ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

บทที่ 8 การจบั คู่ 245

หาวถิ ีแต่งเติมของ M
ให้ U ={ x1} , O = { x1} , I =  , T =  , T= 
พจิ ารณา x1 จะไดด้ งั รูป

x2 x3 O
I
y2 y3
x1

พจิ ารณา x2 จะไดด้ งั รูป y4 y5 I
y1 x3

x2 O

y2 y3 I

x1
จะไดว้ า่ y1 ไมเ่ ป็นจุดยอดในเซตจบั คู่ M
ดงั น้นั x1 ,y2 , x2 ,y1 เป็ นวถิ ีแตง่ เติมของ M ในกราฟ G

ให้ M = (M- {y2 x2})  { x1y2 , x2y1}) x5
x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4 y5

รูป 8.15 แสดงเซตจบั คู่ M ใน G

246 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

หาวถิ ีแต่งเติมของ M
ให้ U ={ x4} , O = { x4} , I =  , T = , T= 
พจิ ารณา x4 จะไดด้ งั รูป

x1 x3 O

y2 y3 I
พิจารณา x1 , x3 จะไดด้ งั รูป x4

x1 x3 O

y2 y3 I

x4
ดงั น้นั M เป็นเซตจบั คูส่ ูงสุด ให้ M = M
ข้นั ท่ี 3 ตรวจสอบการเป็นเซตจบั คูส่ มบูรณ์
เน่ืองจาก M ไมเ่ ป็นเซตจบั คู่สมบูรณ์ ดงั น้นั M ไมเ่ ป็นเซตจบั คู่เหมาะท่ีสุด
ให้ H เป็นตน้ ไมข้ องวถิ ีสลบั ของ M ในข้นั ท่ี 2
ข้นั ท่ี 4 สร้างฟังกช์ นั  ของการระบุจุดยอดเหมาะสมใหม่ใหก้ บั G และหา G ดงั น้ี
ให้ S = min { (x1)- w( x1y1) , (x1)- w( x1y4) , (x1)- w( x1y5) ,
(x3)- w( x3y5) , (x4)- w( x4y1) , (x4)- w( x4y4) , (x4)- w( x4y5)}
= min { 2 , 1, 4 , 4 , 1 , 1 , 1 } = 1
ผลการหา  ไดด้ งั เมตริกซ์

บทที่ 8 การจบั คู่ 247

2   1 4

2    4 
  3

 1  1 1 
 
    

ดงั น้นั จะไดฟ้ ังกช์ นั ที่ระบุจุดยอดเหมาะสมใหม่ ใหเ้ ป็ น  และกราฟภาวะเทา่ กนั

G ดงั น้ี

y1 y2 y3 y4 y5 (xi)
x1 3 5 5 4 1 4 x1 x2 x3 x4 x5

x2 2 2 0 2 2 2
x3 2 4 4 1 0 3

x4 0 1 1 0 0 0
x5 1 2 1 3 3 3
(yj) 0 1 1 0 0 y1 y2 y3 y4 y5

รูป 8.16 แสดงฟังกช์ นั  และกราฟ G

ข้นั ท่ี 2 หาเซตจบั คูส่ ูงสุดใน G
ใหเ้ ซตจบั คู่ M = { x1y2 , x2y1 , x3y3 , x5y5 } (รูป 8.16)
หาวถิ ีแตง่ เติม M
ให้ U ={ x4} , O = { x4} , I =  , T =  , T= 
พจิ ารณา x4 จะไดด้ งั รูป

y2 y3 y4 I

x4

248 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

เนื่องจาก y4 ไม่เป็นจุดยอดของเส้นเช่ือมในเซตจบั คู่ M ดงั น้นั x4y4 เป็นวถิ ีแตง่
เติมของ M จะไดว้ า่ M = M{ x4y4} เป็นเซตจบั คู่สมบูรณ์ใน G นนั่ คือ M เป็น
เซตจบั คู่สูงสุดใน G

ดงั น้นั เซตจบั คู่ที่มีน้าหนกั สูงสุด คือ { x1y2 , x2y1 , x3y3 , x4y4 , x5y5} เป็ นเซตจบั คู่
เหมาะท่ีสุดใน G ดงั รูป 8.17

x1 x2 x3 x4 x5

y1 y2 y3 y4 y5

รูป 8.17 แสดงเซตจบั คู่เหมาะท่ีสุดใน G



ส่วนปัญหาการจับคู่ทเ่ี หมาะทส่ี ุดในกราฟทวั่ ไป (optimal matching in a general
graph) เป็นเรื่องค่อนขา้ งยงุ่ ยาก แต่ยงั มีข้นั ตอนวธิ ีของเอด็ มนั ดส์-จอร์นสัน (Edmonds-
Johnson algorithm) ใชแ้ กป้ ัญหาได้ ซ่ึงไมข่ อกล่าวในท่ีน้ี

บทนิยาม 8.4.3 ให้ G เป็นกราฟและ M เป็นเซตจบั คูใ่ น G จะไดว้ า่ วถิ ีแต่งเตมิ ถ่วงนา้ หนัก
ของ M (weighted M-augmenting path) คือวถิ ีสลบั P โดยที่ ผลรวมของน้าหนกั ของเส้น
เชื่อมของ P ท่ีไมอ่ ยใู่ น M มากกวา่ ผลรวมของน้าหนกั ของเส้นเช่ือมใน M และ จุดยอด
แรก(สุดทา้ ย) ของ P ไมเ่ ป็ นจุดยอดปลายของเส้นเชื่อมใน M ถา้ เส้นเชื่อมแรก(สุดทา้ ย)
ของ P ไมอ่ ยใู่ น M

บทที่ 8 การจบั คู่ 249

ตัวอย่าง 8.4.4 ให้ G เป็นกราฟดงั รูป 8.18 และเซตจบั คู่ M = { x2x4 , x3x5}
x2 x4

x1 x6

x3 x5
G

รูป 8.18 แสดงวถิ ีแตง่ เติมถ่วงน้าหนกั

จากรูป 8.18 จะเห็นวา่ วถิ ี P1 คือ x1, x3, x5, x2, x4 , x6 เป็ นวถิ ีแต่งเติมถ่วงน้าหนกั
ของ M ใน G แต่วถิ ี P2 คือ x1, x2, x4 , x6 ไมเ่ ป็ นวถิ ีแตง่ เติมของ M และจะเห็นวา่ เซตจบั คู่
M มีผลรวมของน้าหนกั เส้นเช่ือมเทา่ กบั 12 แต่เซตจบั คู่ M= (M- { x2x4 , x3x5}){ x1x3 ,
x5x2 , x4x6} มีผลรวมของน้าหนกั เส้นเช่ือมเท่ากบั 13 ดงั น้นั ถา้ G มีวถิ ีแต่งเติมถ่วงน้าหนกั
จะไดว้ า่ G จะมีเซตจบั คู่ขนาดใหญข่ ้ึน

ทฤษฎบี ท 8.9 เซตจบั คู่ M ใน G เป็นเซตจบั คู่ถ่วงน้าหนกั สูงสุด ก็ต่อเมื่อ G ไม่มีวถิ ีแตง่
เติมถ่วงน้าหนกั ของ M
พสิ ูจน์ () ให้ G มีวถิ ีแตง่ เติมถ่วงน้าหนกั P ของ M จะไดว้ า่ โดยใชก้ ารสับเปล่ียนเส้น
เช่ือมที่ไม่อยใู่ น M ของ P ทาใหไ้ ดเ้ ซตจบั คู่ใหม่ M ในวถิ ี P จะไดว้ า่ ผลรวมน้าหนกั เส้น
เช่ือมใน M มากกวา่ วา่ ผลรวมน้าหนกั เส้นเชื่อมใน M ดงั น้นั M ไม่เป็นเซตจบั คู่ถ่วง
น้าหนกั สูงสุดใน G
() สมมุติวา่ M ไม่เป็นเซตจบั คู่ถ่วงน้าหนกั สูงสุดใน G จะตอ้ งแสดงวา่ G มีวถิ ีแตง่ เติม
ถ่วงน้าหนกั ของ M

ให้ M เป็นเซตจบั คู่ถ่วงน้าหนกั สูงสุดใน G และใหก้ ราฟ H = MM โดยทฤษฎี
บท 8.1 จะไดว้ า่ แต่ละกราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ H ตอ้ งเป็นกราฟวฏั จกั รคู่หรือไม่ก็เป็น
กราฟวถิ ีท่ีมีเส้นเช่ือมสลบั กนั ใน M และ M เน่ืองจาก w(M)  w(M) ดงั น้นั ตอ้ งมีอยา่ ง
นอ้ ยหน่ึงกราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ H ที่ผลรวมน้าหนกั เส้นเช่ือมใน M มากกวา่ ผลรวม
น้าหนกั เส้นเชื่อมใน M และกราฟยอ่ ยส่วนประกอบน้ีจะเป็นวถิ ีแต่งเติมถ่วงน้าหนกั ของ
M ใน G



250 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหัด 8.4

1. จงหาเซตจบั คูถ่ ่วงน้าหนกั สูงสุด ในแต่ละกราฟสองส่วนโดยกาหนดน้าหนกั ของเส้น

เช่ือมเป็ นเมตริกซ์ต่อไปน้ี

3 4 8 9 10 7 3 3 5 4

7 5 6 7 4  2 2 5 5 6
1.1 8  1.2 4 7 6 5 2
12 5 9 6 

4 5 9 7 8  4 4 5 6 6
 8 4 2 2 3
7 10 13 6 6 

4 6 6 5 2
3 3 1 3 3
1.3 3 5 5 2 1
1 2 2 1 1
2 3 2 4 4
2. ให้ G เป็ นกราฟถ่วงน้าหนกั และ M = {v1v2 , v3v5 , v6v7} เป็ นเซตจบั คู่ ดงั รูปตอ่ ไปน้ี

v2 v6
1
3 v4 4 v3 v5 3 1 3
v1 4 2 v8

4 1 2

G v7

2.1 จงหาวถิ ีแต่งเติมถ่วงน้าหนกั ของ M ใน G ท่ีเป็นวถิ ี v4- v7 และวถิ ี v1- v6

2.2 เซต M เป็นเซตจบั คูเ่ หมาะที่สุดใน G หรือไม่ อธิบาย

3. ให้ G= (V, E) เป็นกราฟสองส่วน ซ่ึง V = XY โดยท่ี X= Y = m และแตล่ ะ

จุดยอดมีระดบั ข้นั เป็น k , k  1 จงพสิ ูจนว์ า่ G มีเซตจบั คู่สมบูรณ์

บรรณานุกรม

ชะเอม สายทอง. (2544). ทฤษฎกี ราฟ. (คร้ังท่ี 1). กรุงเทพฯ: โอ. เอส. พริ้นติง้ เฮา้ ส์.
นวรัตน์ อนนั ตช์ ่ืน. (2540). ทฤษฎกี ราฟ І. ภาควชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

มหาวทิ ยาลยั ศิลปกร.
นิตย์ ร่ืนรมย.์ (2545). ทฤษฎกี ราฟ. กรุงเทพฯ: มหาวทิ ยาลยั รามคาแหง.
นิตยา ชิงชยั . (ม.ป.ป.). ทฤษฎกี ราฟเบือ้ งต้น. มหาวทิ ยาลยั เชียงใหม่.
นิตยา ณ เชียงใหม่. (ม.ป.ป.). การประยุกต์ของทฤษฎกี ราฟ. มหาวทิ ยาลยั เชียงใหม่.
ยนื ภวู่ รวรรณ. (2003). กราฟ [Online]. Available HTTP: http://web.ku.ac.th/ schoolnet/

snet2/knowlodge_math/graph1.htm [2005, June 9].
วนิดา เหมะกุล. (2521). คณิตศาสตร์ดิสครีต. ภาควชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .
สมชาย ประสิทธ์ิจูตระกลู . (2544). ภนิ ทนคณติ ศาสตร์. (คร้ังที่ 1). กรุงเทพฯ: ด่านสุทธา

การพมิ พ.์
Bondy, J.A. & Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory with Applications. New York /

London: Elsevier / MacMillan.
Caccetta, L. (2004). Network Optimization 202., Faculty of Science, Curtin University

of Technology.
Caldwell, C. K. (2003). Graph Theory Tutorials[Online]. Available HTTP: http://www.

utm.edu/departments/math/graph. [2005, June 9].
Chartrantd, G. & Lesniak, L. (1996). Graphs & Digraphs. (3rd ed.). London: Chapman

& Hall.
Clark, J. & Holton, D. A. (1991). A First Look at Graph Theory. London: World

Scientific.
Connor, J. O. & Robertson, E. F. (1996). Cayley Summary [Online]. Available HTTP:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cayley.html [2005,
December 12].
---------. (1998). Hamilton Summary [Online]. Available HTTP: http://www-groups.
dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/
Hamilton.html [2005, December 12].

252 บรรณานุกรม

Connor, J. O. & Robertson, E. F. (2000). Konigsberg [Online]. Available HTTP:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Konigsberg.html
[2005, December 8].

---------. (2000). Kuratowski Summary [Online]. Available HTTP: http://www-
groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/ Kuratowski.html [2005,
December 12].

---------. (2003). Dirac Summary [Online]. Available HTTP: http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dirac.html [2005, December 12].

---------. (2003). Heawood Summary [Online]. Available HTTP: http://www-
groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Heawood.html [2005,
December 12].

---------. (2003). Kempe Summary [Online]. Available HTTP: http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Mathematicians/Kempe.html [2005, December 12].

---------. (2005). Euler Portraits [Online]. Available HTTP: http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/PictDisplay/Euler.html [2005, September 9].

Goodaire, E. G. & Parmenter, M. M. (2002). Discrete Mathematics with Graph
Theory. Prentice-Hall.

Gross, J. & Yallen, J. (1999). Graph Theory and Its Applications. Florida: CRC.
Harary, F. (1972). Graph Theory. Addision-Wesley Publishing.
Malik, D.S. & Sen, M.K. (2004). Discrete Mathematical Structures: Theory and

Applications. Boston: Thomson Learning.
Richards, H. (2002). E.W.Dijkstra Archive [Online]. Available HTTP: http://

www.cs.utexas.edu/users/EWD/welcome.html [2006, February 1].
Tucker, A. (1980). Applied Combinatorics. (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons.
Weisstein, E. W. (1999). Graph [Online]. Available HTTP: http://mathworld.wolfram.

com/Graph.html [2005, June 9].
Wilson, R. J. (1996). Introduction to Graph Theory. (4th ed.). Harlow England:

Longman Group.

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก

ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝึกหดั 257

แบบฝึกหดั 1.1 เฉลยแบบฝึ กหดั
1. 1.2
A
C

B

แบบฝึกหดั 1.2
1. 28 และ 40 ตามลาดบั
2. G2 เป็ น แต่ G1 , G3 ไมเ่ ป็ น

แบบฝึกหดั 1.3
1. A, B และ C มีระดบั ข้นั เป็น 6, 6 และ 4 ตามลาดบั
2. 2.1 40

2.2 18
2.3 มีหลายผลเฉลย เช่น มี 20 จุดถา้ ระดบั ข้นั เป็ น 2

หรือ มี 5 จุดถา้ ระดบั ข้นั เป็ น 8
3. 3.1 มี

3.2 ไม่มี
3.3 มี
4. 4.1 ไมไ่ ด้
4.2 สร้างได้
4.3 สร้างได้

258 ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝึกหดั 1.5
1. 1.1 แนวเดินความยาวเป็น 4

1.2 ไมเ่ ป็นแนวเดิน
1.3 วถิ ีความยาวเป็น 4
1.4 วฏั จกั รความยาว 5
2. 2.1 เช่น a b c d c a
2.2 เช่น a b c d a
2.3 เช่น a b c a
3. 3.1 เช่น b a a d c b c d
3.2 เช่น a b c d a ความยาวเป็น 4

แบบฝึกหดั 1.6
1. 1.1 สมสณั ฐานกนั

1.2 ไมส่ มสณั ฐานกนั
1.3 ไมส่ มสณั ฐานกนั
1.4 ไม่สมสณั ฐานกนั
3. 3.2 กราฟ P4 , C5

แบบฝึกหดั 2.1
1. 7 และ 23 ตามลาดบั

แบบฝึกหดั 2.2
2. 2.1 18 จุด

2.2 20 เส้น
3. 28 จุด

แบบฝึกหดั 2.3
1. แตล่ ะกราฟมีตน้ ไมท้ ่ีไม่สมสณั ฐานกนั จานวน 3 ลกั ษณะ

ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝึกหดั 259

แบบฝึกหดั 3.1
1. G1 เป็นกราฟแบบออยเลอร์

G2 ไมเ่ ป็นกราฟแบบออยเลอร์แต่มีวถิ ีแบบออยเลอร์
G3 ไมม่ ีวถิ ีแบบออยเลอร์

5. ได้ โดยให้ B หรือ E เป็นจุดเริ่มตน้ และให้ E หรือ B เป็นจุดสิ้นสุด
ตามลาดบั

7. ได้

แบบฝึกหดั 3.2
1. G1 ทาได้ 3 วธิ ีคือเพ่มิ เส้นเช่ือม cb, bf หรือ ce, ef หรือ cb, be, ef

ซ่ึงตา่ งมีผลรวมน้าหนกั นอ้ ยสุดของเส้นเชื่อมที่เพิม่ เป็น 9
G2 ทาไดโ้ ดยเพม่ิ เส้นเชื่อม ab, bd, df และ fg ซ่ึงต่างมีผลรวมน้าหนกั
นอ้ ยสุดของเส้นเชื่อมท่ีเพิม่ เป็น 6
2. กลบั ไมไ่ ด้

แบบฝึกหดั 4.1
4. สาหรับ Kn แลว้ n = 1, 2, 3 และ 4

และสาหรับ Km , n จะได้ m = 1, 2, 3 และ n = 1,2
6. 6.1 n = 5

6.2 m = n = 3

แบบฝึกหดั 4.2
4. จานวน 8 จุด

แบบฝึกหดั 5.1
1. จานวน 5 หอ้ ง

260 ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝึกหดั 5.4
2. เป็น 2, 3 และ 2 ตามลาดบั

แบบฝึกหดั 6.1
1. 1.1 เช่น e f a b e g d h g ซ่ึงไม่เป็นวถิ ี

1.2 เช่น a e f a b c g d h g b
1.3 มีความยาวเป็น 6 เช่น d h g b f a e
1.4 มีความยาวเป็น 3 เช่น a e f a
1.5 เป็น
3. 3.2 ไม่เป็น

แบบฝึกหดั 6.2
1. idD(a) = idD(d) = idD(h) = idD(e) = 1

idD(b) = idD(c) = idD(g) = idD(f) = 2
odD(a) = odD(b) = odD(g) = odD(d) = 2
odD(c) = odD(h) = odD(f) = odD(e) = 1

แบบฝึกหดั ท่ีไม่ไดเ้ ฉลย ให้ผศู้ ึกษาไดแ้ สดงวธิ ีหาและพสิ ูจน์

ภาคผนวก ข

ภาคผนวก ข รายช่ือนกั คณิตศาสตร์ 263

รายช่ือนักคณติ ศาสตร์ หนา้
130
กรินเบิร์ก Grinberg 166
กทั ธ์ทรี Guthrie, F. 121, 126
กรู าตอฟสกี Kuratowski, K. 54
ครูสกลั Kruskal, J. B. 242
คูน Kuhn 140, 166
เคมป์ Kempe, A. B. 52
เคยเ์ ลย์ Cayley, A. 229
เคอนิก König, D. 186
แคมิออน Camion 248
จอร์นสนั Johnson 97
ชวาทาล Chvátal 157
ซีนส์เชอ Seinsche 66
ดิจคส์ ตรา Dijkstra, E. W. 94, 151
ดีราก Dirac, G. A. 190
ทาร์จาน Tarjan, R. 119
เธเอททีทสั Theaetetus 141
บรู๊ค Brook, R. L. 97
บอนดี Bondy 226
เบิร์จ Berge 127
ปี เตอร์เซน Petersen, J. 56
พริม Prim, R. 148
เพาเวลล์ Powell, M.B. 204, 207
ฟอร์ด Ford, L. R. 204, 207
ฟุลเกอร์สนั Fulkerson, D. R. 242
มุงเกรซ Munkres

264 ภาคผนวก ข รายช่ือนกั คณิตศาสตร์

เมนเจอร์ Menger, K. 217, 218
ไมซีลสกี Mycielski 155
รอบบินส์ Robbins 189
เรอได
วซิ ิ่ง Redei, L. 183
วทิ นีย์ Vizing 162
เวลช์ Whitney 75
ออยเลอร์ Welsh, D.A. J. 148
เอเกอร์วารี Euler, L. 2, 80, 110, 111
เอด็ มนั ด์ Egervary, J. 229
แอป็ เพล Edmonds 248
ฮอพครอฟต์ Appel, K. 167
ฮากิมิ Hopcroft, J.E. 190
ฮาเกน Hakimi, S.L. 15
ฮาวว์ Haken, W. 167
ฮาเวล Hall, P. 233
เฮวดู Havel, V. 15
แฮมิลตนั Heawood, P. J. 167
Hamilton, W. R., Sir 92

ดัชนีสัญลกั ษณ์

หนา้

(G) รงคเลข (chromatic number) ของกราฟ G 138

(G) สภาพเช่ือมโยงโดยจุดยอด(vertex connectivity)ของ G 74

(G) จานวนกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ(component graph)ของกราฟ G 26

(G) ระดบั ข้นั สูงสุดของจุดยอด(maximum vertex degree) ของกราฟ G 140
(G)
ระดบั ข้นั นอ้ ยสุดของจุดยอดใน G 219
e(G)
in1dG (vi ) เอดจโ์ ครมาติคนมั เบอร์(edge chromatic number)ของกราฟ G 158
E(G)
ผลรวมของระดบั ข้นั ของแต่ละจุดยอดของกราฟ G 12
V(G)
{u, v}, uv จานวนเส้นเช่ือมของกราฟ G 3
A(G)
A(X ,Y) จานวนจุดยอดของกราฟ G 3
c(a) เส้นเชื่อมระหวา่ งจุดยอด u กบั v 3
c(G) เมตริกซ์ประชิด (adjacency matrix) ของกราฟ G 35
Ck เซตของอาร์คจากจุดยอดใน X ไปจุดยอดใน Y 198
cl(G) ความจุ(capacity)ของอาร์ค a ในข่ายงาน N 195
d(u, v) โคลเซอร์ (closure) ของกราฟ G 95
D(V, A) (กราฟ)วฏั จกั ร(cycle)ที่มี k เส้นเช่ือม 27
dG(v) คลีกนมั เบอร์(clique number)ของกราฟ G 154
dG(ψ) ระยะทาง(distance)ระหวา่ งจุดยอด u และ v 29
E(G), E กราฟระบุทิศทางท่ี A เป็นเซตของอาร์ค(arcs) 169
ext J ระดบั ข้นั (degree) ของจุดยอด v 11
f(G) ระดบั ข้นั ของ ψ
G–e เซตของเส้นเชื่อม (edge set) 112
G–v ส่วนของระนาบที่อยนู่ อกเส้นโคง้ จอแดน J 3
จานวนหนา้ ของกราฟ G 108
กราฟยอ่ ยของ G ที่เส้นเชื่อม E(G) – {e} 110
กราฟยอ่ ยของ G ที่จุดยอด V(G) – {v} 19
19

266 กราฟจากคนั แทร็คชนั เส้นเช่ือม e ใน G ดชั นีสญั ลกั ษณ์
กราฟคู่กนั (dual graph)ของกราฟ G
G*e กราฟคูก่ นั สองช้นั (double dual)ของ G 123
G* กราฟยอ่ ยของ G อินดิวส์โดยสมาชิกในเซต U 133
G** ส่วนเติมเตม็ (complement)ของกราฟ G 134
G[U] 20
กราฟ G1 สมสณั ฐาน(isomorphic)กบั กราฟ G2 22
G จอยน์ (join) ของกราฟ G1และ G2 30
ยเู นียน(union)ของกราฟ G1 และ G2 22
G1  G2 อินเตอร์เซกซนั (intersection)ของกราฟ G1 และ G2 21
G1 + G2 กราฟ H เป็นกราฟยอ่ ยของกราฟ G 21
G1  G2 เซตของอาร์คที่มีทิศทางเขา้ หาจุดยอด u ในขา่ ยงาน N 18
G1  G2 (คา่ )ส่วนเพม่ิ (การไหล)ของแนวเดิน W ในข่ายงาน 196
HG จานวนอาร์คของกราฟ D ท่ีมี v เป็นจุดสิ้นสุด 203
I(u) ส่วนของระนาบท่ีอยใู่ นเส้นโคง้ จอร์แดน J 177
i(W) กราฟสองส่วนแบบบริบรู ณ์ (complete bipartite graph) 108
idD(v) กราฟแบบบริบูรณ์(complete graph) 10
int J เมตริกซ์อุบตั ิการณ์ (incidence matrix) ของ G 9
Km , n ยา่ นใกลเ้ คียง (neighbourhood)ของ v 35
Kn เซตของอาร์คท่ีมีทิศทางออกจาก u ในขา่ ยงาน N 4
M(G) จานวนอาร์คของกราฟ D ท่ีมี v เป็นจุดเร่ิมตน้ 196
N(v) (กราฟ)วถิ ี(path) ท่ีมี n จุดยอด 177
O(u) เซตของจุดยอด (vertex set) 25
odD(v) น้าหนกั (weighted)ของเส้นเช่ือม e ในกราฟ 3
Pn กราฟวงลอ้ (wheel graph) 53
V(G), V 154
w(e) หนา้ ของกราฟบนระนาบ G 112
Wn

ψ

ดชั นีศัพท์ 1
188
กราฟ (graphs) 172
กราฟกาหนดทิศทางได้ (orientable graph) 110
กราฟของการกาหนดทิศทาง (orientation graph) 176
กราฟคริติคลั เชิงระนาบ(critical planar graph) 176
กราฟคอนเดนเซชนั (condensation graph) 133
กราฟคอนเวอร์ส(converse graph) 134
กราฟคู่กนั (dual graph)
กราฟคู่กนั สองช้นั (double dual graph) 9
กราฟเชิงเดียว (simple graph) 107
กราฟเชิงระนาบ (planar graph) 26, 38
กราฟเช่ือมโยง (connected graph) 171
กราฟเชื่อมโยงแบบเขม้ (strongly connected graph) 34
กราฟเซลฟ์ -คอมพลิเมนทะรี (self-complementary graph) 53
กราฟถ่วงน้าหนกั (weighted graph) 117
กราฟทรงหลายหนา้ (polyhedron graph) 187
กราฟทรานสิทีฟ (transitive graph)
กราฟเทียม (psudograph) 9
กราฟบนระนาบ (plane graph) 107
กราฟแบบบริบูรณ์ (complete graph)
กราฟแบบไมซีลสกี(Mycielski graph) 9
กราฟแบบออยเลอร์ (Eulerian graph) 156
กราฟแบบแฮมิลตนั (Hamiltonian Graph) 79, 178
กราฟปรกติระดบั ข้นั k (k-regular graph) 91, 184
กราฟปี เตอร์เซน(Petersen graph) 13
กราฟผสม (multigraph) 127
กราฟไม่เชิงระนาบ (non planar graph)
กราฟไม่เชื่อมโยง (disconnected graph) 9
107
26, 218

268 ดชั นีศพั ท์

กราฟยอ่ ย (subgraph) 18
กราฟยอ่ ยของกราฟระบุทิศทาง(subdirected graphs) 173
กราฟยอ่ ยแท้ (proper subgraph) 18
กราฟยอ่ ยแบบทอดขา้ ม (spanning subgraph) 19
กราฟยอ่ ยภาวะเท่ากนั (equality subgraph) 241
กราฟยอ่ ยส่วนประกอบ (component) 26, 173
กราฟยนู ิเลเทอรัลลีคอนเน็ค (unilaterally connected graph) 174
กราฟระบุทิศทาง (directed graph or digraph) 169
กราฟระบุทิศทางปกติระดบั ข้นั k (k- regular graph) 180
กราฟระบุทิศทางอยา่ งง่าย (simple digraph) 170
กราฟวา่ ง (empty graph or trivial graph) 10
กราฟสองส่วน (bipartite graph) 10
กราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ (complete bipartite graph) 10
กราฟหนา้ สามเหล่ียม (triangulation graph) 167
กราฟใหส้ ีหนา้ ใด้ k สี (k- face colourable graph) 163
กราฟใหส้ ีได้ k สี (k – colourable graph) 138
กราฟใหส้ ีเส้นเชื่อมได้ k สี ( k- edge colourable ) 158
กราฟอวฏั จกั ร (acyclic graph) 41
กราฟอนั เดอร์ไลอิง้ (underlying graph) 170
กราฟอนั เดอร์ไลอิ้งซิมเปิ ล (underlying simple graph) 20, 93
กราฟ k สี ( k – chromatic graph ) 138
กราฟ k – คริติคลั (k - critical graph) 151
กราฟ k สีเส้นเชื่อม (k- edge chromatic graph ) 158
กรินเบิร์กกราฟ (Grinberg graph) 131
การใหส้ ี k สี (k – colouring ) 138
การใหส้ ีจุดยอด (vertex colouring) 138
การใหส้ ีเส้นเช่ือม (edge colouring ) 158
การใหส้ ีเส้นเชื่อม k สี ( k - edge colouring ) 158
การไหล (flow) 196

ดชั นีศพั ท์ 269

การไหลในขา่ ยงาน (network flow) 195

การไหลมากสุด (maximal flow) 200

เกาะเนพอฟ (Kneiphof island) 80

ขอ้ ความคาดการณ์ 4 สี (Four Colour Conjecture) 166

ข้นั ตอนวธิ ีการจบั คู่ (Matching algorithm) 228

ข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั (Kruskal’s algorithm) 54

ข้นั ตอนวธิ ีของคูนและมุงเกรซ (Kuhn-Munkres algorithm) 242

ข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา (Dijkstra’s algorithm) 66, 90

ข้นั ตอนวธิ ีของพริม (Prim’s algorithm) 56

ข้นั ตอนวธิ ีของฟลิวรี (Fleury’s algorithm) 84

ข้นั ตอนวธิ ีของฟอร์ดและฟุลเกอร์สัน (Ford and Fulkerson algorithm) 207

ข้นั ตอนวธิ ีของเวลช์และเพาเวลล์ (Welsh and Powell algorithm) 148

ข้นั ตอนวธิ ีของเอ็ดมนั ดส์-จอห์นสัน (Edmonds-Johnson algorithm) 248

ข้นั ตอนวธิ ีของฮอพครอฟตแ์ ละทาร์จาน ( Hopcroft and Tarjan algorithm) 190

ข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ ง (The breadth first search algorithm) 63

ข้นั ตอนวธิ ีแบบฮงั กาเรียน (Hungary algorithm) 229, 242

ข้นั ตอนวธิ ียอ้ นกลบั (The back – tracking algorithm) 65

ข้นั ตอนวธิ ีเลือกจุดยอดใกลส้ ุด (The Closest Insertion algorithm) 102

ข้นั ตอนวธิ ีเลือกสองจุดยอดเหมาะท่ีสุด (The two – optimal algorithm) 99

ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีจุดยอด (The vertex colouring algorithm) 145

ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีแบบลาดบั ( The simple sequential colouring algorithm) 145
ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีแบบลาดบั แรกใหญส่ ุด (The large-first sequential algorithm) 148

ข้นั ตอนวธิ ีใหส้ ีแบบลาดบั หลงั เลก็ ที่สุด(The smallest - last sequential algorithm)148

ข่ายงาน (network) 195

ครอสซิ่งนมั เบอร์ (crossing number) 128

คริติคลั กราฟ (critical graph) 151

คลีกกราฟ (clique graph) 154

คลีกนมั เบอร์ (clique number) 154

ความจุ (capacity) 195

270 ดชั นีศพั ท์

ความยาว (length) 24, 171
คอนเวกซ์ (convex) 116
คนั แทร็คชนั (contraction) 122
คนั แทร็คทิเบิลเอดจ์ (contractible edge) 123
คา่ การไหล (value of the flow) 196
คาลินินกราด (Kaliningrad) 80
คู่ไมอ่ นั ดบั (unordered pair) 3
เคมป์ เชนกราฟ (Kempe chain graph) 140, 159
เคมป์ เชนอาร์กิวเมนต์ (Kempe chain argument) 140, 159
โคนิกสเบิร์ก (Königsberg)
โคลเซอร์ (closure) 2, 80
จอยน์ (join) 95
จตั ุรัสละติน (Latin squares) 22
จุดยอดคี่ (odd vertex) 159
จุดยอดคู่ (even vertex) 13
จุดยอดประชิดกนั (adjacent vertex) 13
จุดยอดปลาย (end vertices) 4
จุดยอดร่วม (common vertex) 3
จุดยอดระหวา่ งกลาง (intermediate vertice) 11
จุดยอดส่วนตดั (cut vertex) 195
จุดยอดเอกเทศ (isolated vertex) 73
จุดเร่ิมตน้ (origin) 4
จุดสิ้นสุด (terminus) 24
เช่ือมโยง (connected) 24
ซูเปอร์กราฟ (supergraph) 26
เซตจบั คู่ (matching set) 18, 89
เซตจบั คูท่ ่ีเหมาะที่สุด (optimal matching set) 223
เซตจบั คู่สมบูรณ์ (perfect matching set) 240
เซตจบั คูส่ ูงสุด (maximum matching set) 223
223

ดชั นีศพั ท์ 271

เซตตดั (cut set) 198
เซตแบ่งแยก (separating set) 217
เซตปกคลุม (covering set) 237
เซตปกคลุมต่าสุด (minimum covering) 237
เซลฟ์ ดวลกราฟ (self-dual graph) 135
ดิวพลิเคทเอดจ์ (duplicated edge) 89
ตน้ ไม้ (tree) 41
ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม (spanning tree) 50
ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุด (minimal spanning tree) 54
ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มใหญส่ ุด (maximal spanning trees) 59
ตน้ ไมม้ ีราก (rooted tree) 228
ตน้ ไมไ้ มอ่ ิ่มตวั (unsaturated tree) 207
ตน้ ไมย้ อ่ ย(subtree) 207
ทรงตนั เพลโต (Platonic bodies or Platonic solids) 118
ทรงหลายหนา้ (polyhedron) 116
ทรงหลายหนา้ ปรกติ (regular polyhedron graph) 118
ทรานสเวอร์ซลั (transversal) 235
ทฤษฎีกราฟ (graph theory)
ทฤษฎีบทการจบั มือ (handshaking lemma) 2
ทฤษฎีบทของกรู าตอฟสกี (Kuratowski’s theorem) 12
ทฤษฎีบทของเส้นโคง้ จอร์แดน (The Jordan curve theorem) 122
ทวั ร์ (tour) 108
ทวั ร์นาเมนต์ (tournaments) 79
ทวั ร์แบบออยเลอร์ (Euler tour) 181
แทรฟฟิ คโฟลว์ (traffic flow) 79, 178
แนวเดิน (walk) 188
แนวเดินชดั (trivial walk) 24, 171
แนวเดินปิ ด (closed walk) 24
แนวเดินเปิ ด (open walk) 24
24

272 ดชั นีศพั ท์

แนวเดินไม่อ่ิมตวั (unsaturated walk) 204

แนวเดินส่วนเพม่ิ (incrementing walk) 204

แนวเดินอ่ิมตวั (saturated walk) 204

เบอร์คอฟฟ์ ไดอะมอนดก์ ราฟ ( Birkhoffdiamond graph ) 144

ประชิด (incident) 11

ปัญหา 5 สี (Five Colour Problem) 167

ปัญหาการส่งไปรษณีย์ (the postman problem) 88

ปัญหาการส่งสินคา้ (the saleman problem) 98

ปัญหาวถิ ีส้ันสุด (shortest path problem) 62

ปัญหาสะพานโคนิกสเบิร์ก (KÖnigsberg Bridge Problem) 2, 83

ป่ า (forest) 44

แผนที่ (map) 163

ฟังกช์ นั ที่ระบุจุดยอดเหมาะสม (feasible vertex labelling function) 240

ฟังกช์ นั สมสณั ฐาน (isomorphism) 30, 39

เมตริกซ์ประชิด (adjacency matrix) 35

เมตริกซ์สมมาตร (symmetric matrix) 35

เมตริกซ์อุบตั ิการณ์ (incidence matrix) 35

แมกซิมลั นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ (maximal non – Hamiltonian graph), 93

แม่น้าพรีเกล (River Pregal) 80

ยา่ นใกลเ้ คียง (neighbourhood) 4, 233

ยนู ิซิคลิกกราฟ (unicyclic graph) 50

ยเู นียน (union) 21

รงคเลข ( chromatic number ) 138

รอยเดิน (trial) 25, 171

รอยเดินชดั (trivial trail) 25

รอยเดินแบบออยเลอร์ (Euler trial) 79, 178

ระดบั ข้นั (degree) 11

ระดบั ข้นั เขา้ (indegree) 177

ระดบั ข้นั สูงสุดของจุดยอด ( maximum vertex degree ) 140

ดชั นีศพั ท์ 273

ระดบั ข้นั ออก (outdegree) 177
ระบบ SDR (system of distinct representatives) 235
ระยะทาง (distance) 29, 186
ลาดบั ของระดบั ข้นั (degree sequence) 14
วงวน (loop) 3
วฏั จกั ร (cycle) 27,
วฏั จกั รค่ี (odd cycle) 27, 139
วฏั จกั รคู่ (even cycle) 27
วฏั จกั รท่ีมีความยาว k (k – cycle) 27
วฏั จกั รแบบแฮมิลตนั (Hamiltonian cycle) 91, 184
วฏั จกั รสามเหล่ียม (triangle cycle) 27
วถิ ี (path) 25, 171
วถิ ีแตง่ เติม (augmenting path) 224
วถิ ีแตง่ เติมถ่วงน้าหนกั (the weighted augmenting path) 248
วถิ ีแบบแฮมิลตนั (Hamiltonian path) 91, 183
วถิ ีปิ ด (closed path) 25
วถิ ีสลบั (alternating path) 224
วถิ ีส้นั สุด (shortest path) 62
สตาร์กราฟ (star graph) 45
สภาพเช่ือมโยงโดยจุดยอด (vertex connectivity) 74
สมสณั ฐาน (isomorphic) 30, 134
ส่วนเติมเตม็ (complement) 22, 175
ส่วนเพม่ิ (increment) 203
สะพาน (a bridge or a cut edge) 45
สบั ดิวชิ นั (subdivision) 122
สูตรของออยเลอร์ (Euler’s formula) 111
เส้นโคง้ จอร์แดน (Jordan curve) 108
เส้นเช่ือมขนาน (parallel edges) 4
เส้นเช่ือมคนั แทร็ค (contracted edge) 122

274 ดชั นีศพั ท์

เส้นทแยงมุม(diagonal) 130
หนา้ (faces) 111
หนา้ ภายนอก (exlerior face) 111
หนา้ ภายใน (interior face) 111
แหล่งตน้ ทาง (source) 195
แหล่งปลายทาง (sink) 195
อาร์ค (arcs) 169
อาร์คขา้ งหนา้ (forward arc) 203
อาร์คผนั กลบั (reward arc) 203
อินดิวส์ (induced) 20, 139
อินเตอร์เซกซนั (intersection) 21
อินเทอร์นลั ลีดิสจอยท์ (internally disjoint) 75, 218
เอดจโ์ ครมาติคนมั เบอร์ ( edge chromatic number ) 158
n - คอนเน็กกราฟ (n-connected graph) 75
n-เอดจค์ อนเน็กกราฟ (n-edge connected graph) 219

ประวัติ

รองศาสตราจารย์ ดร. วัลลภ เหมวงษ์

สถานท่ีเกิด : อาเภอรัตนวาปี จงั หวดั หนองคาย
ที่อย่ปู ัจจบุ นั : อาเภอเมือง จงั หวดั อดุ รธานี

การศกึ ษา : ปร.ด. (คณิตศาสตร์) มหาวทิ ยาลยั ขอนแก่น
2554 วท.ม. (คณิตศาสตร์) มหาวทิ ยาลยั ขอนแกน่
2541 ค.บ. (คณิตศาสตร์) วิทยาลยั ครูอดุ รธานี
2528

ตาแหนง่ งาน : รองศาสตราจารย์
สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี
จงั หวดั อดุ รธานี

UDONTHANI RAJABHAT UNทIVEฤRษSITฎY ีกราฟเบอื ้ งต้น
ทฤษฎีกราฟเบอื้ งต้น

Introduction to Graph Theory

ชนเซกชีวาับับ่ือิตรซมตใป้โ้ังอชรยแน้ทะงตแจกสเกรฤช่หลา่ิาะรง่ืษอวรละปบามนใัฎฟมังบรชโีสกีโะปสมยท้ คดรงงื่ีอรกฤิคาษระสราษฟงรฐระยาฎสานบ์รทุแกีกมแรบ่ีามลตร้ลาโทีส์คะกางะลฤ่ืฟอวขับขขกษาส่แานศนมคฎลายาสาซรรีะกงสด้่งแังบัขารใตลทน่าาซหระยี่ฟส้อ์ขญแง(ปอนานnท่ นงรeแสบอtะลw่พง(าทยnะoทฒัุกุeกมrิtตkสwนีวโ)์กคาoาาบังrขรสkแงศิ่าง)ผสนาปเสนเรัพบรพ้าตกื่อตะง่ือรา้แขดัง์แรแกแินษผทกป้ตาฐลบ้ปั่ดญห์ทิตทัใญหลี่มทหุกังหาี่ีคมญสใสาวีกนา่งใาขาชอคนมราีวารทติ าปิมวรโาะงลจแกาผควนนัร้กังมาทรีกี่สผาอรลนิงตาทพท่ีมฒัฤีกษนาฎราี

2564

ท ฤ ษ ฎี ก ร า ฟ เ บื้ อ ง ต้
นร อ ง ศ า ส ต ร า จ า ร ย์ ด ร . วั ล ล ภ เ ห ม ว ง ษ์