Análisis numérico, 2da Edición - Timothy Sauer-FREELIBROS.ORG

8.1 Ecuaciones parabólicas | 381

con error local de truncamiento de 0(k) + 0(/»2), el mismo error que da el método de la diferencia
hacia adelante. La ecuación (8.14) puede reordenarse como

- a w f + i j + (1 + 2 o )w ¡j - o w ¡- \ j = w ¡ j - 1,

con o = Dk/h1 y escribirse como la ecuación matricial de m X m

‘ 1+2or - a 0 0’ ’ w tj-t " rnj
—a 1 + 2cj —o ‘ uuj " 0
:
0 - a 1 + 2a 0 := : +o
0
•. -a
0 0 - a 1 + 2/7 _ . W*J . . uV / - t _

(8.15)
Con pequeñas modificaciones, el programa de 8.1 puede adaptarse para seguir el método de la
diferencia h ad a atrás.

% Programa 8 . 2 Método de l a d i f e r e n c i a h a c i a a t r á s para l a e c u a c i ó n de c a l o r

%entrada: i n t e r v a l o de e sp a c io [ x l . x r ] , i n t e r v a lo de tiempo lyb, y t ] .

% m i n e r o d e p a s o s d e e s p a c i o M, n ú m e r o d e p a s o s d e t i e m p o N

%salida: solución w

%Uso de ejemplo: wsheatbd ( 0 ,1 , 0 ,1 , 1 0 ,1 0 )

function w»heatbd(xl,xr,yb,yt,M,N)

f=a (x) sin ( 2 » p i* x ) . “2;

l-fl(t) 0*t;

r=0(t) 0*t ;

D»l; %c o e f i c i e n t e d e d i f u s i ó n

h. ( x r - x l ) / M ; k » ( y t - y b ) / N ; m-M-1; n-N;

sigma=D*k/(h*h);

asdiag(l+2*sigma*ones(m,1 ))+diag(-sigma*ones(m-1,1),1);

a»a+diag(-8Ígtna*onea(m-l,l) ,-1) ; % define la matriz a

lside=l(yb+(0:n)*k); rside=r(yb+(0:n)*k);

w(: , l ) » f ( x l + ( l : m ) * h ) ' ; \ condiciones in ic ia le s

for j»l:n

w(:, j+ l)= a\(w (:,j)-fsigm a* ( l s i d e ( j ) ; zeros(m -2,1 ); r s id e (j ) ] ) ;

end

w s(lsid e;w ,-rsid e); %a d j u n t a c o n d s d e f r o n t e r a

x= ( 0 : m + l ) * h ; t = ( 0 : n ) * k ;

mesh(x,t,w') %g r á f i c a 3D d e l a s o l u c i ó n w

view (60,30);a x i s ( [xlxr yb y t -1 2])

► EJEMPLO 8.1 Aplique el método de la diferencia hacia atrás a la ecuación de calor

u, = uxx para toda 0 < x < 1, / > 0
w(.x,0) = sen22,Tx para toda 0 < x < 1
m(0./) = 0 para toda / > 0
m(1./) = Opara toda / > 0

Usando tamaños de paso h = * = 0.1, se llega a la solución aproximada que se muestra en la

figura 8.4. Compare esto con el desempeño del método de la diferencia hacia adelante de la figura

8.3, donde h = 0.1 y k debe ser mucho menor para evitar la inestabilidad. *

¿Cuál es la razón de la mejora del rendimiento del método implícito? El análisis de estabilidad
para el método de la diferencia hada atrás procede de manera similar al caso explídto. El método
de la diferencia h ad a atrás (8.15) puede verse como la iteración matricial

wj = + b,

382 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Figura 8 .4 So lu ció n aproxim ada <M a)am plo 8.1 m ediante el m étodo de las d iferencias h a d a atrás. El
coeficiente de difusión « 0 - 1 y los tamaños de paso son h = 0.1 y * = 0.1.

donde

ri+2o -o 0 0 (8.16)
A= 1 + 2o —o —o

—o 1 + 2o I + 2<7

-o

Al igual que en el análisis de eslabilidad de Von Neumann para el método de la diferencia hacia
adelante, las cantidades relevantes son los valores propios de A-1. Dado que A = o T + (1 + a)/,
el lema 8.1 implica que los valores propios de A son

< 7 (1 - 2cos ) + 1 + <7 = 1 + 2<7 — 2<7cos
\ m + 1/ m+ I

y los valores propios .. ■
menor que 1, es necesario que 1 + 2*7(1 —eos.t)| > 1,

lo cual es verdadero para todos las o, puesto que 1 - eos x > 0 y a — Dk/hr > 0. Por lo tanto, el mé­
todo implícito es estable para toda o y, por ende, para todas las opciones de tamaños de paso h y k.
que es la definición de ncondicionalm ente estable. Entonces, el tamaño de paso puede hacerse
mucho más grande, limitado sólo por consideraciones del error de truncamiento local.

TEOREMA 8.3 Sea h el paso de espacio y Arel paso de tiempo para el método de las diferencias hacia atrás aplicado

a la ecuación del calor (8.2) con D > 0. ftira cualquier h, k, el método de la diferencia hacia atrás

es estable. ■

►EJEMPLO 8.2 Aplique el método de las diferencias hacia atrás para resolver la ecuación de calor

u, = 4uxx para toda 0 < x < 1 , 0 < / < 1

u(x,0) = e~ xfl p arato d aO < x < 1

u ( 0 j ) = e‘ p a r a to d a O < / < 1

«(!,/) = para toda 0 < / < 1

8.1 Ecuaciones parabólicas | 383

Figura 8 .5 Solución aproxim ada dal ajam plo 8.2 m adlanta al m étodo da las di fa rancias h a d a atrás, los

tamaños de paso son h = 0 .1 ,* = 0.1.

Compruebe que la solución correcta es u(x, /) = e'~xrí. Si se establece h = k = 0.1 y D = 4.

entonces o = DkJh2 = 40. La matriz A es de 9 X 9. y en cada uno de los 10 pasos de tiempo, (8.15)

se resuelve mediante la eliminación gaussiana. La solución se muestra en la figura 8.5. <

Como el método de las diferencias hacia atrás es estable para cualquier tamaño de paso, pue­
de discutirse el tamaño de los errores de truncamiento que se cometen por la discrctización en el
espacio y el tiempo. Los errores por la discrctización en el tiempo son de orden O(k), y los errores
por la discrctización en el tiempo son de orden Oih2). Esto significa que. para tamaños de paso pe­
queños h % k, dominará el error del paso de tiempo, dado que 0 ( h 2) será insignificante comparado
con 0(k). En otras palabras, el error cn el método de las diferencias hacia atrás puede describirse a
grandes rasgos como 0(k) + 0 ( h 2) «s 0{k).

Rira demostrar esta conclusión, se utilizó el método de las diferencias finitas implícito a fin de
producir las soluciones del ejemplo 8.2 para h = 0.1 fija y una serie decreciente de k. La tabla adjun­
ta muestra que el error medido en (x, /) ■ (0.5,1) disminuye linealmente con k ; es decir, cuando k
se reduce a la mitad, ocurre lo mismo con el error. Si el tamaño de h se redujera, la cantidad de
cálculo aumentaría, pero los errores para una k dada serian prácticamente ¡guales.

h k i/(0 .5 ,1) u>(0.5,1) error
0.10 0.10 2.11700 2.12015 0.00315
0.10 0.05 2.11700 2.11861 0.00161
0.10 0.01 2.11700 2.11733 0.00033

Las condiciones de frontera que se han estado aplicando a la ecuación del calor se denomi­
nan condiciones de frontera de Dirichlet. Éstas especifican los valores de la solución u(x, f)en la
frontera del dominio de la solución. En el último ejemplo, las condiciones de Dirichlet u(0, /) = e1
y u (l. i) = el~ 1/2 establecen los valores de temperatura requeridos cn las fronteras del dominio
[0, I]. Si se considera la ecuación de calor como un modelo de conducción de calor, esto corres­
ponde a mantener la temperatura en la frontera a un nivel prescrito.

Un tipo alternativo de condición de frontera coiresponde a una frontera aislada. Aquí la tempe­
ratura no se especifica, pero se supone que el calor no puede conducirse a través de la frontera. En
general, una condición de frontera de N eum ann especifica el valor de una derivada cn la frontera.
Por cjcm plo.cn el dominio la, b], que requiere ux(a, t) = u¿b, t) = 0 para toda / corresponde a una
frontera aislada, o sin flujo. En general, las condiciones de frontera que se establecen en cero se
denominan condiciones de frontera homogéneas.

384 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

►EJEMPLO 8.3 Aplique el método de las diferencias hacia atrás para resolver la ecuación de calor con condiciones
de frontera de Ncumann homogéneas

u, = uxx para toda 0 < x < 1.0 < / < I __
u(x, 0) = sen22 n x para toda 0 < x < 1
«x(0, /) = 0 para toda 0 < / < 1
mx(1 . / ) = 0 para toda 0 < / < 1.

Del capítulo 5, recuerde la fórmula de segundo orden para la primera derivada

/ ( , ) = -3 /(* > + * /(* + » ) - / ( * + 2») + 0(a3) (g , 9)
2h

Esta fórmula es útil para situaciones en las que no están disponibles los valores de la función a
ambos lados de x. Con las condiciones de frontera de Neumann se presenta precisamente esta po­
sición. Pbr lo tanto, se utilizarán las aproximaciones de segundo orden

. -3 m (0 ./) + 4u(0 + h, t) - u(0 + 2h,t)
ux (0, /) % -------------------------—-------------------------

„ ^ "«O -2 A ./) + 4«(! - A ,/) - 3 « ( ! ,r )

« ,0 .0 « » ^ ------------------------

para las condiciones de Neumann. F.I establecimiento de estas aproximaciones a la derivada en cero
se traduce en las fórmulas

—3u?o + 4un — u»2 = 0

-WA/-2 + 4uja/-i - 3wm = 0

que se deben añadir a las partes de las ecuaciones que no están en la frontera. Para efectos de con-
teo. observe que al pasar de las condiciones de frontera de Dirichlel a las de Neumann. la novedad
es que deben resolverse los dos puntos en la frontera u\) y wM. Esto significa que mientras que
para Dirichlel. el tamaño de la matriz en el método de la diferencia hacia atrás c s m X m donde
m = M - 1 cuando se pasa a las condiciones de frontera de Neumann. m = M + 1. y la matriz es
ligeramente más grande. Estos detalles pueden verse en el siguiente programa 8.3. La primera y
última ecuaciones se reemplazan por las condiciones de Neumann.

% Programa 8.3 Método de l a d i f e r e n c i a h a c i a a t r á s para l a e c u a c i ó n de c a l o r

I c o n c o n d i c i o n e s d e f r o n t e r a de Neumann

%en trad a: i n t e r v a l o de e s p a c i o [ x l , xr] , i n t e r v a l o de tieirpo [yb, y t ] ,

% número d e p a s o s de e s p a c i o M, númer o d e p a s o s d e t i e m p o N

%salida: solución w

%Uso de ejen p lo: w*heatbdn(C, 1 , 0 , 1 ,2 0 , 2 0 )

f u n c t i o n w = h e a t b d n ( x l , x r , y b , y t , M, N)

f»«(x) sin(2*pi*x) .'2;

D-l; %c o e f i c i e n t e d e d i f u s i ó n

h = ( x r - x l ) / M ; k a ( y t - y b ) / N ; m=M+l; n=N;

sigma-D*k/(h*h);

a = d i a g ( l + 2 * s i g m a * o n e s (m, 1 ) ) - t di a g ( - s i g m a * a n e s ( m - l , l ) , 1) ;

a = a + d i a g ( - a i ^ n a * o n e s ( m - l , 1 ) , - 1 ) ; %d e f i n e l a m a t r i z a

a ( l , :)■[-3 4 -1 zeros(l,m -3)]; %c o n d i c i o n e s d e Neumann

a(ra,: ) = Izaros(1 ,m-3) -1 4 - 3 ]; %c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s

w(: , 1) « f ( x l + (0:M)*h)' ;

for j®l:n

b=w(: , j ) ;b (l)*0;b (m )=0;

w (:,j+ l)-a\b ;

end

x=(0:M)*h;ts(0:n)*k;

meoh(x,t,w') %g r á f i c a 3D d e l a s o l u c i ó n w

view (60,30) ; a x is ( [xl xr yb y t -1 1] )

8.1 Ecuaciones parabólicas | 385

Figura8 .6 Solución aproxim ada dai problema da Naumann (8.18) por al m étodo da las difaran das had a
atrás, lo st.im a to s d e paso son h - * = 0.05.

La figura 8.6 muestra los resultados del programa 8.3 oon las condiciones de Ncumann, los

valores de frontera ya no están fijos en cero y la solución flota para satisfacer el valor de los datos

iniciales. ésta se promedia por difusión y tiene un valor de 1/2. <

8 .1 .4 M étodo de Crank-Nicolson_______________________________________________________

Hasta ahora, los métodos para la ecuación de calor ha consistido en un método explícito que a
veces es estable y un método implícito que es siempre estable. Ambos tienen errores de tamaño
0 (k + h 2) cuando se estabilizan. El tamaño del paso de tiempo k debe ser bastante pequeño para
obtener una buena precisión.

El método de Crank-N icolson es una combinación de los métodos implícitos y explícitos, es
incondicionalmentc estable, y tiene error 0{lr) + O(tr). Las fórmulas son un poco más complica­
das. pero valen la pena debido a la mayor precisión y estabilidad que garantizan.

Gank-Nicolson utiliza la fórmula de las diferencias hacia atrás para la derivada en el tiem ­
po, y una combinación ponderada uniformemente de las aproximaciones por las diferencias hacia
adelante y hacia atrás para el resto de la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación de calor (8.2) se
reemplaza u,oon la fórmula de la diferencia hacia atrás

- Wi,j-\)

y u ^co n la diferencia mixta

1 ( *01+1../ ” 2 u ,i> + \ , • / *0 /+ l,i-l ~ 2 « v .y -i + W f-i j . i \

u *2 rn /»2 )

De nuevo, al ajustar a = Dk/f^.es posible reordenar la aproximación a la ecuación del calor en la
forma

2 2w t j - 2 u > j j - i = a [ w i + \ j - w ¡ j + w i - i j + W j + i . y _ i - 2 u > ¡ j - \ +

386 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

o bien

+ (2 + 2 o )w ¡j - o w ¡+ \ j = <ru>/_\t J-\ + (2 - 2 o )w ¡tJ-\ + a w i+\j-\,

lo que conduce a la plantilla que se muestra cn la figura 8.7.

/- I i i+l

Figura >.7 Puntos d« la m alla p a ra al m étodo d a Crank-Nicolson. En cada paso d e tiem po, los circuios no
rellenos son las Incógnitas del paso anterior.

Establezca w¡ = {u>ij , . . . , w mj ] T. En forma matricial. el método de Crank-Nicolson es

A w j = B w j - 1 + <r(Sj-1 + Sj),

donde

2 + 2a - a 0 0

—a 2 + 2(7 - a
A = —a 2 + 2a

—a
0 - a 2 + 2x1

2 -2 x 7 a 0

a 2-2a a

B= 0 a 2 — 2a

a
0 0 a 2-2/J

y sj = 0- ••• * Wm+ljf- S* sc aplica Crank-Nicolson a la ecuación de calor, se obtiene el
resultado mostrado cn la figura 8 .8 , para tamaños de paso h = 0.1 y k = 0.1. El código de M a t l a b
para el método se da en el programa 8.4.

% Programa 8.4 Método de Crank-N icolson

% con condiciones de frontera de D irich let

% entrada: in te r v a lo de e sp a c io [x l, x r ] , in te r v a lo de tiem po [yb. y t ] ,

% n ú m e r o d e p a s o s d e e s p a c i o M, n ú m e r o d e p a s o s d e t i e m p o N

% salida: solución w

%Uso de ejemplo: w=crank{0 ,1 ,0 ,1 ,1 0 .1 0 )

function w»crank(xl,xr,yb,yt,M ,N)
f=®(x) s i n ( 2 * p i * x ) . “2;

l»«(t) 0*t;

r -« (t) 0*t;

D=l; % c o e fic ie n te de d ifu sió n

h-(xr-xl)/M ;k»(yt-yb)/N; % tamaños de paso

8.1 Ecuaciones parabólicas | 387

Figura 8.8 Solución aproxim ada da la acuadón da calor (8.2) calculada madianta al método da Crank-

Nicolson. lamatos do p a » h - 0.1, * - 0.1.

s i g m a = D * k / ( h * h ) ; ra=M-1 ; n= N;

a « » d i a g ( 2 + 2 * 8 Í g m a * o n e s (m, 1) ) - K Í i a g ( - 8 Í g m a * o n e s ( m - l , 1) , 1 ) ;

a=a+diag(-8igm a*one8(m -l,l), - 1 ); %d e f i n e l a m a t r i z t r i d i a g o n a l a

b = d i a g ( 2 - 2 * s i g m a * o n e s (m, 1) ) + d i a q ( a i g r n a * o n e a ( r a - 1 , 1 ) , 1 ) ;

b-b+diag(8igma*onea(m-l,1) ,- 1 ) ; %d e f i n e l a m a t r i z t r i d i a g o n a l b

lB Í d e = l (yb+ (0: n) *k) ; r a id e » r ( y b + (0 :n) *k) ;

w (s,1)=f(xl+(l:m )*h)'; %c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s

for j»l:n

s i d e a = [ l s i d e (j ) + l a i d e ( j + 1 ) ; z e r o s ( r a - 2 ,1 ) ; r s i d e (j ) + r s i d e (j +1) ] ;

w (: , j+1)»a\(b*w(: , j)+8igm a*aides);

end

w =[lside;w ;rside];

x « x l+ (0:M )*h;t»yb+(0 :N)*k;

m e sh (x ,t,w ');

view (60,30); a x ia ([x l xr yb yt -1 1])

Rira investigar la estabilidad de Crank-Nicolson debe hallarse el radio espectral de la matriz
A-1 fi, para A y fique se dio en el párrafo anterior. Una vez más. la matriz en cuestión puede rees-
cribirse en términos de T. Observe que A = a 7 + (2 + a ) / y f i = - a 7”+ (2 - ct) /. Al multiplicar
A_I fl por el /é s im o vector propio Vj de T se obtiene

A 1B vj = (o T + (2 -f- o ) I ) \ - < r k j V j + (2 - o ) v j )

= ' (-o k j + 2 - a)vj,
a k i + 2 + <7 J J

donde A; es el valor propio de T asociado con v¿. Los valores propios de A - l fi son

- a k j + 2 - o _ 4 ~ ( o ( k j + 1) -I- 2) _ 4 _ J (8.20)

okj + 2 + o o {kj Y) 2 L

donde L = o ( k j + 1) + 2 > 2, puesto que k ¡ > - 1 . Por lo tanto, los valores propios (8.20) están
entre - 1y 1. El método de Crank-Nicolson, al igual que el método de las diferencias finitas implí­
cito, es incondicionalmente estable.

388 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

ANOTACIÓN C o n v e rg e n cia Crank-Nicolson es un método de diferencias finitas conveniente para la ecuación
de calor debido a su estabilidad incondicional (teorema 8.4) y la convergencia de segundo orden, que
se muestra en (&23). La deducción de un método de este tipo no es sencilla, debido a la primera deri­
vada parcial uren la ecuación. En la ecuación de onda y la ecuación de ftjlsson descritas más adelante
en este capítulo, sólo aparecen derivadas de segundo orden y es mucho más fácil encontrar métodos
estables de segundo orden.

TEOREMA 8.4 El método de Crank-Nicolson aplicado a la ecuación del calor (8.2) con D > 0 es estable para

cualesquiera tamaños de paso h, k > 0. ■

Rtra terminar esta sección, se deduce el error de truncamiento para el método de Crank-Nicol­
son. que es Of/t2) + 0 (k 2). Además de su estabilidad incondicional, esto hace que el método sea
superior en lo general a los métodos de las diferencias hacia adelante y hacia atrás para la ecuación
de calor u, = Dw^.

Para la deducción del método se requieren las siguientes cuatro ecuaciones. Se supone la exis­
tencia de derivadas más altas de la solución u, según se requieran. Del ejercido 5.1.24. se tiene la
fórmula de las diferendas hacia atrás

u(x,t) - u(x,t - k) k le2 _
u ,( x ,/) = : + -U í/(x ./) - — um 0c,t\), (8.21)
K ¿o

donde t - k < r¡ < r, suponiendo que las derivadas parciales existen. Al expandir u„ en serie de
Taylor de la variable / se obtiene

k2
uxx ( x , t - k) = uxx( x . /t ) - kuxxt({x , /i) ++ j u xx„ ( x , f 2).

donde / —k < h < /, o bien (8.22)
k2

uxx(x .O = u xx( x , / - k) + kuxxt0 c,f) - — uxxll( x j 2)-

La fórmula de la diferencia centrada para las segundas derivadas da tanto

7 ^ u(x -t- h , t ) ~ 2 u (x ,t) + u(x - h . t ) h2 #^
Uxx(x,t) — —j h — Uxxxxixi, / ) (8.23)

como

u(x + h.t - k) - 2u(x,f - k) + u(x - h.t - k) (8.24)
Uxxix.t - k) =

h2
+ y2«Wr<*2 . / - * ) .

donde x x y x2 se encuentran entre x y x + h.
Sustituyendo las últimas cuatro ecuaciones en la ecuadón de calor

U'~ D i\Uxx +

donde se ha dividido el lado derecho en dos. La estrategia consiste en reemplazar el lado izquierdo
usando (8.21), la primera mitad del lado derecho por (8.23) y la segunda mitad del lado derecho
por (8.22) en combinación con (8.24). Esto da como resultado

8.1 Ecuaciones parabólicas | 389

u(x,/) - u(x,t - k) k k2
------------- ¡---------------+ ~ u „ ( x ,/) - — u n ,( x ,/|)
k ¿o

1 rvfMCic + hh ,jt)) -— 22uu((xx,,t0) ++ u(x - hh , t ) h~2 1

= j j ----------- + „ ■ « « .( * ! .» ) ]

i r k2

+ 2 ° *«XX/Cx,/) - j U xxn ( x . t 2)

u(x + h ,t — k) — 2u(x.t —k) + u(x —h,t — k) h2 1
H----------------------------------y~2---------------------------------- •" 7^^“«xxxxxxx(*t2a .í ~ k ) \ .

Por lo tanto, el error asociado con la igualación de los cocientes de las diferencias es el residuo

k k2 Dh2

“ 2 “ «<***> + j U , „ ( x , t 1) + - ^ - [ « x x x x Í J C i .f ) + « x x x x ( * 2 ,í - k)]

Dk t s Dk2 / x
+ - y «**/(*. 0 ----- 4 - u Xxn(x.t2)-

Esta expresión puede simplificarse usando d hecho de que u, = Dua . Por ejemplo, observe que
Duxx, = (DUjx), — u¡r con k) cual se cancelan el primero y cuarto términos de la expresión d d error.
El error de truncamiento es

k2 Dk2 Dh2
—6 « „ ,( * ./ | ) ----- -47-U t2) 4- -=24j-í« x x x x (jf|.0 + uxxxx(x2. t ~ *)1

= k2 , 0c,l1) - k2 h2 [ m / í + un (x2.t - *)).

ju „ j u m (x.t2) + 24^

Una expansión de Taylor en la variable t resulta en

u,,(x2. t - k ) = u„(x2, t ) - k u m ( x 2J A ) .

con lo que el error de truncamiento es igual a 0{h2) + (Xk2) + los términos de orden superior. Se
llega a la conclusión de que el método de Crank-Nicolson es de segundo orden c incondicional-
mente estable para la ecuación de calor.

Fbra ilustrar la convergencia rápida de Crank-Nicolson. regrese a la ecuación del ejemplo 8.2.
Vea también los problemas de computadora 5 y 6 para explorar la razón de convergencia.

►EJEMPLO 8 .4 Aplique el método de Crank-Nicolson a la ecuación de calor

11, = 4mxj para toda 0 < x < 1,0 < / < 1

u(x,0) = e~xf2 para toda 0 < x < 1 (8 251

u (0 ,/) = e1para toda 0 < / < I

i/(l, t) = para toda 0 < / < 1

La tabla siguiente muestra el error convergencia 0 ( h 2) + (Xk2) predicho por el cálculo ante­
rior. La solución correcta u{x, t) = el-x/2 evaluada en (x. t) = (0.5. 1) es u = e3/4. Observe que el
error se reduce cn un factor de 4 cuando los tamaños de paso h y ifcsc reducen a la mitad. Compare
los errores con la tabla del ejemplo 8.2.

h k «(0.5, 1) u»(0.5.1) error

0.10 0.10 2.11700002 2.11706765 0.00006763

0.05 0.05 2.11700002 2.11701689 0.00001687

0.01 0.01 2.11700002 2.11700069 0.00000067

En resumen, se han presentado tres métodos numéricos para ecuaciones parabólicas utilizando
la ecuación del calor como primer ejemplo. El método de las diferencias hacia adelante es el más

390 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

sencillo, el método de las diferencias hacia atrás es tan incondicional mente estable como exacto
y Crank-Nicolson es incondicional mente estable y exacto de segundo orden, tanto en el espacio
como en el tiempo. Aunque la ecuación de calor es representativa, existen una gran variedad de
ecuaciones parabólicas para las que estos métodos son aplicables.

Un área de aplicación importante para las ecuaciones difusivas se refiere a la evolución espa­
do-temporal de poblariones biológicas. Considere una pobladón (de bacterias, perros de la pra­
dera, etcétera) que vive en una fracción o sustrato de terreno. Para comenzar cn forma simple, la
firaedón será un segmento de recta [0, L]. Se utilizará una ecuación diferencial parcial para m oddar
u(x, f), la densidad de pobladón para cada punto O S x S / . Las poblaciones tienden a actuar como
el calor cn el sentido de que se extienden, o difuminan, de las zonas de alta densidad a las áreas de
densidad reducida siempre que es posible. También pueden crecer o morir, como se representa cn
el siguiente ejemplo.

►EJEMPLO 8.5 Considere la ecuación de difusión con crecimiento proporcional {* 2t))

ut = Duxx 4- Cu
u(x, 0) = sen2j?.r para toda 0 < x < L
u(0,/) = 0 para toda / > 0
u(L, /) = 0 para toda / > 0.

La densidad de población en el tiempo / y en la posición xse indica u(x, t). El uso que se hace aquí

de las condiciones de frontera de Dirichlet representa el supuesto de que la población no puede

vivir fuera de la fracción 0 S í S Í , , •«

Quizás éste es el ejemplo más simple posible de una ecuación de reacción-difusión. El tér­
mino de difusión Duxx hace que la población se extienda a lo largo de la dirección x, mientras que
el término de reacción Cu contribuye al crecimiento de la población a una tasa C. Debido a las
condiciones de frontera de Dirichlet. la población es aniquilada a medida que llega a la frontera.
En las ecuaciones de reacción-difusión, existe una competencia entre la tendencia de uniformidad
de la difusión y la contribución al crecimiento de la reacción. Si la población sobrevive o avanza
hacia la extinción depende de la competencia entre el parámetro de difusión D, la tasa de creci­
miento C y el tamaño de la fracción L.

Se aplicará el método Crank-Nicolson al problema. El lado izquierdo de la ecuación se susti­
tuye con

1
- ( l 0¡j - W ¡ j - 1)

y el lado derecho con la diferencia mezclada hacia adelante/hacia atrás
I - 2 y + * -,■ / + c \

+ 1 + -g -H -J. + CW( , A .

Si se establece a = Dkllr, es posible reordenar como

- a w ¡ - \ j + (2 + 2a - kC)w¡j - = ou)í- \ j - \ + (2 - 2a + k C ) w ¡ j - \
+<TU)¡+\,J-\.

Si se comparan con las ecuaciones de Crank-Nicolson para la ecuación de calor que se mostra­
ron antes, sólo es necesario restar kC de las entradas diagonales de la matriz A y añadir kC a los
elementos de la diagonal de la matriz B. Esto conduce a cambios cn dos líneas del programa 8.4.

En la figura 8.9 se muestran los resultados de Crank-Nicolson aplicados a (8.26) con coefi­
ciente de difusión D - 1, en la fracción [0, 1]. ftira la elección C = 9.5, la densidad de población

8.1 Ecuaciones parabólicas | 391

original tiende a cena cn el laigo plazo. Para C = 10. la población crece. Aunque está más allá del
alcance del análisis actual, puede demostrarse que el modelo de población sobrevive mientras

C > ti2D / L 2. (8.27)

En el caso actual, esto se traduce a C > .T^.que está entre 9.5 y 10, lo cual explica el resultado que
se ve cn la figura 8.9. En el modelado de poblaciones biológicas, con frecuencia la información se
utiliza cn sentido inverso: dada la tasa de crecimiento de la población y la velocidad de difusión
conocidas, un ecologista que estudia la supervivencia de las especies podría desear saber cuál es la
fracción más pequeña que es capaz de acoger a la población.

Los problemas de computadora 7 y 8 le piden al lector investigar este sistema de reacción-
difusión a mayor profundidad. Las ecuaciones de reacción-di fusión no lineales son un tema impor­
tante en la sección 8.4.

Rgura 8.9 Soluciona* aproxim adas da la acuación (8.26) calculadas m adlanta al m étodo d a Crank*

Nlcolton. Los parámetros son O - 1,1 — 1, y lostamaños de paso utilizados son h - k - 0.05. (a)C - 9.5
(b) C = 10.

8.1 Eje rcicio s

Demuestre que las funciones u(x,t) = eM2í+x + e * ~ x, (b) u (x ,t) = e2j+x son soluciones de la
ecuación del calor u, 2 con las condiciones de frontera iniciales que se indican:

u(x, 0) —2coshx para 0 < x < 1 u(x, 0) = e* para 0 < x *

(a) u (0,1) = 2e!í para 0 < / < 1 (b) u (0 ,/) = (T1 para 0 < t <

u ( ¡ ,t) = (e2 + ¡)e2,~l para 0 < / < 1 « ( ! ,/) = e2/+l p a ra 0 < ¡

2. Demuestre que las funciones (a) u(x, /) = e n sen nx, (b) u(x, /) - e~m eos ;rx son soluciones de
la ecuación de calor nut = u„ con las condiciones de frontera iniciales que se indican:

u(x,0) = sen;rx para 0 < x < 1 u(x.0) = c o sttx para toda 0 < x < 1

(a) u(0./) = 0 para 0 < / < 1 (b) u(0./) —e~*l para 0 < / < 1

« (!,/) = 0 para 0 < i < 1 u ( l.r ) = - e ~ ni para 0 < t < 1

3. Demuestre que si /(x) es un polinomio de tercer grado, entonces u(x, f) - /(x ) + c t f ( x ) es una
solución del problema de valor inidal u, = c u ^ u(x, 0) = /(x).

992 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

4. ¿El método de las diferencias hacia atrás es incondicionalmente estable para la ecuación de calor
si c < 0? Explique su respuesta.

5. Verifique la ecuación del vector propio (8.13).

6. Demuestre que los vectores diferentes de cero en (8.12), para todos los números enteros m,
consisten solamente en m vectores distintos, hasta el cambio de signo.

8.1 P ro b le m as de com p utad ora

Resuelva la ecuación u, ■ 2uxx para O s r s 1.0 s i s 1, con las condiciones iniciales y de
frontera siguientes, utilizando el método de las diferencias hacia adelante con tamaños de paso
h = 0.1 y * = 0.002. Grafique la solución aproximada, empleando el comando de M a t l a b mesh.
¿Qué sucede si se usa k > 0.003? Compare con las soluciones exactas del ejercicio 1.

u (x ,0) = 2coshx para 0 < x < I u(x.0) = e x para 0 < .r < I

(a) i/(0,/) = 2 e 2/ paraO < / < 1 (b) u(0. /) —e * para 0 < / < 1

« (!,/) = (e2 + l)*2' -1 p a ra 0 < / < 1 u (l,f) = e 2,+l para 0 < / < 1

2. Considere la ecuación n u, =■ uXI para O S x S I . 0 S / S 1, con las condiciones iniciales y de
frontera indicadas. Establezca el tamaño de paso h = 0.1. ¿Para qué tamaños de paso k el método
de la diferencia hacia adelante es estable? Aplique el método de la diferencia hacia adelante con
tamaños de paso h = 0.1 y k = 0.01, asimismo compare su respuesta con la solución exacta del
ejercicio 2.

m(x.0) = senjrx para 0 < x < 1 u(x. 0) = cosjr.r para toda 0 < x < 1

(a) u(0./) = 0 paraO < / < 1 (b) u(0, /) = e~*‘ para 0 < / < 1

m( 1,/) = 0 para0 < / < 1 u ( l ,/) = - e - * ' para 0 < / < 1

3. Utilice el método de las diferencias hacia atrás para resolverlos ejercicios del problema de compu­
tadora 1. Haga una tabla con el valor exacto, el valor aproximado y el error en (*, /) = (0.5,1) para
tamaños de paso h - 0.02 y k = 0.02,0.01.0.005.

4. Utilice el método de las diferencias hacia atrás para resolverlos ejercicios del problema de compu­
tadora 2. Haga una tabla con el valor exacto, el valor aproximado y el error en (*, /) = (0.3,1) para
tamaños de paso h ■ 0.1 y k » 0.02.0.01,0.005.

5. Utilice el método de Crank-Nicolson para resolver los ejercicios del problema de computadora 1.
Haga una tabla con el valor exacto, el valor aproximado y el error en (x, t) = (0.5. I) para tamaños
de paso h = k = 0.02,0.01.0.005.

6. Utilice el método de Crank-Nicolson para resolver los ejercicios del problema de computadora 2.
Haga una tabla con el valor exacto, el valor aproximado y el etTor en (x . /) = (0.3, I) para tamaños
de paso h = * *= 0.1,0.05, 0.025.

7. Establezca D - 1 y encuentre la C más pequeña para la cual la población de (8.26), en la fracción
[0,10], sobrevive en el largo plazo. Utilice el método de Crank-Nicolson para aproximar la solu­
ción, y trate de confirmar que sus resultados no dependen de las elecciones del tamaño de paso.
Compare sus resultados con la regla de supervivencia (8.27).

8. Establezca C = D = 1 en el modelo de población (8.26). Use el método de Crank-Nicolson para
encontrar el tamaño de fracción mínima que permite que la población pueda sobrevivir. Compare
con la regla (8.27).

8 .2 Ecuaciones hiperbólicas | 393

8.2 ECUACIONES HIPERBÓLICAS

Las ecuaciones hiperbólicas ponen menos restricciones rigurosas en los métodos explícitos. En
esta sección se explora la estabilidad de los métodos de diferencias finitas en el contexto de una
ecuación representativa hiperbólica llamada la ecuación de onda. Se introducirá la condición CFL
que es. en general, una condición necesaria para la estabilidad de los solucionadores de EDP.

8.2.1 La e c u a c ió n d e o n d a

Considere la ecuación diferencial parcial

un = c 2uxx (8.28)

para « S x s f c j s O . A I comparar con la forma normal (8.1), se calcula R2 - 4AC = 4c2 > 0,
por lo que la ecuación es hiperbólica. Este ejemplo se llama la ecuación de o n d a con velocidad
de onda c. Las condiciones iniciales y de frontera típicas que se requieren para especificar una
solución única son

u(x,0) = f ( x ) para toda a < x < b
u,(x, 0) = g(x) para toda a < x < b
u(a, t ) = /(/) para toda / > 0
u(b, /) = r(f) para toda / > 0

En comparación con el ejemplo de la ecuación de calor, se requieren datos iniciales adicionales
debido a la derivada del tiempo de mayor orden en la ecuación. Hablando de manera intuitiva,
la ecuación de onda describe la evolución en el tiempo de una onda que se propaga a lo largo de la
dirección x. Para especificar lo que pasa, es necesario conocer la forma inicial de la onda y su ve­
locidad inicial en cada punto.

La ecuación de onda modela una amplia variedad de fenómenos, desde las ondas magnéticas
en la atmósfera del Sol hasta la oscilación de una cuerda de violín. La ecuación implica una ampli­
tud u, que para el violín representa el desplazamiento físico de la cuerda. Para una onda de sonido
que viaja en el aire, u representa la presión local del aire.

Se aplicará el método de las diferencias finitas a la ecuación de onda (8.28) y se analizará su
estabilidad. B método de las diferencias finitas opera sobre una malla como la de la figura 8.1.
del mismo modo que en el caso parabólico. Los puntos de la malla son (x¡, tj), donde x¡ = a + ih
y tj —j k , para los tamaños de paso h y Jt Al igual que antes, se representara la aproximación a la
solución u(x¡, tj) mediante w¡j.

Eira discretizar la ecuación de onda, las segundas derivadas parciales se sustituyen por la
fórmula de las diferencias centrales (8.4), en las direcciones x y t :

wi.j + i “ 2 w¡j + Wí j - i 2 w l - l . J ~ ^ WU + w i+UJ
*2 H2 a

Si se establece o = ck/h,es posible obtener la solución en el próximo paso de tiempo y escribir la
ecuación discretizada como

U)íj+i = (2 - 2a 2)wij + a 2w i - i j + o 2w t + i j - w i j - 1. (8.30)

La fórmula (8.30) no puede usarse para el primer paso de tiempo, puesto que se requieren
los valores de dos momentos anteriores.y —1 y j . Esto es semejante al problema con el inicio de los
métodos de varios pasos para las EDO. A fin de resolver este problema, puede introducirse la fór­
mula de las diferencias centrales de tres puntos para aproximar la primera derivada del tiempo de
la solución u:

Al sustituir los datos ¡nidales en el primer paso de tiempo (x¡, f|) se obtiene
g(*/) = M * /, /o) ** U<> ¿ i * ' 1.

394 | CAPITULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

o en otras palabras.

u>/.- 1 % 1 - 2 k g (x, ). (8 3 ,j

Si se sustituye (8.31) en la fórmula de las diferencias finitas (8.30) para j = 0 resulta

u>/i = ( 2 - 2ít2)wío + a 2 u#-i.o + a 2un+i,o - Wíi + 2kg(x,-),

que puede resolverse para w¡¡ y obtener

w¡i = ( ! - a 2)wi0 + kg(x,) + + 114+ 1 .0 ).
2
(8.32)

!>a fórmula (8.32) se utiliza para el primer paso de tiempo. Ésta es la forma en la que la información
de la velocidad inicial g entra en el cálculo. Para todos los pasos detiempoposteriores, se emplea
la fórmula (8.30). Dado que se hanutilizado fórmulas de segundo orden,tanto pura las derivadas
de espacio como para las de tiempo, el error de este método de diferencia finita será 0 ( h 2) + 0(1?)
(vea los problemas de computadora 3 y 4).

Rtra escribir el método de la diferencia finita en términos matriciales, defina

2 -2a2 00

a2 2 -2 a2 a 2

A= 0 2 -2 a2 0 (8.33)

a2
0 2 -2 a2

La ecuación inicial (8.32) puede escribirse g(xl) “ woo
0
UMl U)|0
0
: +* +r 2 1.0 _

. “'"I . u?"*o .

y los pasos subsiguientes de (8.30) están dados por

«M./+1 mj WQJ
0
=A — A -a 2
0
• .

. w m .J + l . . W" J . .

Al insertar el resto de los datos adicionales, las dos ecuaciones se escriben

U)|| f ( x l) g(*i) ‘ ido) ‘

0

; = \a : + * : A -\a2 :
2 2
0

. /<*■•> . . *<*«•> . ._

y los pasos subsiguientes de (8.30) están dados por

wi.j+l wij tui.y-i ■ /(//) ■
0
=A (8.34)
+ a2

0

. W" J + 1 . . W"J .

8.2 Ecuaciones hiperbólicas | 395

►EJEMPLO 8 .6 Aplique el método de las diferencias finitas explícito para la ecuación de onda con velocidad de
onda c = 2 y las condiciones iniciales f ( x ) = sen n x y g(x) — l(x) = r(x) = 0.

En la figura 8.10 se muestran las soluciones aproximadas de la ecuación de onda con c = 2.
El método explícito de las diferencias ñniias es condicionalmcnte estable; los tamaños de paso
deben elegirse con cuidado para evitar la inestabilidad del método. El inciso (a) de la figura
muestra una elección estable de h = 0.05 y k = 0.025, mientras que el inciso (b) muestra la
elección inestable h = 0.05 y k = 0.032. El método explícito de las diferencias finitas aplicado
a la ecuación de onda es inestable cuando el paso de tiempo k es demasiado grande en relación
con el paso de espacio h.

(a) (b)

Hgura 8 .1 0 E cu *d ó n d * onda d*t ejem plo 8 .6 aproxim ada m adianta at m étodo axplícito da las
difarand a s finitas. El tamaño del paso d e espacio es h = 0.05. (a) El método es estable para el paso d e tiempo
k = 0.025 y (b) es Inestable para Ir - 0.032.

8 .2 .2 La condición CFL

La forma matricial permite analizar las características de estabilidad del método explícito de las
diferencias finitas aplicado a la ecuación de onda. El resultado del análisis, indicado como el teo­
rema 8.5, explica la figura 8.10.

TEOREMA 83 El método de las diferencias finitas aplicado a la ecuación de onda con velocidad de onda c > 0 es

estable si o = ckJh ^ 1. ■

D em ostración. La ecuación (8.34) en forma vectorial es (8.35)
Wj+\ = A w j — w j -1 -t- a 2sj.

396 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

donde Sj mantiene las condiciones laterales. Como u>y+1 depende tanto de tüycomo de uy_|t para
estudiar la magnificación del error se recscribc (8.35) como

b rH í ]"’[?]■

para ver el método como una recursión de un solo paso. El error no se magnificará siempre que los
valores propios de

están delimitados por I en valor absoluto.
Sea A # 0, (y, z)T puede ser un par valor propio/vector propio de A', de modo que
ky= Ay - z

k* = y,

lo que implica que

A y= Q + > .)y.

de manera que p = 1/A + A es un valor propio de A. Los valores propios de A se encuentran entre
2 - 4 a 2 y 2 (ejerdeio 5). El supuesto de que 1 implica que - 2 s ^ s 2. Para terminar, basta
oon demostrar que, para un número complejo, el hecho de que 1/A + Aes real y tiene magnitud a
lo sumo de 2 implica que |Aj = 1 (ejerdeio 6).

La cantidad ckJh se llama el núm ero C FL del método, en honor a R. Courant, K. Friedrichs y
H. Lewy (1928). En general, el número CFL debe tener un valor máximo de 1 para que el método
de F.DP sea estable. Como c e s la velocidad de onda, la distancia ck recorrida por la solución en
un paso de tiempo no debe exceder el paso de espacio /». En las figuras 8 .10(a) y (b) se ilustran los
números CFL de I y 1.28, respectivamente. La rcstriedón ck ^ h se denomina la condición CFL
para la ecuación de onda.

El teorema 8.5 establece que. para la ecuadón de onda, la condición CFL implica la estabi­
lidad del método de las diferencias finitas. La condidón CFL es necesaria para la estabilidad de
las ecuaciones hiperbólicas más generales, pero no siempre es suficiente. Para mayores detalles
consulte Moiton y Mayéis (1996).

0 parámetro de la velocidad de onda c en la ecuación de onda regula la velocidad de la pro­
pagación de la onda. En la figura 8.11 se muestra que, para c = 6. la condidón ¡nidal de una onda
sinusoidal oscila tres veces durante una unidad de tiempo, tres veces más rápido que d caso c = 2.

8.2 Ejercicio s

Demuestre que las fundones (a) u (x. t) = sen n x eos 4 .ti, (b) u (x, /) = e~x~*, (c) u (x. t ) = ln( 1 +
x + /) son soludones de la ecuadón de onda con las condiciones ¡nidales de frontera indicadas:

u„ = \6uxx u,t - 4uxx

u(x,0) = sen7rx para 0 < x < 1 u(x,0) = é~x para 0 < x < 1

(a) u,(x,0) = 0 paraO < x < 1 (b) u, (x.0) = —2c- ' para 0 < x < 1

u(Q,t) = 0 para 0 < / < 1 u(0. /) —e-2' para 0 < / < I

u ( l.i) = 0 para 0 < t < I i/( l,/) = e ~ l~2/ para 0 < t < 1

u,i - uxx
u(x,0) = ln (l + x) para 0 < x < 1
(c) t/f(x,0) = 1 / ( 1 + x ) para 0 < x < 1

u(0./) = ln(l + t) para0 < t < 1
i/(l,r) = ln (2 + t) para 0 < / < 1

8.2 Ecuaciones hiperbólicas | 397

1.0

Figura 8.11 M étodo «xpMcJto d * las d iferencias finitas aplicado a la «citación do onda, c - 6 . L o sta m a A o i
do paso h — 0.05, k - 0.008 satisfacen la condición C FL.

2. Demuestre que las funciones(a) u(x, /) - sen ji* sen 2nt, (b) «(*,/) ■ (x + 2/)5,(c )u(x,/) - senhjr
cosh 2 /son soludones de la ccuadón de onda con las condidoncs inidalcs de frontera indicadas:

Un = 4tíxx Un - 4uxx

u (x, 0) = 0 para 0 < x < 1 u (x , 0 ) — x 5 para 0 < x < 1

(a) U/(x, 0 ) — 2tt senTrx paraO < x < 1 (b) u,(x.O) = 10.t4 para 0 < x < 1

u(0, /) = 0 para 0 < / < 1 u(0, /) = 32/5 para 0 < / < 1

u ( l,/) = 0 paraO < / < 1 «(1,/) = (1 + 2/)5 f para 0 < / < 1

Un — 4 u Xx

u(x, 0) —senhx para 0 < x < 1
(c) Uf(x, 0) = 0 para 0 < x < 1

m(0 ,/) = 0 paraO < / < 1
1/ ( 1, / ) = j ( e — ¿ )c o s h 2 / para 0 < / < 1

3. Demuestre que u,(jt, /) = sen ocr eos car y u-Ax, t) = e*+(Tson soludones de la ecuadón de onda
(8.28).

4. Demuestre que si jfx) es dos veces difcrendable, entonces u(x, /) = s ia x + c<a) es una soludón
de la ecuación de onda (8.28).

5. Demuestre que los valores propios de A en (8.33) se encuentran entre 2 - 4 o 2 y 2.

6. Sea A un número complejo, (a) Demuestre que si A + 1/A es un número real, entonces |A| = 1o A
es real, (b) Demuestre que si Aes real y |A + 1/A| s 2, entonces |A] = 1.

8.2 Pro blem as de com putadora

1. Resuelva los problemas de valor ¡nidal de frontera del ejercido 1 c n O S r S l , 0 s / s 1 me­
diante el método de las diferencias finitas con h = 0.05 y k = h/c. Utilice el comando meah de
M a t l a b para graficar la solución.

398 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

2. Resuelva los problemas de valor inicial de frontera del ejercicio 2 e n 0 s x s 1,0 £ t £ 1 me­
diante el método de las diferencias finitas con h = 0.05 y k suficientemente pequeño como para
satisfacer la condición CFL. Grafique la solución.

3. Rira las ecuaciones de onda del ejercicio I, haga una tabla de la aproximación y el error en (x, r)
“ (1/4.3/4) como una función del tamaño de paso h “ ck m 2~p parap = 4 ,8.

4. Para las ecuaciones de onda del ejercicio 2. haga una tabla de la aproximación y el error en (jr. /)
■ (1/4,3/4) como una función del tamaño de paso h **ck = 2~p para p ■ 4....... 8.

8.3 ECUACIONES ELÍPTICAS

En las secciones anteriores se trataron ecuaciones dependientes del tiempo. La ecuación de difu­
sión modela el flujo de calor como una función del tiempo, y la ecuación de onda sigue el movi­
miento de una onda. Las ecuaciones elípticas, el tema principal de esta sección, modelan los siste­
mas cerrados (estados estables). Por ejemplo, la distribución del estado estacionario del calor en
una región plana cuya frontera se mantiene a una temperatura específica, se modela mediante una
ecuación elíptica. Dado que el tiempo no suele ser un factor en las ecuaciones elípticas, se utilizará
x y y para indicar las variables independientes.

DEFINICIÓN 8.6 Sea u(x. y) una función dos veces difercndablc, y defina el Laplaciano de u como
A u = u xx + Uyy.

Fbra una función continua/(x .y ). la ecuación diferencial parcial (8.37)
A u(x,y) = f( x ,y )

se llama la ecuación de Poisson. La ecuación de Poisson con f( x . y) = 0 se denomina ecuación de
Laplace. Una solución de la ecuación de Laplace se llama una función arm ónica.

Al comparar con la forma normal (8.1), se calcula B1 — 4AC < 0, por lo que la ecuación de
Paisson es elíptica. Por lo general, las condiciones adicionales dadas para determinar una solución
única son condiciones de frontera. Se aplican dos tipos comunes de condiciones de frontera. Las
condiciones de Dirichlet especifican los valores de la solución u(x, y) en la frontera dR de una re­
gión R. t a s condiciones de frontera de Neumann especifican los valores de la derivada direccional
du/dn en la frontera, donde n indica el vector unitario normal externo.

►EJEMPLO 8.7 Demuestre que u(x, y) m x 2 - y2 es una soludón de la ecuación de Laplace en [0, 1] x [0, 1) con
las condidones de frontera de Dirichlet

u(x,0) = x 2
u(x, l) = x 2 - 1
M(0. y ) - - y 2
u(lty ) = l - f .

El lapladano es Au = + u>y = 2 —2 = 0. Las condiciones de frontera se presentan para la

parte inferior, superior, izquierda y derecha del cuadrado unitario, respectivamente, y se comprue­

ban con facilidad por sustitución. <

Las ecuadones de Poisson y Laplace están siempre presentes en la física clásica debido a que
sus soluciones representan la energía potencial. Pbr ejemplo, un campo eléctrico £ e s el gradiente
de un potencial electrostático u, o

F. = - V u .

8 3 Ecuaciones elípticas | 399

A su vez, el gradiente del campo eléctrico está relacionado con la densidad de carga p mediante la
ecuación de Maxwell

donde f e s la permisividad eléctrica. Si se igualan las dos ecuaciones resulta

Au = V (V u) = ——.
€

la ecuación de Poisson para el potencial u. En el caso especial de carga cero, el potencial satisface la
ecuación de Laplace Au = 0.

Existen muchos otros ejemplos de energía potencial que se modelan mediante la ecuación de
Poisson. La aerodinámica de los perfiles de ala a bajas velocidades, conocida como flujo irrotacio­
nal incompresible, es una solución de la ecuación de Laplace. El potencial gravitatorio u generado
por una distribución de masa de densidad p satisface la ecuación de Poisson

Au = 4TxGp,

donde G indica la constante gravitacional. Una distribución de calor en estado estacionario, como
el límite de una solución de la ecuación de calor cuando el tiempo f -* » , se modela mediante la
ecuación de Poisson. En la comprobación en la realidad 8 se utiliza una variante de la ecuación de
Poisson para modelar la distribución del calor en una aleta de enfriamiento.

A continuación se presentan dos métodos para resolver ecuaciones elípticas. El primero es
un método de diferencias finitas que sigue de cerca el desarrollo de las ecuaciones parabólicas e
hiperbólicas. El segundo generaliza el método del elemento finito presentado en el capítulo 7 para
resolver problemas de frontera. En la mayoría de las ecuaciones elípticas que se consideraran, el
dominio tiene dos dimensiones, lo que hará necesario un poco de trabajo extra en el conteo.

8.3.1 Método de las diferencias finitas para ecuaciones elípticas

Se resolverá la ecuación de Poisson Au = /so b re un rectángulo [x¡, xr] x [y6. y,J en el plano, oon
las condiciones de contorno de Dirichlet

u(x.yb) = gi(x)
u (x ,y ,) = g>(x)
u(xi,y) = ©OO
u(xr .y) = & (y )

En la figura 8.12(a) se muestra una malla rectangular de puntos utilizando M = m - 1 pasos en
la dirección horizontal y N = n - I pasos en la dirección vertical. lo s tamaños de malla en las
direcciones x y y son h = (xr - x,)JM y k = (y, - y¿)W, respectivamente.

Un método de diferencias finitas implica aproximar derivadas mediante cocientes de diferen­
cias. La fórmula de las diferencias centrales (8.4) puede usarse para las dos segundas derivadas en
el operador Laplaciano. La ecuación de Poisson Au = /tie n e la forma de diferencia finita

u { x - h , y ) - 2 u ( x , y ) + u{x + h . y ) ^ 2v =^
*2 + ° (h >

+ u U . y - k ) - 2 u ( * , y ) + u « , y + k) + ^

y en términos de la solución aproximada w¡j % u(xíf y,) puede escribirse

* - > J - * * * + ">*>./ + = f(x „ yj) (8.38)
/!*■
K

donde x¡ — x¡ + (/ - 1)h y y ¡ = yb + (j — 1)k para I S / 5 m y 1 S j S n .

400 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

—1

V u» ,* « 2 '«•I 'nt.' V.1

^iJ- ZlL, i— t 1-------11— *1 1— -»>.v -b ‘ r? , JS¡— >x

Figura 8.12 Malla para al método por dif#rancla* finitas da la acuadón da Polston con condicionas da
frontara da Dlrichlat. (a) Sistema original de numeración con subíndices dobles, (b) El sistema de numeración
(8.39) para las ecuaciones lineales, con subíndices individuales, ordena los puntos a través d e los renglones.

Dado que las ecuaciones de la w,j son lineales, debe construirse una ecuación malricial pora
resolver las incógnitas mn. Esto presenta un problema de conteo: es necesario volver a etiquetar es­
tas incógnitas doblemente indizadas cn un orden lineal. En la figura 8.12(b) se muestra un sistema
alternativo de numeración para los valores de la solución, donde se ha establecido

*>i+C/-i)«= w ,j. í8 39)

A continuación, se construirá una matriz A y un vector b de tal forma que Av = b pueda re­
solverse para v, y traducirse de nuevo en la solución tv sobre la malla rectangular. Como v es un
vector de longitud mn, A será una matriz de mn x m n y cada punto de la malla se corresponde con
su propia ecuación lineal.

Pbr definición, la entrada Apqcs el pésim o coeficiente lineal de la p-ésima ecuación de Av = b.
Por ejemplo. (8.38) representa la ecuación cn el punto de la malla (i,JX que se llama el número de
la ecuación p = i + (j — 1)m, de acuerdo con (8.39). Los coeficientes de los términos iv¿_i,y, w¡j, ...
en (8.38) también se numeran de acuerdo con (8.39) y se resumen cn la tabla 8.1.

* y Ecuación número p
• J i + ( J - 1)m

X y Coeficiente número q

l i i + (j - 1)m
i i + 1+ (j - Dm
i+1 j i —1+ (j - l)m
i- 1
j+ 1 i -1- j m
1 i- I
i + U —2)m
i

Tabla 8.1 Tabla d a traducción para loa do m inio* bldi m ansión aias. La ecuación c n el punto ft j) d e la malla
se num era p y sus coeficientes son A „ para las diferentes q. d o n d e p y q se d a n en la colum na d erecha d e la
tabla. La tabla es sim plem ente una Ilustración d e (8.39).

De acuerdo con la tabla 8.1, al etiquetar con el número de ecuación p y el número de coeficien­
te q, las entradas de la matriz Aptf de (8.38) son

^i+CMJjn.í+O-l)»» 22 í8 4())
*2

-*/+ (/-l>«.i+l+C/-l)« “ ^2

8 3 Ecuaciones elípticas | 401

A¡+(J- •)«./—i-HJ- •)« =
1

1
4 + t/- l> n ./+ (J- 2 )a = J-2-

H lado derecho de la ecuación correspondiente a ( i j ) es
fc+U -l)* = /(*#.*/>•

Estas entradas de A y b se cumplen para los puntos interiores I < i < m. 1 < j < n de la malla de
la figura 8.12.

Cada punto de la frontera necesita también una ecuación. Dado que se adoptan las condiciones
de Dirichlet. éstas son muy simples:

Parte inferior w y = gi(x{) para 7 = 1 , l < / < m
Parte superior w y = gi(xi) para j = n, 1 < i < m
Lado izquierdo W y = & ( y j) para i = 1, 1 < J < n
Lado derecho Wy = gi(yj) para i — m, 1 < j < n

Las condiciones de Dirichlet se traducen a través de la tabla 8.1 como

Rirte inferior !)« ./+ (/-1)« = 1, para y = 1,
fórtc superior
Lado izquierdo Ai+(J-l)m,i+{j-\)m = 1, b¡+(j-\)m = &(x¿) para j - n, m
Lado derecho
Ai+(J-\)m,l+(J-\)m = 1, b¡+y - n« = & ( y j) para i = 1.

1. bí+(J- \)m = £4(y j) para / = m,

Todas las otras entradas de A y bson cero. El sistema lineal Av = b pueden resolverse mediante
el método apropiado del capítulo 2. En el ejemplo siguiente se ilustra este sistema de etiquetado.

►EJEMPLO 8 .8 Aplique el método de las diferencias finitas con m = n = 5 para aproximar la solución de la ecua­
ción de Laplace Au = O en [ 0 , 1] x [1,2] con las siguientes condiciones de frontera de Dirichlet:

u ( x .l) = ln(x2 + 1)
u(x.2) = ln(x2 + 4)
u ( 0 ,y ) = 21n y
u ( l , y ) = lnfv2 -+- 1).

A continuación se presenta el código de M a tia b para el m étodo de la diferencia finita:

% Programa 8 . 5 S o l u c i o n a d o r de d i f e r e n c i a f i n i t a pa r a l a e c u a c i ó n c e P o i s s o n e n 2D
% con co nd ic io n eo d e f r o n t e r a de D i r i c h l e t en un re c tá n g u lo
% En t r a d a : r e c t á n g u l o de d o m i n i o [ x l , x r ] x [ y b , y t l c o n MxN p a s o s de e s p a c i o
% Salida: matriz w que co ntien e l o s v a lo r e s de l a solución
%Oso de ejemplo: w - p o i s e o n f O . l . l ^ M . á )
function w=poÍ8son(xl,xr,yb.yt,M,N)
f»«(x,y) 0; % d e fin e l o s datos de l a función de entrada
gl=®(x) l o g ( x . “2 + l ) ; %d e f i n e l o s v a l o r e s de fr o n t er a
g2s®(x) lo g { x .‘ 2+4); %muestra el ejemplo 8.8
g3-®(y) 2*log(y);
g4=®{y) l o g ( y . “2+1) ;

402 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

1 .0 o

(a) <b)

R gu ra 8.13 S o lu d ó n d#l m étodo do la s diforondas finitas para la ED P ollptica dol ejem plo 8 .8 . (a) M - N
= 4, tamaños de malla h = k = 0.25 (b) M = N = 10. tamaños de malla h - k = 0.1.

m=M +l; n= N+ l; mn=m*n;
h = ( x r - x l >/M ;h 2=h“2 ;k = ( y t - y b ) / N ; k 2 = k ~ 2 ;

x = x l + ( 0 : M)*h; % e s c a b l e c e v a l o r e s de m a lla
y -y b + (0 :N)*k;
A=zeros(mn.mn);b=zeros(mn,1);
for i=2:m-l % puncos in feriores

for j-2 :n -l
A ( i + ( j - 1 ) *ra, i - l + ( j - 1 ) *tn) = l / h 2 ; A ( i + ( j - 1 ) * m , i + l + ( j - 1 ) * m ) = l / h 2 ;
A (i + (j - 1 ) *m ,i+ (j-l)* m )--2 /h 2 -2 /k 2 ;
A ( i+ (j - 1 ) *m ,i+(j - 2 )*m )=l/k2;A (i+(j - 1 )*m,i+j *m)=l/k2;
b ( i + (j - 1 ) * r a )= f(x (i),y (j));

end
end
fo r i=l:m % puntos de frontera in fe r io r y superior

j - l; A ( Í + ( j - l) * m Ii+ ( j - l) * r a ) - l; b ( i+ (j-l)* m )-g l(x (i)> ;
j= n ;A (i+ (j- 1 )*m ,i+ (j-1)*m )=1;b ( i + (j - 1 ) *m )= g2(x(i));
end

fo r j * 2 :n-1 % puntos de fr o n ter a izq u ierd a y derecha

i= l;A (i+ (j-1)*m .i+(j-1)*m )=l;b(i+(j-1)*m )=g3(y(j));
i»m;A< i + (j - 1 ) * m ,i + (j - 1 ) *m )»1; b ( i + (j - 1 ) * m ) - g 4 ( y ( j ) ) ;
end
v=A\b; % r esu e lv e para la so lu c ió n en etiq u etad o v
w = resh ap e(v(l:m n ),m ,n ); %traduce de v a w
raesh(x,y,w*)

Se utilizará la solución correcta u(x, y) = ln (jr + y2) para compararla con la aproximación
a los nueve puntos de la malla en el cuadrado. Como m = n = 5, los tamaños de malla son h =
k = 1/4.

La solución encuentra los siguientes nueve valores interiores para u:

u>24 = 1.1390 u>34 = 1.1974 UM4 = 1.2878

u>23 = 0 .8 3 7 6 = 0.9159 u>43 = 1.0341

u>22 = 0-4847 u>32 = 0.5944 u>42 = 0.7539

La solución aproximada w¡j se representa en la figura 8.13(a). Ésta se compara con la solución
exacta uCr. y) " InOr2 + y2) en los mismos puntos:

8 3 Ecuaciones elípticas | 403

« ( i , J ) = 1.1394 u ( l \ ) = 1.1977 « (J . J) = 1.2879
M( J , $ ) = 0.8383 « (}, J ) = 0.9163 m( | . f ) = 1.0341
« ( j , 5) = 0.4855 m( j , j ) = 0.594*7 u (J , J ) = 0.7538

Dudo que se usaron fónnulas de diferencias finitas de segundo orden, el error del método de
diferencias finitas p o io o o n . mes de segundo orden en h y k. La figura 8.!3(b) muestra una solu­
ción aproximada más precisa, para h = k = 0.1. El código de M a t l a b p o is s o n .ra c s tá escrito
para un dominio rectangular, pero es posible cambiarlo para abarcar dominios más generales. <

Corno ejemplo adicional, se utiliza la ecuación de Laplace para calcular un potencial.

►EJEMPLO 8 .9 Encuentre el potencial electrostático en el cuadrado [0. 1J x [0. 1]. suponiendo que no hay carga en
el interior y asumiendo las condiciones siguientes:

m(jt,0) = senjrx
u(x. 1) = s e n ;r x
»/(0. > 0 = 0
ud.jK) = 0 .

El potencial u satisface la ecuación de Laplace con condiciones de frontera de Dirichlet. Si se

usa la malla de tamaño h a k a 0 . l , o M N = 10 en p o is s o n .m, se obtiene la gráfica mostrada

en la figura 8.14. <

Com probadón / __

m ferealidad Q D is tr ib u c ió n d e l c a lo r e n u n a a le t a d e e n f ria m ie n t o

Los disipadores de calor se utilizan para alejar el exceso de calor del punto donde se genera. En
este proyecto se modela la distribución de un sistema cenado a lo largo de una aleta rectangular
de un disipador de calor. La energía térmica entra a la aleta a lo largo de uno de sus lados. El ob ­
jetivo principal es diseñar las dimensiones de la aleta para mantener la temperatura dentro de las
tolerancias de seguridad.

La forma de la aleta es una placa rectangular delgada, con dimensiones £* x ¿y y ancho de
ó cm. donde Ócs relativamente pequeño. Debido a lo delgado de la placa, se indicará la temperatura
mediante u(x. y) y se considerará que es constante a través del ancho de la placa.

El calor se mueve de las siguientes tres maneras: por conducción, por convección y por ra­
diación. La conducción se refiere a la transmisión de energía entre las moléculas vecinas, tal vez

404 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

debido al movimiento de electrones, mientras que en la convección las moléculas son las que se
mueven. La radiación, el movimiento de la energía a través de fotones, no se considerará aquí.

La conducción se presenta a través de un material conductor de acuerdo con la primera ley de
Rjurier

q = —K A V u , (8.41)

donde q es la energíacalorífica por unidad de tiempo (medida en watts), A es elárea de la sección
transversal del materialy Vu es el gradiente de la temperatura La constante K se llama la conduc­
tividad térm ica del material. La convección se rige por la ley de enfriamiento de Newton.

q = - H A ( u — Ub). (8.42)

donde H es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de transferencia convectiva
del calor y ub es la temperatura ambiente, o tem peratura g lo b a l del fluido circundante (en este
caso. aire).

l a aleta es un rectángulo [0, Lx] x (0, JL] por 6 cm en la dirección z, como se ¡1ustra en la figura
8.15(a). El equilibrio de energía en una caja interior típica de la aleta de Ax x Ay x ó, alineada a
lo largo de los ejes x y y, dice que la energía que entra en la caja por unidad de tiempo es igual a la
energía que sale. El flujo de calor en la caja a través de los dos lados de Ay x Óy los dos lados de
Ax x ó es por conducción, y a través de los dos lados de Ax x Ay es por convección, de donde se
obtiene la ecuación de estado estacionario

—K A y 8 u x(x, y ) + K A y 8 u x(x + A x .y ) - K A x 8 u y (x, y) (8.43)
+ K A x8uy(x, y + A y) — 2H A xA yu(x,y) = 0 .

Aquí, por conveniencia se ha establecido la temperatura global ub = 0, por lo que u indicará la
diferencia entre la temperatura de la aleta y el entorno.

Al dividir entre AxAy se obtiene

K suA* + A x .y )-u ,< x .y ) K t» # . y + A ,) - =
Ax Ay

y e n el límite cuando Ax. Ay - * 0 , resulta la ecuación diferencial parcial elíptica. (8.44)
2H

Uxx +Uyy - — u

resulta.

F-iwrjjía

(a) (b>

Figura 8 .1 5 A I« ta < te *n fria m l« n to d a la com probación « n ía re a lid a d i . (a) La entrada de energía se
produce a lo largo d e l Intervalo (0 ,/ J e n e l lado Izquierdo d e la aleta, (b) la transferencia d e energía en la
pequeAacaJa In tw lo re t po r conduce 16n a lo largo d e las direcciones x y yp o c convección a lo largo de
la Interfaz aerea.

8 3 Ecuaciones elípticas | 405

Argumentos similares implican la condición de frontera convectiva

^ “ normal — H U

donde unurmal es la derivada parcial respecto a la dirección normal ñ hacia afuera. La condición
de frontera convectiva que se conoce como una condición de frontera de Robín, la cual involucra
tanto el valor de la función como el de su derivada. Por último, se supondré que la energía entra en
la aleta a lo largo de un lado de acuerdo a la ley Fourier,

P

“ normal — L S K '

donde P e s la energía total y ¿ e s la longitud de la entrada.
Rn una malla discreta con tamaños de paso h y k, respectivamente, puede utilizarse el método

de las diferencias finitas (5.8) para aproximar la EDP (8.44) como

u t + i j - 2 uij + u t - i j u ij +i - 2utj + u i j - i 2H

h2 k2 K S UiJ’

Esta discretización se usa para los puntos interiores (x/, yj), donde 1 < i < m, I < j < n para
los números enteros m y n. Los bordes de la aleta obedecen las condiciones de Robin empleando
la aproximación a la primera derivada

0(Hh/ < *> = - 3/ ( * > + < / ( * + » > - / ( * + 2» +

2h

Rira aplicar esta aproximación a los bordes de la aleta, tenga en cuenta que la dirección normal
hacia afuera se traduce

“ normal = —“ vcn ^ borde inferior
“ normal = “ y ^ borde superior
“ normal “ ~ “j cn el borde izquierdo
“ normal “ ux en d borde derecho

Además, observe que la anterior aproximación de segundo orden a la primera derivada produce

-3m(x,>') + 4 u (x .y + k) - u ( x ,y + 2k) IL J . f .
u v a s ----------------------------—-------------------------- o t el borde infenor
r 2k

-7>u(x,y) + 4 u ( x , y - k ) - u ( x ,y - 2 Á )
uy as— en el borde superior
-

-3u(x,y) + 4 u (x + h .y )-u (x + 2h,y) . . . . .
u x a s ------------------------------ — -----------------------------en e l borde izquierdo

- 3 u ( x , y ) + 4u(x - h. y ) - u(x - 2 h ,y ) tn el borde derecho
ux a s ---------------------------- —

Igualando ambas ecuaciones, la condición de frontera de Robin conduce a las ecuaciones en dife­
rencias

-—--3--«--j-|--+-- —47«¿2 ~ “ ¿3 = ——H U/i en e,l. bord.e. in, fe.rior

Zk K

-3 « /« + 4i// H ...
----------------- — = —— Uin en el bo rd e su p erio r

Zk K

■-3 tf|/ ..+ .f r 2/ — Ü2¿ — .en el borde izquierdo
2h K

-7 > u m) + - um_ 2. y H .... .
-------- ------------------ - — —— umj en el borde derecho.
2/i K

406 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Si se supone que la energía entra por el lado izquierdo de la aleta, la ley de Fburier conduce a la
ecuación

-3nj +4 n j - n j _P_ K}
2h L&K

Hay mn ecuaciones con mn incógnitas u¿;, I S / S m , l S j S n , p o r resolver.
Suponga que la aleta está compuesta de aluminio, cuya conductividad térmica es K = 1.68

W/cm °C (watts por centímetro-grado Celsius). Suponga que el coeficiente de transferencia con­
vectiva de calor es H = 0.005 W /ctn2 °C. y que la temperatura ambiente es ub = 20 °C.

Actividades sugeridas

1. Comience con una aleta con dimensiones d e 2 x 2 c m y u n espesor de I mm. Suponga que entran
5 W de potencia a lo largo de todo el borde izquierdo, como si la aleta se adjuntara para disipar la
energía de un chip de CPU con longitud L - 2 cm por lado. Resuelva la EDP (8.44) con M - N
= 10 pasos de las direcciones x y y. Utilice el comando meoh para grañear la distribución de calor
resultante sobre el plano xy. ¿Cuál es la temperatura máxima de la aleta en °C?

2. Aumente el tamaño de la aleta hasta 4 x 4 cm. La entrada es de 5W de energía a lo largo del in­
tervalo [0,2] en el lado izquierdo de la aleta, como en el paso anterior. Grafique la distribución re­
sultante y encuentre la temperatura máxima. Experimente con valores elevados de M y N. ¿Cuánto
cambia la solución?

3. Encuentre la energía máxima que puede disipar una aleta de 4 x 4 cm. manteniendo la temperatu­
ra máxima por debajo de 80 °C. Suponga que la temperatura de global es 20 °C y la energía entra
a lo largo de 2 cm. como en los pasos 1y 2.

4. Reemplace la aleta de aluminio por una aleta de cobre, con una conductividad térmica K ■» 3.85
W/cm °C. Encuentre la energía máxima que puede disipar una aleta de 4 x 4 cm, con la entrada
de energía de 2 cm colocada en forma óptima, mientras se mantiene la temperatura máxima por
debajo de 80 °C.

5. Grafique la energía máxima que puede disiparse en el paso 4 (manteniendo la temperatura máxi­
ma por debajo de 80 grados) como una función de la conductividad térmica, para 1 s K S 5 W/
cm °C.

6. Vuelva a realizar el paso 4 para una aleta de agua congelada. Suponga que el agua tiene un coefi­
ciente de transferencia convectiva del calor de H ■* 0.1 W/cm2 UC, y que la temperatura ambiente
del agua se mantiene en 20 °C.

7. Haga un corte rectangular del lado derecho de la aleta y rehaga el paso 4. ¿La aleta recortada
disipa más o menos potencia que la original?

H diseño de las aletas de enfriamiento para computadoras portátiles y de escritorio es un
problema de ingeniería fascinante. Para disipar cantidades cada vez mayores de calor, se requieren
varias aletas en un espacio pequeño y se utilizan ventiladores para mejorar la convección cerca
de los bordes de las aletas. La adición de ventiladores en la complicad» geometría de las aletas
desplaza la simulación al dominio de la dinámica computacional de Huidos, un área vital de las
matemáticas aplicadas modernas.

8 .3 .2 Método del elem ento finito para ecuaciones elípticas

Un enfoque de alguna manera más flexible para la resolución de ecuaciones diferenciales parcia­
les surgió de la oomunidad de la ingenieria estructural a mediados del siglo xx. El método del
elemento finito conviene la ecuación diferencial en una equivalente variacional llamada la forma
débil de la ecuación, y utiliza la poderosa idea de la ortogonalidad en los espacios de las funciones
para estabilizar sus cálculos. Además, el sistema de ecuaciones lineales resultante puede tener una
simetría considerable en su matriz de estructura, incluso si la geometría subyacente es complicada.

8 3 Ecuaciones elípticas | 407

Se aplicarán los elementos finitos utilizando el método de Galerkin, como se introdujo en el
capítulo 7 para los problemas de ecuadones diferendales ordinarias de valores en la frontera. El
método para las EDP sigue los mismos pasos, aunque los requisitos de conteo son más extensos.
Considere el problema de Dirichlet para la ecuación elíptica

A u + r ( x , y ) u = f ( x , y ) en R

u = g [ x ,y ) sobreS (8.46)

donde la solución u{x, y) se define sobre una región R en un plano limitado por una curva cerrada
S uniforme por partes.

Se utilizará un espacio íundonal L2en la región R, oomo en el capítulo 7. Sea

L 2(R) = | funciones <p(x, y ) sobre R I / / . * " , y ) 2 dx d y existe y es finita J .

Se designa por (R) el subespado de lr(R) que consta de las fundones que son cero en la frontera S
de la región R.

El objetivo será disminuir al mínimo el error cuadrático de la ecuadón elíptica en (8.46) al
forzar el residuo A u (x , .y) + r(x, y )u (x . y ) — f ( x , y ) a ser ortogonal a un subcspacio grande de
LM.R). Sean ip^x, y ) , . . . , <pp(x, y) elementos de Lr(R). El supuesto de ortogonalidad toma la forma

(A u + ru — J~)4p d x d y = 0.

II.

J J J J(A u + ru)4>p d x d y = f<f>p d x d y (8.47)

para cada 1 s p s /*, La forma (8.47) se llama la form a débil de la ecuación elíptica (8.46).

La versión de la integración por partes necesaria para aplicar el método de Galerkin está con­
tenida en el siguiente hecho:

TEOREMA 8.7 IV im era identidad de G reen. Sea R una región acotada con la frontera S uniforme por partes.
Sean u y v fundones suaves, y sea n la normal unitaria hacia afuera a lo largo de la frontera. Enton­
ces

La derivada direcdonal puede calcularse como
du
— = Vu • (nx , n y).
dn

donde (rij, ny) indica el vector unitario normal hada afuera en la frontera S de R. Al aplicar la iden­
tidad de Green a la forma débil (8.47) se obtiene

j -J J <t>p) J J J J<¡>p^dS
(Vu • V dx dy + ru<pP d x d y = f<pp dxdy. (8.48)

La esencia del método del elemento finito es sustituir (x, y ) (8.49)
p

u»(x, y ) =
?=i

408 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

por u en la forma débil de la ecuación diferencial parcial, y después determinar las constantes des­
conocidas vg. Suponga por el momento que 4>p pertenece a l^(R ), es decir, <pp(S) = 0. Al sustituir
la forma (8.49) en (8.48) resulta

) • V<f>p dx d y + ><pp dxdy dxdy
4=1 / -II

para cada <pp en L&(R). Si se factorizan las constantes vqse obtiene

p • V<t>p d x d y - J ^ r<pq4>p dxdyj = - f<f>pdxdy. (8.50)

¿ vg [^ / J ^

fóra cada <ppperteneciente a L&(R), se ha desarrollado una ecuación lineal con las incógnitas u,........v^.
Fji forma matricial, la ecuación es Au = b, donde las entradas de la p-ésima fila de A y b son

V*v v<*VAn J jR f fK= (8.51)
' dxdy ~ r^d>P dxdy

(8.52)

Ahora se tiene la posibilidad de elegir funciones explícitas para los elementos finitos <pp y
planificar un cálculo. Se seguirá el ejemplo del capítulo 7 en la elección de splines lineales en B.
funciones lineales por partes de x, y representados por triángulos en el plano. De manera más
específica, considere que la región R es un rectángulo y forme una triangulación con los nodos
(x¡, yji obtenidos de una m alla rectangular. Se volverá a utilizar la malla de M x N d c la sección
anterior, que se muestra cn la figura 8.16(a), donde se estableció m = M + l y n = A f + 1. Al
igual que antes, se indicará el tamaño de paso de la malla cn las direcciones x y y como h y k,
respectivamente. En la figura 8.16(b) se muestra la triangulación de la región rectangular que va
a utilizarse.

■■■..—

Hai“ '2 Ml>,<*i2

—U— W

—

Rgura 8.16 So lu d ó n por elem entos finitos do la ocuadón d íp tica con condidonos do frontora do
DirichloM a) La malLa es la misma que se utllnó para el método por diferencias finitas, (b) Una triangulación
posible de la región. Cada punto Interior es un vértice de seis triángulos diferentes.

8 3 Ecuaciones elípticas | 409

La elección de las funciones de elemento finito a partir de L2(R) serán las P = mn funcio­

nes lineales por partes, cada una de las cuales toma el valor I cn un punto de la malla de la figura

8.16(a)yceroenlasotrosm n - 1 puntos de la misma. En otras palabras, 0 , , . . . , se determinan

mediante la igualdad (x¡,y¡) " 1 y j)OT(x,-, y^) * 0 para todos los demás puntos de

la malla (x yy), siempre que sean lineales en cada triángulo de la figura 8.16(b). Una vez más,

se está usando el sistema de numeración de la tabla 8.1 en la página 400. Cada <pp(x, y) es diferen­

c ia r e . excepto a lo laigo de los bordes del triángulo y, por lo tanto, es una función integrable de

Ricmann que pertenece a L2(R). Tenga cn cuenta que cada punto que no está en la frontera (x¡, y¿)

del rectángulo R, ft+ y -j pertenece a Lq(R). Aún más, debido al supuesto (8.49), satisfacen

mn

/ = l J=\

para / = 1, = 1 ,... ,/». Por lo tanto, la aproximación w a la solución conecta uen(x¡,Vj)

estarán directamente disponibles una vez que se resuelva el sistema Av = b. Esta conveniencia es

la razón por la que las splines en B se eligen como funciones de los elementos finitos.

Quedan por calcular las entradas de la matriz (8.51) y (8.52) y resolver Av = b. Para calcular

estas entradas, se recopilan algunos datos sobre las splines en B cn el plano. Las integrales de las

funciones lineales por partes se aproximan con facilidad por la regla del punto medio bidimensio-

nal. Defina el baricentro de una región en el plano como el punto (x , y) donde

x = S S rX dxdy = f j Ry dxdy
f f R \dxdy' ' f f R \dxdy'

Si R es un triángulo con vértices (xt, ), y 2 ), (xj, y$), entonces el baricentro es (vea el ejerci­
cio 8 )

_ X1+X2+X3 - _ y i + J 2 + yj

x_ 3 %y ~ 3

LEMA 8 . 8 El valor medio de una función lineal L{x, y) cn una región plana R es L(x, y), el valor cn el bari­

centro. En otras palabras, f f R l A x . y ) dx dy = L(x, y) • área (/?). ■

Demostración. Sea /.(*. y) “ a + bx + cy. Entonces

j J J JL{x, y) dxdy = (a + bx + cy) dxdy

J J j j j J= a
dxdy + b x dxdy -f c y dxdy

= área (R) • (a + bx + cy).

n

El lema 8 . 8 conduce a una generalización de la regla del punto medio del capítulo 5 que es
útil para aproximar las entradas de (8.51) y (8.52). El teorema de Taylor para funciones de dos
variables, dice que

f ( x , y ) = /(x .y ) -t- ^ ( x . y)(x —x) + ^ ( x ,y ) ( y - y)
dx dy

+ 0 ( ( x - x)2. (x - x ) ( y - y), (y - y)2)
= ¿(x, y) + 0((x - x)2. (x - x)(y - y), (y - y)2).

410 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Por lo tanto,

J j j 0((x- (x - (y-J f ( x , y) dxdy = J L ( x , y ) d x d y + J
x )2. x ) ( y - y), y ) 2) dxdy

= área (/?) • L Q c .y ) + 0 ( h A) = área (/?) • / ( x . y ) + 0 ( h \

donde h es el diám etro de R, la distancia más grande entre dos puntos de R, y donde se ha usado
el l>ema 8.8. Ésta es la regla del punto medio en dos dimensiones.

Regla del punto medio en dos dimensiones

/ ( x . y ) dxdy = área (/?) • f ( x ~ y ) + 0 ( h \ (8.53)

//.

donde (x, y) es el baricentro de la región acotada R y h = diám(/?).

La regla del punto medio indica que para aplicar el método del elemento finito con convergen­
cia 0 (h 2), sólo es necesario aproximar las integrales en (8.51) y (8.52) mediante la evaluación de
los integrandos en los baricentros triangulares. Para las funciones spline en B <pp,es particularmen­
te fácil. Las pruebas de los próximos dos lemas se dejan para los ejercidos 9 y 10.

LEMA 8.9 Sea 0(x, y) una fundón lineal sobre el triángulo T con vértices (xt , y ¡), (x2, >*2 ). (*3 , ^ 3 ). que satis­

facen ^ (x ,. y,) = 1, 0(x2,y 2) = 0 y ♦<***!> = ° - Entonces, 0 (x , y) = 1/3. ■

LEMA 8.10 Sean 0 ,(x,y) y 0 2 (x,y)las funciones lineales sobre el triángulo Tcon vértices (X|, y,), ( x ^ y ^ y (x3,
y3 ), que satisfacen 0 i( x j,y i) = 1 . 0 i(x2,>^) = 0, 0 i(x3 ,y 3 ) = 0 , ¿ j U i . y i) = 0 , 0 2 (X2 ,.V2 ) = 1 ,
y 0 2 (x3, >*3 ) “ 0. S ea/(x , y) una fundón dos veces diferendable. Establezca

d —det 1I 1

X| x 2 x 3

y\ y i y*

Entonces
(a) el triángulo Ttiene un área de \<^/2

(b) =

. . . , . (X2 - x3)2 + 0 2 - y*)2
(0 / f r v 0 1 • v 0i dxdy = ------- 2\d\

ys){yi- ys)(d) / f T V0i • V0 2 dx dy = -(XI - X3)(X2 - X3) - (yi -
2\d\
(e) f Í T / 0 1 0 2 dxdy = f ( x , y )|d |/1 8 + ü ( h 4) = / f T / 0 2 dxdy
(0 f f r f<P\ dxdy = /( x . y)\d\/6 + 0 ( h A)

donde (x, y) es d baricentro de T y h = diám( 7). ■

Ahora es posible calcular las entradas matridales de A. Considere un vértice (x,,y¿)que no está

en la frontera S del rcdángulo. Entonces 0J+(j_ |)jn pertenece a Lfi(R) y de acuerdo con (8.51) con

p = q = i + {j — \)m, la entrada matricial se compone de dos integrales. Los

integrandos son cero fuera de los s d s triángulos mostrados en la figura 8.17.

8 3 Ecuaciones elípticas | 411

R g u ra 8 .1 7 D etall* cM punto Interior (j.j) de la figura 8 .1 6(b).Cada punto Interior (x*yjestá rodeado por

sets triángulos, numerados como se muestra. La función spline en es lineal toma el valor 1 en el

centro y es cero fuera de estos sets triángulos.

Los triángulos tienen los lados horizontal y vertical h y k, respectivamente. Para la primera integral,
la suma desde el triángulo 1 hasta el triángulo 6, respectivamente, puede usarse el lema 8 .10(c) para
incluir las seis contribuciones

k2 h 2 h 2 + & k2 h2 h2 + k2 l( h 2 + k 2) (8.54)

2hk + 2hk + 2hk + r r r + 2h k + 2hk ~ hk

Rjra la segunda integral de (8.51) se utiliza el lema 8.10(c). De nuevo, las integrales son cero ex­
cepto para los seis triángulos mostrados. Los baricentros de los seis triángulos son

(8.55)

La segunda integral contribuye con —(A fc/18)[r(£|) + r( B i) + r(B ^) + r(/?4) + r(B*,) + r ( 5 h)],
por lo que al sumar (8.54) y (8.55),

- — [/-(^i) + r (B 2) + r(B\) (8.56)
+r{B4) + r(Bs) + r(B(,)).

Un uso similar del lema 8.10 (vea el ejercicio 12) muestra que

412 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

'4/+ t/-i)*u+./« = “ j* “ + (8.57)

Para calcular las entradas bp se usa el leina 8.10(0. lo que implica que para p = i — {j — \)m,

hk (8.58)
bi+ u - i)m = - — [ / ( * , ) + f ( B 2) + f ( B ) ) + / < * 4) + f ( B s ) + /(* ft)].

Para las funciones de elemento finito cn la frontera. <P,+<j - d„ no pertenecen a L$(R), y las ecua­
ciones

h+ (j-\)m= gixi,yj) (8.59)

se utilizará para garantizar la condición de contorno Dirichlet = S(xr ><)• donde (x¿*yj) es
un punto en la frontera.

Con estas fórmulas, es sencillo de construir una aplicación en M a t l a b del método de elem en­

to finito sobre un rectángulo con las condiciones de contorno de Dirichlet. El programa consiste en

crear la matriz A y el vector b usando (8.56) a (8.59), para después resolver Av = b. Aunque en el

código de M a t l a b se utiliza la operación de barra invertida, para las aplicaciones reales ésta podría
sustituirse por un método disperso como cn el capítulo 2.

% Pr ogr ama 8 . 6 S o l u c i o n a d o r de e l e m e n t o f i n i t o p a r a 3DP en 2D

% c o n c o n d i c i o n e s de f r o n t e r a de D i r i c h l e t en un r e c t á n g u l o

% E n t r a d a : r e c t á n g u l o de d o m i n i o [ x l , x r ] x [ y b , y t ] c o n MxN p a s o s de espacio
inferior
% Salida: matriz w que contiene lo s valores de la solución

% Uso de ejemplo: w=poissonfera(0,1 ,1 ,2 ,4 ,4 )

function w=pois8onfem(xl,xr,yb,yt,M,N)

£-®(x,y) 0; % d e fin e los datos de la función de entrada
r=© ( x , y ) 0;

g l « ® ( x ) l o g ( x . * 2 + l ) ; % d e f in e lo s v a lo res de fro n te ra en parte

g2=®(x) log(x.~2+4); % superior

g3=®(y) 2 * lo g (y ); % lado izquierdo

g4-®(y) l o g ( y .'‘2+1); % lado derecho

m=M+l; n = N + l ; mn=m*n;

h »(x r-x l)/ M ; h2»h~2; k*(yt-yb)/N ; k2=k"2; hk»h«k;

x=xl+(0:M )*h; % establece valores de malla

y=yb+(0:N) *k;

A-zeros(mn,mn); b-zeroo(mn,1);

f o r i = 2 :m-l % puntos in fe r io r e s

f o r j = 2 : n-1

roum -r(x(i)-2*h/3,y(j)-k / 3 )+ r(x (i)-h / 3 .y (j)-2 *k / 3 )...

+r(x(i)+h /3,y( j)-k / 3 );

rsum-rsum+r(x(i)+2*h/3,y( j ) +k/3) + r ( x ( i)+ h / 3 ,y ( j )+ 2 * k / 3 ). . .

+r(x(i)-h/3,y(j)+k/3);

A ( i + (j - 1 )*m ,i+ (j-1 )*m )= 2 *(h2+k2)/ (hk)-hk*rsum/18;

A ( i + (j - 1 )* m ,i-1+(j - 1)*m )«-k/h -h k*(r(x(i)-h /3,y(j ) +k/3)...

+ r(x(i)-2 *h / 3 ,y(j)-k/3))/18;

A (i+ (j-l)* m ,i-l+ (j-2 )* m ) =-hk*(r(x(i)-2*h/3, y (j)-k / 3 )...

♦ r ( x ( i ) -h/3, y ( j ) - 2 * k / 3 ) ) /18;

A (i+ (j- l)* m ,i + (j-2)*m )=-h/k-hk*(r(x(i) -h/3,y(j ) -2*k/3)...

♦ r ( x (i ) ♦ h / S . y ( j)- k / 3 ) ) /18;

A ( i + ( j - l ) * m , i + l + ( j - l ) #t n ) * - k / h - h k * ( r ( x ( i ) + h / 3 , y ( j ) - k / 3 ) . . .

+ r ( x ( i ) +2*h/3,y (j ) +k/3))/18;

8 3 Ecuaciones elípticas | 413

A (i+ (j-l)* tn ,i+ l+ j* m ) =-hk* ( r ( x ( i ) + 2 * h / 3 , y (j)+ k /3 ) . . .
♦ r (x (i)+ h /3 ,y (j ) +2*k /3))/18;

A (i+ (j-1)*ra,i+ j«m )= -h /k -h k *(r(x(i) + h /3 ,y (j ) + 2*k /3). . .
+ r(x(i)-h/3,y(j)+k /3))/18;

fo u m -f< x ( i) - 2 * h /3 ,y ( j ) - k /3 ) + f ( x ( i) - h /3 ,y (j ) - 2 * k / 3 ) . . .
+ f ( x ( i ) + h / 3 , y ( j ) - k / 3 >;

foum-fsum+f (x ( i) +2*h/3 ,y ( j ) +k/3) +f (x (i) -fh/3, y (j >+2*k/3) . ..
+f(x (i)-h /3 .y < j)+ k /3 );

b (i + (j -1 )*m)=-h*k*fsum/6;
end
end
for i=l:m % puncos de frontera

j»l;A (i+(j-l)*tn,i+(j-l)*m )«l;b(i+(j-l)*m )-gl (x(i)) ;
j= n ;A (i+ (j - 1 ) * m ,i+ (j - 1 ) *m)=1 ;b ( i + (j - 1 ) * m )= g 2 (x (i));
end
for j*2:n-l
i » l ; A ( i + ( j - l ) * n » , i + ( j - l ) * r a ) « l ; b ( i + ( j - 1 ) * r a ) = g 3 ( y <j ) ) ;
i - m ; A ( i + ( j - l ) * m r i + ( j - l ) * m ) - l ; b ( i + ( j - l ) * i n ) - g 4 ( y <j ) ) ;
end
v=A\b; I r e s u e lv e para l a s o lu c ió n en e tiq u e ta d o v
w-reshape(v(l:m n),m ,n);
raesh(x,y,w*)

►EJEMPLO 8 .1 0 Aplique el método del elemento finito con M = N = 4 para aproximar la solución de la ecuación
de Laplace Au = 0 en [0,1 ] x [ 1,2] con las condiciones de frontera de Dirichlct:

u(x, I) = ln(x2 + 1 )
u(x,2) = ln(x2 + 4)
u(0 ,y ) = 2 1 n y
u(l,y) ^ ( y 2 + 1)

Como M = N ■« 4. hay un sistema lineal de mn x mn por resolver. Dieciséis de las 25 ecuaciones
son la evaluación de las condiciones de frontera. Al resolver Au - b se obtiene

u>2 4 = 1.1390 u* 4 = 1.1974 U144 = 1.2878
u>23 = 0.8376 u>33 = 0.9159 1U4 3 = 1.0341
W22 = 0.4847 u>32 = 0.5944 UM2 = 0.7539

de acuerdo con los resultados del ejemplo 8.8. <

►EJEMPLO 8.11 Aplique el método del elemento finito con M = N = 16 para aproximar la solución del problema
elíptico de Dirichlet

Au + 4 tt2u = 2scn271y
u(x,0) = 0 p ara 0 < x < 1
u ( x , 1) = 0 para 0 < x < 1
u(0.y) = 0 para 0 < y < 1
u(1, y) = sen2jry para 0 < y < 1

Se define i{x, y) = 4 ; r y / ( x, y) = 2sen2ny. Como m = n = 17, la malla es de 17 x 17, lo que

significa que la matriz A es de 289 x 289. La solución se calcula dentro de un error máximo

de aproximadamente 0.023, en comparación con la solución correcta u(x. y) —x2sen2;ry. La solu­

ción aproximada w se muestra en la figura 8.18. <

414 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Figura 8.18 S o lu d ó n da «tam anto finito para ai «Jampto8 .1 1 . El error máximo en (0,1] x [0 ,1] es 0.023.

8.3 Ejercicios

1. Demuestre que u(x, y) “ Infx2 + y2) es una solución a la ecuación de Laplace con las condiciones
de frontera de Dirichlct del ejemplo 8.8.

2. Demuestre que (a) u(x, y) = x*y - 1/3 y3 y (b) w(x, y) = 1/6 x4 - ¿ y 1 + 1/6 y* son funciones
armónicas.

3. Demuestre que las funciones (a) u(x, y) = e~* vscrorx, (b) u(x.y) = senh ;rxscn n y son soluciones
de la ecuación de Laplace con las condiciones de frontera indicadas:

u(x,0) = sentrx para0 < x < 1 u(x, 0) = 0 para 0 < x < 1

u(x, 1) = e _ -T sen ttx para 0 < x < 1 u(x, I) = 0 para 0 < x < 1
(a) (b)
u(0. y) = 0 para 0 < y < 1 u(0. y) = 0 para 0 < y < 1

u(l.>') = 0 paraO < y < 1 u(l ,y ) —senh n sen 7xy paraO < y < 1

4. Demuestre que las funciones (a) u(x, y) =■ e *?, (b) u(x, y) *= (x2 + y 2>'/2 son soluciones de la
ecuación de Poisson especificada con las condiciones de frontera dadas:

Au = e ~ * v(x2 + y 2) Au = 9yjx>1+ y2

u(x.0) = 1para0 < x < I u(x, 0) = x 3 para 0 < x < 1

(a) u(x, 1) = e~x para 0 < x < I (b) u(x, 1) = (1 + x 2)3^2 para 0 < x < 1

u(0, y) = 1 para 0 < y < 1 u(0, y) —y3 para 0 < y < 1

u( 1, y) = e~y para 0 < y < 1 u (l,y ) = (l + y2)372 para 0 < y < I

5. Demuestre que las funciones de (a) u(x, y) “ sen j Ary, (b) u (x.y) = e xy son soluciones de la
ecuación elíptica especificada con las condiciones de frontera de Dirichlct dadas:

Au + t? ( x 2 + y2)!/ = 0 Au = (x2 + y*)u

u(x,0) = 0 para0< x < 1 i/(x,0) = 1 para 0 < x

(a) u(x, l) = sen^x paraO < x < 1 (b) i/(x, 1) = e x para 0 < .

u(0, y) = 0 para 0 < y < I u(0, y) = 1 para 0 < _>

i/(l,y) = senfyparaO < y < 1 i/(l,y ) = e y paraO <

6. Demuestre que las funciones (a) i/(x, y) = e*+2y, (b) u(x, y) = y/x son soluciones de la ecuación
elíptica especificada con las condiciones de frontera de Dirichlet dadas:

8 3 Ecuaciones elípticas | 415

UVA . Y / f — C p a ja ^A^ 1 a 2u
A“ = ?
(a) u (x, I) = e t + 2 paraO < x < 1 u(x, 0) = 0 para 1 < x < 2

u(0 , y) = tr> para 0 < y < 1 u(x, 1) — l/ x para 1 < x < 2

1/ ( 1 , y) = e2 ^ 1 para 0 < y < w (l.y) —y para 0 < y < I

i/(2 , y) —y/ 2 para 0 < y < 1

7. Demuestre que las funciones (a) u(x, y) = x2 + y2, (b) u(x. y) = y 2/x son soludones de la ccuadón
elíptica especificada con las condiciones de frontera de Dirichlel dadas:

Au + x2 + y2 =5 AA l/----~-Ur =
XA2 X

i/(x, 1) = x 2 + 1 para1< x < 2 u(x,0 ) = 0 para 1 < x < 2

(a) u(x. 2) = x 2 + 4 para1< x < 2 (b) u(x. 2 ) — 4 /x para I < x < 2

i/(l.y ) = y2 + 1 para1< y < 2 u(l.y) = y2 para 0 < y < 2

u(2.y) = y2 + 4 paraI < y < 2 i/ ( 2 . y) —y2 /2 para 0 < y < 2

8 . Demuestre que el baricentro de un triángulo con vértices (x¡, y¡), (x2, y2), (Xj, >'3 ) es
x = (xi + X2 + X3)/ 3, y = ( yi + y» + y j ) / 3 .

9. Demuestre el lema 8.9.

10. Demuestre el lema 8 .10.

11. Obtenga las coordenadas del baricentro de (8.55).

12. Obtenga las entradas de la matriz en (8.57).

13. Demuestre que la ecuación de laplace AT = 0 sobre elrectángulo (0./.] x [0, H] con las condi­
ciones de frontera de Dirichlet T = T0 en los treslados x = 0. x = L y y = 0. así como T = T, en
d lado y ■ //. tiene la solución

donde tf (/x . y)\ = 7tb +. V> 'Cr k sen(2Ar + I)ttx senh(2 * + -l-)--7-ry-

*=0

4 ( n - r 0)

Ck =

Qk + I)tt senh-g- -y - " ‘

8.3 Pro b lem as de com putadora

1. Resuelva los problemas de la ecuación de Laplace del ejercicio 3 en 0 < x ^ I . O á y S 1 me­
diante el método de las diferencias finitas con h = * = 0.1. Utilice el comando mesh de M a it.a b
para graficar la solución.

2. Resuelva los problemas de la ecuación de Poisson del ejercicio 4 en 0 s x ^ l . O ^ y ^ 1 median­
te el método de las diferencias finitas con h = A: =» 0.1. Grafique la solución.

3. Utilice el método de las diferencias finitas con h - * - 0.1 para aproximar el potencial electrostá­
tico en el cuadrado 0 S x . y S l a partir de la ecuación de I-aplace con las condiciones de frontera
especificadas. Grafique la solución.

u ( x .0 ) — 0 para 0 < x < 1 u(x, 0) = sen^x para 0 < x < I

u(x. 1) = sen7rx paraO < x < I u(x, 1 ) - eos í x para 0 < x < 1
(a) (b)
t/(0 , y) = 0 para 0 < y < 1 t/(0 , y) = sin 5 y para 0 < y < 1

i/(l,y ) = 0 paraO < y < 1 u(l,y) = c o s|y p a ra 0 < y < 1

416 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

4. Use el método de las diferencias finitas con h = k ■ 0.1 para aproximar el potencial electrostático
en el cuadro 0 < x .y < I de la ecuación de I.aplace con las condiciones de contomo especificadas.
Grafique la solución.

u(x. 0) = 0 para 0 < * < 1 u ( x . 0) = 0 para 0 < x < 1
u(x. I) = x 3 para 0 < * < 1 u(x. 1) = x sen para 0 < x < 1
u(0, y) = 0 para 0 < y < 1 u(0, y) = 0 para 0 < y < 1
u(l, y) = y 2 para 0 < y < 1 u (l,y) —yparaO < y < 1

5. La presión hidrostática puede expresarse como la carga hidráulica, definida como la altura u equi­
valente de una columna de agua que ejerce esa presión. En un depósito subterráneo, el flujo de
agua subterránea en ese sistema cerrado satisface la ecuación de Laplace Au = 0. Suponga que el
depósito tiene dimensiones de 2 km x 1 km, y las alturas de agua

u(x,0) = 0.01 para 0 < x < 2
u(x, 1) = 0.01 + 0.003* para 0 < * < 2
u(0, y) = 0.01 para 0 < y < 1
«( I . y) = 0.01 + 0.006>- para 0 < y < I

en la frontera del depósito, en kilómetros. Calcule la carga w( 1. 1/2) en el centro del depósito.

6. La temperatura u en el sistema cerrado de una placa de cobre calentado satisface la ecuación de
Poisson

donde D(x, y) es la densidad de la potencia en (x, y) y K es la conductividad térmica. Suponga
que la placa tiene la forma de un rectángulo de (0,4 j x (0, 2) cm cuya frontera se mantiene a una
temperatura constante de 30 °C. y que la potencia se genera a la razón constante D(x, y) = 5watts/
cm3. La conductividad térmica del cobre es K - 3.85 watts/cm °C. (a) Grafique la distribución de
la temperatura en la placa, (b) Encuentre la temperatura en el centro (jr, y) = (2, l).

7. Para las ecuaciones de Laplace del ejercicio 3. haga una tabla de la aproximación por diferencias
finitas y el error en (x, y) = (1/4.3/4) como una función de los tamaños de paso h = k = 2~f para
p=2,...,5.

8. Para las ecuaciones de Poisson del ejercicio 4, haga una tabla de la aproximación por diferencias
finitas y el error en (*, y) = (1/4,3/4) como una función de los tamaños de paso h = k = 2~r para
P = 2....... 5.

9. Resuelva los problemas de la ecuación de Laplace del ejercicio 3 en 0 ^ x ^ l , 0 s y <, 1 me­
diante el método del elemento finito con h = k = 0.1. Utilice el comando meah de M a tla b para
graficar la solución.

10. Resuelva los problemas de la ecuación de Poisson del ejercicio 4 e n 0 s * s l . O S y S 1 median­
te el método del elemento finito con h = k = 0.1. Grafique la solución.

11. Resuelva las ecuaciones diferenciales parciales elípticas del ejercicio 5 mediante el método del
elemento finito con h = k - 0.1. Grafique la solución.

12. Resuelva las ecuaciones diferenciales parciales elípticas del ejercicio 6 mediante el método del
demento finito con h ■ k m 1/16. Grafique la solución.

13. Resuelva las ecuaciones diferenciales parciales elípticas del ejercicio 7 mediante el método del
demento finito con / i » t = 1/16. Grafique la solución.

IL4 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 417

14. Resuelva las ecuaciones diferenciales parciales elípticas oon las condiciones de frontera de Diri-
chlct dadas. Utilice el método del elemento finito con h = k - 0.1. Grafique la solución.

A u + sen jrxy = (x~ + y*)u Au + (sen jixy)u = elxy

u(x,0) - 0 para 0 < x < 1 u(x, 0) = 0 para 0 < x < 1

(a) u(x, 1) = 0 para 0 < x < 1 (b) u(x, 1) = 0 para 0 < x < 1

u(0, y) = 0 para 0 < y < I u(0. y) = 0 para 0 < y < I

u( 1. y) = 0 para 0 < y < 1 u(l.y) = 0para0 < y < l

15. Para las ecuaciones elípticas del ejercicio 5. haga una tabla de la aproximación por elemento fi­
nito y el error en (x.y) = (1/4,3/4) como una función de los tamaños de paso h = k = 2 ~ p para

p = 2,... ,5.

16. Para las ecuaciones elípticas del ejercicio 6. haga una gráfica log-log del error máximo del método
del elemento finito como una función del tamaño de paso h - k - 2~P para p - 2.........6.

17. Para las ecuaciones elípticas del ejercicio 7,haga una gráfica log-log del error máximo del método
del elemento finito como una función del tamaño de paso h = k «=2 ~ p parap * 2.........6.

18. Resuelva la ecuación de Laplace con las condiciones de frontera de Dirichlet del ejercicio 13 en
[0, 1] x [0, 1), con T0 = 0 y 7", = 10. Utilice (a) una aproximación por diferencias finitas y (b) el
método del elemento finito. Haga gráficas log-log del error en sitios particulares del rectángulo
como una función de los tamaños de paso h ■ Je - 2~p para una p tan grande como sea posible.
Explique cualquier simplificación que haga para evaluarla solución correcta en esos sitios.

8 .4 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES N O LINEALES

En las secciones anteriores de este capítulo se han analizado las diferencias finitas y los elementos
finitos aplicados a F.DP lineales, ftira el caso no lineal, es necesario hacer un arreglo adicional para
que los métodos anteriores resulten apropiados.

De manera concreta, se hará énfasis en el método implícito de las diferencias hacia atrás de
la sección 8.1 y su aplicación a ecuaciones de difusión no lineal. Los cambios similares realizados
a este método puoden aplicarse a cualquiera de las técnicas que se han estudiado para que puedan
usarse en las ecuaciones no lineales.

8.4.1 Solucionador im plícito de Newton (8.60)
Se ilustra el método con un ejemplo no lineal típico

u, + uux = D uxx,

conocido como la ecuación de B urgers. La ecuación es no lineal debido al término del producto
uux. Esta ecuación elíptica, nombrada en honor de J. M. Burgers (1895-1981), es un modelo sim­
plificado del flujo de un fluido. Cuando el coeficiente de difusión D = 0. se denomina ecuación de
Burgers no viscosa. La fijación de D > 0 corresponde a agregar viscosidad al modelo.

Esta ecuación de difusión se discretizará en la misma forma que la ecuación del calor de la
sección 8.1. Considere la malla de puntos mostrada en la figura 8.1. La solución aproximada en
(x¡, lj) se indicará por w¡¡. Sean M y N el número total de pasos en las direcciones x y l, y sean
h = (b - a)/M y k = 7JWIos tamaños de paso en las direcciones x y t. Al aplicar las diferencias
hacia atrás sobre u,y las diferencias centrales sobre los otros términos se obtiene

418 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

W i j - w i j -1 / wí + { J - Wí - i j \ D
k+ ^ -------- J = jp<Wi+l>J ~ 2wti + ‘"'-J.y)»

o

tu/y + ^ ‘UHjiwt+ij - W t - i j ) - tr (w i+ ij - 2u>i) + w , - i . j ) - v u tj- i = 0 (8.61)

donde se ha establecido a — Dk/h2. Tenga cn cuenta que, debido a los términos cuadráticos de
las variables tu, no es posible resolver directamente para w ¡+ ij, Uty, tUj_i j . c n fonna explícita o
implícita Por lo tanto, se invoca el método multivariado de Newton del capítulo 2 para obtener la
solución.

Pira clarificar la implemcntación, indique las incógnitas en (8.61) como z¡ - Ufy. En el paso de
tiempo j ,se trata de resolver las ecuaciones

F¡(z\ zm) = z ¡ + —•z¡(z¡ + 1 - z ¡ - 1 ) - a ( z ¡ + 1 - 2z/ + z/_i) - tu /,/-t = 0
(8.62)

para las m incógnitas z i Tenga cn cuenta que el último término tUy_ , se conoce a partir del

paso de tiempo anterior y se trata como una cantidad conocida.

l a primera y última ecuaciones se sustituyen por las condiciones de frontera adecuadas. Por

ejemplo, en el caso de la ecuación de Burgers con condiciones de frontera de Dirichlet

u, + uux = Duxx (8.63)

u(x,0) = /( x ) paraxi < x < x r
u(x¡, /) = l(t) para toda / > 0
u(xr, t ) = r(l) para toda t > 0.

se añadirán las ecuaciones

F \(z \ Zm) - z \ - l(tj) = 0 (8.64)
Fm(z x, . . . t zm) = z m - r ( t j ) = 0.

Ahora hay m ecuaciones algebraicas no lineales con m incógnitas.
Paraaplicarel método multivariado de Newton. debe calcularse el jacobiano D F(z) = 3 F / d z ,

que de acuerdo con (8.62) y (8.64) tendrá la fonna tridiagonal

I0 1

kn . . o . - *1) - a -t- kz2
2h
a - ñ ' +2a + - v r -

- a — kJ ± I + 2xj -f- k(Zj ~ Z2> - a -t- *z*
2h
2/r 2h

kzm—i . k(zm zm_2 ) kzm —1
-o - — 1 + 2rr + o+—

01

En general, las ecuaciones superior c inferior de DF dependen de las condiciones de frontera.
Una vez que se ha construido DF, se resuelve para z¡ = tUy mediante la iteración multivariada de
Newton

zA+l = z K - D F (zK )~ {F (z* ). (8.65)

M Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 419

►EJEMPLO 8.12 Utilice la ecuación de las diferencias hacia atrás con la iteración de Newton para resolver la ecua­
ción de Burgcrs

para 0 < x < 1 ( 8.6 6 )
a + Pcosxx
u (0 ,t) = 0 para toda / > 0

w(l . f) = 0 para toda / > 0.

A continuación se presenta el código de M atlab para la versión de la condición de frontera
de Dirichlet con el método de Newton. donde se ha establecido a = 5. fi = 4. F.l programa utiliza
tres iteraciones de Newton para cada paso de tiempo. En los problemas típicos, esto sería suficien­
te. pero en los casos difíciles pueden requerirse más. Observe que la eliminación gaussiana o su
equivalente se lleva a cabo cn la iteración de Newton; como de costumbre, no es necesario invertir
la matriz de manera explícita.

% Programa 8 .7 S o lu c io n a d o r i m p l í c i t o de Newton para l a e cu a ció n de Newton

% entrada: in te rv a lo de espacio [x l.x r ], in terv a lo de tiempo [tb .te ],

% n ú m e r o d e p a s o s d e e s p a c i o M, n ú m e r o d e p a s o s d e t i e m p o N

% Salida: solución w

%Uso de ejemplo: w = b u r g e r s (0 ,l,0 f2 ,20,40)

f u n c t i o n w - b u r g e r a ( x l . x r , t b , t e , M,N)

alf=5;bet=4;D =.05;

f-©(x) 2 *D *b et*p i*sin (p i*x). / (a lf+ b e t* c o a (p i* x ));

l=«(t) 0*t;

r=a(t) 0*t;

h - ( x r - x l ) / M ; k » ( t e - t b ) / N ; rn-M+1; n - N ;

aigma=D»k/(h*h);

w(: ,l)*f(xl+(0:M )*h)'; % condiciones in icia les

wl=w;

for j=l:n

f o r i t » l :3 % i t e r a c i ó n de Newton

DFl=zeros(m.m);DF2=zeros(m,m);

DFl=diag(l+2*8Ígma*ones(m,1 ))+diag(-sigma*ones(m-1,1 ),1 );

DFl-DFl>diag(-sigma*ones(m-1,1).-1 );

D F 2 = d ia g ([0 ;k * w l( 3 :m)/ ( 2 * h ) ; 0 ] ) - d i a g ( ( 0 ; k * w l ( l : ( m - 2 ) ) / ( 2 * h ) ; 0 ] );

DP2«DF2*diag(t0;k*wl(2:m-l)/ (2*h)J, 1 ) . . .

-d iag( [k*wl(2:m -l)/ (2*h);0] .-1 );

DF=DF1+DP2;

F--W(:. j)+(DFl+DF2/2)*wl; % Usando e l lema 8.11

D F ( 1 , : ) * 11 z e r o s ( l , m - l ) J ; % C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t p a r a DF

DP(m,: ) = [z er o a (l,m -l) 1);

F ( l ) - w l ( 1 ) - 1 ( j ) ; F (m )-w l(m )-r (j ) ; % C ondiciones de D i r ic h l e t para F

wl=wl-DP\F;

end

w(:, j+l)-wl;

end

X «xl+(0:M)»h;t»tb+(0:n)*k;

m esh(x,t,w ') % G r á f i c a en 3D d e l a s o l u c i ó n w

El código es una implemcntación directa de la iteración de Newton (8.65), junto con un hecho
conveniente acerca de los polinomios homogéneos. Por ejemplo, considere el polinomio P(X|, x 2 ,
x j ) = X iX 2X $ + X \ , que se denomina homogéneo de cuarto grado, ya que consiste por completo en
términos de cuarto grado en x\, x2, x y I^as derivadas parciales de P con respecto a las tres variables
están contenidas en el gradiente

V P = (X2xj + 4x?,.Vi.t3. 2xiX2X3).

420 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Figura 8.19 S o lu d ó n aproxim ada a la a cu a d ó n d a H urgan (8.66). Se suponen condiciones de frontera de

Dirichlet homogéneas, con tamaños de paso h = k =0.05.

El hecho notable es que P puede recuperarse al multiplicar el gradiente por el vector de las
variables, con un múltiplo adicional de 4:

x\
X2 = (*2*f + 4 x f )xi + XIX3 X2 + *2 1 * 2 * 3 * 3 = 4 * i* 2 * f + 4x* = 4 P.
x3

En general, defina el polinomio P(*i........*m) como homogéneo de grado d si

P(cx i ...... cxm) = cJ P (x i *„) (8.67)

para toda c.

LEMA 8.11 Sea P(*j x m) un polinomio homogéneo de grado d. Entonces

xi xm)
VP = dP.

Xm

Demostración. Diferenciando (8.67) con respecto a c resulta
*i Pxt (c* i, . . . . c*m) -l- ... -+- x mPXm(c* i c x m) = dcd 1P ( x i

utilizando la regla de la cadena multivaiiada. La evaluación cn c = 1 da como resultado la conclu­

sión deseada. □

R uso de este hecho permite escribir un código muy compacto para ecuaciones diferenciales
parciales con términos polinomiales, siempre y cuando se agmpen los términos del mismo grado.
Observe cómo la matriz d f i en el programa 8.7 agrupa los términos de las derivadas de primer
grado cn F;DF2 agrupa los términos de las derivadas de segundo grado. Entonces es posible definir
la matriz jacobiana DF como la suma de los términos de las derivadas de primer y segundo grado
y. en esencia, definir la función F como la suma de los términos de grado 0, 1 y 2. El lema 8.11 se
utiliza para identificar los términos de grado d de Fcomo gradientes de tiempo variables, divididos
por d. l a conveniencia de esta simplificación será aún más aceptada cuando se aborden problemas
más difíciles.

fóra ciertas condiciones de frontera, se conoce una solución explícita de la ecuación de Bur-
gers. La solución al problema de Dirichlet (8.66) es

2 D p T ie ~ I>n *' sen tcx ( 8.6 8 )
u(x,t) =

a + /te - 0 *2' oos7T*

La solución exacta puede utilizase para medir la exactitud de este método de aproximación, como
una función de los tamaños de paso h y k. Si se usan los parámetros a = 5, p = 4 y el coeficiente
de difusión D = 0.05, se encuentra que los errores en * = 1/2 después de una unidad de tiempo
son los siguientes:

IL4 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 421

h * w(0.5, 1) w (0 ^ . 1) error
0.01 0.04 0.153435 0.154624 Q001189
0.01 0.02 0.153435 0.154044 0.000609
0.01 0.01 0.153435 0.153749 0.000314

Se observa la disminución aproximadamente de primer orden en el error como una función del

tamaño de paso de tiempo k, como se esperaba con el método implícito de las diferencias hacia

atrás. *

Otra categoría interesante de las F.DP no lineales está compuesta de las ecuaciones de reac­
ción-difusión. Un ejemplo fundamental de una ecuación de reacción-difusión no lineal se debe
al revolucionario biólogo y genetista R.A. Fishcr (1890-1962), sucesor de Darwin, quien ayudó a
crear las bases de la estadística moderna. La ecuación se obtuvo en un principio para modelar cómo
se propagan los genes. La forma general de la ecuación de Fisher es

u, = Duxx + f ( u ) , (8.69)

donde /( u ) es un polinomio en u. La parte de reacción en la ecuación es la función /. la parte de
difusión es Dua . Si se usan las condiciones de frontera homogéneas de Ncumann. la constante
o el estado de equilibrio u(x, /) = C es una solución siempre que /(C ) = 0. El estado de equili­
brio resulta ser estable si / ' ( O < 0. lo que significa que las soluciones cercanas tienden hacia el
estado de equilibrio.

►EJEMPLO 8.13 Use la ecuación de las diferencias hacia atrás con la iteración de Newton para resolver la ecuación
de Fishcr; utilice las condiciones de frontera homogéneas de Ncumann

u, = Duxx -I- m(1 — u) _
u (x ,0 ) = senjtx paraO < x < 1
ux(0 ./) = 0 para to d a/ > 0

Mjr(l. / ) = Opara toda / > 0.

Observe que f( u ) = u(l - u), lo que implica que f ’(u) = 1 - 2 u. El equilibrio u = 0 satisface
/'( 0 ) = 1 y la otra solución de equilibrio u — 1 satisface / ' ( l ) = —1. Por lo tanto, las soluciones
tienden hacia el equilibrio u =» 1.

La discrctización repasa el proceso de obtención de la ecuación de Burgers:

W ij — W i'j-1 D

---- = J ~ ^ W'J + + WU ^ ~ wü ) ’

o

(1 + 2ja - *(1 - wij))w¡j - o ( w ¡ + \ j + wí- i j ) - w ¡ j - i = 0 . (8.71)

Esto resulta en las ecuaciones no lineales = 0 (8.72)
Fiixi 2m) = (1 + 2<r - *(1 - z¡))z¡ - o(Zi+x + ^ - i ) -

pora resolver para las z, = w,j en el j - ésimo paso de tiempo. La primera y última ecuaciones esta­
blecerán las condiciones de frontera de Ncumann:

F ,( z ,....... zm) = (-3 z o + 4z, - z2) / ( l h ) = 0
Fm( z i ....... z„) = ( - r w _ 2 + 4zm- \ - 3 z „ ) / ( —2h) = 0

422 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales
F1 jacobiano DF tiene la forma

' -3 4 -1
—a 1 + 2<7 —k + 2kz2 -a
1 + 2/t - k + 2 * 2 3
—a -a

- a 1 + 2<7 - * + 2*rm- i - a
- I 4 -3

Después de alternar la función F y el jacobiano DF, la iteración de Newton implcmentada en
el programa 8.7 puede utilizarse para resolver la ecuación de Fishcr. El lema 8.11 puede emplearse
pora separar las partes de primero y segundo grado de DF. También se aplican las condiciones de
frontera de Neumann, como se muestra en el siguiente fragmento de código:

DFl=diag(l-k+2*sigtna*onea<m,1 ) ) +diag(-aigma*onea(m-1 ,1 ),1 );
D P l = D P l + d i a g ( - s i gma* o r í e s ( m - 1 , 1 ) , - 1 ) ;
D F 2-d iag(2*k *w l);
DF=DF1+DF2;
F=-w( : , j ) + (DP1+DF2/2) *w l;
D F ( 1 , : ) = [ - 3 4 - 1 z e r o a ( 1 , m- 3 ) ] ; F ( 1 ) = D F { 1 , : ) * w l ;
D F ( m , : ) = ( z e r o s f l , m - 3 ) - 1 4 - 3] ; P (ra) =DP (m, : ) * wl ;

En la ñgura 8.20 se muestran las soluciones aproximadas de la ecuación de FIsher con
D - 1, que demuestran la tendencia a estabilizarse hacia la atracción del equilibrio u(x, t) m 1.
Por supuesto, u(x, t) b 0 es también una solución de (8.69) con f(u ) » u(l - u), y se encontrará
nisdiante los datos iniciales u(x, 0) = 0. Sin embargo, casi todos los demás datos iniciales, se acer­
carán con el tiempo a u = 1 a medida que / crece.

H ejemplo 8.13 cubre la ecuación original considerada por Fisher, pero hay muchas versiones
generalizadas para otras elecciones del polinomio f(u). Consulte otras exploraciones de esta ecua­
ción de reacción-difusión en los problemas de computadora. A continuación, se investigará una
\ersión de la ecuadón de Fisher con mayor dimensión.

2

1.5

1

0.5

0
o

x 0.5

Figura 8 JO Dos soluciona* a la acuadón da Fisher. Ambas solucione* tienden hacia la solución de equilibrio
u(x,r) “ 1 a medida que fcrece.(a) Condición inicialupr.O) - 0 .5 + O.Scosjix.( b)Condición Inicialutx,0) - 1.5

+ O.Scos.ur. Se suponen condiciones de frontera homogéneas de Neumann, con tamaftosde paso h - k - 0.1.

IL4 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 423

8 .4 .2 Ecuaciones no lineales en dos dim ensiones espaciales

La solución de ecuaciones diferenciales parciales con dominios b¡dimensionales obliga a combinar
las técnicas de las secciones anteriores. El método implícito de las diferencias hacia atrás con la
iteración de Newton se encargará de la no linealidad. y será necesario aplicar las coordenadas al
estilo acordeón de la tabla 8.1 para hacer el conteo para el dominio bidimensional.

Se inicia por extender la ecuación de Fisher de una dimensión a dos dimensiones en d espacio.

►EJEMPLO 8.14 Aplique el método de las diferencias hacia atrás con la iteración de Newton a la ecuación de Fisher
en el cuadrado unitario [0, 1] x [0,1 ]:

u, = D Au + u (l — u ) (8.73)
u (x ,y ,0 ) = 2 + eos7ixeosn y paraO < x. y < 1
Hit*, y , O = Oen la frontera d d rectángulo, para toda t > 0.

Aquí D e s d coeficiente de difusión y u¡¡indica la derivada dirccdonal en el sentido normal hacia
afuera. Se suponen condiciones de frontera de Neumann. o sin flujo, en el límite d d rectángulo.

En esta secrión, los dos subíndices de discretizadón representarán las dos coordenadas es­
paciales x y y, y se usarán superíndices para indicar los pasos de tiempo. Suponiendo M pasos
en la dirección x y N pasos en la dirección y ,s e definirán los tamaños de paso h = (xr —x¡)JMy
k = ( y , ~ yb)!N. Las ecuaciones discrctizadas en los puntos de la malla que no están en la frontera,
para 1 < i < m = M + \ , \ < j < n = N + \ , son

W,J ^ iJ = ~ 2wU + + p (wíj+ i ~ 2wU + wÍ.J-0
(8.74)
+w\j(\ - w\j),

que pueden reorganizarse en la forma = 0. o bien

/ I 2D 2D \ , D, D, D, D.
U ;+ F + F ■ 1 -F (8,75)

w ‘ ~At

+ H )2_ _ a r = 0

Las ccuadones deben resolveree en forma implícita. Las ecuaciones son no lineales, por lo que
se utilizará el método de Newton como se hizo para la versión unidimensional de la ecuación de
Fisher. Como ahora el dominio es bidimensional, es necesario recordar el sistema de coordenadas
alternativo (8.39)

ty+ü-Uw = w0'

ilustrado en la tabla 8.1. Habrán mn ecuaciones F^, y en las coordenadas t>, (8.75) representa la
ecuación numerada i + (j — I>n. La matriz jaoobiana DF tendrá el tamaño mn x mn. Usando
la tabla 8.1 para traducir a las coordenadas u, se tienen las entradas de la matriz jacobiana

/ I 2D 2D \
D F t+ y -D m J + U -n" = l ^ + ~j¡2 + ~¡¡2 ~ 1 ) + 2xViJ

D Fi+ u-i)m.¡+i+(y-D« = ~Jj2

D F l+ (j-\)m ,i-l+ {j-\)m = ~ fr2

424 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

0 JJ+ C f-\)m ,¡+ jm
DFi+y-Dnj+y-j)*,

pora los puntos interiores de la malla. Los puntos fuera de la malla se rigen por las condiciones de
frontera homogéneas de Neumann

Rule inferior (3u»y - 4u>/,y+i + w ¡ j+ i) /(2 k ) = 0 para j = 1,1 < i < m
Parte superior (3wij - 4u>/.y_i + u>¡j-2)/(2k) = 0 para j = n, \ < t < m
Lado izquierdo (3w¡j - 4u?í+ i.y + u>/+2,y)/(2/i) = 0 para i = 1,1 < J < n
lado derecho (3w¡j — 4 w ¡ - \ j + w ¡ -2j ) / ( 2h ) = 0 para / = m, 1 < j < n

la s condiciones de Neumann se traducen mediante la tabla 8.1 como

inferior D F ¡ + y - \)mj + { j - \ )m = 3. D F i+iJ- \ )m¡+jm = - 4 . D F i+{j - \ )mi+lj+ j)nT = 1,

superior bi+y-\)m = 0 para j = 1,1 < / < m
izquierdo D F /+ (y_i)fl,./+( j- i) m = 3, £>F/+( j- i) W,y+( j - 2 )m = - 4 . D F i+ (j-i)„ j+ ij-y )m = 1.

bi+<j-\)m = o para j = n , 1 < i < m
D Fl+(J. \ )mi+(j . i)m = 3, D /r/+ (j-i> nii+ t+ (/- i)« = - 4 ,

/5/r/+(/-I)jn./+2+C/-t)« =

derecho ^ + U - D « = 0 Para 1 - 1*1 < J < n = -4.
D F ¡+(j _ j)m.¡+{j-1 >*, = 3,

0 / r/+(y-D «./-2+c/->)« = 1.
éí+O -i)* = 0 para i = m, \ < j < n

oo

R fu ra 8.21 Ecuaciones da Fisher con condicionas da frontera da Neumann en un dominio

bldlm anslonal. la solución tiende hacia la solución de equIBbrio uix.y.t) - 1 a medida que aumenta f. (a)
Condición Inicial u{x, y. 0) - 2 t eos *xc o s jty. (b) Solución aproximada despuésde 5 unidades de tiempo
Tamaños de paso h - k - Ai - 0.05.

IL4 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 425

En el siguiente programa, se ejecuta la iteración de Newton. Observe que se ha utilizado el
lema 8.11 para dividir las contribuciones a DFen términos de primero y segundo grado.

% Programa 8 . 8 Método d e l a d i f e r e n c i a h a c i a a t r á s con l a i t e r a c i ó n de Newton

% para la ecuación de Pisher con dominio bidimeneional

%entrada: región del espacio Ixl xr]x[yb y t ] , in terv a lo de tiempo Itb t e ] ,

% p a s o s e s p a c i a l e s M, N e n l a s d i r e c c i o n e s x e y , p a s o s d e t i e m p o t s t e p s

% s a l i d a : m a l l a d e s o l u c i ó n [ x , y , w]

% Us o d e e j e m p l o : [ x, y , w] ■ f i s h e r 2 d ( 0 , l , 0 , l , 0 , 5 , 2 0 , 2 0 , 1 0 0 ) ;

function [x,y,w ]=fisher2d(xl,xr,yb,yt,tb,te,M ,N ,tsteps)

f = « ( x , y ) 2 + c o s ( p i * x ) . *c o b (p i * y )

delt»(te-tb)/tsteps;

D=1;

nwM+l;n«N*l;mn«m*n;

h= ( x r - x l ) / M; k » ( y t - y b ) / N ;

x=linspace (xl,xr,m) ;y=linspace (yb,yt,n) ;

for i«l:m %Define u i n i c i a l

for j« l:n

w(i, j)= f (x(i)»y(j)) ;

end

end

for tstepal:tsteps

v -[ r e s h a p e (w ,m n ,1) ] ;

wold=w;

for it«l:3

t&zeros (mn,l);DFl =zeros(mn,mn);DF2«zeroo(mn.mn);

f o r i = 2 : m- 1

for j-2 :n -l

DPI ( i + ( j - 1 ) *tn, i - l + ( j - 1 ) * m ) = - D / h “ 2 ;

DPI ( i + ( j - 1 ) * m , i + l + ( j - 1 ) * m ) * - D / h * 2 ;

DF1 ( i + ( j - 1 ) * m . i + ( j - 1 ) * m ) - 2 * D / h * 2 + 2 * D / k “2 - l 4 l / ( l * d e l t ) ;

DPI ( i + ( j - 1 ) * m , i + ( j - 2 ) *ra) =- D/ k‘ 2 ; D F l ( i + ( j - 1 ) * m , i + j « m ) = - D / k “ 2 ;

b(i+(j-l)*m )»-w old(i,j)/ (l*delt) ;

DF2 ( i + (j - 1 ) *tn, i + ( j - 1 ) *m) « 2 * w ( i . j ) ;

end

end

for i*l:m %inferior y superior

j » l ; DPI ( i + ( j - l ) * m , i + ( j - l ) * m ) a 3 ;

D F l(Í+ (j-l)*m ,i+ j*m ).-4;D F l(i+ (j-l)*m ,i+ (j+ l)*m )-l;

j=n; D F 1 ( i + ( j - 1 ) * m , i + (j - 1 ) »m)=3;

DPI ( i + ( j - l ) * m , i + ( j - 2 ) *m) = - 4 ; D P l ( i + ( j - l ) * m , i + ( j - 3 ) * m ) » l ;

end

for j=2:n -l % izquierda y derecha

i - 1 ; D F 1(i+ (j - 1 ) * m , i + ( j - 1 ) *m)«3;

D F l ( i + ( j - 1 ) *01,1 + 1 + ( j - 1 ) * m ) = - 4 ; D F l ( i + ( j - l ) «m, i + 2 + ( j - 1 ) »m) = 1 ;

i=m; D F 1 ( i + ( j - l ) * m , i + ( j - l ) » m ) = 3 ;

DFl(i+(j-l)*m ,i-l+(j-l)*m )—4;DPl(i+(j-l)*m ,i-2+(j-l)*m )-l;

end

DP-DF1*DP2;

F=» ( D F l * D F 2 / 2 ) * v + b ;

v=v-DF\F;

w«reshape(v(l:mn),m,n);

end

m e s h ( x , y , w' ) ; a x i s ( ( x l x r y b y t t b t e ] ) ;

x l a b e l ( ' x ' ) ; y l a b e l ( ' y ' ) ;drawnow
end

426 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

R comportamiento dinámico de la ecuación bidimensional de Fisher es similar al de la versión

unidimensional de la figura 8.20, donde se vio la convergencia hacia la solución de equilibrio esta­

ble en u(x, t) = I . En la figura 8.21 (a) se muestran los datos ¡nidalesf( x , y) = 2 + eos n x c o s ny.

En la figura 8.2 l(b) se muestra la solución después de t = 5 unidades de tiempo. La solución se

estabiliza rápidamente hacia el equilibrio estable cn u(x. y, f) « 1. m

H matemático Alan Turing (1912-1954), cn un artículo de referencia (Turing 11952]), propuso
una posible explicación de muchas formas y estructuras que se encuentran en la Biología. Ciertas
ecuaciones de reacción-difusión que modelan las concentraciones químicas dieron lugar a intere­
santes patrones en el espacio, incluyendo franjas y formas hexagonales. Éstas eran vistas como un
impresionante ejemplo de orden emergente en la naturaleza, y ahora se conocen como patrones
de 'ftiring.

Turing descubrió que con la sola adición de un término difusivo a un modelo de una reacción
química estable, podía causar que equilibrios estables, constantes cn el espacio, como el de la fi­
gura 8.21 (b), se volvieran inestables. Esta situación llamada « e stab ilid ad de 'ftirin g provoca una
transición en la que los patrones evolucionan hacia una nueva solución de estado estacionario a un
estado variable en el espacio. Por supuesto, esto es contrario al efecto de difusión que se ha visto
hasta ahora, en el cual las condiciones iniciales se promedian y uniforman con el paso del tiempo.

Un ejemplo interesante de la inestabilidad de Turing se encuentra en el modelo B russelator,
propuesto por el químico belga I. Prigoginc. a finales de la década de 1960. El modelo consta de
dos EDP acopladas, donde cada ecuación representa una de dos especies de reacción química.

►EJEMPLO 8 .1 5 Aplique el método de las diferencias hacia atrás con la iteración de Newton a la ecuación Brusse­
lator con condiciones de frontera homogéneas de Ncuinann cn el cuadrado 10.40] x [0.40]:

p, = D pA p + p•2q~ +. C_ - (K O/»
q, = DqA q - p 2q + K p

(8.76)

/X x.y.O ) = C + 0.1 para 0 < x , y < 40
q ( x ,y , 0) = K / C + 0.2 para 0 < x , y < 40
u¡¡(.x. y . t ) = Oen la frontera del rectángulo, para toda / > 0.

H sistema de dos ecuaciones acopladas tiene variables p, q, dos coeficientes de difusión Dp,
D > 0 y otros dos parámetros C, K > 0. De acuerdo con el ejercicio 5, el modelo Brusselator
tiene una solución de equilibrio e n p — C,q K/C. Se sabe que el equilibrio es estable para valores
pequeños del parámetro K, y que cuando

(8.77)

se encuentra una inestabilidad de Turing. Las ecuaciones discretizadas en los puntos interiores de
la malla, para 1 < i < m, 1 < j < n, son

Ar

<J h2
A/ + ( ¿ , ) 2tfy - * ¿ ; = 0

Éste es el primer ejemplo que se presenta aquí con dos variables acopladas, p y q. El vector de
coordenadas alternativo v tendrá una longitud de 2mn y (8.39) se extenderá a

IL4 Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 427

f/+(y-Dm= Píj paral < i <m,l < j <n (8.78)

= l i j para I < / < m. 1 < j < n .

I^as condiciones de frontera de Neumann son, en esencia, iguales a las del ejemplo 8.14, ahora
pora cada variable p y q. Observe que hay términos de primer y tercer grado a diferenciar para el
jacobiano DF. Si se usa la tabla 8.1 expandida de una manera directa para cubrir dos variables, y
el lema 8.11. se llega al siguiente código de M a tla b :

% Programa 8 .9 Método de l a d i f e r e n c i a h a c ia a c r é s con l a i t e r a c i ó n d e Newton

% para la ecuación Brusselator

% entrada: región del espacio (xl xr]x[yb yt] , intervalo de tienpo [tb te ],

% p a s o s e s p a c i a l e s M, N e n l a s d i r e c c i o n e s x y y , p a s o s d e t i e m p o t s t e p s

% s a l i d a : m a l l a d e s o l u c i ó n ( x , y , w]

% Uso de e je n p lo : (x, y, p, q] = b r u 6 s e l a t o r ( 0 , 4 0 , 0 . 4 0 , 0 , 2 0 . 4 0 , 4 0 . 2 0 ) ;

function [x,y,p.q]-bruooelator(xl,xr,yb,yt,tb,te,M ,N ,tsteps)

Dp=l;Dq=8;C=4. 5;K=9;

fp=«(x,y) C+0.1;

fq -« (x ,y ) K/C+0.2 ;

delt= (te-tb) /tstep s;

m=M+1 ; n = N + l ; m = m * n ; rat2 =2 *mn ;

h- (xr-xl)/M ;k-(yt-yb)/N;

x=linspace(xl,xr,m );y=linspace(yb,yt,n);

for i«l:m %Define c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s

for j* l:n

p ( i ,j )= f p ( x ( i) ,y ( j ) );

q ( i,j )» f q ( x { i) ,y ( j ) );

end

end

for tstep=l:tsteps

va[reshape(p,mn,1);reshape(q,mn,1 )];

pold-p.-qold-q;

for it« l:3

DPl=zeros(mn2,mn2);DP3=zeros(mn2,mn2);

b-zeroa (tm2.1) ;

for i=2:m-l

for j»2:n-l

DF1 (i-f ( j - 1 ) »m, i - l + ( j - 1 ) • m ) « - D p / l T 2 ;

D P I ( i * ( j - 1 ) * m ,i + ( j - l ) * m ) = Dp*(2/h“2+2/k‘ 2 ) + K + l + l / ( l * d e l t ) ;

DPI ( i * ( j - l ) * m , i + l + ( j - l ) * ( n ) . - D p / h ' 2 ;

DF1 ( i + ( j - l ) • m , i + ( j - 2 ) * m ) - - D p / k * 2 ;

DPI ( i * ( j - 1 ) *m, i +j «t n) = - D p / k * 2 ;

b(i+(j-l)*m )--pold(i, j)/(l*delt)-C ;

DPI ( n¥i +i+( j - 1 ) * m , n » + i - l + ( j - 1 ) *m) = - D q / h * 2 ;

DPI ( m n * i +( j - 1 ) * m , m n * i + { j - 1 ) *m) ■ Dq* ( 2 / h ' 2 + 2 / k ' ,2 ) + 1 / ( l * d e l t ) ;

DPI ( rm+i + ( j - 1 ) * m , m n * i + l + ( j - l ) * m ) » - D q / h ' , 2 ;

DPI ( n n + i + ( j - 1 ) *m,mn-*-i + ( j - 2 ) *m) = - D q / k ' 2 ;

DPI ( m * i + ( j - 1 ) * m , m n « - i + j * m ) » - D q / k “2 ;

DPI ( t m * i + ( j - 1 ) *m, ! ♦ ( j - 1 ) *m) « - K;

DP3 ( i + ( j - 1 ) * m , i + ( j - 1 ) * r a ) = - 2 * p ( i , j ) * q ( i , j ) ;

DF3 ( i-4- ( j - 1 ) *m, t m + i * { j - 1 ) * m ) « - p ( i , j ) A2;

DP3 ( c m + i + ( j - 1 ) * m , i + ( j - 1 ) * m ) = 2 * p ( i , j ) * q ( i , j ) ;

DP3 (mn>i + ( j - 1 ) * m , m n * i + ( j - 1 ) *m) » p ( i , j ) “ 2 ;

b(mn+i+(j - l ) * m ) » - q o l d ( i , j ) / ( l * d e l t ) ;

end

end

428 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

f o r i « l : m % c o n d i c i o n e o d e Neumman i n f e r i o r y s u p e r i o r
j = l ; D F l ( i + ( j - l ) * m , i + ( j - l ) * m ) =3;
DF1 ( i + (j - 1) *ra, i+j*tn) =-4 ;
D F l ( i + ( j - l ) * m f i + ( j + l ) *n>) - 1 ;
j = n ; D F l ( i + ( j - 1 ) *m, i + ( j - 1 ) * m ) = 3 ;
D P l(i + (j-l)*m ,i+(j-2)*ni) =-4;
DF1(i ♦ ( j - 1 ) *mf i + (j - 3 ) *m)- 1 ;
j a l ; D P I ( m n + i + ( j - 1 ) * r a , m n + i + ( j - 1 ) *ra)=3;
DPI(mn+i+(j-1)*m,mn+i+j*m)--4 ;
DF1 ( m n + i + ( j - 1 ) »m,mn-f i + ( j +1 ) *m) « 1 ;
j = n ; D F l ( r a n + i + ( j - 1 ) * r a , m n + i + ( j - 1 ) *ra)=3;
DPI (mn+i+ ( j - l ) * m , m n + i + ( j - 2 ) * T n ) » - 4 ;
D F l(m n + i+ (j-1)•m ,m n + i+ (j- 3 ) *m)«1;

end
f o r j - 2 : n - l % c o n d i c i o n e s d e Neumman i z q u i e r d a y d e r e c h a

i= l;D F l(i+ (j-l)*m ,i+ (j-l)*m)=3;
DP I ( i + ( j - l ) *ra, i * l + ( j - 1 ) *m) » - 4 ;
DF1 ( i + ( j - 1 ) *m, i + 2+ ( j - 1 ) *m) - l ;
i =m; DPI ( i + ( j - l ) * m , i + ( j - l ) *ra) = 3 ;
DPI ( i + ( j - l ) * m , i - l + ( j - l ) * m ) - - 4 ;
DP I ( i + ( j - 1 ) * m , i - 2 + ( j - 1 ) *m) « 1 ;
i s i ; D P I ( m n + i + ( j - 1 ) * r a , m n + i + ( j - 1 ) *ra)=3;
DPI(mn+i+(j-1 )* m ,m n + i+ l+ (j-1 )* m )- - 4 ;
D F 1 (m n + i+ (j-1 )* m ,m n + i+ 2 + (j-1 )* m )=1;
i =m;DPI(mn+i+(j-1) *m,mn+i+(j-l)* r a )« 3 ;
D F 1(m n+ i+ (j-1)•ra,m n +i-l+ (j-1)*m )- - 4 ;
D P I(m n + i+ (j-1 )* m ,m n + i-2 + (j-1 )* m )=1;
end
DF-DF1+DF3;
F=(DP1+DP3/3)*v+b;
V«V-DF\F;
p= reshape(v(1:mn), m,n);q=reshape(v(mn+1:mn2), m ,n );
end
c o n t o u r ( x , y , p ' ) ;drawnow;
end

En la figura 8.22 se muestran las gráficas de contorno de las soluciones de la ecuación Brus-

selator. En una gráfica de contorno, el trazo de las curvas cerradas nivela los valores de la variable

pOc, y). En los modelos, p y q representan las concentraciones químicas que organizan por sí mis­

mas los patrones diferentes que se muestran en las gráficas. <

Las ecuaciones de reacción-difusión con una inestabilidad de Turing se utilizan de manera
habitual para modelar la formación de patrones en Biología, incluyendo los patrones en las alas de
las mariposas, las manchas en la piel de los animales, la pigmentación de los peces y las conchas,
entre muchos otros ejemplos. Los patrones de Turing se han encontrado de manera experimental en
reacciones químicas tales como la reacción del almidón ACYM (ácido clorito-yoduro-malónico).
Los modelos para la glucólisis y las ecuaciones de Gray-Scott para las reacciones químicas están
n u y relacionados con la ecuación Brussclator.

H uso de ecuaciones de reacción-difusión para estudiar la formación de patrones es una sola
dirección entre varias de interés contemporáneo. Las ecuaciones diferenciales parciales no lineales
se utilizan para modelar una variedad de fenómenos espaciales y temporales en la ingeniería y las
ciencias. Otra clase importante de problemas se describe mediante las ecuaciones de Navier-Stokes.
que representan el flujo de fluidos incompresibles. Navier-Stokes se utiliza para fenómenos tan di-
\crsos como el modelado de los recubrimientos de película, la lubricación, la dinámica de la sangre
en las arterias, el flujo de aire sobre el ala de un avión y la turbulencia del gas estelar. La mejora en
las diferencias y los elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales y no
lineales constituye una de las áreas de investigación más activas en las ciencias computacionales.

M Ecuaciones diferenciales parciales no lineales | 429

§d^ c5

ycM & O í

Figura 8.22 Form ación da patrañas an la acuadón Bnissalator.G ráficas d e c o n to m o d e las soluciones
p ( * , y ) e n f - 2 0 0 0 q u e m u e s tra n p a tro n e s deT urkng. Los p a rá m e tro s s o n Dp = 1, Dq = 8 .C - 4.5 y (a) K ** 7
(b) K - 8 ( c ) K - 9 ( d ) K - 1 0 (e )K <■ 11 ( f ) K - 12. Los v a lo re s e s ta b le c id o s p a ra las d ife re n c ia s fin ita s so n
/>- f c - 0 5 , A f - 1 .

8.4 Ejercicios
1. Demuestre que para cualquier constante c, la función u(x, f) *=c es una solución de equilibrio para
la ecuación de Burgers u, + uux = Dua .
2. Demuestre que cn un intervalo [*,. x,] que no contiene a 0, la función u(x, t) = x ~1es una solución
invariante en el tiempo de la ecuación de Burgers u, + uux = - \ u xx.
3. Demuestre que la función u(x, /) cn (8.68) es una solución de la ecuación de Burgers con las con­
diciones de frontera de Dirichlet (8.66).
4. Encuentre todas las soluciones de equilibrio estable de la ecuación de Fisher (8.69) cuandof(u) =
u(u - 1)(2 - u).
5. Demuestre que la ecuación Brusselator tiene una solución de equilibrio en p = C. q = K/C.
6. Para la configuración de parámetros Dp = 1. Dq = 8. C = 4.5 de la ecuación Brusselator. ¿con
cuáles valores de K es estable la solución de equilibrio p m C , q s Af/C? Consulte los problemas
de computadora 5 y 6.

8.4 Problem as de com putadora
1. Resuelva la ecuación de Burgers (8.63) en {0,11con la condición inicial /( x) - sen 2rtjry las con­
diciones de frontera Kt) = KO = 0, usando tamaños de paso (a) h = k = 0.1 y (b) h = k = 0.02.

430 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Grafique las soludones aproximadas para O s i s 1. ¿A qué soludón de equilibrio se aproxima
la soludón a medida que aumenta d tiempo?

2. Resuelva la ecuadón de Burgers en el intervalo [0. 1] con condidoncs de frontera de Dirichlet
homogéneas y la condidón ¡nidal dada en (8.66) con parámetros a = 4./3 = 3 y D = 0.2. Gra­
fique la solución aproximada usando tamaños de paso h ° 0.01 y k ■» 1/16; asimismo, haga una
gráfica log-log del error de la aproximadón en x = 1/ 2, / = 1 como una fundón de k para * * 2~P,
P = 4 .........8.

3. Resuelva la ccuadón de Fisher (8.69) con/(« ) = u(u - 1)(2 - u) y condidoncs de frontera de
Neumann homogéneas, utilizando la condidón inicial (a)/U ) = 1/2 + eos 2nx (b)/Cr) = 3/2 -
eos 2nx. Grafique la soludón aproximada para 0 s t s 2 para los tamaños de paso h - * - 0.05.
¿A qué soludón de equilibrio se aproxima la soludón a medida que aumenta el tiempo?

4. Resuelva la ccuadón de Fisher. con/(u) = u(u - l)(2 - u) en un dominio espada! de dos di­
mensiones. Suponga condidoncs de frontera de Neumann homogéneas y las condiciones ¡nidales
de (8.73). Grafique la solución aproximada para los tiempos enteros / - 0 , . . . . 5 con tamaños de
paso h = k = 0.05 y A/ = 0.05. ¿A qué soludón de equilibrio se aproxima la soludón a medida
que aumenta el tiempo?

5. Resuelva las ecuaciones Brusselator para Dp = 1, Dq = 8. C = 4.5 y (a) K - 4 (b) K = 5 (c) K = 6
(d) K = 6.5. Use condiciones de frontera de Neumann homogéneas y las condiciones imdales
pix, y, 0 ) = 1 + eos n x eos ji y, q(x, y, 0 ) = 2 + co s2 ji* cos2ny, estime el valor mínimo T para el
que |p(x. y,t) - C\< 0.01 para todo / > T.

6. Haga gráficas de contorno de las soludones p(x, y, 2000) de la ecuación Brusselator para
Dp « 1. Dq - 8. C = 4.5 y K « 7.2.7.4.7.6 y 7.8. Utilice tamaños de paso h = * = 0.5. Ai = 1.
Estas gráficas ocupan d rango de la figura 8.22.

Software y lecturas adicionales

Existe una gran variedad de literatura sobre ecuaciones diferenciales pardales y sus aplicadones en
la dencia y la ingeniería. Entre los libros de texto más recientes con un punto de vista aplicado se
encuentran Habcrman 12004). Logan [1994J. Evans [2002J. Strauss [1992J y Gockcnbach 12002).
Muchos libros de texto proporcionan infonnadón más completa acerca de los métodos numéricos
para EDP. como las diferencias y los elementos finitos, incluyendo Strikwcrda [1989], Lapidus y
Pindcr [1982). Hall y i\)rsching [1990), y Morton y Maycrs [1996). Brcnncr y Scott [1994), Ames
[1992), y Strang y Fix [ 1973] se enfocan primordialmente en el método del elementos finito.

la s herramientas para EDP en MATLAB son muy recomendables. Se han vuelto muy po­
pulares como un complemento de los cursos sobre EDP y matemáticas para ingeniería. Maple
tiene un paquete similar llamado PDF.tools, aunque también se han desarrollado varios paquetes
independientes de software para EDP numéricas de uso general o dirigidos a problemas específi­
cos. ELLPACK (Rice y Boisvert [1984]) y PLTMG (Bank [1998]) son paquetes de uso libre para
resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas en regiones generales del plano. Ambos están
disponibles en Netlib.

H software que aplica el método del elemento finito incluye los programas gratuitos FEAST
(herramientas de solución por elementos finitos), FreeFF.M y PF.TSc (herramientas extensibles
portátiles para el cálculo científico), y el software comercial entre los que se encuentran COMSOL.
NASTRAN y D1FFPACK. El IMSL contiene la rutina DFPS2H para resolver la ecuación de Pois-
son en un rectángulo y DFPS3H en una caja tridimensional. Estos métodos se basan en diferencias
finitas.

La biblioteca NAG contiene varias rutinas para diferencias y elementos finitos. El programa
D03F.AF resuelve la ecuación de 1-aplace en dos dimensiones por medio de un método de ecuacio­
nes integrales; D03EEF utiliza una fórmula de diferencias finitas de siete puntos y maneja muchos
tipos de condiciones de frontera. Las rutinas D03PCF y D03PFF manejan ecuaciones parabólicas
c hiperbólicas, respectivamente.