Fundamentos_de_fisica

Estrictamente hablando, la ley de Coulomb solo es válida para cargas puntuales; es 15.2 Ley de Coulomb 367
decir, partículas cargadas de tamaño despreciable. Pero, como hemos visto para la grave-
dad en el Capítulo 9, hay un hecho especial acerca de las fuerzas que dependen del cua- CONSEJO
drado de la distancia: cualquier distribución con simetría esférica puede ser tratada como Localice las constantes k, ⑀0 y e en su
una partícula puntual que estuviera situada en el centro de la esfera. Por tanto, la fuerza calculadora. Si no las tiene incorpo-
existente entre cargas esféricas (como las bolas del experimento de Coulomb) también radas, podrá almacenarlas usted mis-
está dada por la Ecuación 15.1, siempre que la distribución de carga tenga simetría esfé- mo en la memoria de la calculadora.
rica y la distancia r se mida entre los centros de las esferas.

Las constantes k y ⑀0

El valor k en la Ecuación 15.1 dicta la intensidad de la fuerza electrostática y es similar
a la constante G en la ley de la gravitación de Newton. En unidades del SI,

k ϭ 8,988 ϫ 109 N·m2/C2

Con la carga en culombios y la distancia en metros, la fuerza en la Ecuación 15.1 está
dada en newtons. Por razones que luego entenderemos, los físicos suelen expresar k en
función de otra constante ⑀0, denominada permitividad del vacío:

k= 1
4␲␧0

donde el valor numérico es:

⑀0 ϭ 8,854 ϫ 10Ϫ12 C2/(N·m2)
Muchas calculadoras científicas de buena calidad «conocen» el valor de k y ⑀0, la
carga elemental e y las masas del neutrón, el protón y el electrón.

EJEMPLO 15.2 Fuerza electrostática en
el átomo de hidrógeno
El valor absoluto de la carga es el mismo para el electrón y el
En un modelo del átomo de hidrógeno, el electrón orbita alrededor protón: |q1| ϭ |q2| ϭ e ϭ 1,60 ϫ 10Ϫ19 C. La fuerza gravitatoria de
del protón siguiendo una trayectoria circular de radio 5,29 ϫ 10Ϫ11 acuerdo con la ley de la gravitación de Newton es:
m. (a) Calcule los módulos de las fuerzas electrostática y gravita-
toria existentes entre el protón y el electrón a dicha distancia. (b) F = Gmpme
Calcule el cociente de los dos valores obtenidos en el apartado (a). r2

ORGANIZACIÓN Y PLAN En la Figura 15.7 hemos dibujado la órbi- con mp ϭ 1,67 ϫ 10Ϫ27 kg y me ϭ 9,11 ϫ 10Ϫ31 kg.
ta. Las leyes aplicables para calcular la fuerza son la ley de Cou-
lomb y la ley de la gravitación de Newton. La distancia entre el Datos: r ϭ 5,29 ϫ 10Ϫ11 m.
protón y el electrón es conocida, y los valores numéricos de la
carga y de la masa están disponibles en la Tabla 15.1. SOLUCIÓN (a) Introduciendo los valores numéricos, el módulo de
la fuerza electrostática es,
La fuerza electrostática está dada por la Ecuación 15.1:

F = k q1 q2 F = k q1 q2
r2 r2

= (8,99 ×109 N⋅m2 / C2 )(1,60 × 10 −19 C)2
(5,29 ×10−11 m)2

Electrón = 8,22 ×10−8 N

De forma similar, para la fuerza gravitatoria,

, F = Gmpme
Protón r2

(6,67 × 10 −11 m 2 / kg2 )(1,67 ×10−27 kg)(9,11× 10−31 kg)
(5,29 ×10−11 m)2
=

= 3,63 ×10−47 N

FIGURA 15.7 Diagrama para el Ejemplo 15.2. Continúa

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368 Capítulo 15 Cargas, fuerzas y campos eléctricos

EJEMPLO 15.2 continuación

(b) El cociente entre los módulos de las dos fuerzas es, en caso contrario, la fuerza electrostática afectaría a sus órbitas, que
están de hecho determinadas casi por completo por la gravedad.
Fe = 8,22 ×10−8 N = 2,26 ×1039
Fg 3,63 ×10−47 N EJERCICIO DE RELACIÓN Suponga que la Tierra y la Luna
tuvieran la misma carga positiva q. ¿Cómo de grande tendría que
REFLEXIÓN ¡Las fuerzas electrostática y gravitatoria difieren apro- ser esta carga para cancelar la fuerza gravitatoria de atracción exis-
ximadamente en 40 órdenes de magnitud! Esto es cierto no solo tente entre ambas?
para el átomo de hidrógeno, sino que tiene carácter general; pues-
to que ambas fuerzas tienen la misma dependencia con respecto a RESPUESTA Utilizando la ley de Coulomb y la ley de la gravitación
1/r2, su cociente será el mismo independientemente de la distancia. de Newton e igualando las dos fuerzas, la carga requerida sería de
Esto sugiere que los cuerpos de gran tamaño del sistema solar aproximadamente 6 ϫ 1013 C. Se trata de una carga enorme, pero
deben ser prácticamente neutros desde el punto de vista eléctrico; que resulta pequeña si la comparamos con toda la carga positiva
disponible en la Tierra.

EJEMPLO 15.3 Levitación del polvo multiplicada por el volumen (m ϭ ␳V) y el volumen de una esfera
de radio r es V ϭ 4/3␲r3.
A causa del rozamiento, una partícula de polvo capta un exceso de
carga de valor q ϭ 3,4 ϫ 10Ϫ10 C. Suponga que es una partícula Datos: r ϭ 5,0 ϫ 10Ϫ5 m; q ϭ 3,4 ϫ 10Ϫ10 C, ␳ ϭ 3500 kg/m3.
esférica de radio r ϭ 5,0 ϫ 10Ϫ5 m y densidad uniforme ␳ ϭ 3500
kg/m3. La partícula de polvo se encuentra situada directamente SOLUCIÓN Igualando la fuerza electrostática y la fuerza gravitato-
encima de otra partícula idéntica con la misma carga. ¿A qué dis- ria (peso), tenemos
tancia entre las dos partículas se equilibrarán la fuerza de repulsión
electrostática y el peso de la partícula situada encima? kq2 = mg = (␳V )g = ␳ ⎜⎛⎝ 4 ␲ r 3 ⎟⎠⎞ g
d2 3
ORGANIZACIÓN Y PLAN La Figura 15.8a muestra una partícula de
polvo centrada a una distancia d por encima de la otra. El diagra- Reordenando,
ma de fuerzas de la Figura 15.8b muestra que las dos fuerzas debe-
rían tener el mismo módulo para poder equilibrarse. d2 = kq2 o d= kq2
4 ␲␳gr3 4 ␲ g␳r3
La ley de Coulomb (Ecuación 15.1) nos proporciona la fuerza 33
electrostática:
Introduciendo los valores numéricos
F = k q1 q2 = kq2
r2 d2 d2 = kq2
4 ␲␳r3g
donde d es la distancia que queremos determinar. La fuerza gravi- 3
tatoria es igual al peso de la partícula, que en las proximidades
de la Tierra es simplemente mg. La masa m es igual a la densidad = (8,99 ×109 N⋅ m2 / C2 )(3,4 ×10−10 C)2 = 0,24 m
4 ␲ (3500 kg/m3)(9,8 m/s2)(5,0 ×10−5 m)3
, Diagrama de 3
fuerzas para la
partícula superior. REFLEXIÓN En este ejemplo, una carga muy pequeña es suficiente
para equilibrar la fuerza de la gravedad, lo que nos permite ilustrar
(b) de nuevo las intensidades relativas de las fuerzas electrostática y
gravitatoria. Las fuerzas electrostáticas pueden mover fácilmente
, las partículas de polvo. Observe como estas se depositan en las
paredes o en la ropa.
(a)

FIGURA 15.8 Diagrama para el Ejemplo 15.3.

CONSEJO ¿A qué podríamos llamar una cantidad significativa de carga? A diferencia de la masa,
de la longitud y del tiempo, todavía no tenemos la capacidad de evaluar intuitivamente
Repase los prefijos comunes del SI la carga. El exceso de carga que generamos al frotar una varilla de plástico o al caminar
que se suelen utilizar a menudo con por una alfombra seca es normalmente del orden de los nanoculombios (10Ϫ9 C). Unos
las unidades de carga. dispositivos electrónicos denominados condensadores (véase el Capítulo 16) permiten
almacenar cargas que van desde los picoculombios a los culombios. Recuerde que 1 C
contiene un enorme número de cargas elementales (casi 1019).

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15.3 Ley de Coulomb para múltiples cargas 369

La atracción electrostática es esencial en el funcionamiento de las fotocopiadoras y
de las impresoras láser. Estos dispositivos contienen un tambor eléctrico recubierto de
material fotoconductor, que solo conduce cuando se le ilumina. El tambor está cargado
inicialmente y lo que se hace es enfocar sobre el tambor una imagen de la página que se
desea copiar (bien por métodos ópticos o mediante un láser que realiza un barrido para
«escribir» la imagen). Las partes oscuras del tambor retienen su carga, pero la carga
situada en las partes iluminadas, conductores, se disipa. A continuación, se rocían sobre
el tambor unas diminutas partículas de plástico, denominadas «tóner», y esas partículas
quedan adheridas a las regiones cargadas. Finalmente, se hace girar el papel de copia
sobre el tambor, donde el papel atrapa las partículas de tóner, después de lo cual se hace
pasar el papel a través de unos rodillos calientes que hacen que el plástico se funda en el
papel, generando una copia permanente.

AUTOEVALUACIÓN Sección 15.2 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas,

si hablamos de las fuerzas ejercidas sobre dos cargas puntuales próximas q1 ϭ 2 nC y q2
ϭ 4 nC? (a) Las fuerzas son atractivas y la fuerza sobre q1 es mayor que la fuerza sobre
q2. (b) Las fuerzas son atractivas y la fuerza sobre q1 es menor que la fuerza sobre q2. (c)
Las fuerzas son de repulsión y la fuerza sobre q1 es mayor que la fuerza sobre q2. (d) Las
fuerzas son de repulsión y la fuerza sobre q1 es menor que la fuerza sobre q2. (e) Las fuer-
zas son de repulsión y los módulos de las dos fuerzas son iguales.

15.3 Ley de Coulomb para múltiples cargas

En esta sección vamos a mostrar cómo manejar aquellas situaciones en las que tenemos F3netaϭF13 ϩF23

más de dos cargas, como la que se ilustra en la Figura 15.9. ¿Cómo es la fuerza que actúa F23
(fuerza sobre q3
sobre la carga q3? Puede que el lector haya adivinado que será la suma de las fuerzas
debidas a las otras dos cargas: debida a q2)

F3neta = F13 + F23 (Principio de superposición) (15.2) q3 F13
(fuerza sobre
q3 debida a q1)

Los experimentos demuestran que esta intuición es correcta. El hecho de que las fuerzas q1 q2

eléctricas se combinen de esta forma simple se denomina principio de superposición.

La fuerza es un vector y la Ecuación 15.2 muestra que hay que sumar las fuerzas en

forma vectorial, sería erróneo simplemente sumar sus módulos. Utilizamos la notación

→

F13 para indicar «la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q3», la cual es coherente
con la notación empleada en el Capítulo 4.

Cálculo de la fuerza neta FIGURA 15.9 Fuerza neta debida a varias car-
gas.
Ya hemos visto anteriormente que lo más fácil suele ser sumar los vectores mediante sus
componentes. He aquí cómo sería el proceso en un problema de electrostática.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 15.1

Cálculo de la fuerza neta debida a varias cargas eléctricas

ORGANIZACIÓN Y PLAN

Para visualizar la situación (véase la Estrategia de resolución de problemas 4.1), dibuje

un diagrama.

Localice las cargas y tome nota de su signo.

Identifique la carga sobre la que desea calcular la fuerza.

Dibuje vectores que sugieran las fuerzas que el resto de las cargas ejercen sobre dicha

carga, asignando las correspondientes sentidos según las reglas de atracción y repulsión.

No se preocupe por los módulos de los vectores en este momento. Continúa

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370 Capítulo 15 Cargas, fuerzas y campos eléctricos

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 15.1 continuación

SOLUCIÓN

Utilice la ley de Coulomb para calcular los módulos de las fuerzas individuales.
Establezca un sistemas de coordenadas y determine las componentes de las fuerzas indi-
viduales.
Calcule la fuerza neta sumando las componentes de los vectores.

REFLEXIÓN

Compruebe el orden de magnitud de la respuesta (la fuerza neta). ¿Es razonable, tenien-
do en cuenta las fuerzas individuales que ha sumado?
Compruebe la dirección de la fuerza neta. Compruebe si tiene sentido, en relación con
las direcciones de las fuerzas individuales que haya identificado.

EJEMPLO 15.4 Tres cargas en un plano

Considere tres cargas puntuales sobre el plano x-y: q1 ϭ 86 ␮C en ␪ϭ tanϪ1(1,47) ϭ 55,8Њ. Entonces las componentes de → son
el origen (0,0), q2 ϭ 32 ␮C en el punto (2,5 m, 0) y q3 ϭ Ϫ53 ␮C
en (1,5 m, 2,2 m). Calcule la fuerza neta que actúa sobre q1. F31

ORGANIZACIÓN Y PLAN La ley de Coulomb nos proporciona la F31,x = F31 cos␪ = (5,8 N) cos(5 5,8 ) = 3,3 N
fuerza ejercida sobre q1 por cada una de las otras dos cargas. La
qFP2ieg,rouproqar11ls5oe.1qv0ueaeamtFr→a2u1íedasatprpuaonqrtaulaehcaqac1rigasealavneeigzrqaetupiiveelariddqaa3,,ppeonorrlllaaocdqaiurregecaFc→i3pó1onaspiϪtuivnxa-. F31,y = F31 sen␪ = (5,8 N)sen(5 5,8 ) = 4,8 N
ta hacia arriba y hacia la derecha, y tendremos que determinar sus
componentes aplicando las reglas de la trigonometría. Utilizando vectores unitarios, → 3,3 N ^i ϩ 4,8 N ^j. De acuerdo con

Los módulos de las dos fuerzas son: F31ϭ

el principio de superposición, la fuerza neta sobre q1 es

F1neta = F21 + F31 = −4,0 N iˆ + (3,3 N iˆ + 4,8 N ˆj) = −0,7 N iˆ + 4,8 N ˆj

F21 = k q1 q2 REFLEXIÓN Después de calcular las componentes de los vectores,
r221 hallar la suma del vector final es bastante sencillo. El procedimien-
to aquí descrito funciona para cualquier número de cargas, simple-
donde r21 es la distancia entre q1 y q2, y mente habrá más fuerzas que sumar. Lo que puede que resulte más
difícil es determinar si la respuesta final tiene sentido. En este
= k q1 q3 caso, la atracción que q1 siente hacia q3 (la cual está situada por
r321 encima del eje x) es coherente con que la respuesta final tenga una
componente y positiva.

F31

Puesto que F→31 forma un ángulo ␪ por encima del eje x, sus com- EJERCICIO DE RELACIÓN Suponga que la carga q1 de este ejem-
ponentes son: plo fuera la carga neta de una partícula de polvo con una masa de

10Ϫ6 kg. ¿Cuál será la aceleración de la partícula?

F31,x ϭ F31 cos ␪ y F31,y ϭ F31 sen ␪ RESPUESTA La fuerza y la aceleración están relacionadas por →

Fϭ
m a→. Por tanto, a→ϭ F→/m ϭ Ϫ7,0 ϫ 105 m/s2^i ϩ 4,8 ϫ 106 m/s2 ^j. Como

SOLUCIÓN Calculamos el módulo de la primera fuerza muestra este ejemplo, no resulta sorprendente que las partículas de

k q1 q2 polvo se vean aceleradas tan fácilmente. En la Sección 15.5 estu-
r221
F21 = diaremos con más detalle el movimiento acelerado de partículas

cargadas.

= (8,99 ×109 N⋅ m2 / C2 )(86 ×10−6 C)(32 ×10−6 C) = 4,0 N
(2,5m− 0 m)2

Teniendo en cuenta su dirección, la fuerza es F→21 ϭ Ϫ4,0 N î. ,,
Para calcular F31, utilizamos el teorema de Pitágoras: r312 ϭ
,
(⌬x)2 ϩ (⌬y)2. Por tanto, ,

k q1 q3 2,2 m
r321
F31 =

= (8,99 ×109 N⋅ m2 / C2 )(86 ×10−6 C)(53 ×10−6 C) = 5,8 N , ,
(1,5m− 0 m)2 + (2,2 m− 0 m)2 (a) (b)
FIGURA 15.10 Diagrama para el Ejemplo 15.4.
La Figura 15.10 b muestra que tan␪ = 2,2 m = 1,47, por lo que
1, 5 m

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