4TO SEC CIENCIAS (II BIM)

4TO DE SECUNDARIA 51 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN5. Factorice e indique la cantidad de factores primos al factorizarx3 – 6x2 + 11x – 6Resolución6. Al factorizarP(x) = x3 – 11x2 + 31x – 24sea Q(x) la suma de sus factores primos. Si Q(4) es el número de hermanos que tiene Paulo, ¿cuántos hermanos tiene Paulo?Resolución7. El número de veces que postuló Javier a la UNI coincide con el número de factores primos al factorizar(x2 + x)2 – 26(x2 + x) + 120¿Cuántas veces postuló Javier a la UNI?Resolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Indique cuántos factores primos se obtienen al factorizar20x4 – 37x2 – 18Resolución2. Señale el factor primo lineal al factorizarx4 – 13x2 + 36Resolución3. Indique el factor primo de mayor término independiente al factorizar6x2 + 8xy + 2y2 + 9y + 23x + 7Resolución4. Obtenga el factor primo de menor término independiente al factorizarx4 + 6x3 + 12x2 + 10x + 3ResoluciónHelico workshop•11.5. Calcule el factor primo lineal al factorizarP(x) = x3 + 6x2 + 15x + 14Resolución6. Al factorizarP(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6sea R(x) representa la suma de de los factores primos. Si P(2) representa la cantidad de partidos jugados por Raúl, ¿cuántos partidos jugó Raúl?Resolución7. Si el costo de 1 kilo de arroz es el número de factores primos lineales al factorizar(3m2 - 4m)2- 19(3m2 - 4m) + 60¿cuánto cuesta un saco de arroz de 100 kilos?Resolución•12.1. Indique cuántos factores primos se obtienen al factorizar20x4 – 37x2 – 18Resolución2. Señale el factor primo lineal al factorizarx4 – 13x2 + 36Resolución3. Indique el factor primo de mayor término independiente al factorizar6x2 + 8xy + 2y2 + 9y + 23x + 7Resolución4. Obtenga el factor primo de menor término independiente al factorizarx4 + 6x3 + 12x2 + 10x + 3ResoluciónHelico workshop•8.1. Indique cuántos factores primos se obtienen al factorizar20x4 – 37x2 – 18Resolución2. Señale el factor primo lineal al factorizarx4 – 13x2 + 36Resolución3. Indique el factor primo de mayor término independiente al factorizar6x2 + 8xy + 2y2 + 9y + 23x + 7Resolución4. Obtenga el factor primo de menor término independiente al factorizarx4 + 6x3 + 12x2 + 10x + 3ResoluciónHelico workshop•9.1. Indique cuántos factores primos se obtienen al factorizar20x4 – 37x2 – 18Resolución2. Señale el factor primo lineal al factorizarx4 – 13x2 + 36Resolución3. Indique el factor primo de mayor término independiente al factorizar6x2 + 8xy + 2y2 + 9y + 23x + 7Resolución4. Obtenga el factor primo de menor término independiente al factorizarx4 + 6x3 + 12x2 + 10x + 3ResoluciónHelico workshop•10.ÁLGEBRA

52I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Indique cuántos factores primos resultan luego de factorizarP(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36ResoluciónAgrupando de 2 en 2x4(x – 1) – 13x2(x – 1) + 36(x – 1)Factor común(x – 1)(x4 – 13x2 + 36) x2 – 9 x2 – 4(x – 1)(x2 – 9)(x2 – 4)Por dif. de cuadrados(x – 1)(x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)∴ Se obtienen 5 factores primos.Rpta.: 52. Señale el factor primo de mayor término independienteP(x) = 10x4 – 13x3 + 8x2 – 8x + 3ResoluciónAspa doble especial10x4 - 13x3 + 8x2 - 8x + 35x2 x 3 = 6x22x2 - 3x 1 = 5x2 11x28x2 – 11x2 = – 3x2P(x) = (5x2 + x + 3)(2x2 – 3x + 1)P(x) = (5x2 + x + 3)(2x – 1)(x – 1)El factor primo de mayor término independiente es 5x2 + x + 3.Rpta.: 5x2 + x + 33. Factorice e indique la cantidad de factores primos y el número de divisores deP(x) = x5 – 6x4 + 7x3 + 18x2 – 44x + 24ResoluciónDeterminemos los PCR.Como el polinomio es mónicoPCR = ±{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}Evaluando en el polinomioP(-2) = 0, P(1) = 0, P(2) = 0, P(3) = 0Aplicando el método de Ruffini1 –6 7 18 –44 241 –8 23 –28 12 01 –6 11 –6 01 –4 3 01 –3 0–2 ↓ –2 16 –46 56 –242 ↓ 2 –12 22 –122 ↓ 2 –8 61 ↓ 1 –3→ P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 2)(x – 1)(x – 3) P(x) = (x + 2)(x - 1)(x – 3)(x – 2)2I. N.º de factores primos = 4II. N.º de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) N.º de divisores = 24Rpta.: 244. Indique cuál es uno de los factores del polinomioP(x, y) = 12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 3ResoluciónAspa doble12x2 + 10xy + 2y2 + 13x + 5y + 34x4xy6xy10xy2y 33x y 1 3y2y5yP(x, y) = (4x + 2y + 3)(3x + y + 1)Rpta.: 3x + y + 15. Halle el factor de mayor suma de coeficientes en el polinomioP(x) = x4 + 2x2 + 9ResoluciónAspa doble especialx 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 9x2x22x 3 = 3x23 = 3x2 – 2x6x22x2 – 6x2 = –4x2P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 – 2x + 3)Rpta.: x2 + 2x + 3Solved problems•ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 53 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPARA EL CUADERNO5. Calcule el factor primo lineal al factorizarP(x) = x3 + 6x2 + 15x + 14Resolución6. Al factorizarP(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6sea R(x) representa la suma de de los factores primos. Si P(2) representa la cantidad de partidos jugados por Raúl, ¿cuántos partidos jugó Raúl?Resolución7. Si el costo de 1 kilo de arroz es el número de factores primos lineales al factorizar(3m2 - 4m)2- 19(3m2 - 4m) + 60¿cuánto cuesta un saco de arroz de 100 kilos?Resolución•2.1. Luego de factorizarQ(x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6señale el número de factores primos.A) 6 B) 5C) 4 D) 32. Del polinomioP(a, b) = (a + b)2 + 2a + 2b – 3,calcule la suma de los términos independientes de los factores primos.A) 3 B) 2C) 1 D) 41. Indique un factor primo de al factorizar 5x2+13x+6.Resolución2. Calcule la suma de los factores primos al factorizarx4 – 10x2+9ResoluciónHelico trialHelico challenge6.1. Luego de factorizarQ(x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6señale el número de factores primos.A) 6 B) 5C) 4 D) 32. Del polinomioP(a, b) = (a + b)2 + 2a + 2b – 3,calcule la suma de los términos independientes de los factores primos.A) 3 B) 2C) 1 D) 41. Indique un factor primo de al factorizar 5x2+13x+6.Resolución2. Calcule la suma de los factores primos al factorizarx4 – 10x2+9ResoluciónHelico trialHelico challenge5.3. Obtenga el factor primo con mayor suma de coeficientes al factorizarx2+4xy+3y2+11y+5x+6Resolución4. Señale el factor primo cuadrático al factorizarP(x)= x3 – 2x2 – 2x – 3Resolución5. Si el número de camionetas que posee el profesor Sulca coincide con el número de factores primos lineales al factorizarx4 + 4x3 + 6x2 + 5x + 2¿cuántas camionetas posee el profesor Sulca?Resolución•7.1. Indique cuántos primos lineales resultan al factorizarT(x) = 36x4 + 29x2 – 20A) 4 B) 3C) 2 D) 12. Halle el término independiente de un factor primo deQ(x, y) = x2 + 5xy + 6y2 + 8x + 17y + 7A) 7 B) –7C) –1 D) 53. Factorice e indique un factor primo cuadrático deP(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 7x – 15A) x2 + 3 B) x2 + 2x + 5C) x2+x + 5 D) x2 + 2x4. Si la suma de factores primos deP(x) = x3 + 6x2 – 9x – 14,viene representado por Q(x). Si Q(2) representa la nota de un salón de clases, ¿cuál es esa nota obtenida?A) 10 B) 11C) 12 D) 135. Si P(4) representa el precio de 1 kg de tomates, donde P(x) representa la suma de factores primos dex3 – 9x2 + 20x – 12¿cuál es el costo de 1 kg de tomates?A) 1 B) 2C) 3 D) 4Helico homework4.5. Calcule el factor primo lineal al factorizarP(x) = x3 + 6x2 + 15x + 14Resolución6. Al factorizarP(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6sea R(x) representa la suma de de los factores primos. Si P(2) representa la cantidad de partidos jugados por Raúl, ¿cuántos partidos jugó Raúl?Resolución7. Si el costo de 1 kilo de arroz es el número de factores primos lineales al factorizar(3m2 - 4m)2- 19(3m2 - 4m) + 60¿cuánto cuesta un saco de arroz de 100 kilos?Resolución•1.1. Luego de factorizarQ(x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6señale el número de factores primos.A) 6 B) 5C) 4 D) 32. Del polinomioP(a, b) = (a + b)2 + 2a + 2b – 3,calcule la suma de los términos independientes de los factores primos.A) 3 B) 2C) 1 D) 41. Indique un factor primo de al factorizar 5x2+13x+6.Resolución2. Calcule la suma de los factores primos al factorizarx4 – 10x2+9ResoluciónHelico trialHelico challenge3.3. Obtenga el factor primo con mayor suma de coeficientes al factorizarx2+4xy+3y2+11y+5x+6Resolución4. Señale el factor primo cuadrático al factorizarP(x)= x3 – 2x2 – 2x – 3Resolución5. Si el número de camionetas que posee el profesor Sulca coincide con el número de factores primos lineales al factorizarx4 + 4x3 + 6x2 + 5x + 2¿cuántas camionetas posee el profesor Sulca?Resolución•8.3. Obtenga el factor primo con mayor suma de coeficientes al factorizarx2+4xy+3y2+11y+5x+6Resolución4. Señale el factor primo cuadrático al factorizarP(x)= x3 – 2x2 – 2x – 3Resolución5. Si el número de camionetas que posee el profesor Sulca coincide con el número de factores primos lineales al factorizarx4 + 4x3 + 6x2 + 5x + 2¿cuántas camionetas posee el profesor Sulca?Resolución•9.1. Luego de factorizarQ(x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6señale el número de factores primos.A) 6 B) 5C) 4 D) 32. Del polinomioP(a, b) = (a + b)2 + 2a + 2b – 3,calcule la suma de los términos independientes de los factores primos.A) 3 B) 2C) 1 D) 41. Indique un factor primo de al factorizar 5x2+13x+6.Resolución2. Calcule la suma de los factores primos al factorizarx4 – 10x2+9ResoluciónHelico trialHelico challenge10.ÁLGEBRA

54I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREDefiniciónEs aquella operación algebraica que consiste en hallar una expresión numérica llamada RAÍZ, conocidas dos cantidades denominadas ÍNDICE y CANTIDAD SUBRADICAL, las cuales verifican la igualdad; ,2 n n a b b an n =↔ = ∈ ≥ donde n : índice del radicala : cantidad subradical o radicandob : raíz enésima de aDefinición de raíz aritméticaSea a un número real positivo y n un número natural (n ≠ 1), se denomina raíz enésima aritmética de a, al número positivo b, tal que bn = a.Esta raíz verifica la definición generaln n ab b a =↔ =Ejemplos explicativos¾ 5 243 = 3 ↔ 35 = 243siendo 3 la raíz quinta aritmética de 243.¾ 4 625 = 5 ↔ 54 = 625siendo 5 la raíz cuarta aritmética de 625.Existencia y unicidad de la raíz en el conjunto En la igualdad n a = b si n es un número natural (n ≥ 2) ya es un valor permisible para que n a esté definida en  elvalor de b existirá y será único.Redefiniendo este concepto general, se tiene que¾ Si n es PAR: a ≥ 0 y b ≥ 0¾ Si n es IMPAR: a ∈   y b ∈ siendo el signo de b, el mismo que el de a.Ejemplos• 6 +729 = +3• 5 +1024 = +4• 3 –1000 = -10Propiedades generales de la radicación en el conjunto P1. ∀ (a, b)∈2 y n un natural impar2 ( , ) y un natural parn nnn n nab a bab nab a b⋅= ⋅∀ ∈⋅= ⋅P2. ∀ (a, b)∈2 y n un natural impar2, 0( , ) y un natural par, 0nn nnn na a bb bab na a bb b= ≠∀ ∈= ≠P3. , m n mn a a = ; (m, n)∈2¾ Si mn es IMPAR : a∈¾ Si mn es PAR : a ≥ 0P4. ∀ n ∈ , n ≥ 2 y a ≥ 0, un número par y mn m m n nmn m m n na aann aa aa= =∀ ∈ ∈= = P5. Si n es par o impar y a ≥ 0Si y son pares y < 0np mp m nnp mp n ma anp aa a==P6. ∀ (a, b)∈2 y n un natural imparm p mn p n n a b ab ⋅= ⋅Si n es par, debemos tener en cuenta que¾ ∀ a < 0 y m un número PAR.m p mn p n n a b ab ⋅= ⋅¾ ∀ a < 0 y m un número IMPAR.m p mn p n n a b ab ⋅ =− ⋅El signo (–) resulta del valor absoluto, veamos( )( ) () m m m m n mn n n a aa a a−=−− =− =− =−RADICACIÓNTheory 02 RadicaciónÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 55 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNClasificación de radicales1. Radicales homogéneosSon aquellos radicales que tienen igual índice.Ejemplos6 6 6 655 5 72 , 24 , 98 y 66xy xy x y +− + , y 3 42. Radicales semejantesSon aquellos radicales que admiten el mismo índicey, además, igual radicando.Ejemplos4 44 4 7 4 2 , 2 , – 2 y –10 2 8( ) , ( ) y ( )x xx xa+b m b+c m c+a mHomogenización de radicalesEsta transformación elemental se fundamenta en el criterio: Un radical no altera su valor intrínseco cuando se multiplica simultáneamente por un mismo número, el índice del radical y el exponente del radicando; es decirn m mp npa a =EjemploHomogenice o dé común índice a los siguientes radicales:6 5 37 4 8x yzw , , ,El MCM de los índices 6; 4; 8 y 2 es igual a 24. Luego, homogenizando se tiene6(4) 4(6) 8(3) 2(12) 5(4) 3(6) 7(3) 1(12) x yz w , ,,Resultan los radicales homogéneos24 20 18 21 12 24 24 24x yzw , , ,Transformación del radical doble a± bDado el irracional a± b , donde a y b son racionales positivos. Para su transformación, analicemos la igualdad algebraicaab x y ±=± ... (I)Del cual, se generan las relaciones: ... ( ) ... ( )ab x yab x y+=+ α−=− βSiendo {x, y} ⊂ +, tal que x > y > 0.Efectuando (a) + (β), resultaab ab x + +− = 2Elevando al cuadrado2a + 2 a2 – b = 4xDespejando: x = a2 a + – b2Del mismo modo (a) – (β), se tieneab ab y + −− = 2Elevando al cuadrado2a – 2 a2 – b = 4yDe aquí: y = a2 a – – b2Sustituyendo: a2 – b = c, donde c > 0Finalmente, todo en (I), se obtiene la forma clásica de la descomposición en radicales simples22 2Siendo:ac ac a bc ab+ − ±= ±= −Condición: a2 – b : cuadrado perfectoEjemplo 12Descomponga 7 40.Identificando: 7 y 40Por condición : 7 40 9 373 73 7 402 27 40 5 2a bc+= == −= =+ −∴+ = ++ =+ÁLGEBRA

56I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREEjemplo 22Transforme 12 108.Identificando: 12 y 108Por condición: 12 108 36 612 6 12 6 12 1082 212 108 9 3 3 3a bc−= == −= =+ −∴− = +− = − =−Deducción de la regla práctica22 2 22Desarrollemos la potencia de ( )() 2() 2a ba b a ab ba b a b ab±± =± +± =+±Extrayendo raíz cuadrada, así2 () 22a b a b aba b a b ab± = +±± = +±REGLA I( )2 , luego2 ; 0, 0+++ = +++ = + > >a b ab a ba b ab a b a bEjemploDescomponga 10 84.10 4 21 10 2 217 3 27 3 7 3++×= +++ × = +REGLA II( )2Considerando que > , se tieneque2 ; 0a b ab a b a ba ba b ab a b a b++− = − = −+− = − >>EjemploTransforme 21 432.21 4 108 21 2 10812 9 2 12 9 12 9 2 3 3−−× = −+− × = − = −Aplicaciones elementales1. ReduzcaA 9 80 7 48 8 60A 9 2 20 7 2 12 8 2 15A ( 5 4) ( 4 3) ( 5 3)A 5= + +− −−= + +− −−=++−−−= ++− 22 3 − 5 + 3 = 42. ReduzcaT 38 12 2 26 8 3 1 = + +−+Analizando por separado los radicales dobles38 12 2 38 2 72 36 2 6 226 8 3 26 2 48 24 2 2 6 2+ = + = + =+− = − = −= −Reemplazando se tieneT (6 2) (2 6 2) 1T 7 26 6 1=++ −+=+ =+3. Simplifique el radicalR 9 27 66 42R 9 27 66 28R 9 2 7 6(2 2)R 9 2 19 6 2 9 2 19 2 18R 9 2( 18 1) 11 2 18R 9 23 2=+ + +=+ + +=+ + +=+ + =+ += + += += + =+4. Transforme en radicales sencillos2 22 22 2P 2 (2 ) 4( ) , 0P 2 4 4( )P 22 ( )P ( ) ( ) 2 ( )( )a a bc abca a bca a bca b c a b c a b ca b c= − − + >+>= − −+= − −+= ++ + −− − ++ −−2 22 22 2P 2 (2 ) 4( ) , 0P 2 4 4( )P 22 ( )P ( ) ( ) 2 ( )( )a a bc abca a bca a bca b c a b c a b ca b c= − − + >+>= − −+= − −+= ++ + −− − ++ −−Por lo tanto: P = ++− −− abc abcÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 57 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN5. Reduzca la expresiónE 13 5 2 1 5 3 2 1 = + + +− +− + x xx xMultiplicando por 22 E 2 26 2 (2 1)(25) 2 10 2 (2 1)(9)2 E ( 2 1 25) ( 2 1 9)xx xxx x= + + + − +− += ++ − +−Factor racionalizante (FR)Es otra expresión irracional, que multiplicada por el denominador irracional de una fracción, la convierte en un nuevo denominador racional, libre de radicales.Veamos el esquemaDados N : numerador de la fracciónDi : denominador irracionalDr : denominador racionalPor lo expuestoeqi rN FR N FR F FD FR D⋅ =⋅ → =Principales casos que se presentanDENOMINADOR IRRACIONALFACTOR RACIONALIZANTEDENOMINADOR RACIONALIZADOCONDICIÓN BÁSICAn am n an – m a n > ma + b a – b a – b a, b∈ +a – b a + b a – b a, b∈ +Teniendo en cuenta que x > 4, resulta2 E 2 1 5 2 1 3 E 4 2 = ++− ++ ∴ = x xRACIONALIZACIÓNConceptoRacionalizar el denominador irracional de una fracción, consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional.Aplicaciones diversas1. Racionalice 5 3 2N Am n=55 5 2 3 235555 55 32 23 55N N A ⋅ =⋅=⋅⋅ ⋅m n mnmn mn mnPor lo tanto: 5 2 3 N A m nmn =2. Racionalice 7 4 56 T9xx y=7 7 532 7 7 53277 77 77 245532 777 77 76 3 6 3 T= =33 3x x y x xyxy xy xy⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅F. R.7 7 3 2 3 2 6 243 2 243 T T3x xy x yxy y = ∴ =3. Racionalice 3 238 4 55 E aabc=⋅ ⋅3 4 3 13 153 2 3 8 2 2 3 13 12 60 3 15 4 3 4 155 5 E a a ab ca b c a b c ab c⋅ ⋅ = = ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅F. R.3 3 4 4 3 13 15 3 13 153 3 4 15 4 155 5 E aab c aab cabc ab c⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = =⋅ ⋅Finalmente: 3 4 3 13 15 5 E ab cbc⋅ ⋅ =ÁLGEBRA

58I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE4. Racionalice 6 A15 6 = − .6 35 2 A35 2 35 2( )( )( )+ = ⋅ − +22 263 5 2 6 A35 2( )( )+ = =−35 23( ) +(3)Por lo tanto: 23 5 2 A3( ) + =5. Racionalice 4 N5 6xx x− = − + , x racional positivo.2 22F. R.2 22 N , en factores(3 2) (3)(2)2 2 2 N32 32 3 Racionalizando: N3 32 3 5 6 N9 3( )( )( )( )( )( )− =−+ ++ − + = = −− −+ + = ⋅ − ++ + + + = = − −xx xx x xxx xx xx xx x x xx x6. Racionalice 42 P35 15 14 6 = +−− .Factorizando el denominador42 42 P57 3 27 3 7 3 5 2 ( ) ( ) ( )( ) = = +− + + −Aplicando doble racionalizaciónFR222242 7352 P7352 735242 7 3 5 2 P735242 7 3 5 2 7 7 3 5 2 P(4)(3) 2(( )( )( )( ) )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )− + = ⋅ +− −+− + =− −−+ −+ = =7. Racionalice 4 N .356 = + +Agrupando convenientemente para aplicar unadiferencia de cuadradosFR2 24 35 6 N35 6 35 643 5 6 43 5 6 N8 2 15 6 35 6( )() ()( )( )( )    + − = ⋅  ++ +−       +− +− = = + − + −2 24 3 5 6 15 1 2 3 5 6 15 1 N2 15 1 15 1 15 1( ) ( ) ( )( )( )( )+− − +− − = ⋅= + − −Finalmente: 3 5 6 15 1 N7( )( ) +− − =Did you know...?El signo “=” para las igualdades fue utilizado por primera vez por el inglés Robert Recorde en 1557 apareciendo por primera vez en su libro El aguzador del ingenio, siendo el primer tratado inglés de álgebra. Según el autor, eligió ese símbolo porque dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas.El símbolo se generalizó hacia finales del siglo XVII. Descartes utilizó un signo semejante al símbolo del infinito.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 59 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. Halle el valor de+ − = −200 72 3 2 K2 18 2Resolución2. Indique el valor equivalente deK 13 2 40 14 2 45 =+ +−Resolución3. Halle el valor deT 8 60 12 140 10 84 =− − + + +Resolución4. Efectúe53 2 E = 55 2 2++−ResoluciónHelico practice•1. Halle el valor de+ − = −200 72 3 2 K2 18 2Resolución2. Indique el valor equivalente deK 13 2 40 14 2 45 =+ +−Resolución3. Halle el valor deT 8 60 12 140 10 84 =− − + + +Resolución4. Efectúe53 2 E = 55 2 2++−ResoluciónHelico practice•1. Halle el valor de+ − = −200 72 3 2 K2 18 2Resolución2. Indique el valor equivalente deK 13 2 40 14 2 45 =+ +−Resolución3. Halle el valor deT 8 60 12 140 10 84 =− − + + +Resolución4. Efectúe53 2 E = 55 2 2++−ResoluciónHelico practice•1. Halle el valor de+ − = −200 72 3 2 K2 18 2Resolución2. Indique el valor equivalente deK 13 2 40 14 2 45 =+ +−Resolución3. Halle el valor deT 8 60 12 140 10 84 =− − + + +Resolución4. Efectúe53 2 E = 55 2 2++−ResoluciónHelico practice•5. Racionalice3 5 M 752 72=+−+ −Resolución6. El costo de 1 kilo de arroz se obtiene de reducir17 12 2 2 2 + −¿Cuál es el costo de un saco de arroz que contiene 25 kilos?Resolución7. Luego de reducir+ −= +− +75 75 M75 75Si 3 5M+4 representa la cantidad de hijos de Edgar, ¿cuántos hijos tiene Edgar?Resolución•5. Racionalice3 5 M 752 72=+−+ −Resolución6. El costo de 1 kilo de arroz se obtiene de reducir17 12 2 2 2 + −¿Cuál es el costo de un saco de arroz que contiene 25 kilos?Resolución7. Luego de reducir+ −= +− +75 75 M75 75Si 3 5M+4 representa la cantidad de hijos de Edgar, ¿cuántos hijos tiene Edgar?Resolución•TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aÁLGEBRA

60I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5. Racionalice3 5 M 752 72=+−+ −Resolución6. El costo de 1 kilo de arroz se obtiene de reducir17 12 2 2 2 + −¿Cuál es el costo de un saco de arroz que contiene 25 kilos?Resolución7. Luego de reducir+ −= +− +75 75 M75 75Si 3 5M+4 representa la cantidad de hijos de Edgar, ¿cuántos hijos tiene Edgar?Resolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Reduzca la expresión+ −−300 75 2 27 K=48 3Resolución2. EfectúeE 5 2 6 7 2 10 =+ +− .Resolución3. SimplifiqueQ 11 120 7 40 8 48 = + −− −+Resolución4. Luego de reducirP = 33 + 85 + 2 55 – 3calcule P4.ResoluciónHelico workshop•11.5. Efectúe y dé el valor simplificado de+ −−+ −10 6 14 10 M=2Resolución6.T = 19 – 8 3 + 3”Indique la nota de los alumnos.Resolución7. Efectúe3 2 3 2 T32 32+ −= +− +Si 3 6T+4 representa el costo de 2 kilos de azúcar, ¿cuál será el costo de 6 kilos de azúcar?ResoluciónVíctor le dice a Pedro: “Lo que se halle como resultado en T2 será la nota de los primeros alumnos del4.o B de \"El Peruanito\", donde12.1. Reduzca la expresión+ −−300 75 2 27 K=48 3Resolución2. EfectúeE 5 2 6 7 2 10 =+ +− .Resolución3. SimplifiqueQ 11 120 7 40 8 48 = + −− −+Resolución4. Luego de reducirP = 33 + 85 + 2 55 – 3calcule P4.ResoluciónHelico workshop•8.1. Reduzca la expresión+ −−300 75 2 27 K=48 3Resolución2. EfectúeE 5 2 6 7 2 10 =+ +− .Resolución3. SimplifiqueQ 11 120 7 40 8 48 = + −− −+Resolución4. Luego de reducirP = 33 + 85 + 2 55 – 3calcule P4.ResoluciónHelico workshop•9.1. Reduzca la expresión+ −−300 75 2 27 K=48 3Resolución2. EfectúeE 5 2 6 7 2 10 =+ +− .Resolución3. SimplifiqueQ 11 120 7 40 8 48 = + −− −+Resolución4. Luego de reducirP = 33 + 85 + 2 55 – 3calcule P4.ResoluciónHelico workshop•10.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 61 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problems1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problems1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problems1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problems1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problems TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Simplifique2 50 4 18 32 E98 2 8+ − = −ResoluciónBuscando radicales semejantesSe sabe que¾ 50 25 2 5 2 = ×=¾ 18 9 2 3 2 = ×=¾ 32 16 2 4 2 = ×=¾ 98 49 2 7 2 = ×=Reemplazando en E 25 2 43 2 4 2 E7 2 22 2( )( )( )+ − = − 18 2 E3 2 =∴ E = 6Rpta.: 62. Si2 4 K 2 1 3 22 n n = +⋅ −calcule K3 + K + 1.ResoluciónExtrayendo raíz cuadrada2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −Multiplicando2 4(2 )2 2 44 44K 2 1 3 22K 2 1 3 22K 3 22 3 22MultiplicandoK 3 22 3 22( )( )( )n nn nn nn= +⋅ −= +⋅ −=+ ⋅−=+ −= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nnEfectuando= −= →=4 2 24K 3 22EfectuandoK 1 K 1( ) nn K3 + K + 1 = 13 + 1 + 1∴ K3 + K + 1 = 3Rpta.: 33. Reduzca F 8 2 15 14 2 33 16 2 55 =+ + − − + .Resolución Transformando a rad. simples F 5 = + 3 + 11 − 3 − ( 11 + 5 ) F = 0Rpta.: 04. Halle el valor de P 83 18 2 18 8 2 = + −+ .ResoluciónRadicales simples P 83 2 9 2 18 2 4 2 = +× − +× = + ×− + ×= + −+2 2 P 83 2 9 2 18 2 4 2P 83 2 162 18 2 32 81+2 81× 2 16+2 16 × 2Por regla prácticaP 81 2 16 2P 81 2 16 2= +− + ( )= +− −Simplificando P = 9 - 4 P = 5Rpta.: 55. Indique el denominador luego de racionalizar20527 + −ResoluciónRacionalizando F R20 5 2 752 7 52 7( )( )( )+ + ⋅ +− ++  2 220 5 2 7 20 5 2 77 52 7( )( )( )++ ++ =+ − + − 2 10 7Efectuando 20 = 5272( ) + +101010⋅ = 50+ 20+ 70 = 5 2 +2 5 + 70∴ El denominador es 1.Rpta.: 1Solved problemsÁLGEBRA

62I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5. Efectúe y dé el valor simplificado de+ −−+ −10 6 14 10 M=2Resolución6.T = 19 – 8 3 + 3”Indique la nota de los alumnos.Resolución7. Efectúe3 2 3 2 T32 32+ −= +− +Si 3 6T+4 representa el costo de 2 kilos de azúcar, ¿cuál será el costo de 6 kilos de azúcar?ResoluciónVíctor le dice a Pedro: “Lo que se halle como resultado en T2 será la nota de los primeros alumnos del4.o B de \"El Peruanito\", donde2.1. Si ( )( ) 4 K 6 35 4 15 14 6 = + −+ + , dé el valor de 65432 K K K K K K1 − + − + −+ .A) 7 2 B) 15C) 15 - 7 2 D) 5 21. Halle el valor deM 16 2 63 18 2 77 11 =+ +− −Resolución2. Efectúe3 3 E 20 14 2 20 14 2 =+ +−A) 20 B) 4C) 24 D) 22. SimplifiqueM 8 60 12 140 7 =+ + − −ResoluciónHelico trialHelico challenge•6.1. Efectúe 72 98 200 B2 8+ − = + .A) 6 B) 3 2C) 10 2 D) 12. Evalúe F 7 2 12 9 2 20 8 60 =+ +− −+ .A) 4 B) 5 + 3C) 0 D) 23. Reduzca2 F 4 12 6 205 3=+ +− −+A) 2 5 B) 3 3C) 0 D) 2 34. P2 es el número de alumnos de la futura promoción de Saco Oliveros; luego racionalice y efectúe4 86 P53 53 3=++− +¿Cuántos alumnos conforman la promoción?A) 120 B) 180C) 60 D) 1005. ¿Cuál es el costo de 20 kg de tomate si el valor de M (en soles) es el precio de 4 kilos?M = 53 5353 53+ −+− +A) S/ 30 B) S/ 40C) S/ 50 D) S/ 60Helico homework•5.3. Reduzca= − + −22 4 M23 1 2 3Resolución4. Luego de racionalizar1 25 P32 535=+−− +se obtieneResolución5. Obtenga el valor equivalente de=+−6 10 E 2 33 5Si E2 representa la edad de Arturo hace 7 años, ¿qué edad tiene Arturo?Resolución7.1. Si ( )( ) 4 K 6 35 4 15 14 6 = + −+ + , dé el valor de 65432 K K K K K K1 − + − + −+ .A) 7 2 B) 15C) 15 - 7 2 D) 5 21. Halle el valor deM 16 2 63 18 2 77 11 =+ +− −Resolución2. Efectúe3 3 E 20 14 2 20 14 2 =+ +−A) 20 B) 4C) 24 D) 22. SimplifiqueM 8 60 12 140 7 =+ + − −ResoluciónHelico trialHelico challenge•4.5. Efectúe y dé el valor simplificado de+ −−+ −10 6 14 10 M=2Resolución6.T = 19 – 8 3 + 3”Indique la nota de los alumnos.Resolución7. Efectúe3 2 3 2 T32 32+ −= +− +Si 3 6T+4 representa el costo de 2 kilos de azúcar, ¿cuál será el costo de 6 kilos de azúcar?ResoluciónVíctor le dice a Pedro: “Lo que se halle como resultado en T2 será la nota de los primeros alumnos del4.o B de \"El Peruanito\", donde1.1. Si ( )( ) 4 K 6 35 4 15 14 6 = + −+ + , dé el valor de 65432 K K K K K K1 − + − + −+ .A) 7 2 B) 15C) 15 - 7 2 D) 5 21. Halle el valor deM 16 2 63 18 2 77 11 =+ +− −Resolución2. Efectúe3 3 E 20 14 2 20 14 2 =+ +−A) 20 B) 4C) 24 D) 22. SimplifiqueM 8 60 12 140 7 =+ + − −ResoluciónHelico trialHelico challenge•3.3. Reduzca= − + −22 4 M23 1 2 3Resolución4. Luego de racionalizar1 25 P32 535=+−− +se obtieneResolución5. Obtenga el valor equivalente de=+−6 10 E 2 33 5Si E2 representa la edad de Arturo hace 7 años, ¿qué edad tiene Arturo?Resolución8.3. Reduzca= − + −22 4 M23 1 2 3Resolución4. Luego de racionalizar1 25 P32 535=+−− +se obtieneResolución5. Obtenga el valor equivalente de=+−6 10 E 2 33 5Si E2 representa la edad de Arturo hace 7 años, ¿qué edad tiene Arturo?Resolución9.1. Si ( )( ) 4 K 6 35 4 15 14 6 = + −+ + , dé el valor de 65432 K K K K K K1 − + − + −+ .A) 7 2 B) 15C) 15 - 7 2 D) 5 21. Halle el valor deM 16 2 63 18 2 77 11 =+ +− −Resolución2. Efectúe3 3 E 20 14 2 20 14 2 =+ +−A) 20 B) 4C) 24 D) 22. SimplifiqueM 8 60 12 140 7 =+ + − −ResoluciónHelico trialHelico challenge•10.PARA EL CUADERNOÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 63 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNI. Factorial de un número naturalDefiniciónEl factorial de un número natural n, es el productoque resulta de multiplicar todos los números naturalesconsecutivos desde el 1, hasta el número n inclusive.Simbología: n!, n , n ; (L = Lamba)Lectura: Factorial del número n∀ n∈ se definen! = 1 ; n = 0 ∨ n = 11× 2 × 3 × ... × n ; n ≥ 2Ejemplos¾ 6! = 1×2×3×4×5×6 = 720¾ 4! = 1×2×3×4 = 24¾ x+5 = 1×2×3 ... (x+3)(x+4)(x+5)¾ 2p – 1 = 1×2×3 ... (2p– 3)(2p – 2)(2p – 1)¾ (a2)! = 1×2×3 ... (a2 – 2)(a2 – 1)(a2)Propiedades1.º Por definiciónn = 1×2×3 . . . (n –1) nn – 1Ordenando: n = n n –1 , n ≥ 2Ejemplos ¾ 100=100 99¾ (x+1)! = (x+1) x!2.º Si n = 1 → n = 0 ∨ n = 1EjemploCalcule la suma de los valores que puede adquirir la incógnita x, en la ecuación (2x2 – x)! = 1Luego: 2x2 – x = 0 ∨ 2x2 – x = 1Fact: x(2x – 1) = 0 ∨ 2x2 – x – 1 = 0 x(2x – 1) = 0 ∨ (2x+1)(x – 1) = 0x1= 0 ∨ x2 = 12 ∨  x3= – 12 ∨ x4 =1Nos piden: x1 + x2 + x3 + x4 = 13.º ∀a, b∈, tal que a, b ≠ 0; 1, se cumple queSi a = b → a = bEjemploResuelva la ecuación m(2m + 1) = 720.Como: 6 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720Resulta: 2m2 + m = 6Por la propiedad: 2m2 + m = 6 2m2 + m – 6 = 0Factorizando: (2m – 3)(m + 2) = 0Entonces: m = 32 ∨ m = –2 4.º Descomposición general de un factorialPor definiciónn = n(n –1)(n – 2)...(n – k+ 1)(n – k)...3×2×1n – kn = n(n –1)(n – 2)...(n – k+ 1) n – k , n > kEjemplos¾ 100 = 100 × 99 × 98 × ... 55× 54¾ 78 = 78 × 77 × 76 × ... 24× 23¾ x+30 =(x+30)(x+29)(x+28)...(x+1) x¾ 3n – 2 =(3n–2)(3n–3)(3n–4)...(3n–11) 3n – 12¾ m2 =(m2)(m2–1)(m2–2)...(m2–n) m2–n–1Ejemplo: Dé el valor de la expresión12 11 10 E 9 8 7 12 11 10 9 10 9 8 11 10 9 8 7 E 9 8 7 =++×× × × ×× = ++E = 1320 + 90 + 7920 = 9330Propiedades auxiliaresa. ∀ n∈, n ≥ 1 se cumple quen + n+1 = (n + 2) nEjemplos¾ 7 + 8 = 9 7¾ 111 + 112 =113 111¾ (x – 1)! + x! = (x+1)(x – 1)!FACTORIAL Y NÚMERO COMBINATORIOTheory 03 Factorial y Número CombinatorioÁLGEBRA

64I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREb. ∀ n∈, n ≥ 1 se cumple que2 nn n n n + ++ + = + 1 2 ( 2)Ejemplos¾ 7 + 8 + 9 = 92 7 = 81 7¾ 54 + 55 + 56 = 562 54¾ (m–1)!+m!+(m+1)!=(m+1)2(m–1)!c. Descomposición racional de una fracción1 1 , 1 1 1=− ≥+ +nnn nnEjemplo: Calcule la suma en1 2 3 4 100 S ... 2 3 4 5 101Descomponiendo cada una de las fracciones11111 1 1 S 1 ... 2 2 3 3 4 100 1011 Resulta: S 1101= +++++=− + − + − + + −= −II. Semifactorial cofactorial o cuasifactorial de unnúmero naturalSimbología: n , n!!Lectura: “semifactorial del número n”∀ n∈*, se definen!!=2×4×6×8 ... n, si n es PAR1×3×5×7 ... n, si n es IMPAREjemplos– Para números pares, se tienen6!! = 2 × 4 × 6 = 4810!! = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 = 3840(2m)!! = 2 × 4 × 6 × 8 ... (2m - 4)(2m - 2)(2m)(8p+12)!! = 2 × 4 × 6 × 8 ...(8p + 8)(8p + 10)(8p + 12)– Para números impares, se muestran5!! = 1 × 3 × 5 = 159!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945(2n + 1)!! = 1 × 3 × 5 × 7 ...(2n - 3)(2n - 1)(2n + 1)(6x - 17)!! = 1 × 3 × 5 × 7...(6x - 21)(6x - 19)(6x -  17)También debemos observar que(n!)! ≠ n!!, n∈ Fórmulas generales del semifactoriala. Si n es un número PARn!! = 2×4×6×8 ... nveces 22 !! (2 1)(2 2)(2 3)(2 4)... 2 2 !! 2 2 2 ... 2 1 2 3...2Por lo tanto: !! 22       =× × × × ×      =×× ××    = nnnnnnnnEjemplos¾ 100!! = 250 50¾ (2m)!! = 2m mb. Si n es un número IMPARn!! = 1×3×5×7 ... nMultiplicando y dividiendo por[2×4×6 ... (n – 1)]1 veces 2121×2×3×4×5×6 ... ( 1)( ) !!2×4×6 ... ( 1) !! 1 (2×1)(2×2)(2×3) ... 2 2 !! 1 2×2×2 ... 2 1×2×3 ... 2Por lo tanto: !!2  −    −− = −=     −        =     −        = nnn nnnnnnnnnnnn 12−Ejemplos1271255 255!!2 1272 1 (2 1)!!2 1 −=− − = − mmmmÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 65 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNIII. Número combinatorioDefiniciónCombinaciones de n elementos, tomados de k en k(n ≥ k), es el número de maneras en que se puedenagrupar los n elementos en grupos de k elementos,de tal manera que un grupo se diferencie de otro,por lo menos, en un elemento, sin interesar el ordende sus elementos.Ejemplo explicativo¿De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementostomados de dos en dos sin importar el orden? Veamos:Sean: a, b, c, d, e, fSe obtienenab ac ad ae af 5bc bd be bf 4cd ce cf 3de df 2ef 1N.º total de maneras = 15ba no es una nueva combinación, porque tiene los mismos elementos que ab.En general, se trata de agrupar n elementos tomados de k en k. El número de maneras se obtiene a partir de la fórmula matemática2 C = , ( , ) , ∈ ≥ ⋅ −  nkn nk n kknkdonden : es el índice superior, el cual nos indica el número total de elementos.k : es el índice inferior, el cual nos muestra el número de elementos existentes en cada grupo.Aplicándolo en el ejemplo anterior626 6×5× 4 N.º de maneras C 152 × 6 2 1×2× 4 = = = = −Regla prácticaEn la definición, aplicando la descomposición general factores factores( 1)( 2)...( 1) CPor lo tanto( 1)( 2)...( 1) C1 2 3 ... − − −+ − = ⋅ −− − −+ = × ×nkknkknn n n k n kknknn n n kkEjemplos1171062 2 2511 10 9 8 7 6 5 C 330123456710 9 8 7 6 5 C 210123456( 2)( 1)( )( 1)( 2) ( 1)( 4) C12345 120n+ n n n n n nn n× ××××× = = ××××××××××× = = ×××××+ + −− − − = = ××××Propiedades1.º Combinaciones complementariasn Ck = Cn – k , n ≥ k nEjemplos11 117 4100 10097 32 1 12 311 10 9 8 CC 3301234100 99 98 CC 161700123( 1)( )( 1) 1 CC123 6n n ( ) n+ + n nn n n−× ×× = = = ×××× × = = = × ×+ − − = = = × ×Estamos observando que para ciertos números combinatorios, esta propiedad, nos permite reducir sus índices inferiores.Observación importanteAl analizar n Ck , en el conjunto +Z0 y aplicar laanterior propiedad para k = n, se obtienen Cn = n Cn – n = n C0Por la teoría combinatoria se sabe que n C0 = 1.Por lo tanto: n C0 = 1Aplicando la definición del número combinatorio10 0Simplificando 1 01 Resulta la relación: 10= ⋅ −= ⋅=nnnnConvencionalmente, para que esta igualdad esté definida, se concluye que0 = 1ÁLGEBRA

66I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREFinalmente, será correcto afirmar lo siguiente:14 1414 02 22 05 55 01 1 21 0CC1C C 1, *C C 1, *C C 1, 1, ( , )m mmx xxnp npn pmxn p np+ ++−+ −+− += == = ∀∈= = ∀∈= = >− ∈Consecuencia de la propiedadSi se tiene la igualdad: n Cr = n Cp ... (a)Se cumple: r = pEn (a), aplicando la propiedad: n Cr = n Cn – pSe verifica: r = n – p, es decir: r + p = nEn síntesisSi C C n nr p = → = ∨ += r p r pnDebemos tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son relaciones mutuamente excluyentes; es decir, una de ellas es independiente de la otra.2.º Suma de combinaciones11 1 C C C , nn nkk k n k ++ + += ≥Ejemplos10 10 1134 4120 21 211 11CC CCC CCC Cnn nmm mxx x+− −−+ =+ =+ =Ejercicio: Calcule la suma en4567812345 PC C C C C =++++Sumando y restando 4 C0 , resulta445678401 23450 PC C C C C CC =+++++−5 C16 C27 C38 C49 C59 95 4 PC1C 19876 P 1 126 –1 1251234= −= −××× = −= = ×××3.º Degradación de índices−−−−= ≥≥= ≥≥ −− + = ≥ ≥1111a. C C , 1b. C C , 01 c. C C , 1n nk kn nk kn nk kn n kkn n kn kn k n kkEjemplos explicativos1. Resuelva 20 m C5 = 3m m–1 C3 .Descomponiendo el 20 y pasando a dividir uno de sus factores, resulta15 3 5C 3 C4  − =     m m mPor la propiedad 3b), se tiene5 m C5 = 3 m C4En el primer miembro, degradando el índice inferior, por 3c)4 45 1 5 C 3C5  m − + m m   =  Simplificando: m – 4 = 3 → m = 72. Simplifique la expresión314 52232 14 5232 255 51 14 4C ( 2)C 5 P , 51 C20C ( 2)C 5 P , por 3b) ( 1) 1 C5 4C ( 2)C –2 CP ( 1) C ( 1) C 5 5( )( )−−−−− −    − +   = ≥ −    − +   = + −      −+ − = = +   +    x xxx xxxx xx xxxxx xxx xxx xx x xxx x xxÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 67 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNFactorizando el numerador y aplicando la propiedad 3a) en el denominador55( 1)( 2)C P 2, 5( 1)Cxxx xx xx+ − = = − ∀≥+3. ¿Qué valor de n verifica la igualdad?2 21 22 2412 3 33 C C C C –14nn n n ++ + ++ =Pasando la unidad al primer miembro, y expresándolo como un número combinatorio, así2 2 21 22 2401 2 3 33 CCC C C4nnn n n ++ + ++ + =2n+1 C12n+2 C22n+3 C32n+4 C3++= 34En el segundo miembro, aplicando la propiedad 3c)+ +   + =     + −2 3 2 33 33 (2 4) C C4 (2 4) 3n n nn4(2n+1) = 3(2n+4)8n + 4 = 6n + 122n = 8 → n = 4ÁLGEBRA

68I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Simplifique32! 33! 67! P34! 66! 65!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de x si( 4)! ( 2)! 720( 3)! ( 2)!x xx x+ ⋅+ = + ++Resolución5. ReduzcaT = 4 C3 + 5 C3 + 6 C3 + 7 C3 +...+ 100 C3ResoluciónPor sus complementosT = 4 C0 + 4 C1 + 5 C2 + 6 C3 + 7 C4 +...+ 100 C97 – 1Aumentando y restando 1 = 4 C0T = 4 C0 + 4 C1 5 C1 + 5 C2    6 C2 + 6 C3 7 C3 + 100 C96 + 100 C97 101 C97 – 1Rpta.: 101 C97 – 1Helico practice1. Simplifique32! 33! 67! P34! 66! 65!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de x si( 4)! ( 2)! 720( 3)! ( 2)!x xx x+ ⋅+ = + ++Resolución5. ReduzcaT = 4 C3 + 5 C3 + 6 C3 + 7 C3 +...+ 100 C3ResoluciónPor sus complementosT = 4 C0 + 4 C1 + 5 C2 + 6 C3 + 7 C4 +...+ 100 C97 – 1Aumentando y restando 1 = 4 C0T = 4 C0 + 4 C1 5 C1 + 5 C2    6 C2 + 6 C3 7 C3 + 100 C96 + 100 C97 101 C97 – 1Rpta.: 101 C97 – 1Helico practice3. Halle el valor de x si se cumple que( 2)! ( 3)! ( 4)! 25( 3)! ( 2)! 2xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de n en3 2n C3 = 44 n C2Resolución5. Calcule12 12 1345714 146 7CCCPC C+ + = +Resolución6. Pedro le regala a su esposa una licuadora marca Oster, cuyo precio fue el valor de 2T soles, donde T está dado porT = 8 C5 + 8 C6 + 9 C7 + 10 C8 + 11 C2¿Cuánto le costó la licuadora a Pedro?Resolución•3. Halle el valor de x si se cumple que( 2)! ( 3)! ( 4)! 25( 3)! ( 2)! 2xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de n en3 2n C3 = 44 n C2Resolución5. Calcule12 12 1345714 146 7CCCPC C+ + = +Resolución6. Pedro le regala a su esposa una licuadora marca Oster, cuyo precio fue el valor de 2T soles, donde T está dado porT = 8 C5 + 8 C6 + 9 C7 + 10 C8 + 11 C2¿Cuánto le costó la licuadora a Pedro?Resolución•TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 69 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN7. Halle el valor de11 11 112921193C 5C 7CMC− + =Si 3M representa la edad de Arturito, ¿cuál será su edad dentro de 5 años?Resolución1. Reduzca16! 17! 52! T18! 50! 51!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de n en la ecuación( 7)! ( 5)! 56(6!) ( 6)! ( 5)!n nn n+ ⋅+ = + ++ResoluciónHelico workshop3. Halle el valor de x si se cumple que( 2)! ( 3)! ( 4)! 25( 3)! ( 2)! 2xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de n en3 2n C3 = 44 n C2Resolución5. Calcule12 12 1345714 146 7CCCPC C+ + = +Resolución6. Pedro le regala a su esposa una licuadora marca Oster, cuyo precio fue el valor de 2T soles, donde T está dado porT = 8 C5 + 8 C6 + 9 C7 + 10 C8 + 11 C2¿Cuánto le costó la licuadora a Pedro?Resolución•3. Halle el valor de x si se cumple que( 2)! ( 3)! ( 4)! 25( 3)! ( 2)! 2xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de n en3 2n C3 = 44 n C2Resolución5. Calcule12 12 1345714 146 7CCCPC C+ + = +Resolución6. Pedro le regala a su esposa una licuadora marca Oster, cuyo precio fue el valor de 2T soles, donde T está dado porT = 8 C5 + 8 C6 + 9 C7 + 10 C8 + 11 C2¿Cuánto le costó la licuadora a Pedro?Resolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a7. Halle el valor de11 11 112921193C 5C 7CMC− + =Si 3M representa la edad de Arturito, ¿cuál será su edad dentro de 5 años?Resolución1. Reduzca16! 17! 52! T18! 50! 51!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de n en la ecuación( 7)! ( 5)! 56(6!) ( 6)! ( 5)!n nn n+ ⋅+ = + ++ResoluciónHelico workshop8.ÁLGEBRA

70I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a3. Halle el valor de x en( 1)! ( 2)! ( 3)! 64( 2)! ( 1)! 1xx xx x x+++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de x si5 x C5 = 8 x –1 C3Resolución5. Simplifique21 21 22 23567824 248 16CCCCMC C+++ = +Resolución6. Willmer comunica a sus alumnos lo siguiente:“Luego de simplificar7 7 8 9 1045672 TCCCCC =++++•el número de alumnos del local de Quilca de \"ElPeruanito\" es el valor de 10T”.¿Cuántos alumnos tiene el colegio?Resolución11.3. Halle el valor de x en( 1)! ( 2)! ( 3)! 64( 2)! ( 1)! 1xx xx x x+++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de x si5 x C5 = 8 x –1 C3Resolución5. Simplifique21 21 22 23567824 248 16CCCCMC C+++ = +Resolución6. Willmer comunica a sus alumnos lo siguiente:“Luego de simplificar7 7 8 9 1045672 TCCCCC =++++•el número de alumnos del local de Quilca de \"ElPeruanito\" es el valor de 10T”.¿Cuántos alumnos tiene el colegio?Resolución12.7. Halle el valor de11 11 112921193C 5C 7CMC− + =Si 3M representa la edad de Arturito, ¿cuál será su edad dentro de 5 años?Resolución1. Reduzca16! 17! 52! T18! 50! 51!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de n en la ecuación( 7)! ( 5)! 56(6!) ( 6)! ( 5)!n nn n+ ⋅+ = + ++ResoluciónHelico workshop9.3. Halle el valor de x en( 1)! ( 2)! ( 3)! 64( 2)! ( 1)! 1xx xx x x+++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de x si5 x C5 = 8 x –1 C3Resolución5. Simplifique21 21 22 23567824 248 16CCCCMC C+++ = +Resolución6. Willmer comunica a sus alumnos lo siguiente:“Luego de simplificar7 7 8 9 1045672 TCCCCC =++++•el número de alumnos del local de Quilca de \"ElPeruanito\" es el valor de 10T”.¿Cuántos alumnos tiene el colegio?Resolución10.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 71 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•1. Halle el valor de 10! 11! 23! P12! 21! 22!   + =       +ResoluciónLlevando al factorial del menor número10! 11 10! 23 22 21! P12 11 10! 21! 22 21!Factorizando10! P+× × × = ⋅ ×× + ×= (1 11)12 11 10!+× ×23 22 21! × × ⋅ 21!(1 22)Simplificando12 P+= 122311 ⋅ ×2223×1 P 22 P 211=⋅ → =Rpta.: 22. Reduzca18 18 187 11 71873C 5C 8CM3C− + =ResoluciónPor complemento18 C7 = 18 C11Reemplazando en M18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Efectuando18 18 187771871873C 5C 8CM3CEfectuando6 CM− + == 187 3C M2 ∴ =Rpta.: 23. Calcule la siguiente sumaS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8Resolución:Sumando número combinatorioS = 10 C4 + 10 C5 + 11 C6 + 12 C7 + 13 C8 11 C5 12 C6 13 C7 14 C8Simplificando se tiene∴= = =714 148 614 SC C × × 13 12 × × 11 10 × 391 2 × × 3 × 4 × 5 × 6 = 3003Rpta.: 30034. Simplifique ! ( 1)! ( 1)! Q ! ( 2)! ( 2)( 1)!nn nn n nn n+− ++ = ++ − + − .ResoluciónLlevando al factorial del menor( 1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! Q ( 1)! ( 2)( 1) ( 1)! ( 2)( 1)!nn n n nnnn n n nn nn n− +− ++ − = − ++ + − − + −Factorizando( 1)Q − = n 2 ! 1( 1)  ++ +  −n nnn n 2 !1 3 2   +++ n n − − n 2  Simplificando222 1 Q( 2 1)n nnn n+ + = + +Luego1 Qn =Rpta.:1nSolved problems•ÁLGEBRA

72I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Simplifique32! 33! 67! P34! 66! 65!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de x si( 4)! ( 2)! 720( 3)! ( 2)!x xx x+ ⋅+ = + ++Resolución5. ReduzcaT = 4 C3 + 5 C3 + 6 C3 + 7 C3 +...+ 100 C3ResoluciónPor sus complementosT = 4 C0 + 4 C1 + 5 C2 + 6 C3 + 7 C4 +...+ 100 C97 – 1Aumentando y restando 1 = 4 C0T = 4 C0 + 4 C1 5 C1 + 5 C2    6 C2 + 6 C3 7 C3 + 100 C96 + 100 C97 101 C97 – 1Rpta.: 101 C97 – 1Helico practicePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Simplifique32! 33! 67! P34! 66! 65!  +   =       +Resolución2. Halle el valor de x si( 4)! ( 2)! 720( 3)! ( 2)!x xx x+ ⋅+ = + ++Resolución5. ReduzcaT = 4 C3 + 5 C3 + 6 C3 + 7 C3 +...+ 100 C3ResoluciónPor sus complementosT = 4 C0 + 4 C1 + 5 C2 + 6 C3 + 7 C4 +...+ 100 C97 – 1Aumentando y restando 1 = 4 C0T = 4 C0 + 4 C1 5 C1 + 5 C2    6 C2 + 6 C3 7 C3 + 100 C96 + 100 C97 101 C97 – 1Rpta.: 101 C97 – 1Helico practice7. Reduzca a su mínima expresión777343732C 5C 4CEC+ + =Si el valor de 5E es el precio de un saco de arroz, ¿cuál será es costo de 3 sacos de arroz?Resolución1. Calcule y – x si se cumple que( ) 100201 CC C1y yx yx y xx − − = +A) 119 B) 179C) 81 D) B o C2. Halle el valor de n en1 + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = 719A) 5 B) 6C) 8 D) 9Helico trial2.1. Indique el valor reducido de11! 12! 13! P11! 12!+ + = +Resolución2. Halle el valor de x.( 6)! ( 7)! ( 8)! 81( 7)! ( 6)! 6xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución3. ReduzcaQ = 7 C3 + 7 C4 + 8 C5 + 9 C6 + 10 C7 + 11 C3Resolución4. Calcule la suma de los valores de n.C13 = C137 n–3ResoluciónHelico challenge•6.1. Indique el valor reducido de11! 12! 13! P11! 12!+ + = +Resolución2. Halle el valor de x.( 6)! ( 7)! ( 8)! 81( 7)! ( 6)! 6xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución3. ReduzcaQ = 7 C3 + 7 C4 + 8 C5 + 9 C6 + 10 C7 + 11 C3Resolución4. Calcule la suma de los valores de n.C13 = C137 n–3ResoluciónHelico challenge•5.1. Indique el valor reducido de11! 12! 13! P11! 12!+ + = +Resolución2. Halle el valor de x.( 6)! ( 7)! ( 8)! 81( 7)! ( 6)! 6xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución3. ReduzcaQ = 7 C3 + 7 C4 + 8 C5 + 9 C6 + 10 C7 + 11 C3Resolución4. Calcule la suma de los valores de n.C13 = C137 n–3ResoluciónHelico challenge•7.7. Reduzca a su mínima expresión777343732C 5C 4CEC+ + =Si el valor de 5E es el precio de un saco de arroz, ¿cuál será es costo de 3 sacos de arroz?Resolución1. Calcule y – x si se cumple que( ) 100201 CC C1y yx yx y xx − − = +A) 119 B) 179C) 81 D) B o C2. Halle el valor de n en1 + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = 719A) 5 B) 6C) 8 D) 9Helico trial4.3. Halle el valor de x en( 1)! ( 2)! ( 3)! 64( 2)! ( 1)! 1xx xx x x+++ ++ = + −+ +Resolución4. Halle el valor de x si5 x C5 = 8 x –1 C3Resolución5. Simplifique21 21 22 23567824 248 16CCCCMC C+++ = +Resolución6. Willmer comunica a sus alumnos lo siguiente:“Luego de simplificar7 7 8 9 1045672 TCCCCC =++++•el número de alumnos del local de Quilca de \"ElPeruanito\" es el valor de 10T”.¿Cuántos alumnos tiene el colegio?Resolución1.1. Indique el valor reducido de11! 12! 13! P11! 12!+ + = +Resolución2. Halle el valor de x.( 6)! ( 7)! ( 8)! 81( 7)! ( 6)! 6xxxxx x+ ++ ++ = + −+ +Resolución3. ReduzcaQ = 7 C3 + 7 C4 + 8 C5 + 9 C6 + 10 C7 + 11 C3Resolución4. Calcule la suma de los valores de n.C13 = C137 n–3ResoluciónHelico challenge•3.5. El maestro Huapaya le regala a su prometida un celular, cuyo precio fue el valor de 15M soles, donde M está dado porM = 7 C5 + 5 C3 + 6 C1¿Cuánto invirtió el maestro Huapaya en el regalo?Resolución4. Hallando el valor de 7T, este indica la edad del maestro Chumbi, donde T está dado por++ ++ = +++ ++7! 8! 9! 1! 2! 3! T6! 7! 8! 2(2! 3! 4!)¿Cuál es la edad del maestro Chumbi?A) 67 años B) 63 añosC) 56 años D) 49 años5. Sea la expresiónx C2 + x+1 C3 + x+2 C4 = 70 – xSi el valor de x2 – 1 representa la cantidad de alumnos aprobados en el curso de Álgebra, ¿cuántos alumnos aprobaron?A) 24 B) 26C) 27 D) 281. Halle el valor de x si( 9)! ( 7)! 19!( 8)! ( 7)!x xx x+ ⋅+ = + ++A) 7 B) 9C) 10 D) 112. EfectúeQ = 3 22 C7 + 5 22 C15 + 22 C7 4 22 C15 – 22 C7A) 10 B) 3C) 9 D) 13. Halle el valor de x en11 C5x–5 = 11 C4x–2y dé como respuesta la suma de valores de este.A) 3 B) 5C) 6 D) 8Helico homework8.5. El maestro Huapaya le regala a su prometida un celular, cuyo precio fue el valor de 15M soles, donde M está dado porM = 7 C5 + 5 C3 + 6 C1¿Cuánto invirtió el maestro Huapaya en el regalo?Resolución4. Hallando el valor de 7T, este indica la edad del maestro Chumbi, donde T está dado por++ ++ = +++ ++7! 8! 9! 1! 2! 3! T6! 7! 8! 2(2! 3! 4!)¿Cuál es la edad del maestro Chumbi?A) 67 años B) 63 añosC) 56 años D) 49 años5. Sea la expresiónx C2 + x+1 C3 + x+2 C4 = 70 – xSi el valor de x2 – 1 representa la cantidad de alumnos aprobados en el curso de Álgebra, ¿cuántos alumnos aprobaron?A) 24 B) 26C) 27 D) 281. Halle el valor de x si( 9)! ( 7)! 19!( 8)! ( 7)!x xx x+ ⋅+ = + ++A) 7 B) 9C) 10 D) 112. EfectúeQ = 3 22 C7 + 5 22 C15 + 22 C7 4 22 C15 – 22 C7A) 10 B) 3C) 9 D) 13. Halle el valor de x en11 C5x–5 = 11 C4x–2y dé como respuesta la suma de valores de este.A) 3 B) 5C) 6 D) 8Helico homework9.7. Reduzca a su mínima expresión777343732C 5C 4CEC+ + =Si el valor de 5E es el precio de un saco de arroz, ¿cuál será es costo de 3 sacos de arroz?Resolución1. Calcule y – x si se cumple que( ) 100201 CC C1y yx yx y xx − − = +A) 119 B) 179C) 81 D) B o C2. Halle el valor de n en1 + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = 719A) 5 B) 6C) 8 D) 9Helico trial10.PARA EL CUADERNOÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 73 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNEl desarrollo polinomial de la potencia de (a+b)n, siendo n un número natural, viene dada por la fórmula0( ) C , 0n n n nk kkkab a bnk −=+ = ∑ ≥ ≥Expansión de la potencia de (a+b)n− −++ = + + ++ 1 2201 2( 1) términos( ) C C C ... C n nn nn nn n nnnab a a b a b b Demostración deductiva del teoremaSe tiene la multiplicación indicada generalP=(a+b1)(a+b2)(a+b3) ... (a+bn–2)(a+bn–1)(a+bn)Efectuemos aplicando la propiedad de StevinP=an+S1an–1+S2an–2+S3an–3+...+Sn ... (a)En el cualS1=b1+b2+b3+...+bnS2=b1b2+b1b3+...+bn –1bnS3=b1b2b3+b1b2b4+...+bn –2bn –1bnSn=b1b2b3 ... bnHaciendob1=b2=b3=...=bn –2=bn –1=bn=bReemplazando en la multiplicación inicial=+ + + + + + factoresP ( )( )( )...( )( )( )na ba ba b a ba ba bResulta: P=(a+b)n, n ∈ * ... (β)Análogamente, sustituyendo en el polinomio de Stevin, los coeficientes Sk (1 ≤ k ≤ n), los cuales los reducimospor separado del siguiente modo:−− −=+++ += =− = + + ++ = =− − = + + ++ = ==⋅⋅1 1 veces222 2 2 22 2( 1) veces 2333 3 3 33 3( 1)( 2) veces 6S ... C( 1) S ... C2( 1)( 2) S ... C6Snnnn nnnn nnb b b b nb bn n bbb b b bnn n bbb b b bbbb⋅ ⋅= = veces... C n nnn nbb bReemplazando los equivalentes de los Sk en (a)1 22 3312 31 22 3301 2 3P C C (C ) ... (C )Ordenando, se tiene queP C C C C ... C() ( ) n n n n n n n nnnnn nn nn nn n nna ba b a b a ba ab ab ab b−−−−− −= + + + ++= + + + ++Igualando con (β), se concluye que1 2201 2 ( ) C C C ... C n nn nn nn n nn ab a a b a b b − − + = + + ++con lo cual queda demostrado el teorema.Ejemplos diversos¾ Desarrolle la potencia (a+b)4.44 4404 4 4 4 31 4 22 4 13 4 401 2 3 4Por el teorema: ( ) CEvaluando sucesivamente para = 0; 1; 2; 3 y 4( )C C C C Ck kkka+b a bka b a ab ab ab b−==+= + + + +∑Por lo tanto(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4¾ Expanda la potencia de (a – b)5.Por Newton55 5 550( ) () C () [ ] k kkkab a b a b −=− = +− = − ∑Del mismo modo, evaluando para k=0; 1; 2; 3; 4 y 55 55 54 1 53 2 52 3 51 4 5 501 2 3 4 5 ( – ) C C (– ) C (– ) C (– ) C (– ) C (– ) ab a a b a b a b a b b =+ + + + +Efectuando(a – b)5=a5 – 5a4b+10a3b2 – 10a2b3+5ab4 – b5¾ Muestre el desarrollo polinomial de (3x3+2y2)3.Por el teorema33 23 3 33 20(3 2 ) C (3 ) (2 ) k kkkxy x y −=+ = ∑Evaluando la forma genérica para k=0; 1; 2 y 33 23 3 33 3 32 21 3 31 22 3 2301 2 3 (3 2 ) C (3 ) C (3 ) (2 ) C (3 ) (2 ) C (2 ) xy x x y x y y += + + +TEOREMA DE NEWTONTheory 04 Binomio de NewtonÁLGEBRA

74I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREEfectuando operaciones elementales en el segundo miembro9 62 34 3 32 321 6 1(27 ) (9 )(2 ) (3 )(4 ) (8 ) 1 12 123 x xy xy y × × × =+ + + × × ×Finalmente se tiene que(3x3+2y2)3=27x9+54x6y2+36x3y4+8y6Características del desarrollo de (a+b)nEn la potencia del binomio de Newton1 22 2 2 101 2 2 1 ( ) C C C ... C C C n nn nn nn n n n n nnn nn ab a a b a b a b ab b − − − −− − + = + + ++ + +Números combinatorios complementariosSe observa las siguientes características:1.º El desarrollo de (a+b)n es un polinomio homogéneo de grado n y, además, es completo con respecto a las variables a y b.2.º El número de términos de la expansión de (a+b)nes igual a (n+1).3.º Los coeficientes de los términos equidistantes de losextremos son números combinatorios complementarios. Por tal razón, tendrán el mismo valor. Algunos de estos son0 11 12 2 C C , C C , C C , ... n nn n n nn n − − = = =4.º En la potencia de (a+b)n, los exponentes de a disminuyen de uno en uno (a partir de n), mientras los de b aumentan de uno en uno (hasta llegar a n).Triángulo de TartagliaEste arreglo de números distribuidos triangularmente, fue diseñado por Niccolò Fontana (1500 -1557), matemático italiano apodado Tartaglia. Dicho triángulo aritmético presenta la siguiente estructura:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1 ...donde cada número colocado en los lados del triángulo son iguales a 1, y cada número ubicado interiormente es la suma de los dos números ubicados sobre él, en la línea horizontal anterior; la ampliación de dicho triángulo aritmético puede continuarse a voluntad, es decir, según la necesidad del estudiante.Si observamos en detalle los elementos del triángulo, podemos deducir que, cada uno de ellos se puede expresar como un número combinatorio, tal como sigue0 C01 C0 1 C12 C0 2 C1 2 C23 C0 3 C1 3 C2 3 C34 C0 4 C1 4 C2 4 C3 4 C45 C0 5 C1 5 C2 5 C3 5 C4 5 C56 C0 6 C1 6 C2 6 C36 C4 6 C5 6 C67 C0 7 C1 7 C2 7 C3 7 C4 7 C5 7 C6 7 C7...n C0 n C1n C2 n C3 ... n Cn–3 n Cn–2 n Cn–1 n CnComo la (n+1) fila nos representa los coeficientes de (a+b)n, concluimos que los números combinatorios distribuidos horizontalmente en cada fila de dicho triángulo, nos expresan los coeficientes de la potencia de un cierto binomio.EjemploDesarrolle (a+b)6.Se sabe que todos los términos son positivos. Luego, tomando los números combinatorios de la sétima fila6 6 6 6 5 6 42 6 33 6 24 6 5 6 601 2 3 4 5 6 ( )C C C C C C C a b a a b a b a b a b ab b += + + + + + +Luego(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6Otro ejemploExpanda (a – b)7.Considerando que los signos de los términos son alternadamente positivos y negativos, tomemos los números combinatorios de la octava fila7 7 7 7 6 7 52 7 43 7 34 7 25 7 6 7 701 2 3 4 5 6 7 ( )C C C C C C C C a b a a b a b a b a b a b ab b −= − + − + − + −Finalmente(a–b)7=a7–7a6b+21a5b2–35a4b3+35a3b4–21a2b5+7ab6–b7Término general (Tk+1)Cualquier término del desarrollo de (a+b)n, siendo n un exponente natural, viene dado por la fórmula de recurrencia1 T C , * n nk kk k abn −+ = ∈donde (k+1) nos indica la posición que ocupa el término de dicho desarrollo.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 75 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNRegla para determinar el signo de Tk+1¾ Si b > 0, todos los términos de la potencia de (a+b)nserán POSITIVOS.¾ Si b < 0, los signos de los términos dependerán de laposición que ocupan, tal como sigue• Términos de lugar impar son POSITIVOS.• Términos de lugar par son NEGATIVOS.Ejemplos explicativos1. Determine el cuarto término del desarrollo de(x4+2y3)5En la fórmula generaln=5, k+1=4 → k=35 453 334 38 94T C ( ) (2 )543 T ( )(8 ) 123x yx y− =× × = × ×Por lo tanto: T4=80x8y92. Indique el tercer y sexto término de la potencia de laexpresión racional85 1x x , 0x    − ≠  Del mismo modo: n = 8k+1=3 → k=228 5823 230 283 3 21 T C( )87 1 T ( ) T 28 1 2xxx xx−   =   − ×   =   → = ×  Se comprueba que el tercer término es positivo.Análogamente: n = 8k+1=6 → k=5−   =   − ××××   =   − → = − ××××  58 5856 515 106 6 51 T C( )87654 1 T ( ) T 5612345xxx xxEl sexto término resultó negativo como se esperaba.3. Indique el término de lugar 10, en la expansión de125912 5 12 910 993 53109 1510 9 91 273Aplicando directamente la fórmula general1 T C (27 ) 312 1 T (3 ) 93 312 11 10 9 1 T (3 ) 9123 3xxxxxxxx−    +    =      =   ×  ×××   =   ×× ×  Finalmente: T10=220x64. Determine el sétimo término de la potencia de9 322xx    −  Por la fórmula de recurrencia3 39 67 6 T C ( 2) 2xx  = −      =   ×  ×××   =   → = ×× ×  373 47 79 T (2 ) 6 38987 6 T (8 ) T 84 61238xxxx xPropiedades1.º La suma de los coeficientes de todos los términos deldesarrollo de (a+b)n es igual a 2n.Por el teorema de Newton− − + = + + ++= + + ++∴ + + + ++ = ∈1 2201 201 2Suma de coeficientes01 23( ) C C C ... CEvaluando para = 1 y = 1, se tiene que (1+1) C C C ... C C C C C ... C 2 , *n nn nn nn n nnn nnn nnnnnn n nnab a a b a b ba bn Ejemplos10 10 10 10 10 100 1 2 3 101111 1 101 23 13333 3 301 23 10C C C C ... C 2 1024C C C C ... C 2C C C C ... C 2 8xxxx x xxm m m m m mm++++ + +++ + + ++ = =+ + + ++ =+ + + ++ = =ÁLGEBRA

76I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREConsecuencia importanteAnalicemos el desarrollo de (1+x)n, n ∈ *.Por el teorema de Newton se tiene que0(1 ) C (1) , 0n n n nk kkkx xnk −=+ = ∑ ≥ ≥Expandiendo la sumatoria, resulta012012 (1+ ) C C C ... C nn n n n nn x xxx x = + + ++Mostrando explícitamente la propiedad2 301 2 3 C C C C ... C (1 ) n n n n nn nn + + + ++ = xx x x + xEjemplos2 301 2 310 10 2 10 3 10 10 10 1001 2 3 10C 3C 3 C 3 C ... 3 C (1 3) 4C 2C 2 C 2 C ... 2 C (1 2) 1n n n n nn n nn + + + + + =+ =− + − + + =− =Algunas aplicaciones elementales1. Sume= + + + + ++= ++ + +2 4 601 232 301 2 3P 222 C C C C ... ( 1) términosP C 4C 4 C 4 C ... +4 Cmmmmm m m m mmmmLuego: P=(1+4)m=5m2. Efectúe1 2 3 C C C CE ... 3 9 27 3n n n nnn = + + ++Acomodando los coeficientes, sumando y restando el número, así    +      = ++ ++ −           =    + −= −   1 2 301 2 3 01 13111 1 E C C C C ... + C C333 31 4 Es decir: E 1 1 13 3n nn nn n nnnn n3. Indique qué se obtiene al sumar+  = −+ − +     ++ +2 301 2 3( 1) términosR C C C C ... términos11 1pp p ppxx x p xx x Es evidente que la sumatoria obedece la forma general de la propiedad. Por lo tanto1 R 1 ( 1) , * 1 1p p x p x px x   − = − = =+ ∈        + +2.º La suma de los coeficientes de los términos de lugarimpar es igual a la suma de los coeficientes de los términos de lugar par en la potencia de (a+b)n.Por el teorema de Newton( ) 1 22 3301 2 3 C C C C ... C n nn nn nn nn n nn ab a a b a b a b b −− − + = + + + ++Evaluando para a=1 y b=–1, resulta( ) 01 2301 23135 024S S1 1 C C C C ... ( 1) C0 C C C C ... ( 1) CC C C ... C C C ...n n n n n nnnn n n n nnnnnn nnnp i− = − + − + +−= − + − + +−+ + ++= + + ++    Asumiendo queSp : suma de coeficientes de términos de lugar parSi : suma de coeficientes de términos de lugar imparSt : suma total de coeficientesDe la 1.ª propiedad: St=Si+Sp=2n ... (a)De la 2.ª propiedad, se sabe que: Si=Sp ... (β)Sustituyendo (β) en (a)Sp+Sp=2n2Sp=2n → Sp=2n–1Por lo tanto: Si=Sp=2n–1Es decir1024 135 C C C ... C C C ... 2 nnn nnn n− + + += + + +=Para calcular los últimos términos de ambos miembros, debemos considerar dos casos¾ Primer caso: Si n es PAR1024 135 1 C C C ... C C C C ... C 2 nnn n nnn n nn n−− + + ++ = + + ++ =Por ejemplo8 8 8 8 8 8 8 8 8 81 702468 1357 CCCCC CCCC 2 2 − ++++ =+++ = =¾ Segundo caso: Si n es IMPAR1024 1135 C C C ... C C C C ... C 2 nnn n nnn nnn n−− + + ++ = + + ++ =Por ejemplo7 7 7 7 7 7 7 7 71 60246 1357 CCCC CCCC 2 2 − +++ =+++ = =3.º La suma de los grados absolutos de todos los términos del desarrollo de (axp+byq)n.∑GA = GA(T1)+GA(T2)+GA(T3)+...+GA(Tn+1)( 1) GA ( ) 2n np q+ ∑ = +ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 77 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNEjemplo: Dado (3x4+2y5)3.Desarrollando, se tiene=(3x4)3+3(3x4)2(2y5)+3(3x4)(2y5)2+(2y5)3=27x12+54x8y5+36x4y10+8y15Luego: ∑GA = 12 + 13 + 14 + 15 = 54Por la fórmula3(3 1) GA (4 5) 54 2 ∑ = +=4.º Cálculo de un término cualquiera a partir del extremo final en la potencia de (a+b)n.1 T C , * n k nkk k ab n −+ = ∈  EjemploDetermine el cuarto término contado de derecha a izquierda, en la expansión de la expresión10 3 43 10 3 3 4104 39 284 3 72 24 , 0Por la fórmulaT C10 9 8 T123Finalmente: T 120x y xyy xx yy xx yy xx y−    + ≠    =        × ×    =    × ×    = 55.º Cálculo del término central en la potencia de (a+b)n.¾ Si n es un número PAR:El desarrollo de (a+b)n admite un solo términocentral, cuya posición se calcula asíLugar (Tc)= n2 +1¾ Si n es un número IMPAR:La expansión (a+b)n posee dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan asíLugar (Tc1)= n+12Lugar (Tc2)= n+32Ejemplo 1Muestre el término central en el desarrollo de(x5+y3)6Por propiedad: Lugar (Tc)= 62 +1=4Luego: Tc= 6 C3(x5)3(y3)3 Tc= 6×5×41×2×3 (x15)(y9)Por lo tanto: Tc=20x15y9Ejemplo 2Calcule la suma de los grados absolutos de los términos centrales de la potencia de (x3 – y4)7.Por propiedadLugar (Tc1)= 7+12 =4Lugar (Tc2)= 7+32 =5Análogamente, los términos seránTc1=T4= 7 C3 (x3)4(–y4)3=–35x12y12Tc2=T5= 7 C4(x3)3(–y4)4=35x9y16Nos pidenS=GA(Tc1)+GA(Tc2)S=(12+12)+(9+16)=49Did you know...?Gerolamo CardanoEl valiente que por primera vez puso sobre el papel una fórmula que incluía la raíz cuadrada de un número negativo (v. números complejos), en apariencia sin sentido, fue el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576). Quería descomponer el número 10 en dos partes cuyo producto fuera igual a 40. Demostró que el problema no tiene solución racional. Cardano escribió estas soluciones con la reserva de que la cosa no tiene sentido, es ficticia e imaginaria, pero sin embargo, las escribió.Ejemplo: Dado (3x4+2y5)3.Desarrollando, se tiene=(3x4)3+3(3x4)2(2y5)+3(3x4)(2y5)2+(2y5)3=27x12+54x8y5+36x4y10+8y15Luego: ∑GA = 12 + 13 + 14 + 15 = 54Por la fórmula3(3 1) GA (4 5) 54 2 ∑ = +=4.º Cálculo de un término cualquiera a partir del extremo final en la potencia de (a+b)n.1 T C , * n k nkk k ab n −+ = ∈  EjemploDetermine el cuarto término contado de derecha a izquierda, en la expansión de la expresión10 3 43 10 3 3 4104 39 284 3 72 24 , 0Por la fórmulaT C10 9 8 T123Finalmente: T 120x y xyy xx yy xx yy xx y−    + ≠    =        × ×    =    × ×    = 55.º Cálculo del término central en la potencia de (a+b)n.¾ Si n es un número PAR:El desarrollo de (a+b)n admite un solo términocentral, cuya posición se calcula asíLugar (Tc)= n2 +1¾ Si n es un número IMPAR:La expansión (a+b)n posee dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan asíLugar (Tc1)= n+12Lugar (Tc2)= n+32Ejemplo 1Muestre el término central en el desarrollo de(x5+y3)6Por propiedad: Lugar (Tc)= 62 +1=4Luego: Tc= 6 C3(x5)3(y3)3 Tc= 6×5×41×2×3 (x15)(y9)Por lo tanto: Tc=20x15y9Ejemplo 2Calcule la suma de los grados absolutos de los términos centrales de la potencia de (x3 – y4)7.Por propiedadLugar (Tc1)= 7+12 =4Lugar (Tc2)= 7+32 =5Análogamente, los términos seránTc1=T4= 7 C3 (x3)4(–y4)3=–35x12y12Tc2=T5= 7 C4(x3)3(–y4)4=35x9y16Nos pidenS=GA(Tc1)+GA(Tc2)S=(12+12)+(9+16)=49Did you know...?Gerolamo CardanoEl valiente que por primera vez puso sobre el papel una fórmula que incluía la raíz cuadrada de un número negativo (v. números complejos), en apariencia sin sentido, fue el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576). Quería descomponer el número 10 en dos partes cuyo producto fuera igual a 40. Demostró que el problema no tiene solución racional. Cardano escribió estas soluciones con la reserva de que la cosa no tiene sentido, es ficticia e imaginaria, pero sin embargo, las escribió.ÁLGEBRA

78I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Si el número de términos de(x2 – 10x + 25)17es 3n – 4, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 11 enM(x) = (x3+x5)15ResoluciónHelico practice2. Determine el décimo término del desarrollo de126 1 1255xx    +  Resolución4. Si el octavo término de S(x) = (x7 + x5)a tiene como grado absoluto 56, halle el número de términos.Resolución•5. Obtenga el lugar que ocupa el término independiente en9033 21 fx x ( )x  = +    Resolución7. El coeficiente de x12 en el desarrollo de (x4 + 1)15 coincide con el precio de un celular. ¿Cuál es el costo de dicho celular?Resolución6. José dispone de una cantidad en soles igual al coeficiente del término central del desarrollo (x7+y3)12para distribuirlo en partes iguales a sus 3 hijos todos los meses. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?Resolución1. Si el número de términos de(x2 – 10x + 25)17es 3n – 4, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 11 enM(x) = (x3+x5)15ResoluciónHelico practice2. Determine el décimo término del desarrollo de126 1 1255xx   +  Resolución4. Si el octavo término de S(x) = (x7 + x5)a tiene como grado absoluto 56, halle el número de términos.Resolución•5. Obtenga el lugar que ocupa el término independiente en9033 21 fx x ( )x  = +    Resolución7. El coeficiente de x12 en el desarrollo de (x4 + 1)15 coincide con el precio de un celular. ¿Cuál es el costo de dicho celular?Resolución6. José dispone de una cantidad en soles igual al coeficiente del término central del desarrollo (x7+y3)12para distribuirlo en partes iguales a sus 3 hijos todos los meses. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?Resolución1. Si el número de términos de(x2 – 10x + 25)17es 3n – 4, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 11 enM(x) = (x3+x5)15ResoluciónHelico practice2. Determine el décimo término del desarrollo de126 1 1255xx    +  Resolución4. Si el octavo término de S(x) = (x7 + x5)a tiene como grado absoluto 56, halle el número de términos.Resolución•1. Si el número de términos de(x2 – 10x + 25)17es 3n – 4, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 11 enM(x) = (x3+x5)15ResoluciónHelico practice2. Determine el décimo término del desarrollo de126 1 1255xx    +  Resolución4. Si el octavo término de S(x) = (x7 + x5)a tiene como grado absoluto 56, halle el número de términos.Resolución•TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 79 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN5. Obtenga el lugar que ocupa el término independiente en9033 21 fx x ( )x  = +   Resolución7. El coeficiente de x12 en el desarrollo de (x4 + 1)15 coincide con el precio de un celular. ¿Cuál es el costo de dicho celular?Resolución6. José dispone de una cantidad en soles igual al coeficiente del término central del desarrollo (x7+y3)12para distribuirlo en partes iguales a sus 3 hijos todos los meses. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si el número de términos de F(x) = (x2+6x+9)20es 2n – 3, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 15 enM(x, y) = (x5 + y7)20ResoluciónHelico workshop2. Determine el octavo término de(x5 + x 7 )11Resolución4. Sabiendo que el séptimo término de P(x) = (x5 + y2)mtiene como grado absoluto 27, halle el valor de m.Resolución•11.5. Determine el término central de85 1xx    +  Resolución7. Halle el valor de n si el T25 en el desarrollo de231 nxx    +  contiene a x12. Si S/5n es la ganancia que recibe José Luis por la venta de artículos deportivos, ¿cuál es el valor de esta gananciaResolución6. Si el lugar que ocupa el término independiente en el desarrollo de6055 41 fx x ( )x  = +    coincide con el costo en soles de una bolsa de arroz de 5 kg, ¿cuánto se pagará por 10 bolsas de arroz?Resolución•12.1. Si el número de términos de F(x) = (x2+6x+9)20es 2n – 3, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 15 enM(x, y) = (x5 + y7)20ResoluciónHelico workshop2. Determine el octavo término de(x5 + x 7 )11Resolución4. Sabiendo que el séptimo término de P(x) = (x5 + y2)mtiene como grado absoluto 27, halle el valor de m.Resolución•8.1. Si el número de términos de F(x) = (x2+6x+9)20es 2n – 3, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 15 enM(x, y) = (x5 + y7)20ResoluciónHelico workshop2. Determine el octavo término de(x5 + x 7 )11Resolución4. Sabiendo que el séptimo término de P(x) = (x5 + y2)mtiene como grado absoluto 27, halle el valor de m.Resolución•9.1. Si el número de términos de F(x) = (x2+6x+9)20es 2n – 3, halle el valor de n.Resolución3. Indique el coeficiente del término de lugar 15 enM(x, y) = (x5 + y7)20ResoluciónHelico workshop2. Determine el octavo término de(x5 + x 7 )11Resolución4. Sabiendo que el séptimo término de P(x) = (x5 + y2)mtiene como grado absoluto 27, halle el valor de m.Resolución•10.ÁLGEBRA

80I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problems1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problems1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problems1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problems1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problemsTAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problemsPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problems1. Determine el sexto término en el desarrollo de1x2x +8ResoluciónNos piden: T68 38 36 51 58 36 3 536 56 21 T T C (2 )1 T C (8 )876 T 8123448 Txxxxxxx−+  = =      =    × × = ⋅⋅ × ×=Rpta.: 448x22. Calcule el término central en el desarrollo de 10552xx x , 0x    + ≠  ResoluciónTc : término central+=  = =    = ⋅ ⋅c 10 12510 5 5c6 5 55cT T2 T T C( )10×9×8×7×6 T1×2×3×4×5x xxx x ⋅32x= 5c T 8064xRpta.: 8064x53. Obtenga el valor del término independiente en18421xx    +  ResoluciónHallemos18 118 41 21 T Ck kk k xx−+  = ⋅     2 36 18 41 T Ck kk k x + −+ =Si es independiente, entonces k4 +2k – 36 = 0 k + 8k – 144 = 0 9k = 144 k = 16Luego1817 1618 17 TI T C 1532 1× = = = = ×Rpta.: 1534. Halle el lugar del término que contiene a x5 en el desarrollo de135 1 3xx    +  ResoluciónHallemos el( ) () 13 13 5 11 T C3k kk k x x − −+ =Si contiene a x5, entonces 65 – 6k = 5 60 = 6k k = 10∴ El lugar es el 11.o.Rpta.: 115. Si el término séptimo tiene como GR(x) = 9 en R(x, y) = (x3 + y5)bhalle el valor de b.Resoluciónk+1 = 7 → k=6( ) ( ) 6 6 3 5 T C 7 6b b x y −=3 18 30 T C 7 6b b x y − =GR(x) = 3b – 18 = 9∴ b = 9Rpta.: 9Solved problemsÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 81 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNPARA EL CUADERNO5. Determine el término central de85 1xx   +  Resolución7. Halle el valor de n si el T25 en el desarrollo de231 nxx    +  contiene a x12. Si S/5n es la ganancia que recibe José Luis por la venta de artículos deportivos, ¿cuál es el valor de esta gananciaResolución6. Si el lugar que ocupa el término independiente en el desarrollo de6055 41 fx x ( )x  = +   coincide con el costo en soles de una bolsa de arroz de 5 kg, ¿cuánto se pagará por 10 bolsas de arroz?Resolución•2.1. En la expansión (a4+b5)3n, los términos de lugares (n+6) y (n+8) equidistan de los extremos. Determine el exponente de a en el término central.A) 76 B) 72C) 80 D) 841. Determine el octavo término en el desarrollo deF(x, y) = (x3+y7)20Resolución2. Determine el número de términos de 8n nx y     +   si los coeficientes de los términos 7 y 8 son iguales.A) 15 B) 23C) 47 D) 492. Si el número de términos de F(x) = (x2+2x+1)60es 3a+1, halle el valor de a.ResoluciónHelico trialHelico challenge•6.1. En la expansión (a4+b5)3n, los términos de lugares (n+6) y (n+8) equidistan de los extremos. Determine el exponente de a en el término central.A) 76 B) 72C) 80 D) 841. Determine el octavo término en el desarrollo deF(x, y) = (x3+y7)20Resolución2. Determine el número de términos de 8n nx y     +   si los coeficientes de los términos 7 y 8 son iguales.A) 15 B) 23C) 47 D) 492. Si el número de términos de F(x) = (x2+2x+1)60es 3a+1, halle el valor de a.ResoluciónHelico trialHelico challenge•5.3. Indique el coeficiente del término de lugar 17.P(x, y) = (x3+y2)30Resolución5. Una empresa textil dispone pagar mensualmente una cantidad de 4T soles, donde T representa el término independiente del desarrollo del binomiox8 + 112x4¿Cuánto paga mensual dicha empresa?Resolución4. Si el cuarto término tiene como GR(x)=45 en el binomio (x5+y6)n, halle el valor de n.Resolución7.1. En la expansión (a4+b5)3n, los términos de lugares (n+6) y (n+8) equidistan de los extremos. Determine el exponente de a en el término central.A) 76 B) 72C) 80 D) 841. Determine el octavo término en el desarrollo deF(x, y) = (x3+y7)20Resolución2. Determine el número de términos de 8n nx y     +   si los coeficientes de los términos 7 y 8 son iguales.A) 15 B) 23C) 47 D) 492. Si el número de términos de F(x) = (x2+2x+1)60es 3a+1, halle el valor de a.ResoluciónHelico trialHelico challenge•4.5. Determine el término central de85 1xx    +  Resolución7. Halle el valor de n si el T25 en el desarrollo de231 nxx    +  contiene a x12. Si S/5n es la ganancia que recibe José Luis por la venta de artículos deportivos, ¿cuál es el valor de esta gananciaResolución6. Si el lugar que ocupa el término independiente en el desarrollo de6055 41 fx x ( )x  = +    coincide con el costo en soles de una bolsa de arroz de 5 kg, ¿cuánto se pagará por 10 bolsas de arroz?Resolución•1.1. En la expansión (a4+b5)3n, los términos de lugares (n+6) y (n+8) equidistan de los extremos. Determine el exponente de a en el término central.A) 76 B) 72C) 80 D) 841. Determine el octavo término en el desarrollo deF(x, y) = (x3+y7)20Resolución2. Determine el número de términos de 8n nx y     +   si los coeficientes de los términos 7 y 8 son iguales.A) 15 B) 23C) 47 D) 492. Si el número de términos de F(x) = (x2+2x+1)60es 3a+1, halle el valor de a.ResoluciónHelico trialHelico challenge•3.3. Indique el coeficiente del término de lugar 17.P(x, y) = (x3+y2)30Resolución5. Una empresa textil dispone pagar mensualmente una cantidad de 4T soles, donde T representa el término independiente del desarrollo del binomiox8 + 112x4¿Cuánto paga mensual dicha empresa?Resolución4. Si el cuarto término tiene como GR(x)=45 en el binomio (x5+y6)n, halle el valor de n.Resolución8.3. Indique el coeficiente del término de lugar 17.P(x, y) = (x3+y2)30Resolución5. Una empresa textil dispone pagar mensualmente una cantidad de 4T soles, donde T representa el término independiente del desarrollo del binomiox8 + 112x4¿Cuánto paga mensual dicha empresa?Resolución4. Si el cuarto término tiene como GR(x)=45 en el binomio (x5+y6)n, halle el valor de n.Resolución9.1. Calcule el coeficiente del término sexto en el desarrollo de    +  9 1 2 33xxA) 336 B) 378C) 420 D) 2202. Si el número de términos de(x2+4x+4)120es (3n–2), halle el valor de n.A) 72 B) 75C) 76 D) 813. En el desarrollo de (x2 – y)n, el cuarto término contiene a x20. Halle el valor de n.A) 9 B) 13C) 15 D) 184. El valor del término independiente en el desarrollode 5231 2xx    +   indica el costo en soles de un saco de azúcar.¿Cuánto costará 10 sacos?A) S/800 B) S/860C) S/900 D) S/9205. Sea k el coeficiente del término del lugar 13 en el desarrollo de  = +    15251 P( ) x xxSi S/ k es le precio de 20 sacos de arroz, ¿cuánto pagó por los 20 sacos de arroz?A) S/ 252 B) S/ 455C) S/ 175 D) S/ 350Helico homework•10.ÁLGEBRA

82I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRECantidades imaginariasConceptoSon aquellos números que resultan al extraer la raíz de aquellos radicales de índice par de cantidades subradicales reales negativas. Es decir, se trata de extraer las RAÍCES ALGEBRAICAS del radical –a 2n , siendo a ∈+ y n ∈+.Veamos–a 2n = a(–1) 2n = a 2n · –1 2nRaízaritméticaRaízalgebraicaEl problema consiste en determinar las 2n raíces algebraicas del subradical (–1). Observemos los siguientes ejemplos:n=1 → –1 2 =± i (dos raíces)n=3 → –1 6 = ± i± 12( 3 ± 1) (cuatro raíces)n=4 → –1 8 = 1 ( 2 2 2 2)2±± ±  i (ocho raíces)y así sucesivamente.Aplicaciones diversas¾ − = ×−= 100 100 1 10i¾ 4 4 4 5 625 625 1 (1 ) 2− = ×−= + i¾ 6 6 6 − = ×−= 729 729 1 3i¾ 8 8 8 − = ×−= + + − 256 256 1 2 2 2 2iTener en cuenta que 10i, = 25 (1+i), 3i y( 22 22 + +− i) son cantidades imaginarias, ya que provienen de radicales de índice par de cantidades subradicales negativas. Teniendo en cuenta que estos, son elementos del conjunto de los números complejos.Unidad imaginariaEs aquella cantidad imaginaria elemental que resulta al extraer la raíz cuadrada de (–1), es decir–1 = i ↔ i2 =–1 Notación gaussianaEjemplos¾ –16 = 16 × –1 =4i¾ –7 = 7 × –1 = 7 i¾ –a2 = a2 × –1 =|a|i¾ –28 = 4×7 × –1 =2 7 iPotencias enteras de la unidad imaginariaNos interesa analizar la potencia enésima de in, ∀n∈.Considerando las definicionesi0=1 i1=iAnalicemos por inducción las potencias crecientes de in, n ≥ 1. Veamos¾ i1=i ¾ i5=i ¾ i9=i¾ i2=–1 ¾ i6=–1 ¾ i10=–1¾ i3=–i ¾ i7=–i ¾ i11=–i¾ i4=1 ¾ i8=1 ¾ i12=1 ...Se observa que las potencias de i se repiten cada cuatro veces y solo asumen uno de los cuatro valores i, –1, –i y 1. Teniendo en cuenta lo siguiente:4° : 0; 4; 8; 12; 16;...4°+1 : 1; 5; 9; 13; 17;...4°+2 : 2; 6; 10; 14; 18;...4°+3 : 3; 7; 11; 15; 19;...NÚMEROS COMPLEJOSTheory 05 Números ComplejosÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 83 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNLuego generalizando se tiene quei°4=1 i°4+1=ii°4+2=–1 i°4+3=–iEjemplos diversos¾ i84= i°4=1¾ i105= i°4+1= i¾ i78= i°4+2=–1¾ i123= i°4+3=–iSe sabe que un número es múltiplo de 4, si sus dos últimas cifras son múltiplos de él o son ceros. Veamos los siguientes ejemplos:¾ i3841=i3841=i°4+1=i¾ i54739=i54739=i°4+3=–i¾ i6600092=i6600092=i°4=1¾ i71234506122=i71234506122=i°4+2=–1Calculemos ahora la potencia negativa de ii–1= 1i · ii = ii2 = i–1 =–iPor lo tantoi–1=–iGeneralicemos esto, mediante la siguiente propiedadi–k=(i–1)k=(–i)k=[(–1)i]k=(–1)kikTeoremai–k=(–1)kik, ∀k ∈ +Ejemplos diversos¾ i–53=(–1)53i53=(–1)i°4+1=(–1)(i)=–i¾ i–87=(–1)87i87=(–1)i°4+3=(–1)(–i)=i¾ i–100=(–1)100i100=(1)i°4=(1)(1)=1¾ i63826=(–1)63826i63826=(1)i°4+2=(1) –1=–1AplicaciónReduzca P=( –1)– 4n+3, n ∈ +.P=i–4n+3=i–4n ·i3=(–1)4n i 4n ·(–i) (1)(1) × (–i)Entonces: P=–i → P=– –1Propiedades diversas1. i+i2+i3+i4=02. i4k+i4k+1+i4k+2+i4k+3=0, ∀ k ∈ 3. ik+ik+1+ik+2+ik+3=0, k ∈ 4. 2n=4°, ∀n ∈ , n ≥ 25. (4°+r)n=4°+r n; ∀n ∈ , r ∈ Propiedades usuales1. (1+i)2=1+2i+i2, i= –1(1+i)2=1+2i – 1Por lo tanto: (1+i)2=2i2. (1 – i)2=1 – 2i+i2, i= –1(1 – i)2=1 – 2i – 1Por lo tanto: (1 – i)2=–2i3. Como consecuencia de las propiedades anteriores(1+i)4=(1 – i)4=– 44. Dado z= 1+i1 – i, i= –1.Racionalizando el denominador, se tiene quez= 1+i1 – i · 1+i1+i = (1+i)21 – i2 = 2i2 = iPor lo tanto: 1+i1 – i = i5. Dado z= 1 – i1+i, i= –1.De la propiedad anteriorz= 1 – i1+i = 1i = 1i · ii = ii2 = i–1 = –iPor lo tanto: 1 – i1+i = –iÁLGEBRA

84I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRENúmero complejo (z)DefiniciónUn número complejo es todo par ordenado de números reales, donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, es decirz=(a, b) tal que a, b ∈  (Números reales)siendo ¾ a: parte real de z¾ b: parte imaginaria de zEn símbolos Re(z)=a y Im(z)=b .EjemplosSea el complejo z=(–2; 5).Entonces Re(z)=–2 y Im(z)=5.TeoremaTodo número complejo z=(a, b), tiene como un equivalente la forma cartesiana z=a+bi, denominada también binómica o rectangular, es decirz=(a, b)=a+biDemostraciónSea z =(a, b), tal que a, b ∈ .Por adición de pares ordenadosz =(a, b)z =(a, 0)+(0, b)z = a(1; 0)+b(0; 1)Pero por definición(1; 0)=1 (unidad real)(0; 1)= i (unidad imaginaria)Luego reemplazamosz= a(1)+ b(i)Finalmente: z = a + biRepresentación gráfica de un complejoI. Forma rectangular o de HamiltonDado el complejoz = a + bi =(a, b)Planode Gausszz=(a, b)Eje imaginarioEje realAfijoab|z|= a2+b2Note|z| es el módulo de z.II. Forma polar o trigonométricaSea z=a+bi=(a, b).|z|zImO a Re|z|senθcosθθb (a, b)Reemplazandoz=a+biz=|z|cosθ+|z|senθ·iz=|z|(cosθ+isenθ)Abreviadamentez=|z|(cisθ) , θ: argumento principalNoteSi tanθ = ba → θ = arctan baIII. Forma exponencialSea z=a+bi.Luego su forma exponencialz=|z|eθiÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 85 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNdonde¾ |z|= a2+b2¾   θ =     arctanba en radianes¾ e ≈ 2,7182 (Número de Neper)ObservationSi se tiene z = a + bi = (a, b); a, b ∈ .Luego se tendrá que1. Número real (complejo real)Si b=0→ z=a+biz=a+0iz=a2. Complejo puro (imaginario puro)Si a = 0→ z = a + biz = 0 + bi esz=bi3. Complejo nulo (complejo cero)Si a=0, b=0→ z=a+biz=0+0iz=04. Igualdad de complejosSi se tiene igualdad de dos números complejosa+bi=c+dientonces se cumple que: a=c y b=d5. Conjugado de un número complejoSea el número complejo z=a+bi, entonces sedefineConjugado de z como zz = a – bi6. Opuesto de un número complejoSea el número complejo z = a+bi, entonces sedefineOpuesto de z como op(z)=°z =z*op(z)=–a – bi7. Módulo de un complejoSea el número complejo z = a+bi, entonces sedefineMódulo de z como | z ||z|= a2+b2 , donde |z| ≥ 0EjemploSea el número complejoz =–3+4i=(–3; 4)Entonces su¾ Conjugada de z es z=–3 – 4i.¾ Opuesto de z es op(z)=3 – 4i.¾ Módulo de z es|z|= (–3)2+(4)2 = 25 =5.EjemploSea el número complejoz =5 – 12i = (5; –12)Entonces su¾ Conjugada de z es z =5+12i.¾ Opuesto de z es op(z)=–5+12i.¾ Módulo de z es|z|= (5)2+(–12)2 =13.Operaciones básicas en la forma cartesiana1. Adición y sustracción en Dados los complejos (conjunto de los números complejos)¾ z = a+bi¾ w = c+diÁLGEBRA

86I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREse definez + w = (a+c)+(b+d)iz – w = (a – c)+(b – d)i2. Multiplicación en Dados los complejos¾ z = a + bi¾ w = c + dise definez · w = (ac – bd) + (bc + ad)i3. Inverso de zDado el complejo¾ z = a + bi  ≠  0se definez–1= aa2+b2 – ba2+b2 i4. División en Dados los complejos¾ z = a + bi¾ w = c + dise definezw = z ⋅ w–1 = ac+bdc2+d2 +bc – adc2+d2 iEjemploEfectúe algebraicamente las siguientes operaciones:I. z1+ z2II. z1 – z2si z1=8+5iz2=2 – 3iResoluciónOperandoI. z1+ z2=(8+5i)+(2 – 3i)=10+2i=(10; 2)II. z1 – z2=(8+5i) – (2 – 3i)z1 – z2=(8+5i)+(–2+3i)=6+8i=(6; 8)¾ Gráfico de la operación (I)z1+ z2=(10; 2)Im(8; 5)(10; 2)O Re(2; –3)¾ Gráfico de la operación (II)z1 – z2=(6; 8)Im(6; 8)(–2; 3)(8; 5)O ReÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 87 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. SimplifiqueA = i32 + i54 + 3i65i46 + 4i520 – i673Resolución3. Sean: Z1 = –7 + 2i Z2 = 4 – 3icalcule Z1 ·Z2 + Op(Z2) + Z1.ResoluciónHelico practice2. Se tiene los complejos Z1 = 5 + 7i Z2 = 8 – 4icalcule Op(Z1)+Z2–2Z1.Resolución4. Si5+2i3+4i = a + bicalcule ba.Resolución5. SimplifiqueM = 1 + i1 – i – 1 – i1 + i4Resolución7. Al reducirT = (1+i)12 + (1 – i)417el valor de T2 + 4 representa el precio de una entrada a un concierto. Si asisten 100 personas, ¿cuánto fue lo recaudado?Resolución6. La edad de Carlos hace 15 años coincide con la parte imaginaria de Z1 ·Z2, dondeZ1 = 4 – 3iZ2 = –7 – Z1¿Qué edad tiene Carlos?Resolución•1. SimplifiqueA = i32 + i54 + 3i65i46 + 4i520 – i673Resolución3. Sean: Z1 = –7 + 2i Z2 = 4 – 3icalcule Z1 ·Z2 + Op(Z2) + Z1.ResoluciónHelico practice2. Se tiene los complejos Z1 = 5 + 7i Z2 = 8 – 4icalcule Op(Z1)+Z2–2Z1.Resolución4. Si5+2i3+4i = a + bicalcule ba.Resolución1. SimplifiqueA = i32 + i54 + 3i65i46 + 4i520 – i673Resolución3. Sean: Z1 = –7 + 2i Z2 = 4 – 3icalcule Z1 ·Z2 + Op(Z2) + Z1.ResoluciónHelico practice2. Se tiene los complejos Z1 = 5 + 7i Z2 = 8 – 4icalcule Op(Z1)+Z2–2Z1.Resolución4. Si5+2i3+4i = a + bicalcule ba.Resolución1. SimplifiqueA = i32 + i54 + 3i65i46 + 4i520 – i673Resolución3. Sean: Z1 = –7 + 2i Z2 = 4 – 3icalcule Z1 ·Z2 + Op(Z2) + Z1.ResoluciónHelico practice2. Se tiene los complejos Z1 = 5 + 7i Z2 = 8 – 4icalcule Op(Z1)+Z2–2Z1.Resolución4. Si5+2i3+4i = a + bicalcule ba.Resolución5. SimplifiqueM = 1 + i1 – i – 1 – i1 + i4Resolución7. Al reducirT = (1+i)12 + (1 – i)417el valor de T2 + 4 representa el precio de una entrada a un concierto. Si asisten 100 personas, ¿cuánto fue lo recaudado?Resolución6. La edad de Carlos hace 15 años coincide con la parte imaginaria de Z1 ·Z2, dondeZ1 = 4 – 3iZ2 = –7 – Z1¿Qué edad tiene Carlos?Resolución•TRABAJO EN CLASEPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aÁLGEBRA

88I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5. SimplifiqueM = 1 + i1 – i – 1 – i1 + i4Resolución7. Al reducirT = (1+i)12 + (1 – i)417el valor de T2 + 4 representa el precio de una entrada a un concierto. Si asisten 100 personas, ¿cuánto fue lo recaudado?Resolución6. La edad de Carlos hace 15 años coincide con la parte imaginaria de Z1 ·Z2, dondeZ1 = 4 – 3iZ2 = –7 – Z1¿Qué edad tiene Carlos?Resolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. ReduzcaM = i73 + 3i515 + 5i89i9Resolución3. Sean z1= 6 + 3i z2 = 5 – 2icalcule: z1 ·z2 + z1 + Op(z2).ResoluciónHelico workshop2. De los complejos z1= –8 + 10i z2 = 5 + 2icalcule z1 – 2z2 + Op(z1) + Op(z2).Resolución4. Si 3 – 5i2+3i= a + bicalcule ab.Resolución•11.5. Simplifique+ +   − −   + =   +   −   −68 4 2 1 11 Q 1 11ii i iiiiResolución7. Al reducir16 8 (1 ) (1 ) P3+ −− i i =el valor de P+1es el costo de 1 kg de pollo. ¿Cuánto de pagará por 10 kg de pollo?Resolución6. El número de nietos de José está dado por 3m, donde m es la parte real de z1 ·z2, ademász1= 4 + i z2 = 2 – 5i¿Cuántos nietos tiene José?Resolución•12.1. ReduzcaM = i73 + 3i515 + 5i89i9Resolución3. Sean z1= 6 + 3i z2 = 5 – 2icalcule: z1 ·z2 + z1 + Op(z2).ResoluciónHelico workshop2. De los complejos z1= –8 + 10i z2 = 5 + 2icalcule z1 – 2z2 + Op(z1) + Op(z2).Resolución4. Si 3 – 5i2+3i= a + bicalcule ab.Resolución•8.1. ReduzcaM = i73 + 3i515 + 5i89i9Resolución3. Sean z1= 6 + 3i z2 = 5 – 2icalcule: z1 ·z2 + z1 + Op(z2).ResoluciónHelico workshop2. De los complejos z1= –8 + 10i z2 = 5 + 2icalcule z1 – 2z2 + Op(z1) + Op(z2).Resolución4. Si 3 – 5i2+3i= a + bicalcule ab.Resolución•9.1. ReduzcaM = i73 + 3i515 + 5i89i9Resolución3. Sean z1= 6 + 3i z2 = 5 – 2icalcule: z1 ·z2 + z1 + Op(z2).ResoluciónHelico workshop2. De los complejos z1= –8 + 10i z2 = 5 + 2icalcule z1 – 2z2 + Op(z1) + Op(z2).Resolución4. Si 3 – 5i2+3i= a + bicalcule ab.Resolución•10.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 89 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•Practice TAREA DOMICILIARIAResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. CalculeR = i343 + i7331 + i4742 + i2876ResoluciónEfectuando las potencias de i343 = 4°+ 37331 = 4°+ 34742 = 4°+ 22876 = 4°En R⇒ R = i4°+3 + i4°+3 + i4°+2 + i4°⇒ R = i3 + i3 + i2 + 1⇒ R = (–i) + (–i) + (–1) + 1⇒ R = –2iRpta.: –2i2. SimplifiqueE = 4– 1+i1– i1– i1+iResoluciónSabemos: 1+i1– i = i ∧ 1– i1+i = –iEn E⇒ E = [i – (–i)]4⇒ E = (2i)4 = 24 ·i4 = 16(1)⇒ E = 16Rpta.: 163. Si (2+3i)a – 2i = 8+7i – bhalle el valor de a+b.ResoluciónEfectuando y comparando2a + 3ai – 2i = 8 + 7i – b2a + (3a – 2)i = 8 – b + 7i ...(1)De (1): 3a – 2 = 7 ⇒ a = 32a = 8 – b ⇒ 6 = 8 – b b = 2∴ a+b = 5 Rpta.: 54. Si[(4+5i) + (1+5i)]·(1+i) = a+bicalcule ba.ResoluciónEfectuando se tiene⇒ (5+10i)(1+i) = a+bi 5 + 5i + 10i + 10i2 = a+bi 5 + 15i + 10(–1) = a+bi –5 + 15i = a + biLuego: a=–5 ∧ b=15∴ba = 15–5⇒ ba = –3Rpta.: –35. SeaZ1 = 3 – 2iZ2 = 5 + 3icalcule M = Re (Z2 – Z1) + Im (Z1 · Z2).ResoluciónEfectuando por partes¾ Z2 – Z1 = 5 + 3i – (3 – 2i) Z2 – Z1 = 5 + 3i – 3 + 2i Z2 – Z1 = 2 + 5i ⇒ Re(Z2 – Z1) = 2¾ Z1 ·Z2 = (3 – 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i – 10i + 6i2 = 15 – 19i – 6 ⇒ Z1 · Z2 = 9 – 19i⇒ Im(Z1 ·Z2) = –19 EnM= Re(Z2 – Z1) + Im(Z1 ·Z2) = –17 Rpta.: –17Solved problems•ÁLGEBRA

90I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5. Simplifique+ +   − −   + =   +   −   −68 4 2 1 11 Q 1 11ii i iiiiResolución7. Al reducir16 8 (1 ) (1 ) P3+ −− i i =el valor de P+1es el costo de 1 kg de pollo. ¿Cuánto de pagará por 10 kg de pollo?Resolución6. El número de nietos de José está dado por 3m, donde m es la parte real de z1 ·z2, ademász1= 4 + i z2 = 2 – 5i¿Cuántos nietos tiene José?Resolución•2.1. Sabiendo que: A+Bi = x + yihalle el valor deP = B2y2A + y4A) 3 B) 4C) 2 D) 12. CalculeR = (1 – i)81 + i8 + (1 + i)91 + i9A) 25 B) 21C) 16 D) 241. Efectúe y simplifiqueP = i1842 + 3i2488 – 2i1743 + i5092Resolución2. Si z1 = 3 + 4i z2 = –2 + 5icalcule Im(z1 – z2).ResoluciónHelico trialHelico challenge•6.1. Sabiendo que: A+Bi = x + yihalle el valor deP = B2y2A + y4A) 3 B) 4C) 2 D) 12. CalculeR = (1 – i)81 + i8 + (1 + i)91 + i9A) 25 B) 21C) 16 D) 241. Efectúe y simplifiqueP = i1842 + 3i2488 – 2i1743 + i5092Resolución2. Si z1 = 3 + 4i z2 = –2 + 5icalcule Im(z1 – z2).ResoluciónHelico trialHelico challenge•5.3. SimplifiqueT = 16(1 – i)(1+ i)82Resolución5. Pedro va al mercado por 5 botellas de aceite Primor, cuyo precio por botella es T soles, donde T coincide con la parte imaginaria de z1· z2, ademász1= –3 + 2i y z2= 5 – i¿Cuánto gastó Pedro en total?Resolución4. Si z = (1+i)2 + (1+i)4halle el valor deM = Re(z) + 2Im(z)Resolución•7.1. Sabiendo que: A+Bi = x + yihalle el valor deP = B2y2A + y4A) 3 B) 4C) 2 D) 12. CalculeR = (1 – i)81 + i8 + (1 + i)91 + i9A) 25 B) 21C) 16 D) 241. Efectúe y simplifiqueP = i1842 + 3i2488 – 2i1743 + i5092Resolución2. Si z1 = 3 + 4i z2 = –2 + 5icalcule Im(z1 – z2).ResoluciónHelico trialHelico challenge•4.5. Simplifique+ +   − −   + =   +   −   −68 4 2 1 11 Q 1 11ii i iiiiResolución7. Al reducir16 8 (1 ) (1 ) P3+ −− i i =el valor de P+1es el costo de 1 kg de pollo. ¿Cuánto de pagará por 10 kg de pollo?Resolución6. El número de nietos de José está dado por 3m, donde m es la parte real de z1 ·z2, ademász1= 4 + i z2 = 2 – 5i¿Cuántos nietos tiene José?Resolución•1.1. Sabiendo que: A+Bi = x + yihalle el valor deP = B2y2A + y4A) 3 B) 4C) 2 D) 12. CalculeR = (1 – i)81 + i8 + (1 + i)91 + i9A) 25 B) 21C) 16 D) 241. Efectúe y simplifiqueP = i1842 + 3i2488 – 2i1743 + i5092Resolución2. Si z1 = 3 + 4i z2 = –2 + 5icalcule Im(z1 – z2).ResoluciónHelico trialHelico challenge•3.3. SimplifiqueT = 16(1 – i)(1+ i)82Resolución5. Pedro va al mercado por 5 botellas de aceite Primor, cuyo precio por botella es T soles, donde T coincide con la parte imaginaria de z1· z2, ademász1= –3 + 2i y z2= 5 – i¿Cuánto gastó Pedro en total?Resolución4. Si z = (1+i)2 + (1+i)4halle el valor deM = Re(z) + 2Im(z)Resolución•8.3. SimplifiqueT = 16(1 – i)(1+ i)82Resolución5. Pedro va al mercado por 5 botellas de aceite Primor, cuyo precio por botella es T soles, donde T coincide con la parte imaginaria de z1· z2, ademász1= –3 + 2i y z2= 5 – i¿Cuánto gastó Pedro en total?Resolución4. Si z = (1+i)2 + (1+i)4halle el valor deM = Re(z) + 2Im(z)Resolución•9.1. SimplifiqueM = i152 + i273 + i65 + i82 + i133i141 + i89 + i279A) i B) 3C) 1 D) –i2. Sean los complejos z1 = 4 – 3iz2 = –7 + 2iCalcule z1 + Op(z2).A) –7+3i B) 9+3iC) 11+i D) 3+i3. Se tiene z1 = 4 + 2iz2 = –3 + 5iDetermine Re (z1 ·z2).A) –18 B) 16C) –22 D) 174. El número de nietos de Víctor coincide con Im(z), donde z es el resultado de reducirz = (1+i)2(1 – i)2 + 5(2+3i)1 – 2i¿Cuántos nietos tiene Víctor?A) 5 B) 7C) 4 D) 35. Sabiendo queM = (1+i)2 + (1 – i)3(1 – i)2 + (1+i)3y además S/4M es el costo de 1 kg de mandarina. ¿Cuánto se pagará por 10 kg de mandarinas?A) S/ 30 B) S/ 40C) S/ 50 D) S/ 10Helico homework•10.PARA EL CUADERNOÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 91 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNConceptoDenominada también ECUACIÓN LINEAL, es aquella ecuación polinomial de una incógnita, que se reduce a la forma generalax+b=0, a ≠ 0cuya solución o raíz es x=– ba .Discusión de la ecuación ax+b=0Primer caso: Si a ≠ 0  y  b ≠ 0La raíz x=– ba es única, y la ecuación resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma ax+b=0Segundo caso: Si a ≠ 0  y  b=0La raíz x=0 es única y la ecuación también resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la formaax+0=0Tercer caso: Si a=0 y b=0La ecuación se verifica para todo valor que toma la incógnita x; esto quiere decir que, la ecuación es COMPATIBLE INDETERMINADA de la forma0x+0=0Cuarto caso: Si a=0 y b ≠ 0La ecuación no se verifica para ningún valor de la incógnita, lo cual indica que, la ecuación es INCOMPATIBLE O INCONSISTENTE de la forma0x+b=0La cual se reduce a b=0 y esto contradice la condición de este caso.Para nuestro propósito, nos limitaremos al estudio de las ecuaciones compatibles determinadas de primer grado de la formaax+b=0, a ≠ 0Aplicaciones diversas1. De la ecuación lineal consistentemx3 – 5=4x + m2¿qué se puede afirmar respecto del parámetro m si esta admite solución única?¾ Por transposición de términosmx3 – 4x = m2 +5Efectuando operaciones de reducciónm – 123x= m+102Si es compatible determinada, la condición esm – 123≠ 0 → m ≠ 12Es decir, para cualquier valor de m distinto de 12, la ecuación admite una única solución, la cual esx = 32m+10m – 122. De la ecuación mostrada(a+1)x3 – b4 = 3x2 – b – 16¿qué se deduce si esta admite infinitas soluciones?¾ Transponiendo términos, se tiene(a+1)x3 – 3x2 = b4 – b – 16a+13 – 32x = 3b – 2(b – 1)12Efectuando: 2a – 76x = b+212Simplificando: (2a – 7)x = b+22Si la ecuación es indeterminada, debe tomar la forma 0x = 0.Por ello: 2a – 7=0 → a= 72b+2=0 → b=– 23. Indique qué condiciones se debe establecer para quela ecuación algebraicax – p+15 + x+q – 24 = p+q10xsea incompatible.ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O ECUACIONES LINEALESTheory 06 Ecuaciones LinealesÁLGEBRA

92I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE¾ Multiplicando miembro a miembro por elMCM(4; 5; 10)=204(x – p+1)+5(x+q – 2)=2(p+q)xReduciendo se tiene9x – 4p+5q – 6=(2p+2q)xPor transposición de términos(9 – 2p – 2q)x = 6 + 4p – 5q= 0 ≠ 0Si no acepta solución alguna, la igualdad debe ser ABSURDA. Por esto, se deben cumplir9 – 2p – 2q=0 ∧ 6+4p – 5q ≠ 09=2(p+q) ∧ 6+4(p+q) – 9q ≠ 0p+q = 92 ... (a) ∧ 6+4 92– 9q ≠ 024 ≠ 9q∴ q ≠ 83Reemplazando en (a): p ≠116Solución gráfica de la ecuación compatible determinada de coeficientes realesax+b=0Dada la función real de variable real definida por la regla de correspondenciay=F(x)=ax+b, a ≠ 0cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una LÍNEA RECTA obtenida al unir los puntos cuyas coordenadas (x, y) verifican la condición y=F(x), donde la constante a es la pendiente de la recta, cuyo valor resulta de a=tana, y la constante b es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. De acuerdo al valor de la pendiente, esta recta se inclina de dos maneras; veamos¾ Si a > 0– ba; 0y=F(x)XY(0; b)a¾ Si a < 0– ba; 0y=F(x)XY(0; b)aEn la regla de correspondencia y=ax+b. Si y=0, se obtiene ax+b=0 (ecuación de primer grado) donde x = – ba (raíz de la ecuación); y estos valores dan origen al par ordenado – ba; 0 , que representa al punto de intersección de la recta y=F(x) con el eje de abscisas.Ejemplo 1Resuelva gráficamente la ecuación 34x+2=0.¾ Esbocemos la gráfica de la función linealy=F(x)= 34x+2– 83; 0XY(0; 2)aP Otana= 34a=37°Observe que la abscisa del punto P es la solución de la ecuaciónx = – 83Ejemplo 2Resuelva gráficamente la ecuación –x – 5=0.¾ Esbozando la gráfica de y=F(x)=–x – 5, resultaXY(0; 5)aOP(– 5; 0)tana=–1a=135°ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 93 2026I.E.P. SAN AGUSTÍNSynthesisECUACIONES DE PRIMER GRADO O ECUACIONES LINEALESCuya solución o raíz esx=– baDiscusión de la ecuaciónax+b=0, a ≠ 0Si a ≠ 0 y b ≠ 0es compatible determinadaax+b=0.Si a ≠ 0 y b=0la raíz es única y compatibledeterminada ax+0=0.Si a=0 y b=0es compatible indeterminada0x+0=0Presenta infinitas soluciones.Si a=0 y b ≠ 0es incompatible o inconsistente0x+b=0No admite solución.La abscisa del punto P es la solución de la ecuación dadax=–5Ejemplo 3Resuelva gráficamente la ecuación 2x=0.¾ Esbocemos la gráfica de y=F(x)=2x, tal como seindicaXYaP(0; 0)tana=2a=63,5°Observamos que el punto P, coincide con el origen de coordenadas, y la abscisa de este, es la solución de la ecuaciónx=01. Halle el valor de x en4x – 52 – 8x – 55 + 11x – 32 = 4 – 11x10Resolución3. Halle el valor de x enx2 + 4x + 5x2 – 8x + 17 = x – 4x + 2–2ResoluciónHelico practice2. Halle el valor de x en la ecuacióna – xa – b – xb = 2(a – b)abResolución4. Resuelva2x – 3x – 1 = x + 4x + 1 + xx – 1e indique el valor de x–2 + 1.Resolución1. Halle el valor de x en4x – 52 – 8x – 55 + 11x – 32 = 4 – 11x10Resolución3. Halle el valor de x enx2 + 4x + 5x2 – 8x + 17 = x – 4x + 2–2ResoluciónHelico practice2. Halle el valor de x en la ecuacióna – xa – b – xb = 2(a – b)abResolución4. Resuelva2x – 3x – 1 = x + 4x + 1 + xx – 1e indique el valor de x–2 + 1.Resolución1. Halle el valor de x en4x – 52 – 8x – 55 + 11x – 32 = 4 – 11x10Resolución3. Halle el valor de x enx2 + 4x + 5x2 – 8x + 17 = x – 4x + 2–2ResoluciónHelico practice2. Halle el valor de x en la ecuacióna – xa – b – xb = 2(a – b)abResolución4. Resuelva2x – 3x – 1 = x + 4x + 1 + xx – 1e indique el valor de x–2 + 1.Resolución1. Halle el valor de x en4x – 52 – 8x – 55 + 11x – 32 = 4 – 11x10Resolución3. Halle el valor de x enx2 + 4x + 5x2 – 8x + 17 = x – 4x + 2–2ResoluciónHelico practice2. Halle el valor de x en la ecuacióna – xa – b – xb = 2(a – b)abResolución4. Resuelva2x – 3x – 1 = x + 4x + 1 + xx – 1e indique el valor de x–2 + 1.ResoluciónTRABAJO EN CLASE PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aÁLGEBRA

94I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE5. Si la ecuación en xa + 13 – 32x = b4 – b – 16es compatible indeterminada, efectúe 2a+4b.Resolución7. Mathías debe repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?Resolución6. De un total de 78 estudiantes, 41 llevan el curso de Lenguaje y 22 llevan el curso de Matemática. Si 9 de ellos llevan ambos cursos, ¿cuántos no llevan ninguno?Resolución•5. Si la ecuación en xa + 13 – 32x = b4 – b – 16es compatible indeterminada, efectúe 2a+4b.Resolución7. Mathías debe repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?Resolución6. De un total de 78 estudiantes, 41 llevan el curso de Lenguaje y 22 llevan el curso de Matemática. Si 9 de ellos llevan ambos cursos, ¿cuántos no llevan ninguno?Resolución•5. Si la ecuación en xa + 13 – 32x = b4 – b – 16es compatible indeterminada, efectúe 2a+4b.Resolución7. Mathías debe repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?Resolución6. De un total de 78 estudiantes, 41 llevan el curso de Lenguaje y 22 llevan el curso de Matemática. Si 9 de ellos llevan ambos cursos, ¿cuántos no llevan ninguno?Resolución•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x en la ecuación2 – x3 + 3 – x4 + 5 – x6 + 34 = x – 45Resolución3. Halle el valor de x enx2 – 6x + 10x2 + 8x + 17 = x + 4x – 3–2ResoluciónHelico workshop2. Obtenga el valor de x enx + mm – x + nn = m2 + n2mn – 2Resolución4. Luego de resolver32x + 1 – 22x – 1 – x + 34x2 – 1 = 0indique la solución aumentada en 1.Resolución8.1. Halle el valor de x en la ecuación2 – x3 + 3 – x4 + 5 – x6 + 34 = x – 45Resolución3. Halle el valor de x enx2 – 6x + 10x2 + 8x + 17 = x + 4x – 3–2ResoluciónHelico workshop2. Obtenga el valor de x enx + mm – x + nn = m2 + n2mn – 2Resolución4. Luego de resolver32x + 1 – 22x – 1 – x + 34x2 – 1 = 0indique la solución aumentada en 1.Resolución9.1. Halle el valor de x en la ecuación2 – x3 + 3 – x4 + 5 – x6 + 34 = x – 45Resolución3. Halle el valor de x enx2 – 6x + 10x2 + 8x + 17 = x + 4x – 3–2ResoluciónHelico workshop2. Obtenga el valor de x enx + mm – x + nn = m2 + n2mn – 2Resolución4. Luego de resolver32x + 1 – 22x – 1 – x + 34x2 – 1 = 0indique la solución aumentada en 1.Resolución10.ÁLGEBRA

4TO DE SECUNDARIA 95 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•TAREA DOMICILIARIAPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•1. Halle el valor de x en la ecuación2 – x3 + 3 – x4 + 5 – x6 + 34 = x – 45Resolución3. Halle el valor de x enx2 – 6x + 10x2 + 8x + 17 = x + 4x – 3–2ResoluciónHelico workshop2. Obtenga el valor de x enx + mm – x + nn = m2 + n2mn – 2Resolución4. Luego de resolver32x + 1 – 22x – 1 – x + 34x2 – 1 = 0indique la solución aumentada en 1.Resolución11.5. Resuelvam(x – m)n = x - n(x – n)mResolución7. Un alambre de 48 m se corta en tres partes, la segunda pieza mide tres veces la longitud de la primera y la tercera mide cuatro veces la longitud de la segunda. ¿Cuánto mide la tercera parte?Resolución6. Si la ecuación en xa + 28 – 23x = b5 – b – 37es compatible indeterminada, siendo K = 3a – 2b. Si S/K es el costo de un polo, ¿cuánto se pagará por media docena de polos?Resolución•12.ÁLGEBRA

96I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTRE1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•5. Resuelvam(x – m)n = x - n(x – n)mResolución7. Un alambre de 48 m se corta en tres partes, la segunda pieza mide tres veces la longitud de la primera y la tercera mide cuatro veces la longitud de la segunda. ¿Cuánto mide la tercera parte?Resolución6. Si la ecuación en xa + 28 – 23x = b5 – b – 37es compatible indeterminada, siendo K = 3a – 2b. Si S/K es el costo de un polo, ¿cuánto se pagará por media docena de polos?Resolución•2.1. Encuentre el valor de x enx3 + mx2 + nx + px3 + ax2 + bx + p = x2 + mx + nx2 + ax + bA) n - ba - mB) n + bamC) a - mamD) 2abm - n2. Halle el valor de x six + 11 + 5 2x - 3 + x + 3 + 3 2x - 3 = 7 2A) 3 B) 4C) 6 D) 71. Halle el valor x en la ecuación3x − 12 − 5x − 16 = 5 + x − 113Resolución2. Halle el valor de x ena − xa − b − xb = 2(a − b)ab ; a ≠ bResoluciónHelico trialHelico challenge6.1. Encuentre el valor de x enx3 + mx2 + nx + px3 + ax2 + bx + p = x2 + mx + nx2 + ax + bA) n - ba - mB) n + bamC) a - mamD) 2abm - n2. Halle el valor de x six + 11 + 5 2x - 3 + x + 3 + 3 2x - 3 = 7 2A) 3 B) 4C) 6 D) 71. Halle el valor x en la ecuación3x − 12 − 5x − 16 = 5 + x − 113Resolución2. Halle el valor de x ena − xa − b − xb = 2(a − b)ab ; a ≠ bResoluciónHelico trialHelico challenge5.3. Resuelva la ecuaciónx2 – 14x + 50x2 + 6x + 10 = x + 3x – 7–2Resolución5. José tiene 144x nietos, si x es el conjunto solución de la ecuación31 3 331 3 2x xx x+ + = + −¿cuántos nietos tiene José?Resolución4. Halle el valor de m en la ecuación en x(m2 + 11m + 28)x = m2 + 5m – 14para que sea incompatible.Resolución•7.1. Encuentre el valor de x enx3 + mx2 + nx + px3 + ax2 + bx + p = x2 + mx + nx2 + ax + bA) n - ba - mB) n + bamC) a - mamD) 2abm - n2. Halle el valor de x six + 11 + 5 2x - 3 + x + 3 + 3 2x - 3 = 7 2A) 3 B) 4C) 6 D) 71. Halle el valor x en la ecuación3x − 12 − 5x − 16 = 5 + x − 113Resolución2. Halle el valor de x ena − xa − b − xb = 2(a − b)ab ; a ≠ bResoluciónHelico trialHelico challenge4.5. Resuelvam(x – m)n = x - n(x – n)mResolución7. Un alambre de 48 m se corta en tres partes, la segunda pieza mide tres veces la longitud de la primera y la tercera mide cuatro veces la longitud de la segunda. ¿Cuánto mide la tercera parte?Resolución6. Si la ecuación en xa + 28 – 23x = b5 – b – 37es compatible indeterminada, siendo K = 3a – 2b. Si S/K es el costo de un polo, ¿cuánto se pagará por media docena de polos?Resolución•1.1. Encuentre el valor de x enx3 + mx2 + nx + px3 + ax2 + bx + p = x2 + mx + nx2 + ax + bA) n - ba - mB) n + bamC) a - mamD) 2abm - n2. Halle el valor de x six + 11 + 5 2x - 3 + x + 3 + 3 2x - 3 = 7 2A) 3 B) 4C) 6 D) 71. Halle el valor x en la ecuación3x − 12 − 5x − 16 = 5 + x − 113Resolución2. Halle el valor de x ena − xa − b − xb = 2(a − b)ab ; a ≠ bResoluciónHelico trialHelico challenge3.3. Resuelva la ecuaciónx2 – 14x + 50x2 + 6x + 10 = x + 3x – 7–2Resolución5. José tiene 144x nietos, si x es el conjunto solución de la ecuación31 3 331 3 2x xx x+ + = + −¿cuántos nietos tiene José?Resolución4. Halle el valor de m en la ecuación en x(m2 + 11m + 28)x = m2 + 5m – 14para que sea incompatible.Resolución•8.3. Resuelva la ecuaciónx2 – 14x + 50x2 + 6x + 10 = x + 3x – 7–2Resolución5. José tiene 144x nietos, si x es el conjunto solución de la ecuación31 3 331 3 2x xx x+ + = + −¿cuántos nietos tiene José?Resolución4. Halle el valor de m en la ecuación en x(m2 + 11m + 28)x = m2 + 5m – 14para que sea incompatible.Resolución•9.1. Halle el valor de x enx + 15 + x + 26 = x – 14 + x – 210A) 29 B) 39C) –59 D) 192. Halle el valor de x sia + 1x + b - a – ba – x = b + 1x + bA) a + b2 B) a - b2C) 2a - b2 D) a - 2b23. Halle el valor de x en la ecuaciónx2 + 10x + 26x2 – 2x + 2 = x – 1x + 5–2A) –2 B) 1/2C) 1/3 D) –34. El profesor Cantos gasta x soles; al comprar útiles escolares para sus alumnos; luego de resolver9 + x3 + 9 - x3 = 3¿Cuánto gasta el profesor?A) 20 B) 90C) 50 D) 805. La ecuación en xa + 37 – 14x = 2b+33 – b – 35es compatible indeterminada. Sea la expresión P = 12a – 7b, donde S/P es el costo de 3 kg de naranjas. ¿Cuánto pagará por 27 kg de naranjas?A) S/ 18 B) S/ 81C) S/ 27 D) S/ 9Helico homework•10.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•1. Halle el valor de x en4 – x = x2 – 8ResoluciónElevando al cuadrado cada miembro de la ecuación(x – 4)2 = x2 – 82x2 – 8x + 16 = x2 – 8Simplificando 24 = 8x3 = x ∴ x = 3Rpta.: 32. Halle el valor de x en la ecuaciónab1 – ax– 1 = babx – 1ResoluciónSuprimiendo los paréntesisab – a2bx – 1 = b2ax – baMCM = abx→ab – a2bx – 1 = b2ax – baabxa2x – a3 – abx = b3 – b2xTransponiendoa2x – abx + b2x =a3 + b3Factorizandox a2 – ab + b2 = (a + b) a2 – ab + b2∴ x = a + bRpta.: a + b3. Halle el valor de x en la ecuación2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abResoluciónEn la ecuación se tieneMCM = ab→ 2x + ab+ x – ba = 3ax + (a – b)2abab2ax + a2 + xb – b2 = 3ax + (a – b)2Transponiendoa2 – b2 = ax – bx + a2 + b2 – 2abSimplificando 2ab – 2b2 = x(a – b) 2b(a – b) = x(a – b) 2b = x ∴ x = 2bRpta.: 2b4. Resuelva2004(2002x + 2004) = 2003(2003x + 2005)ResoluciónDespejando se tiene20042003 = 2003x + 20052002x + 2004Por propiedad de las proporciones40071 = 4005x + 4009x + 1Multiplicando en aspa4007x + 4007 = 4005x + 40092x = 2∴ x = 1Rpta.: {1}5. Si la ecuación2mx2 – 3x – m = x – 2es de primer grado en x, halle el valor de x.ResoluciónEfectuando2mx2 – 3 = x2 – (2 + m)x + 2m(2m – 1)x2 + (2 + m)x = 2m + 3Si es de primer grado: 2m – 1 = 0 m = 12En la ecuación52x = 4∴ x = 85Rpta.: 85Solved problems•PARA EL CUADERNOÁLGEBRA

● Líneas asociadas a la circunferencia ................... 99● Puntos notables asociados al triángulo.............. 108● Segmentos proporcionales ............................... 115● Triángulos semejantes........................................ 122● Relaciones métricas en el triángulo y en la circunferencia ................................................... 129● Relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos .................................................... 1363 «Cada problema que resolví, se volvió una regla que sirvió más tarde para resolver otros problemas». Renato DescartesGEOMETRÍACONTENIDO

4TO DE SECUNDARIA 99 2026I.E.P. SAN AGUSTÍN GEOMETRÍALíneas asociadas a la circunferencia Posiciones relativas entre circunferencias coplanares1. Circunferencias exterioresrM NRMN > R + r2. Circunferencias tangentes exterioresrM NLRMN = R + rL : tangente común interior3. Circunferencias secantesrM NLRR – r < MN < R + rNoteLa circunferencia mostrada a continuación se denomina ortogonal, se observa que los radios OA y QA son perpendiculares.rARO QB(OQ)2 = R2 + r24. Circunferencias tangentes interioresrM NLRMN = R – r5. Circunferencias interioresrM NRMN < R – rLÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA01Theory

100I.E.P. SAN AGUSTÍN¡ESTUDIA Y TRIUNFA!... \"PORQUE CUANDO EDUCAMOS CON VISIÓN FORMAMOS CAMINOS DE TRIUNFO\". II BIMESTREGEOMETRÍA6. Circunferencias concéntricasrMACBDNRMN = 0 y AB = CDTeoremas1. La recta tangente a una circunferencia es perpendicularal radio trazado en el punto de tangencia.LO T2. Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde mismo punto exterior son de igual longitud.bbαO αBPAEn la figura, PB y PA son tangentes a la circunferencia.Se cumple que: PB = PAAdemás, PO: bisectriz3. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca adicha cuerda y a los arcos que subtiende.mm ααA O HPBQEn la figura: AB es diámetro si PQ ⊥ AB.Entonces: PH = HQAdemás: mPB = mBQ= a4. Teorema de PonceletEn todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudesde la hipotenusa y el doble del inradio.O arbca + b = c + 2rr: inradio5. Teorema de PitotEn todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestoses igual a la suma de los otros dos.xyb aa + b = x + y