Análisis numérico, 2da Edición - Timothy Sauer-FREELIBROS.ORG

6 .5 Métodos con tamaño de paso variable | 331

El comando

» [ t , y ] -o d e 4 5 (®f, [0 1] , l . o p t s ) ;

causa que o d e4 5 funcione como antes. Esta alternativa será conveniente cuando aumente el núme­
ro de variables independientes en las ecuaciones diferenciales.

Si bien es tentador coronar a los métodos de Runge-Kutta con tamaño de paso variable como
los campeones entre los métodos para resolver EDO. hay algunos tipos de ecuaciones que no son
muy bien manejadas por estos métodos. A continuación se presenta un ejemplo muy sencillo pero
problemático:

►EJEMPLO 6.23 Utilice o d e4 5 para resolver el problema de valor inicial con una tolerancia relativa de 10-4.

/ = 10(1 - y ) (6.67)
y{0) = \/2
t en [0 . 1 0 0 ].

Esto puede lograrse con las siguientes tres líneas de código en Ma t l a b :

» opts-odeoet('R elTol',le - 4 ) ;
» ( t , y ] = o d e 4 5 ( « ( t , y ) 10* ( 1 - y ) , [0 1 0 0 ] , . 5 , o p t s ) ;
» length(t)

ans= 1241

»

Se tiene impreso el número de iteraciones pero parece excesivo. La solución del problema de
\alor inicial es fácil de determinan ></) = 1 —e~ ,0 V2. P ira i > 1. la solución ya ha alcanzado su
equilibrio 1dentro de 4 posiciones decimales y nunca se mueve más allá de 1. Sin embargo. o d e 4 5
se mueve a paso de tortuga, utilizando un tamaño de paso promedio de menos de 0.1. ¿Por qué una
selcoción conservadora del tamaño de paso para una solución fácil?

ftirte de la respuesta se hace evidente al ver la salida de o d e 4 S en la figura 6.20. Aunque la
solución está muy cerca de I, el método se sobrepasa continuamente al tratar de aproximarse aún
más. La ecuación diferencial es “rígida”, un término que se define con mayor detalle en la siguiente
sección. Para las ecuaciones rígidas, una estrategia diferente en la solución numérica aumenta en

I.OOOI

F ig u ra 6.20 Solución num érico <M problem a do valor Inicial dol ejem plo 6 2 3 . (a) El uso d e o <m s requiere
más d e 10 pasos po r unidad de tiem po para perm anecer dentro d e la tolerancia relativa 10“ 4.(b ) C o n « J» 2 3 e ,
se necesitan m uchos m enos pasos.

332 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

gran medida la eficiencia de los problemas. Par ejemplo, observe la diferencia en las iteraciones
necesarias cuando se utiliza uno de los métodos rígidos usando M a t i.a r :

» opts-odeaet('RelTol', le -4 );
» t t , y ] « o d e 2 3 s (® ( t , y ) 1 0 * ( l - y > , [ 0 1 0 0 ] , . 5 , o p t e ) ;
>> l e n g t h ( t )

ans-

39

En la figura 6.20(b) se representan los puntos de la solución del código o d e 2 3 s de M a t l a b .
Se requieren relativamente pocos puntos para mantener la solución numérica dentro de la tole­
rancia. En la siguiente sección se investigará cómo construir métodos que controlen este tipo de
dificultades.

6.5 Pro blem as de com putadora

1. Escriba una impleinentación de RK23 (ejemplo 6.19) en M atlab y aplíquela para aproximar las
soluciones de los PVI del ejercicio 3 de la sección 6.1 con una tolerancia relativa de 10- 8 en [0,
I ]. Haga que el programa se detenga justo en el punto extremo 1 = 1 . Registre el tamaño de paso
máximo utilizado y el número de iteraciones.

2. Compare los resultados del problema de computadora 1 con la aplicación de ode2 3 de M atlab
para el mismo problema.

3. Realice los pasos del problema de computadora 1 para el método de Runge-Kutta-Fehlberg
RKF45.

4. Compare los resultados del problema de computadora 3 con la aplicación de ode4 s de M atlab
para el mismo problema.

5. Aplique una implementadón de RKE45 en M atlab para aproximar las soludones a los sistemas
del ejercicio 1 de la sccdón 6.3 con una tolcranda relativa de I0 - 6 en [0, 1]. Reporte el tamaño
de paso máximo utilizado y el número de ileradones.

6 . 6 MÉTODOS IMPLÍCITOS Y ECUACIONES RÍGIDAS

Los métodos para resolver ecuaciones diferendales que se han presentado hasta ahora son explí­
citos. lo que significa que existe una fórmula explícita para la aproximación a la nueva w¡+j en
términos de los dalos conocidos, como h. t¡ y w¡. En ocasiones algunas ecuaciones diferenciales
son mal abordadas por los métodos explícitos y el primer objetivo consiste en explicar por qué. En
d ejemplo 6.23. un método sofisticado con tamaño de paso variable parece emplear la mayor parte
de su potencia pasando de largo la soludón correcta cn una u otra dircedón.

El fenómeno de la rigidez puede entenderse con más facilidad en un contexto más simple. En
oonsecuenda. se inicia con el método de Euler.

►EJEMPLO 6 .2 4 Aplique el método de Euler al ejemplo 6.23.

El método de Euler para el lado derecho de /( /, r) = 10(1 —y) con tamaño de paso h es

U>l + | = w, + / »/ ( / , . w ,) (6 .68 )
= w¡ + A ( 1 0 ) ( I - u » / )
= u»í( 1 — lO/i) + 1 0 /r.

6.6 Métodos implícitos y ecuaciones rígidas | 333

Como la solución es y(t) = 1 — e “ ,0 f/2. la soludón aproximada debe acercarse a 1 en el largo

plazo. Aquí se obtiene un poco de ayuda del capítulo 1. Observe que (6 .6 8 ) puede verse como una

iteración de punto fijo con #(x) = x(l - 1 0 /t) — lQ/i. Esta iteración converge al punto fijo en x “ 1

siempre que |g '(l)| “ |1 - 10/»| < 1. Al resolver esta desigualdad se obtiene 0 < h < 0.2. Para

cualquier h más grande, el punto fijo 1 se aleja y no se tendrá la soludón. 4

En la figura 6.21 se muestra este efecto para el ejemplo 6.24. La solución es muy dódl: un
equilibrio atrayente en y = 1. Un paso de Euler de tamaño h = 0.3 tiene dificultad para cnoontrar
cl equilibrio debido a que la pendiente cercana a la solución cambia mucho entre el comienzo y el
final d d intervalo h. Esto causa un alejamiento a la soludón numérica.

F ig u ra 6.21 Com paración d a lo* pasos da Eular y Eu lar h a d a a t r is .L a ecuación diferencial d el ejem plo 6 23
es rígida. La solución d e equilibrio y = 1 está rodeada por otras soluciones de gran curvatura (cuya pendiente
cam bia con rapidez). El paso d e Euler rebasa la solución, m ientras que e l paso d e Euler hacia a trá s es más
consistente con la d inám ica d el sistema.

l.as ecuaciones diferenciales con esta propiedad (que las soluciones atrayentes están rodeadas
de soluciones cercanas que cambian con rapidez) se denominan rígidas. Esto suele ser una señal de
la existencia de múltiples escalas de tiempo en el sistema. Cuantitativamente, esto corresponde a
una parte lineal del lado derecho / d e la ecuación diferencial, en la variable y, que es grande y ne­
gativa. (Para un sistema de ecuaciones, esto corresponde a un valor propio de la parte lineal que es
grande y negativo). Esta definición es un poco relativa, pero es la naturaleza de la rigidez (entre más
negativa sea, menor será el tamaño de paso para evitar el alejarse). Para el ejemplo 6.24, la rigidez
se mide mediante la evaluación dc d f Jdy m - 1 0 en la solución de equilibrio y « 1 .

Una manera de resolver el problema que se representa en la figura 6.21 consiste en transferir
de algún modo información desde el lado derecho del intervalo [t¡, t¡ + hj. en vez de confiar sólo en
la información del lado izquierdo. Ésa es la motivación detrás de la siguiente variación del método
de Euler:

Método de Euler hacia atrás

W'0 = >t) (6.69)
U) ¡ + 1 = w¡ + h f ( t l+1 . Wj+i).

Observe la diferencia: mientras que el método de Euler emplea la pendiente del extremo iz­
quierdo para pasar a través del intervalo. Euler hacia atrás intenta cruzar el intervalo de modo que
la pendiente en el extremo derecho sea la correcta.

fóra lograr esta mejora debe pagarse un precio. Euler hacia atrás es el primer ejemplo de un
método implícito, lo que significa que el método no da directamente una fórmula para la nueva

334 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

aproximación w,+ t. En vez de eso, es necesario trabajar un poco para conseguirla. ParacI ejemplo
y ' = 10(1 —y) el método de Euler hacia atrás da

w , + 1 = w , + I ( ) /» ( 1 - u;/+ i),

que. después de algo de álgebra, puede expresarse como

tv¡ + 1 0 Ó

UJ/+1 =

1 + 1 0 /t '

Si. por ejemplo, se establece h = 0.3 el método de Euler da u>l+ \ = (tu, + 3)/4. Una vez más, puede
evaluarse el comportamiento como una iteración de punto fijo w -* g(w) = (u> + 3)/4. Existe un
punto fijo en I, y g '( l ) = 1/4 < 1, lo que verifica la convergencia a la verdadera solución de equi­
librio y = 1. A diferencia del método de Euler con h —0.3, al menos la solución numérica sigue el
comportamiento cualitativo correcto. De hecho, observe que la solución del método de Euler hacia
atrás converge a y = I . sin importar cuán grande sea el tamaño de paso h (ejercicio 3).

Debido al mejor comportamiento de los métodos implícitos como Euler hacia atrás en la pre­
sencia de ecuaciones rígidas, vale la pena realizar un trabajo adicional para evaluar el siguiente
poso, a pesar de que no esté explícitamente disponible. El ejemplo 6.24 no fue difícil de resolver
para u>,+|, debido a que la ecuación diferencial era lineal y que era posible cambiar la fórmula
implícita original por una fórmula explícita para su evaluación. Sin embargo, en general esto no es
posible y es necesario utilizar medios más indirectos.

Si el método implícito deja una ecuación no lineal por resolver, es necesario hacer referencia
al capítulo 1. Tanto la iteración de punto fijo como el método de Newton se utilizan con frecuencia
para resolver u>l+ ,. Esto significa que hay un ciclo de resolución de ecuaciones dentro del ciclo de
avance de la ecuación diferendal. El siguiente ejemplo muestra cómo puede hacerse esto.

EJEMPLO 6 .2 5 Aplique el método de Euler al problema de valor inicial

y =y 9/
J'íO) = I /2
/ en [0.3].

Esta ecuadón. como en el ejemplo anterior, tiene una solución de equilibrio y = 1. Ira derivada
parcial d f/d y = 1 + 16y - 27y2 se evalúa como - 1 0 en y = 1, lo que identifica a esta ecuadón
como moderadamente rígida. Habrá un límite superior para h, similar al del ejemplo anterior, de
modo que el método de Euler sea exitoso. F\>r lo tanto, existe una motivación para probar el método
de Euler

w i+ 1 = wi + /» /(//+ 1 , u>h i)

= w¡ + h(w i+ 1 + 811;/+, - 9ui?+ l ).

Ésta es una ecuación no lineal en u>J+1, la cual debe resolverse para avanzar en la solución numé­

rica. Si se renombra z = w,+ i,e s necesario resolver la ecuación z = xv¡ + h(z + fe2 - o bien

9 h ? - Zhz* + (\ - h )z - w, = 0 (6.70)

para la incógnita z. Se usará el método de Newton.
Para in id ar el método de Newton se necesita una estimación inicial. Dos opciones que vienen

a la mente son la aproximación w¡ anterior y la aproximadón del método de Euler para tuy+j. Aun­
que la segunda opción es accesible puesto que Euler es explícito, puede no ser la mejor opción para
los problemas de rigidez, como se muestra en la figura 6.21. En este caso, se utilizará w¡ como la
estimación de inicio.

6.6 Métodos implícitos y ecuaciones rígidas | 335

(a) (b)

F ig u ra 6.22 S o lu d ó n num érica <M problam a da valor Inicial dai ajam p to 6 2 5 . La solución verdadera e s la
curva discontinua. Los circuios negros indican la aproxim ación del método de Euler; b s círculos grises indican
Euler hacia atrás. (a )b - 0.3 (b) h - 0.15.

Al aplicar el método de Newton para (6.70) produce (7 )

9/tz3 - 8 /rz2 + (1 - h )z - w,
* 27A .J- l6 A r+ l - h '

Después de evaluar (6.71), remplace z con y repita. Para cada paso de Euler hacia atras. el

método de Newton se ejecuta hasta que - zsea menor que una tolerancia predefinida (más

pequeña que los errores que se cometen al aproximar la solución de la ecuación diferencial).

En la figura 6.22 se muestran los resultados para dos tamaños de paso diferentes. Además, se

muestran las soluciones numéricas del método de Euler. Es evidente que h = 0.3 es demasiado

grande para Euler en este problema rígido. Por otro lado, cuando h se corta a 0.15. ambos métodos

se desempeñan aproximadamente al mismo nivel. *

Los llamados métodos rígidos como Euler hacia atrás permiten un control suficiente de los
errores con tamaños de paso relativamente grandes, lo que aumenta la eficiencia. o d e 2 3 s de
M a t l a b es una versión de orden superior con una estrategia integrada de tamaño de paso variable.

6 .6 Ejercicios

1. Use la condición inicial ><0) * 0 y el tamaño de paso h “ 1/4 para calcular la aproximación de
Euler hacia atrás en el intervalo [0. 1J. Encuentre el error en / = 1 comparando su respuesta con
la solución correcta hallada en el ejercicio 4 de la sección 6.1.

(a) / = / + >• (b) / = /- > > (c) / -2 y

2. Encuentre todas las soluciones de equilibrio y el valor del jacobiano en el equilibrio. ¿La ecuación
es rígida? (a) y = y - y 2 (b) y = 10y - 10y2 (c) y = - lOsen y

3. Demuestre que para cada tamaño de paso h. la solución aproximada de Euler hacia atrás converge
a la solución de equilibrio y = 1 cuando t¡ -* « para el ejemplo 6.24.

4. Considere la ecuación diferencial lineal y' *» ay + b para a < 0. (a) Encuentre el equilibrio,
(b) Escriba el método de Euler hacia atrás para la ecuación, (c) Vea el método de Euler hacia atrás
como una iteración de punto fijo para demostrar que la solución aproximada del método conver­
gerá al equilibrio cuando /-*<».

336 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

6.6 Pro blem as de com putadora

Aplique Euler hacia atrás, utilizando el método de Newton, para los problemas de valor inicial.
¿A cuál de las soluciones de equilibrio se acerca la solución aproximada? Aplique el método de
Euler. ¿Para cuál rango aproximado de h puede usarse Euler con éxito en la convergencia hacia
el equilibrio? Graftquc las soluciones aproximadas dadas por Euler hacia atrás y por Euler con un
tamaño de paso grande.

/ =/ - / y = 6 y — 6) r

(a) y(0 ) = 1 / 2 (b) y(0 ) = 1 / 2

/ en [0 . 2 0 ] t en [0 . 2 0 ]

2. Realice los pasos del problema de computadora para los siguientes problemas de valor inicial:

/ =6y- 3 / y = 10/ - 10/

(a) y (0 ) = 1 / 2 (b) >'(0 ) = 1 / 2

i cn [0 . 2 0 ] i cn (0 . 2 0 J

6 . 7 MÉTODOS DE VARIOS PASOS

La familia Runge-Kutta que se ha estudiado consiste cn métodos de un solo paso, lo que significa
que el paso más nuevo u>l + 1 se produce sobre la base de la ecuación diferencial y el valor de la
uí/del paso anterior. Éste es el espíritu de los problemas de valor inicial, para los cuales el teorema 6 . 2
garantiza una solución única a partir de una u\>arbitraria.

I jos métodos de varios pasos sugieren un enfoque diferente: usar el conocimiento de más de
una de las w¡ anteriores para ayudar a producir el siguiente paso. Esto conduce a métodos pura
resolver EDO que tienen un orden tan alto como los métodos de un solo paso, pero gran parte del
cálculo necesario se reemplazará con la interpolación de los valores ya calculados cn el transcurso
de la resolución.

6.7.1 Generación de m étodos de varios pasos
Como primer ejemplo, se considerará el siguiente método de dos pasos:

Método do dos pasos do Adams-Bashforth U>/_ I )J . (6.72)
U>|+| = W j + A |^ / ( / / . u * ) -

Mientras que el método del punto medio de segundo orden,

w,+i = w, + h f \ t ¡ + í . u v + j / f t f . u>/)^ .

necesita dos evaluaciones de función del lado d e re c h o /d e la EDO por paso, el método de dos

pasos de Adams-Bashfoith requiere solamente una nueva evaluación por paso (una evaluación se

recupera del paso anterior). Se verá posteriormente que (6.72) también es un método de segundo

orden. Por lo tanto, los métodos de varios pasos pueden lograr el mismo orden con menos esfuerzo

de cálculo (por lo general, sólo una evaluación de función por paso).

Dudo que los métodos de varios pasos usan más de un valor anterior w, necesitan algo de ayu­

da para empezar. La fase ¡nido (o de puesta cn marcha) de un método de s pasos consiste por lo

regular en un proceso que usa w0 para generar s - 1 valores u>,, . . . , antes de que el mé­

todo de varios pasos pueda utilizarse. El método de Adams-Bashforth de dos pasos (6.72) necesita

u>i, junto con la condición inicial dada u <q, para comenzar. El siguiente código de M a t i-a b utiliza

el método del trapecio para propordonar el valor de w\ de la fase de inicio.

6.7 Métodos de varios pasos | 337

% Programa 6 .7 Método de v a r io s pasos

% Entradas: in terv a lo de tiempo in ter,

% i c - [yO] c o n d i c i ó n i n i c i a l , n ü m e r o d e p a s o s n ,

% s= número de p a s o s ( v a r i o s ) , por e je m p lo 2para e l método d e 2 p a s o s

% S a lid a : pasos de tiempo t , so lu c ió n y

% Llama a un método de v a r io s p a s o s, como ab2step .m

% Uso de ejemplo: [ t , y ]= e x m u ltiste p ([0 ,1 ],1 ,2 0 .2 )

fu n ctio n [t, y] *»exmultistep( in t e r , i c , n , s)

h « ( i n t e r ( 2 ) - i n t e r (1 ) ) /n;

% Fase de in ic io

y ( 1 . : ) « i c ; t ( 1 ) « Í n t e r (1) ;

for i= l:s -1 % fa s e de i n i c i o , usando método de un s o lo paso

t ( i + 1 ) * t ( i ) +h;

y (i+ 1 , : ) - t r a p s t e p ( t ( i ) , y ( i , : ) ,h) ;

f ( i , : ) =ydot(t(i ) , y ( i , :));

end

for i=s:n % c ic l o d e l método de v arios pasos

t ( i + 1 ) = t ( i ) +h;

f ( i , :)-y d o t(t(i),y (i,:));

y(i+ 1,:)= ab 2step (t(i),i,y,f,h );

end

p lo t(t,y )

function y»trapstep(t,x,h)
%un p a s o d e l m é t o d o d e l t r a p e c i o d e l a s e c c i ó n 6 . 2
zl-yd ot(t,x);
g-x+h*zl;
z2=ydot(t+h,g);
y=x+h*(zl+z2)/2;

f u n c t i o n z = a b 2 s t e p ( t , i , y , f , h)
%un p a s o d e l m é t o d o d e A d a m a - B a s h f o r t h d e 2 p a s o s
z« y (i,:)+h *(3*£(i,:)/2-£(i-l,:)/2);

function z » u n sta b le2 step (t,i,y ,f,h )

%un p a s o d e u n m é t o d o i n e s t a b l e d e 2 p a s o s

z = -y (i,:)+2*y(i-1,:)+h*(5*f(i.: )/2 + f(i-1 ,:)/2 ) ;

f u n c t i o n z = w e a k l y s t a b l e 2 s t e p ( t , i , y , f , h)
%un p a s o d e u n m é t o d o d é b i l m e n t e e s t a b l e d e 2 p a s o s
z - y ( i - l ,:)+h*2*f(i,:);

function z-ydot(t.y) % PVI d e l a s e c c i ó n 6 . 1
z=t*y+t~3;

En la figura 6.23(a) se muestra el resultado de la aplicación del método de Adams-Bashforth
de dos pasos al problema de valor inicial (6.5) que se presentó con anterioridad cn este capítulo,
con tamaño de paso h = 0.05 y aplicando el método del trapecio para la fase de inicio. El inciso (b)
de la figura muestra el uso de un método diferente de dos pasos. Su inestabilidad será el tema del
análisis de la estabilidad en las siguientes secciones.

Un método general de s pasos tiene la forma

u>/+-i = a iw ¡ + a2W i-i H + flauv-j+i + h[bofi+ 1 + b ifi (6.73)
+ b lf i- \ H Hbsft-s+ \Y

338 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
y

y

H g u ra 6 .2 3 M é to d o s d a d o s p a so s a p lica d o s a l P V I (6 .5 ). la cu rva discontinua m uestra la solución correcta.

Tamaño del paso h —0.05. (a) El método de Adams-Bashforth de dos pasos se representa con circuios.

(b) El método Inestable (6.81) se representa con circuios.

El tamaño del paso es h, y se usa la notación
f = / ( / , , w¡).

Si b0 = O.cl método es explícito. Si b0 0. el método es implícito. En breve se estudiará la manera
de utilizar los métodos implícitos.

fii primer lugar, se quiere mostrar la manera de obtener los métodos de varios pasos y cómo
decidir cuáles funcionan mejor. Los principales problemas que surgen con los métodos de pasos
múltiples pueden introducirse mediante un caso relativamente simple de los métodos dedos pasos,
por lo que se iniciará allí. Un método general de dos pasos (s = 2 en (6.73)) tiene la forma

ufy+i = aiw¡ + a2U>¡-i + h[bof¡+\ + b \ f + b i f i - i ] , (6 .7 4 )

Para desarrollar un método de varios pasos, es necesario hacer referencia al teorema de
Taylor, puesto que el juego sigue siendo hacer coincidir el mayor número posible de términos
de la expansión de Taylor pora la solución con los términos del método. El residuo será el error de
truncamiento local.

Se supone que toda anterior es correcta —es decir, w¡ = y¡ y tu¿_| = y /_ ( en (6.74). La
ecuación diferencial dice que y'¡ - f , por lo que todos los términos puede expandirse en serie de
Taylor de la siguiente manera:

wy+t = o \w t + e¡2Wi-¡ + h[bof¡+\ + b \f¡ + b 2 f - \ ]

= «lO /l

+ o2[y¡ - hy¡ + _ + *2 41y¡/ " _ ... i
2 yi 1

+ ta[ h/¡ + h 2/ ’ + $ > r + + -i
+ w

+ bi[ hy¡ - h 2j f + U ' - U ” + - i .

Al sumar se obtiene

u>í+i = (fl| + « 2 )y¡ + (bo + b\ + bi —ü2)hy¡ + ( 0 2 “ 2 * 2 + 2 /*)) — y/¡

+ (-02 + + 3*2)— y f ' + ( 0 2 + 4/>o - 4*2)— y f” H . (6.75)

6.7 Métodos de varios pasos | 339

Si se eligen a¡ y b, apropiadamente, el error de truncamiento local yi+i — donde

>7+1 - y ¡ + + y > f + *6-76)

puede hacerse tan pequeño como sea posible, en el supuesto de que las derivadas involucradas
realmente existan. A continuación se investigarán las posibilidades.

6 .7 .2 Métodos de varios pasos explícitos

ftira buscar los métodos explídtos, establezca b0 - 0. Un método de segundo orden puede desarro­
llarse agrupando los términos coincidentes en (6.75) y (6.76) incluyendo el término h2, con lo que
el error de truncamiento local tendrá un tamaño Of/r3).Al comparar términos se obtiene el sistema

a i a2— 1

— 0 2 + b\ + bi= 1

02 - 202 = I. (6.77)

Existen tres ecuadones con cuatro incógnitas a x, a2, b x, b 2, por lo que será posible encontrar una
infinidad de métodos explídtos de orden dos diferentes. (Una de las soluciones corresponde a un
método de orden tres. Vea el ejercicio 3). Observe que las ecuaciones pueden escribirse en términos
de «i como sigue:

0 2 = 1 —a\

¿>i=2 - -o í

fe* * —^flt. (6.78)

El error de truncamiento local será

>t+i - «>«+1 = ¿¿»3> r - ^ 6 (6.79)

= ! —3 k + ‘V >T'-t-0 «,4)

o
=^ 1 + < W > -

Existe la libertad de fijar arbitrariamente O) (cualquier elección conduce a un método de segun­
do orden, como se acaba de mostrar). Si se fija a x = 1 resulta el método de segundo orden de Adams-
Bashfonh (6.72). Observe que a2 = O por la primera ecuación, asimismo b? = - 1 /2 y b x — 3/2.
De acuerdo con (6.79), el error de truncamiento local es 5/12/r3 f (/,•) + 0 (h A).

De manera alternativa, podría establecerse <¡\ = 1 /2 para obtener otro método de dospasos de
segundo orden con a2 = 1/2. b\ = 7/4 y b 2 = -1 /4 :

u>,+i = + h \^ -f¡ - -Xf ¡ . i j. (6.80)

Este método tiene un error de truncamiento local de 3/8h? + 0(/»4).

ANOTACIÓN R e s u m e n La ventaja de los métodos de varios pasos sobre los métodos de un solo paso es clara.

Después de unos pocos pasos, sólo se requiere realizar una nueva evaluación de lafun cló n d e l lado de­
recho. Para los m étodosde un solo paso, resulta tipleo que se requieran varias evaluacionesde función.
ft>r ejem plo, el método Runge-Kutta de cuarto orden requiere cuatro evaluaciones por paso, mientras
que el método de cuarto orden de Adams-Bashfbrth requiere sólo una después de la fase de inicio.

340 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una tercera opción, a, = —1. da el método de segundo orden de dos pasos (6.81)

ju>/+ i = —u ;/+ 2 u)/_i + + - yj - j

que se utilizó en la figura 6.23(b). La falla de (6.81) pone de manifiesto una situación de estabilidad
importante que deben cumplir los métodos de varios pasos. Considere el PVI aún más simple

/= 0 (6.82)

.y(0 ) = 0 .
/ en [0 . 1 ]

Al aplicar el método (6.81) a este ejemplo, se obtiene

u>/+i = —w¡ + 2uj/-i + A[0). (6.83)

Una solución |u»,} para (6.83) es w¿ = 0. Sin embargo, hay otras. Si se sustituye la forma w¡ = cA'
en (6.83) resulta

cA,+I + c)J - 2cA,_ l = 0

cAí - 1 (A2 + A. — 2) = 0. (684)

Las raíces del “polinomio característico” A2 + A - 2 = 0 son 1 y —2. El último es un problema
(significa que las soluciones de la forma ( - 2 )'c son soluciones del método para la constante c).
Esto permite que los pequeflos errores de redondeo y de truncamiento crezcancon rapidez y difi­
culten el cálculo, como se ve en la figura 6.23. Para evitar esta posibilidad,esimportante que las
raíces del polinomio característico del método estén delimitadas por 1 en valor absoluto. Lo ante­
rior conduce a la siguiente definición:

DEFINICIÓN 6 . 6 El método de varios pasos (6.73) es estable si las raíces d d polinomio P{x) = x* — a\X*~l —
... - a¡, están delimitadas por 1 en valor absoluto, y las raíces en valor absoluto 1 son raíces sim ­
ples. Un método estable para d que 1 sea la única raíz en valor absoluto 1 se llama fuertem ente
estable; en caso contrario, es débilmente estable.

H método de Adams-Bashforth (6.72) tiene raíces 0 y 1, por lo que es muy estable, mientras
que (6.81) tiene raíces - 2 y 1 . por lo que es inestable.

El polinomio característico de la fórmula general de dos pasos, utiliza el hecho de que a¡ = 1
- a2 de (6.78), es

P ( x ) = x 2 - fl,X - 0 2

= x 2 - a \ x - 1 + a\

— (x - l)(x - ai + 1),

cuyas raíces son 1 y a\ — 1. De regreso a (6.78), puede encontrarse un método de segundo onden
débilmente estable si se define a\ = 0. En tal caso las raíces son 1 y - 1 , lo que conduce al siguiente
método débilmente estable de segundo orden en dos pasos:

«>í+l = u>/-i + 2hf¡. (6 85)

►EJEMPLO 6 .2 6 Aplique el método fuertemente estable (6.72), el método ddrilmente estable (6.85), y el método
inestable (6.81) al problema de valor inicial

y = -3> ( 6 86)

m =1 .
/ en (0 . 2 )

La solución es la curva v = e ~ Jl. Se usará el programa 6.7 para seguir las soluciones, donde
y d o t . mse ha cambiado por
function z= ydot(t,y)
z=-3*y;

6.7 Métodos de varios pasos | 341

y a b 2 s te p se sustituye por una de lastres llamadas a b 2 s t e p , w e a k ly s ta b le 2 B te p O u n a ta -

b le 2 step.

En la figura 6.24 se muestran las tres aproximaciones a la solución para el tamaño de paso

h = 0 .1. Los métodos débilmente estables e inestables parecen seguir de cerca durante un tiempo y

después se alejan con rapidez de la solución correcta. La reducción del tamaño de paso no elimina

el problema, aunque puede retrasar la aparición de la inestabilidad. <

yy

Figura 6.24 Com paración da métodos da sagundo ordan, da dos pasos, aplicados al PVI (6.86).
(a) Método de Adam vBashforth. (b) Método débilm ente estable {en círculos) y método Inestable (en cuadros).

Con dos nuevas definiciones puede enunciarse el teorema fundamental de los métodos de
varios pasos.

DEFIN ICIÓ N 6.7 Un método de varios pasos es consistente si tiene por lo menos un orden de l . Un método es

convergente si las soluciones aproximadas comenten a la solución exacta para cada i. cuando

h - 0. □

TEO REM A 6.8 (Dnhlquist) Suponga que los valores iniciales son correctos. Entonces, un método de varios pasos

(6.73) es convergente si y sólo si es estable y consistente. ■

ftira una demostración del teorema de Dahlquist, vea Hairer y Wanner [ 1996], El teorema 6 . 8
indica que evitar una catástrofe como la de la figura 6.24(b) para un método de segundo orden de
dos pasos es tan simple como comprobar la estabilidad del método.

Una de las raíces del polinomio característico debe estar en l (vea el ejercicio 6 ). Los méto­
dos de Adams-Bashforth son aquellos cuyas otras raíces están en 0. Por esta razón, el método de
Adams-Bashforth de dos pasos se considera el más estable de los métodos de dos pasos.

La obtención de métodos de oiden superior, usando más pasos, es precisamente análoga a
la derivación anterior de los métodos de dos pasos. Los ejercicios 13 y 14 piden verificar que los
siguientes métodos sean muy estables:

Método de Adams-Bashforth de tres pasos (tercer orden) (6.87)
Wf+t « i», + ^ [ 2 3 f , - I6 y í_ , + 5 / _ 2).

Método de Adams-Bashforth de cuatro pasos (cuarto orden) (6 .88)
u>/+i =u>, + ^ [ 5 5 / , - 59f - x + Y ! f ~ i - 9 / , _ 3].

342 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

6 .7 .3 Métodos de varios pasos im plícitos

Qiando el coeficiente bo en (6.73) es distinto de cero, el método es implícito. El método implícito
más simple de segundo orden (vea el ejercicio 5) es el método del trapecio implícito:

Método del trapecio implícito (segundo orden) (6.89)
uy+ 1 = w ¡ + - ( / + ! + f i l

Si el término f + \ se sustituye al evaluar / e n la "predicción” para u^+i realizada mediante el
método de Euler. entonces ésta se convierte en el método del trapecio explícito. El método del
trapecio implícito también se conoce como el método de Adams-Moulton de un paso, por analogía
con lo que sigue. Un ejemplo de un método implícito de dos pasos es el método de Adams-Moulton
de dos pasos:

Método de Adams-Moulton de dos pasos (tercer orden)

(6.90)

Existen diferencias significativas entre los métodos implícitos y explícitos. En primer lugar,
es posible obtener un método implícito estable de tercer orden usando sólo dos posos anteriores,
a diferencia del caso explícito. En segundo lugar, la fórmula correspondiente d d error local de
truncamiento es menor para los métodos implícitos. Por otra parte, el método implícito tiene la
dificultad inherente de que requiere un procesamiento adicional para evaluar la parte implícita.

Por estas razones, los métodos implícitos se utilizan a menudo como correctores en un par
‘‘p^edictor-co^rector,,; es decir, métodos impheitos y explícitos del mismo orden que se usan ju n ­
tos. Cada paso es la combinación de una predicción por d método explícito y una corrección por
d método implírito, donde el método implícito utiliza la u>J+, predicha para calcular / l+ l. Los
métodos predictor-corrector implican d doble del esfuerzo de cálculo, puesto que tanto en la parte
de prediedón como en la parte de corrccdón del paso, se realiza una evaluadón d d lado derecho
/ d e la ecuadón diferencial. Sin embargo, la precisión y estabilidad obtenidas suden hacer que
valga la pena hacerlo.

Un método simple de predictor-corrector empareja el método explícito de Adams-Bashforth
de dos pasos como predictor oon el método implícito de Adams-Moulton de un paso como correc­
tor. Ambos son métodos de segundo orden. El código de M a t i-a b es similar al código de Adams-
Bashforth utilizado con anterioridad, pero se agrega una etapa de corrección:

% Programa 6 .8 Adama-Baahforth-Moulton de segundo orden p -c

\ Entradas: in tervalo de tiempo inter,

% ic-[yO] condición in ic ia l

% número de pasos n, número de pasos (varios) s para método e x p l í c i t o

% Salida: pasos de tiempo t , solución y

% Llama métodos de v a r io s pasos como ab2step.m y am lstep.m

% U s o d e e j e m p l o : ( t , y ] = p r e d c o r r ( (0 1 ] , 1 . 2 0 , 2)

function [t,y]«p red eorr(in ter,ic.n ,s)

h = (in ter(2)-in te r (1))/n;

% Fase de in ic io

y (1 ,: )= i c ; t (1)= in te r (1);

for i= l: s - l % f a s e i n i c i o , usando método de un paso

t(i+ l)-t(i)+ h;

y (i+ l, : ) = trapstep(t(i) , y ( i , : ) ,h );

f ( i , :)=ydot(t(i ) , y ( i , :));

end

for ir¡s:n % c i c l o d el método de va rio s pasos

t ( i + l ) - t ( i ) +h;

6.7 Métodos de varios pasos | 343

f ( i ,: )= y d o t(t(i),y (i,:)); % predice
y (i+ 1,: }»ab2otep(t(i), i,y ,f ,h ) ; % corrige
£ (i+1#: )= yd ot(t(i+ 1),y(i+ 1,:));
y (i+ 1 ,: )=am lstep(t(i), i,y ,f ,h ) ;
end
p lo t(t,y)

function y=trapstep(t,x,h)
%un p a s o d e l m é t o d o d e l t r a p e c i o d e l a s e c c i ó n 6 . 2
zl-ydot(t ,x );
g=x+h*zl;
z 2= yd ot(t +h, g );
y-x+h*(zl+z2)/2;

function z«ab 2atep (t,i,y,f,h )
%un p a s o d e l m é t o d o d e A d a m s - B a s h f o r t h d e 2 p a s o s
z = y ( i , : )+ h *(3 *f ( i , : ) - f (i - 1 , : ) ) / 2 ;

function z=am lstep(t,i , y ,f,h)
%un p a s o d e l m é t o d o d e A d a m s - M o u l t o n d e 1 p a s o
z-y(i,:)+ h *(f(i+ l,:)+ f(i,:))/2;

function z»ydot(t,y) % 1VP
z - t ^ y + t ”^ ;

H método de Adams-Moulton de dos pasos se obtiene de la misma forma que los métodos
explícitos. Vuelva a hacer el conjunto de ecuaciones (6.77), pero sin requerir que = 0. Puesto
que hay un parámetro adicional ahora (bQ), es posible hacer coincidir (6.75) y (6.76) a través de los
términos de tercer grado con sólo un método de dos pasos, colocando el error local de truncamiento
en el término h4. El análogo a (6.77) es

ai + 02 = I
—02 -f- bo + b\ + ¿>2= 1

tí2 + 2 />o ~ =2 ¿> 2 1 (6.91)
-0 2 + 3Ao + = 1 .

Al satisfacer estas ecuaciones se obtiene un método implícito de tercer orden y dos pasos.
Las ecuaciones pueden escribirse cn términos de como sigue:

a2 = 1 - «i

(6.92)

El error de truncamiento local es

.M+i “ = — h 4y \" -
1 —02 — 4/>o + 4¿>2
24 + 0 (A5)

= - ^ aV " + o (a5)-

El orden del método será tres, siempre que ü\ # 0. Como a { es un parámetro libre, hay un número
infinito métodos implícitos de tercer orden y dos pasos. El método de Adams-Moulton de dos pasos

344 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

utiliza la opción ay = I. E ejercido 8 pide una verificación de que este método es fuertemente
estable. En el ejercido 9 se exploran otras opciones de ay.

Tenga en cuenta una o p d ó n más especial, ay = 0. A partir de la fórmula del truncamiento
local, se observa que este método de dos pasos será de cuarto orden.

Método d« Milne-Simpson (6.93)
uíf+i = u v -i + - [ y í + 1 + 4f + f i - 1 ).

En el ejercicio 10 se le pide que compruebe que éste sólo sea débilmente estable. Por esta razón, es
susceptible a la magnificación del error.

La sugestiva terminología del método implícito d d trapecio (6.89) y d d método de Milne-
Simpson (6.93) debe recordarle al lector las fórmulas de integración numérica del capítulo 5. De
hecho, aunque no se ha hecho hincapié en este enfoque, muchas de las fórmulas de varios pasos
que se han presentado aquí pueden obtenerse de manera alternativa mediante la integración de
polinomios que se aproximan, en una estrecha analogía con los esquemas de integración numérica.

La idea básica detrás de este enfoque es que la ecuación diferencial y ' = / ( / , y) puede integrar­
se en el intervalo [/,, fJ+|) para dar

(6.94)

La aplicación de un esquema de integradón numérica para aproximar la integral en (6.94) da como
resultado un método de EDO con varios pasos. Por ejemplo, si se usa la regla del trapecio para la
integradón numérica del capítulo 5, se obtiene

><//+t) - yitt) = - ( / , +i + f i ) + 0 {h 2)%

que es el método del trapecio de segundo orden para ecuaciones difercndalcs ordinarias. Si se
aproxima la integral mediante la regla de Simpson, el resultado es

yi't+i) - m = ^<y;+t + 4r + y ; . , ) + o(/»4).

que es el método Milne-Simpson de cuarto orden (6.93). En esenda. la parte derecha de la EDO
se aproxima mediante un polinomio y se integra, tal como se hizo en la integradón numérica. Este
enfoque puede extenderse para recuperar algunos de los métodos de varios pasos que ya se han
presentado, cambiando el grado de interpoladón y la ubicadón de los puntos de interpolación.
Aunque este enfoque es una forma geométrica adicional para obtener algunos métodos de varios
pasos, no proporciona ninguna visión particular de la estabilidad de los solucionadores de EDO
que resultan.

Al extender los métodos anteriores, pueden obtenerse los métodos de Adarns-Moullon de or­
den superior, en cada caso utilizando ay = 1 :

Método do Adams-Moulton do tros pasos (cuarto ordon)

ur/+t = uv + ^ 1 9 / + 1 + 19 f¡ - $ f ¡ - \ + (6.95)

Método do Adams-Moulton do cuatro pasos (quinto ordon)

W/+I = 1», + 4 ; P S i y ; + i + - 264^-1 + 106^-2 - I9/Í-3]. (6.96)

6.7 Métodos de varios pasos | 345

Éstos son muy utilizados en los métodos de predictor-corrector, con un predictor de Adams-
Bashforth del mismo orden. Los problemas de computadora 9 y 10 le piden el código de M a t i .a r
para implemeniar esta idea.

6.7 E je rcid o s

1. Aplique el método de Adams-Bashforth de dos pasos a los PVI
(a) / = / (b) / = / 2y (c) / = 2 (r + l )y
(d) y = 5r4y (c) y — 1 /y 2 (f) / = r3 /y 2

con la condición inicial y(0) = 1. Utilice el tamaño de paso h = 1/4 en el intervalo (0. 1]. Utilice
d método del trapecio explícito para crear u>(. Usando la solución conecta del ejercicio 3 de la
sección 6 . 1 , encuentre el error de truncamiento global en t = 1 .

2. Realicelos pasos del ejercicio 1 sobre los PVI

(a) y = i + y (b) / = t - y (c) / = 4 r - 2 y

con la condición inicial y(0) = 0. Use la solución correcta del ejercicio 4 de la sección 6.1 para
encontrar el error de truncamiento total en t ■ 1 .

3. Encuentre un método explícito de tercer orden y dos pasos. ¿El método es estable?

4. Encuentre un método explícito de segundo orden y dos pasos, cuyo polinomio característico tenga
una doble raíz en I.

5. Demuestre que el método del trapecio implícito (6.89) es un método de segundo orden.

6 . Explique por qué el polinomio característico de un método explícito o implícito de s pasos, para
s ^ 2 . debe tener una raíz en 1 .

7. (a) ¿Para qué a x existe un método explícito de segundo orden y dos pasos fuertemente estable?
(b) Responda la misma pregunta para un método débilmente estable.

8 . Demuestre que los coeficientes del método implícito de Adams-Moulton de dos pasos satisfacen
(6.92) y que el método es fuertemente estable.

9. Encuentre el orden y el tipo de estabilidad de los siguientes métodos implícitos de dos pasos:

(a) wi+i = 3wf - 2w¡-\ + -ftj I13y¡+I - 2 0 - 5J}_,]

(b) w¡+\ = \u>¡ - + \h fi+\

(c) u»/+ j = 3 w¡ - 3 1 0 , - 1 + g|4./}+ i + 4 /5 - 2 j5 -lJ
(d) u>/+ i =3u>/ - 2 u > j-\ + J 3 l 7 / / + i - 8 / i - l l / / _ 1)

(e) u>í+1- 2w¡ - 10/ _i + jl/z + i - f t - 1 )

10. Deduzca el método de Milne-Simpson (6.93) a partir de (6.92), y demuestre que es de cuarto
orden y débilmente estable.

11. Encuentre un método implícito de segundo orden y dos pasos que sea débilmente estable.

12. El método de Milne-Simpson es un método implícito de cuarto orden y dos pasos, débilmente
estable. ¿Hay algún método implícito de tercer orden y dos pasos que sea débilmente estable?

13. (a) Encuentre las condiciones (análogas a (6.77)) en ah b¡ necesarias para un método explícito de
tercer orden y tres pasos, (b) Demuestre que el método de Adams-Bashforth de tres pasos satisface
las condiciones, (c) Demuestre que el método de Adams-Bashforth de tres pasos es fuertemente

346 | CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

estable, (d) Encuentre un método explícito de tercer orden y tres pasos que sea débilmente estable,
y verifique estas propiedades.

14. (a) Encuentre las condiciones (análogas a (6.77)) en a¡, b¡ necesarias para un método explícito de
cuarto orden y cuatro pasos, (b) Demuestre que el método de Adams-Bashfoith de cuatro pasos
satisface las condiciones, (c) Demuestre que el método de Adams-Bashforth de cuatro pasos es
fuertemente estable.

15. (a) Encuentre las condiciones (análogas a (6.77)) en ah b¡ necesarias para un método implícito
de cuarto orden y tres pasos, (b) Demuestre que el método de Adams-Moulton de tres pasos
satisface las condiciones, (c) Demuestre que el método de Adams-Moulton de tres pasos es fuer­
temente estable.

6.7 Pro blem as de com putadora

1. Adapte el programa «anuitiBtep.m para aplicar el método de Adams-Bashforth de dos pasos a
los PVI del ejercicio1. tlsandoel tamaño de paso h = 0 .1 .calcule la aproximación en el intervalo
[0,1). Imprima una tabla con los valores de /, las aproximaciones y el error de truncamiento global
en cada iteración.

2. Adapte el programa exmuitiatep.m para aplicar el método de Adams-Bashforth de dos pasos a
los PVI del ejercicio2. Usando el tamaño de paso h = 0.1, calcule la aproximación cn el intervalo
[0, 1). Imprima una tabla con los valores de r, las aproximaciones y los errores de truncamiento
global en cada iteración.

3. Realice los pasos del problema de computadora 2, usando el método inestable de dos pasos (6.81).

4. Realice los pasos del problema de computadora 2, usando el método de Adams-Bashforth de tres
pasos. Use Runge-Kulta de cuarto orden para calcular tu, y u^.

5. Grafique la solución aproximada del método de Adams-Bashforth de tres pasos en j0, 1] para la
ecuación diferencial y' = I + y2 y la condición inicial (a)yo = 0 (b)yo = 1 , junto con la solución
exacta (vea el ejercicio 7 de la sección 6 .1). Utilice tamaños de paso h = 0.1 y 0.05.

6 . Grafique la solución aproximada del método de Adams-Bashforth de tres pasos en [0, 1) para la
ecuación diferencial y' = 1 - y2 y la condición inicial (a) yo = 0 (b) yo = - 1/ 2 , junto con
la solución exacta (vea el ejercicio 8 de la sección 6.1). Utilice tamaños de paso h = 0.1 y 0.05.

7. Calcule la solución aproximada del método de Adams-Bashforth de tres pasos cn [0. 4] para la
ecuación diferencial y' = sen y y la condición inicial (a) y0 = 0 (b) y0 = 1 0 0 , con tamaños de paso
h - 0.1 x 2“ * para 0 s k s 5. Grafique las soluciones aproximadas k = 0 y k = 5, junto con la
solución exacta (vea el ejercicio 15 de la sección 6 .1 ); asimismo, haga una gráfica log-log del error
como una función de h.

8 . Calcule la solución aproximada del método de Adams-Bashforth de tres pasos para la ecuación
diferencial y' = senh y y la condición inicial (a) y0 = 1/4 en el intervalo [0. 2J (b) y0 = 2 en el
intervalo 10, 1/4], con tamaños de paso h ■ 0.1 x 2“* para 0 s í s 5. Grafique las soluciones
aproximadas k = 0 y k = 5, junto con la solución exacta (vea el ejercicio 16 de la sección 6.1);
asimismo, haga una gráfica log-log del error en función de h.

9. Convierta el programa 6 . 8 cn un método prcdictor-corrector de tercer orden, utilizando el método
de Adams-Bashforth de tres pasos y el método de Adams-Moulton de dos pasos con tamaño de
paso 0.05. Grafique la aproximación y la solución correcta del PVI (6.5) en el intervalo |0 , 5].

10. Convierta el programa 6 . 8 cn un método prcdictor-corrector de tercer orden, utilizando el método
de Adams-Bashforth de cuatro pasos y el método de Adams-Moulton de tres pasos con tamaño de
paso 0.05. Grafique la aproximación y la solución correcta del PVI (6.5) cn el intervalo [0 .5J.

Software y lecturas adicionales | 347

Software y lecturas adicionales

Las fuentes tradicionales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias son Blanchard et al. [2002],
Boyccy DiPrima [2008], Braun [1993],Edwardsy Penny [2004] y Kostclichy Armbruster [1997].
Hay muchos libros que enseñan los conceptos básicos de las EDO con amplia ayuda de cálculo
y gráfica; se puede mencionar a ODE A nhitect [1999] como un buen ejemplo. Los códigos de
Matlab en Polking [1999] son una excelente manera de aprender y visualizar los conceptos
de las EDO.

A fin de complementar el viaje realizado en este libro por los métodos numéricos de uno y va­
rios pasos para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, pueden recomendarse muchos
textos intermedios y avanzados. Henrici [ 1962] y Gear [1971 ] son clásicos. Shampine et al. [2003]
abordan un enfoque contemporáneo con M atlab. Otros textos recomendables son Iserles [1996],
Shampine [ 1994], Ascher y Petzold [ 1998], Lambed [ 1991 ], Dormand [ 1996], Butcher [1987] y un
amplio tratado de dos volúmenes de Hairer etal. [1993] y Hairer y Wanner [1996].

Existe una gran cantidad de software sofisticado disponible para la resolución de ecuacio­
nes diferenciales ordinarias. Los detalles sobre los métodos utilizados en M a t l a b pueden encon­
trarse en Shampine y Rcichelt [1997], y Ashino et al. [2000]. Los métodos explícitos con tamaño
de paso variable del tipo Runge-Kutta suelen tener éxito con los problemas no rígidos o ligeramen­
te rígidos. Además de Runge-Kutta-Fehlberg y Dormand-Prince, con frecuencia se usa la variante
Runge-Kutta-Vemer, un método de quintoteexto orden. Para los problemas rígidos, se requieren los
métodos de diferencia hacia atrás y los métodos de extrapolación.

El 1MSL incluye la rutina de doble precisión DIVPRK. basada en el método de Runge-Kutla-
Vcmcr. y DIVPAG para un método del tipo Adams con varios pasos, que puede manejar los pro­
blemas rígidos. La biblioteca NAG ofrece una rutina conductora D02BJF que ejecuta los pasos
estándar de Runge-Kutta. El conductor de varios pasos D02CJF incluye programas de control del
enror del tipo Adams. Para los problemas rígidos, se recomienda la rutina D02EJF donde el usuario
tiene la opción de especificar el jacobiano de cálculo más rápido.

El compendio Netlib contiene una rutina RKF45 en Fortran para el método de Runge-Kutta-
Fehlbcrg y DVF.RK para el método de Runge-Kutta-Vemer. El paquete para EDO de Netlib con­
tiene algunas rutinas de varios pasos. La rutina VODE maneja los problemas rígidos.

La colección ODEPACKes un paquete de dominio público en código Fortran que implcmcn-
ta métodos de EDO. Fue desarrollada en el Lawrcnce Livcrmore National Laboratory (LLNL). El
método básico LSODE y sus variantes resultan adecuados para los problemas rígidos y no rígidos.
Las rutinas están disponibles de manera gratuita en el sitio web de LLNL h ttp ://v A tf w .lln l.

gov/CASC/odepack.

-y

CAPITULO

7

Problemas de valor de frontera

Las tuberías subterráneas y submarinas deben disertar­ La teoría de la deformación de tuberías es cru-
se para soportar la presión del ambiente exterior. Cuan­ dal en una gran variedad de aplicaciones, desde los
to más profunda sea la tubería, más cotosa será una soportes arquitectónicos hasta ios stents coronarios.
folla debida a un colapso. Los oleoductos que conectan Los modelos numéricos sobre deformaciones resultan
las plataformas del mar del Norte con la costa se en ­ valiosos cuando la experimentación di recta es costosa
cuentran a una profundidad de 70 metros. La creciente ydlflcil.
importancia del gas natural y el peligro y el costo de su
transporte por vía marítima, pueden dar lugar a la cons­ Comprobación
trucción de gasoductos Intercontinentales. Las profun- enlareaüdad En la página 35S se representa
ddades del Atlántico Medio exceden los S kilómetros,
donde la presión hidrostática de 7000 psl requerirá la una parte de la sección transversal de una tubería en
h novadó n en los m ateriales y los procesos de cons­ forma de anillo circular y exam ina cóm o y cuándo se
trucción de las tuberías para evitar su deformación. produce la deformadón.

En el capítulo 6 se describieron los métodos de cálculo en la solución a un problema de valor
inicial (PVI), una ecuación diferencial junto oon los datos iniciales, que se especifican en el
extremo izquierdo del intervalo de solución. Todos los métodos propuestos se basaban en técnicas
de “paso a paso” (la solución aproximada comenzaba en el extremo izquierdo y avanzaba hacia
delante con la variable independiente f). Cuando una ecuación diferencial se presenta junto con los
datos de frontera, especificados en ambos extremos del intervalo de solución, surge un conjunto de
problemas igualmente importante.

H capítulo 7 describe los métodos para aproximar las soluciones a un problema de valores en
la frontera (PVF). Los n»étodos pueden ser de tres tipos. En primer lugar, se presentan los métodos
de disparo, una combinación de los métodos de PVI del capítulo 6 y los métodos de ecuaciones del
capítulo 1. Después, se exploran los métodos de diferencias finitas, que convierten la ecuación di­
ferencial y las condiciones de frontera en un sistema de ecuaciones lineales o no lineales que debe
resolverse. La sección final se centra en los métodos de colocación y el método del elemento finito,
que resuelve el problema al expresar la solución en términos de funciones elementales.

7.1 Método de disparo | 349

7.1 MÉTODO DE DISPARO

Este primer método convierte el problema de valores en la frontera en un problema de valor inicial
mediante la determinación de los valores iniciales faltantes que son consistentes con los valores de
frontera. Los métodos que se desarrollaron en los capítulos l y 6 pueden combinarse para formar
este método.

7.1.1 Soluciones a problem as de valor de frontera

Un problema general de valores en la frontera de segundo orden pide una solución de (7.1)

f= n t,y .y )
}<a)=ya
><b) = yt,

en el intervalo a ^ t ^ ¿>, como se muestra cn la figura 7.1. En el capítulo 6 se vio que una ecua­
ción diferencial típica tiene una infinidad de soluciones y que se requieren datos adicionales para
determinar una solución particular. En (7.1), la ecuación es de segundo orden, y se necesitan dos
restricciones adicionales. Se dan como condiciones de frontera para la solución de y(t) en a y b.

>

Figura 7.1 Com paración d a k » P V I y lo s P V F .E n un problem a d e valor Inicial, e l valo r ln lcla ly d - y(o) y La
pendiente In icial sd - y'(o ) se especifican com o parte d el problem a. Fn cam bio, en un problem a d e valor de
frontera, se especifican los valores d e frontera y ^ y ^ c o n í„c o m o Incógnita.

Consideremos un proyectil que satisface la ecuación diferencial de segundo orden y "(/) = - g
a medida que se mueve, donde y es la altura proyectil y g es la aceleración de la gravedad. La espe­
cificación de la posición y la velocidad iniciales sólo determinan el movimiento del proyectil como
un problema de valor inicial. Por otra parte, podrían especificarse un intervalo de tiempo [a, b] y
las posiciones y(a) y y(b). Este último problema, un problema de valores en la frontera, también
tiene una soludón única en este caso.

► E JE M P L O 7.1 Encuentre la altura máxima de un proyectil que se lanza desde la parte superior de un edificio con
30 metros de altura y llega al suelo 4 segundos más tarde.

La ecuadón diferencial se deduce de la segunda ley de Newton F = nui, donde la fuerza de
la gravedad es F — —mg y g = 9 .8 1 m/s2. Sea y(t) la altura cn el momento t. La trayectoria pue­
de expresarse como la solución del PVI

y" = -g
y( 0) = 3 0
/( O ) = uo

350 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

V

Figura 7.2 Solu d ó n cM P V F (7.2). Gráfica de la solucióny(r) = f sen l junto con los valores de frontera
y(0) = 0 yyf.-r) = 0.

o el PVF

y =S
>’(0) = 30
>-(4) = 0

Dado que no se conoce la velocidad inicial V&debe resolverse el problema de valor de frontera. Al
integrar dos veces resulta

17

y i f ) = - - g r + vat +.K).

Usando las condiciones de frontera se obtiene

30 = >-(0) = >t>
16

0 = v(4) = ~ — g + 4uo + 30.

loque implica que 12.12 m/s. La trayectoria es y(/) = - % g t2 + 12.12r + 30. Ahora es fácil

usar el cálculo para encontrar el máximo desplazamiento horizontal del proyectil, que es aproxi­

madamente 37.5 m. <

►EJEMPLO 7.2 Demuestre que >*(/) = / sen / es una solución al problema de valores cn la frontera (7.2)

y = —y + 2cos /
y(0) = 0
y(x) =0

En la figura 7.2 se muestra la función y(/) = t sen t. Esta función resuelve la ecuación diferen­
cial porque

y n(t) = -/s e n / + 2cos/.

Al verificar las condiciones de frontera se obtiene \<0) = 0 sen 0 = 0 y y(jr) - .Tsen n - 0. <

La teoría de existencia y unicidad de los problemas de valores cn la frontera es más com ­
plicada que la correspondiente para los problemas de valor inicial. Algunos PVF aparentemente
razonables pueden no tener solución o tener un número infinito de soluciones, situación que casi
no ocurre con los PVI.

l a situación de existencia y unicidad es análoga al arco de una bala de cañón humana que
actúa bajo la gravedad ten-estre. Suponga que el cañón tiene una velocidad de salida fija, pero
que el ángulo d d cañón puede variarse. Cualesquiera valores para la posición y la velocidad ori-

7.1 Método de disparo | 351

ginales determinan una trayectoria debida a la gravedad de la Tierra. Una solución ai problema
de valor inicial siempre existe y siempre es única. Fl problema de valores en la frontera tiene
propiedades diferentes. Si la red para recibir al ejecutante se fija más allá del rango del cañón, no
puede existir ninguna solución. Además, para cualquier condición de frontera dentro del alcance
del cañón, hay dos soluciones: un viaje corto (con el ángulo de disparo del cañón inferior a 45°) y
un viaje más laigo (con un ángulo mayor a 45°). con lo que se viola la unicidad. Los dos ejemplos
siguientes muestran las posibles soluciones para una ecuación diferencial muy sencilla.

► EJEM P LO 7.3 Demuestre que el problema de valores en la frontera

f =-y

=iyy{f0r))= 0

no tiene soluciones.

La ecuación diferencial tiene una familia de soluciones, generadas por las soluciones lineal­
mente independientes de eos t y sen i. Todas las soluciones de la ecuación deben tener la forma
y(r) = a eos t + b sen /. Al sustituir la primera condición de frontera. 0 = y(0) = a implica que
a = 0 y y(r) = ¿ se n 1. 1.a segunda condición de frontera 1 = >•(*) = b sen n = 0 da una contradic­
ción. No hay solución, y la existencia falla.

► EJEM PLO 7.4 Demuestre que el problema de valores en la frontera

y' = -y

>•(0) = o
yin)= 0

tiene un número infinito de soluciones.

Verifique que y(f) = k sen t es una solución de la ecuación diferencial y satisface las condi­
ciones de frontera, para cada número real k. En particular, no hay unicidad de las soluciones para
este ejemplo.

► E JE M P L O 7.5 Encuentre todas las soluciones del problema de valores en la frontera

/* = 4y (7.3)
y(0) = 1

J'(l) = 3

Este ejemplo es suficientemente simple como para resolverse de manera exacta, pero lo
suficientemente interesante para servir de ejemplo de los métodos de solución de PVF que se
presentarán enseguida. Es posible imaginar dos soluciones de la ecuación diferencial, y = e2‘ y
y — e-2'. Como las soluciones no son múltiplos entre sí, son linealmcnte independientes; por lo
tanto, a partir de la teoría elemental de las ecuaciones diferenciales, todas las soluciones de la
ecuación diferencial son combinaciones lineales de c )e2í + c2e-2/. Las dos constantes C\ y c2 se
determinan al aplicar las condiciones de frontera

1 = J'(0 ) = C | +C2

y

3 = j ’( l) = eje2 + c2e~2.

Resolviendo se obtiene que:

3 —e -2 •>. e2 —3 ■>, 0A)
+ ¿-t-** ■4

352 | CA PITU LO 7 Problemas de valor de frontera

7 .1 .2 Im plem entación del m étodo de disparo

B método de disparo resuelve el PVF (7.1) al encontrar el PVI que tiene la misma solución. Se
produce una secuencia de PVI que converge al correcto. La secuencia comienza con un valor ini­
cial sa de la pendiente, que se proporciona para acompañar al valor inicial yr El PVI resultante
de esta pendiente inicial se resuelve y se compara con el valor de frontera yb. La pendiente inicial
se mejora mediante el ensayo y error hasta alcanzar la coincidencia con d valor de frontera. Para
establecer una estructura más formal sobre este método, defina la siguiente función:

F(s) = diferencia entre yb y
></>). donde >•(/) es la
solución d d PVI con
yia) = ya y y (a) = s.

Con esta definición, d problema de valor de frontera se reduce al resolver la ecuación (7i5)
F(s) = 0.

como se muestra en la figura 7.3.

R g u r * 7 .3 0 m é to d o d « d isp a ro , (a) Para rw otver e l PVF, se resuelve e l PVI con condicio nes Iniciales y{a) - ya

y '{o ) Sq con la estim ación Inicial v El v alo r d e f ( io ) 05 y(W - yt,-Después se elig e una nueva S| y e l proceso se
repite con la m eta d e resolver f (s ) = 0 para s.(b ) Se usa e l com ando ode4*>de Matuteco n raíz s* para graftear la
solución del PVF (7.7).

Ahora puede usarse un método de resolución de ecuaciones d d capitulo 1 para resolver la
ecuación. Puede elegirse d método de bisección o un método más sofisticado como d método de
Brent. Deben encontrarse dos valores de s, llamados j0 Y ¿i. para tos cuales F(s0)F(S]) < 0. En­
tonces r 0 y í | confinan una raíz de (7.5), y es posible localizar una raíz s* dentro de la tolerancia
requerida por el solucionador de ecuaciones elegido. Par último, la solución al PVF (7.1) puede
rastrearse (por ejemplo, mediante un método de PVI del capítulo) como la solución al problema
de valor inicial

/= /(L Y .y )

y{a) = ya . <7-6 )

/< « ) = *•

En e l siguiente ejemplo se muestra una implementación en M a t l a b del método de disparo.

►EJEMPLO 7.6 Aplique el método de disparo al problema de valor de frontera (7.7)

y ' = 4v
m = i.
y ( 1) = 3

7.1 Método de disparo | 353

Escriba la ecuación diferencial oomo un sistema de primer orden con el fin de utilizar el solu-
cionador de PVI ode4s de M a t l a b :

/ =v (7.8)
v' = 4.y.

Escriba un archivo de la fundón F.mquc represente la función cn (7.5):

function z=F(s)
a=0;b=l;yb=3;
y d o t - e (t .y ) ly (2) ; 4 * y ( l ) l ;
(t,y]=ode4 5 (ydot, (a.b). (l.s)) ;
z - y (e n d .l)- y b ; \ end s ig n ific a la últim a entrada de la solu ción y

Gilcule F ( - l ) % -1 .0 5 y F(0) % 0.76, como puede verse en la figura 7.3(a). Por lo tanto,
hay una raíz de F entre - l y 0. Aplique el método b is e c t.m d e l capítulo l o el comando f z e r o
de M a t l a b con intervalo de inicio l —l. 0] para encontrar a s dentro de la precisión deseada. Por
ejemplo.

» astar=fzero(®P,(-1,0 J )

Regresa aproximadamente -0.4203. (Recuerde que f z e r o requiere como entrada el inido de la

función F.quc es ®F). Entonces, la solución puede representarse como la solución de un problema

de valor inidal (vea la figura 7.3(b)). La solución exacta de (7.7) se da en (7.4) y s* — v'(0) «s

-0.4203. '

fttra los sistemas de ecuaciones diferendales ordinarias, los problemas de valores en la fron­
tera surgen en muchas formas. Para concluir esta secdón, se explora una posible forma y se remite
al lector a los ejercidos y la comprobación en la realidad 7 para ver más ejemplos.

►EJEMPLO 7.7 Aplique el método de disparo al problema de valor de frontera (7.9)

t i = (4 - 2yi)/t

t i = ~ e yi
J't(l) = 0
>2(2) = 0
( in [1.2].

Si la condidón ¡nidal estuviera presente, esto seria un problema de valor inidal. Se apli­

cará el método de disparo para determinar la incógnita >’2(1). utilizando la rutina ode4S de M a ­

tl a b como en el ejemplo 7.6 para resolver los problemas de valor inidal. Defina la función F\s)

y

Figura 7 .4 S o lu d ó n d *i ajam plo 7 .7 para al m étodo <M disparo. Se m uestran las cu rvas y ,(f l y y 2(f¡. Los
circuios negrosdenotan los datos frontera dados.

354 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

como la condidón final y£2), en la que se resuelve el PVI con las condiciones inidales >’j ( l ) = 0
y >’2<I) = s. El objetivo es resolver F{s) = 0.

La solución se enderra al observar que F(0) as -3 .9 7 y fT(2) as 0.87. Una aplicadón
de f z e r o ( e P , [o 2 ] ) encuentra s * = 1.5. Si se usa o d e 4 5 con valores ¡nidales y ¡ ( l) = 0 y
y ^ l ) = 1.5 se obtiene la solución mostrada en la figura 7.4. Las soluciones exactas son y ((f) = ln /,
y¿t) = 2 -^ /2 .

7.1 Ejercicio s

Muestre que las soludones para los PVF lineales

, / = y+V (b) / = (2 + 4t 2)y
(a) yiO) = o >-(0) = 1
y{ D = e
y<l) = e

/ = —y + 2cosr y" = 2 —4y

(c) >(0) = 0 (d) y(0) = 0

>■<7 ) = 7 ,v(f) = 1

son (a) y = re*. (b) y = e' 2, (c)y = t sen t, (d) y = sen2 1, respectivamente.

2. Muestre que las soluciones a los PVF

% f = - e ~ 2y / = 6 yi
II
s 7(0= 1
v(2 ) = 8
(a) y i 0 = 4 (b) y ( 0) = 0 (c) 7 ( 0 = 0 (d)

y{ 2) = 1 7<f) = l >íe) = 1

son (a) y - 4/ 2. (b) y - tan /, (c) y - ln /, (d) y - r \ respectivamente.

3. Considere el problema de valor de frontera
/ ' = -4y
y(a) =y„.
y0>) - yb

(a) Encuentre dos soludones linealmentc independientes de la ecuadón diferencial, (b) Suponga
que a " 0 y b ■ x. ¿Qué condidones sobre ya, yb deben cumplirse para que exista una solución?
(c) Responda la misma pregunta que en (b), para b = rtl. (d) Responda la misma pregunta que en
(b). para b = nJ4.

4. Exprese, como la soludón de un problema de valores en la frontera de segundo orden, la altura de
un proyectil que se lanza desde la parte superior de un edifido con 60 metros de altura y tarda 5
segundos en llegar al suelo. Resuelva el problema de valor de frontera y encuentre la altura máxi­
ma alcanzada por el proyectil.

5. Encuentre todas las soludones del PVF y " = ky. y(0) = y( 1) = y ,, para * > 0.

7.1 P ro b lem as de com p utad ora

Aplique el método de disparo a los PVF lineales. Empiece por encontrar un intervalo [¿o. Jil que
enderrc la soludón. Utilice el comando f z e r o de Matlab o el método de bisecdón para encon­
trar la soludón. Grafique la soludón aproximada en el intervalo espedficado.

=y+ \¿ y " = (2 + 4 r).v

(a) y(0) = 0 (b) y(0) = 1

7<l) = }e 7(1) = *

7.1 Método de disparo | 355

2. Realice los pasos del problema de computadora l para los PVF.

9 / ' -F n zy = 0 /= 3 y -2 /

(a) y(0) = —I (b) y<0) = e 3

Ai) = 3 y(i) = i

3. Aplique el método de disparo a los PVF no lineales. Encuentre un intervalo que encierre [*o. *il y
aplique un método de aproximaciones para encontrar y graficar la solución.

/ = !8.v2 y = 2e~2y(\ - t 2)

(a) v(l) = J (b) y<0) = 0

v<2) = r2 y i \ ) = In2

4. Realice los pasos del problema de computadora 3 para los PVF no lineales.

y " = e>' y —sen/

(a) „v(0) = I (b) ><0) = l

.v(l) = 3 >•(!) = - I

5. Aplique el método de disparo a los sistemas no lineales de problemas de valores en la frontera.
Siga el método del ejemplo 7.7.

/ = Vyi y ¡ = y i - lyiyi

(a) / 2 = i + tan yi / = ~6(tyi + Inyi)
(b)
.vi (0) = 0 yi(0) = i

>2(1) = 2 yiO) = - l

Comprobación / Q Deform ación de un anillo d rcu ía r
tehrtaMdad
Los problemas de valores cn b frontera son modelos naturales para el cálculo de estructuras.
Un sistema de siete ecuaciones diferenciales sirve como un modelo para un anillo circular con
compresibilidad c, bajo presión hidrostática p proveniente de todas direcciones. Por simplicidad
se considera que el modelo no tiene unidades y se asumirá que el anillo tiene radio 1 con simetría
horizontal y vertical en ausencia de una presión externa. Aunque simplificado, el modelo resulta
útil para estudiar el fenómeno de la deform ación, o colapso de una forma anular circular. En Hud-
dlcslon [2(XK)J puede encontrarse este ejemplo y muchos otros problemas estructurales de valores
en b frontera.

El modelo toma en cuenta sólo la c u a rta parte su p erio r izquierda del anillo (el resto puede
llenarse medrante el supuesto de simetría). La variable independiente s representa la longitud de
arco a lo largo de la línea central original del anillo, que va de r ■ 0 a s = nT l. Las variables de­
pendientes en el punto especificado por la longitud de arco s son como sigue:

>-|(j) = ángulo de la línea central con respecto a la horizontal
y¿s) «coordenada*
y$(s) “ coordenaday
y4(r) = longitud de arco a lo largo de la línea central deformada
y¿s) —fuerza axial interna
y 6(s ) — fuerza normal interna
y-j(s) = momento fiexionante.

En la figura 7.5(a) se muestra el anillo y las primeras cuatro variables. El problema de valores
en b frontera (vea. por ejemplo, Huddlcston [2000]) es

356 | CA PITU LO 7 Problemas de valor de frontera

(b)

Figura 7.5 Esq uem a da la deform ación de un a n illa (a) La variable s representa la longitud de arco a lo largo
de la línea central punteada de la cuarta parte superior izquierda del anilla (b) Tres soluciones diferentes para
el PVF con parámetros c = 0.01, p = 3 A Las dos soluciones con deformación son estables.

y ¡ = - 1 - Cy 5 + (C + 1)>7 >i(0) = \ 31( 5 ) = o
3S(§) = 0
/ 2 = ( 1 + c(y5- ,V7))C0S>'1 w (0)= 0
3*4(0)= 0 3 b (|)= 0
=l/ 3 = ( 1 + c(ys - y?))seny
>fi(0) = 0
y¡ + C( y i - y j )
ys ~ c y s + ( c + 1)3*7)
y6 = y>y$ - (1+ c(.v*i - >*7))(>5 + P)
vL = (1 -4-c (v«— u..

Bajo ninguna presión (p = 0), observe que y| = ji/2 — s, (y^, y¿) = ( - e o s s . sen j) , y A — s,
y$ = yt>- y i - Oes una solución. Esta solución es un perfecto cuarto de círculo, que corresponde
a un anillo perfectamente circular debido a las simetrías.

De hecho, la siguiente solución circular para el problema de valores en la frontera existe para
cualquier elección de los parámetros c y p:

yi (s) = ^ - s

c+ 1
3S(s) = cp +;---c--+—1( - coss)
y i(/s )\ = ----C + 1— se n í

cp + c + 1

/ \ c+ * S

) ’4 ( S ) = -------------

cp + c + 1

ys(/sx) = -------C—-h 1— p
cp + c + 1

3fc(s) = 0

cp + c + l (7,10)

A medida que la presión aumenta desde cero, el radio del círculo disminuye. Cuando el pará­
metro p de la presión se incrementa aún más. hay una bifurcación.o cambios de estado, del anillo.
La forma circular del anillo permanece matemáticamente posible, pero inestable, lo que significa

7.2 Métodos de diferencias finitas | 357

que hay pequeñas perturbaciones que hacen que el anillo pase a otra posible configuración (solu­
d ón del PVF) que sea estable.

Para la presión p aplicada por abajo del punto de bifurcadón, o presión c rítica p(. solo exis­
te la solución (7.10). Para p > pc, hay tres soluciones diferentes del PVF, que se muestran en la
figura 7.5(b). Más allá de la presión crítica, d papel del anillo circular como un estado inestable
es similar a la del péndulo invertido (problema de computadora 6.3.6) o el puente sin torsión en la
comprobadón en la realidad 6.

La presión critica depende de la compresibilidad d d anillo. Cuanto menor es d parámetro c,
menos compresible es el anillo y menor es la presión crítica a la que cambia de forma, en vez de
Comprimirse con su forma original. El trabajo d d lector consiste en utilizar d método de disparo
junto con d método de Broydcn para encontrar la presión críticap ( y las deformaciones resultantes
obtenidas para el anillo.

Actividades sugeridas:

1. Compruebe que (7.10) es una soludón del PVF para cada compresibilidad c y presión p.

2. Establezca la compresibilidad en el valor moderado c = 0.01. Resuelva el PVF mediante d mé­
todo del disparo para las presiones p = 0 y 3. La función F en el método de disparo debe utili­
zar los tres valores iniriaics fallantes (y^O), y5(0), y^O)) como entrada y los tres valores finales
0'i(.t/2), y2{nll), y6(n/2)) como salida. Para resolver las raíces de F, puede utilizarse el método
miltivariado de Broyden 11del capítulo 2. Compare con la solución correcta (7.10). Observe que,
para ambos valores de p, las diferentes condiciones ¡nidales del método de Broyden resultan en la
misma trayectoria de solución. ¿Cuál es la disminudón d d radio cuando p aumenta de 0 a 3?

3. Grafique las soludones del paso 2. La curva (y^j), yj(*)) representa la cuarta pane superior iz­
quierda del anillo. Use la simetría horizontal y vertical para graficar lodo d anillo.

4. Cambie la presión a p ■ 3.5 y resuelva el PVF. Tenga en cuenta que la soludón obtenida depende
de la condidón ¡nidal que se utilice para el método de Broyden. Grafique cada soludón diferente
que encuentre.

5. Determine la presión critica pc para la compresibilidad r = 0.01, con una precisión de dos dcd-
males. Para p > pc, hay tres soludones diferentes. Para p < pt«sólo hay una solución (7.10).

6. Realice el paso 5 para la compresibilidad redudda c - 0.001. El anillo es mis frágil. ¿El cambio
en p( para el caso de la compresibilidad redudda es consistente con su intuidón?

7. Realice el paso 5 para una compresibilidad aumentada c ■ 0.05. ✓

7.2 MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS

1.a idea fundamental detrás de los métodos de diferendas finitas es reemplazar las derivadas en la
ecuación diferencial por aproximadones discretas y evaluar sobre una malla para desarrollar un
sistema de ccuadoncs. El enfoque de discrctizar la ecuación diferencial también se utilizará en el
capítulo 8 sobre EDP.

7.2.1 Problem as de valor de frontera lineales
Sea y(/) una función con por lo menos cuatro derivadas continuas. En el capítulo 5 se desarrollaron
aproximaciones discretas para la primera derivada

(7 .1 1 )

358 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera
y para la segunda derivada

/<«> = * + » > - * * > + * > - » > + w. (?i2)

Ambas son precisas hasta un error proporcional a h 2.
H método de diferencia finita consiste en sustituir las derivadas en la ecuación diferencial por

sus versiones discretas y resolver las ecuaciones algebraicas resultantes, que son más simples, con
aproximaciones w¡a los valores correctos y¡, como se muestra en la figura 7.6. Las condiciones de
frontera se sustituyen en el sistema de ecuaciones donde sean necesarias.

y

Figura 7 A M étodo d« diferencias finita* para PVF. Las aproximaciones i - 1 ,... .npara los valores correctosy,
en lo* puntos discretos r,se calculan resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.

Después de las sustituciones hay dos posibles situaciones. Si el problema de valor de frontera
original era lineal, entonces el sistema resultante de ecuaciones es lineal y puede resolverse me­
diante la eliminación de Gauss o por medio de métodos iterativos. Si el problema original era no
lineal, entonces el sistema algebraico es un sistema de ecuaciones no lineales, que requiere técnicas
más sofisticadas. Se iniciará con un ejemplo lineal.

►EJEMPLO 7.8 Resuelve el PVF (7.7)

y* = 4y
v(0) = 1,
v(l) = 3

usando diferencias finitas.
Considere la forma discreta de la ecuación diferencial y " = 4y, utilizando el formulario de

diferencias centradas para la segunda derivada. La vereión de diferencias finitas en t¡cs

ují+ i - 2u>y + ui,_ i
- 4u»y = 0

h2

o de forma equivalente

w ¡-i + ( - 4 h2 ~ 2)w¡ + u>/+i = 0.

Para n = 3, el tamaño del intervalo es h = l/(n + 1) - 1/4 y se tienen tres ecuaciones. Si se insertan
las condiciones de frontera = I y u>4 « 3, queda el siguiente sistema que debe resolverse para

I + ( - 4 h2 - 2)uu + wi = 0
u>i + ( - 4 h 2 - 2)w2 + uz3 = 0

W2 + (-4 A 2 - 2)u>3 + 3 = 0.

7.2 Métodos de diferencias finitas | 359

Al sustituir h se obtiene la ecuación de la matriz tridiagonal

1 ’ UM " -1 ‘
O
' i
U>2 — 0
.o '-5 .
. Wi . -3

La solución de este sistema por eliminación gaussiana da los valores aproximados de la solu­
ción en tres puntos 1.0249,1.3061,1.9138. l a siguiente tabla muestra los valores aproximados w¡
de la solución en t¡ comparados con los valores de la solución correcta y¡ (tenga en cuenta que los
valores de frontera. u>oy u>4. ya se conocen y no se calculan):

ih tVi 1.0000
0 0.00 1.0000 1.0181
1 0.25 1.0249 1.2961
2 0.50 1.3061 1.9049
3 0.75 1.9138 3.0000
3.0000
4 1.00

Las diferencias son del orden de 10"2. Para obtener errores más pequeños, deben usarse n más
grandes. En general, h = (¿> - a)l(n + 1) = l/(n + 1), y la ecuación de la matriz tridiagonal
es

■ -4 h2 - 2 I 0 00 0 " -1 ‘
I —4/r2 —2 00 0 U>| 0
01 00 0 U*2 0
m _.
0 00 10 *•
0 00 •0
0 00 - 4 h2 - 2 1
0
w” - 3

0 1 -Ah2 2

A medida que se agregan más subiniervalos, se espera que las aproximaciones w¡ estén más
cerca de las correspondientes y¡.

Las posibles fuentes de error en el método de diferencias finitas son el error de truncamiento
cometido por las fórmulas de diferencias centradas y el error cometido en la resolución del sistema
de ecuaciones. Para los tamaños de paso h superiores a la raíz cuadrada del épsilon de la máquina,
el último error domina. Este error es 0 (h 2), por lo que se espera que el error disminuya a 0 ( n ~2) a
medida que crezca el número de subintcrvalos n + 1.

Esta expectativa se prueba para el problema (7.7). En la figura 7.7 se muestra la magnitud del
ciTor E d e la soludón en t = 3/4. para diversos números de subintcrvalos n + 1. En una gráfica
log-log, el error cn fundón del número de subintcrvalos es cn esenda una línea recta con pendiente
—2, lo que significa que log E «s a + b log n. donde b = —2; cn otras palabras, el error E as Kn ~ 2,
tal como se esperaba.

7 .2 .2 Problem as de valor de frontera no lineales

Cuando el método de diferendas finitas se aplica a una ecuadón diferencial no lineal, d resultado
es un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que debe resolverse. En el capítulo 2 se utilizó

360 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

10J

Numero de subiiHCrvalos
Figura 7.7 Convergencia del m étodo de diferencias finitas. Gráfica del error |*v( - yj¡ en - 3/4 del ejemplo
7.8 contra el número deíublntervaloín.la pendiente es - 2 , lo que confirma que ci error es 0<n *) - Oih2).

el método multivariado de Newton para resolver dichos sistemas. Se demostró el uso de este méto­
do para aproximar el siguiente problema de valor de frontera no lineal:

►EJEMPLO 7.9 Resuelva el PVF no lineal

,v(0) = 1 (7.13)
>'(1) = 4

por diferencias finitas.
La forma discretizada de la ecuación diferencial en /• es

Wj+1 - 2 tu, + iUí-i

— wí + w2 = 0
h2

o bien

u>j_i - (2 + f r ) w ¡ + A 2tu/ + u i,+ i = 0

para 2 s / S n - l .junto con la primera y última ecuaciones

ya - (2 + h2)wi + h2w 2 + u>2 = 0
u>„_i - (2 + h 2)u>n + h2w 2 + y¡, = 0

que contienen la información de las condiciones de frontera.

ANOTACIÓN C o n v e rg e n cia En la figura 7.7 se Ilustra la convergencia de segundo orden del método de dife­

rencias finitas. Esto se deduce del uso de las fórmulas de segundo orden (7.11) y (7.12). El conocim iento
del orden permite aplicar la extrapolación, como se estudió en el capitulo S. Para cada f y tamaño de
paso Afijos, la aproximación wh(Q a partir del método de diferencias finitas es de segundo orden en A y
puede extrapolarse mediante una fórmula sencilla Los problemas de computadora 7 y 8 exploran esta
oportunidad de acelerar la convergencia.

7.2 Métodos de diferencias finitas | 361

La resolución de la versión discretizada del problema de valores en la frontera Fim plica resol­
ver F\w) = 0, lo que se hace mediante el método de Newton. El método multivariado de Newton
es la iteración tu*+ 1 = u/4 - DF(ut)~l F(u>*). Como siempre, lo mejor es llevar a cabo la iteración
resolviendo para Atu - u¿+ * - u»*en la ecuación DF{n^)Aw - - F \u t ) .

La función F(u>) está dada por

tu, y„ - (2 + h 2)w\ + h 2w 2 + u»2
U>2 u>, — (2 + h2)w2 + h 2u>2 + wí

W#»-l Uh1 - 2 - (2 + h 2)w„~\ + h 2w n2_y + w„
U)n w „ -1 - (2 + h 2)w„ -f h 2u>2 + }b

donde ya = 1 y y¡, = 4. El jacobiano DF\w) de F es

' 2h2w[ - (2 + h2) I 0 0

1 2h 2W2 - (2 + h 2) **. :
0 1 **. 1 0

: **. 2h2w„-i ~ (2 + A2) 1

0 0 I 2 h2w„ - ( 2 + h 2) .

La /-ésima fila del jacobiano se detennina tomando la derivada parcial de la r'-ésima ecuación (el
r-ésimo componente de F) con respecto a cada Wj.

En la figura 7.8(a) se muestra el resultado de la aplicación del método multivariado de Newton
para resolver F(w) —0 . con n = 4 0 . El código de M a t l a b se da en el programa 7 .1 . Para alcanzar
la convergencia dentro de la precisión de máquina, bastan veinte iteraciones del método de Newton.

y

Figura7.8 Solucionas da PVF no linaalas madianta al método da difaranclas finitas, (a) Solución del
ejemplo 7.9 con n - 40, después de la convergencia del método d e Newton. (b) Lo mismo, para el ejemplo
7.10.

% P r o g r a m a 7 . 1 M é t o d o d e d i f e r e n c i a s f i n i t a s n o l i n e a l p a r a PVF
% Usa e l método M u ltiv a r ia d o de Newton para r e s o l v e r l a e c u a c ió n no l i n e a l
% Entradas: i n t e r v a l o i n t e r , v a l o r e s de fr o n te r a bv, número de pasos n
% Salida: solución w
% Uso de ejenplo: w=nlbvp£d([0 1 ] ,[ 1 4],40)
function w=nlbvpfd(inter,bv,n);

362 | CA PITU LO 7 Problemas de valor de frontera

a= in ter(l); b=inter{2); ya=bv(l); yb=bv(2);

h= (b-a)/ (n+1); %h e a e l t a m a ñ o d e p a s o
%i n i c i a l i z a a r r e g l o w d e s o l u c i ó n
w = zeros(n ,1 );

for i = l :20 %c i c l o d e l p a s o d e N e w t o n

w -w -jac(w ,inter,bv.n)\f(w ,inter,bv,n);

end

p l o t ( [ a a + ( l : n ) * h b ] , [ y a w* y b j ) ; % g r á f i c a w c o n d a t o s d e f r o n t e r a

function y=f(w ,inter,bv,n)
y -zero s(n ,1 ) ;h -(in te r (2)- in t e r ( l ) ) / (n+1);
y ( 1 ) = b v ( 1 ) - ( 2 + h ' ‘2) * w ( l ) +h'‘2 * w ( l ) ~ 2 + w ( 2 ) ;
y ( n ) = w ( n - l ) - (2+h“2 )* w (n )+ h " 2 * w (n )‘ 2 + b v (2) ;
for i-2 :n -l

y ( i ) = w ( i - l ) - ( 2 + h ~ 2 ) * w ( i ) +h' ‘2 * w ( i ) ,' 2 + w ( i + l ) ;
end

function a=jac(w ,inter,bv,n)
a -z e r o s(n .n );h » (in te r (2 )-in te r (l)) / (n+1);
for i*l:n

a ( i , i ) = 2 * h ' ‘2 * w ( i ) - 2 - h “2 ;
end
for i= l:n -l

a (i ,i + 1 ) =1;

a (i+ 1 ,i ) «1;
end

EJEMPLO 7 .1 0 Use diferencias finitas para resolver el problema de valor de frontera no lineal (7.14)

/ ' = / + cosy
>-(0)=0
y ( n ) = 1.

La forma discrctizada de la ecuación diferencial en t¡ es

u*+i - 2uv + m - \ u>/+i - tu*-! COS(u»y) = 0 ,
2h
h2

o bien

(1 + h /2 )w ¡-\ — 2w¡ + (1 - h/2)u>¡+\ - h 2oosw¡ = 0.

para 2 s i s » - 1.junto con la primera y última ecuaciones,

(1 -1- h /2 )y a — 2w\ + (1 — h / 2 )w 2 — h2cosw\ = 0
(1 + h/2)w „ -i - 2w„ + (1 - h/2)yb - h 2costo* = 0 .

donde y a = 0 y y b = 1. Los lados izquierdos de las n ecuaciones forman una fundón valuada vec­
torial mente

(1 + h / 2 ) y a - 2iui + (1 - h / 2 )w2 - h 2eos tai

F(u>) = (1 + h /2 ) w ¡ - \ - 2wí + (1 - h/2)u>¡+\ - frco sw ¡

(1 + h/2)u>„.\ - 2w„ + (1 - h/2)}b - h2cosw„

7.2 Métodos de diferencias finitas | 363

R jacobiano DF(w) de Fes

—2 -f-A2senu>| l — h/2 0 ••• 0

1 + h/2 - 2 - \ - h 2 senu>2 **• **• i

0 1 + h/2 \ —hf2 0

: - 2 + h2scnw„-i 1 - h/2

0 ••• 0 I + h/2 - 2 + /»2senu)„ _

R siguiente código puede insertarse en el programa 7.1, junto oon los cambios apropiados en
la información de las condiciones de frontera, para manejar el problema de valor de frontera no
lineal:

function y=f(w ,inter,bv,n)
y=zeros(n,l);hs(in ter(2)-inter(l))/(n +l);
y ( l) --2 * w ( l)♦ (l+h/2)*bv( 1 )+ (l-h/2)*w (2 )-h*h*coo(w (l));

y (n )= (l+h/2)*w(n- 1 )-2*w(n)-h*h*coa(w(n))+ (l-h /2 )* b v (2);

for j =2:n-l
y ( j ) —2*w(j) +(l+h/2)*w(j-l) +(i-h/2)*w(j+i)-h*h*coa(w(j));

end

function a=jac(w ,inter,bv,n)

a=zeroa(n,n);h=(inter(2)-inter(l))/(n+l);

for j«l:n

a (j , j)= -2 + h * h * a in (w (j));

end

fo r j =1 :n- 1
a(j , j + l)= l-h /2;

a(j+l,j)-l+ h/2;

end

En la figura 7.8<b) se muestra la cuiva y(t) de la solución resultante. -4

7.2 Pro blem as de com putadora

1. Utilice diferencias finitas para aproximar las soluciones a los PVF lineales con n = 9 .1 9 y 39.

/ ' = >'+ \ é / = (2 + 4i 2)y

(a) >i0) = 0 (b) y ( 0) = 1

y{\) = e

Grafique las soluciones aproximadasjunto con las soluciones exactas (a)><0 = téH>y (b) y(f) = é ‘\
además, muestre los errores oomo una función de i en una gráfica semilogarítmica por separado.

2. Utilice diferencias finitas para aproximar las soluciones a los PVF lineales con n = 9. 19 y 39.

9y ” + 7 0 - = O /= 3 > > -2 y

(a) v(0) = -1 (b) y{0) = e3

yi¡) = 3 v<l) = 1

Grafique las soluciones aproximadasjunto con las soluciones exactas (a) y(t) —3scn%/ — eos Y
y (b) ></) = e3-3'; además, muestre los errores como una función de r en una gráfica scmilogarít-
mica por separado.

364 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

3. Use diferencias finitas para aproximar las soluciones a los problemas de valor de frontera no linea­
les con n = 9 ,1 9 y 39.

yp _ 2e“ 2^( 1 - / 2)
y(0)=of = 1 8 /
(a) y 0 ) = 1 (b)

X 2) = h >•(!) = In2

Grafique las soluciones aproximadas junto con las soluciones exactas (a)y(f) = l/(3f2) y (b) ><f)
- Infr2 + 1); además, muestre los errores como una función de t en una gráfica semilogarítmica
por separado.

4. Use diferencias finitas para graficar las soluciones a los PVF no lineales con n “ 9 .1 9 y 39.

yw / = sen y

(a) m = i (b> ,v(0) = 1

MI) = 3 >'(1) ——1

5. (a) Encuentre la solución del PVF y " - y, ><0) ■ 0, y (l) - I analíticamente, (b) Implemente
la versión de diferencias finitas de la ecuación y grafique la solución aproximada para n = 15.
(c)Comparelaaproximaciónconla solución exacta mediante una gráfica log-log del error en t = 1/2
contran paran " 2 P - \ , p ■*2 ,... ,7 .

6. Resuelva el PVF no lineal 4y " ■ ly4, y(l) * 2 , ><2) ■ 1 por diferencias finitas. Grafique la so­
lución aproximada para n = 15. Compare su aproximación con la solución exacta y(i) = 2/r para
hacer una gráfica log-log del error en / = 3/2 para n — 7P - 1. p = 2.........7.

7. Extrapole las soluciones aproximadas del problema de computadora 5. Aplique la extrapolación
de Richardson (sección 5.1) a la fórmula N(h) «* wH( 1/2), la aproximación por diferencias finitas
con tamaño de paso h. ¿Qué tanto puede acercarse la extrapolación al valorexacto>< l/2)si se usan
sólo los valores aproximados de h = 1/4, 1/8 y 1/16?

8. Extrapole las soluciones aproximadas del problema de computadora 6. Utilice la fórmula N(h) =
wh(3/2), la aproximación por diferencias finitas con tamaño de paso h. ¿Qué tanto puede acercarse
la extrapolación al valor exacto ><3/2) si se usan sólo los valores aproximados de h » 1/4, 1/8 y
1/16?

9. Resuelva el problema de valores en la frontera no lineal y ” - sen y, y(0) - 1, y(n) - 0 por dife­
rencias finitas. Grafique las aproximaciones para n = 9 .1 9 y 39.

10. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación

/ = 10y(l - .v)
>(0) = 0
MD=1

Grafique las aproximaciones para n » 9, 19 y 39.

11. Resuelva

/ = cy( 1 - y )

X 0) = 0

.v(l/2) = 1/4
MD= l

para c > 0, con tres posiciones decimales correctas. (Sugerencia: considere el PVF que se forma
al fijar dos de las tres condiciones de frontera. Sea G(c) la discrepancia en la tercera condición de
frontera y utilice el método de bisección para resolver G(c) - 0).

7 3 Colocación y el método del elemento finito | 365

7.3 COLOCACIÓN Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

Al igual que el método de diferencias finitas, la idea detrás de la colocación y el método del
elemento finito es reducir el problema de valores en la frontera a la solución de un conjunto de
ecuaciones algebraicas. Sin embargo, en vez de discretizar la ecuación diferencial sustituyendo las
derivadas con diferencias finitas, a la solución se le da una forma funcional cuyos parámetros se
ajustan mediante el método.

Elija un conjunto de funciones de base . . . , $„(/), que pueden ser polinomios, funciones
trigonométricas, splincs u otras funciones simples. Después, considere la posible solución

= + — + * * < /). (7.15)

La determinación de una solución aproximada se reduce a encontrar los valores de c¡. Se conside­
rarán dos formas de encontrar los coeficientes.

El enfoque de colocación es sustituir (7.15) en el problema de valores en la frontera y evaluar
en una malla de puntos. Este método es sencillo, reduciendo el problema a resolver un sistema de
ecuaciones en c¡, lineales si el problema original era lineal. Cada punto da una ecuación, y su solu­
ción para c,es un tipo de interpolación.

Un segundo enfoque, el método del elemento finito, procede tratando al ajuste como un pro­
blema de mínimos cuadrados en vez de una interpolación. La proyección de Galcrkin se emplea
para disminuir al mínimo la diferencia entre (7.15) y la solución exacta en el sentido del error
cuadrado. El método del elemento finito se revisa en el capítulo 8 para resolver problemas de valor
de frontera en ecuaciones diferenciales parciales.

7.3.1 C olocación
Considere el PVF

/ = /( '. > './) (716)
y (a) = ya

y(b) = yb-

Elija n puntos, comenzando y terminando con los puntos en la frontera a y b, por ejemplo.

a = / | < / 2 < *•* < tn = b . (7 .1 7 )

El método de colocación funcionasustituyendo la solución candidata (7.15) en la ecuadón diferen­
cial (7.16) y la evaluación dela ecuación diferendal en los puntos(7.17) para obtener n ecuaciones
con n incógnitas c j , . . . , cw

Rira empezar de la manera más sencilla posible, se eligen las funciones de base fyit) “ lf~]
para 1 S j S n . U soludón será de la forma

nn

y(t) = = E C7/JÍ_I* (718)
/= i y=i

Se escribirán n ecuadones con n incógnitas C |,... , c„. La primera y la última son las condiciones
de frontera:

n

i = 1 : Y L c Ja i ~ X= >'(a)

y=»
n

i=n: =y(b).

7=1

366 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

Las restantes n — 2 ecuaciones provienen de la ecuación diferencial evaluada en para
2 :S i :S n — 1. La ecuación diferencial y " = f ( t , y , y') aplicada a >'(/) = ¿L?j=\cj ,J 1cs

n /n n \

y=i \ 7=1 >=> /

La evaluación en /, para cada i produce n ecuaciones que deben resolverse para las c¡. Si la ecua­
ción diferencial es lineal, entonces las ecuaciones en las ci serán lineales y podrán resolverse con
facilidad. Fste enfoque se ilustra con el siguiente ejemplo.

► E JE M P L O 7.11 Resuelva el problema de valores en la frontera

/= 4 y
y(0) = i
y( 0 = 3

mediante el método de colocación.
La primera y última ecuaciones son las condiciones de frontera

n
CI = £ c y t f y ( ° ) = y ( ° ) = 1

7= l

n
Cl + - .. + c« = ^ C y ^ ( l ) = > < ! ) = 3.

7= I

Las otras n - 2 ecuaciones provienen de (7.19). las cuales tienen la forma

¿ O - 1 ) 0 - 2 > c / - 3 - 4 ¿ c / - 1 = 0.

7=1 7=1

Evaluando t¡ para cada i, se obtiene

n
¡£ [< 7 - 1X7 - 2 )//" 3 - 4 / / - ‘]cy = 0.
7-1

L.as n ecuaciones forman un sistema lineal Ac - g,donde la matriz de coeficientes A está definida
por

1 0 0 ... 0 renglón i = 1

AU = — —( 7 0 ( 7 2 )//-3 —4t f ~ l renglones / =
renglón / = n
1 1 1 ... 1

y g = (1 .0 . 0......... 0. 3)7. Con frecuencia se utilizan los puntos de la malla espaciados de manera

uniforme

/- 1 » -l
t i = a + ------ -(b - a) = 7.
n —1 n -1

Después de resolver para las C"jr,'se obtiene la solución aproximada ></) = •
Para n = 2, el sistema Ac = g es

7 3 Colocación y el método del elemento finito | 367

y

Figura 7 .9 So lu cio nes do la PV F lineal del ejem plo 7.11 m ediante el m étodo de colocación. Se m uestran
las soluciones con n - 2 (cu rva superior) y n “ 4 (curva Inferior).

y laso lu ció n csc = l l . 2 ] r .Lasoluciónaproxim ada(7.18)eslaIínea recta y ( / ) = C | + c^t = I + 2/.A1
calcular para n = 4 se obtiene la solución aproximada y (/) % 1 - 0.1886/ + 1.Q273/2 + 1.1613/3.
Las soluciones para n = 2 y n = 4 se representan gráficamente en la figura 7.9. Ya para n = 4 la
aproximación es muy cercana a la solución exacta (7.4). como se muestra en la figura 7.3(b). Es
posible lograr mayor precisión si se incrementa n.

Las ecuaciones que deben resolverse para en el ejemplo 7.11 son lineales porque la ecuación
diferencial es lineal. Los problemas de valores en la frontera no lineales pueden resolverse por
colocación de una manera similar. Para resolver el sistema resultante de ecuaciones no lineales, se
utiliza el método de Newton. tal como en el método de diferencias finitas.

Aunque se ha ¡lustrado el uso de la colocación con funciones de base monomialcs debido a
su sencillez, existen muchas mejores opciones. Por lo general, no se recomiendan las bases poli-
nomialcs. Dado que la colocación realiza una interpolación de la solución, el uso de funciones de
base polinomial hace que el método sea susceptible al fenómeno de Runge (capítulo 3). El hecho
de que los elementos de base monomialcs i no sean ortogonales entre sí como funciones, hace que
la matriz, de coeficientes de las ecuaciones lineales esté mal condicionada cuando n es grande. Una
forma de mejorar el condicionamiento consiste en usar las raíces de los polinomios de Chebyshev
como puntos de evaluación, en vez. de los puntos espaciados de manera uniforme.

La elección de funciones trigonométricas como funciones de base en la colocación conduce al
análisis de Fouricr y a los métodos espectrales, que se utilizan tanto en los problemas de valores
en la frontera como para las ecuaciones diferenciales parciales. Éste es un enfoque “global", donde
las funciones de base son distintas de cero en un amplio rango de /, pero tiene buenas propiedades
de ortogonalidad. En el capítulo 10 se estudiaran las aproximaciones discretas de Fburier.

7 .3 .2 Elem entos finitos y el método de Galerkin
l a elección de splines como funciones de base conduce al método del elemento finito. En este
enfoque, cada función de base es distinta de cero sólo en un intervalo corto de /. Los métodos del
elemento finito se utilizan mucho para PVF y EDP en las dimensiones superiores, en especial
cuando las fronteras irregulares hacen que la parametrización mediante funciones de base estándar
resulte inconveniente.

En la colocación se supuso una forma funcional y (t) = £ c / 0 , ( / ) y se resolvió para los coefi­
cientes c, forzando la solución para satisfacer las condiciones de frontera y satisfacer exactamente
la ecuación diferencial en puntos discretos. Por otro lado, el enfoque de Galerkin disminuye al
mínimo el error cuadrálico de la ecuación diferencial a lo largo de la solución. Esto conduce a un
sistema diferente de ecuaciones para las c¡.

368 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

R método del elemento finito para PVF

y = fu .y. /)

y(a) = ya
y(b) = y},.

oonsiste en elegir la solución aproximada y de forma que el residuo r = y " - / ,1 a diferencia en los
dos lados de la ecuación diferencial, sea lo más pequeño posible. En analogía con los métodos de
mínimos cuadrados del capítulo 4, esto se logra al elegir y de modo que el residuo sea ortogonal al
espacio vectorial de las posibles soluciones.

Para un intervalo [a, b\. defina el espacio vectorial de funciones integrables cuadradas

JL r \ a ./>1 = | funciones y (t) en [a,b] y (t)2 dt existe y es finita J.

H espacio funcional ¿ 2 tiene un producto interno
{yi,yi) = J y\U)y¿U) dt

que tiene las propiedades usuales:
1- ( ^ i ..v i) > 0 ;
2. (cryi + Pyi, z) = or(yi. z) + P(yi, z) para los escalares a. /?;

3- <yuyi) = {yi,y\)-

Etos funciones >-| y y js o n ortogonalescn L 2 [a, 6] si “ 0- Como L2[a,¿>]es un espacio

vectorial de dimensión infinita.no es posible hacer que el residuo r —y " - / s e a ortogonal a todas

las I?[a, b ] por medio de un cálculo finito. Sin embaído, puede elegirse una base que cubra tanto

de ¡? como sea posible con los recursos computacionales disponibles. Sea el conjunto de n + 2

funciones de base indicado por . . . , ,(r). Esto se especificará más adelante.

H método de Galcrkin consiste en dos ideas principales. La primera es disminuir al mínimo r

forzándola a ser ortogonal a las funciones de base, en el sentido del producto interno Lr. Esto sig­

nifica forzar f a (y" — f)4>, dt — O, o

[ by ”m < 0 ) d t = f f ( t , y . / ) 4 > i ( t ) d t (7.20)

Ja Ja

para cada 0 S / S n + 1. La forma (7.20) se llama la form a débil d d problema de valor de frontera.
La segunda idea de Galcrkin es utilizar la integración por partes para eliminar las segundas

derivadas. Tenga en cuenta que

f b i‘b
¡ y " < /M í/ ) d r = <t>¡( r ) / ( / ) |¡ ¡ - I yU)4>¡(0dt

= *(*)/< *) - rh (7.21)

- j /</)*{</) d t.

Si se usan (7.20) y (7.21) juntas resulta un conjunto de ecuaciones (7.22)
j í f U . y . y ' M O d t = 0*(¿>)/(¿>) - 0 í( f l) /( « ) - J y W , '( 0 d t

7 3 Colocación y el método del elemento finito | 369

R g u ra 7 .1 0 Sptlnas B lln aalas por p artas usadas com o «lam entos finitos. Cada <i(0. para 1 s / £ n , tiene
sopo rte c n d intcrva (o q u e va do , a r/+

para cada i que puede resolverse para las c, en la fonna funcional (7.23)

»+i
y{t) = £ > , < , ) .

1—0

Las dos ideas de Galerkin hacen conveniente el uso de funciones muy simples, como los ele­
mentos finitos Las splines B lineales por partes se introducirán directamente y sólo se remitirá
al lector a la bibliografía para conocer opciones más elaboradas.

Comience con una malla /0 < f| < ... < tn < /n+| de puntos sobre el eje /. Para i = 1 n
defina

M)= t ~ tj-i para //_j < t < t¡
para t¡ < t < f/+i.
t i - t i -1 en otro caso
tn i ~ t

*<+i - h
0

También defina

M)= t\ - I para f o < / < / | y 0 n 4 l(/) = / - tn para t„ < I < /B+i
en otro caso en otro caso
/1 -/0 A»+i t,i
0 0

Las fundones de “techo” lineales por partes <p¡, que se muestran en la figura 7.10, satisfacen la
siguiente propiedad interesante:

1 si i = j (7.24)
4h(tj) =

0 si i / y

Para un conjunto de puntos de datos (/,, c,), defina la spline B lineal p o r partes

H+l
S(i ) = ^ 2 cí4>,(i ).

/=o

Se deduce de inmediato a partir de (7.24) que S(tj) = ci<t>í(tj) = cj.Por lo tanto. S(i)es una

función lineal por partes que interpola los puntos de datos (/,. c¡). En otras palabras, ¡las coordena­

das y son los coefidenics! Esto simplificará la intcrprctadón de la solución (7.23). Las c¡ no son

sólo los coeficientes, sino también los valores de la solución en los puntos de la malla t¡.

370 | CA PÍTU LO 7 Problemas de valor de frontera

A N O T A C IÓ N O rto g o n a lid a d En el capitulo 4 se vio que la distancia de un punto a un plano se dism inuye al

mínimo al dibujar el segmento perpendicular desde el punto hasta el p la n a El plano representa los
candidatos para aproximar el punto, la distancia entre ellos es el error de aproximación. Este simple
hecho sobre la ortogonalidad Impregna el análisis numérico. Es el núcleo de la aproximación por m í­
nimos cuadrados y es fundam ental para el método de Galerkln en problemas de valor de frontera y de
ecuaciones diferenciales parciales, asi como de la cuadratura gaussiana (capitulo S), la compresión (vea
los capítulos lO y 11), y las soluciones a problem as de valores propios (capitulo 12).

Ahora se muestra cómo calcular las q para resolver el PVF (7.16). La primera y la última de
las c, se encuentran mediante la colocación:

»+t
y (a) = ^ 2 Ci<p¡(a) = co^o(fl) = c0

1=0
i»+t
y ib ) = £c< 0í(¿> ) = C Jt+i ^ n+i(/>) = Ca+1.
1=0

Rira ¿ = 1 , . . . , n, utilice las ecuaciones de elemento finito (7.22):

•6 rb di = 0.

j í fit.y , y ' m o di + í

o al sustituir la forma funcional y(t) = £ c ,^ ,( /) , Í °. (7.25)

•6 Ja

í

Ja

Observe que los términos de frontera de (7.22) son cero para i = 1 , . . . , n.
Suponga que la malla está espaciada de manera uniforme con tamaño de paso h. Se requerirán

las siguientes integrales, para i = 1 n :

jff_ f h (7.26)
(7-27)
2h 3h 2 |o 6

fa -r a r -i (7-29»

Las fónnulas (7.26) a (7.29) se utilizan para simplificar (7.25) un vez sustituidos los detalles
de la ecuación diferencial y " = f ( t . y . y'). Siempre que la ecuación diferencial sea lineal, las ecua­
ciones resultantes para las q serán lineales.

7 3 Colocación y el método del elemento finito | 371

►EJEMPLO 7.12 Aplique el método del elemento finito para el PVF

y" = 4?
y(0 )= 1 .
y(D = 3

Al sustituir la ecuación diferencial en (7.25) se obtiene, para cada i, la ecuación

j» + 1 j» + 1 \
°= r*'(í)£c'*'(,)+-l /
Jo dt

= +jfMtWjWdt

Si se usan las relaciones de spline B (7.26) a (7.29) para i = 1 rt, así como las relaciones cq =

/( a ) , cB+| " f(b), se encuentra que las ecuaciones son

r2- .h - -n co + r.3-»h, + 2- i C| + n.x32A. - TAi 1C2 = 0
.3
h_

[.23-/,i - V-11C1+ '.83-h, —A2*. C2+ .’3■2z, h- r
-A C3 = 0

[§ * - i ] * - . + [? * + § ] * + [?A - ¿ ] c „ , = 0 . (7.30)

Observe que se tiene c0 = ya = 1 y cB+j = yb = 3, por lo que la forma matricial de las ecuaciones
es simétrica tridiagonal

a0 0 •. • 0 ' C | * - ) ’a0 '
0a
*. • . l = •C2 0

00 « 00 1 c"C ft- 1 0
.,
a «a. a . -* > 0 .
_0 ... 0
0

donde

“ = 3* + A y /, = 3* - * •

Recuerde el comando s p d i a g s de M ati.a b que se usó en el capítulo 2; con éste puede escribirse
una implementación simple que es muy compacta:

% P r o g r a m a 7 . 2 S o l u c i ó n p o r e l e m e n t o f i n i t o d e u n PVF l i n e a l pasos n.
% Entradas: in t e r v a l o in t e r , v a lo r e s de fr o n te r a bv, número de

% Salida: valores de solución c

%Uso de ejemplo: c=bvpfem ((0 1 ], ll 3 ],9 );
fun ction c=bvpfera(in te r ,b v ,n )

a a in te r (l); bs»inter(2); ya=bv(l); yb=bv(2);

h -(b -a )/ (n+1 ) ;

alpha=(8 /3 ) *h+2/h; b eta = (2 /3 )« h -l/h ;

e-o n eo (n .1 );

M=spdiags( [beta*e alpha*e b e ta * e ], - 1 : l , n , n ) ;

372 | CA PITU LO 7 Problemas de valor de frontera

d - z e r o a ( n , 1) ;
d (l)»-ya*beta;
d (n )= -y b *b e ta ;
C-M\d;

Rira n = 3, el código M a t la b da las siguientes c¡:

iU wt = a y¡
0 0.00 1.0000 1.0000
1 0.25 1.0109 1.0181
2 0.50 1.2855
3 0.75 1.8955 1.2961
3.0000 1.9049
4 1.00 3.0000

La solución aproximada w, en /, tiene el valor c,. que se compara con la solución exacta y¡. Los
errores son aproximadamente de 10-2 , el mismo tamaño de error que para el método de diferencias
finitas. De hecho, la figura 7.11 muestra que la ejecución del método del elemento finito con valo­
res mayores de n da una curva de convergencia casi idéntica a la del método de diferencias finitas
de la figura 7.7, mostrando la convergencia 0 ( n ~ 2).

itr3

KT4

5.
n
c i<r'

lír*

,0"710.’ I017 10*7

N 'lim en) d e vubi in érv a lo s

R g u ra7.11 Convergencia <M m étodo <M elem ento ftnito.Gráftea del error |u.*4 y,|para el ejemplo 7.12en

f¿ = 3/4 contra el número de sublntorvalosn. De acuerdo con la pendiente el error es 0{n *)

7.3 Pro blem as de com putadora

Utilice el método de colocación con n 8 y 16 para aproximar las soluciones a los problemas de
valor de frontera lineales

/ = y + 23<_”r y" = ( 2 + 4/2) y

(a) >-(0) = 0 (b) 7(0) = I

yO )= \e 7(1) = e

Grafique las, soluciones aproximadas junto con las soluciones exactas (a) y(í) = te'/3 y
(b) 7 ( 0 = é ~ . asimismo, muestre los errores como una función de t en una gráfica semilogarít-
mica por separado.

2. Utilice el método de colocación con n =>8 y 16 para aproximar las soluciones a los problemas de
valor de frontera lineales

Software y lecturas adicionales | 373

9y " + 7t2>’= 0 / =3 y -2/

(a) >■(0) = - 1 (b) y (0) = e J

y( j) = 3 md = i

Grafique las soluciones aproximadas junto con las soluciones exactas (a) ><f) = 3 sen m!3 -
eos zcr/3 y (b) ></) ■ e3-3*. Asimismo, muestre los errores como una función de i en una gráfica
scmilogarítmica por separado.

3. Realice los pasos del problema de computadora 1, utilizando el método del elemento finito.

4. Realice los pasos del problema de computadora 2, utilizando el método del elemento finito.

Software y lecturas adicionales

Los problemas de valor de frontera se analizan en la mayoría de los textos que tratan sobre ecua­
ciones diferenciales ordinarias. Ascher t í al. [I995J es un estudio exhaustivo de las técnicas usadas
cn problemas de valor de frontera oon EDO, incluyendo los métodos de disparo múltiple que no se
cubrieron cn este capítulo. Otras referencias buenas sobre los métodos de disparo y los métodos de
diferencias finitas para PVF son Kcller 11968], Bailey tí al. [1968] y Roberts y Shipman f 1972].

Las rutinas BVPMS y BVPFD del IMSL son implcmentaciones de los métodos de disparo y
los métodos de diferencias finitas, respectivamente, para PVF de dos puntos. BVPFD utiliza un
método de diferencias finitas oon orden y tamaño de paso variables.

El programa D02HAF de NAG ¡mplementa un método de disparo para PVF de dos puntos,
utilizando el método de Runge-Kutta-Merson y la iteración de Newton. l a rutina D02GAF imple-
menta una técnica de diferencias finitas con iteración de Newton para resolver las ecuaciones resul­
tantes. La matriz jacobiana se calcula por diferenciación numérica. Pbr último. D02JAF resuelve
un PVF lineal para una sola EDO de orden n mediante la colocación.

La biblioteca Netlib contiene dos subrutinas de Fortran que el usuario puede invocar: MUSL,
para problemas lineales, y MUSN, para problemas no lineales. Ambas se basan en métodos de
disparo.

CAPITULO

8

Ecuaciones diferenciales
parciales

Las unidades centrales de procesamiento 8086 fabri­ El transcurso de tiempo para la disipación de calor
cadas por Intel Corp. en la década de 1970 corrían a 5 se modela bien mediante una EDP parabólica Cuando
MHz y requerían menos de 5 watts de potencia. Hoy en el calor alcanza un equilibrio, la distribución en estado
día, las velocidades aumentaron en un factor de varios estacionario se puede modelar con una ecuación elíp­
cientos, y los chips disipan más de SO watts. Para evitar tica
los daños que pueden causar las temperaturas excesi­
vamente altas en el procesador, es esencial distribuir el Comprobación
calor usando un ventilador y un disipador. Las conside­ enlarealidad En la página403 se m uestra cómo
raciones de enfriam iento son un obstáculo constante
para extender la ley de Moore a velocidades de proce­ se m odela una configuración sencilla del disipador de
samiento más rápidas. calor, utilizando una ecuación diferencial parcial elípti­
ca con condiciones de frontera de convección térm ica

Una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial con más de una variable indepen­
diente. Aunque el tema es muy amplio, d análisis aquí se limitará a las ecuaciones con dos
sanables independientes que tienen la forma

A u xx + B u xy + Ctiyy + F (tig, uy. u, x #y ) = 0, (8.1)

donde las derivadas parciales se indican mediante los subíndices x y y para las variables indepen­
dientes, y u indica la solución. Cuando una de las variables representa el tiempo, como en la ecua-
dó n de calor, se prefiere llamar las variables independientes x y t.

Dependiendo de los términos de orden principal de (8.1), las soluciones tendrán propiedades
bastante diferentes. Las EDP de segundo orden con dos variables independientes se clasifican
oomo sigue:

(1) Parabólica si B2 - 4AC — 0
(2) Hiperbólica si B2 - 4AC > 0
(3) Elíptica si B2 - 4AC < 0

La diferencia práctica es que las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas están definidas cn una
región abierta. I-as condiciones de frontera para una variable (en la mayoría de los casos el tiempo)

8.1 Ecuaciones parabólicas | 375

se especifican en un extremo de la región y la solución del sistema se encuentra alejándose de esa
frontera. Por otro lado, las ecuaciones elípticas suelen especificarse con condiciones de frontera en
todo el contorno de una región cerrada. Se estudiarán algunos ejemplos de cada tipo y se ilustrarán
los métodos numéricos disponibles para obtener soluciones aproximadas.

8.1 ECUACIONES PARABÓLICAS

La ecuación de calor

u, = Duxx (®-2)

representa la temperatura x medida a lo largo de una placa homogénea unidimensional. La constan­
te D > 0 se denomina coeficiente de difusión, que representa la difusividad térmica del material
que forma la placa. La ecuación de calor modela la propagación del calor desde las regiones de
mayor concentración hasta las de menor concentración. Las variables independientes son x y /.

En (8.2) se usa la variable t en vez de y porque representa el tiempo. A partir de la clasificación
anterior, se tiene B2 - 4AC - 0, por lo que la ecuación de calor es parabólica. La denominada
ecuación de calor es un ejemplo de una ecuación de difusión, que modela la difusión de una sus­
tancia. En la ciencia de materiales, es la misma ecuación que se conoce como segunda ley de Fick
y describe la difusión de una sustancia dentro de un medio.

Al igual que en el caso de las EDO, la EDP (8.2) tiene soluciones infinitas y se requieren
condiciones adicionales para determinar una solución particular. Los capítulos 6 y 7 trataron la so­
lución de ecuaciones diferenciales ordinarias, donde se usaron condiciones iniciales o condiciones
de frontera, respectivamente. Con el fin de representar correctamente una EDP, pueden emplearse
varias combinaciones de condiciones iniciales y de frontera.

Rira la ecuación de calor, un análisis sencillo puede sugerir cuáles condiciones deben exigirse.
Fára especificar la situación de manera única, es necesario conocer la distribución de la tempera­
tura inicial a lo largo de la placa y lo que está sucediendo en los extremos de la misma a medida
que avanza el tiempo. La ecuación de calor correctamente ubicada sobre un intervalo finito tiene
la forma

u, = Duxx para toda a < x < b ,t > 0

u(x, 0) = f ( x ) para toda a < x < b

u(a. t) = /(/) para toda t > 0 ,

u(b, 1) = r (t) pora toda t > 0 ,g ^

donde la placa se extiende a lo largo del intervalo a ^ x ^ b. El coeficiente de difusión D controla
la tasa de transferencia de calor. La función/(x)en [a,ó] da la distribución de la temperatura inicial
a lo largo de la placa, y /(/), r(t) para / ^ 0 proporciona la temperatura en los extremos. Aquí, se
ha utilizado una combinación de condiciones ¡nidales/(* ) y condiciones de frontera/(/) y r(;)para
espedficar una soludón única de la EDP.

8.1.1 Método de las diferencias hacia adelante

El uso de los métodos de diferencias finitas para aproximar la solución de una ecuación difcrendal
parcial sigue la direcdón estableada cn los dos capítulos anteriores. La idea es establecer una
malla en las variables independientes y discretizar la EDP. El problema continuo se ha convertido
en un problema discreto con un número finito de ecuaciones. Si la EDP es lineal, las ecuaciones
discretas 9on lineales y pueden resolverse mediante los métodos del capítulo 2.

Para discretizar la ecuación de calor en el intervalo de tiempo [0. 7*], se oonsidera una cuadrícu­
la o malla de puntos, como la que se muestra en la figura 8.1. Los círculos rdlenos representan
valores ya conocidos de la soludón u(x. i) a partir de las condiciones iniciales y de frontera, y los
círculos no rdlenos son los puntos de la malla que deben rellenarse mediante el método. La solu­
dón exacta se indicará mediante u(x¡, tj) y su aproximadón en (x¡, ij) mediante u>¿. Sean M y N c\

376 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

Figura 8.1 M alla p a ra al m étodo da d ifaran d as finitas. Los c íic u b s rellenos representan las condiciones
Iniciales y de frontera conocidas. Los circuios no rellenos representan los valores desconocidos que deben
d eterm in arse.

número total de pasos en las direcciones x y /.adem ás sean h = (b - a)/M y k = T/N\os tamaños
de paso en las direcciones x y t.

Rira aproximar las derivadas en las direcciones x y / pueden usarse las fórmulas de discreti-
zación del capítulo 5. Por ejemplo, la aplicación de la fórmula de la diferencia oentrada para la
segunda derivada sobre la variable x resulta en

uXx ( x .t ) u(x + /»./) - 2u (x,í) + u(x - h,t)), (8.4)

oon error h 2 f)/12; y la fórmula de la diferencia hacia adelante para la primera derivada

usada para la variable del tiempo da

«/(*,/) % + *) - v(x,f))t (8.5)

oon error ku„(x. c-fiH, donde x - h < C\ < x + h y / < c2 < / + h. Al sustituir en la ecuación de
calor en el punto (x¡, tfl se obtiene

D^ 1 ( 8.6)
(u » /+ ij - 2w ¡ j + W í - i j ) % -(u ^ .y + i - Wjj),
h2

oon los errores de truncamiento local dado por 0(k) + 0 ( h 2). Al igual que en el estudio de las ecua­
ciones diferenciales ordinarias, los errores de truncamiento proporcionan una buena imagen de los
errores totales, siempre que el método sea estable. La estabilidad del método de las diferencias
finitas se investigará después de presentar los detalles de iinplcmcntación.

Observe que las condiciones iniciales y de frontera dan cantidades conocidas wfí para i = 0 , . . . ,
M y Wqj y wMj para j = 0 , . . . , N, lo que corresponde a la parte inferior y los lados del rectángulo
de la figura 8.1. La versión discreta (8.6) puede resolverse dando un paso adelante en el tiempo.
Reordene (8.6) como

1 = w ¡j+ jDfk W, + l J ~ 2wO + w¡-\,j) (8.7)

= O W i + l j + (1 - 2fT)Wt j + f T W t - l j ,

donde se ha definido o = DkJh2. La figura 8.2 muestra el conjunto de puntos de malla que partici­
pan en (8.7), con frecuencia llamados la plantilla del método.

0 método de la diferencia hacia adelante (8.7) es explícito, puesto que existe una manera de
determinar los nuevos valores (en el sentido del tiempo) directamente a partir de los valores antes

8.1 Ecuaciones parabólicas | 377

i* i
-------------- j

i- 1 i i + l

8 2Rg u ra J P lantilla p ara al m étodo do la diforonda h a d a adelanta. El circulo no relleno representa

que puede determ inarse m ediante {8.7) a partir de los valores w f y *v1+, , e n los circuios rellenos.

conocidos. Un método que no sea explícito se llama implícito. La plantilla del método demuestra
que este método es explícito. En términos inatricialcs. pueden obtenerse los valores de Uty+i en el
tiempo tj+i al calcular una multiplicación matricial Wj+¡ = AiUj + Sj, o bien

UM../+I ' 1-2a a 0 ... 0 ‘ U)\J 1
• a o!
1 —2<r a
=0 1
a 1 —2a **. 0
0 : +o ¡
o
0 (7 1 - 2a 0

. w* j . . u,"»+i J .

( 8.8)

Aquí, la matriz A es de m X m. donde m ■ M - 1. El vector Sj de la derecha representa las condi­
ciones laterales impuestas por el problema, en este caso la temperatura en los extremos de la placa.

La solución se reduce a iterar una fórmula matricial, lo que permite rellenar los círculos vacíos
en la figura 8.1, renglón por renglón. La iteración de la fórmula matricial u>j+ , = Awj + í; es similar
a los métodos iterativos para sistemas lineales descritos en el capítulo 2. Allí se aprendió que la
convergencia de la iteración depende de los valores propios de la matriz. En la situación actual se
tiene interés en los valores propios para analizar la magnificación del error.

Considere la ecuación de calor para D = l , con la condición inicial f( x ) = sen2 2nx y condi­
ciones de frontera u(Q, t) = u ( l. f) = O para todo tiempo /. El código de M a ti^ b para llevar a cabo
el cálculo en (8.8) se da en el programa 8.1.

% Programa 8 . 1 Método de l a d i f e r e n c i a h a c i a a d e l a n t e para l a e c u a c i ó n de c a l o r

%entrada: in t e r v a lo de espacio [xl, x r ] , in te r v a lo de tiempo [yb, y t ] ,

% n ú m e r o d e p a a o a d e e s p a c i o M, n ú m e r o d e p a s o a s d e t i e m p o N

%salida: solución w

%Uso de ejemplo: w = h ea tfd (0 ,1 ,0 ,1 ,1 0 ,2 5 0 )

function w»heatfd{xl,xr,yb,yt,M,N)

£»«{x) e in (2 « p i* x ). *2;

l=«(t) 0*t;

r - « { t ) 0* t ;

D=l; %c o e f i c i e n t e d e d i f u s i ó n

h = ( x r - x l ) / M ; k*> ( y t - y b ) / N ; m»M-l ; n*N;

oigma-D*k/ (h*h) ;

a=diag(l-2*sigma»ones(m,1 ))+diag(sigma*ones(m-1,1),1);

a»a+diag(aigma*onea(m-1,1 ),-1 ); %define la matriz a

laide=l(yb+(0:n)*k); raide-r(yb+{0:n)*k);

w{: , l ) = f ( x l + (1:m)*h)'; %c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s

for j-l:n

w (:. j+1)=a*w( : , j)+ sigm a*(lsid e(j);zeros(m-2, 1 ) ; r s id e (j));

end

w-[l8ide;w;rside]; %a d j u n t a c o n d s d e f r o n t e r a

x=(0:m+l)*h;t=(0:n)*k;

meah{x,t,w') %g r á f i c a 3D d e l a s o l u c i ó n w

v i e w { 6 0 , 3 0 ) ; a x i s ( [xl xr yb y t -1 1])

378 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales
Los picos de temperatura iniciales deben suavizarse con el tiempo, produciendo una gráfica

oomo la que se muestra en la figura 8.3(a). En esa gráfica, se usan las fórmulas (8.8) oon tamaños
de paso h = 0 .1 a lo largo de la placa y k = 0.004 en el tiempo. El método de las diferencias hacia
adelante explícito (8.7) da una solución aproximada en la figura 8.3(a). que muestra el flujo suave
del calor hasta cerca del equilibrio después de menos de una unidad de tiempo. Esto corresponde a
que la temperatura de la barra u -* 0 cuando t -* ».

B i la figura 8.3(b) se usa un paso de tiempo un poco más grande k > .005. Al principio, los pi­
cos de calor comienzan a desvanecerse tal como se esperaba, pero después de un tiempo, los peque­
ños errores en la aproximación son magnificados por el método de las diferencias hacia adelante,
haciendo que la solución se aleje del equilibrio correcto en cero. Éste es un artificio del proceso de
solución, una señal de que el método es inestable. Si se permite que la simulación continúe, estos
errores crecen sin límite. Por lo tanto.es necesario mantener el paso de tiempo Jfclosuficientemente
pequeño para asegurar la convergencia.

I

(b)

Figura 8.3 Aproximación a la acuadón da calor (1.2) por al m étodo da las dlfarandas finitas hada

adalanta dal program a 8 .1 .El parám etro de difusión es D —1, con la condición inicial /(*) = sen7 2.rx El
tam ato de paso e n el espacio es h - 0.1. El método d e las diferencias hacia ad elante es (a) estab le para e l paso
de tiem po k - 0.0040, (b) Inestable para Ir > .005.

8.1 Ecuaciones parabólicas | 379

8 .1 .2 Análisis de estabilidad del m étodo de las diferencias hacia adelante

El comportamiento extraño mostrado por la anterior simulación de la ecuación del calor conduce
a la raíz del problema. En la resolución de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método
de las diferencias hacia adelante, el control de la magnificación del error para tamaños de paso
prácticos resulta ser un aspecto crucial en la solución eficiente de problemas.

Al igual que en el caso de las EDO estudiado con anterioridad, hay dos tipos de error involucra­
dos. La propia discretización contribuye con errores de truncamiento debido a las aproximaciones
a las derivadas. El tamaño de estos errores se conoce a partir de la fórmula del error de Taylor,
como en (8.4) y (8.5). Además, existe una magnificación de los errores debida al método mismo.
Rira investigar esta magnificación, es necesario mirar más de cerca lo que está haciendo el método
de las diferencias finitas. El análisis de estabilidad de Von N eum ann mide la magnificación, o
amplificación, del error. Rara un método estable, los tamaños de paso deben elegirse de modo que
el factor de magnificación no sea mayor que I.

Sea \j h solución exacta que satisface y;+ | = Ay} + s¡ en la ecuación (8.8), y sea w- la aproxi­
mación calculada, que satisface u¡j+\ = AWj + Sj. La diferencia = w¡ — y, satisface

ej = wj ~ yj = Aw j-i + sj-1 - (Ayj-1 + s,_,) (8.9)
= A(u>j—i - y>j-\)
= Aej-i.

El teorema A.7 del apéndice A dice que, para asegurar que los errores e; no se amplifiquen, debe
requerirse el radio espectral p(A) < 1. Este requisito pone límites a los tamaños de paso h y ifcdcl
método de las diferencias finitas. Rita determinar estos límites, se requiere información sobre los
valores propios de las matrices simétricas tridiagonalcs.

Considere el ejemplo fundamental siguiente:

1 - I 0 ... 0 '

- 1 1 -1 **. !

0 -1 1 0 (8.10)
;
•. •. -1
0 ... 0 -1 1

TEO REM A 8.1 Los vectores propios de la matriz T en (8.10) son los vectores v; en (8.12) para j = 1 , . . . . m con los

valores propios correspondientes = 1 - 2cosnj/(m + I ). ■

Demostración. Rim ero, recuerde de la trigonometría la fórmula de adición de senos, fóra
cualquier entero i y número real x, pueden sumarse las dos ecuaciones

sen(r — l)x = sc n íx co sx - co síx sen x
sen(/ + l)x —senixeosx cos/xsenx

para obtener

scn(i — l)x + sen(/ + l)x = 2scnr'xcosx,

que puede reescribirse como (8. 11)
—sen(/ — l)x + sen ix — scn(r ■+• l)x = ( 1 —2 co sx )scn /x .

380 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales

La ecuación (8 .11) puede verse como un hecho acerca de la multiplicación de matrices por T. Fije
un entero j y defina el vector

=L n A ... ^ « Í L L l (gl2)
vj L W + 1 m + 1
m+lj

Observe el patrón: las entradas son de la forma sen ¿rcomo en (8.11), donde x = a //(m + 1). Ahora
(8.11) implica que

T Vj = ^ \ - 2 c o s - £ ^ j v j (8.13)

para j m 1 , . . . , m, que muestra los m vectores propios y valores propios. n

Pira una j que inicia en m + 1, los vectores Vjsc repiten, por lo que hay exactamente m vec­
tores propios, como se esperaba (vea el ejercicio 6). Todos los valores propios de T se encuentran
entre - 1 y 3.

B teorema 8.1 puede explotarse para encontrar los valores propios de cualquier matriz simé­
trica tridiagonal cuya diagonal principal y superdiagonal sean constantes. Por ejemplo, la matriz
A (8.8) puede expresaise como A = - oT + (1 - o)/. !>: acuerdo con el teorema 8.1, los valores
propios de A son — cr(l - 2cos JtjUjn + 1)) + 1 - o = 2o(cos n j/(m + 1) - 1) + 1 para j =
1 m. Aquí se ha utilizado el hecho de que los valores propios de una matriz que cambian me­
diante la adición de un múltiplo de la matriz identidad se modificarán mediante el mismo múltiplo.

Ahora puede aplicarse el criterio del teorema A.7. Dado que - 2 < eos x - 1 < 0 para los
argumentos dados x = n j/( m + 1), donde 1 s j s w, los valores propios de A pueden ir desde
- 4 a + I hasta 1. Suponiendo que el coeficiente de di fusión /) > 0 , es necesario restringir o < 1/2
para asegurar que los valores absolutos de todos los valores propios de A sean menores que 1 —es
decir, que p(A) < 1.

B resultado del análisis de estabilidad de Von Neumann puede establecerse de la siguiente
manera:

TEOREMA 8.2 Sea h el paso de espacio y Arel paso de tiempo para el método de la diferencia hacia adelante aplica­

do a la ecuación del calor (8.2) con D > 0. Si el método de las diferencias h ad a adelante

es estable. ■

B análisis confirma lo que se observó en la figura 8.3. Por definición, a = D k /h 2 =
(1)(0.004)/(0.1)2 = 0 .4 < 1/2 en la figura 8.3(a). mientras que ifces ligeramente mayor que 0.005
en la figura 8.3(b). lo que conduce a o > (l)(0.005)/(0.1)2 = 1/2 y una notable magnificación del
error. El método de las diferencias hacia adelante explícito se llama condidonalm ente estable,
porque su estabilidad depende de la elección de los tamaños de paso.

8 .1 .3 M étodo d e la diferencia hacia atrás______________________________________________

Como alternativa, el método de la diferenda finita puede rehacerse con mejores propiedades de
magnificación del enror utilizando un método implícito. Al igual que antes, se sustituye u ^ c n la
ecuación d d calor con la fónnula de las diferendas centradas, pero esta vez se usa la fórmula de
las diferencias hacia atrás

1k
u, = ~ ( u ( x ,t) - u ( x ,t - k ) ) + -u „ (x ,e n ),

donde t = k < c0 < /. para aproximar uP La motivación aquí se sigue del capítulo 6. donde se han
mejorado las características de estabilidad del método de Euler (explícito) utilizando el método de
Biler hada atras (implícito), que utiliza una diferenda hacia atrás.

Al sustituir las fónnulas de diferendas en la ecuación del calor en el punto (x¡, t¡) resulta

* - iw ¡ j - W/ ' j —i ) - p ( w / + l J - 2 w ¡ j + (8.14)