบรู ณ์ 20 จุดยอด จะไดว้ า่ G มีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั จานวน
( 20 1)!
  6 x 1016 วฏั จกั ร
2
ในทางปฏิบตั ิตอ้ งหาวฏั จกั รและน้าหนกั แต่ละวฏั จกั รดว้ ยคอมพิวเตอร์ซ่ึงอาจใชเ้ วลา 1 ใน

ลา้ นวนิ าทีต่อหน่ึงวฏั จกั ร แต่ก็ยงั ใชเ้ วลามากเกินไป

วธิ ีหน่ึงท่ีใชห้ าวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ของกราฟแบบแฮมิลตนั ท่ีเป็ นกราฟถ่วง

น้าหนกั แบบบริบูรณ์ก็คือ ข้นั ตอนวธิ ีเลอื กสองจุดยอดเหมาะทสี่ ุด (The two – optimal

algorithm) แตว่ ธิ ีน้ีก็ยงั ไมเ่ ป็ นท่ีรับรองไดว้ า่ จะหาไดน้ ้าหนกั นอ้ ยที่สุด แต่กน็ บั วา่ เป็ นวธิ ีท่ี

ดีที่สุดในขณะน้ี (Clark & Holton, 1991) ดงั น้ี

ข้นั ท่ี 1 ให้ C = v1v2 . . . vnv1 เป็ นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ของกราฟถ่วงน้าหนกั ท่ี
เป็นกราฟแบบบริบูรณ์ G และให้ w เป็นน้าหนกั ของ C หรือ

w = w(v1v2) + w(v2v3) + . . . + w(vn - 1vn) + w(vnv1)
ข้นั ที่ 2 ให้ i = 1

ข้นั ท่ี 3 ให้ j = i + 2

ข้นั ท่ี 4 ให้ Cij เป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั
Ci j = v1v2. . . vivjvi - 1. . . vi + 1vj + 1vj + 2. . . vnv1
และให้ wij คือ น้าหนกั (ระยะทาง) ของ Cij
wi j = w – w(vivi + 1) – w(vjvj + 1) + w(vivj) + w(vi + 1vj + 1)
ถา้ wi j < w หรือ w(vivj) + w(vi + 1vj + 1) < w(vivi + 1) + w(vjvj + 1)
แลว้ จะแทน C ดว้ ย Cij และแทน w ดว้ ย wij แลว้ กลบั ไปทาข้นั ท่ี 1
โดยจะเรียงลาดบั v1v2. . . vnv1 ตาม C (ใหม)่

ข้นั ที่ 5 ให้ j = j + 1 ถา้ j  n ใหท้ าข้นั ที่ 4

ถา้ ไมใ่ ช่ ให้ i = i + 1

ถา้ i  n – 2 ใหท้ าข้นั ท่ี 3

ถา้ ไมใ่ ช่ใหห้ ยดุ

100 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 3.6.1 ให้ G เป็นกราฟบริบรู ณ์ท่ีมีจุดยอดจานวน n = 6 และมีน้าหนกั ดงั รูป จงหา
วฏั จกั รท่ีมีน้าหนกั นอ้ ยสุดของกราฟโดยใชข้ ้นั ตอนวธิ ีเลือกสองจุดยอดเหมาะที่สุด

① 1178 ②
20
⑥ 19 12 30 31 26 ③
14 19 9 23 16
11

⑤ 17 ④

รูป 3.21 แสดงกราฟถ่วงน้าหนกั แบบบริบูรณ์

ข้นั ที่ 1 ให้ C = v1v2v3v4v5v6v1 = 1234561 ดงั น้นั
w = 18+26+16+17+14+19 =110

ข้นั ท่ี 2 ให้ i = 1

ข้นั ที่ 3 ให้ j = i + 2 = 1+2 = 3

ข้นั ท่ี 4 ให้ C13 = v1v3v2v4v5v6v1 =1324561 (ตวั หนา คือ 2 เส้นเชื่อมใหม)่
w13 = 17+26+31+17+14+19 =124
เนื่องจาก w13 > w ใหด้ าเนินการต่อไป

ข้นั ท่ี 5 เพม่ิ j เป็น 4

ข้นั ท่ี 4 ให้ C14 = v1v4v3v2v5v6v1 = 1432561
w14 = 23+16+26+20+14+19 = 118 เนื่องจาก w14 > w ใหด้ าเนินการตอ่ ไป

ข้นั ท่ี 5 เพม่ิ j เป็น 5

ข้นั ที่ 4 ให้ C15 = v1v5v4v3v2v6v1 = 1543261
w15 = 12+17+16+26+30+19 = 120 เน่ืองจาก w15 > w ใหด้ าเนินการต่อไป

ข้นั ที่ 5 เพมิ่ j = 6

ข้นั ที่ 4 ให้ C16 = v1v6v5v4v3v2v1 = 1654321
จะได้ w16 = 110 = w ใหด้ าเนินการต่อไป

ข้นั ที่ 5 เพม่ิ j = 7 เน่ืองจาก j > n (6) เพม่ิ i = 2 ( i  4 = n – 2 ) ดาเนินการต่อไป

ข้นั ที่ 3 ให้ j = i+2 = 2+2 = 4

ข้นั ท่ี 4 ให้ C24 = v1v2v4v3v5v6v1 = 1243561
w24 = 18+31+16+11+14+19 = 109

เน่ืองจาก w24 < w แทน C ดว้ ย C24 และ w ดว้ ย 109 ดาเนินการต่อไป

บทที่ 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมิลตัน 101

ข้นั ที่ 1 ขณะน้ีได้ C = 1243561 ดงั รูป และ w = 109
ให้ C = v1v2v4v3v5v6v1 (C ใหม)่

1 = v1 18 2 = v2 3 = v4
19
31
6 = v6
11
14 16

5 = v5 4 = v3

ข้นั ที่ 2 i = 1
ข้นั ที่ 3 j = i+2 = 3
ข้นั ที่ 4 C13 = v1v4v2v3v5v6v1 = 1423561

w13 = 23+31+26+11+14+19 =124
เนื่องจาก w13 > w ใหด้ าเนินการต่อไป
ข้นั ที่ 5 เพ่มิ j = 4
ข้นั ท่ี 4 C14 = v1v4v3v2v5v6v1 = 1342561

w14 = 17+16+31+20+14+19 = 117 ; w14 > w ใหด้ าเนินการต่อไป
ข้นั ที่ 5 เพม่ิ j = 5
ข้นั ท่ี 4 C15 = v1v5v4v3v2v6v1 = 1534261

w15 = 12++11+16+31+30+19 = 129 ; w15 > w ใหด้ าเนินการต่อไป
ข้นั ที่ 5 เพิ่ม j = 6
ข้นั ที่ 4 C16 = v1v6v5v4v3v2v1= 1653421 จะได้ w16 = 109 = w ใหด้ าเนินการตอ่ ไป

ข้นั ท่ี 5 เพ่มิ j = 7 เน่ืองจาก j > 6 = n เราเพมิ่ i = 2 ( i  4 = n – 2 )
ข้นั ที่ 3 ให้ j = i+2 = 2+2 = 4
ข้นั ท่ี 4 ให้ C24 = v1v2v4v3v5v6v1= 1234561

w24 = 18+26+16+17+14+19 =110 ; w24 > w ใหด้ าเนินการตอ่ ไป
ข้นั ที่ 5 เพิ่ม j = 5
ข้นั ท่ี 4 C25 = v1v2v5v4v3v6v1= 1253461

w25 = 18+20+11+16+19+19 =103

เนื่องจาก w25 w จะแทน C ดว้ ย C25 และ w ดว้ ย 103 ใหด้ าเนินการตอ่ ไป

102 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ข้นั ที่ 1 ขณะน้ี C = 1253461 ดงั รูปและ w = 103 โดย C = v1v2v3v4v5v6v1 (C ใหม)่

1 = v1 18 2 = v2

19 20 11 3 = v4
16
6 = v6
4 = v5
19

5 = v3

ข้นั ท่ี 2 ให้ i = 1
ข้นั ที่ 3 ให้ j = i+2 = 1+2 = 3
ข้นั ที่ 4 ให้ C13 = v1v3v2v4v5v6v1= 1523461

w13 = 12+20+26+16+19+19 = 112
ถา้ ดาเนินการต่อไปเช่นน้ีเรื่อย ๆ ซ่ึงจะขอเวน้ ไวใ้ หผ้ อู้ า่ นไดต้ รวจสอบ จะเห็นวา่ ท่ี i = 3

และ j = 5 จะไดว้ า่

Ci j = C35 = v1v2v3v5v4v6v1= 1254361
w35 = 18+20+17+16+9+19 = 99 ไดว้ ฏั จกั ร C ใหม่ดงั รูป

19 1 = v1 18 2 = v2
20
6 = v6 9 3 = v5

5 = v3 17 16

4 = v4

ซ่ึงจะเป็นวฏั จกั รที่มีน้าหนกั นอ้ ยสุดในขณะน้ีคือ 99


ยงั มีวธิ ีที่ใชห้ าวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ของกราฟแบบแฮมิลตนั ท่ีเป็นกราฟแบบ

บริบูรณ์อีกวธิ ีหน่ึง คือ ข้นั ตอนวธิ ีเลอื กจุดยอดใกล้สุด (The closest insertion algorithm)

ซ่ึงยงั รับรองไม่ไดว้ า่ จะหาน้าหนกั ไดน้ อ้ ยสุด แต่กน็ บั วา่ เป็นวธิ ีที่ดีที่สุดวธิ ีหน่ึง (Clark &
Holton, 1991) วธิ ีการคือหาน้าหนกั ของจุดยอด v จากแนวเดิน W โดยท่ี

d(v, W) = min {d(v, u) : u เป็นจุดยอดใน W }

จะกล่าววา่ จุดยอด v W อยใู่ กล้ W ถา้ d(v, W) d(x, W) สาหรับจุดยอด x W ใด ๆ

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมิลตัน 103

และมีข้นั ตอนวธิ ีเลือกจุดยอดใกลส้ ุด ดงั น้ี

ข้นั ท่ี 1 เลือก v1 เป็นจุดเริ่มตน้
ข้นั ที่ 2 เลือกจุด 1 จุด จากจุดที่ยงั ไมไ่ ดเ้ ลือก คือ n – 1 จุด เป็น v2 ซ่ึงอยใู่ กล้ v1

ให้ W2 คือ แนวเดินท่ีเป็ นวฏั จกั ร v1v2v1
ข้นั ท่ี 3 เลือกจุด 1 จุด จากจุดที่ยงั ไมไ่ ดเ้ ลือก n – 2 จุด เป็น v3 ซ่ึงอยใู่ กลแ้ นวเดิน

W2 = v1v2v1
ให้ W3คือ แนวเดินที่เป็ นวฏั จกั ร v1v2v3v1
ข้นั ท่ี 4 เลือกจุด 1 จุด จากจุดท่ียงั ไมไ่ ดเ้ ลือก n – 3 จุด เป็น v4ซ่ึงอยใู่ กลแ้ นวเดิน
W3 = v1v2v3v1
กาหนดแนวเดินท่ีเป็ นวฏั จกั ร v1v2v3v4v1, v1v2v4v3v1, v1v4v2v3v1 ท่ีส้ันท่ีสุด
ให้ W4 คือ แนวเดินเดียวท่ีส้ันท่ีสุด อาจใหเ้ ป็ นวฏั จกั ร v1v2v3v4v1
ข้นั ที่ 5 เลือกจุด 1 จุด จากจุดที่ยงั ไม่ไดเ้ ลือก n – 4 จุด เป็น v5 ซ่ึงอยใู่ กล้ แนวเดิน W4
กาหนดแนวเดินที่เป็ นวฏั จกั รคือ v1v2v3v4v5v1, v1v2v3v5v4v1, v1v2v5v3v4v1,
v1v5v2v3v4v1 ซ่ึงส้ันท่ีสุด และให้ W5 คือแนวเดินเดียวท่ีไดท้ ่ีส้นั ที่สุด อาจให้
เป็ นวฏั จกั ร v1v2v3v4v5v1 ทาเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ
ข้นั ที่ n – 1 เลือกจุด 1 จุด จาก 2 จุดท่ียงั ไม่ไดเ้ ลือกเป็ น vn-1 ซ่ีงอยใู่ กล้ แนวเดินท่ีเป็น
วฏั จกั ร Wn - 2 = v1v2 . . . vn - 2v1 กาหนดวฏั จกั รคือ v1v2. . . vn - 2vn - 1v1, v1v2. . .
vn - 3vn – 2vn - 1v1 , . . ., v1vn - 1v2. . . vn - 2v1 ให้ Wn - 1 คือแนวเดินที่ส้ันท่ีสุด อาจ
ใหเ้ ป็ นวฏั จกั ร v1v2. . . vn – 2 vn - 1v1
ข้นั ที่ n เลือกจุดสุดทา้ ยเป็ นจุด vn และกาหนดวฏั จกั ร คือ v1v2. . . vn - 2vn - 1 vnv1, v1v2
. . . vn - 2 vnvn – 1 v1, . . . , v1vnv2. . . vn - 2vn - 1v1 ซ่ึงส้ันท่ีสุด ให้ Wn เป็ นแนวเดินที่
ส้นั ท่ีสุดที่เป็นวฏั จกั ร จะไดว้ า่ Wn คือ วฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ของ G ท่ีมีน้าหนกั
นอ้ ยสุด

ตัวอย่าง 3.6.2 ในโรงงานบริษทั ไอศกรีมแห่งหน่ึงไดผ้ ลิตไอศกรีม 6 รส ในเคร่ืองจกั รเดียว

เครื่องจกั รจะตอ้ งทาความสะอาดหลงั จากที่ผลิตไอศกรีมออกมารสหน่ึง ก่อนที่จะผลิตรส
ต่อไป และเวลาในการทาความสะอาดข้ึนอยกู่ บั ไอศกรีม 2 รสน้นั รสไอศกรีมที่ผลิตคร้ัง
ก่อนตอ้ งไมผ่ สมกบั คร้ังต่อไป ถา้ ตอ้ งการไอศกรีม ท้งั 6 ชนิด โดยเร่ิมตน้ ดว้ ย กลว้ ย โดยท่ี
เครื่องจกั รจะผลิตท้งั 6 ชนิดคร้ังเดียวติดตอ่ กนั ดงั น้นั เวลาท่ีตอ้ งใชน้ อ้ ยท่ีสุดเพ่ือทาความ
สะอาดเป็นเท่าไร โดยมีตารางเวลา(นาที)ท่ีใชท้ าความสะอาดไอศกรีมแต่ละรส ดงั น้ี

104 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

รส banana chocolate mint raspberry strawberry vanilla

banana 0 10 11 11 6 10

chocolate 10 0 17 15 15 20

mint 11 17 0 10 15 19

raspberry 11 15 10 0 15 20

strawberry 6 15 15 15 0 11

vanilla 10 20 19 20 11 0

กราฟแสดงเวลาใชท้ าความสะอาด โดย B แทน banana, C แทน chocolate เป็นตน้

10 B 1110 15 C 17

6 20 15

V 11 20 19 11 15 M
10
S 15 R

รูป 3.22 แสดงกราฟถว่ งน้าหนกั แบบบริบูรณ์ของการใชเ้ วลาทาความสะอาด

ข้นั ที่ 1 ให้ v1 = B
ข้นั ที่ 2 v2 = S ท่ีใกล้ B ดงั น้นั W2 = v1v2v1 = BSB
ข้นั ท่ี 3 v3 = V ท่ีใกล้ W2 (ห่าง B = 10) W3 คือ วฏั จกั ร v1v2v3v1 = BSVB
ข้นั ท่ี 4 v4 = C คือ ใกล้ W3 มีระยะเป็น 10 จาก B
จะเห็นวา่ ความยาวของวฏั จกั รเป็ น v1v2v3v4v1, v1v2v4v3v1 และ v1v4v3v2v1

v1v2v3v4v1 = BSVCB ยาว คือ 6+11+20+10 = 47
v1v2v4v3v1 = BSCVB ยาว คือ 6+15+20+10 = 51
v1v4v3v2v1 = BCSVB ยาว คือ 10+15+11+10 = 46
ให้ W4 ส้ันสุด กล่าวคือ BCSVB และเปล่ียนชื่อใหม่คือ BCSVB = v1v4v3v2v1
ข้นั ท่ี 5 v5 = R คือ ใกล้ W4 (อยหู่ ่างจาก B เป็น 11 )
ความยาวของวฏั จกั รคือ

v1v2v3v4v5v1 = BCSVRB ยาว คือ 10+15+11+20+11= 67
v1v2v3v5v4v1 = BCSRVB ยาว คือ 10+15+15+20+10= 70
v1v2v5v3v4v1 = BCRSVB ยาว คือ 10+15+15+11+10= 61
v1v5v2v3v4v1 = BRCSVB ยาว คือ 11+15+15+11+10= 62

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมิลตัน 105

ให้ W5 ส้นั ทีสุด กล่าวคือ BCRSVB และเปล่ียนชื่อใหมเ่ ป็ น BCRSVB = v1v2v5v3v4v1
ข้นั ท่ี n (n = 6) ให้ v6 = n
จะเห็นวา่ ความยาวของ วฏั จกั รเป็น

v1v2v3v4v5v6v1 = BCRSVMB ยาว คือ 10+15+15+11+19+11 = 81
v1v2v3v4v6v5v1 = BCRSMVB ยาว คือ 10+15+15+15+19+10 = 84
v1v2v3v6v4v5v1 = BCRMSVB ยาว คือ 10+15+10+15+11+10 = 71
v1v2v6v3v4v5v1 = BCMRSVB ยาว คือ 10+17+10+15+11+10 = 73
v1v6v2v3v4v5v1 = BMCRSVB ยาว คือ 10+17+15+15+11+10= 79
วฏั จกั รท่ีส้ันท่ีสุดคือ W6 = BCRMSVB ยาว 71
ดงั น้นั เวลาทาความสะอาดของเครื่องจกั รของบริษทั น้ีจาก banana – chocolate – raspberry

– mint – strawberry – vanilla – banana ใชเ้ วลานอ้ ยสุด 71 นาที



แบบฝึ กหดั 3.4

1. พนกั งานฝ่ ายการตลาดตอ้ งการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปเมืองตา่ ง ๆ ท้งั 4 เมือง

กทม. 116 A ดงั รูป เพยี งแห่งละหน่ึงคร้ังและ
กลบั โดยใชร้ ะยะทางส้ันที่สุด
193 81 จะตอ้ งเลือกเส้นทางในการ
184 110 เดินทางอยา่ งไร

C 41 B

2. บริษทั หน่ึงตอ้ งการส่งสินคา้ ไปยงั ตวั แทนจาหน่ายตามจุดตา่ ง ๆ แลว้ กลบั ดงั รูป

b 60 c โดยใชร้ ะยะทางส้ันท่ีสุด บริษทั
a 2040 น้ีจะเลือกใชเ้ ส้นทางใด สมมุติวา่
50 เริ่มส่งท่ีจุด a
d
70 90 3080
80

e 90

106 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

3. โปรแกรมทางคอมพวิ เตอร์ 6 โปรแกรม คือ P1 , . . . , P6 ตอ้ งรัน(run)บนเครื่อง
เมนเฟรมซ่ึงแต่ละโปรแกรมตอ้ งการใชเ้ วลาฝังตวั เองในหน่วยความจา คอมไพเลอร์ ไดร์

และส่วนอื่น ๆ แต่เวลาท่ีใชใ้ นการรันระหวา่ งโปรแกรมเขียนเป็นเมตริกซ์ ไดด้ งั น้ี

C = 11339000000 30 90 10 30 11932000000
0 80 40 20
80 0 40 20
40 40 0 60
20 20 60 0
20 30 10 90

จงใชข้ ้นั ตอนวธิ ีเลือกสองจุดยอดเหมาะท่ีสุดและข้นั ตอนวธิ ีเลือกจุดยอดใกลส้ ุด
เพอื่ หาเวลานอ้ ยสุดในการรันโปรแกรมท้งั หมด

...................

ภาพแสดงแผนที่เมืองโคนิกสเบิร์ก(ปัจจุบนั เรียกวา่ คาลินินกราด)ซ่ึงมีการฟ้ื นฟูภายหลงั
ถูกทาลายในสมยั สงครามโลกคร้ังที่ 2

ที่มา (Connor & Robertson, 2006)

บทท่ี 4
กราฟเชิงระนาบ

ในบทน้ีจะเป็นการศึกษากราฟเชิงระนาบ การพสิ ูจน์กราฟบางกราฟท่ีไม่เป็นกราฟ
เชิงระนาบ ทฤษฎีบทกรู าตอฟสกีที่บง่ ถึงสมบตั ิของกราฟเชิงระนาบ สูตรของออยเลอร์ที่
กล่าวถึงความสมั พนั ธ์กนั ระหวา่ งจุดยอด เส้นเช่ือม และหนา้ ของกราฟท่ีเขียนไดบ้ นระนาบ
รวมถึงภาวะคู่กนั ของกราฟที่นาไปในการใหส้ ีแผนท่ีในบทที่ 6
4.1 กราฟบนระนาบและกราฟเชิงระนาบ (Plane and Planar Graphs)
บทนิยาม 4.1.1 กราฟบนระนาบ (plane graph) คือกราฟที่เขียนบนระนาบแลว้ สองเส้น
เช่ือมใด ๆ ไม่ไขวก้ นั และกราฟเชิงระนาบ (planar graph) คือกราฟท่ีสมสัณฐานกบั กราฟ
บนระนาบ ส่วนกราฟท่ีไมเ่ ป็นกราฟเชิงระนาบ จะเรียกวา่ กราฟไม่เชิงระนาบ (non planar
graph)
ตวั อย่าง 4.1.1 พจิ ารณากราฟตอ่ ไปน้ี

G1 G2 G3

G4 G5

รูป 4.1 แสดงกราฟเชิงระนาบท้งั หมด

จากบทนิยาม 4.1.1 ในรูป 4.1 จะไดก้ ราฟท้งั หมดเป็ นกราฟเชิงระนาบ กราฟบน
ระนาบ ไดแ้ ก่ G2 , G3 และ G5 ส่วนกราฟ G1 และ G4 ไมเ่ ป็ นกราฟบนระนาบ จะสังเกตเห็น
วา่ กราฟ G2 และ G3 เป็ นการนากราฟ G1 มาเขียนใหม่ขณะท่ี G5 กเ็ ป็ นการนากราฟ G4 มา
เขียนใหม่ เช่นเดียวกนั



108 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

มีกราฟบางกราฟท่ีไมเ่ ป็นกราฟเชิงระนาบ ซ่ึงสามารถพิสูจนไ์ ดโ้ ดยอาศยั เส้นโคง้
จอร์แดนดงั น้ี

บทนิยาม 4.1.2 เส้นโค้งจอร์แดน (Jordan curve) บนระนาบ คือ เส้นโคง้ ปิ ดท่ีไม่ไขวก้ นั

ตัวอย่าง 4.1.2 พจิ ารณารูปต่อไปน้ี

J1 J2 J3

รูป 4.2 แสดงเสน้ โคง้ จอร์แดน คือ J3

รูป 4.2 แสดงเส้นโคง้ J1 และ J2 ไมเ่ ป็นเส้นโคง้ จอร์แดน ส่วน J3 เป็นเส้นโคง้
จอร์แดนตามบทนิยาม


บทนิยาม 4.1.3 ให้ J เป็นเส้นโคง้ จอร์แดนบนระนาบ ส่วนของระนาบท่ีอยใู่ น J จะเรียกวา่
ส่วนภายในของ J เขียนแทนดว้ ย int J และ ส่วนของระนาบที่อยนู่ อก J จะเรียกวา่ ส่วน
ภายนอกของ J เขียนแทนดว้ ย ext J

ทฤษฎบี ทของเส้นโค้งจอร์แดน (The Jordan curve theorem) ให้ J เป็นเส้นโคง้ จอร์แดน ถา้
x เป็นจุดของ int J และ y เป็นจุดของ ext J จะไดว้ า่ เส้นเช่ือมระหวา่ ง x กบั y ตอ้ งไขว้ J

ทฤษฎีบทน้ีเขา้ ใจง่ายแตพ่ ิสูจนไ์ ดย้ าก จะขออธิบายดงั รูป 4.3 และจะใชใ้ นการ
พิสูจนท์ ฤษฎีบทอื่น ๆ ตอ่ ไป

ext J

J int J x  y

รูป 4.3 แสดงประกอบทฤษฎีบทของเสน้ โคง้ จอร์แดน

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 109

ทฤษฎบี ท 4.1 กราฟแบบบริบรู ณ์ K5 เป็นกราฟไมเ่ ชิงระนาบ

พสิ ูจน์ สมมุติวา่ K5 เป็นกราฟเชิงระนาบ ให้ G เป็นกราฟบนระนาบที่สมนยั กบั กราฟ K5
และ G มีจุดยอดเป็ น v1 , v2 , v3 , v4 , v5 เนื่องจาก G เป็นกราฟแบบบริบูรณ์ ดงั น้นั สองจุด
ยอดใด ๆ ใน G จะมีเส้นเช่ือม ให้ C เป็นวฏั จกั ร v1v2v3v1 ใน G แลว้ C จะเป็นเส้นโคง้
จอร์แดนบนระนาบ เน่ืองจาก v4 ไมอ่ ยบู่ น C ดงั น้นั v4 ตอ้ งอยใู่ น int C หรือ ext C
สมมุติ v4 อยใู่ น int C (ถา้ v4 อยใู่ น ext C จะใหผ้ ลลพั ธ์เช่นเดียวกนั ) แลว้ เส้นเช่ือม v4 v1 ,
v4 v2 และ v4 v3 จะแบง่ int C ออกเป็ น 3 ส่วน คือ int C1 , int C2 และ int C3 ดงั รูป 4.4

v1 int C1 C

ext C v4 v2
int C3 int C2

v3  v5

รูป 4.4 แสดง int C1 , int C2 , int C3 และ ext C

พจิ ารณาจุดยอด v5 ซ่ึงตอ้ งอยใู่ น int C1 , int C2 , int C3 หรือ ext C อยา่ งใดอยา่ ง

หน่ึง ถา้ v5  ext C และ v4 int C จะไดว้ า่ v4v5 ตอ้ งไขว้ v1 v2 , v2 v3 หรือ v3v1 ซ่ึง

เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่สมมุติให้ G เป็นกราฟบนระนาบ ถา้ v5int C1 จะไดว้ า่ v3 อยใู่ น ext
C1 ซ่ึง C1 = v1v2v4v1 จะไดว้ า่ v3v5 ตอ้ งไขว้ v1 v2 , v2 v4 หรือ v4v1 ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่
สมมุติ G เป็นกราฟบนระนาบ ดงั น้นั K5ไม่เป็นกราฟเชิงระนาบ นน่ั คือ K5 เป็นกราฟไม่
เชิงระนาบ



ทฤษฎบี ท 4.2 กราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ K3,3 เป็นกราฟไมเ่ ชิงระนาบ
พสิ ูจน์ ใหเ้ ป็นแบบฝึกหดั พสิ ูจนท์ ำนองเดียวกนั กบั ทฤษฎีบท 4.1


จะสงั เกตเห็นวา่ ถา้ ลบเส้นเชื่อมในกราฟ K5 ออกเพียงหน่ึงเส้น แลว้ จะไดก้ ราฟ
เชิงระนาบ ส่วนในกราฟ K3, 3 ถา้ ลบจุดยอดออกเพยี งหน่ึงจุด แลว้ จะไดก้ ราฟเชิงระนาบ
และท้งั ทฤษฎีบท 4.1 และ 4.2 น้ีจะมีวธิ ีพิสูจน์ที่แตกต่ำงกนั อีกคร้ัง ในหวั ขอ้ ท่ี 4.2 สูตร

ของออยเลอร์

110 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหัด 4.1

1. จงเขียนกรำฟบนระนำบของกรำฟเชิงระนำบในรูปตอ่ ไปน้ี

2. จงพิสูจน์วำ่ กรำฟยอ่ ยใด ๆ ของกรำฟเชิงระนำบเป็ นกรำฟเชิงระนำบ
3. จงพิสูจนท์ ฤษฎีบท 4.2 (พจิ ำรณำจำกทฤษฎีบท 4.1)
4. จงใชข้ อ้ 2. หาคา่ m และ n ท่ีทาให้ Kn และ Km , n เป็นกราฟเชิงระนาบ
5. จงแสดงวำ่

5.1 ถำ้ e เป็นเส้นเชื่อมใด ๆ ใน K5 จะไดว้ ำ่ K5- e เป็นกรำฟเชิงระนำบ
5.2 ถำ้ e เป็ นเส้นเช่ือมใด ๆ ใน K3 , 3 จะไดว้ ำ่ K3 , 3- e เป็ นกรำฟเชิงระนำบ
6. จะเรียกกรำฟไมเ่ ชิงระนำบ G วำ่ กราฟคริตคิ ัลเชิงระนาบ (critical planar graph)
ถำ้ G – v เป็นกรำฟเชิงระนำบ สำหรับทุก ๆ จุดยอด v ใน G
6.1 จงหำค่ำ n ที่ทำใหก้ รำฟ Kn เป็นกรำฟคริติคลั เชิงระนำบ
6.2 จงหำค่ำ m ,n ที่ทำใหก้ รำฟ Km , n เป็นกรำฟคริติคลั เชิงระนำบ
6.3 จงพิสูจน์วำ่ กรำฟคริติคลั เชิงระนำบเป็นกรำฟเช่ือมโยงและไมม่ ีจุดยอดส่วน

ตดั

4.2 สูตรของออยเลอร์ (Euler’s Formula)

บทนิยาม 4.2.1 ให้ G เป็นกราฟบนระนาบ จะไดว้ า่ G แบ่งเซตของจุดบนระนาบที่ไมอ่ ยู่
ใน G ออกเป็นส่วน ๆ ซ่ึงจะเรียกวา่ หน้า (faces) ของ G

หนา้ ของ G ที่ไม่มีขอบเขต จะเรียกวา่ หน้าภายนอก (exterior face) ของ G และ
หนา้ ของ G ที่มีขอบเขตจะเรียกวา่ หน้าภายใน (interior face)ของ G และจานวนหนา้ ของ
G จะเขียนแทนดว้ ย f(G)

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 111

ตวั อย่าง 4.2.1 ให้ กรำฟ G1 และ G2 เป็นดงั รูป 4.5

f4(G1) f4(G2) f3(G2)
f5(G2)
f1(G1) f2(G1) f1(G2)
f3(G1) f6(G2) f2(G2)

G1 G2

รูป 4.5 แสดงหนำ้ ของกรำฟบนระนำบ G1 และ G2

จะเห็นวำ่ กรำฟ G1 มี 4 หนำ้ คือ f1(G1) , f2(G1) , f3(G1) เป็ นหนำ้ ภำยใน และมี
f4(G1) เป็ นหนำ้ ภำยนอก ส่วนกรำฟ G2 มีหนำ้ ภำยใน คือ f1(G2) , f2(G2) , f3(G2) , f5(G2) ,
f6(G2) และมีหนำ้ ภำยนอก คือ f4(G2) ดงั น้นั f (G1) = 4 และ f (G2) = 6


จำกบทนิยำมและตวั อยำ่ ง 4.2.1 จะไดว้ ำ่ กรำฟบนระนำบ ใด ๆ จะมีหนำ้ ภำยนอก

เพยี งหนำ้ เดียวเทำ่ น้นั

ทฤษฎบี ท 4.3 (Euler, 1750) ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟเช่ือมโยง ซ่ึง n , e และ
f เป็นจำนวนจุดยอด จำนวนเส้นเชื่อม และจำนวนหนำ้ ของ G ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่

n–e+f = 2
พสิ ูจน์ โดยวธิ ีอุปนยั ทำงคณิตศำสตร์บนจำนวนเส้นเชื่อมของ G

ถำ้ e = 0 จะไดว้ ำ่ เนื่องจำก G เป็นกรำฟเช่ือมโยง และ f = 1 ดงั น้นั
n – e + f = 1 – 0 + 1 = 2 เป็นจริง

สมมุติวำ่ ทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุก ๆ กรำฟ G ที่มี e –1 เส้นเชื่อม จะตอ้ ง
พิสูจน์วำ่ สำหรับทุก ๆ กรำฟ G ท่ีมี e เส้นเชื่อม ตอ้ งเป็ นจริงตำมทฤษฎีบท

ให้ G มี e เส้นเช่ือม ถำ้ G เป็นตน้ ไม้ จะไดว้ ำ่ e = n – 1 และ f = 1 ดงั น้นั
n – e + f = n – ( n –1) + 1 = 2

สมมุติ G ไมเ่ ป็นตน้ ไม้ ให้ e อยใู่ นบำงวฏั จกั รของ G จะไดว้ ำ่ กรำฟ G – e ยงั

เป็นกรำฟบนระนำบที่เป็ นกรำฟเช่ือมโยงที่มีจำนวน n จุดยอด , e –1 เส้นเชื่อม และ f –1
หนำ้ ดงั น้นั n - (e -1) + ( f -1 ) = 2 หรือ n – e + f = 2



112 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 4.2.2 ในตวั อยำ่ ง 4.2.1 รูป 4.5
พิจำรณำกรำฟ G2 มี n =10 , e =14 , f = 6 จำกสูตรออยเลอร์ จะไดว้ ำ่
n – e + f = 10 – 14 + 6 = 2



ทฤษฎีบทสูตรของออยเลอร์ใชไ้ ดก้ บั กรำฟแบบไมเ่ ชื่อมโยงไดด้ ว้ ยดงั น้ี

บทแทรก 4.4 ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบท่ีมีจำนวน n จุดยอด, e เส้นเช่ือม, f หนำ้ และ k

กรำฟยอ่ ยส่วนประกอบ จะไดว้ ำ่

n–e+f = k+1

พสิ ูจน์ ใหเ้ ป็นแบบฝึกหดั โดยใชท้ ฤษฎีบท 4.3


บทแทรก 4.5 ให้ G1 และ G2 เป็น กรำฟบนระนำบที่เขียนจำกกรำฟเชิงระนำบ G จะไดว้ ำ่
f (G1) = f (G2)

พสิ ูจน์ ให้ n(G1) และ n(G2) เป็นจำนวนจุดยอด และ e(G1) , e(G2) เป็นจำนวนเส้นเชื่อม
ของ G1 และ G2 ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่ เน่ืองจำก G1 และ G2 สมสัณฐำนกบั G ดงั น้นั

n(G1) = n(G2) และ e(G1) = e(G2) …………… ( * )
โดยสูตรของออยเลอร์ จะไดว้ ำ่

หรือ n(G1) – e(G1) + f(G1) = 2 และ n(G2) – e(G2) + f(G2) = 2
จำก ( * ) จะไดว้ ำ่ f(G1) = e(G1) – n(G1) + 2 และ f(G2) = e(G2) – n(G2) + 2
f(G1) = f(G2)


ทฤษฎีบทต่อไปน้ีทำใหท้ รำบวำ่ กรำฟเชิงระนำบท่ีเป็นกรำฟเชิงเดียว จะมีจำนวน

เส้นเช่ือมจำกดั ตำมจำนวนจุดยอด

บทนิยาม 4.2.2 ใหψ้ เป็นหนำ้ ของกรำฟบนระนำบ G จะไดว้ ำ่ ระดบั ข้นั ของψ เขียน
แทนดว้ ย dG(ψ) หมำยถึงจำนวนเส้นเชื่อมบนขอบของ ψ

สำหรับกรำฟบนระนำบ G ที่เป็นกรำฟเชิงเดียว จะไดว้ ำ่ dG(ψ)  3 สำหรับ
หนำ้ ภำยใน ψ ใด ๆ ของ G

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 113

ทฤษฎบี ท 4.6 ให้ G เป็นกรำฟเชิงระนำบที่เป็นกรำฟเชิงเดียว ที่มี n จุดยอด และ e เส้น

เชื่อม ซ่ึง n  3 จะไดว้ ำ่ e  3n – 6

พสิ ูจน์ เน่ืองจำก G สำมำรถเขียนบนระนำบได้ ดงั น้นั สมมุติ G เป็นกรำฟบนระนำบ

ให้ G เป็นกรำฟเช่ือมโยง

ถำ้ n = 3 เนื่องจำก G เป็นกรำฟเชิงเดียว ดงั น้นั G จะมีเส้นเช่ือมมำกที่สุด 3 เส้น

หรือ e  3 ซ่ึงจะไดว้ ำ่ e  (3 x 3) – 6 = 3n – 6 ทฤษฎีเป็นจริง

ให้ n  4 ถำ้ G เป็นตน้ ไม้ แลว้ e = n – 1 และเนื่องจำก n  4 จะไดว้ ำ่

n – 1 3n – 6 หรือ e  3n – 6 จริง

ถำ้ G ไมเ่ ป็นตน้ ไม้ เนื่องจำก G เป็นกรำฟแบบเชื่อมโยง ดงั น้นั G ตอ้ งมีวฏั จกั ร

และทำใหไ้ ดว้ ำ่ มีวฏั จกั รของ G ที่บรรจุเส้นเชื่อมบนขอบของหนำ้ ภำยนอกของ G

ให้ b =  dG () เม่ือ  เป็นเซตของหนำ้ ท้งั หมดของ G เนื่องจำกแต่ละ



หนำ้ มีเส้นเช่ือมบนขอบอยำ่ งนอ้ ย 3 เส้น ดงั น้นั b  3f เมื่อ f เป็นจำนวนหนำ้ ของ G

แต่ b เป็นผลรวมของเส้นเชื่อมที่ไดจ้ ำกกำรนบั เส้นเชื่อมหน่ึงหรือสองคร้ัง(หนำ้ ท่ีมีเส้น

เช่ือมร่วมกนั ) ดงั น้นั b  2e นนั่ คือ 3f  b  2e หรือ 3f  2e จะไดว้ ำ่ – f  – 2 e
3
จำกทฤษฎีของออยเลอร์ n = e – f + 2
e
n e– 2 e + 2 = + 2
3 3
ดงั น้นั 3n  e + 6 หรือ e  3n – 6 ตำมตอ้ งกำร

ให้ G เป็นกรำฟไม่เชื่อมโยง

สมมุติ G1 , G1 , . . . , Gt เป็ นกรำฟยอ่ ยส่วนประกอบของ G
สำหรับแต่ละ i , 1 i  t ให้ ni และ ei เป็นจำนวนจุดยอดและเส้นเช่ือมของ Gi
ตำมลำดบั เน่ืองจำกแต่ละ Gi เป็นกรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟเชิงเดียว จะไดว้ ำ่

e  3n – 6 สำหรับแต่ละ i , 1 i  t

จะไดว้ ำ่ n = t n i และ e = it 1ei
ดงั น้นั

i1
e  it1(3n i  6) = 3 it 1ni – 6t  3n – 6



114 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทแทรก 4.7 ถำ้ G เป็นกรำฟเชิงระนำบท่ีเป็ นกรำฟเชิงเดียว แลว้ G จะมีจุดยอด v ซ่ึง

dG(v)  6
พสิ ูจน์ ให้ G เป็นกรำฟเชิงระนำบที่เป็นกรำฟเชิงเดียว

ถำ้ G มีจุดยอด v เพียงจุดยอดเดียว จะไดว้ ำ่ dG(v) = 0  6 และถำ้ G มีจุดยอด u
และ v เพยี งสองจุดยอด จะไดว้ ำ่ dG(u)  1 และ dG(v)  1 จริง

สมมุติวำ่ G มีจุดยอดมำกกวำ่ หรือเทำ่ กบั 3 จุด หรือ n  3

ถำ้ dG(v)  6 สำหรับแต่ละจุดยอด v G จะไดว้ ำ่  dG (v)  6n แต่โดยทฤษฎีบท

vV(G)

1.1 จะไดว้ ำ่
 dG (v) = 2e

vV(G)

ดงั น้นั 2e  6n หรือ e  3n ซ่ึงเป็นไปไม่ได้
เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ทฤษฎีบท 4.6 ท่ีวำ่ e  3n – 6

นนั่ คือ กรำฟ G ตอ้ งมีจุดยอด v ซ่ึง dG(v)  6


ต่อไปน้ีจะแสดงวธิ ีกำรพสิ ูจน์ทฤษฎีบท 4.1 และ 4.2 โดยใชท้ ฤษฎีบท 4.6 ในอีก
วธิ ีหน่ึง

บทแทรก 4.8 K5 เป็นกรำฟไม่เชิงระนำบ
พสิ ูจน์ สมมุติวำ่ K5 เป็นกรำฟเชิงระนำบท่ีมีจำนวนจุดยอดและเส้นเช่ือมเป็น n และ e
ตำมลำดบั

เนื่องจำก n =5 และ e= 1 (5)(5 – 1) = 10 และ
2

3n – 6 = 3(5) – 6 = 9

ดงั น้นั e  3n – 6 ซ่ึงขดั แยง้ กบั ทฤษฎีบท 4.6

นนั่ คือ กรำฟ K5 เป็ นกรำฟไม่เชิงระนำบ



บทแทรก 4.9 K3 , 3 เป็ นกรำฟไมเ่ ชิงระนำบ
พสิ ูจน์ ให้ K3,3 เป็นกรำฟไม่เชิงระนำบ และให้f , e และ b เป็นจำนวนหนำ้ จำนวน
เส้นเช่ือม และผลรวมของเส้นเชื่อมในแตล่ ะหนำ้ ของ K3, 3 ตำมลำดบั

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 115

เนื่องจำก K3 , 3 เป็ นกรำฟสองส่วน โดยทฤษฎีบท 1.4 จะไดว้ ำ่ K3 , 3 ไมม่ ีวฏั จกั รค่ี
ดงั น้นั แตล่ ะหนำ้ ของ K3,3 ที่เขียนบนระนำบได้ จะมีขอบเป็นเส้นเช่ือมจำนวน 4 เส้น
โดยทฤษฎีบท 4.6 จะไดว้ ำ่

b  4f และ 4f  2e

หรือ 2f  e = 9

หรือ f 9 …………………. (*)
2
แตจ่ ำกสูตรของออยเลอร์ จะไดว้ ำ่

f = 2 – n + e = 2 – 6 + 9 = 5 เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั (*)

ดงั น้นั K3 , 3 ไม่สำมำรถเขียนเป็ นกรำฟบนระนำบได้
นน่ั คือ K3 , 3 เป็ นกรำฟไม่เชิงระนำบ



แบบฝึ กหดั 4.2
1. จงแสดงวำ่ กรำฟบนระนำบต่อไปน้ีสอดคลอ้ งกบั สูตรของออยเลอร์

G1 G2

G3

2. จงหำค่ำ n ท่ี n  3 ซ่ึงทำใหก้ รำฟ Wn และ K2,n เป็นกรำฟบนระนำบโดยใชส้ ูตรของ
ออยเลอร์

116 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

3. จงเขียนตวั อยำ่ งกรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟเชิงเดียวและมีระดบั ข้นั ของแตล่ ะจุดยอด
มำกกวำ่ หรือเทำ่ กบั 5

4. ถำ้ G เป็นกรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟแบบปกติระดบั ข้นั 4 ท่ีมี 10 หนำ้ แลว้ จงหำ
จำนวนจุดยอดของ G

5. ให้ G เป็นกรำฟเชิงเดียวที่มีอยำ่ งนอ้ ย 11 จุดยอด จงพิสูจนว์ ำ่ G หรือ G อยำ่ งใดอยำ่ ง
หน่ึงตอ้ งเป็นกรำฟไมเ่ ชิงระนำบ

6. ให้ G เป็นกรำฟเชิงระนำบท่ีเป็นกรำฟเชิงเดียวซ่ึงมีจุดยอดนอ้ ยกวำ่ 12 จุด จงพิสูจนว์ ำ่
G มีจุดยอด v ซ่ึง dG(v)  4

7. ให้ G เป็นกรำฟเชิงระนำบท่ีเป็นกรำฟเชิงเดียวซ่ึงมีเส้นเชื่อมนอ้ ยกวำ่ 30 เส้น จงพิสูจน์
วำ่ G มีจุดยอด v ซ่ึง dG(v)  4

8. จงพิสูจนว์ ำ่ บทแทรก 4.4
9. จงพิสูจน์วำ่ ถำ้ G เป็นกรำฟบนระนำบที่เป็ นกรำฟสองส่วนและเป็นกรำฟเชิงเดียวแบบ

เช่ือมโยง ซ่ึงมีจำนวน e เส้นเชื่อม, e  3 และ n จุดยอดแลว้ e  2n - 4

4.3 กราฟทรงหลายหน้า (Polyhedron graphs)

บทนิยาม 4.3.1 ทรงหลายหน้า (polyhedron)ในปริภมู ิสามมิติ คือ ทรงตนั (solid)หนา้
ระนาบ และทรงตนั จะคอนเวกซ์ (convex) ถา้ สองจุดใด ๆ ภายในทรงตนั เช่ือมดว้ ย
เส้นตรงแลว้ ไม่ตดั ผา่ นหนา้ ระนาบของทรงตนั

(1) (2)

รูป 4.6 แสดงทรงหลายหนา้

จากรูป 4.6 จะไดว้ า่ (1) เป็นรูปทรงหลายหนา้ ที่คอนเวกซ์ แต่ (2) เป็นทรงหลาย
หนา้ ท่ีไมค่ อนเวกซ์

บทนิยาม 4.3.2 ให้ G เป็นกราฟบนระนาบที่เป็นกราฟเชิงเดียวและเป็นกราฟเช่ือมโยง

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 117

จะเรียก G วา่ กราฟทรงหลายหน้า (polyhedron graph) ถา้ dG(v)  3 สาหรับทุก ๆ จุด
ยอด v ของ G และ dG()  3 สำหรับทุก ๆ หนำ้ ของ G

สูตรของออยเลอร์ในทฤษฎีบท 4.3 ใชไ้ ดก้ บั กราฟทรงหลายหนา้ ใด ๆ เป็นท่ีรู้จกั
กนั วา่ เป็น สูตรทรงหลายหนา้ ของออยเลอร์ (Euler ’s polyhedron formula)

ตัวอย่าง 4.3.1 พิจารณาลูกบาศกต์ อ่ ไปน้ี

เขียนเป็นกราฟบนระนาบได้ ดงั น้ี

รูป 4.6 แสดงลกู บาศกแ์ ละกราฟของลกู บาศก์

จะไดว้ า่ n = 8 , e = 12 , f = 6

ดงั น้นั n – e + f = 8 – 12 + 6 = 2


ทฤษฎบี ท 4.10 ให้ P เป็นทรงหลายหนา้ ที่คอนเวกซ์และ G เป็นกราฟทรงหลายหนา้ ท่ี

สมนยั กบั P สาหรับ n  3 ให้ vn แทนจานวนจุดยอดของ G ท่ีมีระดบั ข้นั n และให้
fn แทนจานวนหนา้ ของ G ท่ีมีระดบั ข้นั n จะไดว้ า่

(1) n3nvn  n3nfn  2q เมื่อ q แทนจานวนเส้นเช่ือมของ G

(2) P และ G มีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงหนา้ ท่ีมีขอบเป็ นวฏั จกั รซ่ึงมีความยาว n เม่ือ n = 3,

4 หรือ 5 อยา่ งใดอยา่ งหน่ึง

พสิ ูจน์ (1) เนื่องจำก dG(v)  3 สำหรับแต่ละ v  V(G) ดงั น้นั
n3nvn  vV(G) dG (v) และโดยทฤษฎีบท 1.1 จะไดว้ า่
 nv d (v)
n   G = 2q
n3
vV(G)

เนื่องจากแต่ละหนา้ ของ G จะมีขอบท่ีมีวฏั จกั รความยาว n เมื่อ n  3 และถา้

นบั เส้นเช่ือมท่ีเป็นขอบของแต่ละหนา้ จนครบทุกหนา้ แลว้ เส้นเช่ือมแต่ละเส้นจะถูกนบั 2

คร้ัง ดงั น้นั n3nfn  2q

(2) สมมุติวา่ P ไม่มีหนา้ ท่ีมีขอบเป็นวฏั จกั รซ่ึงมีความยาวเป็น 3, 4 หรือ 5

118 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

จะไดว้ า่ f3 = f4 = f5 = 0 ดงั น้นั โดย (1) จะไดว้ า่

2q = n6nfn = n66fn = 6 n6fn = 6f

เม่ือ f เป็นจานวนหนา้ ท้งั หมดของ P

ดงั น้นั f  1 q
3
แลว้ โดย (1) จะไดว้ า่

2q =  nv n = 3v n = 3 v n = 3v

n3 n3 n3

เมื่อ v เป็นจานวนจุดยอดของ P

ดงั น้นั v 2 q
3
แต่สูตรของออยเลอร์ q = v+f–2

ดงั น้นั จะไดอ้ สมการ q 2 q + 1 q - 2 = q–2 ซ่ึงเป็ นไปไม่ได้
3 3

บทนิยาม 4.3.3 ให้ P เป็นทรงหลำยหนำ้ จะเรียก P วำ่ ทรงหลายหน้าปรกติ (regular
polyhedron ) ถำ้ P คอนเวกซ์และทุกมุมบนหนำ้ ระนำบมีขนำดเท่ำกนั

ทรงหลำยหนำ้ ปรกติ ไดค้ น้ พบโดยนกั เรขำคณิตสมยั กรีก และมีเพียง 5 ทรงตนั
คือทรงสี่หนำ้ (tetrahedron), ลูกบำศก(์ cube), ทรงสิบสองหนำ้ (dodeca hedron), ทรงแปด
หนำ้ (octahedron) และทรงยสี่ ิบหนำ้ (icosahedron) ทรงตนั ที่เขียนเป็นกราฟทรงหลาย
หนา้ เหล่าน้ีเรียกวา่ ทรงตันเพลโต (Platonic bodies หรือ Platonic solids) ดงั รูป 4.8

ทรงสี่หนา้

ลูกบาศก์

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 119

ทรงสิบสองหนา้

ทรงแปดหนา้

ทรงยส่ี ิบหนา้

รูป 4.8 แสดงกราฟทรงหลายหนา้ ปรกติและทรงตนั เพลโต

นกั เรขาคณิตกรีกพยายามคน้ หากราฟทรงหลายหนา้ ปรกติอ่ืน ๆ แต่ Theaetetus
(ก่อนปี พ.ศ. 141 – 368) พสิ ูจนไ์ ดว้ า่ ไม่มีกราฟทรงหลายหนา้ ปรกติอื่นอีกแลว้ (Clark &
Holton, 1991)

ทฤษฎบี ท 4.11 ทรงหลายหนา้ ปรกติ มีเพียงทรงสี่หนา้ ลูกบาศก์ ทรงแปดหนา้ ทรงสิบ

สองหนา้ และทรงยสี่ ิบหนา้ เท่าน้นั

พสิ ูจน์ ให้ P เป็นทรงหลำยหนำ้ ปรกติและ G เป็นกรำฟทรงหลำยท่ีสมนยั กบั P ให้ v, e

และ f เป็นจำนวนจุดยอด เส้นเช่ือม และหนำ้ G G

dG(ψ) = r r3

G GG k k3

vk G k fr G

120 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

r v = vk , f = fr 4.10 (1) 2e = kvk = rfr
2e = kv = rf

8 = 4v – 4e + 4f = 4v - 2e + 4f - 2e

= 4v - kv + 4f - rf = (4 – k)v + (4 – r)f

เน่ืองจาก v , f เป็นจานวนบวก ดงั น้นั 4 - k  0 หรือ 4 - r  0
จะได้ k = 3, 4 หรือ r = 3, 4

กรณีที่ 1 ให้ k = 3 เนื่องจาก 8 = (4 – k)v + (4 – r)f จะไดว้ า่ 8 = v + (4 – r)f
เน่ืองจาก 2e = 3v = rf ดงั น้นั 8 = v + 4f - 3v = 4f - 2v จะไดว้ า่ v = 2f - 4
ดงั น้นั 8 = v + (4 – r)f = 2f - 4 + (4 – r)f = (6 - r)f - 4 หรือ 12 = (6 - r)f
แลว้ P จะเป็นกราฟทรงหลายหนา้ ตอ่ ไปน้ี

(1) ถา้ r = 3 และ f = 4 จะไดว้ า่ P เป็นทรงสี่หนา้
(2) ถา้ r = 4 และ f = 6 จะไดว้ า่ P เป็นลูกบาศก์
(3) ถา้ r = 5 และ f = 12 จะไดว้ า่ P เป็นทรงสิบสองหนา้
กรณีท่ี 2 ให้ k = 4 เนื่องจาก 8 = (4 – k)v + (4 – r)f จะไดว้ า่ 8 = (4 – r)f

เน่ืองจาก r  3 จะไดว้ า่ r = 3 และ f = 8 ดงั น้นั P เป็นทรงแปดหนา้
กรณีที่ 3 เนื่องจาก 8 = (4 – k)v + (4 – r)f จะไดว้ า่ 8 = (4 – k)v + f

และเนื่องจาก 2e = kv = 3f ดงั น้นั 8 = 4v - 3f + f = 4v - 2f หรือ f = 2v - 4
ดงั น้นั 8 = f + (4 – k)v = 2v - 4 + (4 – k)v = (6 - k)v - 4 หรือ 12 = (6 - k)v
แลว้ P จะเป็นทรงหลายหนา้ ตอ่ ไปน้ี

(1) ถา้ k = 3 และ v = 4 จะไดว้ า่ P เป็นทรงส่ีหนา้
(2) ถา้ k = 4 และ v = 6 จะไดว้ า่ P เป็นทรงแปดหนา้
(3) ถา้ k = 5 และ v = 12 จะไดว้ า่ P เป็นทรงยส่ี ิบหนา้
กรณีที่ 4 เน่ืองจาก 8 = (4 – k)v + (4 – r)f จะไดว้ า่ 8 = (4 – k)v

เน่ืองจาก k  3 k=3 v=8 P



บทท่ี 4 กราฟเชิงระนาบ 121

1. 4.3

5(
)

2. G 12 30

3. G3
4.
5. G 6 10

25 10

v ,e f

5.1 3f  2e
5.2 2v  4 + f
5.3 3f - 6  e
5.4 v  4 , e  6 และ f  4
6. ให้ P เป็นรูปทรงหลายหนา้ ท่ีคอนเวกซ์ซ่ึงหนา้ เป็นรูป 5 เหลี่ยมหรือ 6 เหล่ียม
อยา่ งใดอยำ่ งหน่ึง จงใชส้ ูตร(ทรงหลำยหนำ้ )ของออยเลอร์ พิสูจน์วำ่ P มี
หนำ้ รูป 5 เหลี่ยมจำนวนไมน่ อ้ ยกวำ่ 12 หนำ้

4.4 ทฤษฎบี ทของกรู าตอฟสกี (Kuratowski’s theorem)

ทฤษฎีบทของกรู าตอฟสกี เป็นทฤษฎีบท รูป 4.9 Kazimierz Kuratowski
ที่ใชต้ รวจสอบควำมเป็ นกรำฟเชิงระนำบ ซ่ึง 1896 - 1980 , Poland
กรู ำตอฟสกี (Kazimierz Kuratowski พ.ศ.
2493 – 2523) รูป 4.9 ไดเ้ สนอและพสิ ูจน์ ที่มา (Connor & Robertson, 2000)
ทฤษฎีบทน้ีซ่ึงแสดงใหเ้ ห็นคุณสมบตั ิพเิ ศษ
ของกรำฟเชิงระนำบ

122 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทนิยาม 4.4.1 ให้ G เป็นกรำฟ จะไดว้ ำ่ สับดิวชิ ัน (subdivision) ของ G คือ กรำฟที่
ไดจ้ ำกกำรเพมิ่ จุดยอดในบำงเส้นเชื่อมของ G

ตัวอย่าง 4.4.1 ใหก้ ราฟ G, H และ L ดงั ต่อไปน้ี

12 1 1 2

3 4 6 87 5 2 3
5G 3H 4 4
5L
รูป 4.10 แสดงสบั ดิวชิ นั ของ G

ในรูป 4.10 กราฟ H เป็นสบั ดิวชิ นั ของ G ในขณะท่ีกราฟ L ไม่เป็นสบั ดิวชิ นั ของ
G


จะสงั เกตเห็นวา่ วฏั จกั รของสับดิวชิ นั ใด ๆ ของกราฟจะมีความยาวเพมิ่ ข้ึนหรือไม่
ก็คงที่ เช่น ในตวั อยา่ ง 4.4.1 เนื่องจากกราฟ L มีวฏั จกั รความยาว 3 ซ่ึง G มีวฏั จกั ร
ความยาว 4 ดงั น้นั L ไม่เป็นสบั ดิวชิ นั ของ G
และจะเห็นไดช้ ดั วา่ สับดิวชิ นั ใด ๆ ของกราฟบนระนาบจะเป็นกราฟบนระนาบ
สบั ดิวชิ นั ใด ๆ ของกราฟเชิงระนาบจะเป็นกราฟเชิงระนาบ และสับดิวชิ นั ใด ๆ ของกราฟ
ไมเ่ ชิงระนาบจะเป็ นกราฟไม่เชิงระนาบดว้ ย

บทนิยาม 4.4.2 ให้ e เป็นเส้นเชื่อมของกราฟ G ท่ีไมเ่ ป็นวงวน จะเรียก e วา่ เส้นเช่ือม
คันแทร็ค (contracted edge) ถา้ ลบ e แลว้ จุดยอดปลายท้งั สองของ e ยบุ รวมกนั เป็ นจุดยอด
เดียว

บทนิยาม 4.4.3 ให้ e = uv เป็นเส้นเช่ือมของกรำฟเชิงเดียว G ท่ีเป็นกรำฟเชื่อมโยง
dG(u) = m , dG(v) = n , N(u) = {v, u1 , … , um – 1} และ N(v) = { u , v1 , … , v n - 1}
แลว้ คันแทร็คชัน (contraction) ของ e ใน G จะไดก้ ราฟ G * e ซ่ึง

V(G * e) = (V(G) – {u, v})  {w}
E(G * e) = E(G – uv)  {wu1 , … , wum – 1 , wv1 ,… , wvn - 1}
โดยท่ี w เป็นจุดยอดท่ีไม่อยใู่ น G

บทท่ี 4 กราฟเชิงระนาบ 123

ตัวอย่าง 4.4.2 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟต่อไปน้ี

u1 u v v1 u1 u2 v1 v2

u2 e v2 u3 ue v v3
G1 G2

ถา้ คนั แทร็คชนั บนเส้นเชื่อม e จะไดก้ ราฟ G1 และ G2 เป็นกราฟ G1*e และ

G2* e ตามลาดบั ดงั น้ี

u1 w v1 u1 u2 v1 v2

u2 G1*e v2 u3 w G2*e v3

รูป 4.11 แสดงคนั แทร็คชนั บน e ของ G1 และ G2 

จากบทนิยาม 4.4.3 การให้ N(u)  N(v) =  จะทาใหไ้ ดว้ า่ การคนั แทร็คชนั ของ
e จะไม่เกิดเส้นเช่ือมขนาน และโดยทว่ั ไป สภาพเช่ือมโยง(โดยจุดยอด)ของ G และ G * e
จะไม่เท่ากนั

บทนิยาม 4.4.4 ให้ e เป็นเส้นเช่ือมในกราฟ G จะเรียก e วา่ คนั แทร็คทเิ บิลเอดจ์
(contractible edge) ถา้ (G) = (G * e)

ทฤษฎีบทต่อไปน้ีจะกล่าวถึงกราฟท่ีจะตอ้ งมีคนั แทร็คทิเบิลเอดจ์

ทฤษฎบี ท 4.12 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวท่ีเป็น 3-คอนเน็คกราฟ ซ่ึงมีอยา่ งนอ้ ย 5 จุดยอด
จะไดว้ า่ G มีคนั แทร็คทิเบิลเอดจ์

พสิ ูจน์ ให้ e = xy เป็นเส้นเชื่อมใด ๆ ใน G สมมุติวา่ e ไม่เป็นคนั แทร็คทิเบิลเอดจ์
จะไดว้ า่ G * e ไม่เป็น3-คอนเน็คกราฟ ดงั น้นั ตอ้ งมีจุดยอด z ของ G ซ่ึง G – {x , y , z }
เป็นกราฟไม่เชื่อมโยง เลือกเส้นเช่ือม e = xy และ S = {x, y, z} ที่ทาให้ G – S มีกราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบ K มีจุดยอดมากท่ีสุด เนื่องจาก G เป็น 3-คอนเน็คกรำฟ ดงั น้นั จุดยอด z

124 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ประชิดกบั จุดยอด u ที่ไมอ่ ยใู่ น K ซ่ึงถา้ ลบ x และ y จะทาให้ G เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง
รูป 4.12 ให้ H เป็นกราฟยอ่ ยของ G ที่ก่อกาเนิดโดย K , x และ y ถา้ H เป็น 1-คอนเน็ค
กราฟ แลว้ H มีจุดยอดส่วนตดั ใหเ้ ป็ น c จะไดว้ า่ G – {c, z} จะเป็นกราฟไม่เชื่อมโยง ซ่ึง
เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ท่ีวา่ G เป็น 3- คอนเน็กกราฟ ทาใหไ้ ด้ H เป็น 2-คอนเน็คกรำฟ

พจิ ารณาเส้นเช่ือม f = uz ถา้ f ไมเ่ ป็นคนั แทร็คทิเบิลเอดจ์ แลว้ จะมีจุดยอด v
ของ G ซ่ึง G - {u, v, z} เป็ นกราฟไมเ่ ช่ือมโยง สมมุติ v อยใู่ น H จะไดว้ า่ เนื่องจาก u, z
ไมอ่ ยใู่ น H ดงั น้นั v จะเป็นจุดยอดส่วนตดั ใน H เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่วา่ H เป็น 2-คอนเน็ค
กรำฟ นน่ั คือ v  H และ H  G – {u, v, z} ทาใหไ้ ดว้ า่ H เป็นกราฟยอ่ ยที่เป็นกราฟ
เช่ือมโยงของกราฟ G – {x, y, z} ซ่ึงเป็นกราฟไมเ่ ช่ือมโยง เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ท่ีเลือก e = xy
ไมเ่ ป็นคนั แทร็คทิเบิลเอดจ์ ดงั น้นั G ตอ้ งมีคนั แทร็คทิเบิลเอดจ์

Kx
e
y
z fu

รูป 4.12 แสดงจุดยอดและเสน้ เชื่อมประกอบการพิสูจน์


ทฤษฎบี ท 4.13 ให้ G เป็นกรำฟเชิงเดียวที่เป็น 3-คอนเน็คกรำฟ ถำ้ G ไม่บรรจุกรำฟยอ่ ย
ที่เป็ นสับดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3,3 แลว้ G จะเป็ นกราฟเชิงระนาบ
พสิ ูจน์ ใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน V(G)

ถา้ V(G) = 4 แลว้ ทฤษฎีเป็นจริง
สมมุติวา่ 3-คอนเน็คกรำฟทุกกราฟท่ีมีจุดยอดนอ้ ยกวา่ V(G) ซ่ึงไมบ่ รรจุกราฟ
ยอ่ ยที่เป็นสับดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3, 3 เป็นกราฟเชิงระนาบ โดยทฤษฎีบท 4.12 จะไดว้ า่
G มีเส้นเชื่อม e ซ่ึง G*e เป็ น 3-คอนเน็คกรำฟ ให้ w เป็นจุดยอดท่ีเกิดจากคนั แทร็คชนั
เส้นเช่ือม e ใน G*e ถา้ G*e บรรจุกราฟยอ่ ยที่เป็นสับดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3, 3 แลว้ จะเกิด
ขอ้ ขดั แยง้ กบั สมมุติฐาน ดงั น้นั G*e ไมบ่ รรจุกราฟยอ่ ยที่เป็นสับดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3, 3
เนื่องจาก V(G*e) < V(G) ดงั น้นั โดยสมมุติฐาน G*e เป็นกราฟเชิงระนาบ

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 125

พิจารณากราฟบนระนาบของ G*e รูป 4.13

u0 v0
v1

C

w u1

um + 1 v2

รูป 4.13 แสดงกรำฟ G*e ประกอบการพสิ ูจน์

ในท่ีน้ี C เป็นวฏั จกั รลอ้ มรอบ w และหนา้ ใน (G*e) - w และให้ ui  N(U)V(C)
และ vi  N(V)  V(C) ให้ Pi เป็ นวถิ ีใน C จาก ui-1ไป ui , i = 1, 2, . . . , n ซ่ึง un= u0
ให้ vi เป็นจุดยอดใด ๆ ของ (V(G)  V(C) ) - {u} ท่ีประชิดกบั v

ตอ่ ไปจะเปล่ียนจุดยอด w กลบั ไปเป็นเส้นเช่ือม uv (หรือจากกราฟ G*e กลบั ไป
เป็น G ซ่ึงทาได้ 4 กรณี

กรณีท่ี 1 สมมุติวา่ vj อยบู่ น Pi ดงั น้นั จะเพิ่มจุดยอด u , v และจุดยอดท่ีประชิดใน
กราฟบนระนาบ G*e เป็นกราฟบนระนาบ G ดงั รูป 4.14

v1 vr ui-1

v0 v u1 u vj-1
ui-1 u v

( 1 ) ui - 2 vj ui
(2)

126 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ui ui-1
ui
uv
uv
uk u
(3) uj+1 ( 4 ) uj
j

รูป 4.14 แสดงกรำฟประกอบการพิสูจน์

กรณีท่ี 2 สมมุติวา่ v ประชิด vj จุดยอดใน Pi และบางจุดยอดท่ีไม่อยใู่ น Pi ดงั รูป
4.14 ( 2 ) จะไดว้ า่ G บรรจุกราฟยอ่ ยที่เป็นสบั ดิวชิ นั ของ K3, 3 เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั สมมุติ
ให้ ดงั น้นั กรณีน้ีไม่เกิดข้ึน

กรณีท่ี 3 สมมุติวา่ v ประชิดกบั จุดยอดที่อยใู่ นยา่ นของ u เทา่ น้นั จะไดว้ า่ v
ประชิดกบั จุดยอดอยา่ งนอ้ ย 3 จุด ดงั รูป 4.14 ( 3 ) ดงั น้นั G บรรจุสบั ดิวชิ นั ของ K5
ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้

กรณีท่ี 4 สมมุติวา่ v ประชิดกบั จุดยอดสองจุดซ่ึงอยใู่ นยา่ นของ u ที่ไมผ่ า่ นจุดยอด

ปลายของ Pi ดงั รูป 4.14 ( 4 ) ดงั น้นั G บรรจุสับดิวชิ นั ของ K3, 3


ทฤษฎบี ท 4.14 (Kuratowski , 1930) กราฟ G เป็นกราฟเชิงระนาบ ก็ต่อเมื่อ G ไม่บรรจุ

กราฟยอ่ ยท่ีสมสณั ฐานกบั สบั ดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3, 3
พสิ ูจน์ () ให้ G บรรจุกราฟยอ่ ยท่ีสมสณั ฐานกบั สับดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3, 3 เนื่องจาก
บทแทรก 4.8 และ 4.9 ซ่ึงไดว้ า่ K5 หรือ K3, 3 เป็ นกราฟไมเ่ ชิงระนาบ และสับดิวชิ นั ของ
กราฟไม่เชิงระนาบเป็นกราฟไมเ่ ชิงระนาบ ดงั น้นั G เป็นกราฟไมเ่ ชิงระนาบ

() สมมุติวา่ G ไมบ่ รรจุกราฟยอ่ ยท่ีสมสัณฐานกบั สบั ดิวชิ นั ของ K5 หรือ K3,3
ถา้ G เป็น 3-คอนเน็คกราฟ โดยทฤษฎีบท 4.13 จะไดว้ า่ G เป็นกราฟเชิงระนาบ
ถา้ G ไม่เป็น 3-คอนเน็คกราฟ จะตอ้ งแสดงวา่ G เป็นกราฟเชิงระนาบ (ใหพ้ สิ ูจนเ์ ป็น
แบบฝึกหดั )



บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 127

ตวั อย่าง 4.4.3 กราฟ G ต่อไปน้ีมีช่ือวา่ กราฟปี เตอร์เซน(Petersen graph) จะแสดงวา่ G
เป็นกราฟไมเ่ ชิงระนาบ

B

A ab C
c

ed

EG D

รูป 4.15 แสดงกราฟปี เตอร์เซน G

เน่ืองจากมีกราฟยอ่ ย H ของ G เป็นสบั ดิวชิ นั ของกราฟสองส่วน K3,3 ดงั รูป
4.16

eB d

ED
A ab c C

H

รูป 4.16 แสดงกราฟยอ่ ย H ของกราฟปี เตอร์เซน G ท่ีเป็ นสบั ดิวชิ นั ของ K3,3

ดงั น้นั โดยทฤษฎีบท 4.14 ของกรู าตอฟสกี จะไดว้ า่ กราฟปี เตอร์เซน G เป็น
กราฟไม่เชิงระนาบ



128 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหัด 4.4
1. จงเขียนรูปกรำฟต่อไปน้ีหลงั จำกคนั แทรคชนั เส้นเชื่อม e

e

e

2. จงแสดงวำ่

2.1 กรำฟวถิ ี Pn*e = Pn – 1 ทุกคำ่ n  2
2.2 กรำฟวฏั จกั ร Cn*e = Cn – 1 ทุกคำ่ n  3
3. จงใหต้ วั อยำ่ งกรำฟ G ท่ีแสดงวำ่ สภำพเช่ือมโยงของ G แตกตำ่ งจำก G*e
4. ขอ้ ควำมต่อไปน้ี จริงหรือเท็จ
4.1 ถำ้ G เป็น 1- คอนเน็กกรำฟแลว้ จะมี e E(G) ท่ี G*e เป็น 1- คอนเน็กกรำฟ

4.2 ถำ้ G เป็น 2- คอนเน็กกรำฟแลว้ จะมี e E(G) ท่ี G*e เป็น 2- คอนเน็กกรำฟ
5. จงหำคำ่ n เม่ือกรำฟลูกบำศก์ Qn เป็นกรำฟเชิงระนำบ
6. ครอสซ่ิงนมั เบอร์ (Crossing number) ของกรำฟ G หมำยถึง จำนวนของคู่เส้นเชื่อมที่
ไขวก้ นั (เพียงคร้ังเดียว)ของกรำฟ G ซ่ึงเขียนเป็นกรำฟบนระนำบ จะเขียนแทนดว้ ย cr(G)
(สมมุติวำ่ เส้นเช่ือมที่ประชิดกนั ไมไ่ ขวก้ นั ไมไ่ ขวต้ วั เอง และไม่ไขวเ้ กินสองเส้น)
โดยนิยำมน้ี จะไดว้ ำ่ cr(G) = 0 กต็ อ่ เมื่อ G เป็นกรำฟบนระนำบ

6.1 จงแสดงวำ่ cr(K5) = cr(K3 , 3) = 1
6.2 จงแสดงวำ่ cr(K6) = 3 (เขียนกรำฟ K6 ใหม้ ีเส้นเชื่อมไขวก้ นั 3 คู่และใช้
ทฤษฎีบท 4.6)
7. จงแสดงวำ่ กรำฟตอ่ ไปน้ีเป็นกรำฟไม่เชิงระนำบ โดยใชท้ ฤษฎีบทของกรู ำตอฟสกี

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 129

4.5 กราฟบนระนาบทไ่ี ม่เป็ นกราฟแบบแฮมิลตัน (Non-Hamiltonian Plane Graphs)
หวั ขอ้ น้ีเป็นการใชท้ ฤษฎีบทของกรินเบิร์ก ตรวจกราฟบนระนาบที่จะเป็นกราฟแบบ

แฮมิลตนั โดยอาศยั ความสัมพนั ธ์ของจานวนหนา้ ภายในและหนา้ ภายนอก

บทนิยาม 4.5.1 ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบท่ีมีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั C จำนวนหนำ้
ภำยในท่ีมีระดบั ข้นั i และจำนวนหนำ้ ภำยนอกท่ีมีระดบั ข้นั i ของวฏั จกั ร C เขียนแทนดว้ ย
i และ i ตำมลำดบั

ตวั อย่าง 4.5.1 ให้ G เป็นกราฟ ดงั รูป วฏั จกั รแบบแฮมิลตนั C จะแทนดว้ ยเส้นหนา

5

45 54

55 5
4 6

G

รูป 4.17 แสดงกรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟแบบแฮมิลตนั

จากกราฟ G ขา้ งบน จะไดว้ า่ 4 = 1, 5 = 4 , 6 = 0
4 = 2, 5 = 2 , 6 = 1



130 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทนิยาม 4.5.2 ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบท่ีไม่มีวงวนและเป็นกรำฟแบบแฮมิลตนั และ
ให้ C เป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ใน G แลว้ จะเรียกเส้นเชื่อมท่ีไมอ่ ยบู่ น C วา่ เส้นทแยงมุม
(diagonal)

ตวั อย่าง 4.5.2 ให้ G เป็นกราฟในรูป 4.17 จะไดว้ า่ เส้นทแยงมุม คือ เส้นเช่ือมท่ีไม่

ระบายเส้นหนา ท้งั หมด 8 เส้น


ทฤษฎบี ท 4.15 (Grinberg , 1968) ให้ G เป็นกราฟบนระนาบท่ีไม่มีวงวน ถา้ G มีวฏั จกั ร

แบบแฮมิลตนั C และ i และ i เป็นจานวนหนา้ ภายในและภายนอกระดบั ข้นั i ของ C
ตามลาดบั จะไดว้ า่

 ( i  2 )( i  βi )  0

i

พสิ ูจน์ ให้ G มี n จุดยอด และสมมุติวา่ มีเส้นทแยงมุมภายในวฏั จกั ร C ของ G จานวน s

เส้น เนื่องจากเส้นทแยงมุมเหล่าน้ีไมไ่ ขวก้ นั และแตล่ ะเส้นเช่ือมจะเป็ นขอบของสองหนา้
เท่าน้นั ภายใน C แตล่ ะคร้ังท่ีมีเส้นทแยงมุมน้ีจะทาใหเ้ พิม่ จานวนหนา้ ภายใน C เพม่ิ ข้ึน
หน่ึงหนา้ ดงั น้นั เส้นทแยงมุม s เส้น จะมีหนา้ s + 1 หนา้ ภายใน C ของ G นนั่ คือ

 αi  s 1

i2

ให้ d คือ ผลรวมของระดบั ข้นั ของหนา้ ภายใน C ดงั น้นั d =  i αi

i2

เน่ืองจากแตล่ ะเส้นทแยงมุมจะเป็นขอบของสองหนา้ ซ่ึงจะถูกนบั 2 คร้ัง และ

แตล่ ะเส้นเช่ือมจานวน n เส้นของ C จะถูกนบั เพยี งคร้ังเดียว จะไดว้ า่

d = 2s + n

ดงั น้นั  i αi = d = 2 (  αi 1 ) + n

i2 i2

จะไดว้ า่  ( i  2 ) αi = n – 2 ………………….. (1)

i2

ทานองเดียวกนั เส้นทแยงมุมของ G ภายนอกวฏั จกั ร C จะไดว้ า่

 ( i  2 )i = n – 2 ………………….. (2)

i2

จาก (1) และ (2) จะไดว้ า่

 ( i  2 )( αi  βi )  0

i2



บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 131

ตวั อย่าง 4.5.3 จากกราฟ G ในรูป 4.17 ตวั อยา่ ง 4.5.1

 ( i  2 )( i  βi ) = (4 – 2) (4 - 4) + (5 – 2) (5 - 5) + (6 – 2) (6 - 6)

i

= 2(1 – 2) + 3(4 – 2) + 4(0 – 1)
= -2 + 6 - 4 = 0


ทฤษฎีบท 4.15 น้ีเรียกวา่ ทฤษฎีบทของกรินเบิร์กและจะใชท้ ฤษฎีบทน้ีแสดงให้
เห็นถึงกราฟเชิงระนาบที่ไม่เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั กราฟในรูป 4.18 มีชื่อวา่

กรินเบิร์กกราฟ (Grinberg graph)ซ่ึงไม่เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั จะแสดงวา่ กราฟน้ีไม่เป็น
กราฟแบบแฮมิลตนั โดยการสมมุติใหเ้ ป็นกราฟแบบแฮมิลตนั แลว้ เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั
ทฤษฎีบทของกรินเบิร์ก ดงั น้ี

ตวั อย่าง 4.5.4 กราฟ G ตอ่ ไปน้ีเป็นกราฟแบบแฮมิลตนั หรือไม่

5

55 9
5
5 5

5 85 8 5
5 5 555 5

5 5 8 5 5
5
5

G

รูป 4.18 แสดงกรินเบิร์กกรำฟ

ให้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ที่มีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั C จากทฤษฎีบท 4.15

จะไดว้ า่ ( i  2 )( αi  βi )  0 ในที่น้ี i = 5 , 8 และ 9

i

ดงั น้นั 3(5 - 5) + 6(8 - 8) + 7(9 - 9) = 0

3{(5 - 5) + 2(8 - 8) } = 7 ( 9-9 )

ซ่ึงแสดงวา่ 3 หาร 7 ( 9-9 ) ลงตวั แต่หนา้ ภายนอกที่มีระดบั ข้นั 9 มีเพียงหนา้ เดียว

132 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ดงั น้นั 9-9 = 1 - 0 = 1

จะไดว้ า่ 7 ( 9-9 ) = 7

หมายความวา่ ถา้ สมมุติฐานเป็นจริงแลว้ 3 หาร 7 ลงตวั ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ ทาใหส้ มมุติฐาน

น้ีเป็นไปไม่ได้ นน่ั คือ G ไม่เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั



แบบฝึ กหดั 4.5

1. จงใชท้ ฤษฎีบทของกรินเบิร์กแสดงใหเ้ ห็นวำ่ กรำฟบนระนำบ G1, G2 และ G3
ตอ่ ไปน้ีไม่เป็ นกรำฟแบบแฮมิลตนั

G1 G2

G3

2. จงใชท้ ฤษฎีบทของกรินเบิร์กเพื่อพสิ ูจนว์ ำ่ ไม่มีกรำฟบนระนำบที่เป็นกรำฟแบบ
แฮมิลตนั ที่
2.1 ระดบั ข้นั ของหนา้ เป็ น 5 , 8 และ 7 ซ่ึงมีหนา้ หน่ึงที่ระดบั ข้นั เป็ น 7
2.2 ระดบั ข้นั ของหนา้ เป็น 4 , 6 และ 9 ซ่ึงมีหนา้ หน่ึงท่ีระดบั ข้นั เป็น 9

บทท่ี 4 กราฟเชิงระนาบ 133

3. ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบที่เป็นกรำฟแบบแฮมิลตนั ดงั รูป
จงใชท้ ฤษฎีบทของกรินเบิร์กเพ่ือ

แสดงวำ่ ไม่มีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ใดใน G
e f ที่บรรจุท้งั สองเส้นเช่ือม e และ f

G

4.6 ภาวะคู่กนั ของกราฟบนระนาบ (The Dual of a Plane Graphs)

หวั ขอ้ ภาวะคูก่ นั ของกราฟบนระนาบน้ี จะไดน้ าไปใชใ้ นการศึกษาการใหส้ ีแผนที่
ตอ่ ไป

บทนิยาม 4.6.1 ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบ
กราฟคู่กนั (dual graph) ของกรำฟ G คือ กรำฟ G* ที่มีข้นั ตอนกำรสร้ำง ดงั น้ี
(1) กาหนดจุดยอด f* ของ G* ในแตล่ ะหนา้ f ของ G หนา้ ละหน่ึงจุดยอด
(2) ระหวา่ งจุดยอดสองจุดของ G*ใหล้ ากเส้นเชื่อม e* ของ G* ไขวแ้ ต่ละเส้น
เชื่อม e ของ G ในหนา้ ที่มีเส้นขอบร่วมกนั เส้นตอ่ เส้น ถา้ e เป็นสะพาน แลว้
e* จะเป็นวงวน

ตัวอย่าง 4.6.1 ให้ G เป็นกราฟ ดงั รูป จะไดก้ ราฟคู่กนั G* ของ G ดงั น้ี

G G*

รูป 4.19 แสดงกราฟคู่กนั G* ของกราฟ G

134 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

จากตวั อยา่ ง จุดยอด f* ของ G* แสดงเป็นจุดทึบ() เส้นเชื่อม e ของ G เป็น
เส้นประ และที่เส้นเชื่อม e* ของ G* แสดงเส้นทึบ จะเห็นวา่ สะพานของ G จะไดว้ งวนใน
G* และถา้ สองหนา้ ของ G มีเส้นเช่ือมร่วมกนั เกินหน่ึงเส้น จะทาใหไ้ ดเ้ ส้นเช่ือมขนานใน
G*


กราฟบนระนาบท่ีไดจ้ ากกราฟเชิงระนาบเดียวกนั จะสมสณั ฐานกนั แต่กราฟคูก่ นั
ของกราฟบนระนาบที่ไดจ้ ากกราฟเชิงระนาบเดียวกนั ไมจ่ าเป็นตอ้ งสมสัณฐานกนั เช่น

G1 G2

รูป 4.20 แสดงกราฟบนระนาบ G1 และ G2 ที่สมสณั ฐานกนั

กราฟบนระนาบ G1 และ G2 สมสัณฐานกนั แตถ่ า้ ตรวจสอบกราฟคูก่ นั
G1* ,G2* ของ G1 และ G2 แลว้ จะไดว้ า่ G1* ไมส่ มสณั ฐาน G2*

ทฤษฎบี ท 4.16 ให้ G เป็ นกรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟเช่ือมโยงและมี n จุดยอด e เส้น

เชื่อมและ f หนำ้ ให้ n* , e* และ f* แทนจำนวนจุดยอด เส้นเช่ือม และหนำ้ ของ

กรำฟคู่กนั G* ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่ n* = f , e* = e และ f* = n

พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 4.6.1 จะไดว้ า่ n* = f และ e* = e .................. (*)

จากสูตรของออยเลอร์ n - e + f = 2 และ n* - e* + f* = 2

ดงั น้นั n - e + f = n* - e* + f*

จาก (*) จะไดว้ า่ n = f*


บทนิยาม 4.6.2 ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบและ G* เป็นกรำฟคูก่ นั ของ G แลว้ กรำฟคูก่ นั

ของ G* จะเขียนแทนดว้ ย G** จะเรียก G** วำ่ กราฟคู่กนั สองช้ัน (double dual graph)

ของ G

บทที่ 4 กราฟเชิงระนาบ 135

ทฤษฎบี ท 4.17 ให้ G เป็นกรำฟบนระนำบที่เป็นกรำฟเช่ือมโยง จะไดว้ ำ่ G  G**
พสิ ูจน์ สำหรับแตล่ ะหนำ้  ของ G* จะมีจุดยอด v ของ G ท่ีสมนยั กนั เสมอ และจำก
ทฤษฎีบท 4.16 จำนวนหนำ้ ของ G* เท่ำกบั จำนวนจุดยอดของ G ดงั น้นั จะสร้ำง กราฟคู่
กนั สองช้นั G** โดยการเลือกจุดยอด v เป็นจุดยอดใน G** ท่ีสมนยั กนั กบั หนา้  ของ
G* แลว้ ลากเส้นเช่ือมระหวา่ งจุด v ใหไ้ ขวเ้ ส้นเช่ือมใน G* เพยี งเส้นเดียว จะไดก้ ราฟ
G** ที่สมสณั ฐานกบั G



แบบฝึ กหดั 4.6
1. จงเขียนกรำฟคู่กนั ของกรำฟบนระนำบ ต่อไปน้ี

2. จงแสดงวำ่ กรำฟบนระนำบ G1 และ G2 ต่อไปน้ีสมสณั ฐำนกนั แต่กรำฟคูก่ นั ของกรำฟ
ท้งั สองไมส่ มสัณฐำนกนั

3. กรำฟบนระนำบท่ีเป็นกรำฟเชื่อมโยง G จะเรียกวำ่ เซลฟ์ ดวลกราฟ (self-dual graph)
ถำ้ G สมสัณฐำนกบั กรำฟคู่กนั G* ของ G
3.1 จงแสดงวำ่ กรำฟดงั รูปตอ่ ไปน้ีเป็นเซลฟ์ ดวลกรำฟ

136 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

3.2 จงพิสูจน์วา่ ถา้ G เป็นเซลฟ์ ดวลกราฟที่มีจานวน n จุดยอดและ e เส้นเช่ือมแลว้
2n = e + 2
3.3 จงแสดงวา่ บทกลบั ของขอ้ 3.2 ไม่จริงโดยยกตวั อยา่ งคา้ น
4. ให้ G เป็นกราฟบนระนาบที่เป็นกราฟเชื่อมโยง จงพิสูจน์วา่ G เป็นกราฟสองส่วน
กต็ ่อเมื่อ G* เป็นกราฟแบบออยเลอร์
5. จงพสิ ูจน์วา่ G* เป็นกราฟเชื่อมโยงเสมอ ถึงแมว้ า่ G เป็นกราฟไม่เชื่อมโยง
6. จงพิสูจนว์ า่ กราฟบนระนาบ G สมสัณฐานกบั G** ก็ต่อเมื่อ G เป็นกราฟเช่ือมโยง

บทที่ 5
การให้สีกราฟ

ปัจจุบนั ไดม้ ีการนาความรู้เก่ียวกบั การใหส้ ีกราฟไปประยกุ ตใ์ ชแ้ ละแกป้ ัญหากนั
มาก ซ่ึงในบทน้ีจะศึกษาถึงการใหส้ ีจุดยอดในกราฟ ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีจุดยอด คริติคลั กราฟ
การใหส้ ีเส้นเช่ือม และการใหส้ ีแผนที่

5.1 การให้สีจุดยอด (Vertex Colouring)

สมมุติวา่ จะมีการใหส้ ีกบั จุดยอดของกราฟ G ต่อไปน้ี โดยไม่ใหส้ องจุดยอดใดท่ี
ประชิดกนั มีสีเหมือนกนั การใหส้ ีในลกั ษณะดงั กล่าวอาจทาไดห้ ลายแบบ ดงั รูป 5.1 แต่
ส่ิงที่น่าสนใจ คือ การใชจ้ านวนสีนอ้ ยท่ีสุด ปัญหาน้ีจะเรียกวา่ การให้สีกราฟ (Graph
Colouring)

15 12 12

23 4 23 423 1

รูป 5.1 แสดงการใหส้ ีของกราฟ G

เพ่อื ความสะดวก ต่อไปจะใส่หมายเลข 1, 2, 3, . . . , n แทนการใหส้ ีที่ 1, 2,
3, . . . , n ตามลาดบั บนจุดยอดของกราฟ

ตัวอย่าง 5.1.1 กรรมการโปรแกรมวชิ าคณิตศาสตร์ ตอ้ งการกาหนดเวลาสอนใหก้ บั ราย
วชิ าจานวน 6 รายวชิ า คือ A , B , C , D , E และ F โดยรายวชิ าบางคูจ่ ดั สอนพร้อมกนั ไม่ได้
คือรายวชิ า A กบั B , B กบั C , C กบั A , A กบั D , B กบั D , D กบั C และ E กบั F
แตล่ ะรายวชิ าใชเ้ วลาเรียนติดตอ่ กนั 3 คาบ ทางกรรมการตอ้ งการจดั สอนเฉพาะในช่วง
เชา้ จงหาจานวนวนั ท่ีนอ้ ยที่สุดในการสอนท้งั 6 รายวชิ าดงั กล่าว

การใชก้ ราฟจาลองปัญหาน้ี ทาไดโ้ ดย ให้จุดยอดแทนรายวชิ าและเส้นเชื่อม โยง
ระหวา่ งคูร่ ายวชิ าที่เปิ ดสอนพร้อมกนั ไมไ่ ด้ จะไดเ้ ป็นกราฟ H ดงั ต่อไปน้ี

138 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

1A
 1F

2B
2E

3C 4D
H

รูป 5.2 แสดงกราฟ H จาลองการจดั ตารางสอน

ปัญหาการจดั ตารางสอนก็คือการใหส้ ีกราฟ โดยที่กลุ่มจุดยอดที่มีตวั เลข
เหมือนกนั จะเปิ ดเรียนพร้อมกนั ได้ ซ่ึงจะเห็นวา่ จะตอ้ งใชต้ วั เลขอยา่ งนอ้ ยท่ีสุด 4 ตวั คือ
1 , 2 , 3 , 4 จึงสรุปไดว้ า่ ตอ้ งใชเ้ วลาสอนนอ้ ยท่ีสุด 4 วนั

บทนิยาม 5.1.1 ให้ G เป็นกราฟที่ไมม่ ีวงวน การให้สีจุดยอด (vertex colouring ) ของ G
คือ การกาหนดสีที่ 1 , 2 , 3 , … ใหก้ บั จุดยอดของ G สีละหน่ึงจุดยอดโดยท่ีจุดยอดท่ี
ประชิดกนั จะกาหนดสีท่ีต่างกนั

การให้สี k สี (k – colouring ) ของ G คือ การใหส้ ีจุดยอดของ G ไดต้ ่างกนั k สี
และจะเรียก G วา่ เป็นกราฟให้สีได้ k สี (k – colourable graph) ถา้ สามารถใหส้ ี r สีกบั G
ได้ โดยท่ี k  r

จากบทนิยาม 5.1.1 จะเห็นไดช้ ดั วา่ ถา้ G มีจานวน n จุดยอด แลว้ G สามารถใหส้ ี
จุดยอดได้ n สี ดงั น้นั G เป็นกราฟใหส้ ีได้ n สี

ตัวอย่าง 5.1.2 จากรูป 5.1 มีการใหส้ ีจุดยอดของกราฟได้ 3 , 4 หรือ 5 สี ดงั น้นั G เป็น
กราฟใหส้ ีได้ 3, 4 หรือ 5 สี และจากตวั อยา่ ง 5.1.1 รูป 5.2 H เป็นกราฟใหส้ ีได้ 4 , 5
หรือ 6 สี

บทนิยาม 5.1.2 ให้ G เป็นกราฟท่ีไมม่ ีวงวน จะไดว้ า่ รงคเลข ( chromatic number )
ของ G เขียนแทนดว้ ย (G) คือ จานวนสีนอ้ ยสุดของการใหส้ ีกราฟ G

ถา้ (G) = k จะเรียก G วา่ กราฟ k สี ( k – chromatic graph )

ตัวอย่าง 5.1.3 จากรูป 5.1 เนื่องจาก G เป็นกราฟใหส้ ีไดจ้ านวนนอ้ ยที่สุด 3 สี ดงั น้นั
รงคเลขของกราฟ G เทา่ กบั 3 หรือ (G) = 3 ดงั น้นั G เป็นกราฟ 3 สี ทานองเดียวกนั
รูป 5.2 กราฟ H ใหส้ ีไดน้ อ้ ยที่สุด 4 สี ดงั น้นั (H) = 4 หรือ H เป็นกราฟ 4 สี



บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 139

ส่วนคาถามที่วา่ H เป็นกราฟใหส้ ีได้ 3 สีหรือไม่ คาตอบจะไดร้ ับหลงั จากศึกษา
ทฤษฎีบท 5.1

เนื่องจาก ถา้ G มีเส้นเชื่อมขนานยงั สามารถใหส้ ีกราฟ G ได้ แต่ถา้ G มีวงวนแลว้
โดยบทนิยาม 5.1.1 จะไมส่ ามารถใหส้ ีกราฟ G ได้ ดงั น้นั กราฟท่ีกล่าวถึงในหวั ขอ้ น้ีจะ
ถือวา่ เป็นกราฟเชิงเดียว

ทฤษฎบี ท 5.1 (1) ถา้ กราฟ G มี n จุดยอดแลว้ (G)  n

(2) ถา้ H เป็นกราฟยอ่ ยของกราฟ G แลว้ (H)  (G)

(3) (Kn) = n , ทุกค่า n  1
(4) ถา้ กราฟ G บรรจุกราฟยอ่ ย Kn แลว้ (G)  n
(5) ถา้ กราฟ G มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเป็น G1 , G2, … , Gn แลว้

(G) = 1miaxn (Gi )
พสิ ูจน์ ใหพ้ ิสูจนเ์ ป็นแบบฝึกหดั


จากทฤษฎีบท 5.1 (4) สามารถแกป้ ัญหาการจดั ตารางสอนในตวั อยา่ ง 5.1.1 ไดว้ า่

กราฟ H มีกราฟยอ่ ย K4 ซ่ึงอินดิวส์โดยจุดยอด A , B , C และ D ดงั น้นั (H)  4 และ
เน่ืองจากสามารถใหส้ ี 4 สีในกราฟ H รูป 5.2 ได้ ดงั น้นั (H) = 4 นน่ั คือท้งั 6 รายวชิ า
จดั ตารางสอนได้ 4 วนั

นอกจากน้ีจะเห็นไดช้ ดั วา่ (G) = 1 ก็ตอ่ เมื่อ G เป็นกราฟวา่ ง และสาหรับ

กราฟวฏั จกั ร Cn จะไดว้ า่ (Cn) = 2 ถา้ n เป็นจานวนคีูี่
3 ถา้ n เป็นจานวนคีีี ่

ทฤษฎบี ท 5.2 ให้ G เป็นกราฟที่ไม่เป็นกราฟวา่ ง จะไดว้ า่ (G) = 2 ก็ตอ่ เม่ือ G เป็น
กราฟสองส่วน

พสิ ูจน์ () ให้ G เป็นกราฟสองส่วน จะไดว้ า่ V(G) = X  Y ดงั น้นั สามารถใหส้ ีที่ 1
ในแต่ละจุดยอดใน X และสีที่ 2 ในแต่ละจุดยอดใน Y ได้ ซ่ึงเป็นการใหส้ ีนอ้ ยสุดไดเ้ พียง 2

สีใน G และเนื่องจาก G   ดงั น้นั (G) = 2
() ให้ (G) = 2 จะไดว้ า่ G มีการใหส้ ีนอ้ ยสุดไดเ้ พียง 2 สี ให้ X เป็นเซต

ของจุดยอดท่ีใหส้ ีที่ 1 และ Y เป็นเซตของจุดยอดท่ีใหส้ ีท่ี 2 จะไดว้ า่ ไม่มีสองจุดยอดใดใน

140 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

X และ Y ที่ประชิดกนั ดงั น้นั เส้นเชื่อมใดๆ ของ G ตอ้ งเชื่อมกบั จุดยอดหน่ึงใน X และ

อีกจุดยอดหน่ึงใน Y นนั่ คือ G เป็นกราฟสองส่วนท่ี V(G) = X  Y



บทแทรก 5.3 ให้ G เป็นกราฟ จะไดว้ า่ (G)  3 กต็ ่อเมื่อ G มีวฏั จกั รคี่

พสิ ูจน์ ไดจ้ ากทฤษฎีบท 5.2 ใหพ้ สิ ูจนเ์ ป็นแบบฝึกหดั


สาหรับกราฟ G ใด ๆ ท่ีมีรงคเลขมากกวา่ 3 สามารถหารงคเลขไดถ้ า้ ทราบระดบั

ข้นั ของจุดยอดทุกจุดใน G โดยเริ่มจากบทนิยาม ดงั น้ี

บทนิยาม 5.1.3 ให้ G เป็นกราฟใดๆ ระดบั ข้ันสูงสุดของจุดยอด ( maximum vertex
degree ) ของ G เขียนแทนดว้ ย (G) ซ่ึง (G) = max {dG(v) เมื่อ v  V(G)}

ทฤษฎบี ท 5.4 ให้ G เป็นกราฟใดๆ จะไดว้ า่ (G)  (G) + 1

พสิ ูจน์ โดยวธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน n จุดยอดของ G

ถา้ n = 1 จะไดว้ า่ G = K1 ดงั น้นั (G) = 1 และ ( G ) = 0
นนั่ คือ 1 = ( G )  ( G ) + 1 = 0 +1 = 1 เป็นจริง

สมมุติวา่ ทฤษฎีเป็นจริงสาหรับกราฟที่มี n – 1 จุดยอด เมื่อ n  2

ให้ v เป็นจุดยอดใด ๆ ใน G จะไดว้ า่ G – v มีจานวน n – 1 จุดยอด โดย

สมมุติฐาน (G – v)  (G – v) + 1 ซ่ึงทาใหส้ ามารถใหส้ ีจุดยอดของ G – v ได้

(G – v) + 1 สี เน่ืองจาก v มีระดบั ข้นั สูงสุดเป็น (G) ดงั น้นั สามารถใหส้ ีใน G – v ได้

มากที่สุด (G) สี

กรณี (G) = (G – v) แลว้ จะมีสีอีกหน่ึงสีที่ยงั ไม่ไดใ้ หส้ ีในยา่ นเดียวกนั กบั v

และจะใหส้ ีน้นั กบั v ดงั น้นั จะเป็นการใหส้ ี (G) + 1 ใน G

กรณี (G)  (G – v) แลว้ (G – v)  (G) ซ่ึงสามารถใหส้ ี (G – v) + 2

ใน G ได้ ดงั น้นั ( G – v ) + 1  ( G ) + 1

หรือ ( G – v ) + 2  ( G ) + 1

จากท้งั สองกรณี จะไดว้ า่ (G)  (G) + 1 

ต่อไปน้ีเป็นวธิ ีการสับเปล่ียนสีของจุดยอดของเคมป์ (A.B. Kempe) เพ่ือเป็นการให้
สีของกราฟที่ตา่ งออกไป ซ่ึงเรียกวา่ เคมป์ เชนอาร์กวิ เมนต์ (Kempe chain argument)
(Clark & Holton, 1991) ดงั น้ี

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 141

ให้ G เป็นกราฟท่ีใหส้ ีไดอ้ ยา่ งนอ้ ย 2 สี ใหเ้ ป็นสีท่ี i และ j ให้ H เป็นกราฟยอ่ ย
ของ G ที่อินดิวส์โดยจุดยอดท้งั หมดของ G ที่ใหส้ ี i หรือ j และให้ K เป็นกราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบของ H แลว้ วธิ ีการสับเปลี่ยนสี i และ j บนจุดยอดของ K สีโดยจุดยอดอื่น
ของ G ยงั คงสีเดิมเพ่ือเป็ นการใหส้ ีของกราฟ G ตา่ งออกไปแตใ่ ชจ้ านวนสีเท่าเดิม วธิ ีการน้ี
เรียกวา่ เคมป์ เชนอาร์กิวเมนต์ และจะเรียก K วา่ เคมป์ เชนกราฟ (Kempe chain graph)

ตวั อย่าง 5.1.4 ให้ G เป็นกราฟท่ีมีสีจุดยอดเป็ นสี 1 , 2 , . . . , 5 ดงั รูป 5.3 (1)

21 2 11 2
13 21 2 3

2 42 1 4

1 G5 1 2 G* 5

รูป 5.3 แสดงกราฟ G* ที่ไดจ้ ากการใหส้ ีใหมโ่ ดยวธิ ีเคมป์ เชนอาร์กิวเมนต์

ทฤษฎบี ท 5.5 ( Brook , 1941 ) ให้ G เป็นกราฟเช่ือมโยงซ่ึง (G)  3 ถา้ G ไมเ่ ป็น
กราฟแบบบริบูรณ์แลว้

(G)  (G)
พสิ ูจน์ ใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน n จุดยอดของ G , n  4

ให้ n = 4 เนื่องจาก G เป็นกราฟเช่ือมโยงที่ไมเ่ ป็นกราฟแบบบริบรู ณ์และ
(G)  3 ดงั น้นั G จะเป็นหน่ึงในสามกราฟในรูป 5.4

รูป 5.4 แสดงกราฟเชิงเดียวท่ีไมเ่ ป็ นกราฟแบบบริบูรณ์ท่ีมี 4 จุดยอด

จะเห็นวา่ รงคเลขของ G เป็ นไดม้ ากท่ีสุดคือ 3 ดงั น้นั ทฤษฎีเป็นจริง
สมมุติวา่ n  5 และใหท้ ฤษฎีน้ีเป็นจริงสาหรับ G ที่มีจุดยอด n –1 จากการพสิ ูจน์

ทฤษฎีบท 5.4 ถา้ G มีจุดยอด v ท่ี dG(v)  (G) จะไดว้ า่ สามารถใหส้ ี G ได้ (G) สี

142 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

สมมุติวา่ แต่ละจุดยอด v ของ G มี dG(v) = ( G ) = r นนั่ คือ G เป็นกราฟปกติ
ระดบั ข้นั r ถา้ แสดงไดว้ า่ G มีการใหส้ ี k สี จะเป็นการจบการพิสูจน์

ให้ v  V ( G ) โดยสมมุติฐานจะไดว้ า่ G – v มีการให้สี r สี ถา้ จุดยอดในยา่ น

เดียวกนั กบั v ใน G ใหส้ ีไดไ้ มถ่ ึง r สี แลว้ ใหส้ ีที่ไมถ่ ูกใชก้ บั v ที่ทาให้ G ใหส้ ีได้ r สีตาม

ตอ้ งการ ดงั น้นั สมมุติวา่ มียา่ นเดียวกนั กบั v คือ vi และ vj ที่สมนยั กบั เคมป์ เชนกราฟ
Hvi และ Hv j โดยที่ vi และ vj อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบท่ีแตกตา่ งกนั ของ H ที่
อินดิวส์โดยจุดยอดสีท่ี i และ j โดยเคมป์ เชนอาร์กิวเมนต์ จะไดว้ า่ สามารถสบั เปล่ียนสี vi
เป็นสี j ใน Hvi ท่ีใหส้ ีได้ r สี ใน G – v และท่ี H v j ก็สามารถสบั เปลี่ยนสี vj เป็นสี i ได้
เช่นเดียวกนั ทาใหจ้ ุดยอดในยา่ นเดียวกนั กบั v ใหส้ ีไดไ้ มถ่ ึง r สี แลว้ ใหส้ ีท่ีไม่ถูกใชก้ บั v

ทาให้ G ใหส้ ีได้ r สีตามตอ้ งการ

ต่อไปสาหรับแตล่ ะ i และ j สมมุติวา่ vi และ vj อยใู่ นเคมป์ เชนกราฟ H เดียวกนั
จะพจิ ารณาระดบั ข้นั ของจุดยอด vi และ vj ดงั น้ี ถา้ dH(vi ) 1 จะไดว้ า่ vi ประชิดกบั
จุดยอดที่มีสี j อยา่ งนอ้ ย 2 จุด ทาใหไ้ ดว้ า่ มี k เป็นสีที่สามยงั ไมถ่ ูกใชก้ บั จุดยอดในยา่ น

เดียวกนั กบั v ดงั น้นั ถา้ เริ่มใหส้ ี vi ใหมด่ ว้ ยสี k จะทาใหส้ ีจุดยอด v ใหส้ ี i ไดต้ ามตอ้ งการ
สมมุติวา่ dH(vi ) = 1 และให้ P เป็นวถิ ีจาก vi ไป vj ใน H สมมุติวา่ มีจุดยอด u ที่ให้

สี i เป็นจุดยอดแรกใน P ที่ dH(u)  3 จะไดว้ า่ จุดยอดในยา่ นเดียวกนั กบั u ท้งั สามจุดยอด
น้ีตอ้ งใหส้ ี j ซ่ึงยงั มีสี k ที่ยงั ไมถ่ ูกใช้ ดงั น้นั ถา้ ใหส้ ีกบั u ใหมโ่ ดยใหส้ ีเป็น k และ
สับเปล่ียนสี i , j ท่ีจุดยอดใน P จาก xi ไปจุดยอดก่อนถึง u จะไดว้ า่ เป็ นการใหส้ ีใน G-v ซ่ึง
xi และ xj ท้งั สองเป็นสี j ดงั รูป 5.5 ตอ่ ไปน้ี ซ่ึงทาให้ v ใหส้ ี i ไดเ้ หมือนกรณีก่อนน้ี

vi u j vj vi u j vj
ij jij ji i kj

j j

รูป 5.5 แสดงการใหส้ ี u ใหมแ่ ละสบั เปล่ียนสี i, j ท่ีจุดยอดก่อนถึง u

ดงั น้นั สมมุติวา่ แต่ละจุดยอดในวถิ ีจาก vi ไป vj มีระดบั ข้นั เป็น 2 ยกเวน้ จุดยอด
ปลาย vi และ vj จะไดว้ า่ H จะมีวถิ ีเดียวจาก vi ไป vj ดงั น้นั เคมป์ เชนกราฟเหล่าน้ีเป็ นวถิ ี

ให้ H , K เป็นเคมป์ เชนกราฟดงั กล่าวท่ีสมนยั กบั วถิ ีที่สลบั vi, vj และ vi, vk , j  k

ตามลาดบั สมมุติ w เป็นจุดยอดท่ีตา่ งจาก vi แต่ wH และ wK จะไดว้ า่ ใหส้ ี i กบั w
ซ่ึงประชิดกบั 2 จุดยอดที่ให้สี j และอีก 2 จุดยอดท่ีใหส้ ี k ดงั น้นั มีสี m เป็นสีท่ี 4 ที่ยงั

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 143

ไมไ่ ดใ้ ชก้ บั จุดยอดในยา่ นเดียวกนั กบั w ถา้ เริ่มใหส้ ี w ใหมเ่ ป็นสี m และสบั เปลี่ยนสี k

และ i ในจุดยอดของ K ต้งั แต่ w ถึง vk จะไดว้ า่ เป็นการใหส้ ีของ G-v โดยที่ xi และ xj ท้งั
สองเป็นสี i ดงั รูป 5.6 ทาใหส้ ามารถใหส้ ี k กบั v

j vj vk k j vj vk i

ii ik

jk ji
wi wm

kj kj
รูป 5.6 แvสi ดงiการใหส้ ี w ใหมแ่ ละสบั เปลี่ยนสี i, k ที่จดุ ยอดรvะหi วา่iง w ถึง vk

สมมุติวา่ เคมป์ เชนกราฟ H และ K มีเพียงจุดยอดสุดทา้ ย vi เป็นจุดยอดร่วม ให้ vi
และ vj ไมป่ ระชิดกนั และเป็ นจุดยอดในยา่ นเดียวกนั กบั ของ v ให้ x เป็นจุดยอดใหส้ ี j ที่
ประชิดกบั vi ในวถิ ี H จาก vi ไป vj และให้ K เป็นเคมป์ เชนกราฟท่ีเป็นวถิ ีจาก vi ไป vk ที่
k  j โดยเคมป์ เชนอาร์กิวเมนต์ สามารถสลบั เปลี่ยนสีใน K ทาใหไ้ ด้ vi ถูกใหส้ ี k และ vk
ถูกใหส้ ี i เนื่องจาก w ประชิดกบั vi ดงั น้นั w ตอ้ งอยใู่ นเคมป์ เชนกราฟที่ใหส้ ี k และ j ใน
ขณะเดียวกนั ในเคมป์ เชนกราฟน้ีตอ้ งใหส้ ี i และ j ดว้ ย จึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั สมมุติฐานท่ีวา่

เคมป์ เชนกราฟมีจุดยอดร่วมท่ีเป็นจุดยอดปลายไดเ้ พยี งจุดยอดเดียวเท่าน้นั แสดงวา่ สองจุด
ยอด vi และ vj ใด ๆ ตอ้ งประชิดกนั ซ่ึงหมายถึงยา่ นของ v ตอ้ งเป็ นยา่ นของจุดยอดอื่นดว้ ย
นนั่ คือ G เป็นกราฟแบบบริบูรณ์ Kr


จากทฤษฎีบท 5.1 ( 4 ) และทฤษฎีบทของบรู๊ค ทาใหส้ ามารถประมาณคา่ รงคเลข

ของกราฟไดด้ งั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่าง 5.1.5 ใหก้ ราฟ G1 และ G2 เป็นดงั รูป 5.7

G1 G2

รูป 5.7 แสดงกราฟที่มีรงคเลขเป็ น 4

144 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

เน่ืองจาก ( G1) = 8 และ G1 มีกราฟยอ่ ยเป็น K4 ดงั น้นั จากทฤษฎีบท 5.1(4)
และทฤษฎีบทของบรู๊ค จะไดว้ า่ 4  (G1)  8 เช่นเดียวกนั กราฟ G2 ซ่ึงมีชื่อวา่
เบอร์คอฟฟ์ ไดอะมอนด์กราฟ ( Birkhoff diamond graph ) ซ่ึง ( G2) = 5 และมี K3 เป็น
กราฟยอ่ ย ดงั น้นั 3  (G2)  5 ซ่ึงสามารถแสดงไดว้ า่ (G1) = 4 และ (G2) = 4



แบบฝึ กหัด 5.1

1. โรงงานอุตสาหกรรมแห่งหน่ึงตอ้ งการเกบ็ สารเคมี 7 ชนิดคือ สาร C1 , . . . , C7

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 และเคร่ืองหมาย x ใน
ตาราง หมายถึง สารเคมี
C1 x xx
สองชนิดน้นั เกบ็ ไวใ้ น
C2 x x x
หอ้ งเดียวกนั ไม่ได้
C3 x x x
จงใชก้ ารใหส้ ีของกราฟเพื่อ
C4 x x x x
หาจานวนหอ้ งนอ้ ยสุดท่ีใชเ้ ก็บ
C5 xx x x
C6 Cx1 xx x สารเคมีเหล่าน้ี

C7 x xx

2. จงแสดงวา่ (Wn) = 3 ถา้ n เป็นจานวนคีีี ่ และจงหา (Wn)
 ถา้ n เป็นจานวนคีูี่
 4

3. จงพิสูจน์วา่ (G) = (G) + 1 กต็ ่อเม่ือ G เป็นกราฟแบบบริบรู ณ์ หรือ G เป็น

4. จกงรCแา1ฟสวดฏงั วจา่กั รถทา้ ี่มGีควมาีวมฏั ยจากัวรคคี่ ี่เพยี งวฏั จกั รเดียวแลว้ (G) = 3

5. ให้ G เป็นกราฟท่ีวฏั จกั รค่ีสองวฏั จกั รใด ๆ มีจุดยอดร่วมกนั จงพสิ ูจนว์ า่

(G)  5 (ใหส้ มมุติวา่ (G)  6 และพจิ ารณากราฟยอ่ ย H1 , H2 ซ่ึง H1
อินดิวส์โดยการใหส้ ีจุดยอด 1 , 2 หรือ 3 และ H2อินดิวส์โดยจุดยอดอื่น)
6. จงหาเคมป์ เชนกราฟท่ีไดจ้ ากการสับเปล่ียนสี 1 กบั 4 ของกราฟต่อไปน้ี