ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 145

1 2 4
1
2 1 3
3 1

1 4
2

5.2 ข้นั ตอนวธิ ีให้สีจุดยอด (The Vertex Colouring Algorithms)

เน่ืองจากยงั ไม่มีวธิ ีใหส้ ีจุดยอดของกราฟท่ีดีที่สุด ทาใหย้ งั ไม่สามารถหาวิธีเหมาะสม
ท่ีสุดในการหารงคเลขของกราฟได้ แต่ยงั พอมีวิธีการประมาณการให้สีน้อยท่ีสุด ซ่ึงจะ
เสนอ 2 วธิ ี ดงั น้ี

5.2.1 ข้นั ตอนวธิ ีให้สีแบบลาดบั ( The simple sequential colouring algorithm )
ให้ G มีจุดยอดเป็ น v1 , v2 , … ,vn จะใหส้ ีที่ 1 บนจุดยอด v1 และจะให้สีที่ 1

บนจุดยอด v2 ถา้ v2 ไมป่ ระชิดกบั v1 แต่ถา้ v2 ประชิดกบั v1 จะให้สีที่ 2 ข้นั ต่อไปจะใหส้ ี
จุดยอด v3 จะใหส้ ีที่ 1 ถา้ v3 ไม่ประชิด v1 จะใหส้ ีท่ี 2 ถา้ v3 ประชิด v1 แต่ไม่ประชิด v2
จะใหส้ ีท่ี 3 ถา้ v3 ประชิด v1 และ v2 ทาเช่นน้ีไปจนถึง vn

ข้นั ที่ 1 ใหจ้ ุดยอด G เป็น v1 , v2 , … ,vn และมีสีท่ี 1 , 2 , …, n
ข้นั ที่ 2 สาหรับแตล่ ะ i = 1 , 2 ,..., n และให้ Ci = {1, 2 , . . . , i } เป็นเซต

ของรายชื่อสีที่ใหส้ ีกบั จุดยอด xi
ข้นั ท่ี 3 ให้ i = 1
ข้นั ท่ี 4 ให้ ci เป็นสีแรกใน Ci ท่ีใหส้ ีกบั จุดยอด xi
ข้นั ที่ 5 สาหรับแต่ละ j ที่ i < j และ xi ประชิดกบั xj ใน G

ให้ Ci = Cj - { ci} (หมายถึง จะไมใ่ หส้ ี xj ที่สีเหมือนกบั xi)
เปลี่ยน i เป็น i + 1 แตถ่ า้ i + 1  n ใหไ้ ปทาข้นั ท่ี 4
ข้นั ที่ 6 บนั ทึกการใหส้ ีในแต่ละจุดยอด

146 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 5.2.1 จงใหส้ ีของกราฟ G ตอ่ ไปน้ี v2

v1
v7

v6 v3

v5 G v4

รูป 5.8 แสดงการใหส้ ีกราฟ

ข้นั ท่ี 1 ใหจ้ ุดยอดของกราฟเป็น v1 , v2 , . . . ,v7 และมีสีท่ี 1, 2 , . . . ,7
ข้นั ท่ี 2 C1 = {1} , C2 = {1, 2} , . . . , C7 = {1, 2 , . . ., 7}
ข้นั ท่ี 3 i = 1
ข้นั ท่ี 4 สี 1 เป็นสีแรกใน C1 ใหส้ ีท่ี 1 กบั จุดยอด v1
ข้นั ท่ี 5 v2 , v3 , v5 ,v6 และ v7 ประชิดกบั v1 จะไดว้ า่

C2 = {1, 2} – {1} = {2}
C3 = {1, 2, 3} – {1} = {2, 3}
C4 = {1, 2, 3, 4}
C5 = {1, 2, 3, 4, 5} – {1} = {2, 3, 4, 5}
C6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {1} = {2, 3, 4, 5, 6}
C7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {1} = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
i = 2 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ท่ี 4 สี 2 เป็นสีแรกใน C2 ดงั น้นั ใหส้ ี 2 กบั จุดยอด v2
ข้นั ท่ี 5 v3 ประชิดกบั v2 จะไดว้ า่ C3 เป็น {2, 3} – {2} = {3}

i = 3 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ท่ี 4 สี 3 เป็นสีแรกใน C3 ดงั น้นั ใหส้ ี 3 กบั v3
ข้นั ท่ี 5 v4 และ v5 ประชิดกบั v3 จะไดว้ า่

C4 เป็น {1, 2, 3, 4} – {3} = {1, 2, 4}
และ C5 เป็น {2, 3, 4, 5} – {3} = {2, 4, 5}
i = 4 กลบั ไปทาข้นั ที่ 4

บทท่ี 5 การให้สีกราฟ 147

ข้นั ที่ 4 สี 1 เป็นสีแรกใน C4 ดงั น้นั ใหส้ ี 1 กบั v4
ข้นั ท่ี 5 v5 และ v6 ประชิดกบั v4 ดงั น้นั C5 คงเป็ น {2, 4, 5} และ

C6 คงเป็น {2, 3, 4, 5, 6}
i = 5 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ท่ี 4 สี 2 เป็นสีแรกใน C5 ดงั น้นั ใหส้ ี 2 กบั v5
ข้นั ที่ 5 v6 ประชิดกบั v5 จะไดว้ า่ C6 = {2, 3, 4, 5, 6 } – {2} = {3, 4, 5, 6 }

i = 6 กลบั ไปทาข้นั ที่ 4

ข้นั ท่ี 4 สี 3 เป็นสีแรกใน C6 ดงั น้นั ใหส้ ี 3 กบั v6
ข้นั ท่ี 5 v7 ประชิดกบั v6 จะไดว้ า่ C7 จะเป็น {2, 3, 4, 5, 6, 7 } – {3} =

{2, 4, 5, 6, 7 }
i = 7 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ท่ี 4 สี 2 เป็นสีแรกใน C7 ดงั น้นั ใหส้ ี 2 กบั v7
i=8

ข้นั ท่ี 6 สี 1 ใหก้ บั v1 และ v4
สี 2 ใหก้ บั v2, v5 และ v7
สี 3 ใหก้ บั v3 และ v6

ดงั น้นั จึงใหส้ ีกราฟ G ไดน้ อ้ ยท่ีสุด 3 สี หรือ G เป็นกราฟ 3 สี


แมข้ ้นั ตอนวธิ ีให้สีแบบลาดบั จะเป็ นข้นั ตอนวิธีให้สีนอ้ ยท่ีสุดท่ีเห็นไดช้ ดั เจนและ
ง่าย แต่สาหรับกราฟสองส่วน G รูป 5.9 ต่อไปน้ีจะเห็นวา่ ข้นั ตอนวธิ ีดงั กล่าวขา้ งตน้ จะ
ให้สีกราฟ G นอ้ ยท่ีสุดเป็ น 3 หรือ G เป็ นกราฟให้สีได้ 3 สี แต่เน่ืองจาก (G) = 2
ดงั น้นั ข้นั ตอนวธิ ีน้ีจึงไม่ไดใ้ หส้ ีนอ้ ยที่สุดใน G

v1 1 2 v3 1 v5

v2 1 3 v4 1 v6

G

รูป 5.9 แสดงข้นั ตอนวธิ ีใชส้ ีโดยลาดบั ไม่ไดใ้ หส้ ีนอ้ ยที่สุดสาหรบั กราฟ G

148 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ยงั มีข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีในลกั ษณะคลา้ ยกนั คือ ข้ันตอนวธิ ีให้สีแบบลาดบั แรกใหญ่สุด
(The large-first sequential algorithm)ของเวลช์และเพาเวลล์ (D.A.J. Welsh and M.B.
Powell) หรือเรียกวา่ ข้ันตอนวธิ ีของเวลช์และเพาเวลล์ (Welsh and Powell algorithm) ดงั น้ี

ข้นั ที่ 1 ใหจ้ ุดยอดของกราฟ G เป็ น x1, x2, . . . , xn โดยท่ี dG(x1) dG(x2) . . .
dG(xn) และใหส้ ีที่จะใหเ้ ป็นสีท่ี 1, 2, . . . , n

ข้นั ท่ี 2 – 6 ใหท้ าตามข้นั วธิ ีใหส้ ีแบบลาดบั

ข้นั ตอนวธิ ีของเวลชแ์ ละเพาเวลล์ ใชก้ บั กราฟในรูป 5.7 ไดด้ ว้ ย แต่ก็ยงั ไม่ใช่วธิ ีให้
สีนอ้ ยท่ีสุดเสมอไป เช่นกราฟในแบบฝึกหดั 5.2 ขอ้ 1. ข้นั ตอนวธิ ีต่อไปน้ีน่าจะเหมาะกวา่
ข้นั ตอนวธิ ีท้งั 2 ที่กล่าวมา

5.2.2 ข้นั ตอนวธิ ีให้สีแบบลาดับหลงั เลก็ สุด (The smallest - last sequential algorithm)
ข้นั แรกเลือก xn ที่มีระดบั ข้นั นอ้ ยสุดใน G เป็นจุดยอดสุดทา้ ย แลว้ เลือก xn–1

เป็นจุดยอดสุดทา้ ยที่สอง ซ่ึงจะมีระดบั ข้นั นอ้ ยสุดใน G - xn ทาเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ จนถึง
ข้นั สุดทา้ ย

ข้นั ที่ 1 (1) เลือกจุดยอด xn ที่มีระดบั ข้นั นอ้ ยสุดใน G
(2) สาหรับ i = n – 1, n – 2, . . . , 1 เลือกจุดยอด xi ท่ีมีระดบั ข้นั
นอ้ ยสุดใน G – { xn, xn – 1 , . . . , xi+ 1}
(3) ใหจ้ ุดยอดใน (1), (2) เป็นจุดยอด x1, x2, . . . , xn
(4) ใหส้ ีจุดยอดเป็นสีที่ 1, 2, . . . ,n

ข้นั ที่ 2 – 6 ใหท้ าตามข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีแบบลาดบั

ตวั อย่าง 5.2.2 จงแสดงการใหส้ ีกราฟ H ต่อไปน้ี

x1 x2

x6 x3
x5 x4
H x7

รูป 5.10 แสดงการใหส้ ีโดยข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีแบบลาดบั หลงั เลก็ สุด

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 149

ข้นั ที่ 1 โดยขอ้ (1) และ (2) จะไดว้ า่

(3) จุดยอด H เป็ น x1, x2, . . .,x7
(4) สีท่ีใหจ้ ะเป็นสีที่ 1, 2, . . ., 7

ข้นั ที่ 2 C1 = {1}, C2 = {1, 2} , . . . , C7 = {1, 2, . . ., 7}
ข้นั ท่ี 3 i = 1

ข้นั ท่ี 4 1 เป็นสีแรกใน C1 ดงั น้นั ใหส้ ี 1 กบั จุดยอด x1
ข้นั ที่ 5 x2, x5 และ x6 ประชิดกบั x1 จะไดว้ า่

C2 = {2} , C3 = {1, 2, 3} , C4 = {1, 2, 3, 4}, C5 = {2, 3, 4, 5} ,
C6 = {2, 3, 4, 5, 6} , C7 = {1, 2, . . ., 7}
i = 2 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ที่ 4 2 เป็นสีแรกใน C2 ดงั น้นั ใหส้ ี 2 กบั x2
ข้นั ท่ี 5 x3 และ x4 ประชิดกบั x2 จะไดว้ า่

C3 = {1, 3} , C4 = {1, 3, 4}
i = 3 กลบั ไปทาข้นั ที่ 4

ข้นั ที่ 4 1 เป็นสีแรกใน C3 ดงั น้นั ใหส้ ี 1 กบั x3
ข้นั ท่ี 5 x4 และ x6 ประชิดกบั x3 จะไดว้ า่

C4 = {3, 4} , C6 = { 2, 3, 4, 5, 6}
i = 4 กลบั ไปทาข้นั ที่ 4

ข้นั ท่ี 4 3 เป็นสีแรกใน C4 ดงั น้นั ใหส้ ี 3 กบั x4
ข้นั ที่ 5 x5 และ x7 ประชิดกบั x4 จะไดว้ า่

C5 = {2, 4, 5} , C7 = {1, 2, 4, 5, 6, 7}
i = 5 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ท่ี 4 2 เป็นสีแรกใน C5 ดงั น้นั ใหส้ ี 2 กบั x5
ข้นั ท่ี 5 x6 และ x7 ประชิดกบั x5 จะไดว้ า่

C6 = {3, 4, 5, 6}
i = 6 กลบั ไปทาข้นั ท่ี 4

ข้นั ที่ 4 3 เป็นสีแรกใน C6 ดงั น้นั ใหส้ ี 3 กบั x6
ข้นั ที่ 5 i = 7 กลบั ไปทาข้นั ที่ 4

ข้นั ท่ี 4 1 เป็นสีแรกใน C7 ดงั น้นั ใหส้ ี 1 กบั x7
i =8

150 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ข้นั ท่ี 6 สีที่ 1 ใหก้ บั x1, x3 และ x7 
สีท่ี 2 ใหก้ บั x2, x5
สีที่ 3 ใหก้ บั x4, x6

ดงั น้นั จึงใหส้ ีกราฟ H ไดน้ อ้ ยท่ีสุด 3 สี หรือ H เป็นกราฟ 3 สี

ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีโดยลาดบั หลงั เลก็ สุดน้ี ใชไ้ ดก้ บั กราฟ G ในรูป 5.9

แบบฝึ กหัด 5.2

1. จงใหส้ ีกราฟ G ซ่ึงเป็นกราฟสองส่วนระดบั ข้นั ปกติ 3 ในรูปต่อไปน้ี โดยใชข้ ้นั ตอนวธิ ี
ใหส้ ีแบบลาดบั ตามลาดบั x1, . . . , x8 และข้นั ตอนวธิ ีแบบลาดบั หลงั เล็กสุด

x1 x3 x5 x7

x2 x4 x6 x8

2. จงใชข้ ้นั ตอนวธิ ีท้งั สามในการใหส้ ีกราฟต่อไปน้ี
x1

x6 x5

x7 x2
x4

x3 G1 G2
3. จงพิสูจน์วา่ สาหรับทุกค่า k  3 จะมีกราฟสองส่วน G และจุดยอด x1, . . . , xn โดยท่ี

ข้นั ตอนวธิ ีลาดบั เลก็ สุดสร้างการใหส้ ี k สี บนจุดยอดเหล่าน้ี

บทที่ 5 การให้สีกราฟ 151

5.3 คริตคิ ัลกราฟ (Critical Graphs)

ในหวั ขอ้ น้ีจะพิจารณาสมบตั ิของกราฟที่มีรงคเลขเป็ น k และกราฟยอ่ ยที่มีรงคเลข
เป็น k – 1

บทนิยาม 5.3.1 จะเรียกกราฟ G วา่ กราฟ k – คริติคลั (k - critical graph) ถา้ (G) = k
และ (G - v) < k สาหรับแต่ละจุดยอด v ใน G

ตวั อย่าง 5.3.1 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟดงั รูปตอ่ ไปน้ี

u

G1 G2

รูป 5.11 แสดงกราฟที่เป็ นและไมเ่ ป็ นกราฟ 3 – คริติคลั

จากบทนิยาม 5.3.1 จะไดว้ า่ เนื่องจาก (G1) = 3 และ (G1- u) = 3 ดงั น้นั G1 จึง
ไมเ่ ป็นกราฟ 3 – คริติคลั แต่ G2 เป็นกราฟ 3 – คริติคลั


ตวั อย่าง 5.3.2 กราฟ K1 เป็นกราฟ 1 – คริติคลั จากทฤษฎีบท 5.2 กราฟ 2 – คริติคลั
จะเป็ นกราฟสองส่วน และกราฟ K2 เป็นกราฟ 2 – คริติคลั สาหรับกราฟวฏั จกั รค่ี C2n +1
เป็นกราฟ 3 – คริติคลั ส่วนกราฟ G ในรูป 5.12 เป็นกราฟ 4 – คริติคลั

รูป 5.12 แสดงกราฟ 4 – คริติคลั

ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีจะกล่าวถึงสมบตั ิสาคญั บางอยา่ งของคริติคลั กราฟ

152 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ทฤษฎบี ท 5.6 (Dirac, 1952) ให้ G เป็นกราฟ k – คริติคลั จะไดว้ า่
(1) G เป็นกราฟเชื่อมโยง
(2) แตล่ ะจุดยอดของ G มีระดบั ข้นั อยา่ งนอ้ ยเป็น k – 1
(3) G ไม่มีกราฟยอ่ ย G1 และ G2 ซ่ึง G = G1 G2 และ G1  G2 เป็ นกราฟแบบ
บริบรู ณ์
(4) G – v เป็นกราฟเช่ือมโยง สาหรับแต่ละจุดยอด v ใน G สาหรับ k 1

พสิ ูจน์ (1) สมมุติวา่ G เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง

เน่ืองจาก (G) = k จากทฤษฎีบท 5.1 (5) จะไดว้ า่ มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ
C ของ G ท่ี (C) = k ถา้ v  G , v  C , C จะเป็นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ

G – v จากทฤษฎีบท 5.1 (5) จะไดว้ า่ (G – v) = (C) = k เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ท่ี
กาหนดให้ G เป็นกราฟ k - คริติคลั ดงั น้นั G เป็นกราฟเช่ือมโยง

(2) สมมุติวา่ v เป็นจุดยอดของ G ที่ dG(v) < k – 1
เนื่องจาก G เป็นกราฟ k – คริติคลั ดงั น้นั G – v ใหส้ ีได้ k – 1 สี เน่ืองจาก
v มีจุดประชิดมากที่สุด k – 2 จุด และยงั ไม่ใหส้ ี k – 1 สีในจุดเหล่าน้ีท้งั หมดของ G – v
ถา้ ใหส้ ีท่ียงั ไม่ไดใ้ ชห้ น่ึงสีบน v ของ G – v จะทาใหไ้ ดว้ า่ เป็นการใหส้ ี k – 1 สี ของ G
เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่กาหนดวา่ (G) = k ดงั น้นั แตล่ ะจุดยอด v มีระดบั ข้นั อยา่ งนอ้ ย k – 1
(3) สมมุติวา่ G = G1  G2 ซ่ึงG1 , G2 เป็ นกราฟยอ่ ยของ G และ G1  G2 = Kt
เน่ืองจาก G เป็นกราฟ k - คริติคลั ดงั น้นั G1 , G2 มีรงคเลขมากท่ีสุดเป็น k – 1
ใหส้ ี k – 1 สีบนกราฟ G1 และ G2 แต่ G1  G2 เป็ นส่วนหน่ึงของ G1 และ G2 ดงั น้นั การ
ใหส้ ี k – 1 สีใน G1 และ G2 จะทาใหแ้ ตล่ ะจุดยอดใน G1  G2 มีสีเหมือนกนั การเชื่อมสี
ท้งั สองแบบของ G1 และ G2 ทาให้ G = G1  G2 มีการใหส้ ี k – 1 สี ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่
ให้ (G) = k ดงั น้นั ไม่มีกราฟ G1 และ G2 ที่ G = G1 G2 และ G1 G2 เป็ นกราฟแบบ
บริบูรณ์
(4) สมมุติวา่ G – v เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง สาหรับบางจุดยอด v ใน G จะไดว้ า่
G – v มีกราฟยอ่ ย H1 และ H2 ซ่ึง H1  H2 = G – v และ H1 H2 = v ให้ G1 และ G2
เป็ นกราฟยอ่ ยของ G ท่ีอินดิวส์โดย H1กบั v และH2 กบั v ตามลาดบั จะไดว้ า่ G = G1 G2
และG1 G2 = K1 ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ขอ้ (3) ดงั น้นั G – v เป็นกราฟเช่ือมโยง



บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 153

ทฤษฎีบท 5.6 (2) บอกใหท้ ราบวา่ กราฟที่มีรงคเลขเทา่ กบั k จะบรรจุกราฟยอ่ ยที่
เป็นกราฟ k – คริติคลั

ทฤษฎบี ท 5.7 ให้ G เป็นกราฟซ่ึง (G) = k จะไดว้ า่ G จะมีจุดยอด v อยา่ งนอ้ ย k จุด

ซ่ึง dG(v)  k – 1
พสิ ูจน์ ให้ H เป็นกราฟยอ่ ยของ G ที่เป็นกราฟ k – คริติคลั จะไดว้ า่ สาหรับแต่ละจุด
ยอดของ H มีระดบั ข้นั อยา่ งนอ้ ย k – 1 ใน H และจากทฤษฎีบท 5.6 (2) สาหรับแตล่ ะ

จุดยอดของ H เหล่าน้ี จะมีระดบั ข้นั อยา่ งนอ้ ย k – 1 ใน G ดว้ ย เนื่องจาก (H) = k
ดงั น้นั H มีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย k จุด



ทฤษฎีบทต่อไปน้ีมีความสมั พนั ธ์กบั ข้นั ตอนวธิ ีของเวลชแ์ ละเพาเวลล์

ทฤษฎบี ท 5.8 ให้ G เป็นกราฟและ v1, v2, . . . ,vn เป็นจุดยอดของ G ซ่ึง

dG(v1)  dG(v2)  . . .  dG(vn) จะไดว้ า่ (G)  max {min {i , dG(vi) + 1} }

1in

พสิ ูจน์ ถา้ G =  จะไดว้ า่ (G) = 1 และ สาหรับแต่ละ i , dG(vi) = 0 ดงั น้นั

max {min{i, dG(vi) + 1} } = max {min{i , 1} } =1

1in 1in

ให้ G ไม่เป็นกราฟวา่ งซ่ึง (G) = k จะไดว้ า่ G มีกราฟยอ่ ย H ที่เป็นกราฟ k – คริติคลั

จากทฤษฎีบท 5.7 กราฟ H มีอยา่ งนอ้ ย k จุดยอดท่ีมีระดบั ข้นั เป็น k และเป็นระดบั ข้นั

k ใน G ดว้ ย ดงั น้นั

dG(vi)  k – 1 , i = 1, 2, . . . , k และ min{k, dG(vk) + 1} = k

นน่ั คือ max {min {i , dG(vi) + 1} }  (G)

1in



แบบฝึ กหัด 5.3

1. จงพสิ ูจนว์ า่ กราฟ 3- คริติคลั เป็นกราฟวฏั จกั รคี่ C2n+1 (ใชท้ ฤษฎีบท 5.6(2) และ 3.1)
2. จงแสดงวา่ กราฟรูปต่อไปน้ี เป็นกราฟ 4- คริติคลั

154 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

3. Wn เป็ นกราฟวงลอ้ (wheel graph) ไดจ้ ากกราฟ K1+ Cn - 1 จงพิสูจน์วา่ กราฟวงลอ้ W2n
เป็น กราฟ 4- คริติคลั

4. ให้ G = G1 + G2 จงพิสูจน์วา่
4.1 (G) = (G1) + (G2)
4.2 G เป็น กราฟ k-คริติคลั กต็ อ่ เมื่อ G1 เป็นกราฟ k1- คริติคลั และ G2 เป็นกราฟ
k2- คริติคลั โดยท่ี k = k1 + k2

5. จงพสิ ูจน์วา่ (G) + ( G )  n + 1 โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน n จุดยอด
ของกราฟ G

6. ให้ G เป็นกราฟ k- คริติคลั ซ่ึง k  3 และให้ u ,v เป็นจุดยอดที่แตกต่างกนั ใน G
จงแสดงวา่ มีจุดยอดที่ประชิดกบั u ท่ีเป็นจุดยอดไม่ประชิดกบั v และแสดงวา่ G มี
อยา่ งนอ้ ย k + 2 จุดยอด

รงคเลขของกราฟอาจหาไดง้ ่ายข้ึน ถา้ หากทราบสมบตั ิบางประการของกราฟยอ่ ย
ต่อไปน้ี
5.4 คลกี กราฟ (Clique Graphs)

บทนิยาม 5.4.1 ให้ G เป็นกราฟใด ๆ คลกี กราฟของ G คือ กราฟยอ่ ยของ G ที่เป็นกราฟ
บริบูรณ์ และคลกี นัมเบอร์ (clique number)ของ G เขียนแทนดว้ ย cl(G) คือ จานวนจุดยอด
ของคลีกกราฟท่ีใหญ่สุดของ G

ตวั อย่าง 5.4.1 พจิ ารณากราฟ G1, G2 และ G3 ต่อไปน้ี

G1 G2

G3

รูป 5.13 แสดงคลีกของกราฟ

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 155

จากรูป 5.13 จะเห็นวา่ คลีกของกราฟ G1 คือ K1, K2 และ K3 ส่วนคลีกของกราฟ
G2 คือ K1 , K2 , K3 และ K4 และคลีกของกราฟ G3 คือ K1 และ K2 และคลีกกราฟที่ใหญส่ ุด
ของ G1, G2 และ G3 คือ K3 , K4 และ K2 ตามลาดบั ดงั น้นั cl(G1) = 3 , cl(G2) = 4 และ
cl(G3) = 2


โดยทฤษฎีบท 5.1 (2) สาหรับกราฟ G ใด ๆ จะไดว้ า่ cl(G)  (G)

สาหรับกราฟ G ที่บรรจุกราฟสามเหล่ียม หรือ K3 จะไดว้ า่ (G)  3 แตใ่ นทาง
กลบั กนั น้นั ไม่เป็ นจริง เช่น กราฟ C2n+1 , n  2 ซ่ึงมีรงคเลขเป็น 3 และไม่บรรจุ
กราฟสามเหล่ียม

ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีกล่าวถึงการสร้างกราฟ G ท่ีมีรงคเลขสูง ๆ แต่มีคลีกนมั เบอร์
เป็น 2

ทฤษฎบี ท 5.9 (Mycielski , 1955) สาหรับทุกคา่ k  1 จะมีกราฟ k สี Mk ท่ีไม่มี
กราฟยอ่ ยเป็นกราฟสามเหล่ียม

พสิ ูจน์ โดยวธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน k

ถา้ k = 1, 2 จะไดว้ า่ M1 = K1 และ M2 = K2 ซ่ึงไมม่ ีกราฟยอ่ ยเป็ นกราฟ
สามเหลี่ยมจริง

สมมุติวา่ k  2 และ Mk เป็นกราฟ k สีท่ีไม่มีกราฟยอ่ ยเป็ นกราฟสามเหล่ียม
จะแสดงวา่ มีกราฟ k+1 สี Mk+1 ที่ไม่มีกราฟยอ่ ยเป็นกราฟสามเหล่ียม

ให้ v1, v2, . . . , vn เป็ นจุดยอดของ Mk แลว้ สร้างกราฟ Mk+1 จากกราฟ Mk พร้อมดว้ ย
จุดยอด u1, u2, . . . , un, v จานวน n+1 จุดยอด โดยท่ีเส้นเชื่อมของ Mk+1 ไดจ้ ากเส้นเชื่อมของ
Mk และเส้นเช่ือมจาก v ไปแตล่ ะจุดยอดของ ui และเส้นเชื่อมจากแต่ละจุดยอด ui ไปแตล่ ะ
ยา่ นใกลเ้ คียงของ vi ต่อไปจะแสดงวา่ Mk+1 ไมม่ ีกราฟยอ่ ยเป็ นกราฟสามเหล่ียม

สมมุติวา่ Mk+1 มีกราฟยอ่ ยเป็ นกราฟสามเหล่ียม เน่ืองจากโดยสมมุติฐาน Mk ไมม่ ี
กราฟยอ่ ยเป็นกราฟสามเหลี่ยม ดงั น้นั กราฟยอ่ ยสามเหล่ียมใน Mk+1 ตอ้ งมี v หรือไมก่ ็ ui
อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุดท่ีเป็นจุดยอด และเน่ืองจากไมม่ ีสองจุดยอด ui ประชิดกนั เพราะมีเพียง v
จุดยอดเดียวเทา่ น้นั ท่ีประชิดกบั ui ดงั น้นั กราฟสามเหลี่ยมท่ีเกิดตอ้ งอยใู่ นลกั ษณะ vjvkuivj
แตเ่ น่ืองจาก ui ประชิดกบั vj และ vk ดงั น้นั จุดยอดเหล่าน้ีตอ้ งเป็ นยา่ นใกลเ้ คียงของ vi และ
จะไดก้ ราฟยอ่ ยสามเหล่ียมอยใู่ นลกั ษณะ vjvkvivj ซ่ึงเป็ นไปไม่ไดท้ ี่จะเกิดข้ึนใน Mk ดงั น้นั
Mk+1 ไมม่ ีกราฟยอ่ ยเป็ นกราฟสามเหลี่ยม

156 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ต่อไปจะแสดงวา่ ( Mk+1) = k+1 โดยจากกราฟ Mk สามารถใหส้ ีกราฟ Mk+1ได้
โดยการใหส้ ีแตล่ ะ ui จากสีท่ีไดใ้ หก้ บั vi และใหส้ ีที่ k+1 กบั v จะไดว้ า่ ( Mk+1)  k+1

ทา้ ยสุด จะแสดงวา่ Mk+1 ตอ้ งไม่เป็ นกราฟ k สี คือ ( Mk+1) = k+1 สมมุติวา่ Mk+1
สามารถใหส้ ีได้ k สี ใหเ้ ป็นสีท่ี 1, 2, . . . , k ถา้ จุดยอด v ใหส้ ีที่ k จะไดว้ า่ แตล่ ะ ui ใหส้ ีท่ี
k ไม่ได้ และเนื่องจาก ( Mk) = k ดงั น้นั สีท่ี k ตอ้ งใหก้ บั บางจุดยอดใน Mk และใหส้ ีจุด
ยอดใน Mk ใหม่ โดยท่ีใหส้ ีที่ k กบั ui แทน vi เน่ืองจาก ui กบั vi มียา่ นใกลเ้ คียงเดียวกนั ใน

Mk ดงั น้นั ทาให้ Mk ใหส้ ีได้ k-1 สี ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่ ( Mk) = k นนั่ คือ ( Mk+1) =
k+1



พจิ ารณาการสร้างกราฟของไมซีลสกี เร่ิมดว้ ย M2 = K2 สร้างไดก้ ราฟ M3 และ M4

รูป 5.14 v

v1 v2 v1 v2
M2 u1 M3 หรือ กราฟ C5

u2

v1

v1 u1
v5
v2 v5 u5 v u2 v2

v4 M3 v3 u4 u3
v4 M4 v3

รูป 5.14 แสดงการสร้างกราฟแบบไมซีลสกี M2 , M3 และ M4

กราฟแบบไมซีลสกี(Mycielski graph) M4 น้ี รู้กนั ในอีกช่ือหน่ึงวา่ Grötzsch graph
แมก้ ารสร้างกราฟของไมซีลสกี แสดงใหเ้ ห็นวา่ โดยทวั่ ไปแลว้ คลีกนมั เบอร์ของกราฟจะ
แตกตา่ งไปจากรงคเลขของกราฟแตย่ งั มีกราฟส่วนหน่ึงท่ีมีคลีกนมั เบอร์และรงคเลขเท่ากนั

ดงั ทฤษฎีบทที่จะกล่าวถึงตอ่ ไปถดั จากทฤษฎีบทน้ี

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 157

ทฤษฎบี ท 5.10 ให้ G เป็นกราฟ จะไดว้ า่ ขอ้ ความต่อไปน้ีสมมลู กนั

(1) ทุกเซตยอ่ ย U ของ V(G) , U   กราฟ G[U] ของ G จะเป็นกราฟไม่

เช่ือมโยงหรือกราฟ G [U] ของ G เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง

(2) G ไมม่ ีกราฟยอ่ ยที่อินดิวส์โดยจุดยอดของ G ท่ีสมสณั ฐานกบั P4
พสิ ูจน์ สาหรับผสู้ นใจการพสิ ูจนศ์ ึกษาไดใ้ นหนงั สือ The First Look at Graph theory

ของ J. Clark and D. A. Holton หนา้ 210 – 211


ทฤษฎบี ท 5.11 (Seinsche ,1974) ให้ G เป็นกราฟซ่ึงไมม่ ีอินดิวส์กราฟยอ่ ย P4 จะไดว้ า่

(G) = cl(G)

พสิ ูจน์ ใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บนจานวน n จุดยอดของกราฟ G

ถา้ n = 1 จะไดว้ า่ (K1) = cl(K1) = 1 ทฤษฎีบทเป็นจริง
สมมุติวา่ ทฤษฎีบทเป็นจริงสาหรับทุกกราฟท่ีมีจานวน n จุดยอดซ่ึง n  1

ให้ G เป็นกราฟที่มี n +1 จุดยอดท่ีไมม่ ี 4 จุดยอดใดอินดิวส์กราฟยอ่ ย P4 โดย

ทฤษฎีบท 5.10 จะไดว้ า่ ถา้ U V(G) , U  แลว้ G[U] หรือ G [U] เป็นกราฟไม่

เช่ือมโยง และถา้ U=V(G) แลว้ G หรือ G เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง

สมมุติวา่ G เป็นกราฟไมเ่ ช่ือมโยงท่ีมีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเป็น G1 , G2 , . . . , Gr
ดงั น้นั r  2 จะไดว้ า่ ใน Gi ใด ๆ ไม่มีอินดิวส์กราฟยอ่ ย P4 แต่เนื่องจากจานวนจุดยอดใน

Gi นอ้ ยกวา่ ใน G ดงั น้นั โดยสมมุติฐาน จะไดว้ า่ (Gi) = cl(Gi) , i = 1, . . . , r เนื่องจาก
(G) = max { cl(Gi) , 1  i  r } โดยทฤษฎีบท 5.1 (5) และ cl(G) = max { cl(Gi) ,
1  i  r } ทาใหไ้ ดว้ า่ (G) = cl(G)

ถา้ G เป็นกราฟไม่เชื่อมโยงและมีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเป็ น H1 , H2 , . . . , Hs

แลว้ s  2 เนื่องจาก G ไมม่ ีอินดิวส์กราฟยอ่ ย P4 ท่ีเกิดจาก Hi ดงั น้นั โดยสมมุติฐาน จะได้

วา่ (Hi) = cl(Hi) , i=1, . . . ,s และโดยบทนิยาม 1.6.10 จะไดว้ า่ G เป็นจอยน์กราฟของ

H1+ H2+ . . . + Hs หรือ G = H1+ H2+ . . . + Hs โดยแบบฝึ กหดั 5.3 ขอ้ 4.1 จะไดว้ า่

(G) = s ( H i ) เน่ืองจาก cl(G) = s cl( H i ) ทาใหไ้ ดว้ า่ (G) = cl(G)

 
i1 i1



158 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหัด 5.4

1.ให้ G เป็นกราฟที่มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเป็น G1, G2, . . . , Gk จงพิสูจน์วา่
cl(G) = max { cl(Gi) , 1  i  t }

2. จงหาคลีกนมั เบอร์ของกราฟสองส่วนท่ีไม่เป็นกราฟวา่ ง , กราฟวงลอ้ Wn และ
กราฟวฏั จกั ร Cn สาหรับ n 4

3.ให้ G = G1 + G2 จงพิสูจน์วา่ cl(G) = cl(G1) + cl(G2)
4. ให้ G เป็นกราฟท่ีมี n จุดยอด ถา้ (G) = n – 1 แลว้ จงหา cl(G)
5. จงพิสูจนว์ า่ กราฟ G ใหส้ ีได้ k สี ก็ต่อเม่ือ G เป็นกราฟยอ่ ยของบางกราฟ H ซ่ึง

cl(H)  k และ H ไมบ่ รรจุ P4

5.5 การให้สีเส้นเชื่อม (Edge Colouring )

ในหวั ขอ้ น้ีจะพิจารณาการใหส้ ีเส้นเชื่อมของกราฟแทนการใหส้ ีจุดยอดและกราฟท่ีจะ
กล่าวถึงดงั ต่อไปน้ีเป็ นกราฟเชิงเดียวเช่นเดียวกบั การใหส้ ีจุดยอด

บทนิยาม 5.5.1 ให้ G เป็นกราฟที่ไม่ใช่กราฟวา่ ง การให้สีเส้นเช่ือม ของ G คือการกาหนด
สีที่ 1, 2, … ใหก้ บั เส้นเชื่อมของ G สีละหน่ึงเส้นเชื่อมโดยท่ีเส้นเช่ือมท่ีประชิดกนั จะใหส้ ี
ต่างกนั

การให้สีเส้นเชื่อม k สี ( k - edge colouring )ของ G คือ การใหส้ ีเส้นเชื่อมของ G
ไดต้ า่ งกนั k สี และจะเรียก G วา่ กราฟให้สีเส้นเช่ือมได้ k สี ( k- edge colourable ) ถา้
สามารถใหส้ ีเส้นเชื่อม r สีกบั G ได้ โดยท่ี k  r

เอดจ์โครมาตคิ นัมเบอร์ ( edge chromatic number ) ของกราฟ G เขียนแทนดว้ ย
e(G) คือ จานวนสีนอ้ ยสุดของการใหส้ ีเส้นเชื่อมของ G

ถา้ e(G) = k แลว้ จะเรียก G วา่ กราฟ k สีเส้นเช่ือม (k- edge chromatic graph )

บทที่ 5 การให้สีกราฟ 159

ตวั อย่าง 5.5.1 ให้ G เป็นกราฟดงั รูป

1 4 3
2 2

31 4

รูป 5.15 แสดงกราฟ G ซ่ึงเป็ นกราฟ 4 สีเสน้ เช่ือม

จากการพจิ ารณากราฟ G จะไดว้ า่ e(G) = 4


เพอ่ื ความสะดวก ต่อไปจะใส่หมายเลข 1, 2, 3, . . . , n แทนการใหส้ ีท่ี 1, 2,
3, . . . , n ตามลาดบั บนเส้นเชื่อมของกราฟ ก่อนอ่ืนจะกล่าวถึงสมบตั ิพ้ืนฐานการให้สีเส้น

เช่ือม ดงั น้ี ให้ G และ H เป็นกราฟ ถา้ H  G แลว้ e(H)  e(G) และถา้ (G)
เป็นระดบั ข้นั สูงสุดของจุดยอดของ G แลว้ (G)  e(G) ท้งั น้ีเน่ืองจาก ถา้ v เป็นจุดยอด
ใด ๆ ของ G ท่ี dG(v) = (G) แลว้ เส้นเช่ือมท่ีประชิดกบั v จานวน (G) เส้นจะมีสีตา่ งกนั
ท้งั หมด ในเบ้ืองตน้ จะกล่าวถึงเอดจโ์ ครมาติคนมั เบอร์ของกราฟสองส่วนและกราฟแบบ
บริบูรณ์โดยจะใหค้ วามหมายของ เคมป์ เชนกราฟที่ไดจ้ ากวธิ ีการสับเปล่ียนสีของเส้นเชื่อม
ทานองเดียวกนั กบั ในหวั ขอ้ 5.1 ดงั น้ี

ให้ G เป็นกราฟท่ีใหส้ ีเส้นเชื่อมไดอ้ ยา่ งนอ้ ย 2 สีใหเ้ ป็นสีที่ i และ j ให้ H เป็น
กราฟยอ่ ยของ G ท่ีอินดิวส์โดยเส้นเช่ือมท้งั หมดท่ีใหส้ ี i หรือ j และให้ K เป็นกราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบของ H จะไดว้ า่ กราฟวถิ ีของเส้นเช่ือมท่ีใชว้ ธิ ีการสับเปลี่ยนสี i และ j บน
เส้นเชื่อมของ K สีโดยเส้นเชื่อมอ่ืนของ G ยงั คงสีเดิมเพื่อเป็นการใหส้ ีของกราฟ G ต่าง
ออกไปแต่ใชจ้ านวนสีเท่าเดิม วธิ ีการน้ีเรียกวา่ เคมป์ เชนอาร์กิวเมนต์ และจะเรียก K วา่
เคมป์ เชนกราฟ

ทฤษฎบี ท 5.12 ถา้ G เป็นกราฟสองส่วน แลว้ e(G) = (G)
พสิ ูจน์ โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บนจานวนเส้นเช่ือมของ G

ให้ G เป็นกราฟสองส่วน ถา้ G มีเส้นเชื่อมเพียงเส้นเดียว แลว้ e(G) = 1 = (G)
จริง สมมุติ G มีเส้นเชื่อมมากกวา่ 1 เส้น และ e (G – e) = (G – e) สาหรับเส้นเช่ือม e
ใน G และเน่ืองจาก (G)  e(G) ดงั น้นั จึงเป็นการเพยี งพอท่ีจะแสดงวา่ G มีการให้
สีเส้นเช่ือมได้ (G) สี ดงั น้ี ให้ (G) = k โดยสมมุติฐานจะไดว้ า่ G – e มีการใหส้ ีของ

160 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

เส้นเชื่อมได้ (G – e) สี นนั่ คือ (G – e)  (G) = k ดงั น้นั จะแสดงวา่ G สามารถ
ใหส้ ีเส้นเชื่อมได้ k สี หรือ e(G) = k = (G)

ให้ e เป็นเส้นเช่ือมท่ียงั ไม่ให้สีมีจุดยอดปลายเป็น u และ v เน่ืองจาก dG(u)  k
และ e = uv ยงั ไมใ่ หส้ ี ดงั น้นั จะมีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงสีใน k สีท่ียงั ไม่ใหส้ ีเส้นเช่ือมที่ประชิดกบั
u ทานองเดียวกนั ยงั มีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงสีใน k สีท่ียงั ไม่ใหส้ ีเส้นเชื่อมที่ประชิดกบั v ถา้ เส้น
เชื่อมที่ยงั ไมใ่ หส้ ีประชิดกบั u และ v เป็น e และใหส้ ีน้นั กบั e แลว้ จะสามารถใหส้ ีเส้น
เช่ือมใน G ได้ k สี

ให้ K เป็นเคมป์ เชนกราฟที่บรรจุ u ซ่ึงอยใู่ นกราฟยอ่ ย H ท่ีอินดิวส์โดยเส้นเช่ือมท่ี
ใหส้ ี i หรือ j สมมุติวา่ v K จะไดว้ า่ มีวถิ ี P จาก u ไป v ใน K เนื่องจาก u และ v ประชิด
กนั และไม่อยใู่ นเซตของผลแบ่งก้นั เดียวกนั ของ G ดงั น้นั P ตอ้ งมีความยาวเป็นค่ี และ
เนื่องจากมีเส้นเชื่อมที่ทาใหส้ ี i ประชิดกบั u ดงั น้นั เส้นเชื่อมของ P เป็นสี i เนื่องจากเส้น
เช่ือมใน P ใหส้ ี i และ j สบั เปล่ียนกนั ไปและ P มีความยาวเป็นคี่ ดงั น้นั เส้นเชื่อมสุดทา้ ยท่ี
ประชิดกบั v ของ P จะตอ้ งเป็นสี i ซ่ึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ เนื่องจากเส้นเชื่อมท่ีใหส้ ี i ไม่ประชิด

กบั v ดงั น้นั v K
ตอ่ ไปจะใชเ้ คมป์ เชนอากิวเมนตใ์ น K โดยใหเ้ ส้นเช่ือมสี i ไม่ประชิดกบั u แตก่ ็ยงั

มีมีผลตอ่ การสบั เปลี่ยนสีขิงเส้นเช่ือมท่ีประชิดกบั v ดงั น้นั เส้นเช่ือมที่มีสี i ไมป่ ระชิดท้งั
u และ v ในการใหส้ ี k สีใหมใ่ นกราฟ G นนั่ คือ ใหส้ ี i กบั e = uv ได้ ซ่ึงทาให้ G
สามารถใหส้ ีได้ k สี


ตอ่ ไปน้ีเป็นการประยกุ ตใ์ ชท้ ฤษฎีบท 5.12 เพือ่ สร้างจตั ุรัสละติน (Latin squares)
ซ่ึงใชบ้ ่อยในการออกแบบทดลองของนกั สถิติและนกั วิเคราะห์ดา้ นควบคุมคุณภาพ

บทนิยาม 5.5.2 จตั ุรัสละตินขนาด n คือ n  n เมตริกซ์ซ่ึงมีเลข 1, 2, … , n เป็นสมาชิก
โดยท่ีตวั เลขในแถวและหลกั ไม่ซ้ากนั

ตวั อย่าง 5.5.2 ต่อไปน้ีเป็นจตั ุรัสละตินขนาด 4 และ 5

4123 1 2 4123 41235 4 5 1 41235
4 1 1 2 3
3 4 3 4 5
2 3 5 1 2
2 3 4

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 161

สาหรับการสร้างจตั ุรัสละตินขนาด n ของกราฟ Kn, n สามารถทาไดด้ งั น้ี ให้ Kn, n

เป็นกราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ โดยท่ีเซตของจุดยอด V = X  Y , X = { x1, . . . , xn}

 และ Y = { y1, . . . , yn} และสีของเส้นเช่ือมเป็น 1 , 2 , . . . , n ให้ A = aij เป็น n x n

เมตริกซ์ โดยที่ aij = k ซ่ึง xiyj คือเส้นเช่ือมท่ีใหส้ ีที่ j ประชิดกบั xi จะไดว้ า่ สาหรับแต่ละ

คู่ j1 และ j2 , aij1  aij2 ( aij1 = aij2 จะเป็ นเส้นเช่ือมขนาน)
นน่ั คือ แต่ละแถวของ A มี n สมาชิกท่ีตา่ งกนั และถา้ สาหรับ i1  i2 จะไดว้ า่

aij1  aij2 ซ่ึงมีค่า k ร่วมกนั แลว้ yk เป็ นจุดยอดปลายของเส้นเช่ือมสองเส้นท่ีตา่ งกนั ท่ี
ใหส้ ี j ซ่ึงเป็นไปไมไ่ ด้ ดงั น้นั แต่ละหลกั ของ A มี n สมาชิกท่ีต่างกนั นน่ั คือ A เป็น

จตั ุรัสละติน


ตอ่ ไปน้ีเป็นทฤษฎีบทท่ีกล่าวถึงเอดจโ์ ครมาติกนมั เบอร์ของกราฟแบบบริบูรณ์

ทฤษฎบี ท 5.13 ให้ G = Kn , n  2 จะไดว้ า่

e(G) = (G) ( n 1) เมอ่ื n เป็นจำนวนคีูี่
(G)  1 ( n) เมอ่ื n เปน็ จำนวนคีีี ่ี่

พสิ ูจน์ ให้ G เป็นกราฟ Kn สมมุติวา่ n เป็นจานวนคี่ พจิ ารณาเส้นเช่ือมลอ้ มรอบG
จานวน n เส้นโดยใหย้ าวเท่ากนั และแตล่ ะเส้นดงั กล่าวน้ีใหส้ ีต่างกนั สาหรับเส้นเช่ือม

ภายใน G ซ่ึงจะมีเพยี งเส้นเชื่อมเดียว ที่ขนานกบั เส้นเชื่อมท่ีลอ้ มรอบ G น้นั จะใหส้ ี

เหมือนกนั ดงั รูป 5.16 ซ่ึงแสดง K7 1
7

6 2 2
3 5

6 3
5

4

รูป 5.16 แสดงการเร่ิมตน้ ใหส้ ี เสน้ เชื่อมของ K7

จะไดว้ า่ เส้นเชื่อมสองเส้นจะใหส้ ีเหมือนกนั ก็ต่อเมื่อเส้นเชื่อมท้งั สองขนานกนั
เน่ืองจากใหส้ ีกราฟ G ได้ n สี ดงั น้นั จะแสดงวา่ e(G)  n ซ่ึง n = (G) + 1

162 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

สมมุติวา่ G ใหส้ ีเส้นเช่ือมได้ n – 1 สี โดยเส้นเชื่อมที่ขนานกนั ใหส้ ีเดียวกนั และ

n เป็ นจานวนค่ี จะไดว้ า่ มีจานวนเส้นเชื่อมที่ใหส้ ีเดียวกนั 1 (n – 1) เส้น ดงั น้นั G จะมีเส้น
2
1 1
เชื่อมท้งั หมดเป็น [(n – 1)][ 2 (n – 1)] เส้น เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่วา่ Kn มี 2 n (n – 1) เส้นเช่ือม

นน่ั คือ ไมส่ ามารถใหส้ ีเส้นเชื่อม G ไดเ้ ป็น n – 1 สี ดงั น้นั e(G) = n = (G) + 1

ให้ n เป็นจานวนคู่ และ v  G จะไดว้ า่ G – v เป็นกราฟบริบูรณ์ท่ีมี n – 1 จุด

ยอด เนื่องจาก n – 1 เป็นจานวนค่ี ดงั น้นั จากขา้ งตน้ จะใหส้ ีเส้นเชื่อมได้ n – 1 สี แต่การ

ใหส้ ีดว้ ยวธิ ีดงั กล่าวทาใหแ้ ต่ละจุดยอดใน G – v ยงั สามารถเพมิ่ เส้นเชื่อมท่ีมีสีต่างจากสี

ของจานวนเส้นเช่ือมท่ีประชิดอยกู่ ่อนแลว้ ได้ โดยท่ียงั เป็นการใหส้ ีเส้นเช่ือมใน G – v ได้

n – 1 สีเหมือนเดิม ดงั น้นั เช่ือมเส้นเชื่อมที่เพ่ิมดงั กล่าวใหก้ บั แต่ละจุดยอดของ G – v กบั v

จะทาใหไ้ ดว้ า่ ใหส้ ีเส้นเชื่อมของ G ได้ n – 1 สี และเนื่องจาก (G) = n – 1 ดงั น้นั

e(G) = (G) = n – 1



1 32 4

5 4 2 11
31
25 5 3 4 52
43
1 2 5
4 3

รูป 5.17 แสดงการใหส้ ีเสน้ เชื่อมของ K6 อินดิวส์โดย K5

ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีเป็นทฤษฎีบทของการใหส้ ีเส้นเชื่อมในกราฟทวั่ ไป เป็นทฤษฎี
บทท่ีมีความสาคญั มากทฤษฎีบทหน่ึงในทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎบี ท 5.14 ( Vizing , 1964) ให้ G เป็นกราฟท่ีไม่เป็ นกราฟวา่ ง จะไดว้ า่
(G)  e(G)  (G) + 1

พสิ ูจน์ สาหรับผสู้ นใจการพิสูจน์ศึกษาไดใ้ นหนงั สือ The First Look at Graph theory ของ
J. Clark and D. A. Holton หนา้ 216 – 218

บทท่ี 5 การใหส้ ีกราฟ 163

แบบฝึ กหดั 5.5

1. จงใหส้ ีเส้นเช่ือมของกราฟ K8 และ K9 โดยทาตามวธิ ีพิสูจนใ์ นทฤษฎีบท 5.13
2. ให้ G เป็ นกราฟสองส่วนแบบบริบรู ณ์ Kn, n ซ่ึง V = X  Y , X = { x1 , . . . , xn } ,

Y = { y1, . . . , yn } ให้ c1, . . , cn แทนสีที่แตกต่างกนั n สี
ถา้ 1 i  j  n จะใหส้ ี cj-i+1 กบั เส้นเช่ือม xiyj และ
ถา้ 1 j  i  n จะใหส้ ี cn+j-i+1 กบั เส้นเช่ือม xiyj
จงพสิ ูจนว์ า่ ที่กล่าวมาขา้ งตน้ เป็ นการใหส้ ีเส้นเชื่อมกบั G และอธิบายดว้ ยจตั ุรัส

ละติน ขนาด n

3. จงพิสูจนว์ า่ กราฟปี เตอร์เซน ในรูปขา้ งล่างน้ี มีเอดจโ์ ครมาติกนมั เบอร์เป็ น 4

5.6 การให้สีแผนท่ี (Map Colouring)
บทนิยาม 5.6.1 แผนที่ (map) คือ กราฟบนระนาบที่เป็ นกราฟเชื่อมโยงและไม่มีสะพาน

จะเรียก แผนท่ี G วา่ กราฟให้สีหน้าได้ k สี (k- face colourable graph) ถา้ ใหส้ ี
หนา้ ของ G ไดน้ อ้ ยท่ีสุด k สี โดยท่ีหนา้ ประชิดกนั ตอ้ งไม่ใหส้ ีเหมือนกนั
ตวั อย่าง 5.6.1 ให้ G เป็นกราฟดงั รูป

2
33
2 21

รูป 5.18 แสดงการใหส้ ีในหนา้ ของ G ไดต้ ่างกนั นอ้ ยท่ีสุด 3

164 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

จะเห็นวา่ G เป็นกราฟบนระนาบที่ไมม่ ีสะพาน ดงั น้นั G เป็นแผนที่ และเนื่องจาก
สามารถใหส้ ีท่ีต่างกนั ท้งั 6 หนา้ ของ G ท่ีไมป่ ระชิดกนั ไดน้ อ้ ยที่สุด 3 สี ดงั น้นั G เป็น
กราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 3 สี


การใหส้ ีแผนท่ีน้นั มีนกั คณิตศาสตร์ไดค้ าดการณ์วา่ สามารถใหส้ ีเพยี ง 4 สีกบั
กราฟบนระนาบใด ๆ แตย่ งั ไมส่ ามารถพิสูจนข์ อ้ ความดงั กล่าวน้ีได้ ซ่ึงจะไดศ้ ึกษากนั
ต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 5.15 ( 1 ) แผนท่ี G เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ k สี ก็ต่อเมื่อ กราฟคู่กนั G* เป็น
กราฟใหส้ ีได้ k สี

( 2 ) ให้ G เป็นกราฟบนระนาบที่เป็นกราฟเชื่อมโยงและไมม่ ีวงวน จะไดว้ า่ Gให้
สีจุดยอดได้ k สี กต็ ่อเมื่อ G* ใหส้ ีหนา้ ได้ k สี
พสิ ูจน์ ( 1 ) () ให้ f1 , . . . , fn และ e1 , . . . , em เป็นหนา้ และเส้นเช่ือมของ G
ตามลาดบั จะไดว้ า่ โดยบทนิยามของกราฟคูก่ นั G* จุดยอด f1* , . . . , fn* และเส้นเช่ือม
e1* , . . . , em* ของ G* จะสมนยั แบบ 1 – 1 กบั หนา้ และเส้นเช่ือมของ G และจุดยอด f*
และ g* จะเชื่อมดว้ ยเส้นเช่ือม e* ก็ต่อเมื่อ หนา้ f และ g ใน G เชื่อมดว้ ยเส้นเช่ือม e

ให้ G ใหส้ ีหนา้ ได้ k สี จะไดว้ า่ ถา้ ใหส้ ีจุดยอด f* ใน G* ดว้ ยสีเดียวกนั กบั ใน
หนา้ f ของ G แลว้ จะเป็นการใหส้ ีจุดยอดของ G* ดงั น้นั G* เป็นกราฟใหส้ ีจุดยอดได้
k สี

() ให้ G* เป็นกราฟที่ใหส้ ีจุดยอดได้ k สี จะไดว้ า่ ถา้ ใหส้ ีหนา้ f ของ G ดว้ ย
สีเดียวกนั กบั สีของจุดยอด f* ของ G* จะทาใหม้ ีสีในหนา้ ของ G ได้ k สี ดงั น้นั G เป็น
กราฟใหส้ ีหนา้ ได้ k สี

( 2 ) เน่ืองจาก G ไมม่ ีวงวน ดงั น้นั G* ไม่มีสะพาน จะไดว้ า่ G* เป็นแผนท่ี ดงั น้นั
โดย ( 1 ) G* เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ k สี กต็ อ่ เมื่อ G** เป็นกราฟใหส้ ีจุดยอดได้ k สี แต่
เนื่องจาก G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ G**  G นนั่ คือ G* เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ k
สี ก็ต่อเม่ือ G เป็นกราฟใหส้ ีจุดยอดได้ k สี


ทฤษฎีบทต่อไปน้ี เป็นการประยกุ ตใ์ ชท้ ฤษฎีบท 5.15
ทฤษฎบี ท 5.16 แผนที่ G เป็ นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 2 สี กต็ ่อเม่ือ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์
พสิ ูจน์ () ใหแ้ ผนท่ี G เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 2 สี โดยทฤษฎีบท 5.15 ( 1 ) จะไดว้ า่

บทที่ 5 การใหส้ ีกราฟ 165

(G*) = 2 และโดยทฤษฎีบท 5.2 จะไดว้ า่ G* เป็นกราฟสองส่วน ดงั น้นั G** เป็น
กราฟแบบออยเลอร์ แต่เนื่องจาก G**  G จะไดว้ า่ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์

() ให้ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์ จะไดว้ า่ G** เป็นกราฟแบบออยเลอร์
ดงั น้นั G* เป็นกราฟสองส่วน ดงั น้นั โดยทฤษฎีบท 5.2 (G*) = 2 และโดยทฤษฎีบท
5.15 ( 1 ) จะไดว้ า่ G เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 2 สี


ทฤษฎบี ท 5.17 ให้ G เป็นแผนท่ีลูกบาศก์ จะไดว้ า่ G เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 3 สี กต็ ่อเมื่อ
แตล่ ะหนา้ ของ G มีระดบั ข้นั เป็นจานวนคู่
พสิ ูจน์ ถา้ G เป็นแผนที่ลูกบาศก์ จะไดว้ า่ แต่ละจุดยอดมีระดบั ข้นั เป็ น 3

() ให้ G เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 3 สีคือ สี  ,  และ  ให้ f เป็นหนา้ ภายในใด

ๆ ของ G ท่ีใหส้ ี  จะไดว้ า่ หนา้ ที่ประชิดกบั f จะใหส้ ี  หรือ  พิจารณาหนา้ ที่
ประชิดกบั f เน่ืองจากสองหนา้ ใด ๆ ที่ประชิดกนั ใหส้ ีเดียวกนั ไมไ่ ด้ ดงั น้นั จึงมีการใหส้ ี
กบั หนา้ ที่ประชิดดงั กล่าวสลบั สีกนั ระหวา่ ง  กบั  และจานวนหนา้ ตอ้ งเป็นจานวนคู่
แต่เนื่องจากแต่ละหนา้ เหล่าน้ี สมนยั กบั จานวนเส้นเช่ือมของหนา้ f ทาใหไ้ ดว้ า่ f มีระดบั
ข้นั เป็นจานวนคู่ กรณีหนา้ ภายนอกของ G จะพจิ ารณาไดใ้ นทานองเดียวกนั

() พิจารณาจากกราฟคู่กนั ของ G ใหเ้ ป็นกราฟ H จะไดว้ า่ H เป็นกราฟบนระนาบที่
เป็นกราฟแบบออยเลอร์ซ่ึงแต่ละหนา้ มีระดบั ข้นั เป็น 3 จะแสดงวา่ H เป็นกราฟใหส้ ีได้ 3
สี เนื่องจากแตล่ ะเส้นเชื่อมของ H เป็นส่วนหน่ึงของวฏั จกั รและ H ไมม่ ีสะพาน ดงั น้นั H
เป็นแผนที่ท่ีเป็นกราฟแบบออยเลอร์ ดงั น้นั โดยทฤษฎีบท 5.16 H เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 2
สี ใหเ้ ป็นสี i และ j เลือกหนา้ f H ใหส้ ี i พิจารณาการใหส้ ีที่จุดยอด a, b และ c บน
หนา้ f จะไดว้ า่ สาหรับหนา้ g ใด ๆ ที่ประชิดกบั f ซ่ึงใหส้ ี j และมีสองจุดยอดที่ไดใ้ หส้ ี
ถา้ ใหส้ ีกบั อีกจุดยอดหน่ึงท่ีเหลือของ g ดว้ ยสีที่ 3 จะทาใหไ้ ดว้ า่ สามารถใหส้ ี 3 สีกบั
จุดยอด a, b และ c ของ g ได้ แสดงใหเ้ ห็นวา่ สามารถใหส้ ีในทุกจุดยอดของ H ไดด้ งั รูป
5.19

jb

a i c j a i c
j i j

b

รูป 5.19 แสดงการใหส้ ี H โดยเร่ิมท่ีหนา้ สี i

166 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ดงั น้นั สามารถแสดงไดว้ า่ ถา้ H เป็นกราฟบนระนาบที่เป็ นกราฟแบบออยเลอร์ซ่ึงแต่ละ
หนา้ มีระดบั ข้นั เป็น 3 แลว้ H เป็นกราฟใหส้ ีได้ 3 สี

ให้ G เป็นแผนท่ีลูกบาศกซ์ ่ึงแต่ละหนา้ มีระดบั ข้นั คู่ จะไดว้ า่ แผนท่ีคู่กนั G* มีแต่
ละจุดยอดเป็นระดบั ข้นั คูแ่ ละแตล่ ะหนา้ มีระดบั ข้นั 3 ดงั น้นั จากการใหส้ ี H โดยเริ่มที่หนา้
สีแดงขา้ งตน้ ดงั กล่าว จะไดว้ า่ G* เป็นกราฟใหส้ ีได้ 3 สี ดงั น้นั จากทฤษฎีบท 5.15(1) ทา
ใหไ้ ดว้ า่ G เป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 3 สี


สาหรับแผนท่ีลูกบาศกร์ ูป 5.20 ต่อไปน้ีมีหนา้ เป็ นระดบั ข้นั เป็นจานวนคี่โดย
ทฤษฎีบท 5.17 จะไมเ่ ป็นกราฟใหส้ ีหนา้ ได้ 3 สี

รูป 5.20 แสดงแผนท่ีลกู บาศกท์ ่ีมหี นา้ เป็นระดบั ข้นั เป็ นจานวนค่ี

เม่ือ พ.ศ. 2393 นกั ศึกษาชาวองั กฤษชื่อ ฟรานซีส กทั ธ์ทรี (Francis Guthrie) ได้
สงั เกตวา่ การใหส้ ีแผนที่แต่ละแควน้ ตา่ ง ๆ ที่ติดกนั ในประเทศองั กฤษน้นั สามารถใหส้ ีได้
ไม่เกิน 4 สี จึงทาใหเ้ กิดปัญหาการใหส้ ีแผนที่กบั นกั คณิตศาสตร์ในการพิสูจนข์ อ้ ความ
คาดการณ์ 4 สี (Four Colour Conjecture) ท่ีวา่ ทุกแผนที่ G สามารถใหส้ ีไดไ้ มเ่ กิน 4 สี
(Clark & Holton, 1991) ดงั น้ี
ทฤษฎบี ท 5.18 ทุกแผนที่ G จะใหส้ ีไดไ้ ม่เกิน 6 สี
พสิ ูจน์ ให้ H เป็นกราฟคู่กนั ของ G โดยทฤษฎีบท 5.15(1) เป็นการเพยี งพอท่ีจะพสิ ูจน์วา่
กราฟ H ใหส้ ีจุดยอดไดไ้ มเ่ กิน 6 สี นนั่ คือกราฟบนระนาบ H ใด ๆ เป็นกราฟใหส้ ีได้ 6 สี

ใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน n จุดยอดของ H ถา้ H มีจุดยอด n = 6 จะไดว้ า่
ทฤษฎีเป็ นจริ ง

ให้ n  7 และกราฟบนระนาบท่ีมีจุดยอดนอ้ ยกวา่ n จุดเป็นกราฟใหส้ ีได้ 6 สี และ
ไม่มีผลใด ๆ ต่อการพสิ ูจน์ถา้ ให้ H เป็นกราฟเชิงเดียว ดงั น้นั โดยบทแทรก 4.7 จะไดว้ า่ H
มีจุดยอด v ซ่ึง dH(v)  5 และกราฟ H – v เป็นกราฟบนระนาบท่ีมี n – 1 จุดยอด แต่โดย
สมมุติฐาน H – v เป็นกราฟใหส้ ีได้ 6 สี ดงั น้นั สามารถขยายการใหส้ ี 6 สีใน H – v ใหก้ บั
ทุกจุดยอดของ H โดยใหส้ ีจุดยอด v ใด ๆ เป็นสีท่ี 6 เนื่องจาก v มีจุดยอดประชิดจานวน 5

บทที่ 5 การใหส้ ีกราฟ 167

จุด จึงยงั ตอ้ งมีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงสีท่ียงั ไมไ่ ดใ้ ชใ้ หก้ บั v ทาใหไ้ ดว้ า่ H ใหส้ ีได้ 6 สี

ในปี พ.ศ. 2422 เคมป์ (A.B. Kempe) 
รูป 5.21 ไดพ้ ิสูจน์ขอ้ ความคาดการณ์ 4 สี โดย
ใชเ้ คมป์ เชนอาร์กิวเมนต์ รูป 5.21 Alfred Bray Kempe
1849 – 1922, England
แต่ในปี พ.ศ. 2433 เฮวดู ไดแ้ สดงให้
เห็นวา่ การพิสูจน์ของเคมป์ บกพร่อง แตเ่ ฮวดู ท่ีมา (Connor & Robertson, 2003)
ไดใ้ ชเ้ คมป์ เชนอาร์กิวเมนตพ์ ิสูจนป์ ัญหา 5 สี
(Five Colour Problem) ได้

รูป 5.22 Percy John Heawood ทฤษฎบี ท 5.19 (Heawood ; รูป 5.22) ทุกแผน
1861 - 1955, England ที่ G จะใหส้ ีไดไ้ มเ่ กิน 5 สี
พสิ ูจน์ สาหรับผสู้ นใจการพิสูจนศ์ ึกษาไดใ้ น
ที่มา (Connor & Robertson, 2003) หนงั สือ The First Look at Graph theory ของ
J. Clark and D. A. Holton หนา้ 223 – 226 

ในปี พ.ศ. 2520 แอป็ เพลและฮาเกน (K. Appel and W. Haken) ไดต้ ีพมิ พก์ าร
พิสูจนข์ อ้ ความคาดการณ์ 4 สี วา่ การใหส้ ี 4 สีกบั แผนที่น้นั เพียงพอจริง โดยใชเ้ คร่ือง
คอมพิวเตอร์ช่วยแจงกรณีเป็ นเวลาหลายสปั ดาห์ และพิสูจน์กราฟเชิงระนาบที่มีลกั ษณะ
ต่าง ๆ กนั ท่ีจาเป็นตอ้ งวเิ คราะห์ จานวน 1,955 ลกั ษณะ (สมชาย ประสิทธ์ิจูตระกลู , 2544)

ทฤษฎบี ท 5.20 (The Four Colour Theorem) ทุกแผนที่ G สามารถใหส้ ีไดไ้ ม่เกิน 4 สี



168 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหัด 5.6
1. จงใหส้ ีหนา้ ของกราฟ K4 ดว้ ยสี 4 สี และจะสามารถใชเ้ พียง 3 สี ไดห้ รือไม่
2. จงใหส้ ีแผนท่ีต่อไปน้ี และแสดงวา่ ใหส้ ีไดน้ อ้ ยสีท่ีสุด

3. กราฟหน้าสามเหลย่ี ม (triangulation graph) คือกราฟบนระนาบซ่ึงทุกหนา้ มีระดบั ข้นั
เป็น 3 ดงั รูป

ถา้ e และ f เป็นจานวนเส้นเช่ือมและจานวนหนา้ ตามลาดบั และ k เป็นระดบั ข้นั
มากสุดของจุดยอด และ ni , i = 1, . . . , k เป็นจานวนของจุดยอดท่ีมีระดบั ข้นั i จงแสดงวา่

k

2e =  ni และ 3f = 2e

i2

4. จงแสดงวา่ กราฟหนา้ สามเหล่ียมที่มีระดบั ข้นั ของจุดยอดเป็น3 สามารถใหส้ ีได้ 5 สี

บทท่ี 6
กราฟระบุทศิ ทาง

การนากราฟระบุทิศทางไปใชป้ ระโยชนท์ ่ีเห็นไดช้ ดั เช่น การจราจรและการไหล
ในขา่ ยงาน เป็นตน้ บทน้ีจะศึกษาเกี่ยวกบั กราฟระบุทิศทาง ส่วนต่าง ๆ ของกราฟระบุ
ทิศทาง ระดบั ข้นั เขา้ และระดบั ข้นั ออก ทวั ร์นาเมนต์ และแทรฟฟิ คโฟลว์ รวมท้งั ข้นั ตอน
วธิ ีสร้างกราฟระบุทิศทางจากกราฟที่กาหนดให้

6.1 บทนิยามของกราฟระบุทิศทาง (Definition of Directed Graph)
พิจารณาชาย 4 คนคือ A ,B , C , D และหญิง 3 คนคือ E , F และ G ซ่ึง A และ E รัก

กนั , B รัก F , C รัก F และ G แต่ G รัก D เขียนแผนภาพแสดงความรัก โดยใชล้ กู ศร
จาก x ไป y ถา้ x รัก y ไดด้ งั รูปต่อไปน้ี

AB C D

EF G

รูป 6.1 แสดงแผนภาพความรัก

จากรูป 6.1 เขียนเป็นคู่อนั ดบั ไดเ้ ป็น (A , E) , (E , A) , (B , F) , (C , F) , (C , G)
และ (G , D) เม่ือ (x , y) หมายถึง x รัก y ซ่ึงแตกตา่ งจาก (y , x)

บทนิยาม 6.1.1 กราฟระบุทิศทาง (directed graph or digraph) D(V , A) คือ กราฟที่
ประกอบดว้ ยเซต V ซ่ึงเป็นเซตจากดั แต่ไม่เป็นเซตวา่ งของสมาชิกท่ีเรียกวา่ จุดยอด ใน D
และเซต A ซ่ึงเป็นเซตจากดั ของสมาชิกที่เป็นคูอ่ นั ดบั ท่ีเรียกวา่ อาร์ค (arcs) ใน D

อาร์คท่ีมีจุดเร่ิมตน้ เป็นจุดยอด u และมีจุดสิ้นสุดเป็นจุดยอด v จะเขียนแทนดว้ ย
(u, v) ซ่ึงจะเขียนยอ่ เป็น uv

โดยทวั่ ไป จะใชล้ ูกศรแทนอาร์คในกราฟระบุทิศทาง

170 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตัวอย่าง 6.1.1 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง ดงั รูป 6.2 d
c

a
b

D
รูป 6.2 แสดงกราฟระบุทิศทาง D
จากรูป 6.2 จะไดว้ า่ V = { a , b , c , d } และ A = { ab , ab , ba , ca , bc , db , aa }


บทนิยาม 6.1.2 กราฟอนั เดอร์ไลองิ้ (underlying graph) ของกราฟระบุทิศทาง D คือ กราฟ
ท่ีไดจ้ ากการลบหวั ลูกศรออกจาก D

ตวั อย่าง 6.1.2 จากกราฟ D ในตวั อยา่ ง 6.1.1 มีกราฟอนั เดอร์ไลอิง้ เป็นดงั รูป 6.3

cd

a
b

รูป 6.3 แสดงกราฟอนั เดอร์ไลอิง้ ของ D


บทนิยาม 6.1.3 กราฟ D เป็นกราฟระบุทิศทางอย่างง่าย (simple digraph) ถา้ D ไม่มีวงวน
และมีอาร์คแตกต่างกนั ท้งั หมด

ตวั อย่าง 6.1.3 แสดงกราฟ D1 รูป 6.4 เป็นกราฟระบุทิศทางอยา่ งง่าย
cd

a b
D1

รูป 6.4 แสดงกราฟระบุทิศทางอยา่ งง่าย

บทที่ 6 กราฟระบุทิศทาง 171

กราฟ D1 รูป 6.4 เป็นกราฟระบุทิศทางอยา่ งง่าย แต่กราฟ D รูป 6.2 ในตวั อยา่ ง
6.1.1 ไม่เป็นกราฟระบุทิศทางอยา่ งง่าย


บทนิยาม 6.1.4 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง แนวเดิน W ใน D คือ ลาดบั จากดั W =

v0a1v1. . . akvk ที่สลบั กนั ระหวา่ งจุดยอดและอาร์ค โดยที่อาร์ค ai มีจุดเร่ิมตน้ เป็ น vi-1 และ
จุดสิ้นสุดเป็น vi , i = 1, 2, . . . , k เรียกแนวเดิน W วา่ แนวเดินจาก v0 ไป vk หรือ แนว
เดิน v0 - vk จะเขียนเป็ น W = v0v1. . . vk

จานวน k อาร์คใน W จะเรียกวา่ ความยาวของ W ถา้ W = v0 จะมีความยาว
เป็นศนู ย(์ ไมม่ ีอาร์ค)

สาหรับนิยามของรอยเดิน วถิ ี วฏั จกั ร และทวั ร์ ในกราฟระบุทิศทาง D จะใหไ้ ด้
ทานองเดียวกนั

ตวั อย่าง 6.1.4 จากกราฟ D รูป 6.2 ในตวั อยา่ ง 6.1.1 จะไดว้ า่
W = c a a b a b เป็นแนวเดินใน D มีความยาวเป็น 5
T = d b a a b เป็นรอยเดินใน D มีความยาวเป็น 4
P = d b c a เป็นวถิ ีใน D มีความยาวเป็น 3
C = a b c a เป็นวฏั จกั รใน D มีความยาวเป็น 3


บทนิยาม 6.1.5 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง จะกล่าววา่ D เป็นกราฟเชื่อมโยง ถา้ กราฟ
อนั เดอร์ไลอิ้งของ D เป็นกราฟเชื่อมโยง และจะกล่าววา่ D เป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเข้ม
(strongly connected graph) ถา้ สองจุดยอด u และ v ใด ๆ ใน D มีวถิ ีจาก u ไป v

ตัวอย่าง 6.1.5 พจิ ารณากราฟ D รูป 6.2 ในตวั อยา่ ง 6.1.1
จะไดว้ า่ D เป็นกราฟเชื่อมโยง และเน่ืองจากไม่มีวถิ ีจาก a ไป d
ดงั น้นั D ไมเ่ ป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้

แตก่ ราฟในรูป 6.5 ต่อไปน้ี เป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้

172 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

รูป 6.5 แสดงกราฟระบุทิศทางที่เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้


บทนิยาม 6.1.6 ให้ G เป็นกราฟ และสาหรับกราฟระบุทิศทาง D ท่ีไดจ้ ากการเติมหวั
ลูกศรในแตล่ ะเส้นเชื่อมของ G แลว้ จะเรียก D วา่ กราฟของการกาหนดทิศทาง
(orientation graph)ใน G
ตวั อย่าง 6.1.6 ต่อไปน้ีเป็นกราฟของการกาหนดทิศทางในกราฟ K3 ซ่ึงมีกราฟที่แตกต่าง
กนั จานวน 8 กราฟดงั น้ี

111

2 D1 3 2 D2 3 2 D3 3
111

2 D4 3 2 D5 3 2 D6 3
11

2 D7 3 2 D8 3

รูป 6.6 แสดงกราฟระบุทิศทาง D1 ถึง D8 ท่ีไดจ้ ากการกาหนดทิศทางใน K3


การสมสัณฐานในกราฟระบุทิศทาง สามารถนิยามไดท้ านองเดียวกนั กบั การสม
สณั ฐานในกราฟตามท่ีกล่าวมาแลว้ จากตวั อยา่ ง 6.1.6 จะเห็นวา่ D1 สมสัณฐานกบั D8
โดยที่ ใหจ้ ุดยอด 1, 2, 3 ของ D1 สมนยั กบั จุดยอด 1, 3, 2 ของ D8 ตามลาดบั ส่วน D2 ,

บทที่ 6 กราฟระบุทิศทาง 173

D3 , . . . ,D7 จะสมสณั ฐานซ่ึงกนั และกนั เช่น ใหจ้ ุดยอด 1, 2, 3 ของ D2 สมนยั กบั จุดยอด
2, 1, 3 ของ D6 ตามลาดบั เป็ นตน้ แต่กราฟในรูปต่อไปน้ี ไมส่ มสัณฐานกบั กราฟ D ในรูป
6.2

กราฟยอ่ ยของกราฟระบุทิศทาง(subdirected graphs) ก็กาหนดไดเ้ ช่นเดียวกนั กบั
ในบทที่ 1 หวั ขอ้ 1.6

บทนิยาม 6.1.7 กราฟยอ่ ยส่วนประกอบของกราฟระบุทิศทาง D คือกราฟยอ่ ยของกราฟ
ระบุทิศทาง D ท่ีเป็นกราฟระบุทิศทางแบบเขม้ และไม่เป็นกราฟยอ่ ยของกราฟยอ่ ยที่ระบุ
ทิศทางแบบเขม้ ใน D

ตัวอย่าง 6.1.7 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง ดงั รูปต่อไปน้ี

v1 v2 v10 v9
v4 v3 v7

v5 v6 D v8

v1 v2 v4 v7 v9

v3 v5 v6 S3 v8
S1 S2

รูป 6.7 แสดงกราฟระบุทิศทาง D และกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ S1 , S2 , S3 ของ D 

174 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหดั 6.1 d

1. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง ดงั รูปต่อไปน้ี
a bc

e f Dg h
1.1 จงหาแนวเดินท่ีมีความยาวเป็ น 8 ใน D และแนวเดินน้ีเป็ นวถิ ีหรือไม่
1.2 จงหารอยเดินที่มีความยาวเป็ น 10 ใน D
1.3 จงหาวถิ ีท่ีมีความยาวท่ีสุดใน D
1.4 จงหาวฏั จกั รท่ีมีความยาวที่สุดใน D
1.5 กราฟ D เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ หรือไม่ อยา่ งไร
2. จงหากราฟยอ่ ยส่วนประกอบของกราฟระบุทิศทาง ดงั รูปต่อไปน้ี





3. กราฟระบุทิศทาง D จะถูกเรียกวา่ เป็นกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็ค (unilaterally
connected graph) ถา้ จุดยอด u , v ใดๆ ใน D มีวถิ ีจาก u ไป v หรือจาก v ไป u

3.1 จงแสดงวา่ กราฟระบุทิศทางดงั รูปต่อไปน้ี เป็นกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็คแต่ไม่
เป็ นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้

3.2 กราฟในขอ้ 2. เป็นกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็คหรือไม่

บทท่ี 6 กราฟระบทุ ิศทาง 175

3.3 จงพสิ ูจนว์ า่ กราฟระบุทิศทาง D เป็นกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็คก็ตอ่ เม่ือมีแนวเดิน
ที่บรรจุทุกจุดยอดใน D (มีแนวเดินแบบทอดขา้ มใน D)
4. ให้ u , v เป็นจุดยอดที่แตกต่างกนั ในกราฟระบุทิศทาง D จงพสิ ูจนว์ า่ ทุกแนวเดิน u – v
ใน D จะบรรจุวถิ ี u – v (ทานองเดียวกนั กบั ทฤษฎีบท 1.3)
5. จงพิสูจน์ วา่ กราฟระบุทิศทาง D เป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ ก็ตอ่ เม่ือ D มีแนวเดินปิ ดท่ี
บรรจุทุกจุดยอดของ D (พจิ ารณาเปรียบเทียบกบั ขอ้ 3.3)
6. จงแสดงวา่ กราฟระบุทิศทางในแตล่ ะคูต่ อ่ ไปน้ี ขอ้ ใดสมสณั ฐาน หรือไมส่ มสณั ฐานกนั

6.1

6.2

6.3

7. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีเป็นกราฟเชิงเดียว ส่วนเติมเตม็ ของ D เขียนแทนดว้ ย D
คือ กราฟระบุทิศทางที่มีจุดยอดเป็ นของ D และมีอาร์ค uv D ก็ตอ่ เมื่อ uv D ดงั
ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

DD

176 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

จงยกตวั อยา่ งกราฟระบุทิศทางที่เป็นกราฟอยา่ งง่ายและเป็นกราฟเชื่อมโยง ซ่ึงไม่
เป็นกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็ค แตส่ ่วนเติมเตม็ ของกราฟน้ี

7.1 เป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้
7.2 เป็นกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็คแต่ไม่เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้
8. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางแลว้ กราฟคอนเดนเซชัน (condensation graph) ของ D คือ
กราฟระบุทิศทางอยา่ งง่าย D* ซ่ึงจุดยอด v1, . . . ,vn ใน D* สมนยั กบั กราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบ s1 , . . . , sn ของ D และสาหรับ i  j , อาร์ค uiuj  D* กต็ ่อเมื่อมีอาร์ค จาก
si ไป sj ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

D D*
8.1 จงหากราฟคอนเดนเซชนั D* ของกราฟระบุทิศทาง D ในขอ้ 2.
8.2 จงพสิ ูจน์วา่ กราฟคอนเดนเซชนั D* ของกราฟระบุทิศทาง D ใด ๆ ไม่มีวฏั
จกั ร
8.3 จงพสิ ูจน์วา่ กราฟคอนเดนเซชนั D* ของกราฟระบุทิศทาง D ใด ๆ เป็นกราฟ
เชื่อมโยงแบบเขม้ หรือกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็ค กต็ อ่ เม่ือ D เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้
หรือกราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็ค ตามลาดบั
9. กราฟคอนเวอร์ส(converse graph) ของกราฟระบุทิศทาง D เขียนแทนดว้ ย T คือ กราฟ
ระบุทิศทางท่ีอาร์คมีทิศทางกลบั กนั กบั อาร์คของ D
9.1 จงพสิ ูจน์วา่ มีวถิ ี u – v ใน D ก็ต่อเม่ือ มีวถิ ี v – u ใน T
9.2 จงแสดงวา่ สาหรับทุกค่า n  1 , มีกราฟระบุทิศทาง D ที่มี n จุดยอดที่สม
สณั ฐานกบั T ของ D เสมอ

บทที่ 6 กราฟระบุทิศทาง 177

6.2 ระดับข้นั เข้าและระดับข้ันออก (Indegree and Outdegree)

บทนิยาม 6.2.1 ให้ v เป็นจุดยอดใด ๆ ของกราฟระบุทิศทาง D ระดบั ข้นั เข้า (indegree)

ของ v เขียนแทนดว้ ย idD(v) คือ จานวนอาร์คของ D ที่มี v เป็นจุดสิ้นสุด และระดบั ข้นั
ออก (outdegree) ของ v เขียนแทนดว้ ย odD(v) คือ จานวนอาร์คของ D ที่มี v เป็นจุดเร่ิมตน้

ตัวอย่าง 6.2.1 ให้ D เป็นกราฟดงั รูปตอ่ ไปน้ี v5
v1 v2

v4 v3

รูป 6.8 แสดงระดบั ข้นั เขา้ และระดบั ข้นั ออกของจุดยอดในกราฟ D

จากรูป 6.8 จะไดว้ า่ idD(v1) = 0, idD(v2) = 3, idD(v3) = idD(v4) = idD(v5) = 1 ,
odD(v1) = odD(v4) = 1 , odD(v2) = odD(v3) = 2 และ odD(v5) = 0


ทฤษฎบี ท 6.1 (The first theorem of digraph theory ) ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางที่มี n จุด

ยอดและอาร์คจานวน q เส้น ถา้ { v1 , v2 , . . . , vn} เป็นเซตของจุดยอดใน D จะไดว้ า่

nn

 idD (vi ) = od D (v i ) = q

i1 i1

พสิ ูจน์ ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางที่มี n จุดยอดและอาร์คจานวน q เส้น และ v1 ,

v2 , . . . , vn เป็นจุดยอดใน D เนื่องจากแตล่ ะอาร์คจะมีจุดสิ้นสุดที่ v เพยี งจุดเดียว ในการ

หาระดบั ข้นั เขา้ ของแตล่ ะจุดยอด v ใน D จะมีการนบั อาร์คแต่ละเส้นเพียงคร้ังเดียว ดงั น้นั

n id D (vi ) = q


i1

และในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่

n od D ( v i ) = q


i1



178 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทนิยาม 6.2.2 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีเป็นกราฟเช่ือมโยง จะไดว้ า่ รอยเดินแบบ
ออยเลอร์ (directed Euler trail) ใน D คือ รอยเดินเปิ ดท่ีบรรจุทุกอาร์คของ D

ทวั ร์แบบออยเลอร์ (directed Euler tour) ของ D คือ รอยเดินปิ ดที่บรรจุทุกอาร์ค
ของ D และ D เป็นกราฟแบบออยเลอร์ (Euler digraph) ถา้ D มีทวั ร์แบบออยเลอร์

ตวั อย่าง 6.2.2 กาหนดกราฟระบุทิศทางดงั รูปต่อไปน้ี

a13 a9 a4 a3 a4
a2 a1 a6 a10 a5 a1
a3 a12 a7 a11 a8
a2 a5

D1 D2

รูป 6.9 แสดงกราฟแบบออยเลอร์ D1 และกราฟท่ีมีรอยเดินแบบออยเลอร์ D2

จากรูป 6.9 จะเห็นวา่ กราฟ D1 มีทวั ร์แบบออยเลอร์ คือ a1 a2 . . . a13 ดงั น้นั D1
เป็ นกราฟแบบออยเลอร์ แต่ D2 มีรอยเดินแบบออยเลอร์ คือ a1 a2 a3 a4 a5 ซ่ึงไม่มีทวั ร์
แบบออยเลอร์ ดงั น้นั D2 ไมเ่ ป็นกราฟแบบออยเลอร์


ทฤษฎบี ท 6.2 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางที่เป็นกราฟเช่ือมโยงท่ีมีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงอาร์ค จะ
ไดว้ า่ D เป็นกราฟแบบออยเลอร์ ก็ต่อเม่ือ odD(v) = idD(v) สาหรับจุดยอด v ใด ๆใน D
พสิ ูจน์ () ให้ D เป็นกราฟแบบออยเลอร์ ท่ีมีทวั ร์แบบออยเลอร์ T และให้ v เป็น
จุดเริ่มตน้ และจุดสิ้นสุดของ T จะไดว้ า่ มีจุดยอด u ซ่ึง u  v ใน T ที่มีอาร์คเขา้ และออก
อยา่ งละเส้น ดงั น้นั u มีระดบั ข้นั เขา้ เป็ น 1 และระดบั ข้นั ออกเป็น 1 เนื่องจากแตล่ ะอาร์คที่
ประชิดกบั u มีลกั ษณะเขา้ และออกเป็นคู่ ๆ ดงั น้นั odD(u) = idD(u) และท่ีจุดยอด v จะมี
ลกั ษณะเช่นเดียวกนั กบั u ดงั น้นั odD(v) = idD(v)

() สมมุติ D เป็นกราฟระบุทิศทางที่เป็นกราฟเช่ือมโยง และมี odD(v) = idD(v)
สาหรับทุกจุดยอด v ใน D จะพิสูจนว์ า่ D เ ป็นกราฟแบบออยเลอร์โดยวธิ ีอุปนยั ทาง
คณิตศาสตร์บนจานวนอาร์ค q ของ D

บทท่ี 6 กราฟระบุทิศทาง 179

ถา้ q = 1 คือ D มีอาร์คเดียว ใหเ้ ป็นอาร์ค a ซ่ึงมี u เป็นจุดเริ่มตน้ และ v เป็น

จุดสิ้นสุด จะไดว้ า่ u = v ถา้ ไมเ่ ช่นน้นั จะทาให้ odD(v) = 0 แต่ idD(v) = 1 หรือ odD(u) = 1
แต่ idD(u) = 0 ซ่ึงขดั แยง้ กบั สมมุติฐาน ดงั น้นั a เป็นวงวน ซ่ึงเป็นทวั ร์แบบออยเลอร์ใน D

ถา้ q = 2 โดยสมมุติฐาน จะไดว้ า่ ท้งั สองอาร์คเป็ นวงวนบนจุดยอดเดียวหรือไมก่ ็

เป็นสองอาร์คบนสองจุดยอด ดงั รูป 6.10 ดงั น้นั ทาใหไ้ ดท้ วั ร์แบบออยเลอร์ใน D

u a2 u a1 v
a1 a2

รูป 6.10 แสดงกราฟแบบออยเลอร์ท่ีมีจานวนสองอาร์ค

สมมุติวา่ q  3 ให้ u เป็นจุดยอดใด ๆ ใน D เนื่องจาก odD(u) > 0 ดงั น้นั จะมี
รอยเดิน W ใน D โดยให้ u เป็นจุดเร่ิมตน้

ถา้ Wมีจุดสิ้นสุดเป็น u จะไดร้ อยเดินปิ ด u – v ใน D
ถา้ Wมีจุดสิ้นสุดเป็น v ซ่ึง u  v แลว้ ตอ้ งมีอาร์ค a ใน D ออกจาก v ที่ไมอ่ ยใู่ น
W ดงั น้นั สามารถเพ่มิ เส้นเช่ือมในรอยเดิน W ไป u ได้ สมมุติเป็นรอยเดิน W

ถา้ W บรรจุทุกอาร์คใน D แลว้ W เป็ นทวั ร์แบบออยเลอร์ จะไดว้ า่ D เป็น
กราฟแบบออยเลอร์ แต่ถา้ มีบางอาร์คไม่อยใู่ น W แลว้ ใหล้ บอาร์คเหล่าน้ีออกแลว้ นา
จุดยอดเอกเทศที่ไดพ้ ร้อมดว้ ยอาร์คท่ีลบออกสร้างกราฟระบุทิศทาง D เนื่องจากแต่ละ
จุดยอด v W มี odW(v) = idW(v) ดงั น้นั odD(v) = id D(v) ทุกจุดยอด v  D และจะ
ไดว้ า่ D เป็นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ D ท่ีมีจานวนเส้นเช่ือมนอ้ ยกวา่ q ดงั น้นั โดย
สมมุติฐาน จะไดว้ า่ ทุกกราฟยอ่ ย D ของ D เป็นกราฟแบบออยเลอร์ แต่ D เป็นกราฟ
เชื่อมโยง ดงั น้นั กราฟยอ่ ย D เหล่าน้ี จะมีจุดยอดร่วมกบั W ซ่ึงทาใหเ้ กิดทวั ร์แบบ
ออยเลอร์กบั W ในระหวา่ งจุดยอดร่วมเหล่าน้ี นน่ั คือ D มีทวั ร์แบบออยเลอร์


ทฤษฎบี ท 6.3 ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีเป็นกราฟเชื่อมโยงซ่ึงมีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุด
จะไดว้ า่ D มีรอยเดินแบบออยเลอร์ ก็ต่อเม่ือ D มีจุดยอด u และ v ท่ี odD(u) = idD(u)+1
และ idD(v) = odD(v)+1 โดยที่ u , v เป็นจุดเร่ิมตน้ และจุดสิ้นสุดของรอยเดินตามลาดบั
และ odD(w) = idD(w) สาหรับจุดยอด w ใด ๆ ใน D ท่ี w  u , v
พสิ ูจน์ () ให้ D บรรจุรอยเดินแบบออยเลอร์ W ที่มีจุดเริ่มตน้ ที่ u และจุดสิ้นสุดที่
v โดยทฤษฎีบท 6.2 จะไดว้ า่ odD(w) = idD(w) สาหรับทุกๆ w ที่ w  u , v เนื่องจากมี

180 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

อาร์คเส้นแรกที่มีจุดเริ่มตน้ ที่ u ในขณะท่ีอาร์คอื่นๆจะเขา้ u ทีละหน่ึงและออกจาก u ทีละ
หน่ึง ดงั น้นั odD(u) = idD(u) + 1 ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ idD(v) = odD(v) + 1

() ให้ D มีจุดยอด u , v ที่ odD(u) = idD(u) + 1 และ idD(v) = odD(v) + 1 และ
odD(w) = idD(w) สาหรับทุกๆ w ท่ีที่ w  u , v ใน D ถา้ เพ่ิมอาร์ค a เชื่อมจาก v ไป u จะ
ไดก้ ราฟระบุทิศทางใหม่ ใหเ้ ป็นกราฟ F ท่ี idD(v) = odD(v) , idD(u) = odD(u) และ idD(w) =
odD(w) สาหรับทุกๆ w เน่ืองจาก idD(x) = odD(x) สาหรับทุกจุดยอด xใน F โดยทฤษฎีบท
6.2 จะไดว้ า่ F เป็นกราฟแบบออยเลอร์ ให้ T เป็นทวั ร์แบบออยเลอร์ซ่ึงมีอาร์ค a T ถา้
ลบอาร์ค a ออกจาก T จะไดว้ า่ T – a เป็นรอยเดินแบบออยเลอร์ใน D ซ่ึงเริ่มตน้ ที่จุดยอด
u และสิ้นสุดที่ v ตามตอ้ งการ


ทฤษฎีบท 6.2 และ 6.3 สามารถตรวจสอบกราฟระบุทิศทางที่จะเป็นกราฟแบบ
ออยเลอร์หรือกราฟที่มีรอยเดินแบบออยเลอร์ไดโ้ ดยใชร้ ะดบั ข้นั เขา้ และระดบั ข้นั ออกของ
จุดยอด เช่นในรูป 6.9 ที่ผา่ นมา

แบบฝึ กหัด 6.2

1. จงหา odD(v) และ idD(v) ของแตล่ ะจุดยอดของกราฟระบุทิศทาง D ในแบบฝึกหดั 6.1
ขอ้ 1.
2. กราฟระบุทิศทาง D จะถูกเรียกวา่ กราฟระบุทศิ ทางปกติระดบั ข้นั k (k- regular graph)
ถา้ odD(v) = idD(v) = k สาหรับทุกจุดยอด vD

2.1 จงยกตวั อยา่ งของกราฟระบุทิศทางปกติระดบั ข้นั 1 ที่มีจุดยอด n จุด , n  2
2.2 จงยกตวั อยา่ งของกราฟระบุทิศทางปกติระดบั ข้นั 2 ท่ีมีจุดยอด 5 จุด
2.3ให้ n  1 และ 0  k  n จงพสิ ูจน์วา่ มีกราฟ D ที่เป็นกราฟระบุทิศทางปกติ
ระดบั ข้นั k ท่ีมีจุดยอด n จุด
3. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีมีจุดยอดเป็นจานวนคี่จุด จงพิสูจน์วา่ ถา้ ทุกจุดยอดของ D
มีระดบั ข้นั ออกเป็ นระดบั ข้นั ค่ีแลว้ D จะมีจุดยอดท่ีมีระดบั ข้นั ออกเป็นระดบั ข้นั ค่ีจานวนค่ี
จุด

บทท่ี 6 กราฟระบุทิศทาง 181

4. กราฟระบุทิศทางดงั รูปต่อไปน้ี กราฟใดเป็นกราฟแบบออยเลอร์และกราฟใดที่มี
รอยเดินแบบออยเลอร์

5. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางที่เป็นกราฟแบบออยเลอร์ จงพิสูจน์วา่ D เป็นกราฟเชื่อมโยง
แบบเขม้
6. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีมีรอยเดินแบบออยเลอร์ จงพสิ ูจนว์ า่ D เป็นกราฟ
ยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็ค

7. จงพิสูจน์โดยหลกั อุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน n สาหรับแต่ละ n  1 จะมีกราฟระบุ

ทิศทาง D ท่ีเป็นกราฟเชิงเดียวจานวน n จุดยอด v1, . . . ,vn โดยท่ี odD(vi) = i – 1 และ
idD(vi) = n – 1 สาหรับทุกคา่ i = 1, . . . , n
8. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางซ่ึงทุกจุดยอดมีระดบั ข้นั ออกเป็นบวกหรือทุกจุดยอดมีระดบั
ข้นั เขา้ เป็ นบวก จงพสิ ูจนว์ า่ D มีวฏั จกั ร

9. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง ซ่ึง idD(v)  k ,vD , k เป็นจานวนเตม็ บวก จงพสิ ูจน์
วา่ D มีวฏั จกั รท่ีมีความยาวอยา่ งนอ้ ย k + 1

6.3 ทวั ร์นาเมนต์ (Tournaments)

บทนิยาม 6.3.1 ทวั ร์นาเมนต์ คือ กราฟของการกาหนดทิศทางในกราฟแบบบริบูรณ์

จากบทนิยาม 6.3.1 จะไดว้ า่ ทวั ร์นาเมนต์ คือกราฟระบุทิศทางที่ไมม่ ีวงวนและ
สองจุดยอดใดๆจะมีเพียงอาร์คเดียว และตอ่ ไปน้ีเป็นลกั ษณะของทวั ร์นาเมนตท์ ่ีไม่สม
สณั ฐานกนั ของกราฟแบบบริบรู ณ์ที่มีจุดยอดไมเ่ กิน 4 จุด แสดงไดด้ งั น้ี

 T3 T4 
T1 T2

182 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

T5 T6 T7 T8

รูป 6.11 ลกั ษณะทวั ร์นาเมนตข์ องกราฟแบบบริบูรณ์ท่ีมีจุดยอดไมเ่ กิน 4 จุด

จะเห็นวา่ กราฟบริบูรณ์ท่ีมี 1 , 2 , 3 และ 4 จุดยอด จะมีทวั ร์นาเมนตท์ ี่ไม่
สมสณั ฐานกนั เป็นจานวน 1 ,1 , 2 และ 4 ลกั ษณะตามลาดบั ส่วนกราฟบริบูรณ์ที่มี
จุดยอด 5 จุด จะมีทวั ร์นาเมนตท์ ี่ไมส่ มสัณฐานกนั เป็นจานวน 12 ลกั ษณะ และกราฟ
บริบูรณ์ท่ีมี 10 จุดยอด จะมีทวั ร์นาเมนตท์ ี่ไมส่ มสัณฐานกนั มากกวา่ 9 ลา้ นลกั ษณะ

จากรูป 6.11 T5 เป็นทวั ร์นาเมนตม์ ีวฏั จกั รที่มีความยาวมากสุดเป็น 4
T6 มีวฏั จกั รที่มีความยาวเป็น 3 และมีจุดยอดที่มีระดบั ข้นั เขา้ เป็ น 3
T7 มีวฏั จกั รที่มีความยาวเป็น 3 และมีจุดยอดท่ีมีระดบั ข้นั ออกเป็น 3
T8 ไม่มีวฏั จกั รท่ีมีความยาวเป็น 3

ทวั ร์นาเมนตเ์ ป็นกราฟระบุทิศทางที่ใชบ้ นั ทึกผลการแข่งขนั เกมในลกั ษณะท่ีพบ
กนั หมด ตวั อยา่ งในรูป 6.12 ตอ่ ไปน้ี แสดงผลการแขง่ ขนั แบบพบกนั หมด โดยท่ี v เป็น
ผชู้ นะทุกคร้ังและ y เป็นผแู้ พท้ ุกคร้ัง ส่วน x, w, z เป็นผชู้ นะ 2 คร้ัง แพ้ 2 คร้ัง

v

zw

y x

รูป 6.12 กราฟแสดงผลการแขง่ ขนั แบบพบกนั หมด

จะเห็นวา่ จุดยอด v มีระดบั ข้นั ออกมากท่ีสุดคือ 4 และมีวถิ ีจาก v ไปแตล่ ะจุดยอด
อื่นความยาวไมเ่ กิน 2

ทฤษฎบี ท 6.4 ให้ v เป็นจุดยอดใด ๆ ที่มีระดบั ข้นั ออกมากท่ีสุดในทวั ร์นาเมนต์ T จะไดว้ า่
สาหรับทุก ๆ จุดยอด w T จะมีวถิ ีจาก v ไป w ความยาวมากที่สุดเป็น 2
พสิ ูจน์ ให้ T เป็นทวั ร์นาเมนต์ และ v เป็นจุดยอดใน T ให้ odT(v) = m และให้
จุดยอด v1 , v2 , . . . , vm ประชิดกบั v ถา้ T มี n จุดยอด จะไดว้ า่ ยงั เหลือจุดยอดท่ีประชิด

บทที่ 6 กราฟระบทุ ิศทาง 183

กบั v จานวน n – m –1 ใหเ้ ป็ นจุดยอด u1 , u2 , . . . , un – m - 1 เน่ืองจาก vi , 1  i  m
ประชิดกบั v ดงั น้นั วถิ ี v – vi มีความยาวเป็น 1 จะตอ้ งแสดงวา่ มีวถิ ี v – uj , 1  j 
n – m – 1 ความยาวเป็น 2 สาหรับจุดยอด uj ถา้ มีอาร์คจาก vi ไป uj สาหรับบางคา่ I
จะไดว้ า่ vviuj เป็นวถิ ีความยาว 2 ตามตอ้ งการ

สมมุติวา่ มีจุดยอด uk , 1  j  n – m – 1 ที่จุดยอด vi , 1  i  m ไม่มีอาร์ค
จาก vi ไป uk เน่ืองจาก T เป็ นทวั ร์นาเมนต์ ดงั น้นั จะตอ้ งมีอาร์คจาก uk ไป vi จานวน m
จุดน้นั และเน่ืองจาก มีอาร์คจาก uk ไป v ดงั น้นั odT(uk)  m + 1 เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั
สมมุติฐาน นนั่ คือแตล่ ะ uj ตอ้ งมีอาร์คเช่ือมจาก vi สาหรับบางคา่ i ซ่ึงจะไดว้ ถิ ี vviuj


บทนิยาม 6.3.2 วถิ ีแบบแฮมิลตนั ของกราฟระบุทิศทาง D คือ วถิ ีใน D ที่บรรจุทุกจุดยอด

ของ D

ทฤษฎบี ท 6.5 (Redei , 1934) ทุก ๆ ทวั ร์นาเมนต์ T มีวถิ ีแบบแฮมิลตนั

พสิ ูจน์ ให้ T เป็นทวั ร์นาเมนตท์ ี่มี n จุดยอด จะอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์บน n
ถา้ n = 1, 2 หรือ 3 จะเห็นไดจ้ ากรูป 6.11 วา่ T มีวถิ ีแบบแฮมิลตนั

สมมุติ n  4 และใหท้ ฤษฎีเป็นจริงสาหรับทุกทวั ร์นาเมนตท์ ี่มี n – 1 จุดยอด

ให้ v T จะไดว้ า่ T – v เป็นทวั ร์นาเมนตท์ ี่มี n – 1 จุดยอดและมีวถิ ีแบบ

แฮมิลตนั ตามสมมุติฐาน ให้วถิ ีน้นั เป็ น P = v1v2 . . . vn - 1 ถา้ มีอาร์คจาก v ไป v1 หรือจาก
vn-1 ไป v จะไดว้ า่ v v1v2 . . . vn - 1 หรือ v1v2 . . . vn - 1v เป็ นวถิ ีแบบแฮมิลตนั ใน T

สมมุติวา่ ไม่มีอาร์คจาก v ไป v1 หรือจาก vn - 1 ไป v จะไดว้ า่ จะตอ้ งมีจุดยอด w
อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุดของวถิ ี P ที่มีอาร์คจาก w ไป v ซ่ึง w  vn - 1 ให้ vi เป็นจุดยอดสุดทา้ ย
ของวถิ ี P ดงั น้นั vi +1 ไมเ่ ป็ นตามสมมุติฐานและจะมีอาร์คจาก vi ไป v และอาร์คจาก v ไป
vi + 1 ดงั รูป 6.13

v1 v2 vi v vi+1 
vn-1

รูป 6.13 แสดงวถิ ี P

ดงั น้นั P = v1 v2 . . . vi v vi+1 vi+2 . . . vn - 1 เป็ นวถิ ีแบบแฮมิลตนั ใน D



184 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทนิยาม 6.3.3 วฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ในกราฟระบุทิศทาง D คือ วฏั จกั รที่บรรจุทุกจุดยอด
ของ D และถา้ D มีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั แลว้ จะเรียก D วา่ กราฟแบบแฮมิลตนั

ทฤษฎบี ท 6.6 ใหท้ วั ร์นาเมนต์ T เป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ ท่ีมี n จุดยอด จะไดว้ า่ T
บรรจุวฏั จกั รที่มีความยาวเป็ น 3 , 4 , . . . , n
พสิ ูจน์ ก่อนอื่นจะแสดงวา่ T บรรจุวฏั จกั รที่มีความยาวเป็น 3

ให้ v เป็นจุดยอดใด ๆ ใน T และให้ W แทนเซตของจุดยอด w ท้งั หมดของ T ท่ี
มีอาร์คจาก v ไป w ให้ Z แทนเซตของจุดยอด z ท้งั หมดของ T ท่ีมีอาร์คจาก z ไป v
(เน่ืองจาก T เป็นทวั ร์นาเมนต์ ดงั น้นั WZ =  ) เนื่องจาก T เป็นกราฟเชื่อมโยง
แบบเขม้ ดงั น้นั W   และ Z   และตอ้ งมีอาร์คจาก w W ไป z Z ทาให้
ไดว้ ฏั จกั ร v w zv มีความยาวเป็น 3 ดงั รูป 6.14

W w z Z

v


รูป 6.14 แสดงอาร์คของทวั ร์นาเมนตท์ ี่เป็ นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้

ต่อไปจะใชอ้ ุปนยั ทางคณิตศาสตร์ สมมุติวา่ T มีวฏั จกั ร C ที่มีความยาวเป็น k ซ่ึง

k < n (k  3) จะพสิ ูจน์วา่ T มีวฏั จกั รท่ีมีความยาวเป็ น k + 1

ใหว้ ฏั จกั ร C = v1 v2 . . . vkv1 สมมุติวา่ มีจุดยอด v ท่ี v C ซ่ึงมีอาร์คจาก v ไป vi
และอาร์คจาก vj ไป v , สาหรับบาง vi , vj C จะไดว้ า่ ตอ้ งมี vi C ที่มีอาร์คจาก vi – 1
ไป v และอาร์คจาก v ไป vi ดงั น้นั C = v1 v2 . . . vi – 1v vivi + 1. . . vkv1 เป็ น วฏั จกั รท่ีมี
ความยาวเป็น k + 1 ดงั รูป 6.15

บทที่ 6 กราฟระบุทิศทาง 185

v2 v3 vi – 1
v1  vi

vk  vi + 1
vk – 1

รูป 6.15 แสดงวฏั จกั ร C ท่ีมีความยาวเป็ น k + 1

ถา้ ไม่มีจุดยอด v เป็นดงั ท่ีสมมุติขา้ งบน จะไดว้ า่ เซตของจุดยอดท่ีไม่บรรจุใน
วฏั จกั รสามารถแบ่งเป็ นสองเซต คือ เซตของจุดยอด w ที่อาร์คจาก viไป w สาหรับแต่ละ
i , 1 i  k และเซตของจุดยอด z ซ่ึงมีอาร์คจาก zZ ไป vi สาหรับแตล่ ะ i , 1 i  k
ใหเ้ ป็นเซต W และ Z ตามลาดบั ถา้ W   T จะประกอบดว้ ยจุดยอดของ C และ Z ซ่ึง
โดยนิยามของ Z ไมม่ ีจุดยอดใดใน C มีอาร์คไปจุดยอดใน Z จึงเกิดขอ้ ขดั แยง้ เน่ืองจาก

T เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ ดงั น้นั W ตอ้ งไมเ่ ป็นเซตวา่ งและทานองเดียวกนั Z  
และเน่ืองจาก T เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ T ตอ้ งมีอาร์คจากบางจุดยอด wW ไปบาง

จุดยอด zZ จะไดว้ า่ C= v1 wzv3v4 . . . vkv1 เป็นวฏั จกั รที่มีความยาวเป็น k + 1 ดงั รูป
6.16

vk v1 w W

v2

v4 v3 z Z

รูป 6.16 แสดงวฏั จกั ร C



186 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

บทแทรก 6.7 (Camion , 1959) ทวั ร์นาเมนต์ T เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ก็ต่อเมื่อ T เป็น
กราฟเชื่อมโยงแบบเขม้
พสิ ูจน์ () สมมุติวา่ T มี n จุดยอด ถา้ T เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ แลว้ โดยทฤษฎีบท
6.6 จะไดว้ า่ T มีวฏั จกั ร C ความยาวเป็น n และเน่ืองจาก C บรรจุทุกจุดยอดของ T ดงั น้นั C
เป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั นน่ั คือ T เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

() ให้ T เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ท่ีมีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั คือ C = v1v2. . .
vnv1 จะไดว้ า่ สาหรับจุดยอด vi , vj ใด ๆ ใน T ถา้ i  j แลว้ vj vj+1 . . . vi เป็ นวถิ ี P1 จาก
vjไป vi ในขณะที่ vi vi+1 . . . vn-1 vnv1. . . vj-1 vj เป็ นวถิ ี P2 จาก vi ไป vj (ดงั รูป 6.17) ดงั น้นั
สาหรับแต่ละคูจ่ ุดยอดใด ๆ จะมีวถิ ีเสมอ นนั่ คือ T เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้

v1 v2 vj-1 vj
P2 P1

vn vi+1 vi vj+1

รูป 6.17 แสดงวถิ ี P1 และ P2



แบบฝึ กหัด 6.3

1. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง และ u , v เป็นจุดยอดใน D ถา้ มีวถิ ีจาก u ไป v แลว้ ระยะ
ทาง(distance) จาก u ไป v เขียนแทนดว้ ย d(u ,v) คือ ความยาวของวถิ ีส้ันสุดจาก u ไป v

1.1 จงพิสูจน์วา่ ถา้ u ,v และ w เป็นจุดยอดใน D โดยท่ีมีวถิ ีจาก w ไป v และ v ไป u
แลว้ มีวถิ ีจาก w ไป u และ d(u ,w)  d(u ,v) + d(v ,w)

1.2 พิสูจนว์ า่ ถา้ u ,v เป็นจุดยอดที่แตกต่างกนั ของทวั นาเมนต์ T แลว้
d(u ,v)  d(v ,u) และจงหา d(u ,v) ที่เป็นไปได้

บทที่ 6 กราฟระบุทิศทาง 187

2. ให้ T เป็นทวั นาเมนตท์ ่ีมีอยา่ งนอ้ ย 2 จุดยอด และ U เป็นสับเซตแทข้ อง V(T) ให้ T-U

เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีลบจุดยอดใน U ท้งั หมดและลบอาร์ดที่มีจุดเร่ิมตน้ และจุดสิ้นสุด

ของจุดยอดใน U ท้งั หมด จงแสดงวา่ T-U เป็นทวั นาเมนต์

3. จงพิสูจนว์ า่

3.1 ถา้ มีทีมแข่งขนั 5 ทีม แขง่ ขนั แบบทวั นาเมนตแ์ ลว้ เป็นไปไดว้ า่ ท้งั 5 ทีม มีจานวน

คร้ังการแพช้ นะเทา่ กนั

3.2 ถา้ มีทีมแขง่ ขนั ข้นั 6 ทีม แข่งแบบทวั นาเมนตแ์ ลว้ เป็นไปไม่ไดว้ า่ ท้งั 6 ทีมมี

จานวนคร้ังการแพช้ นะเทา่ กนั

3.3 ถา้ มีทีมแข่งขนั n ทีม n  3 แขง่ แบบทวั นาเมนตแ์ ลว้ ท้งั n ทีมมีความเป็นไปไดท้ ี่

จะมีจานวนคร้ังการแพช้ นะเท่ากนั กต็ อ่ เมื่อ n เป็นจานวนคี่
4. ให้ T เป็นทวั นาเมนตใ์ ด ๆ จงพสิ ูจนว์ า่ T (คอนเวอร์สของ T ) และ T (ส่วนเติมเตม็ ของ

T) สมสัณฐานกนั

5. ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทางท่ีเป็นกราฟอยา่ งง่าย จะเรียก D วา่ กราฟทรานสิทฟี

(Transitive graph) ถา้ มีอาร์คจาก u ไป v และจาก v ไป w แลว้ มีอาร์คจาก u ไป w

5.1 จงพิสูจนว์ า่ ทวั นาเมนต์ T เป็นกราฟทรานสิทีฟ ก็ต่อเม่ือ T มีวถิ ีแบบแฮมิลตนั เพยี ง

แบบเดียวเทา่ น้นั

5.2 จงใหต้ วั อยา่ งทวั นาเมนต์ T ท่ีมี 4 จุดยอด ท่ีไม่เป็นกราฟทรานสิทีฟ (แสดงไม่

เป็นไปตามบทนิยามหรือขอ้ 5.1)

5.3 จงใหต้ วั อยา่ งทวั นาเมนต์ T ท่ีมี 4 จุดยอดท่ีเป็นกราฟทรานสิทีฟ และจงหาวถิ ีแบบ

แฮมิลตนั ท่ีมีเพียงแบบเดียวใน T

5.4 จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ กราฟระบุทิศทาง D ท่ีเป็นกราฟเชิงเดียว มีวฏั จกั รความยาวเป็ น 3

แลว้ D จะไมเ่ ป็นทรานสิทีฟ และบทกลบั การพสิ ูจนน์ ้ีจริงหรือไม่

5.5 จงพสิ ูจนว์ า่ ทวั นาเมนต์ T เป็นกราฟทรานสิทีฟ ก็ต่อเม่ือ T ไมม่ ีวฏั จกั ร

6. ใหค้ ะแนน (Score) ของจุดยอด v ในทวั นาเมนต์ T คือระดบั ข้นั ออกของ v ถา้ T มีจุด

ยอดเป็ น v1, v2, . . ,vnซ่ึง odT(v1)  odT(v2)  . . .  odT(vn) แลว้ ลาดบั (odT(v1),
odT(v2), . . . , odT(vn)) จะเรียกวา่ ลาดบั คะแนน (Score sequence) ของ T

6.1 จงหาลาดบั คะแนนของทวั ร์นาเมนตท์ ้งั หมดที่มี 4 จุดยอด

6.2 จงพิสูจนว์ า่ ถา้ (s1, . . . ,sn) เป็นลาดบั คะแนนของทวั นาเมนต์ T
n
แลว้ i  1 s i  n(n 1)
2

188 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

6.3 จงเขียนรูปทวั นาเมนตท์ ี่มีลาดบั คะแนนเป็ น (0,1,2,3,4,)
6.4 มีทวั นาเมนตท์ ่ีมีลาดบั คะแนน (3,3,3,3,3) หรือไม่
6.5 จงพสิ ูจน์วา่ ทวั นาเมนตท์ ่ีมี n จุดยอด เป็นกราฟทรานสิทีฟ ก็ตอ่ เม่ือ T มีลาดบั

คะแนน(0, 1, 2, . . . , n – 1)

6.4 แทรฟฟิ คโฟลว์ (Traffic Flow)
การแกป้ ัญหาการจราจรในเมืองๆหน่ึงบางคร้ังกาหนดใหม้ ีการเดินรถทางเดียวจากที่

หน่ึงจะตอ้ งเดินทางไปไดค้ รบทุกที่ ซ่ึงเราสามารถเขียนกราฟโดยใชเ้ ส้นเช่ือมแทนถนน
และจุดยอดแทนส่วนตา่ งๆของเมือง แลว้ กาหนดทิศทางใหเ้ ป็นกราฟน้นั โดยการใส่ลูกศร
บทนิยาม 6.4.1ให้ G เป็นกราฟ จะเรียก G วา่ กราฟกาหนดทศิ ทางได้ (orientable graph)
ถา้ G สามารถกาหนดทิศทางใหเ้ ป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ ได้
ตวั อย่าง 6.4.1 ให้ G และ H เป็นกราฟดงั รูปต่อไปน้ี

uv

GH

รูป 6.18 แสดงกราฟ G ที่ไมเ่ ป็ นกราฟกาหนดทิศทางได้ และ H ซ่ึงเป็ นกราฟกาหนดทิศทางได้

จากรูป 6.18 ในการกาหนดทิศทางใหก้ บั G จะไดว้ ถิ ีจาก u ไป v แตไ่ มม่ ีวถิ ี v ไป
u หรือไดว้ ถิ ีจาก v ไป u แตไ่ มม่ ีวถิ ีจาก u ไป v ดงั น้นั G ไมเ่ ป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ ได้
นนั่ คือ G ไม่เป็นกราฟกาหนดทิศทางได้ ในขณะท่ี H เป็นกราฟกาหนดทิศทางได้



บทท่ี 6 กราฟระบทุ ิศทาง 189

ทฤษฎบี ท 6.8 (Robbins , 1939) กราฟ G เป็นกราฟกาหนดทิศทางได้ ก็ตอ่ เมื่อ G เป็น
กราฟเช่ือมโยงและไม่มีสะพาน

พสิ ูจน์ () สมมุติวา่ G ไมเ่ ป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ Gไม่สามารถกาหนดทิศทางให้
เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ ได้

ให้ G มีสะพานเป็น e = uv ถา้ กาหนดทิศทางจาก u ไป v จะไดว้ า่ จะไมม่ ีวถิ ีจาก
v ไป u ได้ ดงั น้นั G ไม่สามารถกาหนดทิศทางใหเ้ ป็นกราฟแบบเขม้ ได้ นนั่ คือ ถา้ G เป็ น
กราฟกาหนดทิศทางได้ แลว้ G เป็นกราฟเชื่อมโยงและไม่มีสะพาน

() สมมุติวา่ G เป็นกราฟเชื่อมโยงและไม่มีสะพาน
สาหรับกราฟยอ่ ยที่อินดิวส์โดยจุดยอด v ของ G เพียงจุดยอดเดียว แต่ละวงวนของ
v ทาใหเ้ ป็นอาร์ค จะไดว้ า่ กราฟยอ่ ยน้ีเป็ นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ เลือกเซตของจุดยอด
U ใหญ่ท่ีสุด ซ่ึง U  V ท่ีทาให้ H = G[U] เป็นกราฟกาหนดทิศทางได้
ถา้ H = G จะไดว้ า่ G เป็นกราฟระบุทิศทางได้

สมมุติ H  G นน่ั คือ U  V เลือก uU , v U
เนื่องจาก H เป็นกราฟกาหนดทิศทางได้ ดงั น้นั เรากาหนดทิศทางเส้นเช่ือม

ของ H ทาใหไ้ ดก้ ราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ D เน่ืองจาก G เป็ นกราฟเชื่อมโยงและไม่มีสะพาน
จะไดว้ า่ มีวถิ ีจาก u ไป v สองวถิ ีท่ีไม่มีเส้นเช่ือมร่วมกนั ใน G ใหเ้ ป็น

P = u0u1 . . . um – 1v และ P= v0v1 . . . vn – 1v ซ่ึง u0 = v0 = u
เนื่องจาก uH แต่ v H ดงั น้นั จะมีจุดยอด ui P ซ่ึงจุดยอดสุดทา้ ยใน P
อยใู่ น H และมีจุดยอด vjP ซ่ึงจุดยอดแรกใน P อยใู่ น H ให้ Q และ Q เป็นส่วนหน่ึง
ของ P และ P ที่มีจุดยอดเริ่มตน้ ท่ี ui และ vj ตามลาดบั หรือ Q = uiui+1 . . . um – 1v และ
Q = vj vj+1 . . . vn – 1v กาหนดทิศทางบนเส้นเช่ือมใน Q จาก ui ไป ui+1 , ui+1ไป ui+2 และ
เรื่อยๆ และเช่นกนั ใน Q จาก v ไป vj – 1 , vj – 1 ไป vj – 2 และเร่ือยๆ ดงั รูป 6.19

D ui Q v
u vj Q

รูป 6.19 แสดงวถิ ี Q และ Q

190 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ให้ D เป็นกราฟระบุทิศทาง ท่ีประกอบดว้ ยจุดยอดใน U และจุดยอดท้งั หมด
ของ Q และ Q และอาร์คท้งั หมดของ D พร้อมดว้ ยอาร์คบน Q และ Q เน่ืองจาก D เป็น
กราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ และวถิ ี Q ติดตอ่ กนั กบั Q ทาใหม้ ีวถิ ีจาก uiไป vj ซ่ึงจะเห็นวา่ D
เป็นกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ เน่ืองจาก D มีจุดยอดมากกวา่ D อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุดคือ v
ดงั น้นั เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั ที่ให้ U เป็นเซตยอ่ ยของจุดยอดของ G ที่ใหญท่ ่ีสุดท่ีทาใหเ้ กิดกราฟ
ยอ่ ยท่ีกาหนดทิศทางได้ ดงั น้นั H = G


สาหรับกราฟเช่ือมโยงท่ีไมม่ ีสะพาน ฮอพครอฟต์ (J.E. Hopcroft)และทาร์จาน (R.
Tarjan) ไดแ้ สดงข้นั ตอนวธิ ีสร้างกราฟกาหนดทิศทาง (Clark & Holton, 1991) ดงั น้ี
ข้นั ตอนวธิ ีของฮอพครอฟต์และทาร์จาน ( Hopcroft and Tarjan algorithm)
ข้นั ท่ี 1. ให้ G เป็นกราฟเช่ือมโยงที่ไม่มีสะพาน
ให้ x เป็นจุดยอดใด ๆ ของ G และระบุคา่ จุดยอด x ใหเ้ ป็น (x) = 1
ให้ L = {x} และ U = V(G) – {x} (L = เซตของจุดยอดที่ถูกระบุคา่ ของ G ,

U = เซตของจุดยอดที่ยงั ไมถ่ ูกระบุค่าของ G)
ให้ A =  (A = เซตของอาร์คท่ีถูกกาหนดทิศทางของ G)
ข้นั ท่ี 2. ให้ v เป็นจุดยอดใน L ท่ีถูกระบุค่าสูงสุดที่ประชิดกบั u, สาหรับบาง uU
ให้ (u) = (v) + 1
แทน L ดว้ ย L + {u} และแทน U ดว้ ย U – {u} (เนื่องจาก u ถูกระบุค่า)
กาหนดทิศทางเส้นเชื่อม vu จาก v ไป u และแทน A ดว้ ย A{(v, u)}
(เนื่องจากมีอาร์คใหมจ่ าก vไป u และสังเกตวา่ แตล่ ะอาร์คใหม่ของ A ไปจาก
จุดยอดท่ีระบุค่าไปจุดยอดที่ระบุคา่ สูงกวา่ )
ข้นั ที่ 3. ถา้ L  V(G) ใหท้ าข้นั ที่ 2.
ข้นั ที่ 4. (ข้นั น้ี จะได้ L = V(G) คือทุกจุดยอดใน G ถูกระบุค่า และ เซต A สามารถ
เขียนเป็น อนั เดอร์ไลอิง้ กราฟที่เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G ได้ แลว้ ตอ้ งแสดง
วา่ G ถูกกาหนดทิศทางบนเส้นเชื่อมท่ีเหลือซ่ึงระบุคา่ ไวต้ า่ งกนั ได)้
สาหรับเส้นเช่ือม xy ใน G ท่ียงั ไม่กาหนดทิศทาง ถา้ (x) > (y) แลว้ ให้
กาหนดทิศทางจาก x ไป y

บทที่ 6 กราฟระบทุ ิศทาง 191

ตวั อย่าง 6.4.2 จงทาใหก้ ราฟ G ดงั รูปตอ่ ไปน้ี เป็นกราฟระบุทิศทางแบบเขม้ โดยใช้
ข้นั ตอนวธิ ีของฮอพครอฟตแ์ ละทาร์จาน

v2 v3 v4

v1 v5 v6
v7 v8 G

รูป 6.20 แสดงกราฟเช่ือมโยง G ท่ีไมม่ ีสะพาน

วธิ ีทา ข้นั ที่ 1. เลือก v1 ระบุค่า ( v1) = 1
ดงั น้นั L = { v1} , U = V(G) – { v1} และ A = 

ข้นั ที่ 2. เลือก v2U  N( v1) (หรืออาจเลือก v7 ก็ได)้
ระบุค่า ( v2) = ( v1) +1 = 2
ดงั น้นั L = { v1 , v2 } , U = { v3 , . . . , v8 }
กาหนดทิศทาง v1v2 จาก v1 ไป v2 , A = {( v1 , v2 )}

ข้นั ที่ 3. L  V(G) ไปทาข้นั ท่ี 2.

ข้นั ท่ี 2. เลือก v3U  N( v2) (หรืออาจเลือก v5 หรือ v7 )
ระบุค่า ( v3) = ( v2) + 1 = 3
ดงั น้นั L = { v1 , v2 , v3 } , U = { v4 , . . . , v8 }
กาหนดทิศทาง v2v3 จาก v2 ไป v3 ,
A = {( v1 , v2 ), ( v2 , v3 )}

ข้นั ท่ี 2. เลือก v4U  N( v3) (หรืออาจเลือก v5 หรือ v6 )
ระบุคา่ ( v4) = ( v3) + 1 = 4
ดงั น้นั L = { v1 , . . . , v4 } , U = { v5 , . . . , v8 }
กาหนดทิศทาง v3v4 จาก v3 ไป v4 ,
A = {( v1 , v2 ), ( v2 , v3 ), ( v3 , v4 )}

ข้นั ท่ี 2. เลือก v6U  N( v4) (ไมม่ ีจุดยอดอ่ืนใหเ้ ลือก)
ระบุค่า ( v6) = ( v4) + 1 = 5

192 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ดงั น้นั L = { v1 , . . . , v4 , v6 } , U = { v5 , v7 , v8 }
กาหนดทิศทาง v4v6 จาก v4 ไป v6 ,
A = {( v1 , v2 ), ( v2 , v3 ), ( v3 , v4 ), ( v4 , v6 )}
ข้นั ท่ี 2. ขณะน้ี v3 เป็นจุดยอดท่ีถูกระบุค่าสูงสุด(=3)ที่เช่ือมกบั จุดยอดท่ียงั
ไม่ระบุคา่

เลือก v5U  N( v3) (ไมม่ ีจุดยอดอื่นให้เลือก)
ระบุค่า ( v5) = ( v3) + 1 = 4
ดงั น้นั L = { v1 , . . . , v6 } และ U = { v7 , v8 }
กาหนดทิศทาง v3v5 จาก v3 ไป v5
ดงั น้นั A = {( v1 , v2 ), ( v2 , v3 ), ( v3 , v4 ), ( v4 , v6 ), ( v3 , v5 )}
ข้นั ท่ี 2. ขณะน้ี v5 เป็นจุดยอดท่ีถูกระบุค่าสูงสุด(=4)ที่เช่ือมกบั จุดยอดท่ียงั
ไม่ระบุค่า

เลือก v7U  N( v5) (หรืออาจเลือก v8)
ระบุค่า ( v7) = ( v5) + 1 = 5
ดงั น้นั L = { v1 , . . . , v7 } และ U = { v8 }
กาหนดทิศทาง v5v7 จาก v5 ไป v7
ดงั น้นั A = {( v1 , v2 ), ( v2 , v3 ), ( v3 , v4 ), ( v4 , v6 ), ( v3 , v5 ),( v5 , v7 )}
ข้นั ที่ 2. เลือก v8U  N( v7) (ไม่มีจุดยอดอื่นให้เลือก)
ระบุคา่ ( v8) = ( v7) + 1 = 6
ดงั น้นั L = V(G) และ U  
กาหนดทิศทาง v7v8 จาก v7 ไป v8
ดงั น้นั A = {( v1 , v2 ), ( v2 , v3 ), ( v3 , v4 ), ( v4 , v6 ), ( v3 , v5 ),
( v5 , v7 ),( v7 , v8 )}
ถึงตอนน้ี การกาหนดทิศทางใหก้ บั G จะไดเ้ ป็ นอนั เดอร์ไลอิง้ กราฟที่เป็นตน้ ไม้
แบบทอดขา้ มของ G ดงั รูป 6.21

บทที่ 6 กราฟระบทุ ิศทาง 193

v2 v3 v4 4
2 3

v1 1 4 v5 5
5  v6
v7 6
 v8

รูป 6.21 แสดงส่วนหน่ึงของการกาหนดทิศทางใหก้ บั กราฟ G ในรูป 6.20

ข้นั ท่ี 3. ขณะน้ี จะไดว้ า่ L = V(G)
ข้นั ที่ 4. เส้นเชื่อมของ G ท่ียงั ไมถ่ ูกกาหนดทิศทาง คือ v1v3 , v1v7 , v2v5 , v2v7 ,

v3v6 และ v5v8
ใหก้ าหนดทิศทางจากจุดยอดที่ถูกระบุค่ามากกวา่ ไปจุดยอดที่ถูกระบุนอ้ ยกวา่

ดงั น้นั การกาหนดทิศทางให้กบั Gโดยข้นั ตอนวธิ ีของฮอพครอฟตแ์ ละทาร์จาน
ดงั กล่าว จะไดก้ ราฟระบุทิศทาง D ที่เป็นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ ดงั รูป 6.22

v2 2 v3 3 v4 4

v1 1 4 v5 5
5 6  v6
v7  v8

D

รูป 6.22 แสดงกราฟระบุทิศทาง D ที่เป็ นกราฟเช่ือมโยงแบบเขม้



194 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหดั 6.4

1. ให้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั จงพสิ ูจน์วา่ G เป็นกราฟระบุทิศทางได้ (โดยไมต่ อ้ งใช้
ทฤษฎีที่ 6.9)
2. จงยกตวั อยา่ ง การสร้างกราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ ในกราฟแบบบริบูรณ์ Kn , n  3 และ
กราฟสองส่วนแบบบริ บูรณ์ที่ไม่เป็ นกราฟดาว
3. จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ G เป็นกราฟเช่ือมโยงและไม่มีสะพาน แลว้ ระหวา่ งสองจุดยอด u ,v ที่
ต่างกนั ใด ๆ ใน G จะมีสองวถิ ีท่ีไมม่ ีเส้นเช่ือมร่วมกนั
4. จงใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของฮอพครอฟตแ์ ละทาร์จาน เพ่อื หากราฟเช่ือมโยงแบบเขม้ ของกราฟ
ตอ่ ไปน้ี