ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 45

แบบฝึ กหัด 2.1

1. จงเขียนตน้ ไมท้ ่ีมีจุดยอดจานวน 7 และ 8 จุด ท้งั หมดที่ไมส่ มสณั ฐานกนั
2. สตาร์กราฟ (star graph) คือ กราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ K1,n จะเป็นตน้ ไม้

จงพิสูจน์วา่ กราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ท่ีเป็นตน้ ไมเ้ ทา่ น้นั ท่ีจะเป็นสตาร์กราฟ
3. จงพิสูจน์วา่ ตน้ ไมใ้ ด ๆ ที่มีจุดยอดอยา่ งนอ้ ยสองจุด จะเป็ นกราฟสองส่วน

4. ให้ T เป็นตน้ ไมแ้ ละให้ u , v เป็นจุดยอดใน T ที่ไมป่ ระชิดกนั ให้ G เป็น

ซูเปอร์กราฟของ T ที่มีเส้นเชื่อมระหวา่ ง u , v จงพสิ ูจน์ G มีวฏั จกั ร

5. ให้ T เป็นตน้ ไมท้ ี่จุดยอด n จุด ซ่ึง n  4 และให้ v เป็นจุดยอดที่มีระดบั ข้นั
มากท่ีสุดใน T

5.1 จงแสดงวา่ T เป็นวถิ ี ก็ต่อเมื่อ dT(v) = 2
5.2 จงพสิ ูจน์วา่ T สมสณั ฐานกบั สตาร์กราฟ กต็ ่อเม่ือ dT(v) = n – 1
5.3 จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ dT(v) = n – 2 แลว้ ตน้ ไมใ้ ด ๆ ที่มี n จุดยอดและมีระดบั ข้นั
มากท่ีสุดเป็น n – 2 จะสมสณั ฐานกบั T

2.2 สะพาน (Bridges)

ก่อนท่ีจะศึกษาเส้นเชื่อมท่ีเป็นสะพานและสมบตั ิของสะพาน จะกล่าวถึงจานวน
กราฟยอ่ ยส่วนประกอบท่ีเกิดจากการลบเส้นเชื่อมในกราฟ ดงั น้ี

ทฤษฎบี ท 2.6 ให้ e เป็นเส้นเชื่อมในกราฟ G และ G – e เป็นกราฟยอ่ ยของ G ที่ไดจ้ าก
การลบเส้นเชื่อม e จะไดว้ า่

(G)  (G–e)  (G)+1
พสิ ูจน์ ให้ e เป็นเส้นเช่ือมใน G ท่ีมีจุดยอดปลายเป็น u และ v ให้ C เป็นกราฟยอ่ ยส่วน
ประกอบของ G ซ่ึง e C, สมมุติวา่ u  v จะไดว้ า่ e เป็นวถิ ีจาก u ไป v

สมมุติวา่ มีวถิ ี P จาก uไป v ท่ีไมผ่ า่ น e ดงั น้นั P จะเป็ นวถิ ีใน G–e ท่ีทาให้ u
และ v เชื่อมถึงกนั ซ่ึงทาใหไ้ ดว้ า่ ถา้ x, y เป็นจุดยอดใด ๆ ในกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ C
แลว้ จะยงั คงมีแนวเดินจาก x ไป y ใน G-e นนั่ แสดงวา่ การลบ e ออกจาก G ไม่ทาให้
กราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ G เพ่ิมข้ึน นน่ั คือ G–e มีจานวนกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเท่า
เดิม หรือ (G–e) = (G)

46 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ถา้ วถิ ีจาก uไป v ผา่ นเส้นเชื่อม e มีเพียงวถิ ีเดียวเทา่ น้นั ให้ x เป็นจุดยอดใด ๆ ใน
กราฟยอ่ ยส่วนประกอบ C พจิ ารณากรณีมีวถิ ีจาก xไป u โดยไม่ผา่ น e จะไดว้ า่ การลบ e
ออกไมท่ าใหว้ ถิ ี x – u เปลี่ยนไป ดงั น้นั x อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเดียวกนั กบั u ใน
G–e

กรณีทุก ๆ วถิ ี x ไป u ตอ้ งผา่ น e จะไดว้ า่ สาหรับวถิ ี Pใด ๆ จาก xไป u จะตอ้ งมี e
เป็นเส้นเช่ือมสุดทา้ ยของวถิ ี x – u และจุดยอดท่ีอยกู่ ่อนหนา้ u ตอ้ งเป็ น v ซ่ึงทาใหไ้ ดว้ ถิ ี
จาก xไป v โดยไมผ่ า่ น e ดงั น้นั x อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเดียวกนั กบั v ใน G–e แต่
เนื่องจาก e เป็นวถิ ีจาก u ไป v ใน G เพยี งวถิ ีเดียวเทา่ น้นั ดงั น้นั u และ v จะอยบู่ นกราฟ
ยอ่ ยส่วนประกอบท่ีต่างกนั ใน G–e นน่ั คือ การลบ e ออกทาให้ C แยกเป็นกราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบ 2 กราฟยอ่ ยของ G–e ซ่ึงกราฟยอ่ ยหน่ึงมีทุกจุดยอดเชื่อมกบั u และอีกกราฟ
ยอ่ ยหน่ึงมีทุกจุดยอดเชื่อมกบั v ดงั น้นั มีจานวนกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเพม่ิ ข้ึนอีกหน่ึง
กราฟ นนั่ คือ (G–e) = (G)+1 ซ่ึง (G)+1  (G)

ถา้ u = v จะไดว้ า่ e เป็นวงวน การลบ e ออกจาก G ไม่ทาใหจ้ านวนกราฟยอ่ ย

ส่วนประกอบของ G เพ่ิมข้ึน ดงั น้นั (G–e) = (G) ซ่ึง (G)  (G)+1


บทนิยาม 2.2.1 ให้ e เป็นเส้นเช่ือมในกราฟ G จะเรียก e วา่ สะพาน (a bridge or a cut

edge) ถา้ (G–e)  (G)

e f e
f

G G-e G-f

รูป 2.6 แสดงเสน้ เช่ือม e และ f ที่เป็นสะพานในกราฟ G

หมายเหตุ 2.1 การพสิ ูจนใ์ นทฤษฎีบท 2.6 แสดงใหเ้ ห็นวา่ เส้นเชื่อม e ท่ีมีจุดยอดปลาย u,
v จะเป็นสะพานใน G กต็ อ่ เมื่อ e ไมเ่ ป็นวงวนและมีวถิ ี u – v เพียงวถิ ีเดียวเท่าน้นั ใน G
ดงั น้นั จึงไดท้ ฤษฎีบท 2.7 ดงั น้ี

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 47

ทฤษฎบี ท 2.7 เส้นเช่ือม e ของกราฟ G เป็นสะพานก็ต่อเม่ือ e ไม่เป็นส่วนหน่ึงของ

วฏั จกั รใน G

พสิ ูจน์ () ใหเ้ ส้นเช่ือม e มีจุดยอดปลายเป็น u และ v ถา้ e ไมเ่ ป็นสะพานแลว้ จาก

หมายเหตุ 2.1 จะไดว้ า่ e เป็นวงวนหรือ มีวถิ ี P = u u1u2…unv จาก uไป v ที่ไมผ่ า่ น e
ถา้ e เป็นวงวน แลว้ e เป็นวฏั จกั ร ถา้ มีวถิ ี P จะไดว้ า่ C = u u1u2…unv u เป็นวฏั

จกั รใน G แสดงวา่ ถา้ e ไมเ่ ป็นสะพานแลว้ e เป็นส่วนหน่ึงของวฏั จกั รใน G

() สมมุติวา่ เส้นเชื่อม e เป็นส่วนหน่ึงของวฏั จกั ร C = u0u1…um ใน G และให้
e = uiui+1 ถา้ m = 1 จะไดว้ า่ C = u0u1 มีเพยี งเส้นเช่ือมเดียว นนั่ คือ C = e ซ่ึงเป็ นวงวน
จากหมายเหตุ 2.1 จะไดว้ า่ e ไมเ่ ป็นสะพาน

ถา้ m  1 จะไดว้ า่ P = uiui-1…u0um-1…ui+1 เป็ นวถิ ีจาก u ไป v ท่ีไมใ่ ช่เส้นเชื่อม e
ดงั น้นั e ไม่เป็นสะพาน

นน่ั คือ ถา้ e เป็นสะพานแลว้ e ไมเ่ ป็นส่วนหน่ึงของวฏั จกั รใน G
u = ui ui+1= v
e ui+2

C

u2 um-1
u1 u0 = um

รูป 2.7 แสดงวฏั จกั ร C



ทฤษฎีตอ่ ไปน้ีจะกล่าวถึงตน้ ไมโ้ ดยใชบ้ ทนิยามของสะพาน

ทฤษฎบี ท 2.8 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ G เป็ นตน้ ไม้ ก็ตอ่ เม่ือ ทุกๆ เส้นเชื่อม
ใน G เป็นสะพาน
พสิ ูจน์ () ให้ G เป็นตน้ ไม้ ดงั น้นั G เป็นกราฟอวฏั จกั รหรือ G ไม่มีวฏั จกั ร ดงั น้นั
ไม่มีเส้นเชื่อมใดใน G อยใู่ นวฏั จกั ร โดยทฤษฎีบท 2.7 จะไดว้ า่ ทุกเส้นเช่ือมใน G เป็น
สะพาน

() ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยงและทุกเส้นเชื่อมใน G เป็นสะพาน
โดยทฤษฎีบท 2.7 จะไดว้ า่ แต่ละเส้นใน G ไมเ่ ป็นส่วนหน่ึงของวฏั จกั รใน G จะไดว้ า่ G
ไมม่ ีวฏั จกั ร ดงั น้นั G เป็นกราฟอวฏั จกั ร นน่ั คือ G เป็นตน้ ไม้



48 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ทฤษฎบี ท 2.9 ให้ G เป็นกราฟที่มีจุดยอด n จุดและมีเส้นเช่ือมจานวน q เส้น จะไดว้ า่

q  n – (G)
พสิ ูจน์ โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์ บน q

ถา้ q = 0 จะไดว้ า่ G ไมม่ ีเส้นเชื่อม ดงั น้นั (G) = n
และจะไดว้ า่ q = 0  0 = n – (G) ดงั น้นั ทฤษฎีเป็นจริง

ให้ ทฤษฎีบทเป็นจริงสาหรับ q = k , k  0 จะแสดงวา่ q = k+1 เป็นจริง

ให้ G เป็นกราฟที่มี k+1 เส้นเช่ือม เลือกเส้นเช่ือม e  G
ดงั น้นั G – e เป็นกราฟที่มี k เส้นเช่ือม n จุดยอด และโดยสมมุติฐาน จะไดว้ า่

k  n – (G–e) ................................. (1)
โดยทฤษฎีบท 2.6 ทาใหไ้ ดว้ า่

(G–e)  (G) + 1 ................................. (2)

หรือ – (G–e)  – (G) –1
จาก (1) และ (2) จะไดว้ า่

k  n – (G) – 1

k+1  n – (G)

ดงั น้นั กราฟ G ถา้ มี k+1 เส้นเชื่อมทาใหไ้ ดส้ มการเป็นจริง
นน่ั คือ ถา้ k เป็นจริง โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์ จะไดว้ า่ k+1 เป็นจริง ทา
ใหไ้ ดท้ ฤษฎีบทเป็นจริง


บทแทรก 2.10 กราฟเช่ือมโยง G ที่มี n จุดยอด จะมีเส้นเชื่อมอยา่ งนอ้ ย n–1 เส้น

พสิ ูจน์ ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ (G) = 1
โดยทฤษฎีบท 2.9 ให้ q เป็นจานวนเส้นเช่ือมใน G จะไดว้ า่

q  n – (G) = n–1


บทแทรก 2.10 บอกใหท้ ราบวา่ กราฟท่ีมี n จุดยอดและมีเส้นเชื่อมนอ้ ยกวา่ n – 1

เส้น จะเป็นกราฟไมเ่ ชื่อมโยง และทฤษฎีบทต่อไปน้ีเป็นคุณสมบตั ิของตน้ ไม้

บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 49

ทฤษฎบี ท 2.11 ให้ G เป็นกราฟท่ีมี n จุดยอด จะไดว้ า่ ขอ้ ความต่อไปน้ีสมมลู กนั
(1) G เป็นตน้ ไม้
(2) G เป็นกราฟอวฏั จกั รที่มี n–1 เส้นเช่ือม
(3) G เป็นกราฟเชื่อมโยงท่ีมี n–1 เส้นเช่ือม

พสิ ูจน์ (1)(2) สมมุติวา่ G เป็นตน้ ไม้ โดยบทนิยาม 2.1.2 จะไดว้ า่ G จะเป็น
กราฟอวฏั จกั รและจากทฤษฎีบท 2.4 จะไดว้ า่ G มี n–1 เส้นเชื่อม

(2) (3) สมมุติวา่ G เป็นกราฟอวฏั จกั รท่ีมี n–1 เส้นเชื่อม และโดย
ทฤษฎีบท 2.5 จะไดว้ า่ G มี n – (G) เส้นเชื่อม ดงั น้นั n – (G) = n – 1
หรือ (G) = 1 นนั่ คือ G เป็นกราฟเชื่อมโยงและมี n–1 เส้นเชื่อม

(3) (1) สมมุติ G เป็นกราฟเช่ือมโยงท่ีมี n–1 เส้นเช่ือม
จะพิสูจนว์ า่ G เป็นตน้ ไม้ คือจะตอ้ งแสดงวา่ G เป็นกราฟอวฏั จกั ร
พิสูจน์โดยวธิ ีขดั แยง้ สมมุติวา่ G ไม่เป็นกราฟอวฏั จกั ร ดงั น้นั G จะมีวฏั จกั ร โดยทฤษฎีบท
2.7 ทุก ๆ เส้นเช่ือมในวฏั จกั รจะไม่เป็นสะพาน เลือก e ในวฏั จกั ร 1 เส้น จะไดว้ า่ e ไมเ่ ป็น
สะพาน และ G–e ยงั เป็นกราฟเชื่อมโยง แต่ G–e จะมี n–2 เส้นเชื่อม และมีจุดยอด n จุด
ซ่ึงเกิดการขดั แยง้ กบั บทแทรกที่ 2.10 ดงั น้นั G เป็นกราฟอวฏั จกั ร



แบบฝึ กหดั 2.2

1. จงหาเส้นเช่ือมท่ีเป็ นสะพานท้งั หมดในกราฟต่อไปน้ี

e1 e4 e5 e7 e10 e11
e2 e3 e6 e8

e9

2. ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง
2.1 ถา้ G มีเส้นเชื่อมจานวน 17 เส้น แลว้ จงหาจานวนจุดยอดที่มากที่สุดใน G
2.2 ถา้ G มีจุดยอดจานวน 21 จุด แลว้ จงหาจานวนเส้นเชื่อมท่ีนอ้ ยท่ีสุดใน G

3. ให้ G เป็นกราฟท่ีมีจานวน 4 กราฟยอ่ ยส่วนประกอบ และมีเส้นเช่ือมจานวน 24 เส้น
แลว้ จงหาจานวนจุดยอดที่มากท่ีสุดใน G

50 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

4. ให้ e เป็นสะพานในกราฟเชื่อมโยง G จงพสิ ูจน์วา่ G – e มีสองกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ
5. กราฟ G จะเรียกวา่ ยูนิซิคลกิ กราฟ (unicyclic graph) ถา้ G เป็นกราฟเช่ือมโยงและ
มีวฏั จกั รเพียงวฏั จกั รเดียว ตวั อยา่ งดงั รูปขา้ งล่าง กราฟ G1 และ G2 เป็นยนู ิซิคลิกกราฟ

G1 G2
จงพิสูจนว์ า่ กราฟ G ท่ีมีจานวน n จุดยอดและจานวน e เส้นเชื่อมเป็น
ยนู ิซิคลิกกราฟ กต็ อ่ เม่ือ G เป็นกราฟเช่ือมโยงและ n = e

2.3 ต้นไม้แบบทอดข้าม (Spanning Trees)
ในหวั ขอ้ 1.6 ไดก้ ล่าววา่ กราฟยอ่ ย H ของ G เป็นกราฟยอ่ ยแบบทอดขา้ ม

ของ G ถา้ V(H) = V(G)
บทนิยาม 2.3.1 ต้นไม้แบบทอดข้าม (spanning tree) ของกราฟ G คือ กราฟยอ่ ยแบบ
ทอดขา้ มของ G ท่ีเป็นตน้ ไม้

GT

รูป 2.8 แสดงตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม T ในลกั ษณะหน่ึงของกราฟ G

ทฤษฎบี ท 2.12 กราฟ G เป็นกราฟเช่ือมโยง ก็ตอ่ เม่ือ G มีตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม
พสิ ูจน์ () สมมุติวา่ G เป็นกราฟเชื่อมโยงที่มี n จุดและ q เส้นเชื่อม
โดยบทแทรก 2.10 จะไดว้ า่ q  n – 1

ถา้ q = n – 1 โดยทฤษฎีบท 2.11 (3)  (2)
จะไดว้ า่ G เป็นตน้ ไม้ นน่ั คือ T = G เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G

ถา้ q > n – 1 โดยทฤษฎีบท 2.4 (หรือ โดยทฤษฎีบท 2.11 (1)  (3) )

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 51

จะไดว้ า่ G ไม่เป็นตน้ ไม้ ดงั น้นั G จะมีวฏั จกั ร ให้ e1 เป็ นเส้นเช่ือมในวฏั จกั ร ดงั น้นั
e1 ไม่เป็นสะพาน จะไดว้ า่ G – e1 เป็ นกราฟเชื่อมโยงท่ีมี n จุดยอดและ q – 1 เส้นเช่ือม
แต่ถา้ q – 1 = n – 1 แลว้ ในทานองเดียวกนั จะทาให้ไดว้ า่ T = G – e1 เป็ นตน้ ไมแ้ บบทอด
ขา้ มของ G

ถา้ q – 1 > n – 1 ดงั น้นั G – e1 ไม่เป็นตน้ ไม้ จะไดว้ า่ G – e1 จะมีวฏั จกั ร ถา้ ลบ
เส้นเช่ือม e2 ท่ีเป็นเส้นเช่ือมของวฏั จกั รใน G ออก จะไดว้ า่ G – { e1, e2 } = ( G – e1 ) – e2
เป็นกราฟเช่ือมโยงที่มี n จุดยอดและจานวน q – 2 เส้นเช่ือม ทาเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ จนถึง
ลบเส้นเชื่อมท่ี q – n + 1 จนทาใหไ้ ดก้ ราฟยอ่ ย T ท่ีเป็นกราฟเชื่อมโยงท่ีมี n จุดยอด
และจานวน q – ( q – n + 1) = n – 1 เส้นเช่ือม ดงั น้นั โดยทฤษฎีบท 2.11 จะไดว้ า่ T เป็น
ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G

() ให้ G มีตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม สมมุติวา่ เป็ น T และให้ u และ v เป็นจุดยอด
ใด ๆ ใน G จะไดว้ า่ u และ v จะเป็นจุดยอดใน T ดว้ ย เน่ืองจาก T เป็นตน้ ไม้ ดงั น้นั
u และ v จะเช่ือมถึงกนั ดว้ ยวถิ ีใน T ซ่ึงเป็นวถิ ีใน G นนั่ คือ G เป็นกราฟเช่ือมโยง


กราฟยอ่ ยท่ีเป็ นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของกราฟ K4 จะแตกต่างกนั 16 ลกั ษณะ
ดงั น้ี

12

3 K4 4
1 21 2 1 21 2

3 43 4 3 43 4
1 2 1 2 1 21 2

3 4 3 4 3 43 4

52 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

1 21 21 21 2

3 43 43 43 4
1 21 21 21 2

3 43 43 43 4

รูป 2.9 แสดงกราฟยอ่ ยแบบทอดขา้ มท้งั หมดของ K4

ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มท้งั 16 ลกั ษณะดงั กล่าวน้ี มี 12 ลกั ษณะแรกสมสัณฐานกนั
และอีก 4 ลกั ษณะหลงั สมสณั ฐานกนั ดงั น้นั กราฟ K4 มีตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มที่ไม่
สมสัณฐานกนั เพียง 2 ลกั ษณะเทา่ น้นั ดงั ในรูป 2.1

รูป 2.10 Arthur Cayley วธิ ีการนบั ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มท่ี
1821 - 1895 , England แตกตา่ งกนั และไม่สมสัณฐานกนั คน้ พบ
ท่ีมา (Connor & Robertson, 1996) โดยนกั คณิตศาสตร์ชาวองั กฤษชื่อ อาเธอร์
เคยเ์ ลย์ (Arthur Cayley) รูป 2.10 ที่ใชต้ น้ ไม้
อธิบายการนบั จานวนอะตอมของคาร์บอนใน
ไฮโดรคาร์บอนอิ่มตวั CnH2n+2 ในปี พ.ศ.
2400 และปี พ.ศ. 2432 ไดค้ น้ พบและเกิด
ทฤษฎีต่อไปน้ี (Bondy & Murty, 1976)

ทฤษฎบี ท 2.13 กราฟแบบบริบูรณ์ Kn จะมีจานวนตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มท่ีแตกตา่ งกนั
จานวน nn- 2 ลกั ษณะ

พสิ ูจน์ สาหรับผสู้ นใจการพสิ ูจนศ์ ึกษาไดใ้ นหนงั สือ Graph Theory with Applications
ของ J.A. Bondy & U.S.R. Murty หนา้ 32 – 35


ในกราฟ K6 มีตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มท่ีแตกต่างกนั 1,296 ลกั ษณะ และในจานวนน้ีจะ
ไม่สมสัณฐานกนั จานวน 6 ลกั ษณะเทา่ น้นั ดงั ในรูป 2.2

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 53

แบบฝึ กหดั 2.3

1. จงหาจานวนตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มในแตล่ ะกราฟที่กาหนดใหต้ อ่ ไปน้ีท่ีไม่สมสัณฐานกนั

2. ให้ e เป็นเส้นเช่ือมใด ๆ ในกราฟเช่ือมโยง G จงพสิ ูจน์วา่
2.1 e เป็นสะพานก็ต่อเม่ือ e เป็นเส้นเชื่อมในแต่ละกราฟแบบทอดขา้ มของ G
2.2 e เป็นวงวนก็ตอ่ เม่ือ e ไม่เป็นเส้นเชื่อมในกราฟแบบทอดขา้ มของ G

3. ให้ e เป็นเส้นเช่ือมใด ๆ ในกราฟ G ถา้ ลบเส้นเชื่อม e แลว้ จุดยอดปลายยบุ รวมเป็น
จุดยอดเดียวกนั แลว้ กราฟที่ไดใ้ หมน่ ้ีจะเขียนแทนดว้ ย G*e ตวั อยา่ งดงั รูป

e

G G*e
จงพิสูจน์วา่ ถา้ T เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G ท่ีมีเส้นเชื่อม e แลว้ T*e จะเป็น
ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G*e

2.4 ปัญหาการเช่ือมโยง (Connectors Problems)

สมมุติวา่ ในตาบลหน่ึงมีการวางระบบทอ่ น้าหมู่บา้ นที่เชื่อมถึงกนั ได้ จะมีวธิ ีการวาง
ระบบอยา่ งไรจึงจะมีการสิ้นเปลืองนอ้ ยท่ีสุด เราสามารถใชต้ น้ ไมแ้ บบทอดขา้ มและ
แนวคิดเกี่ยวกบั กราฟถ่วงน้าหนกั (weighted graph) แกป้ ัญหาได้

บทนิยาม 2.4.1 กราฟถ่วงนา้ หนัก G คือ กราฟท่ีแตล่ ะเส้นเช่ือม e ของ G ถูกใหน้ ้าหนกั
ไวเ้ ป็นจานวนจริง w(e)

สมมุติวา่ มีการวางระบบท่อน้าในตาบลหน่ึงซ่ึงมี 6 หม่บู า้ น คือ หมบู่ า้ น A, B, C,
D, E และ F ซ่ึงเขียนเป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ไดด้ งั รูป 2.11

54 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

A
31
F B
3 3 4 4 2
5 1
E C
42
D
รูป 2.11 แสดงกราฟถ่วงน้าหนกั

จากรูป 2.11 อธิบายไดว้ า่ ไมส่ ามารถวางทอ่ น้าระหวา่ ง B และ D ไดแ้ ละจานวน
3 ระหวา่ ง A กบั F หมายถึง ราคาค่าก่อสร้างทอ่ น้าจาก A ไป F ปัญหากค็ ือ จะวางทอ่
ระหวา่ งหมู่บา้ นท้งั 6 หมูบ่ า้ นอยา่ งไร จึงจะมีคา่ ก่อสร้างท่อน้านอ้ ยที่สุด โดยที่ทุก
หมบู่ า้ นมีน้าใช้ นน่ั คือ ตอ้ งการหากราฟที่เป็ นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มที่น้าหนกั นอ้ ยท่ีสุด ซ่ึง
จะเรียกตน้ ไมล้ กั ษณะน้ีวา่ ต้นไม้แบบทอดข้ามเล็กสุด (minimal spanning tree)

ตอ่ ไปน้ีจะแสดงวธิ ีการหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ ท่ีสุดของกราฟถ่วงน้าหนกั ท่ีมี
น้าหนกั ของเส้นเชื่อมไมเ่ ป็นจานวนลบ ซ่ึงมี 2 วธิ ีคือ ข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั และข้นั ตอน
วธิ ีของพริม (Clark & Holton, 1991)

ข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั (Kruskal’s algorithm)
โจเซฟ เบอร์นาร์ด ครูสกลั (Joseph Bernard Kruskal) ไดเ้ สนอข้นั ตอนวธิ ีหาตน้ ไม้

แบบทอดขา้ มเล็กสุดเม่ือ ปี พ.ศ. 2499 ดงั น้ี
ข้นั ที่ 1 เลือกเส้นเช่ือม e1 ของกราฟ G ท่ีไมเ่ ป็นวงวนและมี w(e1) มีคา่ นอ้ ยท่ีสุด
ข้นั ที่ 2 สาหรับเส้นเชื่อม e1, e2, e3,…, ei ที่ไดเ้ ลือกไปแลว้ จะเลือกเส้นเช่ือม ei + 1 ใน
G – { e1, e2, e3,…, ei } กต็ อ่ เมื่อ
(1) ไดก้ ราฟยอ่ ยของ G ที่อินดิวส์โดย {e1, e2, e3 , …, ei + 1} เป็ นกราฟอวฏั จกั ร คือ
เส้นเชื่อม ei+ 1 ไม่ทาใหเ้ กิดวฏั จกั รในกราฟยอ่ ยของ G และ
(2) w(ei+1) มีคา่ นอ้ ยท่ีสุด
ข้นั ที่ 3 หยดุ ถา้ เลือกไดเ้ ส้นเชื่อมจานวน n – 1 เส้น เมื่อ G มีจุดยอด n จุด
ถา้ เป็นอยา่ งอื่น ใหก้ ลบั ไปทาข้นั ที่ 2

บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 55

ตวั อย่าง 2.4.1 จากรูป 2.11 จะแสดงการหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดตามข้นั ตอนวธิ ี

ของครูสกลั โดยเส้นเชื่อมท่ีถูกเลือกแสดงดว้ ยเส้นหนา ดงั น้ี

A A
31
31 F B
F B 3 2
3 3 3 4 C
5 4 4 2 E 5 1 4
E 4 1 4
2C 2

D D
e2 = AD
e1 = AB (หรือ AD)

A A
31
31 F B
F B 3 2
3 4 4 2 3 4 4
3 5 1 E 5 1 C
E C
42 42
D
D E4 = EF (หรือ AF, AE)
e3 = BC (หรือ CD)

A A 1
31
F B F B
3 3 4 2 3 3 2
5 1
E 4 C E 1C

42
D D
T
e5 = AE (หรือ AF)

รูป 2.12 แสดงการหาตน้ ไมเ้ ลก็ สุดตามข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั

จะไดก้ ราฟ T เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุด เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ซ่ึง
w(T) = w(AB) + w(AD) + w(BC) + w(EF) + w(AE)

= 1 + 1 + 2 + 3 + 3 = 10

56 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ดงั น้นั ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุด จะมีน้าหนกั เทา่ กบั 10 หน่วย


ข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั จะทาใหไ้ ดต้ น้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุด ซ่ึงพิสูจน์ไดโ้ ดย
ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎบี ท 2.14 ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ท่ีเป็นกราฟเชื่อมโยง ซ่ึงน้าหนกั ของแต่ละ
เส้นเช่ือมไม่เป็นจานวนลบและให้ T เป็นกราฟยอ่ ยของ G ท่ีไดจ้ ากข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั
จะไดว้ า่ T เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุดของ G

พสิ ูจน์ ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ท่ีเป็นกราฟเชื่อมโยง ซ่ึงมี n จุดยอด และให้ T
เป็นกราฟยอ่ ยของ G ท่ีไดจ้ ากข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั จะไดว้ า่ T เป็นกราฟไม่มีวฏั จกั ร
และมีเส้นเช่ือม n – 1 เส้น นน่ั คือ T เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G

ต่อไปจะแสดงวา่ w(T) มีคา่ นอ้ ยสุด ให้ S เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G ซ่ึง

w(S)  w(T) แลว้ เกิดขอ้ ขดั แยง้ ดงั น้ี ให้ e1 , e2 , e3 ,…, en – 1 เป็ นเส้นเชื่อมใน T ที่ไดจ้ าก
ข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั จะไดว้ า่ มีบางเส้นเชื่อมใน T ท่ีไม่อยใู่ น S สมมุติวา่ คือ ek เป็น
เส้นแรก ดงั น้นั ถา้ เพิม่ ek ใน S จะไดก้ ราฟยอ่ ย H ของ G มี n เส้นเช่ือม แลว้ โดยทฤษฎีบท
2.4 จะไดว้ า่ H ตอ้ งมีวฏั จกั ร C เน่ืองจากวฏั จกั รอ่ืน ๆ ตอ้ งไมอ่ ยใู่ น S ดงั น้นั H ตอ้ งบรรจุ

C ท่ีประกอบดว้ ย ek และเนื่องจากวฏั จกั รอ่ืน ๆ เหล่าน้ีอยใู่ น T ดงั น้นั C ตอ้ งมีเส้นเชื่อม

e S แต่ eT เน่ืองจาก e อยใู่ นวฏั จกั รใน H และ H-e มี n – 1 เส้นเชื่อม ดงั น้นั H – e ยงั

เป็นกราฟเชื่อมโยงและเป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G แตเ่ น่ืองจาก eT แต่ ekT ซ่ึง
ekS โดยข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั จะไดว้ า่ w(ek)  w(e) (ถา้ w(e) < w(ek) จะเลือก e
แทน ek เป็นเส้นที่ k ) ดงั น้นั w( H - e)  w(S) และเนื่องจาก ek T แต่ ek  S ดงั น้นั
H – e มีเส้นเชื่อมร่วมกบั T มากกวา่ S หน่ึงเส้นซ่ึงจะไดว้ า่ w(T)  w(S) ซ่ึงเกิดขดั แยง้
กบั สมมุติฐาน ดงั น้นั w(T) เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดของ G



ข้นั ตอนวธิ ีของพริม (Prim’s algorithm)

โรเบิร์ต พริม (Robert Prim) ไดเ้ สนอข้นั ตอนวธิ ีหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดเม่ือ

ปี พ.ศ. 2502 อีกวธิ ีหน่ึงดงั น้ี

ข้นั ที่ 1 เลือกจุดยอดใด ๆ ใน G ใหเ้ ป็น v1

ข้ันท่ี 2 เลือกเส้นเชื่อม e1 = v1v2 ของ G ท่ี v2  v1 และ e1 มีน้าหนกั นอ้ ยสุดใน
จานวนเส้นเชื่อมท้งั หมดที่ประชิดกบั v1

บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 57

ข้นั ท่ี 3 ถา้ เลือกเส้นเชื่อม e1 , e2 , e3 ,…, ei ซ่ึงมีจุดปลายเป็ น v1 , v2 , v3 ,…, vi + 1

แลว้ จะเลือกเส้น ei + 1 = vjvk ที่ vj  { v1 , v2 , v3 ,…, vi + 1 } และ vk  { v1 , v2 ,
v3 ,…, vi +1 } ซ่ึง ei +1 เป็ นเส้นเช่ือมท่ีมีน้าหนกั นอ้ ยสุดใน G

ข้นั ท่ี 4 ใหห้ ยดุ เม่ือเลือกเส้นเช่ือมได้ n – 1 เส้น ถา้ ไม่ใช่ใหท้ าซ้าในข้นั ท่ี 3

ตัวอย่าง 2.4.2 จงหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดในกราฟ G จากรูป 2.11 โดยใชข้ ้นั ตอนวิธี
ของพริม เส้นเชื่อมที่ถูกเลือกจะแสดงดว้ ยเส้นหนา ดงั น้ี

A A
3 1B 31
F F B
3 3 4 4 2 3 3 4 4 2
5 2 5 1 C
E 4 1 C E

42
D D
v1 = C e1 = CD, v2 = D

(เลือกจุดยอดอ่ืนกไ็ ด)้ (อาจเลือก e1 = CB)

A A
31 31
F B F
3 3 4 4 2 3 3 4 4 B
E 5 1 5 1 2
C E
42 42 C

D D
e2 = DA , v3 = A e3 = AB , v4 = B

(ไมม่ ีทางเลือกอื่น) (ไม่มีทางเลือกอื่น)

58 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

A A
31 31
F B FB
3 3 4 4 2
5 1 1
E C
42 E3 2 C
D
D
e4 = AF , v5 = F e5 = FE , v6 = E
(อาจเลือก AE)
(อาจเลือก AE)

รูป 2.13 แสดงตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุดโดยข้นั ตอนวธิ ีของพริม

จะไดว้ า่ กราฟถ่วงน้าหนกั T จะมีน้าหนกั
w(T) = w(e1) + w(e2) + w(e3) + w(e4) + w(e5)
= 2+1+1+3+3
= 10

ดงั น้นั ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุด จะมีน้าหนกั เทา่ กบั 10 หน่วย


ทฤษฎีบทต่อไปน้ีจะพสิ ูจนว์ า่ ข้นั ตอนวิธีของพริมเป็ นการหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม
เลก็ สุด

ทฤษฎบี ท 2.15 ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ที่เป็นกราฟเช่ือมโยง ซ่ึงน้าหนกั ของแต่ละ
เส้นเชื่อมมีคา่ ไม่เป็นลบ ให้ T เป็นกราฟยอ่ ยของ G ที่ไดจ้ ากข้นั ตอนวธิ ีของพริม จะไดว้ า่
T เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดของ G
พสิ ูจน์ ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ท่ีเป็ นกราฟเชื่อมโยงที่มี n จุดยอด และ ให้ T เป็น
กราฟยอ่ ยของ G ที่ไดจ้ ากข้นั ตอนวธิ ีของพริม นนั่ คือ T เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มของ G
จะแสดงวา่ w(T) มีคา่ นอ้ ยสุด

ให้ S เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุดของ G ที่มีเส้นเชื่อมร่วมกบั T มากเส้น
ที่สุด จะพสิ ูจนว์ า่ S = T

สมมุติวา่ S  T จะไดว้ า่ T มีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงเส้นเช่ือมท่ีไม่อยใู่ น S ใหเ้ ป็น ek
ซ่ึงเป็นเส้นเช่ือมแรกที่ไดจ้ ากข้นั ตอนวธิ ีของพริม โดยท่ีekT แต่ ekS ให้ ek มีจุดยอด

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 59

ปลายเป็น u และ v เน่ืองจาก u และ v อยใู่ น S ดงั น้นั จะมีวถิ ี P เพียงวถิ ีเดียวเท่าน้นั ใน
S ท่ีเชื่อมโยงระหวา่ ง u และ v ซ่ึง ek ไม่อยใู่ น P

ให้ Ti เป็นตน้ ไมย้ อ่ ยใน G โดยการเพิ่มเส้นเชื่อมท่ี i ซ่ึงใหเ้ ป็น ei , 1 i  n – 1
โดยข้นั ตอนวธิ ีของพริม จะไดว้ า่ จุดยอดปลายหน่ึงของ ek จะอยใู่ น Tk – 1 และอีกจุดยอด

ปลายหน่ึงไม่อยใู่ น Tk – 1 ให้ u  Tk - 1 แต่ v  Tk – 1 เนื่องจาก P เป็ นวถิ ี u – v
ดงั น้นั P ตอ้ งมีเส้นเช่ือมอยา่ งนอ้ ย 1 เส้น ท่ีมีจุดยอดปลายหน่ึงอยใู่ น Tk – 1 และอีกจุด
ยอดปลายหน่ึงไม่อยใู่ น Tk – 1

ให้ e* เป็นเส้นเชื่อมหน่ึงใน P จะไดว้ า่ w(e*)  w(ek) ขณะน้ีวถิ ี P ใน S ที่
ประกอบดว้ ยเส้นเชื่อม ek เป็นวฏั จกั รใน G ดงั น้นั ถา้ แทน e* ใน S ดว้ ย ek จะได้
กราฟยอ่ ยใน G ท่ีเป็ นกราฟเช่ือมโยงท่ีมี n จุดยอด และ n – 1 เส้นเชื่อม หรือจะได้

ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มใหม่ใหเ้ ป็น R เน่ืองจาก w(e*)  w(ek) ดงั น้นั w(R)  w(S)
จะไดว้ า่ R เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุด แต่ R มีเส้นเช่ือมร่วมกบั T มากกวา่ S

หน่ึงเส้นเช่ือม คือ ek ซ่ึงขดั แยง้ กบั สมมุติฐานท่ีให้ S เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุด

ดงั น้นั S  T น้นั ไม่จริง นนั่ คือ S = T 

ข้นั ตอนวธิ ีท้งั สองต่างกนั ท่ีข้นั ตอนที่ 2 ซ่ึงครูสกลั เลือกเส้นเชื่อมน้าหนกั นอ้ ยสุดท่ี
เหลือในกราฟ ส่วนพริมจะเลือกเส้นเชื่อมน้าหนกั นอ้ ยสุดที่ติดกบั ตน้ ไมท้ ่ีหาได้ และตน้ ไม้
แบบทอดขา้ มเล็กสุดอาจมีไดห้ ลายแบบ แตผ่ ลรวมของน้าหนกั ของเส้นเชื่อมจะตอ้ งเท่ากนั

ตอ่ ไปจะศึกษาถึงการทางานบางอยา่ ง ท่ีตอ้ งหาเส้นทางใหไ้ ดม้ าซ่ึงปริมาณงาน

มาก ๆ เช่น การทาเหมืองแร่ จึงตอ้ งการหากราฟที่เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มท่ีมีน้าหนกั มาก
ที่สุดและจะเรียกตน้ ไมใ้ นลกั ษณะน้ีวา่ ต้นไม้แบบทอดข้ามใหญ่สุด (maximal spanning

trees) โดยการนาข้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั หรือข้นั ตอนวธิ ีของพริม มาหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ ม
ใหญส่ ุดได้ ดงั น้ี

1. สร้างกราฟถ่วงน้าหนกั G จากกราฟ G ที่กาหนดให้โดยที่ V( G) = V( G )
และ w(e ) = M – w(e) , e  G, e  G ซ่ึง M > w(e) , M เป็ น
จานวนเตม็ บวกนอ้ ยสุดท่ีมากกวา่ w(e) ของแตล่ ะเส้นเช่ือมใน G

2. ถา้ Tเป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดของ G แลว้

 w(e) หรือ (M  w(e)) มีค่านอ้ ยสุด

eT eT

3. เปลี่ยนค่า M – w(e) ใน T เป็นคา่ w(e) ตามเดิม แลว้ จะไดก้ ราฟตน้ ไม้

แบบทอดขา้ มใหญส่ ุด

60 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 2.4.3 จงหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มใหญส่ ุดของกราฟ G ที่กาหนดใหใ้ นรูป 2.14 ( 1 )

A
31
F B
3 3 4 4 2
5 1
E C
4D 2

G

รูป 2.14 ( 1 ) แสดงกราฟ G ท่ีกาหนดให้

(1) เน่ืองจาก 6 เป็ นจานวนเต็มบวกนอ้ ยสุดที่มากกว่า w(e) ของแต่ละเส้นเชื่อม

ใน G ดงั น้นั ให้ M = 6 จะไดก้ ราฟ G ดงั รูป 2.14 ( 2 )

A
35
F B
3 3 2 2 4
1 5
E C
24
D
G

รูป 2.14 ( 2 ) จะแสดงกราฟ G ท่ีไดจ้ ากข้นั (1)

(2) หาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุด T ของ G โดยใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของครูสกลั หรือ
ของพริม ซ่ึงจะไดด้ งั รูป 2.14 ( 3 )

A

F 3 22 B
E 1 D C
2

T
รูป 2.14 ( 3 ) ตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุด T ของ G

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 61

(3) เปลี่ยนคา่ M – w(e) เป็นค่า w(e) จะไดก้ ราฟ TM ดงั รูป 2.14 ( 4 )
A

F3 B

5 44
4
E D C

TM

รูป 2.14 ( 4 ) แสดงตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มใหญส่ ุดของ G

จะไดว้ า่ กราฟ TM เป็นตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มใหญส่ ุดของ G ซ่ึงมีน้าหนกั มากที่สุด
เป็น 5 + 4 + 4 + 3 + 4 = 20 หน่วย


ในการใชเ้ คร่ืองคอมพิวเตอร์กบั กราฟถ่วงน้าหนกั จะใชใ้ นรูปแบบของเมตริกซ์
โดยที่ wi j คือน้าหนกั ของเส้นเชื่อมระหวา่ งจุดยอด และ wi j =  ถา้ ไมม่ ีเส้นเชื่อม
จากกราฟ G รูปขา้ งล่าง ให้ v1 = A , v2 = B , . . . , v6 = F จะไดเ้ มตริกซ์
ดงั น้ี

A v1 v2 v3 v4 v5 v6

F 31 B v1 1413 1 4 1 3 3
3 2 vv32  2  4 
3 4 4 vv54 2  2  55 
E 5 1 C  2  4
4  4 
42 v6  3   5 3 
D
G
รูป 2.15 แสดงกราฟ G ในรูปของเมตริกซ์

62 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหดั 2.4

1. ใหก้ ราฟถ่วงน้าหนกั G และ H เป็นกราฟดงั รูปต่อไปน้ี

6 A 3
8 4
F 4J 7 B
7 9
E 11 5 10 C
10 D
G

4 b9 c6 d
1
a 3 6 8 4 3 9 3 1 3 7 e
k2 6 4 n 7 2 q 5
5 m 7 p 2
3 6 4

h 2g 8f
H

จงหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเลก็ สุดของ G และ H โดยใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของ
ครูสกลั และข้นั ตอนวธิ ีของพริม

2. จงหาตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มใหญ่สุดของกราฟถ่วงน้าหนกั G และ H ในขอ้ 1.
3. จงพิสูจน์วา่ ถา้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ซ่ึงไมม่ ีสองเส้นเชื่อมใดมีน้าหนกั เท่ากนั แลว้ G
มีตน้ ไมแ้ บบทอดขา้ มเล็กสุดเพยี งแบบเดียวเทา่ น้นั

2.5 วถิ ีส้ันสุด (Shortest Path)

การเดินทางจากท่ีหน่ึงไปยงั อีกท่ีหน่ึงอาจไปไดห้ ลายเส้นทางและมกั จะใชเ้ ส้นทางที่
ส้นั และเหมาะสมท่ีสุด ซ่ึงอาจจาลองปัญหาดว้ ยกราฟและใชก้ ราฟแกป้ ัญหาได้ ปัญหาน้ี
เรียกวา่ ปัญหาวถิ ีส้ันสุด (shortest path problem) การแกป้ ัญหาวถิ ีส้นั สุดในกราฟจาก
จุดยอดหน่ึงไปยงั จุดยอดหน่ึงในเบ้ืองตน้ ต่อไปน้ี จะเป็นการนบั จานวนเส้นเช่ือมของกราฟ
ที่มีน้าหนกั ของเส้นเชื่อมเทา่ กนั ทุกเส้น ซ่ึงจะใชข้ ้นั ตอนวธิ ีท่ีเรียกวา่ ข้นั ตอนวธิ ีค้นหาตาม
แนวกว้าง (The breadth first search algorithm)

บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 63

ให้ G เป็นกราฟที่มีน้าหนกั ของเส้นเชื่อมเท่ากนั ทุกเส้น ให้ s และ t เป็นจุดยอด
ของ G แลว้ ระยะทางส้ันสุดจาก s ไป t หาไดจ้ าก ข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ งต่อไปน้ี

ข้นั ที่ 1 ใหค้ า่ จุดยอด s เป็น i = 0

ข้นั ที่ 2 หาจุดยอดที่ยงั ไมใ่ หค้ า่ ท้งั หมดท่ีประชิดกบั จุดยอดที่ใหเ้ ป็น i
ถา้ ไมม่ ีจะไดว้ า่ t ไม่เช่ือมโยงกบั s
ถา้ มีใหค้ า่ จุดยอดเหล่าน้นั เป็น i + 1

ข้นั ท่ี 3 ถา้ t ถูกใหค้ า่ ใหไ้ ปทาข้นั ที่ 4
ถา้ t ยงั ไม่ถูกใหค้ า่ ใหเ้ พ่ิม i เป็น i + 1 และไปทาข้นั ที่ 2

ข้นั ท่ี 4 ความยาวของวถิ ีส้ันสุดจาก s ไป t เป็น i + 1 และใหห้ ยดุ

ตวั อย่าง 2.5.1 ให้ G เป็นกราฟดงั รูป 2.16 จงหาวถิ ีส้ันสุดจากจุดยอด s ไปจุดยอด t
1a 2b 3c

0s 2d

1f 2e G 3t
รูป 2.16 แสดงการหาวถิ ีส้นั สุดA

วถิ ีส้ันสุด จากจุดยอด s ไปจุดยอด t ใน G จะหาไดด้ งั น้ี
ข้นั ที่ 1 ใหค้ า่ จุดยอด s เป็น 0
ข้นั ท่ี 2 จะไดว้ า่ จุดยอดที่ประชิดกบั s คือ a และ f จะถูกใหค้ า่ เป็น 1
ข้นั ท่ี 2 จุดยอด b ,d และ e ถูกใหค้ ่าเป็น 2
ข้นั ท่ี 3 จุดยอด c และ t ถูกใหค้ า่ เป็น 3
ข้นั ท่ี 4 เนื่องจาก t ถูกใหค้ ่าเป็น 3

ดงั น้นั ความยาวของวถิ ีส้ันสุดจาก s ไป t เท่ากบั 3



64 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 2.5.2 ให้ H เป็นกราฟดงั รูป 2.17 ใหห้ าวถิ ีส้ันสุดจากจุดยอด s ไปจุดยอด t

1a e

0s 2d t
1c
f
1b H

รูป 2.17 แสดงการหาวถิ ีส้นั สุด

จะหาวถิ ีส้นั สุด จากจุดยอด s ไปจุดยอด t ใน H ไดด้ งั น้ี
ข้นั ที่ 1 ใหค้ ่า s เป็น 0
ข้นั ที่ 2 จะไดว้ า่ จุดยอด a , b และ c ถูกใหค้ า่ เป็น 1
ข้นั ที่ 2 จุดยอด d ถูกใหค้ ่าเป็น 2
ข้นั ท่ี 2 เน่ืองจากไมม่ ีจุดยอดใดที่ยงั ไม่ถูกใหค้ ่าที่ประชิดกบั d
ดงั น้นั จึงไมม่ ีวถิ ีจาก s ไป t
นนั่ คือ ไมม่ ีวถิ ีส้นั สุดจาก s ไป t ใน H


ทฤษฎบี ท 2.16 จุดยอด v ของกราฟ G มีค่าเป็น (v) โดยข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ ง
ก็ต่อเม่ือ ความยาวของวถิ ีส้นั สุดจาก s ไป v เป็น (v)
พสิ ูจน์ ทฤษฎีบทน้ีบอกวา่ t ถูกใหค้ ่าเป็น n กต็ ่อเม่ือ ระยะทางส้ันสุดจาก s ไป t จะมี n
เส้นเช่ือม ซ่ึงจะเร่ิมพิสูจน์ดงั น้ี

() จะพิสูจนโ์ ดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บน i ของ (v)

ถา้ i = 0 จะไดว้ า่ (v) = 0 โดยข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ ง เม่ือ v = s ความยาว
ของระยะทางส้ันสุดจาก s ไป t เป็น 0 ดงั น้นั (v) เป็นความยาวของวถิ ีส้นั สุดจาก s ไป v

สมมุติวา่ ทฤษฎีเป็ นจริงเมื่อ 0  i  k คือ ถา้ จุดยอด v ของ G ถูกให้ค่าเป็ น

(v) ซ่ึง 0  (v)  k แลว้ ความยาวของวถิ ีส้นั สุดจาก s ไป v คือ (v)
ให้ u เป็นจุดยอดใด ๆ ของ G ซ่ึง (u) = k + 1 โดยข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนว

กวา้ ง จะมีเส้นเช่ือมระหวา่ ง v ซ่ึง (v) = k กบั u จะไดว้ า่ มีวถิ ีจาก s ไป u ที่มีความยาว
k + 1 และโดยสมมุติฐาน จะไดว้ า่ วถิ ีน้ีมีระยะส้ันสุด

() ใหว้ ถิ ีส้นั สุดจากจุดยอด s ไปจุดยอด w มีความยาวเป็น k + 1 จะไดว้ า่
จุดยอดสุดทา้ ยของวถิ ีก่อนถึง w ใหเ้ ป็น v มีวถิ ีส้ันสุดไป s ความยาว k และโดยสมมุติฐาน

บทที่ 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 65

จะไดว้ า่ (v) = k เน่ืองจาก w ประชิดกบั v โดยข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ ง จะไดว้ า่
(w) = k + 1


ขณะเดียวกนั อาจใชข้ ้ันตอนวิธีย้อนกลบั (The back – tracking algorithm) เพื่อหา
วถิ ีส้ันสุดจาก s ไป t ไดอ้ ีกวธิ ีหน่ึง ดงั น้ี
ข้นั ท่ี 1 ให้ i = (t) และ vi = t
ข้นั ท่ี 2 หาจุดยอด u ที่ประชิดกบั vi ซ่ึง (u) = i – 1 แลว้ ให้ vi- 1= u
ข้นั ท่ี 3 ถา้ i = 1 ใหห้ ยดุ

ถา้ ไม่ใช่ ลดค่า i เป็น i – 1 แลว้ กลบั ไปทาข้นั ที่ 2

ตัวอย่าง 2.5.3 จากตวั อยา่ ง 2.5.1 จะไดว้ า่ (t) = 3

ดงั น้นั ให้ t = 3 และ v3 = t ดงั น้นั v2 = e
เลือก e ที่ประชิดกบั v3 = t ซ่ึง (e) = 2 ดงั น้นั v1 = f
เลือก f ท่ีประชิดกบั v2 = e ซ่ึง (f) = 1

จะไดว้ า่ s ประชิดกบั f ซ่ึง (s) = 0 ดงั น้นั v0 = s
ดงั น้นั วถิ ีส้นั สุด จาก s ไป t คือ v0v1v2v3 = s f e t



โดยทว่ั ไปวถิ ีส้ันสุดจาก s ไป t อาจมีไดห้ ลายวถิ ี ถา้ (v) คือ จานวนจุดยอดที่

ประชิดกบั v ซ่ึงถูกใหค้ ่าตามข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ งแลว้ ข้นั ตอนวธิ ียอ้ นกลบั

เพือ่ หาจานวนวถิ ีส้นั สุด มีดงั น้ี

ข้นั ที่ 1 ให้ i = (t) และ (t) = 1
สาหรับจุดยอด v ใด ๆ ที่ (v) = (t) จะไดว้ า่ (v) = 0

ข้นั ที่ 2 สาหรับแต่ละจุดยอด v ซ่ึง (v) = i - 1
ใหห้ า (u) สาหรับแตล่ ะจุดยอด u ซ่ึง (u) = i ท่ี u ประชิดกบั v
ถา้ มีเส้นเชื่อมขนาน แลว้ (u) จะเป็นจานวนเทา่ ของเส้นเช่ือมขนาน
จากน้นั ให้ (v) เท่ากบั ผลรวมเหล่าน้ี

ข้นั ท่ี 3 ถา้ i = 1 ใหห้ ยดุ
ถา้ ไม่ใช่ ใหล้ ด i เป็น i - 1 แลว้ ไปทาข้นั ที่ 2

66 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 2.5.4 จากตวั อยา่ ง 2.5.1 จะหาจานวนวถิ ีส้ันสุดจากกราฟ G ไดด้ งั น้ี

ข้นั ที่ 1 ให้ i = 3 และ (t) = 1

เน่ืองจาก (c) = 3 = (t) ดงั น้นั (c) = 0

ข้นั ท่ี 2 จุดยอด v ซ่ึง (v) = 2 ไดแ้ ก่จุดยอด b, d, e

เน่ืองจาก t, c เป็นจุดยอด u ซ่ึง (u) = 3 และประชิดกบั จุด b ดงั น้นั

(b) = (t) + (c) = 1 + 0 = 1 ทานองเดียวกนั (d) = (c) = 0

(e) = (t) + (c) = 1 + 0 = 1

ดงั น้นั (b) = 1 , (d) = 0 , (e) = 1
ข้นั ท่ี 3 ลด i = 3 เป็น i = 2 ทาข้นั ท่ี 2

ข้นั ที่ 2 จุดยอด v ซ่ึง (v) = 1 ไดแ้ ก่จุดยอด a และ f

จะไดว้ า่ (a) = (b) + (d) + (e) = 1 + 0 + 1 = 2

และ (f) = (d) + (e) = 0 + 1 = 1
ข้นั ที่ 3 ลด i = 2 เป็น i = 1

ข้นั ท่ี 2 จุดยอด v มีเพียงจุดยอดเดียวซ่ึง (v) = i – 1 = 0 คือ จุดยอด s

จะไดว้ า่ (s) = (a) + (f) = 2 + 1 = 3
ข้นั ท่ี 3 เน่ืองจาก i = 1 ดงั น้นั หยดุ

จะไดว้ า่ (s) = 3
นน่ั คือ จานวนวถิ ีส้นั สุดจาก s ไป t เทา่ กบั 3 วถิ ีคือ saet, sabt และ sfet



ข้นั ตอนวธิ ีของดจิ ค์สตรา (Dijkstra’ s algorithm)

ข้นั ตอนวธิ ีคน้ หาตามแนวกวา้ งเป็นวธิ ีการหาวถิ ีส้ันสุดของกราฟท่ีมีน้าหนกั ของ
แตล่ ะเส้นเช่ือมเท่ากนั ตอ่ ไปน้ีจะพจิ ารณาการหาวถิ ีส้ันสุดของกราฟถ่วงน้าหนกั ที่มี

น้าหนกั ของแต่ละเส้นเชื่อมไมเ่ ท่ากนั โดยใชว้ ธิ ีการ
หาของดิจคส์ ตรา (Edsger Wybe Dijkstra พ.ศ.

2473 – 2545) รูป 2.18 วธิ ีการน้ีเรียกวา่ ข้นั ตอนวธิ ี

ของดิจคส์ ตรา ดงั น้ี (Clark & Holton, 1991)

ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั s และ t เป็น
รูป 2.18 Edsger W. Dijkstra จุดยอดใน G และให้ w(e) เป็นน้าหนกั ของแต่ละ

1930–2002 , Holland เส้นเชื่อม e ของ G ซ่ึง w(e)  0 แลว้ จะหาวถิ ี
ท่ีมา (Richards, 2002) ส้นั สุด จาก s ไป t โดยข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 67

ไดด้ งั น้ี
ข้นั ท่ี 1 ให้ (s) = 0 และสาหรับแต่ละจุดยอด v  s จะให้ (v) = 
ให้ T = V เป็นเซตของจุดยอดใน G
ข้นั ท่ี 2 ให้ u เป็นจุดยอดใน T ซ่ึง (u) มีคา่ นอ้ ยสุด
ข้นั ท่ี 3 ถา้ u = t ใหห้ ยดุ
ข้นั ที่ 4 สาหรับทุก ๆ เส้นเชื่อม e = uv ที่ประชิดกบั u
ถา้ v T และ (v)  (u) + w(e) แลว้ ใหเ้ ปล่ียนค่า (v) เป็น

(u) + w(e) (ถา้ มีเส้นเช่ือม e ระหวา่ ง v กบั u ท่ียงั ไม่ถูกใหค้ ่าแลว้ ใหเ้ ปล่ียนคา่ (v)
เป็นคา่ นอ้ ยสุดใน {(v) , (u) + w(e)})

ข้นั ที่ 5 ให้ T เป็น T – {u} และไปทาข้นั ที่ 2 (u ถูกใหค้ า่ แลว้ ไปทาข้นั ที่ 2 เพอ่ื หา
จุดยอด w ท่ีไมถ่ ูกใหค้ ่า และ (w) มีคา่ นอ้ ยสุด)

ตัวอย่าง 2.4.5 ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ดงั รูป 2.19 ใหใ้ ชข้ ้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา
หาวถิ ีส้ันสุดจาก s ไปแตล่ ะจุดใน G

a 9 b
18 14 28
s6
7 10 t
15 36
Gc
d

รูป 2.19 กราฟแสดงการหาวถิ ีส้นั สุดของกราฟถ่วงน้าหนกั G

ที่ 2.17 กราฟแสดงหาวถิ ี

วธิ ีทา ข้นั ที่ 1 ใหค้ ่าเร่ิมตน้ (v) และ T ไสด้นั ด้ สงั ุดน้ี 2.17 กcราฟแสดdงหาวถิ ีสส้นัุดt
จุดยอด v s ab

(v) 0     

T {s, a, b, c, d, t}

ข้นั ท่ี 2 ให้ u = s ซ่ึง (s) = 0 ซ่ึงมีค่านอ้ ยสุด
ข้นั ที่ 4 มีเส้นเช่ือมท้งั หมด 2 เส้น ท่ีประชิดกบั s คือ sa และ sc ซ่ึง a, c  T
และยงั ไมถ่ ูกใหค้ ่า

เน่ืองจาก (a) =  > 18 = 0 + 18 = (s) + w(sa) ดงั น้นั (a) = 18

68 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

และเน่ืองจาก (c) =  > 15 = 0 + 15 = (s) + w(sc) ดงั น้นั (c) = 15

ข้นั ที่ 5 ให้ T เป็น T – {s} จะไดว้ า่
จุดยอด v s a b c d t
(v) 0 18  15  
T { a, b, c, d, t}

ข้นั ท่ี 2 ให้ u = c ซ่ึง (c) = 15 ซ่ึงมีค่านอ้ ยสุดและ c  T
ข้นั ท่ี 4 มีเส้นเชื่อมท้งั หมด 3 เส้นท่ีประชิดกบั c ซ่ึง a, b, d  T คือ ca, cb และ
cd

เนื่องจาก (a) = 18 < 21 = 15 + 6 = (c) + w(ca) ดงั น้นั (a) = 18
เนื่องจาก (b) =  > 29 = 15 + 14 = (c) + w(cb) ดงั น้นั (b) = 29
และเน่ืองจาก (d) =  > 22 = 15 + 7 = (c) + w(cd) ดงั น้นั (d) = 22

ข้นั ที่ 5 ให้ T เป็น T – {c} จะไดว้ า่

จุดยอด v s a b c d t

(v) 0 18 29 15 22 

T { a, b, d, t}

ข้นั ที่ 2 ให้ u = a ซ่ึง (a) = 18 ซ่ึงมีคา่ นอ้ ยสุดในขณะน้ีและ a  T
ข้นั ที่ 4 มีเส้นเชื่อมเพียงเส้นเดียวท่ีประชิดกบั a ซ่ึง v  T คือ ab

เน่ืองจาก (b) = 29 > 27 = 18 + 9 = (a) + w(ab) ดงั น้นั (b) = 27

ข้นั ที่ 5 ให้ T เป็น T – {a} จะไดว้ า่

จุดยอด v s a b c d t

(v) 0 18 27 15 22 

T{ b, d, t}

ข้นั ท่ี 2 ให้ u = d ซ่ึง (d) = 22 ซ่ึงมีค่านอ้ ยสุดในขณะน้ีและ d T
ข้นั ที่ 4 มีเส้นเชื่อมท้งั หมด 2 เส้น ที่ประชิดกบั d ซ่ึง v  T คือ db และ dt

เนื่องจาก (b) = 27 < 32 = 22 + 10 = (d) + w(db) ดงั น้นั (b) = 27

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 69

และเน่ืองจาก (t) =  > 58 = 22 + 36 = (d) + w(dt) ดงั น้นั (t) = 58

ข้นั ที่ 5 ให้ T เป็น T – {d} จะไดว้ า่

จุดยอด v s a b c d t

(v) 0 18 27 15 22 58

T{ b, t}

ข้นั ที่ 2 ให้ u = b ซ่ึง (b) = 27 ซ่ึงมีค่านอ้ ยสุดในขณะน้ีและ b T
ข้นั ที่ 4 มีเส้นเชื่อมเพยี งเส้นเดียวที่ประชิดกบั b ซ่ึง v  T คือ bt

เน่ืองจาก (t) = 58 > 55 = 27 + 28 = (b) + w(bt) ดงั น้นั (t) = 55

ข้นั ที่ 5 ให้ T เป็น T – {b} จะไดว้ า่

จุดยอด v s a b c d t

(v) 0 18 27 15 22 55

T{ t}

ข้นั ที่ 2 ให้ u = t

ข้นั ที่ 3 หยดุ

ดงั น้นั วถิ ีส้ันสุดจาก s ไป a, b, c, d และ t คือ 18, 27, 15, 22

และ 55 ตามลาดบั

สรุปเป็นตารางของข้นั ตอนวธิ ีการหาวถิ ีส้นั สุดจากตวั อยา่ งขา้ งบน ตวั เลขหนาเป็น

คา่ ของ (u) ดงั น้ี

จุดยอด v

sa b c d t T

ลาดบั 0      {s, a, b, c, d, t}

ข้นั ตอน 18  15   { a, b, c, d, t}

ของค่า 18 29 22  { a, b, d, t}

(v) 27 22  { b, d, t}

27 58 { b, t}

55 { t}



70 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ท้งั สองทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีเป็ นการพสิ ูจน์ข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา วา่ เป็นข้นั ตอน
วธิ ีหาวถิ ีส้นั สุดของกราฟถ่วงน้าหนกั

ทฤษฎบี ท 2.17 สาหรับจุดยอด v ใด ๆ ในกราฟถ่วงน้าหนกั G ถา้ มีบางข้นั ตอนใน
ข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตราทาให้ (v) หาคา่ ได(้ ไมเ่ ป็น  ) แลว้ จะมีวถิ ีจาก s ไป v ซ่ึงมี
ความยาวเป็น (v)
พสิ ูจน์ ถา้ v = s จะไดว้ า่ (v) = 0 และวถิ ีจาก s ไป s มีความยาวเป็น 0

ถา้ v  s โดยข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา จะไดว้ า่ เน่ืองจากข้นั ที่ 1 (v) = 
แต่ (v) หาคา่ ได้ ดงั น้นั ในข้นั ท่ี 2 ตอ้ งมีบางจุดยอด u1 ซ่ึงประชิดกบั v โดยมีเส้น
เช่ือม e1 = u1v และ (v) = (u1) + w(e1) แลว้ u1 จะถูกใหค้ ่า เช่นเดียวกนั จาก
ข้นั ท่ี 2 และ 4 จะไดว้ า่ จุดยอดหน่ึง ๆ จะถูกใหค้ า่ เพยี งคร้ังเดียวและไมอ่ ยใู่ น T อีก
ตอ่ ไป เน่ืองจาก (u1) หาคา่ ได้ และใชว้ ธิ ีการเช่นเดิมหาจุดยอด u2 ที่ประชิดกบั u1
ได้ ดงั น้นั ถา้ e2 = u2u1 จะไดว้ า่ (u1) = (u2) + w(e2)
โดยวธิ ีการหายอ้ นกลบั ซ้าไปเรื่อย ๆ จนกระทง่ั ถึง s ดงั น้นั จะไดร้ ูปแบบวถิ ีของความ
ยาว (v) จาก v ยอ้ นกลบั ไป s เป็น

(v) = (u1) + w(e1)
= (u2) + w(e2) + w(e1)
= (u3) + w(e3) + w(e2) + w(e1)
=. . .
= (s) + w(en) + . . . + w(e1)
= w(en) + . . . + w(e1)

ดงั น้นั ความยาวของวถิ ีท่ีประกอบดว้ ยเส้นเชื่อมที่มีน้าหนกั ของ e1 , e2 , . . . , en
ซ่ึงเกิดจากวธิ ีการน้ีจึงเป็นวถิ ีจาก s ไป v และมีความยาวเป็น (v)


วธิ ีพิสูจนใ์ นทฤษฎีบท 2.17 เป็นวธิ ีหาวถิ ีส้ันสุด โดยวธิ ีการยอ้ นกลบั นนั่ เอง

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเชื่อมโยง 71

ทฤษฎบี ท 2.18 ในข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา ถา้ จุดยอด u ถูกเลือกในข้นั ที่ 2 แลว้
(u) = (u) และ (u) =  ถา้ ไมม่ ีวถิ ีจาก s ไป u

เมื่อ (u) แทนความยาวของวถิ ีส้ันสุดจาก s ไป u สาหรับจุดยอด u ใด ๆ

พสิ ูจน์ ใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์ตามอนั ดบั ของจุดยอดที่ถูกเลือก (ท่ีลบออกจากเซต T)

เน่ืองจากจุดยอดแรกที่เลือกคือ v = s ซ่ึงจะไดว้ า่ (s) = 0 = (u) ดงั น้นั ทฤษฎีบทเป็นจริง
สมมุติวา่ จุดยอด u  s และทฤษฎีบทเป็นจริงสาหรับทุกจุดยอดที่เลือกก่อน

จุดยอด u ถา้ (u) =  เม่ือ u ถูกเลือกในข้นั ท่ี 2 แลว้ เน่ืองจาก (s) เป็นคา่ คงท่ี ดงั น้นั
ตอ้ งมี u ซ่ึงเป็นจุดยอดแรกท่ีถูกเลือกโดยท่ี (u) =  และ u s เนื่องจากคา่ นอ้ ยสุด

ที่ตอ้ งการในข้นั ที่ 2 เมื่อ u ถูกเลือก จุดยอด v ท้งั หลายท่ีเหลือยงั ไม่ถูกเลือกจะมี (v) =
 และเน่ืองจาก u เป็นจุดยอดแรก ดงั น้นั จุดยอด v ท้งั หลายท่ีถูกเลือกก่อน u จะมี
(v) เป็นค่าคงท่ี นน่ั คือไมม่ ีเส้นเชื่อม e จาก v ไป u หรือไป v ที่ยงั ไม่ถูกเลือก ท้งั น้ี
เนื่องจาก (u) (หรือ (v)) อ่ืน ๆ จะเปล่ียนเป็น (v) + w(e) ดงั น้นั ไม่มีวถิ ีจาก s ไป u
เพราะ (s) เป็นค่าคงท่ี ขณะท่ี (u) =  นนั่ คือ (u) =  ตามตอ้ งการ

ตอ่ ไปพจิ ารณากรณี (u) เป็นค่าคงที่ โดยทฤษฎีบท 2.17 มี (u) เป็นความยาว

ของบางวถิ ีจาก s ไป u ดงั น้นั (u)  (u) จะแสดงวา่ (u)  (u) เป็ นไปไม่ได้
ใหว้ ถิ ีส้นั สุดจาก s ไป u คือ s = v0 v1 . . . vk = u และให้ ei เป็ นเส้นเช่ือมจาก vi-1 ไป vi ,

k

1 i  k ดงั น้นั ความยาวของวถิ ีส้นั สุดคือ  w(ei ) = (u) ให้ vj เป็นจุดยอดสุดทา้ ย
i1

ในวถิ ีน้ีท่ีถูกเลือกก่อน u โดยสมมุติฐานการอุปนยั จะไดว้ า่

j

(vj) = (vj) =  w(ei )
i1

ถา้ vj+1 u (= vk) จะไดว้ า่ (vj+1) (vj)+ w(ej+1) หลงั จาก vj ถูกเลือกแลว้ จาก
ข้นั ท่ี 4 เนื่องจากค่าที่ให้ลดลงเสมอ ดงั น้นั เม่ือ u ถูกเลือก (vj+1) ยงั คงสอดคลอ้ งกบั
อสมการน้ี จะไดว้ า่ (vj+1) (vj)+ w(ej+1) = (vj) + w(ej+1) = (vj+1)  (u) ดงั น้นั
(u)  (u) ทาให้ไดว้ า่ (vj+1)  (u) และเน่ืองจาก vj+1 ไม่ไดถ้ ูกเลือกก่อน u ดงั น้นั
เกิดขอ้ ขดั แยง้ กบั การสมมุติฐานข้นั ที่ 2 ท่ีค่า u น้อยสุดซ่ึงตอ้ งถูกเลือกก่อน ดงั น้นั ถ้า
vj+1 u จะไดว้ า่ (u) = (u) ตามตอ้ งการ และถา้ vj+1 = u จะไดว้ า่ (u) = (vj+1) 
(vj)+ w(ej+1) = (vj) + w(ej+1) = (u) แต่ (u)  (u) ดงั น้นั (u) = (u) ตามตอ้ งการ



72 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

แบบฝึ กหัด 2.5
1. จงหาวถิ ีส้นั สุดจากจุดยอด s ไปจุดยอด t ของกราฟต่อไปน้ี

s a g vb t
m rx h fc

uk d

Ge w

2. จงหาวถิ ีส้นั สุดจากจุดยอด a ไปยงั แตล่ ะจุดยอดในกราฟถ่วงน้าหนกั ท่ีเป็ นกราฟ

เชื่อมโยงตอ่ ไปน้ีโดยใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา

2 b 6 a 12 b
a8 c 20 12
g
4 14 6
8 10 c
14 6 5 3 f
f d 6 4
8 e5 e 6 d
G1
G2

4 b9 c6 d
1
a 3 6 8 4 3 9 3 1 3 7 e
k2 6 4 n 7 2 q 5
5 m 7 p 2
3 6 4

h 2g 8f
G3

3. จงเขียนกราฟวถิ ีส้นั สุดท่ีไดใ้ นขอ้ (2)

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 73

2.6 จุดยอดส่วนตัดและสภาพเชื่อมโยง (Cut Vertice and Connectivity)

บทนิยาม 2.6.1 จุดยอด v ในกราฟ G เป็นจุดยอดส่วนตดั (cut vertex) ของ G
ถา้ (G – v) > (G)

จากบทนิยาม 2.6.1 ขา้ งตน้ v จะเป็นจุดยอดส่วนตดั ของ G ถา้ ลบ v ออกจาก G
แลว้ ทาใหก้ ราฟ G – v มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบมากกวา่ G

v

G1
G2

G1- v

รูป 2.20 แสดงจุดยอดส่วนตดั v ใน G1

เน่ืองจาก (G1) = 1 และ (G1 – v) = 3 จะไดว้ า่ v เป็นจุดยอดส่วนตดั ของ G1
ส่วน G2 ไม่มีจุดยอดส่วนตดั

ทฤษฎบี ท 2.19 ให้ v เป็นจุดยอดในกราฟเชื่อมโยง G จะไดว้ า่ v เป็นจุดยอดส่วนตดั ของ
G กต็ อ่ เม่ือ มีสองจุดยอด u , w ที่ u  v , w  v และ v อยบู่ นทุกวถิ ี u – w ใน G
พสิ ูจน์ () ให้ v เป็นจุดยอดส่วนตดั ของ G จะไดว้ า่ G – v เป็นกราฟไมเ่ ช่ือมโยง
ดงั น้นั มีจุดยอด u และ w ของ G อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบท่ีแตกตา่ งกนั ของ G – v
นน่ั คือ มีวถิ ีจาก u ไป w ใน G แตไ่ มม่ ีวถิ ีจาก u ไป w ใน G – v แสดงวา่ ทุกวถิ ีจาก u ไป
w จะมีจุดยอด v อยเู่ สมอ

() ให้ u และ w เป็นจุดยอดท่ีไม่ใช่ v ใน G และ v อยบู่ นทุกวถิ ีจาก u ไป w
ใน G ถา้ ลบ v ออกจาก G จะทาให้ u และ w อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบท่ีแตกต่างกนั
ของ G – v ดงั น้นั G – v มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเพ่ิมข้ึน นนั่ คือ v เป็นจุดยอดส่วนตดั
ของ G



74 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ในกราฟแบบบริบูรณ์จะไมม่ ีจุดยอดส่วนตดั ส่วนในกราฟ Pn ซ่ึงเป็นวถิ ีที่มีความ
ยาว n ซ่ึง n  3 จะมีทุกจุดยอดเป็ นจุดยอดส่วนตดั ยกเวน้ จุดยอดปลาย แต่ไมม่ ีกราฟใดที่มี
ทุกจุดยอดเป็ นจุดยอดส่วนตดั

ทฤษฎบี ท 2.20 ให้ G เป็ นกราฟท่ีมีจานวน n จุดยอด ซ่ึง n  2 จะไดว้ า่ G มีอยา่ งนอ้ ย
สองจุดยอดท่ีไม่เป็ นจุดยอดส่วนตดั

พสิ ูจน์ ถา้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง สมมุติวา่ G มีจุดยอดท่ีไมเ่ ป็นจุดยอดส่วนตดั มากท่ีสุด
หน่ึงจุดยอด ให้ u , v เป็นจุดยอดใน G ที่มีความยาวของวถิ ีส้ันสุด u – v ยาวที่สุดในบรรดา
วถิ ีส้ันสุดของสองจุดยอดใด ๆ ใน G เน่ืองจาก G เป็นกราฟเชื่อมโยงและมีจุดยอดอยา่ ง

นอ้ ยสองจุดยอดซ่ึง u  v โดยสมมุติฐานจะตอ้ งมีหน่ึงจุดยอดในสองจุดยอดน้ี เป็นจุดยอด
ส่วนตดั ซ่ึงจะใหเ้ ป็ น v จะไดว้ า่ G – v เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง ดงั น้นั มีจุดยอด w ใน G ซ่ึง
ไม่อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเดียวกนั กบั u ใน G – v นน่ั คือ ทุกวถิ ี u – w ใน G ตอ้ ง
ผา่ นจุด v ทาใหไ้ ดว้ า่ วถิ ีส้ันสุดใน G จาก u ไป w บรรจุวถิ ีส้นั สุดจาก u ไป v ซ่ึงเกิด
การขดั แยง้ กบั ท่ีใหว้ ถิ ีส้นั สุด u – v ยาวท่ีสุด



ต่อไปจะกล่าวถึงสภาพเช่ือมโยง (Connectivity) ของกราฟ ดงั น้ี

บทนิยาม 2.6.2 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว จะกล่าววา่ สภาพเชื่อมโยงโดยจุดยอด (vertex
connectivity) ของ G เขียนแทนดว้ ย (G) คือ จานวนจุดยอดท่ีนอ้ ยท่ีสุดที่ลบออกจาก
G แลว้ ทาใหไ้ ดก้ ราฟไม่เชื่อมโยงหรือกราฟ K1

จากรูป 2.20 ถา้ ลบจุด v ออกจาก G1 จะทาใหไ้ ดก้ ราฟที่มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบ
มากกวา่ G1 ดงั น้นั (G1) = 1 ส่วนในกราฟ G2 ซ่ึงไมม่ ีจุดยอดส่วนตดั แตถ่ า้ ลบสอง
จุดยอดจะทาใหไ้ ดก้ ราฟที่มีกราฟยอ่ ยส่วนประกอบมากกวา่ G2 ดงั น้นั (G2) = 2 แต่
กราฟ G3 และ G4 ตอ่ ไปน้ี จะมี (G3) = 3 และ (G4) = 4 ตามลาดบั

บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 75

G3 G4

รูป 2.21 แสดง (G3) = 3 และ (G4) = 4

สาหรับกราฟ Kn , n  2 จะไดว้ า่ (Kn) = n – 1 นอกจากน้ี ถา้ G เป็นกราฟ
เชื่อมโยง จะเห็นไดช้ ดั วา่ (G) = 1 ก็ตอ่ เม่ือ G = K2 หรือ G มีจุดยอดส่วนตดั และ
(G) = 0 ก็ต่อเม่ือ G = K1 หรือ G เป็นกราฟไม่เช่ือมโยง

บทนิยาม 2.6.3 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว และสาหรับจานวนเตม็ บวก n  1 จะเรียก G
วา่ n – คอนเน็กกราฟ (n-connected graph) ก็ตอ่ เม่ือ (G)  n

จากบทนิยาม 2.6.3 จะไดว้ า่ G เป็น 1– คอนเน็กกราฟ ก็ตอ่ เม่ือ G เป็นกราฟ
เชื่อมโยงซ่ึงมีอยา่ งนอ้ ยสองจุดยอด และ G เป็น 2 – คอนเน็กกราฟ ก็ต่อเม่ือ G เป็นกราฟ
แบบเชื่อมโยงที่มีอยา่ งนอ้ ย 3 จุดและไม่มีจุดยอดส่วนตดั

ตอ่ ไปจะเป็ นการศึกษาถึงสมบตั ิบางประการของ 2– คอนเน็กกราฟ โดยเริ่มที่บท
นิยามดงั น้ี

บทนิยาม 2.6.4 ให้ u , v เป็ นจุดยอดในกราฟ G และให้ P1, P2 , P3 , . . . , Pn เป็นวถิ ี u – v
จะกล่าววา่ Pi และ Pj เป็นสองวถิ ีท่ีเป็นอนิ เทอร์นัลลดี สิ จอยท์ (internally disjoint) ถา้ วถิ ีท้งั
สองมี u และ v เป็นจุดยอดร่วมเพยี งสองจุดเทา่ น้นั

ทฤษฎบี ท 2.21 (Whitney , 1932) ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวที่มีอยา่ งนอ้ ย 3 จุดยอด จะไดว้ า่
G เป็น 2 – คอนเน็กกราฟ ก็ตอ่ เม่ือ สาหรับสองจุดยอด u , v ใด ๆ ใน G จะมีสองวถิ ี u – v
ท่ีเป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยทใ์ น G

พสิ ูจน์ () ใหส้ องจุดยอดใด ๆ ใน G มีสองวถิ ีท่ีเป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยทใ์ น G
จะไดว้ า่ G เป็นกราฟเช่ือมโยง ต่อไปจะพสิ ูจน์วา่ G ไม่มีจุดยอดส่วนตดั

76 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ให้ G มีจุดยอดส่วนตดั เป็น v จากทฤษฎีบท 2.19 จะไดว้ า่ ทุกวถิ ี u – w ใน G
ตอ้ งผา่ นจุดยอด v ซ่ึงขดั แยง้ กบั สมมุติฐานที่วา่ u และ w มีวถิ ีที่เป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยท์
ดงั น้นั v ไม่อยบู่ นทุกวถิ ี u – w นนั่ คือ G ไมม่ ีจุดยอดส่วนตดั

() ให้ G เป็น 2 – คอนเน็กกราฟ และ u , v เป็นจุดยอดใน G จะแสดงวา่ มีสอง
วถิ ีใน u – v ที่เป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยทใ์ น G โดยวธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บนความยาว k
ของวถิ ีส้ันสุดจาก u ไป v

ใหค้ วามยาววถิ ีส้ันสุดจาก u ไป v เป็น k = 1 จะไดว้ า่ u ,v จะมีเส้นเช่ือม ใหเ้ ป็ น e
เน่ืองจาก G ไมม่ ีจุดยอดส่วนตดั ดงั น้นั e ไมเ่ ป็นสะพาน จะไดว้ า่ มีวถิ ี P จาก u ไป v
ที่แตกต่างจากวถิ ี Q จาก u ไป v

สมมุติความยาวของวถิ ีส้นั สุดจาก u ไป v เป็น k , k  2 และสาหรับจุดยอด
x , y ใด ๆ ที่ความยาวของวถิ ีส้ันสุดจาก x ไป y นอ้ ยกวา่ k แลว้ มีสองวถิ ี x – y ท่ีเป็น
อินเทอร์นลั ลีดิสจอยท์ ให้ P เป็นวถิ ีที่มีความยาว k จาก u ไป v และ ให้ w เป็นจุดยอด
ก่อนถึงจุดยอดสุดทา้ ยของวถิ ี P จะไดว้ า่ วถิ ีส้ันสุดจาก u ไป w ยาวเทา่ กบั k – 1 และมี
สองวถิ ี x – y ท่ีเป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยท์ ใหเ้ ป็น Q1 , Q2 เนื่องจาก G เป็น 2 – คอนเน็ก
กราฟ ดงั น้นั w ไม่เป็นจุดยอดส่วนตดั หรือ G – w เป็ นกราฟเชื่อมโยง และมีวถิ ี Pจาก

u ไป v ซ่ึงไมผ่ า่ น w ให้ x เป็นจุดยอดสุดทา้ ยบน P ซ่ึง x อาจอยบู่ น Q1 หรือไม่ก็ Q2
(เน่ืองจาก u เป็นจุดยอดร่วมของท้งั 3 วถิ ี) ดงั รูป 2.22

Q1 x P P1 x
Pw
u vu v

Q2 P2 w

รูป 2.22 แสดงวถิ ี P1 และ P2 ท่ีเป็ นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยท์

สมมุติวา่ x  Q1 ให้ P1 เป็นวถิ ี u – v ที่ไดจ้ ากวถิ ี u – x และวถิ ี x – v ซ่ึงเป็น
ส่วนหน่ึงของวถิ ี Q1 และ P ตามลาดบั ให้ P2 เป็นวถิ ี u – v ที่ไดจ้ ากวถิ ี u – w ซ่ึงเป็นส่วน
หน่ึงของวถิ ี P2และเส้นเช่ือม wv จะไดว้ า่ P1 และ P2 เป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยทใ์ น G



บทท่ี 2 ตน้ ไมแ้ ละสภาพเช่ือมโยง 77

บทแทรก 2.22 ให้ G เป็น 2 – คอนเน็กกราฟ และให้ u , v เป็นจุดยอดของ G จะไดว้ า่ มี
วฏั จกั ร C ของ G ที่ผา่ น u และ v
พสิ ูจน์ ให้ G เป็น 2 – คอนเน็กกราฟ โดยทฤษฎีบท 2.21 จะไดว้ า่ มีวถิ ี P1 และ P2 เป็นสอง
วถิ ี u – v ท่ีเป็นอินเทอร์นลั ลีดิสจอยท์ ซ่ึงจะทาใหไ้ ดว้ า่ P1  P2 จะเป็นวถิ ีปิ ดซ่ึงเป็ น
วฏั จกั รท่ีผา่ น u และ v



แบบฝึ กหัด 2.6

1. จงพสิ ูจนว์ า่ จุดยอด v ของตน้ ไม้ T เป็นจุดยอดส่วนตดั ใน T กต็ อ่ เม่ือ dG(v)  1
2. ให้ G เป็นกราฟเช่ือมโยงที่มีจานวนจุดยอดมากกวา่ 3 จุด จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ G มีสะพาน
แลว้ G มีจุดยอดส่วนตดั
3. จงหา (G) ของแตล่ ะกราฟ G ตอ่ ไปน้ี และใหห้ าจุดยอดส่วนตดั ถา้ (G) = 1

G1 G2 G3

4. จงยกตวั อยา่ ง กราฟเชิงเดียว G ที่เป็นกราฟเชื่อมโยงและมี n จุดยอด ซ่ึงมีจุดยอดส่วน
ตดั v โดยท่ี (G – v) = n – 1 และแต่ละกราฟยอ่ ยส่วนประกอบของ G – v บรรจุจุดยอด
เอกเทศ
5. จงพสิ ูจนว์ า่ ตน้ ไม้ T ที่มีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 3 จุด จะมีจุดยอดส่วนตดั v ซ่ึงทุกจุดยอดที่
ประชิดกบั v (ยกเวน้ เพียงจุดยอดเดียว) มีระดบั ข้นั เป็น 1
6. จงพิสูจนว์ า่ จุดยอด v ที่เป็นจุดยอดส่วนตดั ของกราฟเชิงเดียว G ที่เป็นกราฟเช่ือมโยง
จะไม่เป็นจุดยอดส่วนตดั ใน G
7. ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวที่เป็นกราฟเชื่อมโยงซ่ึงมีจุดยอดอยา่ งนอ้ ย 2 จุดและ v เป็นจุด
ยอดท่ีมีระดบั ข้นั นอ้ ยที่สุดใน G โดยให้ dG(v) = k จงพิสูจนว์ า่ (G)  k
8. ให้ G เป็น n – คอนเน็กกราฟ จงพสิ ูจน์วา่ G+ K1 เป็น (n+1) – คอนเน็กกราฟ

78 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ภาพแสดงสะพานท้งั 7 แห่งทอดขา้ มแม่น้าพรีเกลที่เมืองโคนิกสเบิร์กในยคุ ของออยเลอร์
ท่ีมา (Connor & Robertson, 2000)

บทท่ี 3
กราฟแบบออยเลอร์และกราฟแบบแฮมลิ ตัน

ในบทท่ี 1 ไดก้ ล่าวถึงรอยเดินและวถิ ีในกราฟ ในบทน้ีจะศึกษาเกี่ยวกบั กราฟแบบ
ออยเลอร์และกราฟแบบแฮมิลตนั โดยใชบ้ ทนิยามของรอยเดินและวถิ ีดงั กล่าว พร้อมท้งั
การประยกุ ตใ์ ชก้ ราฟท้งั สอง ดงั ตอ่ ไปน้ี

3.1 ทวั ร์แบบออยเลอร์และกราฟแบบออยเลอร์ (Euler Tour and Eulerian Graph)

บทนิยาม 3.1.1 ให้ G เป็นกราฟ จะเรียกรอยเดินใน G วา่ รอยเดินแบบออยเลอร์ (Euler
trial) ถา้ เป็นรอยเดินที่บรรจุทุกเส้นเชื่อมใน G

บทนิยาม 3.1.2 ทวั ร์ (tour) ของกราฟ G คือ แนวเดินปิ ดใน G ที่บรรจุทุกเส้นเช่ือมใน G
อยา่ งนอ้ ยเส้นเชื่อมละหน่ึงคร้ัง

ทวั ร์แบบออยเลอร์ (Euler tour) ของ G คือ ทวั ร์ที่บรรจุทุกเส้นเช่ือมใน G เพยี ง
เส้นเช่ือมละหน่ึงคร้ัง

ดงั น้นั จากบทนิยามจะเห็นวา่ ทวั ร์แบบออยเลอร์ เป็นรอยเดินปิ ดแบบออยเลอร์

บทนิยาม 3.1.3 จะเรียกกราฟ G วา่ กราฟแบบออยเลอร์ (Eulerian graph) ถา้ G มีทวั ร์
แบบออยเลอร์

ตัวอย่าง 3.1.1 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟดงั รูป 3.1

e10 e8 e7e3 e2 e6 ee1112e10 e8ee97ee13e2 e6
e9e1 e4 e5 e4 e5

G1 G2

รูป 3.1 แสดง G1 ท่ีมีรอยเดินแบบออยเลอร์และ G2 เป็ นกราฟแบบออยเลอร์

จะเห็นวา่ G1 มีรอยเดินแบบออยเลอร์จาก u ไป v ท่ีบรรจุ e1, e2, …, e10 และ G1ไม่
มีทวั ร์แบบออยเลอร์ แต่ G2 มีทวั ร์แบบออยเลอร์จาก u ไป u ท่ีบรรจุ e1, e2, …, e12 ดงั น้นั
G2 เป็นกราฟแบบออยเลอร์

80 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ในทฤษฎีกราฟ รอยเดินแบบออยเลอร์และทวั ร์แบบออยเลอร์ เป็ นแนวเดินที่โด่ง
ดงั มากใน ประวตั ิศาสตร์ อาจกล่าวไดว้ า่ กราฟและทฤษฎีกราฟไดเ้ กิดข้ึนในตน้ ศตวรรษท่ี
18 โดยนกั คณิตศาสตร์ท่ีมีชื่อเสียง คือ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler, พ.ศ.
2250–2326) ชาวสวติ เซอร์แลนด์ ไดใ้ ชแ้ นวเดินดงั กล่าว แกป้ ัญหาการเดินขา้ มสะพานท้งั
7 แห่ง ที่เมืองโคนิกสเบิร์ก (Königsberg)( ปัจจุบนั ชื่อ คาลินินกราด (Kaliningrad)) อยใู่ น
ปรัสเซียตะวนั ออก) ซ่ึงมีแม่น้าพรีเกล (River Pregal)(ปัจจุบนั เรียกแม่น้า Pregoya)ไหลผา่ น
ตวั เมืองแลว้ แยกเป็นสองสายลอ้ มรอบเกาะเนพอฟ (Kneiphof island) แลว้ ไหลลงสู่ทะเล
บอลติก (Baltic sea) (ชะเอม สายทอง, 2544) ดงั รูป 3.2

C

แมน่ ้าพรีเกล A D

เกาะเนพอฟ

สะพาน B

รูป 3.2 แผนท่ีสะพานที่เมอื งโคนิกสเบิร์ก

ในรูป 3.2 ให้ A, B, C และ D เป็นแผน่ ดิน ปัญหาคือ เป็ นไปไดห้ รือไม่ท่ีจะ
เดินทางขา้ มสะพานท้งั เจด็ โดยขา้ มแต่ละสะพาน สะพานละหน่ึงคร้ัง โดยคร้ังน้นั จกั รพรรดิ
เฟรเดอริก (Frederick the Great) แห่งปรัสเซียไดม้ อบใหอ้ อยเลอร์แกป้ ัญหาน้ี

ออยเลอร์ไดแ้ สดงเส้นทางเป็ นกราฟดงั รูป 3.3 ใหจ้ ุดยอด A, B, C และ D แทน
แผน่ ดินและเส้นเชื่อมแทนสะพาน วา่ เป็นกราฟไม่มีรอยเดินแบบออยเลอร์ ดงั น้นั เป็ นไป
ไมไ่ ดท้ ่ีจะเดินทางขา้ มแต่ละสะพานเพียงคร้ังเดียวใหค้ รบทุกสะพาน

C

A D
B

รูป 3.3 แสดงกราฟแทนแผนท่ีสะพานท่ีเมืองโคนิกสเบิร์ก

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมิลตนั 81

3.2 สมบตั ิของกราฟแบบออยเลอร์ (The Properties of Eulerian graph)

ปัจจุบนั ไดม้ ีการนากราฟแบบออยเลอร์ไปช่วยแกป้ ัญหา โดยเฉพาะปัญหาท่ีมีลกั ษณะ
คลา้ ยปัญหาการส่งไปรษณีย์ จึงจะกล่าวถึงสมบตั ิของกราฟแบบออยเลอร์ ดงั ต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 3.1 ถา้ G เป็นกราฟท่ีแต่ละจุดยอดมีระดบั ข้นั อยา่ งนอ้ ยเป็นสองแลว้ G มีวฏั จกั ร
พสิ ูจน์ ถา้ G ไมเ่ ป็นกราฟเชิงเดียว แลว้ G จะมีวงวนซ่ึงเป็นวฏั จกั รความยาว 1 หรือ G จะ
มีเส้นเชื่อมขนาน ซ่ึงเป็ นวฏั จกั รท่ีมีความยาว 2

สมมุติวา่ G เป็นกราฟเชิงเดียว ให้ v0 เป็นจุดยอดใด ๆ ใน G เน่ืองจาก dG( v0)  2
ดงั น้นั จะมีเส้นเช่ือม e1 เช่ือมระหวา่ ง v0 กบั v1 และ เน่ืองจาก dG( v1)  2 ดงั น้นั จะมีเส้น
เช่ือม e2 เชื่อมระหวา่ ง v1กบั v2 ซ่ึง v2  v1 เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนกระทงั่ ถึงคร้ังท่ี i + 1
ซ่ึงจะมีเส้นเช่ือม ei+1 ท่ีประชิดกบั จุดยอด vi และ vi + 1 ซ่ึง vi + 1 vi ดงั รูป 3.4

v0 e1 v1 e2 v2  vi - 1 ei vi ei + 1 vi + 1 

0

รูป 3.4 แสดงจุดยอดประชิดเสน้ เชื่อม

เน่ืองจาก G มีจุดยอดจานวนจากดั ดงั น้นั ตอ้ งมีจุดยอดที่เลือกมาซ้ากบั จุดยอดเดิม
ใหจ้ ุดยอดน้นั เป็ น vk ทาใหไ้ ดว้ า่ มีแนวเดินที่มีจุดยอดตา่ งกนั ท้งั หมดยกเวน้ vk เท่าน้นั ที่เป็น
จุดยอดซ้าในแนวเดินดงั กล่าว นนั่ คือ G มีวฏั จกั ร ดงั รูป 3.5

v0 v1 v2  vk - 1 vk

vk + s + 1 vk + 1

vk + s vk + 2

รูป 3.5 แสดงวฏั จกั รเกิดที่จุดยอด vk


ทฤษฎบี ท 3.2 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์ กต็ ่อเม่ือ แต่
ละจุดยอดของ G มีระดบั ข้นั เป็นจานวนคู่
พสิ ูจน์ () สมมุติวา่ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์ และให้ C เป็นทวั ร์แบบออยเลอร์ใน G
ที่มีจุดยอด u เป็นจุดเริ่มตน้ และจุดยอดปลาย จะไดว้ า่ ถา้ v G โดยท่ี v  u แลว้

82 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

เนื่องจาก u เช่ือมโยง v และบรรจุทุกเส้นเช่ือมของ G ดงั น้นั v ตอ้ งอยใู่ น C แตล่ ะคร้ังที่
ทวั ร์ C ผา่ นจุดยอด v จะทาให้ v มีระดบั ข้นั เป็น 2 ดงั น้นั dG(v) เป็นจานวนคู่ และ
เนื่องจาก u เป็นจุดเร่ิมตน้ และจุดยอดปลายของ C ดงั น้นั dG(u) = 2 และถา้ C ผา่ นจุด u
แลว้ จะทาใหไ้ ดว้ า่ dG(u) เป็นจานวนคู่ นนั่ คือ แต่ละจุดยอดของ G มีระดบั ข้นั เป็นจานวนคู่

() สมมุติวา่ G เป็นกราฟเช่ือมโยงและแต่ละจุดของ G มีระดบั ข้นั เป็นจานวนคู่
จะแสดงวา่ G มีทวั ร์แบบออยเลอร์ โดยใชว้ ธิ ีอุปนยั ทางคณิตศาสตร์บนจานวนเส้นเชื่อม

ถา้ G ไม่มีเส้นเชื่อมแลว้ G จะมีเพียงจุดยอดเดียว ใหเ้ ป็ น u จะไดว้ า่ ถา้ C เป็นทวั ร์
แลว้ C = u เป็นทวั ร์แบบออยเลอร์

ให้ G มีเส้นเชื่อม จะไดว้ า่ แต่ละจุดยอดใน G มีระดบั ข้นั มากกวา่ ศูนย์ เนื่องจาก
แตล่ ะจุดยอดเป็นจานวนคู่ ดงั น้นั แต่ละจุดยอดมีระดบั ข้นั มากกวา่ หรือเท่ากบั 2 และจาก
ทฤษฎีบท 3.1 จะไดว้ า่ G มีวฏั จกั ร ใหว้ ฏั จกั รน้นั เป็ น C ถา้ C บรรจุทุกเส้นเช่ือมของ G
แลว้ C จะเป็นทวั ร์แบบออยเลอร์ สมมุติวา่ C ไม่ไดบ้ รรจุทุกเส้นเชื่อมของ G ถา้ ลบทุก
เส้นเช่ือมของ C ออก จะไดก้ ราฟ H ซ่ึง E(H)  E(G) แต่ V(H) = V(G) และจะไดว้ า่ แต่ละ
จุดยอดใน H ยงั คงมีระดบั ข้นั เป็นจานวนคู่ ดงั รูป 3.6

C

GH

รูป 3.6 แสดงการลบวฏั จกั ร C ใน G ไดก้ ราฟ H

สมมุติวา่ สาหรับทุกกราฟซ่ึงแต่ละจุดยอดมีระดบั ข้นั เป็ นจานวนคูท่ ี่มีจานวนเส้น
เชื่อมนอ้ ยกวา่ จานวนเส้นเชื่อมของ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์ ดงั น้นั แตล่ ะ กราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบของ H เป็นกราฟแบบออยเลอร์ เน่ืองจากแต่ละกราฟยอ่ ยส่วนประกอบเกิด
จากการลบเส้นเชื่อมของ C ดงั น้นั จึงมีจุดยอดร่วมกบั C อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุดจากจุดยอด u
ใด ๆ ของ C จะมีเส้นเชื่อมใน C เชื่อมไปจุดยอดหน่ึงที่อยใู่ นกราฟยอ่ ยส่วนประกอบหน่ึง
ของ H ใหจ้ ุดยอดน้นั เป็น v จากน้นั จะมีเส้นเช่ือมไปตามทวั ร์แบบออยเลอร์ในกราฟยอ่ ย
ส่วนประกอบมาถึง v จาก v ไปตามเส้นเชื่อมใน C จนถึงกราฟยอ่ ยส่วนประกอบอ่ืนของ
H ตอ่ ไป แลว้ ทาตามข้นั ตอนเดิม ทาเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ จนทว่ั C และกลบั มาจุดเร่ิมตน้ u ใน C
เนื่องจากเส้นเชื่อมของ G บรรจุเส้นเช่ือมของ H และของ C ดงั น้นั ทาใหม้ ีทวั ร์แบบ
ออยเลอร์ใน G



บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมิลตัน 83

ทฤษฎบี ท 3.3 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์ กต็ ่อเม่ือ G

มีวฏั จกั ร C1, C2,. . . , Cn ซ่ึงทุกเส้นเช่ือมของ G จะอยใู่ นวฏั จกั ร Ci , 1 i  n วฏั จกั ร
ใดวฏั จกั รหน่ึงเพียงวฏั จกั รเดียวเทา่ น้นั

พสิ ูจน์ ใหพ้ ิสูจน์เป็นแบบฝึ กหดั โดยใชท้ ฤษฎีบท 3.2


ทฤษฎบี ท 3.4 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะไดว้ า่ G มีรอยเดินแบบออยเลอร์ ก็ต่อเม่ือ G มี

จุดยอดค่ีมากที่สุดจานวน 2 จุด

พสิ ูจน์ () ให้ G มีรอยเดินแบบออยเลอร์ ทานองเดียวกนั กบั การพสิ ูจนใ์ นตอนแรก

ของทฤษฎีบท 3.2 ถา้ v เป็ นจุดยอดใน G ที่เป็นจุดเร่ิมตน้ และจุดสิ้นสุดของรอยเดิน แลว้
dG(v) เป็นจานวนคู่ และจุดยอดอ่ืนที่อยใู่ นรอยเดินน้ีจะมีระดบั ข้นั เป็ นจานวนคู่ ดงั น้นั
จุดยอดค่ีท่ีเป็นไปไดใ้ นรอยเดินน้ีจะมีแค่ 2 จุดคือจุดเร่ิมตน้ และจุดสิ้นสุดของรอยเดิน

() ให้ G เป็นกราฟเช่ือมโยง ถา้ G ไมม่ ีจุดยอดคี่ โดยทฤษฎีบท 3.2 จะไดว้ า่ G

เป็นกราฟแบบออยเลอร์ ดงั น้นั G มีรอยเดินแบบออยเลอร์
โดยบทแทรก 1.2 สมมุติวา่ G มีจุดยอดค่ีจานวน 2 จุด คือ u และ v ถา้ เพิ่มเส้น

เช่ือม e ระหวา่ ง u และ v จะไดก้ ราฟใหม่ ให้เป็ นกราฟ G + e ที่ทุกจุดยอดมีระดบั ข้นั เป็ น
จานวนคู่ ดงั น้นั จากทฤษฎีบท 3.2 กราฟ G + e มีทวั ร์แบบออยเลอร์ ใหเ้ ป็น C = v0 e1 v1
e2 . . . en vn ให้ e1 = e, v0 = u , v1 = v และ vn = u ถา้ ลบเส้นเช่ือม e ออกจากทวั ร์ C จะทา
ใหไ้ ดร้ อยเดินแบบออยเลอร์ v1 e2 … en vn จาก v ไป u ใน G


การพิสูจนใ์ นตอนแรกของทฤษฎีบท 3.4 แสดงใหเ้ ห็นวา่ ถา้ กราฟ G มีรอยเดิน
แบบออยเลอร์ท่ีไม่เป็นทวั ร์แลว้ รอยเดินน้ีจะเริ่มตน้ ท่ีจุดยอดคี่หน่ึงและสิ้นสุดท่ีอีกจุดยอดคี่
หน่ึง
ทฤษฎีบท 3.2 และ 3.4 สามารถนาไปใชก้ บั กราฟ G2 และ G1 ในรูป 3.1 เพ่ือแสดง
วา่ มีทวั ร์แบบออยเลอร์ และรอยเดินแบบออยเลอร์ตามลาดบั และปัญหาสะพานโคนิกส
เบิร์กในรูป 3.3 เป็ นกราฟที่มีจุดยอดคี่ท้งั หมด โดยทฤษฎีบทท้งั สอง กราฟในรูป 3.3 น้ีไม่
มีรอยเดินแบบออยเลอร์
กราฟแบบออยเลอร์และกราฟท่ีมีรอยเดินแบบออยเลอร์สามารถนาไปใชแ้ กป้ ัญหา
อยบู่ ่อย ๆ เช่น รูป 3.7 ต่อไปน้ี ใชป้ ากกาลากโดยไม่ซ้าเสน้ ไดห้ รือไม่ ถา้ ไม่ไดต้ อ้ งยกปลาย
ปากกากี่คร้ัง

84 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

(1) (2) (3)

รูป 3.7 แสดงรูปที่จะมีการลากเสน้

จากรูป 3.7 จะเห็นวา่ รูปภาพ ( 1 ) มีรอยเดินแบบออยเลอร์ จึงสามารถลากเส้นได้
โดยไม่ยกปากกา และรูปภาพ ( 3 ) มีทวั ร์แบบออยเลอร์ สามารถลากเส้นไดโ้ ดยไมย่ ก
ปากกาและสิ้นสุดท่ีจุดเริ่มตน้ แต่รูปภาพ ( 2 ) ไมม่ ีรอยเดินแบบออยเลอร์ จะลากเส้นโดย
ตอ้ งยกปากกาอยา่ งนอ้ ย 1 คร้ัง

การหาทวั ร์แบบออยเลอร์ของกราฟที่มีจานวนจุดยอดและเส้นเช่ือมที่มากข้ึนน้นั
เป็นเร่ืองท่ีน่าสนใจ ซ่ึงมีวธิ ีหน่ึงในการหาทวั ร์ดงั กล่าว เรียกวา่ ข้นั ตอนวธิ ีของฟลวิ รี
(Fleury’s algorithm) (Clark & Holton, 1991) ดงั น้ี

สมมุติวา่ G เป็นกราฟแบบออยเลอร์
ข้นั ที่ 1 เลือกจุดยอด v0 ใด ๆ ของกราฟแบบออยเลอร์ G และให้ W0 = v0
ข้นั ท่ี 2 สาหรับรอยเดิน Wi= v0e1v1e2 . . . eivi ที่เลือกไวแ้ ลว้ จะเลือกเส้นเชื่อม ei+ 1

ก็ตอ่ เม่ือ (1) ei +1 ประชิดกบั จุดยอด vi
และ (2) ei+ 1 ตอ้ งไม่เป็ นสะพานของ G – {e1 , . . . ,ei} นอกจาก
ไม่มีเส้นเชื่อมอื่น

ข้นั ที่ 3 หยดุ ถา้ Wi บรรจุทุกเส้นเชื่อมของ G
ถา้ ไมใ่ ช่ใหก้ ลบั ไปทาข้นั ท่ี 2

ตวั อย่าง 3.2.1 จงหาทวั ร์แบบออยเลอร์ของกราฟ G ท่ีเป็นกราฟแบบออยเลอร์ดงั รูป โดย
ใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของฟลิวรี

บทที่ 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตัน 85

d2 a1 d1 a2
a3 d3
d6 dd74 d5
a4

a5 d8 d9 a6
d10
a7 G d12 d11
a8

รูป 3.8 แสดงกราฟแบบออยเลอร์ G ที่มีทวั ร์แบบออยเลอร์

ข้นั ที่ 1 เลือกจุดยอด v0 = a1 และ W0 = a1
ข้นั ท่ี 2 เลือกเส้นเช่ือม e1 = d1 จะไดว้ า่ W1 = a1d1a2 แสดงไดด้ งั รูป 3.9

d2 a1 d1 a2
a3 d3 dd74 d5 a4
a1 d1 a2 d6 d9 a6
v0 W1 v1
a5 d8 d11
d10 G1 a8
a7 d12

รูป 3.9 แสดงการหาทวั ร์แบบออยเลอร์

ข้นั ท่ี 2 เลือกเส้นเช่ือม e2 = d5 จะไดว้ า่ W2 = a1d1a2d5a4 แสดงไดด้ งั รูป 3.10
ข้นั ท่ี 2 เลือกเส้นเชื่อม e3 = d9 จะได้ W3 แสดงไดใ้ นรูป 3.10
ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e4 = d4 (เน่ืองจาก d12 เป็ นสะพานใน G3 ดงั น้นั จะไมเ่ ลือก d12 )
แสดง W4ได้ ดงั รูป 3.10

86 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

a1 d1 a2 d2 a1 d1 a2
W2 d5 a4 a3 d3
d6 dd74 d5
d9 a4 G2
a5 d8 a6
d10
a7 d12 a8 d11

d1 a2 G3
a1 W3 d5 a4
a7
d9

a1 d1 a2 G4
dW4 4 d5 a4

a7 d9

รูป 3.10 แสดงการหาทวั ร์แบบออยเลอร์(ต่อ)

ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e5 = d6 (เน่ืองจากไม่มีทางเลือกถึงแม้ d6เป็นสะพานใน G4 )
ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e6 = d10 (เนื่องจากไมม่ ีทางเลือกถึงแม้ d10 เป็ นสะพานใน G5)
ข้นั ท่ี 2 เลือกเส้นเชื่อม e7 = d12 (เนื่องจากไม่มีทางเลือกถึงแม้ d12 เป็ นสะพานใน G6)
ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e8 = d8
ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e9 = d2 (เนื่องจากไม่มีทางเลือกถึงแม้ d2เป็นสะพานใน G8)
ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e10 = d7
ข้นั ที่ 2 เลือกเส้นเชื่อม e11 = d11 (เนื่องจากไมม่ ีทางเลือกถึงแม้ d11 เป็ นสะพานใน G10)
ข้นั ท่ี 2 เลือกเส้นเชื่อม e12 = d3 (เนื่องจากไม่มีทางเลือกถึงแม้ d3 เป็ นสะพานใน G11)
ข้นั ท่ี 3 หยดุ

จะไดว้ า่ W = a1d1a2d5a4d9a7d4a2d6a5d10a7d12a8d8a3d2a1d7a6d11a8d3a1 เป็ นทวั ร์แบบ
ออยเลอร์ในกราฟแบบออยเลอร์ G ที่ตอ้ งการ



บทที่ 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตัน 87

ทฤษฎบี ท 3.5 ข้นั ตอนวธิ ีของฟลิวรีเป็นวธิ ีการหาทวั ร์แบบออยเลอร์จากกราฟแบบ

ออยเลอร์

พสิ ูจน์ สาหรับผสู้ นใจการพิสูจนศ์ ึกษาไดใ้ นหนงั สือ The First Look at Graph theory

ของ J. Clark and D. A. Holton หนา้ 91 – 92



แบบฝึ กหัด 3.1

1. ใหต้ รวจสอบวา่ กราฟใดต่อไปน้ีมีวถิ ีแบบออยเลอร์ หรือทวั ร์แบบออยเลอร์ ถา้ มีทวั ร์
แบบออยเลอร์ใหใ้ ชข้ ้นั ตอนวธิ ีของฟลิวรีหาทวั ร์แบบออยเลอร์น้นั

G1 G2

G3

2. จงใหเ้ หตุผลวา่ กราฟต่อไปน้ีเป็นกราฟแบบออยเลอร์หรือไม่

2.1 กราฟแบบบริบูรณ์ Kn เม่ือ n  3
2.2 กราฟลูกบาศก์ Qn เม่ือ n  3
2.3 กราฟวงลอ้ Wn เมื่อ n  4
2.4 กราฟสองส่วนแบบบริบูรณ์ Km , n เมื่อ m, n  1
3. ให้ G เป็นกราฟที่มีจุดยอดค่ี 4 จุด จงพสิ ูจน์วา่ มีสองรอยเดินใน G ท่ีแตล่ ะเส้นเช่ือมใน
G อยใู่ นรอยเดินใดรอยเดินหน่ึง (ใชท้ ฤษฎีบท 3.4)
4. จงพิสูจนท์ ฤษฎีบท 3.3 (ใชท้ ฤษฎีบท 3.2)

88 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

5. แผนผงั เมือง ๆ หน่ึงมี 3 เกาะ A, B, C และสะพาน 9 แห่ง ดงั รูป

จงใหเ้ หตุผลวา่ จะเป็นไปได้
D หรือไมท่ ี่จะเดินเท่ียวใหท้ วั่

AB C เมืองน้ีโดยขา้ มสะพานแห่งละ
คร้ัง

E

6. ใหอ้ ธิบายวา่ คนขายไอศกรีมจะสามารถเร่ขายไอศกรีมบนถนนทุกสาย ๆ ละหน่ึง
เท่ียว ดงั รูป จะได้
หรือไม่

7. แผนผงั ประตูบา้ นช้นั เดียว ดงั รูป

ถา้ เจา้ ของบา้ นจะเดินผา่ นประตูบา้ น
ทุกประตเู พยี งประตลู ะหน่ึงคร้ังจะ
สามารถทาไดห้ รือไม่ อยา่ งไร

3.3 ปัญหาการส่งไปรษณยี ์ (The Postman Problem)

ปัญหาการส่งไปรษณียเ์ ป็นวธิ ีการหาเส้นทางทุกเส้นทางที่ตอ้ งเดินทางไปและกลบั
เป็นประจา โดยใชร้ ะยะทางส้นั ที่สุดและเวลานอ้ ยท่ีสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ดงั น้นั ปัญหา
การส่งไปรษณียใ์ นกราฟถ่วงน้าหนกั G คือ การหาทวั ร์ใน G ที่มีน้าหนกั นอ้ ยที่สุด ถา้ G
เป็นกราฟแบบออยเลอร์ จะไดว้ า่ ทวั ร์แบบออยเลอร์ใน G จะเป็นทวั ร์ที่มีน้าหนกั นอ้ ยที่สุด
ซ่ึงเราสามารถใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของฟลิวรี หาทวั ร์น้นั ได้ แต่ถา้ G ไม่เป็นกราฟแบบออยเลอร์
แลว้ ทวั ร์ใน G จาเป็นตอ้ งเพิ่มเส้นเชื่อมบางเส้น เพ่ือแกป้ ัญหาการส่งไปรษณียด์ งั กล่าว

บทที่ 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตัน 89

บทนิยาม 3.3.1 ให้ e เป็นเส้นเชื่อมของกราฟ G จะเรียก e วา่ ดิวพลเิ คทเอดจ์ (duplicated

edge) ถา้ เพ่ิมเส้นเชื่อมใหมท่ ่ีมีน้าหนกั เท่ากบั e ประชิดกบั จุดยอดปลายท้งั สองของ e

ตัวอย่าง 3.3.1 ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ดงั รูป 3.11

v1

v4 13 v211910v3 8 16 v5
10 7 12

6 v6 10 v7 13

45
v8 G

รูป 3.11 แสดงกราฟถว่ งน้าหนกั G

โดยการเช่ือมเส้นเช่ือม v4v6 , v6v8 , v8v7 และ v7v5 ใน G จะได้ ซูเปอร์กราฟ G*
ของ G ดงั รูป 3.12

v1

v4 13 v211910v3 8 16 v5
10 7 12
6 6 v6 10 v74 13
5 13
4 5
v8 G*

รูป 3.12 แสดงซูเปอร์กราฟ G* โดยการเพิ่มเสน้ เช่ือม

การแก้ปัญหาไปรษณยี ์ ทาไดด้ งั น้ี
ให้ G เป็นกราฟถ่วงน้าหนกั ที่เป็นกราฟเชื่อมโยงซ่ึงน้าหนกั ของเส้นเช่ือมไม่เป็น

จานวนลบ
(1) สร้างซูเปอร์กราฟ G* ของ G ใหเ้ ป็นกราฟแบบออยเลอร์ท่ีเป็ นกราฟถ่วง

น้าหนกั โดยการเพิม่ เส้นเชื่อม โดยท่ีผลรวมของน้าหนกั ของเส้นเช่ือมดิวพลิเคทเอดจ์ มีคา่

90 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

นอ้ ยท่ีสุด หรือ ∑w(e) มีค่านอ้ ยสุด ซ่ึง eE(G*) – E(G) ซ่ึงอาจตอ้ งหาวถิ ีส้ันสุดระหวา่ ง
จุดยอดท่ีตอ้ งการเพม่ิ เส้นเช่ือมโดยข้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา

และ (2) หาทวั ร์แบบออยเลอร์ของ G*

ตวั อย่าง 3.3.2 จงแกป้ ัญหาการส่งไปรษณียใ์ นกราฟ G ในรูป 3.11 ซ่ึงมีจุดยอดค่ีจานวน 2

จุด คือ v4 และ v5
(1) หาวถิ ีส้นั สุดจาก v4 ไป v5 โดยใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของดิจคส์ ตรา ซ่ึงแสดงไดด้ งั
ตารางตอ่ ไปน้ี

v4 v1 v2 v3 v6 v7 v8 v5 T }
0  }
{ v4, v1, v2, v3, v6, v7, v8, v5 }
13 10  6    { v1, v2, v3, v6, v7, v8, v5 }
13 10  16 10  { v1, v2, v3, v7, v8, v5 }
13 19 16 10  { v1, v3, v7, v8, v5 }
13 19 15  { v1, v3, v7, v5
{ v3, v7, v5 }
19 15 29 }
{ v3, v5
19 28 { v5
28

จะไดว้ า่ วถิ ีส้ันสุดจาก v4 ไป v5 คือ v4 v6 v8 v7 v5
(2) สร้างดิวพลิเคทเอดจข์ องแตล่ ะเส้นเช่ือมในวถิ ีส้นั สุดจาก v4 ไป v5ในขอ้ (1)จะ

ไดก้ ราฟถ่วงน้าหนกั ท่ีเป็นกราฟแบบออยเลอร์ G* แสดงในรูป 3.12 ซ่ึง
ผลรวมของน้าหนกั ของเส้นเช่ือมดิวพลิเคทเอดจน์ อ้ ยสุดเป็น 28
(3) หาทวั ร์แบบออยเลอร์ใน G* ซ่ึงใชข้ ้นั ตอนวธิ ีของฟลิวรี โดยเร่ิมตน้ ท่ีจุดยอด

v1 ซ่ึงจะไดท้ วั ร์แบบออยเลอร์ เป็ น v1v4v6v8v7v5v1v2v4v6v8v7v5v3v2v6v7v3v1
และมีความยาวเป็น 162


จากตวั อยา่ ง 3.3.2 ทวั ร์แบบออยเลอร์ที่ไดอ้ าจมีหลายลกั ษณะแต่ตอ้ งมีความยาว

เป็น 162

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตัน 91

แบบฝึ กหัด 3.2

1. จงแกป้ ัญหาการส่งไปรษณียใ์ นกราฟ G1 และ G2 ต่อไปน้ี

a 3b 2 c3 b4e
673 5 4
f 4 G1 e d a 1 3 23 342 g
1
4 2 d2
2 f
4
c G2

2. คนส่งหนงั สือพมิ พต์ อ้ งข่ีจกั รยานยนตส์ ่งหนงั สือตามบา้ นสองขา้ งถนน ดงั รูป

ถา้ ไม่ตอ้ งการขา้ มถนนเพื่อส่ง

หนงั สือและตอ้ งการส่งหนงั สือใน

แตล่ ะถนนอยา่ งนอ้ ยถนนละสอง

คร้ัง จงอธิบายวา่ จะเป็นไปได้

หรือไม่ที่จะกลบั ท่ีเดิมไดท้ นั ที

เม่ือส่งหนงั สือตอนเท่ียวกลบั

3.4 กราฟแบบแฮมิลตัน (Hamiltonian Graph)

บทนิยาม 3.4.1 วถิ ีแบบแฮมิลตนั (Hamiltonian path) ในกราฟ G คือ วถิ ีที่บรรจุทุกจุดยอด
ของ G

บทนิยาม 3.4.2 วฏั จักรแบบแฮมิลตัน (Hamiltonian cycle) ในกราฟ G คือ วฏั จกั รที่บรรจุ
ทุกจุดยอดของ G

บทนิยาม 3.4.3 กราฟ G จะเป็นกราฟแบบแฮมิลตัน ถา้ G มีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั

จากบทนิยามขา้ งตน้ วถิ ีแบบแฮมิลตนั ไม่จาเป็นตอ้ งเป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั

92 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตัวอย่าง 3.4.1 ให้ G1, G2, G3 เป็ นกราฟต่อไปน้ี cd

cd cd

ab ab ab
G1 G2 G3

รูป 3.13 แสดงกราฟแบบแฮมิลตนั G3 แต่ G1, G2 ไมเ่ ป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

จากรูป 3.13 จะเห็นวา่ G1 ไมม่ ีวถิ ีแบบแฮมิลตนั ดงั น้นั G1 ไมม่ ีวฏั จกั รแบบ
แฮมิลตนั ส่วน G2 มีวถิ ี b a c d เป็นวถิ ีแบบแฮมิลตนั แต่ไมม่ ีวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ขณะที่
G3 มีวฏั จกั ร a b d c a เป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั


กราฟแบบแฮมิลตนั ไดถ้ ูกต้งั ชื่อตามนกั คณิตศาสตร์ชาวไอริช ช่ือ เซอร์ วลิ เลียม
โรแวน แฮมิลตนั (Sir William Rowan Hamilton) พ.ศ. 2348 – 2408 รูป 3.14 ซ่ึงไดส้ ร้าง
เกมรูปทรง 12 หนา้ บรรจุจุดยอด 20 จุด แทนช่ือเมืองหลวงของประเทศต่าง ๆ ในโลก
ปัญหา คือ การใชเ้ ส้นขอบของรูปทรงหาเส้นทางใหผ้ า่ นทวั่ ทุกเมืองเหล่าน้ีเพยี งคร้ังเดียว
แลว้ กลบั มาท่ีเดิม หรือการหาวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ในกราฟที่สร้างจากรูปทรง 12 หนา้ ซ่ึง

แสดงไดโ้ ดยใชเ้ ส้นหนา ดงั รูป 3.15

รูป 3.14 Sir William Rowan รูป 3.15 วฏั จกั รแบบแฮมิลตนั
Hamilton ในกราฟของรูปทรง 12 หนา้

1805 -1865, Ireland
ท่ีมา (Connor & Robertson, 1998)

กราฟ Cn เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั และถา้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั จะไดว้ า่ ถา้
G เป็นซูเปอร์กราฟของ G ท่ีไดจ้ ากการเพม่ิ เส้นเชื่อมระหวา่ งสองจุดยอดใน G แลว้ G จะ

บทท่ี 3 กราฟแบบออยเลอร์และแฮมลิ ตัน 93

เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั เพราะวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ใน G ยงั คงเป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั

ใน G และกราฟแบบบริบูรณ์ Kn ซ่ึงเป็นซูเปอร์กราฟของ Cn จะเป็นกราฟแบบแฮมิลตนั

3.5 สมบตั ิของกราฟแบบแฮมลิ ตัน (The Properties of Hamiltonian Graph)

กราฟ G จะเป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ก็ต่อเมื่อ กราฟอนั เดอร์ไลอิ้งซิมเปิ ลกราฟของ G
เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ดงั น้นั จึงจะศึกษาสมบตั ิของกราฟแบบแฮมิลตนั ที่เป็นกราฟ
เชิงเดียว

ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียวท่ีมี n จุดยอด เนื่องจาก G เป็นกราฟยอ่ ยของกราฟ Kn
ดงั น้นั จึงสามารถสร้างกราฟ Kn โดยการเพิ่มเส้นเช่ือมระหวา่ งสองจุดยอดของ G ที่ไม่
ประชิดกนั ดงั รูป 3.16 ตอ่ ไปน้ี

ab ab ab ab



cd cd cd cd
G G1 G2 G3= K4

รูป 3.16 แสดงการสร้างกราฟ K4 จากกราฟ G

จะเห็นวา่ สามารถสร้างกราฟแบบแฮมิลตนั จากกราฟท่ีไม่เป็นกราฟแบบ
แฮมิลตนั (non – Hamiltonian graph) ได้

บทนิยาม 3.5.1 ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว จะเรียก G วา่ แมกซิมัลนอนแฮมิลโทเนียนกราฟ
(maximal non – Hamiltonian graph) ถา้ G ไม่เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั แต่เมื่อเพมิ่ เส้นเชื่อม
เพยี งเส้นเดียวระหวา่ งสองจุดยอดใด ๆ ท่ีไม่ประชิดกนั ใน G ทาให้ G เป็นกราฟแบบ
แฮมิลตนั

ตัวอย่าง 3.5.1 พิจารณากราฟในรูป 3.16 จะเห็นวา่ เน่ืองจากเพม่ิ เส้น ab ใน G จะได้ G1
และเพิม่ เส้น cd ใน G1 จะไดก้ ราฟ G2 ซ่ึงเป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ดงั น้นั G1 เป็น แมกซิมลั
นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ



94 ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้

ตวั อย่าง 3.5.2 กราฟ G ดงั รูปต่อไปน้ี เป็นแมกซิมลั นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ

G

รูป 3.17 แสดงกราฟ G เป็ นแมกซิมลั นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ



ลาดบั ข้นั การสร้างกราฟ n จุดยอด ที่ไม่เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ใหเ้ ป็นกราฟยอ่ ย
ของแมกซิมลั นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ n จุดยอด จะนาไปใชใ้ นการพิสูจนท์ ฤษฎีบท
ตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎบี ท 3.6 (Dirac, 1952 ; รูป 3.18) ถา้ G เป็นกราฟเชิงเดียว ท่ีมี n จุดยอด ซ่ึง n  3

และ dG(v)  n สาหรับแตล่ ะจุดยอด vG แลว้ G เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั
2
พสิ ูจน์ สมมุติวา่ ทฤษฎีบทน้ีมีผลลพั ธ์ไมเ่ ป็นจริง จะไดว้ า่ สาหรับบางคา่ n  3 จะมีกราฟ
n
ท่ีทุกจุดยอดมีระดบั ข้นั อยา่ งนอ้ ยเป็น 2 แลว้ ทุกจุดยอดของซูเปอร์กราฟของมนั มีระดบั ข้นั

อยา่ งนอ้ ยเป็ น n ดว้ ย ดงั น้นั จะมีแมกซิมลั นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ G ซ่ึงมี n จุดยอดและ
2
n
dG(v)  2 สาหรับแต่ละจุดยอด vG จะแสดงวา่ เกิดมีขอ้ ขดั แยง้

เนื่องจาก Kn เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั และ G ไมเ่ ป็นกราฟแบบบริบรู ณ์ ดงั น้นั จะมี

2 จุดยอด u, v ที่ไมป่ ระชิดกนั ใน G ให้ G+uv เป็นซูเปอร์กราฟของ G ท่ีไดจ้ ากการเพิ่ม

เส้นเชื่อม uv จะไดว้ า่ เน่ืองจาก G เป็นแมกซิมลั นอนแฮมิลโทเนียนกราฟ ดงั น้นั G+uv

เป็นกราฟแบบแฮมิลตนั ให้ C เป็นวฏั จกั รแบบแฮมิลตนั ของ G+uv แลว้ C ตอ้ งบรรจุ

เส้นเชื่อม uv ดงั น้นั ให้ C = v1v2 . . . vnv1 ซ่ึง v1= u , vn= v
S = { viC ซ่ึงมีเส้นเช่ือมระหวา่ ง u กบั vi+1 ใน G }

และ T = { vjC ซ่ึงมีเส้นเช่ือมระหวา่ ง v กบั vj ใน G }
จะไดว้ า่ vn  T ถา้ ไม่เช่นน้นั จะมีเส้นเช่ือม v กบั vn= v หรือมีวงวน vv ซ่ึงเป็นไปไมไ่ ด้

เช่นเดียวกนั จะไดว้ า่ vn  S ท้งั น้ีเนื่องจากจะไดว้ งวน uu เช่นกนั ดงั น้นั vn  S T

จะไดว้ า่  S T n ,  S= dG(u),  T= dG(v) ............................. ( * )