4TO SEC CIENCIAS (II BIM)

4TO DE SECUNDARIA 101 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍACuadrilátero inscrito en una circunferenciaEs aquel cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia, también se le llama cuadrilátero cíclico.OrBA DC ABCD: cuadrilátero inscritoTeoremas1. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia,la suma de las medidas de dos ángulos opuestos es180°.αβa + b = 180°2. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia,las diagonales y los lados opuestos determinan ángulo congruentes.α βa = b3. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia,la medida de un ángulo interior es igual a la medidadel ángulo opuesto externamente.a = bαβCuadrilátero inscriptible en una circunferenciaEs aquel que se puede inscribir en una circunferencia, para que esto suceda dicho cuadrilátero deberá cumplir con cualquiera de los teoremas que se cumplen en el cuadrilátero inscrito.Ejemplos: Los siguientes cuadriláteros son inscriptibles.a abbTeoremas1.ABDCAB//CD2.βα ABDCa + b = 180°

102I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En la figura, BC = 3, CD = 8 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTB C DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.xA O B CD46ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 12 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 8 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferenciase trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = x y mBAC = 4x, halle el valor de x.ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En la figura, BC = 3, CD = 8 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTB C DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.xA O B CD46ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 12 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 8 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferenciase trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = x y mBAC = 4x, halle el valor de x.ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En la figura, BC = 3, CD = 8 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTB C DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.xA O B CD46ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 12 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 8 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferenciase trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = x y mBAC = 4x, halle el valor de x.ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En la figura, BC = 3, CD = 8 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTB C DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.xA O B CD46ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 12 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 8 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferenciase trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = x y mBAC = 4x, halle el valor de x.ResoluciónPractice3.2.TRABAJO EN CLASE

4TO DE SECUNDARIA 103 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA5. En el gráfico, r = 4. Halle AB si O es centro y, B yC son puntos de tangencia.rOB60°CAResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa un biciclo donde A y B sonpuntos de tangencia. Si la distancia entre los centrosde ambas ruedas es 25 cm, determine la distanciaentre A y B.A B10 cm3 cmResoluciónEn la figura se muestra el diseño de un cerco metálico de contorno rectangular. Determine la longitud total de fierro que se necesita para construir dicho diseño.60 cmResolución5. En el gráfico, AB = 12. Halle el valor de r, si además, O es centro y, B y C son puntos de tangencia.ResoluciónrOB74°C AResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa un biciclo donde A y B sonpuntos de tangencia. Si la distancia entre los centrosde ambas ruedas es 13 cm, determine la distanciaentre A y B.A B8 cm3 cmResoluciónEn la figura se muestra el diseño de un protector de ventana. Determine la longitud total de fierro que se necesita para construir dicho diseño.2 mResolución5. En el gráfico, AB = 12. Halle el valor de r, si además, O es centro y, B y C son puntos de tangencia.ResoluciónrOB74°C AResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa un biciclo donde A y B sonpuntos de tangencia. Si la distancia entre los centrosde ambas ruedas es 13 cm, determine la distanciaentre A y B.A B8 cm3 cmResoluciónEn la figura se muestra el diseño de un protector de ventana. Determine la longitud total de fierro que se necesita para construir dicho diseño.2 mResolución5. En el gráfico, AB = 12. Halle el valor de r, si además, O es centro y, B y C son puntos de tangencia.ResoluciónrOB74°C AResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa un biciclo donde A y B sonpuntos de tangencia. Si la distancia entre los centrosde ambas ruedas es 13 cm, determine la distanciaentre A y B.A B8 cm3 cmResoluciónEn la figura se muestra el diseño de un protector de ventana. Determine la longitud total de fierro que se necesita para construir dicho diseño.2 mResolución5. En el gráfico, AB = 12. Halle el valor de r, si además, O es centro y, B y C son puntos de tangencia.ResoluciónrOB74°C AResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa un biciclo donde A y B sonpuntos de tangencia. Si la distancia entre los centrosde ambas ruedas es 13 cm, determine la distanciaentre A y B.A B8 cm3 cmResoluciónEn la figura se muestra el diseño de un protector de ventana. Determine la longitud total de fierro que se necesita para construir dicho diseño.2 mResolución5. En el gráfico, AB = 12. Halle el valor de r, si además, O es centro y, B y C son puntos de tangencia.ResoluciónrOB74°C AResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa un biciclo donde A y B sonpuntos de tangencia. Si la distancia entre los centrosde ambas ruedas es 13 cm, determine la distanciaentre A y B.A B8 cm3 cmResoluciónEn la figura se muestra el diseño de un protector de ventana. Determine la longitud total de fierro que se necesita para construir dicho diseño.2 mResolución8.7.

104I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En la figura, MN = 2, ND = 6 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTMN DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.A O BxC5D10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 15 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 9 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferencia,se trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = 2x y mBAC = 5x, halle el valor de x.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, MN = 2, ND = 6 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTMN DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.A O BxC5D10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 15 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 9 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferencia,se trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = 2x y mBAC = 5x, halle el valor de x.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, MN = 2, ND = 6 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTMN DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.A O BxC5D10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 15 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 9 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferencia,se trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = 2x y mBAC = 5x, halle el valor de x.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, MN = 2, ND = 6 y T es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.ORTMN DResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto detangencia.A O BxC5D10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulosi la longitud de un cateto es 15 u y las longitudes delos otros lados se diferencian en 9 u.Resolución4. Desde un punto B exterior a una circunferencia,se trazan los segmentos tangentes BA y BC. SimABC = 2x y mBAC = 5x, halle el valor de x.ResoluciónSCOREWorkshop10.9. 11.12.

4TO DE SECUNDARIA 105 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA1. En la figura, si O es centro, OB = 5 y BC = 8;halle el valor de x.xOB CResolución1.° Se traza OH ⊥ BC.Entonces: BH = HC = 42.° BHO resulta aproximado.Entonces: OH = 3x = 37°xOB5 34 4 H CRpta.: 37°2. En la figura, a + b = 150°. Halle el valor de x.x α βResoluciónα xA CB PNMα αβDato: a + b = 150°En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple quem M = m APC = aEn la circunferencia menorm APC = m B = aFinalmente en el ABCx = a + bx = 150°Rpta.: 150°3. En el siguiente gráfico, demuestre que el perímetro del triángulo rectángulo sombreado es igual a lalongitud del diámetro de la circunferencia.ORBA CEl perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.ResoluciónR OR BEA CFxcb yxy1.° El perímetro del BAC es igual ab + c + x + y2.° LuegoAE: c + x = R +AF: b + y = REntonces: b + c + x + y = 2RLuego, el perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.Solved problems1. En la figura, si O es centro, OB = 5 y BC = 8;halle el valor de x.xOB CResolución1.° Se traza OH ⊥ BC.Entonces: BH = HC = 42.° BHO resulta aproximado.Entonces: OH = 3x = 37°xOB5 34 4 H CRpta.: 37°2. En la figura, a + b = 150°. Halle el valor de x.x α βResoluciónα xA CB PNMα αβDato: a + b = 150°En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple quem M = m APC = aEn la circunferencia menorm APC = m B = aFinalmente en el ABCx = a + bx = 150°Rpta.: 150°3. En el siguiente gráfico, demuestre que el perímetro del triángulo rectángulo sombreado es igual a lalongitud del diámetro de la circunferencia.ORBA CEl perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.ResoluciónR OR BEA CFxcb yxy1.° El perímetro del BAC es igual ab + c + x + y2.° LuegoAE: c + x = R +AF: b + y = REntonces: b + c + x + y = 2RLuego, el perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.Solved problems1. En la figura, si O es centro, OB = 5 y BC = 8;halle el valor de x.xOB CResolución1.° Se traza OH ⊥ BC.Entonces: BH = HC = 42.° BHO resulta aproximado.Entonces: OH = 3x = 37°xOB5 34 4 H CRpta.: 37°2. En la figura, a + b = 150°. Halle el valor de x.x α βResoluciónα xA CB PNMα αβDato: a + b = 150°En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple quem M = m APC = aEn la circunferencia menorm APC = m B = aFinalmente en el ABCx = a + bx = 150°Rpta.: 150°3. En el siguiente gráfico, demuestre que el perímetro del triángulo rectángulo sombreado es igual a lalongitud del diámetro de la circunferencia.ORBA CEl perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.ResoluciónR OR BEA CFxcb yxy1.° El perímetro del BAC es igual ab + c + x + y2.° LuegoAE: c + x = R +AF: b + y = REntonces: b + c + x + y = 2RLuego, el perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.Solved problems1. En la figura, si O es centro, OB = 5 y BC = 8;halle el valor de x.xOB CResolución1.° Se traza OH ⊥ BC.Entonces: BH = HC = 42.° BHO resulta aproximado.Entonces: OH = 3x = 37°xOB5 34 4 H CRpta.: 37°2. En la figura, a + b = 150°. Halle el valor de x.x α βResoluciónα xA CB PNMα αβDato: a + b = 150°En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple quem M = m APC = aEn la circunferencia menorm APC = m B = aFinalmente en el ABCx = a + bx = 150°Rpta.: 150°3. En el siguiente gráfico, demuestre que el perímetro del triángulo rectángulo sombreado es igual a lalongitud del diámetro de la circunferencia.ORBA CEl perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.ResoluciónR OR BEA CFxcb yxy1.° El perímetro del BAC es igual ab + c + x + y2.° LuegoAE: c + x = R +AF: b + y = REntonces: b + c + x + y = 2RLuego, el perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.Solved problems1. En la figura, si O es centro, OB = 5 y BC = 8;halle el valor de x.xOB CResolución1.° Se traza OH ⊥ BC.Entonces: BH = HC = 42.° BHO resulta aproximado.Entonces: OH = 3x = 37°xOB5 34 4 H CRpta.: 37°2. En la figura, a + b = 150°. Halle el valor de x.x α βResoluciónα xA CB PNMα αβDato: a + b = 150°En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple quem M = m APC = aEn la circunferencia menorm APC = m B = aFinalmente en el ABCx = a + bx = 150°Rpta.: 150°3. En el siguiente gráfico, demuestre que el perímetro del triángulo rectángulo sombreado es igual a lalongitud del diámetro de la circunferencia.ORBA CEl perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.ResoluciónR OR BEA CFxcb yxy1.° El perímetro del BAC es igual ab + c + x + y2.° LuegoAE: c + x = R +AF: b + y = REntonces: b + c + x + y = 2RLuego, el perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.Solved problems1. En la figura, si O es centro, OB = 5 y BC = 8;halle el valor de x.xOB CResolución1.° Se traza OH ⊥ BC.Entonces: BH = HC = 42.° BHO resulta aproximado.Entonces: OH = 3x = 37°xOB5 34 4 H CRpta.: 37°2. En la figura, a + b = 150°. Halle el valor de x.x α βResoluciónα xA CB PNMα αβDato: a + b = 150°En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple quem M = m APC = aEn la circunferencia menorm APC = m B = aFinalmente en el ABCx = a + bx = 150°Rpta.: 150°3. En el siguiente gráfico, demuestre que el perímetro del triángulo rectángulo sombreado es igual a lalongitud del diámetro de la circunferencia.ORBA CEl perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.ResoluciónR OR BEA CFxcb yxy1.° El perímetro del BAC es igual ab + c + x + y2.° LuegoAE: c + x = R +AF: b + y = REntonces: b + c + x + y = 2RLuego, el perímetro del triángulo ABC es igual a 2R.Solved problemsTAREA DOMICILIARIA4. En la figura, halle el valor de x si O es centro de lacircunferencia inscrita.xa Oba+ba+2bResolución1.° Por el teorema de Ponceleta + a + b = a + 2b + 2ba = 3b2.° Por triángulos rectángulos aproximados3b 4b5bxx = 37°Rpta.: 37°5. En la figura, halle el valor de x.A10φ7φ 8φEBDCxResolución1.° En el ABCD10f + 8f = 180° f = 10°2.° En el ∆CDE7f + 8f + x = 180° 150° + x = 180°x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, halle el valor de x si O es centro de lacircunferencia inscrita.xa Oba+ba+2bResolución1.° Por el teorema de Ponceleta + a + b = a + 2b + 2ba = 3b2.° Por triángulos rectángulos aproximados3b 4b5bxx = 37°Rpta.: 37°5. En la figura, halle el valor de x.A10φ7φ 8φEBDCxResolución1.° En el ABCD10f + 8f = 180° f = 10°2.° En el ∆CDE7f + 8f + x = 180° 150° + x = 180°x = 30°Rpta.: 30°

106I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA1. Siendo O y O1 centros de las semicircunferencias, y mAM = mNQ = 60°, halle el valor de x.OPA B QMNO1xA) 30° B) 40°C) 50° D) 60°2. Sean P, Q y T puntos de tangencia. Halle el valor de mBQ+mAT.P ATQBA) 200° B) 160°C) 180° D) 100°Nivel I1. En la figura, NP = 2, PQ = 8 y M es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.RMQON PResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto de tangencia.x4A B CDO2 3ResoluciónHelico trialSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•1. Siendo O y O1 centros de las semicircunferencias, y mAM = mNQ = 60°, halle el valor de x.OPA B QMNO1xA) 30° B) 40°C) 50° D) 60°2. Sean P, Q y T puntos de tangencia. Halle el valor de mBQ+mAT.P ATQBA) 200° B) 160°C) 180° D) 100°Nivel I1. En la figura, NP = 2, PQ = 8 y M es punto de tangencia. Halle el valor de R si, además, O es centro.RMQON PResolución2. Halle el valor de x si O es centro y D es punto de tangencia.x4A B CDO2 3ResoluciónHelico trialSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel II3. En el centro de un césped de forma trapecial isósceles como se muestra en la figura se construye una piscina de forma circular tangente a sus lados. Determine la longitud del radio del contorno de dicha piscina.4 m16 mResolución4. En la figura se observa una bicicleta estacionada en un parque. Si BP = 12 cm, determine la longitud del radio de la rueda delantera si A y B son puntos de tangencia.ABP74°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un cuadrilátero circunscrito, halle el valor de x.x431+3 3ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel II3. En el centro de un césped de forma trapecial isósceles como se muestra en la figura se construye una piscina de forma circular tangente a sus lados. Determine la longitud del radio del contorno de dicha piscina.4 m16 mResolución4. En la figura se observa una bicicleta estacionada en un parque. Si BP = 12 cm, determine la longitud del radio de la rueda delantera si A y B son puntos de tangencia.ABP74°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un cuadrilátero circunscrito, halle el valor de x.x431+3 3ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel II3. En el centro de un césped de forma trapecial isósceles como se muestra en la figura se construye una piscina de forma circular tangente a sus lados. Determine la longitud del radio del contorno de dicha piscina.4 m16 mResolución4. En la figura se observa una bicicleta estacionada en un parque. Si BP = 12 cm, determine la longitud del radio de la rueda delantera si A y B son puntos de tangencia.ABP74°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un cuadrilátero circunscrito, halle el valor de x.x431+3 3ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel II3. En el centro de un césped de forma trapecial isósceles como se muestra en la figura se construye una piscina de forma circular tangente a sus lados. Determine la longitud del radio del contorno de dicha piscina.4 m16 mResolución4. En la figura se observa una bicicleta estacionada en un parque. Si BP = 12 cm, determine la longitud del radio de la rueda delantera si A y B son puntos de tangencia.ABP74°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un cuadrilátero circunscrito, halle el valor de x.x431+3 3ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel III4. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulo si la longitud de un cateto es 21 u y las longitudes de los otros lados se diferencian en 9 u.A) 5 u B) 4 uC) 3 u D) 6 u5 Un protector de ventana de metal tiene la forma que se indica en la figura, donde ABCD es un cuadrado y A, B, C y D son los centros de los cuatro arcos. Determine la longitud total del metal empleado en dicho protector.AB CD2 mA) 6(2 + p) m B) 2(4 + p) mC) 8(1 + p) m D) 4(2 + p) mNivel I1. Sean P, Q y T puntos de tangencia, AB = 30 y BQ = 14. Halle AP.TP QBAA) 12 B) 16C) 15 D) 18Nivel II2. Sea T punto de tangencia y PT = r. Halle el valor de x.OA B PTrxA) 20° B) 30°C) 40° D) 45°3. En la figura, halle el valor de x si O es centro y BC = 2AB = 2BO.A B COxA) 45° B) 60°C) 30° D) 53°Helico homework•6.4. En la figura, halle el valor de x si O es centro de lacircunferencia inscrita.xa Oba+ba+2bResolución1.° Por el teorema de Ponceleta + a + b = a + 2b + 2ba = 3b2.° Por triángulos rectángulos aproximados3b 4b5bxx = 37°Rpta.: 37°5. En la figura, halle el valor de x.A10φ7φ 8φEBDCxResolución1.° En el ABCD10f + 8f = 180° f = 10°2.° En el ∆CDE7f + 8f + x = 180° 150° + x = 180°x = 30°Rpta.: 30°4. En la figura, halle el valor de x si O es centro de lacircunferencia inscrita.xa Oba+ba+2bResolución1.° Por el teorema de Ponceleta + a + b = a + 2b + 2ba = 3b2.° Por triángulos rectángulos aproximados3b 4b5bxx = 37°Rpta.: 37°5. En la figura, halle el valor de x.A10φ7φ 8φEBDCxResolución1.° En el ABCD10f + 8f = 180° f = 10°2.° En el ∆CDE7f + 8f + x = 180° 150° + x = 180°x = 30°Rpta.: 30°PARA EL CUADERNO

4TO DE SECUNDARIA 107 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍANivel III4. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulo si la longitud de un cateto es 21 u y las longitudes de los otros lados se diferencian en 9 u.A) 5 u B) 4 uC) 3 u D) 6 u5 Un protector de ventana de metal tiene la forma que se indica en la figura, donde ABCD es un cuadrado y A, B, C y D son los centros de los cuatro arcos. Determine la longitud total del metal empleado en dicho protector.AB CD2 mA) 6(2 + p) m B) 2(4 + p) mC) 8(1 + p) m D) 4(2 + p) mNivel I1. Sean P, Q y T puntos de tangencia, AB = 30 y BQ = 14. Halle AP.TP QBAA) 12 B) 16C) 15 D) 18Nivel II2. Sea T punto de tangencia y PT = r. Halle el valor de x.OA B PTrxA) 20° B) 30°C) 40° D) 45°3. En la figura, halle el valor de x si O es centro y BC = 2AB = 2BO.A B COxA) 45° B) 60°C) 30° D) 53°Helico homework•7.Nivel III4. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulo si la longitud de un cateto es 21 u y las longitudes de los otros lados se diferencian en 9 u.A) 5 u B) 4 uC) 3 u D) 6 u5 Un protector de ventana de metal tiene la forma que se indica en la figura, donde ABCD es un cuadrado y A, B, C y D son los centros de los cuatro arcos. Determine la longitud total del metal empleado en dicho protector.AB CD2 mA) 6(2 + p) m B) 2(4 + p) mC) 8(1 + p) m D) 4(2 + p) mNivel I1. Sean P, Q y T puntos de tangencia, AB = 30 y BQ = 14. Halle AP.TP QBAA) 12 B) 16C) 15 D) 18Nivel II2. Sea T punto de tangencia y PT = r. Halle el valor de x.OA B PTrxA) 20° B) 30°C) 40° D) 45°3. En la figura, halle el valor de x si O es centro y BC = 2AB = 2BO.A B COxA) 45° B) 60°C) 30° D) 53°Helico homework•Nivel III4. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulo si la longitud de un cateto es 21 u y las longitudes de los otros lados se diferencian en 9 u.A) 5 u B) 4 uC) 3 u D) 6 u5 Un protector de ventana de metal tiene la forma que se indica en la figura, donde ABCD es un cuadrado y A, B, C y D son los centros de los cuatro arcos. Determine la longitud total del metal empleado en dicho protector.AB CD2 mA) 6(2 + p) m B) 2(4 + p) mC) 8(1 + p) m D) 4(2 + p) mNivel I1. Sean P, Q y T puntos de tangencia, AB = 30 y BQ = 14. Halle AP.TP QBAA) 12 B) 16C) 15 D) 18Nivel II2. Sea T punto de tangencia y PT = r. Halle el valor de x.OA B PTrxA) 20° B) 30°C) 40° D) 45°3. En la figura, halle el valor de x si O es centro y BC = 2AB = 2BO.A B COxA) 45° B) 60°C) 30° D) 53°Helico homework•Nivel III4. Halle el valor del inradio de un triángulo rectángulo si la longitud de un cateto es 21 u y las longitudes de los otros lados se diferencian en 9 u.A) 5 u B) 4 uC) 3 u D) 6 u5 Un protector de ventana de metal tiene la forma que se indica en la figura, donde ABCD es un cuadrado y A, B, C y D son los centros de los cuatro arcos. Determine la longitud total del metal empleado en dicho protector.AB CD2 mA) 6(2 + p) m B) 2(4 + p) mC) 8(1 + p) m D) 4(2 + p) mNivel I1. Sean P, Q y T puntos de tangencia, AB = 30 y BQ = 14. Halle AP.TP QBAA) 12 B) 16C) 15 D) 18Nivel II2. Sea T punto de tangencia y PT = r. Halle el valor de x.OA B PTrxA) 20° B) 30°C) 40° D) 45°3. En la figura, halle el valor de x si O es centro y BC = 2AB = 2BO.A B COxA) 45° B) 60°C) 30° D) 53°Helico homework•8.9.10.

108I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAPuntos notables asociados al triánguloOrtocentro (H)Es el punto donde concurren las tres alturas de un triángulo. El ortocentro está ubicado en el interior de un triángulo acutángulo, en el exterior de un triángulo obtusángulo y en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo.a. Triángulo acutánguloHR PBA Q CH: ortocentrob. Triángulo obtusánguloAPBHRS CH: ortocentroc. Triángulo rectánguloA PHCH: ortocentro Baricentro (G)Es el punto donde concurren las tres medianas de una región triangular.aabbA c N cGL MBCG: baricentroSe cumple queAG = 2GMBG = 2GNCG = 2GLIncentro (I)Es el punto donde concurren las tres bisectrices interiores, de un triángulo.El incentro es el centro de la circunferencia inscrita y equidista de los lados del triángulo.θ θr LIMA N CBαα ββM, N y L: puntos de tangenciaTeoremaxθABICI: incentroTheoryPUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO02

4TO DE SECUNDARIA 109 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍASe cumple que: x = 90° + q2Excentro (E)Es el punto donde concurren las bisectrices de dos ángulos exteriores de un triángulo y la bisectriz del tercer ángulo interior.El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita y equidista de los lados del triángulo.Todo triángulo tiene tres excentros.A C NBMEa raLαβ θ βθααEa: excentro relativo a BCra: exradio* M, N y L: puntos de tangenciaTeoremasxBEA CθxBEA CαE: excentro relativo a BC E: excentro relativo a BCSe cumple que: x = 90°– q2 Se cumple que: x = a2Circuncentro (O)Es el punto donde concurren las mediatrices de los tres lados de un triángulo.El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y equidista de los vértices del triángulo.El circuncentro está ubicado en el interior de un triángulo acutángulo, en el exterior de un triángulo obtusángulo y en el punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.a. Triángulo acutánguloO: circuncentroR: circunradiomAOC = 2(mB)OR RRn mα2αn mA l l CBb. Triángulo obtusánguloORA CBO: circuncentroR: circunradioc. Triángulo rectánguloORA CBO: circuncentroR: circunradioEn una región triangular rectangularB: ortocentroG: baricentroO: circuncentro3x 3xGABO C2xx

110I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°PracticeAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°PracticeTRABAJO EN CLASEDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.A2x3xCxBIResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C50°70°B2xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,mABC = x y mOAC = 30°. Halle el valor de x.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro equidista de los lados de untriángulo. ( ) ¾ En todo triángulo, el ortocentro es siempre unpunto interno a él. ( )¾ En todo triángulo rectángulo, el circuncentropertenece al triángulo. ( )¾ En todo triángulo, el incentro y el baricentrosiempre son interiores. ( )¾ Si en un triángulo una mediana es dividida porun punto en la razón de 1 a 2, entonces dichopunto es el baricentro del triángulo. ( )ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.A2x3xCxBIResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C50°70°B2xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,mABC = x y mOAC = 30°. Halle el valor de x.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro equidista de los lados de untriángulo. ( ) ¾ En todo triángulo, el ortocentro es siempre unpunto interno a él. ( )¾ En todo triángulo rectángulo, el circuncentropertenece al triángulo. ( )¾ En todo triángulo, el incentro y el baricentrosiempre son interiores. ( )¾ Si en un triángulo una mediana es dividida porun punto en la razón de 1 a 2, entonces dichopunto es el baricentro del triángulo. ( )Resolución

4TO DE SECUNDARIA 111 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H,mAHB = 7x y mHAC = 2x, halle el valor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro. Halle el valor de x.A12 2x70°40°GCBResoluciónEn la figura se muestran tres edificios ubicados en los puntos A, B y C. Se desea ubicar una estación de bomberos tal que se encuentre a igual distancia de los tres edificios. Determine la distancia de dicha estación a cada edificio.A60 m80 mCBResoluciónSCOREWorkshop8.7.Aplico lo aprendido1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H,mAHB = 7x y mHAC = 2x, halle el valor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro. Halle el valor de x.A12 2x70°40°GCBResoluciónEn la figura se muestran tres edificios ubicados en los puntos A, B y C. Se desea ubicar una estación de bomberos tal que se encuentre a igual distancia de los tres edificios. Determine la distancia de dicha estación a cada edificio.A60 m80 mCBResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H,mAHB = 7x y mHAC = 2x, halle el valor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro. Halle el valor de x.A12 2x70°40°GCBResoluciónEn la figura se muestran tres edificios ubicados en los puntos A, B y C. Se desea ubicar una estación de bomberos tal que se encuentre a igual distancia de los tres edificios. Determine la distancia de dicha estación a cada edificio.A60 m80 mCBResoluciónSCOREWorkshopDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.A2x3xCxBIResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C50°70°B2xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,mABC = x y mOAC = 30°. Halle el valor de x.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro equidista de los lados de untriángulo. ( ) ¾ En todo triángulo, el ortocentro es siempre unpunto interno a él. ( )¾ En todo triángulo rectángulo, el circuncentropertenece al triángulo. ( )¾ En todo triángulo, el incentro y el baricentrosiempre son interiores. ( )¾ Si en un triángulo una mediana es dividida porun punto en la razón de 1 a 2, entonces dichopunto es el baricentro del triángulo. ( )ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.A2x3xCxBIResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C50°70°B2xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,mABC = x y mOAC = 30°. Halle el valor de x.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro equidista de los lados de untriángulo. ( ) ¾ En todo triángulo, el ortocentro es siempre unpunto interno a él. ( )¾ En todo triángulo rectángulo, el circuncentropertenece al triángulo. ( )¾ En todo triángulo, el incentro y el baricentrosiempre son interiores. ( )¾ Si en un triángulo una mediana es dividida porun punto en la razón de 1 a 2, entonces dichopunto es el baricentro del triángulo. ( )Resolución

112I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H,mAHB = 7x y mHAC = 2x, halle el valor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro. Halle el valor de x.A12 2x70°40°GCBResoluciónEn la figura se muestran tres edificios ubicados en los puntos A, B y C. Se desea ubicar una estación de bomberos tal que se encuentre a igual distancia de los tres edificios. Determine la distancia de dicha estación a cada edificio.A60 m80 mCBResoluciónSCOREWorkshopDemuestro mis conocimientos3. En la figura, calcule a + b + f si I es incentro deltriángulo ABC.A CBIαβφResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C60°B 2x3xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,la mABC = 80°. Halle mOAC.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro es el punto de concurrencia delas mediatrices de un triángulo. ( )¾ El ortocentro es el punto de concurrencia de lasalturas de un triángulo. ( )¾ El baricentro es el punto de concurrencia de lasmedianas de un triángulo. ( )¾ El incentro es el punto de concurrencia de lasbisectrices interiores de un triángulo. ( )¾ El excentro es el punto de concurrencia de dosbisectrices exteriores de un triángulo. ( )ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, calcule a + b + f si I es incentro deltriángulo ABC.A CBIαβφResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C60°B 2x3xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,la mABC = 80°. Halle mOAC.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro es el punto de concurrencia delas mediatrices de un triángulo. ( )¾ El ortocentro es el punto de concurrencia de lasalturas de un triángulo. ( )¾ El baricentro es el punto de concurrencia de lasmedianas de un triángulo. ( )¾ El incentro es el punto de concurrencia de lasbisectrices interiores de un triángulo. ( )¾ El excentro es el punto de concurrencia de dosbisectrices exteriores de un triángulo. ( )ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, calcule a + b + f si I es incentro deltriángulo ABC.A CBIαβφResolución4. En la figura, halle el valor de x si E es excentro deltriángulo ABC.C60°B 2x3xEAResolución5. En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O,la mABC = 80°. Halle mOAC.ResoluciónAsumo mi reto6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta.¾ El circuncentro es el punto de concurrencia delas mediatrices de un triángulo. ( )¾ El ortocentro es el punto de concurrencia de lasalturas de un triángulo. ( )¾ El baricentro es el punto de concurrencia de lasmedianas de un triángulo. ( )¾ El incentro es el punto de concurrencia de lasbisectrices interiores de un triángulo. ( )¾ El excentro es el punto de concurrencia de dosbisectrices exteriores de un triángulo. ( )Resolución10.9. 11.12.

4TO DE SECUNDARIA 113 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍAAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°PracticeAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°PracticeAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°Practice1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problems1. Si H es ortocentro del triángulo ABC, HD = HE yBE = EC, halle el valor de x.A DBH 3xCE4xResoluciónA DBH 3x5x5x4xCE4xaa abb1.° Se completa la altura.2.° Se traza la mediana DE.Entonces: DE = BE = EC3.° 5x + 4x = 90°\\ x = 10°Rpta.: 10°2. Si G es baricentro de la región triangular ABC,BG = 6, AG = 4 y AC = 10; halle el valor de x.xABCGResoluciónxA463BM CG5 51.° Aplicamos el teorema del baricentro.EntoncesGM = BG2 = 62 = 32.° AGM resulta aproximado, entonces x=37°.Rpta.: 37°3. Halle la longitud del inradio del triángulo rectánguloABC si BD es ceviana y, además, BE – FD = 8 u.A QFD HP EBCResoluciónA QFDHPx xx + nn + yaanmmyyEBCDato: x – y = 8 ... (I)Si r es la longitud del inradio del ABC, por el teorema de Poncelet tenemos(a+x)+(x+n+m) = (a+n+y+y+m)+2r 2x = 2y + 2rr = x – y ... (II)De (I) y (II): r = 8 uRpta.: 8 uSolved problemsTAREA DOMICILIARIA

114I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍANivel I1. En la figura, halle el valor de x si H es ortocentro del triángulo ABC.A C40°BHxA) 20° B) 30°C) 40° D) 50°Nivel II2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BE. Si BG = 12, halle BE.A) 12 B) 10C) 18 D) 203. En un triángulo ABC, de incentro I, mBAI = 30° y mIBC = 40°. Halle mICA.A) 10° B) 20°C) 30° D) 15°Nivel III4. En un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 12, halle la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triángulo.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En la figura se muestra un patio cuyo contorno es el triángulo ABC y está dividido en dos partes por el segmento BD. Si I1 e I2 son incentros de los triángulos ABD y BDC, halle el valor de x.AxCBDI1 I2A) 20° B) 40°C) 90° D) 120°Nivel III5. En la figura se muestra una mesa cuyo contorno es el triángulo ABC. Si AB = 90 cm, BC = 120 cm y AC = 150 cm, halle el valor de x. ABCxx xIHelico homeworkResolución•Nivel I1. En la figura, halle el valor de x si H es ortocentro del triángulo ABC.A C40°BHxA) 20° B) 30°C) 40° D) 50°Nivel II2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BE. Si BG = 12, halle BE.A) 12 B) 10C) 18 D) 203. En un triángulo ABC, de incentro I, mBAI = 30° y mIBC = 40°. Halle mICA.A) 10° B) 20°C) 30° D) 15°Nivel III4. En un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 12, halle la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triángulo.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En la figura se muestra un patio cuyo contorno es el triángulo ABC y está dividido en dos partes por el segmento BD. Si I1 e I2 son incentros de los triángulos ABD y BDC, halle el valor de x.AxCBDI1 I2A) 20° B) 40°C) 90° D) 120°Nivel III5. En la figura se muestra una mesa cuyo contorno es el triángulo ABC. Si AB = 90 cm, BC = 120 cm y AC = 150 cm, halle el valor de x. ABCxx xIHelico homeworkResolución•Nivel I1. En la figura, halle el valor de x si H es ortocentro del triángulo ABC.A C40°BHxA) 20° B) 30°C) 40° D) 50°Nivel II2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BE. Si BG = 12, halle BE.A) 12 B) 10C) 18 D) 203. En un triángulo ABC, de incentro I, mBAI = 30° y mIBC = 40°. Halle mICA.A) 10° B) 20°C) 30° D) 15°Nivel III4. En un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 12, halle la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triángulo.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En la figura se muestra un patio cuyo contorno es el triángulo ABC y está dividido en dos partes por el segmento BD. Si I1 e I2 son incentros de los triángulos ABD y BDC, halle el valor de x.AxCBDI1 I2A) 20° B) 40°C) 90° D) 120°Nivel III5. En la figura se muestra una mesa cuyo contorno es el triángulo ABC. Si AB = 90 cm, BC = 120 cm y AC = 150 cm, halle el valor de x. ABCxx xIHelico homeworkResolución•Nivel I1. En la figura, halle el valor de x si H es ortocentro del triángulo ABC.A C40°BHxA) 20° B) 30°C) 40° D) 50°Nivel II2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BE. Si BG = 12, halle BE.A) 12 B) 10C) 18 D) 203. En un triángulo ABC, de incentro I, mBAI = 30° y mIBC = 40°. Halle mICA.A) 10° B) 20°C) 30° D) 15°Nivel III4. En un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 12, halle la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triángulo.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En la figura se muestra un patio cuyo contorno es el triángulo ABC y está dividido en dos partes por el segmento BD. Si I1 e I2 son incentros de los triángulos ABD y BDC, halle el valor de x.AxCBDI1 I2A) 20° B) 40°C) 90° D) 120°Nivel III5. En la figura se muestra una mesa cuyo contorno es el triángulo ABC. Si AB = 90 cm, BC = 120 cm y AC = 150 cm, halle el valor de x. ABCxx xIHelico homeworkResolución•Nivel I1. En la figura, halle el valor de x si H es ortocentro del triángulo ABC.A C40°BHxA) 20° B) 30°C) 40° D) 50°Nivel II2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BE. Si BG = 12, halle BE.A) 12 B) 10C) 18 D) 203. En un triángulo ABC, de incentro I, mBAI = 30° y mIBC = 40°. Halle mICA.A) 10° B) 20°C) 30° D) 15°Nivel III4. En un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 12, halle la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triángulo.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En la figura se muestra un patio cuyo contorno es el triángulo ABC y está dividido en dos partes por el segmento BD. Si I1 e I2 son incentros de los triángulos ABD y BDC, halle el valor de x.AxCBDI1 I2A) 20° B) 40°C) 90° D) 120°Nivel III5. En la figura se muestra una mesa cuyo contorno es el triángulo ABC. Si AB = 90 cm, BC = 120 cm y AC = 150 cm, halle el valor de x. ABCxx xIHelico homeworkResolución•Nivel I1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H, mABH = 35°. Halle mHCA.Resolución2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BM. Si BG=10, halle BM.ResoluciónNivel II3. En un triángulo ABC, de incentro I, mABI = 40° y mBCI = 30°, halle mAIB.Resolución4. Relacione correctamente según corresponda.a. Ortocentro ( ) Concurrencia de medianasb. Circuncentro ( ) Concurrencia de alturasc. Baricentro ( ) Concurrencia de bisectrices interioresd. Excentro ( ) Concurrencia de bisectrices exteriorese. Incentro ( ) Concurrencia de mediatricesResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H, mABH = 35°. Halle mHCA.Resolución2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BM. Si BG=10, halle BM.ResoluciónNivel II3. En un triángulo ABC, de incentro I, mABI = 40° y mBCI = 30°, halle mAIB.Resolución4. Relacione correctamente según corresponda.a. Ortocentro ( ) Concurrencia de medianasb. Circuncentro ( ) Concurrencia de alturasc. Baricentro ( ) Concurrencia de bisectrices interioresd. Excentro ( ) Concurrencia de bisectrices exteriorese. Incentro ( ) Concurrencia de mediatricesResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H, mABH = 35°. Halle mHCA.Resolución2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BM. Si BG=10, halle BM.ResoluciónNivel II3. En un triángulo ABC, de incentro I, mABI = 40° y mBCI = 30°, halle mAIB.Resolución4. Relacione correctamente según corresponda.a. Ortocentro ( ) Concurrencia de medianasb. Circuncentro ( ) Concurrencia de alturasc. Baricentro ( ) Concurrencia de bisectrices interioresd. Excentro ( ) Concurrencia de bisectrices exteriorese. Incentro ( ) Concurrencia de mediatricesResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro H, mABH = 35°. Halle mHCA.Resolución2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BM. Si BG=10, halle BM.ResoluciónNivel II3. En un triángulo ABC, de incentro I, mABI = 40° y mBCI = 30°, halle mAIB.Resolución4. Relacione correctamente según corresponda.a. Ortocentro ( ) Concurrencia de medianasb. Circuncentro ( ) Concurrencia de alturasc. Baricentro ( ) Concurrencia de bisectrices interioresd. Excentro ( ) Concurrencia de bisectrices exteriorese. Incentro ( ) Concurrencia de mediatricesResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En la figura, halle el valor de x si H es ortocentro del triángulo ABC.A C40°BHxA) 20° B) 30°C) 40° D) 50°Nivel II2. En una región triangular ABC, de baricentro G, se traza la mediana BE. Si BG = 12, halle BE.A) 12 B) 10C) 18 D) 203. En un triángulo ABC, de incentro I, mBAI = 30° y mIBC = 40°. Halle mICA.A) 10° B) 20°C) 30° D) 15°Nivel III4. En un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 12, halle la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triángulo.A) 1 B) 2C) 3 D) 45. En la figura se muestra un patio cuyo contorno es el triángulo ABC y está dividido en dos partes por el segmento BD. Si I1 e I2 son incentros de los triángulos ABD y BDC, halle el valor de x.AxCBDI1 I2A) 20° B) 40°C) 90° D) 120°Nivel III5. En la figura se muestra una mesa cuyo contorno es el triángulo ABC. Si AB = 90 cm, BC = 120 cm y AC = 150 cm, halle el valor de x. ABCxx xIHelico homeworkResolución•8.6.9.7.10.PARA EL CUADERNOAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°PracticeAplico lo aprendido1. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentroH. Si la mBHC = 9x y mHCA = 3x, halle elvalor de x.Resolución2. En la región triangular ABC mostrada, G es baricentro.Halle el valor de x.A3n2n4xxGCBResolución4. En la figura, halle el valor de x si I es incentro deltriángulo ABC.ABCI120°2x xResoluciónABCI120°2x2xxxSi I es incentro, entonces AI y CI son bisectricesABC: 4x + 2x + 120° = 180°6x = 60° → x = 10°Rpta.: 10°5. En la figura, halle el valor de x si G es baricentro deltriángulo ABC.ABCG8x2x2n3nResoluciónABP CG8x 8x2x2nn3nABP: isósceles8x +8x + 2x = 180° 18x = 180°x = 10°Rpta.: 10°Practice

4TO DE SECUNDARIA 115 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍASegmentos proporcionalesDefiniciónSe denomina razón de dos segmentos al cociente de las longitudes de los segmentos expresados en la misma unidad4 mA B6 mC DEn la figura se tiene: ABCD = 46 = 23La razón de AB y CD es 23.Segmentos proporcionalesDos segmentos son proporcionales a otros dos, si tienen la misma razón.4 mA B6 mC D8 mM N12 mP QEn la figura ABCD = 46 = 23 yMNPQ = 812 = 23entonces, AB y CD son proporcionales a MN y PQ, entonces, ABCD = MNPQNoteLas cantidades son directamente proporcionales cuando la variación de una de ellas origina la variación del mismo orden y sentido de la otra, además si a es directamente proporcional a b, entonces a = kb, donde k se denomina constante de proporcionalidad.Teorema de TalesTres o más paralelas determinan sobre dos o más secantes segmentos proporcionales.A L1L2L3am nb yxBCDEFRAZÓN DE LOS SEGMENTOSEn la figura, las rectas L1 , L2 y L3 son paralelas y las rectas m y n son secantes, luego se cumple queABBCDEEF = o abxy =CorolarioToda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos o a sus prolongaciones, lo divide en partes directamente proporcionales.BM Nay bxA CAPBQab yxCSi PQ//AC, se cumplequeSi AC//MN, se cumplequeabxy =abxy =Teorema de la bisectriz interiorEn todo triángulo, una bisectriz interior divide internamente al lado al cual es relativo en segmentos proporcionales a los adyacentes a dicha bisectriz.θ θABD Cm na bSe cumple que ABBCADDC = o abmn =03Theory

116I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAL con AB, BC y la prolongación de AC, respectivamente, luego según el teorema se cumplirá que(AP)(BQ)(CR) = (PB)(QC)(AR)abc = mnlTeorema de CevaTres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de las longitudes de tres de ellos y considerados en forma no consecutiva, es igual al producto de las longitudes de los tres restantes.Sean las cevianas concurrentes AN, BL y CM trazadas en el triángulo ABC, entonces se verificará la siguiente relación:A L CM NBaml cnbabc = mnlDid you know...?Si en un problema dado se mencionan tres cevianas concurrentes, entonces es probable que su resolución sea a partir del teorema de Ceva.Observationββ θ θA CEBDxa b yA, E, C y D son puntos armónicos.Se demuestra que= AEECADCD =abxy oTeorema de la bisectriz exteriorEn todo triángulo, una bisectriz exterior divide externamente al lado al cual es relativa en segmentos proporcionales a los adyacentes.ββA CBDb anmSe cumple queABBCADDC = o abmn =Teorema del incentroEn todo triángulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dos segmentos que son proporcionales a la suma de longitudes de dos lados adyacentes y a la longitud del lado al cual es relativa dicha bisectriz.α αAIxyCDBcbaSi I es incentro del triángulo ABC, se cumple queBIIDAB + BCAC = oxyc + ab =Teorema de MenelaoToda recta secante a un triángulo divide internamente a dos lados y externamente al tercero, determina en dicho triángulo seis segmentos, cumpliéndose que el producto de las longitudes de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes.A CRLQPBaml cnbEn la figura, la línea L es una recta secante al triángulo ABC donde P, Q y R son los puntos de intersección de

4TO DE SECUNDARIA 117 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 4 54 x – 4L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.65x10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 12 y AC = 10. Luego se traza la bisectriz interior BD. Halle AD.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 4 y AC = 3.Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen E. Halle CE.ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 4 54 x – 4L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.65x10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 12 y AC = 10. Luego se traza la bisectriz interior BD. Halle AD.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 4 y AC = 3.Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen E. Halle CE.ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 4 54 x – 4L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.65x10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 12 y AC = 10. Luego se traza la bisectriz interior BD. Halle AD.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 4 y AC = 3.Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen E. Halle CE.ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 4 54 x – 4L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.65x10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 12 y AC = 10. Luego se traza la bisectriz interior BD. Halle AD.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 4 y AC = 3.Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen E. Halle CE.ResoluciónPracticeTRABAJO EN CLASE5. En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores AD, BE y CF, las cuales se intersecan enun punto. Si AF = 2, FB = 4, BD = DC = 3 yEC – AE = 2, halle mABC.ResoluciónAsumo mi reto6. En la figura se observa una torre de alta tensión demanera que las barras metálicas AD, BE y CF sonparalelas, 2DE = 3EF; AB = 12. Determine BC.AB DEFCResoluciónEn la figura se muestra el piso de una piscina donde en el punto I se encuentra el punto de succión del agua, el cual equidista de las paredes de la piscina. Determine la distancia de I a B si BD = 6 m.A6 m 8 mID CB7 mResolución

118I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAAsumo mi reto5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan las cevianas interiores AD, BE y CF, las cuales se intersecan en un punto. Si AF = 4, FB = 2,BD = 3 y AE = 2EC, halle mBAC.Resolución6. En la figura se observa una torre de alta tensión demanera que las barras metálicas AD, BE y CF sonparalelas, BC=AB + 1; DE = 6 y EF = 8. Determine AB.AB DEFCResoluciónEn la figura se muestra el piso de una piscina donde en el punto I se encuentra el punto de succión del agua, el cual equidista de las paredes de la piscina. Determine la distancia de I a B si BD=10 m.15 m 12 mIBA D C18 mResoluciónAsumo mi reto5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan las cevianas interiores AD, BE y CF, las cuales se intersecan en un punto. Si AF = 4, FB = 2,BD = 3 y AE = 2EC, halle mBAC.Resolución6. En la figura se observa una torre de alta tensión demanera que las barras metálicas AD, BE y CF sonparalelas, BC=AB + 1; DE = 6 y EF = 8. Determine AB.AB DEFCResoluciónEn la figura se muestra el piso de una piscina donde en el punto I se encuentra el punto de succión del agua, el cual equidista de las paredes de la piscina. Determine la distancia de I a B si BD=10 m.15 m 12 mIBA D C18 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 3 85 x – 3L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.34x6ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo PQR, PQ=15, QR=10 y PR=20.Luego se traza la bisectriz interior QS. Halle SR.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 18, BC = 12 y AC = 9. Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen F. Halle CF.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 3 85 x – 3L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.34x6ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo PQR, PQ=15, QR=10 y PR=20.Luego se traza la bisectriz interior QS. Halle SR.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 18, BC = 12 y AC = 9. Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen F. Halle CF.ResoluciónSCOREWorkshop8.9.7.

4TO DE SECUNDARIA 119 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍAAsumo mi reto5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan las cevianas interiores AD, BE y CF, las cuales se intersecan en un punto. Si AF = 4, FB = 2,BD = 3 y AE = 2EC, halle mBAC.Resolución6. En la figura se observa una torre de alta tensión demanera que las barras metálicas AD, BE y CF sonparalelas, BC=AB + 1; DE = 6 y EF = 8. Determine AB.AB DEFCResoluciónEn la figura se muestra el piso de una piscina donde en el punto I se encuentra el punto de succión del agua, el cual equidista de las paredes de la piscina. Determine la distancia de I a B si BD=10 m.15 m 12 mIBA D C18 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 3 85 x – 3L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.34x6ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo PQR, PQ=15, QR=10 y PR=20.Luego se traza la bisectriz interior QS. Halle SR.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 18, BC = 12 y AC = 9. Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen F. Halle CF.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .x + 3 85 x – 3L3L2L1Resolución2. En la figura, halle el valor de x.34x6ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo PQR, PQ=15, QR=10 y PR=20.Luego se traza la bisectriz interior QS. Halle SR.Resolución4. En un triángulo ABC, AB = 18, BC = 12 y AC = 9. Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo exterior en B, la cual interseca a la prolongación de ACen F. Halle CF.ResoluciónSCOREWorkshop10.11.12.TAREA DOMICILIARIA1. En la figura, halle el valor de x.63x x10Resolución6BA 3 a Cx x101.° Aplicamos el teorema de la bisectriz interior63 = 10a→ a = 52.° El triángulo BAC resulta aproximado de 37° y 53°.→ 2x = 53°x = 53°/22xBA C10 68Rpta.: 53°/22. En la figura mostrada, m // n // L y AB//CD.Halle el valor de x.ACEx B32xx + 1mn9 D LResoluciónACEx B32xx + 1mabn9 D LDe: m // n // L y Por el teorema de Talesab = x + 12x ...(I)Si AB//CDTambién: ab = 93x ...(II)Reemplazando (II) en (I)93x = x + 12x→ x + 1 = 6\\ x = 5Rpta.: 53. En la figura mostrada, EB//CD, AB = 11, BC = 7,AE = EF y BP = 14. Halle PF.A ED FPBCResoluciónA Eθ θD FPB71114Ca aa−nnxPor el teorema de Tales en el triángulo ACD117 = an ...(I)Por el mismo teorema en el triángulo EBFx14 = a – nn→x14 + 1 = an ...(II)De (I) y (II)117 = x14 + 1 → x = 8\\ PF = 8Rpta.: 8Solved problems1. En la figura, halle el valor de x.63x x10Resolución6BA 3 a Cx x101.° Aplicamos el teorema de la bisectriz interior63 = 10a→ a = 52.° El triángulo BAC resulta aproximado de 37° y 53°.→ 2x = 53°x = 53°/22xBA C10 68Rpta.: 53°/22. En la figura mostrada, m // n // L y AB//CD.Halle el valor de x.ACEx B32xx + 1mn9 D LResoluciónACEx B32xx + 1mabn9 D LDe: m // n // L y Por el teorema de Talesab = x + 12x ...(I)Si AB//CDTambién: ab = 93x ...(II)Reemplazando (II) en (I)93x = x + 12x→ x + 1 = 6\\ x = 5Rpta.: 53. En la figura mostrada, EB//CD, AB = 11, BC = 7,AE = EF y BP = 14. Halle PF.A ED FPBCResoluciónA Eθ θD FPB71114Ca aa−nnxPor el teorema de Tales en el triángulo ACD117 = an ...(I)Por el mismo teorema en el triángulo EBFx14 = a – nn→x14 + 1 = an ...(II)De (I) y (II)117 = x14 + 1 → x = 8\\ PF = 8Rpta.: 8Solved problems1. En la figura, halle el valor de x.63x x10Resolución6BA 3 a Cx x101.° Aplicamos el teorema de la bisectriz interior63 = 10a→ a = 52.° El triángulo BAC resulta aproximado de 37° y 53°.→ 2x = 53°x = 53°/22xBA C10 68Rpta.: 53°/22. En la figura mostrada, m // n // L y AB//CD.Halle el valor de x.ACEx B32xx + 1mn9 D LResoluciónACEx B32xx + 1mabn9 D LDe: m // n // L y Por el teorema de Talesab = x + 12x ...(I)Si AB//CDTambién: ab = 93x ...(II)Reemplazando (II) en (I)93x = x + 12x→ x + 1 = 6\\ x = 5Rpta.: 53. En la figura mostrada, EB//CD, AB = 11, BC = 7,AE = EF y BP = 14. Halle PF.A ED FPBCResoluciónA Eθ θD FPB71114Ca aa−nnxPor el teorema de Tales en el triángulo ACD117 = an ...(I)Por el mismo teorema en el triángulo EBFx14 = a – nn→x14 + 1 = an ...(II)De (I) y (II)117 = x14 + 1 → x = 8\\ PF = 8Rpta.: 8Solved problems1. En la figura, halle el valor de x.63x x10Resolución6BA 3 a Cx x101.° Aplicamos el teorema de la bisectriz interior63 = 10a→ a = 52.° El triángulo BAC resulta aproximado de 37° y 53°.→ 2x = 53°x = 53°/22xBA C10 68Rpta.: 53°/22. En la figura mostrada, m // n // L y AB//CD.Halle el valor de x.ACEx B32xx + 1mn9 D LResoluciónACEx B32xx + 1mabn9 D LDe: m // n // L y Por el teorema de Talesab = x + 12x ...(I)Si AB//CDTambién: ab = 93x ...(II)Reemplazando (II) en (I)93x = x + 12x→ x + 1 = 6\\ x = 5Rpta.: 53. En la figura mostrada, EB//CD, AB = 11, BC = 7,AE = EF y BP = 14. Halle PF.A ED FPBCResoluciónA Eθ θD FPB71114Ca aa−nnxPor el teorema de Tales en el triángulo ACD117 = an ...(I)Por el mismo teorema en el triángulo EBFx14 = a – nn→x14 + 1 = an ...(II)De (I) y (II)117 = x14 + 1 → x = 8\\ PF = 8Rpta.: 8Solved problems

120I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA1. En la figura, AE = 2EC y BT = 4. Halle TC. (O es centro y T es punto de tangencia).AOETBCA) 6 B) 8C) 4 D) 9Nivel I1. Halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .AB8C FE245 x+9D L1L2L3Resolución2. En la figura, AC = 2a. Halle AE.A EP Q θθBCA) 3a2 B) a2C) a 2 D) a2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD tal que AD = 3 y DC = 4. Halle mBCD.ResoluciónHelico trialHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY1. En la figura, AE = 2EC y BT = 4. Halle TC. (O es centro y T es punto de tangencia).AOETBCA) 6 B) 8C) 4 D) 9Nivel I1. Halle el valor de x si L1 //L2 //L3 .AB8C FE245 x+9D L1L2L3Resolución2. En la figura, AC = 2a. Halle AE.A EP Q θθBCA) 3a2 B) a2C) a 2 D) a2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD tal que AD = 3 y DC = 4. Halle mBCD.ResoluciónHelico trialHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel II3. Halle DE si ADEF es un rombo.A FBCED463Resolución4. Una servilleta tiene forma triangular ABC donde AB = 6; BC = 8 y AC = 7, tal que al doblar la servilleta el lado AB queda contenida en BC generándose el doblez BM. Determine MA.AC CAMB BResoluciónNivel III5. En la figura se muestra una repisa triangular equilátera, la cual se desea dividir en dos partes por una tabla cuyos extremos son M y N, paralela a la base AC y que pasa por el baricentro de la región triangular ABC. Si BN = 18 cm, determine NC.AM NBCResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•4. En la figura, halle el valor de x.ααβ βxx94ResoluciónPor teorema de la bisectriz interiorα αa bm nmnab =Según la gráficaααβ βxx94a bx9 = ab .... (1)4x = ab .... (2)Comparando (1) y (2)x9 = 4xx = 6Rpta.: 65. En la figura, halle el valor de x.8 xxx 24ResoluciónPor teorema de Cevan bcapma·b·c = m·n·pSegún la gráficax·x·x = 2·4·8x3 = 64 x = 4Rpta.: 44. En la figura, halle el valor de x.ααβ βxx94ResoluciónPor teorema de la bisectriz interiorα αa bm nmnab =Según la gráficaααβ βxx94a bx9 = ab .... (1)4x = ab .... (2)Comparando (1) y (2)x9 = 4xx = 6Rpta.: 65. En la figura, halle el valor de x.8 xxx 24ResoluciónPor teorema de Cevan bcapma·b·c = m·n·pSegún la gráficax·x·x = 2·4·8x3 = 64 x = 4Rpta.: 44. En la figura, halle el valor de x.ααβ βxx94ResoluciónPor teorema de la bisectriz interiorα αa bm nmnab =Según la gráficaααβ βxx94a bx9 = ab .... (1)4x = ab .... (2)Comparando (1) y (2)x9 = 4xx = 6Rpta.: 65. En la figura, halle el valor de x.8 xxx 24ResoluciónPor teorema de Cevan bcapma·b·c = m·n·pSegún la gráficax·x·x = 2·4·8x3 = 64 x = 4Rpta.: 44. En la figura, halle el valor de x.ααβ βxx94ResoluciónPor teorema de la bisectriz interiorα αa bm nmnab =Según la gráficaααβ βxx94a bx9 = ab .... (1)4x = ab .... (2)Comparando (1) y (2)x9 = 4xx = 6Rpta.: 65. En la figura, halle el valor de x.8 xxx 24ResoluciónPor teorema de Cevan bcapma·b·c = m·n·pSegún la gráficax·x·x = 2·4·8x3 = 64 x = 4Rpta.: 41. En la figura, halle el valor de x.63x x10Resolución6BA 3 a Cx x101.° Aplicamos el teorema de la bisectriz interior63 = 10a→ a = 52.° El triángulo BAC resulta aproximado de 37° y 53°.→ 2x = 53°x = 53°/22xBA C10 68Rpta.: 53°/22. En la figura mostrada, m // n // L y AB//CD.Halle el valor de x.ACEx B32xx + 1mn9 D LResoluciónACEx B32xx + 1mabn9 D LDe: m // n // L y Por el teorema de Talesab = x + 12x ...(I)Si AB//CDTambién: ab = 93x ...(II)Reemplazando (II) en (I)93x = x + 12x→ x + 1 = 6\\ x = 5Rpta.: 53. En la figura mostrada, EB//CD, AB = 11, BC = 7,AE = EF y BP = 14. Halle PF.A ED FPBCResoluciónA Eθ θD FPB71114Ca aa−nnxPor el teorema de Tales en el triángulo ACD117 = an ...(I)Por el mismo teorema en el triángulo EBFx14 = a – nn→x14 + 1 = an ...(II)De (I) y (II)117 = x14 + 1 → x = 8\\ PF = 8Rpta.: 8Solved problems1. En la figura, halle el valor de x.63x x10Resolución6BA 3 a Cx x101.° Aplicamos el teorema de la bisectriz interior63 = 10a→ a = 52.° El triángulo BAC resulta aproximado de 37° y 53°.→ 2x = 53°x = 53°/22xBA C10 68Rpta.: 53°/22. En la figura mostrada, m // n // L y AB//CD.Halle el valor de x.ACEx B32xx + 1mn9 D LResoluciónACEx B32xx + 1mabn9 D LDe: m // n // L y Por el teorema de Talesab = x + 12x ...(I)Si AB//CDTambién: ab = 93x ...(II)Reemplazando (II) en (I)93x = x + 12x→ x + 1 = 6\\ x = 5Rpta.: 53. En la figura mostrada, EB//CD, AB = 11, BC = 7,AE = EF y BP = 14. Halle PF.A ED FPBCResoluciónA Eθ θD FPB71114Ca aa−nnxPor el teorema de Tales en el triángulo ACD117 = an ...(I)Por el mismo teorema en el triángulo EBFx14 = a – nn→x14 + 1 = an ...(II)De (I) y (II)117 = x14 + 1 → x = 8\\ PF = 8Rpta.: 8Solved problemsPARA EL CUADERNO

4TO DE SECUNDARIA 121 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍANivel II3. Halle DE si ADEF es un rombo.A FBCED463Resolución4. Una servilleta tiene forma triangular ABC donde AB = 6; BC = 8 y AC = 7, tal que al doblar la servilleta el lado AB queda contenida en BC generándose el doblez BM. Determine MA.AC CAMB BResoluciónNivel III5. En la figura se muestra una repisa triangular equilátera, la cual se desea dividir en dos partes por una tabla cuyos extremos son M y N, paralela a la base AC y que pasa por el baricentro de la región triangular ABC. Si BN = 18 cm, determine NC.AM NBCResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel II3. Halle DE si ADEF es un rombo.A FBCED463Resolución4. Una servilleta tiene forma triangular ABC donde AB = 6; BC = 8 y AC = 7, tal que al doblar la servilleta el lado AB queda contenida en BC generándose el doblez BM. Determine MA.AC CAMB BResoluciónNivel III5. En la figura se muestra una repisa triangular equilátera, la cual se desea dividir en dos partes por una tabla cuyos extremos son M y N, paralela a la base AC y que pasa por el baricentro de la región triangular ABC. Si BN = 18 cm, determine NC.AM NBCResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel I1. En la figura, AFED es un romboide. Si BF = 3, BE = 4 y ED = 9, halle EC.AEFCDBA) 11 B) 12C) 13 D) 15Nivel II2. En un triángulo ABC, AB = 20 y BC = 30. Luego se traza la bisectriz BD. Halle AD si, además, mBAD = mABC.A) 15 B) 18C) 16 D) 103. En la figura, 3AB= 2BC y DE = 6. Halle FE si CD//BE//AF.A FBC DE53ºA) 5 B) 6C) 7 D) 8Nivel III4. En la figura, AE = BF = FC, AD = 3DC yBE = 1. Halle el valor de x.xA DBE FCA) 30° B) 53°C) 45° D) 37°5. En la figura se muestra una escalera de madera hecha por un principiante en carpintería. Se sabe que los pasos AE, BF, CG y DH son paralelos, pero EF = 20 cm, FG = 25 cm y AB = 18 cm. Determine BC.ABCDEFGHA) 21 cm B) 23 cmC) 22,5 cm D) 24 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En la figura, AFED es un romboide. Si BF = 3, BE = 4 y ED = 9, halle EC.AEFCDBA) 11 B) 12C) 13 D) 15Nivel II2. En un triángulo ABC, AB = 20 y BC = 30. Luego se traza la bisectriz BD. Halle AD si, además, mBAD = mABC.A) 15 B) 18C) 16 D) 103. En la figura, 3AB= 2BC y DE = 6. Halle FE si CD//BE//AF.A FBC DE53ºA) 5 B) 6C) 7 D) 8Nivel III4. En la figura, AE = BF = FC, AD = 3DC yBE = 1. Halle el valor de x.xA DBE FCA) 30° B) 53°C) 45° D) 37°5. En la figura se muestra una escalera de madera hecha por un principiante en carpintería. Se sabe que los pasos AE, BF, CG y DH son paralelos, pero EF = 20 cm, FG = 25 cm y AB = 18 cm. Determine BC.ABCDEFGHA) 21 cm B) 23 cmC) 22,5 cm D) 24 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En la figura, AFED es un romboide. Si BF = 3, BE = 4 y ED = 9, halle EC.AEFCDBA) 11 B) 12C) 13 D) 15Nivel II2. En un triángulo ABC, AB = 20 y BC = 30. Luego se traza la bisectriz BD. Halle AD si, además, mBAD = mABC.A) 15 B) 18C) 16 D) 103. En la figura, 3AB= 2BC y DE = 6. Halle FE si CD//BE//AF.A FBC DE53ºA) 5 B) 6C) 7 D) 8Nivel III4. En la figura, AE = BF = FC, AD = 3DC yBE = 1. Halle el valor de x.xA DBE FCA) 30° B) 53°C) 45° D) 37°5. En la figura se muestra una escalera de madera hecha por un principiante en carpintería. Se sabe que los pasos AE, BF, CG y DH son paralelos, pero EF = 20 cm, FG = 25 cm y AB = 18 cm. Determine BC.ABCDEFGHA) 21 cm B) 23 cmC) 22,5 cm D) 24 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En la figura, AFED es un romboide. Si BF = 3, BE = 4 y ED = 9, halle EC.AEFCDBA) 11 B) 12C) 13 D) 15Nivel II2. En un triángulo ABC, AB = 20 y BC = 30. Luego se traza la bisectriz BD. Halle AD si, además, mBAD = mABC.A) 15 B) 18C) 16 D) 103. En la figura, 3AB= 2BC y DE = 6. Halle FE si CD//BE//AF.A FBC DE53ºA) 5 B) 6C) 7 D) 8Nivel III4. En la figura, AE = BF = FC, AD = 3DC yBE = 1. Halle el valor de x.xA DBE FCA) 30° B) 53°C) 45° D) 37°5. En la figura se muestra una escalera de madera hecha por un principiante en carpintería. Se sabe que los pasos AE, BF, CG y DH son paralelos, pero EF = 20 cm, FG = 25 cm y AB = 18 cm. Determine BC.ABCDEFGHA) 21 cm B) 23 cmC) 22,5 cm D) 24 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARYNivel I1. En la figura, AFED es un romboide. Si BF = 3, BE = 4 y ED = 9, halle EC.AEFCDBA) 11 B) 12C) 13 D) 15Nivel II2. En un triángulo ABC, AB = 20 y BC = 30. Luego se traza la bisectriz BD. Halle AD si, además, mBAD = mABC.A) 15 B) 18C) 16 D) 103. En la figura, 3AB= 2BC y DE = 6. Halle FE si CD//BE//AF.A FBC DE53ºA) 5 B) 6C) 7 D) 8Nivel III4. En la figura, AE = BF = FC, AD = 3DC yBE = 1. Halle el valor de x.xA DBE FCA) 30° B) 53°C) 45° D) 37°5. En la figura se muestra una escalera de madera hecha por un principiante en carpintería. Se sabe que los pasos AE, BF, CG y DH son paralelos, pero EF = 20 cm, FG = 25 cm y AB = 18 cm. Determine BC.ABCDEFGHA) 21 cm B) 23 cmC) 22,5 cm D) 24 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 3 • 4th GRADE OF SECONDARY8.6.9.7.10.

122I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍATriángulos semejantesDefiniciónDos triángulos son semejantes si los ángulos de uno son congruentes con los ángulos del otro, respectivamente, y sus lados homólogos son proporcionales.Son lados homólogos aquellos que se oponen en uno y otro triángulo a los ángulos que son, respectivamente, congruentes, así como también, las líneas notables que parten de los vértices de estos ángulos. Son homólogos también los radios de las circunferencias inscritas, circunscritas, exinscritas, etc.~θa bA CBHθa bD FEN~ : Se lee “semejante a”Si ∆ABC ~ ∆DEF, entoncesABDE = BCEF = ACDF = BHEN = ... = kdonde k: razón de semejanza.Criterios de semejanzaPrimer criterioDos triángulos son semejantes si dos ángulos del primero son congruentes a dos ángulos del segundo.ab = xya bx a~a by bSegundo criterioDos triángulos son semejantes si dos lados del primero son proporcionales a los lados del segundo y los ángulos determinados por dichos lados son congruentes.abkakab~ aTercer criterioDos triángulos son semejantes si los tres lados del primero son proporcionales a los tres lados del segundo, respectivamente.~abc aabkck akObservation1.θ aθ aA CBP QSi PQ//AC, entonces ∆ABC ~ ∆PBQ.2.θaA CBN MaSi AN y CM son alturas, entonces ∆NBM ~ ∆ABCTRIÁNGULOS SEMEJANTES04Theory

4TO DE SECUNDARIA 123 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍATeoremas1.A CBQPDaxbSi AB//PQ//CD, entonces: x = aba+bCorolarioab x x = aba+b2. B CA DP Q ObaEn el trapecio, si BC//PQ//AD, entoncesPQ = 2aba+b y PO = OQ3. Cálculo de la medida del lado de un cuadrado inscrito en un triángulo si uno de los lados del cuadradoestá en la base del triángulo.BA Cxx xbh x = bhb  +  h4. B CA DE F xbamnSi BC//EF//AD ⇒   x = am+bnm+n5. BA D CxbaaaSi BD ceviana y mBAC=mDBC, entoncesx2 = ab6. En todo triángulo el producto de las longitudes dedos lados es igual al producto de las longitudes deldiámetro de la circunferencia circunscrita y la alturarelativa al tercer lado.cA CBa hRR: circunradio → ac=2Rh

124I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En el gráfico, halle el valor de x.A CBa b8 xbDEF18xaResolución4. En la figura mostrada, halle EC.ABCDE4n3n6ResoluciónAB CDEbbaa f4n3n6x1.º El ∆ACE ~ ∆DCB2.º 6x = 3n4n 3x =24 x =8Rpta.: 85. En la figura, halle el valor de a.B AC Da916EResoluciónB AC Daabb91612E1.º El ∆ABC ~ ∆BCD2.º BC9 = 16BC→ BC=123.º Por s notablesa=37°Rpta.: 37°2. En la figura, halle el valor de x.12B EADC10x 15ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En el gráfico, halle el valor de x.A CBa b8 xbDEF18xaResolución4. En la figura mostrada, halle EC.ABCDE4n3n6ResoluciónAB CDEbbaa f4n3n6x1.º El ∆ACE ~ ∆DCB2.º 6x = 3n4n 3x =24 x =8Rpta.: 85. En la figura, halle el valor de a.B AC Da916EResoluciónB AC Daabb91612E1.º El ∆ABC ~ ∆BCD2.º BC9 = 16BC→ BC=123.º Por s notablesa=37°Rpta.: 37°2. En la figura, halle el valor de x.12B EADC10x 15ResoluciónPractice5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que m BAD=m DCA, BD=2 y DC=6. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Maríapone en práctica las clases de Geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC4 m50 mResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.A520x xBECDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=4, MB=6 y MN=9; calcule AC.Resolución5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que m BAD=m DCA, BD=2 y DC=6. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Maríapone en práctica las clases de Geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC4 m50 mResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.A520x xBECDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=4, MB=6 y MN=9; calcule AC.Resolución5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que m BAD=m DCA, BD=2 y DC=6. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Maríapone en práctica las clases de Geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC4 m50 mResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.A520x xBECDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=4, MB=6 y MN=9; calcule AC.ResoluciónTRABAJO EN CLASE

4TO DE SECUNDARIA 125 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que m BAD=m DCA, BD=2 y DC=6. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Maríapone en práctica las clases de Geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC4 m50 mResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.A520x xBECDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=4, MB=6 y MN=9; calcule AC.ResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x.STU9 2xγ θP 8QRxθγResolución2. En la figura, halle el valor de x.12B HAFC57 xResoluciónEn un día de verano se observa que una persona de estatura 1,8 m proyecta una sombra de 1,2 m. Determine la altura de un edificio si se sabe que en ese mismo instante la sombra que proyecta es de 60 m.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x.STU9 2xγ θP 8QRxθγResolución2. En la figura, halle el valor de x.12B HAFC57 xResoluciónEn un día de verano se observa que una persona de estatura 1,8 m proyecta una sombra de 1,2 m. Determine la altura de un edificio si se sabe que en ese mismo instante la sombra que proyecta es de 60 m.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x.STU9 2xγ θP 8QRxθγResolución2. En la figura, halle el valor de x.12B HAFC57 xResoluciónEn un día de verano se observa que una persona de estatura 1,8 m proyecta una sombra de 1,2 m. Determine la altura de un edificio si se sabe que en ese mismo instante la sombra que proyecta es de 60 m.ResoluciónSCOREWorkshop Demuestro mis conocimientos3. En el gráfico, BC=4, AD=9 y BM=MA. Calcule AB.ABMCDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=3 y MB=AC=6, calcule MN.Resolución5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que mBAD=mDCA, BD=1 y DC=8. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Juanapone en práctica las clases de geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC3 m87 mResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, BC=4, AD=9 y BM=MA. Calcule AB.ABMCDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=3 y MB=AC=6, calcule MN.Resolución5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que mBAD=mDCA, BD=1 y DC=8. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Juanapone en práctica las clases de geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC3 m87 mResolución8.10.9.7.6.

126I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍATAREA DOMICILIARIAAplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x.STU9 2xγ θP 8QRxθγResolución2. En la figura, halle el valor de x.12B HAFC57 xResoluciónEn un día de verano se observa que una persona de estatura 1,8 m proyecta una sombra de 1,2 m. Determine la altura de un edificio si se sabe que en ese mismo instante la sombra que proyecta es de 60 m.ResoluciónSCOREWorkshopDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, BC=4, AD=9 y BM=MA. Calcule AB.ABMCDResolución4. En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto My en BC se ubica el punto N, tal que MN//AC. SiAM=3 y MB=AC=6, calcule MN.Resolución5. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,tal que mBAD=mDCA, BD=1 y DC=8. Calcule AB.ResoluciónAsumo mi reto6. En una excursión que organizó el colegio, Juanapone en práctica las clases de geometría y quieremedir el ancho del lago, según una determinadaperspectiva. Si PQ//BC, calcule BC.ABPQ2 mC3 m87 mResolución1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problems1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problems1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problems1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problems1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problems1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 411. Solved problems12.

4TO DE SECUNDARIA 127 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍANivel I1. En el gráfico, halle el valor de x.xθ θ γγ94x 4ResoluciónNivel II3. En el gráfico, 5BE=2CE y AB=4. Halle ED.A DBCEResoluciónHelico challenge2. En un triángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto M y luego se traza MN ⊥ AB (N en AB). Si AN = 10, NB = 2 y BC = 6. Halle MN.Resolución4. En la figura se muestra una técnica utilizada para medir el ancho de un río sin necesidad de cruzarlo, calcule AB. BAC2 m4 m40 mPDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel I1. En el gráfico, halle el valor de x.xθ θ γγ94x 4ResoluciónNivel II3. En el gráfico, 5BE=2CE y AB=4. Halle ED.A DBCEResoluciónHelico challenge2. En un triángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto M y luego se traza MN ⊥ AB (N en AB). Si AN = 10, NB = 2 y BC = 6. Halle MN.Resolución4. En la figura se muestra una técnica utilizada para medir el ancho de un río sin necesidad de cruzarlo, calcule AB. BAC2 m4 m40 mPDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY•Nivel I1. En el gráfico, halle el valor de x.xθ θ γγ94x 4ResoluciónNivel II3. En el gráfico, 5BE=2CE y AB=4. Halle ED.A DBCEResoluciónHelico challenge2. En un triángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto M y luego se traza MN ⊥ AB (N en AB). Si AN = 10, NB = 2 y BC = 6. Halle MN.Resolución4. En la figura se muestra una técnica utilizada para medir el ancho de un río sin necesidad de cruzarlo, calcule AB. BAC2 m4 m40 mPDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY•PARA EL CUADERNO1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problems1. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 3EB=2AE y AF=6, calcule FC.A BD CFEa aResoluciónA BD CHFEa a45°45°6xθθ3n 2n3m 2m5mDatoEBAE = 23 → EB=2n y AE=3nPor el teorema de la bisectriz interior en el ∆AEBAHHB = 3m2m → AH=3m y HB=2m∆DFC ~ ∆HFA → x6 = 5m3m ∴ x =10Rpta.: 102. En la figura, AP=4 y BQ=8. Calcule DE.PQA BDEResoluciónPQA BD48aa bb2aaE1.º ∆APD ~ ∆QBDPDDB = a2a→ DB=2PD2.º DEB ~ PABDE4 = 2a3a→ DE = 83Rpta.: 833. La base de un triángulo mide 6 y su altura relativamide 12. Calcule la longitud del lado del cuadradoinscrito en el triángulo si un lado del cuadrado estásobre la base del triángulo.Resolucióna b A CBM a b NQ P61212–x∆MBN ~ ∆ABCx61 = 12 – x122 2x =12 – x 3x =12 ∴ x =4Rpta.: 4Solved problemsAplico lo aprendido1. En el gráfico, halle el valor de x.A CBa b8 xbDEF18xaResolución4. En la figura mostrada, halle EC.ABCDE4n3n6ResoluciónAB CDEbbaa f4n3n6x1.º El ∆ACE ~ ∆DCB2.º 6x = 3n4n 3x =24 x =8Rpta.: 85. En la figura, halle el valor de a.B AC Da916EResoluciónB AC Daabb91612E1.º El ∆ABC ~ ∆BCD2.º BC9 = 16BC→ BC=123.º Por s notablesa=37°Rpta.: 37°2. En la figura, halle el valor de x.12B EADC10x 15ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En el gráfico, halle el valor de x.A CBa b8 xbDEF18xaResolución4. En la figura mostrada, halle EC.ABCDE4n3n6ResoluciónAB CDEbbaa f4n3n6x1.º El ∆ACE ~ ∆DCB2.º 6x = 3n4n 3x =24 x =8Rpta.: 85. En la figura, halle el valor de a.B AC Da916EResoluciónB AC Daabb91612E1.º El ∆ABC ~ ∆BCD2.º BC9 = 16BC→ BC=123.º Por s notablesa=37°Rpta.: 37°2. En la figura, halle el valor de x.12B EADC10x 15ResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En el gráfico, halle el valor de x.A CBa b8 xbDEF18xaResolución4. En la figura mostrada, halle EC.ABCDE4n3n6ResoluciónAB CDEbbaa f4n3n6x1.º El ∆ACE ~ ∆DCB2.º 6x = 3n4n 3x =24 x =8Rpta.: 85. En la figura, halle el valor de a.B AC Da916EResoluciónB AC Daabb91612E1.º El ∆ABC ~ ∆BCD2.º BC9 = 16BC→ BC=123.º Por s notablesa=37°Rpta.: 37°2. En la figura, halle el valor de x.12B EADC10x 15ResoluciónPractice Aplico lo aprendido1. En el gráfico, halle el valor de x.A CBa b8 xbDEF18xaResolución4. En la figura mostrada, halle EC.ABCDE4n3n6ResoluciónAB CDEbbaa f4n3n6x1.º El ∆ACE ~ ∆DCB2.º 6x = 3n4n 3x =24 x =8Rpta.: 85. En la figura, halle el valor de a.B AC Da916EResoluciónB AC Daabb91612E1.º El ∆ABC ~ ∆BCD2.º BC9 = 16BC→ BC=123.º Por s notablesa=37°Rpta.: 37°2. En la figura, halle el valor de x.12B EADC10x 15ResoluciónPractice

128I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍANivel I1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, tal que m BAD=m DCA, AB=6 y BC=9. Halle BD.A) 2 B) 3C) 4 D) 5Nivel II2. En la figura, AD=8 y BC = 1. Halle BD.θθABDCA) 2 2 B) 6C) 3 D) 43. Si el triángulo que tiene por lados 8; 10 y 14 es semejante con un triángulo que tiene por perímetro 80, halle la longitud de su menor lado.A) 18 B) 20C) 24 D) 28Nivel III4. En la figura, AB= 9 y BD=6. Halle BC.ACBaa aDA) 2 B) 3C) 4 D) 55. En la figura se muestra el marco de una pinturacuyos bordes son dos rectángulos. Halle el valor de x.x80 cm40 cm4 cmA) 48 cm B) 46 cmC) 44 cm D) 42 cmNivel III5. En la figura se muestran dos casas de alturas x y 4x. Halle el valor de x.4xx6 m 6 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY919• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, tal que m BAD=m DCA, AB=6 y BC=9. Halle BD.A) 2 B) 3C) 4 D) 5Nivel II2. En la figura, AD=8 y BC = 1. Halle BD.θθABDCA) 2 2 B) 6C) 3 D) 43. Si el triángulo que tiene por lados 8; 10 y 14 es semejante con un triángulo que tiene por perímetro 80, halle la longitud de su menor lado.A) 18 B) 20C) 24 D) 28Nivel III4. En la figura, AB= 9 y BD=6. Halle BC.ACBaa aDA) 2 B) 3C) 4 D) 55. En la figura se muestra el marco de una pinturacuyos bordes son dos rectángulos. Halle el valor de x.x80 cm40 cm4 cmA) 48 cm B) 46 cmC) 44 cm D) 42 cmNivel III5. En la figura se muestran dos casas de alturas x y 4x. Halle el valor de x.4xx6 m 6 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY919• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, tal que m BAD=m DCA, AB=6 y BC=9. Halle BD.A) 2 B) 3C) 4 D) 5Nivel II2. En la figura, AD=8 y BC = 1. Halle BD.θθABDCA) 2 2 B) 6C) 3 D) 43. Si el triángulo que tiene por lados 8; 10 y 14 es semejante con un triángulo que tiene por perímetro 80, halle la longitud de su menor lado.A) 18 B) 20C) 24 D) 28Nivel III4. En la figura, AB= 9 y BD=6. Halle BC.ACBaa aDA) 2 B) 3C) 4 D) 55. En la figura se muestra el marco de una pinturacuyos bordes son dos rectángulos. Halle el valor de x.x80 cm40 cm4 cmA) 48 cm B) 46 cmC) 44 cm D) 42 cmNivel III5. En la figura se muestran dos casas de alturas x y 4x. Halle el valor de x.4xx6 m 6 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY919• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, tal que m BAD=m DCA, AB=6 y BC=9. Halle BD.A) 2 B) 3C) 4 D) 5Nivel II2. En la figura, AD=8 y BC = 1. Halle BD.θθABDCA) 2 2 B) 6C) 3 D) 43. Si el triángulo que tiene por lados 8; 10 y 14 es semejante con un triángulo que tiene por perímetro 80, halle la longitud de su menor lado.A) 18 B) 20C) 24 D) 28Nivel III4. En la figura, AB= 9 y BD=6. Halle BC.ACBaa aDA) 2 B) 3C) 4 D) 55. En la figura se muestra el marco de una pinturacuyos bordes son dos rectángulos. Halle el valor de x.x80 cm40 cm4 cmA) 48 cm B) 46 cmC) 44 cm D) 42 cmNivel III5. En la figura se muestran dos casas de alturas x y 4x. Halle el valor de x.4xx6 m 6 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY919• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, tal que m BAD=m DCA, AB=6 y BC=9. Halle BD.A) 2 B) 3C) 4 D) 5Nivel II2. En la figura, AD=8 y BC = 1. Halle BD.θθABDCA) 2 2 B) 6C) 3 D) 43. Si el triángulo que tiene por lados 8; 10 y 14 es semejante con un triángulo que tiene por perímetro 80, halle la longitud de su menor lado.A) 18 B) 20C) 24 D) 28Nivel III4. En la figura, AB= 9 y BD=6. Halle BC.ACBaa aDA) 2 B) 3C) 4 D) 55. En la figura se muestra el marco de una pinturacuyos bordes son dos rectángulos. Halle el valor de x.x80 cm40 cm4 cmA) 48 cm B) 46 cmC) 44 cm D) 42 cmNivel III5. En la figura se muestran dos casas de alturas x y 4x. Halle el valor de x.4xx6 m 6 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY919• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, tal que m BAD=m DCA, AB=6 y BC=9. Halle BD.A) 2 B) 3C) 4 D) 5Nivel II2. En la figura, AD=8 y BC = 1. Halle BD.θθABDCA) 2 2 B) 6C) 3 D) 43. Si el triángulo que tiene por lados 8; 10 y 14 es semejante con un triángulo que tiene por perímetro 80, halle la longitud de su menor lado.A) 18 B) 20C) 24 D) 28Nivel III4. En la figura, AB= 9 y BD=6. Halle BC.ACBaa aDA) 2 B) 3C) 4 D) 55. En la figura se muestra el marco de una pinturacuyos bordes son dos rectángulos. Halle el valor de x.x80 cm40 cm4 cmA) 48 cm B) 46 cmC) 44 cm D) 42 cmNivel III5. En la figura se muestran dos casas de alturas x y 4x. Halle el valor de x.4xx6 m 6 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY919• GEOMETRY8.6.9.7.10.Nivel I1. En el gráfico, halle el valor de x.xθ θ γγ94x 4ResoluciónNivel II3. En el gráfico, 5BE=2CE y AB=4. Halle ED.A DBCEResoluciónHelico challenge2. En un triángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto M y luego se traza MN ⊥ AB (N en AB). Si AN = 10, NB = 2 y BC = 6. Halle MN.Resolución4. En la figura se muestra una técnica utilizada para medir el ancho de un río sin necesidad de cruzarlo, calcule AB. BAC2 m4 m40 mPDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY•

4TO DE SECUNDARIA 129 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍAProyección ortogonal de un punto sobre una rectaPara proyectar un punto sobre una recta, se traza desde el punto una perpendicular hacia la recta, siendo la proyección, la intersección de la recta con la perpendicular hacia ella.A'AL A'ALA': es la proyección del punto A sobre la recta L.AA': es la distancia del punto A a la recta L.Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta Para proyectar un segmento sobre una recta, se proyectan sus puntos extremos, siendo la proyección, el segmento que une las proyecciones de dichos puntos extremos.A'AB' LBA'AB'BLEn ambas figuras, A'B' es la proyección de AB sobre la recta L.B'BL AEn la figura, AB' es la proyección de AB sobre la recta L.Relaciones métricas en un triángulo rectángulo1. La longitud de un cateto elevado al cuadrado es igualal producto de la longitud de la hipotenusa con lalongitud de la proyección de dicho cateto sobre lahipotenusa.m na bCB H A cbbBHC~ BCAac = maa2 = cm ... (I)b2 = cn ... (III)2. Teorema de PitágorasEl cuadrado de la longitud de la hipotenusa es iguala la suma de los cuadrados de las longitudes de loscatetos.a bcSumando ecuación (I)+(II)a2 + b2 = cm + cna2 + b2 = c(m + n)a2 + b2 = c23. La longitud de la altura relativa a la hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual al producto de las longitudesde las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.Los triángulos rectángulos mostrados son semejantes.hab abm nhn = mhh2 = mn4. El producto de las longitudes de los catetos es igualal producto de las longitudes de la hipotenusa y de laaltura relativa a la hipotenusa.Por semejanza de triángulo rectángulo.ha bca bhb = acab = chTheoryRELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO YEN LA CIRCUNFERENCIARelaciones métricas en el 05 triángulo y en la circunferencia

130I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA1. Teorema de las cuerdasSi en una circunferencia se trazan dos cuerdas secantes, entonces el producto de las longitudes de lossegmentos determinados en una de ellas es igual alproducto de las longitudes de los otros dos segmentos.(AB)(BC) = (DB)(BE)AED CB2. Teorema de la tangente y la secanteSi por un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces elsegmento tangente determinado es media proporcional entre el segmento secante y su segmento externocorrespondiente.ADCB(AB)2=(AD)(AC)3. Teorema de las secantesSi por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, entonces los productos de laslongitudes de los segmentos secantes determinados ylos segmentos externos correspondientes son iguales.ADECB(AC)(AB)=(AE)(AD)4. Teorema de PtolomeoEl primer teorema de Ptolomeo se cumple en un cuadrilátero inscrito o inscriptible y dice lo siguiente:“El producto de las longitudes de las diagonales esigual a la suma de los productos de las longitudes delos lados opuestos”.A DCB(AC)(BD)=(AB)(CD)+(BC)(AD)Otros teoremas1. Circunferencias tangentes exterioresxr Rx = 2 Rr2. En una semicircunferenciahm nh2 = mn3. En un rectángulo o cuadradoabyxa2 + b2 = x2 + y24. Cuadrilátero de diagonales perpendicularesabyxa2 + b2 = x2 + y2Relaciones métricas en la circunferencia

4TO DE SECUNDARIA 131 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍATRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=12 y DC=4. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son2 y 8. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si ABCD es un cuadrado, BE=1 y EC=9; calculeEF.A DBFE COResolución4. En la figura se observa una cometa que tiene la formade trapezoide simétrico. Calcule su perímetro.20 cm15 cm36 cmResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=12 y DC=4. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son2 y 8. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si ABCD es un cuadrado, BE=1 y EC=9; calculeEF.A DBFE COResolución4. En la figura se observa una cometa que tiene la formade trapezoide simétrico. Calcule su perímetro.20 cm15 cm36 cmResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=12 y DC=4. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son2 y 8. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si ABCD es un cuadrado, BE=1 y EC=9; calculeEF.A DBFE COResolución4. En la figura se observa una cometa que tiene la formade trapezoide simétrico. Calcule su perímetro.20 cm15 cm36 cmResoluciónPracticeAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=12 y DC=4. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son2 y 8. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si ABCD es un cuadrado, BE=1 y EC=9; calculeEF.A DBFE COResolución4. En la figura se observa una cometa que tiene la formade trapezoide simétrico. Calcule su perímetro.20 cm15 cm36 cmResoluciónPractice2.4.

132I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA5. En el gráfico, AB=5, BC=4 y DC=12. CalculeDE.ABCDEResoluciónAsumo mi reto6. Determine la altura que debe tener un almacén parapoder colocar cilindros metálicos, tal como se muestra en la figura, si el radio de la base de cada cilindrometálico es de l m.ResoluciónUna persona camina 4 m hacia el sur, luego 4 m hacia el oeste, luego 5 m hacia el sur y finalmente 8 m hacia el oeste. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra dicha persona?Resolución5. En la figura, halle el valor de x.ab2abxResoluciónAsumo mi reto6. En la figura, BC=3 y AB=2. Calcule PT si, además, T y B son puntos de tangencia.ABCP TResoluciónUna persona caminó 3 m hacia el norte, luego 6 m hacia el este, luego 5 m hacia el norte y finalmente 9 m hacia el este. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra la persona?Resolución5. En la figura, halle el valor de x.ab2abxResoluciónAsumo mi reto6. En la figura, BC=3 y AB=2. Calcule PT si, además, T y B son puntos de tangencia.ABCP TResoluciónUna persona caminó 3 m hacia el norte, luego 6 m hacia el este, luego 5 m hacia el norte y finalmente 9 m hacia el este. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra la persona?ResoluciónAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=24 y DC=3. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son1 y 9. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si MNPQ es un cuadrado, NE=4 y EP=9; calculeEI.M QNIE POResolución4. En la figura, halle el valor de x.b ba4axResoluciónSCOREWorkshop8.7.

4TO DE SECUNDARIA 133 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA5. En la figura, halle el valor de x.ab2abxResoluciónAsumo mi reto6. En la figura, BC=3 y AB=2. Calcule PT si, además, T y B son puntos de tangencia.ABCP TResoluciónUna persona caminó 3 m hacia el norte, luego 6 m hacia el este, luego 5 m hacia el norte y finalmente 9 m hacia el este. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra la persona?ResoluciónAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=24 y DC=3. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son1 y 9. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si MNPQ es un cuadrado, NE=4 y EP=9; calculeEI.M QNIE POResolución4. En la figura, halle el valor de x.b ba4axResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=24 y DC=3. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son1 y 9. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si MNPQ es un cuadrado, NE=4 y EP=9; calculeEI.M QNIE POResolución4. En la figura, halle el valor de x.b ba4axResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BD, tal que AD=24 y DC=3. CalculeBC.Resolución2. En un triángulo rectángulo, las longitudes de lasproyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son1 y 9. Calcule el producto entre las longitudes de loscatetos.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si MNPQ es un cuadrado, NE=4 y EP=9; calculeEI.M QNIE POResolución4. En la figura, halle el valor de x.b ba4axResoluciónSCOREWorkshop10.9.11.12.TAREA DOMICILIARIA1. En la figura, I es incentro, AI=7 e IC=8 2. Calcule AC.ABCIResolución8 2ABCI135°45°87845°E1.º mAIC=90°+ 90°2 =135°2.º IEC es notable: IE=EC=83.º AEC aplicamos el teorema de Pitágoras(AC)2=152+82∴ AC=17Rpta.: 172. Si C, D y E son puntos de tangencia y AOB es uncuadrante de radio 2, calcule AE.OAB CDEResoluciónOAR B CO1rr D r REHAplicamos el teorema de Pitágoras en AEO1, AHO1 y OHO1(AE)2+r2=(R – r)2+(R+r)2 – r2 AE= 2R AE= 2 · 2∴ AE=2Rpta.: 23. Si D es punto de tangencia, PD//BF, PA=AB=1 y BC=7, calcule BE.CEDPFA BResoluciónA B CEDPF7 133aaaa2a1x1.º Por el teorema de la tangente(PD)2=9(1) → PD=32.º m DEF=m DPB=a3.º PDFB es un romboide.→ BF=PD=34.º Por el teorema de las cuerdasx(3)=7(1) ∴ x= 73Rpta.:73Solved problems1. En la figura, I es incentro, AI=7 e IC=8 2. Calcule AC.ABCIResolución8 2ABCI135°45°87845°E1.º mAIC=90°+ 90°2 =135°2.º IEC es notable: IE=EC=83.º AEC aplicamos el teorema de Pitágoras(AC)2=152+82∴ AC=17Rpta.: 172. Si C, D y E son puntos de tangencia y AOB es uncuadrante de radio 2, calcule AE.OAB CDEResoluciónOAR B CO1rr D r REHAplicamos el teorema de Pitágoras en AEO1, AHO1 y OHO1(AE)2+r2=(R – r)2+(R+r)2 – r2 AE= 2R AE= 2 · 2∴ AE=2Rpta.: 23. Si D es punto de tangencia, PD//BF, PA=AB=1 y BC=7, calcule BE.CEDPFA BResoluciónA B CEDPF7 133aaaa2a1x1.º Por el teorema de la tangente(PD)2=9(1) → PD=32.º m DEF=m DPB=a3.º PDFB es un romboide.→ BF=PD=34.º Por el teorema de las cuerdasx(3)=7(1) ∴ x= 73Rpta.:73Solved problems

134I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA1. En la figura, I es incentro, AI=7 e IC=8 2. Calcule AC.ABCIResolución8 2ABCI135°45°87845°E1.º mAIC=90°+ 90°2 =135°2.º IEC es notable: IE=EC=83.º AEC aplicamos el teorema de Pitágoras(AC)2=152+82∴ AC=17Rpta.: 172. Si C, D y E son puntos de tangencia y AOB es uncuadrante de radio 2, calcule AE.OAB CDEResoluciónOAR B CO1rr D r REHAplicamos el teorema de Pitágoras en AEO1, AHO1 y OHO1(AE)2+r2=(R – r)2+(R+r)2 – r2 AE= 2R AE= 2 · 2∴ AE=2Rpta.: 23. Si D es punto de tangencia, PD//BF, PA=AB=1 y BC=7, calcule BE.CEDPFA BResoluciónA B CEDPF7 133aaaa2a1x1.º Por el teorema de la tangente(PD)2=9(1) → PD=32.º m DEF=m DPB=a3.º PDFB es un romboide.→ BF=PD=34.º Por el teorema de las cuerdasx(3)=7(1) ∴ x= 73Rpta.:73Solved problems1. En la figura, I es incentro, AI=7 e IC=8 2. Calcule AC.ABCIResolución8 2ABCI135°45°87845°E1.º mAIC=90°+ 90°2 =135°2.º IEC es notable: IE=EC=83.º AEC aplicamos el teorema de Pitágoras(AC)2=152+82∴ AC=17Rpta.: 172. Si C, D y E son puntos de tangencia y AOB es uncuadrante de radio 2, calcule AE.OAB CDEResoluciónOAR B CO1rr D r REHAplicamos el teorema de Pitágoras en AEO1, AHO1 y OHO1(AE)2+r2=(R – r)2+(R+r)2 – r2 AE= 2R AE= 2 · 2∴ AE=2Rpta.: 23. Si D es punto de tangencia, PD//BF, PA=AB=1 y BC=7, calcule BE.CEDPFA BResoluciónA B CEDPF7 133aaaa2a1x1.º Por el teorema de la tangente(PD)2=9(1) → PD=32.º m DEF=m DPB=a3.º PDFB es un romboide.→ BF=PD=34.º Por el teorema de las cuerdasx(3)=7(1) ∴ x= 73Rpta.:73Solved problems1. En la figura, I es incentro, AI=7 e IC=8 2. Calcule AC.ABCIResolución8 2ABCI135°45°87845°E1.º mAIC=90°+ 90°2 =135°2.º IEC es notable: IE=EC=83.º AEC aplicamos el teorema de Pitágoras(AC)2=152+82∴ AC=17Rpta.: 172. Si C, D y E son puntos de tangencia y AOB es uncuadrante de radio 2, calcule AE.OAB CDEResoluciónOAR B CO1rr D r REHAplicamos el teorema de Pitágoras en AEO1, AHO1 y OHO1(AE)2+r2=(R – r)2+(R+r)2 – r2 AE= 2R AE= 2 · 2∴ AE=2Rpta.: 23. Si D es punto de tangencia, PD//BF, PA=AB=1 y BC=7, calcule BE.CEDPFA BResoluciónA B CEDPF7 133aaaa2a1x1.º Por el teorema de la tangente(PD)2=9(1) → PD=32.º m DEF=m DPB=a3.º PDFB es un romboide.→ BF=PD=34.º Por el teorema de las cuerdasx(3)=7(1) ∴ x= 73Rpta.:73Solved problems1. En la figura, I es incentro, AI=7 e IC=8 2. Calcule AC.ABCIResolución8 2ABCI135°45°87845°E1.º mAIC=90°+ 90°2 =135°2.º IEC es notable: IE=EC=83.º AEC aplicamos el teorema de Pitágoras(AC)2=152+82∴ AC=17Rpta.: 172. Si C, D y E son puntos de tangencia y AOB es uncuadrante de radio 2, calcule AE.OAB CDEResoluciónOAR B CO1rr D r REHAplicamos el teorema de Pitágoras en AEO1, AHO1 y OHO1(AE)2+r2=(R – r)2+(R+r)2 – r2 AE= 2R AE= 2 · 2∴ AE=2Rpta.: 23. Si D es punto de tangencia, PD//BF, PA=AB=1 y BC=7, calcule BE.CEDPFA BResoluciónA B CEDPF7 133aaaa2a1x1.º Por el teorema de la tangente(PD)2=9(1) → PD=32.º m DEF=m DPB=a3.º PDFB es un romboide.→ BF=PD=34.º Por el teorema de las cuerdasx(3)=7(1) ∴ x= 73Rpta.:73Solved problems4. En la figura, A, C y E son puntos de tangencia,AB=8 y DE=6. Calcule BD.ABCDEResoluciónA8BC mnxDE6Por el teorema de la tangente 82=x · n (+) 62=x ·m ↓64+36=xm+xn 100=x(m+n) 100=x(x) 10=xRpta.: 105. En la figura, halle el valor de x.x36Resoluciónm n x361.º En el62=m· n2.º Por el teorema de las cuerdas9 · x=m· n3.º Igualando9x=36 x=4Rpta.: 44. En la figura, A, C y E son puntos de tangencia,AB=8 y DE=6. Calcule BD.ABCDEResoluciónA8BC mnxDE6Por el teorema de la tangente 82=x · n (+) 62=x ·m ↓64+36=xm+xn 100=x(m+n) 100=x(x) 10=xRpta.: 105. En la figura, halle el valor de x.x36Resoluciónm n x361.º En el62=m· n2.º Por el teorema de las cuerdas9 · x=m· n3.º Igualando9x=36 x=4Rpta.: 44. En la figura, A, C y E son puntos de tangencia,AB=8 y DE=6. Calcule BD.ABCDEResoluciónA8BC mnxDE6Por el teorema de la tangente 82=x · n (+) 62=x ·m ↓64+36=xm+xn 100=x(m+n) 100=x(x) 10=xRpta.: 105. En la figura, halle el valor de x.x36Resoluciónm n x361.º En el62=m· n2.º Por el teorema de las cuerdas9 · x=m· n3.º Igualando9x=36 x=4Rpta.: 44. En la figura, A, C y E son puntos de tangencia,AB=8 y DE=6. Calcule BD.ABCDEResoluciónA8BC mnxDE6Por el teorema de la tangente 82=x · n (+) 62=x ·m ↓64+36=xm+xn 100=x(m+n) 100=x(x) 10=xRpta.: 105. En la figura, halle el valor de x.x36Resoluciónm n x361.º En el62=m· n2.º Por el teorema de las cuerdas9 · x=m· n3.º Igualando9x=36 x=4Rpta.: 4

4TO DE SECUNDARIA 135 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍANivel I1. Del gráfico, AQ=QB, EQ=4 y QF=9. Halle AB. AQFBEA) 6 B) 12C) 15 D) 16Nivel II2. Sea MC=2, AR=8 y PR=5. Halle AC.AMPRCA) 5 B) 7C) 8 D) 63. Sea AH=2 y R=5. Halle PH si O es centro.AORHPA) 2 B) 3C) 3,5 D) 4Nivel III4. En un triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus lados es 50 u3 y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 2 u. Calcule la longitud de la hipotenusa.A) 4 u B) 5 uC) 10 u D) 5 u5. En la figura se muestran dos cilindros circulares rectos de metal, apoyados sobre un piso plano. Calcule el valor de x.4 m1 mxA) 3 m B) 4 mC) 6 m D) 2,5 mHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. Del gráfico, AQ=QB, EQ=4 y QF=9. Halle AB. AQFBEA) 6 B) 12C) 15 D) 16Nivel II2. Sea MC=2, AR=8 y PR=5. Halle AC.AMPRCA) 5 B) 7C) 8 D) 63. Sea AH=2 y R=5. Halle PH si O es centro.AORHPA) 2 B) 3C) 3,5 D) 4Nivel III4. En un triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus lados es 50 u3 y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 2 u. Calcule la longitud de la hipotenusa.A) 4 u B) 5 uC) 10 u D) 5 u5. En la figura se muestran dos cilindros circulares rectos de metal, apoyados sobre un piso plano. Calcule el valor de x.4 m1 mxA) 3 m B) 4 mC) 6 m D) 2,5 mHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. Del gráfico, AQ=QB, EQ=4 y QF=9. Halle AB. AQFBEA) 6 B) 12C) 15 D) 16Nivel II2. Sea MC=2, AR=8 y PR=5. Halle AC.AMPRCA) 5 B) 7C) 8 D) 63. Sea AH=2 y R=5. Halle PH si O es centro.AORHPA) 2 B) 3C) 3,5 D) 4Nivel III4. En un triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus lados es 50 u3 y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 2 u. Calcule la longitud de la hipotenusa.A) 4 u B) 5 uC) 10 u D) 5 u5. En la figura se muestran dos cilindros circulares rectos de metal, apoyados sobre un piso plano. Calcule el valor de x.4 m1 mxA) 3 m B) 4 mC) 6 m D) 2,5 mHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. Del gráfico, AQ=QB, EQ=4 y QF=9. Halle AB. AQFBEA) 6 B) 12C) 15 D) 16Nivel II2. Sea MC=2, AR=8 y PR=5. Halle AC.AMPRCA) 5 B) 7C) 8 D) 63. Sea AH=2 y R=5. Halle PH si O es centro.AORHPA) 2 B) 3C) 3,5 D) 4Nivel III4. En un triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus lados es 50 u3 y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 2 u. Calcule la longitud de la hipotenusa.A) 4 u B) 5 uC) 10 u D) 5 u5. En la figura se muestran dos cilindros circulares rectos de metal, apoyados sobre un piso plano. Calcule el valor de x.4 m1 mxA) 3 m B) 4 mC) 6 m D) 2,5 mHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. Del gráfico, AQ=QB, EQ=4 y QF=9. Halle AB. AQFBEA) 6 B) 12C) 15 D) 16Nivel II2. Sea MC=2, AR=8 y PR=5. Halle AC.AMPRCA) 5 B) 7C) 8 D) 63. Sea AH=2 y R=5. Halle PH si O es centro.AORHPA) 2 B) 3C) 3,5 D) 4Nivel III4. En un triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus lados es 50 u3 y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 2 u. Calcule la longitud de la hipotenusa.A) 4 u B) 5 uC) 10 u D) 5 u5. En la figura se muestran dos cilindros circulares rectos de metal, apoyados sobre un piso plano. Calcule el valor de x.4 m1 mxA) 3 m B) 4 mC) 6 m D) 2,5 mHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYPARA EL CUADERNONivel II3. En la figura mostrada, MC=4, AR=16 y PR=10. Halle AC.MAPRCResoluciónNivel III5. En la figura se observa una cometa que tiene la forma de trapezoide simétrico, calcule su perímetro. 12 cm16 cm30 cmResolución4. Qué altura debe tener una repisa para poder colocar latas de leche tal como se nuestra en la figura, si el radio de la base de cada lata de leche es de 4 cm.? ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY994• GEOMETRY8.1. Del gráfico, AT=TC, AM=MB y BN=NC. Halle el valor de x.ABS CMTNxA) 10° B) 80°C) 99° D) 90°Nivel I1. En un triángulo rectángulo, las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son 4 y 9. Calcule el producto entre las longitudes de los catetos.Resolución2. Sean O y O1 centros, T y A puntos de tangencia, OA=12 y AB=8. Halle el valor de r.A Br TO1OA) 6 B) 6,4C) 7 D) 82. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BD, tal que AD = 5 y DC = 15. Halle AB.ResoluciónHelico trialSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRY1. Del gráfico, AT=TC, AM=MB y BN=NC. Halle el valor de x.ABS CMTNxA) 10° B) 80°C) 99° D) 90°Nivel I1. En un triángulo rectángulo, las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son 4 y 9. Calcule el producto entre las longitudes de los catetos.Resolución2. Sean O y O1 centros, T y A puntos de tangencia, OA=12 y AB=8. Halle el valor de r.A Br TO1OA) 6 B) 6,4C) 7 D) 82. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BD, tal que AD = 5 y DC = 15. Halle AB.ResoluciónHelico trialSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRY6.7.Nivel II3. En la figura mostrada, MC=4, AR=16 y PR=10. Halle AC.MAPRCResoluciónNivel III5. En la figura se observa una cometa que tiene la forma de trapezoide simétrico, calcule su perímetro. 12 cm16 cm30 cmResolución4. Qué altura debe tener una repisa para poder colocar latas de leche tal como se nuestra en la figura, si el radio de la base de cada lata de leche es de 4 cm.? ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY994• GEOMETRYNivel II3. En la figura mostrada, MC=4, AR=16 y PR=10. Halle AC.MAPRCResoluciónNivel III5. En la figura se observa una cometa que tiene la forma de trapezoide simétrico, calcule su perímetro. 12 cm16 cm30 cmResolución4. Qué altura debe tener una repisa para poder colocar latas de leche tal como se nuestra en la figura, si el radio de la base de cada lata de leche es de 4 cm.? ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY994• GEOMETRY9.10.

136I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍARelaciones métricas en los triángulos oblicuángulosTeorema de Euclidesa. Primer casoEn un triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de uno de ellos por la proyección del otro sobre el lado que se ha tomado.Si a <90º, entoncesABC Hacn base cumple que: a2 = b2 + c2 – 2bnb. Segundo casoEn un triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de la longitud uno de ellos por la proyección del otro sobre el lado que se ha tomado.Si a >90º, entoncesABC Hacn base cumple que: a2 = b2 + c2 + 2bnTeorema de HerónEn un triángulo, la longitud de una altura relativa a un lado es igual al doble de la inversa de dicho lado por la raíz cuadrada del producto del semiperímetro del triángulo y las diferencias del semiperímetro con cada lado.De la figuraABC Hcba hse cumple que: h = 2b p(p – a)(p – b)(p – c)Teorema de la medianaEn un triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la longitud de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado del tercer lado.De la figuraABC Mcba xb2b2se cumple que: a2 + c2 = 2x2 + b22Teorema de StewartEn un triángulo, el cuadrado de la longitud de una ceviana por el lado relativo al cual se traza la ceviana es igual a la suma de los productos de los cuadrados de los otros dos lados multiplicado cada uno de ellos por las longitudes de los segmentos no consecutivos que determina la ceviana en el lado opuesto, menos el producto de esos segmentos por el lado opuesto.De la figuraABC Dcba xe fse cumple que: x2b = a2e + c2f – efb•06

4TO DE SECUNDARIA 137 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍATeorema de la bisectriz interiorEn un triángulo, el cuadrado de la longitud de una bisectriz interior es igual al producto de los lados que forman el ángulo de donde parte la bisectriz menos el producto de las longitudes de los segmentos que determina la bisectriz en el lado opuesto.De la figura ABC Ecbaxm na ase cumple que: x2 = ac – mnTeorema de la bisectriz exteriorEn un triángulo, el cuadrado de la longitud de una bisectriz exterior es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina la bisectriz en el lado opuesto menos el producto de los otros dos lados.De la figuraxABC Fa cn mbbse cumple que: x2 = mn – ac¿Cómo reconocer la naturaleza de un triángulo?Dado el ∆ABC, de manera que a, b y c son las longitudes de sus lados y a es el mayor de ellos, luego para conocer la naturaleza del triángulo se comparan a2 y b2 + c2.ABCcbaSi a2 < b2 + c2 ↔ ∆ABC es acutángulo.Si a2 = b2 + c2 ↔ ∆ABC es rectángulo.Si a2 > b2 + c2 ↔ ∆ABC es obtusángulo. 1. Si a2 = b2 + c2, el ∆ABC es rectángulo.Ejemploa = 13 b = 5B ACc = 12132 = 52 + 122169 = 25 +144169 = 169→ El ∆ABC es rectángulo (recto en A). 2. Si a2 < b2 + c2, el ∆ABC es acutángulo.Ejemploa = 10b = 9BACc = 7102 < 92 + 72100 < 81 +49100 < 130→ El ∆ABC es acutángulo (mA<90º). 3. Si a2 > b2 + c2, el ∆ABC es obtusángulo.Ejemploa = 6 b = 5ABCc = 262 > 52 + 2236 > 25 +436 > 29→ El ∆ABC es obtusángulo (mA>90º).•

138I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA5. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 20. Halle la longitud de la mediana BM.ABC Mx2010 10913ResoluciónPor el teorema de la mediana 92 + 132 = 2x2 + 2022 81 + 169 = 2x2 + 200 250 - 200 = 2x2 50 = 2x2 25 = x2 5 = xRpta.: 5Aplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC6 99Resolución2. En la figura, AB=7, BC=13 y AC=10. Halle HA.A C HBResoluciónDid you know...?EuclidesMatemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemático más famoso de la Antigüedad. Euclides se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que este lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.Helico practice•5. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 20. Halle la longitud de la mediana BM.ABC Mx2010 10913ResoluciónPor el teorema de la mediana 92 + 132 = 2x2 + 2022 81 + 169 = 2x2 + 200 250 - 200 = 2x2 50 = 2x2 25 = x2 5 = xRpta.: 5Aplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC6 99Resolución2. En la figura, AB=7, BC=13 y AC=10. Halle HA.A C HBResoluciónDid you know...?EuclidesMatemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemático más famoso de la Antigüedad. Euclides se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que este lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.Helico practice•3. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 10. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.bb324 xResolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.5 m15 m14 mxResolución6. En la figura, T es punto de tangencia y AB=13, BC=15 y AC=14. Halle el valor de R.A T CR BResolución3. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 10. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.bb324 xResolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.5 m15 m14 mxResolución6. En la figura, T es punto de tangencia y AB=13, BC=15 y AC=14. Halle el valor de R.A T CR BResoluciónTRABAJO EN CLASE

4TO DE SECUNDARIA 139 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•3. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 10. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.bb324 xResolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.5 m15 m14 mxResolución6. En la figura, T es punto de tangencia y AB=13, BC=15 y AC=14. Halle el valor de R.A T CR BResolución3. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 10. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.bb324 xResolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.5 m15 m14 mxResolución6. En la figura, T es punto de tangencia y AB=13, BC=15 y AC=14. Halle el valor de R.A T CR BResolución8.7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•

140I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍADemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 9 y AC = 8. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.θθ626 xResolución4. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan. ¿A que altura del suelo las cometas colisionan. ResoluciónAsumo mi reto6. En la figura, T es punto de tangencia, AB = 10, BC = 17 y AC = 21. Halle el valor de R.A T CR BResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 9 y AC = 8. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.θθ626 xResolución4. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan. ¿A que altura del suelo las cometas colisionan. ResoluciónAsumo mi reto6. En la figura, T es punto de tangencia, AB = 10, BC = 17 y AC = 21. Halle el valor de R.A T CR BResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 9 y AC = 8. Halle la longitud de la mediana BM.Resolución5. En la figura, halle el valor de x.θθ626 xResolución4. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan. ¿A que altura del suelo las cometas colisionan. ResoluciónAsumo mi reto6. En la figura, T es punto de tangencia, AB = 10, BC = 17 y AC = 21. Halle el valor de R.A T CR BResolución7. En la figura se muestra un poste y un edificio. PA, PB y PC son los cables de telefonía del punto P hacia tres departamentos donde en los puntos A, B y C se encuentran las entradas a dichos departamentos. Halle la longitud del cable PB.8 mAPBC 8 m12 m2 mResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC7 85Resolución2. En la figura, AB=10, BC=14 y AC=6. Halle HA.H A CBResoluciónHelico workshop•10.9. 11.12.

4TO DE SECUNDARIA 141 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍA1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 241. Solved problems Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problems1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problems1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problems1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problems1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problems1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problems1. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=8, BC=13 y AC=15. Halle mBAC.ResoluciónABC a8x13151.º Aplicamos el teorema de Euclides 132 = 82 + 152 - 2(15)(x) 30x = 64 + 225 - 169 30x = 120 x = 42.º es notable: a = 60° Rpta.: 60°2. En la figura, AB = 2, BE = 1 y EC = 2AE. Halle AE.ABC E x 2xResoluciónABC xxM1 2xx 2xEPor el teorema de la mediana ∆ABM 22 + x2 = 2(1)2 + (2x)22 x = 2Rpta.: 23. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Si dichos lados forman un ángulo agudo, halle el mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.ResoluciónABCθ5 x61.º Por esto: θ < 90° Luego: x2 < 52 + 62 x2 < 61 x < 7,8 2.º Mayor valor entero de xx = 7Rpta.: 74. Los lados de un triángulo miden 3; 25 y 26. Halle la longitud de su mayor altura.Resoluciónh325261.º p = 26 + 25 + 32 p = 272.º Por el teorema de Herón h = 2327(24)(2)(1) h = 2327(3)(8)(2) h = 2 · 9 · 43 h = 24Rpta.: 24Solved problemsTAREA DOMICILIARIA

142I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍANivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 8. Luego se traza la altura BD. Halle AD.ResoluciónNivel II3. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan y caen verticalmente por su propio peso, ¿que distancia tendrán que caminar cada uno de ellos para recogerlas?ResoluciónSCOREHelico challenge2. En la figura, halle AH.H CB63A 4Resolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.3 m5 m7 mxResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 8. Luego se traza la altura BD. Halle AD.ResoluciónNivel II3. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan y caen verticalmente por su propio peso, ¿que distancia tendrán que caminar cada uno de ellos para recogerlas?ResoluciónSCOREHelico challenge2. En la figura, halle AH.H CB63A 4Resolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.3 m5 m7 mxResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 8. Luego se traza la altura BD. Halle AD.ResoluciónNivel II3. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan y caen verticalmente por su propio peso, ¿que distancia tendrán que caminar cada uno de ellos para recogerlas?ResoluciónSCOREHelico challenge2. En la figura, halle AH.H CB63A 4Resolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.3 m5 m7 mxResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 8. Luego se traza la altura BD. Halle AD.ResoluciónNivel II3. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan y caen verticalmente por su propio peso, ¿que distancia tendrán que caminar cada uno de ellos para recogerlas?ResoluciónSCOREHelico challenge2. En la figura, halle AH.H CB63A 4Resolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.3 m5 m7 mxResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 8. Luego se traza la altura BD. Halle AD.ResoluciónNivel II3. En un concurso de cometas, dos niños, separados por 14 m tienen desplegados sus cometas con 13 m y 15 m de pabilo, en un momento determinado ambas cometas colisionan y caen verticalmente por su propio peso, ¿que distancia tendrán que caminar cada uno de ellos para recogerlas?ResoluciónSCOREHelico challenge2. En la figura, halle AH.H CB63A 4Resolución4. La familia Román ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena de TV se ha deteriorado y deciden reponerlo para lo cual necesitan calcular su longitud.3 m5 m7 mxResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 5. Luego se traza la altura BD. Halle AD.A) 3 B) 2C) 1 D) 0,5Nivel II2. En un triángulo ABC, AB=7, BC=13 y AC=12. Halle la longitud de la altura BH.A) 2 3 B) 4 3C) 5 2 D) 213. En la figura, halle BF.A C FB5 74 2A) 35 B) 33C) 17 D) 33Nivel III4. En la figura, halle el valor de θ.H ABC4565θA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°5. En la figura se muestran tres varillas metálicas BA, BD y BC, apoyadas como se indica. Si (AB)2 + (BC)2 = 74 m2, halle la longitud de la varilla BD.A D1 m 1 mCBA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 8 mNivel III5. En la figura, halle el valor de x.6x 42α αResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 5. Luego se traza la altura BD. Halle AD.A) 3 B) 2C) 1 D) 0,5Nivel II2. En un triángulo ABC, AB=7, BC=13 y AC=12. Halle la longitud de la altura BH.A) 2 3 B) 4 3C) 5 2 D) 213. En la figura, halle BF.A C FB5 74 2A) 35 B) 33C) 17 D) 33Nivel III4. En la figura, halle el valor de θ.H ABC4565θA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°5. En la figura se muestran tres varillas metálicas BA, BD y BC, apoyadas como se indica. Si (AB)2 + (BC)2 = 74 m2, halle la longitud de la varilla BD.A D1 m 1 mCBA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 8 mNivel III5. En la figura, halle el valor de x.6x 42α αResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 5. Luego se traza la altura BD. Halle AD.A) 3 B) 2C) 1 D) 0,5Nivel II2. En un triángulo ABC, AB=7, BC=13 y AC=12. Halle la longitud de la altura BH.A) 2 3 B) 4 3C) 5 2 D) 213. En la figura, halle BF.A C FB5 74 2A) 35 B) 33C) 17 D) 33Nivel III4. En la figura, halle el valor de θ.H ABC4565θA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°5. En la figura se muestran tres varillas metálicas BA, BD y BC, apoyadas como se indica. Si (AB)2 + (BC)2 = 74 m2, halle la longitud de la varilla BD.A D1 m 1 mCBA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 8 mNivel III5. En la figura, halle el valor de x.6x 42α αResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 5. Luego se traza la altura BD. Halle AD.A) 3 B) 2C) 1 D) 0,5Nivel II2. En un triángulo ABC, AB=7, BC=13 y AC=12. Halle la longitud de la altura BH.A) 2 3 B) 4 3C) 5 2 D) 213. En la figura, halle BF.A C FB5 74 2A) 35 B) 33C) 17 D) 33Nivel III4. En la figura, halle el valor de θ.H ABC4565θA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°5. En la figura se muestran tres varillas metálicas BA, BD y BC, apoyadas como se indica. Si (AB)2 + (BC)2 = 74 m2, halle la longitud de la varilla BD.A D1 m 1 mCBA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 8 mNivel III5. En la figura, halle el valor de x.6x 42α αResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 5. Luego se traza la altura BD. Halle AD.A) 3 B) 2C) 1 D) 0,5Nivel II2. En un triángulo ABC, AB=7, BC=13 y AC=12. Halle la longitud de la altura BH.A) 2 3 B) 4 3C) 5 2 D) 213. En la figura, halle BF.A C FB5 74 2A) 35 B) 33C) 17 D) 33Nivel III4. En la figura, halle el valor de θ.H ABC4565θA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°5. En la figura se muestran tres varillas metálicas BA, BD y BC, apoyadas como se indica. Si (AB)2 + (BC)2 = 74 m2, halle la longitud de la varilla BD.A D1 m 1 mCBA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 8 mNivel III5. En la figura, halle el valor de x.6x 42α αResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRYNivel I1. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 6 y AC = 5. Luego se traza la altura BD. Halle AD.A) 3 B) 2C) 1 D) 0,5Nivel II2. En un triángulo ABC, AB=7, BC=13 y AC=12. Halle la longitud de la altura BH.A) 2 3 B) 4 3C) 5 2 D) 213. En la figura, halle BF.A C FB5 74 2A) 35 B) 33C) 17 D) 33Nivel III4. En la figura, halle el valor de θ.H ABC4565θA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°5. En la figura se muestran tres varillas metálicas BA, BD y BC, apoyadas como se indica. Si (AB)2 + (BC)2 = 74 m2, halle la longitud de la varilla BD.A D1 m 1 mCBA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 8 mNivel III5. En la figura, halle el valor de x.6x 42α αResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 4 • 4th GRADE OF SECONDARY999• GEOMETRY7.8.5.6.4.9.10.5. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 20. Halle la longitud de la mediana BM.ABC Mx2010 10913ResoluciónPor el teorema de la mediana 92 + 132 = 2x2 + 2022 81 + 169 = 2x2 + 200 250 - 200 = 2x2 50 = 2x2 25 = x2 5 = xRpta.: 5Aplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC6 99Resolución2. En la figura, AB=7, BC=13 y AC=10. Halle HA.A C HBResoluciónDid you know...?EuclidesMatemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemático más famoso de la Antigüedad. Euclides se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que este lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.Helico practice•5. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 20. Halle la longitud de la mediana BM.ABC Mx2010 10913ResoluciónPor el teorema de la mediana 92 + 132 = 2x2 + 2022 81 + 169 = 2x2 + 200 250 - 200 = 2x2 50 = 2x2 25 = x2 5 = xRpta.: 5Aplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC6 99Resolución2. En la figura, AB=7, BC=13 y AC=10. Halle HA.A C HBResoluciónDid you know...?EuclidesMatemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemático más famoso de la Antigüedad. Euclides se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que este lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.Helico practice•5. En un triángulo ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 20. Halle la longitud de la mediana BM.ABC Mx2010 10913ResoluciónPor el teorema de la mediana 92 + 132 = 2x2 + 2022 81 + 169 = 2x2 + 200 250 - 200 = 2x2 50 = 2x2 25 = x2 5 = xRpta.: 5Aplico lo aprendido1. En la figura, halle la longitud de la proyección de AB sobre AC.ABC6 99Resolución2. En la figura, AB=7, BC=13 y AC=10. Halle HA.A C HBResoluciónDid you know...?EuclidesMatemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemático más famoso de la Antigüedad. Euclides se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que este lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.Helico practice•PARA EL CUADERNO

● Ángulos verticales.............................................. 145● Geometría Analítica ........................................... 152● Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal I ............................................... 160● Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal II ............................................................. 167● Reducción al primer cuadrante I........................ 174● Reducción al primer cuadrante II....................... 1804 «Los agujeros negros son los lugares del universo en donde Dios dividió por cero». Steven WrightTRIGONOMETRÍACONTENIDO

4TO DE SECUNDARIA 145 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNAntes de definir los ángulos verticales debemos tener claro algunos conceptos importantes.Línea verticalEs la línea que coincide con la dirección que marca la plomada en equilibrio.Línea horizontalEs la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial que pasa por el ojo del observador.Línea visualEs aquella línea recta e imaginaria que une los ojos del observador con un punto del objeto, el cual se está observando.α Línea horizontalβObservadorLínea visualLínea visualÁngulos verticalesSon aquellos ángulos contenidos en un plano vertical e imaginario. Estos tipos de ángulos son:1. Ángulo de elevaciónSe forma entre la línea horizontal que parte de lavista del observador y una línea visual, cuando elobjeto observado se encuentra por encima de dichalínea horizontal.Línea horizontalα: ángulo de elevaciónαObservadorLínea visual0° < a < 90°ÁNGULOS VERTICALES2. Ángulo de depresiónSe forma entre una línea horizontal que parte dela vista del observador y la visual cuando el objetoobservado se encuentra por debajo de dicha líneahorizontal.Línea visualβ Línea horizontalβ: ángulo de depresión0° < b < 90°3. Ángulo de observaciónEs aquel ángulo formado por dos líneas visuales queparten desde un mismo punto, al observar un objetode un extremo a otro.Línea visualLínea visualθθ: ángulo de observación0° < q < 180°El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles.Theory 017 Ángulos verticales Ángulos verticalesTRIGONOMETRÍA

146I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRETRABAJO EN CLASEAplico lo aprendido1. Una persona de 1,60 m de estatura divisa la partemás alta de un edificio con un ángulo de elevaciónde 30°. Si la persona se encuentra a 24 3 m de subase, ¿cuál es la altura del edificio?Resolución2. Una persona de 1,75 m de estatura se encuentraparada en el techo de una casa cuya altura es de6,25 m. Si la persona observa un auto estacionadocon un ángulo de depresión de 53°, ¿a qué distanciade la casa se encuentra el auto estacionado?Resolución5. Un avión vuela en línea horizontal paralela al suelo.En un cierto instante el piloto observa en tierra unaciudad con un ángulo de depresión de 45° y luegode avanzar 8 km el nuevo ángulo de depresión es de53°. ¿A qué altura se encuentra volando el avión?Resoluciónh=4k3k 8 km53° 45°CiudadDel gráficotan 45° = 4k3k+8 km 1 = 4k3k+8 km 3k + 8 km = 4k8 km = kLuego: h = 4kh = 4(8 km)h = 32 kmRpta.: 32 km PracticeAplico lo aprendido1. Una persona de 1,60 m de estatura divisa la partemás alta de un edificio con un ángulo de elevaciónde 30°. Si la persona se encuentra a 24 3 m de subase, ¿cuál es la altura del edificio?Resolución2. Una persona de 1,75 m de estatura se encuentraparada en el techo de una casa cuya altura es de6,25 m. Si la persona observa un auto estacionadocon un ángulo de depresión de 53°, ¿a qué distanciade la casa se encuentra el auto estacionado?Resolución5. Un avión vuela en línea horizontal paralela al suelo.En un cierto instante el piloto observa en tierra unaciudad con un ángulo de depresión de 45° y luegode avanzar 8 km el nuevo ángulo de depresión es de53°. ¿A qué altura se encuentra volando el avión?Resoluciónh=4k3k 8 km53° 45°CiudadDel gráficotan 45° = 4k3k+8 km 1 = 4k3k+8 km 3k + 8 km = 4k8 km = kLuego: h = 4kh = 4(8 km)h = 32 kmRpta.: 32 km PracticeDemuestro mis conocimientos3. Desde las azoteas de dos edificios de 20 m y 12 mde altura se observa un punto en el suelo, ubicadoentre ambos edificios con ángulos de depresión de53° y 37°, respectivamente. Halle la distancia entreambos edificios.Resolución4. Dos pueblos, A y B, se encuentran separados porun camino recto que mide (5 3 + 5) km. Desde unavión que vuela sobre el camino que separa ambospueblos se les observa con ángulos de depresión de30º y 45º, respectivamente. ¿A qué altura está volando el avión?Resolución5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de unatorre con un ángulo de elevación a. Si el observadorse acerca 10 m, el nuevo ángulo de elevación seríab. Halle la altura de la torre si además se sabe quecota – cotb = 0,25.ResoluciónAsumo mi retoResolución6. Un alumno de Selección del Colegio El Peruanitode 1.60 m de estatura observa la parte superior deun reflector de 13.6 m de altura de la sede Quilcacon un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuánto tendráque retroceder nuestro alumno Martín para que el nuevo ángulo de elevación sea de 37°?Demuestro mis conocimientos3. Desde las azoteas de dos edificios de 20 m y 12 mde altura se observa un punto en el suelo, ubicadoentre ambos edificios con ángulos de depresión de53° y 37°, respectivamente. Halle la distancia entreambos edificios.Resolución4. Dos pueblos, A y B, se encuentran separados porun camino recto que mide (5 3 + 5) km. Desde unavión que vuela sobre el camino que separa ambospueblos se les observa con ángulos de depresión de30º y 45º, respectivamente. ¿A qué altura está volando el avión?Resolución5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de unatorre con un ángulo de elevación a. Si el observadorse acerca 10 m, el nuevo ángulo de elevación seríab. Halle la altura de la torre si además se sabe quecota – cotb = 0,25.ResoluciónAsumo mi retoResolución6. Un alumno de Selección del Colegio El Peruanitode 1.60 m de estatura observa la parte superior deun reflector de 13.6 m de altura de la sede Quilcacon un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuánto tendráque retroceder nuestro alumno Martín para que el nuevo ángulo de elevación sea de 37°?PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aTRIGONOMETRÍA

4TO DE SECUNDARIA 147 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNDemuestro mis conocimientos3. Desde las azoteas de dos edificios de 20 m y 12 mde altura se observa un punto en el suelo, ubicadoentre ambos edificios con ángulos de depresión de53° y 37°, respectivamente. Halle la distancia entreambos edificios.Resolución4. Dos pueblos, A y B, se encuentran separados porun camino recto que mide (5 3 + 5) km. Desde unavión que vuela sobre el camino que separa ambospueblos se les observa con ángulos de depresión de30º y 45º, respectivamente. ¿A qué altura está volando el avión?Resolución5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de unatorre con un ángulo de elevación a. Si el observadorse acerca 10 m, el nuevo ángulo de elevación seríab. Halle la altura de la torre si además se sabe quecota – cotb = 0,25.ResoluciónAsumo mi retoResolución6. Un alumno de Selección del Colegio El Peruanitode 1.60 m de estatura observa la parte superior deun reflector de 13.6 m de altura de la sede Quilcacon un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuánto tendráque retroceder nuestro alumno Martín para que el nuevo ángulo de elevación sea de 37°?Demuestro mis conocimientos3. Desde las azoteas de dos edificios de 20 m y 12 mde altura se observa un punto en el suelo, ubicadoentre ambos edificios con ángulos de depresión de53° y 37°, respectivamente. Halle la distancia entreambos edificios.Resolución4. Dos pueblos, A y B, se encuentran separados porun camino recto que mide (5 3 + 5) km. Desde unavión que vuela sobre el camino que separa ambospueblos se les observa con ángulos de depresión de30º y 45º, respectivamente. ¿A qué altura está volando el avión?Resolución5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de unatorre con un ángulo de elevación a. Si el observadorse acerca 10 m, el nuevo ángulo de elevación seríab. Halle la altura de la torre si además se sabe quecota – cotb = 0,25.ResoluciónAsumo mi retoResolución6. Un alumno de Selección del Colegio El Peruanitode 1.60 m de estatura observa la parte superior deun reflector de 13.6 m de altura de la sede Quilcacon un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuánto tendráque retroceder nuestro alumno Martín para que el nuevo ángulo de elevación sea de 37°?PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aResoluciónAplico lo aprendido1. Una persona de 2 m de estatura divisa la parte másalta de una torre con un ángulo de elevación de 45°.Si la persona se encuentra a 26 m de la torre, ¿cuáles la altura de dicha torre?Resolución2. Una persona de 1,65 m de estatura está parada en eltecho de un edificio cuya altura es de 22,35 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 37°, ¿a qué distancia del edificio seencuentra el auto estacionado?ResoluciónSCOREWorkshop7. Un dron piloteado por un profesor de trigonometríadel colegio El Peruanito vuela en línea horizontalparalela al piso. En cierto instante el profesor observa en tierra un aula de la sede Arequipa con unángulo de depresión de 37° y luego de 3 minutosobserva nuevamente dicha aula con un ángulo dedepresión de 45°¿ A qué altura vuela el dron si viajaa 14 km/min?ResoluciónAplico lo aprendido1. Una persona de 2 m de estatura divisa la parte másalta de una torre con un ángulo de elevación de 45°.Si la persona se encuentra a 26 m de la torre, ¿cuáles la altura de dicha torre?Resolución2. Una persona de 1,65 m de estatura está parada en eltecho de un edificio cuya altura es de 22,35 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 37°, ¿a qué distancia del edificio seencuentra el auto estacionado?ResoluciónSCOREWorkshop7. Un dron piloteado por un profesor de trigonometríadel colegio El Peruanito vuela en línea horizontalparalela al piso. En cierto instante el profesor observa en tierra un aula de la sede Arequipa con unángulo de depresión de 37° y luego de 3 minutosobserva nuevamente dicha aula con un ángulo dedepresión de 45°¿ A qué altura vuela el dron si viajaa 14 km/min?7.8.TRIGONOMETRÍA

148I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREDemuestro mis conocimientos3. Una antena de telefonía móvil se encuentra situadaen lo alto de un edificio de 24 m de altura. Si desdeun punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 45° lo alto de la antena y con un ángulode elevación de 37° lo alto del edificio, ¿cuál es laaltura de la antena?Resolución4. Desde lo alto de un acantilado de 36 m de altura sedivisan dos botes en el mar con ángulos de depresiónde 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado delmar, ¿qué distancia los separa?Resolución5. Una insecto situado en la orilla del río observa unárbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ángulode elevación de 60°. Si el insecto se aleja 20 m y sunuevo ángulo de elevación es 30°, ¿cuál es la alturadel árbol?ResoluciónAsumo mi reto6. Bianca una destacada alumna observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación q. SiBianca camina 60 m hacia la torre, el nuevo ángulode elevación es de 45° y acercándose 20 m más, elnuevo ángulo de elevación es el complemento de q.Halle la altura de la torre.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Una antena de telefonía móvil se encuentra situadaen lo alto de un edificio de 24 m de altura. Si desdeun punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 45° lo alto de la antena y con un ángulode elevación de 37° lo alto del edificio, ¿cuál es laaltura de la antena?Resolución4. Desde lo alto de un acantilado de 36 m de altura sedivisan dos botes en el mar con ángulos de depresiónde 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado delmar, ¿qué distancia los separa?Resolución5. Una insecto situado en la orilla del río observa unárbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ángulode elevación de 60°. Si el insecto se aleja 20 m y sunuevo ángulo de elevación es 30°, ¿cuál es la alturadel árbol?ResoluciónAsumo mi reto6. Bianca una destacada alumna observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación q. SiBianca camina 60 m hacia la torre, el nuevo ángulode elevación es de 45° y acercándose 20 m más, elnuevo ángulo de elevación es el complemento de q.Halle la altura de la torre.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Una antena de telefonía móvil se encuentra situadaen lo alto de un edificio de 24 m de altura. Si desdeun punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 45° lo alto de la antena y con un ángulode elevación de 37° lo alto del edificio, ¿cuál es laaltura de la antena?Resolución4. Desde lo alto de un acantilado de 36 m de altura sedivisan dos botes en el mar con ángulos de depresiónde 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado delmar, ¿qué distancia los separa?Resolución5. Una insecto situado en la orilla del río observa unárbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ángulode elevación de 60°. Si el insecto se aleja 20 m y sunuevo ángulo de elevación es 30°, ¿cuál es la alturadel árbol?ResoluciónAsumo mi reto6. Bianca una destacada alumna observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación q. SiBianca camina 60 m hacia la torre, el nuevo ángulode elevación es de 45° y acercándose 20 m más, elnuevo ángulo de elevación es el complemento de q.Halle la altura de la torre.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Una antena de telefonía móvil se encuentra situadaen lo alto de un edificio de 24 m de altura. Si desdeun punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 45° lo alto de la antena y con un ángulode elevación de 37° lo alto del edificio, ¿cuál es laaltura de la antena?Resolución4. Desde lo alto de un acantilado de 36 m de altura sedivisan dos botes en el mar con ángulos de depresiónde 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado delmar, ¿qué distancia los separa?Resolución5. Una insecto situado en la orilla del río observa unárbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ángulode elevación de 60°. Si el insecto se aleja 20 m y sunuevo ángulo de elevación es 30°, ¿cuál es la alturadel árbol?ResoluciónAsumo mi reto6. Bianca una destacada alumna observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación q. SiBianca camina 60 m hacia la torre, el nuevo ángulode elevación es de 45° y acercándose 20 m más, elnuevo ángulo de elevación es el complemento de q.Halle la altura de la torre.ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a9.10.11.12.TRIGONOMETRÍA

4TO DE SECUNDARIA 149 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems1. Una persona de 1,85 m de estatura está parada en eltecho de una casa cuya altura es de 10,15 m. Si lapersona observa un auto estacionado con un ángulode depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa seencuentra el auto?Resolución1,85 m10,15 m12 m53°53°dDel gráficotan 53° = 12 md43 = 12 md d = 9 mRpta.: 9 m2. Un insecto observa lo alto de un poste con un ángulode elevación de 30°. Si el insecto se aleja 30 m y sunuevo ángulo de elevación es 15°, ¿cuál es la alturadel poste?Resolución30 m30°30 m15°hDel gráficosen 30° = h30 m12 = h30 m h = 15 m Rpta.: 15 m3. Desde lo alto de un faro de se divisan dos barcos aun mismo lado del faro con ángulos de depresión de37° y 45°. Si el faro tiene 96 m de altura, ¿cuál seríala distancia entre los barcos?Resolución96 mx 96 m37º 45º45° 37°Del gráfico tan 37° = 96 mx + 96 m34 = 96 mx + 96 m3x + 288 m = 384 m3x = 96 mx = 32 m Rpta.: 32 m4. Desde el techo de un edificio de 12 m de altura seobserva la parte más alta de una torre con un ángulode elevación de 45° y la parte más baja con un ángulode depresión de 37°. Halle la altura de la torre.Resolución12 m45° 16 m37° 4k12 m=3k16 mhDel gráfico12 m = 3k → k = 4 mLuego: h = 28 mRpta.: 28 mSolved problems TRIGONOMETRÍA

150I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREAplico lo aprendido1. Una persona de 1,60 m de estatura divisa la partemás alta de un edificio con un ángulo de elevaciónde 30°. Si la persona se encuentra a 24 3 m de subase, ¿cuál es la altura del edificio?Resolución2. Una persona de 1,75 m de estatura se encuentraparada en el techo de una casa cuya altura es de6,25 m. Si la persona observa un auto estacionadocon un ángulo de depresión de 53°, ¿a qué distanciade la casa se encuentra el auto estacionado?Resolución5. Un avión vuela en línea horizontal paralela al suelo.En un cierto instante el piloto observa en tierra unaciudad con un ángulo de depresión de 45° y luegode avanzar 8 km el nuevo ángulo de depresión es de53°. ¿A qué altura se encuentra volando el avión?Resoluciónh=4k3k 8 km53° 45°CiudadDel gráficotan 45° = 4k3k+8 km 1 = 4k3k+8 km 3k + 8 km = 4k8 km = kLuego: h = 4kh = 4(8 km)h = 32 kmRpta.: 32 km PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPARA EL CUADERNONivel I1. Desde un punto en tierra ubicado a 10 3 m de la base de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de dicha torre?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResolución2. Un niño de 1,50 m de estatura observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si el poste mide 16,5 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el niño?A) 15 3 B) 20 3C) 25 3 D) 30 3ResoluciónNivel II3. Una antena de radio se encuentra situada en lo alto de un edificio de 48 m de altura. Si desde un punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 53° lo alto de la antena y con un ángulo de elevación de 45° lo alto del edificio, ¿cuál es la altura de la antena?A) 13 m B) 15 mC) 16 m D) 18 mResolución4. Desde lo alto de un acantilado de 24 m de altura se divisan dos botes en el mar con ángulos de depresión de 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado del mar, ¿qué distancia los separa?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 1 • 4th GRADE OF SECONDARY141• TRIGONOMETRYNivel I1. Desde un punto en tierra ubicado a 10 3 m de la base de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de dicha torre?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResolución2. Un niño de 1,50 m de estatura observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si el poste mide 16,5 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el niño?A) 15 3 B) 20 3C) 25 3 D) 30 3ResoluciónNivel II3. Una antena de radio se encuentra situada en lo alto de un edificio de 48 m de altura. Si desde un punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 53° lo alto de la antena y con un ángulo de elevación de 45° lo alto del edificio, ¿cuál es la altura de la antena?A) 13 m B) 15 mC) 16 m D) 18 mResolución4. Desde lo alto de un acantilado de 24 m de altura se divisan dos botes en el mar con ángulos de depresión de 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado del mar, ¿qué distancia los separa?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 1 • 4th GRADE OF SECONDARY141• TRIGONOMETRYNivel I1. Desde un punto en tierra ubicado a 10 3 m de la base de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de dicha torre?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResolución2. Un niño de 1,50 m de estatura observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si el poste mide 16,5 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el niño?A) 15 3 B) 20 3C) 25 3 D) 30 3ResoluciónNivel II3. Una antena de radio se encuentra situada en lo alto de un edificio de 48 m de altura. Si desde un punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 53° lo alto de la antena y con un ángulo de elevación de 45° lo alto del edificio, ¿cuál es la altura de la antena?A) 13 m B) 15 mC) 16 m D) 18 mResolución4. Desde lo alto de un acantilado de 24 m de altura se divisan dos botes en el mar con ángulos de depresión de 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado del mar, ¿qué distancia los separa?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 1 • 4th GRADE OF SECONDARY141• TRIGONOMETRYNivel I1. Desde un punto en tierra ubicado a 10 3 m de la base de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de dicha torre?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResolución2. Un niño de 1,50 m de estatura observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si el poste mide 16,5 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el niño?A) 15 3 B) 20 3C) 25 3 D) 30 3ResoluciónNivel II3. Una antena de radio se encuentra situada en lo alto de un edificio de 48 m de altura. Si desde un punto en tierra se observa con un ángulo de elevación de 53° lo alto de la antena y con un ángulo de elevación de 45° lo alto del edificio, ¿cuál es la altura de la antena?A) 13 m B) 15 mC) 16 m D) 18 mResolución4. Desde lo alto de un acantilado de 24 m de altura se divisan dos botes en el mar con ángulos de depresión de 53° y 45°. Si los botes están a un mismo lado del mar, ¿qué distancia los separa?A) 4 m B) 6 mC) 8 m D) 10 mResoluciónSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 1 • 4th GRADE OF SECONDARY141• TRIGONOMETRYNivel III5. El piloto de un helicóptero observa el inicio de la pista de aterrizaje de la base aérea de Las Palmas con un ángulo de depresión de 37°; luego avanza 100 m y el nuevo ángulo con que observa el punto anterior es de 45°. ¿A qué altura se encuentra volando el helicóptero?← Pista de aterrizajeA) 100 m B) 200 mC) 300 m D) 400 mNivel I1. Un joven de 1,60 m de estatura observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45°. Si el poste mide 11,60 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el joven?A) 15 m B) 12 mC) 10 3 m D) 10 mNivel II2. Una persona de 1,75 m está parada en el techo de una casa con una altura de 14,25 m. Si la persona observa un auto estacionado con un ángulo de depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa se encuentra el auto?A) 12 m B) 10 mC) 9 m D) 8 m3. Desde lo alto de un acantilado de 60 m de altura se divisan dos botes en el mar con ángulos de depresión de 45° y 37°. Si los botes están en un mismo lado del acantilado, ¿qué distancia los separa?A) 18 m B) 20 mC) 25 m D) 30 mNivel III4. Una antena parabólica se encuentra situada en lo alto de un edificio de la UPSO de 15 m de altura. Si un alumno observa con un ángulo de elevación de 53° lo alto de la antena y con un ángulo de elevación de 45° lo alto del edificio, ¿cuál será la altura de la antena?A) 3 m B) 5 mC) 8 m D) 10 mA) 5,5 m B) 7,5 mC) 8 m D) 9,5 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 1 • 4th GRADE OF SECONDARY141• TRIGONOMETRY5. Un joven del colegio El Peruanito observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación b. Si el joven camina 5 m hacia el árbol, el nuevo ángulo de elevación es de 45°y acercándose 3 m más, el ángulo de elevación es el complemento de b. Halle la altura del árbol.Nivel III5. El piloto de un helicóptero observa el inicio de la pista de aterrizaje de la base aérea de Las Palmas con un ángulo de depresión de 37°; luego avanza 100 m y el nuevo ángulo con que observa el punto anterior es de 45°. ¿A qué altura se encuentra volando el helicóptero?← Pista de aterrizajeA) 100 m B) 200 mC) 300 m D) 400 mNivel I1. Un joven de 1,60 m de estatura observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45°. Si el poste mide 11,60 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el joven?A) 15 m B) 12 mC) 10 3 m D) 10 mNivel II2. Una persona de 1,75 m está parada en el techo de una casa con una altura de 14,25 m. Si la persona observa un auto estacionado con un ángulo de depresión de 53°, ¿a qué distancia de la casa se encuentra el auto?A) 12 m B) 10 mC) 9 m D) 8 m3. Desde lo alto de un acantilado de 60 m de altura se divisan dos botes en el mar con ángulos de depresión de 45° y 37°. Si los botes están en un mismo lado del acantilado, ¿qué distancia los separa?A) 18 m B) 20 mC) 25 m D) 30 mNivel III4. Una antena parabólica se encuentra situada en lo alto de un edificio de la UPSO de 15 m de altura. Si un alumno observa con un ángulo de elevación de 53° lo alto de la antena y con un ángulo de elevación de 45° lo alto del edificio, ¿cuál será la altura de la antena?A) 3 m B) 5 mC) 8 m D) 10 mA) 5,5 m B) 7,5 mC) 8 m D) 9,5 mResoluciónHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 1 • 4th GRADE OF SECONDARY141• TRIGONOMETRY5. Un joven del colegio El Peruanito observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación b. Si el joven camina 5 m hacia el árbol, el nuevo ángulo de elevación es de 45°y acercándose 3 m más, el ángulo de elevación es el complemento de b. Halle la altura del árbol.6.Aplico lo aprendido1. Una persona de 1,60 m de estatura divisa la partemás alta de un edificio con un ángulo de elevaciónde 30°. Si la persona se encuentra a 24 3 m de subase, ¿cuál es la altura del edificio?Resolución2. Una persona de 1,75 m de estatura se encuentraparada en el techo de una casa cuya altura es de6,25 m. Si la persona observa un auto estacionadocon un ángulo de depresión de 53°, ¿a qué distanciade la casa se encuentra el auto estacionado?Resolución5. Un avión vuela en línea horizontal paralela al suelo.En un cierto instante el piloto observa en tierra unaciudad con un ángulo de depresión de 45° y luegode avanzar 8 km el nuevo ángulo de depresión es de53°. ¿A qué altura se encuentra volando el avión?Resoluciónh=4k3k 8 km53° 45°CiudadDel gráficotan 45° = 4k3k+8 km 1 = 4k3k+8 km 3k + 8 km = 4k8 km = kLuego: h = 4kh = 4(8 km)h = 32 kmRpta.: 32 km PracticeTRIGONOMETRÍA