4TO SEC CIENCIAS (II BIM)

Estimados Padres de Familia:Queridos alumnos y alumnas, reciban ustedes la más cordial bienvenida a nuestra I.E.P. “San Agustín”, siendo un honor y privilegio presentar nuestro texto escolar.En aras de seguir brindando una Educación de Calidad le presentamos este texto, de manera que pueda aportarle sólidos conocimientos, orden y plan de estudios.Acorde con nuestra filosofía de trabajo, el límite para el aprendizaje lo determina el estudiante y que siempre se puede mejorar en todos los aspectos con la ayuda de Dios, desde ya nos comprometemos a mejorar el presente texto a la luz de la experiencia, de las sugerencias y según las necesidades académicas de los estudiantes, que son nuestra razón de ser.La DirecciónPresentación

4to de SecundariaContenidoTEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:TEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:ÁLGEBRATEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:GEOMETRÍA23TEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:4 TRIGONOMETRÍAARITMÉTICA 1Multiplicación y División............................................................................... 7Sucesiones.................................................................................................. 12Divisibilidad I .............................................................................................. 18Divisibilidad II.............................................................................................. 23Estudio de los enteros positivos I............................................................... 29Estudio de los enteros positivos II.............................................................. 35Factorización II ............................................................................................ 43Radicación................................................................................................... 54Factorial y Número Combinatorio............................................................... 63Binomio de Newton.................................................................................... 73Números Complejos................................................................................... 82Ecuaciones Lineales .................................................................................... 91Líneas asociadas a la circunferencia .......................................................... 99Puntos notables asociados al triángulo..................................................... 108Segmentos proporcionales....................................................................... 115Triángulos semejantes ............................................................................... 122Relaciones métricas en el triángulo y en la circunferencia ....................... 129Relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos................................ 136Ángulos verticales..................................................................................... 145Geometría Analítica................................................................................... 152Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal I................... 160Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal II.................. 167Reducción al primer cuadrante I............................................................... 174Reducción al primer cuadrante II.............................................................. 180

TEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:TEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:TEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:TEMA 01:TEMA 02:TEMA 03:TEMA 04:TEMA 05:TEMA 06:FÍSICA ELEMENTALRAZONAMIENTO MATEMÁTICOQUÍMICABIOLOGÍA6578Edades ...................................................................................................... 189Cronometría I: Relación Ángulo - Hora ..................................................... 195Operaciones Matemáticas........................................................................ 201Leyes de Composición Interna.................................................................. 206Fracciones ................................................................................................. 212Reducción ................................................................................................. 218Movimiento Vertical de Caída Libre (MVCL)............................................. 227Movimiento Parabólico de Caída Libre (MPCL) ........................................ 233Movimiento Semiparabólico de Caída Libre............................................ 240Estática I .................................................................................................... 247Estática II.................................................................................................... 257Estática III................................................................................................... 263Enlace Químico......................................................................................... 275Enlace Iónico............................................................................................. 280Enlace Covalente....................................................................................... 285Nomenclatura Inorgánica .......................................................................... 290Función Óxido .......................................................................................... 295Función Hidróxido o Bases....................................................................... 299Replicación de DNA ................................................................................. 307Transcripción y Traducción del DNA........................................................ 311Célula......................................................................................................... 317Citoplasma................................................................................................. 322Fotosíntesis ( C-3 )..................................................................................... 328Respiración Celular.................................................................................... 334

● Multiplicación y División........................................ 7● Sucesiones........................................................... 12● Divisibilidad I ....................................................... 18● Divisibilidad II ...................................................... 23● Estudio de los enteros positivos I ....................... 29● Estudio de los enteros positivos II....................... 35ARITMÉTICA 1«Cada problema que resolví, se volvió una regla que sirvió más tarde para resolver otros problemas».Renato DescartesCONTENIDO

4TO DE SECUNDARIA 7 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA01 Multiplicación y DivisiónI. MultiplicaciónEs una operación binaria en la que dados dos enteros multiplicando (M) y un multiplicador (m) o factores, hace corresponder un tercer número llamado producto (P), el cual se compone de tantas veces el multiplicador como indica el multiplicando, es decirM × m = PParticularidadesSi (M × n) o (m × n) → (P × n)Si (M × n) y (m × n) → (P × n2)Si (M × a) y (m × b) → (P × a × b)...0...5Si (+)(...5)=termina en cero si el + es par.termina en cinco si el + es impar.SiPrimer producto parcialSegundo producto parcialabcxyy(abc)x(abc)Producto total×II. DivisiónEs aquella operación inversa a la multiplicación, que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo (D) y el segundo, diferente de cero, llamado divisor (d), nos permite encontrar un tercer término llamado cociente (q) y un cuarto llamado residuo (r).Algoritmo general de una división enteradr qD entonces D = d q + rdonde 0 ≤ r <|d|D, d, q y r ∈ Clases de división1. División entera exactad0 qD → D = d q2. División entera inexactaD = d q + r ; si 0 < r < |d|a. Por defectodrd qD54 949 → 49 = 5 × 9 + 4Obs.: 4 es el residuo por defecto.DondeD = d q + rd y 0 < rd < db. Por excesodre (q + 1)D51 (9 + 1)49 → 49 = 5(9 + 1) –1Obs.: 1 es el residuo por exceso.D = d(q + 1) – re y 0 < re < dPropiedades¾ Suma de residuosrd + re = d¾ Restos máximo y mínimo(rd, re)mín = 1(rd, re)máx = d – 1¾ En una división entera, si multiplicamos el dividendo y el divisor por un número entero, entonces el residuo también queda multiplicado por el mismo número entero, sin alterar al cociente.Sabemos: D = d q + rSe cumple: D × n = (d × n)q + r × nTambién: nD = nd q + nrMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNHelico theory•

8I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICATRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 18 unidades, el producto aumenta en 720 unidades, pero si al multiplicador se le disminuye 8 unidades, el producto disminuye en 296 unidades. Halle el producto inicial.A) 1240 B) 1260C) 1400 D) 1480Resolución2. Si abc × 673 = ...458, calcule a × b × c.A) 80 B) 100C) 120 D) 150ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por defecto es 18 y el cociente por exceso es 23. Halle el valor del dividendo si el residuo por exceso fue 11.A) 656 B) 668C) 678 D) 688Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 35 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 12 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el doble del residuo por exceso.A) 3314 B) 3451C) 3541 D) 3545ResoluciónHelico practice5. En una división inexacta, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 7. Halle el valor del dividendo.A) 959 B) 969C) 973 D) 979ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Jorge, ajedrecista y estudiante de 4.o grael número abc entre el número bc; realizada la operación Jorge obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Determine la edad de Jorge sabiendo que tiene (a + b – c) años.A) 13 años B) 14 añosC) 15 años D) 16 añosResolución7. Aariana guarda siempre abc soles de su sueldo cada mes y esto lo realiza por 8 años con 3 meses, tiempo en que decide pagar la inicial de un terreno con lo guardado. ¿De cuánto era la inicial de dicho terreno si el monto recaudado terminaba en las cifras 462?A) S/ 30 462 B) S/ 31 462C) S/ 33 462 D) S/ 34 462Resolución•do del colegio \"El Peruanito\", le pidieron que divida 5. En una división inexacta, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 7. Halle el valor del dividendo.A) 959 B) 969C) 973 D) 979ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Jorge, ajedrecista y estudiante de 4.o grael número abc entre el número bc; realizada la operación Jorge obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Determine la edad de Jorge sabiendo que tiene (a + b – c) años.A) 13 años B) 14 añosC) 15 años D) 16 añosResolución7. Aariana guarda siempre abc soles de su sueldo cada mes y esto lo realiza por 8 años con 3 meses, tiempo en que decide pagar la inicial de un terreno con lo guardado. ¿De cuánto era la inicial de dicho terreno si el monto recaudado terminaba en las cifras 462?A) S/ 30 462 B) S/ 31 462C) S/ 33 462 D) S/ 34 462Resolución•do del colegio \"El Peruanito\", le pidieron que divida 5. En una división inexacta, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 7. Halle el valor del dividendo.A) 959 B) 969C) 973 D) 979ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Jorge, ajedrecista y estudiante de 4.o grael número abc entre el número bc; realizada la operación Jorge obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Determine la edad de Jorge sabiendo que tiene (a + b – c) años.A) 13 años B) 14 añosC) 15 años D) 16 añosResolución7. Aariana guarda siempre abc soles de su sueldo cada mes y esto lo realiza por 8 años con 3 meses, tiempo en que decide pagar la inicial de un terreno con lo guardado. ¿De cuánto era la inicial de dicho terreno si el monto recaudado terminaba en las cifras 462?A) S/ 30 462 B) S/ 31 462C) S/ 33 462 D) S/ 34 462Resolución•do del colegio \"El Peruanito\", le pidieron que divida 5. En una división inexacta, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 7. Halle el valor del dividendo.A) 959 B) 969C) 973 D) 979ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Jorge, ajedrecista y estudiante de 4.o grael número abc entre el número bc; realizada la operación Jorge obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Determine la edad de Jorge sabiendo que tiene (a + b – c) años.A) 13 años B) 14 añosC) 15 años D) 16 añosResolución7. Aariana guarda siempre abc soles de su sueldo cada mes y esto lo realiza por 8 años con 3 meses, tiempo en que decide pagar la inicial de un terreno con lo guardado. ¿De cuánto era la inicial de dicho terreno si el monto recaudado terminaba en las cifras 462?A) S/ 30 462 B) S/ 31 462C) S/ 33 462 D) S/ 34 462Resolución•do del colegio \"El Peruanito\", le pidieron que divida

4TO DE SECUNDARIA 9 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA5. En una división inexacta, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 7. Halle el valor del dividendo.A) 959 B) 969C) 973 D) 979ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Jorge, ajedrecista y estudiante de 4.o grael número abc entre el número bc; realizada la operación Jorge obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Determine la edad de Jorge sabiendo que tiene (a + b – c) años.A) 13 años B) 14 añosC) 15 años D) 16 añosResolución7. Aariana guarda siempre abc soles de su sueldo cada mes y esto lo realiza por 8 años con 3 meses, tiempo en que decide pagar la inicial de un terreno con lo guardado. ¿De cuánto era la inicial de dicho terreno si el monto recaudado terminaba en las cifras 462?A) S/ 30 462 B) S/ 31 462C) S/ 33 462 D) S/ 34 462Resolución•do del colegio \"El Peruanito\", le pidieron que divida 5. En una división inexacta, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 7. Halle el valor del dividendo.A) 959 B) 969C) 973 D) 979ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Jorge, ajedrecista y estudiante de 4.o grael número abc entre el número bc; realizada la operación Jorge obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Determine la edad de Jorge sabiendo que tiene (a + b – c) años.A) 13 años B) 14 añosC) 15 años D) 16 añosResolución7. Aariana guarda siempre abc soles de su sueldo cada mes y esto lo realiza por 8 años con 3 meses, tiempo en que decide pagar la inicial de un terreno con lo guardado. ¿De cuánto era la inicial de dicho terreno si el monto recaudado terminaba en las cifras 462?A) S/ 30 462 B) S/ 31 462C) S/ 33 462 D) S/ 34 462Resolución•do del colegio \"El Peruanito\", le pidieron que divida Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 10 unidades, el producto aumenta en 230. Halle el valor del multiplicador.Resolución2. Al efectuar el producto indicado 367 × abc se observa que la suma de productos parciales es 5872. Calcule a + b +c.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por exceso es 21 y el cociente por defecto es 25. Halle el valor del dividendo si el residuo por defecto fue 17.Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 26 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 15 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el triple del residuo por exceso.ResoluciónSCOREHelico workshopAplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 10 unidades, el producto aumenta en 230. Halle el valor del multiplicador.Resolución2. Al efectuar el producto indicado 367 × abc se observa que la suma de productos parciales es 5872. Calcule a + b +c.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por exceso es 21 y el cociente por defecto es 25. Halle el valor del dividendo si el residuo por defecto fue 17.Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 26 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 15 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el triple del residuo por exceso.ResoluciónSCOREHelico workshop8.Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 10 unidades, el producto aumenta en 230. Halle el valor del multiplicador.Resolución2. Al efectuar el producto indicado 367 × abc se observa que la suma de productos parciales es 5872. Calcule a + b +c.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por exceso es 21 y el cociente por defecto es 25. Halle el valor del dividendo si el residuo por defecto fue 17.Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 26 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 15 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el triple del residuo por exceso.ResoluciónSCOREHelico workshop9.10.Aplico lo aprendido1. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 10 unidades, el producto aumenta en 230. Halle el valor del multiplicador.Resolución2. Al efectuar el producto indicado 367 × abc se observa que la suma de productos parciales es 5872. Calcule a + b +c.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En una división inexacta, el residuo por exceso es 21 y el cociente por defecto es 25. Halle el valor del dividendo si el residuo por defecto fue 17.Resolución4. En una división inexacta, al residuo le faltan 26 unidades para ser máximo, y sería mínimo al restarle 15 unidades. Halle el valor del dividendo si el cociente es el triple del residuo por exceso.ResoluciónSCOREHelico workshop11.5. En una división inexacta, el residuo por exceso, el residuo por defecto, el cociente por defecto y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 9. Halle el valor del dividendo.ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Ernesto estudiante de 5.o grado del coentre af; realizada la operación, Ernesto obtuvo ccde cociente y 1b de residuo. Calcule el valor de a + f.Resolución7. Artthur recibe una herencia que equivale al producto de abcde por 2017 con lo cual compra un departamento al contado. ¿Cuál era el costo del departamento si la herencia terminaba en las cifras 18 828?Resolución•legio Peruanito le pidieron que divida el número a7b12.

10I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICATAREA DOMICILIARIA1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•1. Si11 × N = ...9757 y 4 × N = ...3548¿cuáles son las cuatro últimas cifras de 91 × N?ResoluciónSi 11×N = ...97574×N = ...35487N = ...6209– 13×7×N = 13 × ...6209 91×N = ...0717 Termina en ...0717.Rpta.: 07172. Siabc · ab = 10 464abc · c = 2289calcule abc 2.ResoluciónMultiplicando por 10 el primer dato.Si: abc · ab0 = 104 640abc · c = 2289abc · abc = 106 929+ ∴ abc 2= 106 929Rpta.: 106 9293. Al dividir un número de tres cifras entre su CA, el resto es máximo. Determine cuántos números cumplen esta condición.ResoluciónN → 3 cifrasN = (1000 – N) q + 999 – N2N = 1000q – Nq + 999N(q + 2) = 1000q + 999N = 1000 – 1001q+2 → q = 5; 9; 11; 75; 89; 141∴ Cumplen 6 números.Rpta.: 64. Si abc(7) × 666(7) = ...543(7), calcule a + b + c.Resoluciónabc(7)[1000(7)–1]=...543(7)a b c 0 0 0(7) * 7 - c = 3a b c(7) c = 4. . . 5 4 3(7) * 6 - b = 4 b = 2 * 6 - a = 5 a = 1∴ a + b + c = 7Rpta.: 75. En una división entera de residuo máximo, cuyo divisor es 49 y el cociente es el complemento aritmético del divisor. Halle el valor del dividendo.Resoluciónrmáx.= d – 1 → rmáx.=49 – 1 = 48q = CA(d) → q = CA(49) → q = 51D=49 · 51 + 48∴ D=2547Rpta.: 2547Solved problems•

4TO DE SECUNDARIA 11 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICAPARA EL CUADERNO5. En una división inexacta, el residuo por exceso, el residuo por defecto, el cociente por defecto y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 9. Halle el valor del dividendo.ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Ernesto estudiante de 5.o grado del coentre af; realizada la operación, Ernesto obtuvo ccde cociente y 1b de residuo. Calcule el valor de a + f.Resolución7. Artthur recibe una herencia que equivale al producto de abcde por 2017 con lo cual compra un departamento al contado. ¿Cuál era el costo del departamento si la herencia terminaba en las cifras 18 828?Resolución•legio Peruanito le pidieron que divida el número a7b1.1. Calculea + b + c + dsi abcd(7) × 666(7) = ...3214(7).A) 12 B) 18C) 14 D) 152. La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 7, la suma de los nuevos términos es 2375. Halle el valor de la menor cifra del cociente.A) 1 B) 2C) 3 D) 4Helico trialSCOREHelico challengeNivel I1. En qué cifra termina el producto(81 + 1)(82 + 1)(83 + 1) ... (8100 + 1)A) 2 B) 3C) 4 D) 5Resolución2. En una división entera inexacta, el residuo sería mínimo al restarle 5 y le falta 17 para ser máximo. El cociente es la mitad del divisor. Determine el valor del dividendo.A) 284 B) 294C) 296 D) 299Resolución6.Nivel II3. Se divide el número N entre 14 obteniéndose 10 de cociente y un residuo que es el más grande posible. Dé la suma de cifras de N.A) 153 B) 10C) 9 D) 141Resolución4. Si abcd × 999 = ...0264, calculea + b + c + dA) 15 B) 17C) 18 D) 21ResoluciónNivel IIISi las edades que multiplicó son números pares diferentes, ¿qué edad tiene Joel si es 32 años menor que la edad mayor?A) 15 años B) 16 añosC) 17 años D) 18 añosResolución•5. Joel, estudiante del colegio Peruanito, realizó el producto de 3 edades obteniendo como resultado 1000. 7.Nivel II3. Se divide el número N entre 14 obteniéndose 10 de cociente y un residuo que es el más grande posible. Dé la suma de cifras de N.A) 153 B) 10C) 9 D) 141Resolución4. Si abcd × 999 = ...0264, calculea + b + c + dA) 15 B) 17C) 18 D) 21ResoluciónNivel IIISi las edades que multiplicó son números pares diferentes, ¿qué edad tiene Joel si es 32 años menor que la edad mayor?A) 15 años B) 16 añosC) 17 años D) 18 añosResolución•5. Joel, estudiante del colegio Peruanito, realizó el producto de 3 edades obteniendo como resultado 1000. 8.Nivel II3. Se divide el número N entre 14 obteniéndose 10 de cociente y un residuo que es el más grande posible. Dé la suma de cifras de N.A) 153 B) 10C) 9 D) 141Resolución4. Si abcd × 999 = ...0264, calculea + b + c + dA) 15 B) 17C) 18 D) 21ResoluciónNivel IIISi las edades que multiplicó son números pares diferentes, ¿qué edad tiene Joel si es 32 años menor que la edad mayor?A) 15 años B) 16 añosC) 17 años D) 18 añosResolución•5. Joel, estudiante del colegio Peruanito, realizó el producto de 3 edades obteniendo como resultado 1000. 9.Nivel I1. Calcule a + b + c + d si...abcd × 9 = ...5068A) 19 B) 20C) 21 D) 22Nivel II2. Calcule a + b + c + d si abc × 7 = d422.A) 13 B) 14C) 12 D) 153. Si el divisor de una división entera es 34, el cociente es el CA del divisor y el residuo es máximo, halle el valor del dividendo.A) 2277 B) 2244C) 2233 D) 2255Nivel III4. En el formulario de Aritmética se lee el siguiente enunciado:Si el producto del divisor y el cociente es el CA de 744 y el residuo es igual a la raíz cuadrada de dicho complemento aritmético, halle el valor del dividendo.A) 272 B) 256C) 262 D) 2765. A Fernando, estudiante de 4.o grado, le mandaron a multiplicar las edades de sus tres hermanos obteniendo como resultado 216. Si las edades que multiplicó son números pares diferentes, ¿qué edad tiene Fernando si es 2 años menor que su hermano mayor?A) 12 años B) 14 añosC) 16 años D) 15 añosHelico homework10.5. En una división inexacta, el residuo por exceso, el residuo por defecto, el cociente por defecto y el divisor, forman una progresión aritmética de razón 9. Halle el valor del dividendo.ResoluciónAsumo mi reto6. Al alumno Ernesto estudiante de 5.o grado del coentre af; realizada la operación, Ernesto obtuvo ccde cociente y 1b de residuo. Calcule el valor de a + f.Resolución7. Artthur recibe una herencia que equivale al producto de abcde por 2017 con lo cual compra un departamento al contado. ¿Cuál era el costo del departamento si la herencia terminaba en las cifras 18 828?Resolución•legio Peruanito le pidieron que divida el número a7b2.1. Calculea + b + c + dsi abcd(7) × 666(7) = ...3214(7).A) 12 B) 18C) 14 D) 152. La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 7, la suma de los nuevos términos es 2375. Halle el valor de la menor cifra del cociente.A) 1 B) 2C) 3 D) 4Helico trialSCOREHelico challengeNivel I1. En qué cifra termina el producto(81 + 1)(82 + 1)(83 + 1) ... (8100 + 1)A) 2 B) 3C) 4 D) 5Resolución2. En una división entera inexacta, el residuo sería mínimo al restarle 5 y le falta 17 para ser máximo. El cociente es la mitad del divisor. Determine el valor del dividendo.A) 284 B) 294C) 296 D) 299Resolución3.1. Calculea + b + c + dsi abcd(7) × 666(7) = ...3214(7).A) 12 B) 18C) 14 D) 152. La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 7, la suma de los nuevos términos es 2375. Halle el valor de la menor cifra del cociente.A) 1 B) 2C) 3 D) 4Helico trialSCOREHelico challengeNivel I1. En qué cifra termina el producto(81 + 1)(82 + 1)(83 + 1) ... (8100 + 1)A) 2 B) 3C) 4 D) 5Resolución2. En una división entera inexacta, el residuo sería mínimo al restarle 5 y le falta 17 para ser máximo. El cociente es la mitad del divisor. Determine el valor del dividendo.A) 284 B) 294C) 296 D) 299Resolución4.1. Calculea + b + c + dsi abcd(7) × 666(7) = ...3214(7).A) 12 B) 18C) 14 D) 152. La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 7, la suma de los nuevos términos es 2375. Halle el valor de la menor cifra del cociente.A) 1 B) 2C) 3 D) 4Helico trialSCOREHelico challengeNivel I1. En qué cifra termina el producto(81 + 1)(82 + 1)(83 + 1) ... (8100 + 1)A) 2 B) 3C) 4 D) 5Resolución2. En una división entera inexacta, el residuo sería mínimo al restarle 5 y le falta 17 para ser máximo. El cociente es la mitad del divisor. Determine el valor del dividendo.A) 284 B) 294C) 296 D) 299Resolución5.

12I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA02 SucesionesUna sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos; los elementos del rango de la función, llamados términos de la sucesión, están restringidos a los números reales.Ejemplo 15; 20; 25; 30; 35;...↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a1 a2 a3 a4 a5...Observamos que a cada número natural le corresponde un an, entonces podemos expresar dicho conjunto poran = 5n + 10, n ∈ +Esto define una función cuyos elementos son los pares ordenados (n, an), asíA = {(1, a1), (2, a2), (3, a3),..., (n, an)}A = {(1, 15), (2, 20), (3, 25),..., (n, 5n +10)}cuyo dominio de A es + y el rango {15; 20; 25;...}.¾ Sucesión numéricaEs un conjunto ordenado de números, donde cada uno de ellos tiene un orden designado, de manera que cada elemento designado sea el primero, el siguiente como segundo, así sucesivamente.A = {a1, a2, a3,..., an}dondeTérminos de la sucesión: a1, a2, a3,..., anSu notación A = {an}Métodos de representación de la sucesióna. Método analíticoCuando se tiene el término general de la sucesión, es decir, se tiene la regla de correspondencia an.Término generalSucesión que representa{an}{3n + 5}a1, a2, a3,...8; 11; 14;...b. Método recurrenteCuando se forma un punto de partida y luego la manera de calcular cada uno de los términos de la sucesión es partiendo de los que preceden.Ejemplo an+1 = 3an, a1 = 5, n ≥ 1Halle los tres primeros términos de la sucesión.a2 = 3a1, a3 = 3a2∴ a1 = 5, a2 = 15, a3 = 45c. Método descriptivoCuando se presentan los primeros términos de la sucesión.Ejemplo 7; 17; 27; 37;...(Cada término de la sucesión aumenta de 10 en 10) 3; 9; 27; 81;...(Cada término de la sucesión es una potencia de 3)NoteExisten sucesiones que no tienen término enésimo.• 2; 3; 5; 7; 11;... (números primos)• 2; 4; 6; 8; 9; 10;... (números pares)AplicaciónHalle los cuatro primeros términos de la sucesión(–1)2n! n ≥ 1Sucesiones numéricas notablesA. Sucesión aritmética o polinomialEs aquella sucesión ordenada de cantidades en la que cada término a partir del segundo es igual al anterior aumentado en cierta cantidad variable o constante denominada razón. Si dicha razón es constante, la sucesión toma el nombre de “progresión”.Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio de grado n pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbica, etc.SUCESIONESHelico theory

4TO DE SECUNDARIA 13 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA¾ Regla práctica para encontrar la ley de formaciónC → t0, t1, t2, t3, t4,..., tn B → R0, R1, R2, R3A → r0, r1, rPivot principalPivot secundarioTérmino enésimotn = A2 n2 + B – A2 n + CDetermine el valor de tn en0; 3; 8; 15; 24;...¾ Sucesión polinomial en generalt1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,..., tn r1, r2, r3, r4, r5, r6,... k1, k2, k3, k4, k5,... m1, m2, m3, m4,... a, a, a,...p términostn=t1C0n – 1+r1C1n – 1+k1C2n – 1+...+aCn–1p–1DondeCmn = (m – n)! · n!m!c. Conteo de cifras¾ Sea la sucesión1; 2; 3; 4;...; N; N es un número de kcifras.N.º de cifras = (N + 1) k - 11...1 k cifrasEjemplo¿Cuántas cifras de escribieron en 1; 2; 3; 4;...; 349? (349 tiene tres cifras)SoluciónN.º de cifras escritas = (349 + 1)3 - 111 = 939 cifrasa. Sucesión lineal (o de primer orden)¾ Progresión aritmética (PA)NotaciónPA: t1, t2, t3,..., tn +r +rdonde t2 = t1 + r t3 = t1 + 2r t4 = t1 + 3r tn = t1 + (n – 1)rFórmula recurrentetn = t1 + (n - 1)r(polinomio lineal)Dondet1 : primer términotn : término n-ésimo o último términon : número de términosr : razón de PAn = tn - t1r + 1 = tn - t0r(t0 : término anterior al primero)Note¡Prueba tu habilidad!Halle los elementos de la siguiente PA:5; 10; 15;...; 80 t1 : ............ tn : ............ r : ............ n : ............Además, halle el valor de t5 y t7.b. Sucesión aritmética de orden superior¾ Sucesión cuadrática del mismo orden.Fórmula generaltn = an2 + bn + cDondea, b, c : constantes y n ∈ .•

14I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICATRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Halle el vigésimo cuarto término en19; 25; 31;...A) 154 B) 156C) 157 D) 158Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión del libro “El arte del ajedrez” que consta de 1274 páginas?A) 3989 B) 3990C) 3994 D) 3999ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética2a; 2a+4; 2a+8;...; 5atiene 28 términos, halle el valor de a.A) 32 B) 34C) 36 D) 38Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 2415. Si el segundo término es 15, halle el décimo segundo término.A) 90 B) 95C) 98 D) 101ResoluciónHelico practice5. Dada la siguiente progresión aritméticaaa0; ab(a+2); a(b+1)(3b);...; (3a)05n términoscalcule a+b+n.A) 16 B) 17C) 18 D) 19ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Un mundo para Julius, cuyo autor es Alfredo Bryce Echenique y que consta de 180 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 329 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?A) 26 B) 27C) 28 D) 30Resolución7. El alquiler de una bicicleta cuesta S/4 la primera hora y S/3 más cada nueva hora. ¿Cuál es el porecio total de alquiler en 9 horas?A) 140 B) 144C) 160 D) 169Resolución•5. Dada la siguiente progresión aritméticaaa0; ab(a+2); a(b+1)(3b);...; (3a)05n términoscalcule a+b+n.A) 16 B) 17C) 18 D) 19ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Un mundo para Julius, cuyo autor es Alfredo Bryce Echenique y que consta de 180 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 329 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?A) 26 B) 27C) 28 D) 30Resolución7. El alquiler de una bicicleta cuesta S/4 la primera hora y S/3 más cada nueva hora. ¿Cuál es el porecio total de alquiler en 9 horas?A) 140 B) 144C) 160 D) 169Resolución•

4TO DE SECUNDARIA 15 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA5. Dada la siguiente progresión aritméticaaa0; ab(a+2); a(b+1)(3b);...; (3a)05n términoscalcule a+b+n.A) 16 B) 17C) 18 D) 19ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Un mundo para Julius, cuyo autor es Alfredo Bryce Echenique y que consta de 180 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 329 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?A) 26 B) 27C) 28 D) 30Resolución7. El alquiler de una bicicleta cuesta S/4 la primera hora y S/3 más cada nueva hora. ¿Cuál es el porecio total de alquiler en 9 horas?A) 140 B) 144C) 160 D) 169Resolución•5. Dada la siguiente progresión aritméticaaa0; ab(a+2); a(b+1)(3b);...; (3a)05n términoscalcule a+b+n.A) 16 B) 17C) 18 D) 19ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Un mundo para Julius, cuyo autor es Alfredo Bryce Echenique y que consta de 180 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 329 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?A) 26 B) 27C) 28 D) 30Resolución7. El alquiler de una bicicleta cuesta S/4 la primera hora y S/3 más cada nueva hora. ¿Cuál es el porecio total de alquiler en 9 horas?A) 140 B) 144C) 160 D) 169Resolución•5. Dada la siguiente progresión aritméticaaa0; ab(a+2); a(b+1)(3b);...; (3a)05n términoscalcule a+b+n.A) 16 B) 17C) 18 D) 19ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Un mundo para Julius, cuyo autor es Alfredo Bryce Echenique y que consta de 180 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 329 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?A) 26 B) 27C) 28 D) 30Resolución7. El alquiler de una bicicleta cuesta S/4 la primera hora y S/3 más cada nueva hora. ¿Cuál es el porecio total de alquiler en 9 horas?A) 140 B) 144C) 160 D) 169Resolución•5. Dada la siguiente progresión aritméticaaa0; ab(a+2); a(b+1)(3b);...; (3a)05n términoscalcule a+b+n.A) 16 B) 17C) 18 D) 19ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Un mundo para Julius, cuyo autor es Alfredo Bryce Echenique y que consta de 180 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 329 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?A) 26 B) 27C) 28 D) 30Resolución7. El alquiler de una bicicleta cuesta S/4 la primera hora y S/3 más cada nueva hora. ¿Cuál es el porecio total de alquiler en 9 horas?A) 140 B) 144C) 160 D) 169Resolución•Aplico lo aprendido1. Halle el trigésimo octavo término en42; 49; 56;...Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión de un libro de 1003 páginas?ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética5b; 5b+6; 5b+12;...; 9btiene 33 términos, halle el valor de b.Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 3312. Si el segundo término es 16, halle el décimo noveno término.ResoluciónSCOREHelico workshop8.Aplico lo aprendido1. Halle el trigésimo octavo término en42; 49; 56;...Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión de un libro de 1003 páginas?ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética5b; 5b+6; 5b+12;...; 9btiene 33 términos, halle el valor de b.Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 3312. Si el segundo término es 16, halle el décimo noveno término.ResoluciónSCOREHelico workshop9.Aplico lo aprendido1. Halle el trigésimo octavo término en42; 49; 56;...Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión de un libro de 1003 páginas?ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética5b; 5b+6; 5b+12;...; 9btiene 33 términos, halle el valor de b.Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 3312. Si el segundo término es 16, halle el décimo noveno término.ResoluciónSCOREHelico workshop10.

16I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICATAREA DOMICILIARIA1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•Aplico lo aprendido1. Halle el trigésimo octavo término en42; 49; 56;...Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron en la impresión de un libro de 1003 páginas?ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la siguiente progresión aritmética5b; 5b+6; 5b+12;...; 9btiene 33 términos, halle el valor de b.Resolución4. El producto de los tres primeros términos de una progresión aritmética creciente es 3312. Si el segundo término es 16, halle el décimo noveno término.ResoluciónSCOREHelico workshop11. 5. Dada la siguiente progresión aritméticaa8b, a93, b04, ba5,..., aaa7n términoscalcule (a+b) n.ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Cien años de Soledad, cuyo autor es Gabriel García Márquez y que consta de 190 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 335 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?Resolución7. Carlos ahorra cada día S/2 más que el día anterior. Si en los quince días de haber ahorrado tiene S/330, ¿cuánto ahorró el primer día?Resolución•5. Dada la siguiente progresión aritméticaa8b, a93, b04, ba5,..., aaa7n términoscalcule (a+b) n.ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Cien años de Soledad, cuyo autor es Gabriel García Márquez y que consta de 190 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 335 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?Resolución7. Carlos ahorra cada día S/2 más que el día anterior. Si en los quince días de haber ahorrado tiene S/330, ¿cuánto ahorró el primer día?Resolución•5. Dada la siguiente progresión aritméticaa8b, a93, b04, ba5,..., aaa7n términoscalcule (a+b) n.ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Cien años de Soledad, cuyo autor es Gabriel García Márquez y que consta de 190 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 335 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?Resolución7. Carlos ahorra cada día S/2 más que el día anterior. Si en los quince días de haber ahorrado tiene S/330, ¿cuánto ahorró el primer día?Resolución•12.

4TO DE SECUNDARIA 17 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•1. ¿Cuántos términos tiene la siguiente PA?71; 76; 81;...; 361Resolucióna1 = 71 , an = 361 , r = 76 - 71 = 5Luegon = an - a1r + 1n = 361 - 715 + 1 = 59Rpta.: 592. En la siguiente PA, calcule la suma de los términos vigésimo sexto y trigésimo primero.60; 64; 68;...Resolución t1 = 60, r = 4 tn = t1 + (n – 1)r t26 = 60 + 25(4) = 160 t31 = 60 + 30(4) = 180 ∴ t23 + t31 = 340Rpta.: 3403. Indique cuántos términos tiene la siguiente PAaa,... , (2a)b, 54, baResoluciónr = 54 - (2a)b = ba - 54 (2a)b + ba = 108 21a + 11b = 108 ↓ ↓ 2 6Luego: an = a1 + (n - 1)r 62 = 22 + (n - 1)(62 - 54) 40 = (n - 1)8 ∴ n = 6Rpta.: 64. Si una progresión aritmética tiene 23 términos, halle el término de lugar 43 sabiendo que el primero es 25 y el último término es 245.Resolucióna1=25 , an=245 , n=23 245 - 25r + 1 = 23 → 220 = 22r r = 10 ∴ t43=25 +(43 – 1)10 = 445Rpta.: 4455. En la numeración de la siguiente sucesión1; 2; 3;...; abcse han empleado 933 cifras. Calcule a + b + c.Resolución(abc + 1)3 –111 = 933(abc + 1)3 = 1044abc + 1 = 348abc = 347∴ a + b + c = 14Rpta.: 14Solved problems•PARA EL CUADERNO5. Dada la siguiente progresión aritméticaa8b, a93, b04, ba5,..., aaa7n términoscalcule (a+b) n.ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Cien años de Soledad, cuyo autor es Gabriel García Márquez y que consta de 190 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 335 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?Resolución7. Carlos ahorra cada día S/2 más que el día anterior. Si en los quince días de haber ahorrado tiene S/330, ¿cuánto ahorró el primer día?Resolución•1. 1. Indique cuántos términos de la siguiente progresión aritmética14; 22; 30;...se encuentran entre 500 y 800.A) 36 B) 37C) 38 D) 492. En la siguiente progresión aritméticax0y, xxz,..., y0xexisten 89 términos. Calcule x+y+z.A) 10 B) 18C) 21 D) 17Nivel I1. En la siguiente progresión8; 13; 18; 23;...calcule t31+t19.A) 256 B) 258C) 264 D) 266Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron para numerar un libro de 477 páginas?A) 1323 B) 1325C) 1331 D) 1338ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge4.1. Indique cuántos términos de la siguiente progresión aritmética14; 22; 30;...se encuentran entre 500 y 800.A) 36 B) 37C) 38 D) 492. En la siguiente progresión aritméticax0y, xxz,..., y0xexisten 89 términos. Calcule x+y+z.A) 10 B) 18C) 21 D) 17Nivel I1. En la siguiente progresión8; 13; 18; 23;...calcule t31+t19.A) 256 B) 258C) 264 D) 266Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron para numerar un libro de 477 páginas?A) 1323 B) 1325C) 1331 D) 1338ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge5.1. Indique cuántos términos de la siguiente progresión aritmética14; 22; 30;...se encuentran entre 500 y 800.A) 36 B) 37C) 38 D) 492. En la siguiente progresión aritméticax0y, xxz,..., y0xexisten 89 términos. Calcule x+y+z.A) 10 B) 18C) 21 D) 17Nivel I1. En la siguiente progresión8; 13; 18; 23;...calcule t31+t19.A) 256 B) 258C) 264 D) 266Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron para numerar un libro de 477 páginas?A) 1323 B) 1325C) 1331 D) 1338ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge6.Nivel II3. Si en una progresión aritmética de 17 términos se conoce que el primero es 42 y el último es 106, determine el término de lugar 21.A) 112 B) 122C) 132 D) 142Resolución4. En la escritura de la sucesión 1; 2; 3;...; ab se han utilizado 147 cifras. Calcule a + b.A) 12 B) 14C) 15 D) 18ResoluciónNivel III5. En el hospital Arzobispo Loayza se atienden a los pacientes de una forma muy peculiar en sus 15 especialidades. En la primera especialidad se atendieron a 12 pacientes, 20 en la segunda, 28 en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos pacientes fueron atendidos en la décimo cuarta especialidad?A) 86 B) 88C) 104 D) 116Resolución•7.Nivel II3. Si en una progresión aritmética de 17 términos se conoce que el primero es 42 y el último es 106, determine el término de lugar 21.A) 112 B) 122C) 132 D) 142Resolución4. En la escritura de la sucesión 1; 2; 3;...; ab se han utilizado 147 cifras. Calcule a + b.A) 12 B) 14C) 15 D) 18ResoluciónNivel III5. En el hospital Arzobispo Loayza se atienden a los pacientes de una forma muy peculiar en sus 15 especialidades. En la primera especialidad se atendieron a 12 pacientes, 20 en la segunda, 28 en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos pacientes fueron atendidos en la décimo cuarta especialidad?A) 86 B) 88C) 104 D) 116Resolución•8.Nivel II3. Si en una progresión aritmética de 17 términos se conoce que el primero es 42 y el último es 106, determine el término de lugar 21.A) 112 B) 122C) 132 D) 142Resolución4. En la escritura de la sucesión 1; 2; 3;...; ab se han utilizado 147 cifras. Calcule a + b.A) 12 B) 14C) 15 D) 18ResoluciónNivel III5. En el hospital Arzobispo Loayza se atienden a los pacientes de una forma muy peculiar en sus 15 especialidades. En la primera especialidad se atendieron a 12 pacientes, 20 en la segunda, 28 en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos pacientes fueron atendidos en la décimo cuarta especialidad?A) 86 B) 88C) 104 D) 116Resolución•9.Nivel I1. Halle el cuadragésimo tercer término en7; 15; 23;...A) 340 B) 343C) 350 D) 420Nivel II2. ¿Cuántos tipos de imprenta se han empleado para enumerar las 280 páginas de un libro?A) 730 B) 621C) 418 D) 8213. Si la siguiente progresión aritmética tiene 25 términos, halle el valor de p.2p; 2p+4; 2p+8;...; 5pA) 30 B) 31C) 45 D) 29Nivel III4. En el libro de Aritmética se lee el siguiente enunciado:“Indique cuántas cifras se han empleado para escribir28; 30; 32;...; 424”¿Cuál es la respuesta de esta pregunta del libro?A) 624 B) 589C) 621 D) 5435. En la estación de ómnibus Fiori se venden pasajes para 13 rutas existentes; en la primera ruta se han vendido 20 pasajes, 27 en la segunda, 34 en la tercera, 41 en la cuarta y así sucesivamente. ¿Cuántos pasajes se han vendido en la décimo primera ruta?A) 70 B) 90C) 100 D) 124Helico homework10.5. Dada la siguiente progresión aritméticaa8b, a93, b04, ba5,..., aaa7n términoscalcule (a+b) n.ResoluciónAsumo mi reto6. De la novela Cien años de Soledad, cuyo autor es Gabriel García Márquez y que consta de 190 páginas, se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han empleado 335 tipos. ¿Cuántas hojas se arrancaron?Resolución7. Carlos ahorra cada día S/2 más que el día anterior. Si en los quince días de haber ahorrado tiene S/330, ¿cuánto ahorró el primer día?Resolución•2.1. Indique cuántos términos de la siguiente progresión aritmética14; 22; 30;...se encuentran entre 500 y 800.A) 36 B) 37C) 38 D) 492. En la siguiente progresión aritméticax0y, xxz,..., y0xexisten 89 términos. Calcule x+y+z.A) 10 B) 18C) 21 D) 17Nivel I1. En la siguiente progresión8; 13; 18; 23;...calcule t31+t19.A) 256 B) 258C) 264 D) 266Resolución2. ¿Cuántas cifras se utilizaron para numerar un libro de 477 páginas?A) 1323 B) 1325C) 1331 D) 1338ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge3.

18I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA03 Divisibilidad IConceptoSe llama divisibilidad a la parte de la teoría de números que estudia las condiciones que debe reunir un número para que sea divisible por otro.I. Conceptos adicionalesa. Múltiplo: Un número entero A es múltiplo de otro B cuando A contiene a B cierto número entero y exacto de veces.Ejemplos¾ 77 es múltiplo de 11 porque 77 = 11(7).¾ 96 es múltiplo de 12 porque 96 = 12(8).¾ –35 el múltiplo de 7 porque –35 = 7(–5).b. Divisor: Se dice que un número B es divisor o divide a A, cuando está contenido un número entero y exacto de veces. Sean A y B números enteros.¾ A es múltiplo de B.¾ A es divisible por B.¾ A contiene a B.¾ B es divisor de A.¾ B es factor de A.A B0 kSi Se leeII. Notación y representación de los múltiplos de un númeroA. Para números divisibles Notación Sea: °n = °n = mn (Se lee múltiplo de n)n: móduloDonde: °n = nk, ∀ k∈Ejemplos°7 = 7k, donde si k = ...; –2; –1; 0; 1; 2; 3;...→ °7 = {...; -14; -7; 0; 7; 14;...}°13 = 13k, donde si k = ...; –2; –1; 0; 1; 2; 3;...→ °13 = {...; -26; -13; 0; 13; 26;...}ObservationCero es múltiplo de todo número.B. Para números no divisibles 73 645 74 (6 + 1)45 45 = 7 × 6 + 3 45 = 7(6 + 1) – 4 45 = °7 + 3 45 = °7 – 4 Donde: D = °n + rd = °n – re Ejemplos¾ °7 + 3 = °7 – 4¾ °9 + 2 = °9 – 7¾ °11 – 4 = °11 + 7¾ °31 – 19 = °31 + 12¾ °43 – 23 = °43 + 20¾ °24 – 14 = °24 + 10III. Propiedadesa. °n + °n +...+ °n = °nb. °n – °n = °nc. °nk = °n, ∀k∈+d. °nk = °ne. Todo número es múltiplo de los números que lo puedan dividir y de la combinaciones que con ellos se puedan realizar, es decir480...°2°3°4°5°6... °20... °480DIVISIBILIDAD IHelico theory

4TO DE SECUNDARIA 19 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICAf. Teorema de Arquímedes-Euclides¾ Si 37a = °17 → a = °17; Obs.: 37 ≠ °17¾ Si 23n = °5 → n = °5; Obs.: 23 ≠ °5¾ Si 41n = °9 → n = °9; Obs.: 41 ≠ °9¾ Si 2n + 1 = °3 → 2n + 1 + 3 = °3Luego: 2(n + 2) = °3 → n + 2 = °3IV. Binomio aplicado a divisibilidad¾ (°n + r)2 = °n2 + 2°nr + r2 = °n + r2¾ (°n + r)3 = °n3 + 3°n2r + 3°nr2 + r3 = °n + r3En general°n + (–r)k = °n + (–r)k, ∀k∈+Si k : par → °n + rkSi k : impar → °n – rkEjemplos¾ (°3 + 2)3 = °3 + 23 = °3 + 2¾ (°4 – 1)4 = °4 + (–1)4 = °4 + 1•Aplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practice TRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practice Aplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 7, terminados en 4 existen entre el 115 y 993?A) 10 B) 11C) 12 D) 13Resolución2. De la secuencia del 1 al 800¾ ¿cuántos son múltiplos de 4?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7?¾ ¿cuántos son múltiplos de 6 pero no de 5?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 420 B) 421C) 425 D) 430ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaF = ( °13 + 2)3( °13 – 6) + ( °13 + 4)2( °13 – 2)( °13 + 1)A) °13 + 11 B) °13 + 9C) °13 + 10 D) °13 + 8Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 688857entre 7.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico practice

20I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA5. Siaba = °9 + 4abb = °9 + 5halle el residuo que se obtiene al dividir ab ab entre 9.A) 0 B) 1C) 2 D) 3ResoluciónAsumo mi reto6. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observó que 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran ajedrecistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso?A) 285 B) 287C) 290 D) 295Resolución7. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas estaban vestidas de negro, ¿cuántas damas no bailaban en dicho momento?A) 45 B) 55C) 65 D) 75Resolución•5. Siaba = °9 + 4abb = °9 + 5halle el residuo que se obtiene al dividir ab ab entre 9.A) 0 B) 1C) 2 D) 3ResoluciónAsumo mi reto6. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observó que 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran ajedrecistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso?A) 285 B) 287C) 290 D) 295Resolución7. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas estaban vestidas de negro, ¿cuántas damas no bailaban en dicho momento?A) 45 B) 55C) 65 D) 75Resolución•5. Siaba = °9 + 4abb = °9 + 5halle el residuo que se obtiene al dividir ab ab entre 9.A) 0 B) 1C) 2 D) 3ResoluciónAsumo mi reto6. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observó que 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran ajedrecistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso?A) 285 B) 287C) 290 D) 295Resolución7. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas estaban vestidas de negro, ¿cuántas damas no bailaban en dicho momento?A) 45 B) 55C) 65 D) 75Resolución•5. Siaba = °9 + 4abb = °9 + 5halle el residuo que se obtiene al dividir ab ab entre 9.A) 0 B) 1C) 2 D) 3ResoluciónAsumo mi reto6. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observó que 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran ajedrecistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso?A) 285 B) 287C) 290 D) 295Resolución7. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas estaban vestidas de negro, ¿cuántas damas no bailaban en dicho momento?A) 45 B) 55C) 65 D) 75Resolución•5. Siaba = °9 + 4abb = °9 + 5halle el residuo que se obtiene al dividir ab ab entre 9.A) 0 B) 1C) 2 D) 3ResoluciónAsumo mi reto6. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observó que 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran ajedrecistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso?A) 285 B) 287C) 290 D) 295Resolución7. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas estaban vestidas de negro, ¿cuántas damas no bailaban en dicho momento?A) 45 B) 55C) 65 D) 75Resolución•5. Siaba = °9 + 4abb = °9 + 5halle el residuo que se obtiene al dividir ab ab entre 9.A) 0 B) 1C) 2 D) 3ResoluciónAsumo mi reto6. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones se observó que 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran ajedrecistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso?A) 285 B) 287C) 290 D) 295Resolución7. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas estaban vestidas de negro, ¿cuántas damas no bailaban en dicho momento?A) 45 B) 55C) 65 D) 75Resolución•Aplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 6, terminados en 8 existen entre el 134 y el 970?Resolución2. De la secuencia del 1 al 1300¾ ¿cuántos son múltiplos de 9?¾ ¿cuántos son múltiplos de 11?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7 pero no de 12?Dé como respuesta la suma de los resultados.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaM = (°9 + 7)2(°9 + 5)(°9 + 1) + (°9 – 4)(°9 + 5)2Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 9407151entre 15.ResoluciónSCOREHelico workshop8.Aplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 6, terminados en 8 existen entre el 134 y el 970?Resolución2. De la secuencia del 1 al 1300¾ ¿cuántos son múltiplos de 9?¾ ¿cuántos son múltiplos de 11?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7 pero no de 12?Dé como respuesta la suma de los resultados.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaM = (°9 + 7)2(°9 + 5)(°9 + 1) + (°9 – 4)(°9 + 5)2Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 9407151entre 15.ResoluciónSCOREHelico workshop9.

4TO DE SECUNDARIA 21 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICAAplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 6, terminados en 8 existen entre el 134 y el 970?Resolución2. De la secuencia del 1 al 1300¾ ¿cuántos son múltiplos de 9?¾ ¿cuántos son múltiplos de 11?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7 pero no de 12?Dé como respuesta la suma de los resultados.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaM = (°9 + 7)2(°9 + 5)(°9 + 1) + (°9 – 4)(°9 + 5)2Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 9407151entre 15.ResoluciónSCOREHelico workshop10.Aplico lo aprendido1. ¿Cuántos múltiplos de 6, terminados en 8 existen entre el 134 y el 970?Resolución2. De la secuencia del 1 al 1300¾ ¿cuántos son múltiplos de 9?¾ ¿cuántos son múltiplos de 11?¾ ¿cuántos son múltiplos de 7 pero no de 12?Dé como respuesta la suma de los resultados.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. ReduzcaM = (°9 + 7)2(°9 + 5)(°9 + 1) + (°9 – 4)(°9 + 5)2Resolución4. Halle el residuo que se obtiene al dividir 9407151entre 15.ResoluciónSCOREHelico workshop11.5. Si mnm = °7 + 3 mnn = °7 + 6halle el residuo que se obtiene al dividir mnmn entre 7.ResoluciónAsumo mi reto6. Un barco donde viajaban 300 personas naufraga. De los sobrevivientes, la octava parte eran peruanos y la onceava parte eran chilenos y de los muertos la novena parte eran peruanos. ¿Cuántos peruanos viajaban en el barco?Resolución7. A la fiesta de aniversario de la Academia asistió un número de personas que es mayor que 250 pero menor que 350. En cierto momento se observó que los 2/11 de los asistentes son varones que están conversando y los 5/13 de los mismos son mujeres que están bailando. Si todos los varones están bailando o conversando, ¿cuántas mujeres no están bailando en dicho momento?Resolución•12.TAREA DOMICILIARIA1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•

22I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•1. Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre un múltiplo deResoluciónDescomponiendo polinómicamente (3a)103 + (3b)102 + (a)101 + b =→ 3000a + 300b + 10a + bLuego: 3010a + 301bFactorizando 301(10a + b)Donde 7 × 43 × ab∴ °7; °43 y °301Rpta.: °7; °43 y °301.2. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad y los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?ResoluciónDato: Número de personas < 300SeanNúmero de personas = n Mayores = 211 nLimeños = 211 n → n = °11 y °17 → n = 187ReemplazandoLimeños = 517 (187) = 55∴ No limeños = 187 - 55 = 132Rpta.: 1323. Indique cuál es el residuo de dividir E entre 8 si se sabe queE = 19932 + 19952ResoluciónSabemos1993 8→ °8 + 1 1 2491995 8→ °8 + 3 3 249Luego E = (°8 + 1)2 + (°8 + 3)2 E = (°8 + 1) + (°8 + 9) E = °8 + 10 = °8 + 2 ∴ Residuo = 2Rpta.: 24. Si aa43a = °23, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente 11001a + 430 = °23( °23 + 7)a + ( °23 – 7) = °237a – 7 = °23 → a – 1 = °23 ∴ a = 1Rpta.: 15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son °11 y °17?Resolución°11 y °17 → °187 = 187k1000 ≤ 187k < 10 0005,... ≤ k <53,...k = {6; 7; 8;...; 53}n = 53 – 5∴ n = 48Rpta.: 48Solved problems•PARA EL CUADERNO5. Si mnm = °7 + 3 mnn = °7 + 6halle el residuo que se obtiene al dividir mnmn entre 7.ResoluciónAsumo mi reto6. Un barco donde viajaban 300 personas naufraga. De los sobrevivientes, la octava parte eran peruanos y la onceava parte eran chilenos y de los muertos la novena parte eran peruanos. ¿Cuántos peruanos viajaban en el barco?Resolución7. A la fiesta de aniversario de la Academia asistió un número de personas que es mayor que 250 pero menor que 350. En cierto momento se observó que los 2/11 de los asistentes son varones que están conversando y los 5/13 de los mismos son mujeres que están bailando. Si todos los varones están bailando o conversando, ¿cuántas mujeres no están bailando en dicho momento?Resolución•1.1. Sabiendo queabcd = °17 y cd = 3×ab + 1calcule a c.A) 3 B) 4C) 5 D) 72. Los números n y p no son múltiplos de 5, entonces la expresión siguiente32p32n + 28p28n + 24p24n +... + 4p4nesA) °5 + 1. B) °5 + 2.C) °5 - 2. D) °5 - 1.Helico trialNivel I1. Del 1 al 900¾ ¿cuántos son °5?¾ ¿cuántos son °4?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 400 B) 405C) 410 D) 415Resolución2. ¿Cuántos números de tres cifras son °12?A) 70 B) 75C) 78 D) 82ResoluciónSCOREHelico challenge5.1. Sabiendo queabcd = °17 y cd = 3×ab + 1calcule a c.A) 3 B) 4C) 5 D) 72. Los números n y p no son múltiplos de 5, entonces la expresión siguiente32p32n + 28p28n + 24p24n +... + 4p4nesA) °5 + 1. B) °5 + 2.C) °5 - 2. D) °5 - 1.Helico trialNivel I1. Del 1 al 900¾ ¿cuántos son °5?¾ ¿cuántos son °4?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 400 B) 405C) 410 D) 415Resolución2. ¿Cuántos números de tres cifras son °12?A) 70 B) 75C) 78 D) 82ResoluciónSCOREHelico challenge6.Nivel II3. Determine el residuo de dividir 487 entre 7.A) 1 B) 3C) 5 D) 6Resolución4. Del 1 al 6000, ¿cuántos números son °4?A) 1500 B) 1550C) 1600 D) 1800ResoluciónNivel III5. A un congreso científico asisten entre 100 y 200 médicos. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ginecólogos y los 5/11 son cirujanos, ¿cuántos son cirujanos?A) 70 B) 84C) 96 D) 154Resolución•7.Nivel II3. Determine el residuo de dividir 487 entre 7.A) 1 B) 3C) 5 D) 6Resolución4. Del 1 al 6000, ¿cuántos números son °4?A) 1500 B) 1550C) 1600 D) 1800ResoluciónNivel III5. A un congreso científico asisten entre 100 y 200 médicos. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ginecólogos y los 5/11 son cirujanos, ¿cuántos son cirujanos?A) 70 B) 84C) 96 D) 154Resolución•8.Nivel II3. Determine el residuo de dividir 487 entre 7.A) 1 B) 3C) 5 D) 6Resolución4. Del 1 al 6000, ¿cuántos números son °4?A) 1500 B) 1550C) 1600 D) 1800ResoluciónNivel III5. A un congreso científico asisten entre 100 y 200 médicos. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ginecólogos y los 5/11 son cirujanos, ¿cuántos son cirujanos?A) 70 B) 84C) 96 D) 154Resolución•9.Nivel I1. Del 1 al 8000¾ ¿cuántos son °5?¾ ¿cuántos son °9?¾ ¿cuántos son °5 y °9?dé como respuesta la suma de los resultados.A) 1065 B) 2665C) 2664 D) 2667Nivel II2. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 11?A) 81 B) 80C) 82 D) 833. ¿Cuántos números de tres cifras son °19 y acaban en 7?A) 4 B) 5C) 6 D) 7Nivel III4. La tutora de un aula, ante la duda de sus alumnos le pide al profesor explicar el siguiente problema en clase:“Halle el residuo de dividir E entre 7 siE = 49 63640”.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En una fiesta donde habían 120 personas entre damas, caballeros y niños, el número de caballeros que no bailaban en un determinado momento era igual a la tercera parte del número de damas, el número de niños era igual a la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue con minifalda. ¿Cuántas damas bailaban en dicho momento?A) 48 B) 60C) 28 D) 42Helico homework10.5. Si mnm = °7 + 3 mnn = °7 + 6halle el residuo que se obtiene al dividir mnmn entre 7.ResoluciónAsumo mi reto6. Un barco donde viajaban 300 personas naufraga. De los sobrevivientes, la octava parte eran peruanos y la onceava parte eran chilenos y de los muertos la novena parte eran peruanos. ¿Cuántos peruanos viajaban en el barco?Resolución7. A la fiesta de aniversario de la Academia asistió un número de personas que es mayor que 250 pero menor que 350. En cierto momento se observó que los 2/11 de los asistentes son varones que están conversando y los 5/13 de los mismos son mujeres que están bailando. Si todos los varones están bailando o conversando, ¿cuántas mujeres no están bailando en dicho momento?Resolución•2.1. Sabiendo queabcd = °17 y cd = 3×ab + 1calcule a c.A) 3 B) 4C) 5 D) 72. Los números n y p no son múltiplos de 5, entonces la expresión siguiente32p32n + 28p28n + 24p24n +... + 4p4nesA) °5 + 1. B) °5 + 2.C) °5 - 2. D) °5 - 1.Helico trialNivel I1. Del 1 al 900¾ ¿cuántos son °5?¾ ¿cuántos son °4?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 400 B) 405C) 410 D) 415Resolución2. ¿Cuántos números de tres cifras son °12?A) 70 B) 75C) 78 D) 82ResoluciónSCOREHelico challenge3.1. Sabiendo queabcd = °17 y cd = 3×ab + 1calcule a c.A) 3 B) 4C) 5 D) 72. Los números n y p no son múltiplos de 5, entonces la expresión siguiente32p32n + 28p28n + 24p24n +... + 4p4nesA) °5 + 1. B) °5 + 2.C) °5 - 2. D) °5 - 1.Helico trialNivel I1. Del 1 al 900¾ ¿cuántos son °5?¾ ¿cuántos son °4?Dé como respuesta la suma de los resultados.A) 400 B) 405C) 410 D) 415Resolución2. ¿Cuántos números de tres cifras son °12?A) 70 B) 75C) 78 D) 82ResoluciónSCOREHelico challenge4.

4TO DE SECUNDARIA 23 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA04 Divisibilidad IICRITERIOS DE DIVISIBILIDADEs un conjunto de reglas, que aplicadas a las cifras de un numeral, permiten identificar si el número es múltiplo de cierto módulo o no, de ser el caso que no fuera múltiplo nos permite determinar el residuo de una manera directa y sencilla.1. Divisibilidad por 2n Observation2 = 21 → Exponente (1), se toma la última cifra.4 = 22 → Exponente (2), se toman las dos últimas cifras.8 = 23 → Exponente (3), se toman las tres últimas cifras.Si abcd = 2° → d = 2°Si abcd = 4° → cd = 4°Si abcd = 8° → bcd = 8°2. Divisibilidad por 5nSi abcd = 5° → d = 5°Observation5 = 51 → Exponente (1), se toma la última cifra.25 = 52 → Exponente (2), se toman las dos últimas cifras.125 = 53 → Exponente (3), se toman las tres últimas cifras.Si abcd = 25° → cd = 25°Si abcd = 125° → bcd = 125°Donde:d = 0; 5cd = 00; 25; 50; 75bcd = 000; 125; 250; 375; 500;...3. Divisibilidad por 3Si abcd = 3°, se cumple que a + b + c + d = 3°.Ejemplos ¾ 27 → 2 + 7 = 9 = 3° ∴ 27 = 3° ¾ 342 → 3 + 4 + 2 = 9 = 3° ∴ 342 = 3° ¾ 1236 → 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 3° ∴ 1236 = 3°4. Divisibilidad por 9Si abcde = 9°, se cumple que a + b + c + d + e = 9°.Ejemplos ¾ 45729 → 4 + 5 + 7 + 2 + 9 = 27 = 9° ∴ 45729 = 9° ¾ 368154 → 3 + 6 + 8 + 1 + 5 + 4 = 27 = 9° ∴ 368154 = 9°5. Divisibilidad por 11Si abcdef = 11° , se cumple que (f + d + b) � (e + c + a) = 11° .Ejemplos ¾ 121 → (1 + 1) � 2 = 0 = 11° ∴ 121 = 11° ¾ 3476 → (4 + 6) � (7 + 3) = 0 = 11° ∴ 3476 = 11° ¾ 2849 → (9 + 8) � (4 + 2) =11 = 11° ∴ 2849 = 11°Helico theory

24I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA6. Divisibilidad por 7Si a b c d e f�2 �3 �1 2 3 1 = 7°, se cumple que � 2a � 3b � c + 2d + 3e + f = 7°.Ejemplos ¾ 3542�12 31 → �3 + 10 + 12 + 2 = 21 = 7° ∴ 3542 = 7° ¾ 72163491�2�3�12 3 1→ 7 � 4 �3 �6 + 6 + 12 + 9 = 21 = 7° ∴ 7 216 349 = 7°7. Divisibilidad por 13Si a b c d e f g1 4 3 �1 �4 �3 1 = 13° , se cumple que a + 4b + 3c � d � 4e � 3f + g = 13° .Ejemplos ¾ 110113�1�4�3 1→ 3 �1 + 0 �3 + 1 = 0 = 13° ∴ 11 011 = 13° ¾ 596183�1�4�3 1→ 15 � 9 �24 �3 + 8 = �13 = 13° ∴ 59 618 = 13°8. Divisibilidad por 33 o 99Si abcdef = 33° o 99° , se cumple que ab + cd + ef = 33° o 99° .Ejemplos ¾ 151437 → 15 + 14 + 37 = 66 = 33° ∴ 151 437 = 33° ¾ 4 543 308 → 4 + 54 + 33 + 08 = 99 = 99° ∴ 4 543 308 = 99°•TRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20ResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20ResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20ResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20Resolución

4TO DE SECUNDARIA 25 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICAAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20ResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20ResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20ResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule n + a + p si se cumple que¾ 4n27 = 9°¾ a1a5 = 11°¾ 343pp = 8°A) 10 B) 11C) 12 D) 13ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 24a37b es divisible por 72, calcule a ⋅ b.A) 28 B) 30C) 32 D) 40ResoluciónHelico practice2. Si 30ab60 = 99° , calcule ba.A) 0 B) 4C) 8 D) 12Resolución4. Calcule m + n + p si el número 4m13np = 1125 ° .A) 15 B) 17C) 19 D) 20Resolución5. Si 2x6387 = 9° + 4, halle el residuo de dividir xxx...x de 66601 cifras entre 7.A) 5 B) 6C) 7 D) 8Resolución7. Álex fue atropellado por un auto que se dió a la fuga; fue conducido hospital y un testigo aseguró que el número de la placa del auto que lo embistió era de cuatro cifras; otro testigo afirmó que dichas cifras sumadas dan 26. La policía concluyó en sus indagaciones que las tres últimas cifras de lo placa cumplen las siguientes condiciones: ¾ Forman un número divisible por 9.¾ Lo decena con la centena forman un número múltiplo de 5.¾ Lo centena can la decena forman un número múltiplo de 8.Determine el número de la placa.A) 8567 B) 7658C) 8566 D) 9566Resolución Asumo mi reto6. Arthur llega de visita a la casa de comadre, sus ahijados Aaron, Alhely y Aariano lo saludaron efusivamente, al momento de retirarse de la casa les entrega S/ 23a como propina, para que sea repartido equitativamente tras lo cual cada uno recibió la máxima cantidad de S/ bc. Calcule a + b + c.A) 15 B) 18C) 23 D) 27Resolución•5. Si 2x6387 = 9° + 4, halle el residuo de dividir xxx...x de 66601 cifras entre 7.A) 5 B) 6C) 7 D) 8Resolución7. Álex fue atropellado por un auto que se dió a la fuga; fue conducido hospital y un testigo aseguró que el número de la placa del auto que lo embistió era de cuatro cifras; otro testigo afirmó que dichas cifras sumadas dan 26. La policía concluyó en sus indagaciones que las tres últimas cifras de lo placa cumplen las siguientes condiciones: ¾ Forman un número divisible por 9.¾ Lo decena con la centena forman un número múltiplo de 5.¾ Lo centena can la decena forman un número múltiplo de 8.Determine el número de la placa.A) 8567 B) 7658C) 8566 D) 9566Resolución Asumo mi reto6. Arthur llega de visita a la casa de comadre, sus ahijados Aaron, Alhely y Aariano lo saludaron efusivamente, al momento de retirarse de la casa les entrega S/ 23a como propina, para que sea repartido equitativamente tras lo cual cada uno recibió la máxima cantidad de S/ bc. Calcule a + b + c.A) 15 B) 18C) 23 D) 27Resolución•5. Si 2x6387 = 9° + 4, halle el residuo de dividir xxx...x de 66601 cifras entre 7.A) 5 B) 6C) 7 D) 8Resolución7. Álex fue atropellado por un auto que se dió a la fuga; fue conducido hospital y un testigo aseguró que el número de la placa del auto que lo embistió era de cuatro cifras; otro testigo afirmó que dichas cifras sumadas dan 26. La policía concluyó en sus indagaciones que las tres últimas cifras de lo placa cumplen las siguientes condiciones: ¾ Forman un número divisible por 9.¾ Lo decena con la centena forman un número múltiplo de 5.¾ Lo centena can la decena forman un número múltiplo de 8.Determine el número de la placa.A) 8567 B) 7658C) 8566 D) 9566Resolución Asumo mi reto6. Arthur llega de visita a la casa de comadre, sus ahijados Aaron, Alhely y Aariano lo saludaron efusivamente, al momento de retirarse de la casa les entrega S/ 23a como propina, para que sea repartido equitativamente tras lo cual cada uno recibió la máxima cantidad de S/ bc. Calcule a + b + c.A) 15 B) 18C) 23 D) 27Resolución•5. Si 2x6387 = 9° + 4, halle el residuo de dividir xxx...x de 66601 cifras entre 7.A) 5 B) 6C) 7 D) 8Resolución7. Álex fue atropellado por un auto que se dió a la fuga; fue conducido hospital y un testigo aseguró que el número de la placa del auto que lo embistió era de cuatro cifras; otro testigo afirmó que dichas cifras sumadas dan 26. La policía concluyó en sus indagaciones que las tres últimas cifras de lo placa cumplen las siguientes condiciones: ¾ Forman un número divisible por 9.¾ Lo decena con la centena forman un número múltiplo de 5.¾ Lo centena can la decena forman un número múltiplo de 8.Determine el número de la placa.A) 8567 B) 7658C) 8566 D) 9566Resolución Asumo mi reto6. Arthur llega de visita a la casa de comadre, sus ahijados Aaron, Alhely y Aariano lo saludaron efusivamente, al momento de retirarse de la casa les entrega S/ 23a como propina, para que sea repartido equitativamente tras lo cual cada uno recibió la máxima cantidad de S/ bc. Calcule a + b + c.A) 15 B) 18C) 23 D) 27Resolución•5. Si 2x6387 = 9° + 4, halle el residuo de dividir xxx...x de 66601 cifras entre 7.A) 5 B) 6C) 7 D) 8Resolución7. Álex fue atropellado por un auto que se dió a la fuga; fue conducido hospital y un testigo aseguró que el número de la placa del auto que lo embistió era de cuatro cifras; otro testigo afirmó que dichas cifras sumadas dan 26. La policía concluyó en sus indagaciones que las tres últimas cifras de lo placa cumplen las siguientes condiciones: ¾ Forman un número divisible por 9.¾ Lo decena con la centena forman un número múltiplo de 5.¾ Lo centena can la decena forman un número múltiplo de 8.Determine el número de la placa.A) 8567 B) 7658C) 8566 D) 9566Resolución Asumo mi reto6. Arthur llega de visita a la casa de comadre, sus ahijados Aaron, Alhely y Aariano lo saludaron efusivamente, al momento de retirarse de la casa les entrega S/ 23a como propina, para que sea repartido equitativamente tras lo cual cada uno recibió la máxima cantidad de S/ bc. Calcule a + b + c.A) 15 B) 18C) 23 D) 27Resolución•5. Si 2x6387 = 9° + 4, halle el residuo de dividir xxx...x de 66601 cifras entre 7.A) 5 B) 6C) 7 D) 8Resolución7. Álex fue atropellado por un auto que se dió a la fuga; fue conducido hospital y un testigo aseguró que el número de la placa del auto que lo embistió era de cuatro cifras; otro testigo afirmó que dichas cifras sumadas dan 26. La policía concluyó en sus indagaciones que las tres últimas cifras de lo placa cumplen las siguientes condiciones: ¾ Forman un número divisible por 9.¾ Lo decena con la centena forman un número múltiplo de 5.¾ Lo centena can la decena forman un número múltiplo de 8.Determine el número de la placa.A) 8567 B) 7658C) 8566 D) 9566Resolución Asumo mi reto6. Arthur llega de visita a la casa de comadre, sus ahijados Aaron, Alhely y Aariano lo saludaron efusivamente, al momento de retirarse de la casa les entrega S/ 23a como propina, para que sea repartido equitativamente tras lo cual cada uno recibió la máxima cantidad de S/ bc. Calcule a + b + c.A) 15 B) 18C) 23 D) 27Resolución•

26I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICAAplico lo aprendido1. Calcule ab si a(a +1)a = 7° y (a +1)b1 = 9°.Resolución2. Si 4baba6 = 99° , calcule ab.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 6a425b es divisible por 72, calcule b � a.Resolución4. Calcule b ⋅ a si el número a86b5 es divisible por 1125 ° .ResoluciónSCOREHelico workshop8.Aplico lo aprendido1. Calcule ab si a(a +1)a = 7° y (a +1)b1 = 9°.Resolución2. Si 4baba6 = 99° , calcule ab.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 6a425b es divisible por 72, calcule b � a.Resolución4. Calcule b ⋅ a si el número a86b5 es divisible por 1125 ° .ResoluciónSCOREHelico workshop9.Aplico lo aprendido1. Calcule ab si a(a +1)a = 7° y (a +1)b1 = 9°.Resolución2. Si 4baba6 = 99° , calcule ab.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 6a425b es divisible por 72, calcule b � a.Resolución4. Calcule b ⋅ a si el número a86b5 es divisible por 1125 ° .ResoluciónSCOREHelico workshop10.Aplico lo aprendido1. Calcule ab si a(a +1)a = 7° y (a +1)b1 = 9°.Resolución2. Si 4baba6 = 99° , calcule ab.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 6a425b es divisible por 72, calcule b � a.Resolución4. Calcule b ⋅ a si el número a86b5 es divisible por 1125 ° .ResoluciónSCOREHelico workshop11.5. El número 342342..., ¿qué residuo deja al dividirlo entre 7?ResoluciónAsumo mi reto6. Cristina lleva a Arthur al hospital por una molestia, para pasar a consulta con el doctor primero debe pasar por triaje (proceso de valoración preliminar de la urgencia del paciente). Se puede apreciar en ese momento que el número de DNI del paciente presentado en enfermería es 90aaa78b, una cantidad cuyas últimas 6 cifras es divisible por 88. ¿Cuál sería la suma de cifras del DNI?Resolución26 cifrasmillonario”.La última etapa del concurso consistía en descifrar una clave de la caja fuerte donde se encontraba el premio mayor.Los datos que le dieron a Benjamín fueron:¾ Es de 4 cifras que sumadas dan 21.¾ La decena con la centena forman un número divisible por 7.¾ La centena con la decena forman un número múltiplo de 5.¾ Las tres primeras cifras de la clave forman un número múltiplo de 9.Determine dicha clave y dé como respuesta el producto de las cifras.Resolución•Peruanito\", participó en el concurso “Quisiera ser 12. 7. Benjamín, destacado estudiante del colegio \"El

4TO DE SECUNDARIA 27 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICATAREA DOMICILIARIA1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•1. Halle el valor de x para que el numeral 34x67, al dividirlo por 11, deje 3 de residuo.ResoluciónDel dato 34x67 = 11° + 3→ 34x64 = 11°Propiedad (4 + x + 3) - (6 + 4) = 11°→ x - 3 = 11° = 0∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el máximo valor de a�b sabiendo queab43ab = 33° + 15ResoluciónPropiedad ab + 43 + ab = 33° + 15 2�ab + 28 = 33°→ 2(ab + 14) = 33°Por Arquímedes-Euclides ab = 33° - 14 ab = 19; 52; 85Luego abmáx = 85→ a = 8, b = 5∴ a� b = 40Rpta.: 403. Sabiendo que el numeral x97y es múltiplo de 88, calcule x - y.ResoluciónDel dato x97y = 88° 8°11°Propiedad 97y = 8° → y = 6Luego reemplazando x97y = 11°Por propiedad (9 + 6) - (x + 7) = 11°→ 8 - x = 11° = 0 x = 8∴ x - y = 2Rpta.: 24. ¿Cuántos números múltiplos de 9 de la forma 36xyexisten? x ≠ yResoluciónx + y = o91 82 73 64 55 46 37 28 19 0x y + =↓ ↑ ↓ ↑0 91 82 73 64 55 46 37 28 19 0 ∴ 10 solucionesRpta.: 105. Si x32x = 3° + 1, halle el máximo valor de x.Resolución 2x + 2 = 3° + 1 2(x + 2) = 3° + 1o2 3 1 4 7→ += x↓Máximo∴ xmáx = 7Rpta.: 7Solved problems•

28I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICAPARA EL CUADERNO5. El número 342342..., ¿qué residuo deja al dividirlo entre 7?ResoluciónAsumo mi reto6. Cristina lleva a Arthur al hospital por una molestia, para pasar a consulta con el doctor primero debe pasar por triaje (proceso de valoración preliminar de la urgencia del paciente). Se puede apreciar en ese momento que el número de DNI del paciente presentado en enfermería es 90aaa78b, una cantidad cuyas últimas 6 cifras es divisible por 88. ¿Cuál sería la suma de cifras del DNI?Resolución26 cifrasmillonario”.La última etapa del concurso consistía en descifrar una clave de la caja fuerte donde se encontraba el premio mayor.Los datos que le dieron a Benjamín fueron:¾ Es de 4 cifras que sumadas dan 21.¾ La decena con la centena forman un número divisible por 7.¾ La centena con la decena forman un número múltiplo de 5.¾ Las tres primeras cifras de la clave forman un número múltiplo de 9.Determine dicha clave y dé como respuesta el producto de las cifras.Resolución•Peruanito\", participó en el concurso “Quisiera ser 7. Benjamín, destacado estudiante del colegio \"El1.5. El número 342342..., ¿qué residuo deja al dividirlo entre 7?ResoluciónAsumo mi reto6. Cristina lleva a Arthur al hospital por una molestia, para pasar a consulta con el doctor primero debe pasar por triaje (proceso de valoración preliminar de la urgencia del paciente). Se puede apreciar en ese momento que el número de DNI del paciente presentado en enfermería es 90aaa78b, una cantidad cuyas últimas 6 cifras es divisible por 88. ¿Cuál sería la suma de cifras del DNI?Resolución26 cifrasmillonario”.La última etapa del concurso consistía en descifrar una clave de la caja fuerte donde se encontraba el premio mayor.Los datos que le dieron a Benjamín fueron:¾ Es de 4 cifras que sumadas dan 21.¾ La decena con la centena forman un número divisible por 7.¾ La centena con la decena forman un número múltiplo de 5.¾ Las tres primeras cifras de la clave forman un número múltiplo de 9.Determine dicha clave y dé como respuesta el producto de las cifras.Resolución•Peruanito\", participó en el concurso “Quisiera ser 2. 7. Benjamín, destacado estudiante del colegio \"El1. Calcule a + b + c si baabbc = 495° .A) 28 B) 18C) 20 D) 172. Determine el residuo de dividir a2bc7bca54 entre 11.A) 2 B) 5C) 3 D) 6Nivel I1. Calcule la suma de todos los valores que toma a si el número mnpa es 2.A) 14 B) 16C) 18 D) 20Resolución2. Halle el valor de n si 528n = 9.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge3.1. Calcule a + b + c si baabbc = 495° .A) 28 B) 18C) 20 D) 172. Determine el residuo de dividir a2bc7bca54 entre 11.A) 2 B) 5C) 3 D) 6Nivel I1. Calcule la suma de todos los valores que toma a si el número mnpa es 2.A) 14 B) 16C) 18 D) 20Resolución2. Halle el valor de n si 528n = 9.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge4.1. Calcule a + b + c si baabbc = 495° .A) 28 B) 18C) 20 D) 172. Determine el residuo de dividir a2bc7bca54 entre 11.A) 2 B) 5C) 3 D) 6Nivel I1. Calcule la suma de todos los valores que toma a si el número mnpa es 2.A) 14 B) 16C) 18 D) 20Resolución2. Halle el valor de n si 528n = 9.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge5.1. Calcule a + b + c si baabbc = 495° .A) 28 B) 18C) 20 D) 172. Determine el residuo de dividir a2bc7bca54 entre 11.A) 2 B) 5C) 3 D) 6Nivel I1. Calcule la suma de todos los valores que toma a si el número mnpa es 2.A) 14 B) 16C) 18 D) 20Resolución2. Halle el valor de n si 528n = 9.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge6.Nivel II3. Halle el valor de a si 527a3=11.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. En el examen de admisión de la UNMSM, un alumno olvidó su carnet de postulante, pero recordó que su código era de seis cifras múltiplo de 11; 9 y 25, además la primera y la última cifra eran iguales y todas las demás son diferentes. Si la cifra del segundo lugar es mayor que la cifra de cuarto lugar, determine el código del alumno y dé como respuesta la suma de las tres primeras cifras.A) 15 B) 17C) 18 D) 21Resolución4. Si 5a10b=72, calcule ab.A) 6 B) 7C) 8 D) 9Resolución•7.Nivel II3. Halle el valor de a si 527a3=11.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. En el examen de admisión de la UNMSM, un alumno olvidó su carnet de postulante, pero recordó que su código era de seis cifras múltiplo de 11; 9 y 25, además la primera y la última cifra eran iguales y todas las demás son diferentes. Si la cifra del segundo lugar es mayor que la cifra de cuarto lugar, determine el código del alumno y dé como respuesta la suma de las tres primeras cifras.A) 15 B) 17C) 18 D) 21Resolución4. Si 5a10b=72, calcule ab.A) 6 B) 7C) 8 D) 9Resolución•8.Nivel II3. Halle el valor de a si 527a3=11.A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. En el examen de admisión de la UNMSM, un alumno olvidó su carnet de postulante, pero recordó que su código era de seis cifras múltiplo de 11; 9 y 25, además la primera y la última cifra eran iguales y todas las demás son diferentes. Si la cifra del segundo lugar es mayor que la cifra de cuarto lugar, determine el código del alumno y dé como respuesta la suma de las tres primeras cifras.A) 15 B) 17C) 18 D) 21Resolución4. Si 5a10b=72, calcule ab.A) 6 B) 7C) 8 D) 9Resolución•9.Nivel I1. ¿Cuántos números múltiplos de 4 y de la forma 1977ab existen?A) 20 B) 21C) 25 D) 23Nivel II2. Si 2x87 = 9° + 4, halle el valor de x.A) 5 B) 6C) 7 D) 83. Si se dan las siguientes relaciones:1245a = 8°, 72b41 = 9° y 4c32 = 11°calcule a + b + c.A) 15 B) 14C) 13 D) 16Nivel III4. La inmobiliaria Los Portales invirtió la suma de 5a10b soles en comprar 3 lotes de terreno de igual área en la zona de Carabayllo. Si la suma invertida es múltiplo de 72, ¿cuál fue el precio de cada lote?A) S/21 560B) S/19 368C) S/20 311D) S/17 4625. Mirelly es una joven emprendedora que incursiona en la venta de calzado deportivo importado, compró un lote de 100 pares y se quedó con un par como muestra, siendo la suma total de la venta por unidad del resto aba2b soles. ¿Cuál será la suma de cifras del precio de venta?A) 10 B) 11C) 12 D) 14Helico homework10.

4TO DE SECUNDARIA 29 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA05 Estudio de los enteros positivos IResponda.1. ¿Cuál es el menor número primo que se puede escribir de esta forma?2. Si multiplicas los 27 primeros números primos, ¿en qué cifra termina el resultado?Parte de la teoría de números, cuya aplicación es los números enteros positivos.I. Conceptos básicos1. Números primos o primos absolutos ObservationTodo número primo mayor que 3 es de la forma (6° ± 1); lo contrario no siempre se cumple.Son aquellos números que admiten solamente dos divisores los cuales son la unidad y el mismo número.Estos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; etc.¾ Números simples ObservationLa unidad (1) tiene un solo divisor que es él mismo. Son todos los primos y la unidad. Estos son: 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; etc. ESTUDIO DE LOS ENTEROS POSITIVOS IHelico theory2. Números compuestosSon aquellos números que admiten más de dos divisores.Estos son: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; etc.Si analizamos al número 12 12126 432112; 6 y 4 son divisores compuestos.2 y 3 son divisores primos.Divisores de 12:CD12 = 3 divisores compuestos + 2 divisores primos + 1Entonces podemos afirmar que, si N es un número compuestoCDN = CDcompuestos + CDprimos + 13. Números primos relativos, coprimos o primos entre sí (PESI)Si tenemos un conjunto de dos o más números, estos serán primos entre sí, cuando el único divisor común que comparten todos ellos es la unidad. Ejemplo 38121938451359154524123681224Único divisor comúnDivisoresPESIII. Teorema fundamental de la aritmética (teorema de Gauss)Todo número entero mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única y se le denomina “descomposición canónica”.Ejemplos 12 = 22 × 31 142 = 21 × 711 1400 = 23 × 52 × 71En generalN = aa � bb �cγ � ... Descomposición canónicadonde a, b, c,... son números primos diferentes y, a, b, γ,... son enteros positivos.III. Métodos para determinar un número primo1. Se divide un numeral entre cada uno de los números que conforman la serie de los primeros números primos, hasta que el cociente sea menor que el divisor utilizado; si en ningún caso es exacta la división, entonces el número será primo. Ejemplo: ¿149 es primo? 1491 742 1492 493 1494 295 1492 217 1496 1311 1496 1113Luego: 11 < 13Como en ningún caso la división es exacta, 149 es primo.2. Otro método para saber si es primo o no, es extrayendo la raíz cuadrada aproximada del numeral; luego aplicamos la multiplicidad por cada uno de los primos menores o iguales a dicha aproximación.Ejemplo: ¿149 es primo?Entonces:149 = 12,...Los factores primos menores a 12,...son: 2; 3; 5; 7 y 11Luego 149 = 2°+1; 3°+2; 5°+4; 7°+2; 11° +6Como en ningún caso es múltiplo exacto, entonces 149 es primo.•2. Números compuestosSon aquellos números que admiten más de dos divisores.Estos son: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; etc.Si analizamos al número 12 12126 432112; 6 y 4 son divisores compuestos.2 y 3 son divisores primos.Divisores de 12:CD12 = 3 divisores compuestos + 2 divisores primos + 1Entonces podemos afirmar que, si N es un número compuestoCDN = CDcompuestos + CDprimos + 13. Números primos relativos, coprimos o primos entre sí (PESI)Si tenemos un conjunto de dos o más números, estos serán primos entre sí, cuando el único divisor común que comparten todos ellos es la unidad. Ejemplo 38121938451359154524123681224Único divisor comúnDivisoresPESIII. Teorema fundamental de la aritmética (teorema de Gauss)Todo número entero mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única y se le denomina “descomposición canónica”.Ejemplos 12 = 22 × 31 142 = 21 × 711 1400 = 23 × 52 × 71En generalN = aa � bb �cγ � ... Descomposición canónicadonde a, b, c,... son números primos diferentes y, a, b, γ,... son enteros positivos.III. Métodos para determinar un número primo1. Se divide un numeral entre cada uno de los números que conforman la serie de los primeros números primos, hasta que el cociente sea menor que el divisor utilizado; si en ningún caso es exacta la división, entonces el número será primo. Ejemplo: ¿149 es primo? 1491 742 1492 493 1494 295 1492 217 1496 1311 1496 1113Luego: 11 < 13Como en ningún caso la división es exacta, 149 es primo.2. Otro método para saber si es primo o no, es extrayendo la raíz cuadrada aproximada del numeral; luego aplicamos la multiplicidad por cada uno de los primos menores o iguales a dicha aproximación.Ejemplo: ¿149 es primo?Entonces:149 = 12,...Los factores primos menores a 12,...son: 2; 3; 5; 7 y 11Luego 149 = 2°+1; 3°+2; 5°+4; 7°+2; 11° +6Como en ningún caso es múltiplo exacto, entonces 149 es primo.•

30I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA2. Números compuestosSon aquellos números que admiten más de dos divisores.Estos son: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; etc.Si analizamos al número 12 12126 432112; 6 y 4 son divisores compuestos.2 y 3 son divisores primos.Divisores de 12:CD12 = 3 divisores compuestos + 2 divisores primos + 1Entonces podemos afirmar que, si N es un número compuestoCDN = CDcompuestos + CDprimos + 13. Números primos relativos, coprimos o primos entre sí (PESI)Si tenemos un conjunto de dos o más números, estos serán primos entre sí, cuando el único divisor común que comparten todos ellos es la unidad. Ejemplo 38121938451359154524123681224Único divisor comúnDivisoresPESIII. Teorema fundamental de la aritmética (teorema de Gauss)Todo número entero mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única y se le denomina “descomposición canónica”.Ejemplos 12 = 22 × 31 142 = 21 × 711 1400 = 23 × 52 × 71En generalN = aa � bb �cγ � ... Descomposición canónicadonde a, b, c,... son números primos diferentes y, a, b, γ,... son enteros positivos.III. Métodos para determinar un número primo1. Se divide un numeral entre cada uno de los números que conforman la serie de los primeros números primos, hasta que el cociente sea menor que el divisor utilizado; si en ningún caso es exacta la división, entonces el número será primo. Ejemplo: ¿149 es primo? 1491 742 1492 493 1494 295 1492 217 1496 1311 1496 1113Luego: 11 < 13Como en ningún caso la división es exacta, 149 es primo.2. Otro método para saber si es primo o no, es extrayendo la raíz cuadrada aproximada del numeral; luego aplicamos la multiplicidad por cada uno de los primos menores o iguales a dicha aproximación.Ejemplo: ¿149 es primo?Entonces:149 = 12,...Los factores primos menores a 12,...son: 2; 3; 5; 7 y 11Luego 149 = 2°+1; 3°+2; 5°+4; 7°+2; 11° +6Como en ningún caso es múltiplo exacto, entonces 149 es primo.•IV. Estudio de los divisores de un número entero positivoCantidad de divisores de un número (CD)Conocida la descomposición canónica del número12 = 22 × 3120 × 3021 × 31223 × 2 = 6 divisoresDivisores decada columnaDe donde:CD12 = (2 + 1)(1 + 1) = 6 divisores240 = 24 × 31 × 5120 × 30 × 5021 × 31 × 515 × 2 × 2 = 20 divisores222324Divisoresde cada columnaCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (+)Números simplesAquellos que tienen a los más dos divisoresNúmeros primos entres sí (PESI)¾ Llamados también primos relativos o coprimos.¾ Es aquel grupo de números que tienen un solo divisor común, la unidad.Ejemplo10: , 2, 5, 1021: , 3, 7, 21e son PESI.La unidadTiene un solo divisorNúmeros primos absolutosDivisibles solo por 1 y por si mismo.{2; 3; 5; 7; 11...}Números compuestosAquellos números que tienen más dos divisoresNúmeros primos entres sí dos a dosSon aquellos números que tomados dos a dos, son siempre números PESI. EjemploLos números 8; 9; y 13¾ 8 y 9 → son PESI¾ 9 y 13 → son PESI¾ 8 y 13 → son PESITeorema fundamental de la aritméticaSiN = am×bn×cp ...(DC)Dondea, b, c son números primos y m, n, y p son +.Ejemplo24 = 23×3 ... (DC)Cantidad de divisoresPor el número de divisores Grupo de númerosDe donde:CD240 = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 20 divisoresDe lo anterior, podemos observar que si a cada exponente de la descomposición canónica le aumentamos la unidad y multiplicamos los resultados, se obtiene el número total de divisores, entoncesSi tenemos la descomposición canónicaN = aa � bb �cγ � ...Descomposición canónicala cantidad de divisores está dada porCDN = (a+1)(b+1)(γ+1)...Helico synthesisSe clasificanSe dividen enIV. Estudio de los divisores de un número entero positivoCantidad de divisores de un número (CD)Conocida la descomposición canónica del número12 = 22 × 3120 × 3021 × 31223 × 2 = 6 divisoresDivisores decada columnaDe donde:CD12 = (2 + 1)(1 + 1) = 6 divisores240 = 24 × 31 × 5120 × 30 × 5021 × 31 × 515 × 2 × 2 = 20 divisores222324Divisoresde cada columnaCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (+)Números simplesAquellos que tienen a los más dos divisoresNúmeros primos entres sí (PESI)¾ Llamados también primos relativos o coprimos.¾ Es aquel grupo de números que tienen un solo divisor común, la unidad.Ejemplo10: , 2, 5, 1021: , 3, 7, 21e son PESI.La unidadTiene un solo divisorNúmeros primos absolutosDivisibles solo por 1 y por si mismo.{2; 3; 5; 7; 11...}Números compuestosAquellos números que tienen más dos divisoresNúmeros primos entres sí dos a dosSon aquellos números que tomados dos a dos, son siempre números PESI. EjemploLos números 8; 9; y 13¾ 8 y 9 → son PESI¾ 9 y 13 → son PESI¾ 8 y 13 → son PESITeorema fundamental de la aritméticaSiN = am×bn×cp ...(DC)Dondea, b, c son números primos y m, n, y p son +.Ejemplo24 = 23×3 ... (DC)Cantidad de divisoresPor el número de divisores Grupo de númerosDe donde:CD240 = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 20 divisoresDe lo anterior, podemos observar que si a cada exponente de la descomposición canónica le aumentamos la unidad y multiplicamos los resultados, se obtiene el número total de divisores, entoncesSi tenemos la descomposición canónicaN = aa � bb �cγ � ...Descomposición canónicala cantidad de divisores está dada porCDN = (a+1)(b+1)(γ+1)...Helico synthesisSe clasificanSe dividen en

4TO DE SECUNDARIA 31 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICATRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practiceAplico lo aprendido1. Entre 42(7) y 1012(4), ¿cuántos números primos absolutos hay ?A) 6 B) 8C) 9 D) 11Resolución2. Si a, b, c y d son primos y además 3a + 2b = 16 y 5c + 4d = 38, calcule abcd.A) 36 B) 60C) 140 D) 210ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores de N.N = ab � (a + 1) a � a(6 � b)Descomposición canónicaA) 18 B) 20C) 24 D) 25Resolución4. Entre los números: 180, 95, 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360?A) 180 B) 95C) 756 D) 900ResoluciónHelico practice5. Calcule la cantidad de divisores impares que tiene 2800.A) 6 B) 8C) 9 D) 15ResoluciónAsumo mi reto6. Ariana tiene cierta cantidad de caramelos y su hermano Arthur le comenta que por coincidencia la cantidad de caramelos que tiene es igual a la cantidad de divisores que tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la cantidad de caramelos si la madre de ambos les dice que están equivocados, que esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos cantidades indicadas?A) 7 B) 14C) 21 D) 28Resolución7. Verónica, catedrática de la Universidad Federico Villareal, tiene dos hijos ajedrecistas Luis y Manuel de 3c y 4b años, respectivamente. Si ambas edades son dos números primos absolutos, determine la suma máxima de las edades que pueden tener los dos hijos de Verónica.A) 72 años B) 78 añosC) 8 años D) 86 añosResolución•5. Calcule la cantidad de divisores impares que tiene 2800.A) 6 B) 8C) 9 D) 15ResoluciónAsumo mi reto6. Ariana tiene cierta cantidad de caramelos y su hermano Arthur le comenta que por coincidencia la cantidad de caramelos que tiene es igual a la cantidad de divisores que tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la cantidad de caramelos si la madre de ambos les dice que están equivocados, que esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos cantidades indicadas?A) 7 B) 14C) 21 D) 28Resolución7. Verónica, catedrática de la Universidad Federico Villareal, tiene dos hijos ajedrecistas Luis y Manuel de 3c y 4b años, respectivamente. Si ambas edades son dos números primos absolutos, determine la suma máxima de las edades que pueden tener los dos hijos de Verónica.A) 72 años B) 78 añosC) 8 años D) 86 añosResolución•5. Calcule la cantidad de divisores impares que tiene 2800.A) 6 B) 8C) 9 D) 15ResoluciónAsumo mi reto6. Ariana tiene cierta cantidad de caramelos y su hermano Arthur le comenta que por coincidencia la cantidad de caramelos que tiene es igual a la cantidad de divisores que tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la cantidad de caramelos si la madre de ambos les dice que están equivocados, que esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos cantidades indicadas?A) 7 B) 14C) 21 D) 28Resolución7. Verónica, catedrática de la Universidad Federico Villareal, tiene dos hijos ajedrecistas Luis y Manuel de 3c y 4b años, respectivamente. Si ambas edades son dos números primos absolutos, determine la suma máxima de las edades que pueden tener los dos hijos de Verónica.A) 72 años B) 78 añosC) 8 años D) 86 añosResolución•5. Calcule la cantidad de divisores impares que tiene 2800.A) 6 B) 8C) 9 D) 15ResoluciónAsumo mi reto6. Ariana tiene cierta cantidad de caramelos y su hermano Arthur le comenta que por coincidencia la cantidad de caramelos que tiene es igual a la cantidad de divisores que tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la cantidad de caramelos si la madre de ambos les dice que están equivocados, que esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos cantidades indicadas?A) 7 B) 14C) 21 D) 28Resolución7. Verónica, catedrática de la Universidad Federico Villareal, tiene dos hijos ajedrecistas Luis y Manuel de 3c y 4b años, respectivamente. Si ambas edades son dos números primos absolutos, determine la suma máxima de las edades que pueden tener los dos hijos de Verónica.A) 72 años B) 78 añosC) 8 años D) 86 añosResolución•

32I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA5. Calcule la cantidad de divisores impares que tiene 2800.A) 6 B) 8C) 9 D) 15ResoluciónAsumo mi reto6. Ariana tiene cierta cantidad de caramelos y su hermano Arthur le comenta que por coincidencia la cantidad de caramelos que tiene es igual a la cantidad de divisores que tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la cantidad de caramelos si la madre de ambos les dice que están equivocados, que esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos cantidades indicadas?A) 7 B) 14C) 21 D) 28Resolución7. Verónica, catedrática de la Universidad Federico Villareal, tiene dos hijos ajedrecistas Luis y Manuel de 3c y 4b años, respectivamente. Si ambas edades son dos números primos absolutos, determine la suma máxima de las edades que pueden tener los dos hijos de Verónica.A) 72 años B) 78 añosC) 8 años D) 86 añosResolución•5. Calcule la cantidad de divisores impares que tiene 2800.A) 6 B) 8C) 9 D) 15ResoluciónAsumo mi reto6. Ariana tiene cierta cantidad de caramelos y su hermano Arthur le comenta que por coincidencia la cantidad de caramelos que tiene es igual a la cantidad de divisores que tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la cantidad de caramelos si la madre de ambos les dice que están equivocados, que esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos cantidades indicadas?A) 7 B) 14C) 21 D) 28Resolución7. Verónica, catedrática de la Universidad Federico Villareal, tiene dos hijos ajedrecistas Luis y Manuel de 3c y 4b años, respectivamente. Si ambas edades son dos números primos absolutos, determine la suma máxima de las edades que pueden tener los dos hijos de Verónica.A) 72 años B) 78 añosC) 8 años D) 86 añosResolución•Aplico lo aprendido1. Entre 20 y 60, ¿cuántos números primos absolutos hay?Resolución2. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos?13(7); 31(7); 61(7); 25(7)ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores deN = ab � 5 ⋅ ba ⋅ 1a 2b ⋅ 1b (3a+1)Descomposición canónicaResolución4. Del número N = 1aa×1bb×1cc×1ddDC, calculea. la cantidad de divisores.b. la cantidad de divisores primos.c. la cantidad de divisores simples.d. la cantidad de divisores compuestos.e. la suma de divisores simples.ResoluciónSCOREHelico workshopAplico lo aprendido1. Entre 20 y 60, ¿cuántos números primos absolutos hay?Resolución2. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos?13(7); 31(7); 61(7); 25(7)ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores deN = ab � 5 ⋅ ba ⋅ 1a 2b ⋅ 1b (3a+1)Descomposición canónicaResolución4. Del número N = 1aa×1bb×1cc×1ddDC, calculea. la cantidad de divisores.b. la cantidad de divisores primos.c. la cantidad de divisores simples.d. la cantidad de divisores compuestos.e. la suma de divisores simples.ResoluciónSCOREHelico workshopAplico lo aprendido1. Entre 20 y 60, ¿cuántos números primos absolutos hay?Resolución2. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos?13(7); 31(7); 61(7); 25(7)ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores deN = ab � 5 ⋅ ba ⋅ 1a 2b ⋅ 1b (3a+1)Descomposición canónicaResolución4. Del número N = 1aa×1bb×1cc×1ddDC, calculea. la cantidad de divisores.b. la cantidad de divisores primos.c. la cantidad de divisores simples.d. la cantidad de divisores compuestos.e. la suma de divisores simples.ResoluciónSCOREHelico workshopAplico lo aprendido1. Entre 20 y 60, ¿cuántos números primos absolutos hay?Resolución2. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos?13(7); 31(7); 61(7); 25(7)ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores deN = ab � 5 ⋅ ba ⋅ 1a 2b ⋅ 1b (3a+1)Descomposición canónicaResolución4. Del número N = 1aa×1bb×1cc×1ddDC, calculea. la cantidad de divisores.b. la cantidad de divisores primos.c. la cantidad de divisores simples.d. la cantidad de divisores compuestos.e. la suma de divisores simples.ResoluciónSCOREHelico workshop8.Aplico lo aprendido1. Entre 20 y 60, ¿cuántos números primos absolutos hay?Resolución2. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos?13(7); 31(7); 61(7); 25(7)ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule la cantidad de divisores deN = ab � 5 ⋅ ba ⋅ 1a 2b ⋅ 1b (3a+1)Descomposición canónicaResolución4. Del número N = 1aa×1bb×1cc×1ddDC, calculea. la cantidad de divisores.b. la cantidad de divisores primos.c. la cantidad de divisores simples.d. la cantidad de divisores compuestos.e. la suma de divisores simples.ResoluciónSCOREHelico workshop9.10.11.5. Calcule la cantidad de divisores pares de 2400.ResoluciónAsumo mi reto6. Mijail se da cuenta de que las edades de sus dos primos hermanos son números coprimos que se diferencian en 2 años. Además, si al producto de dichas edades le agrega la unidad, obtiene un número que tiene 8 divisores propios y 3 divisores simples. Calcule la suma de todos los valores que toman dichas edades. Se sabe que los primos hermanos de Mijail tienen menos de 21 años.Resolución7. Jimena, residente del distrito de Surco, gasta diariamente la suma de (a + b + c) soles; si a, b y c son los exponentes de la descomposición canónica del número S/3400. Determine, ¿cuánto gastará Jimena en una semana?Resolución•12.

4TO DE SECUNDARIA 33 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICATAREA DOMICILIARIA1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•1. ¿Cuántos divisores de 360 son de dos cifras?ResoluciónDescomponiendo canónicamente360 = 23×32×51Su tabla de divisores es1 2 4 83 3 6 12 249 9 18 36 725 5 10 20 4015 15 30 60 12045 45 90 180 360Donde los divisores de dos cifras son12; 24; 18; 36; 72; 10; 20; 40; 15; 30; 60; 45 y 90.∴ 13 números cumplen la condición.Rpta.: 132. Si 3a y 45 son PESI, calcule la suma de valores de a.ResoluciónComo 3a y 45 son PESI: 3a ≠ 3° y 5°a = 1; 2; 4; 7; 8∴ Suma de valores de a = 22Rpta.: 223. Calcule la cantidad de divisores primos (simples y compuestos) de 1200. ResoluciónDescomponiendo canónicamente 1200 = 24 × 31 × 52¾ Divisores primos: 5; 3; 23 divisores primos ¾ Divisores simples: 1; 2; 3; 54 divisores simples¾ Divisores compuestos (CDcompuestos)CDN = CDcompuestos + CDprimos + 1LuegoCDN = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30→ 30 = CDcompuestos + 3 + 1∴ CDcompuestos = 26Rpta.: 264. ¿Cuántos números primos hay entre 70 y 100? Resolución 71 73 79 83 89 97Rpta.: 65. Calcule la cantidad de divisores de (32 × 53)2.ResoluciónSea: N = (32 × 53)2 → N = 34 × 56CDN = (5)(7) = 35Rpta.: 35Solved problems•

34I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICAPARA EL CUADERNO5. Calcule la cantidad de divisores pares de 2400.ResoluciónAsumo mi reto6. Mijail se da cuenta de que las edades de sus dos primos hermanos son números coprimos que se diferencian en 2 años. Además, si al producto de dichas edades le agrega la unidad, obtiene un número que tiene 8 divisores propios y 3 divisores simples. Calcule la suma de todos los valores que toman dichas edades. Se sabe que los primos hermanos de Mijail tienen menos de 21 años.Resolución7. Jimena, residente del distrito de Surco, gasta diariamente la suma de (a + b + c) soles; si a, b y c son los exponentes de la descomposición canónica del número S/3400. Determine, ¿cuánto gastará Jimena en una semana?Resolución•1.5. Calcule la cantidad de divisores pares de 2400.ResoluciónAsumo mi reto6. Mijail se da cuenta de que las edades de sus dos primos hermanos son números coprimos que se diferencian en 2 años. Además, si al producto de dichas edades le agrega la unidad, obtiene un número que tiene 8 divisores propios y 3 divisores simples. Calcule la suma de todos los valores que toman dichas edades. Se sabe que los primos hermanos de Mijail tienen menos de 21 años.Resolución7. Jimena, residente del distrito de Surco, gasta diariamente la suma de (a + b + c) soles; si a, b y c son los exponentes de la descomposición canónica del número S/3400. Determine, ¿cuánto gastará Jimena en una semana?Resolución•2.1. Si se cumple queab � cb = nnncalcule la cantidad de factores primos que tiene el número E siE = (a + b)(b + c)(a + c + n)A) 2 B) 4C) 5 D) 3Nivel I1. Entre 20 y 40, ¿cuántos números primos hay?A) 1 B) 3C) 4 D) 6Resolución2. La tabla de divisores del número N es la siguiente:* * * 8* * 12 ** * * ** * 20 ** * * 120* * * *Calcule la suma de cifras de N.A) 7 B) 8C) 10 D) 112. Si 2a y 35 son PESI, calcule la suma de valores de a.A) 24 B) 30C) 31 D) 34ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge3.1. Si se cumple queab � cb = nnncalcule la cantidad de factores primos que tiene el número E siE = (a + b)(b + c)(a + c + n)A) 2 B) 4C) 5 D) 3Nivel I1. Entre 20 y 40, ¿cuántos números primos hay?A) 1 B) 3C) 4 D) 6Resolución2. La tabla de divisores del número N es la siguiente:* * * 8* * 12 ** * * ** * 20 ** * * 120* * * *Calcule la suma de cifras de N.A) 7 B) 8C) 10 D) 112. Si 2a y 35 son PESI, calcule la suma de valores de a.A) 24 B) 30C) 31 D) 34ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge4.1. Si se cumple queab � cb = nnncalcule la cantidad de factores primos que tiene el número E siE = (a + b)(b + c)(a + c + n)A) 2 B) 4C) 5 D) 3Nivel I1. Entre 20 y 40, ¿cuántos números primos hay?A) 1 B) 3C) 4 D) 6Resolución2. La tabla de divisores del número N es la siguiente:* * * 8* * 12 ** * * ** * 20 ** * * 120* * * *Calcule la suma de cifras de N.A) 7 B) 8C) 10 D) 112. Si 2a y 35 son PESI, calcule la suma de valores de a.A) 24 B) 30C) 31 D) 34ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge5.1. Si se cumple queab � cb = nnncalcule la cantidad de factores primos que tiene el número E siE = (a + b)(b + c)(a + c + n)A) 2 B) 4C) 5 D) 3Nivel I1. Entre 20 y 40, ¿cuántos números primos hay?A) 1 B) 3C) 4 D) 6Resolución2. La tabla de divisores del número N es la siguiente:* * * 8* * 12 ** * * ** * 20 ** * * 120* * * *Calcule la suma de cifras de N.A) 7 B) 8C) 10 D) 112. Si 2a y 35 son PESI, calcule la suma de valores de a.A) 24 B) 30C) 31 D) 34ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge6.Nivel II3. Calcule la suma de divisores primos de 462.A) 18 B) 21C) 22 D) 23Resolución4. ¿Cuántos divisores tiene 720?A) 28 B) 30C) 32 D) 36ResoluciónNivel III5. Roberto empleado de la fábrica Donofrio; todos los días gasta por concepto de movilidad la suma de (m + n + p) soles; si m, n y p son los exponentes de la descomposición canónica del número 24 5025. Determine, ¿cuánto gastará Roberto en 4 días?A) 6 B) 8C) 12 D) 13Resolución•7.Nivel II3. Calcule la suma de divisores primos de 462.A) 18 B) 21C) 22 D) 23Resolución4. ¿Cuántos divisores tiene 720?A) 28 B) 30C) 32 D) 36ResoluciónNivel III5. Roberto empleado de la fábrica Donofrio; todos los días gasta por concepto de movilidad la suma de (m + n + p) soles; si m, n y p son los exponentes de la descomposición canónica del número 24 5025. Determine, ¿cuánto gastará Roberto en 4 días?A) 6 B) 8C) 12 D) 13Resolución•8.Nivel II3. Calcule la suma de divisores primos de 462.A) 18 B) 21C) 22 D) 23Resolución4. ¿Cuántos divisores tiene 720?A) 28 B) 30C) 32 D) 36ResoluciónNivel III5. Roberto empleado de la fábrica Donofrio; todos los días gasta por concepto de movilidad la suma de (m + n + p) soles; si m, n y p son los exponentes de la descomposición canónica del número 24 5025. Determine, ¿cuánto gastará Roberto en 4 días?A) 6 B) 8C) 12 D) 13Resolución•9.Nivel I1. Entre 20 y 50, ¿cuántos números primos hay?A) 4 B) 5C) 6 D) 7Nivel II2. Calcule la suma de divisores primos de 4032.A) 23 B) 24C) 12 D) 213. Si la suma de dos números primos es 159, calcule el producto de los números primos.A) 280 B) 314C) 320 D) 360Nivel III4. La cervecería peruana Backus y Johnston, líder en ventas de cervezas en el Perú, está de aniversario, al preguntarle al gerente general cuantos años tiene la empresa, este respondió: “El número de años que cumple la empresa es igual al menor número impar que tiene 15 divisores”. Determine dicho número y dé como respuesta la cifra de mayor orden.A) 2 B) 3C) 4 D) 55. La maestra le pregunta a Raúl por su edad y este pícaramente le responde: “Miss, mi edad es igual a la cantidad de números primos que se representan con tres cifras en el sistema cuaternario”. ¿Cuántos años tiene Raúl?A) 12 B) 13C) 14 D) 15Helico homework10.

4TO DE SECUNDARIA 35 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA06 Estudio de los enteros positivos IIRecordemosN = aa � bb � cγ Descomposición canónica↔ a ≠ b ≠ c, primosa, b, γ ∈+1. Cantidad de divisores (CD)CDN = (a + 1)(b + 1)(γ + 1)2. Suma de divisores (SD)SDN = aa+1-1a-1bb+1-1b-1cγ+1-1c-1EjemploCalcule la suma de divisores de 360.Resolución360 = 23 × 32 × 51SD360 = 23+1-12-132+1-13-151+1-15-1SD360 = 1170EjemploCalcule la suma de divisores compuestos de 980.Resolución 980 = 22 × 51 × 72 SDsimples = 1 + 2 + 5 + 7 SDsimples = 15 SD980 = 22+1 � 12 � 151+1 � 15 � 172+1 � 17 � 1SD980 = 2394 SD = SDsimples + SDcompuestos 2394 = 15 + SDcompuestos SDcompuestos = 23793. Indicador de Euler o función de Euler [f(N)]Se denomina indicador de un entero positivo, a la cantidad de números menores que el entero positivo que son PESI con él.EjemplosPara 8: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7Números menores a 8PESI con 8 → f(8) = 4=23 �1(2�1)Para 12 : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11Números menores a 12PESI con 12 → f(12) = 4 = 22� 1(2 � 1)31�1(3 � 1)En generalf(N) = aa�1(a �1)bb �1(b � 1)cγ � 1(c �1)...ESTUDIO DE LOS ENTEROS POSITIVOS IIHelico theory

36I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICAAplico lo aprendido1. Del número 3000, calculeA: cantidad de divisores múltiplos de 20B: cantidad de divisores múltiplos de 75Dé como respuesta el valor de A + B.Resolución2. Si 686n tiene 96 divisores, halle el valor de n.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 15n × 55n + 1 tiene 500 divisores compuestos, halle el valor de n.Resolución4. Calcule la suma de los divisores del número 30ksabiendo que tiene 27 divisores.ResoluciónHelico practice•TRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. Del número 3000, calculeA: cantidad de divisores múltiplos de 20B: cantidad de divisores múltiplos de 75Dé como respuesta el valor de A + B.Resolución2. Si 686n tiene 96 divisores, halle el valor de n.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 15n × 55n + 1 tiene 500 divisores compuestos, halle el valor de n.Resolución4. Calcule la suma de los divisores del número 30ksabiendo que tiene 27 divisores.ResoluciónHelico practice•Aplico lo aprendido1. Del número 3000, calculeA: cantidad de divisores múltiplos de 20B: cantidad de divisores múltiplos de 75Dé como respuesta el valor de A + B.Resolución2. Si 686n tiene 96 divisores, halle el valor de n.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 15n × 55n + 1 tiene 500 divisores compuestos, halle el valor de n.Resolución4. Calcule la suma de los divisores del número 30ksabiendo que tiene 27 divisores.ResoluciónHelico practice•Aplico lo aprendido1. Del número 3000, calculeA: cantidad de divisores múltiplos de 20B: cantidad de divisores múltiplos de 75Dé como respuesta el valor de A + B.Resolución2. Si 686n tiene 96 divisores, halle el valor de n.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 15n × 55n + 1 tiene 500 divisores compuestos, halle el valor de n.Resolución4. Calcule la suma de los divisores del número 30ksabiendo que tiene 27 divisores.ResoluciónHelico practice•5. Calcule la suma de los divisores del número 19 600.ResoluciónAsumo mi reto6. Aaron encuentra un cofre lleno de monedas de chocolate y al no saber qué hacer con ellas, regala cada día la mitad de las monedas que tiene. Al comenzar el quinto día, se da cuenta de que ya no puede obtener una mitad entera de monedas, por lo cual ahora regalará una parte y se quedará con la tercera parte, lo cual puede hacer por tres días. Finalmente, dos días más regala otra parte y se queda con la quinta parte de las monedas; tras lo cual, al final, se queda con una moneda que se le cae por la alcantarilla. ¿Cuál será la suma de divisores pares de la cantidad de monedas que encontró Aaron?Resolución7. En el último Concurso Nacional de Matemáticas una de las preguntas de la evaluación; era conocer si al aumentar una cierta cantidad de ceros a un número, este se modificaba en cuánto a su cantidad de divisores siendo la pregunta:“¿Cuántos ceros son necesarios colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?”¿Cuál es la respuesta?Resolución5. Calcule la suma de los divisores del número 19 600.ResoluciónAsumo mi reto6. Aaron encuentra un cofre lleno de monedas de chocolate y al no saber qué hacer con ellas, regala cada día la mitad de las monedas que tiene. Al comenzar el quinto día, se da cuenta de que ya no puede obtener una mitad entera de monedas, por lo cual ahora regalará una parte y se quedará con la tercera parte, lo cual puede hacer por tres días. Finalmente, dos días más regala otra parte y se queda con la quinta parte de las monedas; tras lo cual, al final, se queda con una moneda que se le cae por la alcantarilla. ¿Cuál será la suma de divisores pares de la cantidad de monedas que encontró Aaron?Resolución7. En el último Concurso Nacional de Matemáticas una de las preguntas de la evaluación; era conocer si al aumentar una cierta cantidad de ceros a un número, este se modificaba en cuánto a su cantidad de divisores siendo la pregunta:“¿Cuántos ceros son necesarios colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?”¿Cuál es la respuesta?Resolución5. Calcule la suma de los divisores del número 19 600.ResoluciónAsumo mi reto6. Aaron encuentra un cofre lleno de monedas de chocolate y al no saber qué hacer con ellas, regala cada día la mitad de las monedas que tiene. Al comenzar el quinto día, se da cuenta de que ya no puede obtener una mitad entera de monedas, por lo cual ahora regalará una parte y se quedará con la tercera parte, lo cual puede hacer por tres días. Finalmente, dos días más regala otra parte y se queda con la quinta parte de las monedas; tras lo cual, al final, se queda con una moneda que se le cae por la alcantarilla. ¿Cuál será la suma de divisores pares de la cantidad de monedas que encontró Aaron?Resolución7. En el último Concurso Nacional de Matemáticas una de las preguntas de la evaluación; era conocer si al aumentar una cierta cantidad de ceros a un número, este se modificaba en cuánto a su cantidad de divisores siendo la pregunta:“¿Cuántos ceros son necesarios colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?”¿Cuál es la respuesta?Resolución

4TO DE SECUNDARIA 37 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICA5. Calcule la suma de los divisores del número 19 600.ResoluciónAsumo mi reto6. Aaron encuentra un cofre lleno de monedas de chocolate y al no saber qué hacer con ellas, regala cada día la mitad de las monedas que tiene. Al comenzar el quinto día, se da cuenta de que ya no puede obtener una mitad entera de monedas, por lo cual ahora regalará una parte y se quedará con la tercera parte, lo cual puede hacer por tres días. Finalmente, dos días más regala otra parte y se queda con la quinta parte de las monedas; tras lo cual, al final, se queda con una moneda que se le cae por la alcantarilla. ¿Cuál será la suma de divisores pares de la cantidad de monedas que encontró Aaron?Resolución7. En el último Concurso Nacional de Matemáticas una de las preguntas de la evaluación; era conocer si al aumentar una cierta cantidad de ceros a un número, este se modificaba en cuánto a su cantidad de divisores siendo la pregunta:“¿Cuántos ceros son necesarios colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?”¿Cuál es la respuesta?ResoluciónAplico lo aprendido1. Del número 2100, calcule:A: cantidad de divisores múltiplos de 6B: cantidad de divisores múltiplos de 70Dé como respuesta el valor de A � B.Resolución2. Si 875b tiene 65 divisores, halle el valor de b.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 10a+1 × 35a tiene 156 divisores compuestos, halle el valor de a.Resolución4. Calcule la suma de divisores del número 6280.ResoluciónSCOREHelico workshop•5. Calcule la suma de los divisores del número 19 600.ResoluciónAsumo mi reto6. Aaron encuentra un cofre lleno de monedas de chocolate y al no saber qué hacer con ellas, regala cada día la mitad de las monedas que tiene. Al comenzar el quinto día, se da cuenta de que ya no puede obtener una mitad entera de monedas, por lo cual ahora regalará una parte y se quedará con la tercera parte, lo cual puede hacer por tres días. Finalmente, dos días más regala otra parte y se queda con la quinta parte de las monedas; tras lo cual, al final, se queda con una moneda que se le cae por la alcantarilla. ¿Cuál será la suma de divisores pares de la cantidad de monedas que encontró Aaron?Resolución7. En el último Concurso Nacional de Matemáticas una de las preguntas de la evaluación; era conocer si al aumentar una cierta cantidad de ceros a un número, este se modificaba en cuánto a su cantidad de divisores siendo la pregunta:“¿Cuántos ceros son necesarios colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?”¿Cuál es la respuesta?Resolución8.Aplico lo aprendido1. Del número 2100, calcule:A: cantidad de divisores múltiplos de 6B: cantidad de divisores múltiplos de 70Dé como respuesta el valor de A � B.Resolución2. Si 875b tiene 65 divisores, halle el valor de b.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 10a+1 × 35a tiene 156 divisores compuestos, halle el valor de a.Resolución4. Calcule la suma de divisores del número 6280.ResoluciónSCOREHelico workshop•9.7. Alhely tiene ahorrado una cantidad de soles para comprar el regalo a su papá por su cumpleaños; que es igual a la suma de los divisores de los 5 primeros números compuestos de 2 cifras significativas. ¿Cuánto ahorró?Resolución5. Si el número 28n × 15n tiene 448 divisores, halle el valor de n.ResoluciónAsumo mi reto6. Al preguntarle a Walter, empleado de seguros La Vitalicia: ¿cuántos años de servicio tiene en la empresa?, este respondió:“La cantidad de años que tengo en la empresa es igual a la suma de cifras del menor número entero que posee 35 divisores”. ¿Cuántos años de servicio tiene Walter?Resolución12.Aplico lo aprendido1. Del número 2100, calcule:A: cantidad de divisores múltiplos de 6B: cantidad de divisores múltiplos de 70Dé como respuesta el valor de A � B.Resolución2. Si 875b tiene 65 divisores, halle el valor de b.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 10a+1 × 35a tiene 156 divisores compuestos, halle el valor de a.Resolución4. Calcule la suma de divisores del número 6280.ResoluciónSCOREHelico workshop•11.Aplico lo aprendido1. Del número 2100, calcule:A: cantidad de divisores múltiplos de 6B: cantidad de divisores múltiplos de 70Dé como respuesta el valor de A � B.Resolución2. Si 875b tiene 65 divisores, halle el valor de b.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si 10a+1 × 35a tiene 156 divisores compuestos, halle el valor de a.Resolución4. Calcule la suma de divisores del número 6280.ResoluciónSCOREHelico workshop•10.

38I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICATAREA DOMICILIARIA1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 1601. Sabiendo que A Solved problems = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems1. Sabiendo que A = 12 × 30n tiene el cuádruplo de la cantidad de divisores de B = 12n × 30, halle el valor de n.ResoluciónDescomponiendo canónicamente A y BA = 12×30n B = 12n×30A = (22×31)(2n×3n×5n) B = (22n×3n)(2×3×5)A = 2n+2×3n+1×5n B = 22n+1×3n+1×51Donde el número de divisoresCDA = (n + 3)(n + 2)(n + 1)CDB = (2n + 2)(n + 2)(2)Del dato CDA = 4CDB, reemplazando(n + 3)(n + 2)(n + 1) = 4 [2(n + 1)(n + 2)(2)]Luegon + 3 = 16∴ n = 13Rpta.: 132. Si (2a)(2a)0 posee 20 divisores, halle el valor de a.ResoluciónDescomponiendo polinómicamente(2a)(2a)0 = (2a)102 + (2a)10Luego200a + 20a = 220aDescomponiendo canónicamente220a = 22× 51× 111× aSeaa = 22 → 220a = 24 × 51 × 111CD = 5×2×2 = 20Al cumplir lo anterior∴ a = 4Rpta.: 43. Calcule la suma de divisores pares de 720.ResoluciónDescomponiendo canónicamente720 = 24 × 32 × 51Divisores pares720 = 21 [23 × 32 × 51]SD720(pares) = 2 23+1 � 12 � 132+1 � 13 � 151+1 � 15 � 1SD720(pares) = 2340Rpta.: 23404. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 420?Resolución 420 = 6 × 7 × 2 × 5 420 = 22 × 31 × 51 × 71 CDN = CDsimples + CDcompuestos (3)(2)(2)(2) = 5 + CDcompuestos 24 = 5 + CDcompuestos 19 = CDcompuestosRpta.: 195. Calcule la suma de los divisores de 3600 múltiplos de 6.Resolución 3600 = 24 × 32 × 52 3600 = 6(23 × 3 × 52) SD6° = 6 23+1 � 12 � 131+1 � 13 � 152+1 � 15 � 1 SD6° = 11 160Rpta.: 11 160Solved problems

4TO DE SECUNDARIA 39 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN ARITMÉTICAPARA EL CUADERNO7. Alhely tiene ahorrado una cantidad de soles para comprar el regalo a su papá por su cumpleaños; que es igual a la suma de los divisores de los 5 primeros números compuestos de 2 cifras significativas. ¿Cuánto ahorró?Resolución5. Si el número 28n × 15n tiene 448 divisores, halle el valor de n.ResoluciónAsumo mi reto6. Al preguntarle a Walter, empleado de seguros La Vitalicia: ¿cuántos años de servicio tiene en la empresa?, este respondió:“La cantidad de años que tengo en la empresa es igual a la suma de cifras del menor número entero que posee 35 divisores”. ¿Cuántos años de servicio tiene Walter?Resolución1.7. Alhely tiene ahorrado una cantidad de soles para comprar el regalo a su papá por su cumpleaños; que es igual a la suma de los divisores de los 5 primeros números compuestos de 2 cifras significativas. ¿Cuánto ahorró?Resolución5. Si el número 28n × 15n tiene 448 divisores, halle el valor de n.ResoluciónAsumo mi reto6. Al preguntarle a Walter, empleado de seguros La Vitalicia: ¿cuántos años de servicio tiene en la empresa?, este respondió:“La cantidad de años que tengo en la empresa es igual a la suma de cifras del menor número entero que posee 35 divisores”. ¿Cuántos años de servicio tiene Walter?Resolución2.1. Si el número M = 212 · 15n · 147 tiene 4320 divisores positivos que no son múltiplos de 35, calcule la suma de las cifras de n.A) 7 B) 8C) 6 D) 5Nivel I1. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 8400?A) 55 B) 56C) 60 D) 62Resolución2. Si el número N = 3n · 7n+3 · 112 tiene 120 divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos de N son cuadrados perfectos?A) 32 B) 28C) 16 D) 242. ¿Cuántos divisores 6° tiene 6600?A) 14 B) 16C) 18 D) 20ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge•3.1. Si el número M = 212 · 15n · 147 tiene 4320 divisores positivos que no son múltiplos de 35, calcule la suma de las cifras de n.A) 7 B) 8C) 6 D) 5Nivel I1. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 8400?A) 55 B) 56C) 60 D) 62Resolución2. Si el número N = 3n · 7n+3 · 112 tiene 120 divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos de N son cuadrados perfectos?A) 32 B) 28C) 16 D) 242. ¿Cuántos divisores 6° tiene 6600?A) 14 B) 16C) 18 D) 20ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge•4.1. Si el número M = 212 · 15n · 147 tiene 4320 divisores positivos que no son múltiplos de 35, calcule la suma de las cifras de n.A) 7 B) 8C) 6 D) 5Nivel I1. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 8400?A) 55 B) 56C) 60 D) 62Resolución2. Si el número N = 3n · 7n+3 · 112 tiene 120 divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos de N son cuadrados perfectos?A) 32 B) 28C) 16 D) 242. ¿Cuántos divisores 6° tiene 6600?A) 14 B) 16C) 18 D) 20ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge•5.1. Si el número M = 212 · 15n · 147 tiene 4320 divisores positivos que no son múltiplos de 35, calcule la suma de las cifras de n.A) 7 B) 8C) 6 D) 5Nivel I1. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 8400?A) 55 B) 56C) 60 D) 62Resolución2. Si el número N = 3n · 7n+3 · 112 tiene 120 divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos de N son cuadrados perfectos?A) 32 B) 28C) 16 D) 242. ¿Cuántos divisores 6° tiene 6600?A) 14 B) 16C) 18 D) 20ResoluciónHelico trialSCOREHelico challenge•6.Nivel II3. Calcule la suma de divisores de 180.A) 540 B) 546C) 548 D) 552Resolución4. Determine la cantidad de divisores múltiplos de 20 que tiene el número 5600.A) 3 B) 4C) 5 D) 6ResoluciónNivel III5. En la UPC se les preguntó a un grupo de alumnos: ¿cuántas veces habían ido al cine en el último mes?, uno de los alumnos respondió:“La cantidad de veces que he ido al cine es igual a la cantidad de números menores que 300 y que sean PESI con él”.Determine la cantidad de veces que fue al cine dicho alumno.A) 46 B) 64C) 78 D) 80Resolución7.Nivel II3. Calcule la suma de divisores de 180.A) 540 B) 546C) 548 D) 552Resolución4. Determine la cantidad de divisores múltiplos de 20 que tiene el número 5600.A) 3 B) 4C) 5 D) 6ResoluciónNivel III5. En la UPC se les preguntó a un grupo de alumnos: ¿cuántas veces habían ido al cine en el último mes?, uno de los alumnos respondió:“La cantidad de veces que he ido al cine es igual a la cantidad de números menores que 300 y que sean PESI con él”.Determine la cantidad de veces que fue al cine dicho alumno.A) 46 B) 64C) 78 D) 80Resolución8.Nivel II3. Calcule la suma de divisores de 180.A) 540 B) 546C) 548 D) 552Resolución4. Determine la cantidad de divisores múltiplos de 20 que tiene el número 5600.A) 3 B) 4C) 5 D) 6ResoluciónNivel III5. En la UPC se les preguntó a un grupo de alumnos: ¿cuántas veces habían ido al cine en el último mes?, uno de los alumnos respondió:“La cantidad de veces que he ido al cine es igual a la cantidad de números menores que 300 y que sean PESI con él”.Determine la cantidad de veces que fue al cine dicho alumno.A) 46 B) 64C) 78 D) 80Resolución9.Nivel III4. En la evaluación bimestral de Aritmética se lee la siguiente pregunta:¿Cuántos de los divisores que tiene 3600 son múltiplos de 6? Además, ¿cuántos de sus divisores son impares? Dé como respuesta la suma de ambos resultados.A) 24 B) 9C) 33 D) 305. Ricardo y Joel, estudiantes del colegio Saco Oliveros, conversan sobre las edades que tienen actualmente.Ricardo indica que sus edades son números primos que suman 36, pero Joel le replica que el producto de sus edades aumentado en 1, es un número que tiene 15 divisores.Determine la suma de cifras de la edad mayor de dichos alumnos.A) 3 B) 5C) 8 D) 10Nivel I1. Calcule la cantidad de divisores de 1800 e indique el número de divisores primos. Dé como respuesta la suma de ambos resultados.A) 24 B) 27C) 39 D) 26Nivel II2. Calcule la suma de divisores de 720.A) 2418 B) 2408C) 2428 D) 23083. Calcule la suma de divisores múltiplos de 8 de 320.A) 480 B) 336C) 720 D) 640Helico homework•10.

40I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREARITMÉTICA

● Factorización II ..................................................... 43● Radicación............................................................ 54● Factorial y Número Combinatorio........................ 63● Binomio de Newton ............................................ 73● Números Complejos............................................ 82● Ecuaciones Lineales............................................. 912 «El álgebra es como un juego de acertijos. ¡Donde los números son las pistas!». Leonhard EulerÁLGEBRACONTENIDO

4TO DE SECUNDARIA 43 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNA. Criterio del aspaSon un conjunto de modelos matemáticos que nospermiten descomponer un polinomio en factores,dependiendo su aplicación, del número de términosy de la forma que presenta dicho polinomio.Los modelos diseñados por este criterio son¾ el aspa simple (para 3 términos)¾ el aspa doble (para 6 términos)¾ el aspa doble especial (para 5 términos)¾ el aspa triple (para 10 términos)En este nivel nos centraremos en estudiar detalladamente los tres primeros, por su mayor utilidad.1. Aspa simpleSe utiliza para factorizar polinomios de la forma generalP(x, y) = Ax2m+Bxmyn + Cy2n; {x, y, z} ⊂ o de expresiones enteras reducibles a él.Procedimiento generalPara factorizar el polinomio Ax2m+Bxmyn+Cy2n, se deben seguir los siguientes pasos:1.º Se ordena el polinomio de acuerdo a laforma general.2.º Se descompone los términos extremos endos factores cada uno, de tal manera que la suma de los productos de dichos factores en aspa, sea equivalente al término central.Según el esquemaP(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n(+)a1xm c1yn a2c1xm yna2 xm c2yn a1c2 xm yn Tcentral = Bxmyn3.º Los términos de los factores obtenidos,se toman horizontalmente, tal como se muestraP(x, y) = (a1xm + c1yn )(a2xm + c2yn )Aplicaciones diversas1. Factorice P(x, y) = 12x2 + 23xy + 10y2.12x2 + 23xy + 10y2(+)4x 5y 15xy3x 2y 8xy 23xyPor lo tantoP(x, y) = (4x + 5y)(3x + 2y)2. Factorice Q(x) = 91x4 + 27x2 – 88.91x4 + 27x2 – 8813x2 - 11 - 77x2(+)7x2 +8 104x227x2Por lo tantoQ(x) = (13x2 – 11)(7x2 + 8)3. Factorice R(a, b, c) = 15a6 - 34a3bc2 + 16b2c4.15a6 - 34a3bc2 + 16b2c45a3 - 8bc2 -243bc2(+)3a3 - 2bc2 -10a3bc3-34a3bc2Por lo tantoR(a, b, c) = (5a3 – 8bc2)(3a3 – 2bc2)4. Factorice F(x) = x2 + 4abx – (a2 – b2)2.x2 + 4abx – (a + b)2 (a – b)2x + (a + b)2 + (a + b)2x(+)x - (a - b)2 - (a - b)2xPor Legendre: 4abxLuegoF(x) = [x + (a + b)2][x – (a – b)2]FACTORIZACIÓN II01Theory Factorización IIÁLGEBRA

44I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5. Factorice G(x, y) = x4 + x2y2 + 2x2 – y3 + 1.x4+(y2+2)x2 – (y3 – 1)x2 - (y - 1) (- y + 1)x2(+)x2 - (y2 + y + 1) (y2 + y + 1)x2+ (y2 + 2)x2FinalmenteG(x, y) = (x2 – y + 1)(x2 + y2 + y + 1)6. Factorice H(m) = m7 + 2m5 + 2m3 – 1.Para el caso de polinomios de grado impar,lo que se debe hacer, es adaptar la expresiónpara aplicar el criterio mencionado.En el polinomio expuesto, descomponiendo2m3 y agrupando convenientemente, se tienem2+2m5+m3+(m3–1)m3 m - 1 m5 - m4(+)m4 m2 + m + 1 m5 + m4 + m3Tcentral = 2m5 + m3Por lo tantoH(m) = (m3 + m – 1)(m4 + m2 + m + 1)2. Aspa dobleSe utiliza para factorizar polinomios de 6 términosde la forma generalP(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n + Dxm + Eyn + F (*)o de expresiones enteras reducibles a él.Procedimiento generalPara descomponer en factores el polinomio P(x, y), se deben seguir los siguientes pasos:1.º Se ordena el polinomio de acuerdo a la formageneral.2.º De faltar algún término, se sustituirá con un coeficiente cero, el espacio correspondiente del término que faltase en la ordenación mencionada.3.º Se aplicarán sucesivamente tres aspas simples.ASPA (I) a los términos 1.º, 2.º y 3.ºASPA (II) a los términos 1.º, 4.º y 6.º y el aspa simple auxiliar.ASPA (III) a los términos 3.º, 5.º y 6.ºSegún el esquema mostradoP(x, y) = Ax2m  +  Bxmyn  +  Cy2n  +  Dxm  +  Eyn  +  Fa1xm c1yn f1a2 xm c2yn f2I II IIIASPA I ASPA II ASPA IIIa2c1 xmyn a2 f1 x m c2 f1 yna1c2 xmyn a1 f2 xm c1 f2 ynBxmyn Dxm Eyn4.º Los términos de los factores obtenidos se tomanhorizontalmente, tal como se muestraP(x, y) = (a1xm + c1yn + f1)(a2xm + c2yn + f2)(*) Si en la forma general m  =  n  =  1 y P(x, y)  =  0, es decir, Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =  0, se genera una relación muy importante en la geometría analítica, denominada ecuación general de una cónica, y dependiendo del valor de un parámetro crítico llamado invariante, esta ecuación dará lugar a la construcción de diversos lugares geométricos, llámese circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.Aplicaciones diversas1. FactoriceP(x, y) = x2 + 4xy + 3y2 + 6x + 10y + 8x 3y 4x y 2ASPA I ASPA II ASPA III3xy 4x 4y xy 2x 6y 4xy 6x 10yPor lo tantoP(x, y) = (x + 3y + 4)(x + y + 2)2. FactoriceQ(x, y) = 6x2 + 5xy - 4y2 + 13x + 10y + 6 3x + 4y + 22x - y + 3ASPA I ASPA II ASPA III+ 8xy + 4x - 2y– 3xy + 9x + 12y+ 5xy + 13x + 10yLos factores obtenidos sonQ(x, y) = (3x + 4y + 2)(2x – y + 3)ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 45 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN3. FactoriceR(x, y) = 18x2 – 27xy + 10y2 + 4y – 32Se observa que falta el 4.º término, según laforma general, luego tenemos6x –5y +83x –2y –4R(x, y) = 18x2 – 27xy + 0x +10y2 + 4y – 32ASPA I ASPA II ASPA III- 15xy + 24x - 16y– 12xy - 24x + 20y- 27xy 0x + 4yFinalmenteR(x, y) = (6x – 5y + 8) (3x – 2y – 4)4. FactoriceF(x, y) = 8xy – 6y2 + 4x + 7y + 5Completando con el cero el 1.er término, así4x –3y +50x +2y +1F(x, y) = 0x2 + 8xy – 6y2+ 4x + 7y + 5ASPA I ASPA II ASPA III 0xy 0x 10y8xy 4x - 3y 8xy 4x 7yPor lo tantoF(x, y) = (4x – 3y + 5)(2y + 1)5. FactoriceT(x, y) = x2 – 4y2 + 6x + 9Faltan el 2.º grado y 5.º término, según la forma general.Entoncesx –2y +3x +2y +3T(x, y) = x2 + 0xy – 4y2 + 6x + 0y +9ASPA I ASPA II ASPA III-2xy +3x +6y+2xy +3x -6y 0xy + 6x 0yFinalmente, resultaT(x, y) = (x – 2y + 3)(x + 2y + 3)En la práctica permanente, a veces se presentan problemas de mayor dificultad, tal como mostraremos a continuación.6. FactoriceP(x, y) = ab(x2 + y2) – (a2 + b2)xy + (a – b)(x + y) – 1Efectuando y ordenando convenientemente, se tieneax –by –1bx –ay +1P(x, y) = abx2 – (a2+b2)xy+aby2+(a – b) x+(a – b)y – 1Por lo tantoP(x, y) = (ax – by – 1)(bx – ay + 1)7. FactoriceF(x) = 6x6 + 2x4 + 7x3 – 8x2 – 14x – 5Ordenándolo y adaptándolo para que verifiquela regla del aspa doble, se tiene3x +4x 3 +52x –2x 3 –1F(x) = 6x6 + 2x4 – 8x2 + 7x3 – 14x – 5Por lo tantoF(x) = (3x3 + 4x + 5)(2x3 – 2x – 1)3. Aspa doble especialSe utiliza para factorizar polinomios de cinco términosde la forma generalP(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E, A ≠0 (*)o de expresiones enteras reducibles a él.Procedimiento generalPara descomponer en factores el polinomio P(x), se deben seguir los siguientes pasos:1.º Se ordena el polinomio de acuerdo a la formageneral.2.º De faltar algún término, se sustituirá con uncero, el espacio correspondiente del término que faltase en la ordenación mencionada.3.º Se descomponen los términos extremos (1.º y5.º) en dos factores cada uno. Seguidamente,se calcula la suma de los productos de dichosfactores en aspa, obteniéndose un resultado.4.º Para hallar el término que sustituye al central(TSC), se resta del término central, el resultado obtenido anteriormente.ÁLGEBRA

46I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5.º Se descompone convenientemente el TSC, tratando que verifiquen simultáneamente dos aspas simples.ASPA (I) → a los términos 1.º , 2.º y TSCASPA (II) → a los términos TSC, 4.º y 5.ºSegún el esquema explícito mostradoP(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + Ea1x2n f1xn e1a2x2n f2xn e2I IITSC: Cx2n – (a2e1 +a1e2)x2n = Fx2nLuego, se descompone Fx2n en el recuadro, del modo siguiente: Fx2n = (f1xn)(f2xn).Tratando de verificar por medio de las aspas, los términos Bx3n y Dxn, tal como se muestranASPA (I)a2f1x3na1f2x3n Bx3n(+)ASPA (II)f2e1xnf1e2xn Dxn(+)6.º Los términos de los factores obtenidos se tomanhorizontalmente, tal como se indicaP(x) = (a1x2n + f1xn + e1)(a2x2n + f2xn + e2)(*) Si en la forma general n = 1 y P(x) = 0, es decir, Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0, se genera la ecuación general de 4.º grado, cuya resolución general se le debe a Ludovico Ferrari. En el caso de que esta ecuación acepte raíces racionales, se podrá aplicar el aspa doble especial y llevarlo a la forma equivalente(a1x2 + m1x + e1)(a2x2 + m2x + e2) = 0Aplicaciones diversas1. FactoriceP(x) = x3(x + 3) + 8(x2 + x + 1)P(x) = x4 + 3x3 + 8x2 + 8x + 8x2 2x 4x2 x 2TSC: 8x2 – (4 + 2)x2 = 2x2ASPA (I): 2x3 ASPA (II): 4x x3 4x3x3 8xPor lo tantoP(x, y) = (x2 + 2x + 4)(x2 + x + 2)2. FactoriceQ(x) = 6x4 + 7x3 + 0x2 – 9x – 43x2 +5x +42x2 – x –1TSC: 0x2 – (8 – 3)x2 = –5x2ASPA (I): +10x3 ASPA (II): –4x–3x3 –5x +7x3 –9xPor lo tantoQ(x) = (3x2 + 5x + 4)(2x2 – x – 1)El segundo factor, descomponiéndolo por aspa simple, resultaQ(x) = (3x2 + 5x + 4)(2x + 1)(x – 1)3. FactoriceR(x) = 12x4 + 44x3 + 11x2 – 36x + 96x2 7x –32x2 5x –3TSC: 11x2 – (–6 – 18)x2 = 35x2ASPA (I): +14x3 ASPA (II): –15x +30x3 –21x +44x3 –36xPor lo tantoR(x) = (6x2 + 7x – 3)(2x2 + 5x – 3)Finalmente, descomponiendo ambosfactoresR(x) = (3x – 1)(2x + 3)(2x – 1)(x + 3)ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 47 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN4. FactoriceF(x) = x4 + 39x – 22Completando con ceros, los términos cúbicos y cuadrático respectivamente, se tieneF(x) = x4 + 0x3 + 0x2 + 39x – 22x2 – 3x +11x2 +3x –2TSC: 0x2 – (11 – 2)x2 = –9x2Directamente, la expresión factorizada, seráF(x) = (x2 – 3x + 11)(x2 + 3x – 2)5. FactoriceG(x) = 49x4 + 54x2 + 25G(x) = 49x4 + 0x3 + 54x2 + 0x + 257x2 +4x +57x2 – 4x +5TSC: 54x2 – (35 + 35)x2 = –16x2Por lo tantoG(x) = (7x2 + 4x + 5)(7x2 – 4x + 5)6. FactoriceP(x) = 12x8 + 4x – 9x4 + 1P(x) = 12x8 + 4x6 – 9x4 + 0x2 + 14x4 – 4x2 +13x4 +4x2 +1TSC: –9x4 – (3 + 4)x4 = –16x4La expresión factorizada esP(x) = (4x4 – 4x2 + 1)(3x4 + 4x2 + 1)LuegoP(x) = (2x2 –1)2(3x2 + 1)(x2 + 1)7. FactoriceF(x, y) = 4x2 + 9x3y + 3x2y2 – 5xy3 – 3y44x2 xy –3y2x2 2xy +y2TSC: 3x2y2 –(–3 + 4)x2y2 = 2x2y2Los factores resultantes seránF(x, y) = (4x2 + xy – 3y2)(x2 + 2xy + y2)4x –3yx +yLuegoF(x, y) = (4x – 3y)(x + y)(x + y)2Por lo tantoF(x, y) = (4x – 3y)(x + y)3B. Criterio de los divisores binómicosFinalidad. Se utiliza para factorizar polinomios degrado arbitrario y de una variable, que acepten factores racionales de primer grado.Raíz de un polinomioDado un polinomio P(x) de grado n (n ≥ 1) yel valor de a es un escalar cualquiera. Si se verifica P(a) = 0, entonces a es una raíz de dichopolinomio.Por ejemploLos valores 1; 2 y –2/3 son raíces del polinomioP(x) = 3x3 – 7x2 + 4debido a queP(1) = 3(1)3 – 7(1)2 + 4 = 0P(2) = 3(2)3 – 7(2)2 + 4 = 0P(–2/3) = 3(–2/3)3 – 7(–2/3)2 + 4 = 0Determinación de los posibles ceros o raíces racionales (PCR) de un polinomioPara reconocer los posibles ceros racionales de un polinomio P(x) de coeficientes enteros, tal comoP(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... +an–1x + an, a0 ≠ 0Donde: a0 : coeficiente principal de P(x)an : término independiente de P(x)Se utilizará la siguiente propiedad:PCR = ± Divisores de |an|Divisores de |a0|Por ejemploLos posibles ceros racionales del polinomioP(x) = 4x5 – 29x3 – 24x2 + 7x + 6es decir, los posibles valores racionales que anulen dicha expresión, se calculan mediante la propiedad mencionada.Identifiquemos¾ Coeficiente principal de P(x) = 4¾ Término independiente de P(x) = 6LuegoPCR = ± Divisores de |6|Divisores de |4|PCR = ± 1; 2; 3; 61; 2; 4ÁLGEBRA

48I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREPor lo tantoPCR = ± 1; 2; 3; 6; 12; 32; 14; 34Es decir, tenemos 16 posibles ceros (por el doble signo) para el polinomio. En el proceso evaluativo, algunos de estos valores anularán realmente dicha expresión.Teorema del factor linealDado el polinomio P(x) de grado n (n ≥ 1), si el número racional a es un cero o raíz de dicha expresión, entonces x – a será un factor racional de P(x).Por ejemploEn el polinomio P(x) = 3x3 – 7x2 + 4Sabemos que 1; 2 y –2/3 son ceros o raíces deP(x), entonces, por el teorema expuesto, podemos afirmar que x – 1, x – 2 y x + 2/3 son factores racionales de la expresión.Aplicaciones diversas1. Factorice P(x) = x3 – 7x + 6.Como el polinomio es mónico, los posiblesceros racionales vendrán dados exclusivamente por los divisores del término independiente 6.Es decir, se obtiene directamente los tres cerosracionales de la expresión. Veamosx = 1 : P(1) = (1)3 – 7(1) + 6 = 0Por lo tanto, x – 1 es un factor.x = 2 : P(2) = (2)3 – 7(2) + 6 = 0Se obtiene, x – 2 como otro factor.x = –3 : P(–3) = (–3)3 – 7(–3) + 6 = 0Resulta como tercer factor x + 3.Finalmente: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3)2. Factorice P(x) = 6x3 + 17x2 + x – 10PCR=±Divisores de 10Divisores de 6 =± 1; 2; 5; 101; 2; 3; 6PCR=± 1; 2; 5; 10; 12; 52; 13; 23; 53; 103 ; 16; 56Evaluando, para el valor entero (–1) asíx=–1:P(–1)3=6(–1)3+17(–1)2+(–1)–10=0Por lo tanto, x + 1 es un factor de P(x).Es decir: P(x) = (x + 1)F(x) ← 2.º gradoPara hallar otro factor F(x), aplicamos la regla de Ruffini, debido a que F(x) es el cociente de la división a que F(x) es el cociente de la división indicada P(x)x + 1 .6 17 1 –106 11 –10 0–1 ↓ –6 –11 10FLuego: P(x) = (x + 1)(6x2 + 11x – 10)3x2x–2+5P(x) = (x + 1)(3x – 2)(2x + 5)Observar que estos últimos factores se generan a partir de los ceros racionales 2/3 y –5/2, que son elementos del PCR.3. FactoriceP(x) = 8x5 – 14x4 – 15x3 + 20x2 + 7x – 6PCR = ±Divisores de 6Divisores de 8 = ± 1; 2; 3; 61; 2; 4; 8PCR = ± 1; 2; 3; 6; 12; 32; 14; 34; 18, 38Evaluando parax = 1: P(1) = 8(1)5 – 14(1)4 – 15(1)3 + 20(1)2 + 7(1) – 6 = 0Por lo tanto, x – 1 es un factor de P(x).Es decir: P(x) = (x – 1)F(x) ← 4.º gradoAplicando la regla de Ruffini como en el ejemplo anterior, se tiene8 –14 –15 20 7 –68 –6 –21 –1 6 0 1 ↓ 8 –6 –21 –1 6FLuego: P(x) = (x – 1)(8x4 – 6x3– 21x2 – x + 6) 4x2 +7x 32x2 – 5x 2Tomando horizontalmente los factores de FP(x) = (x – 1)(4x2 + 7x + 3)(2x2 – 5x + 2)4xx2xx31–1–2FinalmenteP(x) = (x – 1)(4x + 3)(x + 1)(2x – 1)(x – 2)Observar que los últimos factores obtenidos se generan de los ceros racionales –3/4; –1; 1/2 y 2, que son elementos del PCR.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 49 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN4. FactoriceP(x) = x6 – 2x5 – x4 + x3 + 2x2 + x – 2Como el polinomio es mónico, los posibles ceros racionales vendrán dados por los divisores del término independiente –2.Es decirPCR = ± {1; 2}Por simple inspección, se observa queP(1) = 0 y P(–1) = 0Entonces, x –1 y x + 1 son factores de P(x).Es decir: P(x) = (x – 1)(x + 1)F(x) ← 4.º gradoAplicando dos veces la regla de Ruffini, sobre un mismo diagrama, se tiene1 –2 –1 1 2 1 –21 –1 –2 –1 1 2 01 –2 0 –1 2 0 1 ↓ 1 –1 –2 –1 1 2–1 ↓ –1 2 0 1 –2FLuego: P(x) = (x – 1)(x + 1)[x4 – 2x3 – x + 2]Como el polinomio cuártico es simple, factoricémoslo por agrupación de términos, asíP(x) = (x – 1)(x + 1)[x3(x – 2) – (x – 2)]P(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)[x3 – 1]Como x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)Se obtiene finalmenteP(x) = (x – 1)2(x + 1)(x – 2)(x2 + x + 1)5. FactoriceP(x) = 8x7 – 46x5 + 48x4 – 73x3 + 60x2 + 21x – 18Luego de determinar los PCR, seguidamenteempezamos a evaluar el polinomio, obteniéndoseP(1) = 0, P(2) = 0, P(–3) = 0Por lo tanto, x – 1, x – 2 y x + 3 son factores de P(x), es decirP(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3)F(x) ← 4.º gradoAplicando tres veces la regla de Ruffini, sobre un mismo diagrama, resulta8 0 –46 48 –73 60 21 –188 8 –38 10 –63 –3 18 08 24 10 30 –3 –9 08 0 10 0 –3 01 ↓ 8 8 –38 10 –63 –3 182 ↓ 16 48 20 60 –6 –18–3 ↓ –24 0 –30 0 9FLuegoP(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3)[8x4 + 10x2 – 3] 4x22x2–1+3P(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3)(4x2 – 1)(2x2 + 3)Descomponiendo el cuarto factor, por diferencia de cuadrados, resultaP(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3)(2x + 1)(2x – 1) (2x2 + 3)Para ejercitarse¾ Demuestre que al factorizar el polinomioP(x) = x8 + x7 – 5x6 + 9x4 – 9x3 – x2 + 8x – 4se obtiene (x + 1)(x – 1)3(x + 2)2(x2 – x +1).¾ De la identidad mostrada3x5 + 10x4 + 10x3 – 5x – 2 ≡ (x + c)n(ax + b)demuestre que a + b + c = n/2.¾ Investigue el siguiente teorema:Si x – k es un factor de multiplicidad r de unpolinomio, se cumplen las relaciones simultáneasP(k) = P'(k) = P\"(k) = ... = Pr–1(k) = 0siendo k una de las raíces del polinomio P(x), y las notaciones del cálculo diferencialP' : primera derivada de PP\" : segunda derivada de PP'\" : tercera derivada de P . . . . . .Pr – 1 : r – 1 derivada de PÁLGEBRA

50I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Señale un factor primo al factorizar45x4 + 22x2 – 3Resolución2. Indique el número de factores primos al factorizar25x4 – 109x2 + 36Resolución3. Calcule la suma de los factores primos al factorizar6x2 + 19xy + 15y2 – 17y – 11x + 4Resolución4. Factorice e indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.x4 + 7x3 + 17x2 +17x + 6ResoluciónHelico practice•5. Factorice e indique la cantidad de factores primos al factorizarx3 – 6x2 + 11x – 6Resolución6. Al factorizarP(x) = x3 – 11x2 + 31x – 24sea Q(x) la suma de sus factores primos. Si Q(4) es el número de hermanos que tiene Paulo, ¿cuántos hermanos tiene Paulo?Resolución7. El número de veces que postuló Javier a la UNI coincide con el número de factores primos al factorizar(x2 + x)2 – 26(x2 + x) + 120¿Cuántas veces postuló Javier a la UNI?Resolución•1. Señale un factor primo al factorizar45x4 + 22x2 – 3Resolución2. Indique el número de factores primos al factorizar25x4 – 109x2 + 36Resolución3. Calcule la suma de los factores primos al factorizar6x2 + 19xy + 15y2 – 17y – 11x + 4Resolución4. Factorice e indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.x4 + 7x3 + 17x2 +17x + 6ResoluciónHelico practice•1. Señale un factor primo al factorizar45x4 + 22x2 – 3Resolución2. Indique el número de factores primos al factorizar25x4 – 109x2 + 36Resolución3. Calcule la suma de los factores primos al factorizar6x2 + 19xy + 15y2 – 17y – 11x + 4Resolución4. Factorice e indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.x4 + 7x3 + 17x2 +17x + 6ResoluciónHelico practice•1. Señale un factor primo al factorizar45x4 + 22x2 – 3Resolución2. Indique el número de factores primos al factorizar25x4 – 109x2 + 36Resolución3. Calcule la suma de los factores primos al factorizar6x2 + 19xy + 15y2 – 17y – 11x + 4Resolución4. Factorice e indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.x4 + 7x3 + 17x2 +17x + 6ResoluciónHelico practice•5. Factorice e indique la cantidad de factores primos al factorizarx3 – 6x2 + 11x – 6Resolución6. Al factorizarP(x) = x3 – 11x2 + 31x – 24sea Q(x) la suma de sus factores primos. Si Q(4) es el número de hermanos que tiene Paulo, ¿cuántos hermanos tiene Paulo?Resolución7. El número de veces que postuló Javier a la UNI coincide con el número de factores primos al factorizar(x2 + x)2 – 26(x2 + x) + 120¿Cuántas veces postuló Javier a la UNI?Resolución•Practice TRABAJO EN CLASEResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aÁLGEBRA