Análisis numérico, 2da Edición - Timothy Sauer-FREELIBROS.ORG

4 .5 Mínimos cuadrados no lineales | 231

Se inicia por recordar el método de Newton multivariado, para después aplicarlo a la función vista
como un vector columna F(x)T = (rT Dr)T = (Dr)Tr. Puede aplicarse la regla del producto de ma­
trices/vectores (vea el apéndice A) para obtener

m

D F (x )T = D ((D r )Tr) = ( D r ) r - D r + £ r¡Dc¡.
/=l

donde c¡ es la f-ésima columna de Dr. Observe que Dc¡ = Hr¡, la matriz de las segundas derivadas
parciales, o Hessiana, de r¿.

d~rj ... 9an

9xi9xi Bx\Bxa

Hrt =

92r , 32r,
- 9x„dxi * '' BxaBxa -

La aplicación del método de Newton puede simplificarse eliminando algunos de los términos.
Sin la sumatoria superior de m términos, se tiene lo siguiente.

Método de Gauss-Newton ri(x )2 + ••• + '■*(* )2. (4.33)
Pira disminuir al mínimo (4 .3 4 )
A = D r(x k)
Establezca * 0 = vector inicial. A T A v k = - A Tr (x k )
for* = 0 , 1, 2 ,...
x k+i _ x k + vk
end

Observe que cada paso del método de Gauss-Newton es una reminiscencia de las ecuacio­
nes normales, donde la matriz de coeficientes ha sido reemplazada por Dr. El método de Gauss-
Newton resuelve parauna raíz del gradiente del error cuadrático. Aunque el gradientedebe ser cero
en el mínimo, lo inverso noes cierto, por lo que es posible que elmétodo converja a un máximo o
a un punto neutro. Debe tenerse cuidado en la interpretación del resultado del algoritmo.

Los tres ejemplos siguientes ilustran el uso del método de Gauss-Newton. así como el método
de Newton multivariado del capítulo 2. Dos círculos secantes se cortan en uno o dos puntos, a
menos que los círculos coincidan. Sin embargo, tres círculos en el plano por lo general no tienen
puntos de intersección común. En tal caso, puede pedirse el punto en el plano que se aproxime más
a ser un punto de intersección en el sentido de los mínimos cuadrados. Para tres círculos, éste es un
problema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas x ,y .

En el ejemplo 4.21 se muestra cómo resuelve el método de Gauss-Newton este problema no
lineal de mínimos cuadrados. En el ejemplo 4.22 se define el mejor punto de una manera diferente:
se encuentra el único punto de intersección de los tres círculos, lo que permite que su radio pueda
cambiarse por una cantidad común K. Se trata de un problema de tres ecuaciones con tres incógni­
tas x, y, K; no es un problema de mínimos cuadrados y se resuelve usando el método multivariado
de Newton.

Por último, en el ejemplo 4.23 se añade un cuarto círculo. La solución de cuatro ecuaciones
con tres incógnitas x .y , K c s de nuevo un problema de mínimos cuadrados que requiere de Gauss-
Newton. Esta última formulación es relevante para los cálculos en GPS. como se muestra en la
comprobación en la realidad 4.

232 | CAPITULO 4 Mínimos cuadrados

(a) (b) (c)

H gur»4.13 Puntos coreanos a la intersección do tros circulo*, (a) Puntos cercanos a la Intersección por
m ínimos cuadrados q ue se encuentran m ediante el método de Gauss-Newton. (b) Al expandir los radios en
una cantid ad com ú n se o b tien e un tipo diferente de punto cercano a la intersección m ediante el m étodo
de Newton muhrvariado. (c) Los cuatro circuios d el ejem plo 4.23 con un punto de solución por mínimos
cuadrados, encontrado m ediante el método de Gauss-Newton.

► EJEM PLO 4.21 Considere los tres círculos cn el plano con centros (xi, y i) = (—1,0), (x2 , y i ) = (1, l / 2 ),(x 3 ,y j) =
(1, —1/2) y los radios R\ — 1. / ? 2 = 1/2, /? 3 = 1/2. respectivamente. Utilice el método de Gauss-
Newton para encontrar el punto en el que se minimiza la suma de los cuadrados de las distancias
a los tres círculos.

Los círculos se muestran en la figura 4.13(a). El punto (x, y) cn cuestión minimiza la suma de
los cuadrados de los errores residuales:

r\ <*, y) = J t o - Xi ) 2 + (y - y i ) 2 - R i
ri(x, y) = y < x - X 2 ) 2 + (y - J-2 ) 2 - R2
rt(x , y ) = y ( x - X 3 ) 2 + ( y - y i) 2 - R$-

Esto se deduce del hecho de que la distancia de un punto (x, y) a un círculo con centro en (xj,
y!) y radio R { es ^ ( x —x\ ) 2 + (y —yj)* — R\ | (vea el ejercicio 3). El jacobiano de r(x, y) es

Dr(x,y) = Hf*

Jt~X 3

donde S, = y/(x - x, ) 2 + ( y - vs)* para i = 1, 2. 3. La iteración de Gauss-Newton con vector

inicial (x°, = (0 ,0 ) converge a (**>’) = (0.412891.0) con seis posiciones decimales correctas

después de siete pasos. <

Un problema relacionado con los tres círculos da un tipo diferente de respuesta. En lugar de
buscar los puntos que más se asemejan a los puntos de intersección, es posible expandir (o reducir)
los radios de los círculos en una cantidad común hasta que tengan una intersección común. Esto es
equivalente a resolver el sistema

4 .5 Mínimos cuadrados no lineales | 233

n (x . y . K ) = yj(x- x i) 2 + (y - y i) 2 - (/?. + K ) = 0 (4.35)
r2 (x, y. tf) = yj(x - x2 ) 2 + (y - >s) 2 - (*> + * 0 = 0
r 3 (x, y. a:) = yj(x ~ JC3 ) 2 + (y - ya) 2 - ( / ? 3 H- AT) = 0 .

El punto (x, y) identificado de esta manera suele ser diferente de la solución por mínimos
cuadrados del ejemplo 4 .2 1.

EJEMPLO 4.22 Resuelva el sistema (4.35) para (x , y , K), empleando los círculos del ejemplo 4.21.

El sistema consta de tres ecuaciones no lineales con tres incógnitas, si se invoca el método
multivariado de Newton. El jacobiano es

Dr(x,y,K) =

El método de Newton genera la solución (x ,y . K) — (1 /3 ,0 , 1/3) en tres pasos. El punto de in­

tersección (1 /3 ,0 ) y los tres círculos con radios expandidos en K = 1/3 se presentan en la figura

4 .13(b). <«

Los ejemplos 4.21 y 4.22 muestran dos puntos de vista diferentes sobre el significado de “cer­

cano al punto de intersección’' para un grupo de círculos. En el ejemplo 4.23 se combinan los dos

distintos enfoques.

EJEMPLO 4.23 Considere los cuatro círculos con centros ( - 1,0), (1 ,1 12), (1, -1 /2 ), (0.1) y los radios respectivos
de 1.1/2.1 / 2 , 1/2. Encuentre el punto (x.y) y la constante K para la cual la suma de los cuadrados de
las distancias desde el punto a los cuatro círculos con radios aumentados en K (así, I + K,
1/2 + K, 1/2 + K, 1/2 + K, respectivamente) se minimiza.

Ésta es una combinación directa de los dos ejemplos anteriores. Existen cuatro ecuaciones con
tres incógnitas x, y, K. Los residuos de mínimos cuadrados son similares a (4.35), pero con cuatro
términos, y su jacobiano es

Dr(x,y,K) = T -1
-•
¥

X -X 1
Si

El método de Gauss-Newton proporciona la solución (x, y ) — (0.311385,0.112268) con T? =

0.367164, que se ¡lustra en la figura 4.13(c). <

El análogo del ejemplo 4.23 para esferas en tres dimensiones es la base matemática del sistema
de posicionamiento global (GPS). Vea la comprobación en la realidad 4.

4 .5 .2 M odelos con parám etros no lineales

Una aplicación importante del método de Gauss-Newton es el ajuste de los modelos que no lineales
en los coeficientes. Sean (/,, y j ) ,. . . , (tm, yM) el conjunto de datos y y = f c(x) la función que debe

234 | CAPITULO 4 Mínimos cuadrados

ajustarse, donde c = [c¡ c^J es un conjunto de parámetros de se eligen para minimizar la suma
de los cuadrados de los residuos

n(c) = f c(t\) - y\

rm(c) — fcOm) ~ VVn*

Este caso particular de (4.31) se ve con suficiente frecuencia como para justificar un tratamiento

especial aquí.

Si los parámetros C | cpcntranal modelo de una manera lineal.entonces éste es un conjunto

de ecuaciones lineales en los c, y las ecuaciones normales, o la solución por la factorización

QR. proporciona la elección óptima de los parámetros c. Si los parámetros c, son no lineales cn el

modelo, el mismo tratamiento resulta en un sistema de ecuaciones que es no lineal cn los c¡. Por

ejemplo, el ajuste del modeloy ■ Cjrí2 a los puntos de datos produce las ecuaciones no lineales

y\ = c i/ p

Vm = C\t%.

Debido a que c2entra al modelo en forma no lineal, el sistema de ecuaciones no puede expresarse
en forma matricial.

En la sección 4.2 se manejó esta dificultad cambiando el problema: se “lincalizó el modelo”
aplicando escalas logarítmicas en ambos lados del modelo y minimizando el error cn la transfor­
mación logarítmicamente por mínimos cuadrados. En los casos donde las coordenadas transfor­
madas logarítmicamente son en realidad las coordenadas adecuadas cn las que se minimiza el
error, esto es lo apropiado.

Sin embargo, para resolver el problema de mínimos cuadrados original, se regresa al método
de Gauss-Newton. Se usa para reducir al mínimo la función de error £ como una función del vec­
tor de parámetros c. La matriz Dr es la matriz de derivadas parciales de los errores r, con respecto
a los parámetros c;, que son

(Dr),7 = 3 ^ = fcjOi)'

Cbn esta información, es posible ¡mplementar el método de Gauss-Newton (4.33).

►EJEMPLO 4 .2 4 Use el método de Gauss-Newton para ajustar los datos de la oferta mundial de automóviles del
ejemplo 4.8 a un modelo exponencial (no linealizado).

Encontrar el mejor ajuste de los datos a un modelo exponencial por mínimos cuadrados signi­
fica encontrar C|, C2 . que minimicen la RMEC para los errores r, = C|e ^ 1' — y¡, i = 1 m.Al
usar la linealizatión del modelo en la sección anterior se ha minimizado la RMEC para los errores
del modelo logarítmico ln y¡ - (ln Cj - c2t¡). lx)S valores de c,que minimizan la RMEC en los dos
sentidos, por lo general son distintos.

Para calcular el mejor ajuste de mínimos cuadrados por el método de Gauss-Newton. defina

c íe * * » - y\

_ Cíe*'- - ym

y aplique derivadas con respecto a los parámetros C\ y c2 para obtener

Dr = -

c \ t mec:'m

4 .5 Mínimos cuadrados no lineales | 235

ANOTACIÓN C o n v e rg e n c ia La no lineafidad en los problemas de mínimos cuadrados ocasiona desafíos adi­

cionales. Las ecuaciones normales y el enfoque QR encuentran la solución únicat siem pre y cuando la
matriz A de coeficientes tenga un rango completo. Por otro lado, la Iteración de Gauss-Newton aplica­
da a un problema no lineal puede converger a uno de varios mínimos relativos diferentes del error de
mínimos cuadrados. El uso de una aproximación razonable para el vector In icia l si ésta existe, agrega
convergencia al mínimo absoluto.

v

Figura 4.14 Ajusta exponencial de los datos da la oferta mundial de autom óviles usando llneallxadón.
El m ejor ajuste p o r m ínim os cu adrados es y - 58.51elQQ,r7?,.

Este modelo se ajusta con los datos de la oferta mundial de automóviles, donde / se mide en años
desde 1970 y los automóviles en millones. Cinco pasos del método de Gauss-Newton (4.33) a
partir de la estimación inicial (cj, Cj) = (50, 0.1) producen (cj, C2 ) (58.51,0.05772) con cuatro
dígitos de precisión. El mejor modelo exponencial de mínimos cuadrados para los datos es

y = 58.5 le0-05772'. (4.36)

La RMEC es 7.68, que significa un error promedio de modelado, en el sentido de los mínimos
cuadrados, de 7.68 millones de automóviles (vea la figura 4.14).

H mejor modelo (4.36) puede compararse con el mejor modelo exponencial lincalizado

y = 54.03*0-061521

calculado en el ejemplo 4.8. Esto se obtuvo de las ecuaciones normales aplicadas al modelo linea-

lizado In y = ln C| + C2 f-La RMEC de los errores ri del modelo lincalizado es 9.56, mayor que la

RMEC de (4.36), como se requería. Sin embargo, el modelo lincalizado disminuye al mínimo

la RMEC de los errores ln y, - (ln c j + Cjt¡\ dando un valor de 0.0357, menor que el valor corres­

pondiente de 0.0568 para el modelo (4.36), también como se requería. Cada uno de los modelos es

el ajuste óptimo en su espacio de dalos.

La moraleja es que existen algoritmos de cálculo para resolver cualquier problema. La mini-

mización de r, es el problema estándar de mínimos cuadrados, pero el usuario debe decidir sobre

la base del contexto de lo datos si es más apropiado minimizar los errores o linealizarlos. <

4 .5 .3 M étodo d e Levenberg-M arquardt_______________________________________________

La m inim izadón por mínimos cuadrados es muy difícil cuando la matriz de coeficientes resulta
estar mal condicionada. En el ejemplo 4.5 se encontraron grandes errores en la solución por míni­
mos cuadrados de A x = b cuando se emplearon las ecuaciones normales, puesto que ATA tenía un
número de condición grande.

236 | CAPITULO 4 Mínimos cuadrados

f l problema suele ser peor para la minimización no lineal de mínimos cuadrados. Muchas
definiciones plausibles del modelo producen matrices Dr mal oondidonadas. El método de I^even-
beig-Marquandt utiliza un ‘térm ino de regulan/ación" para remediar en parte el problema de con­
dicionamiento. Puede considerarse como una mezcla de Gauss-Newton y el método del descenso
más inclinado, que se presentará para los problemas de optim izadón generales d d capítulo 13.

El algoritmo es una modificación simple del método de Gauss-Newton.

Método de Levenberg-Marquardt

Rira minimizar

' ‘tí* ) 2 + ••• + rm(x)2.

Establezca x° = vector inicial. 1 = constante
for* = 0 .1 ,2 ,...

A = Dr(xk)
(A r A + X d * g (A TA))v* = - A Tr(xk)

x k+' = x k + vk

end

B caso de A ■ 0 es idéntico a Gauss-Newton. Al aumentar d parámetro de regularización A
se acentúa el efecto de la diagonal de la matriz AT A, lo que mejora el número de condición y por
lo general permite que el método converja a partir de un conjunto más amplio de aproximaciones
iniciales en comparación con Gauss-Newton.

►E JE M P L 04.25 Utilice Levenberg-Marquardt para ajustar el modelo y = C |e_C2(,_0)*a los puntos ((,, y,) = {(1.3),
(2,5). (2,7),(3,5),(4,1)}.
Es necesario encontrar los Cj.Cj , Cjque minimizan la RMEC para el vector de errores

Cie-C2^ - c j) 2 _
r=

c,e-«(*-cs)2 _

La derivada de r evaluada en los cinco puntos de datos es la matriz de 5 x 3

_ C3)2e -f3(ii-ej)2 2ciC2(/| - C3)*-Cl(,,-C3**

Dr =

_ ci(ft _e - C 2 (tS- e 3)2 c t f g -c it o -e i? 2c\C 2«S -

Levenberg-Marquardt con estimación inicial (cj, c2, c j) = (1. 1. 1) y A fija en 50 iteraciones
converge al mejor modelo de mínimos cuadrados

y = 6.301e-0 * 88(' - 1249)I.

En la figura 4.15 se gráfica la mejor aproximación de los dalos. El método de Gauss-Newton co­

rrespondiente diverge al infinito con la estimación inicial. <

El método se originó por la sugerencia de Lcvcnbcrg [1944] de agregar A/ a A 1 A en Gauss-
Newton para mejorar su condicionamiento. Algunos años después, D. Marquardt, un estadístico de
DuPont, mejoró la sugerencia de Levenberg al sustituir la matriz identidad con la diagonal de A 7 A
(Marquardt [1963]).

4 .5 Mínimos cuadrados no lineales | 237

Fig ura 4 .1 5 A ju sta dal m cxM o dal ejem plo 4 .2 5 . El método d e Levenborg Marquardt se usa para encontrar
e l m ejor m odelo d e m ín im o scu a d ra d o sy = 6 3 0 1 e "°-soea{f - 2 J!4 9 ), ,g raficad o com o la cu rva sólida.

Aunque A se ha tratado como una constante para mayor simplicidad, el método se aplica a
menudo de manera adaptable con una A variable. Una estrategia común consiste en seguir dism i­
nuyendo A por un factor de 10 en cada paso de la iteración, siempre y cuando la suma residual de
los errores cuadrárteos disminuya en el paso, y si la suma aumenta, se rechaza el paso y se aumenta
A por un factor de 10.

4 .5 E je rc ic io s ____________________________________________________________________________________________________

1. El método de Gauss-Newton puede aplicarse para encontrar el punto x. y para el cual la suma de
los cuadrados de las distancias hasta los tres círculos se minimiza. Utilizando un vector inicial
(*o.>'o) = (0 . 0 ), realice el primer paso para encontrar (x |,y |) (a) centros (0 . !) ,( ! , I),(0 , - 1 ) y
todos los radios ¡guales a 1(b) centros ( - 1 .0 ) , (1, 1), (1, - 1 ) y todos los radios ¡guales a 1. (El
problema de computadora 1 pide x , y).

2. Realice el primer paso del método multivariado de Newton aplicado al sistema (4.35) para los tres
círculos del ejercicio 1. Utilice (xg. y0. ^o) = (0. 0- 0)- ( ^ problema de computadora 2 pide la
solución (x,y. Af)).

3. Demuestre que la distancia desde el punto (x, y) hasta un círculo (x - x \ ) : + (y - vi) 2 = Rf es
l>/<* —* i) + (y - y i i1 - * i |.

4. Demuestre que el método de Gauss-Newton aplicado al sistema lineal Ax ■ b converge en un paso
a la solución de las ecuaciones normales.

5. Encuentre la matriz Dr necesaria para la aplicación de la iteración de Gauss-Newton a cada pro­
blema de ajuste del modelo con tres puntos (lj, y,). (r2. y2 ). (fy,y^X (a) ley de potencia y =
(b) y =

6 . Encuentre la matriz Dr necesaria para la aplicación de la iteración de Gauss-Newton a cada pro­
blema de ajuste del modelo con tres puntos de datos (/j, y,), (f2, >'2 ). (*3. y3 >, (a) exponencial tras­
ladado y = 0 3 + c \ é - (b) ley de potencia trasladada y =• C3 + c i/C2.

7. Demuestre que el número de soluciones reales (x, y, K) de (4.35) es infinito o al menos dos.

4.5 Pro blem as de com putadora

1. Aplique el método de Gauss-Newton para encontrar el punto x, y para el cual la suma de los cua­
drados de las distancias a los tres círculos se minimiza. Utilice el vector inicial (x<>, yo) “ (0. 0).
(a) Centros ( 0 .1 X 0 ,1).(0. - 1 ) y todos los radios iguales a 1. (b) Centros ( - l.O ) .( l, 1), (1, —1)
y todos los radios iguales a I .

238 | CAPITULO 4 Mínimos cuadrados

2. Aplique el método multivariado de Newton al sistema (4.35) para los tres círculos del problema
de computadora 1. Use el vector inicial (*o. yo. *o) = (0. 0.0).

3. Encuentre el punto Cr. y) y la distancia K que minimiza la suma de los cuadrados de la distancia
a los círculos con los radios aumentados por K. como en el ejemplo 4.23 (a) círculos con centros
( - 1 .0 ) , (1,0), (0, 1),(0. - 2 ) y todos los radios iguales a 1 (b) círculos con centros ( - 2 .0 ) , (3.0),
(0 , 2 ), (0 , - 2 ) y todos los radios iguales a 1 .

4. Realice los pasos del problema de computadora 3 con los siguientes círculos y grafique los resul­
tados (a) centros ( - 2 , 0 ), (2 , 0 ), (0 , 2 ), (0 , - 2 ) y (2 , 2 ), con radios de 1 , 1 , 1 , 1 , 2 respectivamente
(b) ccntrosO , 1 ). (1 , - 1). (—1 . 1 ). ( —1 . - 1 ). (2 , 0 ) y todos los radios ¡guales a 1 .

5. Use d método de Gauss-Newton para ajustarse a una ley de potencia para los datos de peso y
altura del ejemplo 4.10 sin linealización. Calcule la RMEC.

6 . Use el método de Gauss-Newton para ajustar el modelo de concentración en la sangre (4.21) a los
datos del ejemplo 4.11 sin linealización.

7. Utilice el método de Levenberg-Marquardt con A ■ 1 para ajustarse a una ley de potencia para los
datos de altura y peso del ejemplo de 4.10 sin linealización. Calcule la RMEC.

8 . Use el método de Levenberg-Marquardt con A = 1 para ajustar el modelo de concentración en la
sangre (4.21) a los datos del ejemplo 4.11 sin linealización.

9. Aplique Levenberg-Marquardt para ajustar el modelo y = a los siguientes conjuntos

de datos, con una estimación inicial adecuada. Indique el valor inicial, el parámetro de regulariza-

ción A usado y la RMEC. Grafique la mejor curva de mínimos cuadrados con sus datos.

(a) (//. >V) = { (-1 .1 ). (0.5). ( 1 . 1 0 ). (3 .8 ). (6 . 1 )|
<b) (//,>v) = 1(1.1). (2 .3 ).(4 .7 ).(5 .1 2 ).(6 .1 3 ).(8 .5 ).(9 .2 )(U .l)}

10. Investigue a mayor profundidad el ejemplo 4.25 al determinar las estimaciones iniciales a partir
de la malla 0 S c, £ 1 0 con un espaciamiento de 1 y 0 s c 2 s 1 con un espaciamiento de 0 . 1 ,
c3 = I, para las cuales el método de I^venbcrg-Marquardt converge a la solución correcta de
mínimos cuadrados. Utilice el comando meeh de M ah.ab para graficar sus respuestas, 1 para un
valor inicial convergente y 0 en el caso contrario. Grafique para A = 50, A « 1. y para el caso de
Gauss-Newton A = 0. Comente las diferencias encontradas.

11. Aplique Levenberg-Marquardt para ajustar el modelo y — cíe"*'2' cos(cj/ + ac a ) los siguientes
puntos, con una estimación inicial adecuada. Indique el valor inicial, el parámetro de regulariza-
ción Autilizado y la RMEC. Grafique la mejor curva de mínimos cuadrados con los datos. Este
problema tiene soluciones múltiples con la misma RMEC. puesto que c4 sólo está determinado
por el módulo 2 x

(a) (//. >V) = 1(0.3), (2. - 5 ) , (3. - 2 ) . (5,2), (6 .1), (8 . - 1 ) , (10.0))
(b) (t, . >y) = {(1.2). (3.6). (4.4). (5. 2). (6 . - 1 ) . (8 , -3)}

Ccmprobodón*/ GPS, condicionamiento y mínimos cuadrados no lineales
enicrealidad
0 sistema de posicionamicnto global (GPS) se compone de 24 satélites que llevan relojes atómicos
y que orbitan la Tierra a una altitud de 20 200 km. Cuatro satélites en cada uno de los seis planos,
inclinados a 55° respecto a los polos, realizan dos revoluciones por día. En cualquier momento,
desde cualquier punto en la Tierra, entre cinco y ocho satélites, están en una línea de visión directa.
Cida satélite tiene una sola misión: transmitir señales cuidadosamente sincronizadas desde posi­
ciones predeterminadas en el espacio, que serán recogidas por los receptores GPS en tierra. Los re­
ceptores utilizan la información, realizan algunas operaciones matemáticas (descritas brevemente)
y determinan las coordenadas (x , y, z) precisas del receptor.

4 .5 Mínimos cuadrados no lineales | 239

En un instante dado, el receptor recibe la señal sincronizada desde el i-ésimo satélite y deter­
mina su tiempo de transmisión t¡, la diferencia entre los tiempos en que la señal fue transmitida
y recibida. 1.a velocidad nominal de la señal es la velocidad de la luz, c % 299792.458 km/seg.
Al multiplicar el tiempo de transmisión por c se obtiene la distancia al satélite desde el receptor,
colocando el receptor cn la superficie de una esfera centrada cn la posición del satélite y con radio
ct¡. Si hay tres satélites disponibles, entonces se conocen tres esferas, cuya intersección consiste de
dos puntos como se muestra en la figura 4.16. Un punto de intersección es la ubicación del receptor.
El otro normalmente está alejado de la superficie terrestre y puede descartarse de forma segura. En
teoría, el problema se reduce a calcular esta intersección, la solución común de tres ecuaciones de
esfera.

B g u ra 4 .1 6 T r* s K f c r u in t o r M C M t K . Por lo g e n e ra l sólo dos puntos se encuentran en tas tres esferas.

Sin embargo, hay un problema importante con este análisis. Primero, aunque las transmisiones
de los satélites están programadas casi hasta un nanosegundo mediante los relojes atómicos a bor­
do, el reloj en el típico receptor de bajo costo en tierra tiene una precisión relativamente pobre. Si
se resuelven las tres ecuaciones con una sincronización ligeramente inexacta, la posición calculada
podría estar equivocada por varios kilómetros. Por fortuna, hay una manera de arreglar este proble­
ma. El precio a pagar es un satélite extra. Defina d como la diferencia entre la hora sincronizada en
los (ahora cuatro) relojes de los satélites y el reloj del receptor en tierra. Denote la ubicación del
satélite i por {A,. B¡, C¡). Entonces, el verdadero punto de intersección (x, y. z ) satisface

r¡<x,y,z,d) = y<x - Ai)2 + (y - fl, ) 2 + (z - C {)2 - c(/,-

n.(x,y,z,d) = y/(x - Ai)1 + (y - ¡h)2 + (z - C i)2 - c( / 2 -
rjíx .y , z, d) = J ( x - A rf + - cfo-
(y - S j)2 + (z - C3)2

r4 ( x ,y ,z , J ) = y í x ^ 4 4 ) ^ K y ^ ~ f i 4 ) ^ K r ^ C 4 ^ - c( / 4 - </) = 0 (4.37)

que debe resolverse para las incógnitas x, y, z, d. La solución del sistema revela no sólo la ubica­
ción del receptor, sino también la hora correcta de los relojes de los satélites, debido a que ahora
se conoce d. Por lo tanto, la inexactitud en el reloj receptor GPS puede fijarse usando un satélite
adicional.

Geométricamente hablando, cuatro esferas no pueden tener un punto de intersección común,
pero lo tendrán si los radios se expanden o contraen cn la cantidad común correcta. El sistema

240 | CAPITULO 4 Mínimos cuadrados

(4.37) que representa la intersección de cuatro esferas es el análogo tridimensional de (4.35), que
representa el punto de intersección de tres círculos en el plano.

Puede verse que el sistema (4.37) tienen dos soluciones (x y, z. d). Las ecuaciones pueden
escribirse en forma equivalente

(X -- A y ) 2 + i y - s o 2 + (2 -- C i ) 2 = [c(fi -- d ) f (4.38)
(x -- a 2)2 + ( y - S 2 ) 2 + (2 -- C 2)2 = [C(l2 ' - d ) ) 2
( x - - A 3)2 + Cv - s 3 ) 2 + (2 -- C i ) 2 = [c( / 3 -~ d )] 2
(X -- A a)2 + <>’ - a » )2 + <2 -- C 4 ) 2 = [c(/4 -- d ) ) 2.

Observe que al restar las últimas tres ecuaciones de la primera, se obtienen tres ecuaciones lineales.
Cbda ecuación lineal puede usarse para eliminar una variable x y, z, y al sustituir en cualquiera
de las ecuaciones originales, resulta una ecuación cuadrática con una sola variable d. Por lo tanto,
el sistema (4.37) tiene a lo sumo dos soluciones reales y pueden encontrarse mediante la fórmula
cuadrática.

Cuando se despliega el GPS surgen dos nuevos problemas. El primero es el condicionamiento
del sistema de ecuaciones (4.37). Se encontrará que la solución para (x y, Z. d) está mal condicio­
nada cuando los satélites se agrupan estrechamente en el cielo.

La segunda dificultad es que la velocidad de transmisión de las señales no es precisamente c.
Las señales pasan a través de los 100 km de la ionosfera y los 10 km de la troposfera, cuyas pro­
piedades electromagnéticas pueden afectar la velocidad de transmisión. Por otra parte, las señales
pueden encontrar obstáculos en tierra antes de llegar al receptor, un efecto llamado interferencia de
ruta múltiple. En la medida en que estos obstáculos tengan el mismo impacto en cada ruta satclital.
la introducción de la corrección de tiempo d en el lado derecho de (4.37) resulta útil. Sin embargo,
este supuesto suele no ser viable y conducirá a agregar información con más satélites y a considerar
la aplicación de Gauss-Newton para resolver un problema de mínimos cuadrados.

Considere un sistema tridimensional de coordenadas cuyo origen es el centro de la tierra (radio
%6370 kilómetros). Los receptores GPS convierten estas coordenadas en datos de latitud, longitud
y altitud para poderlos leer y aplicarlos en procesos de mapeo más sofisticados que se usan en los
sistemas mundiales de información geográfica (SIG). un proceso que no se estudiará aquí.

Actividades sugeridas

1. Resuelva el sistema (4.37) usando el método de Newton multivariado. Encuentre la posición del
receptor(x, y, z) cerca de la Tierra y la corrección de tiempo d para las posiciones satelitales simul­
táneas conocidas (15600. 7540. 20140). (18760. 2750. 18610), (17610. 14630. 13480), (19170.
610, 18390) en km. y los intervalos de tiempo medidos 0.07074, 0.07220. 0.07690. 0.07242 en
segundos, respectivamente. Establezca el vector inicial ( xq, yo, Zb. ¿o) = (0 .0 . 6370, 0). Como
verificación, las respuestas son aproximadamente (x y. z) = (-41.77271. -16.78919.6370.0596)
y d “ -3.201566 X 10“ 3 segundos.

2. Escriba un programa en M a t i. a b para encontrar una solución mediante la fórmula cuadrática. Su­
gerencia; al restarlas tres últimas ecuaciones de (4.37) de la primera se obtienen tres ecuaciones
lineales con cuatro incógnitas x u x + yúy + züT + dúd + w = 0 . expresada en forma vectorial.
Es posible obtener una fórmula para x en términos de d a partir de

0 = <kl[uy \üt\xúx + yüy -f zü. + d ü j + w],

donde se observa que el determinante es lineal en sus columnas y que una matriz con una columna
repetida tiene determinante cero. De manera similar pueden deducirse fórmulas en términos de d
para y y z, respectivamente, que pueden sustituirse en la primera ecuación cuadrática de (4.37) a
fin de obtener una ecuación de una variable.

4 .5 Mínimos cuadrados no lineales | 241

3. Si el cuadro de herramientas simbólicas de M a t l a b está disponible (o un paquete simbólico como
Maplc o Mathematica), existe una alternativa al paso 2. Defina variables simbólicas usando el co­
mando syma y resuelva las ecuaciones simultáneas con el comando del cuadro de henamientas
simbólicas so l ve. Use suba para evaluar el resultado simbólico como un número de punto flotante.

4. Ahora configure una prueba del condicionamiento del problema del GPS. Defina las posiciones
satclitales (A¿ B¡. C¿) a partir de las coordenadas esféricas (p. ft. 0¡) como

Ai — pcos^/cosft
B¡ = p cos0j sen

C¡ = psen<fc,

donde p - 26570 kilómetros es fijo, mientras que O S ^ S ^ 2 y O S É i s 2 , r para i ■ 1 , . . . , 4
se eligen de manera arbitraria. I-a coordenada ^se restringe de modo que los cuatro satélites estén
en el hemisferio superior. Establezca x m 0, y ■ 0, z ■ 6370, d ■ 0.0001 y calcule los rangos

satelitales correspondientes R¡ — J A* + Bj + (Ct —6370)2, así como los tiempos de viaje t¡ -
d + RJc.

Se definirá un factor de magnificación del error especialmente adaptado a la situación. Los
relojes atómicos a bordo de los satélites son correctos hasta 1 0 nanosegundos, o 1 0 - 8 segundos.
R>r lo tanto, es importante estudiar el efecto de los cambios en los tiempos de transmisión de esta
magnitud. Sea el error hacia atrás, o el error de entrada, el cambio de la entrada en metros. A la
velocidad de la luz, Ar( = 10- 8 segundos corresponde a 10“ 8 c % 3 metros. Sea el error hacia
adelante, o el error de salida, el cambio en la posición ||(Ax, Ay Az)||». causado por un cambio en

también en metros. Entonces es posible definir el

factor de magnificación del error = -ft.
e ||(A /, Af«)llao

sin dimensiones y el número de condición del problema como el factor de magnificación del error
máximo para todos los Ar, pequeños, (por ejemplo, 1 0 ~ 8 o menos).

Cambie cada t, definida anteriormente por A/¿ = 10 - 8 o - 10"8, no todas del mismo modo.
Denote la nueva solución de las ecuaciones (4.37) por (x .y .z .t/), y calcule la diferencia en la
posición ||(Ajr, Ay Az)||*. así como el factor de magnificación del error. Pruebe diferentes varia­
ciones de los At,. ¿Cuál es el máximo error de posición encontrado, en metros? Estime el número
de condición del problema, sobre la base de los factores de magnificación del error que ha calcu­
lado.

5. Ahora repita el paso 4 con un conjunto de satélites agrupados de manera más estrecha. Elija lodos
los <Picon una separación de 5 por ciento entre sí. y todos los Bi dentro del mismo marco de separa­
ción del 5 por ciento. Resuelva con el mismo error de entrada que en el paso 4, y sin él. Encuentre
d error máximo de posición y el factor máximo del error. Compare el condicionamiento del pro­
blema cuando los satélites de GPS están agrupados de manera muy estrecha o muy dispersa.

6 . Decida si el error y el número de condición del GPS puede reducirse mediante la adición de saté­
lites. Retome la configuración no agrupada de satélites del paso 4. y añada cuatro más. (En todo
momento y en todas las posiciones sobre la Tierra, entre 5 y 12 satélites GPS visibles). Diseñe una
iteración de Gauss-Ncwton para resolver el sistema de mínimas cuadrados con ocho ecuaciones
y cuatro incógnitas (x. y ¿ </). ¿Cuál es un buen vector inicial? Encuentre el máximo error de
posición del GPS y estime el número de condiciones. Resuma sus resultados para cuatro satélites
no agrupados, cuatro satélites agrupados y ocho satélites no agrupados. ¿Cuál es la mejor confi­
guración y cuál es el máximo error del GPS. en metros, que usted debe esperar sólo sobre la base
de las señales de satélite?

242 | CAPITULO 4 Mínimos cuadrados

Software y lecturas adicionales

La aproximación por mínimos cuadrados data del siglo xix. Al igual que la interpolación poli­
nomial, pueden verse como una forma, con la que se encuentra una representación simple de un
conjunto de datos complicado considerando su error. Los modelos que se implementan con fre­
cuencia son rectas, polinomios, funciones exponenciales y leyes de potencia. Ixrs datos periódicos
requieren representaciones trigonométricas que, llevadas al extremo, conducen a la interpolación
trigonométrica y a los ajustes por mínimos cuadrados trigonométricos, los cuales se estudian cn el
capítulo 1 0 .

Qraiquicr función que sea lineal cn sus coeficientes puede utilizarse para ajustar datos median­
te la aplicación del método de tres pasos que se presentó en la sección 4.2, lo cual resulta en una
solución de las ecuaciones normales. Para los problemas mal condicionados, no se recomiendan
las ecuaciones normales, debido a que en este enfoque el número de condición es aproximada­
mente cuadrático. 1.a factorización matricial recomendada en este caso es la factorización QR y,
en algunos casos, la descomposición del valor singular que se presenta cn el capítulo 12. Golub
y Van Loan [1996J es una excelente referencia para la factorización QR y otras factorizaciones
matriciales. Lawson y Hanson [1995] es una buena fuente de fundamentos para los mínimos cua­
drados. Los aspectos estadísticos del ajuste por mínimos cuadrados a la regresión lineal y múltiple
se cubren en textos más especializados como Draper y Smith [2001], Fox [1997] y Ryan [1997].

R comando de diagonal invertida en M atlab aplicado a Ax ^ b realiza la eliminación gaus­
siana si el sistema es consistente y resuelve el problema de mínimos cuadrados por factorización
QR si es inconsistente. El comando q r de M a tlab se basa cn la rutina DGEQRF de LAPACK.
IMSL proporciona la rutina RLLNE para el ajuste de datos por mínimos cuadrados. La rutina
E02ADF de la biblioteca NAG realiza una aproximación a los polinomios por mínimos cuadrados,
al igual que p o i y f i t de M a tlab. Algunos paquetes estadísticos como S +, SAS, SPSS y Minitab
realizan una gran cantidad de análisis de regresión.

Ijos mínimos cuadrados no lineales se refieren al ajuste de coeficientes que no son lineales en
el modelo. El método de Gauss-Newton y sus variantes, como Levenberg-Marquardt, son las herra­
mientas recomendadas para este cálculo, aunque la convergencia no está garantizada, e incluso si
se produce la convergencia, esto no implica un grado óptimo único. Vea cn Strang y Borre [1997]
una introducción a las matemáticas del GPS y cn Hoffman-Wellenhof ct al. [2001] información
general sobre el tema.

C A P IT U L O

5

Diferenciación e
integración numérica

La manufactura asistida por com putadoradependedel y las aplicaciones de realidad virtual enfrentan proble­
control preciso del m ovimiento a lo larg o d e una tra­ mas similares.
yectoria prescrita Por ejemplo, los tornos o fresadoras
de control num érico dependen de las curvas paramé- ComprotHKlón '
tricas, a m enudo dadas por splines cúbicas o curvas de enle realidad En la página 278 se considera el
Bézier delineadas en software de diseño asistido por
computadora, para describir la trayectoria de las herra­ problema de controlar la velocidad a lo largo de una
mientas de corte o perfilado. La animación generada trayectoria arbitraria Para que se recorra la curva a
porcom putadoraenelcine, Ios ju e g o sd e computadora una velocidad deseada, la curva se param etrizacon res­
pecto a la longitud del arco. Una manera d e controlar
la velocidad es integrarla num éricam ente adaptando la
información de la longitud del arco.

El derivar o integrar es uno de los problemas principales del cálculo. Existen dos direcciones
que pueden tomarse para resolver este tipo de problemas. El cálculo numérico y el cálculo
simbólico. En este capítulo se analizarán ambos, pero se estudiarán a mayor detalle los aspectos
del cálculo numérico. Tanto las derivadas como las integrales tienen definiciones matemáticas
claras, pero a menudo el tipo de respuesta deseado por un usuario depende de la manera cn la que
se especifica la función.

Las derivadas de las funciones co m o/fx) = sen x son el tema del cálculo introductorio. Si la
función se conoce en términos de funciones elementales, por ejem plo,/(x) = sen3^*™ cosh x ), su
tercera derivada puede encontrarse de manera más rápida mediante los métodos de cálculo simbó­
lico, donde las reglas del cálculo se realizan por medio de una computadora. Esto mismo es cierto
para las antiderivadas, en los casos donde la respuesta puede expresarse en términos de funciones
elementales.

En la práctica, existen otras dos formas comunes para que una función sea conocida. Una fun­
ción puede expresarse cn forma tabular, por ejemplo, un conjunto de datos {(f|, Tj), . . . , (/„. r n))

244 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

de tiempoAemperatura medidos en un experimento, quizá con intervalos de tiempo iguales. En este
caso, encontrar la derivada o la antiderivada a partir de las reglas de cálculo es imposible. Final-
mente, una función puede especificarse como la salida de un experimento o una simulación por
computadora cuya entrada la da el usuario. En los dos últimos casos, los métodos simbólicos de
cálculo no pueden aplicarse y se requieren la diferenciación y la integración numérica para resolver
el problema.

5 .1 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

fttra comenzar, se desarrollan las fórmulas de diferencias finitas para aproximar derivadas. En
algunos casos, éste es el objetivo del cálculo. En los capítulos 7 y 8 tales fórmulas se utilizan para
discrctizar las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

5.1.1 Fórm ulas de las diferencias finitas
Pür definición, la derivada d e /(* ) en un valor x es

A o - j t -o n x + h)h ~ m - <*•»

siempre y cuando el límite exista. Esto conduoe a una fórmula útil para aproximar la derivada en jc.
El teorema de Taylor dice que si / e s dos veces continuamente diferenciable, entonces

h2 (5.2)
f ( x + h) = f ( x ) + h f ( x ) +

donde c se encuentra entre x y x + h. La ecuación (5.2) implica la siguiente fórmula:
Fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos

r M = f(x+h)h ~ m - h-r\c). (5.3)

donde c está e n tre x y x + h.

En un cálculo finito, no puede obtenerse el límite en (5.1). pero (5.3) implica que el cociente
se aproximará a la derivada si h es pequeño. Entonces (5.3) calcula la aproximación

A * ) * /(x + h ) - m (5.4)
h

y el segundo término de (5.3) se considera un error. Debido a que el error cometido por la aproxi­
mación es proporcional al incremento h . es posible reducir el error al disminuir h. La fórmu-la
de la diferencia hacia adelante de dos puntos es un método de primer orden para aproximar la
primera derivada. En general, si el error es 0(h n), la fórmula se considerará una aproximación de
orden n.

Un punto sutil dellamar a la fórmula de "primer orden” es que depende de A. La idea del
primer orden es que el error debe ser proporcional a h cuando h -* 0.Si h — 0, c esun objetivo en
movimiento y. en consecuencia, la proporcionalidad constante cambia. Pero mientras f sea conti­
nua. la constante de proporcionalidad f \ c ) tiende hacia f \ x ) cuando h — 0 . por lo que es legítimo
decir que esta fórmula es de primer orden.

5.1 Diferenciación numérica | 245

ANOTACIÓN C o n v e rg e n cia ¿De qué sirve la fórmula del error del método de la diferencia hacia

adelante de dos puntos? Se pretende aproximar f'(x ), por lo que es probable q u e / % r) esté fuera de

alcance. Hay dos respuestas. En prim er lugar, cuando se verifica el código y el software, una buena

comprobación es ejecutarlo con un ejemplo completam ente resuelto, donde las respuestas correctas

ya se conocen e incluso los errores pueden compararse con lo esperado. En tal caso es posible conocer

t a n t o / * ( j) c o m o / ( i) . En segundo lugar, aun cuando no puede evaluarse la fórmula com pleta, a m e­

nudo resulta útil saber cómo se escala el error con h. El hecho de que la fórmula sea de primer orden

significa que al reducir h a la mitad el error debe dism inuir aproximadamente a la mitad, incluso si no

se tiene manera de calcular la constante de proporcionalidad f" (c)/2.

EJEMPLO 5.1 Use la fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos con h = 0 .1 para aproximar la derivada
de/(jr) — l/x en * = 2 .

La fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos (5.4) se evalúa como

A O * í ( x + h ) ~ ñ X ) = S - = Í * -0.2381.
h 0.1

La diferencia entre esta aproximación y la derivada correcta/'(jr) = - x ~ 2en x = 2 es el error

-0.2381 - (-0.2500) = 0.0119.

Compare esto con el error prcdicho por la fórmula, que es hf'(c)l2 para alguna c entre 2 y 2.1. Dado
que f ( x ) = 2 jc-3 , el error debe estar entre

(0.1)2-*% 0.0125 y (0.1)(2.1)-3%0.0108,

lo cual es consistente con el resultado obtenido. Sin embargo, esta información no suele estar dis­

ponible. <

Mediante una estrategia más avanzada, es posible desarrollar una fórmula de segundo orden.
De acuerdo con el teorema de Taylor, si f e s tres veces continuamente difcrcnciablc, entonces

12 l3
f ( x + h ) = f ( x ) + h f ( x ) + - f ( x ) -I- T f \ c \ )

LO

l 2 ¿3
J ( X - h ) = f ( x ) - h f ( X) + y / ' ( * ) - y / " ( c 2 ) .

donde x - h < c2 < x < C\ < x + h. Al restar las dos ecuaciones se obtiene la siguiente fórmula
de tres puntos con un término de error explícito:

/ ( X ) = / f r + h ) u ñ x - *> - g r f a ) - g r t e ) . (5.5)

A fin de tener más precisión acerca del término de error para la nueva fórmula, se utilizará el si­
guiente teorema:

TEO REM A 5.1 Teorem a del valor interm edio. Sea /u n a función continua en el intervalo [a, ó]. Sean j q , ... ,x„,
puntos del intervalo («, b), y a \ , . . . , a„ > 0. Entonces existe un número c entre a y b de tal forma
que

(ai H + a „ )f(c ) = a t/C x t) H h anf(x„ ). (5.6)

246 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica

D em ostración. Sean /(*,•) e1mínimo y/(xy)el máximo de los valores de la función. Entonces
a \ f ( x t ) + ••• + a „ /(x¡) < a \ f ( x \ ) + ••• + a„f(x„) < a \ f ( x j ) + ••• + anf { x j )

implica que

A * > < a i / ( xaii) tH " ' tV aa„° /<X.> s /<*/>•

POr el teorema del valor intermedio, existe un número c entre x¡ y Xj de tai forma que

, ( c ) _ o i/(-V |)4 - - + a „ / ( x w)

a i -1 an

y (5.6) se satisface. □

El teorema 5.1 dice que es posible combinar los dos últimos términos de (5.5), de donde se
obtiene una fórmula de segundo orden:

Fórmula de la diferencia centrada de tres puntos

/ ( 0 ^ / U + *) 2~ / (X ~ * ) - f r (c). (5.7)

donde x — h < c < x + h.

►EJEMPLO 5.2 Use la fórmula de las diferencias centrales de tres puntos con h = 0.1 para aproximar la derivada
dc/(x) = 1/xcnx —2 .

La fórmula de la diferencia centrada de tres puntos se evalúa como

/ w ^ /(, + = w _ 02S06

El error es 0.0006. que representa una mejora respecto a la fórmula de la diferencia hacia ade­

lante de dos puntos usada en el ejemplo 5.1. -4

Las fórmulas de aproximación para derivadas de orden superior pueden obtenerse de la misma
forma. Por ejemplo, la expansión de Taylor

/ ( * + /!) = / ( * ) + h f ( x ) + J / '< * ) + “ /*'< *) + )

y

f ( x - h ) = f U ) - h f ( x ) + y /" < * ) - y / > ) + 5 5 / 0,)(« ).

ANOTACIÓN C o n v e rg e n cia Las aproximaciones d e d o s y tres puntos convergen a la derivada a medida que

h — 0, aunque a velocidades diferentes. Las fórmulas rompen la regla de oro del cálculo en punto flo­
tante al restar números casi iguales, pero no puede evitarse, puesto que la búsqueda de derivadas es
un proceso Inherentemente inestable. Para valores m uy pequeños de /i,el error de redondeo afecta el
cálculo, como se muestra en el ejemplo 53.

5.1 Diferenciación numérica | 247

donde x — h < C2 < x < C \ < x + h pueden sumarse enlrc sí para eliminar los términos de la pri­
mera derivada, para obtener

f U + h ) + /(x - A) - 2/<x) = h 2f ' ( x ) + + ^ / " VW

Si se usa el teorema 5.1 para combinar los términos del error y dividir entre h2, resulta la siguiente
fórmula:

Fórmula de la diferencia centrada de tres puntos para la segunda derivada

r oo= - í!yO ” W (5.8)
para alguna c entre x - h y x + h.

5.1.2 Error de redondeo

Hasta el momento, todas las fónnulas de este capítulo rompen la regla del capítulo 0 que aconseja
no restar números casi iguales. Ésta es la mayor dificultad que presenta la diferenciación numérica,
pero en esencia es imposible de evitar. Para entender mejor el problema, considere el siguiente
ejemplo:

►EJEMPLO 5.3 Aproxime la derivada de f(x ) = e* en x = 0.

La fórmula de dos puntos (5.4) da ~r+A _ gX ( 5 ‘9)
•/*(*) h’ (5.10)

y con la fórmula de tres puntos (5.7) se obtiene

gX+h — gX-h
/ C x ) « ------ — -------.

En la siguiente tabla se presentan los resultados de estas fórmulas para x = 0 y un amplio rango de
tamaños h. junto con los errores comparados con el valor correcto = 1:

h fórmula (5.9) error fórmula (5.10) error

oooooScoo 1.05170918075648 -0.05170918075648 1.00166750019844 -0.00166750019844
1 111i 11 11 1.00001666674999 -0.00001666674999
' OX ' O O l l A f c M h J — 1.00501670841679 -0.00501670841679 1.00000016666668 -0.00000016666668
1.00050016670838 -0.00050016670838 1.00000000166689 -0.00000000166689
1.00005000166714 -0.00005000166714 1.00000000001210 -0.00000000001210
1.00000500000696 -0.00000500000696 099999999997324
1.00000049996218 -0.00000049996218 0.00000000002676
1.00000004943368 -0.00000004943368 099999999947364 0.00000000052636
0.99999999392253 0.00000000607747
1.00000008274037 0.00000000607747 099999999392253 -0.00000002722922
-0.00000008274037 1.00000002722922

Al principio, el error decrece a medida que h disminuye, siguiendo de cerca los errores espe­
rados O(h) y Oí/i2), respectivamente, para la fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos
(5.4) y la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos (5.7). Sin embargo, observe el deterioro
de las aproximaciones a medida que h disminuye.

248 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

l a razón por la que las aproximaciones pierden precisión para las h muy pequeñas es la pér­

dida de significancia. Ambas fórmulas restan números casi iguales, pierden dígitos significativos y

además, para empeorar las cosas, aumenta el efecto de dividir entre un número pequeño. •<

Para tener una mejor idea del grado en que las fórmulas de diferenciación numérica son sus­
ceptibles a la pérdida de significancia, se analiza a detalle la fórmula de las diferencias centrales
de tres puntos. Indique la versión de punto flotante de la entrada de f ( x + h) por f ( x + h ), que
diferirá del valor correcto/(x + /j)por un número épsilon de máquina a i términos relativos. Para el
presente análisis, se asumirá que los valores de la función son del orden de 1, por lo que los errores
ahsolutos y relativos son aproximadamente iguales.

Púesto que } { x + h) = f ( x + h) + é\ y f ( x - h) = f ( x - h) + €2 , donde (í,|, |<2| %
la diferencia entre la/'( * ) correcta y la versión de máquina de la fórmula de la diferencia centrada
de tres puntos (5.7) es

/■ W ™ » - / 'U W » = / < * > - — + * ’ 2"h / ( x ■ h)

f(x h) + €1 - (f( x - h) + 6 2 )
= /(* ) - 2h

f ( x + h) — f ( x - h ) \ + C2 - ít

= (re o - 2h ) ' 2h

~ { f * (x )cunrcta f*(,x)fórmulí) ®TOrredonüeo.

H error total puede verse como una suma del error de truncamiento, la diferencia entre la derivada

correcta y la fórmula de aproximación correcta, y el error de redondeo, que representa la pérdida

de significancia de la fórmula implementada por computadora. El error de redondeo tiene un valor

absoluto

*1 “ «I 2 ínl^q ( niáq

2h - 2h ~

donde representa el épsilon máquina. Por lo tanto, el valor absoluto del error de la aproxima­
ción por máquina d e/ ' ( x) está acotado en la parte superior por

£ ( A ) - ^ r ,( c ) + í ^ 3- , (5.11)

donde x — h < c < x + h. Previamente se había considerado sólo el primer término del error, el
error matemático. La tabla presentada con anterioridad obliga a considerar también el término de
la pérdida de significancia.

Resulta instructivo graficar la función E(h), que se muestra en la figura 5.1. El mínimo de E(h)
se produce en la solución de

o + jh . (5.12)

donde se ha aproximado I-/ % If (x ) Ia través de M. Al resolver (5.12) se obtiene

h = (3*n*q/A/)1/3

para el tamaño del incremento h que da el menor error global, incluyendo los efectos del redondeo
de la computadora. En doble precisión, esto es aproximadamente €míq,/3 ss 10-5 ,que es consistente
con la tabla.

H mensaje principal es que la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos mejorará la
precisión a medida que h se reduzca, hasta que h tenga aproximadamente el tamaño de la raíz
cúbica del épsilon de máquina. Cuando h cae por debajo de esc tamaño, el error puede empezar a
aumentar de nuevo.

Al realizar un análisis del redondeo, es posible obtener resultados similares para otras fórmu­
las. En el ejercicio 18 se pide al lector que analice los efectos del redondeo para la fórmula de la
diferencia hacia adelante de dos puntos.

5.1 Diferenciación numérica | 249
£

Figura 5.1 El «facto dal a rro r d a rad o n d ao an la d H a ra n d a d ó n num érica. Paca una h suficientem ente

pequeña, el error está dominado por el error de redondeo.

5.1.3 Extrapolación
Suponga que se presenta una fórmula F\h) de orden n para aproximar una cantidad dada Q. F.l
oiden significa que

Q % F(h) + K h \

donde K es aproximadamente constante en el rango de h que tiene interés para este análisis. Un
ejemplo relevante es

/ « = / (* + * > - / < * - * > _ <5.,3 ,

donde se ha cnfati/ado el hecho de que el punto desconocido ch se encuentra entre x y x + h. pero
depende de h. Aunque ch no es constante, si la función f e s razonablemente suave y h no es dema­
siado grande, los valores del coeficiente de error f*'(ch) no debe variar mucho de /" '( .r)/6 .

En un caso como este, puede usarse un poco de álgebra para convertir una fórmula de orden n
en una de orden superior. Como se sabe que el orden de la fórmula F(h) es rt, al aplicar de nuevo
la fórmula con h/2 en vez de h, el error se reduce desde una constante multiplicada por f f hasta
una constante multiplicada por (h/2)H, o se reduce por un factor de 2". En otras palabras, se espera

e - f <*/2) « l ( e - f (* » . (514)

Se confía en el supuesto de que K es aproximadamente constante. Observe que (5.14) se resuelve
con facilidad para la cantidad Q en cuestión obteniendo la siguiente fórmula:

Fórmula de la extrapolación de orden n

^ 2”F ( h / 2 ) - F ( h )

2T -\ ' (5.15)

Ésta es la fórmula de extrapolación para F(h). Por lo general, la extrapolación, llamada en ocasio­
nes e ttra p o la d ó n de R ichardson. proporciona una aproximación de Q con un orden superior al
de F(h). Para entender por qué, suponga que la fórmula de n-ésimo orden F„(h) puede escribirse
como

Q = Fn(h) + K h n + 0(/»n+ l).

250 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica

Entonces al dividir /r a la mitad se obtiene

Q = F A h / 2 ) + K ^ ; + 0 ( h n+') ,

y la versión extrapolada, que se denomina Fn+}(h), satisfará

T Fn(h/2) — Fn(h)
Fn+i(h) =

2" - 1
2T(Q - K h " /2 n - 0(A "+ I)) - (Q - K h n - 0 ( h " n ))

2n - 1

= Q + -*** + 0 < * * * l> = Q + 0 ( * , + l ) .

Por lo tanto, F„+l(h)es una fórmula de orden n + 1 (al menos) para aproximar la cantidad Q.

►EJEMPLO 5.4 Aplique la extrapolación a la fórmula (5.13).

Se inicia con la fórmula de las diferencias centrales de segundo orden F2(h) para la derivada
/'(* ). La fórmula de extrapolación (5.15) proporciona una nueva fórmula para /'(x )com o

„ , v 22F2(h/2) - F2(h) /(x -f-/r)-/(x -/» )j j .
= 2 ^ 1 --------

= ^ f( x + h /2 ) - f ( x - h/2)

f ( x - h ) - 8f ( x - h / 2 ) + 8f ( x + h / 2 ) - f ( x + h) (5.16)
6h

Ésta es una fórmula de las diferencias centrales de cinco puntos. F.l argumento anterior garantiza

que esta fórmula tiene un orden de por lo menos tres, pero resulta que tiene orden cuatro, porque

los términos del error de orden tres se anulan. De hecho, por inspección F4(h) = FA( - h ) , y por lo

tanto el error debe ser el mismo para h y para —h. Entonces, los términos del error pueden ser sólo

potencias pares de h. <

►EJEMPLO 5.5 Aplique la extrapolación a la fórmula de la segunda derivada (5.8).

De nuevo, el método es de segundo orden, por lo que se utiliza la fórmula de extrapolación
(5.15) con n = 2. l a fórmula extrapolada es

22F>(h/2) - F2(h)

Fa(x ) =
22 — I

f( x + h/2) - 2/(;t) + A * - h/2)
= 14

h 2/4
f(x + h )~ 2/(x) + /(x -

h 2 * ] /'■
- f ( x - h) + 16f ( x - h /2 ) - 3 0 /C Q 4- 16f ( x + h /2 ) - f ( x + h)

3/r2

El nuevo método para aproximar la segunda derivada es de cuarto orden, por la misma razón que

el ejemplo anterior. <

5 .1 .4 Diferenciación e integración simbólica

Las herramientas simbólicas (Symbolic Toolbox) de M a t l a b contienen comandos para obtener la
derivada de funciones escritas simbólicamente. Los siguientes comandos son ilustrativos:

5.1 Diferenciación numérica | 251

» syms x;
» fsain(3*x);
» fl-diff(f)

f 1*

3*cos(3*x)

>>

1.a tercera d erivada tam bién e s fá cil de encontrar:
» f 3 * d if £ (£.3)
£3-
- 2 7 * c o s (3*x)

ftira la in teg ració n se u tiliza e l com ando s im b ó lic o i n t de M a t i.a b :
>>syms x
>>f=sin(x)

f-

sin(x)
> > in t(f)
ans=
-e o s (x )
> > in t(f, 0 , pi)
ansa
2

C o n funciones m ás co m p licad a s, lo s co m an d o s p r e t t y d e M a t l a b , para ver la respuesta resu ltan ­
te. y s im p le , para s im p lific a rla , so n m uy ú tile s com o en e l siguiente có d ig o :
>>syms x

>>£ = s i n (x) ~7

£■

sin (x )“7

» in t (f)

ans=
- l / 7 * s i n ( x ) “6 *cos(x) - 6 /3 5 * s i n (x) ~4*cos(x) -8 /35*sin (x> ~2*cos(x)

-16/35*coa(x)

252 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

» p r e t t y (simple (in t (f) ) )
35 7

-c o a (x ) ♦ c o o (x ) - 3 / 5 co o (x ) + 1 / 7 cx>o(x)

Por supuesto , para algu n o s integrando s, no existe una e xp resió n d e la in teg ral in d e fin id a en
té rm in o s d e fu n c io n e s e le m e n ta le s . P r u e b e la f u n c ió n f ( x ) = ¿ “ '“ p a ra v e r c o m o M a t l a b se d a p o r
vencido. E n un caso com o éste, s ó lo existe la altern ativa de lo s m étodos n um érico s d e la sig uien te
secció n.

5.1 Ejercicios

1. Utilice la fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos para aproxim ar/'(l), y encuentre
el error de aproximación, dondef(x) - In x, para (a) h = 0.1 (b) h = 0.01 (c) h = 0.001.

2. Utilice la fórmulas de la diferencia centrada de tres puntos para aproximar/"(O), donde f{x) = cr*.
para (a) h - 0.1 (b) h - 0.01 (c) h « 0.001.

3. Utilice la fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos para aproximarf \ r ü 3). donde
f(x ) ™sen x, y encuentre el error de aproximación. Además, determine los límites implícitos en
el término de error y demuestre que el error de aproximación se encuentra entre ellos (a) h = 0.1
(b) h = 0.01 (c) h = 0.001.

4. Realice los pasos del ejercicio 3 empleando la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos.

5. Use la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos para la segunda derivada y aproxime
/" ( l) , donde/(.r) - x ~ l. para (a) h ■ 0.1 (b) h m 0.01 (c) /» ■ 0.001. Encuentre el error de aproxi­
mación.

6. Use la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos para la segunda derivada y aproxime
/"(0), donde f(x ) = eos x, para (a) h = 0.1 (b) h = 0.01 (c) h = 0.001. Encuentre el error de
aproximación.

7. Desarrolle una fórmula de la diferencia hacia atrás de dos puntos para aproximar/'(x), incluyendo
el término del error.

8. Demuestre la fórmula de segundo orden para la primera derivada

m= 2h + o(h\

9. Desarrolle una fórmula de segundo orden pora la primera derivada f ( x ) en términos de f(x).
f ( x - h ) y f ( X - 7h).

10. Encuentre el término del error y el orden para la fórmula de aproximación

f _ 4f ( x + h ) - 3 / ( jt) - f ( x - 2h)

J U) “ 6/r

11. Desarrolle una fórmula de segundo orden para aproximar f \ x ) aplicando la extrapolación a la
fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos.

12. (a) Calcule la fórmula de aproximación a f'(x ) de la diferencia hacia adelante de dos puntos para
f(x ) = l/jr, donde x y h son arbitrarias, (b) Reste la respuesta correcta para obtener el error explí­
citamente y demuestre que es proporcional a h. (c) Repita los incisos (a) y (b) usando la fórmula
de la diferencia centrada de tres puntos. Ahora el error debe ser proporcional a h2.

13. Desarrolle un método de segundo orden para aproximar f ( x ) que utilice sólo los datos J\x - h),
f i x ) y f { x + 3h).

5.1 Diferenciación numérica | 253

14. (a) Extrapole la fórmula desarrollada en el ejercicio 13. (b) Demuestro el orden de la nueva
fórmula al aproximarf ’(n/3), donde/(x) = sen x, con h = 0.1 y h = 0.01.

15. Desarrolle un método de primer orden para aproximar/OOquc sólo utilice los datos/(x - h),f(x)
y /U + 3h).

16. (a) Aplique extrapolación a la fórmula desarrollada en el ejercicio 15 a fin de obtener una fórmula
de segundo orden para f"(x). (b) Demuestre el orden de la nueva fórmula al aproximar/"(O),
donde/U ) “ eos x, con h = 0.1 y h = 0.01.

17. Desarrolle un método de segundo orden para aproximarf'(x) que utilice sólo los datos f ( x - 2A),
f i x ) y f ( x + 3/i).

18. Encuentre E(h), una cota superior para el error de la aproximación por máquina de la fórmula de
la diferencia hacia adelante de dos puntos para la primera derivada. Siga el razonamiento anterior
(5.11). Encuentre la h correspondiente al mínimo de E(h).

19. Demuestre la fórmula de segundo orden para la tercera derivada

- - / ( * - 2/r) + 2f ( x - h) - 2 /( x + h) 4- f ( x + 2/r) +
2/r3

20. Demuestre la fórmula de segundo orden para la tercera derivada

r { x ) = f ( x - 3h) - 6f ( x - 2 /r) + 12/(x - h) - 10/(x) + 3 /( x + h) + Q ^ 2)

2/r3

21. Demuestre la fórmula de segundo orden para la cuarta derivada

_ / ( x ~ 2/r) - 4 /( x - h ) + 6 /( x ) - 4/ ( x + h ) + / ( x + 2/r) +
h4

Esta fórmula se usa en la comprobación en la realidad 2.
22. Este ejercicio justifica las ecuaciones de viga (2.33) y (2.34) en la comprobación en la realidad 2.

Sea/(x) una fUnción seis veces difercnciable continuamente.
(a) Demuestre que si /(x ) » /'(x ) m 0, entonces

/ « . ) ( , + * , _ » 6 /U + k ) - 9/Cx + 2h) + f / ( , + U > - { f U + 4*) _ 0 (h 2)

(Sugerencia: primero demuestre que si/(x) m f ( x ) - 0. entonces
/(ar - h) - 10f ( x + h) + 5 /(x + 2h) - | / ( x + 3A) + \ f ( x + 4fi) = O(ffi). Después aplique
d ejercicio 21).
(b) Demuestre que si /" (x ) = /* '(x ) = 0. entonces

^ v){x + h ) _ —28/(or) + 72f ( x + h) - 60/( x + 2h) + 16/( x + 3h) =
Mh4

(Sugerencia: primero demuestre que si /" (x ) = /" '(x ) = 0. entonces
17/(x - h) - 4 0 /(x ) + 30/(x + h) - 8 /(x + 2h) + /(x + 3/r) = 0 ( h 6). Después aplique el
ejercicio 21).
(c) Demuestre que si f ”(x) = f"'(x) = 0. entonces

_ 7 2 /(x ) ~ 156/( x + h) + 9 6 /(x + 2h) - 12/(x + 3/i) _

(Sugerencia: primero demuestre que si /* (;r) = /"'Cx) = 0. entonces
17/(x - 2h) - l3 0 /(x ) + 208f ( x + h) - I l l / ( x + 2h) + 16/(x + Vi) = 0(/r6). Después apli­
que el inciso (b) junto con el ejercicio 21).

254 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

23. Use la expansión de la serie de Taylor para demostrar que (5.16) es una fónnula de cuarto orden.

24. El término del error en la fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos para /'(x ) puede
escribirse de otras maneras. Demuestre el resultado alternativo

. /( x + h) — /(x ) h h2
/"(x) = ^ ' - -f\x ) -

donde c está entre x y x + h. Esta forma del error se utilizará en la obtención del método de Crank-
Nicolson del capítulo 8.

25. Investigue la razón del nombre de extrapolación. Suponga que F(h) es una fónnula de n-ésimo
orden para aproximar una cantidad Q, y considere los puntos (Kh2. F(h)) y (K(h/2)2, F{hl2)) en
el plano x-y, donde el error se gráfica en el eje x y la salida de la fórmula en el eje y. Encuentre la
recta que pasa a través de los dos puntos (la mejor aproximación funcional para la relación entre el
error y F). La intersección en y de esta línea es el valor de la fórmula al extrapolar el error a cero.
Demuestre que este valor extrapolado está dado por la fórmula (5.15).

5.1 P ro b le m a s de co m p u tad o ra

1. Haga una tabla del error de la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos para/(O ), donde
f(x ) = sen x - eos x, con h = 10“ 1........I0~12, como cn la tabla de la sección 5.1.2. Dibuje una
gráfica de los resultados. ¿El error mínimo corresponde a la expectativa teórica?

2. Haga una tabla y una gráfica del error de la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos para
/'( 1 ) , como cn el problema de computadora I . dondc/(x) = (1 + x)” 1.

3. Haga una tabla y una gráfica del error de la fórmula de la diferencia hacia adelante de dos puntos
para /'(O), como cn el problema de computadora I. donde/(x) = sen x - eos x. Compare sus
respuestas con la teoría desarrollada en el ejercicio 18.

4. Haga una tabla y una gráfica como cn el problema 3, pero aproxime /'(IX donde /(x) = jT 1.
Compare sus respuestas con la teoría desarrollada en el ejercicio 18.

5. Haga una gráfica como en el problema 1a fin de aproximar/'(O) para (a) /(x) - cosx (b)/(x) «
x , para clk> utilice la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos. ¿Dónde parece ocurrir el
error mínimo en términos de épsilon máquina?

5 . 2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES PARA LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA

H cálculo numérico de integrales definidas se basa en muchas de las herramientas que ya se han
estudiado. En los capítulos 3 y 4 se han desarrollado métodos para tratar de aproximar una fun­
ción a un conjunto de puntos, utilizando la interpolación y el modelado por mínimos cuadrados.
A continuación se analizarán los métodos para la integración num érica, o en cu a d ra tu ra, con
base a estas dos ideas.

Por ejemplo, dada una función /definida en un intervalo [a, ó], es posible encontrar un polino­
mio de interpolación a través de algunos de los puntos d e /(* ). Dado que resulta sencillo evaluar la
integral definida de un polinomio, este cálculo puede usarse para aproximar la integral de f(x). Éste
es el método de Newton-Cotes para aproximar integrales. De manera alternativa, podría encontrar­
se un polinomio de grado menor que se aproxime bien a la función cn el sentido de los mínimos
cuadrados y usar la integral como la aproximación, en un método llamado cuadratura gaussiana.
Los dos enfoques se describirán en este capítulo.

5.2 Fórmulas de New tonCotes para la integración numérica | 255
ftira desarrollar las fórmulas de Newton-Cotes se necesitan los valores de tres integrales defi­
nidas simples, representadas en la figura 5.2.

y yy

Figura 5 .2 Tras integrales sim p les (5 .1 7 ), (5 .1 8 ) y (5 ,1 9 ). Las áreas netas positivas son (a) /r/2. (b) A h / i y
(c) h /i.

En la figura 5.2(a) se muestra el área bajo la curva (una recta) que interpola los puntos (0,0) y
(h, 1). La región es un triángulo de altura 1 y base h, por lo que el área es

(5.17)

En la figura 5.2(b) se muestra el área bajo la curva (una parábola cuadrática) P(x) que interpola los
puntos ( - h , 0), (0. I) y (h, 0), con el área

P (x )d x = x -± j¡i = lh . (5.18)

f.

En la figura 5.2(c) se muestra el área bajo lacurva (parábola cúbica) que interpola los puntos ( —h, 1),
(0.0) y (/». 0). con área neta positiva

’h 1 (5.19)
P(x) dx = -h.

3

5.2.1 Regla del trapecio

Se iniciará con la aplicación más simple de la interpolación basada en la integración numérica.
S ea/(x ) una función con una segunda derivada continua, definida en el intervalo [xp, x,]. como se
muestra en la figura 5.3(a). Los valores de la función están dados como y 0 = /(x<,) y = fix\)-
Considere el polinomio de interpolación P ,(x )d c primer grado que pasa por (xq . >fo) y ( X | , >’|).
Usando la fórmula de Lagrange. se encuentra que el polinomio de interpolación con su término
del error es

„ x —xi x —xo (x - xo)(x —x i) v
/(x ) = yo i- + y \ ~ f ( c x) = P(x) + E(x).
XO - XI XI - x o 2!

Puede demostrarse que el “punto desconocido” c. depende de la continuidad de x.
Al integrar ambos miembros en el intervalo de interés (xq. x t ] s e obtiene

í /(x ) dx = í P(x) dx + í E{x) dx.
Jxo j Jto Jxo

256 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

(a) (b)

Figura 5 3 Las fórm ulas d a Nawton-Cotas sa basan an la intarpoladón. (a) La regla del trapecio sustituye
a la función con la recta q u e Interpola {j^,f(Xo)) y ( x ,.f { x ,) ) . (b) La regla d e Simpson utiliza la parábola q ue
Interpola la función en tres pu n to s f f r j ) , ( X j.f lx ,) ) , y (X j

Si se calcula la primera integral resulta

r r i x - Xl J . r xi x - x o J
J x o P ( X ) d x = *> J/xo X—O Xi dx + yi Jxq — — dx
Xj Xo

+ (5.20,

donde se ha definido h = X\ - x0 como la longitud del intervalo y se han calculado las integrales
usando el hecho (5.17). Por ejemplo, al sustituir w = —x + X| en la primera integral se obtiene

r i ^ d x= f ^ , - iw )= th" á w *

Jxo *0 - X\ Jh - h Jo h 2

y la segunda integral, después de sustituir w = x - xg.es

Jxo x¡ - x0 Jo h 2

La fórmula (5.20) calcula el área de un trapecio, lo que da el nombre a la regla.
H término del error es

J JE(x) d x = (x - x0)(x - x i J / V í x ) ) dx

= f*\x-XQ)(x-Xi)dx

= í \ (u _ h)du
2 Jo

1.3

donde se ha utilizado el teorema 0.9, el teorema del valor medio para las integrales. Se ha dem os­
trado:

5.2 Fórmulas de Newton-Cotes para la integración numérica | 257

Regla del trapecio

j f f ( x ) d x = ^(.H) + y \) - (5.21)

donde h = X\ - xq y c está entre Xqy X\.

5 .2 .2 Regla de Simpson

En la figura 5.3(b) se ilustra la regla de Sim pson. que es similar a la regla del trapecio, excepto
que el polinomio de interpolación de primer grado se sustituye por una parábola (polinomio de
segundo grado). Como antes, es posible escribir el integrandof ( x ) como la suma de la parábola
de interpolación y su error:

(x - x i ) ( x - x2) ( x - x o ) ( x - x 2)

/ ( * ) = yo-(,xo - xi)r(,xo - X2:) + >i (xi - xo)(xi - X2 )

(x - Xo)(X - X \ ) (x - x0 )(x - X] )(x - x2) .
+ (X2 - X0)(X2z- XI) ;+ ----------------3T!i--------------- J

= P(x) + £(x).

La integración da

í f(x ) dx = í P(x) dx + í E(x) dx,

Jxn Jx a Jxa

donde

r pm * = » r + y, r <* - *°)<* - « > *

J>xxa0 ’ JJxxa (XXOO “~ Xl|)(X00 “- XX2 ) ' JxXao ( X | - Xo)(Xl - X 2 )

KX7 (X - Xq)(X - X| ) d x

i (X 2 - X0 )(X 2 - X \ )

Jxa

h Ah h

= .H)- + y i — + y i - .

Se estableció que h - x 2 - Xj = x , - x0 y se utilizó (5.18) para la integral media y (5.19) para la
primera y tercera integrales. El término del error puede calcularse (se omite la demostración) como

f * E Q i ) d x = — / * ’><?)

para alguna c en el intervalo [xq, jr2]. siempre que/*,V) exista y sea continua. Al concluir la deduc­
ción se obtiene la regla de Simpson:

Regla d« Simpson

J ” 4* ^/( * ) d x = jO * + + X ) - (5.22)

donde h = x 2 - X\ = X\ - x0 y c está en trex 0 y x 2.

258 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

►EJEMPLO 5 .6 Aplique la regla del trapecio y la regla de Simpson para aproximar

•2

lnx dx.
i;

y encuentre una cota superior para el error en sus aproximaciones.

La regla del trapecio estima que

[ Inx d x «s + ^i) = ^(ln 1 + In2) = %0.3466.
J, 2
22

El error para la regla del trapecio es - / t 3/" (c )/1 2 , donde I < c < 2. Dado que/"(x) = - l/x2, la
magnitud del error es a lo sumo

l3 1
< — % 0.0834.

12c2 ~ 12

En otras palabras, la regla del trapezoide dice que

•2

ln x d x = 0.3466 ± 0.0834.
i;

La integral puede calcularse exactamente usando la integración por partes: (5.23)

j J•2 f 2
lnx d x = xlnxlj — dx
= 2 1 n 2 - l l n l - 1 a s 0.386294.

La aproximación de la regla del trapecio y la cota del error son consistentes con este resultado.
La regla de Simpson produce la estimación

f2 h 0.5 / 3\ + ln 2 j as0.3858.
J Inx d x «s - (yt, + 4_vi + = — ^ln 1+ 41n -

El error para la regla de Simpson es —h5f*iv\c Y ) 0 . donde 1 < c < 2. Dado q u e / ^ í x ) = - 6 Í X 4 .
el error es como máximo

6(0.5)5 6(0.5)5 1
= — % 0.0021.
90c* 90 480

Por lo tanto, la regla de Simpson dice que

•2
x d x =0.3858 ±0.0021,

l>

de nuevo es consistente con el valor correcto y más precisa que la aproximación por la regla del

trapecio. +

Una forma de comparar las reglas de integración numérica del trapecio o la de Simpson consis­
te en comparar sus términos del error. Lo que queda establecido a través de la siguiente definición:

DEFINICIÓN 5.2 El grado d e precisión de un método de integración numérica es el grado k o menor, del polinomio

que se usa para integrar. □

5.2 Fórmulas de Newton-Cotes para la integración numérica | 259

í\)r ejemplo, el término del error para la regla del trapecio, —k * f \ c V 12, muestra que si/(x )c s
un polinomio de primer grado o menor, el error sera cero y el polinomio se integrará exactamente.
Así la precisión de la regla del trapecio es de primer grado. Esto es intuitivamente evidente a partir
de la geometría, puesto que el área bajo una función lineal se aproxima exactamente mediante un
trapecio.

Resulta menos evidente que el grado de precisión de la regla de Sitnpson es tres, pero eso es lo
que muestra el término del error en (5.22). La base geométrica de este sorprendente resultado es el
hecho de que una parábola que interseca a una curva cúbica en tres puntos igualmente espaciados,
tiene la misma integral que la curva cúbica en ese intervalo (ejercicio 17).

►EJEMPLO 5.7 Encuentre el grado de precisión de la fórmula de Newton-Cotes de tercer grado, llamada la regla
3/8 deS im pson.

3h
f ( x ) d x Rs — O o + 3yi + 3 ^ + ys).

Resulta suficiente probar los monomios en sucesión. Los detalles se dejarán al lector. Por
ejemplo, si f(x) —x 2. se verifica la ¡denudad

y (x2 + 3(x + h)2 + 3(x + 2h)2 + (x + 3h)2) = ^~,

donde esta última es la integral correcta de x1en [x, x + 3/iJ. La igualdad se cumple para 1,x, x2,

x3, pero no para x4. Por lo tanto, el grado de precisión de la regla es 3. +

La regla del trapecio y la regla de Simpson son ejemplos de fórmulas de Newton-Cotes "ce­
rradas”. debido a que se incluyen evaluaciones del integrando en los extremos finales del intervalo.
Las fórmulas de Newton-Cotes abiertas son útiles para circunstancias en las que no es posible, por
ejemplo, aproximar una integral impropia. Las fórmulas abiertas se analizan en la sección 5.2.4,

5.2.3 Fórm ulas de Newton-Cotes com puestas

Las reglas del trapecio y de Simpson están limitadas a operar en un solo intervalo. Pbr supuesto,
como las integrales definidas son aditivas en los subintcrvalos.es posible evaluar una integral al di­
vidir el intervalo en varios subintervalos, aplicando la regla por separado en cada uno para después
obtener un total. Esta estrategia se llama integración num érica com puesta.

La regla del trapecio compuesta es simplemente la suma de las aproximaciones de la regla del
trapecio en subintervalos, o paneles, adyacentes. Para aproximar

f(x) dx,

considere una cuadrícula uniformemente espaciada
a = xo < *i < x2 < ••• < xm- 2 < x m- \ < x m = b

a lo largo del eje x, donde h = x¡+] - x¡ para cada i, como se muestra en la figura 5.4. En cada
subintervalo, se hace la aproximación con un término de error

f**1 /i A3
J /(x) dx = -< /< * ,) + /< * ,+ ,)) - - / ' ( c , ) .

260 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

R gu ra 5.4 Fórm ulas d a Nawton-CotM com puestas. (a) La regla d el trapecio com puesta suma la fórmula de la
regla d e l trapecio (linea sólida) en m subirtervalos adyacentes, (b) la regla d e Slm pson com puesta hace lo m ism a

asumiendo que / " es continua. La suma de todos ios subintervalos (observe la sobreposidón en los
subintervaios interiores) resulta en

bl m -1 ■»-! j.3

H x ) d x = - /<«) + f=l J /=0
1.

H término de error puede escribirse como

A3 « - ‘ A3

¡2 ZS M - Tim f{c)
1=0

de acuerdo con el teorema 5.1. para alguna a < c < b. Dado que mh = (b - a), d término del
errores (b - a)hY'(c)/12. En resumen, s i / 'e s continua en [a, b). entonces se cumple lo siguiente:

Regla del trapecio compuesta
PÓ

(5.24)

donde h = (b - a\lm y c está entre a y b.

La regla compuesta de Simpson sigue la misma estrategia. Considere una cuadricula unifor­
memente espaciada

a = .T0 < X I < X 2 < ••• < X 2 j n - 2 < X 2 m - l < X 2 m =

a lo largo del eje x, donde h = x¡+i — x¡ para toda i. En cada panel de longitud 2h (jt2 ^ *2 i+2 l« P313
i = 0 m - 1. se lleva a cabo un método de Simpson. En otras palabras, el integrando/(* ) se
aproxima en cada subintervalo mediante el ajuste de la parábola de interpolación en x2¡, 1 Y
X2 H4 .<)ue se integra y se añade a la suma. La aproximación con el término de error en el subinter-

\alo es

/*2,+* h h5 v
f ( x ) d x = - \ f { X 2i ) + 4 / ( x 2<+ l) + f(X2l+2)\ - y q / * Hcf).

Bita vez. la sobreposición se da sólo en los números pares Xj. Al sum ar todos los subintervalos se
obtiene

fb h [ m "-1 m - \ h5

/ f { x ) d x = - f ( a ) + f ( b ) + 4 V f ( x a - i ) + 2 T f ( x 2í) 1=0

Ja L /=! í=l

5.2 Fórmulas de New tonCotes para la integración numérica | 261

H término del error puede escribirse como

*í

90 í=o

de acuerdo con el teorema 5.1, para alguna a < c < b. Dado que m • 2/j = (b - a), el término del
error es (ó - a)/i4/ ,v)(cy i8 0 . Suponiendo q u e / " 0es continua en [a, b], se cumple lo siguiente:

Regla de Simpson compuesta E ^m- 1 (/> —n)/i4
i 80
í /( x ) d x = \ yo + y¡m + +2
r=i <=i

donde c está entre a y b.

►EJEMPLO 5.8 Realice las aproximaciones de cuatro paneles de
Jf 2 ln x d x ,

usando la regla del trapecio compuesta y la regla de Simpson compuesta.

fttra la regla del trapecio compuesta en [ 1,2J, cuatro paneles significa que h ■ 1/4. La aproxi­
mación es

Inx d x as — | + yA + i j ^ y t

= |[ ln 1 + ln2 + 20n5/4 + ln6/4 + ln7/4)]
O

% 0.3837.

H error e sa lo sumo

(* - a>* V (c) I - 1 ^ 5 i < L _ = _ L .0.0052,
12 u W l 12 c2 “ (16)(12)(12) 192

Una regla de Simpson de cuatro paneles establece que h = 1/8. La aproximación es

/"2 1/8 4 ^1

/ lnx d x % — - JD + W + 4 E w - , + 2 E »
L r=i 1=1 J

= ¿ [ l n l 4- ln2 4- 4 (ln 9 /8 4- In 11/8 4- ln 13/8 4- ln 15/8)
24
4- 2 (ln 5 /4 + ln 6 /4 + ln 7 /4 )]

% 0.386292.

Esto concuerda dentro de cinco posiciones decimales con el valor conecto de 0.386294 de (5.23).
De hecho, el error no puede ser mayor que

(fc- a )* V »>(c)| = í ! / * A < a - - 6— , « 0.000008.

1X0 V Jl IX O r * — . IX O . 1*

262 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica

►EJEMPLO 5 .9 Encuentre el número m de pandes necesarios en la regla de Simpson compuesta para aproximar

I sen2* dx
Jo

con seis posiciones decimales correctas.
Se requiere que el error satisfaga
5 L _ ^ | / « » ) ( C)| < 0 .5 x IO-‘ .

5 .2 .4 Métodos de Newton-Cotes abiertos

Los métodos de Newton-Cotes denominados cerrados como las reglas d d trapecio y la de Simpson
requieren valores de entrada en los extremos d d intervalo de integración. Algunos integrandos que
tienen la singularidad que se pueden quitaren un punto extremo del intervalo, y pueden manejarse
oon mayor facilidad con un método de Newton-Cotes abierto, el cual no utiliza valores en los pun­
tos extremos. La siguiente regla se aplica a las funciones/ cuya segunda d e riv a d a /'1' es continua
en

Regla del punto medio

(5.26)

donde h = (x{ - Xq). ides el punto medio x0 + h/2 y c está entre x0y X\ .

La regla del punto medio también es útil para redudr d número necesario de evaluaciones
de la función. En comparación con la regla del trapecio, el método de Newton-Cotes cerrado del
mismo orden requiere una evaluación de la función en lugar de dos. Además, el término del error
tiene la mitad d d tamaño del término del error para la regla del trapecio.

I-a demostración de (5.26) sigue las mismas líneas que en la obtención de la regla del trapecio.

Establezca h = x\ - xfr La expansión de la serie de Taylor de primer grado para f(x) alrededor del
punto medio w = Xq + h/2 en el intervalo es

f ( x) = f ( w) + ( x - w) f ( w) + -(x - w)2/ \ c x).

donde cx depende de x y se encuentra entre x<>y X(. Al integrar ambos lados se obtiene

= hf(w) + — / ”(c).

donde x<, < c < x {. Una vez más, se ha utilizado el teorema del valor medio para las integrales a fin

de obtener la segunda derivada de la integral. Esto completa la ecuación (5.26).

5.2 Fórmulas de New tonCotes para la integración numérica | 263

L a d em o stració n de la versió n com puesta se d eja a l lecto r (e je rc ic io 12 ).

Regla compuesta del punto medio

/ * / « 4* = /'(< ). (5.27)
i =l

donde h = (b — a)hn y c está entre a y b. Las w¡ son los puntos medios de los m subintervalos
iguales de [a, ó].

► EJE M P LO 5.10 Aproxime / 0' se n x /x d x usando la regla compuesta del punto medio con m = 10 paneles.

Primero observe que no es posible aplicar directamente un método cerrado al problema, sin un
tratamiento especial cuando x = 0. El método del punto medio sí puede aplicarse cn forma directa.
Los puntos medios son 0.05,0.15........0.95. por lo que la regla del punto medio compuesta entrega

f¡
/ / ( x ) d x % 0.1 Y / ( ñ u ) = 0.94620858.

Jo V

La respuesta correcta hasta ocho posiciones es 0.94608307. -4

Otra regla abierta de Ncwton-Cotcs que resulta útil es

f x* 4h 14*5

/ f ( x ) d x = — ( 2 / ( x ,) - f ( x 2) + 2 / ( * 3)l + — / W f r ) , (5.28)

Jxo 3 45

donde h = (x4 —*o)/4. * 1 = xo + h, X2 = xo + 2h, X3 = xo + 3A, y donde x0 < c < x4. La regla

tiene un grado de precisión tres. En el ejercicio 11 se le pide que la extienda a una regla compuesta.

5.2 Ejercicios

1. Aplique la regla compuesta del trapecio con m = 1. 2 y 4 paneles para aproximar la integral.
Calcule el error comparando la aproximación con el valor exacto del cálculo.

(a) / x 2 d x (b) / oosx dx (c) / e1dx
Jo Jo Jo

2. Aplique la regla compuesta del punto medio con m ■ 1,2 y 4 paneles para aproximar las integra­
les del ejercicio I c indique los errores.

3. Aplique la regla compuesta de Simpson con m = 1,2 y 4 paneles a las integrales del ejercicio I c
indique los errores.

4. Aplique la regla compuesta de Simpson con m = 1, 2 y 4 paneles a las integrales c indique los
errores.

(a) f xe* dx (b) f ■ x dx (c) í xcosx d x
Jo Jo 1 + x - Jo

5. Aplique la regla compuesta del punto medio con m = 1 ,2 y 4 paneles para aproximar las integra­
les. Calcule el error comparando la aproximación con el valor exacto del cálculo.

(a) [ ' Í L (b) f ' x - V > dx (c) f 1 *

Jo yfx Jo Jo y/2 — X

264 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica

6. Aplique la regla compuesta del punto medio con m ■ 1,2 y 4 paneles para aproximar las inte­
grales.

r*/2 | - cosx /*' e* - 1 r* /2 cosx
(a) / ------^— d x (b) / ¿x (c) / j </x
yo x - yo x Jo x

7. Aplique la regla de Newton-Cotes abierta (5.28) para aproximar las integrales del ejercicio 5 e
indique los errores.

8. Aplique la regla de Newton-Cotes abierta (5.28) para aproximar las integrales del ejercicio 6.

9. Aplique la regla de aproximación de Simpson a / 0' x4 dx, y demuestre que el error de aproxima­
ción coincide con el término del error (5.22).

10. Integre el polinomio de interpolación de la diferencia dividida de Newton para probar la fórmula
(a) (5.18) (b) (5.19).

11. Encuentre el grado de precisión de la siguiente aproximación para / _ 1/( x ) dx:
(a)/<1) + / ( - l ) (b) 2 /3 (/( —1) + /(O ) + /(1 )] (c) / < - 1/>/5) + / ( l/v'S ).

12. Encuentre C|, c2 y c3 tales que la regla

j f ' / ( x ) d x * c , / ( 0 ) + C2/(0.5) + C3 / ( l )

tenga un grado de precisión mayor que uno. (Sugerencia: sustituya/(x) = 1, x y x2). ¿Reconoce el
método que resulta?

13. Desarrolle una versión compuesta de la regla de la expresión (5.28). con término del error.

14. Piache la regla compuesta del punto medio de la expresión (5.27).

15. Encuentre el grado de precisión de la regla de Newton-Cotes de cuarto grado (con frecuencia
llamada la regla de Boole)

f x* Ih
/ / ( x ) dx «s — (7.H) + 32>'j + 12yi + 32ys + 1yA).
7xo 45

16. Use el hecho de que el término del error de la regla de Boole es proporcional a/*6>(c) para en­
contrar el término exacto del error, siguiendo la siguiente estrategia: Calcule la aproximación de
Boole para f ^ h x6 dx. encuentre el error de aproximación y escríbalo en términos de h y / 6)(c).

17. Sea Py(x) un polinomio de tercer grado y P2(x) su polinomio de interpolación en los tres puntos
x ■ —h, 0 y h. Pruebe directamente que Pi(x) dx = /^ (x ) dx. ¿Qué dice este hecho
acerca de la regla de Simpson?

5.2 Problemas de computadora

1. Utilice la regla del trapecio compuesta con m ■ 16 y 32 paneles para aproximar la integral defini­
da. Compare con la integral correcta c indique los dos errores.

(a) í - 7= f = = (b) í (c) í xe? dx (d) í x 2lnx dx
Jo >/x2 + 9 Jo x2 + 1 Jo J|

C” , f 3 x3d x dx xdx

(c) / x senx d x (f) / ~ ¡ = j = (g) / ~ ¡ = f = d x / "7=i=
yo J2 y/x4 — 1 Jo y/X2 + 4 7o VX4 + 1

5 3 Integración de Romberg | 265

2. Aplique la regla de Simpson compuesta a las integrales del problema de computadora 1. Use
m = 16 y 32, e indique los errores.

3. Utilice la regla del trapecio compuesta con m = 16 y 32 paneles para aproximar la integral defini­
da.

(a) í ex‘ dx (b) f senx 2 d x (c) f «■“** dx (d) í ln(x2 + !) « /*
Jo Jo Jo Jo

r\ xdx en el rx/2

(O I - ~e~* ^ Jq 006^ *** ^ Jo * * dx /0 ln<cosj: + scnit) </jc

4. Aplique la regla de Simpson compuesta a las integrales del problema de computadora 3, utilizan­
do m = 16 y 32.

5. Aplique la regla del punto medio compuesta a las integrales impropiasdel ejercicio 5, usando
m = 10, 100 y 1000. Calcule el error comparando con el valor exacto.

6. Aplique la regla del punto medio compuesta a las integrales impropiasdel ejercicio 6. usando
m = 16 y 32.

7. Aplique la regla del punto medio compuesta a las integrales impropias

[ - x , , /■$ ex — 1 , v arctanx ,
(a) / d x (b) / d x (c) / dx.
Jo senx Jo sen* ;0 x

usando m » 16 y 32.

8. \ a longitud de aroo de la curva definida por y = /(* ) desde x - a hasta x = b está dada por la
integral f * -J\ -f f i x j 1 dx. Utilice la regla de Simpson compuesta con m ■ 32 paneles para
aproximar las longitudes de las curvas

(a) y = x3 en [0,1 ] (b) y = tan x en [0, n/A) (c) y = arctan x en [0, 1].

9. Para las integrales del problema de computadora 1, calcule el error de aproximación de la regla
del trapecio compuesta para h - b - a, h/2, h/4........h/2* y grafique. Haga una gráfico log-log,
usando, por ejemplo, el comando lo g lo g de M a t i .a b . ¿Cuál es la pendiente de la gráfica?, ¿con­
cuerda con la teoría?

10. Resuelva el problema de computadora 9, pero use la regla de Simpson compuesta en vez de la
regla del trapecio compuesta.

5 .3 INTEGRACIÓN DE ROMBERG

En esta sección se inicia con el análisis de los métodos eficaces para el cálculo de integrales defini­
das. que pueden ampliarse al añadir datas hasta alcanzar la precisión requerida. La integración de
Romberg es el resultado de aplicar la extrapolación a la regla compuesta del trapecio. Recuerde
de la sección 5.1 que, dada una regla N(h) para aproximar una cantidad M, en función de un tam a­
ño de paso h, la regla puede extrapolarse si se conoce el orden de dicha regla La ecuación (5.24)
muestra que la regla compuesta del trapezoide es una regla de segundo orden en h. Por lo tanto, es
posible aplicar la extrapolación para obtener una nueva regla de (al menos) tercer orden.

Al examinar con mayor cuidado el error de la regla del trapecio (5.24), puede demostrarse que,
para una función/infinitamente diferenciablc.

266 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

=f + + c2A2 +C4A4 + c,,A6 + - - . , (5.29)

donde las c¡ dependen sólo de las derivadas más altas de / e n a y b, y no de /». I\>r ejemplo, C2 =
(f \ a ) - f'(b))J 12. La ausencia de potencias impares en el error proporciona una ventaja adicional
cuando se realiza la extrapolación. Dado que no hay términos con potencias impares, la extra­
polación con la fórmula de segundo orden dada por la regla del trapecio compuesta produce una
fórmula de cuarto orden; la extrapolación con la fórmula de cuarto orden resultante da una fórmula
de sexto orden, y así sucesivamente.

La extrapolación implica combinar la fórmula evaluada una vez en h y una vez más en /r/2.
tamaño de paso a la mitad. Pronosticando h ad a dónde se dirige este proceso, defina la siguiente
serie de tamaños de paso:

hi = b - a

h2 = ^(b - a)

Ay = 2 F í < ¿ - f l ) - <5 -3 ° )

La cantidad que se aproxima es M = f ( x ) dx. Defina las fórmulas de aproximadón /?•,
como la regla del trapedo compuesta, usando hj. Así, R¿+,,, es exactamente Rj\ con un tamaño de
paso reduddo a la mitad, según sea necesario al aplicar la extrapoladón. En segundo lugar, observe
la sobreposidón de las fórmulas. Algunas de las mismas evaluadones de función/(* ) se requieren
tanto en como en R¿+j |. Por ejemplo, se tiene

*11 = y ( /( a ) + /< *))

*Jl = y ( /( a ) + f(b ) + 2/ ( £ y ^ ) )

m
Se demuestra por inducción (vea el ejercido 5) que para j ■ 2 ,3 ,....

1 2'" ’ (5.31)
Rj\ = r* y - i.i + h j £ f( a + (2/ - \)hj).

/=»

La ecuación (5.31)proporciona una manera efidente de calcular la regla deltrapecio com ­
puesta agregando términos. La segunda característica de la integración deRoinbcrg es la extrapo­

lación. Forme la tabla

*n

R21 R22

*31 *32 *33

*41 *42 *43 *44

: (5.32)
donde se define la segunda columna Rq como las extrapoladones de la primera columna:

*22 = 22*2i - *11

3

22 *31 - *21

*32 = 3

*« = (5.33)

5 3 Integración de Romberg | 267

La tercera columna consta de aproximaciones de cuarto orden a M, por lo que pueden extrapolarse

como

4J «,2 - « 2 2

*33 = 42 _ 1

4422/?42 - * 3 2

/?43 =

*3 = % ^ - (5.34)

y así sucesivamente. La jk-6&im& entrada general está dada por la fórmula (vea el ejercicio 6)

Kjt _ t - ' K j g - J j - M ' (5 35)

La tabla es una matriz triangular inferior que se extiende infinitamente h ad a abajo y de manera
transversal. La mejor aproximadón para la integral definida M es R¿, la entrada inferior más a la
derecha calculada hasta d momento, que es una aproximación de íj-ésimo orden. El cálculo de
la integración de Romberg consiste sólo en escribir las fórmulas (5.31) y (5.35) en un dclo.

Integración de Romberg

K, l = ( b - a )m + m

for ; = 2 .3 ....

L _ b~a
J 2J~l

2/-1

«yi = 5 A /-1.1 + * ) £ / ( « + (2 / - I)* ,)
2

for * = 2 J

o 4' - ' R j t - t - R j - x j t - i

R jk ~
end
end

El siguiente código de M a t l a b es una implem entación directa del algoritm o anterior.

%Programa 5 . 1 I n t e g r a c i ó n d e Romberg
% Calcula una aproximación a la in te g r a l d efin id a
% Q itrad as: fu n ció n de Matlab e s p e c if i c a n d o e l in te g r a n d o f ,
% e l in t e r v a lo de in te g r a c ió n a. b. n ■ número de f i l a s
% S a l i d a : t a b l a r de Romberg
function r»rom berg(f,a,b,n)
h = (b -a ). / ( 2 . " ( 0 : n - l ) );
r (1,1) = (b-a) * (f (a) +f (b)) /2;
for j»2:n

s u b t o t a l ■ 0;
f o r i =1 :2 “ (j -2>

subtotal ■ su b to ta l ♦ f (a + ( 2 * i- 1 )* h (j ) );
end
r ( j t l ) a r (j - 1 , 1 ) / 2 + h ( j ) * s u b t o t a l ;
for k«2:j

r (j,k ) = (4 ~ (k -l)* r (j,k -l)-r (j-1 . k -1)) /(4 * (k-1)-1);
end
end

268 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

►EJEMPLO 5.11 Aplique la integración de Rombeig para aproximar /,2 Inx dx.
Se usa la función lo g predefinida de M a tla b . Esta función se designa por ® log. La ejecución

del código anterior resulta en

» ro m b e rg {«lo g , 1 ,2 , 4)

0 .3 4 6 5 7 3 5 9 0 2 7 9 9 7 0 00 0
0 .3 7 6 0 1 9 3 4 9 1 9 4 0 7 0 .38S83460216543 0 0
0 .3 8 3 6 9 9 5 0 9 4 0 9 4 4 0 .3 8 6 2 5 9 5 6 2 8 1 4 5 7 0 .3 8 6 2 8 7 8 9 3 5 2 4 5 1 0 .3 8 6 2 9 4 3 0 9 0 8 6 2 5
0 .3 8 5 6 4 3 9 0 9 9 5 2 1 0 0 .3 8 6 2 9 2 0 4 3 4 6 6 3 1 0 .3 8 6 2 9 4 2 0 8 8 4 3 1 0

Observe la similitud entre *43 y / ? 4 4 en las primeras seis posiciones decimales. Ésta es una

señal de convergencia del método de Rombcrg hacia el valor coiTccto de la integral deñnida. Com­

pare con el valor exacto de 21n2 — 1 « 0.38629436. <

Al comparar los resultados del ejemplo 5.11 con los del ejemplo 5.8 se presenta una similitud
entre la última entrada en la segunda columna de Romberg y los resultados de la regla de Simpson
compuesta. Esto no es una coincidencia. De hecho, al igual que la primera columna de Romberg
está definida como las entradas sucesivas de la regla del trapecio compuesta, la segunda columna
se forma con las entradas de la regla Simpson compuesta. En otras palabras, la extrapolación de la
regla del trapecio compuesta es la regla de Simpson compuesta. Vea el ejercicio 3.

Un criterio de terminación común para la integración de Romberg es calcular nuevas filas
hasta que dos entradas diagonales sucesivas /^difieran en menos de una tolerancia al error prees­
tablecida.

5.3 Ejercicio s

1. Aplique la integración de Romberg y encuentre la % para las integrales.

/■I /•»/2 p\

(a) / x d x (b) / eosx d x (c) / e* d x

Jo Jo Jo

2. Aplique la integración de Romberg y encuentre la /f33 para las integrales.

fx í l dx í*
(a) I x e* d x (b) I j + d x (c) I xoosx d x

3. Demuestre que la extrapolación de las reglas compuestas del trapecio en R jj y R2\ genera la regla
compuesta de Simpson (con tamaño de paso /ij) en R&.

4. Demuestre que la R33de la integración de Romberg puede expresarse como la regla de Boole (con
tamaño de paso ñ3), definida en el ejercicio 13 de la sección 5.2.

5. Demuestre la fórmula (5.31).

6. Demuestre la fórmula (5.35).

5.3 Pro b lem as de com putadora

Utilice la aproximación de la integración de Romberg para aproximar la integral definida.
Compárela con la integral correcta c indique el error.

(a) Jío V x 2 + 9 (b) Jfo x*2 +f * .I JÍo xe * dx (d) Jíi *2 ] nx dx

5.4 Cuadratura adaptativa | 269

(/c)\ /f * x2‘ se n .rJj x (f) / x* d x , v(g)//'2v/5 - =dx= dx (h) //*' —=x<=/x= dx

Jo Ji Vx* - 1 7o >/x2 + 4 /o >A4 + 1

2. Utilice la integración de Romberg para aproximar la integral definida. Como un criterio de deten­
dón. continúe hasta que dos entradas diagonales sucesivas difieran en menos de 0.5 x 10 -8.

rI , /•* r I

(a) I e* dx (b) J senx 2 d x (c) J e°*x d x (d) I ln(x2 + 1) </x

/■' x dx f* . f1 r*P-
(e) / ------------ (f) / cose* d x (g) I x x d x (h) / ln(cosx + sen*) dx
Jo 2e* - e~* Jo Jo Jo

3. (a) Pruebe el ordende la segunda columna de Romberg. Si son aproximaciones de cuarto orden,
¿cómo debería verseuna gráfica log-log del error contra /»?Realice esto para la integral del ejem­
plo 5.11. (b) Pruebe el orden de la tercera columna de Romberg.

5 . 4 CUADRATURA ADAPTATIVA

Los métodos de integración aproximada que se han estudiado hasta ahora usan tamaños de paso

iguales. En general, los tamaños de paso más pequeños mejoran la precisión. Una función que varía

sin patrón definido requerirá más pasos y. por lo tanto, más tiempo de cálculo, debido a los pasos

más pequeños que se requerirán para seguir la pista de las variaciones.

A pesar de que se tienen fórmulas del error para los métodos compuestos, su uso para calcular

directamente el valor de h que cumpla con una tolerancia al error dada suele ser difícil. Las fórmu­

las implican derivadas más altas, que puede ser complicadas y difíciles de estimar en el intervalo

cn cuestión. Las derivadas más altas pueden incluso no ser calculables si la función se conoce sólo

a través de una tabla de valores.

Un segundo problema con la aplicación de las fórmulas compuestas con tamaños de paso

iguales es que. con frecuencia, las funciones varían mucho sobre parte de su dominio y varían

con mayor lentitud en otras secciones (vea la figura 5.5). Un tamaño de paso que sea suficiente

para cum plir con la tolerancia del error cn la sección anterior puede ser un exceso cn la sección

actual.

Por fortuna, hay una manera de solucionar ambos problemas. Si se usa la información surgida

de las fórmulas del error de integración, puede desarrollarse un criterio para decidir durante el

cálculo qué tamaño de paso es apropiado para un subintervalo particular. La idea detrás de este

método, llamado cu ad ratu ra adaptativa. está estrechamente relacionada con las ideas de extra­

polación que se han estudiado cn este capítulo.

De acuerdo con (5.21), la regla del trapecio cn el intervalo fa, ¿?1satisface la fórmula

r /(X ) d x = SM , - A3 (5.36)

para alguna a < c0 < b, donde h = b - a. Si se establece c como el punto medio de [a. b],
podría aplicarse la regla del trapecio para las dos mitades del intervalo y, por la misma fórmula,
obtener

. a3 / v o . „ a3 / '< « )
dx =
Lm “ ~ Í ~ 1 2 ~ + Slc'b] ~ Y ~ ñ ~
_c
o /f3 r w «

270 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

Figura 5.5 Cuadratura adaptativa aplicada a /(*) = 1 + san i* ’ , la tolerancia se establece en TOL = 0.005.
(a) U regla ad aptativa d e l trapecio requiere 140 subintervalos. (b) la regla adaptativa d e Sim pson requiere 20
s u b in te rv a lo s.

donde C\ y C2 SC encuentran en [a. c] y [c, ¿>1, respectivamente. Se ha aplicado el teorema 5.1 para
consolidar los términos de error. Al restar (5.37) de (5.36) se obtiene

4 12 12

3 .3r(c 3 ) (5.38)
4 ~vT'

donde se logra la aproxim ación/"(c3) «s/*(c0).

Al restar la integral exacta de la ecuación, se escribe el error (aproximadamente) en términos

de cosas que pueden calcularse. Pbr ejemplo, observe que —(S|acj + S|c*pes aproximada­

mente tres veces el tamaño del error de integración de la fórmula + S(f bi en [a, 6], a partir de

(5.37). Por lo tanto, es posible comprobar si la expresión anterior es inferior a 3 * t o l para alguna

tolerancia al error, como una forma aproximada de comprobar si la expresión se aproxima la inte­

gral exacta desconocida dentro de t o l .

Si el criterio no se cumple, es posible subdividir de nuevo. Ahora que existe un criterio para

aceptar una aproximación en un subintervalo dado, pueden seguirse partiendo intervalos a la mitad

y aplicando el criterio de las mitades de forma recursiva. Para cada mitad, la tolerancia al error re­

querida disminuye en un factor de 2, mientras que el error (por la regla del trapecio) debe disminuir

en un factor de 23 = 8, por lo que un número suficiente de particiones a la mitad debe permitir que

la tolerancia original concuerde con un enfoque compuesto adaptativo.

Cuadratura adaptativa

fóra aproximar f ( x ) d x dentro de la tolerancia TOL:

a+ b
c—

fia) + f(b )
•Sia.fci = (b — a)

Íf IV » l - V e ] - Sk.i] | < 3 . TOL ■( h “ )
\Óbng ^ong/

aceptar 5|a.cj + oonx) aproximación sobre (a. b]

dsc

repetir recursivamente lo anterior para [a. c] y [c . b]

end

5.4 Cuadratura adaptativa | 271

La estrategia de programación de M a t l a b funciona de la manera siguiente: se establece una
lista de subiniervalos que aún no se han procesado. 1.a lista original se compone de un intervalo,
[«, b). En general, se elige el último subintervalo de la lista y se aplica el criterio. Si éste se cumple,
la aproximación de la integral sobre el subintervalo se agrega a una suma continua, y el intervalo
se borra de la lista. Si el criterio no se cumple, el subintervalo se sustituye en la lista por dos subin-
tcrvalos. alargando la lista en uno, se desplaza al final de la lista y se repite el proceso. El siguiente
código de M a t l a b lleva a cabo esta estrategia:

%Programa 5 . 2 C u a d r a tu r a a d a p t a t i v a

% C alcula una aproxim ación a l a in t e g r a l d e fin id a

% E n tr a d a s: f u n c i ó n de M atlab f , i n t e r v a l o laO, b O ],

% tolerancia a l error tolo

% Salida: in te g ra l d e fin id a aproximada

f u n c t i o n i n t - a d a p q u a d ( f , aO, bO, t o l 0)

int=0; n=l; a(l)=aO; b(l)=bO; to l(l)= to lO ; app(1)= tr a p (f,a ,b ) ;

w h ile n>0 % n es la posición actual al fin a l de la l i s t a

c-(a(n )+ b (n))/2; oldapp-app(n);

app(n)=trap(f, a (n ), c ) ;app(n+1)= tra p (f, c ,b (n ));

if abs(oldapp-(app(n)+ app(n+1) ) ) <3*tol(n)

int-int+app(n)+app(n+l); % éxito

n = n - 1; % in te r v a lo terminado

eloe % d i v i d i r en doa in te r v a lo o

b(n+l)=b(n); b(n)=c; % estab lecer nuevos in tervalos

a(n+1)=c;

tol(n )-tol(n )/2; tol(n+1)-tol(n);

n=n+1; % ir al fin a l de la lis ta , repetir

end

end

function s - t r a p ( f , a,b)
s= (f (a)+f (b ))M b-a)/2;

►EJEMPLO 5.12 Use la cuadratura adaptativa para aproximar la integral

En la figura 5.5(a) se muestra el resultado del algoritmo de la cuadratura adaptativa para f(x).
con una tolerancia al error de 0.005. Aunque se requieren 140 intervalos, sólo 11 de ellos se en­
cuentran en la región “calmada" [ - 1,0], La integral definida aproximada es de 2.502 ± 0.005. En
una segunda corrida, se cambia la tolerancia al error a 0.5 X 10_4y se obtiene 2.5008, exacta solo
en cuatro posiciones decimales, calculada con 1316 subintervalos.

Por supuesto, la regla del trapecio puede sustituirse por reglas más sofisticadas. Por ejemplo,

suponga que denota la regla de Simpson (5.22) en el intervalo [a, b]:

Al aplicar la regla de Simpson a las dos mitades de [a, b] se obtiene (5.39)
(5.40)
Jí b f ( x ) d.x.. — So[axj —V / V ’—H c ) .bo„je./»] h5 / ™ ( c 2)

32 90

272 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica

donde se ha aplicado el teorema 5.1 para consolidar los términos de error. Si se resta (5.40) de
(5.39) resulta

-1 ^

donde se realizó la aproximación
Como S¡a ¿j - (S(ac| + Sjf¿)) es ahora 15 veces el error de la aproximación SJarj + S ^ bj para

la integral, puede establecerse un nuevo criterio

“ (^la.c) + Stc.¿])l < 15 * TOL (5.42)

y proceder como antes. Es típico reemplazar el 15 por 10 en el criterio para hacer que el algoritmo sea
más conservador. En la figura 5.5(b) se muestra una aplicación de la cuadraiura adaptativa de Simp­
son a la misma integral. La integral aproximada es 2.500 cuando se usa una tolerancia de 0.005, con
20 subinlcrvalos. un ahorro considerable sobre la cuadratura adaptativa de la regla del trapecio. Al
disminuir la tolerancia a 0.5 X 10“ 4se obtiene 2.5008, usando sólo 58 subintcrvalos.

5.4 Ejercicios

1. Aplique la cuadratura adaptativa cn forma manual, usando la regla del trapecio con tolerancia
TOL = 0.05 para aproximar las integrales. Encuentre el error de aproximación.

(a) í x 2 dx (b) í cosx dx (c) f ex dx

Jo Jo Jo

2. Aplique la cuadratura adaptativa en forma manual, usando la regla de Simpson con tolerancia
TOL “ 0.01 para aproximar las integrales. Encuentre el error de aproximación.

/*' /*' dx r*
(a) / xe* d x (b) I * d x (c) / xcosx d x
Jo Jo 1 + * Jo

3. Desarrolle un método de cuadratura adaptativa para la regla del punto medio (5.26). Empiece por
encontrar un criterio para cumplir con la tolerancia cn los subintcrvalos.

4. Desarrolle un método de cuadratura adaptativa para la regla (5.28).

5.4 Problemas de computadora

Use la cuadratura adaptativa del trapecio para aproximar la integral definida con precisión de
0.5 X 10“ ® Imprima la respuesta correcta con ocho posiciones decimales y el número de subin­
tcrvalos necesarios.

(a) f ■ (b) í * * ■ (c) í xe x dx (d) í x2lnx d x
Jo V x 7 4- 9 Jo x 2 + l Jo Ji

f* 2 _ f 3 x3 dx f 2^ d x r 1 x dx
(e) / x senx dx (f) / — — - (g) / — =— - dx (h) / dx

Jo J2 y/x4 - 1 jo y/x2 + 4 Jo y/x4 + 1

2. Modifique el código de M a t l a b para la cuadratura adaptativa de la regla del trapecio de modo que
utilice la regla de Simpson, aplicando el criterio (5.42) con el 15 reemplazado por 10. Aproxime
la integral del ejemplo 5.12 con precisión de 0.005 y compare su respuesta con la figura 5.5(b).
¿Cuántos subintcrvalos se requieren?

5.5 Cuadratura gaussiana | 273

3. Realice los pasos del problema de computadora 1 para la regla adapiativa de Simpson, desarrolla­
da en el problema de computadora 2.

4. Realice los pasos del problema de computadora 1 para la regla adaptativa del punto medio, desa­
rrollada en el ejercicio 3.

5. Realice los pasos del problema de computadora 1 para la regla adaptativa abierta de Newton-Cotes
desarrollada en el ejercicio 4. Use el criterio (5.42) con el 15 sustituido por 10.

6. Use la cuadratura adaptativa del trapecio para aproximar la integral definida con precisión de
0.5 X 10"8.

(a) i* e*2 d x (b) f ' ^ & e a x 2 dx (c) f ” e°°iX dx (d) í ' \ n ( x 2 + \ ) d x

Jo Jo Jo Jo

x dx i* r 1 í ‘” r i
(e) I ------------- (f) / cose* dx (g) I x x d x (h) / ln(cosx + sen.t) dx
Ja 2 e * - e ~ x Ja Jo Jo

7. Realice los pasos del problema 6, utilizando la cuadratura adaptativa de Simpson.
8. La probabilidad dentro de a desviaciones estándar de la media de la distribución normal es

~r
yj2jr J-a

Use la cuadratura adaptativa de Simpson para encontrar, con ocho posiciones decimales correctas,
la probabilidad dentro de (a) I (b) 2 (c) 3 desviaciones estándar.
9. Escriba una función de M a tla b llamada m y erf. mque utilice la regla adaptativa de Simpson para
calcular el valor de

ds

con ocho posiciones decimales correctas para una entrada arbitraria x. Pruebe su programa para
x = 1 y x = 3. comparando con la función e r f de M a tla b .

5 .5 CUADRATURA GAUSSIANA

H grado de precisión de un método de cuadratura es el grado para el que todas las funciones po-
linomiales se integran mediante ese método sin error. Los métodos de Newton-Cotes de grado n
tienen un grado de precisión n(para n impar) y n + I (para n par). La regla del trapecio (Newton-
Cotes para n = 1) tiene grado de precisión uno. La regla de Simpson (n = 2) es correcta hasta los
polinomios de tercer grado indusive.

ftira alcanzar este grado de predsión. las fórmulas de Newton-Cotes usan n + 1 evaluaciones
de la fundón, realizadas en puntos espaciados uniformemente. I-a pregunta que surge es una remi­
niscencia del análisis del capítulo 3 sobre los polinomios de Chebyshev. ¿Las fórmulas de Newton-
Cotes son óptimas para su grado de precisión o pueden desarrollarse fórmulas más poderosas?
En particular, si el requisito de que los puntos de evaluadón se espacien uniformemente se relaja,
¿existirán métodos mejores?

Por lo menos desde el punto de vista del grado de precisión, hay métodos más potentes y
sofisticados. Se escogió el más famoso para ser analizado en esta sección. La cuadratura gaussia­
na tiene grado de predsión 2rt + 1 cuando se utilizan n + 1 puntos, el doble de Newton-Cotes.
Los puntos de evaluación no están uniformemente espaciados. Se explicará cómo la cuadratura

274 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica

gaussiana implica una breve digresión en funciones ortogonales, lo que no sólo es interesante por
derecho propio, sino la punta del iceberg de los métodos numéricos inspirados en los beneficios de
la ortogonalidad.

DEFINICIÓN 5.3 El conjunto de funciones diferentes de cero {p0.......... p„) en el intervalo [a. b] es ortogonal cn

[a, b\ si

oh 0 j ¿ k □
Pj(x)pkb)dx =

/. * 0 j = k.

TEOREMA 5.4 Si [pi), p , p„ } es un conjunto ortogonal de polinomios en el intervalo [a, b], donde el grado

Pi = /.entonces {po. p i p„) es una base para el espacio vectorial de los polinomios a lo sumo

de grado n cn [a, b j. ■

D em ostración. Debe demostrarse que los polinomios cubren el espacio vectorial y son 1¡-
ncalmcnle independientes. Un argumento de inducción simple demuestra que cualquier conjun­
to de polinomios {po, p j, ... , p„}, donde p¡ ** i, cubre el espacio de los polinomios a lo sumo
de grado n. Para mostrar la independencia lineal, se supondrá que existe una dependencia lineal

aciPí(x) = Oy se demostrará que toda c,debe ser cero, utilizando el supuesto de ortogonali­
dad. Para cualquier 0 s k s n, dado que p k es ortogonal a cualquier polinomio menos a sí mismo,
se obtiene

tb » » rb ,b

0 = / p* '¡T 'C ipi(x) d x = I pk p¡ d x = Ck I Á < lx . (5.43)

Ja i=0 i=o Ja Ja

Bar lo tanto. ck — 0. □

La demostración del siguiente teorema se omite.

TEOREMA 5.5 Si (pg. ... , p„) es un conjunto ortogonal de polinomios cn [a, ó] y si el grado p¡ = i. entonces p¡

tiene i raíces distintas en el intervalo (a, b ). ■

EJEMPLO 5 .1 3 Encuentre un conjunto de tres polinomios ortogonales cn el intervalo [ - 1.1J.
Se estima que pgU) = 1 y p|(x) = x c s un buen comienzo, porque
J \xdx=0.

Si se prueba p ^ x ) = x 2 no funciona del todo, puesto que carece de ortogonalidad con Po(x):
Pa(x )x 2 d x = 2 / 3 ^ 0.

i:

A N O T A C IÓ N O rto g o n a lid a d En el capítulo 4 se encontró que la ortogonafidad de los vectores de dimensión

finita era útil para formular y resolver problem as de mínimos cuadrados. Para la cuadratura, se requiere
la ortogonalidad en espacios de dim ensión Infinita como el espacio vectorial d e polinomios en una
variable. Una base es la de los monomios (t. x , x2. ...} . Sin embargo, una base más útil es aquella que
también es un conjunto ortogonal. Por ortogonalidad en el intervalo [—1.11, la mejor opción la consti­
tuyen los polinomios de l egendre.

5.5 Cuadratura gaussiana | 275

Al ajustarse a p ^ x ) = x 2 + c .s c tiene que

£• i
/* i(x )(x 2 + c) d x = 2 /3 + 2c = O,

siempre y cuando c = —1/3. Asegúrese de que P \ y Pi sean ortogonales (vea el ejercicio 7). Por lo

tanto,el conjunto { l,* ,* 2 - 1/3} es un conjunto ortogonal en ( - 1 ,1 ] , <

Los tres polinomios del ejemplo 5.13 pertenecen a un conjunto descubierto por Lcgendre.

EJEMPLO 5.14 Demuestre que el conjunto de polinomios de Legendre

para 0 S i S n es ortogonal en [ - 1 ,1 ].

Observe primero que p,(x) es un polinomio de grado i (como la derivada i-ésima de un poli­
nomio de grado 2i). Segundo, note que la derivada i-ésima de (x2 — 1y es divisible entre (x2 - 1)
si i < j.

Se desea demostrar que si i < /.entonces la integral

f u x 2 - o 'i^ tc 2 -

es igual a cero. Al integrar por partes con u = [(x2 - 1)*]Wy dv = [(jr2 — 1)lJW¿ r se obtiene

u v - J l v d u = [(x 2 - l) ' ] 0 )[(x 2 - D y](y _ ,) lL ,

-J [(x2 - l ) '] (/+,)[(x2 - i y l ) U ~ l *d x

=-J [(x 2 - 1)‘] ^ [ ( X 2 - dx.

puesto que [(x2 - iyj</_,>es divisible entre (x2 - 1).
Después de i + 1 integraciones por partes repelidas, queda

J( - l) '+l [(x2-l)'P+,)[(x2- l)>]U-*-»>dx=o,

porque la derivada (2» + l)-ésima de (x2 - 1)¿es cero. *

Por el teorema 5.5, el n-ésimo polinomio de lcgendre tiene n rafees xJ t ... ,x„ en [ - 1 , 1 J. La
cuadratura gaussiana de una función es tan sólo una combinación lineal de las evaluaciones de las
funciones en las raíces de Lcgendre. Esto se logra al aproximar la integral de la función deseada
mediante la integral del polinomio de interpolación, cuyos nodos son las raíces de Lcgendre.

Fije u n an y sea Q(x)el polinomio de interpolación para el integrando /(x )e n lo s nodos X j,. . . ,
x„. Si se usa la formulación de Lagrange, es posible escribir

AQi/(x)v = V> ',f¿// (vx )r//( x j )v. dondie L ,(x ) = ( * — XI) *- *(X - X / ) * - ( x - X n )
t a l ( X i - X l ) - - (x, - X i • (x, - x„)

Al integrar ambos lados se obtiene la siguiente aproximación de la integral:

276 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

n raíces x¡ coeficientes c<
2 - ^ 1 / 3 = -0.57735026918963 1 = 1.00000000000000
1 = 1.00000000000000
y /Y Jl = 0.57735026918963 5 /9 = 0.55555555555555
3 -v /3 /5 = -0.77459666924148 8/9 = 0.88888888888888
5 /9 = 0.55555555555555
0 = 0.00000000000000
v/375 = 0.7745% 66924148 - 0.34785484513745

4 - 0.86113631159405 = 0.65214515486255

_ 0339981 (M358486 = 0.65214515486255

= 033998104358486 - 0.34785484513745

^ 1 5 + 2 ^ - 0.86113631159405

Tab la 5.1 C o aftclan tas da la cu a d ra tu ra g au ssian a. Ralees x ,d c los n- tolmos polinomios
de Legendre, y coeficientes c, en (5.44).

Cuadratura gaussiana

j ^f(x ) dx /(* /), (5.44)

donde

Jd - ^ L i O c ) d x , / = 1 n.

Las c¡ se tabulan con gran exactitud. Los valores se dan en la tabla 5.1 hasta n = 4.
►EJEMPLO 5.15 Aproxime

usando la cuadratura gaussiana.

La respuesta correcta hasta 14 dígitos es 1.71124878378430. Para el integrando f ( x ) — e ~ x 12,
la aproximación de la cuadratura gaussiana con n - 2 es

J e d x «sci/(xi) + c if{ x i)

= 1 • / ( - / I 7 3 ) + 1 • f(y /V ¡ 3) ss 1.69296344978123.

La aproximación para n = 3 es

^ / ( - V ^ / 5 ) + * /( 0 ) + ? /( v /3 /5 ) * 1.71202024520191.

y la aproximación con n = 4 es
c t / ( . t |) + C2 / ( x 2) + c 3/ ( x 3) + c * /(x 4) * 1.71122450459949.

Esta aproximación, que emplea cuatro evaluaciones de la función, es mucho más cercana que la
aproximación /?33 de Rombcrg, que utiliza cinco evaluaciones de funciones uniformemente espa­
ciadas en [ —1,1J:

5.5 Cuadratura gaussiana | 277

1 .2 1 3 0 6 1 3 1 9 4 2 5 2 7 0 0
1 .6 0 6 5 3 0 6 5 9 7 1 2 6 3 1 .7 3 7 6 8 7 1 0 6 4 7 5 0 9 0
1 .6 8 5 7 6 2 2 3 2 4 4 0 9 1 1 .7 1 2 1 7 2 7 5 6 6 8 3 6 7 1 .7 1 0 4 7 1 8 0 0 0 3 0 9 1

El secreto de la precisión de la cuadratura gaussiana se evidencia con el siguiente teorema.

TEOREMA 5.6 El método de la cuadratura gaussiana, usando el polinomio de Legendrc de grado n en [ - 1 , 1],

tiene un grado de precisión 2n - I . ■

D em ostración. Sea P(x) un polinomio a lo sumo de grado 2n — 1. Debe demostrarse que
puede integrarse exactamente mediante la cuadratura gaussiana.

Si se usa la división larga de polinomios, puede expresarse

P(x) = S(x)pn(x) + R(x), (5.45)

donde los S(x) y R(x) son polinomios de grado menor que rt. Tenga en cuenta que la cuadratura
gaussiana será exacta en el polinomio /?(*), puesto que sólo es la integración del polinomio de
interpolación de grado rt - l , que es idéntico a R(x).

En las raíces x, del n-ésimo polinomio de Legendrc, P(x¡) = R(x¡\ dado que p„(x,) = 0 para
todas las i. Esto implica que sus aproximaciones por la cuadratura gaussiana serán las mismas. Pero
sus integrales también son idénticas: al integrar (5.45) resulta

J J J +JP(x) dx = S(x)p„(x) d x + R ( x ) d x = 0 R(x)dx,

ya que por el teorema 5.4, S{x) puede escribirse como una combinación lineal de polinomios de

grado menor que n, que son ortogonales a p n(x). Dado que la cuadratura gaussiana es exacta en

R(x), también debe serlo pora P(x). H

fttra aproximar las integrales en un intervalo general [a, b], el problema debe trasladarse de
nuevo a [ - 1 ,1 ) . Si se usa la sustitución r = (2x - a - b)Hb - a), resulta fácil comprobar que

[ /(*) = £ / ( (* - a)'2+fe + a ) ^ (5.46)

Esto se demuestra con un ejemplo. j * lnx</.t,
► E JE M P L O 5.16 Aproxime la integral

usando la cuadratura gaussiana.
A partir de (5.46).

Ahora es posible establecer/( /) = ln((r + 3y2y2 y emplear las raíces y los coeficientes estándar.

El resultado para n = 4 es 0.38629449693871. comparado con el valor correcto 2 ln 2 - 1 %

0.38629436111989. De nuevo, esto es más preciso que la integración de Romberg utilizando cua­

tro puntos del ejemplo 5.11. ■<

278 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

5.5 Ejercicio s

I. Aproxime las integrales usando la cuadratura gaussiana con n = 2. Compare su respuesta oon el
valor correcto e indique el error de aproximación.

/I <*l |*l /•!

(a) (x3 + 2x) dx (b) J xAd x (c) J e* dx (d) J eos** d x

2. Aproxime las integrales del ejercido 1 usando la cuadratura gaussiana con n = 3. También indi­
que el error.

3. Aproxime las integrales del ejercido 1 usando la cuadratura gaussiana con n ■ 4. También indi­
que el error.

4. Cambie las variables empleando la sustitudón (5.46) para rcescribir la integral en ( - 1 , 1 1.

(a) í * X (b) í * d* (c) í xe* d x (d) í x 2\nx d x
Jo V x2 + 9 Jo x 2 + 1 Jo J|

5.Aproxime las integrales del ejercido 4 usando la cuadratura gaussiana con n = 3.
6. Aproxime las integrales usando la cuadratura gaussiana con n = 4.

(a) j ( V + 2*)<f* (b) ln x dx (c) i: x s dx (d) J dx

7. Demuestre que los polinomios de Lcgcndrc p x(x) = x y p>(x) = x2 - 1/3 son ortogonales en
[ - 1. 11.

8. Encuentre los polinomios de I-cgcndrc hasta de grado 3 y compárelos con el ejemplo 5.13.

9. Verifique los coefidentcs c¡ y las x¡ en la tabla 5.1 para el grado n = 3.
10. Verifique los coeficientes c¡ y las x¡ en la tabla 5.1 para el grado n - 4.

(m probadón Control de movimiento en el modelado asistido por computadora
en la realidad
H modelado y la manufactura asistidos por computadora requieren un control preciso de la posi-
d ó n espacial a lo laigo de una trayectoria de movimiento prescrita. Se ilustrara el uso de la inte­
gración numérica para resolver una pieza fundamental del problema: la subdivisión, o la división
de una trayectoria arbitraria en subtrayectorias de la misma longitud.

En los problemas numéricos de maquinado, es preferible mantener la veloddad constante a
lo largo de la trayectoria. Durante cada segundo, se debe avanzar a lo largo de una longitud igual
de la interfase del materialcon la máquina. En otras aplicaciones de planificación del movimiento,
incluyendo la animación por computadora, pueden requerirse curvas de avance más complicadas:
una mano que trata de alcanzar la perilla de una puerta puede comenzar y terminar con baja ve­
locidad y tener una mayor velocidad en el intervalo de ambos. Las aplicaciones de robótica y de
realidad virtual requieren la construcción de curvas y superficies parametrizadas sobre las cuales
se navega. Con frecuencia, el primer paso requerido es la construcción de una tabla con pequeños
incrementos iguales sobre la distancia de la trayectoria.

Suponga que se tiene una trayectoria paratnétrica P = {x(f). >’(0|0 ^ I ^ 1}. En la figura 5.6
se muestra la trayectoria de ejemplo

P = I * (/) = °-5 + ° - 3/ + 3 9,2 “ 4 7/3
| y ( t ) = 1.5 + 0.3/ + 0 .9 /2 - 2.7/3 1

5.5 Cuadratura gaussiana | 279

\

r = 1/4 tm 1/2

l » 3/4

-I x

Figura 5 .6 C u rva param atrlzada dada por la sp lina d a Bézlar. Por lo g eneral, los Intervalos Iguales del
parámetro fn o dividen la trayectoria en segmentos d e Igual longitud.

que es la curva de Bézier definida por los cuatro puntos (0.5, 1.5), (0.6, 1.6), (2, 2). (0 .0 ) (vea la
sección 3.5). Se muestran los puntos definidos para valores igualmente espaciados en i = 0, 1/4,
1/2, 3/4, I. Observe que un espaciado uniforme de los valores cn t no implica un espaciado uni­
forme cn la longitud del arco. El objetivo es aplicar los métodos de integración para dividir esta
trayectoria en ti partes iguales.

Recuerde del cálculo que la longitud del arco de una trayectoria desde ^ hasta t2 es

Sólo cn raras ocasiones la integral produce una expresión en forma cerrada, y normalmente se uti­
liza una técnica de cuadratura adaptativa para controlar la parametrización de la ruta.

Actividades sugeridas:

1. Escriba una función en M a t l a b que utilice la cuadratura adaptativa para calcular la longitud del
arco desde r = 0 hasta t = T para una T < 1 dada.

2. Escriba un programa que. para cualquier s de entrada entre 0 y 1, encuentre el parámetro t*(s) que
sea la s de la forma a lo largo de la curva. En otras palabras, la longitud del arco desde t m 0 hasta
i = t*(s) dividida entre la longitud del arco desde t - 0 hasta / = I debe ser igual a s. Utilice el
método de bisección para localizar el punto /•($) hasta tres cifras decimales correctas. ¿Qué fun­
d ón se establece en cero? ¿Qué intervalo de confinamiento debe utilizarse para iniciar el método
de bisección?

3. Divida uniformemente la trayectoria de la figura 5.6 en n partes de igual longitud, para n - 4 y
n = 20. Grafiquc los análogos de la figura 5.6 que muestren las subdivisiones. Si sus cálculos son
demasiado lentos, considere acelerar la cuadratura adaptativa mediante la regla de Simpson. como
se sugiere en el problema de computadora 2 de la sección 5.4.

4. Cambie el método de bisección del paso 2 por el método de Newton, y repita los pasos 2 y 3. ¿Cuál
es la derivada necesaria?, ¿cuál es una buena opción para el valor inicial? ¿El tiempo de cálculo se
reduce con esta sustitución?

5. En el apéndice A se muestran los comandos de animación disponibles en M a t l a b . For ejemplo,
los comandos

s e t(g c a ,'X L ir a ', ( - 2 2 ] , * YLira', ( - 2 2 ] , 'Drawmode', ' f a s t ' , . . .
'V isible','on ');

cía
axis square

280 | CAPÍTULO 5 Diferenciación e integración numérica

b a ll« lin e ('c o lo r ' , ' r ' , 'Marker', ' o ' , 'M arkerSize',1 0 ,...
' L i n e W i d t h ' , 2 , ' e r a s e ' , ' x o r ' , ' x d a t a ' , [] , ' y d a t a ' , () ) ;

defina un objeto “ball” (bola) con la posidón asignada (x, y) mediante los siguientes comandos:
s e t ( b a l l , ' x d a ta ', x ,'y d a t a ',y ) ; drawnow;pause(0.01)

Al poner esta línea en un d elo que cambie x y y hace que la bola se mueva a lo largo de la trayec­
toria en la ventana de la figura de M a tla b .

Utilice los comandos de animación de M a tla b para demostrar el viaje a lo largo de la trayectoria,
primero con el parámetro original de velocidad 0 rs / ^ 1 y luego a veloddad (constante) dada por
f*(s) para 0 S j S 1.

6. Experimente con la subdivisión de una trayectoria de su elecdón. Construya una cu n a de Bézier
de su elección con diserto, ¡nido, etcétera; divídala en segmentos con la misma longitud de arco y
anímela como en el paso 5.

7. Escriba un programa que intercepte la trayectoria P de acuerdo con una curva de progreso arbi­
traria C(s), O s j S 1, con C(0) - 0 y C( 1) - 1. El objeto debe moverse a lo largo de la curva C

de modo que la proporción C(j) de longitud de arco total de la trayectoria cruce entre 0 y .v.
Por ejemplo, la veloddad constante a lo largo de la trayectoria podría estar representada por
C(s) - s. Pruebe la curvas de progreso C(s) - s l/i, C(j) - s2, C(s) - sen sn/2 o C(j) - 1/2 +
( l/2)sen(2j — l)*/2.

Consulte Wang el al. [2003] y Gucntcr y Parcnt [1990] para obtener más detalles y aplicado-

nes de la integración numérica de curvas en el plano y en el espacio. ✓

Software y lecturas adicionales

Los métodos de Newton-Cotes abiertos y cerrados son herramientas básicas para aproximar inte­
grales definidas. La integración de Romberg es una versión acelerada. Las ¡mpleincniadoncs de
software más comerciales involucran la integración numérica en alguna de sus formas. Los textos
clásicos sobre la diferendación y la integración numérica incluyen Davis y Rabinowitz [1984],
Stroud y Secrest [1966], Krommery Ueberhuber [1998], Engels [1980], y Evans [1993],

Existen muchas técnicas de integración numérica eficaces que se ¡mplementan mediante sub-
rutinas de Fortran en el software de dominio público Quadpack (Piessens et al. ( 1983]), disponible
cnN ctlib (w w w .n e tlib .o r g /q u a d p a c k ). El método de Gauss-Kronrod es una técnica adaptativa
que se basa en la cuadratura gaussiana. Quadpack propordona los métodos adaptativo y no adapta-
tivo QNG y QAG. respectivamente; el último se basa en Gauss-Kronrod. Los programas en IMSL
y NAG se basan en las subrutinas de Quadpack. Por ejemplo, la clase q u a d r a tu r e en LMSL es la
implementación en Java.

El comando q u a d d e M a t l a b es una im plem entadón de la cuadratura adaptativa compuesta
de Simpson, y d b lq u a d trata con integrales dobles. La caja de herramientas simbólica de M a tla b
tiene los comandos d i f f c i n t para diferenciar e integrar en forma simbólica, respectivamente.

La ¡ntegradón de funciones con varías variables puede hacerse al extender los métodos unidi­
mensionales en forma directa, siempre y cuando la región de ¡ntegradón sea simple; por ejemplo,
vea Davis y Rabinowitz [1984] y Haber [1970], Para algunas regiones complicadas, se recomienda
la ¡ntegradón Monte Cario. Monte Cario es más fácil de implementar, pero por lo general converge
con mayor lentitud. Estos temas se analizan en el capítulo 9.