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2DO DE SECUNDARIA

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2DO DE SECUNDARIA

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2DO DE SECUNDARIA

1. En la figura, halle el valor de x.2b2bb xA) 60° B) 55°C) 65° D) 53°2. En la figura, L1 // L2 // L3 y b + w = 240°. Halle el valor de x.L3L2L1ff bwqqxA) 64° B) 54°C) 60° D) 58°1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1110°4x + 10°A) 20° B) 15°C) 18° D) 24°2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L1 L2160°80°xA) 50° B) 62°C) 75° D) 60°3. Si L1 // L2, halle el valor de x. 5β3β40°+βx70° L1L2A) 20° B) 30°C) 35° D) 25°4. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1x 105°2q2fqfA) 75° B) 68°C) 70° D) 65°1. En la figura, halle el valor de x.2b2bb xA) 60° B) 55°C) 65° D) 53°2. En la figura, L1 // L2 // L3 y b + w = 240°. Halle el valor de x.L3L2L1ff bwqqxA) 64° B) 54°C) 60° D) 58°1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1110°4x + 10°A) 20° B) 15°C) 18° D) 24°2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L1 L2160°80°xA) 50° B) 62°C) 75° D) 60°3. Si L1 // L2, halle el valor de x. 5β3β40°+βx70° L1L2A) 20° B) 30°C) 35° D) 25°4. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1x 105°2q2fqfA) 75° B) 68°C) 70° D) 65°5. En la figura, se muestra un cerco metálico apoyado en una pared. Halle el valor de x.x x20°PisoPared40° 60°80°A) 50° B) 55°C) 40° D) 45°1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L130° + x3x - 20°A) 25° B) 35°C) 30° D) 20°2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1x2x75°A) 24° B) 36°C) 25° D) 28°3. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1x80°170° 4b3bA) 80° B) 50°C) 90° D) 70°4. Se muestra una porción del marco de un cuadro en el cual se aprecian dos hormigas en uno de los bordes. Dichas hormigas tendrán diferentes trayectorias para dirigirse hacia el otro borde. Calcule a – b.160°140°b+30°3a+20°30°+2b3b50°A) 8° B) 10°C) 12° D) 15°5. Se muestra la vista horizontal del plano de una casa, la pared AB y BC forman 140°, la pared CD y DEforman 120° y mBCD = 5x. Halle el valor de x.CBE DAA) 20° B) 16°C) 24° D) 18°•5. En la figura, se muestra un cerco metálico apoyado en una pared. Halle el valor de x.x x20°PisoPared40° 60°80°A) 50° B) 55°C) 40° D) 45°1. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L130° + x3x - 20°A) 25° B) 35°C) 30° D) 20°2. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1x2x75°A) 24° B) 36°C) 25° D) 28°3. Si L1 // L2, halle el valor de x.L2L1x80°170° 4b3bA) 80° B) 50°C) 90° D) 70°4. Se muestra una porción del marco de un cuadro en el cual se aprecian dos hormigas en uno de los bordes. Dichas hormigas tendrán diferentes trayectorias para dirigirse hacia el otro borde. Calcule a – b.160°140°b+30°3a+20°30°+2b3b50°A) 8° B) 10°C) 12° D) 15°5. Se muestra la vista horizontal del plano de una casa, la pared AB y BC forman 140°, la pared CD y DEforman 120° y mBCD = 5x. Halle el valor de x.CBE DAA) 20° B) 16°C) 24° D) 18°•8.9.10.7.102 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

DEFINICIÓNEs aquella figura geométrica que se forma al unir con segmentos de recta tres puntos no colineales.ABCI. Elementos del triángulo¾ Vértices: A, B y C¾ Lados: AB, BC y ACNotación¾ DABC → se lee: triángulo ABCRegiones determinadas por el triánguloNRegión exterior Región interiorTriánguloABCRespecto a la región exteriorABCRegión exteriorRegión exteriorrelativa BCrelativa ABRegión exterior relativa ACNoteA la reunión de un triángulo con su región interior se le denomina región triangular.II. Perímetro de una región triangularEs la longitud del contorno de la región triangular,es decir, el triángulo que lo limita. El perímetro deuna región triangular se calcula sumando las longitudes de los lados del triángulo.BA bc aC2pD ABC = a + b + cdonde2pD ABC : perímetro de la región triangular ABCpD ABC = a + b + c2dondepD ABC : semiperímetro de la región triangular ABCOtras consideraciones teóricasBC Ayxba fz¾ Medida de los ángulos internos: a, b, f¾ Medida de los ángulos externos: x, y, zTRIÁNGULOTheory 05 Triángulos2DO DE SECUNDARIA 103 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

III. Teoremas generales en el triánguloTeorema 1En todo triángulo la suma de las medidas de susángulos internos es igual a 180°.a fbABCa + b + f = 180°Teorema 2En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos externos es igual a 360°.CBAxyzx + y + z = 360°Teorema 3En todo triángulo la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes a él.CBAxyzfbax = b + f y = a + f z = a + bTeorema 4(Teorema de la correspondencia)En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.CA Ba bb aa > b ↔ a > bTeorema 5(Teorema de la existencia de un triángulo)En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados y menor que la suma de las longitudes de los mismos.B CAb caSi a > b > cb - c < a < b + cTeoremas adicionalesbqawa = b + q + wa)bqawb + q = a + wb)bay za + b = y + zc)104 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOSLos triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de susángulos o la longitud de sus lados.I. Según la medida de sus ángulosa. Triángulo rectánguloEs aquel que tiene un ángulo recto.A CBa babcAB y BC: catetosAC: hipotenusaa + b = 90° b2 = a2 + c2b. Triángulo oblicuánguloEs aquel triángulo que no tiene un ángulo recto ypuede ser:¾ Triangulo acutánguloEs aquel triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos.A CBa qbEn el D ABC:a < 90° b < 90° q < 90°¾ Triángulo obtusánguloEs aquel triángulo que tiene un ángulo interiorobtuso.aCABEn el DABC:a > 90°II. Según la longitud de sus ladosa. Triángulo escalenoEs aquel triángulo cuyos lados tienen diferentelongitud.A CBaqba bcEn el DABC:a ≠ b b ≠ c c ≠ aa ≠ b ≠ qb. Triángulo isóscelesEs aquel triángulo que tiene dos lados de iguallongitud.A CBa al lEn el DABC:AB = BCAC : base del DABCc. Triángulo equiláteroEs aquel triángulo que tiene sus tres lados deigual longitud.A CB60° 60°60°l llEn el DABC:AB = BC = AC2DO DE SECUNDARIA 105 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

TRABAJO EN CLASE1. En la figura, AB = BC y PQ = QC. Halle el valor de x.A CPQBx20°30°Resolución5. ABC es un triángulo escaleno. ¿Cuántos valores enteros puede tomar x?Bx6 u 4 uA CResoluciónPiden: número de valores enteros que puede tomar x.Dato: D ABC es escaleno⇒ AB ≠ BC ≠ ACPor lo tanto x ≠ 4 ∧ x ≠ 6Por existencia: 6 – 4 < x < 6 + 4 2 < x < 10Valores enteros: x = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}NO NOPero como el D ABC es escaleno, x no puede tomar 4, tampoco 6.⇒ En el triángulo escaleno ABC, los valores enteros que toma x, son: 3; 5; 7; 8 y 9∴ x toma cinco valores enteros.Rpta.: 52. Calcule la suma de los valores enteros que puede tomar x.Bx5 u 4 uA CResolución•1. En la figura, AB = BC y PQ = QC. Halle el valor de x.A CPQBx20°30°Resolución5. ABC es un triángulo escaleno. ¿Cuántos valores enteros puede tomar x?Bx6 u 4 uA CResoluciónPiden: número de valores enteros que puede tomar x.Dato: D ABC es escaleno⇒ AB ≠ BC ≠ ACPor lo tanto x ≠ 4 ∧ x ≠ 6Por existencia: 6 – 4 < x < 6 + 4 2 < x < 10Valores enteros: x = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}NO NOPero como el D ABC es escaleno, x no puede tomar 4, tampoco 6.⇒ En el triángulo escaleno ABC, los valores enteros que toma x, son: 3; 5; 7; 8 y 9∴ x toma cinco valores enteros.Rpta.: 52. Calcule la suma de los valores enteros que puede tomar x.Bx5 u 4 uA CResolución•3. Halle el valor de x.A CBD45°x2b qb2qResolución4. El triángulo ABC es equilátero, AB = CD y mADC = m  BCD = x. Halle el valor de x.BA DCResolución5. En la figura, halle el valor de x.A CBD80°x3ff3wwResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 80°, ¿qué ángulo forma la escalera con el poste?x 3xCableResolución•3. Halle el valor de x.A CBD45°x2b qb2qResolución4. El triángulo ABC es equilátero, AB = CD y mADC = m  BCD = x. Halle el valor de x.BA DCResolución5. En la figura, halle el valor de x.A CBD80°x3ff3wwResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 80°, ¿qué ángulo forma la escalera con el poste?x 3xCableResolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a106 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

3. Halle el valor de x.A CBD45°x2b qb2qResolución4. El triángulo ABC es equilátero, AB = CD y mADC = m  BCD = x. Halle el valor de x.BA DCResolución5. En la figura, halle el valor de x.A CBD80°x3ff3wwResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 80°, ¿qué ángulo forma la escalera con el poste?x 3xCableResolución•3. Halle el valor de x.A CBD45°x2b qb2qResolución4. El triángulo ABC es equilátero, AB = CD y mADC = m  BCD = x. Halle el valor de x.BA DCResolución5. En la figura, halle el valor de x.A CBD80°x3ff3wwResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 80°, ¿qué ángulo forma la escalera con el poste?x 3xCableResolución•7. Se tiene una varilla de plástico en la que se marcan los puntos P, Q, R y S (figura 1), luego se dobla dicha varilla uniendo P y S para formar un triángulo (figura 2). Si PR = 8 cm y QS = 9 cm, halle el máximo valor entero de QR P Q RFigura 1SP Q RPSFigura 2SResolución1. En la figura, AB = BC y BP = PA. Halle el valor de x.A C PxB110°Resolución2. Calcule la suma de los valores enteros que puede tomar x.Bx4 u 3 uA CResolución7. Se tiene una varilla de plástico en la que se marcan los puntos P, Q, R y S (figura 1), luego se dobla dicha varilla uniendo P y S para formar un triángulo (figura 2). Si PR = 8 cm y QS = 9 cm, halle el máximo valor entero de QR P Q RFigura 1SP Q RPSFigura 2SResolución1. En la figura, AB = BC y BP = PA. Halle el valor de x.A C PxB110°Resolución2. Calcule la suma de los valores enteros que puede tomar x.Bx4 u 3 uA CResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.2DO DE SECUNDARIA 107 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

7. Se tiene una varilla de plástico en la que se marcan los puntos P, Q, R y S (figura 1), luego se dobla dicha varilla uniendo P y S para formar un triángulo (figura 2). Si PR = 8 cm y QS = 9 cm, halle el máximo valor entero de QR P Q RFigura 1SP Q RPSFigura 2SResolución1. En la figura, AB = BC y BP = PA. Halle el valor de x.A C PxB110°Resolución2. Calcule la suma de los valores enteros que puede tomar x.Bx4 u 3 uA CResolución9.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. Halle el valor de x.fwwf50°xA CBDResolución4. El triángulo ABC es equilátero y AB = CD. Halle el valor de x.40°x A CBDResolución5. En la figura, halle el valor de x.3q q3bb84°xA CBDResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 70°, halle el valor de x.x 4xCableResolución•10.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. Halle el valor de x.fwwf50°xA CBDResolución4. El triángulo ABC es equilátero y AB = CD. Halle el valor de x.40°x A CBDResolución5. En la figura, halle el valor de x.3q q3bb84°xA CBDResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 70°, halle el valor de x.x 4xCableResolución•12.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. Halle el valor de x.fwwf50°xA CBDResolución4. El triángulo ABC es equilátero y AB = CD. Halle el valor de x.40°x A CBDResolución5. En la figura, halle el valor de x.3q q3bb84°xA CBDResolución6. Se desea instalar un cable sujeto a un poste. Si la escalera y el cable forman 70°, halle el valor de x.x 4xCableResolución•11.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a108 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

7. La longitud de la escalera es 3 metros. ¿Cuál es la longitud máxima y entera que tendrá el tobogán?2q 2q qResolución1. En la figura, calcule la m  ADC.CABDaaba+b60°100°A) 85° B) 80°C) 75° D) 78°2. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón k. Si el perímetro de dicho triángulo de 18 u, calcule el mayor valor entero que puede tomar k.A) 1 B) 3C) 4 D) 28.1. Halle el valor de x.xaaM 80°N70° A CBA) 70° B) 65°C) 80° D) 75°2. Si AB = BC, halle el valor de x.2x5xA CBA) 20° B) 15°C) 12° D) 12°3. Se sabe que las longitudes de los lados de un triángulo son: 1 u; 7 u y x. Halle el valor entero de x.A) 6 u B) 7 uC) 8 u D) 9 u4. Halle el valor de x.80° x70°2aaA C DBA) 55° B) 70°C) 60° D) 65°5. Se desea repartir un terreno ABCD, para dos familias. El terreno ABD es isósceles y el terreno BCD es equilátero. Halle la medida del ángulo que forma la pared CD con el borde prolongado AD.100°ABCDxA) 80° B) 75°C) 65° D) 85°•9.1. Halle el valor de x.40°50°30°xABCDEA) 120° B) 110°C) 100° D) 140°2. Halle el valor de x.ABCD2b2axb+abaA) 110° B) 130°C) 120° D) 100°3. El triángulo ABC es equilátero y CD = CE. Halle el valor de xA C ED2xB50°A) 18° B) 20°C) 24° D) 36°4. El profesor de Educación Física usó una cinta adhesiva para construir en el patio la figura mostrada, con la finalidad de que los alumnos de 2do grado se desplacen a través de ella. Halle el valor de x.Ef2fw2w72°xA CBDA) 35° B) 30°C) 37° D) 36°5. Liam Pascal estuvo haciendo caminata en el parque de su barrio. Estando en el punto C, se desplazó al punto B dando 20 pasos; luego de B al punto A, también empleando 20 pasos; después, del punto A se dirigió al punto C, dando 20 pasos. Posteriormente, de C se dirigió al punto D empleando 20 pasos y, finalmente, se desplazó del punto D al punto E, dando un cierto número de pasos, tal como muestra la figura. Halle el valor de x.xABDECA) 35° B) 45°C) 40° D) 42°10.2DO DE SECUNDARIA 111 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

1. AlturaEs aquel segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado del triángulo, trazado desde el vérticeopuesto a dicho lado, cuyo extremo está en dicharecta.A C HB ∆ABC: acutángulo ΒΗ: altura relativa de ACPQR: (triángulo rectángulo):QT: altura relativa a PR (PQ y RQ también son alturas) RPQTM L EN MNL: obtusángulo:NE: altura relativa a LM2. MedianaEs aquel segmento de recta que une un vértice con elpunto medio de su lado opuesto.∆ABC:AM:mediana relativa a BCA CBMLÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO3. Bisectriz interiorEs aquella ceviana interior que forma con cada unode los lados adyacentes a ella, pares angulares deigual medida.A D CBα α∆ABC:BD: bisectriz interior relativa a AC. (BD biseca al ángulo ABC).4. Bisectriz exteriorEs aquella ceviana exterior que biseca un ángulo exterior del triángulo.∆ABC:BP: bisectriz exterior relativa a AC ω ωA C PB5. MediatrizEs la recta perpendicular a un lado del triángulo,coplanar al triángulo, que contiene al punto mediode dicho lado.A   CMPB  L L∆ABC:mediatriz de AC (MP: segmento mediatriz de AC):Theory Líneas Notables 06 Asociadas al Triángulo112 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

Ángulos determinados por bisectricesTeorema:1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores.CqbbffIBAxx = 90° + q22. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores.CEBAaawb bxx = 90° – w23. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior.Cb baafBEAxx = f2ObservationCeviana: es aquel segmento de recta que une un vértice del triángulo con un punto cualquiera de su lado opuesto o la prolongación de éste.A D C EB En DABC:BD: ceviana interior relativa a AC.BE: ceviana exterior relativa a AC.Observation¾ En un D isósceles ABC(AB = BC)A CHbasea aq qw wl lBBH es altura, bisectriz interior, mediana y segmento mediatriz.¾ En un D equilátero PQRHPQR 60° 60°b 30°30°bbb2b2BH es altura, bisectriz interior, mediana y segmento mediatriz. (Las tres alturas tiene igual longitud)2DO DE SECUNDARIA 113 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

TRABAJO EN CLASE1. En el triángulo ABC, AH es altura. Halle el valor de x.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C ExB4x2xResolución5. Halle el valor de x.A CEw bw bB4x7xResoluciónA CEw bw bB4x2x7xPiden xPor teorema:m  AEC = m  ABC2m  AEC = 4x2 = 2xEn E: 2x + 7x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20° Rpta.: 20°1. En el triángulo ABC, AH es altura. Halle el valor de x.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C ExB4x2xResolución5. Halle el valor de x.A CEw bw bB4x7xResoluciónA CEw bw bB4x2x7xPiden xPor teorema:m  AEC = m  ABC2m  AEC = 4x2 = 2xEn E: 2x + 7x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20° Rpta.: 20°3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR; en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ; en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR. Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u, calcule a + b + c.P EGQFRc32a32b 32Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.ABC60°50°xLResolución6. Una persona ubicada en el punto B, observa los bordes AP y PC bajo ángulos de iguales medidas. Si la proyectante BP y AP forman un ángulo que mide 88°, halle el valor de x.70°xAPB CResolución•3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR; en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ; en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR. Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u, calcule a + b + c.P EGQFRc32a32b 32Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.ABC60°50°xLResolución6. Una persona ubicada en el punto B, observa los bordes AP y PC bajo ángulos de iguales medidas. Si la proyectante BP y AP forman un ángulo que mide 88°, halle el valor de x.70°xAPB CResolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a114 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR; en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ; en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR. Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u, calcule a + b + c.P EGQFRc32a32b 32Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.ABC60°50°xLResolución6. Una persona ubicada en el punto B, observa los bordes AP y PC bajo ángulos de iguales medidas. Si la proyectante BP y AP forman un ángulo que mide 88°, halle el valor de x.70°xAPB CResolución•3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR; en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ; en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR. Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u, calcule a + b + c.P EGQFRc32a32b 32Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.ABC60°50°xLResolución6. Una persona ubicada en el punto B, observa los bordes AP y PC bajo ángulos de iguales medidas. Si la proyectante BP y AP forman un ángulo que mide 88°, halle el valor de x.70°xAPB CResolución•1. En el triángulo PQR, QH es altura. Halle el valor de x.PHRQxb4b 5bResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C100°BE2xResolución7. Celeste se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Girasoles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el árbol, siguiendo una trayectoria rectilínea. El árbol equidista de los postes. DB = 32 m y AB = 30 m. Si se sabe que 5 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Celeste?AC D B1. En el triángulo PQR, QH es altura. Halle el valor de x.PHRQxb4b 5bResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C100°BE2xResolución7. Celeste se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Girasoles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el árbol, siguiendo una trayectoria rectilínea. El árbol equidista de los postes. DB = 32 m y AB = 30 m. Si se sabe que 5 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Celeste?AC D BPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosPractice A = {aResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.2DO DE SECUNDARIA 115 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. En el triángulo PQR, QH es altura. Halle el valor de x.PHRQxb4b 5bResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C100°BE2xResolución7. Celeste se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Girasoles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el árbol, siguiendo una trayectoria rectilínea. El árbol equidista de los postes. DB = 32 m y AB = 30 m. Si se sabe que 5 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Celeste?AC D B3. En un triángulo PQR, se traza la bisectriz interior QM; la m  QPR = 80° y la m  QRP = 30°. Calcule la m  QMR.Resolución:4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC; en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB; en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC. Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u, calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.70°80°xA CBLResolución6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso, con dos cables. El cable BC, forma con el piso un ángulo que mide 60° y forma con el poste un ángulo que mide el doble del ángulo que forma el poste con el cable AB. Halle la medida del ángulo que forma el cable AB con el piso.A CBResolución•3. En un triángulo PQR, se traza la bisectriz interior QM; la m  QPR = 80° y la m  QRP = 30°. Calcule la m  QMR.Resolución:4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC; en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB; en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC. Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u, calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.70°80°xA CBLResolución6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso, con dos cables. El cable BC, forma con el piso un ángulo que mide 60° y forma con el poste un ángulo que mide el doble del ángulo que forma el poste con el cable AB. Halle la medida del ángulo que forma el cable AB con el piso.A CBResolución•3. En un triángulo PQR, se traza la bisectriz interior QM; la m  QPR = 80° y la m  QRP = 30°. Calcule la m  QMR.Resolución:4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC; en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB; en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC. Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u, calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.70°80°xA CBLResolución6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso, con dos cables. El cable BC, forma con el piso un ángulo que mide 60° y forma con el poste un ángulo que mide el doble del ángulo que forma el poste con el cable AB. Halle la medida del ángulo que forma el cable AB con el piso.A CBResolución•9.10.11.12.116 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

PARA EL CUADERNO1. En el triángulo ABC, AH es altura. Halle el valor de x.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C ExB4x2xResolución5. Halle el valor de x.A CEw bw bB4x7xResoluciónA CEw bw bB4x2x7xPiden xPor teorema:m  AEC = m  ABC2m  AEC = 4x2 = 2xEn E: 2x + 7x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20° Rpta.: 20°PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. En el triángulo ABC, AH es altura. Halle el valor de x.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.A C ExB4x2xResolución5. Halle el valor de x.A CEw bw bB4x7xResoluciónA CEw bw bB4x2x7xPiden xPor teorema:m  AEC = m  ABC2m  AEC = 4x2 = 2xEn E: 2x + 7x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20° Rpta.: 20°3. En un triángulo PQR, se traza la bisectriz interior QM; la m  QPR = 80° y la m  QRP = 30°. Calcule la m  QMR.Resolución:4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC; en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB; en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC. Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u, calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.70°80°xA CBLResolución6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso, con dos cables. El cable BC, forma con el piso un ángulo que mide 60° y forma con el poste un ángulo que mide el doble del ángulo que forma el poste con el cable AB. Halle la medida del ángulo que forma el cable AB con el piso.A CBResolución•1.7. Abril se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Claveles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el poste, siguiendo una trayectoria rectilínea. El poste equidista de los arboles. AB = 24 m y BD = 20 m. Si se sabe que 3 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Abril?AC D B1. En el gráfico, halle el valor de x.ABEDqwwb bq2qI xC34°A) 60° B) 50°C) 53° D) 56°2. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la ceviana interior AP, tal que AP = PC ym  HBC – m  HBA = 40°. Calcule la m  BAP.A) 35° B) 37°C) 45° D) 40°2.7. Abril se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Claveles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el poste, siguiendo una trayectoria rectilínea. El poste equidista de los arboles. AB = 24 m y BD = 20 m. Si se sabe que 3 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Abril?AC D B1. En el gráfico, halle el valor de x.ABEDqwwb bq2qI xC34°A) 60° B) 50°C) 53° D) 56°2. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la ceviana interior AP, tal que AP = PC ym  HBC – m  HBA = 40°. Calcule la m  BAP.A) 35° B) 37°C) 45° D) 40°3.7. Abril se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Claveles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el poste, siguiendo una trayectoria rectilínea. El poste equidista de los arboles. AB = 24 m y BD = 20 m. Si se sabe que 3 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Abril?AC D B1. En el gráfico, halle el valor de x.ABEDqwwb bq2qI xC34°A) 60° B) 50°C) 53° D) 56°2. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la ceviana interior AP, tal que AP = PC ym  HBC – m  HBA = 40°. Calcule la m  BAP.A) 35° B) 37°C) 45° D) 40°4.1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°•5.1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°•6.1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°•7.118 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°•8.1. BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.BA C P115° 15°xA) 90° B) 80°C) 60° D) 120°2. BH es altura del triángulo ABC. Halle el valor de q.A HBC40°2x3x3qA) 5° B) 10°C) 6° D) 12°3. Si L es mediatriz del PR, halle el valor de x.80°5xP RQ LA) 18° B) 15°C) 20° D) 25°4. En un parque se observan tres perros en los puntos A, B y C; sus dueños están ubicados, respectivamente, en los puntos N, M y P. Dichos perros se dirigirán hacia sus dueños, de tal forma que sus desplazamientos representan medianas del triángulo ABC. Calcule el perímetro de la región ABC.BP N5 m C6 mA4 mMA) 30 m B) 28 mC) 32 m D) 36 m5. Se muestra una compuerta ABC; interior al agua se sujeta con un soporte BE, tal que BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle mBEA.C EB120°10°CompuertaAA) 30° B) 20°C) 50° D) 25°9.1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°•10.2DO DE SECUNDARIA 119 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA

120 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".GEOMETRÍA

4«Los agujeros negros son los lugares del universo en donde Dios dividió por cero». Steven WrightTRIGONOMETRÍACONTENIDO● Sistema de Medición Angular I.......................... 123● Sistema de Medición Angular II......................... 129● Sector Circular.................................................... 135● Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo I ................................................. 141● Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo II ................................................ 148● Razones Trigonométricas de Ángulos Notables de 37° y 53° ......................... 154

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOSe genera por la rotación de un rayo en un plano alrededor de un punto fijo (vértice), desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).Donde O: vértice OA : lado inicial OB : lado final α: medida del ángulo trigonométricoBO AαCaracterísticas del ángulo trigonométrico1. Por convención:A. Su medida es positiva si la rotación se efectúa en sentido antihorario (contrario al giro de las manecillas de un reloj).BLadofinalO Lado inicial Aα+B. Su medida es negativa si la rotación se efectúa en sentido horario (igual al giro de las manecillas de un reloj).BO Aα-2. La medida de un ángulo trigonométrico no tiene límite, puesto que un rayo puede ser girado tanto como se desee,sea en sentido horario o antihorario.NoteAlgunos de los ángulos más utilizados sonLado final Lado inicialαÁngulo de media vueltaαYXLado finalLado inicial Ángulo de un cuarto de vueltaLado inicial α Lado finalÁngulo de una vuelta01Theory Sistema de Medición Angular I2DO DE SECUNDARIA 123 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

Sistema de medidas angulares I. Sistema sexagesimalUnidad: grado sexagesimal (°)Grado sexagesimal (1°) que es la 360 ava parte del ángulo de una vuelta, es decir1° = m 1 vuelta360 → m 1 vuelta < > 360°Subunidadesa. Minuto sexagesimal (1')1 1' 1 60'60° <> → °<>b. Segundo sexagesimal (1\")1' 1\" ' 1 60''60<> → < >Entonces: 1° <> 3600\"Equivalencias1° <> 60' 1' <> 60\" 1° <> 3600\"Regla de conversión× 3600÷ 3600× 60 × 60÷ 60 ÷ 60Grados Minutos SegundosEjemploConvierta 2° 30' a minutos sexagesimales.2° 30' <> 2° + 30'2° 30' <> o 2 o60'1× + 30'2° 30' <> 120' + 30'2° 30' <> 150'EjemploConvierta 1800' a grados sexagesimales. 1800' <> 1800' '1º60×1800' <> 30°NoteEl símbolo <> significa equivalente.Ejemplo1° <> 60’Se lee: un grado sexagesimal es equivalente a 60 minutos sexagesimales.Notea° b” c’ se expresa comoa° b” c’ <> a° + b’ + c”donde 0 ≤ b < 60 y 0 ≤ 60.Ejemplo2° 30’ 40” <> 2° + 30’ + 40”124 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 12° II. 25° III. 31°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 480' II. 540' III. 720'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.α = 5° 20' β = 12° 15'Resolución4. Calcule α + β si α = 32° 23' 46\" β = 13° 45' 22\"Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 12° II. 25° III. 31°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 480' II. 540' III. 720'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.α = 5° 20' β = 12° 15'Resolución4. Calcule α + β si α = 32° 23' 46\" β = 13° 45' 22\"Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 12° II. 25° III. 31°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 480' II. 540' III. 720'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.α = 5° 20' β = 12° 15'Resolución4. Calcule α + β si α = 32° 23' 46\" β = 13° 45' 22\"Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 12° II. 25° III. 31°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 480' II. 540' III. 720'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.α = 5° 20' β = 12° 15'Resolución4. Calcule α + β si α = 32° 23' 46\" β = 13° 45' 22\"Resolución5. CalculeE = 1° 2'2' + 2° 3'3' + 3° 4'4'Resolución6. Luis tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321α = 62° 36' β = 84° 24'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro alumnos: Jesús, Daniel, Ana y Elizabeth. El reto consiste en calcular m– 2n+p si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a m°n'p\".α 56° 40' 40\"45° 30' 30\"Los alumnos contestaron:¾ Jesús: 31¾ Daniel: –11¾ Ana: 32¾ Elizabeth: –10¿Quién contestó correctamente?Resolución5. CalculeE = 1° 2'2' + 2° 3'3' + 3° 4'4'Resolución6. Luis tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321α = 62° 36' β = 84° 24'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro alumnos: Jesús, Daniel, Ana y Elizabeth. El reto consiste en calcular m– 2n+p si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a m°n'p\".α 56° 40' 40\"45° 30' 30\"Los alumnos contestaron:¾ Jesús: 31¾ Daniel: –11¾ Ana: 32¾ Elizabeth: –10¿Quién contestó correctamente?Resolución2DO DE SECUNDARIA 125 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. CalculeE = 1° 2'2' + 2° 3'3' + 3° 4'4'Resolución6. Luis tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321α = 62° 36' β = 84° 24'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro alumnos: Jesús, Daniel, Ana y Elizabeth. El reto consiste en calcular m– 2n+p si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a m°n'p\".α 56° 40' 40\"45° 30' 30\"Los alumnos contestaron:¾ Jesús: 31¾ Daniel: –11¾ Ana: 32¾ Elizabeth: –10¿Quién contestó correctamente?Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 6° II. 15° III. 24°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 120' II. 420' III. 960'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales. α = 6° 15' β = 10° 32'Resolución4. Calcule α + β si α = 30° 40' 50\" β = 20° 30' 40\"Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 6° II. 15° III. 24°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 120' II. 420' III. 960'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales. α = 6° 15' β = 10° 32'Resolución4. Calcule α + β si α = 30° 40' 50\" β = 20° 30' 40\"Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 6° II. 15° III. 24°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 120' II. 420' III. 960'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales. α = 6° 15' β = 10° 32'Resolución4. Calcule α + β si α = 30° 40' 50\" β = 20° 30' 40\"Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 6° II. 15° III. 24°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 120' II. 420' III. 960'Resolución3. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales. α = 6° 15' β = 10° 32'Resolución4. Calcule α + β si α = 30° 40' 50\" β = 20° 30' 40\"Resolución8.9.10.11.126 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. Calcule°° ° =+ +1 1' 2 2' 3 3' E1' 2' 3'Resolución6. Mi papá tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321β = 55° 32' α = 42° 28'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro estudiantes: Julio, Kevin, Adela y Rosa. El reto consiste en calcular a – b – 2c si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a a°b'c\"α30° 48' 53\" 46° 37' 45\"Los alumnos contestaron:¾ Julio: 25¾ Kevin: 26¾ Adela: 27¾ Rosa: 28¿Quién contestó correctamente?Resolución1. Convierta la siguiente expresión a grados sexagesimales.A = 1° 1' + 2° 2' + 3° 3' +...+ 15° 15'A) 130° B) 120°C) 122° D) 124°2. Convierta 7558\" a grados, minutos y segundos sexagesimales.A) 2° 6' 48\" B) 2° 5' 58\"C) 3° 6' 45\" D) 3° 6' 50\"12.1. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 21. Convierta 2° 30' 40\" a segundos sexagesimales.Resolución2° 30' 40\" <> 2° + 30' + 40\"o 2 30' 40'' 2 ° <> o3600\"1 × ' + 30 '60\"1 × + 40\"2° 30' 40\" <> 7200\" + 1800\" + 40\"2° 30' 40\" <> 9040\"Rpta.: 9040\"2. Calcule α + β si α = 40° 30' 20\" β = 30° 40' 50\"Resolución α = 40° + 30' + 20\" + β = 30° + 40’ + 50” α + β = 70° + 70' + 70\"Remember1°<>60'; 1'<>60\" 70 70' 70''60' 10' 60'' 10''1 1'α+β= ° + ++ +° → α + β = 71°+ 11' + 10''∴ α + β = 71° 11' 10\"Rpta.: 71° 11' 10\"3. Efectúe2º 3' 3º 4' K3' 4'= +Resolución2º 3' 3º 4' K3' 4'+ += +'2 60' 3' 3 60' 4' K3' 4'123 K×+ ×+ = += ' 3' 184+ ' 4 K = 41 + 46 → K = 87Rpta.: 874. Determine la medida del ángulo θ del gráfico.35° 30' 30\"46° 20' 20\" θResolución θ + 35° 30' 30\" + 46° 20' 20\" = 180° θ + 81° 50' 50\" = 179° 59' 60\" θ = 179° 59' 60\" – 81° 50' 50\"Luegoθ = 98° 9' 10\"Rpta.: 98° 9' 10\"5. Si p + q + r = 84, ademásx° y' z\" <> p° q' r\" + q° r' p\" + r° p' q\"efectúe – –12 E x yz = .Resolución p° q' r\" + q° r' p\" r° p’ q” x° y' z\" <> 84° 84' 84\" x° y' z\" <> 85° 25' 24\"Luego 85 – 25 –12 E2460 –12 E2448 E24E 2====Rpta.: 22DO DE SECUNDARIA 127 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

PARA EL CUADERNO•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 15° II. 24°A) 900' - 1440' B) 720' - 1240'C) 800' - 1040' D) 540' - 1440'Resolución2. Reduzca ° = 3 30' H30' .A) 3 B) 4C) 6 D) 7Resolución3. Calcule α + β si α = 30° 40' y β = 20° 53'A) 50° 23' B) 50° 33'C) 51° 23' D) 51° 33'Resolución4. Renato tiene un reloj de pared el cual se ha detenido a cierta hora del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321A) 3680' B) 3695'C) 3780' D) 3795'Resoluciónα154° 40' 20\"A) 1 B) 4C) 5 D) 6Resolución5. Calcule p + q – r si la medida del ángulo α equivale a p° q' r\".α = 63° 15' Convierta dicho ángulo a minutos sexagesimales.8.•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 15° II. 24°A) 900' - 1440' B) 720' - 1240'C) 800' - 1040' D) 540' - 1440'Resolución2. Reduzca ° = 3 30' H30' .A) 3 B) 4C) 6 D) 7Resolución3. Calcule α + β si α = 30° 40' y β = 20° 53'A) 50° 23' B) 50° 33'C) 51° 23' D) 51° 33'Resolución4. Renato tiene un reloj de pared el cual se ha detenido a cierta hora del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321A) 3680' B) 3695'C) 3780' D) 3795'Resoluciónα154° 40' 20\"A) 1 B) 4C) 5 D) 6Resolución5. Calcule p + q – r si la medida del ángulo α equivale a p° q' r\".α = 63° 15' Convierta dicho ángulo a minutos sexagesimales.9.1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 13° II. 7° III. 19°A) 720', 480', 1120' B) 780', 420', 1140'C) 750’, 410’, 1100’ D) 780', 480', 1120'2. Calcule α + β si α = 43° 36' 37\" β = 29° 37' 36\"A) 72° 14' 13\" B) 75° 13' 14\"C) 74° 14' 13\" D) 73° 14' 13\"3. EfectúeK = 2° 2'2 + 4° 4'4'A) 122 B) 61C) 244 D) 1204. El reloj de pared de la sala de Lucía se ha detenido a cierta hora del día, tal como muestra la figura.β12 1110987 6 54321β = 71° 24'Convierta dicho ángulo a minutos sexagesimales.A) 4252' B) 4260'C) 4284' D) 4314'5. El profesor de Trigonometría ha planteado un reto a cuatro alumnos: Gerald, Félix, Diana y Sara. El reto consiste en calcular 2A+B–C si a partir del gráfico la medida del ángulo θ equivale a A°B'C\".θ 63º 46' 45\"54º 25' 32\"Los alumnos contestaron:¾ Gerald: 114¾ Félix: 116¾ Diana: 124¾ Sara: 126¿Quién contestó correctamente?A) Gerald B) FélixC) Diana D) Sara10.5. Calcule°° ° =+ +1 1' 2 2' 3 3' E1' 2' 3'Resolución6. Mi papá tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321β = 55° 32' α = 42° 28'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro estudiantes: Julio, Kevin, Adela y Rosa. El reto consiste en calcular a – b – 2c si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a a°b'c\"α30° 48' 53\" 46° 37' 45\"Los alumnos contestaron:¾ Julio: 25¾ Kevin: 26¾ Adela: 27¾ Rosa: 28¿Quién contestó correctamente?Resolución1. Convierta la siguiente expresión a grados sexagesimales.A = 1° 1' + 2° 2' + 3° 3' +...+ 15° 15'A) 130° B) 120°C) 122° D) 124°2. Convierta 7558\" a grados, minutos y segundos sexagesimales.A) 2° 6' 48\" B) 2° 5' 58\"C) 3° 6' 45\" D) 3° 6' 50\"1.5. Calcule°° ° =+ +1 1' 2 2' 3 3' E1' 2' 3'Resolución6. Mi papá tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321β = 55° 32' α = 42° 28'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro estudiantes: Julio, Kevin, Adela y Rosa. El reto consiste en calcular a – b – 2c si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a a°b'c\"α30° 48' 53\" 46° 37' 45\"Los alumnos contestaron:¾ Julio: 25¾ Kevin: 26¾ Adela: 27¾ Rosa: 28¿Quién contestó correctamente?Resolución1. Convierta la siguiente expresión a grados sexagesimales.A = 1° 1' + 2° 2' + 3° 3' +...+ 15° 15'A) 130° B) 120°C) 122° D) 124°2. Convierta 7558\" a grados, minutos y segundos sexagesimales.A) 2° 6' 48\" B) 2° 5' 58\"C) 3° 6' 45\" D) 3° 6' 50\"2.5. Calcule°° ° =+ +1 1' 2 2' 3 3' E1' 2' 3'Resolución6. Mi papá tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321β = 55° 32' α = 42° 28'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro estudiantes: Julio, Kevin, Adela y Rosa. El reto consiste en calcular a – b – 2c si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a a°b'c\"α30° 48' 53\" 46° 37' 45\"Los alumnos contestaron:¾ Julio: 25¾ Kevin: 26¾ Adela: 27¾ Rosa: 28¿Quién contestó correctamente?Resolución1. Convierta la siguiente expresión a grados sexagesimales.A = 1° 1' + 2° 2' + 3° 3' +...+ 15° 15'A) 130° B) 120°C) 122° D) 124°2. Convierta 7558\" a grados, minutos y segundos sexagesimales.A) 2° 6' 48\" B) 2° 5' 58\"C) 3° 6' 45\" D) 3° 6' 50\"3.•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 15° II. 24°A) 900' - 1440' B) 720' - 1240'C) 800' - 1040' D) 540' - 1440'Resolución2. Reduzca ° = 3 30' H30' .A) 3 B) 4C) 6 D) 7Resolución3. Calcule α + β si α = 30° 40' y β = 20° 53'A) 50° 23' B) 50° 33'C) 51° 23' D) 51° 33'Resolución4. Renato tiene un reloj de pared el cual se ha detenido a cierta hora del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321A) 3680' B) 3695'C) 3780' D) 3795'Resoluciónα154° 40' 20\"A) 1 B) 4C) 5 D) 6Resolución5. Calcule p + q – r si la medida del ángulo α equivale a p° q' r\".α = 63° 15' Convierta dicho ángulo a minutos sexagesimales.4.5. Calcule°° ° =+ +1 1' 2 2' 3 3' E1' 2' 3'Resolución6. Mi papá tiene dos relojes de pared las cuales se han detenido a diferentes horas del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321β12 1110987 6 54321β = 55° 32' α = 42° 28'¿Cuál es la suma de dichos ángulos?Resolución7. Un profesor ha planteado un reto a cuatro estudiantes: Julio, Kevin, Adela y Rosa. El reto consiste en calcular a – b – 2c si a partir del gráfico la medida del ángulo α equivale a a°b'c\"α30° 48' 53\" 46° 37' 45\"Los alumnos contestaron:¾ Julio: 25¾ Kevin: 26¾ Adela: 27¾ Rosa: 28¿Quién contestó correctamente?Resolución1. Convierta la siguiente expresión a grados sexagesimales.A = 1° 1' + 2° 2' + 3° 3' +...+ 15° 15'A) 130° B) 120°C) 122° D) 124°2. Convierta 7558\" a grados, minutos y segundos sexagesimales.A) 2° 6' 48\" B) 2° 5' 58\"C) 3° 6' 45\" D) 3° 6' 50\"5.•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 15° II. 24°A) 900' - 1440' B) 720' - 1240'C) 800' - 1040' D) 540' - 1440'Resolución2. Reduzca ° = 3 30' H30' .A) 3 B) 4C) 6 D) 7Resolución3. Calcule α + β si α = 30° 40' y β = 20° 53'A) 50° 23' B) 50° 33'C) 51° 23' D) 51° 33'Resolución4. Renato tiene un reloj de pared el cual se ha detenido a cierta hora del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321A) 3680' B) 3695'C) 3780' D) 3795'Resoluciónα154° 40' 20\"A) 1 B) 4C) 5 D) 6Resolución5. Calcule p + q – r si la medida del ángulo α equivale a p° q' r\".α = 63° 15' Convierta dicho ángulo a minutos sexagesimales.6.•1. Convierta los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.I. 15° II. 24°A) 900' - 1440' B) 720' - 1240'C) 800' - 1040' D) 540' - 1440'Resolución2. Reduzca ° = 3 30' H30' .A) 3 B) 4C) 6 D) 7Resolución3. Calcule α + β si α = 30° 40' y β = 20° 53'A) 50° 23' B) 50° 33'C) 51° 23' D) 51° 33'Resolución4. Renato tiene un reloj de pared el cual se ha detenido a cierta hora del día, tal como muestra la figura.α12 1110987 6 54321A) 3680' B) 3695'C) 3780' D) 3795'Resoluciónα154° 40' 20\"A) 1 B) 4C) 5 D) 6Resolución5. Calcule p + q – r si la medida del ángulo α equivale a p° q' r\".α = 63° 15' Convierta dicho ángulo a minutos sexagesimales.7.128 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARESSistema radial o circularUnidad: radián (rad)Un radián (1 rad) es la medida de un ángulo central que determina sobre una circunferencia un arco cuya longitud es igual al radio de dicha circunferencia.Del gráfico, si lAB = r → θ = 1 radAhora, dado que la longitud de una circunferencia es 2pr, podemos determinar quem 1 vuelta 1 rad2 = πr1 radABO =rrAsí obtenemos que: m1 vuelta <> 2p rad NotePara los cálculos, el valor de p se considera como:p ≅ 3,1416 Equivalencia entre los sistemas sexagesimal y radialSe conoce que: m1 vuelta < > 360°m1 vuelta < > 2p rad→ 2p rad < > 360°p rad < > 180°En general, para convertir un ángulo de un sistema angular a otro, utilizaremos el factor de conversión.Así, para convertir un ángulo de grados sexagesimales a radianes, multiplicaremos el ángulo dado por p rad180° y para convertir un ángulo de radianes a grados sexagesimales, multiplicaremos el ángulo dado por 180°p rad.Factor de conversiónp rad180° ×Grados sexagesimales Radianes180°p rad ×EjemploConvierta p18 rad a grados sexagesimales. rad rad18ππ< >180º18 rad × π< > 10ºNote1 rad <> 57° 17' 44''1 rad > 1°02Theory Sistema de Medición Angular II2DO DE SECUNDARIA 129 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

Ejemplo: Convierta p24 rad a grados sexagesimales. rad rad24ππ < >180º24 rad × π180º rad 7,5º 24 24 rad 7º 0,5º 24 rad 7º 0,5 24oπ <> <>π <> +π <> +60'1o × rad 7º 30' 7º 30'24π <> + <>SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSexagesimal Radial Unidad: Grado sexagesimal (°)dondem1 vuelta<>360°Unidad: Radián (rad)dondem1 vuelta <> 2p radm1 vuelta < > 360° < > 2p rad180° < > p radPara convertir de una unidad a otra, utilizaremosFactor de conversiónentonceselp rad180° ×Grados sexagesimales Radianes180°p rad ×PSyractice nthTRABAJO EN CLASE esisResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a•1. Convierta los siguientes ángulos a radianes.I. 120° II. 135° III. 270°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 2p5radII. 2p9radIII. 4p3radResolución3. Efectúe la expresiónπ= πrad+100°3 Erad18Resolución4. Del gráfico, indique el valor de n.(3n + 9)° p4radResolución•1. Convierta los siguientes ángulos a radianes.I. 120° II. 135° III. 270°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 2p5radII. 2p9radIII. 4p3radResolución3. Efectúe la expresiónπ= πrad+100°3 Erad18Resolución4. Del gráfico, indique el valor de n.(3n + 9)° p4radResolución•1. Convierta los siguientes ángulos a radianes.I. 120° II. 135° III. 270°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 2p5radII. 2p9radIII. 4p3radResolución3. Efectúe la expresiónπ= πrad+100°3 Erad18Resolución4. Del gráfico, indique el valor de n.(3n + 9)° p4radResolución•1. Convierta los siguientes ángulos a radianes.I. 120° II. 135° III. 270°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. 2p5radII. 2p9radIII. 4p3radResolución3. Efectúe la expresiónπ= πrad+100°3 Erad18Resolución4. Del gráfico, indique el valor de n.(3n + 9)° p4radResolución130 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. Si 4p15 rad <> (ab)°, efectúe E – = b a.Resolución6. En un inventario del laboratorio de Física, Pedro se encuentra con dos cajas:Caja AReglasx°+2p5rad=2p3 radCaja BLápices4p9rad – y°=p5radSiendo x el número de reglas e y el número de lápices en cada caja.a. ¿Cuántas reglas contiene la caja A?b. ¿Cuántos lápices contiene la caja B?Resolución7. María tiene un huerto en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca C.(5x)ºBCA (4x)º2π rad5Resolución5. Si 4p15 rad <> (ab)°, efectúe E – = b a.Resolución6. En un inventario del laboratorio de Física, Pedro se encuentra con dos cajas:Caja AReglasx°+2p5rad=2p3 radCaja BLápices4p9rad – y°=p5radSiendo x el número de reglas e y el número de lápices en cada caja.a. ¿Cuántas reglas contiene la caja A?b. ¿Cuántos lápices contiene la caja B?Resolución7. María tiene un huerto en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca C.(5x)ºBCA (4x)º2π rad5Resolución5. Si 4p15 rad <> (ab)°, efectúe E – = b a.Resolución6. En un inventario del laboratorio de Física, Pedro se encuentra con dos cajas:Caja AReglasx°+2p5rad=2p3 radCaja BLápices4p9rad – y°=p5radSiendo x el número de reglas e y el número de lápices en cada caja.a. ¿Cuántas reglas contiene la caja A?b. ¿Cuántos lápices contiene la caja B?Resolución7. María tiene un huerto en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca C.(5x)ºBCA (4x)º2π rad5Resolución•1. Convierta los siguientes ángulos a radianes.I. 60°II. 108°III. 315°Resolución2. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. p6 radII. 3p2 radIII. 4p9 radResolución3. Efectúe la expresiónπ= πrad+78°15 Erad4Resolución4. Del gráfico, halle el valor de x.3p10 rad (5x + 4)°Resolución8.2DO DE SECUNDARIA 131 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

PARA EL CUADERNOPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Efectúe la expresión30º rad4 Erad12π+= πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales. rad rad4π π  < >1804 rad° × π45 rad rad12<> °π π  < >18012 rad° × π<> ° 15Reemplazamos:o30 45 E1575 E°+ ° = °= o 15→ = E 5Rpta.: 52. Del gráfico, indique el valor de m.(5m + 4)° 3p10 radResolución3 3 rad 180 rad<> <>5410 10 radπ ° π × ° πLuego54° = (5m + 4)°50 = 5m10 = mRpta.: 103. Si 3 rad ( )º 5abc π< > , efectúeE = ++ abcResolución3 3 rad5π π< >rad 1805° × π rad1083 rad 108 ( ) 5108 ( ) 108abcabcabc<> °π <> °<> °→ °<> °=Comparamos: a = 1, b = 0, c = 8Reemplazamos: E 108E 3= ++= Rpta.: 34. Determine la medida del ángulo β en grados sexagesimales.β3 rad 4πradABC 6πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales.¾ rad 180 rad<> <>306 6 radπ ° π × ° π¾ 3 3 rad 180 rad<> <>1354 4 radπ ° π × ° πLuego 30° + 135° + β = 180° 165° + β = 180° ∴ β = 15°Rpta.: 15°5. Si 2 rad<>( )° 3abc π , efectúe M = (a + b + c)3.Resolución2 2 rad 180 rad<> =1203 3 radπ ° π × °π2p3 rad<> <> 120° abc°M = (1 + 2 + 0)3M = 33M = 27Rpta.: 271. Efectúe la expresión30º rad4 Erad12π+= πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales. rad rad4π π  < >1804 rad° × π45 rad rad12<> °π π  < >18012 rad° × π<> ° 15Reemplazamos:o30 45 E1575 E°+ ° = °= o 15→ = E 5Rpta.: 52. Del gráfico, indique el valor de m.(5m + 4)° 3p10 radResolución3 3 rad 180 rad<> <>5410 10 radπ ° π × ° πLuego54° = (5m + 4)°50 = 5m10 = mRpta.: 103. Si 3 rad ( )º 5abc π< > , efectúeE = ++ abcResolución3 3 rad5π π< >rad 1805° × π rad1083 rad 108 ( ) 5108 ( ) 108abcabcabc<> °π <> °<> °→ °<> °=Comparamos: a = 1, b = 0, c = 8Reemplazamos: E 108E 3= ++= Rpta.: 34. Determine la medida del ángulo β en grados sexagesimales.β3 rad 4πradABC 6πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales.¾ rad 180 rad<> <>306 6 radπ ° π × ° π¾ 3 3 rad 180 rad<> <>1354 4 radπ ° π × ° πLuego 30° + 135° + β = 180° 165° + β = 180° ∴ β = 15°Rpta.: 15°5. Si 2 rad<>( )° 3abc π , efectúe M = (a + b + c)3.Resolución2 2 rad 180 rad<> =1203 3 radπ ° π × °π2p3 rad<> <> 120° abc°M = (1 + 2 + 0)3M = 33M = 27Rpta.: 271. Efectúe la expresión30º rad4 Erad12π+= πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales. rad rad4π π  < >1804 rad° × π45 rad rad12<> °π π  < >18012 rad° × π<> ° 15Reemplazamos:o30 45 E1575 E°+ ° = °= o 15→ = E 5Rpta.: 52. Del gráfico, indique el valor de m.(5m + 4)° 3p10 radResolución3 3 rad 180 rad<> <>5410 10 radπ ° π × ° πLuego54° = (5m + 4)°50 = 5m10 = mRpta.: 103. Si 3 rad ( )º 5abc π< > , efectúeE = ++ abcResolución3 3 rad5π π< >rad 1805° × π rad1083 rad 108 ( ) 5108 ( ) 108abcabcabc<> °π <> °<> °→ °<> °=Comparamos: a = 1, b = 0, c = 8Reemplazamos: E 108E 3= ++= Rpta.: 34. Determine la medida del ángulo β en grados sexagesimales.β3 rad 4πradABC 6πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales.¾ rad 180 rad<> <>306 6 radπ ° π × ° π¾ 3 3 rad 180 rad<> <>1354 4 radπ ° π × ° πLuego 30° + 135° + β = 180° 165° + β = 180° ∴ β = 15°Rpta.: 15°5. Si 2 rad<>( )° 3abc π , efectúe M = (a + b + c)3.Resolución2 2 rad 180 rad<> =1203 3 radπ ° π × °π2p3 rad<> <> 120° abc°M = (1 + 2 + 0)3M = 33M = 27Rpta.: 271. Efectúe la expresión30º rad4 Erad12π+= πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales. rad rad4π π  < >1804 rad° × π45 rad rad12<> °π π  < >18012 rad° × π<> ° 15Reemplazamos:o30 45 E1575 E°+ ° = °= o 15→ = E 5Rpta.: 52. Del gráfico, indique el valor de m.(5m + 4)° 3p10 radResolución3 3 rad 180 rad<> <>5410 10 radπ ° π × ° πLuego54° = (5m + 4)°50 = 5m10 = mRpta.: 103. Si 3 rad ( )º 5abc π< > , efectúeE = ++ abcResolución3 3 rad5π π< >rad 1805° × π rad1083 rad 108 ( ) 5108 ( ) 108abcabcabc<> °π <> °<> °→ °<> °=Comparamos: a = 1, b = 0, c = 8Reemplazamos: E 108E 3= ++= Rpta.: 34. Determine la medida del ángulo β en grados sexagesimales.β3 rad 4πradABC 6πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales.¾ rad 180 rad<> <>306 6 radπ ° π × ° π¾ 3 3 rad 180 rad<> <>1354 4 radπ ° π × ° πLuego 30° + 135° + β = 180° 165° + β = 180° ∴ β = 15°Rpta.: 15°5. Si 2 rad<>( )° 3abc π , efectúe M = (a + b + c)3.Resolución2 2 rad 180 rad<> =1203 3 radπ ° π × °π2p3 rad<> <> 120° abc°M = (1 + 2 + 0)3M = 33M = 27Rpta.: 271. Efectúe la expresión30º rad4 Erad12π+= πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales. rad rad4π π  < >1804 rad° × π45 rad rad12<> °π π  < >18012 rad° × π<> ° 15Reemplazamos:o30 45 E1575 E°+ ° = °= o 15→ = E 5Rpta.: 52. Del gráfico, indique el valor de m.(5m + 4)° 3p10 radResolución3 3 rad 180 rad<> <>5410 10 radπ ° π × ° πLuego54° = (5m + 4)°50 = 5m10 = mRpta.: 103. Si 3 rad ( )º 5abc π< > , efectúeE = ++ abcResolución3 3 rad5π π< >rad 1805° × π rad1083 rad 108 ( ) 5108 ( ) 108abcabcabc<> °π <> °<> °→ °<> °=Comparamos: a = 1, b = 0, c = 8Reemplazamos: E 108E 3= ++= Rpta.: 34. Determine la medida del ángulo β en grados sexagesimales.β3 rad 4πradABC 6πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales.¾ rad 180 rad<> <>306 6 radπ ° π × ° π¾ 3 3 rad 180 rad<> <>1354 4 radπ ° π × ° πLuego 30° + 135° + β = 180° 165° + β = 180° ∴ β = 15°Rpta.: 15°5. Si 2 rad<>( )° 3abc π , efectúe M = (a + b + c)3.Resolución2 2 rad 180 rad<> =1203 3 radπ ° π × °π2p3 rad<> <> 120° abc°M = (1 + 2 + 0)3M = 33M = 27Rpta.: 271. Efectúe la expresión30º rad4 Erad12π+= πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales. rad rad4π π  < >1804 rad° × π45 rad rad12<> °π π  < >18012 rad° × π<> ° 15Reemplazamos:o30 45 E1575 E°+ ° = °= o 15→ = E 5Rpta.: 52. Del gráfico, indique el valor de m.(5m + 4)° 3p10 radResolución3 3 rad 180 rad<> <>5410 10 radπ ° π × ° πLuego54° = (5m + 4)°50 = 5m10 = mRpta.: 103. Si 3 rad ( )º 5abc π< > , efectúeE = ++ abcResolución3 3 rad5π π< >rad 1805° × π rad1083 rad 108 ( ) 5108 ( ) 108abcabcabc<> °π <> °<> °→ °<> °=Comparamos: a = 1, b = 0, c = 8Reemplazamos: E 108E 3= ++= Rpta.: 34. Determine la medida del ángulo β en grados sexagesimales.β3 rad 4πradABC 6πResoluciónSe convierte los ángulos de radianes a grados sexagesimales.¾ rad 180 rad<> <>306 6 radπ ° π × ° π¾ 3 3 rad 180 rad<> <>1354 4 radπ ° π × ° πLuego 30° + 135° + β = 180° 165° + β = 180° ∴ β = 15°Rpta.: 15°5. Si 2 rad<>( )° 3abc π , efectúe M = (a + b + c)3.Resolución2 2 rad 180 rad<> =1203 3 radπ ° π × °π2p3 rad<> <> 120° abc°M = (1 + 2 + 0)3M = 33M = 27Rpta.: 27•5. Si 3p5 rad <> (abc)°, calcule E = ++ abc .Resolución6. En la siguiente caja se almacena tubos de ensayos:3p10 rad + x°=p3radTubos de ensayoSiendo x la cantidad total de tubos de ensayo que contiene dicha caja, ¿cuántos tubos de ensayo contiene la caja?Resolución7. José ha construido un jardín en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca B.(10x)ºBA C (6x)ºp9radResolución1. Si pn rad <> (n - 8)°, calcule K –9 = n .A) 1 B) 2C) 3 D) 42. Si p48 rad <> a°(bc)', calcule E 4 = ++ ab bc .A) 2 B) 4C) 6 D) 81.•5. Si 3p5 rad <> (abc)°, calcule E = ++ abc .Resolución6. En la siguiente caja se almacena tubos de ensayos:3p10 rad + x°=p3radTubos de ensayoSiendo x la cantidad total de tubos de ensayo que contiene dicha caja, ¿cuántos tubos de ensayo contiene la caja?Resolución7. José ha construido un jardín en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca B.(10x)ºBA C (6x)ºp9radResolución1. Si pn rad <> (n - 8)°, calcule K –9 = n .A) 1 B) 2C) 3 D) 42. Si p48 rad <> a°(bc)', calcule E 4 = ++ ab bc .A) 2 B) 4C) 6 D) 82.•5. Si 3p5 rad <> (abc)°, calcule E = ++ abc .Resolución6. En la siguiente caja se almacena tubos de ensayos:3p10 rad + x°=p3radTubos de ensayoSiendo x la cantidad total de tubos de ensayo que contiene dicha caja, ¿cuántos tubos de ensayo contiene la caja?Resolución7. José ha construido un jardín en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca B.(10x)ºBA C (6x)ºp9radResolución1. Si pn rad <> (n - 8)°, calcule K –9 = n .A) 1 B) 2C) 3 D) 42. Si p48 rad <> a°(bc)', calcule E 4 = ++ ab bc .A) 2 B) 4C) 6 D) 83.•5. Si 3p5 rad <> (abc)°, calcule E = ++ abc .Resolución6. En la siguiente caja se almacena tubos de ensayos:3p10 rad + x°=p3radTubos de ensayoSiendo x la cantidad total de tubos de ensayo que contiene dicha caja, ¿cuántos tubos de ensayo contiene la caja?Resolución7. José ha construido un jardín en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca B.(10x)ºBA C (6x)ºp9radResolución1. Si pn rad <> (n - 8)°, calcule K –9 = n .A) 1 B) 2C) 3 D) 42. Si p48 rad <> a°(bc)', calcule E 4 = ++ ab bc .A) 2 B) 4C) 6 D) 84.•1. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. p5 rad II. 2p9 radA) 30° - 20° B) 30° - 40°C) 36° - 20° D) 36° - 40°Resolución2. Reduzca la expresiónπ + °= π rad 5018 H rad6A) 1 B) 2C) 4 D) 5Resolución3. Del gráfico, halle el valor de x.rad (3x + 2)° p9A) 3 B) 4C) 5 D) 6Resolución4. Si 7p12 rad <> (abc)°, calculeP = a + b + cA) 3 B) 5C) 6 D) 8Resolución5. Lucía construye un huerto en forma triangular, tal como muestra la figura.40°α rad p18AB C¿Cuál es la medida del ángulo α en grados sexagesimales?A) 100° B) 110°C) 120° D) 130°Resolución5.•1. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. p5 rad II. 2p9 radA) 30° - 20° B) 30° - 40°C) 36° - 20° D) 36° - 40°Resolución2. Reduzca la expresiónπ + °= π rad 5018 H rad6A) 1 B) 2C) 4 D) 5Resolución3. Del gráfico, halle el valor de x.rad (3x + 2)° p9A) 3 B) 4C) 5 D) 6Resolución4. Si 7p12 rad <> (abc)°, calculeP = a + b + cA) 3 B) 5C) 6 D) 8Resolución5. Lucía construye un huerto en forma triangular, tal como muestra la figura.40°α rad p18AB C¿Cuál es la medida del ángulo α en grados sexagesimales?A) 100° B) 110°C) 120° D) 130°Resolución6.•1. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. p5 rad II. 2p9 radA) 30° - 20° B) 30° - 40°C) 36° - 20° D) 36° - 40°Resolución2. Reduzca la expresiónπ + °= π rad 5018 H rad6A) 1 B) 2C) 4 D) 5Resolución3. Del gráfico, halle el valor de x.rad (3x + 2)° p9A) 3 B) 4C) 5 D) 6Resolución4. Si 7p12 rad <> (abc)°, calculeP = a + b + cA) 3 B) 5C) 6 D) 8Resolución5. Lucía construye un huerto en forma triangular, tal como muestra la figura.40°α rad p18AB C¿Cuál es la medida del ángulo α en grados sexagesimales?A) 100° B) 110°C) 120° D) 130°7. Resolución2DO DE SECUNDARIA 133 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

•1. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. p5 rad II. 2p9 radA) 30° - 20° B) 30° - 40°C) 36° - 20° D) 36° - 40°Resolución2. Reduzca la expresiónπ + °= π rad 5018 H rad6A) 1 B) 2C) 4 D) 5Resolución3. Del gráfico, halle el valor de x.rad (3x + 2)° p9A) 3 B) 4C) 5 D) 6Resolución4. Si 7p12 rad <> (abc)°, calculeP = a + b + cA) 3 B) 5C) 6 D) 8Resolución5. Lucía construye un huerto en forma triangular, tal como muestra la figura.40°α rad p18AB C¿Cuál es la medida del ángulo α en grados sexagesimales?A) 100° B) 110°C) 120° D) 130°Resolución8.1. Convierta los siguientes ángulos a radianes.I. 150° II. 210°A) 5 7 π π rad, rad 6 6 B) 2 7 π π rad, rad 15 6C) 5 7 π π rad, rad 3 4D) 5 7 π π rad, rad 3 32. Reduzca la expresiónπ ° += π20 rad9 P rad18A) 2 B) 6C) 5 D) 43. Del gráfico, indique el valor de m.2p 5rad (7m + 2)°A) 6 B) 8C) 10 D) 124. En la siguiente caja se almacena probetas de un laboratorio de Química. Siendo x el número de probetas que contiene la caja, ¿cuántas probetas se almacena?Probetas2p15 rad p9x° – = radA) 40 B) 42C) 44 D) 455. Cecilia tiene un patio en forma triangular tal como muestra el gráfico. Para cercarlo con un alambre ha colocado tres estacas de madera que están representadas por los vértices A, B y C. Indique la medida del ángulo formado por los alambres, en grados sexagesimales, en la estaca C. rad 5p12 (2x°)(19x)°BA CA) 10° B) 36°C) 75° D) 95°9.•1. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesimales.I. p5 rad II. 2p9 radA) 30° - 20° B) 30° - 40°C) 36° - 20° D) 36° - 40°Resolución2. Reduzca la expresiónπ + °= π rad 5018 H rad6A) 1 B) 2C) 4 D) 5Resolución3. Del gráfico, halle el valor de x.rad (3x + 2)° p9A) 3 B) 4C) 5 D) 6Resolución4. Si 7p12 rad <> (abc)°, calculeP = a + b + cA) 3 B) 5C) 6 D) 8Resolución5. Lucía construye un huerto en forma triangular, tal como muestra la figura.40°α rad p18AB C¿Cuál es la medida del ángulo α en grados sexagesimales?A) 100° B) 110°C) 120° D) 130°Resolución10.134 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

I. DefiniciónSe llama sector circular a la región circular limitadapor dos radios y el arco correspondiente.LARROBSector circular AOB(AOB)Donde:R: radio de la circunferenciaL: Longitud ABII. Longitud de arco (L)En una circunferencia de radio R, un ángulo centralθ en radianes determina una longitud de arco L, quese calcula multiplicando el número de radianes θ yel radio de la circunferencia R.LARRO θ radBDonde:θ: Número de radianes0 < θ ≤ 2pL: Longitud de arcoR: Radio de la circunferenciaSe cumple queL = θ · RLθ RPropiedadLa relación de las longitudes del arco (L1 y L2) estánen la misma proporción que la relación de los radios (R1 y R2).L O 1CDABL2R1R2Se cumpleL1L2 = R1R2ObservaciónUn caso particular de dicha propiedad seríaL 2L 3L 4L ...SECTOR CIRCULAR03Theory Sector Circular2DO DE SECUNDARIA 135 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

TRABAJO EN CLASE•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp5 O radAB20 cm20 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 30° LAB12 cm12 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.3p cmp4 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.L 3p cmO12 cm 6 cm12 cm6 cmResolución•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp5 O radAB20 cm20 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 30° LAB12 cm12 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.3p cmp4 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.L 3p cmO12 cm 6 cm12 cm6 cmResolución•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp5 O radAB20 cm20 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 30° LAB12 cm12 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.3p cmp4 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.L 3p cmO12 cm 6 cm12 cm6 cmResolución•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp5 O radAB20 cm20 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 30° LAB12 cm12 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.3p cmp4 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.L 3p cmO12 cm 6 cm12 cm6 cmResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a136 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

5. Del gráfico, reduzca E = 2L3 + L2L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A10 m12 mBO2 O136°10 m 60°12 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto M del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 126°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 14p cm.126°M5. Del gráfico, reduzca E = 2L3 + L2L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A10 m12 mBO2 O136°10 m 60°12 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto M del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 126°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 14p cm.126°M5. Del gráfico, reduzca E = 2L3 + L2L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A10 m12 mBO2 O136°10 m 60°12 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto M del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 126°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 14p cm.126°M•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp3 O radAB6 cm6 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 45° LAB8 cm8 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.5p cmp3 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.O L 6p cm16 cm8 cm16 cm8 cmResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a8.2DO DE SECUNDARIA 137 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp3 O radAB6 cm6 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 45° LAB8 cm8 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.5p cmp3 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.O L 6p cm16 cm8 cm16 cm8 cmResolución•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp3 O radAB6 cm6 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 45° LAB8 cm8 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.5p cmp3 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.O L 6p cm16 cm8 cm16 cm8 cmResolución•1. Del gráfico, determine L en centímetros.Lp3 O radAB6 cm6 cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 45° LAB8 cm8 cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.5p cmp3 O radABRRResolución4. Del gráfico, determine L en centímetros.O L 6p cm16 cm8 cm16 cm8 cmResolución5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + L3L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A18 m15 mBO2 O140°18 m 72°15 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto P del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 120°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 12p cm.120°PResolución1. Del gráfico, determine la medida del ángulo θ en radianes.3 Lθ2 LO BAA) p5 rad B)2p5 radC)3p5 rad D)4p5 rad2. En un sector circular el ángulo central mide 72° y el radio 10 cm, ¿cuál es el perímetro del sector circular?A) 5(4 + p) cmB) 4(2 + 5p) cmC) 2(5 + 2p) cm D) 4(5 + p) cmPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a9.10.11.12.138 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

TAREA DOMICILIARIA1. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 121. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 121. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 121. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 121. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 12PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 12PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 12PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 12PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 12PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Calcule la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 72° y su radio mide 10 cm.ResoluciónSabemos que L = θRO 72°A10 cm10 cmBL• Determinamos la medida del ángulo central en radianes72° × p rad180° = 2p5 rad• Reemplazamos en:L = 2p51 × 102 cmL = 4p cmRpta.: 4p cm2. Del gráfico, calcule R.O 45°ARRB6p cmResolución• Determinamos de la medida del ángulo en radianes. 45° × p rad180° = p4 rad• Reemplazamos en:L = θ · R6p cm = p4 × R24 cm = RRpta.: 24 cm3. Del gráfico, calcule L1 + L2A27 m36 mBCO2 O1L2L12p9 rad5p1827 m rad36 mResolución• Calculamos L1 L1 = 2p91 × 273 cm = 6p cm• Calculamos L2 L2 = 5p181 × 362 cm = 10p cm ∴ L1 + L2 = 16p cm Rpta.: 16p cm4. Del gráfico, calcule x + y.x 5 uO yBDFECA 2 u4 u3 u3 u2 u4 uResolución• lABlCD=OAOC→x5 u = 3 u5 u→ x = 3 u• lCDlEF=OCOE→5 uy = 5 u9 u → y = 9 u ∴ x + y = 12 uRpta.: 12 u5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + 2L3L1L1 L2 L3ResoluciónL1 = LL2 = 2LL3 = 3LCaso particular de la propiedadReemplazamos en:M = 3(2L) + 2(3L)LM = 6L + 6LLM = 12LLM = 12Rpta.: 122DO DE SECUNDARIA 139 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

PARA EL CUADERNO•1. Del gráfico, determine L en centímetros.L2p5 O radAB15 cm15 cmA) 3p cm B) 5p cmC) 6p cm D) 9p cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 20° LAB27 cm27 cmA) 3p cm B) 4p cmC) 5p cm D) 6p cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.2p cmp5 O radABRRA) 2,5 cm B) 3 cmC) 5 cm D) 10 cmResolución4. Del gráfico, reduzca E = L3 + L2L1.L1 L2 L3A) 1 B) 2C) 3 D) 5Resolución5. En la figura se muestra un auto desplazándose del punto A al punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.AB 15 m15 m36°A) 2p m B) 3p mC) 5p m D) 7p mResolución8.•1. Del gráfico, determine L en centímetros.L2p5 O radAB15 cm15 cmA) 3p cm B) 5p cmC) 6p cm D) 9p cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 20° LAB27 cm27 cmA) 3p cm B) 4p cmC) 5p cm D) 6p cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.2p cmp5 O radABRRA) 2,5 cm B) 3 cmC) 5 cm D) 10 cmResolución4. Del gráfico, reduzca E = L3 + L2L1.L1 L2 L3A) 1 B) 2C) 3 D) 5Resolución5. En la figura se muestra un auto desplazándose del punto A al punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.AB 15 m15 m36°A) 2p m B) 3p mC) 5p m D) 7p mResolución9.1. De gráfico, determine L en metros.3p412 m rad12 mAB OLA) 6p m B) 7p mC) 8p m D) 9p m2. Del gráfico, determine R en centímetros.2p cmp15 O radABRRA) 10 cm B) 15 cmC) 25 cm D) 30 cm3. De gráfico, determine L en centímetros.O 3p cm LBDCA12 cm8 cm12 cm8 cmA) 4p cm B) 5p cmC) 7p cm D) 8p cm4. Del gráfico, reduzca E = 2L2 + L3L1.L1 L2 L3A) 3 B) 4C) 6 D) 75. En la figura se muestra un auto desplazándose del punto A hacia el punto B. Calcule la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A20 m30 mB45°72°30 m20 mA) 10p m B) 12p mC) 17p m D) 19p m10.5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + L3L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A18 m15 mBO2 O140°18 m 72°15 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto P del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 120°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 12p cm.120°PResolución1. Del gráfico, determine la medida del ángulo θ en radianes.3 Lθ2 LO BAA) p5 rad B)2p5 radC)3p5 rad D)4p5 rad2. En un sector circular el ángulo central mide 72° y el radio 10 cm, ¿cuál es el perímetro del sector circular?A) 5(4 + p) cmB) 4(2 + 5p) cmC) 2(5 + 2p) cm D) 4(5 + p) cm1.5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + L3L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A18 m15 mBO2 O140°18 m 72°15 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto P del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 120°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 12p cm.120°PResolución1. Del gráfico, determine la medida del ángulo θ en radianes.3 Lθ2 LO BAA) p5 rad B)2p5 radC)3p5 rad D)4p5 rad2. En un sector circular el ángulo central mide 72° y el radio 10 cm, ¿cuál es el perímetro del sector circular?A) 5(4 + p) cmB) 4(2 + 5p) cmC) 2(5 + 2p) cm D) 4(5 + p) cm2.5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + L3L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A18 m15 mBO2 O140°18 m 72°15 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto P del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 120°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 12p cm.120°PResolución1. Del gráfico, determine la medida del ángulo θ en radianes.3 Lθ2 LO BAA) p5 rad B)2p5 radC)3p5 rad D)4p5 rad2. En un sector circular el ángulo central mide 72° y el radio 10 cm, ¿cuál es el perímetro del sector circular?A) 5(4 + p) cmB) 4(2 + 5p) cmC) 2(5 + 2p) cm D) 4(5 + p) cm3.5. Del gráfico, reduzca M = 3L2 + L3L1.L1 L2 L3Resolución6. En la figura se muestra un auto que se desplaza desde el punto A hacia el punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.A18 m15 mBO2 O140°18 m 72°15 mResolución7. Al abrirse una laptop, el punto P del borde superior de la pantalla barre un ángulo de 120°. Determine la longitud del ancho de la pantalla, en centímetros, si al momento del barrido se formó un arco de medida igual a 12p cm.120°PResolución1. Del gráfico, determine la medida del ángulo θ en radianes.3 Lθ2 LO BAA) p5 rad B)2p5 radC)3p5 rad D)4p5 rad2. En un sector circular el ángulo central mide 72° y el radio 10 cm, ¿cuál es el perímetro del sector circular?A) 5(4 + p) cmB) 4(2 + 5p) cmC) 2(5 + 2p) cm D) 4(5 + p) cm4.•1. Del gráfico, determine L en centímetros.L2p5 O radAB15 cm15 cmA) 3p cm B) 5p cmC) 6p cm D) 9p cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 20° LAB27 cm27 cmA) 3p cm B) 4p cmC) 5p cm D) 6p cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.2p cmp5 O radABRRA) 2,5 cm B) 3 cmC) 5 cm D) 10 cmResolución4. Del gráfico, reduzca E = L3 + L2L1.L1 L2 L3A) 1 B) 2C) 3 D) 5Resolución5. En la figura se muestra un auto desplazándose del punto A al punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.AB 15 m15 m36°A) 2p m B) 3p mC) 5p m D) 7p mResolución5.•1. Del gráfico, determine L en centímetros.L2p5 O radAB15 cm15 cmA) 3p cm B) 5p cmC) 6p cm D) 9p cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 20° LAB27 cm27 cmA) 3p cm B) 4p cmC) 5p cm D) 6p cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.2p cmp5 O radABRRA) 2,5 cm B) 3 cmC) 5 cm D) 10 cmResolución4. Del gráfico, reduzca E = L3 + L2L1.L1 L2 L3A) 1 B) 2C) 3 D) 5Resolución5. En la figura se muestra un auto desplazándose del punto A al punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.AB 15 m15 m36°A) 2p m B) 3p mC) 5p m D) 7p mResolución6.•1. Del gráfico, determine L en centímetros.L2p5 O radAB15 cm15 cmA) 3p cm B) 5p cmC) 6p cm D) 9p cmResolución2. Del gráfico, determine L en centímetros.O 20° LAB27 cm27 cmA) 3p cm B) 4p cmC) 5p cm D) 6p cmResolución3. Del gráfico, determine R en centímetros.2p cmp5 O radABRRA) 2,5 cm B) 3 cmC) 5 cm D) 10 cmResolución4. Del gráfico, reduzca E = L3 + L2L1.L1 L2 L3A) 1 B) 2C) 3 D) 5Resolución5. En la figura se muestra un auto desplazándose del punto A al punto B. Determine la longitud en metros de la trayectoria recorrida por el auto.AB 15 m15 m36°A) 2p m B) 3p mC) 5p m D) 7p mResolución7.140 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IObserve minuciosamente el helicoletras y descubra las palabras escondidas.¾ Alejandría A L E J A N D R I AT O R T X E N O N RE P A S I M T G Q EN K T P E R U P A SA T O Q M L E O N TS A S A O A C B X AE N T I E R R A Z DX A E M P X C O A IO T N Z O L E I U OL X E L C A N E I SU M S N A S A T O U¾ Atenas¾ Ángulo¾ Eratóstenes¾ Estadios¾ Siena¾ Tierra¾ ÉpocaI. Triángulo rectánguloBA bcaabC¾ Notación: ACB¾ a, b y c : longitudes de los lados del ACB¾ AC y BC : catetos¾ AB : hipotenusaAdemásc2 = a2 + b2 Teorema de PitágorasObservationEn un triángulo rectángulo, los catetos forman un ángulo de 90°.abCatetosII. Razones trigonométricasSe define razón trigonométrica de un ángulo agudoal cociente que se establece entre las longitudes dedos lados de un triángulo rectángulo respecto a unode sus ángulos agudos.TenemosCateto opuesto al aCateto adyacente al aBA bc aaCRememberPara calcular la longitud de cualquier lado, basta tener conocido dos lados cualesquiera del triángulo rectángulo82 = x2 + 52Luego64 = x2 + 2539 = x2∴ x = 398 x5TheoryRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IObserve minuciosamente el helicoletras y descubra las palabras escondidas.¾ Alejandría A L E J A N D R I AT O R T X E N O N RE P A S I M T G Q EN K T P E R U P A SA T O Q M L E O N TS A S A O A C B X AE N T I E R R A Z DX A E M P X C O A IO T N Z O L E I U OL X E L C A N E I SU M S N A S A T O U¾ Atenas¾ Ángulo¾ Eratóstenes¾ Estadios¾ Siena¾ Tierra¾ ÉpocaI. Triángulo rectánguloBA bcaabC¾ Notación: ACB¾ a, b y c : longitudes de los lados del ACB¾ AC y BC : catetos¾ AB : hipotenusaAdemásc2 = a2 + b2 Teorema de PitágorasObservationEn un triángulo rectángulo, los catetos forman un ángulo de 90°.abCatetosII. Razones trigonométricasSe define razón trigonométrica de un ángulo agudoal cociente que se establece entre las longitudes dedos lados de un triángulo rectángulo respecto a unode sus ángulos agudos.TenemosCateto opuesto al aCateto adyacente al aBA bc aaCRememberPara calcular la longitud de cualquier lado, basta tener conocido dos lados cualesquiera del triángulo rectángulo82 = x2 + 52Luego64 = x2 + 2539 = x2∴ x = 398 x5TheoryRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IObserve minuciosamente el helicoletras y descubra las palabras escondidas.¾ Alejandría A L E J A N D R I AT O R T X E N O N RE P A S I M T G Q EN K T P E R U P A SA T O Q M L E O N TS A S A O A C B X AE N T I E R R A Z DX A E M P X C O A IO T N Z O L E I U OL X E L C A N E I SU M S N A S A T O U¾ Atenas¾ Ángulo¾ Eratóstenes¾ Estadios¾ Siena¾ Tierra¾ ÉpocaI. Triángulo rectánguloBA bcaabC¾ Notación: ACB¾ a, b y c : longitudes de los lados del ACB¾ AC y BC : catetos¾ AB : hipotenusaAdemásc2 = a2 + b2 Teorema de PitágorasObservationEn un triángulo rectángulo, los catetos forman un ángulo de 90°.abCatetosII. Razones trigonométricasSe define razón trigonométrica de un ángulo agudoal cociente que se establece entre las longitudes dedos lados de un triángulo rectángulo respecto a unode sus ángulos agudos.TenemosCateto opuesto al aCateto adyacente al aBA bc aaCRememberPara calcular la longitud de cualquier lado, basta tener conocido dos lados cualesquiera del triángulo rectángulo82 = x2 + 52Luego64 = x2 + 2539 = x2∴ x = 398 x5TheoryExisten seis razones trigonométricas, estudiaremos las tres primeras.¾ Razón seno: Denotado por “sen” y se define:sena = Longitud del cateto opuesto al aLongitud de la hipotenusa¾ Razón coseno: Denotado por “cos” y se define:cosa = Longitud del cateto adyacente al aLongitud de la hipotenusa¾ Razón tangente: Denotado por “tan” y se define:tana = Longitud del cateto opuesto al aLongitud del cateto adyacente al aNotePara el  a COCAHaPara el  b CACOHbPara el  a COCAHaPara el  b CACOHbBAaC CACO Hipotenusasenosena = COHcosenocosa = CAHtangentetana = COCARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IEs el cociente que se establece entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo.se calcula enBA bcaaCse cumple con respecto a ase defineTeorema de Pitágorasc2 = a2 + b2SynthesisExisten seis razones trigonométricas, estudiaremos las tres primeras.¾ Razón seno: Denotado por “sen” y se define:sena = Longitud del cateto opuesto al aLongitud de la hipotenusa¾ Razón coseno: Denotado por “cos” y se define:cosa = Longitud del cateto adyacente al aLongitud de la hipotenusa¾ Razón tangente: Denotado por “tan” y se define:tana = Longitud del cateto opuesto al aLongitud del cateto adyacente al aNotePara el  a COCAHaPara el  b CACOHbPara el  a COCAHaPara el  b CACOHbBAaC CACO Hipotenusasenosena = COHcosenocosa = CAHtangentetana = COCARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IEs el cociente que se establece entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo.se calcula enBA bcaaCse cumple con respecto a ase defineTeorema de Pitágorasc2 = a2 + b2SynthesisRazones Trigonométricas de un 04 Ángulo Agudo I2DO DE SECUNDARIA 141 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

TRABAJO EN CLASE1. Del gráfico, halle el valor de x.17 ux 1 uResolución2. Del gráfico, efectúe T = sena + cosa.24 u7 uaResolución3. Del gráfico, efectúe Q = sen2q – tan2q.uu36qResolución4. Si tana = 32, donde a es un ángulo agudo, efectúeA = 13sena ⋅ cosaResolución•1. Del gráfico, halle el valor de x.17 ux 1 uResolución2. Del gráfico, efectúe T = sena + cosa.24 u7 uaResolución3. Del gráfico, efectúe Q = sen2q – tan2q.uu36qResolución4. Si tana = 32, donde a es un ángulo agudo, efectúeA = 13sena ⋅ cosaResolución•1. Del gráfico, halle el valor de x.17 ux 1 uResolución2. Del gráfico, efectúe T = sena + cosa.24 u7 uaResolución3. Del gráfico, efectúe Q = sen2q – tan2q.uu36qResolución4. Si tana = 32, donde a es un ángulo agudo, efectúeA = 13sena ⋅ cosaResolución•1. Del gráfico, halle el valor de x.17 ux 1 uResolución2. Del gráfico, efectúe T = sena + cosa.24 u7 uaResolución3. Del gráfico, efectúe Q = sen2q – tan2q.uu36qResolución4. Si tana = 32, donde a es un ángulo agudo, efectúeA = 13sena ⋅ cosaResolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a142 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

5. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 12.(2x+5) u(10x – 2) uaResolución6. Un pájaro que se encuentra a 14 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el pájaro y dicho insecto. Considere cosb = 725.βdResolución7. Carlos ha comprado un terreno en forma triangular ABC (como muestra la figura). Por motivos de seguridad desea construir un muro que rodee su perímetro. Si la hipotenusa mide 51m y tanA = 158¿Cuánto es el perímetro de la región que rodea el muro, en metros?ABCResoluciónTRIGONOMETRY5. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 12.(2x+5) u(10x – 2) uaResolución6. Un pájaro que se encuentra a 14 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el pájaro y dicho insecto. Considere cosb = 725.βdResolución7. Carlos ha comprado un terreno en forma triangular ABC (como muestra la figura). Por motivos de seguridad desea construir un muro que rodee su perímetro. Si la hipotenusa mide 51m y tanA = 158¿Cuánto es el perímetro de la región que rodea el muro, en metros?ABCResoluciónTRIGONOMETRY5. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 12.(2x+5) u(10x – 2) uaResolución6. Un pájaro que se encuentra a 14 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el pájaro y dicho insecto. Considere cosb = 725.βdResolución7. Carlos ha comprado un terreno en forma triangular ABC (como muestra la figura). Por motivos de seguridad desea construir un muro que rodee su perímetro. Si la hipotenusa mide 51m y tanA = 158¿Cuánto es el perímetro de la región que rodea el muro, en metros?ABCResoluciónTRIGONOMETRY5. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 12.(2x+5) u(10x – 2) uaResolución6. Un pájaro que se encuentra a 14 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el pájaro y dicho insecto. Considere cosb = 725.βdResolución7. Carlos ha comprado un terreno en forma triangular ABC (como muestra la figura). Por motivos de seguridad desea construir un muro que rodee su perímetro. Si la hipotenusa mide 51m y tanA = 158¿Cuánto es el perímetro de la región que rodea el muro, en metros?ABCResoluciónTRIGONOMETRYPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Del gráfico, halle el valor de x.5 ux29 uResolución2. De la figura, efectúe K = 2tana + 13 sena.3 u2 uaResolución3. De la figura, efectúe M = sen2φ – cos2φ.3 uφ5 uResolución4. Si tana = 12, siendo a un ángulo agudo, efectúeD = 5 cosa + 2Resolución•8.2DO DE SECUNDARIA 143 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

TAREA DOMICILIARIA1. Del gráfico, efectúe E = sena + cosa.a15 u8 uResolucióna15 ux8 u 8u : cateto opuesto al a 15u : cateto adyacente al a x : hipotenusa¾ Calculamos x (Teorema de Pitágoras): x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x2 = 289 → x = 17 u¾ Por definición:a15 u17 u8 usena = 817 cosa = 1517¾ Efectuamos:E = 817+ 1517 Luego: E = 2317Rpta.: 23172. Dado cosa = 0,8, siendo a un ángulo agudo, calcule sena.Resolución¾ cosa = 0,8 cosa = 810 → cosa = 45→ CA→ H¾ Dibujamos el triángulo rectángulo:a4 u5 u y 4 u : cateto adyacente al a 5u : hipotenusa y : cateto opuesto al a¾ Calculamos y: 52 = 42+y2 25 = 16+ y2 9 = y2 y = 3 u¾ Por definición:a4 u5 u 3 u sena = 35Rpta.:35•1. Del gráfico, efectúe E = sena + cosa.a15 u8 uResolucióna15 ux8 u 8u : cateto opuesto al a 15u : cateto adyacente al a x : hipotenusa¾ Calculamos x (Teorema de Pitágoras): x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x2 = 289 → x = 17 u¾ Por definición:a15 u17 u8 usena = 817 cosa = 1517¾ Efectuamos:E = 817+ 1517 Luego: E = 2317Rpta.: 23172. Dado cosa = 0,8, siendo a un ángulo agudo, calcule sena.Resolución¾ cosa = 0,8 cosa = 810 → cosa = 45→ CA→ H¾ Dibujamos el triángulo rectángulo:a4 u5 u y 4 u : cateto adyacente al a 5u : hipotenusa y : cateto opuesto al a¾ Calculamos y: 52 = 42+y2 25 = 16+ y2 9 = y2 y = 3 u¾ Por definición:a4 u5 u 3 u sena = 35Rpta.:35•3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, la hipotenusa mide 82 m y tanB = 409. Calcule la suma de las longitudes de los catetos.Resolución¾ Graficamos:tanB = 409 = COCA40k9kABC¾ Calculamos la hipotenusa: (AB)2 = (40k)2 + (9k)2 (AB)2 = 1600k2 + 81k2 (AB)2 = 1681k2 AB = 41k40k41k 9kABC¾ Igualamos AB al dato: 41k = 82 m k = 2 m¾ Calculamos la suma de catetos: AC + BC = 9k + 40k AC + BC = 49k AC + BC = 49(2 m) ∴ AC + BC = 98 mRpta.: 98 m4. Si tanφ = 23, siendo φ un ángulo agudo, efectúeE = 13 senφ + 6tanφResolución¾ Graficamos: tanφ = 23 = COCAφ3n 2¾ Calculamos la hipotenusa: n2 = 32 + 22 n = 13¾ Reemplazamos en E: E = 13 ⋅ 213 + 6 ⋅ 23 E = 2 + 2 ⋅ 2 = 6Rpta.: 65. Del gráfico, halle el valor de x si tanφ = 35.φ(x + 2) u(x - 4) uResolución¾ Del dato: tanφ = 35¾ Del gráfico: tanφ = x - 4x + 2¾ Comparamos e igualamos: 35 = x - 4x + 2 3x + 6 = 5x - 20 26 = 2x ∴ x = 13Rpta.: 13•3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, la hipotenusa mide 82 m y tanB = 409. Calcule la suma de las longitudes de los catetos.Resolución¾ Graficamos:tanB = 409 = COCA40k9kABC¾ Calculamos la hipotenusa: (AB)2 = (40k)2 + (9k)2 (AB)2 = 1600k2 + 81k2 (AB)2 = 1681k2 AB = 41k40k41k 9kABC¾ Igualamos AB al dato: 41k = 82 m k = 2 m¾ Calculamos la suma de catetos: AC + BC = 9k + 40k AC + BC = 49k AC + BC = 49(2 m) ∴ AC + BC = 98 mRpta.: 98 m4. Si tanφ = 23, siendo φ un ángulo agudo, efectúeE = 13 senφ + 6tanφResolución¾ Graficamos: tanφ = 23 = COCAφ3n 2¾ Calculamos la hipotenusa: n2 = 32 + 22 n = 13¾ Reemplazamos en E: E = 13 ⋅ 213 + 6 ⋅ 23 E = 2 + 2 ⋅ 2 = 6Rpta.: 65. Del gráfico, halle el valor de x si tanφ = 35.φ(x + 2) u(x - 4) uResolución¾ Del dato: tanφ = 35¾ Del gráfico: tanφ = x - 4x + 2¾ Comparamos e igualamos: 35 = x - 4x + 2 3x + 6 = 5x - 20 26 = 2x ∴ x = 13Rpta.: 13•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Del gráfico, efectúe E = sena + cosa.a15 u8 uResolucióna15 ux8 u 8u : cateto opuesto al a 15u : cateto adyacente al a x : hipotenusa¾ Calculamos x (Teorema de Pitágoras): x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x2 = 289 → x = 17 u¾ Por definición:a15 u17 u8 usena = 817 cosa = 1517¾ Efectuamos:E = 817+ 1517 Luego: E = 2317Rpta.: 23172. Dado cosa = 0,8, siendo a un ángulo agudo, calcule sena.Resolución¾ cosa = 0,8 cosa = 810 → cosa = 45→ CA→ H¾ Dibujamos el triángulo rectángulo:a4 u5 u y 4 u : cateto adyacente al a 5u : hipotenusa y : cateto opuesto al a¾ Calculamos y: 52 = 42+y2 25 = 16+ y2 9 = y2 y = 3 u¾ Por definición:a4 u5 u 3 u sena = 35Rpta.:35•1. Del gráfico, efectúe E = sena + cosa.a15 u8 uResolucióna15 ux8 u 8u : cateto opuesto al a 15u : cateto adyacente al a x : hipotenusa¾ Calculamos x (Teorema de Pitágoras): x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x2 = 289 → x = 17 u¾ Por definición:a15 u17 u8 usena = 817 cosa = 1517¾ Efectuamos:E = 817+ 1517 Luego: E = 2317Rpta.: 23172. Dado cosa = 0,8, siendo a un ángulo agudo, calcule sena.Resolución¾ cosa = 0,8 cosa = 810 → cosa = 45→ CA→ H¾ Dibujamos el triángulo rectángulo:a4 u5 u y 4 u : cateto adyacente al a 5u : hipotenusa y : cateto opuesto al a¾ Calculamos y: 52 = 42+y2 25 = 16+ y2 9 = y2 y = 3 u¾ Por definición:a4 u5 u 3 u sena = 35Rpta.:35•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, la hipotenusa mide 82 m y tanB = 409. Calcule la suma de las longitudes de los catetos.Resolución¾ Graficamos:tanB = 409 = COCA40k9kABC¾ Calculamos la hipotenusa: (AB)2 = (40k)2 + (9k)2 (AB)2 = 1600k2 + 81k2 (AB)2 = 1681k2 AB = 41k40k41k 9kABC¾ Igualamos AB al dato: 41k = 82 m k = 2 m¾ Calculamos la suma de catetos: AC + BC = 9k + 40k AC + BC = 49k AC + BC = 49(2 m) ∴ AC + BC = 98 mRpta.: 98 m4. Si tanφ = 23, siendo φ un ángulo agudo, efectúeE = 13 senφ + 6tanφResolución¾ Graficamos: tanφ = 23 = COCAφ3n 2¾ Calculamos la hipotenusa: n2 = 32 + 22 n = 13¾ Reemplazamos en E: E = 13 ⋅ 213 + 6 ⋅ 23 E = 2 + 2 ⋅ 2 = 6Rpta.: 65. Del gráfico, halle el valor de x si tanφ = 35.φ(x + 2) u(x - 4) uResolución¾ Del dato: tanφ = 35¾ Del gráfico: tanφ = x - 4x + 2¾ Comparamos e igualamos: 35 = x - 4x + 2 3x + 6 = 5x - 20 26 = 2x ∴ x = 13Rpta.: 13•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Del gráfico, efectúe E = sena + cosa.a15 u8 uResolucióna15 ux8 u 8u : cateto opuesto al a 15u : cateto adyacente al a x : hipotenusa¾ Calculamos x (Teorema de Pitágoras): x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x2 = 289 → x = 17 u¾ Por definición:a15 u17 u8 usena = 817 cosa = 1517¾ Efectuamos:E = 817+ 1517 Luego: E = 2317Rpta.: 23172. Dado cosa = 0,8, siendo a un ángulo agudo, calcule sena.Resolución¾ cosa = 0,8 cosa = 810 → cosa = 45→ CA→ H¾ Dibujamos el triángulo rectángulo:a4 u5 u y 4 u : cateto adyacente al a 5u : hipotenusa y : cateto opuesto al a¾ Calculamos y: 52 = 42+y2 25 = 16+ y2 9 = y2 y = 3 u¾ Por definición:a4 u5 u 3 u sena = 35Rpta.:35•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, la hipotenusa mide 82 m y tanB = 409. Calcule la suma de las longitudes de los catetos.Resolución¾ Graficamos:tanB = 409 = COCA40k9kABC¾ Calculamos la hipotenusa: (AB)2 = (40k)2 + (9k)2 (AB)2 = 1600k2 + 81k2 (AB)2 = 1681k2 AB = 41k40k41k 9kABC¾ Igualamos AB al dato: 41k = 82 m k = 2 m¾ Calculamos la suma de catetos: AC + BC = 9k + 40k AC + BC = 49k AC + BC = 49(2 m) ∴ AC + BC = 98 mRpta.: 98 m4. Si tanφ = 23, siendo φ un ángulo agudo, efectúeE = 13 senφ + 6tanφResolución¾ Graficamos: tanφ = 23 = COCAφ3n 2¾ Calculamos la hipotenusa: n2 = 32 + 22 n = 13¾ Reemplazamos en E: E = 13 ⋅ 213 + 6 ⋅ 23 E = 2 + 2 ⋅ 2 = 6Rpta.: 65. Del gráfico, halle el valor de x si tanφ = 35.φ(x + 2) u(x - 4) uResolución¾ Del dato: tanφ = 35¾ Del gráfico: tanφ = x - 4x + 2¾ Comparamos e igualamos: 35 = x - 4x + 2 3x + 6 = 5x - 20 26 = 2x ∴ x = 13Rpta.: 13•1. Del gráfico, efectúe E = sena + cosa.a15 u8 uResolucióna15 ux8 u 8u : cateto opuesto al a 15u : cateto adyacente al a x : hipotenusa¾ Calculamos x (Teorema de Pitágoras): x2 = 152 + 82 x2 = 225 + 64 x2 = 289 → x = 17 u¾ Por definición:a15 u17 u8 usena = 817 cosa = 1517¾ Efectuamos:E = 817+ 1517 Luego: E = 2317Rpta.: 23172. Dado cosa = 0,8, siendo a un ángulo agudo, calcule sena.Resolución¾ cosa = 0,8 cosa = 810 → cosa = 45→ CA→ H¾ Dibujamos el triángulo rectángulo:a4 u5 u y 4 u : cateto adyacente al a 5u : hipotenusa y : cateto opuesto al a¾ Calculamos y: 52 = 42+y2 25 = 16+ y2 9 = y2 y = 3 u¾ Por definición:a4 u5 u 3 u sena = 35Rpta.:35•2DO DE SECUNDARIA 145 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, la hipotenusa mide 82 m y tanB = 409. Calcule la suma de las longitudes de los catetos.Resolución¾ Graficamos:tanB = 409 = COCA40k9kABC¾ Calculamos la hipotenusa: (AB)2 = (40k)2 + (9k)2 (AB)2 = 1600k2 + 81k2 (AB)2 = 1681k2 AB = 41k40k41k 9kABC¾ Igualamos AB al dato: 41k = 82 m k = 2 m¾ Calculamos la suma de catetos: AC + BC = 9k + 40k AC + BC = 49k AC + BC = 49(2 m) ∴ AC + BC = 98 mRpta.: 98 m4. Si tanφ = 23, siendo φ un ángulo agudo, efectúeE = 13 senφ + 6tanφResolución¾ Graficamos: tanφ = 23 = COCAφ3n 2¾ Calculamos la hipotenusa: n2 = 32 + 22 n = 13¾ Reemplazamos en E: E = 13 ⋅ 213 + 6 ⋅ 23 E = 2 + 2 ⋅ 2 = 6Rpta.: 65. Del gráfico, halle el valor de x si tanφ = 35.φ(x + 2) u(x - 4) uResolución¾ Del dato: tanφ = 35¾ Del gráfico: tanφ = x - 4x + 2¾ Comparamos e igualamos: 35 = x - 4x + 2 3x + 6 = 5x - 20 26 = 2x ∴ x = 13Rpta.: 13•PARA EL CUADERNOPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, la hipotenusa mide 82 m y tanB = 409. Calcule la suma de las longitudes de los catetos.Resolución¾ Graficamos:tanB = 409 = COCA40k9kABC¾ Calculamos la hipotenusa: (AB)2 = (40k)2 + (9k)2 (AB)2 = 1600k2 + 81k2 (AB)2 = 1681k2 AB = 41k40k41k 9kABC¾ Igualamos AB al dato: 41k = 82 m k = 2 m¾ Calculamos la suma de catetos: AC + BC = 9k + 40k AC + BC = 49k AC + BC = 49(2 m) ∴ AC + BC = 98 mRpta.: 98 m4. Si tanφ = 23, siendo φ un ángulo agudo, efectúeE = 13 senφ + 6tanφResolución¾ Graficamos: tanφ = 23 = COCAφ3n 2¾ Calculamos la hipotenusa: n2 = 32 + 22 n = 13¾ Reemplazamos en E: E = 13 ⋅ 213 + 6 ⋅ 23 E = 2 + 2 ⋅ 2 = 6Rpta.: 65. Del gráfico, halle el valor de x si tanφ = 35.φ(x + 2) u(x - 4) uResolución¾ Del dato: tanφ = 35¾ Del gráfico: tanφ = x - 4x + 2¾ Comparamos e igualamos: 35 = x - 4x + 2 3x + 6 = 5x - 20 26 = 2x ∴ x = 13Rpta.: 13•5. Del gráfico, halle el valor de x si tanq = 12.(4x – 8) u(2x+2) uqResolución6. Un pájaro que se encuentra a 12 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el insecto y dicha ave. Considere cosa = 45.αdResolución7. Vania ha construido un jardín en forma triangular ABC (como muestra la figura). Para resguardar las plantaciones del jardín desea cercarlo con una malla metálica. Si la hipotenusa mide 26 m y tanB = 512¿Cuántos metros de malla necesitará para el cercado?ACB1.1. Del gráfico mostrado, efectúeP = 13 senb + 6 tanb.b23A) 9 B) 10C) 11 D) 122. Si senb = 53 , donde b es un ángulo agudo, efectúeL = 6 cosb + 4A) 9 B) 8C) 7 D) 43. Del gráfico, halle el valor de x si tana= 23.a(2x+1) u(2x – 2) uA) 1 B) 2C) 3 D) 44. Un águila que se encuentra a 18 m de altura observa una lagartija y se dirige hacia ella, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia dentre la lagartija y el ave. Considere cosa= 941.αdA) 18 m B) 36 mC) 68 m D) 82 m5. Guido es un carpintero metálico que ha diseñado un lámina de aluminio en forma triangular ABC (como muestra el gráfico). Si la hipotenusa mide 30 cm y tanA = 34 ¿Cuánto es el perímetro de la plancha diseñada?ACBA) 42 cm B) 48 cmC) 54 cm D) 72 cm•2.5. Del gráfico, halle el valor de x si tanq = 12.(4x – 8) u(2x+2) uqResolución6. Un pájaro que se encuentra a 12 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el insecto y dicha ave. Considere cosa = 45.αdResolución7. Vania ha construido un jardín en forma triangular ABC (como muestra la figura). Para resguardar las plantaciones del jardín desea cercarlo con una malla metálica. Si la hipotenusa mide 26 m y tanB = 512¿Cuántos metros de malla necesitará para el cercado?ACB3.1. Determine la altura de un árbol sabiendo que al contarlo a 4 m con respecto del suelo, al caer la punta del árbol, forma con el suelo un ángulo agudo a, tal que sena = 0,2.A) 19 m B) 22 mC) 24 m D) 25 m2. Del gráfico mostrado, calcule K = (tana + tanb)tanq.qb aA) 23 B) 65C) 56 D) 51. Del gráfico, halle el valor de x.13 u12 uxA) 1 u B) 3 uC) 5 u D) 6 uResolución2. En el triángulo rectángulo, efectúe T = senq + cosq.40 u9 uqA) 941 B) 4041C) 4941 D) 3141Resolución•4.3. Del gráfico, efectúe M = sen2a - tan2a.a5 u3 uA) – 1140 B) – 940C) 1140 D) 3940Resolución4. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 13.(4x + 1) u(2x - 1) uaA) 1 B) 2C) 3 D) 4Resolución5. Un águila que se encuentra a 10 m de altura observa una lagartija y se dirige hacia ella, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el águila y la lagartija. Considere cos φ = 513.φdA) 13 m B) 18 mC) 20 m D) 26 mResolución5.1. Determine la altura de un árbol sabiendo que al contarlo a 4 m con respecto del suelo, al caer la punta del árbol, forma con el suelo un ángulo agudo a, tal que sena = 0,2.A) 19 m B) 22 mC) 24 m D) 25 m2. Del gráfico mostrado, calcule K = (tana + tanb)tanq.qb aA) 23 B) 65C) 56 D) 51. Del gráfico, halle el valor de x.13 u12 uxA) 1 u B) 3 uC) 5 u D) 6 uResolución2. En el triángulo rectángulo, efectúe T = senq + cosq.40 u9 uqA) 941 B) 4041C) 4941 D) 3141Resolución•6.1. Determine la altura de un árbol sabiendo que al contarlo a 4 m con respecto del suelo, al caer la punta del árbol, forma con el suelo un ángulo agudo a, tal que sena = 0,2.A) 19 m B) 22 mC) 24 m D) 25 m2. Del gráfico mostrado, calcule K = (tana + tanb)tanq.qb aA) 23 B) 65C) 56 D) 51. Del gráfico, halle el valor de x.13 u12 uxA) 1 u B) 3 uC) 5 u D) 6 uResolución2. En el triángulo rectángulo, efectúe T = senq + cosq.40 u9 uqA) 941 B) 4041C) 4941 D) 3141Resolución•7.146 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

1. Determine la altura de un árbol sabiendo que al contarlo a 4 m con respecto del suelo, al caer la punta del árbol, forma con el suelo un ángulo agudo a, tal que sena = 0,2.A) 19 m B) 22 mC) 24 m D) 25 m2. Del gráfico mostrado, calcule K = (tana + tanb)tanq.qb aA) 23 B) 65C) 56 D) 51. Del gráfico, halle el valor de x.13 u12 uxA) 1 u B) 3 uC) 5 u D) 6 uResolución2. En el triángulo rectángulo, efectúe T = senq + cosq.40 u9 uqA) 941 B) 4041C) 4941 D) 3141Resolución•8.3. Del gráfico, efectúe M = sen2a - tan2a.a5 u3 uA) – 1140 B) – 940C) 1140 D) 3940Resolución4. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 13.(4x + 1) u(2x - 1) uaA) 1 B) 2C) 3 D) 4Resolución5. Un águila que se encuentra a 10 m de altura observa una lagartija y se dirige hacia ella, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el águila y la lagartija. Considere cos φ = 513.φdA) 13 m B) 18 mC) 20 m D) 26 mResolución9.3. Del gráfico, efectúe M = sen2a - tan2a.a5 u3 uA) – 1140 B) – 940C) 1140 D) 3940Resolución4. Del gráfico, halle el valor de x si tana = 13.(4x + 1) u(2x - 1) uaA) 1 B) 2C) 3 D) 4Resolución5. Un águila que se encuentra a 10 m de altura observa una lagartija y se dirige hacia ella, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el águila y la lagartija. Considere cos φ = 513.φdA) 13 m B) 18 mC) 20 m D) 26 mResolución10.2DO DE SECUNDARIA 147 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

Razones trigonométricasSe define razón trigonométrica de un ángulo agudo al cociente o la relación que se establece entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos.Tenemos:Cateto opuestoal  aCateto adyacente al  aHipotenusaBA bcaaCComo existen seis razones trigonométricas, estudiaremos las tres restantes:¾ Razón cotangente: Denotado por “cot” y se define:cota = Longitud del cateto adyacente al aLongitud del cateto opuesto al a¾ Razón secante: Denotado por “sec” y se define:seca = Longitud de la hipotenusaLongitud del cateto adyacente al a¾ Razón cosecante: Denotado por “csc” y se define:csca = Longitud de la hipotenusaLongitud del cateto opuesto al aRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IITheoryRememberTeorema de PitágorasSeaBA bc aCEntoncesc2 = a2 + b2Razones Trigonométricas de un 05 Ángulo Agudo II148 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

TRABAJO EN CLASE1. Del gráfico, efectúe E = secq – 1.40 u41 uqResolución2. De la figura, efectúe L = csc2q + cot2q.5 uq4 uResolución3. Dado 3 csca - 7 = 0, siendo a un ángulo agudo, efectúeT = cot2a - 1Resolución4. Dado seca = 2, siendo a un ángulo agudo, efectúeM = csca ⋅ cotaResolución1. Del gráfico, efectúe E = secq – 1.40 u41 uqResolución2. De la figura, efectúe L = csc2q + cot2q.5 uq4 uResolución3. Dado 3 csca - 7 = 0, siendo a un ángulo agudo, efectúeT = cot2a - 1Resolución4. Dado seca = 2, siendo a un ángulo agudo, efectúeM = csca ⋅ cotaResolución1. Del gráfico, efectúe E = secq – 1.40 u41 uqResolución2. De la figura, efectúe L = csc2q + cot2q.5 uq4 uResolución3. Dado 3 csca - 7 = 0, siendo a un ángulo agudo, efectúeT = cot2a - 1Resolución4. Dado seca = 2, siendo a un ángulo agudo, efectúeM = csca ⋅ cotaResolución1. Del gráfico, efectúe E = secq – 1.40 u41 uqResolución2. De la figura, efectúe L = csc2q + cot2q.5 uq4 uResolución3. Dado 3 csca - 7 = 0, siendo a un ángulo agudo, efectúeT = cot2a - 1Resolución4. Dado seca = 2, siendo a un ángulo agudo, efectúeM = csca ⋅ cotaResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a2DO DE SECUNDARIA 149 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN TRIGONOMETRÍA

5. Del gráfico, halle el valor de x si cotq = 53.q(3x) u(4x + 3) uResolución6. Un pájaro que se encuentra a 24 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el insecto y dicha ave. Considere secb = 1312.βdResolución7. Un constructor metálico ha diseñado una plancha en forma triangular como se muestra en la figura. Si la hipotenusa mide 75 cm y cotA = 43. Determineel perímetro de la plancha diseñada en centímetros.BCAResolución•5. Del gráfico, halle el valor de x si cotq = 53.q(3x) u(4x + 3) uResolución6. Un pájaro que se encuentra a 24 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el insecto y dicha ave. Considere secb = 1312.βdResolución7. Un constructor metálico ha diseñado una plancha en forma triangular como se muestra en la figura. Si la hipotenusa mide 75 cm y cotA = 43. Determineel perímetro de la plancha diseñada en centímetros.BCAResolución•5. Del gráfico, halle el valor de x si cotq = 53.q(3x) u(4x + 3) uResolución6. Un pájaro que se encuentra a 24 m de altura observa un insecto y se dirige hacia él, tal como se muestra en la figura. Determine la distancia d entre el insecto y dicha ave. Considere secb = 1312.βdResolución7. Un constructor metálico ha diseñado una plancha en forma triangular como se muestra en la figura. Si la hipotenusa mide 75 cm y cotA = 43. Determineel perímetro de la plancha diseñada en centímetros.BCAResolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Del gráfico, efectúe K = secb ⋅ cscb.3 ub13 uResolución2. Del gráfico, efectúe M = cot2q - 1.5 uq6 uResolución3. Dado 2 cota – 7 = 0, siendo a un ángulo agudo, efectúeT = sec2a – 1Resolución4. Dado cscq = 4, siendo q un ángulo agudo, efectúeQ = secq · cotqResolución8.150 I BIMESTREI.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\".TRIGONOMETRÍA

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