Análisis numérico, 2da Edición - Timothy Sauer-FREELIBROS.ORG

CAPÍTULO

9

Números aleatorios
y sus aplicaciones

El movimiento brownlano es un modelo de com porta­ no exponencial para proporcionar valoraciones exac­
miento aleatorio, propuesto por Robert Brown en 1827. tas de las opciones bursátiles. Reconocida de In m e ­
Su Interés inicial fue entender el m ovimiento errático diato como una innovación im portante, la fórmula de
de las partículas de polen que flotan en la superficie Black-Scholes se programó en algunas de las primeras
del agua. Impulsadas por las m oléculas cercanas. Las calculadoras portátiles diseñadas para ser usadas en
aplicaciones del modelo se han extendido más allá del el piso de remates de W all S tre e t Este trabajo fu e g a­
contexto original. lardonado con el Prem io Nobel de Economía en 1997
y sigue estando presente en la teoría y la práctica eco ­
lo s analistas financieros actuales conciben de la nómicas.
misma m anera los precios de los activos, dada la In-
certidum bre en el com portam iento de los m ercados ComprotHKiór
financieros. En 1973, Fischer Black y Myron Scholes enbreaUdad En la página 464 se explora la fa ­
usaron de manera novedosa el movimiento brownla­
mosa fórmula de la sim uladónde M onte Cario.

Los tres capítulos previos trataron acerca de los modelos deterministas regidos por ecuaciones
diferenciales. Dadas las condiciones iniciales y de frontera adecuadas, la solución es ma­
temáticamente cierta y puede determinarse mediante los métodos numéricos apropiados con la
exactitud requerida. Por su parte, un modelo estocástico incluye la incertidumbre como parte de
su definición.

l a simulación com putadora! de un sistema estocástico requiere la generación de números
aleatorios para simular condiciones óptimas. Este capítulo comienza con algunos hechos funda­
mentales acerca de los números aleatorios y su uso cn la simulación. La segunda sección cubre
uno de los usos más importantes de los números aleatorios, la simulación de Monte Cario, y la
tercera secaó n presenta las caminatas aleatorias y el movimiento browniano. En la última sec-
d ó n se cubren las ideas básicas del cálculo estocástico. incluyendo muchos ejemplos estándar
de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) que han demostrado su utilidad en la física, la
biología y las finanzas. Los métodos computacionales para las EDE se basan en los métodos para
resolver EDO desarrollados en el capítulo 7, pero extendidos para incluir términos en condicio­
nes óptimas.

432 | CAPITULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

Ri este capítulo se requerirán en ocasiones algunos oonceptos básicos de probabilidad Estos
prerrequisitos adicionales, como el valor esperado, la varianza y la independencia de variables
aleatorias, 9on importantes en las secciones 9.2 a 9.4.

9 .1 NÚMEROS ALEATORIOS

Cualquier persona tiene una noción sobre lo que son los números aleatorios, pero el concepto es

muy difícil de definir con precisión. Tampoco resulta fácil encontrar métodos sencillos y eficaces

pora producirlos. Por supuesto, con computadoras que funcionen de acuerdo con reglas determinis­

tas prescritas, asignadas por el programador, se puede lograr un programa que produzca números

en verdad aleatorios. Aquí se estudiará la forma de producir números pseudoalealorios, lo cual es

tan sólo una manera de decir que se consideraran programas deterministas que funcionen de la

misma manera cada vez, y que produzcan series de números que se vean tan aleatorios como sea

posible.

R objetivo de un generador de números aleatorios es que los números de salida sean inde­

pendientes e idénticamente distribuidos. Pür “independiente” se entiende que cada nuevo número

x„ no debe depender del (ser más o menos probable debido a) número anterior x „_ |. o, de hecho,

de todos los números anteriores xn- \ , x „ -2 . ••• Por “idénticamente distribuidos” se entiende que

si se traza el histograma de xn con muchas repeticiones diferentes de la generación de números

aleatorios, debe veise igual que el histograma de x„-\. En otras palabras, independiente significa

que x„ es independiente de xn_2. etcétera e idénticamente distribuido significa que la distri­

bución de x„ es independiente de n. El histograma deseado, o la distribución deseada, puede ser

una distribución uniforme de números reales entre 0 y 1, o puede ser tan sofisticada, como una

distribución norma!.

Por supuesto, la parte de la independencia de la definición de los números aleatorios está

en desacuerdo con los métodos prácticos coinputacionales para generar números aleatorios, que

producen series de números completamente predecibles y repetiblcs. De hecho, la repetición pue­

de ser muy útil para algunos fines de la simulación. F.I truco es hacer que los números parez­

can independientes entre sí, a pesar de que el método de generación pueda ser cualquier oosa menos

independiente. El término número pseudoaleatorio está reservado para los números generados

en una situación determinista que se esfuerzan por ser aleatorios en el sentido de independencia y

distribución idéntica.

R hecho de que se hayan usado medios demasiado dependientes para producir algo que pre­

tende ser independiente explica por qué no existe un generador de números aleatorios perfecto

basado en software de propósito general. Como John von Neumann dijo en 1951: “Cualquiera que

considere métodos aritméticos para producir dígitos aleatorios está, por supuesto, en estado de pe­

cado”. La esperanza principal es que la hipótesis particular de que el usuario desee probar mediante

el uso de números aleatorios sea insensible a las dependencias y deficiencias del generador elegido.

Los números aleatorios son representantes elegidos a partir de una distribución de probabi­

lidad fija. Existen muchas elecciones posibles de la distribución. Rúa mantener al mínimo los

prerrequisitos. en este libro se restringirá la atención a dos posibilidades: la distribución uniforme

y la distribución normal.

9.1.1 Números pseudoaleatorios

H conjunto más simple de números aleatorios es la distribución uniforme en el intervalo [0, IJ.
Estos números corresponden a ponerse una venda en los ojos y elegir números del intervalo, sin
preferencia por ningún área del intervalo en particular. Cada número real en el intervalo tiene la
misma probabilidad de ser elegido. ¿Cómo puede producirse una serie de números de ese tipo con
un programa de computadora?

A continuación se presenta un primer intento de producir números (pseudo-) aleatorios unifor­
mes en 10.1J. Elija un entero de inicio x0 # 0. llamado la semilla. Después produzca la secuencia
de números u, de acuerdo con la iteración

9.1 Números aleatorios | 433
x¡ = 13x/_i (mod 31)

es decir, multiplique la | por 13. evalúe el módulo 31 y divida entre 31 para obtener el siguiente
número pseudoaleatorio. 1.a secuencia resultante se repetirá sólo después de ejecutar la iteración
a través de los 30 números distintos de cero 1 /3 1 .... , 30/31. En otras palabras, el periodo de este
generador de números aleatorios es 30. No hay nada que parezca aleatorio en esta secuencia de
números. Una vez que la semilla se elige, la secuencia se cicla a través de los 30 posibles números
cn un orden predeterminado. Los primeros generadores de números aleatorios seguían la misma
lógica, aunque con un periodo más amplio.

Con * 0 = 3 como semilla aleatoria, aquí están los primeros 10 números generados por el mé­
todo anterior:

Xu

8 0.2581
11 0.3548
19 0.6129
30 0.9677
18 0.5806
17 0.5484
4 0.1290
21 0.6774
25 0.8065
15 0.4839

Se inicia con 3 * 13 = 39 -» 8 (mod 31), de manera que el número aleatorio uniforme es
8/31 ss 0.2581. El segundo número aleatorio es 8 * 13 = 104 -* 11 (mod 31). obteniéndose
11/31 rs0.3548, y así sucesivamente, hasta ejecutar la iteración a través de los 30 números aleato­
rios posibles.

Éste es un ejemplo de un generador de números aleatorios del tipo más básico.

DEFINICIÓN 9.1 Un generador de congruencia lineal (GCL) tiene la forma (9.2)
x¡ = a x i~ i + b (mod m)

m

para el m ultiplicador a, el desplazam iento b y el módulo m. □

En el generador anterior, a = 13, b = 0 y m = 31. En los dos ejemplos siguientes, se conser­
vará b = 0. La sabiduría convencional es que b distinto de cero añade una pequeña complicación
adicional al generador de números aleatorios.

Una aplicación de los números aleatorios es aproximar el promedio de una función al sustituir
números aleatorios del intervalo de interés. Ésta es la forma más simple de la técnica de Monte
Cario que se discutirá con más detalle en la siguiente sección.

►EJEMPLO 9.1 Aproxime el área bajo la curva y = x 2 cn [0. 1].
Por definición, el valor medio de una fundón en [a, b) es

434 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

por lo que el área cn cuestión es exactamente el valor medio de f( x ) = x 2cn [0. 1]. Este valor me­
dio puede aproximarse mediante el promedio de los valores de la función cn puntos aleatorios del
intervalo, como se muestra cn la figura 9.1. El promedio de la función

1 10
r=t

para los primeros 10 números aleatorios uniformes generados por medio del método actual es
0.350. no demasiado lejos de la respuesta correcta, 1/3. Si se usan los 30 números aleatorios cn el
promedio, resulta la estimación mejorada 0.328.

vy

Figura 9.1 Prom edio do u na función m ed iante el uso d e núm eros aleatorios, (a) Los p rim e ro s 10 n ú m e ro s

ale aro rto s d e l g e n e r a d o r e le m e n ta l (9.1) c o n sem illa x<, - 3 d a n e l p ro m e d io 0.350. (b) Al u tllfra r los 30

núm eros se ob tien e u n prom edio m ás exacto de0.32S .

<

La aplicación del ejemplo 9.1 se denominará problema de Monte Cario tipo 1, puesto que se
reduce al promedio de una función. Observe que se han agotado los 30 números al azar que puede
proporcionar el generador (9.1). Si se requiere más precisión, se necesitan más números. Es posible
quedarse con el modelo GCL. pero es necesario incrementar el multiplicador a y el módulo m.

Rirk y Miller [1998] propusieron un generador de congruencia lineal que suele denominarse
generador “mínimo estándar”, porque es casi tan bueno como es posible y con un código muy
simple. Este generador de números aleatorios se utilizó en M a t l a b versión 4 cn la década de 1990.

Generador de números aleatorios mínimo estándar (9.3)

x¡x¡ = a x i-i (mod m)

u, = —,
m

donde m = 231 — l , a = 75 = 16807, y b = 0.

Un número entero de la fonna 1P - 1 que es un número primo, donde p es un entero, se lla­
ma prim o de M ersenne. Euler descubrió este número primo de Mciscnne cn 1772. El tiempo de
repetición del generador de números aleatorios mínimo estándar es el máximo posible 231 - 2, lo
que significa que se necesitan todos los números enteros no nulos por debajo del máximo antes de
repetir, siempre y cuando la semilla sea distinta de cero. Esto es aproximadamente 2 x 109 núme­
ros, tal vez suficiente para el siglo xx, pero no es suficiente ahora que las computadoras ejecutan
de manera rutinaria muchos ciclos de reloj por segundo.

9.1 Números aleatorios | 435

X

Figura 9.2 Cálculo da árma d a Monta Cario. De 10 000 p ares aleatorios e n [0,1] x (0,1], segrafican los q u e
s atisfa c e n La d e s ig u a ld a d d e l e je m p lo 9.2. La p ro p o rc ió n d e p a re s a le a to rio s g r a f k a d o s e s u n a a p ro x im a c ió n al
área.

►EJEMPLO 9.2 Encuentre el área del conjunto de puntos (x, y) que satisfacen
4(2* - l)4 + 8( 2v - l)8 < 1 + 2(2>' - l)3(3x - 2)2.

Éste se denominará un problema de Monte Cario tipo 2. No hay una manera clara de describir

esta área como el valor promedio de una función de una variable, puesto que no puede resolverse

para y. Sin embargo, dada una pareja de puntos (x , >•), puede comprobarse con facilidad si pertene­

ce o no al conjunto. Se igualará el área deseada con la probabilidad de que un par aleatorio dado

(x, y) = (u¡, u¡+i) pertenezca al conjunto y se intentará aproximar la probabilidad.

En la figura 9.2 se muestra esta idea puesta cn practica con 10 000 pares aleatorios generados

mediante el GCL mínimo estándar. La proporción de pares cn la unidad cuadrada 0 S x , y S 1 que

satisfacen la desigualdad, y se representan en la figura, es 0.547, que se tomará como una aproxi­

mación al área. <

Aunque se ha hecho una distinción entre los dos tipos de problemas de Monte Cario, no hay
una frontera firme entre ellos. Lo que tienen en común es que ambos calculan el promedio de una
función. Esto es explícito cn el ejemplo anterior del “tipo 1”. En el ejemplo del “tipo 2” se trata
de calcular el promedio de la fundón característica del conjunto, la función que toma el valor 1
para los puntos en el interior del conjunto y 0 para los puntos que están fuera de éste. El contraste
prinripal aquí es que a diferencia de la función f( x ) = x2 del ejemplo 9.1, la fundón característica
de un conjunto es discontinua (hay una transición abrupta en la frontera del conjunto). También es
posible imaginar fácilmente combinadones de los tipos 1 y 2 (vea el problema de computadora 8).

Uno de los generadores de números aleatorios menos reconoddo es el generador ra n d u , uti­
lizado cn muchas de las primeras computadoras IBM y exportado de ahí a otros ordenadores. Los
rastros de este generador pueden encontrarse con fadlidad en internet mediante cualquier busca­
dor, por lo que aparentemente sigue cn uso.

El generador r a n d u

x ¡ = a x ¡ - \ (inod m) (9.4)
ui =

donde a = 65539 = 2 ‘6 + 3 y m = 231.

436 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

La semilla aleatoria jr0 # 0 se elige arbitrariamente. El módulo no primo se seleccionó en un
principio para hacer que la operación del módulo fuera lo más rápida posible, y el multiplicador
se seleccionó primordial mente porque su representación binaria era simple. El problema grave
con este generador es que desobedece de manera evidente al postulado de independencia para los
números aleatorios. Tenga en cuenta que

a 2 - 6a = (216 + 3)2 - 6(216 + 3)

= 232 + 6 • 2 16 + 9 —6 • 2 16 — 18
= 232 - 9.

Donde, <? - 6a + 9 = 0 (mod m), por lo que

-tj-t-2 - 6xí+i + 9x, = a 2x¡ - 6ax¡ + 9.t, (mod m)
= 0 (mod m).

Al dividir entre m se obtiene

ui+2 = 6 u / +i - 9u, (mod 1). (9.5)

El problema no es que aJ+2 predecible a partir de los dos números generados antes. Pór su­
puesto. será predecible incluso a partir de un número anterior, debido a que el generador es deter-
minístico. El problema reside en los pequeños coeficientes de la relación (9.5), que hacen que la
correlación entre los números aleatorios sea muy notable. En la figura 9.3(a) se muestra una gráfica
de 10 000 números aleatorios generados por ra n d u y graficados en tripletas (i/¿, ui+¡, ui+2). Una
consecuencia de la relación (9.5) es que todas las tripletas de números aleatorios se encuentran en
uno de 15 planos, como puede verse en la figura. De hecho. u¡+2 ~ 6mi+ ,+ 9u¡ debe ser un entero,
y las únicasposibilidades son los números enteros entre —5. en el caso donde u¡+\ es grande y u¡,
u¡+2 son pequeñas, y + 9. en el caso contrario. Los {Manos uJ+2 - 6 + 9u¡ — k, para - 5 ^ k
^ 9. son los 15 planos que se observan en la figura 9.3. En el ejercicio 5 se le pide analizar otro
generador de números aleatorios muy conocido oon una deficiencia similar.

El GCL mínimo estándar no sufre de este problema, al menos en el mismo grado. Como m y
a en (9.3) son relativamente primos, las relaciones entre u¡ sucesivas con coeficientes pequeños,
como la de (9.5). son mucho más difíciles de conseguir y las correlaciones entre los tres números

9.1 Números aleatorios | 437

aleatorios sucesivos de este generador son mucho más complicadas. Esto puede verse en la figura
9.3(b), que compara una gráfica de 10 000 números aleatorios generados por el generador de nú­
meros aleatorios mínimo estándar con una gráfica similar obtenida de randu.

►EJEMPLO 9 3 Use ra n d u para aproximar el volumen de la pelota de radio 0.4 centrado en (1/3,1/3.1/2).

Aunque la pelota tiene un volumen diferente de cero, un intento sencillo para aproximar el
volumen con ra n d u surge con el valor 0. El método de Monte Cario sirve para generar puntos de
manera aleatoria en un cubo tridimensional unitario y contar la proporción de puntos generados
que se encuentran en la pelota como el volumen aproximado.

El punto (1/3.1/3.1/2) se encuentra a la mitad del camino entre los planos 9* —6y + z = 1 y
9x - 6y + z = 2, a una distancia de l/(2v/T Í8) % 0.046 desde cada plano. Por lo tanto, la gene­
ración del punto tridimensional (x, y, z) m (uh u¡+|, u 1+2)con ra n d u nunca resultará en un punto
contenido en la pelota especificada. Las aproximaciones de Monte Cario para este sencillo proble­
ma serán muy poco exitosas debido a la elección d d generador de números aleatorios. De manera
sorprendente, las dificultades de este tipo pasaron inadvertidas durante las décadas de 1960 y 1970.
cuando este generador era la base de muchas de las simulaciones realizadas por computadora. ^

Los números aleatorios en las versiones actuales de M a t l a b ya no se generan por GCL. Co­
menzando con M a t l a b 5. se ha utilizado un generador de Rbonacci demorado, que desarrolló G.
Marsaglia et al. 11991). en el comando ran d . Se usan todos los posibles números de punto flotante
entre 0 y 1. M a t l a b afirma que el periodo de este método es mayor a 2*400, que es mucho mayor
que el número total de pasos ejecutados por todos los programas de M a t l a b desde su creación.

Hasta ahora se ha puesto énfasis en la generación de números pseudoaleatorios en el intervalo
[0. 1J. Para generar una distribución uniforme de números aleatorios en el intervalo general [a, bj.
se necesita ampliar en b - a la longitud del intervalo nuevo. Así, cada número aleatorio /-generado
en [0. 1], debe sustituirse por (¿> - a)r + a.

Esto puede hacerse para cada dimensión en forma independiente. Por ejemplo, para generar un
punto aleatorio uniforme en el rectángulo [ 1, 3] x [ 2 ,8 1en el plano xy, genere el par de números
aleatorios uniformes r,. r2 y después utilice (2r, + l ,6 r 2 + 2) como el punto aleatorio.

9 .1 .2 Números aleatorios exponenciales y normales

Una variable aleatoria exponencial V elige números positivos de acuerdo con la fun d ó n de dis­
tribución de probabilidad p(x) = ae~wcpara a > 0. En otras palabras, un histograma de números
aleatorios exponenciales r , , . . . , r„ tenderá a p(x) cuando rt -* oo.

Si se utiliza un generador de números aleatorios uniformes de la sección anterior, resulta bas­
tante fácil generar números aleatorios exponenciales. 1.a fun d ó n de la distribución acum ulada es

La idea principal es elegir la variable aleatoria exponencial de modo que la Prob( V £ x) sea unifor­
me entre 0 y 1. Es decir, dado un número aleatorio uniforme u,establezca

u = P-ob(K < x ) = I - e~ax

y resuelva para x, lo que resulta en

—ln( 1 —u) (9 .6 )

x=

a

438 I CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

Por lo tanto, la fórmula (9.6) genera números aleatorios exponenciales, utilizando números
aleatorios uniformes r/como entradas.

Rsta idea funciona en lo general. Sea P(x) la función de distribución acumulada de la variable
aleatoria que debe generarse. Sea Q(x) = P ~ l(x) la función inversa. Si í/[0, IJ indica los números
aleatorios uniformes cn [0. 1], entonces Q{U[0. 1]) generara las variables aleatorias requeridas.
Todo lo que resta es encontrar maneras de hacer la evaluación de Q lo más eficiente posible.

La norm al estándar, o variable aleatoria gaussiana. <V(0, 1) elige números reales de acuerdo
con la función de distribución de probabilidad

que tiene la forma de la famosa c u n a de campana. La variable N(0, 1) tiene media 0 y varianza
1. De manera más general, la variable aleatoria normal N(fi, cr2) = p + oN(0, 1) tiene media u y
\arianza o 2. Dado que esta variable es sólo una versión reducida de la variable aleatoria norma!
estándar N ( 0 , 1), se estudiarán los métodos para generar esta última.

A pesar de que podría aplicarse directamente la inversa de la fundón de distribución acumu­
lada como acaba de señalarse, resulta más eficiente generar dos números aleatorios normales a la
vez. La distribución normal estándar bidimensional tiene una función de distribución de la proba­
bilidad p ( x , y ) = (1 /2n)e~(*2+yi)/2,o p (r) = (1 /2 n )e ~ r2^2 cn coordenadas polares. Como p(r)
tiene simetría polar, sólo es necesario generar la distancia radial r de acuerdo con p(r) y después
degir un ángulo arbitrario ©uniforme en [0, 2x]. Dado que p(r) es una distribudón exponendal
para r2con d parámetro a = 1/2, genera r mediante

2 _ —ln( 1 - m )

r ” 1/2

de la fórmula (9.6), donde es un número aleatorio uniforme. Entonces

n\ — rco s2 ^U2 = v/-21n(I - ui)oo$2n u 2 (9.7)
n2 = r sen 2^1/2 = \ / —21n( 1 —r/i)sen2;ru2

es un par de números aleatorios normales independientes, donde u2 es un segundo número alea­

torio uniforme. Tenga en cuenta que 1 - u¡ puede reemplazarse por «i cn la fórmula, puesto que

la distribución U[0, 1] no experimenta cambios después de restarle 1. Éste es el método de Box-

M uller (Box y Mullcr [ 1958J) para generar números aleatorios normales. Para cada par se requie­

ren evaluaciones de raíz cuadrada, logaritmo, coseno y seno.

ftira obtener una versión más eficiente de Box-Muller, u, puede generarse de una manera di­

ferente. Elija x ¡ , x 2de (/[(), 1J. y defina u\ = x ^ + x \ si la expresión es menor que 1. Si no es así,

deseche x x y x 2y empiece de nuevo. Observe que u ( elegida de esta manera es U[0, IJ. La ventaja

es que puede utilizarse u2 = arelan x2/x\, el ángulo que forma el segmento de línea que une el ori­

gen con el punto porque es evidente que u2cs uniforme en 10. 2tfJ. Como eos 2mi2 = X\lu\

y sen 2m 2 = x j u \ , la fórmula (9.7) se traduce en

/ —21n(u,)
ni = x ¡ ------------

V

*2 =*2J/ —21n(mi) . (9.8)

V «i

donde u \ — x f 4- x |,q u e se calcula sin necesidad de evaluar el seno y el coseno como cn (9.7).

9.1 Números aleatorios | 439

La versión revisada del método de Box-Muller es un método de rechazo, porque algunas
entradas no se utilizan. Al comparar el área del cuadrado unitario [ - 1 , I] x [ —1,1) con el círculo
unitario, el rechazo se producirá (4 - jr)/4 ss2 l % de las veces. Éste es un precio aceptable a pagar
pora evitar las evaluaciones del seno y coseno.

Existen métodos más sofisticados para generar números aleatorios normales. Para mayores
detalles consulte Knuth [1997]. ft)r ejemplo, el comando randn de M a t l a b utiliza el algoritmo
“ziggurat” de Marsagüa y Tsang [2000], que es en esencia una forma muy eficiente de invertir la
función de distribución acumulada.

9.1 Eje rcicio s

1. Encuentre el periodo del generador de congruencia lineal definido por (a) a ™ 2, b - 0, m = 5
(b )a = 4 ,b = \ ,m = 9.

2. Encuentre el periodo del GCL definido por a ■ 4, b m 0, m ™9. ¿El periodo depende de la
semilla?

3. Aproxime el área bajo la curva y - jc2 para 0 S ; S 1, usando el GCL con (a) a °* 2, b * 0,
m = 5 (b) a = 4. b - 1, m = 9.

4. Aproxime el área bajo la curva y ■ 1 —x para 0 :£ x ^ 1, utilizando el GCL con (a) a ■»2, b ■ 0.
m = 5 (b) a = 4, b = 1, m ™9.

5. Considere el generador de números aleatorios RANDNUM-CRAY, que se utilizó en la Cray
X-MP, una de las primeras supcrcomputadoras. Este GCL utilizaba m = 248, a = 224 + 3 y
b = 0. Demuestre que ul+2 = 6w¿+i - 9u¡ (mod I). ¿Esto le parece preocupante? Consulte los
problemas de computadora 9 y 10.

9.1 P ro b le m a s de co m p u tad o ra

1. Implemente el generador de números aleatorios mínimo estándar y encuentre la aproximación de
Monte Cario al volumen del ejemplo 9.3. Use 106 puntos tridimensionales con semilla x0 ■ L
¿Qué tan cerca está su aproximación de la respuesta correcta?

2. Implemente randu y encuentre la aproximación de Monte Cario al volumen del ejemplo9.3, como
en el problema de computadora 1. Compruebe que ningún punto (ui, u¡+1, u¿+2) entra en la pelota
dada.

3. (a) Utilizando el cálculo, encuentre el área delimitada por las dos parábolas P¡(x) «*x2 - x + 1/2
y P¿x) — - x2 + x + 1/2. (b) Estime el área como una simulación de Monte Cario tipo I, en­
contrando el valor promedio de Pi(x) - P\(x) en [0. I]. Encuentre las estimaciones para n = 10*
para 2 s i s 6. (c) Haga lo mismo que en (b), pero estime como en un problema de Monte Cario
tipo 2: Encuentre la proporción de puntos en el cuadrado [0,1] x [0, l] que se encuentra entre las
parábolas. Compare la eficiencia de los dos enfoques de Monte Cario.

4. Realice los pasos del problema de computadora 3 para el subconjunio del primer cuadrante limi­
tado por los polinomios /*,(*) = r* y P^x) = 2x - x1.

5. Use n = 104 puntos pseudoaleatorios para estimar el área interior de las elipses

(a) 13*2 + 34xy + 25y2 ^ l e n - l ^ j r . y ^ l y
(b) 4Q r + 2Sy2 + y + 9/4 ^ 52ry + 14r en 0 ^ x, y ^ I. Compare su estimación con las áreas
correctas (a) nr/6 y (b) nr/18, y reporte el error de la estimación. Repita oonn - 106 puntos y com­
pare los resultados.

440 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

6. Use n ■ 104 puntos pseudoaleatorios para estimar el volumen interior del elipsoide definido por
2 + + 4z2 + y2 S 4x + Az + y, contenido cn el cubo unitario 0 S j , ) ' , z S 1 . Compare su
estimación con el volumen correcto jtÍIA y registre el error. Repita la estimación con n = 106
puntos.

7. (a) Utilice el cálculo para evaluar la integral / 0' x y d y d x . (b) Utilice n “ 106 pares en el
cuadrado unitario (0, I] x [0, 1] para estimar la integral como un problema de Monte Cario
tipo 1. (Promedio de la función que es igual a xy si (x, >•) está en el dominio de integración y 0 si
no lo está).

8. Use 106 pares aleatorios en el cuadrado unitario para estimar f Áx y dx dy, donde A es el área
descrita en el ejemplo 9.2.

9. Implemente el generador de números aleatorios cuestionado del ejercicio 5, y dibuje una gráfica
similar a la figura 9.3.

10. Diseñe un problema de aproximación por Monte Cario que contraste por completo con el genera­
dor RANDNIJM-CRAY del ejercicio 5. siguiendo las ideas del ejemplo 9.3.

9 . 2 SIMULACIÓN DE MONTE CARLO

Ya se han visto ejemplos de dos tipos de simulación de Monte Cario. En esta sección se explora el
rango de problemas que son adecuados para esta técnica y se analizan algunas de las mejoras que
hacen que funcione mejor, incluyendo los números cu&sialeatorios. En esta sección deberá usarse
el lenguaje de las variables aleatorias y los valores esperados.

9 .2 .1 Leyes d e potencia para la estim ació n d e M onte Cario

B i principio es necesario comprender la velocidad de convergencia de la simulación de Monte
Cárlo. ¿Con qué rapidez disminuye el error de estimación a medida que crece el número ndc pun­
tos usados cn el cálculo? Esta pregunta es similar a las preguntas de convergencia del capítulo 6
para los métodos de cuadratura y en los capítulos 7. 8 y 9 para los solucionadores de ecuaciones
diferenciales. En los casos anteriores, se plantean como preguntas acerca del error frente al tamaño
de paso. La reducción del tamaño de paso es análoga a la adición de números aleatorios en las
simulaciones de Monte Cario.

Considere el método de Monte Cario tipo 1como el cálculo de la media de una función usan­
do muestras aleatorias, que después se multiplica por el volumen de la región de integración. El
cálculo de la media de una función puede verse como el cálculo de la media de una distribución de
probabilidad dada por la función. Se utilizará la notación E(J0para el valor esperado de la variable
aleatoria X. La v a ria n /a de una variable aleatoria X es E\(X - £ÍA0)2], y la desviación e stá n d a r
de X es la raíz cuadrada de su varianza. El error esperado cn la estimación de la media disminuirá
con el número n de puntos aleatorios, de la siguiente manera:

M onte Cario tipo 1 o tipo 2 con números pseudoaleatorios.

Error a n~ 3 (9.9)

Rira entender esta fórmula, vea la integral como el volumen del dominio multiplicado por el
\alor medio A de la función sobre el dominio. Tenga en cuenta las mismas variables aleatorias X¡
correspondientes a una evaluación de la función en un punto aleatorio. Entonces el valor medio es
el valor esperado de la variable aleatoria K= (Y, + ••• + Xn)/n, o bien

9.2 Simulación de Monte Cario | 441

ANOTACIÓN C o n v e rg e n c ia Una estim ación de Monte Cario tipo 1 hace algo m uy similar al método com pues­
to del punto medio del capítulo 5. Se haencontradoque el error no es proporcional al tamaño de paso h,

lo que equivale aproxim adam ente a 1/n cuando se tom a en cuenta el número de evaluaciones de la
función. Esto es más eficiente que la ley de la potencia de la raíz cuadrada de M onte Cario.

Sin embargo, Monte Cario tiene éxito con problemas como el del ejemplo 9 2 . Aunque la con­
vergencia al valor correcto todavía es lenta, no está clara la manera de plantear el problema com o un
problema tipo 1, co n el fin de aplicar las técnicas del capítulo.

y la varianza de y es

E Xx + ♦.. + Xx„H \ 2~\ 1 2, * 2 a~
= -.
\ n------------------------------------------------------- =

donde a e s la varianza original de cada X¡. For lo tanto, la desviación estándar de Y disminuye con
o /y /ñ . Este argumento se aplica a las simulaciones de Monte Cario de los tipos 1 y 2.

►EJEMPLO 9 .4 Encuentre estimaciones de Monte Cario tipo I y 2 utilizando números pseudoaleatorios para el
área bajo la curva y = x2 en [0,1 ].

Esto es una extensión del Monte Cario tipo 1del ejemplo 9.1. donde se prestó atención al error
como una función del número n de puntos aleatorios. Pára cada intento, se generan n números
aleatorios uniformes x e n [0. 1], y se encuentra el valor promedio de y = x2. El error es el valor
absoluto de la diferencia entre el valor medio y la respuesta correcta 1/3. Se promedia el error de
más de 500 intentos para cada n y se grafican los resultados, con lo que se obtiene la curva inferior
de la figura 9.4.

i<r*

i<rJ

J l<rí

nr*

íir' io' 10* 10*

io2 N úm ero <ic pu m o s n

H gura9.4 Error modio ám la anim ación da Monta C a rla Error d o estim ación e n el ejem p lo 9.4, com o
problem as d e M onte Cario tipo 1 (curva inferior) y tip o 2 (curva superior) cu an d o se usan nú m ero s p seu d o -
d e a to rlo s . La d e p e n d e n c ia d é l a ley d e p o te n c ia tie n e e x p o n e n t e - 1 / 2 p a ra los d o s tip o s d e p ro b le m a s .

Pira Monte Cario tipo 2. se generan pares aleatorios uniformes (x, y) en el cuadrado unitario
[0. 1J x [0, 1J y se sigue la proporción que satisface y < x2. Una vez más. el error se promedia para

442 | CAPITULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

500 intentos y se representa como la curva superior de la figura 9.4. Aunque el error de tipo 2 es

ligeramente mayor que el error de tipo 1, ambos siguen la ley de la potencia de la raí/, cuadrada

(9.9). <«

¿La alealoriedad de las muestras es en verdad necesaria para un problema de Monte Cario
del tipo 2?, ¿por qué no utilizar una malla rectangular y regular de muestras, en lugar de números
aleatorios, para resolver un problema como el ejemplo 9.2? Pbr supuesto, se perdería la capacidad
de detenerse después de un número arbitrario de n nuestras, a menos que hubiera algún modo del
tipo aleatorio para ordenarlos, a fin de evitar un sesgo muy importante cn la estimación. Resulta
que hay una opción media, que mantiene las ventajas de la malla regular pero ordena los números
para que parezcan aleatorios. Éste es el tema de la siguiente sección.

9 .2 .2 Números cuasialeatorios

La idea de los números cuasialeatorios es sacrificar la propiedad de independencia de los números
aleatorios cuando en realidad no es esencial para el problema que debe resolverse. El sacrificio
de la independencia implica que los números cuasialeatorios no sólo son no aleatorios, sino que
a diferencia de los números pseudoaleatorios, no pretenden ser aleatorios. Este sacrificio se hace
oon la esperanza de una convergencia más rápida hacia el valor correcto en un entorno de Monte
Garlo. Las secuencias de números cuasialeatorios están diseñadas para ser auloexc luyentes en
vez de independientes. Es decir, el flujo de números trata de Henar de manera eficiente los huecos
dejados por los números anteriores y evitar las agrupaciones. La comparación con los números
pseudoaleatorios se ¡lustra en la figura 9.5.

(a) (b)

Figura 9 .S Com parativo da núm eros pseudoaleatorios y cu asialeato rio s.(a) 2000 pares de números
pseudoaleatorios, producidos mediante rand de M*nail (b) 2000 pares de números cuasialeatorios,
producidos mediante secuencias de ba)a-dtscrcpanciasdc Halton.con base 2 en la coordenada x y
base 3 en la coordenada y.

Existen muchas maneras de producir números cuasialeatorios. Tal vez la forma más popular

se remonta a una sugerencia de Van der Corput cn 1935, llamada secuencia de baja*discrepancia

con base-p. Se proporciona la implcmentación realizada por Halton [1960]. Sea p un número

primo, por ejemplo, p = 2. Escriba los primeros n enteros cn base aritmética p. Suponiendo que

el /-ésimo entero tiene una representación j ... b j ) j.se asignará el /-ésimo número aleatorio

como ••• ¿>*.,¿>*,06 nuevo escrito en la base aritmética p. En otras palabras,escriba el en­

9.2 Simulación de Monte Cario | 443

tero r'-ésimo en base p, en seguida invierta los dígitos y póngalos después del punto decimal para
obtener el i-ésimo número aleatorio uniforme en [0.1 ]. Al establecer p = 2, se obtiene la siguiente
lista de los primeros ocho números aleatorios:

i 0 )2 (Mí)2 Mí

1 I .1 0.5

2 10 .01 0.25

3 11 .11 0.75

4 100 .001 0.125

5 101 .101 0.625

6 110 .011 0.375

7 111 .111 0.875

8 1000 .0001 0.0625

Si se establece p = 3 se obtiene la secuencia de Halton con base 3:

/ 0 )3 (My)3 M,

1 1 .1 03

2 2 .2 0.6

3 10 .01 0.1

4 11 .11 0.4

5 12 .21 0.7

6 20 .02 0.2

7 21 .12 0 3

8 22 .22 0.8

A continuación se muestra el código de M at l ab para la secuencia de Halton. Es una versión
sencilla y directa de la idea original de baja-discrepancia. Para una mayor eficacia, puede codifi­
carse al nivel de bits.

% Programa 9 .1 Generador de números c u a s ia le a t o r io s

% Secuencia de Halcón con base p,

% Enerada: número primo p, números a l e a t o r io s req u e rid o s n

% S a lid a : A rreglo u de números c u a s ia le a to r io s en [0,1]

% Uso de ejem plo: h a lt o n (2.100)

function u=halton(p,n)

b -z e r o o (c e il(lo g (n )/lo g (p )),1 ); %mayor número de d í g i t o s

for j=l:n

i=l ; %s u ma u n o a l e n t e r o a c t u a l

b(l)=b (1)+1;

while b(i)>p-l+eps %e s t e c i c l o s e h a c e

b ( i ) «0; % en base p

i-i+ 1 ;

b ( i ) =b ( i ) +1 ;

end

u (j )=0 ;

for k«1:len gth(b(:)) %a g r e g a d í g i t o s i n v e r t i d o s

u (j ) - u ( j > + b (k )* p * (-k );

end

end

Para cualquier número primo, la secuencia de Halton dará un conjunto de número cuasialea-
torios. Para generar una secuencia de vectores ¿-dimensionales, puede utilizarse un número primo
diferente para cada coordenada. Es importante recordar que los números cuasialeatorios no son in­
dependientes. su utilidad radica en su propiedad de autocxcluyentcs. Para los problemas de Monte
Cario, son mucho más eficientes que los números pseudoaleatorios, como se verá a continuación.

444 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

l a razón para el uso de números cuasialeatorios es que dan lugar a una convergencia más
rápida en las estimaciones de Monte Cario. Eso significa que oomo una fundón de n .el número de
evaluaciones de la función, el error disminuye a una tasa proporcional a una potencia negativa más
grande de n que la correspondiente tasa de los números pseudoalealorios. Las siguientes fórmulas
de error deben compararse con las fórmulas correspondientes (9.9) para los números pseudoalca-
torios (con d se indica la dimensión de los números aleatorios generados):

Monte Cario tipo 1 con números cuasialeatorios (9.10)
Error a ( I n n /n -1

Monte C ario tipo 2 con núm eros cuasialeatorios (9.11)
Error a n 2 23

H error está dominado por lo que sucede en las discontinuidades. En lugar de una dem os­
tración, se describe lo que ocurre en el caso de los ejemplos tipo 2 que se han encontrado, donde
la función es característica de un subconjunto en el espacio ¿-dimensional que tiene una frontera
(¿ - l)-dimensional. En este caso, el número de puntos de discontinuidad, a lo largo de la frontera
d d conjunto, es proporcional a (nUd)d~ '. Esto se deduce del hecho de que la frontera es (¿ - I )-di-
mensional, y hay alrededor de n Ud puntos de malla a lo largo de cada una de las d dimensiones,
fetos puntos asumen “aleatoriamente” los valores 0 o 1. dependiendo de qué lado de la frontera se
encuentren. Como los errores en todos los otros puntos son mucho más pequeños, la varianza de la
evaluación de la función es, en promedio,

= n *. ,
n

i
y la desviación estándar es la raíz cuadrada n 53. Por el mismo argumento que en el caso pseudo-
aleatorio de Monte Cario, donde se promedian n puntos, la desviación estándar se reduce en un
factor de y/ñ, lo que deja a la desviación estándar del método cuasi-Monte Cario como

n -'W 2^"3^3.
„W2

► EJEMPLO 9.5 Encuentre una estimación de Monte Cario usando cuasialeatorios para el área bajo la curva de
y =jr 2en [0. lj.

Éste es un problema de Monte Cario tipo 1, donde pueden generarse coordenadas x en [0. 1]
para encontrar el promedio de f ( x ) = x2 como una aproximación del área. Se usa la secuencia de
Halton con el número primo p = 2 a fin de generar 105 números cuasialeatorios. Los resultados,
oomparados con la misma estrategia utilizada para los números pseudoalealorios, se muestran en
la figura 9.6. Los números cuasialeatorios son claramente superiores, como se predijo antes. <

► E JE M P LO 9.6 Encuentre una estimación de Monte Cario cuasialeatoria para el área del ejemplo 9.2.

Para diferentes n, se generaron muestras cuasialeatorias en el cuadrado unitario mediante la
secuencia de Halton. Para aplicaciones multidiinensionales. resulta conveniente utilizar secuen­
cias de Halton con diferentes números primos p para cada coordenada. El área es un subconjunto
de un espacio bidimensional con una frontera unidimensional, por lo que d = 2. Se determinó la

9.2 Simulación de Monte Cario | 445
l(H

u r:

10-'

io- 4

10- ' 10* IO4 IO5

I0: N úm ero de punios n

Fig u ra9 .6 Error m adio da la astim aclón da M onta Cario tipo 1. Estimación de la integral del ejemplo 9.1.
Los circuios representan elerror cuando se usan números pseudoaleatorios, los cuadrados corresponden
al error de los cuasialeatorlos. Observe la dependencia de la leyde potencia con exponente -1/2 y - 1 ,
respectivamente para los números pseudo y cuasialeatorlos.

proporción que satisface la condición definida en el ejemplo 9.2. y se calculó el error. El error se
promedió cn 50 intentos y se representa cn la figura 9.7(a). El exponente de la ley de potencia para
un problema de Monte Cario tipo 2 en 2 dimensiones es —1/2 —1/(2d) = -1 /2 —1/4 = -3 /4 . que
es la pendiente aproximada de la curva inferior. Con fines comparativos, cn la figura se muestra el
mismo cálculo para los números pseudoaleatorios. con una ley de potencia de raíz cuadrada. <

►EJEMPLO 9.7 Encuentre una estimación de Monte Cario cuasialcaloria para el volumen de la pelota tridimensio­
nal de radio uno cn R?.

Se procede de manera similar a la del ejemplo 9.6. Como el problema de tipo 2 ocurre en tres
dimensiones, el exponente de la ley de potencia es -1 /2 1/6 = -2 /3 , que es aproximadamente
la pendiente de la curva inferior de la figura 9.7(b).

9.2 Pro blem as de com putadora

1. Realice la aproximación de Monte Cario del problema de computadora 3 de la sección 9.1 con
n = 10* números cuasialeatorios de la secuencia de Halton para k = 2, 3. 4 y 5. En el inciso
(c). use halton(2 ,n) y haiton(3,n) para las coordenadas x y y. respectivamente.

2. Realice la aproximación de Monte Cario del problema de computadora 4 de la sección 9.1 con
números cuasi-aleatorios.

3. Realice la aproximación de Monte Cario del problema de computadora 5 de la sección 9.1 con
n * 104 y n = 105 puntos cuasialeatorios.

4. Realice la aproximación de Monte Cario del problema de computadora 6 de la sección 9.1 con
n = \0 * y n = 105 puntos cuasialeatorios.

5. Calcule las aproximaciones de Monte Cario y cuasi-Monte Cario al volumen de la pelota en cuatro
(fimensionesde radio 1con n = 105 puntos. Compare su respuesta con el volumen exacto jr2/2.

6. Uno de los problemas más conocidos de Monte Cario es la aguja de Buflfon. Si una aguja se
deja caer en un piso pintado con franjas blancas y negras, cada una con la misma anchura que la
longitud de la aguja, entonces existe una probabilidad de 2/x de que la aguja caiga sobre ambos

446 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

N úm ero de punto> n Número de puntos n

(a) <l>)

Rgura 9.7 Error m adio da la astim adón da Monta Cario tipo 2. lo s circuios rep resen tan el error
cuando se utilizan núm eros pseudoaleatortos, los cuadros corresponden al erro r d e b scu asialeato rlo s.

(a) E stim ación d e l á re a d e l eje m p lo 9.2, u n p ro b le m a d e M o n te C ario tip o 2 e n la d im e n s ió n d - 2. Los e rro res

siguen las leyes d e po ten cia con e x p o n en tes - 1 / 2 y - 3/4, respectivam ente, para los nú m ero s p seu d o - y
cu asia le ato rio s. (b) E stim ació n d e l v o lu m e n d e la p e lo ta trid im e n s io n a l d e d iá m e tro 1, u n p ro b le m a d e

M o n te C ario tip o 2 e n la d im e n s ió n d —3. Los e rro re s s ig u e n las leyes d e p o te n c ia c o n e x p o n e n te s

-1 /2 y -2 /3 .

colotts. (a) Demuestre de manera analítica este resultado. Considere la distancia d del punto me­
dio de la aguja al borde más cercano, y su ángulo 0 respecto a las franjas. Exprese la probabilidad
como una integral simple, (b) Diseñe una simulación de Monte Cario tipo 2 que se aproxime a la
probabilidad, y realícela con n = 106 pares pseudoalcatón os (</. 0).

7. (a) ¿Qué proporción de las matrices de 2 x 2 con entradas en el intervalo [0, 1] tienen determinan­
te positivo? Encuentre el valor exacto y aproximado con una simulación de Monte Cario, (b) ¿Qué
proporción de matrices simétricas de 2 x 2 con entradas en [0, 1] tienen determinante positivo?
Encuentre el valor exacto y aproximado con una simulación de Monte Cario.

8. Ejecute una simulación de Monte Cario para aproximar la proporción de las matrices de 2 x 2 con
entradas en ( - 1, 1], cuyos valores propios son reales.

9. ¿Qué proporción de las matrices de 4 x 4 con entradas en [0. 1J no implican intercambios entre
renglones al ser sometidas al pivoteo parcial? Utilice una simulación de Monte Cario que involu­
cre el comando l u de M a t l a b para estimar esta probabilidad.

9 . 3 MOVIMIENTO BROWNIANO DISCRETO Y CONTINUO

Aunque los capítulos anteriores de este libro se han centrado primordialmcntc en los principios que
son importantes para las matemáticas de los modelos deterministas, estos modelos son sólo una
parte del arsenal de las técnicas modernas. Una de las aplicaciones más importantes de los números
aleatorios consiste en hacer posible el modelado estocástico.

Se iniciará con uno de los modelos estocásticos más sencillos, la caminata aleatoria, también
llamada movimiento browniano discreto. Los principios básicos detrás de este modelo discreto son
en esencia los mismos que para los modelos más sofisticados que se presentarán después, basados en
el movimiento browniano continuo.

9 3 Movimiento browniano discreto y continuo | 447

9.3.1 Cam inatas aleatorias
Una cam inata aleato ria W, se define en la recta real comenzando en W0 = 0 y avanzando un paso
de longitud ¿¿en cada unidad de tiempo entera /.donde las ¿¿son variables aleatorias independien­
tes e idénticamente distribuidas. Aquí se asumirá que cada s, es +1 o - 1con la misma probabili­
dad igual a 1/2. El movimiento brow niano discreto se define como la caminata aleatoria dada por
la secuencia de pasos acumulados

W, = Wo + J| + S2 + •• • + S/,

para t = 0, 1, 2. ... En la figura 9.8 se ilustra uno de los desarrollos del movimiento browniano
discreto.

v

F ig u ra9 .8 Uno do lo s desarrollos da u n a cam inata aleatoria. la ruta toca La frontera del Intervalo (vertical)
[ - 1 6 ) en el paso 12. En promedio, las caminatas aleatorias escapan por la parte superior de este Intervalo una
tercera parte de las veces» en promedia

E l sig uiente có d ig o de M a t l a b rea liza una ca m in a ta aleatoria d e 10 pasos:
t=10;
w»0;
for i= l:t

if rand>l/2
w-w+1;

else
WaW-1;

end
end

Dado que una caminata aleatoria es un dispositivo probabilístico, deberán utilizarse algunos
conceptos de probabilidad elemental. Para cada r»el valor de W, es una variable aleatoria. El en­
cadenamiento de una serie de variables aleatorias {W,,. W,. VV2, ...} es. por definición, un proceso
estocástico.

El valor esperado de un solo paso ¿¿de la caminata aleatoria W^.cs (0.5)(1) + (0.5) x (—1) = 0 .
y la varianza de ¿, es £[(¿¿ —O)2] = (0.5)(1)2 + ( 0 .5 ) ( - l ) 2 = 1. El valor esperado de la caminata
aleatoria después de un número entero rd e pasos es E(Wt) = E(¿, + ••• + ¿,) = £(¿,) + ••• +
£(¿,) = 0. y la varianza es V(W,) = V(¿, + ••• + ¿,) = V(¿[) + ••• + V(s,) = /.porque la varianza
es aditiva sobre las variables aleatorias independientes.

La media y la varianza son cantidades estadísticas que resumen la información acerca de una
distribución de probabilidad. El hecho de que la media de W, sea 0 y su varianza sea / indica que al
calcular n diferentes desarrollos de la variable aleatoria W,, la

fp l + . . . + JfTJI
media m uestral = Emucs,rai( W,) = — ----------------L

448 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones
y la

v a ria » ™ ,™ . - Vmmj n = +n -— +I ^ - £<)!

deberían aproximarse a 0 y i. respectivamente. La desviación e stán d a r m uestra!, que se define
como la raíz cuadrada de la varianza muestral. también se conoce como el e rro r e stá n d a r de la
media.

Muchas aplicaciones interesantes de las caminatas aleatorias se basan en los tiempos de
escape, también llamados primeros tiempos de paso. Sean a y b enteros positivos, y conside­
re la primera vez que la caminata aleatoria que inicia en 0 alcanza la frontera del intervalo
l-¿>, a], Esto se denom ina tiem po de escape de la caminata aleatoria. Puede demostrarse
(Steele [2001J) que la probabilidad de que el escape ocurra en a (en vez de en - b) es exacta­
mente b/(a + b).

►EJEMPLO 9.8 Utilice una simulación de Monte Cario para aproximar la probabilidad de que la caminata aleatoria
salga del intervalo [ - 3 , 6 ] a través de la frontera superior 6.

B lo d e b e suceder 1/3 de las veces. Se calculará la media muestral y el eiro rd e la probabilidad
de escape a través de a = 6 como un problema de Monte Cario tipo 2. Se ejecutan n caminatas alea­
torias hasta el escape, y se registra la proporción que llega a 6 antes de —3. Pitra distintos valores
de n. se encuentra la siguiente tabla:

n salidas superiores prob error
100 0.0167
200 35 0.3500 0.0267
400 72 0.3600 0.0042
800 135 0.3375 0.0108
1600 258 0.3225 0.0027
3200 534 0.3306 0.0092
6400 1096 0.3425 0.0124
2213 0.3458

R error es el valor absoluto de la diferencia entre la estimación y la probabilidad correcta de

1/3. El error disminuye poco a poco a medida que se utilizan más caminatas aleatorias, pero de ma­

nera irregular, como lo muestra la tabla. En la figura 9.9 se presenta el error promedio de más de

50 intentos. Con este promedio, los errores muestran que la ley de potencia de la raíz cuadrada

disminuye, como es característico de la simulación de Monte Cario. -4

La longitud esperada del tiempo de escape de [-¿>, a] se conoce (Steele [2001 ]) como ab. La
misma simulación puede usarse para investigar la eficacia de Monte Cario cn este problema.

►EJEMPLO 9.9 Utilice una simulación de Monte Cario para estimar el tiempo de escape en el que una caminata
aleatoria sale del intervalo [ - 3 ,6 ] .

9 3 Movimiento browniano discreto y continuo | 449
10"

io-'
l<H

10" ’ lo-* 10J 10*

10*’

Número de camínalas aleatorias n

F ig u ra9 .9 Error da la estim ación da M onta Cario para al p ro blem a da escapa. Fn Lacurva Inferior se
muestra el error de estimación contra el número de caminatas aleatorias para la probabilidad de escapar
de [ - i 6] alcanzando 6. El valor esperado de la probabilidad es 1/3. La curva superior muestra el error de
estimación para el tiempo de escape del mismo problema. El valor esperado es de 18 pasos de tiempo Los
errores se promediaron para 50 Intentos.

H valor esperado del tiempo de escape es ab * 18. Un cálculo de muestra resulta en la tabla
siguiente:

II tiempo promedio de escape error
18.84 0.84
100 17.47 0.53
200 19.64 1.64
400 18.53 0.53
800 18.27 0.27
1600 18.16 0.16
3200 18.05 0.05
6400

Una ve/, más, el error disminuye gradualmente a una tasa irregular. Rara ver la ley de potencia

de la raí/ cuadrada para el error, deben promediarse varios intentos para cada n. En la figura 9.9 se

muestra el resultado de 50 intentos. *

9 .3 .2 M ovim iento browniano continuo

En la sección anterior se encontró que para la caminata aleatoria estándar en / pasos de tiempo
se espera el valor 0 y la varianza /. Imagine ahora que se realiza el doble de pasos por unidad de
tiempo. Si se da un paso cada 1/2 unidad de tiempo, el valor esperado de la caminata aleatoria en
el tiempo /sigue siendo 0, pero la varianza cambia a

V ( W ,) = K (S | H + »2i) = P X » |) •+ + Y («2») = 2/.

puesto que se han realizado 2/ pasos. Con el fin de representar la inccrtidumbrc en un modelo
continuo, por ejemplo en una ecuación diferencial, se requiere una versión continua de la caminata
aleatoria. La duplicación del número de pasos por unidad de tiempo es un buen punto de partida,
pero para mantener la varianza fija mientras se aumenta el número de pasos, será necesario reducir
el tamaño (vertical) de cada paso. Al aumentar el número de pasos por un factor *,debe cambiarse
la altura de los pasos en un factor de Ify / k para mantener la varianza en el mismo valor previo.
Esto se debe a que la multiplicación de una variable aleatoria por una constante cambia la varianza
por un tactor igual al cuadrado de la constante.

450 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

Figura 9 .1 0 M o vim iento brow niano d is c re ta (a) C a m in a ta a le a to r ia Wrd e 10 paso s, (b) C a m in a ta a le a to ria
IVf2 u s a n d o 25 v e c e s m á s p a s o s q u e (a), p e ro c o n u n a a ltu ra d e p a s o d e l/V Ü .L a m e d ia y la v a ría n z a d e la
a ltu ra e n el m o m e n to t = 10 son id én ticas (0 y 10, resp ectiv am en te) p ara los p ro ceso s (a) y (b).

Por lo tanto. W} se define como la caminata aleatoria que realiza pasos s, de longitud hori­
zontal \/k. una altura de paso ± \ / V k y la misma probabilidad. Entonces, el valor esperado en el
tiempo t sigue siendo

kl kt
E (W *) = ' E E (j f ) = £ o = 0,

/=! /=!
y la varianza es

kl kl
V(W,‘ ) = £ V < J ) = ] T

1=1 1=1
Si se reduce el tamaño de paso y la altura de poso de la caminata aleatoria de esta manera precisa a
medida que A-aumenta, la varianza y la desviación estándar se mantienen constantes, independien­
temente del número k de pasos por unidad de tiempo. En la figura 9.10(b) se muestra un desarrollo
de W,k,donde k = 25. de modo que se realizan 250 pasos individuales en 10 unidades de tiempo.
La media y la varianza en t - 10 son las mismas que en la figura 9.10(a).

El límite Wf** de esta progresión cuando k -* » produce un movimiento browniano co n ti­
nuo. Ahora el tiempo res un número real y B, = ÍFf°°es una variable aleatoria para cada / S 0. El
movimiento browniano continuo B, tiene tres propiedades importantes:

Propiedad 1 Para cada r. la variable aleatoria B, está por lo regular distribuida con media 0 y varianza t.

P ropiedad 2 Para cada t\ < 12. la variable aleatoria normal Bh - B,tcs independiente de la variable aleatoria B, ,.
y de hecho es independiente de toda Br 0 s ^ t\.

Propiedad 3 El movimiento browniano B, puede representarse mediante trayectorias continuas.
La aparición de la distribución normal es una consecuencia del teorema del límite central, un hecho
profundo acerca de la probabilidad.
La simulación por computadora del movimiento browniano se basa en el respeto a estas tres
propiedades. Establezca una malla de pasos
0 = /o <t\ <•••</„

9 3 Movimiento browniano discreto y continuo | 451

en el eje t. c inicie con B0 = 0. La propiedad 2 dice que el incremento Btx — B es una variable
aleatoria normal, y su media y su varianza son 0 y For lo tanto, puede hacerse un desarrollo de
la variable aleatoria Bt] eligiéndolo de la distribución normal -V(0. t\ ) = >//i - IqN(0. 1); es decir,
al multiplicar un número aleatorio normal estándar por <Jt\ - lo. Para enoontrar Bl2,se procede de
manera similar. La distribución de B,2 - fl,,es jV(0./2 - /i) = >/H - t\N (0 , l),p o rlo q u e se elige
un número aleatorio normal estándar, se multiplica por y /h - ri.y se suma a para obtener B,2.
En general, el incremento del movimiento browniano es la raíz cuadrada del paso de tiempo mul­
tiplicado por un número aleatorio normal estándar.

En M a t l a b, puede escribirse una aproximación al movimiento browniano utilizando el
generador integrado de números aleatorios normales ran d n . Aquí se usa el tamaño de paso
A/ = 1/25), como en la figura 9.10(b).

k*250;
o q d e lt-sq r t(1/25) ;
b=0 ;
for i-l:k

b = b + s q d e lt *r andn;
end

Las estadísticas d d tiempo de escape para el movimiento browniano continuo son idénticas
a las de las caminatas aleatorias. Sean a y b números positivos (no necesariamente enteros), y
considere la primera vez que el movimiento browniano continuo que inicia en 0 alcance la fron­
tera del intervalo [~b. a]. Esto se denomina el tiempo de escape del intervalo para el movimiento
browniano. Puede demostrarse que la probabilidad de que el escape ocurra en a (en vez de en b) es
exactamente b/(a + b). Por otra parte, el valor esperado del tiempo de escape es ab. En el proble­
ma de computadora 5 se pide al lector que ilustre estos hechos con simulaciones de Monte Cario.

9.3 Pro blem as de com putadora

1. Diseñe una simulación de Monte Cario para estimar la probabilidad de que una caminata aleatoria
llegue al límite superior de un intervalo dado [ - b, a]. Realice n = 10000 caminatas aleatorias.
Calcule el error comparando los resultados con la respuesta correcta, (a) ( - 2 . 5J (b) ( - 5 . 3]
(c) (-8 .3 1

2. Calcule el tiempo de escape medio para las caminatas aleatorias del problema de computadora 1.
Realice n - 10000 caminatas aleatorias. Calcule el error comparando los resultados con la res­
puesta correcta.

3. En una cam inata aleatoria sesgada, la probabilidad de subir una unidad es 0 < p < 1. y la
probabilidad de descender una unidad es q = I - p. Diseñe una simulación de Monte Cario con
n = 10000 para encontrar la probabilidad de que la caminata aleatoria sesgada con p = 0.7, en el
intervalo del problema de computadora I, llegue al límite superior. Calcule el error comparando
los resultados con la respuesta correcta [(q/p)h - 1]/[ (q/p)a+b - 1] para p * q.

4. Resuelva el problema de computadora 3 para el tiempo de escape. El tiempo de escape medio para
la caminata aleatoria sesgada con p * qcs[b - (a + ¿>)(l - (q /p )h)/(\ - ( q / p ) )\/[q - p).

5. Diseñe una simulación de Monte Cario para estimar la probabilidad de que el movimiento brow­
niano escape a través del límite superior del intervalo dado \ - b , a]. Utilice n * 1000 trayectorias
de movimiento browniano con tamaño de paso At - 0.01. Calcule el error comparando los resul­
tados con la respuesta correcta h/(a + b). (a) [—2 .5J (b) [—2. zr] (c) (-8 /3 ,3 ).

6. Calcule el tiempo de escape medio del movimiento browniano para los intervalos del problema
de computadora 5. Realice n = 1000 trayectorias de movimiento browniano con tamaño de paso
A/ » 0.01. Calcule el error comparando los resultados con la respuesta correcta.

452 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

7. La ley del arcoseno del movimiento browniano sostiene que para 0 ^ r, 5 /2, la probabilidad
de que una trayectoria no pase por cero cn el intervalo de tiempo [r,, t2] es (2Jn) aresen y/t\)t2.
Realice una simulación de Monte Cario de esta probabilidad usando 10000 trayectorias con
A/ ■ 0.01, y compárela con la probabilidad correcta, para los intervalos de tiempo: (a) 3 < i < 5
(b) 2 < / < 10 (c) 8 < / < 1 0 .

9 . 4 ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son modelos deterministas. Dada una EDO y una con­
dición inicial correspondiente, existe una solución única, lo que significa que la solución está
determinada por completo. Tal sabiduría no siempre está disponible para el analista. En muchos
sistemas, algunas partes pueden modelarse con facilidad, otras partes parecen moverse al a/ar
(aparentemente de manera independiente del estado actual del sistema). En tales situaciones, cn
vez de abandonar la idea de un modelo, es común añadir un término de inoertidumbre a la ecua­
ción diferencial para representar los efectos aleatorios. El resultado se conoce como una ecuación
diferencial estocástica (EDE).

En esta sección se analizan algunas ecuaciones diferenciales estocásticas elementales y se
explica cómo encontrar soluciones aproximadas en forma numérica. Las soluciones serán procesos
estocásticos continuos como el movimiento browniano. Se inicia con algunas definiciones nece­
sarias y una breve introducción al cálculo de Ito. Para más información, el lector puede consultar
Klebaner [ 1998]. Oksendal [1998], y Stcelc [2001].

9 .4 .1 Incorporación d e la in certidu m b re a las ecuaciones d iferenciales

la s soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias son funciones. Par otra parte, las solucio­
nes a las ecuaciones diferenciales estocásticas son procesos estocásticos.

DEFINICIÓN9.2 Un conjunto de variables aleatorias x¡ indexadas mediante números reales / > 0 se denomina un

proceso estocástico de tiempo continuo. □

Cáda instancia, o desarrollo del proceso estocástico es una elección de la variable aleatoria x,
para cada r,y por lo tanto es una función de /.

El movimiento browniano B, es un proceso estocástico. Cualquier función (determinista) f( t)
también puede considerarse de manera trivial como un proceso estocástico, con varianza V(f(t)) “ 0.
La solución al problema del valor inicial de la EDE

dy = rd l -t- adB,

v(0) = 0 ’ ^'

con oonstantes r y o, es el proceso estocástico y(t) = n + oB,, aunque es necesario definir algunos
términos.

Observe que la EDE (9.13) se da cn forma diferencial, en contraste con la forma derivada de
una EDO. Esto se debe a que muchos de los procesos estocásticos interesantes, como el movimien­
to browniano, son continuos pero no difcrcnciablcs. Por lo tanto, el significado de la EDE

dy = / ( ' . y ) dt + g(t, y ) dB,

es, por definición, la ecuación integral

>{/) = ^(0) + í f ( s . y ) d s + í g ( s .y ) d B „

Jo Jo

donde todavía debe definirse el significado de la última integral, denominado integral de Ito.

9 A Ecuaciones diferenciales estocásticas | 453

Sea a = t0 < ty < ••• < < t„ = b una malla de puntos en el intervalo [a. b\. La integral

de Riemann se define como un límite

a
f ( t ) dt — J f a £ / ( / , ' ) A/#,

/=i

donde At¡ = t¡ - t¡-\ y lí_ l ts t¡ s t¡. De manera similar, la n te g ra l de lío es el límite

í f ( t ) d B , = lím

Ja

donde A B¡ = Bh - Bk_x, un paso del movimiento browniano a través del intervalo. Mientras que
la /J en la integral de Riemann puede elegirse en cualquier punto del intervalo 0*_i, /,), se requiere
que el punto correspondiente de la integral de Ito sea el punto final izquierdo de esc intervalo.

C o m o /y B, son variables aleatorias, también lo es la integral de Ito / = f ( t ) d B ,. La dife­
rencial di es una conveniencia de notación; así que,

b
fdB ,

-í

es. por definición, equivalente a

di = fdB,.

La diferencial dB,del movimiento browniano B, se denomina ruido blanco.

EJEMPLO 9 .1 0 Resuelva la ecuación diferencial estocástica dy(t) = rd t + o d B , con la condición inicial y(0) =>•(>.

Se supone que r y a s o n números reales constantes. Ixi ecuación diferencial ordinaria (deter­
minista)

/</)=r (9.14)

tiene solución y(t) = yo + rt, una línea recta como una función del tiempo /. Si r es positiva, la
solución se mueve hacia arriba con pendiente constante, si res negativa, la solución se mueve hacia
abajo.

Al sum ar el ruido blanco o d B t para un número real constante a a l lado derecho, se obtiene la
ecuación diferencial estocástica

dy{t) = r dt + a dB,. (9.15)

La integración de ambos lados da

y(0 - y(0) = jf dy = a dBt = rt + oB,.
Jo Jo

Esto confirma que la solución es el proceso estocástico (9.16)
V(/) = + + o B , ,

una combinación del desvío (el término rt) y la difusión del mov imiento browniano.
En lafigura 9 .1 1 se muestrandos soluciones de la F.DF. (9.15) junto con la única solución a

la EDO (9.14). Ensentido estricto, esta última también es una soluciónde (9.15), que representa

454 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones
y

Figura 9.11 Solucionas al «jam plo 9 .1 0 . Se muestra una solución y<0 - rrde la ED O /(f) - r, junto con dos
desarrollos diferentes del proceso de solución y'(f) - rt + o0(f)para (9.15). Los parámetros son t - 1 y o = 0.3.

el desarrollo que acompaña a todas las entradas de ruido z¡ m 0. Éste es un desarrollo particular

posible, pero muy poco probable, del proceso estocástico de solución. <

Rira resolver EDE cn forma analítica, es necesario introducir la regla básica para la manipula­
ción de diferenciales estocásticas, llamada fórmula de Ito.

Fórmula d e Ito dx dx, (9.17)

Si y = /(/.jr), entonces

df df 1a2/

dy = - £ ( t , x ) di + ¿ ¿ ( t . x ) d x +

donde el término dx dx se interpreta usando las identidades dt di = 0. di dB, = dB, dt = 0. y dB,
dB, = d,.

l a fórmula de Ito es el análogo estocástico para la regla de la cadena del cálculo convencio­
nal. Aunque se expresa de forma diferendal para mayor fadlidad de comprensión, su significado
es nada más y nada menos que la igualdad de la integral de Ito a ambos lados de la ecuación. Lo
anterior se demuestra haciendo referencia de nuevo a la ecuación de la definición de la integral de
Ito (Okscndal [1998]).

►EJEMPLO 9.11 Demuestre que ></) = B j es una soludón de la EDE dy = dt + 2B, dB,.

Rtra utilizar la fórmula de Ito, escriba v m/( /,* ) , donde x ■ B, y f(t, x) ” x 2. De acuerdo con
(9.17),

dy = f , dt + f x dx + *-fxx dx dx

= 0 dt + 2x dx + ^ 2dx dx ^

= 2 B, dB, + dB, dB,
— 2 B, dB, + dt.

9 A Ecuaciones diferenciales estocásticas | 455

V

Fig u ra 9.12 Solución al m ovim iento browniano « xp o n an d al da la ED E (9.19). La so lu c ió n (9.18) s e
re p re s e n ta d e m a n e ra g ráfica c o m o u n a c u rv a c o n tin u a ju n to c o n la a p ro x im a c ió n d e Euler-M aruyam a,
g ra ftc a d a e n fo rm a d e circuios. La c u rv a p u n te a d a e s la tra y e c to ria d e l m o v im ie n to b ro w n ia n o p a ra el
desarrollo correspondiente. Los p arám etro s se estab lecen co m o r - 0.1, o - 0.3 y A f - 0.2.

►EJEMPLO 9.12 Demuestre que el movimiento browniano geométrico (9 , 8)
>»(/) = ( 9 . 19)

satisface la ecuación diferencial estocástica
dy = ry d t + a y dB,.

E scriba^ = f { t ,x ) = y o^.donde x = (r - je r2)/ -+- <xfl,.Por la fórmula de lio,

dy = yaex dx + ^,wex dx dx,

donde dx - (r - 1/2a 2) dt + o dBr Usando las idcnlidades diferenciales de la fórmula de Ito, se
obtiene

dx dx = a~ dt.

Por lo tanto,

dy —y t ^ (r - dt + ^ f a dB, + ^ y o o 2e* dt

= ) \ # xr dt + _hjí'*a dB,
= rydt + aydB,.

En la figura 9.12 se muestra un desarrollo del movimiento geométrico browniano con co­
eficiente de desviación r constante y coeficiente de difusión o . Este modelo se utiliza en gran
medida en los modelos financieros. En particular, el movimiento browniano geométrico es el mo­
delo esencial en las ecuaciones de Black-Scholes que se utilizan para establecer el precio de los
derivados financieros.

Los ejemplos 9.11 y 9.12 son excepciones. Así como en el caso de las EDO, relativamente
pocas EDE tienen soluciones cerradas. Con frecuencia es necesario utilizar técnicas numéricas de
aproximación.

456 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

9 .4 .2 Métodos num éricos para EDE

Es posible aproximar una solución de una EDE de una manera similar al método de Euler del capí­
tulo 6. El método de Euler-Maruyama funciona discretizando el eje del tiempo, al igual que lo hace
Euler. Se define la trayectoria de la solución aproximada en una malla de puntos

a = /o < /i < / 2 < • • • < / * = b

y asignarán valores aproximados de y
WO < W\ < W2 < " • < Ufo

en los puntos t respectivos. Dado el problema de valor inicial de la EDE

í dy(t) = f(t, y)di + g(t, y)dB, qM
11
I .>'<«) = >« ’

se calcula la solución aproximadamente:

Método de Euler-Maruyama (9.21)

u>o = yo
for / = 0 , 1,2,...

wi + 1 = w¡ + / ( / / , w¡)(Ati) + g(/,. wi)(AB¡)
end

donde (9.22)

A/, = ti+i ~ ti
AB¡ = B ,^ x - Blr

La pa/tc crucial es cómo modelar el movimiento browniano AB¡. Defina M 0 ,1) para la varia­
ble aleatoria estándar que se distribuye por lo regular con media 0 y desviación estándar 1. Cada
número aleatorio AB¡ se calcula de acuerdo con la descripción de la sección 9.3.2 como

A B¡ = z t y/AÍít (9.23)

donde z, se elige deA/(0, 1). EnM ati^ b , la z, puede generarsemediante el comando r a n d n . Una
vez más. observe la salida del caso dctcrminístico de las EDO. Cada conjunto de {u ^ ,... . wn\ que
se produce es un desarrollo aproximado del proceso estocástico de solución y(t), el cual depende
de los números aleatorios z, que fueron seleccionados. Como B, es un proceso estocástico, cada
desarrollo será diferente, lo mismo que las aproximaciones generadas.

Como primer ejemplo, se muestra cómo aplicar el método de Euler-Maruyama al movimiento
browniano exponencial de la EDE (9.19). El método de Euler-Maruyama tiene la forma

wo = yo (9.24)
u>/+ i = w¡ + rw¡(At¡) + o w i(A B ¡ ) ,

de acuerdo con (9.21). En la figura 9.12 se muestra un desarrollo correcto (generado a partir de la
solución (9.18)) y la aproximación correspondiente de Euler-Maruyama. Por "correspondiente”
se entiende que la aproximación utiliza el mismo desarrollo del movimiento browniano (también se
nuestra en la figura 9.12) como la solución correcta. Observe la concordancia cercana entre la
solución correcta y los puntos de la aproximación, graíicados como pequeños círculos cada 0.2
unidades de tiempo.

9 A Ecuaciones diferenciales estocástica* | 457

y

-i

Figura 9.13 S o lu d ó n a la ecuación do Langovin (9.25). La tra y e c to ria s u p e rio r e s la a p ro x im a c ió n a la
solución p a ra los p a rá m e tro s r = 10, o = 1. c alcu lad a m e d ia n te e l m é to d o d e E uier-M aruyam a. La tray e c to ria
punteada es el desarrollo correspondiente del m ovim iento brow niano.

►EJEMPLO 9.13 Resuelva de manera numérica la ecuación de Langevin (9.25)
dy = —r y dt -f <r dB, .

donde r y a son constantes positivas.

Contrariamente a los ejemplos anteriores, no es posible obtener en forma analítica la solu­
ción a esta ecuación en términos de procesos simples. La solución de la ecuación de Langevin es
un proceso estocástico llamado proceso de O rnstein-U hlenbeck. Rn la figura 9.13 se muestra un
desarrollo de la solución aproximada; ésta se generó a partir de una aproximación de Euler-Maru-
yama usando los pasos

100 = )K) (9.26)
W/+I = » / - r w i(A t,) + <t(ABt )

piara i = 1 , . . . , n.

Esta EDE se utiliza para modelar sistemas que tienden a volver a un estado particular. En este

caso, el estado y = 0. en la presencia de inoertidumbre. Puede prensarse en un recipiente que con­

tiene una pelota de ping-pong, el cual se encuentra en un automóvil que conduce por un camino

accidentado. La distancia de la pelota y(t) desde el centro del recipiente puede modelarse mediante

la ecuación de Langevin. <

A continuación se analiza el concepto del orden para los métodos de EDE. La idea es la misma
que para los métodos de ODE, excepto por las diferencias causadas por el hecho de que la soludón
a una EDE es un proceso estocástico y que cada trayectoria calculada es sólo un desarrollo de esc
proceso. Cada desarrollo del movimiento browniano forzará un desarrollo diferente de la solu­
d ó n y(t). Si se establece un punto T > 0 en el eje r.cada trayectoria de solución iniciada en / = 0
proporciona un valor aleatorio en T —por lo tanto, y(7) es una variable aleatoria. También, cada
trayectoria de soludón w(t) calculada, utilizando Euler-Maruyama, por ejemplo, proporciona un
valor aleatorio en T, de modo que w(T) también es una variable aleatoria. Por todo lo anterior, la di­
ferencia entre los valores en el tiempo T, e(T) = y(7) —ui(T), es una variable aleatoria. El concepto
de orden cuantifica el valor esperado del error de una manera similar a la de los métodos de EDO.

DEFINICIÓN 9.3 Un método de EDE tiene un ord en m si el valor espierado del error es de orden m-ésimo en el ta­

maño del paso; es decir, si para cualquier tiempo T, E{|><7) -u«(T)|} = OiiAíY")como el tamaño
□
del paso Ar — 0.

458 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

Es sorprendente que a diferencia del caso de las EDO donde el método de Euler es de orden 1,
el método de Euler-Maruyama para EDF. tiene orden m =* 1/2. Para construir un método de orden 1
para F.DE, debe agregarse otro término al método en la “serie estocástica de Taylor”. Sean

| dy(t) = /( /, y)di + g(t. y)dB,
l ><0)=^,

lasEDE.

Método de Milstein

u>o = yo
fo n = 0,1,2,...

u»l+ i = w¡ + /(/<, W |)(A//) + g(t¡, w¡)(AB¡) (9.27)
+ \g ( ti,r v í ) ^ ( t , , w l )((A B í )2 - A /,)
dy

end

El método de Milstein tiene orden 1. Observe que el método de Milstein es idéntico al método
de Euler-Maruyama si no hay ningún término y en la parte de difusión g(y, t) de la ecuación. En
caso de que lo haya, Milstein convergirá al proceso estocástico de solución correcto con mayor
rapidez que Euler-Maruyama cuando el tamaño de paso h tienda a cero.

►EJEMPLO 9 .1 4 Aplique el método de Milstein al movimiento browniano geométrico.

La ecuación es

dy = ry di + a y dB, (9.28)

oon el proceso de solución

y = y0eir- i a3)' * ’ B'. (9.29)

La aproximación de Euler-Maruyama se analizó con anterioridad. Si se usa el tamaño de paso A/,
el método de Milstein se convierte en

wo =>t>

u'i+t = w/ + ru>¡A / + a w ¡A B i + - a 2w¡((AB¡)2 — A t). (9.30)

Al aplicar el método de Euler-Maruyama y el método de Milstein con tamaños de paso A/

decrecientes se obtienen aproximaciones sucesivamente mejoradas, como lo muestra la tabla si­

guiente: ____________________________________

A t Euler-Maruyama Milstein

2 -' 0.169369 0.063864

2~2 0.136665 0.035890

2"3 0.086185 0.017960

2~4 0.060615 0.008360

2- 3 0.048823 0.004158

2 -6 0.035690 0.002058

2-7 0.024277 0.000981

2-8 0.016399 0.000471

2-9 0.011897 0.000242

2 _ ,° 0.007913 0.000122

9 A Ecuaciones diferenciales estocásticas | 459

ANOTACIÓN C o n v e rg e n c ia Los órdenes de los m étodos presentados aquí para las EDE, 1/2 para Euler-Ma-

ruyama y 1 para Milstein, se consideran bajos para los estándares de las EDO. Es posible desarrollar
métodos de orden superior para las EDE, pero son m ucho más complicados a m edida que el orden
crece. La necesidad de un método de orden superior en una aplicación dada depende de la forma en
que las soluciones aproximadas resultantes van a utilizarse. E n el caso de las EDO, el supuesto habitual
es que la condición inicial y la ecuación se conocen con gran precisión. Entonces tiene sentido calcular
la solución lo más cercanamente posible a la misma precisión, y se requieren métodos de orden su­
perior sencillos. En m uchas situaciones, las ventajas de los métodos de EDE de orden superior no son
tan evidentes, y si vienen con un gasto computacional agregado, el uso de estos métodos no puede
garantizarse.

Las dos columnas representan la media, en más de 100 desarrollos, del error \uv(T) - ><7)| en

T = 8. Observe que los desarrollos de w(í) y ></) comparten los mismos incrementos Afl, dcl mo­

vimiento browniano. Los órdenes de 1/2 para Euler-Maruyama y 1 para Milstein son claramente

visibles en la tabla. Si se usa el método de Euler-Maruyama, es necesario reducir el tamaño de paso

por un factor de 4 para disminuir el error en un factor de 2. Para el método de Milstein, se logra el

mismo resultado al reducir el tamaño de paso por un factor de 2. En la figura 9.14, los datos de la

tabla se representan de manera gráfica en una escala log-log. <

Una desventaja del método de Milstein es que en el método de aproximación aparece la de­
rivada parcial, la cual debe ser proporcionada por el usuario. Esto es análogo a lo que sucede con
los métodos de Taylor en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por esa razón, se
desarrollaron los métodos de Runge-Kutta para EDO, que intercambian estas derivadas parciales
adicionales cn la expansión de Taylor por más evaluaciones de la función.

En el contexto de las EDE, puede hacerse el mismo intercambio con el método de Milstein,
resultando en un método de primer orden que requiere la evaluación de g(t, y) en dos lugares a cada
paso. Es posible realizar una deducción hcurislica haciendo la sustitución

10"
io-'

1Ü
io-J

nr4 10- 10°
10“*
Tamaño de paso h

Figura 9.14 Error an los métodos da Euler-Maruyama y M ilstein. Se calculan las trayectorias d e solución
para la e c u a c ió n d e m o v im ie n to g e o m é tric o b ro w n ia n o <9.28) y s e c o m p a ra n c o n la re s p u e s ta c o rre c ta d a d a

po r (9.29). Se gráfica la diferencia a b so lu ta co n tra el ta m a ñ o d e p aso h para los d o s m étodos. Los e rro res d e

E uler-M aru y am a s e re p re s e n ta n c o n círculosv y los d e M lbteln c o n c ru c es. O b se rv e e n la gráfica lo g -lo g q u e tas
p e n d ie n te s s o n 1/2 y 1, re s p e c tiv a m e n te .

460 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

~ g(ft,wt + gUi,Wi)‘/íü ¡) - gUi,Wi)

r ~ v /. u»/) * »-------------------------------—---------------
dy g(t, . w, )^/AÍ,

cn la fórmula Milstcin, que conduce al siguiente método.

Método estocástico de primer orden de Runge-Kutta

uy> = ) b
for / = 0,1,2,...

u>/+ i = w¡ + f( tj,w ¡ ) A tt + g(li, wt)AB¡

^ 2 y f E t \ g(fi,V>t + g{th “ *(*<»»<>] [<A * /) 2 - A'<]
end

►EJEMPLO 9 .1 5 Utilice el método de Euler-Maruyama, el método de Milstein y el método estocástico de primer
orden de Runge-Kutta para resolver la EDE

dy = - 2 e ~ 2y dt + 2e"> dB,. (9.31)

Este ejemplo tiene una propiedad precautoria interesante que vale la pena analizar. Es posible
encontrar una solución explícita, pero sólo existe para un periodo de tiempo finito. Si se usa la
fórmula de Ito (9.17), puede demostrarse que v(/) = ln(2fl, + e**) es una solución, siempre y
cuando la cantidad dentro del logaritmo sea positiva. En el primer tiempo /cuando el desarrollo del
movimiento browniano ocasiona que 2B, + e-^sea negativa, la solución deja de existir.

El método de Euler-Maruyama para esta ecuación es

u>o =.H)
u;/+i = w, - 2e~2wi(A t,) -f- 2e~Wl(AB¡).

El método de Milstein es

u>o = )X)
u»/+i = w¡ - 2e~2w‘(At¡) + 2e~w,{A B i) - 2e~2wi [(A*,-)2 - A /,] .

El método estocástico de primer orden de Runge-Kutta es

u>o = }X>
u»I+, = w¡ - 2e~2w,(At¡) + 2e~u', (A B i)

+ [2e~{w' +2 r - 2e“ “*] [(A S ,)2 - A /,] .

En la figura 9.15 se muestra una solución del método de Milstein cn el intervalo 0 S / S 4 , <

9 A Ecuaciones diferenciales estocásticas | 461

Flg u ra9.1 5 Solución a la ecuación (9.31). Se muestra la solución corréela Junto con la aproximación de
Mibtcln representada con circuios.

Los procesos estocásticos vistos hasta ahora han tenido variancias que aumentan con /.
Por ejemplo, la varianza del movimiento browniano es V(Bt) = /. Se concluye esta sección con
un ejemplo notable para el cual el final del desarrollo es tan predecible como el principio.

►EJEMPLO 9 .1 6 Resuelva numéricamente el puente brow niano de la F.DF

y(/o) = yody = - — - di + dB, (9.32)
/i - /

donde yj y /| > t0eslán dados.

La solución del puente browniano (9.32) se ¡lustra en la figura 9.16. Como la pendiente ob­

jetivo cambia de manera adaptativa a medida que se crea la trayectoria, todos los desarrollos del

proceso de solución terminan cn el punto deseado (f|,yi). Las trayectorias de solución pueden

considerarse como “puentes" estocásticamcntc generados entre los dos puntos dados (r0. yo) y

í'i.y i). +

y

Figura 9.16 Puente browniano. Dos métodos en la solución de (9.32). los puntos considerados son
(fo -yo )-0 .i)y{r„y,)-(B .2 ).

462 | CAPITULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

9.4 Eje rcicio s

I. Use la fórmula de Ito para demostrar que las soluciones a los problemas de valores iniciales de las
EDE

(a) dy = B, dt + l dR, (b) dy — IRt dRt
y(0) = c y(0) = c

son (a) y(t) = tB, + c ( b) y(f) = B} - t + c.

2. Use la fórmula de Ito para demostrar que las soluciones a los problemas de valores iniciales de las
EDE

d y = { \ - B})e~2>' di + 2B,e~y dB, dy = B, di + f ó ?
(a) (b)
y{0) = 0 y(0) = 0

son (a) y it) = ln(l + B}) (b)y(r) = '¡Bf.

3. Use la fórmula de Ito para demostrar que las soluciones a los problemas de valores iniciales de las
EDE

(a) dy = t y d t + ¿ ' f 2 dB, (b) dy = 3(Bj - /) dB,
y(0) = 0
v«» = I

son (a) yU) = d + <b) y(/) = Bf - 3tB„

4. Use la fórmula de Ito para demostrar que las soluciones a los problemas de valores iniciales de las
EDE

dy = y dt + yj 1 —y 7 dB, dy = >’(1 -f 21ny) dt + 2yB, dB,
(a) (b)
>'(0) = 0 >(0) = 1

son (a) y{t) = sen B, y (b) y(/) = e B<.

5. Utilice la fórmula de Ito para demostrar que la solución de la ecuación (9.31) es ln(2B, + e-^).

6. (a) Resuelva la EDO análoga al puente browniano:
y i-y

(9.33)

¿La solución alcanza el punto (;,. >'|) cuando lo hace el puente browniano? Responda las mismas
preguntas para las variantes

<b) t\ - to (c) dx = - — — dt + dB,
- to

y(/b) - y(to) - yo

9.4 Pro blem as de com putadora

1. Use el método de Eulcr-Maruyama para encontrar soluciones aproximadas a los problemas de va­
lores iniciales de las EDE en el ejercicio I. Use la condición inicial ><0) = 0. Grafique la solución
correcta (que se encuentra al realizar un seguimiento del movimiento browniano B„ con los mis­
mos incrementos aleatorios)junto con la solución aproximada en el intervalo {0. 10], utilizando el
tamaño de paso h - 0.01. Trace el error en el intervalo en una gráfica semilogarítmica.

2. Use el método de Euler-Maruyama para encontrar soluciones aproximadas a los problemas de
valores iniciales de las EDE en el ejercicio 2. Use la condición inicial y(0) - 0. Grafique la solu­
ción correcta junto con la solución aproximada en el intervalo [0. I], utilizando el tamaño de paso
h = 0.01. Trace el error en el intervalo en una gráfica semi logarítmica.

9 A Ecuaciones diferenciales estocásticas | 463

3. Aplique el método de Euler-Maruyama con tamaño de paso h ■ 0.01 para aproximar las solucio­
nes del ejercicio 3 en el intervalo (0 ,2). Grafique dos métodos del proceso estocástico de solución.

4. Aplique el método de Euler-Maruyama con tamaño de paso h = 0.01 para aproximar las solu­
ciones del ejercicio 4 en el intervalo [0. 1]. Grafique dos desarrollos del proceso estocástico de
solución.

5. Encuentre las soluciones aproximadas de Euler-Mamyama para

í dy = B, di + ^9y2 dB,

j >*(0) = 0

en el intervalo [0. 1] para los tamaños de paso h = 0 .1 . 0.01 y 0.001. Para cada tamaño de paso,
ejecute 5000 desarrollos de la solución aproximada y encuentre el error promedio en i = 1. Haga
una tabla con el error promedio en i ■= 1 en contraste con el tamaño de paso. ¿FJ error promedio
se encuentra en una escala acorde con la teoría?

6. Utilice el método de Euler-Maruyama para resolver el problema de valores iniciales de la F.DF. dy
“ y dt + y dti,. y(0) = 1. Grafique la solución aproximada y la solución correcta y(t) = e?,+fl'.
Use un tamaño de paso h = 0.1 en el intervalo 0 s » s 2 .

7. Utilice el método de Milstein para encontrar soluciones aproximadas al problema de valores ini­
ciales de la EDF. en el ejercicio 2(b). Grafique la solución correcta junto con la solución aproxi­
mada en el intervalo [0.5]; use un tamaño de paso h = 0.1. Trace el error en el intervalo mediante
una gráfica semilogarítmica.

8. Utilice el método de Milstein para encontrar soluciones aproximadas al problema de valores ini­
ciales de la EDE en el ejercicio 4{a). Grafique la solución correcta junto con la solución aproxi­
mada en el intervalo [0 .5J; use un tamaño de paso h = 0.1. Trace el error en el intervalo mediante
una gráfica semilogarítmica.

9. Utilice el método estocástico de primer orden de Runge-Kutta para encontrar soluciones aproxi­
madas al problema de valores iniciales de la EDE en el ejercicio 2(b). Grafique la solución correc­
ta junto con la solución aproximada en el intervalo [0. 5); use un tamaño de paso h = 0.1. Trace
d error en el intervalo mediante una gráfica semilogarítmica.

10. Utilice el método estocástico de primer orden de Runge-Kutta para encontrar soluciones aproxi­
madas al problema de valores iniciales de la EDE en el ejercicio 4{a). Grafique la solución correc­
ta junto con la solución aproximada en el intervalo [0. 5]; use un tamaño de paso h = 0.1. Trace
d error en el intervalo mediante una gráfica semilogarítmica.

11. Encuentre las soluciones aproximadas de Milstein para

dy = B ,d t + f ó y 1 dB,
yi0) = 0

en el intervalo 10. I] con los tamaños de paso h = 0 .1 . 0.01 y 0.001. Para cada tamaño de paso,
ejecute 5000 desarrollos de la solución aproximada y encuentre el error promedio en / = 1. Haga
una tabla con el error promedio en t = 1 en contraste con el tamaño de paso. ¿FJ error promedio
se encuentra en una escala acorde con la teoría?

12. Realice una estimación de Monte Cario de ><1). donde y(t) es la solución de Euler-Maruyama de
la ecuación de Langevin

í dy = —ydt + dB,

j y(0) es e

Promedie n - 1000 desarrollos con tamaño de paso h - 0.01. Compare la respuesta con el valor
esperado de y{ 1), que es 1.

464 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

Comprobación ' r< La fórm ula de Black-Scholes
enla realdad f e

La simulación de Monte Cario y los modelos estocásticos de ecuaciones diferenciales son muy

utilizados en los cálculos financieros. Un derivado financiero es un instrumento financiero cuyo

valor se deriva del valor de otro instrumento. En particular, una opción es el derecho, pero no la

obligación, de realizar una transacción financiera en particular.

Una opción cali (llamada europea) es el derecho de comprar una acción de un valor a un precio

preestablecido, llamado precio d d ejercicio, en una fecha futura, llamada la fecha del ejercicio.

Las opciones de compra son comúnmente compradas y vendidas por las empresas para administrar

el riesgo, y por los individuos y los fondos de inversión como parte de las estrategias de inversión.

El objetivo aquí es calcular el valor de la opción de compra.

Por ejemplo, una opción cali de compra de 15 dólares en diciembre para ABC Corp. representa

el derecho a comprar una acción a SI 5 en diciembre. Suponga que el precio de ABC el I de junio

es de SI 2. ¿Cuál es el valor de esc derecho? En la fecha de ejercicio, el valor de una opción cali

de SK está definido. Es máx(X —K, 0), donde X es el precio actual de las acciones en el mercado.

Esto es así porque, si X > K, el derecho de compra de ABC en SK vale SX K\ y si X < K, el

derecho a comprar en K no tiene valor, ya que es posible comprar todo lo que se quiera a un precio

aún más bajo. Mientras que el valor de una opción en la fecha del ejercicio es claro, la dificultad es

la valoración de la opción de compra en algún momento antes del vencimiento.

En la década de 1960, Fishcr Black y Myron Scholes exploraron la hipótesis del movimiento

browniano geométrico,

dX = mXdt + oXdBt, (9.34)

oomo el modelo de los valores, donde m es la desviación, o tasa de crecimiento, de las acciones y o
es la constante de difusión, o volatilidad. Tanto m como apueden estimarse a partir de los datos de
los precios de las acciones en el pasado. La ¡dea de Black y Scholes fue el desarrollo de una teoría
de arbitraje que repite la opción a través del equilibrio juicioso de la tenencia de acciones y prés­
tamos en efectivo al tipo de interés r prevaleciente. El resultado de su argumento fue que el valor
de la opción de compra correcta, con fecha de vencimiento T años en el futuro, es el valor presente
del valor esperado de la opción en el momento del vencimiento, donde el precio subyacente de la
acción X(t) satisface la EDE

dX = rXdl + a X d B ,. (9.35)

Es decir, para el precio de una acción X = X0 en d tiempo t —0, el valor de la opción de compra
con fecha de vencimiento t = Tes el valor esperado

C(X, T) = e~rTE(mix(X(T) - tf,0)) (9.36)

donde X(t) está dado por (9.35). Ira sorpresa en su deducción fue la sustitución de la desviación
m en (9.34) por la tasa de interés r en (9.35). De hecho, ¡la tasa de crecimiento proyectada de la
acción resulta ser irTelcvante para el precio de la opción! Esto se desprende de la hipótesis de no
arbitraje, una piedra angular de la teoría de Black-Scholes, que dice que cn un mercado eficiente
no hay ganancias disponibles que estén libres de riesgo.

La fórmula (9.36) depende del valor esperado de la variable aleatoria X ( 7 \ que sólo está dis­
ponible a través de la simulación. Así, además de esta ¡dea, Black y Scholes [1973] proporcionaron
una expresión de forma cerrada para el precio de la opción de compra, a saber,

C(X, T ) = XN(d\) - Ke~rTN(di), (9.37)

donde N (x) = f * ^ e~s2,2ds es la función de distribución normal acumulada y

ln( X / K ) + (r + W ) T . ln( X / K ) + (r - \ a 2)T

dy = O y7/T=— • «= <J*7j=T— --------•

La ecuación (9.37) se conoce como la fórmula d e Black-Scholes.

Software y lecturas adicionales | 465

Actividades sugeridas:

Suponga que una acción de la compañía ABC tiene un precio de $12. Considere una opción cali
europea con precio del ejercicio de SI 5 y fecha del ejercicio en seis meses a partir de hoy, así que
T = 0.5 años. Suponga que hay una tasa de interés fija de r = 0.05 y que la volatilidad de la acción
es de 0.25 (es decir, 25 por ciento anual).

1. Realice una simulación de Monte Cario para calcular el valor esperado de (9.36). Utilice el méto­
do de Euler-Maruyama para aproximar la solución de (9.35), con un tamaño de paso h = 0.01 y el
valor inicial X0 - 12. Tenga en cuenta que la EDE (9.34) no es relevante para este cálculo. Ejecute
un mínimo de 10000 repeticiones.

2. Compare su aproximación en el paso 1 con el valor correcto de la fórmula de Black-Scholes
(9.37). La función N(x) puede calcularse usando la función de error de M a t l a b ere como
N(x) = (1 + erf(x/>/2))/2.

3. Reemplace Euler-Maruyama por el método de Milstein y repita el paso 1. Compare los errores de
los dos métodos.

4. Una opción put (europea) se diferencia de una opción cali en que representa el derecho a vender,
no a comprar, al precio del ejercicio. El valor de una opción put es

P (X, T) = e~rT E(máx(K - X (T ), 0)), (9.38)

utilizandoX(7) a partir de (9.35). Calcule el valor mediante la simulación de Monte Cario para los
mismos datos del paso I, utilizando tanto Euler-Maruyama como el método de Milstein.

5. Compare su aproximación en el paso 4 con la fórmula de Black-Scholes para una opción de venta:

P(X, T) = Ke~rTN ( - d i ) - X N ( - d \ ). (9.39)

6. Una op c i ó n c o n barr er a down-and-out tiene un pago que se cancela si la acción cruza un nivel
determinado. Considere la opción cali con barrera que tiene un precio del ejercicio K <* $15 y
una barrera L = $ 10. El pago es de máx(X - K. 0) si X(r) > L para 0 < i < T. y 0 en caso con­
trario. Diseñe y ejecute una simulación de Monte Cario, utilizando el movimiento browniano
geométrico (9.35) y (9.36) modificado para el pago de una opción con barrera. Compare con el
valor correcto

donde C(X. T) es el valor estándar de la cali europea con precio del ejercicio K. Consulte Wilmott
ei al. [1995], McDonald [2005] y HulI [2008] para mayores detalles sobre las opciones exóticas,
sus fórmulas de precios y el papel de la simulación de Monte Cario cn las finanzas.

Softw are y lecturas ad icio nales___________________________________________________________

El libro de texto Gentle [2003] es una introducción al problema de la generación de números alea­
torios. Otras fuentes clásicas en el campo son Knuth [1997] y Ncidcrrciter [1992]. En Hcllekalek
[1998] puede encontrarse una comparación de los métodos para generar números aleatorios y un
análisis de los criterios de evaluación más comunes.

El problema r a n d u se aborda en Marsaglia [ 1968]. El generador estándar mínimo se introdujo
cn Park y Millcr [1988]. El generador de números aleatorios de M a tl ab se basa c n los métodos
de resta-con-pnéstamo descritos por Marsaglia y Zaman [1991]. Entre las fuentes de información
más completas sobre Monte Cario y sus aplicaciones se encuentran Fishman [1996] y Rubenstein
[1981].

466 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones

Los libros de texto modernos sobre ecuaciones diferenciales estocásticas incluyen a Oksen-
dal [ 1998] y Klebaner [1998]. El estudio adecuado de esta área requiere una sólida formación en
probabilidad básica. lx>s aspectos de cálculo de las EDE se tratan con mayor detalle en Kloeden y
Pialen [1992], y en el manual orientado a la aplicación manual de Kloeden ero/. [1994]. El artículo
de Higham [2001 ] es una introducción muy interesante que incluye el software M a t l a b para
algoritmos básicos. Stecle [2001] es una introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas
ilustradas mediante numerosas aplicaciones financieras.

CAPITULO

10

Interpolación trigonométrica
y la TRF

B chip de procesamiento de señales digitales (PSD) deseado mediante su capacidad de filtrado. La posibi­
es la colum na vertebral de los aparatos electrónicos lidad de extraer señales de un medio desordenado es
avanzados de consumo. Los teléfonos celulares, los una parte im portante de la búsqueda constante para
controladores de CD y DVD, los aparatos electrónicos construir software de reconocimiento de voz confia­
para au to m ó vil los asistentes personales digitales, los ble. También es un elemento clave de los dispositivos
módems, las cámaras digitales y los televisores, todos de reconocimiento de patrones, utilizados por los p e­
hacen uso de estos dispositivos siempre presentes. La rros robot que juegan al fútbol, los cuales convierten
característica principal del chip para PSD es su capaci­ los estím ulos sensoriales en datos utilizables.
dad de hacer cálculos digitales rápidos, incluyendo la
transformada rápida de Fourler (TRF). CmprotNxUa
entarecMdad En la página 492 se describe el fil­
Una de las funciones más básicas del PSD es se­
parar la información de entrada deseada del ruido no tro de Wiener, un bloque de construcción fundam ental
para la reducción de ruido a través del PSD.

Hace medio siglo, ni siquiera el profesor de trigonometría más optimista podría haber previsto
el impacto que han tenido los senos y los cosenos en la tecnología moderna. Como se vio en
el capítulo 4. las funciones trigonométricas de frecuencias múltiples son funciones de interpolación
naturales para los dalos periódicos. La transformada de Fouricr es casi tan eficaz al llevar a cabo
una interpolación y es insustituible en las aplicaciones con datos intensivos para el procesamiento
de señales moderno.

La eficacia de la interpolación trigonométrica está ligada con el concepto de ortogonalidad.
Se verá que las funciones ortogonales básicas hacen que la interpolación y el ajuste por mínimos

468 | C A P ÍT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

cuadrados de los datos sean mucho más sencillos y precisos. La transformada de Fourier explota
esta ortogonalidad y proporciona un medio eficaz para interpolar con senos y cosenos. El descu­
brimiento computacional de Cooley y Tukey, llamado la transformada rápida de Fourier (TRF),
implica que la TDF puede calcularse de una manera muy sencilla.

Este capítulo trata de las ideas básicas de la transformada discreta de Fourier (TDF). inclu­
yendo una introducción breve a los números complejos. El papel de la TDF en la interpolación
trigonométrica y la aproximación por mínimos cuadrados se caracteriza y visualiza como un caso
especial de la aproximación mediante funciones ortogonales básicas. Ésta es la esencia del filtrado
y procesamiento de señales digitales.

1 0 .1 LA TRANSFORMADA DE FOU RIER

H matemático francés Jcan Baptislc Joseph Fourier, después de escapar de la guillotina durante la
Revolución Francesa y de ir a la guerra al lado de Napoleón, encontró tiempo para desarrollar una
teoría de la conducción del calor. Para hacer el trabajo teórico necesitaba expandir funciones (no
en términos de polinomios, como las series de Taylor. sino de un modo revolucionario desarrollado
primero por Euler y Bemoulli) en términos de las funciones seno y coseno. Aunque rechazados por
los principales matemáticos de la época debido a una supuesta falta de rigor, en la actualidad los
métodos de Fourier están presentes en muchas áreas de las matemáticas aplicadas, la física y la in­
geniería. En esta sección se presenta la transformada discreta de Fourier y se describe un algoritmo
eficaz para calcularla: la transformada rápida de Fourier.

10.1.1 Aritm ética com pleja
Los requisitos de conteo para las funciones trigonométricas pueden simplificarse mucho adoptando
el lenguaje de los números complejos. Cada número complejo tiene la forma z = a + ¿/.donde
/ = v - T . Cada z se representa geométricamente como un vector bidimensional de (antaño a a lo
largo del eje x (horizontal) y tamaño b a lo largo del eje imaginario (vertical), como se muestra en
la figura 10.1. La m agnitud com pleja del número z = a + ¿i se define como |z| = y / a 2 + br y es
justo la distancia del número complejo al origen en el plano complejo. El conjugado com plejo de
un número complejo z = a + bi es z —a - bi.

¡

Figura 10.1 R t p n u n U c ió n do un núm ero com plejo. I as parres real e Imaginarla son a y bi,
respectivamente, la representación polar es a + bi - re*.

La célebre fiSrmula de E uler para la aritmética compleja dice que e10= eo s# + i send. La mag­
nitud compleja de z = e,0t s 1, así que los números complejos con esta forma caen sobre el círcu­
lo unitario en el plano complejo, como se muestra en la figura 10.2. Cualquier número complejo
a + bi puede escribirse en su representación polar

10.1 La transformada de Fourier | 469

Figura 10 J Circulo unitario an al plano com plejo. Los números complejos de la forma e'1'para algún
ángulo Atienen magnitud uno y caen sobre el circulo unitario.

z = a + b i — re, e, (10.1)

donde r e s la magnitud compleja \z\ = -Jcr + br y 0 = arelan b/a.
E3 círculo unitario en el plano complejo corresponde a los números complejos de magnitud

r = 1. Para multiplicar los dos números é Qy e**en el círculo unitario, podrían convertiree en fun­
ciones trigonométricas para después multiplicar:

= (eos0 + isen 0 )(cosy + jsen y )
= cosacos y - senflseny i (sen I?eos y + senyoosfl).

Reagrupando y usando la fónnula de la suma de cosenos y la fórmula de la suma de senos, esto
puede reescribirse como

cos( 0 + y ) + /se n ( 0 + y) = e ,(0+y).

De manera equivalente, sólo se suman los exponentes:

( 10.2 )

La ecuación (10.2) muestra que el producto de dos números en el círculo unitario da un nuevo pun­
to en el círculo unitario, cuyo ángulo es la suma de los dos ángulos anteriores. La fónnula de Euler
oculta los detalles de la trigonometría, como las fónnulas de las sumas de senos y cosenos, y hace
que el conteo sea mucho más fácil. Ésta es la razón por la que se introduce la aritmética compleja
en el estudio de la interpolación trigonométrica. A pesar de que puede hacerse en su totalidad con
números reales, la fórmula de Euler tiene un profundo efecto de simplificación.

Se selecciona un subconjunto especial de números complejos con magnitud 1. Un número
complejo z es una n-ésima raíz de unidad si z" = 1. En el eje x, sólo hay dos raíces de unidad. - I
y 1. Sin embargo, en el plano complejo, hay muchas. Pbr ejemplo, ¡es una cuarta raíz de unidad,
porque i* = ( —l ) 2 = 1 .

Una M-ésima raíz de unidad se llama prim itiva si no es una ¿-ésima raíz de unidad para
cualquier k < n. Según esta definición. - 1 es una segunda raíz de unidad primitiva y una cuarta
raíz de unidad no primitiva. Es fácil comprobar que. para cualquier entero rt, el número complejo
wn » ¿ " '^ " e s una n-ésima raíz de unidad primitiva. El número earin también es una n-ésima raíz
de unidad primitiva, pero se seguirá la convención usual de utilizare! primer número como base de
la transformada de Fourier. En la figura 10.3 se muestra una octava raíz de unidad primitiva
ui8 = e~ a ^ y las otras siete raíces de unidad, que son potencias de u>8.

470 | C A P ÍT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

V

ií j / (a*
\w '

0>*l

J
/«> = e *
í02

Figura 10.3 Raleas da unid ad. Se muestran las ocho octavas ralees de unidad, fstas se generan mediante
u) - e ***, lo que significa que cada una es o / para algún entero k. Aunque a>y aA son octavas ralees de
unidad primitivas, a»2no lo es debido a que también es una cuarta raízde unidad.

Aquí hay una identidad fundamental que se necesitará más tarde para simplificar los cálculos

de la transformada discreta de Fburier. Sea tula n-ésima raíz de unidad w = e ~ilídn,donde n > 1.

Entonces.

I + o>+ o? + a»3 H + a f ' = 0 . (10.3)

La demostración de esta identidad se desprende de la suma telescópica (10.4)
(1 - cu)(l + w + w 2 + w 3 + - + a/, ' 1) = I - (on = 0 .

Como el primer término de la izquierda no es igual a cero, el segundo debe serlo. Un método si­
milar muestra que

1 -l- (o2 -I- (o* + (o6 + • •• = 0.

1 + w3 + <o6 + o? + + o x ^ ~ l) = 0.

I +cu(" " ,)2 + cu(" " ,)3 + • • • + =0. (10.5)
(10.6)
B siguiente es diferente: + = | + 1+ 1+ 1+ ...+ 1
1 + (xP + a?" + a?* + = n.

Esta información se concentra en el siguiente lema.

LEMA 10.1 Raíces de u nidad prim itivas. Sean 10una n-ésima raíz de unidad primitiva y k un número entero.

Entonces .

jk _ í n si k /n es un entero

| 0 de otra manera ■

J=o 1

B ejercicio 6 le pide al lector que complete los detalles de la demostración.

10.1.2 Transform ada discreta d e Fourier

Considere que x = [*<> ... , *n- i l r es un vector n-dimensional (con valores reales) y que
(o = Ésta es la definición fundamental de este capítulo.

10.1 La transformada de Fourier | 471

DEFINICIÓN 10.2 La transform ada discreta de F o u rier (TDF) de x = [xq* ••• .-x,,-iJr cs el vector n-dimensional
y = l>o — • y tt- il. donde to = e -í2.Vn

n-1

(10.7)

FNjr ejemplo, el lema 10.1 muestra que la TDF de x = [1, 1 1J es y = [■*//?, 0,. ...0 ] . En
términos matricialcs. esta definición dice

oo oyy\i=«aii4++■-iiibbb\i fto ° aP o>< <ov xo

1 oP a>' o»< of~ x Xl
to° o/ ^ 2 («-i) X2
or
~T» oP
0?

yn-\. fl«-l+iba-1. _oP a>”~l cu2(" COOt-1)2 X„-l
( 10.8)

Cada yk = ak + ibkes un número complejo. 1.a matriz de rt x n en (10.8) es la m atriz de F ourier

F" = -y7/ñ= aP oP . . . aP 1 (10.9)
co1 0? ... oP~x
0? (O* . . . (O2' - "
o? oP . . . 0 ^ » “ ')

JP~l 0 ,2(1. - 1) . . . o>(" - ,)2 .

A excepción del renglón superior, cada renglón de la matriz de Fourier se suma a cero; esto tam ­
bién se cumple para las columnas, puesto que Fncs una matriz sim étrica La matriz de Fourier tiene
una inversa explícita

r O. )0 (O0 too t,ú0 n
cu-' to-2 . . . »-«■-«)
to° to-4 ...

F~l=_L aP ...
oP ■c1, ( 10. 10)
3

. oP a r * " -» w -2(n-l) . . . o - í " - » 2 .

y la transform ada discreta de Fourier inversa del vector y es x ■ F ~ 1 y. La comprobación de
que (10.10) es la inversa de la matriz F„ requiere del lema 11.1 acerca de las n-ésimas raíces de
unidad. Vea el ejercicio 8 .

Sea z — c‘° — cosd + i scnOun punto sobre el círculo unitario. Entonces su recíproco e~ie —
cosO — i scnOcs su conjugado complejo. Por lo tanto, la TDF inversa es la matriz de los conjugados
complejos de las entradas de Fn:

Fn~ 1 —— Fr n- ( 10. 11)

DEFINICIÓN 10.3 La magnitud de un vector complejo ucs el número real ||u || = V v ^ v . Una matriz compleja cuadra­

da F es unitaria si F F = /. □

472 | C A P IT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

Una matriz unitaria, como la matriz de Fopier, es la versión compleja de una matriz ortogonal
real. Si F es unitaria, entonces ||F u | | 2 = v T F F v = v Tv = ||v ||2. Par lo tanto, la magnitud de un
rector no se altera al multiplicar en el lado izquierdo por F —o F - 1 según sea el caso.

La aplicación de la transformada discreta de Fourier implica multiplicar por la matriz F„ de
n x n , y por lo tanto requiere Oirt2) operaciones (cn específico r r multiplicaciones y n (n — 1 ) su­
mas). La inversa de la transformada discreta de Fourier. que se aplica al multiplicar por F~ *, tam ­
bién es un proceso de 0 (n 2) operaciones. En la sección 10.1.3 se desarrolla una versión de la TDF
que requiere un número de operaciones mucho menor, llamada la transformada rápida de Fourier.

►EJEMPLO 10.1 Encuentre la TDF del vector x = [1 ,0 , —1 ,0]r .

Sea (o la cuarta raíz de unidad, o bien cu = e - ' * ’2 cos(.t/2) —i sen(.T/2) = —i. Al aplicar la
TDF, se obtiene

’ yo ’ 1 II I 1 “ 1" 1 lili 1 0
1 (o a r o ? 0 ”2 1 -/ -I i 0 1
y\ -1 1-1 1-1 -1 0
1 (O2 (O* u>6 0 1 i - 1 -/ 0 1
yz " x /4
I (O3 o>6 u ? _ ( 10. 12)
. >3 -

El comando f f t de M a t l a b realiza la TDF con una normalización un poco diferente, de
modo que F„x se calcula mediante f f e ( x ) / a q r t (n). F.I comando inverso i f f t es la inversa
de f f t . Por lo tanto, F ~ l y se calcula mediante el comando i f f t (y) * a q r t (n) de M a ti.a b . En
otras palabras, los comandos f f t e i f f t de M a t la b son inversos entre sí. aunque su normaliza­
ción difiere de la definición dada aquí, que tiene la ventaja de que F„ y F ~ l son matrices unitarias.

Incluso si el vector x tiene componentes que son números reales, no hay ninguna razón para
que las componentes de y sean números reales. Pero si las jr; son reales, los números complejos yt
tienen una propiedad especial:

LEMA 10.4 Sea {y*} la TDF de {*,■}, donde las XjSon números reales. Entonces (a) yo es real y (b) f t - k = }'k

para k m 1 , . . . , n — 1 . ■

D em ostración. La razón de (a) se desprende de (10.7), puesto q u ey 0 es la suma de las x¡ divi­
dida entre v/ñ.El inciso 0 )) se deduce del hecho que

w "'* = e ~**(”-*>/” = e - i2”e,7*k/n = o o s { 2 x k / n ) + i x n ( 2 j r k / n )

mientras que

tok = e ~ ilTk/n = c o s ( 2 jr* /n ) - i s a \ ( 2 j i k / n ) ,

lo que implica que a>"~k = o / . A partir de la definición de la transformada de Fourier,

10.1 La transformada de Fourier | 473

Aquí se ha utilizado el hecho de que el producto de los conjugados complejos es el conjugado del
producto.

El lema 10.4 tiene una consecuencia interesante. Sea n un número par y sean las xq, . . . . x n- \
números reales. Entonces laT D F las sustituye por exactamente otros n números reales «o, a \ , b \ ,
a2. b2, ... ,a R/2 .1as partes real c imaginaria de la transformada de Fouriery0 y„_|. Por ejemplo.
la TDF con n = 8 tiene la forma

•to oo — >1 (10.13)
a\ + lb\ > 1 -i
*1
a 2 4* ibi y\
x2 as -i- ibs
XS fl4
^ 8 .t4 03 - ibs
xs 0 2 —ibi
X{, ai - ib\
XI

10.1.3 La transform ada rápida de Fourier

Como se mencionó en la sección anterior, la transformada discreta de Fourier aplicada en forma
tradicional a un vector de n requiere Oin2) operaciones. Cooley y Tukey (1965] encontraron una
manera de completar la TDF en 0 (n log n)operaciones con un algoritmo llamado la transform ada
rápida de F o u rier (TRF). La popularidad de la TRF para el análisis de datos se dio casi de inme­
diato. El campo del procesamiento de señales convertidas principalmente de analógicas a digitales,
se debe en gran medida a este algoritmo. A continuación se explicará este método y se demostrará
su superioridad sobre la TDF convencional (10.8) a través de un recuento de operaciones.

La TDF F„x puede escribirse como

yo

yfn

y*-i x„-i

donde

Mn = aP <0° aP . .. aP
oP cu1
<0° o 2 ar •••
<0° co3 ai4 ...

aP ... <»H*-l>

aP ... *,fr-l>2

ANOTACIÓN C o m p le jid a d El logro de Cooley yTukey consistente en la reducción de la complejidad d elaTD F
d e Oin2) operaciones a 0 (n log n) operaciones abrió un mundo de posibiRdades para los métodos que
usan transformadas de Fourier. Un método que se escala'casi lineal m ente'con el tamaño del problem a
resulta m uy valio sa Por ejemplo, existe la posibilidad de usarlo para datos en tiempo real, puesto que
el análisis puede ocurrir aproximadamente en el mismo plazo en el que se recopilan los datos. Al de­
sarrollo de la TRF le siguió en poco tiempo después el desarrollo de circuitos especlaRzados, que están
presentes ahora en tos chips PSD para el procesamiento de señales digitales en los sistemas electróni­
cos de análisis y controL

474 | C A P ÍT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

Ahora se mostrara cómo calcular z = M„x en forma recursiva. Para completar la TDF es necesario
dividir entre >/ñ, o y = F„x = z f^ /ñ .

Se inicia mostrando cómo funciona el caso n = 4, con lo que se ilustrará la idea principal.
Después de esto, el caso general resultará claro. Sea w = e~i2* A ■ - i . La transformada discreta
de Fourier es

’ 20 ' (O aP aP aP ’ xQ ' (10.14)
21 aP (o1 ar a?
22 O) a r aP aP X|

. a? aP a? *2

. *3 .

Fscriba el producto matricial, pero cambie el orden de los términos, de modo que los términos con
número par apare/can primero:

Zq = üPxo + üPx2 + Up(üPx\ + ÍU°X3)
Z \ — üP xq + 0)2X2 + (t)\íO°X\ + (o2x 3)

Z2 = CO°XQ + U)AX2 + oP ( oP x \ + (O*X y )

Zy — 6 J °X o + ü P x 2 + a P (ü P x \ + (tP xy)

Si se usa el hecho de que o/4 = 1. estas ecuaciones pueden reescribirsc como

Zq = (oP xq + aPx2) + üP(üPx1 + aPxy)
z\ = ((uxo +■ <u2X2) + <ol (aPxi 4- aPxy)
Z2 = (üPXq + üPx2 ) + aP(üP X| + üPx3 )

Zy = (a P xo 4- a P x 2 ) + a P ( a P x I 4- Ü)2X3)

Observa que cada ténnino entre paréntesis en las dos primeras líneas se repite de manera textual en
las dos líneas inferiores. Defina

uQ = n °x o + n ° x 2
ui = liúxQ + n 'x 2

o ,o

Uo = H X \ + H X y

U| = /i° X | + H lXy,

donde p = a r es una segunda raíz de unidad. Tanto u = (uq, u,)r como u = (vo, t>|)r son esencial­
mente TDF con n = 2; de manera más precisa.

La M+x original puede escribirse como

2® = «0 + (O UO

Z \ = U | 4 - eo1 V i
22 = « o + o>2 t>o

23 = «i +

10.1 La transformada de Fourier | 475

En resumen, el cálculo de la TDF(4) se ha reducido a un par de TDF(2) además de algunas
multiplicaciones y sumas adicionales.

Si por un momento se hace caso omiso de la l / v ^ . la TDF(n) puede reducirse al cálculo de
dos TDF(n/2) más 2n - 1 operaciones adicionales (n - 1 multiplicaciones y n sumas). Un conteo
cuidadoso de las sumas y multiplicaciones necesarias genera el teorema 10.5.

TEOREMA 10.5 Gonteo de operaciones de la TRF. Sea n una potencia de 2. Entonces la transformada rápida de

Rjurier de tamaño n puede completarse en r»(2 1 og2n - 1 ) + I sumas y multiplicaciones, además

de una división entre J ñ . ■

D em ostración. No tome cn cuenta la raíz cuadrada, que se aplica al final. El resultado es equi­
valente a decir que la TDF(2m) puede completarse en 2m(2 m - 1) + 1 sumas y multiplicaciones.
De hecho, ya se vio cómo una TDF(n), donde n es par. puede reducirse a un par de TDF(n/2). Si n
es una potencia de dos (por ejemplo, n = 2 m) entonces, es posible descomponer en forma rccursiva
el problema hasta llegar a la TDF( 1), que es la multiplicación por la matriz, identidad de 1 x 1, que
implica oero operaciones. Si se inicia de abajo hacia arriba, la TDF( 1) no implica operaciones, y la
TDF(2) requiere dos sumas y una multiplicación: y 0 = uq + 1Vq. _y, = uq + wUq, donde «o y i^son
las T D F (l) (es decir, uq = yo y t’0 = y\).

La TDF(4) requiere dos TDF(2) más 2 * 4 - 1 = 7 operaciones adicionales, para un total
de 2(3) + 7 = 2m(2m - 1) + 1 operaciones, donde m = 2. Se procede por inducción: suponga
que esta formula es correcta para una m dada. Entonces la TDF(2W+') requiere dos TDF(2m), que
implican 2 (2 m(2 rn - 1 ) + I) operaciones, además de 2 • 2 #" +l - 1 adicionales (completando un
número de ecuaciones similar a (10.15)), para un total de

2(2m(2m - 1) + I) + 2m+2 - 1 = 2 m+,(2rn - 1 + 2) + 2 - I
—2m+l(2(m + 1 ) - 1 ) + 1.

POr lo tanto, la fórmula de 2m(2m — 1) + 1 operaciones se prueba para la versión rápida de la

TDF(2m). a partir de la cual se obtiene el resultado. □

El algoritmo rápido para la TDF puede aprovecharse para hacer un algoritmo rápido de la TDF

inversa sin trabajo adicional. La TDF inversa es la matriz compleja conjugada F„. Para llevar a

cabo la TDF inversa de un vector complejo y, sólo conjugue, aplique la TRF y conjugue el resul­

tado. porque ._ -----

F ñ y — Fny — Fny . (10.15)

10.1 Eje rcicio s

1. Encuentre la TDF de los siguientes vectores: (a) [0.1.0. - 1 ) (b) [1.1,1,1] (c) [0. - 1 . 0 , 1J
(d) [0 . 1 . 0 . - 1 . 0 . 1 , 0 . —1 ]

2. Encuentre la TDF de los siguientes vectores: (a) [3/4. 1/4. -1 /4 . 1/41 (b) [9/4.1/4. -3 /4 .1 /4 1
( c ) [ 1 . 0 , —1 / 2 , 0 ] (d) [ 1 . 0 . —1 / 2 , 0 . 1 . 0 . —1 / 2 , 0 1

3. Encuentre la TDF inversa de los siguientes vectores: (a) [1.0,0,0) (b) [1.1, - 1 . 1| (c) [1. —/, 1. /J
(d) [1.0.0.0,3.0.0,0]

4. Encuentre la TDF inversa de los siguientes vectores: (a) 10, 0. /] (b) [2 .0 ,0 .0J
(c) [ 1 / 2 , 1 / 2 ,0 , 1 / 2 ] (d) [ 1 ,3 /2 ,1 / 2 ,3 /2 ]

5. (a) Escriba todas las cuartas raíces de unidad y todas las cuanas raíces de unidad primitivas,
(b) Escriba todas las séptimas raíces de unidad primitivas, (c) ¿Cuántas />-ésimas raíces de unidad
primitivas existen para un número primo p?

476 | C A P ÍT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

6 . Demuestre el lema 10.1.

7. Encuentre los números realesao,al, 6 I, a 2 > ^ 2 ani2como en (10.13) para las transformadas de
Fouricrcn el ejercicio 1.

8 . Demuestre que la matriz en (10.10) es la inversa de la matriz de Fourier F„.

1 0 . 2 INTERPOLACIÓN TRIGONOMÉTRICA

¿Qué hace en realidad la transformada discreta de Fourier? En esta sección se presenta una inter­
pretación del vector de salida y de la transformada de Fourier como los coeficientes de interpola­
ción para datos uniformemente espaciados, a fin de que su funcionamiento sea más comprensible.

10 .2.1 Teorem a d e interpolación d e la TDF___________________________________________

Sean Ic.tf] un intervalo y n un entero positivo. Defina Ar = (d — c )/n y tj = c + j A/para j — 0 . . . . ,
n - 1 como puntos uniformemente espaciados en el intervalo. Dado un vector de entrada x para
la transformada de Fourier, se interpretará el componente xycomo el j-ésimo componente de una
señal medida. Por ejemplo, puede pensarse en los componentes de x oomo una 9 erie de mediciones,
tomadas en tiempos ^ discretos y uniformemente espaciados, como se muestra en la figura 10.4.

o *4•

'o

Xti
-5

-10 J L_

H g u ri 1 0 4 Lo s com ponentes de x vistos com o una serie d e tiem po. La transformada de Fourier es una
forma de calcular el polinomio trigonométrico que interpola estos datos.

Sea y = F„x la TDF de x. Como x es la TDF inversa de y. es posible escribir una fórmula ex­
plícita para los componentes de x a partir de ( 1 0 . 1 0 ), si se recuerda que w = e"*1*":

««-i « - i «i-t

■£ y * ( G r V = ~ r 's£ , y k ¿ 2”kj/'' - ”— 7 =— • (10.16)

* n k=a k=o

Esto puede verse como la interpolación de los puntos mediante las funciones trigonométricas

básicas donde los coeficientes son y*. El teorema 10.6 es una simple repetición de (10.16), diciendo

que los puntos (tj,xj)se interpolan mediante las funciones básicas ei “TÍ(í_c^ (</~cty ,/ñ para k — 0 .

. . . , n - I, con coeficientes de interpolación dados por F„x.

TEOREMA 10.6 Teorema de interpolación de la TDF. Dados un intervalo \c ,d \y un entero positivo n .sea tj = c +

j(d ~ c)!n para j = 0 n — 1 , y sea x = (xq- ••• , i) un vector de n elementos.

10.2 Interpolación trigonométrica | 477

Defina a + bi = F„x. donde Fn es la matriz de la transformada discreta de Fburier. Entonces, la
función compleja

satisface Q(tj) = x j para j = 0 , . . . , n — 1. Además, si la s X json reales, la función real

1 ^ 1/ 2 x k (t- c ) L 2 n k (t- c )\
P (t) = - 7= > U * eos — --------------bk sen— I

d~c d~c )

satisface P(tj) = x¡ para j ■ 0 , . . . , n — 1. ■

En otras palabras, la transformada de Fburier Fn transforma los datos [xj] en coeficientes de
interpolación.

La explicación para la última parte del teorema es que, si se utiliza la fórmula de Euler, la
función de interpolación en (10.16) puede escribirse como

m v * v^/ • ..* / 2 nk(t — c) . 2 n k ( t - c ) \

e ( , ) = v i £ > ‘ + , b t ) ( cos d - c + ' sm d - c )■

Separando la función de interpolación Q(t) = P(t) + i /(/) en sus partes real e imaginaria. Conx) las
Xj son números reales, sólo se requiere la parte real de Q(t) para interpolar las Xj. La parte real es

m _ AW _ (,0 .7 )

Un subíndice n identifica el número de términos en el modelo trigonométrico. En ocasiones
P„ se llamará función trigonom étrica de orden n. El lema 10.4 y el siguiente lema 10.7 pueden
utilizarse para simplificar aún más la función de interpolación P„(t):

LEMA 10.7 Sea / = j/rt, donde j y n son números enteros. Sea k un entero. Entonces

cos2(rt - k)n í =cos2¿7rf y sen2(n - k)n t = -sc n T k n t. (10.18)

De hecho, la expresión de la suma de cosenos produce cos2(n - k)n jfn = cos(2n j -2jk7dn)
= cos(—2 jk jd n ) y de manera similar para los senos.

H lerna 10.7, junto con d lema 10.4. implica que la segunda mitad de la expansión trigono­
métrica (10.17) es redundante. Es posible interpolar en las t} utilizando sólo la primera mitad de
los términos (excepto por un cambio de signo en los términos sinusoidales). Por el lema 10.4, los
coeficientes de la segunda mitad de la expansión son iguales a los de la primera mitad (excepto por
un cambio de signo de los términos sinusoidales). Por lo tanto, los cambios de signo se cancelan
mutuamente, y se ha demostrado que la versión simplificada de P„ es

478 | C A P IT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

R gura 1 0 3 Interpolación trigonom étrica. FI vectorde entrada xes [1,0, - 1 ,0]r. la fórmula (10.19)
proporciona la función de interpolación P4(t) = cosZ’rt.

7 / 2 *?r(/ - c) 2 tor(/ - c)
* £ (Pn(t) = % + ak eos — ----------------- sen-
y/ñ d- c

, fln/2 >»*(/ - C)

-I— 7= e o s — --------- .
V'r» d — c

Pira escribir esta expresión se ha supuesto que n es par. La fórmula es un poco diferente para una
n impar. Vea el ejercicio 5.

COROLARIO 1 0.8 Para un entero par n. sea tj = c + j(d —c)/n para j = 0 n — I, y sea x = (x0 ........ 1 )

rector de n números reales. Defina a + bi = Fnx , donde F ne sla transformada discreta de Fourier.

Entonces, la función

2 k ix { t-c ) 2 k T x (t-c )'
o* eos — :--------------ó* sen
d- c d- c

dir/2 /IT T (í-c ) (10.19)

H 7=rCOS — ----------

y/n d - c

satisface P„(tp = X jpara j ■ 0 , . . . t n —1. ■

►EJEMPLO 10.2 Encuentre el interpolante trigonométrico para el ejemplo 10.1.

E intervalo es [c. d\ = (0. I]. Sea x = [ 1,0. —1. 0]r y calcule su TDF como y = [0 ,1 .0 . 1Jr.
Los coeficientes de interpolación son ak + ibk — yt . Por lo tanto. a0 = a 2 = 0, a\ = 0 3 = 1 y
bQ- b[ = b2 = 6 3 = 0. De acuerdo con (10.19), sólo se requieren a 0. a ,, a2 y b x. Una función de
interpolación trigonométrica para a: está dada por

oo (t>
Pa(í ) = — + (aioos27rr - />isen2*r) -f — a>s4 7 r/

= c o s2 tt í.

En la figura 10.5 se muestra la interpolación de los puntos (/, x). donde 1 " [0, 1/4. 1/2, 3/4] y

j: = 1 1 .0 .-1 .0 ]. -«

►EJEMPLO 10.3 Encuentre el interpolante trigonométrico para los datos de la temperatura del ejemplo 4.6:
x = [ - 2 .2 , - 2 .8 , - 6 .1 , -3 .9 ,0 .0 , 1.1, - 0 .6 , - I . L ] en el intervalo [0.1].

10.2 Interpolación trigonométrica | 479

Figura 10.6 Interpolación trigonométrica da los datos dal ejem plo 4 .6 .Se Interpolan los d a to s
f - 1 0 .1 /8 » 2 / 8 , 3 / 8 , 4 / 8 . 5 / 8 , 6 / 8 , 7 /8 ], x - [ - 2 2 , - 2 .8 , - 6 . 1 , - 3 . 9 ,0 . 0 .1 . 1 , - 0 .6 » -1 .1 1 u s a n d o la
tra n s fo rm a d a d e F o u rier c o n n — 8. La gráfica s e h izo m e d ia n te e l p ro g ra m a 10.1 c o n p — 100.

1.a salida de la transformada de Fourier con una precisión de cuatro decimales, es

' -5.5154 + 3.6195/
-1.0528 1.1667/
1.5910 — 0.2695/
-0.5028
- 0.2695/
y = -0.7778 1.1667/
-0.5028 + 3.6195/
1.5910 +
-1.0528
—

De acuerdo con la fórmula (10.19), la función de interpolación es

_ -5 .5 1 5 4 1.0528 „ 3.6195 „
ñ i(f) = ----- ;=^ - c o s 2 n t ^ -se n 2 ^/
-
V2

15910 , 1.1667
H = —eos A nt H sen 4tt/

V2 V2

05028 0.2695

oos6/T/ + — p ^ -se n 6 ;r/

V2

0.7778

e o s 8 ,t /

V8

= - 1.95 - 0 . 7 4 4 5 c o s 2 h7 - 2 .5594sen 2 ^ /

+ 1.125cos4;r/ + 0.825 sen 4tt/

—0.3555cos6;r/ + 0.1906sen6jrr

—0.2750cos8tf/. ( 10.20)
■4
En la figura 10.6 se muestra la gráfica y la función de interpolación trigonométrica.

10.2.2 Evaluación eficiente de funciones trigonom étricas

El corolario 10.8 es un poderoso enunciado acerca de la interpolación. Aunque parece complicado
al principio, hay otra manera de evaluar y representar gráficamente el polinomio de interpolación

480 | C A P ÍT U L 0 10 Interpolación trigonométrica y la TRF

trigonométrica de las figuras 10.5 y 10.6, utilizando la TDF para hacer todo el trabajo en vez de gra-
ficar los senos y cosenos de (10.19). Después de todo, se sabe por el teorema 10.6 que al multiplicar
el vector Xde los dalos por F„ se cambian por los coeficientes de interpolación. En forma inversa,
es posible convertir los coeficientes de interpolación en los datos. En lugar de evaluar (10.19), 9 Ólo
invierta la TDF: multiplique el vector de coeficientes de interpolación {a* + ¡bk) por F ~ l.

For supuesto, si la operación Fnestá seguida por su inversa. F„- , ,se obtienen los datos origina­
les de nuevo y no se gana nada. En vez de esto, se dejará que p 2: n sea un número más grande. Se
oonsidera a (10.19) como una fimeión trigonométrica de orden p y después invertir la transformada
de Fourier para evaluar la curva en p puntos igualmente espaciados. Puede tomarse una p suficien­
temente grande como para obtener una gráfica con apariencia continua.

Para ver los coeficientes de />„(/) como los coeficientes de un polinomio trigonométrico de
orden p. observe que es posible rocscribir (10.19) como

V "**0 2 ( [p 2kn(t - c) fp 2hr(t - c )\

p” ( , ) = v + T p E W ; a‘ cos^ ^ - V » * x n ^ r r ^ )

H------- —— eos nirt ( 1 0 .2 1 )

Vp

donde se establece ak = bk = 0 para k = lj + 1 Se concluye a partir de (10.21) que la

manera de producir p puntos que caigan sobre la curva (10.19) cn tj = c + j(d - c)ln para j = 0 .

. . . , n - 1 consiste en multiplicar los coeficientes de Fourier por j p / n y después invertir la TDF.

Ahora se escribirá el oódigo de M a t l ab para llevar a cabo esta idea. En términos generales,

se desea implementar

usando los com andos f f t e i f f t de Matlab, donde
F : l = J p - i f f t y F„ = -y]/=tl - f f t .

Al igualar las ecuaciones, corresponde a las operaciones:

J p • i f f t ^ 7V-n4 y=/n • f f t l"l = “n • i f f t lrt • « t r o - 0 0 -2 2 )

Pbr supuesto, F ~ l sólo puede aplicarse a un vector de longitud p , por lo que es necesario colocar
los coeficientes de Fourier de grado n cn un vector de longitud p antes de invertir. El programa
corto d f t i n t e r p . mlleva a cabo estos pasos.

%Proqrama 1 0 . 1 I n t e r p o l a c i ó n d e F o u r i e r

% Interpola n p u n to s d e d a t o s en ( c , d] co n f u n c i ó n de d i s p a r o P ( t )

% y g r á f i c a e l in t e r p o la n t e en p (>=n) p u n to s un iform em en te e s p a c i a d o s .

%Ehtrada: i n t e r v a l o [c, d ] , p u n to s de d a to s x , número p ar d e p u n to s

% de d a to s n , número par p>»n

%Salida: puntos de d a to s d e l in te r p o la n te xp

function x p = d ftin terp (in ter,x ,n ,p )

c-in ter(l);d * in ter(2 );t«c+ (d -c)*(0in -l)/n ; tp«c*(d-c)• (0 :p -l)/p ;

y = fft(x ); % a p l i c a l a TDF

y p = z e r o e (p ,1 ); % yp contendrá lo s c o e fic ie n te s para i f f t

yp (l:n /2+ l)-y(1:n /2+ l); % mueve n f r e c u e n c ia s de n a p

y p (p -n /2 + 2 :p )= y (n /2 + 2 :n ); %l o mism o p a r a e l n i v e l s u p e r i o r

x p -rea ltifft(y p ))* (p /n ); % in v ierte f f t para recuperar datos

p lo t ( t ,x ,' o ' , tp,xp) % grá fica lo s puntos de datos y el in terp olan te