2. Propiedades auxiliaresa. ( ) m n p mnp a b c an b p c xxx x + + =×+×+b. ( –) m n p mnp a b c an b p c xxx x + ÷÷ =× ×– +Ejemplos¾ ⋅ ⋅ + = = 3 2 7 (2 5) 7 17 5 3 5 15xx x x¾ ⋅ ⋅ ⋅ + ÷÷ == =3 5 3 (1 2–5)4 3 4 32424 –9 –3 8xx x xx x1n n x x = (Radicación)mn n m x x = ; n ≠ 0Raíz de una multiplicaciónRaíz de raízRaíz de una divisiónTeoremasn n n xy x y = ⋅ ; n ≠ 0n m p nmp x x =nn nx xy y = ; n ≠ 0; y ≠ 0Propiedad auxiliar( )( –)1. 2. m n p mnp a b c an b p cm n p mnp a b c an b p cxxx xxxx x+ ++=÷÷ =¾ 77 7 7 2 5 25 7 x x xx x x ⋅ = ⋅= =¾ = = 3 5 60 120 120 2 x xx¾3 3 3–1 36 2 3 6x xxxx x x= = =EXPONENTE RADICACIÓN - FRACCIONARIOforma generalEjemploEjemploEjemploSynthesis TRABAJO EN CLASE1. Reduzca A = 3 -27 + 4 16 + 7 128.Resolución2. Efectúe E = 141/2+1271/3+1361/2.Resolución3. Halle el equivalente de =10 2055 532 R x bx b .Resolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 3 3 7 2 A4 2 x x ; x ≠ 0 =5 325 1764 B2xxResolución5. Reduzca = ⋅ 3 4 23 12 F x x ; x ≠ 0Resolución1. Reduzca A = 3 -27 + 4 16 + 7 128.Resolución2. Efectúe E = 141/2+1271/3+1361/2.Resolución3. Halle el equivalente de =10 2055 532 R x bx b .Resolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 3 3 7 2 A4 2 x x ; x ≠ 0 =5 325 1764 B2xxResolución5. Reduzca = ⋅ 3 4 23 12 F x x ; x ≠ 0Resolución1. Reduzca A = 3 -27 + 4 16 + 7 128.Resolución2. Efectúe E = 141/2+1271/3+1361/2.Resolución3. Halle el equivalente de =10 2055 532 R x bx b .Resolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 3 3 7 2 A4 2 x x ; x ≠ 0 =5 325 1764 B2xxResolución5. Reduzca = ⋅ 3 4 23 12 F x x ; x ≠ 0Resolución1. Reduzca A = 3 -27 + 4 16 + 7 128.Resolución2. Efectúe E = 141/2+1271/3+1361/2.Resolución3. Halle el equivalente de =10 2055 532 R x bx b .Resolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 3 3 7 2 A4 2 x x ; x ≠ 0 =5 325 1764 B2xxResolución5. Reduzca = ⋅ 3 4 23 12 F x x ; x ≠ 0ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a2DO DE SECUNDARIA 51 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
1. Reduzca A = 3 -27 + 4 16 + 7 128.Resolución2. Efectúe E = 141/2+1271/3+1361/2.Resolución3. Halle el equivalente de =10 2055 532 R x bx b .Resolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 3 3 7 2 A4 2 x x ; x ≠ 0 =5 325 1764 B2xxResolución5. Reduzca = ⋅ 3 4 23 12 F x x ; x ≠ 0Resolución•6. Al reducir la expresiónE = 161/4 + 41/2 + 81/3el resultado indica la propina del alumno Jorge. ¿Cuánto recibe de propina Jorge?Resolución7. Reduzca =⋅⋅ 3 E xx x ; x ≠ 0si la diferencia del índice y exponente final indica la cantidad de propina que recibe marco.Resolución1. ReduceA = 3 -8 + 5 32 + 6 64Resolución2. Calcule el valor deQ = 16251/4+1491/2+141/2Resolución3. Determine el equivalente de =20 12416 481 E x yx yResolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 5 5 13 2 A 16 2 x x =4 144 232 B2xxResolución•6. Al reducir la expresiónE = 161/4 + 41/2 + 81/3el resultado indica la propina del alumno Jorge. ¿Cuánto recibe de propina Jorge?Resolución7. Reduzca =⋅⋅ 3 E xx x ; x ≠ 0si la diferencia del índice y exponente final indica la cantidad de propina que recibe marco.Resolución1. ReduceA = 3 -8 + 5 32 + 6 64Resolución2. Calcule el valor deQ = 16251/4+1491/2+141/2Resolución3. Determine el equivalente de =20 12416 481 E x yx yResolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 5 5 13 2 A 16 2 x x =4 144 232 B2xxResolución•6. Al reducir la expresiónE = 161/4 + 41/2 + 81/3el resultado indica la propina del alumno Jorge. ¿Cuánto recibe de propina Jorge?Resolución7. Reduzca =⋅⋅ 3 E xx x ; x ≠ 0si la diferencia del índice y exponente final indica la cantidad de propina que recibe marco.Resolución1. ReduceA = 3 -8 + 5 32 + 6 64Resolución2. Calcule el valor deQ = 16251/4+1491/2+141/2Resolución3. Determine el equivalente de =20 12416 481 E x yx yResolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 5 5 13 2 A 16 2 x x =4 144 232 B2xxResolución•6. Al reducir la expresiónE = 161/4 + 41/2 + 81/3el resultado indica la propina del alumno Jorge. ¿Cuánto recibe de propina Jorge?Resolución7. Reduzca =⋅⋅ 3 E xx x ; x ≠ 0si la diferencia del índice y exponente final indica la cantidad de propina que recibe marco.Resolución1. ReduceA = 3 -8 + 5 32 + 6 64Resolución2. Calcule el valor deQ = 16251/4+1491/2+141/2Resolución3. Determine el equivalente de =20 12416 481 E x yx yResolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 5 5 13 2 A 16 2 x x =4 144 232 B2xxResolución•6. Al reducir la expresiónE = 161/4 + 41/2 + 81/3el resultado indica la propina del alumno Jorge. ¿Cuánto recibe de propina Jorge?Resolución7. Reduzca =⋅⋅ 3 E xx x ; x ≠ 0si la diferencia del índice y exponente final indica la cantidad de propina que recibe marco.Resolución1. ReduceA = 3 -8 + 5 32 + 6 64Resolución2. Calcule el valor deQ = 16251/4+1491/2+141/2Resolución3. Determine el equivalente de =20 12416 481 E x yx yResolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 5 5 13 2 A 16 2 x x =4 144 232 B2xxResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.9.10.52 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
•6. Al reducir la expresiónE = 161/4 + 41/2 + 81/3el resultado indica la propina del alumno Jorge. ¿Cuánto recibe de propina Jorge?Resolución7. Reduzca =⋅⋅ 3 E xx x ; x ≠ 0si la diferencia del índice y exponente final indica la cantidad de propina que recibe marco.Resolución1. ReduceA = 3 -8 + 5 32 + 6 64Resolución2. Calcule el valor deQ = 16251/4+1491/2+141/2Resolución3. Determine el equivalente de =20 12416 481 E x yx yResolución4. Calcule el valor de A - B si = ⋅ 5 5 13 2 A 16 2 x x =4 144 232 B2xxResolución5. Simplifique= ⋅ M 3 3 3 3 7 2 x x ; x ≠ 0Resolución6. Al reducir la expresiónE = 161/2 + 271/3 + 811/4el resultado indica la propina del alumno Mario. ¿Cuánto recibe de propina Mario?Resolución7. Luego de reducir, hallar el valor de R24, cuando m=2, cuyo resultado representa el monto total a pagar por el consumo de luz ¿cual fue el importe generado en dicho recibo?=⋅⋅ 4 4 3 6 R mmm ; m ≠ 0Resolución1. Reduzca++ + + = ⋅6 63 234 3515 E5 4+5nn n nA) 40 B) 45C) 15 D) 752. Determine el valor de = F –( )nm n n mxyxy; xy ≠ 0A) (xy)m– n B) xyC) (xy)–1 D) (xy) –2TAREA DOMICILIARIA• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: xPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: xPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x11.12.2DO DE SECUNDARIA 53 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
PARA EL CUADERNO5. Simplifique= ⋅ M 3 3 3 3 7 2 x x ; x ≠ 0Resolución6. Al reducir la expresiónE = 161/2 + 271/3 + 811/4el resultado indica la propina del alumno Mario. ¿Cuánto recibe de propina Mario?Resolución7. Luego de reducir, hallar el valor de R24, cuando m=2, cuyo resultado representa el monto total a pagar por el consumo de luz ¿cual fue el importe generado en dicho recibo?=⋅⋅ 4 4 3 6 R mmm ; m ≠ 0Resolución1. Reduzca++ + + = ⋅6 63 234 3515 E5 4+5nn n nA) 40 B) 45C) 15 D) 752. Determine el valor de = F –( )nm n n mxyxy; xy ≠ 0A) (xy)m– n B) xyC) (xy)–1 D) (xy) –21.•1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a.191/2= 3 ( )b. 91/2 = 3 ( )c.3 5 5 5 = ( )Resolución2. Calcule el valor de A+B si =⋅ =⋅ 3 3 75 35 A 9 3 y B 8 2 xx xxResolución3. Efectúe 191/2- 141/2Resolución4. Simplifique = ⋅ 3 12 12 4 3 H x x ; x ≠ 0Resolución5. Al reducir E = 1251/3 + 813/4, el resultado indica la propina que recibirá Giorgina. ¿Cuánto recibe de propina Giorgina?Resolución7.5. Simplifique= ⋅ M 3 3 3 3 7 2 x x ; x ≠ 0Resolución6. Al reducir la expresiónE = 161/2 + 271/3 + 811/4el resultado indica la propina del alumno Mario. ¿Cuánto recibe de propina Mario?Resolución7. Luego de reducir, hallar el valor de R24, cuando m=2, cuyo resultado representa el monto total a pagar por el consumo de luz ¿cual fue el importe generado en dicho recibo?=⋅⋅ 4 4 3 6 R mmm ; m ≠ 0Resolución1. Reduzca++ + + = ⋅6 63 234 3515 E5 4+5nn n nA) 40 B) 45C) 15 D) 752. Determine el valor de = F –( )nm n n mxyxy; xy ≠ 0A) (xy)m– n B) xyC) (xy)–1 D) (xy) –24.1. SimplifiqueQ = 1361/2+11251/3- 191/2A) 22 B) 11C) 532 D) 1302. Halle el valor de 12 2466 1264 F x yx y = .A) x3y2 B) xyC) 2xy2 D) 2x2y3. Halle el valor de M - B si = ⋅ 9 9 7 11 M x x ; x ≠ 0 =4 174 9B xx; x ≠ 0A) x2 B) xC) 0 D) 14. Se tiene que = 5xx . Halle el valor de= +4 9Tx xx xel cual representa el costo de unos audifonos bluetooth xiaomiA) 90 B) 80C) 16 D) 1505. Al reducir la expresión A = 1251/3 + 271/3 el resultado indica la propina del alumno Pepito. ¿Cuánto recibe de propina Pepito?A) 12 soles B) 22 solesC) 13 soles D) 42 soles10.5. Simplifique= ⋅ M 3 3 3 3 7 2 x x ; x ≠ 0Resolución6. Al reducir la expresiónE = 161/2 + 271/3 + 811/4el resultado indica la propina del alumno Mario. ¿Cuánto recibe de propina Mario?Resolución7. Luego de reducir, hallar el valor de R24, cuando m=2, cuyo resultado representa el monto total a pagar por el consumo de luz ¿cual fue el importe generado en dicho recibo?=⋅⋅ 4 4 3 6 R mmm ; m ≠ 0Resolución1. Reduzca++ + + = ⋅6 63 234 3515 E5 4+5nn n nA) 40 B) 45C) 15 D) 752. Determine el valor de = F –( )nm n n mxyxy; xy ≠ 0A) (xy)m– n B) xyC) (xy)–1 D) (xy) –22.•1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a.191/2= 3 ( )b. 91/2 = 3 ( )c.3 5 5 5 = ( )Resolución2. Calcule el valor de A+B si =⋅ =⋅ 3 3 75 35 A 9 3 y B 8 2 xx xxResolución3. Efectúe 191/2- 141/2Resolución4. Simplifique = ⋅ 3 12 12 4 3 H x x ; x ≠ 0Resolución5. Al reducir E = 1251/3 + 813/4, el resultado indica la propina que recibirá Giorgina. ¿Cuánto recibe de propina Giorgina?Resolución8.•1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a.191/2= 3 ( )b. 91/2 = 3 ( )c.3 5 5 5 = ( )Resolución2. Calcule el valor de A+B si =⋅ =⋅ 3 3 75 35 A 9 3 y B 8 2 xx xxResolución3. Efectúe 191/2- 141/2Resolución4. Simplifique = ⋅ 3 12 12 4 3 H x x ; x ≠ 0Resolución5. Al reducir E = 1251/3 + 813/4, el resultado indica la propina que recibirá Giorgina. ¿Cuánto recibe de propina Giorgina?Resolución5.5. Simplifique= ⋅ M 3 3 3 3 7 2 x x ; x ≠ 0Resolución6. Al reducir la expresiónE = 161/2 + 271/3 + 811/4el resultado indica la propina del alumno Mario. ¿Cuánto recibe de propina Mario?Resolución7. Luego de reducir, hallar el valor de R24, cuando m=2, cuyo resultado representa el monto total a pagar por el consumo de luz ¿cual fue el importe generado en dicho recibo?=⋅⋅ 4 4 3 6 R mmm ; m ≠ 0Resolución1. Reduzca++ + + = ⋅6 63 234 3515 E5 4+5nn n nA) 40 B) 45C) 15 D) 752. Determine el valor de = F –( )nm n n mxyxy; xy ≠ 0A) (xy)m– n B) xyC) (xy)–1 D) (xy) –23.•1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a.191/2= 3 ( )b. 91/2 = 3 ( )c.3 5 5 5 = ( )Resolución2. Calcule el valor de A+B si =⋅ =⋅ 3 3 75 35 A 9 3 y B 8 2 xx xxResolución3. Efectúe 191/2- 141/2Resolución4. Simplifique = ⋅ 3 12 12 4 3 H x x ; x ≠ 0Resolución5. Al reducir E = 1251/3 + 813/4, el resultado indica la propina que recibirá Giorgina. ¿Cuánto recibe de propina Giorgina?Resolución9.•1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a.191/2= 3 ( )b. 91/2 = 3 ( )c.3 5 5 5 = ( )Resolución2. Calcule el valor de A+B si =⋅ =⋅ 3 3 75 35 A 9 3 y B 8 2 xx xxResolución3. Efectúe 191/2- 141/2Resolución4. Simplifique = ⋅ 3 12 12 4 3 H x x ; x ≠ 0Resolución5. Al reducir E = 1251/3 + 813/4, el resultado indica la propina que recibirá Giorgina. ¿Cuánto recibe de propina Giorgina?Resolución6.• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: xPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Halle el valor de A+B si5 25 10 A 32 y B 144 = x x =ResoluciónAplicando el teorema de raíz de una multiplicación5 5 25 5 25 510 10 5A 32 32 2B 144 144 12x xxx xx= =⋅ == =⋅=∴ A + B = 14x5Rpta.: 14x52. Efectúe1 3 27 125− −ResoluciónOperando de arriba hacia abajo− − − −= = =1 1 1 1 3 3 3 27 27 27 3 125 125 125 1253 = = 125 5Rpta.: 53. Simplifique= 3 2 3 5 4 E x x xx ; x ≠ 0ResoluciónAplicando la propiedad3 2 311 2 5 4 E = xxxx×+++ × ×⋅⋅⋅ ⋅+ + + = 3254 ((2 2 3)5 1)4 1 E x145 E = x24 120 2924 29 E = xRpta.:24 29 x4. Reduce+ ++ =+− 2 4 E 729 729 729 b a ab a bsi los radicales son semejantes.ResoluciónSi los radicales son semejantes, se cumple queb+2=a+4=a+bDe donde a=2; b=4=+−= =6 666 6 6E 2 729 4 729 729E 5 729 5 3E=5(3) → E=15Rpta.: 155. Indique el valor de= ⋅ M 3 12 5 xxx x ; x ≠ 0ResoluciónOperando por propiedad¾ × × ( ) ×+ + = = 3 322 12 12 1 7 12xxx x xReemplazando en MM = 12 x7 ⋅ 12 x5M = 12 x12 = xRpta.: x54 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
DefiniciónSon aquellas ecuaciones cuya incógnita aparece en el exponente. Las ecuaciones exponenciales corresponden al grupo de ecuaciones trascendentes a diferencia de las ecuaciones algebraicas.Ecuación de bases igualesSi ax = ay → x = y ∀a ≠ 0 ∧ a ≠ 1Ejemplos¾ 2x = 22 → x = 2¾ 3x = 27 = 33 →¾ 5x = 5 = 51 →¾ 2x+2 = 16 →¾ 32x = 81 →Ecuación con términos exponenciales de base constanteLlamaremos término exponencial a los términos que contienen variables en los exponentes. Aquí veremos las ecuaciones en cuyos miembros aparecen suma o diferencia de términos exponenciales.Ejemplo2x + 2x+1 = 122x + 2x ⋅ 21 = 122x(1 + 2) = 122x ⋅ 3 = 122x = 42x = 22 → x = 2Did you know...?una ecuación trascendente es aquella ecuación donde participa una expresión no algebraica. Por ejemplo• 52x+1 = 125 • x+logx = 0• 42x = 16 • cos(πx) = 13Ecuación con términos de base no constante (simetría)Son ecuaciones que en sus miembros presentan términos que contienen variables tanto en los exponentes como en la base.Si xx + n = aa + n → x = a∀x ≠ 0 ∧ x ≠ 1Ejemplos¾ xx = 27 → xx = 33 → x = 3¾ xx + 1 = 8 → xx + 1 = 22 + 1 → x = 2¾ xx + 2 = 16 →Ejemploxx3= 36( ) ( )3 3 3 2 6 x x =x3 x3= 66→ x3 = 6Extrayendo raíz cúbicax3 3 = 63∴ x = 63NoteSabemos = 1 12 4 1 12 4Aquí 12 ≠ 14PropiedadSi =→=nx x x n x nx nEjemplos¾ Si xx3 = 3 → x = 33¾ Si xxx5= 5 → x = 55¾ Si xxxx2= 2 → x = 2ECUACIONES EXPONENCIALESTheory 03 Ecuaciones Exponenciales2DO DE SECUNDARIA 55 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x.272x – 1 = 81x+4Resolución2. Si 232x – 1= 233x – 5 halle el valor de x.Resolución3. Determine el valor de x. 2x+3⋅ 4x+5 = 16 x+1Resolución4. Calcule el valor de x.− = 2 8 3 12xResolución5. Determine el valor de x en + + ++⋅ =3 4853 9 33x x xx .Resolución6. Luego de reducir T, la edad del hijo de Enrique es el doble.Si xx = 162, T = 3 x + 2.¿Qué edad tiene el hijo de Enrique?Resolución1. Halle el valor de x.272x – 1 = 81x+4Resolución2. Si 232x – 1= 233x – 5 halle el valor de x.Resolución3. Determine el valor de x. 2x+3⋅ 4x+5 = 16 x+1Resolución4. Calcule el valor de x.− = 2 8 3 12xResolución5. Determine el valor de x en + + ++⋅ =3 4853 9 33x x xx .Resolución6. Luego de reducir T, la edad del hijo de Enrique es el doble.Si xx = 162, T = 3 x + 2.¿Qué edad tiene el hijo de Enrique?Resolución1. Halle el valor de x.272x – 1 = 81x+4Resolución2. Si 232x – 1= 233x – 5 halle el valor de x.Resolución3. Determine el valor de x. 2x+3⋅ 4x+5 = 16 x+1Resolución4. Calcule el valor de x.− = 2 8 3 12xResolución5. Determine el valor de x en + + ++⋅ =3 4853 9 33x x xx .Resolución6. Luego de reducir T, la edad del hijo de Enrique es el doble.Si xx = 162, T = 3 x + 2.¿Qué edad tiene el hijo de Enrique?Resolución1. Halle el valor de x.272x – 1 = 81x+4Resolución2. Si 232x – 1= 233x – 5 halle el valor de x.Resolución3. Determine el valor de x. 2x+3⋅ 4x+5 = 16 x+1Resolución4. Calcule el valor de x.− = 2 8 3 12xResolución5. Determine el valor de x en + + ++⋅ =3 4853 9 33x x xx .Resolución6. Luego de reducir T, la edad del hijo de Enrique es el doble.Si xx = 162, T = 3 x + 2.¿Qué edad tiene el hijo de Enrique?Resolución1. Halle el valor de x.272x – 1 = 81x+4Resolución2. Si 232x – 1= 233x – 5 halle el valor de x.Resolución3. Determine el valor de x. 2x+3⋅ 4x+5 = 16 x+1Resolución4. Calcule el valor de x.− = 2 8 3 12xResolución5. Determine el valor de x en + + ++⋅ =3 4853 9 33x x xx .Resolución6. Luego de reducir T, la edad del hijo de Enrique es el doble.Si xx = 162, T = 3 x + 2.¿Qué edad tiene el hijo de Enrique?Resolución1. Halle el valor de x.272x – 1 = 81x+4Resolución2. Si 232x – 1= 233x – 5 halle el valor de x.Resolución3. Determine el valor de x. 2x+3⋅ 4x+5 = 16 x+1Resolución4. Calcule el valor de x.− = 2 8 3 12xResolución5. Determine el valor de x en + + ++⋅ =3 4853 9 33x x xx .Resolución6. Luego de reducir T, la edad del hijo de Enrique es el doble.Si xx = 162, T = 3 x + 2.¿Qué edad tiene el hijo de Enrique?Resolución56 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
•7. Jorge y Rosario tienen áreas de chacras iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestra: S1S1: área de la chacrade JorgeS1 = 2xS2S2: área de la chacrade RosarioS2 = 64donde la edad de Jorge es (x + 2). ¿Podemos saber la edad de Jorge? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución1. Si25x + 1 = 125x - 1halle el valor de x.Resolución2. Halle el valor de x.453x – 2 = 453+2xResolución•7. Jorge y Rosario tienen áreas de chacras iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestra: S1S1: área de la chacrade JorgeS1 = 2xS2S2: área de la chacrade RosarioS2 = 64donde la edad de Jorge es (x + 2). ¿Podemos saber la edad de Jorge? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución1. Si25x + 1 = 125x - 1halle el valor de x.Resolución2. Halle el valor de x.453x – 2 = 453+2xResolución•7. Jorge y Rosario tienen áreas de chacras iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestra: S1S1: área de la chacrade JorgeS1 = 2xS2S2: área de la chacrade RosarioS2 = 64donde la edad de Jorge es (x + 2). ¿Podemos saber la edad de Jorge? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución1. Si25x + 1 = 125x - 1halle el valor de x.Resolución2. Halle el valor de x.453x – 2 = 453+2xResolución3. Calcule el valor de x.9x+2 ⋅ 27x+3 = 81x+3Resolución4. Obtenga el valor de x en− = 3 11 5 17xResolución5. Halle el valor de n en+ + −+⋅ =3 6157 7 497n n nnResolución6. Fabio tiene Q hijos, sabiendo que:Si: xx = 363 , Q = 6x + 1.¿Cuántos hijos tiene Fabio?Resolución7. Pedro y Rocio tienen áreas de chacras iguales y de formas muy peculiares; producto de la herencia de su padre, tal como se muestra:S1 S2S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Pedro de RocioS1 = 3x S2 = 81donde (x + 12) es la edad de Pedro. ¿Podemos saber la edad de Pedro? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución3. Calcule el valor de x.9x+2 ⋅ 27x+3 = 81x+3Resolución4. Obtenga el valor de x en− = 3 11 5 17xResolución5. Halle el valor de n en+ + −+⋅ =3 6157 7 497n n nnResolución6. Fabio tiene Q hijos, sabiendo que:Si: xx = 363 , Q = 6x + 1.¿Cuántos hijos tiene Fabio?Resolución7. Pedro y Rocio tienen áreas de chacras iguales y de formas muy peculiares; producto de la herencia de su padre, tal como se muestra:S1 S2S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Pedro de RocioS1 = 3x S2 = 81donde (x + 12) es la edad de Pedro. ¿Podemos saber la edad de Pedro? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución3. Calcule el valor de x.9x+2 ⋅ 27x+3 = 81x+3Resolución4. Obtenga el valor de x en− = 3 11 5 17xResolución5. Halle el valor de n en+ + −+⋅ =3 6157 7 497n n nnResolución6. Fabio tiene Q hijos, sabiendo que:Si: xx = 363 , Q = 6x + 1.¿Cuántos hijos tiene Fabio?Resolución7. Pedro y Rocio tienen áreas de chacras iguales y de formas muy peculiares; producto de la herencia de su padre, tal como se muestra:S1 S2S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Pedro de RocioS1 = 3x S2 = 81donde (x + 12) es la edad de Pedro. ¿Podemos saber la edad de Pedro? Si es así, ¿cuál es esa edad?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.9.10.11.12.2DO DE SECUNDARIA 57 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
TAREA DOMICILIARIA•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a •1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Halle el valor de x.252x – 5 = 6253x+1ResoluciónColocando bases iguales 52 2x – 5 = 54 3x+1 54x – 10 = 512x+4 4x – 10 = 12x+4 – 14 = 8x ∴ – 74 = xRpta.: –742. Sixxxx2 = 2halle el valor de x.ResoluciónBuscando simetría22 2 2 2 2 2 2x x x x x == →=Rpta.: 23. Calcule el valor de x.4x + 4x+1 + 4x+2 = 21ResoluciónDescomponiendo 4x · 1+4x · 4+4x · 42 = 21Factor común: 4x(1+4+16) = 21 4x(21) = 21 4x = 1 = 40 ∴ x = 0Rpta.: 04. Determine el valor de x enxx = 256ResoluciónSe sabe que xx = 28 xx = 22⋅4Se tiene que xx = (22)4Luego xx = 44∴ x = 4Rpta.: 45. Obtenga el valor de n.3n+2. 3n+43n+332n – 1 =ResoluciónJuntando bases iguales32n+63n+332n – 1 =3n+3 = 32n – 1n+3 = 2n – 1 ∴ n = 4Rpta.: 458 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
PARA EL CUADERNO•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución8.•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución9.1. Halle el valor de x.22x - 3 ⋅ 8x - 1 = 4x + 3A) 2 B) 3C) 4 D) 52. Resuelva e indique el valor de x.− = 2 3 5 16xA) {3/2} B) {2}C) {1} D) {1/2}3. Si 75x + 8 = 3432x + 4 halle el valor de x.A) –4 B) 9C) 2 D) – 84. Calcule el valor de x.2x+1 + 2x+3 = 20el cual representa el número de mascotas que tiene Mario en su casaA) 5 B) 4C) 3 D) 15. La edad de la profesora Moli es (3x + 5) años, donde x es solución de 16x+1 = 32x – 1. Indique la edad de la profesora.A) 19 B) 32C) 30 D) 3510.3. Calcule el valor de x.9x+2 ⋅ 27x+3 = 81x+3Resolución4. Obtenga el valor de x en− = 3 11 5 17xResolución5. Halle el valor de n en+ + −+⋅ =3 6157 7 497n n nnResolución6. Fabio tiene Q hijos, sabiendo que:Si: xx = 363 , Q = 6x + 1.¿Cuántos hijos tiene Fabio?Resolución7. Pedro y Rocio tienen áreas de chacras iguales y de formas muy peculiares; producto de la herencia de su padre, tal como se muestra:S1 S2S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Pedro de RocioS1 = 3x S2 = 81donde (x + 12) es la edad de Pedro. ¿Podemos saber la edad de Pedro? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución1.3. Calcule el valor de x.9x+2 ⋅ 27x+3 = 81x+3Resolución4. Obtenga el valor de x en− = 3 11 5 17xResolución5. Halle el valor de n en+ + −+⋅ =3 6157 7 497n n nnResolución6. Fabio tiene Q hijos, sabiendo que:Si: xx = 363 , Q = 6x + 1.¿Cuántos hijos tiene Fabio?Resolución7. Pedro y Rocio tienen áreas de chacras iguales y de formas muy peculiares; producto de la herencia de su padre, tal como se muestra:S1 S2S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Pedro de RocioS1 = 3x S2 = 81donde (x + 12) es la edad de Pedro. ¿Podemos saber la edad de Pedro? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución2.•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución3.•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución4.•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución5.•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución6.•1. Halle el valor de x en= 2 8 x xA) 2 B) 2C) 1/2 D) 42. Halle el valor de x en254x + 3 = 6258x – 2A) 12 B) 11C) 9 D) 81. Calcule el valor de x, si733x+1 = 734x–1Resolución2. Halle el valor de m.+ + ++⋅ =23 51423 3 33m m mmResolución3. Obtenga el valor de x.42x+1 = 8x–1Resolución4. Determine el valor de x en2x+2 +2x+3 = 48Resolución5. Rocío y Nelly tienen chacras de áreas iguales y formas muy peculiares, producto de la herencia de su padre, tal como se muestraS S 2 1S1: área de la chacra S2: área de la chacrade Rocío de NellyS1 = 34x - 8 S2 = 34donde la edad de Rocío es (x + 11) años. ¿Podemos saber la edad de Rocío? Si es así, ¿cuál es esa edad?Resolución7.2DO DE SECUNDARIA 59 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
Expresión algebraicaEs aquel conjunto finito de términos algebraicos que se encuentran ligados entre sí a través de las operaciones de adición, sustracción, división, multiplicación, potenciación y radicación.Ejemplos¾ Q(x) = 3x3 + 2x3y4 + x; sí es EA.¾ M(x) = 1 + x + x2 +...; no es EA.¾ T(x) = 22x - 2x - 6; no es EA.Partes de un término algebraicoQ(x, y) = -4 x4 y3Parte constante(coeficiente)Parte variableCaracterísticasLos exponentes no pueden ser variables.Ejemplos¾ M(x, y) = 4xy; no es TA.¾ R(x) = 6x4; sí es TA.PolinomioEs una expresión algebraica racional entera que no admite las operaciones de división y/o radicación (variables) y donde los exponentes de sus variables son enteros positivos.EjemploP(x, y) = x3 + 2xy – 5Es un polinomio de 2 variables y se lee: Polinomio P de variables x e y.Donde:¾ 1; 2 y -5 son los coeficientes del polinomio de P(x, y).¾ 1 es el coeficiente principal.¾ -5 es el término independiente.Además podemos nombrar algunos polinomios de acuerdo a la cantidad de términos que poseen.Ejemplos¾ P(x, y) = 4x2 y3, es un monomio.¾ P(x) = x2 + x, es un binomio.¾ F(x, y) = x2 – 2xy + y2, es un trinomio.Indique si las siguientes expresiones son polinomios. Justifique.a. P(x) = x3 - 2x + 3__________________________________________b. F(x, y) = 4x3 - 2y2__________________________________________c. H(x) = x - 2x + 4__________________________________________d. P(a) = a3 - 3a + 3 a__________________________________________e. F(x) = x - x2 + x3 +...__________________________________________Valor numérico (VN)Si le asignamos valores a las variables de una expresión algebraica y efectuamos las operaciones que se indican, el número real que se obtiene se llama valor numérico de un polinomio.Ejemplo 1Halle el valor numérico deP(x) = 2x3 - 3x + 5cuando x = 2.ResoluciónReemplazamos x por 2P(2) = 2(2)3 - 3(2) + 5P(2) = 15Ejemplo 2Halle el valor numérico deP(x) = 3x2 - 3x + 5cuando x = 2.ResoluciónReemplazaremos x por 2.AsíP(2) = 3(2)2 - 3(2) + 5P(2) = 3(4) - 6 + 5P(2) = 12 - 6 + 5∴ P(2) = 11POLINOMIOS04Theory Polinomios60 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
Propiedades1. Para determinar la suma de coeficientes de un polinomio, se asigna a la variable el valor 1, es decir,para x = 1.∑ coef.(P(x)) = P(1)Ejemplo 1Indique la suma de coeficientes deP(x) = 4x2 - 7x + 3Resolución∑ coef.(P(x)) = P(1)Reemplazamos x por 1P(1) = 4(1)2 - 7(1) + 3∴ P(1) = 0Ejemplo 2Indique la suma de coeficientes deP(x) = 4(x - 2)5 + 2008x - 1ResoluciónP(1) = 4(1 - 2)5 + 2008(1) - 1P(1) = 4(-1)5 + 2008 - 1P(1) = 4(-1) + 2007∴ P(1) = 20032. Para determinar el término independiente de un polinomio, se asigna a la variable el valor cero, es decir,para x = 0.TI(P(x)) = P(0)EjemploHalle el término independiente de P(x)P(x) = 5(x + 1)2 - 3(x - 1) + 5ResoluciónTI(P(x)) = P(0)P(0) = 5(0 + 1)2 - 3(0 - 1) + 5P(0) = 5 · 12 - 3(-1) + 5P(0) = 5 + 3 + 5∴ TI = 13Casos que se presentan para obtener el valor numérico1. Primer casoCuando se hace el reemplazo por la variable indicada.Ejemplosa. Si P(x) = 2x2 - 3, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazamos x por -4P(-4) = 2(–4)2 - 3P(-4) = 2 · 16 - 3P(-4) = 29b. Si H(x) = x2 - 2, determineH(H(H(...H(2)...)))1256 vecesResoluciónPara calcular lo que nos piden, lo haremos de adentro hacia afuera.1.er cálculo: H(2) = 22 - 2 → H(2) = 22.o cálculo: H(H(2)) = H(2) = 223.er cálculo: H(H(H(2))) = H(2) = 22Observamos que el VN (valor numérico) que se obtiene de adentro hacia afuera siempre da 2.H(H(H(...H(2)...))) = 21256 veces2. Segundo casoCuando se calcula el valor de la variable antes de sureemplazo.EjemploSi se tiene P(x - 2) = 3x - 1, evalúe P(3).ResoluciónHallemos el valor de x (valor de la variable).Como: P(x - 2) = P(3)1.o Igualamos: x - 2 = 3Luego: x = 52.o Ahora reemplazamos x por 5.P(x - 2) = 3x - 1P(5 - 2) = 3(5) - 1∴ P(3) = 142DO DE SECUNDARIA 61 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
Cambio de variableEjemplos1. Si P(x - 3) = 5x - 2, halle P(x).ResoluciónHacemos un cambio de variable, asignando x-3 a z.1.o x - 3 = zDespejamos xx = z + 32.o Reemplazando enP(x - 3) = 5x - 2P(z + 3 - 3) = 5(z + 3) - 2P(z) = 5z + 13Finalmente podemos volver a la variable x. Cambiamos z por xP(x) = 5x + 132. Si Q(x) = 3x - 5, calcule Q(x - 1) - Q(x)3 .ResoluciónReemplazando x por x - 1 en Q(x)Q(x - 1) = 3(x - 1) - 5Q(x - 1) = 3x - 8Luego enQ(x - 1) - Q(x)3 = 3x - 8 - (3x - 5)3= 3x - 8 - (3x - 5)3= -33 = -1¾ Monomio (Polinomio de un solo término)¾ Binomio (Polinomio de dos términos)¾ Trinomio (Polinomio de tres términos)EjemploP(x) = 5x2 - 7x4 + 9Cambio de variableSea P(x) = 2x + 1P(x + 3) = 2(x + 3) + 1P(x + 3) = 2x + 7POLINOMIOSValor numéricoSea P(x) = 3x2 - 5x + 2P(-2) = 3(-2)2 - 5(-2) + 2P(-2) = 3(4) + 10 + 2P(-2) = 24Propiedades∑ coef.(P(x)) = P(1)TI(P(x)) = P(0)SynthesisTRABAJO EN CLASE•1. Si Q(x) = 3x + 2, calcule Q(5) + Q(1).Resolución2. Si P(x) = 3x2 - x + 2, calcule P(2)P(0).Resolución3. Siendo P(x + 5) = 3x - 4, calcule P(7) + 5.Resolución4. Sabiendo que P(x-5) = x + 7, calcule P(3) + P(1).Resolución•1. Si Q(x) = 3x + 2, calcule Q(5) + Q(1).Resolución2. Si P(x) = 3x2 - x + 2, calcule P(2)P(0).Resolución3. Siendo P(x + 5) = 3x - 4, calcule P(7) + 5.Resolución4. Sabiendo que P(x-5) = x + 7, calcule P(3) + P(1).Resolución•1. Si Q(x) = 3x + 2, calcule Q(5) + Q(1).Resolución2. Si P(x) = 3x2 - x + 2, calcule P(2)P(0).Resolución3. Siendo P(x + 5) = 3x - 4, calcule P(7) + 5.Resolución4. Sabiendo que P(x-5) = x + 7, calcule P(3) + P(1).Resolución•1. Si Q(x) = 3x + 2, calcule Q(5) + Q(1).Resolución2. Si P(x) = 3x2 - x + 2, calcule P(2)P(0).Resolución3. Siendo P(x + 5) = 3x - 4, calcule P(7) + 5.Resolución4. Sabiendo que P(x-5) = x + 7, calcule P(3) + P(1).ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a62 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
5. Si Q(x) = x7 - 2x6 + 3x - 5, evalúe Q(2).Resolución6. El polinomio P(x) = 5 + 4x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 10 segundo?Resolución7. El abuelo de Lucio, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Lucio, hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Lucio y la imagen mostrada es el área de la chacra(P+5)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Lucio cuando cumpla la mayoría de edad?5. Si Q(x) = x Resolución 7 - 2x6 + 3x - 5, evalúe Q(2).Resolución6. El polinomio P(x) = 5 + 4x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 10 segundo?Resolución7. El abuelo de Lucio, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Lucio, hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Lucio y la imagen mostrada es el área de la chacra(P+5)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Lucio cuando cumpla la mayoría de edad?Resolución5. Si Q(x) = x7 - 2x6 + 3x - 5, evalúe Q(2).Resolución6. El polinomio P(x) = 5 + 4x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 10 segundo?Resolución7. El abuelo de Lucio, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Lucio, hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Lucio y la imagen mostrada es el área de la chacra(P+5)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Lucio cuando cumpla la mayoría de edad?Resolución•1. Si P(x) = 2x + 3, calcule P(4) + P(1).Resolución2. Siendo T(x) = 2x3 + x2 + 1, calcule T(3)T(4).Resolución3. Siendo P(x + 1) = 2x + 3, calcule P(3) + 2.Resolución4. Sabiendo que Q(3x-5)=5x+3, calcule Q(7) + Q(1).Resolución•1. Si P(x) = 2x + 3, calcule P(4) + P(1).Resolución2. Siendo T(x) = 2x3 + x2 + 1, calcule T(3)T(4).Resolución3. Siendo P(x + 1) = 2x + 3, calcule P(3) + 2.Resolución4. Sabiendo que Q(3x-5)=5x+3, calcule Q(7) + Q(1).Resolución•1. Si P(x) = 2x + 3, calcule P(4) + P(1).Resolución2. Siendo T(x) = 2x3 + x2 + 1, calcule T(3)T(4).Resolución3. Siendo P(x + 1) = 2x + 3, calcule P(3) + 2.Resolución4. Sabiendo que Q(3x-5)=5x+3, calcule Q(7) + Q(1).ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.9.10.6.7.2DO DE SECUNDARIA 63 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
TAREA DOMICILIARIA•1. Si P(x) = 2x + 3, calcule P(4) + P(1).Resolución2. Siendo T(x) = 2x3 + x2 + 1, calcule T(3)T(4).Resolución3. Siendo P(x + 1) = 2x + 3, calcule P(3) + 2.Resolución4. Sabiendo que Q(3x-5)=5x+3, calcule Q(7) + Q(1).Resolución1. SiP(x) = x2 - 2determineP(P(P(...(P(2)))))600 vecesA) 7 B) 6C) 4 D) 22. Sea P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x - 3 R(x) = 3P(x) + 2Q(x)Calcule P(Q(2)) + Q(P(3)) + R(R(R(0))).A) 77 B) 75C) 76 D) 735. El polinomio P(x) = 7 + x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 8 segundo?Resolución6. Si P(x) = 6x - 8, evalúe P(P(P(2))).Resolución7. El abuelo de Luz, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Luz hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Luz y la figura mostrada es el área de la chacra(2P– 1)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Luz, cuando sea mayor de edad?Resolución•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -411.12.•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -44.64 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
1. SiP(x) = x2 - 2determineP(P(P(...(P(2)))))600 vecesA) 7 B) 6C) 4 D) 22. Sea P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x - 3 R(x) = 3P(x) + 2Q(x)Calcule P(Q(2)) + Q(P(3)) + R(R(R(0))).A) 77 B) 75C) 76 D) 735. El polinomio P(x) = 7 + x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 8 segundo?Resolución6. Si P(x) = 6x - 8, evalúe P(P(P(2))).Resolución7. El abuelo de Luz, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Luz hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Luz y la figura mostrada es el área de la chacra(2P– 1)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Luz, cuando sea mayor de edad?Resolución1. SiP(x) = x2 - 2determineP(P(P(...(P(2)))))600 vecesA) 7 B) 6C) 4 D) 22. Sea P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x - 3 R(x) = 3P(x) + 2Q(x)Calcule P(Q(2)) + Q(P(3)) + R(R(R(0))).A) 77 B) 75C) 76 D) 735. El polinomio P(x) = 7 + x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 8 segundo?Resolución6. Si P(x) = 6x - 8, evalúe P(P(P(2))).Resolución7. El abuelo de Luz, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Luz hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Luz y la figura mostrada es el área de la chacra(2P– 1)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Luz, cuando sea mayor de edad?Resolución1. SiP(x) = x2 - 2determineP(P(P(...(P(2)))))600 vecesA) 7 B) 6C) 4 D) 22. Sea P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x - 3 R(x) = 3P(x) + 2Q(x)Calcule P(Q(2)) + Q(P(3)) + R(R(R(0))).A) 77 B) 75C) 76 D) 735. El polinomio P(x) = 7 + x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 8 segundo?Resolución6. Si P(x) = 6x - 8, evalúe P(P(P(2))).Resolución7. El abuelo de Luz, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Luz hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Luz y la figura mostrada es el área de la chacra(2P– 1)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Luz, cuando sea mayor de edad?Resolución1. SiP(x) = x2 - 2determineP(P(P(...(P(2)))))600 vecesA) 7 B) 6C) 4 D) 22. Sea P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x - 3 R(x) = 3P(x) + 2Q(x)Calcule P(Q(2)) + Q(P(3)) + R(R(R(0))).A) 77 B) 75C) 76 D) 735. El polinomio P(x) = 7 + x + 2x2 representa la distancia (km) que recorre un automóvil en x segundos ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 8 segundo?Resolución6. Si P(x) = 6x - 8, evalúe P(P(P(2))).Resolución7. El abuelo de Luz, le deja una herencia (chacra), cuya área depende de la edad de Luz hasta que sea mayor de edad. Siendo P la variable que representa la edad de Luz y la figura mostrada es el área de la chacra(2P– 1)P mm¿Cuál será el área que le corresponde a Luz, cuando sea mayor de edad?ResoluciónPARA EL CUADERNO•1. Si P(x) = 5x + 3, calcule P(2) + P(3).Resolución2. Sea Q(x + 3) = 3x - 10, evalúe Q(8).Resolución3. El abuelo de Karla tiene una edad cuyo valor está representado por P(P(P(1)). Sabiendo que P(x) = 3x + 2, ¿cuál es la edad del abuelo de Karla?Resolución4. Sabiendo que M(x) = 4x - 1, evalúe M(M(2)).Resolución5. Si P(x) = 3x - 2, halle P(P(x)).Resolución•1. Si P(x) = 5x + 3, calcule P(2) + P(3).Resolución2. Sea Q(x + 3) = 3x - 10, evalúe Q(8).Resolución3. El abuelo de Karla tiene una edad cuyo valor está representado por P(P(P(1)). Sabiendo que P(x) = 3x + 2, ¿cuál es la edad del abuelo de Karla?Resolución4. Sabiendo que M(x) = 4x - 1, evalúe M(M(2)).Resolución5. Si P(x) = 3x - 2, halle P(P(x)).Resolución•1. Si P(x) = 5x + 3, calcule P(2) + P(3).Resolución2. Sea Q(x + 3) = 3x - 10, evalúe Q(8).Resolución3. El abuelo de Karla tiene una edad cuyo valor está representado por P(P(P(1)). Sabiendo que P(x) = 3x + 2, ¿cuál es la edad del abuelo de Karla?Resolución4. Sabiendo que M(x) = 4x - 1, evalúe M(M(2)).Resolución5. Si P(x) = 3x - 2, halle P(P(x)).Resolución•1. Si P(x) = 5x + 3, calcule P(2) + P(3).Resolución2. Sea Q(x + 3) = 3x - 10, evalúe Q(8).Resolución3. El abuelo de Karla tiene una edad cuyo valor está representado por P(P(P(1)). Sabiendo que P(x) = 3x + 2, ¿cuál es la edad del abuelo de Karla?Resolución4. Sabiendo que M(x) = 4x - 1, evalúe M(M(2)).Resolución5. Si P(x) = 3x - 2, halle P(P(x)).Resolución•1. Si P(x) = 5x + 3, calcule P(2) + P(3).Resolución2. Sea Q(x + 3) = 3x - 10, evalúe Q(8).Resolución3. El abuelo de Karla tiene una edad cuyo valor está representado por P(P(P(1)). Sabiendo que P(x) = 3x + 2, ¿cuál es la edad del abuelo de Karla?Resolución4. Sabiendo que M(x) = 4x - 1, evalúe M(M(2)).Resolución5. Si P(x) = 3x - 2, halle P(P(x)).Resolución1. Si P(x) = 3x - 2, evalúe P(4).A) 5 B) 10C) 8 D) 92. Juan desea comprar helado para cada uno de sus familiares, si al calcular P(2) + P(3) en P(x) = 2x2 – 5x + 2 podemos obtener el número de familiares, ¿cuántos miembros conforman su familia si a cada uno le corresponde un helado?A) 1 B) 0C) 2 D) 53. Si Q(x) = 2x + 3, evalúe Q(Q(Q(1))).A) 11 B) 10C) 8 D) 294. El tío de Guadalupe, tiene una edad cuyo valor está representado por Q(2) + Q(1). Sabiendo que Q(x) = x2 + 3x + 7, ¿cuál es la edad del tío de Guadalupe?A) 21 años B) 25 añosC) 27 años D) 28 años5. Sabiendo que R(x) = 3x - 2, evalúe R(R(R(-1))).A) 21 B) -11C) -50 D) -538.9.10.1.2.3.4.5.•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -4PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Si P(x) = 2x + 5, halle P(x + 2).ResoluciónPolinomio Variable Regla de correspondenciaP(x) x 2x + 5P(x + 2) x + 2 2(x + 2) + 5 = 2x + 9Rpta.: 2x + 92. Si Q(x)= 5x – 4, evalúe Q(Q(Q(2))).ResoluciónReemplazandoPrimero: Q(2) = 5(2) - 4 = 6Segundo: Q(Q(2)) = Q(6) = 5(6) - 4 = 26Tercero: Q(Q(Q(2))) = Q(26) = 5(26) - 4 = 126 ∴ Q(Q(Q(2))) = 126Rpta.: 1263. Si P(x) = (x + 1)6 + (x + 2)5 + (x + 3)4 + x + 1, evalúe P(-4).ResoluciónReemplazando x = -4, se tieneP(-4) = (-4 + 1)6 + (-4 + 2)5 + (-4 + 3)4 -4 + 1P(-4) = (-3)6 + (-2)5 + (-1)4 - 3P(-4) = 729 - 32 + 1 - 3P(-4) = 695Rpta.: 6954. Si Q(x) = 2x - 3, halle Q(Q(x)).Resoluciónx → Q(x)Reemplazando se tiene Q(Q(x)) = 2Q(x) - 3 = 2(2x - 3) - 3 ∴ Q(Q(x)) = 4x – 9Rpta.: 4x - 95. Sabiendo que P(x) = 3x+5 Q(x) = 2x – 3Evalúe P[Q(0)].ResoluciónHallemos Q(0) = 2(0) - 3 → Q(0) = -3Luego P[Q(0)] = P(-3) = 3(-3) + 5 P[Q(0)] = -9 + 5 = -4Rpta.: -45.6.7.2DO DE SECUNDARIA 65 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
I. GradoEs el rango o categoría que tiene el polinomio conrelación a los exponentes de sus variables. Pueden ser¾ Grado relativo (GR): Cuando se refiere algrado particular del polinomio con respecto auna de sus variables.¾ Grado absoluto (GA): Es el grado total delpolinomio con relación a todos los exponentesde todas sus variables.II. Grado de polinomiosA. Grados de un monomio1. MonomioEs un polinomio de un solo término. Lanotación de un monomio se da de la siguiente forma:¾VariablesM(x, y) = – 7x5y12¾VariablesM(p, q) = 35a2pb5q2Cuando no especifican las variables se asume: “Toda letra es variable”.¾ 4x3y2z → Monomio de variables x,y, z2. Grado relativo de un monomio (GR)Se determina ubicando el exponente de lavariable referida en dicha expresión.Ejemplo¾ Sea el monomio¾ P(x, y) = – 3x2y5, donde• Grado relativo con respecto a xGR(x)=2 (de 2.° grado)• Grado relativo con respecto a yGR(y)=5 (de 5.° grado)ObservationPara referirnos al grado absoluto de un monomiopodemos decir simplemente grado del monomio.GRADO DE POLINOMIOS3. Grado absoluto de un monomio (GA)Se determina sumando todos los exponentes de las variables.Ejemplos¾ En el monomioM(x, y) = 7x3y5GA = 3+5 = 8 (de 8.° grado)(Grado del monomio igual a 8)¾ En el monomioM(x, y) = 6a2x4y5GA = ___________ (de ___ grado)(Grado del monomio igual a ___ )B. Grado de un polinomio de más de un término1. Grado relativo de un polinomio de másde un término(GR)Se determina ubicando el mayor exponente de la variable referida en dicha expresión.Ejemplos¾ En el monomioP(x, y) = 5x2y3 – 3x7y4 + xy5se tieneGR(x)=7 (por ser el mayor exponente de x)GR(y)=5 (por ser el mayor exponente de y)¾ En el polinomioP(a, b) = 5a2b5 + 3xa3b4 – ab2se tieneGR(a)=________________________GR(b)=________________________05Theory Grado de Polinomios66 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
2. Grado absoluto de un polinomio de másde un término (GA)Se determina tomando el mayor de losgrados absolutos de sus términos.Ejemplos¾ En el polinomioP(x, y) = 3x7y2 – 5x2y4 + 3x5y2GA=9MayorGA=6 GA=7∴ GA = 9¾ En el polinomioH(x, y) = x2y5 + ab2xy3 + b3x4y2GA= GA= GA= ∴ GA = ______ObservationEl grado de toda constante siempre es cero, donde la constante debe ser diferente de cero.EjemploP(x) = 25 → su grado es cero por ser una constante.Note• El polinomio de un término es un monomio.• El polinomio de dos términos es un binomio.• El polinomio de tres términos es un trinomio.• El polinomio de cuatro términos, de cinco términos,... etc.TRABAJO EN CLASE1. Si M(x, y) = 23x6 y10, calcule GR(y) - GR(x) + GA.Resolución2. Si P(x, y) = 4 xa-2 y 2b-1 tiene por GR(x) = 3 yGR(y) = 7, calcule el valor de 2a + b7 .Resolución3. Si P(x, y, z) = 5x2 y4 z6 + 2x5 y2 z7 - 8x7 y5 z3, determine el valor de GA - GR(z).Resolución4. Si M(x, y) = 7x n+4 y2 - 5x3 yn+1 es de GA = 9, evalúe 2n + 1.Resolución1. Si M(x, y) = 23x6 y10, calcule GR(y) - GR(x) + GA.Resolución2. Si P(x, y) = 4 xa-2 y 2b-1 tiene por GR(x) = 3 yGR(y) = 7, calcule el valor de 2a + b7 .Resolución3. Si P(x, y, z) = 5x2 y4 z6 + 2x5 y2 z7 - 8x7 y5 z3, determine el valor de GA - GR(z).Resolución4. Si M(x, y) = 7x n+4 y2 - 5x3 yn+1 es de GA = 9, evalúe 2n + 1.Resolución1. Si M(x, y) = 23x6 y10, calcule GR(y) - GR(x) + GA.Resolución2. Si P(x, y) = 4 xa-2 y 2b-1 tiene por GR(x) = 3 yGR(y) = 7, calcule el valor de 2a + b7 .Resolución3. Si P(x, y, z) = 5x2 y4 z6 + 2x5 y2 z7 - 8x7 y5 z3, determine el valor de GA - GR(z).Resolución4. Si M(x, y) = 7x n+4 y2 - 5x3 yn+1 es de GA = 9, evalúe 2n + 1.Resolución1. Si M(x, y) = 23x6 y10, calcule GR(y) - GR(x) + GA.Resolución2. Si P(x, y) = 4 xa-2 y 2b-1 tiene por GR(x) = 3 yGR(y) = 7, calcule el valor de 2a + b7 .Resolución3. Si P(x, y, z) = 5x2 y4 z6 + 2x5 y2 z7 - 8x7 y5 z3, determine el valor de GA - GR(z).Resolución4. Si M(x, y) = 7x n+4 y2 - 5x3 yn+1 es de GA = 9, evalúe 2n + 1.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a2DO DE SECUNDARIA 67 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•5. Calcule el GA de N(x, y, z) = 23(x y)4 x2 y5 7z3 2.Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x7y5 + x9y2 + x8y6el grado absoluto, es la edad de Raúl hace 2 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Newton le dice a su alumno Julio: “Si hallamos el valor de b en Q(x)=4xb – 3-5xb – 1+7xb – 5sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución•5. Calcule el GA de N(x, y, z) = 23(x y)4 x2 y5 7z3 2.Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x7y5 + x9y2 + x8y6el grado absoluto, es la edad de Raúl hace 2 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Newton le dice a su alumno Julio: “Si hallamos el valor de b en Q(x)=4xb – 3-5xb – 1+7xb – 5sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución•5. Calcule el GA de N(x, y, z) = 23(x y)4 x2 y5 7z3 2.Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x7y5 + x9y2 + x8y6el grado absoluto, es la edad de Raúl hace 2 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Newton le dice a su alumno Julio: “Si hallamos el valor de b en Q(x)=4xb – 3-5xb – 1+7xb – 5sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución1. Si M(x, y) = 5x3y7, calcule el valor deGR(y ) – GR(x) + GAResolución2. Si M(x, y) = 32x3a - 5 yb - 3 tiene por GR(x) = 4 y GR(y) = 5, evalúe 2a + b2 .Resolución3. Si Q(x, y) = 2x3y7 + 5x5y4 + 3x2y3, determineGA + GR(x).Resolución4. Si P(x, y) = 4x m+2 y3 + 7x4 y m+3 es de GA = 8, calcule 3m + 2.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si M(x, y) = 5x3y7, calcule el valor deGR(y ) – GR(x) + GAResolución2. Si M(x, y) = 32x3a - 5 yb - 3 tiene por GR(x) = 4 y GR(y) = 5, evalúe 2a + b2 .Resolución3. Si Q(x, y) = 2x3y7 + 5x5y4 + 3x2y3, determineGA + GR(x).Resolución4. Si P(x, y) = 4x m+2 y3 + 7x4 y m+3 es de GA = 8, calcule 3m + 2.Resolución1. Si M(x, y) = 5x3y7, calcule el valor deGR(y ) – GR(x) + GAResolución2. Si M(x, y) = 32x3a - 5 yb - 3 tiene por GR(x) = 4 y GR(y) = 5, evalúe 2a + b2 .Resolución3. Si Q(x, y) = 2x3y7 + 5x5y4 + 3x2y3, determineGA + GR(x).Resolución4. Si P(x, y) = 4x m+2 y3 + 7x4 y m+3 es de GA = 8, calcule 3m + 2.Resolución8.9.10.68 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si M(x, y) = 5x3y7, calcule el valor deGR(y ) – GR(x) + GAResolución2. Si M(x, y) = 32x3a - 5 yb - 3 tiene por GR(x) = 4 y GR(y) = 5, evalúe 2a + b2 .Resolución3. Si Q(x, y) = 2x3y7 + 5x5y4 + 3x2y3, determineGA + GR(x).Resolución4. Si P(x, y) = 4x m+2 y3 + 7x4 y m+3 es de GA = 8, calcule 3m + 2.Resolución•5. Calcule el valor del GA deM(x, y) = 2x3(y4x2)3(y2x3)5Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x3y8 + x9y4 + x5y7el grado absoluto, es la edad de José hace 4 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Álex le dice a su alumno Luis: “Si hallas el valor de a en M(x) = 6xa - 5 + 4xa - 3 + xa - 6, sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución1. Halle el valor de b si el grado de Q(x) es 272.Q( ) ( 1) ( 7) = ++ +b bb b bb b bb xx x xA) 1 B) 2C) 3 D) 42. Halle el valor de n en7 10 6 3 R( ) n x x xx =si es de grado 2.A) 4 B) 7C) 6 D) 911. 12.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 182DO DE SECUNDARIA 69 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
PARA EL CUADERNOMATHEMATICS • VOLUME 2 • 2nd GRADE OF SECONDARY45• ALGEBRANivel I1. Si R(x, y) = 23x5 y8, calcule GR(x) - GR(y).A) 0 B) –1C) –2 D) –3Nivel II2. Si M(x, y) = 3x a + 2 y b - 5 tiene por GR(x) = 6 y GR(y) = 2, calcule 3a - b5 .A) 6 B) 5C) 1 D) 33. Sabiendo que P(x, y) = 3x3y4 + 2x5y3 + 4x4y2, podemos calcular GA – GR(x) el cual representa el número de chocolates que comió Estefanny. ¿Cuantos chocolates comió?A) 9 B) 8C) 6 D) 3Nivel III4. Calcule n - m en P(x, y) = 5x m - 3 y n - 5, si el GR(x) = 2y GR(y) = 2.A) 4 B) 3C) 1 D) 05. El profesor Luis le dice a su alumno Álex: “Si hallas el valor de a en R(x) = 5xa - 4 + 3xa - 11 + 7xa - 6sabiendo que el GA = 10, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?A) 20 D) 8Helico homework• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 18PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a• ALGEBRA1. Calcule el valor de n si el monomio es de grado 6.( )3M( ) n n 2 4 xx x − + = ⋅ResoluciónSi M es de GA = 6 → 3(n – 2) + n + 4 = 6 3n – 6 + n + 4= 6 4n – 2 = 6 4n = 8 n = 2Rpta.: 22. Si P(x, y) = 23x a – 2 y b – 1, ademásGR(x) = 5GR(y) = 1Calcule a + b2.Resolucióncomo GR(x) = 5⇒ GR(x) = a – 2 = 5 → a = 7Luego: GR(y) = b – 1 = 1 → b = 2∴ a + b2 = 7 + 4 = 11Rpta.: 113. Del polinomioT(x, y) = 4xa+2 – 5xayb –8xa+1yb+3se sabe que GR(x) = 3 y GR(y) = 7. Halle el grado del polinomio.ResoluciónDatosLuego GR(x) = 3GR(x) = 7a+2 = 3 → a = 1b+3 = 7 → b = 4GA = a+b+4GA = 5+4 = 9Rpta.: 94. Determine el valor de 3m si el monomioM(x, y) = 43 x m– 3 y 2m+5es de GA = 11.ResoluciónComo GA = 11 → m – 3 + 2m + 5 = 11 3m + 2 = 11 3m = 9 m = 3Luego: 3m = 9 =3Rpta.: 35. El polinomioP(x, y) = 2xm– 3yn+2 + xm– 2yn+2 + xm– 4yn+5tiene GR(y) = 12 y GR(x) = 8. Halle el GA.ResoluciónComo GR(y) = 12⇒ GR(y) = n+5 = 12 → n = 7Luego GR(x) = m– 2 = 8 → m = 10GA = m + n + 1GA = 18Rpta.: 181. Si Q(x, y) = 23x10 y, calcule GR(y) - GR(x).Resolución2. Sabiendo que P(x, y) = 7xy8 - 2x5y3 + x9y7, determine GR(x) + GR(y).Resolución3. Si P(x, y) = x4 yb+2 - x2 yb+1 es de GA = 16, evalúe 3b – 1Resolución4. El profesor Luis le dice a su alumno José: “Si hallas el valor de m en R(x) = 7x m - 4 + 71x m - 2 + 11x m - 1sabiendo que el GA = 15, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución5. Si Q(x) = xa + 2 yb + 3 + 7xa + 1 yb + 2 - 5xa + 5 yb + 7; GA = 17, calcule a + b.Resolución8.1. Si Q(x, y) = 23x10 y, calcule GR(y) - GR(x).Resolución2. Sabiendo que P(x, y) = 7xy8 - 2x5y3 + x9y7, determine GR(x) + GR(y).Resolución3. Si P(x, y) = x4 yb+2 - x2 yb+1 es de GA = 16, evalúe 3b – 1Resolución4. El profesor Luis le dice a su alumno José: “Si hallas el valor de m en R(x) = 7x m - 4 + 71x m - 2 + 11x m - 1sabiendo que el GA = 15, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución5. Si Q(x) = xa + 2 yb + 3 + 7xa + 1 yb + 2 - 5xa + 5 yb + 7; GA = 17, calcule a + b.Resolución9.•1. Si R(x, y) = 23x5 y8, calcule GR(x) - GR(y).A) 0 B) –1C) –2 D) –32. Si M(x, y) = 3x a + 2 y b - 5 tiene por GR(x) = 6 y GR(y) = 2, calcule 3a - b5 .A) 6 B) 5C) 1 D) 33. Sabiendo que P(x, y) = 3x3y4 + 2x5y3 + 4x4y2, podemos calcular GA – GR(x) el cual representa el número de chocolates que comió Estefanny. ¿Cuantos chocolates comió?A) 9 B) 8C) 6 D) 34. Calcule n - m en P(x, y) = 5x m - 3 y n - 5, si el GR(x) = 2y GR(y) = 2.A) 4 B) 3C) 1 D) 05. El profesor Luis le dice a su alumno Álex: “Si hallas el valor de a en R(x) = 5xa - 4 + 3xa - 11 + 7xa - 6sabiendo que el GA = 10, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?A) 20 D) 810.•5. Calcule el valor del GA deM(x, y) = 2x3(y4x2)3(y2x3)5Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x3y8 + x9y4 + x5y7el grado absoluto, es la edad de José hace 4 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Álex le dice a su alumno Luis: “Si hallas el valor de a en M(x) = 6xa - 5 + 4xa - 3 + xa - 6, sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución1. Halle el valor de b si el grado de Q(x) es 272.Q( ) ( 1) ( 7) = ++ +b bb b bb b bb xx x xA) 1 B) 2C) 3 D) 42. Halle el valor de n en7 10 6 3 R( ) n x x xx =si es de grado 2.A) 4 B) 7C) 6 D) 91.•5. Calcule el valor del GA deM(x, y) = 2x3(y4x2)3(y2x3)5Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x3y8 + x9y4 + x5y7el grado absoluto, es la edad de José hace 4 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Álex le dice a su alumno Luis: “Si hallas el valor de a en M(x) = 6xa - 5 + 4xa - 3 + xa - 6, sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución1. Halle el valor de b si el grado de Q(x) es 272.Q( ) ( 1) ( 7) = ++ +b bb b bb b bb xx x xA) 1 B) 2C) 3 D) 42. Halle el valor de n en7 10 6 3 R( ) n x x xx =si es de grado 2.A) 4 B) 7C) 6 D) 92.•5. Calcule el valor del GA deM(x, y) = 2x3(y4x2)3(y2x3)5Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x3y8 + x9y4 + x5y7el grado absoluto, es la edad de José hace 4 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Álex le dice a su alumno Luis: “Si hallas el valor de a en M(x) = 6xa - 5 + 4xa - 3 + xa - 6, sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución1. Halle el valor de b si el grado de Q(x) es 272.Q( ) ( 1) ( 7) = ++ +b bb b bb b bb xx x xA) 1 B) 2C) 3 D) 42. Halle el valor de n en7 10 6 3 R( ) n x x xx =si es de grado 2.A) 4 B) 7C) 6 D) 93.•5. Calcule el valor del GA deM(x, y) = 2x3(y4x2)3(y2x3)5Resolución6. Si en el polinomio:P(x; y) = x3y8 + x9y4 + x5y7el grado absoluto, es la edad de José hace 4 años. ¿Qué edad tiene actualmente?Resolución7. El profesor Álex le dice a su alumno Luis: “Si hallas el valor de a en M(x) = 6xa - 5 + 4xa - 3 + xa - 6, sabiendo que el GA = 17, ese valor indicará tu nota del examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución1. Halle el valor de b si el grado de Q(x) es 272.Q( ) ( 1) ( 7) = ++ +b bb b bb b bb xx x xA) 1 B) 2C) 3 D) 42. Halle el valor de n en7 10 6 3 R( ) n x x xx =si es de grado 2.A) 4 B) 7C) 6 D) 94.1. Si Q(x, y) = 23x10 y, calcule GR(y) - GR(x).Resolución2. Sabiendo que P(x, y) = 7xy8 - 2x5y3 + x9y7, determine GR(x) + GR(y).Resolución3. Si P(x, y) = x4 yb+2 - x2 yb+1 es de GA = 16, evalúe 3b – 1Resolución4. El profesor Luis le dice a su alumno José: “Si hallas el valor de m en R(x) = 7x m - 4 + 71x m - 2 + 11x m - 1sabiendo que el GA = 15, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución5. Si Q(x) = xa + 2 yb + 3 + 7xa + 1 yb + 2 - 5xa + 5 yb + 7; GA = 17, calcule a + b.Resolución5.1. Si Q(x, y) = 23x10 y, calcule GR(y) - GR(x).Resolución2. Sabiendo que P(x, y) = 7xy8 - 2x5y3 + x9y7, determine GR(x) + GR(y).Resolución3. Si P(x, y) = x4 yb+2 - x2 yb+1 es de GA = 16, evalúe 3b – 1Resolución4. El profesor Luis le dice a su alumno José: “Si hallas el valor de m en R(x) = 7x m - 4 + 71x m - 2 + 11x m - 1sabiendo que el GA = 15, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución5. Si Q(x) = xa + 2 yb + 3 + 7xa + 1 yb + 2 - 5xa + 5 yb + 7; GA = 17, calcule a + b.Resolución6.1. Si Q(x, y) = 23x10 y, calcule GR(y) - GR(x).Resolución2. Sabiendo que P(x, y) = 7xy8 - 2x5y3 + x9y7, determine GR(x) + GR(y).Resolución3. Si P(x, y) = x4 yb+2 - x2 yb+1 es de GA = 16, evalúe 3b – 1Resolución4. El profesor Luis le dice a su alumno José: “Si hallas el valor de m en R(x) = 7x m - 4 + 71x m - 2 + 11x m - 1sabiendo que el GA = 15, ese valor indicará tu nota de examen”. ¿Cuál es su nota?Resolución5. Si Q(x) = xa + 2 yb + 3 + 7xa + 1 yb + 2 - 5xa + 5 yb + 7; GA = 17, calcule a + b.Resolución7.70 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
Son aquellos polinomios que tienen ciertas propiedades o características importantes con respecto a su grado, coeficientes, exponentes u otros y de acuerdo a ello son:1. Polinomio ordenadoSe caracteriza por tener los exponentes de algunade sus variables aumentando (polinomio creciente) odisminuyendo (polinomio decreciente).Ejemplos¾ P(x) = 3x9 + 3x7 – x4 – 8Está ordenado en forma decreciente.¾ P(x, y) = 7x2 y11 + 3x5y9 – x8y3 + x10yEstá ordenado en forma creciente respecto a x.Está ordenado en forma decreciente respecto ay.¾ P(x) = –2x8 + 5x20 – x3 – 7Es un polinomio desordenado, no está en formacreciente tampoco decreciente.¾ P(x) = 3x8 + 5x4 – x3 – 7Es un polinomio ordenado en forma descendente.RememberEs lo mismo decir creciente o ascendente, también decreciente o descendente.2. Polinomio completoRespecto a una variable, cuando se presentan todoslos exponentes de dicha variable desde cero hasta elmayor.Ejemplos¾ P(x) = 7x4 – 2+3x – 9x2+5x3El polinomio es completo ya que tiene todoslos exponentes de x, desde el mayor (4) hastael menor (exponente cero).¾ P(x) = – 2x5+x4 – 3x3+8 x2+5x+3El polinomio es completo porque tiene todoslos exponentes desde el mayor (5) hasta el menor (exponente cero). También es un polinomio ordenado.NoteEl polinomio completo no necesariamente se da en forma ordenada.3. Polinomio homogéneoEs un polinomio de mínimo dos variables donde losgrados absolutos de sus términos son iguales entre sí.Ejemplo¾ Sea el polinomio P(x) = 3x4y5 + 2x3y6 – xy8Hallamos el grado absoluto de cada término.P(x, y) = 3x4y5 + 2x3y6 + xy8GA=9 GA=9 GA=9∴ Es un polinomio homogéneo por tener el grado absoluto de sus términos iguales entre sí.RememberTodo polinomio homogéneo debe tener al menos dos variables y dos términos.4. Polinomios idénticosDos polinomios reducidos son idénticos cuando loscoeficientes que afectan a sus términos semejantesson iguales.Ejemplos¾ Se tiene3x2 – 5x + 6 ≡ ax2 + bx + cSe cumple quea=3 b=–5 c=6POLINOMIOS ESPECIALES06Theory Polinomios Especiales2DO DE SECUNDARIA 71 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
¾ Si se cumple queP(x) ≡ Q(x)P(x) = 4x3 – 9x – 5Q(x) = (a+1)x3 + 3bx + c – 1calcule a + b + c.Tenemos• a + 1 = 4a = 3• b = –9b = –3• c – 1 = –5c = –4Luego a + b + c 3 +(–3)+(–4) = –45. Polinomio idénticamente nuloEs aquel polinomio de grado no definido, cuyo valornumérico resulta siempre cero para cualquier valorque asuman sus variables.Ejemplo¾ El polinomio es idénticamente nulo.P(x) = (a – 2)x2 + (b – 1)x + c – 8Es decir↔ a – 2 = 0, b – 1 = 0, c – 8 = 0↔ a=2 b=1 c=8TRABAJO EN CLASE•1. Si el polinomio es completo y ordenadoP(x) = 5 + 3x + 7xm - 3 - 5x n - 5Calcule m + n + 2.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoN(x) = 6x a + 5 + 4x b - 3 + 2xc - 1 + 2x + 5Evalúe a + b + c.Resolución3. Si el polinomio es completoP(x) = 7x + 6xm - 4 + x 3 - 2x 2Halle el valor de m.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (2a - 1)x2 + (b - 2)x + 5 Q(x) = x2 + 5x + 5Determine a + b.Resolución•1. Si el polinomio es completo y ordenadoP(x) = 5 + 3x + 7xm - 3 - 5x n - 5Calcule m + n + 2.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoN(x) = 6x a + 5 + 4x b - 3 + 2xc - 1 + 2x + 5Evalúe a + b + c.Resolución3. Si el polinomio es completoP(x) = 7x + 6xm - 4 + x 3 - 2x 2Halle el valor de m.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (2a - 1)x2 + (b - 2)x + 5 Q(x) = x2 + 5x + 5Determine a + b.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a72 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
•1. Si el polinomio es completo y ordenadoP(x) = 5 + 3x + 7xm - 3 - 5x n - 5Calcule m + n + 2.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoN(x) = 6x a + 5 + 4x b - 3 + 2xc - 1 + 2x + 5Evalúe a + b + c.Resolución3. Si el polinomio es completoP(x) = 7x + 6xm - 4 + x 3 - 2x 2Halle el valor de m.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (2a - 1)x2 + (b - 2)x + 5 Q(x) = x2 + 5x + 5Determine a + b.Resolución•1. Si el polinomio es completo y ordenadoP(x) = 5 + 3x + 7xm - 3 - 5x n - 5Calcule m + n + 2.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoN(x) = 6x a + 5 + 4x b - 3 + 2xc - 1 + 2x + 5Evalúe a + b + c.Resolución3. Si el polinomio es completoP(x) = 7x + 6xm - 4 + x 3 - 2x 2Halle el valor de m.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (2a - 1)x2 + (b - 2)x + 5 Q(x) = x2 + 5x + 5Determine a + b.Resolución5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 2)x2 + (b - 4) x + c - 1Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay4 + x7y5 + xby2el valor de (a + b) es el costo de 1 kilo de carne. ¿Cuánto costaran 7 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 3xa + 3 y7 + 4x6 y12 + 6xb - 1 y8el valor de a + b, me indica la edad de mi padre hace 20 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 2)x2 + (b - 4) x + c - 1Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay4 + x7y5 + xby2el valor de (a + b) es el costo de 1 kilo de carne. ¿Cuánto costaran 7 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 3xa + 3 y7 + 4x6 y12 + 6xb - 1 y8el valor de a + b, me indica la edad de mi padre hace 20 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 2)x2 + (b - 4) x + c - 1Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay4 + x7y5 + xby2el valor de (a + b) es el costo de 1 kilo de carne. ¿Cuánto costaran 7 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 3xa + 3 y7 + 4x6 y12 + 6xb - 1 y8el valor de a + b, me indica la edad de mi padre hace 20 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución•1. Si el polinomio es completo y ordenado T(x) = 9 - 7x + 2 x a - 2 - 4x b + 1 - xc - 2Calcule a + b + c.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoM(x) = 4x a - 7 + 5x b - 3 + 6xc - 2 + 3x + 6Evalúe a + b + c.Resolución3. Se tiene el polinomio completoQ(a) = 2a3 + 7a2 + 3 + 5an - 3Halle el valor de n.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + 3 Q(x) = 5x2 + 4x + 3Determine a + b.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.2DO DE SECUNDARIA 73 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
TAREA DOMICILIARIA•1. Si el polinomio es completo y ordenado T(x) = 9 - 7x + 2 x a - 2 - 4x b + 1 - xc - 2Calcule a + b + c.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoM(x) = 4x a - 7 + 5x b - 3 + 6xc - 2 + 3x + 6Evalúe a + b + c.Resolución3. Se tiene el polinomio completoQ(a) = 2a3 + 7a2 + 3 + 5an - 3Halle el valor de n.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + 3 Q(x) = 5x2 + 4x + 3Determine a + b.Resolución•1. Si el polinomio es completo y ordenado T(x) = 9 - 7x + 2 x a - 2 - 4x b + 1 - xc - 2Calcule a + b + c.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoM(x) = 4x a - 7 + 5x b - 3 + 6xc - 2 + 3x + 6Evalúe a + b + c.Resolución3. Se tiene el polinomio completoQ(a) = 2a3 + 7a2 + 3 + 5an - 3Halle el valor de n.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + 3 Q(x) = 5x2 + 4x + 3Determine a + b.Resolución•1. Si el polinomio es completo y ordenado T(x) = 9 - 7x + 2 x a - 2 - 4x b + 1 - xc - 2Calcule a + b + c.Resolución2. El polinomio es ordenado y completoM(x) = 4x a - 7 + 5x b - 3 + 6xc - 2 + 3x + 6Evalúe a + b + c.Resolución3. Se tiene el polinomio completoQ(a) = 2a3 + 7a2 + 3 + 5an - 3Halle el valor de n.Resolución4. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + 3 Q(x) = 5x2 + 4x + 3Determine a + b.Resolución5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 2Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay7 + x8y3 + xby5el valor de (2a – b) es el costo de 1 kilo de jamón. ¿Cuánto costaron 4 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 6xa + 2 y8 + 3x9 y11 + 5x6 yb - 3el valor de (a + b) me indica la edad de mi padre hace 15 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución1. Si el polinomioP(x, y) = 3x a b + 2x b a + x12 y4es homogéneo (a > b), calcule a + b.A) 6 B) 8C) 2 D) 42. De la siguiente relación5x2 + 2x + 7 ≡ ax2 + bx + c - x2 - 3x - 4Calcule a + b + c.A) 19 B) 20C) 21 D) 221. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 241. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 24PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 241. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 249.10.11.12.74 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
1. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 241. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 241. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 24PARA EL CUADERNOPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 241. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 241. Si P(x) = 3x3ya + 6x5y6 + 4xby4 es un polinomio homogéneo, calcule a + b.ResoluciónSi P es homogéneo⇒ P(x, y)=3x3ya+6x5y6+4xby4a+3 = 5+6 = b+4¾ a + 3 = 11 → a = 8¾ 11 = b + 4 → 7 = b ∴ a + b = 15Rpta.: 152. Si P(x) = 5x3 + 3xa – 2 + 2xb – 1 + 4xc – 3 es completo y ordenado, calcule a + b + c.ResoluciónSi P(x) es completo y ordenado P(x) = 5x3+3xa–2+2xb–1+4xc–3Exponentes: 3 2 1 0 (completo yordenado)¾ a – 2 = 2 → a = 4¾ b – 1 = 1 → b = 2¾ c – 3 = 0 → c = 3∴ a + b + c = 9Rpta.: 93. Halle el valor de a si P(x) = 2xa+3+3xa+2+5xa+1... es un polinomio completo y ordenado de 27 términos.ResoluciónPor propiedad:N.° de términos = GA + 1Del polinomio GA = a + 3 y tiene 27 términos. 27 = a + 3 + 1 27 = a + 4∴ 23 = aRpta.: 234. Si los polinomiosP(x) = (3m – 5)x 2 + (2n – 7)x + 3Q(x) = (m + 3)x 2 + (n + 1)x + 3son idénticos, calcule m+n+4.ResoluciónSi P(x) ≡ Q(x), se tiene¾ 3m – 5 = m + 3 → 2m = 8 m=4¾ 2n – 7 = n + 1 → n=8Luego: m+n+4 = 16 = 4Rpta.: 45. Calcule a + b + c en el polinomio homogéneoP(x, y) = 2xay3 + xby2 – 5xcy + x4y6ResoluciónSi P es homogéneo, se tiene¾ a + 3 = 4 + 6 → a = 7¾ b + 2 = 4 + 6 → b = 8¾ c + 1 = 4 + 6 → c = 9∴ a + b + c = 24Rpta.: 24•1. Si el polinomio es completo y ordenado P(x) = 5 + 2x + x a - 8 - 7x b - 3Evalúe a - b.Resolución2. Si el polinomio es completo, halle el valor de m sabiendo que P(x) = 7x 4 + 8x 2m - 5 + 9 - 3x 3 + x2.Resolución3. Sea P(x) ≡ Q(x) y además se sabe que P(x) = (a - 1)x2 + (2b - 3)x + 7 Q(x) = 5x2 + 7x + cCalcule a + b + c.Resolución4. Se tiene P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x 2 + (3b - 9)x + c - 6Calcule a + b - c.Resolución5. Si el polinomio es homogéneoP(x) = 7x p + 3 y6 + 2x6 y8 - 6x q + 1 y7el valor de (p + q), me indica la edad de mi padre hace 30 años. Indique la edad actual de mi padre.Resolución8.•1. Si el polinomio es completo y ordenado P(x) = 5 + 2x + x a - 8 - 7x b - 3Evalúe a - b.Resolución2. Si el polinomio es completo, halle el valor de m sabiendo que P(x) = 7x 4 + 8x 2m - 5 + 9 - 3x 3 + x2.Resolución3. Sea P(x) ≡ Q(x) y además se sabe que P(x) = (a - 1)x2 + (2b - 3)x + 7 Q(x) = 5x2 + 7x + cCalcule a + b + c.Resolución4. Se tiene P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x 2 + (3b - 9)x + c - 6Calcule a + b - c.Resolución5. Si el polinomio es homogéneoP(x) = 7x p + 3 y6 + 2x6 y8 - 6x q + 1 y7el valor de (p + q), me indica la edad de mi padre hace 30 años. Indique la edad actual de mi padre.Resolución9.1. Si el polinomio es ordenado y completoP(x) = 6 + 3x + x a - 2 + 2x b - 3Evalúe a + b.A) 10 B) 11C) 12 D) 152. El polinomio es ordenado y completoQ(x) = 7x m - 3 + 4x n - 2 - 9x p - 1 + 5x - 8Calcule m + n - p.A) 5 B) 4C) 3 D) 23. Si la mamá de Marcos compra a regalos por su cumpleaños y se sabe que el polinomioP(x) = 2x5 + 3x4 + 2xa - 2 + 5x3 + 2 + 3x2es completo, ¿cuantos obsequios recibió Marco por su onomástico?A) 2 B) 3C) 1 D) 54. Si P(x) ≡ Q(x) y, además, se sabe que P(x) = (a - 2)x2 + (b - 1)x + 5 Q(x) = 3x2 + 4x + 5Determine a + b.A) 11 B) 10C) 12 D) 95. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 4x a+5 y7 + 8x5 y17 + 2x b+6 y8el valor de (a + b) me indica la edad de mi padre hace 22 años. Determine la edad actual de mi padre.A) 16 años B) 40 añosC) 24 años D) 42 años10.5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 2Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay7 + x8y3 + xby5el valor de (2a – b) es el costo de 1 kilo de jamón. ¿Cuánto costaron 4 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 6xa + 2 y8 + 3x9 y11 + 5x6 yb - 3el valor de (a + b) me indica la edad de mi padre hace 15 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución1. Si el polinomioP(x, y) = 3x a b + 2x b a + x12 y4es homogéneo (a > b), calcule a + b.A) 6 B) 8C) 2 D) 42. De la siguiente relación5x2 + 2x + 7 ≡ ax2 + bx + c - x2 - 3x - 4Calcule a + b + c.A) 19 B) 20C) 21 D) 221.5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 2Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay7 + x8y3 + xby5el valor de (2a – b) es el costo de 1 kilo de jamón. ¿Cuánto costaron 4 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 6xa + 2 y8 + 3x9 y11 + 5x6 yb - 3el valor de (a + b) me indica la edad de mi padre hace 15 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución1. Si el polinomioP(x, y) = 3x a b + 2x b a + x12 y4es homogéneo (a > b), calcule a + b.A) 6 B) 8C) 2 D) 42. De la siguiente relación5x2 + 2x + 7 ≡ ax2 + bx + c - x2 - 3x - 4Calcule a + b + c.A) 19 B) 20C) 21 D) 222.5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 2Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay7 + x8y3 + xby5el valor de (2a – b) es el costo de 1 kilo de jamón. ¿Cuánto costaron 4 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 6xa + 2 y8 + 3x9 y11 + 5x6 yb - 3el valor de (a + b) me indica la edad de mi padre hace 15 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución1. Si el polinomioP(x, y) = 3x a b + 2x b a + x12 y4es homogéneo (a > b), calcule a + b.A) 6 B) 8C) 2 D) 42. De la siguiente relación5x2 + 2x + 7 ≡ ax2 + bx + c - x2 - 3x - 4Calcule a + b + c.A) 19 B) 20C) 21 D) 223.5. Si P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 2Calcule a + b + c.Resolución6. Si en el polinomio homógeneo:P(x; y) = 9xay7 + x8y3 + xby5el valor de (2a – b) es el costo de 1 kilo de jamón. ¿Cuánto costaron 4 kilos?Resolución7. Si el polinomio es homogéneoP(x, y) = 6xa + 2 y8 + 3x9 y11 + 5x6 yb - 3el valor de (a + b) me indica la edad de mi padre hace 15 años. Determine la edad actual de mi padre.Resolución1. Si el polinomioP(x, y) = 3x a b + 2x b a + x12 y4es homogéneo (a > b), calcule a + b.A) 6 B) 8C) 2 D) 42. De la siguiente relación5x2 + 2x + 7 ≡ ax2 + bx + c - x2 - 3x - 4Calcule a + b + c.A) 19 B) 20C) 21 D) 224.•1. Si el polinomio es completo y ordenado P(x) = 5 + 2x + x a - 8 - 7x b - 3Evalúe a - b.Resolución2. Si el polinomio es completo, halle el valor de m sabiendo que P(x) = 7x 4 + 8x 2m - 5 + 9 - 3x 3 + x2.Resolución3. Sea P(x) ≡ Q(x) y además se sabe que P(x) = (a - 1)x2 + (2b - 3)x + 7 Q(x) = 5x2 + 7x + cCalcule a + b + c.Resolución4. Se tiene P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x 2 + (3b - 9)x + c - 6Calcule a + b - c.Resolución5. Si el polinomio es homogéneoP(x) = 7x p + 3 y6 + 2x6 y8 - 6x q + 1 y7el valor de (p + q), me indica la edad de mi padre hace 30 años. Indique la edad actual de mi padre.Resolución5.•1. Si el polinomio es completo y ordenado P(x) = 5 + 2x + x a - 8 - 7x b - 3Evalúe a - b.Resolución2. Si el polinomio es completo, halle el valor de m sabiendo que P(x) = 7x 4 + 8x 2m - 5 + 9 - 3x 3 + x2.Resolución3. Sea P(x) ≡ Q(x) y además se sabe que P(x) = (a - 1)x2 + (2b - 3)x + 7 Q(x) = 5x2 + 7x + cCalcule a + b + c.Resolución4. Se tiene P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x 2 + (3b - 9)x + c - 6Calcule a + b - c.Resolución5. Si el polinomio es homogéneoP(x) = 7x p + 3 y6 + 2x6 y8 - 6x q + 1 y7el valor de (p + q), me indica la edad de mi padre hace 30 años. Indique la edad actual de mi padre.Resolución6.•1. Si el polinomio es completo y ordenado P(x) = 5 + 2x + x a - 8 - 7x b - 3Evalúe a - b.Resolución2. Si el polinomio es completo, halle el valor de m sabiendo que P(x) = 7x 4 + 8x 2m - 5 + 9 - 3x 3 + x2.Resolución3. Sea P(x) ≡ Q(x) y además se sabe que P(x) = (a - 1)x2 + (2b - 3)x + 7 Q(x) = 5x2 + 7x + cCalcule a + b + c.Resolución4. Se tiene P(x) ≡ 0 y, ademásP(x) = (a - 3)x 2 + (3b - 9)x + c - 6Calcule a + b - c.Resolución5. Si el polinomio es homogéneoP(x) = 7x p + 3 y6 + 2x6 y8 - 6x q + 1 y7el valor de (p + q), me indica la edad de mi padre hace 30 años. Indique la edad actual de mi padre.Resolución7.2DO DE SECUNDARIA 75 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ÁLGEBRA
76 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".ÁLGEBRA
● Segmentos de Recta ............................................ 79● Ángulos................................................................ 84● Ángulos Complementarios y Suplementarios ..... 91● Ángulos entre Dos Rectas Paralelas y una Recta Secante ................................................ 96● Triángulos........................................................... 103● Líneas Notables Asociadas al Tríangulo............. 1123«Cada problema que resolví, se volvió una regla que sirvió más tarde para resolver otros problemas». Renato DescartesGEOMETRÍACONTENIDO
1. El puntoFigura geométrica más elemental no definible perosi conceptuable que puede entenderse como la intersección de dos rectas secantes, la intersección detres planos, etc. Se representa gráficamente con lahuella que deja la punta de un lápiz en una hoja depapel, un residuo de tiza, etc., nos dan la idea depunto. Se nombra con una letra mayúscula.BPuntoCPuntoA Punto2. La línea rectaEs una figura geométrica formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección y es ilimitada enambos sentidos.Representación gráficaA BLNotaciónA la línea recta se le denomina de dos manerasAB: se lee recta ABL : se lee recta L3. Segmento de rectaEs una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.A BNotaciónAB: Se lee segmento AB.4. Longitud de un segmentoEs el número que indica el tamaño del segmento(largo), expresado en cierta unidad de medida, quepuede ser: centímetros, metros, etc.A B6 cmNotaciónAB: Se lee longitud del segmento AB.AB = 6 cm5. Punto medio de un segmentoEs un punto que pertenece al segmento y que lo divide en dos segmentos de igual longitud.A M Ba aEn la figura, el punto M pertenece a AB y la longitud del AM es igual a la longitud del MB; entonces, M es punto medio de AB.AM = MB = a6. Operaciones con las longitudes de segmentosAdiciónA B C 4 cm 6 cm10 cmEn la figura se observa 10 = 4 + 6AC=AB+BC7. SustracciónA B C3 cm 8 cm11 cmEn la figura se observa 3 = 11 – 8AB=AC–BCSEGMENTO DE RECTATheory 01 Segmentos de Recta2DO DE SECUNDARIA 79 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
TRABAJO EN CLASE1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 5 m, BC = 9 m y CD = 6 m. Calcule BD + AC.Resolución2. En la siguiente figura, halle el valor de x.A B C D29 cm2x 8 cm xResolución3. En la figura, AC–BD=15 u. Calcule AB.A B C D4x y xResolución4. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que AB=30 m, CD=50 m y AD=100 m. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD.Resolución1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 5 m, BC = 9 m y CD = 6 m. Calcule BD + AC.Resolución2. En la siguiente figura, halle el valor de x.A B C D29 cm2x 8 cm xResolución3. En la figura, AC–BD=15 u. Calcule AB.A B C D4x y xResolución4. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que AB=30 m, CD=50 m y AD=100 m. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD.Resolución1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 5 m, BC = 9 m y CD = 6 m. Calcule BD + AC.Resolución2. En la siguiente figura, halle el valor de x.A B C D29 cm2x 8 cm xResolución3. En la figura, AC–BD=15 u. Calcule AB.A B C D4x y xResolución4. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que AB=30 m, CD=50 m y AD=100 m. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD.Resolución1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 5 m, BC = 9 m y CD = 6 m. Calcule BD + AC.Resolución2. En la siguiente figura, halle el valor de x.A B C D29 cm2x 8 cm xResolución3. En la figura, AC–BD=15 u. Calcule AB.A B C D4x y xResolución4. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que AB=30 m, CD=50 m y AD=100 m. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD.Resolución•5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R; tal que PQ=13 cm y PR+2QR=25 cm. Determine la longitud de PR.Resolución6. En la figura se muestran tres casas ubicadas en línea recta: A, B y C. La distancia entre B y C excede en 40 metros a la distancia entre A y B. Si se instala un poste de luz equidistante de las casas A y C, ¿cuál es la distancia entre la casa B y el poste de luz?A B CResolución7. Alejandra, Magy, Beto, Carlos, Nilton y Damián se ubican en línea recta y en ese orden, prestos a adquirir sus entradas para ver una película. Carlos se encuentra a 13 metros de Alejandra y Beto está a 21 metros de Damián. Magy equidista de Alejandra y Beto; Nilton equidista de Carlos y Damián. ¿Cuál es la distancia entre Magy y Nilton?Resolución•5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R; tal que PQ=13 cm y PR+2QR=25 cm. Determine la longitud de PR.Resolución6. En la figura se muestran tres casas ubicadas en línea recta: A, B y C. La distancia entre B y C excede en 40 metros a la distancia entre A y B. Si se instala un poste de luz equidistante de las casas A y C, ¿cuál es la distancia entre la casa B y el poste de luz?A B CResolución7. Alejandra, Magy, Beto, Carlos, Nilton y Damián se ubican en línea recta y en ese orden, prestos a adquirir sus entradas para ver una película. Carlos se encuentra a 13 metros de Alejandra y Beto está a 21 metros de Damián. Magy equidista de Alejandra y Beto; Nilton equidista de Carlos y Damián. ¿Cuál es la distancia entre Magy y Nilton?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a80 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
•5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R; tal que PQ=13 cm y PR+2QR=25 cm. Determine la longitud de PR.Resolución6. En la figura se muestran tres casas ubicadas en línea recta: A, B y C. La distancia entre B y C excede en 40 metros a la distancia entre A y B. Si se instala un poste de luz equidistante de las casas A y C, ¿cuál es la distancia entre la casa B y el poste de luz?A B CResolución7. Alejandra, Magy, Beto, Carlos, Nilton y Damián se ubican en línea recta y en ese orden, prestos a adquirir sus entradas para ver una película. Carlos se encuentra a 13 metros de Alejandra y Beto está a 21 metros de Damián. Magy equidista de Alejandra y Beto; Nilton equidista de Carlos y Damián. ¿Cuál es la distancia entre Magy y Nilton?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, tal que AB = 7 m, BC = 4 m y CD = 5 m. Calcule AC + BD.Resolución2. En la figura, halle el valor de x. A B C D3x 6 cm 2x26 cmResolución3. En la figura, QT–PR=48 u. Calcule PQ.P Q R T2a 3a 6aResolución4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. AD=160 cm, AB=40 cm y CD=70 cm. Si P es punto medio de AB y Q es punto medio de CD, calcule PQ.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, tal que AB = 7 m, BC = 4 m y CD = 5 m. Calcule AC + BD.Resolución2. En la figura, halle el valor de x. A B C D3x 6 cm 2x26 cmResolución3. En la figura, QT–PR=48 u. Calcule PQ.P Q R T2a 3a 6aResolución4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. AD=160 cm, AB=40 cm y CD=70 cm. Si P es punto medio de AB y Q es punto medio de CD, calcule PQ.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a9.1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, tal que AB = 7 m, BC = 4 m y CD = 5 m. Calcule AC + BD.Resolución2. En la figura, halle el valor de x. A B C D3x 6 cm 2x26 cmResolución3. En la figura, QT–PR=48 u. Calcule PQ.P Q R T2a 3a 6aResolución4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. AD=160 cm, AB=40 cm y CD=70 cm. Si P es punto medio de AB y Q es punto medio de CD, calcule PQ.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a10.1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, tal que AB = 7 m, BC = 4 m y CD = 5 m. Calcule AC + BD.Resolución2. En la figura, halle el valor de x. A B C D3x 6 cm 2x26 cmResolución3. En la figura, QT–PR=48 u. Calcule PQ.P Q R T2a 3a 6aResolución4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. AD=160 cm, AB=40 cm y CD=70 cm. Si P es punto medio de AB y Q es punto medio de CD, calcule PQ.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a11.•5. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C; tal que AB=16 m y AC+2BC=49 m. Calcule AC.Resolución6. Felipe, Kike y Santiago están ubicados en línea recta, (Santiago entre Felipe y Kike). Entre Felipe y Kike hay 12 metros de separación. Si Santiago avanzara 2 metros hacia Felipe, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Santiago de Kike?Resolución7. Pilar, Evelyn, Aracely, Ronald, Sebastián y Zully se ubican en ese orden y en línea recta. Ellos adquirirán sus entradas para apreciar un partido de fútbol. Pilar está a 26 metros de Ronald y Zully se encuentra a 42 metros de Aracely. Evelyn equidista de Pilar y Aracely; Sebastián equidista de Ronald y Zully. ¿A qué distancia se encuentra Evelyn de Sebastián?Resolución1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC=BD, CE=DF y AB+EF=36 m. Calcule CD.A) 15 m B) 18 mC) 20 m D) 22 m2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC+BD+CE+DF=91 cm y BE= 58 (AF). Determine la longitud de AF.A) 50 cm B) 62 cmC) 65 cm D) 56 cmPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a12.2DO DE SECUNDARIA 81 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
TAREA DOMICILIARIA•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cmPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm •1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm •1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cmPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm•1. En la siguiente figura, calcule AC.33 cmA B C D9 cm x 3xResoluciónAB+BC+CD=AD9+x+3x=334x=24x=6Nos piden AC=9+xAC=9+6∴ AC=15Rpta. 15 cm2. En la siguiente figura, PR+QR=46 u. Calcule PQ.31 uP Q RResoluciónPor datoPR+QR=4631+QR=46QR=15En la figuraPQ+QR=31 PQ+15=31∴ PQ=16Rpta. 163. En la siguiente figura, AC+BD=17 u. Determine la longitud de AD.aA B CD6 u bResoluciónPor datoAC+BD=17→ (a+6)+ (6+ b) =17a+b+12=17a+b=5Nos piden AD=a+6+bAD=a+b+65∴ AD=11Rpta. 11 u4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AB = 3, CD = 5 y AD = 12. Calcule BC+2ABAD.Resolución123 5AB C DSe sabe queAB + BC + CD = 123 + BC + 5 = 12BC = 4Luego, reemplazando enBC+2ABAD4+2(3) 10 512 12 6 = =Rpta. 565. En el gráfico, PR=24 cm. Calcule SQ.P S QT Rx – 1x + 168ResoluciónP R24S6 x + 1 Qx – 1T8Se sabe que 6 + x + 1 + x – 1 + 8 = 24 14 + 2x = 24 2x = 10 x = 5Luego SQ = 5 + 1∴ SQ = 6Rpta. 6 cm82 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
PARA EL CUADERNO1. En la figura, calcule AC.A B C D18 cm a 3a66 cmA) 30 cm B) 22 cmC) 35 cm D) 36 cm2. Si M es punto medio de BC, determine la longitud de AC.A B M C12 u 17 uA) 34 u B) 46 uC) 44 u D) 29 u3. En la figura, AC=15 cm, BD=17 cm y AD=24 cm. Calcule BC.A B C DA) 7 cm B) 9 cmC) 5 cm D) 8 cm4. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; de manera que AC=62 m y AC+BC=92 m. Calcule AB.A) 30 m B) 37 mC) 32 m D) 40 m5. Salvador, Milton y Haydée se encuentran en un campo deportivo y se ubican en línea recta y en ese orden. En dicha línea, se coloca un cono que equidista de Salvador y Milton; también en dicha línea se coloca otro cono que equidista de Milton y Haydée. Los conos distan 3 metros. ¿Cuántos centímetros dista Salvador de Haydée?A) 600 B) 300C) 400 D) 5008.1. En la figura, calcule AC.A B C D18 cm a 3a66 cmA) 30 cm B) 22 cmC) 35 cm D) 36 cm2. Si M es punto medio de BC, determine la longitud de AC.A B M C12 u 17 uA) 34 u B) 46 uC) 44 u D) 29 u3. En la figura, AC=15 cm, BD=17 cm y AD=24 cm. Calcule BC.A B C DA) 7 cm B) 9 cmC) 5 cm D) 8 cm4. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; de manera que AC=62 m y AC+BC=92 m. Calcule AB.A) 30 m B) 37 mC) 32 m D) 40 m5. Salvador, Milton y Haydée se encuentran en un campo deportivo y se ubican en línea recta y en ese orden. En dicha línea, se coloca un cono que equidista de Salvador y Milton; también en dicha línea se coloca otro cono que equidista de Milton y Haydée. Los conos distan 3 metros. ¿Cuántos centímetros dista Salvador de Haydée?A) 600 B) 300C) 400 D) 5009.•1. En la figura, T es punto medio de AB. Calcule BC.A T B C11 u 33 uA) 21 u B) 20 uC) 22 u D) 23 u2. Del gráfico, AC+BD=38 cm. Halle el valor de x.A B C D10 cm x 12 cmA) 6 cm B) 8 cmC) 9 cm D) 7 cm3. En la siguiente figura, M es punto medio de BC y AC=56 cm. Determine la longitud de AM.3l 2lA B M CA) 42 cm B) 35 cmC) 48 cm D) 40 cm4. En el borde de la vereda de una calle del Centro Histórico de Lima, se aprecian tres macetas: A, B y C. Entre las macetas A y C hay una distancia de 24 metros. Si se moviera la maceta B, 3 metros hacia la maceta A, entonces dicha maceta B equidistaría de ambas. ¿Cuál es la distancia entre las macetas B y C?A B CA) 9 m B) 10 mC) 8 m D) 5 m5. En la figura, se muestran tres árboles: A, B y C; ubicados en línea recta. En dicha línea, se instala un hidrante equidistante de A y B y otro hidrante equidistante de B y C. Los hidrantes distan 1250 metros. ¿Cuántos kilómetros dista el árbol A del árbol C?A B CA) 3 B) 2,5C) 1,5 D) 210.•5. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C; tal que AB=16 m y AC+2BC=49 m. Calcule AC.Resolución6. Felipe, Kike y Santiago están ubicados en línea recta, (Santiago entre Felipe y Kike). Entre Felipe y Kike hay 12 metros de separación. Si Santiago avanzara 2 metros hacia Felipe, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Santiago de Kike?Resolución7. Pilar, Evelyn, Aracely, Ronald, Sebastián y Zully se ubican en ese orden y en línea recta. Ellos adquirirán sus entradas para apreciar un partido de fútbol. Pilar está a 26 metros de Ronald y Zully se encuentra a 42 metros de Aracely. Evelyn equidista de Pilar y Aracely; Sebastián equidista de Ronald y Zully. ¿A qué distancia se encuentra Evelyn de Sebastián?Resolución1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC=BD, CE=DF y AB+EF=36 m. Calcule CD.A) 15 m B) 18 mC) 20 m D) 22 m2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC+BD+CE+DF=91 cm y BE= 58 (AF). Determine la longitud de AF.A) 50 cm B) 62 cmC) 65 cm D) 56 cm1.•5. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C; tal que AB=16 m y AC+2BC=49 m. Calcule AC.Resolución6. Felipe, Kike y Santiago están ubicados en línea recta, (Santiago entre Felipe y Kike). Entre Felipe y Kike hay 12 metros de separación. Si Santiago avanzara 2 metros hacia Felipe, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Santiago de Kike?Resolución7. Pilar, Evelyn, Aracely, Ronald, Sebastián y Zully se ubican en ese orden y en línea recta. Ellos adquirirán sus entradas para apreciar un partido de fútbol. Pilar está a 26 metros de Ronald y Zully se encuentra a 42 metros de Aracely. Evelyn equidista de Pilar y Aracely; Sebastián equidista de Ronald y Zully. ¿A qué distancia se encuentra Evelyn de Sebastián?Resolución1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC=BD, CE=DF y AB+EF=36 m. Calcule CD.A) 15 m B) 18 mC) 20 m D) 22 m2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC+BD+CE+DF=91 cm y BE= 58 (AF). Determine la longitud de AF.A) 50 cm B) 62 cmC) 65 cm D) 56 cm2.•5. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C; tal que AB=16 m y AC+2BC=49 m. Calcule AC.Resolución6. Felipe, Kike y Santiago están ubicados en línea recta, (Santiago entre Felipe y Kike). Entre Felipe y Kike hay 12 metros de separación. Si Santiago avanzara 2 metros hacia Felipe, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Santiago de Kike?Resolución7. Pilar, Evelyn, Aracely, Ronald, Sebastián y Zully se ubican en ese orden y en línea recta. Ellos adquirirán sus entradas para apreciar un partido de fútbol. Pilar está a 26 metros de Ronald y Zully se encuentra a 42 metros de Aracely. Evelyn equidista de Pilar y Aracely; Sebastián equidista de Ronald y Zully. ¿A qué distancia se encuentra Evelyn de Sebastián?Resolución1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC=BD, CE=DF y AB+EF=36 m. Calcule CD.A) 15 m B) 18 mC) 20 m D) 22 m2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC+BD+CE+DF=91 cm y BE= 58 (AF). Determine la longitud de AF.A) 50 cm B) 62 cmC) 65 cm D) 56 cm3.•5. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C; tal que AB=16 m y AC+2BC=49 m. Calcule AC.Resolución6. Felipe, Kike y Santiago están ubicados en línea recta, (Santiago entre Felipe y Kike). Entre Felipe y Kike hay 12 metros de separación. Si Santiago avanzara 2 metros hacia Felipe, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Santiago de Kike?Resolución7. Pilar, Evelyn, Aracely, Ronald, Sebastián y Zully se ubican en ese orden y en línea recta. Ellos adquirirán sus entradas para apreciar un partido de fútbol. Pilar está a 26 metros de Ronald y Zully se encuentra a 42 metros de Aracely. Evelyn equidista de Pilar y Aracely; Sebastián equidista de Ronald y Zully. ¿A qué distancia se encuentra Evelyn de Sebastián?Resolución1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC=BD, CE=DF y AB+EF=36 m. Calcule CD.A) 15 m B) 18 mC) 20 m D) 22 m2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que AC+BD+CE+DF=91 cm y BE= 58 (AF). Determine la longitud de AF.A) 50 cm B) 62 cmC) 65 cm D) 56 cm4.1. En la figura, calcule AC.A B C D18 cm a 3a66 cmA) 30 cm B) 22 cmC) 35 cm D) 36 cm2. Si M es punto medio de BC, determine la longitud de AC.A B M C12 u 17 uA) 34 u B) 46 uC) 44 u D) 29 u3. En la figura, AC=15 cm, BD=17 cm y AD=24 cm. Calcule BC.A B C DA) 7 cm B) 9 cmC) 5 cm D) 8 cm4. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; de manera que AC=62 m y AC+BC=92 m. Calcule AB.A) 30 m B) 37 mC) 32 m D) 40 m5. Salvador, Milton y Haydée se encuentran en un campo deportivo y se ubican en línea recta y en ese orden. En dicha línea, se coloca un cono que equidista de Salvador y Milton; también en dicha línea se coloca otro cono que equidista de Milton y Haydée. Los conos distan 3 metros. ¿Cuántos centímetros dista Salvador de Haydée?A) 600 B) 300C) 400 D) 5005.1. En la figura, calcule AC.A B C D18 cm a 3a66 cmA) 30 cm B) 22 cmC) 35 cm D) 36 cm2. Si M es punto medio de BC, determine la longitud de AC.A B M C12 u 17 uA) 34 u B) 46 uC) 44 u D) 29 u3. En la figura, AC=15 cm, BD=17 cm y AD=24 cm. Calcule BC.A B C DA) 7 cm B) 9 cmC) 5 cm D) 8 cm4. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; de manera que AC=62 m y AC+BC=92 m. Calcule AB.A) 30 m B) 37 mC) 32 m D) 40 m5. Salvador, Milton y Haydée se encuentran en un campo deportivo y se ubican en línea recta y en ese orden. En dicha línea, se coloca un cono que equidista de Salvador y Milton; también en dicha línea se coloca otro cono que equidista de Milton y Haydée. Los conos distan 3 metros. ¿Cuántos centímetros dista Salvador de Haydée?A) 600 B) 300C) 400 D) 5006.1. En la figura, calcule AC.A B C D18 cm a 3a66 cmA) 30 cm B) 22 cmC) 35 cm D) 36 cm2. Si M es punto medio de BC, determine la longitud de AC.A B M C12 u 17 uA) 34 u B) 46 uC) 44 u D) 29 u3. En la figura, AC=15 cm, BD=17 cm y AD=24 cm. Calcule BC.A B C DA) 7 cm B) 9 cmC) 5 cm D) 8 cm4. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; de manera que AC=62 m y AC+BC=92 m. Calcule AB.A) 30 m B) 37 mC) 32 m D) 40 m5. Salvador, Milton y Haydée se encuentran en un campo deportivo y se ubican en línea recta y en ese orden. En dicha línea, se coloca un cono que equidista de Salvador y Milton; también en dicha línea se coloca otro cono que equidista de Milton y Haydée. Los conos distan 3 metros. ¿Cuántos centímetros dista Salvador de Haydée?A) 600 B) 300C) 400 D) 5007.2DO DE SECUNDARIA 83 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
DefiniciónEs la reunión de dos rayos no colineales con su origen común.OALadoVérticeLadoBαElementosVértice: OLados: OA y OBNotaciónAOB → Se lee: ángulo AOBm AOB → Se lee: medida del ángulo AOBmAOB = aBisectriz de un ánguloEs el rayo que tiene como origen el vértice de un ángulo y lo biseca.OABφφPOP : bisectriz del ángulo AOBClasificación1. Según su medidaA. Ángulo agudoEs aquel ángulo cuya medida es mayor que 0°,pero menor que 90°.OαAB0° < a < 90°B. Ángulo rectoEs aquel ángulo cuya medida es 90°.βA AO B O Bb = 90°C. Ángulo obtusoEs el ángulo cuya medida es mayor que 90°,pero menor que 180°.OφAB90° < f < 180°ÁNGULOS02Theory Ángulos84 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
2. Según la posición de sus ladosA. Ángulos consecutivosSon dos o más ángulos que tienen un vérticecomún y cada uno de ellos es adyacente con suanterior.bafxA BCO Dx = a + b + fB. Ángulos adyacentesSon dos ángulos consecutivos.βαLado comúnABO CC. Ángulos opuestos por el vérticeSon dos ángulos cuyos lados de uno de ellosson las prolongaciones del otro.β αOAB DCa = bConsideraciones en ángulos consecutivos1.β θα φa + b + q + f = 180°2.βθαa + b + q = 90°3.βθφαa + b + q + f = 360°2DO DE SECUNDARIA 85 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
TRABAJO EN CLASE•1. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que mAOB = x, mBOC = 40°, mCOD = 2x, mDOE = 20° y mAOE=90°.Halle el valor de x.Resolución2. Si mAOC = 130°, halle el valor de b.3b 40°2bAPBOCResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.2b bA DBCOResolución4. En la figura, mAOD=90°, mBOC=x y mPOQ=5x. Halle el valor de x.ωωb bO APBCD QResolución•1. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que mAOB = x, mBOC = 40°, mCOD = 2x, mDOE = 20° y mAOE=90°.Halle el valor de x.Resolución2. Si mAOC = 130°, halle el valor de b.3b 40°2bAPBOCResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.2b bA DBCOResolución4. En la figura, mAOD=90°, mBOC=x y mPOQ=5x. Halle el valor de x.ωωb bO APBCD QResolución•1. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que mAOB = x, mBOC = 40°, mCOD = 2x, mDOE = 20° y mAOE=90°.Halle el valor de x.Resolución2. Si mAOC = 130°, halle el valor de b.3b 40°2bAPBOCResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.2b bA DBCOResolución4. En la figura, mAOD=90°, mBOC=x y mPOQ=5x. Halle el valor de x.ωωb bO APBCD QResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que mAOB = x, mBOC = 40°, mCOD = 2x, mDOE = 20° y mAOE=90°.Halle el valor de x.Resolución2. Si mAOC = 130°, halle el valor de b.3b 40°2bAPBOCResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.2b bA DBCOResolución4. En la figura, mAOD=90°, mBOC=x y mPOQ=5x. Halle el valor de x.ωωb bO APBCD QResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a86 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mPOQ.30°2bb2qqD AQBPOCResolución6. El esquema muestra las ubicaciones de unos amigos en un campo de fútbol. Damián y Tito se ubican de tal forma que la línea central del campo es la bisectriz del ángulo formado por estos amigos. Determine la medida del ángulo formado por Pablo y Fernando.Pablo FernandoDamiánLínea centralTito20°A) 37° B) 25°C) 30° D) 35°7. En el fondo de una laguna, un pez observa en un instante en la superficie del agua a una parihuana, un pato y un bote, como se muestra en la figura. Si OA es bisectriz del POB, mAOC=5x y mAOQ=7x , calcule la medida del ángulo con que observa el pez al bote respecto de la recta PQ.A B CP O QResolución5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mPOQ.30°2bb2qqD AQBPOCResolución6. El esquema muestra las ubicaciones de unos amigos en un campo de fútbol. Damián y Tito se ubican de tal forma que la línea central del campo es la bisectriz del ángulo formado por estos amigos. Determine la medida del ángulo formado por Pablo y Fernando.Pablo FernandoDamiánLínea centralTito20°A) 37° B) 25°C) 30° D) 35°7. En el fondo de una laguna, un pez observa en un instante en la superficie del agua a una parihuana, un pato y un bote, como se muestra en la figura. Si OA es bisectriz del POB, mAOC=5x y mAOQ=7x , calcule la medida del ángulo con que observa el pez al bote respecto de la recta PQ.A B CP O QResolución5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mPOQ.30°2bb2qqD AQBPOCResolución6. El esquema muestra las ubicaciones de unos amigos en un campo de fútbol. Damián y Tito se ubican de tal forma que la línea central del campo es la bisectriz del ángulo formado por estos amigos. Determine la medida del ángulo formado por Pablo y Fernando.Pablo FernandoDamiánLínea centralTito20°A) 37° B) 25°C) 30° D) 35°7. En el fondo de una laguna, un pez observa en un instante en la superficie del agua a una parihuana, un pato y un bote, como se muestra en la figura. Si OA es bisectriz del POB, mAOC=5x y mAOQ=7x , calcule la medida del ángulo con que observa el pez al bote respecto de la recta PQ.A B CP O QResolución•1. Se tienen los ángulos consecutivos DOC, COB y BOA, tal que mDOC = 32°, mCOB = b, mBOA = 4b y mCOA=90°. Calcule la medida del ángulo BOD.Resolución2. En la figura, mAOD = 150°. Halle el valor de q.30°2qqADBC OResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos POQ y ROT.x 4xP OQRTResolución4. Del gráfico, mPOT=90°, mQOR=x y mMON=3x. Halle el valor de x.ffq qO PMQRT NResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.2DO DE SECUNDARIA 87 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mMON.A DBM NOCωωff 100°Resolución6. En el gráfico se muestra un transportador en el cual observamos las medidas de diferentes ángulos. ¿Cuál es el valor de x?a a bb30°xResolución7. Un paracaidista que se encuentra a 20 metros de la superficie de un campo de fútbol, observa en un instante una pelota, un cono azul, un banderín verde, un cono rojo y un banderín amarillo, tal como se muestra en la figura. El AOB mide el triple de lo que mide el COD, el BOC mide la tercera parte de lo que mide el DOE y la mAOE=140°. ¿Cuánto mide el ángulo BOD?A B C EDOResolución1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC=104° y la mBOD=122°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 110° B) 112°C) 113° D) 115°2. En la figura, los ángulos AOB y AOC cumplen que la suma de sus medidas es 80° y la medida del ángulo que forman sus bisectrices es 20°. Calcule la medida del mayor de los dos ángulos.A) 50° OABCB) 70°C) 60°D) 40° •1. Se tienen los ángulos consecutivos DOC, COB y BOA, tal que mDOC = 32°, mCOB = b, mBOA = 4b y mCOA=90°. Calcule la medida del ángulo BOD.Resolución2. En la figura, mAOD = 150°. Halle el valor de q.30°2qqADBC OResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos POQ y ROT.x 4xP OQRTResolución4. Del gráfico, mPOT=90°, mQOR=x y mMON=3x. Halle el valor de x.ffq qO PMQRT NResolución•1. Se tienen los ángulos consecutivos DOC, COB y BOA, tal que mDOC = 32°, mCOB = b, mBOA = 4b y mCOA=90°. Calcule la medida del ángulo BOD.Resolución2. En la figura, mAOD = 150°. Halle el valor de q.30°2qqADBC OResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos POQ y ROT.x 4xP OQRTResolución4. Del gráfico, mPOT=90°, mQOR=x y mMON=3x. Halle el valor de x.ffq qO PMQRT NResolución•1. Se tienen los ángulos consecutivos DOC, COB y BOA, tal que mDOC = 32°, mCOB = b, mBOA = 4b y mCOA=90°. Calcule la medida del ángulo BOD.Resolución2. En la figura, mAOD = 150°. Halle el valor de q.30°2qqADBC OResolución3. En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos POQ y ROT.x 4xP OQRTResolución4. Del gráfico, mPOT=90°, mQOR=x y mMON=3x. Halle el valor de x.ffq qO PMQRT NResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a9.10.11.12.88 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aTAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, halle el valor de x.b2b2aaxO30°FEDCA BResolución 3a + 30° + 3b = 90° 3a + 3b = 60° a + b = 20° → x = a+b20°+ 30° ∴ x = 50°Rpta.: 50°4. En la figura, calcule la mBOD. DC BO A42°2b4bResoluciónDe la figura: 2b + 4b = 90° 6b = 90° b = 15°Piden: mBOD = 2(15°) + 42° mBOD = 30° + 42° ∴ mBOD = 72°Rpta.: 72°5. En la figura, determine la mCOE.5b 4bA O 40° DEBCResoluciónDe la figura: 5b + 90° + 4b = 180° 9b = 90° b = 10°Piden: mCOE = 4(10°) + 40° mCOE = 40° + 40° mCOE = 80°Rpta. 80°1. De la figura, halle el valor de x.x70° ADCBOResoluciónADCBOx70°b b + 70° = 90° b = 20° → x + b = 180°x + 20° =180° ∴ x = 160°Rpta.: 160°2. En la figura, halle el valor de x.xO100°110°AB CDResoluciónxO100°110°bA DC B b + 100° = 180° b = 80° → b + x = 110°80°+ x = 110° ∴ x = 30°Rpta.: 30°2DO DE SECUNDARIA 89 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mMON.A DBM NOCωωff 100°Resolución6. En el gráfico se muestra un transportador en el cual observamos las medidas de diferentes ángulos. ¿Cuál es el valor de x?a a bb30°xResolución7. Un paracaidista que se encuentra a 20 metros de la superficie de un campo de fútbol, observa en un instante una pelota, un cono azul, un banderín verde, un cono rojo y un banderín amarillo, tal como se muestra en la figura. El AOB mide el triple de lo que mide el COD, el BOC mide la tercera parte de lo que mide el DOE y la mAOE=140°. ¿Cuánto mide el ángulo BOD?A B C EDOResolución1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC=104° y la mBOD=122°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 110° B) 112°C) 113° D) 115°2. En la figura, los ángulos AOB y AOC cumplen que la suma de sus medidas es 80° y la medida del ángulo que forman sus bisectrices es 20°. Calcule la medida del mayor de los dos ángulos.A) 50° OABCB) 70°C) 60°D) 40°5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mMON.A DBM NOCωωff 100°Resolución6. En el gráfico se muestra un transportador en el cual observamos las medidas de diferentes ángulos. ¿Cuál es el valor de x?a a bb30°xResolución7. Un paracaidista que se encuentra a 20 metros de la superficie de un campo de fútbol, observa en un instante una pelota, un cono azul, un banderín verde, un cono rojo y un banderín amarillo, tal como se muestra en la figura. El AOB mide el triple de lo que mide el COD, el BOC mide la tercera parte de lo que mide el DOE y la mAOE=140°. ¿Cuánto mide el ángulo BOD?A B C EDOResolución1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC=104° y la mBOD=122°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 110° B) 112°C) 113° D) 115°2. En la figura, los ángulos AOB y AOC cumplen que la suma de sus medidas es 80° y la medida del ángulo que forman sus bisectrices es 20°. Calcule la medida del mayor de los dos ángulos.A) 50° OABCB) 70°C) 60°D) 40°5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mMON.A DBM NOCωωff 100°Resolución6. En el gráfico se muestra un transportador en el cual observamos las medidas de diferentes ángulos. ¿Cuál es el valor de x?a a bb30°xResolución7. Un paracaidista que se encuentra a 20 metros de la superficie de un campo de fútbol, observa en un instante una pelota, un cono azul, un banderín verde, un cono rojo y un banderín amarillo, tal como se muestra en la figura. El AOB mide el triple de lo que mide el COD, el BOC mide la tercera parte de lo que mide el DOE y la mAOE=140°. ¿Cuánto mide el ángulo BOD?A B C EDOResolución1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC=104° y la mBOD=122°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 110° B) 112°C) 113° D) 115°2. En la figura, los ángulos AOB y AOC cumplen que la suma de sus medidas es 80° y la medida del ángulo que forman sus bisectrices es 20°. Calcule la medida del mayor de los dos ángulos.A) 50° OABCB) 70°C) 60°D) 40°5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mMON.A DBM NOCωωff 100°Resolución6. En el gráfico se muestra un transportador en el cual observamos las medidas de diferentes ángulos. ¿Cuál es el valor de x?a a bb30°xResolución7. Un paracaidista que se encuentra a 20 metros de la superficie de un campo de fútbol, observa en un instante una pelota, un cono azul, un banderín verde, un cono rojo y un banderín amarillo, tal como se muestra en la figura. El AOB mide el triple de lo que mide el COD, el BOC mide la tercera parte de lo que mide el DOE y la mAOE=140°. ¿Cuánto mide el ángulo BOD?A B C EDOResolución1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC=104° y la mBOD=122°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 110° B) 112°C) 113° D) 115°2. En la figura, los ángulos AOB y AOC cumplen que la suma de sus medidas es 80° y la medida del ángulo que forman sus bisectrices es 20°. Calcule la medida del mayor de los dos ángulos.A) 50° OABCB) 70°C) 60°D) 40°5. Según el gráfico, OA y OD son rayos opuestos. Calcule la mMON.A DBM NOCωωff 100°Resolución6. En el gráfico se muestra un transportador en el cual observamos las medidas de diferentes ángulos. ¿Cuál es el valor de x?a a bb30°xResolución7. Un paracaidista que se encuentra a 20 metros de la superficie de un campo de fútbol, observa en un instante una pelota, un cono azul, un banderín verde, un cono rojo y un banderín amarillo, tal como se muestra en la figura. El AOB mide el triple de lo que mide el COD, el BOC mide la tercera parte de lo que mide el DOE y la mAOE=140°. ¿Cuánto mide el ángulo BOD?A B C EDOResolución1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la mAOC=104° y la mBOD=122°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 110° B) 112°C) 113° D) 115°2. En la figura, los ángulos AOB y AOC cumplen que la suma de sus medidas es 80° y la medida del ángulo que forman sus bisectrices es 20°. Calcule la medida del mayor de los dos ángulos.A) 50° OABCB) 70°C) 60°D) 40°PARA EL CUADERNO• GEOMETRY 1. En la figura, halle el valor de x.O2xA DCBxA) 25° B) 20°C) 35° D) 30°2. En el gráfico, mAOC=70° y mBOD=60°. Calcule la mBOC.O DCBAA) 30° B) 40°C) 20° D) 50°3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que mAOB=50°, mCOD=70° y mAOC+ mBOD=240°. Calcule la mBOC.A) 60° B) 50°C) 70° D) 55°4. En la figura, halle el valor de x.A FBDEOCωω f f2x7xA) 10° B) 12°C) 15° D) 18°5. El piloto de un helicóptero observa en un instante cuatro árboles: A, B, C y D; como muestra la figura. Si b es el doble de a, q es el triple de b y mAHD=54°, halle el valor de q.Ha bqA BC DA) 24° B) 36°C) 30° D) 37°• GEOMETRY 1. En la figura, halle el valor de x.O2xA DCBxA) 25° B) 20°C) 35° D) 30°2. En el gráfico, mAOC=70° y mBOD=60°. Calcule la mBOC.O DCBAA) 30° B) 40°C) 20° D) 50°3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que mAOB=50°, mCOD=70° y mAOC+ mBOD=240°. Calcule la mBOC.A) 60° B) 50°C) 70° D) 55°4. En la figura, halle el valor de x.A FBDEOCωω f f2x7xA) 10° B) 12°C) 15° D) 18°5. El piloto de un helicóptero observa en un instante cuatro árboles: A, B, C y D; como muestra la figura. Si b es el doble de a, q es el triple de b y mAHD=54°, halle el valor de q.Ha bqA BC DA) 24° B) 36°C) 30° D) 37°• GEOMETRY 1. En la figura, halle el valor de x.O2xA DCBxA) 25° B) 20°C) 35° D) 30°2. En el gráfico, mAOC=70° y mBOD=60°. Calcule la mBOC.O DCBAA) 30° B) 40°C) 20° D) 50°3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que mAOB=50°, mCOD=70° y mAOC+ mBOD=240°. Calcule la mBOC.A) 60° B) 50°C) 70° D) 55°4. En la figura, halle el valor de x.A FBDEOCωω f f2x7xA) 10° B) 12°C) 15° D) 18°5. El piloto de un helicóptero observa en un instante cuatro árboles: A, B, C y D; como muestra la figura. Si b es el doble de a, q es el triple de b y mAHD=54°, halle el valor de q.Ha bqA BC DA) 24° B) 36°C) 30° D) 37°• GEOMETRY 1. En la figura, halle el valor de x.O2xA DCBxA) 25° B) 20°C) 35° D) 30°2. En el gráfico, mAOC=70° y mBOD=60°. Calcule la mBOC.O DCBAA) 30° B) 40°C) 20° D) 50°3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que mAOB=50°, mCOD=70° y mAOC+ mBOD=240°. Calcule la mBOC.A) 60° B) 50°C) 70° D) 55°4. En la figura, halle el valor de x.A FBDEOCωω f f2x7xA) 10° B) 12°C) 15° D) 18°5. El piloto de un helicóptero observa en un instante cuatro árboles: A, B, C y D; como muestra la figura. Si b es el doble de a, q es el triple de b y mAHD=54°, halle el valor de q.Ha bqA BC DA) 24° B) 36°C) 30° D) 37°• GEOMETRY 1. En la figura, halle el valor de x.O2xA DCBxA) 25° B) 20°C) 35° D) 30°2. En el gráfico, mAOC=70° y mBOD=60°. Calcule la mBOC.O DCBAA) 30° B) 40°C) 20° D) 50°3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que mAOB=50°, mCOD=70° y mAOC+ mBOD=240°. Calcule la mBOC.A) 60° B) 50°C) 70° D) 55°4. En la figura, halle el valor de x.A FBDEOCωω f f2x7xA) 10° B) 12°C) 15° D) 18°5. El piloto de un helicóptero observa en un instante cuatro árboles: A, B, C y D; como muestra la figura. Si b es el doble de a, q es el triple de b y mAHD=54°, halle el valor de q.Ha bqA BC DA) 24° B) 36°C) 30° D) 37°1. Si OP es bisectriz del AOB, calcule la mPOC.40°O DAP BCA) 115° B) 110°C) 120° D) 105°2. Del gráfico, calcule la mCOD.150°ABCDOA) 55° B) 70°C) 50° D) 60°3. En la figura, halle el valor b.OTRQP6bbA) 15° B) 18°C) 20° D) 16°4. Se tiene una ventana metálica tal como se muestra en la figura. Calcule f + q.120° 140°20° f f q qA) 80° B) 35°C) 45° D) 40°5. OPQR representa una cancha de fútbol. Santiago pateará la pelota al ras de la cancha desde el punto O hacia los puntos B y C, tal como muestra la figura. Si b es el doble de a y ω es el séxtuple de a, calcule la medida del ángulo BOC.ωbaOP QRBCA) 10° B) 20°C) 15° D) 30°10.2.8.9.1.3.4.5.6.7.90 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
A) Ángulos complementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 90°.ADBC'Si a +q = 90°, entonces los ángulos AOB y CO'D son complementarios.Ejemplos40° 50°1.°x 90°– x2.°POOQNMAAHOBBmPOQ+mAHB=90°mMON+mAOB=90°Complemento de un ánguloEs la medida que le falta a un ángulo para que sea igual a 90°.Ca=90° –aCa : se lee complemento de a.Ejemplos¾ C30° = 90° – 30° = 60°¾ C40° = 90° – 40° = 50°B) Ángulos suplementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 180°.A OO DBCfi'Si b + ω = 180°, entonces los ángulos AOB y CO'D son suplementarios.Ejemplos2.°x 180°– x60°1.°120°BOOAMMEF QQ NNmAOB+mMQN=180°mEQF+mMON=180°Suplemento de un ánguloEs la medida que le falta a un ángulo para que sea igual a 180°.Sb=180° –bSb : se lee suplemento de b.Ejemplos¾ S120°= 180°– 120° = 60°¾ S140°= 180°– 140° = 40°ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOSTheory Ángulos Complementarios y 03 Suplementarios2DO DE SECUNDARIA 91 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Si el complemento de 2x es 60°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2a es 7a, halle el valor de a.Resolución3. Si los ángulos AOC y BOD son complementarios, calcule la mBOC.ABCD3a4aO aResolución4. Si los ángulos AOD y BOC son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de x.OCBAD60°40°xResolución•1. Si el complemento de 2x es 60°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2a es 7a, halle el valor de a.Resolución3. Si los ángulos AOC y BOD son complementarios, calcule la mBOC.ABCD3a4aO aResolución4. Si los ángulos AOD y BOC son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de x.OCBAD60°40°xResolución•1. Si el complemento de 2x es 60°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2a es 7a, halle el valor de a.Resolución3. Si los ángulos AOC y BOD son complementarios, calcule la mBOC.ABCD3a4aO aResolución4. Si los ángulos AOD y BOC son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de x.OCBAD60°40°xResolución•1. Si el complemento de 2x es 60°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2a es 7a, halle el valor de a.Resolución3. Si los ángulos AOC y BOD son complementarios, calcule la mBOC.ABCD3a4aO aResolución4. Si los ángulos AOD y BOC son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de x.OCBAD60°40°xResolución5. El suplemento del doble de un ángulo es igual al cuádruple del complemento del triple de dicho ángulo. Calcule la medida del ángulo.Resolución6. José, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el quíntuplo de la medida del otro. ¿Cuánto mide el mayor ángulo?x5xResolución7. Dos hormigas se ubican en los puntos A y B; dichas hormigas se dirigen a los puntos C y D, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo ACB es obtuso, halle el máximo valor entero de x.4xBCDAResolución5. El suplemento del doble de un ángulo es igual al cuádruple del complemento del triple de dicho ángulo. Calcule la medida del ángulo.Resolución6. José, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el quíntuplo de la medida del otro. ¿Cuánto mide el mayor ángulo?x5xResolución7. Dos hormigas se ubican en los puntos A y B; dichas hormigas se dirigen a los puntos C y D, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo ACB es obtuso, halle el máximo valor entero de x.4xBCDAResolución5. El suplemento del doble de un ángulo es igual al cuádruple del complemento del triple de dicho ángulo. Calcule la medida del ángulo.Resolución6. José, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el quíntuplo de la medida del otro. ¿Cuánto mide el mayor ángulo?x5xResolución7. Dos hormigas se ubican en los puntos A y B; dichas hormigas se dirigen a los puntos C y D, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo ACB es obtuso, halle el máximo valor entero de x.4xBCDAResolución92 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. El suplemento del doble de un ángulo es igual al cuádruple del complemento del triple de dicho ángulo. Calcule la medida del ángulo.Resolución6. José, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el quíntuplo de la medida del otro. ¿Cuánto mide el mayor ángulo?x5xResolución7. Dos hormigas se ubican en los puntos A y B; dichas hormigas se dirigen a los puntos C y D, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo ACB es obtuso, halle el máximo valor entero de x.4xBCDAResolución• GEOMETRY 1. Si el complemento de 3x es 75°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2b es 4b, halle el valor de b.Resolución3. En la figura, los ángulos AOC y BOD son complementarios. Halle el valor de x.x15°35°DCBAOResolución4. Si los ángulos AOC y BOD son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de ω.40°70°O DABCωResolución10.• GEOMETRY 1. Si el complemento de 3x es 75°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2b es 4b, halle el valor de b.Resolución3. En la figura, los ángulos AOC y BOD son complementarios. Halle el valor de x.x15°35°DCBAOResolución4. Si los ángulos AOC y BOD son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de ω.40°70°O DABCωResolución8.• GEOMETRY 1. Si el complemento de 3x es 75°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2b es 4b, halle el valor de b.Resolución3. En la figura, los ángulos AOC y BOD son complementarios. Halle el valor de x.x15°35°DCBAOResolución4. Si los ángulos AOC y BOD son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de ω.40°70°O DABCωResolución11.• GEOMETRY 1. Si el complemento de 3x es 75°, halle el valor de x.Resolución2. Si el suplemento de 2b es 4b, halle el valor de b.Resolución3. En la figura, los ángulos AOC y BOD son complementarios. Halle el valor de x.x15°35°DCBAOResolución4. Si los ángulos AOC y BOD son suplementarios, calcule el suplemento del complemento de ω.40°70°O DABCωResolución9.5. Si el complemento de un ángulo es igual al cuádruple de la medida de dicho ángulo, calcule el suplemento de dicho ángulo.Resolución6. Julito, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el cuádruple de la medida del otro. ¿Cuánto mide el menor ángulo?x4xResolución7. Dos arañas se ubican en los puntos P y R; dichas arañas se dirigen a los puntos T y Q, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo PQR es agudo, halle el máximo valor entero de x.7xPQTRResolución1. Si el complemento de un ángulo es al suplemento del mismo ángulo, como 1 es a la medida del ángulo aumentado en 2, calcule la medida de dicho ángulo.A) 86° B) 87°C) 88° D) 89°2. La medida de un ángulo es a. Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de a y el complemento de a/2 excede en a/15 al doble del complemento de a, halle el valor de a.A) 85° B) 80°C) 75° D) 70°12.2DO DE SECUNDARIA 93 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°1. Si el suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 114°, calcule la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea x la medida del ángulo.Del dato( )( )90SC 114S 144180 90 11490 11424xxxxx°−= °= °°− °− = °° +∴= °=Rpta. 24°2. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 80°. Halle la medida del ángulo menor.ResoluciónSean a y b las medidas de dichos ángulos suplementarios, entonces a + b = 180° ...(1)Por dato a – b= 80° ...(2)Sumando (1) y (2)a+b=180°a–b=80° 2a=260° a=130°∴ b=50°Rpta.: 50°3. Calcule el suplemento del complemento de 35°.ResoluciónNos piden: SC35°SC35° S(55°) S(90° – 35°) (180° – 55°)125°∴ SC35° = 125°Rpta. 125°4. Si 10x y 8x son suplementarios, halle el valor de x.ResoluciónPor definición de ángulos suplementarios 10x + 8x = 180° 18x = 180° x = 10°Rpta. 10°5. Si el complemento de un ángulo es el quíntuplo de dicho ángulo, determine la medida de dicho ángulo.ResoluciónSea a la medida del ángulo.Entonces Ca = 5a 90° – a = 5a 90° = 6a 15° = aRpta. 15°94 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
PARA EL CUADERNO5. Si el complemento de un ángulo es igual al cuádruple de la medida de dicho ángulo, calcule el suplemento de dicho ángulo.Resolución6. Julito, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el cuádruple de la medida del otro. ¿Cuánto mide el menor ángulo?x4xResolución7. Dos arañas se ubican en los puntos P y R; dichas arañas se dirigen a los puntos T y Q, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo PQR es agudo, halle el máximo valor entero de x.7xPQTRResolución1. Si el complemento de un ángulo es al suplemento del mismo ángulo, como 1 es a la medida del ángulo aumentado en 2, calcule la medida de dicho ángulo.A) 86° B) 87°C) 88° D) 89°2. La medida de un ángulo es a. Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de a y el complemento de a/2 excede en a/15 al doble del complemento de a, halle el valor de a.A) 85° B) 80°C) 75° D) 70°2.5. Si el complemento de un ángulo es igual al cuádruple de la medida de dicho ángulo, calcule el suplemento de dicho ángulo.Resolución6. Julito, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el cuádruple de la medida del otro. ¿Cuánto mide el menor ángulo?x4xResolución7. Dos arañas se ubican en los puntos P y R; dichas arañas se dirigen a los puntos T y Q, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo PQR es agudo, halle el máximo valor entero de x.7xPQTRResolución1. Si el complemento de un ángulo es al suplemento del mismo ángulo, como 1 es a la medida del ángulo aumentado en 2, calcule la medida de dicho ángulo.A) 86° B) 87°C) 88° D) 89°2. La medida de un ángulo es a. Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de a y el complemento de a/2 excede en a/15 al doble del complemento de a, halle el valor de a.A) 85° B) 80°C) 75° D) 70°1.5. Si el complemento de un ángulo es igual al cuádruple de la medida de dicho ángulo, calcule el suplemento de dicho ángulo.Resolución6. Julito, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el cuádruple de la medida del otro. ¿Cuánto mide el menor ángulo?x4xResolución7. Dos arañas se ubican en los puntos P y R; dichas arañas se dirigen a los puntos T y Q, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo PQR es agudo, halle el máximo valor entero de x.7xPQTRResolución1. Si el complemento de un ángulo es al suplemento del mismo ángulo, como 1 es a la medida del ángulo aumentado en 2, calcule la medida de dicho ángulo.A) 86° B) 87°C) 88° D) 89°2. La medida de un ángulo es a. Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de a y el complemento de a/2 excede en a/15 al doble del complemento de a, halle el valor de a.A) 85° B) 80°C) 75° D) 70°3.5. Si el complemento de un ángulo es igual al cuádruple de la medida de dicho ángulo, calcule el suplemento de dicho ángulo.Resolución6. Julito, al armar una de las cuatro esquinas de su rompecabezas, necesita encajar dos fichas; además, el ángulo de una de las fichas es el cuádruple de la medida del otro. ¿Cuánto mide el menor ángulo?x4xResolución7. Dos arañas se ubican en los puntos P y R; dichas arañas se dirigen a los puntos T y Q, respectivamente, siguiendo trayectorias rectilíneas. Si el ángulo PQR es agudo, halle el máximo valor entero de x.7xPQTRResolución1. Si el complemento de un ángulo es al suplemento del mismo ángulo, como 1 es a la medida del ángulo aumentado en 2, calcule la medida de dicho ángulo.A) 86° B) 87°C) 88° D) 89°2. La medida de un ángulo es a. Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de a y el complemento de a/2 excede en a/15 al doble del complemento de a, halle el valor de a.A) 85° B) 80°C) 75° D) 70°4.1. El complemento del suplemento de la medida de un ángulo es 40°. Determine la medida de dicho ángulo.A) 120° B) 140°C) 125° D) 130°2. El complemento de un ángulo es el quíntuple de dicho ángulo. Calcule el suplemento del ángulo.A) 165° B) 160°C) 170° D) 155°3. En la figura, los ángulos AOC y BOD son complementarios. Calcule la mBOC.16°24°ABCODA) 20° B) 25°C) 30° D) 22°4. Se muestra una parte de los útiles de Jarbin. Halle el valor de b.60°aa bGeometríaA) 120° B) 160°C) 150° D) 145°5. En un determinado instante, el cóndor es observado por el puma y la vizcacha con ángulos de elevación 6x y 10x, respectivamente, como se muestra en la figura. Los ángulos EPC y CPV son complementarios; ω+f=52°; los ángulos PVC y CVT son complementarios. Halle el valor de x.ω fCP VT EA) 6° B) 7°C) 8° D) 9°5.• GEOMETRY 1. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 145°. Calcule la medida de dicho ángulo.A) 55° B) 60°C) 50° D) 53°2. El suplemento de 9a es 3a. ¿Cuál es el valor de a?A) 12° B) 20°C) 18° D) 15°3. Si los ángulos AOB y AOC son complementarios, ¿cuál es la medida del ángulo AOC?OABC40°A) 60° B) 65°C) 70° D) 72°4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 34°. Determine la medida del ángulo menor.A) 22° B) 25°C) 28° D) 30°5. En un determinado instante, el águila es observado por el ratón y el conejo con ángulos de elevación 5x y 8 x, respectivamente, como se muestra en la figura. Los ángulos MRA y ARC son complementarios; q+b=50°; los ángulos RCA y ACN son complementarios. Halle el valor de x.q bAR CN MA) 8° B) 10°C) 12° D) 9°8.• GEOMETRY 1. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 145°. Calcule la medida de dicho ángulo.A) 55° B) 60°C) 50° D) 53°2. El suplemento de 9a es 3a. ¿Cuál es el valor de a?A) 12° B) 20°C) 18° D) 15°3. Si los ángulos AOB y AOC son complementarios, ¿cuál es la medida del ángulo AOC?OABC40°A) 60° B) 65°C) 70° D) 72°4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 34°. Determine la medida del ángulo menor.A) 22° B) 25°C) 28° D) 30°5. En un determinado instante, el águila es observado por el ratón y el conejo con ángulos de elevación 5x y 8 x, respectivamente, como se muestra en la figura. Los ángulos MRA y ARC son complementarios; q+b=50°; los ángulos RCA y ACN son complementarios. Halle el valor de x.q bAR CN MA) 8° B) 10°C) 12° D) 9°9.• GEOMETRY 1. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 145°. Calcule la medida de dicho ángulo.A) 55° B) 60°C) 50° D) 53°2. El suplemento de 9a es 3a. ¿Cuál es el valor de a?A) 12° B) 20°C) 18° D) 15°3. Si los ángulos AOB y AOC son complementarios, ¿cuál es la medida del ángulo AOC?OABC40°A) 60° B) 65°C) 70° D) 72°4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 34°. Determine la medida del ángulo menor.A) 22° B) 25°C) 28° D) 30°5. En un determinado instante, el águila es observado por el ratón y el conejo con ángulos de elevación 5x y 8 x, respectivamente, como se muestra en la figura. Los ángulos MRA y ARC son complementarios; q+b=50°; los ángulos RCA y ACN son complementarios. Halle el valor de x.q bAR CN MA) 8° B) 10°C) 12° D) 9°10.• GEOMETRY 1. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 145°. Calcule la medida de dicho ángulo.A) 55° B) 60°C) 50° D) 53°2. El suplemento de 9a es 3a. ¿Cuál es el valor de a?A) 12° B) 20°C) 18° D) 15°3. Si los ángulos AOB y AOC son complementarios, ¿cuál es la medida del ángulo AOC?OABC40°A) 60° B) 65°C) 70° D) 72°4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 34°. Determine la medida del ángulo menor.A) 22° B) 25°C) 28° D) 30°5. En un determinado instante, el águila es observado por el ratón y el conejo con ángulos de elevación 5x y 8 x, respectivamente, como se muestra en la figura. Los ángulos MRA y ARC son complementarios; q+b=50°; los ángulos RCA y ACN son complementarios. Halle el valor de x.q bAR CN MA) 8° B) 10°C) 12° D) 9°7.• GEOMETRY 1. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es 145°. Calcule la medida de dicho ángulo.A) 55° B) 60°C) 50° D) 53°2. El suplemento de 9a es 3a. ¿Cuál es el valor de a?A) 12° B) 20°C) 18° D) 15°3. Si los ángulos AOB y AOC son complementarios, ¿cuál es la medida del ángulo AOC?OABC40°A) 60° B) 65°C) 70° D) 72°4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 34°. Determine la medida del ángulo menor.A) 22° B) 25°C) 28° D) 30°5. En un determinado instante, el águila es observado por el ratón y el conejo con ángulos de elevación 5x y 8 x, respectivamente, como se muestra en la figura. Los ángulos MRA y ARC son complementarios; q+b=50°; los ángulos RCA y ACN son complementarios. Halle el valor de x.q bAR CN MA) 8° B) 10°C) 12° D) 9°6.2DO DE SECUNDARIA 95 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
¾ Rectas paralelasDos rectas son paralelas si están contenidas en unplano y no tienen ningún punto en común.L2L1→ L1 // L2¾ Rectas secantesDos rectas son secantes si tienen un punto en común.L2L1¾ Rectas perpendicularesDos rectas se llaman perpendiculares si al intersecarse forman cuatro ángulos rectos.L2L1→ L1 ⊥ L2¾ Ángulos formados por dos rectas paralelas y unarecta secante a ellasSe determinan ocho ángulos y se nombran de dos endos, según la posición relativa que estos presentan.L2L3L1aebfcgdhObservationLos nombres de los ángulos se mantienen si las rectas L1y L2 no son paralelas, pero los teoremas se cumplen si las rectas son paralelas.¾ Ángulos alternos internosbaL2L1 TeoremaSi L1 //L2a = b¾ Ángulos correspondientesfqL2L1PostuladoSi L1 //L2q = f¾ Ángulos conjugados internoswγL2L1TeoremaSi L1 //L2γ + w = 180°¾ TeoremasL2a L1yxbSi L1 //L2⇒ a + b = x + yL2a L1xbSi L1 //L2⇒ x = a + bObservationSi L1 //L2L2L1qqqqbbbb⇒ q + b = 180°ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTETheoryÁngulos entre Dos Rectas 04 Paralelas y una Recta Secante96 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
TRABAJO EN CLASE1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 x120°2q5b80° b+qResolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.yy25°30°140°xL2L155°22°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, donde A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 120° + a y 3a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x2a3a120°20°L2L1Resolución1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 x120°2q5b80° b+qResolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.yy25°30°140°xL2L155°22°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, donde A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 120° + a y 3a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x2a3a120°20°L2L1Resolución1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 x120°2q5b80° b+qResolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.yy25°30°140°xL2L155°22°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, donde A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 120° + a y 3a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x2a3a120°20°L2L1Resolución1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 x120°2q5b80° b+qResolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.yy25°30°140°xL2L155°22°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, donde A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 120° + a y 3a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x2a3a120°20°L2L1ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. Dados P A = {aracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a2DO DE SECUNDARIA 97 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
5. Si L1 // L2, halle el valor de x.L1 L2120°q – xx+qResolución6. Diego, para poder pintar la parte alta de una casa, utiliza una escalera y como sabemos los peldaños están colocados paralelamente. Utilizando lo conocido sobre rectas paralelas, halle el valor de x.2xx + 30°Resolución7. Se observa un gato de tijera (gata hidráulica) para cambiar la llanta de un automóvil. Halle el valor de x.2x2x 2xx xResolución•1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 100° x4f 3w f + w120°Resolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L170°2w20°xw150° 15°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, tal que A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 100° y 4a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x110°q q30°L2L1Resolución5. Si L1 // L2, halle el valor de x.L1 L2120°q – xx+qResolución6. Diego, para poder pintar la parte alta de una casa, utiliza una escalera y como sabemos los peldaños están colocados paralelamente. Utilizando lo conocido sobre rectas paralelas, halle el valor de x.2xx + 30°Resolución7. Se observa un gato de tijera (gata hidráulica) para cambiar la llanta de un automóvil. Halle el valor de x.2x2x 2xx xResolución•5. Si L1 // L2, halle el valor de x.L1 L2120°q – xx+qResolución6. Diego, para poder pintar la parte alta de una casa, utiliza una escalera y como sabemos los peldaños están colocados paralelamente. Utilizando lo conocido sobre rectas paralelas, halle el valor de x.2xx + 30°Resolución7. Se observa un gato de tijera (gata hidráulica) para cambiar la llanta de un automóvil. Halle el valor de x.2x2x 2xx xResolución•8.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a98 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA
1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 100° x4f 3w f + w120°Resolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L170°2w20°xw150° 15°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, tal que A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 100° y 4a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x110°q q30°L2L1Resolución1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 100° x4f 3w f + w120°Resolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L170°2w20°xw150° 15°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, tal que A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 100° y 4a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x110°q q30°L2L1Resolución1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1 100° x4f 3w f + w120°Resolución2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L170°2w20°xw150° 15°Resolución3. Se tienen las rectas paralelas L1 y L2, tal que A∈L1y B∈L2. AB forma con L1 y L2 hacia un mismo lado los ángulos 100° y 4a, respectivamente. Halle el valor de a.Resolución4. En la figura, halle el valor de x.x110°q q30°L2L1Resolución5. Si L1 // L2 y a + b = 140°, halle el valor de x.L1 L2x a bResolución6. La Municipalidad de Comas dispuso que no haya circulación vehicular por la Avenida 21 durante todo el domingo con el fin de realizar actividades recreativas. Andrés y Erika se desplazarán de manera rectilínea desde los puntos A y E hacia los puntos D y K, respectivamente, tal como muestra el gráfico. Halle el valor de x.A EK Dx4θ 4ββθResolución7. Víctor, para poder pintar la parte alta de una casa, utiliza una escalera y como sabemos, los peldaños están colocados paralelamente. Utilizando lo conocido sobre rectas paralelas, halle el valor de x.4xx + 60°Resolución•9.10.11.12.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a2DO DE SECUNDARIA 99 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA
TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY 1. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80°x2b4b3b L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos correspondientes 4b = 80° → b = 20° ...(1)Por teorema x = 3b + 2b → x = 5b ...(2)Reemplazando (1) en (2) x = 5(20°) → x = 100°Rpta.: 100°2. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.80° xb 2b 15°50°L2L12xResoluciónIncógnita: xPor ángulos internos 2b = 80° → b = 40° ...(1)Por teorema x + 2x + 15° = 50° + b ...(2)Remplazando (1) en (2) 3x + 15° = 50° + 40° 3x = 75° → x = 25°Rpta.: 25°3. Según el gráfico, halle el valor de x.120°70°x2q3q L2L1ResoluciónIncógnita: xPor ángulos conjugados internos 3q + 120° = 180° → q = 20° ...(1)Por teorema x + 2q = 70° ...(2)Reemplazando (1) en (2) x + 2(20°) = 70° x + 40° = 70° → x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, L1 // L2. Halle el valor de x.36°140°xL2L1ResoluciónL1L236º140ºα180º – xx α + 140º = 180º α = 40ºPor postulado:...(I)Por teorema: 180° - x = a + 36° ...(II) (I) en (II): 180° - x = 76° x = 104°Rpta.: 104°5. Si L1 // L2, halle el valor de x.20°150°40°x L2L1Resolución20°30° 150°40°xx L2L1Por teorema x + 20° = 30° + 40° x = 50°Rpta.: 50°• GEOMETRY100 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA