4TO SEC CIENCIAS (II BIM)

4TO DE SECUNDARIA 201 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNROBERT RECORDERobert Recorde (c. 1510-1558) fue un médico y matemático galés que utilizó por primera vez el signo igual (=) en el año 1557. Miembro de una respetable familia de Dinbych-y-Pysgod, Gales, entró en la Universidad de Oxford cerca del 1525, y obtuvo trabajo en el All Souls College en 1531. Habiéndose dedicado a la medicina, fue a la Universidad de Cambridge, donde se tituló en 1545. De vuelta a Oxford, se dedicó a la enseñanza pública de la matemáticas, trabajo que ya había hecho con anterioridad a su paso por Cambridge. Se afirma que más adelante se estableció en Londres, y que ejerció de médico del rey Eduard VI y la reina María, a quien algunos de sus libros están dedicados. También ejerció de interventor de la Royal Mint, o seca real. Después de que un rival político le demandase por difamación, fue arrestado por deudas y murió en la prisión de Southwark. La principal aportación de Recorde al progreso de álgebra habría sido en la sistematización de la notación.¿Qué es una operación matemática?Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajociertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda la operación matemática presenta una regla dedefinición y un símbolo que la identifica llamado operadormatemático. Como ejemplos de operaciones matemáticastenemos: la adición, la sustracción, la multiplicación, etc.¿Qué es un operador matemático?Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como ejemplos de operadores matemáticos tenemosOperador Operación+ Adición– Sustracción× Multiplicación÷ División√ RadicaciónAquí mostramos otros operadores* : operador asterisco : operador cuadrado: operador nabla# : operador grilla: operador triángulo: operador rectángulo : operador diamante@ : operador arrobaCon estos operadores podemos establecer cualquier operación matemática, teniendo como regla de formaciónalguna combinación de operaciones básicas conocidas que podemos crear.Ejemploa ∆ b = a + bOperaciónOperador Regla de formaciónA) Representación de una operación matemáticaLa regla de definición estará representada medianteuna fórmula.a * b = 3a + 2b1 * 2 = 3(1) + 2(2) = 7Regla de definiciónB) Mediante tabla de doble entradaColumna de entradaa b c d b c d a c d a b d a b ca b c da b c dCuerpo o resultadoFila de entradaa * b = bb * d = ad * b = aTheory 03 Operaciones MatemáticasRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

202I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRETRABAJO EN CLASE1. En un boletín de matemáticas se propone el siguiente problema:Si m * n = 2m2n + 4nn , determineE = 2 * (10 * (30 * (40 * 50)))Si los alumnos del profesor Ronal contestaron correctamente, ¿qué respuesta dieron?Resolución2. Pepito esta desarrollando su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:Se define los operadores y de la siguiente manera: a b = (a + b)2; a ≥ b ab; a<b∧ a b ab 3Entonces el valor de (2 3) (5 1), es:Si después de consultar con sus compañeros pudo desarrollar correctamente el problema. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si ab  ba = a + b, efectúeM = 25  125 + (32  25)Resolución4. Se propone a los alumnos del 4.o año el siguiente reto matemático:Si x = 2x + 4, además x + 3 = 3x + 6,efectúeM = 2 + 10Si Marco, al resolver el problema, cometió un error y le salió 5 unidades menos, ¿podría decir cuál fue su respuesta?ResoluciónHelico practice•5. En el examen de matemáticas el profesor Rubén propone el siguiente problema:Si n = (n + 1)2, halle el valor de x enx = 100Si su alumna Ruth, resolvió correctamente, ¿cuál fue su respuesta?Resolución6. Si x = x + 2x , efectúeM = 2 + 22 + 23Resolución7. Carlitos quería retar a su amigo Edgar y le propuso el siguiente problema:Si x = x + 1x – 1 , halle el valor de N enN = 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 99Si Edgar se equivoco por 10 unidades más en su respuesta, ¿podría usted decir qué respondió Edgar?Resolución•1. En un boletín de matemáticas se propone el siguiente problema:Si m * n = 2m2n + 4nn , determineE = 2 * (10 * (30 * (40 * 50)))Si los alumnos del profesor Ronal contestaron correctamente, ¿qué respuesta dieron?Resolución2. Pepito esta desarrollando su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:Se define los operadores y de la siguiente manera: a b = (a + b)2; a ≥ b ab; a<b∧ a b ab 3Entonces el valor de (2 3) (5 1), es:Si después de consultar con sus compañeros pudo desarrollar correctamente el problema. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si ab  ba = a + b, efectúeM = 25  125 + (32  25)Resolución4. Se propone a los alumnos del 4.o año el siguiente reto matemático:Si x = 2x + 4, además x + 3 = 3x + 6,efectúeM = 2 + 10Si Marco, al resolver el problema, cometió un error y le salió 5 unidades menos, ¿podría decir cuál fue su respuesta?ResoluciónHelico practice•1. En un boletín de matemáticas se propone el siguiente problema:Si m * n = 2m2n + 4nn , determineE = 2 * (10 * (30 * (40 * 50)))Si los alumnos del profesor Ronal contestaron correctamente, ¿qué respuesta dieron?Resolución2. Pepito esta desarrollando su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:Se define los operadores y de la siguiente manera: a b = (a + b)2; a ≥ b ab; a<b∧ a b ab 3Entonces el valor de (2 3) (5 1), es:Si después de consultar con sus compañeros pudo desarrollar correctamente el problema. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si ab  ba = a + b, efectúeM = 25  125 + (32  25)Resolución4. Se propone a los alumnos del 4.o año el siguiente reto matemático:Si x = 2x + 4, además x + 3 = 3x + 6,efectúeM = 2 + 10Si Marco, al resolver el problema, cometió un error y le salió 5 unidades menos, ¿podría decir cuál fue su respuesta?ResoluciónHelico practice•1. En un boletín de matemáticas se propone el siguiente problema:Si m * n = 2m2n + 4nn , determineE = 2 * (10 * (30 * (40 * 50)))Si los alumnos del profesor Ronal contestaron correctamente, ¿qué respuesta dieron?Resolución2. Pepito esta desarrollando su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:Se define los operadores y de la siguiente manera: a b = (a + b)2; a ≥ b ab; a<b∧ a b ab 3Entonces el valor de (2 3) (5 1), es:Si después de consultar con sus compañeros pudo desarrollar correctamente el problema. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si ab  ba = a + b, efectúeM = 25  125 + (32  25)Resolución4. Se propone a los alumnos del 4.o año el siguiente reto matemático:Si x = 2x + 4, además x + 3 = 3x + 6,efectúeM = 2 + 10Si Marco, al resolver el problema, cometió un error y le salió 5 unidades menos, ¿podría decir cuál fue su respuesta?ResoluciónHelico practice•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 203 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN5. En el examen de matemáticas el profesor Rubén propone el siguiente problema:Si n = (n + 1)2, halle el valor de x enx = 100Si su alumna Ruth, resolvió correctamente, ¿cuál fue su respuesta?Resolución6. Si x = x + 2x , efectúeM = 2 + 22 + 23Resolución7. Carlitos quería retar a su amigo Edgar y le propuso el siguiente problema:Si x = x + 1x – 1 , halle el valor de N enN = 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 99Si Edgar se equivoco por 10 unidades más en su respuesta, ¿podría usted decir qué respondió Edgar?Resolución•5. En el examen de matemáticas el profesor Rubén propone el siguiente problema:Si n = (n + 1)2, halle el valor de x enx = 100Si su alumna Ruth, resolvió correctamente, ¿cuál fue su respuesta?Resolución6. Si x = x + 2x , efectúeM = 2 + 22 + 23Resolución7. Carlitos quería retar a su amigo Edgar y le propuso el siguiente problema:Si x = x + 1x – 1 , halle el valor de N enN = 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 99Si Edgar se equivoco por 10 unidades más en su respuesta, ¿podría usted decir qué respondió Edgar?Resolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si a * b = 2a2 + 3, determineE = 1 * (2 * (3 * (4 * (5 * 6))))Resolución2. Yo di el examen de admisión del colegio Gran Unidad Héroes del Cenepa y tuve dificultad con esta pregunta:Si x = 2x + 3 x = 4x – 3Calcula: 7Si no pude resolver correctamente el problema y mi respuesta fue menor a la correcta en una unidad. ¿Cuál fue mi respuesta?Resolución3. Se defineab ∆ ba = a – b2EfectúeM = 3 ∆ 18 + (81 ∆ 64)Resolución4. Se propone a los alumnos de un grupo de estudios el siguiente problema reto:Si x = x2 – 1, ademásx = (x + 2)xefectúe N = ( 4 + 4 )2.Al intentar resolverlo Camila comete un error, equivocándose por 6 unidades menos. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta de Camila?ResoluciónHelico workshop8.1. Si a * b = 2a2 + 3, determineE = 1 * (2 * (3 * (4 * (5 * 6))))Resolución2. Yo di el examen de admisión del colegio Gran Unidad Héroes del Cenepa y tuve dificultad con esta pregunta:Si x = 2x + 3 x = 4x – 3Calcula: 7Si no pude resolver correctamente el problema y mi respuesta fue menor a la correcta en una unidad. ¿Cuál fue mi respuesta?Resolución3. Se defineab ∆ ba = a – b2EfectúeM = 3 ∆ 18 + (81 ∆ 64)Resolución4. Se propone a los alumnos de un grupo de estudios el siguiente problema reto:Si x = x2 – 1, ademásx = (x + 2)xefectúe N = ( 4 + 4 )2.Al intentar resolverlo Camila comete un error, equivocándose por 6 unidades menos. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta de Camila?ResoluciónHelico workshop9.1. Si a * b = 2a2 + 3, determineE = 1 * (2 * (3 * (4 * (5 * 6))))Resolución2. Yo di el examen de admisión del colegio Gran Unidad Héroes del Cenepa y tuve dificultad con esta pregunta:Si x = 2x + 3 x = 4x – 3Calcula: 7Si no pude resolver correctamente el problema y mi respuesta fue menor a la correcta en una unidad. ¿Cuál fue mi respuesta?Resolución3. Se defineab ∆ ba = a – b2EfectúeM = 3 ∆ 18 + (81 ∆ 64)Resolución4. Se propone a los alumnos de un grupo de estudios el siguiente problema reto:Si x = x2 – 1, ademásx = (x + 2)xefectúe N = ( 4 + 4 )2.Al intentar resolverlo Camila comete un error, equivocándose por 6 unidades menos. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta de Camila?ResoluciónHelico workshop10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

204I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRETAREA DOMICILIARIA1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. Si x = (x + 2)2, halle el valor de m enm = 729Resolución6. En un examen mensual, el profesor de RM, plantea el siguiente problema:Se define a b = ab + baa + b , donde a ≠ – b.Determine 5000 1.Ricardo que es el alumno más sobresaliente resolvió correctamente. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta que obtuvo Ricardo?Resolución7. Carmen, en un examen de admisión, se encuentra con el siguiente problema:Si x = x + 1x – 1 , halle el valor de n en2 × 4 × 6 × 8 × ... × 2n = 145Si Carmen resolvió correctamente el problema, ¿podría usted decir cuál fue su respuesta?Resolución•11. 1. Si a * b = 2a2 + 3, determineE = 1 * (2 * (3 * (4 * (5 * 6))))Resolución2. Yo di el examen de admisión del colegio Gran Unidad Héroes del Cenepa y tuve dificultad con esta pregunta:Si x = 2x + 3 x = 4x – 3Calcula: 7Si no pude resolver correctamente el problema y mi respuesta fue menor a la correcta en una unidad. ¿Cuál fue mi respuesta?Resolución3. Se defineab ∆ ba = a – b2EfectúeM = 3 ∆ 18 + (81 ∆ 64)Resolución4. Se propone a los alumnos de un grupo de estudios el siguiente problema reto:Si x = x2 – 1, ademásx = (x + 2)xefectúe N = ( 4 + 4 )2.Al intentar resolverlo Camila comete un error, equivocándose por 6 unidades menos. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta de Camila?ResoluciónHelico workshop12.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 205 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPARA EL CUADERNO1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si a∆b = a + b2, determine 5∆3.ResoluciónEn este caso el operador es ∆.La regla de formación es a + b2.Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya quea ∆ b↑ ↑5 ∆ 3Luego la identificación de los valores de a y b, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacióna ∆ b = a + b2 ↑ ↑5 ∆ 3 = 5 + 32Efectuando operaciones combinadas¾ Primero la potenciación: 5∆3 = 5 + 9¾ Luego la adición: 5∆3 = 14El valor de 5∆3 es 14.Rpta.: 142. Si x y = – 1, donde x ≠ y y xy ≠ 0, determine8 (8 (8 (8 ...)))ResoluciónObservamos que se puede deducir términos en la regla de definición x y = x2 – xyx – y – 1x y = x(x – y)(x – y) – 1 x y = x – 1 Regla de definiciónAhora tenemos todo lo que nos piden8 (8 (8 ...)= 8 – 1 = 7 x yRpta.: 73. Se sabe que m∆n = m(n∆m)2. Determine 16∆2.ResoluciónSi reemplazamos tendríamos16∆2 = 16(2∆16)2 ... (α)Como puedes apreciar debemos calcular 2∆16 para reemplazando en (α), tendríamos2∆16 = 2 (16∆2)2Pero para calcular 2∆16, previamente determine conocer 16∆2, dato que no poseemos y que era inicialmente queríamos calcular. Parece difícil, ¿verdad?m∆n = m(n∆m)2 Lo que falta determinarSin embargo, n∆m = n(m∆n)2 de acuerdo a la definición.Ahora reemplazamos lo obtenido en la primera expresión y tendríamosm∆n = m(n[m∆n]2)2m∆n = mn2 [m∆n]23 3 2 21 1 ( ) mn mnmn mn= ∆ → ∆=lo que estamos buscando.Entonces3 3 21 11 16 216 2 64 4∆= = = ×Rpta.: 1/44. Si m* = (m+2)2 y además a * = 16a2, calcule3 294Resolución( a +2)2 = 16a2a = 4a – 2329 29 4 – 2 274 427 3  = =    =Rpta.: 35. Se define en +n = n(n+1)Halle el valor de n sin = 420Resoluciónn = n(n+1)n = 420 = 20(21)n = 20 = 4(5)∴ n = 4Rpta.: 4Solved problems•5. Si x = (x + 2)2, halle el valor de m enm = 729Resolución6. En un examen mensual, el profesor de RM, plantea el siguiente problema:Se define a b = ab + baa + b , donde a ≠ – b.Determine 5000 1.Ricardo que es el alumno más sobresaliente resolvió correctamente. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta que obtuvo Ricardo?Resolución7. Carmen, en un examen de admisión, se encuentra con el siguiente problema:Si x = x + 1x – 1 , halle el valor de n en2 × 4 × 6 × 8 × ... × 2n = 145Si Carmen resolvió correctamente el problema, ¿podría usted decir cuál fue su respuesta?Resolución•2.1. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, determine g(3) sabiendo que f(g(y)) = y4 + 15.A) 9 B) 7C) 11 D) 102. Si a * b = ab y b ∆ a = ab , calcule4 * 27 3 – 4 ∆ 27 2A) 485 B) 500C) 512 D) 4901. Definido el operador “ΨΨ“ mediante:nΨΨ: (n – 1)2; “n” es par2n; “n” es imparDeterminar:L = {(3ΨΨ)(2ΨΨ) – 2ΨΨ} ΨΨResolución2. Se define en +, a = a(a + 1). Halle el valor de x en x = 930.ResoluciónHelico trialHelico challenge6.1. El profesor de matemática propone el siguiente problema a sus alumnos.Si x + 1 = x2 – 1, efectúe A = 2 – 1 .Si los alumnos resolvieron correctamente el problema, ¿cuál fue la respuesta de los alumnos?A) 0 B) –1C) 1 D) 22. Ernesto al desarrollar su tarea semanal de Razonamiento matemático tiene dificultad con este problema:Si: m n = m2 – mn a b = ab – b2Calcula (4 2) (1 – 2)Si después de muchos intentos Ernesto pudo desarrollar correctamente el problema. ¿Cuál fue la respuesta que dio Ernesto?A) 26 B) 36C) 15 D) –843. El profesor de Víctor Raúl decide evaluar a los alumnos de su clase pidiéndoles que resuelva este problema que fue propuesto en la pizarra:( ) { } ( )( ) ( )3 5 6 6 ... 42E2 5 60  ∗∗ ∗ ∗   = ∆ +∆Si: a * b = b ∧ x y = 2x + y2Si solo un alumno pudo resolver el problema correctamente. ¿Cuál fue la respuesta que dio el alumno?A) 4 B) 2C) 3 D) 124. En un concurso de matemáticas se propone el siguiente problema:Six = 3x + 2x = x – 3determine 8 .solvieron el problema exitosamente, ¿podría usted decir cual fue la respuesta?A) 35 B) 25C) 13 D) – 435. Six = 2x – 3x – 5 = x – 8calcule 3 + 2 .A) 5 B) 6C) 7 D) 8Helico homework Si los alumnos que representan a \"El Peruanito\", re5.1. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, determine g(3) sabiendo que f(g(y)) = y4 + 15.A) 9 B) 7C) 11 D) 102. Si a * b = ab y b ∆ a = ab , calcule4 * 27 3 – 4 ∆ 27 2A) 485 B) 500C) 512 D) 4901. Definido el operador “ΨΨ“ mediante:nΨΨ: (n – 1)2; “n” es par2n; “n” es imparDeterminar:L = {(3ΨΨ)(2ΨΨ) – 2ΨΨ} ΨΨResolución2. Se define en +, a = a(a + 1). Halle el valor de x en x = 930.ResoluciónHelico trialHelico challenge7.1. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, determine g(3) sabiendo que f(g(y)) = y4 + 15.A) 9 B) 7C) 11 D) 102. Si a * b = ab y b ∆ a = ab , calcule4 * 27 3 – 4 ∆ 27 2A) 485 B) 500C) 512 D) 4901. Definido el operador “ΨΨ“ mediante:nΨΨ: (n – 1)2; “n” es par2n; “n” es imparDeterminar:L = {(3ΨΨ)(2ΨΨ) – 2ΨΨ} ΨΨResolución2. Se define en +, a = a(a + 1). Halle el valor de x en x = 930.ResoluciónHelico trialHelico challenge4.5. Si x = (x + 2)2, halle el valor de m enm = 729Resolución6. En un examen mensual, el profesor de RM, plantea el siguiente problema:Se define a b = ab + baa + b , donde a ≠ – b.Determine 5000 1.Ricardo que es el alumno más sobresaliente resolvió correctamente. ¿Podría usted decir cuál fue la respuesta que obtuvo Ricardo?Resolución7. Carmen, en un examen de admisión, se encuentra con el siguiente problema:Si x = x + 1x – 1 , halle el valor de n en2 × 4 × 6 × 8 × ... × 2n = 145Si Carmen resolvió correctamente el problema, ¿podría usted decir cuál fue su respuesta?Resolución•1.1. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, determine g(3) sabiendo que f(g(y)) = y4 + 15.A) 9 B) 7C) 11 D) 102. Si a * b = ab y b ∆ a = ab , calcule4 * 27 3 – 4 ∆ 27 2A) 485 B) 500C) 512 D) 4901. Definido el operador “ΨΨ“ mediante:nΨΨ: (n – 1)2; “n” es par2n; “n” es imparDeterminar:L = {(3ΨΨ)(2ΨΨ) – 2ΨΨ} ΨΨResolución2. Se define en +, a = a(a + 1). Halle el valor de x en x = 930.ResoluciónHelico trialHelico challenge3.3. Si x+5 = x3 –1, determine 8 .Resolución4. Six = 2x + 4 y x = 4x - 6calcule 2 + 3 .Resolución5. Si x ∗ y = x2 – 4x – 1, determineE = 9∗(9∗(9∗(9∗(9∗...))))Resolución•8.3. Si x+5 = x3 –1, determine 8 .Resolución4. Six = 2x + 4 y x = 4x - 6calcule 2 + 3 .Resolución5. Si x ∗ y = x2 – 4x – 1, determineE = 9∗(9∗(9∗(9∗(9∗...))))Resolución•9.3. Si x+5 = x3 –1, determine 8 .Resolución4. Six = 2x + 4 y x = 4x - 6calcule 2 + 3 .Resolución5. Si x ∗ y = x2 – 4x – 1, determineE = 9∗(9∗(9∗(9∗(9∗...))))Resolución•10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

206I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREA una ley de composición interna se le llama operación binaria, la cual puede tener una presentación algebraica o una presentación tabular (pitagórica).Operación binariaPresentación algebraica a * b = a + 2b1 * 2 = 1 + 2(2) = 51 * 3 = 1 + 2(3) = 72 * 1 = 2 + 2(1) = 42 * 2 = 2 + 2(2) = 6Presentación tabularFila de entradaColumnade entradaCuerpo dela tabla* 1 2 3 412343 5 7 94 6 8 105 7 9 116 8 10 12Principales propiedadesI. Propiedad de clausuraDado el conjunto A = {a, b, c, d} y la operacióna * b = dSi a, b ∈A → d ∈AII. Propiedad conmutativaa * b = b * aIII. Elemento neutro (e)a * e = e * a = aIV. Elemento inverso (a-1)a * a-1 = a-1 * a = eLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAAunque la cantidad de leyes sea enorme, el álgebra no será más complicada. Al revés, cuantas más leyes haya, más sencillas serán las cosas, porque dispondremos de más modos de simplificar expresiones. Incluso parte de la notación algebraica se basa en ciertas leyes. La única razón por la que se puede escribir a + b + c sin que haya ambigüedades es porque se cumple la ley asociativa.La mayor parte del álgebra elemental consiste en utilizar estas leyes para demostrar fórmulas.Por ejemplo, demostremos que (x + y)2 = x 2 + 2xy +y2.Observamos primero que, para cualquier número a, se define a2 como a · a, y 2a como a + a, en segundo lugar, notemos que a + b + c es una forma abreviada de (a + b)+ c. Ahora tenemos(x+y)2 = (x+y)(x+y) (definición) = x(x+y)+y(x+y) (ley distributiva) = (x·x+x·y)+(y·x+y·y) (ley distributiva) = (x2+xy)+(yx+y2) (definición) = (x2+xy)+(xy+y2) (ley conmutativa de la multiplicación) = ((x2+xy)+xy)+y2 (ley asociativa de la adición) = (x2+2xy)+y2 (definición) = x2+2xy+y2 (notación)Theory 04 Leyes de Composición InternaRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 207 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNTRABAJO EN CLASE1. En una práctica de matemáticas del curso de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m ∆ n = 2m + nPodría usted calcular el valor de:E = 10 ∆ (– 6)Resolución4. Si: a ∆ b = a + b – 8Es una nueva operación matemática definido en el campo de los números enteros.Calcular el valor de NN = (–2)–1* (–6)–1ResoluciónI. a ∆ b = a + b – 8 a ∆ e = a a + e – 8 = a ⇒ e = 8II. a ∆ a–1 = e a + a–1 – 8 = 2 a–1 = 10 – aIII. (–2)–1 = 10 – (–2) = 12IV. (–6)–1 = 10 – (–6) = 16⇒ N = (–2)–1 ∆ (–6)–1 N = 12 ∆ 16 = 12 + 16 – 8∴ N = 20Rpta.: 205. Si se define la siguiente operación:a * b = a+b – 3determine 2–1 * 4–1.ResoluciónHallando el elemento neutro.a * e = a + e – 3 = a → e = 3 2 * 2–1 = 2 + 2–1 –3 = 3 → 2–1 = 4 4 * 4–1 = 4 + 4–1 –3 = 3 → 4–1 = 2Luego2–1 * 4–1 = 4 * 2 = 4+2 – 3 = 3Rpta.: 32. Raquel participa en el Concurso Nacional de Matede le proponen el siguiente problema:Si: a  b = 3ab5 , calcular el valor de: E = 10 000  eDonde: e es el elemento neutroResoluciónHelico practice•mática, representando al colegio \"El Peruanito\" don1. En una práctica de matemáticas del curso de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m ∆ n = 2m + nPodría usted calcular el valor de:E = 10 ∆ (– 6)Resolución4. Si: a ∆ b = a + b – 8Es una nueva operación matemática definido en el campo de los números enteros.Calcular el valor de NN = (–2)–1* (–6)–1ResoluciónI. a ∆ b = a + b – 8 a ∆ e = a a + e – 8 = a ⇒ e = 8II. a ∆ a–1 = e a + a–1 – 8 = 2 a–1 = 10 – aIII. (–2)–1 = 10 – (–2) = 12IV. (–6)–1 = 10 – (–6) = 16⇒ N = (–2)–1 ∆ (–6)–1 N = 12 ∆ 16 = 12 + 16 – 8∴ N = 20Rpta.: 205. Si se define la siguiente operación:a * b = a+b – 3determine 2–1 * 4–1.ResoluciónHallando el elemento neutro.a * e = a + e – 3 = a → e = 3 2 * 2–1 = 2 + 2–1 –3 = 3 → 2–1 = 4 4 * 4–1 = 4 + 4–1 –3 = 3 → 4–1 = 2Luego2–1 * 4–1 = 4 * 2 = 4+2 – 3 = 3Rpta.: 32. Raquel participa en el Concurso Nacional de Matede le proponen el siguiente problema:Si: a  b = 3ab5 , calcular el valor de: E = 10 000  eDonde: e es el elemento neutroResoluciónHelico practice•mática, representando al colegio \"El Peruanito\" don3. Álvaro está estudiando su libro de matemática, para su examen bimestral y tiene dificultad con el siguiente problema:Si A*B = A + B – 5 se define en ; respondaverdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es – 5. ( )b. La operación es conmutativa. ( )c. La operación es asociativa. ( )Si Álvaro respondió todas correctamente. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución5. Se define en p q = p + q - 6Determine 2–1 5–1Resolución4. Ximena participa en un concurso de becas para popregunta que le falta resolver es la siguiente:Se define en m ∆ n = m + n - 8Halle el valor de3–1 y 4–1Si ella respondió correctamente. ¿Qué respuesta dió?Resolución6. Angélica discutía con su amiga Camila sobre la resolución más corta para este problema:m n = mn3 , definida en Calcule el valor de P.P = 4–1 6–1Si cada uno resolvió el problema correctamente. Podría decir ¿cuál fue la respuesta que dieron las amigas?Resoluciónder ingresar al colegio \"El Peruanito\", si la última 3. Álvaro está estudiando su libro de matemática, para su examen bimestral y tiene dificultad con el siguiente problema:Si A*B = A + B – 5 se define en ; respondaverdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es – 5. ( )b. La operación es conmutativa. ( )c. La operación es asociativa. ( )Si Álvaro respondió todas correctamente. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución5. Se define en p q = p + q - 6Determine 2–1 5–1Resolución4. Ximena participa en un concurso de becas para popregunta que le falta resolver es la siguiente:Se define en m ∆ n = m + n - 8Halle el valor de3–1 y 4–1Si ella respondió correctamente. ¿Qué respuesta dió?Resolución6. Angélica discutía con su amiga Camila sobre la resolución más corta para este problema:m n = mn3 , definida en Calcule el valor de P.P = 4–1 6–1Si cada uno resolvió el problema correctamente. Podría decir ¿cuál fue la respuesta que dieron las amigas?Resoluciónder ingresar al colegio \"El Peruanito\", si la última PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

208I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE7. En el examen de admisión para la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se propuso el siguiente problema:m ∆ n = 2mn3 ; definido en los racionales. Calcule el valor de:P = 27–1 ∆ 116–1Podría resolver el problema y decir. ¿Cuál fue el resultado del problema?Resolución1. En la tarea semanal de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m*n = 3m – 2ncalcule el valor de:E = (1*1)*2Resolución2. A Juan Carlos le propuso su profesor de Razonamiento Matemático en la pizarra:Se da el siguiente operador:a  b = 3abCalcular el valor de:M = 2000  eDonde e es el elemento neutro.ResoluciónHelico workshop•3. Álvaro está estudiando su libro de matemática, para su examen bimestral y tiene dificultad con el siguiente problema:Si A*B = A + B – 5 se define en ; respondaverdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es – 5. ( )b. La operación es conmutativa. ( )c. La operación es asociativa. ( )Si Álvaro respondió todas correctamente. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución5. Se define en p q = p + q - 6Determine 2–1 5–1Resolución4. Ximena participa en un concurso de becas para popregunta que le falta resolver es la siguiente:Se define en m ∆ n = m + n - 8Halle el valor de3–1 y 4–1Si ella respondió correctamente. ¿Qué respuesta dió?Resolución6. Angélica discutía con su amiga Camila sobre la resolución más corta para este problema:m n = mn3 , definida en Calcule el valor de P.P = 4–1 6–1Si cada uno resolvió el problema correctamente. Podría decir ¿cuál fue la respuesta que dieron las amigas?Resoluciónder ingresar al colegio \"El Peruanito\", si la última 3. Álvaro está estudiando su libro de matemática, para su examen bimestral y tiene dificultad con el siguiente problema:Si A*B = A + B – 5 se define en ; respondaverdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es – 5. ( )b. La operación es conmutativa. ( )c. La operación es asociativa. ( )Si Álvaro respondió todas correctamente. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución5. Se define en p q = p + q - 6Determine 2–1 5–1Resolución4. Ximena participa en un concurso de becas para popregunta que le falta resolver es la siguiente:Se define en m ∆ n = m + n - 8Halle el valor de3–1 y 4–1Si ella respondió correctamente. ¿Qué respuesta dió?Resolución6. Angélica discutía con su amiga Camila sobre la resolución más corta para este problema:m n = mn3 , definida en Calcule el valor de P.P = 4–1 6–1Si cada uno resolvió el problema correctamente. Podría decir ¿cuál fue la respuesta que dieron las amigas?Resoluciónder ingresar al colegio \"El Peruanito\", si la última PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a7. En el examen de admisión para la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se propuso el siguiente problema:m ∆ n = 2mn3 ; definido en los racionales. Calcule el valor de:P = 27–1 ∆ 116–1Podría resolver el problema y decir. ¿Cuál fue el resultado del problema?Resolución1. En la tarea semanal de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m*n = 3m – 2ncalcule el valor de:E = (1*1)*2Resolución2. A Juan Carlos le propuso su profesor de Razonamiento Matemático en la pizarra:Se da el siguiente operador:a  b = 3abCalcular el valor de:M = 2000  eDonde e es el elemento neutro.ResoluciónHelico workshop•8.5. Se define en el campo numérico de los enteros ()A#B = A + B – 3calcule el valor de M.M = 3–1 # 5–1Resolución3. Roxana esta estudiando para su examen bimestral su libro de razonamiento matemático y tiene dificultad con el siguiente problema:m ∆ n = m + n + 12, definido en . Responda verdadero (V) o falso (F) cada pregunta:a. El elemento neutro es –12. ( )b. La operación es asociativa. ( )c. La operación es conmutativa. ( )Resolución4. Rodolfo participa en un concurso de becas para la ma pregunta que le falta resolver es la siguiente:se define en  A ∆ B = A + B – 4Calcular:M = 4–1 ∆ 6–1Si Rodolfo contestó correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución6. Geovani discute con Daniel, quien de los dos va a enseñarle a desarrollar el siguiente problema a Carmela:m n = m×n4 , definido en Calcule el valor de N.N = 2–1 4–1Si cada uno de ellos le enseñó a resolver correctamente el problema. Podría decir ¿cuál fue larespuesta del problema?Resoluciónacademia pre-universitaria \"El Peruanito\", si la últi9.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 209 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. Se define en el campo numérico de los enteros ()A#B = A + B – 3calcule el valor de M.M = 3–1 # 5–1Resolución3. Roxana esta estudiando para su examen bimestral su libro de razonamiento matemático y tiene dificultad con el siguiente problema:m ∆ n = m + n + 12, definido en . Responda verdadero (V) o falso (F) cada pregunta:a. El elemento neutro es –12. ( )b. La operación es asociativa. ( )c. La operación es conmutativa. ( )Resolución4. Rodolfo participa en un concurso de becas para la ma pregunta que le falta resolver es la siguiente:se define en  A ∆ B = A + B – 4Calcular:M = 4–1 ∆ 6–1Si Rodolfo contestó correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución6. Geovani discute con Daniel, quien de los dos va a enseñarle a desarrollar el siguiente problema a Carmela:m n = m×n4 , definido en Calcule el valor de N.N = 2–1 4–1Si cada uno de ellos le enseñó a resolver correctamente el problema. Podría decir ¿cuál fue larespuesta del problema?Resoluciónacademia pre-universitaria \"El Peruanito\", si la últi11.5. Se define en el campo numérico de los enteros ()A#B = A + B – 3calcule el valor de M.M = 3–1 # 5–1Resolución3. Roxana esta estudiando para su examen bimestral su libro de razonamiento matemático y tiene dificultad con el siguiente problema:m ∆ n = m + n + 12, definido en . Responda verdadero (V) o falso (F) cada pregunta:a. El elemento neutro es –12. ( )b. La operación es asociativa. ( )c. La operación es conmutativa. ( )Resolución4. Rodolfo participa en un concurso de becas para la ma pregunta que le falta resolver es la siguiente:se define en  A ∆ B = A + B – 4Calcular:M = 4–1 ∆ 6–1Si Rodolfo contestó correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución6. Geovani discute con Daniel, quien de los dos va a enseñarle a desarrollar el siguiente problema a Carmela:m n = m×n4 , definido en Calcule el valor de N.N = 2–1 4–1Si cada uno de ellos le enseñó a resolver correctamente el problema. Podría decir ¿cuál fue larespuesta del problema?Resoluciónacademia pre-universitaria \"El Peruanito\", si la últi5. Se define en el campo numérico de los enteros ()A#B = A + B – 3calcule el valor de M.M = 3–1 # 5–1Resolución3. Roxana esta estudiando para su examen bimestral su libro de razonamiento matemático y tiene dificultad con el siguiente problema:m ∆ n = m + n + 12, definido en . Responda verdadero (V) o falso (F) cada pregunta:a. El elemento neutro es –12. ( )b. La operación es asociativa. ( )c. La operación es conmutativa. ( )Resolución4. Rodolfo participa en un concurso de becas para la ma pregunta que le falta resolver es la siguiente:se define en  A ∆ B = A + B – 4Calcular:M = 4–1 ∆ 6–1Si Rodolfo contestó correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución6. Geovani discute con Daniel, quien de los dos va a enseñarle a desarrollar el siguiente problema a Carmela:m n = m×n4 , definido en Calcule el valor de N.N = 2–1 4–1Si cada uno de ellos le enseñó a resolver correctamente el problema. Podría decir ¿cuál fue larespuesta del problema?Resoluciónacademia pre-universitaria \"El Peruanito\", si la últi- 12.7. En el examen de admisión para la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se propuso el siguiente problema:m ∆ n = 2mn3 ; definido en los racionales. Calcule el valor de:P = 27–1 ∆ 116–1Podría resolver el problema y decir. ¿Cuál fue el resultado del problema?Resolución1. En la tarea semanal de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m*n = 3m – 2ncalcule el valor de:E = (1*1)*2Resolución2. A Juan Carlos le propuso su profesor de Razonamiento Matemático en la pizarra:Se da el siguiente operador:a  b = 3abCalcular el valor de:M = 2000  eDonde e es el elemento neutro.ResoluciónHelico workshop•10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

210I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRETAREA DOMICILIARIA1. Se da la siguiente operación matemática: a*b = 2a + 4b – 5Calcular el valor de M.M = (2*3)*45*1ResoluciónDado el operador: a*b = 2a + 4b – 5I. 2*3 = 2(2) + 4(3) – 5 = 11II. (2*3)*4 = 11*4 = 2(11) + 4(4) – 5 = 33III. 5*1 = 2(5) + 4(1) – 5 = 9 M = (2*3)*45*1 = 339∴ M = 113Rpta.: 11/32. Se tiene una nueva operación definida del modosiguiente:a * b = 6a – 5b2 + 3abDe acuerdo con esta operación matemática, opere el simétrico multiplicativo de 3 con el simétrico aditivo de –4.Resolución¾ El simétrico multiplicativo o inverso multiplicativo de 3 es 1/3.¾ El simétrico aditivo o inverso aditivo de –4 es 4.Luego aplicamos la nueva regla( )( )1 6 –5 4 1 1 3 * 4 3 43 231 18 *4 – 43 21 * 4 –9 431 * 4 –53        = +    = += +=Rpta.: –53. En la nueva operación x ∇ y = 2xy + x + y, escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a. ∇ es interna en . ( )b. ∇ es conmutativa en . ( )c. (1 ∇ 2) ∇ 3=1 ∇ (2 ∇ 3) ( )d. ∇ tiene elemento neutro absoluto. ( )ResoluciónVerificando las proposicionesa. Si x ∈ ∧ y ∈  → x ∇ y ∈ pues:  ∇  = 2()() +  +   ∇  =  ...(V)b. x ∇ y = y ∇ xpues: 2xy + x + y = 2yx + y + x ...(V)c. (1 ∇ 2) ∇ 3 =1 ∇ (2 ∇ 3)Aplicando la definición 7 ∇ 3 = 1 ∇ 17 52 = 52 ...(V)d. Por propiedad se sabe quex ∇ e = xAplicando la ley, tenemos2xe + x + e = x2xe + e = 0e(2x + 1) = 0En este producto, 2x + 1 es un valor arbitrario cualquiera, por lo tanto: e = 0.Luego comprobando8 ∇ 0 = 2(8)(0) + 8 + 0 = 80 ∇ 8 = 2(0)(8) + 0 + 8 = 8Ahora tenemos el elemento neutro absoluto de la operación e = 0 ...(V)Rpta.: ASolved problems 1. Se da la siguiente operación matemática: a*b = 2a + 4b – 5Calcular el valor de M.M = (2*3)*45*1ResoluciónDado el operador: a*b = 2a + 4b – 5I. 2*3 = 2(2) + 4(3) – 5 = 11II. (2*3)*4 = 11*4 = 2(11) + 4(4) – 5 = 33III. 5*1 = 2(5) + 4(1) – 5 = 9 M = (2*3)*45*1 = 339∴ M = 113Rpta.: 11/32. Se tiene una nueva operación definida del modosiguiente:a * b = 6a – 5b2 + 3abDe acuerdo con esta operación matemática, opere el simétrico multiplicativo de 3 con el simétrico aditivo de –4.Resolución¾ El simétrico multiplicativo o inverso multiplicativo de 3 es 1/3.¾ El simétrico aditivo o inverso aditivo de –4 es 4.Luego aplicamos la nueva regla( )( )1 6 –5 4 1 1 3 * 4 3 43 231 18 *4 – 43 21 * 4 –9 431 * 4 –53        = +    = += +=Rpta.: –53. En la nueva operación x ∇ y = 2xy + x + y, escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a. ∇ es interna en . ( )b. ∇ es conmutativa en . ( )c. (1 ∇ 2) ∇ 3=1 ∇ (2 ∇ 3) ( )d. ∇ tiene elemento neutro absoluto. ( )ResoluciónVerificando las proposicionesa. Si x ∈ ∧ y ∈  → x ∇ y ∈ pues:  ∇  = 2()() +  +   ∇  =  ...(V)b. x ∇ y = y ∇ xpues: 2xy + x + y = 2yx + y + x ...(V)c. (1 ∇ 2) ∇ 3 =1 ∇ (2 ∇ 3)Aplicando la definición 7 ∇ 3 = 1 ∇ 17 52 = 52 ...(V)d. Por propiedad se sabe quex ∇ e = xAplicando la ley, tenemos2xe + x + e = x2xe + e = 0e(2x + 1) = 0En este producto, 2x + 1 es un valor arbitrario cualquiera, por lo tanto: e = 0.Luego comprobando8 ∇ 0 = 2(8)(0) + 8 + 0 = 80 ∇ 8 = 2(0)(8) + 0 + 8 = 8Ahora tenemos el elemento neutro absoluto de la operación e = 0 ...(V)Rpta.: ASolved problems1. Se da la siguiente operación matemática: a*b = 2a + 4b – 5Calcular el valor de M.M = (2*3)*45*1ResoluciónDado el operador: a*b = 2a + 4b – 5I. 2*3 = 2(2) + 4(3) – 5 = 11II. (2*3)*4 = 11*4 = 2(11) + 4(4) – 5 = 33III. 5*1 = 2(5) + 4(1) – 5 = 9 M = (2*3)*45*1 = 339∴ M = 113Rpta.: 11/32. Se tiene una nueva operación definida del modosiguiente:a * b = 6a – 5b2 + 3abDe acuerdo con esta operación matemática, opere el simétrico multiplicativo de 3 con el simétrico aditivo de –4.Resolución¾ El simétrico multiplicativo o inverso multiplicativo de 3 es 1/3.¾ El simétrico aditivo o inverso aditivo de –4 es 4.Luego aplicamos la nueva regla( )( )1 6 –5 4 1 1 3 * 4 3 43 231 18 *4 – 43 21 * 4 –9 431 * 4 –53        = +    = += +=Rpta.: –53. En la nueva operación x ∇ y = 2xy + x + y, escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a. ∇ es interna en . ( )b. ∇ es conmutativa en . ( )c. (1 ∇ 2) ∇ 3=1 ∇ (2 ∇ 3) ( )d. ∇ tiene elemento neutro absoluto. ( )ResoluciónVerificando las proposicionesa. Si x ∈ ∧ y ∈  → x ∇ y ∈ pues:  ∇  = 2()() +  +   ∇  =  ...(V)b. x ∇ y = y ∇ xpues: 2xy + x + y = 2yx + y + x ...(V)c. (1 ∇ 2) ∇ 3 =1 ∇ (2 ∇ 3)Aplicando la definición 7 ∇ 3 = 1 ∇ 17 52 = 52 ...(V)d. Por propiedad se sabe quex ∇ e = xAplicando la ley, tenemos2xe + x + e = x2xe + e = 0e(2x + 1) = 0En este producto, 2x + 1 es un valor arbitrario cualquiera, por lo tanto: e = 0.Luego comprobando8 ∇ 0 = 2(8)(0) + 8 + 0 = 80 ∇ 8 = 2(0)(8) + 0 + 8 = 8Ahora tenemos el elemento neutro absoluto de la operación e = 0 ...(V)Rpta.: ASolved problems1. En una práctica de matemáticas del curso de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m ∆ n = 2m + nPodría usted calcular el valor de:E = 10 ∆ (– 6)Resolución4. Si: a ∆ b = a + b – 8Es una nueva operación matemática definido en el campo de los números enteros.Calcular el valor de NN = (–2)–1* (–6)–1ResoluciónI. a ∆ b = a + b – 8 a ∆ e = a a + e – 8 = a ⇒ e = 8II. a ∆ a–1 = e a + a–1 – 8 = 2 a–1 = 10 – aIII. (–2)–1 = 10 – (–2) = 12IV. (–6)–1 = 10 – (–6) = 16⇒ N = (–2)–1 ∆ (–6)–1 N = 12 ∆ 16 = 12 + 16 – 8∴ N = 20Rpta.: 205. Si se define la siguiente operación:a * b = a+b – 3determine 2–1 * 4–1.ResoluciónHallando el elemento neutro.a * e = a + e – 3 = a → e = 3 2 * 2–1 = 2 + 2–1 –3 = 3 → 2–1 = 4 4 * 4–1 = 4 + 4–1 –3 = 3 → 4–1 = 2Luego2–1 * 4–1 = 4 * 2 = 4+2 – 3 = 3Rpta.: 32. Raquel participa en el Concurso Nacional de Matede le proponen el siguiente problema:Si: a  b = 3ab5 , calcular el valor de: E = 10 000  eDonde: e es el elemento neutroResoluciónHelico practice•mática, representando al colegio \"El Peruanito\" donPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Se da la siguiente operación matemática: a*b = 2a + 4b – 5Calcular el valor de M.M = (2*3)*45*1ResoluciónDado el operador: a*b = 2a + 4b – 5I. 2*3 = 2(2) + 4(3) – 5 = 11II. (2*3)*4 = 11*4 = 2(11) + 4(4) – 5 = 33III. 5*1 = 2(5) + 4(1) – 5 = 9 M = (2*3)*45*1 = 339∴ M = 113Rpta.: 11/32. Se tiene una nueva operación definida del modosiguiente:a * b = 6a – 5b2 + 3abDe acuerdo con esta operación matemática, opere el simétrico multiplicativo de 3 con el simétrico aditivo de –4.Resolución¾ El simétrico multiplicativo o inverso multiplicativo de 3 es 1/3.¾ El simétrico aditivo o inverso aditivo de –4 es 4.Luego aplicamos la nueva regla( )( )1 6 –5 4 1 1 3 * 4 3 43 231 18 *4 – 43 21 * 4 –9 431 * 4 –53        = +    = += +=Rpta.: –53. En la nueva operación x ∇ y = 2xy + x + y, escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a. ∇ es interna en . ( )b. ∇ es conmutativa en . ( )c. (1 ∇ 2) ∇ 3=1 ∇ (2 ∇ 3) ( )d. ∇ tiene elemento neutro absoluto. ( )ResoluciónVerificando las proposicionesa. Si x ∈ ∧ y ∈  → x ∇ y ∈ pues:  ∇  = 2()() +  +   ∇  =  ...(V)b. x ∇ y = y ∇ xpues: 2xy + x + y = 2yx + y + x ...(V)c. (1 ∇ 2) ∇ 3 =1 ∇ (2 ∇ 3)Aplicando la definición 7 ∇ 3 = 1 ∇ 17 52 = 52 ...(V)d. Por propiedad se sabe quex ∇ e = xAplicando la ley, tenemos2xe + x + e = x2xe + e = 0e(2x + 1) = 0En este producto, 2x + 1 es un valor arbitrario cualquiera, por lo tanto: e = 0.Luego comprobando8 ∇ 0 = 2(8)(0) + 8 + 0 = 80 ∇ 8 = 2(0)(8) + 0 + 8 = 8Ahora tenemos el elemento neutro absoluto de la operación e = 0 ...(V)Rpta.: ASolved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a 1. En una práctica de matemáticas del curso de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m ∆ n = 2m + nPodría usted calcular el valor de:E = 10 ∆ (– 6)Resolución4. Si: a ∆ b = a + b – 8Es una nueva operación matemática definido en el campo de los números enteros.Calcular el valor de NN = (–2)–1* (–6)–1ResoluciónI. a ∆ b = a + b – 8 a ∆ e = a a + e – 8 = a ⇒ e = 8II. a ∆ a–1 = e a + a–1 – 8 = 2 a–1 = 10 – aIII. (–2)–1 = 10 – (–2) = 12IV. (–6)–1 = 10 – (–6) = 16⇒ N = (–2)–1 ∆ (–6)–1 N = 12 ∆ 16 = 12 + 16 – 8∴ N = 20Rpta.: 205. Si se define la siguiente operación:a * b = a+b – 3determine 2–1 * 4–1.ResoluciónHallando el elemento neutro.a * e = a + e – 3 = a → e = 3 2 * 2–1 = 2 + 2–1 –3 = 3 → 2–1 = 4 4 * 4–1 = 4 + 4–1 –3 = 3 → 4–1 = 2Luego2–1 * 4–1 = 4 * 2 = 4+2 – 3 = 3Rpta.: 32. Raquel participa en el Concurso Nacional de Matede le proponen el siguiente problema:Si: a  b = 3ab5 , calcular el valor de: E = 10 000  eDonde: e es el elemento neutroResoluciónHelico practice•mática, representando al colegio \"El Peruanito\" donPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Se da la siguiente operación matemática: a*b = 2a + 4b – 5Calcular el valor de M.M = (2*3)*45*1ResoluciónDado el operador: a*b = 2a + 4b – 5I. 2*3 = 2(2) + 4(3) – 5 = 11II. (2*3)*4 = 11*4 = 2(11) + 4(4) – 5 = 33III. 5*1 = 2(5) + 4(1) – 5 = 9 M = (2*3)*45*1 = 339∴ M = 113Rpta.: 11/32. Se tiene una nueva operación definida del modosiguiente:a * b = 6a – 5b2 + 3abDe acuerdo con esta operación matemática, opere el simétrico multiplicativo de 3 con el simétrico aditivo de –4.Resolución¾ El simétrico multiplicativo o inverso multiplicativo de 3 es 1/3.¾ El simétrico aditivo o inverso aditivo de –4 es 4.Luego aplicamos la nueva regla( )( )1 6 –5 4 1 1 3 * 4 3 43 231 18 *4 – 43 21 * 4 –9 431 * 4 –53        = +    = += +=Rpta.: –53. En la nueva operación x ∇ y = 2xy + x + y, escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a. ∇ es interna en . ( )b. ∇ es conmutativa en . ( )c. (1 ∇ 2) ∇ 3=1 ∇ (2 ∇ 3) ( )d. ∇ tiene elemento neutro absoluto. ( )ResoluciónVerificando las proposicionesa. Si x ∈ ∧ y ∈  → x ∇ y ∈ pues:  ∇  = 2()() +  +   ∇  =  ...(V)b. x ∇ y = y ∇ xpues: 2xy + x + y = 2yx + y + x ...(V)c. (1 ∇ 2) ∇ 3 =1 ∇ (2 ∇ 3)Aplicando la definición 7 ∇ 3 = 1 ∇ 17 52 = 52 ...(V)d. Por propiedad se sabe quex ∇ e = xAplicando la ley, tenemos2xe + x + e = x2xe + e = 0e(2x + 1) = 0En este producto, 2x + 1 es un valor arbitrario cualquiera, por lo tanto: e = 0.Luego comprobando8 ∇ 0 = 2(8)(0) + 8 + 0 = 80 ∇ 8 = 2(0)(8) + 0 + 8 = 8Ahora tenemos el elemento neutro absoluto de la operación e = 0 ...(V)Rpta.: ASolved problems PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Se da la siguiente operación matemática: a*b = 2a + 4b – 5Calcular el valor de M.M = (2*3)*45*1ResoluciónDado el operador: a*b = 2a + 4b – 5I. 2*3 = 2(2) + 4(3) – 5 = 11II. (2*3)*4 = 11*4 = 2(11) + 4(4) – 5 = 33III. 5*1 = 2(5) + 4(1) – 5 = 9 M = (2*3)*45*1 = 339∴ M = 113Rpta.: 11/32. Se tiene una nueva operación definida del modosiguiente:a * b = 6a – 5b2 + 3abDe acuerdo con esta operación matemática, opere el simétrico multiplicativo de 3 con el simétrico aditivo de –4.Resolución¾ El simétrico multiplicativo o inverso multiplicativo de 3 es 1/3.¾ El simétrico aditivo o inverso aditivo de –4 es 4.Luego aplicamos la nueva regla( )( )1 6 –5 4 1 1 3 * 4 3 43 231 18 *4 – 43 21 * 4 –9 431 * 4 –53        = +    = += +=Rpta.: –53. En la nueva operación x ∇ y = 2xy + x + y, escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.a. ∇ es interna en . ( )b. ∇ es conmutativa en . ( )c. (1 ∇ 2) ∇ 3=1 ∇ (2 ∇ 3) ( )d. ∇ tiene elemento neutro absoluto. ( )ResoluciónVerificando las proposicionesa. Si x ∈ ∧ y ∈  → x ∇ y ∈ pues:  ∇  = 2()() +  +   ∇  =  ...(V)b. x ∇ y = y ∇ xpues: 2xy + x + y = 2yx + y + x ...(V)c. (1 ∇ 2) ∇ 3 =1 ∇ (2 ∇ 3)Aplicando la definición 7 ∇ 3 = 1 ∇ 17 52 = 52 ...(V)d. Por propiedad se sabe quex ∇ e = xAplicando la ley, tenemos2xe + x + e = x2xe + e = 0e(2x + 1) = 0En este producto, 2x + 1 es un valor arbitrario cualquiera, por lo tanto: e = 0.Luego comprobando8 ∇ 0 = 2(8)(0) + 8 + 0 = 80 ∇ 8 = 2(0)(8) + 0 + 8 = 8Ahora tenemos el elemento neutro absoluto de la operación e = 0 ...(V)Rpta.: ASolved problemsRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 211 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPARA EL CUADERNO1. En una práctica de matemáticas del curso de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m ∆ n = 2m + nPodría usted calcular el valor de:E = 10 ∆ (– 6)Resolución4. Si: a ∆ b = a + b – 8Es una nueva operación matemática definido en el campo de los números enteros.Calcular el valor de NN = (–2)–1* (–6)–1ResoluciónI. a ∆ b = a + b – 8 a ∆ e = a a + e – 8 = a ⇒ e = 8II. a ∆ a–1 = e a + a–1 – 8 = 2 a–1 = 10 – aIII. (–2)–1 = 10 – (–2) = 12IV. (–6)–1 = 10 – (–6) = 16⇒ N = (–2)–1 ∆ (–6)–1 N = 12 ∆ 16 = 12 + 16 – 8∴ N = 20Rpta.: 205. Si se define la siguiente operación:a * b = a+b – 3determine 2–1 * 4–1.ResoluciónHallando el elemento neutro.a * e = a + e – 3 = a → e = 3 2 * 2–1 = 2 + 2–1 –3 = 3 → 2–1 = 4 4 * 4–1 = 4 + 4–1 –3 = 3 → 4–1 = 2Luego2–1 * 4–1 = 4 * 2 = 4+2 – 3 = 3Rpta.: 32. Raquel participa en el Concurso Nacional de Matede le proponen el siguiente problema:Si: a  b = 3ab5 , calcular el valor de: E = 10 000  eDonde: e es el elemento neutroResoluciónHelico practice•mática, representando al colegio \"El Peruanito\" donPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. En una práctica de matemáticas del curso de razonamiento matemático se planteó el siguiente problema:m ∆ n = 2m + nPodría usted calcular el valor de:E = 10 ∆ (– 6)Resolución4. Si: a ∆ b = a + b – 8Es una nueva operación matemática definido en el campo de los números enteros.Calcular el valor de NN = (–2)–1* (–6)–1ResoluciónI. a ∆ b = a + b – 8 a ∆ e = a a + e – 8 = a ⇒ e = 8II. a ∆ a–1 = e a + a–1 – 8 = 2 a–1 = 10 – aIII. (–2)–1 = 10 – (–2) = 12IV. (–6)–1 = 10 – (–6) = 16⇒ N = (–2)–1 ∆ (–6)–1 N = 12 ∆ 16 = 12 + 16 – 8∴ N = 20Rpta.: 205. Si se define la siguiente operación:a * b = a+b – 3determine 2–1 * 4–1.ResoluciónHallando el elemento neutro.a * e = a + e – 3 = a → e = 3 2 * 2–1 = 2 + 2–1 –3 = 3 → 2–1 = 4 4 * 4–1 = 4 + 4–1 –3 = 3 → 4–1 = 2Luego2–1 * 4–1 = 4 * 2 = 4+2 – 3 = 3Rpta.: 32. Raquel participa en el Concurso Nacional de Matede le proponen el siguiente problema:Si: a  b = 3ab5 , calcular el valor de: E = 10 000  eDonde: e es el elemento neutroResoluciónHelico practice•mática, representando al colegio \"El Peruanito\" don7. Para el examen de admisión para la Universidad Nacional Federico Villareal se propuso la siguiente pregunta.m*n = m × n; definido en los .Calcule el valor de:N = 250–1 * 1500–1Podría resolver y decir, ¿cuál fue el resultado del problema?Resolución1. Se definea * b = a + b – 5Determine(3–1 * 4–1)–1 * 2–1si n–1 es el inverso de n. A) 5 B) 6C) 8 D) 152. Esta pregunta la propuso el profesor de razonamientoa*b = a+b – 8Calcule: NN = (15–1 * 13–1)–1 * 14–1A) –6 B) –8C) –15 D) 14Helico trial•del colegio \"El Peruanito\":2.1. Para un concurso de matemática se propuso lasiguiente pregunta:Halle el valor del elemento neutro en la siguiente operación a * b = a + b - 4 definida en . Si Ximena resolvió correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si a*b = a+b – 3, además a–1 es el elementoinverso de a, determine 5–1 * 6–1.ResoluciónHelico challenge2. Rosita esta repasando para su clase de razonamiento matemático y encuentra el siguiente problema:Si: a # b = 2a + 4b,calcule el valor de P.P = (2 # 5)# 6Si Rosita resolvió correctamente el problema. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución4. Miguel al ingresar al salón se da cuenta que el profesor de Razonamiento Matemático está entregando una hoja cuadriculada con un estiquer con el nombre del alumno y un problema impreso en hoja cuadriculada como se muestra en la figura:Alumno: MiguelProblema:En un examen de admisión a la Universidad de Ica se propuso el siguiente problema:Dado el operador:a  b = 4ab7Calcular el valor de M:M = 200  2eDonde e es elemento neutroResolución•6.5. En un examen de admisión para la universidad de una provincia de Lima se propuso una pregunta de operaciones binarias que era la siguiente:Si: m*n = m + n – 3, definida en el campo de los números reales. Responda verdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es –3. ( )b. El valor de 5–1 es 11. ( )c. La operación es conmutativa, podría decir ¿cuál es la respuesta correcta? ( )Resolución4. Para un examen de admisión de la Universidad Nacional del Callao, se propone el siguiente problema:Si: m*n = mn2 ; definido en los . Calcule el valor de:M = 1–1 * 2–1Si Ninosca dio este examen y resolvió correctamente este problema. ¿Cuál fue su respuesta?A) 2 B) 4C) 6 D) 85. En un concurso de matemáticas se presentaron un grupo de estudiantes de diferentes colegios. Si Thomas va a este concurso representando a Saco Oliveros, una de las preguntas en la que tuvo dificultad fue:Responda verdadero (V) o falso (F) a las siguientes preguntas. Si: a b = a + b + 4¾ El elemento neutro es –2. ( )¾ El elemento inverso de 4 es –5. ( )¾ La operación es cerrada en el campo de los enteros.( )A) VVV B) VFFC) FFF D) FFV1. Jimena está resolviendo su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:a  b = a + b +12Calcular el valor de P:P = (6  8)  eDonde e es el elemento neutro.A) 32 B) 28C) 39 D) 262. Lucía le dice a Jesús: “Si tu me ayudas a resolver correctamente este problema:a  b = a+b−10Calcular el valor de M.M= (15−1  10−1)  ( 12−1  13−1)A) 0 B) 8C) 12 D) 253. Roberto esta estudiando para su examen mensual y encuentra el siguiente problema:Si a*b = a + b – 6; definido en el campo de los enteros.Calcule el valor de M = 2–1 * 8–1Si Roberto se equivocó en resolver el problema por 2 unidades más. Podría decir: ¿cuál fue su respuesta?A) 4 B) –4C) 8 D) 5Helico homework•5.1. Para un concurso de matemática se propuso lasiguiente pregunta:Halle el valor del elemento neutro en la siguiente operación a * b = a + b - 4 definida en . Si Ximena resolvió correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si a*b = a+b – 3, además a–1 es el elementoinverso de a, determine 5–1 * 6–1.ResoluciónHelico challenge2. Rosita esta repasando para su clase de razonamiento matemático y encuentra el siguiente problema:Si: a # b = 2a + 4b,calcule el valor de P.P = (2 # 5)# 6Si Rosita resolvió correctamente el problema. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución4. Miguel al ingresar al salón se da cuenta que el profesor de Razonamiento Matemático está entregando una hoja cuadriculada con un estiquer con el nombre del alumno y un problema impreso en hoja cuadriculada como se muestra en la figura:Alumno: MiguelProblema:En un examen de admisión a la Universidad de Ica se propuso el siguiente problema:Dado el operador:a  b = 4ab7Calcular el valor de M:M = 200  2eDonde e es elemento neutroResolución•7.1. Para un concurso de matemática se propuso lasiguiente pregunta:Halle el valor del elemento neutro en la siguiente operación a * b = a + b - 4 definida en . Si Ximena resolvió correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución3. Si a*b = a+b – 3, además a–1 es el elementoinverso de a, determine 5–1 * 6–1.ResoluciónHelico challenge2. Rosita esta repasando para su clase de razonamiento matemático y encuentra el siguiente problema:Si: a # b = 2a + 4b,calcule el valor de P.P = (2 # 5)# 6Si Rosita resolvió correctamente el problema. Podría decir, ¿cuál fue su respuesta?Resolución4. Miguel al ingresar al salón se da cuenta que el profesor de Razonamiento Matemático está entregando una hoja cuadriculada con un estiquer con el nombre del alumno y un problema impreso en hoja cuadriculada como se muestra en la figura:Alumno: MiguelProblema:En un examen de admisión a la Universidad de Ica se propuso el siguiente problema:Dado el operador:a  b = 4ab7Calcular el valor de M:M = 200  2eDonde e es elemento neutroResolución•4.5. Se define en el campo numérico de los enteros ()A#B = A + B – 3calcule el valor de M.M = 3–1 # 5–1Resolución3. Roxana esta estudiando para su examen bimestral su libro de razonamiento matemático y tiene dificultad con el siguiente problema:m ∆ n = m + n + 12, definido en . Responda verdadero (V) o falso (F) cada pregunta:a. El elemento neutro es –12. ( )b. La operación es asociativa. ( )c. La operación es conmutativa. ( )Resolución4. Rodolfo participa en un concurso de becas para la ma pregunta que le falta resolver es la siguiente:se define en  A ∆ B = A + B – 4Calcular:M = 4–1 ∆ 6–1Si Rodolfo contestó correctamente. ¿Cuál fue su respuesta?Resolución6. Geovani discute con Daniel, quien de los dos va a enseñarle a desarrollar el siguiente problema a Carmela:m n = m×n4 , definido en Calcule el valor de N.N = 2–1 4–1Si cada uno de ellos le enseñó a resolver correctamente el problema. Podría decir ¿cuál fue larespuesta del problema?Resoluciónacademia pre-universitaria \"El Peruanito\", si la últi1.7. Para el examen de admisión para la Universidad Nacional Federico Villareal se propuso la siguiente pregunta.m*n = m × n; definido en los .Calcule el valor de:N = 250–1 * 1500–1Podría resolver y decir, ¿cuál fue el resultado del problema?Resolución1. Se definea * b = a + b – 5Determine(3–1 * 4–1)–1 * 2–1si n–1 es el inverso de n. A) 5 B) 6C) 8 D) 152. Esta pregunta la propuso el profesor de razonamientoa*b = a+b – 8Calcule: NN = (15–1 * 13–1)–1 * 14–1A) –6 B) –8C) –15 D) 14Helico trial•del colegio \"El Peruanito\":3.5. En un examen de admisión para la universidad de una provincia de Lima se propuso una pregunta de operaciones binarias que era la siguiente:Si: m*n = m + n – 3, definida en el campo de los números reales. Responda verdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es –3. ( )b. El valor de 5–1 es 11. ( )c. La operación es conmutativa, podría decir ¿cuál es la respuesta correcta? ( )Resolución4. Para un examen de admisión de la Universidad Nacional del Callao, se propone el siguiente problema:Si: m*n = mn2 ; definido en los . Calcule el valor de:M = 1–1 * 2–1Si Ninosca dio este examen y resolvió correctamente este problema. ¿Cuál fue su respuesta?A) 2 B) 4C) 6 D) 85. En un concurso de matemáticas se presentaron un grupo de estudiantes de diferentes colegios. Si Thomas va a este concurso representando a Saco Oliveros, una de las preguntas en la que tuvo dificultad fue:Responda verdadero (V) o falso (F) a las siguientes preguntas. Si: a b = a + b + 4¾ El elemento neutro es –2. ( )¾ El elemento inverso de 4 es –5. ( )¾ La operación es cerrada en el campo de los enteros.( )A) VVV B) VFFC) FFF D) FFV1. Jimena está resolviendo su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:a  b = a + b +12Calcular el valor de P:P = (6  8)  eDonde e es el elemento neutro.A) 32 B) 28C) 39 D) 262. Lucía le dice a Jesús: “Si tu me ayudas a resolver correctamente este problema:a  b = a+b−10Calcular el valor de M.M= (15−1  10−1)  ( 12−1  13−1)A) 0 B) 8C) 12 D) 253. Roberto esta estudiando para su examen mensual y encuentra el siguiente problema:Si a*b = a + b – 6; definido en el campo de los enteros.Calcule el valor de M = 2–1 * 8–1Si Roberto se equivocó en resolver el problema por 2 unidades más. Podría decir: ¿cuál fue su respuesta?A) 4 B) –4C) 8 D) 5Helico homework•8.5. En un examen de admisión para la universidad de una provincia de Lima se propuso una pregunta de operaciones binarias que era la siguiente:Si: m*n = m + n – 3, definida en el campo de los números reales. Responda verdadero (V) o falso (F).a. El elemento neutro es –3. ( )b. El valor de 5–1 es 11. ( )c. La operación es conmutativa, podría decir ¿cuál es la respuesta correcta? ( )Resolución4. Para un examen de admisión de la Universidad Nacional del Callao, se propone el siguiente problema:Si: m*n = mn2 ; definido en los . Calcule el valor de:M = 1–1 * 2–1Si Ninosca dio este examen y resolvió correctamente este problema. ¿Cuál fue su respuesta?A) 2 B) 4C) 6 D) 85. En un concurso de matemáticas se presentaron un grupo de estudiantes de diferentes colegios. Si Thomas va a este concurso representando a Saco Oliveros, una de las preguntas en la que tuvo dificultad fue:Responda verdadero (V) o falso (F) a las siguientes preguntas. Si: a b = a + b + 4¾ El elemento neutro es –2. ( )¾ El elemento inverso de 4 es –5. ( )¾ La operación es cerrada en el campo de los enteros.( )A) VVV B) VFFC) FFF D) FFV1. Jimena está resolviendo su tarea semanal y tiene dificultad con este problema:a  b = a + b +12Calcular el valor de P:P = (6  8)  eDonde e es el elemento neutro.A) 32 B) 28C) 39 D) 262. Lucía le dice a Jesús: “Si tu me ayudas a resolver correctamente este problema:a  b = a+b−10Calcular el valor de M.M= (15−1  10−1)  ( 12−1  13−1)A) 0 B) 8C) 12 D) 253. Roberto esta estudiando para su examen mensual y encuentra el siguiente problema:Si a*b = a + b – 6; definido en el campo de los enteros.Calcule el valor de M = 2–1 * 8–1Si Roberto se equivocó en resolver el problema por 2 unidades más. Podría decir: ¿cuál fue su respuesta?A) 4 B) –4C) 8 D) 5Helico homework•9.7. Para el examen de admisión para la Universidad Nacional Federico Villareal se propuso la siguiente pregunta.m*n = m × n; definido en los .Calcule el valor de:N = 250–1 * 1500–1Podría resolver y decir, ¿cuál fue el resultado del problema?Resolución1. Se definea * b = a + b – 5Determine(3–1 * 4–1)–1 * 2–1si n–1 es el inverso de n. A) 5 B) 6C) 8 D) 152. Esta pregunta la propuso el profesor de razonamientoa*b = a+b – 8Calcule: NN = (15–1 * 13–1)–1 * 14–1A) –6 B) –8C) –15 D) 14Helico trial•del colegio \"El Peruanito\":10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

212I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREConsideramos los siguientes conjuntos: = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3;...}* = {...; –3; –2; –1; 1; 2; 3;...}A partir de ellas, determinaremos su conjunto producto × * = {(a, b) / a ∈ , b ∈ }Nótese que en este conjunto de pares ordenados así definidos, el segundo componente en todos los casos es diferente de cero.Establezcamos ahora, una relación R, la cual definiremos a partir de dos pares ordenados (a, b) y (c, d) del conjunto producto dado, del modo siguiente:(a, b) R (c, d) ↔ (a)(d) = (b)(c)Por lo tanto, en base a todo lo expuesto enunciaremosSe denomina FRACCIÓN a cada uno de los pares (a, b) = a/b pertenecientes al conjunto producto  × *.Llamamos NÚMERO RACIONAL a los elementos del subconjunto del conjunto producto  × * formado por todos los pares ordenados (a, b) = a/b que cumple la relación R establecida.Interpretación geométricaConsideremos una cierta región S la cual está dividida en varias subregiones; si estas disponen de la misma forma y tamaño (al superponerlas imaginariamente coinciden), entonces estas subregiones tienen la misma medida y se denominarán regiones congruentes. Si dentro de la región S escogemos alguna de estas regiones congruentes (indicaremos esta región, sombreando o achurando las regiones elegidas), entonces es posible asociar en cada región S, un par ordenado, en el cual su primera componente indicará la cantidad de regiones congruentes escogidas, y su segunda componente expresará el número total de regiones congruentes en que se ha descompuesto la región S. A esta forma de asociación de un par ordenado cuyosegunda componente es diferente de cero con una regiónque se ha dividido en varias regiones congruentes, se denomina FRACCIÓN.Ejemplo(1; 2)=1/2 (1; 4)=1/4 (4; 9)=4/9 (5; 12)=5/12Fracciones ordinariasClasificaciónLas fracciones ordinarias se pueden clasificar de acuerdo a la relación entre sus términos en¾ Propias: Son aquellas cuyo valor es menor que launidad, en consecuencia el numerador es menor queel denominador.Ejemplo715; 823; 37145; 681327; 641973Son fracciones propias.¾ Impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que launidad, en consecuencia el numerador es mayor queel denominador.Ejemplo72; 2711; 7347; 13529; 32184Son fracciones impropias.¾ Mixtas: Son derivadas de las fracciones impropias yconstan de una parte entera y otra fraccionaria. Enuna fracción impropia la parte entera de su fracciónmixta correspondiente es igual al cociente enteropor defecto del numerador entre el denominador,la parte fraccionaria tiene como numerador el restopor defecto de dicha división y por denominador elmismo de la fracción inicial.EjemploReduzca la fracción mixta impropia 7912 .79 127 6 Parte enteraDenominadorNumerador= 6 7912712Para reducir una fracción mixta a quebrado (o fracción ordinaria) se multiplica el entero por el denominador del quebrado y se le suma el numerador; este será el numerador del quebrado equivalente al mixto. El denominador, tanto en la fracción mixta como en el quebrado, será el mismo.EjemploReduzca a fracción ordinaria la fracción mixta 5 38.5 38 = 5 × 8+38 = 438 .NOCIÓN DE FRACCIÓN05Theory FraccionesRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 213 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNClasificamos las fracciones ordinarias, de acuerdo a la relación de sus denominadores en:¾ Homogéneas: Dos o más fracciones ordinarias dadas serán homogéneas cuando todas ellas disponendel mismo denominador.¾ Heterogéneas: Dado un conjunto de fraccionesordinarias se consideran heterogéneas si, por lomenos, dos de ellas disponen de denominadoresdiferentes.EjemploDados los siguientes conjuntos de fracciones, determine su calidad de homogéneas o heterogéneas.a.34; 45; 58; 76heterogéneasb. 35; 15; 115; 275homogéneasc.23; 49; 79; 1619heterogéneas¾ Compleja: Es aquella cuyo numerador o denominador o ambos son quebrados. Si además de ellos,existieran operaciones indicadas entre estos, se denominará expresión fraccionaria compleja.Ejemplos4568; 726; 4511 Son fracciones complejas.43 - 156+ 3438 Es una fracción compleja.¾ Equivalentes: Dadas dos fracciones ordinarias, sedicen que son equivalentes cuando teniendo distintosnumeradores y denominadores, ambas presentan elmismo número racional. Por lo expuesto inicialmente, podemos afirmar: “Se dice que una cierta fracción ordinaria es equivalente a otra dada al resultadode multiplicar el numerador y el denominador deesta última, por un mismo número entero”.ab< >cd→ab = ckdkFRACCIONES-NOCIÓNFraccionesordinariasPérdidas y gananciasFraccióngeneratrizRepresentación gráficaRelación partetodoEstrategias para entender problemas sobre fraccionesSynthesisClasificamos las fracciones ordinarias, de acuerdo a la relación de sus denominadores en:¾ Homogéneas: Dos o más fracciones ordinarias dadas serán homogéneas cuando todas ellas disponendel mismo denominador.¾ Heterogéneas: Dado un conjunto de fraccionesordinarias se consideran heterogéneas si, por lomenos, dos de ellas disponen de denominadoresdiferentes.EjemploDados los siguientes conjuntos de fracciones, determine su calidad de homogéneas o heterogéneas.a.34; 45; 58; 76heterogéneasb. 35; 15; 115; 275homogéneasc.23; 49; 79; 1619heterogéneas¾ Compleja: Es aquella cuyo numerador o denominador o ambos son quebrados. Si además de ellos,existieran operaciones indicadas entre estos, se denominará expresión fraccionaria compleja.Ejemplos4568; 726; 4511 Son fracciones complejas.43 - 156+ 3438 Es una fracción compleja.¾ Equivalentes: Dadas dos fracciones ordinarias, sedicen que son equivalentes cuando teniendo distintosnumeradores y denominadores, ambas presentan elmismo número racional. Por lo expuesto inicialmente, podemos afirmar: “Se dice que una cierta fracción ordinaria es equivalente a otra dada al resultadode multiplicar el numerador y el denominador deesta última, por un mismo número entero”.ab< >cd→ab = ckdkFRACCIONES-NOCIÓNFraccionesordinariasPérdidas y gananciasFraccióngeneratrizRepresentación gráficaRelación partetodoEstrategias para entender problemas sobre fraccionesSynthesisTRABAJO EN CLASE1. Una empresa de transportes fue contratada para entregar una carga de cierta cantidad de cajas de repuestos para autos.El chofer descarga los 2/3 de las cajas que lleva en su camión. Después descarga 5 cajas más, quedándole así la cuarta parte de las cajas que llevaba al inicio. ¿Cuántas cajas llevaba al inicio el camión?Resolución2. Belisario gasto 2/3 de su presupuesto para comprar 20 pizarras y un tercio del resto en comprar tizas y motas, si aún le quedan por gastar 10000 soles. ¿Cuánto costo cada pizarra?Resolución3. Al morir el padre de Camila dejo una herencia para ser repartida entre sus 3 nietas del siguiente modo: el primer heredero recibió las 2/5 partes de la herencia, la segunda la mitad de la herencia y la tercera lo restante. Si la tercera recibió S/18 700, ¿cuál era la herencia total?Resolución4. Juan entra a un restaurante con su novia Virginia. Él pide una copa de vino y conversando con su novia, bebe la tercera parte de su copa de vino, luego bebe la mitad, para luego beber los 3/5 de lo que queda. ¿Qué parte de la copa de vino aún le queda?ResoluciónHelico practice•1. Una empresa de transportes fue contratada para entregar una carga de cierta cantidad de cajas de repuestos para autos.El chofer descarga los 2/3 de las cajas que lleva en su camión. Después descarga 5 cajas más, quedándole así la cuarta parte de las cajas que llevaba al inicio. ¿Cuántas cajas llevaba al inicio el camión?Resolución2. Belisario gasto 2/3 de su presupuesto para comprar 20 pizarras y un tercio del resto en comprar tizas y motas, si aún le quedan por gastar 10000 soles. ¿Cuánto costo cada pizarra?Resolución3. Al morir el padre de Camila dejo una herencia para ser repartida entre sus 3 nietas del siguiente modo: el primer heredero recibió las 2/5 partes de la herencia, la segunda la mitad de la herencia y la tercera lo restante. Si la tercera recibió S/18 700, ¿cuál era la herencia total?Resolución4. Juan entra a un restaurante con su novia Virginia. Él pide una copa de vino y conversando con su novia, bebe la tercera parte de su copa de vino, luego bebe la mitad, para luego beber los 3/5 de lo que queda. ¿Qué parte de la copa de vino aún le queda?ResoluciónHelico practice•1. Una empresa de transportes fue contratada para entregar una carga de cierta cantidad de cajas de repuestos para autos.El chofer descarga los 2/3 de las cajas que lleva en su camión. Después descarga 5 cajas más, quedándole así la cuarta parte de las cajas que llevaba al inicio. ¿Cuántas cajas llevaba al inicio el camión?Resolución2. Belisario gasto 2/3 de su presupuesto para comprar 20 pizarras y un tercio del resto en comprar tizas y motas, si aún le quedan por gastar 10000 soles. ¿Cuánto costo cada pizarra?Resolución3. Al morir el padre de Camila dejo una herencia para ser repartida entre sus 3 nietas del siguiente modo: el primer heredero recibió las 2/5 partes de la herencia, la segunda la mitad de la herencia y la tercera lo restante. Si la tercera recibió S/18 700, ¿cuál era la herencia total?Resolución4. Juan entra a un restaurante con su novia Virginia. Él pide una copa de vino y conversando con su novia, bebe la tercera parte de su copa de vino, luego bebe la mitad, para luego beber los 3/5 de lo que queda. ¿Qué parte de la copa de vino aún le queda?ResoluciónHelico practice•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

214I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Una empresa de transportes fue contratada para entregar una carga de cierta cantidad de cajas de repuestos para autos.El chofer descarga los 2/3 de las cajas que lleva en su camión. Después descarga 5 cajas más, quedándole así la cuarta parte de las cajas que llevaba al inicio. ¿Cuántas cajas llevaba al inicio el camión?Resolución2. Belisario gasto 2/3 de su presupuesto para comprar 20 pizarras y un tercio del resto en comprar tizas y motas, si aún le quedan por gastar 10000 soles. ¿Cuánto costo cada pizarra?Resolución3. Al morir el padre de Camila dejo una herencia para ser repartida entre sus 3 nietas del siguiente modo: el primer heredero recibió las 2/5 partes de la herencia, la segunda la mitad de la herencia y la tercera lo restante. Si la tercera recibió S/18 700, ¿cuál era la herencia total?Resolución4. Juan entra a un restaurante con su novia Virginia. Él pide una copa de vino y conversando con su novia, bebe la tercera parte de su copa de vino, luego bebe la mitad, para luego beber los 3/5 de lo que queda. ¿Qué parte de la copa de vino aún le queda?ResoluciónHelico practice•1. Una empresa de transportes fue contratada para entregar una carga de cierta cantidad de cajas de repuestos para autos.El chofer descarga los 2/3 de las cajas que lleva en su camión. Después descarga 5 cajas más, quedándole así la cuarta parte de las cajas que llevaba al inicio. ¿Cuántas cajas llevaba al inicio el camión?Resolución2. Belisario gasto 2/3 de su presupuesto para comprar 20 pizarras y un tercio del resto en comprar tizas y motas, si aún le quedan por gastar 10000 soles. ¿Cuánto costo cada pizarra?Resolución3. Al morir el padre de Camila dejo una herencia para ser repartida entre sus 3 nietas del siguiente modo: el primer heredero recibió las 2/5 partes de la herencia, la segunda la mitad de la herencia y la tercera lo restante. Si la tercera recibió S/18 700, ¿cuál era la herencia total?Resolución4. Juan entra a un restaurante con su novia Virginia. Él pide una copa de vino y conversando con su novia, bebe la tercera parte de su copa de vino, luego bebe la mitad, para luego beber los 3/5 de lo que queda. ¿Qué parte de la copa de vino aún le queda?ResoluciónHelico practice•5. Cada año un carro pierde una fracción de su valor: el primer año, 1/3 de su valor; el segundo año, un cuarto de su nuevo valor y el tercer año, 1/5 de su nuevo valor. Si después de esos tres años, el carro se vende en 2400 dólares, ¿cuál era su valor original?Resolución6. Daniel es un cajero del Banco Continental de la sucursal de la avenida Abancay. Al ir a almorzar a un centro comercial le robaron los 2/5 de su dinero. ¿Qué fracción del dinero que le queda, repondrá el dinero que le robaron?Resolución7. Tres guerreros medievales se enfrentaron en una pelea con un dragón de muchas cabezas. El primero cortó la mitad de las cabezas con su mano derecha y, luego con su mano izquierda, 7 cabezas más. A continuación, el segundo guerrero cortó la mitad de las cabezas restantes con su mano derecha y, después, 7 cabezas más con su mano izquierda. Finalmente, el tercer guerrero cortó la mitad de las cabezas restantes con su mano derecha y, después, 7 cabezas más con su mano izquierda. En ese momento, el dragón cayó sin cabezas al suelo. ¿Cuántas cabezas tenía el dragón inicialmente?Resolución5. Cada año un carro pierde una fracción de su valor: el primer año, 1/3 de su valor; el segundo año, un cuarto de su nuevo valor y el tercer año, 1/5 de su nuevo valor. Si después de esos tres años, el carro se vende en 2400 dólares, ¿cuál era su valor original?Resolución6. Daniel es un cajero del Banco Continental de la sucursal de la avenida Abancay. Al ir a almorzar a un centro comercial le robaron los 2/5 de su dinero. ¿Qué fracción del dinero que le queda, repondrá el dinero que le robaron?Resolución7. Tres guerreros medievales se enfrentaron en una pelea con un dragón de muchas cabezas. El primero cortó la mitad de las cabezas con su mano derecha y, luego con su mano izquierda, 7 cabezas más. A continuación, el segundo guerrero cortó la mitad de las cabezas restantes con su mano derecha y, después, 7 cabezas más con su mano izquierda. Finalmente, el tercer guerrero cortó la mitad de las cabezas restantes con su mano derecha y, después, 7 cabezas más con su mano izquierda. En ese momento, el dragón cayó sin cabezas al suelo. ¿Cuántas cabezas tenía el dragón inicialmente?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 215 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN5. Cada año un carro pierde una fracción de su valor: el primer año, 1/3 de su valor; el segundo año, un cuarto de su nuevo valor y el tercer año, 1/5 de su nuevo valor. Si después de esos tres años, el carro se vende en 2400 dólares, ¿cuál era su valor original?Resolución6. Daniel es un cajero del Banco Continental de la sucursal de la avenida Abancay. Al ir a almorzar a un centro comercial le robaron los 2/5 de su dinero. ¿Qué fracción del dinero que le queda, repondrá el dinero que le robaron?Resolución7. Tres guerreros medievales se enfrentaron en una pelea con un dragón de muchas cabezas. El primero cortó la mitad de las cabezas con su mano derecha y, luego con su mano izquierda, 7 cabezas más. A continuación, el segundo guerrero cortó la mitad de las cabezas restantes con su mano derecha y, después, 7 cabezas más con su mano izquierda. Finalmente, el tercer guerrero cortó la mitad de las cabezas restantes con su mano derecha y, después, 7 cabezas más con su mano izquierda. En ese momento, el dragón cayó sin cabezas al suelo. ¿Cuántas cabezas tenía el dragón inicialmente?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Edwin al regresar de hacer unas compras en un supermercado, revisa el dinero que tiene en su billetera y dice:Gasté 58 de lo que tenía y 20 dólares más, con lo cual me quedé con 14 de lo que tenía y 16 dólares más. ¿Cuánto tenía de dinero inicialmente?Resolución3. Antuane está descansando y disfrutando en la piscina de su casa, como a ella le gusta los problemas de razonamiento matemático decide inventar uno que esta relacionado con la piscina que dice:Una piscina está llena hasta sus 23 partes. Si se sacara 39 00 litros quedaría llena hasta sus 18 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla?ResoluciónHelico workshop2. Roberto gasto 25 de su sueldo para comprar 20 polos y dos tercios del resto en comprar alimentos, si aún le quedan por gastar 200 soles. ¿Cuánto costo cada polo?Resolución4. Carlos tiene una cantidad de dinero, de la cual la mitad le da Juan, a Milagros la tercera parte de su dinero y los 10 soles que sobran a Ricardo. ¿Cuánto tenía inicialmente Carlos?Resolución•11.1. Edwin al regresar de hacer unas compras en un supermercado, revisa el dinero que tiene en su billetera y dice:Gasté 58 de lo que tenía y 20 dólares más, con lo cual me quedé con 14 de lo que tenía y 16 dólares más. ¿Cuánto tenía de dinero inicialmente?Resolución3. Antuane está descansando y disfrutando en la piscina de su casa, como a ella le gusta los problemas de razonamiento matemático decide inventar uno que esta relacionado con la piscina que dice:Una piscina está llena hasta sus 23 partes. Si se sacara 39 00 litros quedaría llena hasta sus 18 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla?ResoluciónHelico workshop2. Roberto gasto 25 de su sueldo para comprar 20 polos y dos tercios del resto en comprar alimentos, si aún le quedan por gastar 200 soles. ¿Cuánto costo cada polo?Resolución4. Carlos tiene una cantidad de dinero, de la cual la mitad le da Juan, a Milagros la tercera parte de su dinero y los 10 soles que sobran a Ricardo. ¿Cuánto tenía inicialmente Carlos?Resolución•8.1. Edwin al regresar de hacer unas compras en un supermercado, revisa el dinero que tiene en su billetera y dice:Gasté 58 de lo que tenía y 20 dólares más, con lo cual me quedé con 14 de lo que tenía y 16 dólares más. ¿Cuánto tenía de dinero inicialmente?Resolución3. Antuane está descansando y disfrutando en la piscina de su casa, como a ella le gusta los problemas de razonamiento matemático decide inventar uno que esta relacionado con la piscina que dice:Una piscina está llena hasta sus 23 partes. Si se sacara 39 00 litros quedaría llena hasta sus 18 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla?ResoluciónHelico workshop2. Roberto gasto 25 de su sueldo para comprar 20 polos y dos tercios del resto en comprar alimentos, si aún le quedan por gastar 200 soles. ¿Cuánto costo cada polo?Resolución4. Carlos tiene una cantidad de dinero, de la cual la mitad le da Juan, a Milagros la tercera parte de su dinero y los 10 soles que sobran a Ricardo. ¿Cuánto tenía inicialmente Carlos?Resolución•9.1. Edwin al regresar de hacer unas compras en un supermercado, revisa el dinero que tiene en su billetera y dice:Gasté 58 de lo que tenía y 20 dólares más, con lo cual me quedé con 14 de lo que tenía y 16 dólares más. ¿Cuánto tenía de dinero inicialmente?Resolución3. Antuane está descansando y disfrutando en la piscina de su casa, como a ella le gusta los problemas de razonamiento matemático decide inventar uno que esta relacionado con la piscina que dice:Una piscina está llena hasta sus 23 partes. Si se sacara 39 00 litros quedaría llena hasta sus 18 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla?ResoluciónHelico workshop2. Roberto gasto 25 de su sueldo para comprar 20 polos y dos tercios del resto en comprar alimentos, si aún le quedan por gastar 200 soles. ¿Cuánto costo cada polo?Resolución4. Carlos tiene una cantidad de dinero, de la cual la mitad le da Juan, a Milagros la tercera parte de su dinero y los 10 soles que sobran a Ricardo. ¿Cuánto tenía inicialmente Carlos?Resolución•10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

216I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRETAREA DOMICILIARIA1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problems 1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problems1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problems1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problems1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problems7. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 34 del contenido del tanque y 60 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?Resolución5. Carlos a cobrado su sueldo, el tiene que cubrir sus gastos mensuales de la siguiente forma:Primero gasta la tercera parte en pasajes, la cuarta parte del resto en ropa y la quinta parte del resto en diversión. Si al final le quedan 200 soles, ¿cuánto fue el sueldo inicial de Carlos?Resolución6. En estos últimos años, la delincuencia se ha incrementado peligrosamente. Carlos trabaja como cobrador, a él lo asaltaron rumbo a su trabajo. Si le quitaron los 3/7 del dinero que cobro, ¿qué fracción del dinero que le queda restituirá que le robaron?Resolución•12.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si gastara S/320 me quedarían los 4/9 del dinero que tengo. ¿Cuánto debo gastar para que me quede las 5/8 de mi dinero?Resolución¾ Sea el dinero original: x¾ Si luego de gastar S/320 me queda 4/9, entonces gasté los 5/9 de mi dinero.59x = 320 → x = 576¾ Ahora, si me debe quedar los 5/8 de mi dinero, entonces debo gastar los 3/8 de mismo.∴ Nuevo gasto: 38 (576) = 216Rpta.: S/2162. Un alumno hizo 1/12 de su tarea en la mañana. ¿Qué fracción de la que queda, debe hacer en la tarde para tener listo los 2/3 de dicha tarea?Resolución¾ Sea el total de tarea: 12x¾ En la mañana hizo: 112(12x) = x¾ Debe tener listo: 23(12x) = 8x→ Debe hacer en la tarde: 8x – x = 7x∴ La fracción es 7x11x = 711.Rpta.: 7/113. Una persona gasta 1/3 de su sueldo en alimentos, 1/4 del resto en habitación, 1/5 del resto en diversiones, 1/2 del resto le da a su padre y la otra mitad la ahorra. ¿Cuánto ahorra si gasta en habitación S/400?Resolución¾ Sea el dinero total: 60x¾ Por dato: Gasta QuedaAlimentos 20x 40xHabitación 10x 30xDiversiones 6x 24xPadre: 12x y ahorra 12xTambién10x = 400x = 40∴ Ahorra: 12(40) = 480Rpta.: S/4804. Si gastará la mitad del dinero que tiene, más medio sol cada día, luego de 3 días se quedaría sin ningún sol. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?ResoluciónSi trabajamos con lo que le va quedando1.er día ===2.° día3.er día S/3½ S/1½ S/1 S/3 S/7S/3S/1½½½½Finalmente:Al inicio tenía S/7.Rpta.: S/75. Si pagara 3/7 de mi deuda me quedaría por pagar S/80. ¿A cuánto asciende mi deuda?ResoluciónDeuda: 7×203×20 4×20Pago FaltaríaLuego: La deuda era de S/140.Rpta.: S/140Solved problemsRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 217 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPARA EL CUADERNO7. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 34 del contenido del tanque y 60 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?Resolución5. Carlos a cobrado su sueldo, el tiene que cubrir sus gastos mensuales de la siguiente forma:Primero gasta la tercera parte en pasajes, la cuarta parte del resto en ropa y la quinta parte del resto en diversión. Si al final le quedan 200 soles, ¿cuánto fue el sueldo inicial de Carlos?Resolución6. En estos últimos años, la delincuencia se ha incrementado peligrosamente. Carlos trabaja como cobrador, a él lo asaltaron rumbo a su trabajo. Si le quitaron los 3/7 del dinero que cobro, ¿qué fracción del dinero que le queda restituirá que le robaron?Resolución•2.4. Lorena sale a comprar un buzo y el uniforme para su hija al momento de revisar su cartera y ver cuánto dinero le queda luego de la compra menciona: gasté los 2/5 de mi dinero, más 20 soles y aún me queda los 2/3 de mi dinero, menos 40 soles. ¿Podría decir cuánto dinero tenía inicialmente Lorena?A) S/100 B) S/200C) S/400 D) S/5005. Luciana se compra una gaseosa, primero bebe la tercera parte del contenido, luego los 25 del resto y por último, la quinta parte de lo que queda.¿Qué fracción de lo que tenía inicialmente queda de gaseosa?A) 5040 B) 5820C) 4260 D) 42501. Jaimito es uno de los carteros más destacados de la empresa, al regresar a la oficina central, su jefe le pregunta. ¿Cuántas cartas repartió?A lo que Jaimito respondió: dejé 1/5 de las cartas que llevé en una oficina, los 3/8 de lo que tenía al inicio en un banco. Si aún le quedaban 34 cartas por distribuir, ¿cuántas cartas tenía para distribuir?A) 90 B) 120C) 60 D) 802. Carlos va con su papá al mercado central a comprar sus útiles escolares; al regresar del mercado central observa su billetera y dice:Gasté los 3/5 de mi dinero y aún me queda S/60. ¿Cuánto tenía inicialmente?A) S/240 B) S/170C) S/150 D) S/4203. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 13 del contenido del tanque y 8 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?A) 312 B) 314C) 312 D) 325Helico homework•6.1. Luego de una batalla, el capitán de un regimiento manda su reporte al comandante que dice:Mi comandante resultaron muertos 1/20 del total de soldados. Y el número de heridos es 1/12 del mismo número, más 60. El número de ilesos representa 1/2 del total de efectivos, más 820. ¿Cuántos hombres tenía el batallón? Como al comandante le encantanlas matemáticas, pudo resolver el problema del reporte que mando su capitán.A) 2200 B) 2400C) 2500 D) 18502. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta sus 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros?A) 1/3 B) 2/5C) 11/15 D) 1/41. Ronaldo después de ir a un centro comercial razona de la siguiente manera:Gasté los 3/5 de lo que tenía y aún me quedan S/20 más la quinta parte de lo que tenía al inicio. ¿Cuánto tenía inicialmente?Resolución2. Juan Carlos regresa de hacer unas compras del mercado central, al revisar el dinero que queda en su billetera dice: “Gasté los 23 del dinero que tenía menos 4 soles, si todavía me queda 14 del dinero que tenía más 14 soles. ¿Podría usted decir cuánto dinero tenía inicialmente Juan Carlos?ResoluciónHelico trialHelico challenge•5.3. En estos últimos años, la delincuencia se ha incrementado peligrosamente. Roberto trabaja como cobrador en una combi, a él lo asaltaron rumbo a su trabajo. Si le quitaron los 58 del dinero que cobro, ¿qué fracción del dinero que le queda restituirá que le robaron?Resolución5. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 25 del contenido del tanque y 27 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?Resolución4. Giovana se compra una gaseosa, primero bebe la cuarta parte del contenido, luego los 23 del resto y por último la mitad de lo que queda.¿Qué fracción de lo que tenía inicialmente queda de gaseosa?Resolución7.1. Luego de una batalla, el capitán de un regimiento manda su reporte al comandante que dice:Mi comandante resultaron muertos 1/20 del total de soldados. Y el número de heridos es 1/12 del mismo número, más 60. El número de ilesos representa 1/2 del total de efectivos, más 820. ¿Cuántos hombres tenía el batallón? Como al comandante le encantanlas matemáticas, pudo resolver el problema del reporte que mando su capitán.A) 2200 B) 2400C) 2500 D) 18502. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta sus 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros?A) 1/3 B) 2/5C) 11/15 D) 1/41. Ronaldo después de ir a un centro comercial razona de la siguiente manera:Gasté los 3/5 de lo que tenía y aún me quedan S/20 más la quinta parte de lo que tenía al inicio. ¿Cuánto tenía inicialmente?Resolución2. Juan Carlos regresa de hacer unas compras del mercado central, al revisar el dinero que queda en su billetera dice: “Gasté los 23 del dinero que tenía menos 4 soles, si todavía me queda 14 del dinero que tenía más 14 soles. ¿Podría usted decir cuánto dinero tenía inicialmente Juan Carlos?ResoluciónHelico trialHelico challenge•4.7. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 34 del contenido del tanque y 60 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?Resolución5. Carlos a cobrado su sueldo, el tiene que cubrir sus gastos mensuales de la siguiente forma:Primero gasta la tercera parte en pasajes, la cuarta parte del resto en ropa y la quinta parte del resto en diversión. Si al final le quedan 200 soles, ¿cuánto fue el sueldo inicial de Carlos?Resolución6. En estos últimos años, la delincuencia se ha incrementado peligrosamente. Carlos trabaja como cobrador, a él lo asaltaron rumbo a su trabajo. Si le quitaron los 3/7 del dinero que cobro, ¿qué fracción del dinero que le queda restituirá que le robaron?Resolución•1.1. Luego de una batalla, el capitán de un regimiento manda su reporte al comandante que dice:Mi comandante resultaron muertos 1/20 del total de soldados. Y el número de heridos es 1/12 del mismo número, más 60. El número de ilesos representa 1/2 del total de efectivos, más 820. ¿Cuántos hombres tenía el batallón? Como al comandante le encantanlas matemáticas, pudo resolver el problema del reporte que mando su capitán.A) 2200 B) 2400C) 2500 D) 18502. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta sus 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros?A) 1/3 B) 2/5C) 11/15 D) 1/41. Ronaldo después de ir a un centro comercial razona de la siguiente manera:Gasté los 3/5 de lo que tenía y aún me quedan S/20 más la quinta parte de lo que tenía al inicio. ¿Cuánto tenía inicialmente?Resolución2. Juan Carlos regresa de hacer unas compras del mercado central, al revisar el dinero que queda en su billetera dice: “Gasté los 23 del dinero que tenía menos 4 soles, si todavía me queda 14 del dinero que tenía más 14 soles. ¿Podría usted decir cuánto dinero tenía inicialmente Juan Carlos?ResoluciónHelico trialHelico challenge•3.3. En estos últimos años, la delincuencia se ha incrementado peligrosamente. Roberto trabaja como cobrador en una combi, a él lo asaltaron rumbo a su trabajo. Si le quitaron los 58 del dinero que cobro, ¿qué fracción del dinero que le queda restituirá que le robaron?Resolución5. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 25 del contenido del tanque y 27 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?Resolución4. Giovana se compra una gaseosa, primero bebe la cuarta parte del contenido, luego los 23 del resto y por último la mitad de lo que queda.¿Qué fracción de lo que tenía inicialmente queda de gaseosa?Resolución8.3. En estos últimos años, la delincuencia se ha incrementado peligrosamente. Roberto trabaja como cobrador en una combi, a él lo asaltaron rumbo a su trabajo. Si le quitaron los 58 del dinero que cobro, ¿qué fracción del dinero que le queda restituirá que le robaron?Resolución5. Inicialmente, un tanque se encontraba completamente lleno de agua. En cierto momento, se extrajo los 25 del contenido del tanque y 27 litros adicionales, esta acción se realizó dos veces más, y así, el tanque quedó vació. ¿Cuál es el volumen del tanque?Resolución4. Giovana se compra una gaseosa, primero bebe la cuarta parte del contenido, luego los 23 del resto y por último la mitad de lo que queda.¿Qué fracción de lo que tenía inicialmente queda de gaseosa?Resolución9.1. Luego de una batalla, el capitán de un regimiento manda su reporte al comandante que dice:Mi comandante resultaron muertos 1/20 del total de soldados. Y el número de heridos es 1/12 del mismo número, más 60. El número de ilesos representa 1/2 del total de efectivos, más 820. ¿Cuántos hombres tenía el batallón? Como al comandante le encantanlas matemáticas, pudo resolver el problema del reporte que mando su capitán.A) 2200 B) 2400C) 2500 D) 18502. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta sus 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros?A) 1/3 B) 2/5C) 11/15 D) 1/41. Ronaldo después de ir a un centro comercial razona de la siguiente manera:Gasté los 3/5 de lo que tenía y aún me quedan S/20 más la quinta parte de lo que tenía al inicio. ¿Cuánto tenía inicialmente?Resolución2. Juan Carlos regresa de hacer unas compras del mercado central, al revisar el dinero que queda en su billetera dice: “Gasté los 23 del dinero que tenía menos 4 soles, si todavía me queda 14 del dinero que tenía más 14 soles. ¿Podría usted decir cuánto dinero tenía inicialmente Juan Carlos?ResoluciónHelico trialHelico challenge•10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

218I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRELas ideas vistas anteriormente acerca de las fracciones nos permiten deducir algunas nociones muy interesantes conocidas como método de reducción a la unidad. Expliquemos estas nociones mediante pequeños ejemplos, veamos.a. Supongamos que un grifo o caño llena un tanque deagua en 5 horas, utilizando un caudal constante (quese debe suponer). Si el tiempo total (5 h) lo dividimosde tal modo que nos queden “unidades de tiempo”, esdecir, en intervalos de una hora tendríamos 5 intervalos y cada uno vendría a hacer la quinta parte deltiempo total y, por lo tanto, a la quinta parte del tiempo le correspondería la quinta parte del trabajo total.En pocas palabrasSi en 5 horas lleno un tanque completo (total), entonces en una hora llenaré 1/5 del tanque. En el fondo,estamos reduciendo las 5 h a la unidad de tiempo:1 h, relacionándolo con la fracción de trabajo.Gráficamente tendríamos1 h → 15 del volumen1 h → 15 del volumen1 h → 15 del volumen1 h → 15 del volumen1 h → 15 del volumenTodo en 5 hPor lo tanto, podemos razonar del siguiente modo: Si en 5 h lleno un volumen total, entoncesEn 1 h, lleno 15 del volumenEn 2 h, lleno 25 del volumenEn 3 h, lleno 35 del volumen ...En x h, lleno x5 del volumenb. Veamos la solución de un problema. Un grifo A llena todo un tanque en 3 horas y un grifo B llena elmismo tanque en 6 horas. ¿En cuántas horas llenarán el tanque si funcionan los dos grifos juntos?Veamos, si en el grifo A llena todo el tanque en 3 horas, en una hora llenará la tercera parte del tanque 13 , así también, si el grifo B llena todo el tanque en 6 horas, en una hora llenará la sexta parte del tanque 16 .También en 1 h1 hA B1 hJuntos13+16 = 12 en 1 hAhora si ambos funcionan juntos (A y B), en una hora llenarán la tercera parte (A) más la sexta parte (B) del tanque, es decir 13+16 = 12 la mitad del tanque, por lo tanto, si en una hora llenan la mitad del tanque, todo el tanque lo llenarán en 2 h.Análogamente, si un grifo llena un tanque en 4 horas y otro grifo B lo llena en 12 horas, y si se abren simultáneamente, el estanque se llenará en 3 horas.1 h1 h1 h1 h1 h1 h1 h3 h6 h1/31/61/61/61/61/61/61/31/31 h1 hPuesA en una 1 hora llenaría 14 del tanqueB en una hora llenaría 112 del tanque→ A y B juntos llenarían 13 del tanque14+112=13Por lo tanto, si en 1 hora llenan 1/3 del tanque, todo el tanque lo llenarán en 3 horas.NÚMEROS RACIONALES IITheory 06 ReducciónRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 219 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNObra Tiempo2 h123 h4 hx hParte de obra realizada en cada unidad de tiempode la obra13de la obra14de la obra1x de la obrax partesObra Tiempom hParte de la obra realizada en cada unidad de tiempo1m de la obraTécnicas y estrategias para resolver problemasREDUCCIÓN A LA UNIDADCañosA: llena B: desagüe1A - 1BABA y B llenan1A +1BA BObservationLo siguiente es el procedimiento mediante el cual se calcula la parte de una obra realizada en cada unidad de tiempo.Synthesis1. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 15 horas, en cambio, A solo lo puede llenar en 40 horas. ¿Cuántas horas menos que A se demoraría en llenar B solo?A BResolución2. A puede hacer una obra en 20 días; B lo podría hacer en 60 días. Si A y B trabajan juntos, ¿en cuantos días lo podrán hacer?Resolución5. Dos grifos llenan un estanque en 30 horas. Si uno de ellos fuera desagüe se tardaría en llenar el estanque en 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará una de las llaves estando el estanque vació? Indique el mayor tiempo. ResoluciónSean los grifos x e y.Se llenan juntos 1x + 1y = 130Si y fuese desagüe 1x – 1y = 160Luego 1x + 1y = 1301x – 1y = 160 2 1x = 360+ 120 = 3x 40 = x → y = 120Rpta.: 120Helico practice1. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 15 horas, en cambio, A solo lo puede llenar en 40 horas. ¿Cuántas horas menos que A se demoraría en llenar B solo?A BResolución2. A puede hacer una obra en 20 días; B lo podría hacer en 60 días. Si A y B trabajan juntos, ¿en cuantos días lo podrán hacer?Resolución5. Dos grifos llenan un estanque en 30 horas. Si uno de ellos fuera desagüe se tardaría en llenar el estanque en 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará una de las llaves estando el estanque vació? Indique el mayor tiempo. ResoluciónSean los grifos x e y.Se llenan juntos 1x + 1y = 130Si y fuese desagüe 1x – 1y = 160Luego 1x + 1y = 1301x – 1y = 160 2 1x = 360+ 120 = 3x 40 = x → y = 120Rpta.: 120Helico practiceTRABAJO EN CLASEObra Tiempo2 h123 h4 hx hParte de obra realizada en cada unidad de tiempode la obra13de la obra14de la obra1x de la obrax partesObra Tiempom hParte de la obra realizada en cada unidad de tiempo1m de la obraTécnicas y estrategias para resolver problemasREDUCCIÓN A LA UNIDADCañosA: llena B: desagüe1A - 1BABA y B llenan1A +1BA BObservationLo siguiente es el procedimiento mediante el cual se calcula la parte de una obra realizada en cada unidad de tiempo.SynthesisPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

220I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE3. Carlos y Víctor en sus tiempos libres se ocupan al pintado de casas y edificios. Carlos demora en pintar un edificio 6 días; Víctor demora 12 días en pintar otro edificio similar. ¿En cuánto tiempo pintarán un edificio similar a los anteriores los dos juntos?Resolución4. Una empresa de limpieza tiene 3 empleados, los cuales por separado se demoran en limpiar un edificio de la siguiente manera:Ángel hace la limpieza en 3 días, Beto demora 6 días y Cirilo 9 días. Si un contratista quiere que limpie su edificio en el menor tiempo posible. Si la empresa manda a limpiar a sus 3 empleados juntos. ¿En cuántotiempo lo harían?Resolución5. A y B pueden hacer una obra en 20 días. A lo haría solo en 30 días. Si A trabaja solo durante 10 días, ¿cuántos días empleará B para terminar la obra?Resolución6. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 h. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en vaciar el tanque 60 h. ¿En cuánto tiempo llenará el tanque la llave A, estando este vacío?Resolución•3. Carlos y Víctor en sus tiempos libres se ocupan al pintado de casas y edificios. Carlos demora en pintar un edificio 6 días; Víctor demora 12 días en pintar otro edificio similar. ¿En cuánto tiempo pintarán un edificio similar a los anteriores los dos juntos?Resolución4. Una empresa de limpieza tiene 3 empleados, los cuales por separado se demoran en limpiar un edificio de la siguiente manera:Ángel hace la limpieza en 3 días, Beto demora 6 días y Cirilo 9 días. Si un contratista quiere que limpie su edificio en el menor tiempo posible. Si la empresa manda a limpiar a sus 3 empleados juntos. ¿En cuántotiempo lo harían?Resolución5. A y B pueden hacer una obra en 20 días. A lo haría solo en 30 días. Si A trabaja solo durante 10 días, ¿cuántos días empleará B para terminar la obra?Resolución6. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 h. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en vaciar el tanque 60 h. ¿En cuánto tiempo llenará el tanque la llave A, estando este vacío?Resolución•3. Carlos y Víctor en sus tiempos libres se ocupan al pintado de casas y edificios. Carlos demora en pintar un edificio 6 días; Víctor demora 12 días en pintar otro edificio similar. ¿En cuánto tiempo pintarán un edificio similar a los anteriores los dos juntos?Resolución4. Una empresa de limpieza tiene 3 empleados, los cuales por separado se demoran en limpiar un edificio de la siguiente manera:Ángel hace la limpieza en 3 días, Beto demora 6 días y Cirilo 9 días. Si un contratista quiere que limpie su edificio en el menor tiempo posible. Si la empresa manda a limpiar a sus 3 empleados juntos. ¿En cuántotiempo lo harían?Resolución5. A y B pueden hacer una obra en 20 días. A lo haría solo en 30 días. Si A trabaja solo durante 10 días, ¿cuántos días empleará B para terminar la obra?Resolución6. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 h. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en vaciar el tanque 60 h. ¿En cuánto tiempo llenará el tanque la llave A, estando este vacío?Resolución•3. Carlos y Víctor en sus tiempos libres se ocupan al pintado de casas y edificios. Carlos demora en pintar un edificio 6 días; Víctor demora 12 días en pintar otro edificio similar. ¿En cuánto tiempo pintarán un edificio similar a los anteriores los dos juntos?Resolución4. Una empresa de limpieza tiene 3 empleados, los cuales por separado se demoran en limpiar un edificio de la siguiente manera:Ángel hace la limpieza en 3 días, Beto demora 6 días y Cirilo 9 días. Si un contratista quiere que limpie su edificio en el menor tiempo posible. Si la empresa manda a limpiar a sus 3 empleados juntos. ¿En cuántotiempo lo harían?Resolución5. A y B pueden hacer una obra en 20 días. A lo haría solo en 30 días. Si A trabaja solo durante 10 días, ¿cuántos días empleará B para terminar la obra?Resolución6. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 h. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en vaciar el tanque 60 h. ¿En cuánto tiempo llenará el tanque la llave A, estando este vacío?Resolución•7. Tres amigos A, B y C discuten sobre quienes deben ir a dar mantenimiento a las máquina de una fábrica, llegando a las siguientes conclusiones.A y B pueden hacer el mantenimiento en 20 días; B y C pueden hacer la obra en 15 días; A y C lo pueden hacer en 12 días. ¿En cuántos días harían juntos el amigo que trabajaría más días con el que trabajaría menos días, sumado a un tercer amigo D, sabiendo que él solo podría haber hecho ese trabajo en 10 días?1. Un obrero puede realizar un trabajo en 20 horas, otro obrero lo puede hacer en 30 horas. Si trabajan juntos, ¿qué tiempo se tardarán en realizar dicho trabajo?Resolución2. Dos amigos Manuel y Pedro son ingenieros electrónicos contratados por la empresa Coca-Cola para efectuar un estudio de repotenciación de su planta de fabricación y producción.En su informe Manuel solicita 15 días para hacer el trabajo, de la misma forma Pedro dice que necesitará 30 días. El dueño de la empresa decide contratar a los dos ingenieros. ¿Cuánto tiempo demoran los 2, para mandar su informe? ResoluciónHelico workshopResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 221 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. Un caño llena un estanque en 12 horas, una llave vacía el mismo estanque en 15 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo?Resolución5. Un caño llena un pozo en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará los 2/3 del pozo si se abre el desagüe y el caño a la vez?Resolución4. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 6 horas. El grifo A funcionando solo, puede llenarlo en 15 horas. Estando vacío el tanque, se abre el grifo B. ¿En cuánto tiempo lo llenará?Resolución6. Tres obreros, Carlos, Daniel y Edgar, trabajan en construcción civil y hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo que Carlos lo haría solo en 9 días y Daniel en 12 días, averigüe lo que demoraría Edgar trabajando solo, en hacer todo el trabajo.Resolución•11.3. Un caño llena un estanque en 12 horas, una llave vacía el mismo estanque en 15 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo?Resolución5. Un caño llena un pozo en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará los 2/3 del pozo si se abre el desagüe y el caño a la vez?Resolución4. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 6 horas. El grifo A funcionando solo, puede llenarlo en 15 horas. Estando vacío el tanque, se abre el grifo B. ¿En cuánto tiempo lo llenará?Resolución6. Tres obreros, Carlos, Daniel y Edgar, trabajan en construcción civil y hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo que Carlos lo haría solo en 9 días y Daniel en 12 días, averigüe lo que demoraría Edgar trabajando solo, en hacer todo el trabajo.Resolución•12.7. Tres amigos A, B y C discuten sobre quienes deben ir a dar mantenimiento a las máquina de una fábrica, llegando a las siguientes conclusiones.A y B pueden hacer el mantenimiento en 20 días; B y C pueden hacer la obra en 15 días; A y C lo pueden hacer en 12 días. ¿En cuántos días harían juntos el amigo que trabajaría más días con el que trabajaría menos días, sumado a un tercer amigo D, sabiendo que él solo podría haber hecho ese trabajo en 10 días?1. Un obrero puede realizar un trabajo en 20 horas, otro obrero lo puede hacer en 30 horas. Si trabajan juntos, ¿qué tiempo se tardarán en realizar dicho trabajo?Resolución2. Dos amigos Manuel y Pedro son ingenieros electrónicos contratados por la empresa Coca-Cola para efectuar un estudio de repotenciación de su planta de fabricación y producción.En su informe Manuel solicita 15 días para hacer el trabajo, de la misma forma Pedro dice que necesitará 30 días. El dueño de la empresa decide contratar a los dos ingenieros. ¿Cuánto tiempo demoran los 2, para mandar su informe? ResoluciónHelico workshopResolución8.7. Tres amigos A, B y C discuten sobre quienes deben ir a dar mantenimiento a las máquina de una fábrica, llegando a las siguientes conclusiones.A y B pueden hacer el mantenimiento en 20 días; B y C pueden hacer la obra en 15 días; A y C lo pueden hacer en 12 días. ¿En cuántos días harían juntos el amigo que trabajaría más días con el que trabajaría menos días, sumado a un tercer amigo D, sabiendo que él solo podría haber hecho ese trabajo en 10 días?1. Un obrero puede realizar un trabajo en 20 horas, otro obrero lo puede hacer en 30 horas. Si trabajan juntos, ¿qué tiempo se tardarán en realizar dicho trabajo?Resolución2. Dos amigos Manuel y Pedro son ingenieros electrónicos contratados por la empresa Coca-Cola para efectuar un estudio de repotenciación de su planta de fabricación y producción.En su informe Manuel solicita 15 días para hacer el trabajo, de la misma forma Pedro dice que necesitará 30 días. El dueño de la empresa decide contratar a los dos ingenieros. ¿Cuánto tiempo demoran los 2, para mandar su informe? ResoluciónHelico workshopResolución9.3. Un caño llena un estanque en 12 horas, una llave vacía el mismo estanque en 15 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo?Resolución5. Un caño llena un pozo en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará los 2/3 del pozo si se abre el desagüe y el caño a la vez?Resolución4. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 6 horas. El grifo A funcionando solo, puede llenarlo en 15 horas. Estando vacío el tanque, se abre el grifo B. ¿En cuánto tiempo lo llenará?Resolución6. Tres obreros, Carlos, Daniel y Edgar, trabajan en construcción civil y hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo que Carlos lo haría solo en 9 días y Daniel en 12 días, averigüe lo que demoraría Edgar trabajando solo, en hacer todo el trabajo.Resolución•10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

222I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRETAREA DOMICILIARIA1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•1. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 15 horas, en cambio, A solo lo puede llenar en 40 horas. ¿Cuántas horas menos que A se demoraría en llenar B solo?A BResolución2. A puede hacer una obra en 20 días; B lo podría hacer en 60 días. Si A y B trabajan juntos, ¿en cuantos días lo podrán hacer?Resolución5. Dos grifos llenan un estanque en 30 horas. Si uno de ellos fuera desagüe se tardaría en llenar el estanque en 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará una de las llaves estando el estanque vació? Indique el mayor tiempo. ResoluciónSean los grifos x e y.Se llenan juntos 1x + 1y = 130Si y fuese desagüe 1x – 1y = 160Luego 1x + 1y = 1301x – 1y = 160 2 1x = 360+ 120 = 3x 40 = x → y = 120Rpta.: 120Helico practicePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•1. Un recipiente puede ser llenado por el grifo A en 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?ResoluciónA BA = 3 h B = 2 h A y B = x h→1113 2 x+ = 23 13 2 x+ = × 3 22 3x × = + 65 = xRpta.: 1,2 h o 1 h 12 min2. Una persona hace un trabajo en 12 h, su hijo en 24 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos?ResoluciónP = 12 h H = 24 h P y H= x h→112+124 = 1x24 + 1212 × 24 = 1x12 × 2424 + 12 = xx = 8Rpta.: 8 h3. Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3 h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?ResoluciónABA = 3 h B = 4 h A y B = x h→13 - 14 = 1x 4 - 33 × 4 = 1x 3 × 44 - 3 = x 12 = xRpta.: 12 h4. Halle el valor de M si1 M 3 1 1 40,3=++Resolución1 M 3 1 1 4 310=++ 103→1 M 3 1 10 43=++223 → 1 M 3 1 223=+ 922→1 M 9 122=+3122 → 1 M 3122=∴22 M31 =Rpta.: 22 M31 =Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 15 horas, en cambio, A solo lo puede llenar en 40 horas. ¿Cuántas horas menos que A se demoraría en llenar B solo?A BResolución2. A puede hacer una obra en 20 días; B lo podría hacer en 60 días. Si A y B trabajan juntos, ¿en cuantos días lo podrán hacer?Resolución5. Dos grifos llenan un estanque en 30 horas. Si uno de ellos fuera desagüe se tardaría en llenar el estanque en 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará una de las llaves estando el estanque vació? Indique el mayor tiempo. ResoluciónSean los grifos x e y.Se llenan juntos 1x + 1y = 130Si y fuese desagüe 1x – 1y = 160Luego 1x + 1y = 1301x – 1y = 160 2 1x = 360+ 120 = 3x 40 = x → y = 120Rpta.: 120Helico practiceRAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4TO DE SECUNDARIA 223 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPARA EL CUADERNO7. Un caño llena un tanque en 8 horas, otro desaloja todo el contenido en 9 horas. Si estando vacío el tanque se abren los dos, ¿en cuánto tiempo se llenarán los 3/8 del tanque?Resolución1. Daniel puede hacer una obra en 15 días y Humberto puede hacer la misma obra en 10 días, Daniel empieza a trabajar en la obra, después de 5 días se incorpora Humberto. ¿A cuántos días de la incorporación de este, concluirán la obra?A) A los 2 díasB) A los 3 díasC) A los 4 díasD) A los 5 días2. Se tiene un depósito de 30 m3 de capacidad con dos grifos: uno de suministro y otro de desfogue; uno de 250 litros por hora y el otro de 125 litros por hora, respectivamente, ubicados como se muestra en la figura. ¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el depósito?A) 160 hB) 140 hC) 180 h 3HH30 m3D) 200 hHelico trial2.1. Una llave puede llenar un tanque en 3 h y otra llave puede vaciarlo en 6 h. Si se abren las dos llaves a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque?Resolución3. Carlos está reparando la puerta de su jardín y prevé que podría repararla en 12 h; también calcula que si repara la puerta su hijo Carlos demoraría 24 h. Como necesitan que la puerta sea reparado lo más pronto posible, Carlos decide que debe reparar la puerta junto con su hijo. ¿Podría usted decir en cuanto tiempo repararían juntos la puerta?ResoluciónHelico challenge2. Un caño A puede llenar un tanque en 3 horas y un caño B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren los dos grifos simultáneamente estando vacío el tanque, ¿en cuánto tiempo se llenará?Resolución4. A puede pintar una casa en 3 h, B puede hacerlo en 2 h y C en 6 h. Si trabajan los tres juntos, ¿en cuánto tiempo terminan de hacer la obra?Resolución•6.1. Una llave puede llenar un tanque en 3 h y otra llave puede vaciarlo en 6 h. Si se abren las dos llaves a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque?Resolución3. Carlos está reparando la puerta de su jardín y prevé que podría repararla en 12 h; también calcula que si repara la puerta su hijo Carlos demoraría 24 h. Como necesitan que la puerta sea reparado lo más pronto posible, Carlos decide que debe reparar la puerta junto con su hijo. ¿Podría usted decir en cuanto tiempo repararían juntos la puerta?ResoluciónHelico challenge2. Un caño A puede llenar un tanque en 3 horas y un caño B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren los dos grifos simultáneamente estando vacío el tanque, ¿en cuánto tiempo se llenará?Resolución4. A puede pintar una casa en 3 h, B puede hacerlo en 2 h y C en 6 h. Si trabajan los tres juntos, ¿en cuánto tiempo terminan de hacer la obra?Resolución•5.1. Una llave puede llenar un tanque en 3 h y otra llave puede vaciarlo en 6 h. Si se abren las dos llaves a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque?Resolución3. Carlos está reparando la puerta de su jardín y prevé que podría repararla en 12 h; también calcula que si repara la puerta su hijo Carlos demoraría 24 h. Como necesitan que la puerta sea reparado lo más pronto posible, Carlos decide que debe reparar la puerta junto con su hijo. ¿Podría usted decir en cuanto tiempo repararían juntos la puerta?ResoluciónHelico challenge2. Un caño A puede llenar un tanque en 3 horas y un caño B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren los dos grifos simultáneamente estando vacío el tanque, ¿en cuánto tiempo se llenará?Resolución4. A puede pintar una casa en 3 h, B puede hacerlo en 2 h y C en 6 h. Si trabajan los tres juntos, ¿en cuánto tiempo terminan de hacer la obra?Resolución•7.7. Un caño llena un tanque en 8 horas, otro desaloja todo el contenido en 9 horas. Si estando vacío el tanque se abren los dos, ¿en cuánto tiempo se llenarán los 3/8 del tanque?Resolución1. Daniel puede hacer una obra en 15 días y Humberto puede hacer la misma obra en 10 días, Daniel empieza a trabajar en la obra, después de 5 días se incorpora Humberto. ¿A cuántos días de la incorporación de este, concluirán la obra?A) A los 2 díasB) A los 3 díasC) A los 4 díasD) A los 5 días2. Se tiene un depósito de 30 m3 de capacidad con dos grifos: uno de suministro y otro de desfogue; uno de 250 litros por hora y el otro de 125 litros por hora, respectivamente, ubicados como se muestra en la figura. ¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el depósito?A) 160 hB) 140 hC) 180 h 3HH30 m3D) 200 hHelico trial7. Un caño llena un tanque en 8 horas, otro desaloja todo el contenido en 9 horas. Si estando vacío el tanque se abren los dos, ¿en cuánto tiempo se llenarán los 3/8 del tanque?Resolución1. Daniel puede hacer una obra en 15 días y Humberto puede hacer la misma obra en 10 días, Daniel empieza a trabajar en la obra, después de 5 días se incorpora Humberto. ¿A cuántos días de la incorporación de este, concluirán la obra?A) A los 2 díasB) A los 3 díasC) A los 4 díasD) A los 5 días2. Se tiene un depósito de 30 m3 de capacidad con dos grifos: uno de suministro y otro de desfogue; uno de 250 litros por hora y el otro de 125 litros por hora, respectivamente, ubicados como se muestra en la figura. ¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el depósito?A) 160 hB) 140 hC) 180 h 3HH30 m3D) 200 hHelico trial4.3. Un caño llena un estanque en 12 horas, una llave vacía el mismo estanque en 15 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo?Resolución5. Un caño llena un pozo en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará los 2/3 del pozo si se abre el desagüe y el caño a la vez?Resolución4. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 6 horas. El grifo A funcionando solo, puede llenarlo en 15 horas. Estando vacío el tanque, se abre el grifo B. ¿En cuánto tiempo lo llenará?Resolución6. Tres obreros, Carlos, Daniel y Edgar, trabajan en construcción civil y hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo que Carlos lo haría solo en 9 días y Daniel en 12 días, averigüe lo que demoraría Edgar trabajando solo, en hacer todo el trabajo.Resolución•1.7. Un caño llena un tanque en 8 horas, otro desaloja todo el contenido en 9 horas. Si estando vacío el tanque se abren los dos, ¿en cuánto tiempo se llenarán los 3/8 del tanque?Resolución1. Daniel puede hacer una obra en 15 días y Humberto puede hacer la misma obra en 10 días, Daniel empieza a trabajar en la obra, después de 5 días se incorpora Humberto. ¿A cuántos días de la incorporación de este, concluirán la obra?A) A los 2 díasB) A los 3 díasC) A los 4 díasD) A los 5 días2. Se tiene un depósito de 30 m3 de capacidad con dos grifos: uno de suministro y otro de desfogue; uno de 250 litros por hora y el otro de 125 litros por hora, respectivamente, ubicados como se muestra en la figura. ¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el depósito?A) 160 hB) 140 hC) 180 h 3HH30 m3D) 200 hHelico trial3.1. Una llave puede llenar un tanque en 3 h y otra llave puede vaciarlo en 6 h. Si se abren las dos llaves a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque?Resolución3. Carlos está reparando la puerta de su jardín y prevé que podría repararla en 12 h; también calcula que si repara la puerta su hijo Carlos demoraría 24 h. Como necesitan que la puerta sea reparado lo más pronto posible, Carlos decide que debe reparar la puerta junto con su hijo. ¿Podría usted decir en cuanto tiempo repararían juntos la puerta?ResoluciónHelico challenge2. Un caño A puede llenar un tanque en 3 horas y un caño B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren los dos grifos simultáneamente estando vacío el tanque, ¿en cuánto tiempo se llenará?Resolución4. A puede pintar una casa en 3 h, B puede hacerlo en 2 h y C en 6 h. Si trabajan los tres juntos, ¿en cuánto tiempo terminan de hacer la obra?Resolución•8.5. Dos grifos llenan juntos un estanque en 30 horas. Si uno de los grifos se convierte en desagüe y funcionaran ambos al mismo tiempo, el estanque se llenaría en 90 horas. ¿En cuántas horas llenará el estanque el grifo que no sufrió cambioResolución4. Un caño A llena un depósito en 2n horas y otro caño B en 3n horas; además tiene un orificio en el fondo por el que se desagua en 4n horas ¿Qué tiempo demorarán en llenarlo estando abiertos los tres?A) 137B) 167C) 12n7D) 1575. Dos obreros necesitan 12 h para hacer un trabajo. Si uno trabajando solo lo hace en 20 h, ¿cuánto tiempo empleará el segundo?A) 24 h B) 30 hC) 32 h D) 35 h1. Una piscina puede ser llenado por un caño en 3 horas, y puede ser vaciada por una llave de desagüé ubicada en la base en 12 h. El dueño de la piscina decide abrir las 2 llaves a la vez, estando vacía esta podría decir: ¿en cuánto tiempo se llenará la piscina?A) 8 h B) 4 hC) 125 h D) 7 h2. Dos carpinteros trabajando juntos pueden terminar un ropero en 4 días; si el primer carpintero trabajara solo; lo podría terminar en 6 días. Con estos datos podría usted calcular: ¿en cuántos días podría terminar el segundo carpintero si trabaja solo el ropero?A) 10 días B) 12 díasC) 11 días D) 14 días3. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por otro en 3 horas y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en:A) 1 h. B) 12/7 h.C) 10 h. D) 11/7 h.Helico homework•9.5. Dos grifos llenan juntos un estanque en 30 horas. Si uno de los grifos se convierte en desagüe y funcionaran ambos al mismo tiempo, el estanque se llenaría en 90 horas. ¿En cuántas horas llenará el estanque el grifo que no sufrió cambioResolución4. Un caño A llena un depósito en 2n horas y otro caño B en 3n horas; además tiene un orificio en el fondo por el que se desagua en 4n horas ¿Qué tiempo demorarán en llenarlo estando abiertos los tres?A) 137B) 167C) 12n7D) 1575. Dos obreros necesitan 12 h para hacer un trabajo. Si uno trabajando solo lo hace en 20 h, ¿cuánto tiempo empleará el segundo?A) 24 h B) 30 hC) 32 h D) 35 h1. Una piscina puede ser llenado por un caño en 3 horas, y puede ser vaciada por una llave de desagüé ubicada en la base en 12 h. El dueño de la piscina decide abrir las 2 llaves a la vez, estando vacía esta podría decir: ¿en cuánto tiempo se llenará la piscina?A) 8 h B) 4 hC) 125 h D) 7 h2. Dos carpinteros trabajando juntos pueden terminar un ropero en 4 días; si el primer carpintero trabajara solo; lo podría terminar en 6 días. Con estos datos podría usted calcular: ¿en cuántos días podría terminar el segundo carpintero si trabaja solo el ropero?A) 10 días B) 12 díasC) 11 días D) 14 días3. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por otro en 3 horas y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en:A) 1 h. B) 12/7 h.C) 10 h. D) 11/7 h.Helico homework•10.RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

224I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRERAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CONTENIDO● Movimiento Vertical de Caída Libre (MVCL) ..... 227● Movimiento Parabólico de Caída Libre (MPCL). 233● Movimiento Semiparabólico de Caída Libre..... 240● Estática I ............................................................. 247● Estática II ............................................................ 257● Estática III ........................................................... 2636 «La física no es más que una interpretación del mundo a la medida de nuestros deseos». Friedrich Wilhelm NietzscheFÍSICA ELEMENTAL

4TO DE SECUNDARIA 227 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTALMovimiento Vertical de 01 Caída Libre (MVCL)

228I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTALDATOS PRE

4TO DE SECUNDARIA 229 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTALTRABAJO EN CLASE

230I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTAL

4TO DE SECUNDARIA 231 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL

232I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTALTAREA DOMICILIARIA

4TO DE SECUNDARIA 233 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL+Movimiento Parabólico de 02 Caída Libre (MPCL)

234I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTAL

4TO DE SECUNDARIA 235 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTALTRABAJO EN CLASE

236I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTAL

4TO DE SECUNDARIA 237 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL

238I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTALTAREA DOMICILIARIA

4TO DE SECUNDARIA 239 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL

240I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTALMovimiento Semiparabólico 03 de Caída Libre

4TO DE SECUNDARIA 241 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL

242I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTALTRABAJO EN CLASE

4TO DE SECUNDARIA 243 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL

244I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTAL

4TO DE SECUNDARIA 245 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTALTAREA DOMICILIARIA

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4TO DE SECUNDARIA 247 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL04 Estática I

248I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTAL

4TO DE SECUNDARIA 249 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN FÍSICA ELEMENTAL

250I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFÍSICA ELEMENTAL